CAMPUS SIMÕES FILHOPROF.: Melquisedec Lourenço Por exemplo. Mas este pensamento é incorreto. a notação científica é mais compacta. Para valores como esses.0004 0. respectivamente).00000000001). ficariam: 1 · 1011 e 1 · 10-11. Em áreas como a Física e a Química esses valores são frequentes. Introdução 2.42 2 . em especial muito grandes (100000000000) ou muito pequenos (0.1.0 · 1041 quilogramas A representação desses números na forma convencional torna-se difícil. Desse modo cada número é representado de uma única maneira.Notação científica A notação científica é uma forma concisa de representar números. É baseado no uso de potências de 10 (os casos acima. a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 metros. Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa (coeficiente) deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10.00000001 0. Notação científica padronizada A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Descrição Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: m · 10 e O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza.0 · 1011 neurônios A massa da Via Láctea é de 1.00000000000000000000000000167 gramas. em notação científica. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal de leitura dos números. Vejamos o exemplo abaixo: 253 756. Observe os números abaixo: • • • • • • • • 600 000 30 000 000 500 000 000 000 000 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0. e a massa de um próton é aproximadamente 0. Como transformar Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo o princípio de equilíbrio.0000000000000000000000000000000000000000000000008 O cérebro humano tem cerca de 1. 2.0000000000000006 0. 1. somente foi alterada a posição da vírgula). Ordem de Grandeza É muito comum no mundo da Ciência.75 · 10-8 Desse modo.16 . o valor adequado seria 2. isto é. Para o exponente.5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma.A notação científica padronizada exige que a mantissa (coeficiente) esteja entre 1 e 10. Nessa situação. Exemplo: Qual a ordem de grandeza das seguintes medidas? 3 x 10-3 m 4 x 102 m 7 x 10-6 m OBS.2. Ou seja. vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade. por que raios esse estranho valor de 3.375642 · 104 = 2. trabalharmos com grandezas físicas sem necessidade de saber seu valor exato. Operações 3. você deve estar perguntando.5375642 · 105 Um outro exemplo.1. e vice-versa". Para determinação da ordem de grandeza de um número usaremos a fronteira numérica de 10 = 3.16 3.75642 · 10³ = 25.42 = 25 375. tipo 100 e 101 é: → → → 3 < 3. um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. é necessário que o expoente seja o mesmo.5642 · 10² = 253. logo a ordem de grandeza é 10-5 10 0 +1 2 1 = 10 2 = 10 = 3.000000475 · 10-1 = 0. logo a ordem de grandeza é 103 7 > 3. Observe a transformação passo a passo: 253 756.16 foi adotado como referência? Resposta: O fato é que o ponto médio entre o intervalo de duas potências consecutivas. logo a ordem de grandeza é 10-3 4 > 3. Essa potência é denominada de Ordem de Grandeza do número que expressa sua medida. com valor menor que 1: 0. Nesse caso. o expoente é 5.: POR QUE É ASSIM? A essa altura.16 .0000475 · 10-3 = 0.0000000475 = 0. a ordem de grandeza de um número é a potência de base 10 mais próxima deste número. Adição e subtração Para somar ou subtrair dois números em notação científica.00475 · 10-5 = 0.475 · 10-7 = 4. 3 .000475 · 10-4 = 0.16 . nesses casos somente é necessário saber a potência de base 10 que mais se aproxima do seu valor.0475 · 10-6 = 0. os exemplos acima ficarão: • • • • • • • • 6 x 105 3 x 107 5 x 1014 7 x 1033 4 x 10-4 1 x 10-8 6 x 10-16 8 x 10-49 2.642 · 101 = 2 537.16 .00000475 · 10-2 = 0. mas pode ser convertido: Exemplos: (6.6 · 10-15) = (4 · 1.2 · 10-11) = (2. O mesmo ocorre para as potências de 10.5.4 · 10-7) : (6.3.08 · 1014 (convertido para a notação padronizada) (4 · 106) · (1. 1017-9 = 4 · 108 (padronizado) (2.5 · 108) .035 · 107 = (4. Divisão Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor.25 · 109 = (6.8 · 1013 (não padronizado) = 2.3871 · 104 (não padronizado) = 3. mas pode ser convertido: Exemplos: (8 · 1017) : (2 · 109) = (8 :2) .35 ÷ 3) ⋅ 10 20−5 = 1.6 · 1025 (padronizado) (5 · 10-3)2 = (52) · 10(-3) · 2 = 25 · 10-6 = 2. Exponente negativo Um expoente negativo em um número representa o inverso desse número. (2 · 106)4 = (24) · 106 · 4 = 16 · 1024 = 1. Exemplos: 4.2.4.25) · 109 = 0. 7-4 = 1 74 4 .2) · 10-7-(-11) ≈ 0.235 · 107 6. (3.32 · 109 .2 + 0.35 ⋅ 10 20 = (3.6.2) · 108+5 = 20.2 · 107 + 0.5 · 105 = 4.5 · 10-5 (padronizado) 3.2 · 107 + 3. Quando mudamos o número do numerador para o denominador (ou vice-versa). sendo convertido posteriormente.035) · 107 = 4.4 · 10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão) 3.07 · 109 (não padronizado) = 7 · 107 (padronizado) 3. trocamos o sinal do expoente.5 · 3. O resultado possivelmente não será padronizado.A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. Multiplicação Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor.1166 ⋅ 1015 5 3 ⋅ 10 3. O resultado possivelmente não será padronizado.871 · 10³ (padronizado) 3.2 · 105) = (6. