ELEMENTOS DE MÁQUINAS ELEMENTOS DE MÁQUINAS ELEMENTOS DE MÁQUINAS ELEMENTOS DE MÁQUINASProf. Dra. Katia Lucchesi Cavalca Revisores: Prof. Dra. Kátia Lucchesi Cavalca Gregory Bregion Daniel (PED) Ana Flávia Nascimento (Monitora) Agosto/2008 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA DEPARTAMENTO DE PROJETO MECÂNICO ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 1 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO AO PROJETO DE COMPONENTES MECÂNICOS 1.1. INTRODUÇÃO O texto aqui apresentado é essencialmente dirigido ao projeto de componentes de máquinas, ou sistemas mecânicos específicos. A competência e o bom entendimento nesta disciplina são básicos para futuras considerações e sínteses em máquinas e sistemas completos, a serem desenvolvidos em disciplinas subseqüentes, ou mesmo durante a prática profissional. É fato comprovado que, mesmo para o projeto de um simples parafuso ou de uma mola, o engenheiro deve aplicar os melhores conhecimentos científicos disponível, aliados às informações empíricas, ao bom senso, e até mesmo a um certo grau de engenhosidade e criatividade, que permitam a este criar e desenvolver melhores produtos, mais adequados à demanda da sociedade atual. As considerações técnicas envolvidas no projeto de componentes mecânicos são fundamentalmente centradas em torno de duas áreas principais de conhecimento: as relações tensão-deformação-resistência dos materiais, envolvendo o rompimento de elementos sólidos; e os fenômenos de superfície (compreendendo atrito, lubrificação, desgaste e deterioração ambiental). Dentro deste escopo, disciplinas que desenvolvem temas associados às propriedades metalúrgicas dos materiais, resistência dos materiais, cinemática e dinâmica de mecanismos, teoria de falhas, fadiga, e danos de superfície, tem seus conceitos fortemente aplicados no projeto de componentes e sistemas mecânicos. 1.2. O PROJETO DE MÁQUINAS 1.2.1 Design e Projeto O que significa design? O termo design pode assumir uma enorme variedade de significados, como, por exemplo, referir-se a aparência estética de um objeto: design de móveis, de roupas, de automóveis, etc. Neste último caso, o termo design refere-se não só a aparência externa, mas a todos os demais aspectos de projeto envolvidos, como toda mecânica interna do automóvel (motores, freios, suspensões...), cujo design deve ser melhor executado por engenheiros que por artistas, embora, em alguns casos, sejam necessárias ao engenheiro ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 2 algumas aptidões artísticas, enquanto desenvolvendo o design de máquinas e componentes. O design em engenharia pode ser definido como "O processo de aplicar várias técnicas e princípios científicos, com o propósito de definir um dispositivo, um processo ou um sistema, suficientemente detalhado de maneira a permitir sua realização”. Dentro desta filosofia, o enfoque principal deste texto será o design de máquinas e componentes, estendendo-se à criação de maquinário que trabalhe bem, de maneira segura e confiável. Seguindo esta linha de pensamento, as noções e os conceitos de design, vão diretamente de encontro ao projeto mecânico de máquinas e componentes. 1.2.2 Considerações Relativas à Segurança Naturalmente, no passado, as primeiras considerações de projeto eram de caráter funcional e econômico, pois, a não ser que os dispositivos fossem produzidos para atender a uma aplicação funcional, estes não apresentavam interesse do ponto de vista da engenharia. Além disso, se a produção de um ítem não visasse um custo acessível à sociedade contemporânea, representava um desperdício de tempo e esforços em engenharia. Neste sentido, as gerações anteriores de engenheiros tiveram pleno sucesso em desenvolver uma infinidade de produtos que funcionam e podem ser produzidos economicamente. Em parte por este motivo, houve um redirecionamento dos esforços em engenharia, no sentido de incrementar cada vez mais, considerações de projeto relativas à influência dos produtos e dos processos, sobre as pessoas e o meio ambiente. A segurança pessoal vem sendo uma das considerações de projeto do ponto de vista da engenharia, sendo que, atualmente, adquiriu uma ênfase crescente, como resultado das demandas e necessidades contemporâneas. O primeiro passo, no sentido de desenvolver a competência do engenheiro atual em segurança de projeto, é cultivar uma consciência de sua importância. Numa primeira instância, a segurança de um produto ou processo seria de responsabilidade de legisladores e juizes, ou mesmo de executivos de empresas seguradoras, os quais, porém, nada podem acrescentar diretamente na melhoria deste quesito dentro de seu projeto, sendo capacitados apenas para acrescentar ou evidenciar determinados ítens a serem mais ou menos enfatizados dentro deste escopo. Uma vez que o engenheiro é suficientemente consciente da relevância das considerações em segurança, incorporando este conceito ao seu raciocínio geral, existem algumas técnicas que auxiliam no desenvolvimento de um projeto seguro: 1) Revisão de todas as fases da realização do produto, desde o início de sua produção até sua disposição final para consumo, observando, em cada etapa, possíveis falhas descobertas e que tipos de situações podem ocorrer durante a manufatura, o transporte, a estocagem, a instalação, o uso e a reciclagem do produto em questão. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 3 2) Certificar-se que as medidas de segurança representam uma aproximação balanceada, ou seja, o critério não é resolver os riscos de maior custos, mas sim priorizar os riscos mais significativos para segurança pessoal, que envolvam estes maiores ou menores custos. 3) Desenvolver a segurança como parte integral do projeto básico, sempre que possível, ao invés de somar dispositivos de segurança ao projeto definitivo. 4) Aplicação do "fail-safe design" quando possível em fase de projeto. A filosofia aqui proposta é tomar precauções no projeto para evitar a ocorrência de falhas. Porém, se esta ocorrer, que suas conseqüências não sejam catastróficas, ou ainda, que o projeto permita a continuidade de operação do produto apesar da falha. 5) Verificação das normas governamentais de segurança para assegurar-se dos requisitos legais do projeto. 6) Providenciar avisos sobre todos os danos ou falhas significantes, que porventura permaneçam após a conclusão do projeto. Ninguém melhor que o engenheiro, que desenvolveu e projetou o produto, para evidenciar estes pontos de maior atenção e cautela. Finalizando, nota-se que o grupo de pessoas envolvidas no aspecto da segurança em projeto, deve considerar algumas características pessoais não técnicas das pessoas possivelmente envolvidas com a produção ou com a utilização do produto, tais como: capacidade fisiológica e psicológica de alguns indivíduos técnicos ou da comunidade de consumo, comunicação entre o produto e o usuário, tanto do ponto de vista da segurança como de sua utilização, cooperação entre engenheiros de projeto e membros de outras disciplinas de aspectos governamentais, de gerenciamento, de vendas, etc. 1.2.3 Considerações de Caráter Ambiental Existe uma dependência inerente entre o ser humano e o seu meio-ambiente (ar, água, alimento, e materiais para roupas e abrigos). Na sociedade primitiva, os detritos gerados pela população eram naturalmente reciclados pela natureza. Com a introdução de materiais sintéticos, a natureza tornou-se incapaz de compensar e reciclar os detritos produzidos pelo homem, dentro de períodos de tempo aceitáveis e compatíveis com o equilíbrio ambiental. Os ciclos ecológicos foram, então, interrompidos, dando início a uma série de danos permanentes a médio e longo prazo. Os principais objetivos do projeto em Engenharia Mecânica, dentro do enfoque ecológico, podem ser compreendidos em dois tópicos bem simples: 1) Utilizar materiais que possam ser reciclados de maneira econômica, dentro de períodos de tempo razoáveis, sem provocar contaminações excessivas do ar ou da água, principalmente. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 4 2) Minimizar a taxa de consumo de fontes de energia não-recicláveis, como os combustíveis fossilizados, tanto no sentido de conservar estas fontes, como para minimizar a poluição térmica. Entretanto, a consideração de fatores ecológicos é bem mais complexa, em termos de projeto mecânico, se comparada aos fatores de segurança em projeto, por exemplo. 1.2.4 Considerações de Caráter Social. O objetivo básico de qualquer projeto em engenharia é conceber máquinas ou dispositivos que possam beneficiar a humanidade, ou ainda, aumentar a qualidade de vida dentro de nossa sociedade. Entretanto, os principais ítens a serem considerados como parte da definição da qualidade de vida de uma população, podem variar significativamente dentro dos muitos segmentos da sociedade e, também, com o passar do tempo. Alguns dos fatores mais importantes, dentro da sociedade atual, são os seguintes: 1) Saúde física. 2) Bens materiais. 3) Segurança com relação à criminalidade e acidentes. 4) Preservação do meio-ambiente, sobretudo no gerenciamento dos recursos naturais. 5) Desenvolvimento cultural e educacional. 6) Tratamento e infra-estrutura para pessoas portadoras de deficiências. 7) Igualdade de oportunidades. 8) Liberdade pessoal. 9) Controle populacional. A maior parte do pessoal envolvido com produtos de engenharia desenvolve uma ou mais das seguintes funções: pesquisa, projeto, desenvolvimento, manufatura e produção, vendas, e prestação de serviços, associados a estes produtos. O esforço conjunto deste grupo de pessoas, associado aos recursos naturais apropriados, conduz a sistemas de produção que enfatizam produtos utilizáveis, materiais descartáveis e experiência. Esta última pode ser adquirida de duas maneiras, basicamente: 1) Experiência direta de trabalho, construtiva e satisfatória, de alguns indivíduos; 2) Conhecimento empírico obtido através da eficiência de todo sistema, com as devidas implicações em seu futuro melhoramento. Apesar das enormes diferenças de caráter individual, existem algumas características básicas, inerentes ao ser humano, que são permanentes, inclusive ao longo do tempo. Tais ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 5 características foram sintetizadas por Abraham Maslow, psicólogo da Universidade de Brandeis, em cinco palavras-chave: 1) SOBREVIVÊNCIA (survival); 2) SEGURANÇA (security); 3) ACEITAÇÃO SOCIAL (social aceptance); 4) RECONHECIMENTO (status); 5) AUTONOMIA PESSOAL (self-fulfillment). O ingrediente básico da sociedade humana é a mudança. O engenheiro deve procurar entender, não apenas as necessidades atuais da sociedade, mas também a direção e a rapidez com que as mudanças sociais estão ocorrendo. Para o engenheiro de projeto, o objetivo mais importante seja, talvez, o de incrementar a tecnologia, de forma que esta possa promover mudanças no sentido de incrementar a qualidade de vida da sociedade contemporânea. 1.2.5 Considerações Gerais Os projetos em engenharia envolvem uma infinidade de considerações, e o desafio do engenheiro é justamente reconhecer a proporção adequada de cada uma delas. Algumas das principais categorias de informações e considerações envolvidas em projeto são descritas a seguir: a) Considerações Tradicionais: i) Para o corpo do componente: resistência, deflexão, peso, tamanho e forma. ii) Para as superfícies do componente: desgaste, lubrificação, corrosão, forças de atrito, aquecimento por atrito. iii) Custo. b) Considerações Modernas: iv) Segurança. v) Ecologia (poluição do solo, do ar, da água, térmica, sonora; conservação dos recursos naturais). vi) Qualidade de vida. c) Considerações Gerais: vii) Confiabilidade e Mantenabilidade. viii) Estética de projeto ou design. A difícil tarefa do engenheiro será a de satisfazer, dentro de algumas tolerâncias, todas as categorias de considerações, muitas vezes, incompatíveis entre si. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 6 1.3. O PROJETO DE COMPONENTES MECÂNICOS NO CURSO DE ENGENHARIA Uma máquina pode ser definida de duas maneiras básicas: 1) Um aparato composto por unidades interrelacionadas. 2) Um dispositivo que modifica força ou movimento. As unidades interrelacionadas, citadas na primeira definição, podem ser denominadas, dentro deste contexto, de elementos de máquinas. O conceito de trabalho útil é fundamental para o funcionamento da máquina, que normalmente envolve uma transferência de energia. Quando projetando uma unidade de uma máquina, o engenheiro facilmente percebe que este projeto é, direto ou indiretamente, dependente de muitas outras partes interrelacionadas dentro da mesma máquina. Portanto, o enfoque aqui proposto, é o de projetar os componentes dentro da máquina como um todo. Para tanto, é necessária uma bagagem razoável de conhecimentos em engenharia, como estática, dinâmica, análise de tensões e deformações, propriedade dos materiais, etc. O objetivo final em projeto de componentes será, portanto, dimensionar e modelar as unidades, selecionando materiais e processos de fabricação adequados, de modo que a máquina resultante possa desempenhar sua função na ausência de falhas, durante um certo tempo. Assim sendo, uma análise completa de tensões e deformações de cada unidade é de fundamental importância. Como as tensões ocorrem em função de cargas aplicadas ou inerciais, bem como da geometria de cada unidade, estas devem ser precedidas por uma análise de esforços, envolvendo forças, momentos, torques existentes, além da dinâmica do sistema completo. Uma derivação desta análise ocorre se a máquina a ser projetada não possui partes móveis. Neste caso, trata-se de um caso particular de projeto de estruturas. Existem diferenças básicas no enfoque do projeto de máquinas e no de estruturas estáticas, como o piso de uma construção, dimensionado para suportar um determinado peso. Neste último caso, quanto maior a quantidade de material distribuído nas unidades estruturais, maior o fator de segurança da estrutura. Apesar de maior peso próprio (ou peso morto), a estrutura apresentará uma maior capacidade de suportar peso vivo (compensação de carga). Numa máquina dinâmica, o aumento de massa de partes móveis acarreta um efeito oposto, reduzindo não só o fator de segurança do sistema, mas sua velocidade de operação e sua capacidade de compensação de carga. Geralmente, antes de entrar em fase de dimensionamento das unidades dos componentes de uma máquina, é esperado que as características cinemáticas do sistema estejam bem definidas, bem como devem ser conhecidas as eventuais forças externas atuantes ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 7 sobre o sistema. Portanto, o que resta a definir são as forças inerciais, geradas pelas conhecidas acelerações cinemáticas que, por sua vez, atuam sobre as indefinidas massas das unidades móveis do sistema. Tal problema admite soluções razoáveis apenas por iteração, ou seja, após estimar áreas de um determinado material, através da análise de tensões e deformações, é necessário proceder com uma simulação cinemática e dinâmica do sistema e, de acordo com as respostas obtidas, retornar ao cálculo inicial da fase precedente. Somente após compatibilizar todas as análises, retoma-se o projeto no sentido de dimensionamento das unidades interrelacionadas da máquina completa. 1.3.1 Metodologia de Projeto O processo de projeto é essencialmente um exercício de aplicação da criatividade. Algumas metodologias foram desenvolvidas no sentido de auxiliar na organização das várias etapas a serem cumpridas no projeto global. Uma das versões mais simples, porém não menos elucidativa, divide a metodologia de projeto em dez etapas principais: 1) Identificação das Necessidades. 