Apostila MAT236 Primeira Unidade

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAINSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA NOTAS DE AULA MAT236 – MÉTODOS ESTATÍSTICOS 1ª UNIDADE Elaborada pelos professores: Giovana Silva, Lia Moraes, Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone Revisada em 2011.1 Monitora: Tatiana Felix da Matta Revisada em 2012.1 Gecynalda e Silvia Regina 1 1. INTRODUÇÃO 1.1. O que é estatística e suas divisões Para muitos a Estatística não passa de conjuntos de tabelas de dados numéricos. Mas será que a estatística é só isso? A Estatística originou-se com a coleta e construção de tabelas de dados para o governo. A situação evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da Estatística. Hoje em dia podemos adotar a seguinte definição para a Estatística: A Estatística constitui-se num conjunto de técnicas e métodos científicos que tratam da coleta, análise e interpretação de informações numéricas, cujo objetivo principal é auxiliar na tomada de decisões ou tirar conclusões em situações de incerteza, a partir de informações numéricas. A Teoria Estatística moderna se divide em dois grandes campos: Estatística Descritiva - consiste num conjunto de métodos que ensinam a reduzir uma quantidade de dados bastante numerosa por um número pequeno de medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados. Estatística Indutiva ou Inferência Estatística - consiste em inferir (deduzir ou tirar conclusões a respeito das) propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo de generalização, que é característico do método indutivo, está associado a uma margem de incerteza. A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades. A Estatística Descritiva abrange métodos gráficos e numéricos, utilizados para resumir dados de maneira que características importantes da amostra possam ser expostas. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes revigorou a área da Estatística denominada “Estatística Descritiva”. Na maioria das vezes não podemos investigar o fenômeno que estamos interessados em estudar em todos os elementos da população por ser o custo muito alto, por necessitar de muito tempo para o levantamento dos dados. Para resolver o problema devemos trabalhar com um subconjunto da população, chamado de AMOSTRA. Se selecionarmos os elementos da amostra de acordo com critérios estatísticos, podemos conhecer as informações relativas à população através da amostra. 2 A inferência estatística procura com base nos dados amostrais tirar conclusões sobre a população. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as definições dadas. Exemplo: (Notas de Aula da Disciplina MAT116 - USP) Numa pesquisa eleitoral um Instituto de Pesquisa procura com base nos resultados de um levantamento aplicado a uma amostra da população prever o resultado da eleição. Considere o candidato “A”: a) Denomine por p a proporção de pessoas que votarão em “A” na eleição. b) Denomine por pˆ a proporção de pessoas no levantamento de opinião (amostra) que expressam intenção de voto em “A”. Podemos usar o valor de pˆ para estimar a proporção p da população. O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho estatístico: 1.2. Por que precisamos aprender Estatística? Quase toda atividade e experiência humana envolvem coleta e análise de algum tipo de informação (dados). Na coleta de dados relativos ao comportamento ou outras características de um grupo de indivíduos, amostras aleatórias de um processo ou resultados de repetitivas medições, sempre envolvem variação. Métodos estatísticos representam as ferramentas básicas para compreender as variações, porque a análise estatística é a única base para tentar entender variabilidade. Os métodos estatísticos são consciente ou inconscientemente usados em várias situações, especialmente na apresentação de informações oriundas de dados numéricos. Diversas vezes, apresentações são baseadas, principalmente, em algum tipo de técnica utilizando teorias Técnicas de Amostragem População Amostra Análise Descritiva Conclusões sobre as características da população Inferência Estatística Informações contidas nos dados 3 matemáticas; porém durante a preparação e apresentação dos dados, métodos estatísticos são utilizados para definir a técnica de coleta de dados e chegar a uma conclusão através das informações coletadas. Os métodos estatísticos têm aplicações em: • Indústrias: coleta de dados na linha de produção, para manter e controlar o processo produtivo, o que assegura o nível de produção e os padrões de qualidade; otimização do processo produtivo; detecção das variáveis que realmente influenciam o processo, viabilizando-se as experiências que possam levar a alterações efetivas nesse processo; planejamento de experimentos viáveis, com vistas à economia de observações e, portanto, de custo; planejamento de métodos de coleta e análise de dados para a exploração mineral; • Instituições públicas: planejamento da coleta, do armazenamento e do processamento de informações; processamento de dados com o objetivo de sintetizar e divulgar resultados; montagem de tecnologia adequada de geração de indicadores econômicos; previsão de safras, projeção de demandas; • Hospitais e instituições de pesquisa médica: prestação de assessoria estatística no exame da validade de testes clínicos; no estabelecimento de padrões de referência; na determinação de fatores de risco de doenças; na comparação de resultados de diversos tratamentos clínicos e no planejamento de experimentos clínicos controlados, de estudos de casos e de estudos prospectivos; • Empresas de pesquisa de opinião e mercado: prestação de assessoria estatística no levantamento de audiências de programas de televisão, da popularidade de candidatos a cargos políticos; na avaliação da aceitação de novos produtos; na realização de pesquisas para determinação do perfil do consumidor e no planejamento e execução e pesquisa para determinação das características sócio-econômicas dos habitantes da região; • Bancos e companhias de seguro: elaboração de previsões a serem utilizadas como instrumento gerencial; trabalho em associação com a atuária nos cálculos das probabilidades de morte, doença, roubo de carro, etc.; otimização de procedimentos de atendimento ao público • Centros de pesquisa: prestação de assessoria estatística em todas as fases de um projeto de pesquisa que envolva coleta, tratamento e análise de dados. Os empregados de uma empresa devem tornar-se mais familiarizados com estatística. Eles devem entender e conhecer as técnicas estatísticas disponíveis, e adaptação de dados de experimentos para a análise estatística. Um profissional treinado em Estatística terá maior 4 facilidade em identificar um problema em sua área de atuação, determinar os tipos de dados que irão contribuir para a sua análise, coletar estes dados e a seguir estabelecer conclusões e determinar um plano de ação para a solução do problema detectado. Qualquer um que derive informações a partir de dados está agindo como um estatístico. 2. PROBABILIDADE 2.1. Breve histórico. Diz–se geralmente que a teoria da probabilidade originou-se com Blaise Pascal (1623- 1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), devido à curiosidade de um cavalheiro Chevalier de Meré, jogador apaixonado, que em cartas discutiu com Pascal problemas relativos à probabilidade de ganhar em jogos de cartas. Despertado pelo assunto Pascal discutiu com Fermat sobre o que hoje chamaríamos de probabilidades finitas. Mas em verdade a teoria elementar das probabilidades já tinha sido objeto de atenção bem antes, uma vez que os jogos de azar sempre exerceram fascínio sobre os homens. A primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades é o livro De Ludo Aleae (Sobre os jogos de azar) de Girolamo Cardano (1501-1576), publicado em 1663. Também Galileu (1564-1642) preocupou-se com as probabilidades, estudando os jogos de dados para responder a pergunta de um amigo. A teoria das probabilidades passou a desenvolver-se de maneira mais organizada a partir do século XVII e importantes contribuições de ilustres matemáticos devem ser registradas. No famoso livro, Ars Cnjectandi de Jaime Bernoulli (1654-1705) encontramos um teorema de importância decisiva para a teoria das probabilidades, conhecido com a Lei dos Grandes Números, nome que lhe foi dado pelo matemático francês Siméon Poisson (1781-1840). Poderíamos citar muitos outros com importantes contribuições, mas certamente o matemático que mais contribuiu para a teoria das probabilidades foi Laplace (1749-1827). Seus inúmeros trabalhos sobre as probabilidades foram incorporados em seu monumental Tratado Analítico das Probabilidades. Atualmente as teorias das probabilidades têm extrema importância nas mais diversas áreas desde a engenharia, medicina, epidemiologia, demografia, economia, administração, meteorologia, fotografias de satélites, marketing, predição de desastres naturais, ciências sociais entre outras. Além das muitas aplicações formais, o conceito de probabilidade está no nosso dia a dia. Sempre ouvimos e falamos frases como: ‘Provavelmente vai chover amanhã”, “É provável que 5 o avião se atrase”, “Há boas chances de que eu possa comparecer”. Cada uma desta expressões está baseada no conceito de probabilidade de que certo evento ocorra. 2.2. Conceitos básicos Fenômenos ou experimentos aleatórios (E): São aqueles em que o processo de experimentação está sujeito a incertezas, logo, não é possível controlar todas as circunstâncias relevantes e, portanto, não é possível prever com exatidão os resultados individuais. • Características de um experimento aleatório: a) Poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmas condições; b) Não podemos afirmar que um resultado particular ocorrerá, porém, podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento - as possibilidades de resultado; c) Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é que torna possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento. A Teoria da Probabilidade é utilizada para descrever matematicamente experimentos cujos resultados não podem ser completamente pré-determinados, ou seja, visa definir um modelo matemático que seja adequado à descrição e interpretação de fenômenos aleatórios. Exemplo 1: Considere o experimento aleatório de jogar uma moeda uma única vez. Antes da moeda ser jogada não se sabe o resultado. Conhecem-se apenas os possíveis resultados: cara ou coroa. Admitindo-se que a moeda é honesta, cada resultado tem a mesma chance de ocorrer. Neste exemplo, modelos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências. Fazendo-se algumas suposições adequadas, é possível escrever distribuições de probabilidades (modelos probabilísticos) que representem muito bem as distribuições de freqüências, que só são obtidas quando o fenômeno é observado. Modelo probabilístico é definido por: a) Um espaço amostral (Ω); b) Uma probabilidade, P( · ), para cada ponto amostral. 6 Espaço amostral (Ω ΩΩ Ω): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos de experimentos aleatórios e seus respectivos espaços amostrais: E 1 : Jogar uma moeda e observar a face superior. Ω 1 = { Cara, Coroa } E 2 : Jogar um dado e observar a face superior. Ω 2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E 3 : Determinar o tempo de vida útil de uma lâmpada. Ω 3 = { t ∈ ℜ / t ≥ 0 } Espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos. Evento: Qualquer subconjunto de um espaço amostral. Representado pelas letras latinas maiúsculas A, B, C,... Exemplo 2: No lançamento de um dado consideremos o evento “ocorrer um número par”. A: ocorrer um número par, em que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {2, 4, 6} ⊂ Ω Exemplo 3: Vai chover no litoral baiano no fim de semana? Ω = {chove, não chove} Em geral, temos interesse em eventos particulares do experimento. O evento A pode representar a ocorrência de chuva A = {chove} ⊂ Ω Os conjuntos Ω e ∅ também são eventos: Ω ΩΩ Ω é o evento certo ∅ ∅∅ ∅ é o evento impossível Exercício: Descreva o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos a seguir: a) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num período de 1 hora; Resp.: Ω={0,1,2,...,N} em que N é o número máximo de peças que podem ser produzidas no período de 1 hora. b) Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que queimem; 7 Resp.: Ω={t ∈ ℜ / 0 ≤ t ≤ t 0 } em que t 0 é o tempo máximo de duração da lâmpada acesa, até que ela se queime ou Ω={t ∈ ℜ / t ≥ ≥≥ ≥ 0 }. c) Lançar uma moeda três vezes, sucessivamente, e anotar a seqüência de caras e coroas; Resp.: Ω={ (ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co, ca, ca); (ca, co, co); (co, ca, co); (co, co, ca); (co, co, co)}. d) Escolher ao acaso um ponto do círculo de raio um centrado na origem. Resp.: Ω={( ) 2 , ℜ ∈ y x ; 1 2 2 ≤ + y x }. 2.3. Operações com eventos Ao realizar um experimento aleatório diz-se que o evento A ocorreu se o resultado observado for um elemento do subconjunto A. Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral: • A∩B é o evento em que A e B ocorrem simultaneamente; • A∪B é o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos ocorrem); • A c A ou é o evento em que A não ocorre. Exemplo 4: E: Lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: representa sair face par => B = {2, 4, 6} Evento C: representa sair uma face ímpar => C = {1, 3, 5} Evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4, 5, 6} Evento E: representa sair face 1 => E = {1} Evento B ∩ D: representa sair uma face par e maior que 3 => {2, 4, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 6} Evento B ∩ C: representa sair uma face par e ímpar => {2, 4, 6} ∩ {1, 3, 5} = ∅ Evento B ∪ D: representa sair uma face par ou maior que 3 => {2, 4, 6} ∪ {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} Evento B ∪ C: representa sair uma face par ou ímpar => {2, 4, 6} ∪ {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O Evento B c = C e o Evento C c = B Se dois eventos quaisquer têm intersecção vazia, isto é, eles não podem ocorrer simultaneamente, dizemos que eles são mutuamente exclusivos ou disjuntos. No exemplo 4, os eventos B e C são mutuamente exclusivos ou disjuntos, visto que B ∩ C = ∅. 8 2.4. Como atribuir probabilidade a um evento? Calcular uma probabilidade é medir a incerteza ou associar um grau de confiança aos resultados possíveis de um experimento. Por exemplo, ao escolher, ao acaso, uma carta de um baralho comum (bem embaralhado), o que é mais provável, sair uma figura ( K, Q, J ) ou sair o dois de copas? As probabilidades associam aos eventos um valor no intervalo [0,1]. Quanto maior o valor associado ao evento, maior a certeza de sua possibilidade de ocorrência. Seja Ω um espaço amostral. Uma função P definida para todos os subconjuntos de Ω (chamados eventos) é chamada de probabilidade se: 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo evento A ⊂ Ω 2) P(Ω) = 1 3) Se A 1 , A 2 ,..., A n forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto é, (A i ∩ A j ) = ∅ para todo i ≠ j, então ( ) ) ( ... ) ( ) ( 2 1 1 n n i i A P A P A P A P + + + = = U = ∑ = n i i A P 1 ) ( Existem várias maneiras de atribuir probabilidade a um evento do espaço amostral. Vamos estudar duas formas. Uma das formas é baseada em espaços amostrais finitos. Um espaço amostral é equiprovável quando todos os elementos têm a mesma probabilidade de ocorrer, isto é, todos os seus elementos são igualmente prováveis. Definição: Seja A um evento associado ao espaço amostral finito Ω, no qual todos os resultados são igualmente possíveis (ou equiprováveis). Vamos definir a probabilidade do evento A, P(A) como o quociente entre o número de elementos em A e o número de elementos em Ω: Ω = # # ) ( A A P , isto é, a razão entre os casos favoráveis ao evento e o total de casos possíveis. Limitações: – Dificuldade em enumerar #A e #Ω em alguns casos; – Ω infinito; 9 – Modelo adequado apenas para a classe de fenômenos cujo espaço amostral é equiprovável. Exemplo 5: Qual a probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado? Ω = {1,2,3,4,5,6} A = número par = {2, 4, 6} P(A) = 6 3 Para calcular probabilidade utilizando a definição clássica, em geral utilizam-se os métodos de enumeração: Combinações, arranjos e permutações. Resumo de algumas técnicas sistemáticas de enumeração 1 – Princípios básicos da multiplicação Dados dois eventos, o primeiro dos quais pode ocorrer de m maneiras distintas e o segundo pode ocorrer de n maneiras distintas, então os dois eventos conjuntamente podem ocorrer de m.n maneiras distintas. Exemplo 6: Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Solução: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta é 3x2 6 = 192. 2 – Permutações Uma coleção de n objetos diferentes pode ser ordenada de n! maneiras distintas. Portanto, o número de permutações de n objetos diferentes é dado por P n =n! (Essa regra de permutação, traduz o fato de que o primeiro objeto pode ser escolhido de n maneiras diferentes, o segundo objeto pode ser escolhido de n-1 maneiras distintas, e assim por diante). Exemplo 7: De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros diferentes de Física, de modo que livros de uma mesma matéria permaneçam juntos? 10 Solução: Podemos escolher a ordem das matérias de 3! Modos. Feito isso, há 5! Modos de colocar os livros de Matemática nos lugares que lhe foram destinados, 3! Modos para os de Estatísticas e 2! Modos para os de Física. A resposta é: 3!5!3!2!= 6 x 120 x 6 x 2 = 8640. 3 - Arranjos É o número de maneiras de escolher p objetos dentre n objetos diferentes (sem repetição), sendo a ordem importante, e permutar os escolhidos (0 ≤ p ≤ n). Portanto, o número de arranjos é dado por: )! ( ! p n n A p n − = Exemplo 8: No planejamento de um programa noturno da rede de televisão NBC, devem ser escolhidos 6 shows dentre 30 disponíveis. Quantas programações diferentes são possíveis? Solução: Devemos selecionar p=6 dentre n=30 programas disponíveis. Aqui a ordem tem importância, por que os espectadores variam no decorrer do tempo. Logo devemos calcular o número de arranjos 000 . 518 . 427 )! 6 30 ( ! 30 )! ( ! = − = − = p n n A p n . 4 – Combinação É o número de maneiras de selecionar p objetos distintos dentre n objetos distintos dados, sem considerarmos a ordem. Cada seleção de p objetos é chamada de uma combinação simples de classe p dos n objetos. Representamos o número de combinações simples de classe p de n elementos por p n C ou | | ¹ | \ | p n . Assim o número de combinações de p objetos extraídos de um conjunto de n objetos diferentes é )! ( ! ! p n p n C p n − = . ( Basta notar que selecionar p entre os n objetos equivale a dividir os n objetos em um grupo de p objetos, que são selecionados, e um grupo de n-p objetos, que são os não-selecionados.) Exemplo 9: Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas? Solução: Para formar a comissão devemos escolher 3 dos 5 homens e 2 das 4 mulheres. Há 60 ! 2 ! 2 ! 4 . ! 2 ! 3 ! 5 2 4 . 3 5 . 2 4 3 5 = = | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = C C 11 Exemplo 10: Um lote é formado de 2 artigos perfeitos e 1 defeituoso. Dois artigos são selecionados ao acaso: a) Quantos lotes de 2 artigos diferentes podem ser formados sem considerarmos a ordem? Solução: Trata-se aqui do número de combinações de p=2 artigos a serem selecionados dentre 3. Temos 3 ! 1 ! 2 ! 3 2 3 = = C , (P 1 P 2 , DP 1 , P 2 D) b) Quantos lotes de 2 artigos diferentes podem ser formados considerando a ordem? Solução: Aqui, desejamos o número de seqüências (ou permutações) de p=2 artigos a serem escolhidos dentre os 3. Temos 6 ! 1 ! 3 2 3 = = A , (P 1 P 2 , P 2 P 1 , D 1 P 1 , P 1 D 1 , D 1 P 2 , P 2 D 1 ). Exercícios: 1) Três garotos e 3 garotas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade das 3 garotas sentarem juntas. Resp.: 0,2. 2) Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Dois artigos são escolhidos (sem reposição) ache a probabilidade de que: a) Ambos tenham defeitos graves? Resp.: 0,00833. b) Exatamente um seja perfeito? Resp.: 0,5. 3) Um produto é montado em 3 estágios. No primeiro estágio, existem 5 linhas de montagem; no segundo estágio, existem 4 linhas de montagem e no terceiro estágio, existem 6 linhas de montagem. De quantas maneiras diferentes poderá o produto se deslocar durante o processo de montagem? Resp.: 120 4) Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que os operários saibam quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação de suas visitas. De quantas maneiras isto poderá ser feito? Resp.: 720 5) Um mecanismo complexo pode falhar em 15 estágios. De quantas maneiras poderá falhar em exatamente 3 desses estágios? Resp.: 455 6) Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 até 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número de seu emblema é anotado. a) Qual é a probabilidade de que o menor número de emblema seja cinco? Resp.: 0,0833 b) Qual é a probabilidade de que o maior número de emblema seja cinco? Resp.: 0,05 12 As limitações da definição clássica de probabilidade, que só se aplica a espaços amostrais finitos e equiprováveis, levaram a considerar outra forma de calcular probabilidade de um evento partindo da freqüência relativa do evento ao se repetir o experimento, n vezes, sob as mesmas condições. Em linguagem matemática, quando n cresce, o limite da freqüência relativa de ocorrência de A é igual a P(A), isto é, P(A) n ocorre A que repetições de # lim ) ( lim = = ∞ → ∞ → n n n A f . Exemplo 11: Suponha que vamos realizar um experimento de lançar 20 vezes uma moeda e observar o número de caras. A cada lançamento vamos considerar o número de caras que até então ocorreram (n a ) dividido pelo número de lançamentos (n), ou seja, a freqüência relativa de caras. Os resultados referentes a esse experimento encontram-se na tabela abaixo: n n a f a = n a /n n n a f a = n a /n 1 1 1 11 6 6/11 2 1 1/2 12 7 7/12 3 2 2/3 13 7 7/13 4 3 3/4 14 8 8/14 5 3 3/5 15 8 8/15 6 3 3/6 16 8 8/16 7 3 3/7 17 8 8/17 8 4 4/8 18 8 8/18 9 5 5/9 19 9 9/19 10 5 5/10 20 9 9/20 Vejamos o comportamento das freqüências relativas por meio do gráfico a seguir: A partir desta Figura vemos que a medida que aumenta o número de lançamentos, a freqüência relativa se aproxima de 0,5. Em linguagem matemática dizemos que a freqüência Lançamentos sucessivos de uma moeda Número de repetições versus freqüência relativa de caras F r e q ü ê n c i a 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 relativa “converge” para 0,5. Dificuldade do ponto de vista matemático: o número do limite real pode não existir. Exercício (TRIOLA): Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 afirmaram que “colavam”nos exames, enquanto 2468 afirmaram não “colar” [com base em dados do Josephson Institute of Ethics (Instituto Josephson de Ética)]. Selecionando aleatoriamente um desses estudantes, determine a probabilidade deste estudante ter “colado” em um exame. Resp.: 0,3201. Teoremas: 1) P(∅) = 0 2) Se A c é o evento complementar de A, então P(A c ) = 1- P(A) 3) Sejam A e B dois eventos quaisquer, então: P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Demonstração: A∪B = A∪[B∩A c ] B = (A ∩ B) ∪ (B∩A c ) P(A∪B) = P(A) + P (B∩A c ) -P(B) = -P(A ∩ B) - P (B∩A c ) P (A∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 4) Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então: P (A ∪ B ∪ C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) Generalização: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n r j i r j i n j i j i n i i n A A P A A A P A A P A P A A P ∩ ∩ − + + ∩ ∩ + ∩ − = ∪ ∪ − < < < = ∑ ∑ ∑ K K K 1 1 1 1 1 ) ( Exemplo 12: Se P(A∩B c )=0,2 e P(B c )=0,7. Achar P(A∪B)? (Use diagrama de Veen) P(A∩B c )= P(A) – P(A∩B) ⇒ 0,2 = P(A) - P(A∩B) ⇒ P(A) = 0,2 + P(A∩B) P(B c )= 1 – P(B) ⇒ 0,7 = 1 - P(B) ⇒ P(B)= 0,3 P (A ∪ B) = 0,2 + 0,3 = 0,5 14 Exercícios: 1) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) a peça não tenha defeito grave? Resp.:0,875. b) a peça não tenha defeito? Resp.:0,625. c) a peça seja boa ou tenha defeito grave? Resp.:0,75. 2) Dois processadores tipo A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 30 1 , no tipo B, 80 1 e em ambos, 1000 1 . Qual a probabilidade de que: a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? Resp.:0,045. b) Nenhum processador tenha apresentado erro? Resp.:0,955. c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? Resp.:0,032 3) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens maiores de 21 anos; 4 homens com menos de 21 anos de idade; 6 mulheres maiores de 21 anos e 3 mulheres menores de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Define-se os seguintes eventos: A: a pessoa é maior de 21 anos; B: a pessoa é menor de 21 anos; C: a pessoa é homem e D: a pessoa é mulher. Calcule: a) P(B ∪ D) b) P( C A ∩ ) c) P(A ∩ B) Resp.: a)0,722; b)0,167; c)0 4) Uma remessa de 30 arruelas contém 5 peças defeituosas e 25 perfeitas. Dez arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classificadas. a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 3 peças defeituosas? Resp.:0,160 b) Qual a probabilidade de que se encontrem ao menos 2 peças defeituosas? Resp.: 0,5512 2.5. Probabilidade condicional Considere o exemplo abaixo: Dados do Censo Demográfico de 91 publicado pelo IBGE relativos aos habitantes de Sergipe, na faixa etária entre 20 e 24 anos com relação às variáveis Sexo e Leitura. 15 Sexo Lê Não lê Total Masculino 39.577 8.672 48.249 Feminino 46.304 7.297 53.601 Total 85.881 15.969 101.850 E: Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe. • Ω: conjunto de jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. #Ω=101.850. Eventos de interesse: • M: “jovem sorteado é do sexo masculino” • F: “jovem sorteado é do sexo feminino” • L: “ jovem sorteado sabe ler” • M ∩ ∩∩ ∩ L: “ jovem sorteado é do sexo masculino e sabe ler” • M ∪ ∪∪ ∪ L: “ jovem sorteado é do sexo masculino ou sabe ler” Podemos obter algumas probabilidades: 843 , 0 850 . 101 881 . 85 de jovens de nº ler sabem que jovens de º ) ( = = Ω = n L P 473 , 0 850 . 101 245 . 48 de jovens de nº masculino sexo do jovens de º ) ( = = Ω = n M P P(F) = P(M c ) = 1 - P(M) = 1 - 0,473 = 0,527 850 . 101 557 . 39 jovens de nº ler sabem que e masculino sexo do jovens de º ) ( = Ω = ∩ n L M P P (M ∪ L) = P(M) + P(L) - P(M ∩ L) = 0,473 + 0,843 - 0,388 = 0,928 No exemplo anterior, se soubermos que o jovem sorteado é do sexo masculino, qual é a probabilidade de que saiba ler? Temos uma informação parcial: o jovem é do sexo masculino. Vamos designar a probabilidade de que o jovem sabe ler quando se sabe que o jovem é do sexo masculino por P (L M) e denominá-la probabilidade condicional de L dado M. É natural atribuirmos: 0,820 48.249 39.577 masculino sexo do jovens de total nº masculino sexo do aqueles dentre ler sabem que jovens de nº ) M (L P = == = = == = = == = 16 Note que: Por exemplo, a probabilidade de ser do sexo masculino dado que lê é dada por: 0,460 850 . 101 881 . 85 850 . 101 577 . 