Apostila - Matemática Financeira com HP-12C
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Matemática FinanceiraCom uso da Calculadora HP-12C Tem-se como princípio despertar o interesse do aluno para prepará-lo a exercer criticamente a cidadania e analisar situações financeiras do seu cotidiano. Nossa proposta é uma abordagem visual e prática, considerando os princípios da Matemática Financeira Prof. José Carlos Moretti Junior Introdução..................................................................................................... - 4 - 1. Nomenclatura utilizada em Matemática Financeira ..................... - 5 - 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 – – – – – – – – Taxa de Juros ........................................................................................ Capital ou Valor Presente......................................................................... Montante ou Valor Futuro ........................................................................ Juro ...................................................................................................... Período ................................................................................................. Desconto ............................................................................................... Valor Nominal ........................................................................................ Valor Atual ............................................................................................ - 5 5 5 5 6 6 6 6 - 2. Breve apresentação da Calculadora HP-12C .......................... - 7 - 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 – – – – – – – Calculadora HP-12C ................................................................................ - 7 O Teclado .............................................................................................. - 8 Teclas de “CLEAR” – Limpeza ................................................................... - 9 Pilha Automática de Memória ................................................................. - 10 Cálculos na HP (potenciação, radiação e logaritmos) ................................. - 11 Função “C” - e as teclas [ STO ] e [ EEX ] ................................................ - 14 Funções Financeiras .............................................................................. - 16 - 3. Regime de Capitalização a Juros Simples ............................. - 19 - 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 –Valor Futuro ou Montante (Simples) ......................................................... – Valor Presente ou Capital....................................................................... – Cálculo dos Juros Simples ...................................................................... – Taxas Proporcionais e Equivalentes a Juros Simples .................................. – Exercícios Propostos ............................................................................. - 20 21 23 25 26 - 4. Regime de Capitalização em Juros Compostos ..................... - 28 - 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 – – – – – – – – Valor Futuro ou Montante (Composto) ..................................................... Valor Presente ou Capital....................................................................... Prazo (período) .................................................................................... Taxa ................................................................................................... Cálculo dos Juros Compostos ................................................................. Taxas Equivalentes a Juros Compostos .................................................... Taxa Efetiva, Taxa Líquida, Taxa Real e Taxa de Inflação........................... Exercícios Propostos ............................................................................. - 29 30 31 34 35 37 39 41 - 5. Descontos ............................................................................. - 43 - 5.1 – Desconto Simples ................................................................................. 5.1.1 – Desconto Racional Simples (“Por Dentro”) .......................................... 5.1.2 – Desconto Bancário ou Comercial Simples (“Por Fora”) ......................... 5.1.3 – Exercícios Propostos ........................................................................ 5.2 – Desconto Composto .............................................................................. 5.2.1 – Desconto Racional Composto (“Por Dentro”) ....................................... 5.2.2 – Desconto Bancário ou Comercial Composto (“Por Fora”) ...................... 5.2.3 – Exercícios Propostos ........................................................................ - 43 43 45 51 52 52 54 55 - 6. Série Uniforme de Pagamentos Periódicos ............................ - 57 - 6.1 – Série Uniforme de Pagamentos Periódicos Postecipadas............................. - 58 - Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior -2- 6.2 – Série Uniforme de Pagamentos Periódicos Antecipadas .............................. - 65 6.3 – Série Uniforme de Pagamentos Periódicos Diferidas .................................. - 69 6.4 – Exercícios Propostos ............................................................................. - 72 - 7. Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos .. - 74 - 7.1 7.2 7.3 7.4 – – – – Sistema de Amortização Francês (S.A.F.) ................................................ Sistema de Amortização Constante (S.A.C.) ............................................. Outros Sistemas de Amortizações ........................................................... Exercícios Propostos ............................................................................. - 74 81 83 84 - 8. Análise de Projetos e Decisões de Investimentos ............... - 85 - 8.1 – Fluxos de Caixa .................................................................................... 8.2 – Técnicas para Análise de Investimentos ................................................... 8.2.1 – VPL (Valor Presente Líquido) ............................................................ 8.2.2 – TIR (Taxa Interna de Retorno) .......................................................... 8.3 – Operações de Leasing ........................................................................... 8.4 – Exercícios Propostos ............................................................................. - 85 86 86 89 90 93 - Referência Bibliográfica ............................................................................... - 95 - Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior -3- E tudo isso só se consegue com muito exercício. compreensão clara das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos negócios. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos. São exigidos desses estudantes e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver. José Carlos Moretti Junior -4- . principalmente para aqueles que se lançam na área pela primeira vez. como também com fórmulas e calculadoras que utilizará. A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.Introdução As questões de Matemática Financeira envolvem basicamente o cálculo de juros simples para as aplicações a curto ou curtíssimo prazo e o cálculo de juros compostos para as aplicações a longo prazo. José Carlos Moretti Junior -5- .4 – Juro J = Juro é a remuneração do capital empregado. No exemplo acima percebe-se que 34% ao mês nada mais é que 34%÷100 = 0. ou seja. representado pela letra “C” ou “PV”. taxa de juros é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias. 1. Também chamado Capital Inicial ou Principal.2 – Capital ou Valor Presente C ou PV = é o valor inicial de uma operação. No curso adotaremos a terminologia “C ou PV”). Taxa unitário: 0.34. A taxa de juros pode ser apresentada de duas formas – no formato percentual ou no unitário. 0.10 ao semestre.3 – Montante ou Valor Futuro M ou FV = do inglês aMount. 1. 12% ao ano etc.1. Nomenclatura utilizada em Matemática Financeira 1. meses. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. anos etc. e é representado pela letra “M” ou “FV”. por exemplo: Taxa percentual: 34% ao mês. 0. Montante (M) ou Valor Futuro (FV – abreviação das palavras correspondentes em inglês a Future Value) é o capital inicial acrescido do rendimento obtido durante o período de aplicação.). ou seja.12 ao ano etc.34 ao mês.1 – Taxa de Juros i = do inglês Interest. Capital é o valor – normalmente dinheiro – que você quer aplicar ou emprestar. 10% ao semestre. é composto de amortização mais juros. (Valor Presente – abreviações das palavras em inglês a Present Value. 1. ou seja: M = C + J ou FV = PV + J. 1. = abreviação usada para designar ao dia a.8 – Valor Atual A = do inglês Actual.a.5 – Período n = nesse caso é uma incógnita referente ao período de tempo (dias. 1.6 – Desconto d = do inglês Discount. b) Compostos. 1.m. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. = abreviação usada para designar ao quadrimestre a.t.b.s.q. Algumas abreviações utilizadas em períodos (n): a. Existem dois regimes de juros: a) Simples. É usado para representar o desconto conseguido numa aplicação financeira. meses. anos) de uma aplicação financeira. É usado para representar o Valor Atual ou Real de um documento financeiro em uma determinada data. = abreviação usada para designar ao semestre a. É usado para representar o Valor Nominal ou de face de um documento financeiro. = abreviação usada para designar ao bimestre a. = abreviação usada para designar ao mês a.7 – Valor Nominal N = do inglês Nominal. José Carlos Moretti Junior -6- . = abreviação usada para designar ao ano 1. PARA O TOMADOR: é o custo do capital obtido por empréstimo. semanas. = abreviação usada para designar ao trimestre a.d.PARA O INVESTIDOR: é a remuneração do investimento. Lançada em 1981. durabilidade e. 3.1 – Calculadora HP-12C A calculadora HP-12C é indiscutivelmente a melhor e mais antiga calculadora financeira disponível no mercado mundial. Por ser um instrumento bem difundido. para aqueles que não gosta de desperdiçar dinheiro. sobretudo. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Associada aos 2. operações básicas. raiz e inverso de um valor. A calculadora HP-12C é também conhecida como a “calculadora que nunca morrerá”. pela sua simplicidade. matemáticos e estatísticos. José Carlos Moretti Junior -7- . 4. a calculadora conhecimentos da matemática financeira. como também a mais vendida. essa calculadora auxiliará no orçamento doméstico.2. Assim. Breve apresentação da Calculadora HP12C A explicação da teoria dos capítulos não depende de nenhum instrumento de cálculo mais sofisticado. poderá encontrar dificuldades para fixar o aprendizado. nas decisões de compras (principalmente no que diz respeito à forma de pagamento) e nas suas aplicações financeiras. portanto. até operações com datas. Com desempenho comprovado. a HP-12C possui mais de 120 funções embutidas em sua memória – realizando desde cálculos financeiros. prático e de fácil manuseio. Importante!!! O custo da calculadora é muito baixo se comparado à economia que ela pode proporcionar. a 12C ganhou rapidamente destaque em relação às outras calculadoras da mesma série pela sua robustez. Deste modo pode-se entender os conceitos relacionados à matemática financeira sem a calculadora HP-12C. armazenamento de dados. Didaticamente. HP-12C pode ser de grande utilidade no dia-a-dia. mas não irá operacionalizá-los dinamicamente e. tenha uma calculadora HP-12C como aliada. pela HewlettPackard (sigla HP). 2. as teclas da HP-12C podem ser divididas em oito grandes setores: 1. sendo não só a mais antiga. potência. entrada de dados. pressione [ f ] [ RPN ]. A função primária de uma tecla é indicada pelos caracteres em branco (na face central da tecla). sinal da operação. temos funções primárias e secundárias. Essas funções secundárias são selecionadas apertando a tecla de prefixo adequada. assim a seqüência para resolver uma operação é: número. 6. As funções secundárias são indicadas pelos caracteres em dourado (na face superior da tecla) e azul (na face inferior da tecla). antes da tecla de função. Para facilitar os cálculos e realizá-los sem o uso dos parênteses. denominado ALG1. calendário. 1 Para ajustar a calculadora HP-12C Platinum para o sistema ALG (algébrico) é preciso pressionar a tecla [ f ] seguida de [ ALG ] do teclado. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. porcentagem. Geralmente. Para ajustar para o sistema RPN.5.2 – O Teclado Muitas das teclas da HP-12C executam de duas a três funções. funções financeiro. outro número e pressiona-se a tecla igual. 7. a calculadora HP-12C trabalha com o sistema RPN (reverse polish notation) ou notação polonesa inversa. limpeza. A principal característica do modo RPN está em introduzir os números primeiros e depois o sinal da operação. é preciso executar mais de uma operação em seqüência. Sendo assim. José Carlos Moretti Junior -8- . A HP-12C Platinum também apresenta a possibilidade de operação no sistema tradicional algébrico. e 8. 2. antes de executar a função ative o prefixo adequado. o último X (LAST X) e o visor. José Carlos Moretti Junior -9- .3 – Teclas de “CLEAR” – Limpeza Há várias operações que apagam e zeram os registros da 12C. Os registradores de armazenamento de dados. basta pressionar a tecla de limpeza: [ f ] CLEAR [ PREFIX ].Apertando uma das teclas de prefixo [ f ] ou [ g ]. Os registradores estatísticos (R1 a R6). Se você pressionar uma tecla de prefixo por engano. como se pode ver na tabela abaixo: Tecla [ CLx ] [ f ] CLEAR [ ∑ ] O visor (o registrador X). os registradores financeiros. os registradores da pilha operacional e o visor. o indicar de estado correspondente ficará visível no visor. os registradores da pilha operacional. Os registradores financeiros. Função [ f ] CLEAR [ PRGM ] [ f ] CLEAR [ FIN ] [ f ] CLEAR [ REG ] Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Os indicadores de estado são desligados assim que você apertar a tecla da função secundária. Lembre-se sempre de que a tecla de prefixo vem antes da tecla da função secundária. 2. A memória de programação (somente quando pressionadas no modo PRGM). ou seja. José Carlos Moretti Junior . Os registradores Z e T são utilizados basicamente para a retenção de resultados intermediários em cálculos complexos. Lembre-se de que os números mostrados no visor sempre estarão no registrador X (da pilha operacional).4 – Pilha Automática de Memória 2. Y e X. Vamos inicialmente examinar o cálculo aritmético simples no diagrama a seguir: Vamos resolver o cálculo 8 + 3: Conforme o diagrama acima. o número do registro Y – são os registradores utilizados durante as operações. O número do registro X – e no caso de operações matemáticas com dois números. o número mostrado no registro X é copiado para o registro Y. Os registradores da pilha operacional são identificados por T. Lembre-se de que a tecla [ ENTER ] separa o primeiro número do segundo. Para compreender como esses registradores são utilizados.2. até que a tecla [ ENTER ] seja pressionada. assim que o número é introduzido na calculadora 12C.10 - . Vejamos abaixo como a pilha operacional se comporta durante os cálculos aritméticos simples e os cálculos complexos em cadeia. Os números permanecem no registrador X. Este processo faz parte do deslocamento ascendente da pilha operacional. eles devem ser mentalmente visualizados como se estivessem empilhados. além de informar para a calculadora que o número já está completo.4. Quando isso ocorre.1 – Pilha Operacional A HP-12C possui quatro registros especiais que são utilizados para armazenar números durante os cálculos. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. ele é automaticamente armazenado no registro X. Z. 5 – Revisão de Tópicos Úteis na Matemática e Cálculos na HP (potenciação. Assim. b)n = an . por exemplo. potenciação é a operação em que. b (a .b (xa)b = xa . dados uma base e um expoente. b ≠ 0. José Carlos Moretti Junior 11 cálculos que envolvem valores exponenciais são realizados na . 2. É o resultado da potenciação. então a ÷ b ª racionais xa . xa = xa + b xa ÷ xa = xa . bn (a ÷ b)n = an ÷ bn PELA HP-12C Os Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. se calcula uma potência. como também são armazenados e recuperados na hora exata em que são necessários. cuja definição de potência diz: produto de fatores iguais. É assim basicamente que a pilha operacional funciona.5. a – Propriedades da Potenciação x1 = x para qualquer número real x0 = 1 para qualquer número real e x ≠ 0 x-n = 1 ÷ xn para qualquer número real e x ≠ 0 xa÷b = b√xa para qualquer número real e x ≠ 0.Vamos agora examinar o seguinte cálculo complexo ( 9 x 4 ) + ( 12 – 8 ): Observe que os resultados intermediários não só são apresentados quando calculados. o recurso da potenciação pode ser utilizado. radiação e logaritmos) 2.1 – Potenciação Ao realizar uma operação de multiplicação de mesma base mais de uma vez. etc. então 24 = 16.07 3.00 1. elimina o radical 24/4 = 2. O termo que simboliza a raiz é o radical e ele pode ser representado na forma de potência. A radiciação é uma operação inversa à potenciação. cúbica. (02) Exemplo: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. ou seja.07)18 – 1} x 100. Normalmante.38 237. Calcular a seguinte operação: {(1 + 0. na pilha X.5.07 18 1 100 [ ENTER ] [+] [ YX ] [-] [X] 237. ele é expresso claramente. O tipo da raiz é simbolizada pelo radical. onde aparecer 1 sobre algo no expoente. Calcular a seguinte operação: {(1 + 1. Portanto 4√16 = 2. deverá ser utilizada a tecla [ 1/X ].55)1/12 – 1} x 100. Note que 24 = 16. dados o radicando e o índice. quarta. Essa tecla significa que o número que está na pilha Y deve ser elevado ao número digitado por último (que está o visor). e o número do qual se deve extrais a raiz chama-se radicando. a raiz é quadrada. Uma raiz pode ser quadrada. 4√16 = 2.99 0. quinta e sexta. substitui 4√24 = 2.00 Pressione Visor 2. O radicando pode estar elevado a um número qualquer. quando o índice é omitido da notação.calculadora HP-12C como o auxílio da tecla [ YX ]. Nos outros casos. Veja o número 24 dentro da raiz: ele está substituindo o número 16. José Carlos Moretti Junior 12 . Logo: a √xb = xb/a PELA HP-12C Para que a HP-12C realize esse cálculo.99 1.38 2. (01) Exemplo: Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 1 0. se calcula uma raiz.2 – Radiciação A definição de radiciação é a seguinte: é a operação em que. 55 0.00 Pressione Visor 2. Dizemos que o logaritmo de 125 na base 1/5 é -3 e se indica: log1/5 125 = -3 (1/5)3 = 125.08 0. Quando são dados dois números reais a e b com b > 0 e 1 X a > 0.11 2. ao número x tal que: a =b chama-se logaritmo de b na base a.55 12 [+] [ 1/X ] [ YX ] [-] 1 100 [X] 8. a é a Base do sistema de logaritmo. Neste caso.00 1. tem comportamento exponecial ou logarítmico. Imaginemos a seguinte situação 2X = 32. matematicamente. dizemos que o logaritmo de 32 na base 2 é 5 e se indica: log2 32 = 5 25 = 32. do mesmo modo: (1/5)X = 125 (5-1)X = 125 5-X = 125 X= -3.Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ ENTER ] 1 1.5. b é o Antilogaritmo ou Logaritmando.08 0.08 1.3 – Logaritmo Fazemos uma breve revisão do cálculo de logaritmos pois a maioria das aplicações existentes no mercado financeiro estão inseridas no regime de capitalização composta a qual. indica-se: Loga b = x Vale então a equivalência: Loga b = x aX = b Notação: Quando Loga b = x. José Carlos Moretti Junior 13 . podemos escrever.11 8. 2X = 25 X = 5. temos: x é o Logaritmo de b na base a. a – Propriedades dos Logaritmos Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. c) = Loga b + Loga c Logaritmo de um quociente: Loga (b ÷ c) = Loga b . Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. em sua maioria.35 3.00 Pressione Visor 2. cujo número é.718281. 2.35)4 + ln(1. Existe uma tecla da calculadora relacionada a esse logaritmo. Esse número é expresso pela letra e. Para acioná-la.35 4 [ ENTER ] [ YX ] [ g ] [ LN ] [ ENTER ] 1.e as teclas [ STO ] e [ EEX ] Com a seqüência de teclas [ STO ] [ EEX ] aparecerá no visor da 2 Loge b Ln b**. quando do uso de logaritmos. adotou-se os de base e em função da possibilidade de o aluno poder resolvê-lo concomitantemente com uma calculadora financeira a qual.6 – Função “C” .05 2 [ YX ] [ g ] [ LN ] [+] 1.05 0. Calcular a seguinte operação: ln(1.05)2.Loga c Logaritmo de uma potência: Loga bX = n . onde: 0<a≠1 0<c≠1 b>0 PELA HP-12C A calculadora HP-12C trabalha com o logaritmo neperiano2 (LN) na base Euller (leia óiler). Logaritmo de um produto: Loga (b .10 1. em que a função LN é secundária.30 1. Loga b Logaritmo de uma raiz: Loga n√b = Loga b1/n = 1/n .20 1. José Carlos Moretti Junior 14 . Não há uma forma direta de calcular o logaritmo em outra base por nenhuma função específica da HP-12C3. pressione [ g ] [ LN ]. aproximadamente. 3 Em todos os exercícios desta apostila.30 1.10 0. Loga b b – Mudança de Base Loga b = Logc b ÷ Logc a. apresenta em seu teclado o logaritmo neperiano.32 1. (03) Exemplo: Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 1. 15 – 2.50 3.30 [ CHS ] [ PV ] 15 [i] 3. o objetivo é utilizar o regime de Capitalização Simples (convenção linear) para os períodos de tempo inferiores ao tempo da taxa.1.00 1.1.450.50 2.00 3.30 15.450. FV (3 anos) = 1.30 . aplicado a PELA HP-12C Com o uso do “C” no visor Sem o uso do “C” no visor Pressione [ f ] CLEAR [ FIN ] 1.1.38 [ f ] CLEAR [ FIN ] 1.371.450.30 .15 Visor Pressione Visor Observe que existe uma diferença de R$ 5.1.5 anos) = R$ 2. Na verdade.15 Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.5 anos) = R$ 2.50 [n] [ FV ] 0.5) J (0.450. (04) Exemplo: taxa de 15% ao ano.73 J (0. José Carlos Moretti Junior 15 .371.450.30 [ CHS ] [ PV ] 15 [i] 3.5 anos.00 3.30 . a HP-12C fará os cálculos levando em consideração os dois Regimes de Capitalização.205.30.77 (2.5 anos FV = ? Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.calculadora a letra “C”.450.365. n = 3.30 .450. Se a letra “C” não estiver aparecendo.43 FV (3.450.00 1.73 x 0.30 15. Dados: PV = R$ 1. 2º Passo Determinar o valor dos juros correspondente a meio ano (período fracionário) pelo regime de Juros Simples.450. durante 3.50 3.30 i = 15% a. Vejamos por quê: 1º Passo Determinar o valor futuro para o período de 3 anos (período inteiro) pelo regime de Juros Compostos.a.73 + R$ 165.00 15.205. e para os períodos inteiros iguais ou superiores ao tempo da taxa será utilizado o regime de Capitalização Composta.50 [n] [ FV ] 0. 3º Passo Determinar o valor futuro (3.00 15.5 anos) = (2.50 2.5 anos).30 (1.15)3 FV (3 anos) = R$ 2.5 anos) = R$ 165.450.15 x 0.371.38).43 FV (3.365.205.450. juros compostos. e preço de títulos4. amortização. série de pagamentos ou anuidades. 2. neste estudo. Observe abaixo como executar cada uma das operações financeiras. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. consulte o manual da calculadora. José Carlos Moretti Junior . adotaremos. Tecla n PV FV [ f ] INT [ f ] IRR [ g ] 12÷ [ g ] CFj [f] PRICE [ f ] SL Juros simples Taxa interna de retorno Divide por 12 Fluxos de caixa seguintes Preço do título ou debênture Depreciação pelo método linear Depreciação pelo método do declínio em dobro Pagamentos postecipados Valor futuro Amortização Valor presente líquido Multiplica por 12 Fluxo inicial de caixa Número de fluxos de caixa Rendimento até o vencimento Depreciação pelo método das somas dos dígitos Pagamentos antecipados Valor presente PMT [f] AMORT [ f ] NPV [ g ] 12x [ g ] CFo [ g ] Nj [ f ] YTM Pagamento/Recebimento Número de períodos i Taxa de juros Função Tecla Função [ f ] SOYD [ f ] DB [ g ] END [ g ] BEG 4 Não abordaremos nesta apostila o tópico “preço de títulos (ou BOND)”. o uso do Regime de Capitalização Composta (usando o “C”). depreciação. taxa interna de retorno.Para tanto. Para maiores informações a respeito desta função.7 – Funções Financeiras A calculadora HP-12C disponibiliza 22 teclas para solucionar os problemas financeiros: juros simples.16 - . valor presente líquido. se um número tiver sido armazenado num registrador financeiro (através de [ n ]. convém se adotar a prática de apagar todos os registros financeiros. [ PMT ] ou [ FV ]). digite o número e aperte a tecla correspondente ([ n ]. Esses registros são denominados: n. basta pressionar [ RCL ]. [ 12x ] ou [ 12÷ ]). caso contrário. Tecla Sempre em função de taxa e tempo. para calcular o valor correspondente e armazenar o resultado no registro correspondente. [ FV ]. Abaixo apresenta-se as funções financeiras básicas correspondente as cinco teclas programadas para trabalhar conjuntamente da calculadora HP-12C ([ n ]. Quando se quer calcular o valor a receber no futuro (FV) a partir de uma única aplicação no presente (PV). Quando se deseja partir do valor de uma mercadoria (PV) para se calcular o valor das parcelas (PMT). simplesmente se estará armazenando o conteúdo do visor no registrador correspondente. Essas teclas podem ser utilizadas para armazenar um número mostrado no registrador correspondente. depende da operação anterior. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. i. útil para o planejamento da aposentadoria. e em seguida a tecla correspondente.17 - . Sempre em função de taxa e tempo.2 – Registradores Financeiros Além dos registradores de armazenamento de dados.7. [ PV ]. os registradores financeiros. ou para exibir o número armazenado no registro correspondente5. o qual será armazenado no registrador correspondente. de viagens ou para a aquisição de um bem à vista. os registradores da pilha operacional e ÚLTIMO X (LAST X). ao se pressionar uma dessas cinco teclas. PMT e FV. Portanto. José Carlos Moretti Junior . Para armazenar um número em um registro financeiro. e o visor. Quando se deseja calcular o valor de uma mercadoria (PV) a partir do valor das parcelas (PMT). 6 Cuja função é apagar os registradores de armazenamento de dados. [ PV ]. [ PMT ]. ao se pressionar uma dessas cinco teclas se calculará o valor correspondente. Para recuperar o número armazenado em um dos registradores financeiros. [ i ]. Lembre-se sempre de que toda função financeira utiliza os números armazenados em alguns dos registros. [ i ]. [ PV ]. Sempre em função de taxa e tempo. ou determinar o valor que se deve aplicar hoje (PV) para ter direito de receber determinada quantia no futuro (FV). PV.2. pressionando-se [ f ] CLEAR [ FIN ] ou [ f ] CLEAR [ REG ]6. antes de começar um novo cálculo financeiro. ou determinar o valor que se deve aplicar mensalmente (PMT) para ter direito a receber determinada quantia no futuro (FV). [ PMT ] ou [ FV ]). ou determinar o valor que se tem direito de receber no futuro (FV) a partir de uma série de Definição Utilidade PV Valor presente PMT Pagamento/Recebimento FV Valor futuro 5 A operação a ser realizada quando uma dessa teclas é pressionada. a calculadora 12C tem cinco registros especiais para cálculos financeiros. [ i ]. ou determinar quantas parcelas (n) seriam necessárias para se acumular certo valor de resgate (FV). Quando se deseja calcular a taxa de juros de um financiamento (i) a partir do valor das parcelas (PMT) e do financiado (PV). Quando se deseja calcular quanto tempo um capital (PV) deve ficar aplicado para se ter o direito de resgatar um valor desejado (FV).18 - . PMT e FV associados ao tempo.depósitos/aplicações mensais (PMT). ou determinar a taxa de rendimento (i) de uma aplicação em que um único valor foi depositado (PV) e depois de certo tempo foi resgatado (FV). Em função de PV. ou saber quantas (n) parcelas fixas (PMT) serão necessárias para que um valor financiado (PV) seja pago. Em função de PV. PMT e FV associados ao tempo. dada uma taxa de juros. José Carlos Moretti Junior . i Taxa de juros n Número de períodos Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Regime de Capitalização a Juros Simples Antes de adentramos nos assuntos específicos.100. o cálculo a Juros Simples é conhecido por cálculo linear de juros.200.00 1.3. de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis. A definição de capitalização a juros simples se concentra na aplicação dos conceitos mais básicos de matemática.00 1. Situações onde isto não ocorre. mensais.300. (05) Exemplo: Demonstração do regime de capitalização simples para uma Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. trimestrais ou anuais. apresentamos os principais objetivos da Matemática Financeira. isso é característica de uma função linear de 1º grau.00 0 1 2 3 4 5 Note que existe uma reta ligando os valores. coerentes ou homogêneos.19 - .00 1.00 1. O valor do montante de uma dívida pode ser calculado de forma linear e muitas vezes até de maneira intuitiva. Matematicamente. os períodos deverão ser respectivamente. José Carlos Moretti Junior .500.400. trimestral ou anual. Graficamente.000. serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de unidades. tem-se: Capitalização Simples 1.00 1. Efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro verificados em diferentes momentos. Importante!!! Compatibilidade dos dados: Se a taxa de juros for mensal. que são: Estudo do valor do dinheiro no tempo. aplicação financeira de R$ 1. n 0 1 2 3 Capital aplicado 1. José Carlos Moretti Junior .100.00 1.00 M = 1.100.00 = 1.200.00 por um período de 3 meses a uma taxa de 10% ao mês.200.00 x 10% = 100.000.00 1.20 - .00 Valor acumulado (Montante) M1 = 1.00 x 10% = 100.000.00 1. O Montante também é conhecido como Valor Futuro (FV).000.300.000. (1 + i .00 1.000.00 1.00 1.00 + 100.300. conforme as instruções dos quadros abaixo: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 C x i = 100.00 1.000.00 = 1.00 3. n) PELA HP-12C Para o cálculo do Valor Futuro (FV).100.00 M2 = 1.000.00 C x i = 100.00 Juros de cada período 0.00 + 100.00 x 10% = 100.00 1.00 + 100.000.200.00 C = 1.000.000. O Valor Futuro é dado por uma das fórmulas: Valor Futuro após período 1: n=1 FV1 = PV + J = PV + (PV x i x 1) = PV [ 1 + ( i x 1)] Valor Futuro após período 2: n=2 FV2 = PV + J = PV + (PV x i x 2) = PV [ 1 + ( i x 2)] Valor Futuro após período 3: n=3 FV3 = PV + J = PV + (PV x i x 3) = PV [ 1 + ( i x 3)] Valor Futuro após período n: Para um período n: FV = PV .00 = 1.1 –Valor Futuro ou Montante (Simples) Montante (M) é a soma do Capital (C) ou Valor Presente (PV) com os Juros (J).000. basta introduzir (na ordem desejada) os valores conhecidos.00 1.00 1.00 0 1 2 3 C x i = 100. 2 – Valor Presente ou Capital 7 A tecla [ CHS ] é pressionada para trocar o sinal do principal antes de armazená-lo.00 .59 90.a.48% a.3. x 12 meses = 18.975.m. Digite o valor do principal e pressione [ CHS ]7 [ PV ]. Observação: para calcular juros simples na HP-12C.54% a. Aperte [ f ] INT para calcular e exibir os juros ordinários.59 aplicados PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ CHS ] 3.00 18. 5. (06) Exemplo: em CDB pós-fixado de 90 dias.m. As quantidades de n.26 3.975. José Carlos Moretti Junior .3.59 i = 1.54% a.48 Juro Valor Futuro Pressione 0. 3.0154 x 3) FV = R$ 4.67 4.159. 