UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLECENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE MECÂNICA DOS FLUIDOS Fernanda Hille JULHO / 2014 Mecânica dos Fluidos INTRODUÇÃO Esta apostila foi desenvolvida como um projeto de ensino do Programa de Educação Tutorial do Centro de Engenharias da Mobilidade (PET-CEM). O presente trabalho apresenta um resumo da matéria, contendo os principais conceitos fundamentais e exemplos de vários assuntos da mecânica dos fluidos. Somente a leitura deste material não é suficiente para entendimento total da matéria. É necessária a leitura de algum livro do assunto para analisar as demonstrações de fórmulas e resolver outros exemplos. PET - EMB Mecânica dos Fluidos SUMÁRIO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS .............................................................................1 2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS .....................................................................................2 2.1. Manômetros de Coluna .............................................................................2 2.2. Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Submersas .................................5 3. EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA UM VC .............................9 3.1. Conservação da Massa (Equação da Continuidade) ................................9 3.2. Equação da Quantidade de Movimento para um VC inercial ..................10 4. ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS............................13 4.1. Conservação da Massa em Análise Diferencial ......................................13 4.2. Equação de Navier-Stokes ......................................................................15 4.3. Equação de Euler.....................................................................................16 4.3.1.Equação de Euler em Coordenadas de Linha de corrente .........16 4.4. Função de Corrente .................................................................................17 4.5. Potencial de Velocidade ..........................................................................17 4.6. Equação de Bernoulli ...............................................................................18 4.7. Escoamento em Planos Elementares ......................................................21 4.8. Superposição de Escoamentos em Planos Elementares.........................22 5. ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA ........................................................28 5.1. Determinação dos Grupos 𝜋 ...................................................................28 5.2. Grupos Adimensionais Importantes ........................................................31 5.3. Semelhança em Escoamentos e Estudos de Modelos ...........................32 6. ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO E INCOMPRESSÍVEL .............................36 6.1. Escoamento Entre Placas Paralelas Infinitas ..........................................36 PET – EMB Mecânica dos Fluidos 6.1.1. Ambas Estacionárias .................................................................36 6.1.2. Em um Pistão .............................................................................38 6.1.3. Em Dutos.....................................................................................39 6.2. Equação da Energia em Escoamentos em Tubos ...................................42 6.3. Perda de Carga ........................................................................................42 7. ESCOAMENTO VISCOSO, INCOMPRESSÍVEL E EXTERNO.............................45 7.1. Espessuras de Camada Limite ................................................................45 7.2. Escoamento Sobre Uma Placa Plana Horizontal (Blausius) ...................47 7.3. Força de Arrasto ......................................................................................47 8. SUGESTÃO DE ESTUDO.....................................................................................51 REFERÊNCIAS..........................................................................................................52 