39 (L) P L) (M P ) L (M P = = ∩ = Definição de probabilidade condicional: Sejam A e B eventos de um experimento aleatório qualquer, com P(B) > 0. A probabilidade condicional de A dado B(denota-se por P (A B) é definida como: P(B) B) P(A B) P(A ∩ = 2.6. Regra ou Teorema do produto Como conseqüência da definição de probabilidade condicional, podemos calcular a probabilidade da ocorrência conjunta de dois eventos A e B. ( ) ( ) ) ( | ) ( ) ( ) ( | B P B A P B A P B P B A P B A P ⋅ = ∩ ⇒ ∩ = Exemplo 13: Uma urna contém fichas numeradas de 1 a 4. Retira-se uma ficha da urna ao acaso e anota-se o número. Esta ficha então é recolocada na urna, e retira-se novamente uma ficha, ao acaso, da urna. Qual a probabilidade de ter saído a ficha com número 1, na primeira retirada, e de ser 5 a soma dos números das duas fichas retiradas? Solução: Evento A: sair o número 1 na primeira retirada =>P(A) = 4 1 Evento B: soma = 5 (M) P L) (M P ) M (L P jovens de total nº masculino sexo do jovens nº jovens de total nº ler sabem que e masculino sexo do jovens nº ) M (L P ∩ = = 17 Evento B|A: {soma = 5 | a primeira ficha é 1}, se queremos que a soma seja 5, então é preciso que a segunda ficha seja o número 4 ⇒ P(B|A) = 4 1 Pelo teorema do produto temos que, ( ) 16 1 4 1 4 1 ) ( | ) ( = ⋅ = ⋅ = ∩ A P A B P B A P Exemplo 14: Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas são ensaiadas, uma a uma, até que ambas defeituosas sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio? Solução: Evento A: sair uma válvula defeituosa =>P(A) =2/4 Evento B: a última válvula é defeituosa Evento B|A: sair a última válvula defeituosa | saiu uma válvula defeituosa ⇒ P(B|A) = 3 1 Pelo teorema do produto temos que, ( ) 12 2 3 1 4 2 ) ( | ) ( = ⋅ = ⋅ = ∩ A P A B P B A P De modo geral, considere 3 eventos A, B e C, tem-se que Esta relação pode ser estendida para um número finito qualquer de eventos. Exercícios: 1) As falhas na fundação de um grande edifício podem ser de dois tipos: A (capacidade de suportar) e B (fundação excessiva). Sabendo-se que P(A)=0,001, P(B)=0,008 e P(A|B)=0,1, determinar a probabilidade: a) De haver falha na fundação? Resp.:0,0082 b) De ocorrer A e não B? Resp.:0,0002 2) Um sistema eletrônico consta de dois sub-sistemas digamos A e B. De testes prévios sabe- se que: P(A falhe)=0,20; P(A e B falhem)=0,15 e P(B falhe sozinho)=0,15. Calcule: a) P(A falhe | B falhou); Respostas: 0,5 18 b) P(A falhe sozinho); Respostas: 0,05 3) Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lâmpadas boas. Se vamos testando as lâmpadas, uma por uma, até encontrar duas defeituosas, qual é a probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste? Resp.: 3/28 2.7. Regra da Probabilidade Total Sejam A e B dois eventos de um experimento qualquer. Há duas maneiras de B ocorrer, considerando a ocorrência ou não do evento A: ou A e B ocorrem (A ∩ B) ou A c e B ocorrem (A c ∩ B). Deste modo, B = (A ∩ B) ∪ (A c ∩ B), em que A ∩ B e A c ∩ B são conjuntos disjuntos. Então, P(B) = P(A ∩ B) + P(A c ∩ B). Pela regra do produto P(B) = P(A). P(B | A) + P(A c ) P(B | A c ) DEFINIÇÃO DE PARTIÇÃO: Tem-se uma partição de um espaço amostral em um número finito de eventos A i ( i = 1,2,...,n) se: 1) Se A 1 , A 2 ,..., A n forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, isto é, (A i ∩ A j ) = ∅ para todo i ≠ j. 2) Ω = = U n i i A 1 , isto é, os eventos A são exaustivos. B ∩ A C B ∩ A A A c B 19 Regra da Probabilidade Total: se a seqüência de eventos aleatórios A 1 , A 2 ,..., A n formar uma partição de Ω, então: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = ∩ = n i i i i i A B P A P B A P B P n Exemplo 15: Um lote de 100 peças é composta de 20 peças defeituosas e 80 peças perfeitas, do qual extrairemos 2 peças sem reposição. Qual a probabilidade da segunda peça extraída ser defeituosa? Solução: Evento A: a primeira peça extraída é defeituosa Evento B: a segunda peça extraída é defeituosa Pela regra da probabilidade total temos que, P(B) = P(A). P(B | A) + P(A c ) P(B | A c ) = 5 1 99 20 . 100 80 99 19 . 100 20 = + Exemplo 16: Em uma fábrica de parafusos são utilizadas n máquinas. Sejam P(A i ) a probabilidade de um parafuso provir da i-ésima máquina, i = 1,2,...,n e P(B i A) indica a probabilidade do parafuso ser defeituoso sabendo-se que foi produzido pela i–ésima máquina. Do total de parafusos produzidos pela fábrica, escolhe-se ao acaso um parafuso. Qual a probabilidade de que o parafuso seja defeituoso? Solução: Se B representa o evento “parafuso escolhido defeituoso”, pela regra da probabilidade total, temos que: P(B) = P(B 1 A ) P(A 1 ) + P(B 2 A ) P(A 2 ) + …......+ P(B n A ) P(A n ) Podemos ainda estar interessados em saber a probabilidade da i-ésima máquina ter produzido o parafuso defeituoso. 2.8. Eventos Independentes Dois eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do outro. Em linguagem matemática, dados A,B ⊆ Ω, A e B são ditos independentes, se e somente se: P( AB) = P(A) e P( BA) = P(B) B A 1 A 2 A 3 ..... A n 20 Nesse caso, temos que P(A ∩ B) = P(A). P(B) Exemplo 19: A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3 e a probabilidade de que B resolva é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser resolvido? Solução: A: A resolve B: B resolve A ∩ B: A e B resolvem A ∪ B: A ou B resolvem => o problema é resolvido Como são eventos independentes, P(A ∩ B) = P(A).P(B) e P(A ∪ B) = P(A) +P(B) - P(A).P(B) = 2/3 + 3/4 – (2/3)(3/4) = 2/3 + 3/4 – 2/4 = 12 5 12 3 8 = − . Generalizando: Os eventos A 1 , A 2 ,..., A n ⊆ Ω, são independentes se e somente se a independência for verificada para todos os subconjuntos de dois ou mais eventos desta família. • Para que três eventos sejam independentes é necessário verificar quatro igualdades: P(A ∩ B) = P(A) P(B) P(A ∩ C) = P(A) P(C) P(B ∩ C) = P(B) P(C) P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C) que corresponde à 4 1 3 3 3 3 2 = + = | ¹ | \ | + | ¹ | \ | , igualdades a serem verificadas • Para quatro eventos é necessário verificar onze igualdades que são: 11 1 4 6 4 4 4 3 4 2 = + + = | ¹ | \ | + | ¹ | \ | + | ¹ | \ | • Para “n” eventos é necessário verificar: 1 n 2 n k n n 2 k − − = ∑ | ¹ | \ | = igualdades 21 Se ´A i `, i= 1, 2, 3,..., n, é uma família finita de eventos independentes, então ∏ = | ¹ | \ | = = n 1 i n 1 i ) A ( P A P i i I Observar que: ¹ ´ ¦ = ∩ = ∩ ) ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( ) ( B P B A P B A P A P A B P B A P para eventos quaisquer (condicional) { ) ( ) ( ) ( B P A P B A P = ∩ para eventos independentes Como conseqüência dos resultados acima, têm-se que ∅ e Ω são independentes de qualquer evento A, ∀A ⊆ Ω. Para ver isto note que: 1) P(∅ ∩ A) = P( ∅ ) = 0 = P(∅) P(A) 2) P(Ω ∩ A) = P(A) = P(Ω) P(A) Exercícios: 1) Uma máquina consiste de 4 componentes ligados em paralelo de tal forma que a máquina falha apenas quando todos os componentes falharem. Supondo que as falhas são independentes entre si e se cada componente tem respectivamente as probabilidade 0,1, 0,2, 0,3, e 0,4 de falhar quando a máquina é ligada, qual é a probabilidade da máquina não falhar ? Resp.: 0,9976. 2) A probabilidade de um homem viver, mais dez anos é ¼ e a probabilidade de uma mulher viver mais dez anos é 1/3. Encontre a probabilidade de ambos estarem vivos dentro de dez anos e de ao menos um estar vivo dentro de dez anos. Resp.: 1/12 e 1/2. 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Descrever o espaço amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos a seguir: E 1 : Lançam-se dois dados perfeitos e observam-se os números nas faces voltadas para cima; A 1 : A soma das faces é sete; E 2 : Lançar uma moeda três vezes, sucessivamente, e anotar a seqüência de caras (K) e coroas (C ); A 2 : Sair pelo menos duas caras; 22 E 3 : Lançar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados; A 3 : Obtenção de face impar no dado; E 4 : Lançar uma moeda três vezes, sucessivamente, e registrar o número de caras ocorrido; A 4 : Sair pelo menos duas caras; E 5 : Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num período de 1 hora; A 5 : Obter menos de 3 defeituosas E 6 : Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que queimem; A 6 : O tempo de vida da lâmpada é inferior a 30 horas; E 7 : Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produção são retirados 3 artigos e cada um é classificado como bom(B) ou defeituoso(D). A 7 : Pelo menos dois artigos são bons. E 8 :Um lote de dez peças contém três defeituosas. As peças são retiradas uma a uma, sem reposição, até que a ultima peça defeituosa seja encontrada. O número total de peças retiradas é registrado. A 8 : Menos de cinco peças foram retiradas. E 9 : Peças são fabricadas até que dez peças perfeitas sejam produzidas. O número total de peças fabricadas é anotado. A 9 : Quinze ou mais peças foram fabricadas 2) Suponha-se duas urnas contendo, cada uma, quatro bolas numeradas de 1 a 4. Considera- se o experimento que consiste, em retirar, ao acaso, uma bola de cada urna. Descreva o espaço amostral. Determine os seguintes eventos: a) a soma do número de pontos é ímpar; b) a bola extraída da primeira urna contém o número dois. 3) Sejam A, B e C três eventos quaisquer. Estabeleça uma expressão para os eventos abaixo: a) A e B ocorrem; b) A ou B ocorrem; c) B ocorre, mas A não ocorre; d) A não ocorre; e) não ocorre A e não ocorre B; f) A e B ocorrem, mas C não corre; g) somente A ocorre, mas B e C não ocorrem. 4) Dados P(A) = 1/2; P(B) = 3/8; P(A ∩ B) =1/8, calcule: a) P(A ∪ B); b) P(A ∩B); c) P(A ∪B ); d) P(A ∩B ); e) P(A ∩ B). 23 5) Uma empresa de fundos mútuos oferece a seus clientes diversos fundos: um de mercado, três de títulos diferentes (curto, médio e longo prazos), dois fundos de ações (moderado e de alto risco) e um misto. Dentre os usuários que possuem cotas em apenas um fundo, seguem as probabilidades de clientes dos diferentes fundos. Mercado 0,20 Título curto prazo 0,15 Título médio prazo 0,10 Título longo prazo 0,05 Ação de alto risco 0,18 Ação de risco moderado 0,25 Misto 0,07 Um cliente que possui cotas em apenas um fundo é selecionado aleatoriamente. a) Qual a probabilidade de o indivíduo selecionado ao acaso possuir cotas do fundo misto? b) Qual a probabilidade de o indivíduo selecionado ao acaso possuir cotas em um fundo de títulos? c) Qual a probabilidade de o indivíduo selecionado ao acaso não possuir cotas em fundo de ações? 6) Certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual será a probabilidade de que a falta seja devida a cada uma dessas circunstâncias? 7) Uma urna U 1 contem 5 bolas brancas e 2 pretas; outra urna U 2 contem 3 bolas brancas e 6 bolas pretas; e outra urna U 3 contem 4 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se uma bola de cada urna. Calcular a probabilidade de que saiam uma bola branca e duas bolas pretas. 8) Lança-se uma moeda viciada de modo que a probabilidade de cara(K) é igual a 2/3 e a probabilidade de coroa(C) é igual a 1/3. Se aparecer cara, então seleciona-se aleatoriamente um número dentre os de 1 a 9; se aparecer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de um número par ser selecionado. Construa o diagrama em árvore. 9) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade de ocorrência de A for igual a 0,4 determine a probabilidade de ocorrência de B. 24 10) Se A e B são dois eventos relacionados com uma experiência E e são conhecidas as probabilidades P(A), P(B) e P(A∩ B), deseja-se em função destas, as expressões das probabilidades dos seguintes eventos: a) (A ∪B); b) (A ∩B ); c) (A∪ B); d) (A ∩ B). 11) Certo aparelho eletrônico tem duas lâmpadas que podem estar acesas ou apagadas, tendo sido observadas as seguintes probabilidades apresentada no quadro adiante. O quadro mostra por exemplo, que ambas as lâmpadas estavam simultaneamente apagadas 30% do tempo. Lâmpada 1 Lâmpada 2 Acesa Apagada Acesa 0,15 0,45 Apagada 0,10 0,30 Pergunta-se a) O fato ‘’Lâmpada 1 acesa” é independente de ‘’Lâmpada 2 acesa”? Justifique a resposta. b) O fato ‘’Lâmpada 1 apagada” é independente de ‘’Lâmpada 2 acesa”? Justifique a resposta. 12) Uma associação de indústrias transformadoras de resinas plásticas é composta de 20 empresas que produzem sacos plásticos (S), 10 que produzem garrafas (G), 8 que produzem utensílios domésticos (U) e 2 que se encarregam de brinquedos (B). Ao escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que: a) seja uma indústria que produza sacos plásticos ou utensílios domésticos; b) seja uma indústria produtora de sacos plásticos ou brinquedos; c) não seja uma indústria que produza garrafas. 13) Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionará independentemente, quando qualquer coisa indesejável ocorrer. Se cada alarme tem probabilidade 0,9 de trabalhar eficientemente, qual é a probabilidade de se ouvir o alarme quando necessário? 14) Suponha que todos os componentes da figura a seguir tenham a mesma confiabilidade (probabilidade de funcionar) p e funcionem independentemente, obtenha a confiabilidade do sistema. 25 15) Suponha que X represente o número de horas de atividades físicas por semana. Considere a tabela a seguir: Sexo Número de horas de atividades físicas 0 ≤ X < 3 3 ≤ X < 5 X ≥ 5 Feminino 22 8 7 Masculino 3 4 6 a) Qual é a probabilidade de sortear aleatoriamente uma menina com atividade física semanal na faixa de [3, 5) horas? b) Calcule P(X ≥ 5) c) Calcule a probabilidade de um indivíduo dedicar pelo menos 5 horas de atividade física, sabendo-se que ele é do sexo masculino? d) Calcule a probabilidade de um indivíduo dedicar pelo menos 5 horas de atividade física, sabendo-se que ele é do sexo feminino? 16) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4, enquanto P(AUB) =0,7. Seja P(B) = p. a) Para que valor de p, A e B serão mutuamente exclusivos? b) Para que valor de p, A e B serão independentes? 17) Sob a ação de uma força F, as probabilidades de falha nas barras a, b e c da estrutura mostrada na figura a seguir são respectivamente 0,06; 0,05 e 0,04. Se ocorrer a falha em qualquer uma das barras, isto leva a falha em toda a estrutura. Supondo que as falhas nas barras são estatisticamente independentes, ache a probabilidade de ocorrer a falha da estrutura. b a c 18) Um sistema é composto de 3 componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9, 0,8 e 0,7, respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema; se 2 ou 3 26 não funcionam, o sistema funciona, mas com rendimento inferior. A falha simultânea de 2 e 3 implica o não funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionem independentemente, calcular a confiabilidade do sistema. 19) Um processo industrial produz 4% de itens defeituosos. A experiência mostra que 25% dos itens defeituosos produzidos não são percebidos pelo inspetor de qualidade. Os itens bons sempre são aceitos satisfatoriamente pela inspeção. Qual a probabilidade de que, se você comprar um desses itens,seja um item defeituoso? 20) Uma fábrica dispõe de 3 máquinas para fabricar o mesmo produto. Essas máquinas são antigas e apresentam freqüentemente defeitos de funcionamento com as seguintes percentagens do tempo de utilização: MÁQUINA TEMPO COM DEFEITO (%) A 40 B 35 C 25 Verificam-se nas peças produzidas as seguintes porcentagens de peças defeituosas: MÁQUINA PEÇAS DEFEITUOSAS (%) A 2 B 4 C 5 A gerência decide substituir uma das máquinas a fim de diminuir a porcentagem de peças defeituosas. Qual das três máquinas deve ser substituída? 21) Um artigo manufaturado que não pode ser usado se for defeituoso, deve passar por duas inspeções antes de receber embalagem. A experiência mostra que um dos inspetores deixará passar 5% dos defeituosos, ao passo que o segundo inspetor deixará passar 4% dos tais artigos. Se os artigos sem defeito sempre passam pela inspeção e se 10% dos artigos processados são defeituosos, que percentagem dos artigos que passaram pelas duas inspeções são defeituosos? 22) Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemática. Além disso, 45% dos estudantes são mulheres. Se um estudante selecionado aleatoriamente está estudando matemática, qual a probabilidade de que este estudante seja mulher? 23) A tabela a seguir apresenta informações de alunos de uma universidade quanto às variáveis: Período, Sexo, e Opinião sobre a Reforma Agrária. Com base na tabela adiante, determine a probabilidade de escolhermos: a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária? 27 b) Uma mulher contrária a reforma agrária? c) Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrária? d) Uma pessoa sem opinião, sabendo-se que ela é do sexo feminino? Período Sexo Reforma Agrária Contra A Favor Sem Opnião Diurno Feminino 2 8 2 Masculino 8 9 8 Noturno Feminino 4 8 2 Masculino 12 10 1 24) Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso: a) não tenha acertado nenhum problema? b) Tenha acertado apenas o segundo problema 25) Uma grande empresa tem dois departamentos de produção: Produtos Marítimos e Produtos para Oficinas. A probabilidade de que a divisão de Produtos Marítimos tenha no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mínimo 10% é estimada em 0,30; a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de pelo menos 10% é 0,20; e a probabilidade de que ambas as divisões tenham uma margem de lucros de no mínimo 10% é 0,06. Determine a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de no mínimo 10% dado que a divisão de Produtos Marítimos tenha alcançado tal nível de lucro. 26) Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas é aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nesta gaveta é de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2? 27) Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratório de química de uma universidade. Apesar de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena chance de subestimação ou superestimação das medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada fábrica: 28 Fábrica I Subestima Exata Superestima Probabilidade 0,01 0,98 0,01 Fábrica II Subestima Exata Superestima Probabilidade 0,005 0,98 0,015 Fábrica III Subestima Exata Superestima Probabilidade 0,00 0,99 0,01 As fábricas I, II, III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de: a) Haver superestimação de medidas b) Sabendo que as medidas dão exatas, ter sido fabricado em III c) Ter sido produzido por I, dado que não subestima as medidas. 28) Uma companhia produz circuitos integrados em três fábricas, I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem 30 % cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por estas fábricas não funcione são 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, Qual a probabilidade de o mesmo não funcionar? 29) Considere a situação do problema anterior, mas suponha agora que um circuito é escolhido ao acaso e seja defeituoso. Determinar qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I. 30) Uma indústria química produz uma grande variedade de produtos usando quatro diferentes processos; a mão de obra disponível é suficiente somente para que apenas um processo seja executado num dado instante. O gerente da indústria sabe que a descarga de uma poluição perigosa no rio que passa em volta da mesma, depende do processo que está em operação. As probabilidades de ocorrer poluição perigosa para os vários processos, denotando por F uma descarga de poluição perigosa, são: P(F|A) =0,40; P(F|B) = 0,05; P(F|C) = 0,30; P(F|D) = 0,10. Todos os outros produtos da fábrica são considerados inofensivos. Em um determinado mês sabe-se que em 20%, 40%, 30% e 10% do tempo respectivamente usam-se os processos A, B, C e D. Deseja-se saber qual a probabilidade de não termos uma descarga de poluição perigosa no determinado mês? 29 Gabarito da 1ª Lista de Exercícios l) E 1 : Ω 1 = {(1,1); (1,2);.....; (1,6); (2,1); (2,2);.....; (2,6);.........; (6,1); (6,2);.... ; (6,6) } A 1 = {(1,6): (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) } E 2 : Ω 2 = {KKK; KKC: KCK; CKK; KCC; CKC; CCK; CCC } A 2 = {KKK, KKC, KCK, CKK } E 3 : Ω 3 = {(K,1); (K,2);......;(K,6); (C,1); (C,2).....; (C,6) } A 3 = {(K,1); (K,3); (K,5); (C,1); (C,3); (C,5) } E 4 : Ω 4 = {0, 1, 2, 3 } A 4 = {2, 3} E 5 : Ω 5 = {0, 1, 2, 3, ..., N }, N é o n.º máximo de peças defeituosas no período de 1 h A 5 = {0, 1, 2} E 6 : Ω 6 = {t: t ≥ 0 } ou Ω 6 = {t: 0 ≤ t ≤ t o } onde t o é o tempo máximo de vida da lâmpada. A 6 = {t: t < 30 } ou A 6 = { t: 0 ≤ t < 30 } E 7 : Ω 7 = {BBB, BBD, BDB, DBB, BDD, DBD, DDB, DDD } A 7 = {BBB; BBD; BDB; DBB } E 8 : Ω 8 = {3, 4, 5,...., 10 } A 8 = { 3, 4} E 9 : Ω 9 = {10, 11, 12,....} A 9 = { 15, 16, 17,...} 2) Ω ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)} a) A={(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)} b) B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)} 3) a) A∩ B; b) A ∪ B; c) A∩B; d)A; e) A ∩ B; f) A∩B∩C g) (A∩B∩C). 4) a)0,70; b) 0,80; c) 0,20; 5) a)0,07 b)0,30 c)0,57 6) 8/13, 4/13 e 1/13 7) 8/21 8) 0,4296 9) 0,3333 10) a) 1 - P(A∩B); b) 1 - P(A) - P(B) + P(A∩B); c) 1 - P(A) + P(A∩B); d) P(B) - P(A∩B). 11)a)Sim b)Sim 12) a) 0,7 b) 0,55 c) 0,75 13) 0,999 14) p + 2p 2 - 2p 3 - p 4 + p 5 15) a)0,16; b) 0,26; c) 0,462; d) 0,189. 16) a )0,3 b ) 0,5 17) 0,1427 18) 0,846 19) 0,01 20) B 21) 0,02% 22) 0,3529 23) a)0,122 b)0,081 c)0,486 d)0,154 24) a) 0,298 b ) 0,169 25) 0,2 26) 0,6667 27) a)0,012 b)0,503 c)0,199 28) 0,025 29) 0,16 30) 0,8 30 3. VARIÁVEL ALEATÓRIA 3.1. Conceitos básicos Definição 1. Sejam E um experimento e Ω um espaço amostral associado ao experimento. Uma função X que associe a cada elemento w i ∈ Ω um número real, X(w i ), é denominada variável aleatória. Uma variável aleatória X é, portanto, uma função cujo domínio é o espaço amostral e contra- domínio é conjunto dos números reais, ou seja, X: R → Ω Exemplo 1: a) E: Lançamento de uma moeda. Assim, Ω = {cara, coroa}={w 1 , w 2 } ( ) ¹ ´ ¦ = = = coroa der se se cara der ou se w X seja, ou , w w , 0 , se seja , w w , 1 2 1 b) E: Lançamento de duas moedas. Seja X o número de caras obtidas no experimento. Vamos denotar c: cara e k: coroa. Assim, Ω = { cc, ck, kc, kk }= { w 1 , w 2 , w 3 , w 4 } X(w 1 ) = 2; X(w 2 ) = X(w 3 ) = 1; X(w 4 ) = 0 c) E: Escolher um ponto ao acaso no intervalo [0,1] . Seja X o quadrado do valor escolhido. Assim Ω = [0,1], e X(w)= w 2 ∀ w ∈ Ω d) E: Escolher um ponto ao acaso no círculo unitário. Seja X a distância do ponto escolhido à origem. Assim, Ω = { (x,y) / x 2 + y 2 ≤ 1} e X(w)= 2 2 y x + 31 Definição 2. Seja X uma variável aleatória. Se X assume valores em um conjunto finito ou infinito enumerável, então X é denominada variável aleatória discreta. Exemplo 2: Sorteio de n indivíduos de uma população. Seja X o número de indivíduos do sexo masculino sorteados => X(Ω) = {0, 1, 2, 3,..., n} Definição 3. Seja X uma variável aleatória. Se X assume valores em um conjunto infinito não enumerável, então X é denominada variável aleatória contínua. Exemplo 3: Retirada ao acaso um parafuso da produção diária de uma fábrica e registro de seu diâmetro (em mm) e comprimento (em mm). Suponha que esta fábrica produza parafusos com diâmetro entre 3 e 10 mm e comprimento entre 20 e 35 mm X = Diâmetro do parafuso => X(Ω) = [ 3, 10] Y = Comprimento do parafuso ⇒ Y(Ω) = [20, 35] 3.2. Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta Seja X uma v.a. discreta que assume os valores x 1 , x 2 ,...,x n .... A distribuição de probabilidades de X é o conjunto de pares de valores que associa a cada valor da variável x i a probabilidade P(X = x i ): (x 1 , P(X = x 1 )), (x 2 , P(X = x 2 )),..., (x n , P(X = x n )),... De maneira que, a) 1 ) x ( 1 = == = = == = ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ = == = i i X P b) P(X = x) = p(x) ≥ 0 Exemplo 4: E: lançamento de um dado honesto. X: número da face observada => X(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A distribuição de probabilidade (ou função de probabilidade) de X é dada por: X 1 2 3 4 5 6 P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 32 Exemplo 5: Considere novamente o exemplo do lançamento de duas moedas. Seja X o número de caras Resultados (w) X (w) Probabilidade P (X = x i ) (Cara, Cara) 2 ¼ (Cara, Coroa) 1 ¼ (Coroa, Cara) 1 ¼ (Coroa, Coroa) 0 ¼ Obtemos então, P (X = 0) = ¼ P (X = 1) = ¼ + ¼ = ½ P (X = 2) = ¼ Exemplo 6: (Morettin e Bussab, 2006) Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são adquiridas em fábricas diferentes, e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. O produto acabado deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites, e isso só poderá ser verificado após a montagem. Para estudar a viabilidade do seu empreendimento, o empresário quer ter uma idéia da distribuição dos lucros por peça montada. Sabe-se que cada componente pode ser classificado como BOM, LONGO ou CURTO, conforme sua medida esteja dentro da especificação, seja ela maior ou menor que a especificada. Além disso, foram obtidos dos fabricantes o preço de cada componente (5 unidades de dinheiro) e as probabilidades de produção de cada componente com as características BOM, LONGO e CURTO. Estes valores estão na tabela abaixo: Distribuição da produção das fábricas A e B, de acordo com as medidas das peças produzidas Produto Fábrica A Cilindro Fábrica B Esfera Dentro das especificações...... BOM (B) 0,80 0,70 Maior que as especificações...... LONGO (L) 0,10 0,20 Menor que as especificações...... CURTO (C) 0,10 0,10 Fonte: Retirada das especificações técnicas das fábricas A e B 33 Se o produto final apresentar algum componente com a característica C, ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata ao preço de 5 unidades. Cada componente longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5 unidades. Se o preço de venda de cada unidade é de 25 unidades, como seria a distribuição das frequências da variável X: lucro por conjunto montado? A construção desta distribuição de frequências vai depender de certas suposições que faremos sobre o comportamento do sistema considerado. Em vista dessas suposições, estaremos trabalhando com um modelo da realidade, e a distribuição que obteremos será uma distribuição teórica, tanto mais próxima da distribuição de frequências real quanto mais fiéis à realidade forem as suposições. Primeiramente, vejamos a construção do espaço amostral para a montagem dos conjuntos segundo as características de cada componente e suas respectivas probabilidades. Desde que os componentes vêm de fábricas diferentes, vamos supor que a classificação dos cilindros segundo suas características sejam eventos independentes; assim, obtemos a configuração abaixo. Cilindro Esfera B 0,70 P(BB) = 0,56 B 0,20 L P(BL) = 0,16 0,10 0,80 C P(BC) = 0,08 0,70 B P(CB) = 0,07 0,10 C 0,20 L P(CL) = 0,02 0,10 C P(CC) = 0,01 B P(LB) = 0,07 0,10 0,70 L 0,20 L P(LL) = 0,02 0,10 C P(LC) = 0,01 O espaço amostral em questão está apresentado na tabela adiante, junto com as respectivas probabilidades. 34 Tabela: Distribuição de probabilidade das possíveis composições das montagens Montagem Probabilidade Lucro por montagem (X) BB 0,56 15 BL 0,16 10 BC 0,08 -5 LB 0,07 10 LL 0,02 05 LC 0,01 -5 CB 0,07 -5 CL 0,02 -5 CC 0,01 -5 Fonte: Informações no texto Assim, com os dados da tabela acima, vemos que X pode assumir um dos seguintes valores: 15 se ocorrer o evento A 1 = {BB} 10 se ocorrer o evento A 2 = {BL,LB} 05 se ocorrer o evento A 3 = {LL} -5 se ocorrer o evento A 4 = {BC,LC,CB,CL,CC} Cada um desses eventos tem uma probabilidade associada, ou seja, P(A 1 ) = 0,56 P(A 2 ) = 0,23 P(A 3 ) = 0,02 P(A 4 ) = 0,19 o que nos permite escrever a distribuição de probabilidade da variável X, que o empresário poderá usar para julgar a viabilidade econômica do projeto que ele pretende realizar. x P(X = x) 15 0,56 10 0,23 05 0,02 -5 0,19 Total 1,00 Exercícios: 1) Suponha que X seja uma v.a. discreta e sua função distribuição de probabilidade seja P(X = k) = ck, para k = 1,2,3,4 e 5. Determine o valor da constante c. Res. 1/15. 