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada.4 /6.32 – 6.6) · 106+(-15) = 6. Exponenciação A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é multiplicado pelo expoente externo. 7 X 10-6 = k) 1.1111 · 10-14 = 1.45 X 108 / 6.1 X 10-1) = e) (3 X 105) .6 X 103 = j) 4.74 X 10-2 = i) 6.4 x 105) ÷ (4.11 X 102) .7 ⋅ 10 − 3 = 3.674 ⋅ 10 3 Exercícios 1)Cite duas vantagens de se escrever os números na notação de potências de 10.0 x 10-2x 2.41 X 103) + (9.0 x 108) = o) (3 x 104)3 = p) (-2 x 10-4)² = q) 4x106 = 5 .(4.22 = k) 0. Radiciação Antes de fazer a radiciação é preciso transformar um expoente para um valor múltiplo do índice.7 X 10-2 / 5.000069 = d) 123.000238 = l) 9.5 x 10-2 = d) 8 x 10-5 = 3)Usando a regra prática sugerida no texto.2 x 105 x 3.000000000000211 = f) 0. (3 X 10-9) = g) (4 X 10-6) . 1.840 = e) 4.111 · 10-15 2 9 3 (3 · 107)-2 = (3-2) · 107 · (-2) = 3.0 x 102 = l) 2. conforme o modelo.7 X 107 / 8.7 = 3 10 1000 1 1 ⋅ 10 −14 = ⋅ 10 −14 ≈ 0.7 ⋅ 1017 = 5 670 ⋅ 1015 = 5 670 ⋅ 10 15 5 ≈ 3.5x 10-3 = m) 5.3 X 10-2) .8763 = j) 1236.6. escreva em seu caderno os números seguintes em notação de potência de 10. a) 382 = g) 0.0 X 103) = d) (6. Modelo: 3.71 X 104) = b) (5.2 X 102) + (4. Após feito isso. qual deles é o maior? b) Coloque as potências de 10 seguintes 4xl0-5.7 3.4 x 107x 2. (3 X 106) = f) (2 X 107) .6 ⋅ 10 27 = 16 ⋅ 10 26 = 2 16 ⋅ 10 26 = 2 16 ⋅ 10 5 26 2 = 4 ⋅ 1013 6. (4 X 10-4) = h) 3.6 x 10-4 = n) (8.1 · 10-5 = 1 ⋅ 1 1 = 5 5 10 10 1 = 10 3 −3 10 0.2 X 102) = c) (8.4 x 105 = 340000 a) 2 x 103 = b) 1. 2)Complete em seu caderno as igualdades seguintes. 5)Apresente os resultados das operações indicadas em notação científica: a) (8.0037 = 3.2 x l06 = c) 7.042 = b) 21200 = h) 0.10 = 4) a) Dados os números 3 x 10-6 e 7 x 10-6. o resultado é a radiciação da mantissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do radical.75 = c) 62000000 = i) 0.(2. 2 x 10-2 e 8 x 10-7 em ordem crescente de seus valores. a) Escreva esse número usando a notação de potência de 10.4.9 x107 = 2.2 x 104 = c) 1015 x 10-11 = d) (102)3 = e) 2 x 10-6 x 4 x 10-2 = f) (2 x 10-5)2 = g) 1010 ÷ 104 = h) 16 ⋅ 106 = i) 1015 ÷ 10-11 = j) (-1.2 x (0.0031 i) 0.00074.10−4 f) 2.10−7 g) 0.2 .r) s) 4.1011 e) 7.72 ÷ 2.44 x10 4 = − 8x1027 = (3 ) −1 5 = 2 x108 (5x10 ) + 5 x10 x(− 1x10 ) 5 −1 −2 4 4 2 1 2 = 7)Para adicionar ou subtrair dois números que estão expressos em potências de 10.027 h) 0.2 .0.01) ÷ (0.4) = r) (9 x10 a) 10 6 − 4 x10 7 ÷ 2.4.25 x1010 = 1. b) Qual é a ordem de grandeza da massa da Terra? 10) Dê a ordem de grandeza dos seguintes números: a) 200 b) 800 c) 4328 d) 7. 11) A ordem de grandeza da operação p) (0.8 x 10-3 : 1. o que deve ser feito antes de efetuar a operação? 8)Efetue as operações indicadas: a) 1.28 x 105 + 4 x 103 = b) 7.45 x 10-4 = 6)Efetue as operações indicadas: a) 102 x l05 = b) 4.0.02) = q) (0.5 x10 −3 é: b)102 c) 103 d) 104 e) 105 ) ( ) − − 8 + 16 3 4 1 −− +8 3 = 2 6 .12 x 104 = t) 5.7 x l07 = 9)A massa da Terra é 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg.2 x 10-3)2 = k) l) m) n) o) 3 3 s) (− 2)2 − 3 27 − (− 3 + 5)0 − 2 = 6.8 x 10-3 .3.1 .0.5)² ÷ 5 .30 x 103 + 4.3 x 1. cujos expoentes são diferentes.54 x l08 .1. só trabalha com grandezas. não é grandeza.MEDIDAS 1. força. massa. seus múltiplos e submúltiplos. eram quase sempre derivadas das partes do corpo do rei de cada país: a jarda. por exemplo. O quilograma padrão é a massa do protótipo internacional constituído por um cilindro de platina e irídio depositado no Bureau Internacional de Pesos e Medidas. A fisica. Para efetuar medidas é necessário fazer uma padronização. As unidades básicas do SI são dimensionalmente independentes entre si. na coluna à esquerda. a medida passa a ser um processo de comparação entre o que se quer medir e o padrão. é fácil imaginar como o mundo seria complicado se cada país tivesse padrões e unidades diferentes. o pé. No entanto. ou definido por regras que possam ser reproduzidas em laboratórios especializados. coragem. como o padrão de comprimento o metro. tempo. exatamente a 7 de Abril de 1795). Todavia há coisas impossíveis de ser medidas.1. velocidade são grandezas porque podem ser medidos. embora definidas de uma maneira menos individual. podem-se derivar todas as outras unidades existentes. Grandeza Comprimento Massa Tempo Unidade Símbolo metro m quilograma kg segundo s 7 . a polegada e outras. Até hoje. como o quilograma padrão (veja a figura ao lado). estas unidades são usadas nos Estados Unidos da América. define-se a unidade de medida dessa grandeza. e a ele se ajustam os correspondentes instrumentos de medida. 2. Os trabalhos científicos. em Paris. Definido o padrão que permite a medida da grandeza. Grandezas e Unidades Grandeza é tudo o que pode ser medido. como toda ciência. as peças de um automóvel fabricadas num país para serem montadas noutro. amor. como cansaço. as unidades de medida eram definidas de maneira arbitrária. Em princípio. Comprimento. descritas na tabela. comunidade ou nação pode construir e definir seus próprios padrões e unidades. Para isso é necessário a escolha de um padrão. 