1o Edição A primeira intenção ao elaborar este documento foi cooperar e auxiliar os trabalhos didáticos das disciplinas de Topografia Teórica e Prática, do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. Além deste objetivo, que já justifica todo o empenho, este trabalho busca contribuir com a literatura das ciências geodésica e topográfica. É com muita satisfação que repasso este conhecimento à família “cefetiana” e aos demais leitores de outras instituições, reconhecendo que ao elaborar este projeto, iniciei-o com afinco, executei-o com paixão e finalizei-o com satisfação. Agradeço a minha família à compreensão pelas horas dedicadas na confecção deste documento, e ao Centro Federal de Educação Tecnológica pelo apoio de recursos humanos e materiais. 13 de fevereiro de 1998. Marcelo Tuler de Oliveira Engenheiro Agrimensor
[email protected] 2o Edição Com satisfação faço a apresentação deste documento, agradecendo ao amigo Marcelo Tuler, autor desta obra, pela oportunidade de prestar minha colaboração a esse trabalho. Sei que foi elaborado com muita dedicação, esforço e pesquisa. A sua grande preocupação com o ensino e sua capacidade e competência, criou uma excelente fonte de consulta para estudantes e profissionais das áreas de Topografia e Geodésia. ii Esta 2a Edição, revisada e ampliada é bastante didática e bem organizada em capítulos por assuntos, facilitando a leitura e o entendimento, destes estudantes e profissionais que necessitem de aprendizado no dia a dia, ou aprimoramento de seus conhecimentos. Com certeza é uma importante contribuição à literatura técnica. Com conteúdo atualizado, bem ilustrado, com vários exemplos e exercícios, este trabalho demonstra dedicação a anos de estudos e pesquisa na área. Com sua experiência em docência, o Professor Tuler, compartilha seus conhecimentos com clareza e muito profissionalismo. Com certeza esta obra ajudará muitas pessoas no seu desenvolvimento profissional, em especial aos estudantes dos Cursos Técnicos e aos alunos de Engenharia de Agrimensura. A exemplo da 1a Edição, que é fonte de consulta bibliográfica de muitos trabalhos e pesquisas, esta 2a Edição, ainda melhorada, contribuirá ainda muito mais à comunidade técnica. 04 de março de 2002. Sérgio Luiz Costa Saraiva Engenheiro Civil
[email protected] iii pg. Prefácio ............................................................................................................................................................. ii Sumário ............................................................................................................................................................ iv Lista de Figuras ................................................................................................................................................ x Lista de Quadros e Tabelas ............................................................................................................................... xvi Capítulo 1 - Generalidades e Definições 1 - Introdução ................................................................................................................................................... 1 2 - Resumo Histórico ........................................................................................................................................ 2 2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga ......................................................................................... 2 2.2 - Da Idade Média à Revolução Científica ............................................................................................. 6 2.3 - Da Revolução Industrial ao Contemporâneo ...................................................................................... 7 3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia ......................................................................................................... 8 3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal e Esférica ................................................................................................... 9 4 - Conceitos Fundamentais da Topografia ...................................................................................................... 14 4.1 - Divisão da Topografia ......................................................................................................................... 14 4.2 - Importância e Aplicações .................................................................................................................... 16 5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia ...................................................................................... 17 5.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ........................................................................ 18 5.1.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas .................................................................................... 18 5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas ........................................................................................ 19 5.1.3 - Relação entre as Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ..................................................... 19 5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas ................................................................................... 20 5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM ................................................................................................. 20 5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas ..................................................................................... 22 5.2.3 - Relação entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas .............................................. 23 iv 6 - Sistema Geodésico Brasileiro ...................................................................................................................... 23 6.1 - Situação Atual do SGB ....................................................................................................................... 24 6.2 - Novas Propostas para Implantação de Redes Fundamentais ............................................................... 26 Capítulo 2 - Planimetria 1 - Introdução ................................................................................................................................................... 29 2 - Sistemas de Unidades de Medidas .............................................................................................................. 29 2.1 - Unidade de Medida Linear .................................................................................................................. 30 2.2 - Unidade de Medida de Superfície ....................................................................................................... 32 2.3 - Unidade de Medida de Volume ........................................................................................................... 34 2.4 - Unidade de Medida Angular ............................................................................................................... 34 2.4.1 - Sistema Sexagesimal ................................................................................................................ 34 2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano ................................................................................................. 37 3 - Gramometria ................................................................................................................................................ 40 3.1 - Processos Diretos ................................................................................................................................ 40 3.2 - Processos Indiretos .............................................................................................................................. 43 3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal .................................................................................. 43 3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado .................................................................................... 45 3.2.3 - Diferença de Nível .................................................................................................................... 46 3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas ................................................................................................ 47 4 - Goniologia ................................................................................................................................................... 50 4.1 - Ângulos Horizontais ............................................................................................................................ 50 4.1.1 - Ângulos Azimutais ................................................................................................................... 51 4.1.2 - Ângulos Goniométricos ............................................................................................................ 52 4.1.3 - Azimutes Calculados ................................................................................................................ 53 4.2 - Ângulos Verticais................................................................................................................................. 54 4.2.1 - Ângulo de Inclinação ................................................................................................................ 54 4.2.2 - Ângulo Zenital .......................................................................................................................... 54 4.3 - Magnetismo Terrestre ......................................................................................................................... 55 4.3.1 - Declinação Magnética .............................................................................................................. 55 5 - Métodos de Levantamento Planimétrico ..................................................................................................... 58 5.1 - Métodos Principais e Secundários ...................................................................................................... 59 5.1.1 - Métodos Principais ................................................................................................................... 59 5.1.2 - Métodos Secundários ............................................................................................................... 61 5.1.3 – Exemplo 30 – Ponto Inacessível .............................................................................................. 62 5.2 - Poligonal Topográfica ......................................................................................................................... 65 6 - Planilha de Coordenadas ............................................................................................................................. 69 v ....................................................................... 112 3..........Exemplo 39 .................................Barômetros .......... 110 2.....4...............Acessórios ......... 111 3 ...........................................1 ...........2 .............Determinação do Erro Linear ...1 ..................................................................................................................................................... 112 3.. 78 6.................. 101 1........................................................................................3 ...........................................Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas .................. 94 7............................ 81 6............... 113 3....................... 73 6...............................................................Erro de Nível Aparente ............ 105 2 ...........................................................................................................Cálculo de Azimutes ............................. 80 6..........................................Cálculo do Fechamento Angular ......................................6............Tolerância do Erro Angular .................................................................................Nivelamento Taqueométrico ...........................................Nivelamento Geométrico ................Nivelamento Trigonométrico .....................Fatos Atuais em Altimetria .....1 .............................................................................6 ........................... 107 2....................5 ..1 ...................Método Analítico pela Fórmula de Gauss ................... 115 3................................1 ....... 78 6.........................................................................................................................................3 ..............5 ..4.............................................1.1..Cálculo de Áreas Planas .....................................3 ........Exemplos de Cálculos de Planilhas de Coordenadas ............. 107 2................................................1 ..............................3 ..........................................................................Nivelamento Geodésico ...................................................................................Nivelamento Barométrico .................................................... 101 1........................................... 72 6...................................1 ....................................................................................7 ................................ 81 6..........Cálculo do Fechamento Linear ....................2 ...............Cálculo das Coordenadas Absolutas .............................................1...............................2 ...4 ......................................................................................Instrumentos Altimétricos ...........2 ............................ 103 1.................................Plano de Visada Inclinado .................Método de Comparação por Quadrículas ... 116 3..................................................................................................................1 .......2 .........................6...Altitude.............................................................. 117 3..........................................3 ...............................Altimetria 1 ................ 94 7......2 ....................................... 70 6.................................................... Cota e Diferença de Nível ..................................Exemplo 40 .........7..........Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas .....................6 ...............................................................Determinação do Erro Angular ............................................6........1 ............................................................................2 . 69 6...............Normas Técnicas Nivelamento segundo a ABNT .................................................Processos de Nivelamento ............................... 111 2........................ 76 6.Plano de Visada Horizontal ..............................Tolerância do Erro Linear ..................2 ............................................Distribuição do Erro Angular ............................Superfícies de Referência de Nível ...........................................................................2 ........................... 97 7............ 79 6....... 74 6.............................................................. 87 7 . 117 vi ......................................................................Método de Decomposição em Polígonos .......1 .......................................... 98 Capítulo 3 .....................4 ..........................................................................................................................7....................... 112 3......................Introdução ....... 116 3.................................................................................4 .............Introdução .......................................................................................1.................................. 78 6................................................. ...........1 – Determinação do Erro ..................... 129 4..........................Definição da Tolerância ...................3......................................................................Nivelamento Geométrico ......... 128 4. 143 3 .................Planta Baixa ......................................Nivelamento das Seções Transversais a Nível ........3 ................................................................................................................... 127 4........... 147 3..............................Nivelamento das Seções Transversais a Régua ..................................Introdução ...................................................Transformação de Referenciais Geodésicos ................1 ..................................................................................2...... 152 3........................Nivelamento Geométrico Composto .............................................Distribuição do Erro Admissível ..................................... 135 5............................2 .................................................... 130 5 ..........................................3 ..............................3 ................6.... 137 6 ......1 .................................Sistema de Posicionamento por Satélites ..........................................................................3 – Planialtimetria .................................................................................................... 160 3 ...............................................................................................................................4.............................................................................. 167 vii ................................2 ................................................................................2 ...........................................Introdução e Histórico ....Nivelamento GPS ................................ 139 6...........Observações no Modo Relativo ou Diferencial ........................................................................... 138 6........2 .............................................Exemplo de Cálculo de Nivelamento Geométrico ..............4..............................................................4........................3 . 162 3............................................................................................................................................................................Aspectos Básicos 1 ....................................4 – Erro no Nivelamento Topográfico ..........................................2...........................2............................................................................................................. 143 2 – Levantamento Planialtimétrico .... 159 2 .Perfis Longitudinais e Transversais ............. 124 4.............2 ....................................................................................................................................... 154 Capítulo 5 ............................ 120 4 ...1 ............................................................................... 121 4........................1 ..................................... 140 Capítulo 4 ........................................Nivelamento das Seções Transversais a Clinômetro ................................Exemplo de Cálculo Planialtimétrico .Representação Altimétrica ..2 – Altimetria – Nivelamento Estadimétrico ....................1 – Planimetria – Planilha de Coordenadas ............................................................5 ............................ 126 4............ 167 5 . 134 5..............Informações Básicas para Utilização do Sistema ............Nivelamento Geométrico Simples ............................................................................................................................Perfil Longitudinal ..................... 133 5..........................Princípios de Observação e Técnicas de Posicionamento GPS ...................... 135 5....................................................... 134 5.......Planialtimetria 1 .............................................................................................................................. 121 4............................................... 144 3.......................................... 164 4 ...Perfil Transversal ..................................................Verificação dos Cálculos da Caderneta ....1 .......................................................Perfil ..................Segmentos do Sistema e o Projeto NAVSTAR-GPS ............................. 130 4........................... .............................................................................................................. 202 3.................................... 173 2 ...............Medição Aproximada de Altura ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................Generalidades e Definições ................................................................Definições e Generalidades .........1............................1 ..................................................................................................Exemplo 1 ..........1 ....Ajustamento de Observações Topográficas ............................................................................................................Aspectos Básicos 1 .........2 ........................2.......................................................................................................... 186 5.........................1 ...............Exemplo 3 .........................Precisão e Classificação dos Levantamentos GPS ...........Problema de Orientação das Fotos ..............1 – Curva Circular Simples ................................................................................. 190 Capítulo 7 ...........................Fotogrametria ...................................................3 .....1 – Locação das Tangentes e PI´s .................................. 174 2................... 197 2............................ 170 Capítulo 6 ....................................................................................Aspectos Básicos 1 ........ 196 2..............2 – Locação das Curvas ..............................1 .............................................................1 .................................................................................Estudos Experimentais dos Erros Acidentais ...................................................... 168 7 .............................................................. 195 2.........................Instrumento Receptor ............................... 198 3 ....................................................... 213 2 – Locação para Construção de Estradas ...........................Formação do Modelo Estereoscópico ................................................................................ 182 5............Restituição Fotogramétrica ...........Conceitos Iniciais ................... 214 2......... 180 5 ......................................................................1 Câmaras Aéreas Digitais .............................. 218 Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos 1 – Introdução .....................2 ............................................ 204 3........... 175 3 ...... 187 6 ..... 201 3.......................Exemplo 2 ..................................................................... 189 6..........................Classificação dos Erros de Observação ............. 217 2.......Aplicações na Fotointerpretação ...............................6 .......Plano de Vôo Aerofotogramétrico ..........................................Informações Complementares para Projeto Aerofotogramétrico ........................Produtos Aerofotogramétricos ................................................... 207 Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos 1 – Generalidades e Definições .................................................... 215 2...................Aplicações Estatísticas .................1 ............................ 168 8 – Aplicações do Sistema GPS ....................................... 177 3.. 249 viii ................................................ 193 2 ...................................................................................................................................................................................Conceitos e Classificação dos Erros de Observação ......................................Câmaras Aéreas ........................................................................................................................................................................................................................2 ......................................................................... 178 4 ................................................................................................................................................................................................................................................ ...................................................................................................................3 – Abelhas..................................................................................................................................... 263 ix .............................2 – Animais Perigosos .....................5 – Cobras ........4 – Taturanas e Lacraias ............................................................... 252 2............ 253 2.......1 – Identificação de Cobras .................................................................................................................................................................................................1 – Aranhas ............................................ 255 2................................................................................................................................................................................. 259 Referências Bibliográficas ..............................................................................2 – Escorpiões .................................................... vespas e marimbondos ......................................... 255 3 – Prevenção de Acidentes ................................................ 253 2......................5................ 250 2............................................................................................... 254 2.... ..................................................................... 4 Figura 1.....................................................................................11: Sistema de coordenadas UTM .........................................................................................................................................................8: Relação entre superfícies da Geodésia ..................................................... 19 Figura 1................................... 43 Figura 2...... 20 Figura 1......... 17 Figura 1........................................................................................................10: Projeção UTM ........3: Astrolábio ...............................10: Distância horizontal estadimétrica I .............................................. 20 Figura 1................. 37 Figura 2................................................................................................................................................................................................................9: Algumas superfícies de projeção .................................. 42 Figura 2.2: Sistema sexagesimal ....................................................7: Erro de catenária ........................................................................................Generalidades e Definições Figura 1.............................. 35 Figura 2......................................................................................................................................................................11: Fios estadimétricos ..............6: Sistema de coordenadas astronômicas .................................... 18 Figura 1.................................................................... por Erastótenes ................................................................................................................................. 6 Figura 1...................................................4: Elipsóide de Revolução .....................5: Medição horizontal do alinhamento AB ............................................................. 21 Capítulo 2 ......................................... 42 Figura 2....1: Múltiplos e submúltiplos do metro ............... 41 Figura 2............................................................................................................... 40 Figura 2.... 44 x ............................ 42 Figura 2................................................................................................12: Deformações do sistema de projeção UTM ............ 5 Figura 1.................................... 30 Figura 2....9: Desvio lateral do diastímetro .....7: Sistema de coordenadas geodésicas ........2: Narrativa da experiência de Erastótenes ................................ 9 Figura 1............................................................................................................. Capítulo 1 .........................pg.......................8: Desvio vertical da baliza ...................6: Horizontalidade do diastímetro .................4: Sistema radiano ....................... 21 Figura 1.............................................. 38 Figura 2........................................................................Planimetria Figura 2.....................................................3: Sistema centesimal .................... 12 Figura 1................1: Determinação do raio da Terra.........................5: Extensão do campo topográfico ........... ........... 62 Figura 2.. 75 Figura 2..................................................................................................................................... 72 Figura 2................. 45 Figura 2.........................................................................45: Erro de fechamento angular II ................................................................ 53 Figura 2............. 46 Figura 2.........................39: Levantamento por coordenadas retangulares ....... 71 Figura 2.........................................................40: Pontos inacessíveis .............30: Ângulo de inclinação e zenital .... 48 Figura 2.............................................................................29: Azimute calculado a partir do ângulo horário ........................................................................................................................................................................46: Cálculo de azimutes I ...............................48: Cálculo das coordenadas relativas I ........................... 45 Figura 2.................................................................. 51 Figura 2.........................................................................................................................................................20: Ângulo horizontal α ........................................................................ 51 Figura 2. 54 Figura 2..................................................................................................................................22: Azimute de vante e ré ............................ 54 Figura 2.....33: Azimute magnético e verdadeiro .................................................... 57 Figura 2...............................................................................................................................Figura 2........................................................................................................ 53 Figura 2............. 66 Figura 2....................................................................................26: Medição dos ângulos de deflexão ...24: Conversão azimutes em rumos ..............................................................................23: Medição dos rumos ............................................13: Distância horizontal estadimétrica II ....................................................35: Levantamento por caminhamento .............................25: Medição de ângulos horários internos e externos .............37: Levantamento por interseção de distâncias .................18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico ........31: Declinação magnética ................. 49 Figura 2......................... 48 Figura 2.......................................................... 51 Figura 2......................................................... 52 Figura 2........................................................................................................41: Acessórios ao levantamento da poligonal topográfica ..................................... 55 Figura 2.............................................................................32: Simulação de cálculo da declinação para BH .......28: Azimute calculado a partir da deflexão ..................................................................................27: Azimute calculado a partir do rumo ...................................19: Ângulos na Topografia ................................................................................12: Tipos de luneta ...............36: Levantamento por interseção de ângulos ..............................................................................................43: Levantamento planimétrico de uma propriedade ....................................................... 61 Figura 2........................... 76 Figura 2................................................................................................................. 61 Figura 2................ 66 Figura 2........................................ 60 Figura 2................................................................................................................................... 52 Figura 2...34: Levantamento por triangulação ..........................................42: Poligonal topográfica ..15: Máxima distância teórica conferindo .....................................................17: Mínima distância teórica conferindo ..................................................16: Máxima distância teórica sem conferência ............................47: Cálculo de azimutes II ................................................................44: Erro de fechamento angular I ... 59 Figura 2............................................... 60 Figura 2......................................... 50 Figura 2.......................38: Levantamento por irradiação ............................................... 57 Figura 2...................... 48 Figura 2.............................................21 : Medição de azimutes ............................................ 62 Figura 2..... 52 Figura 2........................................................................14: Diferença de nível estadimétrica ............ 67 Figura 2............... 77 xi ........................ 53 Figura 2....................................................................................... ...............................................3: Superfície de referência verdadeira e aparente ...................................................................................................................................Altimetria Figura 3................................................55: Cálculo de área IV .................... 98 Capítulo 3 ................................................................................. 109 Figura 3.............................................................................................................................................. 108 Figura 3....................... 105 Figura 3....20: Nivelamento geométrico simples ...................23: Eixos longitudinal e transversal ......................................................54: Cálculo de área III ..... 97 Figura 2....................10: Níveis laser ........................................................................ 122 Figura 3....17: Nivelamento geométrico ........................................................49: Cálculo das coordenadas relativas II .......................................................................................................4: Altitudes de pontos topográficos .............. 131 Figura 3....................................................................................7: Nível cilíndrico .................................. 115 Figura 3............................................................................... 111 Figura 3...................11: Nível de mangueira ......................................... 135 Figura 3...5: Cotas de pontos topográficos .........15: Miras ................... 110 Figura 3.... 137 Figura 3.............2: Alturas ortométricas .........................12: Corpos suspensos ......................................................................................................................................................................................................................................................................... 109 Figura 3....................................................................................... 111 Figura 3.........................27: Planta com pontos cotados ..........................................................21: Nivelamento geométrico composto I ............................... 106 Figura 3................................................ 108 Figura 3......8: Níveis de luneta ................................................................................... 124 Figura 3...........................................................................28: Planta com curvas de nível ......Figura 2................................................................ 136 Figura 3............. 139 Figura 3......................... 101 Figura 3...................... 139 xii ..................................................................................13: Clinômetro ............... 95 Figura 2.................................................................................................................................................................................... 113 Figura 3.........................................................................................................................................................51: Poligonal topográfica II .................................................9: Nível de pedreiro ...................................................................................................6: Níveis esféricos ........................ 111 Figura 3.......1: Superfície terrestre............................. 134 Figura 3.....22: Nivelamento geométrico composto II ............................................................. geóide e elipsóide ............................................18: Nivelamento trigonométrico ................................16: Altímetro ...................................................................................... 109 Figura 3.......... 87 Figura 2.......................................................................................................................................................14: Estação Total ......................................................................................................................................................... 108 Figura 3............ 95 Figura 2.............................................................................................................................................................................................26: Nivelamento de seção transversal à clinômetro ...........19: Nivelamento barométrico ...................52: Cálculo de área I ......................... 77 Figura 2...........................50: Poligonal topográfica I ................................................................................................................................................................24: Nivelamento de seção transversal a régua ......................................................... 103 Figura 3................................ 110 Figura 3.................................................................................25: Perfil transversal ...53: Cálculo de área II ....................... 114 Figura 3..................................................................................................................... 102 Figura 3..... 82 Figura 2.... .................................... 144 Figura 4.......................7: Alguns modelos de receptores GPS .... 207 Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos Figura 8........................Ajustamento de Observações Topográficas ..........................1: Segmento de controle .........6: Método diferencial utilizando as ondas portadoras ..............2: Planta planialtimétrica do terreno ...... 213 xiii .......................5: Restituidor universal ................................. 173 Figura 6....................................................................................................................................................................................... 163 Figura 5....................................................... 141 Capítulo 4 ............ 187 Figura 6....................................................................................................................... 190 Figura 6.......................................................................................................................................................................................................6: Medição aproximada de altura ...................3: Nivelamento geométrico ..................................................1: Escala da fotografia aérea ..................Aspectos Básicos Figura 5.11: Fotointerpretação urbana ................................................................... 141 Figura 3........................................................................................................ 176 Figura 6..............Figura 3.....................................................7: Plano de vôo ..............1: Acurácia x Precisão ....................... 179 Figura 6......................31: Desenho em perspectiva ............................................. 165 Figura 5.....................3: Relação entre distância focal e escala ..........2: Relação entre a freqüência observada e freqüência teórica ...................................3: Princípio de observação ...............................................................................................................................................................Fotogrametria ....................................................... 160 Figura 5. 180 Figura 6.......................................................2: Segmento dos usuários ............................................................... 201 Figura 7.................... 196 Figura 7..........................................................4: Fase codificada ......................................2: Câmaras terrestre e aérea ........................................ 190 Figura 6........................................................8: Apoio terrestre .............................................................. 154 Capítulo 5 ...............................................................................................Planialtimetria Figura 4..................................................................................................................................... 