PET – EMB Mecânica dos Fluidos 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS Fluido: É uma substância que se deforma continuamente sob ação de uma tensão de cisalhamento. Podem estar em forma de gases ou líquidos. Viscosidade (µ): Caracteriza a resistência de um fluido ao escoamento, ou seja, quanto maior a viscosidade de um fluido mais dificuldade ele tem de se movimentar. Escoamento Laminar: As secções do fluido se deslocam em planos paralelos ou em círculos concêntricos coaxiais (quando em um tubo cilíndrico), sem se misturar. Escoamento Turbulento: As partículas se misturam de uma forma não linear, ou seja, caótica com turbulência e redemoinhos. Zona de Transição: Os escoamentos mudam de laminar para turbulentos quando atingem o Reynolds de transição. O Reynolds de transição é de 2.300 para escoamentos internos e aproximadamente 500.000 para escoamentos externos. Re = 𝜌𝑉𝐿 µ Onde, 𝜌 e µ são referentes ao fluido, L refere-se ao objeto e V é velocidade do objeto em relação ao fluido. Escoamento Compressível: A densidade varia com a pressão. Geralmente são gases. Escoamento Incompressível: A densidade não varia com a pressão. Geralmente são líquidos. Para um gás ser incompressível M = 𝑉 𝑐 se M < 0,3 o gás pode ser tratado como incompressível. Escoamento Interno: São os escoamentos que passam por dentro de dutos, tubos, placas, etc. Escoamento externo: O fluido pode estar livre ou sobre uma única placa. PET – EMB 1 portando: p2 = p1 + ρ. Manômetros de Coluna Para descobrir a pressão em algum ponto do manômetro é utiliza-se a equação da pressão: p2 = p1 ± ρ.g.1. assim: p2 = p1 .h Se os dois pontos estiverem na mesma altura: p2 = p1 Para facilitar os cálculos em manômetros de coluna complexos e com diferentes tipos de fluidos.ρ. há uma quantidade de fluido maior sobre o ponto 1. são adicionados pontos em cada transição dos fluidos.h Quando o ponto 2 está a uma altura menor do ponto 1. ESTÁTICA DOS FLUIDOS 2. Veja o exemplo a seguir: Exemplo 1 Qual é a pressão no ponto 2 em função da pressão no ponto 1. das alturas e das densidades dos fluidos? PET – EMB 2 .g.Mecânica dos Fluidos 2.h Quando o ponto 2 está mais alto que o ponto 1 a pressão nele é menor do que do ponto 1.g. g.g.g.g. G e H foram colocados.g.g. Percorrendo o manômetro a partir do ponto 1 até o ponto 2 e passando por todos os pontos no caminho. E.g.h3 pF = pe pG = pF .h4 pH = pG .ρ(água). C.ρ (água).h4 + ρ(óleo). PET – EMB 3 .h5 p2 = pH Resolvendo as equações: p2 = g ( .ρ(mercúrio). D. são obtidas as seguintes equações: pA = p1 + ρ(água).h1) Obs: Observe que a p2 tem que ser menor que p1.h5 .h1 pB = pA ( estão na mesma altura) pC = pB – ρ(mercúrio).h3 – ρ(mercúrio). Para achar a pressão no ponto 2 é necessário analisar cada ponto.Mecânica dos Fluidos Resolução: Observe onde os pontos A. já que p2 está em um ponto mais alto.h2 pD = Pc pE = pD + ρ(óleo).ρ(mercúrio). B. F.g.g.h2 P1 + ρ(água).g. Mecânica dos Fluidos Manômetros Inclinados 𝑠𝑒𝑛𝜃 = ℎ 𝐿 Manômetros com Fluidos Diferentes ρ1 > ρ2 PET – EMB 4 . porém o volume deslocado é o mesmo.Mecânica dos Fluidos Manômetros com Diâmetros Diferentes Quando aplicada uma força em um lado do manômetro.Zb = d².2. Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Submersas Magnitude da força: PET – EMB 5 . Assim: D². as alturas deslocadas serão diferentes devido aos diâmetros diferentes.Za 2. y.Fr = x.g. Fr = ∫y.sen(θ)dA Ponto de ação da força: y`. A largura da represa (w) é de 8m.g.h Mas h = y.∫ p dA Para: _Fluidos estáticos _Incompressíveis _Onde a gravidade é a única força atuando p= patm + ρ. O ângulo (𝜃) da comporta com o chão é de 45°.sen (θ) Então: IFrI = .142m.∫ ρ. O comprimento da comporta (L) é 14.Mecânica dos Fluidos I Fr I = .pdA ∫ x`. Qual é a força (Fr) na comporta? Primeiramente é necessário definir as hipóteses do problema: PET – EMB 6 .pdA Exemplo 2: A profundidade (h) da represa é 10m. sen(θ) p = ρ.𝑔.𝑔.81.14.9.142³. Magnitude da força: p = ρ.5549. y. ρ. Ponto de ação da força: y`. y.81. sen(θ).1000. ρ.𝜌.h h = y.∫𝐴 p dA 𝑳 𝒘 Fr = .142². g. g. g. y. Fr = y` = 𝐿³. sen(𝜃).𝑠𝑒𝑛(𝜃) 2 ] 0 −𝑤.𝑤 3 14.sen(θ) Fr = . g.𝑠𝑒𝑛(45°).8 PET – EMB 3.𝑠𝑒𝑛(𝜃).g. Fr = ∫𝐴 y p dA 𝐿 𝑤 y`.