FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 - ANÁLISE DIMENSIONALprof. José Casamassa Neto 2.1 – INTRODUÇÃO Determinados fenômenos das áreas de Engenharia, requerem o desenvolvimento experimental associado a aplicação prévia, de um modelo matemático que auxilia e fornece uma aproximação teórica da lei de funcionalidade. A análise dimensional é a ferramenta que vem em auxílio, já que o trabalho experimental é em geral dispendioso e grande consumidor de tempo. Os parâmetros adimensionais que são obtidos, também podem ser usados com a finalidade de se correlacionar dados para apresentação, usando-se menor número possível de gráficos. 2.2 – HOMOGENEIDADE DAS EQUAÇÕES Significa que qualquer equação válida, que relacione quantidades físicas, deve ser dimensionalmente homogênea. Assim cada termo da equação deve ter as mesmas dimensões. Por exemplo a equação F = m . a [F] = [m . a] [F] = [F L-1 T 2 . L T -2 ] [F] = [F ] 2.3 – NÚMEROS ADIMENSIONAIS DE IMPORTÂNCIA 2.3.1 – NÚMERO DE REYNOLDS: Re Expressa a relação entre a força de inércia e a força de atrito. Usualmente escolhidos em termos de parâmetros convenientes (geométricos e do escoamento). Re = ou ρVL µ (2.1) VL ν onde : Re = (2.2) L = dimensão característica que da forma geométrica do corpo sólido CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 12 3 – NÚMERO DE WEBER: W (2. ρ V2 L σ onde : W= σ = tensão superficial 2.4 – NÚMERO DE EULER: Eu (2.2 – NÚMERO DE FROUDE: ℑ Expressa a relação entre a força de inércia e a força da gravidade.3.FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 .3) Expressa a relação entre a força de inércia e a força relativa a tensão superficial. ρV 2 V2 ℑ= L = γ Lg 2.3.3.5) Expressa a relação entre a raiz quadrada da força de inércia e a raiz quadrada da força representativa da compressibilidade do fluido.3. José Casamassa Neto 2. AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 13 . CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS.5 – NÚMERO DE MACH: Ma (2. p ρ V2 onde : Eu = p = pressão 2.ANÁLISE DIMENSIONAL prof.4) Relaciona a força devida a pressão e a força de inércia. 4. c) velocidade de escoamento do fluido V .T para o ST e M. que denominamos rugosidade e representamos por e . depende em geral das seguintes grandezas: a) forma geométrica do sólido.4 – MÉTODOS UTILIZADOS NA ANÁLISE DIMENSIONAL 2. b) acabamento da superfície sólida em contato com o fluido. Assim se o fenômeno envolve mais de três expoentes. L. Exemplo de aplicação do método de Rayleigh: A experiência demonstra.FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 . AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 14 . assim a dimensão característica é o diâmetro φ . geram uma equação cada uma.1 – MÉTODO DE RAYLEIGH O método de Rayleigh se baseia na determinação de expoentes das grandezas envolvidas em determinado fenômeno. para efeito deste exemplo adotaremos a forma circular. e) propriedades físicas do fluido: µ = viscosidade dinâmica ρ = massa específica ε = módulo de elasticidade volumétrico γ = peso específico σ = tensão superficial CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS. José Casamassa Neto Ma = onde : ρ V2 L ρ C2 L = V C (2.6) C = velocidade do som 2. representada por R . As grandezas primárias em número de três (F . o excedente determina um número igual de números adimensionais. T para o SI). que a lei do movimento dos fluidos com relação às superfícies sólidas.L . d) resistência oferecida pela superfície sólida. Para facilitar introduziremos o método no exemplo abaixo.ANÁLISE DIMENSIONAL prof. para cada grandeza envolvida tem-se: [R] = [F L-2] [µ]a = [ F L-2 T ]a [ρ]b = [ F L-4 T2 ]b [V]c = [ L T-1 ]c [φ]m = [ L ]m [e]n = [ L ]n [g]p = [ L T-2]p [ε]r = [ F L-2 ]r [σ]s = [ F L-1]s com os dados acima organiza-se a tabela mostrada abaixo: Grandezas Secundárias R µa ρb Vc φm en gp εr σs F 1 a b 0 0 0 0 r s Grandezas Primárias L -2 -2a -4b c m n p -2r -s T 0 a 2b -c 0 0 -2p 0 0 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS. φ. Inicialmente a equação pode ser escrita da seguinte forma: R = ϕ ( µ. ε. ρ. σ ) a seguir eleva-se cada grandeza entre