2.0154 Resolução: FV = 3. a taxa de juros (i) deverá ser expressa em ano e o número de períodos (n) expresso em dias. Digite a taxa de juros anual e pressione [ i ].48 183. Isso é necessário devido à convenção para sinais de fluxos de caixa.54% ao mês? Dados: PV = R$ 3.59 [ PV ] [n] 90.26 FV = PV x (1 + i x n) Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 3. que se aplica principalmente a cálculos de juros compostos.) n = 90 dias (90 dias ÷ 30 dias = 3 meses) FV = ? Taxa Unitário 1.159.00 18.59 x (1 + 0.1. i e PV podem ser informados em qualquer ordem.59 .21 - . Aperte [ + ] para calcular o valor futuro (principal + juros) Digite o número de dias e pressione [ n ].54% ÷ 100 = 0.975. 4. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. a uma taxa de 1.975.975. (1.159.975.26 Limpar registradores Visor Inserção dos dados conhecidos [i] [ f ] INT [+] R$ 4. 248.22 - Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de .00 PV = (1.A fórmula do Valor Capital (C) ou Valor Presente (PV) pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante (M) ou Valor Futuro (FV). 3.0531) Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Digite valor futuro e pressione [ ENTER ]. teremos: FV PV = (1 + i . (07) Exemplo: R$ 4. Digite 1 e pressione [ ENTER ]. Pressione [ + ] [÷ ] para calcular e exibir o valor presente.00 i = 1. Dados: FV = R$ 4.77% ÷ 100 = 0.0177 x 3) 4. Digite a taxa de juros (unitário) e pressione [ ENTER ]. n) PELA HP-12C 1.0177 4. n = 3 meses (3 meses x 30 dias = 90 dias) PV = ? FV Resolução: PV = (1 + i x n) Taxa Unitário 1.77% ao mês.m. Isso ocorre porque a calculadora HP-12C não calcula. 2. Note que não são utilizadas as teclas financeiras para o calculo do valor presente (PV). sendo possível apenas com cálculo matemático da fórmula. sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1. Digite o período e pressione [ X ].248. 5. 4. diretamente.248.00 por um período de 3 meses. Assim: FV = PV (1 + i x n) PV (1 + i x n) = FV Colocando o PV em evidência. José Carlos Moretti Junior .248. o valor presente pelas teclas financeiras.77% a.00 PV = (1 + 0. 0531 1. É composto da seguinte Fórmula: J = PV .0531 4.00 0.00 Pressione Visor 3.23 - . n) Colocando o n em evidência.80 1. teremos: J n= ( i .00 [ ENTER ] [ ENTER ] [X] [+] [÷] R$ 4. Podemos entender os juros simples como sendo o sistema de capitação linear.00 0. sobre os juros gerados. José Carlos Moretti Junior .80 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ ENTER ] 4.0177 3.033. teremos: J PV = ( i .033. Colocando o PV em evidência.0177 0. n Lembre-se: no regime de juros simples. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial.248.248.033.00 4.PV = R$ 4.00 1. a cada período. ou seja. sendo proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. a taxa incide sobre o capital inicial aplicado. PV) Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. não incidirão novos juros.80 0. i .3 – Cálculo dos Juros Simples É a mais simples forma de cálculo na Matemática Financeira. Colocando o i em evidência. 3. PV) Se considerarmos o Valor Futuro (FV) como sendo FV = PV + J e que juro (J) seja J = PV x i. 30 ou 31 dias. pressione [ R↓ ] [ x ≤≥ y ] Aperte [ + ] para calcular o valor futuro (principal + juros) Digite o número de dias e pressione [ n ]. 2. Se você quiser exibir os juros exatos. conforme o caso. 6. 29. teremos: J i= ( n . 4. Ordinários (Comercial): quando se emprega na unidade de tempo o calendário comercial – ano com 360 dias e mês com 30 dias. a taxa de juros (i) deverá ser expressa em ano e o número de períodos (n) expresso em dias. 5. por ser o usual nas instituições financeiras. Observação: para calcular juros simples na HP-12C. Digite o valor do principal e pressione [ CHS ] [ PV ]. Aperte [ f ] INT para calcular e exibir os juros ordinários. As quantidades de n. PELA HP-12C A HP-12C calcula automaticamente juros simples ordinários (utilizando o ano comercial de 360 dias) e exatos (utilizando um ano de 365 dias). Vamos utilizar em nosso curso apenas os juros ordinários (ano comercial). José Carlos Moretti Junior . mês com 28.24 - . Digite a taxa de juros anual e pressione [ i ]. i e PV podem ser informados em qualquer ordem. É possível exibir no visor qualquer um dos dois resultados. Observe os principais passos para calcular juros simples ordinários e exatos simultaneamente: 1. podemos então deduzir que da relação entre duas formulas teremos: FV -1 i= PV É conveniente observar que os juros simples podem ser: Exatos: quando se emprega na unidade de tempo o calendário civil – ano com 365 ou 366 dias. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. 250.23 i = 5. Por exemplo. devendo-se nesta situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período de capitalização. sabe-se que a Caderneta de Poupança paga uma taxa de juros de 6% ao ano. dois prazos – prazo da taxa: ao ano.00 66.00 Resultado 343. No regime de juros simples a transformação do prazo específico da taxa para o de capitalização.a.23 150.m. Ou seja: 5 meses x 30 dias = 150 dias e 5. n = 5 meses J=? Resolução: J = 1. ou de maneira inversa.00 [ CHS ] [ PV ] 150.00 66.1. a qual é capitalizada ao principal todo mês através de um percentual proporcional de 0.5% a.23 Inserção dos dados conhecidos Pressione 0. Dados: PV = R$ 1.m. resolução pela HP-12C de juros simples.5% a.250.5%. José Carlos Moretti Junior .00 [n] [i] [ f ] INT R$ 343.25 - .23 x 0.81 (Juros Comercial) Na transformaremos o prazo sempre em dias e a taxa sempre ao ano.250. é processada pela denominada taxa Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa.055 Determine o juro obtido com um capital de R$ 1. Tem-se aqui.23 durante 5 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 1. então.5% ao mês.(08) Exemplo: meses com taxa de 5.4 – Taxas Proporcionais e Equivalentes a Juros Simples Em inúmeras operações o prazo a que se refere a taxa de juros e o prazo de capitalização dos juros não são coincidentes.055 x 5 J = R$ 343.10 Juros Exato 3.250.81 339.250.10 [ R↓ ] [ x <> y ] R$ 339. e prazo de capitalização: ao mês.5% ÷ 100 = 0. x 12 meses = 66% a.81 Juros Comercial Resultado Limpar registradores Visor -1.250. primeiramente J = PV x i x n Taxa Unitário 5.23 . proporcional de juros, obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização). Voltando ao exemplo da Caderneta de Poupança de 6% juros ao ano capitalizado mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será: 6% = 0,5% ao mês Taxa Proporcional = 12 As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros. Por exemplo, em juros simples, um capital de R$ 5.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros: J (2,5% a.m.) = 5.000,00 x 0,025 x 12 = R$ 1.500,00 J (15% a.s.) = 5.000,00 x 0,15 x 2 = R$ 1.500,00 Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são definidas como equivalentes. 3.5 – Exercícios Propostos Calcule os juros de um investimento de R$ 2.500,00 à taxa de 8,4% ao ano, pelo 1. prazo de 1 ano. Resposta: R$ 210,00 Calcule os juros de uma aplicação de R$ 600,00 á uma taxa de 3% ao mês, 2. durante 90 dias. Resposta: R$ 53,26 Calcule o montante de uma aplicação de R$ 4.500,00 à taxa de 23% ao ano, 3. durante 145 dias. Resposta: R$ 4.916,88 Calcule o montante de um empréstimo de R$ 450,00 à uma taxa de 5% ao mês, 4. durante 23 dias. Resposta: R$ 467,01 Um contrato de empréstimo prevê juros simples de 12% ao ano. Qual o valor dos 5. juros cobrados sobre um principal de R$ 890,00 num prazo de 56 dias. Resposta: R$ 16,61 Qual é o capital que, à taxa de 10% ao ano, em 25 dias, produz o montante de R$ 6. 7.280,45? Resposta: R$ 7.230,24 Determinar o capital e os juros cuja soma, no fim de 5 meses, à taxa de 5,5%ao 7. ano, atingiu R$ 17.676,00. Resposta: C = R$ 17.280,00 e J = R$ 396,00 8. em 3 meses e 20 dias, rendeu R$ 440,00 de juros. Resposta: 0,25% ao mês Determinar a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48.000,00 que, Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior - 26 - 9. 12% ao ano, rendeu R$ 4.800,00 de juros simples. Resposta: 15 meses 10. a.a.; R$ 90.000,00 a uma taxa desconhecida. Sabendo que, ao fim de 6 meses, a primeira importância tinha rendido $ 1.250,00 a mais do que a segunda, determine a taxa da segunda aplicação. Resposta: 1,50 a.m. Calcular a taxa anual proporcional a: 11. a) 6% ao mês; (Resposta: 72% ao ano) b) 10% ao bimestre. (Resposta: 60% ao ano) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: 12. a) 60% ao ano; (Resposta: 30% ao semestre) b) 9% ao trimestre. (Resposta: 18% ao semestre) Uma pessoa aplicou R$ 215.000,00 do seguinte modo: R$ 125.000,00 à 15% Determinar em quantos meses um capital de R$ 32.000,00 aplicado à taxa de Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior - 27 - 4. Regime de Capitalização em Juros Compostos Podemos entender os Juros Compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros. Mas, na verdade, o correto é afirmar que os juros incidem sobre o montante. O regime de Juros Compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a Juros Compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. Graficamente, tem-se: Capitalização Composta 1.600,00 1.500,00 1.400,00 1.300,00 1.200,00 1.100,00 1.000,00 0 1 2 3 4 5 Note que existe uma curva no gráfico, indicando que nele há uma função exponencial. (09) Exemplo: aplicação financeira de R$ 1.000,00 por um período de 3 meses a uma taxa de 10% ao mês. Demonstração do regime de capitalização composta para uma Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior - 28 - (1+i)n. após (n) Períodos de tempo.331.210.100.100.00 1.00 x 10% = 100. uma Taxa (i) e calculemos o Valor Futuro (FV) obtido a juros compostos.000.00 1.00 = 1.00 = 1.100.000.000.00 0 1 2 3 M1 x i = 110.00 + 100.00 1.00 4.00 + 110.331.00 M2 x i = 121.000. (1+i)n PELA HP-12C Lembrando: nas calculadoras financeiras é possível calcular diretamente qualquer uma das variáveis da formula FV = PV . basta introduzir (na ordem desejada) os valores conhecidos.100.00 C = 1.00 = 1.210. Para o cálculo do Valor Futuro (FV).29 - .00 Juros de cada período 0.00 1.210.100.n 0 1 2 3 Capital aplicado 1.00 1.00 x 10% = 121.00 + 121. para tanto é preciso que sejam conhecidas três variáveis para que seja calculada a quarta variável.00 Valor acumulado (Montante) M1 = 1.00 M2 = 1. vamos considerar um Valor Presente (PV). Valor Futuro após período 1: FV1 = PV + PV x i = PV (1 + i)1 Valor Futuro após período 2: FV2 = FV1 + FV1 x i = PV (1 + i) (1 + i) = PV (1 + i)2 Valor Futuro após período 3: FV3 = FV2 + FV2 x i = FV2 (1 + i) = PV (1 + i)2 (1 + i) = PV (1 + i)3 Valor Futuro após período n: Para um período n: n=3 n=2 n=1 FV = PV .000.210.000.00 1.210.00 1.1 – Valor Futuro ou Montante (Composto) Para encontrarmos o Montante (M) ou Valor Futuro (FV) de uma operação comercial ou financeira.00 M = 1. conforme as instruções dos quadros abaixo: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior .00 1.00 1.00 1.00 C x i = 100.00 x 10% = 110. ou seja.00 x (1.5.00 [n] [i] [ FV ] R$ 6.000. Pressione [ FV ] para calcular e exibir o valor futuro.000. n = 5 meses FV = ? Calcular o montante de um capital de R$ 5.000.083.04)5 FV = 5.00 Inserção dos dados conhecidos Pressione 0.00 x (1. (1+i)n.00 [ CHS ] [ PV ] 5. 3.2166529) FV = R$ 6. 4.26 4.26 .000. basta isolar a variável (PV) e dividir o FV pelo coeficiente do PV.5. Sendo assim teremos: FV = PV (1 + i)n PV (1 + i)n = FV FV PV = (1 + i)n Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 5.00 4. Digite o valor do principal e pressione [ CHS ] [ PV ].00 Resultado Limpar registradores Visor 6.30 - .1.00 x (1+0. Digite a taxa de juros e pressione [ i ].000.04)5 FV = 5.2 – Valor Presente ou Capital A fórmula do Valor Presente (PV) pode ser facilmente obtida a partir da fórmula do Valor Futuro (FV). José Carlos Moretti Junior .00 i = 4% a.m.000.000.26 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 5.00 4. (10) Exemplo: meses à uma taxa de 4% ao mês.083. 2.000.083.00 . Dados: PV = R$ 5. Digite o número de períodos e pressione [ n ].00 pelo prazo de 5 FV = PV x (1+i)n Resolução: FV = 5. Qual o valor emprestado? Dados: FV = R$ 2.00 2.00 PV = R$ 780. 2.563304165 PV = 2.31 - .00 a um banco.m. Digite a taxa de juros e pressione [ i ].00 Resultado Limpar registradores Visor 780.PELA HP-12C 1.00 [n] [i] [ PV ] R$ 780.2.24 4. Digite o valor futuro e pressione [ CHS ] [ FV ]. José Carlos Moretti Junior .00 [ CHS ] [ FV ] 24.3 – Prazo (período) O cálculo do Prazo (período) pelo Regime de Capitalização Composta não é Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. um correntista deverá efetuar um pagamento Resolução: FV PV = (1 + i)n 2.00 24.000. mais os juros devidos.000.04)24 2. referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje.24 . 4.000.2.00 4. n = 2 anos = 24 meses PV = ? No final de dois anos.000.000.00 4. Digite o número de períodos e pressione [ n ].04)24 (1. correspondente a uma taxa de 4% ao mês.000.000. Pressione [ PV ] para calcular e exibir o valor presente. 3.00 .000. (11) Exemplo: de R$ 2.00 Inserção dos dados conhecidos Pressione 0.24 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 2.00 PV = PV = (1 + 0.00 i = 4% a. 3.278. (12) Exemplo: em um único pagamento de R$ 6.possível por meio de uma fórmula simples como visto no Regime de Capitalização Simples.43 FV = R$ 6.559.278. apresentaremos a fórmula: FV = PV (1 + i)n PV (1 + i)n = FV FV (1 + i)n = PV PV n.25% a. sabendo-se que a taxa contratada é de 3.m. Aperte [ n ] para calcular e exibir o número de períodos (prazo).43 pode ser liquidado Resolução: Log FV – Log PV n= Log (1 + i) Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.559.32 - .68. Log (1 + i) = Log FV FV Log PV n= Log (1 + i) ou Log FV – Log PV n= Log (1 + i) PELA HP-12C 1. Digite a taxa de juros e pressione [ i ].25% ao mês? Dados: PV = R$ 4.68 i = 3. 2. é necessário calcular através de logaritmo. Para o cálculo do prazo (n). 4. Digite o valor futuro e pressione [ FV ]. Neste caso. Digite o valor presente e pressione [ CHS ] [ PV ]. José Carlos Moretti Junior . n=? Em que prazo um empréstimo de R$ 4. 4273557 0 0.031983046 n= n = 13.4. quando efetuamos o cálculo usando as teclas financeiras.36134139 n= 0.43 n= Log (1 + 0.Log 6.43 . Neste caso. representa a quantidade de dias (0.4.25 [ FV ] [i] [n] 14 meses . ou seja.278. Para calcularmos a quantidade de dias.278.278.68 3. O inverso. o prazo retorna em períodos inteiros. José Carlos Moretti Junior . PELA HP-12C Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.25 Resultado Limpar registradores Visor 14 Observe que na resolução pela HP-12C que. basta multiplicar a parte fracionária por 30 dias (mês comercial).278. Na verdade.68 – Log 4.559.559.68 3.36194504 meses. temos que o prazo foi de 13. eliminar a parte fracionária de um número e manter a parte inteira.278.78869710 – 8. Vamos comprovar: Tomando com base a resolução do exemplo anterior.43 6.36 meses PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 4.33 - . ocorre através da função [ INTG ].0325) 8.00 [ CHS ] [ PV ] 6.559.559. se houver a necessidade de saber o período exato devemos usar a função [ FRAC ].0325) Log 6. Observe que existe uma parte fracionária que.43 Inserção dos dados conhecidos Pressione 0.031983046 0.43 n= Log (1. Através da função [ FRAC ] é possível eliminar a parte inteira de um número e manter a parte fracionária. qualquer prazo efetuado através da HP-12C será sempre arredondado para maior.36194504). neste caso.68 – Log 4. PELA HP-12C 1. Digite o número de períodos e pressione [ n ].210.361945040 10. sem essa operação de multiplicação o resultado obtido seria de taxa de juros unitário e não em percentuais habitualmente usado. 100 -1 PV Multiplica-se por 100 (cem). 2. (13) Exemplo: 1. 3. e o período (n) de tempo da operação financeira. Digite o valor presente e pressione [ CHS ] [ PV ].4 – Taxa Para calcularmos a Taxa de juros em uma operação de juros compostos é necessário conhecer o Valo Futuro (FV) e o Valor Presente (PV). para pagamento em uma única prestação Uma loja financia a venda de uma máquina no valor de R$ Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.34 - .36194504 Pressione Visor No caso de dias. sem entrada.Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [g] 13. ou seja. Digite o valor futuro e pressione [ FV ]. Pressione [ i ] para calcular e exibir a taxa de juros.00 13. Assim teremos: FV = PV (1 + i)n PV (1 + i)n = FV FV (1 + i)n = PV 1/n FV i= . para encontrar a taxa de juros em percentuais. 4. então poderemos dizer que a resposta exata do exemplo seja 13 meses e 11 dias. na fórmula acima. visto que para todas as fórmulas em matemática financeira utilizase a taxa de juros unitária. poderemos arredondar o número para maior. José Carlos Moretti Junior .36194504 [ FRAC ] [X] 30 11 dias 0. 4.72.85835120 0. 100 -1 1.72 .72 [ PV ] [ FV ] 1.81% a.10 x 5 = R$ 500. 100 -1 PV 1/9 1.000. basta efetuar uma simples operação de multiplicação: J = 1.00 x 0.695. 4.35 - .210.de R$ 1.PV + PV (1 + i)n Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.210.000.m.210. o juros simples é calculado através da fórmula J = PV x i x n.038093580} .111 – 1} . 100 i = 3.695.72 i = {(1. 100 i = {0. i=? Resolução: 1/n FV i= .210.PV + FV J = .1.695.00 para um período de 5 meses com uma taxa de 10% ao mês.01 9 3.81% a.038093580 – 1} .m.695.695. neste caso para acharmos os juros de uma aplicação de R$ 1.01 9 Resultado Visor 0. José Carlos Moretti Junior .40)0.809358 Inserção dos dados conhecidos [n] [i] 3.72 FV = R$ 1.00 No caso dos juros compostos. 100 i = {1. a fórmula que calcula os juros é a seguinte: J = .210.1.00 .01 n = 270 dias (270 dias ÷ 30 dias = 9 meses).01 i= .72 1.5 – Cálculo dos Juros Compostos Como visto.01 no final de 270 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Dados: PV = R$ 1. PELA HP-12C Digite Limpar registradores Pressione [ f ] CLEAR [ REG ] [ CHS ] 1. 36 - . PV (capital principal ou inicial) e FV (montante ou valor futuro).00 i = 10% a.000. A partir daí. basta introduzir (na ordem desejada) os valores conhecidos. que se aplica principalmente a cálculos de juros compostos. i (taxa de juros). n = 5 meses Calcular os juros de capital de R$ 1.000. é pressionada para trocar o sinal do principal antes de armazená-lo.J = PV . Fixando: é importante ressaltar que a HP-12C precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa. [(1 + i)n . Isso é necessário devido à convenção para sinais de fluxos de caixa. Lembre-se de que a taxa de juros e o número de períodos devem estar na mesma unidade de tempo. Dados: PV = R$ 1.m.00 pelo prazo de 5 meses à Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Observe os fluxos de caixa a seguir: Do ponto de vista de quem recebe um empréstimo: PV (entrada) 1 0 FV (saída) Do ponto de vista do emprestador: FV (entrada) 0 1 PV (saída) (14) Exemplo: taxa de 10% ao mês.1] PELA HP-12C Para operar com juros compostos na 12C. José Carlos Moretti Junior . ou seja. é preciso informar quando temos uma entrada ou uma saída. ou seja. Suas principais variáveis são: n (número de períodos). Na HP-12C a tecla [ CHS ] (do inglês Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um número. você precisa sempre ter uma incógnita. 000. Por essa definição.1. qq = quanto eu quero (o prazo da taxa a ser calculada).61051] J = R$ 610.1.00 [ PV ] [n] 5.00 .00 5.51 .51 10.000.00 x [1. José Carlos Moretti Junior .000.610. ic = taxa conhecida.000.000. obtemos o mesmo resultado.10)5 – 1] J = 1. por um período de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento. 100 -1 1 + ic Onde: i(eq) = taxa equivalente.00 x [0.000. a juros compostos. quando aplicadas a um mesmo capital.37 - .00 Pressione Visor 4. Em outras palavras.51 -1000.00 10.61051 – 1] J = 1.51 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ CHS ] 1.00 610. e Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando um valor é aplicado por um prazo e. teremos: qq/qt ieq = . calculado o montante com as diversas taxas.00 0.00 x [(1+0.00 [i] [ FV ] [ RCL ] [ PV ] [+] R$ 610.6 – Taxas Equivalentes a Juros Compostos Duas taxas ou mais são consideradas equivalentes.J=? J = PV x [(1+i)n -1] Resolução: J = 1.51 1.00 1.610. 795856)30/360 – 1} .].a. ieq = ? Calcular a equivalência ao mês da taxa 79. Digite o prazo da taxa a ser calculada (qq) e pressione [ ENTER ].00% a.qt = quanto eu tenho (o prazo da operação que foi informada). 100 ieq = {1. PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 79. Digite 100 e pressione [ x ].00 30.00 1. PELA HP-12C 1.00% a.5856 0. Vale lembrar que os prazos.04999998 – 1} . ieq = {(1 + ic)qq/qt – 1} .795856)0.04999998} .00 [ ENTER ] [÷] [+] [ ENTER ] [÷] [ yx ] 1. 4. devem estar sempre na mesma unidade de tempo.049999 0.00 100. 5. 100 ieq = {(1. Digite o prazo da taxa informada (qt) e pressione [ ÷ ] [ yx ]. tanto o prazo que tenho como o prazo que quero.083333 – 1} . 100 Resolução: ieq = {(1 + 0. José Carlos Moretti Junior . 3.m.999998 0. 7. 100 ieq = {0.38 - .00 360. Digite a taxa conhecida (ic) e pressione [ ENTER ].049999 4.00 0. Digite 100 e pressione [ ÷ ]. Digite 1 e pressione [ + ]. 100 ieq = 5.5856% a.5856% ao ano.00 [-] [x] 5.083333 1.00 Pressione Visor Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Digite 1 e pressione [ .m. (15) Exemplo: Dados: ic = 79. 79.795856 30. 6. 2.5856 100.795856 1. itl = taxa líquida. e qt = quanto eu tenho (o prazo da operação que foi informada). qq = quanto eu quero (o prazo da taxa a ser calculada).4. 100 Rendimento Líquido itl= Valor Presente (1 + i) -1 ir = (1 + ik) Onde: ite = taxa efetiva. Embora a Taxa de Inflação seja calculada por órgãos que fazem levantamentos estatísticos de preços no mercado. por um determinado período. ou seja. A Taxa Líquida (itl) é assim chamada quando reduzida de possíveis custos financeiros.39 - .7 – Taxa Efetiva. sem considerarmos a Taxa de Inflação (ik). ir = taxa real. 100 (1 + i) -1 i= (1 + ir) . Taxa Real e Taxa de Inflação O conceito de Taxa Efetiva (ite) de juros pode ser entendido como sendo o ganho real para uma aplicação. 100 Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. sempre será possível “projetar” a Taxa de Inflação (ik) através dos valores que o mercado financeiro apresenta. Assim teremos: ite = {(1 + i)qq/qt – 1} . Taxa Líquida. ik = taxa da inflação. . a Taxa Efetiva tem seu foco direcionado para medir o ganho efetivo de uma determinada aplicação. o que não deve ser confundido com a Taxa Real (ir) de juros que compara uma determinada taxa em um período de tempo com a inflação ou custo de oportunidade do mesmo período. José Carlos Moretti Junior . trabalhando com juros simples. a taxa nominal é expressa em anos. 100 ir = {[1.095) ÷ (1 + 0. Taxa Efetiva: Uma taxa é efetiva quando sua unidade de tempo coincide com a Taxa Proporcional: A proporcionalidade de taxas é realizada como se estivéssemos Taxa Nominal: A taxa é nominal quando sua unidade de tempo difere daquela Taxa: É o percentual da remuneração do capital. (1 + i) Resolução: -1 ir = (1 + ik) ir = {[(1 + i) ÷ (1 + ik)]– 1} . Exemplo: 2% ao mês capitalizado mensalmente. 2. ir = ? Uma aplicação durante o ano de 2006 rendeu 9.40 - . determine a taxa real de juros.058 0.a. Exemplo: 12% ao ano é proporcional a 1% ao mês. referida no período de capitalização. Dados: ik = 5.058)]– 1} .5% ao ano.095 Pressione Visor A – Explicações Adicionais 1.095 1.5% a. referida no período de capitalização.095 [ FV ] [ PV ] 1.034972– 1} .50% a.a.a.m.034972 . José Carlos Moretti Junior .8% ao ano. 4.00 -1. 100 ir = 0.(16) Exemplo: sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5.058 1. (2% ao mês).8% a. Exemplo: 24% ao ano capitalizado mensalmente. Geralmente.00 3. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.095 ÷ 1. i = 9. 100 ir = 3. 100 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ CHS ] 1. 1.5% a. 100 = {1. 3. (A taxa nominal é convertida para taxa efetiva). . 100 ir = {[(1 + 0.058]– 1} .50 -1.00 [n] [i] 3. Dentro de 12 meses.8 – Exercícios Propostos Calcule o montante final de um empréstimo de R$ 4. Resposta: R$ 915.000. acertou que só poderia pagar R$ 800. Qual é a taxa de juros desse empréstimo? Resposta: 3.04 Pedro pagou para um banco R$ 125. Resposta: R$ 994. a uma taxa de 5% ao mês. Quanto Pedro pegou? Resposta: R$ 102. a 1. 24 meses atrás.500. Qual é a taxa de juros? Resposta: 5. a João resgatou de sua conta de investimento R$ 9. O empréstimo tem duração 14.00. 4.5% ao mês.99% A empresa FOCOS pagou R$ 90. Qual será a taxa de juros praticada? Resposta: 6. de 6% ao mês.000. Qual foi a taxa de juros dessa operação? Resposta: 1. 2. Qual foi a taxa de juros praticada? Resposta: 10. 5.500. referente a um empréstimo que contraiu 6. o que resultará num montante de R$ 900.985. Resposta: R$ 13.442.5% ao mês. atrás. de juros de 2. durante 120 meses.000.00 a uma taxa de 1% ao mês.05 2.41% 11. é de pagar R$ 67.00.00 para uma amiga. A previsão do gerente 13. José Carlos Moretti Junior . durante 7 anos. Sete meses depois ele pagou R$ Joana pediu emprestado R$ 500. 62.29 Madalena resgatou de sua poupança R$ 10. de quanto foi o empréstimo? Resposta: R$ 18. Resposta: R$ 19.00.00 Calcule o montante de um empréstimo de R$ 450. Resposta: R$ 330.482. durante 7 meses.00.00.00.00 para quitar a divida.62 8.000.090. O banco quer uma taxa de juros 15.000. ela .00 para quitar um empréstimo obtido há 8 Paulo pegou um empréstimo de R$ 1.99% Um banco emprestou para um correntista R$ 400. A taxa de juros foi 3.50 Calcule o montante de uma aplicação de R$ 789. uma taxa de 4% ao mês.04 10.000. Em quantos meses.00 a uma taxa de 12% ao mês.00.890. considerando uma taxa de 11% ao ano.88% A empresa RTO pegou um financiamento de R$ 45.84 7. Quanto ele depositou A empresa ABC pagou R$ 25. considerando uma taxa de juros de 6% ao mês? Resposta: R$ 2. Fábio Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. há 4 meses atrás.00 para quitar um empréstimo de R$ 12. meses atrás.41 - Calcule o montante final de um financiamento de R$ 500.00.5% ao mês.00.20% Fábio precisa de um empréstimo de R$ 600.00. Resposta: R$ 2.000.00. obtido 20 meses atrás. Quanto ela depositou 15 anos 9.541.4. uma taxa de 8.00. durante 18 meses.00.00 daqui a 6 meses. de 8 meses e prevê um montante de R$ 600.81 Calcule o montante de uma aplicação de R$ 100.00 durante 6 meses. a uma taxa 3. Acertou que poderia pagar 16.00 para quitar um financiamento de R$ 19. e Taxa Real: 0..00 para um parente.40% a. 600.00.00. Taxa Líquida = 1. referente a um empréstimo de R$ 18.00. A taxa de 17.p. quantos meses durou esse empréstimo? Resposta: 17 meses A empresa ALFA pagou R$ 145.p. pergunta-se: Qual a taxa efetiva e a taxa líquida desta aplicação? Qual a taxa real de juros? Resposta: Taxa Efetiva = 1. 92. Considere uma aplicação em CDB de 19. juros foi de 9% ao mês.00. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.5% ao mês. a uma taxa de juros de 4% ao mês. José Carlos Moretti Junior . Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi de 15% ao ano.000.5% ao ano para um período de 33 dias.65% a. A taxa de juros foi de 3% ao mês. Quantos meses durou esse financiamento? Resposta: 16 meses 20. Qual a duração do empréstimo? Resposta: 10 meses Samuel pagou R$ 576.000. A uma taxa de juro de 2.00.p.1087% a. R$ 500. quantos meses levou para Samuel quitar a divida? Resposta: 8 meses Carlos pagou R$ 900.00 para quitar um empréstimo de R$ 300.vai pagar esse empréstimo? Resposta: 7 meses Alberto pegou emprestado de seu amigo R$ 350.42 - . Sabendo que o rendimento desta aplicação pagara imposto de 15%. 5. ainda Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto O uso do desconto simples é amplamente utilizado em operações de curto prazo. a uma taxa periódica de desconto i e com um certo valor atual Ar. difere pela base de cálculo. nesse caso. o desconto incide sobre o Valor Atual (Ar) (ou valor descontado) do título em questão. raramente utilizado no mercado. n Pela própria definição de desconto. pois. Desta maneira. tem-se: Dr = N . Assim. ou um desconto pelo pagamento antecipado. Descontos 5. para um título descontando n períodos de tempos antes de seu vencimento (prazo do desconto).Ar Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.1 – Desconto Simples A operação de se liquidar um título antecipadamente envolve geralmente uma recompensa.43 - . conforme desenvolvido no terceiro capítulo. 5.1 – Desconto Racional Simples (“Por Dentro”) O desconto racional simples incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples. temos: Dr = Ar . sendo identificados dois tipos de desconto: desconto racional (“por dentro”) e desconto bancário ou comercial (“por fora”). i . desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento. Este tipo de desconto. José Carlos Moretti Junior . ou seja: Desconto = Valor Nominal – Valor Descontado ou.1. 00 Ar n-1 0 n i = 2. à taxa de juros simples de 2. Qual o desconto racional? E qual é o valor atual? Dados: N = R$ 25.m. Como: N Ar = C = 1+ixn tem-se: N(1+ixn)-N N Dr = N 1+ixn 1+ixn Dr = Nxixn Dr = 1+ixn (17) Exemplo: antes do seu vencimento.000.m.00 é descontado 2 meses Graficamente: N = 25.000. n-2 tempo Nxixn Resolução: Dr = 1+ixn Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.44 - . Dr = ? Ar = ? Um título de valor nominal de R$ 25.Onde: Dr = Desconto Racional Simples.5% ao mês. e N = Valor Nominal (também chamado de valor de face ou valor de resgate) é o valor do título apontado na data de vencimento.5% a.000.5% a.00 n = 2 meses i = 2. José Carlos Moretti Junior . 25.000,00 x 0,025 x 2 Dr = 1 + 0,025 x 2 1.250,00 Dr = 1,05 Dr = R$ 1.190,48 Ar = N – Dr Ar = 25.000,00 - 1.190,48 Ar = R$ 23.809,52 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 25.000,00 0,025 2,00 1,00 0,025 2,00 [ ENTER ] [x] [x] [ ENTER ] [ ENTER ] [x] [+] [÷] R$ 1.190,48 [ CHS ] 25.000,00 [+] R$ 23.809,52 23.809,52 -1.190,48 25.000,00 625,00 1.250,00 1,00 0,025 0,05 1,05 1.190,48 0,00 Pressione Visor 5.1.2 – Desconto Bancário ou Comercial Simples (“Por Fora”) Desconto Bancário8 ou Desconto Comercial Simples (“Por Fora”) é aquele que calcula os juros devidos ao período faltante para o vencimento do papel, abatendo essa importância da dívida, ou seja, é o valor obtido pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal (valor de face ou valor de resgate) de um determinado compromisso antes de seu vencimento. É importante ressaltar que, independente do prazo de vencimento do título, a base de cálculo sempre será o Valor Nominal (N). 8 Assim chamado pela sua ampla utilização nas operações comerciais e principalmente nas operações bancárias, tendo em vista que para as instituições financeiras este tipo de operação é muito mais interessante do ponto de vista financeiro que a operação de Desconto Racional Simples. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior - 45 - Observe que, ao contrário do desconto racional, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o critério do desconto bancário apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao tomador de recursos. Vamos expressar essa situação através da seguinte fórmula: Dc = N . d . n Onde: Dc = Desconto Comercial Simples; d = taxa de desconto periódica; e n = prazo de desconto. Como visto, podemos definir Valor Atual (Ac) como sendo a diferença entre o Valor Nominal (N) e o desconto (Dc), logo: Ac = N – Dc Ac = N – N x d x n Ac = N . (1 - d . n) (18) Exemplo: antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário? E qual é o valor atual? Dados: N = R$ 25.000,00 n = 2 meses d = 2,5% a.m. Dc = ? Ac = ? Graficamente: Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses N = 25.000,00 Ac n-1 0 d = 2,5% a.m. n-2 n tempo Dc = N . d . n Resolução: Dc = 25.000,00 . 0,025 . 