𝑠𝑒𝑛(45°) 2 Fr = 5. w.𝐿².𝜌. Fr = ∫0 y².𝜌. sen(θ) dx dy 𝐿 Fr = -∫0 w ρ.1000.𝑠𝑒𝑛(𝜃) 2 −8.10³ 7 . dx.∫𝟎 ∫𝟎 ρ.9. dy y`.y. sen(θ) dy L Fr = Fr = Fr = − 𝑤. dy 𝐿 y`.g. Fr = ∫0 ∫0 y.𝑔.𝑦².549kN 2.Mecânica dos Fluidos _Fluido estático _Incompressível _Nenhuma força externa atuando _Pressão atmosférica atuando em ambos os lados da comporta 1. y.𝑠𝑒𝑛(𝑡𝑒).81. dy 2 0 𝑤². ρ.𝑠𝑒𝑛(45°).Mecânica dos Fluidos y`=9. sen(𝜃).9. Fr = ∫0 ∫0 x.43m x`. PET – EMB 8 . ρ. Fr = x`= x` = 𝐿 1 ∫ w².Fr = ∫𝐴 xpdA 𝐿 𝑤 x`. sen(θ). g. dy x`.𝜌. y.14.𝑔.5549x10³ x` = 4m Obs: O valor de x obviamente deve ser 4. g.142² 4. dx.𝐹𝑟 8². pois o ponto de atuação da força em x deve ser a metade da largura total.𝐿² 4.1000. dV é o volume infinitesimal. EQUAÇÕES BÁSICAS NA VOLUME DE CONTROLE 3. V é a velocidade absoluta do fluido. Nesse caso a equação pode ser simplificada para: Σ 𝑉⃗𝐴 = 0 SC O vetor da área deve estar sempre apontado para fora da superfície de controle.Mecânica dos Fluidos 3. Casos especiais Escoamento incompressível através de um Volume de Controle fixo ⃗ 𝑑𝐴 =0 ∫𝑆𝐶 𝑉 Em alguns casos é possível aproximar uma velocidade uniforme em cada entrada e saída. Vazão volumétrica ∫ Q = V dA A Módulo de velocidade média de uma secção: ̅=Q 𝑽 A PET – EMB 9 . FORMA INTEGRAL PARA UM Conservação da Massa (Equação da Continuidade) “A taxa de variação temporal da massa no interior do volume de controle é igual ao fluxo líquido de massa através da superfície de controle”. n é o vetor unitário normal ao elemento de área dA.1. t é o tempo. O primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do volume de controle e o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massa para fora através da superfície de controle. Onde é a densidade do fluido. 𝐴 = 0 SC 3. Fs: Forças de superfície. Determine a vazão volumétrica mínima para derrubar o bloco. PET – EMB 10 . Equação da quantidade de movimento para um volume de controle Inercial Segunda lei de Newton para um volume de controle não acelerado: F FC FS VC V dV t SC V V. Exemplo 3: Um jato de água é defletido por um bloco retangular (15 mm x 200 mm x 100mm) que pesa 6N. Na mecânica dos fluidos a mais comum é a pressão. Nesse caso a equação pode ser simplificada para: Σ ρ 𝑉⃗.2. Na mecânica dos fluidos geralmente é a gravidade.dA Fc: Forças de campo.Mecânica dos Fluidos Escoamento permanente compressível através de um volume de controle fixo ∫ ρ 𝑉⃗ d𝐴= 0 SC Em alguns casos é possível aproximar uma velocidade uniforme em cada entrada e saída. mas ainda podem ser campos elétricos ou magnéticos. A3 = 0 V1. _ Escoamento incompressível. _ Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do VC.A1 = V2. Agora.A2 + V3. A1= A2+ A3 e A2=A3 V1=V2=V3 PET – EMB 11 .A3 Porém.A1 + V2. vamos definir as hipóteses do problema: _ Escoamento permanente.A2 + V3. No VC devem estar presentes todas as saídas e entradas de água.Mecânica dos Fluidos Primeiramente é necessário traçar o volume de controle. Com essas hipóteses podemos usar diretamente a equação da continuidade para escoamento incompressível através de um volume de controle fixo e com escoamento uniforme cm cada seção: Σ 𝑉⃗𝐴 = 0 SC -V1. 386 m/s Com a velocidade. A força do jato de água precisa vencer a força de torque nesse ponto.015 2 2 – =0 𝐹𝑥.v².V².v². As forças de campo nesse casso é zero.0.0.Mecânica dos Fluidos Observe que quando o bloco estiver caindo ele irá girar em torno do ponto do canto inferior direito.9 = -1000.r²) 0.1 2 =0 Fx = 0.ρ.𝐿 – 6. utilizando a equação da quantidade de movimento para um volume de controle inercial. Agora é possível encontrar a velocidade que ele precisa atingir para exercer essa força.( π. sabe-se que a força que o jato precisa ter é de 0.9 N Então.005²) Q= 2. A Q = 3.005²) V = 3.( π. Fazendo a somatória dos momentos em ralação ao ponto do torque igual à zero: 𝐹𝑦. a vazão pode ser facilmente calculada: Q = v.0.9N.0. (π.386. A força Fy é o peso do bloco: 6N.AJato Fx = -1000. Então a equação pode ser simplificada para: ∫ Fx = V ρ V dA SC Fx = .