1Física Experimental I Marcelo A Pereira-da-Silva 1 2 SUMARIO Parte 1 – Noções teóricas Sistemas de medidas Movimento em uma dimensão Movimento em duas e três dimensões Leis de Newton e aplicações Trabalho e potencia Energia e conservação da energia Momento linear, colisões e impulso Parte 2 – Trabalhos Bibliografias Medidas físicas, erro e propagação de erro Vetores Matemática essencial para sobrevivência em Física 1 Parte 3 – Experimentos Trilho de ar Queda livre Pendulo simples Lei de Hoook Composição e decomposição de forças Atrito estático e cinético Lançamento obliquo Movimento circular 33 34 35 36 37 38 39 40 20 21 23 29 4 6 9 11 14 16 18 2 3 Parte 4 – Listas de exercícios Sistemas de Medidas Movimento em uma dimensão Movimento em duas dimensões Leis de Newton e aplicações Conservação da Energia Conservação do momento linear Rotação e momento angular Parte 5 - Exercícios sugeridos Movimento Leis de Newton e aplicações Trabalho, potencia e energia Momento Linear Rotação e Momento Angular 55 59 62 67 69 41 42 43 44 48 51 53 3 De uma maneira mais rigorosa deve-se usar apenas o numero de g Densidade = 3.2 g g O valor da massa tem dois algarismos Densidade = = = 3.32cm cm algarismos significativos. Neste curso usaremos esta orientação.4 Sistemas de Medidas Algarismos significativos massa 8. ou seja 2. assim devemos usar 3 algarismos. Nesse 3 volume 2.53 3 menor numero de algarismos significativos.2 g g Densidade = = = 3.32cm cm caso a massa é o valor com o menor numero de algarismos significativos.53448275 3 significativos e o valor do volume tem três 3 volume 2.5 3 algarismos do valor de menor numero de algarismos significativos. cm Unidades físicas básicas Unidades Sistema Internacional de SI (MKS) Kilograma Metro Segundo Símbolo (SI) kg m s Símbolo (SI) m/s m/s2 (N) (j) (j) (W) Grandeza Massa “mass” Comprimento “length” Tempo “time” Grandeza composta m/s m/s2 kg m/s2 = Newton N m = joule N m = joule j/s = watt Dimensão (M) (L) (T) Dimensão (L/T) (L/T2) (ML/T2) (ML2/T2) (ML2/T2) (ML2/T3) Unidades físicas derivadas Unidades Sistema Internacional de SI (MKS) Velocidade Aceleração Força Trabalho Energia Potência Potências de 10 Prefixo Símbolo Fator 4 . Os zeros à esquerda e à direita não são considerados algarismos significativos Deve-se usar um algarismo além do valor com o massa 8. 4535 kg 1 libra = 4.205 libras ALFABETO GREGO Nome Alfa Beta Gama Delta Épsilon Zeta (Zíta) Eta (Íta) Teta (Thita) Iota Kapa Lambda Mi Maiúsculo Minúsculo Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µ Nome Ni Ksi Ómikron Pi Ro Sigma Tau Ípsilon Fi Chi (Rí) Psi Ômega Maiúsculo Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Minúsculo ν ξ ο π ρ σ ου ϕ τ υ φ χ ψ ω 5 .597 km/h 1 jarda = 0.914m Unidades fora do sistema internacional (SI) 1 milha = 1609 m 1 pé = 30.49cm 1 polegada = 2.01 m milímetro (mm) = 0.54 cm A massa de uma libra é de 0.5 Múltiplos e submúltiplos kilômetro (km) = 1000 m kilograma (kg) = 1000 gramas (g) 1 hora = 60 minutos = 3600 s 1 km/h = 0.448 N 1 kg pesa cerca de 2.278 m/s centímetro (cm) = 0.001 m 1 m/s = 3. entre a posição inicial e final.6 Movimento em uma dimensão Movimento em uma dimensão Posição Indica a localização de um corpo em um dado instante posição em um dado instante x x1 x2 Deslocamento posição inicial do corpo posição final do corpo É a medida. em linha reta. ∆x Deslocamento de um corpo medido em linha reta ∆x = x2 − x1 Distancia percorrida É a medida da distancia percorrida entre a posição inicial e final. v media Velocidade média vmedia = x2 − x1 ∆x = t2 − t1 ∆t Velocidade instantânea É a velocidade em um dado instante v Velocidade instantânea Velocidade inicial Velocidade final Variação da velocidade v= lim ∆x dx = ∆t → 0 ∆t dt v1 v2 ∆v ∆ v = v 2 − v1 6 . ∆s Distancia percorrida por um corpo ∆s = s2 − s1 Tempo decorrido Indica o tempo decorrido entre o instante inicial e final da trajetória Tempo em um dado instante t t1 t2 ∆t Tempo inicial considerado Tempo final considerado Tempo decorrido ∆t = t f − t i Velocidade Média Definida como o deslocamento dividido pelo tempo decorrido ou o espaço percorrido dividido pelo tempo decorrido. v = v0 + at 1 x = v0t + at 2 2 v = v0 + at 1 x = v0t + at 2 2 7 .81 m/s2.7 v media Velocidade média vmedia = v2 + v1 2 Aceleração Média É definida como a taxa de variação da velocidade Aceleração média a média amedia = v2 − v1 ∆v = t2 − t1 ∆t Aceleração Instantânea a Aceleração a= lim ∆v dv d 2 x = = ∆t → 0 ∆t dt dt 2 Movimento com aceleração constante Equações do Movimento x = v med t v = v0 + at 1 x = v0t + at 2 2 v = v0 + 2ax 2 2 Queda livre O movimento de queda livre é considerado um movimento em uma dimensão com aceleração constante e igual a g = 9. Lançamento Vertical Dado que a aceleração da gravidade é constante. a posição e velocidade de um lançamento vertical pode ser calculado a partir das equacoes do movimento. 8 Gráficos em função do tempo 8 . r v media Velocidade média Velocidade inicial Velocidade final r v2 r v1 r r r r2 − r1 ∆r r vmedia = = t2 − t1 ∆t r ∆ v Variação da velocidade r r r ∆ v = v 2 − v1 9 .9 Movimento em duas e três dimensões Vetores Vetor Posição Indica a localização de um corpo em um dado instante r r1 r2 posição em um dado instante posição inicial do corpo posição final do corpo r r r r r = xi + yj + zk r r r r r1 = x1i + y1 j + z1 k r r r r r2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k Vetor Deslocamento É a distancia entre os pontos inicial e final r Deslocamento de um corpo medido em linha reta ∆r r r r ∆ r = r2 − r1 Tempo decorrido Indica o tempo decorrido entre o instante inicial e final da trajetória Tempo em um dado instante t t1 t2 ∆t Tempo inicial considerado Tempo final considerado Tempo decorrido ∆t = t f − t i Vetor Velocidade Média Definida como o deslocamento dividido pelo tempo decorrido ou o espaço percorrido dividido pelo tempo decorrido. 10 v media Velocidade média r r r v2 + v1 vmedia = 2 Vetor Velocidade instantânea É a velocidade em um dado instante r v Velocidade instantânea r v= r r lim ∆r dr = ∆t → 0 ∆t dt Vetor Aceleração Média É definida como a taxa de variação da velocidade Aceleração média r a média r r r v 2 − v1 ∆v r a media = = t 2 − t1 ∆t Vetor Aceleração Instantânea r a Aceleração r a= r r r lim ∆v dv d 2 r = = 2 ∆t → 0 ∆t dt dt Movimento com aceleração constante Equações do Movimento r r r = vmed t r r r v = v0 + at r r 1r r = v0 t + at 2 2 r2 r2 rr v = v 0 + 2a r Lançamento Obliquo Equações gerais 10 . sendo que este nome vem do termo matemático normal que significa perpendicular. A força é chamada de forca normal N. o corpo experimenta uma forca que é perpendicular à superfície. Segunda lei de Newton ΣF = ma ΣFx = max ΣFy = may Terceira Lei de Newton ΣFz = maz A massa de um corpo é uma característica que relaciona a forca atuando sobre um corpo com a aceleração resultante desta forca. Força Peso O peso de um corpo é uma força que empurra o corpo diretamente em direção a um corpo astronômico mais próximo. Esta força é tanto maior quanto maior é a força que fazemos para fazer deslizar o objeto até logo antes do momento em que ele inicia o movimento. no nosso dia a dia o corpo astronômico é a Terra. Esta força é devida a uma atração chamada atração gravitacional entre os dois corpos.11 Leis de Newton e aplicações Força Força é uma interação capaz de causar uma aceleração em um corpo Primeira Lei de Newton Considere um corpo no qual não existe nenhuma forca atuando. ele permanecerá em repouso. Se o corpo estiver em movimento com velocidade constante. A corda puxa o corpo com uma força T. Se um corpo A exerce uma forca FAB sobre um corpo B. porem em sentido oposto. a corda é dita estar sob tensão. Atrito Quando tentamos puxar (ou empurrar) um objeto que está parado sobre uma superfície com uma força F. Quando a força F aplicada ao objeto atinge um valor capaz de colocar o objeto em movimento. m a massa do corpo e g a aceleração da gravidade (g = 9. a força de resistência que a superfície faz sobre objeto diminui e adquire um valor aproximadamente constante. Se o corpo estiver em repouso. 11 . A essa força que a superfície faz sobre o objeto enquanto este está em movimento chamamos força de atrito cinética fC. o corpo B exercerá uma forca FBA sobre o corpo A de mesmo módulo e direção. FAB = . o objeto não desliza devido a uma força de resistência que a superfície faz sobre o objeto. P = mg Aqui P é a força peso. As forças atuam aos pares. Esta força de resistência que a superfície faz sobre o objeto é chamada de força de atrito estático fE. cuja direção é a partir do corpo e ao longo da corda a partindo do ponto de engasgamento. ele continuara com velocidade constante.81m/s2) Força Normal Quando um corpo está pressionado sobre uma superfície.FBA As forcas de ação e reação atuam sempre em corpos diferentes e nunca se cancelam. Tensão Quando uma corda é presa a um corpo e puxada. ρ é a densidade do fluido.N Onde µs é chamado de coeficiente de atrito estático. ele estará submetido á força peso.A magnitude de fE tem um valor máximo que é dado por fE = µE. Quando um corpo cai em queda livre no ar.N Onde µC é chamado de coeficiente de atrito cinético. aplicando a segunda lei de Newton temos Fc = ma = mv2/r 12 . Essa velocidade é chamada de velocidade terminal e é dada por vt=(2mg/CρA)1/2 objeto Velocidade terminal (m/s) 95% da Distancia (m) esquiador 60 430 Bola de tenis 31 115 Bola de basquete 20 47 Bola de ping pong 9 10 Gota de agua 7 6 paraquedista 5 3 Movimento circular uniforme Quando um corpo está em movimento circular uniforme dizemos que ele possui uma aceleração centrípeta dada por ac= v2/r Onde v é a velocidade tangencial do corpo e r é o raio da órbita do corpo. Propriedade 3 – quando o corpo começa a deslizar ao longo da superfície o tamanho da força de atrito cai rapidamente para um valor fC dado por fC = µC. e a força de arrasto irá aumentar com o aumento da sua velocidade durante a queda. Essa aceleração centrípeta é causada por uma força centrípeta (Fc) que atua sobre o corpo e é direcionada para o centro do corpo.12 Propriedade 1 – Se o corpo não se movimenta a força de atrito estática fs será igual e oposta à força aplicada F. Quando existe um movimento relativo entre um corpo e um fluido o corpo experimenta uma força na direção da velocidade do fluido à qual chamamos força de arrasto que é dada por D=1/2 C ρ A v2 Onde C é o coeficiente de arrasto. Assim o corpo atingirá uma velocidade onde a força de arrasto será igual a força da gravidade e o corpo passará a cair com velocidade cons tante. Força de arrasto Um fluido é algo que pode fluir. A é a área efetiva em contato com o fluido e v é a velocidade relativa entre o corpo e o fluido. Propriedade 2 . em geral um gás ou um liquido. e. 13 Alguns casos típicos de aplicação das leis de Newton 13 . 14 Trabalho e Potência Trabalho Refere-se a uma atividade envolvendo força e movimento na direção da força. Trabalho é realizado sobre um objeto quando uma força atua sobre um corpo na direção do movimento ou tem uma componente na direção do movimento. W = F ⋅d W = F cos θ ⋅ d Trabalho como produto escalar Trabalho inexistente r r W = F • d = F cos θ ⋅ d Trabalho:interpretação gráfica e força variável W = F xm W = F ⋅ xm F W = ½ K xm 2 W = 1 2 K ⋅ xm 2 xm w = ∫ Fdx 0 xm W = ∫ F ⋅ dx 0 14 . 15 Generalização da equação do trabalho Potência Potencia pode ser definido como a taxa de realização de trabalho ou a taxa de utilização de energia. Potencia média Pmed = trabalho tempo = F cos θ ⋅ x t = F cos θ ⋅ v med P = F cos θ ⋅ v r r P = F •v Potencia instantânea 15 . 81m/s2. Energia cinética (Ec) Energia cinética é a energia do movimento. Um objeto deve ter energia potencial elástica como resultado do esticamento de uma mola ou outra deformação elástica. EPE = 0 0 Um = Ug = 0h EPE = ½ K x 2 EPE==½ K xx2 ½K 2 Um 1 E pe = kx 2 2 Sendo x o valor da deformacao e k a constante de mola 16 . Um objeto deverá ter a capacidade de realizar trabalho como resultado da sua posição num campo gravitacional. num campo magnético ou num campo elétrico. Energia potencial gravitacional (Epg) Energia potencial gravitacional é a energia que um objeto possui devido a sua posição no campo gravitacional. Deve-se ter energia para se conseguir realizar trabalho. 1 Ec = mv 2 2 Energia potencial (Ep) Energia potencial é a energia que resulta da posição ou configuração. E pg = mgh Energia potencial elástica (Epe) Energia potencial elástica é a energia potencial armazenada como resultado da deformação de um objeto elástico como o esticamento ou compressão de uma mola. O uso mais comum da energia potencial gravitacional é para objetos próximos à superfície da terra onde a aceleração da gravidade é g = 9. A energia cinética de um objeto é a energia que o objeto possui devido ao seu movimento.16 Energia e Conservação da Energia Energia É a capacidade de realizar trabalho. E = Ec + E p Conservação da energia mecânica. Nos sistemas onde não há dissipação de energia a energia mecânica se conserva. E f = Ei Ec f + E pgf + E pef = Ec i + E pgi + E pei Energia dissipada no atrito A energia dissipada durante o atrito entre dois objetos será transformada em calor. 1 1 mv f − mvi = ∆K 2 2 Equação geral para resolução de problemas de energia/trabalho w = ∆E + f∆s w= 17 .17 Energia mecânica (E) A energia mecânica é a soma das energias potencial e cinética. assim a força de atrito multiplicada pelo espaço onde ela atua dará a variação da energia térmica perdida devido ao atrito. f∆s = ∆Etermica Principio do trabalho/energia cinética A mudança de energia cinética de um objeto é igual ao trabalho feito sobre o objeto. v Conservação do momento linear O momento linear de um sistema isolado é constante Antes Depois r r pi = pf r r r r m1v1i + m 2 v2 i = m1 v1 f + m 2 v2 f Conservação da energia cinética – revisando 1 r 2 1 r 2 1 r 2 1 r 2 m1v1i + m2 v 2i = m1v1 f + m2 v 2 f 2 2 2 2 Colisões elásticas Colisões elásticas são aquelas nas quais a energia cinética é conservada e o momento linear é conservado. Colisões e Impulso Momento Linear m v momento linear = massa x velocidade p = m x v p = m.18 Momento Linear. Exemplo : Colisões elásticas com uma das massas inicialmente em repouso Momento linear é constante r r r m1v1i = m1 v1 f + m2 v 2 f Energia cinética é constante 1 r 2 1 r 2 1 r 2 m1v1i = m1v1 f + m2 v 2 f 2 2 2 18 . 