Operações dos naturaisA ssunto 1 Matemática I 1. Noção de número natural 2.2 Multiplicação / produto Ao compararmos conjuntos, verificamos que conjuntos com mesmas quantidades de elementos (conjuntos equipotentes) podem ser postos em relação biunívoca, ou seja, uma relação dita “de um para um”. O homem primitivo, através da necessidade básica de contar quantidades dos mais diversos objetos, recorria intuitivamente a esse processo de comparar conjuntos equipotentes. Dessa forma, na antiguidade, do processo de relacionar e comparar as quantidades de ovelhas com a quantidade de pedrinhas num saco surgiu a noção de número natural. Após um longo processo histórico, o conjunto dos números naturais passou a ser representado por: Sejam a e b números naturais quaisquer, números que entram na multiplicação chamam-se fatores; o primeiro é o multiplicando, o segundo o multiplicador e o resultado chama-se produto. Sendo os naturais positivos: = {0, 1, 2, 3, ...} * = {1, 2, 3, ...} 2. Operações com números naturais Dados dois números naturais quaisquer a e b, dizemos que existem apenas duas operações bem definidas dentro desse conjunto, a soma e a multiplicação; ou seja a + b ∈ e a · b ∈ . 2.1 Soma / adição Numa adição, os termos chamam-se parcelas e o resultado chama-se soma. 2.1.1 Propriedades da adição I. Comutativa A ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, a + b = b + a com a e b naturais. II. Associativa Dados os naturais a, b e c, temos que: (a + b) + c = = a + (b + c). III. Elemento neutro Ao adicionarmos zero a qualquer número natural, obtemos o próprio número. Ou seja, dado a um natural qualquer: a + 0 = 0 + a = a. 2.2.1 Propriedades da multiplicação I. Comutatividade A ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, a · b = b · a com a e b naturais. II. Associatividade Dados os naturais a, b e c, temos que: (a · b) · c = = a · (b · c). III. Elemento neutro Ao multiplicarmos por um qualquer número natural, obtemos o próprio número. Ou seja, dado a um natural qualquer: a · 1 = 1 · a = a. IV. Distributiva Sejam os números naturais a, b e c, então: a · (b + c) = = a · b + a · c. V. Lei do corte Sejam b e c números naturais quaisquer e a um natural não nulo, temos que: a · b = a · c → b = c. 3. Números inteiros Com o passar do tempo e a evolução dos povos, os números naturais não eram mais capazes de dar conta de todas as necessidades práticas das civilizações. A necessidade de números que representassem dívidas, temperaturas muito baixas, altitudes abaixo do nível do mar e etc, além da necessidade fundamental de se representar a subtração de dois números naturais quaisquer fez com que surgissem os números inteiros. Com o progresso das civilizações e da matemática, os inteiros foram denotados por: = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} 9o Ano 167 Matemática I – Assunto 1 inteiros não nulos: * = {..., − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, ...} inteiros não negativos (naturais): = {0, 1, 2, 3, ...} = + Sendo que: inteiros positivos (naturais não nulos): *+ = {1, 2, 3, ...} = * . inteiros não positivos: − = {0, − 1, − 2, − 3, ...} * inteiros negativos: − = {−1, − 2, − 3, ...} 4. Operações com inteiros Podemos observar que: ⊂ ; dessa forma, a soma e a multiplicação também estão bem definidas para o conjunto dos números inteiros e, além disso, também temos a subtração bem definida agora. Portanto, dados os números inteiros a e b: a + b ∈ , a · b ∈ e a – b ∈ . Além disso, através de um longo processo matemático de construção e definição do conjunto dos números inteiros, chegou-se à chamada regra dos sinais. Sejam os inteiros a e b, temos que: –(– a) = a a · (– b) = – a · b (– a) · b = – a · b (– a) · (– b) = + a · b 4.1 Subtração / diferença Numa subtração entre dois termos, o primeiro chama-se minuendo, o segundo é o subtraendo e o resultado é o resto ou diferença. Com efeito, temos que: minuendo = subtraendo + resto. 4.2 Módulo (valor absoluto) de um número inteiro Seja x um número inteiro qualquer, representamos o módulo ou valor absoluto de x por |x|. E definimos − x, caso x < 0 o módulo do inteiro x por: x = 0, para x = 0 . x, caso x > 0 Ex.: I. |3|=3, pois 3 > 0. II. |–7|= – (–7) = 7, pois –7 < 0. 5. Divisão euclidiana Sejam D e d dois números inteiros em que d é não nulo. Dessa forma, existem inteiros q e r únicos tais que: D = d · q + r, com 0 ≤ r < |d|. Em que, caso r = 0, diz que a divisão foi exata. Ex.: Na divisão de 7 por 3 tem-se: 7 = 3 · 2 + 1. 168 Vol. 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 Uma pessoa fez uma compra em um supermercado no valor de R$ 77,00. Ao efetuar o pagamento com uma nota de R$ 100,00, o operador de caixa informou-lhe que dispunha apenas de notas de R$ 10,00 para o troco. O cliente verificou que ainda tinha em sua carteira R$ 73,00, sendo três notas de R$ 10,00, oito notas de R$ 5,00 e três moedas de R$ 1,00. O menor valor que o cliente deve repassar ao operador de caixa, para facilitar o troco, considerando-se o dinheiro que tinha em sua carteira, é: (A) R$ 103,00. (B) R$ 107,00. (C) R$ 113,00. (D) R$ 117,00. (E) R$ 123,00. Solução: Letra B. Admitindo x o valor acrescido aos R$ 100,00 para facilitar o troco. 100 + x – 77 = 23 + x deverá ser múltiplo de 10, pois o operador do caixa só tinha notas de R$ 10,00, logo, o menor valor de x possível é 7. Assim, o cliente irá repassar R$ 107,00 ao operador do caixa. 02 O sistema monetário colonial do Brasil mantinha uma clássica ordem de valores baseada nas dezenas, com seus valores dobrados a cada nível acima de moeda Disponível em: cunhada, por tanto, <bionarede.com.br>. com valores de 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 960 réis; o que em grande parte minimizava a problemática do troco. No entanto, a província de Minas Gerais produziu Operações dos naturais um problema tão grave de troco, no início da segunda década do século XIX, que afetou diretamente os interesses da metrópole e exigiu medidas drásticas para evitar grandes perdas ao cofre português. [...] Para resolver o problema, em 1818, a Casa da Moeda do Rio de Janeiro, desativada desde 1734, foi reaberta para cunhar uma das moedas mais intrigantes da história da numismática mundial, o Vintém de Ouro. O nome sugere uma moeda de vinte réis cunhada em ouro, no entanto, é uma moeda de cobre que tem no seu anverso o valor de 37 ½ réis, batida no Rio de Janeiro para circular em Minas Gerais. O Sistema. 2013. De acordo com o texto, se uma pessoa tivesse que efetuar um pagamento de 680 réis e só possuísse moedas de Vintém de Ouro, então, ao realizar esse pagamento, poderia receber de troco uma quantidade mínima de moedas, correspondente a uma moeda de: (A) 40 réis. (B) 80 réis. (C) 10 e outra de 20 réis. (D) 10 e outra de 40 réis. (E) 10, uma de 20 e uma de 40 réis. Solução: Letra E. 680 = (18 · 37,5 + 5) réis 680 = (19 · 37,5 – 32,5) réis (não é possível voltar troco com as moedas disponíveis) 680 = (20 · 37,5 – 70) réis O troco deverá ser de 70 réis, uma de 10, uma de 20 e uma de 40 réis, conforme letra E. 03 Uma pessoa escolherá um plano de telefonia celular entre duas opções: A e B. Plano Nome do plano A B Minas 70 Gerais 60 Minutos incluídos no plano 70 60 Valor excedente entre celulares da mesma operadora R$ 0,68 R$ 0,76 Preço mensal R$ 57,00 R$ 49,00 Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: I. Se a pessoa exceder 30 minutos de ligações para a mesma operadora, o plano A ficará mais vantajoso que o plano B; II. se a pessoa usar apenas 60 minutos no mês, o melhor plano será o B; III. se a pessoa exceder 10 minutos de ligações para a mesma operadora, os planos A e B ficarão equivalentes. Assinale a alternativa correta: (A) Somente II e III são verdadeiras. (B) Somente II é verdadeira. (C) Somente I e III são verdadeiras. (D) Somente III é verdadeira. Solução: Letra B. I. Falsa, pois o plano B ficará mais vantajoso. Plano A: 57 + 0,68 · 30 = 77,40 Plano B: 49 + 0,76 · 30 = 71,80 II. Verdadeira, pois 49 < 57 III. Falsa, pois: Plano A: 57 + 0,68 · 10 = 63,80 Plano B: 49 + 0,76 · 10 = 56,60 Portanto, somente II é verdadeira. 04 A revendedora de automóveis Carro Bom iniciou o dia com os seguintes automóveis para venda: Automóvel Alfa Beta Gama Nº de automóveis 10 10 10 Valor unitário (R$) 30 000 20 000 10 000 A tabela mostra que, nesse dia, o valor do estoque é de R$ 600 000,00 e o valor médio do automóvel é de R$ 20 000,00. Se, nesse dia, foram vendidos somente cinco automóveis do modelo Gama, então, ao final do dia, em relação ao início: 9o Ano 169 (D) o valor do estoque bem como o valor médio do automóvel eram maiores. (E) sanduíche de peixe. que não exceda o limite de 800 kcal. além de garantir uma boa formação e manutenção de ossos e dentes. refrigerante diet 300 mL e torta de maçã. Portanto. e o valor médio do automóvel. porção de fritas. I. refrigerante 300 mL e porção de frutas (295 + 206 + 120 + 25 = = 646 cal).000 II. coagulação do sangue e contração muscular. (B) sanduíche light. sanduíche light. 1 Variedades Escolhendo-se um item de cada opção de pedido. V. 06 O cálcio é essencial para a transmissão nervosa. atua também na respiração celular. porção de fritas. valor médio dos automóveis no final do dia: 550. refrigerante diet 300 mL e torta de maçã (362 + 206 + 0 + + 198 = 766 cal). suco de laranja 300 mL e porção de frutas. para uma pessoa adulta e saudável. suco de laranja 300 mL e porção de frutas (362 + 206 + + 116 + 25 = 709 cal). menor. suco de laranja 300 mL e porção de frutas. porção de fritas. Valor energético completo 491 kcal sanduíches de peixe 362 kcal light 295 kcal porção de fritas 206 kcal acompanhamentos salada 8 kcal refrigerante 120 kcal 300 mL refrigerante diet bebidas 0 kcal 300 mL suco de laranja 116 kcal 300 mL torta de maçã 198 kcal sobremesas porção de frutas 25 kcal Opções de pedido 170 Vol. Valor do estoque no final do dia considerando a venda dos modelos Gama: 600. uma refeição equilibrada. porção de fritas. suco de laranja 300 mL e porção de frutas (295 + 206 + 116 + + 25 = 642 cal). e o valor médio do automóvel. maior. II. refrigerante diet 300 mL e porção de frutas: (491 + 206 + 0 + + 25 = 722 cal). A tabela 1 a seguir mostra que a ingestão diária recomendada de cálcio por pessoa varia com a idade. 05 Segundo nutricionistas. refrigerante diet 300 mL e porção de frutas.000 = = 550. a refeição com o maior valor energético e que não excede 800 cal é a da letra E. Vamos compor cada uma das sugestões: I. sanduíche light. a refeição de maior valor energético. e o valor médio do automóvel.000. (B) o valor do estoque era menor. será a composta de: (A) sanduíche completo. A tabela traz algumas opções de pedido. sanduíche de peixe.000 – 5 · 10. porção de fritas. refrigerante 300 mL e porção de frutas. . Solução: Letra E. porção de fritas. porção de fritas. e o valor médio do automóvel. igual. maior. porção de fritas.Matemática I – Assunto 1 (A) o valor do estoque bem como o valor médio do automóvel eram menores. (D) sanduíche de peixe. (E) o valor do estoque era maior. porção de fritas. sanduíche completo. (C) o valor do estoque era menor. variedades dentro destas opções e o valor energético de cada uma delas. IV. III. Solução: Letra C.000 = 22. sanduíche de peixe. (C) sanduíche light. não deve conter mais que 800 kcal. 25 Portanto: o valor do estoque era menor. porção de fritas. (D) 2. temos: x = 25 ou x = – 41 Logo.000 pessoas. O cálculo de quantos BTUs serão necessários para cada ambiente leva em consideração a seguinte regra: 600 BTUs por metro quadrado para até duas pessoas. (B) 8. Tempo para esvaziar a cidade do rock: 100.400 BTUs. 1 BTU é definido como a quantidade necessária de energia para se elevar a temperatura de uma massa de uma libra de água em um grau Fahrenheit. o tempo mínimo. (E) 322. x. Se x + 10 é o divisor.075. 08 A potência de um condicionador de ar é medida em BTU (British Thermal Unit.000. Total de cálcio (mg) = 60 · 800 + 100 · 1300 + 80 · 1300 + 40 · 1000 = 48000 + 130000 + 104000 + 40000 = 322000 mg.000. Em cada minuto poderiam sair 4 · 1250 pessoas. 09 Numa divisão de números naturais.000. e. o quociente 5. o resto. 9o Ano 171 . A tabela II mostra a quantidade de alunos por idade existente nessa escola. o público presente era de cem mil pessoas e que a Cidade do Rock. em um certo momento. O resultado pedido é dado por (12 + 2) · 600 = 8. Solução: Letra B. que é igual a 5.250 pessoas por minuto. excede o resto também em 5.600 BTUs.000. De acordo com essa regra. em mg. 07 Considere que no primeiro dia do Rock in Rio 2011. e mais 600 BTUs por pessoa ou equipamento que emita calor no ambiente. (B) 294. ou Unidade Termal Britânica). (C) 300. x + 5. Sabendo-se que o dividendo é 1. 1. (D) 310. em cada portão. Foi por essa importância que o cálcio tem para o corpo humano que a diretora de uma escola resolveu calcular a quantidade de cálcio que teria de usar nas refeições diárias dos seus alunos para suprir essa necessidade. local do evento. por sua vez.400 BTUs. Solução: Letra E. o divisor excede de 5 o quociente que. dispunha de quatro portões por onde podiam sair.000 : 5000 = 20 min.000. em minutos. Nestas circunstâncias.400 BTUs. em um escritório de 12 metros quadrados em que trabalhem duas pessoas e que haja um notebook e um frigobar. (C) 7. para esvaziar a Cidade do Rock será de: (A) 80 (B) 60 (C) 50 (D) 40 (E) 20 Solução: Letra E. que teria que usar nas refeições desses alunos é: (A) 286. a potência do condicionador de ar deve ser: (A) 15.200 BTUs. Tabela II Idade 4 a 8 anos 9 a 13 anos 14 a 18 anos 19 a 50 anos Alunos 60 100 80 40 A quantidade diária de cálcio.Operações dos naturais Tabela I Idade 4 a 8 anos 9 a 13 anos 14 a 18 anos 19 a 50 anos Cálcio (mg/dia) 800 1300 1300 1000 Disponível em: <wikipedia. temos que: 1075 = (x + 10) · (x + 5) + x x2 + 16x – 1025 = 0 Resolvendo a equação. no máximo. pode-se afirmar que esse divisor é: (A) 10 (B) 15 (C) 25 (D) 35 Solução: Letra D.org>. o divisor será 25 + 10 = 35. 00.00 em moedas de R$ 1. (B) o cliente levará todo o dinheiro de que Jonas dispõe para fazer o troco. Jonas terá no caixa: 20 moedas de R$ 0. 1 cédula de R$ 5.00. (adaptado) 172 Vol. deu R$ 42. Os pixels são minúsculos quadradinhos com uma cor específica atribuída a cada um deles e.00. O termo resolução refere-se ao número de pixels. 2 moedas de R$ 1. (C) não haverá dinheiro suficiente no caixa para que Jonas faça o troco. deu R$ 52.10. (C) 824 e 1. 27 de R$ 0.00. O primeiro cliente gastou R$ 16. 5 cédulas de R$ 2. sendo uma cédula de R$ 50.trt4. (B) 600 e 800.00 em cédulas de R$ 2.00. No início do dia.00 em cédulas de R$ 10. quando exibidos em conjunto.00 em moedas de R$ 0.25. (D) 1.00.25. R$ 20. (D) 31 moedas é o menor número de moedas que o terceiro cliente receberá de troco. em pixels: (A) 480 e 680. 1 . que Jonas pode dar ao cliente é 50 + 20 + 2 = = R$ 72.00.00.00.10. a única forma de pagamento é em dinheiro. trabalha no caixa. sendo duas cédulas de R$ 20.75. em cédulas.25. Se este cliente quiser pagar sua conta com uma cédula de R$ 100. para usar como troco. Disponível em: <www. Para pagar. para Jonas fazer o troco é correto afirmar.25.00.00 e 9 moedas de R$ 0. formam a imagem. R$ 1. Sabendo-se que a tela retangular de um computador. Jonas deu de troco para o cliente: 1 moeda de R$ 0. 2 cédulas de R$ 10. mas ela pensa que ele está atrasado 5 minutos. que: (A) a única forma de realizar o troco do terceiro cliente é Jonas dar 2 cédulas e o restante em moedas. Para pagar sua conta.10. O terceiro cliente gastou R$ 19. 1 cédula de R$ 2.00 em moedas de R$ 0. como o valor máximo.05).000 pixels e que uma das suas dimensões mede x pixels e a outra (x + 200) pixels.024. de: • • • • • • • R$ 5. segue-se que o menor número de moedas que o terceiro cliente receberá de troco é igual a 31 (2 moedas de R$ 1. 2013. 02 Três amigas marcaram um encontro na porta de um cinema às 15 h e querem ser pontuais. Acesso em: 03 nov.05.25. Jonas deu de troco para o cliente: 1 moeda de R$ 0. 28 moedas de R$ 0.00.056 e 1. (E) a única forma de realizar o troco do terceiro cliente é Jonas dar 57 em moedas e o restante em cédulas. (E) 1.jus.10 e 1 de R$ 0.br/>.10.00. 1 de R$ 0. em determinada resolução.00. no caixa. R$ 1.366.00. 1 cédula de R$ 50.00 e uma de R$ 2. podemos afirmar corretamente que as dimensões dessa tela são. Jonas.Matemática I – Assunto 1 10 Em um pequeno estabelecimento comercial. 3 cédulas de R$ 5.256.00. R$ 2. o proprietário. R$ 20.15. EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Leia o texto sobre a resolução da tela de um computador. o relógio da: • Amanda está adiantado 10 minutos. Jonas dispõe.00 em cédulas de R$ 5. Por tanto.00. Entretanto.05. 9 moedas de R$ 0. possui um total de 480.00. No momento de dar o troco ao terceiro cliente. R$ 10.166 e 1. Solução: Letra D.00 em moedas de R$ 0. 2 cédulas de R$ 20.25. O segundo cliente gastou R$ 27. (B) 12.800. 06 A capacidade mínima. Amanda e Camila.21 milhões. (E) 8. 04 Todos os anos. Acesso em: 30 maio 2010 (adaptado). • Camila está adiantado 5 minutos.600. 9o Ano 173 .uol. Disponível em: <folha. foi observado que a média de entrada era de aproximadamente 90. após esse prazo. A praça. Em certo ano.05 milhões. Será instalado um aparelho de ar-condicionado em uma sala sem exposição ao sol. (E) Padaria. (D) 7.074. A cada quatro anos o evento se repete.64 milhões. de um aparelho de ar-condicionado. de dimensões 4 m × 5 m.070. • acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento eletrônico em funcionamento no ambiente.000. (B) 4.000 declarações por hora.200. A edição de número 35 será realizada no ano de: (A) 2.com. Camila e Amanda. (B) 2. contabilizou-se o recebimento de 16. (C) 2. o equivalente a cerca de 60% do total estimado pela Receita Federal.049.125 metros. Sorveteria Ponto de partida Em uma tarde. em BTU/h.65 milhões. respectivamente: (A) Amanda.Operações dos naturais • Beatriz está atrasado 10 minutos. mas ela acha que ele está adiantado 5 minutos. Beatriz e Camila. extensão. Camila e Beatriz. Camile caminhou 4. (B) Drogaria.2 milhões de declarações. acrescentar 600 BTU/h. (C) Lan house.078. (C) 13. pode ser determinada da seguinte forma: • 600 BTU/h por m2. A capacidade mínima. (D) 13. qual a quantidade aproximada de pessoas que terão que pagar multa por atraso. Nesse mesmo momento. terão que pagar uma multa.br>.000. estão representados na figura: Academia (D) 2.055. mas ela acredita que ele está atrasado 5 minutos. sabendo que a Receita Federal recebe declarações 24 horas por dia? (A) 2. e parou. a quatro dias do prazo final. (C) 6. considerando-se ate duas pessoas no ambiente. a Receita Federal aler ta os contribuintes para não deixarem o envio de seus dados para o último dia do prazo de entrega. (E) 15. no sentido anti-horário. (D) Beatriz. A ordem de chegada das amigas à porta do cinema é. desse aparelho de ar-condicionado deve ser: (A) 12. (E) 2. (C) Beatriz. 05 Camile gosta de caminhar em uma calçada em torno de uma praça circular que possui 500 metros de Padaria Drogaria Centro cultural Lan house 03 A vigésima Copa do Mundo será realizada no Brasil em 2014. pois. localizada perto de casa. (D) Ponto de partida. em que permaneçam quatro pessoas e possua um aparelho de televisão em funcionamento. para ambientes sem exposição ao sol. Considerando o total estimado para entrega e permanecendo nesses últimos dias a mesma média por hora de recebimentos das declarações. Qual dos locais indicados na figura é o mais próximo de sua parada? (A) Centro cultural.16 milhões. (B) Amanda. em BTU/h. bem como alguns locais ao seu redor e o ponto de onde inicia a caminhada. • para cada pessoa adicional nesse ambiente. 00. (B) 3. criou um novo programa de perguntas e respostas chamado “Um Milhão Na Mesa”. 250g de café moído. 11 Você foi ao mercado e comprou 2 kg de arroz. 25. sobre o número n. É ímpar. 04. É primo. subtração. O prêmio máximo é de R$ 1. (B) Amazonas. (B) 5. multiplicação e divisão. em seguida divida por 4. sobre uma mesa. 174 Vol. Pagou ao vendedor com uma nota de R$ 20. (C) adição. (A) 2. 10 Qualquer bebida extraída de uma máquina custa 1 real. (C) 11.00 (troco). (E) adição e subtração. levando em consideração as taxas de incidência para os anos de 2000 e 2004. (C) Minas Gerais.7 São Paulo 45. depois some 47. assinale o que for correto: 01. (C) 6. e comprou. Se o resultado for 154. cujo preço por quilo é R$ 1. (C) 100. 50 centavos e de 1 real. 1 (A) Amapá.7 Minas Gerais 0. Em quantos pacotes está dividido o prêmio do programa? (A) 150.5 16. É divisor de 9. 12 Considere um número real n e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 3. em 2006. Então. Se a máquina só aceita moedas de 10. .00. (D) 75. Assinale a alternativa que completa corretamente a frase: Para fazer os cálculos acima citados. obtém-se resto igual a 13. (D) 13. É múltiplo de 3. 2006.50.2 Disponível em: SINAM. Nele. (B) apenas subtração. de quantas maneiras distintas pode-se pagar uma bebida nesta máquina? 08 Ao se dividir um número natural n por 33. cujo preço por quilo é R$ 3. Cada pacote é formado por mil notas. IBGE. 09 O Ministério da Saúde acompanha com preocupação a difusão da tuberculose no Brasil.2 Pernambuco 43.10. multiplique por 6 e subtraia 38. ela será dada para: (A) 4. (E) Rio de Janeiro. subtração e multiplicação. (D) 7. o apresentador Silvio Santos faz perguntas sobre temas escolhidos pelos participantes. 08.8 38. Um sistema de vigilância baseia-se no acompanhamento sistemático das taxas de incidência dessa doença nos estados. é: Estado Se a prioridade na distribuição de recursos for dada ao estado que tiver maior aumento absoluto em suas taxas de incidência. 2 kg de feijão.000. ainda. Para saber se o troco estava certo você fez os cálculos.Matemática I – Assunto 1 07 O SBT.65. Ele lhe devolveu R$ 8. Taxa de incidência 2000 2004 Amapá 9. Depois de credenciar alguns estados a receberem recursos. em parceria com a Nestlé. (D) apenas adição.0 Rio de Janeiro 90. você precisa saber: (A) adição. (D) Pernambuco.7 79. cujo preço foi R$ 2. (B) 125.1 Amazonas 72. 02.0 37. Censo 2000.00 que fica. distribuído em pacotes com notas de R$ 20.8 69.3 51. o resto da divisão de (n + 56) por 33. conforme o quadro seguinte. inicialmente.3 27.000.0 Goiás 20. (E) 50. passou a ser de grande importância definir prioridades para a alocação de recursos de combate e prevenção. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir.br>. a soma da idade com o tempo de contribuição para a 9o Ano 175 . (D) 9338. Segundo a proposta enviada pelo governo federal ao Congresso Nacional. cada um desses 10 usuários enviou 10 torpedos para 10 novos usuários. qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? (A) 13o. tendo obtido 5 medalhas de ouro. Escreva este número em notação científica.” O usuário que criou o boato enviou. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. 2 de prata e 3 de bronze.000 minutos em créditos. 26. torpedos com esta mensagem para 10 usuários da ALÔ. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. 25 jun. b. Medalhas Total de medalhas prata bronze Classificação País 8o Itália 10 11 11 32 9o Coreia do Sul 9 12 9 30 10o Grã-Bretanha 9 9 12 30 11o Cuba 9 7 11 27 12o Ucrânia 9 5 9 23 13o Hungria 8 6 3 17 ouro Disponível em: <quadroademedalhas. sem alterações no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro. quantas Terras cabem dentro de Júpiter? (A) 406. O planeta Mercúrio é o menor de todos. (C) 4002. a ALÔ tem 11 milhões de clientes. Netuno e o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas. (E) 9o. (C) 11o. é dado na tabela abaixo: 8 horas e 30 min 11 pessoas O criador do boato 1 + 10 9 horas 11 + 10 · 10 8 horas 1 pessoa 111 pessoas 9 horas e 30min 1. Todos que receberam a mensagem a repassaram. todos os usuários da ALÔ já sabiam do boato? 15 A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição. Ano 41. (B) 1334. às oito horas da manhã. Seguindo o raciocínio proposto. 2010 (adaptado). 2008 (adaptado). Revista Veja. (D) 10o. A que horas. De acordo com o texto. Nas Olimpíadas de 2004. os 11 milhões de clientes da empresa de telefonia móvel ALÔ receberam a seguinte mensagem: “Envie este torpedo para outros 10 usuários da ALÔ e receba 1. Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro. Em exatos 30 minutos. II. será preciso satisfazer às duas condições abaixo: I. (E) 28014. Ter contribuído por um tempo mínimo de 30 anos (para as mulheres) ou de 35 anos (para os homens). nº. seguindo este mesmo padrão. (B) 12o. Você tem exatamente 30 minutos para enviar os torpedos a partir do momento em que receber essa mensagem. 4 de prata e 10 de bronze. a cada 30 minutos.com. na ocasião do pedido de aposentadoria. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos. 16 Os contribuintes e segurados da Previdência Social devem ficar atentos às novas regras da aposentadoria. quantas pessoas já sabiam do boato? c. Às 10h e 30 minutos. Acesso em: 05 abr. para obter aposentadoria integral.Operações dos naturais 13 A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros.111 pessoas 111 + 100 · 10 a. 14 É incrível como um boato se espalha depressa! Na última segunda-feira. O número de pessoas que já sabia do boato. no mínimo. tendo como critério de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistadas. Por tudo isso. (B) 2. (E) 6. Por uma falha de impressão. 33 reais. (A) (B) (C) (D) (E) 176 I 1.250 1. Sabe-se que o time Esmeralda FC sofreu dois gols a mais que o time EC Boleiros. nas articulações. têm 19 reais e Esmeralda e Lúcia. Com quantos anos de idade. (C) 4. Analise o quadro de equilíbrio hídrico corporal apresentado abaixo. têm 21 reais.500 2.250 1. por I. para os homens e. I mL 850 mL 350 mL 100 mL 2 550 mL Assinale a alternativa que corresponde.500 1 11 12 1 10 2 3 9 8 4 7 6 5 (D) 6. representando cerca de 60% do peso de um adulto. juntas. (B) 7. nos quadros anteriores. apresentando os gols marcados e os gols sofridos por cada time. no mínimo. além de estar presente nas secreções (como o suor e a lágrima). juntas. nos sistemas respiratório. Folha Online. b. II e III. (D) 5. no mínimo. 95 anos. Leila começou a trabalhar com 23 anos. oxigênio e sais minerais. Verifique se ele poderá solicitar sua aposentadoria ainda em 2015.550 3. 20 Um jornal publicou a tabela de um campeonato de futebol formado por quatro times. o relógio começa a atrasar exatamente 5 minutos a cada hora real. Quantos gols sofreu o time Esmeralda FC? (A) 2.Matemática I – Assunto 1 previdência deve resultar em. em 85 anos. na urina e na pele.550 1. 2009 (adaptado). (E) 12. Hidratação diária Alimentos 1 000 mL Líquidos II mL Reações químicas internas 350 mL Total III mL 18 Ana. a água também é essencial para transportar alimentos. conforme reprodução a seguir. Acesso em: 27 ago. Depois de quantos dias o relógio voltará a apresentar um horário correto? (A) 1. Ana e Esmeralda. a. aos valores representados. Quantos reais tem Esmeralda? (A) 6. nos ressentimos imediatamente da falta dela em nosso organismo. respectivamente. (B) 3. Esmeralda e Lúcia têm. no plasma sanguíneo. ela poderá solicitar a sua aposentadoria? 17 A água é indispensável à vida humana. digestório e nervoso.200 1.000 1. juntas.250 III 2. a tabela saiu com dois números borrados.550 2. (C) 10. (C) 4. 19 O horário indicado pelo relógio ao lado está correto. . 1 II 1. Cláudio começou a trabalhar com 16 anos e hoje tem 53 anos de idade. No corpo humano.250 1.250 850 1. para as mulheres.200 1. (E) 14. Gols marcados Gols sofridos Craques do Momento 8 4 Independentes 1 6 EC Boleiros 4 *** Esmeralda FC 5 *** Desidratação diária Urina Pele Pulmões Fezes Total (D) 12.200 Vol. A partir desse momento. porém. Ela é o principal componente das células e um solvente biológico universal. se somarmos 3 ao primeiro termo.5 e 7 são bacanas.1 e 33.002 24 Quanto é o dobro de 24 mais o triplo de 13 menos o quádruplo de 15? 29 O valor de 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + .005. . (D) 23. (B) 6.004.. envio de mensagens. acesso à internet.013o termo dessa sequência? (A) 345. Quantos números bacanas existem entre 2. Quantos dias há desde 10/10/10 até 11/11/11. (C) 1. . (D) 37. (D) 1. 26 Um número é chamado de bacana se ele é um número inteiro ou é a metade de um número inteiro. –(3 – (2 – 1)).. (D) 678. (C) 60. (B) 456. (C) 400.. o valor total da conta de telefone celular de Esmeralda foi R$ 119.))) é igual a: (A) 1. (B) 398. subtrairmos 2 do segundo termo. (E) 38. (C) aumentará 2 unidades. (E) 404. o subtraendo é: (A) 570.002 (C) 1.36.006. esse padrão aconteceu em 10/10/10. quanto foi que ela gastou com chamadas? (A) R$ 74.26. 912.90 com acesso à Internet e R$ 15.001 (B) 1. (B) 62.003 (D) 2. 9o Ano 177 .009 – 2.080. somarmos 2 ao terceiro termo. (D) R$ 89. (E) não se alterará.012 é igual a: (A) 17. 789. (B) 810.3? (A) 61.. 234.46. Se o resto é a quarta parte do minuendo.36.. a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é 2. 234.003.001 (E) 2. (C) 567. Ela pagou uma conta de 23 reais com a menor quantidade possível de moedas.160.007.86. (E) 30.. (D) diminuirá 2 unidades. 28 O valor de 2006 – (2005 – (2004 – (. Qual é o 2. (E) R$ 104. Quantas moedas ela usou? (A) 3. Por exemplo. (C) 27. 345.280. incluindo o dia 10 e o dia 11? (A) 396.. (E) 789. a soma: (A) aumentará 1 unidade. 27 Numa adição de cinco parcelas.Operações dos naturais 21 Em maio. mês e dois últimos dígitos do ano são iguais.. (E) –1. (B) R$ 74. 25 Rita escreve a sequência formada por números de três algarismos não nulos a seguir: 123. (C) –1. Se ela gastou R$ 29. somarmos 1 ao quarto termo e subtrairmos 4 do quinto termo.010 + 2.50 com o serviço de envio de mensagens. No ano passado. 123.011 – 2. (D) 402. sem os impostos.. (E) 31. 30 Numa subtração. (D) –1. (E) 1. (C) R$ 84. 22 Uma data curiosa neste ano é o dia 11/11/11. (B) 26. 3.. (B) –1. + 2. . (A) –1. pois o dia. (B) diminuirá 1 unidade. 891. Esse valor corresponde aos itens: chamadas.350. 23 Laurinha tinha em sua carteira somente notas de 10 reais e moedas de 10 centavos.76. (C) 10.. (D) 66. (A) 7. 2. 6. Sabendo que CMRJ representa o ano em que o aluno ingressou no colégio. 7. Se acrescentarmos uma unidade ao dividendo e não alterarmos o divisor. que cada letra é um dos algarismos 1. o valor da soma A + M + O + R é: + (A) R$ 3. (D) R$ 3.080.280. então a quantia que representa a soma dos valores de todas as moedas é: b 3 × * (A) 20. com moedas de R$ 0. 5. o divisor é o triplo de cinco. Aumentando-se o dividendo A de 15 unidades e o divisor B de 5 unidades. C C A M M M R R O J J R (D) 25. 06 A divisão do número inteiro A pelo número inteiro B dá para quociente Q e para resto R. (E) 12. 1 (D) 10.36. (C) 23. 02 Bruno está montando um “descanso de pratos”. (C) 1.Matemática I – Assunto 1 EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 Considere a seguinte subtração. A soma dos algarismos do dividendo inicial é: (A) 10. o quociente e o resto não se alteram. 3. 1 Então. (D) 14.01 (no interior) e de R$ 0. 05 Um aluno do Colégio Militar do Rio de Janeiro escreveu a soma abaixo com a intenção de externar o carinho por seu colégio. . (B) 810.05 moedas de R$ 0. (B) 9. como mostra a figura. 07 Numa divisão inexata de números naturais. (E) 1. b e z são algarismos: 6 8 4 x −x 6 8 4 b x b 04 Na multiplicação a seguir.05 (nas bordas).40.350.20. b e c representam algarismos: 1 a b * * * * * 1 c c 0 z Logo. (B) 12.16. (D) 1.160.01 Se cada diagonal é formada por 12 moedas. x + b + z é igual a: (A) 11. (C) R$ 3. (E) 15. (B) 21. Se o resto é a quarta parte do minuendo. (E) R$ 3. a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é 2. (D) 7. (E) 26. a soma a + b + c vale: moedas de R$ 0. em que x. o subtraendo é: (A) 570. 8. 03 Numa subtração. (C) 8. Determine Q. (B) R$ 3. 9 e que letras diferentes representam algarismos diferentes. 4. o resto desta nova divisão passa a ser o maior possível. (C) 13.32. com formato de um quadrado. 178 Vol. (E) 6. (C) 9. Se adicionarmos mais uma unidade ao novo dividendo e mantivermos ainda o divisor inicial. a. o quociente passa a ser quatorze. (B) 8. (C) 15.012 15 Na reta numerada abaixo.63 e deu uma nota de R$ 10. Qual é a soma dos números de todas as faces em contato com a mesa? 1 08 O divisor de uma divisão aproximada é 30 e o resto é 23. * * * 6 (D) 127. (D) múltiplo de 3. 12 No desenho. 4. quantos números atraentes devem ser somados para mostrarmos que 2012 é um número quase atraente? (A) 68. 13 e 31. (D) 8. (E) 132. (C) maior do que 7. 9o Ano 179 . (D) 100. 5. Rosa tem 7 notas de cinco reais e Nelly tem 3 notas de dez reais. (C) 104. 10 Numa padaria. O maior número que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente é: (D) 106. 0 4 (A) 6. de forma que todas as moças fiquem com a mesma quantia? (A) 5. (A) 100. 5 e 9. iguais ou não. (B) 102. (C) 110. três cubos iguais apoiados sobre uma mesa têm suas faces pintadas com os números 0. (E) múltiplo de 7.2 kg de Chocobm nessa padaria? (A) 6 latas de 200 g. (D) 10. 11 Luca comprou uma revista por R$ 9. Exatamente três dos números marcados são múltiplos de 4. (C) 7. uma lata de 200 g de achocolatado em pó Chocobm custa R$ 3. 5 6 (A) primo.2 kg de Chocobm para fazer um enorme bolo. No mínimo. (C) 9. (E) 2. Lara precisa de 1. (B) 70.00. uma lata de 400 g custa R$ 5. Qual das opções a seguir é a maneira mais econômica de comprar 1. (E) 12. (D) 24. os asteristicos representam algarismos. Qual é a soma dos números que foram multiplicados? * × * * * + * * 1 6 5 (A) 82. 1 + 3 + 3 + + 3 + 13 + 31 = 54 é quase atraente. Qualquer outro será quase atraente somente se puder ser expresso como soma de pelo menos um de cada um dos quatro números atraentes. (D) 2 latas de 200 g e 1 lata de 800 g. Qual é o menor número possível do total de notas que deve mudar de mãos. (E) 9. (E) 2 latas de 200 g e 2 latas de 400 g. existem somente quatro números que considera atraentes: 1. Por exemplo. os pontos indicados com balõezinhos representam números inteiros maiores do que 93 e menores do que 112. (B) 8.00 para pagar. (B) 6. 3. 10 e 25 centavos? Suponha que há muitas moedas de cada tipo. (B) 95. (B) 1 lata de 400 g e 1 lata de 800 g.00 e uma de 800 g custa R$ 9. (E) 30. (C) 72. 4 9 3 1 13 Esmeralda tem 11 notas de dois reais. se as moedas disponíveis no caixa são as de 1. (E) 108.00. 1. 3. (B) 12. 14 Para Mariazinha. Qual é o maior dos números indicados? (A) 10. (C) 4 latas de 200 g e 1 lata de 400 g.Operações dos naturais 09 Na multiplicação indicada na figura. (B) ímpar. De quantas maneiras ele pode receber o troco de 37 centavos em moedas. (C) 11. 18 A figura abaixo representa um mapa de estradas. (D) 4. o estádio arrecadou R$ 3. (B) 2. Os círculos devem ser numerados de 1 a 9. (A) 45. 6 1 7 B 4 A 8 180 Vol. 9 e 10 chocolates. 17 Os preços para a entrada num estádio de futebol são de R$ 7. (B) 46. Qual é a maior quantidade de unidades de chocolates que não podemos comprar exatamente nessa loja? (A) 25. 19 O triângulo aritmético de Fibonacci é formado pelos números ímpares inteiros positivos. No último jogo de domingo. (B) 13. como indicam as setas. .50 para as crianças. (C) 310. dispostos em linhas com ordem crescente em cada linha e pulando para a linha seguinte. (B) 14. Veja as quatro primeiras linhas. (D) 10. (C) 62. Pelo menos quantos adultos pagantes havia no estádio? Em qual linha aparecerá o 2. Qual é o menor número que pode ser escrito no círculo cinza? (A) 1. (C) 3.. (E) 15.000. (C) 12. Linha 1: 1 Linha 2: 3 5 Linha 3: 7 9 11 Linha 4: 13 15 17 19 . Todas as estradas são de mão única. (B) 301. (E) 64. de modo que a soma dos números nos três círculos de cada segmento seja igual para todos os segmentos. Os números escritos nas setas indicam quanto de pedágio um viajante deve pagar ao passar pela estrada. Observe que algumas quantidades de chocolates não podem ser compradas exatamente. A linha n possui exatamente n números. (E) 5. como por exemplo 12 chocolates.Matemática I – Assunto 1 16 Na figura.013? (A) 299. (D) 361. cada um dos 4 segmentos contém três círculos. 1 3 9 1 5 4 (D) 63. a partir do 1. (E) 53. existem caixas com 8.. Qual o valor mínimo de pedágio pago por um viajante que sai da cidade A e chega na cidade B? (A) 11.50 para os adultos e R$ 2. (E) 450. 20 Em uma loja de chocolates.00 para um público de menos de 600 pagantes. (D) 31. . m} = {i. • Conjunto universo: dado um conjunto ou uma determinada situação. 3.}. Ex. 2. o. s}. Ex. dois sapatos e cinco canetas. Ex. Ex. 1: conjunto dos pontos cardeais: C = {norte. m. Todo conjunto é formado de elementos e não existem restrições para os possíveis elementos de um conjunto. i. • Conjunto finito: é aquele constituído por um número limitado de elementos. Como exemplo podemos ter o conjunto formado por um número racional. os elementos do conjunto são escritos dentro de uma linha plana fechada. • Conjunto unitário: é aquele constituído por um único elemento. e caso o conjunto possua um número muito grande de elementos. C ou X. Ex. u}. 4. temos basicamente as três formas que seguem: 3. O conjunto de todos os elementos de determinado contexto é denominado conjunto universo e comumente é representado pela letra maiúscula U.: P = {x|x é positivo par}. 2: conjunto das vogais: V = {a. i. leste.3} e B = {3. mas não se trata de uma regra e podem ser usadas letras minúsculas ou 9o Ano 181 . do contrário teríamos “x ∉ A”. 3. Ex. A ordem em que os elementos são listados não gera qualquer diferença para o conjunto. A 1 2 3 4 5 B Normalmente nomeamos um conjunto por uma letra maiúscula como A.: conjunto dos números inteiros entre 1 e 2.: o conjunto dos dias da semana que começam pela letra “d”. Quando um elemento pertence a um conjunto A. podemos usar as reticências. oeste}.. 6. Ex.: o conjunto das vogais do alfabeto. Ex. Ex.: o conjunto dos pontos de um plano.. 3. sul. 5}. Para representar um conjunto. ao qual todos os elementos do dado conjunto pertencem. • Conjunto vazio: é o conjunto no qual não figura qualquer elemento.2 Forma construtora O conjunto é definido de acordo com uma propriedade característica de seus elementos.: o conjunto das vogais tem como conjunto universo o conjunto das letras do alfabeto. e o número de elementos do conjunto A é representado por n(A). Ex. separados por vírgulas. é o conjunto mais amplo dentro do contexto. e.2 . dizemos que “x ∈ A”. Tipos de conjuntos • Conjunto infinito: é aquele constituído por um número ilimitado de elementos.Conjuntos A ssunto 2 Matemática I 1 Noções de conjuntos Um conjunto tem o significado de classe ou coleção. 1: conjunto da letras da palavra sim: S={s.: sejam A = {1 . 4.3 Forma gráfica / diagrama de Venn Nessa forma. Representações de um conjunto até mesmo números e outros símbolos para nomear um conjunto. 2: conjunto dos números pares positivos: P = {2. os elementos de um conjunto.1 Forma tabular ou de listagem Consiste em listarmos entre chaves. Ex. Para analisarmos se um conjunto está ou não contido em outro. Para melhor representá-lo. a ∉ {{a}.. A ∪ A = A. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 3. denomina-se por conjunto das pares de A o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. 182 Vol. . II. {a. V. IV. r} Além disso também temos o símbolo ⊃ (contém) e os símbolos ∅ ou {}. 6. r} VII. IV. II.. 1. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). IV.2 Símbolos da teoria dos conjuntos / relações Os principais símbolos utilizados são: Relação de elemento ∈ (pertence) para conjunto: ∉ (não pertence) Relação de conjunto ⊂ (está contido) para conjunto: ⊄ (não está contido) Para analisarmos se um elemento pertence a um determinado conjunto. {2}. Principais símbolos 5. Transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ C → A ⊂ C. III. ∨(ou). um conjunto com n elementos possui 2n subconjuntos.2 União entre conjuntos É o conjunto formado por todos os elementos reunidos de dois ou mais conjuntos.: o conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras do alfabeto. 2} → ℘(A) = {∅. 1. {a} ⊄ {{a}. Vale chamar a atenção para o fato de um conjunto também poder exercer a função de elemento para um outro conjunto. 7. III. A ∪ ∅ = A. 5. 5.. 1 ∈ {a. Ex.. 1. 1 • Propriedades da relação de inclusão: I. Repare que o contrário não é verdadeiro para este caso.2}} O número de elementos do conjunto das partes de um conjunto de n elementos é igual a 2n. r} III.). pois os elementos do primeiro também são elementos do segundo. 1. ∀A. usamos ℘(A). 2 ∉ {a. ∀(para todo). A ∪ B = A ↔ B ⊂ A. devemos verificar se todos os elementos do primeiro figuram no segundo. ∅ ⊂ A. 1. r} ⊄ {a. r} V. Todo conjunto é subconjunto de si próprio e o conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto. devemos verificar se ele figura entre os elementos do dado conjunto. 3. Conjunto das partes Dado um conjunto A. Definimos a união dos conjuntos A e B por: A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}.. r} ⊂ {a. Quando dois conjuntos não possuem elementos comuns. {a. se e somente se. Antissimétrica: A ⊂ B ∧ B ⊂ A ↔ A = B (igualdade entre conjuntos). A ∩ A = A. ou seja. 3. r} II. então. A ∩ B = B ∩ A. 1.. 1.1 Símbolos da lógica matemática Os principais símbolos utilizados são: ∧(e). sua interseção será vazia e dizemos que eles são conjuntos disjuntos. → (se. {1. 7. 3. ∃ (existe). 1. Definimos a interseção dos conjuntos A e B por: A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}. r} VIII. 3. II. 3. r} VI. que indicam um conjunto vazio. A ∩ ∅ = ∅. Ex. Ex. {1}. 2. {{a}. A ∪ B = B ∪ A.. sendo ambos os subconjuntos triviais de um dado conjunto. • Propriedades da interseção: I.: I.: A = {1. 1.. 3. r} IV. 3. Operações entre conjuntos 7. III. V. A ∩ B = A ↔ A ⊂ B. Subconjunto de um conjunto Será subconjunto de um conjunto qualquer aquele cujos elementos forem comuns a este. • Propriedades da união: I. Reflexiva: A ⊂ A. {a} ∈ {{a}.1 Interseção entre conjuntos É o conjunto formado por todos os elementos comuns de dois ou mais conjuntos.) e ↔ (.Matemática I – Assunto 2 4. 9o Ano 183 . 3)} • Propriedades: I. • Propriedades: I. A · B ≠ B · A II. Número de elementos da união de conjuntos 9. A · (B ∩ C) = (A · B) ∩ (A · C) 9. Ex. 7. 1). B e C.3. 2). 8.Conjuntos • Propriedades da união / interseção: I. Logo A – B = = {a. n(A · B) = n(A) · n(B) III. (b. Distributiva da interseção em relação à união: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Distributiva da união em relação à interseção: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 3. temos que: n(A ∪ X) = n(A) + n(X) – n(A ∩ X) = = n(A) + n(B ∪ C) – n(A ∩ (B ∪ C)) Logo. representamos simplesmente: AC = U – A. Ex. na verdade. temos A∆B = {1. Podemos definir por: A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B}. 7}.3 Número máximo de elementos da união Pelas fórmulas: I. 5}. (b. 7. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). A ∩ AC = ∅ e A ∪ AC = U. ocorrendo a igualdade quando os conjuntos forem disjuntos. Dessa forma: A × B = {(x. Produto cartesiano O produto cartesiano entre dois conjuntos é um terceiro conjunto formado por pares ordenados. (a. Quando se calcula o complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo U. temos: A · B = {(a. 3.: Sejam A = {1. IV. 3). (AC)C = A.3. 3}. um subconjunto do primeiro. 1). A·∅=∅·A=∅ IV.2 União de três conjuntos Sejam os conjuntos A. (a. 9. 5. b} e B = {1.2 Diferença simétrica Dados dois conjuntos A e B. Representamos por: CAB = A – B (lê-se complementar de B em relação a A).1 Conjunto complementar É a diferença entre dois conjuntos quando o segundo for. (A ∪ B)C = AC ∩ BC e (A ∩ B)C = AC ∪ BC (Leis de Morgan). Usando X = (B ∪ C) e fazendo uso do resultado anterior.: A = {a. 7}.3 Diferença entre conjuntos A diferença entre dois conjuntos é o conjunto formado por elementos que pertencem ao primeiro e não pertencem ao segundo. 2). 2. Definimos por: A∆B = (A – B) ∪ (B – A). respectivamente. 7. 2. 3. A · (B ∪ C) = (A · B) ∪ (A · C) V. b. y)|x ∈ A ∧ y ∈ B} Ex. fazendo uso das propriedades: n( A ∪ ( B ∪ C)) = n( A) + n( B ∪ C) − n( A ∩ ( B ∪ C)) = n( A) + n( B) + n( C) − n( B ∩ C) − n(( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)) n(( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)) = n( A ∩ B) + n( A ∩ C) − − n(( A ∩ B) ∩ ( A ∩ C)) = n( A ∩ B) + n( A ∩ C) − − n( A ∩ B ∩ C) Teremos que: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) 9. UC = ∅ e ∅C = U II. II. 3} e B = {b. 5. 4. 2. 4} e B = {2. Podemos observar que n(A ∪ B) ≤ n(A) + n(B).: Dados A = {a. III. define-se a diferença simétrica entre eles como o conjunto formado pelos elementos que pertencem a um e somente um dos conjuntos dados. 2} e B – A = {5}.1 União de dois conjuntos Sabemos que A – B e B – A são disjuntos. (b. em que cada primeiro elemento de cada par ordenado vem do primeiro conjunto e cada segundo elemento de cada par ordenado vem do segundo conjunto. Portanto: n( A − B) = a n( A ∪ B) = a + b + x = n( B − A) = b → = a + x + b + x − x = n( A ∩ B) = x = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) Logo: n( A ∪ B )= n( A) + n( B) − n( A ∩ B) . + n(An). d. os que não opinaram por nenhum produto foram: (A) 330. (E) 380. A. Q 20 10 x 160 40 290 C . em que ocorre a igualdade apenas quando todos os conjuntos forem dois a dois disjuntos.. (B) 65. 1. (E) 80. Os resultados foram os seguintes: 370 pessoas das entrevistadas gostam do produto A. c. A ∪ B. B ∩ C.. b. f}. f. o número máximo de elementos da união de conjuntos ocorre quando for igual. generalizando o argumento acima. b. Dessa forma. 1 (D) 75. (C) 70. f} c. d. f. determine: a. n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – – n(B ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) Podemos observar que n(A ∪ B ∪ C) ≤ n(A) + n(B) + + n(C). concluímos que n(A1 ∪ A2 ∪ . A ∩ B. e. Logo. b. (B) 340. c.. A ∪ C = {a. e. b. B e C. Solução: Letra B. B = {c.200 pessoas foram entrevistadas. g} e C = {c. às somas simples das quantidades de elementos de cada conjunto e todos forem dois a dois disjuntos. U 184 Vol. A ∪ C. Devemos selecionar somente os elementos comuns aos dois conjuntos: A ∩ B = {c}. Devemos reunir todos os elementos de A e de B num mesmo conjunto: A ∪ B = {a. 03 Uma pesquisa de mercado foi realizada. Aos consumidores foi perguntado o que é levado em consideração na hora de comprar um produto: preço (P) e/ou qualidade (Q).Matemática I – Assunto 2 II. 100 pessoas preferem A e B. (D) 370. c}. 60. 30 os produtos A e C e 20 pessoas preferem os 3 produtos. f} 02 Uma empresa decidiu realizar uma pesquisa de mercado para o lançamento de um novo produto. Desse total. ∪ An) ≤ n(A1) + n(A2) + + . g}. B A 80 260 Admitindo que todos os que foram entrevistados escolheram pelo menos um dos itens da pesquisa. Cada consumidor entrevistado poderia escolher mais de um item da pesquisa como mostra a tabela a seguir: Característica do Produto P Q PeQ Número de Votos 60 45 35 Número de consumidores entrevistados foi de 25 + + 35 + 10 = 70. Com base nesses dados. b. numericamente. o número de consumidores entrevistados foi de (A) 60. (C) 360. 300 preferem o produto B e 360. Solução: Letra C. U P 60 – 35 = 25 35 45 – 35 = 10 Solução: a. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 Dados os conjuntos A = {a. para verificar a preferência sobre três produtos.. o produto C. d. c. B ∩ C = {e. d. os produtos B e C. ocorrendo a igualdade quando os conjuntos forem dois a dois disjuntos. {3}.Conjuntos Os dados do problema foram representados no diagrama acima e x o número de pessoas que não opinaram por nenhum produto. cream crackers e recheados. (C) 27. {1. 5}. {3}. {3. 5} e. 7}. então. os seguintes resultados: • 55 usam notebook. Sendo A ∪ B = A. {1}. entre os indivíduos pesquisados. (D) O conjunto A intersecção com o conjunto B é A ∩ B = {1. portanto. Sabendo-se que 180 pessoas responderam a essa enquete. tem-se que n[P(A ∪ B)] = 24 = 16. Constatou-se que 45 pessoas não eram casadas.5}. Como CBA = A – B = {3. Sabendo que todos os pesquisados utilizam pelo menos um desses dois equipamentos. em que x é o número de indivíduos que usam apenas o tablet. Tem-se que A = {1. 06 Se A = {x ∈ |x é ímpar e 1 ≤ x ≤ 7} e B = {x ∈ |x2 – 6x + 5 = 0}. (D) 36. Temos então a equação: x + 260 + 150 + 290 + 80 + 10 + 40 + + 20 = 1200. 3. x = 340. 07 Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker. (C) 27. Portanto. Solução: Letra A. (B) O conjunto complementar de B em relação a A é CAB = {3. se tinham ou não filhos. (E) O número de elementos do conjunto das partes da união dos conjuntos A e B é n[P(A ∪ B)] = 16. (E) 36. 5}}. Considerando N o conjunto dos indivíduos que usam notebook e T o conjunto dos indivíduos que usam tablet. o número das que se declararam não casadas e sem filhos foi de: (A) 13. Portanto. (B) 17. Solução: Letra B. 20 pessoas compram wafers. {7}. (E) 45. (B) 23. {3. A ∩ B = {1. 7} e B = {1 . Daí. {5}. Pessoas casadas: 180 – 45 = 135 Pessoas casadas sem filho: 135 – 99 = 36 Pessoas não casadas e sem filho: 49 – 36 = 13 05 Em uma pesquisa de mercado sobre o uso de notebooks e tablets foram obtidos. (C) O conjunto das partes do complementar de B em relação a A é P(CBA) = {∅. e. temos os seguintes diagramas: N 27 T 55 – 27 = 28 x 28 + x = 45 ⇒ x = 17. {5}. 7}}. 170 pessoas compram biscoitos recheados. {1. 5. • 45 usam tablet. pesquisou-se as que estavam casadas ou não. 7}. a única alternativa falsa é a letra A. • 30 pessoas compram cream crackers e wafers. Solução: Letra A. dentre os pesquisados. 7}}. {7}. P(A ∩ B) = {∅. wafer e recheados. • 50 pessoas compram cream crackers e recheados. Os resultados indicaram que: • • • • 65 pessoas compram cream crackers. e 99 estavam casadas e com filhos. 49 não tinham filhos. 04 Em uma enquete realizada com pessoas de idade superior a 30 anos. 85 pessoas compram wafers. • 27 usam apenas notebook. (D) 32. então a única sentença falsa é: (A) O conjunto das par tes da intersecção dos conjuntos A e B é P(A ∩ B) = {{1}. o número dos que usam apenas tablet é: (A) 8. 9o Ano 185 .segue-se que P(CBA) = {∅. 5}}. Matemática I – Assunto 2 • 60 pessoas compram wafers e recheados. Com os dados do problema. Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano também fala japonês. 210 responderam somente a uma das perguntas. os dois únicos que falam russo também falam coreano. temos os seguintes diagramas: cream crackers 20 = 10 50 0= –2 30 85 – 10 = 75 20 60 – 20 = 170 – 90 = 80 Portanto. . um terço dos trabalhadores não quis participar da entrevista. U A Solução: Letra B. 09 Uma pesquisa com todos os trabalhadores da FABRITEC. segue-se que nenhum dos tradutores do grupo fala russo e alemão. como R ∩ A = ∅. (C) 320. 205 responderam à segunda pergunta. necessariamente: (A) todos os tradutores que falam japonês também falam russo. Solução: Letra E. revelou os seguintes números: 40 50 recheados Portanto. Com estes dados. (E) 530. Solução: Letra A. (A) 200. (B) 495. (E) nenhum dos tradutores fala russo e também alemão. Além disso. • 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. pode-se concluir que. Vol. A 205 – x B x 205 – x n/3 • A: conjunto das pessoas que responderam à primeira pergunta. pode-se concluir corretamente que o número de trabalhadores da FABRITEC é: (A) 465. (C) pelo menos um tradutor que fala inglês também fala coreano. o número de pessoas que responderam à pesquisa será dado por: N = 5 + 10 + 30 + 20 + 15 + 40 + 80 + 50 = 250. (B) todos os tradutores que falam alemão também falam coreano. todos os que falam alemão também falam inglês. na qual foram formuladas duas perguntas. 1 C R wafers 30 – 65 – 60 = 5 186 J I • • • • 205 responderam à primeira pergunta. C é o conjunto dos tradutores que falam coreano e R o conjunto dos tradutores que falam russo. (B) 250. 08 Dentro de um grupo de tradutores de livros. Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa: (D) 370. Considere o diagrama. (C) 525. A é o conjunto dos tradutores que falam alemão. (D) 555. mas nenhum que fala inglês fala japonês. J é o conjunto dos tradutores que falam japonês. em que U é o conjunto universo do grupo de tradutores. I é o conjunto dos tradutores que falam inglês. (D) nenhum dos tradutores fala japonês e também russo. 25 · 36 = 9 pessoas foram apenas ao teatro e. que 115 pessoas compareceram ao cinema. • x: número de pessoas que responderam às duas perguntas. (E) 560. constatou-se que 40% dos que foram ao teatro não foram ao cinema. Ao final. portanto. o número de trabalhadores da empresa é 465. D C 66 – x 27 x 2 61 – x 52 9 T Daí. também. Além disso. Sabe-se. o seguinte sistema de equações: n 2n + x = 410 2 ⋅ ( 205 − x ) + x + . 95 à dança e 90 ao teatro. (D) 120. 10 Um evento cultural ofereceu três atrações ao público: uma apresentação de dança. D e T. então a quantidade de pessoas que assistiu a somente uma das atrações é: (A) 102. Se apenas 2 pessoas compareceram a todas as atrações. Assim. 0. EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Uma instituição de ensino superior oferece os cursos A e B. o conjunto das pessoas que foram ao cinema e o conjunto das pessoas que foram ao teatro. Sabemos que 0. Portanto. pode se afirmar que o número de candidatos que optaram por inscrever-se somente no curso A foi: (A) 80. mas não foram ao teatro. • n: número de trabalhadores da FABRITEC. O público total de participantes que assistiu a pelo menos uma das atrações foi de 200 pessoas. Em seu processo seletivo o candidato pode optar por inscrever-se nos dois cursos ou apenas em um curso. (B) 114. considere o diagrama. Temos. então. a quantidade de pessoas que assistiu a somente uma das atrações é: 66 – x + + 61 – x + 9 = 136 – 2 · 17 = 102. Se x é o número de pessoas que foram à apresentação de dança e ao cinema. como o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro dos que assistiram somente à apresentação de dança. Em consequência. (C) 312.4 · 90 = 36 das pessoas que foram ao teatro não foram ao cinema. (C) 98. (E) 152. o número de inscrições por curso e o número total de candidatos inscritos pode ser observado no quadro que segue: Número de Inscrições no Curso A 480 Número de Inscrições no Curso B 392 Número total de candidatos inscritos 560 Com base nas informações acima e nas possibilidades de inscrições. 9o Ano 187 . o conjunto das pessoas que foram ao espetáculo de dança. vem: x + 2 + 27 + 52 = = 2 · (66 – x) ⇔ x = 17. mas não foram ao cinema.Conjuntos • B: conjunto das pessoas que responderam à segunda pergunta. Solução: Letra A. Outra informação levantada pela organização do evento foi que o público que assistiu a mais de uma atração é igual ao dobro dos que assistiram somente à apresentação de dança. Sejam C. (D) 480. respectivamente. 3 =n⇔ 3 2 x = 200 205 − x + 205 − x = 210 em que x = 100 e n = 465. uma sessão de cinema e uma peça de teatro. (B) 168. sendo que destes 25% foram apenas ao teatro. exatamente 36 – 9 = 27 pessoas assistiram à apresentação de dança e foram ao teatro. (B) aos programas A e C é 13. realizado em julho de 2010. B e C e constatou-se que: 04 Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática.905. Neste ano. Suponha que no 28o Festival de Dança. • 25 só assistem a 2 programas. 1. 103 não assistem ao programa C. (D) 30%. • 72 só assistem a um dos programas. 40 não assistem a nenhum dos três programas. (E) aos três programas é 6. Desde 1998. 188 Vol. mas não cursam Matemática. e a noite do ballet teve 90% dos ingressos disponíveis vendidos.Matemática I – Assunto 2 02 Num grupo de 142 pessoas. A noite da dança de rua teve seus ingressos esgotados.595. • o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190. • existem 7 alunos que cursam Matemática e Química. Sabe-se que algumas pessoas costumam prestigiar mais de uma noite do Festival. este festival é realizado no Centreventos Cau Hansen. Sabendo que: • • • • • • o número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas. (B) 9. que tem capacidade para 4. então o número total de pessoas distintas que assistiu a pelo menos uma das três modalidades anteriormente mencionadas foi: (A) 9. dança de rua e jazz. 700 pessoas assistiram à dança de rua e ao jazz. 25 só assistem ao programa B.275.160 assistiram ao ballet e à dança de rua. 1 05 O Festival de Dança de Joinville é considerado o maior do mundo pelo Guinness Book of Records de 2005. (E) 6. Quantos alunos cursam as três disciplinas? 03 Numa pesquisa com 2000 pessoas no Bairro Nova Cintra sobre a audiência de três programas de TV. (D) aos programas A ou B é 63. (C) 9. (C) ao programa C é 39. Se todas as pessoas que adquiriram os ingressos do Festival assistiram à(s) apresentação(ões). foi feita uma pesquisa sobre três programas de televisão A. • o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150. o número de pessoas que assistem somente aos programas B e C é a metade do número de pessoas que assistem somente A e B. na noite do jazz restaram 5% dos ingressos. (D) 6. (C) 20%. • existem 6 alunos que cursam Física e Química.385. Pode-se concluir que o número de pessoas que assistem: (A) ao programa A é 30. 380 assistiram ao ballet e ao jazz e 105 prestigiaram as três modalidades de dança. Física e Química. houve uma noite exclusiva para cada uma das seguintes modalidades: ballet. .200 pessoas por noite. obteve-se o seguinte resultado: Programas Nº de telespectadores A 1220 B 400 C 1080 AeB 220 AeC 800 BeC 180 A. mas não cursam Física. (B) 10%. B e C 100 Analisando os resultados. a porcentagem de telespectadores que não assistem a nenhum desses programas é: (A) 5%.070. 13 assistem aos programas A e B. a novela B no canal B e a novela C no canal C. novelas em seus horários nobres: a novela A no canal A. (B) 148. (B) 40. (D) 20. 85 à segunda e 65 compareceram à terceira aula de revisão. 36 não retornaram para as duas aulas seguintes. (C) 12. (D) 163. 9o Ano 189 . Acertos 70% 60% 40% 1º 2º 3º Questões Suponha que 52 alunos acertaram pelo menos duas questões e 8 alunos não acertaram nenhuma. (D) 230.Conjuntos 06 Num dado momento. 09 Uma enquete intitulada “O que mais falta no seu celular?” foi realizada em um site da internet. B e C Número de telespectadores 1450 1150 900 350 400 300 100 Quantos telespectadores entrevistados não acham agradável nenhuma das três novelas? (A) 300 telespectadores. Com 1 base nessas informações. se 3 do total de alunos não compareceu às aulas de revisão. sabe-se que 80 compareceram à primeira aula. (D) 470 telespectadores. perguntou-se quais novelas agradavam. (B) 191. Do total T de alunos. O gráfico abaixo representa a porcentagem de acerto dos alunos por questão. (C) 155. 30 compareceram à segunda e à terceira aulas. (E) 345. Novelas A B C AeB AeC BeC A. (C) 450 telespectadores. em sua programação. (C) 204. Itens do celular TV Touch Screen WIFI TV e Touch Screen WIFI e Touch Screen WIFI e TV WIFI e TV e Touch Screen Nenhum No de internautas 97 44 37 10 15 18 5 15 O número de internautas que responderam a essa enquete foi: (A) 130. A tabela a seguir indica o número de telespectadores que designaram as novelas como agradáveis. (E) 500 telespectadores. Numa pesquisa com 3000 pessoas. então o valor de T é: (A) 165. 08 Foi aplicado um teste contendo três questões para um grupo de 80 alunos. três canais de TV tinham. (E) 30. apresentando o seguinte resultado: 07 Ao se aproximar a data de realização de certo concurso. uma escola que se dedica a preparar candidatos a cargos públicos deu três aulas de revisão intensiva para seus alunos. O número de alunos que acertaram as três questões é: (A) 44. 15 retornaram apenas para a segunda e 20 compareceram às três aulas. Dos alunos que não estavam presentes na primeira aula. Dos alunos que assistiram à primeira aula. (B) 370 telespectadores. Matemática I – Assunto 2 10 O diagrama que representa o conjunto [(A ∩ B) – C] ∪ [(C ∩ B) – A] é: (A) A B C (B) A B O número de alunos aprovados nas três disciplinas. Os alunos matriculados em Álgebra A não cursam Cálculo II nem Geometria Analítica. 1 ∈ (A ∩ B) 14 Considere dois conjuntos A e B tais que: A ⊂ B. é C (C) A (A) 98. B (D) A A = {x ∈ | –4 < x ≤ 0} B = {x ∈ | –1 ≤ x < 3} B C 11 O número de alunos matriculados nas disciplinas Álgebra A. (D) o conjunto A possui menos elementos que o conjunto B. Nestas condições pode-se afirmar que: (A) os conjuntos A e B são iguais. • 316 candidatos foram aprovados em Matemática e Física. Cálculo II e Geometria Analítica é 120. • 214 candidatos foram aprovados em Português e Física. • 296 candidatos foram aprovados somente em Matemática. Nenhum professor da . 60% dos professores lecionam de manhã. 35% lecionam à tarde e 25% lecionam à noite. (B) o conjunto A possui a mesma quantidade de elementos que o conjunto B. Constatou-se que 6 deles cursam simultaneamente Cálculo II e Geometria Analítica e que 40 cursam somente Geometria Analítica. • 220 candidatos foram aprovados em Português e Matemática. {1. (B) 110. e. então o número de estudantes em Álgebra A é: (D) 26. (E) 32. 1. 2. isto é: A = B. 13 Dados os conjuntos abaixo. • 270 candidatos foram aprovados somente em Física. (D) 142. (B) 14. A ∩ B ≠ ∅ e A ∪ B ≠ A. foi analisado o desempenho dos 1472 vestibulandos nas provas de Português. aptos a ingressar no curso de engenharia. (C) o conjunto A possui mais elementos que o conjunto B. 12 Em um vestibular para ingresso no curso de engenharia de uma determinada universidade. {0. • 254 candidatos foram aprovados somente em Português. Matemática e Física. assinale o que for correto: C (A) 8. – 3 ∈ (A – B) 08. 0 ∈ (A ∩ B) 02. 2} ⊂ (B – A) 16. 15 Em uma escola que funciona em três períodos. 1 (C) 120. 01. obtendo-se o seguinte resultado: 190 Vol. (E) o conjunto A pode ser um conjunto vazio. portanto. 3} ⊂ (A ∪ B) 04. • 142 candidatos foram reprovados nas três disciplinas. Sabendo que a turma de Cálculo II tem 60 alunos. (C) 20. mas todo professor leciona em pelo menos um período. (C) 17. (B) 11. ele (gestor) percebeu que em seu site foram ofertados cupons apenas nas seguintes categorias: Gastronomia. é: (A) 3. (B) 42. exatamente. assinale a alternativa em que os dados apresentados sobre esses professores são necessariamente verdadeiros: (A) (B) (C) (D) (E) Professores da escola que Professores da escola que Professores da escola que lecionam somente no período da lecionam nos períodos da tarde lecionam somente no período da tarde representam. 42 possuem moto e 5 pessoas não possuem nenhum dos dois veículos. (E) 3. (B) 2. (D) 2.800. enquanto 46% aderiram a ofertas de Saúde & Beleza e 44% compraram itens relacionados a Entretenimento.600. Além disso. Alberto já está com 32 selos. oferecendo cupons com grande percentual de descontos na compra de produtos e/ou serviços. 10 gostam dessas duas sobremesas e 12 não gostam de nenhuma dessas duas sobremesas. 19 Alberto e Daniel são amigos e colecionadores de selos. 51 possuem automóvel. (D) 19.Conjuntos escola leciona tanto no período da manhã quanto no período da noite. que fazem a intermediação entre anunciantes e consumidor final. 9o Ano 191 . 18 Em um restaurante de uma empresa fez-se uma pesquisa para saber qual a sobremesa preferida dos funcionários: pudim ou gelatina.200. a um dos três segmentos disponíveis. em relação e da noite representam. (C) 45. enquanto que 800 clientes adquiriram ofer tas de Gastronomia e Entretenimento e 700 compraram itens de Gastronomia e Saúde & Beleza. Entretenimento e Saúde & Beleza. Eles começaram a colecionar selos ao mesmo tempo. de apenas uma. considerando apenas os cinco mil clientes cadastrados que efetuaram a compra de pelo menos uma oferta do seu site. (E) 92.200. 21 declararam que gostam de pudim. 29 gostam de gelatina. (C) 72. em relação ao total. relação ao total ao total exatamente 15% no máximo 20% no mínimo 5% exatamente 15% no mínimo 20% no máximo 5% exatamente 20% entre 5% e 15% entre 10% e 20% exatamente 25% no máximo 20% no mínimo 5% exatamente 25% no mínimo 20% no máximo 5% 16 Uma das últimas febres da internet são os sites de compras coletivas. quantos selos diferentes eles têm juntos? (A) 41. (E) 49. O gestor notou também que apenas 300 clientes compraram cupons dos três segmentos disponíveis. Então a soma do número de clientes deste site que comprou ofertas relacionadas. (C) 3. tabulou os dados referentes aos negócios realizados por sua empresa durante o ano de 2011. ou de nenhuma das duas. De posse desses dados.000. o gestor notou que 52% destes adquiriram cupons do segmento Gastronomia. Sabendo que eles têm 8 selos em comum. (B) 62. O gestor de um destes sites. (D) 82. Pode-se então afirmar que o número de pesquisados foi: (A) 52. em noite representam. (D) 48. Cada funcionário poderia indicar que gosta das duas sobremesas. Considerando-se apenas essas informações. O número de pessoas desse grupo que possuem automóvel e moto é: (A) 4. 17 Num grupo de 87 pessoas. enquanto Daniel tem 17. preocupado em acompanhar essa tendência e ao mesmo tempo oferecer novas opções para seus clientes. Do total de pesquisados. (D) apenas as afirmações II e III.Matemática I – Assunto 2 20 Na aplicação de uma avaliação com três questões A. (B) apenas as afirmações I e II. Foram entrevistados alguns foliões com a seguinte pergunta: “Em qual ou quais escolas você irá desfilar em 2012?”. 2. x ∈ e 0 ≤ x –1 ≤ 4}. 50 não comeram o salgado de . com 7 elementos. Está(ão) corretas(s): (A) apenas a afirmação I. B e C. respectivamente. B = {x. x ∈ e 10 ≤ 10x ≤ 2305}. obtiveram-se os seguintes resultados: Questão A B AeB AeC BeC A. e somente se. B e C Número de alunos que acertou 40 35 15 10 10 5 30% dos alunos acertaram apenas a questão C. É correto afirmar que: (A) (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos. B e C. (D) 54. (D) B é um subconjunto de A. O conjunto A = {0. (C) apenas as afirmações I e III. 3. 23 Para os conjuntos A = {x. (B) A e B não possuem elementos em comum. I. Quantos foliões foram entrevistados? b. (B) 36. A partir dessa definição. 45 não comeram o salgado de queijo. 5} 192 Vol. (B) (A ∩ B) ∩ C tem no mínimo 1 elemento. (E) A e B possuem exatamente três elementos em comum. considere os seguintes conjuntos: 12 x A = x ∈ N. o conjunto C = {1. 1. (C) A é um subconjunto de B. para todo c1. o conjunto B de todos os números naturais que são quadrados perfeitos é fechado pela multiplicação. 3. 21 Sendo N o conjunto dos inteiros positivos. (E) A ∩ B pode ser vazio. III. x 3 É verdade que: (A) A possui mais elementos que B. os subconjuntos A. x ∈ e x2 + 2x – 3 < 0} e C = {x. 5. Quantos. (C) B ∩ C tem 3 elementos. 4} (B) A ∩ B = ∅ (C) A ∩ B = C (D) A ∪ B = {1. é correto afirmar que: (A) A – C = {2. em uma escola. Portela e Salgueiro 150 Nenhuma das três 700 a. II. de acordo com a tabela: Escola de samba Número de foliões Mangueira 1500 Portela 1200 Salgueiro 800 Mangueira e Portela 600 Portela e Salgueiro 400 Mangueira e Salgueiro 200 Mangueira. 22 Considere em um conjunto universo. (D) A ∩ C tem no mínimo 2 elementos. c2 ∈ C. 5 e 7 elementos. 4. ∈ N e B = x ∈ N. não pretendem desfilar na Salgueiro? 26 Numa festa foram servidos dois tipos de salgados: um de queijo e outro de frango. avalie as afirmações seguintes. Considere que 15 pessoas comeram os dois salgados. dentre os entrevistados. 2. 3. 6} é fechado pela adição. (C) 51. e os entrevistadores chegaram a algumas conclusões. 0. com 3. o número de alunos que acertaram a questão C é: (A) 30. 1}é fechado pela multiplicação. Com base nesses dados. tem-se (c1 ⋆ c2) ∈ C. ∈ N . 24 alunos erraram todas as questões. 25 U m a d a s g r a n d e s paixões dos cariocas é o desfile de escolas de samba. 1 24 Dizemos que um conjunto numérico C é fechado pela operação ⋆ se. 4. (E) as três afirmações. pois A ⊂ B. O número de pessoas presentes nesta festa que não comeram nenhum dos dois salgados foi: 29 Dados os conjuntos numéricos A. têm-se: • 49 que optaram somente pela língua inglesa. (C) 39. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 Sejam A e B dois conjuntos disjuntos. assinale a alternativa correta: (A) B ⊃ A. 30 Considerando-se os conjuntos A = {1. (C) III. 7} e B = {0. (E) 64.Conjuntos frango e 70 pessoas comeram pelo menos um dos dois salgados. B. (D) 8 ⊂ B. 02 Sejam A. Em uma turma de 76 trabalhadores. Das afirmações: Então. (C) apenas três valores distintos. (E) mais do que quatro valores distintos. O número de trabalhadores que optaram por se especializar em língua francesa foi: (A) 15. logo A ∩ B = B. (D) 44. B e C subconjuntos de um conjunto universo U. (E) II e III. ambos finitos e não vazios. (B) 27. a diferença n(A) − n(B) pode assumir: (A) um único valor. 2. (D) I e III. (D) (A ∪ B) ∩ (C ∩ D). 4. 5. (B) C ∪ D. a região sombreada do diagrama corresponde a: U (A) 18. (B) 20. 27 Em uma determinada empresa. é correto afirmar que a região destacada em cinza é dada por: (A) (H – T) ∩ R (B) T – H (C) (R ∩ T) – (T ∩ H) (D) (R ∩ T) I. T é um triângulo e H é um hexágono. (A\BC)\C = A ∪ (B ∩ CC)C. III. 7. os trabalhadores devem se especializar em pelo menos uma língua estrangeira. (D) apenas quatro valores distintos. (A\BC)\CC = A ∩ (B ∪ C). 1. 3. 5. 2. é (são) sempre verdadeira(s) apenas: (A) I. C e D. francês ou inglês. 9o Ano 193 . (E) A ∪ B = B. • 12 que optaram em se especializar nas duas línguas estrangeiras. (B) apenas dois valores distintos. Então. (B) II. 28 Na figura. C B A D (A) C ∩ D. (C) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D). R é um retângulo. 8}. BC ∪ CC = (B ∩ C)C. pois A ⊂ B. (C) 10. (D) 15. II. (B) A ∪ B = A. (C) A ∈ B. 4. tais que n (P(A) ∪ P(B)) + 1 = n (P(A ∪ B)). do ponto de vista das mulheres. (C) apenas III. A partir desses registros. n(B) – n(A) é único. então a quantidade delas que acredita que os homens odeiam ir ao shopping e pensa que eles preferem que elas façam todas as tarefas da casa é: (A) inferior a 80. que foi devidamente 194 decifrado e está transcrito a seguir.3}. conclui-se que. {2}. (A\B)∪(B\A) = (A ∪ B)\(A ∩ B). (C) apenas III. (E) 5. (B) apenas II. (E) nenhuma. III. (B) pelo menos um número esperto não é legal.2. 08 Sejam X. (D) alguns números elegantes são espertos. 29 jun.Matemática I – Assunto 2 03 Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A ⊂ B e n ({C: C ⊂ B \ A}) = 128. (E) superior a 140. qual é o perfil da parceira ideal procurada pelo homem do séc. 4}. (D) apenas I e III. 2008 (adaptado). A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪(A ∩ C). havia um sobre as classificações que eles estabeleceram para os números. 3. 05 Considere as afirmações a seguir relativas a conjuntos A. n(B) + n(A) ≤ 128. É(são) verdadeira(s): (A) apenas I. 04 Sejam A.3} e C = {{1}. Todo número legal. 07 Uma pesquisa foi realizada para tentar descobrir. II. Sendo X a união dos conjuntos (A – C) e (A – B). das afirmações abaixo: I. “Todo número simpático é esperto. Z. 84% deles disseram acreditar que as tarefas devem ser divididas entre o casal Correio Braziliense. (D) superior a 120 e inferior a 140. Alguns resultados estão apresentados no quadro abaixo. 2. (B) superior a 80 e inferior a 100. XXI. por sua vez. O que as mulheres pensam que os homens preferem 65% 72% pensam que os homens das mulheres têm certeza preferem mulheres que de que os homens façam todas as tarefas odeiam ir ao shopping da casa (A) 1. Z ∩ Y = ∅. (D) apenas I e II. é esperto”. (B) 2. a dupla ordenada (n(A). III. (C) 3. W subconjuntos de N tais que (X – Y) ∩ Z = {1. é (são) falsa(s): (A) apenas I. 06 Um grupo de arqueólogos descobriu uma série de registros de uma antiga civilização que viveu nas montanhas geladas do Himalaia. Entre esses registros. Se a pesquisa foi realizada com 300 mulheres. (E) nenhuma. (E) todo número esperto ou é elegante ou é legal. qual será o total de elementos de x? (A) existem números legais que são simpáticos. II. (B) apenas II. Y = {5. Y. (D) 4. A negação de x ∈ A ∩ B é: x ∉ A ou x ∉ B. mas nenhum número elegante é legal. B = {1. Alguns números elegantes são simpáticos. (C) superior a 100 e inferior a 120. Destas. 2}. necessariamente: Vol. Então. mas não são simpáticos. apenas 39% dos homens disseram achar a atividade insuportável No entanto.{3}}. 1 No entanto. {1. B e C quaisquer: I. n(B)) é única. 6}. . (C) existem números elegantes que não são espertos. B e C conjuntos tais que: A = {1. Então o conjunto [X ∩ (Z ∪ W)] – [W ∩ (Y ∪ Z)] é igual a: Considerando-se esses dados. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: se A. pelo menos. {0. 7. 13 Uma pesquisa realizada com 300 alunos do Prevest do CMRJ revelou que 135.350. 2. (B) {1. (C) 1. 8}. é(são) verdadeira(s): (A) apenas I. Sabendo que a quantidade de estudantes que farão as provas para o IME e o ITA é igual ao dobro da quantidade dos que realizarão as provas para o IME e a Escola Naval que. 3}. 14 Em um grupo de 900 entrevistados que assinam. 3. 12% dos entrevistados leem os jornais A e B. 4}. (C) 40. é correto afirmar que o número total de entrevistados foi: (A) {1. (C) {1. 1. B ou C. 5}. que nenhum dos entrevistados pretende prestar vestibular para as três instituições. 7% dos entrevistados leem os três jornais. 12 Sejam A. ∅ ⊂ U e n(U) = 10. foram obtidos estes dados: • • • • • • • • 40% dos entrevistados leem o jornal A. 19% dos entrevistados leem os jornais B e C. IV. 5 ∈ U e {5} ⊂ U. que vários deles farão dois desses concursos e que todos farão pelo menos um deles. (E) todas. B e C subconjuntos de um conjunto universo U. 5. 09 Seja U um conjunto não vazio com n elementos.1. 7}. III. (C) apenas I e II. então. a quantidade de entrevistados que farão apenas as provas para a Escola Naval é igual a: (A) 48. 55% dos entrevistados leem o jornal B. 11 Em uma pesquisa de opinião. Ela mostrou.500. então A ⊂ B ou B ⊂ A. (D) apenas I e III. 2. (E) 30. se n for par. ∅ ∈ U e n(U) = 10. 3. 2. (C) apenas II e III. Das afirmações: I. 8}. II.250. também. por sua vez. verificou-se que 3 5 dos entrevistados assinam a revista 2 A e assinam a revista B.2.Conjuntos W ∩ (X – Z) = {7. Se metade dos entrevistados 3 9o Ano 195 . é igual ao dobro dos que prestarão concurso para o ITA e a Escola Naval. Pode-se dizer. (B) 45. II. (C) n + 1 (D) 2n – 1 (E) 2n – 1 + 1 10 Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0. e (n + 1)/2 se n for ímpar. 7. (B) apenas II. n ≥ 1. o número máximo de elementos que S pode ter é: (A) 2n – 1 (B) n/2. 4. 4. 4. (B) 1. uma das três revistas A. III. 3. 153 e 61 desses alunos pretendem fazer concurso para o IME. }: I. 8}. Respectivamente.5} ∩ {5} = 5. (E) todas as afirmações. 35% dos entrevistados leem o jornal C. (A) 1. que é (são) verdadeira(s) (A) apenas I e III. 8. (D) 36. (A ∩ C) \ B = A ∩ BC ∩ C. 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. 6. (E) {7. o ITA e a Escola Naval. 3.200. (B) apenas II e IV. (D) 1. 15% dos entrevistados leem os jornais A e C. (A \ B) ∩ (B \ C) = (A \ B) \ C. X ∩ W ∩ Z = {2. Então. (D) apenas IV. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C). (D) {1. B ∈ S. Quantos casais podem-se formar com a soma das idades inferior a 8 anos? (A) 18. (E) 19.. Todos os homens fumam cigarros.…. 5. Vol. 12} e B ∩ CEA = {10. 25} que não contém dois números distintos cujo produto é um quadrado perfeito? 15 Considere um conjunto de 6 meninos com idades diferentes e um outro conjunto com 6 meninas também com idades diferentes. 18 Quantos elementos tem o maior subconjunto de {1. (E) Nenhum homem é canhoto. . (D) 18. (D) 21. (B) 6. (D) 4. Sabe-se que. (C) 240. (C) 17. (A) 7. 3. (E) 14. 17 Qual é a maior quantidade de números do conjunto {1. (C) 12. (B) 11. (B) 210. 12} em que A e B são subconjuntos de E e CEA é o complementar de A em relação a E. (E) 3. (A) 15. 2. Alguns canhotos não fumam cigarros. quantos entrevistados assinam a revista C? (A) 180. Uma conclusão que se pode tirar é: 16 Seja A ∪ B = {3. (B) Alguns canhotos não são homens.. 2. (E) 540. (B) 19. (C) 5. 3. pode-se afirmar que o número máximo de elementos de B é: (A) Alguns canhotos são homens. em ambos os conjuntos. 9.Matemática I – Assunto 2 assina pelo menos duas dessas revistas e se todos os que assinam a revista C assinam também a revista A. RASCUNHO 196 (D) 13. (D) 360. (E) 22. 20} que podemos escolher de modo que nenhum deles seja o dobro do outro? (A) 10. (B) 16. 1 . (C) 20. (C) Nenhum canhoto é homem. 10. II. os seguintes fatos são verdadeiros: I. mas não assinam a revista B. as idades variam de 1 a 6 anos.. (D) Alguns homens não são canhotos. Assim. 8. 19 Numa cidade. O zero: 0= 0 0 = = .: lê-se: nove centésimos. . II. quinto. quarto. sendo o número de cima chamado 8 de numerador e o segundo número é o denominador. Caso o denominador seja um número maior que 10.. Os números inteiros: 7== = . Leitura de uma fração Dada uma fração qualquer.: 3 9 1 . 6. Classificações das frações 4. 12 53 87 Ex. Definição de número racional O conjunto dos números racionais. terço. Ex. Dessa forma. primeiro lê-se o numerador e depois o denominador. Podemos defini-los da seguinte forma: a = | a ∈ ∧ b ∈ * b Podemos constatar. oitavo e nono. por exemplo. 4. Ex. 333. 1 2 IV.. 100 3. 8. sétimo. é formado por todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração.1 Fração própria É aquela cujo numerador é menor que o denominador. pela definição. quando o denominador for qualquer dos números 2.: . . 3 90 4. ao dividirmos. lê-se: dois sétimos. 13 35 .: 2 I.: I. podemos dividi-lo em um determinado número de partes iguais e tomarmos algumas dessas partes. Os números decimais não exatos e periódicos (dízimas periódicas): 1 47 = 0.. III. Ex.. Ex. e 9 diz-se meio. . centésimo. lê-se décimo.. A fração que representa essa divisão é 2 5 . . A barra acima foi dividida em cinco partes e estamos considerando duas delas. 3 11 126 4. . 5 = A fração que representa a parte pintada na figura é 1 . a fração representativa do quanto foi comido da barra 5 de chocolate é ... 0. 7. lê-se o número normalmente e acrescenta-se a palavra “avos” ao final. 9 Ex. 11 41 26 9o Ano 197 . que: ⊂ ⊂ . Os números fracionários: 100 5 4 7 14 II. 7 3 lê-se: três treze avos. ... uma barra de chocolate em 8 partes iguais e ao comermos 5 destas partes. 3.2 Fração imprópria É aquela cujo numerador é maior que o denominador.: . respectivamente. Os números decimais: 3. milésimo. 10 V.Números racionais e representação decimal das frações A ssunto 3 Matemática I 1. 2 5 97 . 5. 5222. E em particular. quando o denominador for uma potência de 10. = . I. 1 2 II. sexto.. 4 2. Noção de número fracionário Ao tomarmos um objeto como inteiro. representado por . etc. . Matemática I – Assunto 3 4.3 Fração aparente É aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador, ou seja, é equivalente a um número inteiro. 12 = 2. Ex.: 6 4.4 Fração irredutível É aquela cujo numerador e o denominador não possuem qualquer fator primo em comum, dessa forma não pode ser mais simplificada. 2 3 Ex.: , . 11 4 4.5 Fração decimal É aquela cujo denominador é uma potência de 10. 7 3 , . Ex.: 10 1000 4.6 Fração ordinária É aquela cujo denominador não é uma potência de 10, ou seja, não é uma fração decimal. 2 3 Ex.: , . 11 4 4.7 Fração equivalente É aquela que possue o mesmo valor de outra. 2 4 = . Ex.: 17 34 5. Números mistos São os números formados por uma parte inteira e uma parte fracionária; todo número misto pode ser convertido numa fração imprópria. 4 Ex.: 3 (lê-se três inteiros e quatro sétimos) 7 Para conver ter o número misto numa fração imprópria, devemos somar sua parte inteira a sua parte fracionária. 4 4 25 Ex.: 3 = 3 + = . 7 7 7 E para converter uma fração imprópria num número misto, devemos dividir o numerador pelo denominador, sendo o quociente da divisão a par te inteira do número misto, o resto da divisão será o numerador 198 Vol. 1 e o denominador permanece o mesmo, para a parte fracionária. 7 3⋅2 +1 3⋅2 1 1 1 = + = 2+ = 2 . Ex.: = 3 3 3 3 3 3 6. Simplificação de frações Uma fração que não esteja na sua forma irredutível pode ser simplificada basicamente das seguintes maneiras: 6.1 Pelas divisões sucessivas Basta irmos encontrando fatores em comum entre o numerador e o denominador e irmos efetuando as simplificações até que se chegue à forma irredutível. 420 420 : 10 42 : 2 21: 3 7 = = = = Ex.: . 360 360 : 10 36 : 2 18 : 3 6 6.2 Divisão pelo M.D.C. Consiste em calcular o M.D.C. entre o numerador e o denominador e efetuar uma única simplificação que acarretará na forma irredutível da fração. 420 420 : 60 7 → m.d.c. ( 420, 360) = 60 → = . Ex.: 360 360 : 60 6 6.3 Decomposição em fatores primos É feita a decomposição em fatores primos do numerador e do denominador e então os fatores comuns são simplificados. 420 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 7 7 Ex.: = 3 2 = = . 360 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3 6 7. Redução de frações a um mesmo denominador Dadas duas ou mais frações, para colocarmos todas em um mesmo denominador, devemos seguir os seguintes passos: I. Simplificar ao máximo cada fração e deixá-las na forma irredutível; II. calcular o MMC entre todos os denominadores; III. dividir cada denominador pelo MMC encontrado, obtendo como quocientes das divisões números inteiros; IV. multiplicar cada número inteiro obtido anteriormente pelo seu respectivo numerador. Números racionais e representação decimal das frações Dessa forma, obtemos frações equivalentes às iniciais que estão todas com o mesmo denominador. 10 6 Ex.: . e 24 15 De acordo com cada etapa: 10 : 2 5 6:3 2 = = e . I. 24 : 2 12 15 : 3 5 II. m.m.c. (12,5) = 60. III. 60 : 12 = 5 e 60 : 5 = 12. 5 ⋅ 5 25 2 ⋅ 12 24 = e = . IV. 12 ⋅ 5 60 5 ⋅ 12 60 8. Comparação de frações 9. Operações com frações Observamos que dentro do conjunto dos números racionais temos quatro operações bem definidas, a soma, a subtração, a multiplicação e a divisão; ou seja, dados a e b números racionais quaisquer, teremos que: a + b ∈ , a – b ∈ , a · b ∈ e a : b ∈ . 9.1 Soma / subtração Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais números racionais, devemos deixar todos eles com o mesmo denominador para então somar os numeradores. 3 1 2 15 10 8 15 − 10 + 8 13 − + = = . Ex.: − + = 4 2 5 20 20 20 20 20 8.1 Frações com mesmos denominadores 9.2 Multiplicação A maior fração será a que possuir o maior numerador. 41 23 > Ex.: 77 77 O produto é feito multiplicando-se cada numerador e cada denominador. 4 3 12 Ex.: ⋅ = 7 5 35 8.2 Frações com mesmos numeradores A maior fração será a que tiver menor denominador. 11 11 < Ex.: 13 5 8.3 Frações com distintos numeradores e denominadores Basta reduzirmos as frações ao mesmo denominador ou ao mesmo denominador, conforme for mais conveniente, e empregar um dos critérios anteriores. Ex.: 10 6 I. e 24 15 10 25 6 24 = = e . Sabe-se que são equivalentes a: 24 60 15 60 10 6 > Logo: 24 15 7 3 II. e 103 47 7⋅3 21 3⋅7 21 = e = . 103 ⋅ 3 309 47 ⋅ 7 329 7 3 > Logo: 103 47 Temos que: 9.3 Divisão A divisão entre duas frações é calculada multiplicando--se a primeira fração pelo inverso da segunda fração. 5 3 5 4 20 5 : = . = Ex.: = 8 4 8 3 24 6 10. Números decimais É uma outra maneira de se representar as frações em que escrevemos sua parte inteira, seguida de uma vírgula e a sua parte fracionária ou decimal. A parte decimal é lida, da esquerda para a direita, como décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimos, etc. Ex.: 38,69 lê-se: trinta e oito inteiros, seis décimos e nove centésimos 10.1 Comparação de números decimais 10.1.1 Números decimais com diferentes partes inteiras: Basta analisar a parte inteira de cada um e ver qual é a maior. Ex.: 2,34 e 5,1 → Temos que: 2,34 < 5,1. 9o Ano 199 Matemática I – Assunto 3 10.1.2 Números decimais com mesmas partes inteiras: Devemos analisar a casa decimal que estiver mais à esquerda para dizer qual dos decimais é o maior. Ex.: 12,459 e 12,461 → Temos que: 12,459 < 12,461. 10.2 Operações com números decimais 10.2.1 Soma / Subtração A soma ou a subtração deve ser feita tendo como referência a vírgula, ou seja, “vírgula sobre vírgula”. Ex.: 3,17 + 62,5 + 420,983 3,170 62,500 + 420,983 486,653 10.2.2 Multiplicação O produto é feito ignorando-se as vírgulas e então, de posse do resultado, o número de casas decimais do produto é igual ao total de casas decimais de todos os fatores que foram multiplicados. Ex.: 22,4 · 0,082 22,4 1 casa decimal × 0,082 3 casas decimais 448 + 1792 1,8368 4 casas decimais 10.2.3 Divisão Dados dois decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais de ambos completando com zeros (caso necessário) e então elimina-se a vírgula efetuando a divisão entre os inteiros obtidos normalmente. Ex.: 12,3 : 0,003 = 12,300 : 0,003 = 12.300 : 3 = 4.100. 10.3 Dízimas periódicas Algumas frações não podem ser representadas na forma decimal finita, mas geram números decimais infinitos que são chamados de dízimas periódicas. 1 47 = 0= , 333... 0,= 3e 0= , 5222... 0, 52 . Ex.: 3 90 200 Vol. 1 Em uma dízima periódica, o grupo de números que se repete chama-se período da dízima. Futuramente veremos que nem todas as dízimas são periódicas, mas neste caso não teremos mais um número racional, pois uma dízima aperiódica não pode ser representada sob a forma de fração. 10.3.1 Classificação das dízimas periódicas • Dízimas periódicas simples: são aquelas em que, logo após a vírgula, tem-se o período da dízima. 5 Ex.: = 1,= 666... 1, 6 3 • Dízimas periódicas compostas: são aquelas em que, após a vírgula e antes da parte periódica, existe uma par te não periódica (aperiódica). 47 = 0= , 5222... 0, 52 Ex.: 90 10.3.2 Conversão de frações ordinárias em dízimas Já vimos que toda fração decimal gera um decimal exato (finito), porém, frações não decimais ou ordinárias podem ou não gerar dízimas e, caso gere uma dízima, a mesma pode ser simples ou composta. Nem sempre é simples identificarmos a que tipo de decimal corresponde uma fração ordinária, e para isso faremos a análise que segue. • Frações ordinárias que geram decimais exatos: A fração ordinária irredutível, cujo denominador contém apenas fatores primos iguais a 2 e 5, convertida em decimal, nos dá um número decimal exato com tantas casas decimais quanto maior for o expoente de um dos fatores primos 2 ou 5 que figurar no denominador. 27 27 13 13 Ex.: = = 1, 6875 e = = 0, 52 e 4 16 2 25 52 23 23 = 2 = 115 , . 20 2 ⋅ 5 • Frações ordinárias que geram dízimas periódicas simples: A fração ordinária irredutível em que no seu denominador não aparecem quaisquer dos fatores primos 2 ou 5, quando convertida em decimal, nos dará uma dízima periódica simples. 5 5 Ex.: = = 0, 151515... 33 3.11 2 2 9o Ano 201 . após este procedimento. 3272727. Além disso... nos dará uma dízima periódica composta com tantos algarismos aperiódicos quanto maior for o expoente de um dos fatores primos 2 ou 5..4.. dados dois números irracionais a e b quaisquer.291 . II. subtraindo os dois últimos resultados: 10x –1.Números racionais e representação decimal das frações • Frações ordinárias que geram dízimas periódicas compostas: A fração ordinária irredutível em que seu denominador apresentar ao menos um dos fatores primos 2 ou 5 e pelo menos mais algum outro fator primo distinto. Ex. Caso a dízima seja simples.. subtraímos do resultado anterior e facilmente obtemos a geratriz desejada.3 Método alternativo para a geratriz de uma dízima qualquer Existe um outro método mais geral para determinarmos a geratriz de uma dízima (simples ou composta). Como a dízima possui parte não periódica após a vírgula. – 23. Com efeito. 407666..1414. a união do conjunto dos racionais com o dos irracionais – forma o conjunto dos números reais: ℜ = ∪ .. são representados pelas dízimas aperiódicas (não possuem geratriz).1414... seguida da parte aperiódica.1 Geratriz de uma dízima periódica simples Será dada pela fração em que o numerador é o resultado do número formado pela parte inteira seguida da parte periódica subtraído da parte inteira da dízima e o denominador será formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período. deve-se multiplicar x por uma potência de 10 com tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Finalmente. Agora basta multiplicar pela potência de 10 correspondente ao número de algarismos do período: 1... 01− 0 1 Ex. Consiste em nomearmos a dízima por x. 3. devemos trazê-la para antes da vírgula: 10x = 23. = = 99 99 10..: = = 0. – – não necessariamente teremos a ± b ∈ .: Determinar a geratriz de 2. por exemplo e.000x = 2314...000x = 2314.: Dados 8 ∈ e 2 ∈ .. temos que: ⊂ ⊂ ⊂ ℜ.291 → x = 990 – 11.: 0. e 12 2 ⋅ 3 37 37 = 3 = 1.. → 2. 990x = 2. 541666. quando convertida em decimal. mas agora com tantos zeros quantos forem os algarismos da parte periódica.2 Geratriz de uma dízima periódica composta Será dada pela fração em que o numerador é o resultado do número formado pela parte inteira. e 55 5 ⋅ 11 7 7 = 2 = 0. seguida da parte periódica subtraído da parte inteira.. caso possua parte decimal não periódica (seja composta).. Ex. Dessa forma. 58333. = = e 9 9 2135 − 21 2114 . restará apenas a parte periódica e então multiplicamos esse resultado novamente por uma potência de 10. 18 18 Ex. 0836 − 08 828 = Ex.3141414.141414.. diz-se que nenhuma das operações – fundamentais está bem definida em .4 Geratriz de uma dízima periódica 10. a · b ∈ ou – a/b ∈ . 353535. seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte aperiódica.141414. 24 2 ⋅ 3 10.4. = = 9000 9000 10. I. 111. basta proceder de acordo com a última etapa descrita acima.: 0. pois 2 ∈ . 21. 8363636. Números irracionais ( ou ~) Existem alguns números que não podem ser escritos sob a forma de fração e estes números são denominados números irracionais.. após a vírgula. Nomeamos: x = 2. seguida da parte aperiódica da dízima e o denominador será formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período...4.... III. = e 990 990 34076 − 3407 30669 . temos que: 8 8 = = 4 = 2 ∉ ..3141414. + ÷ = + = 4 2 10 2 2 24 + 9 + 1 = 218 + 1 = 263 10 2 90 2 90 (unidade) 2 Medida da barra 2 = . 1 1 02 O valor da expressão 2. 7 (D) 4 . . ela se 03 Na figura. e . (C) 263 . . a resposta cer ta é a alternativa [A]: 2 5 7 . 1 1 24. 1 2. 3. somando-se 3 ao denominador. 7 2 (B) .Matemática I – Assunto 3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 Qual é o menor número positivo que devemos 262 subtrair do número de modo que a diferença 7 seja um número inteiro? (A) 1 . 3 5 6 (B) 223 . estão representadas 5 barras em uma torna equivalente a 1. 4 e 5 são. 422. 262 676 7 ⋅ 96 4 = = + 7 7 7 7 4 Ou seja. 3 3 6 3 3 1 6 (B) . 422.. . 90 Solução: Letra A. ela se torna equivalente a . . devemos subtrair para que a diferença 7 seja um número inteiro. 2 e . e . 3 6 Medida da barra 4 : = 2. 3 6 Por tanto.. 7 Solução: Letra D.. 90 (D) 481 . pode-se concluir que os números racionais associados às medidas das barras 2. então a fração é: 3 202 Vol.. 90 2 3 7 (E) . 3 5 Medida da barra 3 = .. . 90 Solução: Letra C. 22222..2 e . 2 malha quadriculada. 2 2 7 4 2 5 6 7 (D) . 3 3 3 3 (A) 118 . 2 5 2 7 1 1 1 1 (C) . respectivamente: 2 5 7 (A) . 3 3 6 04 Somando-se 3 ao numerador de uma fração. e . . 3 5 7 Medida da barra 5 : 3= = . 7 (C) 3 . + ÷ é igual a: 4 2 1 2 3 4 5 Tomando-se a barra 1 como unidade.. 2 e . 1 . 87 habitantes por km2. Calcule o valor da IBGE: Sinopse do Censo Demográfico 2010 e Brasil em números. 5 − 1 / 2 4 Sejam n e d.00.00.058. 7 21. (B) Racional negativo. Calculando o valor da herança. temos: 500. 20 habitantes por km2. Centro-Oeste 1.371 14. 07 A tabela informa a extensão territorial e a população d n 2 n+3 de cada uma das regiões do Brasil. 5 − 2−1 (A) Inteiro menor que três. (A) densidade demográfica da região sudeste é de. respectivamente. território nacional. R$ 500.864. (B) região norte corresponde a cerca de 30% do Solução: Letra C. 9o Ano 203 . 576. é correto (B) R$ 6. Sabemos que =1 e d +3 3 d n 2 Extensão População Logo. Região n+6 3 2 territorial (km ) (habitantes) n 12 Portanto.511 80. 8.081.Números racionais e representação decimal das frações (A) (B) (C) (D) (E) 15 .500.000.454 filho e o segurança da família. (D) Irracional. 12. 7 4. 13 14 .364. herança. 4. e o segurança.00.950 05 Uma herança foi dividida entre a viúva. a filha.094 d 15 Nordeste 1. aproximadamente. (C) Natural.554. o Norte 3. 7 − 5. Sabendo que a extensão territorial do Brasil é de. Solução: Letra C. (A) R$ 5. (D) R$ 11. A filha e o filho ficaram Sudeste 924. Filha 4x (D) região centro-oeste corresponde a cerca de 40% Filho 3x do território nacional. 5 − 2−1 4.000.409 27. (C) região sul é a que tem a maior densidade Viúva 6x demográfica. = ⇔ n = 12. o numerador e o n denominador da fração .500.853.606. segundo o IBGE. distribuída na proporção de 4 para 3.386.891 respectivamente. 7 16 E= = =4 = Solução: Letra B. 12 12 . afirmar que a: (C) R$ 7.257 53.00.000.14 = 7.00. Vamos considerar o valor da herança igual a 14x. 13 06 O valor da expressão numérica E = é um número: 12.500. A viúva ganhou o dobro do que coube Sul ao filho. 1− 5. aproximadamente.410 com a metade. = . (E) R$ 9. Segurança 500 (E) densidade demográfica da região nordeste é de. 6 + 9. 15 −13 . 15 15 .327 15. (E) Natural maior que vinte.5 milhões de km 2. 6 + 9. 1− 5. 2011. d = n + 3 = 12 + 3 = 15 e = . 6x + 4x + 3x + 500 = 14x ⇔ x = 500 aproximadamente.00. independentemente de etnia. 1606371 Nordeste: 53081950 ≅ 34 hab km2 . a referida agência pede uma fotografia de rosto uma unidade da primeira moeda. R.Matemática I – Assunto 3 Solução: Letra A. 1554257 Norte: 15864454 ≅ 4 hab km2 . M2 = 5.5 cm.5 : 6. 8514875 M1 M 3 = =Φ M3 M5 para a seleção. segundo os critérios da proporção áurea. • Candidata V: M1 = 10. isso significa que para comprar 1 dólar é necessário mostradas na figura.5 cm. Portanto. • Candidata II: M1 = 10. com uma densidade demográfica de aproximadamente 87 hab/km2 a região Sudeste é a que possui a maior densidade demográfica. São Paulo: Livraria da Física.5 cm M3 = 6. a região Norte corresponde a cerca de 3853327 ⋅ 100% ≅ 45% do ter ritório nacional. 3853327 Sudeste: 80364410 ≅ 87 hab km2 . M2 = 4. A candidata selecionada pela agência de modelos. determina as medidas moeda. se a cotação do dólar é 1.. M2 = 4 cm M3 = 6.6 real. Calculando a densidade demográfica de cada uma das regiões. e e e e e CONTADOR. M.5 cm M3 = 6.5 cm. (C) III.5 cm M3 = 7 cm. com ela. pois 10. aproximadamente 1.5 cm. consideradas bonitas apresentam-se em proporção A alternativa correta é a [E]. 576409 Desse modo. foi: (A) I. 924511 Sul: 27386891 ≅ 48 hab km2 . (B) II. 8514875 enquanto que a região centro-oeste corresponde a 1606371 cerca de ⋅ 100% ≅ 19% do território nacional.618. A matemática na arte e na vida. foram constatadas estas medidas: • Candidata I: M1 = 11 cm. (D) IV. Uma agência de modelos reconhece a informação citada e utiliza-a como critério de beleza facial de suas 09 A cotação de uma moeda em relação a uma contratadas.. Por exemplo. 1. • Candidata III: M1 = 11.5 é áurea. idade e condição social. A extensão territorial do Brasil mede 1606371 + 1554257 + 3853327 + 924511 + 576409 = 8. 2007 (adaptado). A proporção áurea é a constante Φ= 1. M2 = 4 cm M3 = 6. • Candidata IV: M1 = 10 cm. M2 = 3.5 cm. (E) V.618.6 real. 204 Vol. obtemos: Centro-Oeste: 14058094 ≅ 9 hab km2 . P. as pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as faces Solução: Letra E. utilizando a segunda no ato da inscrição e. 1 . 08 Estudos revelam que. Para entrevistar uma nova candidata a segunda moeda é o valor que custa para comprar modelo.5 cm.5 cm.514.875 km2. a do euro. 65 dólar.36 dólar. no Brasil. seja de 1. ele colocou três 3 de um bolo bolos à venda em fatias. é melhor levar reais para comprar pesos ou comprar dólares no Brasil e levar para depois (A) 4. Assim. é aproximadamente: (A) 590. 1 5 . como 450 < 500. (B) 29 .99 (D) 0. Qual é a cotação da libra.. seja de 2. 10 Ao planejar uma viagem à Argentina. pela Internet. 64 reais = 1. + 0. em euros.Números racionais e representação decimal das frações a 2 pesos e 1 dólar a 4 pesos. ele desembolsaria 250 · 1. Verificou também que nas casas de câmbio.64 reais. em Buenos Aires. Suponha que a cotação do dólar. seja de 1.65 dólar. é melhor comprar dólares brasileiro verificou. em dólares? EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Em um exame de seleção. Cotação da libra em reais: 1. precisaria dispor de = 500 reais.800 candidatos para 240 vagas. (D) 283.64 dólares. Certo dia.224 dólares. um turista Portanto.1 · 2. 9o Ano 205 . Solução: (D) 1.1 euro. que no Banco de La no Brasil e levar para depois convertê-los em pesos Nación Argentina.1 euros = 1. (E) 169. Venderam-se 4 2 5 de um bolo de creme e de um bolo 3 6 de nozes.4 reais e a cotação da libra. (C) 342. em habitantes por quilômetro quadrado. convertê-los em pesos em Buenos Aires? Justifique (B) 2.000 km2. 3 é: 3 (C) 0. 6 reais 450 reais comprando dólares no Brasil. 4 04 Densidade demográfica é o quociente entre a população de uma determinada região e sua superfície. (B) 420.6 real.8 = Cotação da libra em dólares: 1. (A) . concorreram 4. 4 2. (D) . 2000 2 1 . 1 dólar equivalia a 1.4 = 2 1000 Por outro lado. suponhamos que o turista (E) 1. (C) 1. (D) 2 6 1 3 . pretenda gastar 1. Sem perda de generalidade.8 reais. ele 1000 Solução: Letra C. 30 1 + 0. A razão entre o número de vagas e o número de candidatos foi de: 1 1 .000 pesos valem = 250 2. então a densidade demográfica do estado de São Paulo. (B) . dólares na Argentina. A fração correspondente ao que sobrou dos bolos é: de chocolate. Se a população do estado de São Paulo é de 42 milhões e sua área é de 248. 333. em reais..93 03 Um confeiteiro vende bolos de mesmo tamanho e cortados em fatias iguais. 20 (A) 02 O valor da expressão (A) 1.000 pesos na Argentina. como 1.50 dólar. sua resposta. em reais. (B) 200 1 (C) . (E) 1. Se o turista optar por pagar suas contas na Argentina com a moeda local. (E) 4 8 3 (C) . 1 real equivalia em Buenos Aires. 50 20. 08 Na festa junina do Bairro Jardim foi montada uma barraca que vende pastéis e suco. se não houve outras despesas. É correto afirmar que.50 25.000 II R$ 3. (E) V.com.30 o quilo 700 g de linguiça 8.00 o quilo O custo.Matemática I – Assunto 3 05 Para se fazer um feijão tropeiro. (A) 78. (C) 56.º médio de palavras que ela escreve com a carga de tinta I R$ 2. O proprietário resolveu vender o suco em copos de 250 mL ao preço de 2 reais cada copo e um pastel era oferecido em cortesia para cada copo de suco consumido. toma-se como referência a quantidade e o preço dos ingredientes relacionados na seguinte tabela. e o proprietário dessa barraca teve um lucro x relativo somente à venda dos sucos com suas cortesias. 07 O dono de uma empresa foi pesquisar preços e benefícios de 5 tipos de caneta. .20 cada. em reais.735. (C) 9.osamigosdaonca. Sabe-se que cada pastel teve um custo de R$ 0.50 e o suco já preparado para o consumo foi comprado em garrafas de 600 mL por R$ 1. (C) 201. Os dados coletados foram os seguintes: (A) I. (C) III. (B) 183. então a soma dos algarismos de x é igual a (A) 3. 2014.30.700. uma vez que teria de comprar um grande número. ele deve comprar as do tipo (A) 146. Ao afinal da festa. 1 Tipo de caneta Preço N.00. (B) 6. (B) 39. (B) II.00 30.00 a dúzia 1 kg de farinha 3. O gasto com os vencimentos básicos de um deputado federal em quatro anos é equivalente a x anos de vencimentos básicos desse professor.00 40. foram consumidas nessa barraca todas as 100 garrafas de suco que o proprietário havia adquirido e todos os clientes aceitaram a cortesia e não sobrou nenhum pastel. do feijão tropeiro para 80 pessoas é igual a: 06 Supondo-se que um professor recebe mensalmente um vencimento básico de R$ 2. (D) 13.40.000 Para que o dono da empresa tenha o melhor custo/ benefício na compra das canetas. É correto afirmar que o valor de x é aproximadamente: 206 (D) 37.000 IV R$ 4. (E) 74.00 o quilo 300 g de lombo 13. e um deputado federal recebe mensalmente um vencimento básico de R$ 26. Ingredientes para 10 pessoas Preço (R$) 1 kg de feijão 4.00.000 V R$ 5. Acesso em: 19 dez.00 35. Vol.00. Disponível em: <www.00.00 o quilo 6 ovos 3.000 III R$ 3. (D) IV.br/>. (D) 222. (C) 62. (D) 3. conforme a figura abaixo. 11 (A) ambos comeram a mesma quantidade de bolo. (C) inteiro positivo. (B) B. (B) racional negativo. (D) irracional negativo. Em qual dos 2 pontos Manuela deverá assinalar a fração ? 