2. Antes da instituição do Sistema Métrico Decimal (no final do século XVIII. o preço justo de uma mercadoria importada ou exportada necessitam da unificação de todos os padrões e unidades em todo o mundo. bem como o cansaço e a coragem. com aquilo que pode ser medido. Mas o que é medir? Medir uma grandeza é atribuir-lhe um valor numérico e uma unidade. que pode ser um modelo concreto. ou seja. variando de um país para outro. As unidades de comprimento. qualquer indivíduo. Sistema internacional de Unidades O Sistema Internacional de Unidades (sigla: SI) é um conjunto de definições utilizado em quase todo o mundo moderno que visa uniformizar e facilitar as medições. A partir delas. A partir daí. mas através de padrões restritos às dimensões do meio em que vivem e não mais as variáveis desses indivíduos. portanto o amor. dificultando as transações comerciais e o intercâmbio científico entre eles. Não é possível atribuir um valor numérico ao amor que uma pessoa sente por outra. escolhendo unidades para cada grandeza. Unidades do SI Básicas Existem sete unidades básicas do SI. há apenas uma unidade do SI para cada grandeza.Corrente elétrica Temperatura termodinâmica Quantidade de matéria Intensidade luminosa ampère kelvin mol candela A K mol cd Derivadas Consideram-se unidades derivadas do SI apenas aquelas que podem ser expressas através das unidades básicas do SI e desse modo.). Na primeira tabela. unidades que não fazem uso das unidades com nomes especiais: Grandeza Área Volume Número de onda Densidade de massa Concentração Volume específico Unidade Símbolo metro quadrado m² metro cúbico m³ por metro 1/m quilograma por metro cúbico kg/m³ mol por metro cúbico mol/m³ metro cúbico por quilograma m³/kg 8 . As tabelas que se seguem não pretendem ser uma lista exaustiva. etc. m². dão-se nomes especiais para as unidades derivadas. Às vezes. mas colocar as unidades do SI das principais grandezas. Contudo. m³. para cada unidade do SI pode haver várias grandezas. Segue uma tabela com as unidades SI derivadas que recebem um nome especial e símbolo particular: Grandeza Unidade Símbolo Dimensional analítica Dimensional sintética Ângulo plano radiano rad 1 m/m 1 Ângulo sólido esferorradiano sr 1 m²/m² Freqüência hertz Hz 1/s --Força newton N kg·m/s² --Pressão pascal Pa kg/(m·s²) N/m² Energia joule J kg·m²/s² N·m Potência watt W kg·m²/s³ J/s Carga elétrica coulomb C A·s --Tensão elétrica volt V kg·m²/(s³·A) W/A Resistência elétrica ohm kg·m²/(s³·A²) V/A Capacitância farad F A²·s²·s²/(kg·m²) A·s/V Condutância siemens S A²·s³/(kg·m²) A/V Indutância henry H kg·m²/(s²·A²) Wb/A Fluxo magnético weber Wb kg·m²/(s²·A) V·s Densidade de fluxo magnético tesla T kg/(s²·A) Wb/m² Temperatura em Celsius grau Celsius °C ----Fluxo luminoso lúmen lm cd cd·sr Luminosidade lux lx cd/m² lm/m² Atividade radioativa becquerel Bq 1/s --Dose absorvida gray Gy m²/s² J/kg Dose equivalente sievert Sv m²/s² J/kg Atividade catalítica katal kat mol/s --É fácil de perceber que existem infinitas unidades derivadas do SI (por exemplo. Seu uso é desaconselhado. Unidades aceitas pelo SI O SI aceita várias unidades que não pertencem ao sistema.47 a Área barn b 1 b = 10-28 m² Comprimento ångström Å 1 Å = 10-10 m Pressão bar bar 1 bar = 100 000 Pa 2.660 538 782(83) x 10-27 kg Comprimento Unidade astronômica ua 1 ua = 1. mas possuem uma relação com as unidades do SI determinada apenas por experimentos: Grandeza Unidade Símbolo Relação com o SI Energia elétron-volt eV 1 eV = 1. temos unidades que são aceitas temporariamente pelo SI.1 nó = 1 milha marítima por hora = 1852/3600 m/s Área are a 1 a = 100 m² Área hectare ha 1 ha = 10 000 m² Área acre ---40. Prefixos do SI Os prefixos do SI permitem escrever quantidades sem o uso da notação científica.2.602 176 487(40) x 10–19 J Massa unidade de massa atômica u 1 u = 1.495 978 706 91(30) x 1011 m Por fim.001 m³ tonelada t 1 t = 1000 kg Outras unidades também são aceitas pelo SI. A primeiras unidades deste tipo são unidades muito utilizadas no cotidiano: Grandeza Tempo Tempo Tempo Ângulo plano Ângulo plano Ângulo plano Volume Massa Unidade Símbolo Relação com o SI minuto min 1 min = 60 s hora h 1 h = 60 min = 3600 s dia d 1 d = 24 h = 86 400 s grau ° 1° = π/180 rad minuto ' 1' = (1/60)° = π/10 800 rad segundo " 1" = (1/60)' = π/648 000 rad litro l ou L 1 l = 0. Grandeza Unidade Símbolo Relação com o SI Comprimento milha marítima ---1 milha marítima = 1852 m Velocidade nó ---. de maneira mais clara para quem trabalha em uma determinada faixa de valores.3. Os prefixos oficiais são: 9 .Velocidade metro por segundo Aceleração metro por segundo por segundo Densidade de corrente ampère por metro ao quadrado Campo magnético ampère por metro m/s m/s² A/m² A/m 2. mas sim a 1024 unidades da grandeza citada. miliampère (miliampere) e deciwatt. centímetro e milímetro. É errado escrever em maiúsculo. mA e dW. Para formar o símbolo. em unidades como quilômetro (km) e quilograma (kg) deve ser grafado em letra minúscula. o símbolo "K" que pode preceder as unidades bits e bytes (grafado em letra maiúscula). como em nanometro. micrometro. basta juntar o prefixo aportuguesado e o nome da unidade. basta juntar os símbolos básicos: nm. Especiais (apenas estes seis casos): quilômetro. Exemplos: milissegundo. decâmetro. decímetro. Observações • • O k usado em "quilo". sem mudar a acentuação. hectômetro . Exceções • • Unidades segundo e radiano: é necessário dobrar o r e o s. não se refere ao fator multiplicativo 1000. etc. 10 . decirradiano.Múltiplos Sub-múltiplos Fator Nome Simbolo Fator Nome Simbolo 101 deca da 10-1 deci d 102 hecto h 10-2 centi c 103 quilo k 10-3 mili m 106 mega M 10-6 micro µ 109 giga G 10-9 nano n 1012 tera T 10-12 pico p 1015 peta P 10-15 femto f 1018 exa E 10-18 atto a 1021 zetta Z 10-21 zepto z 1024 yotta Y 10-24 yocto y Para utilizá-los. µm. Em informática. Isto é feito por meio da chamada conversão em cadeia. O símbolo não aceita plural. 