𝑤 2 𝐹𝑥.66x10 −4 m³/s PET – EMB 12 . independente do tempo assim: Na forma vetorial: Em coordenadas cilíndricas: 𝜕(𝑟𝜌𝑉𝑟) 1 ∂(ρVθ) 𝜕𝑟 PET – EMB + r ∂θ + 𝜕(𝜌𝑉𝑧) 𝜕𝑧 + 𝜕𝜌 𝜕𝑡 =0 13 .1. Conservação da massa Forma diferencial da lei da conservação da massa em coordenadas retangulares: Também pode ser escrita da seguinte forma: Casos especiais Incompressível: A massa específica não é função nem das coordenadas espaciais nem do tempo. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS 4.Mecânica dos Fluidos 4. por definição. Ou na forma vetorial: Permanente: Todas as propriedades do fluido são. 2yz.2y= 0 = 2y -3x² Integrando (1) 𝜕𝑣 𝜕𝑦 : ∫ 𝑑𝑣 = ∫(2𝑦 − 3𝑥 2 )𝑑𝑦 𝑣 = 𝑦² − 3𝑥²𝑦 + 𝑓(𝑥. 𝑦)= C Assim. 𝑦) = 2𝑦 − 3𝑥² 𝑓`(𝑥.y.z) para que o escoamento satisfaça a equação da continuidade? 3x² + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 . 𝑦) = 0 Integrando 𝑓(𝑥. Qual deve ser a componente v(x. 𝑦) (2) Derivando e comparando com a equação 1: 𝑣` = 2𝑦 − 3𝑥² + 𝑓`(𝑥. substituindo na equação 2: 𝑣 = 𝑦² − 3𝑥²𝑦 + 𝐶 PET – EMB 14 .Mecânica dos Fluidos Incompressível: 𝜕(𝑟𝑉𝑟) 1 ∂Vθ 𝜕𝑟 + r ∂θ + 𝜕𝑉𝑧 𝜕𝑧 =0 Permanente: 𝜕(𝑟𝜌𝑉𝑟) 1 ∂(ρVθ) + 𝜕𝑟 r ∂θ + 𝜕(𝜌𝑉𝑧) 𝜕𝑧 =0 Exemplo 4: Um escoamento incompressível em regime permanente tem as componentes de velocidade u= x³ +2z² e w = y³ . Sendo a densidade constante e desprezando a gravidade. Solução PET – EMB 15 . Equação de Navier-stokes Para escoamentos incompressíveis com viscosidade constante: Coordenadas retangulares Na forma vetorial: Coordenada cilíndricas Exemplo 5: Um escoamento sem atrito. ache uma expressão para o gradiente de pressão na direção x.Mecânica dos Fluidos 4. em regime permanente. o campo de velocidade é dado por: V=2xyi-y²j.2. Escoamento invíscido 2.Mecânica dos Fluidos Hipóteses 1.Escoamento bidimensional u= 2xy v= -y² Utilizando a equação de Navier-Stokes na direção x: Com as simplificações a equação fica: - - 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 𝜌 (𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 ) = 𝜌[2𝑥𝑦(2𝑦) + (−𝑦 2 )(2𝑥)] - 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 𝜌2xy² 4. Equação de Euler A equação de Euler é usada para escoamentos invíscidos. 4. 𝜇=0: É a equação de Navier-Stokes simplificada.Gravidade desprezível 4.Escoamento Incompressível 5.1 Equação de Euler em Coordenadas de Linhas de Correntes Para um escoamento em regime permanente Equação normal à linha de corrente: PET – EMB 16 . ou seja.3.3.Escoamento em regime permanente 3. Mecânica dos Fluidos Onde: R: raio de curvatura da linha de corrente. na posição x=2m e y = 4m. em m²/s. 4. 4.5. determine a magnitude e ângulo dos vetores velocidade com o eixo x. Potencial de Velocidade ∅ Coordenadas retangulares 𝜕∅ u = − 𝜕𝑥 v =− 𝜕∅ 𝜕𝑦 w =− 𝜕∅ 𝜕𝑧 Coordenadas cilíndricas 𝜕∅ Vr = − 𝜕𝑟 V𝜃 = − 1 𝜕∅ 𝑟 𝜕𝜃 V𝑧 = − 𝜕∅ 𝜕𝑧 Exemplo 6: Para as funções de corrente. PET – EMB 17 . Função de Corrente para Escoamento Incompressível e Bidimensional 𝝋 Coordenadas retangulares u= 𝜕𝜑 v =− 𝜕𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝑥 Coordenadas cilíndricas Vr = 1 𝜕𝜑 𝜕𝜑 V𝜃 = 𝜕𝑟 r 𝜕𝜃 Pontos de estagnação Os pontos de estagnação são o x e y onde a velocidade é igual a zero.4. 6.Mecânica dos Fluidos 𝜑 = 𝑥𝑦 + 𝑥² u= 𝜕𝜑 v=− 𝜕𝑦 u = xi 𝜕𝜑 𝜕𝑥 v = -(y+2x)j ⃗ = xi . Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli necessita das seguintes hipóteses: _ Escoamento em regime permanente _ Escoamento incompressível _ Escoamento sem atrito _ Escoamento ao longo de uma linha de corrente Algumas restrições da equação de Bernoulli: PET – EMB 18 .96° 4.75.25 m/s |𝑉 Ângulo com o eixo x: tg𝜃 = tg𝜃 = 𝑣 𝑢 −8 2 𝜃= .(y+2x)j 𝑉 Em x = 2 e y = 4: ⃗ = 2i -8j 𝑉 Magnitude: ⃗ |= √(22 + (−8)2 ) |𝑉 ⃗ |= 8. Exemplo 7: Uma mangueira de jardim de 10 m de comprimento e diâmetro interno de 20 mm é usada para drenar uma piscina. qual a vazão de drenagem? Solução Hipóteses: PET – EMB 19 . Se os efeitos da viscosidade forem desconsiderados. 2. Quando há mudanças bruscas na geometria do sólido. pois. Quando a gradiente de pressão não for favorável.Mecânica dos Fluidos 1. não existem linhas de corrente. 9𝜋 0.