174 Figura 6......10: Construção de cartas e mapas .................................4: Estereoscópio de espelhos .........1: Estaca testemunha ... 191 Capítulo 7 ............................ 164 Figura 5.................................. 168 Capítulo 6 ................................................................................................................................................ 154 Figura 4......... 177 Figura 6..........................................................................1: Croqui de área .......................... 161 Figura 5................................................................Aspectos Básicos Figura 7...........................................................3: Planta em perspectiva do terreno .................29: Planta com cores hipsométricas .......................9: Ortofotocarta ......Aspectos Básicos Figura 6...................................................................................... 163 Figura 5...........................................30: Desenho de perfil ...........Sistema de Posicionamento por Satélites ...........................................................................5: Posicionamento relativo ou diferencial ........................................ 183 Figura 6.......................................................................... 140 Figura 3......................................................................................................................... ..............................................................36: Esquema para locação de curva através das deflexões ............................................................12: Cálculo da tangente externa .......................................... 213 Figura 8................ 243 Figura 8............. 243 Figura 8......................................................................... 236 Figura 8...................................................................................... 220 Figura 8........................................34: Cálculo dos azimutes dos alinhamentos ................... 231 Figura 8.................................................................................................................................................................................................................................................................9: Elementos de uma curva de transição ..................................... 232 Figura 8......................................... 221 Figura 8........... 213 Figura 8.................38: Ilustrativo da locação por coordenadas ...17: Diferença entre distância reta e curva ................................... 218 Figura 8.. 222 Figura 8..................................................................................... 233 Figura 8...................................10: Estaqueamento final de uma estrada ................... 230 Figura 8..............................28: Deflexão acumulada I ....................................................................................................................................................................................................................... 242 Figura 8................... 218 Figura 8.......................................................................................... 235 Figura 8.......................................................................... Arcos de 5 m..............................................................................................................2: Referência do greide ......3: Utilização de cruzetas .........21: Locação III.................................5: Marcação das tangentes e PI´s ........................................................ 215 Figura 8................................24: Grau da curva ....................................................... 228 Figura 8.........................................................................................19: Locação I............................................18: Locação das curvas através da corda ..............................4: Exemplo da marcação de off-set ........................................................................................................................................................................................ 226 Figura 8.................................................................35: Esquema de cálculo de azimutes ....................................33: Cálculo das coordenadas da curva .............. Arcos de 20 m .................... 233 Figura 8.................................................................................................. 245 Figura 8.......................11: Elementos as curva circular .............................. Arcos de 10 m ........................................................................... 246 xiv ................... 219 Figura 8...30: Deflexão acumulada III ..............................27: Deflexão total II ............................................................................................................................................15: Cálculo das estacas do PI .............. 215 Figura 8.............................................................................................................................................................................................................................................. 237 Figura 8..........22: Cálculo do afastamento ......... 234 Figura 8........................ 216 Figura 8........................................................ 220 Figura 8..................................6: Amarração de um PI por interseção de ângulos ...........14: Cálculo das estacas do PC e PT ............Figura 8............................................... 238 Figura 8............................ 223 Figura 8...........................................................23: Aplicação do cálculo de afastamento ...7: Amarração de um PI por interseção de distâncias ...........16: Distância PC-PT..............32: Cálculo da cordas II .................................... 234 Figura 8.............................. considerando as tangentes e o desenvolvimento .................................................................26: Deflexão total I ................8: Elementos de uma curva circular simples .......... 229 Figura 8......................................................29: Deflexão acumulada II .................................................. 238 Figura 8.....31: Cálculo da cordas I .... 232 Figura 8................................... 245 Figura 8...............................................................................................................13: Ângulo AC .25: Deflexão .................................................20: Locação II............................................................................................................... 217 Figura 8......... 217 Figura 8..........................................................................37: Ilustrativo da locação por deflexão . ...................................................6: Fosseta loreal ..............................................................5: Espécies de cobras ............................................................................3: Escorpião ............4: Lacraia ......................2: Espécies de aranhas .................7: Esquema não confiável de identificação de cobras ...10: Equipamentos de segurança ....... 258 Figura 9............................................... 259 Figura 9...... 259 Figura 9...................................................................................... 257 Figura 9................................... 251 Figura 9......................................... 252 Figura 9.............................................................Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Figura 9......................................................................................................................................................................................................................8: Identificando cobras .................................. 255 Figura 9................................. 260 xv ....................................1: Animais perigosos ................................................................................... 253 Figura 9...........................................................9: Percentual de picadas de cobras nas partes do corpo ............................................................ 254 Figura 9............................................................................................................................ 256 Figura 9..................................................................11: Bote ...................................................... .................................5: Levantamento Planimétrico – Poligonais .......................4: Nivelamento de linhas ou circuitos e seções ............................ 104 Tabela 3.................................................................................................5: Especificações para nivelamento geométrico – IBGE .................................................................. 26 Capítulo 2 ...............3: Classificação dos instrumentos (níveis) ....Planialtimetria Tabela 4.......................................................................................................................Generalidades e Definições Quadro 1....................................................................2: Transformação entre sistemas geodésicos .....................................8: Classificação de estações totais ..............................1: Classificação dos Levantamentos Geodésicos ...................................................1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares .........................10: Classe x Coeficiente d . 68 Tabela 2................ 107 Tabela 3.................................................................... Capítulo 1 ..................6: Classificação dos teodolitos .......................................Altimetria Tabela 3..........................1: Resumo das equações taqueométricas ................................................................... 39 Tabela 2..................................3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão .......................................... 79 Capítulo 3 ......................... 68 Tabela 2..........1: Outros sistemas lineares .............4: Resumo das equações estadimétricas ........... 68 Tabela 2.......................... 119 Capítulo 4 ............ 47 Tabela 2.............1: Valores de distâncias versus erro de nível aparente .........................................................................................................1: Alguns elipsóides e seus parâmetros . 68 Tabela 2..2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI) ......................... 40 Tabela 2.. 24 Tabela 1........... 38 Tabela 2...................................................................................................................................................... 72 Tabela 2............. 144 xvi ..........................7: Classificação dos MED ................................................................................... 10 Tabela 1........................................................................ 117 Tabela 3.................................................................... 30 Tabela 2...... 117 Tabela 3................9: Classe x Coeficiente b .............................................Planimetria Quadro 2.............................................2: Instrumentos altimétricos ..................................................................................................................pg.................... .7: Resumo dos cálculos III ..................... 261 xvii ........................................................2: Configuração em 1990 do NAVSTAR-GPS ............................................4: Técnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Precisão ........................................................................... 161 Tabela 5......Tabela 4................................................................................................................3: Resumo dos cálculos I ....................................................................................... 208 Tabela 7...................................3: Mercado de receptores GPS ......................... 153 Capítulo 5 ....................................................................................................................................................................................Sistema de Posicionamento por Satélites ................................................Aspectos Básicos Tabela 7................................... 206 Tabela 7.......2: Altimetria – Exemplo .......5: Resumo dos cálculos II ....................... 169 Capítulo 7 .................. 169 Tabela 5..1: Acidentes x soro ...................................................................................................... 203 Tabela 7.....................................6: Medidas da diferença de nível ................................................4: Medidas do ângulo horizontal ........................ 202 Tabela 7......................................................................... 161 Tabela 5..................Aspectos Básicos Tabela 5.......................................... 208 Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Quadro 9. 199 Tabela 7................2: Medidas de uma base geodésica .......................................... 205 Tabela 7......................1: Configuração Original do NAVSTAR-GPS ....................................................................................1: Experimento de Bradley .....................Ajustamento de Observações Topográficas ............................... uma revisão associada aos sistemas de unidades de medidas. No Item 5 estes temas se fundem perfazendo os métodos de levantamento planimétrico. citando as de medidas lineares.Introdução Considerando que a topometria é a parte da Topografia responsável pela avaliação de grandezas para representar o ambiente (Cap. 1). considerando o plano horizontal. divide-se inicialmente o conteúdo em dois temas.Item 4).Sistemas de Unidades de Medidas Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra. Já está bem difundido a utilização do “Sistema Internacional de Unidades SI”. Nos próximos itens (6 e 7) calculam-se coordenadas e áreas de polígonos topográficos. baseado nas duas grandezas básicas a serem avaliadas em campo. A seguir são comentadas as unidades mais utilizadas na Topografia.1 . de superfície. ou seja. tem-se no Item 2. Como o assunto está associado à interpretação e medida de grandezas lineares e angulares. 29 . as distâncias (Gramometria . volumétricas e angulares. métodos e instrumentos de medida de ângulos e distâncias. denominada padrão. Para estudo da planimetria. e ao final um resumo dos vários sistemas de unidades utilizadas pelo Engenheiro. apesar de alguns sistemas antigos (infelizmente !) ainda serem usados com freqüência. e verificar quantas vezes ela é maior ou menor que aquela tomada como padrão.Item 3) e ângulos (Goniologia . a planimetria estuda os procedimentos. 2 . 200 m. # 1 braça = 2 varas = 2. # 1 jarda = 3 pés = 0.91438 m.00098 hm = 0.000.45 m = 21.852.000 dm = 1.450 mm = 0.02145 km.000 cm = 10. # 1 légua geométrica = 6. # 1 corda = 15 braças = 33 m. # 1 palmo = 8 polegadas = 0. equivale a 27.10 m. # 1 milha terrestre = 1.0098 dam = 0. Capítulo 2 .98 dm = 0.Unidade de Medida Linear A unidade de medida internacional para medidas lineares é o metro (m). para mm e km.5 mm 30 . O sistema métrico decimal envolve seus múltiplos e submúltiplos (Figura 2.35 m. # 1 pé = 30. 1 2 Exemplo 3: Transforme 12 polegadas inglesas e 5 pés em metros. Solução: 10 km = 100 hm = 1. # 1 vara = 5 palmos = 1.000098 km. # 1 milha náutica ou marítima = 1. Apesar da tendência de utilização do sistema métrico decimal.1: Outros sistemas lineares.609.45 m.000 m = 100. que corresponde à décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre.8 cm = 0. # 1 milha (bras.000 m. Exemplo 2: Transforme 21.1: Múltiplos e submúltiplos do metro. Solução: 21.34 m.000 dam = 10.4 mm. 98 mm = 9. unidade antigas ainda são utilizadas.1): Figura 2.20 m. nos múltiplos e submúltiplos do metro.22 m. Exemplo 1: Transforme 10 km e 98 mm.1 .) = 2.000.600 m. como: Quadro 2. 1 Polegada: Segundo a ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas).Planimetria 2.098 m = 0.000 mm. # 1 polegada inglesa = 25.479 cm. # 1 légua de sesmaria = 6. chegando a conclusão que o metro dos arquivos possuía 1/5 de mm a mais ou seja.479 cm. o metro arquivado tinha 1. Condorcet e Borda.002. próximo a Barcelona. 2 Braça: Unidade linear do ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas). Hayford encontrou para o quadrante terrestre 10. logo 12 polegadas =304. O padrão. e as outras distribuídas pelos países participantes da conferência. encarregou os astrônomos João Delambre e Pedro Nadré Mechain. próximo a Paris. O comprimento do quarto do meridiano deduzido das medidas efetuadas foi de 5. que vai de Dunquerque.286. Resolveu-se. ou. para a sede do Departamento Internacional de Pesos e Medidas. realizado em 26/09/1899.4 mm. a qual participaram os principais países do mundo entre os quais o Brasil.130. a Monjony.3048 m 1 pé = 30. foi mantida esta medida e designada a cidade de Bretevil. do qual se deduziria a quarta parte do mesmo meridiano para. seriam os protótipos nacionais. ! Curiosidades sobre o Metro A comissão de acadêmicos constituída por Monge. 0. 31 .. que dá o comprimento legal do metro. de metro (metron = medida). a cópia mais aproximada seria o metro protótipo internacional. ou 1. de seção especial. logo 5 pés = 152. Empregando como unidade de medida a toesa (1 toesa = 6 pés). numa liga de 90% de platina e 10 % de irídio. foi por lei de 10/12/1799 declarado “MÈTRE VRAI ET DÈFINITIF” e depositado nos arquivos do Estado Francês. a proceder os trabalhos geodésicos necessários para a medida de 10o do meridiano.0002 m. e por deliberação da primeira conferência geral. Esta parte recebeu a denominação proposta por Borda. 25 x 4 mm. Em 1909 após seus trabalhos geodésicos. realizada em 1875.51307 toesa. ser determinado o padrão da unidade fundamental escolhida. no entanto.. cuja décima-milionésima parte equivale a 0.Solução: 1 polegada = 25. Lagrange. protótipo em platina. então.524 m Saiba desta . no norte da França. razão por que na Convenção Internacional do Metro. formulando um esboço do sistema de medidas. encarregado dos trabalhos de metrologia.8 mm. de seção retangular. não modificar o metro dos arquivos. construído pelo físico francês Fortin.740 toesas.39 cm. Foram então confeccionadas 30 cópias do metro. Tem-se ainda a légua quilométrica (4 km) e a légua terrestre ou comum.Planimetria Saiba também . esse valor foi arredondado para 1. distância indicada por uma pessoa que a expressa esticando o lábio inferior. 6 km. contada num círculo máximo da terra..000 quilômetros. e a medida encontrada foi o equivalente a 63.445 km. Por convenção internacional.875 km.01 a Exemplo 4: Seja transformar: 32 . mais largos que o normal. Capítulo 2 . correspondente a 10. 1 minuto de arco corresponde a 1. porém em topografia.360 polegadas.. em razão da avaliação de grandes extensões da superfície. A linha do equador mede aproximadamente 40.25 metros.300 braças ou a 6. a 20a parte do grau. qualquer linha a contorná-la terá 360o. Dividiu-se.000 m2 = 100 a Submúltiplo => 1 centiare (ca) = 1.000 passos dados por um centurião.2 – Unidade de Medida de Superfície A unidade padrão é o metro quadrado (m2). 2.0 m2 = 0. tem-se ainda a légua de beiço. principalmente se for precedida de um “logo ali” do mineirinho. Saiba ainda.690. ! Qual a medida da LÉGUA ? Do latim “leuca”.000 m2. ! Por que a milha náutica é diferente da milha terrestre ? A origem da milha terrestre – sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e nos Estados Unidos – esta no “Mille passus”. o comandante das suas milícias. Já a milha náutica foi esta estabelecida de forma científica. A légua de sesmaria equivale a 3. légua de 4. A légua de uma hora. légua de 4. Are (a) => 100 m2 Múltiplo => 1 hectare (ha) = 10.. para dar a entender que é longe.34 metros. Como a terra possui um formato arredondado. esta medida itinerária cujo valor primitivo não está bem fixado e possui várias interpretações..000 metros enquanto a légua marítima. que variam de 2. que vale 3 milhas.4 km. também chamada de vinte e cinco ao grau. conforme a época e o povo.853.2 a 7. ou 1.556 km. que é a milha marítima. então esse perímetro por 360 partes (1o) e depois por 60 (1’).852 metros. Os passos do centurião tomados como base eram duplos. utiliza-se com mais freqüência o múltiplo hectare. Ou seja. Não satisfeitos. ou cerca de 5. Légua geométrica possui 6. unidade de comprimento utilizada pelo exército romano que correspondia a 1. Esta última também é denominada de légua de vinte ao grau. 000.84 ha # 1 alqueire paulista = 50 x 100 braças = 24.000 m = 41. # Colônia é uma unidade de superfície usada no estado do Espírito Santo.200 m2 = 2. No Paraná a Quarta vale 50 x 25 braças.4 ha) # 1 Braça quadrada = 4.0 cm2 # 1 acre 3 = 43.# 23. 33 .046.400 m2 # 1 m2 = 100 dm2 = 10. seja um quadrado de 50 m de lado.3 – Unidade de Medida de Volume 3 Acre é uma unidade de medida agrária empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos. # Geira é uma unidade de medida agrária e equivale a 400 braças quadradas. equivale a 0..000.800 m2 Exemplo 5: Transforme 200 ha em m2 e em alqueires geométricos.000.. citando: # 1 alqueire geométrico = 100 x 100 braças = 48. equivalente a 5 alqueires de 100 x 100 braças.42 ha # 1 alqueire mineiro = 75 x 75 braças = 27. por exemplo.000 m2 Existem ainda algumas unidades antigas de superfície utilizadas no Brasil. como: # 1 milha quadrada = 2. Na Bahia corresponde à superfície de um quadrado de 30 braças de lado.560 pés2 = 4.8 m2 (cerca de 0.788 x 107 pés2 = 640 acres # 1 pé quadrado = 929.224 m2 = 2. # Morgo é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina. 2.25 hectare. Algumas outras utilizadas em algumas regiões brasileiras e outros países (e até curiosas !). também chamada de Quarta no Rio Grande do Sul.84 m2 Saiba desta .34 ha = 233. Solução: 2 200 ha = 2. baseado no ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas). ! # Cinqüenta é uma unidade de medida agrária empregada na Paraíba e equivale à 50 x 50 braças.400 m2 = 4. como por exemplo o alqueire. # Lote é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina.7225 ha # 1 alqueire goiano = 96. equivale a 25 hectares. # Tarefa é uma unidade agrária de valor variável de estado a estado.000.000 mm2 # 1 km2 = 1.3223 alqueires geométricos. variando sua medida entre regiões.000 cm2 = 1. No sistema sexagesimal o círculo trigonométrico é dividido em 360 partes. 34 .000 cm3 Exemplo 7: Calcule a capacidade.1 . Solução: Capacidade = largura x comprimento x altura = 4. tendo como unidade básica o grau (Figura 2. Capítulo 2 . altura: 500 cm).4.7645 m 24 jardas cúbicas = 18. Têm-se ainda as seguintes unidades volumétricas: # 1 jarda cúbica = 0.000. # 1 litro = 1 dm3.000 m = 200 m3 Capacidade = 200 m3 = 200. em litros e em m3.Sistema Sexagesimal É o sistema mais utilizado na Topografia. em m3.348 m3 2.348 m3 Capacidade = 18. de uma caixa de água com as seguintes dimensões (largura = 4 m. Solução: 3 1 jarda cúbica = 0. 2. centesimais (grado) e o radiano. Exemplo 6: Transforme: 1 m3 = 1m x 1m x 1m = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1. corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m.Planimetria A unidade padrão é o metro cúbico (m3).2).4 – Unidade de Medida Angular As unidades de medidas dos ângulos e arcos podem ser sexagesimais (grau).7645 m3.000 m x 10. de um moto-scraper que transporta 24 jardas cúbicas por viagem.000 m x 5.000 dm3 = 100 cm x 100 cm x 100 cm = 1.000 litros Exemplo 8: Seja calcular a capacidade. comprimento = 100 dm. em sentido horário. Exemplo 10: Some 50o 20’ 30” e 20o 45’ 43” Solução: o 50 20’ 30” + 20o 45’ 43” 70o 65’ 73” = 71o 06’ 13” Logo.2: Sistema sexagesimal.Figura 2. As modalidades de ângulos horizontais e verticais utilizados na topografia são comentados no item 4 (Item 4 – Goniologia).600” Geralmente tem-se a origem da medição na direção do Norte.600” = 1o Logo: 1o = 60’ = 3. Círculo: 360o Unidade básica: 1o Submúltiplos: Minuto: 60’ = 1o Segundo: 3.5” (lê-se trinta graus. Pode-se executar as seguintes operações algébricas: a) Adição # Adicionar as unidades comuns. quarenta e nove minutos e trinta e dois “vírgula” cinco segundos). 70o 65’ 73” = 70o 66’ 13” = 71o 06’ 13” b) Subtração 35 . Exemplo 9: 30o 49’ 32. Exemplo 12: Multiplique 80o 20’ 30” por 5 Solução: o 80 20’ 30” x 5 400o 100’ 150” Corretamente tem-se 401o 42’ 30” d) Divisão # Dividir apenas por números adimensionais. # Não multiplicar ângulos por ângulos. minuto e segundo. pois sen 30o 30’ = 0. Capítulo 2 .504527623815 A operação da decimalização já é uma rotina existente na maioria das calculadoras científicas. Exemplo 11: Subtraia 50o 20’ 30” e 10o 42’ 40” Solução: o 50 20’ 30” 10o 42’ 40” o 50 19’ 90” 10o 42’ 40” o 49 79’ 90” 10o 42’ 40” 39o 37’ 50” c) Multiplicação # Multiplicar apenas por números adimensionais. devendo ser executada antes de qualquer operação matemática relacionada à ângulos sexagesimais.Planimetria # Subtrair as unidades comuns e iguais. ou seja. Solução: 80 o 40' 20' ' o 4 = 20 10' 05' ' Deve ser claro que relações trigonométricas envolvendo unidades do grau.30o = 0.507538362921 sen 30. estes devem ser “decimalizados”. por exemplo: # sen 30o 30’ ≠ sen 30. Exemplo 13: Divida 80o 40’ 20” por 4. Exemplo 14: Decimalize e/ou calcule: a) 30o 30’ 36 .30o (erro muito comum em operações trigonométricas). # Não dividir ângulos por ângulos. então: 30o 30’ = 30o + 0. logo.105o c) tan 30o 20’ 01.5o = 30. Decimiligados = 10.400g Unidade básica: 1g Submúltiplos: Centigrado: 100 centrigados = 1g.3336666667 = 0.Sistema Centesimal e Radiano O sistema centesimal foi bastante empregado na Topografia. não ocorrendo com freqüência na atualidade. logo 06’ equivale a 0. 18” equivale a 0. e 3600” equivale a 1o. então: 20o 06’ 18” = 20o + 0.5o b) 60’ equivale a 1o.1o + 0. Círculo . 30’ equivale a 0.005o = 20.2 .4839g (lê-se trezentos e oitenta e dois grados.005o. tendo como unidade básica o grado (Figura 2.000 decimiligrados = 1g Figura 2.b) 20o 06’ 18” c) tan 30o 20’ 01. quarenta e oito centigrados e trinta e nove decimiligrados).3: Sistema centesimal.3). Exemplo 15: 382. 37 .20” Solução: o a) 60’ equivalem a 1 . logo.20” = tan 30.1o. No sistema centesimal o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes.5o.585141328646 2.4. 1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares. Graus 0o 90o 180o 270o 360o Grados 0gr 100gr 200gr 300gr 400gr Radianos 0 rd π/2 rd π rd 3π/2 rd 2π rd Geralmente é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares.Planimetria O radiano é o ângulo central correspondente à um arco de comprimento igual ao raio (Figura 2. Capítulo 2 . principalmente ao confeccionar algum programa de cálculo.4: Sistema radiano.1 tem-se a conversão de sistemas de unidades de medidas angulares vistos anteriormente. 38 . Alguns equipamentos modernos (Estações Totais. Na tabela 2.3 0 ≈ 57 0 18' 2π Logo 1 radiano ≈ 57 0 18 ' = α Figura 2.4). 2 π R ==> 360o a ==> α 360 0 ⋅ a α= 2πR se a = R ∴ 360 0 = 57. Tabela 2. por exemplo) possibilitam a tomada destas grandezas em quaisquer sistemas mencionados acima. a duração de 9. m/s2 N/m2 N. a corrente constante que.Gramometria A Gramometria estuda os processos e instrumentos usados nas determinações de distâncias entre dois pontos.m J/s 3 . Tabela 2.7g b) 120o (para grado) = 133..” (1967).. Grandeza Nome Símbolo Comprimento Metro m Massa Quilograma kg Tempo Segundo s Corrente elétrica Ampére A Área Volume Freqüência Densidade Velocidade Aceleração Força Pressão Trabalho/Energia Potência Metro quadrado Metro cúbico Hertz Quil.74 rd h) 2 rd (para grau) = 114o 36’ A tabela 2. Esta distância pode ser obtida por processos direto ou indireto. daqui em diante. a distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299. “ .770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.458 do segundo. 39 ..3g c) 76o (para grado) = 84. s-1 kg . ” (1889)..792.60 = 93o 36’ e) 96g (para grau) = 86o 24’ f) 78g (para grau) = 70o 12’ g) 100o (para radiano) = 1..2 ilustra outros sistemas de unidades utilizados freqüentemente nas medições em geral.192. “ .. Newton Pascal Joule Watt m2 m3 Hz kg/m3 m/s m/s2 N Pa J W Definição “ .. por metro cúbico Metro por segundo Metro por seg..2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI). produziria entre esses condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro. mantida em dois condutores retilíneos paralelos de comprimento infinito e seção circular transversal desprezível. ” (1983). situados no vácuo e distantes um do outro 1 metro.” (1946). “ .631. quadr. considerando a unidade de massa.4g d) 104g (para grau) = 93.Exemplo 16: Seja transformar: a) 358o (para grado) = 397. este protótipo (um determinado cilindro de platina e irídio) será. de aço ou de nylon.1 . 20. Abaixo são citados os erros mais comuns. Na tabela abaixo (Tabela 2. caso o terreno seja inclinado. a) Erro no comprimento do diastímetro Deve ser corrigido. as distâncias são determinadas percorrendo-se o alinhamento. 40 .De aço * Fitas .: bambu) * Medidor topográfico . O erro total ao executar uma medida é a resultante de um conjunto destes erros. 30 e 50 metros.Processos Diretos Pelo método direto. Existem trenas de 2. com auxílio de duas balizas (Figura 2. sendo mais usadas as de 20m. Logo. Capítulo 2 .3) tem-se uma classificação dos processos diretos segundo sua respectiva precisão.5). Como os alinhamentos são representados em planta por suas projeções num plano horizontal (rever o conceito de Topografia). Ainda. e a outra num ponto mais baixo. alguns erros devem ser corrigidos e outros evitados.De fibra de vidro .3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão. Geralmente as trenas são constituídas de uma fita de lona.Planimetria 3. 30 e 50 e até 100 metros.80 m) * Régua graduada (por ex. Baixa precisão Média precisão Alta precisão * Passo (por ex. Figura 2.: p ≅ 0. a medida deve ser executada tendo uma das extremidades no ponto mais alto. Tabela 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB. as medidas das distâncias devem ser feitas na horizontal. enrolada no interior de uma caixa circular. As fitas de aço temperado possuem geralmente 10.De fibra de vidro * Fio ínvar Na operação das medidas lineares deve-se ter o cuidado de avaliar sempre a projeção horizontal dos pontos considerados. 20. 5.De lona * Trenas . na medição de uma distância. 10. Genericamente os instrumentos destinados a medida direta são denominados de diastímetros.De aço . 9 m x = 99. Deve ser evitado. pensaria o usuário estar medindo 25m. Neste caso. α .Temperatura ambiente.0 m 100 m ⇒ 24. Exemplo 18: Partindo do exemplo 15. com a marcação de 25 metros. verificando a posição do diastímetro (Figura 2. mas na realidade teria apenas 24. suponha uma distância no campo igual 100 m.Erro. T . e sua verdadeira medida seja 24.9 m. caso ocorra uma inclinação do diastímetro. com o diastímetro acima. t .Temperatura de aferição (± 20o C). com auxílio de uma 3o pessoa Figura 2. quanto deve-se medir no campo ? Solução: x m ⇒ 25.00 m) b) Erro de dilatação do diastímetro Deve ser corrigido.Exemplo 17: Suponha um diastímetro.Distância medida. por exemplo. a distância tomada será sempre maior que a real.6). qual seria a distância real ? Solução: 100 m ⇒ 25.6: Horizontalidade do diastímetro.0 m x m ⇒ 24. inicialmente.9 m.40 m (a ser medido no campo para obter os 100. suponha que foi feita uma aferição (constatação em laboratório). para obter a distância real de 100 m. e = L * α *(T − t ) . c) Falta de horizontalidade do diastímetro Como os pontos A e B devem ser projetados considerando um plano horizontal.Coeficiente de dilatação.60 m (distância real medida pelo usuário) Exemplo 19: Ainda. L . d) Erro de catenária 41 .9 m x = 100. onde: e . Em segunda análise. omissão de trenadas.8). ou seja um traço da interseção do terreno com apenas um plano vertical que contém estes pontos. anotação errada. 42 . Pode-se citar como erro grosseiro ou engano: Posição do zero no diastímetro.2 . erro de leitura. Estes podem ser: # Óticos # Mecânicos # Eletrônicos Os instrumentos óticos e mecânicos são designados de taqueômetros ou taquímetros. Os instrumentos de medida indireta de distância são denominados distanciômetros. Para evitá-lo deve-se esticar o diastímetro. f) Erro de desvio lateral do diastímetro Considerando dois pontos topográficos.7: Erro de catenária. 3.Processos Indiretos Na medição indireta de distâncias. com a utiliza- Figura 2. a distância medida pode ser maior ou menor que a distância real AB (Figura 2. a distância horizontal entre eles deve ser tomada materializando um alinhamento reto.7). Este erro tem de ser evitado. estas são determinadas sem percorrer o alinhamento. avaliar trechos menores ou adotar escoras intermediárias.Planimetria Erro devido ao peso do diastímetro. por exemplo.9). Figura 2. Capítulo 2 . por exemplo. Deve ser evitado. (Figura 2. e) Desvio vertical da baliza Em virtude das balizas não estarem perfeitamente na vertical. Deve ser evitado.8: Desvio vertical da baliza. através do Figura 2. etc.9: Desvio lateral do diastímetro. balizamento (Figura 2. g) Enganos Ocorre pela inabilidade do operador. ção de um nível de cantoneira. reafirma-se a divisão proposta. quer por meios óticos.FI.Plano Horizontal O princípio de construção está ilustrado figura 2. empregando-se instrumentos denominados taqueômetros. quer por meios mecânicos.2.Distância a ser determinada (D) AF . # m . por este ser um processo de levantamento muito aplicado em levantamentos topográficos.Distância horizontal. 43 .Leitura estadimétrica (m) (FS . 3. Taqueometria é a parte da topografia que se ocupa da medida indireta das distâncias horizontais e das diferenças de nível.Altura dos fios do retículo (h) D f = m h ∴D = m*f (04) h f = g (cons tan te) h D = m⋅g onde # D . Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos estadimétricos. onde: AC BC = AF EF (01) AC CD = AF FG (02) AC BC + CD BD = = AF EF + FG EG (03) Figura 2. sendo AC .Leitura estadimétrica onde: m = FS .3 e 3. Com os fios de retículo.10.O processo indireto confundia-se com a taqueometria ou estadimetria. 3. Nos itens a seguir (3.4).FI) EG .2.10: Distância horizontal estadimétrica I.Distância Horizontal .2. 3.Distância focal (f) BD . dá-se ênfase ao processo de obtenção de distâncias e diferenças de nível com uso de taqueômetros. associados às miras verticais ou horizontais. pode-se obter a distância horizontal e a diferença de nível entre dois pontos.2. associados à miras verticais. contudo com o avanço da utilização de instrumentos eletrônicos para obtenção de distâncias.1.2. constituídos de três fios horizontais e um vertical.1 .2. 2 . Capítulo 2 . 2. 100 = 160 m Em alguns taqueômetros. deve-se considerar a constante “c” mais a distância focal “f”.200 = 1.000 = (2.Constante do aparelho.: Muitas vezes é considerando a igualdade ao invés da aproximação da igualdade.800 m.Fio superior do retículo.2.Fio médio do retículo.1. calcule o FM e a distância (Figura 2.12).12: Tipos de luneta – Alática e Analática. Existe ainda a seguinte relação: 2 .800 .200 m g = 100 2 . FM .000 OK ! m = FS .800 + 1. No caso da luneta alática. FI .600 m D = m .11: Fios estadimétricos. Em 99% dos casos.Planimetria onde FS .11): Solução: FS = 2. g = 1.600 .Distância Horizontal . g = 100. FM ≅ FS + FI Obs. # g . FI e g.000 = 4. a luneta pode não coincidir com o centro do instrumento (alática) ou coincidir (analática) (Figura 2.Plano Inclinado 44 . FI = 1. para determinação das distâncias ho- Figura 2.200) => 4. 3. Figura 2. A maioria das lunetas dos taqueômetros é analática. rizontal e vertical.Fio inferior do retículo. Exemplo 20: Dados os fios FS.FI = 2. FM ≅ (FS + FI) => 2 . : Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 – Goniologia). a fórmula estadimétrica será: 3. AC = n . FG = n . para avaliar a diferença de nível FG. LE => D = m . 45 . os ângulos: FCB = DCG = CAE = α (08) n n 2/ cos α = 2 ∴ cos α = ⋅ m 2/ m 2 n cos α = ∴ n = m ⋅ cos α m Figura 2. g (05).Altura do instrumento.13). BD => Leitura estadimétrica . g . g .13. n = m . AE = AC .m. cosα (09) (09 em 07) D = m . g . cosα (10) D = m .Diferença de D = m .Leitura estadimétrica com a mira normal à visada. cos2 α Obs. cosα . cosα (06) AE = n . considerando um plano inclinado: BD = m . a distância vertical entre o ponto F e a projeção do ponto A. ou seja. EG => i . FG => Diferença de nível. cos2α (12) CF => Leitura feita na mira com o fio médio .2.alvo.14. g .13: Distância horizontal estadimétrica II. sen2 Z Nível Considere a figura 2. g .Seja agora a figura 2.Leitura estadimétrica com a mira na vertical.3 . cosα (07) Dos triângulos FBC e DCG (considerando serem retângulos semelhantes ao triângulo ACE) (Figura 2. g . (16) em (15) FG = LE . tgα + EG .4 tem-se um resumo das equações taqueométricas para avaliar distâncias horizontais e diferenças de nível.14: Diferença de nível estadimétrica.4: Resumo das equações estadimétricas. Tabela 2. tem-se: dn = m .CF (15) CE = LE . Capítulo 2 .CF (13) CG = CE + EG (14) (14) em (13) FG = CE + EG .g D = m . tgα + i – alvo (18) ⎡ sen ( 2 ⋅ α ) ⎤ ⎣ 2 dn = ⎢ m ⋅ g ⋅ ⎥+i−l ⎦ Obs.Planimetria Definição: FG = CG . sen2 Z (Z) sen (2 ⋅ α ) ⎤ ⎡ (α) dn = ⎢ m ⋅ g ⋅ ⎥+i−l 2 ⎣ ⎦ 46 .: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 – Goniologia). g .CF (10) (17) Substituindo. cos2α . g . cos2 α (α) D = m . a fórmula taqueométrica será: ⎡ ⎣ dn = ⎢ m ⋅ g ⋅ sen (2 ⋅ Z ) ⎤ 2 ⎥⎦ + i − l Na tabela 2. tgα (16) Figura 2. Analática Plano horizontal Distância horizontal Plano inclinado Distância horizontal Plano inclinado Diferença de nível D=m. logo: D=m. Exemplo 21: Sejam os dados abaixo.000 = 4. pode-se demonstrar as máximas e mínimas distâncias que podem ser obtidas pela taqueometria. a imagem do objeto começa a ficar prejudicada. # Erros nas constantes c.: A máxima distância entre dois pontos é aquela tomada na horizontal. Estas podem ser avaliadas pelo aspecto teórico. f.sen(2 ⋅ Z) ⎤ ⎡ (Z) dn = ⎢m ⋅ g ⋅ ⎥⎦ + i − l 2 ⎣ Igualmente à medida direta de uma distância.15: Máxima distância teórica conferindo. a real distância que se pode obter pelo taqueômetro. # Erro na medição do ângulo de inclinação (α ou Z). Figura 2.g m = FS . ou seja. # Falta de verticalidade da mira.16). Para a prática.FI m = 4. ao avaliar indiretamente uma distância por taqueometria.0.2.000 m 47 . depende diretamente do foco do instrumento. matematicamente.Distância imprópria. Na consideração teórica estão em questão o tamanho da mira e sua menor subdivisão. e o valor da constante g. sendo que a distâncias superiores a 150 m. ou pelo aspecto prático. desvios causa- dos pela refração atmosférica. ou seja.000 . Dados: L (tamanho da mira) = 4.15) e sem conferência (Figura 2. alguns cuidados devem ser considerados. 3. e inferiores a aproximadamente 5 m. calcule a máxima distância teórica conferindo (Figura 2. evitando alguns erros como: # Na leitura da mira . g. capacidade de aumento focal da luneta.000 m g = 100 Solução: Obs.4 .Distâncias Máximas e Mínimas Através de exemplos. 000 x 100 = 800 m (sem conferência) Exemplo 22: Sejam os dados a- baixo. 100 .010 . g . cos2 (30. calcule a distância horizontal e diferença de nível entre dois pontos (Figura 2.g Figura 2.FI) .000 m D = 8.000 = 0. um dos fios (superior ou inferior) está impossibilitado de ser lido.5o) = 1. Considerado os dados abaixo e as fórmulas da tabela 2.4.772 m.200) .010 m Figura 2.1.000 m = ∴ FS = 8. logo.18).17: Mínima distância teórica conferindo. i = 1. cos2 (30o 30’) D = (2.010 x 100 = 1. cos2α D = (FS . deve ser calculado pela fórmula: FM = FS + FI FS + 0. 0.: Para determinar a distância máxima sem conferência. 100 .200 m.Planimetria D = 4.344 .5 m Solução: a) Distância horizontal D = m . FI = 1.17).000 ∴ 4.000 m (conferindo) Exemplo 23: Durante as operações topográficas. α = 30o 30’.00 = 8.16: Máxima distância teórica sem confe- m = 1. Capítulo 2 . Dados: menor subdivisão = 0.931 m b) Diferença de nível 48 .000 m 2 2 m = 8. D = 0.74240 = 84. g = 100 Solução: D=m.000 .344 m. a maioria das medidas de distâncias é tomada considerando um plano inclinado.0.144 .1.010 m rência. calcule a mínima distância teórica conferindo (Figura 2. g = 100. FM = 1. 100 .000 x 100 = 400 m (conferindo) Obs. Dados: FS = 2. Estuda os processos e instrumentos necessários para a medida dos ângulos em campo.144 ⋅ 100 ⋅ Figura 2.772 + i − l ∴ dn = ( FS − FI) ⋅ 100 ⋅ 2 2 sen 2 .756 m dn = 1.500 − 1. # Goniometria .18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico.500 − 1.772 = 49.1 e 4.5o + 1.500 − 1.144 ⋅ 100 ⋅ 0. 30 o 30' sen 2 ⋅ α + 1.19) têm-se os vários tipos de ângulos utilizados na topografia. Na figura abaixo (Figura 2. 30.Goniologia A Goniologia estuda os processos e instrumentos necessários para avaliar um ângulo. 4 .2.772 2 dn = (1. 49 .43730) + 1. Para seu estudo alguns autores a dividem em: # Goniografia . comentados nos itens 4.Estuda os processos de representação gráfica dos ângulos.dn = m ⋅ g ⋅ sen 2 . Capítulo 2 - Planimetria Figura 2.19: Ângulos na Topografia. Os instrumentos utilizados para medir estes ângulos em campo (e escritório) são denominados de goniômetros. O teodolito é um goniômetro que possui limbos vertical e horizontal (Figura 2.19), internos ou externos. O limbo é a parte específica do goniômetro que permite fazer a avaliação numérica dos ângulos. É constituída de uma coroa graduada podendo ter os seguintes sistemas de graduação: # Sexagesimal (grau) # Centesimal (grado) 4.1 - Ângulos Horizontais O ângulo horizontal é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos verticais, considerando um eixo (Figura 2.20). Os ângulos horizontais, de acordo com a direção ou alinhamento que serve de origem para sua medida, podem ser azimutais ou goniométricos. Os ângulos horizontais azimutais, têm por origem a direção norte-sul, sendo denominados de azimutes e rumos; Os ângulos goniométricos são medidos com relação a um alinhamento qualquer, sendo denominados de ângulos entre alinhamentos (interno ou externo) e deflexões. 50 Figura 2.20: Ângulo horizontal α. 4.1.1 - Ângulos Azimutais a) Azimutes É o ângulo horizontal formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo por origem o sentido do norte e grandeza variável entre 0o e 360o (Figura 2.21). O azimute recíproco de um alinhamento AB (vante) é o azimute deste alinhamento em sentido contrário, isto é, o azimute de BA (ré), os quais diferem de 180o, ou seja (Figura 2.22): Figura 2.21 : Medição de azimutes. AZ BA = AZ AB + 180 o Figura 2.22: Azimute de vante e ré. (19) b) Rumos É o menor ângulo formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo como origem a direção norte ou sul, ou seja, com grandeza variável entre 0o e 90o (Figura 2.23). c) Conversão de Rumo em Azimute 51 Capítulo 2 - Planimetria Algumas vezes avalia-se em campo o valor do azimute, e este deve ser transformado em rumo para cálculos posteriores, logo como os rumos e os azimutes são referidos à uma mesma direção, estes podem ser relacionados entre si (Figura 2.24). Figura 2.23: Medição dos rumos. Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos. 4.1.2 - Ângulos Goniométricos a) Ângulos horários internos e externos É o ângulo formado entre dois alinhamentos, contado no sentido horário e variável de 0o a 360o, internamente (interno) ou externamente (externo) ao polígono (Figura 2.25). Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos. b) Ângulos de deflexão 52 É o ângulo formado entre o prolongamento do alinhamento anterior e o alinhamento em estudo, contado para a direita ou para a esquerda e tendo sua grandeza limitada entre 0o e 180o (Figura 2.26). Figura 2.26: Ângulos de deflexão. 