DPS 1016Engenharia Econômica Material de Aula Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas Centro de Tecnologia - Universidade Federal de Santa Maria - RS Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise
[email protected] 1 SUMÁRIO 1. Introdução e conceitos básicos 1.1 O objeto de estudo da econômia 1.2 Fundamentos da análise macroeconômica 1.3 Fundamentos da análise microeconômica 1.4 Definição de Engenharia Econômica 1.5 Definição e modalidades de Juros 1.6 Juros simples e compostos 1.7 Diagrama de fluxo de caixa 2. Relações de equivalência 2.1 - Dado “P” achar “F” 2.2 - Dado “F” achar “P” 2.3 - Dado “A” achar “F” 2.4 - Dado “F” achar “A” 2.5 - Dado “A” achar “P” 2.6 - Dado “P” achar “A” 2.7 - Dado “G” achar “A” 2.8 - Dado “G” achar “P” 2.9 – Séries perpétuas 3. Taxas de juros 3.1 - Considerações gerais 3.2 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva 3.3 - Taxas cobradas antecipadamente 3.4 - Taxas Equivalentes 3.5 - Taxa Global de Juros 3.6 - Taxa Mínima de Atratividade 4. Financiamento 4.1 - Fontes de recursos 4.2 - Seleção das fontes de financiamento 4.3 - Amortização de dívidas 4.4 - Sistema de amortização francês (Tabela Price) 4.5 - Sistema de amortização constante (SAC) 4.6 - Sistema de amortização misto (SAM) 4.7 - Sistema de amortização crescente (SACRE) 4.8 - Outros sistemas de amortização 4.8.1 - Sistema americano 4.8.2 - Pagamento único, com juros postecipados 4.8.3 - Pagamento único, com juros antecipados 4.8.4 - Sistema de amortizações variáveis 4.9 - Comentários sobre os sistemas de amortização Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise
[email protected] 2 4.10 - Correção monetária dos empréstimos 4.10.1 - Prestação calculada após a incorporação da correção monetária ao saldo devedor 4.10.2 - Prestação calculada antes da incorporação da correção monetária ao saldo devedor 5. Métodos determinísticos de análise de investimentos 5.1 - Valor Presente Líquido 5.1.1 - Projetos com vidas iguais 5.1.2 - Projetos com vidas diferentes 5.2 - Valor (ou Custo) Anual Uniforme Equivalente 5.2.1 - Valor anual uniforme equivalente 5.2.2 - Custo anual uniforme equivalente 5.3 - Taxa Interna de Retorno 5.3.1 - Casos especiais 5.3.2 - Análise incremental 5.3.3 - Interseção de Fisher 5.3.4 - Projetos com vidas diferentes 5.4 - Análise Benefício/Custo 5.5 - Tempo de Recuperação do Capital - PAYBACK 5.6 - Métodos Modificados 5.7 - Estudo de Caso 6. Bibliografia 7. Calendário 8. Apendice Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise
[email protected] 3 1. INTRODUCAO E CONCEITOS BÁSICOS 1.1 O OBJETO DE ESTUDO DA ECONOMIA A palavra economia é de origem Grega (oikonomes) (de oikos = casa e nomos = norma, lei), que significa a administração de uma casa. Xenofontes (455 a 345 a.c.) foi o primeiro a usar o termo Economia no sentido exposto anteriormente, ou seja, abrangendo apenas o governo ou a administração do lar. A Economia se define como “uma ciência social que estuda como o individuo e a sociedade decidem (escolhem) empregar recursos produtivos escassos na produção de bens e serviços, de modo a distribuí-los entre as várias pessoas e grupos da sociedade, a fim de satisfazer as necessidades humanas da melhor maneira possível.” (PINHO; VASCONSELLOS, 2006, p. 2). Percebe-se os cinco conceitos básicos escrita na definição anterior, como: Recursos; Escassez; Necessidades; Produção; e Distribuição. Os recursos (seja mão-de-obra, terra, matérias-primas, etc.) são limitados. Ao contrário as necessidades que se renovam e mudam, ou seja, são ilimitadas, pois sempre o individio tem o desejo elevar o padrão de vida e a população cresce mundialmente. Mesmo nos países mais ricos do mundo, todos os recursos disponíveis não estão suficientes para satisfazer todas as necessidades. Por isso, se fala de escassez, ou seja, recursos limitados. Viviendo com a escassez, a sociedade busca alternativas de produção e de distribuição dos resultados da atividade produtiva para atender as necessidades de diversos grupos da sociedade. Para satisfação das necessidades: Produção → Distribuição → Consumo Nesse processo de produção e consumo, surgem e são solucionados muitos problemas de caráter econômico: Produção ↔ ↓ Consumo ↓ Que bens produzir e Que meios utilizará para produzir Como vão gastar Assim se encontra a questão principal da economia: Como alocar recursos produtivos limitados para satisfazer todas as necessidades da população? Então a sociedade deve tomar decisão sobre a melhor forma da utilização de recursos limitados, sendo estudar assuntos como inflação, taxa de juros, taxa de câmbio, desemprego, crescimento, déficit público, vulnerabilidade externa, etc. Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise
[email protected] 4 as leis podem ser dividas: Leis Naturais são aquelas de forma global. os modelos e as leis. A utilização terá a finalidade de conduzir adequadamente a ação econômica com vistas a objetivos pré-determinados. Engenharia Econômica Prof. Seu propósito é obter uma visão simplificada da economia que. Leis Sociais exprimem a tendência que certos fatos tem em produzir certos efeitos. A teoria econômica adota duas posições distintas na apresentação e análise do fenômeno econômico. Dr. comportamento das unidades. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. gerias. é através dela que a realidade começa a ser submetida a um criterioso tratamento no sentido de que possam se analisados as relações básicas que se estabelecem entre os diversos agentes que compõem o quadro da atividade econômica. balizar e conduzir o sistema econômico no sentido de que sejam alcançados um ou mais objetivos politicamente estabelecidos. Eng. Wirt. Nesse terceiro compartimento é que serão utilizados os princípios. de teorias. ao mesmo tempo. Ex: fenômenos econômicos podem garantir a tendência de acontecimento do fato. a escassez do produto indica um aumento do preço. È a tarefa de levantamento e descrição dos fatos que se dedica a economia descritiva. ou seja. permita conhecer e atuar sobre o nível da atividade econômica de um determinado país ou de um conjunto de países. Teoria Econômica (TE) é o compartimento central da economia. e suas inter-relações.BR 5 . as indústrias e empresas. segundo as condições propostas. compete-lhe dar ordenamento lógico aos levantamentos sistematizados fornecidos pela economia descritiva. tais como os consumidores. as teorias. exprimem uma relação constante entre a causa e o efeito. de modelos e de leis fundamentadas nas descrições apresentadas. Economia política é uma ciência e conseqüentemente possui princípios. a água a zero grau congela. A microeconomia é aquela parte da teoria econômica que estuda o processo de formação de preços e o funcionamento dos mercados. A macroeconomia estuda o funcionamento do sistema econômico em seu conjunto. Ing.WEISE@UFSM. Surgiram então em decorrência conjunto de princípios. desvendar cadeias de ações manifestadas e estabelecer relações que identifiquem os graus de dependência de um fenômeno em relação a outro.Micro Economia Descritiva → T E [ ] PE Macro ↓ Economia Positiva ↓ Economia Normativa Economia Descritiva trata da identificação do fato econômico. estas posições são conhecidas como microeconomia e macroeconomia. que é a relação entre um fenômeno e sua causa. Dipl. Para completar existem ainda a Lei da Economia. normas e leis. produzindo generalizações que sejam capazes de ligar aos fatos entre si. Assim. É a partir dos levantamentos descritivos sobre a conduta dos agentes econômicos que se inicia o complexo de conhecimento sistematizado da realidade no campo da economia positiva. Ex: leis físicas são aquelas onde cientistas podem determinar perfeitamente a causa. porém. Quando empregamos a expressão política econômica governamental estamos nos referindo as ações praticas desenvolvidas pelo governo com a finalidade de condicionar. Os desenvolvimentos elaborados no compartimento da teoria econômica tem a finalidade de servir a Política Econômica (PE). de títulos e de divisas. O mercado de bens e serviços define as variáveis de: nível de renda. Esse mercado determina o nível de emprego e a taxa de salário. quando e como acontecera e nem em que medida poderá ser produzida.2. 1. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. 1. 1. escolaridade. 1. empresas. setor externo – e da oferta agregada de bens e serviços. nível geral de preços. governo. Engenharia Econômica Prof. Wirt. emprego e desemprego. bem como o nível geral de preços. E é ele que impõe. E a procura de mão-de-obra ocorre pelo seu custo à empresa e do nível de produção desejada pela mesma.. produto nacional e de preços. sexo etc. a igualdade entre a oferta e a demanda de moeda é dá a condição de equilíbrio no mercado monetário. seria necessário que a oferta agregada de bens e serviços fosse igual à demanda agregada de bens e serviços. Dr.3 Mercado Monetário Existem em função de que todas as operações comerciais da economia são realizadas através da moeda. independente do grau de qualificação.” O nível geral dos preços e do agregado da produção depende da demanda agregada – consumidores. Ele determina os salários e o nível de emprego. Eng. p. “[. além da taxa de juros. a Macroeconomia faz uma abordagem global das unidades econômicas individuais e de mercados específicos. Ing. monetário. a macroeconômia constitui-se de cinco mercados. segundo Garcia e Vasconcellos (2002. Para Garcia e Vasconcellos (2002. Não pode dizer quanto (em valores). Nele existe. essa teoria considera apenas o nível geral de preços. Basicamente. de trabalho..WEISE@UFSM. uma demanda e também uma oferta de moeda – através do Banco Central – que juntas determinam uma taxa de juros. o estoque de moeda. balança de pagamentos e taxa de câmbio”. O equilíbrio nesse mercado se dá pela igualdade entre a oferta e a demanda de mão-de-obra. analisando a determinação e o comportamento de grandes agregados. consumo.2. 83).2 Mercado de Trabalho Nesse mercado admite-se um único tipo de mão-de-obra. Dipl. portanto. Para que ao menos houvesse um equilíbrio de mercado. tais como: renda e produto nacionais.Leis Tipicamente Econômicas é lei da oferta e da procura – essa lei diz que o preço aumenta. e não atende as mudanças dos preços dos bens das diferentes indústrias.1 Mercado de Bens e Serviços Determina o nível de produção agregada. 90) “A idéia seria a de idealizarmos a economia como se ela teoricamente produzisse apenas um único bem.] estuda a economia como um todo. Assim sendo. poupança e investimentos agregados e exportações e importações globais. p.2.BR 6 . que seria obtido através da agregação dos diversos bens produzidos. que através de suas ofertas e demandas determinam os agregados macroeconômicos. estoque de moeda e taxas de juros. Por exemplo. Aqui. Estes cinco mercados são mercado de bens e serviços.2 FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MACROECONÔMICA A Macroeconomia. A oferta de mão-de-obra dá-se pelo salário e pela evolução da população economicamente ativa. os tipos de mecanismos. suas respectivas produções e custos.BR 7 . que fixa ou deixa a taxa de câmbio flutuar. a microeconomia preocupa-se em explicar como é gerado o preço dos produtos finais e dos fatores de produção num equilíbrio. Para que ocorra um equilíbrio nesse mercado a oferta de divisas – gerada pelas exportações e entrada de capital – seja iguala sua demanda – gerada pelas importações e saída de capital financeiro..2. 2006): Teoria do Consumidor estuda as preferências do consumidor analisando o seu comportamento. p. serviços e fatores produtivos (PINHO. Para este fim. Ele analisa o papel dos agentes econômicos superavitários – que gastam menos e ganham mais. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. VASCONCELLOS. Organizações que para isso compram fatores de produção e vendem o produto desses fatores de produção para os consumidores. Eng. 1.5 Mercado de Divisas Divisas são moedas estrangeiras.] já que dependem do tipo de política econômica adotada pelas autoridades. e ao estudo da geração e preços dos diversos bens. os gastos do governo e a oferta da moeda [.2.3 FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MICROECONOMICA A Microeconomia é concebida como o ramo da ciência econômica voltado ao estudo do comportamento das unidades de consumo representadas pelos indivíduos ao estudo das empresas. demandantes de bens de consumo.] não são determinadas nesses mercados. ainda. Na análise macroeconômica. [.4 Mercado de Títulos Determina o preço dos títulos. tentando alocar de modos alternativos os recursos dos quais dispõe determinados indivíduos organizados numa sociedade. do título público federal. [. a microeconomia procura analisar o mercado. Quando a oferta de títulos se iguala a sua demanda. mas sim de forma autônoma pelas autoridades. A explicação pode ser feito a partir de seguintes teorias (PINHO..WEISE@UFSM. e cuida das transações da economia com o resto do mundo.. as suas escolhas. que geralmente recorrem à empréstimos dos superavitários.. Ing. Teoria da Firma estuda a estrutura econômica de organizações cujo objetivo é maximizar lucros.. A partir dessa teoria se determina a curva de demanda. 1. as restrições quanto a valores e a demanda de mercado. VASCONCELLOS. Já a firma é considerada demandante de trabalho e fatores de produção e fornecedoras de produtos. O individuo é considerado como fornecedor de trabalho e capital...] (GARCIA. o individuo requer maximizar o seu consumo e uma firma (empresa) maximizar o seu lucro. Wirt. por exemplo. Estuda estruturas de mercado tanto competitivas quanto monopolísticas. 92). [. A taxa de câmbio é a variável determinada neste mercado que possui interferência do Banco Central.1. Engenharia Econômica Prof.] Elas vão condicionar o comportamento de todos os demais agregados. 2006). 2002. e.. Assim. Entre estes dois pontos. ocorre o equilíbrio desse mercado. geralmente perfeitamente competitivo. Dr. podendo efetuar empréstimos – e dos agentes econômicos deficitários – que gastam mais que ganham. A partir dessa teoria se determina a curva de oferta. Dipl. que estabelecem preços relativos entre os produtos e serviços. VASCONCELLOS. dessa forma ele também é chamado de mercado de moeda estrangeira. bens públicos (defesa nacional.). Podem também ser medidos em tempo. proteção civil. VASCONCELLOS. VASCONCELLOS.) ou bens privados (computadores novos. estuda-se uma economia que produz apenas dois bens. Oligopsónio.” O custo de oportunidade é um fator que garante a utilização eficiente dos recursos escassos. descreve o quanto um sistema utiliza bem os recursos disponíveis. ou qualquer outra coisa que corresponda a um benefício alternativo (utilidade). Outros fatores incluem bens intermédios usados na produção dos bens finais. custo e eficiência. Eng. 2006). entre outros assuntos. logo é mensurável através de um rácio por unidade de tempo. Um determinado mercado pode ser para de um produto ou de serviços de um fator de produção. A produção é um processo que usa insumos para criar produtos. como uma fábrica) e terra (incluindo recursos naturais). etc. segurança pública. 2006). edifícios. MORAES.WEISE@UFSM. Quando a economia se refere a eficiência econômica na produção. Teoria da Produção estuda o processo de transformação de fatores adquiridos pela empresa em produtos finais para a venda no mercado. considerando a escassez de recursos e a regulação governamental. oferta (procura) e demanda. Um segundo ponto de estudo de microeconomia é a produção. É descrita como sendo a expressão da “relação básica entre escassez e escolha. quando se tem que fazer uma escolha entre duas ações desejadas. Dr. As entradas para o processo de produção incluem fatores de produção básicos como o trabalho. bens de investimento (novos carros.). Estuda as relações entre as variações dos fatores de produção e suas conseqüências no produto final. Os estudos sobre o mercado incluem o comportamento dos agentes (indivíduos e firmas) e as suas interações em mercados específicos. É comum distinguir entre a produção de bens de consumo (alimentos. destinados ao comércio ou ao consumo (PINHO. 2009). Os custos de oportunidade não se restringem a custos monetários. A fronteira de possibilidades de produção (FPP) é uma ferramenta analítica que representa a escassez. na verdade. estradas. Ing. a microeconomia descreve como o mercado pode atingir o equilíbrio entre o preço e a quantidade negociada ou explicar as variações do mercado ao longo do tempo. Determina as curvas de custo.). lazer. etc. dada a tecnologia disponível. A FPP é uma tabela ou Engenharia Econômica Prof. capital (bens duradouros usados na produção. e Concorrência monopolística. ou seja. Já o custo de oportunidade está relacionado com o custo econômico: é o valor da melhor alternativa dispensada. custo e eficiência (PINHO. como seja o aço num carro novo. custo e eficiência. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Monopsónio. A teoria considera ainda considera o “jogo” de uma quantidade demandada (comprador) e quantidade ofertada (vendedor) para cada preço possível por unidade. mas mutuamente exclusivas (EHRLICH. bananas. se conseguirá reduzir o “desperdício”. Dipl. A estrutura do mercado pode ser classificada em: Monopólio. Wirt. que são utilizadas pelas firmas para determinar o volume ótimo de oferta. e a oferta e demanda. etc. Com estes dois lados. Oligopólio. a produção. A eficiência pode aumentar se conseguirá obter um maior resultado sem aumentar os recursos usados. Concorrência perfeita. etc. Em geral a economia estuda o mercado em si. No caso mais simples. A produção é um fluxo.BR 8 . Isso ocorre porque uma maior produção de um bem requer a transferência de insumos da produção do outro bem. Ao longo da FPP. Eng. Assim. numa relação inversa.BR 9 . Ing. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Figura 1: Fronteira de possibilidades de produção A última das grandes áreas de estudo da microeconomia é a oferta e demanda. VASCONSELLOS. Ainda assim.WEISE@UFSM. dado a tecnologia e os fatores de produção disponíveis. dada uma quantidade de produção do outro bem (batata). mas não poderem consumir. Cada ponto na curva da Figura 1 mostra uma produção potencial total máxima para a economia. a produção do outro diminui. A inclinação da curva num ponto determina o trade-off entre os dois bens e mede o quanto uma unidade adicional de um bem implica reduzir o outro bem. 2006). A escassez é representada na Figura 1 pelas pessoas poderem querer além da FPP. Dipl. o movimento ao longo da curva pode ser explicado como uma escolha que os agentes vêm como preferível. que é um exemplo de custo de oportunidade (PINHO.gráfico (ver Figura 1) que mostra as várias combinações de quantidades dos dois produtos que são possíveis. eles estão fundamentalmente importantes na construção de modelos para outras estruturas de mercados. que é a produção máxima de um bem (Carne). diminuindo-a. Engenharia Econômica Prof. escassez significa que escolher mais de um bem implica ter menos do outro. Dr. se refere à determinação do preço e quantidade num mercado de concorrência perfeita. numa economia de mercado. Wirt. Quando a produção de um bem aumenta. etc. quanto mais alto for o preço de um produto. Assume-se que os produtores maximizam o lucro. 