𝜋𝑟² Q2 = 2.11x10−4 m³/s PET – EMB 20 .9. Simplificando a equação: V2 = √(2𝑔(𝑧1 − 𝑧2) V2= √(2.9 m/s Agora para descobrir a vazão de drenagem basta aplicar a fórmula da vazão no ponto 2: Q2=V2.23)) V2 = 2. pois estão diretamente no ar e V1 pode ser aproximada á zero.81(0.A2 Q2 = 2.Mecânica dos Fluidos _ Escoamento invíscido _ Escoamento em regime permanente _Piscina muito grande Com essas hipóteses é possível aplicar a equação de Bernoulli nos pontos 1 e 2: 𝑃1 𝜌 + 𝑉1² 2 + gz1 = 𝑃2 𝜌 + 𝑉2² 2 + gz2 P2 e P1 são iguais a Patm.9.2 − (−0. já que a piscina é grande e a velocidade de vazão é pequena.01² Q2 = 9. Escoamento em Planos Elementares Potencial de velocidade ∅ e função da linha de corrente 𝜑 para planos elementares são facilmente encontrados na tabela abaixo: PET – EMB 21 .7.Mecânica dos Fluidos 4. Superposição de Escoamentos em Planos Elementares Somente quando for incompressível e irrotacional.Mecânica dos Fluidos 4.8. 𝜑3 = 𝜑1 + 𝜑2 u3= u1 + u2 v3 = v1 + v2 Método direto: Combinações Algumas combinações já foram estudadas e colocadas na tabela a seguir: PET – EMB 22 . Mecânica dos Fluidos PET – EMB 23 . Mecânica dos Fluidos PET – EMB 24 . PET – EMB 25 . constante A e a intensidade q da fonte. onde A é uma constante. Determine a relação entre a altura h da lombada.Mecânica dos Fluidos Exemplo 8: O escoamento potencial contra uma placa plana pode ser descrito com a seguinte função de corrente: 𝜑 = 𝐴𝑥𝑦. Esse é um escoamento com ponto de estagnação contra uma placa com uma lombada. Mecânica dos Fluidos Utilizando a superposição com a fonte: 𝜑 = 𝐴𝑥𝑦 + 𝜑𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 𝜑 = 𝐴𝑥𝑦 + 𝑞𝜃 2𝜋 Transformando a equação para coordenadas cilíndricas: x= r cos𝜃 y = r sen𝜃 𝜑 = 𝐴 r cos𝜃 r sen𝜃 + 𝑞𝜃 2𝜋 𝜑 = 𝐴 r² cos𝜃 sen𝜃 + 𝑞𝜃 2𝜋 Utilizando a propriedade dos senos e cossenos: Sen2𝜃 = 2 cos𝜃 sen𝜃 Então: 1 sen2𝜃 = cos𝜃 sen𝜃 2 𝜑= 𝐴 𝑞𝜃 r² sen2𝜃 + 2 2𝜋 PET – EMB 26 . Mecânica dos Fluidos Encontrando as velocidades: Vr = 1 𝜕𝜑 𝜕𝜑 V𝜃 = 𝜕𝑟 r 𝜕𝜃 𝑞 Vr = A r cos2𝜃 + V𝜃 = .Ah sen( ) 2 2𝜋ℎ 𝑞 V𝜃 = 0 2𝜋ℎ h² = PET – EMB 𝑞 2𝜋𝐴 27 .Ar sen2𝜃 2𝜋𝑟 No ponto E: 𝜃= 𝜋 2 e r=h Substituindo nas velocidades e igualando a zero: Vr = A h cos( 0 = Ah(-1) + 2𝜋 2 )+ 𝑞 2𝜋 V𝜃 = . Dados: F= f (ρ. ρ: M L³ A viscosidade é expressa em: µ: M Lt O diâmetro é expresso em comprimento. v) 1° Passo: Listar os parâmetros que julgar envolvidos F V D ρ mi n = 5 parâmetros dimensionais 2° Passo: Listar as dimensões primárias envolvidas M ( massa) L (comprimento) T( tempo) r = 3 dimensões primárias 3° Passo: Expressar os parâmetros em termos das dimensões A força é expressa em massa x aceleração. Mas como saber se o tamanho do modelo se comportará da mesma maneira que o produto real se comportaria em diferentes situações? Para isso. Para determiná-los é necessário seguir alguns passos. Determinação dos Grupos π Os grupos π são compostos somente por parâmetros adimensionais. Sendo assim: F: ML t² A densidade é expressa pela massa sobre o volume e o volume é expresso em comprimento ao cubo. D: L PET – EMB 28 . ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA Em muitos testes e pesquisas são utilizados modelos em escalas muito menores que o produto real. mi. A aceleração por sua vez.Mecânica dos Fluidos 5. Esses passos são mostrados no exemplo a seguir: Exemplo 9: Força de arrasto sobre uma esfera lisa.1. é expressa em distância percorrida / por tempo ao quadrado. 5. utiliza-se a análise dimensional e semelhança. D. Para isso basta resolver a equação: m=n–r m=5–3 M=2 Então existem 2 parâmetros π. A (L²) e I ( 𝐿4 ). _ Caracterize o fluido: ρ _ Caracterize a geometria: D _ Caracterize o escoamento: V Obs: _ Não pode ser o parâmetro dependente (nesse caso o F). por exemplo.Mecânica dos Fluidos A velocidade é expressa em comprimento por tempo. Expressando os parâmetros em dimensões: Π1 = [𝑀𝐿−3 ]𝑎 [𝐿𝑡 −1 ]𝑏 [𝐿]𝑐 [𝑀𝐿𝑡 −2 ] Agora agrupamos os expoentes que cada dimensão primária está elevada e igualamos à zero: M: a + 1 = 0 a = -1 t: -b – 2 = 0 b= -2 PET – EMB 29 . 