2) Considere um lote de peças que contém 20% de defeituosas. Extraímos ao acaso três peças com reposição para análise. Seja X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas. Estabeleça a função distribuição de probabilidade de X. Resp.: x 0 1 2 3 P(X = x) 0,512 0,384 0,096 0,008 35 3) Determine o valor de c para que p(x)= ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = | ¹ | \ | contrário caso , 0 ,.... 3 , 2 , 1 x para , 3 2 c x seja uma função distribuição de probabilidade. Resp.1/2 3.3. Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua Seja X uma variável aleatória contínua. A distribuição de probabilidade é dada na forma de uma função, chamada de densidade de probabilidade e denotada por f(x). Uma função de densidade de probabilidade (fdp) satisfaz as seguintes condições: a) f(x) ≥ 0, R x ∈ ∀ b) ∫ +∞ ∞ − = 1 f(x)dx Exemplos de funções de densidade: 0 1 2 3 4 5 6 7 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x f ( x ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x f ( x ) A função densidade, por definição, possui área sob a curva limitada pelo eixo x igual a 1 e a probabilidade de X tomar um valor entre a e b é obtida calculando-se a área compreendida entre esses dois valores. Isto é, para qualquer a < b em R ( ) ( ) ∫ = < < b a b a P dx x f X a b P(a<X<b) 36 Observações importantes para uma variável aleatória contínua: 1) Qualquer valor especificado de X tem probabilidade zero, isto é, P(X = x i ) = 0, pois ( ) ∫ = = i i x x i f(x)dx x X P = 0 2) Assim, as probabilidades abaixo serão todas iguais, se X for uma variável aleatória contínua: P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b). Exemplo 7: Dada a seguinte função f(x)= ¹ ´ ¦ ≤ ≤ − contrário caso 0, 1 x 0 para ), x 1 ( kx ache o valor de k para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade. Resolução: Para ser função densidade temos que ∫ +∞ ∞ − =1 ) ( dx x f , então ∫ = 1 0 1 dx x) - (1 x k ⇒ 1 3 x 2 x k dx x - xdx k 1 0 3 1 0 2 1 0 1 0 2 = ( ( ¸ ( ¸ − = ( ¸ ( ¸ ∫ ∫ ⇒ 6 k = Exercícios: 1) Dada a função densidade de probabilidade f(x) = ¹ ´ ¦ ≤ ≤ contrário caso 0, 1 x 0 x, 2 Determine i. P( X ≤ ½) ii. P(1/3 ≤ X ≤ 2/3) iii. ) X | ( 3 2 3 1 2 1 ≤ ≤ ≤ X P R: i) 1/4; ii)1/3 ; iii) 5/12 2) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por: f(x) = ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¹ ¹¹ ¹ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ´ ´´ ´ ¦ ¦¦ ¦ > >> > ≤ ≤≤ ≤ < << < − −− − ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ < << < 1 x 0, 1 x 1/2 x), 4(1 1/2 x 0 kx, 0 x 0, a) Determine k para que f(x) seja uma função densidade. Resp. 4 b) P(1/3 < X < 3/4). Resp.47/72. 37 3.4. Função de distribuição acumulada (FDA) Seja X uma variável aleatória, discreta ou contínua. Define-se a função de distribuição acumulada F da variável aleatória X como F(x) = P( X ≤ x). Se X for uma variável aleatória discreta F(x) = ( ) ∑ ≤ = x j x : j j x X P em que o somatório é estendido a todos os valores x j que satisfaçam à condição x j ≤ x. Se X for uma variável aleatória contínua com função densidade f(x), ∫ ∞ = x - f(s)ds F(x) Podemos utilizar a função distribuição acumulada para calcular probabilidade da seguinte maneira: ) a ( F ) b ( F ) a x ( P ) b x ( P ) b x a ( P − = ≤ − ≤ = ≤ < Exemplo 8: Considere um lote de peças que contém 20% de defeituosas. Extraímos ao acaso três peças com reposição para análise. Seja X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas. A função de probabilidade de X é ( ) ( ) x 3 x 0,8 0,2 x 3 x) P(X − | | ¹ | \ | = = , x=0,1,2,3 e a função de distribuição acumulada de X. F(x) = ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ < ≤ < ≤ < 3 se , 1 3 x 2 se 0,992, 2 x 1 se 0,896, 1 x 0 se , 0,512 0 x se 0, x 38 Exemplo 9: Supõe-se que o diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua, com função densidade f(x) = 6x (1 - x), 0 ≤ x ≤ 1. a) Obtenha a função de distribuição, F(x). b) Calcule P( X ≤ 1/2  1/3 < X < 2/3), utilizando F(x). Solução: a) F(x) = 0, se x < 0 ∫ − x 0 s)ds 6s(1 = 3x 2 – 2x 3 , se 0 ≤ x ≤ 1 1, se x > 1 b) P( X ≤ 1/2  1/3 < X < 2/3) = ( ) ( ) 2/3 X 1/3 P 1/2 X 1/3 P < < ≤ < = | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | ¹ | \ | − | ¹ | \ | 3 1 F 3 2 F 3 1 F 2 1 F = 0,5 3.5. Valor esperado (Esperança) de uma variável aleatória Como na estatística descritiva podemos falar de medidas de tendência central e medidas de dispersão (variabilidade) de uma distribuição de probabilidade. Estas medidas são muito importantes para compreender o comportamento de uma variável aleatória. A média ou esperança de uma distribuição, como o próprio nome diz, é a média dos valores da variável se observássemos a mesma repetindo o experimento um número muito grande de vezes. Caso discreto: Seja uma v. a. discreta X com a seguinte distribuição de probabilidades: X x 1 x 2 ... x n … P(X=x) p 1 p 2 ... p n … O valor esperado de X é dado por: ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = = 1 i i 1 i i i p x x X P x E(X) i 39 Exemplo 10: Voltando ao exemplo 6, produto composto por uma esfera e um cilindro, uma pergunta que logo ocorreria ao empresário é qual o lucro médio por conjunto montado que ele espera conseguir. Solução: Lucro médio = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5) = 9,85 Isto é, caso sejam verdadeiras as suposições feitas para determinar a distribuição da variável aleatória, o empresário espera ter, em média, lucro de 9,85 unidades por conjunto montado. Caso contínuo: Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x). O valor esperado de X é definido por E(X) = ∫ ∞ ∞ − xf(x)dx Exemplo 11: Uma certa liga é formada, combinando a mistura fundida de dois metais. A liga resultante contém uma certa porcentagem de chumbo X, que pode ser considerada uma v.a. com função densidade: 100 x 0 , x) - x(100 ) 10 ( 5 3 f(x) 5 ≤ ≤ = − Então, E(X) = ∫ 100 0 5 - x)dx - x(100 (10) 5 3 x = 50 Isto significa que em média a liga contém 50% de chumbo. 3.5.1. Propriedades da Esperança 1) Dada uma constante a, temos: E(a+X) = a + E(X) e E(aX) = a. E(X) 2) Sejam X 1 , X 2 ,..., X n variáveis aleatórias E(X 1 +X 2 +...+X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) +... + E(X n ) 40 3) Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Então, E(XY) = E(X). E(Y) Exemplo 12: Suponha que L, o lucro líquido obtido na venda da liga do exemplo anterior (por unidade de peso), é a seguinte função da porcentagem de chumbo: L = C 1 + C 2 X. Então o lucro esperado é: E(L) = E(C 1 + C 2 X) = C 1 + C 2 (50) 3.6. Variância e Desvio-padrão de uma variável aleatória De modo geral, o desvio-padrão é mais importante e mais útil medida de variação. O desvio-padrão de um conjunto de valores é uma medida de variação dos valores em relação à média aritmética. A variância é o quadrado do desvio-padrão. Ou podemos dizer que o desvio- padrão é igual a raiz quadrada positiva da variância. Uma dificuldade com a variância é que ela não é expressa nas mesmas unidades dos dados originais, enquanto que o desvio-padrão tem a mesma unidade de medida dos dados originais. Assim se um conjunto de dados tem desvio- padrão de 3,00 dólares e uma variância de 9,00 dólares quadrado, temos que dólar quadrado é um conceito abstrato, logo a variância é difícil de ser compreendida. Uma aplicação do desvio-padrão é quando temos um conjunto de dados com distribuição aproximadamente em forma de sino. Conforme a figura abaixo: σ µ 3 − σ µ 2 − σ µ 1 − µ σ µ 1 + σ µ 2 + σ µ 3 + 68% 95% 99,7% Essa figura mostra como a média e o desvio-padrão estão relacionados com a proporção dos dados que se enquadram em determinados limites. Assim, com uma distribuição em forma de sino, temos que: Cerca de 68% dos valores estão a ± 1 desvio-padrão a contar da média; 41 Cerca de 95% dos valores estão a ± 2 desvios-padrão a contar da média; Cerca de 99,7% dos valores estão a ± 3 desvios-padrão a contar da média. 3.6.1. Variância de uma variável aleatória Seja X uma v.a. com esperança E(X). Define-se a variância de X por: V(X) = E[(X – E(X)) 2 = E(X 2 ) – [E(X)] 2 em que , para X discreta , para X contínua Exemplo 13: Voltando ao exemplo 6, produto composto por uma esfera e um cilindro, calcule a variância. X W = X 2 P(X = x) P(W = x 2 ) 15 225 0,56 0,56 10 100 0,23 0,23 05 25 0,02 0,02 -5 25 0,19 0,19 Total 1,00 1,00 E(X 2 ) = ∑ = = 3 1 i ) x .P(W x 2 i 2 i = 225.0,56 + 100. 0,23 + 25.0,21 = 154,25 V(X) = 154,25 – (9,85) 2 = 57,23 Exemplo 14: Para o exemplo 11, a variância é: E(X 2 ) = ∫ 100 0 5 - 2 x)dx - x(100 (10) 5 3 x = 3000 V(X) = 3000 – (50) 2 = 500 2.6.1.1 Propriedades da variância a) Dada uma constante a, temos: V(X+a) = V(X) b) Dada uma constante a, temos: V(aX) = a 2 . V(X) c) Sejam X 1 , X 2 ,..., X n , n variáveis aleatórias independentes. Então V(X 1 + X 2 +... + X n ) = V(X 1 ) + V(X 2 ) +... + V(X n ) 42 Exemplo 15: No exemplo 12, a variância de L é: V(L) = 2 2 C V(X) = 2 2 C (500) 3.6.2. Desvio-padrão de uma variável aleatória ) X ( V ) X ( DP = Exercícios: 1) O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça, é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade: t 2 3 4 5 6 7 P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 a) Calcule o tempo médio de processamento. Resp. 4.6 E(T) = b) Estabeleça a função de distribuição acumulada. Resp.: ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < = 7 t se 1 7 t 6 se 0,9 6 t 5 se 0,7 5 t 4 se 0,5 4 t 3 se 0,2 3 t 2 se 0,1 2 t para 0 F(T) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de 2,00 u.m. (unidade monetária), mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha 0,50 u.m. por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia adicional de 1,00 u.m. c) Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: quantia em u.m. ganha por peça. g 4 3,5 3 2,5 2 2 P(G=g) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 43 Resp.: ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < = 4 1 4 5 , 3 9 , 0 5 , 3 3 8 , 0 3 5 , 2 5 , 0 5 , 2 2 3 , 0 2 0 ) ( G G G G G G para G F e 0,4125 VAR(X) 2,75 E(X) = = 2) Suponha que a demanda (X) por certa peça, numa loja de autopeças, siga a seguinte distribuição: P( X = k) = k! a2 k , k = 1,2,3,4. a) Encontre o valor de a. Resp.: a = 1/6 b) Calcule a demanda esperada. Resp.: E(X) = 19/9 c) Qual é a variância da demanda? Resp.: V(X) = 80/81 3) Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ − < ≤ < = 1 x 0, 1 x 2 1 x), 4(1 2 1 x 0 4x, 0 x 0, f(x) a) Determine a função de distribuição acumulada. Resp.: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ − + < ≤ < = 1 x 1, 1 x 2 1 1, 4x 2x - 2 1 x 0 , 2x 0 x , 0 F(X) 2 2 b) Determine c, tal que P( X ≤ c) = 0,5. Resp.:c=0,5. 4) A demanda diária de arroz em um supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória X com função densidade. ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ < ≤ + − < ≤ = c.c. 0 3 x 1 1, 3 x 1 x 0 x, 3 2 f(x) 44 a) Determine a função de distribuição acumulada. Resp.: ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ + − < ≤ = 3 x 1, 3 x 1 , 2 1 - x 6 x 1 x 0 , 3 x F(X) 2 2 a) Qual a probabilidade, em um dia escolhido ao acaso, a demanda ser superior a 150 kg? Resp.: 0,375 b) Calcule a E(X) e V(X). Resp.: E(X) = 4/3 e V(X) = 7/18 5) A variável aleatória contínua X tem função densidade ¹ ´ ¦ ≤ ≤ − = c.c. , 0 0 x 1 , 3x f(x) 2 a) Se b for um número que satisfaça a -1 < b < 0, calcule P( X > b  X < b/2). Resp.: 8 b 7b 3 3 + − b) Calcule E(Y) e V(Y), em que Y = 2X – 3/5. Resp.: 20 3 V(Y) e 10 21 E(Y) = − = 2.ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Considere uma v.a. X com resultados possíveis: 0,1,2,.... Suponha que P( X = j) = (1-a) a j , j = 0,1,2,... Para que valores de a o modelo representa uma legítima distribuição de probabilidade. 2) Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 pretas. Se 2 bolas de gude são extraídas aleatoriamente sem reposição e X denota o numero de bolas brancas obtidas, encontre a distribuição de probabilidades de X. 3) O número de carros vendidos semanalmente num stand é uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade: X 1 2 3 4 P(X=x) c c/2 c/3 c/4 a) Encontre o valor de c. 45 b) Determine a função de distribuição de X. c) Calcule a probabilidade do número de carros vendidos não chegar a 4, sabendo que este valor é superior a 1. d) Se os custos fixos semanais são de 30 unidades monetárias (u.m.) quando são vendidos 2 ou menos carros e 15 u.m. quando se vende mais de 2 carros e, além disso, por cada carro vendido há um lucro de 35 u.m., determine a função de distribuição da receita líquida semanal. 4) Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de D, a procura diária de certo produto. Calcule E(D) e V(D): D 1 2 3 4 5 P(D=d) 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2 a) Calcule E(D) e V(D); b) Estabeleça a função de distribuição acumulada. 5) O número de vendas realizadas por um agente de seguros diariamente é uma v.a. com função de probabilidade: x 0 1 2 3 4 P(X=x) w z t z w a) Sabendo que em 10% dos dias as vendas são inferiores a um e que em 70% dos dias são superiores a um, determine w, z e t. b) Determine o número médio de seguros vendidos diariamente. c) Determine E[2X − 1] e V [2X − 1]. d) Determine a probabilidade de que, quando considerados dois dias, as vendas sejam superiores, em cada um deles, a duas unidades. e) Se cada seguro é feito por 15000 unidades monetárias, determine a função de probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros num dia. f) Se num dia a receita for inferior a 50000 unidades monetárias, determine a probabilidade de que seja superior a 20000 unidades monetárias. 6) Considere a variável aleatória discreta com a seguinte função distribuição: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ < ≤ < ≤ < = 6 , 6 4 , 4 2 , 4 1 2 0 , 6 1 0 , ) ( x c x b x x x a x F 46 a) Sabendo que P (X = 6) = 1/2, determine, justificando, os valores de a, b e c. b) Calcule o valor esperado e a variância da variável aleatória . 4 3 2 X Y − = 7) Uma organização financeira verificou que o lucro unitário (L) obtido numa operação de investimentos é dado pela seguinte expressão: L = 1,1V - 0,9C - 4,5. Sabendo-se que o preço de venda unitário (V) tem uma distribuição com média 50 u.m. e desvio-padrão de 2,0 u.m e que o preço de custo unitário ( C ) tem uma distribuição de média 45 u.m. e desvio-padrão de 1,5 u.m.. Determinar a média e o desvio-padrão do lucro unitário. 8) Um estudo do peso dos cérebros de homens suecos constatou que o peso X é uma variável aleatória, com média 1400 gramas e desvio-padrão de 20 gramas. Determine número positivo a e o número b tais que Y=aX+b tenha média 0 e desvio-padrão 1 9) Em uma determinada localidade, a distribuição de renda em mil u.m. é uma variável aleatória X com função densidade. 1/10 x + 1/10, para 0 ≤ x ≤ 2 f(x) = - 3/40 x + 9/20, para 2 < x ≤ 6 0, para x < 0 ou x 6. a) Qual a renda média nesta localidade? b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a 3.000,00 u.m? c) Estabeleça a função de distribuição acumulada. 10) Suponha que X seja uma variável aleatória com densidade: ( ) ¹ ´ ¦ ≤ ≤ − = c.c. 0, 1 x 1 - , | x | 1 k f(x) a) Determine o valor de k. b) Determine P(1/2 < X < 2/3). c) Determine P(1/2 < X < 2/3 | X > 0). d) Determine a função de distribuição acumulada de X. 11) Seja X uma v.a. contínua, que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel, em horas, com função densidade de probabilidade dada por: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ≤ ≤ − < = 1 0, 1 0 , 8 9 0 , 0 ) ( 3 2 x x x x x x f Determine: 47 a) a probabilidade de gastar menos de meia hora para a pintura; b) a probabilidade para que o tempo gasto se situe entre ½ e ¾ h; c) o tempo médio gasto na pintura da peça; d) o desvio-padrão para o tempo gasto na pintura. 12) A percentagem de álcool (100 X) em certo composto pode ser considerada uma variável aleatória, onde X tem a seguinte função densidade: f(x) = 20 x 3 (1-x), 0 < x < 1. a) Estabeleça a função de distribuição acumulada. b) Calcule P ( X ≤ 2/3). c) Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de álcool. Especificadamente, se 1/3 < X < 2/3, o composto é vendido por C 1 dólares/galão; caso contrário, é vendido por C 2 dólares/galão, determine o lucro médio por galão. 13) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade dada por: ax, 0 ≤ x < 1 a, 1 ≤ x < 2 f (x) = -ax + 3a, 2 ≤ x < 3 0, caso contrário a) Determine a constante a; b) Se X 1 , X 2 , X 3 forem três observações independentes de X, qual será a probabilidade de, exatamente, um desses três números ser maior que 1,5? 14) Considere X uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade dada por Determine a esperança matemática e a variância. 15) A quantidade de cerveja vendida diariamente numa feira (em milhares de litros) é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade 48 a) Obtenha o valor de k e de E [3X + 2]. b) Considere os seguintes acontecimentos: A = “venda diária superior a 4000 litros” B = “venda diária entre 3000 e 5000 litros” Indique, justificando, se A e B são independentes. 16) O tempo de vida, em horas, de um dispositivo, é dado pela função densidade. f(t) = (1/50)e ) 50 / t ( − −− − , t ≥ 0. a) Qual a probabilidade de que um desses dispositivos dure mais de 25 horas e menos de 75 horas? b) Sabendo-se que tal ocorreu, qual a probabilidade de que tenha durado mais de 50 horas? 17) Um dispositivo é constituído de 3 elementos independentes que falham numa experiência com probabilidade 0,1. Dê a distribuição de probabilidade da variável aleatória X= número de elementos que falham numa experiência. 18) Na venda de certo produto tem-se duas opções: i. Cobrar 1 u.m. por peça sem inspeção; ii. Classificar o lote em produto de 1.ª e 2.ª mediante a seguinte inspeção: retiramos 5 peças do lote e se não encontrarmos mais do que uma defeituosa o lote será de 1.ª qualidade, sendo de 2.ª qualidade o lote que não satisfizer tal condição. O preço de venda é de 1,20 u.m. por peça do lote de 1.ª e 0,80 u.m. por peça do lote de 2.ª. Sabendo-se que cerca de 10% das peças produzidas são defeituosas, analisar qual das duas opções é a mais vantajosa para o vendedor. Gabarito da 2ª Lista de Exercícios 1) │a│ < 1 2) x 0 1 2 P(X=x) 3/28 15/28 5/14 3) a)12/25; c) 2/5 b) X 1 2 3 4 P(X=x) 12/25 6/25 4/25 3/25 49 d) r 5 40 90 125 P(R=r) c c/2 c/3 c/4 4) E(D) = 3,4 V(D) = 1,44 0, d < 1 0,1, 1 ≤ d < 2 0,2, 2 ≤ d < 3 F (d) = 0,5, 3 ≤ d < 4 0,8, 4 ≤ d < 5 1, d ≥ 5. 5) a) w = 0,1, z = 0,2, t = 0,4. b) 2. c) E[2X − 1] = 3, V [2X − 1] = 4,8 d) 0,09 e) f)0,667 R 0 15000 30000 45000 60000 P(R=r) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 6) a) a=0 b=7/12 c= 1 b) -3,125 e 0,5469 7) E(L) = 10 58 , 2 V(L) = 8) a=1/20 b= -70 9) a) 2,4667 b) 0,3375 c) 0, x < 0 F(x) = x 2 /20 + x /10, 0 ≤ x ≤ 2 -(3/80)x 2 + (9/20)x – 28/80 , 2 < x ≤ 6 1, x > 6. 10) a) 1 b) 17/144 c) 34/144 d) F(x) = ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ + − < ≤ − + + < 1 se , 1 1 0 , 2 / 1 2 / ² 0 1 , 2 / 1 2 / ² , 1 - x se 0, x x x x x x x 11) a) 0,25 b) 0,3828 c) 0,65 d) 0,47 12) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ≤ ≤ < = 1 x , 1 1 x 0 , 4x - 5x 0 x , 0 a)F(x) 5 4 b) 0,4609 c) C 1 (0,4156) + C 2 (0,5844) 13) a) a=0,5 b)0,375 14) a) E(x)=0 b) Var(x)= 1/6 15) a) k=1/12 E[3x+2]=11,99 b) Não são independentes 50 16) a) 0,3834 b) 0,3774 17) X~bin (3;0,1) 18) Opção B Exercícios Suplementares: 1) Suponha que uma caixa contenha 5 bolas ( 1 preta e 4 brancas ). Retira-se aleatoriamente uma bola de cada vez (com reposição) até que saia 4 vezes a bola preta. Seja X o número de retiradas necessárias até que isto ocorra. a) Determine os possíveis valores de X e sua função de probabilidade. Resp.: 4,5,6,... x , 5 4 5 1 3 1 x x) P(X 4 x 4 = | ¹ | \ | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | − = = − 2) A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmissão digital é 0,1. Assuma que as transmissões sejam ensaios independentes. a) Seja X o número de bits transmitidos até que ocorra o primeiro erro. Determine a distribuição de X. b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão. c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão, após já se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro. d) Determine o número esperado de ensaios até o primeiro erro. e) Seja Y o número de transmissões até a ocorrência do quarto erro. Determine a distribuição de Y. f) Determine a probabilidade de se precisar observar no máximo 6 ensaios de transmissão. g) Determine o número esperado do número de ensaios até o quarto erro. Resp.: a) P(X=x) = 0,9 x-1 0,1, x= 1,2,3,... (distribuição geométrica) b) 0,6561 c) 0,81 d) 10 e) P(Y=y)= (distrbuição binomial negativa ) f ) 0,0012 g) 4,4444 3) A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é 0,8. Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos. a) Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias? b) Qual é a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias? c) Se cada tentativa de lançamento custa 5.000 u.m. e se um lançamento falho custa500 u.m. adicionais, determine o custo esperado da operação. 51 d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas até que três lançamentos consecutivos sejam bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse caso. Resp.: a) 0,0409 b)0,9421 c) 19.125 d)0,0041 e 0,6349 4. ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Existem modelos probabilísticos que ocorrem com frequência na prática. Nas próximas seções, serão definidos alguns modelos, apresentando as condições que devem ser satisfeitas e algumas características, tais como, esperança, variância e como calcular probabilidade. 4.1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 4.1.1. Distribuição de Bernoulli Muitos experimentos são tais que os resultados possíveis apresentam ou não uma determinada característica. Exemplos: a) Uma peça é escolhida, ao acaso, de um lote contendo 500 peças: esta peça é defeituosa ou não. b) Uma pessoa é escolhida, ao acaso, dentre 1000 pessoas, é ou não do sexo masculino. c) Uma pessoa é escolhida, ao acaso, entre os moradores de uma cidade, e pergunta-se se ela diz SIM ou NÃO a um projeto governamental. Em um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis podemos associar o valor 1, se sucesso ocorre e o valor 0, se fracasso ocorre. Um experimento deste tipo é chamado de ensaio de Bernoulli. Suponha que um sucesso ocorra com probabilidade p. Seja X uma variável aleatória definida para este experimento. Então, X 1 0 P(X=x) p 1-p =q 52 Função de distribuição de X: F(x) = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ < ≤ < 1 x 1, 1 x 0 , q 0 x , 0 Esperança de X: E(X) = 1. p + 0. (1-p) = p Variância de X: V(X) = p – p 2 = p(1 - p), onde E(X 2 ) = 1 2 . p + 0 2 . (1-p) = p 4.1.2. Distribuição Binomial Consideremos n repetições independentes de ensaios de Bernoulli (n ≥ 2). O modelo binomial fundamenta-se nas seguintes hipóteses: a) n ensaios independentes e idênticos são realizados; b) A probabilidade de “sucesso” é igual a “p” em cada ensaio e q é a probabilidade de fracasso, sendo p + q = 1. Seja a variável aleatória Y o número de sucessos nos n ensaios. Nestas condições dizemos que Y tem distribuição binomial com parâmetros n e p, onde os valores possíveis de y são {0,1,2,...,n}: n = número de repetições do experimento e p = probabilidade de sucesso em cada repetição Notação: ) p B(n, ~ Y ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − | | ¹ | \ | = = − c.c 0, 0,1,2,...n k , p 1 p k n k) P(Y k n k Por meio do binômio de Newton, verifica-se que 53 Gráfico da função de probabilidade da distribuição Binomial com parâmetros n = 3 e p = 0,4. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 x P ( X = x ) Exemplo 1: Uma usina hidroelétrica tem 5 geradores que funcionam independentemente, cada um com probabilidade 0,98 de estar em operação. Qual a probabilidade de que exatamente dois estejam em funcionamento em determinado instante? Y = número de geradores em funcionamento p = 0,98 = probabilidade de um gerador estar em funcionamento (a probabilidade de sucesso) Entre os 5 estabelecimentos, ou seja, n = 5, qual a probabilidade de 2 terem tratores: P(Y = 2) = | | ¹ | \ | 2 5 (0,98) 2 (1 - 0,98) 5 - 2 = 10. (0,98) 2 .(0,02) 3 = 0,000077 • Esperança e Variância da distribuição Binomial Se Y tem distribuição binomial de parâmetros n e p ⇒ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = − | | ¹ | \ | = ∑ = − ), (variância npq [E(Y)] - ) E(Y Var(Y) (média) np p) (1 p k n k E(Y) 2 2 n 0 k n k k ∑ = − − | | ¹ | \ | = n 0 k n k 2 2 p) (1 p k n k ) E(Y que em k 54 Demonstração: Fazendo s = k-1, tem-se: . Com variância: V(X) = npq ⇒ DP(X) = npq Exemplo 2: Com os dados do exemplo anterior, calcular o número esperado de geradores em funcionamento, a variância e o desvio-padrão: E(X) = np = 5(0,98) = 4,9 Var(X) = npq = 5 (0,98) (0,02) = 0,098 DP(X) = npq = 098 , 0 = 0,3130 Exercícios: 1) Das variáveis abaixo descritas, assinale quais são binomiais, e para estas dê os respectivos campos de definição e distribuição de probabilidades. Quando julgar que a variável não é binomial, aponte as razões de sua conclusão. a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição, cinco bolas.Seja X é o número de bolas brancas nas 5 extrações. Resp.: Binomial b) Refaça o problema anterior, mas desta vez as n extrações são sem reposição. Resp.: Não é Binomial. c) De 5 urnas com bolas pretas e brancas, vamos extrair de cada uma delas uma bola. Suponha que X é o número de bolas brancas obtidas no final. Resp.: Não é binomial. d) Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada peça. Cada peça é classificada como sendo boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um instante de tempo, e verificamos uma peça de cada uma das máquinas. Suponha que X seja o número de peças defeituosas. Resp.: Não é Binomial 55 2) Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, 2 defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? Resp.: 0,9419. 4.1.3. Distribuição de Poisson Em muitos casos, conhece-se o número de sucessos, porém se torna difícil e, às vezes, sem sentido, determinar o número de fracassos ou o número total de provas. Por exemplo: automóveis que passam numa esquina. Pode-se num determinado intervalo de tempo anotar o número de carros que passaram, porém, o número de carros que deixaram de passar pela esquina não poderá ser determinado. Veremos que a distribuição de Poisson se aplica nestes casos. A distribuição de Poisson é largamente usada quando de deseja contar o número de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, superfície, ou volume. Exemplos: a) número de falhas de um computador em um dia de operação; b) número de defeitos num pneu; c) número de buracos por quilometro em uma rodovia; d) número de clientes que chegam a uma determinada agência bancária durante o expediente. Seja a variável aleatória X o número de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo, ou superfície, ou volume. Suponha que estes eventos ocorrem em instantes aleatórios de tempo ou de espaço e que as hipóteses abaixo sejam válidas: 1) o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo, ou superfície, ou volume é independente do número de ocorrências do evento em qualquer outro intervalo disjunto. 2) a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente zero. 3) o número médio de ocorrências por unidade de tempo, ou superfície, ou volume, α, é constante ao longo do tempo, ou superfície, ou volume. Nestas condições dizemos que X tem distribuição Poisson com parâmetro λ = αt, α é o número médio de eventos por unidade de intervalo de tempo, ou superfície, ou volume. Notação: 56 x! e x) P(X ) Poisson(λ ~ X -λ x λ = = ⇒ , x=0,1,2,...,n,... Gráfico da função de probabilidade da distribuição Poisson com parâmetro λ = 5. 