105). KOPITTKE. Pode-se definir Engenharia Econômica como o estudo que compreende os métodos. Ing. “A Engenharia econômica objetiva a análise econômica de decisões sobre investimentos. A demanda é freqüentemente representada usando uma tabela ou um gráfico relacionando o preço com a quantidade demandada (ver Figura 2). Já a oferta é a relação entre o preço de um bem e a quantidade que os fornecedores colocam à venda para cada preço desse bem.Preço do apartamento (R$) Excesso de oferta c d Preço de equilíbrio 210. A lei da demanda diz que. Outros fatores também podem afetar a demanda. as técnicas e os princípios necessários para se tomar decisões entre alternativas de Engenharia Econômica Prof. como de particulares ou de entidades governamentais. a demanda mostra a quantidade que os possíveis compradores estariam dispostos a comprar para cada preço unitário do bem (ver Figura 2). 2007. E tem aplicações bastante amplas. Por exemplo. ou seja. Dr. texto que sintetizava análise de viabilidade econômica para ferrovias.BR 10 . o poder de compra geral diminui (efeito renda) e os consumidores mudam para bens mais baratos (efeito substituição). menos pessoas estarão dispostas ou poderão comprá-lo (tudo o resto inalterado). p. A teoria da demanda descreve os consumidores individuais como entes “racionais” que escolhem a quantidade “melhor possível” de cada bem.WEISE@UFSM. preferências. 1. em função dos rendimentos. preços.” (CASAROTTO. um aumento na renda desloca a curva da demanda em direção oposta à origem. A oferta é normalmente representada através de um gráfico relacionando o preço com a quantidade ofertada.4 DEFINICAO DE ENGENHARIA ECONÔMICA Os estudos sobre engenharia econômica iniciaram nos Estados Unidos em 1887. Eng. pois os investimentos poderão tanto ser de empresas. Dipl. o preço e a quantidade demandada num determinado mercado estão inversamente relacionados. o que significa que tentam produzir a quantidade que lhes irá dar o maior lucro possível.000 a b Excesso de procura 45 0 Número de apartamentos Figura 2: Oferta e demanda Para o mercado de um bem. regra geral. Quando o preço de um bem sobe. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Wirt. quando Arthur Wellington publicou seu livro “The Economic Theory of Railway Location”. : já investi tanto em um determinado projeto que o jeito é investir um pouco mais nele). devemos “otimizar alternativas”. Não á possível comparar diretamente 200 horas/mensais de mão de obra com 500 kWh de energia. determinando as vantagens e desvantagens. etc. e) avaliar receitas (vendas. j) considerar critérios econômicos. Ing. (1984. Comprar carro a prazo ou à vista. Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos devem ser considerados.WEISE@UFSM. Pode-se citar como exemplos de aplicação (CASAROTTO. porque grande parte dos problemas de investimento dependem de informações e justificativas técnicas e porque na maioria das organizações tais decisões são tomadas ou por engenheiros. como por exemplo o transporte de material dentro de um almoxarifado. etc. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos grossos ou finos. Segundo Hess et al. Todo o fundamento da engenharia econômica se baseia na matemática financeira. As principais características de um estudo econômico são: a) avaliar quantitativamente vantagens e desvantagens. b) as alternativas devem ser expressas em dinheiro. U$. refugos. Substituição de equipamentos obsoletos. …). ou seja. d) estimar custos (manutenção. k) considerar critérios financeiros. Convertendo os dados em termos monetários teremos um denominador comum Engenharia Econômica Prof. status. neste caso. relativas à aquisição e à disposição de bens de capital. por carrinhos ou ainda por correia transportadora. Dipl. É infrutífero calcular se é vantajoso comprar um carro à vista se não há condições de conseguir dinheiro para tal. considerado-los somente após a análise (prestígio. b) adotar unidades coerentes (R$. f) conhecimento técnico do processo em estudo. mercado. O estudo de Engenharia Econômica envolve: a) um problema a resolver ou uma função a executar. por exemplo. p. minimizar custos ou maximizar lucros.). energia elétrica. KOPITTKE. g) considerar somente problemas futuros (ex. distância.. c) avaliação de cada alternativa. sendo que. Eng. ou seja.…). por empilhadeira.investimentos. indicando a mais econômica. a disponibilidade de recursos. mão-de-obra. valor promocional. €. eficiência. …). ou seja.BR 11 .1) “justifica-se o nome. i) avaliar o risco do investimento. b) diversas alternativas possíveis. e seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais. sendo os seguintes: a) deve haver alternativas de investimentos. c) determinar o investimento necessário. Wirt. volume transportado. como de particulares ou de entidades do governo. Ela é importante para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas. 2007): Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia transportadora. ou por administradores agindo com base nas recomendações dos engenheiros”. tais como custo. h) inicialmente desprezar fatores imponderáveis. que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. d) comparação e escolha da melhor alternativa. tanto de empresas. impostos. Dr. transporte manual. a rentabilidade do investimento. 5 DEFINICAO E MODALIDADES DE JUROS Para podermos compreender o conceito de capitalização temos de começar pelos seguintes conceitos base: Capital (Principal) é a quantidade de moeda (meios líquidos) que originou uma transação entre duas entidades ou indivíduos que é aplicada durante um certo período de tempo. Este prazo deve estar expresso em determinada unidade de tempo (que pode ser: dia. abre-se mão. em geral. podemos dizer que o juro é o aluguer pago (ou recebido) pelo uso de um recurso financeiro. d) sempre serão considerados os juros sobre o capital empregado. Dipl. semestre. entretanto. Sendo assim. Quando se empresta recursos financeiros. para efeito de cálculo dos juros. Numa análise para decidir sobre o tipo de motor a comprar não interessa sobre o consumo dos mesmos se forem idênticos. mês. trimestre. a atenção especial será sobre os critérios econômicos. ou seja. Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes: critérios financeiros: disponibilidade de recursos. Período de tempo é a unidade de tempo em que o tempo global da aplicação foi subdividido. Toda transação financeira deve necessariamente prever quando (datas de início e do término da operação) e por quanto tempo (duração da operação) se dará a cedência (o empréstimo) do capital. a principal questão que será abordada é quanto o financiamento e a rentabilidade dos investimentos. adquirir alguns bens extraordinários ao dia a dia (tais como imóveis.muito prático. então. pode-se. viagens etc. são difíceis de converter em dinheiro. Ao se aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maneira mais rendosa de utilizá-lo. temporariamente. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.). critérios econômicos: rentabilidade do investimento. etc. interessa-nos o presente e o futuro. da disponibilidade deles e em troca desta disponibilidade recebe-se o juro. Wirt. Ing. c) só as diferenças entre as alternativas são relevantes. veículos. Tempo é o prazo pelo qual o capital é aplicado. Exemplos que ocorrem muito nos casos reais são: boa vontade de um fornecedor. A afirmação: “não posso vender este carro por menos de $ 10000 porque gastei isto com ele em oficina” não faz sentido. Engenharia Econômica Prof. São os chamados intangíveis. ano. Taxa de juro é a constante de proporcionalidade entre o juro produzido e o capital aplicado numa unidade de tempo. Juro será a remuneração recebida (ou paga) em troca do empréstimo de algum recurso financeiro.). boa imagem da empresa ou status. portanto. Ao possuir um recurso financeiro que excede as necessidades. 1.
[email protected] 12 . e) nos estudos econômicos o passado geralmente não é considerado. o que normalmente interessa é o valor de mercado do carro. e critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro. Alguns dados. Neste curso. será função do prazo deste aluguer. Sempre existem oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda alguma coisa. do valor do recurso alugado e do risco envolvido na transação. Eng. e. pode também aplicá-los (ou mesmo emprestá-los). Exemplo 1: Seja uma quantia de R$ 1. Anbid (mercado brasileiro). A especificação dos juros é feita pela taxa de juros. IPCA. convencionado em 360 dias (semestral = 180 dias.
[email protected]% a. adotavam como período de remuneração o ano civil. 1984). definida como a razão entre os juros que serão cobrados no fim do período e o capital inicialmente empregado (HESS ET AL.a. é utilizado para contratos com previsão de reajuste monetário. Para tanto. são fixadas novas taxas para o novo período de capitalização.00 / R$ 1. utilizam com base em ano de 252 dias úteis. passar-se a comprar menos produtos e serviços. 2.m. A taxa de juros foi de R$ 120. Inflação defini-la como sendo o aumento generalizado de preços na economia. Normalmente. Por ser uma espécie de indexação (que engloba uma taxa de inflação e uma taxa de juros) esse modelo de taxa de juros proporciona maior segurança ao investidor. mesmo que exista mais de um período de capitalização. mensal = 30 dias). Os títulos federais. por exemplo. há uma taxa de juros referencial como Libor – London Interbank Offered Rate (mercado londrino). F = R$ 1.120. O intervalo de tempo no qual os juros são calculados é o seu período de capitalização. Os tipos de taxas de juros se diferenciam de seguinte maneira: a) Taxas fixas: São aquelas que não se alteram durante todo o prazo da operação financeira (tomador – cedente). IGP-M.000. O processo inverso da inflação. denomina-se deflação. Spread é a taxa de intermediação cobrada pelo intermediário financeiro. como. Ing. Wirt. c) Pós-fixada: Quando o valor efetivo do juro é calculado somente após o reajuste da base de cálculo. com base em ano comercial. 365 dias. INPC. com a mesma quantidade de moedas (unidades monetárias. Dr. d) Taxa Flutuante (ou variáveis): São as que variam a cada período de capitalização.50% por 90 dias. Por exemplo. Dipl.00 que rendeu R$ 120. Define-se montante (F) como sendo o principal (P) mais os juros (J) devidos: F=P+J (1) Exemplo 2: Para o Exemplo 1. 4. etc. Eng.00 de juros após um ano. 1. Os tipos de taxa de juros são expressos em período anual ou mensal.000. Representam o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado ou o ganho de dinheiro gerado pelo capital empregado num investimento..12 ou 12% a.. trimestral= 90 dias. atrelado a um índice de variação de preços. Nada impede que sejam contratadas com base no ano civil. (ao ano). quando há uma queda generalizada dos preços na economia. Este fenômeno provoca a redução do poder aquisitivo da moeda. por exemplo. Prime (mercado americano).BR 13 . Forma de pagamento de juros determina como os juros serão pagos e sua periodicidade.00 Engenharia Econômica Prof.00 = R$ 1. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.6 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Os juros são a remuneração do capital. A taxa deve sempre especificar este período. dinheiro). b) Pré-fixada: Quando determinada ou definida no ato da contratação. ou seja.000.00 + R$ 120.00 = 0. que nada mais é do que. IGP-DI. J=iPn F = P (1 + i n) onde: J – juros i – taxa de juros P – principal n – número de períodos de capitalização F – montante (2) (3) Juros compostos: a cada período de capitalização. Dipl. 2009). os juros são incorporados ao capital e passam a também render juros. empregando a fórmula.000. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Esta é uma das mais importantes equações da Matemárica Financeira. Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C7 = C2*(1+C3*C4) C10 = C2*(1+C3)^C4 Exemplo 3: Seja R$ 1. durante 5 anos. Wirt. Juros simples: apenas o principal rende juros.WEISE@UFSM. Eng.Existem dois regimes de capitalização para os juros. a o total a receber no final do 5º ano. J = P [(1 + i)n – 1] (4) F = P (1 + i)n (5) onde : J – juros i – taxa de juros P – principal n – número de períodos de capitalização F – montante A Equação 5 permite calcular o montante F que se obtém a partir de um investimento P aplicado à taxa i. Engenharia Econômica Prof. Calcular o montante após cada período de capitalização. Ing. Dr.a. MORARES.BR 14 . após n períodos. denominados de juros simples e juros compostos (EHRLICH.00 aplicados a 15% a.. 150 = 1. Necessita-se.150 + 0. a taxa de juros e o número de períodos estabelecem um fator de conversão para tornar equivalentes duas quantias de dinheiro. Solução: R$ 2.15 x 1.50 = 1.450 + 0. (juros compostos). considerado em diferentes pontos no tempo.01 + 0.15 x 1.300. Wirt.011.000 = 1. escritura e registro do imóvel. Neste texto. Os principais elementos a considerar no fluxo de caixa de um empreendimento imobiliário são os seguintes: 1.000 = 1.750.011.00 1.15 x 1.00 hoje.88 + 0.BR 15 .WEISE@UFSM. de orçamentos para o custo de construção e do respectivo cronograma.01136 = R$ 10. Dipl. Custo do terreno: corresponde ao valor do terreno.00 1. Ing. por troca de área construída.7 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Para elaborar o fluxo de caixa deve-se estimar o momento no tempo em que se darão os desembolsos e as receitas previstas para o empreendimento. 3.749.01 = 2.00 = 2.01 1. à taxa de 5% a. portanto. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.00 1.36 F = P (1 + i n) F = P (1 + i)n 1.749.00 1.Solução: Período 0 1 2 3 4 5 Fórmula Montante (F) – [R$] Juros simples Juros compostos 1. Custo dos projetos: refere-se ao custo de elaboração de todos os projetos necessários ao empreendimento.00 1.520.370.322.801.520.88 1. Assim.300 + 0. A aquisição do terreno pode dar-se por desembolso de dinheiro.15 x 1. Eng.15 x 1.000 = 1.01136 Este fator de conversão pode ser aplicado a qualquer quantia presente para calcular a equivalência no futuro.000 = 1. considerando juros de 15% ao ano? Considere as quantias fornecidas e calculadas no Exemplo 3.750.36 daqui a cinco anos.15 x 5) = 1.88 = 1.000 x (1 + 0.000 x (1 + 0. Dr. Exemplo 5: Qual é a quantia equivalentes a um valor de R$ 5.36 Na prática. sempre será considerada a hipótese dos juros compostos. ou por uma combinação destas duas modalidades.00 1.000 = 1.000 + 0.150.370. R$1.15 x 1.15 x 1.000.a. considerando juros de 15% ao ano.000.50 1. Exemplo 4: Qual é o fator de conversão para tornar equivalente uma quantia hoje numa quantia daqui a cinco anos.00 x 2.150 + 0.520.15 x 1.000 = 1.150.00 1. da planilha de vendas e do respectivo plano de vendas. No Exemplo 3.50 + 0.600 + 0.749.450.011. salvo quando mencionado o contrário.00 hoje são equivalentes a R$ 2.15 x 1. Custo da legalização do terreno: corresponde às despesas com impostos de transmissão. daqui para frente.000.322.00 1.000 + 0. Engenharia Econômica Prof. em estudos econômicos são utilizados quase sempre juros compostos. durante 5 anos? Solução: F = 5. 2.15)5 = 2.00 1.36 / R$ 1.322. sob as mesmas condições para i e n. bem como da estimativa de desembolsos diversos associados ao empreendimento.011.600.000.15 x 1.00 1. que leva em conta estas incertezas (quanto maior a incerteza. Receita financeira: Sempre que houver sobra de caixa. Estas despesas. tanto em valor quanto ao momento de sua ocorrência. etc. Os maiores custos incorrem no momento de seu lançamento e nos meses seguintes.) 7. 6. Engenharia Econômica Prof. 12.WEISE@UFSM. danos físicos. Despesas administrativas: inclui todos os custos administrativos necessários para a execução do empreendimento. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. imposto de renda. Impostos e taxas diversas: taxas para habite-se e averbação. Dipl. Ing. conforme cronograma previsto para a execução da obra. que não foram detalhadas no projeto. 5. Receita de vendas: segue o plano de vendas e é função da estratégia do incorporador. proporcionando uma receita.). Outras despesas ainda podem ser consideradas. Eng. maior a contingência). etc. dependendo de sua importância em termos de valor.4.BR 16 . garantia de término da obra. devida ao corretor. IOF. etc. Despesas de vendas: inclui todos os custos referentes à publicidade do empreendimento. É paga à vista. Corretagem: é a comissão sobre as vendas. no momento da venda. pode ser interessante considerar na análise um valor de contingência. Custo de construção: corresponde aos custos diretos de construção. 9. Despesas com seguros: correspondem aos prêmios das apólices de seguros (responsabilidade civil do construtor. este valor pode ser aplicado. Em algumas situações.. podem ser consideradas numa conta genérica de despesas diversas. comissões diversas. Assim. 8. Wirt. Financiamentos: no caso de empreendimentos financiados. 10. Dr. de acordo com a legislação fiscal em vigor. não será de grande valia esmiuçar excessivamente o fluxo de caixa. devem-se considerar também as receitas e despesas destes financiamentos (juros e amortizações. Deve-se lembrar também que existe sempre uma incerteza associada às estimativas feitas. 11. n) (8) Exemplo 6: Uma construtora contraiu um empréstimo de R$ 30. indicaremos a resolução de problemas através destes fatores. deve-se calcular o valor dos fatores usando as respectivas fórmulas ou consultando as já referidas tabelas. mais do que “fazer contas”. denominado de “achar F dado P”. Caso não se disponha destes instrumentos. i.00 para ser devolvido em 5 meses. e os que serão apresentados a seguir. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 2.BR 17 . se a taxa de juros deste empréstimo é de 4. na bibliografia existente. O exemplo do que já foi comentado sobre a simbologia. Calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas dispõem de rotinas para fazer os cálculos