6°Passo: Parâmetros π Π1= ρa V b Dc F Precisamos descobrir os valores de a. L³ . t ) 4° Passo: Encontrar a quantidade de parâmetros π. L. 5° Passo: Selecionar r parâmetros que em conjunto possuam todas as dimensões primárias (parâmetros repetentes). V: Então: L t ML t² M M L = f (Lt . _ Nenhum dos parâmetros repetentes pode ter dimensões que sejam uma potência das dimensões de outro parâmetro repetente. b e c. Mecânica dos Fluidos L : -3a + b + c+ 1= 0 c= -2 Então. Π1 = 𝐹 𝜌𝑉²𝐷² Da mesma maneira fazemos para π2: π2 = ρd V e Df µ 𝜋2 = [𝑀𝐿−3 ]𝑎 [𝐿𝑡 −1 ]𝑏 [𝐿]𝑐 [𝑀𝑡 −1 𝐿−1 ] M: d + 1 = 0 t: -e -1 = 0 L: -3d + e + f -1 = 0 d=1 e= -1 f=1 Assim: 𝜋2 = µ 𝜌𝑉𝐷 7° Passo: Aplicar o teorema do pi de buckingham Π1 = f( π2) 𝐹 µ = f(𝜌𝑉𝐷 ) 𝜌𝑉²𝐷² 8° Passo: Verificar se os grupos são adimensionais Π1 = 𝑀−1 𝐿3 𝐿−2 𝑡 2 𝐿2 𝑀𝐿𝑡 −2 Π1 = 𝑀0 𝐿0 𝑡 0 é adimensional Π2 = 𝑀−1 𝐿3 𝐿−1 𝑡1 𝑀𝐿−1 𝑡 −1 𝐿−1 Π2 = 𝑀0 𝐿0 𝑡 0 é adimensional PET – EMB 30 . Ca = 2(𝑝−𝑝𝑣) 𝜌𝑉² Quanto menor o Ca. caso contrário o Re será menor que 1. Cp é utilizado para medir a pressão no movimento dos fluidos.2. Euler Também chamado de coeficiente de pressão.Mecânica dos Fluidos 5. Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos Reynolds Reynolds é definido pela Força Inercial sobre as Forças viscosas: Re = 𝜌𝑉𝐿 𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 µ 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 Pensando assim é fácil perceber que se a força inercial for dominante sobre as forças viscosas o Re será maior que 1. Froude O número de Froude é significativo para escoamentos com efeitos de superfície livre. o que é indesejável. só que o ∆𝑃 é tomado como a pressão da corrente líquida (p) menos a pressão de vapor líquido na temperatura de teste (pv). maior a probabilidade de ocorrer cavitação. Se nenhuma força dominar sobre a outra o Re será igual a 1. Ԑ𝑢 = 2∆𝑝 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝜌𝑉² 𝐹𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 ∆𝑃: É a pressão local menos a inicial ρ e V: Propriedades do fluido Cavitação Nos estudos da cavitação utiliza-se a equação de Euler. Fr = PET – EMB 𝑉 𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 √𝑔𝑙 𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 31 . PET – EMB 32 . 𝜌𝑉²𝐿 𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 We = 𝜃 𝐹𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 Mach Caracteriza os efeitos da compressibilidade em um escoamento. Para os testes em um protótipo sejam eficazes em relação ao modelo algumas semelhanças devem ser consideradas: Semelhança Geométrica As dimensões dos protótipos são proporcionais em escala as dimensões do modelo.Mecânica dos Fluidos Weber É um indicativo da existência. e da freqüência. Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos Modelo: Tamanho reduzido do protótipo. de ondas capilares em uma superfície livre. M= 𝑉 𝑐 V= velocidade do escoamento C = velocidade do som 5. Semelhança Cinemática A velocidade do escoamento sobre o protótipo deve ter a mesma direção e sentido que a velocidade do escoamento sobre o modelo.3. Dados: PET – EMB 33 . Semelhança Dinâmica Fm = 𝜀 Fp A semelhança cinemática é condição necessária. p Ca.m = Re. b) Estime a força de arrasto sobre o protótipo (Fp). O transdutor é rebocado a uma velocidade de 2m/s no mar. A força de arrasto sobre o modelo é Fm = 5N. m = Fr. m = Ca. p : 𝜌𝑉𝐷 µ ]= m 𝜌𝑉𝐷 µ ] p 𝐹 𝜌𝑉²𝐷² ]= m 𝐹 𝜌𝑉²𝐷² ] p Fr.Mecânica dos Fluidos Vm = ε Vp 𝜀 : Fator de escala A semelhança geométrica garante a semelhança cinemática. Re. p Exemplo 10: Um modelo de um transdutor sonar é testado em um túnel de vento. a) Determine a velocidade necessária no ar para se realizar um teste eficaz (Vm). mas não garante a semelhança dinâmica. 81x10−5 1.81x10−5 N.225 Kg/m³ Protótipo: Vp = 2m/s Dp = 8m ρmar = 1025 Kg/m³ µmar=1.9 m/s 𝐹 𝜌𝑉²𝐷² ]= 𝐹 𝜌𝑉²𝐷² m Fp= Fm ] p 𝜌𝑝𝑉𝑝²𝐷𝑝² 𝜌𝑚𝑉𝑚²𝐷𝑚² PET – EMB 34 .s/m² Para o teste ser eficaz é necessário garantir a semelhança dinâmica.𝑉𝑚.0.m = Re. Re.5m µar=1.2.8 1.225.p 𝜌𝑉𝐷 µ ]= 𝜌𝑉𝐷 µ m ] p Agora colocando os valores na equação: 1.s/m² ρar= 1.218x10−3 = a) Vm=397.218x10−3 N.Mecânica dos Fluidos Modelo: Fm=5N Dm= 0.5 1025. 0.225.8².Mecânica dos Fluidos 1025.8² Fp= 5.2².5² b) PET – EMB Fp = 29.37 N 35 .387. 1. Para escoamentos incompressíveis.06 𝐷 6.Mecânica dos Fluidos 6. Entre Placas Paralelas Infinitas 𝜌𝑉𝐷 µ 6. Nessa região o escoamento está completamente desenvolvido e é inteiramente viscoso. Devido à condição de não deslizamento. O comprimento do tubo onde o escoamento ainda está se desenvolvendo é chamado comprimento de entrada.1. ESCOAMENTO VISCOSO INTERNO E INCOMPRESSÍVEL Na entrada do tubo a velocidade do escoamento é uniforme.1. 