5 B C D 1 3 1 2 (A) A. (E) não se pode decidir quem comeu mais.Números racionais e representação decimal das frações 09 O valor numérico da expressão 2 1 1 1 3 4 ( −1) + ( 2) ÷ 2 x − − − 1 é: 2 2 3 13 Pedro e Maria comeram um bolo que tinha a forma retangular. 3 4 (C) . (D) não se pode decidir quem comeu mais.700 m2. (E) irracional positivo.2. (C) C. 3 A 1 1 1+ 1+ 1 é: 12 A divisão de um número qualquer por 0. (36 10 O valor numérico da expressão representa um número: 1 2 1 1 − 8 3 + 625 4 ) ( −0.500 m2. 55 (C) .250 m2. pois o bolo não é redondo. Pedro comeu a metade da quinta parte e Maria comeu a quinta parte da metade. (C) 6. (B) –3. (B) 7. 5 (B) . (D) –6. 1 (E) . (B) 54. qual é a área sem construções? (A) 12. 17 83 (D) − . 16 14 Manuela dividiu um segmento de reta em cinco 1 1 partes iguais e depois marcou as frações e nas 3 2 extremidades. 1 (E) . 11 O valor de x na expressão x = 1+ (A) 2. 3 (D) 1. (C) 6.150 m2. 1+ 1 1 2 é equivalente a: 15 A expressão 3 −1+ 1 1+ 2 1− (A) 3. 9o Ano 207 . 5 )−2 (A) racional positivo. (B) Pedro comeu mais. (E) D. 2 16 A razão entre a área construída e a área sem 3 construções de um terreno é de . pois a metade é maior que a quinta parte. Se a área 25 2 construída é de 150 m .0625 é equivalente à multiplicação desse número por: (A) 1 .250 m2. (D) 625. (E) 1. pois não se conhece o tamanho do bolo. (C) Maria comeu mais bolo que Pedro. 625 (B) 16. É correto afirmar que: (A) 71. 1 (E) . aproximadamente. por exemplo. (B) Na embalagem de 3.15 para cada 100 metros percorridos.Matemática I – Assunto 3 9x2 − y 17 O valor numérico de 2 para x = –1 3 x + 5 xy − 2 y 2 1 e y = – é: 2 7 19 . 22 O custo de uma corrida de táxi. o tempo gasto para completar o restante do percurso foi. 1 21 Num supermercado. (C) 55. Qual é.8 kg. (B) 50.5 km? b. Assim.00 (o mesmo que numa corrida de 700 metros).55%. (D) . . 3 2 ( −2) + − 144 5 −2 1 −3 + 20 3 O valor correto da expressão acima é: 18 49 .5 kg custa R$ 10. Quanto custa uma corrida de 9. 5 5 5 2 (B) .8 kg custa R$ 17. (0. (A) Na embalagem de 2.55%. (E) 75. o percentual do erro 5 cometido? (A) 35. o preço de 1 quilograma do produto é menor. a partir dos primeiros 500 metros.8 kg.10. um passista fez 2/5 do percurso em 1/3 de hora. encontrou-se 5 3 2 . 23 No desfile da escola de samba “Acadêmicos da Vila”. o passageiro pagará 3. (B) 10 2 (A) 18 Analise a expressão abaixo. (E) . 3 (A) 208 Vol. maior que 500. (D) 65. (E) Na embalagem de 900 g. (A) 65 65 9 −49 . se a viagem tiver sido de 780 metros. que indica quantos metros o passageiro percorre. Considere N um número múltiplo de 100.70 + (200/100) . (D) . igual a: (A) 55. – O taxímetro só muda o valor a cada 100 metros percorridos.55%. é calculado da seguinte forma: – R$ 3.5 kg e 900 g.30. 364 3 2 19 Ao dividir a fração pela fração .5 kg.15) = R$ 4. (E) 30. A embalagem de 2. a embalagem de 3. em minutos. (C) . 3 do que possuía. Escreva uma fórmula que expresse o custo de uma corrida de N metros. (C) 45. (E) . (D) 40. e a embalagem de 900 g custa R$ 4.75. o preço de 1 quilograma do produto é menor. na cidade do Rio de Janeiro. (D) O preço de 1 quilograma do produto é igual nas embalagens de 2. 2 3 5 (C) . há três embalagens diferentes da mesma marca de sabão em pó. (B) 45. (B) 182 65 49 (C) .55%. Analise as alternativas e assinale a única correta. A razão entre o que eu 5 tinha para o que me restou é: 20 Gastei 2 3 . 2 10 27 9 .55%.70 é a bandeirada (valor inicial independente da distância a ser percorrida) – R$ 0. (D) .5 kg e 3. Mantendo a mesma velocidade. o preço de 1 quilograma do produto é menor. (C) O preço de 1 quilograma do produto é igual nas embalagens de 2. a. Números racionais e representação decimal das frações 24 Classifique as afirmações a seguir em verdadeiro ou falso: ( ) A soma de duas frações próprias é sempre uma fração própria. ( ) As frações aparentes são sempre frações impróprias. ( ) Uma fração, cujo denominador não é uma potência de 10, é chamada de fração ordinária. ( ) O produto de duas frações impróprias é sempre uma fração imprópria. 1 ( ) A classe de equivalência da fração está contida 9 1 na classe de equivalência da fração . 6 2 B 25 Os números A e B que tornam as frações e A 52 equivalentes são: (A) A = 24 e B = 7. (B) A = 26 e B = 4. (C) A = 27 e B = 9. (D) A = 26 e B = 2. (E) A = 27 e B = 14. X 204 é equivalente à fração irredutível Y 595 . Logo, Y – X é igual a: 26 A fração (A) 51. (B) 47. (C) 45. (D) 29. (E) 23. 27 Coloque as frações a seguir em ordem crescente: a. 14 17 25 , , . 3 4 6 b. 13 2 5 , , . 24 3 8 2 3 6 c. 311, 160 , 353 . 1 1 1 1 1 1 , , , , , , quatro foram 2 4 6 8 10 12 escolhidas e somadas. O resultado desta soma foi 1. Podemos dizer que não foi escolhida: 28 Dentre as frações 1 1 . (D) . 2 8 1 1 . (B) . (E) 4 12 1 (C) . 6 (A) 29 Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81 km restantes, a extensão dessa estrada é de: (A) 125 km. (B) 135 km. (C) 145 km. (D) 142 km. (E) 150 km. 30 Calcule as seguintes expressões: 3 3 de 2 − 4 4 a. 1 3 de 4 + 2 5 1 1 3 1 b. 1+ + ÷ − 5 3 5 15 3 2 5 2 9 2 + 3 − 6 − 12 1 + ⋅ 0, 5 c. ⋅ 7 8 ⋅ 3 : 2 + 1+ 1 3 5 8 2 3 4 d. 43 ⋅ 0, 2 ⋅ 2 − 81 + 0, 25 ⋅ 1, 3 + 5 : 3 3 4 2 4 5 4 e. 3 ⋅ ⋅ ⋅ 2, 25 − + : 0,111... + ⋅ 3 9 4 117 5 9 f. 0, 04 ÷ 1, 25 × 100 × 100 − 14 11 4 5 + 7 + 1 × 2 − 450 × 0, 01333... 15 13 12 1 4 9 : 2, 727272... + ⋅ 0, 2 : ⋅ 5, 333... + 1 3 33 32 g. 49 25 9o Ano 209 Matemática I – Assunto 3 EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 Determine o número que devemos somar ao 1.478 numerador e subtrair do denominador da fração 5.394 para transformá-la na sua inversa. 1.937 podemos afirmar que é: 02 Sobre o número 8.192 (A) uma dízima periódica simples. (B) uma dízima periódica composta. (C) um decimal exato com 12 casas decimais. (D) um decimal exato com 13 casas decimais. (E) um decimal exato com 14 casas decimais. 37 pode ser escrita sob a forma 03 A fração 13 1 2+ , em que x, y, z são inteiros positivos 1 x+ 1 y+ z cuja soma é: (A) 18. (B) 8. (C) 26. (D) 10. (E) 16. 04 Numa fração equivalente a 57 , somam-se 42 95 unidades ao numerador. Quantas unidades devemos somar ao denominador para que a fração não se altere? 5 05 O produto de duas frações equivalentes a e 6 3 , tais que o numerador da primeira seja igual ao 7 denominador da segunda, é: 1 14 . (D) . 3 3 3 14 . (E) . (B) 14 5 5 . (C) 14 (A) 210 Vol. 1 1 , 2 ⋅ 3 b ⋅ 5c sendo a, b, c números naturais, é uma dízima periódica composta. Sendo assim, pode-se afirmar que, necessariamente: 06 A representação decimal do número a (A) a = 0 , b ≠ 0 e c ≠ 0. (B) a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0. (C) a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0. (D) a ≠ 0 ou c ≠ 0 e b ≠ 0. (E) a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0. 07 Uma gráfica tem uma encomenda de 2.400 1 cartões de Natal. No 1o dia, foi fabricado do total 4 da encomenda, tendo sido rejeitado pelo controle 1 dessa produção. No 2o dia, foram de qualidade 32 fabricados mais do total da encomenda e rejeitados 5 5 desse lote. Quantos cartões ainda faltam para 12 completar os 2.400, após o 2o dia? 08 Sabendo que k, x e y são números naturais, sendo k k um número ímpar não terminado em 5 e T = 2 x y 3 ⋅4 ⋅5 um número com exatamente quatro casas decimais, podemos afirmar que: (A) k é múltiplo de 3, x = 4 e y = 4. (B) k é composto, x = 2 e y = 4. (C) k é divisível por 3, x = 1 e y = 5. (D) k é primo, x = 0 e y = 1. (E) k é um quadrado perfeito, x = 2 e y = 2. 09 Quantos são os pares diferentes de inteiros 1 a+ b = 13 ? positivos (a,b) tais que a + b ≤ 100 e 1 b+ a (A) 1. (B) 5. (C) 7. (D) 9. (E) 13. Números racionais e representação decimal das frações 5 p 7 < < . 8 q 8 Qual é o menor valor possível de p para que 10 Sejam p e q inteiros positivos tais que p + q = 2012? 11 Um aluno, efetuando a divisão de 13 por 41, foi determinando o quociente até que a soma de todos os algarismos por ele escritos, na parte decimal, foi imediatamente maior ou igual a 530. Quantas casas decimais ele escreveu? (A) 144. (B) 145. (C) 146. 12 Calcule (D) 147. (E) 148. 1 1 1 1 + + + ... + . 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 2.011⋅ 2.012 13 Prove que 1 1 =1 + 1 1 2+ 1+ 1 1 3+ 1+ 1 1 4+ 3+ 1 1 ,,, + 4+ 1 1.991 ... + 1.991 14 Sobre os números racionais e irracionais, podemos afirmar que: (A) entre os números 6 e 7 existe apenas um número irracional. (B) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. (C) toda dízima periódica é um número irracional. (D) o número grego π = 3,14159... é um número racional. (E) número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois número inteiros. 7 5 2 = ,b e c = , o valor numérico da 18 8 9 expressão abaixo vale: (3a + b – 2c)2 – (2a – 3c)2 + 5(c – a) (a + c) + b(2a – b) = a 15 Sendo 35 (D) . 27 15 4 (B) . (E) . 18 9 (A) 0. (C) 1. 16 Sendo n um número inteiro e positivo, o valor do produto abaixo vale: 1 1 1 1 1+ 2 ⋅ 1− 3 ⋅ 1+ 4 ⋅ ... ⋅ 1+ 2 n ⋅ 1 1 1− 2 n + 1 ⋅ ... ⋅ 1+ 200 200 (D) . 199 201 198 (B) . (E) . 200 200 (A) 0. (C) 1. 17 De sua jarra de suco, Claudete bebeu inicialmente 1 240 mL. Depois, bebeu do que restava e, depois de 4 algum tempo, ela bebeu o restante, que representava 1 do volume inicial. A jarra continha inicialmente uma 3 quantidade de suco, em mL, igual a: (A) 720. (B) 600. (C) 540. (D) 500. (E) 432. 18 Luiza e Ana Beatriz possuem uma coleção de 5 bonecas. Se Luiza tivesse da quantidade de bonecas 6 1 da quantidade de que tem, e Ana Beatriz tivesse 4 bonecas que possui, juntas teriam 3 bonecas a mais 4 que Luiza. Mas se Luiza tivesse da quantidade 9 7 da de bonecas que tem e Ana Beatriz tivesse 12 quantidade que possui, juntas teriam 2 bonecas a menos do que Luiza. Com base nessas informações, é correto afirmar que: 9o Ano 211 200. RASCUNHO 212 Vol. um número compreendido entre: (A) 6. as duas meninas terão a mesma quantidade de bonecas.090 e 6. (B) Se a e b são números naturais não nulos. (D) Se A é o conjunto dos divisores naturais de 12.999.900 e 5.Matemática I – Assunto 3 (A) a coleção de Ana Beatriz tem maior número de bonecas que a coleção de Luiza. (D) juntas elas possuem menos de 100 bonecas. que por sua vez 8 16 do volume do terceiro. então 3− 3 3+ 3 α ∈ ([¡ – ] ∩ [ ∪ ]). (C) 6. (D) 5. (B) 6.005 litros. 20 (EPCAR) Três blocos de gelo são tais que o volume 1 do primeiro excede de o do segundo. entretanto. (C) se Luiza der 3 bonecas para Ana Beatriz. o volume desse é 27 terceiro bloco excede o volume do primeiro em 1. a é divisor de b. M(a) é o conjunto dos múltiplos naturais de a e M(b) é o conjunto dos múltiplos naturais de b. B é o conjuntos dos divisores naturais de 24 e C é o conjunto dos múltiplos positivos de 6 menores que 30.099. então é. (B) a diferença do número de bonecas entre as duas coleções é um número primo. então M(b) ⊃ M(a) se. pode-se dizer que a quantidade de 9 água necessária para obter esses três blocos de gelo é.000 e 6. 19 (EPCAR) Considere as alternativas abaixo e marque a correta: α (A) Se α e β são números irracionais. em litros. β necessariamente. Sabendo-se que o volume da água aumenta de 1 ao congelar-se. e somente se.089. irracional. 1 1 − (C) Se α = . 1 . então A – (B ∩ C) = A – C.100 e 6. Ex. Numerais e números Número e numeral são palavras que possuem diferentes significados. Dessa forma. Além disso. 7. 2 + 4 ou 7 – 1. Os numerais indo-arábicos são os utilizados pela maior parte dos povos civilizados e são dados pelos algarismos: 0. necessárias à formação de uma unidade de ordem imediatamente superior. 3. 3. 6 x 1. pois se para cada número estivesse associado um símbolo (ou numeral) diferente. Os meses são agrupados de 30 em 30 dias. 2.: Considere o número 568197 . número é uma ideia associada à comparação de dois conjuntos com mesmas quantidades de elementos. 1.: Seja o número 52739. 4. isto é. Montemos a seguinte tabela: Ordem e Classe VA VR Unidades Simples 7 7 Dezenas Simples 9 90 Centenas Simples 1 100 Unidades de Milhar 8 8000 Dezenas de Milhar 6 60000 Centenas de Milhar 5 500000 9o Ano 213 . dez unidades de terceira ordem formam uma unidade de quarta ordem (unidades de milhar). Já o valor relativo do algarismo leva em conta a posição ocupada por ele dentro do numeral. e assim sucessivamente. 8 e 9. Ex.1 Sistema decimal de numeração O sistema decimal de numeração é aquele que tem por base dez. estamos usando diferentes numerais para exprimir a mesma ideia (número). ficaríamos eternamente inventando numerais distintos para cada número maior que fosse descoberto. quando escrevemos: 6.Sistema de numeração e contagem A ssunto 4 Matemática I 1. numeral é o símbolo utilizado para representar determinado número. Ao conjunto de regras que nos permite ler ou escrever os números denominamos sistema de numeração. dez unidades de segunda ordem formam uma unidade de terceira ordem (centenas simples). dezenas e centenas formamos uma classe. A finalidade é simplificar as representações dos números. ideia de contagem.: I. podemos dizer que se trata de um sistema de numeração de base 30. ou seja. Dessa forma. podemos dizer que a base de um sistema de numeração é a quantidade de unidades de uma certa ordem. sem levar em consideração a posição (ordem) que ele ocupa dentro do numeral. Sendo todo número escrito da esquerda para direita e que todo algarismo à esquerda de outro representa uma unidade de ordem imediatamente superior. Logo. Ex. Valor relativo e valor absoluto de um algarismo O valor absoluto do algarismo é o valor que esse algarismo possui isoladamente. II. O computador reconhece cada símbolo como combinações de 0 e de 1. 2. dez unidades de primeira ordem (unidades simples) formam uma unidade de segunda ordem (dezenas simples). 5. Sistema de numeração Chama-se numeração a par te da Matemática que nos ensina a dar os números utilizando a menor quantidade possível de símbolos. 5 2 7 3 9 dezenas unidades centenas dezenas unidades de milhar de milhar simples simples simples classe de milhar classe simples Note que a classe de milhar está incompleta. trata-se de um sistema de numeração com base 2. a cada três ordens com unidades. Dessa forma. 6. 2. Ex. (B) 12.1 Princípio fundamental da contagem . foram desenvolvidas técnicas de contagem. Representações no sistema decimal de numeração De acordo com os conceitos e definições apresentados anteriormente. mas noutros não. 1 Além disso. Invertendo-se a ordem dos algarismos de N. o total é dado por: 9 x 9 x 8 = 648 números. Contagem Muitas vezes vamos nos deparar com situações em que desejaremos contar de quantas formas ou de quantas maneiras acontecerá determinado evento ou situação. 4. com a e b naturais menores do que ou iguais a 9. A soma dos algarismos desse número é igual a: (A) 11. como a soma dos algarismos de N é igual a 9. (E) 12. . a − b = 3 b = 3 Daí. 214 Vol. ao empregarmos os princípios de contagem.378 = 2 · 101 + 1 · 100 + 3 · 10–1 + 7 · 10–2 + 8 · 10–3 5. Solução: Letra D. Em alguns casos será fácil listar todas as possibilidades e contá-las. obtemos o número ba. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 Um número natural N é formado por 2 algarismos cuja soma é igual a 9. 263 = 2 · 10 2 + 6 · 10 1 + 3 · 10 0 II.Matemática I – Assunto 4 4. Ex. (B) 2. há y modos de tomar a decisão D2 . exceto o já usado para o primeiro dígito = 9 possibilidades. portanto. 21. Quantos são os números pares de três algarismos? Como não há a restrição de os algarismos serem distintos e tomando as decisões na ordem das que apresentam mais restrições: __ __ __ 3o dígito: Pode ser 0. 6 e 8 = 5 possibilidades 1o dígito: Não pode ser o zero = 9 possibilidades 2o dígito: 10 possibilidades Logo: 10 · 9 · 5 = 450 números. A quantidade de divisores naturais de N é: (A) 4. exceto os dois já usados anteriormente = 8 possibilidades. então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é xy. (C) 8. 5. 3 o dígito: 10 algarismos. 70342 = 7 · 104 + 0 ·103 + 3 · 102 + 4·101 + 2 · 100 III.: I. tal que ab – ba = 27 ⇔ 10a + b – (10b – a) = 27 ⇔ 9a – 9b = 27 ⇔ a – b = 3. Para que não precisemos listar todas as possibilidades de um caso e então contá-las. vem a = 6 a + b = 9 ⇔ . Dessa forma. Quantos são os números de três dígitos distintos? É importante. 2. A diferença entre esse número e o número que se obtém invertendo-se a ordem dos seus algarismos é igual a 27. Pelo princípio multiplicado. II. Portanto: __ __ __ 1o dígito: 9 possibilidades. N = ab = 63 = 32 · 7 e. 2o dígito: 10 algarismo.: I. (D) 14. Seja N = ab. podemos concluir que todo número na base 10 pode ser escrito como soma de potências de 10. 02 O produto da multiplicação de um número inteiro positivo de três algarismos por 7 é um número terminado em 368. começarmos analisando as decisões que envolvem mais restrições. a decisão que envolve restrições é a escolha do primeiro algarismo.princípio multiplicativo O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D1 1 e. segue que a quantidade de divisores naturais de N é (2 + 1)(1 + 1) = 3 · 2 = 6. que não pode ser zero. (C) 13. tomada a decisão D11. (D) 6. se ab · cd = ba · dc.000 formados com elementos do conjunto A. se o número é 142. portanto. (C) 101. o dígito da unidade de N é: (A) 2. (E) 103. 16. dos dígitos de um número natural. 8}. N = 624 e a soma de seus algarismos é igual a 6 + 2 + 4 = 12. (D) 7. Seja N = abc o número cuja soma dos algarismos queremos calcular. como o algarismo das unidades de 7 · b + 2 é igual a 6. Existem exatamente 96 números de 5 algarismos formados com elementos distintos de A e terminados com um algarismo par. ou seja. Podem ser formados exatamente 24 números ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre os elementos do conjunto A. (10d +c) 100ac + 10ad + 10bc + bd = 100bd + 10 bc + 10 ad + ac 99ac = 99bd a·c=b·d 06 O número de dígitos decimais de 10100 é: (A) 99.. O número 10100 corresponde ao algarismo 1 seguido de 100 zeros. 1. Logo. 07 Seja A o seguinte conjunto de números naturais: A = {1. a diferença x – y é sempre divisível por 9. escritos na ordem inversa. c e d são seus algarismos. Considere o número y = a4a3a2a1 formado pelos mesmos algarismos de x. 04. então a · c = b · d. 9}. (C) 6. Portanto. (C) 5. Finalmente. Sabemos que abc · 7 = k368. Portanto. Existem exatamente 3. (D) 8. Demonstre que. Solução: Letra E. . (D) 102. Solução: Letra E. respectivamente. Podem ser formados exatamente 49 números menores do que 350 com elementos distintos do conjunto A. Logo. Solução: Letra C. Assinale o que for correto: 01. então x = 7 e y = 8. Temos que x = a1a2a3a4 = 1000 · a1 + 100 · a2 + 10 · a3 + a4 e y = a4a3a2a1 = 1000 · a4 + 100 · a3 + 10 · a2 + a1. 10100 possui 1 + 100 = 101 algarismos. x – y = 999 · a1 + 90 · a2 – 90 · a3 – 999 · a4 = 9 · (111 · a1 + 10 · a2 – 10 · a3 – 111 · a4). Por exemplo.Sistema de numeração e contagem Solução: Letra B. 6. c só pode ser 4 e. Podem ser formados exatamente 64 números pares de 3 algarismos com elementos do conjunto A. (B) 4. 08. 4. (B) 3. com k ∈ {0. 2. (B) 100. Solução: (10a + b) . temos que a = 6.. 9o Ano 215 . (E) 9. N = 10 · a + b x + y = 10 · a + b a + b + a · b = 10 · a + b a(1 + b) = 10 · a 1 + b = 10 b=9 05 Considere dois números naturais ab e cd em que a.125 números menores do que 100. Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos tal que N = x + y. b.. A diferença x – y é sempre divisível por (A) 2. b só pode ser 2. 03 Seja x = a1a2a3a4 um número de quatro algarismos. (E) 9. como o algarismo das unidades de 7 · a + 1 é 3. 02. 04 Sejam x e y a soma e o produto. (10c + d) = (10b + a) . Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a). Desse total. 5 6 + . Logo. 5. 3. os outros quatro algarismos serão os elementos que restam de A. 02. o resultado pedido é 8. Desse modo. 8. 312. 234. 4. a quantidade dos que são divisíveis por 6 é: Solução: (A) 10. o resultado é 4 · P4 = 4 · 4! = 96. (B) 12. entre 1. 04.000 com elementos do conjunto A. totalizando 5 + 20 + 24 = 49 números com elementos distintos de A e menores do que 350. c. 6. 2. apenas 132. 354. quantos são divisíveis por 5? c. d. 4 e 5. 01. 02. (E) 7. 5}. 04. podem ser formados 4 · 5 · 5 = 100 números pares de 3 algarismos com elementos do conjunto A. 5 4 números de quatro algarismos. Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos. 08. 08. 1. 53 números de três algarismos. devem ser escolhidos três elementos distintos do conjunto {a. podemos formar 60 números naturais de 3 algarismos distintos. Verdadeira. 16. e cinco escolhas para os algarismos das dezenas e das centenas. Definido o algarismo das unidades. 52 números de dois algarismos e 5 números de um algarismo. Falsa. pelo PFC. Incorreto. 10 Responda: a. 1 a. O número de senhas formadas por dois algarismos e uma letra. Verdadeira. (D) 8. pois 9 · 8 · 7 (todas as senhas possíveis) – 4 · 3 · 2 (senhas formadas apenas por letras) – 5 · 4 · 3 (senhas formadas apenas por algarismos) = 420. 02. Solução: 02 + 08 = 10. 342. 1 6 + 3 6 + 6 8 + 9 6 4 · 3 · 5 = 60. Incorreto. 432 e 534 são divisíveis por 6. (C) 5. Solução: Letra D. Podem ser formadas mais de 500 senhas. O número de senhas formadas somente por algarismos é 60. pois 5 · 5 · 4 = 100 > 60. Temos 5 números com um algarismo. 5 · 4 = 20 números com dois algarismos e 2 · 4 · 3 = 24 números com três algarismos. 324. pois 5 · 4 · 3 = 60. Dos 60 números que podemos formar. Incorreto. b. 04. 6 5 4 3 6 · 5 · 4 · 3 = 360 5 5 · 4 · 3 · 1 = 60 5 4 3 1 c.Matemática I – Assunto 4 Solução: 02 + 16 = 18. escolhidos sem repetição. Existem quatro escolhas para o algarismo das unidades. pelo PFC. 9? b. assinale o que for correto. Correto. quantos são divisíveis por 4? 08 Com os algarismos 1. 01. O número de senhas formadas por letras e algarismos é 140. é menor que 60. podemos formar 5 · 5 · 5 · 1 = 125 números ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre os elementos do conjunto A. 01. Podemos formar 5 5 números de cinco algarismos. pois 9 · 8 · 7 = 504. Portanto. Falsa. Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a. Correto. Portanto. 08. Temos uma possibilidade para o algarismo das unidades e cinco para cada um dos outros algarismos. Nesse contexto. 09 Para formar uma senha. é possível formar exatamente 55 − 1 5 + 5 2 + 53 + 5 4 + 55 = 5 ⋅ = 3905 números 5 −1 menores do que 100. Podemos escolher o algarismo das unidades de quatro maneiras. nessa ordem. 2. 3. 216 Vol. 3. Portanto. b. Sistema de numeração e contagem EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Sobre um número natural n formado por dois algarismos. A soma dos algarismos do número n. (C) 2. Dois deles e suas respectivas posições estão indicados abaixo. De acordo com essas informações. Podemos afirmar que o valor de M + N é: (A) 102. (D) 125. (C) 81. 03 O código de uma inscrição tem 14 algarismos. (B) 67. Determine os valores dos dígitos X e Y. (D) 11. (D) 3. que consistia em 10 elevado a um gugol. respectivamente. Nos dias atuais. e de P(n) o produto dos algarismos de n. + 999! é (A) 0. 05 O algarismo da unidade do resultado de 1! – 2! + 3! – 4! + 5! – . Por exemplo. (C) 1 205 000 e 493 000. 9o Ano 217 . 08 Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do número inteiro positivo n. (B) 101. Para isto. se n = 47. Seu filho batizou o número de gugol. 06 O número de quatro algarismos 77XY. (E) 101 000 + 1. os números MCCV e XLIII são. (B) 1 205 000 e 63 000. então S(47) = 11 e P(47) = 28. porém em posições invertidas.000.. já foi o principal sistema de numeração da Europa. o número X representa o número 10 · 1. (D) 1 250 000 e 43 000. Mais tarde. (B) 1. (B) 2. então o algarismo das unidades de n é: (A) 1. (D) 98. (B) 64. O algarismo representado por x será divisor do seguinte número: (A) 49. 02 Os números naturais M e N são escritos. • a inversão da ordem dos algarismos produz um número que excederá o dobro do original em 18 unidades. Quantos algarismos tem um gugolplex? (A) 100. hoje em desuso. a numeração romana é usada no nosso cotidiano essencialmente para designar os séculos.000. com os mesmos dois algarismos. que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. 07 O sistema de numeração romana. (C) 3. ou seja. é divisível por 91. iguais a: (A) 1 205 000 e 43 000.000. mas já foi necessário fazer contas e descrever números bastante grandes nesse sistema de numeração. (C) 125. em que X é o dígito das dezenas e Y o das unidades. o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex. 5 8 x Considere que. (E) 4. (E) 110. que atende às condições acima. 04 O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome a um número muito grande.. (C) 9. (D) 10100 + 1. A diferença entre o maior e o menor é uma unidade a menos que o menor deles. a soma de três algarismos consecutivos seja sempre igual a 20. os romanos colocavam um traço sobre o número para representar que esse número deveria ser multiplicado por 1. (D) 6. Por exemplo. (C) 10100. na base 10. (E) 1 250 000 e 63 000. é: (A) 5. 10. sabe-se que: • o algarismo das unidades excede o triplo do das dezenas em 1. (E) 9. (B) 7. nesse código. Se n é um número inteiro positivo de dois algarismos tal que n = S(n) + P(n). . (D) 139. a. 13 Foram utilizados 279 algarismos para numerar todas as páginas de uma apostila. (D) BBG. conhecido por “relógio de luz”. então o número z = “xy” – (x + y) é sempre múltiplo de 9.. (E) centena de milhão. MILHAR A medida é expressa em kWh. O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu a ele que anotasse. Nestas condições. O número obtido pela leitura em kWh. b. Acesso em: 26 abr.. o segundo com AAB. AAZ. (B) 51. é constituído de quatro pequenos relógios. (E) 4162.. (A) centena.. + a1 · 1! = (an. a1)fat. (B) dezena de milhar... por exemplo.enersul. Disponível em: <www.br>.. Então. 12 O conhecido quebra-cabeça “Leitor Virtual de Pensamentos” baseia-se no seguinte fato: se x ≠ 0 é o algarismo das dezenas e y é o algarismo das unidades do número inteiro positivo “xy”.. (D) 3725. 0. 218 Vol.. (C) 79. (E) 47. a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de: 11 O medidor de energia elétrica de uma residência. 2010. Entretanto. (D) 65.. ABA. ACA.com.. é: DEZENA UNIDADE 14 Paulo possui 709 livros e identificou cada um destes livros com um código formado por três letras do nosso alfabeto. (B) 129.. Prove que a afirmativa é verdadeira para qualquer número inteiro positivo de dois algarismos. (C) 130. . estuda-se mudar as placas. seguindo a “ordem alfabética” assim definida: AAA. o número (3. ao número: (A) 83. podemos representar N = an · n! + an–1 · (n – 1)! + an–2 · (n – 2)! + . na imagem. o código associado ao último livro foi: (A) BAG. 17 = 2 · 3! + 2 · 2! + 1 · 1! = (2. considerando o alfabeto com 26 letras. 2.Matemática I – Assunto 4 09 Todo número natural pode ser escrito de forma única utilizando-se uma base fatorial. . 1. atualmente com três letras . Genericamente. O número de páginas da apostila é: (A) 120. 2. na base 10... sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu. cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura: CENTENA (A) 2614. ABB. 1. AAB.. an–1. an–2. João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 9 8 2 0 7. (D) milhão.. como. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. i}... 1 15 Para acomodar a crescente quantidade de veículos. (C) 2715.. (C) centena de milhar. em que a¡ ∈ {0. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. (B) BAU.. De acordo com essas informações. 1)fat. Dessa forma. ABZ. Verifique a veracidade da afirmação para os números 71 e 30. o primeiro livro foi identificado com AAA. (B) 3624. 10 João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). desde a página de número 1.. 1)fat equivale. (C) BBC. até 1959. 17 Quantos algarismos têm um livro de: a. inclusive. Entre os números abaixo. Sabe-se que N – M = 45. que o algarismo das unidades é 7. O aumento obtido com essa modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria: (A) inferior ao dobro. nesta ordem. – 4a5 15b c77 Nas condições dadas. (C) 444. 4 (D) 1. c-a é igual a: (A) 0. como está ilustrado abaixo. calcule o número de cadeiras trabalhadas. (C) 530. o total de números inteiros que podemos obter com três algarismos distintos.Sistema de numeração e contagem e quatro algarismos numéricos. b . (E) 1257. realizada com números de três algarismos. 1 ≤ n ≤ 9 . inclusive. (C) superior ao triplo e inferior ao quádruplo. Sabe-se que a soma dos quatro algarismos é 15. e que o resto da divisão do número da placa por 7 é 4. (E) 16. esteja correta. 16 Com os números naturais n. para quatro letras e três algarismos numéricos. (E) 540. b e c algarismos que fazem com que a conta a seguir. (D) 535. (B) 446. 19 Um livro de 200 páginas vai ser renumerado no sistema de numeração de base 8 .05 por algarismo. todas as cadeiras de um auditório.35 para numerar seguidamente de 48 em diante. (B) superior ao dobro e inferior ao triplo. Então. que o quociente entre a soma dos algarismos da dezena e da unidade e o número formado pelos algarismos de milhar e centena. (D) 6. (D) 2517. O número na base 10 de algarismos que serão utilizados é: (A) 520. inclusive. não divisíveis por 5. 13247 páginas? 18 Determine o número de algarismos necessários para escrever os números de 328. (C) 1347. (D) mais que o quádruplo. Sabendo que esse serviço custa R$ 0. 234 páginas? b. é: (A) 448. 23 Uma placa de carro possui quatro algarismos. quantas páginas ele terá? 21 Um pintor recebeu R$ 65. 16 1 (C) . 9o Ano 219 . (B) 525. 22 Considere a. 20 Se o algarismo 1 aparecer 211 vezes na numeração das páginas sucessivas de um livro. (B) 3237. 1499 páginas? c. 1 (B) . ABC 1234 ABCD 123 Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. (B) 4. é 1. (E) 346. (C) 5. qual é a placa do carro? (A) 2157. (D) 348. 24 Sejam N um número natural de dois algarismos não nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. quantos são os possíveis valores de N? (A) 7. (B) 483. Pediu-lhe que. (E) 8. o das centenas é o triplo do das unidades. é correto afirmar que n é igual a: 29 Um número natural N tem três algarismos. pois para obter o número correto deveria subtrair certa quantidade deste resultado. multiplicasse o número constituído pelos quatro primeiros algarismos de seu telefone por 40 e a esse produto adicionasse 1. então o algarismo das centenas de N é: (A) 448. entre os algarismos da centena e o da unidade. Permutando seus algarismos.. (A) 4. além disso. (D) 3. obtemos um número que é 198 unidades maior que N. (B) 5. 28 No diagrama a seguir tem-se o algoritmo da multiplicação do número AB4CD. o algarismo das unidades de n é: (D) 7. somasse o resultado disso ao número formado pelos quatro últimos algarismos de seu telefone. Se.Matemática I – Assunto 4 25 Sabe-se que: • para se escreverem os números naturais de 1 até 11. a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. abc: o algarismo das dezenas é a metade do das unidades. 1 30 Um número A é formado por três algarismos. (C) 2. Pediu-lhe. (E) 30. Invertendo-se a ordem dos algarismos daquele número. 26 Paulo disse a Maria que iria descobrir o seu número de telefone. na base 10. (C) 26. (B) 5. o novo número é 9 dezenas maior que N. O produto é o número E25F15. obtemos novos números. Além disso. Determine um número N que satisfaça tais condições. Paulo afirmou que o número do telefone seria este resultado. Assim sendo. (C) 484. (B) 24. em seguida. em segredo. 02 Considere a sucessão dos números naturais múltiplos de 7 escrita sem separar os algarismos a seguir: 7142128354249. a soma do algarismo das centenas com o algarismo das unidades de n é igual a 9. (C) 6. obtém-se um número B. Da soma de n com 297 resulta o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de n.. Então. cba. (D) 28. (B) 250. 220 Vol. AB4CD × 9 E25F15 Determine a soma A + B + C + D + E + F. (E) 4. o número obtido é 9 unidades maior que N. (D) 7. Esta quantidade é: (A) 350. (B) 1. igual ao número A diminuído de 396. A soma A + B – 800 é igual a: (A) 22. (C) 150. de 6 algarismos. que multiplicasse o número obtido por 250 e. Considere os novos números obtidos através das seguintes permutações dos algarismos de N: entre os algarismos da dezena e o da unidade. (C) 6. pelo número 9. e. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 Seja um número natural N. (D) 447. então. . entre os algarismos da centena e o da dezena. e • para se escreverem os números naturais de 1 até o número natural n. de três algarismos. são necessários 13 dígitos. Infelizmente. são necessários 1341 dígitos. 27 O número natural n tem três algarismos. (D) 100. de 5 algarismos. Qual o valor absoluto do algarismo que ocupa nesta sucessão o 76o lugar? (A) 0. (A) 4. o número estava errado. Mostre que a soma de todos os algarismos de n2 é igual a 9k. (E) 234. (C) 320. (C) 553. Sabendo-se que cada um desses números é igual ao triplo do produto de seus algarismos. 4. Maria não quer que sua senha contenha o número 13. Escreva esses dois números. (C) 3/4. Nessa senha. (D) 360. em que n > 2011 é inteiro positivo. 2. (B) múltiplo de 11. qual a razão A/B? (A) 3/8. obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n. (B) 168. (E) 900. (D) 5/8. invertermos a ordem dos algarismos desse número N.006. O número primitivo é: (A) 100. (E) divisível por 5. O inverso de N dá uma dízima periódica com 2 algarismos na parte não periódica. isto é. pelo número cddc. A soma dos algarismos de N é: (A) 5. II. Colocando-se um zero entre esses dois algarismos. Levando-se este algarismo 1. na base 10. 09 Se. à esquerda. 07 Um número natural N é formado por dois algarismos. é representado. A que século pertencerá o ano representado pela soma abba + cddc? 05 Um número inteiro positivo n de 4 algarismos decimais satisfaz às seguintes condições: I. a. mas na ordem contrária. 3. da primeira década do século XXI. a soma dos quadrados do 1o e 4o algarismos é 58. 11 Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. é: (A) 16. Seja B o subconjunto de A dos números ímpares com três algarismos distintos. 08 Um número natural de 6 algarismos começa. (C) 65. ) 2 (D) n3 + 3n. 04 Um determinado ano da última década do século XX é representado. 10 O inteiro positivo n é formado de kalgarismos iguais a 9. (D) 554. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? (A) 551. supersticiosa. também na base 10. (E) 5/7. (D) maior que 180.000. ao efetuarmos o produto do número 13 por um número inteiro N de dois algarismos e. III. o novo número é o triplo do primitivo. (D) 187. 12 Seja A o conjunto dos números inteiros positivos com três algarismos. (D) 9. Contudo. se deste número n subtrairmos o número 3816. por engano. Quantos elementos tem o conjunto B? (A) 125. (E) 555. N aumenta de 270 unidades. à direita. (B) 13. 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. pelo algarismo 1. (C) múltiplo de 4. (E) 11. o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. conservando a sequência dos demais algarismos. (E) n6 + 2n3 + 1. 9o Ano 221 . Qual é esse número? ( 3 06 A soma dos algarismos na base 10 de 10 n + 3 . o resultado poderá aumentar de: (A) 130. (B) 7. (B) 552. b. a soma dos quadrados do 2o e 3o algarismos é 52. somente os algarismos 1. (C) 8. (B) 260. para o último lugar. (B) 1/2.Sistema de numeração e contagem 03 Sejam A e B dois números de dois algarismos cada um e A < B. (C) 13n. pelo número abba e um outro. 7}. (C) 7 × 106 e 8 × 106. 1 (D) 81.. (E) 8. (C) 180. RASCUNHO 222 (D) 15. 16 João escreveu todos os números de 4 dígitos contendo cada um dos algarismos de 1 até 4 exatamente uma vez. qual será o algarismo das unidades do número obtido? (A) 2. (C) 11. Quantos algarismos 9 tem o número n2? (A) nenhum. 7 e 9 em qualquer ordem. 18 Uma caixa automática de banco só trabalha com notas de 5 e 10 reais. 102. 7 ou 8? (A) 160. 2. Em quantos desses números a soma dos dois últimos dígitos é maior que a soma dos dois primeiros? (A) 8. .00. 101. (B) 11. (D) 2011. (C) 2010. (B) 12. 15 Se multiplicarmos todos os inteiros positivos menores que 2011 que não são múltiplos de 5. 3. Então n é igual a: (A) 74.. (B) 6 × 106 e 7 × 106. Um usuário deseja fazer um saque de R$ 100. (E) Mais de 4000. (E) 92. (B) 75.. (C) 4. .. (B) 170.. o número 62417 ocupa o n-ésimo lugar. De quantas maneiras diferentes a caixa eletrônica poderá fazer esse pagamento? (A) 5. (D) 9 × 106 e 10 × 106. 6. (B) Mais de 1000 e menos de 2000. (D) 7. (C) 6. formados com os elementos do conjunto {1. (A) Menos de 1000. 4. (D) 16. 14 Quantos inteiros da lista 100. (D) 190. 20 Considere todos os números de cinco algarismos formados pela justaposição de 1. (E) 20. (D) Mais de 3000 e menos de 4000. 999 não possuem algarismos iguais a 2. Vol. (B) 6. (C) 79. 5. 5. 17 Quantos números de quatro algarismos distintos não têm 1 nas unidades. A soma de todos esses números está entre: (A) 5 × 106 e 6 × 106.Matemática I – Assunto 4 13 O número n = 9999 . (B) 4. 9 tem 2011 algarismos e todos iguais a 9. (E) 4022. nem 2 nas dezenas. (E) 10 × 106 e 11 × 106. (E) 2. (C) Mais de 2000 e menos de 3000. nem 3 nas centenas e nem 4 nos milhares? 19 Listando-se em ordem crescente todos os números de cinco algarismos distintos. (E) 200. sem repetição. 1: 6 = 2 · 3 Ex. sendo o zero múltiplo de todo número natural. 12}. pois D(3) = {1. se a|b. 6 · 2. V. c. Dessa forma. 18. n 3. III. diz-se que b é divisível por a. dizemos que a é divisor de b quando a divisão de b por a for exata. II.Múltiplos e divisores A ssunto 5 Matemática I 1.: D(12) = {1. Ex. Dessa forma.1 Propriedades da divisibilidade 4. 6 · 1. a VI. 3}.1 Método da decomposição em fatores primos Sendo os inteiros a. transitiva: se a|b e b|c. Teorema fundamental da aritmética Todo número inteiro (exceto o 1) ou é primo ou pode ser escrito. então a|c. ou seja.2.: M(6) = {0. que significa existir um outro número natural k tal que a|b → b = k · a. se n|a. 6. Um número inteiro é dito composto caso possua ao menos outro divisor diferente dos seus divisores triviais. 3: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5 2. etc. então |a|≤|b|. se c|a e c|b. 24. Portanto. b. Ex. I. 3|12. Números primos e números compostos Também designamos o conjunto dos múltiplos de um dado número natural a por M(a).4}. a quantidade de números primos é infinita e o único número primo par é o 2. então c|(ma + nb). como divisores naturais positivos.}. e seus divisores inteiros são ±1 e ±3. trata-se de um caso particular. sendo o número 1 divisor de todo número natural. observa-se que todo número primo possui quatro divisores inteiros. 2: 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3 Ex. 2: 3 não é um divisor de 13. 6. Ex. também dizemos que ele é divisível por esse outro número. Divisor natural de um número natural Quando um número é múltiplo de outro. 4. temos as seguintes propriedades: Para escrevermos um número inteiro qualquer como produto de fatores primos. Ex. . 12 é divisível por 3. para todo a inteiro.. como produto de fatores primos (repetidos ou não). dados dois números naturais. Vale ressaltar que o número 1 não é primo nem composto. a divisão é exata. 1: 3 é um divisor de 12. Ex. 13 não é divisível por 3. reflexiva: a|a. com b ≠ 0. para obtermos os múltiplos de um dado número.: 3 é primo. m e n. apenas o 1 e ele próprio (seus divisores triviais). Também designamos o conjunto dos divisores naturais de um dado número natural a por D(a). Múltiplo natural de um número natural Um múltiplo natural de um dado número natural é o resultado do produto desse número por outro número natural qualquer. 12. 2. então |a|=|b|. então | a. 3. Além disso. ou seja. antissimétrica: se a|b e b|a.: 4 é um número composto. IV. 2. Ex. Ex. de maneira única. a divide b e representa-se por a|b. tentamos dividi-lo. de acordo com a definição de divisibilidade. 4. Um número inteiro é dito primo caso possua. pois D(4) = {1.: os múltiplos de 6 são: 6 · 0. Ex. 9o Ano 223 .. basta multiplicarmos o número pela série dos números naturais. em outras palavras. 224 Vol. Efetuando as divisões.4 Número de divisores de um número natural 30 2 15 3 5 5 1 4. podemos observar que todo número inteiro n possui em sua decomposição ao menos um fator menor ou igual a n. O número de divisores de um número natural n é ímpar se.3 Algumas consequências imediatas do teorema fundamental da aritmética De acordo com a definição inicial de divisibilidade. temos que a|b caso a divisão de b por a seja exata. k a soma de todos os seus divisores é dada por: p1α1+1 − 1 p2α2 +1 − 1 pkα k +1 − 1 . . 2: 64 = 26. e somente se. σ( n) = . 1: 144 = 24 · 32. n for um quadrado perfeito. 7. devemos dividi-lo por todos os números primos menores que ele até que se encontre um divisor ou até que se conclua que é primo. . · pk . 4. Somente dessa forma pode-se efetuar as simplificações para que a divisão de b por a seja exata. logo é um quadrado perfeito. basta testar os primos menores ou iguais a 11 < 127 . a decomposição em fatores primos de a possui apenas fatores primos que aparecem na decomposição de b e com expoentes menores ou iguais aos dos respectivos fatores na decomposição em fatores primos de b. Ex.. = 8 e logo∏ (24) . Com efeito: d(n) é impar ↔ n é um quadrado perfeito. com a ≤ n e b ≤ n . pelos números primos menores que ele até que fique completamente decomposto como produto de fatores primos.. · pak . pois n = a · b.. Ex. 3 ou 2 divide 127. também é um quadrado perfeito). basta verificar se algum dos números primos 11. 1 Ex.: 144 = 144 = 24 · 32. p1 − 1 p2 − 1 pk − 1 Ex. o número 12 possui 6 divisores naturais e. logo: 24 + 1 − 1 3 2 + 1 − 1 σ(144) = . Com efeito. Além disso. logo 144 é quadrado perfeito..: para verificarmos se 127 é ou não primo.. 4.: 12 = 22 · 3. Seja n um número natural e a sua respectiva decomposição em fatores primos dada por: n = pa1 ·· 1 a2 a3 ak p2 · p3 · .6 Produto de todos os divisores naturais de um número natural Sendo um número natural n e sua respectiva decomposição em fatores primos dada por n = pa1 · 1 a2 a3 ak p2 · p3 · . logo d(12) = (2 + 1) · (1 + 1) = 6.: 144 = 24 · 32.Matemática I – Assunto 5 sucessivamente..: 4|12. mais 6 divisores negativos totalizando 12 divisores inteiros.. Ex.: 24 = 23 · 3. 5. um número é dito quadrado perfeito caso os expoentes dos fatores de sua decomposição sejam todos múltiplos de 2. · pk . d(144) = (6 + 1) · (2 + 1) = 7 · 3 = 21.. Ex.. Ex. · (ak + 1). Ex. pois 12 = 22 · 3 e 4 = 22. consequentemente.. é fácil verificar que nenhuma será exata e o número 127 de fato é primo. para reconhecermos se um número é primo ou não. logo é um cubo perfeito (nesse caso. Dessa forma. = 31⋅ 13 = 403 2 −1 3 −1 4. o produto de todos os seus divisores é dado por: ∏ ( n) = n d( n) 2 . A quantidade de divisores naturais de n é dada por: d(n) = (a1 + 1) · (a2 + 1) · (a3 + 1) · · .: 30 = 2 · 3 · 5 4. assim como será um cubo perfeito caso os expoentes dos fatores da decomposição sejam todos múltiplos de 3 e assim sucessivamente. . Porém.2 Reconhecendo números primos Teoricamente. Ex.5 Soma de todos os divisores naturais de um número natural Sendo um número natural n e sua decomposição em fatores primos n = p1a1 · p2a2 · p3a3 · . d(24) = (3 + 1) · (1 + 1) = d (24) 2 8 2 4 = 24 = 24 = 24 = 331776. ou seja. Todo quadrado perfeito que é múltiplo de 7 é múltiplo de 49. observando que 59 é um número primo. pois sobrariam três computadores. (D) 8. A multiplicação de um quadrado perfeito por outro quadrado perfeito é sempre um quadrado perfeito. 05 Um número natural é chamado quadrado perfeito.300. Temos. Solução: Letra D. 3. então. mas percebeu que não era possível. podemos colocar todos os computadores em um única sala ou.Múltiplos e divisores EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 Tenho 24 jogos de computador. Sejam A o conjunto dos múltiplos de 2. Quantos computadores a instituição recebeu? b. responda: a. 2. Como 27030 = (33 · 10)30 = 390 · 1030. 02 Uma instituição pública recebeu n computadores do Governo Federal. Tentou. 5 · (p + 3) + 4 = 7p + 3 ⇔ p = 8 e.600. 02. mas também não foi possível. b. 9o Ano 225 . 04 Qual o expoente da maior potência de 3 que divide 27030? (A) 70. 30 Portanto. 4. (D) 100. Solução: Letra B. 03 Assinale a alternativa que indica quantos são os números inteiros de 1 a 21. supondo que existem 59 salas. 12 e 24). Sabendo que. Logo. 1 computador por sala. que não são divisíveis por 2. Queremos calcular o número de elementos do conjunto A ∪ B ∪ C. Existem quadrados perfeitos cuja diferença é 730. por 3 e nem por 5: (A) 6. Onde podemos concluir que a instituição recebeu 7 · 8 + 3 = = 59 computadores.000. colocando a mesma quantidade em cada sala. A ∩ C é o conjunto dos múltiplos de 5. (B) 80. em que p e q são inteiros sistema = q= p + 3 positivos. Quantas são as possibilidades existentes (número máximo) para se dividir esses jogos em grupos com quantidades iguais de jogos? (A) 2. (C) 7. (B) 4. cada sala ficou com três computadores a mais que cada sala da primeira distribuição. Solução: Letra C. Sim. É possível distribuir esses computadores em quantidades iguais? Justifique. cada sala com a mesma quantidade de computadores.o resultado pedido é 90. se ele for o quadrado de algum número natural.000. B ∩ C é o conjunto dos múltiplos de 15 e A ∩ B ∩ C é o conjunto dos múltiplos de 30. B o conjunto dos múltiplos de 3 e C o conjunto dos múltiplos de 5. Sabendo disso. distribuir em cinco salas. portanto. (E) 12. assinale o que for correto: 01. portanto. na segunda distribuição. (C) 90. 6. Sabendo que A ∩ B é o conjunto dos múltiplos de 6. obtemos o n 7p + 3 = n 5q + 4. q = 11. (D) 700. 8 possibilidades para essa divisão. De acordo com as informações. pois sobrariam quatro computadores. A direção pensou em distribuir esses computadores em sete salas. vem: n( A ∪ B ∪ C) = n( A) + n( B) + n( C) − n( A ∩ B) − − n( A ∩ C) − n( B ∩ C) + n( A ∪ B ∪ C) 210000 21000 21000 21000 21000 21000 + + − − − + = 2 3 5 6 10 15 21000 + = 15400. O número 24 possui 8 divisores (1. (C) 6. Solução: a. 8. 04. o resultado pedido é dado por n(A ∪ B ∪ C) = 21000 – 15400 = 5600. (E) 110. (B) 5. . então o número de divisores de n é par. (V) (7 · k)2 = 49k2.. 1 ( ) se ao menos um dos expoentes a1.. Porém isto faz com que a diferença proposta não seja obtida.. ak são todos pares. necessariamente. Se x e y são números reais positivos. · (ak + 1) (produto de fatores ímpares será ímpar).. pois assim o número de divisores será par.. que representam múltiplos de 49. ( ) se. · ak é par. então existe y um número natural n tal que n > . pois os números selecionados deverão ter o mesmo algarismo na unidade. a2. (F) Falso. . Falso.. · pakk onde os números p1. ak for par. Para que o número de divisores seja par.. é correto afirmar: 01. Considere a = 4 e b = 9 quadrados per feitos.. 01. O resultado da soma de quadrados perfeitos é sempre um quadrado perfeito. . x 16. Solução: V – V – F – F – V (V) Pois (3 + 1) · a2 · a3 · a4 · . dois a dois distintos... 08. é correto afirmar que: ( ) se a1 = 3. ao menos. Verdadeiro. então. então esse número é: (A) 180. 08. 02. a2. Solução: 02 + 04 = 06. o número de divisores de n é par. (V) Pois um dos fatores da fórmula do número de divisores será par. (D) 420. Solução: Letra C... (F) 10 dividido por 3 deixa resto 1. um dos expoentes a1. 226 Vol. (B) 270. .. o número de divisores de n é ímpar. 16. Não. a2. 16. um dos expoentes a1.. a + b = 13. a2. então m + n é divisível por 15. 1025710 é um quadrado perfeito. 07 Sobre os divisores inteiros positivos do número inteiro n = pa1 · pa2 · . 32. (F) 6 é divisível por 3. Se o resto da divisão de um inteiro n por 3 é ímpar. O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também divisível por 7.. pois assim o número de divisores será par. 2401. (3 + 1) · (2 + 1) · (x + 1) = 24 x+4=2 x=1 Portanto. Para que número de divisores seja par. ( ) se a1. O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. então o número de divisores de n é ímpar. (V) Pois (a1 + 1) · (a2 + 1) · (a3 + 1) · (a4 + 1) · . 10 e divisível por 5 e 16 não é divisível por 15. (F) Falso. Verdadeiro. Falso. Logo. ao menos. Porém. que não representa um quadrado perfeito. Solução: 02 + 08 = 10 01.. 08 Sobre números reais. 1 2 . deveremos ter ao menos um expoente ímpar. Se m é um inteiro divisível por 3 e n é um inteiro divisível por 5. 06 Se o número 23 · 32 · 5x tem exatamente 24 divisores positivos. o número procurado é 23 · 32 · 51 = 360. que é divisível por 7. . 04. necessariamente. pois a decomposição em fatores primos não verifica a característica de quadrado perfeito. o número de divisores de n é par. 04. pk são todos primos. ( ) se.. então. Quadrados perfeitos múltiplos de 7 ⇒ 49. sempre será um quadrado perfeito. necessariamente. Falso.. ak for ímpar. deveremos ter ao menos um expoente ímpar. 02.. 04. de modo que o número também.Matemática I – Assunto 5 08. .. p2. 08. . temos: a2 · b2 = (ab)2. (V) o conjunto dos números naturais e o conjunto dos racionais são infinitos. Se x é um número real positivo. Por propriedades de potência. (C) 360. ak for par.. Não existe este par de valores.. então n é ímpar. 02. então x2 > x. então. 048. 59) e. (B) 253. De acordo com as informações. determine. será um número múltiplo de 4. sendo um deles com os estudantes que participarão do torneio e os outros três com os estudantes que irão fazer parte da torcida. 50. 45. 40. (C) 506. vão 37 estudantes. (C) III. (B) 79. a idade de X era um número múltiplo de 4 e. no IV. (D) IV. (C) 5. (B) 4.018. e. Sendo assim. e. 52. tais que p – q = 41. b) = (41. (a – 5) ∈ {36.Múltiplos e divisores 1 1 16. temos que: I.55}. II. Como os atletas estão todos uniformizados.009. (E) 43.036. a idade de Y era um número múltiplo de 5 e. (C) 73. (b – 4) ∈ {40. respectivamente. primeiro ônibus a chegar para representar a escola seja o dos atletas. 02 De 1 até 100. Desse modo. (b + 5) ∈ {44. (B) 89. 03 Em uma viagem para participar de um torneio de atletismo. essas idades variam entre 40 e 60 anos. será um número múltiplo de 5. (C) 93.144.048. 52}. 60. 60}. a quantidade de meninas é o dobro da de meninos. (D) 1. de hoje a quatro anos. 9o Ano 227 . (a. uma escola distribuiu seus alunos em quatro ônibus. a diferença entre as idades atuais de X e Y. então 34n+2 + 2 · 43n+1 = 1241. Solução: Se n = 1. as idades de X e de Y. (D) 6. 