Apostila Ensino Fundamental CEESVO - Matemática 02

Centro Estadual de Educação Supletiva de VotorantimMÓDULO 6 Nesta U.E., você aprenderá um novo conjunto de números para representar situações em que apenas os elementos do conjunto N não são suficientes. Esse conjunto de números é denominado CONJUNTO DE NÚMEROS INTEIROS. OBJETIVOS: Ao final desta U.E., você deverá saber: • Identificar Z como o conjunto N ampliado; • Localizar na reta numerada os elementos de Z; • Comparar dois números inteiros, utilizando os sinais >,< ou =; • Escrever o simétrico de um número inteiro; • Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro; • Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir corretamente dois ou mais números inteiros; • Efetuar corretamente a potência de um número inteiro; • Efetuar a radiciação de um número inteiro. ROTEIRO: Leia as explicações do módulo com muita atenção acompanhando a resolução dos exemplos. Copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência em que se apresentam. NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU CADERNO. www.ceesvo.com.br 2 INTRODUÇÃO Com a evolução do homem foram aparecendo situações novas que não podiam ser representadas com os números conhecidos (números naturais). Por exemplo: Eu tenho R$23,00 para pagar uma dívida de R$28,00. Como fica o resultado dessa operação? R$23,00 – R$28,00 = ? Fiquei devendo R$5,00. Mas como você pode representar esse resultado? Os elementos (números) do conjunto N não servem porque nenhum deles representa uma quantidade menor que zero. Para solucionar essas situações foi necessário criar um outro conjunto de números. Assim surgiram os “números inteiros negativos” que representam perdas, dívidas, sentido oposto, etc. Dever 5 passou a ser representado por –5 (lê-se:5 negativo ou negativo 5 ). CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS OU NÚMEROS INTEIROS É o conjunto formado por todos os números positivos (infinito), o número zero e todos os números negativos (infinito). Foram criados os números: –1 (lê-se negativo um) –2 (lê-se negativo dois) –3 (lê-se negativo três) E assim sucessivamente. Esses números foram criados para representar quantidades menores que zero. Eles foram denominados números inteiros negativos. Os números inteiros negativos são: –1, –2, –3, –4, –5, –6,... Todo número precedido de sinal negativo (–) representa uma quantidade menor (< ) que zero. < Ex.: -3 < 0 www.ceesvo.com.br -5 < 0 3 Portanto o zero, por sua vez, é maior (>) que qualquer número > negativo, por isso: Ex.: 0 > -2 0 > -8 Os números naturais 1,2,3,4,5,6..., são números inteiros positivos e são representados pelo sinal (+). Isto é: 1 = +1, 2 = +2, 3 = +3; ... 10 = +10;... Os números positivos representam ganho, lucro, mesmo sentido. Fica determinado que o número sem sinal é positivo. O número zero fica sem sinal. Não é positivo, nem negativo Z é o símbolo do conjunto dos números inteiros Z = ..., –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ... Os números inteiros negativos são tão úteis quanto os números inteiros positivos. Na realidade, você usou os números inteiros negativos em muitas ocasiões, sem chamá-los de números inteiros negativos. Veja algumas dessas situações: a) Distâncias à direita de um ponto marcado (ponto zero): 8 Km à direita (+8Km). Distâncias à esquerda do mesmo ponto marcado: 8 Km à esquerda (–8Km). –8Km 0 +8Km b) Saldo bancário: Crédito de R$ 600,00 (+R$600,00). Débito de R$ 600,00 ( – R$600,00). c) Tempo antes e depois de uma data: 100 anos depois de Cristo (+100 anos). 100 anos antes de Cristo (–100 anos). d) Saldo de gols de uma equipe: 15 gols a favor (+15 gols). 15 gols contra ( – 15 gols). e) Temperatura ambiente: 18 graus acima de zero ( + 18º C). 18 graus abaixo de zero ( –18 º C). www.ceesvo.com.br 4 Copie e responda no seu caderno: 1) Represente usando números inteiros positivos ou negativos: a) b) c) d) uma distância de 35 Km à direita de um ponto. (...........) uma temperatura de 29 graus abaixo de zero. (...........) um prejuízo de R$350,00. (................) um saldo de 8 gols a favor. (..............) 2) Pedro tem R$250,00 no banco. Qual será seu saldo: a) b) c) d) Se ele retirar R$ 150,00? Se ele retirar R$ 250,00? Se ele retirar R$ 280,00? Se ele depositar R$ 50,00? 3) Você tem R$ 600,00 no banco. Qual será seu saldo depois de efetuar as operações abaixo? a) depositou R$ 400,00 = ................ b) retirou R$200,00 = ..................... c) retirou R$150,00 = ..................... REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA Observe a reta numerada abaixo. Nela estão representados os números positivos e negativos. Perceba que para cada ponto marcado na reta está relacionado um número positivo ( à direita do zero) e um negativo (à esquerda do zero) a partir do ponto inicial ( número zero). ...–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7... Z O que você vê são alguns elementos de Z representados. Você sabe que a representação de todos os elementos é impossível, porque Z é um conjunto infinito, da mesma forma que a reta. www.ceesvo.com.br 5 SIMÉTRICO DE UM NÚMERO INTEIRO -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Z Observe na reta numerada a localização dos números +3 e –3. O que você percebeu? – Que os dois números estão a uma mesma distância em relação ao zero; – Que os números positivos podem ou não ser escritos acompanhados do sinal positivo. Os pares de números que estão a uma mesma distância do zero chamamse opostos ou simétricos, logo o oposto de –3 é 3. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Chama-se módulo ou valor absoluto de um número a quantidade de unidades que existem do zero até ele, sem levar em conta a sua posição (esquerda ou direita). É o nº sem a representação do sinal. O módulo ou valor absoluto de um nº é representado por duas barras verticais. Por exemplo: –5 = 5 o módulo ou valor absoluto de –5 é 5, porque –5 está a 5 unidades do zero. Veja. 5 unidades -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Z Qual é o módulo de +8? Como o +8 está a 8 unidades do zero, o módulo de 8 é 8. Não importa o número ser positivo ou negativo, pois o seu valor absoluto representa apenas a quantidade. Copie e resolva em seu caderno: 4) Complete com o valor absoluto dos números: a) + 10 = ........... c) − 6 = ......... b) o valor absoluto de 15 é .......... d) o módulo de –3 é igual a: ......... www.ceesvo.com.br 6 COMPARAÇÃO ENTRE NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS Você aprendeu que todos os números negativos são menores que zero portanto também são menores que qualquer número positivo. Comparando dois números negativos podemos dizer que quanto mais distante o nº negativo está do zero menor ( < ) ele é. Comparando dois números positivos podemos dizer que quanto mais distante o nº positivo está do zero maior ( > ) ele é. Os números inteiros (positivos e negativos) se tornam maiores quando a localização, na reta geométrica, está da esquerda para a direita. Ex.: –4 < –1 < 0 < +5 < +8 –4 –1 0 crescendo ou aumentando +5 +8 Copie e resolva em seu caderno: 5) Copie e complete no seu caderno, utilizando os sinais > (maior) ou < (menor) : a) 3 ...... –5 b) –2 ...... –3 c) –4 ......