Apostila Matemática Financeira UERJ Atualizada

Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.Cristiano Santos – UERJ – 2010 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Notas de Aula Prof. Cristiano Santos 1. COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE O CURSO 1.1. INTRODUÇÃO O curso de matemática financeira tem como objetivo introduzir o aluno no universo das aplicações financeiras da economia cotidiana, dimensionando o real valor do conhecimento de operações financeiras simples do dia-a-dia de todos. Nesse sentido, é desejável que o aluno, ao final do curso, esteja apto a avaliar as vantagens e desvantagens de realizar determinadas transações de natureza monetária, como a aplicação de investimentos em fundos ou poupança, adquirir um bem à vista com desconto ou a prazo, a tomada de empréstimos de longo prazo, entre outros. 1.2. CONTEÚDO DO CURSO O curso versa sobre os seguintes tópicos da área da matemática financeira: - O Valor do Dinheiro no Tempo; - Juros Simples; - Juros Compostos; - Equivalência de Fluxo de Caixa; - Desconto; - Sistemas de Amortização; - Anuidades; - Inflação e Cálculo de Taxa Over; - Taxa Interna de Retorno e Valor Presente Líquido dos Investimentos; 1.3. AVALIAÇÂO A avaliação do curso será por meio de duas provas, 1 P e 2 P , de conteúdos diferentes, cujas datas serão estabelecidas no primeiro dia em que houver aula. A nota do aluno, NT, será calculada como uma média simples entre as duas provas: Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 2 2 2 1 P P NT + = Será considerado aprovado o aluno que obter NT maior ou igual a 7 (sete). 1.4. BIBLIOGRAFIA As notas de aula não substituem as referências bibliográficas. Nelas sempre se encontrará uma descrição mais detalhada de cada tópico, com muitos exercícios e alternativas de nomenclatura e abordagem aos temas. Recomendo, basicamente, quatro livros, mas, na maioria dos casos, muitos se eqüivalem. Deixo ao critério de cada um escolher aquele livro com o qual se identifique com a linguagem e metodologia: - ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 9ª edição – São Paulo: Atlas, 2006 - PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada – São Paulo: LTC Editora, 2000; - VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira – 7ª edição – São Paulo: Atlas, 2001; - JUER, Milton. Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada – 5ª edição – Rio de Janeiro: IBMEC, 1995. 2. O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO O conceito de dinheiro foi evoluindo ao longo do tempo. Nos primórdios da civilização não havia um conceito de moeda fiduciária propriamente dito. O escambo, que era a simples troca de mercadoria por mercadoria, sem equivalência de valor, predominava. Ao poucos algumas mercadorias começaram a se estabelecer como moedas-mercadoria. Estas eram aceitas por todos, assumindo a função de intermediação, circulando como elemento de troca e servindo para a avaliação de valor. Exemplos de moedas-mercadoria são o gado e o sal. Aos poucos as relações de troca foram sendo estabelecidas através de metais, por estes possuírem vantagens como a possibilidade de entesouramento, divisibilidade, raridade, facilidade de transporte e beleza. A moeda de papel aparece apenas na Idade Média, surgindo com o costume de se guardar valores em ourives, que eram pessoas que negociavam objetos de ouro e Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 3 prata. Estes, como garantia, entregavam recibos. Com o tempo, estes recibos passaram a ser utilizados para efetuar pagamentos, circulando de mão em mão e dando origem à moeda de papel. No Brasil, os primeiros bilhetes de banco, precursores das cédulas atuais, foram lançados pelo Banco do Brasil, em 1810. Tinham seu valor preenchido à mão, tal como, hoje, se faz com os cheques. O dinheiro, seja em que forma se apresente, não vale por si, mas pelas mercadorias e serviços que pode comprar. É uma espécie de título que dá a seu portador a faculdade de se considerar credor da sociedade e de usufruir, através do poder de compra, de todas as conquistas do homem moderno. A moeda não foi, pois, genialmente inventada, mas surgiu de uma necessidade e sua evolução reflete, a cada momento, a vontade do homem de adequar seu instrumento monetário à realidade de sua economia. Por este mesmo motivo, uma determinada quantia hoje, não “vale” a mesma coisa amanhã, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos. O que quantifica o crescimento do dinheiro são os juros aplicados ao longo de um período. Neste sentido, valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas. Valores de datas diferentes só podem ser comparados após serem movimentados para uma mesma data, com a correta aplicação dos juros. Estes são, usando termos coloquiais, o “aluguel pago pelo uso do dinheiro”. Pode-se dizer então, que o juro é a remuneração do capital, a qualquer título, ou o custo do capital de terceiros, ou ainda, a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. O conceito que mais trabalhamos neste curso, além do conceito de juros em si, é o de taxa de juros, que nada mais é que a taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia), da aplicação dos juros sob um dado capital. Abaixo seguem exemplos de taxas de juros e a nomenclatura adotada: - 12 % ao ano = 12 % a. a.; - 4 % ao semestre = 4 % a. s.; - 1 % ao mês = 1 % a. m.. 4.1. FORMAÇÃO DA TAXA DE JUROS Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 4 A taxa de juros hoje é um dos elementos centrais do mundo das finanças. A ela se dá uma importância crucial, sobretudo por ser a responsável pela rentabilidade das empresas financeiras, que negociam seus ativos no mercado levando em conta sempre os riscos imanentes ao sistema. Estes riscos podem estar associados a muitas e diversas causas. Cada risco é objeto de minuciosa análise e existem áreas inteiras nas grandes corporações para avaliações dessa natureza. Neste sentido, podemos escrever a taxa de juros i do mercado, como uma combinação de vários fatores (que aqui chamamos de prêmios): RV L RI I LR P P P P i i . . . . = A taxa LR i é o que se chama de taxa livre de risco, ou taxa de juros real, aquela que seria cobrada caso não existisse nenhum risco inerente ao empréstimo do dinheiro, tal como o risco de inflação, representado por I P . Este risco, ou prêmio, é dado por não se saber ao certo qual será a inflação no futuro, desde o momento da concessão do empréstimo até a data de seu pagamento. Da mesma maneira, RI P , representa o risco de inadimplência. Este é calculado baseando-se no perfil do tomador do dinheiro, calculando-se a probabilidade de que um elemento no mesmo grupo venha a não ter condições de honrar suas dívidas. O prêmio de liquidez, L P , está relacionado à capacidade de o título garantidor da operação de crédito ser negociado em mercados secundários. O grau de dificuldade de comercialização do título reflete o peso da componente na composição da taxa de juros. É que, se a comercialização for facilitada, o emprestador terá a oportunidade de reaver o capital antes do tempo previsto, isentar-se do risco da operação e reciclar o capital envolvido. 4.2. REGIMES DE JUROS E FLUXOS DE CAIXA A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no tempo. A noção principal é a de que o dinheiro perde valor com o passar do tempo. Portanto, é fácil admitir que mil reais em 2005 tivessem um determinado poder de compra. Hoje conseguiríamos comprar menos produtos com os mesmos mil reais. Para estudar essa evolução do dinheiro, adotamos regimes de capitalização dos juros. Há hoje na economia dois deles: regime de juros simples e regime de juros compostos. No regime de juros simples, apenas o capital inicial (ou principal), rende juros. Nesse modelo não se somam os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros, ou seja, juros não rendem juros. As equações Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 5 de evolução dos juros são, portanto, lineares fazendo com o que o dinheiro cresça em progressão aritmética ao longo do tempo. No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. Nesse caso, as equações que regem a dinâmica dos juros são exponenciais e o dinheiro cresce em progressão geométrica. Para facilitar a visualização da evolução de operações monetárias ao longo do tempo, utiliza-se uma ferramenta gráfica chamada fluxo de caixa, como mostrado abaixo. Este representa um conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. O eixo horizontal representa o tempo que sempre cresce da esquerda para a direita, discretamente. Setas verticais para cima representam entradas e setas para baixo representam retiradas. Quanto maior a seta, maior o valor da operação. Podem-se ter fluxos de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações financeiras etc. É indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos. 5. REGIME DE JUROS SIMPLES Vamos derivar uma fórmula para juros simples, considerando a seguinte nomenclatura: - PV (valor presente ou capital): é a quantidade monetária envolvida em uma transação financeira, referenciada na data local zero; - FV (valor futuro ou montante): é a quantidade monetária resultante de uma transação financeira, referenciada em uma data futura; - n: número de períodos (expressa em termos de tempo); - J (juros): é a remuneração exigida na utilização do capital de terceiros; - i (taxa de juros): é o coeficiente obtido pela relação estabelecida entre o valor do juro de um período e o capital emprestado. . . . n n - 1 1 2 3 4 n - 2 Tempo Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 6 Para a derivação, consideremos uma aplicação PV, que remunera a uma taxa de juros i, por n períodos e que paga, ao final deste tempo um montante FV. A tabela e o fluxo de caixa abaixo representam o ganho período a período. Período Valor Presente Juros Saldo Final dos Juros 1 PV PV . i ( ) i PV FV + = 1 1 2 PV PV . i ( ) i PV FV + = 1 2 3 PV PV . i ( ) i PV FV + = 1 3 ... ... ... ... n – 1 PV PV . i ( ) i PV FV n + = − 1 1 n PV PV . i ( ) i PV FV n + = 1 Sendo assim, o valor futuro total pode ser calculado como: ( ) n i PV FV FV FV FV FV FV n n n j j . 1 ... 1 2 1 1 + = + + + + = = − = ∑ 5.1. TAXAS EQUIVALENTES PARA JUROS SIMPLES Nos cálculos efetuados em matemática financeira, é preciso que o prazo e a taxa estejam representados na mesma unidade de tempo. . . . n n - 1 1 2 3 4 n - 2 PV FV Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 7 Podemos dizer que duas taxas são equivalentes em juros simples quando aplicadas num mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, resultam em juros iguais. Um exemplo simples seria calcular a taxa anual equivalente a 1 % a. m.: 12 , 0 01 , 0 . 12 . 12 01 , 0 = = = ⇒ = m a m i i i Logo, a taxa de 12% a. a. é equivalente à taxa de 1 % a. m.. 5.2. JURO EXATO E JURO COMERCIAL Existe uma distinção conceitual entre juro simples exato e juro simples comercial. O exato utiliza efetivamente o calendário do ano civil (365 dias) enquanto o comercial admite o mês com 30 dias, sendo o ano, portanto, de 360 dias. 5.3. TAXA DE DESCONTO E TAXA DE RENTABILIDADE Taxa de Desconto: O conceito básico de taxa de desconto a juros simples é muito utilizado em determinadas operações bancárias, tais como desconto de notas promissórias e desconto de duplicatas. Suponhamos inicialmente as seguintes definições: Sejam d a taxa de desconto em cada período, PV o principal e FV o montante e n o prazo. Convém então lembrar que a taxa de rentabilidade i é aplicada sobre o principal PV, durante n períodos, para gerar o montante FV. Por outro lado, a taxa de desconto é aplicada sobre o montante FV, durante n períodos, para produzir o principal PV. Assim teremos: ) . 1 ( . 1 n d FV n i FV PV − = + = Para explicitarmos a taxa de rentabilidade i ou a taxa de desconto d, obteremos: n d d i . 1− = ou n i i d .. 1+ = Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 8 Como o valor principal PV é menor que o montante FV, dizemos que ele é obtido do desconto do montante FV. O desconto utilizado com a taxa de desconto é conhecido como desconto comercial, ou por fora. O desconto realizado com o uso da taxa de rentabilidade i é conhecido como desconto racional, ou por dentro. EXEMPLO: Qual o desconto de um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagamento em quatro anos com a taxa de 10% a. a. se o tomador quita a dívida com um ano de antecedência? Resposta: Podemos fazer o cálculo diretamente, simplesmente calculando os valores do montante para n = 3 e para n = 4 e descontando um do outro. Para n = 3: ( ) 13000 3 . 1 , 0 1 10000 ) . 1 ( 1 = + = + = n i PV FV Para n = 4: ( ) 14000 4 . 1 , 0 1 10000 ) . 1 ( 2 = + = + = n i PV FV O que dá um desconto de: 1000 13000 14000 1 2 = − = − = FV FV D No caso, o desconto será de R$ 1000,00. Utilizando a fórmula para encontrar a taxa de desconto por fora: 3 , 1 1 , 0 3 . 1 , 0 1 1 , 0 .. 1 = + = + = n i i d Colocando na fórmula para encontrar FV: 13000 3 , 1 1 10000 3 , 1 3 , 0 1 10000 . 1 1 = = − = − = n d PV FV Fazendo o mesmo para n = 4, obteremos os mesmo R$ 14.000,00 o que resulta em um desconto de R$ 1.000,00. 5.4. VALOR ATUAL – REAJUSTE DE SALÁRIOS E INFLAÇÃO 5.4.1. Cálculo do Valor Atual Assim como os produtos, também os salários são reajustados utilizando a mesma Matemática de juros compostos. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 9 Reajuste em um único período: Seja S o salário ou o preço inicial, e r a taxa de reajuste no período. Então: ( ) r S S r + = 1 Onde Sr é o valor do salário ou preço reajustado. Para um único período o conceito é o de juros simples. EXEMPLO: Vamos supor que o salário mínimo seja R$ 100,00. Se o governo resolve aplicar um reajuste de 10%, teremos r = 0,1: 110 ) 1 , 0 1 ( 100 = + = r S Reajuste com taxas diferentes em cada período: Suponhamos que um produto ou um salário tenha reajustes diferentes em cada período com taxas n r r r ,..., , 2 1 respectivamente: ( )( ) ( ) n r r r r S S + + + = 1 ... 1 1 2 1 Se r r r r n = = = = ,..., 2 1 , então ( ) n r r S S + = 1 5.5. TAXA DE REAJUSTE ACUMULADO Seja acum r a taxa de reajuste acumulado durante todos os períodos, então: ( ) acum r r S S + = 1 Comparando-se com a fórmula anterior ( )( ) ( ) 1 1 ... 1 1 2 1 − + + + = n acum r r r r EXEMPLO: A gasolina teve o seu preço reajustado em 8% em 2005, 10% em 2006 e 5% em 2007. Então, qual foi o reajuste acumulado nesses três anos? Nesse caso, 05 , 0 ; 1 , 0 ; 08 , 0 3 2 1 = = = r r r Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 10 ( )( ) ( ) % 74 , 24 2474 , 0 1 05 , 0 1 ... 1 , 0 1 08 , 0 1 = = − + + + = acum acum r r 5.6. INFLAÇÃO Taxa de um aumento médio no período que sofrem os preços de determinados produtos, escolhidos para formar a chamada "CESTA BÁSICA" e de alguns itens essenciais (aluguel, transporte, vestuário, etc.) Se a inflação foi de 20% em um determinado período, isto significa que os preços foram reajustados em média de 20% no período. Afirmamos que o CUSTO DE VIDA aumentou em 20%. A inflação acumulada acum I pode ser expressa como: ( )( ) ( ) 1 1 ... 1 1 2 1 − + + + = n acum I I I I onde I 1 , I 2 ......I n são as taxas de inflação relativas a cada período. Temos vários indicadores de preços INPC-IBGE, IPC-FIPE, IGP-M da FGV, ICV do DIEESE etc. EXEMPLO: Calcule a inflação acumulada no período de abril de 2008 a março de 2009, segundo o IPCA do IBGE. Taxa (%) Abril 0,55 Maio 0,79 Junho 0,74 Julho 0,53 Agosto 0,28 Setembro 0,26 Outubro 0,45 Novembro 0,36 Dezembro 0,28 Janeiro 0,48 Fevereiro 0,55 Março 0,20 2 0 0 8 2 0 0 9 Período Então ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) % 61 , 5 1 0020 , 0 1 ... 0074 , 0 1 0079 , 0 1 0055 , 0 1 1 1 ... 1 1 1 12 3 2 1 = − + + + + = − + + + + = acum acum acum i i i i i i i Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 11 5.7. PERDA OU GANHO SALARIAL Se os salários são reajustados com base no índice de inflação no período então a perda e o ganho se anulam. Se o índice de inflação é maior que o índice de reajuste então existe perda. Se o índice de inflação é menor que o índice de reajuste então existe ganho. Vamos derivar uma fórmula para o cálculo da perda percentual do salário. Utilizando a nomenclatura previamente utilizada, temos: ( ) ) 1 ( 1 i S S r S S i r + = + = Chamemos de P a perda em valor do salário: ( ) r i S S S P r i − = − = Como estamos interessados na perda percentual, que vamos chamar de p, teremos que esta é dada por: ( ) ( ) i r i p i S r i S S P p i + − = + − = = 1 1 Uma outra expressão interessante é a do salário real: ( ) ( ) S i r S S S S S REAL i r REAL + + = = 1 1 Quando o salário não é reajustado, temos r = 0: ( ) i S S REAL + = 1 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 12 EXEMPLO: Qual é a perda salarial de um indivíduo que ganha R$ 1.000,00 e que teve o seu salário reajustado em 4%, enquanto que a inflação no mesmo período foi de 5,61%? Como ⇒ = > = 0400 , 0 0561 , 0 r i houve perda. ( ) ( ) 1056 1 1040 1 = + = = + = i S S r S S i r A perda percentual então será % 52 , 1 0561 , 0 1 0400 , 0 0561 , 0 1 = + − = + − = i r i p Isso significa que temos a seguinte proporção 98 , 0 00 , 1056 00 , 1040 00 , 1000 80 , 984 = = O valor de 984,80 é denominado de salário real, ou seja, um salário de R$ 1000,00 que sofre um reajuste de 4% com uma inflação de 5,61% vale R$ 984,80. 5.7.1. TAXA DE RECOMPOSIÇÃO DA PERDA SALARIAL A taxa de recomposição salarial é a que se deve ser incorporada ao salário para que o indivíduo recupere o poder de compra. ( )( ) ( ) r r i r i i i S i r S recomp recomp + − = − + + = + = + + 1 1 1 1 1 1 1 No caso de se ter um reajuste de 4% com uma inflação de 5,61% no ano, para recompor o salário deve-se ter: % 55 , 1 0400 , 0 1 0400 , 0 0561 , 0 1 = + − = + − = r r i i recomp Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 13 5.8. DEPRECIAÇÃO E DESVALORIZAÇÃO Deve-se levar em conta que um bem se desvaloriza pela inflação ao longo do tempo. O valor real de um bem desvalorizado: ( ) i FV PV REAL + = 1 O valor real de uma cédula de R$ 100,00 (cujo lançamento foi em julho de 1994) pode ser calculado, levando em conta que a inflação no período foi de 213%: ( ) 94 , 31 13 , 2 1 100 1 = + = + = i FV PV REAL Comumente os conceitos de depreciação e desconto são confundidos, ou seja, um determinado bem que tenha um valor nominal de R$ 100,00, depois de 20% de inflação em um certo período, calcula-se o valor real com sendo igual a R$ 80,00 ao invés de R$ 83,33. Calculando-se o valor real, teremos: ( ) 33 , 83 2 , 0 1 100 1 = + = + = i FV PV REAL No caso de um desconto, temos que, um determinado bem que tem seu valor estipulado em R$ 100,00 para pagamento após um determinado período, se a taxa de desconto por dentro for de 20% ao período acordado, o valor presente será: ( ) 00 , 80 2 , 0 1 100 ) . 1 ( = − = − = n d FV PV É importante que esta diferença conceitual fique bem clara. 6. JUROS COMPOSTOS Através da fórmula do reajuste salarial para taxas de reajuste igual, chegamos à expressão geral de juros compostos, apenas fazendo as seguintes transformações: Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 14 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = . ; ; r i S PV S FV r Com isso, temos: ( ) n i PV FV + = 1 É interessante notar a evolução do montante FV à medida que o número n de períodos cresce. Primeiramente vimos que, ao fazer o gráfico de FV x n, tendo PV fixo no tempo, temos uma evolução que pode ser registrada da seguinte forma: n FV (Juros Simples) FV (Juros Compostos) 0 PV PV 0 < n < 1 FV < PV FV > PV 1 PV ( 1 + i ) PV ( 1 + i ) 2 ( ) i PV 2 1+ ( ) ( ) 2 2 2 1 1 i i PV i PV + + = + 3 ( ) i PV 3 1+ ( ) 3 2 3 3 1 i i i PV + + + n ( ) n i PV . 1+ n i n n i n i n . ... . 2 . 1 1 2 | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + onde a fórmula geral é uma binomial com coeficientes dados por: ( )! ! ! k n k n k n − = | | ¹ | \ | A tabela e gráficos abaixo exemplificam a diferença entre a capitalização simples e a composta para uma aplicação na poupança no valor de R$ 1.000,00 ao longo de 3 anos. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 15 n Simples Compostos Diferença 1 1.010,00 1.010,00 0,00 2 1.020,00 1.020,10 0,10 3 1.030,00 1.030,30 0,30 4 1.040,00 1.040,60 0,60 5 1.050,00 1.051,01 1,01 6 1.060,00 1.061,52 1,52 7 1.070,00 1.072,14 2,14 8 1.080,00 1.082,86 2,86 9 1.090,00 1.093,69 3,69 10 1.100,00 1.104,62 4,62 11 1.110,00 1.115,67 5,67 12 1.120,00 1.126,83 6,83 13 1.130,00 1.138,09 8,09 14 1.140,00 1.149,47 9,47 15 1.150,00 1.160,97 10,97 16 1.160,00 1.172,58 12,58 17 1.170,00 1.184,30 14,30 18 1.180,00 1.196,15 16,15 19 1.190,00 1.208,11 18,11 20 1.200,00 1.220,19 20,19 21 1.210,00 1.232,39 22,39 22 1.220,00 1.244,72 24,72 23 1.230,00 1.257,16 27,16 24 1.240,00 1.269,73 29,73 25 1.250,00 1.282,43 32,43 26 1.260,00 1.295,26 35,26 27 1.270,00 1.308,21 38,21 28 1.280,00 1.321,29 41,29 29 1.290,00 1.334,50 44,50 30 1.300,00 1.347,85 47,85 31 1.310,00 1.361,33 51,33 32 1.320,00 1.374,94 54,94 33 1.330,00 1.388,69 58,69 34 1.340,00 1.402,58 62,58 35 1.350,00 1.416,60 66,60 36 1.360,00 1.430,77 70,77 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 16 6.1. TAXAS EQUIVALENTES PARA JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos, taxas equivalentes para distintos períodos de tempo perdem a linearidade observada no caso de juros simples. Dada a seguinte nomenclatura: - a i : taxa anual; - m i : taxa mensal; - t i : taxa trimestral; - d i : taxa diária, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) 360 4 12 1 1 1 1 d t m a i PV i PV i PV i PV FV + = + = + = + = . No caso genérico, temos que, dados p e q inteiros positivos, sempre existirá um I ∈ α tal que q p = α . Isto quer dizer que ( ) ( ) q q p p i i + = + 1 1 1.000,00 1.050,00 1.100,00 1.150,00 1.200,00 1.250,00 1.300,00 1.350,00 1.400,00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 Juros Simples Juros Compostos Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 17 6.2. DESCONTO A TAXAS DE JUROS COMPOSTOS Como no caso de juros simples, estamos procurando a taxa que, aplicada ao montante FV, proporciona o valor PV. ( ) ( ) n n d FV i FV PV − = + = 1 1 Assim, ficamos com: ( ) ( ) n n i d + = − 1 1 1 O que dá: i i d + = 1 Para o mesmo exemplo utilizado no caso de juros simples temos: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = 3 10000 . . % 10 n PV a a i ( ) 00 , 13310 1 , 0 1 10000 3 = + = FV A taxa de desconto será 0909 , 0 1 , 0 1 1 , 0 = + = d o que dá ( ) 00 , 13310 0909 , 0 1 10000 3 = − = FV 7. SÉRIES DE PAGAMENTOS Uma série de pagamentos é uma maneira de realizar fluxo de caixa rápida e eficiente, levando em conta resgates e aplicações periódicas, para as quais pode-se deduzir fórmulas gerais. Podemos ter vários conceitos de séries de pagamentos. Alguns são apresentados abaixo: - Séries finitas: o número de períodos de capitalização é finito; - Séries perpétuas: o número de períodos de capitalização é infinito; Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 18 - Séries anuais: o período de tempo de capitalização é o mesmo do pagamento das parcelas; - Séries periódicas: o período de tempo de capitalização difere do pagamento das parcelas. A série de pagamentos que é motivo deste curso é a uniforme, para fins de estudos de operações de curto prazo, podendo assumir qualquer uma das quatro classificações acima, A série uniforma é aquela na qual prestações têm um mesmo valor, representadas por PMT. No diagrama de fluxo de caixa, temos Se quisermos, a título de exemplo, calcular o montante FV após n períodos, quando se paga periodicamente prestações iguais a PMT a uma taxa de rentabilidade i, considerando capitalização composta. O montante dado da primeira prestação será: ( ) 1 1 1 − + = n i PMT FV Na segunda prestação: ( ) 2 2 1 − + = n i PMT FV Penúltima prestação: ( ) i PMT FV n + = − 1 1 Última: PMT FV n = Somando cada uma das parcelas: PMT 0 1 2 3 4 . . . n n - 1 n - 2 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 19 ( ) ( ) ( ) PMT i PMT i PMT i PMT FV n n + + + + + + + = − − 1 ... 1 1 2 1 Para calcular uma expressão genérica para FV, calculamos ( ) i FV + 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i PMT i PMT i PMT i PMT i FV n n + + + + + + + + = + − 1 1 ... 1 1 1 2 1 Subtraindo a última equação da penúltima, teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] i i PMT FV i PMT FV i i PMT i FV PMT i PMT FV i FV n n n n 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 − + = − + = − + = − + − + = − + Portanto, a fórmula geral para uma série de pagamentos é: ( ) [ ] i i PMT FV n 1 1 − + = Para o caso da relação de PV e PMT, temos então ( ) ( ) i i PMT i PV n n 1 1 1 − + = + o que dá ( ) ( ) n n i i i PMT PV + − + = 1 1 1 7.1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE (SAP) No modelo price, o financiamento é pago em prestações iguais, cada uma subdividida em duas parcelas: - Juros do período (calculados sobre o saldo da dívida no início do período); - Amortização do principal (correspondente ao pagamento parcial ou integral do principal e obtida a partir da diferença do valor prestação e o valor dos juros no período). Sendo PMT o valor da prestação, J o valor dos juros e A, a amortização, temos: A J PMT + = Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 20 Dessa maneira ao longo do tempo, os juros vão decrescendo ao passo que as amortizações vão crescendo, de tal modo que a soma dessas duas parcelas se mantenha sempre igual ao valor constante da prestação. Sendo assim, já identificando o valor da parcela a ser paga mensalmente, podemos calcular o valor da amortização. Já que parcela é igual aos juros mais amortização, podemos escrever que: n n n n A J A J A J A J PMT + = + = + = + = − − 1 1 2 2 1 1 ... Dado que o juro, para cada período, pode ser escrito da seguinte maneira: ( ) ( ) | | ¹ | \ | − = − − = − = = ∑ − = 1 1 1 2 3 1 2 1 . . . . . . . n j j n A PV i J A A PV i J A PV i J PV i J podemos derivar uma fórmula que relaciona uma parcela genérica de amortização r A com 1 A , a primeira parcela. Para tal, inicialmente, comecemos por encontrar a relação entre 1 A e 2 A . ( ) ( ) 1 . . 1 2 1 2 1 2 2 1 1 + = − + = + + = + i A A A PV i A PV i A J A J A Fazendo para 1 A e 3 A , já usando o resultado para 2 A ( ) 2 1 3 1 + = i A A Usando o princípio da indução, ficamos, para o termo genérico: Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 21 ( ) 1 1 1 − + = r r i A A De posse desta equação pode-se então construir uma tabela com todas as informações necessárias sobre a operação que envolve parcelas iguais de pagamento. Exemplo: Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 18.000,00, para ser pago em 12 parcelas iguais, com vencimento do 1º pagamento em 30 dias e periodicidade mensal de amortização e juros de 1,50% a.m. Então: a) Determine o valor da parcela a ser paga mensalmente; b) Determine o valor de cada parcela de juros a ser paga e o valor a ser amortizado mensalmente. Resolução: Para este caso, temos que PV = 18000, i = 1,5% a.m., n = 12 meses. O valor das parcelas é dado pela fórmula calculada acima: ( ) ( ) ( ) ( ) 24 , 1650 1 015 , 0 1 015 , 0 1 . 015 , 0 18000 1 1 1 12 12 = − + + = − + + = n n i i i PV PMT Vamos calcular a primeira parcela de amortização: 24 , 1380 18000 ). 015 . 0 ( 24 , 1650 . 1 1 1 = − = − = − = PV i PMT J PMT A Com a fórmula de recorrência encontrada acima, podemos escrever a tabela Price para o cliente: Parcela Valor da Parcela Juros Amortização Saldo Devedor 1 R$ 1.650,24 R$ 270,00 R$ 1.380,24 R$ 16.619,76 2 R$ 1.650,24 R$ 249,30 R$ 1.400,94 R$ 15.218,82 3 R$ 1.650,24 R$ 228,28 R$ 1.421,96 R$ 13.796,86 4 R$ 1.650,24 R$ 206,95 R$ 1.443,29 R$ 12.353,57 5 R$ 1.650,24 R$ 185,30 R$ 1.464,94 R$ 10.888,64 6 R$ 1.650,24 R$ 163,33 R$ 1.486,91 R$ 9.401,72 7 R$ 1.650,24 R$ 141,03 R$ 1.509,21 R$ 7.892,51 8 R$ 1.650,24 R$ 118,39 R$ 1.531,85 R$ 6.360,66 9 R$ 1.650,24 R$ 95,41 R$ 1.554,83 R$ 4.805,83 10 R$ 1.650,24 R$ 72,09 R$ 1.578,15 R$ 3.227,68 11 R$ 1.650,24 R$ 48,42 R$ 1.601,82 R$ 1.625,85 12 R$ 1.650,24 R$ 24,39 R$ 1.625,85 R$ 0,00 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 22 7.2. Sistema de Amortização Constante (SAC) No modelo SAC, as amortizações são iguais. Neste caso, utilizando a mesma nomenclatura utilizada anteriormente, teremos as seguintes relações: n n J PMT J PMT J PMT A − = = − = − = ... 