[email protected] representa um fator de conversão. Estes fator. Dr. Dipl. Eng. F 0 0 n n P Figura 3: Dado P determinar F.? Solução: Engenharia Econômica Prof. n) = (1 + i)n (7) A notação aqui adotada é a notação internacional. Além disto. Wirt. em função de i e n.000.m.1 DADO “P” ACHAR “F” Esta relação permite determinar o valor futuro F (montante) equivalente a um valor presente P (principal) e vice-versa. também não existe uniformização de notação para os fatores de conversão.5% a. e tem a seguinte notação e significado: (F/P. i. considerando uma aplicação à taxa de juros i durante um período n (Figura 3). Qual o montante a ser devolvido. e vice-versa F = P (1 + i)n (6) O termo entre parênteses na Equação 2. Ing. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Embora não faremos apelo a este tipo de tabela neste texto. por serem de mais fácil memorização do que as fórmulas respectivas. interessa destacar o raciocínio aplicado na resolução dos problemas propostos. O uso destas tabelas apresenta utilidade quando se dispõe de apenas uma calculadora não financeira para resolver problemas de matemática financeira. podem sr facilmente tabelados. A Equação 5 pode então ser reescrita como: F = P (F/P. 30. n) = 6 F (1 i) n P = 8.00. Dr. que serão necessárias daqui a 6 meses. 6) = 8.000.. i. Quanto ela deve investir hoje em papéis que rendem 2.2 DADO “F” ACHAR “P” Da Equação 6 tira-se que: P Fazendo tem-se que F (1 i) n (9) 1 (1 i) n P = F (P/F.77 2. onde se tem uma série uniforme de pagamentos.46 2.m. i. Ing. 4. Tem-se então uma série uniforme antecipada. servindo como entrada.020.000 (1 0. 5) = 30. Dipl.000 (P/F. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.000 (1 + 0.022) 6 P = R$ 7. Observa-se nesta figura que a série antecipada A' inicia no período 0 (zero) e termina no período (n-1). exige-se que o primeiro pagamento da série seja feito no momento de fechamento do negócio. n) (P/F.2% a.WEISE@UFSM. n) = P (1 + i)n F = P (F/P.BR 18 . Eng. para ter este dinheiro disponível quando necessário? Solução: 8. Wirt. como mostrado na Figura 4. Uma outra situação prática é aquela na qual se faz depósitos regulares num Engenharia Econômica Prof.2%.5%.3 DADO “A” ACHAR “F” Em muitas situações práticas. n) = (fator “achar P dado F”) (10) (11) Exemplo 7: Uma empreiteira precisa adquirir escoras metálicas no valor de R$ 8.000 5 0 F F = P (F/P.045)5 F = R$ 37. 2.000 0 P P = F (P/F. i.385. i. n) (16) Substituindo os fatores pelas suas expressões (Equação 7 e Equação 21. i. Se a TMA do vendedor é de 2.000 0 4 5 A' Engenharia Econômica Prof.5% a. vence daqui a 5 meses. i.00.1] (1 i) F = A' i i A' = F n [(1 i) . respectivamente). iniciando na data 0 (zero) e terminando na data (n-1).WEISE@UFSM. Wirt.BR 19 . iniciando hoje. n) (12) (13) (14) (15) . Também nesta situação tem-se uma série uniforme antecipada. 1) A' = ou e ou Como F = A (F/A. Dr.1] (1 i) A' = F (A/F. i. para retirar um valor F na data n. i. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.m. Ing. uma parcela de R$ 6. A' F 0 0 (n-1) (n-1) n n A' P Figura 4: Série uniforme antecipada A relação entre uma série uniforme A e uma série uniforme antecipada A' é a seguinte: A (1 i ) A' = A (P/F. n) (P/F.aplicando a Equação 11 tem-se: F = A' (F/P. i.000. i. 1) A = A' (1+i) A = A' (F/P. de quanto deve ser a prestação exigida do comprador? 6. 1) (F/A. referente à entrega de chaves.fundo que rende juros i. Dipl. i. chega-se a: [(1 i) n . O comprador propõe parcelar esta quantia em 5 parcelas iguais. 1) e ou (17) (18) (19) Exemplo 8: Num financiamento de compra de apartamento.. Eng. 000 (A/F. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.1 F = A (F/A.1] (1 0.BR 20 . i.9756097 = R$ 1. i. 2.. durante 2 anos numa aplicação que lhe renderá 12% a.000 Solução: i = 12% a. 2.Solução 1: i [(1 i) .025) 5 . considerando uma aplicação à taxa de juros i durante um período n (Figura 5).000 x x n 5 n (1 i) ./12meses = 1% a. 1%. Wirt.64 Exemplo 9: Se um investidor aplicar R$ 1.973. 1) A' = 6.a. 24) (1 0. qual a quantia que ele terá disponível em 2 anos? F 1 24 0 1.01 F = R$ 26.4 DADO “F” ACHAR “A” Esta relação permite determinar o valor futuro F equivalente a uma série uniforme A e vice-versa.1856066 A' = R$ 1.025 A' = 6. (1 i) n .1] (1 i) 0. 5) (P/F.1 (1 i) (1 0. 1) i 1 0.5%.1902468 x 0.01) 24 . n) = A i F = 1.1 F = 1.000 x 0.113.m.025 1 A' = F x x = 6.000 x 0.000 [(1 0.025) . Dipl. i.00 por mês.000 (F/A.5%.113. Ing. capitalizados mensalmente.64 A' = F n Solução 2: A' = F (A/F.000 0.1 (1 0.025)1 A' =
[email protected] 2.a. Eng. n) (P/F.025) A' = 6. Dr.000. Engenharia Econômica Prof. n) = tem-se que (fator “achar A dado F”) (24) (25) Exemplo 10: Uma construtora necessitará comprar um carro novo daqui a um ano. Eng.000 1 12 0 A Solução: i (1 i) n .1 i (1 i) n .1 A = F (A/F. Dipl. Nesta ocasião. n) F=A (20) (fator “achar F dado A”) (21) (22) Da Equação 20 tem-se que: A=F i (1 i) n . n) = i tem-se que F = A (F/A. Dr. i. i. e vice-versa (1 i) n .000. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.8% a. n) Fazendo (A/F. para ter disponível esta quantia? 15. 12) A = F (A/F. Wirt. Ing.00 para efetuar o negócio. i.m. n) = F Engenharia Econômica Prof.WEISE@UFSM. mas mesmo assim estima que precisará desembolsar R$ 15. 1.F 0 1 n 0 n A Figura 5: Dado A determinar F. i. Quanto ela deverá aplicar por mês num fundo de investimentos que lhe renderá 1.BR 21 . dará um carro usado como parte do pagamento.1 (23) i (1 i) n .8%. i.1 A = F (A/F. neste período.1 Fazendo (F/A. n) A' = (26) (27) (28) (29) . Dipl. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. 1) Como P = A (P/A. Uma outra situação prática é aquela na qual se faz depósitos regulares num fundo que rende juros i. A' F 0 0 (n-1) (n-1) n n A' P Figura 6: Série uniforme antecipada A relação entre uma série uniforme A e uma série uniforme antecipada A' é a seguinte: ou e ou A (1 i ) A' = A (P/F. Também nesta situação tem-se uma série uniforme antecipada. iniciando na data 0 (zero) e terminando na data (n-1). Eng. Dr. 1) A = A' (1+i) A = A' (F/P.5 DADO “A” ACHAR “P” Em muitas situações práticas. i. n) (P/F.131. i. como mostrado na Figura 6.018)12 .WEISE@UFSM. onde se tem uma série uniforme de pagamentos.03 A = 15.1 A = R$ 1.0.018 (1 0. 1) A' = P Engenharia Econômica Prof. servindo como entrada. Observa-se nesta figura que a série antecipada A' inicia no período 0 (zero) e termina no período (n-1). Ing. Wirt. i. i.1 A' = P (A/P. exige-se que o primeiro pagamento da série seja feito no momento de fechamento do negócio.BR (32) (33) 22 .aplicando a Equação 28 tem-se: P = A' (F/P. 1) (P/A. chega-se a: P = A' e ou (1 i) n .000 2. i. para retirar um valor F na data n.1 i (1 i) n-1 (31) i (1 i) n-1 (1 i) n . Tem-se então uma série uniforme antecipada. respectivamente). n) (30) Substituindo os fatores pelas suas expressões (Equação 10 e Equação 38. i. i. 02 (1 0. 1) A' = 15. A 0 0 n 1 n P Figura 7: Dado P determinar A.02 (1 0. Se a TMA da empresa vendedora é de 2% a.BR 23 .38 2. Eng. Um comprador propõe parcelar esta poupança em 6 vezes. Dipl.02) 6 1 1 A' = P x x = 15.000 Solução 2: A' = P (A/P..Exemplo 11: A poupança de um apartamento é de R$ 15.02) . 2%
[email protected] DADO “P” ACHAR “A” Esta relação permite determinar uma série uniforme A. 1) i (1 i) n 0.1785258 x 0.000 x x n 6 n (1 0. i.00. Wirt. iniciando os pagamentos hoje.000 x 0.625. 2%. considerando uma aplicação à taxa de juros i durante um período n (Figura 7). e vice-versa Engenharia Econômica Prof.625.38 A' = 15. i.000 x 0.000.000 Solução 1: i (1 i) n-1 A' = P (1 i) n . de quanto deve ser a prestação exigida? A' 0 5 6 15. n) (P/F. que é equivalente a um valor presente P e vice-versa.1750253 A' = R$ 2.1 (1 i) (1 0.1 A' = 15.m.1 A' = 15. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.02) 6 .000 (A/P.9803921 = R$ 2.02) 6-1 (1 0. 6) (P/F.1 0. Ing. Dr.02)1 (1 i) . Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Dipl.m. i.1 i (1 i) n P = A (P/A. Um potencial comprador propõe pagar a entrada solicitada mais R$ 12.000 (1 i) n .5% a. n) = P Exemplo 13: A poupança de um apartamento é de uma entrada mais 12 prestações mensais fixas de R$ 1.000. n) = tem-se que (fator “achar A dado P”) (36) Da Equação 34 tem-se que: (1 i) n .000 (1 0.02)5 A = 20. Ing. com vencimentos iniciando em 30 dias. Eng.m..1 (34) i (1 i) n (1 i) n .. de quanto deve ser a prestação exigida? Solução: 0 1 A 5 20. Um comprador está interessado no negócio. n) Fazendo (P/A.17 A = P (P/A.1 i (1 i) n A = 20.243.1 A = P (A/P. n) Fazendo (A/P. Se a TMA do vendedor é de 2.1 A = R$ 4. Dr.A=P i (1 i) n (1 i) n . n) = tem-se que (35) (fator “achar P dado A”) (38) (39) Exemplo 12: As condições de financiamento de um apartamento exigem como poupança a quantia de R$ 20. ele deve aceitar este negócio? Solução: Engenharia Econômica Prof. para liquidar a parte parcelada da poupança.000.00.1 P=A i (1 i) n (37) (1 i) n . mas precisa parcelar esta poupança em 5 vezes. Se a TMA da empresa vendedora é de 2% a. i. i.00 hoje.BR 24 .000 (A/P. 5) 0. 2%.00.02)5 .02 (1 0. i.200. iniciando os pagamentos em 30 dias.WEISE@UFSM. Wirt. i. 0 1.200 1 12 P (1 i) n - 1 P = A (P/A; i; n)= A i (1 i) n P = 1.200 (P/A; 2,5%; 12) (1 0,025)12 - 1 P = 1.200 0,025 (1 0,025)12 P = R$ 12.309,32 Como a proposta do comprador é inferior ao valor equivalente das parcelas vincendas, o vendedor não deve aceitar a proposta. 2.7 DADO “G” ACHAR “A” Esta relação permite determinar uma série uniforme A equivalente a uma série gradiente G e vice-versa, considerando uma taxa de juros i durante um período n (Figura 8). P 0 1 2 n 0 G n (n-1)G Figura 8: Dado G determinar A, e vice-versa 1 n i ] A=G [ - x i i (1 i) n - 1 1 n i ] Fazendo (A/G; i; n) = [ - x i i (1 i) n - 1 tem-se que A = G (A/G; i; n) (40) (fator “achar A dado G”) (41) (42) Exemplo 14: Considere os mesmos dados do Exemplo 15 e calcule a série uniforme equivalente. Solução: A = 2.000,00 + 200 (A/G; 10%, 6) 1 6 0,10 x ] A = 2.000,00 + 200 [ 0,10 0,10 (1 0,10) 6 - 1 Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise
[email protected] 25 A = 2.000,00 + 200 x 2,2235572 = 2.000,00 + 444,71 A = R$ 2.444,71 2.8 DADO “G” ACHAR “P” Esta relação permite determinar o valor presente P equivalente a uma série gradiente G e vice-versa, considerando uma taxa de juros i durante um período n (Figura 9). P 0 1 2 n 0 G n (n-1)G Figura 9: Dado G determinar P, e vice-versa P = G {[ (1 i) n - 1 n 1 - ] } 2 i i (1 i) n (43) (1 i) n - 1 n 1 - ] } (fator “achar P dado G”) 2 i i (1 i) n P = G (P/G; i; n) (P/G; i; n) = { [ Fazendo tem-se que (44) (45) Exemplo 15: Um determinado veículo tem um custo anual de manutenção de R$ 2.000,00. Estima-se que, a partir do 2º ano de uso, devido ao crescente desgaste, este custo aumente em R$ 200,00 ao ano. Considerando que este veículo tem 6 anos de vida útil, calcule o valor presente dos custos de manutenção, para uma TMA de 10% a.a. 0 1 2 6 0 1 2 6 2.000 2.000 200 0 1 2 6 200 1.000 1.000 Solução: O problema pode ser decomposto em uma série uniforme de R$ 2.000,00 e uma série gradiente com G = R$ 200,00. O valor presente será então: P = 2.000 (P/A; 10%; 6) + 200 (P/G; 10%, 6) (1 0,10) 6 - 1 (1 0,10) 6 - 1 6 1 { [ ] } P = 2.000 + 200 6 2 0,10 (1 0,10) 0,10 0,10 (1 0,10)6 Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise
[email protected] 26 P = 2.000 x 4,3552607 + 200 x 9,6841712 = 8.710,52 + 1.936,83 P = R$ 10.647,35 2.9 – SÉRIES PERPÉTUAS Uma série perpétua é aquela na qual os pagamentos (ou recebimentos) não tem um horizonte de tempo finito, ou o número de períodos no qual eles ocorrem é muito grande. O valor presente de uma série perpétua é: (1 i) n - 1 1 P = lim A =A n n i i (1 i) A P= (46) i e A=iP (47) Exemplo 16: Quanto deve ser depositado numa caderneta de poupança que rende 0,5% a.m., para fazer-se retiradas perpétuas de R$ 3.000,00 a cada seis meses? Solução: i = (1 + 0,005)6 – 1 = 0,030378 a.s. 3.000 P= = R$ 98.755,68 0,030378 Exemplo 17: Qual é o custo, em termos de valor presente, de uma máquina que tem vida útil muito longa, cujo valor de aquisição é R$ 10.000,00 e que consome anualmente R$ 2.000,000 em despesas de operação e manutenção? Considere uma taxa de juros de 15% a.a. Solução: 2.000 A P = 10.000,00 + = 10.000,00 + = 10.000 + 13.333,33 i 0,15 P = R$ 23.333,33 Exemplo 18: Quanto pode-se retirar a cada doze meses de um fundo de investimento que rende 1% a.m., de forma a que ele sempre permaneça com o mesmo valor do investimento inicial, que foi de R$ 50.000,00? Solução: i = (1 + 0,01)12 – 1 = 0,126825 a.a. A = i P = 0,126825 x 50.000,00 A = R$ 6.341,25 Ou seja, a série perpétua corresponde aos rendimentos da aplicação. Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise
[email protected] 27 3. TAXAS DE JUROS 3.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS Todas as decisões que envolvem quantias de dinheiro, além da quantia propriamente dita, devem também considerar o momento no tempo em que esta quantia será desembolsada ou recebida. O fluxo de caixa é um diagrama que mostra as quantias de dinheiro (desembolsos e recebimentos) ao longo do período considerado na análise. Este diagrama é composto de uma reta horizontal, que constitui-se na escala de tempo, e por flechas verticais, que representam as entradas e saídas de dinheiro (Figura 10). F1 0 1 F2 F3 2 3 Fn F4 4 n P (=I =F0) Figura 10: Fluxo de caixa genérico Os períodos de tempo são representados em intervalos contíguos, progredindo da esquerda para a direita, iniciando no instante 0 (início do primeiro período a ser considerado na análise) e terminando no instante n (fim do último período a ser considerado na análise). Assim, cada número representa o período de tempo acumulado até aquele ponto. Por convenção, as saídas de dinheiro são representadas por flechas para baixo, abaixo da linha de tempo, e as entradas de dinheiro são representadas por flechas para cima, acima da linha de tempo. As flechas não precisam representar em escala as quantias de dinheiro. Por hipótese, os valores ocorrem num único momento em cada período considerado. O valor inicial é desembolsado (ou recebido) no instante zero, e os demais recebimentos (ou desembolsos) dão-se no fim de cada período em que ocorrem, a menos que indicado de outro modo. Não existe uniformização de simbologia na bibliografia disponível, variando de autor para autor. A simbologia apresentada a seguir é a mais comum, e será adotada neste texto. Costuma-se identificar genericamente a quantia inicial pela letra P (valor Presente) ou I (Investimento) e as quantias seguintes por Fi, com i = 1, ..., n (valor Futuro). A quantia inicial também pode ser representada por F0. Quando todos os valores futuros são iguais e consecutivos, eles são comumente representados pela letra A (de Anuidade, embora nem sempre os períodos considerados tenham esta periodicidade). Estes valores constituem uma série uniforme de pagamentos (ou recebimentos), iniciando no período 1 e terminando no período n (Figura 11). Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise
[email protected] 28 Eng. Nesta situação.a. com capitalização mensal). ou aparentar uma cobrança de juros mais baixa. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Dipl.0 1 2 3 n A Figura 11: Série uniforme de pagamentos Uma variante da série uniforme é a série uniforme antecipada. terminando no período n-1.2 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Uma taxa de juros efetiva é aquela na qual o período referido na taxa coincide com o período de capitalização (exemplo: 12% a. com capitalização anual). e terminando com o valor (n-1)G no período n. a taxa efetiva i é: Engenharia Econômica Prof. Ing.a. é denominada de série em gradiente (Figura 13). temse uma taxa de juros nominal. Mas nem sempre o período referido na taxa coincide com o período de capitalização (exemplo: 12% a. Observe que esta série não apresenta nenhum valor no período 1. conforme mostrado na Figura 12.WEISE@UFSM. que difere daquela apenas no fato de que os pagamentos (ou recebimentos) iniciam já no período inicial (data zero) do fluxo de caixa. iniciando com o valor G no período 2. capitalizada k vezes por período. Wirt.BR 29 . 0 1 2 n-1 3 n A Figura 12: Série uniforme antecipada de pagamentos Uma série de pagamentos (ou recebimentos) que cresce a uma razão constante G em cada período. Muitas vezes uma taxa de juros é assim enunciada para aparentar um rendimento maior. Dr. 0 1 2 3 4 n G 2G 3G (n-1)G Figura 13: Série gradiente de pagamentos 3. Para uma taxa nominal in. 3449 = 34.a. Dipl.5% a.49% a.C3) Exemplo 19: Qual a taxa anual efetiva equivalente a taxa de 30% a. 12 Solução 2: in 30% i 2. Eng.BR 30 .3 12 ) .(1 i) (1 i (1 in k ) k (48) in k ) -1 k (49) Um outro modo de solucionar o problema consiste em transformar primeiro a taxa nominal numa taxa efetiva. considerando o período de capitalização enunciado.m. com capitalização mensal? Solução 1: i (1 in k ) -1 k i (1 0.a. Dr.3449 = 34. e a seguir aplicar a Equação 51: in k ieq = (1 + i)k– 1 i (50) (51) Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C5 = (1+C2/C3)^12-1 C6 = EFETIVA(C2.0332 = 3. Ing.32% a. 1/12 Prof.04 1/12 ) .m.1 =0.WEISE@UFSM. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. i Exemplo 20: Qual a taxa mensal efetiva equivalente a taxa de 4% a.a.49% a. Wirt. com capitalização anual? Solução 1: i (1 in k ) -1 k Engenharia Econômica i (1 0.1 = 0. k 12 Ieq = (1 + i)k– 1 = (1 + 0.a.025)12 – 1 = 0. 4 TAXAS EQUIVALENTES A taxa de juros sempre é expressa em termos numéricos e com menção de seu período de capitalização.000 por um ano a uma taxa de 30% a.3 = R$ 3. Dr.000..00 – R$ 3.000.Solução 2: in k 4% i = 4% a. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.3 TAXAS COBRADAS ANTECIPADAMENTE Em alguns empréstimos costuma-se cobrar antecipadamente os juros. Eng.a.000.32% a. produzirem o mesmo montante após um mesmo período de tempo.000) – 1 i = 0. Solução. a taxa de juros real é maior do que aquela enunciada. sendo devolvido no final apenas o principal emprestado.86% a.4286)1/12 – 1 = 0.00 = R$ 7. Dipl.02% a. A conversão entre taxas de juros é feita utilizando-se a relação: P(1 + ieq) = P(1 + i)k ieq = (1 + i)k– 1 Engenharia Econômica Prof. i i 3.0332 = 3.0302 = 3. 3.000 x 0. os juros são pagos no momento em que se recebe o dinheiro emprestado. ou seja. Nestas situações.000 / 7.000. i = (1+ i)1/m – 1 = (1 + 0.4286 = 42.a.WEISE@UFSM. Ing. sendo os juros cobrados antecipadamente.000 F = P (1 + i)n 10.000 = 7.m.m.BR (52) (53) 31 .m. porém com períodos de capitalização diferentes. x 12 meses = 48% a.a.000. Ou seja.00 Dinheiro efetivamente recebido: P = R$ 10.48)1/12 – 1 = 0. Exemplo 21: Calcule a taxa efetiva anual e mensal de um empréstimo de R$ 10. Juros: J = R$ 10.00 7. Duas taxas de juros podem ser equivalentes.000 (1 + i) * 1 i = (10. (taxa efetiva) 1 12 Ieq = (1+ i)k – 1 = (1 + 0.00 Dinheiro a ser devolvido: F = R$ 10.000 1 0 10. Wirt. WEISE@UFSM. Solução: ieq = (1+ i)k – 1 = (1 + 0. Exemplo 23: Converter a taxa de juros de 12% a. = P(1 + ) F = Pcorr. Exemplo 22: Converter a taxa de juros de 1% a.12)1/12 – 1 = 0.a. Ing. Solução: ieq = (1 + i)k – 1 = (1 + 0.BR (58) (59) (60) 32 .5 TAXA GLOBAL DE JUROS Pcorr.01)12 – 1 = 12. P(1 + ig) = P(1 + )(1 + i) (1 + ig) = (1 + )(1 + i) ig = (1 + )(1 + i) .1 Engenharia Econômica Prof.m.onde: ieq – taxa de juros equivalente i .68% a. Eng.taxa de juros a ser convertida k – número de vezes que a taxa i vai ser capitalizada no período Duas situações podem ocorrer: converter uma taxa de juros com um período de capitalização menor em uma taxa com um período de capitalização maior ou converter uma taxa de juros com um período de capitalização maior em uma taxa com um período de capitalização menor. para uma taxa de juros com capitalização mensal.a. Dipl.m. Wirt.(1 + i) F = P(1 + )(1 + i) F = P(1 + ig) (54) (55) (56) (57) Onde ig é a taxa global que considera simultaneamente a inflação e os juros.9489% a. 3. Dr. 0 1 P Pcorr. para uma taxa de juros com capitalização anual. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. A TMA deve expressar a remuneração de um investimento alternativo.023) ig = 3.00(1 + 0.Exemplo 24: Determine o valor atualizado de um investimento de R$ 75. Kopitke.500. de baixo risco.08)(1+0. A TMA deve remunerar adequadamente os capitais (próprios e de terceiros) investidos: Custo de Capital Quant Cap Própr x Custo Cap Própr Quant Cap 3os x Custo Cap 3os Total do Capital (61) 2. Neste tempo.6 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE A taxa mínima de atratividade (TMA) é a menor taxa que um investidor aceita como rentabilidade para um investimento.0383. Engenharia Econômica Prof.? A=? 0 1 6 8.83% a. para o investidor. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Solução: F = P(1 + )(1 + i) F = 75. Ing. sem entrada.3% a. Dipl. 0.720.m.51 6 3. 1994).00 feito a 12 meses.5% a.