+ 6 d) –5 ......... 0 e) 0 ......... – 4 f) –3 ......... –2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS: ADIÇÃO OU SOMA: Quando somar? Quando temos que “juntar” dois ou mais números positivos (créditos) ou dois ou mais números negativos (débitos). Para adicionar (somar) basta usar a seguinte associação: Crédito com crédito, soma e resulta crédito (positivo com positivo = +) Exemplo: +5+6 = +11 www.ceesvo.com.br 7 Débito com débito, soma e resulta débito ( negativo com negativo = - ) Exemplo: Você tem R$ 400,00 na conta corrente e deposita R$100,00. O resultado será crédito de R$500,00 +400 +100 = +500 Você tem um débito de R$400,00 nas Casas Bahia e um débito de R$100,00 na Loja Riachuelo. O resultado será um débito de R$500,00. –400 –100= –500 SUBTRAÇÃO OU DIFERENÇA: Quando subtrair? Quando temos que saber a diferença (o que vai sobrar) entre a quantidade de números positivos (créditos) e a quantidade de números negativos (débitos) nas seguintes situações: +8-12=-4 -8+12=+4 O senhor Silva tinha R$ 200,00 na conta bancária, mas foi descontado um cheque de R$500,00. O resultado será um débito de R$300, 00, pois a quantidade de débito é maior do que o crédito. Veja o extrato bancário: +200 –500 = –300 Você tem um débito de R$70,00 e tem R$100,00 na carteira. O resultado será um crédito de R$30,00. –70 +100 = +30 Exemplos de situações: Ex.1: Tenho R$ 12,00 e gastei R$ 8,00 no supermercado. Quanto sobrou? Crédito ou débito? Se você respondeu que sobrou R$ 4,00, acertou, pois: + 12 - 8 = + 4 www.ceesvo.com.br 8 Ex.2: Devo R$ 8,00 na padaria e R$ 15,00 no açougue. Tenho débito ou crédito? Quanto? Solução: Como tenho duas dívidas, devo somá-las e ficarei com dívida de 23. Assim: – 8 –15 = –23 Logo, devo R$ 23,00 ou seja, –23 ( valor negativo). Regra Prática * Débito (–) maior que o crédito (+), fico com débito (–). Ex.: –10 + 8 = –2 *Crédito (+) maior que o débito (–), fico com crédito (+). Ex.: +10 –8 = + 2 *Débito (–) mais débito(–) dá débito (–). Ex.: –2 – 6 = –8 *Crédito (+) mais crédito(+) dá crédito (+). Ex.: +3 + 4= +7 Eliminação de parênteses Um número só pode ter um sinal. Se houver dois sinais antes do número fazemos o “jogo” dos sinais: Jogo dos Sinais Dois sinais iguais resulta positivo Dois sinais diferentes resulta negativo Observe os exemplos: – (+ 3) = –3 + ( –3 ) = –3 – (– 3) = +3 + ( +3 ) = +3 sinais diferentes = negativo ( – ) sinais iguais = positivo ( + ) A mesma regra você aplica nas operações que têm parênteses: 1º) elimina os parênteses fazendo o “jogo” de sinais. 2º) resolve verificando os sinais de cada nº. www.ceesvo.com.br 9 1º Ex.: (+2) + (–7) = +2 – 7 = – 5 Dois sinais diferentes resulta − 2º Ex.: (+2) – (+7) = +2 –7 = -5 3º Ex.: (+3) + (+8) = +3 + 8 = + 11 4º Ex.: (+3) -– (–8) = +3 + 8 = + 11 Dois sinais iguais resulta + Copie e resolva em seu caderno: 6) Resolva os exercícios em seu caderno, eliminando os parênteses com o “jogo de sinais”: a) ( + 4 ) + ( + 5 ) = b) (+ 4 ) + ( - 6 ) = c) (– 4 ) + ( - 8 ) = d) (+ 3 ) – (+ 5 ) = e) ( + 4 ) – ( - 5) = f) (–7 ) – ( - 10) = Não esqueça de eliminar os parênteses em cada exercício. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO: Regras: Sinais Iguais , resultado Positivo. Ex.: (+3) • (+2) = + 6 (−3 ) • (−2) = + 6 Sinais Diferentes , resultado Negativo. Ex.: (+3) • (−2) = −6 (− 3) • (+2) = − 6 Perceba que a regra dos sinais da multiplicação e divisão é a mesma usada na eliminação dos parênteses. www.ceesvo.com.br 10 Copie e resolva em seu caderno: 7) Resolva as multiplicações e divisões em seu caderno observando os sinais. a) b) c) d) (+4).(+3)= (− 8 ) . ( − 1 ) = (+9):(−3)= (−6):(−6)= POTENCIAÇÃO (multiplicação com o mesmo número e sinal) Como a potenciação é um produto de fatores iguais, aplicamos as mesmas regras de sinais observadas na multiplicação. Ex.: 1) (+5)² = (+5) • (+5) = + 25 2) (−4)³ = (−4) •. (−4) • (− 4) = −64 Sinais iguais = + Sinais diferentes = − IMPORTANTE: • Qualquer número inteiro, elevado a um expoente par, tem como potência um número positivo. Ex.: (+2)4 = +16 pois +2 . +2 . +2 . +2 = +16 (-3)²= +9 pois –3 . –3 = +9 • Qualquer número inteiro, elevado a um expoente ímpar, tem como potência (resultado) um número com o mesmo sinal da base. Ex.: (+3) ³ = +27 pois +3 . +3 . +3 = + 27 (-2) ³ = -8 pois –2 . –2 . –2 = -8 . Observe algumas potências especiais: www.ceesvo.com.br 11 a) Todo número elevado à zero é igual a um. (+7)0 = 1 b) Todo número elevado a um é igual ao próprio número. (+7)1= +7 c) Toda potência de 10 é calculada escrevendo o número 1 acompanhado de tantos zeros quanto for o nº. do expoente. 104 = 10000 102 = 100 Copie e resolva em seu caderno: 9) Copie e responda em seu caderno: a) ( + 3 )3 = b) ( -2 ) 4 = c) ( -1 ) 3 = d) ( + 8 ) 0 = e) ( - 7 ) 1 = f) 10 5 = RADICIAÇÃO É a operação inversa da potenciação Ex. 1: 2 25 = 5 porque (+ 5 ) 2 = 25, pois 5 • 5 = 25 ou −5 porque ( − 5 ) 2 = −5 • −5= +25 ATENÇÃO: Na raiz quadrada não é necessário escrever o nº 2 no índice. 2 Ex. 2: 3 8 =2 16 = 16 2 =8 ( −2 ) 3 = −8 3 3 − 8 = −2 Como qualquer nº elevado ao quadrado é sempre positivo, não existe (∃) raiz quadrada de um numero negativo. Ex. 3: -4 = ∃ www.ceesvo.com.br 12 Utilize o resumo das regras de sinais para resolver os exercícios de fixação: REGRA DE SINAIS: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO • SINAIS IGUAIS ( + + ou – – ) → SOMAM-SE OS NÚMEROS E CONSERVA-SE O SINAL. EX.: + 3 + 5 = + 8 EX.: – 3 – 5 = – 8 • SINAIS DIFERENTES ( + – ) → SUBTRAEM-SE OS NÚMEROS E DÁ O SINAL DO MAIOR NÚMERO. EX.: + 3 – 5 = – 2 EX.: – 3 + 5 = + 2 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO • SINAIS IGUAIS ( + + ou – – ): resultado + EX.:( + 6 ) • ( + 2 ) = + 12 – – →+ EX.:( – 6 ) ÷ ( – 2 ) = + 3 + – → – • SINAIS DIFERENTES ( + – ): resultado – EX.: EX.: ( + 6 ) • ( – 2 ) = – 12 + – → – (–6)÷(+2)= –3 – + →– www.ceesvo.com.br 13 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Copie e resolva em seu caderno: 1) Relacione as temperaturas da tabela com os itens abaixo: 36,5ºC −18ºC 6000ºC −3ºC 58ºC −88ºC 0ºC a) Freezer = ...... b) Superfície do sol = ...... c) Recorde mundial de frio ( pólo sul )= ..... d) Temperatura normal do corpo humano= ...... e) Recorde Mundial de calor ( Líbia )= .... f) Temperatura em que a água transforma-se em gelo= .. g) Congelador da geladeira= .... 