19 Colisões inelásticas Colisões inelásticas são aquelas nas quais parte da energia cinética é trocada por outra forma de energia durante a colisão. F= Supondo um sistema qualquer. no entanto o momento linear se conserva. como por exemplo em um foguete. ou seja onde tanto a velocidade quanto a massa possam variar. Exemplo : Colisões inelásticas com uma das massas inicialmente em repouso Momento linear é constante r r m1v1i = (m1 + m2 )v 2 f Energia cinética varia Kf m1 = Ki m1 + m2 Ki − Kf m2 = Ki m1 + m2 Relação entre momento linear e força A força externa que atua sobre um objeto pode ser avaliada como a taxa de mudança do momento linear com o tempo no caso da massa ser constante. teremos: dp dt F= mdv vdm + dt dt Impulso O impulso é o produto da força pelo tempo durante o qual esta força é exercida F= dp ⇒ Fdt = dp ⇒ I = Fdt = dp = mdv dt I = Fdt = dp Colisão perfeitamente frontal m1 = m2 m1 ≠ m2 v1 f = 2m1 (m1 − m2) v1i v 2 f = v1i (m1 + m2 (m1 + m2 19 . 348057 Y = 58.Trabalho 1 ` Pesquisar duas biografias de físicos seguindo tabela abaixo.023248 x 2508 . Wilhelm Konrad. James Prescott KELVIN. o trabalho será sobre o físico ROENTGEN. Blaise PITÁGORAS PLANCK. Charles Augustin de CURIE.1. Tycho BROGLIE. Willebrord van Roijen STEVIN. Guglielmo MAXWELL. René DOPPLER. Jean Bernard Léon FRANKLIN. Joseph John TORRICELLI. Evangelista VAN DE GRAAFF. Albert FAHRENHEIT. Niels Henrik David BORN.1. Pierre e Marie DESCARTES. Robert BRAHE. Hans Christian OHM. Cada biografia deve ser escrita em caneta azul ou preta e conter apenas duas páginas. Johann LANDAU. André Marie ARISTARCO ARISTÓTELES ARQUIMEDES BECQUEREL. Henry CELSIUS. Biografia 1 . Christian Johann EDISON. Biografia 2 – Aqueles com números de 1 a 35 farão a biografia de Isaac NEWTON e de 36 a 71 farão a biografia de Galileu GALILEI. Alexander Graham BERNOULLI. E. Thomas Alva EINSTEIN. Ludwig PLATÃO PTOLOMEU. James YOUNG. Exemplo: 25 de agosto = 2508 Y = 0. Michael FIZEAU. Nicolau COULOMB. Nicolas Léonard Sadi CAVENDISH.348057 Sendo X o numero formado por quatro algarismos correspondentes ao dia e mês do aniversario. Robert Jemison VINCI. Cláudio ROENTGEN. Benjamin GALILEI. Louis de CARNOT.3059 Por aproximação obtém-se 58. Gabriel Daniel FARADAY. César COPÉRNICO. assim. Ernest SCHRÖDINGER. Daniel BOHR. Georg Simon PASCAL. Thomas 20 20 . Hendrik Antoon MARCONI. Alessandro Giuseppe WATT. Lev Davidovich LORENTZ. Max BOYLE. William GUERICKE. Erwin SNELL. Lord (William Thomson) KEPLER. Galileu GALVANI. James Clerk MICHELSON. Otto von GUTENBERG. Isaac OERSTED. Leonardo da VOLTA. Jacques A. Simon TALES TESLA. Heinrich Rudolf HIPARCO HOOKE. Robert Andrews MORSE. Max K. Carl Friedrich GILBERT.023248 X . Werner Karl HERTZ. Samuel Finley Breese NEWTON. Anders CHARLES. Antoine Henri BELL. Armand Hyppolyte Louis FOUCAULT. Albert Abraham MILLIKAN. Luigi 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 GAUSS. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 AMPÈRE. Wilhelm Konrad RUTHERFORD. Robert HUYGENS. Christiaan JOULE.A primeira biografia será de um físico definido de acordo com a seguinte equação: Y = 0. Nikola THOMSON. Johannes HEISENBERG. 5h x Dizemos que a precisão no segundo caso é maior do que no primeiro caso. Erro absoluto: O resultado da medida de uma grandeza é geralmente indicado da seguinte forma: N Desvio padrão. unidade da grandeza física. Chamamos de erro relativo a relação matemática ∆L . Chamamos desvio de uma medida a diferença: di = xi − x Desvio médio absoluto.2% 1m 1000mm L x=λx onde = grandeza física ∆L 2mm 2mm 2mm = = = = 0. x para calcular o valor 1 2 N Exemplo: ∆t = grandeza física 0. Assim grandeza x tomamos as medidas x . Material necessário: Calculadora. comprimento.requisitos: Conceitos sobre medidas. Objetivos : Desenvolver as idéias de grandezas físicas. ∆t = 0. Por exemplo ao medirmos uma barra metálica que possui comprimento L = 1m o observador comete um erro de ∆L = ±2mm .. Teremos ∆x ∆v = ∆t N Desvio. 2. Exemplo: tempo.000002 = 0. 3. No entanto ao medir uma distancia L = 1km usando um equipamento sofisticado comete o mesmo erro ∆L = ±2mm . Considere agora que vamos medir a varias vezes.002 = 0. massa. Chamamos de desvio padrão a relação aritmética: x = x * ± ∆x x s= ∑ ( xi − x ) 2 i =1 N Onde ( N − 1) x será ∆x é o erro ou incerteza o qual é chamado de erro absoluto.. medidas e erros de medidas. L Assim no primeiro caso o erro relativo será ∆L 2mm 2mm = = = 0. Assim definimos erro relativo a relação matemática ∆x x Valor Médio.0002% L 1km 1000m 1000000 mm no segundo caso o erro relativo será λ = valor numérico da grandeza x = unidade ou padrão da grandeza física. ou seja.. x * é o valor médio de uma serie de medidas e Medida da grandeza. Pré .. Exemplo: A velocidade media de um carro que percorreu uma distancia ∆x em um intervalo de tempo ∆t . N vezes. x . grandezas e erros: Medida de uma grandeza: e Erro relativo: Esse erro absoluto não é suficiente pra caracterizar a precisão da medida.5 = valor numérico da grandeza h = horas. médio de x ou seja x : x= ∑ xi i =1 N Medida direta: é a medida obtida através da leitura de sua magnitude pelo uso de um instrumento. Chamamos de desvio médio absoluto a relação aritmética: d= ∑ di i =1 N Erros em medidas diretas. Medidas indiretas: é o resultado da aplicação de uma relação matemática que vincula a grandeza com outras medidas diretas.21 TRABALHO 2 – Medidas e Erros Grandezas físicas e suas medidas 1. A medida da grandeza dada da seguinte forma x = x ± d ou x = x ± s 21 . 718. .22 Erros em medidas indiretas: propagação de erros.100 ± 0.89. Adição: TRABALHO 2 Fazer os seguintes exercícios: 1 – Calcular o valor médio e o desvio padrão para cada uma das medidas cujos resultados foram tabelados abaixo.90.00± 0.9 . a) L(cm) 90.89 – 0.003 – B =1. b) para A = 100 ± 3 e B = 45 ± 2 calcular Z = A – 2B c) para A = 0.1 .7 b) t(s) 0.05 Z = A B z ± ∆z = ( x ± ∆x ) + ( y ± ∆y ) = ( x + y ) ± (∆x + ∆y ) z ± ∆z = ( x ± ∆x ) − ( y ± ∆y ) = ( x − y ) ± (∆x + ∆y ) z ± ∆z = ( x ± ∆x ) ⋅ ( y ± ∆y ) = ( x ⋅ y ) ± ( x ⋅ ∆y + y ⋅ ∆x ) z ± ∆z = c ( x ± ∆x ) = c ⋅ x ± c ⋅ ∆x Subtração: Multiplicação: Multiplicação por uma constante: Potencia: Divisão: z ± ∆z = ( x ± ∆x )n = x n ± n ⋅ x n −1 ⋅ ∆x z ± ∆z = x ± ∆x x 1 ( x ⋅ ∆ y + y ⋅ ∆x ) = ± y ± ∆y y y 2 Logaritmo: log c e ⋅ ∆x z ± ∆z = log c ( x ± ∆x) = log c x ± x Exponencial: z ± ∆z = c x ± ∆x = c x ± c x ⋅ ln c ⋅ ∆x d) para A =10. Utiliza-se as seguintes regras de propagação de erros onde c e n são constantes quaisquer e e é o algarismo neperiano e vale e = 2.00 ± 0.06 e B = 100 ± 2 calcular: Z = A lnB 22 .87– 0.3 .89. a) para A = 25 ± 1 calcular: Z = A2.83 – 0. Os erros das medidas indiretas são calculados a partir de uma operação matemática entre outras grandezas medidas diretamente e seus respectivos erros. Justifique o resultado.89 – 0.82 – 0...84 2 – Considere Z uma grandeza que depende das grandezas A e B. 23 Trabalho 3 - VETORES Vetores – Parte A Vetores são quantidades que tem tamanho e direção. Esta deve ser a primeira vez que você encontra o conceito de vetor. Vetores são um conceito central no estudo da física. Já que deve ser algo novo pra você, não tente relacioná-lo a idéias que você já conhece. Isso poderá complicar o entendimento. Em pouco tempo você vai descobrir esta definição. Você vai entender que vetores são itens que tem duas partes. Vamos primeiro assegurar que entendemos o significado da palavra quantidade. A quantidade é alguma coisa que você mede Quando medimos alguma coisa, como o tempo que você leva para ler este parágrafo, podemos escrever a medida como um numero seguido de uma unidade. Por exemplo, leva 30 segundo para ler este parágrafo. t=30s. Normalmente nós diremos, o período de tempo foi de 30 s. Ou diremos passaram-se 30 segundos. Por enquanto, vamos dizer que a quantidade de tempo tem um tamanho de 30s. Algumas quantidades tem apenas tamanho. No exemplo acima o período de tempo pode ser completamente explicado e expresso usando apenas um numero, 30 s. Aquele numero representa o tamanho do tempo, e, como quantidade, tudo o que o tempo tem é um tamanho. Uma outra quantidade que só tem tamanho é a temperaturao de um cômodo no qual você está. Dizemos que a tempertura é de 24 graus Celciul. A quantidade de massa, também, tem apenas um tamanho. Podemos dizer que a massa de um livro é de 1,2 kg. Definiremos completamente a quantidade de massa com apenas um número, 1,2 kg. Quantidades como estas, que tem apenas tamanho, são chamadas escalares. Nem todas as quantidades são iguais a esta. Algumas têm mais do que o tamanho; algumas quantidades têm direção. Quantidades com ambos, tamanho e direção, são chamadas vetores. Algumas quantidades tem ambos, tamanho e direção. Vamos dar uma olhada no conceito de velocidade como é usado em física. Velocidade pode ser medida. É uma quantidade que pode ser escrita. No entanto, no estudo da física podemos dizer que a expressão seguinte não explica completamente nem expressa uma velocidade: v=25m/s. Lemos a expressão acima: a velocidade é igual a 25 metros por segundo. O tamanho da velocidade deve ser de 25 m/s. Esta idéia não é o bastante. Isso revela que velocidade tem mais do que apenas um tamanho. Velocidade tem também direção. Por exemplo, uma expressão que expressaria a velocidade corretamente seria: a velocidade é de 25 metros por segundo em direção ao norte. Note que duas coisas são necessárias para para estabelecer uma velocidade, ou seja, tamanho, ou seja, 25 metros Poe segundo, e direção, norte. Agora, é assim que falamos de velocidade quanto estudamos física. O tamanho da velocidade é chamado de módulo da velocidade. Assim, diremos que velocidade é composta de um módulo e uma direção.Quantidades como esta que tem tamanho e direção, são chamadas vetores. Direção significa algo relacionado com Norte, Sul, Leste e Oeste. Quando dizemos que uma quantidade tem direção, pensamos uma direção como aquela indicada por uma bússola. A velocidade de uma bola arremessada, significa a direção na qual a bola está se movendo. Não é o mesmo que dizemos quando falamos, o tempo esta passando, nem quando dizemos, a temperatura esta subindo. Nem o tempo sem a temperatura estão apontados para o Norte, Sul, Leste nem Oeste, nem qualquer outra direção da bússola. O tamanho de um vetor direção também. Bem, não deve ser difícil tamanho da velocidade, ou segundo, é um numero. A é um numero e a de entender que o seja, 25 metros por direção, também, é 23 descrita com um numero. No exemplo anterior nós estabelecemos a direção como norte. Quase sempre direções são um pouco mais complicadas. Em geral direções são indicadas usando termos como: “A direção é 4 graus Norte, para o Leste”. Assim, uma descrição completa da velocidade seria escrita como: “A velocidade é 38m/s na direção de 52 graus Oeste, para o Norte”. É importante entender que um vetor tem duas partes; uma parte é o tamanho e a outra parte é a direção. Ambas as partes podem serr expressas com números. Vetores são simbolizados por setas Existe um caminho para desenhar vetores. Eles são desenhados, ou simbolizados com setas. Uma seta é um símbolo perfeito para um vetor. Uma seta tem tamanho, seu comprimento, e uma direção, a direção na qual ela esta apontando. Assim, para desenhar um vetor nós necessitamos apenas de desenhar uma seta. Não é difícil de entender que uma seta pode ter qualquer direção e qualquer tamanho. Pode, portanto, representar a velocidade de uma pessoa sobre uma bicicleta, se movimentando em qualquer direção e com qualquer velocidade. O comprimento de uma seta é o tamanho da seta.. É o comprimento da seta que representa o tamanho do vetor. Se nós estamos falando de um vetor velocidade, então o comprimento da seta representa o tamanho da velocidade. O tamanho da velocidade é chamado de velocidade escalar. A direção para onde a seta esta apontando representa a direção do vetor. Para um vetor velocidade usado para descrever o movimento de um objeto, ele representara a direção na qual o objeto estava se movendo. A ponta da seta é chamada de cabeça do vetor. O outro lado é chamado de calda do vetor. A direção de um vetor é freqüentemente dita em termos de Norte, Sul, Leste e Oeste. Agora, se você tem alguma duvida com relação as referencias Nordeste, etc, que são usadas para descrever a direção de um vetor, vamos esclarecer isso agora. Primeiro, imagina um sistema de coordenadas x,y. Imagine que a direção positiva de y a qual esta apontada para cima, é Norte e que a direção negativa de y é a direção sul. Imagine que para a direita, ou no sentido positivo de x seja a direção leste e que para a esquerda, ou na direção negativa de x seja oeste. Imagine a calda do vetor na origem do sistema de coordenadas. Se o vetor repousa ao diretamente ao longo de um dos eixos, então ele é dito apontar diretamente para Norte, Sul, Lesto ou Oeste, obviamente de acordo com qual direção o vetor esta apontando. Se ele repousa entre dois eixos, que será quase sempre o caso, a sua direção é dita usando os dois eixos entre os quais ele repousa. Por exemplo, um vetor apontando para a esquerda, subindo um pouco acima do eixo x estará mais para leste, mas subindo em direção ao norte. Dizemos que esse vetor esta direcionado alguns graus para nordeste. 24 Diferença entre escalares e vetores. Se uma quantidade tem apenas tamanho ela é dita escalar. Tempo e temperatura são exemplos de escalares. Massa é também um exemplo de um escalar. Se uma quantidade tem tamanho e direção, ela é chamada um vetor e pode ser simbolizado, ou desenhado, como uma seta. Velocidade é um exemplo de vetor. Diferença entre velocidade e velocidade escalar. Tecnicamente, velocidade escalar tem apenas tamanho. A velocidade escalar é o tamanho da velocidade. Velocidade escalar é um estalar. . Nos devemos dizer que o objeto viajou a uma velocidade escalar de 8 metros por segundo. Note que nos não sabemos em qual direção ele esta se movendo. Velocidade, desde que ela é um vetor, tem um tamanho e uma direção. Assim uma velocidade é composta de uma velocidade escalar e uma direção. Devemos dizer: “Os objetos estão movendo a uma velocidade escalar de 7 metros por segundo em uma direção de 30 graus sudeste” Isso pode parecer um pouco confuso a principio, uma vez que freqüentemente nas conversas velocidade e velocidade escalar são usadas indistintamente. Portanto em uma discusao de física é importante saber esta diferença e estar atento a sua aplicação. Diferença entre distancia e deslocamento. Distancia é um escalar. Tem apenas um tamanho. É o tamanho do deslocamento. Nós devemos dizer “a distancia viajada por um objeto foi 45 metros”. Note que nós não sabemos a direção na qual o objeto se movimentou. Deslocamento é um vetor com tamanho e direção. Nós devemos dizer “o objeto deslocou 30 metros em uma direção 50 graus sudeste”. Nós sabemos a que distancia o objeto se movimentou e em que direção ele se moveu. Outros exemplos de vetores. Vetores são um conceito central no estudo de física, logo você terá contato com quantidades vetoriais. Alem de deslocamento e velocidade, outros exemplos de vetores incluem aceleração, forca, campo gravitacional, torque, campo elétrico e magnético. 