2 2 1 1 As expressões para os juros continuam sendo iguais, já que sempre estão relacionadas ao saldo devedor: ( ) ( ) | ¹ | \ | − = − − = − = = ∑ − = 1 1 2 1 3 1 2 1 . ... . . . n k k n A PV i J A A PV i J A PV i J PV i J Agora vamos encontrar uma expressão que relacione a k-ésima parcela PMT à primeira, utilizando as igualdades existentes para a amortização. Usando a igualdade para a primeira e segunda parcelas: ( ) 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 . . . A i PMT PMT A PV i PMT PV i PMT J PMT J PMT − = − − = − − = − Fazendo agora para o k-ésimo e o primeiro termos, temos: ( ) ( ) A k i PMT PMT A k i PV i PMT PV i PMT A PV i PMT PV i PMT J PMT J PMT k k k j j k k k . 1 . . 1 . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 − − = − + − = − | | ¹ | \ | − − = − − = − ∑ − = Como a amortização A é constante, temos: Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 23 n PV A = Vamos voltar ao exemplo do caso SAP, apenas a título de comparação. Exemplo: Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 18.000,00, para ser pago em 12 parcelas iguais, com vencimento do 1º pagamento em 30 dias e periodicidade mensal de amortização e juros de 1,50% a.m. Então: a) Determine o valor da parcela a ser paga mensalmente; b) Determine o valor de cada parcela de juros a ser paga e o valor a ser amortizado mensalmente. Resolução: De novo, temos que PV = 18000, i = 1,5% a.m., n = 12 meses. O valor da amortização será: 1500 12 18000 = = = n PV A Os juros da primeira parcela vão ser: 270 18000 . 015 , 0 . 1 = = = PV i J o que resulta em uma primeira parcela de: 1770 270 1500 1 1 1 = + = + = A J PMT Utilizando as fórmulas de recorrência para os juros e para as parcelas, chegamos então à seguinte tabela: Parcela Valor da Parcela Juros Amortização Saldo Devedor 1 R$ 1.750,00 R$ 270,00 R$ 1.500,00 R$ 16.500,00 2 R$ 1.747,50 R$ 247,50 R$ 1.500,00 R$ 15.000,00 3 R$ 1.725,00 R$ 225,00 R$ 1.500,00 R$ 13.500,00 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 24 4 R$ 1.702,50 R$ 202,50 R$ 1.500,00 R$ 12.000,00 5 R$ 1.680,00 R$ 180,00 R$ 1.500,00 R$ 10,500,00 6 R$ 1.657,50 R$ 157,50 R$ 1.500,00 R$ 9.000,00 7 R$ 1.635,00 R$ 135,00 R$ 1.500,00 R$ 7.500,00 8 R$ 1.612,50 R$ 112,50 R$ 1.500,00 R$ 6.000,00 9 R$ 1.590,00 R$ 90,00 R$ 1.500,00 R$ 4.500,00 10 R$ 1.567,50 R$ 67,50 R$ 1.500,00 R$ 3.000,00 11 R$ 1.545,00 R$ 45,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 12 R$ 1.522,50 R$ 22,50 R$ 1.500,00 R$ 0,00 7.3. Carência O conceito de carência é utilizado quando se é dado contratualmente ao tomador do empréstimo a possibilidade de protelar o início da amortização por um determinado número de períodos. Com a atual dinâmica do mercado de empréstimos, há uma gama enorme de produtos que prevêem esse tipo de carência, cada um com uma característica específica. Aqui será discutido três casos, que, certamente, não são exaustivos no que tange ao universo de possibilidades de ofertas reais. São eles: a) Quando é dado ao cliente a possibilidade de pagar apenas os juros relativos ao saldo devedor durante o período de carência; b) Quando o cliente paga todos os juros do saldo devedor no primeiro mês posterior ao término da carência; c) Quando o cliente pulveriza os juros do período de carência ao longo da série de pagamentos da amortização. Vamos estudar estes três casos sob a luz dos dois sistemas estudados anteriormente: SAP e SAC. 7.3.1. Carência no SAP Voltando ao exemplo anterior, pode-se modificá-lo para estudarmos a carência. Exemplo: Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 18.000,00, para ser pago em 16 meses, com carência de 4 meses e vencimento do 1º pagamento no início do 5º, com parcelas iguais e periodicidade mensal de amortização e juros de 1,50% a.m. Monte a tabela de pagamentos para os casos a seguir: a) O cliente paga os juros do saldo devedor durante o período de carência; b) O cliente não paga nada durante o período de carência e paga todos os juros deste período no primeiro mês de amortização; c) O cliente divide os juros do período de carência entre as demais parcelas, a partir da quinta. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 25 Resolução: Vamos diretamente às tabelas que esclarecem o fluxo. a) O cliente paga os juros do saldo devedor durante o período de carência. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor Juros Acumulados da Amortização 1 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,00 2 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,00 3 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,00 4 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,00 5 R$ 1.650,24 R$ 270,00 R$ 1.380,24 R$ 16.619,76 R$ 0,00 6 R$ 1.650,24 R$ 249,30 R$ 1.400,94 R$ 15.218,82 R$ 0,00 7 R$ 1.650,24 R$ 228,28 R$ 1.421,96 R$ 13.796,86 R$ 0,00 8 R$ 1.650,24 R$ 206,95 R$ 1.443,29 R$ 12.353,57 R$ 0,00 9 R$ 1.650,24 R$ 185,30 R$ 1.464,94 R$ 10.888,64 R$ 0,00 10 R$ 1.650,24 R$ 163,33 R$ 1.486,91 R$ 9.401,72 R$ 0,00 11 R$ 1.650,24 R$ 141,03 R$ 1.509,21 R$ 7.892,51 R$ 0,00 12 R$ 1.650,24 R$ 118,39 R$ 1.531,85 R$ 6.360,66 R$ 0,00 13 R$ 1.650,24 R$ 95,41 R$ 1.554,83 R$ 4.805,83 R$ 0,00 14 R$ 1.650,24 R$ 72,09 R$ 1.578,15 R$ 3.227,68 R$ 0,00 15 R$ 1.650,24 R$ 48,42 R$ 1.601,82 R$ 1.625,85 R$ 0,00 16 R$ 1.650,24 R$ 24,39 R$ 1.625,85 R$ 0,00 R$ 0,00 b) O cliente não paga nada durante o período de carência e paga todos os juros deste período no primeiro mês de amortização. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor Juros Acumulados da Amortização 1 R$ 0,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 270,00 2 R$ 0,00 R$ 274,05 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 544,05 3 R$ 0,00 R$ 278,16 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 822,21 4 R$ 0,00 R$ 282,33 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 1.104,54 5 R$ 2.754,78 R$ 1.374,54 R$ 1.380,24 R$ 16.619,76 R$ 0,00 6 R$ 1.650,24 R$ 249,30 R$ 1.400,94 R$ 15.218,82 R$ 0,00 7 R$ 1.650,24 R$ 228,28 R$ 1.421,96 R$ 13.796,86 R$ 0,00 8 R$ 1.650,24 R$ 206,95 R$ 1.443,29 R$ 12.353,57 R$ 0,00 9 R$ 1.650,24 R$ 185,30 R$ 1.464,94 R$ 10.888,64 R$ 0,00 10 R$ 1.650,24 R$ 163,33 R$ 1.486,91 R$ 9.401,72 R$ 0,00 11 R$ 1.650,24 R$ 141,03 R$ 1.509,21 R$ 7.892,51 R$ 0,00 12 R$ 1.650,24 R$ 118,39 R$ 1.531,85 R$ 6.360,66 R$ 0,00 13 R$ 1.650,24 R$ 95,41 R$ 1.554,83 R$ 4.805,83 R$ 0,00 14 R$ 1.650,24 R$ 72,09 R$ 1.578,15 R$ 3.227,68 R$ 0,00 15 R$ 1.650,24 R$ 48,42 R$ 1.601,82 R$ 1.625,85 R$ 0,00 16 R$ 1.650,24 R$ 24,39 R$ 1.625,85 R$ 0,00 R$ 0,00 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 26 c) O cliente divide os juros do período de carência entre as demais parcelas, a partir da quinta. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor Juros Acumulados da Amortização 1 R$ 0,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.270,00 R$ 0,00 2 R$ 0,00 R$ 274,05 R$ 0,00 R$ 18.544,05 R$ 0,00 3 R$ 0,00 R$ 278,16 R$ 0,00 R$ 18.822,21 R$ 0,00 4 R$ 0,00 R$ 282,33 R$ 0,00 R$ 19.104,54 R$ 0,00 5 R$ 1.751,50 R$ 286,57 R$ 1.464,94 R$ 17.639,61 R$ 0,00 6 R$ 1.751,50 R$ 264,59 R$ 1.486,91 R$ 16.152,70 R$ 0,00 7 R$ 1.751,50 R$ 242,29 R$ 1.509,21 R$ 14.643,48 R$ 0,00 8 R$ 1.751,50 R$ 219,65 R$ 1.531,85 R$ 13.111,63 R$ 0,00 9 R$ 1.751,50 R$ 196,67 R$ 1.554,83 R$ 11.556,80 R$ 0,00 10 R$ 1.751,50 R$ 173,35 R$ 1.578,15 R$ 9.978,65 R$ 0,00 11 R$ 1.751,50 R$ 149,68 R$ 1.601,82 R$ 8.376,82 R$ 0,00 12 R$ 1.751,50 R$ 125,65 R$ 1.625,85 R$ 6.750,97 R$ 0,00 13 R$ 1.751,50 R$ 101,26 R$ 1.650,24 R$ 5.100,73 R$ 0,00 14 R$ 1.751,50 R$ 76,51 R$ 1.674,99 R$ 3.425,74 R$ 0,00 15 R$ 1.751,50 R$ 51,39 R$ 1.700,12 R$ 1.725,62 R$ 0,00 16 R$ 1.751,50 R$ 25,88 R$ 1.725,62 R$ 0,00 R$ 0,00 7.3.2. Carência no SAC Utilizando o mesmo exemplo e modalidades de carência utilizadas anteriormente, temos: a) O cliente paga os juros do saldo devedor durante o período de carência. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor Juros Acumulados da Amortização 1 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,00 2 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,00 3 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,00 4 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 0,00 5 R$ 1.770,00 R$ 270,00 R$ 1.500,00 R$ 16.500,00 R$ 0,00 6 R$ 1.747,50 R$ 247,50 R$ 1.500,00 R$ 15.000,00 R$ 0,00 7 R$ 1.725,00 R$ 225,00 R$ 1.500,00 R$ 13.500,00 R$ 0,00 8 R$ 1.702,50 R$ 202,50 R$ 1.500,00 R$ 12.000,00 R$ 0,00 9 R$ 1.680,00 R$ 180,00 R$ 1.500,00 R$ 10.500,00 R$ 0,00 10 R$ 1.657,50 R$ 157,50 R$ 1.500,00 R$ 9.000,00 R$ 0,00 11 R$ 1.635,00 R$ 135,00 R$ 1.500,00 R$ 7.500,00 R$ 0,00 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 27 12 R$ 1.612,50 R$ 112,50 R$ 1.500,00 R$ 6.000,00 R$ 0,00 13 R$ 1.590,00 R$ 90,00 R$ 1.500,00 R$ 4.500,00 R$ 0,00 14 R$ 1.567,50 R$ 67,50 R$ 1.500,00 R$ 3.000,00 R$ 0,00 15 R$ 1.545,00 R$ 45,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 0,00 16 R$ 1.522,50 R$ 22,50 R$ 1.500,00 R$ 0,00 R$ 0,00 b) O cliente não paga nada durante o período de carência e paga todos os juros deste período no primeiro mês de amortização. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor Juros Acumulados da Amortização 1 R$ 0,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 270,00 2 R$ 0,00 R$ 274,05 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 544,05 3 R$ 0,00 R$ 278,16 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 822,21 4 R$ 0,00 R$ 282,33 R$ 0,00 R$ 18.000,00 R$ 1.104,54 5 R$ 2.874,54 R$ 1.374,54 R$ 1.500,00 R$ 16.500,00 R$ 0,00 6 R$ 1.747,50 R$ 247,50 R$ 1.500,00 R$ 15.000,00 R$ 0,00 7 R$ 1.725,00 R$ 225,00 R$ 1.500,00 R$ 13.500,00 R$ 0,00 8 R$ 1.702,50 R$ 202,50 R$ 1.500,00 R$ 12.000,00 R$ 0,00 9 R$ 1.680,00 R$ 180,00 R$ 1.500,00 R$ 10.500,00 R$ 0,00 10 R$ 1.657,50 R$ 157,50 R$ 1.500,00 R$ 9.000,00 R$ 0,00 11 R$ 1.635,00 R$ 135,00 R$ 1.500,00 R$ 7.500,00 R$ 0,00 12 R$ 1.612,50 R$ 112,50 R$ 1.500,00 R$ 6.000,00 R$ 0,00 13 R$ 1.590,00 R$ 90,00 R$ 1.500,00 R$ 4.500,00 R$ 0,00 14 R$ 1.567,50 R$ 67,50 R$ 1.500,00 R$ 3.000,00 R$ 0,00 15 R$ 1.545,00 R$ 45,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 0,00 16 R$ 1.522,50 R$ 22,50 R$ 1.500,00 R$ 0,00 R$ 0,00 c) O cliente divide os juros do período de carência entre as demais parcelas, a partir da quinta. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor Juros Acumulados da Amortização 1 R$ 0,00 R$ 270,00 R$ 0,00 R$ 18.270,00 R$ 0,00 2 R$ 0,00 R$ 274,05 R$ 0,00 R$ 18.544,05 R$ 0,00 3 R$ 0,00 R$ 278,16 R$ 0,00 R$ 18.822,21 R$ 0,00 4 R$ 0,00 R$ 282,33 R$ 0,00 R$ 19.104,54 R$ 0,00 5 R$ 1.878,61 R$ 286,57 R$ 1.592,05 R$ 17.512,50 R$ 0,00 6 R$ 1.854,73 R$ 262,69 R$ 1.592,05 R$ 15.920,45 R$ 0,00 7 R$ 1.830,85 R$ 238,81 R$ 1.592,05 R$ 14.328,41 R$ 0,00 8 R$ 1.806,97 R$ 214,93 R$ 1.592,05 R$ 12.736,36 R$ 0,00 9 R$ 1.783,09 R$ 191,05 R$ 1.592,05 R$ 11.144,32 R$ 0,00 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 28 10 R$ 1.759,21 R$ 167,16 R$ 1.592,05 R$ 9.552,27 R$ 0,00 11 R$ 1.735,33 R$ 143,28 R$ 1.592,05 R$ 7.960,23 R$ 0,00 12 R$ 1.711,45 R$ 119,40 R$ 1.592,05 R$ 6.368,18 R$ 0,00 13 R$ 1.687,57 R$ 95,52 R$ 1.592,05 R$ 4.776,14 R$ 0,00 14 R$ 1.663,69 R$ 71,64 R$ 1.592,05 R$ 3.184,09 R$ 0,00 15 R$ 1.639,81 R$ 47,76 R$ 1.592,05 R$ 1.592,05 R$ 0,00 16 R$ 1.615,93 R$ 23,88 R$ 1.592,05 R$ 0,00 R$ 0,00 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 29 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Uma pessoa aplicou em um instituição financeira R$ 18.000,00 resgatando R$ 21.456,00 quatro meses depois. Calcule a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação. Resolução: PV = 18000 FV = 21456 N = 4 meses i = ? ( ) ( ) 048 , 0 4 192 , 0 4 1 18000 21456 . 1 = = + = + = i i n i PV FV Portanto, a taxa é de 4,8 % a. m. 2) Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: - R$ 35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses; - R$ 65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-se em uma conta de poupança que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta. Resolução: i = 66% a. a. = 66/12 a. m. = 5,5 % a. m. 31 , 81023 5 055 , 0 1 65000 3 055 , 0 1 35000 = + + + = x x PV A pessoa, depositando hoje R$ 81.023,31 numa poupança que paga 5,5 % ao mês de juros simples, terá condições, com este capital aplicado, de resgatar suas dívidas nas respectivas datas de vencimento. Logo, ao capitalizar o capital aplicado para os momentos 3 e 5, o resultado registrado deve ser igual ao valor dos pagamentos, isto é: Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 30 Momento 3 = 81023,31 x ( 1 + 0,055 x 3 ) = 94392,16 – 35000 = 59392,16 Momento 5 = 59392,16 x ( 1 + 0,055 x 2) = 65925,30 – 65000 = 925,30 O saldo remanescente de R$ 925,30 é devido à capitalização dos juros, procedimento incorreto no regime linear. Em juros simples, o prazo da operação não pode ser fracionado, originando-se daí a diferença encontrada. 3) Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 2,2 % ao mês? Resolução: PV = 1 FV = 2 Mantida a proporção, pode-se atribuir qualquer valor a PV e FV. i = 2,2 % a. m. n = ? Utilizando-se a fórmula básica: ( ) ( ) 85 , 31 009451 , 0 301030 , 0 022 , 1 log 2 log 022 , 1 2 1 = = = = + = n i PV FV n n Ou seja, o capital dobra após 31 meses e 26 dias. 4) Calcular a taxa efetiva anual equivalente às seguintes taxas: a) 2,5 % a. m. b) 4 % a. b. c) 6 % a. t. d) 10 % a. s. Resolução: ( ) ( ) ( ) ( ) a a i a a i a a i a a i . % 0 , 21 1 10 , 0 1 . % 25 , 26 1 06 , 0 1 . % 53 , 26 1 04 , 0 1 . . % 49 , 34 1 025 , 0 1 2 12 4 12 6 12 12 12 = − + = = − + = = − + = = − + = Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 31 5) Para uma taxa de juros de 7% ao mês, qual das duas alternativas de pagamento apresenta menor custo para o devedor: a) Pagamento integral de R$ 140.000,00 a vista (na data zero); b) R$ 30.000,00 de entrada, R$ 40.000,00 em 60 dias e R$ 104.368,56 em 120 dias. Resolução: O problema pode ser solucionado calculando-se PV das duas alternativas à taxa de 7% ao mês. A alternativa que apresentar o maior valor presente é a que tem a maior custo, isto é: a) PV = 140000; b) ( ) ( ) 82 , 144559 27 , 79622 55 , 34937 30000 07 , 1 56 , 104368 07 , 1 40000 30000 4 2 = + + = + + = PV A alternativa de pagamento b) com maior valor presente, apresenta um custo superior a 7% ao mês, sendo portanto a mais onerosa. O custo (taxa percentual) da alternativa b) em relação ao pagamento a vista é calculado pelo conceito da taxa interna de retorno. Em verdade, deseja-se saber a taxa de juros que iguala o PV da alternativa b) ao valor do pagamento a vista. Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 9488 , 0 1 3636 , 0 1 56 , 104368 1 40000 1 110000 1 56 , 104368 1 40000 110000 1 56 , 104368 1 40000 30000 140000 2 4 2 4 4 2 4 2 = − + − + + + = + + + + = + + + + = i i i i i i i i Esta é uma equação quadrática em ( ) 2 1 + = i x . Chamando os coeficientes de a, b e c, teremos ( ) 0829 , 0 172684 , 1 2 9488 , 0 . 4 3636 , 0 3636 , 0 1 2 4 2 2 2 = = + + = + − ± − = i i a ac b b x Logo, a taxa que representa o custo mensal efetivo das condições de pagamento é 8,3 % ao mês. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 32 EXERCÍCIOS 1. Dado que a taxa livre de risco de uma dada operação de crédito é de 1,35% a. m., a inflação acumulada esperada desde o momento de concessão do crédito até data de pagamento total do empréstimo é de 4,83%. Supondo os demais prêmios iguais à unidade, qual será a taxa aplicada para esta operação? 2. Um estudo com mil clientes enquadrados em um determinado perfil sócio-econômico de um banco indicou 28 mal pagadores. Qual o prêmio de risco de inadimplência que a empresa provavelmente está utilizando em empréstimos para novos clientes deste mesmo perfil? 3. Uma dívida contraída à taxa de juros simples de 10% ao mês, deverá ser paga em duas parcelas, respectivamente iguais a R$ 126,00, daqui a 4 meses, e R$ 192,00, daqui a 6 meses. Caso essa mesma dívida fosse paga em duas parcelas iguais, uma daqui a 4 meses, e a outra daqui a 6 meses, qual seria a diferença entre as somas dos valores pagos em cada caso? 4. Dado que a inflação de acumulada do primeiro semestre de um determinado ano foi de 2,1 % qual deverá ser a taxa de inflação do segundo semestre para que um reajuste salarial de 3.5 % seja justo? 5. Derive uma fórmula para o ganho salarial em termos das taxas de inflação e reajuste salarial. 6. A taxa de recomposição salarial para uma determinada categoria trabalhista é de 1,41%. Se a taxa de inflação no período foi de 5,4%, qual a taxa de reajuste salarial que o setor empresarial forneceu? 7. Elabore um modelo para medir a inflação da sua família ao longo de um ano, levando em consideração a representatividade de pelo menos 50% da renda mensal familiar. 8. Calcule o juro final como porcentagem do capital inicial aplicado a uma taxa de juros simples de 24% ao ano, com capitalização mensal em um prazo de dezoito meses. 9. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. 10. Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10 % a.m. Construir a planilha financeira de amortização da dívida. 11. Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10 % a.m., pagando-se as prestações 3 e 4 junto com a 2ª. Construir a planilha financeira de amortização da dívida. 12. Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 será amortizado pelo SAP ( Sistema Francês ) no prazo de 2 anos, em prestações mensais, à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Determine o valor das prestações, os juros pagos na 1ª prestação, a 1ª quota de amortização, a 15ª quinta quota de amortização, os juros pagos na 20ª prestação, o saldo devedor após o pagamento da 22ª prestação. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 33 13. Um cliente de cartão de crédito decidiu parcelar uma dívida de R$ 3000,00, fazendo o pagamento mínimo de R$ 298,00, sugerido pela operadora. Sabendo que as prestações são iguais e que a taxa da transação é de 12,20% a.m., calcule quanto tempo o cliente levará para saldar a dívida. 14. Uma dívida de R$ 6.500,00 será amortizada via SAP em 4 prestações mensais, a uma taxa de juros de 10% a.m. vencendo a 1ª prestação 150 dias após a liberação do empréstimo. Construir a planilha de amortização, sabendo que, durante a carência, apenas os juros são pagos. 15. Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi contraído via SAC em 5 prestações mensais à taxa de 10% a.m. Construir a planilha financeira de amortização da dívida. 16. Refazer o exercício nº 10 utilizando SAC. 17. Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. Sendo a taxa de juros da operação de 4% a.m., determinar o valor das amortizações mensais, o valor dos juros e da prestação referente ao 22º pagamento, o valor da última prestação e o saldo devedor após o pagamento da 10ª prestação. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 34 8. TRIBUTOS Os tributos compõem toda a renda governamental que o país arrecada, seja por meio direto, ou seja, quando se tributa diretamente o contribuinte, através do imposto de renda, seja por meio indireto, através da taxação de mercadorias e serviços. Os tributos podem ser divididos em três diferentes conceitos: impostos, taxas e contribuições. As taxas geralmente têm esfera municipal e estão ligadas a um serviço específico oferecido pela prefeitura (por exemplo, a taxa do gás, a taxa de incêndio, etc). Os impostos não têm uma destinação específica nos cofres do governo. Esta arrecadação pode ser alocada livremente dentro do orçamento da União. Já as contribuições possuem uma destinação específica, e servem, geralmente para a construção de fundos constituídos com objetivos definidos (como o FAT – Fundo de Amparo ao Trabalhador – por exemplo, que financia a casa própria). A seguir há uma descrição bastante sucinta de alguns tributos importantes e que, de alguma maneira, permeiam a vida cotidiana e o mundo da matemática financeira: PIS / COFINS – Programa de Integração Social / Contribuição Social para o Financiamento da Seguridade Social: incide sobre o faturamento mensal, assim considerando a receita bruta das vendas de mercadorias, de mercadorias e serviços e serviços de qualquer natureza. CSSL – Contribuição Social sobre o Lucro Líquido: percentual da receita bruta anual ou mensal da venda de bens nas atividades comerciais, industriais, serviços hospitalares e de transporte. IOF – Imposto sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguro, ou Relativas: incide sobre operações de crédito realizadas por instituições financeiras ou similares, de pessoa jurídica a pessoa jurídica, de pessoa física a pessoa física e de pessoa jurídica a pessoa física. Atualmente, este imposto está em 0,0041% para transações envolvendo pessoas físicas (PF – PF e PF – PJ) e 0,0082% para transações financeiras envolvendo pessoas jurídicas (PJ – PJ). ICMS – Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços: este é um imposto estadual e que possui uma grande importância para o orçamento dos governos estaduais. Há alíquotas diferenciadas para cada produto, baseando-se na NCM (Nomenclatura Comum do Mercosul, classificação internacional utilizada em todos os países que compõem o mercado comum do cone sul e que serve como base para as transações entre estes países) além também de haver diferenciação para cada estado. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 35 O ICMS é um dos pivôs da chamada “guerra fiscal”, que é a disputa que os estados brasileiros vêm travando na obtenção de recursos industriais quando empresas multinacionais revelam suas intenções de instalar novas plantas em território nacional. Como o governo estadual tem o poder de modificar as alíquotas dos produtos, os governantes podem, para atrair a instalação da indústria para seu estado, 9. SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL O Sistema Financeiro Nacional possui uma estrutura baseada em conselhos. Estes conselhos são as entidades máximas que separam a dinâmica financeira em três partes, segundo o critério do uso do dinheiro: o uso monetário, a seguridade privada e a previdência complementar. Dessa maneira pode-se desenhar a estrutura do SFN da seguinte forma (dando maior ênfase ao uso monetário): O Banco Central, através do Comitê de Política Monetária (COPOM) é responsável por ordenar por dar diretrizes básicas da economia. A principal tarefa do COPOM é determinar a meta da taxa Conselho Monetário Nacional (CMN) Banco Central (BC) Comissão de Valores Mobiliários (CMN) Operadores Outras instituições Bolsa de Mercadorias & Futuros (BMF) Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa) Conselho Nacional de Seguros Privados (CMN) Superintendência de Seguros Privados (Susep) Conselho de Gestão da Previdência Complementar Secretaria de Previdência Complementar (SPC) Entidades Fechadas de Previdência Complementar Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 36 SELIC. A taxa SELIC é a taxa de financiamento no mercado interbancário para operações de um dia, ou overnight, que possuem lastro em títulos públicos federais, títulos estes que são listados e negociados no Sistema Especial de Liquidação e Custódia, o SELIC. Assim, como o risco final da transação acaba sendo efetivamente o do governo, pois seus títulos servem de lastro para a operação e o prazo é o mais curto possível, esta taxa acaba servindo de referência para todas as demais taxas de juros da economia. Em situações normais, a SELIC é a taxa mais baixa, o que, porém, não ocorre sempre. De forma geral, quanto maior o prazo, maior o risco e, portanto, maior a taxa. Para tentar entender um pouco do mecanismo, vamos supor que o governo baixe a meta da SELIC. Acontecendo isso, todas as operações bancárias feitas com o governo lastreadas na SELIC perdem rentabilidade. Torna-se, então, interessante aos bancos emprestar dinheiro no mercado privado. Aumentando a oferta de moeda, caem as taxa de juros de produtos bancários, como o cartão de crédito e o cheque especial. No Brasil, por questões históricas, o spread bancário, que é a diferença entre os juros que os bancos pagam para captar dinheiro e os juros cobrados de quem toma empréstimos dos bancos, é muito alto. Estima-se que, para o caso nacional, uma redução de um ponto percentual na SELIC acarreta em uma queda de 0,4% nas taxas de juros bancárias. No caso de fundo de renda fixa, os efeitos da redução da SELIC são mais diretos, pois boa parte destes fundos é investida em papéis pós-fixados, ou seja, que seguem a rentabilidade da SELIC. Assim, um corte na SELIC irá necessariamente reduzir a rentabilidade dos referidos fundos. A taxa apurada no SELIC é obtida mediante o cálculo da taxa média ponderada e ajustada nas operações de financiamento por um dia, na forma de operações compromissadas, que são operações de venda de títulos com compromisso de recompra assumido pelo vendedor, concomitantemente. A equação para a taxa SELIC, S T , é: j N j j S V L T ∑ = = 1 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 37 onde j L e j V são, respectivamente, o fator diário e o valor financeiro correspondentes à taxa da j- ésima operação. A amostra é constituída excluindo-se do universo as operações atípicas, assim consideradas: - Para distribuição simétrica 2,5% das operações com os maiores fatores diários e 2,5% com menores fatores diários; - Para distribuição assimétrica positiva: 5% das operações com maiores fatores; - Para distribuição assimétrica negativa: 5% das operações com menores fatores. 9.1 TAXAS DE JUROS DO SISTEMA FINANCEIRO - TR (Taxa Referencial): A TR foi criada para ser uma taxa básica referencial dos juros a serem praticados no mês vigente, e não reflexo do mês anterior. Indexadora oficial dos contratos com prazo superior a 90 dias, contudo, ela também remunera a caderneta de poupança. A TR é calculada e divulgada pelo Banco Central diariamente, em função do volume de captação de CDBs e RDBs; - TBF (Taxa Básica Financeira): A TBF foi criada com o intuito de alongar o perfil das aplicações em títulos, através de uma remuneração superior à TR. Sua remuneração é calculada pelo somatório de captação de depósitos a prazo das 30 maiores instituições financeiras do país, pelo período de um semestre. É divulgada diariamente pelo Banco Central; -TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo): A TJLP, como o próprio nome indica, tem a finalidade de estimular investimentos de longo prazo, como dos setores de infra-estrutura e de consumo. Sua remuneração, crescente, é resultado da média ponderada entre inflação (IPCA) e o Risco-Brasil, que é um índice que mede o risco de investir no país. Esta taxa remunera o FAT (Fundo de Amparo ao Trabalhador), PIS / PASEP, e algumas linhas de crédito do BNDES (como o Finame e Finem) 10. JUROS BANCÁRIOS Depois de termos estudado as taxas de juros oficiais e seus mecanismos, vamos estudar brevemente como estas taxas se relacionam com os juros praticados pelos bancos para o cliente final e quais são as taxas efetivas que estes praticam. 10.1. CUSTO EFETIVO Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 38 Quando da obtenção de alguma operação que envolva a concessão de crédito ao cliente (seguros, empréstimos, limite do cheque especial), é comum que a instituição financeira inclua alguns custos adicionais, além daquele representado pela taxa de juros efetivamente explicitada. A mais comum é a taxa de abertura de crédito (TAC). Esta taxa de crédito, cobrada no momento da liberação dos recursos, eleva o percentual de juros cobrados efetivamente. O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida (cheque especial), por exemplo, pode ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal: O custo efetivo final será a taxa interna de retorno deste fluxo de entradas e saídas de caixa. Por exemplo, suponha uma conta garantida que cobre juros de 2,6% a.m., debitados mensalmente, e uma TAC de 1,5%. Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida tenha sido contratada por: a) 30 dias; b) 60 dias; c) 90 dias. Assim, para um prazo de 30 dias, tem-se: a) Calculando o custo efetivo para 30 dias: ( ) 6 , 102 1 5 , 98 = + i % 16 , 4 = i a. m. Juros Juros Juros TAC . . . Limite da conta: 100,00 TAC: 1,50 Crédito liberado: 98,50 Juros: 2,60 Limite: 100,00 Total: 102,60 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 39 Observe que a comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias de 2,6% a. m. para 4,16% a. m. b) Considere o fluxo de 60 dias: Para este fluxo, deve-se resolver a seguinte equação: ( ) ( ) 2 1 60 , 102 1 60 , 2 50 , 98 i i + + + = Resolvendo-se: i = 3,39% a. m. c) Para 90 dias: ( ) ( ) ( ) 3 2 1 60 , 102 1 60 , 2 1 60 , 2 50 , 98 i i i + + + + + = i = 3,13% a. m. O custo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida. Este comportamento é explicado pela maior diluição da TAC cobrada, uma única vez, no ato de liberação do crédito, pelos meses seguintes. 10.2. CONTA GARANTIDA Conta garantida é o nome que se dá à conta corrente que possui atrelada a ela um limite de cheque especial. Representa, em outras palavras, uma conta de saldo devedor, em que o cliente saca a descoberto e os juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado. Limite da conta: 100,00 TAC: 1,50 Crédito liberado: 98,50 Juros: 2,60 Limite: 100,00 Total: 102,60 Juros: 2,60 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 40 A determinação dos saldos devedores se faz por meio do método hamburguês. Vejamos um exemplo: EXEMPLO: Admita uma conta garantida com limite de R$ 5000,00 contratada por dois meses e aberta no dia 15/01. Os encargos financeiros fixados para a operação são juros nominais de 3,9% ao mês, debitados ao final de cada mês, e uma taxa de abertura de crédito (TAC) de 2% cobrada no ato e incidente sobre o limite. Sabe-se que no período da operação foram realizadas as seguintes movimentações na conta garantida: Mês 1: Dia 15 – saque de R$ 250,00; Dia 20 – saque de R$ 100,00; Mês 2: Dia 01 – saque de R$ 50,00; Dia 10 – depósito de R$ 40,00; Dia 18 – saque de R$ 35,00; Dia 22 – saque de R$ 50,00 O resultado da movimentação para o mês 1 se encontra o quadro abaixo: DATA HISTÓRICO D / C SALDO DEVEDOR (SD) NUM DIAS (D) SD X D 15-01 TAC 100,00 (D) 100,00 15-01 SAQUE 250,00 (D) 350,00 5 1750,00 20-01 SAQUE 100,00 (D) 450,00 7 4950,00 31-01 JUROS 8,71 (D) 458,71 Os juros são calculados da seguinte forma: ( ) 71 , 8 4950 00 , 1750 30 039 , 0 = + = = ∑ Juros Juros D SD i Juros j j j Da mesma maneira, temos a movimentação do mês 2: Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 41 DATA HISTÓRICO D / C SALDO DEVEDOR (SD) NUM DIAS (D) SD X D 01-02 SAQUE 50,00 (D) 508,71 9 4578,39 10-02 DEPÓSITO 40,00 (C) 468,71 8 3749,68 18-02 SAQUE 35,00 (D) 503,71 4 2014,84 22-02 SAQUE 50,00 (D) 553,71 8 4429,68 30-01 JUROS 19,20 (D) 572,91 ( ) 20 , 19 68 , 4429 84 , 2014 68 , 3749 39 , 4578 30 039 , 0 = + + + = = ∑ Juros Juros D SD i Juros j j j 10.3. TAXA DE JUROS DO CHEQUE ESPECIAL É tradição no Brasil a taxa de juros do cheque especial ser muito alta, se compararmos à taxa de juros de empréstimos pessoais. Este comportamento é contra-intuitivo, pois, mesmo que o correntista detenha aplicações financeiras junto a sua instituição bancária, quer em fundos, em depósitos de poupança ou certificados de depósito bancário, a taxa do cheque especial não muda para ele, continuando muito elevada, apesar do risco de crédito ser quase nulo nesta situação. Para ilustrar um modelo que aponta uma razão para esta questão, suponha um correntista assalariado que recebe R$ 100,00. Vamos supor que, inicialmente, só exista uma linha de crédito de empréstimo pessoal com o prazo mínimo de um mês e que a liquidação do principal e dos juros dessa linha seja feita na data final do empréstimo. Suponha ainda que o correntista possua um problema de caixa e que todo mês seus recursos se esgotam no 24º dia, necessitam de mais R$ 30,00 para encerrar o mês. Neste caso, o correntista será obrigado a tomar um empréstimo, no início do mês, que evite que sua conta fique negativa a partir do 24º dia. Supondo uma taxa de juros de 2% ao mês para o empréstimo, o custo será R$ 30,00 x 0,02 = R$ 0,60 pagos no dia 1º do mês subseqüente. Portanto, para o correntista, a solução do problema de caixa custa R$ 0,600 por mês. O banco, no seu departamento de novos produtos, procurará desenvolver uma linha de empréstimo que atenda ao correntista, o que poderia ser feito por um empréstimo de seis dias de duração. Uma linha de crédito ideal seria um empréstimo com prazo mínimo de um dia que denominaremos de CE (cheque especial). Qual a taxa de juros a ser cobrada nessa nova linha de crédito de um dia? Para juros lineares, poderia ser Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 42 ( )( ) % 402 , 0 067 , 0 6 % 067 , 0 30 02 , 0 6 1 = = = = dias dia i i Porém, o lucro obtido pelo banco seria inferior ao empréstimo de um mês. No máximo, seu lucro seria de (R$ 30,00)(0,402%)=R$ 0,1296. Obviamente, o banco não implementaria este novo produto. Todavia, o banco tem conhecimento de que o correntista usa efetivamente até no máximo R$ 30,00 por seis dias e para isso paga até R$ 0,60. O banco pode, então, fazer a conta inversa, isto é, qual o nível de juros sobre os seis dias que resultaria em um total pago de juros inferior a R$ 0,60? ( )( ) % 10 0033 , 0 30 % 33 , 0 30 60 , 0 6 1 30 1 = = = | ¹ | \ | | ¹ | \ | = dias dia i i É evidente que, para o banco, o produto CE é mais vantajoso, pois com a utilização dos recursos por apenas alguns dias, ele obtém o mesmo ganho que empregando esses recursos por um mês. Dessa forma, o banco precisará induzir através de uma taxa de juros para o produto CE que resulte em um custo de juros inferior a R$ 0,60 para o período em que o saldo da conta fique devedor. Para o exemplo hipotético acima, em que a taxa de empréstimo pessoal é de 2% a. m. e o prazo utilizado do cheque especial é de seis dias, o correntista estaria disposto a pagar por este último uma taxa de até 9,9% a. m. A taxa de juros para o cheque especial escolhida pelo banco será a taxa que maximiza a sua alocação de recursos na modalidade cheque especial sujeito à restrição de ser inferior à taxa descrita acima. 11. SÉRIES Séries temporais possuem inúmeras aplicações. Algumas delas já foram vistas neste curso, como por exemplo, os sistemas de amortização. Outra bastante interessante é cálculo o previdenciário. Estes cálculos são bastante complexos e tema de inúmeros cursos para além do estudado aqui. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 43 Porém é possível fazer algumas simulações simples que exemplificam bastante a aplicabilidade de teorias desenvolvidas no âmbito da matemática financeiro. Um primeiro modelo de cálculo de aposentadoria pode ser visto na figura abaixo. O gráfico representa a situação em que um cliente paga um valor de PMT durante n meses, se aposenta e passa a receber aposentadoria de PMT’ durante m - 1 meses. Para este modelo, tem-se todas as informações que necessárias. A única questão é igualar o valor do montante ao final da primeira série, dado por FV com o início da aplicação na segunda série, dado por PV’. Para a primeira série temos: ( ) i i PMT FV n 1 1 − + = Para a segunda: ( ) ( ) 1 1 1 ' ' 1 1 − + + = − − m m i i i PV PMT O que dará a seguinte relação entre o PMT e PMT’: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ' − − + − + − + = m m n i i i PMT PMT A variável de mais difícil mensuração na fórmula acima é m, o tempo de pagamento da aposentadoria. Há uma série de cálculos, baseados em tábuas de mortalidade, para encontrar o valor esperado da expectativa de vida de um determinado grupo da população. PMT’ PMT 0 n n + 1 n + m Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 44 Para dirimir este problema, há um cálculo baseado em séries perpétuas, ou seja, séries de pagamentos que pagam indefinidamente. No caso anterior, para o caso da segunda série, temos que voltar às equações originais, a fim de calcular PV’: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = + = + = + + + + + + + = 0 0 3 2 1 1 ' 1 ' ' ... 1 ' 1 ' 1 ' ' t t t t i PMT i PMT PV PMT i PMT i PMT i PMT PV Para facilitar o cálculo, pode-se fazer a seguinte transformação: ( ) ∑ ∞ = = + = 0 ' ' 1 1 t t a PMT PV i a Considerando, ( )( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = + ∞ = + = − − − = + + + + − = − n t t n t t n n a a a a a a a a a a a 0 1 0 4 2 1 1 1 1 ... 1 1 1 Para 1 < a , quando ∞ → n temos 0 1 → + n a . Assim, ( ) ∑ ∑ + = + − = ∞ = i i i a a t t t 1 1 1 1 1 0 Assim, ficamos com Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 45 i i PMT PV PMT + = + 1 ' ' ' o que dá i PMT PV ' ' = Essa equação é conhecida como fórmula de Gordon. Pode parecer que a equação acima se diferencia em demasia com a fórmula para pagamentos constantes utilizada anteriormente, mas os cálculos comprovam que diferença não é tão grande, sobretudo para um número elevado de meses, caso típico de problemas de previdência. 12. TÍTULOS DE RENDA FIXA Os títulos são denominados de renda fixa quando se conhece a forma de rendimentos oferecidos. São assim conhecidos por fixarem os rendimentos desde o momento inicial da operação. Esses títulos são emitidos geralmente por uma instituição financeira, sociedade por ações e governos, e negociados com os poupadores em geral. Alguns exemplos de títulos ou papéis de renda fixa bastante negociados no mercado financeiro são os certificados e recibos de depósitos bancários (CDB e RDB), debêntures e letras de câmbio. Esses papéis podem ser negociados de diversas formas, principalmente no que concerne à formação das taxas de juros, prazos, periodicidade dos rendimentos e tributação. Basicamente, tem-se dois tipos de títulos de renda fixa: prefixados e pós-fixados. Os títulos prefixados caracterizam-se pela revelação antecipada do valor total da remuneração oferecida ao investidor. Ou seja, no momento da aplicação, o poupador toma conhecimento da taxa total (nominal) de juro a ser aplicada sobre o capital investido. Títulos pós-fixados costuma definir previamente a taxa real de juros e o indexador de correção monetária a ser aplicado sobre o capital investido. O valor do resgata, no entanto, somente será conhecido no momento da liquidação da operação em função do comportamento verificado no índice de correção selecionado. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 46 12.1 Certificados/Recibos de Depósitos Bancários – CDB/RDB Os certificados/recibos de depósitos bancários são emitidos por instituições financeiras, visando captar recursos para suas operações de empréstimos. A diferença básica entre os títulos é que o CDB pode ser negociado no mercado mediante endosso, e o RDB é intransferível. Sobre os rendimentos desses títulos de renda fixa incide imposto de renda, geralmente pago quanto do seu resgate. Em algumas situações, o imposto é pago na fonte, isto é, no momento de realização do negócio. O critério de tributação tem-se alterado bastante no decorrer do tempo, não permitindo que se defina uma regra geral e permanente para essas operações. De qualquer forma, a incidência do imposto de renda nas negociações com títulos de renda fixa determina a necessidade de conhecer os rendimentos e taxas brutos (antes do IR) e líquidos (estabelecidos após o cálculo do IR). A taxa de juros dos papéis de renda fixa é geralmente definida com base na taxa anual efetiva (capitalizada por juros compostos). A atribuição desta taxa para intervalos de tempo menores é processada por meio da taxa equivalente composta. 12.1.1 CDB com Taxas Prefixadas Uma taxa prefixada incorpora uma expectativa de inflação mais os juros reais da operação. Existe juro real, evidentemente, se o indexador escolhido refletir adequadamente a evolução dos índices de preços da economia verificam-se situações em que o indexador da aplicação situa-se abaixo da taxa efetiva da inflação, consumindo o rendimento real da operação. Dessa forma, a taxa prefixada é uma taxa nominal que incorpora, a priori, a correção monetária e o juro real. O imposto de renda incidente nessas operações, conforme comentado, tem sofrido nos últimos anos diversas alterações em sua metodologia de cálculo e alíquotas, prejudicando a definição de uma fórmula de cálculo genérica. Para as operações com títulos de renda fixa, a tributação será tratada de duas maneiras: - IR antecipado – a incidência da alíquota do IR se reflete sobre o total dos rendimentos da operação. O imposto é retido na fonte e cobrado juntamente com a aplicação financeira. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 47 - IR Final – o cálculo do IR se verifica identicamente sobre o rendimento total da operação, sendo pago, no entanto, quando de seu resgate. A simbologia a ser adotada nas operações com títulos de renda fixa apresenta algumas novidades em relação à que vem sendo adotada em juros compostos, principalmente pela interferência da tributação sobre os resultados. O tratamento a ser dispensado a estas operações, desde que não haja uma orientação explícita, segue o lado do investidor. Assim, tem-se: - PV – valor da aplicação; - FV – valor de resgate; - IR – valor do imposto de renda; - T – alíquota de IR; - b i , L i - taxa nominal bruta (antes de IR) e líquida (após dedução do IR) - b r , L r - taxa real bruta e líquida, respectivamente. 12.1.2 Taxa Prefixada com Rendimento Final Essa modalidade de operação indica que os encargos são acumulados (capitalizados) e resgatados somente ao final do prazo de aplicação: Graficamente, pode ser representada segundo seja a forma de tributação: ( ) ( ) PV i T IR i PV FV b b . 1 = + = Valor da Aplicação PV + IR Valor de Resgate FV IR Antecipado Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 48 ( ) PV i T IR b . = O exemplo a seguir é desenvolvido de maneira a ilustrar detalhadamente o processo de cálculo dos resultados de uma operação com títulos de renda fixa. Exemplo: Suponha uma aplicação de R$ 27.000,00 efetuada em título de renda fixa pelo prazo de um mês. A remuneração do papel é calculada à taxa bruta prefixada de 30% ao ano. Com base nessas informações, pede-se determinar: a) rendimentos brutos de aplicação (antes do IR); b) rendimento nominal e real líquido para cada critério de tributação considerado acima. Admita uma alíquota de 9% a ser aplicada sobre o rendimento nominal antecipado e de 15% sobre o rendimento final. A correção monetária (inflação) do período atinge a 1,1%. Solução: a) Rendimentos Brutos da Aplicação - Rentabilidade Nominal Bruta ( b i ): % 30 = b i a. a. % 21 , 2 1 30 , 1 12 = − = b i a. m. - Valor Bruto do Resgate: R$ 27.000,00 x 1,0221 = R$ 27.596,70 Valor da Aplicação = (R$ 27.000,00) Rendimento Bruto Nominal R$ 596,70 Valor da Aplicação PV Valor de Resgate FV - IR IR Final Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 49 - Rentabilidade Real Bruta ( b r ): % 098 , 1 1 011 , 0 1 0221 , 0 1 = − + + = b r a. m. ou % 098 , 1 1 011 , 1 00 , 000 . 27 70 , 596 . 27 = − × = b r a. m. - Valor Bruto do Resgate: R$ 27.596,70 Valor Corrigido da Aplicação: R$ 27.000,00 x 1,011 = (R$ 27.297,00) Rendimento Bruto Real: R$ 299,70 b) Rendimentos Líquidos da Aplicação - IR Antecipado Sendo de 9% a alíquota do IR retido na fonte incidente sobre o rendimento total da aplicação, tem- se: ( ) ( ) 70 , 53 % 21 , 2 00 , 000 . 27 % 9 . = × × = = IR PV i T IR b Como este tributo é pago no momento da realização do negócio, o total aplicado no título se eleva de R$ 27.053,70. Logo a taxa de rentabilidade líquida nominal ( L i ) totaliza: 1 70 , 53 00 , 000 . 27 70 , 596 . 27 1 − + = − + = L L i IR PV FV i % 01 , 2 = L i a. m. Por outro lado, a rentabilidade real líquida ( L r ) atinge: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 011 , 0 1 70 , 53 00 , 000 . 27 70 , 596 . 27 1 1 − + × + = − + × + = L L r CM IR PV FV r Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 50 % 90 , 0 = L r a. m. ou 1 011 , 0 1 0201 , 0 1 1 1 1 − + + = − + + = L L L r CM i r % 90 , 0 = L r a. m. - IR Final Para uma alíquota de 15% de IR calculada sobre o rendimento total e pago no resgate, tem-se: Valor Bruto de Resgate: R$ 27.596,70 Valor de Aplicação: (R$ 27.000,00) Rendimento Bruto: R$ 596,70 IR: 15% x R$ 596,70 (R$ 89,50) Rendimento Líquido: R$ 507,20 Como o IR é pago por ocasião de resgate, tem-se o seguinte fluxo de caixa: % 88 , 1 1 00 , 000 . 27 20 , 507 . 27 1 = − = − − = nom L PV IR FV i a. m. % 77 , 0 1 00 , 297 . 27 20 , 507 . 27 1 = − = − − = cor L PV IR FV r a. m. Valor da Aplicação Nominal: R$ 27.000,00 Corrigido: R$ 27.297,00 Valor de Resgate R$ 27.596,70 – R$ 89,50 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 51 ou: % 77 , 0 1 011 , 0 1 0188 , 0 1 1 1 1 = − + + = − + + = CM i r L L a. m. 12.1.3 Extensões ao Cálculo da Taxa Líquida Muitas vezes é importante determinar a taxa líquida de um título de renda fixa diretamente de sua taxa bruta divulgada. Este cálculo deve ser imediato de forma que se incorpore no processo de decisão de investir nestes papéis. Para o caso de incidência do imposto de renda na fonte, o qual é calculado antecipadamente sobre o rendimento nominal da operação, tem-se: 1 − + = IR PV FV i L onde temos: Valor de aplicação IR PV + = Valor de Resgate ( ) b i PV FV + × = 1 ( ) b i PV T IR × × = ( ) b i T PV IR × × = Assim, ficamos com ( ) ( ) 1 1 1 − × + + = b b L i T PV i PV i o que dá 1 1 1 − × + + = b b L i T i i Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 52 Utilizando-se o exemplo ilustrativo anterior, chega-se ao mesmo percentual de rentabilidade apurado na hipótese de IR antecipado, ou seja, 2,01% a. m. Assim, pela utilização da expressão direta da rentabilidade nominal líquida desenvolvida, pode-se determinar a taxa líquida de retorno de uma aplicação em título de renda fixa a partir da taxa bruta divulgada. Em qualquer caso, a expressão de cálculo é válida somente para as operações em que a tributação é realizada na fonte e incidente sobre o valor nominal dos rendimentos, conforme definido. Para operações em que o imposto de renda incidente sobre o rendimento nominal é pago por ocasião do resgate do título, a expressão de cálculo da taxa líquida é bastante simplificada, apurando-se o IR diretamente sobre a taxa bruta, isto é: ( ) T i i b L − × = 1 Reportando-se novamente ao exemplo anterior, teremos o valor de 1,88% a. m. 12.1.4 Taxa Prefixada com Rendimento Periódico Esse tipo de operação indica que os rendimentos são pagos periodicamente, e o principal resgatado ao final do período da aplicação. Identicamente ao rendimento final, a taxa de juros considerada em cada período de rendimentos é apurada pela equivalente composta. Graficamente, essa modalidade de operação por ser apresentada da maneira seguinte, sendo J o valor monetário dos rendimentos periódicos: Vr. de aplicação (PV + IR) 1 2 3 . . . n - 1 n IR antecipado Vr. de aplicação (PV) 1 2 3 . . . n - 1 n J - IR IR final J - IR J - IR J - IR J - IR J - IR J - IR Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 53 Conforme foi colocado, considerando que os juros são geralmente definidos em taxas anuais, os rendimentos são determinados pela taxa equivalente compostos do período, assumindo a seguinte expressão básica: q b i PV J , . = onde q b i , é a taxa nominal (prefixada) bruta equivalente de juros a ser aplicada a cada período de rendimentos. O imposto de renda na fonte incide sobre o total dos rendimentos. Logo: n i PV T IR q b . . . , = onde q b i , é a taxa nominal (prefixada) bruta de juros (b) e equivalente (q) ao período de rendimento e n é o número de períodos de rendimento. Por outro lado, o IR final é pago somente por ocasião do resgate e calculado sobre o rendimento total. Assim, para cada período tem-se o valor do IR apurado sobre o ganho do período J, ou seja: J T IR . = Exemplos 1. Admita uma aplicação de R$ 25.000,00 num título de renda fixa, pelo prazo de um ano, com rendimentos trimestrais equivalentes à taxa prefixada de 18% ao ano. Os rendimentos nominais são tributados à alíquota de 9% e pagos por ocasião da aplicação. Determinar o valor total da aplicação, o rendimento trimestral e a rentabilidade líquida auferida pelo poupador. Solução: % 18 = b i a. a. Taxa bruta equivalente trimestral: ( ) % 22 , 4 1 18 , 0 1 4 1 , = − + = q b i a.t. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 54 ( )( )( )( ) 80 , 379 4 0422 , 0 000 . 25 09 , 0 . . . , = = = IR n i PV T IR q b Rendimento trimestral: ( )( ) 00 , 1055 0422 , 0 000 . 25 . , = = = J i PV J q b Graficamente: Corretamente, a rentabilidade nominal líquida periódica obtida pelo investidor é determinada pela taxa interna de retorno do fluxo financeiro da aplicação: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 1 00 , 260555 1 00 , 1055 1 00 , 1055 1 00 , 1055 80 , 25379 L L L L i i i i + + + + + + + = % 8 , 3 = l i a. t. 2. No exemplo anterior, admita que o imposto de renda seja pago sobre o rendimento nominal no momento do resgate de cada parcela. Nesta modalidade, a alíquota do IR é de 15%. Determinar a rentabilidade nominal líquida desta operação. Solução: Os juros (rendimentos) líquidos de cada período atingem: Rendimento nominal bruto trimestral: R$ 25000 x 4,22% = R$ 1055,00 IR sobre rendimento trimestral: R$ 1055,00 x 15% = R$ 158,25 Rendimento nominal líquido = R$ 1055,00 – R$ 158,25 = R$ 896,75 Graficamente, pode ser representado o seguinte fluxo de caixa da aplicação: 25000 + 379,80 1055,00 1055,00 1055,00 1055,00 1 2 3 4 896,75 896,75 896,75 25000,00 896,75 1 2 3 4 25000 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 55 Mediante a taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo financeiro chega-se à taxa de rentabilidade líquida nominal trimestral, ou seja: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 1 75 , 896 1 75 , 896 1 75 , 896 1 75 , 896 00 , 25000 L L L L i i i i + + + + + + + = O que dá: % 59 , 3 ) ( = L i IRR a. t. 12.1.5 CDB / RDB COM TAXAS PÓS-FIXADAS As denominadas taxas pós-fixadas são aquelas cuja correção monetária acompanha a evolução de um índice de preços definido para a operação. Em conseqüência, a taxa nominal de juros somente é conhecida a posteriori, e não antecipadamente, conforme é característica das taxas prefixadas. A remuneração pós-fixada é composta de um indexador, que expressa a correção monetária ou inflação apurada segundo uma estimativa para o prazo da aplicação, mais uma taxa real de juros, a qual incide o valor aplicado corrigido. O imposto de renda será considerado sobre os rendimentos reais e pagos por ocasião do resgate. A apuração dos resultados de uma operação pós-fixada é bastante simples, principalmente em razão de identificar, dissociadamente, a taxa de correção monetária e a taxa real de juros. Por exemplo, admita uma aplicação com rendimento de 18% ao ano mais correção monetária. O percentual de 18%, por incidir sobre o valor corrigido do investimento, representa o ganho real da operação, ou seja, a taxa real de juros, isenta dos efeitos inflacionários. Logo: % 18 = L r a.a. Como a alíquota do IR incide sobre o rendimento real, o retorno líquido é obtido: ( ) IR r r b L − = 1 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 56 Admitindo uma alíquota de IR de 30% aplicada ao ganho real, tem-se ( ) % 6 , 12 30 , 0 1 % 18 = − × = L r Exemplo: 1. Suponha uma aplicação de R$ 16000,00 pelo prazo de 70 dias à taxa real de juros de 16% a. a. mais correção monetária a ser definida com base no indexador oficial da inflação. A variação nos índices oficiais de preços no período atingiu a 3,63%. A alíquota de imposto de renda é de 31,5% (30% de IR federal e 5% sobre 30% de imposto estadual) e incidente sobre os juros reais. Determinar os rendimentos nominais e reais da operação. Solução: Rendimento real: % 16 = b r a. a., equivalendo a: ( ) % 93 , 2 1 16 , 1 360 70 = − = b r para 70 dias ( ) % 01 , 2 315 , 0 1 % 93 , 2 = − = L r para 70 dias Rendimento nominal: ( )( ) % 67 , 6 1 0363 , 0 1 0293 , 0 1 = − + + = b i para 70 dias ( )( ) % 71 , 5 1 0363 , 0 1 0201 , 0 1 = − + + = L i para 70 dias 12.1.6 CONFRONTO ENTRE A TAXA PREFIXADA E A TAXA PÓS-FIXADA Conforme foi discutido, a taxa prefixada de juros é definida em termos nominais, incorporando uma expectativa futura de inflação. A operação somente realiza os rendimentos reais prometidos se a inflação futura não exceder a correção embutida na taxa. Se a inflação do período de aplicação ultrapassa o período considerado na taxa nominal, os juros reais são consumidos, podendo inclusive produzir uma rentabilidade negativa. Evidentemente, se a inflação fica abaixo do previsto a remuneração real cresce acima do prefixado. A taxa pós-fixada, por seu lado, acompanha a evolução do índice de preços selecionado para corrigir monetariamente o capital aplicado, definido os juros integralmente em termos de taxa real. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 57 Esta modalidade, desde que o índice de correção selecionado seja representativo da efetiva inflação da economia, não oferece risco de gerar uma remuneração negativa em termos reais. Assim, a decisão entre uma taxa pré e outra pós-fixada é dependente do comportamento da inflação. Por exemplo, a escolha entre aplicar um capital com rendimentos nominais (prefixados) de 34% ao ano, ou a juros reais de 14% ao ano mais correção monetária pós-fixada, é definida pela expectativa de inflação futura. Comparativamente aos rendimentos pós-fixados, a taxa prefixada incorpora em seu percentual uma estimativa de inflação de 17,5%, isto é: ( ) % 5 , 17 1 14 , 1 34 , 1 1 14 , 0 1 34 , 0 1 1 1 1 = − = − + + = − + + = I r i Inflação I Assim, se no período de aplicação: % 5 , 17 < I : interessa aplicar em taxa prefixada, pois a correção embutida na taxa é maior que a inflação verificada; % 5 , 17 = I : é indiferente. Ambas as modalidades oferecem a mesma remuneração; % 5 , 17 > I : a melhor alternativa é a operação pós-fixada, pois os rendimentos acompanham a evolução da inflação no período. 12.1.7 DESMEMBRAMENTO DA TAXA PREFIXADA Foi demonstrado que uma taxa prefixada de juro incorpora duas grandes partes: a taxa real e a taxa esperada de inflação. A taxa real, por seu lado, embute em sua formação um juro mínimo praticado na economia, denominado de taxa pura (livre de risco), e uma remuneração pelo risco envolvido na operação. Desta maneira, tem-se a seguinte composição de uma taxa prefixada: Taxa Livre de Risco Remuneração pelo Risco Taxa Nominal Bruta Taxa Nominal Líquida Taxa Real Taxa de Inflação Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 58 Ao se admitir que a taxa pura da economia brasileira seja a remuneração real de 0,5% ao mês paga pela caderneta de poupança, é possível desmembrar uma taxa prefixada em todas as suas partes, identificando os vários rendimentos oferecidos. Assim, ilustrativamente, admita que um investidor esteja avaliando uma aplicação em um título de renda fixa que remunera à taxa prefixada de 34,5% ao ano. O prazo da aplicação é de um mês. A taxa de inflação projetada pelo mercado para os próximos 30 dias é de 1,0% e a alíquota vigente de imposto de renda é de 15% incidente sobre o rendimento total de aplicação. Com base nessas informações, pode-se decompor a taxa prefixada da forma seguinte: Observe que a aplicação está oferecendo uma remuneração efetiva pelo risco de 0,61% ao mês. Em outras palavras, a taxa real de 1,11% a. m. excede uma alternativa sem risco em 0,61% a.m., denotando o prêmio pelo risco pago. 12.1.8 DIFERENTES VARIAÇÕES DOS ÍNDICES DE PREÇOS Muitas vezes o índice de correção monetária de uma dívida, ou mesmo de uma aplicação financeira, pode destoar bastante dos índices de preços médios utilizados pelo mercado, provocando reflexos sobre o resultado real da operação. Isso é mais comum, principalmente, em financiamentos atrelados a uma moeda estrangeira, cujos percentuais de variação cambial vêm sempre acompanhar os índices de preços da economia. Taxa Livre de Risco 0,5% a. m. Taxa Nominal Bruta % 5 , 34 = b i a. a. % 5 , 2 = b i a. m. IR = 2,5% x 0,15 IR = 0,375% (-) Taxa Nominal Líquida % 0375 % 5 , 2 − = L i % 125 , 2 = b i a. m. = Taxa Real 1 01 , 1 02125 , 1 − = r % 11 , 1 = r a. m. Taxa de Inflação Embutida % 0 , 1 = I a. m. Remuneração Risco 1 005 , 1 0111 , 1 − = Risco % 61 , 0 = Risco a. m. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 59 Ilustrativamente, admita um financiamento em dólar cobrando uma taxa de juro real de 15% ao ano mais variação cambial. Se o percentual de variação cambial no período acompanhar exatamente a inflação da economia, é correto concluir que a operação apresenta um custo real de 15% ao ano, conforme a taxa de juro cobrada. No entanto, se a variação cambial for diferente dos índices gerais de preços da economia, o resultado desta diferença deve ser incorporado no cômputo do juro real da operação. Por exemplo, se a taxa da inflação atingir 20% e a variação cambial 17% no período da operação, o custo real do financiamento reduz-se por esta sobreavaliação da moeda nacional, sendo calculado pela expressão: Custo nominal: ( )( ) % 55 , 34 1 17 , 0 1 15 , 0 1 = − + + = i a. a. Custo real com base na inflação: % 13 , 12 1 20 , 0 1 3455 , 0 1 = − + + = r a. a. inferior à taxa de 15% cobrada acima da variação do dólar. Ao contrário, se a inflação da economia for de somente 12% no período, e mantendo-se em 17% a variação cambial, o custo real se eleva para: Custo real com base na inflação: % 13 , 20 1 12 , 0 1 3455 , 0 1 = − + + = r a. a. pela incorporação de uma maior desvalorização da moeda nacional. 12.1.9. CUSTO DE CAPTAÇÃO COM RECOLHIMENTO COMPULSÓRIO Admita que uma instituição financeira tenha colocado no mercado um CDB de sua emissão pagando a taxa efetiva de 15,3% a. a. O prazo de colocação do título é de 63 dias. O Banco Central, para formação de um depósito compulsório, recolhe 8% do principal captado pela instituição financeira pelo prazo de emissão do título, liberando o valor retido somente quando de sua liquidação. Durante todo o período, o Banco Central não para qualquer remuneração sobre o valor retido (na prática, sabemos que o Banco Central remunera o compulsório pela SELIC). Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 60 Pede-se determinar: a) Rentabilidade mensal efetiva e líquida do IR do aplicador do título. Considere uma alíquota de 20% incidindo sobre a remuneração. Solução: Rentabilidade bruta: % 3 , 15 = b i a. a. ( ) % 52 , 2 1 153 , 1 360 63 = − = b i para 63 dias ( ) % 19 , 1 1 153 , 1 360 30 = − = b i a. m. Rentabilidade líquida: ( )( ) % 95 , 0 20 , 0 1 19 , 1 = − = L i a. m. b) Valor líquido de resgate do aplicador, admitindo que tenha investido R$ 200000,00. Solução: Valor bruto: (R$ 200000,00)(1,0252) = R$ 205040,00 Principal aplicado: R$ 220000,00 Remuneração bruta = valor bruto – principal aplicado: R$ 205040,00 – R$ 200000,00 = R$ 5040,00 Imposto de renda sobre rendimentos (20%): (R$ 5040,00)(0,2) = R$ 1008,00 Remuneração líquida = remuneração bruta – imposto de renda R$ 5040,00 – R$ 1008,00 = R$ 4032,00 Valor do resgate: R$ 200000,00 + R$ 4032,00 = R$ 204032,00 c) Custo efetivo do CDB para a instituição financeira emitente Solução: Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 61 O custo efetivo se dá subtraindo o percentual do compulsório tanto da aplicação quanto do resgate, uma vez que este valor não poderá reaplicado pelo banco para operações que o remunerem com taxas superiores: ( ) ( ) % 74 , 2 1 00 , 200000 % 8 00 , 200000 00 , 200000 % 8 00 , 205040 = − × − × − = i para 63 dias ( ) % 29 , 1 1 0274 , 1 63 30 = − = i a. m. A taxa efetiva de 2,74% para 63 dias é o custo mínimo pelo qual a instituição financeira pode emprestar os recursos captados, considerando o compulsório de 8% (logo, pode emprestar somente 92%), para que iguale suas receitas com despesas. Sobre esse custo é incluído um spread, representando a margem de ganho exigida na operação. Isso significaria, grosso modo, que o compulsório aumenta a taxa de juros para o tomador, ou seja, o cliente pessoa física e jurídica das instituições bancárias. Essa também é uma das justificativas dos bancos para o elevado spread bancário no sistema financeiro nacional. Todavia, estudos recentes revelam que, na prática, o compulsório não afeta preponderantemente a diferença de juros tomados e emprestas pelos bancos. Uma das razões para isso talvez seja que o compulsório brasileiro é remunerado pela Selic, e esta continua muito alta (em torno de 10% a. a.). 12.2 DEBÊNTURES As debêntures são títulos de longo prazo emitidos por companhias de capital aberto, visando financiar investimentos de maior maturidade em ativos fixos e capital de giro. Os rendimentos das debêntures são especificados em cada série lançada, assim como as demais condições: garantias, prazo de vencimento, prêmios etc. Uma debênture é denominada simples quando resgatada exclusivamente em dinheiro, no vencimento. Quando o investidor puder optar por receber seu resgate em dinheiro ou em ações da empresa, os títulos são classificados como conversíveis em ações. Além dos juros, normalmente pagos duas vezes por ano, as debêntures podem remunerar os investidores com prêmios expressos em juros adicionais, visando tornar o papel competitivo com as taxas vigentes no mercado. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 62 As debêntures podem ainda conter certas cláusulas especiais, como resgate antecipado dos títulos, atualização monetária com base em índice geral de preços etc. Em termos de garantia, as debêntures são geralmente subordinadas, indicando que o credor tem preferência no recebimento sobre os acionistas da empresa. Exemplo: 1. Admita que uma empresa tenha colocado 5.000 debêntures no mercado no valor de R$ 1.000,00 cada uma. O prazo de colocação desses títulos é de dois anos. A remuneração prometida aos investidores é de juros nominais de 30% ao ano com pagamento semestral. O principal é pago por ocasião do resgate. Sabe-se ainda que a colocação das debêntures somente foi possível mediante um deságio de 8% sobre o valor de emissão. Pede-se calcular o fluxo de caixa da operação e a taxa efetiva anual de juros. Solução: Valor bruto da captação: (5000)(R$ 1000,00) = R$ 5.000.000,00 Deságio: (0,08)(R$ 5.000.000,00) = R$ 400.000,00 Valor líquido: valor bruto da captação – deságio R$ 5.000.000,00 – R$ 400.000,00 = R$ 4.600.000,00 Valor do resgate: R$ 5.000.000,00 Encargos semestrais: (0,15)(R$ 5.000.000,00) = R$ 750.000,00 Fluxo de caixa da empresa emitente (tomadora dos recursos): Taxa efetiva de juros: 1 2 3 4 R$ 4.600,00 R$ 750,00 R$ 750,00 R$ 750,00 R$ 750,00 semestres Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 63 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 1 5750 1 750 1 750 1 750 4600 i i i i + + + + + + + = % 97 , 17 = i a. s. 12.3 OBRIGAÇÕES (BÔNUS) As obrigações (bônus) são também títulos de renda fixa de longo prazo, emitidos por órgãos governamentais ou empresas privadas, visando financiar seus investimentos. Os títulos conhecidos por zero coupon bond (título de cupom zero) não emitem cupons de juros, sendo lançados no mercado com desconto. Outros títulos costumam prever juros pagos aos investidores a cada semestre, ocorrendo a amortização do principal no momento do resgate. Outras formas de pagamentos de juro e principal podem também ocorrer, porém com menos freqüência. Os juros dos títulos que prevêem pagamentos periódicos são representados por cupons, cujos percentuais vigoram até o vencimento. Os rendimentos são padronizados pelo mercado em taxas nominais, geralmente expressos em taxa anual com capitalização semestral. Assim, para se obter a taxa de juro semestral do título, basta dividir a taxa anual por dois. O título é adquirido no mercado pelo seu valor de face, geralmente fixado em R$ 1.000,00. Este valor pode, no entanto, sofrer alterações determinadas pelas condições de mercado e saúde financeira da empresa emitente do título. Nestas condições, o título é negociado no mercado com ágio ou deságio em relação a seu valor previsto no vencimento (valor de face) 12.3.1 ZERO COUPON BOND O zero coupon bond, ou título de cupom zero, é um título normalmente emitido se cupom, sendo negociado no mercado com desconto. Seu preço de negociação equivale ao valor presente de seu valor de face, descontado a uma taxa de juro que reflete a expectativa de remuneração de investidores. Graficamente, tem-se a seguinte representação de um título de cupom zero: 0 P n C Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 64 onde: n C = valor de resgate do título no vencimento; 0 P = valor de negociação do título, sendo obtido por K C P n + = 1 0 K equivale a taxa de retorno exigida na aplicação. Por exemplo, admita um título com vencimento para um ano e valor de face de R$ 1000,00. A taxa de desconto do título é fixada em 9% a. a. O preço de negociação do título no mercado atinge a R$ 917,43, ou seja: Exemplo: 1. Admita que um governo tenha emitido um título de cupom zero pagando taxa de 11% a. a. O valor de face do título é fixado em R$ 1.000,00, a ser resgatado no momento do vencimento. O prazo to título é de 3 anos. Pede-se determinar o fluxo de caixa do título. Solução: Para o investidor, o fluxo de caixa apresenta-se da forma seguinte: 0 n 43 , 917 09 , 1 1000 0 = = P 1000 ( ) 19 , 731 11 , 1 1000 3 0 = = P 1000 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 65 A rentabilidade efetiva da operação atinge, evidentemente, a taxa de 11% a. a. 12.3.2 RELAÇÃO ENTRE PRAZO DE EMISSÃO E TAXA DE DESCONTO COM O VALOR DO TÍTULO O valor de um título de cupom zero aproxima-se de seu valor de face à medida que se aproxima seu vencimento. Para ilustrar, admita um título com maturidade de 10 anos e taxa de emissão de 8%. O valor do título no vencimento é de R$ 1000,00. O valor do título modifica-se (aproxima-se de seu valor de face) quanto mais próxima a data de vencimento. Os cálculos a seguir demonstram este comportamento do valor do título em relação ao prazo de vencimento. - 1 ano: ( ) 2 , 500 08 , 1 1000 9 0 = = P ; - 3 anos: ( ) 5 , 583 08 , 1 1000 7 0 = = P ; - 5 anos: ( ) 5 , 783 08 , 1 1000 5 0 = = P ; - 9 anos: ( ) 9 , 925 08 , 1 1000 0 = = P ; Apesar da tendência demonstrada, os valores apurados podem ser diferentes em função das alterações das taxas de juros de mercado. A taxa de juro, usada para descontar o fluxo de caixa, e o valor do título apresentam uma relação proporcionalmente inversa. Quando os juros sobem, o valor do título cai; ao contrário, ocorrendo uma redução na taxa de desconto, verifica-se uma valorização no preço do título. A tabela a seguir ilustra o valor de um título com maturidade de 10 anos e valor de face de R$ 1000,00, admitindo diferentes taxas de desconto. Taxa de Juro Anos transcorridos 6% a. a. 8% a. a. 10% a. a. 0 ano 558,4 463,2 385,5 3 anos 665,1 583,5 513,2 9 anos 943,4 925,9 909,1 10 anos 1000,00 1000,00 1000,00 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 66 O valor do título diminui à medida que se eleva a taxa de desconto. Quanto maior o prazo de emissão do título, seu preço converge ao valor de face. 12.3.3 BÔNUS COM CUPONS Títulos com cupons oferecem geralmente juros periódicos (semestrais) e devolução do principal aplicado ao final do prazo de emissão. Esses títulos são geralmente de longo prazo, variando a maturidade de 5 a 30 anos. Os juros dos cupons são pagos de acordo com a taxa prometida pelo título, garantindo um determinado fluxo de rendimentos ao aplicador. Se o investidor aceitar os juros oferecidos pelo cupom, o título é negociado por seu valor de face, ou seja, ao par. Ocorrendo alterações nas taxas de juros, o valor do título também sofre alterações, sendo cotado com ágio ou deságio em relação a seu valor de face. 12.3.4 PREÇO DE MERCADO O preço de negociação no mercado é obtido pelo valor presente dos fluxos esperados de rendimentos descontados a uma taxa de atratividade requerida pelos investidores, ou seja: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + = n n n K P C K C K C K C P 1 ... 1 1 1 3 3 2 2 1 0 Exemplo: 1. Admita uma obrigação com valor de face de R$ 1000,00 com maturidade de seis anos. A remuneração prometida são juros semestrais de 4%. Se os investidores aceitarem descontar esse título somente à taxa de 10% ao ano, calcular seu preço de mercado. Calcular também o preço de mercado do título se a taxa de desconto se elevar para 13% ao ano. Solução: Taxa de desconto: 10% ao ano ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + = 12 3 2 0 05 , 1 1040 ... 05 , 1 40 05 , 1 40 05 , 1 40 P Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 67 4 , 911 0 = P Taxa de desconto: 13% ao ano ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + = 12 3 2 0 065 , 1 1040 ... 065 , 1 40 065 , 1 40 065 , 1 40 P 03 , 796 0 = P 13. RENDA VARIÁVEL Os valores mobiliários, representados por ações e debêntures, são emitidos pelas sociedades anônimas de acordo com aprovação prévia da CVM (Comissão de Valores Mobiliários). Cabe à CVM o disciplinamento da emissão e fiscalização do mercado de negociações de ações, opções e debêntures. A ação representa uma fração do capital social de uma sociedade anônima, sendo caracteristicamente definida como ativo de risco. A debênture, por seu lado, representa um título de crédito cujos rendimentos são calculados de maneira semelhante aos títulos de renda fixa, como já estudado. O mercado de opções de ações será estudado com um pouco mais detalhe em breve. 13.1 Avaliação de Ações Identicamente às demais operações financeiras, na avaliação de ações é necessário construir-se os fluxos de caixa, isto é, os fluxos dos benefícios econômicos de caixa esperados. Fundamentalmente, os benefícios de caixa das ações são representados pelos dividendos, parcela do lucro líquido que as empresas distribuem aos seus proprietários periodicamente, e valorização de sua cotação, ou seja, ganhos de capital promovidos pelo aumento dos preços das ações. O preço que uma ação está sendo normalmente negociada no mercado é denominado valor de mercado ou cotação. O valor presente do fluxo de benefícios esperados de caixa, descontados a uma dada taxa de juros (taxa de atratividade da aplicação), é definido por valor teórico de mercado ou valor intrínseco de uma ação. Estes dois valores são iguais caracteristicamente em condições de mercado eficiente. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 68 As ações são consideradas aplicações de renda variável, pois seus benefícios de caixa (dividendos e valorização) não são geralmente estabelecidos no momento de aquisição, variando em cada período como resultado de diversos fatores. 13.1.1 Aplicações em Ações com Prazo Determinado Para o caso mais simples de uma aplicação financeira em ação por determinado período no qual não está previsto distribuição de dividendos, o fluxo de caixa pode ser estabelecido a partir da seguinte representação gráfica: Sendo: 0 P : preço de mercado (aquisição) da ação 0 t . Pode também representar o valor presente do fluxo de benefícios esperados de caixa; n P : preço de mercado esperado no momento da venda da ação. A expressão de cálculo assume a forma seguinte: K P P n + = 1 0 onde K representa a taxa de desconto da operação, ou seja, a taxa de retorno periódica exigida pelo investidor. Exemplo Admita uma ação cujo valor de mercado atinja, em determinado momento R$ 15,00. Sendo de 5% ao mês a taxa de retorno exigida por um investidor, pede-se: a) demonstrar a atratividade da compra dessa ação pelo investidor prevendo-se que o seu preço de mercado suba para R$ 16,00 ao final de um mês; 0 P n P Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 69 b) se o investidor estimar que o preço de mercado dessa ação irá alcançar o valor de R$ 15,50 ao fim de um mês, qual o preço máximo que ele poderia pagar hoje de maneira que apure um retorno mínimo de 5% ao mês? Solução a) K K P P n + = + = 1 00 , 16 00 , 15 1 0 K = 6,67% O rendimento produzido nesta situação esperada atinge 6,67% no período, marca superior à taxa de retorno exigida pelo investidor de 5%. Logo, alternativa de aplicação, considerando os benefícios esperados de caixa, é economicamente atraente. b) ação P K P P n / 76 , 14 05 , 0 1 00 , 16 1 0 0 = + = + = O preço máximo que investidor poderia pagar pela ação, de forma a obter a rentabilidade mínima desejada de 5% ao mês, é de R$ 14,76. Logo, diante das expectativas de valorização da ação, o preço atual de mercado de R$ 15,00 é alto para o investidor, não sendo atraente a sua compra. 13.2 Opções De uma forma geral, opção é o direito de uma parte comprar ou vender para outra parte, até determinada data, uma quantidade de um determinado ativo por um preço previamente conhecido. Deve-se notar que no mercado de opções não negociamos o produto em si (chamado título objeto) mas apenas os direitos sobre ele. Isso significa que o titular da opção tem o direito de realizar uma ação. Porém, este direito não precisa ser exercido. A opção só fornece este direito. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 70 O titular da opção só vai exercer o seu direito de compra se lhe for conveniente. Por outro lado, o vendedor da opção terá que aceitar a decisão do comprador se este optar pelo exercício da opção. Para facilitar o entendimento vamos enumerar os conceitos básicos utilizados no mercado de opções. Titular: o titular é o proprietário ou comprador da opção, ou seja, aquele que detém o direito de comprar ou vender. O titular paga um preço ou prêmio por este direito. Ativo-objetivo: é o ativo que o titular pode comprar (se tiver uma opção de compra) ou vender (se tiver uma opção de venda). Este ativo é, portanto, o produto que referencia a opção, por exemplo, ações, ouro, dólar etc. Opção de compra (call): uma opção de compra é aquela que permite ao seu titular o direito de comprar um ativo em determinada data por determinado preço. No mercado, a opção de comprar também é chamada de call. Opção de venda (put): uma opção de venda é aquela que permite ao seu titular o direito de vender um ativo em certa data por determinado preço. No mercado, a opção de venda também é chamada de put. Lançador: o lançador é o vendedor da opção, ou seja, é aquele que cede o direito ao titular. Portanto, deve comprar ou vender o ativo do titular se este desejar. Prêmio: é o preço de negociação da opção, ou preço de mercado, ou cotação da opção em bolsa de valores ou de mercadorias. Em outras palavras, é o preço que o titular para pela opção. O prêmio sempre será pago pelo titular ao lançador da opção. Este valor é pago no ato da negociação de comprar e venda da opção e não é devolvido mesmo que a opção não seja exercida. Preço de exercício: é o valor futuro pelo qual o bem será negociado ou preço pelo qual o titular pode exercer o seu direito (comprar se tiver uma opção de compra, vender se tiver uma opção de venda). No mercado, o preço de exercício também é conhecido com strike price. Data de vencimento: é o dia em que a posição será exercida ou em que cessam os direitos do titular de exercer sua opção. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 71 Opção americana: são opções que podem ser exercidas a qualquer hora, até a data de vencimento. Opção européia: são opções que podem ser exercidas apenas na data de vencimento. Séries de uma opção: as bolsas quando lançam opções sobre um determinado ativo o fazem por séries, onde fixam o preço de exercício para uma mesma data, sendo cada série identificada por um código. Em resumo, para serem negociadas em mercados organizados as opções devem ser padronizados no que se refere ao ativo-objeto, data de exercício etc. No entanto, o mercado é livre para negociar o valor do prêmio pelo qual as opções vão ser negociadas. 13.2.1 Classificação das Opções Para facilitar a negociação das opções, tendo em vista que existem várias em negociação, as bolsas criaram um sistema que agrupa as opções por tipo, classe e série. Estes elementos especificam um contrato de opção e identificam o ativo objeto, o prazo de vencimento e o preço de exercício das opções. O tipo de uma opção é definido por ser ela uma call ou put. A série da opção é dada por seu preço de exercício e a classe pelo prazo de vencimento. As opções negociadas em bolsa são escriturais, as posições (lançadoras e titulares) são registradas individualmente para cada cliente, e emitidos relatórios diários das posições individuais de cada participante. Outra classificação muito utilizada pelo mercado é feita de acordo com a possibilidade de exercício das opções. Esta classificação compara o preço de exercício da opção como preço do ativo-objeto, conforme o quadro abaixo: Classificação Opção de Compra Opção de Venda Dentro do Dinheiro Preço de exercício menor que o preço do objeto Preço de exercício maior que o preço do objeto No dinheiro Preço de exercício igual ao preços do objeto Preço de exercício igual ao preço do objeto Fora do dinheiro Preço de exercício maior que o preço do objeto Preço de exercício menor que o preço do objeto Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 72 A diferença entre o preço atual e o preço de exercício é chamada de valor intrínseco da opção e é uma medida intuitiva do seu valor. Exemplo Dada uma call (opção de compra) preencha as colunas de valor intrínseco e de classificação da tabela abaixo: Preço Atual Preço de Exercício Valor Intrínseco Classificação R$ 80,00 R$ 100,00 R$ 90,00 R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 100,00 R$ 120,00 R$ 100,00 Solução A tabela deve ser preenchida como se segue: Preço Atual Preço de Exercício Valor Intrínseco Classificação R$ 80,00 R$ 100,00 R$ 0,00 Fora do dinheiro R$ 90,00 R$ 100,00 R$ 0,00 Fora do dinheiro R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 0,00 No dinheiro R$ 110,00 R$ 100,00 R$ 10,00 Dentro do dinheiro R$ 120,00 R$ 100,00 R$ 20,00 Dentro do dinheiro Como pode ser visto, o valor intrínseco de uma call com preço de exercício de R$ 100,00 com preço atual é zero. Isso significa que o titular vai preferir deixar vencer o título-objeto a exercê-lo, uma vez que poderia comprar a ação no mercado a um preço menor que aquele que tem garantido. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 73 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Descreva sucintamente o comportamento das taxas de juros praticadas pelos bancos em dois cenários diferentes: a) Num ambiente de recessão, em que o Banco Central tenciona estimular a demanda; b) Num ambiente de inflação em alta, em que o Banco Central tenciona conter as pressões inflacionárias. 2. Há indícios, encontrados por meio de análises econométricas, de que uma redução de 1% na taxa SELIC representa variação negativa de cerca de 0,4% nas taxas de juros praticadas pelas instituições financeiras. Dado que, para os dias atuais, a SELIC se encontra a 9,25% a. a. e que os juros do cartão de crédito giram em torno de 10% a. m., qual o limite inferior da taxa praticada no cartão de crédito no sistema financeiro brasileiro? 3. Suponha que uma financeira possui um produto vinculado ao crédito consignado (em que há desconto diretamente em folha salarial), que oferece uma taxa nominal bruta de 2% a. m. mais uma tarifa de abertura de crédito no valor de 0,5% do total do empréstimo. Desenhe um diagrama de fluxo de caixa e calcule o custo efetivo para o tomador no caso de: a) Prazo de liquidação de dois meses, pagamento dos juros mensal e pagamento do montante ao final do período de contrato; b) Prazo de liquidação de quatro meses, pagamento dos juros e montante ao final do período de contrato; c) Prazo de liquidação de dois meses, pagamentos iguais e mensais. 4. Um determinado banco possui um grupo significativo de correntistas com o perfil de tomador de recursos do cheque especial por um prazo médio de 8 dias mensais. Dado que o empréstimo mensal previsto para esse tipo de cliente supõe uma taxa de 1,5% a. m. qual o limite da taxa do cheque especial que o banco pode cobrar para que o cheque especial continue sendo a solução mais atrativa para o cliente. 5. Considere um correntista que necessita tomar emprestado 30% do seu salário líquido nominal mensalmente para suprir suas despesas e que o custo efetivo deste empréstimo seja de 2% a.m., via empréstimo pessoal, ou 9% a. m. via cheque especial. a) Calcule a melhor alternativa para este cliente nos casos de: I) Necessidade dos recursos por 4 dias ao mês; II) Necessidade dos recursos por 15 dias ao mês; b) Considerando as duas modalidades apresentadas para suprir o déficit financeiro, calcule em quanto tempo o cliente terá comprometido 10% de seu salário para o pagamento de juros mensais, no caso de necessidade dos recursos extras por 4 dias. 6. Um determinado correntista de um banco realizou as seguintes operações financeiras num determinado mês: Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 74 Dia 2 – saque de R$ 200,00; Dia 10 – saque de R$ 500,00; Dia 12 – depósito de R$ 400,00, Dia 20 – desconto de cheque no valor de R$ 130,00; Dia 28 – saque de R$ 50,00. Supondo que havia um saldo positivo em R$ 100,00 no primeiro dia do mês, utilize o método hamburguês para determinar os juros que serão debitados sobre o saldo devedor médio do cliente no último dia do referido período. 7. Defina uma equação que vincule a taxa real bruta com a taxa real líquida, tanto para o caso do imposto de renda ser cobrado no início da aplicação, quanto no final. 8. Admita uma aplicação de R$ 20.000,00 num título de renda fixa, pelo prazo de dez meses, com rendimentos mensais equivalentes à taxa nominal bruta prefixada de 13% ao ano. Os rendimentos nominais são tributados à alíquota de 9% e pagos por ocasião da aplicação. Determinar o valor total da aplicação, o rendimento mensal e indicar o modelo de cálculo da rentabilidade líquida auferida pelo poupador. 9. Suponha que se queira comparar um título de renda fixa prefixado com outro título, também de renda fixado, porém pós-fixado e tendo sua taxa de correção vinculada à variação cambial. Descreva as melhores alternativas de investimento para os casos em que: a) Dólar estável em relação ao real e inflação com tendência de queda; b) Apreciação do dólar frente ao real e valores estáveis dos produtos da cesta do indicador de preços ao consumidor; c) Cenário de forte desvalorização do real frente ao dólar e uma inflação interna em queda; 10. Admita que uma mercadoria seja vendida a vista e adquirida com um prazo de pagamento de 4 meses. Essa mercadoria permanece ainda dois meses em estoque antes de ser revendida. Sabe-se que a empresa vem conseguindo aplicar suas disponibilidades de caixa à taxa de juros de 2,3% ao mês no mercado financeiro. Nessas condições, a empresa recebe uma oferta de venda a vista dessa mercadoria por R$ 1693,00 a unidade. No entanto, sabe-se que seu preço de custo (compra) é de R$ 1760,00. Pode a empresa aceitar essa oferta? Suponha simplesmente a inexistência de outras despesas sobre vendas. 11. Certa loja incorre nos seguintes custos para cada R$ 100,00 de compra de uma mercadoria: - Frete: 1%, pago a vista; - ICMS (crédito): 12%, prazo de recuperação de 16 dias; - IPI: 15%, pagamento a vista, no ato da compra; Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 75 - Condições de pagamento da compra: 2 pagamentos iguais, respectivamente, em 30 e 60 dias. Calcular o preço total líquido da compra admitindo um taxa de juros de 2,2% a.m. e o valor nominal da mercado em R$ 170,00. 12. Decomponha a taxa prefixada de 18% ao ano de um investimento mensal, cuja inflação projetada para o próximo ano seja de 6,9% e uma alíquota de imposto de renda 15% incidente sobre o rendimento total. Assuma ainda que a taxa livre de risco do mercado seja de 0,7%. 