𝜕 A condição de completamente desenvolvido faz com que seja igual a zero. a conservação da massa exige que. Suficientemente longe da entrada do tubo.1. o perfil de velocidade não muda mais. 𝜕𝑥 Escoamento laminar completamente desenvolvido O comprimento de entrada pode ser calculado como: 𝐿 = 0. conforme a velocidade na proximidade da parede é reduzida. Ambas Estacionárias Hipóteses: _ Regime Permanente _ Bidimensional _FBx=0 _Completamente desenvolvido PET – EMB 36 . a velocidade na região central sem atrito do tudo deve crescer para compensar. sabemos que a velocidade na parede do tubo é zero em toda a extensão. Mecânica dos Fluidos Distribuição da Velocidade U= 1 𝜕𝑃 2µ 𝜕𝑋 (2y . 𝒯 xy = 1 𝜕𝑃 2 𝜕𝑋 (2y .H) Distribuição da tensão cisalhante 𝒯 xy = 𝜇 𝜕𝑈 𝜕𝑦 então.H) Vazão em volume Q= −𝑏 𝜕𝑃 𝐻³ b: Profundidade 2µ 𝜕𝑋 6 Velocidade Média 𝑉̅ = −𝜕𝑃 𝐻² 𝜕𝑋 12µ Vazão Volumétrica como função da queda de pressão 𝑄 𝐻³∆𝑃 = 𝑏 12µ𝐿 Ponto de Velocidade máxima 𝜕𝑢 =0 𝜕𝑦 y= PET – EMB 𝐻 2 37 . 𝒯 xy = µ.AS AS = 2ΠRL T= µ.2. PET – EMB 𝜔𝑅 𝐻 2ΠRL.1. Em um Pistão Placa superior se movendo com velocidade constante Distribuição da Velocidade U= 1 𝜕𝑃 2µ 𝜕𝑋 (y² . 𝜔𝑅 𝐻 Ponto de Velocidade máxima 𝜕𝑢 =0 𝜕𝑦 y= 𝐻 2 – 𝑈/𝐻 1 𝜕𝑃 (µ)( 𝜕𝑥 ) Torque T= 𝐹.R 38 .Hy) + 𝑈𝑦 𝐻 Tensão cisalhante U= 𝜔𝑅 então. 𝑅 F= 𝜏yx.Mecânica dos Fluidos 6. Escoamento em Dutos Distribuição da Velocidade Vz= 1 𝜕𝑃 4µ 𝜕𝑧 (r²-R²) Distribuição da tensão cisalhante 𝒯 xy = 𝑟 𝜕𝑃 2 𝜕𝑧 Vazão em volume Q= −𝜋𝑅 4 𝜕𝑃 8µ 𝜕𝑧 Velocidade Média V= −𝜕𝑃 𝑅² 𝜕𝑧 8µ Vazão Volumétrica como função da queda de pressão ∆𝑃 = PET – EMB 128𝑄𝜇𝐿 𝜋𝐷4 39 .3.1.Mecânica dos Fluidos Potência W= T.𝜔 6. O eixo gira a 80rpm. Hipóteses: _ Escoamento em um pistão _Escoamento Laminar _ Regime permanente _ Incompressível _Completamente desenvolvido 𝜕𝑝 _ 𝜕𝑥=0.2 𝑃𝑎. o escoamento é simétrico no mancal real sem carga. Determine o torque requerido para girar o eixo e a potência dissipada.38 rad/s Vimos que: PET – EMB 40 .2𝜋 60 rad/s = 8. 𝑠. 3600rpm = 80.Mecânica dos Fluidos Ponto de Velocidade máxima 𝜕𝑉𝑧 =0 𝜕𝑟 r=0 Exemplo 11: O mancal de virabrequim é lubrificado por óleo 𝜇 = 0. 0.85 w 41 . 𝑅 𝜏 F= yx.38 b) PET – EMB Potência: W= 11.0375 2. 8.42.38x0.5𝑥10−4 251.2 𝜏yx = 𝐻 8.Hy) + 𝑈𝑦 𝐻 U= 𝜏yx = 𝜇 𝑈𝑦 𝐻 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜏yx = 𝜇 𝑈 𝐻 U = 𝜔R 𝜏yx = 𝜇 𝜔R 𝜏yx =0.42 N.Mecânica dos Fluidos U= 1 𝜕𝑝 2µ 𝜕𝑋 (y² .4 Pa T= 𝐹.A T=251.m W=FU W=F R 𝜔 W= T 𝜔 W= 1.42πRLR T= 502.0375² 2 a) Torque: T= 1.8. ( 𝜌𝑔 + 𝛼2 2𝑔 + 𝑧2 ) = hlt Onde: 𝛼 = 2 : Laminar 𝛼 = 1 : Turbulento hlt: Perda de carga total 6.2. hlm: Perdas localizadas ou menores.3. variações de área e outras.Mecânica dos Fluidos 6. Pode ser obtido através da seguinte tabela: 42 . causadas por entradas. causadas por efeitos de atrito no escoamento completamente desenvolvido. Perda de Carga hlt = hl + hlm hl: Perdas maiores. Equação da Energia em Escoamento em Tubos 𝑃1 𝑉1² 𝑃2 𝑉2² ( 𝜌𝑔 + 𝛼2 2𝑔 + 𝑧1 ) . Perdas maiores (hl) a) Escoamento Laminar 64 𝐿 𝑉² hl= ( ) 𝑅𝑒 𝐷 2 b) Escoamento turbulento 𝐿 𝑉² hl= f 𝐷 2 f é o fator de atrito q é função de Re. PET – EMB 𝑒 𝐷 . acessórios. hlm = K 𝑉² 2 K pode variar com as entradas e saídas do tubo: PET – EMB 43 .Mecânica dos Fluidos Perdas Menores hlm Para escoamento completamente desenvolvido através de um tubo horizontal de área constante: hlm = 0. Mecânica dos Fluidos O K também varia com expansões e contrações. curvas. PET – EMB 44 . Esses valores de K podem ser facilmente obtidos em tabelas de livros de mecânica dos fluidos. válvulas e acessórios entre outros. u ≈ 0. INCOMPRESSÍVEL E EXTERNO Quando um objeto move-se através de um fluido o movimento das moléculas do fluido perto do objeto é perturbado. gerando forças aerodinâmicas.99𝑈. 7. 𝛿 É a distância da superfície na qual a velocidade situa-se dentro de 1% da velocidade da corrente livre. isto é.1. 𝛿 ∗ É a distância na qual a placa seria deslocada de forma que a perda de fluxo de massa ( devido à redução na área do escoamento uniforme) fosse equivalente à perda causada pela camada-limite. Espessuras da Camada Limite Espessura de pertubação. PET – EMB 45 .Mecânica dos Fluidos 7. Espessura de deslocamento. e estas moléculas movem-se ao redor do objeto. ESCOAMENTO VISCOSO. visto que o perfil de velocidade em uma camada-limite une-se assintoticamente com a velocidade da corrente livre. 