24 Vetores – Parte B Vetor é um conceito matemático amplamente usado para representar fenômenos físicos. Introdução Conceitos matemáticos são muitas vezes ligados a fenômenos físicos, para adequada representação dos mesmos. Grandezas como temperatura, potência e outras são completamente definidas por um único valor numérico. Tais grandezas são denominadas escalares, porque, na forma gráfica, podem visualizadas como um ponto em uma escala, conforme Fig 1 A. Outras, como velocidade, força, etc, precisam também de uma direção e graficamente são representadas por um segmento de reta com seta. São chamadas grandezas vetoriais. Portanto, o vetor define corretamente a grandeza através do seu comprimento e do ângulo que faz com uma referência, conforme B da figura. nenhuma efeito é observado. Se estiverem deslocados conforme figura, há um esforço de rotação (momento) sobre o corpo, tanto maior quanto maior a distância entre eles. Se vetores têm o mesmo comprimento, os módulos são idênticos, independente da direção. Assim, na Fig 2, | a | = | b | = | c | = | d |. A diferença de direção é condição suficiente para a desigualdade, independente do módulo. Portanto, b ≠ c apesar de | b | = | c |. Multiplicação por um escalar A multiplicação ou divisão por um escalar resulta vetores em segmentos de reta paralelos, na mesma linha ou não, com módulos e sentidos alterados pelo multiplicador ou divisor. Exemplos conforme Figura 3. 25 Vetor unitário é um vetor de módulo igual a uma unidade de referência no sistema em que se trabalha. Se u é um vetor unitário, então um vetor genérico a é dado por a = | a | u = au. Notação Nesta página, vetores são simbolizados por um caractere alfabético, maiúsculo ou minúsculo, em negrito. Exemplos: vetor a, vetor B, vetor v, etc. O comprimento do vetor é também chamado valor absoluto ou módulo do mesmo e simbolizado pelo caractere sem negrito. Assim, para o vetor v, v = | v |. Algumas vezes, os vetores são designados por letras ou números nas suas extremidades. Exemplo: MN da Fig 1 do item anterior. O ponto M é a origem do vetor. Igualdade e oposição Dois ou mais vetores são iguais se têm idênticos módulos e sentidos. Assim, eles estarão em segmentos de reta paralelos, podendo ser coincidentes ou não. Na Fig 2, a = b. Dois vetores são opostos se têm o mesmo módulo e sentidos opostos. De forma similar, estarão em segmentos de retas paralelos, coincidentes ou não. A oposição é marcada por sinal negativo, c = -d. Notar que esses conceitos de igualdade e oposição de vetores podem não ser suficientes para definir certos fenômenos físicos. Às vezes, é necessária a indicação dos pontos de origem. Exemplo: suponha que c e d são forças atuantes em um mesmo corpo. Se estiverem no mesmo alinhamento, Soma e subtração de vetores Para somar graficamente dois vetores a e b conforme 1 da Fig 4, leva-se a origem de um coincidir com o final do outro e a origem e o final restantes será o vetor representativo da soma vetorial dos mesmos (2 da figura). O módulo da soma não é necessariamente igual à soma dos módulos. Se | a + b | = | a | + | b |, a e b têm a mesma direção. Para a subtração, considere na Fig 5 os mesmos vetores a e b da figura anterior. Conforme 1, faz-se a coincidência das origens e as outras extremidades restantes forma o vetor da diferença. Alternativamente, pode ser feita como em 2 da figura: faz-se a soma a + (-b). De forma similar à adição, o módulo da diferença não é necessariamente igual à diferença dos módulos. Se | a - b | = | a | - | b |, a e b têm a mesma direção. Um outro método para a determinação gráfica da soma é a regra do paralelogramo, indicada em 1 na Figura 6. Juntam-se as origens e a diagonal do paralelogramo formado é a soma. Para vetores no 25 Módulo do vetor O módulo do vetor pode ser dado por suas coordenadas: Condição de paralelismo: se os vetores a e b são paralelos. b{-1. as suas coordenadas são proporcionais Xb/Xa = Yb/Ya = Zb/Za = c. os vetores Ax e Ay são os componentes do vetor no sistema de coordenadas. muitas vezes é usada a forma a{Xa. a = X a 2 + Ya 2 + Z a 2 Se dois vetores fazem um ângulo reto entre si. A = Ax + Ay. Ya. temos: A = Ax i + Ay j.0}. Se o coeficiente de proporcionalidade c é positivo. etc. 26 . Notar que é a projeção algébrica de b sobre a. Soma de vetores: se vetores são somados. eles são opostos (obs: se um dos coeficientes de a é nulo. E os escalares Ax e Ay são as coordenadas do vetor no sistema. Então. fica subentendido que o correspondente de b também é nulo). ux = i e uy = j. Se negativo. Conforme Fig 9. ele tem a denominação quadrado escalar do vetor a. Se u é um vetor unitário no sistema e chamando os componentes de u. ab = |a| |b| cos α. Xc = Xa + Xb. Para um vetor no espaço conforme Figura 8.3. pode-se verificar que este vetor é igual à soma dos vetores formados por suas projeções em cada eixo. Exemplos a{2. Então.b). multiplicada pelo módulo de a ou vice-versa.8}.12. No caso particular aa = |a|2. se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vetor. podese escrever de forma similar (considerando uz = k): A = Ax i + Ay j + Az k. conforme 2 da mesma figura. Assim.espaço. Exemplo: seja c = ma. eles têm a mesma direção. pode ser usada a similar regra do paralelepípedo. Za}. Yc = Ya + Yb e Zc = Za + Zb. Yc = mYa e Zc = mZa. Algumas propriedades do produto escalar: ab = ba (a + b)c = ac + bc (ma)b = m (ab) (ma)(nb) = (mn) ab. Para simplificar a notação. na Fig 7. Xc = mXa. o produto escalar dos mesmos é nulo. Ou seja. 26 Propriedades da soma e da multiplicação por escalar: A+b=b+a (m + n) a = ma + na M (na) = (mn)a A + (b + c ) = (a + b) + c m (a + b) = ma + mb Coordenadas de um vetor Considerando as regras da soma vetorial. o resultado tem as somas das coordenadas. Multiplicação ou divisão por um escalar: as coordenadas do resultado têm a multiplicação ou divisão pelo escalar. Exemplo: seja c = a + b. Produto escalar O produto escalar dos vetores a e b é definido como o produto dos seus módulos multiplicado pelo co-seno do ângulo entre eles (notação ab ou a. uma força F cuja distância perpendicular até o ponto 0 é dada pelo vetor 01. isto é. basta considerar os produtos dos módulos das forças pelas distâncias no cálculo dos momentos. Algumas propriedades do produto vetorial: r r (a × a ) = 0 r r r r r r r a + b × c = ( a × c ) + (b × c ) r r r r (ma ) × b = m(a × b ) r r r r (ma ) × (nb ) = mn (a × b ) ( ) 27 . Obs: este significado físico e o do item anterior são apenas exemplos. r r r a × b = (Ya Z b − Yb Z a )i + ( X b Z a − X a Z b ) y + r + ( X aYb − X bYa )k Produto vetorial Sejam. r r r r a × b = a ⋅ b ⋅ sen α é perpendicular ao . O produto escalar é dado por: ab = XaXb + YaYb +ZaZb. Ângulo entre dois vetores: X a X b + YaYb + Z a Z b ab cos α = = 2 a . Caso contrário. r r Significado físico do produto vetorial: Seja. ao contrário do produto escalar. se um ponto material se desloca de 0 até 1 sob ação de uma força F constante.Produto escalar em termos de coordenadas: Sejam os vetores a{Xa. b x a = . não há propriedade comutativa. Ya. a e b são perpendiculares. conforme Fig 11. a e b dois vetores no mesmo plano. Se todas as forças atuantes estão no mesmo plano ou em planos paralelos. Yb. é um vetor tal que: 1) Seu módulo é igual à área do paralelogramo 0123. Zb}. O produto vetorial desses dois vetores dá o momento da força em relação ao ponto 0 (em mecânica. fica evidente que a ordem dos fatores não é indiferente. Assim. O produto vetorial dos mesmos. Ya . a condição de equilíbrio só pode ser verificada com os momentos vetoriais). então ab = 0. Yb . ou seja. indicado por a × b . Significado físico do produto escalar: Conforme Fig 10. plano 3) O sentido é dado pela regra da mão direita. se ab = 0. do 2) A direção paralelogramo. Z a } e b Então r função 27 das = { X b .b X +Y 2 + Z 2 + X 2 +Y 2 + Z 2 a a a b b b Produto vetorial em coordenadas: r r Sejam a = { X a .(a x b). considerando que a é o multiplicando e b. Como o sentido é dado pela regra da mão direita. o equilíbrio de um corpo existe se a soma das forças e a soma dos momentos são nulas. então o produto escalar de F pelo vetor 01 é o trabalho executado por esta força. Za} e b{Xb. Não são os únicos aplicáveis. o multiplicador. Z b } Condição de perpendicularidade: Se a e b são perpendiculares. A expressão produto vetorial indica que é realmente um vetor. E. conforme Figura 12. temperatura e energia. 5. (C) um segmento de reta com flechinha numa das extremidades. volume. (B) uma semi-reta orientada. Uma grandeza é vetorial quando para sua determinação é necessário e suficiente conhecer: (A) sua intensidade. (B) num mesmo intervalo de tempo. (C) ambos possuem iguais velocidades. num determinado instante. seus deslocamentos são iguais.Parte C Exercício: Resolver os testes de 1 a 10. velocidade e deslocamento. (D) todo segmento de reta que indica direção e sentido. aceleração. A velocidade escalar (rapidez) de uma partícula P1 é constante e igual a 4 m/s e a velocidade vetorial de uma partícula P2 é constante e de módulo igual a 4 m/s.Vetores . a mesma direção e sentidos contrários. um número acompanhado de sua unidade. ou seja. 28 . (C) o mesmo módulo. (C) suas velocidades escalares são diferentes. (B) unidade e direção. Dois vetores são iguais quando: (A) são paralelos e possuem mesmo sentido. Num sentido amplo. força e pressão. Se r r V2 =-2V1 . (C) contrários. (B) possuem mesmo módulo e mesma direção. (D) possuem velocidades de mesmo módulo. (B) módulos iguais e direções contrárias. 8. área. r r (B) V1 e V2 são iguais e de sentidos contrários. (D) temperatura. o deslocamento de P1 é igual ao de P2. (B) P2 efetua um movimento retilíneo uniforme. 10. 7. (C) massa específica. direção e sentido. Dados os vetores: 28 Assinale as alternativas falsas: (A) (B) (C) (D) r r V1 = V3 r r V1 = V4 r r V1 = − V4 r r V4 = V1 9. (D) sua intensidade. (B) força. 4. Uma grandeza é escalar quando para sua determinação é suficiente dar: (A) sua intensidade. (D) a velocidade de P1 é maior que a de P2. peso. (C) possuem mesma direção e sentido. deve-se entender por vetor: (A) um ente matemático abstrato. (D) sentidos contrários. 1. Então: (A) num mesmo intervalo de tempo. mesma direção e sentidos contrários. em módulo. (C) sua direção e sentido. ou seja. Dois corpos partem de um mesmo ponto com velocidade constante de 4 m/s. 2. 6. 3. deslocamento e velocidade. (C) sua direção e sentido. (D) sua intensidade. (B) sua unidade e direção num determinado instante. TRABALHO 3 Justificar a resposta de três testes considerando o ultimo algarismo do numero de matricula e os testes anotados na tabela abaixo. (D) são paralelos e possuem mesmo módulo e sentido. direção e sentido. um número acompanhado de sua unidade. Logo: (A) suas velocidades são iguais. então: r r V2 =2 V1 e V1 e r r V2 possuem sentidos (D) suas direções são opostas. r V2 é igual à metade do módulo (A) o módulo de r de V1 . definido como um número (módulo) associado a uma direção e a um sentido. São exemplos de grandezas escalares: (A) massa. Dois vetores são ditos simétricos quando tiverem: (A) módulos de sinais contrários. 75 ⋅10−11 5 ⋅10−3 = 7 .5 = 3 – 0.0000000398 = 4 – (4 x 108) (9 x 109) = 5 – (3 x 107) (6 x 10-12) = 6 .816.(3 ⋅ 106 ) ⋅ (8 ⋅ 10 − 2 ) (2 ⋅ 1017 ) ⋅ (6 ⋅ 105 ) = 2 .762.Álgebra Regras básicas a) Exemplos ax = b ⇒ b ax b = ⇒x= a a a 8 x = 32 ⇒ 8 x 32 = ⇒x=4 8 8 b) x+ a = b ⇒ x +a −a = b−a ⇒ x = b−a x+ 2 = 8 ⇒ x+ 2−2 = 8−2 ⇒ x = 6 c) ⎛ a ⎞ ⎛ c ⎞ ⎛ ac ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ ⎝ d ⎠ ⎝ bd ⎠ d) ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ad ⎜b⎟=⎛ ⎞ ⎜ ⎟ c ⎟ ⎝ bc ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝d ⎠ ⎛ 2x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 6x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 36 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎛ 2x ⎞ ⎜ ⎟ 2 x ⋅ 9 ⎞ ⎛ 18 x ⎞ ⎛ 3 x ⎞ ⎜ 4 ⎟=⎛ ⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ 3 ⎟ ⎝ 4 ⋅ 3 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 9 ⎠ e) ⎛ a ⎞ ⎛ c ⎞ ⎛ ad + bc ⎞ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ b ⎠ ⎝ d ⎠ ⎝ bd ⎠ ⎛ 2 x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 x ⋅ 9 + 3 ⋅ 4 ⎞ ⎛ 18 x + 12 ⎞ ⎛ 3 x + 2 ⎞ ⎟ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ = ⎜ 4⋅9 ⎠ ⎝ 36 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝9⎠ ⎝ 29 .Notação Cientifica As duas expressões importantes em notação cientifica são as seguintes: a) multiplicação n m n+m 10 ⋅10 = 10 b) divisão n 10 = 10n − m m 10 Exercícios M01 Use notação cientifica para responder os seguintes exercícios: 1 – 86.400 = 2 – 9.Trabalho 4 29 Matemática essencial para sobrevivência em Física 1 . 3 ⋅3 = 5 −8 = 2.3 x − 5 = 13 3 .x ⋅x 10 3- 1 xn =n x (x 4 )5 = x 4⋅5 = x 20 1 43 = 3 4 = 1.Fatoração Fatoração de fator comum Fatoração de quadrado perfeito ( x + y ) ⋅ ( x + y ) = ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 xy Fatoração de quadrado perfeito ( x − y ) ⋅ ( x − y ) = ( x − y ) 2 = x 2 + y 2 − 2 xy Fatoração diferença de quadrados ( x + y ) ⋅ ( x − y ) = x 2 − y 2 30 .Potência x0 = 1 x1 = x xn ⋅ xm = xn+m xn = xn−m xm x2 ⋅ x4 = x2+ 4 = x6 x8 = x8 − 2 = x 6 x2 (x n )m = x n⋅m Exercícios M03 2 3 1 .ax − 5 = bx + 2 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 4.⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎝ 2x + 6 ⎠ ⎝ 4x + 8 ⎠ 3 .5874 x = −5 x 1 4 .60 4 6- (x 4 )3 = 2ax + 3ay = a(2 x + 3 y ) 4 .53 = = 1 5 .30 Exercícios M02 Encontre o valor de x nos seguintes exercícios: 1- ⎛ 1 ⎞ a=⎜ ⎟ ⎝1+ x ⎠ 2 . 2x2 − 4x − 9 = 0 y = mx + b 6 – Equação de primeiro grau – Equação linear x2 − x1 Coeficiente angular ou inclinação ca = y 2 − y1 = tan θ Exercícios M06 1 – Desenhe gráficos das seguintes equações: a) y = 5x + 3 b) y = −2 x + 4 c) y = −3 x − 6 2 – Encontre o coeficiente angular das linhas descritas no exercício 1 3 .Encontre o coeficiente angular das linhas que passam pelos seguintes pontos a) (0.2x 2 − 5x + 2 = 0 3 .Sistemas de Equações Lineares Exercícios M07 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares a) x + y = 8 x− y =2 a b) 98−T =10 c) 6x + 2y = 6 T − 49= 5a 8x − 4y = 28 31 .x2 + 2x − 3 = 0 2 .2) e (4.