13. Um título prefixado é emitido pelo prazo de seis meses, pagando juros nominais de 9,5% ao semestre. Para um investidor que deseja obter um ganho real de 1,0% a. m., qual deve ser o valor máximo de inflação no semestre? 14. Calcule o custo de captação mensal que uma instituição financeira possui por ter que recolher compulsoriamente ao Banco Central 40% de suas aplicações em um título que para 10% ao ano nos dois casos abaixo: a) Quando o Banco Central não remunera o compulsório; b) Quando o Banco Central remunera o compulsório à taxa SELIC de 8% ao ano. 15. Qual o deságio de uma debênture de valor de emissão de R$ 100,00 que promete 18% de rentabilidade anual com pagamento de juros semestralmente e taxa efetiva anual de juros de 20% ao ano. 16. Admita um título com vencimento para um ano e valor de face de R$ 1000,00. A taxa de desconto do título é fixada em 4% ao ano. Qual o preço de negociação que o título atinge no mercado? Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 NT = P1 + P2 2 Será considerado aprovado o aluno que obter NT maior ou igual a 7 (sete). 1.4. BIBLIOGRAFIA As notas de aula não substituem as referências bibliográficas. Nelas sempre se encontrará uma descrição mais detalhada de cada tópico, com muitos exercícios e alternativas de nomenclatura e abordagem aos temas. Recomendo, basicamente, quatro livros, mas, na maioria dos casos, muitos se eqüivalem. Deixo ao critério de cada um escolher aquele livro com o qual se identifique com a linguagem e metodologia: - ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 9ª edição – São Paulo: Atlas, 2006 - PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada – São Paulo: LTC Editora, 2000; - VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira – 7ª edição – São Paulo: Atlas, 2001; - JUER, Milton. Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada – 5ª edição – Rio de Janeiro: IBMEC, 1995. 2. O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO O conceito de dinheiro foi evoluindo ao longo do tempo. Nos primórdios da civilização não havia um conceito de moeda fiduciária propriamente dito. O escambo, que era a simples troca de mercadoria por mercadoria, sem equivalência de valor, predominava. Ao poucos algumas mercadorias começaram a se estabelecer como moedas-mercadoria. Estas eram aceitas por todos, assumindo a função de intermediação, circulando como elemento de troca e servindo para a avaliação de valor. Exemplos de moedas-mercadoria são o gado e o sal. Aos poucos as relações de troca foram sendo estabelecidas através de metais, por estes possuírem vantagens como a possibilidade de entesouramento, divisibilidade, raridade, facilidade de transporte e beleza. A moeda de papel aparece apenas na Idade Média, surgindo com o costume de se guardar valores em ourives, que eram pessoas que negociavam objetos de ouro e 2 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 prata. Estes, como garantia, entregavam recibos. Com o tempo, estes recibos passaram a ser utilizados para efetuar pagamentos, circulando de mão em mão e dando origem à moeda de papel. No Brasil, os primeiros bilhetes de banco, precursores das cédulas atuais, foram lançados pelo Banco do Brasil, em 1810. Tinham seu valor preenchido à mão, tal como, hoje, se faz com os cheques. O dinheiro, seja em que forma se apresente, não vale por si, mas pelas mercadorias e serviços que pode comprar. É uma espécie de título que dá a seu portador a faculdade de se considerar credor da sociedade e de usufruir, através do poder de compra, de todas as conquistas do homem moderno. A moeda não foi, pois, genialmente inventada, mas surgiu de uma necessidade e sua evolução reflete, a cada momento, a vontade do homem de adequar seu instrumento monetário à realidade de sua economia. Por este mesmo motivo, uma determinada quantia hoje, não “vale” a mesma coisa amanhã, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos. O que quantifica o crescimento do dinheiro são os juros aplicados ao longo de um período. Neste sentido, valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas. Valores de datas diferentes só podem ser comparados após serem movimentados para uma mesma data, com a correta aplicação dos juros. Estes são, usando termos coloquiais, o “aluguel pago pelo uso do dinheiro”. Pode-se dizer então, que o juro é a remuneração do capital, a qualquer título, ou o custo do capital de terceiros, ou ainda, a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. O conceito que mais trabalhamos neste curso, além do conceito de juros em si, é o de taxa de juros, que nada mais é que a taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia), da aplicação dos juros sob um dado capital. Abaixo seguem exemplos de taxas de juros e a nomenclatura adotada: 12 % ao ano = 12 % a. a.; 4 % ao semestre = 4 % a. s.; 1 % ao mês = 1 % a. m.. 4.1. FORMAÇÃO DA TAXA DE JUROS 3 sobretudo por ser a responsável pela rentabilidade das empresas financeiras. representa o risco de inadimplência. Há hoje na economia dois deles: regime de juros simples e regime de juros compostos. rende juros. ou seja. Nesse modelo não se somam os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros. que negociam seus ativos no mercado levando em conta sempre os riscos imanentes ao sistema. Portanto. juros não rendem juros. o emprestador terá a oportunidade de reaver o capital antes do tempo previsto. Cristiano Santos – UERJ – 2010 A taxa de juros hoje é um dos elementos centrais do mundo das finanças. adotamos regimes de capitalização dos juros. Cada risco é objeto de minuciosa análise e existem áreas inteiras nas grandes corporações para avaliações dessa natureza.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. isentar-se do risco da operação e reciclar o capital envolvido. calculando-se a probabilidade de que um elemento no mesmo grupo venha a não ter condições de honrar suas dívidas. A noção principal é a de que o dinheiro perde valor com o passar do tempo. O grau de dificuldade de comercialização do título reflete o peso da componente na composição da taxa de juros. podemos escrever a taxa de juros i do mercado. 4. Da mesma maneira.PRV A taxa i LR é o que se chama de taxa livre de risco. PRI . tal como o risco de inflação. REGIMES DE JUROS E FLUXOS DE CAIXA A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no tempo. O prêmio de liquidez. Hoje conseguiríamos comprar menos produtos com os mesmos mil reais. é dado por não se saber ao certo qual será a inflação no futuro. é fácil admitir que mil reais em 2005 tivessem um determinado poder de compra. desde o momento da concessão do empréstimo até a data de seu pagamento. aquela que seria cobrada caso não existisse nenhum risco inerente ao empréstimo do dinheiro. Estes riscos podem estar associados a muitas e diversas causas. como uma combinação de vários fatores (que aqui chamamos de prêmios): i = i LR . se a comercialização for facilitada. PL .PRI . As equações 4 .PL . É que. Este risco. ou taxa de juros real.PI . Este é calculado baseando-se no perfil do tomador do dinheiro. No regime de juros simples. ou prêmio. Para estudar essa evolução do dinheiro. apenas o capital inicial (ou principal). está relacionado à capacidade de o título garantidor da operação de crédito ser negociado em mercados secundários. A ela se dá uma importância crucial. Neste sentido.2. representado por PI . Tempo 1 2 3 4 . referenciada em uma data futura. as equações que regem a dinâmica dos juros são exponenciais e o dinheiro cresce em progressão geométrica. Este representa um conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. REGIME DE JUROS SIMPLES Vamos derivar uma fórmula para juros simples. como mostrado abaixo. Cristiano Santos – UERJ – 2010 de evolução dos juros são. Quanto maior a seta. Setas verticais para cima representam entradas e setas para baixo representam retiradas. portanto. utiliza-se uma ferramenta gráfica chamada fluxo de caixa. maior o valor da operação. n-2 n-1 n Podem-se ter fluxos de caixa de empresas. e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos. No regime de juros compostos. 5 . FV (valor futuro ou montante): é a quantidade monetária resultante de uma transação financeira. 5. J (juros): é a remuneração exigida na utilização do capital de terceiros. de projetos. Juros são capitalizados e passam a render juros. lineares fazendo com o que o dinheiro cresça em progressão aritmética ao longo do tempo.. de investimentos. i (taxa de juros): é o coeficiente obtido pela relação estabelecida entre o valor do juro de um período e o capital emprestado. somam-se os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. considerando a seguinte nomenclatura: PV (valor presente ou capital): é a quantidade monetária envolvida em uma transação financeira. O eixo horizontal representa o tempo que sempre cresce da esquerda para a direita. de operações financeiras etc. Nesse caso. referenciada na data local zero. É indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras. Para facilitar a visualização da evolução de operações monetárias ao longo do tempo.. discretamente. n: número de períodos (expressa em termos de tempo). n–1 PV PV .. i . ... TAXAS EQUIVALENTES PARA JUROS SIMPLES Nos cálculos efetuados em matemática financeira. . i 3 PV PV . i FV1 = PV (1 + i ) FV2 = PV (1 + i ) FV3 = PV (1 + i ) .. que remunera a uma taxa de juros i.. A tabela e o fluxo de caixa abaixo representam o ganho período a período..Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. 6 . consideremos uma aplicação PV..n ) j =1 n 5. i FVn −1 = PV (1 + i ) FVn = PV (1 + i ) n PV PV . FV PV 1 2 3 4 . por n períodos e que paga. ao final deste tempo um montante FV..... Cristiano Santos – UERJ – 2010 Para a derivação. n-2 n-1 n Período Valor Presente Juros Saldo Final dos Juros 1 PV PV . i Sendo assim. é preciso que o prazo e a taxa estejam representados na mesma unidade de tempo. + FVn −1 + FVn = PV (1 + i. o valor futuro total pode ser calculado como: FV = ∑ FV j = FV1 + FV2 + .. 2 PV PV .1. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.12 Logo.3. tais como desconto de notas promissórias e desconto de duplicatas.n ou d= i 1 + i. Por outro lado.01 = 0. m.0. resultam em juros iguais. a taxa de 12% a. para produzir o principal PV. 5. obteremos: i= d 1 − d . Suponhamos inicialmente as seguintes definições: Sejam d a taxa de desconto em cada período. durante n períodos.. Assim teremos: PV = FV = FV (1 − d . 5..im = 12. a taxa de desconto é aplicada sobre o montante FV. durante um mesmo prazo. Convém então lembrar que a taxa de rentabilidade i é aplicada sobre o principal PV. PV o principal e FV o montante e n o prazo.n 7 . a.01 ⇒ ia = 12. portanto. sendo o ano. JURO EXATO E JURO COMERCIAL Existe uma distinção conceitual entre juro simples exato e juro simples comercial. TAXA DE DESCONTO E TAXA DE RENTABILIDADE Taxa de Desconto: O conceito básico de taxa de desconto a juros simples é muito utilizado em determinadas operações bancárias. é equivalente à taxa de 1 % a. m. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Podemos dizer que duas taxas são equivalentes em juros simples quando aplicadas num mesmo capital inicial.n Para explicitarmos a taxa de rentabilidade i ou a taxa de desconto d. O exato utiliza efetivamente o calendário do ano civil (365 dias) enquanto o comercial admite o mês com 30 dias. para gerar o montante FV.n) 1 + i. durante n períodos. de 360 dias.2. Um exemplo simples seria calcular a taxa anual equivalente a 1 % a.: im = 0. também os salários são reajustados utilizando a mesma Matemática de juros compostos.1 0.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. 5. EXEMPLO: Qual o desconto de um empréstimo de R$ 10. dizemos que ele é obtido do desconto do montante FV.00 para pagamento em quatro anos com a taxa de 10% a.000.00 o que resulta em um desconto de R$ 1.n 1 − 0.n) = 10000(1 + 0. ou por fora. ou por dentro.. obteremos os mesmo R$ 14.000.3) = 13000 Para n = 4: FV2 = PV (1 + i. Utilizando a fórmula para encontrar a taxa de desconto por fora: d= i 0.4. 8 .1.00.3 Fazendo o mesmo para n = 4. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Como o valor principal PV é menor que o montante FV.00.3 1. VALOR ATUAL – REAJUSTE DE SALÁRIOS E INFLAÇÃO 5. se o tomador quita a dívida com um ano de antecedência? Resposta: Podemos fazer o cálculo diretamente. o desconto será de R$ 1000.1 = = 1 + i.3 1.1.1.4. Para n = 3: FV1 = PV (1 + i.000.n) = 10000(1 + 0.4 ) = 14000 O que dá um desconto de: D = FV2 − FV1 = 14000 − 13000 = 1000 No caso.3 Colocando na fórmula para encontrar FV: FV1 = PV 10000 10000 = = = 13000 1 1 − d .3 1. O desconto realizado com o uso da taxa de rentabilidade i é conhecido como desconto racional.1. Cálculo do Valor Atual Assim como os produtos. simplesmente calculando os valores do montante para n = 3 e para n = 4 e descontando um do outro.n 1 + 0. a. O desconto utilizado com a taxa de desconto é conhecido como desconto comercial. .(1 + rn ) − 1 EXEMPLO: A gasolina teve o seu preço reajustado em 8% em 2005... então S r = S (1 + r ) 5.. teremos r = 0.5. qual foi o reajuste acumulado nesses três anos? Nesse caso. EXEMPLO: Vamos supor que o salário mínimo seja R$ 100. r1 = 0. Para um único período o conceito é o de juros simples..00. = rn = r .1: S r = 100(1 + 0. 10% em 2006 e 5% em 2007. r2 .(1 + rn ) Se r1 = r2 =.. r3 = 0.1) = 110 Reajuste com taxas diferentes em cada período: Suponhamos que um produto ou um salário tenha reajustes diferentes em cada período com taxas r1 . Se o governo resolve aplicar um reajuste de 10%.. Então. r2 = 0. Então: S r = S (1 + r ) Onde Sr é o valor do salário ou preço reajustado.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. e r a taxa de reajuste no período....05 9 .08. rn respectivamente: S r = S (1 + r1 )(1 + r2 ). Cristiano Santos – UERJ – 2010 Reajuste em um único período: Seja S o salário ou o preço inicial. então: S r = S (1 + racum ) Comparando-se com a fórmula anterior racum = (1 + r1 )(1 + r2 )...1. TAXA DE REAJUSTE ACUMULADO n Seja racum a taxa de reajuste acumulado durante todos os períodos. . vestuário.. etc..(1 + 0. IPC-FIPE. 1 2 n Temos vários indicadores de preços INPC-IBGE.(1 + I n ) − 1 onde I . Cristiano Santos – UERJ – 2010 racum = (1 + 0.48 0.61% iacum = (1 + i1 )(1 + i2 )(1 + i3 )..) Se a inflação foi de 20% em um determinado período. Período Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março Taxa (%) 0.2474 = 24.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.74 0.1). isto significa que os preços foram reajustados em média de 20% no período.0074 )..79 0..74% 5.20 Então iacum = (1 + 0.(1 + i12 ) − 1 2009 2008 10 .0079 )(1 + 0. EXEMPLO: Calcule a inflação acumulada no período de abril de 2008 a março de 2009.6.0055)(1 + 0.I são as taxas de inflação relativas a cada período.28 0.05) − 1 racum = 0.. escolhidos para formar a chamada "CESTA BÁSICA" e de alguns itens essenciais (aluguel. segundo o IPCA do IBGE..28 0.0020 ) − 1 iacum = 5...53 0.45 0. INFLAÇÃO Taxa de um aumento médio no período que sofrem os preços de determinados produtos. A inflação acumulada I acum pode ser expressa como: I acum = (1 + I 1 )(1 + I 2 ). Afirmamos que o CUSTO DE VIDA aumentou em 20%. transporte. ICV do DIEESE etc..26 0.08)(1 + 0.(1 + 0. IGP-M da FGV..55 0. I ..36 0.55 0. Vamos derivar uma fórmula para o cálculo da perda percentual do salário. Se o índice de inflação é menor que o índice de reajuste então existe ganho. temos: S r = S (1 + r ) S i = S (1 + i ) Chamemos de P a perda em valor do salário: P = S i − S r = S (i − r ) Como estamos interessados na perda percentual.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 5.7. PERDA OU GANHO SALARIAL Se os salários são reajustados com base no índice de inflação no período então a perda e o ganho se anulam. temos r = 0: S REAL = S (1 + i ) 11 . Utilizando a nomenclatura previamente utilizada. que vamos chamar de p. teremos que esta é dada por: p= p= P S (i − r ) = S i S (1 + i ) i−r 1+ i Uma outra expressão interessante é a do salário real: S REAL S r = S Si S REAL = (1 + r ) S (1 + i ) Quando o salário não é reajustado. Se o índice de inflação é maior que o índice de reajuste então existe perda. 00 O valor de 984. enquanto que a inflação no mesmo período foi de 5. para recompor o salário deve-se ter: irecomp = i − r 0.1. um salário de R$ 1000.80 1040.0400 12 .0400 ⇒ houve perda.00 que sofre um reajuste de 4% com uma inflação de 5.7.98 1000.80.0400 = = 1.000.61% vale R$ 984.80 é denominado de salário real.0561 Isso significa que temos a seguinte proporção 984.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. TAXA DE RECOMPOSIÇÃO DA PERDA SALARIAL A taxa de recomposição salarial é a que se deve ser incorporada ao salário para que o indivíduo recupere o poder de compra.0561 − 0.00 e que teve o seu salário reajustado em 4%.61%? Como i = 0.00 = = 0.55% 1+ r 1 + 0. Cristiano Santos – UERJ – 2010 EXEMPLO: Qual é a perda salarial de um indivíduo que ganha R$ 1.00 1056. ou seja.52% 1+ i 1 + 0.0561 > r = 0. 5.0561 − 0.0400 = = 1.61% no ano. S r = S (1 + r ) = 1040 S i = S (1 + i ) = 1056 A perda percentual então será p= i − r 0. S (1 + r )(1 + irecomp ) = S (1 + i ) irecomp = 1+ i i−r −1 = 1+ r 1+ r No caso de se ter um reajuste de 4% com uma inflação de 5. 13 Comumente os conceitos de depreciação e desconto são confundidos.00 É importante que esta diferença conceitual fique bem clara. calcula-se o valor real com sendo igual a R$ 80.94 (1 + i ) 1 + 2.00. um determinado bem que tenha um valor nominal de R$ 100.8.2 No caso de um desconto.00 (cujo lançamento foi em julho de 1994) pode ser calculado.n) = 100(1 − 0.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. DEPRECIAÇÃO E DESVALORIZAÇÃO Deve-se levar em conta que um bem se desvaloriza pela inflação ao longo do tempo. chegamos à expressão geral de juros compostos. Calculando-se o valor real. teremos: PVREAL = FV 100 = = 83. depois de 20% de inflação em um certo período. um determinado bem que tem seu valor estipulado em R$ 100. O valor real de um bem desvalorizado: PVREAL = FV (1 + i ) O valor real de uma cédula de R$ 100.33. 6. apenas fazendo as seguintes transformações: 13 . se a taxa de desconto por dentro for de 20% ao período acordado. Cristiano Santos – UERJ – 2010 5.00 ao invés de R$ 83.33 (1 + i ) 1 + 0. JUROS COMPOSTOS Através da fórmula do reajuste salarial para taxas de reajuste igual. temos que. ou seja.2 ) = 80. o valor presente será: PV = FV (1 − d .00 para pagamento após um determinado período. levando em conta que a inflação no período foi de 213%: PVREAL = FV 100 = = 31. Cristiano Santos – UERJ – 2010  FV = S r .000.i +  . temos uma evolução que pode ser registrada da seguinte forma: n 0 0< n<1 1 2 FV (Juros Simples) PV FV < PV PV ( 1 + i ) FV (Juros Compostos) PV FV > PV PV ( 1 + i ) PV (1 + 2i ) PV (1 + 3i ) PV (1 + i. ao fazer o gráfico de FV x n.. temos: FV = PV (1 + i ) n É interessante notar a evolução do montante FV à medida que o número n de períodos cresce.   PV = S .i 2 + . tendo PV fixo no tempo.i n 1   2  n       onde a fórmula geral é uma binomial com coeficientes dados por: n n!  =  k  k!(n − k )!   A tabela e gráficos abaixo exemplificam a diferença entre a capitalização simples e a composta para uma aplicação na poupança no valor de R$ 1..00 ao longo de 3 anos. . Primeiramente vimos que.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.  Com isso. 14 .n ) PV (1 + i ) = PV 1 + 2i + i 2 2 ( ) 3 PV 1 + 3i + 3i 2 + i 3 ( ) n n n n 1 +  . i = r. 295.00 1.110.240.00 1.16 1.030.244.52 2.070.72 27.082.260.200.010.040.310.00 1.180.010.00 1.080.320.00 1.00 1.170.26 38.77 15 .30 16.19 1.220.300.69 62.160.26 1.00 1.00 1.257.60 1.00 1.172.140.020.60 1.86 1.00 1.73 32.15 1.290.00 1.149.150.090.360.62 5. Cristiano Santos – UERJ – 2010 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Simples Compostos 1.00 1.58 66.00 1.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.97 12.21 1.100.15 18.308.09 9.00 0.00 1.061.85 51.208.29 1.020.11 1.232.00 1.282.280.97 1.67 1.14 2.361.130.21 41.72 1.115.00 1.16 29.220.33 1.00 1.14 1.126.52 1.330.00 1.60 1.050.093.00 1.340.374.30 1.19 22.47 1.250.00 1.30 1.416.350.00 1.58 1.83 8.430.060.00 1.01 1.230.051.10 0.347.00 1.60 70.62 1.270.85 1.09 1.50 1.29 44.269.138.190.104.11 20.77 Diferença 0.39 24.83 1.00 1.210.73 1.86 3.160.030.58 14.33 54.10 1.69 1.30 0.184.58 1.00 1.196.94 1.334.01 1.50 47.00 1.00 1.00 1.69 1.94 58.00 1.00 1.00 1.072.00 1.00 1.43 35.00 1.321.47 10.00 1.43 1.120.69 4.402.00 1.388.040.39 1.67 6.00 1. 00 1.00 1. sempre existirá um α ∈ I tal que α= p .00 1.1. it : taxa trimestral. Isto quer dizer que q (1 + i ) = (1 + i ) p p q q 16 33 360 1 5 9 .00 1. TAXAS EQUIVALENTES PARA JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos.300. .400. im : taxa mensal.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.00 1. taxas equivalentes para distintos períodos de tempo perdem a linearidade observada no caso de juros simples. temos que.350. Cristiano Santos – UERJ – 2010 1.200. dados p e q inteiros positivos.00 1.100. 12 temos que FV = PV (1 + i a ) = PV (1 + i m ) = PV (1 + it ) = PV (1 + id ) 4 No caso genérico. Dada a seguinte nomenclatura: - ia : taxa anual.00 1.150.000.00 13 17 21 25 29 Juros Simples Juros Compostos 6.00 1. id : taxa diária.050.250. 00 3 A taxa de desconto será d= o que dá 0. proporciona o valor PV. Séries perpétuas: o número de períodos de capitalização é infinito.1 = 0. estamos procurando a taxa que.0909 1 + 0.a. levando em conta resgates e aplicações periódicas. Cristiano Santos – UERJ – 2010 6. ficamos com: FV n = FV (1 − d ) n (1 + i ) (1 − d )n O que dá: = 1 (1 + i )n d= i 1+ i Para o mesmo exemplo utilizado no caso de juros simples temos: i = 10%a. SÉRIES DE PAGAMENTOS Uma série de pagamentos é uma maneira de realizar fluxo de caixa rápida e eficiente. PV = Assim.0909)3 7. aplicada ao montante FV. DESCONTO A TAXAS DE JUROS COMPOSTOS Como no caso de juros simples.   PV = 10000 n = 3  FV = 10000(1 + 0.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. para as quais pode-se deduzir fórmulas gerais. 17 . Alguns são apresentados abaixo: Séries finitas: o número de períodos de capitalização é finito.1 FV = 10000 = 13310.1) = 13310.00 (1 − 0.2. Podemos ter vários conceitos de séries de pagamentos. representadas por PMT.. No diagrama de fluxo de caixa.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Séries periódicas: o período de tempo de capitalização difere do pagamento das parcelas. quando se paga periodicamente prestações iguais a PMT a uma taxa de rentabilidade i. Cristiano Santos – UERJ – 2010 - Séries anuais: o período de tempo de capitalização é o mesmo do pagamento das parcelas. A série de pagamentos que é motivo deste curso é a uniforme. A série uniforma é aquela na qual prestações têm um mesmo valor. podendo assumir qualquer uma das quatro classificações acima. O montante dado da primeira prestação será: FV1 = PMT (1 + i ) Na segunda prestação: n −1 FV2 = PMT (1 + i ) Penúltima prestação: n−2 FVn −1 = PMT (1 + i ) Última: FVn = PMT Somando cada uma das parcelas: 18 . considerando capitalização composta. para fins de estudos de operações de curto prazo. a título de exemplo. n-2 n-1 n Se quisermos. calcular o montante FV após n períodos.. temos PMT 0 1 2 3 4 . SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE (SAP) No modelo price. J o valor dos juros e A. + PMT (1 + i ) + PMT ( ) Para calcular uma expressão genérica para FV.. temos então (1 + i )n − 1 PV (1 + i ) = PMT n i o que dá PV (1 + i )n − 1 = PMT n i (1 + i ) 7.. a fórmula geral para uma série de pagamentos é: FV = PMT (1 + i ) − 1 i n [ ] Para o caso da relação de PV e PMT. teremos: i. Sendo PMT o valor da prestação.. + PMT (1 + i ) + PMT (1 + i ) 2 Subtraindo a última equação da penúltima. a amortização.1.FV = PMT (1 + i ) − 1 n FV (1 + i − 1) = PMT (1 + i ) − 1 n FV (1 + i ) − FV = PMT (1 + i ) − PMT n FV = PMT (1 + i ) − 1 i n [ [ [ ] ] ] Portanto..Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. cada uma subdividida em duas parcelas: Juros do período (calculados sobre o saldo da dívida no início do período). calculamos FV 1 + i : FV (1 + i ) = PMT (1 + i ) + PMT (1 + i ) n n −1 + . Cristiano Santos – UERJ – 2010 FV = PMT (1 + i ) n −1 + PMT (1 + i ) n−2 + . temos: PMT = J + A 19 . Amortização do principal (correspondente ao pagamento parcial ou integral do principal e obtida a partir da diferença do valor prestação e o valor dos juros no período). o financiamento é pago em prestações iguais. de tal modo que a soma dessas duas parcelas se mantenha sempre igual ao valor constante da prestação. n −1    PV − ∑ A j  J n = i. Já que parcela é igual aos juros mais amortização. pode ser escrito da seguinte maneira: J 1 = i. já identificando o valor da parcela a ser paga mensalmente. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Dessa maneira ao longo do tempo. ficamos. A1 + J 1 = A2 + J 2 A2 = A1 (i + 1) A1 +i. comecemos por encontrar a relação entre A1 e A2 . Sendo assim. os juros vão decrescendo ao passo que as amortizações vão crescendo.(PV − A1 ) Fazendo para A1 e A3 . Para tal. podemos escrever que: PMT = J 1 + A1 = J 2 + A2 .. . inicialmente.PV J 3 = i. a primeira parcela..(PV − A1 ) . para o termo genérico: 20 .Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.(PV − A2 − A1 ) J 2 = i. para cada período. .  j =1   podemos derivar uma fórmula que relaciona uma parcela genérica de amortização Ar com A1 .PV = A2 + i. podemos calcular o valor da amortização. já usando o resultado para A2 A3 = A1 (i + 1) 2 Usando o princípio da indução. = J n −1 + An −1 = J n + An Dado que o juro. 39 R$ 1.650.24 n (1 + i ) − 1 (1 + 0. Exemplo: Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 18.95 R$ 1.578.29 R$ 12.619.21 R$ 7.401.509. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Ar = A1 (i + 1) r −1 De posse desta equação pode-se então construir uma tabela com todas as informações necessárias sobre a operação que envolve parcelas iguais de pagamento.24 R$ 24.015.531.015).24 R$ 228.24 R$ 48.000. i = 1.76 R$ 1.400.83 R$ 4.24 R$ 141.24 R$ 206.15 R$ 3.650.24 Com a fórmula de recorrência encontrada acima.18000 = 1380.50% a.42 R$ 1.00 R$ 1.218.33 R$ 1.380.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.64 R$ 1.24 R$ 118.28 R$ 1.91 R$ 9.66 R$ 1.94 R$ 10.24 R$ 95. Resolução: Para este caso.650.650.443.5% a. n = 12 meses.650.82 R$ 1.650.39 R$ 1.650.68 R$ 1.888.30 R$ 1. para ser pago em 12 parcelas iguais.601.625.. temos que PV = 18000.m.892.83 R$ 1.24 R$ 270.650.227.625.015) = 18000 = 1650.94 R$ 15.554.360.650.24 − (0. O valor das parcelas é dado pela fórmula calculada acima: PMT = PV i (1 + i ) 0.353. com vencimento do 1º pagamento em 30 dias e periodicidade mensal de amortização e juros de 1.421.24 R$ 16.015)12 − 1 n 12 Vamos calcular a primeira parcela de amortização: A1 = PMT1 − J = PMT1 − i.805.30 R$ 1.m.51 R$ 1.650.41 R$ 1.85 R$ 0. Então: a) Determine o valor da parcela a ser paga mensalmente. podemos escrever a tabela Price para o cliente: Parcela 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Valor da Parcela Juros Amortização Saldo Devedor R$ 1.82 R$ 1.24 R$ 72.24 R$ 249.650.24 R$ 163.24 R$ 185.00 21 .650.86 R$ 1.486.03 R$ 1. b) Determine o valor de cada parcela de juros a ser paga e o valor a ser amortizado mensalmente.PV = 1650.72 R$ 1.464.(1 + 0.09 R$ 1.57 R$ 1.00.85 R$ 6.796.85 R$ 1.96 R$ 13. Usando a igualdade para a primeira e segunda parcelas: PMT1 − i. PV − ∑ A j    j =1   PMT1 − i. A Como a amortização A é constante.. temos: PMT1 − J 1 = PMT2 − J 2 PMT1 − J 1 = PMTk − J k k −1   PMT1 − i. A1 Fazendo agora para o k-ésimo e o primeiro termos.PV + i.(k − 1). teremos as seguintes relações: A = PMT1 − J 1 = PMT2 − J 2 = .PV = PMTk − i. PV − ∑ Ak  k =1   J 2 = i. A PMTk = PMT1 − i. utilizando as igualdades existentes para a amortização.PV J 3 = i.(PV − A1 ) Agora vamos encontrar uma expressão que relacione a k-ésima parcela PMT à primeira.. utilizando a mesma nomenclatura utilizada anteriormente.. Cristiano Santos – UERJ – 2010 7.PV = PMT2 − i..Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. já que sempre estão relacionadas ao saldo devedor: J 1 = i. as amortizações são iguais. Sistema de Amortização Constante (SAC) No modelo SAC.PV = PMTk − i. Neste caso. temos: 22 . n −1   J n = i.(PV − A1 ) PMT2 = PMT1 − i.(k − 1). = PMTn − J n As expressões para os juros continuam sendo iguais.(PV − A1 − A2 ) .2. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 A= PV n Vamos voltar ao exemplo do caso SAP, apenas a título de comparação. Exemplo: Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 18.000,00, para ser pago em 12 parcelas iguais, com vencimento do 1º pagamento em 30 dias e periodicidade mensal de amortização e juros de 1,50% a.m. Então: a) Determine o valor da parcela a ser paga mensalmente; b) Determine o valor de cada parcela de juros a ser paga e o valor a ser amortizado mensalmente. Resolução: De novo, temos que PV = 18000, i = 1,5% a.m., n = 12 meses. O valor da amortização será: A= PV 18000 = = 1500 12 n Os juros da primeira parcela vão ser: J 1 = i.PV = 0,015.18000 = 270 o que resulta em uma primeira parcela de: PMT1 = J 1 + A1 = 1500 + 270 = 1770 Utilizando as fórmulas de recorrência para os juros e para as parcelas, chegamos então à seguinte tabela: Parcela 1 2 3 Valor da Parcela Juros Amortização Saldo Devedor R$ 1.750,00 R$ 270,00 R$ 1.500,00 R$ 16.500,00 R$ 1.747,50 R$ 247,50 R$ 1.500,00 R$ 15.000,00 R$ 1.725,00 R$ 225,00 R$ 1.500,00 R$ 13.500,00 23 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.3. Carência R$ 1.702,50 R$ 1.680,00 R$ 1.657,50 R$ 1.635,00 R$ 1.612,50 R$ 1.590,00 R$ 1.567,50 R$ 1.545,00 R$ 1.522,50 R$ 202,50 R$ 180,00 R$ 157,50 R$ 135,00 R$ 112,50 R$ 90,00 R$ 67,50 R$ 45,00 R$ 22,50 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 1.500,00 R$ 12.000,00 R$ 10,500,00 R$ 9.000,00 R$ 7.500,00 R$ 6.000,00 R$ 4.500,00 R$ 3.000,00 R$ 1.500,00 R$ 0,00 O conceito de carência é utilizado quando se é dado contratualmente ao tomador do empréstimo a possibilidade de protelar o início da amortização por um determinado número de períodos. Com a atual dinâmica do mercado de empréstimos, há uma gama enorme de produtos que prevêem esse tipo de carência, cada um com uma característica específica. Aqui será discutido três casos, que, certamente, não são exaustivos no que tange ao universo de possibilidades de ofertas reais. São eles: a) Quando é dado ao cliente a possibilidade de pagar apenas os juros relativos ao saldo devedor durante o período de carência; b) Quando o cliente paga todos os juros do saldo devedor no primeiro mês posterior ao término da carência; c) Quando o cliente pulveriza os juros do período de carência ao longo da série de pagamentos da amortização. Vamos estudar estes três casos sob a luz dos dois sistemas estudados anteriormente: SAP e SAC. 7.3.1. Carência no SAP Voltando ao exemplo anterior, pode-se modificá-lo para estudarmos a carência. Exemplo: Uma instituição financeira concedeu a um indivíduo um crédito no valor de R$ 18.000,00, para ser pago em 16 meses, com carência de 4 meses e vencimento do 1º pagamento no início do 5º, com parcelas iguais e periodicidade mensal de amortização e juros de 1,50% a.m. Monte a tabela de pagamentos para os casos a seguir: a) O cliente paga os juros do saldo devedor durante o período de carência; b) O cliente não paga nada durante o período de carência e paga todos os juros deste período no primeiro mês de amortização; c) O cliente divide os juros do período de carência entre as demais parcelas, a partir da quinta. 24 Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Resolução: Vamos diretamente às tabelas que esclarecem o fluxo. a) O cliente paga os juros do saldo devedor durante o período de carência. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 270,00 R$ 249,30 R$ 228,28 R$ 206,95 R$ 185,30 R$ 163,33 R$ 141,03 R$ 118,39 R$ 95,41 R$ 72,09 R$ 48,42 R$ 24,39 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 1.380,24 R$ 1.400,94 R$ 1.421,96 R$ 1.443,29 R$ 1.464,94 R$ 1.486,91 R$ 1.509,21 R$ 1.531,85 R$ 1.554,83 R$ 1.578,15 R$ 1.601,82 R$ 1.625,85 R$ 18.000,00 R$ 18.000,00 R$ 18.000,00 R$ 18.000,00 R$ 16.619,76 R$ 15.218,82 R$ 13.796,86 R$ 12.353,57 R$ 10.888,64 R$ 9.401,72 R$ 7.892,51 R$ 6.360,66 R$ 4.805,83 R$ 3.227,68 R$ 1.625,85 R$ 0,00 Juros Acumulados da Amortização R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 b) O cliente não paga nada durante o período de carência e paga todos os juros deste período no primeiro mês de amortização. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 2.754,78 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 1.650,24 R$ 270,00 R$ 274,05 R$ 278,16 R$ 282,33 R$ 1.374,54 R$ 249,30 R$ 228,28 R$ 206,95 R$ 185,30 R$ 163,33 R$ 141,03 R$ 118,39 R$ 95,41 R$ 72,09 R$ 48,42 R$ 24,39 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 1.380,24 R$ 1.400,94 R$ 1.421,96 R$ 1.443,29 R$ 1.464,94 R$ 1.486,91 R$ 1.509,21 R$ 1.531,85 R$ 1.554,83 R$ 1.578,15 R$ 1.601,82 R$ 1.625,85 R$ 18.000,00 R$ 18.000,00 R$ 18.000,00 R$ 18.000,00 R$ 16.619,76 R$ 15.218,82 R$ 13.796,86 R$ 12.353,57 R$ 10.888,64 R$ 9.401,72 R$ 7.892,51 R$ 6.360,66 R$ 4.805,83 R$ 3.227,68 R$ 1.625,85 R$ 0,00 Juros Acumulados da Amortização R$ 270,00 R$ 544,05 R$ 822,21 R$ 1.104,54 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 25 601.83 R$ 1.85 R$ 1.770.29 R$ 219.00 R$ 0.00 R$ 0.104.00 7.500.00 R$ 9.00 R$ 0.62 R$ 0.554. Cristiano Santos – UERJ – 2010 c) O cliente divide os juros do período de carência entre as demais parcelas.635.21 R$ 19.700.00 R$ 18.00 R$ 0.00 R$ 1.500.00 R$ 0.00 Juros Acumulados da Amortização R$ 0.751.00 Juros Acumulados da Amortização R$ 0.59 R$ 242.00 R$ 13.578.000.00 R$ 16.500.00 R$ 0.00 R$ 0.33 R$ 286.00 R$ 0.54 R$ 17.51 R$ 51.00 R$ 270. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 R$ 270.500.05 R$ 18.751.70 R$ 14.500.97 R$ 5.50 R$ 270.500.751.00 R$ 270.270.67 R$ 173.650.00 R$ 0.99 R$ 1.2.00 R$ 0.50 R$ 1.509.00 R$ 0.100.16 R$ 282.00 R$ 0.50 R$ 1.35 R$ 149.00 R$ 0. Carência no SAC Utilizando o mesmo exemplo e modalidades de carência utilizadas anteriormente.657.61 R$ 16.62 R$ 18.00 R$ 0.00 R$ 1.680.00 R$ 270.152.00 R$ 0.00 R$ 12.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.50 R$ 1.68 R$ 125.00 R$ 1.50 R$ 1.500.00 R$ 0.00 R$ 0.12 R$ 1.00 R$ 1.00 R$ 0.00 R$ 1.00 R$ 18.751.751.00 R$ 0.57 R$ 264.82 R$ 6.000.751.00 R$ 270.00 R$ 202.50 R$ 1.000.50 R$ 180.978.639.500.91 R$ 1.88 R$ 0.50 R$ 1.05 R$ 278.751.24 R$ 1.625.00 R$ 247.643.00 R$ 270.39 R$ 25.50 R$ 135.50 R$ 1.00 R$ 0.48 R$ 13.000.80 R$ 9.21 R$ 1.00 R$ 10.000.500.00 R$ 1.111.00 R$ 0.702.725.00 R$ 1.00 R$ 0.65 R$ 8.751.26 R$ 76.00 R$ 0.425.725.531.00 R$ 0.376.750.94 R$ 1.00 R$ 0.751.751.00 R$ 270.00 R$ 1.000.00 R$ 7.50 R$ 1.3.544.85 R$ 1. temos: a) O cliente paga os juros do saldo devedor durante o período de carência.725.00 R$ 18.00 R$ 18.82 R$ 1.00 R$ 0.00 R$ 1.500.464.74 R$ 1.50 R$ 1.00 R$ 15.674.00 R$ 0.50 R$ 1.00 R$ 0.15 R$ 1. a partir da quinta.500.751.00 R$ 270.73 R$ 3.00 R$ 0.486.50 R$ 1.63 R$ 11.00 R$ 0.00 26 .00 R$ 18.65 R$ 196.000.50 R$ 225.00 R$ 0.00 R$ 274. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 R$ 0.00 R$ 1.00 R$ 157.556.00 R$ 270.00 R$ 1.00 R$ 1.00 R$ 0.747.751.00 R$ 0.65 R$ 101.00 R$ 0.822.00 R$ 0.50 R$ 1.00 R$ 1.50 R$ 1.50 R$ 1. 522.500.854.000.00 R$ 18. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R$ 0.00 R$ 0.00 R$ 0.00 R$ 1.00 R$ 1.500.500.00 R$ 1.500.50 R$ 1.93 R$ 191.00 R$ 1.000.50 R$ 270.000.00 R$ 1.00 R$ 0.592.00 R$ 1.00 R$ 0.635.00 R$ 112.590.00 R$ 1.000.50 R$ 45.00 R$ 0.00 R$ 1.522.00 R$ 0.544.00 R$ 0.54 R$ 0.05 R$ 0.00 R$ 1.657.00 R$ 10.680.612.00 R$ 13.00 R$ 0.00 R$ 9.592.81 R$ 214.000.00 R$ 0.878.00 R$ 1.702.54 R$ 17.00 R$ 1.00 R$ 0.50 R$ 90.00 R$ 22.50 R$ 1.00 R$ 274.500.500.00 R$ 3.32 Juros Acumulados da Amortização R$ 0.16 R$ 282.05 R$ 1.00 R$ 202.00 Juros Acumulados da Amortização R$ 270.05 R$ 278.00 R$ 0.36 R$ 11.00 R$ 67.00 R$ 274.50 R$ 1.00 R$ 0.500.500.00 R$ 18.270.00 R$ 6.874.00 R$ 7.567.00 R$ 0.00 R$ 1.00 R$ 0.00 R$ 1.920.45 R$ 14.41 R$ 12.806.00 R$ 3.05 R$ 1.50 R$ 0.00 R$ 0.500.69 R$ 238.00 R$ 1.000.00 R$ 1.328.00 R$ 18.00 R$ 1.00 R$ 4.50 R$ 112.00 R$ 15.50 R$ 45.05 R$ 18.97 R$ 1.00 R$ 1.00 R$ 1.57 R$ 262.00 R$ 0.50 R$ 1.00 R$ 67.50 R$ 1.00 R$ 12.00 R$ 0.830.144.592.00 R$ 1.00 R$ 1.00 R$ 0.00 R$ 0.592.33 R$ 1.500.05 R$ 278.09 R$ 270.104.500.61 R$ 1.000.00 R$ 0.00 R$ 0.500.00 R$ 0.00 R$ 6.00 R$ 0.00 R$ 0.567.00 R$ 4.000.512.500.21 R$ 19.545. Mês Parcela Juros Amortização Saldo Devedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 R$ 0.33 R$ 286.00 R$ 0.00 R$ 0.500.00 R$ 18.00 R$ 1.00 R$ 1.50 R$ 180.592.00 R$ 0.500.00 c) O cliente divide os juros do período de carência entre as demais parcelas.00 R$ 0.500.00 R$ 0.00 b) O cliente não paga nada durante o período de carência e paga todos os juros deste período no primeiro mês de amortização.747.85 R$ 1.500.50 R$ 15.00 R$ 1.736.00 R$ 0.50 R$ 90.500.00 R$ 2.500.500.21 R$ 1.50 R$ 1.50 R$ 1.612.500.545.54 R$ 1.590.500.374.00 R$ 157.16 R$ 282. a partir da quinta.783. Cristiano Santos – UERJ – 2010 12 13 14 15 16 R$ 1.00 R$ 0.00 R$ 1.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.00 R$ 16.00 R$ 18.00 R$ 544.00 R$ 0.500.73 R$ 1.00 R$ 0.00 R$ 22.822.000.50 R$ 135.00 R$ 1.00 R$ 0.000.500.50 R$ 225.00 R$ 1.500.00 R$ 0.00 R$ 0.725.05 R$ 1.05 R$ 18.104.50 R$ 1.00 27 .00 R$ 1.00 R$ 0.000.05 R$ 822.05 R$ 1.00 R$ 0.54 R$ 247. 592.21 R$ 1.00 R$ 0.64 R$ 47.76 R$ 23.05 R$ 1.09 R$ 1.18 R$ 4.776.368.05 R$ 1.960.05 R$ 1.00 R$ 0.93 R$ 167.14 R$ 3.639.27 R$ 7.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.663.592.592.592.00 R$ 0.00 R$ 0.05 R$ 1.81 R$ 1.592.592.88 R$ 1.52 R$ 71.00 R$ 0.00 R$ 0.552.615.40 R$ 95.00 R$ 0.28 R$ 119.05 R$ 9.735.69 R$ 1.33 R$ 1.05 R$ 1.16 R$ 143.05 R$ 0.05 R$ 1.45 R$ 1.592.759.184. Cristiano Santos – UERJ – 2010 10 11 12 13 14 15 16 R$ 1.57 R$ 1.711.687.00 28 .23 R$ 6.592. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.000. terá condições.00 quatro meses depois. m. isto é: 29 . Resolução: i = 66% a. a taxa é de 4.5 % ao mês de juros simples. o resultado registrado deve ser igual ao valor dos pagamentos.00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas. o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-se em uma conta de poupança que rende 66% ao ano de juros simples.00 resgatando R$ 21. Logo. = 5.048 4 Portanto. com este capital aplicado.055 x5 A pessoa.31 numa poupança que paga 5. Calcule a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação. a.000.023.n ) 21456 = 18000(1 + 4i ) 0. PV = 35000 65000 + = 81023. depositando hoje R$ 81. Resolução: PV = 18000 FV = 21456 N = 4 meses i=? FV = PV (1 + i. m.31 1 + 0.456. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta.055 x3 1 + 0. 2) Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: R$ 35. = 66/12 a. ao capitalizar o capital aplicado para os momentos 3 e 5. m.192 i= = 0.00 vencíveis no fim de 3 meses. R$ 65. de resgatar suas dívidas nas respectivas datas de vencimento.8 % a.000.5 % a. Cristiano Santos – UERJ – 2010 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Uma pessoa aplicou em um instituição financeira R$ 18. 2 % a.30 O saldo remanescente de R$ 925.a.a i12 = (1 + 0.16 Momento 5 = 59392.31 x ( 1 + 0. pode-se atribuir qualquer valor a PV e FV.009451 Ou seja.30 – 65000 = 925. s.a 6 4 i12 = (1 + 0. Resolução: i12 = (1 + 0.055 x 2) = 65925.a 2 30 . b.2 % ao mês? Resolução: PV = 1 FV = 2 Mantida a proporção.85 log 1.53%a.04 ) − 1 = 26.055 x 3 ) = 94392.5 % a.49%a. o capital dobra após 31 meses e 26 dias. 4) Calcular a taxa efetiva anual equivalente às seguintes taxas: a) 2.301030 n= = = 31. procedimento incorreto no regime linear.30 é devido à capitalização dos juros. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Momento 3 = 81023. c) 6 % a.022 ) log 2 0. n=? Utilizando-se a fórmula básica: FV n = (1 + i ) PV n 2 = (1.0%a. 3) Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 2. t.025) − 1 = 34. m.022 0. 12 i12 = (1 + 0. d) 10 % a.10 ) − 1 = 21. m.16 – 35000 = 59392. Em juros simples.06 ) − 1 = 26. originando-se daí a diferença encontrada. b) 4 % a. i = 2.25%a. o prazo da operação não pode ser fracionado.16 x ( 1 + 0.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. isto é: a) PV = 140000.368.172684 2 (i + 1)2 = 0.3 % ao mês.9488 = 0 2 + 104368.56 (1 + i )4 − 0. O custo (taxa percentual) da alternativa b) em relação ao pagamento a vista é calculado pelo conceito da taxa interna de retorno.27 = 144559. A alternativa que apresentar o maior valor presente é a que tem a maior custo.9488 = 1. Em verdade. teremos x= − b ± b 2 − 4ac 2a 0. 31 . Cristiano Santos – UERJ – 2010 5) Para uma taxa de juros de 7% ao mês.55 + 79622.56 em 120 dias.82 (1. b e c. deseja-se saber a taxa de juros que iguala o PV da alternativa b) ao valor do pagamento a vista.3636(1 + i )2 − 0. qual das duas alternativas de pagamento apresenta menor custo para o devedor: a) Pagamento integral de R$ 140. b) R$ 30.56 Esta é uma equação quadrática em x = (i + 1) . apresenta um custo superior a 7% ao mês. a taxa que representa o custo mensal efetivo das condições de pagamento é 8.00 a vista (na data zero). Chamando os coeficientes de a.00 em 60 dias e R$ 104.0829 Logo.07 )2 (1.000.3636 2 + 4.07 )4 A alternativa de pagamento b) com maior valor presente. b) PV = 30000 + 40000 104368.3636 + i = 0. Resolução: O problema pode ser solucionado calculando-se PV das duas alternativas à taxa de 7% ao mês. R$ 40.0.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.000. sendo portanto a mais onerosa.56 (1 + i )4 (1 + i ) (1 + i )4 4 2 110000(1 + i ) = 40000(1 + i ) + 104368.56 + = 30000 + 34937.00 de entrada. Assim: 140000 = 30000 + 110000 = 40000 2 (1 + i ) 40000 2 + 104368.000. Cristiano Santos – UERJ – 2010 EXERCÍCIOS 1.4%. e a outra daqui a 6 meses. Dado que a inflação de acumulada do primeiro semestre de um determinado ano foi de 2. com capitalização mensal em um prazo de dezoito meses.00 será amortizado pelo SAP ( Sistema Francês ) no prazo de 2 anos. Um empréstimo de R$ 1. Caso essa mesma dívida fosse paga em duas parcelas iguais. qual a taxa de reajuste salarial que o setor empresarial forneceu? 7.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.35% a.83%. 9..000. levando em consideração a representatividade de pelo menos 50% da renda mensal familiar. Qual o prêmio de risco de inadimplência que a empresa provavelmente está utilizando em empréstimos para novos clientes deste mesmo perfil? 3. 6. Elabore um modelo para medir a inflação da sua família ao longo de um ano. obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.000. Um empréstimo de R$ 1.m..000. e R$ 192. Calcule o juro final como porcentagem do capital inicial aplicado a uma taxa de juros simples de 24% ao ano. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600. 12.00. Determine o valor das prestações. os juros pagos na 1ª prestação. qual seria a diferença entre as somas dos valores pagos em cada caso? 4. uma daqui a 4 meses.41%. pagando-se as prestações 3 e 4 junto com a 2ª.00. Um estudo com mil clientes enquadrados em um determinado perfil sócio-econômico de um banco indicou 28 mal pagadores. Construir a planilha financeira de amortização da dívida. Supondo os demais prêmios iguais à unidade. Uma dívida contraída à taxa de juros simples de 10% ao mês. daqui a 6 meses.1 % qual deverá ser a taxa de inflação do segundo semestre para que um reajuste salarial de 3. respectivamente iguais a R$ 126. Construir a planilha financeira de amortização da dívida. a 1ª quota de amortização. os juros pagos na 20ª prestação.m. Derive uma fórmula para o ganho salarial em termos das taxas de inflação e reajuste salarial.00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10 % a. A taxa de recomposição salarial para uma determinada categoria trabalhista é de 1. à taxa de juros compostos de 6% ao mês.00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10 % a. 32 . em prestações mensais. deverá ser paga em duas parcelas. qual será a taxa aplicada para esta operação? 2. Um empréstimo no valor de R$ 15.5 % seja justo? 5. 10. daqui a 4 meses. Considerando uma taxa de 5% ao mês. a inflação acumulada esperada desde o momento de concessão do crédito até data de pagamento total do empréstimo é de 4. 11. Se a taxa de inflação no período foi de 5. 8. m.00. a 15ª quinta quota de amortização. o saldo devedor após o pagamento da 22ª prestação. Dado que a taxa livre de risco de uma dada operação de crédito é de 1. Um empréstimo de R$ 1. Um empréstimo no valor de R$ 80. Construir a planilha de amortização. o valor da última prestação e o saldo devedor após o pagamento da 10ª prestação.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. 16. Sabendo que as prestações são iguais e que a taxa da transação é de 12. sugerido pela operadora.00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. fazendo o pagamento mínimo de R$ 298. sabendo que. apenas os juros são pagos. 14..00. vencendo a 1ª prestação 150 dias após a liberação do empréstimo.000.. calcule quanto tempo o cliente levará para saldar a dívida.500. 33 .m. durante a carência. 17.m.m.00 foi contraído via SAC em 5 prestações mensais à taxa de 10% a. Refazer o exercício nº 10 utilizando SAC. a uma taxa de juros de 10% a. Uma dívida de R$ 6.00. 15.000.m. Cristiano Santos – UERJ – 2010 13.00 será amortizada via SAP em 4 prestações mensais. Um cliente de cartão de crédito decidiu parcelar uma dívida de R$ 3000. Sendo a taxa de juros da operação de 4% a. determinar o valor das amortizações mensais. Construir a planilha financeira de amortização da dívida. o valor dos juros e da prestação referente ao 22º pagamento.20% a. e servem. geralmente para a construção de fundos constituídos com objetivos definidos (como o FAT – Fundo de Amparo ao Trabalhador – por exemplo.0041% para transações envolvendo pessoas físicas (PF – PF e PF – PJ) e 0. Já as contribuições possuem uma destinação específica. As taxas geralmente têm esfera municipal e estão ligadas a um serviço específico oferecido pela prefeitura (por exemplo. TRIBUTOS Os tributos compõem toda a renda governamental que o país arrecada. ou seja. A seguir há uma descrição bastante sucinta de alguns tributos importantes e que. através do imposto de renda. através da taxação de mercadorias e serviços. quando se tributa diretamente o contribuinte. de pessoa física a pessoa física e de pessoa jurídica a pessoa física. Os tributos podem ser divididos em três diferentes conceitos: impostos. seja por meio indireto. ou Relativas: incide sobre operações de crédito realizadas por instituições financeiras ou similares. ICMS – Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços: este é um imposto estadual e que possui uma grande importância para o orçamento dos governos estaduais. de pessoa jurídica a pessoa jurídica. permeiam a vida cotidiana e o mundo da matemática financeira: PIS / COFINS – Programa de Integração Social / Contribuição Social para o Financiamento da Seguridade Social: incide sobre o faturamento mensal. etc). baseando-se na NCM (Nomenclatura Comum do Mercosul. Câmbio e Seguro. seja por meio direto. serviços hospitalares e de transporte.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. que financia a casa própria). industriais. de mercadorias e serviços e serviços de qualquer natureza. Esta arrecadação pode ser alocada livremente dentro do orçamento da União. taxas e contribuições. de alguma maneira. Atualmente. Os impostos não têm uma destinação específica nos cofres do governo. a taxa de incêndio. este imposto está em 0. 34 . assim considerando a receita bruta das vendas de mercadorias. classificação internacional utilizada em todos os países que compõem o mercado comum do cone sul e que serve como base para as transações entre estes países) além também de haver diferenciação para cada estado. a taxa do gás. IOF – Imposto sobre Operações de Crédito. CSSL – Contribuição Social sobre o Lucro Líquido: percentual da receita bruta anual ou mensal da venda de bens nas atividades comerciais. Há alíquotas diferenciadas para cada produto.0082% para transações financeiras envolvendo pessoas jurídicas (PJ – PJ). Cristiano Santos – UERJ – 2010 8. segundo o critério do uso do dinheiro: o uso monetário. SISTEMA FINANCEIRO NACIONAL O Sistema Financeiro Nacional possui uma estrutura baseada em conselhos. Cristiano Santos – UERJ – 2010 O ICMS é um dos pivôs da chamada “guerra fiscal”. 9. que é a disputa que os estados brasileiros vêm travando na obtenção de recursos industriais quando empresas multinacionais revelam suas intenções de instalar novas plantas em território nacional. Como o governo estadual tem o poder de modificar as alíquotas dos produtos. através do Comitê de Política Monetária (COPOM) é responsável por ordenar por dar diretrizes básicas da economia.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Estes conselhos são as entidades máximas que separam a dinâmica financeira em três partes. Dessa maneira pode-se desenhar a estrutura do SFN da seguinte forma (dando maior ênfase ao uso monetário): Operadores Banco Central (BC) Outras instituições Conselho Monetário Nacional (CMN) Bolsa de Mercadorias & Futuros (BMF) Comissão de Valores Mobiliários (CMN) Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa) Conselho Nacional de Seguros Privados (CMN) Superintendência de Seguros Privados (Susep) Conselho de Gestão da Previdência Complementar Secretaria de Previdência Complementar (SPC) Entidades Fechadas de Previdência Complementar O Banco Central. A principal tarefa do COPOM é determinar a meta da taxa 35 . a seguridade privada e a previdência complementar. para atrair a instalação da indústria para seu estado. os governantes podem. que possuem lastro em títulos públicos federais.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Em situações normais. vamos supor que o governo baixe a meta da SELIC. De forma geral.4% nas taxas de juros bancárias. Cristiano Santos – UERJ – 2010 SELIC. como o risco final da transação acaba sendo efetivamente o do governo. porém. Assim. Aumentando a oferta de moeda. quanto maior o prazo. Torna-se. No caso de fundo de renda fixa. um corte na SELIC irá necessariamente reduzir a rentabilidade dos referidos fundos. Acontecendo isso. pois boa parte destes fundos é investida em papéis pós-fixados. então. uma redução de um ponto percentual na SELIC acarreta em uma queda de 0. para o caso nacional. por questões históricas. o spread bancário. como o cartão de crédito e o cheque especial. na forma de operações compromissadas. maior o risco e. é muito alto. esta taxa acaba servindo de referência para todas as demais taxas de juros da economia. A taxa SELIC é a taxa de financiamento no mercado interbancário para operações de um dia. No Brasil. portanto. A equação para a taxa SELIC. é: TS = ∑ L jV j j =1 N 36 . não ocorre sempre. todas as operações bancárias feitas com o governo lastreadas na SELIC perdem rentabilidade. Para tentar entender um pouco do mecanismo. títulos estes que são listados e negociados no Sistema Especial de Liquidação e Custódia. que são operações de venda de títulos com compromisso de recompra assumido pelo vendedor. os efeitos da redução da SELIC são mais diretos. caem as taxa de juros de produtos bancários. TS . Assim. ou overnight. pois seus títulos servem de lastro para a operação e o prazo é o mais curto possível. que é a diferença entre os juros que os bancos pagam para captar dinheiro e os juros cobrados de quem toma empréstimos dos bancos. A taxa apurada no SELIC é obtida mediante o cálculo da taxa média ponderada e ajustada nas operações de financiamento por um dia. Estima-se que. concomitantemente. a SELIC é a taxa mais baixa. maior a taxa. interessante aos bancos emprestar dinheiro no mercado privado. que seguem a rentabilidade da SELIC. ou seja. o que. o SELIC. pelo período de um semestre.Para distribuição assimétrica negativa: 5% das operações com menores fatores. A TR é calculada e divulgada pelo Banco Central diariamente. CUSTO EFETIVO 37 . e algumas linhas de crédito do BNDES (como o Finame e Finem) 10.TBF (Taxa Básica Financeira): A TBF foi criada com o intuito de alongar o perfil das aplicações em títulos. assim consideradas: . Cristiano Santos – UERJ – 2010 onde L j e V j são. É divulgada diariamente pelo Banco Central. . . ela também remunera a caderneta de poupança. Esta taxa remunera o FAT (Fundo de Amparo ao Trabalhador). como dos setores de infra-estrutura e de consumo.Para distribuição assimétrica positiva: 5% das operações com maiores fatores. é resultado da média ponderada entre inflação (IPCA) e o Risco-Brasil. o fator diário e o valor financeiro correspondentes à taxa da jésima operação. tem a finalidade de estimular investimentos de longo prazo. através de uma remuneração superior à TR.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. 9.TR (Taxa Referencial): A TR foi criada para ser uma taxa básica referencial dos juros a serem praticados no mês vigente. e não reflexo do mês anterior. 10. Indexadora oficial dos contratos com prazo superior a 90 dias. respectivamente. Sua remuneração é calculada pelo somatório de captação de depósitos a prazo das 30 maiores instituições financeiras do país. JUROS BANCÁRIOS Depois de termos estudado as taxas de juros oficiais e seus mecanismos.5% com menores fatores diários. PIS / PASEP. crescente. -TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo): A TJLP.Para distribuição simétrica 2.1 TAXAS DE JUROS DO SISTEMA FINANCEIRO . A amostra é constituída excluindo-se do universo as operações atípicas. contudo. que é um índice que mede o risco de investir no país.1. Sua remuneração. vamos estudar brevemente como estas taxas se relacionam com os juros praticados pelos bancos para o cliente final e quais são as taxas efetivas que estes praticam. como o próprio nome indica. em função do volume de captação de CDBs e RDBs.5% das operações com os maiores fatores diários e 2. . . m. Juros O custo efetivo final será a taxa interna de retorno deste fluxo de entradas e saídas de caixa. Assim.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.50 Juros: 2. c) 90 dias.. pode ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal: TAC Juros Juros . eleva o percentual de juros cobrados efetivamente.m.60 Limite: 100.16% a. Esta taxa de crédito. Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida tenha sido contratada por: a) 30 dias. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Quando da obtenção de alguma operação que envolva a concessão de crédito ao cliente (seguros. b) 60 dias. O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida (cheque especial). por exemplo.. empréstimos.50 Crédito liberado: 98.5%. 38 .00 Total: 102. é comum que a instituição financeira inclua alguns custos adicionais.6% a. e uma TAC de 1. além daquele representado pela taxa de juros efetivamente explicitada.00 TAC: 1. Por exemplo. limite do cheque especial). debitados mensalmente.60 a) Calculando o custo efetivo para 30 dias: 98. suponha uma conta garantida que cobre juros de 2. cobrada no momento da liberação dos recursos.6 i = 4. A mais comum é a taxa de abertura de crédito (TAC). tem-se: Limite da conta: 100.5(1 + i ) = 102. para um prazo de 30 dias. 39 .00 Total: 102. uma conta de saldo devedor. deve-se resolver a seguinte equação: 98.16% a. m. em que o cliente saca a descoberto e os juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado. c) Para 90 dias: 98.13% a.60 Juros: 2. no ato de liberação do crédito.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Observe que a comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias de 2. CONTA GARANTIDA Conta garantida é o nome que se dá à conta corrente que possui atrelada a ela um limite de cheque especial.60 102.50 Crédito liberado: 98. m.50 Juros: 2.60 Para este fluxo. Representa.00 TAC: 1. b) Considere o fluxo de 60 dias: Limite da conta: 100.39% a.60 2. em outras palavras. para 4.2. m.6% a. O custo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida.60 + + (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 i = 3. 