1min e 60s são quantidades físicas idênticas e deste modo podemos escrever 1 min =1 60 s ou 60 s =1 1 min Isto não é equivalente a escrever 1/60 = 1. simplesmente invertemos o fator e tentaremos de novo. Para o símbolo da unidade de tempo "hora" (h).• O nome das unidades deve ser sempre escrito em letra minúscula.4. seguido de um espaço de até um caracter e. 11 . Por exemplo. Certo Errado cinco metros 5m 5 ms dois quilogramas 2 kg 2 kgs oito horas 8h 8 hs • O resultado de uma medição deve ser representado com o valor numérico da medida. metro cúbico. deve haver um espaço entre o símbolo da unidade de tempo e o valor numérico seguinte. ele é invariável e jamais pode ser seguido pelo "s". Exceção: quando o nome estiver no início da frase e em "grau Celsius" • Somente o nome da unidade aceita o plural . Tais fatores são usados de modo que as unidades indesejadas cancelem-se. em seguida. Observe que as unidades seguem as mesmas regras aplicadas a números e variáveis algébricas. Transformações de Unidades Com bastante freqüência precisamos mudar as unidades nas quais uma grandeza física acha-se espressa. Exemplos: Correto: quilograma. o número e a unidade devem ser considerados em conjunto. 60 s 2 min = (2 min)(1) = (2 min) = 120 s 1 min Quando forem introduzidos fatores de conversão em que as unidades não se cancelem. isto é. Assim. não deve haver espaço entre o valor medido e as unidades. um fator de conversão é escrito como uma razão igual à unidade. newton. estes fatores de conversão podem ser introduzidos sempre que forem úteis. Como uma grandeza qualquer não se altera ao ser multiplicada pela unidade. Neste método. o símbolo da unidade em questão. "minuto" (min) e segundos (s). porém. • 8h 35min 3s 2. 3 cm e 14. Ao tentar expressar o resultado desta medida. 1 podemos avaliar a fração mencionada como sendo 5 décimos de milímetro e o resultado da medida poderá ser expresso como 14.3 cm.35 cm Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 1. você não tem muita certeza sobre o seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 4 ou 6. isto é. a fração de milímetro. 36. 12 .4 e 3. o que evidentemente é impossível. seria necessário imaginar o intervalo de 1 mm subdividido mentalmente em 100 partes iguais. obtemos algarismos corretos e um algarismo avaliado. eles são algarismos corretos.8 m. Entretanto. Na fig. Para isso. aproximadamente 1.EXEMPLO: O submarino de pesquisas ALVIN desloca-se a uma velocidade de 36. após o algarismo 5. por exemplo. Portanto. 36. a medida do comprimento de uma barra (fig. A fração de milímetro que deverá ser acrescentada a 14. assim.4 cm. É claro que não haveria sentido em tentar descobrir qual o algarismo que everia ser escrito.357 cm. com isso. Por isto. ou seja.3 cm e 14.1. Algarismos Corretos e Avaliados Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer. por exemplo. Uma braça (1 fathom) corresponde a 6 pés (6 ft). por exemplo. você deverá imaginar o intervalo entre 14. Para fazer esta avaliação. a) Expresse esta velocidade em metros por segundo.3 cm terá de ser avaliada.49 mi h 3. 1).5 braças por minuto (em inglês. na medida. este algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso ou augarismo incerto. que deverá ser acrescentada a 14.5 fat hom fat hom 60 min 6 ft 1mi = 36. e.5 min min 1h 1 fath 5280 ft ≈ 2. poderá ser obtida com razoável aproximação. pois eles foram obtidos através de divisões inteiras da régua. você percebe que ela está compreendida entre 14.1m s b) Quanto vale esta velocidade em milhas por hora? Uma milha tem 5280 pés. Algarismos Significativos e Incertezas 3. se o resultado da medida fosse presentado como sendo 14. ele não deveria figurar no resultado. Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 1 mm.4 cm subdividido em 10 partes iguais.5 min min 60s 1 fat hom ≈ 1. o algarismo 5 foi avaliado. poderíamos afirmar que a avaliação do algarismo 7 (segundo algarismo avaliado) não tem nenhum significado e.8m = 36. Fig. fathom/minute). pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1 mm. 1: Ao realizarmos uma medida.5 fat hom fat hom 1min 1. como. em geral. Fig. 2: Com essa régua. Na primeira. devemos presentar o resultado apenas com os algarismos significativos. como 42 cm e 42. você deverá entender que a medida (ou o cálculo) foi feita de tal modo que os algarismos 3. Se nesta avaliação fosse encontrado o algarismo 7. Do mesmo modo. Neste caso.65 kg e 7. pois iria corresponder a uma divisão inteira da régua (fig. a metade da menor divisão é 0. resultados como 7. ao efetuarmos a leitura do comprimento da barra (usando um microscópio. portanto. com apenas três algarismos significativos. então. 