2) O gráfico mostra os lucros e prejuízos de um supermercado no 1º semestre de 1999. Em alguns meses houve lucro e em outros prejuízos. a) Em que mês o prejuízo foi de - 30 milhões de reais? ........................... b) Em algum mês o lucro foi de 45 milhões de reais? ............................... c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro? .............................. 3) Complete os pontilhados eliminando os parênteses e efetue as operações e) (+6) – (+3) = ............ f) (-7) – ( -4) = .............. g) (-8) – (+2) = ............. h) (+2) – (+5) = ............ indicadas: a) (+2) + (+6) = ......... b) (+7) + (-3) = .......... c) (-9) + (+5) = .......... d) (-3) + (-4) = ........... www.ceesvo.com.br 14 4) Resolva as multiplicações e divisões observando as regras dos sinais: a) b) c) d) ( -2) . (-5) = ( +4) . ( -2 ) = (+6):(+6)= (- 50 ) : ( +10 ) = 5) Efetue as seguintes potências e radiciações: a) (-1) ³ = .............. b) (-2) 6= ............. c) (+5)2 = .............. d) (-5) 0 = .............. e) f) g) h) 36 = .............. − 27 = ................ − 16 = 3 3 27 = GABARITO: ESTE MÓDULO NÃO TEM RESPOSTAS. FAÇA A CORREÇÃO COM O PROFESSOR. www.ceesvo.com.br 15 MÓDULO 7 OBJETIVOS: Adquirir conceitos de múltiplos, divisores e números primos; Efetuar decomposição e mínimo múltiplo comum; Conceituar, identificar e representar frações; Associar fração como divisão de dois números; Operar com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão); Aplicar as técnicas de operações com frações na resolução de situações problemas. www.ceesvo.com.br 16 MÚLTIPLOS ( M ) E DIVISORES ( D ) Duas frases podem ter o mesmo significado apesar de utilizarem palavras diferentes. Por exemplo: “Gabriel é filho de Marcelo”.Significa que “Marcelo é pai de Gabriel “ é filho de significa é pai de 2 é divisor de 10 significa 10 é divisível por 2 Na matemática isto também acontece como você pode ver no exemplo acima. Você sabe o que quer dizer divisível? O conceito (idéia) de divisível vem da operação “divisão” Ex.1: - 20 : 1 = 20 20 : 2 = 10 20 : 4 = 5 20 : 5 = 4 20 : 10 = 2 20 : 20 = 1 Você pode dizer que o nº 20 é divisível por 1,2,4,5,10,20, pois em todas as divisões efetuadas o resto é zero ou 1,2,4,5,10,20 são divisores de 20. Ex. 2: - Quais são os divisores do nº 42? É o conjunto D(42) = 1,2,3,6,7,14,21,42 Observe que nos dois exemplos o conjunto dos divisores começa com o nº 1 e termina no próprio nº. EX. 3: – E os divisores de 7? Conjunto D(7) = 1,7 pois 7 : 1 = 7 7:7=1 www.ceesvo.com.br 17 Você reparou que no exemplo 3 os divisores são apenas dois: o nº. 1 e o próprio número? O nº. que tem apenas 2 divisores (o nº. 1 e o próprio número) é chamado de NÚMERO PRIMO. A seqüência de números primos é infinita. São eles: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,... Copie essa seqüência em seu caderno, pois você vai usá-la mais adiante. MÚLTIPLOS São determinados efetuando a multiplicação do nº. pela seqüência dos números naturais 0,1,2,3,4,5... EX. 1: - Múltiplos de 5 ( começa sempre pelo nº. zero) 5 • 0 = 5 • 1 = 5 • 2 = 5 • 3 = . . . . . . 0,5,10,15,20,... 0 5 10 15 . . . é infinito ( não tem fim) Portanto conjunto M5 = EX. 2: – Qual o conjunto dos múltiplos de 3? M3 = 0,3,6,9,12,15,18, ... seqüência de 3 em 3 EX. 3: – E o conjunto dos múltiplos de zero? M0 = 0 pois todo nº. multiplicado por zero é zero. www.ceesvo.com.br 18 EXEMPLO PRÁTICO: Um bebê precisa mamar de 3 em 3 horas. Começa à zero hora. Quais serão os horários das mamadas do dia? M3 = 0,3,6,9,12,15,18,21,24 Neste caso o conjunto dos múltiplos é finito, pois o período foi pré-determinado. DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS Decompor um número é escrever esse número em forma de multiplicação. EX. 1: - decomponha o nº 12 12 = 1 2 3 2 . . . . 12 ou 6 ou 4 ou 2 . 3 FATORES são os números que se multiplicam. FATORES PRIMOS - multiplicação de números primos. Você pode usar o método prático para efetuar a decomposição em fatores primos, dividindo o nº. pela seqüência de nº. primos já estudada anteriormente. Seqüência de nº primos 2,3,5,7,11,13,17,19,13,... EX. 1: – Decomponha o nº 12 em fatores primos: 12 6 3 1 2 Divide apenas por nº primos. O resultado é escrito em forma de potência. 2 3 R = 2² • 3 ( 2² porque é 2 • 2 ) EX. 2: – decomponha o nº 60 em fatores primos. 60 30 15 5 Método prático 2 2 3 5 2² R = 2² . 3 . 5 Divide o número por um número primo de modo que a divisão seja exata., O resultado da divisão escreve na linha debaixo, Divide novamente pelo mesmo número primo ou pelo próximo da seqüência. www.ceesvo.com.br 19 EX. 3: – decomponha o nº 108 108 54 27 9 3 1 2 2 3 3 3 2² 3³ R = 2² . 3³ Não esqueça de escrever a resposta. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) Menor múltiplo pertence a dois ou mais números Dado dois ou mais números você pode determinar qual é o menor múltiplo que pertence aos conjuntos dos múltiplos dos números dados. Qual é o mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos números 12 e 4? M12 = {0,12,24,36...} M4 = {0,4,8,12,16,20...} m.m.c (4,12) = 12 ( múltiplo que pertence aos dois números ) Unindo o conceito de múltiplo com a decomposição em fatores primos você pode usar uma técnica prática para calcular o m.m.c. EX.1: 4, 12 2, 6 1, 3 1, 1 2 2 3 efetue a multiplicação 12 = m.m.c Ex. 2: m.m.c (4,5,15) 4, 15, 5 2 Você percebeu que a divisão tem que 2, 15, 5 2 ser exata. Quando não der para dividir 1,15, 5 3 “ abaixa” o número. 1, 5, 5 5 1, 1, 1 60 = m.m.c. www.ceesvo.com.br 20 APLICAÇÕES PRÁTICAS 1- Uma pessoa tem que tomar 3 remédios. Um de 2 em 2 horas; outro de 3 em 3 e o último de 4 em 4 horas. Após serem tomados à zero hora, depois de quanto tempo eles serão tomados novamente juntos? m.m.c (2,3,4) 2 , 3 , 4 2 1 , 3 , 2 2 1 , 3 , 1 3 1 , 1 , 1 12 Depois de 12 horas. Copie e resolva em seu caderno: 1) Decomponha os números: a) 60 b) 150 c) 55 2) Calcule o m.m.c. dos números: a) m.m.c. ( 12 , 8 ) b) m.m.c. ( 6 , 10 , 12 ) c) m.mc.