os parênteses a um expoente na forma de letras: R = ϕ µa ρb Vc φm en gp εr σ s como o sistema de unidades é o ST. José Casamassa Neto Nessas condições pede-se desenvolver a equação da resistência R.FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 .ANÁLISE DIMENSIONAL prof. V. e. AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 15 . g. utilizandose o método de Rayleigh e o sistema técnico de unidades (ST). devemos explicitar 3 em função das outras 5. c. O critério de seleção leva em conta a obtenção dos números adimensionais esperados. assim: para F: 1=a+b+r+s para L: -2 = -2a –4b +c + m + n + p – 2r – s para T: 0 = a + 2b – c – 2p (III) (II) (I) como temos 8 incógnitas e 3 equações.FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 . deve-se escrever uma equação para cada grandeza primária. escrevendo a equação funcional de R: µ R =ϕ ρV φ a ε ρ V2 r σ φg e 2 ρ V2 φ V2 φ ρ V s p n os números entre os parênteses são os números adimensionais procurados. Nesse exemplo explicitaremos os expoentes b. (III) . de tal forma que os expoentes dessas para a grandeza R seja igual a soma de todos os outros expoentes. (II) . AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 16 . José Casamassa Neto Em seguida. obtendo-se: b=1–a–r–s c = -a – 2r – 2s –2p + 2 m=p–a–n–s levando-se esses valores à equação funcional de R tem-se: R = ϕ µa ρ( 1-a-r-s) V(-a-2r-2s-2p+2) φ(p-a-n-s) en gp εr σ s em seguida agrupa-se as grandezas elevadas aos mesmos expoentes. assim: a a 1 µ −a = Re = ρV φ Re CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS. m em função dos demais.ANÁLISE DIMENSIONAL prof. Dessa maneira resolvemos o sistema formado pelas equações (I) . x3..2 – MÉTODO DE BUCKINGHAM OU TEOREMA DOS π Se a lei de um fenômeno depende de “n” quantidades diferentes...FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 .. Como os sistemas de unidades (SI e ST) tem 3 grandezas primárias então m será sempre igual a 3.ANÁLISE DIMENSIONAL prof...... . AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 17 ...4. esta lei pode ser expressa em função de (n-m) números adimensionais. x2. Seja o fenômeno dado pela seguinte lei: f(x1.. que por sua vez são funções de “m” quantidades primárias. José Casamassa Neto 1 ε 2 = ρ V2 M a s r r -2r = Ma σ 1 = ρ V2 φ W φg 2 V e φ n p s = W -s 1 = ℑ = p = ℑ -p (rugosidade relativa)n assim a equação de R fica: R=ϕ pode-se ainda identificar: -a Re -r Ma e W ℑ ρ V2 φ -s -p n R ρ V2 = Eu 2...xn) = 0 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS. σ ) = 0 n=9 m = 3 (grandezas primárias) Nºs Adimensionais = n-m = 9 – 3 = 6 Escolhendo as grandezas ρ. e. φ e elevando-as respectivamente a α. AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 18 . µ. e elevando-as a expoentes genéricos .. assim: f( R. g. γ tem-se: ρα .. surgem os números adimensionais. Vβ.1. CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS. que chamaremos de terno básico.4. José Casamassa Neto Escolhendo por exemplo as grandezas x1 . V.. φ.. pode-se construir a tabela abaixo: Grandezas Secundárias Terno ρα Básico Vβ φγ µ e g ε σ R F α 0 0 1 0 0 1 1 1 Grandezas Primárias L -4α β γ -2 1 1 -2 -1 -2 T 2α -β 0 1 0 -2 0 0 0 À partir de cada grandeza secundária fora do terno básico. .ANÁLISE DIMENSIONAL prof.. ρ. aplicaremos o mesmo exemplo dado no item 2. A2. φγ .FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 . x2 . V.. x 2 . . x 3 e indicando por Xi uma grandeza genérica. β. x3 . pode-se formar os números adimensionais da seguinte forma: α x1 β γ Ai = αi x1 Xi γi i xβ 2 x3 Dessa maneira a equação do fenômeno é escrita da seguinte forma: f( A1. ε. An ) = 0 Para melhor entendimento do método. β + 0 = 0 resolvendo o sistema de equações tem-se: α=0 Assim tem-se: β=0 γ=1 e φ rugosidade relativa A2 = CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS.ANÁLISE DIMENSIONAL prof. AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 19 . José Casamassa Neto Assim número adimensional relativo a µ: para F: α+0+0=1 para L: -4α + β + γ = -2 para T: 2α + β + 0 = 1 resolvendo o sistema de equações tem-se: α= 1 Assim tem-se: β = 2α .FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 .1 ⇒ β = 1 γ=1 µ ρVφ 1 A1 = Re A1 = Número adimensional relativo a e: para F: α+0+0=0 para L: -4α + β + γ = 1 para T: 2α . β + 0 = -2 resolvendo-se o sistema de equações tem-se: α=0 Assim tem-se: β=2 γ = -1 gφ g = V 2 φ -1 V 2 1 A3 = ℑ A3 = Número adimensional relativo a ε: para F: α+0+0=1 para L: -4α + β + γ = -2 para T: 2α . José Casamassa Neto Número adimensional relativo a g: para F: α+0+0=0 para L: -4α + β + γ = 1 para T: 2α . AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 20 .FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 .ANÁLISE DIMENSIONAL prof.