[email protected])(1 + 0.m. e a TMA da empresa vendedora for de 1.00 Exemplo 25: Um cliente deseja financiar uma compra de R$ 8. se estima-se uma inflação de 2.0383 A 8500 1 0.00 em 6 vezes.BR 33 . Eng. É a taxa a partir da qual o investidor considera que está tendo ganhos financeiros (Casarotto.0%.500 1 i A P 1 i n ig n 1 g g (1 + ig) = (1 + i)(1 + ) (1 + ig) = (1 + 0. Dr. Qual é o valor de cada prestação que deve ser cobrada dele. Sua determinação deve considerar duas situações: 1.000.m.000. ele foi corrigido pela inflação que ocorreu no período (8%) e foi remunerado por uma taxa de juros de 12.12) = 90.03836 1 A = 1.1 0. Engenharia Econômica Prof.WEISE@UFSM. Eng. pois “descontar” estes últimos valores). a um custo de 12% a.a. Exemplo 26: Uma empresa está avaliando a possibilidade de diversificar seus negócios. Para movimentar quantias de dinheiro no tempo.A TMA a ser adotada é a maior das encontradas nas duas situações acima mencionadas. Dr.8% a.05% 100% Remuneração do investimento alternativo: 12. utiliza-se uma taxa de juros denominada de taxa de desconto (normalmente. (o dinheiro emprestado somente poderá ser aplicado neste projeto). Os acionistas exigem uma remuneração de 15% a. devendo-se. ou empresa. por exemplo. a um rendimento de 12. Qual a TMA que a empresa deve adotar na análise deste investimento? Solução: Custo do dinheiro: Custo de Capital 35% x 15% 65% x 12% 13. Numa análise de investimento. Cada investidor.a. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.BR 34 .a.a. para a análise de viabilidade econômica deste empreendimento deve ser adotada uma TMA de 13. Logo.8% a. um investimento pode ser atrativo para um investidor A e não ser atrativo para um investidor B. Assim sendo. Por isso. a taxa de desconto a ser utilizada pelo investidor é a sua TMA. devendo financiar os 65% restantes. dispõe de 35% do capital necessário. Para tal. Somente pode-se somar ou comparar quantias de dinheiro que estejam referidas a um mesmo período de tempo. ela pode aplicar seu dinheiro em papéis do governo. Dipl.a. do capital investido na empresa.05% a. Ing. verifica-se que a TMA depende da situação econômica e financeira do investidor. Caso a empresa desista deste negócio. tem sua própria TMA. deve-se comparar valores atuais com valores futuros. Wirt. os proprietários recebem uma remuneração média maior e tem o controle administrativo do empreendimento. os juros são considerados como despesas para efeito de tributação. devendo uma parte ser financiada. dado que quase sempre as instituições financeiras só emprestam dinheiro até certos limites do capital total necessário. O dinheiro proveniente de empréstimos. nem sempre os recursos próprios são suficientes. as empresas precisam atender algums requisitos. normalmente é remunerado a uma taxa mais baixa do que o capital dos acionistas (quotistas). Além disto. Engenharia Econômica Prof. Define-se como risco primário a risco associado à possibilidade de que o fluxo de caixa gerado pelo projeto não seja suficiente para pagar os juros e as amortizações das dívidas (incluindo as debêntures e os dividendos obrigatórios dos acionistas preferenciais).1 Fatores a serem considerados na seleção das fontes de financiamento Para a análise dos recursos necessários à implementação de um projeto. que pode comprometer a viabilidade do projeto. A capacidade financeira do projeto corresponde à capacidade dele gerar receitas que cubram. os custos de produção. Woiler & Mathias (1985) recomendam analisar os seguintes fatores na seleção de financiamentos: a) Compatibilidade: os fundos devem ser adequados às aplicações previstas. 4. Por participarem no risco do projeto. Entre outras condições. salvo nos casos de sociedades constituídas por tempo limitado. Para obter crédito junto às instituições financeiras.1. deve-se prever o volume total de investimentos e o correspondente cronograma de desembolsos. Dipl. não participa no risco empresarial associado ao
[email protected] 35 . O capital próprio não tem data de vencimento. pelo menos. numa eventual liquidação. ou seja. o aporte de capital próprio é muito importante. Por isso. O endividamento excessivo pode provocar um risco financeiro elevado. pode-se fazer a busca e seleção das fontes de recursos necessários à execução do projeto. O retorno de um projeto deve. Com estes dados. Este custo é uma média ponderada do custo dos recursos próprios e do custo dos recursos de terceiros. A possibilidade de que os proprietários (possuidores de ações ordinárias ou quotistas) não sejam remunerados é defino como risco secundário (Woiler & Mathias. FINANCIAMENTO 4. Wirt.4.1 FONTES DE RECURSOS Para a execução de um projeto de investimento. ao contrário do capital próprio. Ing. A decisão de financiar o projeto implica em modificações no custo do capital para a empresa. De qualquer forma. Eng. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. • demonstrar que tem condições de cumprir os compromissos assumidos. Daí a recomendação de que eles sejam utilizados apenas para financiar parte do ativo circulante. no mínimo. os direitos dos credores tem preferência sobre os direitos dos proprietários da empresa. e • demonstrar que o projeto é rentável. elas devem: • aportar uma parcela mínima de recursos próprios. as despesas financeiras (juros) e gerar recursos para devolver os empréstimos. A desvantagem dos empréstimos é que eles tem datas de vencimentos prefixadas para serem restituídos. • oferecer garantias reais. cobrir estes custos. Além disso. Dr. Deve-se considerar que os financiamentos de curto prazo são normalmente mais caros que os de longo prazo. diminuem o imposto de renda a pagar. 1985). Wirt. etc. 4. procura-se sempre obter recursos nas fontes que representam os menores custos de financiamento. Dr. 1985): a) Quanto ao prazo: • curto prazo: empréstimos bancários em conta corrente. • médio prazo: empréstimos e créditos diversos.. Para otimizar seu custo de capital.2 SELEÇÃO DAS FONTES DE FINANCIAMENTO Evidentemente. e) Flexibilidade: um endividamento elevado pode dificultar a concessão de novos empréstimos à empresa. os custos especificados pelas instituições financeiras são nominais. exaustão. O custo efetivo de um empréstimo é obtido através do cálculo da taxa de juros real do empreendimento. de abertura de crédito. Para chegar-se aos custos efetivos. d) Controle: um endividamento excessivo levar à perda do controle da empresa – os credores podem querer interferir na sua administração. etc.BR 36 . comissões. Woiler & Mathias. debêntures. • longo prazo: empréstimos bancários. maior será a remuneração exigida do projeto de investimento. pois a selecionar aquela que tem o menor custo efetivo dentre as opções disponíveis. e empréstimos (instituições financeiras. em termos de obtenção de recursos. de aval. O problema da seleção da fonte de financiamento resume-se. c) Rendimento: quanto mais elevado for o risco do empreendimento. Eng. etc. Isto dificulta a flexibilidade da empresa de alterar a composição dos fundos que a financiam. Engenharia Econômica Prof. ou ainda: • recursos próprios: lucros retidos. mesmo que existam recursos a custos baixos. f) Época: a disponibilidade de recursos e os seus custos dependem da liquidez existente na economia. deve-se calcular as taxas efetivas de juros e a cobrança de diversas taxas (administrativas. Dipl. etc. Na maior parte das vezes. ações). Andreas Dittmar Weise ANDREAS. fornecedores. crédito mercantil. aporte próprio (lucros retidos. representam um custo adicional. outros fundos e provisões. 4. um projeto pode ser viável numa época e inviável em outra. 1975. lucros retidos. de modo a garantir a restituição dos empréstimos.). Ing. outras reservas. operações de desconto de duplicatas.). • fontes externas: aportes novos de capital próprio (ações). reservas diversas e ações. além do imposto sobre operações financeiras (IOF).). Assim.1. como saldo médio em conta corrente e/ou aplicações. que corresponde à taxa interna de retorno do fluxo de caixa do empréstimo. Também as contrapartidas exigidas pela instituição financeira. • recursos de terceiros: empréstimos diversos. b) Quanto à origem: • fontes internas: reservas (depreciação. a empresa deve balancear adequadamente a participação das diferentes fontes de recursos.b) Risco: fontes que participam do risco do negócio exigem uma remuneração maior. seguros. debêntures.2 Classificação das fontes de financiamento As fontes de financiamentos podem ser classificadas (Holanda.WEISE@UFSM. Duas situações podem ocorrer: durante o prazo de carência ocorre o pagamento de juros. ou seja. Os principais sistemas de amortização são: • sistema francês ou tabela price (TP). durante o qual não há devolução do principal emprestado. 4.3 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS Muitas vêzes. A devolução do empréstimo dá-se através de prestações. à medida que este vai decrescendo. O sistema de amortização. • pagamento único com juros antecipados. a questão ligada à disponibilidade de caixa da empresa. que é composta de uma parcela de amortização e de uma parcela de juros: pt = at + jt onde: p – prestação a – amortização j – juros (62) A amortização corresponde à devolução do dinheiro (principal) emprestado. Os juros incidem sobre o saldo devedor do período: jt = SD(t-1) x i onde: j – juros SD – saldo devedor i – taxa de juros (63) O saldo devedor do t-ésimo período é obtido mediante a subtração da parcela de amortização do período. os juros também vão ficando menores. que são capitalizados (somados ao saldo devedor. Dr. que determina o fluxo de caixa da devolução do empréstimo e do pagamento dos juros correspondentes. Wirt. Dipl. fornece elementos para este estudo. • sistema de amortização crescente (SACRE). para viabilizar um empreendimento imobiliário faz-se necessário financiar uma parte dos recursos necessários. • sistema de amortização misto (SAM). Andreas Dittmar Weise ANDREAS. • sistema americano.Além do critério econômico acima mencionado. Engenharia Econômica Prof. • sistema de amortizações variáveis. passam a também render juros). deve-se também considerar o critério financeiro. Alguns financiamentos incluem um prazo de carê
[email protected] 37 . Eng. do saldo devedor anterior: SDt = SD(t-1) – at onde: SD – saldo devedor a – amortização (64) Os juros variam com o saldo devedor. A cada período t é paga uma prestação. Ing. Os juros são a remuneração deste dinheiro. • sistema de amortização constante (SAC). • pagamento único com juros postecipados. e durante o prazo de carência não há necessidade de pagamento de juros. seguindo o movimento dos juros (Figura 14). Andreas Dittmar Weise ANDREAS.BR 38 . i. é utilizado comumente e em alguns financiamentos de curto prazo. n) i (1 i) n p=P (1 i) n .1 (65) (66) i 1 (1 i) -n onde: p – valor da prestação (constante) P – principal (dívida inicial) i – taxa de juros n – número de períodos para amortização da dívida ou ainda: p=P (67) A amortização é obtida subtraindo-se da prestação paga o valor correspondente aos juros do período: Engenharia Econômica Prof. Dipl. A Tabela Price (TP) é um caso particular do sistema francês. Eng. Foi popularizado no crédito direto ao consumidor e pelos financiamentos para aquisição de casa (moradia) própria. Prestação ($) Saldo Devedor ($) juros amortização 1 Período n Período 1 (a) n (b) Figura 14: Evolução da prestação (a) e do saldo devedor (b) no Sistema Francês de amortização O valor da prestação p (que corresponde ao valor A de uma série uniforme. usam-se prestações mensais). conforme visto no capítulo 2) é dado por: ou p = P (A/P. 4. Este sistema de amortização caracteriza-se por ter suas prestações constantes. crescendo exponencialmente ao longo do tempo. O saldo devedor decresce exponencialmente.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) O Sistema Francês de amortização também é conhecido como “sistema de prestações constantes”.A seguir serão apresentadas as principais modalidades de amortização de dívidas. Ing. Como a prestação é constante. Dr. no qual as taxas usadas nos contratos são nominais (usualmente são dadas em termos anuais) e as prestações tem periodicidade menor do que aquela enunciada na taxa (em geral. Wirt.WEISE@UFSM. Atualmente. a amortização é variável. A taxa de juros é de 2.5% a. Wirt.000. Engenharia Econômica Prof. amortização e saldo devedor. Calcule também o saldo devedor após o pagamento da 6ª prestação. i. (n-t)] (1 i) (n -t) . o saldo devedor é o valor presente das prestações que ainda faltam pagar (Casarotto e Kopitke.a=p–j (68) Após o pagamento da t-ésima parcela. 1994). a prestação. costuma-se montar uma planilha onde aparecem. usando a fórmula. Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C8 = +PGTO($C$3. de um empréstimo de R$ 100. período a período. Dr. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. usando o sistema francês.1 ou SDt = p i (1 i) (n -t) (69) (70) Para acompanhar a evolução do pagamento da dívida. Dipl.$C$4. SDt (t+1) t n p Figura 15: Saldo devedor no sistema francês Então: SDt = p [P/A. Eng.BR 39 . juros.m.WEISE@UFSM. a ser pago em 10 parcelas mensais. conforme mostra a Figura 15. Ing.-$C$2) D8 = C2*C3 E8 = C8-D8 F9 = F8+E9 G9 = G8-E9 Exemplo 27: Fazer a planilha de amortização. 00 2.500. A taxa de juros é de 2.68 11.00 2.00 2.098.000.500. a ser pago em 10 parcelas mensais.000.5%.573.000.377.425.81 Saldo Devedor 100.147.00 2.025 (1 0.149.025)10 . de um empréstimo de R$ 100.56 10.425. 2.048.000.BR 40 . Wirt.425.00 Os demais cálculos são idênticos ao Exemplo 27.51 11. de um empréstimo de R$ 100.88 (1 0.88 42.025 p 100000 11.87 0.610.000.632.500.81 550.88 11. 2.025)10 p 100000 11.00 8.50 10. Dipl.88 2. com carência de três meses.88 11.276.19 9.38 1.000.20 100.5%.000 (A/P.025) (10-6) .88 11.074. 10) 0.425.66 42.88 1 (1 0.88 9. Ing.425. Eng. Solução: valor da dívida após capitalização dos juros: Engenharia Econômica Prof.935.00 Exemplo 29: Fazer a planilha de amortização. Dr.425.875.983.88 11.1 SD 6 11425. utilizando o sistema francês (tabela PRICE).022.00 x 0. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. A taxa de juros é de 2.074.88 11.500.025) (10-6) p = P (A/P.88 11. n) = P ou Exemplo 28: Fazer a planilha de amortização.425.00 0.00 2. a ser pago em 10 parcelas mensais.983.m. durante a qual serão pagos apenas os juros.00 100.425.500.75 9.60 815.425.07 0.00 91.00 100.00 0.147. (10-6)] (1 0.10 72.1 p = 100.025) -10 SD6 = 11.28 10.02 9.85 10 11 12 11.425.425. sendo os juros capitalizados durante este período. utilizando o sistema francês (tabela PRICE).025 (1 0.Solução: i (1 i) n i =P n 1 (1 i) -n (1 i) .00 2.1 0.612.351.68 1.00 100.16 53.852.000.35 62. i.425.57 22.5% a.00 0.327.12 81.500.88 11.m.425.88 1.20 13 Total 11.000.925.85 2.00 11.88 x [P/A.31 32.925.025 = R$ 2.WEISE@UFSM. A planilha é mostrada abaixo: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Prestação Juros Amortização 2. Solução: valor dos juros durante carência: j = 100.13 1. com carência de três meses.082.5% a.88 278.813.06 10.547.500.500. 715.56) 9.025)10 p 107689.004.304.00 12.304. Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total Prestação Juros Amortização 0.774.000 (F/