𝛿 𝑢 𝛿 ∗ = ∫ (1 − ) 𝑑𝑦 𝑈 0 Espessura de quantidade de movimento. 𝜃 É a distância que a placa seria movida de modo que a perda de fluxo de quantidade de movimento fosse equivalente à perda real causada pela camada-limite. PET – EMB 46 .Mecânica dos Fluidos Para escoamentos incompressíveis. 𝛿 𝜃= ∫ 0 𝑢 𝑢 (1 − ) 𝑑𝑦 𝑈 𝑈 Hipóteses simplificadoras Essas hipóteses simplificadoras são usualmente feitas em análises de engenharia. 𝜕𝑦 = 0 em y= 𝛿 3. u→U em y= 𝛿 𝜕𝑢 2.664 √(𝑅𝑒𝑥) Solução aproximada ( Laminar ou turbulento) Espessura da camada-limite: 𝛿 = 5. ∆𝑃 é desprezível 7. u≪ 𝑈 dentro da camada-limite 4. Escoamento Sobre Uma Placa Plana Horizontal (Blausius) Escoamento Laminar Espessura da camada-limite: 𝛿 = 5𝑥 √(𝑅𝑒𝑥) Coeficiente de atrito superficial: Cf = 0.2. PET – EMB 47 .3.48 √(𝑅𝑒𝑥) Coeficiente de atrito superficial: Cf = 0.73 √(𝑅𝑒𝑥) Escoamento turbulento sobre a placa plana Espessura da camada-limite: 𝛿 = 0.382 √(𝑅𝑒𝑥) Coeficiente de atrito superficial: Cf = 0.0594 √(𝑅𝑒𝑥) 7.Mecânica dos Fluidos 1. Força de Arrasto A força de arrasto é força que faz resistência ao movimento de um objeto sólido através de um fluido. Dados: Vi = 432 km/h ou 120 m/s Vf = 36 km/h ou 10 m/s 𝜌(𝑎𝑟) = 1. de área A = 21 m². após passar pelo sinalizador de tempo. o piloto abre o paraquedas de frenagem. A massa do carro é de 1000 kg. s/m² PET – EMB 48 .21 𝑘𝑔/𝑚3 a 20°C 𝜇(ar) = 1. Imediatamente. um tuatara atinge uma velocidade de 432 km/h.Mecânica dos Fluidos Coeficiente de arrasto CD = 𝐹𝑑 1𝜌𝑣²𝐴 2 O coeficiente de arrasto para objetos selecionados ( Re ≥ 10³) pode ser determinado com auxílio da seguinte tabela: Exemplo 12: Em um teste para medir a velocidade máxima de carros. Determine o tempo necessário para que o veículo desacelere para 36 km/h.81x10−5 N. As resistências do ar e do rolamento do carro podem ser desprezadas. 17m Re = 1. então pela tabela: CD = 1. Considerando a segunda Lei de Newton: -FD = ma 𝑑𝑉 -FD = m 𝑑𝑡 (1) E da equação da força de arrasto: PET – EMB 49 . Então.28 1.21 𝑥 10 𝑥 11.42.Mecânica dos Fluidos Para achar o CD pode-se utilizar a tabela desde que o Re seja maior ou igual a 10³.81x10−5 Re = 7.54 x 106 O Re do problema valida a hipótese. calculando o Re: Re = 𝜌𝑉𝐷 µ Encontrando o Diâmetro: A= 𝜋 𝐷² 4 D=( D=( 4𝐴 𝜋 1⁄ 2 ) 4𝑥21 𝜋 1⁄ 2 ) D = 5. Mecânica dos Fluidos FD = 𝐶𝐷 𝜌 𝑉² 𝐴 (2) 2 Igualando 1 e 2: −𝐶𝐷 𝜌 𝑉² 𝐴 2 𝑑𝑉 = m 𝑑𝑡 Integrando: 𝑉𝑓 −1 𝐶𝐷 𝜌 𝐴 𝑡 𝑑𝑉 ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 2𝑚 2 0 𝑉𝑖 −1 𝐶𝐷 𝜌 𝐴 1 1 𝑡=− + 2𝑚 𝑉𝑓 𝑉𝑖 −1 𝐶𝐷 𝜌 𝐴 (𝑉𝑖 − 𝑉𝑓) 𝑡=− 2𝑚 𝑉𝑓 𝑉𝑖 𝑡= 𝑡= (120 − 10) 2𝑥1000 120𝑥10 1.42𝑥1.21𝑥21 (𝑉𝑖 − 𝑉𝑓) 2𝑚 𝑉𝑓 𝑉𝑖 𝐶𝐷 𝜌 𝐴 t = 5.08 s PET – EMB 50 . 10. Pritchard.12.57. Robert W. primeiramente deve se ler os capítulos do livro que são estudados em sala assim que lhe são apresentados. é sugerido tentar resolver os exemplos do livro sem olhar a resolução e em seguida resolver os exercícios sugeridos.9. 9.117 Capítulo 9: 9. 8.65 Capítulo 4: 4.98 PET – EMB 51 .5.12.19. 9. Alan T. Fox. 7.22. essa apostila deve ser estudada. 6. 9. 8.28.36. 8. 3.20. 6. SUGESTÃO DE ESTUDO Para melhor entendimento da matéria. 5.51 e 3. 8.40. 5.46. Sétima edição.81. Para fixar e revisar o assunto. 7. 8.10.77 Capítulo 7: 7.24. 6.Mecânica dos Fluidos 8.4.9. 8.28. 9. 8. 3.1.42.12.50. 5. 8.47.195 Capítulo 5: 5.67. 6. Philip J. Exercícios Capítulo 3: 3.76. 6. 7. 7. 7.15.22.26. 5.84. Leitura Introdução à MECÂNICA DOS FLUIDOS.84.46. 5.76 Capítulo 8: 8.39. 4. 5. McDonald. 4.23. 3. Após o término da leitura do capítulo.66 e 4. 3.90.47 Capítulo 6: 6. 7. Robert.COM. Introdução à Mecânica dos Fluidos.BR/LSFM/MECFLU/MECANICA-DOSFLUIDOS/APOSTILA%20MECANICA%20DOS%20FLUIDOS%202011.PDF HTTP://SOMAUTOMOTIVOCARROSTUNING. McDonald.PUCRS.UFPE.WORDPRESS.BR/2011/07/TUAT ARA-E-O-NOME-DO-NOVO-ESPORTIVO-DA. Philip.BR/LDPFLU/CAPITULO5.PDF HTTP://WWW. sétima edição. Pritchard.FILES.PDF HTTP://UFPEMECANICA. HTTP://WWW.BLOGSPOT.HTML PET – EMB 52 .Mecânica dos Fluidos REFERÊNCIAS Fox.COM/2011/07/ANC3A1LISEDIMENSIONAL-E-SEMELHANC3A7A-DINC3A2MICA-CORRIGIDO. Alan.FENG.