PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Definição Consideremos a sequência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16).Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2 Sequências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA). A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2. Podemos, então, dizer que: Progressão aritmética é a sequência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante. São exemplos de PA: · (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5 · (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 · (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0 Notação PA(a1 , a2 , a3 , a4 ......, an ) Onde: a1 primeirotermo a n = último termo, termo geral ou n-ésimo termo n = número de termos( se for uma PA finita ) r = razão Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) a1 = 5 a n = a 6 = 25 n=6 r=4 Classificação Quanto a razão: (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5. Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente. (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3. Toda PA de razão negativa ( r < 0) é decrescente. (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0 Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária. Quanto ao número de termos: são os termos eqüidistantes dos extremos 3 e 31. 45. Exemplo: Consideremos a PA(3. 25. 20. Exemplo: Consideremos a PA(4.. (12. 16. 23.) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2 Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada. 6. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos: P2:Termo Médio Numa PA qualquer de número ímpar de termos. 8. 9. a partir do segundo. 10. . 12. 4. 11. 35. 6. 28. 16 ou . 24. 20. 15. 8. 15. Toda PA de n° de termos finito é limitada. 19. 12 ou 8. o termo do meio(médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último. 31). 8... 24. 12. 12. Propriedades P1:Três termos consecutivos Numa PA. 2. 18. 27. é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. 3 21 12 2 P3:Termos Equidistantes Numa PA qualquer de número ímpar de termos..(5. 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4. Exemplo: Consideremos a PA(3. 21) e o termo médio é 12. o termo do meio(médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último. 15.. qualquer termo. 7. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último. 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10. em que o 1° termo é a1 7 e a razão é r = 4.. an 1 . an ) Aplicando a definição de PA. a3 .. podemos escrevê-la de outra forma: Portanto. em que o 1° termo é a1 6 e a razão é r = 8. o termo geral será: Atividades 1 01) Escreva a PA de: a) Cinco termos.. determine a razão. a2 . n .. b) Em que a12 29 e r = -4 06) Numa PA na qual o 20° termo é 157 e o 1° termo é 5. 1 .. 02) Determine: a) O 4° termo de um PA em que o 1° termo é a1 1 e a razão é r b) O 7° termo de uma PA na qual a4 25 e a razão é r = -5 03) Qual a fórmula do termo geral da sequência dos números pares positivos. a4 . 04) Qual o 50° número ímpar positivo? 05) Determine o 1° termo da PA: a) De razão r = 3 sabendo que a7 21 .Termo Geral Uma PA de razão r pode ser escrita assim: PA(a1 . b) Quatro termos.. __.30 b) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4? Como n = 7 é o número total de termos. __. ele pinta 2 m2 a mais do que pintou no dia anterior. Atividades 2 01) Insira 6 meios aritméticos entre 100 e 184. Em janeiro. Em que dia ele terá conseguido pintar 31 m2 ? 12) Um garoto vai comprar um vídeo game que custa 420 reais vai guardar 2 reais nessa semana. março abril e maio? . a cada dia. Determine o 9° termo e a razão desta PA. Exemplos: a) Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30. 6. __. 4 na segunda semana. a produção mensal de um montadora está em PA crescente. que é de 72 pílulas? 11) Um pintor consegue pintar uma área de 5 m2 no primeiro dia de serviço e. o 8° termo é 52 e o 10° termo é 66. seis na terceira semana o numero de semanas necessárias para poder comprar o vídeo game é Interpolação Aritmética Neste item vamos aprender a intercalar números reais entre dois números dados. João estava ganhando R$700. 10) Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo.000 unidades. 08) Em janeiro de certo ano. foi de 78.000 carros e. Quanto João estará ganhando em dezembro do ano seguinte? 09) Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia. Seu patrão prometeu aumentar seusalário em R$40. 02) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8? 