4.1.3 - Azimutes Calculados Em um levantamento topográfico, geralmente determina-se o azimute inicial no primeiro alinhamento da poligonal, com objetivo de orientar o levantamento. A seguir são utilizados outros métodos para medição dos próximos ângulos, podendo ser o rumo, ângulo horário (interno ou externo) ou deflexão. Desta forma, às vezes, é necessário calcular os demais azimutes de cada alinhamento. Veja os exemplos a seguir. Exemplo 24: Seja calcular o azimute a partir do rumo dado (Figura 2.27). Dados: AZA-B = 100o; RumoB-C = 50o SO Solução: AZB-C = 50o + 180o = 230o Figura 2.27: Azimute calculado a partir do rumo. Exemplo 25: Seja calcular o azimute a partir da deflexão dada (Figura 2.28). Dados: AZA-B = 110o; DeflexãoB-C = 110o Dd Solução: o o AZB-C = 110 + 110 = 220o Figura 2.28: Azimute calculado a partir da deflexão. 53 Capítulo 2 - Planimetria Exemplo 26: Seja calcular o azimute a partir do ângulo horário dado (Figura 2.29). Dados: AZA-B = 100o; Ângulo HorárioB-C = 320o AZB-C = 100o + 320o - 180o = 240o 4.2 - Ângulos Verticais Figura 2.29: Azimute calculado a partir do ângulo horário. O ângulo vertical é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos horizontais, considerando-se um eixo. De acordo com a origem para medição do ângulo, estes podem ser de inclinação ou zenital. A transformação entre estas grandezas às vezes é necessária, podendo ser visualizada na figura 2.30. 4.2.1 - Ângulo de Inclinação Fornece ângulo vertical entre a linha do horizonte e o alinhamento do ponto considerado (Figura 2.30). 4.2.2 - Ângulo Zenital Fornece ângulo vertical entre a linha do zênite (linha que acompanha a vertical do ponto neste local), com origem no sentido contrário ao centro de massa da terra e o alinhamento do ponto considerado (Figura 2.30). Figura 2.30: Ângulos de inclinação e zenital. 4.3 - Magnetismo Terrestre 54 anuais e seculares). mensais. os quais não coincidem com os pólos geográficos. quanto no tempo (variações diurnas. 55 . Os processos de determinação da declinação magnética podem ser por métodos da Astronomia de campo. as extremidades da agulha de uma bússola são atraídas por duas forças atuando em dois pontos diametralmente opostos. O valor da declinação magnética é variável.Linhas que possuem o mesmo valor de declinação magnética. A linha que une os pólos magnéticos é denominada meridiana magnética. # Oriental . que são os pólos magnéticos da terra. podendo ocorrer tanto no espaço (variações geográficas).3.Meridiano magnético à direita do meridiano verdadeiro. O goniômetro utilizado para materializar a linha norte-sul magnética é a bússola. # Nula . Com relação a posição dos meridianos. a declinação magnética pode ser (Figura 2.Coincidência entre os dois meridianos Atualmente no Brasil. A linha que une os pólos geográficos é denominada meridiana geográfica ou verdadeira. a) Mapas isogônicos e isopóricos # Linhas isogônicas .Tendo a terra propriedades de um grande magneto. a declinação é ocidental.Meridiano magnético à esquerda do meridiano verdadeiro. por magnetômetros e pelos mapas isogônicos e isopóricos. 4.31: Declinação magnética. além das acidentais.31): # Ocidental .Declinação Magnética A declinação magnética é o ângulo formado entre o meridiano magnético e o meridiano geográfico. Figura 2.1 . 44' 4.5cm 56 .0.0.1980 para 1982 = 02) Fa .3 07 nov .5 Exemplo 27: Calcule a declinação magnética para São Luís (MA) em 01 de julho de 1982.Linhas que possuem o mesmo valor de variação anual desta declinação..30 set .13 jun . DM .6 20 jan .01 abr .0.5cm => 1’ 2.9 08 maio .Declinação Magnética Cig .13’ DM = .4 13 dez .7 25 fev .0 14 jun .0.4 o 1 cm Isopóricas 4. Solução: Isogônicas 1cm => 1o 0.19 jul .Curva Isopórica (valor interpolado) A – Diferença entre o ano de construção do mapa e do ano da observação (por ex.1.1 26 ago .0.Fração do ano c) Fração do ano – Divisão por período de dias no mês 01 jan .31 dez .25 ago .06 nov .0. Solução: DM = .0.Planimetria # Linhas isopóricas .0.0 20 jul .19o 45’ + [ ( 2 + 0.19o 45’ .32).07 maio .5.2’ ) ] DM = .0.2 01 out .Curva isogônica (valor interpolado) Cip .0cm ⋅ 1' = 0. b) Cálculo da declinação magnética Fórmula DM = Cig + [ (A + Fa) .5 ) . ( .0 cm => x’ x' = 2.0.8 02 abr .19o 58’ (ou 19o 58’ ocidental ou 19o 58’ W) Exemplo 28: Calcule a declinação magnética para Belo Horizonte em 31 de março de 1998 (Figura 2.4 cm => xo xo = 0.19 jan .24 fev .12 dez . (Cip) ] (20) Onde. Capítulo 2 .4 cm ⋅ 1o = 0. 33: Azimute magnético e verdadeiro. 5 . (Cip) ] DM = . Qual será o valor atual deste azimute magnético A-B e o valor do azimute verdadeiro (Figura 2.135.Métodos de Levantamento Planimétrico 57 .ocidental) Exemplo 29: Considere que o Azimute Magnético A-B = 40o 30’ em 1980.18o 24’ = 22o 06’ Figura 2.4) = 40o 30’ + 2o 15’ 25” = 42o 45’ 25” Az.-8’ -7’ Belo Horizonte -14o -15o -16o -17o -18o -19o -20o -21o Figura 2.2 ) .4o + [ ( 18 + 0.7.18o 24’ .verdadeiro A-B = 40o 30’ .2o 15’ 25” = -20o 39’ 25” (20o 39’ 25” W .41’ DM = .4o .44’ ) ] DM = .18.18. Solução: Az. ( .32: Simulação de cálculo da declinação para BH – Mapa de 1980. magnético A-B (1988. DM = Cig + [ (A + Fa) .33). c) Período de execução. as seguintes fases: a) Planejamento e seleção de métodos e aparelhagem. deve ter. d) Localização. em qualquer de suas finalidades. m) Memórias de cálculo. no mínimo. h) Quantidades realizadas. e distâncias horizontais. l) Documentos produzidos. g) Precisões obtidas. j) Equipe técnica e identificação do responsável técnico. no mínimo. a norma explicita que. O levantamento topográfico está diretamente relacionado aos dados a serem coletados em campo e à sua representação. com objetivo de representá-lo em planta. Capítulo 2 . b) Finalidade. i) Relação de aparelhagem utilizada.Planimetria Ao conjunto de processos e operações realizadas para obtenção de medidas no terreno (ângulos e distâncias). deve conter. onde estes são projetados num mesmo plano horizontal. c) Levantamento de detalhes d) Cálculos e ajustes e) Original topográfico f) Desenho topográfico final g) Relatório técnico Quanto ao Relatório Técnico. Segunda a NBR 13. denomina-se levantamento topográfico. * Planilhas das linhas de nivelamento. b) Apoio topográfico. 58 . podendo ser: # Planimétrico . quando do término de todo e qualquer levantamento topográfico ou serviço de topografia. capazes de definir um trecho da superfície terrestre.São coletados ângulos horizontais e verticais. os seguintes tópicos: a) Objeto. e) Origem (Datum).133 (ABNT). o levantamento topográfico. destacando-se: * Planilhas de cálculo das poligonais. 5. propiciando maior aperfeiçoamento nas me- dições.34).Métodos Principais Os métodos definidos como principais estão relacionados com a maior utilização destes em campo. # De precisão . de conformidade com as circunstâncias em que se opera no campo e seu objetivo. Ainda. Sua execução é fácil e rápida.1 .Métodos Principais e Secundários 5. que são baseados em princípios matemáticos diversos e considerando a importância e precisão. 4). # Planialtimétrico .1 . Tendo em vista a sistematização do estudo dos métodos de levantamento planimétrico.# Altimétrico .Uso de instrumentos de baixa precisão.34: Levantamento por triangulação. Pode-se citar os seguintes métodos: a) Triangulação O processo de Triangulação é o método baseado numa série de interseções sucessivas ou encadeadas. servindo geralmente para implantação de pontos de apoio para o levantamento topográfico.São coletados dados planimétricos e altimétricos com objetivo de representa- los (Cap. onde medem-se uma única distância e todos os ângulos dos triângulos (Figura 2. solicitando de maior rigidez e controle. conseqüentemente. Figura 2. estes podem ser classificados em métodos principais e secundários. É considerado muito preciso. o levantamento pode ser classificado em: # Expedito .1. e foi utilizado para densificar a rede geodésica nacional.Uso de instrumentos de alta precisão. b) Caminhamento 59 . 3). # Comum .São coletados elementos para definir as diferenças de nível entre os pontos e estes projetados num plano vertical (perfil) (Cap.Uso de instrumental mais aprimorado e de métodos de medições mais rigorosos. Os elementos podem ser calculados utilizando a fórmula do somatório dos ângulos de um polígono e a lei dos senos. Na figura 2. Capítulo 2 . c) Interseção (ângulos e distâncias) Este processo dar-se através de interseção de ângulos ou de distâncias. 02 distâncias e 01 ângulo conhecidos e os demais ângulos e distância a determinar. É o método mais utilizado para levantamento topográfico. Figura 2.35: Levantamento por caminhamento.Planimetria Consiste na medição de ângulos e distâncias resultando numa sucessão de alinhamentos. # De ângulos A posição do ponto C é definida pela medição dos ângulos a e b e pela distância do lado AB (Figura 2. É um método utilizado em situações onde se possuam apenas 03 (três) elementos de um triângulo e os outros 03 (três) a determinar. onde são avaliados os ângulos horários e as distâncias (pelo processo direto ou indireto). por exemplo.36).36: Levantamento por interseção de ângulos. Figura 2. Somatório dos ângulos - ∑ angulos = 180 o ⋅ (n ± 2 ) (20) 60 . Geralmente é utilizado para determinação de pontos inacessíveis.35 tem-se um caminhamento. Estes são aplicados geralmente para levantar os aspectos naturais e artificiais.37: Levantamento por interseção de distâncias.Lei dos senos - sen a D BC = sen b D AC = sen c (21) D AB # De distâncias A posição do ponto C é definida pela medição de dois lados e pelo ângulo formado entre estes. na qual foi concebida através dos métodos principais. Figura 2.38: Levantamento por irradiação b) Coordenadas Retangulares 61 . Fórmula dos cossenos 2 2 2 AB = AC + BC − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos α (22) Figura 2. Pode-se citar: a) Irradiação A posição dos pontos i’s é determinada por um ângulo e uma distância a partir de um ponto da poligonal (Figura 2. 5. “amarrando” estas informações à poligonal principal.1.38).Métodos Secundários Os métodos definidos como secundários são aqueles no qual podem ser utilizados eventualmente durante um levantamento topográfico.2 .37). Seus elementos podem ser determinados pela lei dos cossenos (Figura 2. B 0 '1 °3 85 °1 80 2'3 0 " A 45° 30" 20' 12'2 0" 2" 48° P0 153.40). 5. considerando os métodos de interseção de lados e de distância e suas respectivas fórmulas. e os ângulos formados a dois pontos inacessíveis A e B.40: Pontos inacessíveis. Solução: 1 – Cálculo das distâncias P0 A e P1A (Lei dos senos) 62 .Planimetria A posição do ponto P é definida por duas distâncias (abscissa “X” e ordenada “Y”) a partir de um ponto da poligonal (Figura 2.3 . Figura 2.1.Exemplo 30 – Ponto Inacessível Dado a distância da base P0-P1.39). calcule a distância AB (Figura 2. Capítulo 2 .320 P1 Figura 2.39: Levantamento por coordenadas retangulares. 320 AP1 AP0 7'28" 54°1 133.048 3 46°2 7'0" 20 48° 8 12 5° '30 " " '30 P0 153.320 2 – Cálculo das distâncias P0 B e P1B (Lei dos senos) B sen (P0 BP1 ) sen (BP0 P1 ) sen (BP1 P0 ) = = 153.994 2 23 6. 18 0'1 °3 80 45° 12'2 0" 2" P0 P1 153.320 BP1 BP0 21 0.sen (P0 AP1 ) sen ( AP0 P1 ) sen ( AP1 P0 ) = = 153.320 P1 3 – Cálculo da distância A-B (Fórmula do cosseno) 63 .8 0 158. 70 − 2 ∗ P1 A ∗ P1 B * cos ( AP1 B ) = 120.700 m ou AB = (P A) + (P B ) 2 2 1 1 120.048 03 7'28" 54°1 '42 " 40° 45° 12'2 0" 85 °1 2 '30 " 2" 0" 0'1 20'3 °3 48° 80 P0 " 0'10 153.700 m B B 0 0 120.994 2 23 6.994 3 .70 A 133.2 32° 9 6 18 21 0.048 21 0.Planimetria AB = (P A) + (P B ) 2 2 0 0 − 2 ∗ P0 A ∗ P0 B * cos ( AP0 B ) = 120. Capítulo 2 .70 B 0 A 46°2 7'0" 2 133.320 P1 5. 18 32 ° 9'42 158.8 03 A " P0 40° " 0'10 P1 4 – Resumo de cálculo 120.8 158.2 .Poligonal Topográfica 64 . marcas de tinta. árvores. de tal forma que seja possível coletar. para auxiliar a localização e i- dentificação do ponto topográfico.133. que devem ser estabelecidos pela escala ou nível de detalhamento do levantamento. etc.Tem função similar à estaca testemunha.: torre de igreja. # Balizas . Para implantação da poligonal topográfica. Segundo a NBR 13.Geralmente é colocada ao lado do piquete.41): # Piquetes .São utilizados para demarcação do ponto topográfico. Ainda. além dos instrumentos necessários à avaliação dos ângulos e distâncias (teodolitos e trena ou distanciômetro). linha de transmissão de energia elétrica.Uma poligonal topográfica é uma sucessão de alinhamentos topográficos.São utilizadas para materialização vertical do ponto topográfico. etc. esta é denominada de poligonal básica ou poligonal principal. 65 . interseção ou por ordenadas sobre uma linha-base. podendo ser: # Naturais .).). Uma poligonal dita de secundária é aquela que. Quando tem caráter de representar o arcabouço do levantamento de uma área. etc. apoiada nos vértices da poligonal principal. # Marco . têm seus vértices distribuídos na área ou faixa a ser levantada. os pontos de detalhe julgados importantes. são levantados utilizando-se de uma poligonal interna auxiliar. Para materialização da poligonal principal utiliza-se dos métodos principais vistos anteriormen- te (Item 5. por irradiação. Estes pontos definem a área levantada topograficamente. Na poligonal aberta o ponto topográfico inicial não coincide com o final (ex. geralmente valendo-se dos métodos secundários (Item 5. principalmente do processo por irradiação.1. o foram objeto de levantamento (ex. determina pontos do apoio topográfico de segunda ordem.42). A partir da poligonal principal. Todos os pontos da poligonal topográfica (principais e secundários) são denominados de pontos topográficos.São aqueles implantados ou assinalados no terreno especificamente para execução do levantamento topográfico (piquetes. a poligonal pode ainda ser classificada como poligonal aberta ou fechada (Figura 2. todos os elementos naturais e artificiais no qual sejam de interesse à representação.). # Artificiais . pontes. sendo mais utilizado o processo por caminhamento.São aqueles que já existem no terreno. tendo a particularidade de maior resistência às intempéries. trecho de um córrego. baseada nos pontos de apoio planimétrico.: trecho de uma estrada. define-se por poligonal auxiliar. são utilizados alguns acessórios como (Figura 2. direta ou indiretamente. a poligonal que. Com relação ao seu desenvolvimento.1.2). postes.1). sistema de esgoto. a poligonal principal determina os pontos do apoio topográfico de primeira ordem. prédios. # Estaca testemunha . O córrego e a estrada foram levantados por poligonais internas auxiliares.42: Poligonal topográfica. Exemplo 31: Na figura 2. a) Aberta b) Fechada Figura 2. medição de uma bacia hidrográfica. 66 . sendo esta desenvolvida em “looping”. definição de uma área urbana ou rural.41: Acessórios ao levantamento da poligonal topográfica. etc. os pontos 00 a 09 são os pontos topográficos da poligonal principal.Planimetria Na poligonal fechada o ponto topográfico inicial coincide com o final. Figura 2. Capítulo 2 . sendo abertas.43 observa-se uma área que foi levantada e representada em escala apro- priada. Nesta. Esta é denominada também de poligonal em “looping” (ex.).: loteamento. b) Classe II P – Apoio topográfico para projetos básicos. foram levantadas e “amarradas” à estrada pelo processo de coordenadas retangulares.133. Medição Classe IP Angular Linear Extensão máxima (L) Método das direções: Três séries de leituras conjuga- Leituras recíprocas (vante e ré) com distanciômetro eletrônico 50 km Desenvolvimento Lado Mínimo Médio (Dmin) (Dméd) ≥ 1. procedimentos.5 1 km km Número máximo de vértices 11 Materialização Marcos de concreto ou pinos 67 . à esquerda. A NBR 13.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais. como executado. classifica as poligonais planimétricas em 05 classes: a) Classe I P – Adensamento da rede geodésica (Transporte de coordenadas).Adensamento do apoio topográfico para poligonais III P.43: Levantamento planimétrico de uma propriedade. Tabela 2. foi levantada pelo processo de irradiação. e) Classe V P – Levantamentos topográficos para estudos expeditos. Figura 2. As dimensões da benfeitoria. c) Classe III P – Adensamento do apoio topográfico para projetos básicos. considerando a aparelhagem. e obras de engenharia. d) Classe IV P . Levantamentos topográficos para estudos de viabilidade em projetos de engenharia. como executado. executivos. desenvolvimentos e materialização.Uma lagoa localizada à direita. e obras de engenharia. executivos. providas de nível VP colimação.Planilha de Coordenadas 68 .6: Classificação dos teodolitos. Pinos ou piquetes nas poligonais auxiliares 07 km 30 m ≥ 160 m 41 Pinos ou piquetes 05 km (P) 02 km (S) 01 km (A) 30 m 90 m 41 (P) 21 (S) 12 (A) Pinos ou piquetes Fonte: NBR 13. classe 2. Teodolito classe 3. Teodolito classe 2. Correção de temperatura e pressão. segundo a mesma norma tem-se: Tabela 2. Teoco com leitura dos três fios ou edolito classe 2.7: Classificação dos MED. tensão. horizontal e vertical. aço aferida e controle taqueométrihorizontal e vertical.5.133 6 . Capítulo 2 . Classes de teodolitos 1 – Precisão baixa 2 – Precisão média 3 – Precisão alta D = Distância medida em km.Planimetria II P das direta e inversa. três séries de leituras conjugadas direta e inversa. Método das direções. com correções de amente aferidas. 15 km 100 m ≥ 190 m 31 Marcos de concreto ou pinos 10 km 50 m ≥ 170 m 41 Marcos de concreto ou pinos no apoio topográfico. Classes de teodolitos 1 – Precisão baixa 2 – Precisão média 3 – Precisão alta Desvio-padrão . catenária e redução ao horizonte. Classes de teodolitos 1 – Precisão baixa 2 – Precisão média 3 – Precisão alta Desvio-padrão . ppm = parte por milhão. distanciômetros (MED) e estações totais citados na tabela 2. Desvio-padrão ± (10 mm + 10 ppm x D) ± (5 mm + 5 ppm x D) ± (3 mm + 2 ppm x D) Fonte: NBR 13. quivalente (teodolitos autoredutores) Leitura numa só posição Observações taqueométricas (vante da luneta. PZ (ou de ínesférico com leitura dos três fios dice) com teodolito classe ou equivalente (teodolitos autore1. horizontal e vertical.133 Tabela 2. Leituras recíprocas (vante e ré) Método das direções com com distanciômetro eletrônico uma série de leituras conclasse 1 ou medidas com trena de IV P jugadas direta e inversa. Leituras recíprocas (vante e ré) com distanciômetro eletrônico classe 1 ou medidas com trena de III P aço aferida com correções de dilatação. Teodolito classe 3.8: Classificação de estações totais. horizontal e e ré) em miras centimétricas previvertical. Leituras recíprocas (vante e ré) com distanciômetro eletrônico classe 1.Precisão angular ≤ ± 30” ≤ ± 07” ≤ ± 02” Fonte: NBR 13. dutores) (P) – Poligonal principal (S) – Poligonal secundária (A) – Auxiliar Método das direções com duas séries de leituras conjugadas direta e inversa. horizontal e vertical.Precisão angular ≤ ± 30” ≤ ± 07” ≤ ± 02” Desvio-padrão ± (10 mm + 10 ppm x D) ± (5 mm + 5 ppm x D) ± (3 mm + 2 ppm x D) Fonte: NBR 13.133 Tabela 2.133 Com relação às classes de teodolitos. Correção de temperatura e pressão. Para esta operação seguir-se-á as seguintes etapas: 1 .Calcular o erro de fechamento linear. 5. 5 . A partir do erro detectado. 6.A finalidade da coleta dos elementos naturais e artificiais através do levantamento topográfico é a construção da planta topográfica. sempre estaremos sujeito a erros.Calcular as coordenadas relativas não corrigidas. Porém deve-se ter conhecimento até então da possibilidade de representação ou desenho desta planta. os conceitos e procedimentos para sua construção merecem outra disciplina geralmente intitulada de “Desenho Topográfico”. Estas etapas são comentadas nos próximos itens e reforçadas nos exemplos 38 e 39. onde com auxílio de escalímetro transferem-se duas distâncias.1 – Determinação do Erro Angular 69 .Calcular os azimutes de todos os alinhamentos. 3 .Calcular as coordenadas relativas corrigidas. faz-se a distribuição deste erro.Cálculo do Fechamento Angular Quando estamos executando uma medida. faz-se a transformação dos dados da caderneta de campo (coordenadas polares) para coordenadas retangulares. transfere-se ângulos e distâncias tomados em campo. 4.Calcular as coordenadas absolutas. 3 Atenção: Para o cálculo das irradiações. considerando dois eixos cartesianos. Sendo o erro tolerável. # Coordenadas retangulares. por dois processos distintos: # Coordenadas polares. 6 .1. 4 .1 . 2 . não é necessário envolver as etapas 1.Calcular o fechamento angular. Sendo a planta topográfica o objetivo final da topografia. onde com auxílio de transferidor e escalímetro. a próxima etapa é verificar se este erro é admissível ou tolerável. 6. Objetivando uma representação mais precisa do terreno. e o sinal ± significa: + ângulo horário externo. ângulo horário (interno/externo) ou deflexão (Item 4.00 76. Caderneta de Campo Estação Ponto Visado Ângulos 1 2 70o 20’ 2 3 192o 03’ 3 4 71o 34’ 4 5 95o 43’ 5 1 110o 23’ Soma 540o 03’ Distâncias 100.44).Planimetria Para determinar o erro de fechamento angular de uma poligonal.Azimute conhecido b) Poligonal Fechada Considerando que a poligonal fechada pode ser desenvolvida através da medida dos ângulos horários ou por deflexão. primeiramente deve-se verificar se esta se desenvolveu de forma aberta ou fechada (Item 5. Exemplo 32: Seja a poligonal fechada.00 90. desenvolvida por ângulos horários internos e sua respectiva caderneta de campo (Figura 2. Capítulo 2 . # Comparar o último azimute calculado com o último azimute conhecido. a) Poligonal Aberta Para calcular o erro de fechamento de uma poligonal aberta deve-se: # Conhecer o azimute inicial. .00 70 .2) e o processo de medida do ângulo horizontal.2).1. # Calcular os azimutes dos lados da poligonal.00 80.representa o número de lados da poligonal.ângulo horário interno. Calcule o erro de fechamento angular.00 150. O erro será dado por: Erro = Azimute calculado . tem-se # Considerado por ângulos horários (interno/externo) O erro será detectado caso o somatório dos ângulos da poligonal não for igual a: ∑ angulos = 180 o ⋅ (n ± 2 ) onde n . 00 80. desenvolvida por deflexão e sua respectiva caderneta de campo (Figura 2. Calcule o erro de fechamento angular. (5 . Solução: ∑ angulos = 180 o o o ⋅ (n ± 2 ) = 180 . Caderneta de Campo Deflexão Estação Ponto Visado Direita Esquerda 1 2 100o 30’ o 2 3 10 43’ o 3 4 120 34’ 4 5 74o 15’ 5 1 75o 20’ Soma 10o 43’ 370o 39’ Distâncias 100.00 150.Figura 2.44: Erro de fechamento angular I.00 90.00 76.45). 3 = 540 o erro = 540o 03’ .2) = 180 .00 71 .540o = + 03’ (erro por excesso !) # Considerado por deflexão O erro será detectado caso a igualdade abaixo não ser verdadeira: ∑ Deflexao direita − ∑ Deflexao esquerda = 360o Exemplo 33: Seja a poligonal fechada. Uma referência para validar um levantamento topográfico pode ser consultada na NBR 13.133. 8).Planimetria Figura 2. deve-se ter parâmetros de comparação para aceitação ou rejeição deste levantamento. Desta forma. n => Número de vértices da poligonal. Tabela 2. inclusive algumas basea- das em fórmulas empíricas e outras nos conceitos do Ajustamento de Observações (Cap. pode-se utilizar a seguinte relação: Tolerância = b ⋅ n onde b => Depende das diferentes classes de poligonais (Tabela 2. Solução: ∑ Deflexao direita − ∑ Deflexao esquerda = 360 o 10 o 43'−370 o 39' = 359 o 56' erro = 359o 56’ .1.2 – Tolerância do Erro Angular Visto a forma de detecção do erro de fechamento angular. 72 . Capítulo 2 .45: Erro de fechamento angular II. inúmeras regras e fórmulas são aplicadas.5). Para estabelecer a validade de um levantamento topográfico.04’ (erro por falta !) 6. Para aplicações em geral. deve-se agora analisá-lo.360o = .9: Classe x Coeficiente b. = 03’ (erro por excesso) 73 . os dois exemplos podem ser considerados dentro da tolerância. ou seja.47' = 4'28' ' Logo. 6. distribua o erro angular. Solução: O erro angular foi detectado por: ∑ angulos = 180 o o o ⋅ ( n ± 2) = 180 . a próxima etapa será a distribuição deste erro. Considerando que a possibilidade de cometimento de erro na medida de qualquer ângulo é a mesma.540o . a correção será dada pela divisão do erro angular pelo número total de lados da poligonal. Solução: Tolerancia = b ⋅ n Tolerancia = 2'⋅ 5 = 4.133 Exemplo 34: Baseado nos exemplos 32 e 33.3 – Distribuição do Erro Angular Considerando que o erro angular cometido no levantamento foi menor que a tolerância estipulada inicialmente. Dados: b = 2’. erro = 540o 03’ . 3 = 540 . correção = Erro angular Numero de lados Deve-se atentar que a correção possui sinal contrário ao erro cometido Exemplo 35: Baseado no exemplo 32.Classe de poligonais IP II P III P IV P VP Coeficiente (b) 6” 15” 20” 40” 180” Fonte: NBR 13. n = 5. considerando os dados abaixo.1. já que são medidas com o mesmo instrumento e nas mesmas condições. calcule a tolerância angular. ou seja ultrapassou o esperado em 3’.36” . Capítulo 2 .6' = − 36" para cada alinhamento 5 Caderneta de Campo Est/P.De = 220o + 110o = 110o Alinhamentos A-B B-C C-D Caderneta de Campo Azimute lido Deflexão 100o 120o D 110o E Azimute calculado 220o 110o 74 .000 6.000 150. .36” . Exemplo 36: Dado a caderneta de campo abaixo. pode ser dado por: Azimute calculado = Azimute anterior ± Deflexão sendo + ) se deflexão à direita.V. calcule os azimutes (Figura 2. Solução: o o AZB-C = AZA-B + Dd = 100 + 120 = 220 o AZC-D = AZB-C .3’ Ângulos horários corrigidos 70o 19’ 24” 192o 02’ 24” 71o 33’ 24” 95o 42’ 24” 110o 22’ 24” 540o 00’ 00” Distância 100.2 .36” .000 80.36” .) se deflexão à esquerda.46).36” .Cálculo de Azimutes Sabendo que o levantamento pode utilizar-se de ângulos horários ou por deflexão tem-se: a) Considerando ângulos por deflexão O cálculo do azimute em função dos ângulos por deflexão obtidos em campo.Planimetria Como o erro foi por excesso.000 90. o sinal da correção deve ser negativo.000 76. correção = Erro angular = Numero de lados − 3' = − 0. 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1 Soma Ângulos horários lidos 70o 20’ 192o 03’ 71o 34’ 95o 43’ 110o 23’ 540o 03’ Correção . = 220o + 70o = 290o (540o > soma > 180o logo “ .180o = 110o Caderneta de Campo Alinhamentos A-B B-C C-D Azimute lido 100o Ângulo horário Azimute calculado 300o 70o 220o 110o 75 . calcule os azimutes (Figura 2.540o ) se a soma entre parêntesis for superior a 540o Exemplo 37: Dado a caderneta de campo abaixo. Solução: o o AZB-C = AZA-B + âng.180o ”) = 400o .180o ) se a soma entre parêntesis for superior a 180o e inferior a 540o .180o ”) = 290o .47).46: Cálculo de azimutes I.180o = 220o AzC-D = Az-BC + âng. = 100 + 300 = 400o (540o > soma > 180o logo “ . hor. b) Considerando ângulos horários Os azimutes calculados serão dados pela seguinte expressão: Azimute calculado = (Azimute anterior + ângulo horário) ± 180o (ou . hor.540o) sendo + 180o ) se a soma entre parêntesis for inferior a 180o .Figura 2. sen AzimuteA-B . 6. Para as ordenadas.48). perfazendo o par de eixos cartesianos.48 observa-se que o sinal de abscissa positiva (x +) está no sentido a leste (azimute é menor que 180o ou rumo em NE e SE).Planimetria Figura 2.(abscissa relativa) yA-B = DA-B . 76 . As ordenadas negativas estão no sentido sul (azimute entre 90o e 270o ou rumo em SE e SO) (Figura 2. os valores no sentido oeste (azimute é menor que ou rumo em SO e NO). os valores positivos estão no sentido norte (azimute maior que 270o e menor que 90o ou rumo em NO e NE). Pela figura 2. Capítulo 2 . pelas seguintes relações: xA-B = DA-B .(ordenada relativa) Os sinais das coordenadas relativas devem ser considerados e estarão diretamente relacionados com o quadrante em que pertence o ponto topográfico.47: Cálculo de azimutes II. O eixo da abscissa X forma 90o com este primeiro.Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas O cálculo das coordenadas relativas ou parciais relaciona os ângulos corrigidos e distâncias medidas em campo. cos AzimuteA-B . Desta forma utiliza-se da trigonometria para calcular as coordenadas relativas. impõe-se que esta direção coincida com o eixo das ordenadas Y.3 . Tem-se para o sinal de abscissa negativa (x -). Considerando que o levantamento topográfico está orientado com relação ao norte magnético ou ao norte verdadeiro. 50o 43’) = + 65.818 m Figura 2.48: Cálculo das coordenadas relativas I.Figura 2. sen AZA-B = 100 . Exemplo 38: Dado a figura 2.792 m yB-C = DB-C . sen (180o . sen 45o 35’= + 71.53. sen AZB-C = 85 . Solução: xA-B = DA-B . 77 .49: Cálculo das coordenadas relativas II.427 m yA-B = DA-B . cos AZB-C = 85 .50o 43’) = . calcule as coordenadas relativas.987 m xB-C = DB-C . AZA-B .cos 45o 35’ = + 69.49. cos (180o .= 100 . L . para poligonais do Tipo 1.1 – Determinação do Erro Linear O cálculo do erro de fechamento linear é dado pelas seguintes expressões: El = ex 2 + ey 2 ex = ∑ x (+) + ∑ x (−) ey = ∑ y(+) + ∑ y(−) onde El .Cálculo do Fechamento Linear 6. O erro relativo será dado por: Er = El L onde Er . e depende do tipo de poligonal (Tabela 2. se o erro relativo é igual a 1/10.133. 78 . deve-se analisar se este é tolerável. é o perímetro medido. ou 1cm para 100 m. ao cometer um erro. tem-se um erro de 1m para 10 km. segundo a NBR 13. expresso em quilômetros. A tolerância. El .4.2 – Tolerância do Erro Linear Como comentado anteriormente. O cálculo do erro relativo já pode ser uma indicação da precisão do levantamento.Planimetria 6. pode ser definida como: T = d ⋅ L (km) onde d – Coeficiente que expressa a tolerância para o erro de fechamento linear em m/km de desenvolvimento poligonal.Erro relativo. por exemplo.000).Erro de fechamento nas ordenadas.000 (Er = 1/10.Erro total absoluto de fechamento linear.4. precisão razoável para várias aplicações da Agrimensura. ey .Erro total absoluto de fechamento linear.4 . ex .Erro de fechamento nas abscissas. e L. 6.Perímetro em metros.5). Capítulo 2 . dist1-2 # Processo 2 . Correção x1-2 = fatorx .5 . e seguirá a seguinte sequência de cálculo: a) Achar os fatores em x e em y.30 Fonte: NBR 13. e seguirá a seguinte seqüência de cálculo: 79 .Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas Para cálculo da correção das coordenadas relativas. b) Achar a correção em x e em y.56 2.Proporcional às Distâncias Os erros são distribuídos proporcionalmente às distâncias medidas em campo.10 0.10: Classe x Coeficiente d.07 0. Classe de poligonais IP II P III P IV P VP I PRC II PRC Coeficiente d (m) 0. dist1-2.133 6.20 0. existem dois processos usualmente empregados: # Processo 1 .42 0.Tabela 2. fatory = ey P sendo P o perímetro em metros. multiplicando o fator pelas distâncias. fatorx = ex P . Correção y1-2 = fatory .Proporcional às Coordenadas Relativas Os erros são distribuídos proporcionalmente às coordenadas relativas calculadas.30 0. atribui-se no ponto de partida. para cumprir seu objetivo.1 + x Yn = Yn . Capítulo 2 . A coordenada relativa corrigida será dada pela coordenada relativa com erro mais ou menos a correção: Coord. b) Achar a correção em x e em y. Quando no levantamento usa-se precisão angular superior à linear.Planimetria a) Achar os fatores em x e em y. Para que o polígono se situe no primeiro quadrante (NE). Correção y1-2 = fatory . 80 . rel. x1-2. o método 2 é mais indicado. relativa corrigida = Cood. ou seja. ∑ y => somar todos os valores de ordenadas.Cálculo das Coordenadas Absolutas Finalmente deve-se determinar as coordenadas absolutas.1 + y Estes cálculos são demonstrados nos exemplos 39 e 40. sendo esta a escolha mais ideal. e sua precisão angular for semelhante à linear utiliza-se do método 1. 6. y1-2 Deve-se atentar para que toda correção deva ter sinal contrário ao erro linear cometido. valores arbitrários positivos. aquelas que realmente servirão à construção da planta topográfica. As coordenadas absolutas serão dadas pelas seguintes expressões: Xn = Xn . Outra opção é adotar as coordenadas UTM para este ponto de partida. Estes dois métodos são demonstrados nos exemplo 39 e 40. com erro ± correção Para levantamentos topográficos de áreas não muito extensas. fatory = ey ∑y ∑ x => somar todos os valores de abscissas. fatorx = ex ∑x . multiplicando o fator pelas coordenadas relativas.6 . Correção x1-2 = fatorx . contemplando os itens vistos acima (itens 6. todos os valores em fonte normal são dados de campo e em negrito foram calculados. 81 .Cálculo das Coordenadas Absolutas Valores para definição das tolerâncias: Angular => b = 180” = 3’ (Tabela 2. pede-se: 1 .7 – Exemplos de Cálculo de Planilha de Coordenadas A seguir serão apresentados 2 exemplos de cálculo de planilha de coordenadas.1 a 6. 6.9) Linear => d = 2. para comparação.7.6. com sua caderneta de campo e o croqui da área a seguir (Figura 2.Cálculo de Azimutes 3 . Segue ainda um desenho das respectivas cadernetas de campo para esclarecimento dos cálculos.Exemplo 39 Elaborada uma poligonal topográfica da classe V P (Tabela 2.Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas 6 .Cálculo do Fechamento Linear 5 .50). e principalmente o cálculo das irradiações.5) foi utilizado o processo 1 no exemplo 39 e os dois processos.5).6).: Na caderneta.10) Obs.Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas 4 .20 m (Tabela 2.Cálculo do Fechamento Angular 2 . No cálculo da correção linear (Item 6. no exemplo 40.1 . Deve-se acompanhar cada etapa de cálculo com o embasamento teórico visto anteriormente. 010 .050 10.150 Coordenadas Parciais não Corrigidas (m) x = D .100 20.306 120.82 Planilha de Cálculo de Coordenadas Est.sen AZ y = D .000 Figura 2. 0-1 1-2 1-a 2-0 Σ Deflexão Lida Corr.010 .028 82.1’ 360o 03’ Corrigida 120o 01’ E 120o 02’ E 40o 45’ E 119o 57’ E 360o 00’ Azimutes Distâncias 150o 00’ (lido) 29o 58’ 109o 15’ 270o 01’ 20.603 119.0.015 + 17.065 + 0.022 + 0.20.000 Coordenadas Totais (metros) X Y 100.011 . 82 .0.028 .993 + 17.000 20.1’ 120o 03’ E .50: Poligonal topográfica I.006 + 0.065 .983 0.031 Correções (m) Cx Cy .017 0.441 .021 + 0.021 + 0.20.380 + 9.0.370 + 9.021 99.17. 120o 02’ E .000 + 0.397 + 9.cos AZ + 10.022 + 0.17.050 .407 + 10.1’ 40o 45’ E 119o 58’ E .469 79.000 60.297 .000 100.3.297 .000 110.0.441 .0.031 Coordenadas Parciais Corrigidas (m) x y + 10.3. Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas 83 .Cálculo do Fechamento Angular a) Cálculo do erro angular ∑ Deflexão direita − ∑ Deflexão esquerda = 360o 0 − 360o 03' = 360o 03'∴360o 03'− 360o = +03' Erro de 3’ por excesso. 3 Observe que a irradiação não sofreu correção.De = 150o .89o 59’ + 360o = 270o 01’ AZ0-1= AZ2-0 .De = 29o 58’ . b) Cálculo da tolerância angular Tolerância = b ⋅ n Considerando: b = 3’ e n = 3.120o 02’ = 29o 58’ AZ2-0 = AZ1-2 .De = 270o 01’ . sem possibilidade de alteração) AZ1-2 = AZ0-1 .Deflexão AZ0-1 = 150o 00’(Este é obtido em campo.196' ≅ 5' 12' ' Erro (3’) < Tolerância (5’ 12”) .120o 01’ = 150o 00’ Irradiação: AZ1-a = AZ0-1 .Dentro da tolerância ! c) Cálculo da correção angular correção = Erro angular Número de lados = − 3' = − 1' para cada lado .40o 45’ = 109o 15’ (Observe que o anterior é o AZ0-1) 3 .Cálculo de Azimutes Azimute calculado = Azimute anterior ± Deflexão Como a deflexão é a esquerda tem-se: Azimute calculado = Azimute anterior .Solução: 1 . têm-se: Tolerância = 3'⋅ 3 = 5. 2 .89o 59’ (não podendo ficar negativo. soma-se 360o) .De = 150o .119o 57’ = . 17.0601 (soma dos lados em quilômetros) tem-se: T = 2.072 m) < Tolerância (0.370 m y2-0 = D2-0 .006) + (.3.000 .297 m 4 .000 .407 m y1-2 = D1-2 .539 m Erro (0.20 ⋅ 0.065 m ey = ∑ y( + ) + ∑ y( −) = (17.0601 = 0. cos 109o 15’ = . sen AZ0-1 = 20.031) = 0.000 .20. sen 270o 01’ = . sen 29o 58’ = + 10. sen AZ1-2 = 20. cos 29o 58’ = + 17.100 .17.441 m y1-a = D1-a .370 + 0.015) + (.20.050 m x1-2 = D1-2 . sen 150o 00’= + 10.065 2 + (− 0.0. cos AZ0-1 = 20.050 .407) = . sen AZ2-0 = 20.031 m El = 0. cos AZ1-a = 10.000) = + 0.050 + 10.050 . cos AZ2-0 = 20.000 . cos AZ1-2 = 20.10) e L = 0.100 .015 m x2-0 = D2-0 .072m 2 b) Cálculo da tolerância linear T = d ⋅ L (km) Considerando d = 2.000 m y0-1 = D0-1 . cos AzimuteA-B (ordenada relativa) x0-1 = D0-1 . sen AzimuteA-B (abscissa relativa) yA-B = DA-B .Cálculo do Fechamento Linear a) Cálculo do erro linear El = ex 2 + ey 2 ex = ∑ x ( + ) + ∑ x ( −) = (10. Capítulo 2 .006 m Irradiação: x1-a = D1-a .Planimetria xA-B = DA-B .20 m (Tabela 2.539 m) => Dentro da tolerância ! c) Cálculo do erro relativo linear O erro relativo é dado por: 84 . cos 270o 01’ = + 0. sen AZ1-a = 10. sen 109o 15’ = + 9. cos 150o 00’= . 15 835 800 sendo El e L em metros.0.100 = + 0.15378 x 10-4 .065 = − 1.08063 x 10 −3 60. dist0-1 = .150 sendo P o perímetro em metros.1.1.021 m Corr y0-1 = fatory . a) Cálculo dos fatores em x e em y. dist1-2 Corr x0-1 = fatorx .Er = El 0. dist0-1 = + 5. dist1-2 = .000 m.08063 x 10-3 .08063 x 10-3 . projeta um erro de 1 cm a cada 8.031 = + 5. dist2-0 = . por ser uma poligonal pequena.000 = + 0.150 = + 0.08063 x 10-3 . 20. 20.050 = .022 m Corr x2-0 = fatorx .010 m Corr y2-0 = fatory .Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas Será utilizado o processo 1 (proporcional às distâncias). dist2-0 = . ou seja.000 = . 20.050 = + 0.08063 x 10-3 .010 m Corr y1-2 = fatory . dist1-2 = .1.022 m Corr x1-2 = fatorx . c) Coordenada relativa corrigida Basta somar a correção à coordenada relativa não corrigida: 85 .0. sendo uma precisão ruim para algumas aplicações da Agrimensura.072 1 1 = = ≅ L 60. dist1-2.15378 x 10 −4 60.011 m A irradiação não sofre correção. 5 .08063 x 10-3 .0.100 = . 20. 20. fatorx = fatory = ex P ey P = − 0.1. b) Cálculo da correção em x e em y Deve-se observar que o sinal da correção deve ser contrário ao do erro. 20. Correção y1-2 = fatory .1. Correção x1-2 = fatorx . ..3.000 m.603 m Y2= Y1+ y1-2= 82....000 + ( ......603 + ( . y1-2(corrigida) = y1-2(erro) + Corr y1-2 = ...028 + 9.983 m Y0 = Y2+ y2-0= 99....010 = + 17.050 ..306 m 6............021 + ( ...7........000 m Irradiação: Xa = X1 + x1-a = 110.....20..022 = + 10.2 ......000 + 10..380 = 99.....028 + 9...021 m X0 = X2+ x2-0= 120........993 = 120....17......021) = 100.................... 6 ...0..17......... X0 = 100.... Obs......... adotou-se valores para as coordenadas X e Y iniciais (ponto 0).Cálculo das Coordenadas Absolutas Para determinação das coordenadas absolutas....441 = 119......983 + 0.000 m X1 = X0 + x0-1 = 100..... Capítulo 2 ...........397) = 82..017 = 100.028 = 110....028 m X2= X1+ x1-2= 110..028 m .... Y0 = 100...297) = 79..Planimetria x1-2(corrigida) = x1-2(erro) + Corr x1-2 = + 10........397 m ..........407 + 0....000 m Y1 = Y0 + y0-1 = 100.........: O restante dos cálculos está na caderneta...603 + 17...469 m Ya = Y1 + y1-a = 82......Exemplo 40 86 ............. todos os valores em fonte normal são dados de campo e em negrito foram calculados.Elaborada uma poligonal topográfica da classe IV P (Tabela 2. Figura 2.Cálculo das Coordenadas Absolutas Valores para definição das tolerâncias: Angular => b = 40” (Tabela 2.Cálculo de Azimutes 3 . com sua caderneta de campo e o croqui da área a seguir (Figura 2.51: Poligonal topográfica II.10).: Na caderneta.Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas 6 .56 m (Tabela 2. 87 . pede-se: 1 .Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas 4 .Cálculo do Fechamento Linear 5 .Cálculo do Fechamento Angular 2 .51).9). Linear => d = 0.5). Obs. 256 .0.075 + 0.88 Capítulo 2 .377 + 407.066 .000 1.051 + 0.286 1.542 1.000.225 + 0.992 88o 12’ 40” .906 1.500 .356.340 + 356.000 1.120.873 3-i3 100o 40’ 00” - 100o 40’ 00” 276o 41’ 00” 90.40.715 .40.000.000 110o 45’ 25” 339.286 + 205.89.067 + 0.330 .785 .439.364 + 93.05” 230o 45’ 25” 2-3 65o 15’ 40” .673.195 1.434 1.555.127.89.030 + 0.085.178.731 1.073 + 0.069 .006 + 0.037 + 10.000 88 .024 + 0.001 + 0.068 3-i2 70o 20’ 00” - 70o 20’ 00” 246o 21’ 00” 100.670 + 0.045 + 0.117.205.934 1.91.554 4-5 126o 10’ 30” .070 + 0.150 .217.111 + 0.28.127.709 65o 15’ 35” 356o 01’ 00” 408.207 0.570 .037 .207 + 0.000 Lido Corr.486 - - - - . (m) x y Coordenadas Totais (metros) X Y x = D .051 1.748 .527.022 + 0.000.211 .05” 62o 35’ 15” 60o 00’ 00” 1-2 230o 45’ 30” .287 .222.323 + 407.516 - 90o 30’ 00” 21o 15’ 25” 100.488 + 10.Planimetria Planilha de Cálculo de Coordenadas Ângulo horário Est.cos AZ Cx1 Cy1 Cx2 Cy2 411.217.450 .100 .054 + 0.05” 88o 12’ 35” 264o 13’ 35” 530.000. (m) Coordenadas Parciais (m) Correções (m) Coordenadas Parciais Corr.53.207 + 0.709.513 + 0.000 0.645.035 + 356.055 + 0.769 5-0 147o 00’ 50” .28.051 989.53.039 + 0. Azimutes Dist.553.350 + 0.200 .193 1.sen AZ x = D .718 1.503.009 .05” 147o 00’ 45” 177o 24’ 45” 222.649 1.027 + 0.452.364 + 93.493.287 + 0.91.785 .742 + 0.476 1.640 .299 1.300 + 10.05” 126o 10’ 25” 210o 24’ 00” 252.219 1.039 + 0.164.709 1.222.120.222.486 1.476 - - - - + 36.527.036 .05” 2-i1 90o 30’ 00” 3-4 Σ 720o 00’ 30” 720o 00’ 00” 2. Corrigido 0-1 62o 35’ 20” .195 - - - - .0.300 + 36.231 + 205.552 1.287 + 0.230 + 317.020 + 317.488 + 10.033 + 0.032 + 0. b) Cálculo da tolerância angular Tolerância = b ⋅ n Considerando: b = 40’’ e n = 6.540o) AZ0-1 = 60o 00’ 00”(Este é obtido em campo.540o) Resumo Se (soma < 180o) Se (540o > soma > 180o) Se (soma > 540o) ) (soma + 180o) ) (soma . 2 . erro de 30” por excesso.2-3) = 110o 45’ 25” + 65o 15’ 35” = = 176o 01’ 00” + 180o = 356o 01’ 00” 89 . Sendo n = 6 e ângulos horários internos tem-se: o ∑ ângulos = 180 o ∑ ângulos = 720 o ⋅ (6 − 2) = 720 o 00'30"∴720 o 00'30"−720 o = +0 o 00'30" ou seja. tem-se: Tolerância = 40' '⋅ 6 = 97.979' ' ≅ 1' 38' ' Erro (30’’) < Tolerância (1’ 38”) => Dentro da tolerância ! c) Distribuição do erro angular correção = Erro angular Número de lados = − 30' ' = − 5' ' para cada lado 6 Observe que a irradiação não sofreu correção.Solução: 1 .Cálculo do Fechamento Angular a) Cálculo do erro angular ∑ ângulos = 180 ⋅ (n ± 2) . sem possibilidade de alteração) AZ1-2 = (AZ0-1 + Ang. hor.1-2) = 60o 00’ 00” + 230o 45’ 25” = = 290o 45’ 25” .180o = 110o 45’ 25” AZ2-3 = (AZ1-2 + Ang. hor.180o) ) (soma .Cálculo de Azimutes Azimute calculado = (Azimute anterior + ângulo horário) ± 180o (ou . . hor...........Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas Obs.073 m Irradiação: x2-i1 = D2-i1 .180o = 210o 24’ 00” AZ5-0 = (AZ4-5 + Ang.120. x5-0 = D5-0 .... Os resultados constam da caderneta de cálculo.2-i1) = 110o 45’ 25” + 90o 30’ 00” = = 201o 15’ 25” ...0-1) = 177o 24’ 45” + 62o 35’ 15” = = 240o 00’ 00” .4-5) = 264o 13’ 35” + 126o 10’ 25” = = 390o 24’ 00” ......Cálculo do Fechamento Linear 90 ...476 m 4 ... sen 110o 45’ 25” = + 317..........180o = 264o 13’ 35” AZ4-5 = (AZ3-4 + Ang.............300.. sen AZ1-2 = 339....... sen AzimuteA-B (abscissa relativa) yA-B = DA-B ... cos 177o 24’ 45” = .. hor.: Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos..180o = 21o 15’ 25” AZ3-i2 = (AZ2-3 + Ang..... sendo o restante a cargo do leitor........300 .. Capítulo 2 ... sen 60o 00’ 00” = + 356... sen AZ0-1 = 411. sen AZ2-i1 = 100.230 ....... cos 60o 00’ 00” = + 205.231 m x1-2 = D1-2 ..222.. hor.3-i3) = 356o 01’ 00” + 100o 40’ 00” = = 456o 41’ 00” ......... cos 21o 15’ 25” = + 93..........180o = 246o 21’ 00” AZ3-i3 = (AZ2-3 + Ang. sen AZ5-0 = 222...5-0) = 210o 24’ 00” + 147o 00’ 45” = = 357o 24’ 45” .. cos 110o 45’ 25” = ..230 ..340 .. hor.364 m y2-i1 = D2-i1 ....................180o = 276o 41’ 00” 3 .........300.. cos AZ0-1 = 411.036 m y0-1 = D0-1 ....3-i2) = 356o 01’ 00” + 70o 20’ 00” = = 426o 21’ 00” ..Planimetria AZ3-4 = (AZ2-3 + Ang..... sen 21o 15’ 25” = + 36.... cos AZ2-i1 = 100...... cos AZ1-2 = 339.3-4) = 356o 01’ 00” + 88o 12’ 35” = = 444o 13’ 35” ... cos AZ5-0 = 222..180o = 177o 24’ 45” AZ0-1 = (AZ5-0 + Ang.................. xA-B = DA-B .. cos AzimuteA-B (ordenada relativa) x0-1 = D0-1 ...211 m ..340 .... hor.. sen 177o 24’ 45” = + 10. y5-0 = D5-0 .240 m .. hor......180o = 60o 00’ 00” Irradiações: AZ2-i1 = (AZ1-2 + Ang.300 ......670 m y1-2 = D1-2 ............ hor..... 150 sendo P o perímetro em metros.56 ⋅ 2.164.207 )2 = 0.113.32615 x 10 −4 2. projeta um erro de 1 cm a aproximadamente 60 m. 91 .613.287 )2 + (− 0.478) + ( .287 m ey = ∑ y ( + ) + ∑ y ( − ) = (613.150 = + 0. sendo o restante a cargo do leitor.207 m El = (− 0.0.125 = 0.418 6.16415 = 0.0.354 1 1 = = ≅ L 2.354 m) < Tolerância (0.207 = + 9.16415 (em quilômetros) tem-se: T = 0.354m b) Cálculo da tolerância linear T = d ⋅ L (km) Considerando d = 0.824 m) => Dentro da tolerância ! c) Cálculo do erro relativo linear Er = El 0. sendo uma precisão boa para algumas aplicações da Agrimensura.765) = . apenas para exercitá-los. Os resultados constam da caderneta de cálculo.683.150 6.164. Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos.Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas Serão utilizados os dois processos (proporcional às distâncias e às coordenadas relativas).287 = + 1.56 m e L = 2. 5 .164.390) = . fatorx = fatory = ex P ey P = + 0.56496 x 10 −5 2.000 ou seja. Processo 1 .824 m Erro (0.183) + ( .a) Cálculo do erro linear El = ex 2 + ey 2 ex = ∑ x ( + ) + ∑ x ( −) = (683.Proporcional às distâncias a) Cálculo dos fatores em x e em y. .670 = + 0...036 = + 0.....: Neste exemplo. 222...................... Capítulo 2 ...... y5-0 = + 1.... Correção y1-2 = fatory .56495 x 10-5 ............367.....037 m Finalmente........... dist5-0 = + 9..........207 = +1.. dist1-2..............................09911x10 − 4 1....002 m Corr y0-1 = fatory ...021 m Processo 2 ........... Corr x5-0 = fatorx ......039 m .. x1-2..... a) Cálculo dos fatores em x e em y. x0-1 = + 2..... dist1-2 Corr x0-1 = fatorx ...68763 x 10-5..............300 = + 0. dist0-1 = + 9............ 411. 10..286 m 92 .............287 = + 2..573 b) Cálculo da correção em x e em y Deve-se observar que o sinal da correção deve ser contrário ao do erro.340 = + 0............035 m .. 356.. y1-2 Corr x0-1 = fatorx . y0-1 = + 1....... Corr x5-0 = fatorx ..0..................09911 x 10-4 .....32615 x 10-4 ........ Correção x1-2 = fatorx ....... 411......075 m ......029 m Corr y0-1 = fatory .226....Proporcional às coordenadas relativas.....231 ...... x5-0 = + 2. 205..........243 = +0..................09911 x 10-4 .68763x10 − 4 1.. Corr y5-0 = fatory ............340 = + 0.. x1-2(corrigida) = x1-2(erro) + Corr x1-2 = + 356...231 = + 0...... Correção y1-2 = fatory ..055 m ............ as coordenadas relativas corrigidas serão dadas pela coordenada relativa não corrigida mais ou menos a correção (Obs.. utilizaram-se apenas as correções calculadas pelo processo 1)..... dist5-0 = + 1............. 222...................055 = + 356...... Correção x1-2 = fatorx . fatorx = fatory = ex ∑x ey ∑y = +0..32615 x 10-4 .. Corr y5-0 = fatory ..56495 x 10-5...300 = + 0. 222....... dist0-1 = + 1.....Planimetria b) Cálculo da correção em x e em y Deve-se observar que o sinal da correção deve ser contrário ao do erro.............073 = + 0......68763 x 10-4 ...................... . 93 ..000 + 356..934 ........................... 6 ...........000 m Y1 = Y0 + y0-1 = 1.....051 .................... adotou-se valores para as coordenadas X e Y iniciais (ponto 0)....000......120........670 + 0....... X0 = X5+ x5-0= 989.542 m . y5-0(corrigida) = y5-0(erro) + Corr y5-0 = .......356............709.............................356..992 m .......................... O restante dos cálculos está na caderneta......222.222......178..000 + 205...........000.......286 m X2= X1+ x1-2= 1..476 = 1....000 m X1 = X0 + x0-1 = 1.... x5-0(corrigida) = x5-0(erro) + Corr x5-0 = + 10........673.....000 m Y0 = 1.... Y0 = Y5+ y5-0= 1..222..........193 = 1... X0 = 1.....030 = + 10.................673...............................542 + 36.....Cálculo das Coordenadas Absolutas Para determinação das coordenadas absolutas.051 = 1...222........000 m Irradiação: Xi1 = X2 + x2-i1 = 1..516 + 93...205..256 = 1.........364 = 1.......709 = 1.......036 + 0.....051 m Obs.........085.......085....: As irradiações não sofrem correção....... 7 ..............10.........709 m ....000...................000.022 = ..073 + 0....906 m ...............205...000....................000..... Yi1 = Y2 + y2-i1 = 1..709 m Y2= Y1+ y1-2= 1......... principalmente quando envolvam estudos de custos......709 .........066 = 1...........516 m ...286 = 1........................039 = + 205..066 m y1-2(corrigida) = y1-2(erro) + Corr y1-2 = + 205..............286 + 317................Cálculo de Áreas Planas A medição da área plana de uma localidade é importante para a maioria dos problemas de engenharia............. pode-se citar: # Construção de loteamentos .Método de Garceau e Método de Collignon. # Métodos analíticos . cita-se 5 tipos: # Métodos gráficos .Decomposição em polígonos. agiliza o cálculo de áreas. # Métodos mecânicos . análise de custo de transporte de material. São discutidos a seguir o método analítico pela fórmula de Gauss. Fórmula do trapézio.Método Analítico pela Fórmula de Gauss É possível o cálculo por processo analítico da área de uma poligonal conhecendo as coordenadas relativas e absolutas dos vértices. # Métodos de comparação .1 .Previsão do tempo entre dragagens do canal. Capítulo 2 . 7. # Métodos de decomposição .Medição de áreas a serem desapropriadas. pagamento dos serviços de draga. # Construção de barragens . aplica-se a fórmula de Gauss para cálculo de áreas. análise de custos para transporte de material de corte e aterro. # Construção de portos . dimensionamento da barragem. cálculo de impostos. Este é considerado o método mais preciso para cálculo de áreas de poligonais topográficas. Para isto. Entre os métodos para cálculo de áreas. previsão de tempo para execução da obra em função da quantidade e tipo de material a ser retirado ou depositado. o método de decomposição em polígonos e o método de comparação por quadrículas. estimativas de material para construção de cortes e aterros. A utilização de computadores considerando o método analítico. # Construção de túneis e minas . avaliação da capacidade do reservatório. Entre alguns exemplos de aplicação do conhecimento da área plana.Medição de áreas a serem desapropriadas. medição da bacia hidrográ- fica.Avaliação de jazidas. baseado na fórmula do trapézio. 94 .Dimensionamento de lotes. porém um custo muito alto quando realizado manualmente.Planímetro polar.Planimetria Os cálculos para quantificar as áreas são relativamente simples. Decomposição em triângulos e Fór- mulas para lados curvos.Coordenadas polares.Quadrícula. # Construção de estradas . titulação de terras. Fórmula de Gauss. 2 2 2 Reajustando a fórmula: (YA + YB ) ⋅ x A − B + (YB + YC ) ⋅ x B−C . o polígono ABC e suas projeções relativas e absolutas segundo os eixos x e y. Considerando as ordenadas absolutas YA. xB-C e xC-A.(YC + YA ) ⋅ x C−A = 2. pode-se considerar o outro eixo de projeção e teria como a área dupla da área a soma binária das abscissas absolutas pelas ordenadas relativas.área Para exemplificar. em muita facilita o cálculo da área. tem-se que a área do polígono pode ser avaliada como (Figura 2.( X B + X C ) ⋅ y BC + ( X C + X A ) ⋅ y CA = 2. a área dupla será igual à soma binária das ordenadas absolutas pelas abscissas relativas corrigidas. Observe que com o preenchimento correto da planilha de cálculo de áreas.52: Cálculo de área I. Então.Considerando a figura a lado (Figura 2. Da mesma maneira.área do polígono. utilizaremos os valores das planilhas de cálculo dos exemplos 39 e 40 do item 6.53): Área MABNM + Área NBCPN . 95 . Figura 2.52). podese escrever: (YA + YB ) ⋅ xA − B + (YB + YC ) ⋅ x B−C − (YC + YA ) ⋅ xC−A = área do polígono. Logo: ( X A + X B ) ⋅ y AB . YB e YC e as abscissas relativas xA-B.7.Área MACPM = Área do polígono Figura 2.53: Cálculo de área II. 129.193 .17.954.S) 2.709 1.017 Coordenadas Absolutas X Y 100.S = p .Planimetria Exemplo 41: Baseado na planilha de coordenadas do exemplo 39.205. calcule a área da poligonal topográfica.858.102 458.051 Áreas Duplas x .863.000.049 220.S) Área (S) Áreas Duplas y .000.117 147.661.820 2.412.645.o = .348.S = n .051 Coordenadas Absolutas X Y 1.718 + 10.341 1.527.222.276.761 2.222.28. 0 1 2 3 4 5 0 Coordenadas Relativas x y + 356.068 m2 = 0.392 p = 1.135. 0 1 2 0 Coordenadas Relativas x y + 10.570 .809 Área (2.003.857 p = 4.655.219 1.003.258.S = p .20.837 2.547.831.564.143 1.000 1.380 .000.051 1.028 82. ∑Y Soma Área (2.653.934 1. Solução: Est.740 n = 3.217.000 ∑X ∑Y 210.276.993 + 17.001.756 441.960.356.367.222. Solução: Est.857 2.135 Exemplo 42: Baseado na planilha de coordenadas do exemplo 40.000 1.516 1.147.281 o =1.835 Soma n = 1.715 .653.000.397 + 9.127.992 q = 3.932.582 - + 4.603 182.673. calcule a área da poligonal topográfica.205.860 2.286 3.q = 348.96 Capítulo 2 .578.000 100.085.356.542 1.135 S = 174.769 989.q = 425.583 1.000 100.824.164.552 .165 Áreas Duplas y .01740 (ha) 3.129.286 1.860 3.866. ∑X - + 484.584 2.021 + 0.066 .603 120.000 110.816 339.904.535.934 ∑Y 2.237 73.586 199.021 99.291.709.998.983 Áreas Duplas x .237 726.o = .323 + 407.983 100.028 .299 .000 ∑X 2.028 230.649 1.425.111 Área (S) S = 212.256 .53.439.029.868 2.920 q = 1.107.256 ha 96 .000 1.033.264.286 + 205. ∑Y + 785.837.352.021 182.683 364.120.S = n .252 3.709 + 317.318.111 2.725 o = 4.879 22.225 2.117.493.567.989.709 2.235 1.762.068 1.555 m2 = 21.828 3. ∑X + 1. 500 m2 Área correta = 212. O método de decomposição em polígonos geralmente é aplicado em poligonais regulares. retângulos. e devem ser evitados quando se requer precisão.1.Método de Decomposição em Polígonos Qualquer que seja o método discutido anteriormente.870 m2 Área 3 (triângulo) = (697 x 280) / 2 = 97.54: Cálculo de área III. Os processos gráficos podem falsear a avaliação da área plana. trapézios e outros.564.663.945 m2 (≅ 5 %) Figura 2. deve-se recorrer às expressões da geometria plana.7.2 .7. as quais permitam o traçado de um alinhamento que a atravesse. calcule a área da poligonal topográfica (Figu- ra 2. deve-se levar em consideração a escala da representação. Para totalização da área.680 m2 Área 2 (trapézio) = (468 + 78) x 190 / 2 = 51. do item 6. Solução: Área 1 (trapézio) = (468 + 278) x 160 / 2 = 59.533 m2 Área total = 1 + 2 + 3 + 4 = 222. Exemplo 43: Baseado no exemplo 40. que fornecem a área de figuras como triângulos.54).555 => Erro de 10.580 m2 Área 4 (triângulo) = (78 x 347) / 2 = 13.098. 97 . Capítulo 2 .564.55). 98 . Bastará contar quantas unidades do padrão se ajustam nos limites da propriedade e assim por simples regra de três obter o total da área.7.3 .555 m2 Erro de 13.Planimetria 7.55: Cálculo de área IV. Exemplo 44: Baseado no exemplo 40.685. A precisão do método está vinculada à estabilidade na reprodução do padrão assim como ao tamanho físico do mesmo. Área total = 226.445 m2 (≅ 6 %) Figura 2. em função da escala da representação.250. calcule a área da poligonal topográfica (Figu- ra 2.Método de Comparação por Quadrículas Consiste em determinar um padrão unitário de área e seu correspondente real.000 m2 Área correta = 212. do item 6.1. Observações e anotações . 2 ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 99 .Cap. Planimetria ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 100 . Capítulo 2 . pode-se considerar três superfícies básicas (Figura 3. # Superfície do elipsóide .Onde são realizadas as operações topográficas. sendo obtida através do prolongamento do nível médio dos mares.Figura com possibilidade de tratamento matemático.1 . obtendo-se distâncias verticais ou diferenças de nível.1 . Para estes objetivos. em repouso. através dos continentes.Definido como a figura que melhor representa a forma da terra.1): # Superfície do terreno . por exemplo. 101 . e ângulos verticais (COSMATRI. A distância entre o elipsóide e Figura 3. # Superfície do geóide .Introdução A Altimetria trata dos métodos e instrumentos topográficos empregados no estudo e representação do relevo do terreno. que sirvam de comparação entre os vários pontos do terreno. 1987). o nivelamento.Superfícies de Referência de Nível Considerando um corte vertical no terreno. tem o objetivo de determinar as diferenças de altura entre pontos deste terreno. que mais se assemelha ao geóide. geóide e elipsóide. O nivelamento é a operação ou prática topográfica para definir a altimetria do terreno. 1.1: Superfície terrestre. ou seja. as medidas são efetuadas na vertical ou considerando um plano vertical. O princípio fundamental para o estudo da altimetria é a identificação de superfícies de referência de nível. Santa Catarina). geralmente a materialização da superfície de referência ideal ou verdadeira é substituída por uma superfície denominada de superfície de referência aparente. 102 . Obs. Por aproximação pode-se escrever: H≅N+h Se considerarmos que o desvio da vertical possa ser nulo para determinadas aplicações. A distância entre o elipsóide e o terreno medida ao longo da normal ao elipsóide (TQ) é a altura elipsoidal (h). medido ao longo da normal ao elipsóide (PQ) é a altura geoidal ou ondulação geoidal (N).2). sendo determinado por observações num marégrafo (por exemplo. letra “h”. Logo.2: Alturas ortométricas. ou seja. e altura ortométrica. A distância entre o geóide e o terreno. ocorrem várias perturbações nesta superfície. Quando se relaciona a superfície de referência de comparação ao geóide esta é denominada de superfície de referência ideal ou verdadeira. com o propósito de minimizar os efeitos das forças perturbadoras. Figura 3. Capítulo 3 . esta referência se baseia no nível médio dos mares. como uma superfície de referência. localizado na Baía de Imbituba. dois pontos estarão no mesmo nível se suas alturas ortométricas forem iguais (Figura 3. Porém.: Alguns autores fazem referência a altura elipsoidal pela letra “H”.Altimetria o geóide. tem-se: h=N+H Considerando a superfície geoidal. esta obtida pelo nivelamento geométrico. e assim definir uma superfície estável. como por exemplo as atrações combinadas da lua e do sol (fenômeno das marés). por um grande período de anos. Apesar desta denominação. nos trabalhos de topografia. o datum altimétrico brasileiro. como uma superfície para tomar medidas por comparação. medida ao longo da linha de prumo ou vertical (TP’) é a altura ortométrica (H). Erro de Nível Aparente É a combinação do erro de esfericidade e do erro de refração.3: Superfície de referência verdadeira e aparente.1. na prática. pelo plano horizontal de visada dos instrumentos de nivelamento (Figura 3. o erro de esfericidade pode ser dado pela seguinte expressão: onde: D2 Ee = 2⋅R Ee => Erro de esfericidade (m). 1987.3). a) Erro de Esfericidade Quando se substitui a superfície de nível verdadeira pela superfície de nível aparente comete-se um erro denominado erro de esfericidade. D => Distância entre os pontos.Esta superfície de referência aparente corresponde a um plano paralelo ao plano tangente à superfície de referência ideal ou verdadeira. 1. Demonstrado em COMASTRI. definida por um plano paralelo ao plano tangente ao geóide. Figura 3.1 . 103 . sendo arbitrário a altura entre estes planos. R => Raio da terra. # Superfície de referência de nível aparente. e materializada. Como visto anteriormente. existem duas superfícies de referência importantes na altimetria: # Superfície de referência de nível ideal ou verdadeira. definida pelo geóide. 0066 Nas aplicações práticas de nivelamento.1: Valores de distâncias versus erro de nível aparente. Porém.079 ⋅ D 2 R onde Er => Erro de refração (m). o erro de refração pode ser dado por: Er = 0. 1987. Distância (m) Erro de nível aparente (m) 40 0. as camadas de ar mais densas são as mais próximas da terra.0015 200 0. considera-se sem efeito o erro de nível aparente inferior a 1 milímetro.367.1. este segue uma trajetória curva em vez de uma linha reta. c) Erro de nível aparente Como dito anteriormente. Demonstrado em COMASTRI. R => Raio da terra.367 km.020 m 2 ⋅ R 2 ⋅ 6. e pode ser obtido pela seguinte expressão (COMASTRI. Em geral. a fim de proceder a correção da diferença de nível verdadeira. para distâncias entre visadas menores que 120 metros. A 104 .000 b) Erro de refração O erro de refração é devido ao desvio do raio luminoso que. quando se faz uma visada de um ponto ao outro. quando as visadas forem superiores a 120 metros. deve-se determinar o erro de nível aparente.367 km e a distância entre dois pontos igual a 500 m.0001 80 0. Tabela 3. resultando uma trajetória curva cuja concavidade é voltada para a superfície da terra. D => Distância entre os pontos. Solução 500 2 D2 Ee = = = 0.0009 150 0.421⋅ D 2 R Na tabela 3. o erro de nível aparente é a combinação dos dois erros discutidos acima. calcule o erro de esfericidade.0004 120 0. 1987): Ena = 0.0026 1000 0. e de acordo com a precisão do trabalho. ou seja. Capítulo 3 . ao atravessar as diversas camadas atmosféricas.1 obtêm-se valores para o erro de nível aparente (Ena) para valores em função da distância D e R = 6.Altimetria Exemplo 1: Tomandose os valores de R ≅ 6. conforme a tabela 3. com intuito de obter boa precisão.4). ou seja. Estas correções geralmente são adotadas quando se executa o nivelamento pelo processo trigonométrico.Altitude. Figura 3.5).2 . designa-se por: a) Altitude É definida como a altura de um ponto do terreno em relação à superfície de referência ideal ou verdadeira. a um plano horizontal arbitrário (Figura 3.1). e com a alternativa ainda de posicionar o nível à distâncias iguais dos pontos a medir. ou seja.4: Altitudes de pontos topográficos. b) Cota É definida como a altura de um ponto em relação à superfície de referência aparente. minimizando os efeitos da esfericidade e refração. 1987). 105 . Cota e Diferença de Nível A partir da definição de superfícies de referência de nível (Item 1. 1. ao nível médio dos mares (Figura 3. No nivelamento geométrico estas correções podem ser desprezadas porque as distâncias entre as visadas são relativamente pequenas.diferença de nível verdadeira será obtida somando-se o erro de nível aparente à diferença de nível aparente (COMASTRI. Capítulo 3 - Altimetria Figura 3.5: Cotas de pontos topográficos. S.N.C. - Superfície de Nível de Comparação Embora seja mais comum nos trabalhos topográficos o emprego das cotas, deve-se sempre que possível relacionar estas alturas com o nível médio dos mares, a fim de obter as altitudes dos pontos. O recurso de utilizar uma superfície de nível de comparação arbitrário é prático quando se trabalha em regiões em que não se tenha nenhuma referência de altitudes. Mesmo nestas condições é sempre recomendado trabalhar com altitudes aproximadas (obtidas com um altímetro ou por meio de carta topográfica), para o ponto de partida do levantamento altimétrico. A respeito do inconveniente ao emprego de cotas nos levantamentos altimétricos, pode-se citar a impossibilidade de relacionar plantas topográficas provenientes de levantamentos diferentes, na mesma região. c) Diferença de nível Entende-se como a diferença de altura entre dois pontos topográficos. Esta diferença pode estar associada com as altitudes ou cotas dos pontos, podendo ocorrer em valores positivos ou negativos caso estejam acima ou abaixo daquele tomado como termo de comparação, ou seja, depende do referencial adotado. Para cálculo da diferença de nível entre dois pontos A-B, simbolizado geralmente por DNA-B ou ΔNA-B, tem-se: DNA-B = CotaB – CotaA B ou DNA-B = AltitudeB – AltitudeA B 2 - Instrumentos Altimétricos 106 Os instrumentos empregados nos trabalhos de nivelamento são denominados níveis. Os níveis, cujo princípio construtivo é baseado no fenômeno da gravidade, têm por finalidade fornecer durante as operações topográficas, retas que pertençam a um plano horizontal. Além dos níveis, utilizam-se miras verticais como acessórios nas operações de nivelamento. Os níveis podem ser classificados em duas categorias: # Níveis cujo plano de visada é sempre horizontal; # Níveis cujo plano de visada tem movimento ascendente ou descendente. Uma categoria não caracterizada na definição acima é o barômetro, comentado no item 2.4. 2.1 - Plano de Visada Horizontal Nesta categoria, os instrumentos, ao serem girados em torno de um eixo vertical devidamente ajustado, descrevem sempre um plano horizontal. A horizontalidade do plano de visada fornecida pelos instrumentos está apoiada na física, especificamente no princípio gravitacional, sendo obtida com o emprego de níveis de bolha, do equilíbrio dos líquidos nos vasos comunicantes, ou pelo emprego do princípio dos corpos suspensos (Tabela 3.2). Tabela 3.2: Instrumentos altimétricos. Princípios construtivos Níveis de bolha Equilíbrio dos líquidos nos vasos comunicantes Corpos suspensos Exemplos de instrumentos Níveis de luneta Níveis de água Perpendículo Confiabilidade Ótima a Boa Boa a Média Média a Baixa a) Níveis de bolha Tem como finalidade determinar a vertical que passa por um ponto e, conseqüentemente, normal a esta vertical, fornece o plano horizontal. O nível de bolha consiste em um espesso tubo, no qual é feito o vazio e introduzido um líquido, o mais volátil possível. Geralmente utiliza-se o álcool ou o éter e, em seguida, o tubo é hermeticamente fechado. O tubo, segundo a sua forma, distinguem-se em dois tipos: nível esférico e nível cilíndrico. # Níveis esféricos - São constituídos, basicamente, de uma calota esférica de cristal, acondicionada em caixa metálica (Figura 3.6). 107 Capítulo 3 - Altimetria Figura 3.6: Níveis esféricos. # Níveis cilíndricos - São constituídos de um tubo cilíndrico de cristal. A superfície da parte interna é polida de maneira a formar um ligeiro arco (Figura 3.7). Figura 3.7: Nível cilíndrico. Quando se associa uma luneta aos níveis de bolha (esférico e/ou cilíndricos), têm-se os níveis de luneta. A precisão deste nível está associada, em princípio, à sensibilidade dos níveis de bolha e à capacidade de aumento da luneta (Figura 3.8). Outro instrumento muito utilizado na construção civil, valendo-se do nível de bolha, é o nível de pedreiro. Possui baixa precisão, porém atendem a alguns tipos de serviços (Figura 3.9). Nível Wild NAK2 Níveis Sokkia Figura 3.8: Níveis de luneta. 108 Figura 3.9: Nível de pedreiro. Atualmente existe uma grande inovação em termos de instrumentos para o nivelamento. O primeiro nível eletrônico foi lançado em 1990, pela empresa WILD. O princípio de funcionamento é o processamento unidimensional de imagens, a partir de mira codificada em códigos de barras. Em termos de precisão, os níveis eletrônicos possuem precisões que variam de 0,4 mm a 0,9 mm em nivelamento duplo com miras de ínvar. Outro modelo é o nível a laser. Trata-se de um nível automático bastante prático e econômico. A base operacional do instrumento consiste na geração de um plano horizontal ou vertical, através de um raio laser que gira perpendicularmente em relação à vertical ou horizontal (Figura 3.10). Figura 3.10: Níveis laser. b) Equilíbrio dos líquidos nos vasos comunicantes É baseado no princípio físico da força da gravidade sobre os vasos comunicantes. O instrumento mais utilizado é o nível de borracha ou de mangueira. Para funcionamento, utilizam-se dois suportes de madeira ou metal, aos quais estão presas as extremidades do tubo de vidro ou mangueira transparente. Além de fácil manejo e baixo custo, permitem marcações confiáveis nos nivelamentos (Figura 3.11). Figura 3.11: Nível de mangueira. 109 Capítulo 3 - Altimetria c) Corpos suspensos Baseado no princípio físico da força da gravidade sobre os corpos suspensos. Pode-se citar dois instrumentos baseados neste princípio (Figura 3.12): # Perpendículo; # Niveltec. Figura 3.12: Corpos suspensos. 2.2 - Plano de Visada Inclinado Os equipamentos que permitem o afastamento do plano de visada em relação a sua horizontalidade, possibilitam à esta categoria medir ângulos de verticais. Entre estes, pode-se citar dois mais importantes: # Clinômetros Para operá-los, visa-se uma mira colocada no ponto em que se deseja determinar o ângulo vertical ou declividade. A visada deve ser feita na mesma altura do olho do operador, para facilitar os cálculos. A seguir, gira-se o nível de bolha até que fique na posição de nivelado. O ângulo ou a declividade ficará registrado no lim- Figura 3.13: Clinômetro. bo vertical (Figura 3.13). 110 2. reforçadas na extremidade superior e inferior. Possuem baixa precisão em suas determinações (Figura 3. Mira dobrávelSapata para auxílio ao nivelamento Campo visual – Visada Invertida Fio Superior (FS) = 0. 111 . e geralmente graduadas em centímetros. Estas são construídas de madeira ou metalon. Figura 3.500 Figura 3.# Estações Totais Geralmente utilizado para o processo de nivelamento trigonométrico (Figura 3. 2. As mais utilizadas são as miras falantes.586 Fio Inferior (FI) = 0.Barômetros São instrumentos baseados na variação de pressão atmosférica com a altitude. Podem apresentar graduações direta ou invertida.16).14).16: Altímetro. pois possibilitam a determinação direta das alturas das visadas nos pontos topoFigura 3. Os instrumentos mais utilizados são os altímetros e aneróides.15: Miras. Pela modalidade de construção. sendo esta última a mais usada.3 .672 Fio Médio (FM) = 0.14: Estação Total. em virtude da facilidade de manejo e de transporte (Figura 3. podem ser classificados em miras de dobrar ou encaixe.4 . por guarnições metálicas. gráficos.Acessórios A mira vertical constitui o principal acessório dos instrumentos utilizados em nivelamento.15). por serem mais resistentes e adaptáveis às condições de campo. Com base em resoluções trigonométricas ou pelo princípio barométrico. as diferenças de nível são determinadas com instrumentos que fornecem retas do plano horizontal. d) Taqueométricos. # Indiretamente . cuja implantação exigirá a modificação do relevo (por exemplo. os nivelamentos topográficos podem ser classificados em: a) Geométricos. ou. Por diferença entre os valores encontrados. A geração deste plano horizontal com a interseção da mira colocada sucessivamente nos pontos topográficos. ou geométrico.Processos de Nivelamento 3. que servirão de referência ao nivelamento para futuras verificações. deve-se implantar pontos fixos no terreno por meio de marcos. chega-se às diferenças de nível procuradas (Figura 3. para evitar que sejam destruídos durante a execução da mesma.2 .17). Neste ponto deve-se conhecer a cota ou altitude para referência do nivelamento. onde serão necessárias as cotas de pontos do projeto até sua finalização. Um fato importante ao executar um nivelamento de uma área destinada à execução de projetos. Estes marcos.1 .Com emprego de instrumentos de medições chamados níveis.RN. Simbolizando a diferença de nível por “DN”.Altimetria 3 . 3. denominados de Referência de nível . Em decorrência da natureza e do processo de medida usado na determinação das cotas ou das altitudes. pode-se entender o nivelamento topográfico como a operação que consiste na determinação da diferença de nível entre dois ou mais pontos do terreno. Esta operação é realizada empregando-se métodos e instrumentos adequados. b) Trigonométricos.Introdução Como visto. sendo que as diferenças de nível podem ser determinadas de duas formas: # Diretamente . tem-se: 112 . c) Barométricos. construção de uma estrada ou obras em via urbana).Nivelamento Geométrico No nivelamento direto. devem ter boa durabilidade e serem implantados em pontos afastados do local da obra. Capítulo 3 . permite determinar as alturas de leituras nestes pontos. 40 = + 2.10 m.3.40 = .60 = 9.Nivelamento Trigonométrico Tem como base o valor natural da tangente do ângulo de inclinação do terreno.40 = 12. a altura do instrumento e “l”.00 metros abaixo do ponto A passe a superfície de nível de comparação (SNC).00 metros.60 m. DNA-D = 2. “D” a distância horizontal. Pelo fato do nivelamento geométrico fornecer melhor precisão nos trabalhos topográficos.Figura 3. este processo será exposto com detalhamento no Item 4. por metro de distância horizontal.1.0. 3. Cota (B) = Cota (A) + DNA-B = 10.00 .80 .3 .0. o ângulo de inclinação do terreno.DNA-D) = 10.40 m.40 m.80 . pode-se escrever: 113 . as alturas relativas ou cotas dos pontos estudados são: Cota (A) = 10.0.00 + 1. DNA-C = 2.10 = 11.17: Nivelamento geométrico. Cota (D) = Cota (A) + ( . DNA-B = 2.80 . Imaginando que a 10. Cota (C) = Cota (A) + DNA-C = 10. uma vez que este elemento representa a diferença de nível.00 + 2. “DN”.70 = + 1.40 m. altura do alvo. “i”.10 m. Designado por “α”. a diferença de nível. se conclui que o cálculo das diferenças de nível pelo nivelamento trigonométrico consiste na resolução de um triângulo retângulo. as diferenças de nível ou distâncias verticais. Cota (B) = 50.18). Pode-se eventualmente visar o alvo à mesma altura do instrumento. eliminando os dois últimos termos da expressão.Altimetria tgα = DN ∴ DN = D ⋅ tgα + i .5. Cota (C) = 63. podem ser perfeitamente determinadas. Para i = l.50 = 63. que representa a diferença de nível.50 .40 = 58. 114 . DNB-C = CC’ = tg -10o * d (BC) = -0. tem-se: DNA-B = BB’ = tg +15o * d (AB) = 0.00 + 13.18: Nivelamento trigonométrico. a altura do instrumento e a altura do alvo entre os pontos topográficos materializados no terreno.50 m.50 m.18 * 30 = -5. Capítulo 3 .alvo D Assim.00 m. Os ângulos de inclinação do terreno são obtidos com emprego de goniômetros dotados de limbo vertical (taqueômetros e clinômetros). Cota (A) = 50. Figura 3. quando se conhecem os ângulos verticais. Logo.40 m.10 m. Já as distâncias horizontais podem ser determinadas por processos diretos ou indiretos. as distâncias horizontais. em que se conhece o ângulo oposto a este (ângulo vertical) e o outro cateto adjacente (distância horizontal) (Figura 3. cuja incógnita é o cateto.27 * 50 = 13. Sabendo que a densidade do mercúrio.293 gramas. em aplicações imediatas. registrando portanto. a distância vertical entre eles será dada pela seguinte expressão (Figura 3. para aplicação deste processo de nivelamento é necessário conhecer a relação que existe entre a variação da coluna barométrica e os pontos topográficos situados em diferentes alturas.518 metros. 115 .000 gramas e que um litro de ar pesa 1. Chamando de dp a diferença de pressão entre dois pontos topográficos.6 vezes maior. cada diferença de um milímetro de leitura.518 Este valor encontrado mostra que o mercúrio é 10. Pode-se concluir que. e um litro de água pesa 1. menor pressão atmosférica para pontos situados em maior altitude. vê-se a coluna de mercúrio descer gradualmente no tubo barométrico.6 / 1.3. corresponde a uma diferença de nível de 10. tem-se: c = 13. é de 13.4 . com as quais se pode calcular as diferenças de nível ou as altitudes dos pontos topográficos tomados no terreno.518 m.19: Nivelamento barométrico.19): Figura 3. na altura da camada de ar.518 milímetros. Assim. Esta relação pode ser determinada para efeito prático.293 * 10-3 ∴ c = 10. subindo a um monte. pois a camada de ar sobreposta fica menor. exprimindo-se a densidade do mercúrio em relação ao ar. deverá corresponder a uma variação de 10. portanto para a variação de um milímetro na coluna barométrica com mercúrio.Nivelamento Barométrico No nivelamento barométrico utilizam-se de barômetros de cuba ou metálicos (altímetros e aneróides). esta pressão diminui à medida que aumenta a altitude. 1mm/10. em relação à água. na coluna barométrica. isto é.518 vezes mais pesado do que o ar. Este é o motivo por que. que indicam as pressões atmosféricas. Sendo a pressão barométrica resultante do peso total da camada de ar existente entre o limite superior da atmosfera e o solo. 2.540 = 420.3).3. citados nas Normas Técnicas para Nivelamentos Topográficos da ABNT (Item 3.900 m AltitudeB = 525. sendo: dn = m ⋅ g ⋅ sen( 2 ⋅ α) 2 +i−l 3.260 m B AltitudeC = 736. A definição da expressão para determinação da diferença de nível foi deduzida no Cap.5 . Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos estadimétricos. pode-se obter a distância horizontal (inclinada) e a diferença de nível entre dois pontos. preocupando-se em sintetizar alguns pontos importantes e atuais.6. Com os fios de retículo.6 .540 m AltitudeA = 525.518 (700 . no qual as distâncias são obtidas pelo princípio taqueométrico.360 m DNB-C = 10.720 m No cálculo das diferenças de nível.6.260 .Altimetria DN = 10. é preciso levar em consideração outros elementos que influenciam nas determinações das pressões atmosféricas.710) = . umidade relativa e densidade do ar.2) e do Nivelamento GPS (Item 3. e a altura do alvo visado é obtida pela visada do fio médio do retículo da luneta sobre uma mira colocada verticalmente no ponto considerado.Fatos Atuais em Altimetria O registro a seguir tem caráter informativo. 116 .6.90 + 210. tais como. 2 no Item 3. temperatura. Capítulo 3 .360 = 736.1). associados às miras verticais ou horizontais.680) = 210. 3.518 (680 . do Nivelamento Geodésico e das Normas do IBGE (Item 3.315.Nivelamento Taqueométrico O nivelamento taqueométrico tem o mesmo princípio do nivelamento trigonométrico. constituídos de três fios horizontais e um vertical.315.518 * dp DNA-B = 10. O geóide é definido como a superfície equipotencial que mais se aproxima do nível médio dos mares. IV N Taqueo.133 . Sec.133 . 0.Precisão média 3 . Classes dos níveis 1 .Precisão alta 4 . Tabela 3.3): Tabela 3. Sec.1 . 117 . classificam-se os diversos métodos de levantamento. nas seguintes categorias (Tabela 3. k Princ. k - 10 km 80 m 15 m 12 mm. neste documento.15 m.ABNT 3.20 m. Princ.ABNT Ainda. seu desenvolvimento e as respectivas tolerâncias de fechamento (Tabela 3.4: Nivelamento de linhas ou circuitos e seções.Precisão baixa 2 . consultar a norma consultar a norma consultar a norma consultar a norma Linha Seção Desenvolvimento Extensão Lance Lance Máxima Máximo Mínimo N.2 .6. de lances Tolerâncias de fechamento - 10 km 80 m 15 m 12 mm. No nivelamento geodésico a superfície de referência será o geóide. III N Trig. Quando a referência era o nível médio dos mares esta altura denominava-se altitude.Nivelamento Geodésico No nivelamento topográfico considerava-se um plano tangente à superfície da terra num ponto considerado. classifica os níveis quanto ao nível de precisão.3.Normas Técnicas de Nivelamento segundo a ABNT A ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas). através do documento NBR 13. Classe Metodologia IN Geom. 0. 0.6.40 m.30 m.3: Classificação dos instrumentos (níveis). 10 km 5 km 5 km 2 km 500 m 300 m 150 m 150 m 40 m 30 m 30 m 30 m 40 20 40 20 0.4).Precisão muito alta Desvio padrão > ± 10 mm/Km ≤ ± 10 mm/Km ≤ ± 3 mm/Km ≤ ± 1 mm/Km Fonte: NBR 13.Execução de Levantamentos Topográficos. Max. e todas as alturas eram referidas a este plano de referência. citando a metodologia a ser empregada. k k k k Fonte: NBR 13.133 . Utilizava-se este plano como uma superfície de nível de referência (que poderia até ser o nível médio dos mares). II N Geom. objetivando uma melhor precisão final. e) Colocação da miras sobre chapas ou pinos e. Estas normas classificam o nivelamento geométrico geodésico quanto ao nível de precisão em (Tabela 3. sobre sapatas. b) De precisão: # Áreas mais desenvolvidas. a altitude ortométrica é a distância avaliada sobre uma vertical do geóide ao ponto considerado. Duas correções geralmente são adotadas: a) Curvatura. 118 . o nivelamento geométrico se destaca pela precisão entre os demais. c) Visadas acima de 20 cm do solo para evitar a reverberação. no caminhamento. ou seja. Nesta mesma publicação. faz-se ainda algumas recomendações para evitar a ocorrência e propagação dos erros sistemáticos de um nivelamento geométrico. alternando a ré e a vante (eliminar o erro de índice). Porém. b) Refração. d) Utilizar miras aos pares. de bolha (provido de micrômetro ótico de placas planoparalelas) ou eletrônico. ou seja. As altitudes geralmente são obtidas através do nivelamento geométrico. # Áreas menos desenvolvidas. com objetivo de regularizar a execução de levantamentos geodésicos.Altimetria A altitude de um ponto. publicou através da Resolução no. como os mesmos a serem utilizados no nivelamento geodésico. as especificações e normas gerais para levantamentos altimétricos. No Brasil o datum vertical localiza-se na baía de Imbituba-SC. b) Evitar visadas com mais de 100 m (ideal 60 m). c) Para fins topográficos. Capítulo 3 . 22 de 21-07-83. O datum vertical ou datum altimétrico se refere ao ponto zero do nivelamento. b) Miras de Ínvar (miras de códigos de barra). por exemplo: a) Comprimento das visadas de ré e vante devem ser aproximadamente iguais. Geralmente os equipamentos no nivelamento geométrico geodésico são: a) Um nível de precisão automático. sob algumas considerações. Muitos autores consideram os dois processos de levantamento vistos para nivelamento topográfico. de modo a se compensar o efeito da curvatura terrestre e da refração atmosférica. porém segundo algumas especificações de controle. ao nível médio dos mares naquele ponto.5): a) De alta precisão (fundamental). especificamente o Geométrico e o Trigonométrico. O IBGE. MEDIÇÃO DE DESNÍVEIS Nivelamento duplo Nivelamento duplo Nivelamento duplo Nivelamento duplo (N e C) (N e C) (N e C) ou simples (N e C) Nível automático Nível automático Nível automático ou de ou de bolha proviou de bolha provibolha provido de mido de micrômetro Nível automático do de micrômetro crômetro ótico de plaótico de placas plaou de bolha e miótico de placas placas plano-paralelas.3 .2 .Nivelamento De Alta Precisão Item Para áreas mais desenvolvidas 1 . acumulada para a seção Para Fins Topográficos De Precisão Para áreas menos desenvolvidas 400 Km 100 Km 200 Km 50 Km 200 Km 50 Km 3 Km 3 Km 3 Km Local De acordo com as finalidades De acordo com as De acordo com as 2 .IBGE.CONTROLE PARA A QUALIDADE 3.001 mm/m 0.3 Km 1 .1 .5 Divergência de leituras entre duas graduações em unidades de mira 2.Valor máximo para a razão entre a discrepância acumulada e o perímetro do circuito 4 . 2.6 .Diferença máxima tolerável entre os comprimentos das visadas de ré e vante.10 Km finalidades finalidades 2 Km 2 Km 1 .002 m 0.8 Km 8 .Tabela 3. 3.005 m 3m 5m 10 m 10 m 3 .Diferença máxima aceitável entre o nivelamento e o contra-nivelamento de uma linha (K = comprimento da linha em Km) 3.ERRO PADRÃO ACEITÁVEL PARA UMA LINHA APÓS O AJUSTAMENTO (K = COMPRIMENTO DA LINHA EM KM) 3 mm k 6 mm k 8 mm k 12 mm k 4 mm k 6 mm k 8 mm k 12 mm k 0. e 3o.Diferença máxima aceitável entre o nivelamento e o contra-nivelamento de uma seção (K = comprimento da seção em Km) 3.Geral * Perímetro máximo dos circuitos * Comprimento máximo das linhas * Intervalo máximo entre as estações monumentadas ou comprimento máximo da seção 1. e 2o.Instrumental 2.7 .1 .01 < |C| 0.3 .3 Colimação do nível (C) * Não precisa ser retificado * Poderá ser retificado * Deverá ser retificado 2.Procedimento 2. Levantamentos Geodésicos .5 mm/Km 2 mm k 5 mm/Km 5 mm/Km 10 mm/Km 3 mm 4 mm 6 mm k k k Fonte: IBGE.2 .1 . Miras Miras de ínvar com de ínvar com dupla de ínvar dupla graduação graduação |C| ≤ 0. e 2o.03 mm/m 100 m Idem Idem Idem 100 m Idem Idem Idem 100 m 100 m 0.002 m 0.Comprimento máximo da visada 2. Miras ras no-paralelas. no-paralelas.5: Especificações para nivelamento geométrico .Regiões metropolitanas * Perímetro dos circuitos * Comprimento desejável das linhas * Comprimento da seção 2.005 m 0.03 mm/m |C| > 0.4 .CONFIGURAÇÃO DOS CIRCUITOS E LINHAS Fundamental 1.Uso dos três fios .3 Km 2 .0002 m Idem Idem Idem 0.Divergência do 1o.6.Nivelamento GPS 119 .2 . é possível melhorar este erro para algo da ordem da fração do metro.Altimetria Há uma expectativa de usar o sistema GPS para determinar a altitude ortométrica (H). Y.Nivelamento Geométrico 120 . O erro absoluto esperado para a carta é de 3m e o relativo de 0. A fundação IBGE e a USP (Universidade de São Paulo) têm trabalhado ao longo dos últimos 15 anos no melhoramento da carta geoidal do Brasil. senφ onde X. os levantamentos gravimétricos e as observações sobre satélites artificiais. λ . 4 . sendo o H obtido por aproximação de soma desta à ondulação geoidal (N). Através das observações GPS. H≅h+N Contribuem atualmente para a determinação das alturas geoidais os modelos do geopotencial. Já se dispõe de uma centena de alturas geoidais derivadas de medições GPS conduzidas sobre a rede de nivelamento de primeira ordem. A relação entre as coordenadas cartesianas e as geodésicas são dados pelas seguintes expressões: X = (N + H) cos φ .Latitude. evitando assim a onerosa operação do nivelamento geométrico. obtém-se as coordenadas cartesianas X.1: Superfície terrestre.2/10Km. N => Grande Normal (não confudir com a ondulação geoidal). Observe que geralmente têm-se as altitudes ortométricas (h). senλ Z = [N (1 . em muitas aplicações da cartografia e sobretudo da engenharia as precisões exigidas são bem superiores às da carta geoidal. Y e Z de um ponto desconhecido em função das diferenças de coordenadas fornecidas pelo GPS e das coordenadas supostamente conhecidas do ponto de partida. Z => Coordenadas cartesianas.Longitude. Porém. cosλ Y = (N + H) cos φ . Capítulo 3 . geóide e elipsóide.e2) + H] . φ . Figura 3. Se em uma região houver uma cobertura razoável de dados gravimétricos. Pode ser classificado em: # Nivelamento geométrico simples. sem a necessidade de transferência do instrumento. é necessário realizar uma mudança de local de instalação do aparelho. principalmente nas visadas que ocasionam as mudanças de instrumento (mudança de PR).20 pode-se constatar que o nível localizado entre os pontos A e B consegue levantar todos os pontos em questão. No nivelamento geométrico ou direto. existem algumas condições para sua execução visando dar maior qualidade ao mesmo. a mira colocada sucessivamente em todos os pontos do terreno a nivelar. b) Ler e anotar corretamente as leituras da mira mantendo a mesma na vertical e imóvel. Para evitar erros de diversas naturezas. d) Instalar o instrumento em lugar firme e seguro. e) Evitar leitura de mira a grandes distâncias. de uma única estação do nível. principalmente em horários de forte irradiação solar. Caso a diferença de nível for muito grande (a mira só possui 3 a 4 m) ou quando existir um obstáculo.1 . c) Certificar sempre se o nível está em boas condições técnicas. Este procedimento será discutido a frente (Item 4. as diferenças de nível são determinadas com emprego de instrumentos que fornecem retas do plano horizontal. Por exemplo.2). apresentadas durante os exemplos a seguir.Pelo fato do processo de nivelamento geométrico ser o mais preciso e utilizado na topografia. # Nivelamento geométrico composto. deve-se observar o seguinte: a) Instalar o nível sempre que possível entre os pontos a serem nivelados. limitando-de a aproximadamente 70 m. Estes dados são anotados em cadernetas próprias. 121 . 4.Nivelamento Geométrico Simples Denomina-se de nivelamento geométrico simples quando é possível visar. na figura 3. f) Evitar leituras inferiores a aproximadamente meio metro. considerando apenas uma reta horizontal. B B CC = PRA .20: Nivelamento geométrico simples.CB. é chamada de visada de ré (RA). VD). B Conhecida a cota do primeiro ponto (ponto A . B dnB-D = CD . dnB-C. VD). início do levantamento. As diferenças de nível entre os pontos (dnA-B. 122 . CC. e as seguintes.CC.VC.CA.CA. VC. Capítulo 3 . dnA-D = CD . altura do instrumento em A (ou plano de referência em A) é igual a cota de A mais a visada de ré em A. As próximas cotas (CB. Exemplo 2: Baseado na figura 3. B CB = PRA .VD.Altimetria Figura 3.VB. B dnC-D = CD . feita no ponto A (Figura 3. CD = PRA . CD) serão dadas pela diferença entre o plano de referência em A (PRA) B e as visadas de vante (VB.20). dnA-D. dnA-C. deve-se instalar o nível numa posição de modo a visar a mira colocada na vertical em todos os pontos a levantar.CA. isto é: PRA = CotaA + RA ou seja. A primeira visada.CB. dnB-C = CC .Figura 3. dnC-D) serão dadas por: dnA-B = CB . B dnA-C = CC . dnB-D. calcular as diferenças de nível entre todos os pontos do terreno.20). denomina-se plano de referência (PR) a soma da cota deste ponto com a leitura da mira. visadas de vante (VB. VC.20 e sua respectiva caderneta de campo dada abaixo. No procedimento de campo. 11.00 = + 1. dnA-D.CA = 9.40 .00 + 2.80 .10.10 m B dnA-C = CC .10 = + 1.40 m dnA-D = CD . dnC-D) dnA-B = CB . dnA-C.: A maior diferença de nível é entre o ponto C e D e a menor entre os pontos A e D.40 .70 m B dnC-D = CD .00 m obs.70 = 11.VB = 12.12.2 .VD = 12.40 =9.30 m B dnB-D = CD .11. dnB-C.Nivelamento Geométrico Composto 123 .40 Obs.40 = .00 = + 2.CB = 9.10 = .00 = .Na soleira do 2.RN .60 m dnB-C = CC .CA = 11.40 D 9.80 10.40 .40 .80 .1.40 Cota do ponto A = 10 m 3.10 .3.40 0.CB = 12.1.0. Solução: a) Determinação do plano de referência em A PRA = CotaA + RA = 10. dnB-D.10.40 m c) Diferenças de nível (dnA-B. e em itálico os dados calculados.80 = 12.CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO Leituras na mira Ponto Plano de Cotas ou Observações Visado Referência Altitudes Ré Vante A 12.0.CA = 12.CC = 9.40 m CD = PRA . CD) B CB = PRA .10 m B B CC = PRA .: Em negrito estão os dados com informações de campo.40 = 12.3.80 A .70 C 12.10.00 B 11.VC = 12. 