β + 0 = 0 resolvendo-se o sistema de equações tem-se: α=1 Assim tem-se: β=2 γ=0 A4 = ε 1 ⇒ A = 4 2 ρ V2 Ma CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS. José Casamassa Neto Número adimensional relativo a σ: para F: α+0+0=1 para L: -4α + β + γ = -1 para T: 2α .FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 .ANÁLISE DIMENSIONAL prof.β + 0 = 0 resolvendo-se o sistema de equações tem-se: α=1 Assim tem-se: β=2 γ=0 A6 = R ⇒ A 6 = Eu ρ V2 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS. AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 21 .β + 0 = 0 resolvendo-se o sistema de equações tem-se: α=1 Assim tem-se: β=2 γ=1 A5 = σ 1 ⇒ = A 5 W ρ V2 φ Número adimensional relativo a R: para F: α+0+0=1 para L: -4α + β + γ = -2 para T: 2α . 2. Chamando de L qualquer dimensão linear: diâmetro. se as relações entre as dimensões correspondentes no modelo e no protótipo são iguais.2 – SEMELHANÇA GEOMÉTRICA Existe semelhança geométrica entre modelo e protótipo. a escala geométrica LR é dada por: L(mod elo ) Lm = = LR L(protótipo ) Lp ou Lm Área(mod elo ) Sm L2 m = = 2 = = L2R Área(protótipo ) Sp L p Lp 2 2. comprimento ou outra.5.2 – SEMELHANÇA CINEMÁTICA Existe semelhança cinemática.5 – NOÇÕES SOBRE SEMELHANÇA 2.5. Assim projeta-se e constrói um modelo (escala reduzida) semelhante ao protótipo e obedecendo as mesmas leis. o que eqüivale dizer que as linhas de corrente são paralelas e iguais. entre modelo e protótipo. A semelhança pode ser: geométrica.5. se as trajetórias das partículas forem geometricamente semelhantes e se as relações das velocidades de partículas correspondentes forem iguais.1 – INTRODUÇÃO Semelhança é a ferramenta que possibilita o estudo experimental em protótipos (tamanho real). Assim o protótipo e o modelo possuem contornos semelhantes. José Casamassa Neto 2. cinemática e dinâmica. Com relação à velocidade tem-se: Lm Vm Tm Lm Tp Lm Tp L R x x = = = = Vp Lp Tm Lp Lp Tm TR Tp pois : Tm = TR Tp CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS. Pode-se dizer que semelhança é a indicação de uma relação conhecida entre 2 fenômenos.ANÁLISE DIMENSIONAL prof. AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 22 . cuja dimensão torna impossível a realização dos experimentos.FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 . VR 2 m = ⇒ FR = ρ R L2R VR FR = x 3 x 2 2 ρp Lp LR LR onde : Fim = inércia no modelo M = massa Fip = inércia no protótipo CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS.FENÔMENOS DE TRANSPORTE CAPÍTULO 2 .3 – SEMELHANÇA DINÂMICA Existe semelhança dinâmica entre dois sistemas quando. no modelo e no protótipo. os mesmos forem geométrica e cinemáticamente semelhantes e quando as relações entre todas as forças correspondentes. VR L R .5.ANÁLISE DIMENSIONAL prof. deve-se observar: ∑ forças(de vis cos idade + de pressão + de gravidade + de elasticidade )mod elo ∑ forças(de viscosidade + de pressão + de gravidade + de elasticidade )protótipo Relação entre forças de inércia: FR = Fim Fip = M . L3 TR p como V = L T então TR = LR VR 2 2 ρ m L3 ρ R . AMBIENTAEIS E DE TECNOLOGIAS CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO PUC-CAMPINAS 23 . Assim na semelhança dinâmica. L R . L3R . José Casamassa Neto Com relação à aceleração tem-se: Lm 2 2 2 L Lm Tp Lm Tp Am Tm x = = 2 x = = R 2 Ap Lp Tm Lp Lp Tm TR 2 Tp 2. Uma condição importante para ocorrer semelhança dinâmica é: R emod elo = R eprotótipo . L3 m FR = x 2 ρ p . Am Mm Am x = M . Ap Mp Ap massa = ρ . L3 Assim : LR ρ m . forem as mesmas. volume ⇒ massa = ρ .