0 5 10 15 20 0 . 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5 x P ( X = x ) Se X tem distribuição Poisson com parâmetro λ ⇒ ¹ ´ ¦ = = ) (variância Var(X) (média) E(X) λ λ Demonstração: 1. Sabe-se que E(X) = ∑ ∑ ∞ = − ∞ = = = 0 0 ! ) ( x x x x x x X xP e λ λ = ∑ ∞ = − 1 x x λ 1)! - x(x λ e x = ∑ ∞ = − 1 x x λ 1)! - (x λ e Fazendo x –1 = y, tem-se: E(X) = ∑ ∞ = + − 0 y 1 y λ y! λ e = ∑ ∞ = − 0 y y λ y! λ λe Utilizando-se a fórmula de Maclaurin (caso particular da fórmula de Taylor), ∑ ∑∑ ∑ ∞ ∞∞ ∞ = == = = == = 0 y λ y e y! λ , obtém-se, E(X) = λ 2. De acordo com a definição de variância, tem-se: V(X) = E(X 2 ) – [ E(X) ] 2 , onde já vimos que, [ E(X)] 2 = λ 2 , e, E(X 2 ) = ∑ ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − − ∞ = − = − = 1 1 2 0 2 )! 1 ( )! 1 ( ! x x x x x x x e x x x e x x e x λ λ λ λ λ λ , fazendo y = x – 1, tem-se: 57 E(X 2 ) = λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + = + = + ∑ ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − ∞ = + − 2 0 0 0 1 ! ! ! ) 1 ( y y y y y y y e y e y y e y V(X) = λ 2 + λ - λ 2 , assim V(X) = λ. Se a variância é λ ⇒ DP(X) = λ Exemplo 3: Em média há duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos. X: o número de chamadas telefônicas em duas horas Então, α = 2 (número médio chamadas por hora ) t = 2 horas λ = αt = 4 (número médio chamadas em duas horas ) P(X ≤ 3) = ∑ ∑ = − = = = = 3 0 x 4 3 0 x x! 4 e ) x P(X x 0,4331 Y: número de chamadas telefônicas 90 minutos Então, t = 90 minutos α = 2/60 ( número médio de chamadas por minuto) λ = αt = 2/60 x 90 = 3 (número médio chamadas em 90 minutos ) P(Y = 0) = ( ) ! 0 3 e 0 3 − = 0,0498 Exercícios: 1) Uma fábrica produz tecidos com média de 2,2 defeitos por jarda quadrada. Determine as seguintes probabilidades: a) não mais de 4 defeitos numa jarda quadrada; Resp.:0,9275 b) nenhum defeito em duas jardas quadradas; Resp.:0,0123 c) duas jardas quadradas cada uma com dois defeitos. Resp.: 0,0719 2) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com λ = 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto. a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? Resp.: 0,1431 58 b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? Resp.: 2 c) Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia? Resp.: 2. 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Se X ~ B(n,p), sabendo-se que E(X) = 12 e σ 2 = 3, determinar: a) n e) E(Z) e V(Z),onde Z = (X-12)/ 3 b) p f) P(Y ≥ 14/16), onde Y = X/n c) P(X < 12) g) P(Y ≥ 12/16), onde Y = X/n d) P(X ≥ 14) 2) Uma fileira de luzes de Natal contém 20 lâmpadas ligadas em série, isto é, se uma delas falha, toda a fileira falhará. Cada lâmpada tem 0,02 de probabilidade de falhar durante um período de 3 anos. As lâmpadas falham independente umas das outras. Qual é a probabilidade de toda a fileira de lâmpadas permanecer sem falhar durante três anos? 3) O número de partículas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuição de Poisson com λ = 0,5 partículas por segundo. a) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partícula em um segundo; b) Qual a probabilidade de a fonte emitir mais de uma partícula em um segundo; c) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partícula em três segundos; d) Qual a probabilidade de a fonte emitir no máximo duas partículas em 3 segundos; e) Uma chapa fotográfica é sensibilizada ao ser atingida por 3 ou mais partículas. Se 5 chapas são colocadas, uma após outra, durante 2 segundos cada uma em frente à fonte, qual a probabilidade de exatamente uma delas ser sensibilizada? 4) Seja X o número de peças defeituosas saídas de certa linha de produção. Sabe-se que, para determinado lote, X é binomial com média 240 e variância 48. Determine a distribuição de probabilidade de X e a probabilidade do lote não conter nenhuma peça defeituosa. 5) Um industrial fabrica peças, das quais 1/5 são defeituosas. Dois compradores, A e B, classificaram as partidas adquiridas em categorias I e II, pagando 1,20 u.m. e 0,80 u.m. respectivamente do seguinte modo: Comprador A: retira uma amostra de 5 peças; se encontrar mais que uma defeituosa, classifica como II. Comprador B: retira uma amostra de 10 peças; se encontrar mais que duas defeituosa, classifica como II. 59 Em média, qual comprador oferece maior lucro? 6) Numa via de mão única que termina numa ponte, quer se estudar o tráfego. Encontra-se que esse volume é de 120 veículos/hora, em média. Assume-se que a chegada de veículos constitui um processo de Poisson. Ache a probabilidade de que: a) num período de um minuto mais de três veículos cheguem ao pedágio; b) em 3 minutos cheguem mais do que 1 veículo. 7) Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, o número de vazamento no período de um mês é em média 4. Qual é a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extensão? 8) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz tem duração inferior a 20 h. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em 10 válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20 horas; caso contrário o lote é rejeitado. a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado? b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de válvulas com duração inferior a 20 h é de 10%. Qual a probabilidade do lote ser aceito, segundo o critério acima? 9) Certa fábrica produz fusíveis elétricos, dos quais 15% são defeituosos. Achar a probabilidade de que, numa amostra de 10 fusíveis selecionados ao acaso, tenhamos: a) nenhum defeituoso. b) pelo menos um defeituoso. c) no máximo um defeituoso. 10) Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá no máximo duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a experiência tem demonstrado que este processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? 11) Certa companhia aérea chegou à conclusão de que 4% das pessoas que compram passagens não comparecem ao embarque. De modo a obter maior aproveitamento nas vendas, passou a adotar o critério de vender 77 passagens para um vôo com 75 lugares. Determine a probabilidade de que todas as pessoas que compareçam encontrarão lugar no citado vôo. 12) Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 cm. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000cm tenha: a) nenhum corte? b) no máximo dois cortes? 60 c) pelo menos dois cortes? 13) Numa determinada estrada ocorrem em média 2 acidentes para cada 100km. Qual a probabilidade de que: a) em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? b) em 300 km ocorram 5 acidentes? 14) Uma fonte mineral contém um número médio de quatro bactérias por cm 3 de água. Dez tubos de ensaio, de 1 cm 3 , são enchidos com este líquido. Supondo que a distribuição de Poisson é aplicável, encontre a probabilidade: a) de que todos os 10 tubos de ensaio apresentem bactérias, isto é, contenham ao menos uma bactéria cada; b) de que exatamente oito tubos de ensaio apresentem bactérias. Gabarito da 3ª Lista de Exercícios 1) a) n = 16 e p=0,75 c) 0,3699 d) 0,1971 e) E(Z) = 0 e V(Z) = 1 f) 0,1971 g) 0,6301 2) 0,6676 3) a) 0,3033 b) 0,0902 c) 0,3347 d) 0,8088 e) 0,2873 4) n = 300 p=0,8 300 0 5 1 5 4 0 300 0) P(X | ¹ | \ | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = = 5) Comprador A 6) a) 0,1429 b) 0,9826 7)0,1813 8) a) 0,0861 b) 1-0,2639 9) a) 0,1969 b) 0,8031 c) 0,5443 10) 0,9419 11) 0,8185 12) a) 0,3679 b) 0,9197 c) 0,2642 13) a) 0,8753 b) 0,1606 14) a) (0,9816)¹° b) 0,16% 4.2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 4.2.1. Distribuição Exponencial Esta distribuição é bastante utilizada na teoria da confiabilidade para modelar os tempos de espera entre ocorrências de eventos em um Processo de Poisson. Em geral este modelo probabilístico é também utilizado para modelar tempo de espera em uma fila, tempo de sobrevivência de um grupo de pacientes após o início de um tratamento e tempo de vida de material eletrônico. 61 O histograma a seguir foi construído a partir de dados provenientes de uma distribuição exponencial. A curva desenhada sobre o histograma representa a função densidade de uma distribuição exponencial. Vemos que este gráfico é do tipo assimétrico positivo. Gráfico da função densidade da Distribuição exponencial com parâmetro α=1000 Uma variável aleatória contínua X, que assume valores não-negativos, terá uma distribuição exponencial com parâmetro α > 0, se sua fdp for dada por: contrário caso , 0 0 x , 1 ) f(x x 1 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ = − α α e Notação: X ~ exp(α ) Propriedades: a) A função de distribuição é dada por: F(x) = P(X ≤ x) = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ − < = − − ∫ 0 x , 1 0 x , 0 ds 1 x 0 x 1 α α α x e e Portanto, P(X > x ) = e -(1/α)x 62 b) E(X) = α α α = ∫ ∞ − 0 x 1 dx 1 x e c) V(X) = E(X 2 ) – E 2 (X) = 2 2 2 2 α α α = − em que E(X 2 ) = . dx 1 x 2 0 x 1 2 α α α = ∫ ∞ − e d) P( X > s + t | X > s) = t 1 - - s 1 - t) s ( 1 e e e s) P(X ) t s P(X s) P(X s) X e t s P(X α α α = = > + > = > > + > + − para quaisquer s, t > 0 Este último resultado mostra que a distribuição exponencial apresenta a propriedade de “não possuir memória”. Isto significa que a probabilidade de “sobreviver” mais t unidades de tempo é a mesma, quer já se tenham passado s unidades de tempo, ou 0 unidades. Ou seja, não há envelhecimento. Esta hipótese é frequentemente razoável para a vida de materiais eletrônicos. Exemplo 5: Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade exponencial com α=1000. Determinar: a) a probabilidade de que essa lâmpada queime antes de 1.000 horas; b) a probabilidade de que ela queime depois de sua duração média; c) a variância da distribuição do tempo de duração dessa lâmpada. Solução: Seja T o tempo de duração da lâmpada. a) P( T < 1.000) = = = ∫ − 1 - 1000 0 t 1000 1 e - 1 dt e 1000 1 1 - 0,3679 = 0, 6321 b) P( T > 1000) = 0,3679 c) V(T) = (1000) 2 4.2.2. Distribuição Weibull A distribuição Weibull tem uma aplicação importante em Teoria de Confiabilidade. 63 O histograma a seguir foi construído a partir de dados provenientes de uma distribuição Weibull. A curva desenhada sobre o histograma representa a função densidade desta distribuição, que também é do tipo assimétrico positivo. Gráfico da função densidade da Distribuição Weibull com parâmetros α=2 e γ=2 x f ( x ) 0 1 2 3 4 0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 Uma variável aleatória contínua X, que assume valores não-negativos, terá uma distribuição Weibull com parâmetros γ > 0 e α > 0, se sua fdp for dada por: contrário caso , 0 0 x , α x exp x ) f(x 1 - ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ | ¹ | \ | − = γ γ γ α γ Propriedades: a) E(X) = | | ¹ | \ | + Γ 1 1 γ α b) V(X) = ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ( ¸ ( ¸ | | ¹ | \ | + Γ − | | ¹ | \ | + Γ 2 2 1 1 1 2 γ γ α c) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ | ¹ | \ | − ≤ = 0 x α x exp - 1 0 x 0, F(x) γ 64 d) Se γ=1 tem-se α α x e x f − = 1 ) ( . Portanto, a distribuição exponencial é um caso particular da distribuição Weibull. Obs: O símbolo Γ denota a função gama, que é dada por: ( ) ∫ ∞ − − > = Γ 0 x 1 k 0. k para definida dx, e x k Pode-se mostrar que se k for um número inteiro positivo, obtém-se que Γ(k) = (k-1)! Exemplo 7: O tempo de vida, em horas, de um componente eletrônico segue a distribuição Weibull com α = 0,4 e γ = 0,5. a) Qual é a vida média? b) Calcule a variância do tempo de vida desse componente. c) Qual é a probabilidade do tempo de vida desse componente ultrapassar 30 horas? Solução: T: tempo de vida do componente eletrônico em horas a) E(T) = ( ) 8 , 0 3 ) 4 , 0 ( = Γ b) V(T) = ( ) [ ] { } 2 , 3 3 ) 5 ( ) 4 , 0 ( 2 = Γ − Γ c) P( T > 30 ) = ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ | ¹ | \ | − 5 , 0 0,4 30 exp = 0,8909 4.2.3. Distribuição Normal (ou Gaussiana) Existem várias distribuições teóricas que podem ser usadas para representar fenômenos reais. Dentre estas, uma das mais importantes é a distribuição normal. A seguir faremos um breve estudo desta distribuição. Importância da distribuição normal: 1. Representa com boa aproximação as distribuições de freqüências observadas de muitos fenômenos naturais e físicos; 2. Distribuições importantes, como por exemplo a binomial e Poisson, podem ser aproximadas pela normal, simplificando o cálculo de probabilidades; 3. A distribuição amostral das médias (e proporções) em grandes amostras se aproxima da distribuição normal, o que nos permite fazer estimações e testes estatísticos. 65 Uma variável aleatória X, que assume valores em R, tem distribuição normal com parâmetros µ e σ 2 se sua função de densidade probabilidade é dada por: 0 σ e µ , x , σ µ x 2 1 exp 2π 1 f(x) 2 2 > ∞ < < ∞ − ∞ < < ∞ − ( ( ¸ ( ¸ | ¹ | \ | − − = σ Notação: X ~ N(µ, σ 2 ) O histograma a seguir foi construído a partir de dados provenientes de uma distribuição normal. A curva desenhada sobre o histograma representa a função densidade de uma distribuição normal. Vemos que este gráfico é do tipo simétrico. Gráfico da função densidade da distribuição normal com parâmetros µ=10 e σ 2 =4 É importante ressaltar a diferença que existe entre o histograma e a curva: o histograma é uma representação da distribuição dos elementos (dados) de uma amostra extraída de uma população, enquanto a curva representa a distribuição teórica que melhor se aproxima do histograma observado. Propriedades: a) E(X) = µ e V(X) = σ 2 (σ - desvio-padrão); b) A curva normal é simétrica com relação a sua média µ, ou seja: • f(µ+x) = f (µ- x); 66 • P(µ - x ≤ X≤ µ) = P(µ≤ X≤ x+ µ ); • P(X > µ ) = P (X < µ) = 0,5. c) A moda e a mediana de X são iguais a µ; d) A distância entre µ e os pontos de inflexão da curva é igual a σ; Distribuição Normal N( µ,σ µ,σ µ,σ µ,σ 2 ) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 σ µ µ + σ µ − σ Exemplos de curvas da distribuição normal para diferentes valores dos parâmetros médias diferentes, desvios padrão iguais ( σ σσ σ = 10 cm) 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 123 130 137 144 151 158 165 172 179 186 193 200 207 altura (cm) µ = 165 µ = 179 67 mesma média, desvios padrão distintos µ µµ µ = 172 cm 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 200 204 208 altura (cm) σ = 12 σ = 7 σ = 5 Cálculo das probabilidades de uma distribuição normal A probabilidade de uma variável aleatória normal X assumir valores entre dois números a e b (a < b) é igual à área sob a curva no intervalo [a,b], isto é, P(a < X < b) = dx ∫ ( ( ¸ ( ¸ | ¹ | \ | − − b a 2 x 2 1 exp 2 1 σ µ σ π Esta probabilidade pode ser obtida através de uma transformação na variável aleatória X como veremos a seguir. A distribuição normal possui um importante propriedade que permite que qualquer variável aleatória com esta distribuição possa ser transformada em uma outra variável com distribuição normal com parâmetros µ = 0 e σ 2 =1. Teorema: Se X ~ N (µ, σ 2 ) então a variável transformada ( ) σ µ − = X Z tem distribuição N(0,1), isto é, Portanto, ) ( ) ( z Z P a X P a X P ≤ = | ¹ | \ | − ≤ − = ≤ σ µ σ µ com ( ) σ µ − = X Z 68 As probabilidades para a distribuição normal (0,1) também chamada de Normal Padrão ou Normal Padronizada estão tabeladas. Pelo exposto acima vemos que através desta tabela podemos obter as probabilidades para qualquer outra distribuição normal. Há vários tipos de tabelas que nos fornece as probabilidades para a distribuição normal padrão. Faremos uso do tipo que está em anexo. Essa tabela fornece a área sob a curva no intervalo de zero até o ponto z, isto é, P(0 ≤ Z ≤ ≤≤ ≤ z). Os elementos dessa tabela são: • Na primeira coluna encontra-se a parte inteira e a primeira casa decimal do valor de z; • A primeira linha refere-se à segunda casa decimal do valor de z; • As probabilidades são encontradas no cruzamento das linhas com as colunas. Graficamente, a probabilidade fornecida pela tabela é a seguinte: A área sombreada no gráfico corresponde à seguinte probabilidade: Como a curva normal padrão é uma função simétrica em relação 0: • f(z)=f (- z); • P(- z ≤ Z≤ 0)= P(0≤ Z≤ z ); • P(Z > 0 ) = P (Z < 0) = 0,5. Exemplos de uso da tabela da distribuição normal padrão: • Calcule P(0 ≤ Z ≤ 0,51 ) A área que representa esta probabilidade é: z 0 f(z) 69 A seguir, como obter essa probabilidade na tabela da distribuição normal padrão z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000000 0.0039894 0.0079783 0.0119665 0.0159534 0.0199388 0.0239222 0.0279032 0.0318814 0.0358564 0.1 0.0398278 0.0437953 0.0477584 0.0517168 0.0556700 0.0596177 0.0635595 0.0674949 0.0714237 0.0753454 0.2 0.0792597 0.0831662 0.0870644 0.0909541 0.0948349 0.0987063 0.1025681 0.1064199 0.1102612 0.1140919 0.3 0.1179114 0.1217195 0.1255158 0.1293000 0.1330717 0.1368307 0.1405764 0.1443088 0.1480273 0.1517317 0.4 0.1554217 0.1590970 0.1627573 0.1664022 0.1700314 0.1736448 0.1772419 0.1808225 0.1843863 0.1879331 0.5 0.1914625 0.1949743 0.1984682 0.2019440 0.2054015 0.2088403 0.2122603 0.2156612 0.2190427 0.2224047 0.6 0.2257469 0.2290691 0.2323711 0.2356527 0.2389137 0.2421539 0.2453731 0.2485711 0.2517478 0.2549029 • Calcule P(-2,35 ≤ Z≤ 0) • Calcule P(-1≤ Z ≤ 1) • A área que representa esta probabilidade é: Esta área pode ser separada em duas subáreas, que são: P(-1 ≤ Z ≤ 1) = P(-1 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0, 3413 + 0, 3413 = 0, 6826 e 70 • Calcule P(Z ≥ 1,62) Esta área pode ser pensada da seguinte forma: P(Z ≥ 1,62) = 0,5 – P(0 ≤ Z ≤ 1,62 ) = 0,5 – 0,4474 = 0,0526 • Calcule P(1,03 ≤ Z ≤ 2,01 ) A área que representa esta probabilidade é: Esta área pode ser pensada da seguinte forma: P(1,03 ≤Z ≤ 2,01 ) = P(0 ≤ Z ≤ 2,01) - P(0 ≤ Z ≤ 1,03) 71 • Determine z tal que P(0≤ Z ≤ z 0 ) = 0,395 Para encontrar o ponto z 0 , que corresponda à probabilidade P(0≤ Z ≤ z 0 ) = 0,395, procure no meio da tabela da curva normal padrão o valor da área exata ou o mais próximo possível da requerida. Neste caso, o ponto procurado é 1,25. Logo, z 0 = 1,25 Exemplos: 1) Usando a tabela da normal padrão podemos obter: P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0,3413 P(-2,55 ≤ Z ≤ 1,2) = 0, 4946+ 0,3849 = 0,8795 P(Z≥1,93) =0,5 – 0, 4732 = 0,0268 2) A característica da qualidade de interesse, associada a um processo que está sob controle estatístico, é normalmente distribuída com média 100 e desvio-padrão 5. As especificações estabelecidas para esta característica da qualidade são 95 ± 10. a) Qual e a proporção de não-conformidade referente a esta característica? b) Qual e a proporção de não-conformidade referente a esta característica, se o processo passasse a operar centrado no valor 95, chamado valor nominal da especificação? Solução: a) P(X > 105) + P(X < 85) = | ¹ | \ | − < + | ¹ | \ | − > 5 100 85 Z P 5 100 105 Z P = = P(Z > 1) + P(Z < -3) =(0,5 - 0,3413) + (0,5 - 0,4987) = 0,1600 b) µ = 95 P(X > 105) + P(X < 85) = | ¹ | \ | − < + | ¹ | \ | − > 5 95 85 Z P 5 95 105 Z P = = P(Z > 2) + P(Z < -2) =2 (0,5 – 0,4772) = 0,0456 72 4ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Determine o valor de z: a) P(Z<z) = 0,09 b) P(-1,71<Z<z) = 0,25 c) P(-z<Z<z) = 0,90 d) P(-z<Z<z) = 0,99 2) Sejam z 1 e z 2 , simétricos, dois particulares valores de Z. Determine-os tais que: a) P ( z 1 ≤Z≤z 2 ) = 0,9216 b) P ( z 1 ≤Z ≤z 2 ) = 0,8858 3) Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D 1 e D 2 , tenham distribuição N(42,36) e N(45,9), respectivamente. Se o aparelho e para ser usado por período de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? 4) Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante esta regulada para que o volume médio de liquido em cada garrafa seja de 1.000 cm 3 e o desvio-padrão de 10 cm 3 . Pode-se admitir que a distribuição da variável seja normal. a) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido e menor que 990 cm3? b) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido não se desvia da média em mais que dois desvios-padrão? 5) Uma empresa produz televisores e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar algum defeito grave no prazo de 6 meses. Ela produz televisores do tipo A comum e do tipo B luxo, com um lucro respectivo de 1.000 u.m. e 2.000 u.m. caso não haja restituição, e com um prejuízo de 3.000 u.m. e 8.000 u.m. se houver restituição. Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com distribuição normal, respectivamente, com medias 9 meses e 12 meses, e variâncias 4 meses 2 e 9 meses 2 . Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa, você incentivaria as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? 6) Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fabrica é de 0,25 polegadas e o desvio-padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas. Suponha distribuição normal. a) Encontre a probabilidade de parafusos defeituosos. b) Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos? 73 7) A duração de certos tipos de amortecedores, em km rodados é normalmente distribuída, possui duração média de 5000 km e desvio-padrão de 1000 km. a) Qual a probabilidade de um amortecedor escolhido ao acaso durar entre 4500 e 6350 km? b) Se o fabricante desejasse fixar uma garantia de quilometragem, de tal forma que se a duração do amortecedor fosse inferior a garantia, o amortecedor seria trocado, de quanto deveria ser esta garantia para que somente 1% dos amortecedores fossem trocados? 8) Suponha que T, a duração até falhar de uma peça, seja normalmente distribuída com E(T) = 90 horas e desvio-padrão 5 horas. Quantas horas de operação mínimas devem ser consideradas, a fim de se achar uma probabilidade de 0,90. 9) Suponha que a duração de vida de um dispositivo eletrônico seja exponencialmente distribuída. Sabe-se que a probabilidade desse dispositivo durar mais de 100 horas de operação é de 0,90. Quantas horas de operação devem ser levadas em conta para conseguir-se uma probabilidade de 0,95? 10) A duração de vida de um satélite é uma variável aleatória exponencialmente distribuída, com duração de vida esperada igual a 1,5 anos. Se três desses satélites forem lançados simultaneamente, qual será a probabilidade de que ao menos dois deles ainda venham a estar em órbita depois de 2 anos? 11) Suponha que n componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados em série. Admita que a duração até falhar, de cada componente, seja normalmente distribuída, com esperança de 50 horas e desvio-padrão de 5 horas. a) Se n=4, qual será a probabilidade de que o sistema ainda esteja a funcionar depois de 52 horas de operação? b) Se n componentes forem instalados em paralelo, qual deverá ser o valor de n, para que a probabilidade de falhar durante as primeiras 55 horas seja aproximadamente igual a 0,01? 12) Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal em períodos de seca numa certa região pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média 30mm e variância 16mm 2 . a) Qual a probabilidade de que a precipitação pluviométrica mensal no período da seca esteja entre 24mm e 38mm? b) Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de chance de haver uma precipitação inferior a esse valor? c) Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores de precipitação pluviométrica. 74 13) Se a altura de 300 estudantes são normalmente distribuída com média igual a 172,72cm e variância 49,5cm 2 . a) Quantos estudantes têm altura superior a 182,88cm? b) Qual a altura que separa os estudantes em dois grupos de forma que um deles seja formado pelos 30% mais altos? 14) Suponha que as notas de um vestibular tenham distribuição normal com média 60 e desvio-padrão de 15 pontos. a) Se você prestou este vestibular e obteve nota igual a 80 pontos, qual a sua posição em termos de unidades de desvios-padrão, com relação a média das notas? b) Se foram considerados aprovados os candidatos que obtiveram nota mínima correspondente a 1 desvio-padrão acima da média, qual a nota mínima de aprovação na escala original? 15) Em uma fábrica de chocolate verifica-se que os “bombons” são acondicionados automaticamente em caixas com aproximadamente 1 Kg. Verifica-se que 25,14% das caixas tem peso inferior a 1 Kg. A máquina de acondicionamento foi regulada aumentando-se o peso médio da caixa de 3g e verificou-se então que a porcentagem com peso inferior a 1 Kg foi de 12,5%. Admitir distribuição normal. a) Calcular a média e o desvio-padrão b) De quanto deve ser novamente aumentado o peso médio para que essa porcentagem caia para 4%? 16) Experimentam-se três elementos que trabalham independentemente entre si. A duração de trabalho sem falhas dos elementos tem respectivamente para o 1 o ., 2 o e 3 o . as seguintes funções densidades: t -0.1 1 e 1 . 0 ) ( = t f t -0.2 2 e 2 . 0 ) ( = t f t -0.3 3 e 3 . 0 ) ( = t f Ache a probabilidade que no intervalo de tempo (0, 10) a) Falhe ao menos um elemento b) Falhem não menos que dois elementos 17) Um componente eletrônico tem distribuição exponencial, com média de 50 horas. Suposta uma produção de 10 000 unidades, quanto deles espera-se que durem entre 45 e 55 horas? 18) O tempo de vida de certo dispositivo eletrônico é de 4.000 h e segue uma distribuição exponencial. Determine a probabilidade de que: a) um dispositivo esteja funcionando no final de 2.000 h, dado que está funcionando no final de 1.000 h; 75 b) num conjunto de 4 dispositivos, somente um queime antes de 3.000 h de funcionamento. 19) Dois dispositivos eletrônicos com lei de falhas exponencial com média respectivamente 5h e 10 h são ligados em paralelos formando um único sistema e funcionando independentemente. Determinar: A probabilidade de cada um dos dispositivos após 20 horas; A probabilidade do sistema todo após 20 horas; 20) Sabe-se que T, tempo de operação sem falhas de um componente segue a distribuição de Weibull. a) Se α = 2000, γ = 0,5 determine R(22), E(T) e V(T). b) Se α = 2000, γ = 1,5 determine t para que P(T > t) = 0,90. 21) Seja X uma variável aleatória com distribuição Weibull com α=200 e γ=3. a) Suponha que X represente o tempo de vida de um componente. Determine a probabilidade desse componente para durar mais de 50 horas. b) Determine a probabilidade de que o componente dure mais que 250 horas, uma vez que já esteja em funcionamento por 200 horas. c) Determine a duração esperada do componente. Use os seguintes fatos: Γ(1,3) = 0,8975. 22) Sabe-se que o tempo de falha (em anos) de certo transistor tem distribuição exponencial com α=20 anos. a) Que proporção desse transistor sobreviverá a 6 anos de uso? b) Este transistor será utilizado em um produto cujo fabricante irá estipular certo período de garantia. Qual tempo de garantia passível de ser estipulado, caso o fabricante concorde em arcar com o custo de no máximo 5% de falhas neste período? c) Se o fabricante desejar estipular um período de garantia de 2 anos, qual a proporção esperada de falhas associadas ao transistor neste período? 23) A densidade do tempo de falha para um pequeno sistema de computador tem distribuição de Weibull, com γ=1/4 e α=200. a) Que proporção dessas unidades sobreviverá a 1000 horas de uso? b) Qual o tempo médio de falha? Gabarito da 4ª Lista de Exercícios 1)a)-1,34 b) -0,54 c) 1,64 d) 2,58 2)a) -1,76 e 1,76 b) -1,58 e 1,58 76 3)D2 4) a) 0,1587 b) 0,9545 5)Tipo B 6)a) 0,072 b) 0,2178 7)a) 0,60295 b) 2670 km 8)83,6 horas 9)51,29 horas 10) 0,1719 11)a) 0,014 b) 27 12)a) 0,9104 b) 24,88 c) [24,88; 35,12] 13)a) 22 b) 176,41 14)a) 1,333 b) 75 15)a) média=1,0042Kg e desvio=0,0063 Kg b) 0,006825g 16)a) 0,9975 b) 0,9301 17)737 18)a) 0,7788 b) 0,2224 19)a) α=1/10; 0,135 e α=1/5; 0,0183 b) 0,1512 20)a) P(T > 22)= 0,9004; E(T)= 4000 horas ; V(T)=80000000 horas b) 446,15 horas 21)a)0,9845 b)0,3855 c)179,5 22)a ) 0,7408 b ) aprox. 