[email protected] 102.304.19 9.06 Este é o novo saldo devedor (R$ 107.06 10.06 98.304.50 2.87 88.42 12.953. i (1 i) n valor da prestação: p = P (A/P. o sistema de amortização constante caracteriza-se por ter suas amortizações constantes.692.00 4. i.304.42 12.425.304.147.157.20 11.BR 41 .00 2.5%.83 12.52 12.025)10 .81 10. Engenharia Econômica Prof. 2. n) = (1 i) n .500.304.91 35. 3) = 100. Eng. 2.451.88 11. 10) 0.304.92 2.500.689.42 12.11 (2.37 78.025)3 = R$ 107.00 105.304.562.429.14 1. Wirt.626.06).1 p = 107.42 12.288.00 Saldo Devedor 100.694.00) (2. i.00 0.36 1.500.562.61 1.098.42 (1 0.205.025 (1 0.164.062. Observe que os juros dos meses de carência.610.000.711.31 100. Neste sistema.F = P (F/P.42 12. Dipl.31 11. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.22 46.224.56 2.004.689.06 (A/P.875.42 12.31 0.5%. a prestação e o saldo devedor decrescem linearmente (Figura 16).54 592.351.42 2. por não serem pagos neste período.689.304.852. que deve ser devolvido em dez prestações.50 10. Dr.000 (1 + 0.50) (2. constituem amortizações negativas.076.11 1.612. Ing.626.23 2.28 10.42 12.50 107.56 67.71 23.125.42 12.1 Segue abaixo a planilha de amortização.06 12.00 0.141.28 57.304.689.000. n) = P (1 + i)n F = 100.90 300.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Como o nome indica.22 878.42 12. Eng. Ing. Wirt.Prestação ($) Saldo Devedor ($) juros amortização Período 1 n Período 1 (a) n (b) Figura 16: Evolução da prestação (a) e do saldo devedor (b) no SAC O valor da t-ésima prestação é dado pela relação: P t = a + jt onde: p – prestação do período t a – amortização (constante) j – juros do período t (71) A amortização de cada período é dada por: P n onde: a – amortização (constante) P – principal (dívida inicial) n – número de períodos para amortização da dívida a= (72) Os juros referentes ao t-ésimo período obtém-se fazendo: jt = SD(t-1) x i onde: j – juros SD – saldo devedor i – taxa de juros (73) Como o saldo devedor no t-ésimo período é dado por: SDt = P – a x t tem-se que ou ainda (74) jt = [P – a x (t-1)] x i (t 1) jt = [1 – ]x Pxi n (75) (76) A prestação em qualquer período será então: pt = P [ 1 t 1 + (1)i] n n Engenharia Econômica Prof.WEISE@UFSM. Dipl. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Dr.BR (77) 42 . m.000 (1-1)] x 0.00 10 n Para o 1º período tem-se: jt = [P – a x (t-1)] x i j1 = [100.01 = R$ 1.00 = R$ 11.000.WEISE@UFSM. Eng.000.00 e o saldo devedor é: SDt = P – a x t Engenharia Econômica SD1 = 100.000 – 10. usando a fórmula.BR 43 . Solução: pt = a + jt P 100.000. Dipl.000.000. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.00 SD6 = 100.000 – 10.000 a= = = R$ 10. de um empréstimo de R$ 100.000.000.Para o primeiro período (t = 1) tem-se: p1 SD0 P Pxi SD0 x i n n (78) Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C8 = D8+E8 D8 = C2*C3 E8 = C2/C4 F9 = E9+F8 G9 = C$2-F9 Exemplo 30: Fazer a planilha de amortização.000 x 1 = R$ 90.5% a. Dr.000 x 6 = 40. A taxa de juros é de 2. Calcule também o saldo devedor após o pagamento da 6ª prestação. Wirt.000 Prof. utilizando o sistema de amortização constante (SAC). a ser pago em 10 parcelas mensais. Ing.000 – 10.00 + 1.00 então: p1 = a + j1 = 10.000. 500.00 10.00 10.00 2.Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Prestação Juros Amortização 12.00 90.250.00 10.00 500. Eng.000.00 40.250.00 0.500.00 250.00 60.00 1.000.000. O valor da primeira prestação é: p= i (1 i) n P 1 [( ) + ( + i)] n 2 (1 i) n .000.000. Ing.00 10.00 10.00 80.000.250.00 100.250.250.00 750.000.00 10.WEISE@UFSM. Dr.00 2.000.750.00 1.750.000.BR 44 .000.000.000.000.000.00 10.000.000.00 11.00 11. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.00 12.000.00 1.00 10. Suas prestações correspondem à média aritmética das prestações calculadas pelo sistema francês e pelo sistema de amortização constante.00 10. apresenta amortizações crescentes e juros decrescentes. Dipl.00 11.00 10.000.500.00 Saldo Devedor 100. Resolução em planilha eletrônica: Engenharia Econômica Prof.000.000.00 10.00 30.750.000.00 4. Assim sendo. Wirt.00 10.00 2.6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) O sistema de amortização misto (SAM) é uma composição entre o sistema francês (tabela price – TP) e o sistema de amortização constante (SAC).00 12.000.000.00 20.00 70.1 (79) onde: p – valor da prestação inicial P – principal (dívida inicial) i – taxa de juros n – número de períodos para amortização da dívida O valor da prestação em qualquer período é dado por: ou 1 P i (1 i) n p= [P + ( + (P-(a(t-1)i))] n 2 n (1 i) .00 1.000. das amortizações e do saldo devedor para cada período seguem os princípios já expostos neste texto.00 50.00 10.00 10.00 11.000.500.1 (80) 1 t 1 P i(1 i) n p 1 i n 2 (1 i) 1 n n (81) O cálculo dos juros.500. 587. Eng.43 2.94 11.000.06 80.10 9.536.94 11.025 10 2 (1 0.00 Saldo Devedor 100.94 11.437.573.962.34 9.53 1.011.91 525. Wirt.500.962.m.87 9.84 1.28 264.263. Solução: Valor da prestação inicial: p 1 t 1 P i(1 i) n 1 i n 2 (1 i) 1 n n 100000 0.305.1142587 + 0.491.64 10.94 11.574.837.000. utilizando o sistema de amortização misto (SAM).00 90. Dr.94 11.467.025) 1 10 10 p = 50.69 1.06 1.00 Prof.BR 45 .273.94
[email protected] 11.962. de um empréstimo de R$ 100.Fórmulas da planilha: C8 = (C2/2)*(((C3*(1+C3)^C4)/(((1+C3)^C4)-1))+((1/C4)+(1-((C5-1)/C4))*C3)) D9 = G8 *C3 E9 = C9-D9 F9 = E9+F8 G9 = C2-F9 Exemplo 31: Fazer a planilha de amortização.00 2. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.024.94 p Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Engenharia Econômica Prestação Juros Amortização 11.55 71.537.33 41.316.94 10.926.962.93 31.000 (0.025(1 0. Ing. Dipl.806.688.462.837.25 10.573.712.60 0. A taxa de juros é de 2.037.781.125) = R$ 11.5% a.51 9.212.25 10.175.30 782.337.025)10 1 1 1 1 0.94 10.58 51.68 61.000. a ser pago em 10 parcelas mensais.049.94 11.462.03 10.288.60 100.087.66 10.541.29 21.94 9.40 10.
[email protected] SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) O sistema de amortização crescente (SACRE) é uma variação do sistema de amortização constante (SAC).m. No SACRE. Dr. a ser pago em 10 parcelas mensais. mas é mantida constante.BR 46 . na metade do prazo de financiamento. Considere que: a) não haverá recálculo da prestação.500.. A taxa de juros é de 2.000. esta prestação permanece congelada por períodos determinados em contrato (geralmente 1 ano). de um empréstimo de R$ 100.000 + SD0 x i = + 100. Solução do item a): Valor da prestação do período 1 até o período 9: P t = a + jt p1 = . = p9 = Engenharia Econômica SD0 100. Eng. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. e b) haverá um recálculo da prestação. Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C8 = C2/C4+C2*C3 D9 = G8*C3 E8 = C7-C8 Exemplo 32: Fazer a planilha de amortização. Atualmente.. No SACRE. as parcelas de amortização são crescentes e os juros são decrescentes.5% a.025 = R$ 12. Ing. das amortizações e do saldo devedor para cada período seguem os princípios já expostos anteriormente.000 x 0. este é o sistema mais utilizado pela Caixa Econômica Federal em suas linhas de crédito imobiliário. Wirt. Dipl. O cálculo dos juros. utilizando o sistema de amortização crescente (SACRE). após os quais se recalcula a prestação. a prestação é calculada como no SAC. Normalmente.4.00 10 10 Prof. 500.00 2.500.500.436.00 12.673.00 12.250.500.033.37 28.487.731.18 O valor da última prestação é: ou p10 = 12.00 12.461.500.431.461.949.00 79.033.88 p10 = Engenharia Econômica Saldo Devedor 100.00 12.436.00 1.75 58.BR 47
[email protected] 12.85 18.00 12.184.474.500.00 12.26 5 5 Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Prestação Juros Amortização 12.91 11.75 1.241.75 1.500.000.34 9.673.25 10.00 90.00 10 10 Cálculo da 6ª até a 9ª prestação: p6 = .26 10.25 102.00 12.500.886.243..750.00 10.09 1.525.84 454.00 90.724.506.243.21 8.71x 0..025 = R$ 466.993.97 11..18 Solução do item b): Valor da prestação do período 1 até o período 5: P t = a + jt p1 = .431.185.488.14 315.64 10.436.71 37.81 + 454.37 10.38 Prof.000.250.73 705.768.250.00 69.038.122.26 10.673.08 11.81 -12.62 456.500.Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Prestação Juros Amortização 12.00 69.314.993. = p5 = 100.92 903.00 12.25 10.09 1.500.82 466.673.673.43 201.000.00 10.87 1.18 p10 = SD9 + j10 = 454.00 10.00 12.000.13 9. Dr.70 12.01 10.82 p10 = Saldo Devedor 100.500.040.000.224.00 2. Dipl.00 79.13 11.83 10.500.025 = R$ 12.500.216.000 x 0.00 10.00 – 12.00 12.26 10.26 2.025 = R$ 10.07 613.436.00 12.00 12.37 -2.750. Wirt.638. Ing.768.250.472.53 9.500.00 12.506.500.257.00 1.038.88 8.500.596.500.03 12.967.71 36. Eng.500.92 948.731.673.033.84 47.84 47.87 1.000.500.63 24. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.000 SD0 + SD0 x i = + 100.26 10.75 58.63 112.81 x 0.71 SD5 + SD5 x i = + 47..474.00 2.93 11.185.91 11.00 10.82 = R$ 466. = p9 = 47. do período 1 ao período (n-1) resume-se aos juros: p1 = .
[email protected]. Eng.040.8 OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 4. No final. Ing.673.26 – 2.38 4.040.BR 48 .241.025 = 8.88 = R$ 8.241. Wirt.37 + 8.= p(n-1) = j = i P e o último pagamento é: pn = i P + P onde: p – prestação j – juros i – taxa de juros P – principal (82) (83) Resolução em planilha eletrônica: Engenharia Econômica Prof. P 1 n 0 iP P Figura 17: Sistema Americano A prestação.1 Sistema Americano No sistema americano pagam-se apenas os juros durante o prazo de empréstimo..8. Dr.37 x 0.. são pagos os juros e devolvido o principal (Figura 17). Andreas Dittmar Weise ANDREAS.O valor da última prestação é: p10 = 10.38 ou p10 = SD9 + j10 = 8. no final do prazo de empréstimo.000 + 100. Engenharia Econômica Prof.008.000. Solução: Prestações do mês 1 ao 9: p1 = . com juros postecipados. no sistema de pagamento único com juros postecipados. utilizando o sistema americano. de um empréstimo de R$ 100..BR 49 ..2 Pagamento único.8.025 x 100. com juros antecipados.8.000.m.00 Prestação do mês 10: p10 = i P + P = 0. Dr.WEISE@UFSM. e o principal é devolvido numa única parcela. tanto o principal como os juros são devolvidos numa única parcela. A taxa de juros é de 2.45 4.5% a.5% a.500.000 = R$ 102.Fórmulas da planilha: C8 = C2*C3 C18 = C2*C3+C2 Exemplo 33: Calcule as prestações mensais. a ser devolvido em dez meses. Ing. Solução: p = P (1 +i)n = 100.000 (1 + 0. referente a um empréstimo de R$ 100. = p9 = i P = 0. no final do prazo de empréstimo: p = P (1 +i)n onde: p – prestação P – principal i – taxa de juros n – número de capitalizações no prazo do empréstimo (84) Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C7 = C2*(1+C3)^C4 Exemplo 34: Calcule a quantia a ser devolvida após dez meses.025 x 100. Deve-se observar que neste tipo de empréstimo a taxa de juros enunciada é sempre menor do que a taxa efetivamente cobrada.00 4. com juros antecipados No sistema de pagamento único.025)10 = R$ 128. Dipl. à taxa de juros de 2.500.000 = R$ 2. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. com juros postecipados No sistema de pagamento único. Eng. Wirt. os juros são cobrados no instante em que o empréstimo é cedido.3 Pagamento único.m. 4.008.WEISE@UFSM. Eng. Dipl..000 / 71.000.000 (1 + 0. Ing.000.00 por dez meses. 4.55 (1 +0.Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C7 = C2*(1+C3)^C4-C2 Exemplo 35: Calcule a taxa de juros efetiva de um empréstimo de R$ 100.025)10 – 100.991.00 = R$ 28. Solução: juros a serem pagos antecipadamente: j = P (1 +i)n – P = 100.991.45) (1 +0.00 – 28. Wirt.m. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.025)10 i = (100.9 COMENTÁRIOS SOBRE OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Engenharia Econômica Prof. Dr. à taxa de juros de 2.4 Sistema de amortizações variáveis No sistema de amortizações variáveis as prestações contradas pelas partes são variáveis.34% a.45 Cálculo da taxa de juros: F = P (1 +i)n 100.5% a.025)10 = 71.8. as amortizações também são variáveis (Figura 18).55) 1/10 – 1 = 0. das amortizações e do saldo devedor para cada período seguem os princípios já comentados anteriormente.BR 50 .008.000 = (100.0334 = 3. cobrados antecipadamente. Prestação ($) juros amortização 1 Período n Figura 18: Sistema de amortizações variáveis O cálculo dos juros.000.m. Por isso. quantia de juros pagos.00 11.500.88 11.94 12.88 11. Wirt.462.94 12.425.m.250.00 12.00 2 11. Além disto.94 12.087.500.00 11. Cada situação apresenta particularidades que devem ser cuidadosamente estudadas.425.962.673.425. Não foi considerado nenhum prazo de carência e a taxa utilizada foi a mesma dos exemplos (2.250.750.00 3 11.00 12. há que se considerar que o ponto de vista do credor nem sempre coincide com o ponto de vista do devedor. Qual o sistema que mais cobra juros? Para responder a esta pergunta.00 11.94 12.500.00 4 11.00 11.88 10.26 10. Eng.94 12.28 Sistema de amortização constante (SAC) 12.500.587.00 7 11.00 12.500.839.88 12.425.500.918.Qual é o melhor sistema de amortização? A resposta a esta pergunta depende de uma série de fatores e da forma com que estes pesam na análise: velocidade de recuperação do capital.250.BR 51 .38
[email protected] 12.425.00 11.500.500. deve-se calcular o valor presente dos juros pagos em cada sistema.425.479.673.00 10.94 12.26 10. etc.76 Tabela 1: Juros pagos em diferentes sistemas de amortização A Tabela 2 e a Figura 19 mostram o comportamento das prestações nos sistemas TP.94 466.88 12.673.00 11.000. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.00 10 11.00 12.425.712.837.00 5 11.500.337.94 12.36 Sistema de amortização misto (SAM) 12.500. risco envolvido na transação.88 10.500. Para exemplificar.500.500.000.88 11.26 10.88 12.500.5% a.94 12. para os exemplos explorados.750.).00 10.500.425.18 Tabela 2: Comportamento da prestação em alguns sistemas de amortização Período [meses] Engenharia Econômica SACRE (b) 12.00 11.82 Sistema de amortização crescente (SACRE (b)) 12.00 6 11.88 10.00 8 11.837. para os principais sistemas de amortização utilizados em empréstimos de longo prazo.00 11. valor das prestações. SAM e SACRE.00 10. Prestação [R$] TP SAC SAM SACRE (a) 1 11. a Tabela 1 mostra os resultados destes cálculos para os exemplos resolvidos neste capítulo.500. Dipl.88 11.82 Sistema de amortização crescente (SACRE (a)) 11.698.425. SAC. Dr. Ing.26 8.214.00 9 11.241. Sistema de amortização Valor Presente dos juros pagos (R$) Sistema francês (TP) 12.962. 000. O sistema de amortização constante (SAC).000.525.25 12.537.00 2 81.000.00 90.00 100.66 50.00 41.00 0.12 90. Período [meses] Saldo Devedor [R$] TP SAC SAM SACRE (a) SACRE (b) 0 100.00 1 91.000 11. é o sistema onde se pagam os maiores juros. O sistema de amortização crescente (SACRE) é atualmente muito utilizado pela Caixa Econômica Federal em suas linhas de crédito imobiliário (Apenas algumas linhas de Engenharia Econômica Prof.000 SACRE (b) 9.467.00 3 72.082.500 SAM 10.00 61. SAC.000.962.68 69.925.75 4 62.000.00 10. SAM e SACRE.935.000.573.040.00 100. é o sistema mais utilizado.243.000. permite uma recuperação mais rápida.71 6 42.29 24.147.474.71 47.20 10.85 8 22.122.000. por parte do credor.000. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.000.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Período Figura 19: Comportamento da prestação em alguns sistemas de amortização A Tabela 3 apresenta o comportamento dos saldos devedores nos sistemas TP.632.074.84 5 53. Com isso.10 80.547.00 31.000.16 60.500 9.00 51. para o tomador de empréstimo.00 80.00 21.63 37. pois evidencia ao tomador do empréstimo se ele poderá cumprir o compromisso assumido.21 9 11.85 40.541. normalmente empregado em empréstimos de longo prazo.00
[email protected]. Em empréstimos de curto prazo.000.000. Wirt.00 79.60 454.84 18. Em contrapartida.750. Para o tomador do empréstimo.00 100.436.273.436.55 79.00 0.243.37 7 32. a vantagem está no pagamento de menos juros.13.51 20.000 SAC 10.00 Tabela 3: Comportamento do saldo devedor em alguns sistemas de amortização O sistema que permite a menor prestação.316.84 58.06 90.949.750.000.500 TP 11.81 8. ele tem seu risco diminuído. para os exemplos explorados. Dipl.33 47. Dr.500 8.011.983. O sistema de amortização misto (SAM) é exatamente o meio termo entre a tabela price e o sistema de amortização constante. Eng.022.57 30.000.00 71. do dinheiro emprestado.70 28.000.58 58.75 69.00 0.BR 52 .35 70.00 100.224. apesar de exigir uma maior capacidade de pagamento nos períodos iniciais.00 0. é o sistema francês.000 8. Ing.93 36.638.000 12.37 10 0.500 Prestação [$] 12. Calculam-se então a prestação.10 CORREÇÃO MONETÁRIA DOS EMPRÉSTIMOS A correção monetária dos empréstimos é feita para compensar a inflação ou uma variação cambial. Exemplo 36: Fazer a planilha de amortização do Exemplo 27 (Sistema Francês).1 Prestação calculada após a incorporação da correção monetária ao saldo devedor Nesta situação. Outro fator de diminuição do risco do credor é o modo de cálculo da prestação.1 jt = SDt corrig. Dipl. a prestação é calculada antes da incorporação da correção monetária ao saldo devedor. Na montagem da planilha de amortização é conveniente inserir uma coluna para o cálculo do saldo devedor corrigido.10. considerando o seguinte comportamento para as taxas de correção monetária: Engenharia Econômica Prof. que dilui significativamente o impacto negativo da inflação sobre o saldo devedor e no recálculo das prestações. Os outros métodos apresentados (sistema americano. i. o saldo devedor deve ser recalculado considerando-se a taxa de correção monetária relativa ao período transcorrido. 4. Dr. É o sistema que permite a mais rápida recuperação do capital emprestado. pagamento único com juros postecipados e pagamento único com juros antecipados.BR 53 . Andreas Dittmar Weise ANDREAS. no caso de empréstimos em moeda estrangeira. relativo ao início do período t (final do período t –1) Para o Sistema Francês (Tabela Price) tem-se as seguintes relações: pt = SDt corrig (A/P. i at = pt – jt SDt = SDt corrig – at Onde os elementos das fórmulas tem o mesmo significado já apresentado em fórmulas anteriores. os juros e a amortização em função do saldo devedor corrigido. Wirt. O saldo devedor corrigido é obtido pela Equação 85.crédito voltadas à população de baixa renda continuam usando a tabela price). Duas situações podem ocorrer: a prestação é calculada após a incorporação da correção monetária ao saldo devedor. n) = SDt corrig i (1 i) n-(t -1) (1 i) n-(t -1) . (1 + t) Onde: (85) t – taxa de correção monetária para o período t SDt corrig – saldo devedor corrigido.WEISE@UFSM. Eng. ou. sistema de amortizações variáveis) são normalmente utilizados apenas em empréstimos de curto prazo. 4. SDt corrig = SDt-1 . Para os demais sistemas de amortização. Ing. o procedimento é análogo. é interessante incluir colunas onde são registrados os índices de correção monetária do período e os índices de correção monetária acumulados a serem aplicados.24 335.5% a.93 650.025 = 2.97 69.72 x 0.7 2.06 12. 2.0 A prestação devida é calculada após a incorporação da correção monetária ao saldo devedor.844.08 59.9.12 9.Período Correção Monetária (%) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.00 i = 2.165.428.350.178.4% 2.835.42 – 2. i.42 (1 0.00 i (1 i) n p = P (A/P.567.13 = 84.011.34 48.0% 101.50 2.011.0 2.500.3% 1.730.59 13.BR (86) 54 .025)9 .500. Para maior clareza.788. .156.m.444.699.23 1.258.65 11.059. Wirt.1 j2 = SD2 corrig .440.20 13.1 p1 = SD1 corrig .30 1.7 1.217. 10) 0.5% 1.31 12. é calcular a planilha de amortização sem a correção monetária.7% 1.77 25.9.011. 2.83 10. (1 + 1) = 100.47 1.294.376.35 0.7% 2.009.65 Saldo Devedor 100. .537.794.059.50 a1 = p1 – j1 = 11. Prestação Juros Amortização 1.59 Um outro procedimento possível.42 12.011.000.484.(1+2).1 1.025)10 p1 101500 11.37 2.11 67.26 (1 0.00 94.727.494.99 13.000.24 SD2 corrig = SD1 .00 12.45 10.72 .27 12.26 – 2.307.3 1.3 2.83 11.5%.637.00 x (