2 Dc = R$ 1.250,00 Ac = N – Dc Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior - 46 - Ac = 25.000,00 - 1.250,00 Ac = R$ 23.750,00 PELA HP-12C Primeiramente deve-se, como visto anteriormente ao se estudar Juros Simples, transformar o prazo n em dias e a taxa de desconto d ao ano, ou seja, o prazo de 2 meses corresponde a 60 dias (2 meses x 30 dias), e a taxa de desconto de 2,5% ao mês equivale (taxa proporcional – item 3.4) a 30% ao ano (2,5% x 12 meses), logo: Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ CHS ] 25.000,00 Inserção de N Pressione 0,00 - 25.000,00 - 25.000,00 30,00 Inserção de i Inserção de n Visor [ PV ] [i] 30,00 60,00 [n] [ f ] [ INT ] R$ 1.250,00 60,00 1.250,00 Resultado Dc Resultado Ac [-] R$ 23.750,00 23.750,00 ou Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 25.000,00 0,025 2,00 [ ENTER ] [x] [x] R$ 1.250,00 [ CHS ] [+] 25.000,00 R$ 23.750,00 -1.250,00 23.750,00 25.000,00 625,00 1.250,00 0,00 Pressione Visor a – Despesas Bancárias É importante registrar que em operações de desconto com bancos comerciais são geralmente cobradas taxas adicionais de desconto a pretexto de cobrir certas despesas administrativas e operacionais. Estas taxas são geralmente prefixadas e incidem sobre o Valor Nominal (N) do título uma única vez no momento do desconto. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior - 47 - t = 1. [1 .00 Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.8% a. calcular o desconto e o valor descontado. (d .8% a.(d . n + t) Ac = N .015) Dc = 60.00 Ac n-1 0 n d = 2.8% ao mês a taxa de desconto usado na operação.N .000. n + t) . Sendo de 2.5% sobre o valor nominal do título. Dados: N = R$ 60. tem-se: Dc = N x d x n Dc = (N x d x n) + (t x N) Dc = N .Chamando de t taxa administrativa cobrada pelos bancos em suas operações de desconto e incluindo esta taxa na fórmula de desconto bancário (“por fora”).260.Dc Ac = N .00 .00 n = 2 meses d = 2.000. n + t)] Uma duplicata de valor nominal de R$ 60. Sabe-se ainda que o banco cobra 1. o Valor Descontado (Ac) incluindo a cobrança da taxa administrativa t. t = 1. José Carlos Moretti Junior . (d .071) Dc = R$ 4. 2 + 0. n + t) De forma análoga.000.48 - n-2 tempo Dc = N . descontados integralmente no momento da liberação dos recursos. como despesas administrativas. (d .000.m. (0.5% sobre N Dc = ? Ac = ? Graficamente: N = 60.00 .028 .m.000. (0. é apurado da seguinte forma: Ac = N .5% sobre N Resolução: Dc = 60.00 é descontada num (19) Exemplo: banco dois meses antes de seu vencimento. 00 Ac = R$ 55. n-1 0 n Logo.000.015 [ ENTER ] [ENTER ] [x] [+] [x] R$ 4.740. se aplicada ao Valor Atual (Ac) de R$ 23. ao ser apurado sobre o Valor Nominal (N) do título.5% x 2 = R$ 24.00 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 60.00 Ac = 23.00 -1. Voltemos ao exemplo 18 acima (item 5.m.00 (atinge a: R$ 23.2).740.260. José Carlos Moretti Junior .056 0.00 [ CHS ] [+] 60. superior aos declarados 2.00 R$ 55.49 - .000. Observe que a taxa de juros (desconto) adotada de 2.260.00 55.250.00 0.260.740.000.50).4.750.00 N = 25.00 d = 2. Ou seja.028 0. para o período (n) de 2 meses.937.000.00 .5% ao mês.250.00 0. Dc = 1.00 60.5% ao mês não iguala Ac e N em nenhum momento do tempo.000. que conduz Ac e N a um mesmo resultado no período. admite implicitamente uma taxa de juros superior àquela declarada para a operação.00 + 2.00.000. há uma taxa efetiva (implícita) de juros na operação.750. Essa taxa é obtida pelo critério de Desconto Racional (“por dentro”): D=Cxixn n-2 tempo Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. o Valor Nominal (N) de R$ 25.750.00 0.028 2 0.00 Pressione Visor b – Taxa Efetiva de Juros do Desconto Bancário ou Comercial É importante salientar que o Desconto Bancário.5% a.071 4.Ac = N – Dc Ac = 60. não produz. b.D i= Cxn Resumidamente.025 x 2 Observe.95 i= i = 5.6).0. 100 -1 1 + 0.m. Taxa Efetiva Anual: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.5 .60% a. 100 -1 1. pode-se obter. 100 -1 1.05266 ieq = 0. os cálculos de apuração da taxa racional de juros podem ser substituídos pelo emprego direto da seguinte fórmula: dxn i= 1. para a obtenção da taxa de juros (i) da operação. que a taxa de juros encontrada é para o período todo da operação (2 meses). a taxa equivalente para os intervalos de tempo. pelo critério de juros compostos (item 4.05 Taxa Efetiva Mensal: qq/qt . Aplicando essa fórmula no exemplo anterior. 100 -1 1 + ic ieq = 1/2 .26% a. Exemplo: 0. basta tãosomente conhecer a Taxa de Desconto Bancário (d) e o Prazo do Desconto (n).05266 ieq = ieq = (1. pelo exemplo.025 x 2 i= i= 1.50 - . 100 ieq = 2. 0.02598 -1) .5 .05266 ieq = 0. José Carlos Moretti Junior . e a partir deste resultado.d x n Assim. têm-se: dxn 0.d x n 1. resgatado 2 meses antes do vencimento. do desconto de um título efetuado 80 dias antes de seu vencimento. 5. Resposta: 6 meses 7.qq/qt .85% ao mês a taxa de desconto e de 1. resgatado 5 Uma pessoa pretende resgatar um título de valor nominal de R$ 800.00.00. José Carlos Moretti Junior . do vencimento através do desconto bancário.05266 ieq = ieq = (1.33 6.251.350. sabendo-se que o mesmo foi resgatado 3 meses antes do vencimento? Resposta: 11.05266 6 . Qual o valor do desconto? Resposta: R$ 35.04% a.00. Sendo de 2. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.51 - .000. à taxa de 28% ao ano.35 5.00 proveniente Um título foi resgatado racionalmente à taxa de 10% ao mês. 100 -1 ieq = 1 + 0. se o critério utilizado for o desconto racional simples á razão de 5% ao mês? Resposta: R$ 104.97 Um banco credita na conta de um cliente a quantia de R$ 27. 100 ieq = 36. cujo valor de resgate é de R$ 500.36037 -1) .3 – Exercícios Propostos 1. E assim por diante.00 2.11% a. o qual Uma duplicata.05266 ieq = 6 . foi resgatado 3 meses antes Qual o valor atual de um título de crédito de valor nominal de R$ 1. que o valor atual de um título represente 2/3 do valor nominal.00 Qual a taxa que deverá ser aplicada em uma operação de desconto bancário.00.m. à razão de 10% ao mês? Resposta: R$ 473.1. meses antes de seu vencimento. Resposta: R$ 29.a. 100 -1 1. 100 -1 1.420. 4. vencerá dentro de 3 meses. à taxa de 44% ao ano? Resposta: R$ 1.5% a taxa administrativa cobrada pelo banco. pede-se determinar o valor nominal deste título. Determine o prazo Qual o desconto racional de um título cujo valor é de R$ 1. para 3. Qual o desconto a que terá direito. 100 -1 1 + ic ieq = 12/2 .702. sabendo que o valor atual representa 5/8 de N. de antecipação. portanto. utilizado basicamente em operações de longo prazo. igualmente ao desconto simples. creditando o valor líquido de R$ 54. Admita que uma instituição esteja cobrando juros “por fora” de 2.2. suas operações de desconto. Sendo um título descontado 39 dias antes de seu vencimento. ou seja: N Ar = (1 + i)n Por outro lado. apresentando.2% ao mês. Resposta: 7. Pede-se determinar o prazo de antecipação deste título.m. O valor de resgate deste título é de R$ 63.7% a. pede-se determinar a taxa efetiva (implícita) de juros mensal e anual.25% a. 10. em dois tipos: o desconto racional (“por dentro”) e o desconto bancário ou comercial (“por fora”). isto implica em calcular o Valor Atual (Ar) em cada n período.2 – Desconto Composto O desconto composto.5% ao mês.52 - .2 meses Uma instituição financeira púbica que sua taxa de desconto é de 3. o Valor Atual (Ar) equivale ao Valor Presente (PV) de juros compostos.7% a. e 30. Resposta: 6. Logo. José Carlos Moretti Junior N (1 + i)n . calcular a taxa efetiva para o período (simples) e a taxa efetiva mensal (composta). Resposta: 2. pode ser identificado. O desconto bancário ou comercial composto (“por fora”) é raramente utilizado no Brasil. e 3. 5. Assim sendo.8. sabe-se que o desconto é obtido pela diferença entre o Valor Nominal (N) e o Valor Atual (Ar).2% ao mês em Uma instituição desconta comercialmente um título n dias antes de seu 5. O desconto racional (“por dentro”) envolve Valor Atual (Ar) e Valor Nominal (N) de um título capitalizado segundo o regime de juros compostos.000.m.a. o Desconto Racional Composto (Dr) tem a seguinte expressão de cálculo: Dr = N Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. não apresentando uso prático.00 tendo sido adotada a taxa de desconto “por fora” de 2.400.53% a.b. larga utilização prática. Admitindo um prazo de desconto de dois meses. 9.1 – Desconto Racional Composto (“Por Dentro”) O Desconto Racional Composto (Dr) equivale à soma de Descontos Racionais Simples calculados isoladamente em cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título.00 na conta do cliente. vencimento. 00 Ar n-1 0 n i = 2.00 n = 2 meses i = 2. Dr = ? Ar = ? Graficamente: N = 25.53 - . José Carlos Moretti Junior .5% a.5% a.000.025)2 25.m.000.00 Ar = (1. (1 + i)n 1- Onde: i = taxa de desconto.000.36 Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. n-2 tempo Resolução: N Ar = (1 + i)n 25.025)2 25.m.795.Dr = N – Ar 1 Dr = N . Dados: N = R$ 25.000. sendo descontado 2 meses antes de seu vencimento.00 Ar = 1. e n = prazo de desconto. Determinar o desconto racional composto e o valor atual de um (20) Exemplo: título de valor nominal de R$ 25.050625 Ar = R$ 23.5% ao mês.00 Ar = (1 + 0. considerando uma taxa de juros compostos de 2.00.000.000. 36 25.00 25.00 1.5% ao mês.36 [ RCL ] [ FV ] [+] R$ 1. de acordo com o conceito de desconto composto. que produz um Valor Futuro (FV) igual a N.00 Resultado Ar Visor [ FV ] [i] [n] [ PV ] R$ 23. teremos: Ac = N . e um Valor Atual (Ac).Dr = N – Ar Dr = 25.000.d)n (21) Exemplo: vencimento.64 Resultado Dr 5.000.795.36 Dr = R$ 1.2 – Desconto Bancário ou Comercial Composto (“Por Fora”) O Desconto Bancário ou Comercial Composto (“por fora”) caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o Valor Nominal (N) do título.000. Considere um título de Valor Nominal (N). José Carlos Moretti Junior . com vencimento em um período (n). (1 .00.204. quando aplicado por n períodos a uma taxa composta de desconto (d) por período: Dc = N – Ac Dc = N – N x (1 – d)n Dc = N .000.2. em cada período.50 Inserção de i Inserção de n 2. dos descontos obtidos em períodos anteriores.50 2.(1 . Uma duplicata no valor de R$ 25.000.00 .204.795.23.795.00 2.204.795.64 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] Inserção de N Pressione 0. Calcular o valor atual creditado na conta e o valor do desconto concedido. o qual é deduzido. [1 .54 - .00 -23.64 25.36 -23.d)n]} Colocando o Ac em evidência. é descontada a uma taxa de 2. 60 dias para seu Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 2. 975 0.025)2 Ac = 25.00 x (0.000.765.5% a.000.234.000.000.63 Dc = R$ 1.765.23.3 – Exercícios Propostos Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 0.000.765.Dados: N = R$ 25.38 -23.00 1.000.38 25.765.000.2.m.63 n-2 n tempo Dc = N – Ac Dc = 25.00 R$ 1.38 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 25.950625) Ac = R$ 23.5% a.00 .m.234.234.d)n Resolução: Ac = 25.00 1.00 0.00 Ac n-1 0 d = 2. José Carlos Moretti Junior .55 - .00 [ ENTER ] [ ENTER ] [-] [ yx ] [x] R$ 23.00 x (0. Ac = ? Dc = ? Graficamente: N = 25.00 n = 60 dias (60 dias ÷ 30 dias = 2 meses) d = 2.62 0.000.62 [ CHS ] [+] 25.9750)2 Ac = 25. Ac = N x (1 .62 1.025 2.00 Pressione Visor 5.000.765.00 x (1 + 0.950625 23. qual o valor atual desse título? Resposta: R$ 45. vencimento à taxa de 5% ao mês.000.000.00. Determine o valor do resgate. descontado Um título de valor nominal de R$ 800.97 Qual o desconto composto relativo a um título de valor nominal de R$ 1. obedecendo ao critério de desconto comercial composto.66 3. descontado 6 meses antes do vencimento à razão de 7% ao mês? Resposta: R$ 333. José Carlos Moretti Junior .56 - . no valor de R$ 2. é resgatada 2 meses antes do 4.000. Resposta: R$ 596.11% ao ano? Resposta: R$ 500.00. vencimento.895.00 Uma duplicata.00.1. 2. vencimento.00 Um título de valor nominal de R$ 59.00 foi pago 3 meses antes do 5.620.00 Qual o valor atual de um título de valor nominal igual a R$ 730. à taxa de 51. Se a taxa de desconto comercial composto era de 10%. empregando o desconto racional composto. qual o valor descontado e qual o valor do desconto? Resposta: Ac = R$ 1. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês.00 e Dc = R$ 380.00 foi resgatado 6 meses antes do Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. pelo critério racional composto 11 meses antes do vencimento. José Carlos Moretti Junior . O diagrama é uma simples descrição gráfica temporal e direcional das transações financeiras.57 - . meses. Em geral. os cálculos podem ser efetuados em duas modalidades: BEG (BEGin = início). e END (END = fim). O intercâmbio do dinheiro num problema é desenhado com flechas verticais. trimestres. é necessário a padronização a respeito dos fluxos de pagamentos (fluxos de caixa). que pode ser em anos. Dinheiro recebido Dinheiro pago PELA HP-12C A calculadora HP-12C permite também a solução de problemas que envolvam pagamentos periódicos. O diagrama de fluxo de caixa é um valioso instrumento auxiliar para o uso da calculadora HP-12C. etc. quando os pagamentos forem realizados no final dos Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Essa linha representa o período de duração do problema financeiro. dias. Além disso. quando os pagamentos forem realizados no início dos períodos. que se inicia no ponto da linha do tempo onde a transação ocorreu. e são denominados de anuidades.6. O fluxo começa com uma linha horizontal denominada “linha do tempo”. todos os pagamentos são iguais. O dinheiro recebido é representado por uma flecha apontada para cima (valor positivo). Série Uniforme de Pagamentos Periódicos Antes do estudo das séries de pagamentos propriamente dito. O dinheiro que é pago é representado por uma flecha apontada para baixo (valor negativo). que podem ser: n (número de períodos). a modalidade de pagamento em vigor será END (padrão de fábrica). A incógnita é a tecla PMT. Lembre-se de que é preciso ter três informações financeiras para realizar os cálculos de pagamento. (se for fornecido) Digite a taxa de juros e pressione [ i ]..1. (se for fornecido) Pressione [ PMT ] para calcular e exibir a prestação. PV (capital ou valor presente) e FV (montante ou valor futuro). este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n). 5.1 – Série Uniforme de Pagamentos Periódicos Postecipadas As séries uniformes de pagamentos periódicos postecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ou recebimento ocorre no momento 1 (cada pagamento ou recebimento realiza-se no final de cada intervalo de tempo). Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. 4. Lembre-se de respeitar a convenção de sinal do fluxo de caixa.58 - . 6.1 – Valor Presente da Série PMT PMT PMT PMT PMT tempo 0 n-1 . representada pela sigla PMT que vem do inglês Payment e significa pagamento ou recebimento. que é o pagamento periódico.. conforme as instruções dos quadros abaixo: 1. Se o BEG não estiver no visor... 2.. A partir daí.períodos9. armazene na máquina apenas os dados que lhe forem fornecidos. Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação. você precisa sempre ter três informações financeiras.. José Carlos Moretti Junior . Para operar com série de pagamentos/anuidades na 12C. 3. (se for fornecido) Digite o valor presente e pressione [ CHS ] [ PV ]. Digite o número de períodos e pressione [ n ]. (se for fornecido) Digite o valor futuro e pressione [ FV ]. i (taxa de juros). 1 2 3 n 9 O indicador de estado BEG fica aceso no visor quando tal modalidade está em vigor. Portanto. 6. basta introduzir os valores conhecidos. 