4.40 .80 .10 prédio principal 1. CC.80 m b) Determinação das cotas dos pontos (CB. Capítulo 3 - Altimetria No Item 4.1 observou-se que com apenas uma instalação do instrumento solucionou-se o problema de determinação das diferenças de nível entre todos os pontos (Figura 3.20). Porém, se a diferença de nível for maior que o tamanho da mira (geralmente de 4 m), quando existir um obstáculo ou ultrapassar o limite da visada do nível (máximo 100 m), será necessário realizar uma mudança de local de instalação do aparelho. Ao executar a mudança de instrumento, estar-se-á executando um nivelamento geométrico composto. Assim o aparelho é novamente instalado e recomeçado um novo nivelamento com a mira sobre o último ponto de cota conhecida do nivelamento anterior (Figura 3.21). Logo, pode-se ainda entender nivelamento geométrico composto como uma sucessão de nivelamentos geométricos simples. O cálculo é idêntico ao visto anteriormente (Item 4.1), com exceção da alteração do valor do plano de referência, que deverá ser novamente calculado, em virtude da mudança de instrumento (veja exemplo 3). As fórmulas já discutidas anteriormente, podem ser resumidas em: PR = Cota + Ré; Cota = PR - Vante Figura 3.21: Nivelamento geométrico composto I. Exemplo 3: Baseado na figura 3.21 e sua respectiva caderneta de campo dada abaixo, calcular as cotas de todos os pontos do terreno. CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 124 Ponto Plano de Leituras na mira Cotas ou Observações Visado Referência Altitudes Ré Vante A 12,95 A - RN - Em um marco 2,95 10,00 B 11,95 de madeira, situado 1,00 bis (B) 15,10 8,00 m à 3,15 C 14,75 esquerda da estaca 0 0,35 D 12,10 3,00 E 14,30 0,80 bis (E) 16,45 2,15 F 15,40 Cota do ponto A = 10 m 1,05 Obs.: * Em negrito estão os dados com informações de campo, e em itálico os dados calculados. * Na coluna “ponto visado”, onde se encontra a palavra bis, significa que neste ponto foi tomado uma visada de vante e outra de ré. Solução a) Determinação do plano de referência em A PRA = CotaA + RA = 10,00 + 2,95 = 12,95 m b) Determinação da cota do ponto CB B CB = PRA - VB = 12,95 - 1,00 = 11,95 m B B Observe agora que com a mudança do instrumento da posição 1 para 2 (Figura 3.21), deve-se recalcular o valor do PR, agora considerado PRB. Para isto segue-se raciocínio análogo. B c) Determinação do plano de referência em B PRB = CotaB + RB = 11,95 + 3,15 = 15,10 m B B B Agora, para cálculo das cotas dos pontos C, D e E, deve-se utilizar este plano de referência (PRB), e B apenas variando as leituras de vante (VC, VD e VE). d) Determinação das cotas dos pontos Cc , CD, CE CC = PRB - VC = 15,10 - 0,35 = 14,75 m B CD = PRB - VD = 15,10 - 3,00 = 12,10 m B CE = PRB - VE = 15,10 - 0,80 = 14,30 m B Nova mudança de instrumento (de 2 para 3) (Figura 3.21). e) Determinação do plano de referência em E PRE = CotaE + RE = 14,30 + 2,15 = 16,45 m f) Determinação da cota do ponto CB B CF = PRE - VF = 16,45 - 1,05 = 15,40 m Observação: 125 Capítulo 3 - Altimetria Para cálculo das diferenças de nível entre pontos, basta fazer a diferença entre as cotas dos pontos em questão: dnA-B = CB - CA = 11,95 - 10,00 = + 1,95 m B dnA-F = CF - CA = 15,40 - 10,00 = + 5,40 m PAUSA PARA RESUMO Referência de Nível - RN - Pontos implantados e fixos no terreno com cota ou altitude conhecidas, para auxiliar as operações do nivelamento. Visada de Ré (R) - A primeira visada, no início do levantamento; Visada de Vante(V) - As visadas seguintes do levantamento; Plano de Referência (PR) - Soma da cota à leitura da mira de Ré PR = Cota + Ré Cota do ponto - Diferença do PR e leitura da mira de Vante Cota = PR - Vante Diferença de Nível - Diferença entre as cotas dos pontos considerados dnA-B = CotaB - CotaA B Nivelamento Geométrico Composto - É uma sucessão de nivelamentos geométricos simples. 4.3 - Verificação dos Cálculos da Caderneta Para verificação dos cálculos da caderneta, aplica-se o seguinte procedimento: a) O somatório das visadas de ré, menos o somatório das visadas de vante, deve ser igual a diferença das cotas entre o ponto final (chegada) e o ponto inicial, ou seja: ∑ Ré − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício Para o somatório das visadas de vante deve-se utilizar as medidas onde houve mudança de instrumento mais a última visada de vante (veja o exemplo 4). Baseado nisto, verificou-se abaixo os cálculos executados nos exemplos 2 e 3 (Itens 4.2 e 4.3 respectivamente): Exemplo 4: Execute a verificação do cálculo da caderneta do exemplo 2 do item 4.1. Solução: 126 ∑ Ré = 2,80 m; ∑ Vante = 3,40 m; Cotachegada = 9,40 m; Cotainício = 10,00 m. ∑ Re − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício 2,80 - 3,40 = 9,40 - 10,00 - 0,60 m = - 0,60 m Logo, os cálculo executados estão OK ! Exemplo 5: Execute a verificação do cálculo da caderneta do exemplo 3 do item 4.2. Solução: ∑ Re = 2,95 + 3,15 + 2,15 = 8,25 m ∑ Vante = 1,00 + 0,80 + 1,05 = 2,85 m Cotachegada = 15,40 m; Cotainício = 10,00 m ∑ Re − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício 8,25 - 2,85 = 15,40 - 10,00 + 5,40 m = + 5,40 m Logo, os cálculos executado estão OK ! 4.4 – Erro no Nivelamento Geométrico O erro cometido em campo durante a operação do nivelamento, independe da verificação do cálculo da caderneta visto no item 4.3. O erro cometido pode ser função do desvio na horizontalidade do eixo de colimação da luneta do nível, na imperfeição da verticalidade da mira e imprecisão na leitura da mira. Para obter este erro de operação do levantamento de campo, deve-se primeiramente classificar o nivelamento em duas categorias: # Nivelamento de uma poligonal fechada; # Nivelamento de uma poligonal aberta. 4.4.1 - Determinação do Erro 127 Capítulo 3 - Altimetria a) Considerando o nivelamento de poligonal fechada Quando se executa o nivelamento numa poligonal fechada, isto é, parte-se de um ponto de cota conhecida, em geral de uma RN, e termina neste mesmo ponto, significa que a cota final deverá ser igual a inicial. A diferença entre a cota inicial e a cota final após o nivelamento é o erro cometido no nivelamento: En = CF - CI onde En => Erro no nivelamento; CF => Cota final; CI - Cota inicial. Se CF > CI (erro por excesso); CF < CI (erro por falta). b) Considerando o nivelamento de poligonal aberta Quando se executa o nivelamento em uma poligonal aberta, isto é, parte-se de um ponto e chega-se a outro ponto, a única maneira de se verificar a sua exatidão e controlar o erro porventura cometido, consiste em repetir o nivelamento de trás para frente, o que se denomina de contra-nivelamento. Na operação do contra-nivelamento não é necessário nivelar todas as estacas do nivelamento, bastando fazer o nivelamento de pontos auxiliares para que, partindo do último, se retorne ao ponto de partida. A diferença entre a cota do ponto de partida e a cota que for calculada para este ponto de partida ao final da operação do contra-nivelamento é o erro cometido no nivelamento: En = CFc - CI onde En => Erro no nivelamento; CFc => Cota final após o contra-nivelamento; CI => Cota inicial. Se CFc > CI (erro por excesso); CFc < CI (erro por falta). & Observação: No caso da existência da cota da RN do ponto de partida e RN do ponto de chegada, o erro será dado por: En = CF - CRNf En => Erro no nivelamento; CF => Cota final; CRNf => Cota do RN final. 4.4.2 - Definição da Tolerância 128 k = 5 mm para nivelamento de precisão de primeira ordem. k = 10 mm. sendo k a extensão nivelada em km. para um trecho nivelado de 16 km.Distribuição do Erro Admissível 129 . que estará dentro da tolerância exigida (1o. a Associação Brasileira de Normas Técnicas. Para nivelamentos taqueométricos. 1989) propõem a seguinte expressão para o cálculo da tolerância do nivelamento: T = c⋅ k⋅ L onde T => Tolerância do nivelamento.A definição da tolerância nos nivelamentos é variável de acordo com as irregularidades relevo do terreno e o número de estações. k ). qual a tolerância permitida para o erro no nivelamento ? Solução: T= c⋅k⋅ L T = 2 ⋅ 5 mm ⋅ 16 = 10 mm ⋅ 4 = 40 mm T = 2 ⋅ 10 mm ⋅ 16 = 20 mm ⋅ 4 = 80 mm T = 2 ⋅ 15 mm ⋅ 16 = 30 mm ⋅ 4 = 120 mm ou seja. c => Coeficiente de precisão que varia de 1 a 2.5 k => Erro médio admitido por quilômetro. para poligonais principais. nestas condições. 3. 1989.133.4 e 3. segundo diferentes precisões (Tabelas 3. COMASTRI.3 . 80 mm (8 cm). medida num único sentido. é sinal que houve qualquer descuido no trabalho e. Alguns autores (PINTO. L => Extensão nivelada em km. entre outros fatores. k = 15 mm . Se o erro for maior do que a tolerância.4. Exemplo 6: Considerando c = 2 e k = 5 mm. 4.30 m. k = 15 mm para nivelamento de precisão de terceira ordem. o nivelamento deverá ser realizado novamente. no trecho citado. pode-se errar até 40 mm (4 cm).3. A ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) e o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) fornecem tabelas e fórmulas para determinar as tolerâncias no nivelamento. 120 mm (12 cm). k = 10 mm para nivelamento de precisão de segunda ordem. 2o e 3o ordem respectivamente). através da NBR 13.5). considera uma tolerância igual a (T = 0. c = 2. 4. ou mais precisamente nas visadas de ré. Deve ainda observar que: # Para a correção deve-se evitar valores menores que o milímetro.3). b) Verificação do cálculo de caderneta (Item 4.2). arredondar e adotar valores inteiros até o milímetro. pede-se: a) Cálculo das cotas dos pontos (Itens 4.2). Dados: Nivelamento geométrico composto em poligonal fechada.1). Nivelamento de precisão de 2o ordem. passa a denominar-se de erro admissível.Altimetria O erro cometido no nivelamento. L = 1.385.4.5 – Exemplo de Cálculo de Nivelamento Geométrico É apresentado a seguir um exemplo de cálculo completo de um nivelamento geométrico composto. é igual à divisão do erro admissível pelo número de estações do nível: Corr = erro admissível número de estações do nível A correção será feita com sinal contrário ao erro no nivelamento: # Se por excesso ⇒ correção negativa. As cotas compensadas são obtidas em coluna própria. em virtude da precisão dos nivelamentos topográficos. depois de comparado com a tolerância.5).00 m. # Se por falta ⇒ correção positiva. estando dentro do limite aceitável. de modo a compensar as correções anteriores.22) e sua respectiva caderneta de campo. pela soma ou diferença das correções calculadas. Baseado na figura abaixo (Figura 3. d) Definição da tolerância (Item 4. e) Distribuição do erro (Item 4.3). demonstrado no próximo item (Item 4. Capítulo 3 . Outra característica é que a correção deve ser acumulativa. c) Determinação do erro do nivelamento (Item 4.1 e 4.4. A correção a ser introduzida em cada mudança de posição do nível. # Em caso de valores sem divisão exata (decimais).4. 130 . 005 .795 3.276 3.641 46.438 1.542 0.643 .005 .0.004 45.004 .811 2.655 .338 44.0.894 45.285 3. situado a 25.438 47.0.367 50.002 46.120 .002 Cotas Corrigida 48.: Em negrito estão os dados com informações de campo.509 2. CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO Ponto Visado RN A B bis C D bis E F bis G RN Plano de Referência 50.005 49.362 50.405 47.0.VG G Ré em F F Vante no RN VF 4ª Instalação Ré no RN Ré em D RN 3ª Instalação VA VB 1ª Instalação VE VD D Ré em B A E VC B 2ª Instalação C Figura 3.874 47.0.444 Cotas ou Correção Altitudes Acumulada 50.000 48.878 47.053 0.896 .0.50 m à direita do vértice A Obs.0.651 49.064 3.0.341 44.22: Nivelamento geométrico composto II.082 1.003 45.449 Leituras na mira Ré Vante 0.794 2. e em itálico os dados calculados.000 Observações RN em um marco de madeira de lei.003 .117 45. Solução: a) Cálculo das cotas dos pontos Para cálculo das cotas utilizou-se das seguintes fórmulas: 131 .931 51. .000 m e CF = 50... tem-se: T = 2 ⋅ 10 mm ⋅ 1..547 m.385 = 23.3.000 m....405 . ∑ Re − ∑ Vante = Cotachegada . ou seja.005 m = 0.542 = 46..438 m CotaA = PRRN .405 m B B B CotaC = PRB .8.120 m B PRD = CotaD + RéD = 44.... (e assim sucessivamente) b) Verificação do cálculo de caderneta ∑ Re − ∑ Vante = Cotachegada .CI CI = 50..438 .285 + 0...053 = 45. 5 mm < 24 mm ! e) Distribuição do erro 132 . Cota = PR ....53 mm ≅ 24 mm Logo o erro cometido esta dentro do tolerável...896 + 0.....064 = 45..444 = 8.795 = 48..000 + 0..VanteD = 47....005 m (5 mm) d) Definição da tolerância T = c⋅ k ⋅ L Considerando: c = 2.. Capítulo 3 ..005 m c) Determinação do erro do nivelamento Obs.509 = 47....276 + 1....005 ....285 = 44....VanteC = 47..509 + 3.2..Altimetria PR = Cota + Ré.50..000 0..438 + 0....811 = 47.552 m.811 + 3.438 .000 = + 0. Nivelamento de precisão de 2o ordem .50..005 m E = 50. Cotachegada = 50..VanteE = 47.896 m B B PRB = CotaB + RéB = 46.552 .VanteB = 50.VanteA = 50.... L = 1.1.Cotainício 8.Cotainício ∑ Re = 0.794 = 8..547 = 50.405 .Vante PRRN = CotaRN + RéRN = 50..00 km. logo: E = CF .3.542 + 3....931 .120 + 3. ∑ Vante = 3.2...: Poligonal fechada...643 m CotaB = PRRN . Cotainício = 50..878 m ..339 m B CotaD = PRB .005 ..k = 10 mm.....931 m CotaE = PRD ...005 m....438 = 50..385. a correção terá sinal contrário (negativo).25 mm 4 Obs. desde o planejamento até execução do projeto. # Estudo de seção tipo. # Estudo de jazidas.2 mm .1 mm .2 mm .5 mm Correção acumulada . A utilização desse processo de representação é muito utilizada na engenharia de construção. ferrovias. no plano vertical. Especificamente no projeto de estradas (rodovias. pode-se representar estes elementos altimétricos (cotas ou altitudes) por meio de perfis longitudinais e transversais. vias urbanas). com finalidade de conhecer particularidades do terreno.. obtidas num nivelamento.Perfis Longitudinais e Transversais Quando se realiza um trabalho de nivelamento.4 mm . dado pela expressão: Corr = Corr = erro admissível número de estações do nível 5 mm = 1. etc.Sendo o erro admissível e por excesso.5 mm 5 . cotas ou altitudes. 5. # Estudo da drenagem.1 mm . das diferenças de nível.3 mm . Um perfil é a representação gráfica.1 mm . # Estudo de corte/aterro. Obs. Entre suas utilidades de auxílio ao projeto tem-se: # Escolha do melhor traçado das vias.: A construção do perfil será comentada no próximo item (Item 6).: Não sendo a divisão exata. # Definição de rampas.1 . o conhecimento do relevo através do estudo de perfis é de fundamental interesse para sua viabilização. o procedimento será o seguinte: Pontos a sofrer correção PRRN PRB PRD PRF Soma B Correção .Perfil Longitudinal 133 . conseqüentemente relacionado ao mesmo RN. O procedimento de levantamento pode ser o nivelamento geométrico simples ou composto. Capítulo 3 . faz-se a seção transversal como a bissetriz do ângulo entre os alinhamentos.Altimetria Os perfis longitudinais são obtidos por seções longitudinais. e os métodos trigonométricos a clinômetro.2 .Nivelamento das Seções Transversais a Nível 134 .Perfil Transversal Os perfis transversais são obtidos por seções transversais.2.23).23). Figura 3. Logo. geralmente normais aos alinhamentos de uma poligonal. 5.1 . e construídos a partir do nivelamento ao longo do caminhamento ou eixo longitudinal (Figura 3.23: Eixos longitudinal e transversal. as seções situadas de um lado e outro do eixo longitudinal são denominados seções à direita ou seções à esquerda da poligonal (Figura 3. De acordo com o sentido do desenvolvimento da poligonal. No processo de levantamento das seções transversais são comumente utilizados os métodos geométricos a nível ou a régua. Geralmente o nivelamento desta seção longitudinal é feito com a utilização de níveis de luneta. Quando se tratar de uma estaca de vértice. o nivelamento das seções transversais está sempre amarrado à seção longitudinal. 5. 24: Nivelamento de seção transversal a régua. O valor lido na régua horizontal será a distância entre os pontos nivelados.2). Solução: a) Preenchimento da caderneta 135 . A horizontalidade será obtida com nível de bolha (nível de pedreiro) (Figura 3. observa-se que uma das extremidades da régua horizontal é apoiada numa régua vertical na estaca 12.24).24). Como se trata de nivelamento de seções transversais. ambas graduadas convenientemente. 5. e por meio de um nível de pedreiro. Repete-se o procedimento para os outros pontos.1 e 4. com a face inferior da régua horizontal. que representa a diferença de nível entre os pontos.2 .2. procedese. a leitura na régua vertical. c) Faça o desenho do perfil transversal (Figura 3.25). a outra extremidade é apoiada sobre a estaca denominada D1.24: a) Preencha a caderneta de campo. A seguir. Na figura 3. este procedimento deve ser executado à direita e à esquerda do eixo longitudinal (Figura 3. Figura 3. b) Calcule as cotas de todos os pontos. já discutidos anteriormente (Itens 4. verifica-se a horizontalidade.Nivelamento das Seções Transversais a Régua Emprega-se uma régua horizontal e uma outra vertical.É utilizado o nível de luneta e aplicado os métodos de levantamento geométrico simples e composto.24. Exemplo 7: Baseado nos valores obtidos pelo nivelamento à régua da figura 3. para a primeira diferença de nível do lado direito. 50 + 1.50 m CotaD2 = CotaD1 + dnD1-D2 = 53.20 + 1.0.50 Lado Direito + 1.0 3.3 .20 m CotaD1 = Cotaest12 + dnest12-D1 = 52.0 = 54.0 = 53.30 . Cota da estaca 12 = 52.0 1. 5.9 + 1.0 .8 = 54.4 = 53.1.25: Perfil transversal.4 1.90 m CotaD4 = CotaD3 + dnD3-D4 = 53.20 m CotaE2 = CotaE1 + dnE1-E2 = 52.Nivelamento das Seções Transversais a Clinômetro 136 .30 m CotaD3 = CotaD2 + dnD2-D3 = 54.20 m CotaE3 = CotaE2 + dnE2-E3 = 53.0 = 53.90 .0 Eixo Estaca 12 Cota 52.5 dn dist b) Cálculo das cotas de todos os pontos.4 2.20 + 1.0.1.6 .Altimetria CADERNETA DE SEÇÕES TRANSVERSAIS Lado Esquerdo dn dist dn dist + 1.50 m CotaE1 = Cotaest12 + dnest12-E1 = 52. Capítulo 3 .8 1.0 + 0.0 3.4 .3 3.50 m c) Desenho do perfil transversal Figura 3.4 = 52.50 + 0.3) = 52.50 + (.0.0.2. Diferença de nível. O cálculo das diferenças de nível é obtido pela resolução trigonométrica dos triângulos: dn = D . tgα onde dn .26: Figura 3.26: Nivelamento de seção transversal a clinômetro. α . visa-se com o clinômetro apoiado a um bastão vertical para outro de mesma altura na vertical.Ângulo de inclinação. a) Preencha a caderneta de campo. Na operação de campo.Distância entre os pontos. D .26). Solução: a) Preenchimento da caderneta 137 .Neste processo são avaliados os ângulos de inclinação do terreno e a distância entre os pontos (Figura 3. A seguir mede-se a distância horizontal entre os dois pontos. Exemplo 8: Baseado nos valores obtidos pelo nivelamento à clinômetro da figura 3. e mede-se o ângulo de inclinação. b) Calcule as cotas de todos os pontos. 15 m CotaD1 = Cotaest34 + dnest 12-D1 = 102.82 = 100.Planta Baixa A representação em planta baixa pode ser feita pelos seguintes processos: 138 . tgαest34-E1 = 12. O relevo pode ser representado em planta baixa ou perfil. no plano do papel.1.dnest34-E1) = 102.76 . tg(.38 m CotaD2 = CotaD1 + dnD1-D2 = 100.82 m dnD1-D2 = 11.44 = 98.00 Eixo Estaca 34 Cota 102.00 b) Cálculo das cotas de todos os pontos Primeiramente deve-se calcular as diferenças de nível entre os pontos. tg(+ 14o) = + 2. com precisão.1 . tg(.74 = 103.61 = 97.20o) = .20 Lado Direito . tgα dnest34-E1 = Dest34-E1 .3.20 .00 + 14o 11.12 m 6 .1.20 . # Permitir determinar. ele deve satisfazer as seguintes condições: # Realçar de forma mais expressiva possível as formas do relevo.00 .00 .00 .15o 6.76 m CotaE2 = CotaE1 + dnE1-E2 = 98.16o 12.16o) = .Representação Altimétrica Nas operações topográficas denominamos relevo as elevações e depressões do terreno.Altimetria CADERNETA DE SEÇÕES TRANSVERSAIS Lado Esquerdo ±α dist .61 m dnest34-D1 = Dest34-D1 .15o) = . pela expressão: dn = D .74 m CotaE1 = Cotaest34 + (.1.20o 5. a cota ou altitude de qualquer ponto do terreno.00 .1. tg(.38 + 2. tgαest34-D1 = 5.3. Capítulo 3 .00 .44 m dnE1-E2 = 6. Qualquer que seja o processo de representação do relevo. 6. 20 466.00 Figura 3.70 474.10 501.60 459.85 455.50 457.27: Planta com pontos cotados.10 468.00 4500.50 485.00 2500. Geralmente as cores mais claras representam as partes mais baixas e as escuras as partes mais altas (Figura 3.28).00 4750.00 466.68 9700.59 471.00 446.84 453.98 481.11 466.00 9700.50 505.40 519.40 478.75 477.80 502.00 9500.10 512.42 524.00 3250. Eixo Y 524. Geralmente seu traçado percorre cotas ou altitudes inteiras (Figura 3.10 459.00 2750.90 499.73502.90 480.00 492.00 487.90 460.76 475.00 470.00 480.20468.79 496.00 3000.00 474.00 4000.65 545.00 464.54 509.99 468. c) Planta de cores hipsométricas Neste caso as alturas dos pontos são representadas por cores diferentes.41 485.60 466.30 502.00 4500.82 490.18 461. 10300.00 2500.42 492. b) Planta com curvas de nível Este é o processo mais rigoroso de representação do relevo em planta baixa.88 461.64 464.00 9900.98 494.00 3000.60 502.04 9500.98 470.20 459.40 464.89 479.10 486.87 502.02 490.60 464.50 460.93 497.56 488.36 467. onde cada cor representa uma determinada altitude ou cota.57475.40 482.00 460.20 493.40 475.00 3500.00 463.00 3500.40 464.00 526.60 464.00 10100.00 4000.20 486.40 461.02 461.52 461.50 482.00 454.a) Planta com pontos cotados Neste processo todos os pontos topográficos possuem as suas alturas fornecendo uma idéia aproximada do relevo (Figura 3.62 453.99 459.00 504.82 459.67 489.00 469.73 494.95 485.20472.28: Planta com curvas de nível.20 495.27).70 441.20 456.11 10300.00 3750. 139 .80 509.20504.74 462.00 466.00 10100.70504.60 469.02 474.89 9900.60 462.10 501.60 497.40 467.22 484.00 5000.00 497.85 471.90 471. Define-se curva de nível como o lugar geométrico onde todos os pontos possuem as mesmas cotas ou altitudes.80 493.40 501.40501.00 4250.63460.60 462.40 462.07 480.00 5000.29).90 470.57 465.85 456.60 465.72 462.00 Eixo X Figura 3. 140 . 6. A relação mais recomendada é aquela em que a escala vertical seja de 5 a 10 (dez) vezes maior que a escala horizontal.50 1800 -107. Capítulo 3 . pode-se fazer a transferência das cotas inteiras para o desenho da planta baixa. para fins de projetos. para melhor visualização do relevo.20 3000 37. Acontece que. Nos desenhos de perfis.10 -107.00 Figura 3.25 37. das diferenças de nível obtidas durante o levantamento topográfico altimétrico (nivelamento) (Figura 3.15 2600 37.Altimetria 37.40 -107.30 3400 37.30).10 2200 37.40 37.00 -107. Após o desenho do perfil.29: Planta em cores hipsométricas. É um processo rigoroso de representar as elevações e depressões de um determinado terreno. geralmente aplicam-se escalas independentes para os eixos X e Y. normalmente a escala vertical é maior. no plano vertical.50 37. no desenho.35 3800 37.45 37.05 37.20 -107. A representação do terreno. Utilizado quando se deseja representar particularidades de um terreno. aonde são registradas todas as distâncias e transportadas para a planta baixa. onde foram lançadas as cotas e distâncias. Isto é realizado pela medida das distâncias entre as cotas inteiras. no eixo X.30 -107.2 . Um artifício a ser utilizado é o processo de transferência por “fita”. Normalmente utiliza-se um papel milimetrado.Perfil A representação em perfil pode ser feita pelos seguintes processos: a) Desenho do perfil Denomina-se perfil a representação. é feita por meio de eixos de coordenadas onde colocamos no eixo X as distâncias entre os pontos e no eixo Y as cotas ou altitudes. 00 480.00 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5 6 0 6 5 7 0 7 5 8 0 8 5 9 0 9 5 1 0 0 1 0 5 1 1 0 1 1 5 1 2 0 1 2 5 1 3 0 1 3 5 1 4 0 1 4 5 Figura 3.00 440.00 Figura 3. # Extração de formas do relevo.00 490.00 510.00 460.510.00 480. Pode-se citar as seguintes aplicações: # Estimativas de volume.00 450.00 440.30: Desenho de perfil. # Estudos de tendência. 520.00 470.31).00 500.00 460.00 450.31: Desenho em perspectiva.00 490. 141 .00 470. b) Perspectiva Gerado através da Modelagem Digital de Terrenos (Figura 3. # Análise de intervisibilidade entre pontos.00 500. Cap.Altimetria Observações e anotações . 3 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 142 . Capítulo 3 . Esta dimensão deverá ser obtida pelo nivelamento. a altura (a cota ou a altitude) dos vários pontos do terreno. uma nova dimensão deve ser avaliada. A taqueometria é um processo de levantamento planialtimétrico realizado por intermédio dos instrumentos denominados taqueômetros (Cap. linhas de cumeada.). enquanto as irradiações têm por finalidade a determinação de pontos capazes a representar os acidentes naturais e artificiais deste local. também já discutidas. para caracterizar a planialtimetria. etc. O levantamento taqueométrico é utilizado com grande freqüência para definição planialtimétrica de parcelas do terreno. Os procedimentos de avaliação dos ângulos horizontais e distâncias horizontais podem ser obtidos pelas diversas formas. são avaliados os ângulos e distâncias por processos de levantamento planimétrico. 3). 2). Porém.Introdução Na planialtimetria. 2). com objetivo de representar o relevo (Cap. porém ainda muito utilizado pela rapidez e relativa precisão. utiliza-se dos processos de nivelamento.) e altimétricas (vales. 2 – Levantamento Planialtimétrico Os processos de levantamento são os mesmos utilizados para obter os elementos planimétricos (métodos principais e secundários . a proposta da planialtimetria é utilizar-se dos processos planimétricos e altimétricos para a representação de um determinado trecho da terra. realizado através de poligonais e de irradiações a partir de vértices das poligonais.Cap. é o processo taqueométrico. onde possa conter informações planimétricas (benfeitorias. Desta forma.1 . ou seja. A poligonal geralmente é desenvolvida em torno da área a ser levantada. servindo de arcabouço e base do levantamento. estradas. etc. Um processo antigo. rios. as medidas angulares e lineares são tomadas considerando os planos horizontal e vertical. e os cálculos para sua representação já foram discutidos anteriormente (Cap. Para obtenção das medidas altimétricas. 143 . Nas medidas planimétricas. 2). Distância horizontal Diferença de nível Analática D = m . sua concepção será pautada em resolução com comentários teóricos desta solução. este foi dividido em duas etapas distintas: planimetria e altimetria. comentando-se as etapas para o cálculo planialtimétrico e construção da respectiva planta planialtimétrica. g . especificamente dos capítulos 2 e 3. calcule e desenhe a planta planialtimétrica (Figura 4. as operações topográficas de planialtimetria se facilitaram. Tabela 4. Muitos dos conceitos citados já foram de estudo do leitor. Considere a poligonal sendo da Classe V. executado pelas Estações Totais. cos2α sen (2 ⋅ α ) ⎤ ⎡ dn = ⎢ m ⋅ g ⋅ ⎥+i−l 2 ⎣ ⎦ O processo de Poligonação. Capítulo 4 . a NBR13.1).1: Croqui de área. bem como os ângulos horizontais entre os alinhamento têm suplantado o método taqueométrico em precisão e tempo de execução. 144 . onde são avaliados diretamente as distâncias horizontais e diferenças de nível. O exemplo simula uma caderneta estadimétrica. 3 – Exemplo de Cálculo Planialtimétrico A seguir é apresentado um exemplo de levantamento planialtimétrico.133 da ABNT. Com a característica de armazenamento e exportação das informações obtidas em campo para softwares específicos para este equipamento.1). Figura 4. contudo ainda deve-se obedecer os critérios de aceitação destes trabalhos através das normas vigentes. Para facilitar o cálculo de caderneta. a citar. razão pela qual faz-se algumas referências à itens anteriores. porém o cálculo é similar caso considerasse uma poligonação concebida por uma Estação Total. Ainda.1: Resumo das equações taqueométricas.Planialtimetria Um resumo das fórmulas taqueométricas pode ser revisado pela tabela abaixo (Tabela 4. Exemplo 1: Baseado na caderneta estadimétrica abaixo. 470 1.195 1.830 1.510 1.480 1.879 1.fundo .160 1.4o 58’ .510 1.198 1.510 1.932 1. direita cerca curral cerca curral 1.787 1.520 1.193 1.470 1.1o 05’ .470 1.716 1.216 2.678 1.000 1.490 1.912 1.490 1.284 1.2o 16’ .782 1.1o 14’ + 1o 12’ .00 m casa .510 1.0o 12’ + 0o 59’ + 2o 28’ + 1o 41’ + 1o 36’ + 1o 21’ .406 1.520 1.000 1.152 0.312 .510 1.000 0.490 1.0o 21’ .282 1.780 2.490 1.765 1.972 2.238 1.510 1. estrada l = 8.108 1.3o 11’ + 0o 51’ + 0o 53’ + 0o 07’ + 0o 05’ + 0o 44’ + 0o 14’ + 0o 07’ + 0o 18’ . direita 1.852 1.827 1.490 cerca curral cerca curral M.1o 04’ .232 1.073 1.470 Distância (m) Diferença de Nível (m) Observação M.369 1.139 0.510 1.000 1.200 0.678 1.0o 11’ . direita 1.490 1.214 1. A B C D E F G H Ponto Visado Ângulo horário B 1 2 3 C 4 5 6 D 7 8 9 10 E 11 12 13 14 F 15 16 17 18 19 G 20 21 22 23 H 24 25 26 27 28 A 180o 00’ 281o 30’ 271o 08’ 255o 34’ 243o 57’ 257o 45’ 280o 12’ 243o 40’ 186o 41’ 319o 20’ 273o 25’ 243o 57’ 187o 15’ 253o 02’ 316o 42’ 307o 28’ 253o 00’ 280o 06’ 237o 42’ 00o 00’ 307o 15’ 302o 28’ 269o 50’ 237o 42’ 252o 07’ 293o 10’ 294o 55’ 264o 00’ 290o 30’ 174o 35’ 269o 22’ 252o 33’ 202o 48’ 217o 40’ 174o 45’ 271o 54’ Azimute 8o 05’ FS Estadia FM FI Ângulo vertical Altura instr.153 1.203 1.520 M.698 1. dir.428 2.788 1.881 2.201 1.0o 30’ .825 1.321 0.490 1.490 2. (i) 1.470 1.0o 12’ .068 1.339 1.490 1.145 CADERNETA ESTADIMÉTRICA Est.162 1.008 0.839 1.882 0.772 1.912 1.141 1.510 M.651 1.780 1.510 1.930 1.12.128 1.480 1.490 1.818 1.776 1.520 1.168 1.500 145 .480 1.788 2.010 1.098 2.0o 42’ + 3o 39’ 1.520 1.282 1.0o 11’ + 0o 24’ + 0o 48’ + 1o 09’ + 2o 57’ .1o 24’ .520 1.887 1.510 1.510 1.490 1.0o 50’ .264 1.3o 25’ .788 1.689 1.0o 10’ .998 1.248 1.822 1.520 1.500 1.510 1.150 0.982 1.252 1.719 2.50 m casa 1. com correções de mente aferidas.Cálculo das cotas ou altitudes.133 .5. b) Cálculo da tolerância angular (segundo ABNT).Planialtimetria 1 . deve-se classificar o tipo da poligonal topográfica adotada.9 e 2.Interpolação das cotas dos pontos.Cálculo da área da poligonal-base. Medição Classe Angular Linear Extensão máxima (L) Leitura numa só posição Observações taqueométricas (vante e da luneta. providas de nível esVP 02 km (S) colimação.10 e extrair os valores para coeficientes “b” e “d”. 5 . têm-se as seguintes etapas: Primeiramente.ABNT Valores para definição das tolerâncias: Angular => b = 180” = 3’ (Tabela 2. 3 . a) Cálculo das distâncias (fórmula estadimétrica). c) Distribuição do erro angular.Cálculo de Azimutes. que relacionam com as precisões angulares e lineares respectivamente. 3. projetar para as tabelas 2. 2 – Altimetria – Nivelamento estadimétrico 1 .9). 4 .Planilha de Coordenadas 146 .Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas. (P) – Poligonal principal (S) – Poligonal secundária (A) – Auxiliar Desenvolvimento Lado Médio Mínimo (Dméd) (Dmin) 30 m Número máximo de vértices 90 m 41 (P) 21 (S) 12 (A) Materialização Pinos ou piquetes Fonte: NBR 13. considerando a tabela 2.Cálculo do Fechamento Angular a) Cálculo do fechamento angular.Planialtimetria Solução: Para cálculo da caderneta. 2 .Planilha de Coordenadas 1 .5: Levantamento Planimétrico – Poligonais.1 – Planimetria . 7 . 2 . 3 . horizontal e ré) em miras centimétricas previa05 km (P) vertical.Cálculo do Fechamento Linear.10) 1 – Planimetria .Cálculo das Coordenadas Absolutas. Desta.férico com leitura dos três fios ou e01 km (A) dice) com teodolito classe quivalente (teodolitos autoredutores) 1.Desenho final (curvas de nível). 2 .Cálculo das diferenças de nível (fórmula estadimétrica). Capítulo 4 . PZ (ou de ín. Linear => d = 2. A poligonal base utilizada neste exemplo é da classe V P.Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas. ou seja: Tabela 2. 6 .20 m (Tabela 2. → erro de 2’ por falta.Cálculo de Azimutes AZA-B = 8o 05’ 00”(Este é medido em campo. 2 .540o) AZB-C = (AZA-B + Ang.800o (ângulos externos) o 1. hor.180o = 72o 02’ 15” 147 .180o) ) (soma .540o) Resumo Se (soma < 180o) Se (540o > soma > 180o) Se (soma > 540o) ) (soma + 180o) ) (soma . tem-se: Tolerancia = 3'⋅ 8 = 8. b) Cálculo da tolerância angular Tolerancia = b ⋅ n Considerando: b = 3’ e n = 8.B-C) = 8o 05’ 00” + 243o 57’ 15” = = 252o 02’ 15” . sem possibilidade de alteração) Azimute calculado = (Azimute anterior + ângulo horário) ± 180o (ou .1 .485' ≅ 8' 29' ' Erro (2’) < Tolerância (8’ 29”) => Dentro da tolerância ! c) Cálculo da correção angular correção = Erro angular − 2' = = − 15 ' ' para cada lado Número de lados 8 Observe que a irradiação não sofreu correção.799 o 58' ≠ 1800 .Cálculo do Fechamento Angular a) Cálculo do erro de fechamento angular Baseado na seguinte fórmula: ∑ ângulos = 180 o ∑ ângulos = 180 o ⋅ ( n ± 2) ⋅ (8 + 2) = 180 o ⋅ 10 = 1. ......... D = m ...805 m 148 ...277 m yA-B = DA-B ....153) . 3 ............281o 30’ = 109o 34’ 45” ..180o = 8o 05’ 00” Irradiação: AZA-1 = (AZH-A + Ang......1...........716 ....: Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos......... 100 .....386 m DA-2 = (1.......930 .... Capítulo 4 ............ sen AZH-A = 37...010) . hor................. hor... sen 8o 05’ 00” = + 12...... sen AZA-B = 91....Planialtimetria AZC-D = (AZB-C + Ang........ e assim sucessivamente Demais resultados na caderneta de coordenadas. cos AzimuteA-B => (ordenada relativa) a) Cálculo das distâncias (estadimetria) DA-B = (1............. cos2α xA-B = DA-B ...............A-1) = 8o 04’ 45” + 281o 30’ = = 289o 34’ 45” ...896 m ......... AZA-B = (AZH-A + Ang...180o = 78o 43’ 30” ...... Demais resultados na caderneta de coordenadas.....780 .985 m DA-3 = (1.1..... xH-A = DH-A ............. cos2(............................... cos2(................. sen AzimuteA-B => (abcissa relativa) yA-B = DA-B ..A-B) = 8o 04’ 45” + 180o 00’ 15” = = 188o 05’ 00” ................. 100 .....0o 07’) = 63.787 . hor....3o 11’) = 91........600 m ...152) ........716 m DA-1 = (1........ cos2(......... Primeiramente o cálculo das distâncias e a seguir as coordenadas......547 ...716 ......0o 53’) = 61...1. 100 ......................................... xA-B = DA-B . cos2(.... cos AZA-B = 91...1.788 ..........Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas Obs.... sen 8o 04’ 45” = + 5..... g ..160) ... sendo o restante a cargo do leitor...0o 51’) = 63..... Os resultados constam da caderneta de cálculo.................. cos 8o 05’ 00” = + 90.. 100 .........C-D) = 72o 02’ 15” + 186o 41’ 15” = = 258o 43’ 30” .. .20 m e L = 0...Cálculo do Fechamento Linear a) Cálculo do erro linear E = ex 2 + ey 2 ex = ∑ x ( + ) + ∑ x ( − ) = + 0....042 m E= ( +0..766 10....094 m) < Tolerância (2...094 m b) Cálculo da tolerância linear T = d ⋅ L (km) Considerando d = 2..11 m Erro (0. cos AZA-1 = 63.......084)2 + ( −0........Dentro da tolerância ! c) Cálculo do erro relativo linear Er = El 0....721 m yA-1 = DA-1 ....174 m Irradiação: xA-1 = DA-1 .....042)2 = 0.547... sen AZA-1 = 63...91798 = 2..21..084 m ey = ∑ y ( + ) + ∑ y ( − ) = .11) ..0..000 ou seja...000 m.91798 (em quilômetros) tem-se: T = 2.Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas 149 ..094 1 1 = = ≅ L 917........20 ⋅ 0...... cos 109o 34’ 45”= ... 5 ...........386... sendo uma precisão muito boa para a maioria das aplicações de Agrimensura....... yH-A = DH-A ...... projeta um erro de aproximadamente 1 cm a cada 100...125 = 0..386..795.. cos 8o 04’ 45” = + 37..98 9.241 m 4 ...... cos AZH-A = 37.. sen 109o 34’ 45” = + 59. .. dist1-2 Deve-se observar que o sinal da correção deve ser contrário ao do erro...... dist H-A = + 4...... 37....008 m ...084 = −9......151 x 10 −5 917...575 x 10 −5 917......................... 91.........716 = + 0.. Processo 1 ........ distH-A = ........9.. Corr y H-A = fatory ........ dist A-B = + 4....0..575 x 10-5....151 x 10-5.547 = .. dist1-2..004 m ..Planialtimetria Será utilizado o processo de proporcional às distâncias...... Corr xA-B = fatorx ..547 = + 0... Corr xH-A = fatorx .... 37.... Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos. Os resultados constam da caderneta de cálculo...... fatorx = fatory = ex P ey P = − 0............... distA-B = ...........0.... Correção y1-2 = fatory .575 x 10-5 ...151 x 10-5 .......003 m Corr yA-B = fatory ...... Capítulo 4 .982 sendo P o perímetro em metros...........716 = .Cálculo das Coordenadas Absolutas 150 .. 91........ b) Cálculo da correção em x e em y Correção x1-2 = fatorx .... as coordenadas relativas ou parciais corrigidas serão dadas pela coordenadas relativas não corrigidas....982 = + 0..Proporcional às distâncias a) Cálculo dos fatores em x e em y..... sendo o restante a cargo do leitor.............. mais ou menos a correção 6 ..042 = + 4.......9.002 m Finalmente.. ...525 m2 = 5..807 = 962......136.....090...............000. O cálculo da área utilizou-se do método analítico pela Fórmula de Gauss (Cap......000 m YA = 1.. 7 ... XH = XG+ xG-H = 1.........................809 m B ......059........131..Para determinação das coordenadas absolutas........000..........2 – Altimetria – Nivelamento Estadimétrico a) Cálculo das diferenças de nível (estadimetria) 151 ......... tendo como resposta: Área = 53.. 2....000 .....814 = 994............000........000 + 12.......017 + 14.....000.. YH = YG+ yG-H = 948........721 = 1...727 YB = YA + yA-B = 1....759 m ..000 m XB = XA + xA-B = 1.012.....541 ..... 3.... adotou-se valores para as coordenadas X e Y iniciais (ponto A)...888 m B ....824 Irradiação: XA-1 = XA + xA-1 = 1.........1)......21........241 = 978....Cálculo da área da poligonal-base.809 = 1..3525 ha.000 + 90...888 = 1.......... XA = 1..... item 7.000 + 59......... Sugere-se que este valor seja comprovado pelo leitor......000..............721 m YA-1 = YA + yA-1 = 1..000............. a tolerância permitida para o erro no nivelamento será: T = 0.......2... No cap............101 m ⎡ sen 2 ⋅ ( −3o 11' ) ⎤ ⎢⎣ 2 dn A − B = ⎢(1. b) Cálculo do erro fechamento altimétrico e sua distribuição Como se trata de uma poligonal em “looping”........ com erro de +0....6. Capítulo 4 ...010) ⋅ 100 ⋅ ⎥⎦ ... Baseado na seguinte fórmula: sen ( 2 ⋅ α ) ⎤ ⎡ dn = ⎢ m ⋅ g ⋅ ⎥+i−l 2 ⎣ ⎦ ( ) ⎥ + 1.....30 ⋅ 0......1 (Tabela 3. k Para k igual a aproximadamente 918 m (0....918 km)...040 m ≠ 0 .930 − 1.30 m ..470 = − 5.. definiu-se as tolerâncias para o erro altimétrico no nivelamento taqueométrico...918 = 0.2): 152 . o erro é menor que a tolerância (erro < tolerância) devendo ser distribuído entre os pontos da poligonal.4)....... 3.. considerando a seguinte expressão: Tolerância = 0.... as somas de suas diferenças de nível entre os alinhamentos da poligonal principal devem ser iguais a zero.287 m Logo....040 m por excesso............ item 3.470 − 1... ∑ diferenca de nivel = 0 Logo.......Planialtimetria Será demonstrado apenas um cálculo e o restante dos resultados fica a cargo do leitor..... A distribuição deste erro será dada pela divisão do erro pelo número de estações da poligonal (Tabela 4........... tem-se: ∑ diferenca de nivel = +0.. somando os resultados da tabela 4.......... ..610 1.000...440 + 2. e a cota do marco inicial..616 + 3.............0.040 ..0.395 + 0....894 995. para que a partir desta o levantamento esteja referenciado.005 .005 .....005 .. Est..080 m ...894 + 0.....000.000 994.301 .080 995...055 997....0.......0..005 .1016 = 994......000 .....0..186 = 995.......0....000 Cotas (m) 1.000 153 . A B C D E F G H Ponto visado A B C D E F G H A Soma Diferença de nível (m) Correção (m) Diferença de nível compensada (m) ......754 998..894 m Cota C = Cota B ± ΔNB-C = 994.005 .005m número de estações do nível 8 c) Cálculo das cotas Baseado nas diferenças de nível compensadas....005 .2......5.0....000.445 + 2.101 + 0.390 0.Corr = erro admissível − 0.040 = = −0..5......106 + 0.. Cota B = Cota A ± ΔNA-B = 1....306 ...621 + 3...000..005 .040 .....033 ..038 .696 998.0..2..2: Altimetria – Exemplo..2): Cota A = 1..975 + 2.191 + 0..5..0. Tabela 4..... no caso do ponto A..970 + 2.186 + 0....000 m (arbitrada) Esta coordenada (cota ou altitude) deve ser conhecida em algum ponto da poligonal... os cálculos das cotas serão obtidos por (Tabela 4......0.. As irradiações serão dadas por: Cota 1 = Cota A ± ΔNA-1 Cota 2 = Cota A ± ΔNA-2 .........0.729 995..005 ... Planialtimetria Finalmente a planialtimetria se consagra com a junção dos dados planimétricos e altimétricos numa mesma representação. Capítulo 4 .3 .2). A forma de representação planialtimétrica mais comum é a planta topográfica com curvas de nível. Para construção desta planta com curvas de nível lança-se mão de conceitos do desenho topográfico (Figura 4. Figura 4.3: Planta em perspectiva do terreno.Planialtimetria 3. Figura 4. em perspectiva. aonde podem ser observados elementos planimétricos e conformações do relevo do terreno. 154 .2: Planta planialtimétrica do terreno.3 tem-se o modelo digital deste terreno. Na figura 4. 994 + 53.624 .277.998 + 42.34.060 + 5.020.185 + 63.012.000 1.358 .19.625 .564 1.077.358 .54.20.154.21.390 28.185.967 1.41.155 PLANILHA DE COORDENADAS Est.325 121.021 1.026.795 40.185 1.222 + 52.384 1.166.002.781 .011 .625 .981 1.81.116 .88.400 1.19.541 1.585 1.705 .620 954.358 + 93.186 + 63.127.036 56.063.727 1.320 .059.888 + 59.516 82.621 .303.034 + 68.833 54.32.924 + 7.237 + 23.012 .801 + 47.023 .259.007.007 + 0.41.988 + 53.896 + 59.139.296 42.171 948.058 1.998 + 42.45.24.110 1.776 .185 + 63.420 1.814 + 14.45.415 1.65.41.221.034 + 68.468 + 116.593 1.351 .126.222 + 52.sen AZ y = D .9.21.147 + 12.000.200 39.004 + 37.174.603 + 6.716 63.004 + 0.622 .356 1.189 .451 + 52.131.78.57.807 + 72.17.28.023 1.209 + 125.399 63.039 1.0.155.320 .076.254.57.002 Coordenadas Parciais Corrigidas (m) x y + 12.874 101.297 .359 1.390 55.721 + 61.888 1.34.187.576 .938 995.36.090.759 990.189 62. A B C D E F G H Ponto Visado B 1 2 3 C 4 5 6 D 7 8 9 10 E 11 12 13 14 F 15 16 17 18 19 G 20 21 22 23 H 24 25 26 27 28 A Ângulo horário Lido Corr.017 974.005 + 0.011 .451 + 52.200 118.585 + 4.545 959.175 1.548 1.065.481 1. Corrigido 180o 00’ 281o 30’ 271o 08’ 255o 34’ 243o 57’ 257o 45’ 280o 12’ 243o 40’ 186o 41’ 319o 20’ 273o 25’ 243o 57’ 187o 15’ 253o 02’ 316o 42’ 307o 28’ 253o 00’ 280o 06’ 237o 42’ 00o 00’ 307o 15’ 302o 28’ 269o 50’ 237o 42’ 252o 07’ 293o 10’ 294o 55’ 264o 00’ 290o 30’ 174o 35’ 269o 22’ 252o 33’ 202o 48’ 217o 40’ 174o 45’ 271o 54’ + 15” + 15” + 15” + 15” + 15” + 15” + 15” + 15” 180o 00’ 15” 281o 30’ 271o 08’ 255o 34’ 243o 57’ 15” 257o 45’ 280o 12’ 243o 40’ 186o 41’ 15” 319o 20’ 273o 25’ 243o 57’ 187o 15’ 253o 02’ 15” 316o 42’ 307o 28’ 253o 00’ 280o 06’ 237o 42’ 15” 00o 00’ 307o 15’ 302o 28’ 269o 50’ 237o 42’ 252o 07’ 15” 293o 10’ 294o 55’ 264o 00’ 290o 30’ 174o 35’ 15” 269o 22’ 252o 33’ 202o 48’ 217o 40’ 174o 45’ 271o 54’ 15” Azimutes 8o 05’ 00” 109o 34’ 45” 99o 12’ 45” 83o 38’ 45” 72o 02’ 15” 85o 50’ 00” 108o 17’ 00” 71o 45’ 00” 78o 43’ 30” 211o 22’ 15” 165o 27’ 15” 135o 59’ 15” 79o 17’ 15” 151o 45’ 45” 215o 25’ 30” 206o 11’ 30” 151o 43’ 30” 178o 49’ 30” 209o 28’ 00” 331o 45’ 45” 279o 00’ 45” 274o 13’ 45” 241o 35’ 45” 209o 27’ 45” 281o 35’ 15” 322o 38’ 00” 324o 23’ 00” 293o 28’ 00” 319o 58’ 00” 276o 10’ 30” 10o 57’ 15” 354o 08’ 15” 304o 23’ 15” 319o 15’ 15” 276o 20’ 15” 8o 04’ 45” Dist.205.0.806 .586 57.013 .0.769 .002 994.923 1.66.908 + 4.33.190 1.027 + 27.810 .209 + 125.626 921.78.63.204.442 + 23.952 .117.653 + 26.448 1.120 + 51.060 1.360 67.173 .468 + 116.000 155 .24.680 1.600 131.352 1.006 + 0.25.799 51.381 1.209 1.0.013 .46.54.131.355 .41.108.778 1.004 + 0.653 + 26.614 + 17.66.089 1.193 .527 53.116 .36.608 .28.138.114.522 + 38.809 978.590 1.355 .263 .576 .061.102.980 + 7.547 Coordenadas Parciais (m) Correções (m) x = D .241.529 1.006 + 0.599 74.792 .194 .46.322.342 1.011 .241 .221.603 + 6.031.097.975 + 19.0.008 .004 + 37.979 121.391 1.705 .980 + 7.274.800 134.194 .908 + 4.147 + 12.532 137.792 + 70.721 + 61.944 + 82.174 + 63.382 .241 . (m) 91.969 1.136.189 .810 .32.108.255.014.553 1.967 .174 .076 1.173 .985 63.600 63.392 37.000.073.699 + 1.59.076 962.65.065.59.096.944 + 82.921 + 47.062 1.095.027 + 27.967 .0.277 + 90.cos AZ Cx Cy + 12.522 + 38.807 + 47.599 73.297.006 + 0.20.083.096 1.237 + 23.442 + 23.597 39.0.59.351 .073.606 .046 1.188 .88.647 1.105.116 + 15.23.039.012 .599 67.809 .23.011 .824 1.059 1.273 + 90.81.006 + 0.824 1.000.053 + 14.039 + 40.5.624 .382 .330 .117.136.386 61.817 1.473 1.468 1.469 992.975 + 19.0.382 41.792 + 70.131.308 .131.952 .358 + 93.732 1.721 1.127.145.116 + 15.805 .699 + 1.801 + 14.967 1.17.801 + 72.33.090.039 + 40.105.512 96.263 .053 + 14.120 + 51.367 1.9.530 1.606 .25.806 .036 .591 + 4.023 .180.133 963.263.330 .796 52.622 .003.598 84.036 .060 + 5.780 145.622 .924 + 7.176 Coordenadas Totais (m) X Y 1.5.614 + 17.59.63.634 .278 1.931 1.921 + 47.971 1. Cap. 4 ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 156 .Planialtimetria Observações e anotações . Capítulo 4 . ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 157 . Capítulo 4 .Planialtimetria ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 158 . agências americanas (Departamento de Defesa. Com as exigências do DNSS. O objetivo deste grupo era investigar a viabilidade de sistemas de satélites para comunicação. e o sistema acusa uma rápida expansão. Desde então.Introdução e Histórico Importante: Este capítulo foi baseado no capítulo “GPS: Global Positioning System. viu-se a possibilidade de posicionamento cada vez mais rápido e preciso. Com o advento da era espacial. Departamento de Transportes e a Administração Federal da Aeronáutica) criaram o DNSS (Defense Navigation Satellite System). editado em 1995 pela Universidade Federal de Santa Catarina.200 Km e estações receptoras móveis. do livro “Topografia Contemporânea” de Loch & Cordini. O sistema consiste basicamente de um conjunto de estações fixas espalhadas na superfície da terra (estações de controle). rapidez. etc.1 . Aspectos Básicos”. uma constelação de satélites artificiais em órbita a cerca de 20. a Marinha Americana e a Força Aérea formularam dois projetos: # TIMATION (Marinha). Trabalhos tanto de Geodésia quanto Topografia vem se valendo desta possibilidade. lançado pela antiga União Soviética em 1957. 159 . este se inicia com o SPUTINIK I. NASA. A partir de 1973 foi implantado o projeto NAVSTAR-GPS ou simplesmente GPS: Global Positioning System. foi batizado de NNSS (Navy Navigation Satellite System). Departamento de Comércio. Num breve histórico da utilização de satélites de posicionamento. tem-se o Programa TRANSIT. Porém para evitar uma proliferação de sistemas paralelos. A seguir. desenvolvido pela Marinha Americana e operando com 3 satélites (1964). que se baseiam no rastreamento de satélites. Pode-se citar alguns benefícios advindos desta técnica de posicionamento como: precisão compatível. independência das condições atmosféricas. Em 1967 se tornou disponível à comunidade civil. transferência precisa de tempo e controle de tráfego aéreo. em Colorado Springs. Sua função é gerar e transmitir os sinais GPS: códigos. Ascension Island. c) Segmento dos usuários 160 .1). em 1973. emitida à freqüência de: Código C/A = f0/10 = 1.227. Seu objetivo é monitorar a “saúde” (condições) dos Figura 5.60 MHz Os códigos são modulados em fase com a onda portadora.1: Segmento de controle.42 MHz e L2 = 120 .Segmentos do Sistema e o Projeto NAVSTAR-GPS De maneira geral. f0 = 1. Kwajlein e Hawaii. # Segmento dos usuários. a) Segmento espacial É composto por 21 satélites em operação. Da União deste dois projetos.Aspectos Básicos # SYSTEM 621-B (Força Aérea). satélites.Sistema de Posicionamento por Satélites . Capítulo 5 . # Segmento de controle. Os sinais são derivados da freqüência fundamental f0 = 10. com a seguinte estrutura (ondas portadoras): L1 = 154 .023 MHz Código P = f0 = 10. f0 = 1.23 MHz. o sistema NAVSTAR-GPS subdivide-se em três segmentos: # Segmento espacial. portadoras e mensagens de navegação. e uma estação de controle (“master”) em Consolidated Space Operations Center (CSOC).Global Positioning System.23 MHz b) Segmento de controle Consistem de estações monitoras localizadas em Diego Garcia.575. com mais 3 de reserva (24 satélites). 2 . originou o NAVSTAR-GPS: NAVigation System with Time and Ranging . determinar suas órbitas (efemérides) e as correções aos relógios dos satélites (Figura 5. Consistem de todos os usuários militares e civis.42 MHz e L2 = 1227. d) Base para o estabelecimento de um referencial global. NAVSTAR-GPS.792.2: Segmento dos usuários.000 Km * Órbita circular * Inclinação dos planos orbitais: 630 * Período de revolução : 12 horas * Relógios atômicos a bordo dos satélites com estabilidade de 10-13 do segundo * Portadoras de radiofrequência de 1. além das mensagens transmitidas pelos satélites (Figura 5.2 e 1. c) Disponibilidade contínua de dados para navegação. e) Cobertura global e regional.183 Km * Órbita quase circular * Inclinação dos planos orbitais em relação ao equador : 540 44’ * Período de revolução : 12 horas siderais * Relógios atômicos a bordo dos satélites com estabilidade de 10-13 do segundo * Portadoras de radiofrequência: L1 = 1575.Princípios de Observação e Técnicas de Posicionamento GPS 161 .1: Configuração Original do Tabela 5.6 GHz * Potência: 450 Watts * Constelação de 24 satélites * 06 planos orbitais com 4 satélites cada * Altitude nominal da órbita: 20.2 m/s) e do tempo. b) Exata definição da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas (c = 299.60 MHz * Potência: 450 Watts 3 satélites de reserva 3 . Receptores apropriados rastreiam os códigos ou as fases das portadoras (ou ambos).2). Nas tabelas a seguir (Tabela 5. * Constelação de 24 satélites * 03 planos orbitais com 8 satélites cada * Altitude da órbita: 20. f) Potencial generalizado de navegação para minimizar a proliferação de sistemas para fins especiais ou de cobertura regional. pode-se citar: a) Precisão de posicionamento na ordem de centímetro.2: Configuração em 1990 do NAVSTAR-GPS. Tabela 5. Com relação às necessidades propostas pelo DNSS.1 e 5.2) tem-se a configuração original e atual do sistema GPS.458 m/s ± 1. Figura 5. consistem em dois tipos de informações: # Medição de fase codificada. COR . Logo.DTU . # Medição de fase da portadora. Logo. ou seja. Acompanhe a seguir este princípio: Um conjunto de observações sobre os satélites. As variáveis de observação.Correção.Estado do relógio do satélite.Aspectos Básicos O princípio básico para a determinação de pontos sobre a superfície terrestre (posicionamento) a partir de observações GPS trata-se de um procedimento de medição de distância na qual. num dado instante.DTS + ION + TROP sendo XS.Sistema de Posicionamento por Satélites . partindo-se de coordenadas conhecidas dos 4 satélites.Correção devido à refração ionosférica.3): Ri = [(XS .YR)2 + (ZS .Correção devido à refração troposférica.ZR)2]1/2 + COR onde COR = c. ao mesmo tempo. tendo 4 equações R’s. YR. DTU .Estado do relógio do receptor. c .c. os dados a serem avaliados pelo receptor. DTS . a 3 incógnitas XR. resulta num conjunto de 4 equações do tipo (Figura 5. são medidas as distâncias entre a estação de recepção e 4 satélites artificiais.Velocidade de propagação da luz no vácuo. ION .XR)2 + (YS . YR. ZR. ZR = Coordenadas tridimensionais do receptor (inicialmente são consideradas incógnitas). Capítulo 5 . em cada estação. XR. TROP . ZS = Coordenadas tridimensionais do satélite (conhecidas através de suas efemérides). 162 . calculam-se as coordenadas da estação. certamente o sistema estará resolvido. YS. Sua precisão é da ordem de metros (Figura 5.4). multiplicado pela velocidade de propagação desta onda.3: Princípio de observação. A ambigüidade é o número total de comprimentos de onda completos (ciclos) que o sinal apresenta ao ser captado pelo receptor no início do período de rastreamento. a) Medição de fase codificada A fase codificada (C/A e P) permite a determinação indireta da distância a partir da medida direta do intervalo de tempo de propagação da onda entre o satélite e o receptor.4: Fase codificada. b) Medição de fase da portadora A fase da portadora (L1 e L2 => comprimento em torno de 20 cm) permite a determinação indireta da distância análoga àquelas obtidas a partir dos códigos. obtêm uma melhor precisão no posicionamento. surgindo uma incógnita adicional na observação da distância. denominada ambigüidade. Nas aplicações deste método. mede-se a diferença de fase entre o sinal que chega do satélite e o sinal gerado pelo oscilador. Existem diversas técnicas de determinação da ambigüidade. Porém neste caso. Entre as aplicações deste método pode-se citar o posicio- Figura 5. namento em tempo real de um móvel. 163 .Figura 5. Sistema de Posicionamento por Satélites . Este posicionamento adota modelos matemáticos que promovem a diferença de observações.Observações no Modo Relativo ou Diferencial Para otimizar a medição de fase da onda codificada e da portadora. No caso de observações da fase da onda portadora (L1 e L2). Geralmente uma destas estações possui as coordenadas do receptor conhecidas. podem ser tratadas adotando-se o procedimento do posicionamento relativo ou diferencial. Capítulo 5 . Os principais erros a serem eliminados são: a) Erros de órbita (gira em torno de 10 a 30 m) . muito utilizado em navegação. b) Ionosfera .6): 164 . etc.). as observações são combinadas linearmente. e por diferença entre estas coordenadas conhecidas e as calculadas. refração troposférica e refração ionosférica. procura-se minimizar ou até mesmo eliminar alguns erros ou perturbações (erro de órbita do satélite. Tanto as observações de código (C/A e P). c) Troposfera . Desta forma aplica-se o posicionamento relativo. No caso de observações de código (C/A e P). quanto à da fase das portadoras (L1 e L2). a sua influência é muito pequena. são calculadas correções à serem inseridas na segunda estação.5: Posicionamento relativo ou diferencial.1 .Pode ser modelada .Devido à alta freqüência da onda portadora. Para distâncias superiores a 50 Km devem ser consideradas.2 a 3 cm.5).A influência deste erro sobre estações vizinhas é facilmente eliminada quando se faz o uso de diferenças de observações. utilizando-se no mínimo duas Figura 5. a técnica associada denomina-se DGPS-Differential GPS. originando-se as seguintes equações de observação (Figura 5.Aspectos Básicos 3. estações que conduzem observações simultâneas aos mesmos satélites (Figura 5. para aplicações geodésicas e topográficas. Com relação às técnicas de posicionamento. # Utilizar receptor e programa de cálculo apropriado. Figura 5. este necessita adotar algumas técnicas para seu posicionamento através de satélites.6: Método diferencial utilizando as ondas portadoras. As técnicas de posicionamento topográfico e geodésico mais amplamente utilizadas segundo as Especificações e Normas do IBGE são: a) Posicionamento estático 165 .1) Simples diferença de fase . # Realizar observações no modelo relativo ou diferencial (mínimo de dois aparelhos). 3) Tripla diferença de fase . 2) Dupla diferença de fase .Quando se diferenciam as observações de fase de duas estações em relação ao mesmo satélite (cancelar os erros dos relógios dos satélites).Quando se diferenciam as diferenças simples em relação a dois satélites (cancelar os erros dos relógios dos satélites e do receptor). os procedimentos devem possibilitar algumas condições favoráveis como: # Utilizar a medição de fase da onda portadora. Após ter visto as grandezas que podem ser avaliadas pelo usuário.Quando se diferenciam as duplas diferenças em relação ao tempo (cancelar os erros dos relógios dos satélites e do receptor e as ambigüidades). Informações Básicas para Utilização do Sistema 166 . # Anti-spoofing (AS): técnica de criptografia do código P. o SA não constitui grandes problemas. e) Solução de ambigüidades em tempo real Equivale ao estático-rápido.SA): técnica de degradação deliberada da estabilidade dos relógios dos satélites e da mensagem por eles transmitida (bloco II). As técnicas de posicionamento relativo revestem-se de grande importância quando considera a implantação da degradação da qualidade proporcionada pelo sistema.Aspectos Básicos Dois ou mais receptores fixos observam os mesmos satélites durante uma hora ou mais . 4 . Capítulo 5 . d) Posicionamento estático-rápido Corresponde ao pseudocinemático sem a necessidade de re-ocupação das estações. Devido ao fato do GPS ter sido desenvolvido principalmente por razões militares. Os sinais devem ser continuamente rastreados para evitar perdas de sinais a fim que se determine a ambigüidade. dando origem ao código Y (implementado). com receptor itinerante se movendo continuamente. que tem como objetivo minimizar os erros associados aos relógios. Para o posicionamento relativo. o Departamento de Defesa dos EUA projetou as seguintes técnicas de imprecisão ao sistema: # Disponibilidade Seletiva (Selective Availability .Sistema de Posicionamento por Satélites . Os métodos das alíneas “d” e “e” adotam soluções de cálculos que utilizam simultaneamente os quatro tipos de observação proporcionados pelo sistema: fases da portadora (L1 e L2) e os códigos (C/A e P). b) Posicionamento cinemático contínuo ou semicinemático (stop-and-go) Um receptor é mantido fixo enquanto outro(s) é (são) móvel. c) Posicionamento pseudocinemático ou pseudo-estático Um receptor é mantido fixo enquanto outro(s) ocupa(m) a(s) mesma(s) estação(ções) mais de uma vez. a maioria dos receptores utiliza o código C/A ou possuem alternativas para o caso do código P ser criptografado. Portanto a degradação do sinal representa um problema para usuários que buscam posicionamento isolado. No caso da técnica AS.Precisão de 1 a 2 ppm. o que prejudica a maioria das aplicações tradicionais em tempo real. enquanto as altitudes geodésicas são referidas ao geóide (nível médio dos mares).Para que se utilize o sistema GPS. 5 . Estes parâmetros são fornecidos pelo IBGE através de sua publicação “Especificações e Normas Gerais para Levantamentos GPS”. Isto acarreta a transformação dos resultados para o sistema SAD-69 (South American Datum) SAD-69 WGS-84 adotado no Brasil. b) Inexistência de obstáculos acima de 20o. c) Estações próximas uma das outras (± 20 Km) para o método diferencial. algumas observações devem ser consideradas: a) Disponibilidade de satélites em quantidade suficiente (“janelas”) (pode ser determinado através de programas). a altitude GPS (elipsoidal) deve sofrer uma transformação do elipsóide para o geóide.WGS 84). discutiu-se a possibilidade de nivelamento pelo sistema GPS. No cap. isto é. c) Evitar proximidades de redes de alta tensão. como o publicado pelo IBGE para o Brasil. pode-se usar de mapas geoidais. tanto das efemérides transmitidas quanto das precisas. d) Evitar proximidades de objetos que possam refletir as ondas (multicaminhos). d) Satélites “saudáveis”. item 3. Com relação às altitudes obtidas pelo GPS.6. b) Rastreamento simultâneo de pelo menos quatro satélites.3. Dependendo da aplicação.Transformação de Referenciais Geodésicos O sistema geodésico adotado como referência. 3. em plenas condições de operação. Assim. 167 . Quanto ao local recomenda-se: a) Boas condições de acesso. f) Condições locais. alguns pontos devem estar claros. é o World Geodetic System 1984 (WGS 84). e) Atenção com altitude elipsoidal x altitude ortométrica. pois as altitudes no sistema GPS são referenciadas a um elipsóide (modelo matemático adotado para forma da terra . pode atingir de 1 a 2 cm.Precisão e Classificação dos Levantamentos GPS A precisão no levantamento está relacionada com os seguintes fatores: método de levantamento. torna obrigatório o emprego do Mapa Geoidal do Brasil. # Dois aparelhos e método diferencial . Capítulo 5 .7: Alguns modelos de receptores GPS.3: Mercado de receptores GPS – Referência ano 2000 168 . Outro fator importante é o número de satélites que podem ser rastreados simultaneamente (Figura 5. 7 .Aspectos Básicos Como dito no item anterior. Para algumas aplicações. com sua precisão e preço (dados de 1998).alguns centímetros. tipo (número de máximo de satélites.C. Figura 5. Tabela 5. para a obtenção das altitudes referidas ao geóide e ao datum Imbituba-S.Sistema de Posicionamento por Satélites .3) se pode observar alguns modelos encontrados no mercado de receptores GPS.4). Na tabela (Tabela 5.Instrumento Receptor Do ponto de vista da precisão é importante o receptor ser capaz de medir a fase da portadora. deve-se ressaltar que GPS fornece resultados de altitude elipsoidal (WGS 84).7). obtêm-se coordenadas com precisão entre 20 a 30 m (modo absoluto). # Com um único receptor. # Ocupando vários pontos conhecidos e a determinar . sinais rastreados) e quantidade de receptores (Tabela 5. geometria dos satélites. de preferência nas duas freqüências (L1 e L2). 6 . ).A) Com relação à classificação destes levantamentos. 20 m 3m 3a5m 1m 2 ppm Precisão (com S.D. P ou Y Tabela 5.7 < 5m <5 m < 1m 0.3 0.8 0.4 0.000 1 ppm 3.7 0.Aplicação Fabricante Modelo Lev.000 30.D. segundo o IBGE (Especificações e Normas Gerais .640 1 ppm 1 ppm 6. 3a5m 1m 2 ppm 1 ppm 2 ppm 1 ppm 2 ppm 1 ppm 1 ppm 2 ppm 1 ppm 2 ppm 1 ppm 1 ppm 1 ppm Portadoras L1 e L2 0.300 55.000 Sinais rastreados Precisão L1 C/A Código 100 m L1 C/A Código L1 C/A Código e Portadora L1 C/A Código e Portadora L1 C/A Código e Portadora L2Squaring L1 C/A Código e Portadora L2.1 ppm Portadoras L1 e L2 0. Técnica Ponto isolado DGPS Ponto Isolado acumulado Diferencial com código acumulado Interferometria (Estático) Interferometria (Cinemático) Interferometria (Pseudo-cinemático) Estático-rápido e solução de ambigüidades em tempo real.7 18.2 45.4 1.000 22.1 44. Topográfico Navegação Diferencial Trimble Ensign GPS-45 Traiblazer Geoexplorer Pathfinder Pro-XL GPS-45 4000 RS 4000 DS SRVY II Fild Pro-V Pro Mark V Navegação Diferencial de Precisão Geodésico Estático Bases Curtas Cinemático Geodésico Estático Bases Longas Cinemático Geodésico Estático Cinemático Rápido Estático Geodésico Dinâmico (on-the-fly) Garmin Trimble Garmin Magelan Trimble Ashtech Topcon Trimble Ashtech Topcon Trimble Ashtech Topcon 4000 SE Land Surveyor Dimension GP-R1 4000 SSE Land Surveyor MDX II GP-R1D 4000 SSE Geodetic Surveyor Z-12 GP-R1DY No Máximo de Satélites 8 8 12 8 8/12 8 9 8 5 8 12 12 9 12 12 9 12 12 Trimble 4000 SSE Site Surveyor 9 Ashtech Z-12 12 2 a 5m < 1m < 1m < 0.D.A) 120 m 120 m 1 a 10 m N.000 12.1 ppm 0.200 1 a 2 ppm 1 a 2 ppm 6.4 0.302 1.0 4.D.500 3.1993).200 1. Portadoras.580 16.A.760 6.000 2 ppm 2. pode-se identificar três categorias de levantamentos GPS: 169 .500 10 cm 6.740 1.0 4.3 < 1m 2.5m 5 a 10m Peso (Kg) 0.000 1 ppm 3.4 0.000 40.600 1 a 2 ppm 1 a 2 ppm 2.200 37.0 45.01 ppm 0.1 46.01 ppm Portadoras L1 e L2 Portadora L1 Portadoras L1 e L2 Portadora L1 Portadoras L1 e L2 Portadoras e código P em L1 e L2 (sem S.0 25. N.8 15.000 1 ppm 3. N. P ou Y L1 C/A Código e Portadora L2. código C/A em L1 e correlação cruzada do código P (com S. Expedito Navegação Autônomo Trimble Garmin Magelan Lev.200 29. Relaxação Orbital Integração Orbital Aplicações Observação Navegação Reconhecimento Navegação Engenharia Topografia Engenharia Topografia Engenharia Geodésia (bases curtas) Geodésia Geodésia (bases curtas) Código C/A (Pseudo-distância) Código P (Pseudo-distância) Código C/A (Pseudo-distância) Código P (Pseudo-distância) Código C/A (Pseudo-distância) Código P (Pseudo-distância) Código C/A (Pseudo-distância) Código P (Pseudo-distância) Portadora L1 Geodésia Geodésia Geodésia (fins científicos) Geodinâmica Precisão (sem S.85 Preço (R$) 1.1 37.) 30 m 20 m 1 a 10 m N.A.4: Técnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Precisão – Referência ano 2000.7 3. iatismo. batimetria). gradiometria e gravimetria.Essencialmente científico (0. e) A bordo de aeronaves (fotogrametria. radar altimétrico. c) Transporte e comunicação (navegação. gravimetria. Capítulo 5 .1 ppm).implantação de redes primárias (0.implantação de redes secundárias (1 ppm).).). etc. pode-se citar: a) Levantamentos Geodésicos Locais . etc. etc. d) Aplicações marítimas (ancoradouros.01 ppm).). controle de redes. levantamento hidrográfico.Aplicações do Sistema GPS Entre as várias aplicações.Sistema de Posicionamento por Satélites .). Densificação do SGB (Sistema Geodésico Brasileiro). etc.).Aspectos Básicos a) Geodinâmico Global e Regional .Trata-se da utilização do sistema em medições geodésicas de curta distância (topografia. 8 . etc. c) Sistemas Geodésicos Nacionais . b) Sistemas Geodésicos Nacionais . cadastro. g) Aplicações de lazer (montanhismo. etc. monitoramento de frotas. Pode-se citar os trabalhos ligados ao controle e monitoramento das estações da RBMC (Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo). b) Aplicações terrestres (monitoramento de deformações. 170 . f) Aplicações espaciais (imageamento.). geodinâmica. 5 ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 171 .Cap.Observações e anotações . Aspectos Básicos ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 172 . Capítulo 5 .Sistema de Posicionamento por Satélites . 000 a 1/25. podendo recobrir uma extensa área a ser mapeada. esta pode ser dividida em fotogrametria terrestre.Fotointerpretação florestal.Análise e interpretação geológica.000 . projetos urbanísticos. Sua utilização tem inúmeras aplicações. podendo citar o auxílio a projetos de estradas.Projetos de irrigação. projeto de estradas. relativo a seus objetivos: # 1/500 . Para estudo da fotogrametria.000 . Admi- Figura 6.000 a 1/2. reflorestamentos.1 . reconhecimento de áreas de risco. # > 1/100. devido ao movimento da aeronave. Com relação à fotografia aérea. # 1/1. e fotogrametria aérea ou aerofotogrametria. dimensionamento de bacias hidrográficas. etc.000 . # 1/10. # 1/5. se as fotografias forem tomadas de pontos de vista no espaço. quando as fotos são tiradas de câmaras estacionadas em pontos do terreno.000 . localização e dimensionamento de jazidas.Cadastro urbano e rural. urbanismo. cadastro urbano e rural.1: Escala da fotografia aérea. Abaixo são citadas algumas escalas mais comumente adotadas nas fotografias aéreas. A grande vantagem no processo fotogramétrico é sua rapidez no levantamento. porém ocorrem de ser inclinadas (eixo inclinado).Estudo de bacias para aproveitamento hidrelétrico. 173 .Definições e Generalidades A fotogrametria tem por finalidade a determinação da forma e dimensões de objetos por meio de medidas obtidas em fotografias aéreas ou terrestres. projetos de estradas. estas devem ser verticais (eixo da câmara vertical). ausência de distorção e iluminação uniforme da imagem. # O altímetro não avalia com precisão as altitudes. 2 .1): E foto = 1 Mf = f H = l L Porém na prática. ângulo normal. “H” a altura média de vôo e “f” a distância focal da câmara.Aspectos Básicos tindo um plano horizontal na chapa. Em função de sua distância angular (ângulo de abertura).2: Câmaras terrestre e aérea. ocorrem altitudes diferentes nos vários pontos levantados. as câmaras áreas podem possuir ângulo estreito. e) Relógio contador de fotografias. 2.Fotogrametria .Câmaras Aéreas Digitais 174 . algumas características são importantes como: a) Objetiva de alto rendimento. e sim uma diversidade de escalas pois: # O relevo do terreno não é constante. para eliminação do arrastamento da imagem. # Em condições de vôo é impossível a tomada de fotos perfeitamente verticais. ou seja. seja “l” o lado da foto. f) Possuir altímetro de boa precisão. c) Dispositivo de sustentação (correções. ângulo intermediário. # A fotografia aérea possui uma projeção cônica. “L” o lado do terreno. tem-se (Figura 6. Figura 6. Capítulo 6 . é impossível ocorrer uma única escala. quanto ao seu poder de separação. b) Obturador com tempo de exposição de alta velocidade.Câmaras Aéreas Com relação às câmaras aéreas e terrestres. variando conseqüentemente sua distância focal. grande angular e supergrande angular. d) Dispositivo de orientação da câmara. com indicação do número da objetiva e da distância focal da câmara. vibrações).1 . Calcule a escala da foto e confirme a área levantada.88m 2 Exemplo 2: Considerando o exemplo anterior.000 b) Área levantada f H = l L ∴ 0. tanto em mapeamento quanto em curta distância. no sentido de que a informação é toda ela tratada numericamente.085 1000 . 1997. # Não é necessário digitalizar a fotografia em scanner. No Sensoriamento Remoto. com uma câmara de ângulo normal com 210 mm de distância focal.23m 1.705. Isto ocorre porque os sensores digitais recentemente disponibilizados. Solução: a) Escala da foto E foto = f H ∴ 0.20 Km2. ≈ 1 12. tem sido empregada em aplicações de Visão de Máquina. gerando produtos multiespectrais. o imageamento eletrônico vem sendo usado desde seus primórdios em sensores orbitais.32km 2 ∴ L = 2. a tecnologia de imageamento digital com câmaras digitais. Calcule a escala da foto e confirme a área levantada. a captura das imagens em Aerofotogrametria continua sendo feita com filmes e depois digitalizada em scanners fotogramétricos. ainda apresentam custo muito alto. uma câmara supergrande angular de distância focal igual a 85 mm. Apesar destes problemas as vantagens das câmaras digitais justificam a substituição gradativa das câmaras convencionais: # É possível reaproveitar a mídia de gravação inúmeras vezes e as imagens podem ser melhoradas já durante o vôo.085m = 0. percebe-se que recobre 1. Além disto. A maioria das aplicações atuais de Fotogrametria.000 m. Solução: a) Escala da foto 175 . tomando fotos com dimensões de 23 cm x 23 cm.32 Km2. Exemplo 1: Sobrevoando uma região com altura média de 1.Segundo TOMMASELLI. são digitais. Fotogrametria à Curta Distância e em algumas aplicações aéreas.000m L Área = L2 ≅ 7. Entretanto. recobre uma área de 7. que equivalem em resolução à uma câmara fotogramétrica. a massa de dados a ser armazenada em tempo real é muito grande e o seu gerenciamento é bastante complexo. 3). Uma restrição à câmara grande-angular seria a obstrução de elementos atrás de árvores. (distorções provocadas pela projeção cônica).24 m 2 H L 1. porém a área fotografada será menor na foto do exemplo 2. pode-se relacionar alguns ângulos de abertura com suas escalas: # Câmaras normais . Capítulo 6 . etc. Figura 6.095. 3 . edifícios.000 b) Área levantada f l 0.Aspectos Básicos E foto = f H ∴ 0. # Câmaras grande-angular .médias e pequenas escalas. com mais detalhes do terreno (Figura 6. pode-se concluir que o aumento da distância focal implica em um aumento da escala (para mesma altura e tamanho da foto).210 m 0.pequenas escalas. ≈ 1 5. # Câmaras supergrande angular .3: Relação entre distância focal e escala.210 1000 . Logo.grandes escalas.20 km 2 Dos exemplos 1 e 2.000 m L Área = L2 ≅ 1.Fotogrametria .23 m = ∴ = ∴ L = 1.Formação do Modelo Estereoscópico 176 . Baixo custo. em que cada componente é a perspectiva de um mesmo objeto. simplicidade de manutenção.Para que o terreno possa ser definido de forma planialtimétrica.Maior separação entre fotos e entre estas e o instrumento.Restituição Fotogramétrica 177 . b) Virtual Utiliza-se de dispositivos óticos. .1 .Vantagens . 3. conduzindo ao desenho da carta planialtimétrica. d) Rápido movimento do olho para observar dois objetos. Este par de fotografias. apesar de que com apenas um olho pode-se obter informações tridimensionais. menor facilidade manuseio. b) A sombra projetada. denominase estereograma. # Estereoscópios de espelhos (Figura 6. sob diferentes tamanhos aparentes. c) Efeitos perspectivos. Estes podem ser de projeção luminosa ou virtual. é necessário abranger a mesma área de terreno de dois pontos de vista diferentes. Podem utilizar-se de dois instrumentos: # Estereoscópios de lentes: . a projeção das imagens reais é apoiada sobre um anteparo.Desvantagens . campo de visão limitado.4: Estereoscópio de espelhos. devido a proximidade. a) Luminosa Nestes.Desvantagens . A formação do modelo estereoscópico é proporcionada por instrumentos designados de restituidores.4): . denominados de restituidores universais. Esta percepção da profundidade ou estereoscopia resulta da visão binocular. .Vantagens . como: a) A visão de objetos que sabemos ter as mesmas dimensões. Figura 6.Maior custo. portabilidade.Dificuldade de anotação nas fotos. na ordem de 0. c) Quanto à versatilidade # Universais Realizam qualquer tipo de operação estereofotogramétrica. As operações de orientação. na ordem de 0. Capítulo 6 . como por exemplo.02% da altura de vôo. reconstituindo ponto a ponto. a partir da interseção dos raios homólogos.01mm da escala do fotograma e a vertical na ordem de 0. através da interseção de par de raios luminosos que passam pelos centros de perspectiva e pelos pontos homólogos.02mm da escala do fotograma e a vertical na ordem de 0.015% da altura de vôo.Fotogrametria . inclusive fotos terrestres.Aspectos Básicos A restituição fotogramétrica consiste na transformação da imagem fotográfica (que é uma representação em projeção cônica) em um mapa (que é uma representação em projeção ortogonal). que é. # Simples Possuem limitações operacionais. # Restituidores Semi-analíticos Combinam parte das características dos dois anteriores.05% da altura de vôo. O procedimento é reproduzir um modelo estereoscópico do terreno fotografado. # Aproximados ou de 3o ordem Reconstituição precisa em escalas médias e grandes. e projetar ortogonalmente cada uma dessas interseções sobre um plano de referência onde é reproduzido o mapa.03mm da escala do fotograma e a vertical na ordem de 0. usando-se um equipamento de processamento eletrônico de dados acoplado à unidade básica. na ordem de 0. b) Quanto à precisão # De alta precisão ou 1o ordem Reconstituição precisa em escalas médias e pequenas. em última análise um estereocompilador. # Topográficos ou de 2o ordem Reconstituição precisa em escalas médias e grandes. # Restituidores Analíticos O modelo de trabalho é totalmente matemático. não fazem a aerotriangulação analógica. medição e desenho são completados analiticamente. Esta operação é realizada através de aparelhos restituidores. e podem ser classificados: a) Quanto ao princípio de funcionamento # Restituidores Analógicos São aqueles que trabalham sobre um modelo tridimensional do terreno (modelo de trabalho). 178 . no espaço objeto. são enviados ao computador por meio de registrador digital triaxial. 179 . Y e Z. # Restituidores universais Trabalham com ambos os tipos de fotogramas (Figura 6. # Ótico-mecânica É ótica. # Não centrados As rotações são feitas em torno dos eixos X e Y contidos no plano dos fotogramas. Numerosos processos vêm sendo elaborados a fim de efetuar ou sustentar a interpretação de fotos aéreas por meios automáticos. # Restituidores terrestres Trabalham exclusivamente para fotos terrestres. Figura 6. entre eles a restituição digital. no espaço imagem. sendo que as coordenadas X. produzindo deslocamentos do CP. mas. # Mecânica Os fotogramas são observados por um sistema estereoscópico.d) Quanto ao tipo de projeção do modelo de trabalho # Ótica Projetam imagens reais dos dois fotogramas sobre um anteparo (mesa traçadora). Na restituição digital. dos pontos percorridos pela marca estereoscópica. f) Quanto à rotação dos projetores # Centrados Os movimentos de rotação dos projetores ou porta-placas são feitos em torno do centro de projeção. que permanece fixo. para efeitos fotogramétricos. a tarefa de aquisição de dados se materializa pela operação do restituidor. e) Quanto ao uso de fotogramas # Restituidores aerofotogramétricos Trabalham exclusivamente para fotos aéreas.5: Restituidor universal. a reconstituição do modelo de trabalho é totalmente realizada por duas hastes metálicas que representam os raios perspectivos. e mecânica. do sistema do aparelho.5). Aspectos Básicos Este procedimento teve êxito devido ao desenvolvimento da eletrônica e o barateamento dos computadores. 4 . para posterior tratamento e edição. Neste terreno estão marcados os pontos P1. pontos isolados.Fotogrametria . Capítulo 6 .6) tem-se uma fotografia aérea perfeitamente vertical tomada de um terreno acidentado. com a inclusão de registradores digitais triaxiais de coordenadas no sistema de medição e locação dos restituidores. que são seus lugares corretos em um mapa. passando por P2. num plano horizontal médio imaginário de referência. perfis.6: Medição aproximada de altura. etc. grades regulares. 180 . h1 e h3 => altura de h1 e h3. Z => Altura de vôo sobre o plano médio S. P’2 e P’3. De acordo com uma projeção ortogonal. Esta é uma das formas mais empregadas na confecção de documentos cartográficos. Figura 6. permitindo o registro digital e armazenamento em meio magnético. P2 e P3. Este apresenta as vantagens de exigir quase que exclusivamente a habilidade do operador na tarefa de restituição.Medição Aproximada de Altura Na figura abaixo (Figura 6. além de permitir o emprego de diversos modos de coleta como curvas de nível. Seja ainda: f => distância focal. as projeções desses pontos serão P’1. p’2 e p’3 para corresponderem aos lugares dos pontos P’1.6). Esse deslocamento é devido ao relevo do terreno e é inerente à projeção cônica e não pode ser eliminada.A projeção central dos pontos P1. por exemplo (Figura 6. Pode-se concluir que: # Pontos que estão no nível mais alto que o plano horizontal de referência. p2 e p3. através da semelhança de triângulos. e altura de vôo e Z = 4. as fotos não são totalmente verticais. # Pontos que estão no nível mais baixo que o plano horizontal de referência. e P3’P2’ = P3P2 tem-se: Z−h Z = r' r e dr = r ⋅ h Z ∴ dr = r '⋅ h Z−h ∴ h = dr ⋅ Z r Este valor é aproximado pois não se conhece a altura do plano médio. são mudados radialmente para dentro em relação ao ponto principal. P2 e P3 na fotografia resultará em p1. P2P3 de r e P2P3’ de r’. Esses deslocamentos são responsáveis pela necessária diferença de paralaxe que permite a visão estereoscópica.r’ é o deslocamento que sofre a imagem do ponto P3 devido ao relevo. pode-se calcular as alturas de 1 e 3. a diferença dr = r . ΔOp p ≈ ΔOP P 3' 2 3' 2 ΔOp p ≈ ΔOP P 3 2 3 2 f = Z f Z = r' P P 3' 2' r P P 3 2 dividindo membro a membro.35mm 5 . Qual deslocamento da imagem ? Solução: dr = r ⋅ h Z = 9⋅ 600 4000 = 1. P’2 e P’3.000 m. Denominando. Exemplo 3: A imagem do topo da colina está a r = 9 mm do centro da fotografia. são mudados radialmente para fora em relação ao ponto principal. enquanto deveriam cair em p’1.Plano de Vôo Aerofotogramétrico 181 . Sua altura sobre o plano médio é h = 600 m. dado pelo manual da câmara. maior rendimento. O intervalo entre faixas de recobrimento pode ser calculado pela fórmula: I= l E * 0. E .Fotogrametria . Logo. A seguir é comentada sucintamente cada uma destas operações. a) Tipo de câmara a ser utilizada Dos tipos de câmara mais usados. b) Superposição longitudinal entre fotos sucessivas. i) Intervalo de tempo entre duas exposições. g) Quantidade de filme necessário. l . devem ser definidos os seguintes dados: a) Tipo de câmara a ser utilizada.escala da foto. é possível decidir o equipamento necessário para o levantamento. j) Autonomia da aeronave. dar uniformidade. 182 . grandes angulares e supergrande angulares.Intervalo entre faixas. Para que uma missão de vôo tenha êxito. Se for 60%. Assim deve-se avaliar a constante da câmara (f => distância focal). d) Altura de vôo.lado da foto em metros. segundo o campo de abertura de suas objetivas. O comprimento da base é definido pelo recobrimento. de acordo com a escala exigida e com as características dos equipamentos de compilação que se possua. l => lado da foto em metros. Capítulo 6 . f) Número de faixas de vôo. pode-se distinguir. E => escala da foto c) Superposição lateral entre as faixas de vôo Geralmente de 30% de recobrimento. tem-se: B = 0.40 * l E onde B => Comprimento da base. As características que as fotografias devem ter estão relacionadas diretamente à sua aplicação. precisão e economia à tarefa de fotografar. h) Tempo de exposição de cada fotografia.Aspectos Básicos O plano de vôo tem por finalidade orientar a equipe de vôo. as normais. c) Superposição lateral entre as faixas de vôo. e) Número de fotografias por faixa. b) Superposição longitudinal entre fotos sucessivas Geralmente adotado como 60% para efeito de estereoscopia.7 onde I . pode ser obtido da seguinte forma: N= Comprimento da faixa base aérea estereoscó pica +l O comprimento da faixa é obtido no projeto de vôo. se o recobrimento longitudinal é 60% e o lateral 30%.o cálculo do número de fotografias é feito dividindo a área total a recobrir pela área que cobre cada foto.Escala da fotografia. H = f E . Desta maneira não se calcula o número de fotos por faixa. Como o altímetro geralmente fornece a altitude baseada na pressão atmosférica.Comprimento do lado da foto. enquanto que a base aérea é definida pelo recobrimento.uma grande ilha . Figura 6. a altitude média da região a fotografar. ou seja. f . s . E= f H . L . onde E .7 L2 ∴ s = 0.Área útil da foto. descontando o recobrimento. H . podese calcular a altura de vôo. a altura em relação ao nível médio dos mares. necessitando de equipamento de oxigênio para o operador (Figura 6. e) Número de fotografias por faixa O número de fotografias por faixa N.d) Altura de vôo (de acordo com a escala desejada) Altura de vôo é a distância do centro ótico da câmara fotogramétrica até o plano.Constante da câmara (distância focal). Por exemplo. ou seja.7). tem-se: s = 0. Uma vez definidas a escala e a câmara fotogramétrica. Quando o contorno da área a fotografar é irregular . Ao número N de fotografias devem ser acrescidos de 10 a 15 % para perdas.Altura de vôo.7: Plano de vôo. é preciso somar a altura de vôo.4 * 0. 183 .28 * L2 O número total de fotografias será: N= S s onde S . mas o número total de fotos. Dependendo da escala e câmara a altura pode ser elevada. cujo nível coincide com o nível médio do terreno a fotografar.Área da superfície total a fotografar. 000. devido à velocidade do avião. 1/120. calcule o tempo de exposição.05mm. t = a V*E Sendo o arrastamento admissível para uma fotografia ser considerada boa. deve ser menor que 1/20mm ou 0. g) Quantidade de filme necessário Conhecido o número de fotografias por faixa e o número de faixas.Fotogrametria . pode-se escrever: t= 0.Aspectos Básicos f) Número de faixas de vôo Para determinar o número de faixas. tem-se que: t= A V Ao espaço A corresponde ao arrastamento a da imagem.00005 V*E . Os obturadores das câmaras fotográficas admitem algumas velocidades padrão. torna-se necessário conhecer o número de chapas que um rolo de filmes possui. Solução: t= 0. e calcular o número de rolos necessários. ou seja. Sendo “V” a velocidade do avião. “A” a distância que a aeronave percorre enquanto o obturador permanece aberto durante o tempo de exposição t.00005 V*E ∴ t = 1/66 seg. Para cálculo da quantidade de filme. 1/300.00005 m é o arrastamento admissível (a). Exemplo 4: Dado V = 300 Km/h = 83 m/s e E = 1/25. 184 . h) Tempo de exposição de cada fotografia Existe um tempo máximo da abertura na tomada das fotos. é fácil calcular o número total de fotografias. Capítulo 6 . geralmente executa-se algumas faixas transversais e com estas confecciona-se as entradas das faixas de recobrimento (30%) e determina-se o número de faixas de recobrimento. Uma imagem é considerada arrastada quando o arrastamento é maior que o poder de resolução normal de olho humano. O tempo de exposição não poderá ser maior que 1/66 segundos. para que as imagens não resultem arrastadas. que é de 20 linhas por milímetro. Então: A= a E . 1/1000 do segundo. ou seja 1/20 mm. onde 0. 1/500. como 1/60. da escala da foto. Os bimotores são melhores que os monomotores devido à estabilidade.Informações Complementares para Projeto Aerofotogramétrico Após comentar sobre as atividades para o plano de vôo. como um todo. do tamanho da chapa e do recobrimento longitudinal. resultará em: T= 0. mais equipado terá que ser. 5. o avanço deve ser de 40% do comprimento do lado da área fotografada por uma chapa.000.Distância a percorrer. Solução: T= 0. calcule o intervalo de tempo entre exposições. Um projeto de levantamento aerofotogramétrico se faz com o auxílio da melhor carta existente na região. um navegador e um fotógrafo.23 m e V = 300 Km/h = 83 m/s. Como o recobrimento longitudinal é geralmente de 60%. 185 .velocidade do avião em metros/segundo. E .1 . A tripulação mínima é composta por um piloto. Exemplo 5: Dado E = 1:25.Escala da fotografia. o projeto. Desta forma. l . O avião escolhido depende da altura de vôo que se exige para tomar as fotografias. o tempo que decorre entre duas exposições sucessivas. existem aparelhos auxiliares para regular o recobrimento correto chamados intervalômetros. l = 23 cm = 0. de um levantamento aéreo deve-se ainda preocupar com outros detalhes. Resulta que a distância que o avião deve percorrer entre duas tomadas de fotos sucessivas é: B = 0.i) Intervalo de tempo entre duas exposições O intervalo de tempo depende da velocidade do avião em relação ao terreno. j) Autonomia da aeronave. Como a velocidade do avião varia em conseqüência da ação dos ventos.40 * l V*E sendo V .40 * l E onde: B . Quanto maior for a altura.lado da fotografia em metros.40 * l V*E ∴ T = 27 seg. que são faixas de vôo feitas no sentido transversal ao das faixas de recobrimento. O comprimento de uma faixa de vôo não deve ultrapassar 100 Km.1. característica de vôo.000 até 1:80. Para finalidades florestais . o levantamento deve ser acompanhado por um relatório de vôo. etc. para melhor aparecer nas fotografias. como temperatura. número de horas voadas. tipo de câmara (número e distância focal). localidade. como tipo de aeronave. Capítulo 6 . filtro utilizado. finalidade. num vai e vem sucessivo. tendo as seguintes variações: a) Variação da escala Na escolha da escala entram em conta diversos fatores de ordem técnica e econômica. Com relação ao material da fotografia. Se possível.000 Para finalidades geológicas . # Filmes infravermelhos. # Fotointerpretação . Outra informação importante é o estudo e traçado das rotas para atingir o local de trabalho e para o retorno e consultar boletins meteorológicos.Fotografias em escalas pequenas são bastante acuradas para confecção de bons mapas (até 1:80. Ao executar o vôo de recobrimento. para que não seja prejudicada a missão. através de planejamento e execução do vôo com faixas transversais ou faixas de apoio. pois se torna difícil controlar a rota e o efeito da curvatura da terra começa a ser considerável. falhas observadas no equipamento.60. número de faixas voadas.000 b) Variação do tipo de filme Podem ser agrupados da seguinte maneira: # Filmes preto e branco. o avião deve percorrer a região a fotografar em faixas contíguas. número de fotografias tomadas. vento. Ainda. hora.Fotogrametria .000 até 1:25. altura de vôo. que deve conter: # Nome dos elementos da equipe de vôo. através de suas coordenadas. 186 . têm-se dois campos principais: # Cartografia . # Filmes coloridos. Segundo a sua aplicação. dia. condições de luz. tempo de exposição. A quantidade desses pontos de controle pode ser reduzida até 50%. # Condições do tempo.000). Estes pontos devem ser sinalizados.1:10. para facilitar o controle do rumo. nuvens. # Filmes de cores falsas.Aspectos Básicos Devem estar locados neste mapa. pontos de controle terrestres. as faixas devem ser orientadas no sentido norte-sul ou leste-oeste (escolher a menor distância). # Equipamentos utilizados.Pequenos detalhes podem ser importantes e o tamanho deste detalhe indicará a melhor escala. esta escolha é função do fim a que se destina. Problema de Orientação das Fotos Para orientação. Y e X. by e bz e as rotações W. # Da finalidade. Problema: Interfere no recobrimento aéreo. Z. as normais. Solução: Utilização de intervalômetros. ou seja. a) Deslocamento “bx” da câmara Quando um vento de proa ou de popa altera a velocidade do avião.c) Variação da câmara Dos tipos de câmara mais usados. A escolha depende: # Do equipamento estereocompilador disponível. 5. provocando desvios (translações) e rotações da câmara com relação às situações ideais e previstas. Os pontos a serem coletados podem fazer parte de uma rede de triangulação do Sistema Geodésico Brasileiro. a aeronave tende a se desviar da rota e altitude previstas. a determinação de pontos coordenados no terreno para auxiliar o processo de restituição. 