1 deve. 3). costuma-se adotar como valor da incerteza a metade da menor divisão da escala do instrumento. forças etc. algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso. se a régua da fig. sendo todos estes algarismos significativos. não só na medida de comprimentos. mas também na medida de massas. Fig. Vemos. pois diferem apenas no algarismo duvidoso.3. por exemplo). 7 e 8 são corretos e o último algarismo.2. ser expresso como 14.35 cm. realmente. apenas os algarismos 1 e 4 seriam corretos. Comentários 1) Se cada divisão de 1 mm da régua da fig. por exemplo. neste caso o 2.4 Incerteza Suponha que um aluno tenha medido o diâmetro de uma moeda de 10 centavos utilizando um régua milimetrada comum mostrada na figura 4. o algarismo 2 é correto. no resultado de uma medida devem figurar somente os garismos corretos e o primeiro algarismo avaliado. Esta convenção é também usada ao se apresentar os resultados de cálculos envolvendo medidas das grandezas. por todas as pessoas que realizam medidas. Por outro lado.6 mm. 3. O algarismo 3 seria o primeiro algarismo avaliado e o resultado da medida seria expresso por 14. A este valor. O resultado da medida da fig. acrescentamos o correspondente a incerteza dessa medida. Portanto. sendo o zero o algarismo duvidoso. o algarismo seguinte seria o primeiro avaliado e passaria a ser. 3: Usando essa régua. Quando uma pessoa lhe informar. temperaturas. 3. dependerá do aparelho usado na medida. não representam exatamente a mesma coisa. 3) A partir deste momento. é sempre duvidoso. Algarismos Significativos Pelo que vimos. por exemplo.67 kg. 4 13 .357 cm. o algarismo 5 passaria a ser um algarismo correto.3 cm.5 mm.0 cm. não são fundamentalmente diferentes. 1 não possuísse as divisões de milímetros (fig. Como a régua é graduada em milímetros. o resultado da medida poderia ser escrito corno 14. Desta maneira.2). 2) A convenção de se apresentar o resultado de uma medida contendo apenas algarismos significativos é adotada de maneira geral. 1 fosse. então. o resultado da medida do comprimento deverá ser apresentado com apenas um três algarismos. o algarismo 5 passaria a ser um algarismo correto. Nesse caso. Essa incerteza é um valor numérico obtido por cálculos estatísticos ou avaliado de acordo com o instrumento de medida utilizado. um algarismo significativo.82°C. você pode compreender que duas medidas expressas. o algarismo 2 foi avaliado e não se tem certeza sobre o seu valor. Estes algarismos (corretos e o 1º duvidoso) são denominados algarismos significativos.3. subdividida em 10 partes iguais. ao efetuarmos uma medida. Fig. que se obtém no resultado da medida de uma dada grandeza. por exemplo. Na segunda. Esta maneira de proceder é adotada convencionalmente entre os físicos. que o número de algarismos significativos. por exemplo. Sabemos que há regras que permitem exprimir o resultado desta medida com até três algarismos significativos: Por exemplo 19. que mediu (ou calculou) a temperatura de um objeto e encontrou 37. os químicos e. Fig. provavelmente. não é possível avaliar a incerteza das medidas feitas.5. que possui apenas uma casa decimal.1 mm = (19. Adição e Subtração Suponha que se deseje adicionar as seguintes parcelas 2807. (a) e (b) mostram a mesma medida de velocidade. Operações com Algarismos Significativos Conforme dissemos. a medida já é fomecida numericamente. 5 A figura 5. Essa medida tem. os resultados de cálculos que envolvem medidas devem conter apenas algarismos significativos. mas os valores compreendidos entre: 19. essa parcela é 2807. Em nosso exemplo.6 + 0. ou no seu curso. portanto. Em Fig. Química. Ao resolver exercícios de Física. o melhor valor seja 19. Nos instrumentos de medidas digitais. o instrumento analógico só permite a leitura indireta da medida a partir de uma escala graduada. observar qual (ou quais) das parcelas possui o menor número de decimais.5 0.5) mm Essa forma de escrever o valor da medida indica que. mas é impossível uma leitura de 112 km/h como aparece no velocímetro digital. Para isto. 5-a.6 .0.5) mm e 20. pode-se avaliar a velocidade em 110 km/h.chamado de valor mais provável -. Esta parcela será mantida como está. Se estas regras não forem obedecidas. teremos que realizar operações envolvendo essas medidas e os resultados desses exercícios também devem ser expressos com algarismos significativos somente. de modo a ficar com o 14 .Assim o valor final do diâmetro dessa moeda resultante desse processo de medida deve ser expresso na forma: (19. 4. Fig. 4. três algarismos significativos.35____ Para que o resultado da adição contenha apenas algarismos significativos. 5-b.5) mm são aceitáveis. No velocímetro analógico.6 ± 0.1 mm = (19. como a medida é apresentada diretamente em dígitos. No instrumento digital. será necessário observar as regras que apresentaremos a seguir. Essa leitura sempre depende de alguma avaliação de quem a faz.0648 83. As demais parcelas deverão ser modificadas.1.6 mm . você deverá.645 525. inicialmente. respostas poderão conter algarismos que não são significativos. . apenas. em geral. pois... 4.4..... devemos abandonar os algarismos 6. devemos seguir o critério de arredondamento que analisamos ao estudar a adição...3 = 8. como o fator que possui o menor número de algarismos significativos é 2. deve-se seguir o mesmo procedimento...35 indiferentemente como 525. Vejamos. no exemplo anterior. no produto. 