10.60 + (1 + i ) (1 + i )2 Resolvendo-se: i = 3.60 Limite: 100. m. Este comportamento é explicado pela maior diluição da TAC cobrada.50 = 2. uma única vez.60 102. pelos meses seguintes.50 = 2. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.00 458.00 O resultado da movimentação para o mês 1 se encontra o quadro abaixo: DATA 15-01 15-01 20-01 31-01 HISTÓRICO TAC SAQUE SAQUE JUROS D/C 100. Vejamos um exemplo: EXEMPLO: Admita uma conta garantida com limite de R$ 5000.00 (D) 100.00 350. Dia 20 – saque de R$ 100.9% ao mês. Sabe-se que no período da operação foram realizadas as seguintes movimentações na conta garantida: Mês 1: Dia 15 – saque de R$ 250. temos a movimentação do mês 2: 40 .71 (D) SALDO DEVEDOR (SD) 100.00 450. e uma taxa de abertura de crédito (TAC) de 2% cobrada no ato e incidente sobre o limite.00 + 4950) 30 Juros = 8.00 contratada por dois meses e aberta no dia 15/01.00 4950. Dia 18 – saque de R$ 35.00 Os juros são calculados da seguinte forma: Juros = i ∑ SD j D j j 0.00. Dia 10 – depósito de R$ 40.00.00 (D) 250. Cristiano Santos – UERJ – 2010 A determinação dos saldos devedores se faz por meio do método hamburguês. Dia 22 – saque de R$ 50.00.71 NUM DIAS (D) 5 7 SD X D 1750.00. debitados ao final de cada mês.71 Juros = Da mesma maneira.00 (D) 8. Mês 2: Dia 01 – saque de R$ 50. Os encargos financeiros fixados para a operação são juros nominais de 3.00.039 (1750. 00 x 0. o custo será R$ 30. Neste caso. Qual a taxa de juros a ser cobrada nessa nova linha de crédito de um dia? Para juros lineares. no início do mês.68 + 2014.71 503.91 NUM DIAS (D) 9 8 4 8 SD X D 4578. procurará desenvolver uma linha de empréstimo que atenda ao correntista.60 pagos no dia 1º do mês subseqüente. Uma linha de crédito ideal seria um empréstimo com prazo mínimo de um dia que denominaremos de CE (cheque especial).84 4429.039 (4578. O banco. Para ilustrar um modelo que aponta uma razão para esta questão. em depósitos de poupança ou certificados de depósito bancário.71 468. que evite que sua conta fique negativa a partir do 24º dia. Vamos supor que.20 (D) SALDO DEVEDOR (SD) 508.00 (C) 35. se compararmos à taxa de juros de empréstimos pessoais.20 Juros = 10. TAXA DE JUROS DO CHEQUE ESPECIAL É tradição no Brasil a taxa de juros do cheque especial ser muito alta.00 (D) 50.39 + 3749. o correntista será obrigado a tomar um empréstimo.00 (D) 40.3.600 por mês. Suponha ainda que o correntista possua um problema de caixa e que todo mês seus recursos se esgotam no 24º dia. no seu departamento de novos produtos. inicialmente.71 553. poderia ser 41 . a taxa do cheque especial não muda para ele.00 para encerrar o mês. suponha um correntista assalariado que recebe R$ 100.68 Juros = i ∑ SD j D j j 0. para o correntista. Este comportamento é contra-intuitivo.71 572. quer em fundos. Portanto. Supondo uma taxa de juros de 2% ao mês para o empréstimo. apesar do risco de crédito ser quase nulo nesta situação. necessitam de mais R$ 30.00. o que poderia ser feito por um empréstimo de seis dias de duração.39 3749. continuando muito elevada.02 = R$ 0.84 + 4429. a solução do problema de caixa custa R$ 0. só exista uma linha de crédito de empréstimo pessoal com o prazo mínimo de um mês e que a liquidação do principal e dos juros dessa linha seja feita na data final do empréstimo.00 (D) 19. mesmo que o correntista detenha aplicações financeiras junto a sua instituição bancária. pois. Cristiano Santos – UERJ – 2010 DATA 01-02 10-02 18-02 22-02 30-01 HISTÓRICO SAQUE DEPÓSITO SAQUE SAQUE JUROS D/C 50.68) 30 Juros = 19.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.68 2014. Obviamente. 42 .402%)=R$ 0. Algumas delas já foram vistas neste curso. o lucro obtido pelo banco seria inferior ao empréstimo de um mês. m. Outra bastante interessante é cálculo o previdenciário.00 por seis dias e para isso paga até R$ 0. o banco não implementaria este novo produto. para o banco. Todavia.0033) = 10% É evidente que.402% Porém. No máximo. SÉRIES Séries temporais possuem inúmeras aplicações.60.00)(0. em que a taxa de empréstimo pessoal é de 2% a. os sistemas de amortização. o correntista estaria disposto a pagar por este último uma taxa de até 9. pois com a utilização dos recursos por apenas alguns dias. e o prazo utilizado do cheque especial é de seis dias. o banco precisará induzir através de uma taxa de juros para o produto CE que resulte em um custo de juros inferior a R$ 0.067% 30 = (6 )(0. fazer a conta inversa. o produto CE é mais vantajoso. A taxa de juros para o cheque especial escolhida pelo banco será a taxa que maximiza a sua alocação de recursos na modalidade cheque especial sujeito à restrição de ser inferior à taxa descrita acima. o banco tem conhecimento de que o correntista usa efetivamente até no máximo R$ 30. Dessa forma.1296. Para o exemplo hipotético acima. Estes cálculos são bastante complexos e tema de inúmeros cursos para além do estudado aqui. 11.60  i1dia =    = 0. qual o nível de juros sobre os seis dias que resultaria em um total pago de juros inferior a R$ 0. isto é.60?  1  0.33%  6  30  i30 dias = (30 )(0. como por exemplo.60 para o período em que o saldo da conta fique devedor.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.02 = 0.067 ) = 0. então.9% a. O banco pode. seu lucro seria de (R$ 30. Cristiano Santos – UERJ – 2010 i1dia = i6 dias 0. m. ele obtém o mesmo ganho que empregando esses recursos por um mês. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Porém é possível fazer algumas simulações simples que exemplificam bastante a aplicabilidade de teorias desenvolvidas no âmbito da matemática financeiro. Um primeiro modelo de cálculo de aposentadoria pode ser visto na figura abaixo. se aposenta e passa a receber aposentadoria de PMT’ durante m . dado por FV com o início da aplicação na segunda série.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Há uma série de cálculos. dado por PV’.1 meses. PMT’ PMT 0 n n+1 n+m O gráfico representa a situação em que um cliente paga um valor de PMT durante n meses. o tempo de pagamento da aposentadoria. para encontrar o valor esperado da expectativa de vida de um determinado grupo da população. A única questão é igualar o valor do montante ao final da primeira série. Para a primeira série temos: FV = PMT (1 + i )n − 1 i Para a segunda: i(1 + i ) PMT ' = PV ' (1 + i )m−1 − 1 m −1 O que dará a seguinte relação entre o PMT e PMT’: PMT ' = PMT (1 + i )n − 1 (1 + i )m−1 (1 + i )m−1 − 1 A variável de mais difícil mensuração na fórmula acima é m. Para este modelo. tem-se todas as informações que necessárias. 43 . baseados em tábuas de mortalidade. séries de pagamentos que pagam indefinidamente.. No caso anterior.. a fim de calcular PV’: PV ' = PMT ' PMT ' PMT ' + + + .Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. pode-se fazer a seguinte transformação: a= 1 (1 + i ) ∞ t =0 PV ' = PMT ' ∑ a t Considerando.a n = (1 − a )∑ a t ( t ) ∞ (1 − a ) = n +1 t =0 1− a ∑a t =0 n Para a < 1 . para o caso da segunda série. temos que voltar às equações originais. quando n → ∞ temos a ∞ n +1 → 0 . (1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3 ∞ t =0 PMT '+ PV = ∑ (1 + i ) PMT ' t = PMT ' ∑ t =0 ∞ (1 + i )t 1 Para facilitar o cálculo. ∑a t =0 t = 1 1− a t ∑ (1 + i ) 1 = 1+ i i Assim. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Para dirimir este problema. ficamos com 44 . ou seja... Assim. 1 − a n +1 = (1 − a ) 1 + a + a 2 + a 4 + . há um cálculo baseado em séries perpétuas. TÍTULOS DE RENDA FIXA Os títulos são denominados de renda fixa quando se conhece a forma de rendimentos oferecidos. São assim conhecidos por fixarem os rendimentos desde o momento inicial da operação. caso típico de problemas de previdência. O valor do resgata. no entanto. 45 . debêntures e letras de câmbio. Cristiano Santos – UERJ – 2010 PMT '+ PV ' = PMT ' 1+ i i o que dá PV ' = PMT ' i Essa equação é conhecida como fórmula de Gordon. 12. Alguns exemplos de títulos ou papéis de renda fixa bastante negociados no mercado financeiro são os certificados e recibos de depósitos bancários (CDB e RDB). no momento da aplicação. Títulos pós-fixados costuma definir previamente a taxa real de juros e o indexador de correção monetária a ser aplicado sobre o capital investido. o poupador toma conhecimento da taxa total (nominal) de juro a ser aplicada sobre o capital investido. somente será conhecido no momento da liquidação da operação em função do comportamento verificado no índice de correção selecionado. Os títulos prefixados caracterizam-se pela revelação antecipada do valor total da remuneração oferecida ao investidor. Pode parecer que a equação acima se diferencia em demasia com a fórmula para pagamentos constantes utilizada anteriormente. prazos. Ou seja. sobretudo para um número elevado de meses. tem-se dois tipos de títulos de renda fixa: prefixados e pós-fixados. e negociados com os poupadores em geral.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. periodicidade dos rendimentos e tributação. Esses papéis podem ser negociados de diversas formas. Basicamente. Esses títulos são emitidos geralmente por uma instituição financeira. sociedade por ações e governos. mas os cálculos comprovam que diferença não é tão grande. principalmente no que concerne à formação das taxas de juros. Existe juro real. Cristiano Santos – UERJ – 2010 12. tem sofrido nos últimos anos diversas alterações em sua metodologia de cálculo e alíquotas. Em algumas situações. O imposto é retido na fonte e cobrado juntamente com a aplicação financeira. Para as operações com títulos de renda fixa. A diferença básica entre os títulos é que o CDB pode ser negociado no mercado mediante endosso. Dessa forma. no momento de realização do negócio. o imposto é pago na fonte. se o indexador escolhido refletir adequadamente a evolução dos índices de preços da economia verificam-se situações em que o indexador da aplicação situa-se abaixo da taxa efetiva da inflação. 12. De qualquer forma. 46 . a correção monetária e o juro real. Sobre os rendimentos desses títulos de renda fixa incide imposto de renda. e o RDB é intransferível. a priori.1. evidentemente. isto é. prejudicando a definição de uma fórmula de cálculo genérica. conforme comentado. O critério de tributação tem-se alterado bastante no decorrer do tempo. a incidência do imposto de renda nas negociações com títulos de renda fixa determina a necessidade de conhecer os rendimentos e taxas brutos (antes do IR) e líquidos (estabelecidos após o cálculo do IR). O imposto de renda incidente nessas operações. a taxa prefixada é uma taxa nominal que incorpora. não permitindo que se defina uma regra geral e permanente para essas operações. A taxa de juros dos papéis de renda fixa é geralmente definida com base na taxa anual efetiva (capitalizada por juros compostos).1 Certificados/Recibos de Depósitos Bancários – CDB/RDB Os certificados/recibos de depósitos bancários são emitidos por instituições financeiras.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. A atribuição desta taxa para intervalos de tempo menores é processada por meio da taxa equivalente composta. consumindo o rendimento real da operação. visando captar recursos para suas operações de empréstimos.1 CDB com Taxas Prefixadas Uma taxa prefixada incorpora uma expectativa de inflação mais os juros reais da operação. a tributação será tratada de duas maneiras: - IR antecipado – a incidência da alíquota do IR se reflete sobre o total dos rendimentos da operação. geralmente pago quanto do seu resgate. no entanto. ib .1.PV ) 47 . sendo pago. respectivamente.taxa real bruta e líquida. i L . Cristiano Santos – UERJ – 2010 - IR Final – o cálculo do IR se verifica identicamente sobre o rendimento total da operação. FV – valor de resgate. desde que não haja uma orientação explícita. O tratamento a ser dispensado a estas operações. T – alíquota de IR. principalmente pela interferência da tributação sobre os resultados. Assim. rL . IR – valor do imposto de renda.2 Taxa Prefixada com Rendimento Final Essa modalidade de operação indica que os encargos são acumulados (capitalizados) e resgatados somente ao final do prazo de aplicação: Graficamente. A simbologia a ser adotada nas operações com títulos de renda fixa apresenta algumas novidades em relação à que vem sendo adotada em juros compostos.taxa nominal bruta (antes de IR) e líquida (após dedução do IR) rb . tem-se: - PV – valor da aplicação. 12. segue o lado do investidor. pode ser representada segundo seja a forma de tributação: IR Antecipado Valor da Aplicação PV + IR Valor de Resgate FV FV = PV (1 + ib ) IR = T (ib .Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. quando de seu resgate. 00 x 1. A remuneração do papel é calculada à taxa bruta prefixada de 30% ao ano. Com base nessas informações. Solução: a) Rendimentos Brutos da Aplicação Rentabilidade Nominal Bruta ( ib ): ib = 30% a.IR IR = T (ib .70 Valor da Aplicação Rendimento Bruto Nominal = (R$ 27.000.1%. Admita uma alíquota de 9% a ser aplicada sobre o rendimento nominal antecipado e de 15% sobre o rendimento final.30 − 1 = 2.0221 = R$ 27. Exemplo: Suponha uma aplicação de R$ 27. b) rendimento nominal e real líquido para cada critério de tributação considerado acima. a. Valor Bruto do Resgate: R$ 27.000.000.70 48 .00 efetuada em título de renda fixa pelo prazo de um mês. ib = 12 1.PV ) O exemplo a seguir é desenvolvido de maneira a ilustrar detalhadamente o processo de cálculo dos resultados de uma operação com títulos de renda fixa.596. m.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. A correção monetária (inflação) do período atinge a 1.21% a.00) R$ 596. pede-se determinar: a) rendimentos brutos de aplicação (antes do IR). Cristiano Santos – UERJ – 2010 IR Final Valor da Aplicação PV Valor de Resgate FV . 000. m.70 − 1 = 1.70 iL = i L = 2.70 Como este tributo é pago no momento da realização do negócio.21% ) = 53.70 rL = −1 (27.70 b) Rendimentos Líquidos da Aplicação IR Antecipado Sendo de 9% a alíquota do IR retido na fonte incidente sobre o rendimento total da aplicação.000.098% a.011 rb = 27. a rentabilidade real líquida ( rL ) atinge: rL = FV −1 (PV + IR ) × (1 + CM ) 27.00 × 2.00 + 53.596.000. Por outro lado. temse: IR = 9% × (27.00 × 1. m.00) Rendimento Bruto Real: R$ 299.01% a.098% a. 1 + 0.70 iL = −1 27. o total aplicado no título se eleva de R$ 27.70 Valor Corrigido da Aplicação: R$ 27.053.000.000. 27.00 + 53.596.596.596.011 . Cristiano Santos – UERJ – 2010 - Rentabilidade Real Bruta ( rb ): rb = ou 1 + 0.70.297.70) × (1 + 0.00 x 1.011) 49 . Logo a taxa de rentabilidade líquida nominal ( i L ) totaliza: IR = T (ib .0221 − 1 = 1. m.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.PV ) FV −1 PV + IR 27.011 = (R$ 27.Valor Bruto do Resgate: R$ 27. 00) Rendimento Bruto: IR: 15% x R$ 596.00 rL = 50 .50 iL = FV − IR 27. tem-se: Valor Bruto de Resgate: Valor de Aplicação: R$ 27.20 Como o IR é pago por ocasião de resgate.77% a.90% a. m.596. m.00 Corrigido: R$ 27.90% a.88% a.507. ou rL = 1 + iL −1 1 + CM 1 + 0.000.596.507.00 Valor de Resgate R$ 27.70 – R$ 89. PVcor 27. - IR Final Para uma alíquota de 15% de IR calculada sobre o rendimento total e pago no resgate. PVnom 27. m.297.000.000.297.20 −1 = − 1 = 1.011 rL = 0.00 FV − IR 27.70 R$ (R$ 596.70 (R$ 27.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.20 −1 = − 1 = 0.0201 rL = −1 1 + 0. Cristiano Santos – UERJ – 2010 rL = 0. tem-se o seguinte fluxo de caixa: Valor da Aplicação Nominal: R$ 27.50) Rendimento Líquido: R$ 507. m.70 89. 77% a.3 Extensões ao Cálculo da Taxa Líquida Muitas vezes é importante determinar a taxa líquida de um título de renda fixa diretamente de sua taxa bruta divulgada.0188 −1 = − 1 = 0.011 12.1. tem-se: iL = FV −1 PV + IR onde temos: Valor de aplicação = PV + IR Valor de Resgate FV = PV × (1 + ib ) IR = T × (PV × ib ) IR = PV × (T × ib ) Assim. o qual é calculado antecipadamente sobre o rendimento nominal da operação.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. 1 + CM 1 + 0. Cristiano Santos – UERJ – 2010 ou: rL = 1 + iL 1 + 0. m. ficamos com iL = PV (1 + ib ) −1 PV (1 + T × ib ) o que dá iL = 1 + ib −1 1 + T × ib 51 . Para o caso de incidência do imposto de renda na fonte. Este cálculo deve ser imediato de forma que se incorpore no processo de decisão de investir nestes papéis. 2.IR J . e o principal resgatado ao final do período da aplicação..IR J . Para operações em que o imposto de renda incidente sobre o rendimento nominal é pago por ocasião do resgate do título. isto é: i L = ib × (1 − T ) Reportando-se novamente ao exemplo anterior. pela utilização da expressão direta da rentabilidade nominal líquida desenvolvida. a expressão de cálculo da taxa líquida é bastante simplificada.IR IR final J . a expressão de cálculo é válida somente para as operações em que a tributação é realizada na fonte e incidente sobre o valor nominal dos rendimentos. pode-se determinar a taxa líquida de retorno de uma aplicação em título de renda fixa a partir da taxa bruta divulgada..IR J . m. sendo J o valor monetário dos rendimentos periódicos: IR antecipado Vr. ou seja. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Utilizando-se o exemplo ilustrativo anterior.. Graficamente.1.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.01% a. essa modalidade de operação por ser apresentada da maneira seguinte. n-1 n . teremos o valor de 1. chega-se ao mesmo percentual de rentabilidade apurado na hipótese de IR antecipado. Identicamente ao rendimento final.IR Vr..4 Taxa Prefixada com Rendimento Periódico Esse tipo de operação indica que os rendimentos são pagos periodicamente. apurando-se o IR diretamente sobre a taxa bruta. m. de aplicação (PV + IR) 1 2 3 . conforme definido. n-1 n J .88% a. de aplicação (PV) 1 2 52 3 . Assim. 12.IR J . a taxa de juros considerada em cada período de rendimentos é apurada pela equivalente composta. Em qualquer caso.IR J . ib . com rendimentos trimestrais equivalentes à taxa prefixada de 18% ao ano. Taxa bruta equivalente trimestral: ib . os rendimentos são determinados pela taxa equivalente compostos do período.18) 1 4 − 1 = 4. pelo prazo de um ano. Por outro lado.q .ib .n onde ib . 53 . q é a taxa nominal (prefixada) bruta equivalente de juros a ser aplicada a cada período de rendimentos. para cada período tem-se o valor do IR apurado sobre o ganho do período J.q = (1 + 0.q onde ib . assumindo a seguinte expressão básica: J = PV . Cristiano Santos – UERJ – 2010 Conforme foi colocado.J Exemplos 1. o IR final é pago somente por ocasião do resgate e calculado sobre o rendimento total. a. Os rendimentos nominais são tributados à alíquota de 9% e pagos por ocasião da aplicação.PV .00 num título de renda fixa. ou seja: IR = T . q é a taxa nominal (prefixada) bruta de juros (b) e equivalente (q) ao período de rendimento e n é o número de períodos de rendimento.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. considerando que os juros são geralmente definidos em taxas anuais.t.22% a. Solução: ib = 18% a. Determinar o valor total da aplicação. Assim. o rendimento trimestral e a rentabilidade líquida auferida pelo poupador. O imposto de renda na fonte incide sobre o total dos rendimentos. Admita uma aplicação de R$ 25. Logo: IR = T .000. 00 IR sobre rendimento trimestral: R$ 1055.8% a.00 Graficamente: 25000 + 379.ib . a alíquota do IR é de 15%.000 )(0. pode ser representado o seguinte fluxo de caixa da aplicação: 25000.q .75 896.00 1055.00 1055.00 1055.80 = 1055.00 896.22% = R$ 1055.00 – R$ 158. a rentabilidade nominal líquida periódica obtida pelo investidor é determinada pela taxa interna de retorno do fluxo financeiro da aplicação: 25379.75 896.25 = R$ 896. Solução: Os juros (rendimentos) líquidos de cada período atingem: Rendimento nominal bruto trimestral: R$ 25000 x 4.75 Graficamente.80 Rendimento trimestral: IR = T . admita que o imposto de renda seja pago sobre o rendimento nominal no momento do resgate de cada parcela.80 1055.75 25000 896.0422 )(4 ) = 379.75 1 2 54 3 4 .00 + + + (1 + i L ) (1 + i L )2 (1 + i L )3 (1 + i L )4 il = 3. No exemplo anterior. Cristiano Santos – UERJ – 2010 IR = (0.00 1055.q J = (25.0422 ) = 1055. 2.PV .00 x 15% = R$ 158.09 )(25.25 Rendimento nominal líquido = R$ 1055.00 260555.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.ib . Nesta modalidade.00 1055.00 1 2 3 4 Corretamente.n J = PV . Determinar a rentabilidade nominal líquida desta operação.000 )(0. t. 75 + + + (1 + i L ) (1 + i L )2 (1 + iL )3 (1 + i L )4 O que dá: IRR(i L ) = 3. Como a alíquota do IR incide sobre o rendimento real. 12. t. O percentual de 18%. A apuração dos resultados de uma operação pós-fixada é bastante simples. a taxa de correção monetária e a taxa real de juros. admita uma aplicação com rendimento de 18% ao ano mais correção monetária.75 896. ou seja.00 = 896. dissociadamente.a. por incidir sobre o valor corrigido do investimento. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Mediante a taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo financeiro chega-se à taxa de rentabilidade líquida nominal trimestral. O imposto de renda será considerado sobre os rendimentos reais e pagos por ocasião do resgate.1.75 896.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. A remuneração pós-fixada é composta de um indexador. ou seja: 25000.75 896. isenta dos efeitos inflacionários. a taxa real de juros. o retorno líquido é obtido: rL = rb (1 − IR ) 55 . que expressa a correção monetária ou inflação apurada segundo uma estimativa para o prazo da aplicação. Logo: rL = 18% a. a taxa nominal de juros somente é conhecida a posteriori. mais uma taxa real de juros. e não antecipadamente. conforme é característica das taxas prefixadas. principalmente em razão de identificar. Em conseqüência. a qual incide o valor aplicado corrigido. Por exemplo.59% a. representa o ganho real da operação.5 CDB / RDB COM TAXAS PÓS-FIXADAS As denominadas taxas pós-fixadas são aquelas cuja correção monetária acompanha a evolução de um índice de preços definido para a operação. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.16 ) 70 360 − 1 = 2.01% para 70 dias Rendimento nominal: ib = (1 + 0. Evidentemente. 56 . podendo inclusive produzir uma rentabilidade negativa.71% para 70 dias 12.5% (30% de IR federal e 5% sobre 30% de imposto estadual) e incidente sobre os juros reais. tem-se rL = 18% × (1 − 0.315) = 2. A alíquota de imposto de renda é de 31. acompanha a evolução do índice de preços selecionado para corrigir monetariamente o capital aplicado. a. incorporando uma expectativa futura de inflação. a taxa prefixada de juros é definida em termos nominais.0363) − 1 = 6.0201)(1 + 0.0363) − 1 = 5.0293)(1 + 0.6 CONFRONTO ENTRE A TAXA PREFIXADA E A TAXA PÓS-FIXADA Conforme foi discutido. a.1. A variação nos índices oficiais de preços no período atingiu a 3.6% Exemplo: 1. Determinar os rendimentos nominais e reais da operação.30 ) = 12. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Admitindo uma alíquota de IR de 30% aplicada ao ganho real. por seu lado. Se a inflação do período de aplicação ultrapassa o período considerado na taxa nominal. equivalendo a: rb = (1. mais correção monetária a ser definida com base no indexador oficial da inflação. os juros reais são consumidos.. A taxa pós-fixada.93% para 70 dias rL = 2.00 pelo prazo de 70 dias à taxa real de juros de 16% a. definido os juros integralmente em termos de taxa real. se a inflação fica abaixo do previsto a remuneração real cresce acima do prefixado.93%(1 − 0. Solução: Rendimento real: rb = 16% a. Suponha uma aplicação de R$ 16000. A operação somente realiza os rendimentos reais prometidos se a inflação futura não exceder a correção embutida na taxa.63%.67% para 70 dias i L = (1 + 0. embute em sua formação um juro mínimo praticado na economia.34 I= −1 = − 1 = 17. a taxa prefixada incorpora em seu percentual uma estimativa de inflação de 17. I > 17.5% 1 + 0. denominado de taxa pura (livre de risco). a decisão entre uma taxa pré e outra pós-fixada é dependente do comportamento da inflação. ou a juros reais de 14% ao ano mais correção monetária pós-fixada.5% : interessa aplicar em taxa prefixada. A taxa real. Desta maneira. 12. desde que o índice de correção selecionado seja representativo da efetiva inflação da economia.5% : é indiferente. pois os rendimentos acompanham a evolução da inflação no período. isto é: I (Inflação ) = 1+ i −1 1+ r 1 + 0.34 1. Ambas as modalidades oferecem a mesma remuneração. se no período de aplicação: I < 17. por seu lado. Assim.5% : a melhor alternativa é a operação pós-fixada.1. não oferece risco de gerar uma remuneração negativa em termos reais. Por exemplo. e uma remuneração pelo risco envolvido na operação. Comparativamente aos rendimentos pós-fixados. I = 17. a escolha entre aplicar um capital com rendimentos nominais (prefixados) de 34% ao ano. tem-se a seguinte composição de uma taxa prefixada: Taxa Livre de Risco Taxa Real Taxa Nominal Bruta Taxa Nominal Líquida Taxa de Inflação 57 Remuneração pelo Risco .7 DESMEMBRAMENTO DA TAXA PREFIXADA Foi demonstrado que uma taxa prefixada de juro incorpora duas grandes partes: a taxa real e a taxa esperada de inflação.14 Assim.5%. pois a correção embutida na taxa é maior que a inflação verificada.14 1. é definida pela expectativa de inflação futura. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Esta modalidade.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. m. A taxa de inflação projetada pelo mercado para os próximos 30 dias é de 1.8 DIFERENTES VARIAÇÕES DOS ÍNDICES DE PREÇOS Muitas vezes o índice de correção monetária de uma dívida.5% ao ano.5% x 0. a taxa real de 1.0% a. excede uma alternativa sem risco em 0. m.61% ao mês. denotando o prêmio pelo risco pago. m.61% a. ou mesmo de uma aplicação financeira. m.5% a.5% a. Com base nessas informações.0111 −1 1. 12.125% a. Taxa de Inflação Embutida Remuneração Risco ib = 2. cujos percentuais de variação cambial vêm sempre acompanhar os índices de preços da economia. é possível desmembrar uma taxa prefixada em todas as suas partes. Isso é mais comum. ilustrativamente.1. m.15 IR = 0.11% a. identificando os vários rendimentos oferecidos.0% e a alíquota vigente de imposto de renda é de 15% incidente sobre o rendimento total de aplicação.. (-) IR = 2. m.01 ib = 2. Em outras palavras. provocando reflexos sobre o resultado real da operação. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Ao se admitir que a taxa pura da economia brasileira seja a remuneração real de 0. 1. Taxa Nominal Líquida 1. principalmente.5% − 0375 % r = 1. Observe que a aplicação está oferecendo uma remuneração efetiva pelo risco de 0.02125 −1 1. Risco = I = 1. em financiamentos atrelados a uma moeda estrangeira.375% = i L = 2.5% ao mês paga pela caderneta de poupança.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. m.005 Risco = 0. pode destoar bastante dos índices de preços médios utilizados pelo mercado. Taxa Real r= Taxa Nominal Bruta ib = 34. 58 . O prazo da aplicação é de um mês.11% a.m. pode-se decompor a taxa prefixada da forma seguinte: Taxa Livre de Risco 0. admita que um investidor esteja avaliando uma aplicação em um título de renda fixa que remunera à taxa prefixada de 34. a. Assim.5% a.61% a. se a variação cambial for diferente dos índices gerais de preços da economia. CUSTO DE CAPTAÇÃO COM RECOLHIMENTO COMPULSÓRIO Admita que uma instituição financeira tenha colocado no mercado um CDB de sua emissão pagando a taxa efetiva de 15. o custo real do financiamento reduz-se por esta sobreavaliação da moeda nacional. Por exemplo. recolhe 8% do principal captado pela instituição financeira pelo prazo de emissão do título.3% a. o Banco Central não para qualquer remuneração sobre o valor retido (na prática.1. O Banco Central.3455 − 1 = 12. conforme a taxa de juro cobrada. sabemos que o Banco Central remunera o compulsório pela SELIC).3455 − 1 = 20. Durante todo o período. liberando o valor retido somente quando de sua liquidação. a. O prazo de colocação do título é de 63 dias. 1 + 0. se a inflação da economia for de somente 12% no período. se a taxa da inflação atingir 20% e a variação cambial 17% no período da operação. o custo real se eleva para: Custo real com base na inflação: r= 1 + 0. a.12 pela incorporação de uma maior desvalorização da moeda nacional.