(6,3,9) d) m.m.c.(10,8,160) e) m.m.c.( 8,5) f) m.m.c.( 2,3,6) 3) Em um país as eleições para presidente são de 4 em 4 anos e para senadores de 6 em 6. Em 1990 houve eleição para os dois cargos. Depois de quanto tempo isto acontecerá novamente e em que ano? www.ceesvo.com.br 21 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÃO INTRODUÇÃO Até agora você estudou e trabalhou com os números inteiros positivos e negativos. Agora, neste módulo você conhecerá os números fracionários, utilizados para representar quantidades não inteiras. O termo fração significa “pedaço” do inteiro dividido em partes iguais. Observe o exemplo: A figura abaixo representa um inteiro Dividindo-a em 3 partes iguais, cada uma dessas partes (pedaço) representará a fração ( Observe os desenhos abaixo: 1 3 1 ) do inteiro. 3 1 3 ou 1/3 Observe que o número debaixo mostra em quantas partes o inteiro foi dividido. E o número de cima quantas partes foram consideradas (pintadas). Cada número que compõe a fração recebe um nome especial. Ex.: 2 3 numerador (quantas partes considerei) denominador (quantas partes o inteiro foi dividido) 2 3 3 3 Copie e resolva em seu caderno: 4) Veja a figura abaixo e responda:: É uma pizza dividida em 8 pedaços iguais. a) Qual a fração que representa 1 pedaço de pizza ? b) Na fração 4 , quantas partes considerei? 8 c) Qual é a fração que corresponde a pizza inteira? www.ceesvo.com.br 22 LEITURA: Para ler uma fração você deve ler primeiro o numerador e depois o denominador. Observe: Ex.: 3 5 lê-se três quintos. Ex.: três meios dois terços um quarto 3 2 2 Se o denominador for 3, lê-se terço (s) Ex.: 3 1 Se o denominador for 4, lê-se quarto (s) Ex.: 4 Se o denominador for 2, lê-se meio (s) Se o denominador for 5, lê-se quinto (s) e assim por diante até o número 10 (décimo). A partir do número 11 fala-se o número acrescido da palavra “avos”. Exemplos: 4 = quatro onze avos 11 b) 7 = sete treze avos 13 FRAÇÃO É DIVISÃO: O traço de fração ou barra ( ― ) também significa “divisão” pois: 4 = 1 inteiro 4 4 4 0 1 10 = 5 inteiros 2 10 0 2 5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES: Você pode simplificar uma fração, isto é, deixar os números menores, dividindo sucessivamente os termos (numerador e denominador) por um mesmo número. Observe: 48:2 = 24:2 = 12:2 = 72:2 36:2 18:2 6:3 = 9:3 2 fração irredutível 3 Quando não dá mais para 48:24 = 2 simplificar. 72:24 3 FRAÇÕES SIMPLIFICADAS ou 48:12 72:12 = 4:2 = 2 6:2 3 ou www.ceesvo.com.br 23 Observe que há várias maneiras de se fazer a simplificação. Você pode utilizar o número que achar mais adequado desde que use sempre o mesmo número para dividir o denominador e o numerador e que o resultado seja sempre exato, não sobre resto nas divisões. Copie e resolva em seu caderno: 5) Simplifique as frações até torná-las irredutíveis: a) 12 16 b) 9 18 c) 15 20 REDUÇÃO A UM MESMO DENOMINADOR: Há casos de frações cujos denominadores (n.º debaixo) são diferentes e precisam ser reduzidos (transformados) a um mesmo denominador. Para isso é necessário que você: 1- Calcule o m.m.c. dos denominadores (você viu no início deste módulo); 2- O resultado do m.m.c. será o novo denominador; 3- Divida o novo denominador pelo denominador de cada fração; 4- Multiplique esse resultado pelos respectivos numeradores. Observe o exemplo abaixo: Ex.: Reduza ao mesmo denominador as frações: 2 , 3 , 2 3 2 4 1º) m.m.c 3, 2, 4 2 3, 1, 2 2 3, 1,1 3 (multiplica) 1, 1, 1 12 novo denominador 4º) Multiplica 3º) Divide 2 , 3 , 2 3 2 4 8 , 18 , 6 12 12 12 Modo prático Divide o novo denominador pelo nº. debaixo e multiplica o resultado pelo nº. de cima. O resultado final será o novo numerador. www.ceesvo.com.br 24 Copie e resolva em seu caderno: 6) Reduza ao mesmo denominador ( nº. debaixo) as frações: a) 5 , 3 3 7 b) 7 , 2 , 5 8 3 12 c) 4 , 3 , 5 2 3 Observação: no exercício letra c, coloque o n.º 1 embaixo do 4 como denominador para poder fazer a divisão Comparação de frações Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ( igual ) ou de desigualdade entre esses números. Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos: < (menor) ou > (maior) 1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador: Observe os desenhos e compare:o pedaço “a” é maior (>) do que o pedaço “b” a) b) 7 8 3 8 7 > 3 8 8 Leia: sete oitavos é maior do que três oitavos. Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem o maior numerador (nº de cima). 2º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes: Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na mesma quantidade de pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo denominador. m.m.c de 6 e 3. = 6 6 ,3 3 3 e 2 6 3 2 ,1 2 3 6 1 6 3 , 4 então 3 < 4 6 6 6 6 2 3 www.ceesvo.com.br 25 Copie e resolva em seu caderno: 7) Usando o conceito de igual, maior ou menor responda reduzindo ao mesmo denominador quando for necessário: a) Maria comeu 2 5 de uma pizza e João comeu . Quem comeu menos? 3 8 Para você responder com certeza terá que denominador as duas frações e depois compará-las. reduzir ao mesmo b) Complete com os sinais de igual (=), maior (>) ou menor ( < ) : I ) 3 ___ 15 6 30 II ) 2 ____ 1 4 3 III ) 2 ____ -7 3 5 Operações com frações: Você já aprendeu que fração é um número que representa parte(s) do inteiro. Agora você vai aprender a resolver situações problemas que envolvem números fracionários. Para isso terá que saber operar (fazer conta) com esses números. Adição e Subtração de Frações Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos considerar dois casos: 1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo denominadores: Exemplo: Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. Quanto sobrou? 3 - 2 =1 CONSIDERE A PIZZA 3 3 3 INTEIRA COMO = 3 3 www.ceesvo.com.br 26 Logo, sobrou 1 da pizza. 