187 .8: Apoio terrestre. ou serem determinados por procedimentos geodésicos (Figura 6. Figura 6. As translações ou deslocamentos em relação ao eixo adotado são bx.8). Y. segundo o campo de abertura de suas objetivas. Y e Z com origem no centro ótico da câmara fotográfica. pode-se distinguir. onde XY definem um plano horizontal e X é paralela a linha de vôo e Z coincide com a vertical do lugar. Este apoio é feito sobre uma planta baseada pelo foto-índice. # Da escala em combinação ao tipo de aeronave (pela altura). vamos admitir um sistema de eixos cartesianos triortogonais X. Devido às causas externas (vento e diferença de pressão). Outro ponto importante a ser analisado é o apoio terrestre.2 . respectivamente em relação aos eixos X. grandes angulares e supergrande angulares. pode-se citar: a) Foto-índice 188 . Ocorrerá ainda defeito no recobrimento lateral entre as faixas. chama-se capa. Problema: Resultarão em fotografia com recobrimento defeituoso-escalonado e com giro em torno do eixo Z. acarretando escala diferente da prevista. 6 . em relação à linha de vôo realmente voada. Solução: Corrigir a deriva (ângulo formado pela linha de vôo prevista e a linha de vôo realmente voada). O giro resultante da câmara. Problema: Fotos inclinadas. Se o fotógrafo corrigir a capa. pois haverá prejuízo no recobrimento longitudinal e lateral. o eixo ótico esta a todo o momento se afastando da vertical do lugar. c) Deslocamento “by” e giro capa da câmara Quando existe um vento lateral. d) Giros ômega e fi da câmara . Neste caso o fotógrafo deve corrigir e girar de capa em sentido contrário. se considerarmos a linha de vôo realmente voada.em torno de X e Y Devido à instabilidade da aeronave. porém o recobrimento lateral continuará sendo prejudicado. corrigindo a deriva.Aspectos Básicos b) Deslocamento “bz” da câmara Quando o vento ou a diferença de pressão faz com que a nave saia da altura que deveria voar. não haverá capa nem by. com auxílio de um visor.Produtos Aerofotogramétricos Entre os produtos principais da aerofotogrametria. Capítulo 6 . este obriga o avião a se desviar da linha de vôo prevista. Solução: Corrige esse inconveniente. Solução: Voar segundo uma linha de pressão constante. Admitindo agora que o piloto manobrou a aeronave de modo que a força resultante do avião e do vento coincida com a linha de vôo.Fotogrametria . buscando manter a bolha do nível esférico da câmara “calada”. Problema: Interfere na altura prevista. 10: Construção de cartas e mapas. através das imagens representadas nas fotografias aéreas (Figura 6.10).É o conjunto de fotografias de uma região. c) Ortofotocartas Devido às inclinações e ao relevo do terreno. Com algumas restrições os mosaicos podem ser usados como uma planta. a aerofotogrametria tem seu principal objetivo (Figura 6.9: Ortofotocarta. Figura 6. 189 . determinando seu significado. que produz uma projeção do negativo da fotografia. Uma ortofotocarta é uma fotografia de um terreno em projeção ortogonal (Figura 6. constituído pela superposição das fotografias na ordem em que foram tomadas. Nos controlados são assinalados nas fotografias os acidentes naturais e artificiais mais importantes. Estes podem ser simples ou controlados. d) Mapas e Cartas Na confecção de cartas e mapas. na escala em que foram tiradas. Figura 6. Mostra a qualidade do recobrimento e serve de base para o projeto do apoio terrestre. b) Mosaico É a reunião das fotografias de uma região. as fotografias mostram deslocamentos radiais e erros de escala.Aplicações na Fotointerpretação A tarefa da fotointerpretação é identificar as características importantes de áreas e objetos. Deve-se recortar as fotografias para melhor encaixe. Esses erros podem ser corrigidos com auxílio de um retificador.11). e reduzidas fotograficamente.1 .9). 6. algumas considerações básicas devem ser consideradas. rua Aquiles Lobo. b) A análise da fotografia Os diferentes objetos podem ser classificados segundo fatores como tamanho.Relaciona com a perícia e experiência do fotointerpretador. tonalidade.Fotogrametria . comparadores de declives. barras de paralaxe e chaves de interpretação. rios. O processo de síntese da interpretação inclui as seguintes fases: # Detecção . etc. Figura 6. Esta análise deve ser feita sobre o modelo estereoscópico e usualmente conta com instrumentos auxiliares como planímetro. Região em BH. etc. como: a) A leitura da fotografia Consiste no reconhecimento do detalhe fotográfico bidimensional como limites de vegetação. 190 .Aspectos Básicos Para realizar a fotointerpretação. forma. textura. riachos. Capítulo 6 .11: Fotointerpretação urbana. ruas. # Reconhecimento . c) A síntese da fotointerpretação Avaliação intuitiva e dedutiva da imagem fotográfica é suportada pela acuidade mental e visual. do bairro Floresta.Relaciona com a acuidade visual. etc. usada para uma finalidade particular. como o mapa florestal.# Classificação . estradas de rodagem. 191 .Classificação da interpretação sintetizada. Aspectos Básicos Observações e anotações .Cap. 6 ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 192 . Capítulo 6 .Fotogrametria . entre a medição de uma grandeza e o seu verdadeiro valor. b) Valor mais provável de uma grandeza ou média aritmética simples ( x ) É a relação entre a soma dos valores observações pelo número de observações efetuadas. mas sim o valor mais provável da grandeza. Neste contexto. algumas definições da Estatística são importantes: a) Erro absoluto verdadeiro É a diferença. este capítulo busca sintetizar alguns conceitos básicos e definições para o tratamento estatístico de dados topográficos e exemplificar sua aplicação. n ∑ xi x = i=1 n c) Erro absoluto aparente (e) 193 . mesmas condições ambientais).1 . na prática não se conhece o valor real ou verdadeiro de uma medida. Porém. medir uma grandeza consiste em comparar esta. a medida real de 1 metro. Sendo o tema proposto bastante abrangente. e analisar quantas vezes é maior ou menor que este padrão. um dos problemas a ser resolvido é estimar o melhor valor que represente esta medida. Esta resposta é estudada na disciplina Ajustamento de Observações. Como dito anteriormente. mesmo equipamento. ao se medir uma grandeza com um número finito de vezes. Porém.Generalidades e Definições Nos capítulos anteriores. observou-se que durante as operações topográficas. em valor absoluto. faz-se a coleta de várias grandezas. desde que mereçam a mesma confiança (mesmo operador. Pode-se citar como exemplo de padrão. com uma definida como padrão. entre a medição de uma grandeza (xi) e o seu valor mais provável ( x ). obtidas por dois operadores diferentes ou em situações diferentes. em valor absoluto. Ás vezes esta é incorretamente chamada de erro aparente. Será denominado daqui para frente de apenas erro absoluto da observação “i” (ei). v = xi − x i e) Discrepância É a diferença entre os valores de duas medidas de uma mesma grandeza.Ajustamento de Observações Topográficas . f) Erro relativo (er) É a relação entre o erro absoluto (e) e o valor mais provável da grandeza ( x ). n ∑ vi v m = i=1 n i) Erro médio quadrático ou desvio-padrão (σ) 194 . n ∑ ei e m = i=1 n h) Resíduo ou desvio médio (vm ou v ) É a média aritmética dos resíduos cometidos em certo número de medidas n. Deve-se considerar o sinal. Não é necessário considerar o sinal. na avaliação da qualidade da medida. Este erro é mais importante que o erro absoluto. quando considera o sinal da diferença entre as medidas. Capítulo 7 . e = xi − x i d) Resíduo ou desvio ou erro (v) Designação para o conceito anterior. er = e x g) Erro absoluto médio (em ou e ) É a média aritmética dos erros absolutos cometidos em certo número de medidas n.Aspectos Básicos É a diferença. seja de campo ou de escritório. 2. pela seguinte relação: σ= ∑ xi 2 n −1 (∑ xi ) − 2 n ⋅ ( n − 1) j) Erro médio quadrático da média ou desvio padrão da média ( m x ) mx = σ n k) Erro tolerável (et) Considera-se normalmente como sendo o triplo do erro médio quadrático. σ Na prática.1 termos. medidas cujos resíduos são maiores que o erro tolerável devem ser abandonadas. Nas operações topográficas.Conceitos Iniciais 195 . Entre as definições das tolerâncias.Execução de levantamento topográfico.Conceitos e Classificação dos Erros de Observação A seguir são discutidos alguns termos muito utilizados. σ=± ( ∑ xi − x n −1 2 ∑v =± n −1 )2 Se considerar o valor σ2. para tratarmos as informações topográficas. Para normatizar os trabalhos de Topografia. este será denominado de variância de uma observação isolada. às vezes incorretamente. et = 3 . e a classificação dos erros das observações.1 . Pode-se ainda exprimir também o desvio padrão. várias são as formas para definição da tolerância dos trabalhos executados.133 . estas podem estar baseadas em processos empíricos ou matemáticos e estatísticos. sugerem-se a aplicação das expressões publicadas nas normas da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) . 2 .É a raiz quadrada dos quadrados dos resíduos dividida pelos n . através de propriedades matemáticas.NBR 13. Isto significa que quando o medidor eletrônico indicar uma distância de 400 m. que um levantador esteja comparando dois diastímetros (A e B) com um padrão (C).Aspectos Básicos a) Precisão É a tolerância do erro de medição para determinado medidor. acarretando erro em todos os valores.1: Acurácia x Precisão.Classificação dos Erros de Observação 196 . com precisão de ± 0. nem acurado.2% em valor instantâneo é. obviamente. O diastímetro A deve ser retificado ou determinar um fator de correção para suas medidas. Isto significa que a tolerância de erro é de ± 0. por exemplo. melhor que a precisão absoluta de ± 0. com precisão de ± 0. Seja o exemplo anterior.600 m. mas não exato ou acurado. Isto significa que o diastímetro A é preciso.080 m.Nem preciso. concordam também com o diastímetro C.Preciso e Acurado. por exemplo. Figura 7. Já as medidas feitas pelo diastímetro B. além de concordarem entre si. uma vez que pode haver perturbação sistemática.2%. uma garantia de exatidão. 3o . Capítulo 7 . c) Precisão relativa É expressa pela percentagem do valor instantâneo da escala de medidas. Supondo. Pode-se dizer que um grupo de medidas mostra precisão se os resultados concordam entre si.000 m. e o diastímetro B é preciso e exato. As medidas feitas com o diastímetro A concordam entre si. Portanto. em qualquer medida. Nos desenhos acima: 1o . contudo. ou seja. b) Precisão absoluta É expressa pela percentagem de toda a faixa da escala de medidas. d) Exatidão ou acurácia É aquilo que está de acordo com uma referência tomada como padrão. A concordância não é. as medidas serão consideradas precisas.Ajustamento de Observações Topográficas . mas não concordam com as medidas feitas pelo diastímetro C. Seja. uma referência verdadeira. 2o – Apenas preciso. devendo ser o escolhido para medidas.2% do valor instantâneo. se o erro tolerável for atendido. A precisão relativa de ± 0.2 . Uma medida precisa não significa que seja exata. 2. um distanciômetro eletrônico que mede distâncias de 1 m a 3. a tolerância de erro será de 0.2% em precisão absoluta. São erros acumulativos. b) Erros sistemáticos Estes erros são produzidos por causas conhecidas.Como já notado. Uma observação no qual contenha erro grosseiro deve ser rejeitada.Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento (aparelho não retificado) # Erro de excentricidade do instrumento. Como exemplos de erros grosseiros pode-se citar: # Erro de leitura (ex. b) Da imperfeição do equipamento. constata-se que os resultados obtidos nunca serão idênticos. 2 . pois se for repetida várias vezes a mesma medida de uma determinada grandeza.738). Isto leva a analisar que as principais fontes de erros nos trabalhos de medição estão em razão: a) Da falibilidade humana.: não transformar o ângulo zenital em vertical). estes são classificados como: a) Erros grosseiros ou enganos Ocorrem devido à falta de cuidado ou imperícia do operador. pois não está sujeita a tratamentos matemáticos.: omissão de trenadas. o operador efetuar cronometragem sempre um pouco antes (ou sempre um pouco depois) da estrela cruzar o fio do retículo. na medição de distâncias). o mesmo valor. deve-se fazer repetições cuidadosas nas medidas.ler na mira 1. # Erros cometidos pela deficiência de visão (ex. em vez de 1. em medições sucessivas. por maior que seja o cuidado utilizado.378. São três os tipos de erros sistemáticos (e alguns exemplos): 1 . # Erro de cálculo (ex. Para evitar a ocorrência de erros grosseiros.Erros sistemáticos introduzidos pelo operador # Numa observação astronômica. # Anotação errada (ex.: nivelador que sempre observa um pouco abaixo (ou acima) do valor do fio médio na mira). e podem ser evitados através de técnicas especiais de observação ou eliminados a posteriori mediante fórmulas fornecidas pela teoria. Caracterizam-se por ocorrerem sempre em um mesmo sentido e conservam. as determinações de valores numéricos e gráficos jamais terão uma exatidão absoluta. c) Da influência das condições ambientais. 197 . Conforme as causas dos erros cometidos na topografia.: troca de dígitos . não se admite outro tratamento senão o baseado na “teoria da probabilidade”. modelo para influências da pressão e temperatura sobre as medidas à trena. Alguns o consideram estar relacionados a um número relativamente grande de pequenas variações do ambiente. Estes erros apresentam uma distribuição normal. Pode-se exemplificar como correção: a) Utilizando procedimentos de campo: A colocação do nível a distâncias iguais das miras. medidas angulares por reiteração.Estudos Experimentais dos Erros Acidentais Se efetuar uma medida por um número grande de vezes. # A distância zenital de uma estrela deve ser corrigida da aberração diurna. Todos este erros sistemáticos citados acima. através de procedimentos de campo. sendo considerados de influências sobre as observações. planímetros.2.1 .Determinado fatores de correção para as trenas.Erros sistemáticos introduzidos pelo método # A medida eletrônica de uma distância deve ser depurada do efeito de refração. b) Retificando equipamentos . podem e devem ser corrigidos. c) Modelos matemáticos: Modelos para influência da troposfera e ionosfera nas medidas GPS. Sua experiência era obter a posição do ponto vernal através de 462 determinações da ascensão reta do sol. determinado a média (valor mais provável) 198 . c) Erros acidentais ou aleatórios Ocorrem ora num ora noutro sentido e que não podem ser vinculados a nenhuma causa conhecida. etc. sendo o resíduo nulo o mais provável. Assim foram medidos 462 ângulos. 2. etc. seja o clássico trabalho de Bradley.: gravação das divisões do vernier. e tendem a se neutralizar quando o número de observações cresce. da retificação dos equipamentos ou pela concepção de modelos matemáticos. no início do século XVII (Gemael. Como as influências sobre as observações são aleatórias. ou seja. # Os resíduos pequenos são mais numerosos. Capítulo 7 . da imperfeição dos sentidos humanos e dos instrumentos empregados.Ajustamento de Observações Topográficas . 1994).Aspectos Básicos # Erro nas divisões da escala (ex. Para exemplificar o estudo dos erros acidentais. trena maior (ou menor) que o padrão). tem mais freqüência. 3 . os erros acidentais produzidos gozam das seguintes propriedades: # O número de resíduos positivo corresponde ao número aproximadamente igual de resíduos ne- gativos. 1” 0.7” -0.9” 1.1 11.9900 2.80 -1.1: Experimento de Bradley.4” -0. e calculados os resíduos das observações em relação à média.6100 67. Limite do intervalo 0.2.2” -0.5” 0.0” -0.1” -0.9” -0.25 -3.2” 0.4925 3.4 44.3” 0. Para comprovar esta afirmação acima.9375 5.4450 5.8” -1. utilizando o conceito da área sob a curva normal reduzida.2” -0.2650 5.35 -2.0” 0.6” -0.35 -6. Observe que existem 230 resíduos positivos e 232 resíduos negativos e a simetria e o predomínio de valores em torno da média dos desvios (≈ zero).1 -0.3 4.7 24.0 11.60 -9.3 47. c) As demais colunas (3o e 4o) são auxiliares para o cálculo da freqüência teórica (Fi) (5o coluna).9 17.3” -0.8” 0. sugerem a distribuição normal de Gauss.75 6. v i 2 2.4” 0.6” 0.15 -11. visualizada pelo polígono de freqüência da figura 7. foi calculada também a freqüência teórica (Fi).5525 5.3” -0.1 4.6125 3.25 8.7” 0.9900 0.5” 0. Na tabela 7.4925 5.1175 0.4450 5.5” -0.60 2. v i * 2.90 -8.70 -9.25 5.6” 0.4 17.4” 0.destas observações.6” -0.9375 2.8” 0.1175 0.9” Soma fi 3 5 7 13 18 25 29 39 44 47 47 44 39 29 26 18 13 7 5 4 462 fi .25 -4.8” -0.5” -0.40” fi .6125 3.85 4. b) Na segunda coluna tem-se a freqüência dos resíduos (fi).45 -5.0 24.15 9.1 7.1. utilizando o conceito da área sob a curva normal reduzida.0” 0.7” 0.1 2.7 38.3 * Sendo vi o ponto médio de cada intervalo.90 11.3 38.7 31.0” -0.7” -0.75 -10.7075 3.5525 2. são registrados: a) Na primeira coluna tem-se o limite do intervalo dos resíduos considerado (a unidade aqui utilizada é o segundo).4375 0.3” 0. O cálculo da freqüência teórica (Fi).0625 3.8150 Fi 2.9 31.4375 3.25 10.2” 0.4” -0. Tabela 7.7 44. pode ser assim resumido: Solução: a) Cálculo da média dos resíduos 199 .45 9.9” 0.1” 0.4 47. para cada classe de intervalo.4 7. multiplicado por n: Fi = (área1 . Será apresentado apenas o resultado obtido.99560) .003) z = = = + 2.99061 Para z2 = +2. # σ é o desvio padrão dos resíduos 1 . argumento para obtenção das “áreas sob a curva normal reduzida 1 ”. z= v'− v σ onde: # v’ são os limites dos intervalos.3 1 Esta tabela das “áreas sob a curva normal reduzida” é encontrada em qualquer publicação de fundamentos de Estatística.62 2 0.0 (primeiro intervalo)) v'− v 0.3835 σ 2 .Calculo de z1 e z2 (ex.3835'' 461 c) Cálculo da freqüência teórica (Fi) Inicialmente é necessário calcular a variável reduzida (zi).Aspectos Básicos n ∑ f vi i − 1.3546 ≅ + 2. n = (0.Ajustamento de Observações Topográficas .35 1 0.Cálculo da freqüência teórica Esta será dada pela diferença entre as áreas.35 → area = 0.9 − ( −0.40" v = i=1 = = − 0.Valores da tabela das “áreas sob a curva normal reduzida” Para z1 = +2.: limites 0. para cada limite do intervalo.62 area = 0.09 − ( −0.003) z = = = + 2. # v é a média dos resíduos.9 e 1.1471 = ± 0. 462 ≅ 2.0.99560 → 3 . relativo ao exemplo dado.003'' ≈ 0 462 n b) Cálculo do erro médio quadrático ou desvio padrão dos resíduos σ=± ∑f ⋅v i i n −1 2 =± 67. Capítulo 7 .99061 .área2) .8150 = 0.3835 σ v'− v 1. 200 .6154 ≅ + 2. Observe (Figura 7.8 -0.4 -0. contemplando os conceitos vistos no item 1 e 2.9 Figura 7.3 -0.0 1.0 0.7 0.2 0. da possibilidade de ponderar os dados com níveis de confiança distintos também será proposto nestes exemplos. têm-se alguns exemplos.0 -0. # A curva tem por assíntota o eixo x. isto é.9 0.8 0. a probabilidade de se cometer simultaneamente todos os desvios é.σ # A área total limitada pela curva.4 0.1 0. portanto.3 0. A inclusão do conceito de peso nas observações.9 0.6 0. ou seja.8 0.6 -0. igual a 100%.6 0. 3 .4 -0. # A curva apresenta dois pontos de inflexão.Aplicações Estatísticas O tratamento estatístico dos dados torna-se importante quando queremos obter confiança no serviço executado. isto é. aplicados à topografia. Neste item.5 0.1 -0.50 45 40 35 30 fi 25 Freq. # As observações correspondentes aos desvios pequenos são os maiores.2 0. que a curva que representa a lei de Gauss (distribuição normal) tem a forma de um sino e goza das seguintes propriedades: # É simétrica em relação ao eixo do Y. 201 .5 0. Teorica 20 15 10 5 0 0.2: Relação entre a freqüência observada e freqüência teórica. os desvios positivos e negativos de mesmo valor ab- soluto têm igual probabilidade.1 -0.2 -0.5 -0. correspondentes a ± 1.2 -0.3 -0. isto é.9 -1.7 0.1 0.6 -0. o desvio ∞ tem probabilidade nula.7 -0.5 -0.3 0.2).4 0.7 -0.8 -0.0 -0. 5 km (em condições normais).332 m 1.1%. h) O erro relativo médio.305 m Solução: a) A maior discrepância entre duas medidas A maior medida foi 1.234.234.234. j) A precisão relativa. considerando a precisão nominal do equipamento (10 mm + 3ppm). 202 .. Capítulo 7 .305 + 1.2.320 m 1.335 m 1.Leica TC 600 para o alinhamento A-B 1. k) A tolerância.300 m 1.234. e) O desvio padrão das observações. e obtidos os resultados constantes na tabela 7.320 m 1. g) O erro de tolerância.234.234.234.234.234. f) O desvio padrão da média.1.234. l) A definição se alguns dados devem ser eliminados.320 m 1.340 . com alcance 1.340 m 1.005 m. + 1.318 ± 0.300 m Logo a maior discrepância é dada por: disc = (1. d) O desvio médio. b) O valor mais provável desta medida.300) = 0. i) A precisão absoluta.234.2: Medidas de uma base geodésica. considerando uma precisão de ± 0.: O valor mais provável ( x ) pode ser acompanhado de seu desvio padrão ( m x ). Pede-se: a) A maior discrepância entre duas medidas.234.234.040 m = 4 cm b) O valor mais provável desta medida (Tabela 7.340 m A menor medida foi 1.300 m 1.320 + 1.234. considerando uma precisão de ± 0. c) O erro absoluto médio. Logo pode-se dizer que o valor mais provável é 1.1 ..H. Temperatura: 20o C Pressão: 700 mmHg Valores obtidos com a estação total .300 + .234.234.1%.Exemplo 1 Supondo-se que tenha medido 10 vezes um alinhamento para definir uma base geodésica. Estes valores foram obtidos pelo distanciômetro eletrônico da Leica TC 600.3) n ∑ xi 1.Ajustamento de Observações Topográficas . de precisão nominal de 3 mm + 3 ppm.318m 10 n Obs.234.234. Operadores: Equipe 01 Local: B. calculado na alínea f. Tabela 7.234.234.305 m 1.305 x = i =1 = ≅ 1.Aspectos Básicos 3. 022 m .015 m 9 f) O desvio padrão da média mx = σ n =± 0.002 m + 0.013 m .000004 0. σ = 3 .013 e m = i =1 = ≅ 0.0.234.003 = 0.018 m + 0.0.014 m + 0.00474 ≅ ± 0.3: Resumo dos cálculos I.003 m vi2 0.012m 10 n d) O desvio médio (Tabela 7. O erro relativo médio é a relação entre o erro absoluto médio e o valor médio das observações. Valores 1.3) σ=± 2 ∑v =± n −1 0.234.000196 0.000004 0.000219 = ± 0.001967 g) O erro de tolerância Neste exemplo vamos defini-lo como: et = 3 .0003m ≅ 0m v m = i =1 = 10 10 n e) O desvio padrão das observações (Tabela 7.005 m Tabela 7.018 m + 0.305 m Média 1.c) O erro absoluto médio (Tabela 7.015 10 = ± 0.000289 0.305 m 1.234. + (− 0.01478 ≅ ± 0.0..000324 0.015 = ± 0.018 + .320 m 1.000484 0.3) n ∑ vi (− 0.002 m .000004 0. + − 0..018) + . ± 0.234.332 m 1.335 m 1.013 m .234.300 m 1.234.000169 0.002 m + 0..234.0.318 m Soma Desvio (vi) .013) + (− 0.234.017 m + 0.234.0.001967 = 0.000324 0.013) = − 0.234..000169 0.013 + − 0.3) n ∑ ei − 0.234. 203 .300 m 1.045 m h) O erro relativo médio O erro relativo de uma observação é dado pela divisão do erro absoluto pelo valor médio (Item 1.340 m 1. alínea e).320 m 1.320 m 1. e faz-se novamente o tratamento estatístico dos dados. 0. i e j.1% A tolerância para a medida da média das observações é de 1.234 = 3 + 3. originando também o valor mais provável deste conjunto de observações. neste exemplo tem-se a média aritmética ponderada. a tolerância pode ser dada por: tolerância = 10 mm + 3 .318 100.123 m.018. Para tornar estas observações homogêneas.2 . Em nosso exemplo.012 1 = 0. 204 .022) maiores que a tolerância. considerando a precisão nominal do equipamento (10 mm + 3 ppm) A unidade “ppm” significa “parte por milhão”.1% Isto significa que a tolerância de erro é de 1. ou seja. Capítulo 7 .70 = 13. Neste caso nenhuma medida será eliminada.0001 = 0. j) A tolerância para uma precisão relativa de ± 0. k) A tolerância. Porém. 0. introduz em cada observação um fator de proporcionalidade denominado peso. que tenha sido realizadas com diferentes graus de confiança.500 m . o valor mais provável de um conjunto de observações de mesma confiança ou mesmo peso.Exemplo 2 Às vezes tem-se de determinar o valor mais provável de uma série de observações.70 mm ≅ 0. Sendo a tolerância atendida.318 .000010 ∴ ≈ er = m = x 1234 . i) A tolerância para uma precisão absoluta de ± 0. As fórmulas a serem empregadas no exemplo a seguir não foram comentadas anteriormente (Item 1). bem superior ao calculado na alínea g. possui uma precisão de 1 m em 100 km (muito bom para aplicações de agrimensura). eliminam-se estas observações (ou repete-as). existem alguns resíduos (0. este levantamento pode ser considerado preciso. Sendo a média aritmética simples.3) são menores que o erro tolerável. pode-se errar 3 milímetros em 1 milhão de milímetros. 1. em qualquer medida.150 m. .0001 = 0.014 m l) A definição se alguns dados devem ser eliminados Considerando as tolerâncias definidas nas alíneas g. 0.Aspectos Básicos e 0.000 ou seja. todos os desvios calculados (Tabela 7. 3. onde introduz a influência dos diferentes pesos. Desta forma.234. e serão apresentadas juntamente com a solução do exercício.Ajustamento de Observações Topográficas . ou 3 mm em 1 km. 0.017. considerando a precisão do equipamento (alínea k). .4).6' ' n 17 17 ∑ p i i =1 ( ) Obs.8” x = 35o 20’ 31.Seja a medição de um ângulo horizontal.: O valor mais provável pode ser acompanhado de seu desvio padrão. Tabela 7. considerando a precisão nominal do equipamento (5”).8” Solução: a) O valor mais provável desta medida (Tabela 7..6 repetições x = 35o 20’ 31.+35o 20'31.6' ' x p = i =1 = = = 35 o 20'31. d) O erro de tolerância. foi adotado a média aritmética simples ( x ) e pi e o peso correspondente ao número de repetições.5 repetições Operador 2 . Pede-se: a) O valor mais provável desta medida.H.8' '⋅5+. e) A tolerância.5) Para valores de xi. b) O desvio padrão das observações.07” b) O desvio padrão das observações (Tabela 7.8' '⋅6 600o 48'57.6 repetições Operador 3 .6” ± 0.5) Será dado pela seguinte expressão: 205 . c) O desvio padrão da média. no qual foi realizado por número diferente de observações (Tabela 7. n ∑ xi ⋅ p i 35o 20'31. Logo.3” x = 35o 20’ 31. Valores obtidos com a estação total . O instrumento utilizado foi a estação total da Leica TC 600. com precisão nominal angular de 5”. calculado na alínea c.Leica TC 600 – Ângulo A-B-C xi xi xi o o o 35 20’ 34” 35 20’ 29” 35 20’ 30” 35o 20’ 30” 35o 20’ 33” 35o 20’ 34” o o 35 20’ 32” 35 20’ 30” 35o 20’ 33” 35o 20’ 29” 35o 20’ 35” 35o 20’ 35” o o 35 20’ 34” 35 20’ 28” 35o 20’ 30” 35o 20’ 33” 35o 20’ 29” Operador 1 .4: Medidas do ângulo horizontal. Operadores: Equipe 01 Local: B. f) A definição se alguns dados que devam ser eliminados. se pode dizer que o valor mais provável é 35o 20’ 31. 2” v2 0.30 17 = ± 0. No transporte de altitudes.98” d) O erro de tolerância Neste exemplo vamos defini-lo como: et = 3 .04” 0.8” 212o 03’ 10.29' ' ≅ ± 0.3” + 0.24” 0. c) O desvio padrão da média (Tabela 7.Ajustamento de Observações Topográficas .54” 0.20” 0.5) Será dado pela seguinte expressão: mx = σ ∑ pi =± 0.30'' 17 2 Os valores de vi’s foram definidos como a diferença entre as médias de cada série de observação e a média ponderada final (valor mais provável) (vi = x .086 = ± 0.5: Resumo dos cálculos II.3 .07' ' Tabela 7.6” Desvio . o tre206 .5 são menores que este valor. 3. podendo ser considerado todas as observações.Exemplo 3 O exemplo a seguir refere-se a tratamento de observações altimétricas.09” 0. o valor da diferença de nível deve ser preciso.0” 212o 03’ 07.Aspectos Básicos σ=± 2 ∑p ⋅v i i ⋅ n = n −1 ∑ pi 0. e dependendo da aplicação.30” = ± 0. relativo à tolerância exigida. Média dos ângulos 35o 20’ 31.0.8” Soma Peso (P) 5 6 6 17 Média x Peso 176o 42’ 39.90” ≅ 1. às vezes. os resíduos das observações também estão consistentes. os desvios da tabela 7. 3).v + 0.8” 35o 20’ 31.2” . Considerando ainda a precisão nominal do equipamento (5”).98 3 ⋅ = 0.x p ).04” P x v2 0. Este transporte geralmente é executado através do nivelamento geométrico composto (Cap.3” 35o 20’ 31.8” 600o 48’ 57. σ = 3 . Capítulo 7 . ± 0.00” e) A definição se alguns dados devem ser eliminados Considerando o erro de tolerância calculado na alínea d. 207 . sendo que normalmente não é o mesmo percurso. ocorrerão menos mudanças de planos de referência. Então. Obtiveram-se então 6 diferenças de nível. 2 L Seja a medida da diferença de nível entre dois pontos A e B. onde L é o comprimento nivelado em km. # Nivelamento geométrico => pi = 1 L . onde foram realizados três nivelamentos e seus respectivos contra-nivelamentos. sendo que os trechos percorridos constam da tabela 7. que possui uma precisão nominal de 2. conseqüentemente o resultado desta diferença de nível possui um grau de confiabilidade maior. pode-se afirmar que os pesos são proporcionais ao inverso dos respectivos comprimentos nivelados. separadas por obstáculos. 3 B 5 2 6 4 1 A Figura 7.5 mm/km nivelado. Porém em se tratando de nivelamento trigonométrico (Cap. O instrumento utilizado foi um nível automático Leica NA 820. 3). d) O erro de tolerância. b) O desvio padrão das observações. # Nivelamento trigonométrico => pi = 1 . considera-se que os pesos são proporcionais ao inverso do quadrado da distância entre os referidos pontos.cho a ser percorrido para o transporte é realizado várias vezes. Desta forma considera-se que ao percorrer um trecho menor.3: Nivelamento geométrico.3).6 (Figura 7. onde L é o comprimento nivelado em km. Pede-se: a) O valor mais provável desta medida. c) O desvio padrão da média. Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos e) O erro de tolerância segundo a fórmula utilizada no Cap. 3; f) O erro de tolerância segundo a ABNT; g) O erro de tolerância, segundo a precisão nominal do equipamento (2,5 mm/km); h) A definição se alguns dados que devam ser eliminados; Tabela 7.6: Medidas da diferença de nível. Nivelamento geométrico Operadores: Equipe 01 Local: B.H. Valores obtidos com o nível automático - Leica NA 820 Alinhamentos Comprimento Diferença de nível Pesos* Peso x constante** A-1-2-3-B 1.532,340 m + 5,621 m 0,653 65,3 B-3-2-1-A 1.532,340 m - 5,625 m 0,653 65,3 A-4-5-B 1.240,300 m + 5,622 m 0,806 80,6 B-5-4-A 1.240,300 m - 5,624 m 0,806 80,6 A-6-B 993,240 m + 5,624 m 1,007 100,7 B-6-A 993,240 m - 5,625 m 1,007 100,7 * Os pesos foram obtidos pela expressão pi = 1/L; sendo L o comprimento em km. ** Para facilitar os cálculos, pode-se multiplicar os pesos por uma constante sem afetar o resultado final e, neste exemplo, tomou-se a constante como 100. Solução: a) O valor mais provável desta medida (Tabela 7.7) ( ) n ∑ xi ⋅ p i 5,6230 ⋅ 65,3 + 5,6230 ⋅ 80,6 + 5,6245 ⋅ 100,7 1.386,7829 x p = i=1 = = = 5,6236 m n 246,6 246,6 ∑ p i i =1 Tabela 7.7: Resumo dos cálculos III. Operação do nivelamento Nível. Contra-nivel. 5,621 m 5,625 m 5,622 m 5,624 m 5,624 m 5,625 m Soma Média Peso Média x Peso 5,6230 5,6230 5,6245 65,3 80,6 100,7 246,6 367,1819 453,2138 566,3872 1.386,7829 Média ponderada 5,6236 m Desvio v - 0,0006 - 0,0006 + 0,0009 v2 Peso x v2 3,6 x 10-7 3,6 x 10-7 8,1 x 10-7 0,0000235 0,0000290 0,0000816 0,0001341 b) O desvio padrão das observações σ=± 2 ∑p ⋅v i i ⋅ n = n −1 ∑ pi 0,0001341 3 ⋅ = 0,0000008 = ± 0,0009 m 246,6 2 208 c) O desvio padrão da média mx = σ ∑ pi =± 0,0009 246,6 = ± 0,00006 m ≅ 0 ( zero) d) O erro de tolerância et = 3 . σ = 3 . ± 0,0009 m = ± 0,0027 m ≅ 3 mm e) O erro de tolerância segundo a fórmula utilizada no Cap. 3 No capítulo 3, item 4.4.2 definiu-se uma expressão de tolerância, com os seguintes fatores: T = c⋅k⋅ L onde T - Tolerância do nivelamento; c - Coeficiente de precisão que varia de 1 a 2,5 k - Erro médio admitido por quilômetro: k = 5 mm para nivelamento de precisão de primeira ordem; k = 10 mm para nivelamento de precisão de segunda ordem; k = 15 mm para nivelamento de precisão de terceira ordem. L - Extensão nivelada em km; Desta forma, considerando c igual a 1, nivelamento de primeira ordem (k = 5 mm) e L médio igual a 1 km, tem-se: T = c ⋅ k ⋅ L = 1 ⋅ 5 mm ⋅ 1 = 5 mm f) O erro de tolerância segundo a ABNT Segundo as normas da ABNT, publicada na “NBR – 13.133 - Execução de levantamento topográfico”, este exemplo encontra-se na classe IN Geom., na qual possui uma tolerância de 12 mm . k , com k em extensão em km, logo: T = 12 mm . k = 12 mm . 1 = 12,0 mm g) O erro de tolerância segundo o IBGE Segundo as normas do IBGE (Cap. 3, Item 3.6.2, Tabela 3.5), considerando um nivelamento de alta precisão, o erro padrão aceitável para uma linha após o ajustamento (k = comprimento da linha em km) é: T = 2 mm k = 2 . 1 = 2,0 mm 209 Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos h) O erro de tolerância, segundo a precisão nominal do equipamento (2,5 mm/km) Pela precisão nominal, observa-se que o erro de tolerância é de 2,5 mm em 1 km medido. Considerando nosso percurso com distância aproximada de 1 km, pode dizer então que a tolerância é 2,5 mm (T = 2,5 mm). i) A definição se alguns dados que devam ser eliminados Observe que nas alíneas d, e, f, g e h buscou-se formas e padrões diferentes para definir a tolerância a ser admitida às observações. Observa-se também que todas estas tolerâncias são superiores aos desvios encontrados nas observações, concluindo que estas estão precisas na avaliação da diferença de nível entre os dois pontos considerados. 210 Observações e anotações - Cap. 7 ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 211 Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 212 Generalidades e Definições Locação pode ser definida como a prática topográfica de implantação no terreno. direções ou outras referências para construção de uma obra. Figura 8. Figura 8. podem ser feitas acompanhando-se o ponto planimétrico.1: Estaca testemunha.1). dos pontos que forneçam informações planimétricas e/ou altimétricas. com informações escritas em uma estaca ao lado (Figura 8. corte ou aterro e outras). Pode ser ainda em estacas. pregos. marcos). de modo que se possa executar uma obra de acordo com um projeto. As marcações altimétricas (cotas. ou em formas de cruzetas para a marcação de aterros (Figura 8. para referências do greide (Figura 8. que determinam alinhamentos de eixos ou bordos.3). 213 . As marcações planimétricas são implantadas no terreno em forma de pontos (piquetes.1 .2: Referência do greide. vértices.3: Utilização de cruzetas.2). Figura 8. # Terraplenagem de grandes áreas. # Marcação de off-set para terraplenagem – planialtimétrico (Figura 8. # Locação para obras complementares (cerca. # Canalizações. Capítulo 8 .Locação A locação tem suas especificidades para cada tipo de projeto ou obra. passa-gados.). fazendas. a equipe de topografia deve fazer novamente a locação do eixo e as marcações adequadas ao serviço a ser executado pelas máquinas. pinturas de faixas) – planimétrico. 214 . etc. sempre partindo da locação do eixo para a implantação de outros pontos. motoniveladora. # Construções com alinhamento vertical (torres. # Locação de terrenos (lotes. # Locação de obras de arte (bueiro. deve-se tratar as etapas de execução em separado. e por onde trafegam e trabalham os equipamentos pesados (moto-scraper. trator.) da obra. A seguir serão comentadas algumas especificidades da locação de estradas. # Montagem industrial. 2 – Locação para Construção de Estradas Na construção de estradas rodoviárias ou ferroviárias.) – planialtimétrico. etc. # Locação dos alinhamentos de trilhos ou revestimentos das estradas – planimétrico. galerias. # Túneis. rolos compactador. # Edificações. A seguir alguns tipos de serviços que necessitam de marcações diferenciadas: # Construção de estradas. para que fique bem definida no campo a representação do projeto. sarjeta. chaminés.4). etc. O eixo da estrada é exatamente onde os serviços de construção serão executados. etc. Portanto é fácil entender o porque da locação ser uma constante na obra. # Locação dos bordos da pista para subleito. Pode-se citar algumas etapas caracterizadas na construção de estradas: # Locação do eixo – planimétrico. # Mineração. devendo fazer a melhor marcação visual. # Marcação da faixa (largura) para o desmatamento – planimétrico. O acompanhamento e controle planialtimétrico será uma constante no decorrer da obra. Em cada etapa da obra ou sempre que necessário. sub-base ou base – planialtimétrico.). 4: Exemplo da marcação de off-set.Off-set Eixo Off-set d1 d2 d1 ≠ d 2 Figura 8. que é o ponto de partida para a locação do eixo. azimutes ou rumos. que podem ser deflexões. 215 . chega-se à estaca inicial.5): Figura 8.1 – Locação das Tangentes e PI´s Inicia-se a locação para a implantação de uma estrada pela identificação no terreno natural de algum ponto de referência do projeto. 2. Com o projeto em mãos inicia-se a marcação dos trechos retos (tangentes). e dos pontos de interseção das tangentes (PI’s) (Figura 8.5: Marcação das tangentes e PI´s. A partir de cálculos de distâncias e ângulos. mede-se 90° e marca-se o alinhamento. Com isso os pontos de referência para a locação serão os PI’s. sendo materializados por piquetes. Para se fazer amarração de um PI.7. marcando-se um alinhamento com o ângulo de 90°.6. Este processo agiliza-se na obra se for feito com dois teodolitos simultaneamente.. Se estes também forem perdidos. # Instala-se o teodolito em A2 e zera-se no ponto Aux. referencia-se os pontos de interseção (PI’s) em outros pontos (amarração) fora do movimento das máquinas na obra. mede-se 90°. A interseção dos dois alinhamentos será o ponto Aux. zera-se o teodolito na direção do PI. # A interseção dos dois alinhamentos é o ponto do PI. Instalando-se o teodolito no ponto A1.6: Amarração de um PI por interseção de ângulos.6). zera-se na direção do PI. Capítulo 8 . Outro processo similar é a amarração por interseção de distâncias indicado na Figura 8. marcando-se um alinhamento com o ângulo de 90°. ou seja: # Instala-se o teodolito em A1 e zera-se no ponto Aux. Figura 8. Para a locação do PI a partir dos pontos de amarração é só fazer o processo inverso.. a solução será buscar os pontos de amarração para a re-locação do eixo da estrada (Figura 8. conforme mostra a Figura 8. pelo processo de interseção de ângulos. 216 . e ainda que tenham visão do PI. deve-se escolher dois pontos fora da estrada (A1 e A2) e que estejam protegidos da obra. Instala-se o equipamento agora em A2. que também servirá de referência. É importante lembrar que os piquetes do eixo sempre serão perdidos com a movimentação e execução de cada etapa da obra.Locação Determinada as tangentes e os PI’s. A2 e um outro ponto de reserva são escolhidos com o mesmo critério anterior. fazendo-se um arco no chão. d2 e dr). Na amarração por distâncias são necessários trena e balizas.9). As curvas podem ser circulares (Figura 8. Notar-se-á neste processo que somente dois pontos seriam necessários para se definir um terceiro. 2. # A interseção dos dois arcos é o ponto do PI.8) ou com transição em espiral (Figura 8. Para a locação do PI a partir dos pontos de amarração é só fazer o processo inverso. porém escolhe-se mais um ponto.7: Amarração de um PI por interseção de distâncias. Figura 8. fazendo-se um arco no chão. No caso de perda de algum ponto. Depois de implantados os pontos.8: Elementos de uma curva circular simples. Este processo pode ser feito com duas trenas simultaneamente. utiliza-se o ponto reserva com o mesmo procedimento.2 – Locação das Curvas Locada as tangentes.Figura 8. A locação das curvas deve seguir os dados de projeto e ainda ter uma planilha de cálculo complementar para se implantar ponto a ponto o seu eixo. para eventuais perdas de A1 ou A2. simplesmente medem-se a distância de cada um ao PI (d1. faz-se à locação das curvas. 217 . ou seja: # A partir do A1 marca-se com a trena a distância d1. # A partir do A2 marca-se com a trena a distância d1. Os pontos A1. ou simplesmente chamadas de “Curvas de Transição”. 2.10). Na Figura 8.11 têm-se representado alguns elementos da curva circular simples: 218 . Figura 8. Locadas e implantadas a curvas na obra. Capítulo 8 .2.9: Elementos de uma curva de transição. não passando mais pelos PI’s (Figura 8. onde concorda com a tangente e mais fechado no encontro com a circular. A curva circular como o nome indica. que servirá de referência para todo o trecho.Locação As curvas com transição. O estaqueamento deverá seguir as tangentes e acompanhar o alinhamento das curvas. Figura 8. refaz-se o cálculo do estaqueamento. possuem um trecho em espiral que faz a ligação da tangente com o trecho circular na entrada e saída de curva.10: Estaqueamento final de uma estrada. estacionamentos. como no caso de praças. mas pode ser aplicada também em raios muito pequeno. etc.1 – Curva Circular Simples A curva circular simples é usada normalmente para raios maiores que 600 metros. sendo mais aberto no início da curva. é um seguimento de uma circunferência. trevos. O grau de curvatura da espiral é variável. vamos utilizar o triângulo retângulo PC-PI-O da Figura 8. # O centro da curva (O) é o ponto que com a distância do raio (R) traça-se a curvatura passando pelos pontos PC e PT. definimos um eixo de simetria. os alinhamentos PC => O e PT => O. O raio (R) e o Ângulo de deflexão (I) são dados conhecidos do projeto. # O desenvolvimento (D). # AC é o ângulo interno da curva. são iguais e são chamadas tangentes externas (T).# Os pontos PC e PT. # A distância reta do PC ao PI e do PT ao PI. formado pelas as ortogonais do PC do PT. são ortogonais às tangentes da estrada. é o comprimento curvo entre o PC e o PT. Traçando-se uma reta ligando o PI ao centro da curva (O). a) Cálculo da Tangente Externa (T) Para o cálculo da distância da tangente externa (T). são pontos de início e término da curva. sendo pontos de tangência. sabendo se que o raio (R) e a deflexão (I) são dados conhecidos no projeto. é o ângulo de mudança de direção das tangentes. # O ângulo de deflexão (I). 219 . Figura 8.12.11: Elementos da curva circular. Capítulo 8 . Tem-se: tg AC T ∴ T = R .R” e que corresponde a um ângulo de 360°.R . pode-se fazer uma regra de três.12: Cálculo da tangente externa. assim temos: Figura 8.R .13.tg ⎛⎜ AC ⎞⎟ = 2 R ⎝ 2 ⎠ b) Cálculo do desenvolvimento (D) Sabendo-se que o comprimento de uma circunferência é “2. para saber o comprimento “D” correspondente a um ângulo “AC”: 2.R Æ 360° D Æ AC ∴ 2.π.π. toma-se o triângulo “O-PI-PT” na Figura 8.π. D Então: D= 2.Locação Figura 8.AC = 360 .AC 180 Ainda não se conhece o valor do ângulo central (AC) da curva.π.R × AC 360 ⇒ D= π. Levando-se em conta o eixo de simetria da curva.13: Ângulo AC. 220 . 30 m e deflexão (I) de 47° 30’ 40’’.α = 180 − I ⇒ α = 180 − I 2 ⇒ α = 90 − I 2 (2) Substituindo (2) em (1). menos a tangente externa T1. deve-se partir da estaca do PC 1 (já calculada). calcular os elementos : 221 . estaca do PI igual a 47 + 12. tem-se que é a estaca inicial mais a distância até o PI.14. ou seja: est.PC = est. também passamos a conhecer o AC.PI − T Para o cálculo da estaca do PT 1. A estaca do PC1 é a distância da estaca inicial ao PI 1 (d1). est.A soma dos ângulos internos do triângulo é 180°. percorrendo seu desenvolvimento (D1) (Figura 8. calculada em metros e depois transformada em estacas. Exemplo 1: Para uma curva circular de raio igual a 750. Como a deflexão é um elemento já conhecido.14: Cálculo das estacas do PC e PT. e passar pela curva.PC + D Figura 8.PT = est. tem-se: AC I AC ⎛ 90 − I ⎞ = 180 ⇒ 180 − + = 180 ⇒ ⎜ ⎟ + 90 + 2 2 2 ⎝ 2 ⎠ AC I = ⇒ AC = I 2 2 Portanto.14). c) Cálculo das estacas do PC e do PT A estaca do primeiro PI (PI1) da Figura 8.00m. então: α + 90° + AC = 180° 2 (1) tem-se: α + α + I = 180 ⇒ 2. vimos que o ângulo central (AC) de uma curva é igual à sua deflexão (I). PT = EST.750 × 47°30'40' ' ⇒ D = 621. PI1 = d1).PT = 622. porém se considerarmos as curvas as tangentes externas (T) são substituídas pelo desenvolvimento (D) (Figura 8.30) − 330.095 m 2 ⎝ ⎠ T = 750 × tg ⎜ ⇒ D= π.095 ⇒ Est.). Solução: a) T = R. A distância da estaca inicial até o PI 2 considerando o trecho reto é igual a d1+d2 (Figura 8.095 ⇒ Est. Capítulo 8 .244.205 m Est.15).PC + D ⇒ Est. O valor de π deve ser o da calculadora (3.(31 + 2.205 + 621.PC = 622. d) Estaca do PT.PC = 952.16).919 m 180 # Observações: Os ângulos devem ser decimalizados para se executar as operações.tg b) D = AC 2 π.PC = Est.15: Cálculo das estacas do PI.Locação a) Tangente externa (T).919 ⇒ Est.PI − T ⇒ Est. Est.205 m ⇒ Est..124 m ⇒ Est.R.919 ⇒ Est.PT = Est.205) + 621. porém a partir do segundo PI as estacas sofrem alteração se considerarmos o estaqueamento do trecho reto e após a implantação das curvas. b) Desenvolvimento (D).PT = 62 + 4. c) Estaca do PC.PC = EST. A distância da estaca inicial ao PI1 é d1 (est.124 m d) Cálculo das estacas do PI’s seguintes Como visto anteriormente a estaca do primeiro PI não muda com a implantação da curva.1415.PT = 1. 222 .. Figura 8.300 − 330.PC = 31 + 2.