48. (B) II. (a + 4) ∈ {45. vão 44 e. a direção solicitou que o 05 O menor número inteiro e positivo que deve ser multiplicado por 2. (E) 4. (F) 3 ⋅ 12 = 6 • há quatro anos. E como 1241 = 17 · 73.012. • hoje. no ônibus II. o primeiro ônibus a chegar ao local do torneio deve ser o de número: (A) I. portanto. 09 Mostre que a expressão 34n+2 + 2 · 43n +1 é igual a um número múltiplo de 17 para n = 1. No ônibus I. (F) < 2 2 32. 55. 59 – 41 = = 18. 64}. 48. 2 10 Sobre as idades dos amigos X e Y. Para que o pedido seja atendido. 50 . (D) 100. No total de passageiros dos três ônibus que transportam a torcida. 46 estudantes. Solução: Sejam a e b. no III. segue o resultado pedido. 56. afirma-se: • Há cinco anos. 44. de hoje a cinco anos. O valor de p + q é: (A) 3. em anos. (E) 7. (A) 91. EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Qual é a soma dos nove primeiros números naturais primos? (A) 87. a quantidade de números primos que terminam com o algarismo 9 é: 04 Se p e q são números primos. 40 estudantes. (D) 45.012 para que o resultado obtido seja um cubo perfeito é: (A) 8. e o ano A. que representa o maior valor inteiro que A−1 não supera . cada um com dois algarismos. possuem 30 dias. que possui 5 números primos. Escreva todos os números primos menores que 28. (C) 160.Matemática I – Assunto 5 06 A soma dos quadrados dos três menores números primos vale: (A) 14. os números primos sempre foram objeto de especial atenção. V. cada uma contendo 11 azulejos. 07 O número de divisores do produto dos fatores é (20)8 · (200)3 é: (A) 112. calcule a soma S = A + N + Y. por sua vez. consulte a tabela: X 0 1 2 3 4 5 6 Dia da semana correspondente sexta-feira sábado domingo segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira . (B) 38. (D) Quinta-feira. que. (D) 72. que corresponde ao resto da divisão de S por 7. 11 Seu Almeida possuía uma quantidade de azulejos maior do que 150 e menor do que 250. tinha como base as fases da lua. Os meses de janeiro. Identifique. determine o número N de dias decorridos de 1o de janeiro até D/M. Nesse mesmo ano. ficaram sobrando 4 azulejos. 08 O menor número de elementos de um conjunto X ⊂ N . (B) 10. (B) 135. 4 IV. c. podem-se utilizar os procedimentos a seguir. sendo N o conjunto dos números naturais. I. obtenha X. julho. 5 números pares e 5 números ímpares é: (A) 9. 12 Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu. VI. Esta suposição tornou-se um dos problemas mais intrigantes da Matemática e não foi resolvido até os dias de hoje. 1 10 Nosso calendário atual é embasado no antigo calendário romano. resolveu guardar tudo em caixas menores. (D) 350. então. conhecida por “Conjectura de Goldbach”: Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. maio. outubro e dezembro possuem 31 dias. (E) 100. O dia 31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira. agosto. Verifique você também a validade desta afirmação! a. (B) Segunda-feira. b. qual dia da semana será o dia 12 de outubro? (A) Domingo. com quatro algarismos. com exceção de fevereiro. (E) 15. na correspondência entre o matemático prussiano Christian Goldbach e o famoso matemático suíço Leonard Euler. 228 Vol. foi formulada a seguinte questão. calcule Y. março. e os demais. Sobraram 15 azulejos. Escreva todas as formas de representar o número 28 como soma de dois números primos. Em 1742. (D) 12. (C) 11. Há quantos anos os matemáticos tentam resolver o problema citado no texto acima? Escreva a sua resposta em notação científica. (C) Terça-feira. (C) 64. na data de nascimento. III. Dessa vez. Ele. (E) Sexta-feira. II. Determine quantos azulejos seu Almeida possuía. o dia D e o mês M. conhecendo X. 09 Na Matemática. cada uma contendo 17 azulejos. Ele arrumou os azulejos em várias caixas. (E) 390. 17 Uma professora de Literatura deseja distribuir livros entre seus 480 alunos. o número 123. (D) 785. o número de vezes que os procedimentos são utilizados é igual a: (A) 7. que número deve ser multiplicado por 23 para se obter 232. (E) 105. (C) 36. Se cada aluno receber o menor número possível de livros. (D) 12. Os livros estão todos empacotados em embrulhos de uma dúzia e meia cada um. Eduardo multiplicou 123 por 10101. (D) 60. os procedimentos são aplicados quatro vezes. que havia um padrão nas multiplicações abaixo: 23 · 1 = 23 23 · 101 = 2. (D) quinta-feira. qualquer número x. o 100o dia do ano N–1 foi uma: 19 Se somarmos sete números inteiros pares positivos e consecutivos. (C) 10.323 a. respectivamente. Se x é múltiplo de 3. A partir de x = 11. até que se obtenha como resultado final o número 1. Não deu certo! Por qual número ele deveria ter multiplicado 123 para obter o produto desejado? 20 Qual dos números a seguir não é múltiplo de 15? (A) 135. O número de divisores naturais do maior dos sete números citados é: (A) segunda-feira. (B) 45.323. (B) 8. inteiro e positivo. Sabendo-se que o 300o dia do ano N é uma terça-feira.323? b. 13 Em uma atividade escolar. 14 Os anos N – 1. (B) 22. deve-se calcular x – 1. Os restos das divisões de a e b por 8 são. (C) quarta-feira. 9o Ano 229 . (C) 52. De acordo com o padrão observado por Eduardo. (D) quinta-feira. (E) 66.232. deve-se dividi-lo por 3. 7 e 5. e N têm 365 dias cada um.b por 8. (D) 85. (C) quarta-feira. (C) 555.123. (C) 40. de modo que cada um receba o mesmo número de livros e não sobre nenhum. por exemplo. Observou. quantos desses pacotes a professora deverá adquirir? (A) 20.Múltiplos e divisores O dia da semana referente a um nascimento ocorrido em 16/05/1963 é: (A) domingo. 15 Eduardo adora curiosidades matemáticas. (E) 915 21 Qual das alternativas apresenta um divisor de 35 · · 44 · 53? (A) 42. (D) 45. representados por a e b. como resultado. 18 O número de divisores inteiros e positivos de N = 214 – 212 + 6 · 210 é igual a: (A) 13. (E) 10. por exemplo.323 23 · 10101 = 232. (E) 80. 16 Admita dois números inteiros positivos. (B) terça-feira.123. Determine o resto da divisão do produto a. obteremos 770. quantas vezes forem necessárias. (C) 9. (B) 30. (A) 6. (E) sexta-feira. (B) 315. (B) segunda-feira. Se x não é divisível por 3. (B) 8. Veja a sequência dos resultados obtidos: 10 9 3 1 Iniciando-se com x = 43. é submetido aos procedimentos matemáticos descritos abaixo. pensando que ia obter. (C) 8. (D) 9. (D) 8. . em seguida. (D) 330. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 Esmeralda está organizando sua festa de aniversário e. (B) 11. 29 Qual é o menor número ímpar que possui exatamente 10 divisores positivos incluindo o 1 e o próprio número? (A) 1875. 25 Esmeralda rasgou uma folha de papel em n pedaços e. Entretanto. O menor número é igual a: (A) 1. (E) 105. não necessariamente distintos. estão escritos na lousa. (D) 12. (C) 18. (C) 4. (E) 2048. Qual o número mínimo de pedaços para ela atingir esse objetivo? (A) 24. (C) 3. ela planeja já deixar o bolo cortado em alguns pedaços não necessariamente iguais de tal forma que. não sabe se a festa terá 4 ou 6 pessoas. 02 Quantos números existem entre 23456 e 65432 tais que o produto de seus algarismos é um número ímpar que não é um múltiplo de 7? (A) 128. 26 Quantos números inteiros positivos têm o número 9 como seu maior divisor. (E) 10. pegou uma dessas partes e rasgou-a também em n pedaços. 24 Quantos números inteiros positivos menores do que 30 têm exatamente quatro divisores positivos? (A) 9. (B) 2. cada delas receberá a mesma quantidade de bolo (o bolo inteiro deve ser distribuído em qualquer uma das duas situações). Quantas vezes no mínimo ele deve repetir o 123456 de modo que o número se torne múltiplo de 77? (A) 7. (C) 24. por um erro na distribuição dos convites. 30 Quantos números inteiros positivos têm o número 9 como seu maior divisor. (C) 11. (E) 13. (B) 5. se vierem 4 ou 6 pessoas. Qual dos números a seguir poderia ser a quantidade total de pedaços obtida por Esmeralda? (A) 15. (B) 18. (B) 2. 1 28 Fernando escreveu uma sequência de números 123456123456123456. Não satisfeita. (E) 16. (C) 390. (E) 77. diferente do próprio número? (A) 1. diferente do próprio número? (A) 1. (D) 1024. (B) 2. (E) 6. 230 Vol. A soma deles é 83 e o produto é 1024. (B) 10. (E) infinitos. pegou uma destas últimas partes e também a rasgou em n partes. 27 Quantos números inteiros positivos menores que 30 têm exatamente quatro divisores positivos? (D) 9. 23 Alguns números inteiros positivos. (D) 7. (E) 12. (B) 10. (B) 405. (E) 28. (D) 9.. (D) 26. (E) infinitos.. (C) 6. (D) 8. (B) 7. (A) 6. (C) 3.Matemática I – Assunto 5 22 Quantos divisores positivos de 120 são múltiplos de 6? (A) 4. (C) 8. (B) 256. (C) 512. (D) 49. 50. (D) 925925. ele vai somar os dígitos e verificar se o resultado é um múltiplo de 7. o 2013o termo da sequência é: (A) 0. (C) 6. 04 Dalvenilson (ops. (B) 8.. (D) 7. Qual o menor valor possível de N? (A) 60. depois do primeiro. ou seja. (D) 12. a quantidade de números diferentes que x pode assumir é igual a: (A) 14. 11 A sequência de inteiros maiores do que 1. 09 Os dias x de março e 3x de agosto do mesmo ano caem no mesmo dia da semana. é um a menos do que o produto dos termos imediatamente anterior e sucessor. Então. (B) 5. (D) 3. pelo menos 11 são divisíveis por 5 e no máximo 9 são divisíveis por 6. pelo menos 11 são divisíveis por 5 e no máximo 9 são divisíveis por 6. (C) 6. (E) 12. sendo o número realmente múltiplo de 7? (A) 0. O número de divisores naturais do maior dos sete números citados é: (A) 6. Sabendo que o primeiro termo é 0.70. (C) 10. (B) 1. (C) 36. (E) É impossível determinar. se um número é múltiplo de 7 ou não. 05 Entre os números naturais de 1 até n. e cada caderno custa R$ 0. (D) 3. (B) 30. 98 e 1001 são múltiplos de 7. (B) 1. (E) 923823. (E) 8. 10 Júnior deseja gastar a quantia exata de R$ 7. (B) 3. Por isso. obteremos 770. (D) 10. (E) 56. é tal que cada termo. que é um múltiplo de 7. . sem realizar a divisão. 06 Cada termo de uma sequência é definido como o resto por 4 da soma do termo anterior e da quantidade de múltiplos de 4 que já apareceram na sequência. (D) 7. teremos 9 – 2 · 8 = – 7. (B) 5. aluno D) procurou um amigo para aprender qual era o jeito ensinado pelo professor para verificar se um número é múltiplo de 7 sem realizar a divisão. 08 Entre os números naturais de 1 até n. (C) 10. quantos desses números são divisíveis por 7? (A) 4. (E) 7. (C) 2. qual dos números a seguir é um múltiplo de 7? (A) 102112. Para quantos números inteiros positivos menores que 100 esse método incorreto indicará que um número é múltiplo de 7. Em tais condições. (D) 360.). No máximo. (B) 270280. 12 Se somarmos sete números inteiros pares positivos e consecutivos. qual o número máximo de canetas que Júnior poderá comprar? (A) 8. y. 569. O método ensinado é tomar o dígito das unidades. (E) 8. (C) 4. (C) 831821. (E) 6.40 na compra de canetas e cadernos.. repetindo. (D) 11. (E) 4. (B) 24. 07 Os inteiros positivos 30. Por exemplo. (C) 2. 9o Ano 231 . (B) 9. (C) 30 · 72. O valor de x é: (A) 8. para 1001 teremos: 100 – 2 · 1 = 98 e.Múltiplos e divisores 03 O Aluno D (usaremos este codinome para proteger a identidade do aluno) não prestou atenção na aula e não aprendeu como verificar. No máximo. quantos desses números são divisíveis por 7? (A) 4. apagá-lo e subtrair o seu dobro no número que sobrou. Sabendo disso. 72 e N possuem a propriedade de que o produto de quaisquer dois é divisível pelo terceiro. D decidiu usar a regra do 3. dada por (x. (D) 44. Se cada caneta custa R$ 0. (D) 54. Tem-se a sequência correta em: (A) F – V – V (B) F – V – F (C) V – F – V (D) F – F – V 18 Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-feira. (E) 2020. (C) 2016. existem 4 elevadores que são programados para atender apenas a determinados andares. 8 91 (E) . 80 (B) . são divisíveis por 3 é: (A) 24. P0 P5 56° P4 56° 56° 56° 56° P1 P2 P3 Inicialmente. (E) 72. como apresentado na figura. (C) 8. 17 Em um prédio de 90 andares. (D) 2018. classificando cada uma em V (verdadeira) ou F (falsa). 9 (A) 4. 7 90 (C) . (C) 8.Matemática I – Assunto 5 13 A média aritmética dos números inteiros positivos divisores de 900 (considerando o número 1 como divisor) e que não são múltiplos de 5 é: (A) 12. ( ) Existem. (C) 48. O número x representa o menor múltiplo positivo de 15. numerados de 1 a 90. (B) 36. Quantas voltas sobre o círculo terão sido completadas quando pela primeira vez se retornar ao ponto de partida P0? (A) 6. Segue-se repetindo esse procedimento: cada vez se anda 56° no sentido horário e se marca um novo ponto sobre o círculo. o elevador: 14 O número de divisores de 17640 que. 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo. (E) 10. 8 85 (D) . (B) 2014. Analise as afirmativas abaixo. dentre os descritos x acima. Vol. com exceção do próprio térreo. 232 16 Considere os algarismos zero e 4 e os números formados apenas por eles. S para nos andares múltiplos de 7. Assim. ( ) No último andar para apenas 1 elevador. por sua vez. (B) 6. Se possui um número a de divisores 30 positivos. Todos estes elevadores par tem do andar térreo e funcionam per feitamente de acordo com sua programação. A seguir. neste prédio. (B) 7. 1 • • • • O para nos andares múltiplos de 11. C para nos andares múltiplos de 5. sem contar o térreo. ( ) Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores. anda-se 56° sobre o círculo no sentido horário e marca-se um ponto P1. marca-se um ponto P0 sobre o círculo. então a é igual a: (D) 9. . (D) 10. 15 Observe o que ocorre na figura a seguir. o próximo ano a começar também em uma segunda-feira será: (A) 2012. T para em todos os andares. Em seguida. A pessoa de número 1 passa e inverte a posição de todos os armários múltiplos de 1. RASCUNHO 9o Ano 233 . abre os armários múltiplos de 1. isto é. (D) 19. todos estão fechados. O maior valor inteiro de k é: (A) 22. (B) 5. ela fecha. a pessoa de número 2 passa e inverte a posição de todos os armários múltiplos de 2 (os armários que estão abertos. Inicialmente. (C) 7. será: (A) 3. existem 100 armários. no final desse processo. (E) 10. (B) 21. numerados de 1 a 100.Múltiplos e divisores 19 Em um corredor. (D) 9. (C) 20. ela abre). A quantidade de armários que ficarão abertos. 20 O produto de todos os múltiplos positivos de 6 menores do que 500 é múltiplo de 10k. e os que estão fechados. Esse processo se repete até a pessoa de número 100. Matemática I – Assunto 5 RASCUNHO 234 Vol. 1 . O número que deve ser multiplicado por ele mesmo é chamado de base e o número de vezes que esse número deve ser multiplicado se chama expoente. definimos a0 = 1 Quando a base é zero e o expoente diferente de zero.: Quando o expoente é zero e a base diferente de zero. n ∈ * e a ∈ *. a . da seguinte maneira: 1 2−1 = 1 2 1 1 1 −4* 3 = = = a− n .: Fique atento quando a base for negativa.. dizemos que: Exemplos: 50 = 1 33 = 3 · 3 · 3 = 27 (– 3)3 = (– 3) · (– 3) · (– 3) = – 27 (– 3)4 = (– 3) · (– 3) · (– 3) · (– 3) = 81 – 34 = – 3 · 3 · 3 · 3 = 81 50 = 1 33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 ( −3 ) =( −3 ) ⋅ ( −3 ) ⋅ ( −3 ) =−27 4 ( −3 ) = ( −3 ) ⋅ ( −3 ) ⋅ ( −3 ) ⋅ ( −3 ) = 81 3 0 an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ . De uma maneira mais formal.. Obs. a potência será positiva e quando o expoente for ímpar a potência será negativa. neste caso. quando o expoente for par. a ∈ 4 3 81 an 1 1 −3 − ( −5 ) = 3 = 125 ( −5 ) Ex.2 Expoente negativo Podemos definir uma potência com expoente negativo. temos: 0n = 0 Quando tanto a base quanto o expoente são nulos temos uma indeterminação. queremos dizer que o número 3 está multiplicado por ele mesmo 5 vezes.: 1 21 1 1 −4 3= = 4 3 81 1 1 −3 − ( −5 ) = 3 = 125 ( −5 ) 2−1 = ( −3 ) −2 −1 = 1 ( −3 ) = 2 1 9 ( −3 ) 1 −2 = ( −3 ) = 2 1 9 −1 5 4 5 = 4 9o Ano 235 . desde que a base não seja nula. 1. 00 = indeterminado Obs.Potenciação e radiciação A ssunto 1 Matemática II Potenciação 1. e a = 1 n vezes −34 =−3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 =81 Onde a é a base e n é o expoente.1 Expoente Natural Quando o expoente é 1 a potência possui o mesmo valor da base a1 = a se a ≠ 0 O primeiro contato que fazemos com a operação de potenciação é quando escrevemos algo do tipo: 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅3 5 5vezes Aqui. 4 Vol. = 25 5 e não ± 5 . repetimos a base e somamos os expoentes: Ex. • Quando o radicando é negativo e o índice é impar.024 • Obs. a raiz será um número negativo. O número 8 é chamado de radicando.: • = 9 3= .5. já que. 1.2 Potências de mesmo expoente Para multiplicar.5. ou seja. para a ∈ *+ e m n an = a m 1.4 Potência de expoente racional Quando temos em uma mesma expressão uma potência e uma raiz podemos escreve-la na forma de um expoente fracionário onde o numerador é o expoente e o denominador é o índice da raiz: Ex. 23 8..Matemática II – Assunto 1 1. como por exemplo: −4. 10 = 10 . 1 11 an = an− m m a Ex. 3 9 . quando o índice é 3. quando não escrevemos nenhum número no índice está subentendido o número 2 e dizemos que estamos tomando uma raiz quadrada.. repetimos o expoente e dividimos as bases: .: • Quando o radicando é um número positivo a raiz de qualquer índice será também um número positivo.5 Propriedades de Potências e raízes 1. 33 27 . De modo geral: 3 n a =b ⇔ b n =a n ∈ : m De modo geral. 5 = 1.: 236 3 4 3 5 11 5 2 = 2 .: 3 5 3+5 8 • 2 ⋅ 2 = 2 = 2 • ( −10 ) ⋅ ( −10 ) 5 1 1 1 1 4 = ( −10 ) 5+4 = ( −10 ) 9 5 • 5 2 ⋅ 5 3 = 5 2 + 3 = 5 6 35 5 −3 3= 32 • = 3 3 54 4 −2 5= 52 = • 2 5 ( −1) = −1 2 ( ) 3 ( −1) 5 • 1. 3 1 3 6 =6 . já que.3 Raízes N-ézimas A operação de tomar a raiz de um número é o inverso da operação de potenciação.1 Potências de mesma base: O número n é chamado de índice e o número a é chamado de radicando. enquanto o número 3 é o índice da raiz. 3 −8 =−2 . repetimos o expoente e multiplicamos as bases: ambm = (ab)m Para dividir. já que. 8 2= . an · am = an+m 2 Para dividir. • 3 27 3= chamamos essa raiz de raiz cúbica. Para multiplicar. já que. 6 −1 • Escrevemos as raízes de números reais da forma 1 2 fracionária: 5 = 5 . 5 −243 = −3 • Não existe raiz real de índice par de um número negativo. repetimos a base e subtraímos os expoentes: = . assim. 45 1.024 4= . devemos repetir o índice e multiplicar os radicandos: a m b = m ab Para dividir.7 Alteração de Índice Multiplicar a dividir o índice pelo mesmo inteiro não muda o resultado da raiz Ex. devemos repetir o índice e dividir os radicandos: m b =m a b 5 A potência de uma raiz é a raiz da potência transformando a base em radicando: ( a) n m = n am Ex.4 Raízes de mesmo índice Para multiplicar.5 Raiz da raiz 3 4 ⋅ 24 = ( 3 ⋅ 2 ) = 6 4 4 53 5 = 23 2 8 = 2 Quando tiramos a raiz de uma raiz. dizer que 4 −3 não é um número real.5.: 2 3= a 12 1.5. 4 ( −3 ) 5 ( ) 5 = 4 −3 já que 9o Ano 237 . não faz sentido.: As propriedades acima são validas desde que as raízes estejam bem definidas.5. multiplicamos os índices e mantemos os radicandos: 3 m n a = m⋅ n a 4 204 20 = = 44 54 5 • 1.: • • n am = 3⋅2 6 4 = 23 2 2) (= = 22 3 4 2⋅3 n⋅ p a m⋅ p 8 4 2= 2= 4 8 Obs. usamos a mesma base e multiplicamos os expoentes: ( ) a m n =a 1. Ex.3 Potência da potência Para fazermos a potência de uma potência.5.: • ( 2) 3 5 = 3 25 1. ou seja.: 5 • (34) = 34 · 5 = 320 • (8)4 = (23)4 = 23 · 4 = 212 • (– 27)5 = ((– 3)3)5 = (– 3)3 · 5 = (– 3)15 m = 5 4 3 2⋅3 = 6 neste momento.Potenciação e radiciação am a = b m b m Ex.: 8 = 2 18 = = 4 2 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 32 = 3 2 1.5.6 Potência da raíz 6 8 • = m = 5 4⋅3 m⋅ n Ex. . 1 tem quantos (D) 121 (E) 991 10 (OBM) Dividindo-se o número 4 o número: (D) 636 (E) 3636 990 (D) 48 (E) 412 ( 4 ) por 44 obtemos 2 . encontramos quociente 3 e resto 2. vejamos outros exemplos: • • • • 3 81= 3 3 = 4 3 1 3 a = a ⋅ a = a ⋅ a = a a .0625 2 é igual a: (A) 1 2 (D) 2 (B) 1 2 (E) 8 (C) 1 07 (CEFETEQ) Calcule o valor de k para que a metade de ( 231 · 450) seja 45k.5)4 = 02 (PUC-SP) Sendo n inteiro.52001 é igual a: (0. se n é par (C) 1.125 (B) 0. (A) 2 (B) 4 (C) 5 1)n 8 08 A soma dos algarismos da representação decimal do número 21999.12121212. um jeito mais simples de fazer isso é dividir o expoente 17 pelo radicando 5. A esta forma de “retirar” de dentro da raiz parte do radicando chamamos de simplificação de uma raiz. já que 22 dividido por 3 deixa quociente 7 e resto 1 4 39513 =4 39 ⋅ 4 513 =32 ⋅ 4 31 ⋅ 53 4 51 =32 ⋅ 53 4 3 ⋅ 5 EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 (PUC-SP) (A) 6 (B) 8 (C) 10 05 A quarta parte de 816 é igual a: (A) 216 (B) 423 (C) 84 (D) 224 (E) 48 (2 ) 06 A razão (4 ) 8 (A) 0.Matemática II – Assunto 1 1. usamos o fato de que o número 18 é o produto do quadrado perfeito 9 pelo número 2.. ) divisores naturais? (A) 12 (B) 13 (C) 120 03 O valor de 66+66+66+66+66+66é : (A) 66 (B) 67 (C) 366 (A) 2 (B) 43 (C) 44 238 Vol.0125 (C) 0. (– (D) 12 (E) 14 4 3 ⋅3 = 3 3 3 20 + 2−1 + 2 é igual a : 2−2 + 2−3 + 2−4 é igual a: (A) – 1 . O quociente será o expoente do termo que sai da raiz e o resto será o expoente do termo que fica dentro da raiz. 5 17 5 15 2 5 15 5 2 35 2 3 222= 27 ⋅ 3 2 . se n é ímpar (D) um número imaginário (D) 7 (E) 10 09 (CFS) A potencia ( 20.625 (D) 0.6 Simplificação de raízes de números racionais 04 O valor de Vejamos o seguinte exemplo: 18 = 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 32 = 3 2 Aqui. se n é ímpar (B) – 1. b 2 = b a 4 1212 é igual a: ( 0.. 20 O valor de 0. (D) 0. MILITAR) A expressão 162 .0.2−1/3. – 5 < -6 (A) 66 VI.222. = a + 2b 2 V.000075 10 (7 ) ( ) ÷ 10−4... (D) Apenas três são verdadeiras..666.333. 12 O valor de 2 254 t é: (A) 252t (D) 5 2t 2t (E) 52 t (B) 25 2 (C) 252 t 13 A raiz sétima de 7 7 (E) ( ) 6 16 (CAP-UFRJ) Se seu professor de matemática 1 pedisse para você somar com 2 e em seguida 3 3 escrevesse o inverso do resultado encontrado na forma mais simples possível.444. 0 / 0 = 0 2a + 2b IV.Potenciação e radiciação 11 (CEFETEQ) Considerando as afirmações: 15 O número a2 + b2 =a + b I. II. é: (A) 1 1 2 1 (C) 4 (B) (3 ⋅ 2 ) 20 + 7 ⋅ 219 ⋅ 52 ( ) 13 ⋅ 84 2 é igual a: (D) 1 8 1 (E) 16 9o Ano 239 ... (E) Existem exatamente quatro verdadeiras.31/3 .0444. (C) 0. (B) 0. Temos que: (A) Todas são falsas. (B) Apenas uma é verdadeira.005 ) 2 . 1 / 0 = 1 III.. é equivalente a: (A) 1/164 (B) 2 (C) 4 (D) 32-2 8 18 (UFRGS) O valor de (A) 2 3 2 (B) 26 3 22 3 2 2 é: (D) 4 (E) 8 (C) 2 (6 ) 7 3 7 (D) 7 3 19 (CEFETEQ) Calcule o valor da expressão (7 −1) 7 7 (C) 2 (7 ) é igual a : (A) 77 (B) (D) 122 (B) (2 3)12 (E) 2 3 12 (C) 6 a2 .. você obteria que valor? gabarito 6 − 3 −2 17 (C. (C) Apenas duas são verdadeiras.. 6 ( ) 7 7 14 (PUC) O valor de (A) 0.. 125)−3 como potência de base 2.. x 98) x (4 x 8 x 12 x 16 x . + 50 21 ) 5 + 10 + 15 + .000 (E) 1 23 (EPCAR) O inverso de x y 3 y .000 (D) 1. 20. 27 (CN) A expressão x2 y x yx 5 x 14 3 16 (B) − 3 (C) – 6 (A) − xy 2 y 24 (CEFET) Assinale a alternativa em que temos um par de radicais semelhantes: (D) − 22 3 (E) – 8 28 (CN) Resolvendo-se a expressão: 3 (A) 9 2 e 4 3 x= 80.333. y > 0 . 3 16 escrita (0.000 000 12)4 (A) (D) (A) 350 (D) 16 (E) 18 (E) 225 26 (CN) Qual o valor da expressão abaixo: ( 1+ 2 + 3 + .. x 300) (2 x 6 x 10 x 14 x . x 100) 4 +4 +4 +4 6 +6 +6 +6 +6 +6 ⋅ = 2n 5 5 5 5 5 3 +3 +3 2 +2 obtém-se 5 5 5 5 (A) 10 (B) 12 (C) 14 5 5 5 5 5 5 (A) 50.....Matemática II – Assunto 1 21 (CEFETEQ) Qual o valor do inteiro positivo n para o qual se tem? 25 CN) Simplificando-se a expressão (6 x 12 x 18 x .5 1 49 3 (B) 5 2 e 4 2 (C) – 2 3 9 e 3 3 9 (D) 7 5 e 7 3 2 (E) 3 7 e − 3 6 240 Vol..000 000 000 4)3 ⋅ (8 100 000 000) é igual a: N2 = (0..666.000 (B) 25. + 4 2 − 2 9 + 90. x > 0.000 (C) 5... tem como expoente.. é x igual a: (B) (C) (D) 6 3 6 3 3 2 3 (C) 2 (B) 22 O n ú m e r o r e a l p o s i t i v o N t a l q u e (0.. 5)-2 . + 250 3 5 5 (A) 1 (D) 3 5 (E) 5 (B) 5 5 (C) xy 5 y 3 4 (0. 1 (A) 1 (B) 2 (C) 3 − 1 2 ... . encontra-se: (D) 4 (E) 5 . 7 7 III. 3 3 32 =2 1 III.1 (D) 1. 32 = . (E) Todas são verdadeiras. para todo A e B reais (A) Todas são verdadeiras (B) (III) é a única falsa (C) Somente (I) e (II) são verdadeiras. Para todo x positivo. a ∈ IR+* 3 a a a 88 x2 = x O número de afirmativas falsas é igual a: 30 (EPCAR) Marque a alternativa falsa I.1 V. 0. c . (C) b c I. (B) Três são verdadeiras e duas são falsas. x 2 + 2 x + 1 = x + 1. (E) Existe somente uma sentença verdadeira.666) = 0. A4 + B4 = A2 + B2 . (C) Quatro são verdadeiras e uma é falsa. II. 25 + 56 = 9 IV. (D) Somente (3) é verdadeira.222 2 VI. V. a 3 a2 a3 12 (B) = a a7 . 4 512 < 3 128 6 Pode-se concluir que: EXERCÍCIOS NÍVEL 2 IV.1 ) (A) 4. 34 Considere as sentenças dadas abaixo: 8 é igual a 8 8 . O valor de (D) 4 (E) 5 4 II. A raiz sétima de 7 IV. (D) (IV) é a única falsa. 35 = 1.333) ⋅ ( 0. 9 IV. ( a ) = ( a ) II.1 > 0. = 64 5 6 (D) 2 2 + 2 2 = 3 3 6 + (A) 1 (B) 2 (C) 3 I. ∀ x ∈ IR II.25 1 III. 81 = ±9 Pode-se afirmar que o número de sentenças verdadeiras é (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) 0 9o Ano 241 . 180 III. 811/2 = 9. x > x 33 Considere as sentenças abaixo. 2 · 3 = 360. O último algarismo não nulo de 0 35 = 1 20002000 é 6. Para todos racionais a. O número b 0. (B) 3. 20 + 80 = Pode-se afirmar que o número de setenças verdadeiras é: (A) 32 Considere as afirmativas: I. −3−2 = 9 1 3 II. Conclua que: (A) Duas são verdadeiras e três são falsas. 1 c (0. 2 4936 a é 4936 a . ( 0.Potenciação e radiciação 29 (CN) Considere as setenças dadas abaixo: 0 I. (C) 2. A raiz oitava de 88+ 88 + 88+ 88+ 88+ 88+ 88 + III. x 2 = x somente se x ³ 0 ( ) −1 3 48 = 21024 31 Considere as afirmativas: 1212 é igual a 66 . b. 2 2 IV. Para todos racionais x . (E) 0. (7 ) é igual a 7(7 −1) . Matemática II – Assunto 1 35 Considere as afirmativas: 40 Considere as afirmativas: 1 1 −1 I. O valor de ( ) 4 é igual a − . 16 4 1 −23 II. O valor de ( − ) é igual a −25 . 125 −( 2−2 ) 1 III. O valor de 81 é igual a − . 3 2−2 4 IV. O valor de 22 é igual a 2 2 . I. A soma 88 + 88+ 88+ 88+ 88+ 88+ 88+ 88 é igual a 89. II. O cubo de 44 é 88. III. A metade de 48 é igual a 323. IV. Se 24 · 38 = n · 64 então o valor de n é igual a 31. 27 V. Se 9– x = 7 então o valor de 272x +1 é igual a 343 . O número de afirmativas falsas é igual a: O número de afirmativas verdadeiras é igual a: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 3 (E) 4 36 Se a e b são números positivos tais que ab = ba e b = 9a então o valor de a é igual a: (A) 9 (D) 9 1 4 3 (B) (E) 9 3 (C) 9 9 37 Sabendo que 5 3 x 2 = 20116 , y = 20114 e z 4 = 20118 com x > 0, y > 0 e z > 0, o valor de ( x ⋅ y ⋅ z) − 1 3 é igual a: (A) 20119 (B) 20116 (C) 2011−7 (D) 2011−6 (D) 8 (E) 9 39 Dentre as afirmativas abaixo, assinale aquela que não é verdadeira para todo natural n: (A) (– 1)2n = 1 (B) (– 1)n – 1 = (– 1)n + 1 2 (C) (– 1)n = (– 1)n (D) (– 1)2n – 1= – (– 1)2n (E) (– 1)3n = – (– 1)2n 242 Vol. 1 41 Considere as afirmativas: I. Se 4n + 4n + 4n+ 4n = 244 então, n é igual a 21. II. Simplificando 5103 ÷ (517 · 58)4 + (324 ÷ 92 +5 · · 23)+ 100 obtemos 170. III. O valor de (45 · 213) ÷ 87 + (274 · 95) ÷ 320 é igual a 12. IV. A soma 1 + 1 + 2 + 22 + 23 +· · · + 22011 é igual a 22012. V. O número de algarismos do produto 519 · 88 é igual a 20. Conclua que: 331 + 231 38 O maior inteiro menor ou igual a 29 29 é: 3 +2 (A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 4 (E) 5 (A) (1), (3) e (4) são verdadeiras. (B) (1), (2) e (3) são verdadeiras. (C) Somente (1) e (3) são verdadeiras. (D) Somente (2) e (3) são verdadeiras.. (E) Somente (3) e (5) são falsas. 42 Considere as afirmativas: I. O quociente de 5050 por 2525 é igual a 225. 1530 II. O valor de 15 é igual a 515. 45 (2 ) A razão (4 ) 4 III. 8 8 2 é igual a 2. 612 obtemos 729. 126 V. O número de ternos ordenados (x, y, z) tais que (xy)z = 64 é igual a 9. IV. Simplificando Potenciação e radiciação 47 (CN) Sendo x2 = 343, y3 = 492 e z6 = 75, o algarismo das unidades simples do resultado de 24 xy é z (A) 1 (D) 7 (B) 3 (E) 9 (C) 5 Conclua que: (A) Duas são verdadeiras e três são falsas. (B) Três são verdadeiras e duas são falsas. (C) Quatro são verdadeiras e uma é falsa. (D) Somente (3) é verdadeira. (E) Todas são verdadeiras. 43 (CN) Resolvendo-se a expressão −7,2 48 A solução da equação x x 0 12 5 3 1,331 − 1 1 × 302 encontra-se: 33 33 33 33 33 8 +8 +8 +8 +8 2 ( ) (A) 4 (B) 3 (C) 2 (A) 4 2 (B) 5 (D) 10 (E) 100 2 (B) 2 II. ( −1 ⋅ 4 = −1 ⋅ 9 4 2 = 9 3 −2 ) = −2 2 3+2= 3+ 2 Assinale a alternativa correta: 2+ 51 + (A) Todas as afirmativas são falsas. (B) Somente 2 é verdadeira. (C) 1 e 2 são verdadeiras. (D) 1, 2 e 3 são verdadeiras. (E) Todas as afirmativas são verdadeiras 50 (CN) O valor da expressão x y 3 x , com x > 0 e y y > 0, é igual a (A) (D) – 2 (E) 2 = −2 ( −1) ⋅ ( 4 ) −4 = = ( −1) ⋅ ( 9 ) −9 IV. (D) 29 (E) 31 46 (EPCAR) O inverso de ( −2) I. III. 45 (CN) Os números da forma 4k + 50 + 4k 2 2 4k + 52 + 4k + 53 são sempre múltiplos de: (A) 17 (B) 19 (C) 23 = 2 é: 49 (CN) São dadas as afirmativas abaixo no conjunto dos números reais: 44 O valor numérico da expressão ab−2 ⋅ ( a−1b2 )4 ⋅ ( ab−1 )2 E = −2 para a = 10–3 e b = – 10–2 a b ⋅ ( a2 b−1 )3 ⋅ a−1b é igual a: (A) −100 (B) −10 (C) 1 ... 2 (C) (D) 1 (E) 0 xx −2 16 16 3 3 − + ⋅ ( 0,333... + 1) − − 27 9 4 1 3 6 6 xy 5 (C) yx 5 y x (A) 3 − 3 3 xy 2 x 2 y (D) y x (B) 3 2 3 25 +3 2 ,é (D) 1 (E) −1 (C) 0 9o Ano 243 Produtos notáveis (I) A ssunto 2 Matemática II 1. Produtos Notáveis 1.1 introdução Existem algumas operações de multiplicação que aparecem com uma grande frequência na matemática, por isso entendemos que é preferível memorizar o resultado final a refazer várias vezes as mesmas contas. Po r e x e m p l o , s e t i v e r m o s q u e e f e t u a r 1+ 3 1+ 3 , usamos a propriedade distributiva ( )( ) 1.2.6 Produto de Stevin: ( x + y )⋅( x + z) = x 2 + ( y + z ) ⋅ x + ( yz ) 1.2.7 Produto da soma pela diferença ( a + b )( a − b ) = a2 − b2 2 Fatoração 2.1 introdução Fatorar uma expressão é transformar uma soma ou diferença de duas ou mais parcelas em um produto de 1+ 3 1+ 3 = 1⋅ 1+ 1⋅ 3 + 1⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = 1+ 2 3 + 3 fatores de grau menor que a expressão original. Usaremos duas técnicas básicas: 3 + 3 ⋅ 3 = 1+ 2 3 + 3. para descobrir o resultado. Assim: ( )( ) Repare que, se fizermos qualquer outra soma de dois termos multiplicada por ela mesma, faremos o mesmo tipo de conta: ( a + b ) = ( a + b )( a + b ) = a ⋅ a + b ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ b ⇔ 2 ( a + b ) =a2 + 2ab + b2 . 2 Então memorizamos que o quadrado da soma de dois termos é dado pelo quadrado do primeiro mais duas vezes o produto desses termos somado ao quadrado do segundo termo. 1.2 Principais produtos notáveis 1.2.1 Quadrado da soma: ( a + b )2 =a2 + 2 ab + b2 1.2.2 Quadrado da diferença ( a − b )2 =a2 − 2 ab + b2 1.2.3 Cubo da soma ( a + b )3 =a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3 1.2.4 Cubo da diferença ( a − b )3 =a3 − 3 a2 b + 3 ab2 − b3 1.2.5 Quadrado da soma de 3 termos ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc 244 Vol. 1 2.1.1 Colocar em evidência um fator comum Quando todas as parcelas de uma soma ou diferença possuem um fator comum, podemos colocálo em evidência: • • ac + cb = c ( a + b ) , já que as duas parcelas possuem o fator c; 2 x 2 + 4 xy = 2 x ( x + 2 y ) . Nessa expressão, os fatores comuns são 2 e x. Dentro do parênteses, colocamos cada uma das parcelas anteriores divididas pelos fatores comuns; 2 x 2 + 4 xy + 6 x= 2 x ( x + 2 y + 3 ) . Podemos ter, • nessa expressão, mais de duas parcelas. 2 2 • 3 a b + 6 ab = 3 ab ( a + 2 b ) . 2.1.2 Agrupamento Trata-se de colocar em evidência mais de um grupo: a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ d + c ⋅ d =a ⋅ ( b + c ) + d ⋅ ( b + c ) = = ( b + c) ⋅ ( a + d ). Colocamos em evidência o a nos dois primeiros termos e o d nos dois últimos. Teremos uma soma de duas parcelas com o fator (b + c), que pode ser colocado em evidência para obtermos a fatoração final. O primeiro termo é o quadrado de m e o último.Produtos notáveis (I) 2. 36 + x 2 − 12 x 04 (C. 2 ab + bnão Assim: 2 a3 − b3 = a3 + a2 b + ab2 − b3 − a2 b − ab2 ⇔ ( quadrado de 3. o a3 + b3 = a3 − a2 b + ab2 + b3 + a2 b − ab2 ⇔ ( ) ( ) a3 − b3= a a2 − ab + b2 + b b3 − ab + b2 ⇔ 2 ( a3 + b3 = ( a + b ) b3 − ab + b2 ) EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 (CEFET) Simplifique x3 − 8 . obtemos: + 1 − x3 + 1 x −1 2 (A) x2 (B) x3 + 1 (C) x3 – 1 (D) x2 + 1 (E) x3 9o Ano 245 . =a +termo.1 Principais fatorações Diferença de quadrados: Utilizamos também os conhecimentos dos produtos notáveis para escrever as expressões em suas formas fatoradas. 2: 2 y 2 − 4 xy + 4 x= 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ m + (3) (y) 2 ( a3 − b3 = ( a − b ) b3 + ab + b2 ) ) Soma de cubos: 3 − 2 ⋅ 2x ⋅ y + (2x ) ) ( a3 − b3= a a2 + ab + b2 − b b3 + ab + b2 ⇔ Ex. Como o termo do meio é + 2 ⋅ 3 ⋅ m . ( a + b) 2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) Diferença de cubos Aqui usaremos que. isso pode ser fatorado como a soma: m2 + 6 m += 9 ( m) Ex. Trinômio quadrado perfeito Usamos os produtos notáveis: ( a + b) 2 =a2 + 2 ab + b2 para fatorar expressões.: Notemos a seguinte expressão: m2 + 6 m + 9 . assinale a única alternativa correta: (A) x2 − 4 = x − 2 (B) 2x + 3y = x + 3y 2 (C) 9 a = 3 a (D) 23=6 x2 −1 = x −1 (E) x −1 03 (CAP-UFRJ) Simplifique ao máximo a fração x 2 − 8 x + 12 . encontramos: 2 x 4 + 3 x 3 − 9 x 2 − 27 x − 81 1 x −3 x +3 (E) x −3 (A) x + 3 (D) 1 x +3 (C) x – 3 (B) 05 (CEFET) Simplificando a expressão a seguir (x 5 ) ( ) . MILITAR) Simplificando a fração algébrica 2 x 3 − 3 x 2 − 27 . ao somar e subtrair um mesmo 2 alteramos a expressão para fator a3 – b3. x2 − 4 02 (CEFET) Considerando as igualdades. então 4n + 4–n é igual a: (A) 23 (B) 25 (C) 32 (D) 33 (E) 34 15 (CEFET) Se x + y = 1 e x2 + y2 =2. o valor da expressão 1 1 1 é: + + ( a − b)( a − c) ( b − a)( b − c) ( c − a)( c − b) (A) a + b + c (B) sempre 0 (C) a.Matemática II – Assunto 2 06 (CEFET) Efetuando x 3 − xy 2 (x + y) 2 (x − y) ÷ x2 y − y 2 . então x3 + y3 é igual a: 09 (C.999.001) S= .999. 1 1 − 3 3 2 2 a b . 11. 17. tal que x3 + 3x2 + 3x – 1 = 0. 1 (A) 104 (B) 24 (C) 14 (D) 10 (E) 4 14 Se 2n + 2–n = 5.004) − (1.b.998) · (1. temos: 3 a2 + b 2 + c2 = a + b + c ab + c 2.5 (D) 2 16 Determine x real. 2.000. = a+c b 3. um dos fatores é: 246 (A) Somente o item 1 (B) Somente o item 2 (C) Somente os itens 3 e 4 (D) Somente o item 5 (E) Nenhuma. (ab)C = abC 5.998) – (1. 13 O valor de (1. O natural n para o qual (10 12 + 2.996) · · (2. simplificando a expressão a b + ab ⋅ 1 1 − 2 2 a b obtém-se: 3 12 (CEFET) Qual(is) das seguintes sentenças é(são) verdadeira (as). Militar) Na fatoração do polinômio x3 – x2y – xy2 + y3.004 ⋅ 1.500) 2 – – (1012 – 2. (A) (x + y)(x – y) (B) x2 + y3 (C) xy (D) x2y3 (E) x2 07 (PUC) Para a.999. Calcule o valor da expressão (2.003 ⋅ 1.c (D) 3(a + b + c) 1 (E) a + b + c ( ) (A) a + b (B) a2 + ab + b2 (C) a2 + b2 (D) b – a (A) x6y6 (B) x2 + y2 (C) x2 + y3 (D) x2 – xy + y2 (E) (x – y)2 10 Fatore a expressão A =x3 – 5x2 – x +5. então.001 Vol.000) é igual a: 08 (EPCAR) Se a e b são números reais não nulos.500)2 = 10n é igual a : (A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16 (E) 18 .5 (B) 3 (C) 2. – (abc)2 = (– abc)2 1. [(a + b) – c]2 = (a + b)2 – c2 4. b e c distintos. se a ≠ b ≠ c ≠ 0? 3 3 (A) 3.003) − (1. exceto dois. é equivalente a: (A) 4x3 (B) 4yx3 (C) 4zx3 (A) para todos. é: x 2 + y 2 + 2 xy (A) a2 b 2 + + 2. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 9o Ano 247 . 1− 2 3 3 3 2 a −b a+ b a +b a + ab + b 19 Se x = 1+ 4 2 e y = 1− 4 2 . Um dos possíveis valores do quadrado da soma desses dois números é: (A) 529 (B) 625 (C) 729 (D) 841 3 xy ( x + y ) + x 3 + y 3 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 25 Sobre a expressão x2 – y2 – z2 + 2yz + x + y – z. podemos afirmar que: a y y a + − − 1. − 3 − 1 . ÷ = a+ y a− y a+ y a− y 26 Seja 20 (CEFET) Sendo x um número real positivo. b 2 a2 2 ab a2 − ab a2 + ab + b2 2 a3 . valores de y (B) só para dois valores de y (C) para todos os valores de y (D) só para um valor de y (E) para nenhum valor de y (D) 2 x x( x + 1) x x A igualdade é válida: 2003 2003 ( ) ( ) + 2− 3 2003 e 2 − 2− 3 2003 3 .Produtos notáveis (I) 18 (AFA) A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 27. (D) admite x – y + z + 1 por fator (E) nra. .então vale : b x + 1 x x( x + 1) (C) 21 (CN) Se x + (A) 0 (B) 1 (C) 2 x ( x + 1) 27 (CN) Sejam (2 + 3 ) x= 2 1 1 3 . a ≠ 0. então x 3 + 3 é igual a = x x (x 22 (CN) A expressão (2 + 3 ) y= (D) 3 (E) 4 3 + y 3 + z3 x · y · z ≠ 0. (B) 24 Calcule (A) admite – x + y + z por fator (B) admite x – y – z + 1 por fator (C) admite x + y – z + 1 por fator. o valor da fração = a 23 Se ab = 1 e a2 +b2 = 3. O valor de 4x2 – 3y2 é igual a : ) −(x 2 y 3 + z3 (D) 4yzx3 (E) 4xyz 3 − y 3 − z3 ) 2 . determine 2 1 ( x + 1) 2 e= b a x − 1 1− . 705 (E) 9. b e c números distintos.105 (B) 9.505 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96 + 1 é igual a: (D) 9. tais que −1 ( p + q ) ⋅ ( q −2 − p−2 ) p ≠– q e p · q ≠ 0.630 5 (D) 1. A expressão p−2 ⋅ q −2 é equivalente a: (A) p–1 + q–1 (B) p · q (C) p + q 248 Vol.604 15 Tem-se a sequência correta em (A) F – V – F (B) F – F – V (C) V – F – V (D) F – V – V 07 (OBM) Se x.584 15 (B) 2. 1 (D) p–1 + q–2 · p (E) p – q 4 4 (A) b − a 4 b2 2 (B) a b 2 b + a2 (C) b (D) 1 b (E) a2 3 3 8 08 Sabendo que n + n2 + 8 + n − n2 + 8 = em que n é um número inteiro. 2 . (D) 103 (E) 104 (A) 100 (B) 101 (C) 102 29 (ITA) A expressão (2 3 + 5 )5 – (2 3 – 5 )5 é igual a (A) 2. então x + 5 é igual a: x x x−y = ae x+ y= b . em que ∈ .305 (C) 9.690 5 (C) 2. determine o valor de a + b. simplifique a expressão 2 b−c 2 c− a 2 a− b + + + + + b − c ( c − a)( a − b) c − a ( a − b)( b − c) a − b ( b − c)( c − a) (A) a + b + c (B) a – b (C) (a – b)(b – c)(c – a) (D) 2abc (E) 0 . então { x ∈ | x < 0 ou x > a} x a III. se < e a > 0. então x2 – a2 < 0 I. determine o valor de xy 2 (A) 55 (B) 63 (C) 123 (D) 140 (E) 145 02 (CANADÁ) Se a3 + b3 = 4 e ab = são reais. x 2 − a2 = x + a ∀x ∈ x−a 1 1 II. onde a e b 3 03 Fatore 4a2c2 – ( a2 + c2 – b2 )2 04 O valor de (A) 9. se a > 0 e |x| < a.905 05 (EFOMM) Sejam p e q números reais. a e b são reais positivos tais que EXERCÍCIOS NÍVEL 2 1 1 5 01 Se x >0 e x + 2 = 7 . o valor de n é igual a: (A) 1 (B) (C) 8 (D) (E) 280 −1 232 09 Sendo a.712 5 (E) 1. y.Matemática II – Assunto 2 28 O produto P= ( 5+ 6+ 7 )( 5+ 6− 7 )( )( 5− 6+ 7 − 5+ 6+ 7 ) é igual a: 06 (AFA) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item abaixo. 5 Identidade de Sophie . então calcule a3 + b3: (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19 (E) 20 04 (CEFET) Se 2 < x < 3.1 Identidades de Legendre (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2) 1. ( ac bd )2 + ( ad ± bc )2 = ( a2 + b2 ) ( c2 + d 2 ) EXERCÍCIOS NÍVEL 1 1.3 Identidade trinômica ou identidade de Argand ( x 2 + x + 1) ⋅ ( x 2 − x + 1) = x 4 + x 2 + 1 ( x 2 + xy + y 2 )( x 2 − xy + y 2 ) = x 4 + x 2 y 2 + y 4 ( x 2 m + x m y n + y 2 n )( x 2 m − x m y n + y 2 n ) = = x 4 m + x 2m y 2n + y 4 n 1. simplificando a expressão x 2 − 8 x + 16 + x 2 + 2 x + 1 .2 Cubo da soma de 3 termos O cubo da soma de três termos pode ser escrito das seguintes maneiras: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b +3a2c + 3b2a + 3b2c+ 3c2a+ 3c2b+6abc (a + b + c)3 ≡ a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) (a + b + c)3= a3 + b3 + c3 + (a + b + c)(ab + bc+ + ca)– 3abc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2 (a + c) + 3c2 (a + b) + 6abc 1. obtemos: x2 − 6x + 9 + x2 − 2x + 1 2x + 3 2x − 4 5 2x − 3 (B) (E) 2 2x + 4 2x − 3 (C) 2x − 4 (A) 1 (D) 05 (CMRJ) simplificando a expressão x ( x 4 − 5 x 2 + 4) − 2( x 4 − 5 x 2 + 4) obtemos: ( x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ) .6 Identidade de Lagrange Neste capitulo trabalharemos fatorações e produtos notáveis mais sofisticados. Introdução 1. ( x 2 − 1) 9o Ano 249 .Germain a4 + 4 b4 = ( a2 + 2 b2 + 2 ab )( a2 + 2 b2 − 2 ab ) 2 2 01 O valor numérico de 49 + 40 − 9 é igual a 98 (A) 16 (D) 19 (B) 17 (E) 20 (C) 18 02 A e x p r e s s ã o ( zx 2 + y 2 z + 2 xyz )( x 2 − y2 x + 3 x y + 3 xy + y 3 2 2 ) 3 é equivalente a: (A) z(x + y) (D) zx – y (B) z(x – y) (E) z+y (C) zx + y 03 Se a + b = 4 e a2 + b2 = 10.4 Identidades de Gauss a3 + b3 + c3 − 3 abc = = ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 − ab − ac − ab ) = 1 2 2 2 = ( a + b + c ) ⋅ ( a − b ) + ( a − c ) + ( b − c ) 2 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) + abc = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) 1.Notáveis e fatoração (II) A ssunto 3 Matemática II 1. 112. 2 − 2 + 2 . k ∈ . O valor da então (A) α ∈ ( – ) (B) α pode ser escrito na forma α = 2k. b e x tais que a + b = x.112003 (E) 2 · 20.112.112. o produto x · y · z é: 10 ( C N ) Vol. tem-se que 2a – 3b vale: (A) 0 (B) 6 (C) – 1 (D) 5 (E) 8 (A) x ≥ 0 e y ≥ 0 (B) x > 0 e y é qualquer (C) x é qualquer e y ≥ 0 (D) x ≥ 0 e y é qualquer (E) x < 0 e y ≥ 0 12 O valor de 40113 − 20063 − 20053 é igual a: 4011⋅ 2006 ⋅ 2005 (A) 1 (B) 3 (C) 2005 (D) 2006 (E) 4011 13 Qual das seguintes alternativas apresenta um fator 4 de x + 1 ? (A) (D) x 2 + 2 x − 1 x + 1 (E) x 2 − 1 (B) x 2 + 1 (C) x 2 − 2 x + 1 09 (AFA) Se 2.1}.007 (D) 2 · 20.Matemática II – Assunto 3 x +2 x −2 (D) x −2 x +2 x −2 (B) (E) 1 x −1 x +1 (C) x −2 (A) 06 (CN) Simplificando a expressão n ∈ N − {0. 1 ( a2 + 2ab + b2 )( a3 − b3 ) ( a2 − b2 )( a2 + ab + b2 ) a2 − ab 2a (C) x2 x2 (D) 2 é . 07 Qual é o valor da expressão 20112011 2 + 201120032 – 16 · 20112007? (A) 2 · 20.112. a expressão 2x y y2 − + 2 x + y y − x y − x2 (x + y) −1 ( + x x2 − y2 ) −1 sempre poderá ser calculada nos reais se.0072 (B) 2 · 20. (C) α ∈ ( − ) ∪ ( − ) (D) ( ∩ ) ∩ ( − ) ⊃ α expressão y = (A) 2 (B) 2x2 250 e (D) 32 (E) 96 n+2 (A) 5 (B) 5–1 (C) 5–2 (D) 52 (E) 50 = α 2 2 2 x y z 8 + + + + + = x y z yz xz xy 3 x+y+z= 16 . ∈ . 2 + 2 + 2 . temos para n 600 25 − 52 n + 2 Se (A) 192 (B) 108 (C) 48 11 (EPCAR) Supondo x e y números reais tais que x2 ≠ y2 e y ≠2x. 2 + 2 . e somente se.0032 (C) 2 · 20. 14 (EPCAR) Considere os números a. a3 + 3a2b +3ab2+b3 =125 e a3 – 3a2b +3ab2 – b3 =1. a – b = x–1 e a ≠ b ≠ 0. b.0112 08 Sejam a. 9958 é divisível por: (A) 199 (B) 247 (C) 307 19 Se −2 (D) 18 22 (A) 1 (B) 3 (E) (C) 7 3 (D) 463 (E) 529 x+ y− z= 0. (C) α ≤ β. (D) α = β ⇔ a = b =c = 1 (E) α2 + β2 – αβ < 0 (A) 1 a+ b (B) a− b b (C) a a− b (D) a+ b a (E) b 21 (CN) Se m+ n +p = 6. podemos dizer que o valor de n p mp mn é: 16 Simplificando a expressão 1 1 2 ⋅ x + x − 1 ⋅ 3 x 2 + 1 ⋅ 1+ 2 + 3 x 2 − 1 ⋅ 1− 2 x x ( 2 4 ) ( ) ( ) para x > 1.9968 – 1. a2 + b2 + 2 ab a2 + b2 − 2 ab a = )( ( ) 2 ab para b ≠ ± a obtém-se: a − b2 ) Podemos afirmar que: 2 (A) α = β ⇔ a = b =c = 0 (B) α ≥ β. b e c Î R+. podemos afirmar que 3 3 (x + y – z)3 é: (A) –6xyz (B) –3xyz (C) –9xyz (D) –27xyz (E) –xyz (A) (a + b) · (a + c) · (b + c) (B) 3(a – b) · (a – c) · (b – c) (C) (ab + ac + bc) · (a + b + c) (D) abc (a + b + c) (E) (2a – b) · (2b – c) · (2c – a) 23 Simplificando a expressão a4 b4 c4 + + ( a − b) ⋅ ( a − c) ( b − a) ⋅ ( b − c) ( c − a) ⋅ ( c − b) obtemos: (A) 1 (B) a + b + c (C) (a – b)×(a – c)×(b – c) ( a + b)2 + ( a + c)2 + ( b + c)2 (D) 2 9o Ano 251 . tal que a. obtemos: (A) x (D) x x (B) x − 1 (E) − x (C) 2 3 3 22 (CN) Simplificando a expressão (a 2 − b2 ) + (b 3 2 − c2 ) + (c 3 2 − a2 ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) 3 2 x2 3 ) 3 3 obtemos: 17 Se x2 – x – 1 = 0 então x3 – 2x + 1 é igual a: (A) – 2 (B) –1 (C) 0 (D) 1 (E) 2 18 O número 1.Notáveis e fatoração (II) 15 (CN) Simplificando b − 2 ab 2 ) − ( a4 − b 4 2 ab20 Considere as expressões α = ab + ac +bc e − 2 − βb2 abc ⋅ a + b + c . mnp = 2 e mn+ mp + m n p + + +np = 11. Sendo assim. y. Um x 3 é a . b e c Î R*.c3 = –3abc. tal que (A) 1 (B) 0 (C) abc (D) (ab + ac + bc) · (a + b + c) (E) abc · (a + b + c) 30 Considerando a expressão z= x − x −1 2x2 4 (A) 72 C) 25 (CN) Seja x um número real tal que x + (A) 11 (B) 12 (C) 13 podemos afirmar que x3 + y3 + z3 vale: 3 a + a 2 + b3 − 3 a 2 + b3 − a . . b e c são números diferentes de zero. a soma x dos algarismos de “a” será: possível valor de x − (D) 14 (E) 15 26 Fatore (x + y + z)3 – (x3 + y3 + z3) 27 Simplificando a expressão 2 x 4 − 1 x2 1+ − 2 2 2x para x ∈ R* obtém-se : 1 2x 2 x4 + x2 −1 (B) 2x2 (A) (C) (D) (E) x2 + 1 2 x2 2 2 28 Considerando (x. onde a. (C) a3 + b3 + c3 = 3abc. y. z números reais não nulos tais que 1 1 1 x + y + z = 0. qual a opção que é uma identidade? (A) a3 – b3 + c3 = 3abc. (B) a3 + b3 + c3 = –3ac. (E) a2 – b2 + c2 = –2abc. x y z 2 x y z = 1 252 Vol. 1 (B) 73 4 73 2 73 (D) 16 (E) 73 8 1 1 1 1 + + = a b c a+ b+c Podemos afirmar que (a + b) · (a + c) · (b + c) é igual a: 29 Sejam a. z) a solução do sistema: 7 x + y + z = 2 1 1 1 7 + + =. (D) a3 – b3 .Matemática II – Assunto 3 24 Sejam x. podemos afirmar que z3 + 3bz – 2a é igual a: (A) zero (B) a + b (C) a – b (D) 2a (E) a2 + b3 EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 (CN) Se a + b + c = 0. O valor de ( x 2 y 2 z 2 ) 3 3 + 3 3 + 3 3 x z y z x y é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 3 = 9 . Usando-se o recurso da complementação de cubos um aluno determinou uma raiz real r da equação x3 – 6x2 + 12x – 29 =0. (a +b + c)3 – (a3 +b3 + c3) = 3 (a + b) (b + c) (c + a) 1 (a +b + c) = [(a – b)2 (b – c)2 (c – a)2]= 3. (a – b)2 + (b – c)2 +(c – a)2 =2(a2 +b2 + c2) – – 2(ab + bc +ac) 2. um dos fatores obtidos é: (A) x2 – x + 1 (B) x2 + x – 1 (C) x2 – x – 1 (D) x3 – x + 1 (E) x3 + x + 1 a3 − b3 73 = . x5 – 1 ≡ (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x +1) IV. c a l c u l a r a3 + b3 + c3 − 3abc . Qual o valor de a – b? e ( a − b )3 3 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (A) – 2 (B) – 1 (C) 0 (D) 4 (E) 5 07 (CN) Um aluno encontrou zero para o valor numérico da expressão x2 + y2 – 2x + 5 + 4y. x 5 − 1 ≡ ( x − 1) x 2 + 1− 5 x + 1 x 2 + 1+ 5 x + 1 2 2 III. x5 – 1 ≡ (x – 1) (x + 1)(x – 1)(x + 1)(x – 1) Quantas são verdadeiras? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 1 (E) 2 08 (CN) Para se explicitar x na equação ax2 + bx+ +c = 0. 1+ x + xy 1+ y + yz 1+ z + xz (A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) 2 (E) – 2 11 Considere as afirmativas: 1.Notáveis e fatoração (II) 02 (CN) O quociente da divisão de (a + b + c)3 – a3 – – b3 – c3 por (a + b) [c2 + c (a + b) + ab] é: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 03 S e a 2 + b 2 + c 2 = 3 ( a b + a c + c b ) . usa-se o recurso da complementação de quadrados. 2 a3 + b3 + c3 Assinale: 9o Ano 253 . Pode-se afirmar que: (A) 0 < r <1 (B) 1 < r < 2 (C) 2 < r < 3 (D) 3 < r < 4 (E) 4 < r < 5 09 Fatorando x5 + x4 + 1 em dois fatores de menor grau. calcule o valor da expressão: 1 1 1 A= + + . a ≠ 0. y e z são reais satisfazendo xyz = 1. x5 – 1 ≡ (x3 + 1) (x2 – 1) V. Pode-se concluir que os valores pelos quais substituiu as variáveis x e y são tais que sua soma é: 10 Sabendo que x. (a + b + c)(ab + ac + bc) 04 Calcule a soma dos algarismos do número 2006 ⋅ 2005 ⋅ 2004 ⋅ 2003 + 1 : (A) 21 (B) 23 (C) 25 (D) 27 (E) 29 05 Sejam a e b números primos entre si com a > b>0 (D) 4 (E) 5 06 (CN) Dadas as afirmativas a seguir: I. x5 – 1 ≡ (x2 – 1) (x + 1) (x – 1) II. satisfazem a equação y2 – x2 = 2x + 1? (A) 23 (B) 24 (C) 25 (D) 26 (E) 35 que x 3 + y 3 = 9 e (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 17 (OBM) O número de pares (x. K também pode ser expresso por: (A) 3a2 + 86a + 1 (B) 3a2 + 84a + 1 (C) 6a2 + 86a + 1 (D) 6a2 + 84a + 1 (E) 9a2 + 86a + 1 20 Quantos pares ordenados (a. c e d. b) e inteiros positivos 2014 existem tais que 2 inteiro? a + b2 (A) 5 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 . (B) Se somente as afirmativas (1) e (3) forem verdadeiras. y) ∈ N 2. é igual a: (A) 40 (B) 41 (C) 42 (D) 43 (E) 44 18 (OBM) Sejam a. 1 a2 – ab = 1 b2 – bc = 1 c2 – ac = 1 O valor de abc×(a + b + c) é igual a: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) –1 (E) –3 19 (CN) Sabe-se que a3 – 3a + 1 =93 e K = a4 – – 6a + 1. x + y = s. onde 1993 < x < y < 2020. o valor numérico de: 13 Se x 2 + x + 1 = 2 2 2 1 2 1 3 1 27 1 x + x + x + x 2 + x + x 3 + + x + x 27 2 é: (A) 27 (B) 52 (C) 54 (D) 36 (E) 18 14 Os inteiros a. (E) depende de a. y) de inteiros positivos que satisfazem a equação x8 + 3y4 = 4x4y3. b. x2004 + y2004 = t e x2005 + y2005 = u. Sobre o número 2(a + b)×(c + d)×(ac + bd – A) podemos afirmar que: (A) é um quadrado perfeito. O valor de x2008 + y2008 é dado por: (A) s3u + 2psu + p2t (B) s3u + s2pt – 2psu + p2t (C) s3u2 – s2pt + 2psu– p2t (D) s3u – s2pt + p2t (E) su2 – s2pt + 2psu– pt2 254 16 Determine x + y. (C) Se somente as afirmativas (2) e (3) forem verdadeiras. (B) é um cubo perfeito.Matemática II – Assunto 3 (A) Se somente as afirmativas (1) e (2) forem verdadeiras. c. b. (C) é a quarta potência de um natural (D) depende de A. sabendo Vol. d e A são tais que a2 + A = b2 e c2 + A = d2. (D) Se todas as afirmativas forem verdadeiras. 12 Quantos pares ordenados (x. 15 Considere x · y = p. onde x e y são reais. b e c números tais que 0. Logo. com 1≤ y ≤ 2007. (E) Se todas as afirmativas forem falsas. 2 +1 2 + 1 ( 2 ) − 2 ⋅ 1+ 1 = ⋅ = = 3− 2 3 − 2 3 + 2 ( 3) −( 2) 2) − 2 +1 ( 2= ) − 2 ⋅ 1+ 1 (= 3+ 2 = = = 3+ 2 2+1 3−2 ( 2) +1 4 4 3 4 3 4 4 3 3 1 = ⋅ 3 3 −1 3 3 −1 3 3 1 4 4 4 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 II.: 1 1 2 2 6 2 = ⋅ = = 2 2 2 2 22 I.1 Utilizando potências e raízes 1 = Ex. 3 2 5. 2 .: ( 2 ) − 2 ⋅ 1+ 1 = 1 1 = ⋅ II. 3 + 3 − 5 2 6 6 12 = 1. 2+ 3 2 ) −( 5) 6 ⋅ 6 ) 2 + 2. 1 1 3+ 2 3+ 2 I. O grande problema nestes 5 − 3 .Racionalização e radical duplo A ssunto 4 Matemática II 1. trabalharemos expressões como = = 2 2 2 1 −4 2 . Racionalização de denominadores 5 III. 27 ( ) + 3 ⋅ 1+ 1 III. = = = 2.2 Utilizando a 3 −1 2 3) −1 ( 2 2 fatoração (a + b)(a – b) = a – b Ex. para isso indicaremos 1 1 1 = = = algumas técnicas básicas: 2 2 ( ) ( ) ( ( 1. 6 3 6. 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 4 − 3 2 +1 3 1 = 3 9−36+34 3+32 = 3 3 3 3 + 32 3 ( ) ( ) 3 1 9−36+34 3 3+32 = 3+2 3 3 ⋅3 3+32 = 3+32 3+32 5 9o Ano 255 . 5 = 5+ 3 5+ 3 5− 3 ⋅ = 5− 3 5 5 −5 3 5 5 −5 3 Neste capítulo. 