-4) e (4.-2) 5x + y = −8 2x − 2y = 4 7 .0) e (2.31 Exercícios M04 Encontrar expressões equivalentes às seguintes expressões: 21ax + 7ay = 36 2 + 9 y 2 + 18 xy = (5 x − 3 y ) 2 = 9 x 2 − 16 y 2 = 5 – Equação de segundo grau – Equação quadrática ax + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac −b± ∆ x= 2a 2 Exercícios M05 Encontre as raízes e desenhe os gráficos das seguintes equações 1 .-5) c) (-5.2) b) (0. Qual o valor do outro lado. e um dos ângulos mede 30 graus. qual é o valor do ângulo oposto ao ângulo de 30 graus e qual é o valor do ângulo adjacente ao ângulo de 30 graus.Na figura ao lado identifique: a) o lado oposto a θ b) o lado oposto a φ c) cosθ d) senφ e) tanφ 2 – Em um certo triangulo retângulo os dois lados perpendiculares um ao outro medem 5 m e 7 m. 9 – Triangulo qualquer Lei dos cossenos 2 2 2 c = a + b − 2⋅ a⋅ b⋅ cosC a2 = c2 +b2 − 2⋅ c⋅ b⋅ cosA b2 = a2 + c2 − 2⋅ a⋅ c⋅ cosB Lei dos senos b c a = = senA senB senC 32 . 3 – Em um triangulo retângulo cuja hipotenusa mede 3m.8 – Trigonometria no triangulo retângulo Relações importantes 32 sen = θ catetooposto b / = hipotenusa c catetoadjacente a / cos = = θ hipotenusa c catetooposto b / tanθ = = catetoadjacente a / Expressões importantes 2 2 2 c = a +b sen2 θ + cos2 θ =1 sen−1θ = arcsen θ − cos 1θ = arccos θ tan−1θ = arctan θ Exercícios M08 1 . A partir do gráfico de velocidade versus tempo determine a aceleração do carro usando a inclinação do gráfico.3. Roteiro das Atividades com o trilho na posiçao horizontal 4. Verificando as expressões da cinemática.2. 3. 3. Considerando que no tempo t = 0 o carro esteja na posição do sensor 1 faça um gráfico de posição versus tempo. intervalos de tempo e velocidade. Utilize os resultados dos trilhos ascendente e descendente para verificar a variação da energia entre as posições. calcule a média e anote na tabela. Construa uma tabela de posições. Calcule a velocidade media em cada intervalo e complete a tabela. Calcule a velocidade media em cada intervalo e complete a tabela. 5. 4. 5.1. 4.4. Descubra como funcionam os sensores acoplados ao cronômetro digital. Experimente-o sempre com o fluxo de ar ligado.5. Calculando a variação da energia. 4. intervalos de tempo e velocidade. 6. Construa uma tabela de posições.4. 6. calcule a média e anote na tabela. 3. 4. 6. 5. 4.1. 3.5. 33 . 4 e 5 e o deslocamento entre cada posição. 6. Faça o disparo do carro 5 vezes anotando os intervalos de tempo. 4 e 5 e o deslocamento entre cada posição. 8. Montagem: O Trilho de ar deve estar em condições de operação. Faça um gráfico de velocidade versus tempo. Considerando que no tempo t = 0 o carro esteja na posição do sensor 1 faça um gráfico de posição versus tempo.7. 4. 7. Anote as posições dos sensores 1. A partir do gráfico de velocidade versus tempo determine a aceleração do carro usando a inclinação do gráfico. 33 CINEMATICA ENERGIA x = v med t v = v0 + at 1 x = v0t + at 2 2 E PG = mgh v = v0 + 2ax 2 2 v med = EC = v f + vi 2 1 2 mv 2 E M = E PG + E PE + EC E PE = 1 2 Kx 2 2.Experimento 1 Trilho de ar 1. Construa uma tabela de posições. 6.3.3.6. 6. Anote as posições dos sensores 1. A partir do gráfico de posição versus tempo determine a velocidade do carro usando a inclinação do gráfico.7. Roteiro das Atividades com o trilho inclinado ascendente. deslocamentos. Material Necessário Trilho de ar completo com cronômetro digital. 6.5. Utilize os resultados com trilhos ascendente e descendente para verificar a validade das expressões da cinemática. Considerando que no tempo t = 0 o carro esteja na posição do sensor 1 faça um gráfico de posição versus tempo. 2. calcule a média e anote na tabela. 5.4. 4.7.1.6. 4 e 5 e o deslocamento entre cada posição.2. 2. deslocamentos. Faça um gráfico de velocidade versus tempo. Faça o disparo do carro 5 vezes anotando os intervalos de tempo. 6. Anote as posições dos sensores 1.2. Calcule a velocidade media em cada intervalo e complete a tabela. Faça um gráfico de velocidade versus tempo. Teoria e Objetivos Gerais Apresentar as equações do movimento e da energia. Roteiro das Atividades com o trilho inclinado descendente. deslocamentos.6. Faça o disparo do carro 5 vezes anotando os intervalos de tempo. 5. 5. 5. 2. 5. intervalos de tempo e velocidade. 34 Experimento 2 Queda Livre 1. Material Necessário Conjunto completo para queda de corpos com cinco detectores.3.4. 4. cronômetro digital e papel milimetrado.1. 5. 5.2. Montagem O sistema está montado sendo necessários ajustes e o entendimento de seu manejo. Faça um gráfico de posição versus tempo. x = v med t v = v0 + at 1 x = v0t + at 2 2 v = v0 + 2ax 2 2 2. dos deslocamentos e dos intervalos de tempo e construa uma tabela com estes valores. 5. 5. Repita o ensaio 5 vezes. Calcule a velocidade média em cada intervalo e construa uma tabela com estes valores. Faça um gráfico de posição versus t2. 3. 5.6. Retenha a bola eletromagneticamente (por no máximo 3 s para evitar queimar o eletroímã) e então solte. 34 . Roteiro do experimento 5.5. Faça um gráfico de velocidade versus tempo. Pré – requisito Conhecimento das equações do MRUA. 5. Objetivos Gerais Apresentar as equações do movimento de Queda Livre. Anote os valores das posições. 5.Com o dado obtido. Construa uma tabela indicando massa. Nivele o sistema. 5.9. 3. ou seja o período de oscilação (tempo gasto para ir e voltar ao mesmo ponto).s). indicado por uma linha) seja 1 m. desloque o Pêndulo de sua posição de equilíbrio de uma amplitude aproximada de 10 cm e determine o tempo de uma oscilação completa. o período de uma oscilação T (segundos .7 Usando duas massas diferentes meça o tempo de 10 oscilações completas.4. calcule a média e o desvio padrão. com amplitudes sucessivas de 5.Hz) e a freqüência angular ω(radianos por segundo – rad/seg).Verificar experimentalmente a Equação do Pêndulo Simples. Procure justificar o motivo pelo qual se recomenda adotar como Período do Pêndulo Simples o aquele calculado no item 5. Verifique se o comprimento do pendulo (ponto de suspensão do pêndulo até centro de gravidade do peso.1. Repita este procedimento mais duas vezes. Roteiro das atividades. Comente. o intervalo de tempo que o pêndulo leva para executar 20 oscilações completas.5 construa um gráfico do Período versus Amplitude do Pêndulo. o que você pode concluir a respeito do período do pêndulo quando variamos a sua massa? 5. 15. Todos os gráficos devem ser feitos em papel milimetrado.11.2. faça um gráfico do período do pêndulo versus comprimento. freqüência e freqüência angular. Com os dados obtidos no item 5. Repita este procedimento mais duas vezes.s).9.m). 35 T = 2π l g 2. o tempo de 5 oscilações (segundos . agora.Experimento 3 Pêndulo Simples 1. Use o Pêndulo de teto. use a equação do pêndulo e determine com precisão de até 4 casas depois da vírgula a aceleração da gravidade em São Carlos. 4. 5. 20 e 25 cm construa uma tabela mostrando: a amplitude A de oscilação (metros . Analisando os dados do item 5. A partir dos valores do item 5. 40cm e 20cm construa uma tabela indicando comprimento. 5. 5. Montagem Verifique se a montagem apresentada está completa. Repita o experimento 2 vezes. 5. Variando o comprimento (l -[m]) do Pêndulo com 100cm. meça seu comprimento. 5. Pré – requisito Conceito de um pêndulo simples. Deslocando o Pêndulo de sua posição de equilíbrio. 5. tempo de 10 oscilações. a freqüência de oscilação f (hertz . Com a massa pendular situada no ponto mais baixo.9. 60cm. 10. Teoria e Objetivos: Definir o conceito de Movimento Periódico.5. Mostre os cálculos para encontrar g. 5.12. Comente. Determine. Material Um conjunto pendular e um relógio com cronômetro digital. calcule o período médio e a variância. 80cm. verifique a validade da equação acima g usando os valores encontrados no item 5. Sabendo–se que o período do pêndulo é dado pela equação T = 2π l . Considera as expressões a seguir: T= 1 f T= 2π ω f= 1 T ω= 2π T f= ω 2π ω = 2π ⋅ f 5.8. x = i=1 N ∑xi s= N ∑(xi − x)2 i =1 N (N −1) 5.3. período de 10 oscilações e período médio. média e desvio padrão do período de oscilação.6. Refaça por 20 vezes esta medida do período.7. 5.10. 35 .3. que você mediu. 3. anote os resultados de deformação da mola. 5. de 1 a 4. é a força com que as massas esticam a mola.2. mostrando que ela é uma força de mola de natureza restitutiva isto é. Calcule valor da constante elástica K. 5. pode-se afirmar que existe uma relação linear entre a força que provocou a elongação e própria elongação? Calcule o coeficiente angular. Repita o experimento para 2 e 3 massas. 5. 4. Conjunto de 4 massas de 50 g.4. Roteiro das Atividades.6. Material Sistema de sustentação com escala milimetrada. Verificar a validade da lei de Hooke.7 Monte uma mola com uma massa. Coloque o gancho lastro na mola e acrescentando uma massa por vez.5.1. 5.36 Experimento 4 Lei de Hooke 1. Enganche outra mola de mesmo material àquela mola já medida formando duas molas em série. ω= k m T= 1 f T= 2π ω f= 1 T ω= 2π T f= ω 2π ω = 2π ⋅ f 36 . Meça o tempo de dez oscilações completas. Molas helicoidais. 3 e 4 massas com o gancho lastro e anote. Use um suporte móvel para montar um sistema de duas molas iguais em paralelo e determine a constante elástica do conjunto. Puxe a massa levemente para baixo e solte o conjunto para que oscile para cima e para baixo. Montagem Observe a montagem de acordo com instrução do professor. Interpretar um gráfico de força versus elongação. O valor desse coeficiente angular é chamado constante da mola. Portanto a força com que a mola equilibra a força F deverá ter a mesma intensidade. Teoria e Objetivos Apresentar a Lei de Hooke. 5. mesma direção e sentido contrário. 2. ela procura sempre trazer as massas para a posição de equilíbrio. Calcule a freqüência angular ω . faça o gráfico de F versus x 5. Usando os resultados da tabela 1. k. Calcule o período de uma oscilação T. 5. Todos os gráficos devem ser feitos em papel milimetrado. Lembre-se que esta força F. Suportes. Construa uma tabela com esses dados. Assim a força tem sempre sinal oposto ao deslocamento x.3.requisito Conceito de força. Pré . Determine a constante elástica K do sistema procedendo da mesma maneira anterior. Por esta razão é que se escreve a lei de Hooke com um sinal negativo. Lei de Hooke deve ser escrita como: Verificar as expressões: F = − Kx K = F x K = mω 2 2. A partir do gráfico. Meça o peso de 1. 5. Coloque uma roldana na posição 0° com um conjunto de 1 massa. Pré . 3 massas com suporte. Faça um gráfico de forças considerando que 1N = 4cm. 2. 2 massas com suporte. Faça um gráfico de forças considerando que 1N = 4cm. Considere a força do dinamômetro como FE e verifique a validade da expressão: FE2= F22 F32+ 2 F2 F3 cos α α é o ângulo interno entre as direções de F2 e F3.Composição de Forças Ortogonais. Os gráficos devem ser feitos em papel milimetrado.requisitos: Conceitos sobre força resultante e métodos teóricos de solução. Coloque uma massa em um suporte e duas no outro suporte. vetor e soma de vetores desenvolver experimentalmente os conceitos de força resultante. Meça a força de equilíbrio com o dinamômetro. Coloque duas roldanas de tal maneira que o ângulo entre elas seja de 90°. 4. Conecte respectivamente um suporte com duas massas e outro com três massas. Coloque duas roldanas de tal maneira que o ângulo entre elas seja de 120°. Faça um gráfico de forças considerando que 1N = 4cm 5 . Material necessário: Mesa de forças básica completa. 3. Considere a força do dinamômetro como FE e verifique a validade da expressão: FE = (F12+F22)1/2 7 . 37 . Teoria e Objetivos : Definir força. Determine os pesos dos conjuntos: 1 massa com suporte. Faça um gráfico de forças considerando que 1N = 4cm. 6 . Meça a força e o ângulo de equilíbrio com o dinamômetro. Meça a força e o ângulo de equilíbrio com o dinamômetro. Montagem para Forças Colineares Calibre o dinamômetro.Montagem para Forças Concorrentes Quaisquer (porem diferente de 90o) Coloque duas roldanas formando um ângulo qualquer.37 Experimento 5 Composição e Decomposição de Forças 1.Montagem para a Composição de Forças não Colineares. Coloque duas massas em um suporte e três no outro suporte. Meça a força e o ângulo de equilíbrio com o dinamômetro. 3.6. 4.2. 4.38 Experimento 6 Atrito Estático e Cinético 1 Teoria e Objetivos Definir atrito e decomposição de forcas no plano inclinado. 4. Anote o ângulo que ele começou a deslizar. Ache o ângulo médio. eleve continuamente e vagarosamente a rampa até que o corpo de prova comece a deslizar (ângulo de iminência de movimento). Escolha um ângulo ( θ )de inclinação da rampa para o qual o objeto escorrega imediatamente ao ser colocado dobre a rampa. 4. 4.7. alumínio e latão 3 Montagem Execute a montagem do plano inclinado.5.8. (Escala 1 N = 4 cm). 2 Material Necessário Plano Inclinado Básico.10.4 calcule o coeficiente de atrito estático entre as superfícies de madeira e a da rampa. Considerando o diagrama de forças feito em 4. Descubra o menor ângulo em que ao colocar os objetos (madeira e metal) sobre o plano inclinado os mesmos escorregam.4. 4.Mostre que o coeficiente de atrito estático é igual a tangente do ângulo de iminência de movimento: µe = tg α 4. Escolha uma distancia a ser percorrida pelo objeto e anote o tempo necessário para percorrer esta distancia. Utilizando um dinamômetro determine o peso do corpo de prova de madeira. Determinar as forças de atrito estático e cinético e o coeficiente de atrito estático máximo. Repita este procedimento por cinco vezes. Com o corpo de madeira (com a parte de madeira para baixo) sobre a rampa. qual a força de atrito estático? 4. considerando agora este ângulo médio. incline-a 20o . Faça um diagrama de forças. Repita todos os procedimentos feitos para o corpo de prova de madeira e determine o coeficiente de atrito entre as superfícies de contato. Procedimento 4. Coloque agora corpos de prova metálicos sobre a rampa (alumínio e latão). No caso do item 4.5.9. 4. Repita dez vezes este procedimento e calcule a média. A partir do ângulo médio α encontrado em 4.. 2x g cosθ ⋅ t 2 38 .1. Calcule o coeficiente de atrito cinético: µc = tg β 4. 4. corpos de prova de madeira.8. Coloque o corpo de madeira ( com a parte esponjosa para baixo) sobre a rampa. Mostre que o coeficiente de atrito cinético pode ser calculado através da expressão: µc = tgθ − .2. encontre uma expressão para a força Normal e para a força de atrito. Faça um diagrama das forças (1 N = 4 cm) que atuam sobre o bloco e justifique porque ele não desce a rampa. Repita o lançamento 5 vezes. Calcule a distancia media alcançada. Solte a esfera a partir da primeira posição escolhida. Calculo da velocidade de lançamento horizontal v0x . uma folha de papel carbono. 