1 ano c) 0,0952 23)a) 0,2242 b ) 480 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MEYER, Paul L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1983. 426. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; HUBELE, Norma Faris. Estatística aplicada à engenharia. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 335 p. MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2006. 526 p. 77 1. INTRODUÇÃO 1.1. O que é estatística e suas divisões Para muitos a Estatística não passa de conjuntos de tabelas de dados numéricos. Mas será que a estatística é só isso? A Estatística originou-se com a coleta e construção de tabelas de dados para o governo. A situação evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da Estatística. Hoje em dia podemos adotar a seguinte definição para a Estatística: A Estatística constitui-se num conjunto de técnicas e métodos científicos que tratam da coleta, análise e interpretação de informações numéricas, cujo objetivo principal é auxiliar na tomada de decisões ou tirar conclusões em situações de incerteza, a partir de informações numéricas. A Teoria Estatística moderna se divide em dois grandes campos: Estatística Descritiva - consiste num conjunto de métodos que ensinam a reduzir uma quantidade de dados bastante numerosa por um número pequeno de medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados. Estatística Indutiva ou Inferência Estatística - consiste em inferir (deduzir ou tirar conclusões a respeito das) propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo de generalização, que é característico do método indutivo, está associado a uma margem de incerteza. A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades. A Estatística Descritiva abrange métodos gráficos e numéricos, utilizados para resumir dados de maneira que características importantes da amostra possam ser expostas. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes revigorou a área da Estatística denominada “Estatística Descritiva”. Na maioria das vezes não podemos investigar o fenômeno que estamos interessados em estudar em todos os elementos da população por ser o custo muito alto, por necessitar de muito tempo para o levantamento dos dados. Para resolver o problema devemos trabalhar com um subconjunto da população, chamado de AMOSTRA. Se selecionarmos os elementos da amostra de acordo com critérios estatísticos, podemos conhecer as informações relativas à população através da amostra. 1 A inferência estatística procura com base nos dados amostrais tirar conclusões sobre a população. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as definições dadas. Exemplo: (Notas de Aula da Disciplina MAT116 - USP) Numa pesquisa eleitoral um Instituto de Pesquisa procura com base nos resultados de um levantamento aplicado a uma amostra da população prever o resultado da eleição. Considere o candidato “A”: a) Denomine por p a proporção de pessoas que votarão em “A” na eleição. ˆ b) Denomine por p a proporção de pessoas no levantamento de opinião (amostra) que expressam intenção de voto em “A”. ˆ Podemos usar o valor de p para estimar a proporção p da população. O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho estatístico: Técnicas de Amostragem População Amostra Análise Descritiva Conclusões sobre as características da população Inferência Estatística Informações contidas nos dados 1.2. Por que precisamos aprender Estatística? Quase toda atividade e experiência humana envolvem coleta e análise de algum tipo de informação (dados). Na coleta de dados relativos ao comportamento ou outras características de um grupo de indivíduos, amostras aleatórias de um processo ou resultados de repetitivas medições, sempre envolvem variação. Métodos estatísticos representam as ferramentas básicas para compreender as variações, porque a análise estatística é a única base para tentar entender variabilidade. Os métodos estatísticos são consciente ou inconscientemente usados em várias situações, especialmente na apresentação de informações oriundas de dados numéricos. Diversas vezes, apresentações são baseadas, principalmente, em algum tipo de técnica utilizando teorias 2 • Bancos e companhias de seguro: elaboração de previsões a serem utilizadas como instrumento gerencial. da popularidade de candidatos a cargos políticos.matemáticas.. Os empregados de uma empresa devem tornar-se mais familiarizados com estatística. com vistas à economia de observações e. na determinação de fatores de risco de doenças. previsão de safras. trabalho em associação com a atuária nos cálculos das probabilidades de morte. • Hospitais e instituições de pesquisa médica: prestação de assessoria estatística no exame da validade de testes clínicos. o que assegura o nível de produção e os padrões de qualidade. projeção de demandas. Um profissional treinado em Estatística terá maior 3 . porém durante a preparação e apresentação dos dados. métodos estatísticos são utilizados para definir a técnica de coleta de dados e chegar a uma conclusão através das informações coletadas. roubo de carro. planejamento de experimentos viáveis. na avaliação da aceitação de novos produtos. detecção das variáveis que realmente influenciam o processo. montagem de tecnologia adequada de geração de indicadores econômicos. Os métodos estatísticos têm aplicações em: • Indústrias: coleta de dados na linha de produção. etc. Eles devem entender e conhecer as técnicas estatísticas disponíveis. de custo. processamento de dados com o objetivo de sintetizar e divulgar resultados. • Instituições públicas: planejamento da coleta. tratamento e análise de dados. na comparação de resultados de diversos tratamentos clínicos e no planejamento de experimentos clínicos controlados. portanto. e adaptação de dados de experimentos para a análise estatística. na realização de pesquisas para determinação do perfil do consumidor e no planejamento e execução e pesquisa para determinação das características sócio-econômicas dos habitantes da região. doença. de estudos de casos e de estudos prospectivos. para manter e controlar o processo produtivo. viabilizando-se as experiências que possam levar a alterações efetivas nesse processo. otimização de procedimentos de atendimento ao público • Centros de pesquisa: prestação de assessoria estatística em todas as fases de um projeto de pesquisa que envolva coleta. no estabelecimento de padrões de referência. otimização do processo produtivo. • Empresas de pesquisa de opinião e mercado: prestação de assessoria estatística no levantamento de audiências de programas de televisão. planejamento de métodos de coleta e análise de dados para a exploração mineral. do armazenamento e do processamento de informações. coletar estes dados e a seguir estabelecer conclusões e determinar um plano de ação para a solução do problema detectado. o conceito de probabilidade está no nosso dia a dia. publicado em 1663. mas certamente o matemático que mais contribuiu para a teoria das probabilidades foi Laplace (1749-1827). No famoso livro. uma vez que os jogos de azar sempre exerceram fascínio sobre os homens. A teoria das probabilidades passou a desenvolver-se de maneira mais organizada a partir do século XVII e importantes contribuições de ilustres matemáticos devem ser registradas. A primeira obra conhecida em que se estudam as probabilidades é o livro De Ludo Aleae (Sobre os jogos de azar) de Girolamo Cardano (1501-1576). Qualquer um que derive informações a partir de dados está agindo como um estatístico. Poderíamos citar muitos outros com importantes contribuições. fotografias de satélites. ciências sociais entre outras. Seus inúmeros trabalhos sobre as probabilidades foram incorporados em seu monumental Tratado Analítico das Probabilidades. medicina. predição de desastres naturais. “É provável que 4 .facilidade em identificar um problema em sua área de atuação. conhecido com a Lei dos Grandes Números. Atualmente as teorias das probabilidades têm extrema importância nas mais diversas áreas desde a engenharia. Breve histórico. demografia. Mas em verdade a teoria elementar das probabilidades já tinha sido objeto de atenção bem antes. jogador apaixonado. Também Galileu (1564-1642) preocupou-se com as probabilidades. economia. estudando os jogos de dados para responder a pergunta de um amigo. Diz–se geralmente que a teoria da probabilidade originou-se com Blaise Pascal (16231662) e Pierre de Fermat (1601-1665). PROBABILIDADE 2. meteorologia. Ars Cnjectandi de Jaime Bernoulli (1654-1705) encontramos um teorema de importância decisiva para a teoria das probabilidades. Despertado pelo assunto Pascal discutiu com Fermat sobre o que hoje chamaríamos de probabilidades finitas. marketing. devido à curiosidade de um cavalheiro Chevalier de Meré. epidemiologia. Sempre ouvimos e falamos frases como: ‘Provavelmente vai chover amanhã”. nome que lhe foi dado pelo matemático francês Siméon Poisson (1781-1840). administração.1. 2. Além das muitas aplicações formais. que em cartas discutiu com Pascal problemas relativos à probabilidade de ganhar em jogos de cartas. determinar os tipos de dados que irão contribuir para a sua análise. “Há boas chances de que eu possa comparecer”. Cada uma desta expressões está baseada no conceito de probabilidade de que certo evento ocorra. c) Quando o experimento é repetido um grande número de vezes. é possível escrever distribuições de probabilidades (modelos probabilísticos) que representem muito bem as distribuições de freqüências. porém. podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento . 5 . é que torna possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento. A Teoria da Probabilidade é utilizada para descrever matematicamente experimentos cujos resultados não podem ser completamente pré-determinados. surgirá uma regularidade nos resultados. Antes da moeda ser jogada não se sabe o resultado. 2. ou seja. portanto. logo.as possibilidades de resultado. visa definir um modelo matemático que seja adequado à descrição e interpretação de fenômenos aleatórios.2. Exemplo 1: Considere o experimento aleatório de jogar uma moeda uma única vez. b) Uma probabilidade. Conceitos básicos Fenômenos ou experimentos aleatórios (E): São aqueles em que o processo de experimentação está sujeito a incertezas. não é possível prever com exatidão os resultados individuais. b) Não podemos afirmar que um resultado particular ocorrerá. P( · ). Conhecem-se apenas os possíveis resultados: cara ou coroa. Admitindo-se que a moeda é honesta. que só são obtidas quando o fenômeno é observado. • Características de um experimento aleatório: a) Poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmas condições. modelos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências.o avião se atrase”. não é possível controlar todas as circunstâncias relevantes e. Fazendo-se algumas suposições adequadas. chamada de regularidade estatística. Esta regularidade. Neste exemplo. para cada ponto amostral. Modelo probabilístico é definido por: a) Um espaço amostral (Ω). cada resultado tem a mesma chance de ocorrer. O evento A pode representar a ocorrência de chuva A = {chove} ⊂ Ω Os conjuntos Ω e ∅ também são eventos: Ω é o evento certo ∅ é o evento impossível Exercício: Descreva o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos a seguir: a) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num período de 1 hora. 2.Espaço amostral (Ω): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Ω Exemplos de experimentos aleatórios e seus respectivos espaços amostrais: E1: Jogar uma moeda e observar a face superior. B. temos interesse em eventos particulares do experimento. deixando-as acesas até que queimem. 6 . em que Ω = {1.. 5.. A = {2. Resp.. 3. 6}. Exemplo 2: No lançamento de um dado consideremos o evento “ocorrer um número par”.2.N} em que N é o número máximo de peças que podem ser produzidas no período de 1 hora. 4. b) Mede-se a duração de lâmpadas. não chove} Em geral.. A: ocorrer um número par. Ω2 = { 1. Coroa } E2: Jogar um dado e observar a face superior.. Ω3 = { t ∈ ℜ / t ≥ 0 } Espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos. 2.. 4. 6 } E3: Determinar o tempo de vida útil de uma lâmpada.1. Evento: Qualquer subconjunto de um espaço amostral. C. Representado pelas letras latinas maiúsculas A. 5. 6} ⊂ Ω Exemplo 3: Vai chover no litoral baiano no fim de semana? Ω = {chove. 3.: Ω={0. Ω1 = { Cara.. 4. Exemplo 4: E: Lançamento de um dado Ω = {1. Ac ou A é o evento em que A não ocorre. co. 6} ∩ {4. 7 . c) Lançar uma moeda três vezes. 4. (co. 5} Evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4. co). 6} ∪ {1. 3. co)}. dizemos que eles são mutuamente exclusivos ou disjuntos. d) Escolher ao acaso um ponto do círculo de raio um centrado na origem. 6} Evento B ∩ C: representa sair uma face par e ímpar => {2. O Evento Bc = C e o Evento Cc = B Se dois eventos quaisquer têm intersecção vazia. 3. ca). 2. eles não podem ocorrer simultaneamente. 6}. ca. 6} = {4.Resp.3. co. 4. 2. 6} ∪ {4. isto é. 4. 2. 6} Evento B ∪ C: representa sair uma face par ou ímpar => {2. e anotar a seqüência de caras e coroas. (ca. 5} = {1. (co. co). 4. 6} Evento E: representa sair face 1 => E = {1} Evento B ∩ D: representa sair uma face par e maior que 3 => {2. os eventos B e C são mutuamente exclusivos ou disjuntos. 5.: Ω={ (ca. Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral: • • • A∩B é o evento em que A e B ocorrem simultaneamente. Operações com eventos Ao realizar um experimento aleatório diz-se que o evento A ocorreu se o resultado observado for um elemento do subconjunto A.: Ω={ ( x. co. No exemplo 4. visto que B ∩ C = ∅. ca). ca. (co. 6} = {2. 4. 6} ∩ {1. 5.: Ω={t ∈ ℜ / 0 ≤ t ≤ t0 } em que t0 é o tempo máximo de duração da lâmpada acesa. Resp. 5. 3. ca). ca. 6} Evento B: representa sair face par => B = {2. co). Resp. x 2 + y 2 ≤ 1 }. (co. 5. 4. A∪B é o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos ocorrem). sucessivamente. 6} Evento C: representa sair uma face ímpar => C = {1. 4. 4. 5. ca. y ) ∈ ℜ2 . 3. (ca. 3. 5} = ∅ Evento B ∪ D: representa sair uma face par ou maior que 3 => {2. até que ela se queime ou Ω={t ∈ ℜ / t ≥ 0 }. (ca. ca). 5. co. J ) ou sair o dois de copas? As probabilidades associam aos eventos um valor no intervalo [0. maior a certeza de sua possibilidade de ocorrência. + P( An) n = ∑ P ( Ai ) i =1 n Existem várias maneiras de atribuir probabilidade a um evento do espaço amostral. então P( i =1 U Ai ) = P( A1) + P( A2) + . An forem. Uma das formas é baseada em espaços amostrais finitos. Uma função P definida para todos os subconjuntos de Ω (chamados eventos) é chamada de probabilidade se: 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1. eventos mutuamente exclusivos. ao escolher. isto é..1]. P(A) como o quociente entre o número de elementos em A e o número de elementos em Ω: P ( A) = #A .. para todo evento A ⊂ Ω 2) P(Ω) = 1 3) Se A1. Limitações: – Dificuldade em enumerar #A e #Ω em alguns casos. 8 .. – Ω infinito. isto é. Como atribuir probabilidade a um evento? Calcular uma probabilidade é medir a incerteza ou associar um grau de confiança aos resultados possíveis de um experimento.4. Por exemplo... Um espaço amostral é equiprovável quando todos os elementos têm a mesma probabilidade de ocorrer. ao acaso. Seja Ω um espaço amostral. a razão entre os casos favoráveis ao evento e o total de casos possíveis. o que é mais provável. todos os seus elementos são igualmente prováveis. sair uma figura ( K. Q. dois a dois.. Definição: Seja A um evento associado ao espaço amostral finito Ω. uma carta de um baralho comum (bem embaralhado). (Ai ∩ Aj) = ∅ para todo i ≠ j. #Ω isto é. Quanto maior o valor associado ao evento. A2. no qual todos os resultados são igualmente possíveis (ou equiprováveis).2. Vamos definir a probabilidade do evento A. Vamos estudar duas formas. 6} P(A) = 3 6 Para calcular probabilidade utilizando a definição clássica. em geral utilizam-se os métodos de enumeração: Combinações. 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros diferentes de Física. o número de permutações de n objetos diferentes é dado por Pn=n! (Essa regra de permutação. 4. traduz o fato de que o primeiro objeto pode ser escolhido de n maneiras diferentes.– Modelo adequado apenas para a classe de fenômenos cujo espaço amostral é equiprovável. Resumo de algumas técnicas sistemáticas de enumeração 1 – Princípios básicos da multiplicação Dados dois eventos. 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. Exemplo 6: Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde. Exemplo 7: De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes de Matemática. o segundo objeto pode ser escolhido de n-1 maneiras distintas.6} A = número par = {2. 2 – Permutações Uma coleção de n objetos diferentes pode ser ordenada de n! maneiras distintas. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes. azul e cinza. A resposta é 3x26 = 192.3.n maneiras distintas.2. de modo que livros de uma mesma matéria permaneçam juntos? 9 . então os dois eventos conjuntamente podem ocorrer de m. o primeiro dos quais pode ocorrer de m maneiras distintas e o segundo pode ocorrer de n maneiras distintas.5. a partir daí. arranjos e permutações. Exemplo 5: Qual a probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado? Ω = {1. Portanto. de quantos modos se pode colorir a bandeira? Solução: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra.4. e assim por diante). Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e. C4 =   . devem ser escolhidos 6 shows dentre 30 disponíveis. com exatamente 3 homens. e permutar os escolhidos (0 ≤ p ≤ n). por que os espectadores variam no decorrer do tempo.Solução: Podemos escolher a ordem das matérias de 3! Modos. sendo a ordem importante. A resposta é: 3!5!3!2!= 6 x 120 x 6 x 2 = 8640. 2!2! = 60     10 .) Exemplo 9: Com 5 homens e 4 mulheres. Aqui a ordem tem importância. Assim o número de combinações de p objetos extraídos de um  p   conjunto de n objetos diferentes é Cnp = n! . Logo devemos calcular o número de arranjos Anp = n! 30! = = 427. Representamos o número de combinações simples de classe p de n n elementos por C np ou   . sem considerarmos a ordem. quantas comissões de 5 pessoas. Feito isso.Arranjos É o número de maneiras de escolher p objetos dentre n objetos diferentes (sem repetição). há 5! Modos de colocar os livros de Matemática nos lugares que lhe foram destinados. Cada seleção de p objetos é chamada de uma combinação simples de classe p dos n objetos.   =  3   2  3!2! . 3! Modos para os de Estatísticas e 2! Modos para os de Física. (n − p)! (30 − 6)! 4 – Combinação É o número de maneiras de selecionar p objetos distintos dentre n objetos distintos dados. que são selecionados. ( Basta notar que selecionar p entre os n p! (n − p )! objetos equivale a dividir os n objetos em um grupo de p objetos. que são os não-selecionados. podem ser formadas? Solução: Para formar a comissão devemos escolher 3 dos 5 homens e 2 das 4 mulheres. Há  5   4  5! 4! 3 2 C5 . Portanto.518.000 . 3 . Quantas programações diferentes são possíveis? Solução: Devemos selecionar p=6 dentre n=30 programas disponíveis. o número de arranjos é dado por: Anp = n! ( n − p )! Exemplo 8: No planejamento de um programa noturno da rede de televisão NBC. e um grupo de n-p objetos. 2) Um lote é formado de 10 artigos bons. desejamos o número de seqüências (ou permutações) de p=2 artigos a serem escolhidos dentre os 3. De quantas maneiras diferentes poderá o produto se deslocar durante o processo de montagem? Resp. existem 4 linhas de montagem e no terceiro estágio.: 0. P2P1. O número de seu emblema é anotado. 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. existem 6 linhas de montagem. Resp.05 11 .: 455 6) Em uma sala. b) Exatamente um seja perfeito? Resp.: 120 4) Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dia.: 0. P2D1). Temos A32 = 3! = 6 .: 0.00833. a) Qual é a probabilidade de que o menor número de emblema seja cinco? Resp. 1! Exercícios: 1) Três garotos e 3 garotas sentam-se em fila. D1P2. P1D1. P2D) 2!1! b) Quantos lotes de 2 artigos diferentes podem ser formados considerando a ordem? Solução: Aqui. existem 5 linhas de montagem. o inspetor varia a ordenação de suas visitas. Dois artigos são escolhidos (sem reposição) ache a probabilidade de que: a) Ambos tenham defeitos graves? Resp. No primeiro estágio. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente.5. D1P1. (P1P2. 3) Um produto é montado em 3 estágios.Exemplo 10: Um lote é formado de 2 artigos perfeitos e 1 defeituoso. De quantas maneiras isto poderá ser feito? Resp.: 0. De quantas maneiras poderá falhar em exatamente 3 desses estágios? Resp. A fim de evitar que os operários saibam quando ele os irá inspecionar.2. 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 até 10. Temos C 32 = 3! = 3 . (P1P2. no segundo estágio. Dois artigos são selecionados ao acaso: a) Quantos lotes de 2 artigos diferentes podem ser formados sem considerarmos a ordem? Solução: Trata-se aqui do número de combinações de p=2 artigos a serem selecionados dentre 3.: 720 5) Um mecanismo complexo pode falhar em 15 estágios.0833 b) Qual é a probabilidade de que o maior número de emblema seja cinco? Resp.: 0. Encontre a probabilidade das 3 garotas sentarem juntas. DP1. n n →∞ Exemplo 11: Suponha que vamos realizar um experimento de lançar 20 vezes uma moeda e observar o número de caras.1 0.4 0. Os resultados referentes a esse experimento encontram-se na tabela abaixo: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 na 1 1 2 3 3 3 3 4 5 5 fa= na/n 1 1/2 2/3 3/4 3/5 3/6 3/7 4/8 5/9 5/10 n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 na 6 7 7 8 8 8 8 8 9 9 fa= na/n 6/11 7/12 7/13 8/14 8/15 8/16 8/17 8/18 9/19 9/20 Vejamos o comportamento das freqüências relativas por meio do gráfico a seguir: Lançamentos sucessivos de uma moeda Número de repetições versus freqüência relativa de caras 1.As limitações da definição clássica de probabilidade. o limite da freqüência relativa de ocorrência de A é igual a P(A). que só se aplica a espaços amostrais finitos e equiprováveis. a freqüência relativa se aproxima de 0.5. n vezes.6 0. Em linguagem matemática.7 Freqüência 0.2 0. n→∞ lim f n ( A) = lim # de repetições que A ocorre = P(A) .5 0.0 0. a freqüência relativa de caras. isto é. ou seja. A cada lançamento vamos considerar o número de caras que até então ocorreram (na) dividido pelo número de lançamentos (n).8 0.3 0. Em linguagem matemática dizemos que a freqüência 12 . quando n cresce. levaram a considerar outra forma de calcular probabilidade de um evento partindo da freqüência relativa do evento ao se repetir o experimento. sob as mesmas condições.9 0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A partir desta Figura vemos que a medida que aumenta o número de lançamentos. 3 = 0.relativa “converge” para 0.2 = P(A) .P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) Generalização: P( A1 ∪ K ∪ An ) = ∑ P( Ai ) − ∑ P(Ai ∩ Aj ) + n n i =1 i< j i< j <r ∑ P(A ∩ A n i j ∩ Ar ) + K + (− 1) n −1 P( A1 ∩ K ∩ An ) Exemplo 12: Se P(A∩Bc)=0. Exercício (TRIOLA): Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade. Resp.2 + 0.: 0.3 P (A ∪ B) = 0.5 13 .P(A ∩ C) .P(A ∩ B) .3201.P(A ∩ B) Demonstração: A∪B = A∪[B∩Ac] B = (A ∩ B) ∪ (B∩Ac) P(A∪B) = P(A) + P (B∩Ac) -P(B) = -P(A ∩ B) . 1162 afirmaram que “colavam”nos exames. Dificuldade do ponto de vista matemático: o número do limite real pode não existir.P(B) ⇒ P(B)= 0. Teoremas: 1) P(∅) = 0 2) Se Ac é o evento complementar de A.P(A∩B) ⇒ P(A) = 0. então: P (A ∪ B) = P(A) + P(B) . Selecionando aleatoriamente um desses estudantes.2 e P(Bc)=0.P (B∩Ac) P (A∪B) = P(A) + P(B) . então P(Ac) = 1.P(A ∩ B) 4) Se A.2 + P(A∩B) P(Bc)= 1 – P(B) ⇒ 0. determine a probabilidade deste estudante ter “colado” em um exame.5. B e C forem três eventos quaisquer. enquanto 2468 afirmaram não “colar” [com base em dados do Josephson Institute of Ethics (Instituto Josephson de Ética)]. então: P (A ∪ B ∪ C)=P(A) + P(B) + P(C) . Achar P(A∪B)? (Use diagrama de Veen) P(A∩Bc)= P(A) – P(A∩B) ⇒ 0.P(A) 3) Sejam A e B dois eventos quaisquer.7 = 1 .7. c) a peça seja boa ou tenha defeito grave? Resp. Uma pessoa é escolhida ao acaso. 6 mulheres maiores de 21 anos e 3 mulheres menores de 21 anos. c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? Resp.:0. na faixa etária entre 20 e 24 anos com relação às variáveis Sexo e Leitura.722. 1 . b) a peça não tenha defeito? Resp. no tipo B. b)0. 14 . B: a pessoa é menor de 21 anos.160 b) Qual a probabilidade de que se encontrem ao menos 2 peças defeituosas? Resp.167. Define-se os seguintes eventos: A: a pessoa é maior de 21 anos.5512 2.:0. 30 1 80 e em ambos.:0. 2) Dois processadores tipo A e B são colocados em teste por 50 mil horas. Calcule a probabilidade de que: a) a peça não tenha defeito grave? Resp. c)0 4) Uma remessa de 30 arruelas contém 5 peças defeituosas e 25 perfeitas. C: a pessoa é homem e D: a pessoa é mulher. 1000 Qual a probabilidade de que: a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? Resp.045. Dez arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classificadas. 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves.625.:0.: 0.875.Exercícios: 1) Um lote é formado por 10 peças boas.75.: a)0.:0.955. a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 3 peças defeituosas? Resp.:0. b) Nenhum processador tenha apresentado erro? Resp. 4 homens com menos de 21 anos de idade. Uma peça é escolhida ao acaso.032 3) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens maiores de 21 anos. Calcule: a) P(B ∪ D) b) P( A ∩ C ) c) P(A ∩ B) Resp. Probabilidade condicional Considere o exemplo abaixo: Dados do Censo Demográfico de 91 publicado pelo IBGE relativos aos habitantes de Sergipe. A probabilidade que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 1 .5.:0. 969 Total 48.P(M ∩ L) = 0. #Ω=101.527 P ( M ∩ L) = P (M ∪ L) n º de jovens do sexo masculino e que sabem ler 39. Eventos de interesse: • • • • • M: “jovem sorteado é do sexo masculino” F: “jovem sorteado é do sexo feminino” L: “ jovem sorteado sabe ler” M ∩ L: “ jovem sorteado é do sexo masculino e sabe ler” M ∪ L: “ jovem sorteado é do sexo masculino ou sabe ler” Podemos obter algumas probabilidades: P( L) = P( M ) = nº de jovens que sabem ler 85.850.672 7.P(M) = 1 .843 nº de jovens de Ω 101.Sexo Masculino Feminino Total Lê 39.297 15.843 . qual é a probabilidade de que saiba ler? Temos uma informação parcial: o jovem é do sexo masculino.245 = = 0.473 nº de jovens de Ω 101.928 No exemplo anterior. se soubermos que o jovem sorteado é do sexo masculino. É natural atribuirmos: P (L M) = nº de jovens que sabem ler dentre aqueles do sexo masculino 39. • Ω: conjunto de jovens de Sergipe.249 15 .388 = 0.249 53.0.881 Não lê 8.473 + 0.881 = = 0.577 46.850 E: Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.850 P(F) = P(Mc) = 1 .601 101.820 nº total de jovens do sexo masculino 48.473 = 0. com idade entre 20 e 24 anos.577 = = 0. Vamos designar a probabilidade de que o jovem sabe ler quando se sabe que o jovem é do sexo masculino por P (L M ) e denominá-la probabilidade condicional de L dado M.0.850 = P(M) + P(L) .304 85.557 = nº de jovens Ω 101.850 n º de jovens do sexo masculino 48. com P(B) > 0. Retira-se uma ficha da urna ao acaso e anota-se o número.Note que: nº jovens do sexo masculino e que sabem ler nº total de jovens P (L M) = nº jovens do sexo masculino nº total de jovens P (L M) = P (M ∩ L) P (M) Por exemplo. Regra ou Teorema do produto Como conseqüência da definição de probabilidade condicional. 