27 3 3 3 3 3) + 3 +1 ( 3= ) + 3 ⋅ 1+ 1 (= 9 + 3 +1 1. 3 2 .3 Utilizando outras fatorações como a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) e a3 – b3 = (a – b)(a2+ ab + b2) 3 1 2 5. II. 7 5 3 156320 números é que eles possuem um número irracional 1 1 1 no denominador. 5 .= = 3 2 3 1 3 3 2 2 2 2 5 ( ) + 3 ⋅ 1+ 1 = I. = ⋅ = IV. 27 6. . 2 + 3 + 5 2 + 3 + 5 + − 2 3 5 O que temos que aprender aqui é como tornar racionais estes denominadores. = 1 2 +1 = 2 −1 = 2 −1 1 2 +1 ⋅ 2 −1 2 −1 2 −1 = 2 −1 ( 2) 2 2 −1 = = III. como o valor de C é um número racional. tomamos= A 5. (B) 3. 1 5 2 2 − 3(1+ 3) 05 (Fuvest) Racionalize (A) 2+2 6 + 3 3 2+ 3 3 : (D) 3 + 6 3 (B) 5 + 2 6 (E) 3 6 +3 6 (C) 2 + 6 6 06 Racionalize a2 b 6 ab2 07 O numerador racionalizado e simplificado de 7 10 − 3 é: (D) 7. C= 3+ 5 = 3+2 3−2 + = 2 2 01 Racionalize: a. (C) 5.: 5 + 2 6 = 5 + 24 . 256 04 Calcule 1 02 Racionalize: 1 a. B =. (B) 5 . 3 + 5 . (A) 10 . (E) 5 2 . as transforma na soma de dois radicais: A± B = A+ C ± 2 A−C C . (E) 9. (D) 5.Matemática II – Assunto 4 2.: Essa formula só faz sentido quando o valor de C for um número racional. como 5 + 2 6 . em que= 2 A2 − B Ex. 10 + 2 5+ 2 (D) 2 5 . (D) a . quando possível. e teremos: C = 52 − 24 = 1. A =3. (C) 2. c. com m < n 09 O valor de 2 −1 2 3 5 +1 Vol. 5 logo. 32 − 5= 2 5 1 10 + 2 + = 2 2 2 EXERCÍCIOS NÍVEL 1 03 (C. 1 b.5. 1 (A) 1.5. d. 3 ab . (A) 1. Radical duplo Existe uma fórmula muito útil para expressões que possuem um radical dentro do outro. que. (C) 5. 3+ 2 c. 08 Racionalizando o denominador da fração 7 a22 1 obtemos: n xm . (B) 4. b.Pedro II) O valor da expressão 13 + 7 + 2 + 4 é: 3b ab é: (C) b. 2 2 1 3 (A) 4. (B) a.= B 24 I. podemos usar que: 5+1 5 −1 + =3+ 2 2 2 Obs. 5+2 6 = II. (B) 3 + 2 . 5 . obtemos: 3+ 6 . (B) 7 − 2 10 . (D) 2 5 − 3 . 2 2 2 x − x − 4 x x + x − 4 x x − 4 x ? (A) 1. a+ b + a− b . (C) 2. 14 (UNIP-SP) (A) 5 + 1 . (A) 1. 1+ 3 vemos que a razão é igual a: 3 −1 (A) 2 + 3 . (B) x. 3−32. (D) 2 3 +3 2 (B) −2 6 + 5 . (D) 3 3 2 − 1. 3 (B) 3 (E) 2 + 1. obtém-se como resultado: (A) 7. (D) 5 + 2 − 2 10 .Racionalização e radical duplo 10 O radical 6 − 2 5 é equivalente a: 15 (CMRJ) Racionalizando o denominador da expressão (C) 5 + 1 . (D) 5 − 1. (B) 2. (E) 5 − 2 − 2 10 . (E) (C) 3 17 . (B) 5 − 1. 3+ 2 . 5 . 9o Ano 257 . 13 (EPCAr) Depois de racionalizar e efetuar os cálculos em 5+ 2 5− 2 ) −2 10 . 3− 2 ( 4 −1 a+ b − a− b 12 (EsSA) Racionalizando o denominador da 3 3 4 −1 6 16 Ra c i o n a l i z a r o d e n o m i n a d o r d a f r a ç ã o (C) 1+ 2 3 . (D) 2 + 2 3 . . (E) . (C) 7 − 2 10 . 3−3 4. 18 (CMRJ) O valor simplificado da expressão 2+ 3 é: E= 3 (A) 6 17 6 . (D) 0. 4 2 +1 (C) . (C) 5 + 3 . expressão (A) 3 4+ 5 2+ 5 17 (CEFET-Adaptada) Quanto vale: x + x2 − 4x x − x2 − 4x 1 − . (A) 3 6. 4 (C) 2 + 3 . . encontamos: 6 2 −1 2 − 1. 76 19 (FUVEST-SP) é igual a: (A) (B) (C) (D) 5+ 5+ 5− 5+ 2 5− 3 − 2 3 2 é igual a: 3+34. 3−3 2. 11 (CESGRANRIO) Racionalizando o denominador. (D) 76 (B) 3 5. 5 e 2.Matemática II – Assunto 4 20 O número 2 2+ 2 + 2 é igual a: ( ) 2 (2 + 2 ) − 2. (C) 4 e 6. (B) 3 2 + 3 4 + 1. (E) nra. (A) 3 ( m − n) 2 (B) 3 m − n (C) 3 ( m + n) 2 (D) 3 m ⋅ n 25 O número (A) 2. (E) 6. 29 Simplificando a expressão 2 n1. (E) 2 2 . 1 3 + 2 2 − 3 − 2 2 é igual a: (D) 6 . está situado entre: (C) 2 e 2. (E) 2 2+ 2 . (A) 2. 15 (A) − 1 . (B) 2 3 . 2 5− 3 − 2 3 2 é um número que está entre: (D) 6 e 8. 24 A expressão (A) 14. (E) 1.5.5 ⋅ 0. 23 Racionalize 26 O número N = 7 + 2 6 − 7 − 2 6 é igual a: Vol. (D) 2. (D) (B) 21 (CEFET) A expressão 3 4 −1 3 2 −1 é igual a: (A) 1+ 3 2 . 1 3 2 −1 . 1 22 (CEFET) O número 2 −1 (A) 1 e 1. 4 + 2 3 − 28 + 10 3 é igual a: 15 2 (D) − .5 + m + 0. 2 . (E) 8 e 10. (E) 10.5 m m0.5 e 3. (B) 4 6 . (B) 4. (C) 4 2. (A) 0 e 2. 5 4 (C) − .5 − n0.5 m obtemos: 2+ 3 2− 3 + 2− 3 2+ 3 é igual a: (D) 8. (A) 3 2 + 1 . (D) 3 2 . (B) 1− 3 2 . (E) 3 m2 + n 2 EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 Racionalize 1+ 3 2 1+ 3 2 + 3 4 .5 n0. (C) 1+ 3 4 . (C) 6.5. (C) 2. 27 O valor de (C) 2 + 2 . (A) 2 . − 2 3 . 258 (D) 4. 3 3 (B) − .5 3 m0. (C) 3 4 − 3 2 + 1. (B) 2 e 4. (B) 1. (D) 1− 3 4 .5 − n0. 15 28 (CN) (E) − 3 . 08 R e s o l v e n d o a e q u a ç ã o −4 4 ab − b 05 Simplificando a expressão ..64. a − 4 ab obtemos: b 4 ab . 4 03 Seja= A que: 4 x 3 y − 4 xy 3 1+ xy + 06 Dada a expressão 4 xy y x − −2 1 y y 2 + . . (E) 9. + e 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 224 ⋅ 225 (A) A ∈ ( R − Q ) . calcule o valor da expressão para 1+ 2 x x x = 9 e y = 0. (D) A > 3. (E) a .5 · (1 + a–0. (C) a + 1 . (B) 2 a .. (C) 3. (D) N = 4 . = b 1 1+ 2 + 1 2+ 3 + 1 3+ 4 + . (B) N é inteiro e possui 16 divisores positivos. b b (A) (A) N é irracional..6. (B) 1 < A < 3/2. (B) 2. (D) 4. A respeito do número N. (D) a a a 4 (B) . (E) 0. (D) 4 a . (E) Mais do que 4. + 1 224 + 225. (E) . (C) ab . (D) 0. (C) A ∈ Q. (C) N é um cubo perfeito.06. a 07 Dado o número N.quantas raízes reais são encontradas? (A) 1. 3 5 2 + 7 − 3 5 2 − 7.04. (E) A2 + 4 é um quadrado perfeito. (D) 4. obtemos: (A) a . 6 + 2 − 2 − 3 (A) 1.Racionalização e radical duplo 02 Simplificando a expressão a1. (C) 2. Podemos afirmar (A) 0. (B) 2.. tal que N = . com: b 1 1 1 1 a= + + + . (C) 3. (B) 1.5). 9o Ano 259 . podemos dizer que: 2 04 Simplificando a expressão obtemos: 2+ 3 . 5 x + 3 − 4 x −1 x + 8 −6 x −1 = 1 para 5 ≤ x ≤ 10. (B) 4. . 1 (D) 5 + 1. (C) (D) (E) ( ) 3 + 12 ⋅ 4 3 − 6 3 − 8 2 + 1⋅ 3 − 2 2 : 10 (CN) Se a = 4 − 10 + 2 5 e b = 4 + 10 + 2 5 então a + b é igual a: 4 (A) 10 . 1 . 2 RASCUNHO 260 Vol. (C) 2 2 . (B) 2. (E) 3 + 2 .Matemática II – Assunto 4 09 Simplifique a expressão 2 − 1⋅ 4 3 + 2 2 + 3 3− (A) 2. 3 . 3 4 3 −1 3 −1 . y e z temos a seguinte fatoração: x3 + y3 + z3 – 3xyz = = (x + y + z) · (x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz) Primeiramente temos: x 2 +2 y 2 +2z 2 − xy − yz − xz = x + y + z2 – xy – yz – xz = 1 2 2 2 = ( x − y) + ( x − z) + ( y − z) 2 ( ) 9o Ano 261 . . MP = 1 1 2 2 p1 + p2 + + pn 1 1 1 + + + a1 a2 an 2. isto é: a1 + a2 + + an n n ≥ a1a2 an ≥ 1 1 1 n + + + a1 a2 an onde a igualdade ocorre se..G ≥ M. an números reais positivos. Ex.5 Desigualdade das médias A média aritmética dos números a1. Se todos possuíssem o mesmo peso.... 72 kg.. Carlos e Daniel estão em um elevador. dada por MA = 1 2 3 n A média aritmética ponderada dos números x1 com n x+y ≥ xy 2 Podemos observar que. MG = n a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ ⋅ an x− y ) 2 ≥0⇔ x − 2 xy + y ≥ 0 ⇔ x + y ≥ 2 xy ⇔ 2. an números reais. Ex. define-se a média geométrica (MG) ou média proporcional desses n números como a raiz n-ésima do produto desses números. a2... seus pesos são respectivamente 81 kg... . a1 = a2 = = . define-se a média harmônica (MH) desses n números como o inverso da média aritmética dos inversos desses números.. a2... qual deveria ser este peso se quiséssemos que a soma dos pesos fosse a mesma? Sejam a1. a2.. . Vamos estudar agora os vários tipos de médias. an números positivos. 2 Médias 2. então M.4 Média Harmônica (MH) Problema: Suponha que quatro amigos Arnaldo...1 Média Aritmética MH = Uma das coisas interessantes das médias citadas acima é que elas satisfazem a seguinte propriedade: Sejam a1. Bernardo. igualando as somas teremos: x + x + x + x = 81+ 72 + 56 + 111 ⇔ 4 x = 81+ 72 + 56 + 111 81+ 72 + 56 + 111 x= 4 x = 80 Esta ideia de buscar um único valor que podemos substituir por vários valores em uma operação e manter o resultado final é chamada Média. como qualquer número ao quadrado é positivo.H para estes números.A ≥ M. . .Médias A ssunto 5 Matemática II 1 Introdução 2. an é a + a + a + + an . a2. e somente se. 2: para três termos positivos x. x2 com peso p1. 59 kg e 111 kg.3 Média geométrica ou proporcional(MG) Sejam a1.. xn com peso pn é dada por p x + p x + + pn x n .. 1: para dois termos x e y positivos temos que: ( 2.2 Média aritmética ponderada (MP) peso p1. = an. Solução: Seja x esse peso. Logo: n −1 262 Vol. descubra o menor 1 valor possível para x + .8 = 4 2+8 A média aritmética é dada por: =5 2 Logo a diferença é 4 – 5 = –1. já que é a soma de quadrados.G. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 A diferença entre a média geométrica e a média aritmética dos números 2 e 8 é: (A) 0 (B) –1 (C) 1 (D) 2 (E) 3 Solução: Letra B. Podemos afirmar que o valor de n será: (A) 9.: x + 1 x x. c = z3. podemos usar a 1 desigualdade das médias entre os número x e . E como (x + y + z) ≥ 0. 1 ⇔ x y 1 1 + 1 x y ≥ ⇔ 2 xy xy ≥ 2 1 1 + x y Esta é a desigualdade das médias geométrica e Harmônica. finalmente temos: a+ b+c 3 ≥ abc 2 Ex. Solução: Letra E. x M. 1 = 1⇔ 2 x 1 x + ≥2 x E como esta expressão assume o valor 2 quando x = 1.: E então: 1 x+ x ≥ x. b = y3. Sendo S a soma dos números temos que a média será: S = 15 ⇒ S = 15 n. x Solução: Como x é um valor positivo. (D) 12. 1 x M. teremos: 1 1 + x y ≥ 2 1. Quando retiramos o número n 6 temos que a soma será S – 6 e o número de termos S −6 = 16 será n – 1. . A média geométrica é dada por: 2.A. 02 A média aritmética de n números é 15. 3: se fizermos a desigualdade usando os inversos dos números x e y. 1 Substituindo o valor de S temos: 15 n − 6 = 16 ⇔ n −1 15 n − 6= 16 n − 16 ⇔ 16 − 6= 16 n − 15 n ⇔ n = 10 03 Sendo x um número positivo. e a igualdade segue ocorrendo somente quando os valores de x e y são iguais. (E) 13. (C) 11. Retirando-se o número 6 a média aumenta para 16.Matemática II – Assunto 5 Que sempre será um número positivo. tempos que este é o seu valor mínimo. (B) 10. temos: x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 xyz ⇔ x 3 + y 3 + z3 ≥ xyz 3 Fazendo a = x3. (E) R$ 2.15. Determine o tempo médio gasto por eleitor na votação. A média harmônica 1 1 de a e b é o inverso da média aritmética de e . (E) 22. 11 Calcule a média ponderada entre os números 6. 10. ao calcular a média entre b e c o mesmo encontrou? (A) 4. 9o Ano 263 . 5. 2. Se ele obteve 3 e 6 nas provas parciais (que tem peso 1 cada uma). e o produto deles é D. (E) a + c. Os eleitores da manhã gastaram em média.45 e 0. 10. 6. (B) 5. (C) 6. 6. 12 A média aritmética de dois números a e b é C. (B) 1.93. (C) R$ 1. 9.00 cada. 05 Na eleição para a prefeitura de certa cidade.5. (B) R$ 1.85. 5. 6. 7 e 12 b. 16 e 27 03 Calcule a média harmônica entre: a. (C) c. (D) 4. 10 (CEFETEQ) Comprei 5 doces a R$ 1. (A) a. (A) (A) 6. Qual o maior valor possível para n. O preço médio. 06 Sejam a e b números positivos. (D) a + b. 1 minuto e 10 segundos para votar. 13 c. (D) R$ 2. 1. b e c encontrou a. 2. 8. (A) 0. 1 minuto e 20 segundos.40. 12. foi de: a. 7. 07 Para ser aprovado Sabino precisa ter média maior ou igual a 5. 3 doces a R$ 1. 10 e 100 04 Calcule a média geométrica entre a média aritmética e a média harmônica de 8 e 18. 1 e 4 b. Determine a2 + b2. 2 e 8 b.Médias EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Calcule a média aritmética entre: a. (B) b. por doce.75. (E) 5. a b Então a média harmônica de a e b é: 2ab ab (C) a+ b a+ b a+ b (B) (D) o menor entre a e b. enquanto que os da tarde demoraram em média. (C) 15.5. 30% dos eleitores votaram pela manhã e 70% à tarde. 13 02 Calcule a média geométrica entre: 08 (EPCAR) Calcule a média geométrica entre 0. (D) 20. 2 ab (A) R$ 1. (C) 12. 3 e 4.50 e 2 doces a R$ 2.80 cada um.5. (B) 8.5. e a harmônica é igual a 8.00.05. (D) 150. quanto precisa tirar na prova final (que tem peso 2) para ser aprovado? 14 Orlando ao calcular a média aritmética entre três números a.810 e 18. tendo para pesos respectivos os números 1. 9. sabendo que a sua média aritmética é 12. 09 Calcule a média geométrica de dois números. 2. Após remover um desses números a média dos n – 1 números restantes é 70. (A) C2 – 2D (B) 4C2 – 2D (C) C2 – 4D (D) 2C2 – D (E) 2C2 – 2D 13 A média aritmética de n números positivos é 60. ao preço unitário de R$ 32.00 264 Vol. 6.333 17 A soma de dois números é igual a 12 .0625 (B) 4 (C) 7.000 unidades. Assim. a média harmônica das raízes é igual ao dobro da média aritmética destas raízes. • as últimas 2. (C) a média aritmética dos inversos entre x e y.00. Determine o produto desses números.90 (E) R$ 33. podemos afirmar que: 20 (EsSA) A média aritmética de n números é 29.0 e 7. onde x e y são reais positivos. • as 5.0.50 (D) 41 (E) 18 21 (EEAr) Um teste de Matemática foi aplicado em duas turmas distintas de uma escola.Matemática II – Assunto 5 15 (CN) Se na equação ax2 + bx + c = 0.875 (D) 18 (E) 14. sabendo-se que a média geométrica entre eles é igual a sua média harmônica. (B) a metade do quociente da média aritmética com a média geométrica entre x e y. Retirando-se o número 12 a média aumenta para 30. respectivamente. (E) 5. (D) 4. 22 Sabino tem 12 anos.Qual a média de todos os dezessete números? (A) 8. A razão entre o número de inspetores e o número professores e inspetores é: (A) 3:2 (B) 3:1 (C) 2:3 (D) 2:1 25 Em uma sequência de nove números.3.2. As médias aritméticas das notas da primeira e da segunda turma forma. a média aritmética das notas dos 60 alunos foi aproximadamente: (A) 6.60 (B) R$ 24. 19 (CEFET) Uma micro empresa produziu 10. a média aritmética dos cinco primeiros é igual a 7 e a média aritmética dos cincos últimos é igual a 10. x+y (A) o quociente da média geométrica pela média aritmética entre x e y. Qual foi o preço médio unitário? (A) R$ 24. (B) 6. (C) 3. (B) 2. a primeira com 40 alunos e a segunda com 20.1. Podemos afirmar que o valor de n será: (A) 2b2 = ac (B) b2 = ac (C) b2 = 2ac (A) 17 (B) 11 (C) 42 (D) b2 = 4ac (E) b2 = 8ac 16 (HSMC) A média aritmética de sete números é 9 e a média dos outros nove números é 7. ao preço unitário de R$ 25. Sabendo que a média aritmética de todos os nove números é igual a 9 então o quinto número é: (A) 1. (C) 7. Se a média das idades dos professores é 35 e a média das idades dos inspetores é 50. Sua idade é a média proporcional entre dois números quadrados perfeitos cuja soma é divisível por 10.00. (D) a média harmônica entre x e y (E) a metade da média harmônica entre x e y.000 unidades.000 unidades seguintes.00. Quais são esses números? 23 Determine a média aritmética dos divisores positivos de 72? 24 A média aritmética das idades de um grupo de professores e inspetores é 40. 18 (CN) Seja M= Logo M é: xy . 1 (D) R$ 32.000 unidades de um certo produto. .90 (C) R$ 32.5. (D) 7. ao preço unitário de R$ 20. vendendo-o da seguinte forma: • as primeiras 3. 30 (PUCCAMP) Sabe-se que os números x e y fazem parte de um conjunto de 100 números. (B) 6. (C) 128000 km. (E) 7. (B) 50000 km. de Rafael durante toda corrida é: 32 (CN) Se h. verificou-se que 8 alunos foram reprovados. em km/h. a média aritmética simples entre os números restantes será igual a 19. (D) 40. Se 3x – 2y = 125. geométrica e aritmética entre dois números.83. então: (A) 6. o “Ousado” corre 5 km a uma velocidade 10 km/h e em seguida 10 km a 5 km/h. por sala. (C) 7. Com a atribuição dos cinco pontos extras.9. foram. 28 Se um pneu de automóvel pode rodar 40000 km. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 (D) 12.3. a média aritmética dos números restantes será 8. quantos alunos. (B) 6.2. A soma das raízes quadradas desses números é igual a: (A) 15. (C) 3. um jogo de 5 pneus(incluindo o estepe) possibilita rodar até: (A) 40000 km. (E) 8. cuja média aritmética é 9.5. 7. as médias: harmônica. (C) 6. Dentre esses números. o inteiro mais a próximo da razão é: b (A) 1. a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68. Após a divulgação dos resultados. podemos afirmar que o menor vale: 01 Se a média aritmética de a e b é o dobro da sua média geométrica. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65. as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. 34 (FUVEST) Numa classe com vinte alunos. (C) 30.8. (B) 20.Médias 26 (CMRJ 2011) A soma de dez números naturais é igual a 143. inicialmente reprovados. Retirando-se x e y desse conjunto. b. g e a são. 5. então: (A) x = 75 (B) y = 55 (C) x = 85 (D) y = 56 (E) x = 95 33 (CN) No Colégio Naval. as médias aritméticas das notas dos alunos. 6. 27 Rafael.5.5. Com essa decisão. atingiram nota para a aprovação? 9o Ano 265 . A média aritmética das notas da turma é: (A) 5. 29 A soma da média geométrica com a média aritmética de dois inteiros é 200. existem exatamente quatro números primos distintos.5. (E) 14. (D) 6.1 e 5. (E) impossível calcular. (D) 5. (B) 2. A velocidade média. o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. com a > b >0 então. (D) 18000km.0. (A) 5.15. (A) ah = 2g (D) ah = g2 (B) ah = g (E) ah = 2 g (C) ah = 2g2 (D) 7. Realizado o exame. Se retirarmos três números primos da soma. (B) 8. enquanto que a média dos aprovados foi 77. Num teste de Álgebra. a. respectivamente. a turma do 1o Ano é distribuída em 5 salas.9.5. Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco pontos extras. respectivamente: 5. (C) 10. Dentre os números retirados. 90[ 266 Vol. (B) 595. Ao final da correção de todas as provas.00.00 < M <605.Matemática II – Assunto 5 35 (FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos. (E) 565. com. a nota 0 (zero). uma determinada região S foi dividida em quatro setores: X .00.00. (B) 20. Logo: (A) 605. então. encontrou-se a nova média aritmética 72.obtemos a média aritmética deles .00. (C) 585. então. Ache a razão de x/y. b é a média geométrica entre a e y.750 e 4.200 pessoas.85.00 < M < 595. 95[ (D) [95. é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é: (A) 16. 80] (B) [85. no grupo? 38 (EPCAR) A média aritmética de notas no 1º bimestre em matemática dos 100 alunos do CPCAR 2002 foi de 72. pode-se afirmar que a nota retirada está no intervalo (A) [75. Y.15. encontrando 1 50 .500. que a renda média em reais de X é de 800. (A) 3 ± 2 2 (C) 4±2 2 (B) 3 ± 2 (D) 1± 2 2 42 Se b é a média aritmética entre a e x. Se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos. (D) 70. 40 (CN) Um aluno calculou a média aritmética entre os cem primeiros números inteiros positivos.3. Retirando um desses números encontrou como 2 27 nova média aritmética 50 . x · y · z é igual a: b3 ( 2 a − b ) 3. Z e W. 100] 39 (CN) Com a finalidade de se pesquisar a renda média em reais M da sua população.00 < M < 615.7. (B) 3.00. (E) 100. 36 (AFA) As seis questões de uma prova eram tais.5 ponto cada. a de Y é de 650.00 < M < 585. 1 (C) [90. 2. a de Z é de 500. 3.00. que as quatro primeiras valiam 1. Sabendo que as notas variam entre 1 e 100 e que as cem notas obtidas não são todas iguais. no caso de errada. (D) 4. (D) 575. Observou-se. b é a média harmônica entre a e z. O número retirado está 99 entre: Dado: A média aritmética de n números é igual à soma desses n números dividida por n. (A) a (D) 2b − a 3 b (2 b − a) (B) b3 (E) 2a − b (C) ab3 43 (CN) Um professor de matemática apresentou uma equação do 2o grau completa.00.00. Cada questão. e as duas últimas valiam 2 pontos cada. era considerada certa ou errada. 37 (UNICAMP) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. respectivamente. estritamente positivos. foi divulgada a seguinte tabela: No da Questão 1 2 3 4 5 6 Percentual de acertos 40% 50% 10% 70% 5% 60% A média aritmética das notas de todos os que realizaram tal prova é: (A) 3. No caso de certa era atribuída a ela o total de pontos que valia e. com duas raízes reais positivas. .5. Retirando-se a nota de um desses alunos. (C) 4.00 < M < 575.550. e mandou calcular as médias: aritmética. (A) 30 e 40 (B) 40 e 50 (C) 50 e 60 (D) 60 e 70 (E) 70 e 80 41 Multiplicando-se por 2 a média geométrica de dois números inteiros positivos x e y. qual o número de pessoas de cada sexo.00 e a de W é de 450. 3. (C) 50. ao ser corrigida. 44 (CN) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita. 3 min 18 seg. II média ponderada dos números a e b b. Sabendo que a média aritmética dos números da lista é igual a 7.00 R$ 5. 3 min 38 seg. c). (IV.57 (E) R$ 5.3 então o valor de n + k é igual a: (A) 24 (B) 21 (C) 11 (D) 31 (E) 89 49 (UFES) Em um dia de pesca .89 9o Ano 267 .Médias geométrica. (IV. Nessas condições (A) somente foi possível calcular a média aritmética. e) (D) (III. a).TUIUTI-PR) Numa população. O número apagado foi.83 (A) xz = 1 (D) y2 + z2 =x2 (B) xz = y (E) (y + z)2 = x2 (C) xz = y2 46 (IBGE) Para votar. e) (E) (I. (IV. 2ab a+ b (A) 3 min. (II.65 (C) R$ 4.90 (B) 32. A média do tempo de votação desses eleitores foi: 50 (U.00 R$ 9.00 O valor do preço médio do quilograma do peixe vendido pelos pescadores ao supermercado é: 45 (CN) Se os números x. y e z são respectivamente.95 (C) 33. cinco eleitores demoraram. (V.45 (D) 33. a média aritmética dos números 7 remanescentes é 35 . (B) 2 min 58 seg (C) 3 min 13 seg 47 Um conjunto de inteiros positivos consecutivos a partir de 1 é escrito num quadro de giz. (E) não foi possível calcular as três médias pedidas. c). 2 min 46 seg. Apagando-se um desses números.uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado em Vitória: Tipo de Peixe V a média aritmética simples entre a e b (D) 3 min 17 seg (E) 3 min 05 seg Peixe A Peixe B Peixe C Quilo de peixe pescado 18 10 6 Preço por quilo R$ 3. b) (B) (II. c) (D) 9 (E) indeterminado 48 Uma lista consiste dos inteiros de 1 até 9. n oitos e k noves . b). a ⋅ b (A) (I. a). e harmônica entre essas raízes. (C) somente foi possível calcular as médias aritmética e harmônica.00 (E) 36. respectivamente. 2 min 57 seg e 3 min 26 seg. (D) foi possível calcular as três médias pedidas. (V. (IV. d). então: (A) R$ 8. sendo a e b números inteiros positivos quaisquer. 17 (A) 6 (B) 7 (C) 8 e. (III. sem determiná-las. a).05 (D) R$ 3. c). (II. iguais às médias aritmética. A idade média das mulheres é 34 e a idade média dos homens é 32. d). geométrica e harmônica de dois números reais positivos. (B) somente foi possível calcular as médias aritmética e geométrica. Então a idade da população é aproximadamente: (A) 32. e). e) (C) (I. a razão do número de mulheres para o de homens é de 11 para 10. tem-se: I a⋅ b média harmônica dos números a e b a.95 (B) R$ 4. a⋅ b 2 IV o produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum de a e b d. (III. a b III média proporcional entre os números aeb c. Matemática II – Assunto 5 RASCUNHO 268 Vol. 1 . para ele usamos o símbolo .. (princípio da boa ordenação): todo subconjunto não vazio dos números naturais possui um menor elemento. –2.. IV..3. um número que somado a ele deixa resultado 0. inteiros não negativos: + = {0.. II. sem o zero usando o símbolo *. Suas principais propriedades são as seguintes: I. b ∈ quaisquer. . ou seja. Isso não ocorre com a divisão nem a subtração. Conjuntos numéricos 1. 2.2 Conjunto dos números naturais Os números naturais são os números usados para contar.2. –3. 2. 1. 1. quando aplicados a operação. . 3. das três alternativas: a = b.. 2..} Definimos o conjunto dos números naturais positivos. Dizemos que um conjunto é fechado em relação a uma operação quando quaisquer dois elementos desse conjunto. 1. quando multiplicamos ou somamos dois números naturais sempre obtemos outros números naturais. –2.1 Elementos e ordenação Todo elemento desse conjunto possui um sucessor e um antecessor. ou seja.. III. ao dividirmos os números em naturais. –1. . .} 1.1 Elementos e ordenação Em relação à ordenação. têm como resultado um número deste conjunto..} inteiros positivos: *+ = {1.. (tricotomia dos naturais): dados a. logo. 3. 1.. associatividade: (a + b) + c = a + (b + c) e (ab)c = a(bc) • comutatividade: a+b=b+aea·b=b·a • elemento neutro: a+0=aea·1=a • distributividade: a · (b + c) = a · b + a · c • lei do corte: a+b=a+c⇔b=cea·b=a·ca≠0⇒ ⇒b=c 1..1 Introdução A ideia deste capítulo é apresentar os conjuntos numéricos. racionais e irracionais.. vamos verificar quais são as propriedades de cada conjunto e a relação de pertinência entre eles. * = {1...2.} • Subconjuntos notáveis: I. 2.} inteiros negativos: * – = {–1. . 4. 2. .} 1. –1.3.Conjuntos numéricos e intervalos reais A ssunto 1 Matemática III 1. por exemplo. o conjunto dos números naturais possui as seguintes propriedades: I. 4.} = inteiros não positivos: – = {0.: o oposto de 2 é – 2 já que: 2 + ( –2) = 0 9o Ano 269 . 2. –2.2 Operações Todo número inteiro possui um oposto em relação à soma. . Estes conjuntos ficam caracterizados não só pelos seus elementos como também pelas propriedades de suas operações. este conjunto é infinito e não possui um valor mínimo nem máximo. o menor elemento é o número 0.} inteiros não nulos: * = {. 3. e somente uma. –1.. II. III. . todo número natural possui um sucessor. 1. 1. 1.. V. a < b ou a > b. Ex... IV. se subtrairmos os números 2 e 3 obtemos um número não natural: 2 – 3 = –1. –3. = {0. inteiros. vale uma. Um conceito fundamental que será abordado aqui é o de fechamento em relação a uma operação. 3.2 Operações As operações que estão bem definidas neste conjunto são a adição e a multiplicação... ou seja. 0.3 Conjunto dos números inteiros É o conjunto dos números naturais acrescido dos números negativos: = {. –2... . multiplicação. ou número de Napier. 2 A razão áurea.. 270 Vol. Outra forma de identificar um número racional é notar que ele possui representação decimal finita ou infinita periódica.1 Representação na reta –p – 4 3–1 0 1 2. subtração.5 p 4 Os números reais são representados por um eixo. no estudo da sequência de Fibonacci e até mesmo em pinturas renascentistas. uma reta orientada onde cada ponto representa um número real ondem os números mais à esquerda são menores que os números mais à direita. − .. trigonometria.. 1. O conjunto dos números irracionais não é fechado para nenhuma das operações clássicas. ou número de ouro.67. multiplicação e divisão (denominador não nulo). na parte de aritmética deste material.6.. periódica. inclusive o zero. mas não é fechado em relação à radiciação. na verdade. como 4 ou 3 27 será um número irracional. 2: repare também que na definição não permitimos ao denominador ser nulo. 1 É a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência. = Φ IV. possuí papel importante em tópicos de matemática mais avançados como os logaritmos e o calculo diferencial. ou se multiplicarmos ( ) o irracional 2 por ele mesmo obtemos um número 2.6180339887. II. Note que podemos somar os irracionais 2 − 2 e 2 e obtemos um racional 2 − 2 + 2 = 2 .: . III. b) = 1 b 1 3 Ex. e = 2. 1.5 Conjunto dos números irracionais Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração e que possuem uma representação decimal infinita e não periódica.677..1.14159265359. é um número irracional que aparece em geometria. qualquer raiz de um número inteiro que não seja exata. a = a ∈ . são números racionais.6 Conjunto dos números Reais O conjunto dos números reais é a união entre os — racionais e os irracionais: ¡ = ¤ ∪ ¤ O conjunto dos números reais é fechado em relação à adição.. subtração.. 3: os números com representação decimal infinita.0. 1+ 5 = 1. já que a operação de divisão por zero não é definida. 2 Na verdade. a transformação destes números em frações será discutida no capítulo de operações de números racionais. Os exemplos clássicos são: I. p = 3. b ∈ * e mdc( a. já que são frações com denominador 1.Matemática III – Assunto 1 Então a operação de subtração é. como 1.. já que a raiz de um número negativo não pertence a este conjunto −4 . uma soma entre um número positivo e um negativo: 2 – 3 = 2 + (–3) = –1.1 Operações O conjunto dos números racionais é fechado em relação à adição. 2.. porém. 2 4 Obs. Obs.4 Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser colocados na forma de fração.71828182845904523536028. 1. Obs. 1: note que nos exemplos temos números inteiros. divisão (com denominador não nulo). racional 2 ⋅ 2 = ( ) 1. — Representamos este conjunto com os símbolos: ¤ ou Ι. Em relação à soma e a multiplicação o conjunto dos números inteiros possui as mesmas propriedades que os naturais. Este número é chamado número de Euler. ( ) 1.4. ou seja.. − 3. 2 Módulo de um número Real Chamamos o módulo de um número real a distância do ponto que representa esse número no eixo real. quando consideramos um desses valores dentro do intervalo. Tipo de intervalo Representação Notação como conjunto Representação Gráfica Fechado em a e b [a. |x|–|y|≤|x – y| Ex.6. caso as extremidades sejam abertas. bolas totalmente pintadas. +∞) {x ∈ |x > a} a Fechado em a. usamos a notação de intervalo com extremos no infinito. aberto em –∞ ]–∞. +∞[ ou [a.: |3| = 3. dizemos que ele é aberto. assim: Tipo de intervalo Representação Notação como conjunto Representação Gráfica Aberto em a. sempre representaremos essa extremidades infinitas abertas. b] {x ∈ |a < x ≤ b} a b Aberto em a e b ]a. b) {x ∈ |a ≤ x < b} a b Aberto em a e fechado em b ]a. x = x V. aberto em –∞ ]–∞. e quando não consideramos. a[ ou (–∞. |–4| = –(–4) = 4. e será igual ao seu simétrico se esse número for negativo. 1.3 Intervalos reais Dados dois números reais a < b. a) {x ∈ |x < a} a 9o Ano 271 . b[ ou (a. |x|·|y|=|x · y| 2 IV. aberto em +∞ ]a. |x|2 = x2 VI. aberto em +∞ [a. –|x|≤ x ≤|x| III. dizemos que ele é fechado neste valor. b[ ou [a. Então temos as seguintes possibilidades: Os intervalos são representados por segmentos de reta. b) {x ∈ |a < x < b} a b Quando desejamos denotar todos os números maiores ou menores que um certo valor. a] ou (–∞. |x|≥ 0 II. se ele for positivo. |x + y|≤|x|+|y| (desigualdade triangular) VII. Em outras palavras o módulo de um número é igual a este número. definimos um intervalo como todos os números reais compreendidos entre a e b. se a < 0 I. a] {x ∈ |x ≤ a} a Fechado em a. |0| = 0.6. b] ou (a. +∞[ ou (a. +∞) {x ∈ |x ≥ a} a Aberto em a. |x|–|y|≤|x + y| VIII. Escrevemos assim: a . b] {x ∈ |a ≤ x ≤ b} a b Fechado em a e aberto em b [a. usamos bolinhas abertas e caso sejam fechadas. se a ≥ 0 a = a .Conjuntos numéricos e intervalos reais Esta operação possui as seguintes propriedades: 1. − 4. EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Relacione o número com o menor conjunto ao qual ele pertence: 05 Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa: I. (E) Complexos.4 Relações de pertinência Os conjuntos descritos acima possuem as seguintes relalações: ⊂⊂⊂ — ⊂ 18 10 A = . logo.03. [1. 4] b.0. (D) 2. (E) 6. Inteiros ( ) 0 é um número natural. Racionais IV. (D) O número real positivo cujo quadrado é 2 é irracional. (B) Todo número inteiro é real. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( III. . 1 2 (C) 2. (B) Naturais. ( ) 3. é um número real. Podemos visualiza-las assim: ¡ ¥ ¢ 03 Observe a quantidade de números irracionais no conjunto A e responda: ¤ (D) 5. (C) O produto de dois números racionais é sempre racional.11121314..2333. ∞[ d.Matemática III – Assunto 1 1.. (C) Racionais. 1] 07 Assinale a alternativa incorreta: 02 O número decimal correspondente ao ponto assinalado na reta numérica é: 0 1 (A) 0. ( ) −4 é um número real. (B) 0. 3 ( ) O número π é um número real. −6. Irracionais ) 1 ) –2 ) 0 ) 0. −1 ) 3 ) 3. 7.14 ) p π ) 2 ) 21 ) 25 06 Represente na reta real os seguintes intervalos: a. Naturais II. logo é um número real. 04 Qual dos conjuntos abaixo não é fechado em relação à subtração: — ¤ (A) Inteiros. (B) 3. [2.6. ]–3. 272 Vol. − é: 10 2 (A) 2. 2 ( ) é um número real menor que 1. é um número irracional.3. (C) 4. π. (D) Reais. 4] c.. 3 (A) A soma de dois números irracionais é sempre irracional.3 ) 1.4. ]–∞.23.3.. . (D) 6. Obtemos a seguinte sequência (A) V – V – F – F (B) V – F – F – V (C) F – F – F – V (D) F – V – F – V (E) V – F – F – V 12 Dados os conjuntos A = [1. (B) yy é irracional. 9]. (E) x + 2y é irracional. de extremidades 3 e 4. 3]. os conjuntos (A ∪ B). (E) ]1. 1. (D) 0. 2. 2]. – [ . 2]. ) ¤* + ∩ ¤* – = ∅. 3]. (B) ]1. ( ( ( ( ) ¥ ⊂ ¤+. 4} ⊂ [3. (D) o número grego π = 3. ) ¤– ∪ ¤+ = ¤*. x 14 Se –4 < x < –1 e 1 < y < 2. 3.Conjuntos numéricos e intervalos reais 08 A expressão |2|+|–2|–|–2| equivale a: (A) 1. ]2. (B) {3. em . [1. (E) 4. 2]. (D) [1. ]2. (D) 2 1 1 (B) ] – 2. 3[. ]2. 17 Para o intervalo A = [– 2. 15 Sobre números racionais e irracionais. (E) [3. (C) 4. 4]. 2. ]1. 9]. (B) 18. (B) {1. (A ∩ B) e (A – B) são. – [ . 4. 9]. 9]. (B) 1. (B) 2. 4] = . é correto escrever: (A) (3. 5}. 2. [1. é um número racional. 5}. ]2. 3[. 11 Classificando os itens em verdadeiro ou falso. 9[. (D) {0. – [ . 4) ∪ [3. (D) 3. 3. 09 Qual o valor da seguinte expressão: |21 – 12|+|12 – 21| (A) 20. podemos afirmar que: (A) entre os números reais 6 e 7 existe apenas um número irracional. 14159. ) ¤ ⊂ ¢. –1[ . 4] o intervalo fechado. (C) {1. 3[. 9o Ano 273 . então x · y e estão 2 no intervalo: 1 ] – 8. (C) toda dízima periódica é um número irracional. (A) ] – 8. (C) {3. [2. (E) 0. 13 Se designarmos por [3. 4) = [3. 4. 2]. (E) [1. 2]. 3. ]1. 5}. 4). (C) x + y é racional. (E) ] – 1. pode-se dizer que: (A) x y é irracional. (E) número irracional ´e um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números 16 Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y. respectivamente: (A) [1. (D) x – y + 2 é irracional. 5}. 4].–1. (C) ]1. 2 2 (C) ] – 2. 4]. quantos são os valores possíveis para x. 4. (A) 0. 5]. –1[ . (B) a soma de dois números irracionais ´e sempre um número irracional.. o conjunto A ∩ IN* é igual a: (A) {–2. 4] ⊂ (3. 5]. 9]. 10 Sabendo que |x| = 10. 3[ e B = ]2. (D) (3. 1. (C) 2. (E) – 18. 4} ∈ [3. (C) 15. [1. (B) as três são verdadeiras. (E) somente I e II são falsas.. Q= { x ∈ Ζ| x 2 ≤ 0. O maior valor possível de é: q Somente são verdadeiras as afirmativas: (A) I e III. a – b pode ser um número irracional. (C) 1/6. (C) II e III. 9 = 6 . 23 Sejam a e b números irracionais.. Q – P = {0} III. (C) se x e y são números racionais. P ∪ Q = P. II. (C) Q. (B) I e IV. a + b é um número irracional. P ∩ Q = Q (D) II e IV. (B) ∅. pode-se concluir que: (A) as três são falsas. 274 Vol. (E) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. 24 Os números p e q são tais que 3 ≤ p ≤ 6 e p 18 ≤ q ≤ 36. b é um número irracional. (C) somente I e III são verdadeiras. (D) 1/12. 25 A interação dos conjuntos . 19 Assinale a afirmativa verdadeira. (B) 4. (D) somente I é verdadeira. a .333. . (B) se x e y são números irracionais. (A) Se a representação decimal infinita de um número é periódica. (D) Todo número racional tem uma representação decimal finita. então x + y é um número irracional. (D) 2.Matemática III – Assunto 1 18 Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional. ( N ∩ Z ) ∪ Q e ( N ∪ Z ) ∩ Q . (E) 1/18. 3 = 6 .} Afirma-se: I. (C) Todo número irracional tem uma representação decimal infinita. III. (B) 1/3. (B) Se a representação decimal de um número é finita. então esse número é racional. então x + y é um número irracional. (E) III e IV. (C) O quadrado de um número irracional é um número racional. (E) 22 Marque a alternativa incorreta a respeito dos números reais: (C) 3. Das afirmações: (A) 1/2. então x . (D) R. (B) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. (A) 12. então esse número é racional. P ⊂ Q IV. então x + y é um número racional. 21 Marque a alternativa incorreta: (A) se x e y são números racionais.2 = 8 . (A) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional.. é: (A) N. (E) Z. Um exemplo é: (D) se x é um número racional e y é um número irracional. II. 3 = 36 . 2.1 = 3 . y é um número racional. 1 I. 20 Com relação aos conjuntos: P= { x ∈ Ζ| − 7 ≤ x ≤ 7}. (D) a raiz quadrada de um número racional é um número irracional. (B) nk (C) n < k (D) 1 – n < 1 – k 1 1 (E) n > k 2 2 (B) x = | x | . com n < k. P não é válida para os números irracionais. (C) somente o quinto é verdadeiro. a < x ≤ b} (C) {x ∈ IR. IV. então x = − y . IV. P é válida apenas para os números naturais. (A) 27 P é uma propriedade que é válida para todo e qualquer número inteiro. (E) 4. (D) nunca se expressa na forma de uma decimal inexata. com y ≠ 0 . II. c[ – ]b. (D) 3. Conclui-se que: (A) o segundo é verdadeiro e o quinto é falso. então x + y é um número irracional. c[ ) é igual ao conjunto: (A) {x ∈ IR. (B) tem sempre um número infinito de ordens (casas) decimais. com a < b < c. (E) NRA. (D) Se x < 0 e y = x2. III. b e c números reais. exceto: 30 Para todo n ∈ Z e k ∈ Z. (B) 1. III. b < x ≤ c} 29 Um número racional qualquer: (A) tem sempre um número finito de ordens (casas) decimais. ( ) Todo número decimal limitado é um número racional. (E) | x + y | = | x | + | y |. (C) 2. (D) se x é um número racional e y é um número irracional. P é válida para qualquer número real. Consideremos as afirmações: I. II. ( ) Todo número decimal ilimitado é um número real. a < x < b} (B) {x ∈ IR. y | = | x | | y |. sempre verdadeira a sentença: (A) | x . ( ) Todo número racional é um número decimal ilimitado. então x ⋅ y é um número racional. então x + y é um número racional. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 Marque a alternativa INCORRETA: (A) se x e y são números racionais. y | y| (C) x 2 =| x |. V. (D) o segundo e o terceiro são verdadeiros.Conjuntos numéricos e intervalos reais 26 Todas as afirmativas abaixo sobre números reais são corretas. (C) se x e y são números racionais. (B) se x e y são números irracionais. então x + y é um número irracional. ( ) Todo número decimal ilimitado aperiódico é um número irracional. (C) não pode expressar-se na forma decimal exata. a < x ≤ c} (D) {x ∈ IR. A quantidade de afirmações verdadeiras é: (A) 0. 9o Ano 275 . b ≤ x < c} (E) {x ∈ IR. 02 Atribuindo a cada enunciado os valores V ou F temos I. 1 1 < n k n+k . é um número inteiro. ( ) Todo número irracional é um número decimal ilimitado. O conjunto ( ]a. 28 Sejam a. P não é válida para os números naturais. (B) os três últimos são verdadeiros. e e as afirmativas: I. a raiz quadrada desse número elevado ao quadrado é igual ao próprio número. Zero pertence aos quatro conjuntos II. 2 II. III. I. ( 2 ⋅ x ) pode ser racional. (B) Para qualquer número inteiro. b ≠ 0 e S = 2. V. V. 06 Dos números: I. F. (D) Apenas 2 deles.. V. Das afirmações: I.. na ordem certa. (D) S R tem dois elementos. y é sempre irracional. 3. a resposta é: (A) F. 0. F. 276 Vol. 09 Seja x um número racional qualquer e y um irracional qualquer. (B) apenas II.. então r1 e r2 são racionais. o sucessor do antecessor do número é o próprio número. a−1 ∈ . (C) Para qualquer inteiro. V. IV. Se r3 é racional. 0. Analise as proposições abaixo e marque a alternativa correta.. . (B) S R = ϕ . V. (D) apenas I e II. então r1 + r2 é racional. 2 IV. (A) Seja a um número real não nulo. a = R x= /x . V. F. V. então r3 é racional. 1 São racionais: (A) Todos. V. (C) V. y nem sempre é irracional. III. 0. é (são) sempre verdadeira(s) (A) apenas I. (C) S R é unitário. (E) F. Então. (D) V.333 não pertence a V. O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma circunferência. F.. F. r2 e r3 números reais tais que r1 − r2 e r1 + r2 + r3 são racionais. V. V. F. (B) F. II e III. 2 pertence somente a ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) Colocando V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas. (B) Nenhum.4333. (C) Apenas 1 deles. (C) apenas III. 3 III. Se r1 é racional ou r2 é racional.Matemática III – Assunto 1 03 Sendo a e b números inteiros quaisquer. (E) Apenas 3 deles. II. (E) Todo número real negativo possui inverso. 0. 04 Sejam r1 . assinale a FALSA. V. 1. 1 2 não pertence aos conjuntos e III. F. V. (D) A média aritmética simples de dois inteiros negativos não é necessariamente um inteiro negativo. II. 444. 2 b então: { } (A) S ⊂ R . (E) S – R é unitário. F.. Se r3 é racional. y e z são números racionais e z = y− 3 então: (A) x = y 2 (D) x−y= 1 xy = −2 (B) x + y = (E) 3 x (C) = 2 y 08 Considere os conjuntos . (E) I. x é sempre um número real. . 05 Dentre as afirmativas abaixo. −1 somente não pertence a IV.101101110.. 2+ x 3 07 Se x . a b a a − b < 0. (B) Se A = ] 1. classificando-os em (V) verdadeiros ou (F) falsos.14 ) é 2 (A) 0. 1 1 . (B) a ⋅ b < a . (D) [18. se x é racional f (x) = −1. c.3 . d. 4[. Para n ∈ C. então o número de (C) Se B = elementos do conjunto B é 6. 15 Considere a função f : → . (C) a interseção de todos os conjuntos da forma An ∪ Bn é vazia. a .22]. 7[. 2. necessariamente. O valor de 1 f + f ( π ) + f ( 2. (B) a união de todos os conjuntos da forma An ∩ Bn é o intervalo ]1 . (C) I e III. e n t ã o (D) S e = α + 2 −1 2 +1 b 1 Analise os itens abaixo. (C) 2.11].[ então B − A =] − 3. então c é múltiplo de a. 13 Analise as alternativas abaixo e marque a correta. (D) II e IV.17]. (E) a interseção da interseção dos conjuntos An com a interseção dos conjuntos Bn é o intervalo ]1 . b. m ∈ | m2 < 40 . 10 Assinale a alternativa FALSA.Conjuntos numéricos e intervalos reais São verdadeiras somente as proposições (A) I e IV. 3}. (B) [6. sejam: An = { x ∈ / 2 n − 2 < x < 2 n } e Bn= { x ∈ / 2 n − 1 < x < 2 n + 1} É falso afirmar que d (A) Se c= a + b e b é divisor de a. 14 Considere o conjunto C = {1. 0 (A) [1. zero e 1. (D) 3. tal que: 1. (E) 4. a b 1 1 1 b > . (D) a união da interseção dos conjuntos An com a interseção dos conjuntos Bn é o intervalo ]2 .5]. (C) [12. 7[. 6[. b e 1.1313) − f ( 2 ) + f ( 3. (A) − = conjunto dos números inteiros negativos (B) − = conjunto dos números racionais não inteiros (C) + ∩ − = ∅ * (D) = conjunto dos números inteiros não nulos 11 Na figura abaixo estão representados os números reais 0 . 9o Ano 277 . (B) II e III. > 1 a b A soma dos números associados aos itens verdadeiros é um número do intervalo Podemos afirmar que: (A) a interseção da união dos conjuntos An com a união dos conjuntos Bn é o intervalo ]0 . (C) < 1.5 [ e B = ] − 3.1[. (D) (A) 12 Na reta real abaixo estão representados os números reais a. se x é irracional . c 0 a { } α ∈ ( − ) ∩ ( − ) . ( ) a < bc ( ) 0 < ab < 1 2 2 ( ) d > c ( ) c + d − b < a 1 1 ( ) . (B) 1. (A) ∅. ( ) Se P = ¡ ∩ ¥.F. Z. Q ∪ (N ∩ Z) e (Z ∩ Q) ∪ N é igual a: 19 Analise as sentenças abaixo marcando (V) para verdadeiro e (F) para falso. ( ) 1.141592.23459 ∈ ( ∪ ) − { } (D) N. N. V. (C) V . (A) V – V . F. então P ∩ T ∩ S = ¢ – ¢. (E) nenhuma divisão de dois inteiros tem quociente igual a π. é verdade que: ( ) ⊃ ( ∪ ) − ( ∩ − ) (A) seu valor exato é 3.F . V.Matemática III – Assunto 1 16 Sendo: Marque a alternativa que apresenta a sequência correta.V . 5 ( ) ( ∪ ) − ( ∩ ) ⊃ π.V. V. 7 A sequência correta é (A) F. T = (¥* ∩ ¢ ) ∪ ¤ e S = ¥* ∪ (¢*+ ∩ ¤). F. sendo seu valor exato 3. ( ) Se y = n n+2 RASCUNHO 278 Vol. (D) F . então y 25 − 52 n + 2 é irracional.F . 18 Considere os conjuntos numéricos . F.V. F. V. classificando-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas. V. ( ) A = {x ∈ ¥ | x = 6n + 3. a intersecção dos conjuntos R+ . (D) F. V. e e analise as proposições abaixo. (B) trata-se de um número racional. 600 para n ∈ − {0. F. (C) V. (C) Q*. V. o conjunto dos números inteiros. (B) R*+. ( ) ⊂ ( ∩ ) ∩ ( ∩ ) 17 Em relação ao número π. V.1}. Q. (B) V. 1 . 2. F.n ∈ ¥} . (E) Z.14 é seu valor aproximado. (D) 3. F. (C) sua representação decimal é uma dízima periódica. R+. o conjunto dos números reais não negativos. (B) F . o conjunto dos números naturais. então A ∪ B = {x ∈ ¥ | x é múltiplo de 3}.n ∈ ¥} e B = {x ∈ ¥ | x = 6n + 3.14. V.F. o conjunto dos números racionais.65 ∈ ( ∪ ) − ( ∩ ) ( ) 31. . “O que está multiplicando passa para o outro lado dividindo”. o valor a é dito coeficiente do termo do primeiro grau e o valor b é chamado termo independente.1 Propriedades Ao escrevermos afirmações como 1 + 2 = 3. estamos dizendo. outras afirmações como 1 = 3 – 2 ou 2 = 3 – 1. de maneira equivalente. Caso. 1. já que ele não é zero. Ex. basta passar o coeficiente do 1o grau dividindo o termo independente. 1: 2 x + 3 − 1= 2 x + 1+ 4 x Ex.2 Redução à forma geral do 1o grau Estudaremos equações com uma incógnita na qual esta incógnita está no primeiro grau. possui apenas uma solução. a afirmação acima é verdadeira para qualquer valor de x e dizemos que a equação é possível e indeterminada. 9o Ano 279 . Equação do 1o Grau 1. ou seja. passando os termos que tem x para um lado e os termos que não possuem x para o outro: Ex.Equações e Inequações do 1o Grau A ssunto 2 Matemática III 1. a⋅ b = c ⇔ a = c . 1: −4 x =−1 ⇔ −1 1 = x = −4 4 Ex. o valor que se deseja determinar. b Estas propriedades são as famosas frases: “O que está somando passa para o outro lado subtraindo e vice versa”. podemos reduzir esse tipo de equação ao seguinte formato: ax = b Os valores a e b são chamados coeficientes. ou seja. Estas equivalências são. Mais especificamente. dizemos que a equação é possível e determinada. 2: −2 x =7 ⇔ −7 x= 2 Repare que podemos dividir pelo coeficiente do termo do primeiro grau. O valor x é a incógnita da equação. se b ≠ 0 . para descobrirmos o valor de x que satisfaz as equações. 2: Aqui temos que tirar o MMC dos denominadores das frações: x −1 x +1 −x − 2 + = ⇔ 2 2 −2 x 2 ⋅ 2 x − 1 x + 2 − + = ⇔ 2 2 2 2 −2 x − 4 + x − 1 x + 2 = ⇔ 2 2 −2 x − 4 + x − 1 = x + 2 ⇔ −2 x + x − x = 2 + 4 + 1 ⇔ −2 x = 7 1. nestas circustâncias.3 Resolução e discussão Nos exemplos dados acima. propriedades básicas como: a = b+c ⇔ a− b = c ⇔ a− b = c. na verdade. Ex. Vamos reduzir os exemplos acima. ou seja. 1: 2 x + 3 − 1= 2 x + 1+ 4 x ⇔ 2 x − 2 x − 4 x = 1+ 1− 3 ⇔ −4 x = −1 Ex. ao reduzirmos o termo x desapareça. teremos dois tipos distintos de equação: 0⋅ x = 0 Nesta condição. o seu coeficiente seja 0. 2: x −1 x +1 −x − 2 + = 2 2 Utilizando as propriedades acima. 2 − 3m = 0⇔ 2 3m ⇔ Logo:= 2 m= 3 04 O valor de x que é solução da equação 5 − 3x = 3 x − 2( x − 5) − 0 é tal que: 2 (A) −6 < x < 0 . = a 0= eb 0 Possível e Indeterminada Infinitas soluções. Solução: 5 − 3x =0 ⇔ 2 6 x − 4 ( x − 5 ) − ( 5 − 3 x ) =0 ⇔ 6 x − 4 x + 20 − 5 + 3 x = 0 ⇔ 5x = −15 ⇔ x = −3 3 x − 2( x − 5) − . Exercícios Resolvidos 01 Resolva: 2 x − 1= 3 x + 2 Solução: 2 x − 1= 3 x + 2 ⇔ 2x − 3x = 2 + 1⇔ −x = 3 ⇔ x = −3 02 Resolva: 2( x − 4(2 x + 1)) = 3 x − ( 2 x + 1) Solução: 2( x − 4(2 x + 1)) = 3 x − ( 3 x + 1) ⇔ 2 ( x − 8 x − 4 ) = 3 x − 3 x − 1 ⇔ 2 ( −7 x − 4 ) = −1 ⇔ −14 x − 8 =−1 ⇔ −14 x =−1+ 8 ⇔ −14 x =⇔ 7 7 1 = − x= −14 2 03 Qual deve ser o valor de m para que a equação 2 x + 4= 3 mx − 5 não possua nenhuma solução: Solução: 2 x + 4= 3 mx − 5 ⇔ 2 x − 3 mx =−5 − 4 ⇔ x ( 2 − 3m) = −9 280 Vol. = a 0 e b≠0 Impossível ou incompatível Não possuí solução. 1 Para que a equação não possua soluções precisamos = a 0eb ≠ 0.Matemática III – Assunto 2 0 ⋅ x= b ( b ≠ 0) Neste exemplo. (D) 12 < x < 18 . a afirmação é sempre falsa. (C) 3 < x < 10 . logo a equação é dita impossível. Resumindo: ax = b Tipo de equação Número de Soluções a≠0 Possível e determinada Uma solução. (B) −12 < x < −8 . 10 3 3 (B) . (E) x = 0. 2x − 3 x + 6 1 − = − kx ⇔ 5 10 2 ⇔ 2 ⋅ ( 2 x − 3 ) − ( x + 6 ) =5 − 10 kx ⇔ ⇔ 4 x − 6 − x − 6 = 5 − 10 kx ⇔ ( 3 + 10 k ) x = 17 Para que a equação seja impossível. por exemplo: 3 x − 2 > 2 x + 1. b < 0 Atenção. 10 10 (C) 3. b > 0 a⋅ b > c ⇔ a < c . (D) x = 1.Equações e Inequações do 1o Grau 2x − 3 x + 6 1 − =− kx 5 10 2 seja impossível o valor de k deverá ser: 05 Para que a equação 5 . devemos ter 3 3 + 10 k = 0⇔ k = − . (E) − . 10 a a > c ⋅ b. ao passar algum termo negativo multiplicando ou dividindo para o outro lado da sentença! Nestes casos devemos trocar o sinal da desigualdade: Ex. −1 ≤ x ≤ 1 9o Ano 281 . Inequação do primeiro grau É a inequação que possui apenas uma variável ou incógnita. Para resolvermos esse tipo de equação precisamos usar as seguintes propriedades: a+ b > c ⇔ a > c− b a− b > c ⇔ a > c+ b c a > b . b < 0 b Solução: Letra E. (D) − 2. Solução: Olhando o lado direito: 3 ≤ 5 − 2x ⇔ 3 − 5 ≤ −2 x ⇔ −2 ≤ −2 x ( dividindo por − 2 ) 1≥ x Para o lado esquerdo temos: 5 − 2x ≤ 7 ⇔ −2 x ≤ 7 − 5 ⇔ −2 x ≤ 2 ⇔ ( Dividindo por − 2 ) x ≥ −1 logo. (C) – 1 ≤ x ≥ 1. (B) 1 ≤ x ≤ – 1. b > 0 >c⇔ b a < c ⋅ b.: 6 3x < 6 ⇔ x < ⇔ x < 2 3 mas 6 −3 x < 6 ⇔ x > ⇔ x > −2 −3 Exercícios Resolvidos 01 Resolva: 20 – (2x +5) ≤ 11 + 8x Solução: 20 − ( 2 x + 5 ) ≤ 11 + 8 x ⇔ 20 − 2 x − 5 ≤ 11+ 8 x ⇔ 20 − 5 − 11 ≤ 8 x + 2 x ⇔ 4 ≤ 10 x ⇔ 4 ≤x⇔ 10 2 ≤x 5 02 Se 3 ≤ 5 – 2x ≤ 7. e que é do 1o grau. então: (A) – 1 ≤ x ≤ 1. (A) – 3. 8 x − 3 ≥ 9. 00. 2/5 com aluguel e R$ 300.00. temos: 9x x + 2 x + ( x + 3 ) + ( x − 4 ) = 71 ⇔ = 72 ⇔ x = 16 . o resultado tem que ser maior ou igual a 85. é: (A) R$ 950.00. (C) R$ 15.100. Logo: x 2x x− − − 300 ≥ 85 ⇔ 4 5 20 x − 5 x − 8 x ≥ 85 + 300 ⇔ 20 7x ≥ 385 ⇔ 20 385 ⋅ 20 ⇔ x≥ 7 x ≥ 1100 Logo seu salário deve ser no mínimo R$ 1. (C) 10. 2 3 2 3+ x x −1 − (1− x ) = c. para que suas pretensões sejam atendidas. (B) 5. do total do salário que receber. (D) R$ 16. EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Resolva as seguintes equações: a. (E) R$ 17. 2 2 Logo. 2 4 3x − 1 4 x + 2 2x − 4 x − 5 − − = d.00. a do terceiro reduzida a metade e. . ele ainda pretende que lhe sobrem no mínimo R$ 85. (A) R$ 13. em ordem. 1 02 (CEFETEQ) Calcule o valor numérico de x na igualdade: 1 1 1 x. (E) 30.00.00. em reais. possa gastar 1/4 com alimentação. seu salário deve ser no mínimo: 05 Quatro irmãos possuem juntos um total de R$ 71. (B) R$ 14.500.000. (B) R$ 1.00. descontadas todas essas despesas.00. todos os irmãos teriam a mesma importância.00. logo: 2 x A =− x 4. Se.00. (E) R$ 1.00. (D) R$ 1. Temos: C A + 4 = B − 3 = = 2 D = x .00. + = − 3 2 2 3 282 Vol. −3 ( 3 x − 42 ) = 2 ( 7 x − 52 ) x + 3 x + 2 −1 + = b. (C) R$ 980. ainda a do quarto fosse duplicada. + + = 2 3 4 12 x x x x 03 Se x = + + 3 − + 1 então x é igual a: 5 3 3 5 (A) 3. então.Matemática III – Assunto 2 03 Fábio quer arrumar um emprego de modo que. a do segundo diminuída de R$ 3. (D 15. B =+ x 3. Solução: Se seu salário for x. Sejam A. O valor da importância final de cada um dos irmãos.00 em roupas e lazer. o valor da importância final de cada um dos irmãos é R$ 16. depois de todos os descontos. Solução: Letra D.00. Se a quantidade de dinheiro do primeiro fosse aumentada de R$ 4.00.00. B C e D a quantidade de dinheiro que cada irmão possui.100. C = 2x e D = 2 Como os quatro irmãos possuem juntos R$ 71.00.00. 2 4 3 6 2 ( x − 1) 3 (1+ x ) 1 x − 1 e. (C) 130. (C) a + b = 2. (E) 12. 0 ( x − 1) ( x − 2) = II. (A) 110. (C) a = – 2. (D) 12. 2 (C) 5 . (A) igual a 2. (D) 11. a soma dos três números de cada linha. qual a soma dos algarismos do termo do meio? (A) 8. (C) 15. (E) 9 e 15. (B) 120. (E) 0. 