3416.. por exemplo.2..1 83. Então.....1.... Na parcela 83.67 x 2. manter apenas um número de algarismos igual ao deste fator... Comentários 1) As regras citadas para operar com algarismos significativos não devem ser consideradas como absolutamente rigorosas... multiplicar 3... 2807.6 525...... o último algarismo mantido deverá ser acrescido de uma unidade. Procedimento análogo deve ser seguido ao efetuarmos uma divisão. Assim...5 Na subtração. Realizando normalmente a operação. será indiferente acrescentar ou não uma unidade ao último algarismo mantido.. logo...67 x 2. não sendo estas regras muito rígidas...67 x 2. na multiplicação analisada acima seria perfeitamente razoável manter um algarismo a mais no resultado..44 2) Ao contar os algarismos significativos de uma medida.... 0. escrever a parcela 525.35 passa a ser escrita ..0648) deverá ser escrita como 0......3.mesmo número de casas decimais que a primeira escolhida. Assim. aparecem.. Para evitar isto.3 = 8. São............... no resultado.. Multiplicação e Divisão Suponha que desejemos. Assim. devemos observar que o algarismo zero só é significativo se estiver situado à direita de um algarismo significativo.. ao abandonarmos algarismos no produto.3 = 8. na parcela 0.... Finalmente.645 fica reduzida a 83..... igualmente aceitáveis os resultados 3.0648. apenas no último algarismo e isto não tem importância.. trabalhando inutilmente com um grande número de algarismos que não têm significado algum. 525... as respostas diferirão. no resultado... isto é...441 Entretanto.3_ O resultado correto é... como efetuaremos a adição: 2807. Elas se destinam..... apenas dois algarismos. 4 e 8......645 devemos abandonar os algarismos 4 e 5.35.. então.. pois ele é um algarismo incerto.. a evitar que você perca tempo.1... Quando o primeiro algarismo abandonado for exatamente igual a 5... a parcela citada (0. a parcela 83...5 0. procedendo desta maneira. o último algarismo mantido permanecerá invariável (regra de arredondamento).67 x 2... encontramos 3..3.. Ao abandonarmos algarismos em um número. o resultado deve ser escrito da seguinte maneira: 3. 15 .3 = 8.... na parcela 523.. algarismos que não são significativos.4 ou 3..6. Podemos...4 Na aplicação desta regra. devemos abandonar o algarismo 5.. De qualquer maneira..67 por 2.... quando inferior a 5.3 ou 525.645 passa a ser escrita ..... pois.0648 passa a ser escrita . devemos observar a seguinte regra: verificar qual o fator que possui o menor número de algarismos significativos e. 4.... Assim. abandonando-se nelas tantos algarismos quantos forem necessários. devemos manter.... se o primeiro algarismo abandonado for superior a 5 e.. 83....5 permanece inalterada . assim. tem três algarismos significativos. 16 . a área. para os quais. tem cinco algarismos significativos. em gramas. O número 2 não foi obtido através de medida e. como já sabemos. pois os zeros não são significativos. a mudança de unidades foi feita e continuamos a indicar que o 3 é o algarismo duvidoso. Para evitar este erro de interpretação. Por exemplo. A= b×h 2 se b for medido com três algarismos significativos e h com cinco algarismos significativos.000401 tem apenas dois algarismos significativos (4 e 1). sendo o último zero acrescentado o algarismo duvidoso. pois os zeros à esquerda do algarismo 4 não são significativos. chamamos sua atenção para alguns números que encontramos em fórmulas (na Matemática ou na Física) que não são resultados de medida e. uma medida de 7. Observe que esta medida possui dois algarismos significativos. devemos tomar cuidado para não escrever zeros que não são significativos.3 kg = 7300 g estaríamos dando a idéia errônea de que o 3 é um algarismo correto. 4) Finalmente.3 kg = 7. sendo duvidoso o algarismo 3. na fórmula que fornece a área A de um triângulo de base b e altura h.0. 3) Quando realizamos uma mudança de unidades. Por exemplo. Se escrevêssemos 7. lançamos mão da notação de potência de 10 e escrevemos 7. pois aqui os zeros são significativos. deverá ser expressa com três algarismos.3 x 103 g Desta maneira.00041 40100 0. não deverá ser levado em consideração para a contagem dos algarismos significativos do resultado. não teria sentido falar em número de algarismos significativos.3 kg. suponha que queiramos expressar. portanto. e (h) leopardo: 70. (b) uma milha quadrada em quilômetro quadrado. Com quantos algarismos você deve expressar o volume deste cone? Um ônibus espacial está em órbita ao redor da Terra.00815 m.15 s 6)Uma pessoa deseja realizar a seguinte adição.5 polegadas acima do assoalho. Uma molécula de água (H2O) contém dois átomos de hidrogênio e um átomo de oxigênio. encontrando-se 36. (e) coelho: 35. Qual é a sua área em: (a) pés quadrados e (b) em metros quadrados? Se o teto está a 12 pés e 2. (d) um ser humano: 23. 