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. 12. Custo real com base na inflação: r= 1 + 0. Ao contrário. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Ilustrativamente. e mantendo-se em 17% a variação cambial. admita um financiamento em dólar cobrando uma taxa de juro real de 15% ao ano mais variação cambial. 59 .9.55% a. a.15)(1 + 0. é correto concluir que a operação apresenta um custo real de 15% ao ano. No entanto. Se o percentual de variação cambial no período acompanhar exatamente a inflação da economia.13% a.17 ) − 1 = 34. para formação de um depósito compulsório. o resultado desta diferença deve ser incorporado no cômputo do juro real da operação.20 inferior à taxa de 15% cobrada acima da variação do dólar. sendo calculado pela expressão: Custo nominal: i = (1 + 0. a. 1 + 0.13% a. 20 ) = 0. admitindo que tenha investido R$ 200000. b) Valor líquido de resgate do aplicador.00 Remuneração bruta = valor bruto – principal aplicado: R$ 205040.0252) = R$ 205040.00 – R$ 1008.19 )(1 − 0.00 Imposto de renda sobre rendimentos (20%): (R$ 5040. ib = (1.3% a.153) ib = (1.19% a.00 = R$ 4032. m. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Pede-se determinar: a) Rentabilidade mensal efetiva e líquida do IR do aplicador do título.2) = R$ 1008.00 c) Custo efetivo do CDB para a instituição financeira emitente Solução: 60 .00 – R$ 200000.00 Remuneração líquida = remuneração bruta – imposto de renda R$ 5040. a. Solução: Rentabilidade bruta: ib = 15.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.00)(1.00)(0.52% para 63 dias − 1 = 1. Solução: Valor bruto: (R$ 200000.153) 63 360 − 1 = 2.00.95% a.00 = R$ 204032. Considere uma alíquota de 20% incidindo sobre a remuneração.00 + R$ 4032.00 Principal aplicado: R$ 220000. m. 30 360 Rentabilidade líquida: iL = (1.00 = R$ 5040.00 Valor do resgate: R$ 200000. visando financiar investimentos de maior maturidade em ativos fixos e capital de giro. Uma debênture é denominada simples quando resgatada exclusivamente em dinheiro. 12.2 DEBÊNTURES As debêntures são títulos de longo prazo emitidos por companhias de capital aberto. Além dos juros. 61 .00 − (8% × 200000. prêmios etc.00 ) 30 63 i = (1. uma vez que este valor não poderá reaplicado pelo banco para operações que o remunerem com taxas superiores: i= 205040. o cliente pessoa física e jurídica das instituições bancárias. Essa também é uma das justificativas dos bancos para o elevado spread bancário no sistema financeiro nacional. e esta continua muito alta (em torno de 10% a. considerando o compulsório de 8% (logo. Uma das razões para isso talvez seja que o compulsório brasileiro é remunerado pela Selic. A taxa efetiva de 2. os títulos são classificados como conversíveis em ações. Isso significaria.). que o compulsório aumenta a taxa de juros para o tomador. normalmente pagos duas vezes por ano. Todavia.74% para 63 dias é o custo mínimo pelo qual a instituição financeira pode emprestar os recursos captados. assim como as demais condições: garantias. Os rendimentos das debêntures são especificados em cada série lançada. o compulsório não afeta preponderantemente a diferença de juros tomados e emprestas pelos bancos.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.00 ) − 1 = 2.29% a. para que iguale suas receitas com despesas. grosso modo.0274) − 1 = 1. na prática.00 − (8% × 200000. estudos recentes revelam que. representando a margem de ganho exigida na operação. pode emprestar somente 92%). no vencimento. prazo de vencimento. visando tornar o papel competitivo com as taxas vigentes no mercado. ou seja. a. Cristiano Santos – UERJ – 2010 O custo efetivo se dá subtraindo o percentual do compulsório tanto da aplicação quanto do resgate. Quando o investidor puder optar por receber seu resgate em dinheiro ou em ações da empresa. Sobre esse custo é incluído um spread. m.74% para 63 dias 200000. as debêntures podem remunerar os investidores com prêmios expressos em juros adicionais. 000. Sabe-se ainda que a colocação das debêntures somente foi possível mediante um deságio de 8% sobre o valor de emissão.00 Valor líquido: valor bruto da captação – deságio R$ 5. atualização monetária com base em índice geral de preços etc.00 Fluxo de caixa da empresa emitente (tomadora dos recursos): R$ 4.00) = R$ 5.00 R$ 750.000. Pede-se calcular o fluxo de caixa da operação e a taxa efetiva anual de juros.000.00 R$ 750. como resgate antecipado dos títulos. as debêntures são geralmente subordinadas.00 – R$ 400. Em termos de garantia. Cristiano Santos – UERJ – 2010 As debêntures podem ainda conter certas cláusulas especiais. O prazo de colocação desses títulos é de dois anos. A remuneração prometida aos investidores é de juros nominais de 30% ao ano com pagamento semestral.000. indicando que o credor tem preferência no recebimento sobre os acionistas da empresa.000.000.000.000.000.000.000.08)(R$ 5.000.000.000 debêntures no mercado no valor de R$ 1.00 cada uma. Solução: Valor bruto da captação: (5000)(R$ 1000.00) = R$ 400.00 Deságio: (0. Admita que uma empresa tenha colocado 5.00 Valor do resgate: R$ 5.000.000.600.600.00 Encargos semestrais: (0.00 R$ 750.00 R$ 750. Exemplo: 1. O principal é pago por ocasião do resgate.15)(R$ 5.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.00) = R$ 750.00 semestres 1 Taxa efetiva de juros: 2 3 4 62 .00 = R$ 4. O título é adquirido no mercado pelo seu valor de face.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Os títulos conhecidos por zero coupon bond (título de cupom zero) não emitem cupons de juros.97% a. cujos percentuais vigoram até o vencimento. Seu preço de negociação equivale ao valor presente de seu valor de face. ou título de cupom zero. 12. Os juros dos títulos que prevêem pagamentos periódicos são representados por cupons. Outras formas de pagamentos de juro e principal podem também ocorrer.00.3. sendo negociado no mercado com desconto. Este valor pode. Os rendimentos são padronizados pelo mercado em taxas nominais. geralmente fixado em R$ 1. geralmente expressos em taxa anual com capitalização semestral. sofrer alterações determinadas pelas condições de mercado e saúde financeira da empresa emitente do título. o título é negociado no mercado com ágio ou deságio em relação a seu valor previsto no vencimento (valor de face) 12.000. s. visando financiar seus investimentos. tem-se a seguinte representação de um título de cupom zero: P0 Cn 63 . Assim. porém com menos freqüência. sendo lançados no mercado com desconto. no entanto. Graficamente. Outros títulos costumam prever juros pagos aos investidores a cada semestre. é um título normalmente emitido se cupom. Cristiano Santos – UERJ – 2010 4600 = 750 750 750 5750 + + + 2 3 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )4 i = 17. basta dividir a taxa anual por dois. emitidos por órgãos governamentais ou empresas privadas. ocorrendo a amortização do principal no momento do resgate. Nestas condições. descontado a uma taxa de juro que reflete a expectativa de remuneração de investidores.3 OBRIGAÇÕES (BÔNUS) As obrigações (bônus) são também títulos de renda fixa de longo prazo. para se obter a taxa de juro semestral do título.1 ZERO COUPON BOND O zero coupon bond. 09 1000 Exemplo: 1. o fluxo de caixa apresenta-se da forma seguinte: P0 = 1000 = 731. admita um título com vencimento para um ano e valor de face de R$ 1000.19 (1. O valor de face do título é fixado em R$ 1. Cristiano Santos – UERJ – 2010 0 onde: n C n = valor de resgate do título no vencimento. O preço de negociação do título no mercado atinge a R$ 917. a.00. P0 = valor de negociação do título. Solução: Para o investidor. a. a ser resgatado no momento do vencimento. O prazo to título é de 3 anos.11)3 1000 64 . ou seja: P0 = 1000 = 917.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. A taxa de desconto do título é fixada em 9% a. Pede-se determinar o fluxo de caixa do título. Admita que um governo tenha emitido um título de cupom zero pagando taxa de 11% a. Por exemplo.00.43.000. sendo obtido por P0 = Cn 1+ K K equivale a taxa de retorno exigida na aplicação.43 1. usada para descontar o fluxo de caixa. Cristiano Santos – UERJ – 2010 A rentabilidade efetiva da operação atinge.9 . a. Quando os juros sobem.00 10% a. a. 5 . O valor do título modifica-se (aproxima-se de seu valor de face) quanto mais próxima a data de vencimento.9 1000.00 65 .9 anos: P0 = 1000 (1. Apesar da tendência demonstrada. a.5 925.08) = 925. 12. evidentemente. o valor do título cai.1 ano: P0 = 1000 (1.5 anos: P0 = 1000 (1. a.5 .4 1000. admitindo diferentes taxas de desconto.2 .00. A tabela a seguir ilustra o valor de um título com maturidade de 10 anos e valor de face de R$ 1000.5 513. 463.3. os valores apurados podem ser diferentes em função das alterações das taxas de juros de mercado. admita um título com maturidade de 10 anos e taxa de emissão de 8%. Para ilustrar. 9 . a taxa de 11% a. O valor do título no vencimento é de R$ 1000.5 .08) = 583. 385. .4 665.3 anos: P0 = 1000 (1. verifica-se uma valorização no preço do título.2 RELAÇÃO ENTRE PRAZO DE EMISSÃO E TAXA DE DESCONTO COM O VALOR DO TÍTULO O valor de um título de cupom zero aproxima-se de seu valor de face à medida que se aproxima seu vencimento. e o valor do título apresentam uma relação proporcionalmente inversa. 7 .2 583.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.1 943.1 1000.08) = 500.00 Taxa de Juro 8% a. Os cálculos a seguir demonstram este comportamento do valor do título em relação ao prazo de vencimento. ocorrendo uma redução na taxa de desconto. A taxa de juro. Anos transcorridos 0 ano 3 anos 9 anos 10 anos 6% a.00. 558. ao contrário.08) = 783.2 909. Admita uma obrigação com valor de face de R$ 1000.. Os juros dos cupons são pagos de acordo com a taxa prometida pelo título. Quanto maior o prazo de emissão do título.00 com maturidade de seis anos. 12.. Cristiano Santos – UERJ – 2010 O valor do título diminui à medida que se eleva a taxa de desconto.3. seu preço converge ao valor de face. + n P0 =  2 3 (1 + K ) (1 + K )n   (1 + K ) (1 + K )  Exemplo: 1. Ocorrendo alterações nas taxas de juros.. ou seja:  C1 C3 C + Pn  C2 + + + . o valor do título também sofre alterações. variando a maturidade de 5 a 30 anos.05)12   (1.4 PREÇO DE MERCADO O preço de negociação no mercado é obtido pelo valor presente dos fluxos esperados de rendimentos descontados a uma taxa de atratividade requerida pelos investidores.05)  66 . Se o investidor aceitar os juros oferecidos pelo cupom.3 BÔNUS COM CUPONS Títulos com cupons oferecem geralmente juros periódicos (semestrais) e devolução do principal aplicado ao final do prazo de emissão. sendo cotado com ágio ou deságio em relação a seu valor de face. 12. ao par.. ou seja. Esses títulos são geralmente de longo prazo.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. calcular seu preço de mercado.05) (1. Solução: Taxa de desconto: 10% ao ano  40 40 40 1040  P0 =  + + + .05) (1. garantindo um determinado fluxo de rendimentos ao aplicador.3. o título é negociado por seu valor de face. Calcular também o preço de mercado do título se a taxa de desconto se elevar para 13% ao ano. + 2 3 (1. A remuneração prometida são juros semestrais de 4%. Se os investidores aceitarem descontar esse título somente à taxa de 10% ao ano. por seu lado. isto é. Cabe à CVM o disciplinamento da emissão e fiscalização do mercado de negociações de ações. parcela do lucro líquido que as empresas distribuem aos seus proprietários periodicamente. RENDA VARIÁVEL Os valores mobiliários. opções e debêntures.. como já estudado. é definido por valor teórico de mercado ou valor intrínseco de uma ação.. representa um título de crédito cujos rendimentos são calculados de maneira semelhante aos títulos de renda fixa. ganhos de capital promovidos pelo aumento dos preços das ações. na avaliação de ações é necessário construir-se os fluxos de caixa. Cristiano Santos – UERJ – 2010 P0 = 911. 67 . O valor presente do fluxo de benefícios esperados de caixa.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. os benefícios de caixa das ações são representados pelos dividendos.03 13. + 2 3 (1. Fundamentalmente. ou seja. O preço que uma ação está sendo normalmente negociada no mercado é denominado valor de mercado ou cotação. descontados a uma dada taxa de juros (taxa de atratividade da aplicação). O mercado de opções de ações será estudado com um pouco mais detalhe em breve. Estes dois valores são iguais caracteristicamente em condições de mercado eficiente. são emitidos pelas sociedades anônimas de acordo com aprovação prévia da CVM (Comissão de Valores Mobiliários).065) (1. representados por ações e debêntures. 13.065)  P0 = 796. A ação representa uma fração do capital social de uma sociedade anônima. sendo caracteristicamente definida como ativo de risco. os fluxos dos benefícios econômicos de caixa esperados.065)12   (1.4 Taxa de desconto: 13% ao ano  40 40 40 1040  P0 =  + + + . e valorização de sua cotação.065) (1.1 Avaliação de Ações Identicamente às demais operações financeiras. A debênture. Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Pn : preço de mercado esperado no momento da venda da ação. ou seja. o fluxo de caixa pode ser estabelecido a partir da seguinte representação gráfica: Pn P0 Sendo: P0 : preço de mercado (aquisição) da ação t 0 .00 ao final de um mês. em determinado momento R$ 15.1 Aplicações em Ações com Prazo Determinado Para o caso mais simples de uma aplicação financeira em ação por determinado período no qual não está previsto distribuição de dividendos. A expressão de cálculo assume a forma seguinte: P0 = Pn 1+ K onde K representa a taxa de desconto da operação.1. Exemplo Admita uma ação cujo valor de mercado atinja. pois seus benefícios de caixa (dividendos e valorização) não são geralmente estabelecidos no momento de aquisição. a taxa de retorno periódica exigida pelo investidor.00. Cristiano Santos – UERJ – 2010 As ações são consideradas aplicações de renda variável. Pode também representar o valor presente do fluxo de benefícios esperados de caixa. 13. Sendo de 5% ao mês a taxa de retorno exigida por um investidor. variando em cada período como resultado de diversos fatores. pede-se: a) demonstrar a atratividade da compra dessa ação pelo investidor prevendo-se que o seu preço de mercado suba para R$ 16. 68 . opção é o direito de uma parte comprar ou vender para outra parte. este direito não precisa ser exercido.50 ao fim de um mês. A opção só fornece este direito. qual o preço máximo que ele poderia pagar hoje de maneira que apure um retorno mínimo de 5% ao mês? Solução a) Pn 1+ K 16.00 = 1+ K P0 = K = 6. uma quantidade de um determinado ativo por um preço previamente conhecido. de forma a obter a rentabilidade mínima desejada de 5% ao mês. b) P0 = Pn 1+ K 16.76. Cristiano Santos – UERJ – 2010 b) se o investidor estimar que o preço de mercado dessa ação irá alcançar o valor de R$ 15.67% O rendimento produzido nesta situação esperada atinge 6. é de R$ 14. até determinada data.2 Opções De uma forma geral. o preço atual de mercado de R$ 15. 13.67% no período.00 P0 = = 14. Logo.76 / ação 1 + 0. considerando os benefícios esperados de caixa. Deve-se notar que no mercado de opções não negociamos o produto em si (chamado título objeto) mas apenas os direitos sobre ele.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.00 15. diante das expectativas de valorização da ação. Isso significa que o titular da opção tem o direito de realizar uma ação.05 O preço máximo que investidor poderia pagar pela ação. é economicamente atraente. alternativa de aplicação. marca superior à taxa de retorno exigida pelo investidor de 5%. Logo. Porém. 69 .00 é alto para o investidor. não sendo atraente a sua compra. aquele que detém o direito de comprar ou vender. portanto. ou seja. No mercado. 70 . Preço de exercício: é o valor futuro pelo qual o bem será negociado ou preço pelo qual o titular pode exercer o seu direito (comprar se tiver uma opção de compra. a opção de comprar também é chamada de call. Lançador: o lançador é o vendedor da opção. O prêmio sempre será pago pelo titular ao lançador da opção. ouro. o vendedor da opção terá que aceitar a decisão do comprador se este optar pelo exercício da opção. o preço de exercício também é conhecido com strike price. No mercado. Titular: o titular é o proprietário ou comprador da opção. ou cotação da opção em bolsa de valores ou de mercadorias. Em outras palavras. Ativo-objetivo: é o ativo que o titular pode comprar (se tiver uma opção de compra) ou vender (se tiver uma opção de venda). Data de vencimento: é o dia em que a posição será exercida ou em que cessam os direitos do titular de exercer sua opção. No mercado. ou seja.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. Portanto. Opção de venda (put): uma opção de venda é aquela que permite ao seu titular o direito de vender um ativo em certa data por determinado preço. ou preço de mercado. Este ativo é. O titular paga um preço ou prêmio por este direito. Prêmio: é o preço de negociação da opção. Este valor é pago no ato da negociação de comprar e venda da opção e não é devolvido mesmo que a opção não seja exercida. o produto que referencia a opção. por exemplo. Opção de compra (call): uma opção de compra é aquela que permite ao seu titular o direito de comprar um ativo em determinada data por determinado preço. deve comprar ou vender o ativo do titular se este desejar. é aquele que cede o direito ao titular. Por outro lado. Cristiano Santos – UERJ – 2010 O titular da opção só vai exercer o seu direito de compra se lhe for conveniente. é o preço que o titular para pela opção. Para facilitar o entendimento vamos enumerar os conceitos básicos utilizados no mercado de opções. ações. dólar etc. a opção de venda também é chamada de put. vender se tiver uma opção de venda). o mercado é livre para negociar o valor do prêmio pelo qual as opções vão ser negociadas. Esta classificação compara o preço de exercício da opção como preço do ativo-objeto. e emitidos relatórios diários das posições individuais de cada participante. as bolsas criaram um sistema que agrupa as opções por tipo. data de exercício etc. A série da opção é dada por seu preço de exercício e a classe pelo prazo de vencimento. onde fixam o preço de exercício para uma mesma data. conforme o quadro abaixo: Classificação Dentro do Dinheiro No dinheiro Fora do dinheiro Opção de Compra Preço de exercício menor que o preço do objeto Preço de exercício igual ao preços do objeto Preço de exercício maior que o preço do objeto Opção de Venda Preço de exercício maior que o preço do objeto Preço de exercício igual ao preço do objeto Preço de exercício menor que o preço do objeto 71 . 13. Outra classificação muito utilizada pelo mercado é feita de acordo com a possibilidade de exercício das opções. No entanto. classe e série.2. O tipo de uma opção é definido por ser ela uma call ou put. para serem negociadas em mercados organizados as opções devem ser padronizados no que se refere ao ativo-objeto. as posições (lançadoras e titulares) são registradas individualmente para cada cliente.1 Classificação das Opções Para facilitar a negociação das opções. Em resumo. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Opção americana: são opções que podem ser exercidas a qualquer hora. sendo cada série identificada por um código. tendo em vista que existem várias em negociação.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. o prazo de vencimento e o preço de exercício das opções. Estes elementos especificam um contrato de opção e identificam o ativo objeto. Opção européia: são opções que podem ser exercidas apenas na data de vencimento. até a data de vencimento. As opções negociadas em bolsa são escriturais. Séries de uma opção: as bolsas quando lançam opções sobre um determinado ativo o fazem por séries. 00 R$ 0. Isso significa que o titular vai preferir deixar vencer o título-objeto a exercê-lo.00 R$ 100.00 R$ 100.00 R$ 100.00 R$ 10.00 R$ 120.00 R$ 100.00 Valor Intrínseco Classificação A tabela deve ser preenchida como se segue: Preço Atual R$ 80.00 com preço atual é zero. Cristiano Santos – UERJ – 2010 A diferença entre o preço atual e o preço de exercício é chamada de valor intrínseco da opção e é uma medida intuitiva do seu valor. Exemplo Dada uma call (opção de compra) preencha as colunas de valor intrínseco e de classificação da tabela abaixo: Preço Atual R$ 80.00 R$ 100.00 Solução Preço de Exercício R$ 100.00 R$ 100.00 R$ 0.00 R$ 100.00 Valor Intrínseco R$ 0.00 R$ 90.00 R$ 100.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.00 R$ 20.00 R$ 100. 72 .00 R$ 110. uma vez que poderia comprar a ação no mercado a um preço menor que aquele que tem garantido.00 R$ 90.00 Preço de Exercício R$ 100. o valor intrínseco de uma call com preço de exercício de R$ 100.00 R$ 100.00 R$ 120.00 Classificação Fora do dinheiro Fora do dinheiro No dinheiro Dentro do dinheiro Dentro do dinheiro Como pode ser visto.00 R$ 110. calcule em quanto tempo o cliente terá comprometido 10% de seu salário para o pagamento de juros mensais. 6. mais uma tarifa de abertura de crédito no valor de 0. para os dias atuais. que oferece uma taxa nominal bruta de 2% a. Dado que. Suponha que uma financeira possui um produto vinculado ao crédito consignado (em que há desconto diretamente em folha salarial).5% a. qual o limite da taxa do cheque especial que o banco pode cobrar para que o cheque especial continue sendo a solução mais atrativa para o cliente. qual o limite inferior da taxa praticada no cartão de crédito no sistema financeiro brasileiro? 3. e que os juros do cartão de crédito giram em torno de 10% a. pagamento dos juros mensal e pagamento do montante ao final do período de contrato. a. m. em que o Banco Central tenciona estimular a demanda.5% do total do empréstimo. c) Prazo de liquidação de dois meses. m.. em que o Banco Central tenciona conter as pressões inflacionárias. Dado que o empréstimo mensal previsto para esse tipo de cliente supõe uma taxa de 1. Descreva sucintamente o comportamento das taxas de juros praticadas pelos bancos em dois cenários diferentes: a) Num ambiente de recessão. Há indícios.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. 2. encontrados por meio de análises econométricas. pagamentos iguais e mensais. II) Necessidade dos recursos por 15 dias ao mês. a SELIC se encontra a 9. no caso de necessidade dos recursos extras por 4 dias. Um determinado correntista de um banco realizou as seguintes operações financeiras num determinado mês: 73 . Desenhe um diagrama de fluxo de caixa e calcule o custo efetivo para o tomador no caso de: a) Prazo de liquidação de dois meses. Cristiano Santos – UERJ – 2010 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. via cheque especial. Um determinado banco possui um grupo significativo de correntistas com o perfil de tomador de recursos do cheque especial por um prazo médio de 8 dias mensais.. 4.m. m.25% a. de que uma redução de 1% na taxa SELIC representa variação negativa de cerca de 0. m. via empréstimo pessoal. b) Prazo de liquidação de quatro meses. a) Calcule a melhor alternativa para este cliente nos casos de: I) Necessidade dos recursos por 4 dias ao mês. pagamento dos juros e montante ao final do período de contrato. b) Num ambiente de inflação em alta. b) Considerando as duas modalidades apresentadas para suprir o déficit financeiro. ou 9% a. Considere um correntista que necessita tomar emprestado 30% do seu salário líquido nominal mensalmente para suprir suas despesas e que o custo efetivo deste empréstimo seja de 2% a.4% nas taxas de juros praticadas pelas instituições financeiras. 5. 000.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof. 7. Sabe-se que a empresa vem conseguindo aplicar suas disponibilidades de caixa à taxa de juros de 2. c) Cenário de forte desvalorização do real frente ao dólar e uma inflação interna em queda. Descreva as melhores alternativas de investimento para os casos em que: a) Dólar estável em relação ao real e inflação com tendência de queda. Cristiano Santos – UERJ – 2010 Dia 2 – saque de R$ 200. 74 .00 num título de renda fixa. Dia 20 – desconto de cheque no valor de R$ 130. pagamento a vista. Nessas condições. Defina uma equação que vincule a taxa real bruta com a taxa real líquida.00. Dia 28 – saque de R$ 50. Dia 12 – depósito de R$ 400. 10.00. Determinar o valor total da aplicação.00 de compra de uma mercadoria: . Dia 10 – saque de R$ 500. Pode a empresa aceitar essa oferta? Suponha simplesmente a inexistência de outras despesas sobre vendas. 8. pago a vista. No entanto.IPI: 15%. Os rendimentos nominais são tributados à alíquota de 9% e pagos por ocasião da aplicação.00 no primeiro dia do mês. tanto para o caso do imposto de renda ser cobrado no início da aplicação.3% ao mês no mercado financeiro.00. Certa loja incorre nos seguintes custos para cada R$ 100.00. . 9. com rendimentos mensais equivalentes à taxa nominal bruta prefixada de 13% ao ano. Essa mercadoria permanece ainda dois meses em estoque antes de ser revendida. Supondo que havia um saldo positivo em R$ 100. . quanto no final.00. 11.00. utilize o método hamburguês para determinar os juros que serão debitados sobre o saldo devedor médio do cliente no último dia do referido período.Frete: 1%. Admita uma aplicação de R$ 20. Suponha que se queira comparar um título de renda fixa prefixado com outro título.ICMS (crédito): 12%. a empresa recebe uma oferta de venda a vista dessa mercadoria por R$ 1693. b) Apreciação do dólar frente ao real e valores estáveis dos produtos da cesta do indicador de preços ao consumidor.00 a unidade. pelo prazo de dez meses. prazo de recuperação de 16 dias. sabe-se que seu preço de custo (compra) é de R$ 1760. no ato da compra. também de renda fixado. o rendimento mensal e indicar o modelo de cálculo da rentabilidade líquida auferida pelo poupador. porém pós-fixado e tendo sua taxa de correção vinculada à variação cambial. Admita que uma mercadoria seja vendida a vista e adquirida com um prazo de pagamento de 4 meses. Condições de pagamento da compra: 2 pagamentos iguais. A taxa de desconto do título é fixada em 4% ao ano. 12. qual deve ser o valor máximo de inflação no semestre? 14. Um título prefixado é emitido pelo prazo de seis meses.. respectivamente. Assuma ainda que a taxa livre de risco do mercado seja de 0.m. em 30 e 60 dias. 16. pagando juros nominais de 9.7%.00. Qual o preço de negociação que o título atinge no mercado? 75 . Calcular o preço total líquido da compra admitindo um taxa de juros de 2. 13.0% a. m.2% a.00 que promete 18% de rentabilidade anual com pagamento de juros semestralmente e taxa efetiva anual de juros de 20% ao ano.9% e uma alíquota de imposto de renda 15% incidente sobre o rendimento total. b) Quando o Banco Central remunera o compulsório à taxa SELIC de 8% ao ano. e o valor nominal da mercado em R$ 170. Admita um título com vencimento para um ano e valor de face de R$ 1000. Cristiano Santos – UERJ – 2010 .5% ao semestre. Calcule o custo de captação mensal que uma instituição financeira possui por ter que recolher compulsoriamente ao Banco Central 40% de suas aplicações em um título que para 10% ao ano nos dois casos abaixo: a) Quando o Banco Central não remunera o compulsório. Decomponha a taxa prefixada de 18% ao ano de um investimento mensal. cuja inflação projetada para o próximo ano seja de 6. Qual o deságio de uma debênture de valor de emissão de R$ 100. 15. Para um investidor que deseja obter um ganho real de 1.Matemática Financeira – Notas de Aula – Prof.00.