08 Sejam a e b. (B) igual a 4. (C) 3 e 5. (2 II.8. (E) 150. (E) a = b. (B) a = 2. 10 A equação a ( x − 1)= 19 x + 2 b − 201 é possível e indeterminada se a + b é: (D) 140. o valor de y é : Podemos afirmar que: a + b = 2. (C) igual a 17. (E) não existe. 6 . 2x + 1 x 1 é um número − = 3 2 (D) 5 e 8. (A) (B) 12 No quadrado mágico abaixo. (A) 19. 6 (C) 2. 11 Qual a produto de todas as raízes das equações abaixo? I. (D) 4 4 1 (B) . 3x −1 x −1 05 A raiz da equação 2 é: − = 4 2 06 A raiz da equação 3 ( x + 1) 2 ( x − 3 ) 31 x − + 2 x −= + 4 é: 1 2 5 10 (D) igual a 40. (E) 1. 09 ( C F S ) O c onjun to -so lu ção d a eq ua ç ã o 2 ax x − a 1 na variável x será vazio se: − = 3 6 3 (A) a = 0.3 + x 3 x+2 y x+3 16 x x+4 Nessas condições. (E) 10. . 3x − 3 (D) a = – ¼.3 − x 3 2. (D) (B) a · b = – 1. ( 2 x − 1) ( 3 x − 2) 2 )( ) 2x − 2 = 0 3 = 0 6 . (C) 10. 3 (D) 4. 8 (A) 9o Ano 283 .Equações e Inequações do 1o Grau 04 A raiz da equação compreendido entre: (A) 0 e 1.4. (E) a = ¼. de cada coluna ou de cada diagonal tem sempre o mesmo valor. as raízes das equações: x −3 4 x +3 4 = e = 2. (B) 2 e 3. respectivamente. (B) 17. 07 A soma de 5 números inteiros consecutivos é igual 905. 13 A menor raiz da equação 3 3 3 1 x − 4 x − 4 = x − 4 − x − 2 é igual a: 1 3. (A) a = b . (B) 9. 22 Num concurso vestibular para dois cursos A e B.75 para cada duas unidades e as vende ao preço de R$ 3.Matemática III – Assunto 2 14 Se 5 ≤ a ≤ 10 e 20 ≤ b ≤ 30 então. (D) 2 6 2 1 (B) . O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$ 50. cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também enviou a mesma para outras 2 novas pessoas. qual o valor a máximo de : b 20 O m a i o r v a l o r i n t e i r o q u e s a t i s f a z x − 3 3 ( 3 − x ) 7 x − 6 x + 10 3 − 16 x é igual a: − + < − 2 10 4 3 20 1 5. (B) 5. (E) . (C) 5. (A) 15 Uma gincana cultural com perguntas e respostas.00 é : (A) 40. (E) 44. E. cada uma das x pessoa que recebeu a mensagem no dia 1o enviou a mesma mensagem para outras duas novas pessoas. (B) 8. . 17 O número de raízes da equação x − 1 x + 2 0 é igual a: x + 1 − x − 2 = (D) 4.0.2. então o irmão mais velho tem quantos anos? 284 Vol. Daqui a 11 anos será o dobro. Na prova de matemática.2. na prova de matemática. Sabendo que a razão entre as idades é ¾. A soma das idades atuais é: (A) 18. 3 (E) 1. (D) 520. (D) 40. ) −1 1 é igual a : = 2 (D) 2 . (D) 6. (C) 52. (E) 4. (D) 3. são atribuídos 10 pontos a cada resposta certa e subtraídos 5 pontos a cada uma errada. 5 3 1 (C) .5. considerando os dois cursos foi 4. 23 No dia 1o de dezembro. No dia 2. (E) 600. (C) 0. (B) 36.2. Determine o número de respostas corretas que foram dadas por essa equipe. compareceram 500 candidatos para o curso A e 100 candidatos para o curso B. ( 18 A raíz da equação x −1 + 2−1 (A) – 1. No dia 3. considerando-se apenas os candidatos ao curso A. A média dos candidatos do curso B. (B) 52. (E) 126. 16 (CFS) A idade de uma pessoa é hoje o triplo da idade da outra. (C) 6. (C) 2. (C) 400. (E) 2. A equipe ETFQ-RJ respondeu 10 perguntas e acumulou 70 pontos. (C) 48. (D) 63. (E) 6.8. a média aritmética geral. o valor de x é: (A) 12. uma pessoa enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. (B) 1. sucessivamente. assim. 19 (CAP-UFRJ) A soma das idades de dois irmãos é 28 anos. do dia 1o até o final do dia 6 de dezembro.0. Mas.0.00 para cada 6 unidades. a média cai para 3. . 756 pessoas haviam recebido a mensagem. (B) 24. (A) 0. Se. 1 21 Um feirante compra maçãs ao preço de R$ 0. (B) 0. foi: (A) 4. 6 (A) 10. (C) R$ 15. (E) V = 59 39 142 (C) V = . recebeu certa quantidade de problemas dos quais resolveu 70.1] . 49 28 (CMRJ) Quatro irmãos possuem juntos um total de R$ 71. 25 Após ter corrido 2/7 de um percurso e. em reais. ficando mais da metade sem resolver. (D) R$ 16. (B) − ( −1.00. Podemos concluir que o número inicial de problemas recebido por Roberto foi igual a: (A) 153. (B) 12 km. qual será o 3 3 3 ? conjunto solução da equação = − 2 x − 1 2x − 2 2x + 2 (A) .1) . em seguida. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 (CN) No conjunto dos números reais. Qual o comprimento total do percurso ? b. ainda a do quarto fosse duplicada. Os que saem do centro cobram R$ 2. (D) 16 km. (B) V = . m 5 27 (EPCAR) Sendo U = . (B) 2.1) . menos de 42 problemas. (E) 141. (D) 59 18 152 . (E) – 3. para surpresa dos dois. Se a quantidade de dinheiro do primeiro fosse aumentada de R$ 4. (D) 145. (E) − [ −1. 30 (CMRJ) Roberto. a equação 3 ( mx − p + 1) − 4 x = 2 ( − px + m − 4 ) admite uma infinidade de soluções. A soma dos valores reais de m e p é igual a: (A) 3. um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso.00. (D) – 2.00.00. 9o Ano 285 .60 pela bandeirada e R$ 0. assinale o conjunto 5( x − 4) 3 x − 24 verdade da equação x + − = 0: 12 16 8 V = . Quantos metros o atleta havia corrido ? c. (E) R$ 17. Dois amigos se encontraram num restaurante que fica nessa avenida. (A) V = { } .Equações e Inequações do 1o Grau 24 Do centro de uma cidade até o aeroporto são 40 km por uma grande avenida. todos os irmãos teriam a mesma importância. caminhado 5/11 do mesmo percurso. (B) R$ 14.00. (E) 18 km. (C) 148. (D) pm= 32.1} . O valor da importância final de cada um dos irmãos.00. a. (C) mp = 64. é: (A) R$ 3. A distância do restaurante ao aeroporto é de: (A) 10 km. os seus gastos foram exatamente iguais. a do terceiro reduzida a metade e. Os táxis que saem do aeroporto cobram R$ 3. 2 mx − x + 5= 3 px − 2 m + p admite as raízes 3 2 + 3 e 3 3 + 2 . ao todo. 29 (CMRJ) Na variável x. aluno da 1a série do ensino médio do CMRJ. sendo que um tomou o táxi que sai do aeroporto e o outro tomou o que parte do centro e. a do segundo diminuída de R$ 3.00. (D) − {−1.00. Entre os parâmetros m e p vale a relação: (A) p2 + m2 = 25. (C) − [ −1. (B) 150. Hoje.60 por quilômetro rodado. ficaram sem resolver. (C) 0. Quantos metros o atleta havia caminhado ? 26 (CN) Sabe-se que a equação do 1o grau na variável x. (B) p · m = 6. recebendo 6 novos problemas e resolvendo 36. p 3 (E) = . (C) 14 km.00 pela bandeirada e R$ 0.80 por quilômetro rodado. 1] . 286 Vol. (E) 63. qual será o 3 3 3 ? conjunto solução da equação = − 2 x − 1 2x − 2 2x + 2 (A) . (E) inteiro negativo.Matemática III – Assunto 2 7 8 9 02 (CN) A solução real da equação − = 2 x −1 x +1 x −1 é um divisor de: (A) 12. (D) 12 < x < 18. 1 . (E) V = 39 59 142 (C) V = . então mn é igual a: (A) 32. (D) admite infinitas soluções se k = 0. x −1 = 1 . (C) 15. (D) racional não negativo. 10 (CN) No conjunto dos números reais. (D) V = . (C) 35%. constatando-se ter sido 3 9 igual. (A) 40%. 09 (CN) Em uma Universidade estudam 3. (C) admite mais de uma solução se k = – 1. 49 05 (EPCAR) O conjunto solução da equação x+a x−a 3 . (B) V = . (B) não admite solução se k = 1. (D) − {−1. n x m x Se a solução da mesma é 7 e m – n = 3. (C) 49. entre moças e rapazes. 59 18 152 . é correto afirmar que: (A) admite solução única se k 2 ≠ 1 e k ∈ * . o número de moças e rapazes presentes. 03 (EPCAR) Resolvendo-se a equação 1 3= 1 1− 1 1+ 1 1− x vale afirmar que a sua raiz é um número: (A) múltiplo de 3. (B) 55%. (C) natural maior que 8. faltaram 2 7 das moças e dos rapazes. (B) − ( −1. nesse dia. (C) − [ −1. (B) 14. (D) 60%. (E) 62%.1} .Em um dia de temporal. na 09 (EPCAR) Sobre a equação kx − k variável x.1) . Achar a porcentagem das moças que estudam nessa Universidade. (B) racional menor que – 6. (B) – 12 < x < – 8. 04 (EPCAR) Sendo U = . assinale o conjunto 5( x − 4) 3 x − 24 − = 0: 12 16 8 (A) V = { } .1) . (D) 36. (C) 3 < x < 10. (D) 16.000 alunos. 07 ( E P C A R ) R e s o l v e r a e q u a ç ã o m m n n 1− + 1− = 1. sendo U = em que a é o menor − = 2 3 5 fator primo de 221 é: verdade da equação x + 307 201 (A) − (D) − 5 4 207 (B) − { } (E) 5 321 (C) − 4 06 (EPCAR) O valor de x que é solução da equação 5 − 3x = 3 x − 2( x − 5) − 0 é tal que: 2 (A) – 6 < x < 0. (E) 19. (E) − [ −1. (B) 25. em relação ao efetivo da Universidade. 15 (CN) Um fazendeiro repartiu seu rebanho de 240 cabeças de boi entre seus três filhos da seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do segundo. (D) − {−1. (E) x > 7. (E) 5.Equações e Inequações do 1o Grau x +1 − 11 (CN) O conjunto solução da equação x − 1 2 é igual a: + x +1 x −1 x +1 = 1 2 x −1 (A) ∅ . colocando-se uma do lado da outra. (B) 30. (C) 36. (B) . (B) as três estão erradas.5 milímetros de raio. então: x + 3 10 > 2x − 5 4 (A) x < 4. 1} . Qual o número de cabeças de boi que o primeiro recebeu? (A) 12. x > ± 4 . x >3/3. (D) m ≠ 3 . (E) apenas duas estão corretas. (B) m = – 3. (C) apenas a 1a e 2a estão erradas.92. (D) 2 ou 3. (D) 6 < x < 7. (D) 4. Alinhando-se estas moedas. x > ±2 Logo a respeito das soluções. (D) 48. (C) 5 < x < 6. (C) R$ 1. 13 (CN) A equação K2x – Kx = K2 – 2K – 8 – 12x na variável x. (E) {0} . (E) m ≠ 3 e m ≠ −3 . Calcule o valor de . e assinale 4 a opção correta: (A) 0. (D) apenas a 1a e 3a estão erradas. 4x − 9 < x −3 16 (CN) Se 7 .5 e 18. 18 Os valores de m para os quais a equação ( m2 + 2 m ) x + = 2 4 mx + m2 − 6 é impossível são: (A) 0 ou 2. (B) 1. (C) 3. obtém-se o comprimento de 1 metro. (E) R$ 2. (C) m ≠ −3 . (A) R$ 0. O valor total das moedas é: 9o Ano 287 . pode-se afirmar que: (A) as três estão corretas. isto é. nos reais: 1a ) 1+ 3 x > 6 x + 7 2a ) 5 > 3 / x + 2 . Pode-se afirmar que a equação tem conjunto verdade unitário se: (A) m = 3. é impossível. (B) R$ 1. (D) R$ 2. 0. 3 x > 3 . (C) − {−1. 13. respectivamente. (C) 0 ou 1. Sabe-se que a equação na a − 114 y 17 b + 2 variável y dada por 3 ay + admite = 2 2 ab + K infinitas soluções. em que cada uma tem. 5 x > 3 + 2 x . x >1 3 a ) x 2 − 4 > 0 . algumas de 1 centavo e outras de 5 centavos. 14 (CN) Sejam 30 moedas.00.34. (E) 54. 17 (CN) Considere a equação do primeiro grau em x: m2 x + 3 = m + 9 x .1} . e o terceiro tanto quanto o primeiro mais o segundo. (B) 4 < x < 6. (B) 1 ou 2. x 2 > 4 . 5 x − 2 x > 3 . 12 (CN) Considere as seguintes inequações e suas respectivas resoluções. (E) 0 ou 3.08.06. não faz sentido falar em raízes reais. 2. como no exemplo x 2 − 4 = 0 ⇒ x 2 = 4.Equação do 2o grau – Relações entre coeficientes e raízes A ssunto 3 Matemática III 1. já que o quadrado de todo número real é um número positivo. b e c são chamados coeficientes e x é a incógnita. Introdução Uma equação do segundo grau com uma incógnita é uma equação cuja incógnita possui grau máximo 2. temos uma equação da seguinte maneira: ax 2 + bx = 0 Colocando x em evidência.: x 2 − 1 =0 . com a ≠ 0 em que os termos a. (a = 1. ∆= 5 − 4 1 6 ⇔ ∆= 25 − 24= 1 . De fato. Aqui queremos saber quais são os números que.3 Fórmula de Bhaskara Para qualquer equação do 2 o grau. se D < 0. uma equação do 2o grau é uma equação com a forma: ax 2 + = bx + c 0. deixam resultado 4.1 b = 0 288 Ex. De modo geral. temos o seguinte quadro para a discussão: valor de D no de raízes reais D>0 duas raízes reais D=0 uma raiz (raiz dupla) D<0 nenhuma raiz real Ex. 1 Ex. Ex. a equação acima não possui solução. ou seja: x ( ax + b ) =0 ⇔ x = 0 ou ax + b = 0 ⇔ −b x 0= = ou x a Vol. temos o caso: x2 = a⇔ x = ± a ( desde que a ≥ 0 ) Obs. com ∆= b2 − 4 ac 2a O valor D é chamado de discriminante da equação do 2o grau. x 2 + 2 x + 1 =0 . temos a seguinte fórmula geral para a determinação das raízes: 2. E as respostas são + 2 e – 2. Logo. b = 5 e c = 6) 2 .4 Discussão da equação do 2o grau Note que na fórmula de Bháskara o discriminante está dentro de uma raiz quadrada. 2. Resolução O caso mais simples de equação do segundo grau é quando b = 0. temos: x ( ax + b ) = 0 O produto de dois números só será nulo se um dos seus termos for nulo. 2.2 c = 0 Quando o coeficiente c = 0. elevados ao quadrado. . 4 x 2 − 2 x − 1 =0 . 2: 4x2 − x = 0 ⇔ x ( 4 x − 1) = 0 ⇔ 1 ou x = x 0= 4 2.: Se 2 < 0. De modo geral. 1: x 2 + 2 x =0 ⇔ x ( x + 2 ) =0 ⇔ x = 0 ou x = −2 x= −b ± ∆ . 1: x2 + 5x + 6 = 0 . Teremos então: 4 a ( ax 2 + bx + c ) =0 ⋅ ( 4 a ) ⇔ 4 a2 x 2 + 4 abx + 4 ac Ao somar e subtrair o valor b2.6 Relações entre coeficientes e raízes Algumas relações entre as raízes podem ser descobertas sabendo apenas os coeficientes.Equação do 2o grau – Relações entre coeficientes e raízes E então : −5 ± 1 −5 ± 1 = x = 2. Assim: 2 2 4 a2 x 2 + 4 abx + b2= ( 2 ax ) + 2. −2 b − b = 2 a a Solução: Para que a equação do segundo grau não possua raízes. .1. Na forma geral da equação ax + bx + c = podemos multiplicar a equação por 4a. Logo: ∆ =( −8 ) − 4 ⋅ m ⋅ 4 < 0 ⇒ 64 − 16 m < 0 ⇒ 64 < 16 m ⇒ 4 < m 2 2.b + b2= ( 2 ax + b ) Logo. b = −2 ) 3 e c= −x2 + 3x − 2 = 0. ( −1) −2 −3 − 1 = x1 = 2 −2 ⇒ −3 + 1 = x2 = 1 −2 Aqui tivemos como raízes os valores 1 e 2. 4: 2 x 2 + 2 x + 4 =. Ex. é necessário que ∆ < 0. 0= a 1. ∆= 4 − 4 1 4 ⇔ ∆= 16 − 16= 0 −4 ± 0 = x1 = 2 2. podemos escrever a equação da seguinte maneira: 4 a2 x 2 + 4 abx + b2 + 4 ac − b2 =0 ⇔ ( 2ax + b ) 2 =b2 − 4 ac Tirando a raiz.= 2 .ax.= c 4 x2 + 4x + 4 = 0 .1 Possui uma raiz real.1 2 −5 − 1 = −3 x1 = 2 ⇒ −5 + 1 = −2 x2 = 2 Aqui tivemos como raízes os valores – 3 e – 2. temos: 4 a2 x 2 + 4 abx + b2 + 4 ac − b2 = 0 Note que os três primeiros termos da equação formam um trinômio quadrado perfeito. Ex. ( −2 ) ⇔ ∆ = 9−8= 1 E então: −3 ± 1 −3 ± 1 = x = 2.= c 4 ∆= 22 − 4. ( −1) .5 Demonstração da fórmula de Bhaskara 2 0.1 Soma das raízes: S = a Demonstração: Ex.4 ⇔ ∆ = 4 − 16 = −12 Não possui raízes reais. São elas: b 2. Ex. 3: a 1. (a= ∆= 3 − 4.= b 2.6. 9o Ano 289 . temos o seguinte: ± ( 2ax + b ) = b2 − 4 ac ⇔ 2 ax =− b ± b2 − 4 ac ⇔ − b ± b2 − 4 ac x= 2a 2.= b 4. 5: Determine os valores de m tais que a equação − b + b2 − 4 ac − b − b2 − 4 ac x x = + + = 1 2 0 possua raízes do segundo grau mx 2 − 8 x + 4 =não 2a 2a reais. 2: −1. como: pode não ser muito útil se as raízes não forem inteiras.6. mas. temos: a.2 = −3 d. x 2 = 2 a 2 a 2 2 2 ( − b ) − b − 4 ac b2 − b2 + 4 ac c = = 2 4 a 4 a2 a ) ( 2. e Vol. temos que as raízes são 2 e 3. temos uma raiz com sinal positivo e uma com sinal negativo.7 Determinação das raízes por soma e produto 290 Podemos descobrir outras relações entre as raízes. 3 −3 1 1 α 2 + β2 3 + = 2 =2= − 2 2 α β 4 ( αβ ) ( 2) 2 2. α 2 + β2 = ( a + β ) − 2αβ = ( −1) − 2. vale a pena tentar usálo sempre. Pensando .2 Produto das raízes: P = a Demonstração: − b + b2 − 4 ac − b − b2 − 4 ac x1. 1 Este método é um método de tentativa e erro. f.2 Diferença entre a maior e a ∆ menor raiz: D = a Demonstração: x1 + x 2 = − b + b2 − 4 ac − b − b2 − 4 ac − = 2a 2a 2 ∆ ∆ = 2a a Exercícios Resolvidos 01 Calcule a soma e o produto das raízes da equação do segundo grau x 2 + 18 x − 19 = 0: Solução: − b −18 S= = = −18 a 1 c 19 P= = = 19 a 1 0 02 Na equação do segundo grau x 2 + x + 2 =. α = − (1) 1 ( 2=) 1 = −1 Podemos determinar as raízes de algumas equações do segundo grau tentando descobrir dois números que satisfaçam a soma e o produto dados: Ex. 1 1 α + β −1 += = α β αβ 2 ( a + β ) − 3αβ ( a + β =) 3 ( −1) − 3 ( 2)( −1) =−1+ 6 =5 α 3 + β3= e.Matemática III – Assunto 3 c 2. α +β = . 2: x 2 − 5 x − 14 = 0 ( −5 ) = S= − 5e 1 −14 = −14 P= 1 Note que como o produto é negativo. 1: x 2 − 5 x + 6 = 0 ( −5 ) = Como a soma é S = − 5 e o produto é 1 6 P= = 6. 1 2 2 c. devido a sua praticidade.6. com raízes α e β . Ex.β b. 2β = 4 = −48 1 Assim. 1: Qual a equação que possui os números 1 e 5 como raízes? S =1+ 5 =6 ⇒ x2 − 6x + 5 = 0 . Dados os números α e β . (C) 7.Equação do 2o grau – Relações entre coeficientes e raízes nos fatores de – 14. (B) 0. 2: Qual a equação que possui como raízes o dobro das raízes de x 2 + 26 x − 12 = 0? Solução: Note que se α e β são raízes da equação x + 26 x − 12 = 0 . (D) 1/32. 3 (A) 04 (PUC-SP) A equação 4x2 + x + m = 0 tem uma única raiz. temos que as raízes são – 2 e 7. Ex. 3 10 (C) . (E) A equação não tem raízes reais. (D) 2. marque a afirmativa correta: (A) O produto das raízes é 1. (E) 3. 9o Ano 291 . (C) 1. (C) A raiz positiva é um número entre 4 e 5. 05 (FAETEC) Sobre a equação x2 – 4x – 1 = 0.2. (D) As duas raízes são positivas. Então a nova equação deve ter como soma e produto das raízes: 2α + 2β = 2 ( −26 ) = −52 −12 2α. (D) . (B) 1/16. então: −26 α +β = = −26 1 −12 α. m é igual a: (A) 0. (E) 10.5. 02 (PUC-SP) Uma das raízes da equação 0. a equação x 2 − Sx + P = 0 possui exatamente α e β como raízes.β = = −12 1 2 A nova equação deverá ter 2α e 2β . 3 3 (B) 6. (B) − 10 . 3 (D) 7. esta nova equação será: x 2 − ( −52 ) x − 48 = 0 ⇔ x 2 + 52 x − 48 = 0 EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 A menor raiz da equação 11x − 3 x 2 + 70 = 0 é igual a: (A) – 7. 7 (C) . 03 A maior raiz da equação 3x2 – 14x + 15 = 0 é igual a: 5 8 .7x + 1 = 0 é: (A) 0. é bom manter em mente o seguinte quadro: Soma (S) Produto (P) Raízes + + As duas raízes são positivas – + As duas raízes são negativas – – As raízes possuem sinais contrários Determinação da equação do segundo grau em função das raízes. (B) A soma das raízes é 2. De modo geral. com soma S e produto P.1x2 – 0. = P 1= 5 5 Ex. Então. 7 9 (B) 0 < m ≤ . . (B) x 2 + 4 x − 1 =0. será construída uma moldura de lajotas. (E) y ≤ 7. Para que valores de y o problema possui duas soluções reais? 25 . 8 −15 (E) m = 3 ou m= . −15 (D) m = 2 ou m = . (D) 3. (B) 0 ≤ m ≤ 1. calcule o valor de m: (A) 1. 2 (D) x − 4 x + 1 = 0. 4 (C) y = 6. m ∈ R+* ? 07 O número de inteiros compreendidos entre as raízes da equação : x 2 − 3 − 2 2 x + 4 − 3 2 = 0 é igual a: ( ) (A) 0. 1 (A) x 2 + x − 4 = 0. (A) y < 16 (C. 11 D e t e r m i n e m p a r a q u e a e q u a ç ã o mx 2 + 2( m − 3) x + ( m + 1) = 0 possua duas raízes positivas distintas: 292 9 . (B) m = – 3 ou m= 8 (C) m=3 ou m= 1. forme a equação cujas raízes são a+1 e b+1: 08 Sabendo que a diferença entre as raízes da equação x 2 − 12 x + 16 m = 0 é igual a 4. (D) m > 1. (C) 3. Em seu contorno. Ela terá 4 metros de largura e 6 metros de comprimento. (D) y > 7. (A) 0 < m < Vol. (A) x 2 + 2 x − 2 (B) x 2 − 2 x − 2 (C) x 2 + 2 x + 2 (D) − x 2 + 2 x − 2 14 (COMSART) A equação do 2o grau cuja menor raiz é 2 − 3 e o produto das duas raízes é 1 é expressa por: 09 (CEFET) Determine m para que uma das raízes da 0 o dobro da outra: equação x 2 + 2 mx + m + 5 =seja −15 . 8 (A) m = 3 ou m = 10 Determine m para que a equação x 2 + 2 x + m =0 possua duas raízes de mesmo sinal: (A) 0 < m ≤ 1. (C) 0 < m < 1. 4 29 (B) y > . (D) 4. 7 (D) m > 1. Pedro II) O modelo abaixo representa uma piscina retangular que será construída em um condomínio. representada pela área sombreada na figura abaixo. (B) 1. (E) 4.Matemática III – Assunto 3 06 (CEFET) Qual a diferença das raízes da equação mx2 + (m – p)x – p = 0. (B) 2. (E) 5. 15 Determinar o número cujo quíntuplo excede o seu quadrado de y unidades. (C) 2. (C) x 2 − x + 4 = 0. 12 Sendo a e b raízes da equação x 2 + 4 x + 1 =0 . 8 −15 . 7 9 (C) 0 ≤ m < . (B) – 7.Equação do 2o grau – Relações entre coeficientes e raízes 6m x x 4m a. a b 22 Um grupo de amigos se reuniu num restaurante e. b.00. 18 (CEFET) Qual é o valor de m na equação x2 – (m+5)x + m + 1 = 0. (C) 11. m pertencente aos reais. 25 (CN) As raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 são iguais a m e n. (C) – 5. O ministro responde “seja bem-vindo” a cada convidado. Sendo x o número total de pessoas. 3/2}. 17 (ESPCEX) Se na equação 2x2 + mx – 1 = 0. 19 Um ministro brasileiro organiza uma recepção. Sejam p e q os catetos de um triângulo retângulo cuja altura relativa à hipotenusa é a. a soma das raízes é igual ao produto delas. (E) 14. 2/3}. 3/4}. m > 0. ( ) (B) ax 2 − b 3 ac − b2 x + c = 0. por delicadeza. x x então a igualdade a0 + a1x + a2x2 = a0 (1− )(1− ) r s se verifica: (A) para todos os valores x. Determine o valor da 2 2 expressão 1 + 1 . a0 ≠ 0. (B) 11. m pertencente aos reais. (B) {– 3. (B) para todos os valores de x. (E) 12. ao pagar a conta. (D) admite uma raiz da forma – m −1 . (D) {– 1. (D) só para x = r ou x = s. Sabendo que no total foram ditos 78 bons-dias em português. o número de convidados era: (A) 9. m > 0. 24 Seja IR o conjunto dos números reais. o que fez com que cada um dos outros contribuísse com mais R$ 600. que era de R$ 600. 20 (CEFETEQ) A equação x2 – 75x + 1 = 0 tem suas raízes representadas por a e b. (C) só para x = 0. a0 ≠ 0. cada um deles diz “bom dia” a cada um dos outros na língua oficial da pessoa a quem se dirige. o valor de x é igual a: (D) 12. 1/2}. (C) admite sempre raízes reais. (E) 13. (D) 9. (E) só para x = r ou x = s. Determine a medida x para que a moldura tenha área de 39 m². 23 Se a2 ≠ 0 e r e s são as raízes de a0 + a1x + a2x2 = 0. (C) 12. Metade dos convidados são estrangeiros cuja língua oficial não é o português e. Considerando que a largura da moldura mede x metros. represente a área da moldura por uma expressão algébrica. (A) 10. para que as raízes sejam simétricas? (A) – 3. Podemos afirmar que a equação: 2x2 2x 1 − + = 0 p h q (A) não admite raízes reais. Assinale a equação cujas raízes são m3 e n 3: ( ) (A) a3 x 2 − b 3 ac + b2 x + c3 = 0. (B) 10. (B) admite uma raiz da forma m −1 . 9o Ano 293 . dois deles estavam sem dinheiro. então o conjunto-solução da equação é: (A) {3. (C) {– 2. onde m é real. (D) 13.00. (E) 2. 3 = 0. mas não simétricas. (C) não tem raízes reais. a afirmação correta é: (A) tem duas raízes reais de sinais contrários. 0 26 Se m e n são raízes da equação x 2 − 2 3 x + 1 =. que essa equação: (A) tem raízes reais só se k for um número positivo. (D) 6. (E) 8. (D) 3.Matemática III – Assunto 3 ( + b(b + b(b ) − 3 ac ) x − c − 3 ac ) x + c (C) a x + b b − 3 ac x + c = 0. (C) 0. (E) 4. 4 (B) 4 . O número de laranjas que se pode comprar com três reais é igual a: (A) 15. Determine os valores de p e q. . 03 (CN) Dada a equação na variável real x: 7x − 3 = k x pode-se concluir. (B) – 1. (E) 100. (C) 2. 29 O custo em reais de 25 laranjas é igual ao número de laranjas que podemos comprar com um real. (D) 1. 6 (D) 6 . (B) tem duas raízes simétricas. 3 (D) a x 3 2 2 (E) a3 x 2 2 2 2 3 = 0. (B) 3. (C) tem raízes reais para qualquer valor de k. (B) 30. 7 (E) 7 . (D) tem raízes reais somente para dois valores de k. 0 Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro k. são os cubos das raízes da equação x² + x + 1 = 0 . (C) 45. (B) 1. em função do parâmetro real k. 5 5 (C) . (D) 75. 27 As raízes da equação x2 – px + q = 0 . EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 (CN) Sobre a equação 1999 x 2 − 2000 x − 2001 = 0. (E) tem duas raízes negativas. onde p e q são constantes. (E) nunca terá raízes reais. (C) 4. (D) tem duas raízes positivas. tais que essa equação só admita raízes racionais? (A) 2. 1 02 (CN) Dada a equação do 2o grau na incógnita x: 4 x 2 + kx + 3 =. 294 30 Se x1 e x2 são raízes da equação 15x2 + x – 2 = 0 Vol. 2 2 3 m + 5 mn + 3 n é igual a: o valor da expressão 4 m3 n + 4 mn3 (A) 3 . 28 (CN)O número de raízes reais da equação 2 2 x x + 1 17 é igual a: x + 1 + x = 4 (A) 0. (B) tem raízes reais só se k for um número negativo. 8 então 5 x1 + 3 x 2 é : (A) – 2. 16 7 (E) . (E) 2007. 12 12 (C) ( 3 + 2 ⋅ 21 2 ) . ab '− ba ' ab '− ba ' (E) ( ) . a2 c 3abc + b3 . A equação cujas raízes são ar + b e as + b é: (A) x 2 − bx − ac = 0. é a média geométrica entre m e a maior raiz. (B) 1. A maior raiz é a média geométrica entre n e a menor raiz. com coeficientes reais. (D) 2008. (A) 0. Pode-se afirmar que m + n é expresso por: (A) (B) (C) 07 ( O B M ) A s e q u a ç õ e s d o 2 o g r a u (D) 2007 x 2 + 2008 x + 1 = 0 e x 2 + 2008 x + 2007 = 0 têm uma raiz comum. c2 (B) ( a2 + b2 − c2 ) b2 . 12 (E) ( 3 + 3 ⋅ 21 2 ) . (D) ( 3 + 2 ⋅ 31 2 ) . ca' − ac' (B) ( ) c ⋅ ca '− ac ' . ab' − ba ' ca '− ac ' (C) ( ) . c2 a 9o Ano 295 .Equação do 2o grau – Relações entre coeficientes e raízes 04 (CN) Qual a soma das raízes quadradas das raízes da equação do 2o grau x 2 − 6 x + 2 =? 0 (A) ( 6 + 2 ⋅ 21 2 ) . 0 a ≠ 0 . tais que ab’ ≠ a’b possuem uma única raiz em comum cujo valor é: ab' − ba' (A) ( ) b ⋅ . ( b2 − c2 )( b2 − 3c2 ) . (C) x 2 + 3 bx + ca + 2 b2 = 0. c2 a abc + b3 . 12 (B) ( 6 + 2 ⋅ 31 2 ) . 10 (CN) A menor raiz da equação ax 2 + bx + c =. a2 c 3 abc – b3 . c2 a abc – b3 . 0 com abc ≠ 0 . 4 (D) 3 . (C) 2007. sendo equação x 2 + px + q = que D denota o discriminante dessa equação. (B) x 2 − bx + ac = 0. o valor de r 4 + r 2 s2 + s4 é: (A) ( a2 + b 2 ) . 2 1 (C) . 12 05 (CMRJ) Se r e s são raízes da equação ax 2 + bx + c =. ab '− ba ' aa ' (D) ( ) . aa ' 09 (EPCAR) As raízes de ax 2 + bx + c = 0 são r e s. a2 ( b 2 + a2 ) ( c2 + b 2 ) . 8 08 As equações do 2o grau ax2 + bx + c = 0 e a’x2 + b’x + c’ = 0. (D) x 2 + 3 bx − ca + 2 b2 = 0. Qual é o valor do produto das (E) duas raízes que não são comuns? 3 abc – b3 . 1 (B) − . Assinale a opção que corresponde ao valor de q: (A) – 1. a (C) 06 (UFC) Os reais não nulos p e q são tais que a 0 tem raízes D e 1 – D. (D) a2 ( 2 )( 2 ) (E) b − ac 4b − 3 ac . (D) q é múltiplo de 81. um número inteiro par. 0 a · b · c ≠ 0. necessariamente. explicitou x da seguinte forma: − b ± b2 − 4 ac x= 2c Sabendo-se que não teve erro de contas. (B) m2 + n2 é. 13 (EPCAR) Se m e n (m. 1 . um número natural par.Matemática III – Assunto 3 11 Se α e β são raízes da equação x 2 − x − 1 =0 . pode-se afirmar que: (A) p é divisor de 4. (B) m e n são ímpares. Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as raízes 1 e 4. 15 Um aluno. (E) a · x1 e a · x2. (D) c · x1 e c · x2. Sabendo-se que mn · nm · mm · nn = 81. qual o valor de 5α 6 + 8β5 ? (A) 1. é correto afirmar que: 14 (EPCAR) Sejam m e n as raízes inteiras da equação x2 – qx + p = 0. RASCUNHO 296 Vol. (D) 90. (B) – x1 e – x2. 12 (EFOMM) Um professor escreveu no quadro-negro uma equação do segundo grau e pediu aos alunos que a resolvessem. (E) 9. (A) (m – 2)(n – 2) é. (C) pq é inteiro negativo. (C) 3. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as raízes – 3 e – 2. (B) 2. A diferença positiva entre as raízes da equação correta é: (A) 1. (E) 5. (C) m3 + n3 é. encontrou como resultado: (A) x1 e x2. um número natural ímpar. (C) 89. necessariamente. (D) (1/m) + (1/n) é diferente da unidade. n ∈ R ) são raízes reais da equação x2 – bx + b = 0 e b é um número natural primo. (B) 30. ao tentar determinar as raízes x1 e x2 da equação ax 2 + bx + c =. (C) x1–1 e x2–1. (D) 4. necessariamente. Equações biquadradas e equações redutíveis ao 2o Grau A ssunto 4 Matemática III 1. Equações biquadradas Uma equação biquadrada é uma equação da forma: ax 4 + bx 2 + c = 0 Se pensarmos em termos de x, isto não é uma equação do 2o grau, mas é possível fazer o que é chamado de mudança de variável, ou seja, defini-se 2 uma outra variável da seguinte maneira: y = x . Logo, elevando ambos os lados ao quadrado 2 4 temos: y = x . Efetuando essas substituições teremos o que é chamado de equação resolvente: ay 2 + by + c = 0 − b ± b2 − 4 ac , agora 2 a usando que y = x 2 temos as seguintes soluções em x: Cujas soluções são: y = x1 = − b + b2 − 4 ac 2a − b + b2 − 4 ac x2 = − 2a x3 = − b − b2 − 4 ac 2a x4 = − − b − b2 − 4 ac 2a Exercícios Resolvidos Ex. 1: 2 − ( −3 ) ± ( −3 ) − 4.1. ( −4 ) 4 2 Resolva x − 13 x + 36 = 0= . y = 2.1 Solução: 3 ± 9 + 16 3 ± 5 = Fazendo y = x 2 temos: y 2 − 13 y + 36 = 0 2 2 Cujas raízes são: 3+5 = y1 = 4 2 2 − ( −13 ) ± ( −13 ) − 4.1.36 = y= −5 3 2.1 = −1 y2 = 2 13 ± 169 − 144 13 ± 5 = Logo, 2 2 x1 = 3 e x 2 = −3 x2 = 4 13 + 5 =9 y1 = ⇒ 2 2 x = −2 x3 e x 4 não são números reais 13 − 5 =4 y2 = Conjunto solução: = S {3, −3} 2 Ex. 3: Logo, Resolva x 4 + 3 x 2 + 2 = 0 2 Solução: x1 = 3 e x 2 = −3 x =9 ⇒ y = x2 ⇒ y2 + 3y + 2 = 0 x3 = 2 e x 4 = −2 x2 = 4 2 E temos o conjunto solução: S ={−3, −2,2,3} . −3 ± ( −3 ) − 4.1.2 −3 ± 9 − 8 −3 ± 1 = y = = Ex. 2: 2.1 2 2 Resolva x 4 − 3 x 2 − 4 = 0 −3 + 1 = −1 y1 = 2 Solução: y = x 2 ⇒ y 2 − 3 y + 4 = 0 −3 − 1 = −2 y2 = 2 9o Ano 297 Matemática III – Assunto 4 x1 e x 2 não são números reais x2 = 4 ⇒ x 2 = −2 x3 e x 4 não são números reais y= − ( −1) ± ( −1) 2 − 4.1.5 2.1 −1± 1− 20 −1± −19 = 2 2 Essa equação não possui soluções reais. Ex. 4: Resolva x 4 − x 2 + 5 = 0 Solução: y = x2 ⇒ y2 + 3y + 2 = 0 = Como não existem soluções reais para a equação em y, também não possuímos soluções reais para a equação em x. 1.1 Discussão da equação biquadrada Pelos exemplos acima nota-se que o número de raízes depende do valor do descriminante e dos sinais das raízes da equação reduzida. Lembre-se que os sinais das raízes de uma equação pode ser dado pela soma e produto desta equação. Valor do Descrimina,te Sinais de soma e produto Número de raízes D>0 P>0eS>0 4 raízes reais D>0 P>0eS<0 Nenhuma raiz real D>0 P<0 2 Raízes reais D<0 ------------ Nenhuma raiz real D=0 S>0 Duas raízes reais D=0 S<0 Nenhuma raiz real 2. Equações redutíveis ao segundo grau Existem outras equações que podem ser reduzidas ao 2º grau quando fazemos substituições adequadas. Exercícios Resolvidos Ex. 1: y2 − 4y + 3 = 0 ⇔ 2 0 Resolva a equação x − 4 x + 3 =. − ( −4 ) ± ( −4 ) − 4.1.3 = ⇔ y 2 Solução: 4± 4 Primeiramente, notamos que esta equação não = ⇔ y 2 pode conter raízes negativas, já que existe um valor = y 3= ou y 1 de x dentro da raiz quadrada. Agora, vamos chamar y = x , e teremos x = y 2 . Substituindo teremos: 298 Vol. 1 Mas como y = x , temos x = 9 ou x = 1. Ex. 2: 156 Resolva a equação x 2 + x + 1 = 2 . x +x Equações biquadradas e equações redutíveis ao 2o Grau Solução: Ex. 3: Faça = y x 2 + x , logo a equação original será : 156 y += ⇔ 1 y y 2 + y − 156 = 0 ⇔ y −1± 12 − 4 ( −156 ) 2 0. Resolva ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 )( x − 4 ) + 1 = Solução: Efetuando a multiplicação do primeiro com o último termo e dos dois termos centrais, temos: x2 − 5x + 4 x2 − 5x + 6 + 1= 0 ( ⇔ −1± 25 ⇔ 2 y = 12 ou y = −13 y = x2 − 5x + 5 Logo, a equação original será: ( y − 1)( y + 1) + 1 = 0 ⇔ Agora voltamos às substituições: y 2 − 1+ 1 = 0 ⇔ y =0 2 y =−13 ⇒ x + x =−13 ⇔ x 2 + x + 13 = 0 ⇒ ∆ = 1− 4.13 < 0 ( Este caso não gera raízes reais ) Substituindo: y = 0 ⇒ x2 − 5x + 5 = 0 Ou x= y = 12 ⇒ x 2 + x = 12 ⇔ x 2 + x − 12 = 0 ⇒ −1± 1− 4 ( −12 ) 2 x = 3 ou x = −4 São chamadas de equações irracionais as equações que envolvem raízes de algumas de suas variáveis, como por exemplo: x + 2 =; 0 3 x = 2; x +4 + x −4 = 4 A técnica básica para resolver este tipo de equação é elevar nos dois lados ao expoente que aparece no radicando. Ex.: x +4 =4 ⇒ ( x +4 ) 5± 5 2 ⇒ 3. Equações irracionais 2 ) Uma substituição inteligente neste momento será: = y = x )( =4 ⇒ 2 x + 4 = 16 ⇒ x = 12 Esta técnica possui um problema que veremos no exemplo à seguir: x 2 + 5 x + 1= 2 x − 1 ⇒ ( 2 x 2 + 5 x + 1) = ( 2 x − 1) ⇒ x2 + 5x += 1 4x2 − 4x + 1 ⇒ 3 x 2 − 9 x =0 ⇒ x 0= e x 3 = 2 Note que na equação acima o valor 0 não é solução: 02 + 5.0 + 1= 2.0 − 1 ⇒ 1 = −1 O que fizemos de errado? Quando dois valores são iguais, temos que seus quadrados serão necessariamente iguais a =b ⇒ a2 ⇒ b2 , mas podemos ter o quadrado de dois números diferentes sendo iguais, exemplo: 2 2 ( 2) = ( −2) . ( ) 9o Ano 299 quando elevamos ao quadrado (ou a qualquer potência par) estamos quebrando a equivalência das equações que estão escritas. no conjunto dos números reais. Como somente x = EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 (UNESP) A soma das raízes positivas da equação: x4 – 13x2 + 36 = 0 é: (A) 0. 2 (C) x = 1. (C) 49. respectivamente a maior e a menor das raízes da equação x 4 − 10 x 2 + 9 = 0 . (C) Duas.Matemática III – Assunto 4 Logo. 1 (D) 5. assim. 2 temos que esta é a única solução. (E) x = − . Determine a diferença a – b. (E) NRA. (D) Duas. as quais são negativas. as quais são positivas. (E) Duas. as raízes devem satisfazer: (A) Nenhuma. 1− x ≥0⇔ 2 x ≥ 0 e 1− x ≥ 0 ⇔ 0≤ x ≤1 x ≥0 e Solução: x + 20 =x ⇒ x + 20 = x 2 ⇒ x 2 − x − 20 = 0 ⇒ 5 −4 ou x = x= Agora podemos resolver a equação: Testando os valores: −4 + 20 =−4 1 1 . (A) x = (Falso ) 5 + 20 = 5 ( Verdadeiro ) Avaliando o que chamamos de domínio da equação. bem como o valor que está igualado à esta raiz. 01 (CN) Quantas raízes reais tem a equação x + 20 = x? Solução: Esta equação só fará sentido se o valor que está dentro da raiz for positivo. sendo U = ℜ. da equação 1− x = x ? 2 1− x = x⇒ 2 1− x = x2 ⇒ 2 2x2 + x − 1= 0 ⇒ 1 −1 ou x = x= 2 1 satisfaz às condições. (D) x = – 1 ou x = . (B) 20. ou seja. os resultados que descobrimos no final serão apenas candidatos a raízes. (B) Uma. 2 2 1 (B) x = – 1. as quais têm sinais opostos. . 300 Vol. 03 Resolva a equação 3 x + 1 = 2 x − 4. 02 (CN) Qual é a solução. Podemos reverter esse problema de duas maneiras: Exercícios Resolvidos Te s t a n d o a s r a í z e s d e s c o b e r t a s n o desenvolvimento da equação. 02 Sejam a e b. (E) 4. m ≠ 0 é igual a : (A) 0. (C) 1. 4 x 2 + 9 x + 1 = x + 1. 05 Resolva a equação x + 3 − 2 x − 1 =. m (A) 1. (C) 3 3 (B) 1. 13 Calcule as raízes da equação x 3 − 3 x 3 + 2 = (A) – 1 e 1. (E) – 1. (E) 0. (C) – 3 4 e – 1. 9o Ano 301 . (C) 2. 11 Uma equação biquadrada da qual . (B) – 7. 3 07 O produto das raízes positivas da equação 4x4 – 17x2 + 18 = 0. (B) − (B) – 3 4 e 3 4. n . (B) 1.1 e 2 são duas de suas raízes possui para soma dos seus coeficientes. (B) 3. (C) 5. 14 (CEFET) Calcule a soma das raízes da equação: 3 09 O número de soluções inteiras da equação 4 x 5 + 11x 3 − 3 x = 0 é igual a: (A) 5. e 30 .2333.. (D) 7. 2 2. 2 2 2. O valor de c é: 7 08 A soma das raízes da equação de raízes reais mx4 – nx2 + p = 0. 3 2. 5 2. (A) −2 3 2 3.. (B) 0. (C) 2. (E) 1. 0. O valor do coeficiente do termo de 2o grau dessa equação é : (A) 7. respectivamente iguais a 2 e 3. (C) 11. . (E) 3. 12 (CEFET) Duas raízes da equação biquadrada x 4 + bx 2 + c = 0 são 0. (B) 3. (A) – 1. (D) 3 . (A) 0. (D) – 1. 10 Uma equação biquadrada tem duas raízes (D) 1. 1 06 Escreva a razão entre a maior e a menor raiz da equação x 4 − 7 x 2 + 12 = 0. (D) 1 e 3 4. é igual a: (A) (B) (C) (D) (E) 2 . (D) 3.Equações biquadradas e equações redutíveis ao 2o Grau 04 Resolva a equação x −1 = x −3 . (D) 2. m 2n (C) − . m p (D) m p (E) − . a ∈ *+ . Vol. ) um inteiro quadrado perfeito. 24 (EPCAR) Se a ∈ *+ é raiz da equação na incógnita 3 18 (CAP-UERJ) Resolva a equação 4 − 3 x 2 − 8 =. 2 25 Resolvendo-se a equação x +4 + x −4 =2 x +4 − x −4 encontra-se um número que pertence ao seguinte conjunto: (A) {2.5. ) um inteiro menor do que 3.5. ) 2. (C) múltiplo de 12. (C) é vazio. (D) divisor par de 30. (B) 16a8. y. 8}. o produto dos elementos do conjunto verdade da equação x 4 − 5 a2 x 2 + 4 a4 = 0 4 2 17 (EPCAR) A equação 4 x − 37 x + 9 = 0 possui quatro raízes reais. (C) 33.5. 22 (EPCAR) A média aritmética das raízes da equação a + x = a + a − x . (D) 1. 2 3 (C) < a < 2 . cuja soma dos quadrados vale: (A) – 4a4.determine o valor de . (B) 10. 6}. 1 (C) 4a4.5. (E) possui dois elementos irracionais. é: (A) 0 < a < 1. (A) 20. (E) 23. 7. 9.Matemática III – Assunto 4 21 (CN) Sobre o conjunto solução em ℜ da equação (2 x + 1)2 =x − 3. (C) 18. 10}. podemos afirmar que: 15 Resolvendo a equação irracional x + x + 11 + x − x + 11 = 4. . 5. 2 5 (D) 2 < a < . (E) 2. ) 1. obtemos como raiz: (A) ( (B) ( (C) ( (D) ( (E) ( ) um número irracional. (A) 6. 20 Quantas raízes reais possui a equação 12 4 4 x 2 + 12 x + + 2 = 47 ? x x (A) ( (B) ( (C) ( (D) ( (E) ( 302 ) 0. na incógnita x. (B) 8. (D) {8. 3 (B) 1 < a < .5. (D) 26. ) um inteiro maior do que 3. (D) é unitário cujo o elementos é negativo.458 x − 729 = −2 é: 3 (D) 30. (E) 36. 1− y 4 − y 2 =y − 1. 3.5. na variável x. (C) {6. (D) 2a4. ) 4. (B) {4. 23 (EPCAR) Em .5. 4}. (B) primo ímpar. (B) possui dois elementos em que um é racional e o outro irracional. (C) 0. (B) – 1.5. em que a ∈ *+ . 16 (EUA) Se 1− + 2 = x x x (A) – 2. então: 19 ( C N ) A s o m a d a s r a í z e s d a e q u a ç ã o 3 54 x − 27 6 − 1. (A) é unitário cujo o elemento é positivo. é um número?: (A) irracional positivo.5.5. ) 3. ) a raiz não é real. 4 4 2 0 . (D) múltiplo de 7. (E) – 6. (C) fator de 40. 05 (CN) A solução da equação 2 + 3 3x −1 + 3 3x −1 = 4. (C) um número racional cujo inverso tem 4 divisores positivos.3). (A) nulo. ) negativas. (B) – 10. O número de divisores inteiros positivos de x1 é: 9o Ano 303 . b e c para que o radical duplo que aparece na resolução 4 2 da equação biquadrada ax + bx + c =0 possa ser transformado numa soma de radicais simples?. 27 O conjunto solução da equação 2x2 + 3x + 5 + 2x2 − 3x + 5 = 3x possui raízes: (A) ( (B) ( (C) ( (D) ( (E) ( ) não reais. 03 (CN) A solução da equação 04 (EPCAR) Resolvendo em IR a equação (1 + x) 2 n 1− x + n 1+ x= 32 n 1− x 2 .Equações biquadradas e equações redutíveis ao 2o Grau 26 (UFF) Qual a relação que deve existir entre a. ) inteiras.1). (C) – 5. (D) irracional. 08 (UFRJ) Resolva a equação (A) 6. (C) 12.2). (D) tem raízes cujo produto é igual a 1.4). (1 – x) = 1− x 2 . (B) múltiplo de 5. (D) 50. (B) apresenta algum número irracional. (E) r > 1. (E) (4. ) simétricas. 09 A soma das soluções da equação 2x + 1− 4 3 2x + 1+ 36 2x + 1 = 0 dá um número: 1 x +1− x = é: 4 x (A) uma dízima periódica. (D) 0 < r < 1. (E) racional. 10 (EFOMM) A equação 4 x ⋅ 3 x = 13 + 217 − 13 ⋅ 3 x tem uma solução inteira positiva x1. tem-se que o conjunto solução S (A) é subconjunto dos naturais. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 (EPCAR) O produto das raízes da equação 7 + x 2 − 1 =x 2 é: (A) – 50. quadrado perfeito. ) irracionais.5) 07 (CN) Se r é a menor raiz da equação x2 + x4 = x 6 então: 02 (CN) A soma das raízes da equação: x 2 − 6 x + 9= 4 x 2 − 6 x + 6 (A) r<– 1. (B) (1. (C) r = 0. (D) (3. (E) inexistente. 3 5 é um 06 A raiz da equação 3 1+ x + 3 1− x = número que pertence ao intervalo: (A) (0. (C) ímpar maior que 160. (D) um número irracional. (B) um número natural. é (A) divisor de 30. (B) par entre 42 e 310. (B) – 12. (C) (2. (B) – 1 < r < 0. (D) 0. (C) possui duas de suas raízes opostas. (E) divisível por 9. 1 (D) ( ) 4. . (D) 13. (E) ( ) mais do que 4. (B) S ∩ ≠ ∅ . 12 Resolvendo a equação x + 3 − 4 x −1 + x + 8 −6 x −1 = 1 para 5 ≤ x ≤ 10. RASCUNHO 304 Vol. (A) S possui 2 elementos. (C) 12. quantas raízes reais são encontradas? 11 Seja S o conjunto solução da equação 4 2 1− x − x =x − 1. (B) ( ) 2. (E) S ⊂ *+ . Podemos afirmar que: (A) ( ) 1. (B) 11. (E) 14. (C) ( ) 3.Matemática III – Assunto 4 (A) 10. (D) S = ∅ . (C) S ∩ = ∅. embora existam grupos com vários axiomas. um objeto de dimensão 2. Durante séculos discutiu-se quais devem ser os axiomas escolhidos para formar a geometria Euclidiana. e devem ser os mais concisos possível. como a. um objeto adimensional. e são aceitos como base de uma teoria. Devem ser independentes um do outro. Acima viram-se apenas as intuições de como lidar com cada um deles. objetos esses que carecem de definições por serem os objetos iniciais de estudo. Foram suprimidos alguns axiomas. estar entre. de forma que assumir um não deve implicar valor lógico a um outro. etc. etc.2 Axiomas ou postulados Os axiomas. Fundamentos de geometria plana 1. que também é um conjunto de pontos e que. a reta.1 Conceitos primitivos No estudo de geometria Euclidiana. há três objetos principais com os quais se constrói toda a teoria. m. estar contido. b. e que deve ser lidado como um elemento. e com retas e planos como conjuntos. X. K. como A. IV. • planos: usam-se letras minúsculas gregas. como será dito. 1. • retas: usam-se letras minúsculas latinas. 9o Ano 305 . II. às quais chamamos de axiomas ou postulados. que é um conjunto de pontos. entre outras. contém as retas. III. Para um estudo formal do sistema formado por eles. P1. como pertencer. então a reta determinada por eles também está contida no plano. V. ou postulados. P. até que David Hilbert o fez. para facilitar o entendimento. fora dela também. São eles: I. III. a. indivisível. Ponto A Reta r = BC A r C B Plano α α Esses objetos são chamados de conceitos primitivos da geometria Euclidiana. Existem infinitos pontos. 1. b. Seguem alguns dos principais axiomas da geometria. Para isso. s. Lidamos com pontos como elementos. VI. p. e o plano.Fundamentos de geometria plana. existe e é única uma segunda reta que contém o ponto dado e que não intersecta a reta dada (axioma de Euclides). como A*. intersectar. O. devem-se estabelecer notações e relações entre eles. e às vezes também se usam caracteres especiais como descritos antes. e às vezes se usam caracteres especiais para diferenciar pontos. como r’. devem-se impor regras. g. etc. dados uma reta e um ponto fora dela. x*. x. B. são verdades que não se demonstram. em uma reta existem infinitos pontos. três pontos distintos que não estejam numa mesma reta determinam um único plano que os contém. O ponto. Seguem as formas convencionais de denotar os objetos mencionados antes: • Pontos: usam-se letras maiúsculas latinas. como r. ângulos e paralelismo A ssunto 1 Matemática IV 1. u. N. M’. M. um objeto de dimensão 1. se dois pontos estão num plano. I. II. formando então um sistema axiomático para a geometria.3 Notações Costuma-se atribuir a cada objeto um nome para facilitar a referência. dois pontos determinam uma única reta que os contém. Pelo axioma II.5. Podemos chamá-las equivalentemente de secantes. dois pontos são sempre colineares. Quando três ou mais pontos estão sobre uma mesma reta. isto é.5 Outros objetos geométricos iniciais 1. • colineares: se estão contidos numa mesma reta. • adjacentes: quando são consecutivos. a reta passa ou não passa pelo ponto. paralel as: quando são coincidentes ou quando não se intersectam. logo possuem os mesmos pontos. • entre ponto e plano: da mesma maneira. duas retas paralelas são sempre coplanares. transversais. e usualmente são equivalentes: o ponto está ou não está no plano. etc. reversas: quando elas são não coplanares. logo sua interseção é vazia.4 Geometria de posição • Entre pontos: dois pontos ou são coincidentes ou são distintos. Os pontos A e B são chamados de extremidades do — segmento. Por definição. três pontos não colineares são sempre coplanares. 1 Q x s y t//s Retas x e y concorrentes em K x ∩ y = (K) s Retas s e t parelelas s∩t=∅ M P Segmento MN. A B r∩s=∅ r r e s reversas 1. consecutivos . o plano passa ou não passa pelo ponto. • entre retas: duas retas podem ser classificadas como: I. Duas retas concorrentes são sempre coplanares. • entre ponto e reta: diz-se que um ponto pertence a uma reta ou não pertence a uma reta. O segmento de reta AB é um subconjunto ↔ da reta AB . Esse é um conceito de geometria espacial. IV.Matemática IV – Assunto 1 1. concorrentes: quando se intersectam em apenas um ponto. NP. e a união deles é um segmento cuja medida é a soma das medidas dos dois. Pelo axioma IV. II. B A Segmento AB Diz-se que dois segmentos de reta são: • consecutivos: se possuem uma extremidade em comum.1 Segmento de reta Dados dois pontos A e B. Necessariamente a interseção delas é vazia. diz-se que um ponto pertence ou não pertence a um plano. diz-se que o segmento — de reta AB é o conjunto de pontos que estão entre A e B. PQ. estão num mesmo plano. dizemos que eles são colineares. coincidentes: quando são o mesmo conjunto. III. N r Ponto A não está em r Ponto B está em r A∉r B∈r K 306 Vol. É usual dizer que o ponto está ou não na reta. o próprio segmento de reta.5. a união do — segmento de reta AB com os pontos que vão na direção de A para B. Se dois pontos estão num mesmo semiplano. → Cuidado: as semirretas AB e BA são distintas. etc. sendo a unidade internacional o “metro”.2 Semirreta Dados dois pontos A e B. já que apresentam sentidos opostos. são exemplos de conjuntos convexos a reta. → D Z 1. logo podem coincidir via transporte de segmentos. ângulos e paralelismo F H G I eles corta a reta que gerou os semiplanos.3 Semiplano Dada uma reta. intuitivamente. que é um número real positivo. polígonos regulares.Fundamentos de geometria plana.5. a medida do segmento união é a soma das medidas dos dois segmentos. o semiplano. e o segmento é→ um subconjunto da semirreta. o segmento de reta determinado por eles está inteiramente contido no semiplano. Se dois pontos estão em semiplanos distintos. Semiplanos e1 e e2 e1 e2 1. para todo par de pontos pertencentes a ele. está associada uma medida.5. com a seguinte propriedade: se dois segmentos são adjacentes. o segmento determinado pelos pontos está contido inteiramente nele. ângulos menores que 180º. e o ponto médio Semirretas AB1 e AB2 opostas Duas semirretas são opostas quando possuem a mesma origem e a união delas é uma reta.4 Conjunto convexo Um conjunto de pontos é dito convexo se. Y X — — • Segmentos FG e HI colineares. como na figura acima 1. — — • segmentos GH e FI colineares.6 Medidas de segmento de reta. o plano que a contém fica subdividido em duas regiões chamadas de semiplanos. 9o Ano 307 . a semirreta. C Semirreta CD B2 A B1 Conjunto convexo Conjunto não convexo 1. diz-se que a semirreta AB é o conjunto de pontos x tais que x está entre A e B ou que B está entre A e x. A semirreta também é um subconjunto de uma reta. e outros como o círculo. É. o triângulo. então o segmento de reta determinado por A cada segmento de reta. Assim. Usam-se unidades de medida de comprimento para medir segmentos. o plano. Dois segmentos são congruentes quando possuem iguais medidas. — — • segmentos FG e GI adjacentes. — — • segmentos FI e HI consecutivos. Nesse caso. e as semirretas são os lados do ângulo. está associada uma medida. a distância entre dois pontos A — e B é por definição a medida do segmento AB.Matemática IV – Assunto 1 — O ponto médio de um segmento de reta AB é o ponto M que está entre A e B (está contido no segmento — — — AB). caso possuam um lado em comum. Prova-se que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. um convexo e outro não convexo. a bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados de um ângulo. B B M O AÔX = XÔB X A OX é bissetriz de AÔB A M é ponto médio de AB AM = MB 1. C Lados: OA e OB Vértice O Medida x O B A Região Interna O x A Chama-se bissetriz de um ângulo a semirreta que o divide em dois ângulos congruentes. podem ser ainda adjacentes. rígidos. os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes. os ângulos AÔB e AÔC não são adjacentes. Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida. Como será visto posteriormente. caso os seus setores angulares não se intersectem. Aos ângulos. Ângulos no plano β 2. Dizemos que O é o vértice do ângulo AÔB.6. Dessa forma. Sejam duas semirretas OA e OB. 2.1 Definições Ângulo é a união de duas semirretas de mesma → → origem. Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro. e possui a propriedade AM = MB referente a suas medidas. 1 • • • • Os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos. determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. portanto. . O ângulo determina duas regiões chamadas setores angulares. os ângulos AÔB e AÔC são consecutivos. B α Os ângulos α e β são opostos pelo vértice α=β Dois ângulos podem ser classificados como consecutivos.1 Distâncias Diz-se que a distância entre dois conjuntos é a medida do menor segmento com extremidades em cada um deles. Duas retas concorrentes. que podem vir a coincidir por superposição através de movimentos 308 Vol. exceto no caso de semirretas opostas. • de uma volta: ângulo de medida igual a 360º. AÔB = α < 90º α é agudo P X PX^Q = 90º. também podemos classificar os ângulos da seguinte maneira: • Nulo: ângulo de 0º. ou π rad. • côncavo ou reentrante: ângulo de medida entre 180º e 360º.33º 22.33º AÔC = AÔB + BÔC = 36. que pode ser feita por regra de três. o radiano (rad). C C O B 36. • oblíquo: ângulo de medida entre 90º e 180º. ângulos suplementares: são ângulos cuja soma é 180º. ângulos replementares: são ângulos cuja soma é 360º. costuma-se usar unidades de medida angular convencionais. α β A O AÔC = 90º. • agudo: ângulo de medida entre 0º e 90º. a um ângulo está associada a medida do setor angular determinado por ele. são congruentes. • raso: ângulo de medida igual a 180º. • • • • Ângulos complementares: são ângulos cuja soma é 90º.63º Q B R AÔB = 22. o ângulo união de dois ângulos adjacentes tem por medida a soma das medidas desses dois ângulos. Logo abaixo segue a conversão entre as unidades. que é um número real positivo.Fundamentos de geometria plana. formado por duas semirretas coincidentes. como o grau (º). Além disso. PX^ R = β > 90º β é obtuso Q P y 90º x 180º B O A X Ângulo reto: PX^ Q = 90º x e y são complementares ângulo raso: AÔB = 180º Quanto às medidas.2 Medidas de ângulo E também: Como dito antes. em graus: Oº < a < 90º: complemento de a = 90º – a Oº < a < 180º: suplemento de a = 180º – a Oº < a < 360º: replemento de a = 360º – a 18Oº < a < 360º: explemento de a = a – 180º 9o Ano 309 . β α α e β são suplementares Seja a a medida de um ângulo. ou mesmo o grado (gr). A medida tem a seguinte propriedade: dois ângulos de mesma medida podem coincidir segundo um movimento rígido. • reto: ângulo de medida igual a 90º. costuma-se adotar o ângulo raso como base. As medidas de um ângulo raso são de 180º. Para definir a medida. ângulos e paralelismo 2. ou seja. Seus lados são coincidentes também.33º A Para adotar uma medida angular. ângulos explementares: são ângulos cuja diferença é de 180º. Um ângulo é classificado como raso quando seus lados são semirretas opostas. ou 200 gr.63º BÔC = 36. de forma que o ângulo entre os ponteiros será o módulo da diferença. Paralelismo Várias propriedades geométricas são consequência. dentre outros axiomas. 2. miligrados.3 Ângulos no relógio Um problema comum em geometria angular é o problema do relógio. 3. que menciona a unicidade da paralela passando por um ponto. a igualdade entre ângulos formados entre duas paralelas e uma transversal. o ângulo formado entre os ponteiros será de |30H – 5. cada um 10 vezes menor que o outro. 1’ = 60” (um minuto • Minuto: 1' = 60 equivale a 60 segundos). então o ângulo de uma volta mede 2πrad.2. o ângulo de 1 radiano (1rad. • segundo: 1'' = 1' . um ângulo raso equivale a πrad. etc. quando cortadas por uma transversal. B R 1 rad o R A A ideia central é considerar que o ponteiro das horas descreve 30º a cada 1 hora. Então. um ângulo raso equivale a 200gr. α β r s Na figura.Matemática IV – Assunto 1 2. formam com ela ângulos correspondentes iguais. um ângulo raso equivale a 180º. 3. Sejam x e y os ângulos em graus que os ponteiros das horas e dos minutos percorrem a partir da posição 12. centigrados.2.5M|=|30 · 10 – 5. 