3 Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador. 2º caso – As frações têm denominadores diferentes: TÉCNICA para ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO 1º) determine o m.m.c. dos denominadores (nºs debaixo); 2º) o resultado do m.m.c. será o novo denominador; 3º) divida o novo denominador pelo nº. debaixo e multiplique pelo nº. de cima de cada fração; 4º) efetue a adição ou subtração dos numeradores (nºs de cima).conservando o denominador;. Exemplo: Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina e sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram juntos? Você deve encontrar o m.m.c. dos denominadores 3 e 4 3,4 2 3,2 2 3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12 1,1 Observe as flechas ao lado. Elas mostram as operações que você deve fazer. multiplica 2 3 + 3 4 = divide 8 + 9 = 17 12 12 12 Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas. 12 Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para depois efetuar a soma ou subtração. Os dois exemplos a seguir mostram os dois casos e as maneiras diferentes de serem efetuados. www.ceesvo.com.br 27 1-) Um agricultor tem um sítio e quer plantar com milho. Qual a fração que representará a área plantada? Se você pensou 1 5 da área com feijão e 2 5 1 + 2 = 3 acertou! 5 5 5 (Se têm denominadores iguais, conserva o denominador e soma os numeradores). 2-) Esse mesmo agricultor após a colheita vai novamente plantar 1/3 da área com feijão e 2/5 com milho. Qual a fração que representará a área plantada? Agora complicou! Você percebeu que os denominadores são diferentes, portanto a área foi dividida em “pedaços de tamanhos diferentes”. Pense. Você já aprendeu a fazer com que os denominadores fiquem iguais, então, calcule o m.m.c. dos denominadores. 1 + 2 = 3 5 5 + 6 = 11 15 15 15 Resposta. Para resolver reduza ao mesmo denominador: 3 , 5 3 1 ,5 5 x 1 , 1 15 11 é a fração que representará a área plantada. 15 A subtração é efetuada usando a mesma regra da adição. 3) Dos 4 1 da área destinada ao plantio o agricultor vai deixar para plantar 5 5 mandioca. Quanto irá sobrar para as outras plantações? 4 – 1 = 3 5 5 5 Área destinada ao plantio Outras plantações Resposta. 3 da área sobrará para as outras plantações. 5 www.ceesvo.com.br 28 4) Dos pasto de animais. Qual a fração que representa a área destinada a outras plantações? Não se esqueça! 4 , 5 2 2 – 1 = Denominadores diferentes, 4 5 2 , 5 2 calcule o m.m.c.para reduzir 1 , 5 5 ao mesmo denominador. 10 – 4 = 6 1 , 1 20 20 20 20 Resposta: Deixará 2 1 da área destinada ao plantio o agricultor vai reservar para o 4 5 6 3 ( simplificando por 2) a resposta será: para outras plantações. 20 10 Para você fazer as adições e subtrações de frações negativas e positivas observe as regras dos sinais I-) Mesmo denominador. c-) a-) 1 + 3 = 4 6 6 6 b-) 6 –5 = 1 7 7 7 d-) O resultado foi negativo porque vale a regra de sinais onde o negativo é maior do que o positivo. Quando o numerador é igual ao denominador a fração representa o inteiro, pois fazemos a divisão de 3 por 3 = 1 4 – 6 = –2 5 5 5 –2 – 1 = –3 = -1 3 3 3 “Juntando” duas frações negativas resulta negativo II -) Denominadores diferentes ( não esqueça do m.m.c. para reduzir ao mesmo denominador): a) 3 + 2 = 6 5 15 12 27 + = 30 30 30 b) -1 - 3 = 8 5 – 5 24 29 – =– 40 40 40 c) – 7 + 1 = 9 5 – 35 9 26 + = – 45 45 45 Observe os sinais das frações: o negativo é maior do que o positivo, portanto “sobra” negativo. www.ceesvo.com.br 29 Copie e resolva em seu caderno: 8) De acordo com o que você aprendeu até agora, resolva as adições e subtrações de frações: a) 1 + 4 = 3 3 b) 7 + 2 = 5 8 c) 9 - 2 = 2 3 d) – 1 – 3 = 2 4 Multiplicação de frações Regra Prática: - Multiplique os numeradores (nºs de cima); - Multiplique os denominadores (nºs debaixo); - Observe os sinais das frações para usar a regra. Ex: 4 2 8 • = 5 7 35 – 3 8 24 •– =+ 6 5 30 Sinais iguais resulta positivo. Sinais diferentes resulta negativo. 1-) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, 3 são produtivas. 7 Qual é a fração que representa toda a terra produtiva? DICA IMPORTANTE! Quando aparece no problema a palavra “de”, “dessa”, a operação usada é a multiplicação e a resposta representa a fração em relação ao inteiro. 3 de 5 então: 7 3 5 15 15 • = Resposta: representa a parte produtiva das 5 fazendas. 7 1 7 7 Nas operações com frações colocamos o n.º 1 embaixo do n.º inteiro. www.ceesvo.com.br 30 2-) Um fazendeiro vai plantar dessa área com soja. Qual a fração que representa a área de plantação de soja em relação a área da fazenda? 3 • 2 = 6 5 6 30 multiplique os numeradores multiplique os denominadores 6 1 ( ou simplificando por 6) apenas . 30 5 3 2 da área da fazenda. Já plantou 5 6 Resposta: A fração que representa a parte plantada com soja em relação à fazenda inteira é Divisão de frações Regra Prática: - Copie a primeira fração; - Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação (•); - Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o denominador; - Multiplique os numeradores; - Multiplique os denominadores; - Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a mesma da multiplicação. Exemplo: 1º) A metade ( ) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 partes iguais. Qual a fração que representa cada parte? Observe que: 1 : 6 = 1 . 1 = 1 2 1 2 6 12 1- A divisão foi transformada em multiplicação. 2- A segunda fração foi invertida. 1 2 R: Cada parte é representada por 1 . 12 www.ceesvo.com.br 31 Copie e resolva em seu caderno: 9) Efetue as multiplicações e divisões de frações: a) 2 • 5 = 3 8 b) 1• 3 • 5 = 2 4 7 c) 2 : 1 = 5 3 d) 7 : 4 = 10 6 Potenciação (multiplicação com o mesmo número) Regra prática: - Efetue a potenciação do numerador, multiplicando pelo mesmo número tantas vezes quanto for o número do expoente; - Efetue a potenciação do denominador. 1-) Qual é a área de um quadrado cujo lado é ½ m de lado? A área do quadrado é: A = L² ½m A = (1/2)² = 1² = 1• 1= 1 m² 2² 2•2 4 Para efetuar a potenciação de fração você deve elevar o numerador e o denominador ao expoente dado e calcular o resultado: Ex. 5 4 ³ = 5³ = 5 • 5• 5 = 125 4³ 4 • 4 •4 64 www.ceesvo.com.br 32 Radiciação de frações: Regra prática: - Determinar a raiz do numerador; - Determinar a raiz do denominador. Exemplo: 9 = 16 9 16 = 3 3.3 pois 4 4.4 Copie e resolva em seu caderno: 10) Calcule: 2 a)   =   5 2 7 b)      10  3 = c) 9 = 16 d) 25 = 4 Usando o conceito de fração onde o denominador identifica em quantas partes está dividido o inteiro e o numerador quantas partes está sendo tomado. Pense no problema abaixo e veja como foi resolvido. Uma granja tem 2400 aves. Destas 3 são galinhas. 