9)Ao medir o comprimento de uma estrada.020 m.EXERCÍCIOS 1)Considerando a figura deste exercício: a) Como você expressaria o comprimento da barra AB? b) Qual é o algarismo correto desta medida? o algarismo avaliado? e a incerteza? b) 36. Uma sala mede 20 pés e 2 polegadas de comprimento e 12 pés e 5 polegadas de largura. (f) raposa: 42. qual deveria ser o comprimento da aresta da caixa? (1 mol = 6. Para um dado cone temos A = 0. V = A× h 3 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) onde A é a área de sua base e h é sua altura. escreva em seu caderno as medidas seguintes com apenas três algarismos significativos: a) 422. Quantos segundos existem em um ano? As velocidades máximas de alguns animais são dadas aproximadamente a seguir.11 responda: a) Qual dos fatores possui o menor número de algarismos significativos? b) Com quantos algarismos devemos apresentar o resultado? c) Escreva o resultado da multiplicação com algarismos significativos apenas.) Exprima a velocidade da luz. d) Seria aceitável apresentar 379.80 °C. (c) um metro cúbico em centímetro cúbico e (d) um pé quadrado em jarda quadrada. usando apenas os seguintes fatores de conversão: 1 milha = 5 280 pés. de tal modo que o resultado contenha apenas algarismos significativos: 27.428 g c) 16. 1 pé = 12 polegadas.05080 L. qual é o volume desta sala em (c) pés cúbicos e (d) metros cúbicos? Um cubo de açúcar típico tem l cm de aresta.2. 1m = l00cm e l km = l000 m. sem deixar dúvidas quanto aos algarismos significativos? 10) O volume de um cone é dado pela expressão 2)O que são algarismos significativos e incerteza de uma medida? 3)Uma pessoa sabe que o resultado de uma medida deve ser expresso apenas com algarismos significativos. Se esta pessoa lhe disser que a velocidade de um carro era 123 km/h: a) Quais os algarismos que ela leu no velocímetro (algarismos corretos)? b) Qual o algarismo que ela avaliou (algarismo duvidoso)? 4)A temperatura de uma pessoa foi medida usando-se dois termômetros diferentes.2 x 1. (b) aranha: 1.302 m2 e h = 1. Qual é a sua altura em pés? Calcule o número de quilômetros que existem em 20 milhas.54 cm. (g) leão: 50. (c) esquilo: 12. d) 0. Um átomo de hidrogênio tem uma massa de 1 u e um átomo de 17 .0 x 108 m/s em (a) pés por nanossegundos e (b) milímetros por picossegundos.8 como resultado desta multiplicação? e 379.32 cm2 b) 3. a) Qual o algarismo duvidoso desta medida? b) Seria aceitável escrever esta medida como 56000 m? c) Qual a maneira de expressar esta medida em metros. a uma altura de 300 km. 1 polegada 2. Converta todos estes dados para metros por segundo.5 cm a) Qual das parcelas permanecerá inalterada? b) Como deverá ser escrita a outra parcela? c) Qual é o resultado da adição? 7)Para efetuar a multiplicação 342.84? 8)Quantos algarismos significativos há em cada uma das medidas seguintes? a) 702 cm.48 cm + 2. uma pessoa encontrou 56 km.02 X 1023 unidades. Calcule esta distância em: (a) milhas e (b) em milímetros.25 dias em um ano. 3. c) 0. a) Qual é o algarismo duvidoso da primeira medida? b) Na segunda medida o algarismo 8 é duvidoso ou correto? 5)Lembrando-se da "regra de arredondamento".00 kg.8 °C e 36. Calcule quanto vale: (a) uma polegada quadrada em centímetro quadrado. Se você tivesse uma caixa cúbica contendo 1 mol de cubos de açúcar. Existem 365. todas em milhas por hora: (a) um pardal: 3 x 10-2. 1015. b) Um volume de 5 cm3 em m3. Calcule a espessura desta amada de óleo. c) Um volume de 4 L em mm3. Dê exemplos. 5 10 15 20 (cm) decimal). 25) Lembrando-se de seus conhecimentos de Matemática. (b) Calcule quantas moléculas de água existem nos oceanos do mundo. Use a equação V= πr 2 h 3 0 para calcular o volume do cone. calcule o seu volume. c) O que são algarismos significativos. Quantos átomos existem aproximadamente na Terra? 22) Uma pessoa sob dieta perde 2.98 x 1024 kg. Expresse esse tempo na notação não decimal (horas e minutos). um intervalo de tempo de 5 h 18 min. Os oceanos possuem uma massa total de 1.4 x 1021 kg.oxigênio tem massa aproximada de 16 u. b) da população do mundo. Exprima a perda de massa por unidade de tempo. cuja área é A = 2 x 104 cm2. explique: a) O que são algarismos corretos. em miligramas por segundo. Você acha que esse intervalo de tempo é maior. usando a hora como unidade. 26) Em uma medida. c) Elevar uma potência à outra. escolha aquela que você julga estar mais próxima a) da população do Brasil. determine a sua densidade (a densidade de um corpo é obtida dividindo-se a sua massa pelo seu volume). b) Considerando que a massa do próton é 10-24 g. sobre a superfície de um tanque d'água. 23) Analise a figura abaixo e represente da forma correta as medidas realizadas do cone. d) Extrair a raiz quadrada de uma potência.3 kg por semana. Procure identificá-los. 18 . 29) Cite pelo menos duas unidades usadas com freqüência em sua vida diária. e) Somar ou subtrair potências. a) Qual a maneira adequada de expressar a leitura do velocímetro? Qual é o algarismo avaliado? b) Qual a maneira adequada de expressar a leitura da balança em kg? Qual o número de algarismos significativos desta leitura? 10 15 (cm) 37) Em cada uma das figuras deste problema existem erros nas interpretações das leituras dos aparelhos mostrados. 108. 35) Colocando-se cuidadosamente. cujo volume é V = 6 x 10-2 cm3. ela se espalha. 28) Descreva como devemos proceder para que no resultado de uma multiplicação (ou divisão) figurem apenas algarismos significativos.7 h. (a) Calcule a massa de uma molécula de água em quilogramas. expressar: a) Uma área de 2 km2 em cm2. d) Uma massa de 8 g em kg. responda como devemos proceder para: a) Multiplicar potências de mesma base. formando uma camada muito fina. 104. 