850 Definição de probabilidade condicional: Sejam A e B eventos de um experimento aleatório qualquer.460 P (M L ) = = 85 . e retira-se novamente uma ficha. a probabilidade de ser do sexo masculino dado que lê é dada por: 39 . e de ser 5 a soma dos números das duas fichas retiradas? Solução: Evento A: sair o número 1 na primeira retirada =>P(A) = 1 Evento B: soma = 5 16 4 .881 P (L) 101 .6.577 P (M ∩ L) 101 . Qual a probabilidade de ter saído a ficha com número 1. da urna. Esta ficha então é recolocada na urna. 850 = 0. podemos calcular a probabilidade da ocorrência conjunta de dois eventos A e B. na primeira retirada. A probabilidade condicional de A dado B(denota-se por P (A B) é definida como: P(A B) = P(A ∩ B) P(B) 2. ao acaso. P( A ∩ B) ⇒ P( A ∩ B) = P( A | B ) ⋅ P( B) P( B) P( A | B ) = Exemplo 13: Uma urna contém fichas numeradas de 1 a 4. 15. B e C. Sabendo-se que P(A)=0.0082 b) De ocorrer A e não B? Resp. considere 3 eventos A.0002 2) Um sistema eletrônico consta de dois sub-sistemas digamos A e B.:0.001.:0.Evento B|A: {soma = 5 | a primeira ficha é 1}. As válvulas são ensaiadas. uma a uma. até que ambas defeituosas sejam encontradas. 3 P( A ∩ B) = P(B | A) ⋅ P( A) = 2 ⋅ 1 = 2 4 3 12 De modo geral. Qual a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio? Solução: Evento A: sair uma válvula defeituosa =>P(A) =2/4 Evento B: a última válvula é defeituosa Evento B|A: sair a última válvula defeituosa | saiu uma válvula defeituosa ⇒ P(B|A) = 1 Pelo teorema do produto temos que. Calcule: a) P(A falhe | B falhou).1.008 e P(A|B)=0.5 17 . P( A ∩ B) = P(B | A) ⋅ P( A) = 1 ⋅ 1 = 1 4 4 16 Exemplo 14: Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. De testes prévios sabese que: P(A falhe)=0.15 e P(B falhe sozinho)=0. P(A e B falhem)=0.20. tem-se que Esta relação pode ser estendida para um número finito qualquer de eventos. P(B)=0. Respostas: 0. se queremos que a soma seja 5. Exercícios: 1) As falhas na fundação de um grande edifício podem ser de dois tipos: A (capacidade de suportar) e B (fundação excessiva). então é preciso que a segunda ficha seja o número 4 ⇒ P(B|A) = 1 4 Pelo teorema do produto temos que. determinar a probabilidade: a) De haver falha na fundação? Resp. Se vamos testando as lâmpadas.. uma por uma. eventos mutuamente exclusivos.05 3) Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lâmpadas boas. em que A ∩ B e Ac ∩ B são conjuntos disjuntos.. Pela regra do produto P(B) = P(A). An forem. Deste modo. A2.. Regra da Probabilidade Total Sejam A e B dois eventos de um experimento qualquer. dois a dois. n 18 . P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) DEFINIÇÃO DE PARTIÇÃO: Tem-se uma partição de um espaço amostral em um número finito de eventos Ai ( i = 1. qual é a probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste? Resp.b) P(A falhe sozinho). (Ai ∩ Aj) = ∅ para todo i ≠ j.. Então.7. 2) i =1 U Ai = Ω . B B ∩ AC B∩A Ac A considerando a ocorrência ou não do evento A: ou A e B ocorrem (A ∩ B) ou Ac e B ocorrem (Ac ∩ B)..: 3/28 2. P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B).. Há duas maneiras de B ocorrer. isto é.. até encontrar duas defeituosas. os eventos A são exaustivos. Respostas: 0.n) se: 1) Se A1. isto é.2.. B = (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B). n e P(B A) indica a i probabilidade do parafuso ser defeituoso sabendo-se que foi produzido pela i–ésima máquina. Em linguagem matemática. pela regra da probabilidade total... A2... i = 1. 2. An formar uma partição de Ω..8.2. Sejam P(Ai) a probabilidade de um parafuso provir da i-ésima máquina.. escolhe-se ao acaso um parafuso. do qual extrairemos 2 peças sem reposição. Qual a probabilidade de que o parafuso seja defeituoso? Solução: Se B representa o evento “parafuso escolhido defeituoso”..B ⊆ Ω. An ( ) B Exemplo 15: Um lote de 100 peças é composta de 20 peças defeituosas e 80 peças perfeitas. 20 99 = 1 5 Exemplo 16: Em uma fábrica de parafusos são utilizadas n máquinas.. Do total de parafusos produzidos pela fábrica... dados A. se e somente se: P( AB) = P(A) e P( BA) = P(B) 19 . temos que: P(B) = P(B A1 ) P(A1) + P(B A 2 ) P(A2) + ….19 99 + 80 100 . P(B | A) + P(Ac) P(B | Ac) = 20 100 .. então: A1 P(B) = ∑ P(A i ∩ B) = ∑ P(Ai )P B Ai i i n n A2 A3 ....+ P(B A n ) P(An) Podemos ainda estar interessados em saber a probabilidade da i-ésima máquina ter produzido o parafuso defeituoso.. Qual a probabilidade da segunda peça extraída ser defeituosa? Solução: Evento A: a primeira peça extraída é defeituosa Evento B: a segunda peça extraída é defeituosa Pela regra da probabilidade total temos que. A e B são ditos independentes. Eventos Independentes Dois eventos são ditos independentes quando a ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do outro. P(B) = P(A)..Regra da Probabilidade Total: se a seqüência de eventos aleatórios A1.. .P(A).P(B) = 2/3 + 3/4 – (2/3)(3/4) = 2/3 + 3/4 – 2/4 = Generalizando: Os eventos A1. qual a probabilidade do problema ser resolvido? Solução: A: A resolve B: B resolve A ∩ B: A e B resolvem A ∪ B: A ou B resolvem => o problema é resolvido Como são eventos independentes. igualdades a serem verificadas  2 3     • Para quatro eventos é necessário verificar onze igualdades que são:  4  +  4  +  4  = 6 + 4 + 1 = 11 2 3 4       • Para “n” eventos é necessário verificar: n n ∑  k  = 2n − n − 1   k =2   igualdades 20 .Nesse caso. P(B) Exemplo 19: A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3 e a probabilidade de que B resolva é de 3/4. • Para que três eventos sejam independentes é necessário verificar quatro igualdades: P(A ∩ B) = P(A) P(B) P(A ∩ C) = P(A) P(C) P(B ∩ C) = P(B) P(C) P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C) 8−3 5 = . An ⊆ Ω. A2.... 12 12 que corresponde à  3  +  3  = 3 + 1 = 4 . são independentes se e somente se a independência for verificada para todos os subconjuntos de dois ou mais eventos desta família. P(A ∩ B) = P(A). Se ambos tentarem independentemente.P(B) e P(A ∪ B) = P(A) +P(B) . temos que P(A ∩ B) = P(A). : 1/12 e 1/2. ∀ A ⊆ Ω.4 de falhar quando a máquina é ligada. e anotar a seqüência de caras (K) e coroas (C ).9976. 2.3. sucessivamente. 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Descrever o espaço amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos a seguir: E1: Lançam-se dois dados perfeitos e observam-se os números nas faces voltadas para cima. Resp. E2: Lançar uma moeda três vezes.: 0.Se Ai. e 0. então n  n P I Ai  = ∏ P( Ai)  i =1  i =1 Observar que:  P( A ∩ B) = P( B | A) P( A)   P( A ∩ B) = P( A | B) P( B) para eventos quaisquer (condicional) {P( A ∩ B) = P( A) P( B) para eventos independentes Como conseqüência dos resultados acima.1. têm-se que ∅ e Ω são independentes de qualquer evento A. 21 .. 2) A probabilidade de um homem viver. A2: Sair pelo menos duas caras. mais dez anos é ¼ e a probabilidade de uma mulher viver mais dez anos é 1/3. Encontre a probabilidade de ambos estarem vivos dentro de dez anos e de ao menos um estar vivo dentro de dez anos. n. i= 1. Supondo que as falhas são independentes entre si e se cada componente tem respectivamente as probabilidade 0. 0. 3. é uma família finita de eventos independentes. Para ver isto note que: 1) P(∅ ∩ A) = P( ∅ ) = 0 = P(∅) P(A) 2) P(Ω ∩ A) = P(A) = P(Ω) P(A) Exercícios: 1) Uma máquina consiste de 4 componentes ligados em paralelo de tal forma que a máquina falha apenas quando todos os componentes falharem. 0..2.. qual é a probabilidade da máquina não falhar ? Resp.. A1: A soma das faces é sete. A7: Pelo menos dois artigos são bons. A9: Quinze ou mais peças foram fabricadas 2) Suponha-se duas urnas contendo. sem reposição. As peças são retiradas uma a uma. sucessivamente. mas B e C não ocorrem. Determine os seguintes eventos: a) a soma do número de pontos é ímpar. e) P(A ∩ B). O número total de peças retiradas é registrado. E8:Um lote de dez peças contém três defeituosas.E3: Lançar uma moeda e um dado. c) P(A ∪B ). deixando-as acesas até que queimem. até que a ultima peça defeituosa seja encontrada. Da linha de produção são retirados 3 artigos e cada um é classificado como bom(B) ou defeituoso(D). c) B ocorre. E5: Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num período de 1 hora. 3) Sejam A. e registrar o número de caras ocorrido. A8: Menos de cinco peças foram retiradas. cada uma. e) não ocorre A e não ocorre B. mas C não corre. E4: Lançar uma moeda três vezes. 22 . g) somente A ocorre. Estabeleça uma expressão para os eventos abaixo: a) A e B ocorrem. A6: O tempo de vida da lâmpada é inferior a 30 horas. E7: Um fabricante produz um determinado artigo. P(A ∩ B) =1/8. em retirar. calcule: a) P(A ∪ B). ao acaso. b) a bola extraída da primeira urna contém o número dois. P(B) = 3/8. uma bola de cada urna. d) A não ocorre. b) P(A ∩B). simultaneamente. b) A ou B ocorrem. f) A e B ocorrem. A4: Sair pelo menos duas caras. Descreva o espaço amostral. O número total de peças fabricadas é anotado. Considerase o experimento que consiste. A5: Obter menos de 3 defeituosas E6: Mede-se a duração de lâmpadas. E9: Peças são fabricadas até que dez peças perfeitas sejam produzidas. B e C três eventos quaisquer. quatro bolas numeradas de 1 a 4. mas A não ocorre. 4) Dados P(A) = 1/2. e registrar os resultados. A3: Obtenção de face impar no dado. d) P(A ∩B ). três de títulos diferentes (curto. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima.20 0.25 0. seleciona-se aleatoriamente um número dentre os de 1 a 5. 23 . se aparecer coroa. Mercado Título curto prazo Título médio prazo Título longo prazo Ação de alto risco Ação de risco moderado Misto 0. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0.15 0. Construa o diagrama em árvore. 9) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se aparecer cara. enquanto a probabilidade de ocorrência de A for igual a 0.5) Uma empresa de fundos mútuos oferece a seus clientes diversos fundos: um de mercado. esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas.6. queima dos enrolamentos. Calcular a probabilidade de que saiam uma bola branca e duas bolas pretas. médio e longo prazos). Dentre os usuários que possuem cotas em apenas um fundo. Ache a probabilidade de um número par ser selecionado. a) Qual a probabilidade de o indivíduo selecionado ao acaso possuir cotas do fundo misto? b) Qual a probabilidade de o indivíduo selecionado ao acaso possuir cotas em um fundo de títulos? c) Qual a probabilidade de o indivíduo selecionado ao acaso não possuir cotas em fundo de ações? 6) Certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais. Qual será a probabilidade de que a falta seja devida a cada uma dessas circunstâncias? 7) Uma urna U1 contem 5 bolas brancas e 2 pretas. seguem as probabilidades de clientes dos diferentes fundos. então seleciona-se aleatoriamente um número dentre os de 1 a 9. dois fundos de ações (moderado e de alto risco) e um misto.05 0.18 0.10 0. outra urna U2 contem 3 bolas brancas e 6 bolas pretas. 8) Lança-se uma moeda viciada de modo que a probabilidade de cara(K) é igual a 2/3 e a probabilidade de coroa(C) é igual a 1/3. Tira-se uma bola de cada urna.4 determine a probabilidade de ocorrência de B. e outra urna U3 contem 4 bolas brancas e 4 bolas pretas.07 Um cliente que possui cotas em apenas um fundo é selecionado aleatoriamente. desgaste das escovas. Lâmpada 2 Acesa 0. 13) Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionará independentemente. c) não seja uma indústria que produza garrafas. b) (A ∩B ). 8 que produzem utensílios domésticos (U) e 2 que se encarregam de brinquedos (B). Lâmpada 1 Acesa Apagada Pergunta-se a) O fato ‘’Lâmpada 1 acesa” é independente de ‘’Lâmpada 2 acesa”? Justifique a resposta. c) (A∪ B).15 0. Se cada alarme tem probabilidade 0.10 Apagada 0. 10 que produzem garrafas (G). deseja-se em função destas. que ambas as lâmpadas estavam simultaneamente apagadas 30% do tempo. 12) Uma associação de indústrias transformadoras de resinas plásticas é composta de 20 empresas que produzem sacos plásticos (S). O quadro mostra por exemplo. Ao escolhermos uma empresa ao acaso. as expressões das probabilidades dos seguintes eventos: a) (A ∪B). b) seja uma indústria produtora de sacos plásticos ou brinquedos. achar a probabilidade de que: a) seja uma indústria que produza sacos plásticos ou utensílios domésticos.45 0.30 24 .9 de trabalhar eficientemente. obtenha a confiabilidade do sistema. d) (A ∩ B). qual é a probabilidade de se ouvir o alarme quando necessário? 14) Suponha que todos os componentes da figura a seguir tenham a mesma confiabilidade (probabilidade de funcionar) p e funcionem independentemente.10) Se A e B são dois eventos relacionados com uma experiência E e são conhecidas as probabilidades P(A). 11) Certo aparelho eletrônico tem duas lâmpadas que podem estar acesas ou apagadas. quando qualquer coisa indesejável ocorrer. b) O fato ‘’Lâmpada 1 apagada” é independente de ‘’Lâmpada 2 acesa”? Justifique a resposta. P(B) e P(A∩ B). tendo sido observadas as seguintes probabilidades apresentada no quadro adiante. 5) horas? b) Calcule P(X ≥ 5) c) Calcule a probabilidade de um indivíduo dedicar pelo menos 5 horas de atividade física. enquanto P(AUB) =0. Considere a tabela a seguir: Sexo Feminino Masculino Número de horas de atividades físicas 0≤X<3 22 3 3≤X<5 8 4 X≥5 7 6 a) Qual é a probabilidade de sortear aleatoriamente uma menina com atividade física semanal na faixa de [3. com confiabilidade 0. 0.9. isto leva a falha em toda a estrutura. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema. Supondo que as falhas nas barras são estatisticamente independentes. a) Para que valor de p. A e B serão independentes? 17) Sob a ação de uma força F.04. sabendo-se que ele é do sexo feminino? 16) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento.8 e 0. respectivamente.06. Se ocorrer a falha em qualquer uma das barras.7.7. Seja P(B) = p. b a c 18) Um sistema é composto de 3 componentes 1. se 2 ou 3 25 .05 e 0. 2 e 3. sabendo-se que ele é do sexo masculino? d) Calcule a probabilidade de um indivíduo dedicar pelo menos 5 horas de atividade física. A e B serão mutuamente exclusivos? b) Para que valor de p.15) Suponha que X represente o número de horas de atividades físicas por semana. b e c da estrutura mostrada na figura a seguir são respectivamente 0. Suponha que P(A) = 0. 0.4. ache a probabilidade de ocorrer a falha da estrutura. as probabilidades de falha nas barras a. 19) Um processo industrial produz 4% de itens defeituosos.seja um item defeituoso? 20) Uma fábrica dispõe de 3 máquinas para fabricar o mesmo produto. Supondo que os componentes funcionem independentemente. Se os artigos sem defeito sempre passam pela inspeção e se 10% dos artigos processados são defeituosos. Com base na tabela adiante. Qual das três máquinas deve ser substituída? 21) Um artigo manufaturado que não pode ser usado se for defeituoso. e Opinião sobre a Reforma Agrária. Além disso. A experiência mostra que um dos inspetores deixará passar 5% dos defeituosos. o sistema funciona. qual a probabilidade de que este estudante seja mulher? 23) A tabela a seguir apresenta informações de alunos de uma universidade quanto às variáveis: Período. A experiência mostra que 25% dos itens defeituosos produzidos não são percebidos pelo inspetor de qualidade. se você comprar um desses itens. Essas máquinas são antigas e apresentam freqüentemente defeitos de funcionamento com as seguintes percentagens do tempo de utilização: MÁQUINA TEMPO COM DEFEITO (%) A 40 B 35 C 25 Verificam-se nas peças produzidas as seguintes porcentagens de peças defeituosas: MÁQUINA A B C PEÇAS DEFEITUOSAS (%) 2 4 5 A gerência decide substituir uma das máquinas a fim de diminuir a porcentagem de peças defeituosas. mas com rendimento inferior. Os itens bons sempre são aceitos satisfatoriamente pela inspeção. 45% dos estudantes são mulheres.não funcionam. Se um estudante selecionado aleatoriamente está estudando matemática. determine a probabilidade de escolhermos: a) Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária? 26 . Qual a probabilidade de que. calcular a confiabilidade do sistema. deve passar por duas inspeções antes de receber embalagem. Sexo. ao passo que o segundo inspetor deixará passar 4% dos tais artigos. que percentagem dos artigos que passaram pelas duas inspeções são defeituosos? 22) Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemática. A falha simultânea de 2 e 3 implica o não funcionamento do sistema. enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Determine a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de no mínimo 10% dado que a divisão de Produtos Marítimos tenha alcançado tal nível de lucro. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta.20. 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. um que seja a favor da reforma agrária? d) Uma pessoa sem opinião. 86 erraram o segundo. escolhido ao acaso: a) não tenha acertado nenhum problema? b) Tenha acertado apenas o segundo problema 25) Uma grande empresa tem dois departamentos de produção: Produtos Marítimos e Produtos para Oficinas. 26) Suponha que temos duas urnas 1 e 2. e a probabilidade de que ambas as divisões tenham uma margem de lucros de no mínimo 10% é 0. sabendo-se que ela é do sexo feminino? Período Sexo Feminino Masculino Feminino Masculino Reforma Agrária Contra 2 8 4 12 A Favor 8 9 8 10 Sem Opnião 2 8 2 1 Diurno Noturno 24) Em uma prova caíram dois problemas. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2? 27) Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratório de química de uma universidade. A probabilidade de que a divisão de Produtos Marítimos tenha no corrente ano fiscal. Qual a probabilidade de que um aluno.06. Uma urna é escolhida ao acaso. cada uma com duas gavetas.30. Verifica-se que a moeda encontrada nesta gaveta é de ouro. existe uma pequena chance de subestimação ou superestimação das medidas efetuadas. uma margem de lucros de no mínimo 10% é estimada em 0. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro. a seguir uma de suas gavetas é aberta ao acaso. a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de pelo menos 10% é 0. Apesar de serem aparelhos de precisão. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada fábrica: 27 .b) Uma mulher contrária a reforma agrária? c) Dentre os estudantes do noturno. 99 Superestima 0.40.05. dado que não subestima as medidas. ao acaso. são: P(F|A) =0. 0. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por estas fábricas não funcione são 0. 30% e 10% do tempo respectivamente usam-se os processos A. respectivamente. 30) Uma indústria química produz uma grande variedade de produtos usando quatro diferentes processos. Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas. Determinar qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I.01 As fábricas I.03.015 Superestima 0. B. 30% e 50% dos aparelhos utilizados. mas suponha agora que um circuito é escolhido ao acaso e seja defeituoso. O gerente da indústria sabe que a descarga de uma poluição perigosa no rio que passa em volta da mesma. Escolhemos.04 e 0.10. a mão de obra disponível é suficiente somente para que apenas um processo seja executado num dado instante.01 Superestima 0. enquanto a II e III produzem 30 % cada uma. 20%. C e D.98 Exata 0. um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de: a) Haver superestimação de medidas b) Sabendo que as medidas dão exatas.01 Subestima 0.30. P(F|B) = 0. P(F|C) = 0. As probabilidades de ocorrer poluição perigosa para os vários processos. Todos os outros produtos da fábrica são considerados inofensivos. II.98 Exata 0. I.Fábrica I Probabilidade Fábrica II Probabilidade Fábrica III Probabilidade Subestima 0. Em um determinado mês sabe-se que em 20%. respectivamente. 40%. II e III. P(F|D) = 0.005 Subestima 0. denotando por F uma descarga de poluição perigosa. A fábrica I produz 40% dos circuitos.00 Exata 0. III fornecem. depende do processo que está em operação.01. ter sido fabricado em III c) Ter sido produzido por I. Deseja-se saber qual a probabilidade de não termos uma descarga de poluição perigosa no determinado mês? 28 . 28) Uma companhia produz circuitos integrados em três fábricas. Qual a probabilidade de o mesmo não funcionar? 29) Considere a situação do problema anterior. 3).2). 1.. A6 = {t: t < 30 } ou A6 = { t: 0 ≤ t < 30 } E7: Ω7 = {BBB.1). (4. (2..5). (2. CKK. (K.122 15) a)0.. (3.5). (1. 3} E5: Ω5 = {0.1).. CCC } A2 = {KKK. DBB.3). BDD.P(A) .P(A∩B). BBD.P(A∩B).02% 24) a) 0...1).} A9 = { 15.. (C.6).70.2). 5. 4/13 e 1/13 10) a) 1 . DBD. BBD. 2.1).. (1..2).80.. N }.01 20) B b)0. KCK...298 12) a) 0.. 17. 2} E6: Ω6 = {t: t ≥ 0 } ou Ω6 = {t: 0 ≤ t ≤ to} onde to é o tempo máximo de vida da lâmpada. (5. 11)a)Sim b)Sim 13) 0. DDB.3 21) 0.. d) P(B) .3).3)} b) B = {(2. (K.1).503 c)0.6) } A3 = {(K. (2.154 27) a)0. 4...4). (4.6) } A1 = {(1. c) 1 . (6.20.2p3 ...081 c)0.16 30) 0.3). (C.P(A) + P(A∩B).. (K. 3 } A4 = {2.07 b)0.2)... BDB.. (4. 6) 8/13.2). 16. (C.6667 28) 0. (6. CKK } E3: Ω3 = {(K.Gabarito da 1ª Lista de Exercícios l) E1: Ω1 = {(1.5 22) 0.2 26) 0. b) 0.025 29) 0. 18) 0.2). 1. (1.16. c) A ∩B.1).30 c)0.2). (3.. 4} E9: Ω9 = {10. c) 0.3). KCC.1)... (3.1).1)..4).7 b) 0.. (3. 3.2). (1. (2.8 29 .1).1).4). (1.012 b)0.1). CKC.1)..999 16) a )0.. d) 0. 1.. (C. (4. (2.. 2.3)..3).55 c) 0. f) A∩B∩C 4) a)0. .1) } E2: Ω2 = {KKK. (2. b) 0..4)} a) A={(1.3). (C..} 2) Ω ={(1. 10 } A8 = { 3.p4 + p5 b ) 0. KKC..5) } E4: Ω4 = {0.199 b ) 0.P(B) + P(A∩B). (2... (6. (3.3333 g) (A∩B∩C). b) A ∪ B.(K.. (3.4)} 3) a) A∩ B. (2. (6....1427 23) a)0. d)A. . CCK.6): (2.º máximo de peças defeituosas no período de 1 h A5 = {0..6).2). 11.3).2).846 19) 0.4)..75 14) p + 2p2 . DDD } A7 = {BBB. e) A ∩ B. (3.57 7) 8/21 8) 0. (2.. 5) a)0.189. (4.. DBB } E8: Ω8 = {3. (1.6). (2..4296 9) 0.486 d)0. BDB. N é o n.4). c) 0... b) 1 .. (2.. (C.26.. (4.169 25) 0..462.. KKC: KCK.2). (2. (4.1).4). 12.2).3529 17) 0.2). w2} 1.3. Sejam E um experimento e Ω um espaço amostral associado ao experimento.y) / x2 + y2 ≤ 1} e X(w)= x2 + y2 30 . ou seja. Assim. X: Ω → R Exemplo 1: a) E: Lançamento de uma moeda.1]. Assim. Assim. X(w2 ) = X(w3) = 1. ou seja se der cara. e X(w)= w2 ∀ w ∈ Ω d) E: Escolher um ponto ao acaso no círculo unitário. X (w ) =  0. Ω = {cara. se w = w 1 . Vamos denotar c: cara e k: coroa. ck.1. w4 } X(w1) = 2. Uma variável aleatória X é. Conceitos básicos Definição 1. se w = w 2 . kk }= { w1. Seja X a distância do ponto escolhido à origem. w2. Ω = { (x.1] . Seja X o quadrado do valor escolhido. w3. Seja X o número de caras obtidas no experimento. ou seja. Assim Ω = [0. uma função cujo domínio é o espaço amostral e contradomínio é conjunto dos números reais. Ω = { cc. Uma função X que associe a cada elemento wi ∈ Ω um número real. coroa}={w1. se der coroa b) E: Lançamento de duas moedas. portanto. kc. X(w4) = 0 c) E: Escolher um ponto ao acaso no intervalo [0. é denominada variável aleatória. X(wi). VARIÁVEL ALEATÓRIA 3. Seja X uma variável aleatória. Seja X o número de indivíduos do sexo masculino sorteados => X(Ω) = {0. Exemplo 2: Sorteio de n indivíduos de uma população.2.a. então X é denominada variável aleatória discreta. a) ∑ P ( X = x i ) = 1 i =1 ∞ b) P(X = x) = p(x) ≥ 0 Exemplo 4: E: lançamento de um dado honesto. A distribuição de probabilidades de X é o conjunto de pares de valores que associa a cada valor da variável xi a probabilidade P(X = xi): (x1. 3... X: número da face observada => X(Ω) = {1.Definição 2. 4. P(X = x2)). x2. 6} A distribuição de probabilidade (ou função de probabilidade) de X é dada por: X P(X=x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 31 .... Suponha que esta fábrica produza parafusos com diâmetro entre 3 e 10 mm e comprimento entre 20 e 35 mm X = Diâmetro do parafuso => X(Ω) = [ 3. 2. 10] Y = Comprimento do parafuso ⇒ Y(Ω) = [20... P(X = xn)). discreta que assume os valores x1.. n} Definição 3. Exemplo 3: Retirada ao acaso um parafuso da produção diária de uma fábrica e registro de seu diâmetro (em mm) e comprimento (em mm). 35] 3.. P(X = x1)). então X é denominada variável aleatória contínua. Se X assume valores em um conjunto infinito não enumerável. (x2. De maneira que.. Seja X uma variável aleatória... 5. (xn... Se X assume valores em um conjunto finito ou infinito enumerável.xn.. 2.. 1.. Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta Seja X uma v. 3.. Coroa) (Coroa. P (X = 0) = ¼ P (X = 1) = ¼ + ¼ = ½ P (X = 2) = ¼ Exemplo 6: (Morettin e Bussab.Exemplo 5: Considere novamente o exemplo do lançamento de duas moedas. LONGO ou CURTO. Para estudar a viabilidade do seu empreendimento.. Estes valores estão na tabela abaixo: Distribuição da produção das fábricas A e B. Cara) (Coroa. de acordo com as medidas das peças produzidas Produto Fábrica A Cilindro Dentro das especificações. foram obtidos dos fabricantes o preço de cada componente (5 unidades de dinheiro) e as probabilidades de produção de cada componente com as características BOM. o empresário quer ter uma idéia da distribuição dos lucros por peça montada. Além disso..80 0.. As partes são adquiridas em fábricas diferentes. conforme sua medida esteja dentro da especificação. CURTO (C) 0.10 0. Coroa) X (w) 2 1 1 0 Probabilidade P (X = xi) ¼ ¼ ¼ ¼ Obtemos então. Sabe-se que cada componente pode ser classificado como BOM.70 0..10 Fonte: Retirada das especificações técnicas das fábricas A e B 32 . LONGO e CURTO.. Seja X o número de caras Resultados (w) (Cara.... seja ela maior ou menor que a especificada.20 0... LONGO (L) Menor que as especificações. e isso só poderá ser verificado após a montagem. Cara) (Cara... BOM (B) Maior que as especificações. O produto acabado deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites. 2006) Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro..10 Fábrica B Esfera 0.. e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las.. 70 L 0.01 B P(CB) = 0.70 0. vejamos a construção do espaço amostral para a montagem dos conjuntos segundo as características de cada componente e suas respectivas probabilidades.02 P(CC) = 0.70 B 0.80 C P(BC) = 0.01 O espaço amostral em questão está apresentado na tabela adiante. vamos supor que a classificação dos cilindros segundo suas características sejam eventos independentes. Cilindro Esfera 0. estaremos trabalhando com um modelo da realidade. Primeiramente.56 P(BL) = 0. junto com as respectivas probabilidades. obtemos a configuração abaixo. ele será irrecuperável.10 0.Se o produto final apresentar algum componente com a característica C. Se o preço de venda de cada unidade é de 25 unidades.02 P(LC) = 0.20 L 0.07 L B P(BB) = 0. Cada componente longo pode ser recuperado a um custo adicional de 5 unidades.20 0.10 C 0.20 0.10 C L P(LB) = 0.08 0.10 C P(CL) = 0.07 P(LL) = 0. como seria a distribuição das frequências da variável X: lucro por conjunto montado? A construção desta distribuição de frequências vai depender de certas suposições que faremos sobre o comportamento do sistema considerado.16 B 0. assim. Em vista dessas suposições. tanto mais próxima da distribuição de frequências real quanto mais fiéis à realidade forem as suposições. e o conjunto será vendido como sucata ao preço de 5 unidades. Desde que os componentes vêm de fábricas diferentes. e a distribuição que obteremos será uma distribuição teórica. 33 .10 0. Estabeleça a função distribuição de probabilidade de X. discreta e sua função distribuição de probabilidade seja P(X = k) = ck.56 15 BL 0.00 3 0. P(A1) = 0.07 10 LL 0.01 -5 CB 0.LB} se ocorrer o evento A3 = {LL} se ocorrer o evento A4 = {BC.: x P(X = x) 0 0.19 o que nos permite escrever a distribuição de probabilidade da variável X. vemos que X pode assumir um dos seguintes valores: 15 se ocorrer o evento A1 = {BB} 10 05 -5 se ocorrer o evento A2 = {BL.384 2 0.2. 