1 Duas retas são paralelas se. voltando à posição 12 quando passa a hora completa. temos que: • Ponteiro das horas: 30° x 1 = ⇒ x = (60 H + M ) 60 min (60 H + M ) 2 • Ponteiro dos minutos: 360° y = ⇒ y = 6M 60 min M O ângulo formado entre esses ponteiros será dado pelo módulo da diferença. 310 Vol.) é o ângulo central em uma circunferência de raio R que determina nela um arco de comprimento R. Uma delas será descrita nesse tópico. ou seja.1 Teorema angular do paralelismo 2.2 Sistema decimal: grado (gr) No sistema decimal de medida angular. do axioma de Euclides. Como o comprimento de uma circunferência de raio R é dado por 2πR. costuma-se usar regra de três para calcular os ângulos descritos pelos ponteiros a partir das 12:00.2. 2. sendo portanto igual a | x − y |= 30 H − M − 6 M = 30 H − 5. r //s ⇔ α = β . Nesse problema. e que continua esse movimento mesmo nas horas incompletas. que consiste em identificar o ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos num relógio analógico num determinado instante. e o ponteiro dos minutos descreve 360º a cada 60 minutos.3 Sistema circular: radiano (rad) No sistema circular de medida angular. 2 Ex. respectivamente. ou seja. Os seus submúltiplos são 60 vezes menores: 1° .: às 10:44. Mais precisamente.1 Sistema sexagesimal: grau (º) No sistema sexagesimal de medida angular. Seus submúltiplos são os decigrados. 1º = 60’ (um grau 60 equivale a 60 minutos). 5 M .5 · 44|=|300 – 242|= = 58º. digamos às H horas e M minutos. por regra de três. e somente se. α x Na figura. As mais comuns são as relações como nas figuras. x = α + β β α Se qualquer uma das relações mencionadas nas denominações acima é válida. pode-se provar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. g). e são cortadas por uma transversal t. alguns pares de ângulos têm nomes especiais. Na figura. alternos externos: (a.3 Teorema do ângulo externo de um triângulo Pelo teorema angular de Tales. Na figura. e assim obter relações entre eles. ângulos e paralelismo Dessa maneira.4 Ideia dos bicos • • • • • Correspondentes: (a. (d. (b. quando duas retas r e s são paralelas entre si. pode-se “arrastar” ângulos. (b. colaterais externos: (a. De acordo com a posição relativa entre eles. colaterais internos: (c.5 Teorema do Bumerangue Uma figura muito comum em geometria é a do quadrilátero não convexo. Atente-se à demonstração. x + y= 180º logo. A β B β y x Na figura.Fundamentos de geometria plana. h) → ângulos iguais. (b. tem-se a seguinte relação: a = x + y + z. alternos internos: (c. α y y C X z a 9o Ano 311 . g). (c. (d. f). h) → ângulos iguais. então as retas r e s são necessariamente paralelas. e). há formação de oito ângulos distintos. e) → ângulos suplementares. Veja a seguir: b c 3. (d. e). y β 3. que envolve uma ideia muito importante: translação de ângulos via paralelas. Demonstra-se a relação usando o teorema do ângulo externo de um triângulo. f). g) → ângulos suplementares. x = α + β h 3. tem-se a + b + g = 180º. x + y = α + β 3. h). Veja a seguir: A a α d B f e g x β y C α + β + y = 180º. Através do paralelismo de ângulos.2 Teorema angular de Tales Através das relações de paralelismo. prova-se que um ângulo externo de um triângulo é sempre igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. f) → ângulos iguais. tem-se que a soma desses valores é de 90°. OY. (D) 60°. 312 Vol. as retas r e s são paralelas. (D) Todas. (B) Apenas duas. então são colineares. BÔC e XÔY. (B) 225°. 1 (A) Apenas uma. passou-se h = 1. então t e u são concorrentes em um único ponto. então os segmentos XY e XZ são adjacentes. ( ) Quaisquer que sejam os pontos P e Q. x A z B y c O Solução: Letra A. ) Uma reta contém dois pontos distintos. 4h = 1h 24 min . ZÔX = x + 10° (OZ é bissetriz de XÔY). ) Se dois segmentos são consecutivos. Logo. para que seja fácil somar ângulos. . (C) Apenas três. 03 Um relógio foi acertado exatamente ao meio dia. XÔA = x + 20° (OX é bissetriz de AÔB). podemos afirmar que a medida do ângulo BÔC é: 01 Classifique como verdadeira ou falsa cada assertiva abaixo: (A) 30°. AÔC = 4x + 40° = = 100°. ) Se dois segmentos são colineares. então são adjacentes. e A e B pertencem às retas t e u. logo (x – 180°) = 40°. Pela ideia dos bicos. ) Por três pontos distintos pode passar uma só reta. (B) 40°.Matemática IV – Assunto 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes e somam 100°. ( ) Por um ponto passam infinitas retas. ) Se dois segmentos são adjacentes. logo x = 15°. se A é distinto de B. Assim BÔC = 2x = 30°. e AC = 60 cm. o horário passou a ser 13 horas e 24 minutos. se P ≠ Q. Se BÔZ = 10°. 30° Dessa maneira. (C) 220°. A ideia é sempre trabalhar com ângulos adjacentes. então os segmentos AP e BP são consecutivos. 02 (EPCAR) Na figura seguinte. BC é o dobro de CD e AD = 36 cm. ( ) Quatro pontos todos distintos determinam somente duas retas. ( ) Quaisquer que sejam os pontos A e B e as retas t e u. Assim. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) Por um ponto passam infinitas retas. O ponteiro menor percorre 30° a cada 1 hora. ) Se dois segmentos são consecutivos. Quantas proposições são falsas? Solução: 13 horas e 24 minutos. ao 42° percorrer 42°. determine AB e BC. então existe uma reta r tal que P ∈ r e Q ∈ r. então são colineares. Calcule as medidas desses segmentos. ) Se P está entre A e B. ) Se dois segmentos são consecutivos. AB o quádruplo de BC. 02 (EPCAR) Analise as proposições classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). tem-se YÔB = x (OY é bissetriz de BÔC). (C) 50°. 130° s X Solução: Letra C. Determine as horas e minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°. (D) 210°. A medida do ângulo x é igual a: r (A) 230°. ) Se X está entre Y e Z. a interseção deles é unitária. então a interseção deles é vazia. 04 Os segmentos AB. OZ são bissetrizes de AÔB. OX. logo x = 220°. (E) 70°. Prolongando-se as retas r e s. 03 Sendo AB e BC segmentos colineares consecutivos. obtemos ângulos agudos iguais a 50° e (x – 180°). Chamando CÔY = x. BC e CD são adjacentes nessa ordem de forma que AB é o triplo de BC. Adjacentes e complementares. ângulos e paralelismo 05 Considere um segmento AB = 40 cm. (D) 18 cm. o quadrado ABDE e o triângulo isósceles BCD (BC = CD) têm o mesmo perímetro. 07 Se (2x + 40) e (3x – 30) são as medidas de dois ângulos complementares. então o suplemento do maior deles é: 08 Qual é o ângulo que é igual ao triplo do complemento do seu triplo? 09 Calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos: a. 11 (FIOCRUZ) Na figura abaixo. (B) 100º. s e t são paralelas. 10 (EPCAR) O valor de x. 5x – 23° r y – 1° s t 2x 9o Ano 313 . (D) 160º. Adjacentes e suplementares. e os pontos médios P. as retas r. M e N respectivamente de AB.5 cm. e que o polígono ABCDE tem 72 cm de perímetro.4 cm. D B s (C) 120º. (C) 90º. AP e MB. (B) 80º. considerando paralelas as retas r e s é igual a: s x+40 (A) 110º. temos r//s. (E) 70º. Calcule a medida do segmento NA. r y A (C) 17. (D) 80º. 06 (CEFET) Considerando que. 12 (CEFET) Na figura a seguir. na figura abaixo. na figura abaixo. Determine o valor de y. (B) 16 cm. A medida do ângulo y é: 2x+10 E (A) 15. qual é a medida de BC? x 40° 80° C r (A) 40º. b.Fundamentos de geometria plana. (B) 75º. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 (CEFET) A medida em graus de um ângulo cuja terça parte da medida de seu complemento mede 10º20’ é: (A) 55º. (B) 30º. C B E D A (A) 100º. (B) 115º. 1 19 A que horas pela primeira vez após o meio dia os ponteiros de um relógio formam 110º? (A) 12 horas e 18 minutos. 14 (FIOCRUZ) Um engenheiro. 40º e 120º. (B) 45º. r e s são paralelas e t é uma transversal. (D) 58º. que. (D) 90º. (D) 50º. (A) 40º. (E) n. (E) 59º. sabendo que ED é paralela à BC. Então. respectivamente. x e 4x + 9º. tem-se que a medida do ângulo B é cinco vezes maior que a medida do ângulo A. 15 (EPCAR) Sabendo-se que os ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 2. 50º e 100º. (C) 78º. em graus.Matemática IV – Assunto 1 13 (EPCAR) Na figura abaixo.a. podemos afirmar que o replemento da medida desse ângulo. (C) 20º. O complemento do menor ângulo é: (A) 68º. (A) x + y = z (C) y – x = z (B) y < z < x (D) x < y < z 18 AÔB e BÔC são dois ângulos adjacentes. traçam-se para um mesmo semiplano de AB as semirretas ON. Qual é a medida do maior ângulo? 314 Vol. Os ângulos adjacentes AÔN. 16 (FIOCRUZ) Em um triângulo ABC. (B) 12 horas e 20 minutos. qual a medida do ângulo AÊD que ele deveria pôr em suas anotações? (A) 40º. e ABC igual a 35º. (E) 45º.r. (D) 80º. calcule AÔC. (E) 60º. (D) 13 horas e 23 minutos. OP e OQ. tem-se que suas medidas valem: (D) 55º. (C) 50º. ao descrever uma rua para a construção de um condomínio. PÔQ e QÔB medem. e OX e OY são respectivamente suas bissetrizes. 7x 7y – 4 2 r 3z x2 – 2x s t É correto afirmar que: (A) 20º (B) 40º (C) 60º (D) 180º (E) 100º 17 (EPCAR) De um ponto O tomado sobre a reta AB (O entre A e B). é três vezes menor que a medida do ângulo C. Sendo BÂE um ^ ângulo medindo 80º. 80º – 3x. por sua vez. 3 e 4. (B) 56º. 60º e 70º. esboçou a figura abaixo. é: . 5x – 14º. NÔP. 02 (CMRJ) A soma do triplo do suplemento do dobro da medida de um ângulo com a quarta parte do complemento da medida desse ângulo tem como resultado 125º. (C) 57º. (C) 180º. (C) 13 horas e 22 minutos. Sabendo que AÔY = 50º e XÔC = 40º. 60º e 80º. (C) 330º. Com base nisso. quanto medem os ângulos? 11 (EPCAR) Na figura abaixo. é correto afirmar que: m → 06 (EPCAR) A semirreta OY é interna ao ângulo XÔZ. as retas m e n são ^ paralelas. formam ângulos adjacentes AÔB. (B) 320º. (C) 40º. (B) 135º. (B) 30º. OC e OD formam os ângulos adjacentes AÔB. 08 Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes. 03 O quíntuplo do suplemento do complemento de um ângulo é igual ao triplo do replemento de seu suplemento. Determine o suplemento desse ângulo. (B) 120º. (D) 340º. O ângulo XÔY. A semirreta OR é bissetriz de XÔZ. Se OA e OD são semirretas opostas e o ângulo BÔC mede 120o. então YÔR mede: (A) 20º. 48 17 47 17 (B) . (C) 140º. Qual o replemento desse ângulo? (A) 310º. (D) α = . 10 As semirretas AO. (D) 135º. (C) 240. (C) 145º. OD. (D) 50º. 17 (A) 05 O suplemento do dobro do complemento do dobro de um ângulo. OB. traça-se uma reta r genérica. — formado pelas bissetrizes dos ângulos agudos que AO e — OB formam com r vale: n C 120° x α 2x B O A (A) a = x. (D) 50º. a razão da medida do suplemento de A para o suplemento de B vale: 119 43 . exterior ao ângulo. e YÔZ é de 100º. qual o ângulo formado pelas bissetrizes de AÔB e CÔD? (A) 120º. OC. CO é bissetriz do ângulo ACB. BÔC. 3 e 6. (E) 150º. (C) 45º. (D) . OB. (B) 210. 04 Dois ângulos complementares A e B. 09 Quatro semirretas OA.Fundamentos de geometria plana. 07 Pelo vértice de um ângulo reto AÔB. CÔD. qual o ângulo formado pelas bissetrizes de AÔB e AÔC? (A) 45º. O→ângulo XÔY é de 60º. (D) 260. CÔD e DÔA. (D) 160º. 2 2 9o Ano 315 . (E) 70º. (B) 35º. 43 13 13 (C) . somado à terça parte do complemento do triplo do suplemento do sêxtuplo desse ângulo é igual ao suplemento desse mesmo ângulo. BÔC. têm medidas na razão de 13 para 17. x 3x (B) α = . sendo A < B. (A) 25º. (D) 150º. (A) 110º. ângulos e paralelismo (A) 200. (B) 130º. se BÔC mede 50º. (E) 290. (E) . (E) 350º. nessa ordem. (E) 180º. (C) 60º. (E) faltam dados. (C) a = 3x. sendo os três primeiros proporcionais a 1. Consequentemente. Sabendo que o OD é um prolongamento da bissetriz de BÔC. (D) 150º. b (A) 15 horas. (C) 60º. (C) 140º. pela primeira vez. RASCUNHO 316 Vol. (D) 10. o ângulo DFG? G A F D E 120° s 30° B r C (A) 120º. a bissetriz do ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos está mais próxima de qual número? (A) 7. Quanto mede. 16 minutos e 23 segundos. (B) 15 horas. 16 minutos e 25 segundos. 15 Num relógio convencional. aproximadamente às: x α α (A) 30º. quanto vale o ângulo x? r b 14 São três horas da tarde. 1 . 16 minutos e 19 segundos. (C) 9.Matemática IV – Assunto 1 12 (CEFET) Na figura abaixo. (E) 15 horas. em graus. O ponteiro dos minutos coincidirá com o ponteiro das horas. (B) 45º. s (D) 75º. 16 minutos e 27 segundos. (D) 15 horas. (E) está à mesma distância de dois desses números. às 10:32. F e ^ G são pontos de r. D e E são pontos de s. (E) 90º. 13 Na figura. ABC = 30º e ^ ^ CDE =120º. 16 minutos e 21 segundos. (B) 8. (B) 130º. (C) 15 horas. ABCD é um paralelogramo. F é um ponto de AD. as retas r e s são paralelas. 360°. A α c b β B Triângulo ABC Lados: BC = a. β. Se um dos ângulos internos do triângulo é reto (de 90°). portanto. BC = EF. AC = b. mas nem todo triângulo isósceles é equilátero. Chama-se de lados esses segmentos consecutivos. ele é dito acutângulo. Congruência de triângulos Dois triângulos são ditos congruentes quando seus lados e ângulos internos são respectivamente congruentes. e o ângulo oposto a esse lado é chamado de ângulo do vértice do triângulo isósceles. Dessa maneira. C = F . Um triângulo é dito escaleno quando seus lados são distintos entre si. C Ângulos internos: α. γ γ C a Como já visto. Mais precisamente. e os ângulos externos. AB = DE.2. 1. Num triângulo isósceles que tenha um lado diferente dos outros. diz-se que esse lado é a base do triângulo. o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. α β θ γ α. Um triângulo equilátero. F A 60° 60° B Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles β E γ α 60° θ > 90° Triângulo Obtusângulo Triângulo Retângulo γ β α C D Triângulo Escaleno 9o Ano 317 . 2. AC = DF. aqueles formados por um lado e um prolongamento do lado adjacente. é também um triângulo isósceles. a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. B. Triângulos 1. lados iguais. Os ângulos internos do triângulo são os ângulos formados pelos lados do triângulo.Triângulos (I) A ssunto 2 Matemática IV 1. ele é dito obtusângulo. β. por possuir três.2. num triângulo equilátero. AB = c Vértices: A. Os ângulos adjacentes à base de um triângulo isósceles são sempre iguais. e a soma dos ângulos externos é. e de vértices as extremidades desses segmentos. e os lados adjacentes ao ângulo reto são os catetos. ele é dito retângulo.2 Classificação de triângulos 1. Se um triângulo possui um ângulo obtuso como ângulo interno. como segue. B = E .2 Quanto aos ângulos internos Se um triângulo possui os três ângulos agudos. γ < 90° Triângulo Acutângulo No triângulo retângulo.1 Quanto aos lados Um triângulo é equilátero quando possui três lados congruentes.1 Definição Um triângulo é a figura geométrica formada pela união de 3 segmentos de reta consecutivos. logo pelo menos dois. Um triângulo é dito isósceles quando possui pelo menos dois lados congruentes. 1. DABC ≡ DDEF ⇔ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ⇔ A = D . Pode-se classificar o triângulo quanto à igualdade de lados e quanto à medida dos seus ângulos. todos os ângulos são iguais a 60°. não necessariamente eles são congruentes.1 Caso lado-ângulo-lado (LAL) Se dois triângulos são tais que dois lados de um são congruentes a dois lados do outro. C . A A’ B B’ C C’ 2. então eles são congruentes. e os ângulos formados entre eles são respectivamente congruentes. todos os ângulos homólogos são congruentes. basta verificar se os triângulos atendem a algum dos critérios de congruência de triângulos. e todas as linhas homólogas [lados correspondentes. A A B’ C B C’ C’ B’ Observação: “LLA” não é caso de congruência! Ou seja.1. então os triângulos são necessariamente congruentes. como mostra a figura: A’ B Vol. Esse é um postulado de congruência.1. 2. e o ângulo oposto a um deles é congruente ao oposto ao homólogo. Em triângulos congruentes. Para obter. C e F são homólogos.1.1. Eles não são congruentes: um está dentro do outro.5 Caso especial de triângulos retângulos (90° HC) Se dois triângulos retângulos possuem a mesma hipotenusa e um mesmo cateto. Na definição acima. B e E.1 Critérios de congruência de triângulos A A’ 2. obter triângulos congruentes é uma ferramenta forte para provar que ângulos ou segmentos são iguais entre si. raio do círculo inscrito. Seguem os critérios de congruência: 2. A B B’ C Se dois triângulos são tais que um lado de um é congruente a um lado do outro.Matemática IV – Assunto 2 Quando dois triângulos são congr uentes. então os triângulos são congruentes.4 Caso lado-ângulo adjacente-ângulo oposto (LAAO) Se um lado.] são congruentes.3 Caso lado-lado-lado (LLL) Dois triângulos que possuam lados respectivamente congruentes são sempre congruentes. 1 C B C’ 2. um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado de um triângulo são respectivamente congruentes aos de outro triângulo. perímetro. os pares de vértices A e D. cevianas correspondentes. que são quais informações os triângulos devem satisfazer para se poder afirmar que são congruentes. se dois triângulos possuem dois pares de lados iguais.2 Caso ângulo-lado-ângulo (ALA) 318 A’ D Os triângulos ABC e ABD possuem dois pares de lados em comum e os ângulos opostos a e um deles iguais. Dessa maneira. então esses dois triângulos são congruentes. que é uma correspondência entre vértices dos triângulos.1. A A’ B B’ C C’ 2. raio do círculo circunscrito. e os ângulos adjacentes a esses lados são respectivamente congruentes. etc. estabelece-se uma relação de homologia. BE e CF alturas H ortocentro interno a ABC H B C F ABC triângulo obtusângulo AD. O objetivo desse bloco é aprender esses nomes e algumas propriedades. Então. 9o Ano 319 . a ceviana que bissecta o lado oposto. Algumas cevianas têm propriedades interessantes. ou divide o ângulo interno ao meio. Chama-se D de pé da ceviana AD. De cada vértice do triângulo parte uma bissetriz interna: prova-se que elas são sempre concorrentes num ponto interno chamado incentro do triângulo. diz-se que ela é interna ao triângulo. De cada vértice parte uma altura: prova-se que as retas das alturas são concorrentes num ponto chamado ortocentro do triângulo. sendo D um ponto qualquer da reta BC. se for obtusângulo. tem-se que AD é uma ceviana traçada a partir do vértice A. A A bissetriz interna é a ceviana correspondente à bissetriz do ângulo interno.3 Bissetriz interna e o incentro 3. BN e CL medianas G é baricentro C I B G D E AD. BE e CF são bissetrizes I é incentro de ABC IG = IH = IJ é o inraio C Não necessariamente uma bissetriz é perpendicular ao lado oposto. se for retângulo. AE é externa Se o pé da ceviana pertence ao lado. os catetos são duas das alturas. A B D C E Na figura. Chama-se de ceviana qualquer segmento com extremidades num vértice e num ponto situado na reta suporte do lado oposto ao vértice. como mostram as figuras. Se o pé da ceviana está sobre o prolongamento do lado. e o ortocentro é externo. ou divide o lado oposto ao meio. O incentro equidista dos lados.2 Altura e o ortocentro A altura é a ceviana perpendicular ao lado oposto. as três alturas são internas.1 Mediana e o baricentro A mediana é a ceviana que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto.Triângulos (I) 3. e o ortocentro é o vértice do ângulo reto. dependendo dos ângulos internos do triângulo. A L 2x H N G F J B x M AM. tangente aos lados. então ela é externa ao triângulo. De cada vértice parte uma mediana: prova-se que as medianas são concorrentes num ponto interno chamado baricentro do triângulo. é a ceviana que bissecta o ângulo interno do triângulo. AD é ceviana interna. sem intuito formal. Mais adiante. BE e CF alturas H ortocentro externo a ABC 3. Não necessariamente uma mediana é perpendicular ao lado oposto. O baricentro sempre divide uma mediana na razão 2:1. A altura pode ser interna ou externa. portanto é centro de uma circunferência inscrita no triângulo [ou incírculo]. e por isso recebem nomes especiais. Introdução às cevianas e pontos notáveis de um triângulo Seja um triângulo ABC qualquer. 3. duas alturas são externas. ou seja. como nas figuras a seguir: A A E E F H B D C D ABC triângulo acutângulo AD. se o triângulo for acutângulo. Mais precisamente. isto é. Essa é só uma introdução ao que se verá sobre as cevianas. cada propriedade será explicitada e demonstrada num assunto separado. se um triângulo é isósceles. são três retas bissetrizes externas. Definida dessa maneira. portanto. já que o terceiro vértice pode ser escolhido fora dessa reta. Esse resultado será lado. Chama-se de base média de um triângulo o segmento com extremidades nos pontos médios de dois lados do triângulo. temse que as três mediatrizes dos lados de um triângulo são concorrentes. então essa extremidade é ponto médio desse lado. prova-se que. Num triângulo escaleno. Apesar disso. A C B A base média relativa a um lado tem a seguinte propriedade: é paralela ao lado. 1 . Nesse caso. MN//BC e MN = 2 demonstrado posteriormente. é centro de uma circunferência que passa pelos vértices. A K N L M O B M P C As mediatrizes dos lados se encontram em O. Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade está sobre um terceiro lado. a circunferência circunscrita. A ceviana gerada dessa maneira é chamada de bissetriz externa. 320 Vol. logo três cevianas.Matemática IV – Assunto 2 3. Duas bissetrizes externas e uma bissetriz interna no terceiro vértice são concorrentes num ponto externo chamado de ex-incentro. e mede a metade do BC . A M N MN é base no ABC MN // BC e MN = BC 2 3. a reta bissetriz do ângulo externo traçada a partir de qualquer vértice intersecta o prolongamento do lado oposto. Propriedades do triângulo isósceles Um triângulo é isósceles quando possui dois lados iguais.4 Bissetriz externa e o ex-incentro 4. Base média de triângulos Considere um triângulo escaleno. O circuncentro equidista dos vértices do triângulo. num ponto que é chamado de circuncentro. e M e N pontos médios de AB e AC. e.5 Mediatriz e o circuncentro A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio. Diz-se que MN é uma base média relativa a BC no triângulo ABC. Na figura. então valem as seguintes propriedades: I. cincuncentro do triângulo ACB B N J C M ponto médio de AB MN // AB implica N médio de AC Q I R JK é a metade de QR JK não é base média 5. portanto é centro de uma circunferência que tangencia externamente os lados (e prolongamentos de lados) do triângulo. O ex-incentro também equidista dos lados. usando paralelogramos. é claro que a mediatriz de um lado de um triângulo não é nem contém necessariamente uma ceviana. Os ângulos adjacentes à base são congruentes. Seja ABC um triângulo. Por congruência. a circunferência ex-inscrita. Resolvendo o sistema obtido em x e y. portanto B = C B M C ABC é isósceles com AB = AC AM é mediana. 03 No triângulo ABC os pontos D e E pertencem ao lado BC e são tais que BD = BA e CE = CA. Por ângulo externo. Além disso. logo BDE = 2x. bissetriz e altura Analogamente. Seja x = BÂE. o ângulo BÂC = x + y + 40° = 100°. tem-se x = y = 36°. Mostrar que os ângulos HA iguais. Como BD = DC. Seja x = Â. a bissetriz interna e a altura traçadas do vértice principal são coincidentes. No triângulo DEA. (D) 52°. BC = BD = BE. Chamando ABD = y. BD = BE. então y + 2x + 2x = 180°. AB = AC. valem as outras propriedades. portanto são iguais. BA = BD implica ADB = x + 40°. basta observar que os dois ângulos mencionados são complementares ^C. Então. (E) 120. (C) 100. no triângulo EAD tem-se: B (x + 40°) + (y + 40°) + 40° = 180° logo x + y = 60°. então necessariamente o triângulo é isósceles. se duas das cevianas coincidem). No triângulo ABC: x + (x + y) + (x + y) = 180° B C ABC é isósceles com AB = AC. por ângulo externo. C 9o Ano 321 . e ED = EA. A A Solução: Letra E. No triângulo CEA. (B) 90. logo EDA = x. no triângulo ABD. do ângulo AB (A) 80. e. B E D C Solução: Num triângulo retângulo. tem-se que. a medida do ângulo ^B em graus é: AC A (A) 64°. portanto. Então. no triângulo BDE. BÊD = 2x. y = DÂC. então BCA = x + y. Então. Solução: Letra C. ABC = x + y. (B) 50°. a mediana. se vale qualquer uma das propriedades acima (na II.Triângulos (I) II. Então. logo: ACB = x + y = 72°. tem-se CE = CA. BDC = x + y. D (E) 72°. implicando AED = y + 40°. os ângulos agudos são complementares. 02 (CMRJ) Considerando as congruências. (D) 110. prova-se também por congruência que. Dado que DÂE = 40°. tem-se que ED = EA. quanto mede em graus o ângulo BÂC? A EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 Num triângulo ABC. Como AB = AC. retângulo em A. traça-se a ^B e AC ^B são altura AH. E (C) 75°. Quanto mede o maior dos ângulos agudos? (A) 54°. tem-se que A – B = 45° e A – C = 30°. Logo. (D) 68°. (A) 55°.Matemática IV – Assunto 2 04 Sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC. 322 Vol. No quadrilátero PBAC. O triângulo é: (A) retângulo.  = 40°. (A) 5°. (B) 65°. (C) 90°. tem-se m = x +  + y. 02 Num triângulo ABC. No triângulo ADC: x + 60° +  + y = 180°. A D x E 60°  60° x P m B EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Num triângulo. Prove que CD = BE. e calcule o ângulo obtuso formado pelas retas CD e BE. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes internas nos vértices B e C: y C Solução: Veja que os triângulos ADC e ABE são congruentes pelo caso LAL (AD = AB. os lados CD e BE são congruentes. (B) 10°. 3 e 4. 30° e 90°. (E) obtusângulo. (B) isósceles. os ângulos A e B medem. 04 Em um triângulo retângulo. Então. obtém-se um triângulo equilátero ACC’. 05 Num triângulo ABC. Logo: x +  + y = m = 120°. externamente. e os ângulos ADC e ABE são iguais a x. (E) 72°. Solução: Prolongando-se BC de uma medida BC’ = BC. constroem-se os triângulos ABD e ACE equiláteros. (C) 15°. AC = 2 · BC. C’ . (C) 63°. o complemento do maior ângulo interno desse triângulo vale: A C (D) acutângulo. pelo teorema do bumerangue. (D) 20°. (B) 59°. AC = AE). 30° 03 Num triângulo ABC acutângulo. (B) é a metade de A. 1 B (D) 100°. (C) equilátero. DÂC = BÂE = 60° + A. Provar que BC é a metade de AC. tem-se que o ângulo formado pelas alturas traçadas a partir dos vértices B e C: (A) é o complementar de A. (E) 110°. (E) é o suplementar da metade de A. respectivamente. (D) é o complementar de 2A. Assim. 05 Num triângulo ABC. (C) é o suplementar de A. a altura e a bissetriz relativas à hipotenusa formam um ângulo de 18°. os ângulos inter nos são proporcionais aos números 2. (D) 45°. 5 cm e 6 cm. (C) 22. (E) 10. Sabendo que BF = 7 cm. externamente. AB = AC e  = 45°. (C) 25 cm. (B) 7. A bissetriz do ângulo em C corta o lado AB no ponto D. Seja Q o pé da altura de C no lado AB. Então. Seja E o ponto do lado AC tal que o ângulo CDE é reto. 15 Sobre a bissetriz do ângulo  de um triângulo ABC. de bases AB e CD. (E) 60 cm. calcule o ângulo interno C desse triângulo: (A) 30°. (E) faltam dados. (E) 50°. circunscrito ao dado. as bissetrizes AD e BE se intersectam em I. 9o Ano 323 . (C) 50°. (B) 20. o ângulo B excede o A em 50°. 10 No triângulo ABC. (D) 60°. e AM a mediana relativa a BC. (D) 30 cm. (D) 13 cm. Prove que CF = BG. (C) 12 cm. que se cortam no ponto P. 07 Num trapézio ABCD. 08 No triângulo ABC. (C) 8. (B) 11 cm. C E B D F α A 12 Sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC. (B) 20 cm. a medida do ângulo ADE é: (A) 25°. traçam-se paralelas aos lados opostos. Toma-se D sobre o lado BC de forma que AC = CD.Triângulos (I) 06 Os lados de um triângulo medem 4 cm. o ângulo A supera em 40° o ângulo B. (B) 40°. (B) 6 cm. 13 No triângulo escaleno ABC. Então. (B) 30°. (D) 10. Sejam X’ e Z’ as projeções de X e Z na reta BC. obtendo-se um novo triângulo. as bissetrizes dos ângulos C e D se intersectam em cima da base AB. AB = AC e BC = CD = DE = EF = = FA. calcule a medida de CE: (A) 5 cm. marcam-se os pontos E e F tais que AE = AB = 5 cm e AF = AC = 8 cm. 16 Seja ABC um triângulo escaleno. constroem-se externamente os quadrados ABXY e ACZW. Sabendo que os lados oblíquos AD e BC medem. Sabendo que BC = 15 e XX’ = 6. quanto mede ZZ’? (A) 6. calcule a medida de AB: (A) 10 cm. respectivamente. Prove que BQ = PQ. Qual é o perímetro desse novo triângulo? (A) 15 cm. (E) 70°. 6 cm e 8 cm.5. (C) 40°. (E) 14 cm. 11 Na figura abaixo. (C) 7 cm. (D) 8 cm. 09 Em um triângulo ABC. e prove que CF e BG são perpendiculares entre si. Traçam-se a altura de A e a de C. Calcule a medida de Â. constroem-se os quadrados ABDF e ACEG. 14 Sobre os catetos AB e AC de um triângulo retângulo ABC. Pelos seus vértices. Sabendo que o ângulo BÎD = 70°. (D) 9. (E) 15. Mostre que os segmentos perpendiculares à reta AM traçados a partir de B e C são congruentes entre si. a medida em graus do ângulo BÂD é: (A) 30. Calcule MN. (C) 12. 03 ABE é um triângulo equilátero constr uído exteriormente ao triângulo isósceles ABC.5 cm. sabendo que MB = 8 cm e NC = 6 cm: (A) 8. 06 No triângulo ABC de lados AB = 6 cm. então eles são congruentes. que intersecta AB no ponto M e AC no ponto N. AC = 9 cm. (C) 2 cm. tais que PQ é perpendicular a AB. respectivamente. 324 Vol. (D) 7. (E) 16. ^ A =^ D e BC > AB. BC = EF e ^ B =^ congruentes. é igual a: P A 04 Em um triângulo ABC. (C) 105°. a bissetriz interna em B intersecta a bissetriz externa de C no ponto L. (C) Apenas II e III. (B) 5. Prolonga-se AB de um segmento BD = 2. 1 (D) 60°. em cm. de forma que AB = MC e que os ângulos BAM e CMN sejam iguais. Se AB = DE. (D) 15. (C) 78°. (D) 2. Qual(is) a(s) afirmação(ões) verdadeira(s)? (A) Apenas II. em que ^E: AB = AC. sabendo que o interno A mede 80°. BC = EF. III. então eles são congruentes. (B) 76°. . é traçada uma paralela ao lado BC. um segmento perpendicular à reta BC no ponto F.Matemática IV – Assunto 2 17 Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1. podemos afirmar que a medida do menor ângulo formado pelas retas AM e BD é igual a: (A) 60°. (B) 10. (E) faltam dados. aos lados ^C = 48° e que AC e BC. Se AB = DE. Calcule a medida do ângulo BC (A) 20°. 02 (CMRJ) No triângulo ABC da figura abaixo. (B) Apenas I e II. (E) Falta informar o lado do triângulo ABC. respectivamente. (E) 84°. tomam-se os pontos M e N. BC = EF e ^ A =^ D . (B) 1. e traça-se DF.5 cm. Calcule a medida de RS: (A) 4. R e S são as projeções de P e Q sobre o lado BC. então eles são II. respectivamente. nota-se que os segmentos MA e MN são congruentes. (D) 81°. 07 ABC é um triângulo equilátero. Por L. (B) 30°. (D) 120°. (D) Apenas I e III. e P e Q são pontos sobre AB e AC. Calcule o ângulo FÂC: (A) 75°. AB B α 48° M α α D C Nestas condições. AP = 4 e PB = 10. Se AB = DE. E . Calcule o ângulo interno C. BC = 10 cm. os pontos D e M pertencem. (E) 3 cm. (A) 1 cm. Sabe-se que AB = BD. (B) 90°. (C) 6. (C) 45°. Dessa maneira. o perímetro de AXY. Dessa forma. 05 Sobre os triângulos ABC e DEF são feitas as seguintes afirmativas: I. que DB ^D = MA ^C = BC ^A = a. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 Sobre os lados BC e AC de um triângulo ABC. (E) Todas são verdadeiras. a reta que passa pelo seu incentro e é paralela a BC intersecta os lados AB e AC nos pontos X e Y. Seja M ponto médio de BC. (B) 2 cm. Calcule a medida do ângulo BQC: 11 Considere ABC um triângulo isósceles. Divide-se BC em três partes iguais. e sobre o prolongamento de BC marca-se P tal que o ângulo APB = 20°. toma-se Q tal que o triângulo QPC é isósceles. (D) 60°. Calcule o segmento XM: (A) 1 cm. (C) 50°. N e P são os pontos médios de DE. (B) 40°. com B entre P e C. M. Qual é o perímetro de MNP? (A) 5 cm. e X o pé da perpendicular de B na bissetriz interna de A. Sobre os lados AB e AC marcam-se os pontos D e E. (A) 30°. 09 ABC é um triângulo escaleno. (D) 50°. com B entre B’ e H e C entre C’ e I. (E) 60°. tais que BD = CE = 10 cm. (B) 30°. (E) 30 cm. (B) 10 cm. (C) 15 cm. (D) 20 cm. 10 Num triângulo ABC. AB = 9 cm e AC = 13 cm. prolonga-se a altura BH de um comprimento BB’ = AC e a altura CI de CC’ = AB. BE e CD respectivamente. (C) 40°. RASCUNHO 9o Ano 325 .Triângulos (I) 08 Um triângulo ABC é equilátero. Quanto mede o ângulo DÂE? (A) 20°. (E) 75°. (D) 4 cm. Sobre o segmento AP. através dos pontos D e E. com  = 120°. respectivamente. com  = 60°. (E) 5 cm. 12 Num triângulo ABC. Calcule a medida do ângulo C’ÂB’. (C) 3 cm. até mesmo para outras curvas planas. Prova-se que quanto mais afastado estiver a extremidade do segmento do pé da perpendicular. Algumas dessas desigualdades podem ser generalizadas para outros polígonos. Desigualdade triangular Dados dois pontos A e B fixados. vale a seguinte condição de existência: cada lado deve ser estritamente menor que a soma dos outros dois. como mostra o exemplo a seguir. vale que AB ≤ AX + XB. o maior lado é sempre oposto ao maior ângulo interno. 1. diz-se que a distância de um ponto a uma reta que não passa por ele é sempre a medida do segmento perpendicular. 1 Z a < b + c b < c + a ⇔ a − b < c < a + b c < a + b . Y Na figura. prova-se que o segmento de reta AB é menor do que qualquer linha poligonal ligando os pontos A e B. e somente se. isto é. X C A caminho [AB] < caminho [AXB] a b A B α β B Usando a desigualdade triangular iteradas vezes. b e c números positivos. portanto. não distância) ligando o ponto A ao ponto B é o segmento de reta AB: qualquer desvio torna o caminho maior do que o segmento AB. e somente se. Condição de existência de triângulos Sejam a. Maior lado – maior ângulo Num triângulo qualquer. X Y Na figura. as três desigualdades a seguir devem valer. X ∈ AB. que é o segmento mínimo ligando o ponto à reta. a hipotenusa é. Esse resultado é exclusivo para triângulos. α > β ⇔ a > b X Quando um triângulo é retângulo.Desigualdades envolvendo elementos do triângulo A ssunto 3 Matemática IV Nesse assunto. o menor caminho (caminho. PX < PY < PZ 326 A Vol. Então existe um triângulo com lados a. 2. AB < AX + XY +YB 3. P B Na figura. Ou seja. e um ponto qualquer X. você verá algumas das principais desigualdades obtidas em relação aos elementos do triângulo: os lados e os ângulos internos. o maior lado dele. b e c se. maior é o segmento traçado ligando o ponto à reta. com igualdade — se. e o menor lado é sempre oposto ao menor ângulo interno do triângulo. Por isso. 9o Ano 327 . Quando a soma é igual. que será vista posteriormente. pois o ângulo oposto ao lado 4 é obtuso (já que 4² = 16 > 4+ 9 = 2² + 3²). A demonstração desse resultado pode ser feita usando a Lei dos Cossenos. A C B A Na figura. mas existe um triângulo de lados 4. Somando. Naturalmente. um triângulo de lados 2. não existe um triângulo de lados 2. caminho [ACB] < caminho [ADB] P A ideia geral da demonstração pode ser vista na demonstração do seguinte caso particular: seja C interno a um triângulo ADB. Então vale que: a2 < b2 + c2 ⇒  < 90° a2 = b2 + c2 ⇒  = 90° a2 > b2 + c2 ⇒  > 90° Logo. Então AC + CB < AD + DB. retângulo ou obtusângulo.7 (valem as três desigualdades da condição de existência). pela desigualdade triangular tem-se que o menor caminho que os liga é o segmento de reta AB. Síntese de Clairault A Síntese de Clairault é um teste que visa descobrir se um determinado triângulo é acutângulo. e é o maior ângulo do triângulo. sendo a o maior deles. 3 e 7 (pois não vale 7 < 2 + 3). PA + PB + PC está entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo ABC. 5. os vértices do “triângulo” são colineares. então o caminho envolvente tem comprimento maior que o caminho envolvido.5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS D 01 Se P é um ponto no interior de um triângulo ABC. basta testar se vale que ele é menor do que a soma dos dois outros menores. provar que a soma PA + PB + PC é maior que o semiperímetro e menor que o perímetro do triângulo ABC. 3 e 4 é obtusângulo. se existe um maior número. Teorema da envolvente e da envolvida Fixados dois pontos A e B.Desigualdades envolvendo elementos do triângulo Por exemplo. pois o ângulo oposto ao lado 8 é agudo (já que 8² = 64 < 25 + 49 = 5² + 7²). pelas desigualdades de caminhos (desigualdade triangular e teorema da envolvente). Se a figura gerada por um deles (envolvente) contém o outro caminho convexo por hipótese (envolvido). Porém o triângulo de lados 5.7 e 8 é acutângulo. 4. que: D BC < BP + PC < BA + AC AB < AP + PB < AC + CB AC < AP + PC < AB + BC C A B AB < AC+CB < AD+DB O caminho envolvido necessariamente deve ser convexo e estar inteiramente contido na figura do caminho envolvente. temos: AB + AC + BC < 2(PA + PB + PC) < 2(AB + + AC + BC) Logo. O teorema da envolvente é uma maneira de comparar dois caminhos que não são o segmento de reta. b e c os lados de um triângulo. Sejam a. Sejam dois caminhos no mesmo semiplano em relação à reta AB. B C Solução: Tem-se. EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 14 cm. ou seja. tem-se que a < b + c. 2a é menor que o perímetro. P é a interseção de A’B com a reta r. determinar um ponto P sobre r que minimize a soma PA + PB. (E) 11 cm. identifique os casos em que A. ( ) A < B + C ( ) A = B + C ( ) A > B + C A área A P0 P r área C A’ Solução: Tome A’. 07 Quantos são os triângulos escalenos distintos de lados inteiros cujo perímetro é menor que 13? (A) 1. BC = 4 cm. qual poderá ser a medida do terceiro lado? 02 Três lados de um quadrilátero medem 2 cm. Selecione a sentença correta e justifique sua escolha: 03 (Truque do Simétrico) Dada uma reta r e dois pontos A e B no mesmo semiplano gerado por r. BC = 6 cm. AC = 2 cm. vale que PA = PA’. (E) 5. por congruência. Determine seu valor máximo. AC = 3 cm. (D) AB = 8 cm. (C) 3. BC e AC. cada lado é menor que o semiperímetro do triângulo. . B e C são colineares ou não colineares: (A) AB = 5 cm. 27 e 16. (A) 3 cm. (B) 5 cm. quer-se minimizar a soma A’P + PB. simétrico de A em relação à reta r. Somando a nos dois lados da desigualdade. o lado a é menor que o semiperímetro do triângulo. Assim. e que ^ C<^ A <^ B.Matemática IV – Assunto 3 02 Mostre que. (D) 4. 3 cm e 6 cm. 1 área B 05 Dadas as medidas dos segmentos AB. BC = 4 cm. Logo. B e C como as medidas das áreas quadradas indicadas na figura. Pela condição de existência. e as medidas de seus lados são inteiras em centímetros. Qual dos seguintes valores não pode ser lado desse triângulo? 328 Vol. (C) 7 cm. AC = 6 cm. 06 O lado AB de um triângulo ABC é expresso por um número inteiro. Dessa maneira. BC = 8 cm. respectivamente. marcado na figura como Po. Uma das sentenças matemáticas a seguir relaciona corretamente estas áreas. P e B sejam colineares. B (D) 9 cm. AC = 4 cm. sabendo que os lados AC e BC medem. b e c os lados do triângulo. Que valores pode ter o quarto lado? 03 O perímetro de um triângulo é 20 cm. (C) AB = 10 cm. 04 (CApUFRJ) Considere A. (B) AB = 3 cm. (B) 2. Solução: Sejam a. O ponto P que minimiza a soma é tal que A’. para todo ponto P sobre r. Assim. tem-se 2a <a + b + c. num triângulo. 04 Seja ABCD um quadrilátero convexo qualquer. (D) 6. Calcule a medida do segmento AD. 7}. (E) 7. RASCUNHO 9o Ano 329 . 7. (D) BD. Sabendo que AB = 2. e sabendo que a medida a do lado BC é um número inteiro. Então. (D) 4. (D) {5.Desigualdades envolvendo elementos do triângulo EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 No quadrilátero ABCD. (B) {5. (C) 5. (E) Faltam dados. (C) 2p < k < 3p. (B) 4. sabendo que é um número inteiro. 8}. o maior segmento desenhado é: C B a 2 59° 61° A 6 B A D 64° 63° (A) {8}. 06 Na figura a seguir. e o ângulo ACD é o dobro do ângulo ACB. 02 (EPCAR) Dado o triângulo ABC. a razão AC + BD k= é tal que: AB + BC + CD + DA (A) 0 < k < p. os ângulos internos B e D são retos. de perímetro dado por 2p. (B) AC. 6. (C) BC. (E) CD. C 03 (CN) O número de triângulos diferentes cujos lados têm medidas representadas por números inteiros e de perímetro 12 cm é: (A) AB. (C) {7}. (A) 1. então o conjunto-solução dos possíveis valores de a é: 05 Provar que a soma das alturas de um triângulo é menor que o perímetro do triângulo. (C) 3. (B) p < k < 2p. obtusângulo em A. (D) 3p < k < 4p. (B) 2. (A) 3. conforme a figura abaixo. 6. Definição Dada uma lista finita de segmentos {A1A2. 1 E F K F 120° C O D E 120° B E 120° K G B F H C A B Octógono regular de centro O . contido na região interna do polígono. Um polígono simples é tal que sua linha é simples. IJ. O número de ângulos internos do polígono é igual ao gênero. 330 Vol. Nesse caso. K Gênero: 5 Pentágono não simples 120° 120° J 120° Poligono IHGKJ Uma linha poligonal simples é uma linha sem autointerseções. Um polígono é uma linha poligonal fechada. mas não colinear. onde cada um é consecutivo ao anterior. ou seja. uma linha poligonal A1A2A3. Um polígono que possui todos os lados congruentes é dito equilátero.. J. bem como equidista de todos os lados. I. existe uma região interna ao polígono.. Se A1 = An. GK Vértices: G.. Não necessariamente possui lados congruentes. então dizemos que a linha poligonal é fechada. A B F D D C E ABCDFE é polígono equilátero C Um polígono que possui todos os ângulos internos congruentes é dito equiângulo. Nesse caso.. Não necessariamente possui ângulos internos congruentes. F B E A Linha poligonal ABCDEF I H A Lados: GH. H. A ABCDE é um poligono simples não convexo FGHI é um poligono não-simples H F D O L M JONMLK é um poligono simples e convexo Um polígono simples é convexo se a sua região interna é convexa. An – 1An}. HI. que é um ponto que equidista de todos os vértices. . A2A3.Polígonos A ssunto 4 Matemática IV 1. G C J I N D ABCDEF é hexágono equiângulo Um polígono que é ao mesmo tempo equilátero e equiângulo é dito regular. JK. Chama-se de ângulo interno o ângulo formado por dois lados consecutivos.An é a união dos segmentos da lista. dois segmentos da linha ou são consecutivos ou não se intersectam. ele admite centro.. Em cada vértice. basta fazer a soma de todos os ângulos internos e externos do polígono. Em cada vértice. Observe que. 2 já que são n vértices. que é um ponto que equidista de todos os vértices. logo é centro de uma circunferência inscrita no polígono. onde n é o gênero do polígono: 360° 180°( n − 2) . Esses podem ser designados como polígono de n lados. são dois ângulos externos opostos pelo vértice: será considerado apenas um deles para cada vértice. o ângulo interno e o externo são suplementares. Para demonstrar. a soma é de 180°. Da mesma forma. Num polígono convexo. então tem-se Se = 180° · 2 = 360°. Como Si = 180° · (n – 2). logo é centro de uma circunferência circunscrita a ele. Desta maneira. a soma dos ângulos internos é dada por Si = 180° · (n – 2). nesse caso. 3. e cada diagonal é contada duas vezes. logo Si + Se = 180° · n. Num polígono convexo. αi = .Polígonos Classifica-se um polígono conforme o seu gênero. tem-se a fórmula acima mencionada. ai + ae = 180°. dividi-lo em triângulos através de diagonais internas a ele. prova-se que ele admite um centro. Um polígono regular é sempre equilátero e equiângulo. C D G O C H B A F E F E Hexágono ABCDEF triangulado D n – 2 = 4 triângulos Soma dos ângulos internos: 4 · 180° = 720° A B Octógono ABCDEFGH regular inscrito num círculo de centro O Valem as seguintes fórmulas para os ângulos interno e externo. basta executar uma triangulação do polígono. sendo n o gênero. que gera sempre n – 2 triângulos. Soma dos ângulos externos Alguns polígonos não possuem nomenclatura usual. isto é. Soma dos ângulos internos Num polígono simples de gênero n. 2. Diagonais 5. Polígonos regulares Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são dois vértices não consecutivos do polígono. n( n − 3) o número total de diagonais é dado por D = . de acordo com a tabela abaixo: Gênero 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 20 Nomenclatura Triângulo Quadrilátero / quadrângulo Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Hendecágono / undecágono Dodecágono Polígono de 13 lados / tridecágono Pentadecágono Hexadecágono Icoságono Para deduzir. Todo polígono simples admite uma triangulação. Dessa maneira. equidista de todos os lados (chama-se de apótema a distância do centro aos lados). Como cada triângulo tem por soma de ângulos internos 180°. um ângulo externo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento de um lado consecutivo a ele. O número de diagonais de um polígono n. isto é. αe = n n 9o Ano 331 . a soma dos ângulos externos é dada por Se = 360°. 4. traçadas a partir de um único vértice é n – 3. (D) 35°. Calcule a medida do ângulo ED B: (A) 15°. C B E 45° D 15° 332 Vol. Como n > 0. já que AD = AB = AE. Calcule a medida do seu ângulo interno. (E) 200. dividido em ângulos iguais a n 2 F E G 20° D H I C αi=140º A B 02 Um polígono regular tem 20 diagonais. (A) 54. tem-se que o ângulo interno excede o ângulo externo em 132°. diagonais passando pelo seu centro e EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 Sobre o lado AB de um quadrado ABCD constrói-se externamente um triângulo equilátero ^ ABE. logo n2 – 3n – 40 = 0. (D) 15°. (D) 170. ao traçarmos todas as diagonais a partir de um de seus vértices. A medida 360° 360° do ângulo externo é de = 45°. então n = 8 2 ou n = –5. Solução: Letra C. Dessa maneira. (E) 40°. 1 A 01 Quantas diagonais partem de cada vértice de um icoságono convexo? (A) 16. tem-se que EDB = 90° – 45° – 15° = 30°. 02 Um polígono convexo é tal que a soma de seus ângulos internos é igual a 2520°. (C) 77. o ângulo interno fica 180° α e = . (B) 65. Determine o número de diagonais desse polígono. Tem-se que n( n − 3) = 20. Solução: 135°. (E) 18°. O triângulo ADE é isósceles. Como  = 90° + 60° = 150°. 04 Em um polígono regular. (B) 10°. (C) 30°. (E) 104. (C) 6:1. (D) 90. logo o = n 8 ângulo externo é de 180° – 45° = 135°.Matemática IV – Assunto 4 Ao se traçarem todas as diagonais a partir de um vértice de um polígono regular. (B) 17. Como BDC = 45°. (C) 12°. tem-se que D = E = 15°. αe=40º EXERCÍCIOS NÍVEL 1 Eneágono regular Um polígono regular de gênero n par possui n 2 n( n − 4) que 2 não passam pelo seu centro. (D) 13:2. Seja n o gênero do polígono. (B) 11:2. e um polígono regular de gênero ímpar não possui diagonais passando pelo centro. (E) 7:1. 03 Qual é a razão entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono regular que possui 14 lados? (A) 5:1. o ângulo interno fica subdividido em ângulos iguais a: (A) 8°. (B) 20°. (C) 18. tem-se n = 8. . Calcule o ângulo ADF. (C) 22. (C) 360°. Dessa maneira. o ponto 7 é oposto diametral ao ponto de número: (A) 20. (C) Undecágono. O número de lados deste polígono é igual a: (A) 18. (D) 24. (E) 24. (B) 20. Calcule o perímetro do pentágono convexo formado pelos pontos médios dos lados do pentágono original. (B) 80°. e que são numerados de 1 a 30 na ordem de disposição na circunferência. (B) 27. 15 ABCDEFGH é um octógono regular. (B) 13. (A) 41. (B) 270°. (A) 180°. (E) 54. (C) 22. (B) Decágono. 08 Num polígono regular ABCDE.Polígonos 05 Os ângulos internos de um pentágono convexo são iguais a x + 25°. 11 (EPCAR) Aumentando-se 3 lados em um polígono. determine a medida do ângulo E. (D) 14. (A) 135°. Determine o maior ângulo externo desse pentágono. 13 A soma dos ângulos destacados na figura é igual a: 07 Numa circunferência. 2x – 10° e 4x – 20°. (A) Eneágono. (E) 26. 2x + 10°. uma de suas diagonais mede 10 cm. (D) 110°. consequentemente aumentam-se 21 diagonais. 9o Ano 333 . (D) 540°. marcam-se 30 pontos que a dividem igualmente. 3x – 5°. (D) Dodecágono. e que o ângulo E é o dobro do ângulo A.. (C) 100°. (D) 150°. Sabendo que os ângulos A e D são iguais. 09 Num pentágono regular. Quantas diagonais possui o polígono? (A) 70°. 06 Qual é o polígono convexo cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados? 12 (CMRJ) A diferença entre as medidas do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular vale 144°. de gênero desconhecido. 14 ABCDE é um pentágono no qual os lados AB e CD são perpendiculares. (C) 21. (E) 720°. a diagonal AC forma com o lado AB um ângulo de 22°30’. (D) 44. (D) 48. (B) 12. Quantas são as diagonais desse polígono? (A) 20. (D) 23. quantas diagonais não passam pelo centro? (A) 6. (E) 54. (E) 135°.. (E) Pentadecágono. (C) 100°. (C) 35. (B) 120°. 10 Num dodecágono regular. (C) 36. (B) 21. (E) 140°. 09 (ITA) De dois polígonos convexos. (D) 77. (E) 77. (E) 34. (C) 65. (B) 7. O valor da medida do ângulo interno do referido polígono está. 08 (FUVEST) Dois ângulos internos de um polígono medem 130° cada um. (E) 8. (B) 150. (E) 150° e 160°. Assim sendo. O que tem menos vértices é um: (A) heptágono. (D) eneágono. . pode-se afirmar que o número inteiro de segundos é: (A) 26. (B) 120° < x < 130°. 03 (CN) O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. (D) 140° < x < 150°. (B) 5. 02 (EPCAR) Um polígono regular possui. (D) 140° e 150°. a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: (A) 53. sendo esses últimos com uma parte inteira e uma parte fracionária. (C) 6. (D) 7. um tem a mais que outro 6 lados e 39 diagonais. 1 06 (CN) Um aluno escreveu o ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados adjacentes de um polígono regular convexo de treze lados em graus. Cada ângulo interno desse polígono mede. (B) 100° e 120°. (D) 70. e os demais ângulos internos medem 128° cada um. (B) 28.. Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro. 04 (CN) Um polígono regular possui 70 diagonais que não passam pelo seu centro. (C) 140°. (C) 30. em graus. (C) 66. (D) 160. a partir de cada um dos seus vértices. Então. (C) 120° e 140°. (B) icoságono.. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor mede: (A) 120°. (E) 150°. (E) octógono. (E) x > 150°. em graus: (A) 140. (C) decágono. (de gênero a princípio desconhecido) é um polígono regular tal que o ângulo ACE mede 120°. (E) 90. e a soma de todos os ângulos internos dos dois polígonos é 4140°. 334 Vol. 05 (CN) Um polígono regular convexo tem o seu número de diagonais expresso por n² – 10n + 8. (A) 44. (C) 130° < x < 140°. (B) 135°. (D) 13. (E) 17. 07 O total de polígonos cujo número n de lados é expresso por dois algarismos iguais e que seu número d de diagonais é tal que d > 26n é: (A) 4. O seu ângulo interno x é tal que: (A) x < 120°.Matemática IV – Assunto 4 EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 (CMRJ) A diferença entre o número de lados de dois polígonos é sete. compreendido entre: (A) 70° e 80°. O número de lados do polígono é: (A) 6. (B) 65. onde n é o seu número de lados. (C) 8. Calcule o número de diagonais desse polígono. 