5 a) Qual a quantidade de galinhas? b) Qual a fração que representa os frangos? c) Qual a quantidade de frangos? Resolução: a) 2400 5 480 480 x 3 1440 galinhas representa o inteiro b) 5 3 2 = 5 5 5 representa os frangos d) 2400 – 1440 = 960 frangos www.ceesvo.com.br 33 Você percebeu que para cada tipo de operação com frações há uma técnica específica. No quadro a seguir você terá um resumo dessas técnicas para usar em cada operação usada para resolver os exercícios e problemas a seguir. RESUMO DAS TÉCNICAS DE OPERAÇÕES DE FRAÇÕES Adição e subtração (tem que ter o mesmo denominador) M.m.c. dos denominadores; O resultado do m.m.c. será o novo denominador; Divida o novo denominador pelo nº debaixo e multiplique pelo nº de cima de cada fração; Efetue a adição ou subtração dos numeradores conservando o nº do denominador. : Divisão - Copie a primeira fração; - Transforme a divisão em multiplicação; - Inverta a segunda fração; - Multiplique os numeradores; - Multiplique os denominadores. - Potenciação - Efetue a potenciação do numerador, multiplicando pelo mesmo número tantas vezes Multiplicação quanto for o número do - Multiplique os numeradores expoente; (nºs de cima); - Efetue a potenciação do denominador. - Multiplique os denominadores (nºs debaixo). Radiciação - Determine a numerador; - Determine a denominador. raiz raiz do do www.ceesvo.com.br 34 Copie e resolva em seu caderno: 11) I) Resolva os problemas em seu caderno lembrando que cada operação com fração tem uma regra própria. Confira as respostas no gabarito: Um aluno já executou tarefa que resta fazer? 4 da 7 tarefa de matemática. Qual a fração da LEMBRE-SE!! A fração que representa o inteiro tem denominador 7 igual ao numerador. Neste caso o inteiro é 7 7 . Quanto estou devendo? 10 II) Tenho uma divida de R$ 250,00. Já paguei Observação: A dívida está dividida em 10 prestações III) Em uma panela há 6 do Kg (quilograma) de pipoca estourada. Quero 8 1 do Kg. Quantos saquinhos devo repartir (dividir) em saquinhos de 4 comprar? IV) Em um pomar há três tipos de árvores frutíferas sendo que laranjeiras, 1 são 4 corresponde ao total (soma) de árvores desse pomar? 2 2 são jabuticabeiras e são limoeiros. Qual a fração que 5 10 1 desse 4 v-) João Carlos é operário e ganha R$ 1400,00 por mês. Gasta dinheiro com aluguel e a) Qual é a fração que representa o total de gastos de João Carlos ? b) Quanto dinheiro ela representa? c) Qual o valor do aluguel? ( desse dinheiro)? d) Quanto gasta com a alimentação? ( 2 de R$1400,00) 5 1 4 2 (desse dinheiro) com a alimentação da família. 5 www.ceesvo.com.br 35 GABARITO 1) a) 2² . 3 . 5 b) 2 . 3 . 5² c) 5 2) a) 24 b) 60 3) 12 anos em 2002 4) a)1/8 5 ) a ) 3/4 6 ) a ) 35 , 9 21 21 7) a ) João 8) a) 9) a) 5 3 . 11 c) 18 d) 160 e) 40 f) 6 b ) 4 partes b ) 1/2 b ) 21, 16, 10 24 24 24 c ) 8/8 c ) 3/4 c) 24, 9,10 6 6 6 b) b) 66 40 c) c) c) 23 6 d) d) d) 5 4 10 24 4 25 15 56 343 1000 6 5 3 4 42 40 5 2 10) a) b) 11) I ) 3/7 V) II ) R$ 75,00 13 a) 20 III ) 3 saquinhos c) R$ 350,00 IV ) 17/20 d) R$ 560,00 b) R$ 910,00 www.ceesvo.com.br 36 MÓDULO 8 OBJETIVOS: No final desta Unidade de Ensino (U.E.), o aluno deverá : Entender uma razão como o quociente de dois números racionais em que o segundo é diferente de zero; Reconhecer se duas razões formam uma proporção; Resolver problemas simples que envolvem escalas; Resolver uma situação problema envolvendo grandezas proporcionais, utilizando a regra de três; Resolver problemas simples de porcentagem e problemas que envolvem cálculo de juros simples. ROTEIRO DE ESTUDO: - Leia com atenção observando e acompanhando as resoluções dos exemplos. - Faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência de estudo, - Confira as respostas no gabarito. NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCOS EM SEU CADERNO www.ceesvo.com.br 37 RAZÃO, UMA GRANDE INVENÇÃO. Dos 50 alunos de uma sala de computação, 20 são homens e 30 são mulheres. Qual é a relação entre o número de homens e o número de mulheres? número de homens = número de mulheres= 20 : 10 = 2 30 : 10 3 Simplificando, isto é, dividindo por um mesmo número. Você pode concluir que: - para cada 2 homens há 3 mulheres que estão na sala,ou o número de homens (2) está para o número de mulheres (3) ou simplesmente 2 está para 3. 2 3 A expressão 2 está para 3 é chamada de razão entre 2 e 3 e é indicada por ou 2 : 3. RAZÂO serve para comparar quantidades entre duas grandezas. No exemplo acima as duas grandezas são: HOMENS e MULHERES. Veja o exemplo abaixo: Se você comparar as quantidades de gatos com as quantidade de cães, você têm as grandezas: GATOS e CÃES e a razão (para cada 3 gatos têm 4 cães) Copie e resolva em seu caderno: 3 ou seja: três 4 está para quatro 1) Escreva a razão simplificando quando for possível: a) 20 para 50 b) 10 para 40 2) Em um hospital tem 16 pacientes para 2 enfermeiros. Qual a razão entre o número de pacientes e o número de enfermeiros? www.ceesvo.com.br 38 RAZÕES INVERSAS Para determinar a razão entre o número de homens (20) e o número de mulheres (30) da sala de computação do primeiro exemplo, você fez que depois de simplificado ficou a mesma coisa que número de homens (20), é só fazer coisa de 20 , 30 2 (dois está para três). 3 Se você quer determinar a razão entre o número de mulheres (30) e o 30 , que simplificando por 10 é a mesma 20 3 (três está para dois). 2 3 2 As razões e são chamadas de inversas entre si. 2 3 O produto (multiplicação) de duas razões inversas é igual a 1. 3 2 • = 2 3 6 = 1 6 Copie e resolva em seu caderno: 3) Pedro fez uma prova que continha 10 questões de Português e 20 de Matemática. a) Qual a razão entre as questões de Português e Matemática? b) Qual a razão entre as questões de Matemática e Português? 4) Ache a razão inversa de: a) 3 4 b) 2 : 5 c) 4 : 1 ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS Você já deve ter ouvido falar ou lido em algum lugar os termos velocidade média, densidade demográfica e escala. Na verdade, elas são razões especiais, que utilizamos com freqüência no dia-a-dia. Vamos então ver qual o significado de cada uma. VELOCIDADE MÉDIA Velocidade média de um móvel é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo. www.ceesvo.com.br 39 EXEMPLO: A velocidade média de um carro que percorre 300 Km em 5 horas é dada pela razão: 300km 60km = simplificando por 5 = ou 60 Km/h (sessenta km por hora) 5horas 1hora Copie e resolva em seu caderno: 5) Calcule a velocidade média de um carro que percorreu 210 Km em 3 horas. DENSIDADE DEMOGRÁFICA Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Exemplo: A cidade de Votorantim (SP) tem uma área aproximada de 177Km² e segundo os dados de 2003 do IBGE a população está aproximada em 110000 habitantes. Portanto, a densidade demográfica de Votorantim é dada por: Isto significa que têm 621 hab. em 1 Km² População = 110000 = 621 hab/Km² Área 177 110000 177 faça esta operação