03) No primeiro semestre de um dado ano.00 por mês. em junho. __.2 = 5 meios. seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. quatro no segundo dia.00 todos os meses. devemos interpolar 7 .A. de tal forma que todos passem a constituir uma P. __.07) Numa PA. Qual foi a produção dessa montadora nos meses de fevereiro. a p rodução foi de 18. y .2. 14. a1 .. supondo que se trata de uma progressão aritmética.. e assim.A( 2. . 14. 12. em progressão aritmética... 05) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora. (8. 12. porque somamos os termos dois a dois).). 8... 16. 18. calcule x . determine o primeiro termo. 6. calcule a soma dos 20 primeiros termos. 18. 03) Determine a soma dos 50 primeiros termos da PA(2. + 49) é a soma dos ímpares de 1 a 49. 200.). 2. 4. 10. Como faríamos? Procederemos do mesmo modo. que a soma dos termos equidistantes é constante (sempre 22) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA. 4. 05) Quantos números inteiros existem de 100 a 500 que não são divisíveis por 7? Soma dos Termos de uma PA finita Consideremos a sequência ( 2. 10. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes(metade de 100).. 6. 04) Se x = (1 + 3 + . 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110.. 4.100). portanto S100 101 50 5050 . Na P. 02) Os dois primeiros termos de uma sequência são 2 e ½. 6. 20). Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa sequência. Assim podemos escrever: 2 Atividades 3 01) Ache a soma dos 40 primeiros termos da P.A de 2. 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. a soma dos seis primeiros termos é 12.. + 50) é a soma dos pares de 2 a 50.. E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a P. 6.20). determinamos S10 110 ( soma dos 10 termos ). 16. 18. 17 km na segunda hora. Trata-se de uma P. 3. Poderíamos obter esta soma manualmente..04) Determinar quantos são os múltiplos de 11 existem de 100 e 1000. 4. 8.. 20) observe: Note. ou seja. e se y = (2 + 4 + . Quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas? 06) Numa PA.. a soma dos 10 termos da P. isto é.. 8.A(2. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA.. 10. Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n vezes.A(1..A. fazermos apenas 5 x 22 = 110. e assim por diante. Mas se tivéssemos de somar 100. Logo devemos ao invés de somarmos termo a termo.. Sabendo que o último termo dessa PA é 7.. as demais fileiras se compõem na mesma sequência. e 11. para x = 6 e r = 5. Qualquer sequência numérica escrita em PA pode ser escrita genericamente da seguinte forma: ( x . Podemos sempre representar três números em PA por ( x –r. 21m do terceiro segundo. Assim. o produto deles é 66 e a soma é 18. Quantas fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas? 12) Uma escada maciça possui 10 degraus.r. determine seu 10° termo. representa a soma dos n primeiros termos de uma PA. Qual é a razão desta PA? 10) Um corpo em queda livre percorre 3m no primeiro segundo. em que r é a razão. os números procurados são 1. 09) A expressão S n n 2 3n . 6. 20 cm de largura e 10 cm de altura. 6. quantos metros terá percorrido após 17 segundos? 11) Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira. 11) e (11.07) A soma dos 20 termos de uma PA finita é igual a 710. 1). x. e assim por diante. para todo n natural. x. temos: x–r=6–5=1 x + r = 6 + 5 = 11 Para x = 6 e r = -5. . Continuando nessa sequência. a1 7 . x + r) Exemplo: Três números estão em PA. 14 na segunda e 16 na terceira. Vamos determinar os três números. 6. temos: x – r = 6 – (-5) = 6 + 5 = 11 x+r=6–5=1 Verificação: 1 6 11 66 e 1 6 11 18 Portanto. x + r). que estabelecem duas PA: (1. Se o 1° termo dessa PA. 12m no segundo. temos o seguinte sistema de equações: ( x r ) x( x r ) 66 ( x r ) x ( x r ) 18 Resolvendo o sistema: x( x 2 r 2 ) 66 3x 18 3x 18 x 6 6(62 r 2 ) 66 36 r 2 66 36 r 2 11 r 2 25 r 5 6 Então. para qualquer n inteiro positivo. 08) Determine a razão de uma PA cuja soma dos n primeiros termos é expressa por S n n 2 4n . qual o volume dessa escada? Forma genérica de escrever três números em PA. Cada degrau é um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 50 cm de comprimento. As idades de dois filhos e do pai estão dispostas em forma de um PA crescente.Atividades 1. determine as três idades. Sabendo que a soma das três idades é igual a 63 e que o produto é igual a 1728. 2. Determine quatro números em progressão aritmética crescente sabendo que sua soma é 6 e assoma de seus quadrados é 54. .