10 ABCDEFG. (D) 32. minutos e segundos. (C) 155. (B) 54. tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. (D) 144°. como indicado na figura abaixo. tem-se k > 1. e o segmento PA é segmento áureo de AB. fala-se de divisão áurea em duas k < 1. se PA AB = = φ . Na figura abaixo. divisão áurea e harmônica. 2 Como φ>0. de medida a. quando a razão entre a parte maior e a parte menor é igual à razão entre o todo e a parte maior. tem-se que φ é constante e igual a QA 1+ 5 = k . e sua soma é igual ao segmento AB . sempre é possível obter um único ponto P que divide PA internamente AB na razão =k. QB 2 Comumente. obtemos um retângulo áureo semelhante. PB Os segmentos adjacentes AP e PB são chamados de segmentos aditivos. situações: uma delas é o retângulo áureo. =k. PB Quando k = 1. quando Q está na reta suporte de AB . divide externamente AB na razão a QB 9o Ano 335 . k ≠ 1. quando P está entre A e B.1 Divisão interna Um ponto P divide internamente um segmento AB segundo a razão áurea. Observe nas equações acima que vale: sempre é possível determinar um único ponto Q que a+ b QA = φ. e = k. com a = φ . Um ponto P divide internamente o segmento AB PA numa razão k > 0. que é um Os segmentos QA e QB são ditos subtrativos. Seja um retângulo áureo de lados a e b.2 Divisão externa Um ponto Q divide externamente o segmento AB numa razão k > 0. indicada por . Quando = φ ≈ 1. Divisão áurea 1. A P B Dado um segmento AB e uma razão k > 0. k ≠ 1. Mais precisamente. Se colocarmos esse retângulo adjacente a A B Q b um quadrado de lado a. Teorema de Tales A ssunto 1 Matemática V 1. áurea. de forma que A P a B b Na figura. dizemos que P é o ponto médio do segmento AB . com lado maior de medida a + b. Divisão de segmentos 2. e a retângulo em que a razão entre os lados é igual à razão diferença de suas medidas é a medida de AB . vale que: PA AB a a+ b = = φ⇒ = = φ⇒ PB PA b a ⇒ 1 a b = 1+ = φ ⇒ φ = 1+ ⇒ φ2 − φ − 1= 0 ⇒ φ b a ⇒φ = 1± 5 .6180 . O ponto PB PA P é chamado de ponto áureo de AB . e menor Dado um segmento AB e uma razão k > 0.Divisão de segmentos. mas não interno ao segmento. B está entre A e Q. 1. A está entre B e Q. Quando k > 1. = PB ⋅ AB . diz-se que P e Q são conjugados harmônicos de AB na razão k. Na figura. observe que valem as seguintes relações: = PA = QB k 1 k ⋅ AB . 1 Se P e Q dividem harmonicamente AB na razão k 2k [suponha k > 1]. Divisão harmônica Dado um segmento AB e uma razão k > 0. então 2 1 1 1 1 . k ≠ 1. então A e B dividem harmonicamente k +1 . P e Q. como dito anteriormente. 3. prova-se que P divide a diagonal AD na razão áurea. de forma que basta trocar k pelo seu inverso. e duas diagonais se intersectam segundo a razão áurea no pentágono regular. que dividem internamente e externamente PA QA nas razões = k= . B Q Caso k < 1. Caso k < 1. e sendo O ponto médio de PQ . k > 1. = QA ⋅ AB . k +1 k +1 k −1 1 ⋅ AB k −1 Q dividem o segmento AB harmonicamente na razão k. k −1 Se P e Q dividem harmonicamente AB na razão PQ numa razão q = k. k que será maior que 1. Equivalentemente. sempre é possível obter dois pontos. Diz-se que os pontos P e PB QB A P Caso k > 1. observe que dividir harmonicamente na razão k é análogo a dividir harmonicamente na razão 1 k ' = . Com isso. 3. = + = − AB AP AQ BP BQ A 336 Vol. k2 −1 Se P e Q dividem harmonicamente AB na razão k [suponha k>1].1 Propriedades da divisão harmônica Se P e Q dividem harmonicamente AB na razão k [suponha k > 1].Matemática V – Assunto 1 D a+b D Q C 1 E a C L P A a P b L–1 B 1 A A outra situação é a do pentágono regular: a razão entre o lado e a diagonal de um pentágono regular é a razão áurea. B 1 No pentágono regular. A estará entre P e Q. então valem as duas: 2 2 OA OA ⋅ OB = OP = OQ = OP ⋅ OQ → = k2 OB P B O Q . então= PQ ⋅ AB . estudemos as propriedades da divisão harmônica. = n −1 n . Teorema de Tales 4. calcule PA. Determine a medida do segmento PQ. Bn – 1 An y = 15. divisão áurea e harmônica. B1B2 B2 B3 Bn −1Bn A1 r1 r2 r3 B3 An – 1 rn – 1 rn B2 A3 r 4 x+1 10 y+3 6 s 4 t Solução: 4 10 x + 1 Pelo teorema de Tales. deve-se usar ferramentas como a base média de um trapézio. determine o valor de x. Para demonstrar esse resultado. / / rn −1 / / rn . as diagonais AC e BD se intersectam em P. que 3 2⋅ 2k AB ⋅ 2 = 20 ⋅ 2 = 48 . Então vale AA AA A A que 1 2= 2 3= . e as transversais s e t. logo 3= x 2 y x=8.. Sejam as retas r1 / / r2 / / r3 / /. como na figura abaixo. logo y=40. então essa reta é paralela às bases do trapézio. AC e o lado do pentágono regular. Pode-se usar também a fórmula dada na teoria. Na segunda equação.. logo 10 x +1 . tem-se Bn s t Reciprocamente. Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas determina sobre duas secantes quaisquer segmentos correspondentes proporcionais entre si. sabendo que r//s//t: Da primeira equação. além de um axioma de continuidade. e observa-se que os triângulos PAD e DPC são isósceles. Sabe-se que P divide a diagonal AC na razão áurea. é PQ = 9 k −1 −1 4 72o A 20 – x P x B y 1 E 36o 72o C D Solução: Na figura. se num trapézio. 03 Num pentágono regular ABCDE. 9o Ano 337 .Divisão de segmentos. tem-se que = = . 36o Solução: Seja o esquema na figura abaixo. temos que 2y = 30.. E também 3= y 40 + 2 y . por unicidade da paralela que passa por um ponto. marcam-se os ângulos. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS A 01 O segmento AB = 20 cm foi dividido pelos pontos P e Q harmonicamente na razão 3:2. ainda não vista até agora. Daí PQ = x + y = 48.. = 15 15 + 3 Resolvendo a equação em x. uma reta que corta os lados oblíquos os divide na mesma razão. obtém-se x = 11. 6 y y +3 B1 A2 02 Na figura. Sabendo que PC = 1. X B Q P 20 − x 3 20 + y x 40 − 2 x e = = Tem-se que . B e Q formam uma quádrupla harmônica. (B) B. (E) 10 cm e 10 cm. 8 (D) 48 cm. as medidas de PA e PB são. P.Matemática V – Assunto 1 Seja x a medida de PA. 02 O segmento AB = 42 foi dividido internamente por P na razão 2/5. então AB mede: (A) 5 +3 (B) 2 5 + 1 (C) 2 5 + 4 (D) 3 5 + 2 (E) 4 5 + 2 06 (CEFET) Manuela dividiu um segmento de reta em 1 1 cinco partes iguais e depois marcou as frações e 3 2 nas extremidades.= = x PA = PC 2 5 +1 . (C) 10. Então. tem-se 2 5 +1 que o lado do pentágono regular é de . usando semelhança entre os triângulos DPC e ACD. (C) 42 cm. como na figura. e divide AB na razão 5/9. Daí. (E) 12. logo. a distância de P ao ponto médio de AB é igual a: (A) 8. Deduza o valor de x: A t x+4 Q 09 Três terrenos têm frente para a rua A e fundos para a rua B. Pelo enunciado. Qual é a medida da frente para a rua B de cada loteamento. Calcule a medida do segmento AB. PB = x+1. (C) 10 cm e 15 cm. 08 Nas figuras abaixo. tem-se que PA 5 +1 . de forma que P divide AB na razão áurea. será possível provar que as diagonais se dividem na razão áurea. (D) 6 cm e 14 cm. interno ao segmento AB. 2 Mais à frente. 2x 338 Vol. sabendo-se que a frente . e que 2 5 +3 sua diagonal AC mede x + 1 = . (E) 54 cm. sabendo que as retas r. t. 1 P 2 B x+2 u 04 Os pontos A. (B) 9. u são paralelas entre si: r 9 6 s 03 Um ponto M. s. (B) 40 cm. conforme a figura abaixo. (D) D. toma-se um ponto P. (A) 36 cm. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. calcule o valor de x. Sabendo que PA = x+3. Em qual dos 2 pontos Manuela deverá assinalar a fração ? 5 A B C D 1 3 (A) 6 cm e 9 cm. (D) 11. 1 2 (A) A. dista 6 cm do seu ponto médio. já que apresentam ângulos iguais a 72° e 36°. na figura abaixo. EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Se AB = 20 cm e um ponto P divide AB internamente na razão 2:3. (C) C. (B) 8 cm e 12 cm. respectivamente: 05 Sobre o segmento AB. (A) 42. o segmento de maior medida é de: (A) 36 cm. (B) 45. o comprimento da barra AE mede: (A) 1.03. A 6 cm de um dos vértices. (D) 1.70 m de altura. (E) 40 cm. divisão áurea e harmônica.2 m. (D) 54. (D) 63 cm. (C) 49. Então.Divisão de segmentos. 04 (CN) Teoricamente. do pés. em metros. (B) 10 cm e 40 cm. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 O segmento AB = 42 foi dividido externamente por Q na razão 2/5. 12 cm e 16 cm. DC = 60 cm. foi utilizada a forma triangular descrita abaixo. Traça-se uma outra transversal.05. com a distância aos pés maior que a distância à cabeça. Teorema de Tales total para a rua B é de 180 m? A Rua B D C 40 m 30 m 20 m Rua A 10 Um feixe de paralelas determina sobre uma reta transversal segmentos de medidas 8 cm. (D) 20 cm e 30 cm. 9o Ano 339 .09. 03 Dois lados de um retângulo medem 30 cm e 50 cm. traça-se uma paralela a uma das diagonais desse retângulo. Calcular a medida dos segmentos determinados sobre o segundo lado que essa paralela intersecta: (A) 5 cm e 45 cm.5 m. para que seu corpo seja considerado em proporções perfeitas? 02 (FIOCRUZ) Em uma estrutura de metal para cobertura de um centro de convenções. (C) 54 cm. num corpo humano de proporções perfeitas. (D) 1. (E) há dois possíveis valores. A que distância. dos três segmentos adjacentes.01.07. (C) 90 cm. (B) 45 cm. e EB = 90 cm. deverá estar localizado o umbigo de uma pessoa com 1. (B) 1. (B) 60 cm. Então a distância de Q ao ponto médio de AB é igual a: E B (A) 1. no menor lado. sobre a qual são determinados segmentos adjacentes cuja soma das medidas é de 81 cm. o umbigo deve estar localizado num ponto que divide a altura da pessoa na média e extrema razão (razão áurea). (C) 15 cm e 35 cm. (E) 1. aproximadamente. (C) 1. Sabendo que as retas DE e BC são paralelas e AD = 40 cm. 2 cm. pode-se afirmar que a medida. 250 m e 200 m. calcule a medida do segmento AB: (A) 40 cm. nessa sequência. F. a números em ordem crescente. P. B está MA NA no número 12. (D) 5 2 1 (B) 2 . B. 1 (D) 220. em metros.8 cm. (E) 80 cm. uma quádrupla harmônica. Sendo AB = 42.Matemática V – Assunto 1 05 Os pontos P e Q dividem internamente AB nas respectivas razões: 2/3 e 3/4. da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é: 06 Os pontos M e N dividem harmonicamente AB. (C) 60 cm. (E) 240. Assim. (B) 50 cm. PQ = 40. B e N na reta numérica. 08 (CAP – UFRJ) Os pontos A. 4 07 Um feixe de paralelas determina sobre uma reta os pontos A. nessa ordem. 10 Os pontos A. Sabendo que AB = 1. RASCUNHO Vol. sendo M médio de AB. 09 (UNIRIO) No desenho apresentado. Rua B (A) 160. de forma que AB = 12 .5 cm e que EH = 34. O ponto A está localizado no zero. G e H. localizados na reta numérica. M. =3e = 3. os pontos E. MB NB 340 II . Sabendo que PQ = 2 cm. calcular a medida do segmento EG. (E) . calcule a razão em que o ponto médio de PQ divide externa-mente AB. sobre outra. 6 3 (C) 3 . (B) 180. BC = 3 cm. (D) 70 cm. correspondem. (A) 1 . B e N. nessa ordem. e que ambos estão entre A e M. C e D e. sabendo que AB = 7 cm e MN = 24 cm: Rua A I 2 . B e Q formam. CD = 4. explicitando seu raciocínio para justificar as posições de M e N. Calcule a razão da divisão harmônica. (C) 200. Marque os pontos A. as frentes para a rua A dos quarteirões I e II medem. M. e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua. respectivamente. E A E A B B D D’ D’ C C 9o Ano 341 . b. considerando que a bissetriz externa de A intersecta o prolongamento da D ' B AB semirreta BC no ponto D’. a razão é igual à razão . D' B AB é igual à razão . interna e externamente. considere o ponto E’ sobre a reta AB tal que CE’//AD’. a bissetriz interna traçada a partir de um vértice divide o lado oposto a esse vértice em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes a eles. 1. B C Para demonstrar o resultado. com AC = AE . Logo. Por transporte de a razão D'C AE ' ângulos via paralelismo. Na figura. = = D ' C AE ' AC como dita o enunciado. = D ' C AC A B C D Para demonstrar tal resultado.1 Teorema da bissetriz interna Num triângulo. tem-se que o triângulo ACE’ D ' B AB AB . com AC = AE’. c . observa-se que o triângulo DB AB AB . Por transporte DC AE de ângulos via paralelismo. ACE é isósceles. considere o ponto E sobre a reta AB tal que CE//AD. Pelo teorema de DB AB Tales. Teoremas das bissetrizes Por meio do Teorema de Tales. a bissetriz b interna divide o lado a em partes iguais = am ⋅a b+c c e n = ⋅a. é isósceles. pode-se deduzir em que razões os pés das bissetrizes interna e externa traçadas a partir de um vértice de um triângulo dividem o lado oposto.Teoremas das bissetrizes e semelhança de triângulos A ssunto 2 Matemática V 1. Pelo teorema de Tales. AD bissetriz interna. considerando o triângulo ABC. b+c 1. tem-se que . Então DC AC A Se os lados do triângulo são a. logo = = DC AE AC como dita o enunciado. seja DB AB = . Na figura. a bissetriz externa traçada a partir de um vértice divide o lado oposto externamente em segmentos subtrativos proporcionais aos lados adjacentes a eles.2 Teorema da bissetriz externa Num triângulo. respectivamente proporcionais. veremos o conceito de áreas.1 Definição Diz-se que dois triângulos são semelhantes quando eles apresentam os mesmos ângulos internos e os lados opostos a esses ângulos correspondentes são respectivamente proporcionais. A A’ ∆ABC ~ ∆A ' B ' C ' ⇔ 342 b’ a b c ∆ABC∆~ ∆A’B’C’ ABC ∆A '⇔ B ' Ca '= ⇔b = =c = a’ b’a ' c’b ' c ' Os pontos D e D’ dividem harmonicamente BC na razão AB AB AC BC ⇔ Aˆ= Aˆ '. e linhas homólogas (lados. B e B’. respectivamente. perímetro. Quando dois triângulos são semelhantes. Para identificar dois triângulos semelhantes. ao se traçarem as bissetrizes interna e externa a partir de um mesmo vértice. numa razão igual à dos lados adjacentes ao vértice. AD e AD’ são bissetrizes interna e externa. D C D’ AC Na figura.2 Casos de semelhança de triângulos 2. que se chama homologia. pelos teoremas D ' B AB DB . 2. que são as características necessárias para garantir que os ângulos sejam iguais e os lados. 1 B’ a a’ C C’ Na figura.1 Caso ângulo-ângulo (AA) Se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes. pode-se dizer que quaisquer ângulos homólogos (correspondentes pela semelhança) são sempre congruentes. A partir AC anteriores. cevianas.2. tem-se que: Vol. há uma correspondência natural entre vértices. logo D e D’ = = D ' C AC DC AB dividem harmo-nicamente BC na razão . 2. pode-se calcular o tamanho DD’ usando as fórmulas de divisão harmônica.) estão sempre na mesma proporção. então são semelhantes. Então. vale que disso. C e C’ são ditos homólogos. distâncias entre pontos homólogos.Matemática V – Assunto 21 1. Bˆ= Bˆ '. = = A' B ' A' C ' B ' C ' c’ b B A B A’ B’ B C ^ ^ B =B’ ^ ^ C=C’ =B '~ B ∆A’B’C’ } ∆ABC ⇒ ∆ABC ∆ A ' B ' C ' C = C ' C’ . Os pares de vértices A e A’.3 As bissetrizes dividem harmonicamente o lado oposto A c Num triângulo. raio do círculo circunscrito etc. o lado oposto a esse vértice fica dividido harmonicamente pelas bissetrizes. Semelhança de triângulos 2. Cˆ= Cˆ '. Mais adiante. existem os critérios de semelhança. Mais precisamente. A razão de áreas homólogas pela semelhança é sempre o quadrado da razão de semelhança. são semelhantes os triângulos ABC e DAB. Solução: Primeiro. o ângulo DÂC é igual ao ˆ = x+y. A b c = b c ~ ∆A’B’C’ b’ c’ ⇒ = ∆ABC ^ ^ A =A’ b ' c ' ⇒ ∆ABC ∆A ' B ' C ' A = A ' 4 D h 2. o ângulo BDA ˆ é dado por: ACD (A) y – x. pelo teorema da bissetriz interna no triângulo ABC. ângulo CBA = x. Se ABD ˆ = y . a reta AD divide internamente o lado BC em dois ˆ =x e segmentos: BD = 18 e DC = 6. tem-se = ID BD 6 2 9o Ano 343 . Agora. e os ângulos internos formados entre eles são iguais. Tem-se que os triângulos CAD e CBA são semelhantes pelo caso LAL de semelhança. portanto.Teoremas das bissetrizes e semelhança de triângulos 2. deduzem-se as igualdades entre ângulos marcados na figura. vale que 4 h = ⇒ h2 =36 . B A A’ c B b a c’ B’ b’ a’ C C’ a b c = = ⇒ ∆ABC ~ ∆A’B’C’ a’ b’ c’ a b c = = ⇒ ∆ABC ∆ A ' B ' C ' a' b' c' EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 (CN) Num triângulo ABC de lado AC = 12. e. Assim.3 Caso lado-lado-lado de semelhança (LLL) Se dois triângulos possuem todos os seus lados respectivamente proporcionais. Por ângulo externo. Logo. com a bissetriz AD. A A’ c b c’ b’ B’ B C’ C } Solução: Letra B. (E) 2x + y. então são semelhantes. com a bissetriz AI AB 9 3 = = . Logo. interna BI. BC = 14 cm e AC = 12 cm. calcule a razão AI/ID.2. (D) 2y – x. h 9 03 O triângulo ABC é tal que AB = 9 cm. por soma de ângulos. então os triângulos são semelhantes. afinal 6 CD CA 12 = = = . tem-se que DB AB x 9 = ⇒ = ⇒ x = 6 . e eles têm o ângulo C entre 12 CA CB 24 os lados em comum. atendendo ao enunciado. Logo.2 Caso lado-ângulo-lado de semelhança (LAL) Se dois triângulos possuem dois lados respectivamente proporcionais. BDA 02 Calcule a altura de um trapézio retângulo cujas bases medem 4 cm e 9 cm. (B) x + y. pelo caso AA de semelhança. e cujas diagonais são perpendiculares entre si. logo h = 6 cm. no triângulo ABD. DB = 6 DC AC 14 − x 12 e DC = 8. 9 C Solução: Seja o trapézio ABCD como na figura.2. (C) 2x – y. Sendo I o incentro do triângulo e AD a bissetriz interna. 16 4 5 (A) 6 cm. Em quanto é preciso prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto? 3 (A) 20 cm. respectivamente: (A) 8 10 cm e cm 3 3 (C) 2 cm e 4 cm. em um triângulo de lados 4 cm. Seja AP a bissetriz interna do ângulo A.5 cm. 2 (E) 15. ao seu lado. 5 02 Determine. (B) 25 cm.5 4 . após algumas horas. O perímetro do menor triângulo é: 2 4 04 (CMRJ) A sombra de um homem que tem 1. 07 (UNIRIO) Observe os dois triângulos abaixo representados. (E) 65 cm.2 m. (D) 35 cm. a sombra do referido homem passou a medir: 15 . a sombra do poste diminui 60 cm. Se. 06 (EPCAR) Os lados de um triângulo ABC são AB = 4 cm. No mesmo instante. 03 Eu tenho 1.69 m de altura. (D) 3.5 cm e 3. 4 (C) 5. em que os ângulos assinalados são congruentes. minha sombra produzida pelo sol media 1. (C) 5. AC = 5 cm e BC = 6 cm. Calcule a altura de um certo poste que estava nesse momento bem próximo de mim e cuja sombra media 5.2 m.3 m. (D) 24 cm. 6 cm e 7 cm.80 m de altura mede 30 cm.Matemática V – Assunto 2 EXERCÍCIOS NÍVEL 1 x 01 Os lados de um triângulo medem 5 cm. (B) 12 cm. as medidas dos segmentos aditivos determinados pela bissetriz interna do maior ângulo interno sobre o lado oposto. 1 12 15 . encontram-se. num determinado momento do dia. (B) x 30 Vol. a sombra projetada de um poste mede 1 m.76 m. 344 4. (C) 30 cm. calcule x: (D) (A) 3. 05 Nas figuras a seguir. (B) 8 10 cm e cm 3 3 (D) 2. (E) 30 cm. (C) 18 cm. 6 cm e 8 cm. (A) 4 m. e. (B) 6.9 m. Determinando-se as medidas de BP e PC. 2 cm. 14 ABCD é um trapézio retângulo de altura AB = 32 cm. em forma de disco. (E) 5. respectivamente. (B) 4.0 m. (D) 4. As bissetrizes interna e externa do ângulo correspondente ao vértice A encontram a reta suporte do lado oposto em D e E. 18 m. iluminou-o com um holofote. P é um ponto sobre AB. situado a aproximadamente 30 m acima do objeto. (C) 4. (C) 4. 9 6 12 ABCD é um quadrado de lado x e de centro O. sendo M médio de AB. Calcule os lados do triângulo menor. à noite. 3 13 ABC é um triângulo escaleno de base BC = 12 cm e altura AH = 8 cm. Assim. conforme mostra a figura a seguir. aproximadamente: (A) x . aproximadamente. de forma que o ângulo CPD vale 90°. (B) 3. Calcule PM. Sendo P a interseção das retas AI e BJ. 11 (CN) Um triângulo de lados 12 m. respectivamente. e bases AD = 6 cm e BC = 10 cm. surgiu um objeto voador não identificado.5 m. pode-se afirmar que o raio do disco voador medem. que está apoiado com base em BC: 30 m 50 m sombra 16 m (A) 3. com AB = 12. (A) 3. Determine a medida de x. 2 (C) x 2 . O valor de BE é igual a: (A) 25. 2 (D) x . (D) 48. 9 x 6 10 (EPCAR) Considere o triângulo ABC.0 cm.5 cm. 3 (B) 2x . 20 m é semelhante a outro cujo perímetro é 10 m.0 m. (D) 4. AC = 8 e BC = 14.Teoremas das bissetrizes e semelhança de triângulos 08 Nas figuras a seguir. a distância de P ao lado CD é igual a: x 09 (UNIRIO) Numa cidade do interior. que estacionou a 50 m do solo.0 m. 3 (E) x 3 . (C) 42. (E) 4. e I e J são os pontos médios de OD e OC.8 cm. 9o Ano 345 . (B) 32.6 cm. usando semelhança de triângulos.5 m. Calcule o lado do quadrado inscrito no triângulo ABC. os vértices dos quadrados são colineares. Um helicóptero do Exército. 5 cm e 12. Então. obtém-se na interseção deles o ponto P. (B) 2 m. Sendo BD bissetriz interna em B. 18 (AMC) Os pontos A. B. conforme o esquema abaixo. 3 (C) 2 (D) 150 cm. nessa ordem. C. (C) 120 cm.Matemática V – Assunto 2 15 Um triângulo não degenerado ABC possui lados de medidas inteiras. o deslocamento horizontal dessa aeronave até atingir o solo é de 400 m. (C) 500 m. 19 (FIOCRUZ) Uma régua de 30 cm de comprimento é colocada entre uma fonte de luz pontual e uma tela. 8. 1 100 m solo 400 m Um engenheiro deseja construir uma pista de pouso para um aeroporto. (E) 36. e J sobre XF. Se esse engenheiro deseja que o avião esteja a 250 m de altura ao iniciar seu sobrevoo sobre a pista de pouso. (E) 180 cm. Os lados do primeiro medem 6 cm. O maior lado do segundo mede: (A) 15. tem-se AD = 3 e DC = 8. (B) 400 m. (E) 62. (B) 25 cm. que dista 9 m da base maior do trapézio. 180 cm . D. Sabe-se que. Qual é o menor valor possível para o perímetro desse triângulo? (A) 22. dispostos no segmento AF. (C) 37. (B) 28. Tem-se que HC.75 cm. (D) 4 m. dividindo-o em cinco segmentos adjacentes de medida 1. Qual é o comprimento da régua projetada na tela? (D) 33. (E) 5 m. (C) 30. e o perímetro do segundo mede 81 cm. 346 (A) 60 cm.5 cm. (D) 1 km. Pega-se um ponto X fora da reta AF. (C) 3 m. 16 Dois triângulos são semelhantes.5 cm. 90 cm 17 Considere o trapézio ABCD. um ponto H sobre XD. qual deverá ser o comprimento total dessa pista? (A) 250 m. de bases AB = 5 m e CD = 15 m. Prolongando-se os lados oblíquos AD e BC. (D) 50 cm.2 km. (B) 90 cm. (E) 1. 20 (FIOCRUZ) Observe a figura abaixo: 250 m (A) 5 4 (D) (B) 4 3 (E) 2 5 3 Vol.5 cm. para alcançar uma altura de 100 m do solo. E e F estão. JE e AX são paralelos. Determine a razão HC : JE. a altura relativa a AB no triângulo PAB mede: (A) 1 m. 2 5 (B) 2 1 . (E) 12 cm. (B) divisor de 35. calcule DD’. DE é paralela a BC e AM é bissetriz interna do triângulo ABC. BC = 8 e BP = 2. Sendo BD = 1 e a medida de MN representada por x. traçam-se as bissetrizes interna e externa AD e AD’. podemos afirmar que 1 − x −2 é igual a: 10 8 10 12 17 (A) – 7. 3 Determine as medidas dos lados desse trapézio. (B) 20. AE = x. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 Nas figuras. então x+y é igual a: A D B (A) 15. (B) 6 cm. 18 x 4 x 07 (CEFET) Seja ABCD um paralelogramo no qual o vértice A é unido aos pontos médios E e F dos lados opostos BC e CD. (D) 4 2cm. sabendo que AB = 10 cm e AE = 4cm. sabendo que FG = 12 cm. AC = 60 cm e BC = 50 cm. BD é bissetriz interna e E é um ponto sobre AB. Sabendo que BC = 5 cm e que a razão AB/AC é igual a 2. Calcule a razão em que P divide AN. x 02 No triângulo ABC. A paralela MN ao lado BC 400 forma o trapézio BMNC de perímetro cm . traçam-se PQ e PR. EC = 5. (D) – 10. (A) 4 cm. Calcule GH. Traça-se a bissetriz externa AN. (C) – 9. Calcule BC. 3 6 (C) 3 . (C) 8 cm. respectivamente. que intersecta a bissetriz interna em B no ponto P. 08 (EPCAR) Por um ponto P da base BC de um triângulo ABC. Os segmentos AE e AF intersectam a diagonal BD nos pontos M e N. calcule x. (A) 1 2 . Se AB = 6. O segmento FC corta AB no ponto G e BD no ponto H. Sabendo que AD = 6. 09 O triângulo ABC é tal que AB = 8 cm. tem-se AB = 90 cm. 24 5 10 5 06 (CEFET) Num triângulo ABC. 03 (CN) Na figura. (D) múltiplo de 7. (E) – 11. (E) . (D) . formando o triângulo AEF. o perímetro do paralelogramo AQPR é: (A) divisível por 3. paralelos a AB e AC. AC = 6 cm e BC = 12 cm. BM = 6 e MC = y. (C) maior do que 40. DB = 2. com Q e R sobre os lados do triângulo. 04 ABCD e ABEF são dois quadrados distintos. (B) – 8.Teoremas das bissetrizes e semelhança de triângulos 05 No triângulo ABC. sendo AB lado comum a ambos. 4 ] 9o Ano 347 . E M C (D) 30. AC = 10. (E) 35. de forma que DE//BC. (C) 25. (E) 4 e 5. Assim. 12 (AMC) No retângulo ABCD. é correto afirmar que a razão x : y é um valor compreendido entre: (A) 0 e 1. (C) 24. F RASCUNHO Vol. de lado AC medindo 6 cm.Matemática V – Assunto 2 10 (CN) No triângulo ABC. então o ângulo BÂD mede: (A) 65°. (E) 35°. a reta EC corta a reta AH em G. BC = 9. A . traça-se a ceviana AD. (A) 16. 1 6 B (D) 45°. (C) 75°. Se o ângulo B mede 20° e o ângulo C mede 85°. 348 H C D 4 E (D) 28. (D) 3 e 4. os lados AB e AC têm a mesma medida x e a mediana BM tem a mesma medida y do lado BC. (B) 20. (B) 1 e 2. (E) 30. E sobre AD tal que DE = 4. (C) 2 e 3. e F está sobre a reta AD de forma que GF e AF são perpendiculares. tem-se AB = 8. Encontre a medida de GF: G 11 (CN) Num triângulo ABC. (B) 55°. que divide internamente o lado BC em segmentos BD = 5 cm e DC = 4 cm. H sobre BC tal que BH = 6. Assim. 5) → (6. (9. 10) → (9. então o a.. 60. agudo BCA por soma dos ângulos internos de um triângulo. As relações métricas no triângulo retângulo Nesse capítulo. 12. . (7. b. portanto continua sendo terno pitagórico. Seguem alguns exemplos de ternos pitagóricos conhecidos: (3. 13) → (10. Considere um triângulo ABC retângulo no vértice A. 13). 61) . 26) → . 15) → (12. (5. b. [Teorema de Pitágoras] Também é possível deduzir a seguinte relação: b² + c² a² = ⇒ b² + c² = a² ⇒ b² c² b² c² a² 1 1 1 1 1 ⇒ + = ⇒ = + . tem-se que h2 + 52 = 132 . (8. o mais famoso e principal resultado de geometria plana métrica: o Teorema de Pitágoras. deduz-se que c² = na .Métrica no triângulo retângulo A ssunto 3 Matemática V 1. Ao se multiplicar um terno pitagórico por um número.. 12. 12. 20. 29) etc. c b h B EXERCÍCIOS RESOLVIDOS C H n m a ∆BAH ~ ∆ACH ⇒ BH AH = ⇒ h² = mn AH CH ∆ACH ~ ∆BCA ⇒ AH AC = ⇒ ah = bc BA BC ∆ACH ~ ∆BCA ⇒ CH AC = ⇒ b² = ma CA BC Analogamente. se um triângulo tem lados ² b² + c² . e que CAH ˆ é igual ao ângulo agudo ABC ˆ . como na figura ˆ é igual ao ângulo abaixo. A partir disso. 4.. (11. 17) . ele mantém a propriedade pitagórica. obtém-se: b² + c² =ma + na =( m + n)a =a × a =a² ⇒ b² + c² =a². Existem alguns ternos pitagóricos que a= conhecidos que facilitam o reconhecimento de triângulos retângulos. ACH e BCA são semelhantes. e seja AH altura relativa à hipotenusa. 41) . 2. pode-se observar que os triângulos BAH. tem-se ² b² + c² . entre outras relações métricas no triângulo retângulo. obter-se-á. (20. como na figura. logo h = 12 (terno pitagórico 5. 16. c satisfazendo à relação a= triângulo é retângulo de hipotenusa a . A h B D 7 13 h 7 C 5 9o Ano 349 . 8. 20) → → (15. Ternos pitagóricos Diz-se que (c. e somente se. ) é um terno pitagórico se. 15. 25) . Somando as duas últimas relações. e daí deduzir relações métricas importantes no triângulo retângulo. 24. 40.. Observe que o ângulo BAH ˆ . basta arrastar a altura AB para gerar um triângulo retângulo. pelo caso AA. que é consequência dos resultados de semelhança de triângulos vistos anteriormente.. c² b² a² h² h² b² c² 01 Quanto mede a altura do trapézio retângulo de bases 7 cm e 12 cm. e lado oblíquo igual a 13 cm? Solução: Montando o trapézio. 21. . 24. b. como as que seguem: A É possível provar que. c naturais positivos. sendo a.. 25) → . Somando-se aos pares. =. obtém-se R = 5. (E) 3 2 cm. e então m = 2 5 . m 2 x y 4 A b c Solução: Na figura acima. m 5 m 5 Logo. 4 2 + (8 − R )2 = R2 . por Pitágoras com as variáveis novas sobre as diagonais. 3 + x = . R a 8–R D m P d w z 03 ABCD é um quadrado. tem-se que (3 + x ) = + m 2 2 2 C . 1 2 m Pitágoras no triângulo AMD. Tem-se que os triângulos AMD e PDC são semelhantes. e P sobre DM é tal que CP é perpendicular a DM. 2 2 O centro do círculo circunscrito está na altura. equação anterior. então o raio desta circunferência mede: (A) 3 cm. por 2 = x . Substituindo na Solução: Letra C. tem-se: x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = a2 + c2 = b 2 + d 2 . a2 z 2 + y 2 = b2 z2 + w 2 = c2 . logo. calculando-se R. logo m m2 .Matemática V – Assunto 3 02 Considere um triângulo isósceles inscrito numa circunferência. calcule o lado desse quadrado. 8 – R. x 2 + w 2 = d2 .Além disso. 2 2 5 e hipotenusa R. tem-se: x ⋅ m 5 = x= obtém-se um triângulo retângulo de catetos 4. (D) 6 cm. Por Pitágoras. 5 2 04 Num quadrilátero de diagonais perpendiculares. Basta observar que. Solução: Seja o lado de medida m e PD = x.logo x(3 + x ) = 3+ x m 2 (C) 5 cm. Seja R o raio do circuncírculo. Se a base e a altura desse triângulo medem 8 cm. Ligando-se aos vértices. m 5 m (3 + x )2= + m2 . logo m 5. M é ponto médio de AB. 3 + logo. prove-se que a2 + c2 = b2 + d 2 . m2 . (B) 4 cm. as somas dos quadrados dos lados opostos são iguais. B 350 Vol. Sabendo-se que MP = 3. tem-se: x 3 m x 2 + y 2 =. Inicialmente a distância entre os jogadores é de 20 metros e. (B) 36.5 cm. sendo x um número real. (x + 1) e (x – 1). (E) 75 cm. (C) 40 cm.6 m. (C) 48. aproximadamente: B 05 Um trapézio isósceles de bases 17 e 27 tem lados oblíquos medindo 13. (E) 50 cm. 02 Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado igual a 10 cm. (D) 12 cm. As trajetórias que a bola descreveu são segmentos de reta perpendiculares. (C) 11. 04 Três números inteiros são pares consecutivos e representam. a. (D) 11. (C) 18. os lados de um triângulo retângulo. Quanto mede a altura desse trapézio? (A) 8. no instante final da jogada. essa distância é de 21 metros. em metros. (B) 60 cm. (D) 48 cm. (C) 65 cm. Qual das expressões acima corresponde à medida da hipotenusa do triângulo? b. (D) 70 cm. Determine a medida. 06 ABCD é um quadrado de lado 2.Métrica no triângulo retângulo EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo determina sobre ela segmentos de medidas 9 cm e 16 cm. Calcule a distância de E ao lado CD. 03 Calcule o raio do círculo circunscrito a um retângulo de dimensões 7 cm e 24 cm: (A) 10. (E) 12 m. (E) 12. 07 (CAP – UFRJ) As medidas dos lados de um triângulo retângulo são expressas por (x + 3).5 m. A C (A) 24 m. (D) 14. 09 (CMRJ) O esquema abaixo representa uma jogada ensaiada entre dois craques de um time de futebol: o jogador que está em A toca a bola para o seu colega que está em B e a recebe de volta em C. (B) 32 cm. que é tangente ao menor: (A) 24 cm. 08 Dois círculos são concêntricos e têm raios iguais a 7 cm e 25 cm. (E) 12. da altura relativa à hipotenusa desse triângulo: (A) 24. (C) 10. o jogador que estava em B ficou parado e o que estava em A se deslocou até C em linha reta. (B) 9.5 cm. (D) 60. (E) 72. Determine o valor de x. (B) 20 m. em decímetros.5 cm. A menor distância que existiu entre os dois jogadores no decorrer da jogada foi de. e ABE é um triângulo equilátero interno ao quadrado. (B) 11 cm. Então o perímetro do triângulo é igual a: (A) 55 cm. 9o Ano 351 . Calcule o comprimento da corda do maior círculo. Sabendo que o diâmetro da circunferência de centro O1 é 18 cm e o diâmetro da circunferência centrada em O2 é 8 cm. (D) 4.6 cm. (E) 20 3 .0 cm. (B) 10.2 cm. (C) 20 cm. (B) sempre existe e tem raio ab . Determine o comprimento do segmento PQ. (E) 22 cm. 2 ab a2 + b2 (E) sempre existe e tem raio . (A) 8. (B) 19 cm. 352 Vol. como mostra a figura abaixo. (B) 9. 2( a2 + b2 ) 11 (EPCAR) Num círculo. Se PR = 13. A circunferência inscrita nesse losango: 14 Uma corda comum a dois círculos secantes mede 16 cm. O segmento da tangente comum. igual a: (A) 18 cm. tangente comum aos dois círculos. 1 18 (FIOCRUZ) As circunferências de centro O1 e O2 são tangenciadas por uma reta. qual é a medida de PQ? (A) 5. (B) 4. 12 (CN) Os raios de dois círculos medem 15 m e 20 m. uma corda de 12 cm de comprimento forma com o diâmetro um ângulo inscrito. compreendido entre os pontos de contato. que são também alturas desse triângulo. (C) sempre existe e tem raio a2 + b 2 . o raio da circunferência é. (D) 15 3 .Matemática V – Assunto 3 10 (CMRJ) As diagonais de um losango medem a e b. (C) 15. Quanto mede a terceira altura do triângulo? (A) 1. (E) 25. determine a distância entre seus centros. 17 (AMC) Os dois catetos de um triângulo retângulo. medem 2 3 e 6. (D) 20.0 cm. (D) sempre existe e tem raio a2 + b 2 . em metros: (A) 5 3 . (D) 21 cm. (B) 10 3 . a distância do ponto A ao ponto B é: O1 A O2 B . no qual uma diagonal mede 8 cm. (E) 6. 15 Dois círculos de diâmetros 12 cm e 20 cm são tangentes externamente. Sabendo que a projeção da corda sobre esse diâmetro mede 8 cm. (E) 5. mede. (C) 12 3 . (D) 11. (B) 2. A altura do losango mede: (A) 3. 13 Considere um losango de lado 5 cm. em cm. e a distância dos seus centros tem 35 m. (C) 3. a altura PF divide o lado QR em dois segmentos de medidas QF = 9 e RF = 5. (C) 4. 16 No triângulo PQR. (A) só existe se a = b. (C) 10. Sendo 10 cm e 17 cm as medidas dos raios dos círculos. (D) 5.8 cm. qual é a distância de P ao lado CD? (A) 8.4 cm. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 (CEFET) Abaixo temos um triângulo retângulo ABC. (B) 36. 02 (CEFET) Numa circunferência de diâmetro BC de medida a + 1. 08 (CMRJ) O Colégio Militar do Rio de Janeiro é um lugar muito agradável. (B) 13 cm. 04 Calcule a altura relativa ao lado BC num triângulo de lados AB = 13 cm. dos catetos desse triângulo é igual a: (A) 5. (D) 12 cm. 9o Ano 353 . Então o lado do quadrado é. (B) 14. (D) 38. (E) 12 cm. em cm.2 cm. (D) 8. e uma figura F composta por quatro triângulos congruentes a ABC.Métrica no triângulo retângulo (A) 9 cm.2 cm.4 cm. BC = 14 cm e AC = 15 cm: (A) 8 cm.2 cm. 07 Toma-se P um ponto interno ao quadrado ABCD. (C) 14 cm. H pertence a BC. qual é o perímetro da figura F? C A F B (C) 38 cm. AH é perpendicular a BC e BH = a. (C) 7.2 cm. 05 (CEFET) Considere um triângulo equilátero ABC de lado 1. (E) 9. (D) 11 cm. B e do lado CD. (D) 10. cuja distância ao vértice A é igual a 6 cm e cuja distância ao vértice B é igual a 8 cm. O módulo da diferença entre as medidas. possuindo muitas árvores em sua área externa. como mostra a figura abaixo. (A) 36 cm. (B) 6.3? 03 (CEFET) Seja ABCD um retângulo com AB = 10 cm e AD = 15 cm. Considerando que BC = 8 cm e 3AC = 4AB. (C) 10 cm. (D) 15 cm. (C) 15. (E) 9 cm. Há algumas ruas retilíneas em seu interior. Se P é um ponto do interior de ABCD. (C) 11 cm. (B) 9 cm. Os pontos M e N pertencem ao lado BC e o dividem em três partes iguais. os pontos A e H são tais que A pertence à circunferência. em cm. o perímetro é 30 cm e a soma dos quadrados das medidas dos lados é 338 cm². (E) 13 cm. de forma que P dista 10 cm dos pontos A. igual a: (A) 12 cm. O perímetro do triângulo AMC é: (A) 1+ 2 7 3 (B) 5+ 7 3 (C) 5+4 7 3 (D) 5+6 7 3 (E) 1+ 7 7 3 06 (CMRJ) Em um dado triângulo retângulo. Pergunta-se: qual deverá ser a medida do raio da circunferência de modo que a medida de AH seja 1. (B) 10 cm. (E) 16 cm. a menor distância. (B) 6. as cidades A. (D) 8. (C) 36. A estrada AB tem 80 km e a estrada BC tem 100 km. . – o ângulo XQY calcule a distância. com 60 metros de extensão. (B) 45. (B) . e T é um ponto da tangente ao círculo em A. e a ZP são perpendiculares. AC é uma diagonal. 11 (EPCAR) Num mapa. C P Q A B O lado do triângulo equilátero APQ mede: m 6 m 6 . (B) 48. (D) 20 − 10 5 . 1 (A) 5. entre os pontos Y e Q: (D) 32. Sabendo que BC mede 5 e BP mede 3.Matemática V – Assunto 3 10 (EPCAR) Na figura seguinte. a soma das medidas de AB e AP é: Y Q Z A B P P D X Sabendo que: – a rua XY. em km. (C) 36. projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada BC para que ela seja a mais curta possível. em que  = 90° e AB = m. O segmento TD mede: (A) 10 5 − 10 . que uma pessoa percorrerá se sair da cidade A e chegar à cidade C é: (A) 84. tal que AT = AB. tal que TC < TD. (B) 10 − 5 . C (C) 7. Por esse motivo. (D) 2 354 Vol. A reta determinada por O e T intercepta o círculo em C e D. – o ponto Z dista 32 metros de X e 24 de P. ˆ . como na figura abaixo. formado pelas ruas XQ e YQ é reto. (D) 64. em metros. 12 (EPCAR) AB = 20 cm é diâmetro de um círculo de centro O. 09 (EPCAR) É dado o triângulo retângulo e isósceles ABC. Um rio impede a construção de uma estrada que liga diretamente a cidade A com a cidade C. ABCD é um retângulo. (A) 3 2 m m. B e C são vértices de um triângulo retângulo e o ângulo reto está em A. Dessa forma. (A) 50. (C) 10 5 + 10 . (E) 28. (C) . Construímos internamente duas novas semicircunferências. (D) múltiplos de r. (C) 24. e altura AD = 7. (B) 4 (A) (C) (D) 5 . Calcule a medida do raio dessa circunferência. e uma circunferência que tangencia as três semicircunferências dadas. e CD. medem respectivamente 4 cm e 2 3 cm. (D) 11 20 (E) 24 25 17 2 16 Considere-se uma semicircunferência de diâmetro AOB = 2r. (E) 12 + 6 3 . calcule AB ⋅ CD : determina uma corda AB de 4 6 cm de comprimento. encontre AB: 15 (CN) Para a construção com régua e compasso (A) do número r . Sabendo-se que o perímetro de AED é o dobro do perímetro de BEC. r primo. C e D estão numa reta. 4 5− 5 . 4 5 5 −5 . relativas à hipotenusa. nessa ordem. um aluno determinou a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo. (B) 10 cm. de forma que AB = CD e BC = 12. A distância de P ao vértice B é um número que. 4 14 (CN) A secante r a uma circunferência de 5 cm de raio 17 Determine o perímetro de um triângulo retângulo. (B) 8 + 6 3 . tem-se que AB + CD = Sabendo que AB < CD . B. (A) 6 cm.75. 18 (AMC) No trapézio retângulo ABCD. O ponto E é tal que BE = CE = 10. dividido por 5 + 1 . 15 2 (B) 9. (C) 5 cm. (C) 12. (D) 8 + 8 3 .25. 9o Ano 355 . (B) 12.Métrica no triângulo retângulo 13 (EPCAR) Num quadrado ABCD de lado 3 cm. de diâmetros OA e OB. (E) 13. (A) 12 + 4 3 . (E) 7 cm. os pontos P e Q dividem a diagonal AC em partes iguais. cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa são números: (A) primos. (C) (D) 12. A reta s é paralela a r e tangencia a circunferência no menor arco AB. resulta em: 5+ 5 . sabendo que a mediana e a altura. A distância entre r e s é de: (A) 12. (C) cuja diferença é de r – 1. (B) cujo quociente pode ser r – 1. 19 (AMC) Os pontos A.5. (C) cuja soma é r. de bases AB BC . e centro O. (D) 4 cm. e a partir desse triângulo deduzir as outras funções. o cosseno é sempre negativo. tanto o seno quanto o cosseno são positivos. Sabendo uma das funções trigonométricas. 356 Vol. Tome um triângulo 24 retângulo de catetos 7 e 24. Mais precisamente ocorrem as seguintes relações: Se α + β= 90° : = cos β senα β cos α sen= 1 tan α = tan β . 1 0 cos 0.cot α cos α senα Obs. que consiste em montar um triângulo em que o ângulo agudo seja igual ao da função trigonométrica. observe as linhas trigonométricas no ciclo trigonométrico.5 Observe que. = tan α = .Trigonometria básica e ângulos notáveis A ssunto 4 Matemática V 1. Essa relação.: pequeno “truque” do triângulo retângulo. com a agudo. Trigonometria no triângulo retângulo Seja o triângulo ABC retângulo em A. embora o seno seja positivo. sabendo-se uma delas. Por Pitágoras.5 1 α –1 cosα –0. C β a b B α c 90° A Definem-se as funções trigonométricas como a seguir: b cateto oposto senα= = . Além dessa relação. permite calcular todas as funções trigonométricas. de forma que um dos ângulos será igual a a. mede 25.5 1 –0. observe que: senα cos α . Para ângulos obtusos.: seja tan α = 2. no entanto. a qual chamamos de Relação Fundamental da Trigonometria. que é uma circunferência orientada de raio 1. Linhas trigonométricas para ângulos complementares e suplementares A título de obter apenas as relações necessárias. logo = senα . pode-se descobrir todas as outras através do “pequeno truque”. c cateto adjacente cot α= c cateto adjacente = . a hipotenusa 1 senα cateto oposto b tan α= = .cos = α 25 25 Ex. e o eixo vertical é o eixo dos senos. sen c cateto adjacente = . b cateto oposto 0. definidos dessa maneira.5 –1 Para ângulos agudos. vale a seguinte relação: sen2α + cos2 α =1 . a hipotenusa cos α= 7 . conforme a figura a seguir. O eixo horizontal é o eixo dos cossenos. pelo teorema de Pitágoras. a hipotenusa 7 24 . x cos 45° = A H 60° B x 2 x 3 .2 Ângulos de 45° (e 135°) Para deduzir as linhas trigonométricas do ângulo de 45°. pelas definições. 2 sen30° 3 = ° = tan30 . x x 2 x 1 cos60°= 2= . = °) sen(60 = °) 2 3 cos(150°) =− cos(30°) =− . tan180° = 0 3. podemos dizer que o seno é igual ao seno de seu suplementar. = °) sen(30 = °) 2 9o Ano 357 .cos90°= 0. tem-se: x 3 h 3 2 = sen60°= = .cos180° = −1.3 Ângulos de 30° e 60° (150° e 120°) = senβ senα cos α = − cos β tan α = − tan β Para deduzir as linhas trigonométricas dos ângulos de 30° e 60°. 2 1 sen(150 .sen135°= sen45°= d x 2 2 2 x x 2 2 = = . tem-se: sen0 = ° 0. tem-se: 1 cos(120°) =− cos(60°) =− . 30° 3. sen90°= 1. por Pitágoras.cos135° = − cos 45° = − d x 2 2 2 x tan 45° = = 1. tan135° = − tan 45° = −1. pelas Na figura. basta considerar um triângulo equilátero. cos30° 3 = ° cos60 = ° sen30 Além disso. 2 3 sen(120 .cos0 = ° 1. Linhas trigonométricas de ângulos notáveis x h 3. e o cosseno é o simétrico do cosseno do seu suplementar. tan0 = ° 0. para os ângulos obtusos.Trigonometria básica e ângulos notáveis β 180° : Se α += 3. por Pitágoras. e traçar sua altura. d = x 2 . tan60 cos60° 1 . 90° e 180° Pelas definições no ciclo trigonométrico. basta considerar um quadrado ou um triângulo retângulo isósceles. x 2 sen60° = ° = 3. Logo. C Isto é.1 Ângulos de 0°. D C d=x 2 A x x B Na figura. como na figura. h = 2 definições. tem-se: x x 2 2 = sen45°= = . como na figura. 2 3 = ° sen60 = ° cos30 . ∃/ tan90° sen180° = 0. Logo. o triângulo BC é retângulo e isósceles. concluir as linhas trigonométricas dos ângulos de 54°. Segue uma tabela com alguns dos ângulos mencionados e suas principais linhas trigonométricas: Função: 30° 45° 60° 90° sen( x ) 1 2 2 2 3 2 1 cos( x ) 3 2 2 2 1 2 0 tan( x ) 3 3 1 3 Não existe mede φ = X D E 18° C ϕ 1 H A B 1+ 5 ϕ= 2 1 = = sen18º 2ϕ cos18º = 5 −1 4 5+ 5 8 1 2 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 (CEFET) Se ABCD é um quadrilátero tal que ˆ = 45°. 1 C . No triângulo DBC. a partir deles. ligando-se BD. tem-se que: Solução: Letra B. a diagonal 1+ 5 . 8 No triângulo DEX. Na figura.= cos 45° . ABC ˆ= 150° e BCD AB = AD. tem-se que DX = sen36°= ϕ = 2 5 +1 4 ϕ . 72°. tem-se que o triângulo ABD é isósceles com  = 60°. traçando-se a altura. B = 60°. Assim. tem-se DBC = 90°. cos18° = 5+ 5 . 8 45° A 60° 60° 90° B 358 Vol. É importante saber que. como na figura. e. Logo. logo: 1 o 2= 1= 5 − 1 sen18= 4 ϕ 2ϕ (A) (B) (C) (D) Pela relação fundamental. Basta considerar um pentágono regular de lado 1. é equilátero. a razão áurea. logo: 2 D Pela relação fundamental. 108° etc. que ADH = 18°. logo. ou CD seja. BAD podemos afirmar que: AB = CD CD = 2 ⋅ BC CD < AD CD − BD < 0 Tem-se no triângulo ABD. Assim. CD = 2 ⋅ BC . cos36° = 5− 5 . nesse pentágono.4 Ângulos de 18° e 36°. como ABC = 150°. Para deduzir as linhas trigonométricas dos ângulos de 18° e 36°. Seja o pentágono 2 regular ABCDE.Matemática V – Assunto 4 3. ˆ = 60°. os ângulos internos em A (Dica: considere um triângulo de hipotenusa igual a 5. x2 + 17x – 168 = 0. como na figura abaixo. = AB x 7 EXERCÍCIOS NÍVEL 1 01 Num triângulo retângulo ABC. (D) . 5 9o Ano 359 . 3 5 3 .) e B medem. Dessa maneira. o seno do ângulo interno em C vale 0. sabendo que AC mede 4 2 cm. logo AB = 2r × cosa.6. respectivamente. 03 Num triângulo retângulo ABC de hipotenusa BC = 20 cm. Quanto mede o cateto AB? 7 senα + cos α == . de AC é igual a: (A) 12 cm. Calcule as medidas de AB e BC. E também = senα . A afirmativa errada é: 03 Um ângulo agudo é tal que a diferença entre seu 17 seno e seu cosseno é igual ao número . = senα . 5 02 Num triângulo ABC.cos α = . logo= AB MB 17 + x 24 MB (2 r cos α) × senα. e catetos x e 17 + x. AC AC tem-se o valor de x: x2 + (17 + x)2 = 252. = cos α . (A) AB = 2r cosa (B) BC = 2r sena (C) AM = 2r cos²a (D) BM = 4r sena cosa Solução: Letra D. AM AM (2 r cos α) × cos = α 2 r cos2 α . em cm. AM BC = 2 r × sen α logo . Resolvendo-se. (E) faltam dados. Então. (C) 16 cm.Trigonometria básica e ângulos notáveis 02 (EPCAR) Considere um triângulo ABC inscrito em uma semicircunferência de centro O e raio r.  = 30°. Calcule a tangente desse ângulo. 4 4 (C) . vale que sena + cosa = hipotenusa AC mede 10 cm. em que AC é o diâmetro. logo. (A) 2 3 . 5 (B) (E) 7 . retângulo em C. e O único valor positivo de x que é raiz da equação é x=7. tem-se que = cos α 17 + x x 17 AC senα − cos = α = − . B 17+x A O 2r 25 C α M x Assim. (B) 15 cm. BM é perpendicular a AC e BÂC = a. Quanto 25 mede a tangente desse ângulo? Solução: A ideia é usar o pequeno truque do triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo de hipotenusa 25. tem-se = cos α AB tem-se 2x2 + 34x + 289 = 625. e vale o enunciado: 25 25 AB No triângulo ABC. AB BC 25 25 25 = cos α . logo= tan α = . a medida. 45° e 30°. Por Pitágoras. e a 04 Para um ângulo agudo a. (D) 18 cm. senα = 17 + x x .No triângulo ABM. 10 Dois círculos inscritos num ângulo de 60° são tangentes entre si. a sombra aumenta 10 m. (C) 6( 3 + 2) . situado na projeção horizontal da trajetória. 09 (CN) Num triângulo equilátero de altura h. (E) 6 h 3 . e um dos outros dois ângulos é metade do outro. em metros. (B) 33. 5 (D) 1 . a sombra de uma árvore mede x. Calcule a razão entre o raio do maior e o do menor. 1 . 3 (C) (B) 3 − 1. 360 Vol.6m. (C) 50m.3m. (D) 6h . (E) 3( 2 + 4) . Calcule a altura da árvore. 2 (A) 4( 3 + 3) . é: 1 β α O O ? 12m A distância percorrida entre os instantes t0 e t1 é: (A) 3 . é visto sob ângulo a de 30°. seu perímetro é dado por: (A) 2h 3 . (C) 2 h 3 .Matemática V – Assunto 4 05 Divide-se o lado BC de um triângulo equilátero ABC em três partes. 3 (B) h 3 . 3 11 Um observador. no ponto O da figura abaixo. 06 (EPCAR) Num terreno plano de forma triangular. Seu lado menor mede: (A) 12m. (D) 66. tomando-se os pontos D e E. quando este ângulo passa a ser de 30°. 3 3 −1 . 3 (C) 1 . em que o lado maior mede 100 m. sob ângulo b de 60°. vê um prédio segundo um ângulo de 75°. (D) 12m 2 3 . (A) 1 . 07 (CEFET) No momento em que os raios solares fazem um ângulo de 60° com a linha do horizonte. 08 (EPCAR) Um avião está voando em reta horizontal à altura 1 em relação a um observador O. 2 (B) 1 . (B) 6( 2 + 2) . (D) 2 + 3 . e no instante t1. então a altura do prédio. Calcule a cotangente do ângulo EÂH. No instante t0. 4 (E) 2 . o maior ângulo entre os lados é 90°. Se esse observador está situado a 12 m do prédio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio. Após algum tempo. Seja H o pé da altura de A no triângulo ADE. Considerando a rodagigante parada. (C) 5 e 6. dista 10 metros do solo. A largura desse rio. B2 O t (D) 6 e 7. e o ponto O corresponde ao centro da roda-gigante. pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato. 4 8 (B) 3a − x 9 x − 3a . Utilizando os dados abaixo. o ponto mais baixo da roda-gigante. 02 (EPCAR) Dois pontos A e B estão situados numa mesma margem de um rio e distantes 100 m um do outro. respectivamente. ponto mais alto de um poste. (B) 4 e 5. de onde vê a coruja agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma distância BR de medida 6 2 metros. BPF ˆ : ângulos ACF 5 3 Dados: sen23°~ . (A) 50 3 . determine um valor aproximado para as medidas dos ˆ . identificado na figura pelo banco B10. CBD ˆ . (E) 7 e 8.Trigonometria básica e ângulos notáveis 12 (EPCAR) Uma coruja está pousada em R. B e P alinhados. sen37° ~ 13 5 F SOLO 04 (EPCAR) Se o triângulo ABC da figura abaixo é equilátero de lado a. B1 B10 h = 10m EXERCÍCIOS NÍVEL 2 01 (CAP – UFRJ) Os lados do retângulo ACEF medem 12 m e 5 m. de tal ˆ medem 75° cada ˆ e ACB modo que os ângulos CAB um. em m. no chão. (B) 50. (C) . (D) . no solo. os pontos B1 e B2 correspondem a dois bancos consecutivos. determine a altura de B2 em relação ao solo. 03 (CAP – UFRJ) A figura a seguir representa uma roda. é: (C) 100 3 . então a medida de QM em função de a e x é: C P E 30° 30° N D Q P A B A C x M 30° B (A) 3a − x 8 x + 3a .gigante de 100 metros de diâmetro com 12 bancos igualmente espaçados. a uma altura h do ponto P. e desprezando-se a espessura do poste. estando os pontos A. 8 8 9o Ano 361 . é um número entre: (A) 3 e 4. sob um ângulo de 30° conforme mostra a figura abaixo: R h 30° 45° p R O rato se desloca em linha reta até o ponto B. (D) 100. Nessa situação. Um ponto C situa-se na outra margem. Ela é vista por um rato no ponto A. em metros. Sabendo que a reta t é paralela ao solo e que B1 e O pertencem a t. B e D são pontos dos lados AC e CE. Com base nessas informações. O segmento DE mede 2 m e o segmento AB mede 8 m. (B) 45. t 60° C A D B r s . (C) 12. Determine a razão entre o lado do hexágono e o menor lado do retângulo. (E) 75. o centro do hexágono regular ABCDEF coincide com o centro do retângulo GHIJ. (C) 830m. do segmento CD é: (A) 16. (D) 8. 06 Caminhando em linha reta ao longo de uma praia. Qual é o perímetro do triângulo BDP? (A) 3 + C (C) 3. em metros. O segmento AC mede 4 cm. (D) 3+3 5 . (B) 846m. AD = 1. 09 (CEFET) Três triângulos equiláteros de lado 1cm estão enfileirados como indicado na figura abaixo. 2 5 3 (E) 2 + . dividem em três partes iguais. as retas r. 3 (C) 2 + 2 2 . 08 (AMC) No retângulo ABCD. (E) 20.5 3 . de lados AB = 6 e AD = 3. (D) 4. e quando chega em B verifica que o ângulo NBA é de 45°. (A) 945m. cobrindo uma distância AB = 1200 m. podemos afirmar que a distância desse ponto P até o lado AB. isto AB e é tal que DB e DP trissectam o ângulo ADC é. Então. (B) 2.5 3 . determine o seno do ângulo θ. em graus. 3 C G A B H 12 (CN) Na figura abaixo.Matemática V – Assunto 4 05 Determine o raio de um círculo inscrito num setor circular de 60° de raio 6dm. (C) 60. P está sobre ˆ . em centímetros. J E D I F 4 3 . a: (A) 30.5 3 . (E) 5. (D) 760m. (B) 2 + 3 362 A E (D) 72. (A) 1dm. toma-se um ponto M sobre AB de forma que ˆ e CMD ˆ sejam iguais. esses os ângulos AMD ângulos são iguais. aproximadamente. Sendo P o ponto de interseção entre as diagonais AC e BE. Calcule a distância em que se encontra o navio da praia. (E) 700m. 11 (IFRJ) Na figura abaixo. é: (A) 1. 1 F 10 (IFRJ) Um hexágono regular ABCDEF tem lado igual a 10 m. Vol. (E) 2 3 dm. Nessas condições. 07 (AHSME) No retângulo ABCD.5 3 . Antes de iniciar a caminhada. ele avista um navio parado em N. (C) 3dm. de tal maneira que NÂB é de 60°. um banhista vai de um ponto A a um ponto B. G B B D 3 . A medida.5 3 . (B) 2dm. s e t são tangentes à circunferência de diâmetro AB. (D) 3 dm. (B) 14. estando no ponto A.