2) Pesquisa Bibliográfica e Estado da Arte. 3) Definição dos Objetivos. 4) Especificações de Projeto. 5) Síntese ou Procura de Soluções (fase de criação). 6) Análise de Soluções (cálculos e estimativas). 7) Seleção da Melhor Solução. 8) Projeto Detalhado. 9) Prototipagem e Testes. 10) Produção. É importante destacar que, a partir do passo nº 5, todas as etapas estão sujeitas à iteração. Os passos de 1 a 4 compõem o Estágio de Definição do processo de projeto, ou ainda, o Estudo de Viabilidade do Projeto. Os passos de 5 a 7 fazem parte do Estágio de Projeto Preliminar. Os passos 8 e 9 são o próprio Estágio de Projeto Detalhado. Cada estágio do projeto global deve ser adequadamente documentado, de modo a conter determinadas informações numa ordem cronológica pré-definida: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 8 Figura 1.1 - Expansão dos Principais Estágios de Projeto. No estudo de viabilidade, é fundamental identificar o problema, definindo claramente os dados de entrada, bem como as principais considerações e limitações impostas ao projeto. No projeto preliminar, todos os cálculos e dimensionamentos devem ser realizados, concluindo-se com um esboço ou croquis do projeto em sua forma geral. O estágio final de projeto detalhado envolve uma simulação numérica e, eventualmente, uma reavaliação do projeto, ou de determinadas fases de projeto, concluindo-se com o conjunto de desenhos completos e relatório final. A documentação do projeto deve conter uma descrição clara e abrangente de todas as etapas envolvidas, desde o processo criativo, seleção das soluções, dimensionamentos e especificações (catálogos ou normas), croquis iniciais, modelagem matemática, simulação numérica, e desenhos completos. 1.4. SISTEMAS E COMPONENTES - PRINCIPAIS FUNÇÕES Vê-se como o estudo dos detalhes construtivos em projeto mecânico, não só a análise dos parâmetros de projeto de um componente de uma máquina, mas também sua representação em um modelo analítico que possibilite, através de uma simulação numérica adequada, o estudo de seu comportamento dinâmico, e conseqüentes efeitos causados pelo mesmo no sistema completo. Assim sendo, alguns componentes de máquinas serão enfatizados segundo sua aplicabilidade e importância na resposta final do sistema: • Eixos; • Mancais; • Acoplamentos; • Elementos de união ou junções; • Elementos de suporte flexíveis ou rígidos. 1) DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 2) DEFINIÇÃO DOS DADOS 3) CONSIDERAÇÕES APROPRIADAS 4) DECISÕES DE PROJETO PRELIMINAR 5) CROQUIS DO PROJETO 6) MODELO MATEMÁTICO 7) ANÁLISE DO PROJETO 8) AVALIAÇÃO 9) DOCUMENTAÇÃO DOS RESULTADOS ESTUDO DE VIABILIDADE PROJETO PRELIMINAR PROJETO DETALHADO ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 9 O entendimento deste tipo de análise é importante para o engenheiro atual, pois sua aplicação em projeto por similaridade, bem como em técnicas de monitoramento e diagnose é imediata. Um sistema mecânico é um agrupamento de componentes conectados de tal forma a possibilitar a execução de um trabalho ou de uma seqüência de eventos. Muitas vezes, é desejável subdividir um sistema mecânico em uma série de componentes, a fim de facilitar a aplicação de um tipo específico de modelagem matemática. Uma das formas de subdividir um sistema é segundo as particularidades do movimento executado por cada componente, no exercer de sua função útil. Um sistema pode ser, normalmente, subdividido em componentes do tipo: • Rotativos; • De fixação ou de posicionamento; • De conexão. Os elementos rotativos são aqueles aos quais é imposto unicamente um movimento de rotação no exercício de seu trabalho útil. A modelagem destes elementos deve contemplar os efeitos da dinâmica da rotação, efeitos de inércia e quantidade de movimento angular, etc. Eixos, acoplamentos, discos e pás de turbinas, são exemplos deste tipo de componente. Os elementos de fixação são aqueles que servem de sustentação à máquina e demais componentes. A função destes elementos pode ser estática, ou pode admitir um tipo de movimento não rotativo puro. São incluídos nesta classificação: caixas, carcaças e estatores de motores e geradores; carcaças, pás fixas e dutos de turbinas; todos os tipos de estruturas de suporte e fundação, molas, etc. Os elementos de conexão são aqueles que fazem a interface entre os dois grupos anteriores. Estes elementos têm parte de sua estrutura sujeita à rotação, e parte ligada à estrutura da máquina. Mancais de rolamento, mancais hidrostáticos e hidrodinâmicos, e selos mecânicos de fluxo, são os mais comuns representantes deste tipo de componentes. Em cada uma das três famílias citadas, estão considerados os elementos de união, ou as junções, cuja função é ligar rigidamente partes distintas de um conjunto, de modo que atuem como uma parte única. Nesta categoria encontram-se as uniões por roscas, rebites e soldas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 10 1.5. DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 1.5.1 Fatores de Segurança O fator de segurança pode ser interpretado como a medida de incerteza do projeto dentro do modelo analítico, das teorias de falha e dos dados de propriedades de materiais utilizados, sendo tipicamente expresso como a razão entre duas quantidades de mesma natureza e, portanto, de mesma unidade: Tensão de Escoamento por Tensão Admissível, Carregamento Crítico por Carregamento Aplicado, Velocidade Máxima de Segurança por Velocidade de Operação, etc. A forma de expressar o fator de segurança pode ser escolhida com base no tipo de carregamento que atua sobre a unidade a ser projetada. Em unidades sujeitas a um carregamento cíclico, pode ocorrer falha por fadiga. A resistência à fadiga dos materiais é representada em um diagrama que relaciona um dado nível de tensão com o número máximo de ciclos de tensão alternada, atuando sobre a unidade. Nestes casos, o fator de segurança pode ser adequadamente expresso como a razão entre o número de ciclos esperados até a falha do material, e o número de ciclos aplicados para uma determinada vida do material da unidade projetada. O fator de segurança para uma unidade, como uma polia ou um volante, pode ser expresso como a relação entre a rotação máxima de segurança e a mais elevada rotação esperada em serviço. Normalmente, se a tensão é uma função linear da carga aplicada em serviço, o fator de segurança será praticamente o mesmo nos vários casos analisados. Porém, se esta relação é não linear, como no caso de colunas, então o carregamento crítico de falha, para cada coluna em particular, deve ser estimado para comparação com o carregamento aplicado. Em casos de operação em sobrecarga, este carregamento excessivo deve ser considerado no fator de segurança. Portanto, quando o fator de segurança é igual à unidade, significa que a tensão aplicada é igual à resistência do material, e portanto, a falha ocorre. A escolha do fator de segurança pode representar, muitas vezes, uma grande dificuldade inicial para o engenheiro projetista principiante. O valor de N (fator de segurança) depende de várias condições de projeto, inclusive o nível de confiança do modelo sobre o qual foram realizados os cálculos, o conhecimento prévio da faixa de possíveis condições de carregamento em serviço, bem como a confiança nas informações de resistência do material disponíveis. Portanto, a realização de testes extensivos, sobre protótipos funcionais do projeto, permite a utilização de um menor valor de N. Na eventual ausência de códigos de projeto, que especifiquem o valor de N para casos particulares, a escolha do fator de segurança envolve uma avaliação do engenheiro. Uma aproximação razoável é estimar os carregamentos máximos esperados em serviço, incluindo sobrecargas, bem como a mínima resistência dos materiais envolvidos. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 11 N dúctil = MAX (F 1 , F 2 , F 3 ) Tabela 1.1 - Fatores de Segurança para Materiais Dúcteis. Informação Qualidade da Informação Fator F 1 Dados de O material realmente utilizado foi testado 1.3 Propriedades de Dados representativos de teste de material 2.0 Materiais Dados satisfatórios de teste de material 3.0 Disponíveis de testes. Dados escassos de teste de material 5.0 + F 2 Condições Idênticas às condições de teste 1.3 Ambientais de uso Ambiente essencialmente controlado 2.0 Real e efetivo. Ambiente com alterações moderadas 3.0 Ambiente com alterações extremas 5.0 + F 3 Modelo analítico Modelos testados por experimentos 1.3 Para carregamento Modelos representativos precisos 2.0 e tensões. Modelos representativos aproximados 3.0 Modelos grosseiramente aproximados 5.0 + Algumas diretrizes podem ser definidas para a escolha do fator de segurança no projeto de máquinas, baseadas na qualidade e apropriação dos dados disponíveis de propriedades dos materiais, das condições ambientais reais esperadas, da precisão dos modelos de carregamento e análise de tensões desenvolvidas. A Tabela 1.1 apresenta alguns fatores de segurança para materiais dúcteis, que podem ser obtidos a partir de três categorias diversas. O fator N total será considerado como o maior valor obtido das três categorias de análise. Materiais frágeis, por sua vez, são projetados por resistência à fratura, enquanto que materiais dúcteis, para carregamento estático, são projetados por resistência elástica, onde se espera uma indicação de falha antes da ocorrência da fratura. Portanto, o fator de segurança para materiais frágeis é, comumente, o dobro utilizado para materiais dúcteis. N frágil = 2*MAX (F 1 , F 2 , F 3 ) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 12 1.5.2 Códigos de Projeto Muitas associações em engenharia e agências governamentais desenvolveram códigos de projeto aplicados a áreas específicas da engenharia. Alguns destes códigos são apenas recomendações, enquanto outros representam verdadeiras normas legislativas. As principais associações em engenharia, bem como organizações governamentais e industriais, relacionadas a seguir, possuem suas publicações sobre padronização de componentes e normas técnicas de projeto de grande interesse para o engenheiro mecânico. American Gear Manufacturers Association (AGMA) American Institute of Steal Construction (AISC) American Iron and Steal Institute (AISI) American National Standards Institute (ANSI) American Society for Metals (ASM) American Society for Mechanical Engineers (ASME) American Society of Testing and Materials (ASTM) American Welding Society (AWS) Anti-friction Bearing Manufacturers Association (AFBMA) International Standards Organization (ISO) National Institute for Standards and Technology (NIST) Society of Automotive Engineers (SAE) Society of Plastics Engineers (SPE) Norma Alemã (DIN) e Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 1.5.3 Conceitos Fundamentais: Trabalho e Energia Todo sistema mecânico envolve os conceitos de carga aplicada e movimento relativo que, associados, podem representar trabalho ou energia. Define-se trabalho W, realizado pela força F, atuando num determinado ponto de um componente, o qual, por sua vez, move-se da posição p 1 a posição p 2 , como sendo o produto escalar dos vetores força e deslocamento, dentro do intervalo percorrido ds: W F ds p p = ∫ . 1 2 (1.1) Portanto, para estimar corretamente o valor da integral acima, é necessário o conhecimento prévio da variação da força em função do deslocamento. O trabalho realizado por uma força é sempre uma grandeza relativa a um intervalo percorrido, sendo expresso pelo produto da unidade de força e da unidade de deslocamento, por exemplo [N.m]. Em uma ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 13 máquina rotativa, o trabalho W realizado pelo ponto de aplicação de uma força F, após n revoluções, a uma distância R do centro de rotação, é dado por: ( ) W F R n F S = = 2π .∆ (1.2) Na qual: ∆S = espaço percorrido pelo ponto de aplicação da força F. Se a mesma máquina gira de um ângulo θ sob ação de um torque T, temos a expressão para o trabalho realizado como: ( ) W F R T = = θ θ (1.3) Muitas análises em projeto de máquinas são realizadas com base na taxa de energia transferida por tempo. Neste aspecto, a taxa de energia transferida pelo trabalho realizado denomina-se POTÊNCIA, sendo equivalente ao produto da força aplicada pela velocidade do ponto de aplicação da força. Pot dW dt W F V = = = ɺ . (1.4) Partindo-se da equação (1.4), pode-se facilmente obter a expressão do trabalho realizado pela força F, em função num intervalo de tempo dt: W Wdt F Vdt t t t t = = ∫ ∫ ɺ . 1 2 1 2 (1.5) Como a potência representa a taxa de trabalho realizado num intervalo de tempo, então a mesma é expressa pela razão entre qualquer unidade de energia e tempo. Por exemplo, [N.m] representa um joule [J], e portanto, [J/s] é unidade de potência, conhecida por Watt [W]. Da mesma forma descrita anteriormente, para o componente de uma máquina rotativa, a expressão da potência transmitida (Pot) pelo eixo de raio R, sujeito a um torque T e com uma velocidade de rotação ω, é dada por: ( ) ( ) ɺ . . W F V T R R T = = = ω ω (1.6) Para um sistema onde não ocorre transferência de massa em seus limites de contorno, aplica-se o princípio da conservação de energia, conforme expressão (1.7): ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 14 ∆ ∆ ∆ ∆ E KE PE U Q W = + + = + (1.7) sistema pelo realizado trabalho = sistema o para da transferi térmica energia = sistema do interna energia da variação sistema do nal gravitacio potencial energia da variação sistema do cinética energia da variação sistema do energia de total variação : qual No W Q U PE KE E = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ O balanço energético pode ser expresso através de sua taxa de variação instantânea temporal: ( ) ( ) dE dt d KE dt d PE dt dU dt Q W = + + = + ɺ ɺ (1.8) 1.6. SISTEMAS DE UNIDADES Diversos sistemas de unidades são utilizados em engenharia. Os mais comuns, na prática, são três: Sistema Americano fps (foot/pé-pound/libra-second/segundo), Sistema Americano ips (inch/polegada-pound/libra-second/segundo), Sistema Internacional SI (metro- kilograma-segundo). A diferença básica entre os sistemas americanos e o sistema internacional é que ambos os sistemas americanos definem as grandezas de comprimento- força-tempo, sendo conhecidos como sistemas gravitacionais, enquanto o sistema internacional define as grandezas de comprimento-massa-tempo. A Tabela 1.2 relaciona as principais variáveis às suas unidades nos três sistemas apresentados, enquanto que a Tabela 1.3 seleciona alguns fatores de conversão de unidades. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 15 Tabela 1.2 - Variáveis e Unidades. VARIÁVEL símbolo Sistema ips Sistema fps Sistema SI força F libra (lb) libra (lb) newton (N) comprimento l polegada (in) pés (ft) metro (m) tempo t segundo (sec) segundo (sec) segundo (s) massa m blobs (bl) lb.sec 2 / in slug (sl) lb.sec 2 / ft kilograma (kg) peso W libra (lb) libra (lb) newton (N) pressão p psi (lb / in 2 ) pfs (lb / ft 2 ) pascal (Pa) velocidade v in / sec ft / sec m / s aceleração a in / sec 2 ft / sec 2 m / s 2 tensão σ σσ σ,τ ττ τ psi (lb / in 2 ) pfs (lb / ft 2 ) Pa = N/m 2 ângulo θ θθ θ graus (deg) graus (deg) graus (deg) velocidade angular ω ωω ω rad / sec rad / sec rad / sec aceleração angular α αα α rad / sec 2 rad / sec 2 rad / sec 2 torque T lb-in lb-ft N-m momento de inércia de massa I lb-in-sec 2 lb-ft-sec 2 kg-m 2 momento de inércia de área I in 4 ft 4 m 4 energia E in-lb ft-lb joule (N-m) potência P in-lb / sec ft-lb / sec watt (N-m/s) volume V in 3 ft 3 m 3 peso específico ν νν ν lb / in 3 lb / ft 3 N / m 3 densidade de massa ρ ρρ ρ bl / in 3 sl / ft 3 kg / m 3 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 16 Tabela 1.3 - Fatores de Conversão de Unidades. Grandeza inicial Fator de Conversão Grandeza final Grandeza inicial Fator de Conversão Grandeza final aceleração momento de inércia de massa in / sec 2 0.0254 m / sec 2 lb-in-sec 2 0.1138 N-m-s 2 ft / sec 2 12 in / sec 2 momentos e energia ângulos in-lb 0.1138 N-m radianos 57.2958 graus ft-lb 12 in-lb N-m 8.7873 in-lb área N-m 0.7323 ft-lb in 2 645.16 mm 2 ft 2 144 in 2 potência HP 550 ft-lb/ sec momento de inércia de área HP 33000 ft-lb/min in 4 416231 mm 4 HP 6600 in-lb/sec in 4 4.162E-7 m 4 HP 745.7 watts m 4 1.0E12 mm 4 N-m / s 8.7873 in-lb/sec m 4 1.0E8 cm 4 ft 4 20736 in 4 pressão e tensão psi 6894.8 Pa densidade psi 6.895E-3 MPa lb / in 3 27.6805 g / cc psi 144 pfs g / cc 0.001 g / mm 3 kpsi 1000 psi lb / ft 3 1728 lb / in 3 N / m 2 1 Pa kg / m 3 1.0E-6 g / mm 3 N / mm 2 1 MPa força constante de mola lb 4.448 N lb / in 175.126 N / m N 1.0E5 dyne lb / ft 0.08333 lb / in ton (short) 2000 lb velocidade comprimento in / sec 0.0254 m / s in 25.4 mm ft / sec 12 in / sec ft 12 in rad / sec 9.5493 rpm ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO I 17 Grandeza inicial Fator de Conversão Grandeza final Grandeza inicial Fator de Conversão Grandeza final massa volume blob 386.4 lb in 3 16387.2 mm 3 slug 32.2 lb ft 3 1728 in 3 blob 12 slug cm 3 0.061023 in 3 kg 2.205 Lb m 3 1.0E9 mm 3 kg 9.8083 N kg 1000 g ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 18 CAPÍTULO II TEORIAS DE FALHA ESTÁTICA E DINÂMICA 2.1. TEORIA DE FALHA ESTÁTICA 2.1.1 Introdução O motivo pelo qual elementos ou unidades mecânicas falham é uma questão na qual cientistas e engenheiros têm se ocupado constantemente. Uma resposta, provavelmente correta, seria que tais elementos falham por estarem submetidos a tensões que superam sua resistência. Porém, existe uma questão muito mais complexa, que se refere ao tipo de tensão ou solicitação que causou a falha (tensão de tração, de compressão, de cisalhamento, etc). A resposta a esta questão depende do material utilizado e suas respectivas resistências à tração, compressão ou cisalhamento. Além disso, depende também do tipo de carregamento (estático ou dinâmico) e da presença ou ausência de trincas no material. Geralmente, materiais dúcteis sujeitos à tração estática, têm seu limite de resistência dado pelo cisalhamento, enquanto que materiais frágeis são limitados por sua resistência à tração, sendo exceções algumas situações em que os materiais dúcteis se comportam como frágeis. Portanto, frente a esta situação, são necessárias diferentes teorias de falhas para as duas classes de materiais existentes, dúcteis e frágeis. A definição cuidadosa do que se entende por falha, também é de significativa importância dentro deste contexto. Falha pode significar escoamento e distorção suficientes para impedir o funcionamento de um elemento, ou ainda, falha pode significar simplesmente fratura ou quebra. Ambas definições são válidas, porém geradas por mecanismos completamente diversos. Um escoamento significativo precedendo a falha, somente é possível para materiais dúcteis. Materiais frágeis sofrem fratura, praticamente sem mudanças significativas de sua forma externa. Tais diferenças de comportamento são perfeitamente visíveis em diagramas tensão-deformação para cada tipo de material. Além disso, a presença de trincas em materiais dúcteis pode provocar fraturas repentinas, quando sujeitos a tensão nominal, logo abaixo de sua resistência ao escoamento, mesmo sob carregamento estático. A Tabela 2.1 relaciona a nomenclatura e a simbologia a serem utilizadas neste capítulo. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 19 Tabela 2.1 Nomenclatura e Simbologia. Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI A comprimento característico da trinca in m B largura característica da superfície da trinca in m E módulo de Young ou de elasticidade psi Pa N fator de segurança adimensional adimensional N fm fator de segurança para falha mecânica por fratura adimensional adimensional S uc limite máximo de resistência à compressão psi Pa S ut limite máximo de resistência à tração psi Pa S y limite de escoamento ou deformação plástica de tração psi Pa S ys limite de escoamento ou deformação plástica por cisalhamento psi Pa U energia total de deformação in-lb Joules U d energia de deformação por distorção in-lb Joules U h energia de deformação hidrostática in-lb Joules β fator de geometria tensão-intensidade adimensional adimensional ε deformação relativa adimensional adimensional ν coeficiente de Poisson adimensional adimensional σ 1 tensão principal psi Pa σ 2 tensão principal psi Pa σ 3 tensão principal psi Pa ~ σ tensão efetiva de Mohr modificada psi Pa σ tensão efetiva de Von Mises psi Pa K fator de intensidade de tensão psi - in 0.5 Pa – m 0.5 K c resistência à fratura psi - in 0.5 Pa – m 0.5 K t fator de concentração de tensão para tração adimensional adimensional K ts fator de concentração de tensão para cisalhamento adimensional adimensional Outro fator fundamental em falhas é a característica do carregamento, se estático ou dinâmico. Carregamentos estáticos são aplicados lentamente, permanecendo constantes com o ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 20 tempo. Carregamentos dinâmicos podem ser aplicados de duas maneiras básicas: repentinamente, como no caso do impacto; ou variando repetidamente com o tempo, como no caso de cargas por fadiga. Ambas solicitações também podem ocorrer simultaneamente. A Tabela 2.2 apresenta quatro classes de carregamentos, baseados no movimento das partes solicitadas, e na sua dependência no tempo. Tabela 2.2 Classes de Carregamentos. Cargas Constantes Cargas Variáveis no Tempo Sistemas Estacionários Classe 1 - carga estática - estrutura de uma base do tipo plataforma fixa. Classe 2 - carga dinâmica - estrutura de uma ponte, sujeita a variação de carga dos veículos e da intensidade do vento. Sistemas Móveis Classe 3 - carga dinâmica - cortador de grama motorizado, sujeito a carga externa constante de cortar grama e às acelerações das pás, devido ao movimento rotativo. Classe 4 - carga dinâmica - motor de um automóvel, sujeito a cargas variáveis devidos às explosões de combustível e às variações de aceleração de suas massas inerciais. 2.2. TEORIA DE FALHA ESTÁTICA 2.2.1 Falha de Materiais Dúcteis sujeitos à Carregamento Estático Sabe-se que os materiais dúcteis sofrem fratura quando estaticamente tensionados além de sua máxima resistência à tração, ou tensão de ruptura. Porém, a falha dos componentes de máquinas para este tipo de material é, geralmente, considerada quando este sofre escoamento sob carregamento estático. Sua resistência ao escoamento é consideravelmente inferior à sua resistência máxima. Algumas teorias foram formuladas e desenvolvidas para este tipo de falha: a) Teoria da Máxima Tensão Normal. b) Teoria da Máxima Deformação Normal. c) Teoria da Energia de Deformação Total. d) Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky. e) Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento. Porém, os critérios que melhor se ajustam aos resultados de dados experimentais são o da Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky e o da Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento. Destes dois critérios, o de Von Mises-Hencky ainda é o mais preciso. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 21 Teoria da Energia de Distorção ou Critério de Von Mises-Hencky O mecanismo microscópico de escoamento ocorre devido ao deslizamento relativo das partículas de material dentro dos limites de sua estrutura. Tal deslizamento é provocado por tensões de cisalhamento, sendo acompanhado por uma distorção na forma do elemento em questão. A energia armazenada neste elemento devido à distorção é um indicador das tensões de cisalhamento presentes no material. Energia Total de Deformação Define-se por energia de deformação U a área sob a curva tensão-deformação, contida até o ponto correspondente à tensão aplicada σ i , para um estado de tensão unidirecional. Considerando a curva tensão-deformação essencialmente linear, até o ponto de escoamento do material, a energia total de deformação, considerando um estado tridimensional de tensões, é dada por: ( ) 3 3 2 2 1 1 2 1 2 1 ε σ ε σ ε σ σε + + = = U (2.1) Onde: σ 1 , σ 2 , σ 3 são as tensões principais presentes no material. A expressão que relaciona as tensões reais aplicadas às tensões principais é dada pela expressão associada às figuras 2.1 (a) e 2.1 (b), abaixo: Figura 2.1 - Estado de Tensões Aplicadas (a) e Principais (b). Obtêm-se três raízes para o determinante do Tensor abaixo: σ 1 , σ 2 , σ 3 σ σ τ τ τ σ σ τ τ τ σ σ x xy xz yx y yz zx zy z − − − ¸ ( ¸ ( ( ( ¦ ´ ¦ ¹ ¦ ¹ ` ¦ ) ¦ = n n n x y z 0 σ 1 σ 2 σ yy σ xx σ xx σ yy τ yx τ yx τ xy τ xy σ 1 σ 2 (a) (b) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 22 Substituindo as deformações principais relativas em função das tensões principais, atuantes nos planos de tensão de cisalhamento nula, obtém-se: ( ) ( ) ( ) ε σ νσ νσ ε σ νσ νσ ε σ νσ νσ 1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2 1 1 1 = − − = − − = − − E E E (2.2) Figura 2.2 - Círculo de Mohr para Estado de Tensões Tridimensional. A tensão de cisalhamento máxima é sempre o maior valor resultante das expressões: τ σ σ τ σ σ τ σ σ 13 1 3 21 1 2 32 2 3 2 2 2 = − = − = − Portanto, substituindo (2.2) em (2.1), obtem-se: ( ) [ ] U E = + + − + + 1 2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ (2.3) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 23 Figura 2.3 - Diagrama Tensão-Deformação. Componentes da Energia de Deformação A energia total de deformação, em um elemento sujeito a carregamento estático, é composta, basicamente, por duas componentes: uma devido ao carregamento hidrostático, o qual altera seu volume; e outra devido à distorção, que altera sua forma. Entende-se por carregamento hidrostático, por exemplo, quando um material é submetido à compressão muito lento, muito além de sua resistência máxima, sem falha, gerando tensões uniformes em todas as direções. Desta forma, o elemento sofre uma redução de volume, sem alterar sua forma. Assim, separando as duas componentes da energia de deformação e isolando a componente da energia de distorção, esta será um indicador da tensão de cisalhamento presente no elemento. Se U d é a energia de deformação por distorção e U h representa a energia de deformação hidrostática, então: U = U d + U h (2.4) As tensões principais, por sua vez, também podem ser expressas em termos de componente hidrostático (ou volumétrico), que é a mesma para todas as faces do material; e da componente de distorção, que varia de acordo com a face considerada. σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ 1 1 2 2 3 3 = + = + = + h d h d h d (2.5) E U Energia de Deformação σ σ i ε i ε ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 24 Somando as tensões principais, temos: ( ) ( ) d d d h d d d h 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ + + − + + = + + + = + + (2.6) Para uma redução volumétrica, sem distorção, a tensão hidrostática se reduz a uma média aritmética das tensões principais: 3 3 2 1 σ σ σ σ + + = h (2.7) Substituindo U h na expressão (2.3): ( ) U E h h = − 3 2 1 2 2 ν σ (2.8) Substituindo (2.7) em (2.8): ( ) ( ) ( ) [ ] 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 6 2 1 3 2 1 2 3 σ σ σ σ σ σ σ σ σ ν σ σ σ ν + + − + + − = | ¹ | \ | + + − = E E U h (2.9) A energia de distorção é, então, obtida, subtraindo a expressão (2.9) da expressão (2.3): ( ) [ ] U U U U E d h d = − = + + + − − − 1 3 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.10) Para se obter um critério de falha, compara a energia de distorção, por volume unitário, dada pela expressão (2.10), com a energia de distorção, por volume unitário, presente num teste de falha por tração, por ser esta a principal fonte de dados de resistência dos materiais. Trata-se, portanto, da resistência ao escoamento S y . O teste de tração é um estado de tensão uniaxial onde, no escoamento, tem-se σ 1 = S y e σ 2 = σ 3 = 0. Portanto, da expressão (2.10), obtem-se a energia de distorção para o teste de tração: ( ) 2 y S 3 1 E U d ν + = (2.11) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 25 Figura 2.4 - Círculo de Mohr para Tensão de Tração Unidirecional. O critério de falha por energia de distorção, para um estado tridimensional de tensões, iguala as expressões (2.10) e (2.11). [ ] S S y y 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 = + + − − − = + + − − − σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.12) Para um estado bidimensional de tensões, σ 2 = 0: S y = − + σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σσ σ 1 2 1 3 3 2 (2.13) A equação (2.13) descreve uma elipse nos respectivos eixos σ 1 e σ 3 . O interior da elipse define a região das tensões biaxiais combinadas, dentro dos limites de segurança quanto ao escoamento, sob carga estática. A equação (2.12) descreve um cilindro de seção circular, inclinado em relação aos eixos σ 1 , σ 2 e σ 3 , de modo que sua interseção com qualquer dos três planos principais, seja uma elipse como a da figura 2.5. Figura 2.5 - Elipse da Energia de Distorção em 2-D para Resistência ao Escoamento. σ σ 1 σ 2 = σ 3 = 0 τ 13 , τ 12 S y σ σ σ σ 1 2 1 3 3 2 1 − + = 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 0.0 -1.0 1.0 1.5 0.5 -0.5 σ σσ σ 3 σ σσ σ 1 A B Para torção pura S ys = 0,577S y ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 26 Tensão Efetiva de Von Mises Para materiais dúcteis sujeitos as tensões combinadas de tração e cisalhamento, atuando sobre um mesmo ponto, é possível e conveniente definir uma tensão efetiva que represente esta combinação de tensões. Define-se como tensão efetiva de Von Mises (σ’) uma tensão de tração uniaxial, capaz de gerar a mesma energia de distorção, como aquela resultante da combinação das tensões reais aplicadas. 3 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 ' σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ − − − + + = (2.14) A tensão efetiva de Von Mises também pode ser representada em termos das tensões aplicadas: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 ' zx yz xy x z z y y x τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ + + + − + − + − = (2.15) Para o caso bidimensional: 2 2 2 3 ' xy y x y x τ σ σ σ σ σ + − + = (2.16) Fator de Segurança De acordo com a definição de fator de segurança, as equações (2.12) e (2.13) definem as condições de falha. Dentro do escopo de projeto, é interessante incluir uma estimativa do fator de segurança N, de modo que o estado de tensões esteja dentro dos limites de segurança da elipse de tensões. ' σ y S N = (2.17) Para o estado tridimensional de tensões: S N y = + + − − − σ σ σ σ σ σ σ σ σ 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 (2.18) O fator de segurança para o estado bidimensional é dado por: S N y = + − σ σ σ σ 1 2 3 2 1 3 (2.19) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 27 Cisalhamento Puro Para o caso de cisalhamento puro, como ocorrem para carregamentos torcionais puros, as tensões principais tornam-se: Figura 2.6 - Círculo de Mohr para Tensão de Cisalhamento Puro. Na figura 2.5, o estado de tensão torcional puro está representado pela reta que corta a elipse a – 45 o , interceptando-a em dois pontos, A e B. O critério de falha aplicado corresponde à equação (2.13): ys y y max max y S S S S = = = = + − = 577 , 0 3 3 2 2 3 3 1 2 1 τ τ σ σ σ σ (2.20) Esta relação define a resistência ao escoamento por cisalhamento para materiais dúcteis (Sys), como uma fração da resistência ao escoamento por tração (Sy). Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento A teoria da máxima tensão de cisalhamento estabelece que a falha ocorre quando a tensão de cisalhamento máxima em uma região supera a tensão de cisalhamento resultante de um teste de falha por tração. Neste caso, a resistência ao cisalhamento é a metade da resistência ao escoamento por tração, para materiais dúcteis. S ys = 0,50 S y (2.21) Portanto, este critério estabelece um limite mais conservativo que o critério de Von Mises-Hencky. τ σ σ 1 σ 2 σ 3 τ max σ 1 = −σ 3 = τ max e σ 2 = 0 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 28 Figura 2.7 - Círculo de Mohr para Solicitação por Tração. A figura 2.8 ilustra a envoltória de falha hexagonal para o critério do máximo cisalhamento bidimensional. O hexágono está contido dentro da elipse do critério de Von Mises-Hencky, correspondendo, portanto, a um critério de falha mais rígido. São consideradas dentro dos limites de segurança, as tensões combinadas que se localizarem na área interna ao hexágono, estando o elemento sujeito à falha quando estas se posicionarem sobre o contorno que delimita o hexágono. Os pontos C e D definem o critério para cisalhamento puro torcional. Figura 2.8 - Elipse da Energia de Distorção e Hexágono da Máxima Tensão de Cisalhamento, em 2-D para Resistência ao Escoamento. 2.2.2 Falha de Materiais Frágeis sujeitos à Carregamento Estático Materiais frágeis estão mais sujeitos à fratura que ao escoamento. A fratura frágil em tração ocorre devido à tensão de tração normal apenas e, portanto, a teoria da máxima tensão normal é amplamente aplicada nestes casos. A fratura frágil em compressão ocorre quando τ σ τ max σ 3 = σ 2 = 0 σ 1 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 0.0 -1.0 1.0 1.5 0.5 -0.5 σ σσ σ 3 σ σσ σ 1 tensão/Sy C D Para torção pura S ys = 0,5 S y ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 29 existe uma combinação das tensões de compressão normal e de cisalhamento e, portanto, requer teorias de falha particulares. Figura 2.9 - Diagrama Tensão-Deformação para Materiais Frágeis. Materiais regulares e irregulares Materiais regulares são aqueles que tendem a apresentar uma resistência a compressão igual a resistência a tração. Muitos materiais fundidos, como o ferro fundido cinza, apresentam uma resistência à compressão muito superior à sua resistência à tração, sendo denominados materiais irregulares. A baixa resistência à tração ocorre devido à presença ou formação de imperfeições microscópicas na fundição, as quais atuam, quando sujeitas à tração, como nucleadores para formação de trincas. Em compressão, estas imperfeições são prensadas e preenchidas, elevando a resistência ao escorregamento devido às tensões de cisalhamento. Outra característica importante dos materiais frágeis é a ocorrência de uma resistência ao cisalhamento superior à resistência à tração: σ t < τ < σ c . As figuras 2.10 (a) e (b) ilustram o Círculo de Mohr para materiais frágeis regulares e irregulares. A área contida entre os círculos e as linhas tangentes de falha, representa a região de segurança de projeto. S u S y E ε σ ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 30 (a) (b) Figura 2.10 - Círculo de Mohr para Testes de Tração e Compressão, para materiais frágeis regulares (a) e irregulares (b). Para materiais regulares, figura 2.10(a), as linhas de falha são constantes e independem do valor da tensão normal, sendo, portanto, definidas pelo critério da máxima resistência ao cisalhamento do material. Por sua vez, os materiais irregulares apresentam as linhas de falha como uma função de ambas as tensões, normal (σ) e de cisalhamento (τ). À medida que aumenta a tensão normal de compressão, a resistência ao cisalhamento do material torna-se mais elevada. Teoria de Coulomb - Mohr A teoria de falha de Coulomb-Mohr é uma adaptação da teoria da máxima tensão normal que, para materiais dúcteis, estabelece a ocorrência da falha quando a tensão normal supera algum limite de resistência do material, no caso dúctil, S y . linhas de falha τ τ i σ θ φ φ compressão τ tração µ = tgθ = ∆τ / σ ∆τ = µσ τ max = µσ + τ i τ max σ Linhas de falha compressão tração ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 31 Figura 2.11 - Critério da Máxima Tensão Normal para Materiais Dúcteis. A figura 2.12 ilustra o critério de Coulomb-Mohr para materiais frágeis, considerando a máxima resistência à tração S ut . Para materiais regulares temos: S ut = - S uc . Ou seja, a máxima resistência à tração é igual à máxima resistência à compressão, conforme o quadrado simétrico da figura 2.12. Os materiais frágeis irregulares apresentam uma resistência à compressão S uc muito superior a resistência à tração S ut , caracterizando o quadrado maior assimétrico no diagrama da figura 2.12. Porém, a envoltória de falha para materiais irregulares é válida somente nos 1º. e 3º. quadrantes, por não considerar a relação de variação existente entre as tensões normal e de cisalhamento (figura 2.10 (b)). Na figura 2.13, a relação de dependência entre σ e τ é contemplada através da união dos vértices destes dois quadrantes. Este critério para materiais frágeis irregulares difere do critério da máxima tensão de cisalhamento para materiais dúcteis, apenas por dois pontos: a σ 1 σ 3 S y S y σ 3 Figura 2.12 - Critério de Coulomb - Mohr para Materiais Frágeis. S ut , -S uc S ut , S ut S ut , -S ut -S uc , -S uc -S uc , S ut -S ut , -S ut -S ut , S ut Material Regular ou Estavel Material Irregular ou Instável σ 1 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 32 assimetria típica de materiais irregulares e a utilização do limite de resistência máxima de ruptura S u (e não do limite de escoamento S y ). Porém, testes experimentais superpostos aos diagramas revelaram que as falhas coincidem com os limites do 1º quadrante da figura 2.13. Para os 2º e 4º quadrantes, os pontos de falha permanecem dentro do critério da máxima tensão normal, estando, porém, fora dos limites do critério de Coulomb-Mohr. Figura 2.13 - Critério de Coulomb - Mohr para Materiais Inteligentes. Teoria de Mohr Modificada Os dados de falha reais seguem o critério da máxima tensão normal para materiais irregulares no primeiro quadrante da figura 2.13. Prosseguindo, então, para os vértices do quarto quadrante, a teoria de falha de Mohr Modificada é ajustada experimentalmente (figura 2.14). ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 33 Figura 2.14 - Critério de Mohr Modificado. Fator de Segurança Analisando os primeiro e segundo quadrantes da figura 2.14, para o critério de Mohr Modificado, definem-se claramente três planos de condições de tensão: plano A, onde σ 1 e σ 3 são sempre positivos; plano B, onde σ 1 e σ 3 tem sinais opostos e o limite de resistência em S ut ; plano C, onde σ 1 e σ 3 tem sinais opostos e os limites de resistência em S ut e S uc . O fator de segurança para os planos A e B, é, portanto: N S ut = σ 1 (2.22) Pois a falha ocorre quando as linhas de carga ultrapassam os pontos A’ e B’, respectivamente, para os planos A e B. Para o plano C, a interseção da linha de carga com a envoltória de falha em C’, define o fator de segurança N. Para equação da reta entre (0 , -S uc ) e (S ut , -S ut ), obtem-se: ( ) uc ut uc ut ut uc ut ut ut S S S S S S S S S = + + − + − − = + − 1 3 1 3 1 σ σ σ σ σ ( ) S S S S ut uc ut uc − + + = σ σ σ 1 3 1 1 (2.23) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 34 A expressão (2.23) estabelece uma relação entre os limites máximos de resistência à tração (S ut ), à compressão (S uc ) e as tensões principais σ 1 e σ 3 , igual à unidade, o que significa justamente a reta que contorna o critério de falha para o quarto quadrante. Para valores superiores à unidade, o estado de tensões se encontra no interior do hexágono deformado pelo critério de Mohr Modificado, estando, portanto, a favor da segurança. ( ) S S S S N ut uc ut uc − + + = σ σ σ 1 3 1 ( ) ( ) S S N S S ut uc ut uc = − + + σ σ σ 1 3 1 (2.24) ( ) ( ) N S S N S N S N S S S S S N S N S S S N N S ut uc ut ut ut ut uc ut ut ut uc ut uc ut + − − = + − + − − = + − = + + − 3 1 3 1 1 3 1 σ σ σ σ σ σ σ Na aplicação desta teoria, pode ser conveniente a definição de uma tensão efetiva (expressão de Dowling): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C S S S C S S S C S S S uc ut uc uc ut uc uc ut uc 1 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 1 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 = − + + + ¸ ( ¸ ( = − + + + ¸ ( ¸ ( = − + + + ¸ ( ¸ ( σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.25) O maior valor estimado entre C 1 , C 2 , C 3 , σ 1 , σ 2 e σ 3 , será assumido como tensão efetiva para materiais frágeis. ( ) ~ , , , , , σ σ σ σ = MAX C C C 1 2 3 1 2 3 Se ( ) MAX C C C 1 2 3 1 2 3 0 0 , , , , , ~ σ σ σ σ ≤ ⇒ = ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 35 A tensão efetiva de Mohr Modificada pode, então, ser comparada à máxima resistência à tração, para o fator de segurança N: N S ut = ~ σ (2.26) 2.2.3 Mecânica da fratura e Concentração de Tensões As teorias de falha vistas até então, assumem materiais cujas superfícies são perfeitamente homogêneas, isotrópicas e contínuas, sendo, portanto, livres de defeitos como trincas, entalhes e inclusões que, por sua vez, atuam como incremento de tensões. Porém, este fato não ocorre na realidade, sendo considerado que todos os materiais possuem microtrincas, não mesmo visíveis macroscopicamente. Contornos de geometria funcionais, projetados juntamente com o elemento em questão, podem elevar as tensões locais de forma previsível, de modo a serem levadas em consideração na análise de tensões, para posterior aplicação dos critérios de falha. A grandeza associada à concentração de tensões, para uma determinada geometria, é definida por um fator de concentração de tensões geométrico K t , para tensões normais, ou K ts , para tensões de cisalhamento. A tensão máxima no local de incremento de tensões é dada por: σ σ max t nom K = e nom ts max K τ τ = (2.27) Onde σ nom e τ nom são as tensões nominais estimadas para um determinado carregamento, sem considerar a concentração de tensões. Para cargas estáticas, os materiais dúcteis escoam localmente na região de incremento de tensões, enquanto o material tensionado, imediatamente próximo à descontinuidade geométrica, permanecer abaixo de seu ponto de escoamento. Os materiais frágeis não escoam por não apresentarem uma região plástica de deformação. Portanto, quando as tensões na região de incremento excedem a resistência à fratura, inicia-se a formação da trinca, que reduz a resistência à carga, e aumenta a concentração de tensões nas suas vizinhanças. Não só para carregamento dinâmico, a presença de uma trinca aguda em um campo de tensões gera concentrações de tensões que, teoricamente, tendem ao infinito: K a c t = + | \ | ¹ | 1 2 (2.28) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 36 Figura 2.15 - Variação do Fator de Concentração de Tensões devido a uma Trinca Elíptica. Quanto menor a espessura da trinca (c → 0), a concentração de tensões K t tende a infinito. Como nenhum material pode suportar níveis tão elevados de tensões, ocorrem escoamento local (materiais dúcteis) ou microtrinca local (materiais frágeis), na raiz da trinca. Teoria da Mecânica da Fratura Fratura Mecânica pressupõe a existência de uma trinca. Se a região de escoamento, nas vizinhanças da trinca é pequena, então a teoria da fratura mecânica elástica linear é aplicada (LEFM). Dependendo da orientação do carregamento em relação à trinca, a carga aplicada pode abrir a trinca em tração (modo I), pode cisalhar a trinca no plano (modo II), ou pode cisalhar a trinca fora do plano (modo III). Limitar-se-á neste texto, a análise ao modo I. Fator de Intensidade de Tensão Considera-se, para efeito de análise, que a trinca é aguda em suas extremidades, tendo sempre sua largura (2a) superior a sua espessura (2c). Conforme a figura (2.16), a trinca pode ser interna, como na figura 2.16(a), ou de borda (entalhe na superfície), conforme figura 2.16(b). Kt c/a 0 5 10 2 4 6 8 10 a c P P ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 37 Figura 2.16 - Trinca interna (a) e Entalhe (b) em tração. Um sistema de coordenadas polares permite a representação das tensões nas proximidades da trinca, de acordo com a teoria da elasticidade linear, para b>>a, no plano de tensões: 0 e ... 2 3 sen 2 sen 2 cos 2 ... 2 3 sen 2 sen 1 2 cos 2 ... 2 3 sen 2 sen 1 2 cos 2 = + = + ( ¸ ( ¸ + = + ( ¸ ( ¸ − = z xy y x r K r K r K σ θ θ θ π τ θ θ θ π σ θ θ θ π σ (2.29) Para o plano de deformações: ( ) 0 = = + = zx yz y x z τ τ σ σ ν σ (2.30) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 38 Portanto, o ângulo θ define o perfil de distribuição de tensões para qualquer raio r, a partir da extremidade da trinca. Assim, se r tende a zero, então σ x , σ y e τ xy tendem ao infinito. Figura 2.17 - Variação da Tensão de Von Mises na Região Plástica. As tensões mais elevadas, próximas à extremidade final da trinca, causam escoamento local, gerando uma região plástica de raio r y (correspondente a uma tensão efetiva igual ao limite de escoamento). Para qualquer distância da extremidade final da trinca, o estado de tensão na região plástica é proporcional ao fator de intensidade de tensão K. Para a figura 2.17(a), tem-se: b. a a K nom << para π σ = (2.31) A precisão da equação (2.31) será inferior a 10% de erro se a/b for inferior a 0.4. Se o comprimento característico da trinca (a) é considerável em relação à meia largura do plano (b) adiciona-se o fator geométrico β: a K nom π βσ = (2.32) a b P P x y r θ Região Plástica σ’ σ’ θ r 0 180 360 Sy ry ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 39 Tenacidade à fratura Quanto mais abaixo estiver o valor de K do valor crítico, denominado tenacidade à fratura (K IC ), maior a possibilidade de se considerar a trinca em modo estável, para carga estática e meio não corrosivo; ou ainda, em modo de progressão lenta para carga dinâmica e meio não corrosivo. Se o meio é corrosivo, a trinca encontra-se em modo de progressão rápida. Se, pelo incremento da tensão nominal, ou crescimento da trinca, o fator K atingir K IC , a trinca propagar-se-á repentinamente até a falha. Nestes casos, portanto, o fator de segurança é dado por: K K N IC FM = (2.33) Pela própria definição, nota-se que o fator de segurança pode ser variável no tempo, se a trinca se encontrar em modo de progressão, pois K é função do comprimento característico (2a) da trinca. Assim sendo, conhecidos a largura da trinca e a resistência a fratura (K IC ) para o material, a tensão nominal máxima permissível pode ser determinada para qualquer valor do fator de segurança NFM. Procedimento Geral. A seguir, estão organizadas, num diagrama de blocos, as principais etapas para o cálculo do fator de segurança e análise de fratura de um elemento. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 40 ANÁLISE DE FALHA PARA CARGA ESTÁTICA Forças, Torques e Momentos Seções mais Solicitadas Geometria do Elemento Diagrama de Corpo Livre Distribuição de Tensões Tensões Principais Máxima Tensão de Cisalhamento Níveis mais elevados e tensões combinadas ESTADO DE TENSÕES Materiais Dúcteis Tensão efetiva de Von Mises Fator de segurança N = S y / σ Características Metalúrgicas Fator de segurança N = S ut / σ’ Características Metalúrgicas Tensão efetiva de Coulomb-Mohr Materiais Frágeis FIM Fator de Intensidade de Tensão K Resistência a Fratura K IC FRATURA TRINCA NÃO SIM ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 41 2.3. TEORIA DE FALHA POR FADIGA 2.3.1 Introdução Carregamentos variáveis no tempo são causa muito mais freqüente de falhas do que os carregamentos estáticos. As falhas por carregamento dinâmico ocorrem, tipicamente, a níveis de tensões significativamente inferiores ao da resistência ao escoamento dos materiais. A Tabela 2.3 relaciona a nomenclatura e a simbologia a serem utilizadas nesta seção. Tabela 2.3 - Nomenclatura e Simbologia. Símbolos Variável Unidades ips Unidades SI a meia largura da trinca in m b meia largura da superfície trincada in m A razão de amplitudes adimensional adimensional A 95 área tencionada acima de 95% de σ max in 2 m 2 C carga fator de carregamento adimensional adimensional C conf fator de confiabilidade adimensional adimensional C tam fator de tamanho ou dimensões adimensional adimensional C sup fator de acabamento superficial adimensional adimensional C temp fator de temperatura adimensional adimensional d equiv diâmetro equivalente para A 95 de seções não circulares in m N número de ciclos adimensional adimensional N f fator de segurança em fadiga adimensional adimensional q sensibilidade ao entalhe do material adimensional adimensional R razão de tensões adimensional adimensional S e limite de resistência à fadiga corrigido psi Pa S e’ limite de resistência à fadiga (testes) psi Pa S f resistência à fadiga corrigido psi Pa S f’ resistência à fadiga (testes) psi Pa S n resistência média para qualquer N psi Pa S us máxima resistência ao cisalhamento psi Pa β fator de geometria tensão-intensidade adimensional adimensional σ a , σ m componentes normais alternada e média psi Pa σ a’ , σ m’ componentes efetivas alternada e média de Von Mises psi Pa ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 42 σ max máxima tensão normal aplicada psi Pa σ min mínima tensão normal aplicada psi Pa σ 1 σ 2 σ 3 tensões principais psi Pa σ tensão normal psi Pa σ’ tensão efetiva de Von Mises psi Pa K f fator de concentração de tensões em fadiga adimensional adimensional K fator de intensidade de tensão psi- in 0.5 Pa – m 0.5 K c resistência à fratura psi- in 0.5 Pa – m 0.5 ∆K faixa do fator de intensidade de tensão psi- in 0.5 Pa – m 0.5 ∆K th limite inferior da variação do fator de intensidade de tensão abaixo do qual não há a propagação da trinca psi- in 0.5 Pa – m 0.5 2.3.2 Mecanismo de Falha por Fadiga Falhas por fadiga também se iniciam a partir de uma trinca. Esta, por sua vez, pode estar presente no material desde a fabricação do elemento, ou pode se desenvolver com o tempo, devido a deformações cíclicas em torno da região de concentração de tensão. Em fadiga, a trinca geralmente se inicia em uma imperfeição ou descontinuidade do material, que atuam como pontos de concentração de tensões. Existem três estágios básicos e fundamentais na falha por fadiga: a nucleação da trinca, a propagação da trinca e a fratura súbita, devido ao crescimento instável da trinca. Estágio de Nucleação da Trinca Assumindo um material dúctil, onde não ocorrem trincas inicialmente, mas sim inclusões ou imperfeições metalúrgicas, existem regiões de concentração de tensão geométrica, situadas em posições de significativas tensões variáveis no tempo. Tais tensões apresentam uma componente positiva de tração, conforme a figura 2.18. Figura 2.18 - Tensões Variáveis no tempo. t t t alternada simétrica pulsante flutuante tensão tensão tensão ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 43 Como as tensões são variáveis, um escoamento local pode ocorrer, mesmo estando, neste caso, a tensão nominal abaixo da resistência ao escoamento do material. O escoamento plástico localizado causa distorção, criando bandas de deslizamento devido ao movimento de cisalhamento (ondulações microscópicas) a cada ciclo. Assim sendo, com os ciclos de tensão, bandas adicionais ocorrem em torno do núcleo da trinca (figura 2.19). Figura 2.19 - Mecanismo de Falha por Fadiga em materiais dúcteis. Estágio de Propagação da Trinca Uma vez iniciada a microtrinca, forma-se o campo de tensão, já descrito no ítem 2.3. A trinca aguda gera concentrações de tensões, mais elevadas que as já existentes na imperfeição inicial. Assim, uma região plástica se desenvolve na extremidade da trinca, cada vez que a tensão de tração tende a abri-la, atenuando a geometria aguda da extremidade e, consequentemente, reduzindo a concentração de tensão efetiva nesta região. A trinca, então, aumenta levemente. Quando a tensão de tração diminui, ou se alterna para um valor nulo ou negativo (figura 2.18), ocorre o fechamento da trinca e, momentaneamente, o escoamento cessa, assumindo a extremidade da trinca, uma forma aguda novamente, sendo, porém, de maior extensão. Este processo permanece o tempo necessário para que a tensão local passe a oscilar de valores inferiores a valores superiores ao limite de escoamento, na extremidade da trinca. Portanto, o crescimento da trinca ocorre devido à tensão de tração, e sempre na direção normal à máxima tensão de tração aplicada. A taxa de propagação da trinca é muito pequena, sendo de uma ordem de grandeza entre 10 -8 e 10 -4 in por ciclo, que corresponde às distâncias entre as ondulações. Esta taxa aumenta à medida que o número de ciclos aumenta. Não se devem confundir as ondulações NUCLEAÇÃO DA TRINCA MARCAS DE PRAIA REGIÃO DE RUPTURA ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 44 com marcas de praia. As ondulações são marcas microscópicas na superfie de fratura e mostram o quanto à trinca avança em um ciclo de carregamento. Já as marcas de praia são macroscópicas e se devem a variações na amplitude ou na freqüência do carregamento cíclico. Ao contrário das ondulações que estão sempre presentes nas peças que falham por fadiga, as marcas de praia não estão presentes nos corpos de provas que são ensaiados a uma rotação constante e sem variação na amplitude de carregamento. Entretanto, em peças que falham por fadiga, as marcas de praia “contam a história da peça”, pois registram na superfície da trinca as partidas e paradas da máquina e as sobrecargas devido a imprevistos durante a operação. Fratura A trinca continua a crescer, enquanto estiver presente a ação da tensão de tração alternada, e/ou se atuarem fatores agravantes, como um meio corrosivo, por exemplo. Em algum ponto, as dimensões da trinca tornam-se suficientemente elevadas, de modo que o fator de intensidade de tensão K, associado à extremidade da trinca, possa atingir o limite de resistência à fratura do material (K C ), desencadeando a falha repentina e instantânea no próximo ciclo de tensões. Este efeito é semelhante ao descrito para carga estática, onde por crescimento da trinca ou por incremento da tensão nominal, a condição K = K C é atingida. O resultado é sempre o mesmo: fratura súbita e catastrófica, sem aviso. 2.3.3 Cargas Alternadas em Fadiga Qualquer carregamento variável com o tempo pode causar fadiga. O caráter destas cargas, porém, pode variar substancialmente. Em máquinas rotativas, tais cargas tendem a manter sua amplitude no tempo, repetindo-se segundo uma determinada freqüência. As funções típicas que descrevem a variação da tensão no tempo, para estas máquinas, podem ser modeladas como funções senoidais. Figura 2.20 Tensões Variáveis no Tempo e as Principais Grandezas associadas. t t t alternada simétrica pulsante flutuante σ σ σ σ max σ max σ max σ min σ min σ min = 0 σ m σ m σ m = 0 σ a σ a σ a ∆σ ∆σ ∆σ ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 45 A faixa de variação de tensões ∆σ é dada por: min max σ σ ∆σ − = (2.34) A componente alternada (ou variável da tensão) é: 2 min max σ σ σ a − = (2.35) A componente média, em torno da qual oscila a tensão: 2 min max σ σ σ m + = (2.36) Tem-se, ainda, a razão de tensões R e a razão de amplitudes A: max min σ σ R = e m a σ σ A = (2.37) Para tensão alternada, tem-se R = -1 e A tende a infinito. Se a tensão é pulsante, então R = 0 e A = 1. Para tensão flutuante, R e A são positivos e . 1 0 ≤ ≤ R A presença da componente média da tensão σ m pode influir de maneira significante na vida em fadiga de um componente. 2.3.4 Principais Diagramas Curva S-N: relaciona o nível de tensão com o número de ciclos aplicado até a falha. O nível de tensão pode ser dado por S f (resistência à fadiga) ou pela relação S f / S ut , ou seja, entre a resistência à fadiga e a máxima resistência à tração. N representa o número de ciclos até a falha. Por exemplo, para 10 5 ciclos, o limite de resistência à fadiga é de, aproximadamente, 220 MPa . Note que a escala para a curva S-N é representada em coordenadas log-log. Aço S e’ ≅ 0,5 S ut para S ut < 200 ksi (1400MPa) S e’ ≅ 100 ksi (700MPa) para S ut ≥ 200 ksi (1400MPa) Ferro S e’ ≅ 0,4 S ut para S ut < 60 ksi (400MPa) Fundido S e’ ≅ 24 ksi (160MPa) para S ut ≥ 200 ksi (400MPa) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 46 Figura 2.21 - Curva S-N para carga axial alternada e flexão alternada (eixos rotativos). A resistência à fadiga diminui estacionária e linearmente com o aumento do número de ciclos, até atingir um ponto onde ocorre a formação de um cotovelo entre, aproximadamente, 10 6 e 10 7 ciclos. Este ponto define o limite de resistência para o material, ou seja, o nível de tensão abaixo do qual o material pode ser submetido a um número infinito de ciclos, sem ocorrência de falha. Porém, nem todos os materiais apresentam este ponto nas curvas S-N. Para alguns, a curva S-N cai continuamente com o acréscimo do número de ciclos N. Para fadiga torcional, os pontos de falha, para flexão e torção alternadas, são plotados num gráfico, cujos eixos relacionam σ 1 e σ 3 (figura 2.22). Figura 2.22 - Pontos de falha por fadiga sobre o critério da energia de distorção para carga estática. N 150 200 250 300 S f [ ] MPa Axial Alternada Flexional Alternada 10 4 10 5 10 6 10 7 σ 3 / S n σ 1 / S n Torção Alternada Reversa Teoria da Energia de Distorção Flexão Reversa ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 47 Nota-se a semelhança com a elipse da teoria de falha por energia de distorção, para carga estática. Portanto, a relação entre a resistência à fadiga torcional e a resistência à fadiga flexional mantém-se a mesma, tanto para carregamento cíclico, como para estático. A resistência à fadiga torcional (ou limite de fadiga torcional) para um material dúctil, será 58% da resistência à fadiga flexional (ou limite de fadiga flexional). f fs S S 577 , 0 = (2.38) A presença da componente média da tensão variável no tempo tem um efeito significativo sobre falhas em fadiga. Quando a componente média de tração é adicionada à componente alternada da tensão (figura 2.20 para tensões pulsante e flutuante), o material falha a níveis de tensões alternadas inferiores ao caso de tensão alternada simétrica. A figura 2.23 representa os resultados de testes para aços, em aproximadamente 10 7 ciclos, para vários níveis de combinação das componentes média e alternada da tensão. Figura 2.23 - Efeito da Tensão Média sobre a Resistência à Fadiga, para um elevado número de ciclos. Os eixos são normalizados, sendo que, para as ordenadas, tem-se a relação da componente alternada da tensão pela resistência à fadiga do material, para tensão cíclica reversa (σ a / S f ); enquanto que, para as abcissas, tem-se a relação entre a componente média da tensão e a máxima resistência à tração do material (σ m / S ut ). A parábola que ajusta os dados com precisão razoável, é denominada linha de Gerber; enquanto que, a linha reta que une os pontos extremos de resistência à fadiga e de máxima σ a / S f 0.8 1.0 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5 1.0 σ m / S ut Linha de Gerber Linha de Goodman ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 48 resistência à tração, chama-se linha de Goodman, e representa uma boa aproximação para o limite inferior dos dados de testes. A linha de Gerber representa a medida do comportamento médio destes parâmetros para materiais dúcteis; enquanto que a linha de Goodman é o limite mínimo para este comportamento, em flexão alternada, sendo aplicada como critério de projeto, uma vez que está mais a favor da segurança. Quando σ m é diferente de zero, isto significa que ocorre a componente média de tensão. No caso de compressão, este efeito pode ser benéfico pela introdução de tensões residuais no material. Para tração, o efeito é bem mais restritivo quanto aos limites de resistência (figura 2.24). Critério de Fratura Mecânica O limite de resistência à fratura estática (K IC ), já descrito anteriormente, será adequado ao caso de solicitação dinâmica. Para o caso de falha por fadiga, a faixa de tensões aplicadas estende-se de σ min a σ máx . A faixa do fator de intensidade de tensões ∆K, pode ser estimada para cada condição de tensão flutuante. Na figura 2.24, a escala é logarítmica somente para as ordenadas (σ a ). max min min max 0 K ∆K K se K K ∆K = ⇒ < − = ou ainda, ( ) min max σ σ πa β ∆K − = (2.39) Figura 2.24 - Efeito da Componente Média de Tensão na Vida em Fadiga. A taxa de crescimento da trinca em função do número de ciclos (da/dN) pode ser estimada, definindo-se uma curva que relaciona esta grandeza com a faixa do fator de intensidade de tensões ∆K, ambos em escala logarítmica. σ a N (número de ciclos) 10 3 10 8 σ m compressão σ m = 0 σ m tração ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 49 Figura 2.25 - Três Regiões da Curva de Taxa de Crescimento da Trinca. A figura 2.25 divide-se em três regiões: Região I, correspondente ao estágio de formação da trinca; Região II, ao estágio de propagação da trinca; e Região III, ao estágio de fratura instável. A Região II é de particular interesse na predição da vida em fadiga, sendo que a curva, nesta região, se comporta como uma reta em escala log-log. ( ) n ∆K A dN da = (2.40) Tabela 2.4 - Parâmetros A e n, para vários tipos de aços. SI ips Aços A n A n Ferrítico-Perlítico 12 10 9 , 6 − x 3,00 10 10 60 , 3 − x 3,00 Martensítico 10 10 35 , 1 − x 2,25 9 10 60 , 6 − x 2,25 Austenítico Inoxidável 12 10 60 , 5 − x 3,25 10 10 00 , 3 − x 3,25 A vida, durante a propagação da trinca em fadiga, é dada pela integração da equação (2.40), tendo como limites inferior e superior, respectivamente, um comprimento inicial assumido e um comprimento final máximo aceitável para a trinca. A Região I é também de interesse, pois evidencia a existência de um valor mínimo ∆K th , abaixo do qual não ocorre o crescimento da trinca. I II III dN da ∆K ∆K th K c ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 50 Fatores de Correção para a Resistência a Fadiga A resistência à fadiga, obtida através de testes de fadiga padronizados, deve ser adequada às diferenças físicas existentes entre o ambiente de teste e o elemento real a ser projetado. Os principais fatores a serem considerados para correção ou adequação deste parâmetro são: carregamento aplicado, tamanho ou dimensões, acabamento superficial, temperatura ambiente e confiabilidade. S e = C carga .C tam .C sup .C temp .C conf .S e’ S f = C carga .C tam .C sup .C temp .C conf .S f’ (2.41) Na qual: S e representa a resistência à fadiga corrigida para um material, cuja curva S-N apresente o cotovelo que caracteriza o limite de resistência à fadiga para este material. S f representa a resistência à fadiga corrigida para um material, cuja curva S-N não possui o limite de resistência à fadiga e, portanto, decresce continuamente. S e’ representa o limite da resistência à fadiga do corpo de prova, obtido no laboratório. Efeito do Carregamento: A grande maioria dos dados de testes relativos à resistência à fadiga é realizada para flexão alternada, sendo aplicado um fator de correção para carregamento axial. Flexão Alternada: C carga = 1,0 Carga Axial: C carga = 0,70 Para teste de fadiga torcional (figura 2.22), a resistência à fadiga por cisalhamento é 0,577 vezes a resistência à fadiga por flexão alternada. Assim, para torção pura, deve-se aplicar C carga = 1,0. Para tensões alternadas combinadas, deve-se estimar a tensão efetiva de Von Mises a partir das tensões aplicadas, para comparação direta com a resistência à fadiga por flexão. Efeito de Tamanho: Os corpos de prova utilizados em testes de fadiga apresentam, normalmente, dimensões reduzidas. Um fator de redução de resistência, associado à correção de tamanho, deve ser aplicado para elementos com dimensões superiores àquelas empregadas nos testes; pois, em um volume maior, aumenta a probabilidade de imperfeições, ocasionando falhas a níveis de tensões bem mais baixos em relação aos testes. A equação (2.42) apresenta os fatores de tamanho para peças de aço. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 51 0 , 1 8mm ou in 3 0 = ≤ tam C . d 097 0 097 0 189 , 1 mm 250 mm 8 869 , 0 in 10 in 0.3 . tam . tam d C d d C d − − = ≤ ≤ = ≤ ≤ (2.42) Para dimensões muito elevadas, deve-se aplicar C tam = 0,6. A expressão (2.42) foi ajustada para elementos cilíndricos. Para seções com outras formas geométricas, ou ainda, não circulares, toma-se por equivalência a área tencionada acima de 95% da tensão máxima presente na superfície do elemento. Define-se, portanto, um diâmetro equivalente, por similaridade de área tencionada, para uma viga rotativa de teste. Como a distribuição de tensões é linear através do diâmetro da seção circular, para uma viga rotativa sujeita a flexão alternada, o diâmetro varia de 0,95 d a 1,0 d na seção sujeita a uma distribuição de tensões entre 95% a 100% de σ max . ( ) 2 2 2 95 0766 , 0 4 95 , 0 d d d π A = ( ¸ ( ¸ − = (2.43) O diâmetro equivalente, para um elemento de seção não circular, é dado por: 0766 , 0 95 A d equiv = (2.44) Figura 2.26 - Área Tencionada acima de 95% da Tensão Máxima. Sendo A 95 a porção da área da seção não circular, tencionada entre 95% e 100% da tensão máxima de flexão. Para as principais seções utilizadas em projeto, tem-se: A 95 τ max 95% τ max 0,95 d d ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 52 Figura 2.27 - Cálculo de A 95 para algumas seções mais comuns. Seções carregadas axialmente sempre têm C tam = 1,0, porque evidências experimentais mostram que não existe sensibilidade das propriedades de resistência a fadiga quanto ao tamanho da peça, para este tipo de carregamento. Efeito de Acabamento Superficial: O corpo de prova empregado nos testes apresenta um acabamento superficial polido espelhado, de modo a evitar imperfeições de superfície que atuem como incrementos de tensões. Como este nível de acabamento raramente ocorre em um elemento real, a rugosidade de seu acabamento deve reduzir a resistência à fadiga, introduzindo fatores de concentração de tensões, ou alterando as propriedades físicas da superfície. O fator de redução da resistência por acabamento superficial, C sup , leva em consideração tais diferenças. A figura 2.28 indica alguns valores para o fator de correção, para acabamento superficial, de acordo com os acabamentos mais comuns para aços. d 2 95 0766 , 0 d A = b h bh A 05 , 0 95 = 1 1 2 2 b h t x ( ) x h t bx A b t bh, A − + = ≥ = − − 05 , 0 025 , 0 05 , 0 2 2 1 1 95 95 b h t 1 1 2 2 b t bh, A bt A 025 , 0 05 , 0 10 , 0 2 2 1 1 95 95 ≥ = = − − ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 53 (a) (b) Figura 2.28 - Fator de Correção de Superfície para Aços (a) e em função da Rugosidade do Material (b). Shigley e Mischke (1989) desenvolveram uma equação exponencial para representar o fator de superfície em função da máxima resistência a tração (S ut ), em [kpsi] ou [Mpa]. ( ) C A S ut b sup = (2.45) Se C sup > 1,0, aplica-se então, C sup = 1,0. Polimento Retífica fina ou Polimento comercial Corroído em água salgada Corroído em água Usinado ou trabalho a frio Laminado a quente ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 54 Tabela 2.5 - Coeficientes para a Equação de Fator de Correção de Superfície. MPa kpsi Acabamento Superficial A b A b Polimento fino comercial 1,58 -0,085 1,34 -0,085 Usinado ou Estampado a frio 4,51 -0,265 2,70 -0,265 Rolado a quente 57,7 -0,718 14,40 -0,718 Forjado 272 -0,995 39,90 -0,995 Efeito de Temperatura: Testes de fadiga são realizados, geralmente, a temperatura ambiente. O limite de resistência à fratura decresce a baixas temperaturas, elevando-se para valores moderadamente altos de temperatura (até 350 o C). Porém, o limite de resistência à fadiga (cotovelo da curva S-N) desaparece para temperaturas muito altas. A resistência à fadiga passa a apresentar um comportamento continuamente decrescente com o aumento do número de ciclos. Outro fenômeno importante é a queda do limite de resistência ao escoamento (S y ) do material, continua para temperaturas acima da ambiente, causando o escoamento antes da falha por fadiga, algumas vezes. Para temperaturas próximas àquela de fusão do material, o escorregamento ou deslizamento do material na superfície do elemento torna-se um fator significativo, não sendo mais válidas as aproximações para a vida do elemento em número de ciclos, sob tensão alternada. Uma aproximação para determinação da vida por deformação, deve levar em conta a combinação de ambos os efeitos, deslizamento e fadiga, para elevadas condições de temperatura. O fator de redução da resistência à fadiga devido a elevadas temperaturas, C temp , é definido por Shigley e Mitchell (1989), como: ( ) ( ) ( ) F 1020 840 para 840 0032 , 0 1 C 550 450 para 450 0058 , 0 1 F 840 C 450 para 0 , 1 ≤ ≤ − − = ≤ ≤ − − = ≤ = T T C T T C T C temp o temp o o temp (2.46) Os valores acima são válidos para aços e não devem ser usados para outros metais, tais como alumínio, manganês e ligas de cobre. Efeito de Confiabilidade: Muitos dos dados de resistência disponíveis na literatura são valores médios, resultantes de uma série de múltiplos testes do mesmo material, testado sob as mesmas condições. Para os aços comerciais, o desvio padrão da resistência à fadiga atinge 8% do seu valor médio. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 55 A Tabela 2.6 estabelece fatores de confiabilidade para um desvio padrão de 8%. O fator de redução da resistência, devido à confiabilidade, é definido de acordo com os níveis deste parâmetro. Para 50% de confiabilidade nos dados de testes, assume-se um fator igual à unidade. Para valores de confiabilidade superiores, a resistência à fadiga deve ser corrigida pelo fator de confiabilidade. A tabela 2.6 mostra os fatores de confiabilidade para um desvio padrão de 8%. Tabela 2.6 - Fatores de Confiabilidade para desvio padrão de 8%. CONFIABILIDADE 50 % 90 % 99 % 99.9 % 99.99 % 99.999 % C conf 1,0 0,897 0,814 0,753 0,702 0,659 Entalhes e Concentração de Tensões Entalhe é um termo genérico que se refere a um contorno geométrico, que interrompe o fluxo de forças através do elemento. Pode ser um furo, uma ranhura, ou uma mudança de área de seção. Serão analisadas as alterações geométricas funcionais introduzidas no projeto, por exemplo: ranhuras em eixos para instalação de O-rings, furos para junções, etc. Os fatores de concentração de tensão, K t (tensão normal) e K ts (tensão de cisalhamento), definidos para carga estática, devem ser modificados para carregamento dinâmico, com base na sensibilidade ao entalhe do material, para obtenção do fator de concentração de tensão em fadiga (K f ), que será aplicado às tensões nominais de projeto. Define-se, portanto, o fator de sensibilidade ao entalhe: ( ) ( ) q K K f t = − − 1 1 (2.47) Na qual, K t é o fator de concentração de tensões geométrico (ou estático) e K f é o fator de concentração de tensões dinâmico (ou em fadiga). ( ) K q K q f t = + − ≤ ≤ 1 1 0 1 , onde (2.48) Inicialmente, determina-se o fator K f , de acordo com a geometria funcional introduzida no elemento, selecionando-se o fator de sensibilidade ao entalhe q correspondente ao material utilizado. Pela expressão (2.48), estima-se o fator dinâmico K f , a ser utilizado nos cálculos: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 56 σ σ τ τ = = K K f nom f nom (2.49) O fator q também pode ser definido pela expressão de Kunn-Hardrath (1952), em função da constante a e do raio do entalhe r: q a r = + 1 1 (2.50) A tabela 2.7 mostra os valores da constante a , também conhecida como contantes de Neuber, para aços em função de seu limite de ruptura. Tabela 2.7 - Constante de Neuber. S ut (ksi) 50 55 60 70 80 90 100 a (in 0,5 ) 0,130 0,118 0,108 0,093 0,080 0,070 0,062 S u t (ksi) 110 120 130 140 160 180 200 a (in 0,5 ) 0,055 0,049 0,044 0,039 0,031 0,024 0,018 S ut (ksi) 220 240 a (in 0,5 ) 0,013 0,009 Projeto para Tensões Alternadas Simétricas ou Completamente Reversas Recomenda-se o seguinte roteiro para o cálculo da resistência à fadiga: 1) Determinar o número de ciclos N do carregamento cíclico para o qual o elemento deverá ser projetado. 2) Determinar a faixa da carga alternada aplicada, pico a pico. 3) Determinar os fatores de concentração de tensões geométricos (K t ou K ts ). 4) Definir as propriedades do material S ut , S y , S e’ ou S f’ e q. 5) Converter K t para K f , aplicando q. 6) Determinar a componente alternada σ a , a partir da análise de tensões, incrementando, se necessário, através do fator de concentração de tensões em fadiga K f . ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 57 7) Determinar as tensões principais alternadas nas localizações críticas, já considerando o efeito de fatores de incremento de tensões. 8) Estimar a Tensão Efetiva de Von Mises nas regiões críticas. 9) Determinar os fatores de correção para a resistência à fadiga (S e’ ou S f’ ): S e’ = 0.5 S ut . 10) Calcular a resistência à fadiga corrigida para o ciclo de vida N esperado. Se a curva S-N apresenta o cotovelo que caracteriza o limite de resistência à fadiga para vida infinita, então, S f = S e . Para materiais sem o limite de resistência para vida infinita, escreve-se a equação da reta para a curva S-N, em escala log-log. S aN n b = N b a S n log log log + = Para N = N 1 = 10 3 ciclos, tem-se S n = S m , que intercepta o eixo das ordenadas. Para N = N 2 = 10 6 ciclos, tem-se S n = S e , para materiais com cotovelo em S - N. Figura 2.29 – Curva S-N para materiais sem o limite de resistência para vida infinita. Para N = N 2 = 10 6 ciclos, tem-se S n = S f , para materiais com cotovelo em S - N. N b S a n log log log − = b S N b S a m m 3 log log log log 1 − = − = (2.51) (2.52) ) / log( log log 1 log log log log log log 2 1 2 1 e m e m n S S N N N N S S N S b − = − − = ∆ ∆ = (2.53) S m = 0,90 S ut para flexão alternada S m = 0,75 S ut para carga axial alternada S f N S e S m 10 3 10 6 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 58 11) Comparar a tensão alternada efetiva de Von Mises com a Resistência à Fadiga corrigida, obtida da curva S-N, para o ciclo de vida desejado. 12) Calcular o Fator de Segurança N f = S n / σ. Projeto para Tensões Alternadas Flutuantes Recomenda-se o seguinte roteiro para o cálculo da resistência à fadiga: 1) Determinar o número de ciclos N do carregamento cíclico para o qual o elemento deverá ser projetado. 2) Determinar a amplitude da componente alternada do carregamento e da componente média. 3) Determinar os fatores de concentração de tensões geométricos (K t ou K ts ). 4) Definir as propriedades do material S ut , S y , S e’ ou S f’ e q. 5) Converter K t para K f , aplicando q. 6) Determinar a componente de tração nominal alternada σ a , a partir da análise de tensões, nas regiões críticas, bem como a componente média σ m . 7) Determinar as tensões reais alternada e média, nas localizações críticas, já considerando o efeito do fator de concentração de tensões em fadiga. 8) Para proceder com o passo (7), é necessário definir K fm , ou seja, o fator médio associado à componente média de tensões σ m . 0 então , 2 Se c) então Se b) então Se a) min max max max = ≥ − − = ≥ = ≤ fm y f m a f y fm y f f fm y f K S σ σ K σ σ K S K , S σ K K K , S σ K Figura 2.30 – Curva S-N para materiais sem o limite de resistência para vida infinita. I II III K fm σ max K f S y / K f 2S y / ∆σK f ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 59 9) Estimar a Tensão Efetiva de Von Mises, a partir do estado real de tensões, para as componentes média e alternada. 2 2 2 3 xym ym xm ym xm m τ σ σ σ σ σ + − + = ′ 2 2 2 3 xya ya xa ya xa a τ σ σ σ σ σ + − + = ′ (2.54) (2.55) 10) Determinar os fatores de correção para a resistência à fadiga (S e’ ou S f’ ): S e’ = 0,5 S ut . 11) Criar o Diagrama de Goodman Modificado para a resistência a fadiga corrigida (S e ou S f ), utilizando como limite do material, a resistência máxima à tração S ut . Figura 2.31 – Diagrama de Goodman Modificado. Note que, para materiais com vida infinita, S f = S e . 12) Determine os principais pontos de falha e calcule os Fatores de Segurança a eles associados. Figura 2.32 – Curva S-N para materiais sem o limite de resistência para vida infinita. σ a σ m σ a ’ σ m ’ S e ou S f S y S y S ut Estado de Tensão de Von Mises σ a σ m σ a ’ σ m ’ S e ou S f S y S y S ut N f1 N f2 N f3 N f4 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO II 60 N f1 : Para componente alternada constante e componente média variável. N S S f y m a y 1 1 = ′ − ′ | \ | ¹ | | σ σ (2.56) N f2 : Para componente média constante e componente alternada variável. N S S f f a m ut 2 1 = ′ − ′ | \ | ¹ | σ σ (2.57) N f3 : Para componentes média e alternada variáveis, mantendo, porém, uma relação fixa entre se (σa’ / σm’ = cte). N S S S S f ut f a ut m f 3 = ′ + ′ σ σ (2.58) N f4 : Para componentes média e alternada variáveis quaisquer. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 m a as a ms m m a f N σ σ σ σ σ σ σ σ ′ + ′ ′ − ′ + ′ − ′ + ′ + ′ = (2.59) ( ) 2 2 2 ut f m ut a f f ut ms S S S S S S + ′ + ′ − = ′ σ σ σ (2.60) ( ) f ut ms f as S S S + ′ − = ′ σ σ (2.61) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 61 CAPÍTULO III PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO E ACOPLAMENTOS RADIAIS E AXIAIS 3.1. EIXOS DE TRANSMISSÃO 3.1.1 Introdução O termo eixo refere-se, geralmente, a um componente de seção transversal circular, cujo comprimento axial supera o diâmetro da área de seção transversal, e que possui rotação em torno de seu eixo de simetria, transmitindo rotação e torque, ou ainda, potência. Componentes como engrenagens, polias, cames, volantes e outros, são normalmente fixados axial e/ou radialmente ao eixo através de chavetas, retentores ou anéis de fixação, e são normalmente denominados de "elementos associados". Acoplamentos (rígidos e elásticos), juntas universais e juntas homocinéticas, são considerados elementos responsáveis pela união axial de um ou mais eixos a uma fonte de potência ou de carregamento. Um eixo que não possui rotação é considerado um elemento estacionário ou de suporte, como uma viga. Os eixos podem ser submetidos a várias combinações de carregamentos: axial, transversal, flexional ou torsional, que podem ser estáticos ou dinâmicos. Normalmente, um eixo rotativo transmitindo potência (em regime), está sujeito à ação de um momento torsor constante, que produz uma tensão de cisalhamento estática, e um momento fletor orientado, que por sua vez, produz uma tensão normal alternada simétrica (as fibras de uma região do eixo são sucessivamente submetidas à tração e à compressão, devido à rotação e deflexão do eixo), solicitando este elemento em fadiga. Portanto, para satisfazer os critérios de falha associados aos conceitos de resistência dos materiais, os eixos devem ser projetados de forma que suas deflexões permaneçam dentro de limites aceitáveis. Uma deflexão lateral excessiva em um eixo pode comprometer o funcionamento de engrenagens e cames, causando ruído excessivo. A deflexão angular, por sua vez, pode ser destrutiva quando atuando em mancais de rolamento não autocompensadores. A torção pode afetar a precisão de ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 62 um came ou de um trem de engrenagens. Além das condições citadas, vale lembrar que, quanto maior a flexibilidade do eixo, tanto mais baixa será a velocidade crítica correspondente, a qual pode então se posicionar anteriormente à rotação operacional do eixo. Neste caso, a cada acionamento do sistema, o eixo deve ultrapassar sua condição de ressonância, até atingir seu regime de operação, o que demanda energia (ou torque de acionamento) suficientemente elevada para superar esta região crítica de funcionamento da máquina. Muitas vezes, os elementos associados são parte integral do eixo. Normalmente, são construídos separadamente e montados sobre o mesmo através de elementos de fixação como: • Pinos: encaixe simples para transmissão de carregamentos leves. Os principais tipos são: pino reto, pino cônico, pino elástico e pino ranhurado. • Chavetas: utilizadas para taxas mais pesadas de serviço ou operação. Principais tipos: chaveta de seção quadrada, retangular, redonda, chavetas em montagem dupla a 90°, chaveta woodruff (meia pastilha), chavetas com cabeça e, ainda, as parafusadas. • Anel de fixação axial ou retentores: método excelente e de baixo custo para posicionamento e fixação axial em eixos. Os tipos convencionais são montados em ranhuras, enquanto que os tipos sob pressão não necessitam das mesmas. Em ambos os casos, os anéis podem ser externos (montados sobre os eixos) ou internos (montados na caixa ou equivalente). • "Splines" ou eixos ranhurados ou estriados: normalmente permitem uma conexão axial mais resistente para altas taxas de transmissão de torque. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 63 Tabela 3.1 - Nomenclatura e Simbologia. Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI A área in 2 2 m c distância da fibra externa à linha neutra in m d diâmetro in m e excentricidade in m G módulo de cisalhamento psi Pa E módulo de Young psi Pa I momento de área in 4 4 m J momento polar de área in 4 4 m C f coeficiente de flutuação adimensional adimensional Ek , Ep energia cinética e energia potencial in-lb Joule F força ou carregamento lb N Fl flutuação (em velocidade angular) rad/sec rad/sec fn freqüência natural em Hz Hz Hz Ny fator de segurança em escoamento adimensional adimensional Nf fator de segurança em fadiga adimensional adimensional g aceleração da gravidade 2 sec in 2 sec m k constante de mola lb / in N / m Kf , Kfm fator de concentração de tensão em fadiga adimensional adimensional Kt , Kts fator de concentração de tensão geométrico (estático) adimensional adimensional m massa lb sec / in 2 − kg l comprimento in m M momento fletor lb-in N-m P potência hp watts p pressão psi Pa r raio in m T torque ou momento torsor lb-in N-m W peso lb N α aceleração angular 2 sec rad 2 sec rad δ deflexão in m ν coeficiente de Poisson adimensional adimensional ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 64 θ deflexão angular rad rad γ densidade de peso lb in 3 3 m N σ tensão normal psi Pa σ’ tensão de Von Mises psi Pa τ tensão de cisalhamento psi Pa ω velocidade angular em rad/sec rad / sec rad / sec ωn freqüência natural em rad/sec rad / sec rad / sec ζ fator de amortecimento adimensional adimensional Se limite de resistência à fadiga corrigido psi Pa Sf resistência à fadiga corrigido psi Pa Sy limite de resistência ao escoamento psi Pa S ut máxima resistência à tração psi Pa 3.1.2 Materiais para eixos No sentido de minimizar deflexões, o aço é a escolha lógica como material para fabricação de um eixo, devido ao seu alto módulo de elasticidade, embora o ferro fundido ou o ferro nodular sejam, algumas vezes, também usados, especialmente se engrenagens ou outros acessórios forem fundidos juntamente com o eixo. Materiais como bronze ou aço inoxidável podem ser também utilizados em equipamentos marinhos ou em equipamentos expostos a outros tipos de ambientes corrosivos. Em casos onde o eixo atua como munhão, deslocando-se no interior de um mancal, a dureza torna-se uma característica necessária ao material. Neste caso, a dureza do aço pode ser a melhor opção de escolha como material do eixo. A maioria dos eixos de transmissão de máquinas é constituída de aço baixo-médio carbono, que podem ser tanto laminados a quente quanto a frio, embora as ligas de aço sejam também utilizadas onde a característica de elevada resistência seja necessária, ou ainda, onde ocorrem maiores solicitações. Essas mesmas ligas, quando laminadas a frio, apresentam propriedades mecânicas mais elevadas em relação às ligas laminadas a quente, devido às propriedades do trabalho a frio. Porém, apresentam também a desvantagem da ocorrência de tensões superficiais residuais, devido a este processo de fabricação. O aço laminado a frio é mais usado para eixos de reduzido diâmetro (menores que 3 in ou 8 mm), podendo ser aplicados sem necessidade de usinagem prévia, a não ser em casos onde acessórios são acoplados ao eixo, exigindo, assim, uma superfície de melhor precisão e qualidade. Os aços laminados a quente são aplicados para os eixos de maior diâmetro, e devem ter toda a sua ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 65 superfície usinada, de modo a remover toda a camada carbonizada pelo processo. Em eixos onde foram usinados rasgos de chaveta, ranhuras ou variações de diâmetro (como para eixos escalonados) caracterizam-se as regiões de incremento ou concentração de tensões, o que pode vir a causar urdimento do eixo. Eixos de aço pré-endurecidos (30 HRC) e com precisão da própria laminação, podem ser obtidos em pequenas dimensões e podem, igualmente, ser usinados com ferramentas de carboneto. Eixos laminados de elevada dureza (60 HRC) podem ser obtidos, porém, não podem ser usinados. 3.1.3 Potência Transmitida pelo Eixo A potência transmitida por um eixo é obtida através de princípios simples. Em qualquer sistema rotativo, a potência instantânea é obtida pelo produto do torque pela velocidade angular (Capítulo I): P = T . ω (3.1) No qual ω é a velocidade angular em radianos por segundo. Qualquer que seja a unidade de medida usada para os cálculos, a potência é, geralmente, convertida em unidades do Sistema Inglês ips (HP) ou do Sistema Internacional SI (KW). Tanto o torque como a velocidade angular, pode variar com o tempo, embora a maioria das máquinas rotativas seja projetada para operarem a uma velocidade constante, ou aproximadamente constante, por um longo período de tempo. A potência média é, então, obtida a partir de: P AVG = T AVG. ω AVG (3.2) 3.1.4 Solicitações do Eixo O caso mais comum de solicitação do eixo está na aplicação de momento torsor e momento fletor alternados cíclicos e combinados. Podem ocorrer solicitações axiais, no caso de eixos verticais, ou no caso de existirem elementos acoplados, como hélices ou turbinas, que, em operação, geram uma componente normal de força. Um eixo deve ser projetado de modo a minimizar a ação dessas tensões axiais, apoiando-o em mancais axiais nas regiões mais próximas aos pontos de aplicação destas cargas. Tanto o momento torsor, quanto o ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 66 momento fletor, podem variar no tempo, conforme visto no Capítulo II, apresentando, portanto, componentes alternadas variáveis e componentes médias constantes. A combinação do momento fletor e do momento torsor em um eixo rotativo gera, no mesmo, um estado de tensão múltipla (Capítulo II). Se as cargas são assíncronas ou dispostas aleatoriamente, então ocorrerá um caso complexo de tensões multiaxiais. Porém, o estado multiaxial de tensões pode ocorrer mesmo se momentos torsor e fletor atuam em fase (ou defasados de 180º). O fator crítico para definir um estado simples ou complexo de tensões multiaxiais, é a direção da tensão principal alternada, num dado elemento do eixo. A maioria dos eixos rotativos, submetidos aos momentos fletores e torsores, encontra-se na categoria de estado combinado de tensões. Combinando os efeitos de flexão e cisalhamento, para visualização gráfica no Círculo de Mohr, obtém-se um estado de tensão principal alternada, que varia de direção. Uma exceção é o caso de momento torsor constante, superposto a um momento fletor que varia no tempo. Desde que o momento torsor constante não apresente uma componente alternada, para variar a direção da tensão principal alternada, este se torna um caso simples de esforço multiaxial. Entretanto, se existirem concentrações de tensões presentes, como rasgos de chavetas ou ranhuras no eixo, por exemplo, incrementos de tensão locais são introduzidos, e requerem uma complexa análise de fadiga multiaxial. Assume-se, portanto, que a função distribuição do momento fletor ao longo do eixo é conhecida numa dada situação, e que esta distribuição apresenta tanto uma componente média M m , como uma componente alternada M a. Da mesma maneira, assume-se que o momento torsor é conhecido, e que este apresenta tanto uma componente média quanto alternada, T m e T a . Então, o procedimento de análise para esta situação é o mesmo introduzido no Capítulo II para solicitação em fadiga. Em qualquer ponto do eixo, surgirão momentos e torques (especialmente em combinação com pontos de concentração de tensões), que devem ser analisados por critérios de falha por fadiga, assim como por uma análise dimensional da seção e/ou das propriedades do material, de modo a serem ajustados convenientemente. 3.1.5 Análise de Tensões no Eixo Para compreender como as seguintes equações foram obtidas, para múltiplos pontos do eixo, e seus efeitos multiaxiais combinados também considerados, deve-se, primeiramente, obter as tensões aplicadas em todos os pontos de interesse. As diversas componentes de tensões alternadas e médias, devido à flexão na superfície do eixo, são obtidas a partir de: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 67 σ a = K f . M a . c / I σ m = K fm . M m . c / I (3.3) No qual K f e K fm são os fatores de concentração de tensão em fadiga, devido ao momento fletor, para as componentes alternadas e médias, respectivamente. Sendo um eixo de seção constante e sólida, podemos substituir C e I por: c = r = d / 2 I = π . d 4 / 64 (3.4) Substituindo (3.4) em (3.3), obtem-se: σ a = K f . 32. M a / π . d 3 σ m = K fm . 32. M m / π . d 3 (3.5) As componentes alternada e média das tensões de cisalhamento devido ao momento torsor, são obtidas a partir de: τ a = K fs . T a . r / J τ m = K fsm . T m . r / J (3.6) No qual K fs e K fsm são os fatores de concentração de tensão em fadiga, devido ao momento torsor, para as componentes alternadas e médias, respectivamente. Para um eixo de seção constante e sólida, pode-se substituir R e J por: r = d/2 J = π . d 4 / 32 (3.7) Assim: τ a = K fs .16. T a / π . d 3 τ m = K fsm . 16. T m / π . d 3 (3.8) Se uma carga F Z , que produz uma tensão axial, estiver presente, produzirá apenas uma componente média, obtida a partir de: σ m axial = K fm . F Z / A = K fm . 4 .F Z / π . d 2 (3.9) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 68 3.1.6 Testes de Falhas para Eixos Submetidos a Carregamentos Combinados Extensivos estudos de falhas por fadiga, tanto para aços dúcteis, quanto para ferro fundido frágil, submetidos à torção e flexão, foram originalmente realizados nos anos 30 por Davies e por Gough e Pollard. Os resultados destes estudos encontram-se na Figura 3.1, obtida da norma ANSI/ASME Standard B106.1M-1985 para Design of Transmission Shafting (Projeto de Eixos de Transmissão). A combinação de torção e flexão para materiais dúcteis em fadiga, portanto, foi obtida através da equação geral, apresentada na Figura 3.1. Para materiais frágeis, os resultados (não apresentados), foram obtidos a partir do critério de máxima tensão principal. Estes resultados são similares aos obtidos para um estado de tensão combinada de torção e flexão, para carregamentos alternados simétricos. 3.1.7 Projeto de Eixos Tanto as deflexões quanto as tensões devem ser consideradas no projeto de um eixo. Muitas vezes, a deflexão pode se tornar o fator crítico, desde que excessivas deflexões podem causar um rápido desgaste dos mancais nos quais o eixo está apoiado. Engrenagens, correias ou correntes de acionamento, podem também sofrer com o desalinhamento que as excessivas deflexões do eixo produzem. Note que as tensões podem ser calculadas localizadamente para diversos pontos ao longo do eixo, baseando-se no conhecimento das cargas e da seção considerada. Porém, os cálculos de deflexão requerem que toda a geometria do eixo seja definida. Assim, geralmente, o eixo é projetado inicialmente sob as considerações da análise de tensões e, então, a partir do cálculo das deflexões, a geometria é totalmente definida. A relação entre as freqüências naturais do eixo, tanto em torção como em flexão, e a freqüência das funções de torque e de força de excitação, variáveis no tempo, pode ser crítica se as funções de excitação apresentam freqüências próximas à freqüência natural do eixo, provocando um estado de ressonância e, consequentemente, gerando elevados níveis de vibrações, tensões e deflexões. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 69 (a) (b) Figura 3.1 - Resultados de testes de fadiga em Aços sujeitos a Flexão e Torção Combinada, (a) Tensão de flexão alternada simétrica e Tensão de cisalhamento constante e (b) Tensões de flexão e de cisalhamento alternadas simétricas. 3.1.8 Considerações Gerais Algumas normas gerais para o projeto de eixos são apresentadas a seguir: 1. Para minimizar tanto as tensões quanto as deflexões, o comprimento do eixo deve ser o menor possível, assim como o número de apoios. 2. Na possibilidade de se escolher entre uma viga biapoiada e uma viga em balanço, é mais conveniente utilizar a viga biapoiada, com o intuito de minimizar as deflexões, uma vez que a viga em balanço apresenta deflexões mais acentuadas. O uso de vigas em balanço só deve ser feito quando detalhes de montagem exigirem seu uso. 3. Um eixo tubular apresenta uma menor relação massa/rigidez (rigidez específica) e, portanto, freqüências naturais mais elevadas, quando comparado a um eixo sólido. Porém, pode ser mais caro e necessitar de um diâmetro externo maior. 4. As regiões de incremento de tensões devem ser localizadas o mais distante possível das regiões de maior concentração de momentos fletores, minimizando seus efeitos com maior diâmetro da seção em questão. 5. Se a prioridade é a de minimizar as deflexões, o aço baixo-carbono pode ser a melhor opção de material, pois a sua rigidez é tão elevada quanto à de aços mais aço aços Aço carbono aço ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 70 caros. O eixo projetado para pequenas deflexões apresentará níveis de tensões mais baixos. 