4 Construa uma tabela com as 10 posições H de lançamento. Coloque sobre a folha de papel. 3 – Calculo de v0x usando equações da cinemática. – Escolha 10 posições de lançamento com alturas H diferentes. exemplo: 5a. Meça a distancia “L” entre o ponto alcançado pela esfera e o ponto zero. g e h. marque com um X e anote a posição de lançamento e o numero do lançamento.No lançamento horizontal. Calcule v0x em função de L. . 5 Faca um gráfico de L em função de v0x . 2 – Obtenção do valor do alcance L. Observe a posição alcançada pela esfera.39 Experimento 7 Lançamento obliquo 1 – Montagem. Considere: 1) o movimento horizontal é uniforme 2) ponto inicial do lançamento o ponto de projeção do prumo. Marque o ponto zero do lançamento com auxilio de um nível de prumo. 139 . a altura H da posição e o alcance obtido. o movimento descrito pelo corpo depois de lançado pode ser descrito por dois movimentos independentes. um movimento uniforme horizontal e um movimento uniformemente variado vertical. o alcance L e a velocidade v0x de lançamento . Calculo do tempo de descida. Garanta que a rampa esteja na posição horizontal. Cuide para que a esfera bata sobre o papel carbono apenas uma vez para que não haja confusão ao anotar a posição alcançada pela esfera. Fixe na mesa uma folha de papel em branco. Calcule o tempo de descida em função de h e g. Meça a altura “h” do ponto de lançamento até a superfície do papel. Construa uma tabela onde conste as 10 posições. . Considere: 1) ponto de origem vertical o ponto de lançamento 2) distancia percorrida em y o valor da altura h 3) velocidade vertical inicial no lançamento é igual a zero.Execute a montagem do conjunto de lançamento obliquo. 4.7. 3.11. 4. Ajuste uma tensão na fonte capaz de acionar a rotação do disco. 40 . Calcule a aceleração angular media αmed das cinco voltas. 4. Calcule a aceleração angular α em cada volta.9. 4. 4. Roteiro das Atividades 4. 4.3. 4. 4 e 5 voltas. 4 e 5 para os pontos PE e PI. 3. Calcule a velocidade tangencial ao final das voltas 1. Teoria e Objetivos Gerais Apresentar as equações do movimento circular. Lebre que a soma deve ser vetorial. 40 MOVIMENTO − RETILINEO x − x0 = vmed t v = v0 + at 1 x − x0 = v0 t + at 2 2 v 2 = v0 + 2a∆x 2 v med = v f + vi 2 MOVIMENTO − CIRCULAR θ − θ 0 = ω med t ω = ω 0 + αt θ − θ 0 = ω 0 t + αt 2 1 2 ω 2 = ω 0 2 + 2α∆θ ω med = ω f + ωi 2 RELAÇÃO − ENTRE − MOVIMENTO − LINEAR − E − MOVIMENTO − CIRCULAR s = rθ v = rω a = aT + a R a T = rα v2 aR = = ω 2r r Comprimento − da − circunferencia l = 2π r 2. 4. Calcule a aceleração radial aR . Calcule a velocidade angular ω inicial e final em cada volta.12. 4. Material Necessário Disco com acionamento a motor e regulador de voltagem.Experimento 8 Movimento circular 1. Meça o diâmetro do disco. Faça um ponto na circunferência externa do disco PE (ponto externo) e outro ponto a uma distancia de 4. 4.5cm do centro PI (ponto interno). Construa um gráfico t versus α. Construa um gráfico t versus θ. Construa um gráfico t versus ω. 4.5.8. 2. a aceleração tangencial aT. O acionamento do motor deve estar ligado a uma fonte de tensão variável.2. 2. 3.4.6. Calcule o deslocamento linear s para cada um dos pontos PE e PI durante uma volta. e a aceleração a para cada um dos pontos PE e PE ao final de cada uma das voltas.1. Calcule a velocidade angular média ωmed em cada volta. Cronômetro digital simples. Cronometrar o tempo necessário para que o disco realize 1. Ajuste uma tensão diferente na fonte e repita os itens anteriores. 4.10. Montagem: O disco deve estar montado e conectado com o motor através de elástico. 78 X 10-8) .000000513)(62.14 X 103) + (2. (b) metros cúbicos. Escreva como número decimal sem usar a notação de potências de 10: (a) 3 X 104 (b) 6. A velocidade do som no ar é de 340 m/ s. (b) 109 passos. arredondar corretamente o número final e exprimir este resultado em notação científica.3 X 107) (c) 28.78 X 102) (e) (1.s = J/s Efetue os seguintes cálculos com o arredondamento no número apropriado de algarismos significativos e escreva o resultado em notação científica. Escreva cada dado seguinte sem o auxilio de prefixos: (a) 40 fW. (d) 10-18 grão (e) 106 fones.99 X 104) (b) (2. Esta caixa contém aproximadamente 10 mil ou 10 milhões de folhas? Estime a ordem de grandeza do número de palavras de um livro de 100 páginas.78 X 104) (d) 63.8 in e altura de 2 ft. Qual a velocidade de um avião supersônico que se desloca com velocidade igual ao dobro da do som? Dê as respostas em quilômetros por hora e milhas por hora. (f) 10-9 cabra.sistemas de medidas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Usando a definição 1 milha = 1.00 X 104)(6.25/(4. O Concorde é o avião comercial mais veloz do mundo. Uma caixa possui volume de 28 cm x 22 cm x 42 cm e está cheia de folhas de papel de 28 cm X 22 cm. (c) litros? Mostrar que o produto da massa pela aceleração e pela velocidade tem as dimensões de potência. Qual o seu volume em (a) pés cúbicos.(5.56 X 10-3) (d) 27.99 X 102) Efetue os seguintes cálculos. (d) 3 X 10-6 metros .00 X 105) (c) (2.54 cm? Efetuar os seguintes cálculos. Por exemplo.17 X 10-3) A membrana de uma célula tem a espessura da ordem de 7 nm.002 grama.9)(569. (g) 1012 touros.1 GW = W. 100jardas = metros. Complete o seguinte: 100 km/h = milhas/h.10 X 10-2) (b) (3.14)(9.17 X 10 5 Escreva os seguintes dados em notação científica (a) 3. Quantas membranas deveriam ser empilhadas para se ter uma espessura de 1 in = 2. arredonde o resultado com o número apropriado de algarismos significativos e escreva-o em notação científica. (a) 10-12 grama.3 fs = s (d) 4 fJ/s.000 segundos.99 X 10-5) 18 19 20 41 . (b)10pm= m (c) 2.32 X 103)/(1.057 quartas e um galão.141592)(4.000 watts. Escreva cada dado seguinte (em unidades que não são SI sem usar qualquer abreviação).2 X 10-3 (c) 4 X 10-6 (d) 2.000 metros (b) 1. (c) 10-6 gota. Um litro tem 1. ou Mach 2. (c) 3 MW. 4 quartas.41 Primeira lista de exercícios . Quantos fios de cabelo há em sua cabeça? Quantas pizzas são consumidas durante um ano em São Carlos? Escreva os seguintes dados com prefixos e símbolos: a) 10.3) (b) (0. Calcule esta velocidade a) em km/h e b) em m/s. (a) Quantos litros tem um galão? (b) Um barril tem 42 galões.000. Ele pode viajar a 1450 mi/h (cerca de duas vezes a velocidade do som. 103 metros = 1 kilômetro.6 + (5. (a) (2. (c) 0.99 X 102) + (9. (a) (1.61 km calcule o número de quilômetros em 5 milhas. (a) (200.16 X 108) (d) (5.31 X 10 -9) (c) 12/(4.401 + (5.(d) 30. (d) 25 km. Quantos metros cúbicos tem um barril? Um cilindro circular reto tem diâmetro de 6. (b) 4 ns. Os freios dos trens fornecem uma desaceleração de 1 m/s2. Passado o tempo de reflexo. Um bloco escorrega em uma rampa com aceleração uniforme. Ele parte do repouso e atinge uma velocidade de 2. e joga uma bola para cima com velocidade de 5 m/s. o qual imprime uma desaceleração de 3 m/s2.42 Segunda lista de exercícios – movimento em uma dimensão.5 segundos durante o derrapamento. e qual a distancia que ele percorre nos primeiros 6 segundos? Um trem viajando a 30 m/s é desacelerado uniformemente até parar em 44 s. a partir do repouso. Qual é a aceleração do carro? Para decolar. Qual é o tempo de reação que o motorista deve ter para parar o carro a tempo de não bater no carro à frente? 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 42 . No caminho de descida. Encontre a aceleração e a distancia percorrida até parar? Uma bola é jogada para cima e retorna ao ponto de partida em 4 s. O motorista vê um carro bloqueando seu caminho 110 m a frente. encontre a aceleração e a velocidade depois de decorrido este tempo.5 minutos. Qual é a aceleração do bloco. Qual é a mínima aceleração constante que ele pode ter para decolar de uma pista de 1. Eles então se percebem e começam a frear quando a distancia entre eles é de 0.2 m/s2. Em um certo instante sua velocidade é 10 m/s. o motorista pisa no freio. Quanto tempo a bola demora para atingir o chão e com que velocidade a bola atinge o chão? Um caminhão parte do repouso e se move com uma aceleração constante de 5 m/s2. Se você esta dirigindo a 90 Km/h. Qual a altura da ponte? Você arremessa uma pedra para baixo a 5 m/s de cima de uma ponte e observa que ela atinge o chão 1 s mais tarde.8 Km de comprimento? Em boas condições. Um caminhão está se movendo a 21 m/s. a bola acaba caindo fora do prédio em direção ao chão. Qual a altura da ponte? Dois trens estão erroneamente diriginto-se um contra o outro. Se o carro esta viajando a 25 m/s. Haverá colisão? Você está no alto de um edifício de 20 m de altura. Se ele anda 50 m em 10 s. um caminhão ultrapassa o carro a uma velocidade constante e igual a 9. um avião deve atingir 300 Km/h em uma pista. os freios de um caro com pneus novos podem desacelerar o carro a 5 m/s2. e observa que ela atinge o chão 1 s depois. que distancia o carro irá derrapar durante este tempo? Um objeto tem uma aceleração constante de 3.2 m/s2. O carro te fornece uma desaceleração de 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Você derrapa enquanto esta dirigindo. Quanto tempo levará para subir e descer? Você está em uma auto estrada a 140 Km/h. um carro parte do repouso com uma aceleração 2.5m/s. Qual foi a velocidade do objeto 5 segundos antes? Um carro aumenta sua velocidade de 20 km/h para 50 km/h em 0. O trem 1 está indo a 72 km/h e o trem 2 a 144 km/h. A velocidade de um carro muda de 6 m/s para 20 m/s enquanto percorre 70 m. Você vê um carro de policia e você tenta desacelerar o carro rapidamente.7 m/s em 3 s. Qual é a aceleração do carro e quanto tempo leva para percorrer essa distancia? Uma bola é solta de uma ponde e atinge a água em 5 s. A que distancia do semáforo o carro vai ultrapassar o caminhão? Você solta uma pedra de uma ponte. quanto tempo ele leva para parar? Que distância ele percorre durante este tempo? Um carro parte do repouso e desce uma ladeira com aceleração constante. Quanto tempo vai demorar até a velocidade atingir 90 Km/h? No instante em que a luz verde do semáforo muda para verde. A que velocidade a bola estará quando atingir a água e qual é a altura da ponte? Com que velocidade uma bola deve ser jogada para cima para atingir uma altura máxima de 50 m. Encontre a velocidade e a distancia percorrida depois de 4 s.95 km. Encontre sua velocidade inicial.3 m/s2. e seus olhos fecham durante 0. No mesmo instate. 2 m/s para fora da extremidade de uma mesa de altura 0. A que distancia. Que ângulo. 8 Uma bola é chutada para cima com um ângulo de 30 graus com a horizontal e cai no topo de um edifício que esta a 20 m de distancia. Qual é a velocidade mínima que o pegador deve correr para conseguir pegar a bola? 10 Uma bola de baseball é lançada 1. em relação a horizontal. o canhão deve ser elevado para atingir o navio inimigo? A que distancia da ilha o navio deve navegar para ficar fora do alcance do canhão de defesa da ilha? 6 Uma pessoa presa na neve. O catador está 150 m à frente do batedor. com uma velocidade de 20 m/s. O canhão é apontado para cima fazendo um ângulo de 30 graus com a horizontal. O topo do prédio esta 5 m acima do ponto de chute. A que distancia do goleiro a bola vai atingir o chão? 5 Um navio inimigo está ancorado no mar a 560 m de uma ilha onde se localiza a sua defesa. Esta bola poderá ultrapassar uma barreira de 7. e um avião de resgate quer jogar alguns suprimentos de emergência. antes da pessoa o piloto deve soltar os suprimentos de emergência. fazendo um angulo de 37 graus com a horizontal. e a que distancia da extremidade da mesa a bola atinge o chão? 2 Uma bola é chutada para cima a partir do chão fazendo um ângulo de 50 graus com a horizontal.8 m. O avião de resgate esta voando a uma altitude de 1200 m a uma velocidade de 180 m/s. O chão está nivelado em qualquer ponto ao redor do canhão. A que velocidade a bola foi chutada? 9 Uma bola de baseball é lançada pelo batedor com velocidade inicial de 25 m/s a um ângulo de 30 graus com a horizontal. Quanto tempo demora até a bola atingir a barreira? A que distancia acima da barreira a bola vai passar. 7 Você esta jogando handball e chuta uma bola com velocidade 20 m/s a um ângulo de 40 graus acima da horizontal diretamente em direção a uma barreira que esta localizada a 8 m de distancia. para que eles caiam onde a pessoa se encontra. A velocidade inicial da bola é 40 m/s. Quanto tempo a bola leva para atingir o chão. Quanto tempo a bola leva para atingir o chão? 3 Uma bola de canhão é atirada com uma velocidade de 50 m/s.43 Terceira lista de exercícios – movimento em duas dimensões 1 Uma bola rola com velocidade 0. A velocidade máxima do canhão de defesa da ilha é de 82 m/s. A bola sai do pé do goleiro 1 m acima do chao. a um ângulo de 45 com a horizontal. com uma velocidade inicial de 34 m/s.3 m acima do solo.3 m situada a 98m de distancia? 43 . Suponha que os jogadores tem a mesma altura. A que distancia do canhão a bola vai cair? 4 Um goleiro de futebol dá um chute em uma bola. 8 m/s2. Supondo que o movimento comece do repouso: a) quanto tempo vai demorar para o carro atingir a velocidade de 8 m/s? b) que distancia ele terá percorrido após este tempo? Um carro de 900 kg esta se movimentando a 20 m/s ao longo de uma estrada plana. ( em Marte g = 3. Encontre a tensão T na corda. De quanto deve ser a força de retardo para parar o carro em uma distancia de 30 m? Uma caixa de 40 kg está deslizando no chão para a direita. 8 44 . Qual é o tamanho da força que realiza isso. Qual é a massa dele em cada um dos planetas. a tensão na corda de conexão. Quanto tempo o bloco demora para atingir a parte inferior do plano? Um bloco de massa m = 20 kg está suspenso em um plano inclinado cujo ângulo é q = 30 graus como mostrado na figura. Um cabo horizontal puxa um carro de 200 kg ao longo de uma pista horizontal. Se q1 = 45 graus e q2 = 30 graus.44 Quarta lista de exercícios – Leis de Newton e aplicações 1 2 Uma força age em uma massa de 2 kg e fornece uma aceleração de 3 m/s2. Que aceleração essa força provocaria em uma massa de 1.5 kg. Um bloco de massa m = 20 kg está pendurado em uma corda conforme mostrado na figura. O plano inclinado tem comprimento d = 10 m e não tem atrito. Encontre T. encontrar o tamanho. através de uma polia como mostrado na figura. Dois blocos estão conectados por uma corda. O plano não tem atrito. a direção e o sentido da força. A velocidade dela diminui de 5 m/s para 2 m/s em 6 s. Um astronauta tem massa 90 kg. que está segurando o bloco. Encontre o peso do astronauta na Terra e em Marte. Qual o valor das tensões T1. A tensão no cabo é de 500 N. e a aceleração dos blocos. Assumindo que a força sobre a caixa é constante. T2 e T3? 