[email protected]) = 101.50 = 9. 9) 0.70 12. Dr.350.4 2.794.(1+t) Onde: ICMt .567. (1 + 2) = 92.399. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.72 86..597.48 13. e após.26 26. i = 94.19 13.764.a1 = 101.5%.29 = 9. Eng.3% 2..24 13.794.8 2.597.353.76 = 92.025)9 p 2 94.29 a2 = p2 – j2 = 11.953.237.000.1% 1. i = 101. corrigir cada linha da planilha de amortização pelo índice de correção monetária (ou de variação cambial) acumulado. Solução: P = R$ 100.074.72 p2 = SD2 corrig . n = 10 meses Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Taxa de CM SD corrig.025)10 .45 12.76 SD1 = SD1 corrig .93 48.141.444.428.212.8% 2. (A/P.52 58. Dipl.537.025 = 2. O índice de correção monetária acumulado é obtido pela Equação 86: ICMt = (1+1).025 (1 0.017) = 94..00 SD1 corrig = SD0 .945.29 2.00 92.500.índice de correção monetária acumulado na data t i – taxa de correção monetária relativa ao período i i = 1.49 940.971.369.51 36.13 SD2 = SD2 corrig – a2 = 94.72 11.5 1.00 x 0.0% 2.95 78.24 x (1+0..385. (A/P.025 (1 0.26 11.59 76.15 11.00 . n) = P (1 i) n .444.537.597.47 37.873. Ing.030.72 9..350.440.440.565. t Engenharia Econômica Prof.55 1.1 j1 = SD1 corrig. .500.779.24 84. 2.011.76 9. 88 11.20 100.074..875.88 11.88 11. ICM2 a2 .000.632.612. ..276.88 11.425.00 Saldo Devedor 100. Wirt.(1+2)..88 2.147.147.5 1.06 10. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.12 81.88 11.50 10.88 9.88 11.28 10.00 Prof.68 8. Dipl. Ing.425.925.022.425.20 0. pn .425.02 9..8 2. ..88 11..425. jn .19 9.. . Período Taxa de Correção Monetária Índice de CM Acumulado Prestação Juros Saldo Devedor Amortização 0 SD0 1 1 ICM1 = (1+1) p1 .(1+2) p2 .. ICM1 SD1 .81 10.75 9.66 42.00 2.. ICMn 0 ICMn = (1+1).BR 55 .082. ICMn .573.88 11.500.88 11.O Quadro 1 mostra a montagem da planilha de amortização.38 1. Dr.10 72.852. ICM1 j1 .425..3 2.. .925. .13 1. . considerando o seguinte comportamento para as taxas de correção monetária: Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Correção Monetária (%) 1.16 53.0 2.327.7 1.07 1.68 1.000.56 278.351.7 2. Eng.425.4 2.51 11.1 1. ICM2 SD2 .983.85 32.377.425.425.00 91.35 62.813.0 Solução: a) Planilha de amortização sem correção monetária: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Engenharia Econômica Prestação Juros Amortização 11.(1+n) Quadro 1: Planilha de amortização com correção monetária n n Exemplo 37: Fazer a planilha de amortização do Exemplo 27 (Sistema Francês).935.074. ICMn an .57 22. ICM2 j2 .3 1.60 815.81 550. .425..85 2. ICM1 a1. ICM1 2 2 ICM2 = (1+1).098.149. ICM2
[email protected] 11.610...547. 237.1% 1. amortização (87) (88) (89) lembrando que (90) pt = at nominal + jt nominal onde at nominal e jt nominal a correção monetária. as prestações são calculadas sobre o saldo devedor sem correção.59 76.597.7% 2.440.467.00 92. que é calculada sobre o saldo devedor do final do período anterior e sobre a parcela de juros.19 13.93 48.99 13. Dr.788.3 2.61 54.4 2. Solução: P = R$ 100.494.059.165.537.20 13.156.307.730.764.1184 1.844. As equações 87 a 89 mostram como se fazem estes cálculos.294.0150 1.72 Saldo Devedor 100.290.65 2. a – saldo devedor.835.29 2.b) Planilha de amortização com correção monetária: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Taxa CM Índice Acum.49 940.83 10. a amortização e os juros calculados pela Equação 62 são nominais.7% 1.8% 2.484.873.49 65.26 11.567.945. devido a correção monetária não paga(s) na(s) prestação(ões). j.350.48 13.428.0% 2.06 12.5% 1.074.3% 2.24 335.taxa de correção monetária do período t SD.37 9.BR 56 .5% a.2 Prestação calculada antes da incorporação da correção monetária ao saldo devedor Neste caso.11 67.444.859.000.24 13.50 2.15 11.31 12.0529 1. CMt = SDt-1 .4% 2. é incorporada ao saldo devedor do início do período em questão.000. Eng.52 58.00 4. juros. SD corrig. t + jt .376.549.94 29.041.8 2.0 2.953.00 95. t a t efetiva = at nominal – CMt SDt = SDt-1 – at efetiva = SDt-1 – at nominal + CMt Onde: CMt – Correção monetária do período t t .1534 1.0% 1.971.3% 1.779.178.47 1.12 9.030.385. considerando o seguinte comportamento para as taxas de correção monetária: Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Correção Monetária (%) 1.45 10.399.69 74.998.275.04 42.30 1.51 36.565.23 1.0 A prestação devida é calculada antes da incorporação da correção monetária ao saldo devedor. Prestação Juros Amortização 1.5 1.83 11. n = 10 meses Engenharia Econômica Prof.727.3 1. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. A correção monetária. são ditos nominais porque no seu cálculo não foi considerada Exemplo 38: Fazer a planilha de amortização do Exemplo 27 (Sistema Francês).WEISE@UFSM. t = (SDt-1 + jt ). Wirt.1330 1.7 2.85 11. que se mantém desta forma atualizado.500. Dipl.77 25.00 12. A amortização efetiva (real) deve considerar o efeito negativo da correção monetária.23 82.93 650.0997 1.55 1.35 0.421.45 12.00 i = 2.55 15.794.24 84.0771 1.90 89. Ing.1810 1.76 9.m. Assim.1 1.7 1.0323 1.70 12.641.42 12.217. havendo um resíduo no final dos pagamentos das prestações.2047 101.10.353.27 12. 65 11.29 11.99 13.46 13.93 37.622.78 e p11 = SD10 + j11 + CM11 = SD10 + j11 + (SD10 + j11) x 11 p11 = 285.00 92.133.00 12.380.282.66 p10 = 14.000 x 0.27 Saldo Devedor 100. A taxa de juros é de 1% a.BR 57 .88 9.17 Engenharia Econômica Prof.88 p10 = 14.659.945.68 13.3% 2.618.268. entre os quais a prestação se mantém constante.249.000.33 + 151. Wirt. Dr.63 8. para os períodos em que há mudança de cálculo da prestação.29 26.303.925.15 285. Os demais cálculos seguem os princípios já expostos.30 14.733.78 2.631.51 10.764.15) x 11 Muitos contratos de financiamento prevêem reajustes periódicos.7% 2. estimada em 0. o saldo devedor é reajustado a cada pagamento de prestação.38 7.46 59.303.29 13.273.60 1.77 11.95 49.m mais a variação da TR.48 9. Eng.039.3% 1. de um empréstimo de R$ 30.55 13.4% 2.813. Dipl.55 1.714.91 1. Ing.475.02 68.447.921. Considere que haverá recálculo da prestação a cada 12 meses.025 + (285.923.30 12.843.17 12.118.37 947.123.32 285.01 = R$ 1.293.04 1.000 x 0.005 + 300 x 0.m.579.033.293. Solução: Os cálculos referentes à planilha de amortização da página seguinte. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.76 1.613.38 656.321.293.72 7.39 11.425.88 + 285.66 699.78 + 285. apesar das prestações serem reajustadas somente após um período de tempo maior do que o período de capitalização dos juros.720.979. Prestações 1 a 12: p1 = 30.000 SD0 + SD0 x i = + 30.Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ou Taxa CM Prestação Juros Amortização Nominal Correção Monetária Amortização Efetiva 1.328.689.315.88 11. Observe-se que.91 76.88 x 0.0% 11.90 1. são explicitados abaixo.37 653.5% a.482. utilizando o sistema de amortização crescente (SACRE).000.83 = 30.00 2.05 1.895.50 = R$ 29.02 11.88 7.33 12.1% 1.56 9.89 8.83 348.561. Exemplo 39: Fazer a planilha de amortização.15 1.942.50 1.813.29 2.537.388.974.83 12.159.611.500.62 84.00 – 681.33 36 36 Correção monetária no período 1: CM1 = SD0 x TR + j1 x TR CM1 = 30.0% 2.50 Saldo devedor no período 1: SD1 = SD0 – a1 efetiva = SD0 – a1 nominal + CM1 SD1 = 30.47 10.257.17 646.054.740.000.000.14 13.02 12.00 – 833.79 1.226.88 + 7.79 10.88 = 14.5% 1.7% 1. a ser pago em 36 parcelas mensais.005 = R$
[email protected]% 2.194.318.945. 67 51.94 1.16 929.20 23.090.24 820.58 x 0.133.75 18.52 23.24 101.73 17.06 203.45 796.001.80 60.396.45 1. Dr.028.83 692.94 12 12 Correção monetária no período 25: CM25 = SD24 * TR + j25 * TR CM25 = 11.716.46 981.62 86.35 5.090.02 897.86 7.909.133.41 4.133.16 128.69 803.00 29.97 902.00 293.45 1.49 234.45 145.210.024.91 884.25 808.01 = R$ 1.133.57 987.41 133.21 1.33 910.58 20.01 137.94 1.45 1.87 137.72 94.06 17.00 73.105.33 1.33 1.10 264.89
[email protected] 1.48 12.15 972.21 1.56 141.133.161.40 + 106.090.32 936.290.14 11.08 944.33 1.00 944.60 772.24 272.005 + 211.028.090.00 870.090.45 1.005 = R$ 55.75 1.58= R$ 20.703.58 953.97 954.35 110.028.006.76 130.30 x 0.05 126.751.752.028.10 151.67 69.00 9.13 971.27 890.94 1.30 10.67 Saldo devedor no período 25: SD25 = SD24 – anominal 25 + CM25 = 11.76 Prestações 25 a 35: SD24 11.47 82.105.90 991.67 = R$ 10.94 65.87 257.161.94 1.28 8.45 1.29 962.27 64.647.133. Dipl.105.06 1.09 702.024.83 833.28 9.587.005 = R$ 106.133.46 11.028.22 927.81 883.31 46.45 1.81 227.45 1.66 Prestações 13 a 24: 21.96 681.08 723.64 110.94 1.64 106.07 854.66 25.16 972.23 868.56 27.94 1.028.46 118.58 102.83 863.480.285.58 114.02 876.45 1.133.832.95 943.30 x 0.45 1.090.61 92.09 211.30 – 918.923.77 756.53 906.486.33 1.40 13.935.28 122.32 119.745.002.19 24.18 21.91 14.45 1.82 734.52 179.028.090.BR 58 .55 783. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.40 37.123.14 Saldo Devedor 30.45 27.33 1.76 19.028.011.10 918.57 916.27 55.33 840.02 919.01 = R$ 1.68 15.50 148.51 6.090.75 845.23 162.24 x 0.43 16.548.94 1.33 1.71 745.772.090.28 Engenharia Econômica Prof.94 1.38 779.493.33 1.24 879.133.06 144.28 858.47 47.26 279.48 187.81 22.48 26.30 p25 = + SD24 x i = + 11.47 875.024.40 887.105.33 1.249.45 1.47 3.13 894.090.005 + 110.45 24 24 Correção monetária no período 13: CM13 = SD12 * TR + j13 * TR CM13 = 21.55 936.090.17 28.82 784.577.87 21.06 x 0.33 1.84 898. Eng.332.024.133.48 1.33 1.105.40 832.626. Wirt.017.09 7.48 -233.332.10 861.18 286.95 25.15 847.58 x 0.58 – 879.943.19 902.00 963.93 911.94 300.85 83.77 56.95 791.51 713.22 28.03 37.58 SD12 p13 = + SD12 x i = + 21.07 27.08 1.27 78.090.028.01 889.700. Ing.000.68 98.94 958.70 90.94 1.94 1.83 17.91 154.84 33.58 Saldo devedor no período 13: SD13 = SD12 – anominal 13 + CM13 = 21.445.01 219.028.028.33 195.44 171.69 + 55.32 2.02 3.06 242.52 250.318.090.133.133.021.99 768.96 74.028.33 1.40 14.69 927.32 18.94 1.028.785.024.33 1.32 914.Período Prestação Juros Amortização Nominal Correção Monetária Amortização Efetiva 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1. 04
[email protected] 1.53 1.48 + 7.279.40 1.70 250.33 390.66 1.71 1.465.465.40 1.99 863.041.028.133.35 284.563.75 1.75 1.78 462. considerando agora que a variação da TR seja de 1.00 Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 juros 1% prazo 36 TR 1.36 398.03 1.07 1.27 ou p10 = 783.85 430.08 275.33 1.27 9.33 1.61 725.465.40 1.00 29.748.700.68 28.03 1.98 170.40 1.326.352.37 1.80 300. Dr.081. Ing.11 1.27 Exemplo 40: Refaça o exercício anterior.09 1.688.17 1.72 198.68 0.39 227.67 247.60 76.23 22.81 28. Wirt.343.33 288.226.62 1.13 27.000.752.10 190.65 1.74 14.55 23.69 241.41 1.465.40 1.40 1.442.10 344.83 1.834.53 252.23 115.45 1.76 12.98 22.07 875.428.80 673.33 1.54 861.038.254.279.32 690.01 + (919.33 1.80 1.54 100.45 871.75 1.279.16 382.93 322.71 26.319.49 220.35 10.02 187.059.90 16.65 333.28 276.00 P37= 919.621.75 1.769.066.07 853.20 833.64 157.21 24.27 257.25 707.279.36 1.052.305.341.279.94 866.01 146.76 442.60 25. Dipl. Eng.73 485.96 20.315.40 96.008.5% a. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.11 473.133.36 1.33 1.27 280.40 1.68 + 9.47 1.31 355.86 25.41 743.12 288.212.072.133.33 1.139.23 17.465.39 1.13 408.267.133.44 50.698.08 112.13 234.68 + 919.279.630.19 821.94 – 233.35 1.41 213.75 1.153.75 1.89 262.82 411.809.439.01 + (783.465.17 29.86 656.50 152.68 x 0.401.25 857.33 841.54 28.56 919.48 1.133.86 1.12 841.338.465.01 844.40 1.05 1.389.35 24.133.BR 59 .65 762.33 6.074.66 424.33 397.88 436.06 1.465.75 1.14 418.91 7.330.015 = 942.17 63.465.16 205.51 5.859.93 378.90 15.112.465.69 1.48 + 783.19) x 0.532.34 1.133.032.070.59 134.20 27.28 182.94 2.65 497.376.279.279.21 292.79 271.O valor da última prestação é: p36 = 1.227.16 404.72 450.465.06 165.40 1.42 18.48 x 0.61 454.40 1.83 388.38 36.94 311.89 919.33 1.114.33 1.75 1.133.33 837.089.00 8.133.27 174.67 300.93 439.83) x 0.39 266.273.133.133.66 = R$ 795.00 296.279.279.279.26 365.40 942.32 56.80 880.53 801.182.10 76.005 = 795.99 23.75 1.59 1.308.097.14 933.21 13.99 849.41 428.14 263.33 1.028.40 1.30 19.037.48 26.37 21.87 221.m.94 237.10 1.279.33 1.23 1.68 1.232.407. Solução: Principal 30.045.572.58 1.426.25 13.579.242.95 19.75 1.617.000.32 417.372.30 135.72 88.33 1.125.33 1.97 1.64 3.26 1.70 11.68 Saldo Devedor 30.406.133.80 Engenharia Econômica Prof.80 375.105.50% Prestação Juros Amortização Nominal Correção Monetária Amortização Efetiva 1.86 1.65 205.405.75 1.415.75 1.33 124.465.50 448.36 781. n Ft t t 1 1 i n Ft VPL t t 0 1 i VPL P ou: (91) (92) Para ser viável. Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C10 = =VPL(C2.00 56.a. Determine o valor presente líquido (VPL) deste negócio.000.00 76.00 Engenharia Econômica 56.000.000.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO O Valor Presente Líquido (VPL) de um fluxo de caixa é obtido pela soma de todos os valores do fluxo de caixa.00 56.000.00. a jazida estará esgotada.00 Valor Residual Fluxo de Caixa 6 20.00 56. Os lucros esperados são de US$ 56.D6:I6)+C5+(I7/((1+C2)^6)) Exemplo 41: Os investimentos em uma concreteira.000.000.00 56. Como taxa de desconto. MÉTODOS DETERMINÍSTICOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 5. utiliza-se a TMA do investidor.00/ano.WEISE@UFSM. considerando uma TMA de 12% a. e a empresa terá um valor residual de US$ 20.000. entre equipamentos. Wirt.000.00 56.000. Após 6 anos.000.000. Eng. o projeto deve ter VPL 0. Ing.00 -200.000.000. Ou seja.000.000. Dr.00 Prof. desconta-se os valores futuros para a data presente e soma-se estes valores descontados com o valor que o fluxo de caixa apresenta na data inicial.00. Dipl.BR 60 .000.00 56. somam US$ 200.000. trazidos para a data presente. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Período 0 Investimentos -200.00 56.00 56.00 Lucro Anual 1 2 3 4 5 56.000.5. veículos e aquisição de uma jazida.00 56. (1 0. n) VPL = -200000 + 56000 . Utilize o método do VPL.14 1 VPL B 42000 20000 16. 14%.25 4 0.12) (1 0.WEISE@UFSM. a melhor opção é o investimento B.a.11 VPL A 35000 17000 4 0. (P/F.00 + 230. 12%. 14%.14 VPLB = -42000 + 20000(P/A. a melhor será aquela que apresenta o maior VPL.371.144 1 14. (P/A.14 1 0.000 35.000 20. Dipl.12) 6 VPL = -200.62 = 40. 6) + 20000 .000 0 6 1 200. 5. para um investidor cuja TMA é de 14% a. i. Exemplo 42: Dadas as duas opções de investimento abaixo. Dr. Wirt.14 Logo. 4) 4 1 0.(1 i) (1 i) n (1 0. Ing. n) + F . n i. i.238.000 Investimento A 3 4 Investimento B VPLA = -35000 + 17000(P/A.000 0 0 1 2 3 1 4 2 42.81 + 10.274.000 56.BR 61 .12.533.43 Para ser viável. 6 0. (P/F. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Engenharia Econômica Prof.12) 6 1 20000 VPL 200000 56000.14 1 0.000 Solução: VPL = P + A .1 Projetos com vidas iguais Neste caso.1. 17. o horizonte de planejamento a ser considerado corresponde à vida dos projetos. Eng.000.132. determine a melhor delas.20. 6) (1 i) n 1 F VPL P A. 4) 1 0. um projeto deve ter VPL 0. No caso de escolha entre mais de uma alternativa. (P/A. 12%. 1 Projetos com repetição Se dois projetos tem vidas diferentes.20000(P/F. 5. Eng. 6) 1 0.4 VPL A 30000 14000 6 3 6 0. 12%. Cada caso tem um procedimento de análise que será exposto a seguir. qual das alternativas abaixo para a compra de um equipamento.000 0 12.00 15.126 1 20000 10000 18.00 3 anos 6 anos Economias Anuais 14.000 51.390.000 15.000 Investimento A 30.000 0