na calculadora Copie e resolva em seu caderno: 6) O censo de 2000 estimou a população do estado de São Paulo em 36351316 habitantes. Calcule a densidade demográfica desse estado da região Sudeste, sabendo que a área total é de 248811Km². Faça na calculadora. www.ceesvo.com.br 40 ESCALA Escala é a razão entre a medida do comprimento no desenho e a medida do comprimento real. Exemplo: Se a planta ou croqui (desenho) de uma casa está na escala de 1:100 ou (1 para 100), significa que para cada 1cm do desenho corresponde a 100 cm na dimensão real. Observe: A planta a seguir foi desenhada na escala 1:100cm: 1 100 banheiro quarto A 2,5cm 3cm 3cm 1cm 1,5cm corredor sala 6cm cozinha 6cm Lembre-se!! 100cm=1m quarto B 2,5cm 4,5cm 3,5cm Agora, responda: Quais são as dimensões reais (comprimento e largura) da cozinha, da sala e do quarto A dessa casa. Se você respondeu que as dimensões reais da cozinha são 3m por 6m, da sala são 6m por 3,5m e do quarto são 3m por 2,5m, acertou!!! www.ceesvo.com.br 41 A proporção no dia-a-dia: PROPORCIONALIDADE Fernando e Alex apostaram juntos numa loteria esportiva e foram premiados. Como eles devem dividir o prêmio de R$ 500 000,00, se as importâncias que Fernando e Alex apostaram estão na razão 2 para 3? Como as quantias que eles apostaram estão na razão de que: - Fernando vai receber 2 partes, portanto R$ 200 000,00. - Alex vai receber 3 partes, portanto R$ 300 000,00. 2 é fácil concluir 3 A igualdade entre as razões 2 200000, = é uma proporção. 3 300000 A proporção também pode ser indicada da seguinte maneira: 2 : 3 = 200000,00 : 300000,00 Veja um exemplo prático de proporção: Você sabe que uma foto 3 X 4 tem 3cm de base (largura) e 4 cm de altura (comprimento) . Do mesmo modo, uma foto 6 X 8 tem 6 cm de base e 8 cm de altura. Observe as fotos da figura abaixo: Qual é a razão entre a base e a altura da foto menor? E entre a base e a altura da foto maior? Base da foto menor = Altura da foto menor Base da foto maior = Altura da base maior 3 = 0,75 (3 dividido por 4) 4 6 = 0,75 8 www.ceesvo.com.br 42 Como oito, podemos concluir que existe uma proporção entre as medidas das duas fotos. A igualdade entre as razões proporção. 3 6 = 4 8 3 6 = , ou seja, três está para quatro assim como seis está para 4 8 forma uma Você observou que o resultado das divisões (3:4 e 6:8) são iguais? Isto mostra que as fotos têm tamanhos proporcionais. Na proporção 3 : 4 = 6 : 8, os números e 4 e 6 são chamados de meios: e 3 e 8 são chamados de extremos DESAFIO: Medindo os lados das 2 fotos, verifique se elas são proporcionais (use a régua) e responda as questões abaixo: a) Os lados são proporcionais? . ......... b) ABCD é ampliação de EFGH? .... www.ceesvo.com.br 43 Propriedade fundamental das proporções Em toda proporção, o produto (multiplicação) dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo: 3 4 = 6 8 O produto dos extremos é 3 • 8 = 24 O produto dos meios é 4 • 6 = 24 Os dois produtos são iguais, portanto, formam uma proporção. Copie e resolva em seu caderno: 7) Verifique se as razões formam uma proporção. Utilize a propriedade fundamental das proporções: a) 2 e 10 5 25 b) 2 = 3 8 4 CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO OU APLICAÇÃO DA “ REGRA DE TRÊS” Com a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), tornou-se simples determinar o valor desconhecido de um dos termos da proporção. Veja qual o valor de X (termo desconhecido) nas proporções a seguir: a) 3 = X 4 8 Pela propriedade fundamental: Produto dos meios = produto dos extremos Então: 4. X = 3 . 8 4. X = 24 X = 24 : 4 X = 6 (calculando o valor de X) Use a operação inversa da multiplicação que é a divisão. Multiplique cruzado www.ceesvo.com.br 44 Copie e resolva em seu caderno: 8) Copie e calcule em seu caderno o valor desconhecido (X) nas proporções: c) 12 = 15 X 5 d) X = 9 6 2 a) 2 = X 8 12 b) 5 = 25 6 X O que são grandezas diretamente proporcionais? Duas grandezas são diretamente proporcionais aumentam ou diminuem seus valores ou quantidades. 1 º Exemplo: GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS quando ambas Se um padeiro faz 60 pães com 5 Kg de farinha, quantos pães ele fará com 8 Kg de farinha? É fácil perceber que, aumentando a quantidade de farinha (primeira grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também aumentará. Logo, as duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de pães são diretamente proporcionais. Para resolver esse problema você deve: - montar uma tabela com duas colunas correspondentes a cada grandeza; - escrever os números nas respectivas colunas; - analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; - resolver para calcular o termo desconhecido. Veja a montagem: Quantidade de pães 60 X terá que aumentar Quantidade de farinha 5 Kg 8 Kg aumentou www.ceesvo.com.br 45 Assim, podemos escrever a seguinte proporção: 60 5 = X 8 Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 5• X = 60 • 8 5• X = 480 X = 480 X = 96 5 Com 5 Kg de farinha o padeiro fará 96 pães. 2º Exemplo: Um padeiro faz 80 pães com 20Kg de farinha de trigo. Quantos pães fará com 3 Kg de farinha? Quantidade de pães 80 X terá que dimimuir Quantidade de farinha 20 Kg 3 Kg diminuiu 60 = 5 X 8 É fácil perceber que diminuindo a quantidade de farinha (primeira grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também diminuirá. As duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de pães são diretamente proporcionais. Então: 80 X = 20 3 20 • X = 80 • 3 20 • X = 240 X= 240 X = 12 20 O padeiro fará 12 pães. Observe que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando as duas aumentam ou as duas diminuem. www.ceesvo.com.br 46 Copie e resolva em seu caderno: 9) Resolva os problemas de acordo com os exemplos: a) Roberto comprou 15 lápis por R$ 5,00. Se comprasse 36 lápis, quanto pagaria? b) Uma torneira leva 5 horas para encher uma caixa d’água de 1000 litros de capacidade. Quantas horas levará essa torneira para encher uma caixa d’água de 3000 litros de capacidade? GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS O que são grandezas inversamente proporcionais? Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma grandeza aumenta e a outra diminui ou vice-versa: uma diminui e a outra aumenta. 