3 4 5 6 7 8 9 Um bloco de massa m = 10 kg situa-se no alto de um plano inclinado de ângulo q = 30 graus. A mesa e a polia não tem atrito. O bloco sobre a mesa tem massa m1= 10 kg e o bloco suspenso tem massa m2 = 10 kg. 45 10 11 Dois blocos estão pendurados sobre uma polia sem atrito. na direção do cabo. Não existe nenhuma outra força atuando sobre o carrinho. O ângulo do plano inclinado é q = 30 graus. Com que força F. ele deve empurrar para fazer isso. 45 . Uma tem massa m1 = 10 kg e a outra tem massa m2 = 15 kg. Qual é a tensão T na corda e qual é a aceleração dos blocos? Dois blocos de massa m1 = 10 kg e um outro de massa m2 = 10 kg estão em um plano inclinado como mostrado na figura. A pessoa empurra o carrinho com um ângulo q = 30 graus. e a aceleração dos blocos. O ângulo do plano inclinado da esquerda é q1 = 30 graus e o outro plano inclinado é q2 = 40 graus. Uma pessoa quer acelerar um carrinho a 3 m/s2. O carrinho tem uma massa m = 60 kg. Encontre a tensão T na corda que os conecta através de uma polia sem atrito. Encontre a tensão T na corda que conecta os dois blocos através de um polia sem atrito e a aceleração dos blocos. um com massa m1 = 10 kg e outro com massa m2 = 10 kg ambos situados em uma superfície inclinada como mostrado na figura. 12 13 Dois blocos. 1.46 14 15 Você está vendo um carro viajando em uma estrada circular de raio 50 m. O bloco vai parar sobre o plano inclinado? . 46 .4 kg movendo-se inicialmente a 1. Encontre T. A pessoa 1 exerce uma forca F1 = 10 N.1. a um ângulo de q graus a pessoa 3 deve puxar para que o pneu não saia do lugar? 14 16 17 18 Um bloco de massa m = 0. O bloco sobre a mesa tem massa m1 = 10 kg e o bloco pendurado tem massa m2 = 10 kg. O ângulo de inclinação é q = 30 graus. Três pessoas estão puxando o pneu. a tensão na corda de conexão. e tem um comprimento de d = 10 m e tem coeficiente de atrito m = 0.2 m/s percorre 0. e a aceleração dos blocos Um bloco de massa m = 10 kg é empurrado para baixo em um plano inclinado com velocidade v0 = 2 m/s. a pessoa 2 exerce uma força F2 = 23 N. b) não escorregar para baixo Um cabo de guerra é realizado usando um pneu como centro.7 m sobre uma mesa antes de parar. através de uma polia como mostrado na figura. Com que velocidade o carro deve viajar para: a) não escorregar para fora da pista (para o alto e para a esquerda). O dia está muito frio e a pista está recoberta por uma camada de gelo que deixa a pista com atrito zero. A polia não tem atrito. Qual é o coeficiente de atrito entre a mesa e o bloco? Dois blocos estão conectados por uma corda. O coeficiente de atrito entre o bloco e a mesa é m = 0. cujo perfil é inclinado de um ângulo q = 30 graus.. Com que força F3. 2 entre a mesa e a massa m2. Qual é a máxima massa que m2 deve ter para que m1 não deslize sobre a superfície da mesa? 21 22 23 Marcas de derrapagem sobre uma estrada são medidas resultando 50m de comprimento. O coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície inclinada é m = 0. e existe um coeficiente de atrito m = 0. para que o bloco tenha uma aceleração de 2 m/s2. O contato entre m e M tem coeficiente de atrito m = 0. Qual deve ser a forca de contato de modo que m não caia? 24 Um bloco de massa m = 10 kg sobre um plano inclinado é empurrado com um força horizontal P. A corda diagonal está equilibrada com um ângulo q = 35 graus.25 e o ângulo do plano inclinado é q = 300 graus. Um outro bloco m = 30 kg é empurrado contra M com força F. m1 tem massa de 10 kg. Qual é o coeficiente de fricção entre a moeda e a madeira? Dois blocos estão arranjados como mostrado na figura. Para este problema.6.47 19 20 Uma moeda está sobre uma peça de madeira. Qual deve ser o tamanho da forca P. m1 e m3 estão pendurados nas cordas. Existe um coeficiente de atrito estático m1 = 0.25 como mostrado na figura. A massa m2 é 10 kg. 47 . a que velocidade o carro estava indo? Três blocos são conectados com cordas e polias como mostrado na figura. Se o coeficiente de atrito entre os pneus e a estrada é m = 0. Qual é a aceleração dos blocos e a tensão na corda? Um bloco de massa M = 10 kg está livre para deslizar sobre uma superfície sem atrito.1 entre m1 e a mesa onde ele está. Você levanta a madeira até um ângulo de 32 graus e de repente a moeda começa cair. m1 = 9 kg e m3 = 5 kg. Qual é o coeficiente de atrito entre o bloco e a pista depois de passar pelo ponto B? 48 . O bloco escorrega sem atrito até o ponto B onde subitamente ele encontra atrito e pára depois de percorrer 3m. começando no ponto A como mostrado na figura. calcular sua velocidade logo antes de bater na terra. Uma bola de massa m = 5 Kg é colocada a rolar para baixo. Quanta energia foi perdida devido ao atrito? Uma bola é lançada para cima em um ângulo θ = 45 graus do alto de uma elevação de 165m de altura. Qual será a velocidade da bola nos pontos B. E e F? Um carrinho de massa m = 10 kg. Qual a altura hA do ponto A? 3 4 5 6 Um garoto com massa m = 30 Kg escorrega de um escorregador de 2. O carro deve atingir o ponto A com velocidade 10 m/s. a uma altura h = 15 m como mostrado na figura.A esfera tem uma massa de 2 Kg.25 m/s quando chega na parte de baixo do escorregador. Use a conservação da energia para encontrar a velocidade da bola quanto ela tocar o chão. em uma pista metálica. parte do repouso. a partir do repouso. Desprezar a resistência do ar. com uma velocidade de 180 m/s. D. Um bloco esta inicialmente em repouso no ponto A. A e B fazem parte de um circulo com raio 2m. C. e o raio do laço mede R = 3 m.48 Quinta lista de exercícios – conservação da energia 1 2 Uma esfera é deixada cair de 10 m acima do chão. O ponto A esta 15 m acima do chão.5 m de altura e tem uma velocidade de 2. Usando conservação de energia. a) Qual a velocidade do bloco no ponto B. (2) depois de cair de uma distancia y1 = 15 m. A figura da esquerda mostra a posição de equilíbrio. A corda vai parar a pessoa antes de ela atingir o chão? 9 49 . Quando o revolver é carregado. A mola tem uma constante de mola k = 2 N/m. A figura ao lado mostra um exemplo de salto: (1) uma pessoa está pronta para pular de uma plataforma com altura h = 200 m. O bloco colide com o sisteme de mola e fica colado ao sistema. a corda elástica começa a se esticar. A pessoa irá parar aproximadamente a uma distancia y2 do ponto onde a corda começou a esticar. Que distancia irá percorrer a bola de borracha? 10 Algumas pessoas gostam de esportes radicais como o “bungee jumping”. e então liberarmos a massa. Se empurrarmos a massa de um ângulo θ = 30 graus como mostrado na figura da direita. com massa m = 5 Kg está pendurado na ponta de uma corda de comprimento L = 1 como mostrado na figura.2 Kg é carregado inserindo uma bola na boca do cano do revolver. qual será a velocidade da massa quando esta passar novamente pelo ponto de equilíbrio mostrado na figura? 8 Um bloco de massa m = 5 Kg está se movendo com velocidade v = 10 m/s em direção a um sistema de molas. Que distancia a mola vai comprimir até o bloco parar? 9 Um revolver de brinquedo que atira bolas de borracha de massa m = 0. a qual é em geral de k = 100 N/m. Suponhamos que uma pessoa com massa m = 80 Kg queira saltar. A resistência da corda elástica é medida pela constante de mola. O revolver é apontado para cima.05 m. A mola dento do revolver tem uma constante k = 100 N/m.49 7 Um pendulo. a mola é comprimida de um comprimento x = 0. Uma mola com constante de mola k = 1500 N/m. O bloco.25. m é deixado em um nível que deixa a mola sem solicitaçãp. inicialmente a uma altura h = 3 m acima do chão é liberado. e cai até colar na plataforma.25. A bola é liberada. existe atrito entre o blco e a pista com m = 0. Ele desliza para baixo da pista que não possui atrito. O bloco m1 de massa m1 = 15 Kg está conectado na outra ponta da corda. De quanto será comprimida a mola? 12 Um bloco de massa m = 10 Kg pode deslizar ao longo de uma pista curvada como mostrado na figura. a uma mola com constante de mola k = 15 N/m. através de uma polia. Na zona rugosa.5 m. m1 está conectado também a uma mola com constante de mola k = 30 N/m. e atinge uma plataforma com mola. Quando a bola é parada pela mola. Ele escorrega para baixo da pista sem atrito. exceto em uma zona que tem comprimento m = 0. em estado relaxado. 15 Dois blocos são conectados por uma corda como mostrado na figura. A mola tem uma constante de mola k = 50 N/m. De que distancia a mola será comprimida até que o bloco pare? 14 Um bloco com massa m = 7 Kg pode deslizar em uma pista que possui um anel circular. O bloco. A mola tem uma constante de mola de k = 50 N/m. O anel circuar tem um raio r = 3 m. Inicialmente.50 11 Como mostrado na figura. uma bola de massa m = 5 Kg está parada a uma distancia h = 10 m acima do chão. sobre uma superfície com coeficiente de atrito m = 0. possui uma plataforma situada a uma distancia h0 = 1 m acima do solo. Que distancia m vai cair depois de liberado? 50 . O bloco m2 que possui massa m2 = 5 Kg está pendurado livremente na corda. inicialmente a uma altura h = 3 m acima do chão é liberado. a mola está comprimida para baixo como mostrado na figura da direita. Que distancia m2 irá mover depois de liberado? 16 Um bloco de massa m = 5 Kg está conectado. Que distancia a mola comprime até fazer o bloco parar? 13 Um bloco de massa m = 10 kg pode deslizar ao longo de uma superfície curvada como mostrado na figura. De que altura h o bloco deve ser liberado para completar a volta do anel? Assumir que não existe atrito na pista. 3 m/s.51 Sexta lista de exercícios – conservação do momento linear 1 Um canhão cuja massa é M = 1300 kg atira uma bala de canhão na direção horizontal. Subitamente. Que velocidade tem o conjunto de carros após a colisão? Dois blocos. A mola tem uma constante de mola k = 10N/m. um com massa m1 = 1000 Kg e outro com massa m2 = 4000 Kg chocam-se em uma interseção como mostrado na figura. Antes da colisão. Qual o valor de v1 e v2? 5 6 Dois carros. ele subitamente pula fora do carro de tal modo que ele tem velocidade horizontal zero. a corda arrebenta. Com que velocidade o canhão vai recuar? Um homem de massa M = 75 kg está descendo uma estrada em um carro que tem massa m = 40Kg. Ela colide elasticamente com uma outra bola de massa m2 = 50 Kg. a qual está parada em repouso. após a colisão? 51 . Com que velocidade o carro estará se movimentando logo após o homem pular do carro? 2 3 4 Um carro de massa m1 = 5000 Kg está em parado no semáforo (o carro á direita). e a mola rapidamente expande. como mostrado na figura. Quais serão as velocidades das bolas. um de massa m1 = 10 Kg e o outro de massa m2 = 50 Kg estão presos com uma corda. Qual é a velocidade dos dois carros após a colisão e com que ângulo eles deixam o ponto de colisão. Atrás deste vem um carro (o carro da direita) com massa m2 = 1200 kg e velocidade inicial v2i = 25 m/s e bate no carro que está parado. Quando ele e o carro estão com velocidade 2. os carros ficam juntos. Ocorre uma grande colisão e os dois carros acabem juntando-se após a colisão. Entre eles existe uma mola comprimida por uma distancia d = 0. A bala de canhão tem uma massa de m = 72 Kg e é atirada horizontalmente para a direita com velocidade v = 55 m/s.01m. o carro com massa m1 estava indo para leste com uma velocidade v1i = 25 m/s e o carro com massa m2 estava indo para norte com velocidade v2i = 10 m/s. v1f e v2f. empurrando m1 para a esquerda com velocidade v1 e m2 para a direita com velocidade v2. M2 é maior do que m1. Uma bola de borracha de massa m1 = 10 Kg está se movendo para a direita com velocidade v = 10 m/s. Após o choque. Qual será a velocidade de cada carro após a colisão? Um projétil move-se com velocidade vb = 310 m/s.05 Kg está voando em direção a um bloco de massa m = 10 Kg. A que distancia da extremidade o bloco (com o projétil dentro) irá cair? 9 10 Um carro. e embute-se dentro do bloco. o bloco escorrega para baixo da pista e choca-se elasticamente com um outro bloco de massa m2 = 50 Kg. Qual distancia que o bloco vai subir depois do projétil ter sido embutido nele? 52 . A velocidade do carro 2 é v2i = -10 m/s e a massa do carro 2 é m2 = 3000 Kg. a uma distancia h = 3 m acima do chão como mostrado na figura. Isto significa que m1 vai bater de volta para onde veio após a colisão. Ele tem uma velocidade inicial de v1i = 20 m/s. está se movendo para a direita. O projétil colide com o bloco. e arremessa o bloco através da extremidade. A extremidade tem uma altura h = 0.021 Kg.52 7 8 Um bloco de massa m1 = 10 Kg está em uma pista curvada. chamado carro # 2. o qual está parado em repouso. O projétil tem massa mb = 0. e uma massa m1 = 1000 kg. Existe um outro carro.4 Kg. Quando liberado.5 m acima do chão. chamado carro # 1. O projétil está se movimentando com uma velocidade vb = 200 m/s e o bloco está em repouso. Que distancia m1 irá subir pela pista de onde veio? Um projétil com massa mb =0. atinge e embute-se em um bloco de madeira de massa M = 1. M2 é maior do que m1. 48 kg m2. Ele então recolhe os braços. declinando o momento de inércia para 0. como mostrado na figura da direita.53 Sétima lista de exercícios .1 m esta rolando com velocidade 10 m/s em direção a uma rampa. A rampa tem ângulo de 30 graus. 53 . a bola vai subir a rampa até parar? Um bloco de massa 10 kg esta pendurado por uma corda preso a uma polia.rotação e momento angular 1 Uma esfera sólida com massa 5 kg e raio 0. Qual é a nova velocidade angular do esquiador. A polia tem uma massa de 5 kg e um raio de 0. A que distancia. sendo sua massa 1 kg e seu raio 0.1 m. O momento de inércia com os braços abertos e de 1.h. Qual é a aceleração angular da polia? A que distancia depois de liberado o bloco estará caindo com uma velocidade de 5 m/s? O momento de inércia da polia é I = ½ M r2. A esfera não para ao longo de todo o trajeto. O bloco está sendo segurado.1 m.9 revoluções/Segundo. 2 3 4 Uma esfera sólida com momento de inércia I = 2/5 M r2 rola rampa abaixo. O momento de inércia da espera é I = 2/5 M r2 sendo M a massa e r o raio da esfera. Ela começa a cair de uma altura de 6 m e chega ao final a uma altura de 1 m quando deixa a pista em lançada horizontalmente. A que distancia do ponto A a esfera irá cair? Um patinador do gelo gira com os braços abertos com uma velocidade angular 1. quando de repente é liberado.33 kg m2. 