1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) + Desenvolvendo matematicamente a expressão acima. Então: 1 -1 x a1 x (qn – 1) PV = PMT . n) Observe que FPV. obtendo-se o Valor Presente (PV) da série uniforme de pagamentos periódicos postecipadas. podemos encontrar o Valor Presente (PV) do mesmo descontando ou descapitalizando cada valor das prestações (PMT) para uma mesma data. + + 2 3 n-1 + (1 + i)n (1 + i) A expressão entre colchetes é denominada de Fator de Valor Presente. encontrar a Prestação (PMT) dado o Valor Presente (PV). Assim. como segue: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. na seqüência. José Carlos Moretti Junior . i (1 + i)n .Dado o fluxo acima. obtêm-se a fórmula do Valor Presente (PV) de uma série uniforme de pagamentos periódicos postecipadas: (1 + i)n . A relação acima nos permite.. Com isso. e o n-ésimo termo (an) igual a 1 ÷ (1 + i)n. sendo representada pela Matemática Financeira por FPV (i. ainda. um Prazo (n) e o valor de um Pagamento ou Prestação (PMT) será possível calcular o Valor Presente (PV) de uma série uniforme de pagamentos periódicos postecipadas. + 1 1 1 . o conceito de PV consiste em trazer cada um dos termos para a data focal “zero” e.. a formulação genérica do Valor Presente (PV) assume a expressão: PV = PMT x FPV (i. + + + 2 3 n-1 + (1 + i)n (1 + i) (1 + i) (1 + i) Colocando-se PMT em evidência: (1 + i) + 1 1 PV = PMT .. i de Valor Presente por Operação Múltipla. tem-se: PMT PMT PV = PMT PMT PMT . (1 + i)n . ou seja.59 - . Sendo informados uma Taxa (i). n).1 Observação: a relação n é comumente chamado de Fator (1 + i) ..1 PV = PMT . somá-los. 1 q-1 -1 (1 + i) (1 + i)n (1 + i) PV = PMT . conforme é apresentado na formulação anterior entre colchetes. sendo o primeiro termo (a1) e a razão (q) igual a 1 ÷ (1 + i). equipara-se à soma de uma progressão geométrica (PG) de n termos. (1 + i)n . Dados: PMT = R$ 1.m.00 n = 6 meses i = 3.00 Graficamente: 1.00 1. José Carlos Moretti Junior .60 - . PV = ? Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis 1.500.035)6 .00.00 x PV = 1.035 PV = 1.500.500.1 PV = 1.500.035 (1.500.00 1.5% a.2293 1.00 x 5.500.1 (22) Exemplo: pagamentos mensais de R$ 1.035)6 x 0. (1 + i)n .2293 x 0.035)6 x 0.035)6 .500.00 1.00 x (1.00 x 0.500. i (1 + 0.3285 PV = R$ 7.992.83 Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.043 1.500. sendo de 3. vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos.2293 .00 1.500.500.1 PV = 1.1 PV = 1.500.00 0 PV = ? 4 1 2 3 6 5 (1 + i)n .500. i PMT = PV .5% ao mês a taxa de juros negociada na operação.035 0.00 x (1 + 0.1 Resolução: PV = PMT x (1 + i)n . 00 3.m.000.500.1 (1 + 0.50 7.PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ CHS ] 1. 1 2 3 36 35 (1 + i)n x i Resolução: PMT = PV x (1 + i)n .83 3.00 x (1.500.50 [i] [ PV ] R$ 7.500.7214% ao mês.992. calcule o valor de cada prestação..027214 PMT = 12.027214)36 -1 Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 = R$ 12.1 (1.00 Pressione Visor (23) Exemplo: entrada de R$ 3.000.500.027214)36 x 0.500.61 - .00 mais 36 prestações iguais e sucessivas..992.027214 PMT = 12. Dados: PV = R$ 16.00 [ PMT ] [n] 6.00 – R$ 3.027214)36 .500.7214% a.027214)36 x 0.83 -1.500. José Carlos Moretti Junior .00 n = 36 meses i = 2.00 x (1 + 0.00 6.00 -1.500. Sabendo que o valor do veículo à vista é de R$ 16.00 e a taxa de financiamento é de 2.00 0.500.00 . PMT = ? Você compra um carro semi-novo nas seguintes condições: uma PMT Graficamente: PMT PMT PMT PMT PMT 0 PV = 12. imediatamente após a realização do último pagamento..00 2.7214 [n] [i] [ PMT ] R$ 549..00 2.1.629017 -1 0..500. PMT PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 .027214 PMT = 12. Assim.00 x 1.00 0. n-1 n tempo Sendo informados uma Taxa (i). vamos determinar o montante da série na data n.500. tem-se: FV = PMT + PMT x (1 + i) + PMT x (1 + i)2 + PMT x (1 + i)3 + … + PMT x (1 + i)n-1 Colocando-se PMT em evidência: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior .00 36.500.00 x 2.00 Pressione Visor 6.043920 PMT = R$ 549.500. um Prazo (n) e o valor de um Pagamento ou Prestação (PMT) será possível calcular o Valor Futuro (FV) de uma série uniforme de pagamentos periódicos postecipadas.629017 PMT = 12.00 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ PV ] 12.2 – Valor Futuro da Série É a soma dos montantes de cada uma das prestações em uma determinada data.629017 x 0..62 - ..7214 -549.00 x 0.2.. Isto posto.00 36.00 12.500.071546 PMT = 12. a formulação genérica do Valor Futuro (FV) assume a expressão: FV = PMT x FFV (i.FV = PMT x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)n-1 Identicamente. chega-se a: (1 + i)n .00 n = 24 meses i = 1.1 FV = PMT .1 1 x (1 + i)n . Da fórmula do Valor Futuro (FV) acima.1 FV = PMT . a expressão em colchetes é definida por Fator de Valor Futuro e representada por FFV (i. (1 + i)n . Sabendo que o saque do montante acumulado será feito junto à última parcela.50% ao mês.50% a. calcule qual será o montante depositado nesse banco. Dados: PMT = R$ 105.63 - .00 durante 24 meses.1 será chamado de Fator de Observação: o quociente i Acumulação de Capital por Operação Múltipla. Com isso.m. José Carlos Moretti Junior .1 Você deposita. (24) Exemplo: O banco remunera essa operação financeira a uma taxa de 1. Então: a1 x (qn – 1) FV = PMT . observe que a expressão do FFV equipara-se à soma dos termos de uma progressão geométrica (PG). ao final de cada mês. FV = ? Graficamente: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. n). R$ 105. n) Da mesma maneira em relação ao desenvolvimento da fórmula do Valor Presente (PV). i (1 + i)n . encontramos a Prestação (PMT): i PMT = FV . Desenvolvendo os ajustes e simplificações necessárias. q-1 (1 + i) . 00 x FV = 105. quando aplicado a .1 i (1 + 0. pelo regime de juros compostos.50 3.006.00 1.006.00.00 FV = ? 105.00 Pressione Visor (25) Exemplo: uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses.000.00 105.1 FV = 105.015 (1.00 105.00 n = 7 meses i = 4% a.006. Dados: FV = R$ 5.52 0.00 x 0.00 [ CHS ] [ PMT ] 24. PMT = ? Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.4295 .50 [n] [i] [ FV ] R$ 3. 24 1 4 2 3 23 Resolução: FV = PMT x (1 + i)n .015 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 105.00 105..000.52 -105.00 x 0.4295 FV = 105.015)24 .00 0 .64 - Determinar o valor de depósitos mensais que..105.00 -105.015)24 – 1 1.6335 0. produz um montante de R$ 5.52 PMT = 105.00 x 28.m.1 FV = 105.015 FV = R$ 3.00 105.00 1.00 x 0. José Carlos Moretti Junior .00 24.015 0. 04)7 .05 7. este sistema é também Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 [n] [i] [ PMT ] R$ 633.000.000.3159 PMT = R$ 633.1 0.04 PMT = 5.000.05 0.000.000.1 0.00 PMT PMT 0 7 1 2 3 4 5 6 Resolução: i PMT = FV x (1 + i)n .3159 .00 x PMT = 5.65 - .00 x (1 + 0.00 -633.00 4.04 (1.00 Pressione Visor 6.1 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ FV ] 5.Graficamente: PMT PMT PMT PMT PMT 5.00 4. José Carlos Moretti Junior .1 0.2 – Série Uniforme de Pagamentos Periódicos Antecipadas As séries uniformes de pagamentos periódicos antecipadas são aquelas em que os pagamentos ou recebimentos sempre irão ocorrer no início de cada intervalo de tempo (o primeiro pagamento ocorre na data focal “zero”).000.04) .00 5.00 x 0.04 PMT = 5.000.00 x 0.00 x 7 0.00 7.1266 1.04 PMT = 5.05 PMT = 5.000. . para o procedimento de cálculo pela calculadora HP-12C no sistema de pagamentos antecipados será necessário acionar a função [ g ] [ BEG ].. Assim.. n-1 tempo 1 2 3 Sendo informados uma Taxa (i). (1 + i)n-1 . descontam-se (descapitaliza-se) todas as Prestações (PMT) para a data zero e. ainda. que os pagamentos iniciam-se nestes períodos. ou seja.1 PV = PMT . i PMT = PV .1 – Valor Presente da Série Dado o fluxo abaixo.. as somamos. procede-se de maneira idêntica às rendas postecipadas. encontrar a Prestação (PMT) dado o Valor Presente (PV). um Prazo (n) e o valor de um Pagamento ou Prestação (PMT) será possível calcular o Valor Presente (PV) de uma série uniforme de pagamentos periódicos antecipadas através da fórmula: (1 + i)n ...1 Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. 6. José Carlos Moretti Junior . nesta data.66 - . para se calcular o Valor Presente (PV). PMT PMT PMT PMT PMT 0 n . (1 + i)n . i A relação acima nos permite. como segue: (1 + i)n-1 .2. PELA HP-12C Como em uma série uniforme de pagamentos periódicos antecipados iniciase no início de cada intervalo de tempo é necessário informar.chamado de sistema de pagamento ou recebimento com entrada (1 + n). para calculadora HP-12C identificar essa série. 800.00 1.0199] ÷ [(1 + 0.032700080 – 1]} PMT = 17. vamos capitalizar os valores para a data n.2 – Valor Futuro da Série É a soma dos valores dispostos ao longo do fluxo de caixa em uma determinada data.(24) Exemplo: em 36 pagamentos iguais.800 x {[1.032700080} PMT = 17.00 36.99 [n] [i] [ PMT ] R$ 683. sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1.62 36.039661468 ÷ 1.99% a.62 0. Visando uniformizar os procedimentos.800.99% ao mês.2.0199)36-1 x 0.00 17.800 x {[(1 + 0.800 x {0.67 - .800 x {[(1. José Carlos Moretti Junior .00 pode ser financiado PMT = PV x {[(1 + i)n-1 x i] ÷ [(1 + i)n – 1]} Resolução: PMT = 17.0199)35 x 0.00 Pressione Visor 6.0199)36 – 1]} PMT = 17.m.0199)36 – 1]} PMT = 17. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 n = 36 meses i = 1.0199] ÷ [(1.0199] ÷ [2. calcule o valor da prestação mensal deste financiamento.00 0.800. Dados: PV = R$ 17.800 x {0. PMT = ? Um automóvel que custa à vista R$ 17.62 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ g ] [ BEG ] [ PV ] 17.00 1.99 -683.038405602} PMT = R$ 683.993038612 x 0.800. será possível calcular o Valor Futuro (FV) de uma série uniforme de pagamentos periódicos antecipadas através da fórmula: (1 + i)n .m..1] ÷ 0. em média.00 x {0.008)60 .612990935 ..500.8% a.00. encontramos a Prestação (PMT): i 1 . ele terá o valor que precisa.8% ao mês.008) FV = 500. .1] ÷ 0. uma taxa de 0.PMT PMT PMT PMT PMT 0 .008) FV = 500.00 x {[1.008} x (1.612990935 ÷ 0.008) Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.1 FV = PMT . .1 (1 + i) (25) Exemplo: importância de R$ 37. e acredita que.008)60 . com depósitos mensais de R$ 500.00 n = 5 anos (5 anos x 12 meses = 60 meses) i = 0.00 x {[(1. (1 + i) i Dessa fórmula. José Carlos Moretti Junior . a Prestação (PMT) e o Prazo (n).008} x (1.68 - .00 x {[(1 + 0. Considerando que a poupança pague..00.008) FV = 500. FV = ? Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a FV = PMT x {[(1 + i)n . se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança.. pergunta-se: o poupador conseguirá acumular o valor de que precisa? Dados: PMT = R$ 500. n1 1 2 3 n tempo Sendo informados uma Taxa (i).008} x (1 + 0..1] ÷ i} x (1 + i) Resolução: FV = 500. PMT = FV . (1 + i)n .1] ÷ 0.008} x (1. FV = 500.00 0.43 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ g ] [ BEG ] [ CHS ] 500.00 -500.00 Pressione Visor 6. José Carlos Moretti Junior .3.008) FV = 38. vamos determinar o Valor Presente (PV) na data zero.1 – Valor Presente da Série PMT PMT PMT PMT n+1 0 1 n n+2 n+3 n+n tempo Em relação ao fluxo acima. Sendo informados uma Taxa (i).00 0.80 38.618. São aquelas séries em que os períodos ou intervalos de tempo entre as Prestações (PMT) ocorrem pelo menos a partir do 2º período.93 x (1. o próximo será n + 2 e assim sucessivamente. uma Prestação (PMT) e Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.43 0.69 - . apresenta-se um conjunto de pagamentos (ou recebimentos) que ocorrem sempre após um certo período de Carência.62386688} x (1. o período seguinte será n + 1. também chamado Prazo de Diferimento.00 x {76.80 [i] [ FV ] R$ 38.43 -500.00 60.008) FV = R$ 38.618. 6. se consideramos um período como sendo n.00 0.3 – Série Uniforme de Pagamentos Periódicos Diferidas Finalmente. um Prazo (n).311. ou seja.00 [ PMT ] [n] 60.618. 35 PELA HP-12C Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.(1 + i)-n PMT . encontrar a Prestação (PMT) dado o Valor Presente (PV). i PMT = 1 .m. José Carlos Moretti Junior .70 - . (1 + i)C-1 .579707187} ÷ 1.00 x 4.03}} ÷ (1.um Período de Carência (c).03)4 PV = {150. como segue: PV .03)5-1 PV = {150.03}} ÷ (1.03)5-1 PV = {150.125508810 PV = 686.03}} ÷ 1. i PV = (1 + i)C-1 A relação acima nos permite. ainda.137391216 ÷ 0.(1 + 0.862608784] ÷ 0.00. será possível calcular o Valor Presente (PV) de uma série uniforme de pagamentos periódicos diferida através da fórmula: 1 . sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 3% ao mês.96 ÷ 1.125508810 PV = R$ 610.00 x {[1 .(1 + i)-n] ÷ i}} ÷ (1 + i)c-1 Resolução: PV = {150. PV = ? Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 PV = {PMT x {[1 .00 x {[1 .00 x {0.(1. Determine o valor à vista desta mercadoria. a loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o primeiro pagamento.03}} ÷ (1 + 0. Dados: PMT = R$ 150.0.00 n = 5 meses c = 5 meses i = 3% a.03)-5] ÷ 0.(1 + i)-n (26) Exemplo: prestações iguais de R$ 150.00 x {[1 .125508810 PV = {150.03)-5] ÷ 0. 1 .96 -686. José Carlos Moretti Junior .00 5.00 [ PMT ] [n] 5.96 3.00 4.96 0.8% ao mês.00 610.00 3. será possível calcular o Valor Futuro (FV) de uma série uniforme de pagamentos periódicos diferida através da fórmula: (1 + i)n1 .00 Pressione Visor 6. (1 + i)n2 FV = PMT . e gostaria de saber quanto terá após 6 meses.3. será necessário efetuarmos dois cálculos independentes: primeiro acha-se o Valor Futuro (FV) da série uniforme de pagamentos periódicos diferida.00 0. um Prazo (n) e uma Prestação (PMT). considerando-se que os valores dos depósitos eram de R$ 200. pode-se calcular o novo Valor Futuro (FV).96 -150. Sendo informados uma Taxa (i). e.Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ CHS ] 150.2 – Valor Futuro da Série Para efetuarmos o cálculo do Valor Futuro (FV) em série uniforme de pagamentos periódicos diferida.96 [ CHS ] [ FV ] [ PV ] 0.35 -686.00 4. mas não efetuou nenhum saque.00 e que a taxa média de juros para os primeiros 12 meses era de 1% ao mês e que para os próximos 6 meses estimou-se uma taxa de 0.35 -686. Quanto o poupador terá após todo o período? Dados: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. depois.00 [ PMT ] [n] [ PV ] R$ 610.00 [i] [ PV ] R$ 686.00 686.00 -150.71 - Um poupador efetuava regularmente depósitos em uma conta de . i (27) Exemplo: poupança. Após 12 meses este poupado teve de interromper os depósitos. 126825030 ÷ 0.6825030 x 1.72 - .71 2.126825030 – 1] ÷ 0.048970302 FV = 200.536.96 0.71 0.01} x 1.00 x {[1.00 -2.8 6.01} x (1.660. 2. à taxa de 8% ao mês.01)12 – 1] ÷ 0.4 – Exercícios Propostos João comprou nas Lojas Almeida um sofá de três lugares por R$ 670. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.m.50 2.50 0.536. a uma taxa de 5% ao mês.048970302 FV = 200.PMT = R$ 200.01)12 – 1] ÷ 0. dividiu a compra em 12 vezes iguais. i6 = 0.660.048970302 FV = R$ 2.660. Quanto João vai pagar por mês? (END) Resposta: R$ 75.008)6 FV = 200.90.00 [ PMT ] [n] [i] [ FV ] R$ 2. Ele 1.00 0.80 6.00 por 7 meses.71 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 200.00 [i] [n] [ FV ] R$ 2.00 x {[(1 + 0. n12 = 12 meses n6 = 6 meses FV = ? FV = PMT x {[(1 + i)n1 – 1] ÷ i} x (1 + i)n2 Resolução: FV = 200.50 -686.00 200.800.m.536.01} x 1.00 x 12.50 [ CHS ] [ PV ] [ PV ] [ PMT ] 0.00 x {[(1. José Carlos Moretti Junior .69 O Banco ESTRELA lhe emprestou R$ 7.00 i12 = 1% a.00 Pressione Visor 6.00 1.00 x {0.00 -2.01} x (1 + 0.008)6 FV = 200.8% a.00 12.536.00 12.00 1. 16 3.5% ao mês.35 Calcular a parcela antecipada de um financiamento de R$ 6. R$ 500.617.00 feito em 12 7. com uma carência de 6 meses. 