31) Usando a notação de potência de 10. para medir as seguintes grandezas: a) Comprimento b) Área c) Volume d) tempo 30) a) Suponha que a duração de um evento tenha sido 3. 32) Entre as potências de 10 seguintes 1020. c) Expresse na notação decimal. 21) A Terra tem massa de 5. b) O que é um algarismo avaliado.5 h (observe que estamos usando a notação Supondo que o próton tenha a forma de um cubo. b) Dividir potências de mesma base. 36) Observe os aparelhos mostrados na figura deste problema. 27) Descreva como devemos proceder para que no resultado de uma adição (ou subtração) figurem apenas algarismos significativos. cuja aresta é 10-13 cm. 33) Determine o resultado da expressão seguinte: 10 5 × 10 2 × 10 −6 r (10 ) 34) a) 4 2 0 5 h 24) Explique como os números muito grandes ou muito pequenos podem ser escritos de maneira compacta. uma gota de óleo. A massa média dos átomos que compõem a Terra vale 40 u. menor ou igual a 3 h 30 min? b) Considere um intervalo de tempo de 8. 1010. 22) 3. 17b) 0.4 x 104 = b) 3. 41a) 2.63 h de C até D: 0.20 x 108 + 5. um pacote de manteiga (cerca de 200 g).45 mi. Use um cronômetro ou um relógio com ponteiros de segundos e expresse o resultado com o número adequado de algarismos significativos. 14a) 6.96 pe3. 19g) 22. 30b) 8h 42min. 39a) 10. a distância até a estrela mais próxima da Terra. a que distância da bola de futebol o estudante deverá colocar a esfera que representa a Terra? 44) O ano-luz é uma unidade de comprimento usada para medir distâncias de objetos muito afastados de nós (como as estrelas. 19 . a) Faça uma pesquisa para descobrir qual o valor de 1 ano-luz e expresse este valor em km.34x10-2 m/s. 14d) 0. 33) 10-4. Se esta região tem área igual a 105 km2. 48) 28800 litros. 19d) 10. Qual a ordem de grandeza do volume de sangue. b) A partir do valor obtido em (a).19 km. 19c) 5. 31c) 4x106 mm3. 13) 32. Ele sabe que o raio do Sol vale.2 h de D até E: 3 h Como você expressaria corretamente o tempo que o trem gastou: a) Para ir da estação A até a estação C? b) Para ir de B até D? c) No percurso total? 40) Efetue as operações indicadas a seguir de tal modo que o resultado contenha apenas algarismos significativos: a) 8. 14b) 2.44x107 cm = 844 km. 19e) 15. qual é. 32a) 108. qual é a ordem de grandeza de sua população? 47) Numa campanha nacional de vacinação.35 m/s.99x10-26 kg.53 m3. 21) 9x1049 átomos.8 h. aproximadamente.3 mm/ps.281 m/s. 20a) 2.0x105. 41b) 1.41 x 108 . 43b) 10 m.41 x 108 c) 1.0035 0.4 x 10-3 d) 9. a) b) a) 42) Quais das igualdades seguintes apresentam o resultado expresso adequadamente em relação aos algarismos 700 0.69x1046 moléculas. de 20 litros de sangue por minuto. bombeado pelo coração em um dia? RESPOSTAS: 11a) 186.25) cm.59 km2.45x1012 km. 31a) 2x1010 cm2.701 x 2. 10 milhões de crianças foram atendidas e receberam duas gotas de vacina cada uma. 47) 1000 litros. 39) Um trem viaja registrando os seguintes intervalos de tempo entre as diversas estações de sua rota: de A até B: 2. 30c) 5.0 cm3.2 anos-luz = ? km. 35) 3x10-6 cm. 15b) 23. 109 m.8 mg/s. pois os resultados estão numericamente corretos. expresse os números em notação de potência de 10.04x10-6. 23) D = (16.774 m/s. em média. 44a) 1 ano-luz = 9.873 h de B até C: 8. em litros.1 h. 50 x 10-3 x 2. lembrando-se dos algarismos significativos. 11b) 3x108 mm. h = (13.5) cm.5364 m/s. a) Se o raio da Terra é cerca de 107 m.5. 45c) 0. 32b) 1010.645 m/s.) a) 1.052 x0.98 pe/ns.3±0. 39c) 15 h.65 x 10-2 = 41) Antes de efetuar as operações seguintes. a) Com quantos algarismos significativos você obteria o seu peso nesta balança? b) Qual seria sua resposta para a questão anterior se você pesasse mais de 100 quilos? c) Se você colocar. usando a notação de potência de 10. 40a) 8.2 x 102 = 3. em média. em anos-luz. 15c) 3056. 15 habitantes por quilômetro quadrado. 17a) 0. um estudante representou o Sol por meio de uma bola de futebol cujo raio é igual a 10 cm. 39b) 9.40 pe2. 19b) 0.20x108. 34b) 1015 g/cm3. Calcule o resultado. 40b) -2. também chamado de débito cardíaco.0084 420 significativos? (Não é necessário efetuar as operações.38) Meça o tempo necessário para o coração efetuar 100 batidas. 19a) 1. 15a) 250. o volume de vacina usado nessa campanha? 48) O fluxo total de sangue na grande circulação. 14c) 106 cm3. faz com que o coração de um homem adulto seja responsável pelo bombeamento. b) Procure saber qual é.45 cm2.9±0.0 x 10-1 = 3 x 10-4 b) 3. 20b) 4.11 jar2. Expresse esta distância em km.00 x 10-3 = 3. 42) ECEC. qual deve ser o raio da esfera que vai representá-la no modelo? b) Considerando-se que a distância da Terra ao Sol é 1011 m.2 kg. determine o intervalo de tempo entre duas batidas consecutivas (observe os algarismos significativos). 31b) 5x10-6 m3. 43a) 10-3 m = 1 mm.61x10-2. 16) 8.0 x 102 = 3.2 x 105 : 3. Supondo que 20 gotas ocupam 1. em litros. 31d) 8x10-3 kg.3 h. 34a) 10-39 cm3.364 m/s. 46) 106.29 m/s. 15d) 86. 18) 31557600 s. por exemplo).2. como você expressaria a leitura da balança? 46) Certa região do país tem. 44b) 4.1 x 103 43) Desejando construir um modelo do sistema solar.26 m2. 19f) 18. 19h) 31. nesta balança. 45) A escala de uma balança está dividida de 1 kg em 1 kg.72 x 10-4 .