5 m e massa 6 kg pode rodar livremente ao longo de um eixo perpendicular a ela.54 5 6 Um menino de massa 20 kg permanece próximo da extremidade de uma roda que não esta rodando. O menino esta parado a uma distancia de 2 m do centro da roda quando se lança subitamente para fora da roda com uma velocidade tangencial de 1. e gruda nele sem derrapar.01 m e massa 7 kg rola ao longo de uma pista com um anel. Que velocidade angular terá a roda depois do menino saltar sobre ela.5 m de distância do centro. Subitamente o disco superior cai sobre o disto inferior. que tem um raio de 1 m. Um menino salta diretamente em direção a uma roda que esta inicialmente em repouso. 7 8 Dois discos estão assentados ao mesmo eixo. O anel tem um raio de 3 m. O disco superior tem momento de inércia de 10 kg m2 e o de baixo tem momento de inércia de 10 kg m2. Com que velocidade a roda ira rodar quando o menino deixar a roda. A corda estende-se sobre uma mesa sem atrito. Inicialmente apenas o de baixo esta com velocidade angular de 5 rad/s. Qual será a velocidade angular final do conjunto? Um bloco de massa 10 kg esta preso a uma corda. A que altura deve a bola ser solta para que ela ultrapasse o anel sem cair? Assuma que não exista atrito no anel. 54 .5 m. Qual é a nova velocidade angular do bloco? 9 10 Uma barra redonda uniforme de comprimento 0. Se o projétil ficar incrustado na barra e a barra é deixada rodando com rotação 10 rad/s imediatamente após a colisão. qual era a velocidade da bala? Uma bola sólida com raio 0.5 m/s. O bloco esta se movendo com velocidade v = 5 m/s ao longo de um circulo. Um projétil com massa 0. O sistema menino+roda tem uma inércia de cerca de 120 kg m2. Ele toca na roda em um ponto que esta a 0. A roda tem massa 100 kg e raio 2m.003 kg bate na barra com um ângulo de 60 graus. A corda é então puxada para baixo até que o raio do bloco se reduza para 0. O menino tem massa de 70 kg e corre com velocidade 5 m/s. 4t + 2t2 .(4/t) (d) x = 5t2 – 3. (figura 2) 3 4 5 figura 1 6 figura 2 A posição de um objeto movendo-se ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com o gráfico ao lado. a velocidade media e a velocidade escalar media. (a) determine o deslocamento da partícula nos intervalos 0s<t<1s e 1s<t<3s. Note que a partícula se movimenta na direção negativa durante o primeiro segundo. (b) calcule a velocidade media nos intervalos 0s<t<1s e 1s<t<3s. e retorna ao movimento no sentido positivo de x para t>1s. (figura 1) A posição de uma partícula é dada por: x=4-27t+t3. A coordenada x varia com o tempo de acordo com a equação x = . está em repouso no momento t=1s.55 Exercícios – Movimento 1 2 Uma partícula movendo-se ao longo do eixo x está localizada em xi=12m no tempo ti=1s e xf=4m no tempo tf=3s. Encontre o deslocamento. (c) descreva o movimento da partícula para t>0. Usando apenas interpretação gráfica. Encontre a velocidade da partícula para qualquer tempo. Para qual destas situações podemos aplicar as equações do movimento com aceleração constante? A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a expressão x=3t2 sendo x em metros e t em segundos. obter os gráficos de velocidade x tempo e aceleração x tempo. (figura 3) figura 3 55 . As equações abaixo fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro situações: (a) x=3t-4 (b)x=-5t2+6 (c) x = (2/t2 ) . (b) existe algum momento onde v=0. (a) encontre v(t) e a(t).5s. Uma partícula esta se movendo ao longo do eixo x. Encontre a velocidade instantânea da partícula para t=2. O edifício tem 50m de altura e consideraremos este como ponto de partida de pedra. (a) determine o tempo necessário para a pedra atingir a altura máxima. (c) determine as coordenadas x e y como função de tempo e o vetor deslocamento. (c) deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do carro e encontre a velocidade instantânea para t=2S. (b) determine a velocidade e a velocidade escalar da partícula no tempo t=5s. Uma pedra é lançada verticalmente para cima do alto de um edifício com velocidade 20m/s. (b) qual é a aceleração do elétron nesta região? 9 figura 4 10 11 12 13 14 Um carro viajando a uma velocidade de 30m/s passa por uma barreira policial.56 7 A velocidade de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x varia de acordo com a expressão v=40-5t2 onde t é dado em segundos. (e) qual a velocidade e posição da pedra no instante t = 5s. Que distancia o carro policial vai percorrer até que alcance o carro infrator. Desprezando a resistência do ar calcular a velocidade e posição da bola nos instantes 1s. 2s e 3s.(a) determine a aceleração do carro (b) encontre a distancia que o carro viaja nos 8 primeiros segundos. possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com: x=2-0. (a) determine as componentes das velocidades com relação ao tempo vx e vy. (d) determine a distancia do ponto até a origem no instante t=5s. e a superfície do campo é o plano xy. O que acontece enquanto a bola estiver no ar: (a) o que acontece com a velocidade? (b) o que acontece com a aceleração? Uma bola é solta do alto de uma torre. (a) durante quanto tempo o elétron fica nessa região onde ele acelera. Uma criança joga para cima uma bola com certa velocidade ao mesmo tempo em que outra solta uma bola. (b) calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de tempo ente t=0s e t=2s.025t3 (a) calcule as coordenadas do carro e a distancia entre você e o carro no instante t=2s. Compare a aceleração sobre as duas bolas. (a) encontre a aceleração media no intervalo 0s<t<2s. (c) qual será a velocidade do carro no instante 10s se ele mantiver a aceleração? Um elétron dentro de um tubo de raios catódicos de televisão entra em uma região de aceleração constante passando de uma velocidade 3x104m/s para uma velocidade 5x106m/s em uma distancia de 2cm. (a) que distancia ele alcança? (b) qual a máxima altura atingida? 15 16 17 56 .25t2 . (b) qual a altura máxima (c) qual o tempo necessário para a pedra retornar ao topo do edifício (d) qual a velocidade da pedra neste instante. Você esta operando um carro com controle remoto em um campo de tênis vazio. Uma bola é jogada para cima. (figura 4) 8 Um fabricante de automóvel especifica que seu carro acelera a partir do repouso até uma velocidade de 42m/s em 8s. Expresse a velocidade instantânea usando componentes também em termos do módulo. Um segundo depois o carro policial inicia a perseguição a uma aceleração constante de 3m/s. A partícula se movimenta no plano xy sendo sua aceleração em x de 4m/s2 . Sua posição é a origem do sistema de coordenadas. Uma partícula inicia o movimento a partir da origem no tempo t=0 com velocidade em x de 20m/s e velocidade y=15m/s. O carro que será representado por um ponto. y=t+0. (b) determine a aceleração em t=2s. Um saltador de salto a distancia deixa o solo a um ângulo de 20 graus com a horizontal e a uma velocidade de 11m/s. direção e sentido. O rio tem uma velocidade constante de 5 km/h devido a corrente na direção leste. (b) Descreva a trajetória da bola como visto por uma pessoa parada fora do trem. Quando a bola faz um ângulo de 20 graus com a vertical a bola tem uma velocidade de 1. O avião esta viajando a 40m/s horizontalmente a uma altura de 100m acima do solo.4m/s2.5m oscila em movimento circular vertical .5m/s. (a) durante quanto tempo a pedra permanece e “voando”. (figura 9) 57 . (b) quando a bola esta a um ângulo com a vertical ela tem uma aceleração tangencial de magnitude g sen .57 18 19 Uma pedra é lançada do alto de um edifício com um ângulo de 30 graus com a horizontal e com uma velocidade inicial de 20m/s sendo a altura do edifício de 45m. Determine a velocidade do bote relativamente a um observador parado na margem do rio. A que distancia do ponto de lançamento o pacote irá cair? figura 5 20 figura 6 21 Uma bola pendurada em uma linha de comprimento 0. Portanto a 20 graus at=gsen20=3. (a) descreva a trajetória da bola como visto pelo passageiro no trem. Encontre a magnitude e direção da aceleração total com ângulo de 20 graus. (b) qual é a velocidade da pedra logo antes dela atingir o solo. (a) encontre a magnitude da aceleração radial neste instante. Um avião de resgate joga um pacote de emergência para aluem no solo. (figura 8) Uma bola é jogada verticalmente para cima por um passageiro em um trem que viaja a velocidade constante. (figura 7) figura 7 22 Um bote dirige-se para o norte para cruzar um rio com velocidade 10km/h relativamente à água. (figura 10) Figura 8 Figura 9 Figura 10 58 . para onde ele deve apontar a sua direção de viagem.58 23 Se o bote do exercício anterior viaja com a mesma velocidade de 10km/h em relação a água e tem que se dirigir para o norte. Se um pequeno carro esportivo colide com um pesado caminhão. qual é a forca sobre a bola (a) quando ela atinge metade da altura máxima (b) quando ela atinge o pico. A força F1 de 5N e a F2 de 8N. Uma bola de baseball de massa m é arremessada para cima com certa velocidade inicial. Encontre o tamanho da aceleração das massas e a tensão no fio. (a) determine a aceleração do caixote após ele ser solto (b) suponha que o caixote é liberado a partir do repouso e a distancia do topo até embaixo seja d. (figura 13) 59 . Duas forças atuam sobre o disco. qual dos veículos experimentará a maior força de impacto? Qual dos veículos experimentará a maior aceleração? Existe alguma relação entre a força total agindo sobre um objeto e a direção na qual o objeto está se movendo? 26 27 28 29 Figura 11 Um caixote de massa m é colocado sobre um plano inclinado sem atrito com ângulo θ. Determine a magnitude da aceleração e a direção da aceleração (figura 11).59 Exercícios – Leis de Newton e aplicações. O bloco quadrado cai de um plano inclinado sem atrito com angulo q.3kg está sobre uma superfícies horizontal sem atrito (colchão de ar). que passa por uma polia sem atrito de massa desprezível. Quanto tempo o caixote leva até atingir a parte de baixo? (c) Qual a velocidade do caixote quando ele chega lá embaixo? (figura 12) Figura 12 30 Duas massas estão conectadas por um fio de massa desprazível. Se desprezarmos a resistência do ar. 24 25 É possível haver movimento na ausência de força? Um disco de metal de 0. agora inclinada com raio de 190m. (a) encontre o tamanho da aceleração do sistema. (a) Qual a mínima velocidade que a bicicleta deverá ter no topo da pista para que não caia? (b) se desejarmos ter uma força normal igual ao peso (bicicleta mais homem). Figura 16 Uma pessoa puxa uma carga de massa 75 kg ao longo de uma superfície horizontal com velocidade constate usando uma corda inclinada 42 graus com a horizontal.7 m de raio com uma bicicleta. partículas são arrancadas dos pneu formando o que chamamos marcas de derrapagem. calcular a velocidade do carro.60. Qual deve ser o coeficiente de atrito estático mínimo entre os pneus do carro e a estrada para que o carro não derrape? Figura 20 Algumas vezes não é possível atingir um coeficiente de atrito estático desejável (pista molhada). Figura 17 Uma caixa de massa m1 = 14kg é arrastada ao longo de um plano que faz um ângulo de 30 graus com a horizontal. A caixa de massa m2 desce com velocidade constante. (b) determine o tamanho da forca de contato entre os blocos. O coeficiente de atrito cinético entre a carga e o chão é mk = 0. (figura 14) Uma pessoa pesa um peixe de massa m usando uma balança de mola presa no teto de um elevador. e considerando o atrito cinético mk = 0. Uma força horizontal constante F é aplicada sobre a massa m1. Mostre que se o elevador acelerar em qualquer direção. Esta caixa esta conectada a uma outra caixa com massa m2 = 14 kg através de uma corda e polia de massas desprezíveis. Qual deve ser o ângulo da curva para que o carro não dependa do atrito para fazer a curva? Figura 21 34 35 36 37 38 60 . Qual a tensão na corda?. Suponha agora que o carro de massa 1600 kg trafegue com 20 m/s em uma curva. (a) qual o tamanho e a direção da forca de atrito que o plano exerce sobre a caixa? (b) quanto vale mk? Figura 18 Suponha que alguém deseje fazer uma performance ultrapassando uma pista anelar vertical (looping) de 2. qual deverá ser a velocidade no topo do anel? Figura 19 Um carro de massa 1600 kg viaja a velocidade constante de 20 m/s em uma pista plana e circular de raio 190 km. Um carro que derrapou até parar deixou marcas de derrapagem que medem 260 m. (figura 15) 32 Figura 14 Figura 15 33 Se as rodas de um carro estão travadas (pararam de rodar) durante uma frenagem de emergência. o carro desliza dão longo da estrada. Nesse processo. por isso as curvas são inclinadas.60 Figura 13 31 Dois blocos de massas m1 e m2 são colocados em contato sobre um plano horizontal sem atrito. a balança mostrará leituras diferentes do peso real do peixe.10. 61 Figura 16 Figura 17 Figura 18 Figura 19 Figura 20 Figura 21 61 . (figura 24). Encontre a velocidade do bloco após ele se deslocar 3 m. O carrinho no qual a geladeira é assentada pode andar sem atrito sobre a rampa. Encontre a velocidade do bloco após ele se deslocar 3 m. Potencia e Energia 39 Uma pessoa limpando o carpete puxa o aspirador de pó com uma força F = 50 N. Que distancia ele iria percorrer se a velocidade inicial fosse 2v. Então a pessoa se desloca de uma distancia d. a) qual deve ser a mínima potencia fornecida pelo motor para que o elevador se levante com uma velocidade constante de 3m/s2. inicialmente em repouso. (figura 25) Um bloco de massa m = 6 kg. b) Qual a potencia necessária para o motor caso se deseje que ele se eleve com uma aceleração constante de 1 m/s2. Qual o trabalho realizado pela pessoa? (figura 23) Uma partícula se movimentando no plano xy se desloca de uma distancia s = (2. Uma força agindo sobre uma partícula varia com x de acordo com a figura. Um elevador de massa 1000 kg carrega uma carga máxima de 800 kg.15 com uma força constante F = 12 N. 40 41 42 Figura 23 43 44 Figura 24 45 46 47 Um bloco de massa m = 6 kg. O aspirador é deslocado 3 m na horizontal. Calcule o trabalho feito pela forca de 50 N (figura 22). a) calcular a magnitude do deslocamento e da força b) calcular Figura 22 o trabalho feito pela força F.0j) N atua sobre a partícula. é empurrado para a direita sobre uma superfície com coeficiente de atrito cinético 0. A força faz um ângulo de 30o com a horizontal.0 i + 3.0 i + 2. Uma equipe deseja carregar uma geladeira usando uma rampa. (figura 27) 62 . Calcule o trabalho feito pela força quando a partícula se move em x desde x = 0 m até x = 6 m.62 Exercícios – Trabalho.000 N atua sobre o elevador quando ele se desloca para cima.0 j) m enquanto uma força constante F = (5. Uma força de atrito constante de 4. inicialmente em repouso. é empurrado para a direita sobre uma superfície sem atrito com uma força constante F = 12 N. Uma pessoa levanta um bloco de cimento de massa m até uma altura h. (figura 26) Um carro viajando a uma velocidade v é freado e para depois de se deslocar uma distancia d. Discuta se o trabalho realizado comparado ao trabalho de se levantar diretamente a geladeira e colocá-la sobre o caminhão. 