4.Quanto você vai pagar por mês de prestação? (END) Resposta: R$ 1. Quanto Augusto vai pagar por mês? (BEG) Resposta: R$ 885.00 Uma dívida de R$ 20.00 durante 7 meses. Resposta: R$ 3.700.00 a juros de 3% ao mês.572.000. valor dessas prestações. pagar em 24 meses. a uma taxa de 1.216.00 foi amortizado com 6 prestações mensais. Ele vai 6.00.000. parcelas mensais iguais com taxa de mercado de 1. Ela dividiu o empréstimo em 5 vezes iguais.40 Paulo pegou emprestado numa financeira R$ 1. à taxa de 3% ao mês. sendo a taxa de juro igual a 1.00 10. Seu pai lhe emprestou R$ 150. à uma 5. José Carlos Moretti Junior .000. sendo de 7% ao bimestre a taxa de juro e devendo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois de realizado o empréstimo? Resposta: R$ 5.00.00 para comprar uma mesa de jantar.5% ao mês. taxa de 6% ao mês. Ele acertou com você a Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Quanto você vai pagar por mês ao seu pai? (END) Resposta: R$ 51.5% ao mês e tendo havido uma carência de 2 meses? Resposta: R$ 3.498.17 Calcule a dívida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestações mensais de 8.73 - . (BEG) Resposta: R$ 605.00 9.00 durante três meses. Quanto ela vai pagar por mês? (BEG) Resposta: R$ 148.00 Maria pegou emprestado no banco R$ 700. Quanto Paulo vai pagar por mês de prestação? (BEG) Resposta: R$ 169. taxa de 1% ao mês. Qual o Que dívida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de R$ 1.00 Augusto solicitou para um banco um financiamento de R$ 18.000. José Carlos Moretti Junior . este sistema estabelece que as prestações sejam iguais e sucessivas durante todo o prazo da amortização. que são realizados em função de um planejamento. uma concomitante diminuição dos Juros (J) apurados para o Período (n) em análise. Vejamos a seguir. o saldo devedor é diminuído implicando. pelo Sistema Price de Amortização (Sistema de Amortização Francês). com base nos resultados encontrados na HP-12C. É importante notar que.A. cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor. ou simplesmente Tabela Price. a amortização aumenta de forma a compensar a diminuição dos juros. 7. em função de manter-se a uniformidade em relação ao valor da prestação.) Também chamado de Sistema Price. este sistema consiste no pagamento de empréstimos ou financiamentos com prestações iguais e com periodicidade constante. Antes. considera as prestações fixas. PELA HP-12C A amortização consiste na liquidação ou pagamento de uma dívida mediante prestações fixas. Porém. podendo ser o reembolso de ambos. O cálculo. A HP-12C permite que você calcule as partes dos seus pagamentos referentes ao principal e aos juros. além do saldo devedor do seu empréstimo. sucessivas e iguais.74 - . Pagamento = Amortização + Juros. É considerado o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. vamos entender o cálculo de amortização: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Em todos os sistemas de amortização. Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos. de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor. iguais e sucessivas. como construir uma tabela de amortização. desta forma.F. à medida que as Prestações (PMT) são realizadas. sendo que Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.7. isto é.1 – Sistema de Amortização Francês (S. ou seja. e Os Juros (J) diminuem a cada Período (n).PAn Onde: PA = parcela de amortização. Pressione [ g ] [ BEG ] ou [ g ] [ END ] para estabelecer a modalidade de pagamento. Isto posto. com a taxa de 10% Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. 6. para ser pago em 5 pagamentos iguais. 7. 4. i .1. Digite a parcela e pressione [ CHS ] [ PMT ]. Digite o número de pagamentos a ser amortizado.75 - . Para apresentar o saldo devedor. Digite o valor presente e pressione [ PV ]. Assim teremos: (1 + i)n . (28) Exemplo: ao mês. 9. 9 e 10 para amortizar os demais pagamentos. Observe que a fórmula de PMT é a mesma utilizada em séries uniformes de pagamentos periódicos postecipadas. Digite a taxa de juros e pressione [ i ]. n PAn = PMT . pressione [ RCL ] [ n ] Repita os passos 5. 7. Pressione [ x <> y ] para apresentar a parte do pagamento referente ao principal. 5. 2. pressione [ RCL ] [ PV ]. pressione [ R ↓ ] [ R ↓ ]. 6. e SD = saldo devedor. (1 + i)n . sem prazo de carência. 11.F. José Carlos Moretti Junior .00. 10. Um banco empresta o valor de R$ 10. A parcela de amortização aumenta a cada Período (n). Pressione [ f ] [ AMORT ] para apresentar a parte do pagamento referente aos juros. Para apresentar o número do pagamento amortizado (introduzido no item 6). calculado pelo Sistema de Amortização Francês (S. 8.J SDn = SDANTERIOR .000. i PMT = PV .A.). as principais características deste sistema são: A Prestação (PMT) é constante durante todo o período do financiamento. 8.1 J = PV . Para apresentar o número total de pagamentos amortizados. 3. 1610510 ÷ 0.97 .20 = R$ 1.000.97 .637.83 = R$ 2.77 SD2 = 8.1.00 x {[(1.03 .82 PA5 = PMT – J5 = 2.637.398.03 = R$ 1.18 x 0.637.10] ÷ [(1.Pede-se elaborar a planilha de financiamento.10 x 1 = R$ 457.32 x 0.26 .97 = R$ 8.10 x 1 = R$ 1.14 SD4 = 4.801.97 .m.32 Para 4º Período J4 = SD3 x i x n = 4.180.000.2637974808 PMT = R$ 2.77 = R$ 6.97 Resolução J.10] ÷ [(1 + 0.180.000.560.00 PA1 = PMT .578.560.94 SD3 = 6.00 = R$ 1.1]} PMT = 10.398.1]} Resolução PMT = 10.1]} PMT: PMT = 10.26 x 0.398.00 x 0.00 x {[1.637.00 x {[(1 + 0.10] ÷ [1.10 x 1 = R$ 836.10)5 .97 SD1 = 10.10 x 1 = R$ 656.00 x {0.26 Para 3º Período J3 = SD2 x i x n = 6.14 = R$ 2.000.2.000.03 PA3 = PMT – J3 = 2.97 . José Carlos Moretti Junior .560.1.610510 x 0.457.PAn Para 1º Período J1 = 10.981.00 .10)5 x 0.1]} PMT = 10.1.94 = R$ 4.239.000.1.20 PA2 = PMT – J2 = 2. PMT = ? J=? PA = ? SD = ? PMT = PV x {[(1 + i)n x i] ÷ [(1 + i)n .578.637.00 x 0.610510} PMT = 10.362.82 = R$ 2.32 .656.J1 = 2.362.801.76 - .97 .610510 .578.10)5 x 0.10)5 .637.000.00 n = 5 meses i = 10% a.000.000.000.637. Dados: PV = R$ 10.981.03 x 0.18 Para 5º Período J5 = SD4 x i x n = 2.10 x 1 = R$ 239.637. PA e SD: SDn = SDANTERIOR .83 PA4 = PMT – J4 = 2.15 PAn = PMT – J J = PV x i x n Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.03 Para 2º Período J2 = SD1 x i x n = 8.836.362. 398.637.14 2.637.637.00 Pressione Visor Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 0.03 -10.637.97 1.2.000.97 1.77 1.189.637.83 2.578.637.SD5 = 2.97 2.189.03 A diferença de R$ 0.981.26 656.560.97 2.00 0.97 1.32 2.88 2.00 0.180.398. Assim teremos nossa planilha de financiamento: n 0 1 2 3 4 5 8.03 Saldo Devedor 836.03 é devido ao arredondamento.180.560.981.03 1.97 -8362.362.00 [n] [ PMT ] 1 Juros Amortização [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 1 [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 1 [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 1 [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 1 [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 5.20 1.578.00 SD PA J PMT PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ g ] [ END ] [ CHS ] 10.82 2.32 457.801.18 0.00 -10.00 0.000.00 2.15 -0.94 -4.97 1.94 2.999.637.15 2.398.82 3.00 5.00 1.26 4.15 = R$ 0.000.03 457.180.00 10.97 2.97 2.00 0.18 239.97 13.03 6. José Carlos Moretti Junior .00 836.637.637.398.801.83 239.03 ∑ 1.85 10.981.000.77 1.94 1.14 -2.00 [ PV ] [i] 10.000.20 656.398.18 .398.15 9.77 -6.398.000.77 - .14 2.801. 00 x 0.03 ∑ 0.7.00.981.000.10 x 1 = R$ 1.94 2.03 6.000.00 0.00 1.00 Para 2º Período J2 = 10.000. Dados: PV = R$ 10.97 2.398.999.88 1.000.97 2.000.03 457.637.).A.000.00 10.000.00 x 0.189.00 836.00 1.00 8.637. Pede-se elaborar a planilha de financiamento.14 2. com a taxa de 10% Resolução Para 1º Período J1 = 10.26 4.000.801.000.97 1.00 0.10 x 1 = R$ 1. J = PV x i x n n 0 1 2 3 4 5 6 7 10.1. com carência de 2 meses.20 656.1 – Sistema de Amortização Francês com carência e juros compensatórios Neste caso.00 n = 5 meses i = 10% a.85 10.000. c = 2 meses PMT = ? J=? PA = ? SD = ? Um banco empresta o valor de R$ 10. José Carlos Moretti Junior . não haverá a parcela de amortização durante o período de carência.77 1.637.78 - .000.637.00 Os demais valores serão exatamente iguais ao exemplo anterior.97 2.00 1.m.189.637.398.F.18 0. (29) Exemplo: ao mês.83 239.00 2.00 0. apenas o pagamento dos juros compensatórios.560. para ser pago em 5 pagamentos iguais.637.000.00 1.00 SD PA J PMT Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 0.180.15 9.97 1.32 2.362.82 5.97 2.000.000.97 15.578. calculado pelo Sistema de Amortização Francês (S. 000.14 2.00 2.2 – Sistema de Amortização Francês com carência e saldo devedor corrigido Neste caso.00 10.000.20 Saldo Devedor -10.801. José Carlos Moretti Junior .000.15 -0.77 -6. e.00 [ CHS ] [ PV ] 10.00 -10. na verdade os juros serão acrescidos ao saldo devedor com base no regime de capitalizado composta.1.637.32 457.637.000. não se paga os juros compensatórios.97 -8362.398.00 1.00 1.398.000. calcula-se a prestação com base no conceito de uma série uniforme de pagamentos periódicos postecipadas.00 0.00 10.03 2. na seqüência.000. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.26 656.801.00 5.578.180.03 1.97 1.97 1.00 [i] [n] [ PMT ] [ f ] [ AMORT ] 1 Juros Amortização [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] [ f ] [ AMORT ] 1 [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] [ f ] [ AMORT ] 1 [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] [ f ] [ AMORT ] 1 [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] [ f ] [ AMORT ] 1 [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 2.03 836.PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ g ] [ END ] 10.180.00 10.94 1.79 - .83 1.77 1.82 1.15 2.637.000.000.18 239.000.981.00 Pressione Visor n=2 7.00 5.00 n=1 [ ENTER ] [%] [ X <> Y ] [%] 10 10.14 -2.981.94 -4.00 0.398.560. 00 x 1.539.00 3.191.1]} PMT: PMT = 12.F.81 793. c = 2 meses PMT = ? J=? PA = ? SD = ? Um banco empresta o valor de R$ 10.2637974808 PMT = R$ 3.100.76 0.859.00 0.191.10)5 .A.00 Para 2º Período SD 2 = 11.79 553.00 0.000.95 3.937.191.97 2.).01 ∑ 0.75 2.98 290.95 3.00.00 x {[(1 + 0.191.95 3. com carência de 2 meses.PAn = SDANTERIOR x (i + 1) n 0 1 2 3 4 5 6 7 10.00 n = 5 meses i = 10% a.10 = R$ 12.00 0.100.15 2. Dados: PV = R$ 10. ser incorporado ao saldo devedor.000. calculado pelo Sistema de Amortização Francês (S.99 0.00 1.95 demais valores serão exatamente iguais aos exemplos Para 1º Período SDn = SDANTERIOR .000.77 12.10] ÷ [(1 + 0. porém. para ser pago em 5 pagamentos iguais.95 3.05 7.180. José Carlos Moretti Junior .099.000. com a taxa de 10% Resolução SD: SD1 = 10.14 2.00 0.901.00 x 0.100.210. PMT = PV x {[(1 + i)n x i] ÷ [(1 + i)n .637. devendo.00 0.00 1.80 - .00 11.00 Os anteriores.011. portanto.000.00 12.78 0.100.10)5 x 0.981.00 1.95 2.00 10. Pede-se elaborar a planilha de financiamento.00 0.18 3.75 SD PA J PMT Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.91 5.901.95 15.10 = R$ 11.m.959.(30) Exemplo: ao mês.191. não haverá o respectivo pagamento de juros durante o período de carência.1]} Resolução PMT = 12.191.118.000.00 x 1.398.000. 81 - .398.180. Dessa maneira e diferentemente do Sistema de Amortização Francês (Sistema Price). as principais características deste sistema são: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.94 1.801. já que os juros diminuem a cada prestação.PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ g ] [ END ] 10. em que as prestações são iguais.00 2.14 -2.97 -8362.000.C.32 457. ou seja.00 0.180.00 -12.00 Pressione Visor n=1 n=2 7.14 2.000. o valor da amortização é constante para todos os períodos. o principal é reembolsado em quotas de amortização iguais.00 5.00 1.20 1.94 -4.000.981. no S.03 1. as prestações são decrescentes. Isto posto.100.398.15 2.00 12.03 Saldo Devedor 836.801.00 10.637.03 0.82 2.A.15 -0.97 1.10 [ ENTER ] [x] [x] [ CHS ] [ PV ] [i] 10.97 1.A.00 1.100.000.77 -6.26 656.578.C.637.83 2.10 1.560.00 11.981.398.100.637.00 [n] [ PMT ] 1 Juros Amortização [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 1 [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 1 [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 1 [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 1 [ f ] [ AMORT ] [ X <> Y ] [ RCL ] [ PV ] 5.) Pelo Sistema de Amortização Constante.2 – Sistema de Amortização Constante (S.77 1.00 -12. Isso somente será possível de o saldo devedor inicial for dividido pelo número de Períodos (n) envolvidos no financiamento.00 10. José Carlos Moretti Junior .18 239. 000.m.000.00 PA = 5 PA = R$ 2. sem prazo de carência. i .82 - . José Carlos Moretti Junior . SD = saldo devedor. Pede-se elaborar a planilha de financiamento.PA PMT = PA + JATUAL Onde: PA = parcela de amortização.A. n SDATUAL = SDANTERIOR . Assim teremos: SD0 PA = n J = SD . PA = ? J=? PMT = ? SD = ? calculado pelo Sistema de Amortização Constante Um banco empresta o valor de R$ 10. e Os Juros (J) diminuem a cada Período (n).00 n = 5 meses i = 10% a. Dados: PV = R$ 10.00 Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. A parcela de amortização é constante durante o Período (n). e SD0 = saldo devedor inicial (valor financiado).A Prestação (PMT) é decrescente durante o Período (n) do financiamento. (S.00. com a taxa de 10% SD0 Resolução PA = n PA: 10. (31) Exemplo: ao mês. para ser pago em 5 pagamentos iguais.000.).C.000. 00 6.A.00 + 200.10 x 1 = R$ 800.000.00 SDATUAL = 4. tais como.00 PMT = 2.00 10.400.00 x 0.000.000.00 PMT = 2.00 600.00 SDATUAL = 10.000.00 – 2.000. i .00 – 2.000.10 x 1 = R$ 200.000.000.00 Para 2º Período J = 8.00 = R$ 2.600.00 SD PA J PMT 7. Sistema de Amortização Crescente (SACRE).00 x 0.00 2.83 - .000.00 + 400.00 200.00 PMT = 2. José Carlos Moretti Junior .00 x 0.000.000.00 + 1.00 + 600.000.800.).000.200.00 – 2.000.000.00 4.000. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.PA Para 1º Período J = 10.00 = R$ 2.000.000.000.3 – Outros Sistemas de Amortizações Existem vários outros sistemas de amortizações.00 0.00 SDATUAL = 6.00 PMT = PA + JATUAL J = SD .10 x 1 = R$ 400.00 – 2.000.000.000.10 x 1 = R$ 1.00 = R$ 8.00 0. Sistema de Amortização Misto (S.00 Para 4º Período J = 4.00 2.00 3.Resolução J. n Assim teremos nossa planilha de financiamento: n 0 1 2 3 4 5 10. PMT e SD: SDATUAL = SDANTERIOR .00 = R$ 0.00 2.000.000.00 2.00 Para 3º Período J = 6.000.00 = R$ 2.000.00 2.000.000.00 SDATUAL = 8.00 3.00 PMT = 2.00 13.000.00 400.000.200.600.00 2.00 + 800.00 2.00 8.00 2.000.00 800.000.00 x 0.00 Para 5º Período J = 2.00 PMT = 2.000.00 ∑ 0.00 0.M.000.00 = R$ 2.000.000.00 1.00 2.000.400.00 2.00 x 0.00 = R$ 4.00 = R$ 2.000.00 = R$ 6.00 – 2.000.000.000.00 SDATUAL = 2.800.000.10 x 1 = R$ 600.00 = R$ 3. 3.66. a ser liquidado em 6 prestações anuais. à taxa de 30% ao ano. 4.00 a 12% ao ano para ser Seu pai lhe emprestou R$ 150.00 junto a um banco. havendo carência de 3 anos com o pagamento dos juros devidos. taxa de 1% ao mês.00. a soma dos juros até o sexto ano.).800.00 por 3 meses. 5. pago durante seis anos.4 – Exercícios Propostos João comprou um sofá por R$ 670. Elabore uma planilha de amortização. Elabore uma planilha de amortização. Uma empresa contrai um empréstimo de R$ 400. à taxa de 30% ao ano. 7. Calcule: a soma dos juros até o quinto ano. Qual o saldo devedor no quarto ano? Qual a soma de todos os juros até o quarto ano? Faça a planilha. tais sistemas não serão abordados neste momento. Você vai pagar por mês uma prestação de R$ 3.00.36.00. com base no Sistema Francês de Amortização. Amortização. 6.000. Uma empresa contrai um empréstimo de R$ 200.00 durante três meses. monte a planilha. 2. correspondente a um empréstimo de R$ 100. Amortização. com base no Sistema Francês de Amortização. havendo carência de 3 anos com capitalização dos juros no saldo devedor.A. Porém como nosso objetivo neste curso é o dinamismo do estudo da Matemática Financeiro com o uso da calculadora HP-12C. a soma das amortizações até o terceiro ano. com base no Sistema Francês de Amortização.026. Construa a tabela de amortização da dívida de João. Construa a tabela de amortização da dívida. R$ 246. Deverá pagar este empréstimo em oito anos à taxa de 12% ao ano.90. Calcule: a soma das amortizações até o sétimo ano. a uma taxa de juros de 5% ao mês.A. Ele dividiu a compra em 3 vezes iguais de 1. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.000. José Carlos Moretti Junior . com base no Sistema Francês de Amortização. Ele acertou com você a O Banco ESTRELA lhe emprestou R$ 7. faça a planilha. correspondente a um empréstimo de R$ 100. com base no Sistema Francês de 7. com base no Sistema Francês de 8.000.000. pago em cinco anos. com base no Sistema Francês de Amortização. Você vai pagar por mês R$ 51.84 - . Construa a tabela de amortização da dívida.Sistema de Amortização Alemão e Sistema de Amortização Americano (S.000. à taxa de 8% ao mês. a ser liquidado em 6 prestações anuais.00 a 20% ao ano para ser Uma empresa contrai um empréstimo de R$ 500. com base no Sistema Francês de Amortização. pois.85 - . na busca da otimização do fluxo de caixa gerado através dessa ação. fluxos de receitas (entradas) e despesas (saídas). Análise de Projetos e Decisões de Investimentos Em todo processo de análise de projetos e de decisões de investimentos.1 – Fluxos de Caixa Toda ação feita no âmbito financeiro implica. com a aplicação das técnicas certas. é possível avaliar com maior clareza e segurança os riscos inerentes a esses processos. Assim apresenta-se três tipos se fluxo de caixa usados: a) Do ponto de vista do tomador: PV (entrada) Fluxo de Caixa Simples 1 0 FV (saída) Do ponto de vista do investidor: FV (entrada) 0 1 PV (saída) Fluxo de Caixa Convencional b) Com saída inicial: Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.8. necessariamente. José Carlos Moretti Junior . 8. ou seja. a matemática financeira possui um papel fundamental. Existem dois importantes métodos matemáticos que são utilizados na análise de operações financeiras de investimento ou financiamento: o VPL (Valor Presente Líquido) e a TIR (Taxa Interna de Retorno).1 – VPL (Valor Presente Líquido) Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.2.2 – Técnicas para Análise de Investimentos Nas operações financeiras de investimento ou financiamento. existem várias variáveis que interferem nossa decisão sobre qual dentre várias alternativas é a mais lucrativa e rentável. Esses intervalos podem ser em qualquer período de tempo.86 - . 8. A HP-12C possui funções exclusivas para os dois métodos de análise (VPL e TIR). além de seus valores não precisarem ser idênticos. Essas funções permitem a análise de problemas financeiros que envolvem fluxos de caixa (dinheiro recebido ou pago) que ocorrem em intervalos de tempo regulares. José Carlos Moretti Junior .0 1 2 3 4 5 6 tempo Com entrada inicial: 1 0 tempo 2 3 4 5 6 Fluxo de Caixa Não Convencional c) 0 4 5 1 2 3 6 tempo 8. PELA HP-12C A calculadora HP-12C comporta até 20 fluxos de caixa consecutivos diferentes. 10 [ g ] [ CF0 ]: Cash Flow0 = fluxo de caixa inicial. Repita o passo 3 para todos os fluxos de caixa. depois [ g ] [ CFj ]12. 2. Se não houver investimento inicial. Se não houver fluxo de caixa no próximo período. Igual a taxa desejada (o projeto não oferece ganho ou prejuízo). José Carlos Moretti Junior .87 - . além é claro do investimento inicial (FC0)10. a taxa real de retorno será maior do que a desejada. Se dois ou mais fluxos de caixa forem iguais. Pressione [ f ] CLEAR [ FIN ] para limpar o registrador financeiro. Se o VPL for positivo. pressione 0 [ g ] [ CF0 ]. 12 [ g ] [ CFJ ]: Cash FlowJ = fluxo de caixa inicial. Maior que a taxa desejada (o projeto deve ser aceito). Introduza o investimento inicial. pressione [ CHS ] [ g ] [ CF0 ]. Observe abaixo como calcular o VPL na HP-12C: 1. 5. 3. Introduza a taxa de juros (custo de oportunidade). a taxa real de retorno é igual à desejada. Pressione [ f ] [ NPV ]13. 13 JÉSIMO [ f ] [ NPV ]: Net Present Value = valor presente líquido. Se todos os fluxos de caixa forem iguais. a taxa real de retorno será menor do que a desejada. ou seja. pressione 0 [ g ] [ CFj ]. você poderá armazenar na máquina mais do que 20 fluxos. 4. e PV0 = valor do investimento inicial. utilizando a tecla Nj11. e aperte [ i ]. VPL Negativo Igual a Zero Positivo Menor que a taxa desejada (o projeto deve ser recusado). Se o VPL for negativo. o VPL indica se o fluxo de caixa antecipado fornecerá a taxa de retorno desejada. Se o VPL for igual à zero. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.O Valor Presente Líquido (VPL) é obtido calculando-se o Valor Presente (PV) de uma série de fluxos de caixa (pagamentos ou recebimentos) com base em uma taxa de custo de oportunidade conhecida ou estimada. você poderá registrar até 99 fluxos. Introduza o próximo fluxo de caixa. Taxa Real de Retorno Assim teremos: VPL = ∑nj=1 [FCn ÷ (1 + i)n] – PV0 Onde: FCn = fluxo de caixa para n períodos. 6. e subtraindo-se o investimento inicial. 11 [ g ] [ NJ ]: Number j = número de fluxo de caixa iguais consecutivos. pressione [ CHS ] se o fluxo for negativo (prejuízo). 00 [ CHS ] [g] [ CF0 ] [g] 650.00 ÷ 1.05)2] + [450.00 ÷ 1. Dados: Investimento Inicial (PV0) = R$ 1.200.05)1] + [250.200 VPL = ∑nj=1 [FCn ÷ (1 + i)n] – PV0 VPL = ∑{[650. o projeto pode ser aceito. R$ 250.(31) Exemplo: consecutivos de R$ 650.200.00 VPL = 1.05)3]} – 1. determinar o valor presente líquido.200.00 -1.00 650.1025] + [450.200.05] + [250.00 0.54 – 1.00 e R$ 450.54 Como o VPL foi positivo (VPL > 0).00.00 e R$ 450.00 Pressione Visor Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.00 Entradas de caixa (FCn) = R$ 650.200.200. José Carlos Moretti Junior .157625]} – 1.00 ÷ 1. R$ 250. VPL = ? Um investimento de R$ 1.200.00 ÷ (1.00.00 VPL = R$ 34.00 Prazo (n) = 3 anos Custo de oportunidade (i) = 5% a.a.73} – 1.88 - .05)1] + [250.00.00 VPL = ∑{619.00 VPL = ∑{[650.00 VPL = ∑{[650. PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 1. Considerando uma taxa de 5% ao ano.05)2] + [450.00 -1.00 ÷ (1 + 0.00 ÷ (1.00 gera 3 entradas de caixa Resolução: 650 450 250 0 1 2 3 1.05 + 226.234.200.76 + 388.00 ÷ (1.200.200.05)3]} – 1.00 ÷ (1 + 0.00 ÷ (1 + 0.200.00 -1. Menor que o custo de oportunidade (o projeto deve ser recusado).00 450. deve-se recorrer ao processo de tentativa e erro.89 - . José Carlos Moretti Junior . satisfaz a equação VPL = 0.[ CFj ] 250. é atxa que faz com que o VPL seja igual a “0“ (zero). o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno. Entre vários investimentos.00 8. Taxa Real de Retorno Para acharmos a TIR.00 34. Em outras palavras. o investimento não é atrativo. Pressione [ f ] CLEAR [ FIN ] para limpar o registrador financeiro.53 650. apresentaremos somente a resolução através da HP12C. 2. Introduza os fluxos de caixa utilizando as instruções do tópico anterior “VPL – Valor Presente Líquido (NPV .00 5. Maior que o custo de oportunidade (o projeto deve ser aceito). (32) Exemplo: Um projeto está sendo oferecido nas seguintes condições: um 14 [ f ] [ IRR ]: Internal Rate of Retorn = taxa interna de retorno. Se a TIR for igual à zero. A TIR é o percentual (%) de retorno obtido sobre o investimento.00 [g] [ CFj ] 5 [i] [f] [ NPV ] R$ 34. é a taxa real de juros da operação financeira. pelo método algébrico. Pressione [ f ] [ IRR ]14. PELA HP-12C 1.2 – TIR (Taxa Interna de Retorno) A Taxa Interna de Retorno (TIR) pode ser definida como a taxa de desconto que iguala os fluxos de caixa ao investimento inicial.00 [g] [ CFj ] 450. investimento indiferente.00 250. Se a TIR for negativa.2.00 450. 3. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. Se a TIR for positiva. ou seja.53 250.Net Present Value)”. Deste modo.00 5. ou seja. o investimento apresenta-se atrativo. tendo em vista que oi cálculo pelo método algébrico é muito complexo. TIR Negativo Igual a Zero Positivo Igual ao custo de oportunidade (o projeto é indiferente). empresa de arrendamento mercantil) de um bem móvel Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. 8.000.00 650. José Carlos Moretti Junior .000. O Projeto deve ser aceito? Dados: Investimento Inicial (CF0) = R$ 1.00 [g] [ CFj ] [f] [ IRR ] 9.000.00.00 e R$ 400.00 -1.00 Entradas de caixa (FCj) = R$ 300.00 400. sabendo-se que um custo de oportunidade aceitável é de 10% ao mês. R$ 500.00.000.00 500.00 e R$ 400.00 400.00 9. com entradas de caixas mensais de R$ 300. R$ 500. é uma operação em que o possuidor (arrendador.3 – Operações de Leasing O Leasing. o projeto não deve ser aceito.00 Pressione Visor TIR < custo de oportunidade (10%).000 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] [ CHS ] 1.m. TIR = ? Resolução: 500 400 300 0 1 2 3 1.00 [g] [ CFj ] 500.00 [g] [ CF0 ] 300.00 500.00 400.90 - .00 -1.investimento inicial de R$ 1.26 0.26% -1.000.00 Custo de oportunidade (i) = 10% a.00.00 consecutivas.000. também denominado Arrendamento Mercantil.00 650.00 [g] [ CFj ] 400. br. José Carlos Moretti Junior . é admitida. a transferência dos direitos e obrigações a terceiros.gov. no sentido financeiro. Ao final do contrato de arrendamento. 5. consulte o site do Banco Central do Brasil: PMTL = {PV0 . recebendo em troca uma contraprestação.500. O cálculo das prestações de leasing (PMTL) com valor residual pode ser facilmente calculado através da seguinte fórmula: informações. o arrendatário tem as seguintes opções: Comprar o bem por valor previamente contratado. 6. O arrendador adquire o bem indicado pela arrendatário.ou imóvel cede a terceiro (arrendatário. Digite a taxa de financiamento e pressione [ i ]. ou Devolver o bem ao arrendador. iR) ÷ (1 + i)n]} . Não é aplicável ao contrato de leasing a faculdade de o cliente quitar e adquirir o bem antecipadamente. No entanto. Digite a taxa do valor residual e pressione [ % ] [ CHS ] [ FV ]. Digite 0 (zero) e pressione [ FV ] [ PMT ] (contraprestação COM valor residual). i = taxa de financiamento. a um financiamento que utilize o bem como garantia e que pode ser amortizado num determinado número de “alugueis” (prestações) periódicas. durante um período de 36 meses. Maiores www. 2. desde que previsto no contrato. PELA HP-12C 1.91 - Um automóvel no valor de R$ 18. (33) Exemplo: através de uma operação de leasing. i] ÷ [(1 + i)n – 1]} Onde: PV0 = valor do bem. tendo como principal o valor residual. “comprador”) o uso desse bem por um prazo determinado. 3. Digite o prazo da operação e pressione [ n ] [ PMT ] (contraprestação SEM valor residual). Digite o valor do bem e pressione [ CHS ] [ PV ] [ ENTER ]. 4. acrescidos do valor residual garantido e do valor devido pela opção de compra. mediante acordo com a empresa arrendadora. iR = taxa do valor residual. Esta operação se assemelha.bcb. Pressione [ f ] CLEAR [ REG ] para limpar os registradores. {[(1 + i)n .[(PV0 . Renovar o contrato por um novo prazo. com taxa de 2% ao mês. e n = prazo da operação. O valor residual definido no ato Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. cliente.00 está sendo adquirido . 00 . para ser pago com a prestação nº 36.02)36 .039887344 x 0.500.46} x {0.00 -925.500.00 .02] ÷ [(1.039887344 x 0.500.00 – 453.500.500.00 iR = 5% i = 2% a.02] ÷ [(1 + 0.040797747 ÷ 1.039232853 PMT = R$ 725.00 [ CHS ] [ PV ] [ ENTER ] [%] 5 -18.040797747 ÷ 1.02)36 .05) ÷ (1 + 0.039887344]} x {[2.02)36]} x {[(1.[(PV0 x iR)÷(1 + i)n]} x {[(1 + i)n x i]÷[(1 + i)n – 1]} Resolução PMTL = {18.02)36]} x {[(1 + PMTL: 0.039232853 PMTL = R$ 708.02)36 x 0.500. n = 36 meses PMT = ? PMTL = ? PMT = PV x {[(1 + i)n x i] ÷ [(1 + i)n . Dados: PV0 = R$ 18.039887344 .00 .81 PMTL = {PV0 .00 x 0.02] ÷ [2.02)36 x 0.02] ÷ [(1 + 0.1]} PMT: PMT = 18.1]} PMT = 18.92 - .1]} Resolução PMT = 18.02] ÷ [(1.500.00 x {0.00 -18.[925.00 -18.500.00 Pressione Visor Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.500.500.[(18.039887344 – 1]} PMTL = {18.54 x 0.500.039887344} PMT = 18.02] ÷ [2.500.039887344} PMTL = 18.[925. Calcular o valor da prestação com e sem o valor residual.02)36 – 1]} PMTL = {18.02)36 x 0.02)36 – 1]} PMTL = {18.500.02)36 x 0.500.00 ÷ 2.m.00 0.1]} PMT = 18.00 x 0.00 x {[2. José Carlos Moretti Junior .00 x {[(1 + 0.046.00 ÷ (1.00 x {[(1.da contratação será de 5% sobre o valor do automóvel.02 PELA HP-12C Digite [ f ] CLEAR [ REG ] 18.500. Supondo-se uma taxa mínima de atratividade de 20% ao ano.02 925. O custo de aquisição é a ordem de R$ 80.500 / Ano 3 – R$ 52.4 – Exercícios Propostos Um investidor tem duas possibilidades para aplicar seu capital.000.00. Considere o seguinte Fluxo de Caixa: Ano 1 – R$ 156.000 / Ano 2 – R$ 33.00 708. Será que esse negócio é viável? Encontre o VPL e a TIR. Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof.9% a.541.00. espera ter um retorno de 19% ao ano.01% (Investimento não- Um investidor resolveu investir R$ 350.000 / Ano 3 – R$ 223.000 em uma indústria de sorvete. José Carlos Moretti Junior .00 36.200.m. Sabendo-se que o investimento trará um aumento no faturamento na ordem de R$ 30.R$ 5.000 / Ano 4 – R$ 223. Resposta: VPL = R$ 377.04% (Investimento atrativo). sabendo-se que ele pode aplicar seu dinheiro no mercado financeiro à razão de 4% ao mês? Resposta: i = 11% a.00 [n] [ PMT ] R$ 708. qual a melhor alternativa? Resposta: A segunda alternativa Um equipamento é vendido à vista ou em 6 pagamentos mensais sem entrada 2. João vai precisar investir R$ 85.20 / TIR = 57. 5. Considere o seguinte Fluxo de Caixa: Ano 1 – R$ 18.000.02 (sem valor residual) 0.00 925. Resposta: O projeto é viável (TIR = 29.[ CHS ] [ FV ] [i] 2.65 / TIR = atrativo).00 2. A primeira ele 1.000 / Ano 2 – R$ 298.000. – é melhor comprar à vista A diretoria de uma multinacional está estudando a compra de uma máquina nova 3.00 [ FV ] 0. um retorno mínimo de 12% ao ano. Qual a taxa de juros do financiamento. para o setor de usinagem.81 (com valor residual) 725. Será que esse negócio é rentável? Encontre o VPL e a TIR. Qual a melhor alternativa para o comprador. enquanto a segunda ele resgata metade do principal no final de cada ano durante os próximos 3 anos. resgata integralmente o principal acrescidos de 80% de juros após 3 anos. verifique se existe viabilidade econômica para o projeto.81 36. Resposta: VPL = . seno os 3 primeiros de valor correspondente a 30% do valor à vista e os 3 últimos correspondentes a metade das 3 primeiras.000. Ele espera ter 4. acrescidos 10% a título de despesas com importação e treinamento de pessoal.00 8.00 [ PMT ] R$ 725.) Para abrir uma lanchonete.a. Ele .93 - 9.00 anuais para os próximos 8 anos e que a taxa mínima de atratividade para a empresa é de 20% ao ano.067.000 / Ano 5 – R$ 340. 000 / Ano 3 – R$ 35. um retorno de 25. Três amigos querem investir R$ 60. Eles esperam ter Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. José Carlos Moretti Junior .34% ao ano.000 / Ano 2 – R$ 35.6.000.000 em uma loja de roupas. Considere o seguinte Fluxo de Caixa: Ano 1 – R$ 25.05 / TIR = 25. Será que o negócio é viável? Encontre o VPL e a TIR.34% (Investimento indiferente). Resposta: VPL = -R$ 1.94 - . Lima. NETTO. 2006. FARIA. Matemática comercial e financeira. Alexandre. José Carlos Moretti Junior . C. Alexandre. São Paulo: Atlas. Rogério Gomes de. Ribeirão Preto: Inside Books. Matemática Financeira. TEIXEIRA.. 6 edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. Matemática Financeira com HP 12C e Excel – Uma Abordagem Descomplicada. 5 edição. 2000. HEWLETT-PACKARD. investimentos. no Mercado Matemática Financeira com o uso da HP-12C Prof. GIMENES. HP-12C – Manual do Proprietário e Guia para a Solução de Problemas. Carlos Patrício. 2007. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Pearson Makron Books. Calculadora Financeira HP-12C. Walter. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 1998. 2001. 2002. 1981. Scipione Di P. Samanez. 1995. São Paulo: McGraw-Hill. Microsoft Excel©. São Paulo: Atlas.95 - . Investimentos ASSAF Financeiro Aplicados ao Mercado de Capitais. Cristiano Marchi. James. BRANCO. São Paulo: Pearson Prentice Hall.Referência Bibliográfica ASSAF NETO. HP12C. Fabiano Guasti. Matemática Financeira Aplicada – Método Algébrico. 2007. Brasil: Hewlett-Packard. ZENTGRAF. Matemática Financeira: aplicações à análise de usando a Calculadora HP-12C – Programas Financeiros NETO. Anísio C.
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