(47 + 12.AC 180 ⇒ ⎛ 47°30'40' ' ⎞ ⎟ ⇒ T = 330. inicial + d1 − T1 + D1 + d 2 − T1 mas. Onde nas fórmulas têm PC. após a implantação das curvas. pode-se tirar da figura 8.PI 1 − T 1 ⇒ est .PC 1 = est . de acordo com os dados e desenho esquemático: Observações: # O desenvolvimento e as tangentes externas podem ser de curva circular simples ou de transição. será o comprimento total da estrada. considerando as tangentes e o desenvolvimento.inicial + d1 − T 1 est. 223 .PC n −1 + D n −1 + d n − Tn −1 Figura 8.PI n = est.inicial + d1 − T1 ∴ est.PI1 = est. # A estaca inicial de uma estrada.15. serão estudados adiante. Exemplo 2: Calcular os elementos das curvas. a estaca final e as estacas dos PI’s do trecho dado.PC2 + D2 + d3 − T2 Pode-se generalizar a equação como: est. pois poderá ser a continua- ção de um trecho antigo ou alguma ramificação de um trecho principal.PI3 = est.PI2 = est. para curva circular é só substituir por TS da curva de transição correspondente. que: est.PC1 + D1 + d 2 − T1 analogamente. não necessariamente será a estaca 0. Os cálculos dos elementos das curvas com transição.PC 1 = est . est. tem-se: est.PC = est.Considerando-se então o estaqueamento. com as curvas implantadas.PI 2 = est.16: Distância PC-PT.inicial + d1 est . # A diferença entre a estaca inicial e a estaca final. 205 m Est. PI2 = D2 PC1 D1 PT1 ST2 T1 d1 PI1 d3 CURVA 1 CURVA 3 R1 = 750.777 m PI4 ST4 T4 = 261.646 m T1 = 330. PT3 = Est.467.526 m d4 = 2.300 m Est. PI1 = 47 + 12.Locação # A estaca final pode ser tratada como um PI final. final = 224 .300 m T3 d3 = 2.000 m D4 = 266. ST2 = TS2 T1 T2 Est.000 m R3 = 840.323.para efeito de cálculos.974 m d1 = 952. Capítulo 8 .000 m D2 = 505.000 m D1 = 621. PC3 = Est.952. ST4 = Estaca final T4 d5 Est.000 m Est. # Para os cálculos que envolvem estacas e distâncias.000 m T2 d2 PI2 Est.124 m Est. de estaca em metros ou vice-versa. deve-se tomar o cuidado para transforma- ções.132 m d2 = 1.789 m Estaca inicial = 0 T2 = 315.919 m PC3 D3 = 879. PC1 = 31 + 2. TS4 = Est.300 m D3 Est.095 m T3 = 484. PI3 = PI3 AC = 40° 30’ 40’’ T3 PT3 TS4 T4 d4 CURVA 4 D4 R4 = 165. Desenho esquemático de uma estrada: CURVA 2 R2 = 250. PI4 = AC = 40° 30’ 40’’ d5 = 843. TS2 = Est. PT1 = 62 + 4.638 m Est. 205 m D1 = 621.095 = 2.000 m T1 = 330.Pi1 = est.PI2 = estPC1 + D1 + d 2 − T1 Porém precisamos dos valores de: Est.000 − 330.PC3 = 228 + 19.323.(31 + 2.854m ∴ est.(0) + 952.237.(111 + 17.TS2 = 96 + 1.PI n = est .897 m D2 = 505.inicial + d1 ⇒ est.PC1 = 31 + 2.132 m ∴ estPI3 = est.952.919 m d 2 = 1.064.919 + 1.854 m d) Cálculo da estaca do PI4 ∴ est.PC3 = Est.132 ⇒ Est.(47 + 12.Solução: a) Cálculo da estaca de PI1 est.30) − 330.646 m 225 .(253 + 4.789 + 2.323.PI4 = estPC3 + D3 + d 4 − T3 Porém precisamos dos valores de: Est.854) − 484.952.PI2 = 111 + 17.TS2 = Est.095 m ∴ estPI2 = est.029) − 315.132 = 5.300m b) Cálculo da estaca do PI2 sabemos que: Æ est .880 m D3 = 879.PC1 = Est.029m ∴ est.300 − 315.(96 + 1.897m) + 505.205m) + 621.974 ⇒ Est.PI1 = est.300 m T 2 = 315.PI1 = 47 + 12.300m ⇒ est.PI3 = estTS2 + D2 + d3 − T 2 Porém precisamos dos valores de: Est.029 m c) Cálculo da estaca do PI3 ∴ est.095 ⇒ Est.PI3 = 253 + 4.PC n − 1 + D n − 1 + d n − T n − 1 ∴ est.789 m d3 = 2. 777 m d5 = 843.(359 + 0.638 − 261.TS4 + D 4 + d5 − T 4 ∴ est.∑ T Para o exemplo.17: Diferença entre distância reta e curva.026 m D4 = 266.final = est.final = 401 + 8. somam-se todas as distâncias retas (d) à estaca inicial e subtraem-se as tangentes externas de cada curva (T) substituindoas por seu desenvolvimento (D).974 = 7.526 = 8.TS4 = 359 + 0.TS4 = Est.777 + 843. Figura 8.inicial + ∑ d + ∑ D − 2.552) − 261.PI4 = 372 + 1.000 m T3 = 484.Locação d 4 = 2.026m) + 266.552 m ∴ est.638 m T 4 = 261.646 + 2.(228 + 19.17).028.915 m ∴ est. Pode-se escrever que: est.974 m ∴ estPI4 = est.TS4 + D4 + d5 − T 4 Porém precisamos dos valores de: Est.PI5 = est.915 m Para conferência dos cálculos. ou seja. tem-se um desenvolvimento e duas tangentes externas (Figura 8.467.final = est. recalcula-se a estaca final de maneira direta.467.000 − 484.(372 + 1.880m) + 879. tem-se: 226 . Capítulo 8 .441. Porém para cada curva.552 m e) Cálculo da estaca final Considerando a estaca final como sendo o PI5.final = est.526 m ∴ est. segue-se o mesmo procedimento: ∴ est.526 ⇒ Est. para raios menores. de maneira que os pontos marcados mostrem com eficiência o alinhamento correto da curva. deve ser tal que represente bem a curvatura.final = est.0 + 2.538.00 m 227 . A distância entre os pontos pode ser reta (corda) ou curva (arco) e seu comprimento será em função do raio. é feita através de pontos no eixo da estrada. seja bastante aproximada da medida curva (Figura 8. previamente programada.18). o arco será aproximadamente igual à corda. A marcação dos pontos é feita a partir da medição de ângulos e distâncias.915 m est. que poderá ficar em qualquer posição que tenha visão da curva. entre eles os mais usados na prática são: locação por deflexão e locação por coordenadas. necessita-se de cordas menores.final = 401 + 8.538. A divisão da curva é feita em arcos.274.783.238 2. Quanto menor o raio.00 m 100 m < R < 600 m ⇒ a ≅ c = 10.783.131 m ∑ d = d1 + d2 + d3 + d4 = 8.727 = 2.238 − 2.028. Para raios maiores. são fundamentais para obra. a representação poderá ser feita com arcos maiores pois sendo o grau de curvatura menor.18). A locação por coordenadas é feita com estação total. assim na prática se utilizam as seguintes medidas: R ≥ 100 m ⇒ a ≅ c = 5. maior será o grau de curvatura da curva. as locações dos trechos de retas e de curvas.∑ D = D1 + D2 + D3 + D4 = 2. portanto o comprimento do arco deverá ser de forma que a medida reta (corda) entre dois pontos. A locação da curva no campo.∑ T = 2.18.391.131 + 8. Como se nota na figura 8. A locação por deflexão é feita com teodolito ou estação total.00 m R > 600 m ⇒ a ≅ c = 20. e) Locação da Curva Circular Simples Na implantação da estrada. pois a marcação dos pontos no terreno servirá de referência para a execução da obra. devendo ser dividida em arcos menores (Figura 8. podendo ser feita por vários processos.915 m 9 Ok ! Confere com os cálculos anteriores.454 est. A marcação dos pontos é feita a partir de medidas fornecidas pela estação total. porém em campo as medidas são tomadas retas.454 = 8. instalado no ponto de início da curva (PC).(T1 + T 2 + T3 + T 4) = 2 ×1. A distância entre os pontos que demarcam o eixo da curva na locação.274. 19. 228 . e sua planilha.00 m.00 m.00 m deve ser feita com arcos de no máximo 10. A distância curva entre as estacas será o arco.20 m) e o penúltimo ponto de locação e o PT (1. ou seja. A curva da figura 8. 8. A locação das curvas com raios menores que 100. e sua planilha. 8.19. Veremos o cálculo da corda ainda neste capítulo. Não há necessidade na planilha de se repetir a estaca inteira em todas as linhas para as estacas intermediárias.00 m deve ser feita com arcos de no máximo 5. Conforme a curva da figura 8. A locação das curvas com raios entre 100. 10 ou 20 m (Figuras 8. A locação das curvas com raios maiores que 600. entre o PC e o PT. após a locação de 7 pontos. com arcos de 10.00 m. que é diferente da distância reta (corda) que é medida em campo. Na planilha serão representados somente os pontos dentro da curva.00).20).20 m) e o penúltimo ponto de locação e o PT (6. A locação é feita com o aparelho (teodolito) instalado no PC. devido às estacas do PC e PT não serem inteiras. e também de colocar a estaca inteira mais zero (Ex: 204 + 0.60 m) serão menores que 10. será representada no campo após a locação de 13 pontos.20.21 e sua planilha.18: Locação das curvas através da corda. devido às estacas do PC e PT não serem inteiras. Nota-se ainda que os arcos entre o início da curva PC e o 2° ponto de locação (7. com arcos de 5. f) Distribuição do estaqueamento na planilha Têm-se as três condições vistas.00 m.60 m) serão menores que 5. Esta curva.00 m e 600. conforme figura 8. Nota-se ainda que os arcos entre o início da curva PC e o 2° ponto de locação (17.00 m. devido as estacas do PC e PT não serem inteiras.00 m. Capítulo 8 .19. será representada no campo após a locação de 25 pontos. Nota-se ainda que os arcos entre o início da curva PC e o 2° ponto de locação (2.00 m. para arcos de 5.00 m deve ser feita com arcos de no máximo 20.60 m) serão menores que 20.Locação Figura 8.20 m) e o penúltimo ponto de locação e o PT (16.00 m. será representada no campo com arcos de 20.00 m. 229 . Arcos de 20.7°ponto Fora da curva est. 208 est.00 20. est. 205 est. 207 PLANILHA est.00 m.00 20.80 m est. 202 est.60 208 Arco (m) 17.1°ponto 2° ponto 3° ponto 4° ponto 5° ponto 6° ponto PT . 201 202 202 2.60 - Observ.Distribuição do estaqueamento e planilha para uma curva com arcos de 20. 206 est.19: Locação I. PC 202 + 2.00 20. 203 est.00 16.80 203 204 205 206 207 16.60 m est. PC 207 + 16.20 20. Fora da curva Fora da curva PC . usados para raios maiores que 600 m.00 m. 204 Estacas Inteira intermed. 201 Figura 8. 00 10.00 207 10.60 208 est. usados para raios entre 100 e 600 m.60 - Observ.00 10. Fora da curva Fora da curva PC .00 10. 206 + 10.00 est.00 Estacas Inteira intermed. PC 202 + 2.00 Arco (m) 7.1°ponto 2° ponto 3° ponto 4° ponto 5° ponto 6° ponto 7° ponto 8° ponto 9° ponto 10° ponto 11° ponto 12° ponto PT .00 6. 203 + 10.00 10.00 10.00 16.80 10. 208 est.Locação Distribuição do estaqueamento e planilha para uma curva com arcos de 10. est.00 10.20 10.00 est.00 205 10.20: Locação II.13°ponto Fora da curva est.00 10. 201 Figura 8. 201 202 202 2.00 est.00 m. Arcos de 10.00 206 10. PC 207 + 16. 205 + 10. 202 est.00 10.60 m + 10. 204 + 10.00 10.80 m est. 230 .00 204 10.00 m. Capítulo 8 . 207 PLANILHA + 10.00 est.00 203 10. 00 + 5.00 5.00 + 5.00 est.00 5.60 + 5. Arcos de 5. PC 207 + 16.00 5.00 5.80 + 5.00 5.00 Arco (m) Inteira intermed.00 10.00 + 5.00 5.00 5.00 201 202 est. 208 PLANILHA + 5.00 5.00 Estacas + 10. 203 16.00 5.00 + 5.00 206 5.00 15.00 15.00 208 + 10.00 + 10.00 207 5.00 2.00 10.00 203 5.00 + 5.00 204 5.00 m.00 5. 202 est.00 5.00 est.00 5.00 5. + 5. 206 10.00 + 10.00 5.60 m Observ.00 5. 201 Figura 8.00 10.00 5. 204 10. PC 202 + 2.00 5.00 m.1°ponto 2° ponto 3° ponto 4° ponto 5° ponto 6° ponto 7° ponto 8° ponto 9° ponto 10° ponto 11° ponto 12° ponto 13° ponto 14° ponto 15° ponto 16° ponto 17° ponto 18° ponto 19° ponto 20° ponto 21° ponto 22° ponto 23° ponto 24° ponto PT .00 15.00 est.00 5.00 + 5.00 5. est.00 10.00 est. 231 .00 15.25°ponto Fora da curva est.20 + 10.00 15.00 5.00 + 10. 205 205 5. 207 202 2.21: Locação III. Fora da curva Fora da curva PC . usados para raios menores que 100 m.00 5.60 1.00 5.00 5.80 m est.Distribuição do estaqueamento e planilha para uma curva com arcos de 5.00 15.00 + 5.00 + 5.00 est. em estradas já abertas.23). quando se quer determinar o raio para que a curva “fuja” de algum obstáculo ou construção (Figura 8. Capítulo 8 . Pode-se calcular o afastamento em função do raio e do ângulo central.22: Cálculo do afastamento. tem-se: cos AC R R = ⇒ (R + A) = AC 2 (R + A) cos 2 ⇒ A= AC R − R ⇒ A = R.(sec − 1) AC 2 cos 2 Figura 8. por exemplo. Este parâmetro é importante quando se quer passar uma curva em local obrigatório. 232 . calcula-se o afastamento “A” (Figura 8. Do triângulo retângulo O– PC-PI. e ainda.22).Locação g) Afastamento Para se determinar a distância que o eixo da curva passará do PI. 25). na mesma curva (Figura 8.24). tem-se o grau de curvatura G1.23: Aplicação do cálculo de afastamento. até a direção de um ponto “B”. Ga = G1 × a G1 = onde: Ga AC = a D Figura 8.Figura 8.24: Grau da curva. temos o grau de curvatura Ga. 233 . Para um ângulo central correspondente a um arco genérico ‘a’. que é a somatória de G1 para um arco ‘a’. h) Grau de curvatura O grau de curvatura de uma curva é representado pelo ângulo central correspondente a um determinado arco (Figura 8. i) Deflexões Deflexão é o ângulo formado entre a reta tangente à curva em um ponto “A” qualquer. Para um ângulo central correspondente a um arco de 1 metro. toma-se o triângulo PCÆPTÆO. Capítulo 8 . sabendo-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° e que a curva circular possui eixo de simetria. e o alinhamento PCÆPT.25: Deflexão. (Figura 27-b).26: Deflexão total I. Figura 8. (Figura 8. A deflexão total da curva (Dt).26).Dt = AC ⇒ Dt = (a) (b) AC 2 (c) Figura 8.Locação Figura 8. da = Ga 2 onde: da = deflexão referente a um arco “a”.27: Deflexão total II. Analogamente tem-se para um arco “a” ângulo central igual à Ga.27-a). tem-se: AC + (90° − Dt ) + 90° − Dt = 180° ∴ AC = 180° − 180° + 2. é o ângulo formado entre a tangente no início da curva (PC).correspondente a um ângulo central (AC) (Figura 8. 234 . Para cálculo de Dt.Dt ⇒ 2. Ga = grau de curvatura do arco “a”.D mas.R.AC ∴ dm = ×180° 180° 2π. até um ponto qualquer da curva. será igual à deflexão parcial do primeiro arco (da1). G1 = 2. tem-se: dm = G1 2 mas. ou seja: dt = da1 + da 2 235 . G1 = simplificando. D = Ac π.será a soma de todas as deflexões parciais dos arcos anteriores ao ponto (Figura 8. Figura 8. a deflexão acumulada (dt) até este ponto.dm da = dm × a então: i2) Cálculo da deflexão acumulada A deflexão acumulada (dt). (Figura 27-c).R i1) Cálculo da deflexão parcial para um arco “a” da = Ga 2 mas.R. a deflexão acumulada (dt) até este ponto. Ga = G1× a ∴ da = G1 × a 2 mas.AC 90° π. Para um arco igual a um metro e ângulo central G1. ou seja: dt = da1 Para o ponto 2.28: Deflexão acumulada I. tem-se: dm = AC AC ∴ dm = D 2.28). será igual às deflexões parciais do primeiro arco (da1) e do segundo arco (da2). Para o ponto 1. tem-se a seguir. Para comprovar esta afirmativa. (A D E) e (D B F). será igual às deflexões parciais do primeiro arco (da1). são as mesmas que tomadas a partir das tangentes destes pontos. (Figura 8. ¾ A soma dos Ângulos internos de um triângulo é 180°. a demonstração destes conceitos. do segundo arco (da2) e do terceiro arco (da3). é o ângulo formado entre a tangente do ponto 1 e o alinhamento 1Æ2. pode-se escrever que: n dt = da1 + da 2 + da3 + K + dan ∴ dt = ∑ da 0 As deflexões parciais tomadas a partir do PC.30: ¾ Os triângulos (A B C). tomada a partir do PC. (1 e 2) e (2 e 3). com base na figura 8. a deflexão acumulada (dt) até este ponto.Locação Para o ponto 3. referente a dois pontos quaisquer (Pc e 1). que também é a deflexão da2. Capítulo 8 . Porém a deflexão tomada no ponto 1. Considerando o triângulo (ABC). tem-se: α+ γ =β+θ ⇒ γ =β+θ−α (1) 236 . pois são formados com as tangentes de uma circunferência. e como estes conceitos são muito importantes no estudo das deflexões das curvas circulares. são eqüiláteros.29: Deflexão acumulada II.29). ou seja: dt = da1 + da 2 + da 3 Generalizando para um ponto ‘n’qualquer. é o ângulo formado entre os alinhamentos PCÆ1 e o alinhamento PCÆ2. Figura 8. A deflexão da2. β ∴ γ =β (3)9 Ok! Substituindo (3) em (2). será: γ + (180 − α − β) + θ = 180° ∴ θ = α + β − γ (2) Substituindo (2) em (1). será: 180º −α − β A soma dos ângulos internos do triângulo ADB. tem-se: θ = α +β−β θ = α 9 Ok! 237 .Considerando o triângulo ADB. o ângulo interno no vértice D. tem-se: γ = β − α + α + β − γ ⇒ γ + γ = 2. Locação Figura 8. referente ao desenvolvimento (D) da curva. tem-se: c ⎛ Ga ⎞ sen⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 2. (Figura 8. tem-se: Para o cálculo de uma corda (c) qualquer. referente à um arco (a) da curva.31). (Figura 8. j) Cálculo das cordas Para o cálculo da corda do PCÆPT.32).30: Deflexão acumulada III.31: Cálculo das cordas I. da = 2 ⎝ 2 ⎠ 238 . de ângulo central Ga. Analogamente.R Ga ⎛ Ga ⎞ ⇒ c = 2R × sen⎜ ∴ c = 2R × sen da ⎟ mas. tem-se: c ⎛ AC ⎞ sen ⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 2.R ⎛ AC ⎞ ⇒ c = 2R × sen ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Figura 8. Capítulo 8 . de ângulo central de AC. Exemplo 3: Calcule a planilha de locação.00 m 100 m < R < 600 m ⇒ a ≅ c = 10.Figura 8.997917 m 2 10. pista de corrida. pois têm um grau de curvatura maior.00 m 19.00 m.00 m 19. etc.866933 m 133 Pode-se concluir que raios menores exigem cordas menores. rotatórias. A locação nestes casos deve ser feita com cordas de 1 ou 2 metros. Na prática de locação de curvas em estradas.00 m Arco (a) Corda (c) Diferença em mm 5. adota-se a corda igual ao arco. trevos.32: Cálculo das cordas II.00 m Arco (a) Corda (c) Diferença em mm 5. c = 2R × sen da onde.00 m AC = 26° 38’ 12’’ Estaca do PI = 277 + 15.999884 m 0 20.00 m Arco (a) Corda (c) Diferença em mm 5. para uma melhor representação da curva.991668 m 8 Raio = 50.999074 m 1 Raio = 200.40 m 239 . Pode-se citar como exemplos de raios pequenos: praças.99870 m 0 10.00 m Para raios menores que 30. pode-se adotar cordas menores.999986 m 0 10. considerando os dados abaixo: Raio = 450.00 m 4.00 m 9.00 m 19.00 m 9.00 m 4.00 m 9. Exemplos de diferença entre a corda e o arco para alguns raios. da = dm × a e.R Raio = 600.998958 m 1 20. para que se tenha uma melhor visualização da curvatura da curva no terreno. dm = 90 π.00 m R > 600 m ⇒ a ≅ c = 20.00 m 4. de acordo com a tabela: R ≥ 100 m ⇒ a ≅ c = 5.983342 m 17 20. Capítulo 8 . para os cálculos futuros da deflexão ‘da’. são colocados na planilha e calculada para cada arco ‘a’.. são calculados na planilha. # Os valores da deflexão acumulada ‘dt’. # É importante que se coloque o valor de dm. h) Cálculo da corda c = 2. onde serão implantados os pontos para a definição da curva.PI − T e) Estaca do PT=> est. acumulando-se para cada de- flexão parcial.PC = 272 + 8. na memória da calculadora. g) Cálculo da deflexão para um arco da = dm × a # Os valores da deflexão parcial ‘da’.076 m ⇒ dm = 0.AC ⇒ D = 209. 240 . serão colocados na planilha para o arco e a deflexão correspondentes.0636619772367. assim trabalhando com todas as casas decimais..R.PT = 282 + 18. pois 10 m < R < 600 m b) Desenvolvimento => D = π.sen da # Os valores das cordas.tg ⎜ d) Estaca do PC => est. # Com a planilha calculada.528 m ⎝ 2 ⎠ c) Tangente externa => T = R.PC + D f) Cálculo de dm=> dm = 90° π.R ⇒ est.Locação Solução: a) Definição do arco => a = 10.R.872 m ⇒ est.204 m 180° ⎛ AC ⎞ ⎟ ⇒ T = 106.PC = est. só falta a locação em campo.PT = Est.00 m . 83'' 12° 10' 03.000 0.83'' 12° 48' 15.000 10.9998 00° 38' 11.000 26°38'12'' Curva "D ou E" Direita RESPOSTA PARA CURVA CIRCULAR À DIREITA Estaca do PC Estaca do PT Dados da Curva Inteira Intermediária Inteira Intermediária Tangente (T) Desenv.400 450.000 0.000 9.PLANILHA DE LOCAÇÃO DE CURVA CIRCULAR SIMPLES LOCAÇÃO POR DEFLEXÃO ENTRADA DE DADOS Estaca do PI Dados da Curva Inteira Intermediária RAIO A.9998 00° 38' 11.000 10.000 9.83'' 09° 37' 15.55'' 10.872 10.89'' 10.000 0.872 282 18.83'' 10° 53' 39.83'' 01° 58' 53.076 CADERNETA DE LOCAÇÃO DISTÂNCIAS DEFLEXÕES Arco (a) Corda (c) Parcial (da) Acumulada (dt) 00° 00' 00.38'' 10.83'' 11° 31' 51.83'' 06° 26' 16.9998 00° 38' 11.41'' 10.000 9.9998 00° 38' 11.000 9.000 18.83'' 08° 59' 04.000 10.000 9.000 9.000 10.000 10.000 10.204 Inteira 272 272 273 273 274 274 275 275 276 276 277 277 278 278 279 279 280 280 281 281 282 282 282 ESTACAS Intermediária 8. (D) 272 8.23'' 10.000 9.83'' 02° 37' 05.C.1275 00° 04' 18.83'' 07° 04' 28.000 9.83'' 05° 48' 04.000 9.9998 00° 38' 11.000 10. 277 15.83'' 10° 15' 27.9998 00° 38' 11.83'' 07° 42' 40.000 0.000 10.000 0.9998 00° 38' 11.56'' 10.9998 00° 38' 11.20'' 10.06'' 10.9998 00° 38' 11.24'' 10.83'' 05° 09' 53.076 8.07'' 10.37'' 10.000 9.9998 00° 38' 11.83'' 04° 31' 41.128 1.000 0.54'' 10.00'' 1.0762 00° 30' 50.9998 00° 38' 11.000 9.9998 00° 38' 11.9998 00° 38' 11.000 0.83'' 00° 42' 30.000 10.73'' 10.96'' 13° 19' 06.88'' 10.000 9.04'' 10.000 0.528 209.72'' 10.000 9.03'' 8.000 9.9998 00° 38' 11.000 9.00'' 00° 00' 00.9998 00° 38' 11.9998 00° 38' 11.83'' 03° 15' 17.000 10.076 106.000 9.9998 00° 38' 11.000 9.000 9.83'' 01° 20' 42.90'' 10.71'' 10.000 9.000 0.000 9.9998 00° 38' 11.83'' 08° 20' 52.41'' 00° 04' 18.00'' 241 .000 0.83'' 03° 53' 29.21'' 10.9998 00° 38' 11.9998 00° 38' 11.40'' 10. O cálculo das coordenadas totais será a soma das coordenadas do último ponto com as coordenadas parciais do ponto considerado. Capítulo 8 . e relembrando: Coordenadas parciais: x A − B = d A − B . com as coordenadas parciais de PC ao ponto 1. Figura 8. onde a distância dAB será a corda “c” e o azimuteAB será o azimute da direção da deflexão. XPC e YPC. o procedimento de cálculo das coordenadas parciais será portanto o mesmo. sen AZ A − B y A − B = d A − B . X1 e Y1 do ponto 1. segue o mesmo procedimento de cálculo de coordenadas visto no capítulo 2. x PC-1 ey PC-1 .33. cos AZ A − B Coordenadas Totais: X B = X A + x A−B YB = YA + y A − B Para o cálculo específico de curvas. as coordenadas totais. 242 .33: Cálculo das coordenadas da curva. respectivamente.Locação k) Cálculo das coordenadas O cálculo de coordenadas para locação dos pontos do eixo de uma curva. referente ao ponto a ser determinado. Como mostra a figura 8. serão iguais à soma das coordenadas totais do último ponto. 83'' F 00° 38' 11.41'' + E 45° 46' 48. ou seja: AZ B− C = AZ A − B + d A − B + d B− C Figura 8.35): DEFLEXÕES Parciais (da) AZIMUTES A 45° 00' 00.32'' Figura 8.O cálculo da coordenada parcial depende do azimute da direção de cada corda.34: Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.41'' D 00° 38' 11. 243 .34. e será calculado conforme a figura 8.35: Esquema de cálculo de azimutes.83'' H + C 45° 04' 18.66'' + G 47° 03' 12. como o azimute da direção da corda anterior.00'' 00° 00' 00. somado à deflexão parcial da corda anterior e a deflexão da corda em estudo. Um modo prático para o cálculo de azimute na planilha poderá ser feito seguindo-se o esquema abaixo (Figura 8.00'' B 00° 04' 18. 9998 10.C.29'' 00° 38' 11.068.770 1.000 273 273 10.54'' 67° 25' 30.429 5.495 1. falta apenas sair para campo e locar a curva.64'' 00° 38' 11.37'' 68° 41' 54.000 9. O segundo azimute (C) será da direção de PC Æ 1.392 5.94'' 00° 38' 11.89'' 57° 14' 21.41'' 45° 46' 48.72'' 58° 30' 45.000.000 9.00'' 00° 00' 00.83'' 12° 48' 15.014.046.000 282 18.122.168.23'' 54° 41' 34.887 Com os elementos da planilha calculada.00.04'' 71° 07' 21.83'' 02° 37' 05.787 5.9998 10.83'' 03° 53' 29.83'' 09° 37' 15.9998 10.909 5. ou seja.000 9.000 9.83'' 01° 20' 42.9998 10.001 1.24'' 47° 03' 12.126 5.000 8.000 Azimute PC .078.054. A planilha abaixo exemplifica o cálculo de uma curva circular com os dados da curva vista anteriormente (exemplo 3).000.754 5.39'' 61° 03' 32.88'' 64° 52' 43.9998 10.213 5.140.00).000 9.500 5.(m) 209.63'' 00° 38' 11.062.22'' 62° 19' 56.000 279 279 10.106.05'' 63° 36' 19.000 281 281 10.400 Estaca do PC Inteira 272 Interm.335 1.83'' 08° 59' 04.204 PC .83'' 05° 48' 04.096.119 1. Estaca do PI Inteira 277 Interm.00'' 45° 04' 18. 5.56'' 52° 08' 46.83'' 04° 31' 41.436 5. Capítulo 8 . 26°38'12'' ENTRADA DE DADOS Azimute Curva PC .83'' 11° 31' 51.087.000.00'' COORDENADAS X Y 1.369 5.000 1.9998 10.023 1.000 9.92'' 00° 38' 11.000 9.9998 10.9998 10.160 1.076 Tangente (m) 106.057.000 9.83'' 06° 26' 16.40'' 53° 25' 10.41'' 00° 04' 18.216 1.83'' 10° 15' 27.872 272 10.Locação O primeiro azimute (A) é da direção PCÆPI.073.378 1.83'' 03° 15' 17.83'' 01° 58' 53.000 A.000 9.83'' 10° 53' 39.872 ESTACAS Inteira Interm. porém com o cálculo de azimutes e coordenadas.000 9.000.000 9.83'' 07° 42' 40. 15.9998 10.828 5.000 278 278 10.030.089 1.104.696 5.176.000 9. 244 . dado por (E) + (F) + (H).000 9.96'' 13° 19' 06.583 1.04'' 00° 30' 50.000 9.131.000 274 274 10.796 1.015.076 8.00'' 5.90'' 49° 35' 59.040.93'' 00° 38' 11.000 277 277 10.027.000 9.58'' 00° 38' 11.PI "D ou E" 45°00'00'' D Cordenadas "PC.83'' 00° 42' 30.62'' 00° 38' 11.1275 1.9998 10.83'' 12° 10' 03.087.9998 10.899 1.21'' 69° 58' 18.9998 10.00'' 00° 00' 00.9998 10.000 RESPOSTAS PARA CURVA CIRCULAR À DIREITA Estaca do PT Dados da Curva Distância Inteira 282 Intermediária 18.27'' 00° 38' 11.PT (m) 207. 8.108.000 275 275 10. 272 8.062.71'' 66° 09' 07.842 5.000 5.685 5.9998 10.095.000.000.73'' 50° 52' 23.56'' 59° 47' 08. o azimute da direção PC Æ PI é de 45° 00’ 00’’ e as coordenadas de PC: (1.798 5.644 1.965 5.9998 10.000 276 276 10.038.099.102.007.052 5.000 9.83'' 08° 20' 52.713 1.26'' 00° 38' 11.021.046.849 1.007.9998 10.070.128 9.83'' 05° 09' 53.077 5.051.129 1.06'' 55° 57' 57.96'' 00° 38' 11. que poderá ser por deflexão ou por coordenada.022.162 1.325 CADERNETA DE LOCACAO DEFLEXÕES AZIMUTES Parciais Parcial (da) Acumulada (dt) 45° 00' 00.61'' 00° 38' 11.66'' 00° 38' 11.150.159.83'' 07° 04' 28.285 5. PI ou PT" PC 1.000 280 280 10.PT 58° 19' 06.082.274 1.076 Dados da Curva RAIO 450.076 DISTÂNCIAS Corda Arco 1.034.000.9998 10.232 1.98'' 00° 38' 11. O terceiro azimute (E) será da direção 1 Æ 2 e dado por (C) + (D) + (F) e sendo o quarto azimute (G).091.07'' 48° 19' 35.906 1. O azimute inicial.000 9.000 9.24'' 00° 38' 11.078.59'' 00° 38' 11.528 Desenv.9998 10.642 5.113.41'' 00° 04' 18.9998 10. e dado por (A) + (B) + (D).022 5.97'' 00° 38' 11.076 5.31'' 00° 38' 11.000 9.9998 10.32'' 00° 38' 11.28'' 00° 38' 11.000 282 282 10. da direção 2 Æ3.000. l) Locação em campo das curvas l. O processo de locação segue as seguintes etapas: # Instala-se o teodolito no PC. ponto a ponto. # Mede-se o ângulo da 1a deflexão acumulada. # Repete-se este processo. # Visa-se a direção do PI e com ângulo “zero”. # Mede-se o ângulo da 2a deflexão acumulada. e com este alinhamento e a distância da corda 1 Æ 2. 245 . a partir do ponto 1. e com este alinhamento e a distância da corda PC Æ 1. até chegar ao PT. marca-se o ponto 1.36). com a marcação das deflexões totais sempre a partir do PC e a marcação das cordas a partir do último ponto locado. Figura 8.1) Através do processo por deflexões A locação de uma curva. normalmente é feita implantando-se piquetes no eixo da estrada.37: Ilustrativo da locação por deflexão. marca-se o ponto 2. PI PC PT Figura 8.36: Esquema para locação de curva através das deflexões. com o teodolito instalado no PC (Figura 8. # Com referência das coordenada da estação e do PC. onde o operador orienta o auxiliar na implantação dos pontos. Capítulo 8 . com a tomada da distância e ângulo de forma eletrônica. # Instala-se a estação total em ponto de ampla visão para a locação. podendo estar posicionado em qualquer local. Y PI PT PC XP YP X Figura 8. o operador orienta o auxiliar a marcar ângu- los e distâncias. através de visadas a três pontos coordenados no mínimo. três pontos de coordenadas conhecidas (por exemplo. a partir desta origem. Este deve ter uma visão abrangente da curva a locar. PC.38: Ilustrativo da locação por coordenadas. O processo de locação segue as seguintes etapas: # Programar a estação total com as coordenadas dos pontos a locar (Planilha de coordenadas). ponto a ponto. # Segue este procedimento até o PT. PT) e a esta- ção reconhecerá as coordenadas do ponto instalado. PI.2) Através do processo por coordenadas A locação de uma curva por coordenadas geralmente é executada por equipamento eletrônico. # Visa-se no mínimo. de forma a obter necessariamente as coordenadas desta estação. 246 . Normalmente é feita implantando-se piquetes no eixo da estrada.Locação l. 8 ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 247 .Cap.Observações e anotações . Capítulo 8 .Locação ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 248 . matas. portanto o chefe da equipe deve ter conhecimentos que possam ajudar na identificação de animais e de procedimentos ao atendimento à vítima. gera condições desfavoráveis ao atendimento. normalmente em situações de vegetação densa.Introdução A equipe de topografia é a primeira a chegar em uma obra de implantação. Uma equipe que trabalha no mato. 249 . A dificuldade de acesso e comunicação. Uma ação rápida na prestação de socorro e conhecimento do assunto pode ser a diferença para se salvar uma vida ou evitar perda de tempo no caso do acidente ser provocado por um animal não venenoso. pois uma decisão errada poderá causar sérias conseqüências. lagos.1 . áreas alagadas e terrenos acidentados de difícil acesso. está sujeita à acidentes com animais peçonhentos. etc. capinzal. portanto será a primeira a explorar a região e ter contato com o terreno virgem. prevenção de acidentes e primeiros socorros. e será ele que deverá tomar decisões corretas para assegurar a integridade de seu pessoal. É na pessoa do chefe que a equipe confia. Quando o acidente for provocado por animais não venenosos. Espera-se que estas decisões sejam tomadas pelo chefe da equipe. rios. serrado. Devemos aqui ressaltar a utilização dos termos: “Venenoso” e “Peçonhento”. a decisão de dispensa de socorro somente poderá ser tomada por uma pessoa que tenha absoluta certeza na identificação do animal. Porém sabemos que a sua formação técnica acadêmica ou prática é específica para sua área. não tendo estudado de maneira aprofundada ou até correta sobre animais peçonhentos. Portanto deve buscar conhecimentos extras para que possa apoiar. Não se pode negar que a situação descrita é possível de acontecer. aumentando a responsabilidade de tomada de decisão do chefe desta equipe. dar segurança e socorrer os membros de sua equipe quando necessário. bosque. que provavelmente é um profissional da área da topografia. das mais variadas características como: brejos. mas que não têm mecanismos de injeção deste veneno em uma vítima. moderados ou graves. usaremos os dois termos sem distinção. pois nas épocas mais quentes do ano os animais estão mais ativos. Entre as várias espécies de animais alguns são venenosos e podem causar danos à saúde humana ou até mesmo levar à morte. São cobras. escorpiões. Outros fatores ligados à biologia dos animais também influenciam. ferrões ou cerdas). # Tipo de alimentação. Portanto a gravidade dos acidentes depende do animal. como: # Saúde do animal. e ainda têm mecanismos de injeção (quelíceras. presas. caçando com mais freqüência. # O tempo de socorro ao acidentado. Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Biologicamente. Então podemos considera-lo não venenoso. mas também de outros fatores. é considerado venenoso. # A quantidade de veneno injetado. 250 . Além disso a época do ano também influencia na toxidade do veneno. Pode-se citar como os principais: # A espécie do animal. como as cobras. portanto seu veneno estará mais tóxico. como as lacraias e algumas vespas. mas para nossos estudos mais práticos. pode-se definir: Um animal que possui glândulas de veneno potencialmente perigoso. ou que possui glândulas de veneno e tem mecanismos de injeção. aranhas. Outro animal que possui glândulas de veneno potencialmente perigoso. mas não é peçonhento. lacraias e abelhas. # A saúde da vítima. o animal que não possui glândula de veneno. Os acidentes podem ser leves. possuem venenos mais fracos. taturanas. existe diferença entre os termos. # Tamanho do animal. # Idade do animal (adultos ou jovens). é um animal peçonhento. possuem venenos muito ativos e outros. E ainda podemos considerar. mas seu veneno é potencialmente inofensivo ao homem. # A toxidade do veneno. Porém para informação rápida. Alguns. Os animais venenosos do Brasil estão distribuídos em todas as regiões e em vários habitat. Vários fatores influenciam na gravidade do envenenamento. ou toxicamente menos ativo. 2 – Animais Perigosos O Brasil por estar situado em uma região tropical possui uma fauna numerosa e diversificada. devendo a pessoa acidentada ser medicada o mais rápido possível e apenas com aplicação do soro específico. serão estudadas com mais detalhes durante este capítulo. "ANIMAIS D E IMPORT ÂNCIA MÉD ICA" G ÊN ER O CROTALUS P R ESA S G ÊN ER O M ICRURUS SER P EN TES G ÊN ER O BOTHROP S G ÊN ER O L A Q U ES IS Q U ELÍ CER A S G ÊN ER O P H O N EU T R IA G ÊN ER O L O X O S C EL ES ARA N H A S G ÊN ER O L A T R O D EC T U S G ÊN ER O L YC O S A T ity u s s e r r u la tu s ESCO R P I Õ ES T ity u s b a h ie n s is T ity u s s tig m u r u s FER R Ã O TA TU R A N A S F A M ÍL IA S A T U R N IID A E L A CR A I A S F A M ÍL IA M EG A L O P YG ID A E F A M ÍL IA A R C T IID A E V ESP A S .M A R I M B O N D O S Figura 9. não devendo a pessoa tomar qualquer tipo de soro antiofídico.1: Animais perigosos.1). 251 . às vezes os sintomas não passam de um leve ferimento com dor local. porém nem todas as cobras são peçonhentas e estes não causarão danos graves às pessoas. As cobras por provocarem os acidentes mais graves entre os animais peçonhentos.A B EL H A S . O quadro a seguir mostra de forma resumida e esquemática os principais animais causadores de acidentes no Brasil (Figura 9.Os acidentes com cobras peçonhentas sempre são graves. Mas na dúvida a pessoa deve ser encaminhada ao hospital. os sintomas são caracterizados por rubor e dor local. e não oferecem perigo às pessoas.2). porém poucas são perigosas ao homem (Figura 9. aranhas conhecidas como tarântulas. provocam acidentes relativamente sérios. têm seu habitat principal. que são as armadeiras. popularmente chamada de Aranha “Marrom” . grandes e peludas.Aranhas As aranhas também podem provocar acidentes com certa gravidade. Aranhas do gênero Latrodectus. O gênero Lycosa. são aranhas comuns em jardins. sem maiores conseqüências. O gênero Loxoceles.1 .2: Espécies de aranhas. As temidas aranhas caranguejeiras. sem necessidade de maiores cuidados. Existe soro específico para estas aranhas. devido à sua proximidade com o homem. Tarântula Caranguejeira Armadeira Viúva negra Figura 9. pastos e gramados. principalmente em crianças e idosos. muito comum no sul do Brasil. até outras que podem provocar a morte. conhecidas como Viúvas Negras e do gênero Phoneutria. Existem aranhas que são consideradas inofensivas ao homem. não oferecem risco de vida à pessoa picada. Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos 2. sendo os sintomas apenas uma dor local. 252 . Em caso de acidentes com esta aranha. Inúmeras espécies de aranhas são conhecidas. Apesar de não serem agressivas provocam bastantes acidentes. as residências humanas. o escorpião sempre pica quando tocado. O tratamento da maioria dos casos de picadas de escorpião não têm necessidade de se aplicar o soro específico. É importante o acompanhamento e encaminhamento da pessoa acidentada ao hospital. Os acidentes mais graves ocorrem com crianças e idosos. Os escorpiões têm hábitos noturnos. Este hábito provoca o encontro com as pessoas. As pessoas alérgicas devem ser levadas ao hospital. sapatos ou qualquer lugar protegido da claridade. A espécie mais importante é o escorpião amarelo (Tityus serrulatus) pela toxidade de seu veneno. 2. 253 . vespas e marimbondos provocam intoxicações sérias somente se houver grande número de picadas.3 – Abelhas. Figura 9. porém há pessoas alérgicas ao veneno destes animais. neste caso.Escorpiões No Brasil existem várias espécies de escorpiões que podem causar danos à saúde humana. porém todos pertencem ao gênero Tityus (Figura 9. Em caso de acidentes a dor é sempre um sintoma presente e sua intensidade dependerá da resistência de cada pessoa e quantidade de veneno injetado. A picada neste caso é inevitável. seguida do escorpião preto (Tityus bahiensis) que causam a maioria dos acidentes. devido ao fator alérgico. mesmo que a quantidade de picadas forem poucas. principalmente quando vestem uma roupa ou calçam um sapato com escorpião dentro.3: Escorpião.2. dentro de residências em roupas. Vespas e Marimbondos As abelhas. a reação do veneno no organismo pode ser muito ativa. escondendo-se durante o dia em tocas. Apesar de não atacar sem motivos. podendo ocorrer conseqüências mais graves.2 .3). entulhos. têm o veneno potente. São animais que vivem principalmente em paus podres. os acidentes não são graves. Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Os profissionais de topografia. que ficam escondidas debaixo de seu pêlo. 254 . pois são cortados galhos que podem ter a casa das abelhas ou marimbondos. sendo o tratamento sintomático. com sintomas locais de irritação e dor. mas sempre acompanhada de muita dor (dor de queimadura). aparecendo somente uma irritação local. pois já há registros de acidentes com morte em algumas regiões do Brasil (principalmente região sul). não necessitando de cuidados específicos. necessitando de cuidados mais específicos em caso de complicações do envenenamento. podendo provocar graves acidentes. Porém deve-se ficar alerta com o estado físico do acidentado. são muito agressivas e atacam em enxame. As lacraias causam geralmente acidentes leves. estão expostos a acidentes com estes animais. causando queimaduras sérias e muito dolorosas. um simples contato com a taturana (lagarta de algumas espécies de borboletas) é o suficiente para que ela injete seu veneno através de pequenas agulhas muito finas (cerdas).4: Lacraia. cascas de árvores e debaixo de folhas e que quando incomodados fogem (Figura 9. Figura 9. Principalmente nos desmatamentos e roçadas manuais é que acontecem estes acidentes. portanto toda medida de segurança deve ser adotado. para se evitar perdas de produção e danos às pessoas da equipe. 2.4 – Taturanas e Lacraias Algumas taturana podem “sapecar” as pessoas.4). As abelhas africanizadas (abelhas brasileiras com cruzamento com abelhas africanas). trabalhando em campo. De um modo geral. 2. A segunda cobra (Tropidodryas). Jararaca – VENENOSA Falsa coral – NÃO venenosa Figura 9. pois não têm veneno. A cobra coral da figura não é venenosa.1 – Identificação de Cobras Para um leigo. apesar de não oferecer nenhum risco às pessoas. talvez seja a cobra que mais assusta as pessoas no campo. apesar de não ter características acentuadas de venenosa. ou mesmo uma pessoa com algum conhecimento no assunto é arriscado tentar descobrir se uma cobra é venenosa ou não. Na figura 9. características e métodos de identificação destes animais. será aqui estudada mais detalhadamente.5: Espécies de cobras. Somente a primeira cobra é venenosa.5 . geram dúvidas e erro.5. pois achata-se no chão e dá botes quando incomodada. como por exemplo tentar identificar cobras venenosas pela cabeça triangular e rabo curto. aborda-se também as medidas preventivas de acidentes em trabalhos de campo. Boipeva. é uma espécie não venenosa mas possui cabeça triangular. Os critérios ensinados na escola primária e secundária. Além de quadros estatísticos. Tropidodryas – NÃO venenosa Boipeva – NÃO venenosa 255 .5 mostram-se quatro espécies de cobras onde as características usuais se confundem.Cobras As cobras por serem o animais que mais causam acidentes graves. mas confunde-se com uma coral verdadeira.2. 6) é venenosa. a cobra que tem um furo entre o olho e a narina chamado fosseta loreal (Figura 9. 256 . pois suas características e dimensões não são claramente visíveis.6: Fosseta loreal. que apesar de terem veneno não possuem fosseta loreal. como por exemplo. Esta informação está correta para todas as espécies de cobras peçonhentas do Brasil exceto as cobras corais verdadeiras. São vários os exemplos de cobras não venenosa que apresentam características de serpentes peçonhentas além de cobras peçonhentas que não apresentam características claras. pois podem induzir a erros e falhas. confiar totalmente nas tabelas de identificação (Figura 9. Figura 9. Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Alguns conceitos para identificação são válidos. Além disso cobras jovens são de difícil identificação. então.7). Não se pode. sendo que para cada um existe um soro específico: # Bothrops (jararacas. 257 . pois envolve risco de vida das pessoas acidentadas. nem sempre são claras e devem ser tratadas com cautela. Na dúvida leve a pessoa ao hospital para que seja avaliada através dos sintomas. jararacuçus e urutus).As diferenças entre as cobras peçonhentas e não peçonhentas. # Lachesis (surucucu). São quatro os gêneros principais de cobras venenosas. # Crotalus (cascavéis). # Micrurus (corais verdadeiras). Figura 9.7: Esquema não confiável de identificação de cobras. porém de uma maneira prática utilizar o questionário esquemático abaixo (Figura 9.8: Identificando cobras. e o soro específico a ser utilizado. para identificar o gênero das cobras venenosas. Pode-se.8). TEM ANÉIS COLORIDOS COMPLETOS. Urutus e Jararacuçus" "Gênero BOTHROPS" NÃO "Soro ANTIBOTRÓPICO" "Soro ANTIBOTRÓPICO / LAQUÉTICO" SIM "Surucucus" "Gênero LACHESIS" "Soro ANTILAQUÉTICO" "Soro ANTIBOTRÓPICO / LAQUÉTICO" Figura 9. Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Os nomes populares devem ser usados com restrições pois podem variar com as regiões do Brasil. PONTA DO RABO CURTA E OLHOS PRETOS POUCO VISÍVEIS ? NÃO SIM "Corais verdadeiras" "Gênero MICRURUS" "Soro ANTIELAPÍDICO" TEM FOSSETA LOREAL ? "Cobras NÃO peçonhentas" "Fam ília COLUBRIDAE" "Fam ília BOIDAE" "Fam ília ANILIIDAE" NÃO SIM TEM CHOCALHO NA PONTA DO RABO ? NÃO SIM "Cascavéis" "Gênero CROTALUS" "Soro ANTICROTÁLICO" "Soro ANTIBOTRÓPICO/ CROTÁLICO" TEM RABO COM ESCAMAS ARREPIADAS E PONTA DE OSSO ? "Jararacas. 258 . O simples uso de calças compridas. como por exemplo.considerando que a grande maioria das cobras venenosas do Brasil são de hábitos terrestres. pode-se prevenir grande parte das picadas com algumas ações simples. Figura 9. devem estar protegidas com luvas de raspa de couro (Figura 9.9: Percentual de picadas de cobra nas partes do corpo. portanto estatisticamente as pernas estão sujeitas a mais de 80% das picadas conforme o gráfico de percentuais de picadas nas diversas parte do corpo (Figura 9. Figura 9.9). . botinas e perneiras pode-se evitar a maior parte dos acidentes. As mãos quando em tarefas de risco.10).10: Equipamentos de segurança.3 – Prevenção de Acidentes Para se tomar medidas de prevenção de acidentes com animais peçonhentos é necessário conhecimentos sobre os hábitos destes animais e como acontecem os acidentes. 259 . cortar bambus ou limpar uma vegetação rasteira para colocação de um piquete. Com relação às cobras. Outro fator importante para prevenção de uma picada é ter conhecimento do alcance de um bote da cobra. para evitar-se acidentes com animais peçonhentos em geral: # Andar sempre calçado. não têm fundamentação técnica e podem ser comprovados na prática (Figura 9. Uma das principais atividades do profissional de topografia e sua equipe ocorre em áreas que exigem determinados cuidados em relação aos animais peçonhentos. ou até mesmo voam. diga-se. não admite que ocorra extermínio destas espécies. Uma cobra de 1. # Não deixar as caixas dos equipamentos abertas e no mato. A consciência atual de preservação do meio ambiente. Experiências e estudos mostram que um bote atinge aproximadamente um terço do seu tamanho total. que cobras dão botes de alguns metros.11: Bote. principalmente em alojamentos de obras em área rural. somente em regiões de matas fechadas temos cobras venenosas arborícolas. de serem "tachados" de "Mata-cobras" cairá no vazio. madeiras e ferramentas que estejam amontoadas.40 m. ou seja. cabe então a este profissional buscar o conhecimento claro dos perigos e formas de prevenção. mesmo que aparente morto. qual o comprimento que uma cobra consegue atingir de onde ela estiver. # Nunca manusear um animal peçonhento. muito difíceis de acontecer. As crendices. Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Os acidentes na cabeça são raros. muito comuns no meio rural.20 m atinge uma pessoa em um raio de aproximadamente 0. # Usar blusas de manga comprida e ter muita atenção e cautela nas roçadas manuais. Desta forma.11). Figura 9. para que não seja necessário o abate deste animais. perneiras e calças compridas. # Sacudir as roupas antes de vestir. o estigma do tratamento ao profissional de Topografia e demais profissionais de campo. Algumas medidas de prevenção em trabalhos de campo. de preferência com botas. 260 . Portanto. # Manter as portas dos veículos da obra quando estacionados nas frentes de trabalho. # Colocar luvas sempre que manusear entulhos. # Não colocar as mãos em buracos ou em vegetação rasteira sem proteção de luvas. As cobras não têm comportamento agressivo e somente picam alguém quando são pisadas ou incomodadas no seu habitat. pois a maioria das cobras venenosas do Brasil são de hábitos terrestres. Em caso de acidente o melhor a fazer é levar a vítima ao hospital. mais nada. a não ser água. Mantenha a vítima calma e em repouso.1: Acidentes x soro. Não faça nenhuma improvisação. não corte. 261 . Quadro 9. Fonte: Instituto BUTANTAN. não amarre. não dê nada a pessoa para beber. Cap. Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos Observações e anotações . 9 _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 262 .