[email protected] VPLB = -51000 + 15000(P/A.000 Investimento B VPLA= . Andreas Dittmar Weise ANDREAS.000.000.12 1 0.00 Valor residual 10.000. pelo VPL.00 51.00 12.000 15.1.00 Custo inicial Vida útil 10.000.000 0 1 1 6 6 3 51. supondo que haja repetição.000 10. Equipamento A Equipamento B 30. Ing. duas situações são possíveis: os projetos podem ser repetidos quando sua vida acabar. 3) + 10000(P/F. 6) + 12000(P/F. 6) Engenharia Econômica Prof. ou não podem ser repetidos.a. 12%. Dipl.5.000 10.12 1 0.000.30000 + 14000(P/A. é mais econômica. 12%.1. 6) . Dr.000 0 1 3 1 30. 12%. usa-se na análise como horizonte de planejamento.2 Projetos com vidas diferentes Neste caso. A TMA do investidor é de 12% a. Exemplo 43: Calcular.000 14.2. Wirt.000 30.BR 62 .000 Equipamento A Equipamento B 6 Solução: 12. 12%.12 1 0.000. o mínimo múltiplo comum da duração dos mesmos. Equipamento A Equipamento B 30. 12%.750. 3) + 10000(P/F.2. Então.000 1 12.00 Valor residual 10.000 51.12 16. 12%. ele sairá do mercado após 3 anos.68 A melhor opção é o Equipamento A. Como o valor presente de um fluxo de caixa de qualquer quantia aplicada à TMA é nulo.000. Dr.2.12 VPLB = -51000 + 15000(P/A.BR 63 .12 1 0. a contribuição desta parcela no VPL total é nula. Considera-se que na diferença entre os horizontes de tempo analisados. VALOR (OU CUSTO) ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE – VAUE OU CAUE 5. 6) 6 1 0.000.000.750.000.000.30000 + 14000(P/A. reaplicando seus ganhos à TMA).00 3 anos 6 anos Economias Anuais 14.12 1 12000 VPL B 51000 15000 16. Eng.000 0 3 1 30. Exemplo 44: Considere os mesmos dados do exemplo anterior. 12%. supondo agora que não haja repetição (caso o investidor opte pela alternativa A. Wirt.000.68 6 6 0.000 0 14. 3) 1 0.000 Equipamento A Equipamento B 6 Solução: VPLA= . Dipl.12 1 0.6 1 0.1. podendo-se pois.44 VPL A 30000 14000 3 3 0.12 A melhor opção agora é o Equipamento B. 5.WEISE@UFSM. 12%. pois apresenta o maior VPL.12 1 0.743.123 1 10000 10.12 1 12000 VPL B 51000 15000 6 6 0. Ing.2 Projetos sem repetição Neste caso. 5. calcula-se o VPL para cada um dos projetos com sua respectiva vida. pois apresenta o maior VPL.1 Valor anual uniforme equivalente Engenharia Econômica Prof. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. desconsiderá-la na análise.12 1 0.00 Custo inicial Vida útil 10. cada projeto será analisado tomando-se como horizonte de planejamento a sua respectiva vida útil. 6) + 12000(P/F.00 51.12 1 0.000 15. e escolhe-se o projeto com maior valor.00 12. os recursos do projeto de menor vida sejam aplicados à TMA.2.12 1 0.00 15. 00 -200. (A/F. A TMA do investidor é de 12% a.000. 12%. n) VAUE = -200000 .00 56.00 Lucro Anual 2 3 4 5 56.000.000.000.00 56.00 56. 12%.00 56. Eng.000 56. i. Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C10 = VPL($C$2. Dr. à TMA do investidor.O Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE) ou simplesmente Valor Uniforme Equivalente (VUE). (A/F. Dipl. 6) Engenharia Econômica Prof.00 20.000.000. Wirt.000. 6) + 56000 + 20000 .000.000.000.00 76.00 56.000. Se VAUE 0 o projeto é viável. (A/P. é um método que consiste em achar a série uniforme equivalente (A) ao fluxo de caixa do investimento em análise. Período 0 1 Investimentos -200.000.000. i.00 Valor Residual Fluxo de Caixa 6 20. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.000 Solução: VAUE = P .00 56.-C10) Exemplo 45: Determine o valor anual uniforme equivalente (VAUE) da empresa caracterizada abaixo.a. (A/P.000.I4. n) + A + F .00 56.00 56.00
[email protected] 56. Ing.BR 64 .$D$6:$I$6)+$C$5+(I7/((1+C2)^6)) C11 = PGTO(C2.000.000 0 1 6 200. 000.(1 0.447.12 56000 20000.1.500.2. i.2. Wirt. Exemplo 46: Os fluxos de caixa abaixo mostram duas alternativas para aquisição de um determinado sistema produtivo.00 + 2.1. Dipl. 5.000.1. Se um projeto apresenta VAUE 0.819. Engenharia Econômica Prof. Os procedimentos para cada caso serão expostos a seguir. Calcule a alternativa mais econômica para uma empresa que tem uma TMA de 18% a. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.000 10.2.BR 65 .12) 6 0.000. Projetos com repetição Determina-se diretamente os VAUE’s sem necessidade de calcular o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas. 6 (1 0.1.1.000 1 5 5 33.VAUE P.866.18 VAUE A 27000 10500 1. deve-se escolher aquele que apresenta o maior VAUE. Entre dois projetos. 18%. Ing.12. Eng.12) 6 1 VAUE = -48.00 5 0. Dr.000.33 1 0. Projetos com vidas iguais O horizonte de planejamento a ser considerado é o tempo de vida dos projetos.37 VAUE 200000. 5. por proporcionar o maior retorno. Projetos com vidas diferentes Também neste caso.(1 i) n i A F. 18%. n (1 i) 1 (1 i) n 1 0.500 0 0 1 27.000 Alternativa B Alternativa A Solução: VAUEA = -27.14 + 56.12) 1 (1 0. 5) + 10.645.00(A/P.2. ou não podem ser repetidos.51 VAUE = 9.185 1 A melhor opção é a alternativa A.2.00(A/P.18 VAUE B 33000 12000
[email protected] 1 0. 5. 12.00 5 0. 5) + 12.a.185 1 VAUEB = -33.180 1 0.00 1 0.464. duas situações são possíveis: os projetos podem ser repetidos quando sua vida acabar. ele é viável. 2. Solução: Neste caso. Dr.1. Wirt.87 0 1 0 1 3 4 Alternativa A 35.000 Alternativa A Alternativa B Solução: VAUEA = -35000(A/P.BR 66 .203.2. 5.000 Prof.164 1 A melhor opção é o investimento A. Dipl. Considere uma TMA = 16% a. 16%. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.97 1 0. Exemplo 48: Resolva o Exemplo 47 considerando que os projetos não podem ser repetidos.a.2.Exemplo 47: Selecione a alternativa mais vantajosa entre as duas mostradas abaixo. Projetos sem repetição Neste caso.000 4 47.16 VAUE A 35000 19000 3.415. 19.37 1 0.000 Engenharia Econômica 35. Eng.000 0 0 1 1 3 35. utilizando-se a TMA do investidor. 19.16 1 0. 16%.3) + 19000 3 0.249. pois apresenta o maior VAUE.000 20. transforma-se um dos fluxos em fluxo equivalente de mesmo horizonte de tempo do outro. Ing.000 15. 4) + 20000 4 0.16 VAUE B 47000 20000 3. transforma-se a série uniforme de três anos numa série uniforme equivalente de quatro anos.163 1 VAUEB = -47000(A/
[email protected] 1 0. 16 1 0. um valor que representa um custo anual ao invés de uma receita anual.87 2. 4) + 15249. Entre outras aplicações. no final.203.75 1 0.16 VAUE A 35000 15249.164 1 VAUEA = -35000(A/P. No mais.90 15.87 4 0. o CAUE é usado para determinar a vida econômica de um bem. Dr. 4) = 15.164 1 Como VAUEB = 3. 3) VP rec 19000 (1 0. ele é idêntico ao VAUE.249. Wirt.16 1 0. tendo-se. Eng.VP rec = 19000(P/A. Dipl. Ing. 16%.2.37 a melhor opção agora é a alternativa B. 16%.87 1 0.90 0. no CAUE inverte-se a convenção de sinais: as saídas (desembolsos) tem sinal positivo e as entradas (recebimentos) tem sinal negativo. A vida econômica de um bem é o horizonte de tempo no qual este bem apresenta o menor custo total.87 4 0.WEISE@UFSM. 16%. O custo total considera o custo de capital (custo de aquisição) e os custos de operação (que inclui a manutenção) (Figura 20). 5. Este método é utilizado quando faz-se análise de investimentos onde preponderam as saídas de caixa. Por isso.2 Custo anual uniforme equivalente O método do Custo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) é uma variante do método do Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE). Custo Total CAUE Custo de Operação Custo de Capital Vida Econômica Vida Útil Figura 20: Vida econômica de um bem Engenharia Econômica Prof.741.BR 67 . Andreas Dittmar Weise ANDREAS.16 A 42671.671.249.16)3 Série uniforme (A) para 4 anos: A = 42671.90(A/P.163 ) 42.16(1 0. 000 12. 14%.000 Custo Operacional 10.(P/F.000 60.400 CAUE1 = [60000 .120 1) – – + Resumindo: Ano CAUE Engenharia Econômica 1 2 3 4 24.(P/F. 2) 12500. 14%.000 e a TMA do comprador é 14% a.007 CAUE3 = [60000 + 10000. 14%.000 1 0 1 0 2 60. 1) + 11000. Dipl.(A/P.000 11. 3)].000 10. são mostrados abaixo. 1) + +10000.000 49.000 45. 14%.(A/P. 14%. 1) + 11000.(P/F.(P/F. 14%. 14%.(P/F. Ing. 14%.000 49.000 12. Ano 1 2 3 4 Valor Revenda 54. 14%.000 4 anos: 41.WEISE@UFSM.(P/F. 14%.(A/P. 3) = 23.500 12. Dr.54000.500 15.(P/F. 2)].000 11.(P/F. 14%.(P/F.26000.000 11.000 = 24. 4) = 24. = 24. 3) .Exemplo 49: Calcule a vida econômica de um veículo pelo método do CAUE.000 60.000 60. 2) = 24. 14%.400 CAUE2 = [60000 + 10000. 4)]. 14%.(F/P.000 3 anos: 45. 14%. 1) + 11000. 14%.000 Ou CAUE1 = 60000.(P/F.000 1 0 0 1 2 2 3 4 3 10.000 10. ano a ano. O preço do veículo novo é R$ 60. 2) 49000.(P/F. 1)].819 24. Eng.a O valor de revenda e os custos de operação. 14%. 2) 32500. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.400 24. 14%.(A/P.(P/F.120 Prof.819 CAUE4 = [60000 + 10000. 1) – 54000 + 10.000 10.000 Solução: 1 ano: 2 anos: 54.007 23.000 11.BR 68 . Wirt.000 41.500 15. 000. ou seja.00 Prof. Ft t t 0 1 i n VPL Como (93) então.000.000.000. A taxa final pode ser obtida por interpolação linear entre uma taxa que fornece VPL>0 e outra taxa que fornece VPL<0.00 -200.000. Dipl.00 56.000.00 56. 5. A TMA do investidor é de 12% a. Período 0 Investimentos -200. Dr.000.a.000. Se para uma tentativa tiver-se VPL>0.00 56. Na realidade.000.00 56.00 76. Eng.000.00 Engenharia Econômica 56. pois para este tempo ele apresenta o menor custo anual uniforme equivalente. deve-se aumentar a taxa.00 56.000. deve-se diminuí-la. Wirt. Resolução em planilha eletrônica: Fórmulas da planilha: C10 = TIR(C8:I8) Exemplo 50: Determine a taxa interna de retorno (TIR) da empresa caracterizada abaixo. o decréscimo do VPL quando se aumenta a taxa de desconto não acontece de forma linear. Ing.00 56.BR 69 .3 TAXA INTERNA DE RETORNO A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa que iguala os recebimentos futuros aos investimentos feitos no projeto.00 Valor Residual Fluxo de Caixa 6 20. se VPL<0. por isso. É determinada por tentativas.00 56. quanto mais próximas forem estas duas taxas.A vida econômica do veículo é de 3 anos.00 56. testando-se diversas taxas de desconto.000.00 56.00 Lucro Anual 1 2 3 4 5 56. é a taxa de desconto para a qual tem-se VPL = 0.000.000.000. a TIR é a taxa i para a qual Ft 0 t t 0 1 i n (94) Um projeto é considerado viável se TIR TMA. melhor será a interpolação.WEISE@UFSM. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. a.18 + 589.(1 i) (1 i ) n (1 i)6 1 20000 200000 56000. (P/A.000 Solução: VPL = P + A .000 0 6 1 200. 6) = 0 (1 i) n 1 F VPL P A. i. a TIR está entre 18% a. (19% .37 para i = 18% VPL = 936.61 = 18. Ing.55 (=936. O valor pode ser obtido por interpolação linear: 936.55 x = 0. n) = 0 -200000 + 56000 . Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Eng.18 1% a. 61% VPL = 24.BR 70 . 0 n i. 936.000 56.577.(1 i)6 (1 i)6 para i = 15% VPL = 20. n) + F . 0 i.47 para i = 19% VPL = -589. e 19% a.61 % a.58 para i = 20% VPL = -7. Dipl.20.37 x %
[email protected] 1 1525.18 19% 18% x -589. Wirt. Teste: para i = 18.a.37) x 936.a. Então: TIR = 18 + 0.073. i. (P/F.a.a. (P/A. (P/F.27 0 Engenharia Econômica Prof. Dr.18 Portanto.61 % a. i.18%) 1525. i. 6) + 20000 .a. A análise incremental consiste em determinar a TIR do fluxo de caixa do projeto incremental. Ing. obtido pela diferença entre o projeto que exige o maior investimento e o projeto que necessita de menos recursos. 10.8 % a.000 (1 + TIR)-1 = 0 que tem como solução TIR = 23. se um projeto A apresentar uma TIR maior do que um projeto B (TIRA TIRB). Tem-se então: F1 = 1600. sua solução será um número imaginário. para um investidor que tem uma TMA de 20% a. 5.2 Análise incremental O critério para análise de viabilidade de um projeto é a comparação da TIR com a TMA do investidor.3. Na comparação entre diversas alternativas deve-se fazer uma análise incremental. o projeto é viável. O problema pode ser resolvido capitalizando-se o adiantamento recebido no período 0 até o período 1.000 Há duas soluções possíveis: TIR = 25% a. Eng. Dr. podem existir tantas raízes quantas forem o número de variações de sinais na equação. pela TMA do investidor.600 1 0 2 10.(1. pois segundo a regra de sinais de Descartes. não significa necessariamente que o projeto A é melhor do que o projeto B. Exemplo 51: Verifique a viabilidade do investimento abaixo.1 Casos especiais A equação n Ft 0 t t 0 1 i (95) pode não apresentar nenhuma solução no domínio dos números reais. 1973). Neste caso.5. Neste caso. (Fleischer. Sempre que a TIR for maior do que a TMA.a. Wirt.080 + 10.BR 71 .000 1.WEISE@UFSM. Esta equação também pode ter mais de uma solução.a. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.2) . Engenharia Econômica Prof. e TIR = 400% a. Mas. O projeto que exige mais recursos será melhor do que o outro somente se a TIR do projeto incremental for maior do que a TMA do investidor.3.a.10000 = 1920 – 10000 = -8080 e a equação para o cálculo da TIR passa a ser: -8. utiliza-se o artifício apresentado no exemplo abaixo.a. Dipl. WEISE@UFSM. fazendo-se a análise incremental. Wirt. Ing.1% a. TMA viável VPL(TMA=6%)B = 8. obtido tomando-se o fluxo de caixa do investimento maior e diminuindo-se dele o fluxo de caixa do investimento menor. dois a dois. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. que é feito no projeto maior. Então: Engenharia Econômica Prof. determine qual o melhor dos dois investimentos abaixo.86 A TIR do investimento A é maior do que a TIR do investimento B. Exemplo 52: Usando o método da TIR. i.a.73 -30000 + 9200(P/A.000 Solução: -20000 + 6500(P/A. 7) 1 i 7 1 0 30000 9200 7 i 1 i TIRB = 23. Assim. i. ou seja. Eng.500 9.000 1 7 30.a.Na comparação entre diversos investimentos.042.275. Se este rendimento for maior do que a TMA. Investimento A Investimento B 6.BR 72 . Como o método do Valor Presente Líquido e o método da Taxa Interna de Retorno são equivalentes. A aparente contradição entre os VPLs e TIRs calculados pode ser resolvida pela análise incremental. devendo-se então escolher o projeto maior. a TIR do investimento incremental vai mostrar o rendimento do investimento adicional. TMA viável VPL(TMA=6%)A = 7. Depois. porém o VPL do investimento A é menor do que o VPL do investimento B. 7) = 0 1 i 7 1 0 20000 6500 7 i 1 i TIRA = 26. devem conduzir ao mesmo resultado. Dipl. comparam-se os projetos entre si. considerando o investimento inicial necessário.8% a.a. os dois métodos devem apontar o mesmo investimento como sendo o melhor dos dois.200 0 0 1 7 20. vale a pena o esforço de investir no projeto que exige maior desembolso. Dr. A TMA do investidor é de 15% a. deve-se ordená-los em ordem crescente. Nesta análise é determinada a TIR de um investimento fictício. InvestMENOR então VPL(INCREMENTAL) = VPLMAIOR .000 -10.a.0% a.000 + 2700(P/A. 5. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.a.). é denominado de interseção de Fischer (Figura 21).BR 73 . Dr. a interseção de Fischer é dada pela taxa para a qual o VPL do investimento incremental é nulo. Como Invest(INCREMENTAL) = InvestMAIOR . o ponto no qual as curvas de dois investimentos se cruzam. teria que aplicar o saldo num projeto que rendesse 19% a. Engenharia Econômica Prof. neste caso. sua melhor opção é investir em B.Investimento Incremental (B-A) 2. Investir em B. ou seja. Wirt.700 0 1 7 10. traz um retorno equivalente a investir em A e no projeto incremental (A-B)
[email protected]. i.3 Interseção de Fisher A TIR do investimento incremental identifica a taxa para a qual o VPL deste investimento é nulo. para equivaler ao projeto B. 10) = 0 1 i 7 1 0 10000 2700 7 i 1 i TIR(B – A) = 19. Ing. TMA viável Se a empresa optasse por investir em A. Este ponto identifica a taxa para a qual os VPLs dos dois investimentos são iguais. Assim.3. Como a alternativa que a empresa tem é investir na TMA (15% a. Dipl. pela TIR do investimento incremental.VPLMENOR ou VPLMAIOR = VPL(INCREMENTAL) + VPLMENOR quando tem-se que VPL(INCREMENTAL) = 0 VPLMAIOR = VPLMENOR Num gráfico VPL x TMA. Eng. o procedimento a adotar é o mesmo que para o método do Valor Presente: a) Projetos com repetição: utiliza-se como horizonte de planejamento o mínimo múltiplo comum das vidas dos dois projetos. conforme mostrado na Figura 21. calcula-se um índice expresso pela relação entre o VPL dos benefícios (receitas e/ou economias de custo) e o VPL dos investimentos para execução do projeto. c) Nos dois casos. Então: n benefício t t t 0 1 i IBC n investimentot t 0 1 i t Engenharia Econômica Prof. para selecionar o melhor projeto. Ing. quando se compara dois projetos que tenham vidas diferentes.4 ANÁLISE BENEFÍCIO/CUSTO Neste método. Wirt. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.WEISE@UFSM. 5. Dipl. Eng. A é a melhor opção de investimento.3. b) Projetos sem repetição: calculam-se diretamente as TIRs de cada investimento.BR (96) 74 .a.4 Projetos com vidas diferentes Na aplicação do método da Taxa Interna de Retorno. Dr. para investidores que tenham uma TMA maior do que 19%. 5. Para investidores que tenham uma TMA menor do que esta taxa.VPL B Interseção de Fisher A VPLA = VPLB 15 Escolher B (maior invest) 19 24 26 taxas Escolher A (menor invest) Figura 21: Interseção de Fischer No Exemplo 52 a interseção de Fischer é dada pela taxa de 19% a. deve-se fazer a análise incremental. o investimento B é melhor. 62 240.BR 75 .00 IBC = 1.00 56.000 0 1 6 200.000. Ing.00 56.238. Wirt.000.000.81 10.000.00 56.00 200.12)6 1 20000 56000. 6 0.00 20.00 56. A TMA do investidor é de 12% a. Exemplo 53: Determine o índice benefício/custo (IBC) da empresa caracterizada abaixo.(1 i ) (1 i ) n 1 i IBC n investimentot P t t 0 1 i n (1 0.000.00 76.000.202 IBC Engenharia Econômica Prof.12) (1 0.O IBC também pode ser calculado tomando-se uma base anual.00 -200.00 56. t n t 0 i.000. de acordo com a Equação 96.00 Valor Residual Fluxo de Caixa 6 20.12.43 200.000.00 56. Dr.000.000 56.a.000.000.00 56.371.00 56. Eng.000. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.000.