2) Considere um lote de peças que contém 20% de defeituosas.3. x 15 10 05 -5 Total Exercícios: 1) Suponha que X seja uma v.08 -5 LB 0.07 -5 CL 0. Resp.008 . Determine o valor da constante c.02 -5 CC 0.19 1. Extraímos ao acaso três peças com reposição para análise.CL.Tabela: Distribuição de probabilidade das possíveis composições das montagens Montagem Probabilidade Lucro por montagem (X) BB 0.01 -5 Fonte: Informações no texto Assim. que o empresário poderá usar para julgar a viabilidade econômica do projeto que ele pretende realizar. para k = 1. Res.a. 1/15. com os dados da tabela acima.LC.02 0.23 0. Seja X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas.23 P(A3) = 0.4 e 5.56 P(A2) = 0.512 1 0.096 34 P(X = x) 0.02 P(A4) = 0.CC} Cada um desses eventos tem uma probabilidade associada.CB.56 0.02 05 LC 0.16 10 BC 0. ou seja. 3. por definição.0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x x A função densidade. para x = 1.4 0. Resp..7 0.3. A distribuição de probabilidade é dada na forma de uma função. chamada de densidade de probabilidade e denotada por f(x).0 0.6 0.1 0.3 f(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 0.  2 x  3) Determine o valor de c para que p(x)= c  3  .5 0.4 0. para qualquer a < b em R P(a < X < b) = ∫ f (x )dx a b P(a<X<b) a b 35 . Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua Seja X uma variável aleatória contínua..3 0. Uma função de densidade de probabilidade (fdp) satisfaz as seguintes condições: a) f(x) ≥ 0.    0 .2 0.1 0. Isto é.1/2 3. caso contrário  seja uma função distribuição de probabilidade..2 0. possui área sob a curva limitada pelo eixo x igual a 1 e a probabilidade de X tomar um valor entre a e b é obtida calculando-se a área compreendida entre esses dois valores.2. ∀x ∈ R b) ∫ +∞ −∞ f(x)dx = 1 Exemplos de funções de densidade: f(x) 0.. caso contrário  ache o valor de k para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade.∫ x 2 dx  = k  2 0 0   1 1 −∞ ∫ f ( x)dx = 1 . Resp. isto é. Resolução: +∞ Para ser função densidade temos que  2 1 1  x k  ∫ xdx . 36 . caso contrário iii. as probabilidades abaixo serão todas iguais. P(1/3 ≤ X ≤ 2/3) R: i) 1/4.  kx. se X for uma variável aleatória contínua: P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b). para 0 ≤ x ≤ 1 0. pois P(X = x i ) = ∫ f(x)dx = 0 xi xi 2) Assim. iii) 5/12  2 x. Exemplo 7: Dada a seguinte função f(x)=   kx (1 − x ). 4 b) P(1/3 < X < 3/4). Resp. P(X = xi) = 0. então ∫ k x (1 . P ( X ≤ 1 | 1 ≤ X ≤ 2 ) 2 3 3 2) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:  0. f(x) =    4(1 − x). P( X ≤ ½) ii. 0 ≤ x ≤ 1  0.  x<0 0 ≤ x ≤ 1/2 1/2 < x ≤ 1 x >1 a) Determine k para que f(x) seja uma função densidade.x) dx = 1 ⇒ 0 1 − 0 x3  = 1⇒ k = 6 3  0 Exercícios: 1) Dada a função densidade de probabilidade f(x) =  Determine i.47/72. ii)1/3 .Observações importantes para uma variável aleatória contínua: 1) Qualquer valor especificado de X tem probabilidade zero.  0. 512 . se x ≥ 3  37 .1.896. x=0.4.3 x   e a função de distribuição acumulada de X.2 ) (0. Seja X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas. Se X for uma variável aleatória discreta F(x) = j : x j≤x ∑ P(X = x ) j em que o somatório é estendido a todos os valores xj que satisfaçam à condição xj ≤ x. se x < 0  0.3. Função de distribuição acumulada (FDA) Seja X uma variável aleatória. se 2 ≤ x < 3   1. Define-se a função de distribuição acumulada F da variável aleatória X como F(x) = P( X ≤ x). Extraímos ao acaso três peças com reposição para análise. discreta ou contínua. F(x) = ∫ f(s)ds -∞ x Podemos utilizar a função distribuição acumulada para calcular probabilidade da seguinte maneira: P(a < x ≤ b) = P( x ≤ b) − P ( x ≤ a ) = F(b) − F(a ) Exemplo 8: Considere um lote de peças que contém 20% de defeituosas. 0. A função de probabilidade de X é 3 x 3− x P(X = x) =  (0. se 1 ≤ x < 2 0.992.2. Se X for uma variável aleatória contínua com função densidade f(x). se 0 ≤ x < 1   F(x) = 0.8 ) . discreta X com a seguinte distribuição de probabilidades: X P(X=x) x1 p1 x2 p2 . xn … pn … O valor esperado de X é dado por: E(X) = ∑ i =1 ∞ x i P(X = x i ) = ∑x p i =1 ∞ i i 38 .x). b) Calcule P( X ≤ 1/2  1/3 < X < 2/3). 0 ≤ x ≤ 1. Solução: a) F(x) = 0.. utilizando F(x). se x > 1  1 1 F  − F  P(1/3 < X ≤ 1/2 ) 2  3  = 0. Estas medidas são muito importantes para compreender o comportamento de uma variável aleatória.. . F(x). se 0 ≤ x ≤ 1 1.. se x < 0 ∫ 6s(1 − s)ds = 3x 0 x 2 – 2x3. a) Obtenha a função de distribuição. Caso discreto: Seja uma v.5. com função densidade f(x) = 6x (1 . como o próprio nome diz. a.5 b) P( X ≤ 1/2  1/3 < X < 2/3) = =    2 1 P(1/3 < X < 2/3) F  − F   3  3 3. Valor esperado (Esperança) de uma variável aleatória Como na estatística descritiva podemos falar de medidas de tendência central e medidas de dispersão (variabilidade) de uma distribuição de probabilidade.Exemplo 9: Supõe-se que o diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua. é a média dos valores da variável se observássemos a mesma repetindo o experimento um número muito grande de vezes.. A média ou esperança de uma distribuição. 23)(10) + (0.1. que pode ser considerada uma v. Caso contínuo: Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x).. E(X) 2) Sejam X1....85 unidades por conjunto montado. Solução: Lucro médio = (0. + E(Xn) 39 . Propriedades da Esperança 1) Dada uma constante a.56)(15) + (0. O valor esperado de X é definido por ∞ E(X) = −∞ ∫ xf(x)dx Exemplo 11: Uma certa liga é formada.19)(-5) = 9. Xn variáveis aleatórias E(X1+X2+. produto composto por uma esfera e um cilindro.. com função densidade: f(x) = Então..+Xn) = E(X1) + E(X2) +. lucro de 9.x)dx = 50 Isto significa que em média a liga contém 50% de chumbo. X2. A liga resultante contém uma certa porcentagem de chumbo X..85 Isto é. combinando a mistura fundida de dois metais. 100 3 (10) − 5 x(100 . o empresário espera ter. temos: E(a+X) = a + E(X) e E(aX) = a. uma pergunta que logo ocorreria ao empresário é qual o lucro médio por conjunto montado que ele espera conseguir.x) . 0 ≤ x ≤ 100 5 E(X) = ∫ x 5 (10) 0 3 -5 x(100 .Exemplo 10: Voltando ao exemplo 6. em média.5. 3. caso sejam verdadeiras as suposições feitas para determinar a distribuição da variável aleatória..a.02)(5) + (0. Conforme a figura abaixo: 99.7% 95% 68% σ µ−3 µ−2 µ−1 σ σ µ µ+1 σ µ + 2σ µ+3σ Essa figura mostra como a média e o desvio-padrão estão relacionados com a proporção dos dados que se enquadram em determinados limites. Ou podemos dizer que o desviopadrão é igual a raiz quadrada positiva da variância. é a seguinte função da porcentagem de chumbo: L = C1 + C2X. Então.00 dólares e uma variância de 9.00 dólares quadrado. enquanto que o desvio-padrão tem a mesma unidade de medida dos dados originais. Assim se um conjunto de dados tem desviopadrão de 3. Assim. com uma distribuição em forma de sino. o desvio-padrão é mais importante e mais útil medida de variação. Uma dificuldade com a variância é que ela não é expressa nas mesmas unidades dos dados originais. 40 . temos que: Cerca de 68% dos valores estão a ± 1 desvio-padrão a contar da média. O desvio-padrão de um conjunto de valores é uma medida de variação dos valores em relação à média aritmética. o lucro líquido obtido na venda da liga do exemplo anterior (por unidade de peso). logo a variância é difícil de ser compreendida. E(XY) = E(X).6. E(Y) Exemplo 12: Suponha que L. Variância e Desvio-padrão de uma variável aleatória De modo geral.3) Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. temos que dólar quadrado é um conceito abstrato. Uma aplicação do desvio-padrão é quando temos um conjunto de dados com distribuição aproximadamente em forma de sino. A variância é o quadrado do desvio-padrão. Então o lucro esperado é: E(L) = E(C1 + C2X) = C1 + C2(50) 3. X2.5 x(100 .02 0. produto composto por uma esfera e um cilindro.23 + 25. X 15 10 05 -5 Total E(X2) = W = X2 225 100 25 25 P(X = x) 0.7% dos valores estão a ± 3 desvios-padrão a contar da média.23 0. Cerca de 99.56 + 100. Então V(X1 + X2 +. 3.1.1. V(X) c) Sejam X1.. 0.85)2 = 57.25 V(X) = 154.21 = 154. n variáveis aleatórias independentes. a variância é: 3 (10) ..23 Exemplo 14: Para o exemplo 11.56 0.P(W = x 2 i 3 2 i ) = 225.23 0.00 P(W = x2) 0.6.a.0.0.6.. Xn.x)dx = 3000 5 0 V(X) = 3000 – (50)2 = 500 E(X2) = 100 ∫x 2 2. calcule a variância.19 1...56 0.02 0. para X discreta .1 Propriedades da variância a) Dada uma constante a.. + Xn) = V(X1) + V(X2) +..00 i =1 ∑ x . temos: V(X+a) = V(X) b) Dada uma constante a.Cerca de 95% dos valores estão a ± 2 desvios-padrão a contar da média. Variância de uma variável aleatória Seja X uma v. Define-se a variância de X por: V(X) = E[(X – E(X))2 = E(X2) – [E(X)]2 em que . com esperança E(X).19 1. + V(Xn) 41 ..25 – (9. temos: V(aX) = a2. para X contínua Exemplo 13: Voltando ao exemplo 6. 6 b) Estabeleça a função de distribuição acumulada.2.5 se 4 ≤ t < 5  0.m.1 se 2 ≤ t < 3  0.a. Resp.: Para cada peça processada.Exemplo 15: No exemplo 12. necessário para um operário processar certa peça. ganha por peça.2 2 0. E(T) = 4.2 7 0. é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade: t P(T=t) 2 0. (unidade monetária).2 se 3 ≤ t < 4  F(T) =  0. G: quantia em u. recebe a quantia adicional de 1.5 0. a variância de L é: V(L) = C 2 V(X) = C 2 (500) 2 2 3.1 3. Por exemplo.6.1 3 0. mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos.m.1 4 0.2 2 0. ganha 0.5 0.00 u.m.50 u.7 se 5 ≤ t < 6   0.1 42 . o operário ganha um fixo de 2.00 u.9 se 6 ≤ t < 7   1 se t ≥ 7 Resp. se ele processa a peça em 4 minutos.3 5 0. Desvio-padrão de uma variável aleatória DP(X) = V(X) Exercícios: 1) O tempo T. c) Encontre a distribuição. em minutos. g P(G=g) 4 0.1 3 0. por cada minuto poupado.2 6 0. a média e a variância da v.1 a) Calcule o tempo médio de processamento.m.  0 para t < 2 0.3 2. 8 3 ≤ G < 3. Resp.2. 1 ≤ x < 3  3 c.  x<0 0≤x< 1 2 1 ≤ x <1 2 x ≥1 a) Determine a função de distribuição acumulada.5 ≤ G < 3 Resp.3.: F(X) =  1 2 . x<0   1 2x 2 .4.c. 0 ≤ x < 1 − x  f(x) =  + 1. tal que P( X ≤ c) = 0. Resp. siga a seguinte distribuição: a2k P( X = k) = .   4x.5 ≤ G < 4   1 G≥4  2) Suponha que a demanda (X) por certa peça.   0.5 0.: a = 1/6 b) Calcule a demanda esperada.5 2.  0   43 . ≤ x <1 2   1.   f(x) =   4(1 − x). k! a) Encontre o valor de a.:c=0. 0. em centenas de quilos. k = 1. x ≥1  b) Determine c. 0 para G < 2 0.  2  3 x.5. é uma variável aleatória X com função densidade.4125  0.: V(X) = 80/81 3) Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por: 0. 0≤x<   2 Resp.5.5   E(X) = 2. 4) A demanda diária de arroz em um supermercado.: E(X) = 19/9 c) Qual é a variância da demanda? Resp.: F (G ) =  e VAR(X) = 0. Resp. numa loja de autopeças.3 2 ≤ G < 2.75 0.9 3.2x + 4x − 1. 2.  x2 . j = 0.: 0.: E(Y) = − 21 3 e V(Y) = 10 20 2. Resp.375 b) Calcule a E(X) e V(X). em que Y = 2X – 3/5.. − 1 ≤ x ≤ 0 f(x) =  0 ..: 3 b +8 b) Calcule E(Y) e V(Y).. 0 ≤ x <1  3    x2 1  + x .a) Determine a função de distribuição acumulada. − 7b3 a) Se b for um número que satisfaça a -1 < b < 0. 44 1 c 2 c/2 3 c/3 4 c/4 . Resp. c.1.2. 2) Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 pretas.a. Se 2 bolas de gude são extraídas aleatoriamente sem reposição e X denota o numero de bolas brancas obtidas... X com resultados possíveis: 0. Resp.: F(X) = − 2  6   1. calcule P( X > b  X < b/2).c.1.: E(X) = 4/3 e V(X) = 7/18 5) A variável aleatória contínua X tem função densidade 3x2 . 3) O número de carros vendidos semanalmente num stand é uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade: X P(X=x) a) Encontre o valor de c.. em um dia escolhido ao acaso. Para que valores de a o modelo representa uma legítima distribuição de probabilidade. encontre a distribuição de probabilidades de X. 1≤ x < 3 Resp. a demanda ser superior a 150 kg? Resp. x ≥ 3    a) Qual a probabilidade...ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Considere uma v. Suponha que P( X = j) = (1-a) aj. c) Determine E[2X − 1] e V [2X − 1]. b.a. b) Estabeleça a função de distribuição acumulada. z e t. sabendo que este valor é superior a 1.2 a) Sabendo que em 10% dos dias as vendas são inferiores a um e que em 70% dos dias são superiores a um. Calcule E(D) e V(D): D P(D=d) a) Calcule E(D) e V(D). por cada carro vendido há um lucro de 35 u. d) Determine a probabilidade de que. 6) Considere a variável aleatória discreta com a seguinte função distribuição: a.. a duas unidades.   F ( x) = 1 4.3 4 0. a procura diária de certo produto. as vendas sejam superiores.b) Determine a função de distribuição de X. c) Calcule a probabilidade do número de carros vendidos não chegar a 4.m.  x<0 0≤ x<2 2≤ x<4 4≤ x<6 x≥6 45 . d) Se os custos fixos semanais são de 30 unidades monetárias (u. determine a probabilidade de que seja superior a 20000 unidades monetárias.m. f) Se num dia a receita for inferior a 50000 unidades monetárias. determine w. 4) Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de D. além disso. 1 6 . em cada um deles. determine a função de distribuição da receita líquida semanal. determine a função de probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros num dia. quando se vende mais de 2 carros e. e) Se cada seguro é feito por 15000 unidades monetárias.1 3 0. 5) O número de vendas realizadas por um agente de seguros diariamente é uma v. b) Determine o número médio de seguros vendidos diariamente.) quando são vendidos 2 ou menos carros e 15 u.3 5 0. com função de probabilidade: x P(X=x) 0 w 1 z 2 t 3 z 4 w 1 0.m.  c.1 2 0. quando considerados dois dias. 4 7) Uma organização financeira verificou que o lucro unitário (L) obtido numa operação de investimentos é dado pela seguinte expressão: L = 1. b) Calcule o valor esperado e a variância da variável aleatória Y = 2 − 3X . 8) Um estudo do peso dos cérebros de homens suecos constatou que o peso X é uma variável aleatória. d) Determine a função de distribuição acumulada de X. a distribuição de renda em mil u. para 2 < x ≤ 6 0. com função densidade de probabilidade dada por: 0. que representa o tempo necessário para a pintura de uma peça de automóvel.3/40 x + 9/20. qual a probabilidade de sua renda ser superior a 3. contínua. 10) Suponha que X seja uma variável aleatória com densidade: k (1− | x |).. os valores de a.9C . c) Determine P(1/2 < X < 2/3 | X > 0).m.m e que o preço de custo unitário ( C ) tem uma distribuição de média 45 u. 1/10 x + 1/10.0 u. Determinar a média e o desvio-padrão do lucro unitário. determine. x > 1  Determine: 46 .5 u. para 0 ≤ x ≤ 2 f(x) = .000. x < 0  f ( x) = 9 x 2 − 8 x 3 .1V .5. em horas.a) Sabendo que P (X = 6) = 1/2.m. 11) Seja X uma v. e desvio-padrão de 1. a) Determine o valor de k.m. 0 ≤ x ≤ 1 0. b) Determine P(1/2 < X < 2/3).c. a) Qual a renda média nesta localidade? b) Escolhida uma pessoa ao acaso.00 u. é uma variável aleatória X com função densidade. com média 1400 gramas e desvio-padrão de 20 gramas.m.1 ≤ x ≤ 1 f(x) =  c.m? c) Estabeleça a função de distribuição acumulada. Sabendo-se que o preço de venda unitário (V) tem uma distribuição com média 50 u.a. b e c. 0. e desvio-padrão de 2. para x < 0 ou x 6.0. Determine número positivo a e o número b tais que Y=aX+b tenha média 0 e desvio-padrão 1 9) Em uma determinada localidade. justificando. .4. determine o lucro médio por galão. contínua com função densidade de probabilidade dada por Determine a esperança matemática e a variância. 1 ≤ x < 2 f (x) = -ax + 3a. caso contrário a) Determine a constante a. qual será a probabilidade de.5? 14) Considere X uma v. c) o tempo médio gasto na pintura da peça. 13) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade dada por: ax. caso contrário. o composto é vendido por C1 dólares/galão. 0 ≤ x < 1 a. exatamente. 2 ≤ x < 3 0. se 1/3 < X < 2/3. 12) A percentagem de álcool (100 X) em certo composto pode ser considerada uma variável aleatória. onde X tem a seguinte função densidade: f(x) = 20 x3 (1-x). X3 forem três observações independentes de X. é vendido por C2 dólares/galão. c) Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de álcool.a. um desses três números ser maior que 1. 0 < x < 1. b) Calcule P ( X ≤ 2/3). 15) A quantidade de cerveja vendida diariamente numa feira (em milhares de litros) é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade 47 . d) o desvio-padrão para o tempo gasto na pintura. b) a probabilidade para que o tempo gasto se situe entre ½ e ¾ h. a) Estabeleça a função de distribuição acumulada. Especificadamente. X2. b) Se X1.a) a probabilidade de gastar menos de meia hora para a pintura. qual a probabilidade de que tenha durado mais de 50 horas? 17) Um dispositivo é constituído de 3 elementos independentes que falham numa experiência com probabilidade 0. Classificar o lote em produto de 1.m. t ≥ 0. f(t) = (1/50)e −( t / 50) . é dado pela função densidade. 18) Na venda de certo produto tem-se duas opções: i.a) Obtenha o valor de k e de E [3X + 2]. analisar qual das duas opções é a mais vantajosa para o vendedor.20 u.80 u.ª qualidade o lote que não satisfizer tal condição. Cobrar 1 u. em horas. Gabarito da 2ª Lista de Exercícios 1) │a│ < 1 2) x P(X=x) 3) a)12/25. sendo de 2.ª mediante a seguinte inspeção: retiramos 5 peças do lote e se não encontrarmos mais do que uma defeituosa o lote será de 1.m.ª qualidade.ª e 2. por peça do lote de 2.1. de um dispositivo. O preço de venda é de 1. a) Qual a probabilidade de que um desses dispositivos dure mais de 25 horas e menos de 75 horas? b) Sabendo-se que tal ocorreu. Dê a distribuição de probabilidade da variável aleatória X= número de elementos que falham numa experiência. b) Considere os seguintes acontecimentos: A = “venda diária superior a 4000 litros” B = “venda diária entre 3000 e 5000 litros” Indique. ii. justificando. Sabendo-se que cerca de 10% das peças produzidas são defeituosas. se A e B são independentes. 16) O tempo de vida.ª.m.ª e 0. c) 2/5 b) X P(X=x) 0 3/28 1 15/28 2 5/14 1 12/25 2 6/25 3 4/25 4 3/25 48 . por peça sem inspeção. por peça do lote de 1. x > 1  13) a) a=0.1. 0 ≤ x ≤ 2 -(3/80)x2 + (9/20)x – 28/80 .58 b) 0.2 30000 0.−1 ≤ x < 0  10) a) 1 b) 17/144 c) 34/144 d) F(x) =   x − x ² / 2 + 1 / 2.4x 5 . x < 0  12) a)F(x) = 5x 4 .2.5.4667 c) 2 c= 1 b) -3.d) r P(R=r) 5 c 40 c/2 90 c/3 125 c/4 4) E(D) = 3.375 b) 0. 2 ≤ d < 3 0. d ≥ 5. se x ≥ 1  11) a) 0. 0 ≤ x ≤ 1 1 .4609 c) C1 (0.1 .2. 2 < x ≤ 6 1. d < 1 0. 45000 0.8 d) 0.4 V(D) = 1.09 f)0.   x + x ² / 2 + 1 / 2.4.1 5) a) w = 0. 4 ≤ d < 5 1. b) 2.5469 V(L) = 2.25 b) 0. x < 0 F(x) = x /20 + x /10. e) R P(R=r) 0 0. t = 0. z = 0.667 60000 0.5844) 14) a) E(x)=0 b) Var(x)= 1/6 15) a) k=1/12 E[3x+2]=11.5 b)0. x > 6.99 b) Não são independentes 49 .4 6) a) a=0 b=7/12 7) E(L) = 10 9) a) 2.44 F (d) = 0. V [2X − 1] = 4.125 e 0.65 d) 0.2 c) E[2X − 1] = 3.3375 8) a=1/20 b= -70 0. 0.47 0 .4156) + C2 (0.8. 3 ≤ d < 4 0.1. 1 ≤ d < 2 0.3828 c) 0. se x < .0 ≤ x < 1  1.1 15000 0. . Determine a distribuição de X. Determine a distribuição de Y. Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos. c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão. x = 4.3834 17) X~bin (3.: a) P(X=x) = 0..81 d) 10 e) P(Y=y)= 0.6561 c) 0.4444 (distrbuição binomial negativa ) f) 3) A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é 0.1. a) Determine os possíveis valores de X e sua função de probabilidade. g) Determine o número esperado do número de ensaios até o quarto erro. b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão. Seja X o número de retiradas necessárias até que isto ocorra.8.2.000 u.1.16) a) 0. Retira-se aleatoriamente uma bola de cada vez (com reposição) até que saia 4 vezes a bola preta... x= 1.  x − 1 Resp. Resp.: P(X = x) =   3     1 4     5 5 4 x−4 . d) Determine o número esperado de ensaios até o primeiro erro.3.1) b) 0.m.. e se um lançamento falho custa500 u. Assuma que as transmissões sejam ensaios independentes. e) Seja Y o número de transmissões até a ocorrência do quarto erro. sem que ocorresse erro.. após já se ter observado 3 ensaios. (distribuição geométrica) b) 0. 2) A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmissão digital é 0.m.6.0012 g) 4. f) Determine a probabilidade de se precisar observar no máximo 6 ensaios de transmissão. determine o custo esperado da operação. adicionais.3774 18) Opção B Exercícios Suplementares: 1) Suponha que uma caixa contenha 5 bolas ( 1 preta e 4 brancas ).0. 50 . a) Seja X o número de bits transmitidos até que ocorra o primeiro erro. a) Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias? b) Qual é a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias? c) Se cada tentativa de lançamento custa 5.9x-1 0.5. de um lote contendo 500 peças: esta peça é defeituosa ou não. Seja X uma variável aleatória definida para este experimento. Um experimento deste tipo é chamado de ensaio de Bernoulli.9421 c) 19. entre os moradores de uma cidade.0041 e 0. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse caso. serão definidos alguns modelos.6349 4. esperança. apresentando as condições que devem ser satisfeitas e algumas características.125 d)0.1.: a) 0. Distribuição de Bernoulli Muitos experimentos são tais que os resultados possíveis apresentam ou não uma determinada característica.1. ao acaso. ALGUNS MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Existem modelos probabilísticos que ocorrem com frequência na prática. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 4. Em um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis podemos associar o valor 1. b) Uma pessoa é escolhida. se sucesso ocorre e o valor 0. ao acaso. dentre 1000 pessoas. Nas próximas seções. 4. Suponha que um sucesso ocorra com probabilidade p. é ou não do sexo masculino. X P(X=x) 1 p 0 1-p =q 51 . se fracasso ocorre.d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas até que três lançamentos consecutivos sejam bem sucedidos. c) Uma pessoa é escolhida. Então. Exemplos: a) Uma peça é escolhida. ao acaso. tais como. e pergunta-se se ela diz SIM ou NÃO a um projeto governamental. Resp. variância e como calcular probabilidade.0409 b)0.1. 2. c. k = 0. x ≥ 1  Esperança de X: E(X) = 1..1. p)  n  k n −k   p (1 − p ) .p).1.n P(Y = k) =  k     0. (1-p) = p Variância de X: V(X) = p – p2 = p(1 ..2. verifica-se que 52 . sendo p + q = 1. p + 02. onde os valores possíveis de y são {0.. p + 0.1. Seja a variável aleatória Y o número de sucessos nos n ensaios. x < 0  Função de distribuição de X: F(x) = q . Distribuição Binomial Consideremos n repetições independentes de ensaios de Bernoulli (n ≥ 2). b) A probabilidade de “sucesso” é igual a “p” em cada ensaio e q é a probabilidade de fracasso.c  Por meio do binômio de Newton. Nestas condições dizemos que Y tem distribuição binomial com parâmetros n e p.0 .2. O modelo binomial fundamenta-se nas seguintes hipóteses: a) n ensaios independentes e idênticos são realizados. onde E(X2) = 12. 0 ≤ x < 1 1..n}: n = número de repetições do experimento e p = probabilidade de sucesso em cada repetição Notação: Y ~ B(n. (1-p) = p 4.... (0.4 0.0 1.0 Exemplo 1: Uma usina hidroelétrica tem 5 geradores que funcionam independentemente.02)3 = 0.Gráfico da função de probabilidade da distribuição Binomial com parâmetros n = 3 e p = 0. ou seja.[E(Y)] = npq (variância).000077  2   • Esperança e Variância da distribuição Binomial Se Y tem distribuição binomial de parâmetros n e p ⇒ n  n k   p k (1 − p) n − k = np (média) E(Y) = k  k =0    2 2 Var(Y) = E(Y ) . (0. qual a probabilidade de 2 terem tratores: 5 P(Y = 2) =   (0. cada um com probabilidade 0. P(X=x) 0.5 x 2. ∑ em que E(Y 2 ) = ∑k k =0 n 2n k  p (1 − p) n − k k   53 .1 0.98 = probabilidade de um gerador estar em funcionamento (a probabilidade de sucesso) Entre os 5 estabelecimentos.98)5 .98)2 (1 . Qual a probabilidade de que exatamente dois estejam em funcionamento em determinado instante? Y = número de geradores em funcionamento p = 0.4. n = 5.2 = 10.0.98)2.2 0.0 2.98 de estar em operação.0 0.3 0.5 1.5 3. calcular o número esperado de geradores em funcionamento. Resp.Demonstração: Fazendo s = k-1.3130 Exercícios: 1) Das variáveis abaixo descritas. Com variância: V(X) = npq ⇒ DP(X) = npq Exemplo 2: Com os dados do exemplo anterior. c) De 5 urnas com bolas pretas e brancas. d) Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada peça.: Binomial b) Refaça o problema anterior. com reposição. Cada peça é classificada como sendo boa ou defeituosa. Resp. Escolhemos ao acaso um instante de tempo.098 DP(X) = npq = 0. mas desta vez as n extrações são sem reposição. tem-se: . vamos extrair. Suponha que X seja o número de peças defeituosas. Suponha que X é o número de bolas brancas obtidas no final. assinale quais são binomiais.: Não é Binomial 54 .: Não é Binomial. e verificamos uma peça de cada uma das máquinas.98) (0. Resp. Quando julgar que a variável não é binomial.02) = 0.: Não é binomial.98) = 4.Seja X é o número de bolas brancas nas 5 extrações.098 = 0. vamos extrair de cada uma delas uma bola.9 Var(X) = npq = 5 (0. a variância e o desvio-padrão: E(X) = np = 5(0. cinco bolas. Resp. a) De uma urna com 10 bolas brancas e 20 pretas. e para estas dê os respectivos campos de definição e distribuição de probabilidades. aponte as razões de sua conclusão. 2) Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá. no máximo. ou volume. Suponha que estes eventos ocorrem em instantes aleatórios de tempo ou de espaço e que as hipóteses abaixo sejam válidas: 1) o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo. às vezes. sem sentido. conhece-se o número de sucessos. Nestas condições dizemos que X tem distribuição Poisson com parâmetro λ = αt. A distribuição de Poisson é largamente usada quando de deseja contar o número de eventos de um certo tipo. Veremos que a distribuição de Poisson se aplica nestes casos. ou superfície. ou volume. ou superfície. 2) a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente zero. b) número de defeitos num pneu. ou volume. d) número de clientes que chegam a uma determinada agência bancária durante o expediente. Notação: 55 .: 0. ou volume. o número de carros que deixaram de passar pela esquina não poderá ser determinado. α é o número médio de eventos por unidade de intervalo de tempo. ou superfície.9419. ou volume é independente do número de ocorrências do evento em qualquer outro intervalo disjunto. Distribuição de Poisson Em muitos casos. superfície. 2 defeituosas. Por exemplo: automóveis que passam numa esquina. qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? Resp. ou volume. Exemplos: a) número de falhas de um computador em um dia de operação. e a experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas. ou superfície.3. que ocorrem em um intervalo de tempo. ou superfície. α. Seja a variável aleatória X o número de eventos de um certo tipo.1. porém. que ocorrem em um intervalo de tempo. 4. c) número de buracos por quilometro em uma rodovia. é constante ao longo do tempo. determinar o número de fracassos ou o número total de provas. 