1º Exemplo: Mário fez uma viagem de carro em 20 horas com uma velocidade média de 60Km/h. Qual será a velocidade média para fazer essa mesma viagem em 15 horas? Tempo gasto (h) 20 15 diminuiu Velocidade média (Km/h) 60 X terá que aumentar Você percebeu que para diminuir o tempo de viagem (horas) a velocidade média do carro deve aumentar, portanto enquanto uma grandeza diminui a outra grandeza aumenta. Dizemos então, que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Para resolver o problema temos que inverter uma das razões correspondente a uma das grandezas. Pode ser a coluna do X ou a outra. 20 60 = invertendo uma das colunas 15 X 15 60 = 20 X = 15 • X = 20 • 60 15 • X = 1200 X = 1200 15 então X = 80 A velocidade média do carro será de 80Km/h. www.ceesvo.com.br 47 2º Exemplo: Para reformar a quadra de esportes de uma escola, 2 pedreiros vão trabalhar 24 dias. Em quantos dias 6 pedreiros poderão fazer esse mesmo serviço? Temos: Número de pedreiros 2 6 aumentou Tempo (dias) 24 X diminuiu tem que inverter a razão Se você aumentar a quantidade de pedreiros vai diminuir a quantidade de dias gastos na reforma. Uma grandeza (pedreiros) está aumentando enquanto que a outra (dias) está diminuindo. Uma grandeza é inversa da outra, logo são inversamente proporcionais. Invertendo uma das razões da proporção 2 = 24 2 = X 6 X 6 24 6 • X = 2 • 24 6 • X = 48 X= 48 6 X=8 Assim, 6 pedreiros podem fazer o mesmo serviço em 8 dias. ATENÇÃO! DICA IMPORTANTE! Quando uma das grandezas for o TEMPO (horas, dias, etc) geralmente é inversamente proporcional. www.ceesvo.com.br 48 Copie e resolva em seu caderno: 10) Resolva os problemas em seu caderno de acordo com os exemplos: a) 6 homens constroem uma casa em 90 dias. Quantos homens são necessários para construir essa casa em 60 dias, no mesmo ritmo de trabalho? b) Um automóvel a 50Km/h vai de uma cidade a outra em 6 horas. Qual deve ser a velocidade do automóvel para percorrer a mesma distância em 4 horas? PORCENTAGEM A expressão por cento é familiar. Você a vê, praticamente em todos os dias nos jornais e na televisão. A expressão por cento quer dizer “por um cento ou cem”. Assim quando você lê ou escuta uma afirmação como “grande liquidação de verão com 40 por cento de desconto em todos os artigos”, significa que você tem um desconto de 40 reais para cada 100 reais do preço do artigo. Isto nos leva então a estabelecer a razão 40 . 100 Assim: 40% é o mesmo que 40 100 Qual é o significado do símbolo %? O símbolo % usado nas manchetes desse jornal, significa por cento. Acompanhando um número indica a centésima parte desse número. Assim: 6 % ou 6 = 0,06 100 16,85 = 0,1685 100 16,85% ou 5,82% ou 5,82 = 0,0582 100 www.ceesvo.com.br 49 Qual é o valor de 80% de 60? Veja o exemplo abaixo: Em uma partida de basquete Hortência acertou 80% dos 60 arremessos que efetuou. Quantos arremessos ela acertou? Resolver esse problema significa responder a questão: Quanto vale 80% de 60? Solução: Como 80% = 80 100 ou 0,80 você pode calcular usando a fração ou o nº. decimal fazendo: 80 4800 • 60 = 100 100 = 48 ou 0,80 . 60 = 48 Você também pode usar a regra de três ou propriedade fundamental da proporção. 80 = 100 X 60 100 • X = 80 • 60 100 • X = 480 X= 480 100 X = 48 Hortência acertou 48 arremessos que correspondem aos 80%. Copie e resolva em seu caderno: 11) De acordo com o exemplo resolva os problemas de porcentagem: a) 70% dos alunos da classe de Laura sabem nadar. Quantos alunos sabem nadar, se a classe de Laura tem 40 alunos? b) De um total de 30 alunos, 20% foram reprovados. Quantos alunos foram reprovados? c) O preço de um aparelho de som é R$500,00. Durante uma liquidação, a loja anunciou um desconto de 20%. Nessas condições: I) Qual é a quantia que corresponde ao desconto? II) Qual é o preço do aparelho com o desconto? Confira as respostas no final do módulo. www.ceesvo.com.br 50 JUROS Os juros fazem parte do nosso dia-a-dia. Uma ótica está vendendo óculos nas seguintes condições: R$ 200,00 à vista ou em 4 parcelas de R$ 70,00. Desse modo o preço dessa mercadoria a prazo sobe. Por que isso acontece? O preço dessa mercadoria, à vista, é diferente do preço a prazo, porque estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da dívida. O juro é uma compensação em dinheiro que a empresa cobra por estar parcelando a dívida para o cliente. No caso das aplicações financeiras (poupança), o cliente é que empresta dinheiro ao banco e, por esse empréstimo, recebe uma quantia de juros. A dívida que uma pessoa contrai quando compra uma mercadoria a prazo ou, a quantia que investe quando faz uma aplicação financeira é chamada de capital. A soma do capital e juros é chamada de montante. Assim, podemos dizer que: Juro (j) é uma compensação para mais ou para menos, em dinheiro, que se paga ou que se recebe. O capital (c) é o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado. A taxa (i) é o índice de porcentagem que se paga ou que se recebe pelo aluguel do dinheiro. O tempo (t) é o tempo pelo qual o capital fica emprestado. Exemplo: Sérgio emprestou R$2 000,00 de um banco por 4 meses a uma taxa de 3% ao mês. a) Qual a quantia que ele pagará de juros? b) Qual o total que terá de pagar no final do empréstimo? www.ceesvo.com.br 51 Solução: a) Vamos calcular quanto de juros por mês: 3% de 2000,00 = 3 = X 2000,00 ou 3 100 . 2000,00 100 X = (3 . 2000,00) : 100 X = 60,00 Como o empréstimo foi feito em 4 meses, temos: 4 • 60,00 = 240,00 b) Ao todo irá pagar: 2000,00 + 240,00 = 2240,00 R.: Sérgio pagará R$240,00 de juros num total de R$2 240,00. Copie e resolva em seu caderno: 12) Resolva em seu caderno os problemas e confira as respostas no final deste módulo: a) Qual o juro produzido por R$ 2800,00 em 3 meses da aplicação, a 7% ao mês? b) Marcos comprou uma bicicleta por R$ 180,00. Pagará em 6 meses, por isso o vendedor cobrará juros à base de 3% ao mês. Quanto ele pagará de juros e qual o total que pagará pela bicicleta? www.ceesvo.com.br 52 GABARITO: 1) a) 2 5 2) 16 = 8 2 4) a) 4 3 5) 70 Km/h 6) 146,1 hab/Km² 7) a) Sim formam proporção, porque 50 = 50 b) Não formam proporção, porque 8 ≠ 24 8) a) X = 3 b) X = 30 8) a) Pagaria R$12,00 9) a) Pagaria R$12,00 c) X = 4 d) X = 27 b) Levará 15 horas b) Levará 15 horas b) 5 2 b) 1 4 3) a) 10 = 1 20 2 c) 1 4 b) 20 = 2 10 10) a) São necessários 9 homens. b) A velocidade deve ser de 75Km/h. 11) a) Sabem nadar 28 alunos. b) Foram reprovados 6 alunos. c) I )desconto de R$100,00. II ) Preço do aparelho R$ 400,00. 12) a) Juro de R$ 588,00. b)Pagará de juros R$ 32,40 e total de R$ 212,40. www.ceesvo.com.br 53 Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997. ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim www.ceesvo.com.br 54