[email protected]. IBC benefício anual investimento anual (97) Se IBC 1 então o investimento é viável.00 56.00 Lucro Anual 2 3 4 5 56. será a relação entre os benefícios anuais e o valor dos investimentos anualizados.(1 0.000. Período 0 1 Investimentos -200.12)6 IBC 200000 230.000.000.00 56.000 Solução: benefício t (1 i ) n 1 F A . Neste caso. 15 1 0. Eng. também chamado de Período de Recuperação do Investimento (PRI) e payback (PB).12 1 viável. Dr. Exemplo 54: Utilizando-se os dados do Exemplo 52. 5. Logo.12(1 0.202 A F Ou: Se IBC 1 então o investimento é viável.28 30. indicando qual o melhor dos deles. também deve-de fazer uma análise incremental. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Solução: 6500 P / A. a melhor opção é o investimento B.51 58. TEMPO DE RECUPERAÇÃO DO CAPITAL (PAYBACK) O Tempo de Recuperação do Capital (TRC).157 7 IBC(B – A) = 1. Dipl. O Payback é um método não exato de análise de investimento. a exemplo do que foi feito para a TIR. traz benefícios maiores do que os custos adicionais.61 IBC 48.12) 6 200000.12 56000 20000.14 IBC = 1. mede o tempo necessário para recuperar o capital investido. 15%. (1 0. Wirt.00 2. 7 2700 1 0.12) 6 1 56. (1 0. Na comparação entre dois investimentos.35 1 viável IBCB = 1.BR 76 . 15%.i benefício anual (1 i ) n 1 IBC i.35 IBC B 1.12 10.000. mas é muito usado por permitir uma avaliação do risco através do tempo necessário para recuperar o capital investido.000 IBCA = 1.645.000 10000 0.12) 6 1 IBC 0.000
[email protected] 9200 P / A.28 1 viável Análise incremental: 2700 P / A.14 48. 15%.464. Ing. Resolução em planilha eletrônica: Engenharia Econômica Prof. para decidir qual é o melhor.(1 i ) n investimento anual P (1 i ) n 1 0.645.15 1 IBC B A 1.5.464. calcule o IBC de cada um dos investimentos A e B. 7 IBC A 1. Este índice indica que o investimento adicional feito em B (em relação a A). WEISE@UFSM. o que está incorreto. Para contornar esta deficiência.000.000.00 56.000.000. no Exemplo 54 não foi considerado o valor do dinheiro no tempo.000. Wirt.000 0 6 1 200.000.000.000. Período 0 Investimentos -200. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.00 56.00 56.000 56.00 56. o payback é de 4 anos. Ing.00 Lucro Anual 2 3 4 5 56.000.00 76.000. Período 0 1 Investimentos -200.000.000.00 = 224.000 Solução: Recuperação do capital (RC): No período 3: RC = 3 x 56.00 56.000.000.Fórmulas da planilha: C4 = C2/C3 Exemplo 55: Determine o tempo de recuperação do capital (TRC) ou pay-back (PB) da empresa caracterizada abaixo.BR 6 77 .000. Eng.000.000.000.000.a.000.00 > 200.00 -200.00 Engenharia Econômica 1 2 3 4 5 Prof.00 = 168.00 Então. Dr.00 56.000.00 56.00 Valor Residual Fluxo de Caixa 6 20.00 56.00 20.00 No período 4: RC = 4 x 56. Exemplo 56: Determine o tempo de recuperação do capital descontado (TRCD) ou payback descontado (PBD) da empresa caracterizada abaixo. foi criado o TEMPO DE RECUREPAÇÃO DO CAPITAL DESCONTADO (TRCD) ou PAY-BACK DESCONTADO (PBD). Dipl.000. Contudo. A TMA do investidor é de 12% a.00 < 200.00 56. que leva em conta a TMA do investidor.00 56. 86 39.69 134.000.000 Solução: 56000 50. qual o melhor.56 31.00 56.00 76.000. O mesmo pode ser dito do tempo de recuperação do capital descontado ou payback descontado.8.12) 4 56000 PBD5 PBD4 170.000 0 1 6 200.12)5 Então.86 94.12) 2 56000 PBD3 PBD2 94.000.00 56.859.091. PBD1 O tempo de recuperação do capital ou payback não é um método adequado para selecionar alternativas de investimento.00 56. o payback descontado é de 5 anos. Dipl.00 56.867.Lucro Anual 56.000.BR 78 .589.000. Dr. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.56 200.00 (1 0.000.00 56.00 -200.000. Eng.00 Valor Residual Fluxo de Caixa 20.00 (1 0.00 (1 0.86 200.m.00 56. como mostra o Exemplo 6.55 200.000.000.12) 56000 PBD2 PBD1 50.000.000.000.642.00 56.000 56.000.90 201.00 20. Ing.00 56.000.000.642.502.46 200.091.642.55 35.00 200.000.01 170.00 (1 0.000. Wirt.000.000. assumindo uma TMA = 1% a.502.00 56. segundo o critério do Payback.000.00 56.00 44.? Engenharia Econômica Prof.775.000.00 (1 0. Exemplo 57: Dados os investimentos abaixo.12)3 56000 PBD4 PBD3 134.WEISE@UFSM. por fornecer uma medida do risco associado ao projeto. os métodos recebem a denominação de métodos modificados. VAUEM e TIRM. Para aplicação dos métodos modificados segue-se o seguinte procedimento: 1. Eng.Investimento A 600 1000 500 Investimento B 500 400 1000 500 500 2 3 0 0 1 2 3 4 1 4 1500 1500 Solução: PBA = 3 PBDA = 4 PBB = 3 PBDB = 4 O investimento A é melhor que o investimento B. Contudo. o método do payback. por vezes. geralmente. entre diversas possíveis. Além disso. um payback curto é sempre preferível à um payback longo. VAUE e TIR aqui estudados. As parcelas positivas devem ser capitalizadas para o último período do fluxo de caixa usando-se a taxa de reaplicação. este método é usado nas análises de viabilidade de investimentos. 2. não servindo. Engenharia Econômica Prof. Também é usado. mostrando claramente ao investidor quanto tempo levará para ele recuperar o dinheiro investido. como parâmetro para escolher a melhor opção de investimento. De maneira mais genérica. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Dipl. 5. o payback é considerado um método não exato de resolução de problemas de investimento. este método não considera o que acontece com o fluxo de caixa após o período de recuperação do capital. como critério de exclusão de projetos (por exemplo: não aceitar projetos que tenham um payback descontado maior do que X anos). não identifica isto. o que também é incorreto. devido ao valor das prestações iniciais. MÉTODOS MODIFICADOS Nos métodos VPL.6. Contudo. considerou-se que os valores desembolsados e recebidos são influenciados pela mesma taxa: a TMA no caso dos métodos do Valor Presente Líquido e do Valor Anual Uniforme Equivalente e a TIR no caso do método da Taxa Interna de Retorno.BR 79 . mesmo o descontado. As parcelas negativas são descontadas para a data inicial do fluxo de caixa usandose a taxa de custo. Ing. Por estas razões. Dr. Nesta situação.WEISE@UFSM. sendo designados de VPLM. Wirt. pode-se considerar que os recebimentos e os desembolsos tenham influência de taxas diferentes: uma taxa de reaplicação para os recebimentos e uma taxa de custo para os desembolsos. Mas pode servir como critério de desempate para projetos que tem retornos semelhantes: nestes casos. a. Ing.000.(P/F. Dipl. 12%.12%.Fn F4 Fn´ F3 1 0 0 2 4 3 n n F2 F1 P´ P 1.000.10 Então: Engenharia Econômica Prof.a.000 P 120.00 0.42 1 (1 0.2) 140.12) (1 0. 5) (1 0. Wirt. Exemplo 58: Determine o VPLM. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. Eng.10)5 1 F 130.00 nos dois períodos seguintes.00 e R$ 95. e uma taxa de reaplicação de 10% a. o VAUE e a TIR para este novo fluxo de
[email protected] 320. 10%.1) – 95000.000.BR 80 . P = -120000 – 140000 * (P/F. A partir do Ano 3 este projeto renderá R$ 130. Dr.000 95. Determinar o VPL.000 793. o VAUEM e a TIRM para um projeto no qual deve-se investir inicialmente R$ 120.a.00.12) 2 F = 130000 * (F/A. mais R$ 140.00 durante 5 anos.000.663. 130 1 0 2 3 4 7 95 140 120 Solução. A TMA é de 12% a.733. Considere uma taxa de custo igual a 12% a. 00 8. Ing.12 VAUEM 320. Wirt.663. s. Projeto A: Prédio Residencial Unidades: Área Apto: Área Equivalente Total: Área Construída Total: Custo Unit.a.279. 5.15 3753.de Venda: Preço do Apto: Receita Total de Vendas: Vendas: TMA: 24 160 3264 3840 1.733.12) 7 0.12) 1 (1 0.42 VPLM = -320733.387.70 7 (1 0.(P/F.30 VAUE = 11.733.42 + 793663. Andreas Dittmar Weise ANDREAS.663.00 0.8 288 6912 3 10% Engenharia Econômica CUBs CUBs (1/6 + 2/6 + 2/6 + 1/6) CUBs CUBs CUBs CUBs aptos por semestre a.12) 7 VAUEM = -320733.580.12) 7 1 TIRM 320.848. 7) + 793633. usando os métodos de análise de investimento estudados.42 * (A/P.42 793. Prof. de Construção: Custo Total de Construção: Custo do terreno: Preço Unit.733. 12%. 7) 0.6 800 1.BR 81 . 7) 793. Determine.663. Dr. 12%.42 38. Eng. 12%.42 793.(1 0.8% a.663.00.7 ESTUDO DE CASO Abaixo são apresentados dados relativos a um investimento num prédio residencial e a um investimento num prédio comercial.00 0 7 320.5% a.793.00 * (A/F. (1 i) 7 Os métodos não modificados tem como solução: VPL = 52.00 13.12. qual deles á a melhor opção para um
[email protected] VPLM 320.733.a.42 (1 0.00 TIR = 16. Dipl. 7 139.de Venda: Preço da Sala: Receita Total de Vendas: Vendas: TMA: 40 82 2624 3280 1. Wirt.BR 82 .2 800 1.WEISE@UFSM. Solução: Engenharia Econômica Prof. s. Ing. Andreas Dittmar Weise ANDREAS. de Construção: Custo Total de Construção: Custo do terreno: Preço Unit.Projeto B: Prédio Comercial Unidades: Área Sala: Área Equivalente Total: Área Construída Total: Custo Unit. Dipl.4 5576 5 10% CUBs CUBs (1/6 + 2/6 + 2/6 + 1/6) CUBs CUBs CUBs CUBs salas por semestre a. Dr.05 2755. Eng. 13 Projeto B .2 5576 2020.38 4.Projeto A .16 -1425.6 6912 2358.53 16.8 Total 998.83 .718.25 101.8 Receitas: 0 167 167 Fluxo Líquido: -166.2 864 -387.8 4 5 6 7 8 697 697 697 697 697 697 697 697 697 697 Fluxo Incremental: Residencial x Comercial Período: 0 1 2 Investimentos: 166.2 2 1251.12 1.4 1336 337.609.2 864 -387.4 -165.4 2 918.198.4 3 459.8 332.6 4 0 167 167 5 0 167 167 6 0 167 167 7 0 167 167 8 0 167 167 Total 4553.44 3.2 Valor Presente Líquido: Valor Uniforme Equivalente TIR: VPL Receitas: VPL Custos: IBC: 520.0% 3.6 6.4 697 -221.64 15.8 -165.6 864 238.4 697 -221.Período: Investimentos: Receitas: Fluxo Líquido: 0 1425.4 Total 3555.067.2 3 625.4 4 5 6 7 8 864 864 864 864 864 864 864 864 864 864 1 918.4 167 0.13 1.32 97.8 Análise de Investimentos Imobiliários 3 166.6 -1259.4 332.2 1 1251.6 Valor Presente Líquido: Valor Uniforme Equivalente TIR: VPL Receitas: VPL Custos: IBC: 542.1% 4.Período: Investimentos: Receitas: Fluxo Líquido: 0 1259.2 697 237. 00) (0.01 1.15) (242.81 151.293.93 869.85 (82.56 324.500 CUB TMA 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 11.45 1. Observe que todos os métodos aplicados apontaram este projeto como sendo o melhor.11 1.55) 412.84 .000 1. Interseção de Fischer Interseção de Fischer: 2.65 743.89) (253.120.25 99.1% 890.16 1.32 306. o Projeto A (Prédio Residencial) é a melhor opção de investimento.27) (134.46 999.11 11.82 1.25 520.93 542.93 4.884.000 500 0 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% -500 TMA Residencial Análise de Investimentos Imobiliários Comercial 6.630.51) (383.071% Valor Presente Líquido Residencial Comercial 1.69 811.17 412.475.Valor Presente Líquido: Valor Uniforme Equivalente TIR: VPL Receitas: VPL Custos: IBC: 21.82 1.03 Logo. Princípios de engenharia de avaliações. UFSC (Dissertação de Mestrado). GRANT. Abelardo. VASCONCELLOS. 1984. Análise de investimentos sob condições de risco e inflação.Luis Carlos Rocha. E. São Paulo: Pini. Nilson. H. Manuel Enriquez. Introdução à administração financeira. WOILER. Antônio Victorino. São Paulo: McGraw-Hill. ed. Ehrlich. Marco Antonio Sandoval de. 1982. 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Métodos Modificados. Excercícios (aula 7) 31/10/2011 Taxa Interna de Retorno Excercícios (aula 8) 07/11/2011 Análise Benefício/Custo. Excercícios (aula 10) 28/11/2011 Excercícios 05/12/2011 Prova 2 12/12/2011 Exame Engenharia Econômica p. Excercícios (aula 9) 14/11/2011 Dia não-letivo 21/11/2011 Estudo de Caso. Excercícios (aula 4) 12/09/2011 Financiamento. Excercícios (aula 6) 17/10/2011 JAI 24/10/2011 Valor (ou Custo) Anual Uniforme Equivalente.