3) o número médio de ocorrências por unidade de tempo. porém se torna difícil e. Se a caixa contém 18 peças. Pode-se num determinado intervalo de tempo anotar o número de carros que passaram. .05 0. De acordo com a definição de variância.2. onde já vimos que.00 0 0. x=0. P(X=x) 0. Sabe-se que E(X) = ∑ xP( X = x) = ∑ x e x =0 x =0 ∞ ∞ −λ λx x! e −λ λ x = ∑x = x(x . tem-se: V(X) = E(X2) – [ E(X) ]2..... obtém-se. y=0 ∞ 2. E(X) = λ λy ∑ y! = e λ .X ~ Poisson(λ ) ⇒ P(X = x) = e -λ λ x x! .1)! x =1 ∞ e −λ λ x ∑ (x .10 0. e.1)! x =1 ∞ Fazendo x –1 = y. fazendo y = x – 1... tem-se: x! x( x − 1)! x =1 ( x − 1)! x =1 ∑ x2 x=0 ∞ 56 . [ E(X)]2= λ2.n.1. E(X2) = ∞ ∞ e−λ λx e−λ λx e−λ λx = ∑ x2 = ∑x . tem-se: ∞ e − λ λ y +1 λy −λ E(X) = ∑ = λe ∑ y! y =0 y = 0 y! ∞ Utilizando-se a fórmula de Maclaurin (caso particular da fórmula de Taylor). Gráfico da função de probabilidade da distribuição Poisson com parâmetro λ = 5.15 5 10 x 15 20 (média) E(X) = λ Se X tem distribuição Poisson com parâmetro λ ⇒  Var(X) = λ (variância) Demonstração: 1. 2 defeitos por jarda quadrada.1431 e −3 (3) = 0.0123 c) duas jardas quadradas cada uma com dois defeitos. Resp. α = 2 (número médio chamadas por hora ) t = 2 horas λ = αt = 4 (número médio chamadas em duas horas ) P(X ≤ 3) = ∑ P(X = x ) = ∑ x =0 3 e−4 4 x = 0.:0. a 3 petroleiros por dia.λ2. As atuais instalações podem atender. assim V(X) = λ. Resp. Se mais de 3 aportarem num dia.9275 b) nenhum defeito em duas jardas quadradas.0719 2) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson.:0. Determine as seguintes probabilidades: a) não mais de 4 defeitos numa jarda quadrada. a) Em um dia. no máximo. X: o número de chamadas telefônicas em duas horas Então. qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? Resp.4331 x! x =0 3 Y: número de chamadas telefônicas 90 minutos Então.E(X2) = ∑ ( y + 1) y =0 ∞ ∞ ∞ e − λ λ y +1 e−λ λy e−λ λy = λ∑ y + λ∑ = λ2 + λ y! y! y! y =0 y =0 V(X) = λ2 + λ . t = 90 minutos α = 2/60 ( número médio de chamadas por minuto) λ = αt = 2/60 x 90 = 3 (número médio chamadas em 90 minutos ) P(Y = 0) = Exercícios: 1) Uma fábrica produz tecidos com média de 2. Se a variância é λ ⇒ DP(X) = λ Exemplo 3: Em média há duas chamadas por hora num certo telefone. Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em duas horas e a probabilidade de nenhuma chamada em 90 minutos.0498 0! 0 57 . o excesso é enviado a outro porto. com λ = 2.: 0.: 0. Resp. m. toda a fileira falhará.: 2. c) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partícula em três segundos. Dois compradores. b) Qual a probabilidade de a fonte emitir mais de uma partícula em um segundo. Qual é a probabilidade de toda a fileira de lâmpadas permanecer sem falhar durante três anos? 3) O número de partículas radioativas emitidas por uma fonte segue distribuição de Poisson com λ = 0. onde Y = X/n g) P(Y ≥ 12/16). se uma delas falha.20 u.80 u. isto é. Se 5 chapas são colocadas. durante 2 segundos cada uma em frente à fonte. se encontrar mais que duas defeituosa. para determinado lote. determinar: a) n b) p c) P(X < 12) d) P(X ≥ 14) 2) Uma fileira de luzes de Natal contém 20 lâmpadas ligadas em série. das quais 1/5 são defeituosas.p). e) Uma chapa fotográfica é sensibilizada ao ser atingida por 3 ou mais partículas. qual a probabilidade de exatamente uma delas ser sensibilizada? 4) Seja X o número de peças defeituosas saídas de certa linha de produção. Sabe-se que.b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? Resp. classifica como II. e 0. Determine a distribuição de probabilidade de X e a probabilidade do lote não conter nenhuma peça defeituosa. 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Se X ~ B(n.: 2 c) Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia? Resp. 5) Um industrial fabrica peças. respectivamente do seguinte modo: Comprador A: retira uma amostra de 5 peças. uma após outra. A e B. 58 e) E(Z) e V(Z). a) Qual a probabilidade de a fonte emitir uma partícula em um segundo. sabendo-se que E(X) = 12 e σ 2 = 3. se encontrar mais que uma defeituosa.02 de probabilidade de falhar durante um período de 3 anos. classifica como II. As lâmpadas falham independente umas das outras. Comprador B: retira uma amostra de 10 peças.5 partículas por segundo. classificaram as partidas adquiridas em categorias I e II. onde Y = X/n . pagando 1.onde Z = (X-12)/ 3 f) P(Y ≥ 14/16). Cada lâmpada tem 0. X é binomial com média 240 e variância 48. d) Qual a probabilidade de a fonte emitir no máximo duas partículas em 3 segundos.m. de 60 km de extensão. 10) Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá no máximo duas defeituosas. tenhamos: a) nenhum defeituoso. De modo a obter maior aproveitamento nas vendas. caso contrário o lote é rejeitado. em média. 7) Numa linha adutora de água. mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se. Qual é a probabilidade de ocorrer.000cm tenha: a) nenhum corte? b) no máximo dois cortes? 59 . o número de vazamento no período de um mês é em média 4. isto é. no máximo uma tiver duração inferior a 20 horas. b) pelo menos um defeituoso. Encontra-se que esse volume é de 120 veículos/hora. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante. qual comprador oferece maior lucro? 6) Numa via de mão única que termina numa ponte. Determine a probabilidade de que todas as pessoas que compareçam encontrarão lugar no citado vôo. segundo o critério acima? 9) Certa fábrica produz fusíveis elétricos. b) em 3 minutos cheguem mais do que 1 veículo. e a experiência tem demonstrado que este processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas. durante o mês. c) no máximo um defeituoso.Em média. Qual a probabilidade do lote ser aceito. ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2. quer se estudar o tráfego. pelo menos um vazamento num setor de 3 km de extensão? 8) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz tem duração inferior a 20 h. passou a adotar o critério de vender 77 passagens para um vôo com 75 lugares. Qual a probabilidade de que um rolo com 2. Achar a probabilidade de que. a) Se o fabricante de fato tem razão. numa amostra de 10 fusíveis selecionados ao acaso. qual a probabilidade de um lote ser rejeitado? b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo.000 cm. em 10 válvulas escolhidas ao acaso. qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? 11) Certa companhia aérea chegou à conclusão de que 4% das pessoas que compram passagens não comparecem ao embarque. Assume-se que a chegada de veículos constitui um processo de Poisson. na verdade a proporção de válvulas com duração inferior a 20 h é de 10%. Se a caixa contém 18 peças. Ache a probabilidade de que: a) num período de um minuto mais de três veículos cheguem ao pedágio. dos quais 15% são defeituosos. 12) Em um certo tipo de fabricação de fita magnética. 8  0  5   5        5) Comprador A 6) a) 0. tempo de sobrevivência de um grupo de pacientes após o início de um tratamento e tempo de vida de material eletrônico.3699 d) 0.16% 4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 4.3033 c) 0.2873  300 4   1  P(X = 0) =  4) n = 300 p=0.9197 c) 0.8185 b) 0.8088 300 c) 0.0902 e) E(Z) = 0 e V(Z) = 1 f) 0.1969 12) a) 0. Supondo que a distribuição de Poisson é aplicável.9826 7)0. b) de que exatamente oito tubos de ensaio apresentem bactérias. de 1 cm3.2.2639 9) a) 0.1429 b) 0. Distribuição Exponencial Esta distribuição é bastante utilizada na teoria da confiabilidade para modelar os tempos de espera entre ocorrências de eventos em um Processo de Poisson.0861 b) 1-0. Em geral este modelo probabilístico é também utilizado para modelar tempo de espera em uma fila.6676 3) a) 0.75 2) 0.8753 11) 0.5443 c) 0.2.9816)¹° b) 0.1971 g) 0.9419 13) a) 0.3679 b) 0. Qual a probabilidade de que: a) em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? b) em 300 km ocorram 5 acidentes? 14) Uma fonte mineral contém um número médio de quatro bactérias por cm3 de água. encontre a probabilidade: a) de que todos os 10 tubos de ensaio apresentem bactérias. contenham ao menos uma bactéria cada.1971 b) 0.c) pelo menos dois cortes? 13) Numa determinada estrada ocorrem em média 2 acidentes para cada 100km.3347 0 e) 0. isto é.8031 b) 0.1813 8) a) 0.6301 d) 0.1.1606 14) a) (0. 60 . Dez tubos de ensaio. são enchidos com este líquido.2642 10) 0. Gabarito da 3ª Lista de Exercícios 1) a) n = 16 e p=0. x ≥ 0  ∫α e 0 x 1 1 − x α Portanto. caso contrário  Notação: X ~ exp( α ) Propriedades: a) A função de distribuição é dada por: F(x) = P(X ≤ x) = . que assume valores não-negativos. P(X > x ) = e-(1/α)x 61 .x<0 0  ds =  x − 1 − e α . Gráfico da função densidade da Distribuição exponencial com parâmetro α=1000 Uma variável aleatória contínua X.O histograma a seguir foi construído a partir de dados provenientes de uma distribuição exponencial. A curva desenhada sobre o histograma representa a função densidade de uma distribuição exponencial. Vemos que este gráfico é do tipo assimétrico positivo.x≥0  e f(x ) = α 0 . terá uma distribuição exponencial com parâmetro α > 0. se sua fdp for dada por: 1  1 −α x . t > 0 1 − (s + t) α eα . b) a probabilidade de que ela queime depois de sua duração média. 62 . Determinar: a) a probabilidade de que essa lâmpada queime antes de 1.2.000 horas. quer já se tenham passado s unidades de tempo. 1000 a) P( T < 1.000) = ∫ 0 1 − 1000 t e dt = 1 .b) E(X) = ∫ 0 ∞ x 1 α 2 e 1 − x α dx = α ∞ 1 − x c) V(X) = E(X ) – E (X) = 2α − α = α em que E(X ) = x 2 2 2 2 2 ∫ 0 2 1 α e α dx = α 2 .2. c) a variância da distribuição do tempo de duração dessa lâmpada. ou 0 unidades. Solução: Seja T o tempo de duração da lâmpada. 6321 1000 1 b) P( T > 1000) = 0.0. não há envelhecimento. P(X > s + t e X > s) P(X > s + t ) e d) P( X > s + t | X > s) = = = P(X > s) P(X > s) s.3679 c) V(T) = (1000)2 4.3679 = 0. Ou seja. Distribuição Weibull A distribuição Weibull tem uma aplicação importante em Teoria de Confiabilidade. Esta hipótese é frequentemente razoável para a vida de materiais eletrônicos.t α para quaisquer Este último resultado mostra que a distribuição exponencial apresenta a propriedade de “não possuir memória”. Isto significa que a probabilidade de “sobreviver” mais t unidades de tempo é a mesma.s 1 =e 1 -.e -1 = 1 . Exemplo 5: Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade exponencial com α=1000. x ≥ 0 f(x ) = α  α     . x ≤ 0    x γ  c) F(x) =    1 .3 0. que assume valores não-negativos. Gráfico da função densidade da Distribuição Weibull com parâmetros α=2 e γ=2 f(x) 0.0 0 0.O histograma a seguir foi construído a partir de dados provenientes de uma distribuição Weibull. caso contrário 0 Propriedades: 2 1  a) E(X) = α Γ + 1 γ      2    1  2   b) V(X) = α Γ + 1 − Γ + 1  γ  γ           0. se sua fdp for dada por: γ  γ γ -1    x   γ x exp −    .1 0. terá uma distribuição Weibull com parâmetros γ > 0 e α > 0.exp−  α   x ≥ 0        63 .2 0. A curva desenhada sobre o histograma representa a função densidade desta distribuição.4 1 2 x 3 4 Uma variável aleatória contínua X. que também é do tipo assimétrico positivo. Distribuição Normal (ou Gaussiana) Existem várias distribuições teóricas que podem ser usadas para representar fenômenos reais. como por exemplo a binomial e Poisson. Portanto. 2.8909   0.8 b) V(T) = (0. 1 α e − x α .3. A distribuição amostral das médias (e proporções) em grandes amostras se aproxima da distribuição normal.5     30   c) P( T > 30 ) = exp −    = 0. que é dada por: Γ (k ) = ∫ x k −1e − x dx. o que nos permite fazer estimações e testes estatísticos. simplificando o cálculo de probabilidades.4)Γ(3) = 0. Dentre estas. 64 . Representa com boa aproximação as distribuições de freqüências observadas de muitos fenômenos naturais e físicos. 0 ∞ Pode-se mostrar que se k for um número inteiro positivo. definida para k > 0. podem ser aproximadas pela normal. A seguir faremos um breve estudo desta distribuição. Distribuições importantes.5. em horas.2 2 0 .4 e γ = 0. 3. uma das mais importantes é a distribuição normal.4) Γ(5) − [Γ(3)] = 3. obtém-se que Γ(k) = (k-1)! Exemplo 7: O tempo de vida. a) Qual é a vida média? b) Calcule a variância do tempo de vida desse componente.4     { } 4. de um componente eletrônico segue a distribuição Weibull com α = 0. Importância da distribuição normal: 1. c) Qual é a probabilidade do tempo de vida desse componente ultrapassar 30 horas? Solução: T: tempo de vida do componente eletrônico em horas a) E(T) = (0.2.d) Se γ=1 tem-se f ( x) = distribuição Weibull. a distribuição exponencial é um caso particular da Obs: O símbolo Γ denota a função gama. Vemos que este gráfico é do tipo simétrico. enquanto a curva representa a distribuição teórica que melhor se aproxima do histograma observado. 65 .desvio-padrão). Gráfico da função densidade da distribuição normal com parâmetros µ=10 e σ2=4 É importante ressaltar a diferença que existe entre o histograma e a curva: o histograma é uma representação da distribuição dos elementos (dados) de uma amostra extraída de uma população. A curva desenhada sobre o histograma representa a função densidade de uma distribuição normal.x).Uma variável aleatória X. − ∞ < x < ∞. b) A curva normal é simétrica com relação a sua média µ. Propriedades: a) E(X) = µ e V(X) = σ2 (σ . tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2 se sua função de densidade probabilidade é dada por:  1  x − µ 2  exp −    . − ∞ < µ < ∞ e σ > 0  2 σ   2πσ 2   1 f(x) = Notação: X ~ N(µ. que assume valores em R. ou seja: • f(µ+x) = f (µ. σ2 ) O histograma a seguir foi construído a partir de dados provenientes de uma distribuição normal. P(X > µ ) = P (X < µ) = 0.005 0 123 130 137 144 151 158 165 172 179 186 193 200 207 altura (cm) 66 .03 0.01 0.04 µ = 165 µ = 179 0. d) A distância entre µ e os pontos de inflexão da curva é igual a σ. c) A moda e a mediana de X são iguais a µ.02 0.• • P(µ .045 0. Distribuição Normal N( µ.025 0.015 0.x ≤ X≤ µ) = P(µ≤ X≤ x+ µ ).σ2 ) σ -4 -3 -2 µ-1 σ − µ 0 µ1 σ + 2 3 4 Exemplos de curvas da distribuição normal para diferentes valores dos parâmetros médias diferentes.5.035 0. desvios padrão iguais ( σ = 10 cm) 0. b].08 0.06 0.02 0.03 0. isto é. P ( X ≤ a ) = P  ≤   = P ( Z ≤ z ) com Z = σ σ   σ 67 . P(a < X < b) = ∫ a b  1  x − µ 2  exp −   dx 2π σ  2 σ     1 Esta probabilidade pode ser obtida através de uma transformação na variável aleatória X como veremos a seguir. (X − µ ) X −µ a−µ Portanto. isto é. Teorema: Se X ~ N (µ.07 σ = 12 σ=7 σ=5 0. A distribuição normal possui um importante propriedade que permite que qualquer variável aleatória com esta distribuição possa ser transformada em uma outra variável com distribuição normal com parâmetros µ = 0 e σ2 =1. desvios padrão distintos µ = 172 cm 0.09 0.05 0.01 0 128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 200 204 208 altura (cm) Cálculo das probabilidades de uma distribuição normal A probabilidade de uma variável aleatória normal X assumir valores entre dois números a e b (a < b) é igual à área sob a curva no intervalo [a. σ2) então a variável transformada Z = (X − µ ) σ tem distribuição N(0.04 0.mesma média.1). 1) também chamada de Normal Padrão ou Normal Padronizada estão tabeladas. Há vários tipos de tabelas que nos fornece as probabilidades para a distribuição normal padrão. P(0 ≤ Z ≤ z). Faremos uso do tipo que está em anexo. a probabilidade fornecida pela tabela é a seguinte: f(z) 0 z A área sombreada no gráfico corresponde à seguinte probabilidade: Como a curva normal padrão é uma função simétrica em relação 0: • f(z)=f (. Graficamente.z ≤ Z≤ 0)= P(0≤ Z≤ z ). Pelo exposto acima vemos que através desta tabela podemos obter as probabilidades para qualquer outra distribuição normal. • P(.As probabilidades para a distribuição normal (0. Essa tabela fornece a área sob a curva no intervalo de zero até o ponto z. isto é. • As probabilidades são encontradas no cruzamento das linhas com as colunas. Os elementos dessa tabela são: • Na primeira coluna encontra-se a parte inteira e a primeira casa decimal do valor de z. • A primeira linha refere-se à segunda casa decimal do valor de z.5.51 ) A área que representa esta probabilidade é: 68 . • P(Z > 0 ) = P (Z < 0) = 0.z). Exemplos de uso da tabela da distribuição normal padrão: • Calcule P(0 ≤ Z ≤ 0. 1554217 0.5 0.2122603 0.03 0.0674949 0.1808225 0.1368307 0.0239222 0.1914625 0.2389137 0.2485711 0.06 0.2356527 0.0159534 0.2549029 • Calcule P(-2.2156612 0.1179114 0.0714237 0.1627573 0.1772419 0.1949743 0.0556700 0.2453731 0.1984682 0.01 0.1217195 0.08 0.2088403 0.09 0.1590970 0.04 0.0477584 0.0948349 0.0039894 0.0000000 0.1443088 0.2290691 0.1517317 0.0 0.0987063 0.2 0.1255158 0.0318814 0.1700314 0.2257469 0.2190427 0.1843863 0.1480273 0.00 0.0398278 0.1025681 0.07 0. que são: e P(-1 ≤ Z ≤ 1) = P(-1 ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0.1879331 0.1140919 0.0831662 0.2517478 0.05 0.0119665 0. 6826 69 .2224047 0.0635595 0. 3413 + 0. como obter essa probabilidade na tabela da distribuição normal padrão z 0.0199388 0.2421539 0.0517168 0.6 0.0079783 0.1736448 0.0792597 0.0279032 0.2323711 0.2019440 0.1330717 0.3 0.1405764 0.0870644 0.1664022 0.0596177 0.2054015 0.1 0.4 0.A seguir.0753454 0. 3413 = 0.0437953 0.02 0.1293000 0.1064199 0.0909541 0.1102612 0.0358564 0.35 ≤ Z≤ 0) • Calcule P(-1≤ Z ≤ 1) • A área que representa esta probabilidade é: Esta área pode ser separada em duas subáreas. 62) = 0.62) Esta área pode ser pensada da seguinte forma: P(Z ≥ 1.5 – P(0 ≤ Z ≤ 1.01) .01 ) = P(0 ≤ Z ≤ 2.0526 • Calcule P(1.• Calcule P(Z ≥ 1.62 ) = 0.4474 = 0.03 ≤ Z ≤ 2.03 ≤Z ≤ 2.P(0 ≤ Z ≤ 1.03) 70 .01 ) A área que representa esta probabilidade é: Esta área pode ser pensada da seguinte forma: P(1.5 – 0. 93) =0.5 . chamado valor nominal da especificação? Solução: 105 − 100  85 − 100    a) P(X > 105) + P(X < 85) = P Z >  + P Z <  = 5 5     = P(Z > 1) + P(Z < -3) =(0. o ponto procurado é 1.2) = 0. a) Qual e a proporção de não-conformidade referente a esta característica? b) Qual e a proporção de não-conformidade referente a esta característica. Neste caso. que corresponda à probabilidade P(0≤ Z ≤ z0) = 0.55 ≤ Z ≤ 1.8795 P(Z ≥ 1.25.0268 2) A característica da qualidade de interesse.0456 71 .5 – 0.3413 P(-2. z0 = 1.• Determine z tal que P(0≤ Z ≤ z0) = 0.1600 b) µ = 95 105 − 95  85 − 95    P(X > 105) + P(X < 85) = P Z >  + P Z < = 5 5     = P(Z > 2) + P(Z < -2) =2 (0.5 . é normalmente distribuída com média 100 e desvio-padrão 5.4772) = 0.3413) + (0. Logo.395. procure no meio da tabela da curva normal padrão o valor da área exata ou o mais próximo possível da requerida. associada a um processo que está sob controle estatístico.0.5 – 0.3849 = 0. se o processo passasse a operar centrado no valor 95.0.25 Exemplos: 1) Usando a tabela da normal padrão podemos obter: P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0. 4732 = 0.4987) = 0. As especificações estabelecidas para esta característica da qualidade são 95 ± 10. 4946+ 0.395 Para encontrar o ponto z0. 4ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Determine o valor de z: a) P(Z<z) = 0,09 b) P(-1,71<Z<z) = 0,25 c) P(-z<Z<z) = 0,90 d) P(-z<Z<z) = 0,99 2) Sejam z1 e z2, simétricos, dois particulares valores de Z. Determine-os tais que: a) P ( z1≤Z≤z2 ) = 0,9216 b) P ( z1 ≤Z ≤z2 ) = 0,8858 3) Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1 e D2, tenham distribuição N(42,36) e N(45,9), respectivamente. Se o aparelho e para ser usado por período de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? 4) Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante esta regulada para que o volume médio de liquido em cada garrafa seja de 1.000 cm3 e o desvio-padrão de 10 cm3. Pode-se admitir que a distribuição da variável seja normal. a) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido e menor que 990 cm3? b) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de liquido não se desvia da média em mais que dois desvios-padrão? 5) Uma empresa produz televisores e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar algum defeito grave no prazo de 6 meses. Ela produz televisores do tipo A comum e do tipo B luxo, com um lucro respectivo de 1.000 u.m. e 2.000 u.m. caso não haja restituição, e com um prejuízo de 3.000 u.m. e 8.000 u.m. se houver restituição. Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com distribuição normal, respectivamente, com medias 9 meses e 12 meses, e variâncias 4 meses2 e 9 meses2. Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa, você incentivaria as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? 6) Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fabrica é de 0,25 polegadas e o desvio-padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas. Suponha distribuição normal. a) Encontre a probabilidade de parafusos defeituosos. b) Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos? 72 7) A duração de certos tipos de amortecedores, em km rodados é normalmente distribuída, possui duração média de 5000 km e desvio-padrão de 1000 km. a) Qual a probabilidade de um amortecedor escolhido ao acaso durar entre 4500 e 6350 km? b) Se o fabricante desejasse fixar uma garantia de quilometragem, de tal forma que se a duração do amortecedor fosse inferior a garantia, o amortecedor seria trocado, de quanto deveria ser esta garantia para que somente 1% dos amortecedores fossem trocados? 8) Suponha que T, a duração até falhar de uma peça, seja normalmente distribuída com E(T) = 90 horas e desvio-padrão 5 horas. Quantas horas de operação mínimas devem ser consideradas, a fim de se achar uma probabilidade de 0,90. 9) Suponha que a duração de vida de um dispositivo eletrônico seja exponencialmente distribuída. Sabe-se que a probabilidade desse dispositivo durar mais de 100 horas de operação é de 0,90. Quantas horas de operação devem ser levadas em conta para conseguir-se uma probabilidade de 0,95? 10) A duração de vida de um satélite é uma variável aleatória exponencialmente distribuída, com duração de vida esperada igual a 1,5 anos. Se três desses satélites forem lançados simultaneamente, qual será a probabilidade de que ao menos dois deles ainda venham a estar em órbita depois de 2 anos? 11) Suponha que n componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados em série. Admita que a duração até falhar, de cada componente, seja normalmente distribuída, com esperança de 50 horas e desvio-padrão de 5 horas. a) Se n=4, qual será a probabilidade de que o sistema ainda esteja a funcionar depois de 52 horas de operação? b) Se n componentes forem instalados em paralelo, qual deverá ser o valor de n, para que a probabilidade de falhar durante as primeiras 55 horas seja aproximadamente igual a 0,01? 12) Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal em períodos de seca numa certa região pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média 30mm e variância 16mm2. a) Qual a probabilidade de que a precipitação pluviométrica mensal no período da seca esteja entre 24mm e 38mm? b) Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de chance de haver uma precipitação inferior a esse valor? c) Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores de precipitação pluviométrica. 73 13) Se a altura de 300 estudantes são normalmente distribuída com média igual a 172,72cm e variância 49,5cm2. a) Quantos estudantes têm altura superior a 182,88cm? b) Qual a altura que separa os estudantes em dois grupos de forma que um deles seja formado pelos 30% mais altos? 14) Suponha que as notas de um vestibular tenham distribuição normal com média 60 e desvio-padrão de 15 pontos. a) Se você prestou este vestibular e obteve nota igual a 80 pontos, qual a sua posição em termos de unidades de desvios-padrão, com relação a média das notas? b) Se foram considerados aprovados os candidatos que obtiveram nota mínima correspondente a 1 desvio-padrão acima da média, qual a nota mínima de aprovação na escala original? 15) Em uma fábrica de chocolate verifica-se que os “bombons” são acondicionados automaticamente em caixas com aproximadamente 1 Kg. Verifica-se que 25,14% das caixas tem peso inferior a 1 Kg. A máquina de acondicionamento foi regulada aumentando-se o peso médio da caixa de 3g e verificou-se então que a porcentagem com peso inferior a 1 Kg foi de 12,5%. Admitir distribuição normal. a) Calcular a média e o desvio-padrão b) De quanto deve ser novamente aumentado o peso médio para que essa porcentagem caia para 4%? 16) Experimentam-se três elementos que trabalham independentemente entre si. A duração de trabalho sem falhas dos elementos tem respectivamente para o 1o., 2o e 3o. as seguintes funções densidades: f 1 (t ) = 0.1 e -0.1 t f 2 (t ) = 0.2 e -0.2 t f 3 (t ) = 0.3 e -0.3 t Ache a probabilidade que no intervalo de tempo (0, 10) a) Falhe ao menos um elemento b) Falhem não menos que dois elementos 17) Um componente eletrônico tem distribuição exponencial, com média de 50 horas. Suposta uma produção de 10 000 unidades, quanto deles espera-se que durem entre 45 e 55 horas? 18) O tempo de vida de certo dispositivo eletrônico é de 4.000 h e segue uma distribuição exponencial. Determine a probabilidade de que: a) um dispositivo esteja funcionando no final de 2.000 h, dado que está funcionando no final de 1.000 h; 74 76 e 1.3) = 0.58 2)a) -1. γ = 0. a) Que proporção dessas unidades sobreviverá a 1000 horas de uso? b) Qual o tempo médio de falha? Gabarito da 4ª Lista de Exercícios 1)a)-1. E(T) e V(T).000 h de funcionamento. a) Que proporção desse transistor sobreviverá a 6 anos de uso? b) Este transistor será utilizado em um produto cujo fabricante irá estipular certo período de garantia.5 determine R(22).58 e 1. b) Se α = 2000. Determine a probabilidade desse componente para durar mais de 50 horas.76 b) -1.b) num conjunto de 4 dispositivos. b) Determine a probabilidade de que o componente dure mais que 250 horas. Determinar: A probabilidade de cada um dos dispositivos após 20 horas. a) Suponha que X represente o tempo de vida de um componente. uma vez que já esteja em funcionamento por 200 horas. Qual tempo de garantia passível de ser estipulado. com γ=1/4 e α=200. caso o fabricante concorde em arcar com o custo de no máximo 5% de falhas neste período? c) Se o fabricante desejar estipular um período de garantia de 2 anos. tempo de operação sem falhas de um componente segue a distribuição de Weibull. a) Se α = 2000.34 b) -0.8975. A probabilidade do sistema todo após 20 horas. Use os seguintes fatos: Γ(1.5 determine t para que P(T > t) = 0.90.54 c) 1. 22) Sabe-se que o tempo de falha (em anos) de certo transistor tem distribuição exponencial com α=20 anos. c) Determine a duração esperada do componente. 19) Dois dispositivos eletrônicos com lei de falhas exponencial com média respectivamente 5h e 10 h são ligados em paralelos formando um único sistema e funcionando independentemente. somente um queime antes de 3.64 d) 2. 20) Sabe-se que T. 21) Seja X uma variável aleatória com distribuição Weibull com α=200 e γ=3. qual a proporção esperada de falhas associadas ao transistor neste período? 23) A densidade do tempo de falha para um pequeno sistema de computador tem distribuição de Weibull.58 75 . γ = 1. RUNGER. BUSSAB. Estatística aplicada à engenharia. 5.9301 c) [24.135 e α=1/5. 335 p. E(T)= 4000 horas . Probabilidade: aplicações à estatística. 0.9004.072 8)83.6 horas 10) 0..15 horas 21)a)0.014 13)a) 22 b) 27 b) 176. ed.333 16)a) 0.7408 b ) aprox.7788 b) 0. 1983.88. 1 ano c) 0. V(T)=80000000 horas b) 446.3)D2 5)Tipo B 7)a) 0.29 horas 11)a) 0.3855 c)179. ed.9975 b) 0.5 22)a ) 0. São Paulo: Saraiva. Rio de Janeiro: LTC.12] 15)a) média=1. Pedro Alberto. 2004. MONTGOMERY. 35.0063 Kg b) 0.9845 b)0. Norma Faris.2242 b ) 480 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MEYER.0183 b) 0. 2006.2224 20)a) P(T > 22)= 0. MORETTIN. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos. 0. 526 p.0042Kg e desvio=0.1512 18)a) 0.2178 b) 24. 76 .88 b) 75 b) 0..60295 9)51. Douglas C. HUBELE.1587 6)a) 0. Wilton de Oliveira. 2.006825g 17)737 19)a) α=1/10. George C. Paul L.41 b) 2670 km 4) a) 0.1719 12)a) 0. Estatística básica.9545 b) 0. 426.0952 23)a) 0.9104 14)a) 1. 77 .