3433 J.48 km/h. Assuma que a forca resistiva dos pneus tenha magnitude proporcional a velocidade f = 218 + 0. figura 28 63 . Encontre quanta gasolina será necessária para tirar o carro do repouso e elevar sua velocidade a 27 m/s. (figura 28). Quanta potencia deve ser fornecida para as rodas? Considere um carro de massa m acelerando para subir uma ladeira. Calcule a potencia que o motor deve fornecer para as rodas.7 v2. Suponha que o carro do exercício anterior faça 10.63 Figura 25 Figura 26 48 Figura 27 49 50 Um carro pequeno tem massa de 800 kg e a taxa de eficiência do sistema carro/combustível é de 18%.61 km por litro quando viajando a 96. A energia equivalente de queima de 1 litro de gasolina é de 0. A primeira bola é lançada horizontalmente. (figura 32) Um pendulo consiste de uma esfera de massa m pendurada em uma corda leve de comprimento L como mostrado na figura. b. (a) Desprezando a resistência do ar determine a velocidade que a bola vai ter quando ela está a uma altura y acima do solo. Se a massa é deslocada para baixo a partir do ponto de equilíbrio e liberada. A criança começa a partir do repouso no ponto mais alto. (figura 31) Figura 29 54 Figura 30 Figura 31 55 56 Uma bola de massa m é solta a partir de uma altura h acima do solo. Desprezando a resistência do ar descreva seus movimentos e compare as velocidades das bolas no momento em que elas tocam o chão. A esfera é liberada a partir do repouso quando a corda faz um ângulo q com a vertical e o ponto de giro em P não tem atrito. A segunda para cima com um ângulo q e a terceira para baixo com um ângulo q. ela vai oscilar para cima e para baixo.64 51 52 53 Uma massa esta conectada a uma mola de massa desprezível que esta suspensa verticalmente a partir do teto. (figura 30) Três bolas idênticas são lançadas a partir do topo de um edifício. (a) determine a velocidade da criança na parte mais baixa assumindo que não existe atrito. todas com a mesma velocidade inicial. (b) se existe uma força de atrito que atua na criança. (b) determine a velocidade da bola a uma altura y do solo se for dada uma velocidade inicial vi na altitude inicial h. Ignore o movimento rotacional. (a) determine a velocidade da esfera quando ela estiver no ponto mais baixo. (figura 34) 64 . Se desprezarmos a resistência do ar a energia mecânica do sistema será conservada? Quais os tipos de energia potencial temos neste sistema? (figura 29) Discuta a transformação de energia que ocorre durante um salto com vara. quanto de energia mecânica será dissipado por essa força? Assuma que vf = 8 m/s e a massa m=20kg. (b) qual a tenção na corda no ponto b? (figura 33) Uma criança de massa m desce de um escorregador curvado de altura h = 6m. (b) encontre a velocidade do projétil quando ele passa pela posição de equilíbrio da mola (onde x = 0). (figura 37) 59 Figura 37 65 . Na parte baixa da inclinação de 20 graus o esquiador encontra uma superfície horizontal onde o coeficiente de atrito cinético ente o esqui e a neve é de 0. experimenta uma forca de atrito constante de magnitude 5 N e continua a se movimentar por uma distancia curta no chão plano.12 m. O engradado começa a escorregar a partir do repouso. determinar a constante de mola. Use os métodos de energia para saber a velocidade que o caixote terá no ponto mais baixo da rampa. (figura 35) Figura 35 58 Um esquiador parte do repouso no topo de uma inclinação sem atrito de altura 20m. o a espingarda é capas de lançar um projétil de 35 g a uma altura máxima de 20 m quando atirado verticalmente a partir do repouso. Quando a mola é comprimida a 0. Que distancia o esquiador vai alcançar na superfície horizontal antes de parar? (figura 36) O mecanismo de lançamento de uma espingarda de brinquedo consiste de uma mola de constante de mola desconhecida.65 Figura 32 57 Figura 33 Figura 34 Um engradado de 3 kg escorrega para baixo de uma rampa de um terminal de carga. A rampa tem 1 m de comprimento e esta inclinada a 30 graus com a horizontal.201. (a) Desprezando todas as forcas resistivas. calcule o coeficiente de atrito cinético entre m1 e a superfície. (c) a energia cinética do bloco depois de ser empurrado ao longo de 3m sobre a mesa e (d) a velocidade do bloco depois de ser empurrado 3 m sobre a mesa.35. Calcular (a) o trabalho externo feito sobre o sistema bloco-mesa depois do bloco percorrer 3m. Figura 36 Figura 38 66 .66 60 61 Dois blocos estão conectados por uma corda leve que passa sobre uma polia sem atrito. (b) a energia dissipada pelo atrito. O bloco de massa m1 escorrega sobre uma superfície horizontal e esta cone3ctato a uma mola de forca constante k. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o tampo da mesa é 0. (figura 38). Se a massa m2 cair uma distancia h antes de parar. O sistema é liberado a partir do repouso quando a mola não está solicitada. Uma força horizontal de 25 N é aplicada a um bloco de 4 kg que esta inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal. (a) no instante em que m1 estiver se movendo para a direita com velocidade 3 m/s. Um medidor a laser mostra que a bala sai da caixa com metade da velocidade inicial.15 s.67 Exercícios – Momento Linear 62 Um jogador usa uma maquina de arremessos para ajudá-lo no treinamento. (b) Determine a distancia de compressão da mola naquele instante. Se a colisão durar 0. Qual é a velocidade de recuo da máquina? (figura 39) Em uma batida contra uma parede um carro de 1500 kg colide com a parede. A mola tem uma constante de mola de 600N/m. Ele apóia a maquina de 50 kg numa pista de gelo sem atrito.1 kg movendo-se para a esquerda com velocidade 2.5 m/s como ilustrado na figura. uma bala atinge o pendulo esquematizado na figura. (figura 40) Um carro de 1800 kg parado no semáforo é atingido na traseira por um carro de 900 kg e os dois ficam engatados. A máquina atira bolas de 0. Se o carro menor estava com velocidade 20 m/s antes da colisão.15 kg horizontalmente com velocidade 36 i m/s. qual será a velocidade das massas engatadas depois da colisão? Num ensaio de tiro. Que altura atinge a caixa? (figura 43) 67 .6 kg inicialmente se movendo para a direita com velocidade 4 m/s sobre um plano horizontal sem atrito colide com uma mola incrustada em um bloco de massa m2 = 2. (figura 42) Num outro exercício de tiro a bala atinge a caixa e atravessa completamente. A altura atingida pelo bloco permite a determinação da velocidade da bala. Sendo as massas m1 e m2 e sendo a altura h. como se calcula a velocidade da bala? (figura 41) 63 64 65 Figura 39 Figura 41 66 Figura 40 67 Um bloco de massa m1 = 1.6 i m/s. encontre o impulso devido a colisão e a força média exercida sobre o automóvel. O bloco do pendulo com a bala cravada oscila para cima. A velocidade inicial do automóvel é –15 i m/s e a velocidade final é de 2. determine a velocidade de m2. 68 Figura 42 68 Um carro de 1500 kg viajando para leste com velocidade de 25 m/s bate com uma perua de 2500 kg viajando a 20 m/s para o norte.(figura 44) Em um jogo de bilhar. Uma tempestade súbita enche de água o vagão com 2000 kg. um jogador deseja colocar uma bola na caçapa do canto. Encontre a direção e o tamanho da velocidade da massa trombada assumindo que os carros realizaram uma colisão perfeitamente inelástica. qual deve ser o ângulo q da bola atirada? Assuma que a colisão é elástica. Se o ângulo da trajetória até a caçapa é de 35 graus. Depois da tempestade quanto tempo leva para o vagão cobrir uma distancia de 500? Admitir que a chuva cai verticalmente e que o atrito é desprezível. 69 70 Figura 43 Figura 44 Figura 45 Figura 46 68 . (figura 45) Um vagão aberto de 14000 kg esta rolando a 4 m/s sobre os trilhos. (figura 46). 5 rad/s2. (c) Calcule o momento de inércia e (d) a energia cinética em relação ao eixo z. r = R/2 e r = R. Suponha que o sistema gire em torno do eixo z. A barra é solta a partir do repouso na posição horizontal.? Figura 49 Figura 49 69 . O volante de um toca disco roda inicialmente a uma taxa de 33 ver/min e demora 20 s para parar. onde tos pontos são medidos a partir do centro da roda. Qual será o torque resultante e o sentido de rotação do cilindro? Figura 48 73 74 75 Figura 47 76 Figura 48 Uma barra de comprimento L e massa M esta livre para rodar em torno de um pino sem atrito na extremidade de um plano vertical. (a) Qual é a aceleração angular do volante assumindo que a aceleração é uniforme? (b) Quantas vezes o volante roda antes de parar? (c) Se o raio do volante é 14 cm. Se a rotação do sistema ocorre em relação ao eixo y com uma velocidade angular w: (a) encontre o momento de inércia relativamente ao eixo y e (b) a energia cinética relativamente a este eixo.69 Exercícios – Rotação e Momento Angular 71 72 Um volante roda com uma aceleração constante de 3. (a) Qual é o torque resultante em torno do eixo de rotação? (b) Suponha F1 = 5 N. R1 = 1 m F2 = 6 N. descreva a velocidade linear e a aceleração linear de um ponto localizado em r = 0. (a) qual ângulo o volante irá rodar em 2 s? (b) qual é a velocidade angular em t = 2 s? Quando um volante de raio R roda em torno de um eixo fixo. Figura 47 Um cilindro está livre para rodar em torno de um eixo central. Duas cordas exercem forca sobre o cilindro.5 m. R2 = 0. Se a velocidade angular da roda é 2 rad/s em t = 0 s. Qual é a aceleração angular da barra e a aceleração linear na extremidade do lado direito da barra. todos os pontos do volante em a mesma velocidade angular? Todos os pontos tem a mesma velocidade linear? Se a velocidade angular é constante e igual a w. qual é o tamanho da aceleração radial e tangencial de um ponto na borda no tempo t = 0? Quatro massas são colocadas para girar. massa M e momento de inércia I esta montado em um eixo horizontal sem atrito. Figura 52 Considere duas massas conectadas por uma corda passando sobre uma polia que tem um momento de inércia I. Calcular a aceleração linear do objeto. A barra é solta a partir do repouso da posição horizontal. Figura 53 Figura 50 Figura 51 Figura 52 Figura 53 70 . Encontre a velocidade linear das massas depois que a massa m2 desce uma distancia h. Figura 50 Um volante de raio R. Encontre a aceleração de cada massa e as tensões T1 e Te e T3 na corda. a aceleração angular do volante e a tensão na corda. cada uma tendo um momento de inércia I. (a) qual é a velocidade angular da barra na posição mais baixa? (b) Determinar a velocidade linear do centro de massa da barra e do ponto mais baixo da barra na posição mais baixa. O sistema é solto a partir do repouso.70 77 78 79 80 Duas massas m1 e m2 estao conectadas por uma corda leve que passa sobre duas polia idênticas. Figura 51 Uma barra uniforme de comprimento L e massa M é livre para rodar sobre um pino sem atrito em uma de suas extremidades. Uma corda leve assentada sobre a roda suporta um objeto de massa m. e a velocidade angular da polia neste instante. Determine a aceleração das massas usando conceito de momento angular e torque. Partículas de massas m1 e m2 estão anexadas nas extremidades da barra. Figura 59 Figura 54 Figura 55 Figura 56 Figura 57 Figura 58 Figura 59 71 . Figura 56 Um sólido esférico uniforme de raio R = 0. Figura 55 Uma partícula se move no plano xy em movimento circular de raio r. (a) encontre o tamanho e a direção do momneot angular relativamente a O quando a velocidade é v. Figura 54 Uma partícula de massa m se move no plano xy com velocidade v ao longo de uma linha reta.5 m e massa 15 kg roda em torno do eixo z. Encontre o tamanho do seu momento angular quando a velocidade angular é 3 rad/s. Figura 58 Duas massas m1 e m2 estão conectadas por uma corda leve que passa sobre uma polia de raio R e momento de inércia I. (a) determinar o tamanho do momento angular do sistema quando a velocidade angular é w. Encontre a aceleração do seu centro de massa. Figura 57 Uma barra rígida de massa M e comprimento L roda no plano vertical ao redor de um pino sem atrito localizado em seu centro. (b) determinar o tamanho da aceleração angular do sistema quando a barra faz um angulo q com a horizontal. Qual é o tamanho e a direção do seu momento angular (a) com relação a origem O (b) com relação a origem O’.71 81 82 83 84 85 86 Considere uma esfera sólida rolando em um plano inclinado. A massa m2 escorrega sobre uma superfície horizontal sem atrito. (b) encontre uma expressão alternatipa para o momento angular em termos da velocidade angular. Encontre a velocidade angular do sistema depois que o projétil aderir a superfície do cilindro. Se a velocidade angular do sistema é de 2 rad/s quando o estudante esta na extremidade: ·(a) calcular a velocidade angular quando o estudante atingir um ponto distante 0. (b) Calcular a energia rotacional inicial e final do sistema. Figura 61 Um estudante esta sentado em um banco rotativo enquanto segura um par de pesos.5 m do centro. Figura 63 Figura 64 Figura 60 Figura 61 Figura 62 Figura 63 Figura 64 72 . A plataforma tem massa M = 100 kg e um raio R = 2 m. O cilindro esta inicialmente em repouso e é montado sobre um eixo horizontal que roda ao redor de seu centro de massa. O banco rotativo roda livremente em um eixo vertical com atrito desprezível. Explicar o que acontece quando o eixo da bicicleta é colocado a girar na horizontal. A linha de movimento do projétil é perpendicular ao eixo de giro do cilindro e tem distancia d<R do centro. Porque a velocidade angular vai aumentar quando ele encolher os braços? Figura 62 Um estudante segura o eixo de uma roda de bicicleta girando na vertical. Um estudante com massa m = 60 kg caminha vagarosamente desde a borda até o centro da plataforma. Figura 60 Uma plataforma horizontal com formato de um disco circular esta rodando no plano horizontal em torno de um eixo vertical sem atrito.72 87 88 89 90 Um projétil de massa m e velocidade v0 é atirado sobre um cilindro de massa M raio R. O estudante esta em movimento rotacional com os braços esticados.