6. As deflexões geradas pela fixação de engrenagens ao eixo não podem ultrapassar o valor de 0.005 in (130µm). A deflexão angular do eixo, neste caso, não pode ultrapassar o valor de 0.03°. 7. Na presença de mancais hidrodinâmicos, as deflexões do eixo, nas seções próximas aos mancais, devem ser menores que a espessura do filme de óleo do mancal. 8. Se o mancal de rolamento empregado não for autocompensador, as deflexões angulares do eixo, próximas ao mancal, devem ser inferiores a 0.04°. 9. Se o eixo estiver submetido a carregamentos axiais, mancais axiais devem ser empregados de modo a impedir o deslocamento axial do eixo. Porém, esses mancais não devem ser posicionados distantes um do outro, pois o intervalo entre eles pode sofrer uma dilatação térmica que, por sua vez, virá a comprometer o trabalho dos mancais. 10. Sempre que possível, a primeira freqüência natural do eixo deve ser, no mínimo, o triplo da maior freqüência de excitação esperada em operação. 3.1.9 Projeto para Flexão Alternada Simétrica e Torção Constante Esta é uma situação particular do caso geral de carregamento em torção e flexão flutuantes e, devido à ausência da componente alternada do momento torsor, é considerado um caso simples de fadiga multiaxial. Porém, a presença de tensões locais concentradas pode causar um estado de tensão multiaxial complexo. A norma para projeto de eixos de transmissão da ANSI/ASME está publicada como B106.1M-1985. Esta norma apresenta uma aproximação simplificada para o projeto de eixos. A aproximação da ASME assume que o carregamento gera tensão normal de flexão alternada simétrica (componente média nula) e momento torsor constante (componente alternada nula), a ponto de criar tensões abaixo da resistência ao escoamento torsional do material. A norma classifica os casos de diversos eixos de máquinas nesta categoria. Utilizando a curva da figura 3.1(a), o limite de resistência à fadiga por flexão é descrito no eixo de σ a , enquanto que o limite de resistência ao escoamento por cisalhamento, no eixo de τ m . A substituição do limite de escoamento em tração pelo limite de escoamento por cisalhamento é justificada pelas relações de Von Mises. As derivações de ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 71 equações de eixos da norma ASME são apresentadas a seguir, onde da elipse para critério de falha da figura 3.1(a), tem-se: 1 2 2 = | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | ys m e a S s τ σ (3.10) Introduzindo o fator de segurança N f . 1 2 2 = | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | ys m f e a f s N s N τ σ (3.11) Relembrando a relação de Von Mises para S YS . 3 y ys S S = (3.12) Substituindo (3.12) na equação (3.11): N s N s f a e f m y σ τ | \ | ¹ | + | \ | ¹ | = 2 2 3 1 (3.13) Substituindo as expressões para σ a e τ m , das equações (3.5) e (3.8), respectivamente, tem-se: K M d N S K T d N S f a f e fsm m f y 32 16 3 1 3 2 3 2 π π | \ | ¹ | | \ | ¹ | ¸ ( ¸ ( + | \ | ¹ | | \ | ¹ | | ¸ ( ¸ ( ( = (3.14) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 72 Quando resolvida para o diâmetro d, a equação (3.14) fica: d N K M S K T S f f a e fsm m y = | \ | ¹ | + | \ | ¹ | | ¸ ( ¸ ( ( ¦ ´ ¦ ¹ ¦ ¹ ` ¦ ) ¦ 32 3 4 2 2 1 2 1 3 π (3.15) A norma utiliza ainda a aproximação de reduzir a resistência de fadiga S f pelo fator de concentração de tensões em fadiga K f . Entretanto, as normas da ASME assumem que o fator de concentração de tensões, para componente média de tensões de cisalhamento, seja sempre unitário em todos os casos, o que resulta em: d N K M S T S f f a e m y = | \ | ¹ | + | \ | ¹ | | ¸ ( ¸ ( ( ¦ ´ ¦ ¹ ¦ ¹ ` ¦ ) ¦ 32 3 4 2 2 1 2 1 3 π (3.16) É importante aplicar a equação (3.16) somente em situações onde as cargas assumidas sejam exatamente como as consideradas na dedução da expressão, isto é, com momento torsor constante e momento fletor alternado simétrico. A Figura 3.2 apresenta o diagrama elíptico de falha de Gough, superposto com a parábola de Gerber, e as linhas de Sodenberg e Goodman modificadas. Note que a elipse de Gough se aproxima da parábola de Gerber a esquerda da linha de escoamento, divergindo, porém, a partir da interseção com a mesma. A elipse de Gough tem a vantagem de considerar um possível escoamento antes da fadiga, sem a necessidade de envolver a linha de escoamento. Entretanto, a elipse de Gough, enquanto bom critério de falha, é menos geral que a combinação das linhas de Goodman e de escoamento, comumente utilizadas como critérios de falha. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 73 Figura 3.2 - Principais Linhas e Curvas de Falha por Fadiga. 3.1.10 Projeto para Flexão e Torção Flutuantes Quando o torque não é constante, sua componente alternada irá criar um estado complexo de tensões multiaxiais no eixo. A aproximação utilizada considera as componentes de Von Mises médias e alternadas, através das equações (3.17). ′ = + − + ′ = + − + σ σ σ σ σ τ σ σ σ σ σ τ a xa ya xa ya xya m xm ym xm ym xym 2 2 2 2 2 2 3 3 (3.17) Um eixo rotativo, submetido à torção e flexão combinadas, apresenta um estado de tensões biaxial, que faz com que a equação 3.17 apresente duas componentes: ( ) ′ = + σ σ τ a a a 2 2 3 e ( ) ′ = + + ¸ ( ¸ ( σ σ σ τ m m m m axial 2 2 3 (3.18) As tensões de Von Mises podem, agora, fazer parte do diagrama modificado de Goodman, para um determinado material, para obter seu respectivo fator de segurança. Para projetos onde o diâmetro é a incógnita a ser obtida, as equações (3.5), (3.8) e (3.18) devem ser trabalhadas a partir de um processo iterativo, para a obtenção do diâmetro, dados como conhecidos o carregamento e as propriedades do material. Isso não representa σa σm Sy Sut Sy Se ou Sf Linha de Escoamento Linha de Goodman Elipse de Gough Parábola de Gerber Linha de Soderberg ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 74 grandes dificuldades quando pacotes computacionais, como o TKSolver, por exemplo, são utilizados. Entretanto, o trabalho manual com estas equações é extremamente oneroso, devido a sua forma. Se um caso particular de falha é assumido, a partir do diagrama de Goodman modificado, as equações podem ser manipuladas para se obter uma equação similar à equação (3.15), para o diâmetro do eixo na secção de interesse. Considerando o caso particular de falha onde as componentes alternadas e médias apresentam uma razão de variação constante, a falha ocorrerá no ponto onde o fator de segurança é definido como: 1 N S S f a e m ut = + σ σ (3.19) No qual N f é o fator de segurança desejado, S e é o limite de fadiga corrigido para um determinado ciclo de vida, e S ut é o limite de resistência à ruptura do material. Considerando carga axial no eixo nula, e substituindo as expressões correspondentes na equação (3.19), obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) d N K M K T S K M K T S f f a fs a e fm m fsm m ut = + ¸ ( ¸ ( + + ¸ ( ¸ ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ( ¦ ´ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¹ ` ¦ ¦ ) ¦ ¦ 32 3 4 3 4 2 2 2 2 1 3 π (3.20) A equação (3.20) pode ser usada para se obter o diâmetro do eixo para qualquer combinação de flexão e torção, considerando-se carga axial nula e componentes alternadas e médias do carregamento variando a uma relação constante ao longo do tempo. 3.1.11 Verificação da Deflexão do Eixo O eixo é uma viga de seção circular, que sofre uma deflexão transversal, sendo, ao mesmo tempo, uma barra em torção, que sofre uma deflexão angular. Ambos os modos de deflexão devem ser analisados. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 75 a) Deflexão Transversal de Eixos. Sabe-se que, em coordenadas cartesianas, a curvatura da linha elástica é dada pela equação diferencial fundamental: 1 1 2 2 2 3 2 ρ = + | \ | ¹ | ¸ ( ¸ ( ( d y dx dy dx (3.21) Sendo ρ o raio de curvatura do eixo, y a deflexão transversal e x a coordenada axial do eixo. A grandeza dy / dx representa a declividade angular da linha elástica, sendo, portanto, um valor muito pequeno. Assim, desprezando-se o quadrado da declividade na equação (3.21): 1 2 2 ρ = d y dx (3.22) Como 1 / ρ = M / EI, a expressão (3.22) torna-se: d y dx M EI 2 2 = (3.23) Portanto, a expressão geral para deflexão transversal do eixo, é dada pela integral dupla: δ θ = + + = + ∫∫ ∫ M EI dx C x C M EI dx C 1 2 1 (3.24) O único fator de complexidade é a presença de variações de seção transversal, por exemplo, em um eixo escalonado, cujas propriedades geométricas da seção analisada variam ao longo de seu comprimento. A integração das funções M / EI torna-se, então, mais ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 76 complexa, devido ao fato de que, tanto o momento fletor (M) quanto o momento de área (I), variam ao longo do eixo. Se os carregamentos e momentos variarem no tempo, então seus valores de amplitude máxima deverão ser usados para calcular a deflexão. A função deflexão irá depender do carregamento e das condições de contorno relativas ao tipo de apoio ou vínculo utilizado. b) Deflexão Angular de Eixos A deflexão angular θ (em radianos) para um eixo de comprimento L, módulo de cisalhamento G, e momento polar J, com torque transmitido T é: θ = T L G J . . (3.25) Do qual se pode obter a expressão para a constante elástica torsional: K T G J L T = = θ . (3.26) Se o eixo é escalonado, as mudanças da seção circular dificultam os cálculos para a deflexão torsional, pois estes irão variar com o momento polar de inércia da seção. O conjunto de seções adjacentes de um eixo, com diferentes diâmetros, pode ser analisado como um conjunto de molas em série, com pequenas deflexões angulares, desde que estas deflexões se somem, e que o torque transmitido através das diferentes seções permaneça constante. Uma rotação constante pode ser obtida para cada seção do eixo, como também os momentos polares de inércia, com o intuito de obter as deflexões angulares relativas entre cada seção. Para um eixo com três seções distintas, definem-se J 1 , J 2 e J 3 de cada seção, com os seus correspondentes comprimentos L 1 , L 2 e L 3 . A deflexão angular total será a soma das deflexões de cada uma das seções. Assim: θ θ θ θ = + + = + + | \ | ¹ | 1 2 3 1 1 2 2 3 3 T G L J L J L J (3.27) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 77 A constante de mola torsional efetiva, para um eixo de três seções diferentes, é dada por: 1 1 1 1 1 2 3 K K K K Teff T T T = + + (3.28) Estas expressões podem ser estendidas para qualquer número de segmentos de um eixo escalonado. 3.1.12 Pinos, Chavetas, Eixos Estriados e Interferência 3.1.12.1 Pinos A norma da ASME define um pino ou uma chaveta como uma peça desmontável que, quando assentada a um rasgo, produz a transmissão de torque entre o eixo e o elemento associado por esta conexão radial. Pinos e chavetas encontram-se normalizados sob tamanhos e perfis diversos. O pino circular reto apresenta diâmetro constante ao longo de seu comprimento. O pino cônico apresenta seção circular, porém seu diâmetro varia linearmente ao longo de seu comprimento. O pino elástico apresenta-se como um elemento tubular com um rasgo de uma extremidade à outra de seu comprimento, o qual permite seu ajuste por pressão no interior do furo passante nas peças a serem conectadas. O mesmo efeito elástico está presente em pinos ranhurados de seção de base circular (Figura 3.3). Figura 3.3 - Tipos de Pinos – acoplamento radial. Pino Reto Pino Cônico Pino Elástico Pino Estriado d D ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 78 a) Esforços em Pinos A capacidade de carga de um pino, em relação ao torque, é limitada pela resistência deste elemento ao duplo cisalhamento, em ambas as extremidades do pino. Para um pino sólido de diâmetro d e resistência ao escoamento por cisalhamento S ys , a capacidade máxima de torque será: D d S D F T ys 4 2 2 2 π = = (3.29) Algumas vezes, pinos em cisalhamento, aplicados a transmissão de torque, são utilizados como dispositivos de segurança para o eixo de transmissão, sendo manufaturados com dimensões inferiores às mínimas necessárias, e/ou de materiais pouco resistentes, de forma a romper antes de o eixo estar submetido à carga máxima de torque transmitido. 3.1.12.2 Chavetas Uma chaveta reta é aquela que apresenta seção retangular e cujas dimensões não variam ao longo do seu perfil. A chaveta inclinada apresenta largura constante, porém a altura varia linearmente ao longo do seu perfil, em uma razão de 1/8 in de altura por unidade de comprimento. A cabeça desse tipo de chaveta pode ser plana ou perfilada, de modo a facilitar a sua remoção. A chaveta Woodruff apresenta seção semicircular e dimensões constantes ao longo de seu perfil. É assentada em rasgos semicirculares usinados no próprio eixo por pastilhas de perfil circular. A chaveta inclinada também serve para posicionar axialmente o acessório ao eixo, porém, as chavetas retas e as chavetas Woodruffs necessitam de outros tipos de fixação, que possam garantir o posicionamento axial, tais como anéis de fixação e grampos. Figura 3.4 - Tipos de Chavetas – acoplamento radial. Chaveta Reta H L Chaveta Chanfrada com Cabeça Chaveta Woodruff ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 79 a) Chavetas Retas As chavetas retas são as mais comumente utilizadas. As normas da ANSI definem particulares dimensões de seções de chavetas e, dimensões do assento destas, como uma função do diâmetro do eixo no posicionamento da chaveta. Uma reprodução parcial dessas especificações é encontrada na Tabela 3.2, para eixos de pequenos diâmetros. Para eixos de maiores dimensões, deve-se consultar a norma. Chavetas quadradas são indicadas para eixos de diâmetro superior a 6,5 in, enquanto que para eixos de diâmetro inferior a 6,5 in, recomenda-se o uso de chavetas retangulares. As chavetas são montadas entre o eixo e o elemento associado, com metade de sua altura assentada no eixo e a outra metade, no acessório, conforme mostrado na Figura 3.4. As chavetas retas são, geralmente, feitas de aço laminado a frio, com tolerância negativa, isto é, suas dimensões nunca podem ser superiores à sua tolerância nominal, somente inferiores (caso contrário ocorreria interferência na montagem). A tolerância positiva pode acontecer em alguns casos, onde seja necessário que a chaveta se ajuste ao rasgo com interferência. A fixação da chaveta é importante quando abordada sob o ponto de vista dos esforços ao qual o eixo está submetido. Quando o torque alterna entre positivo e negativo para cada ciclo, a chaveta é submetida a esforços que causam impactos e, conseqüentemente, fadiga. A norma também prevê que, no sentido de minimizar esforços sobre as chavetas, estas devem apresentar um comprimento de, no máximo, 1,5 vezes o diâmetro do eixo (L chaveta = 1,5D eixo ), de modo a evitar que seu comprimento venha a interferir na deflexão do eixo. Caso seja necessário um maior comprimento de chaveta, podem-se utilizar duas chavetas, defasadas de 90 o entre si. b) Chavetas Inclinadas As larguras para chavetas inclinadas, dado um eixo de diâmetro específico, são as mesmas que para chavetas retas. A conicidade e a cabeça deste tipo de chaveta são especificadas na norma. A conicidade é capaz de travar axialmente o elemento associado ao eixo, devido ao surgimento de uma força de atrito entre o contato da superfície da chaveta com a superfície do acessório. As chavetas inclinadas com cabeça são utilizadas em montagens onde, devido às pequenas dimensões, a retirada da chaveta seria de difícil acesso. Chavetas inclinadas tendem a criar excentricidades entre o eixo e o acessório, por concentrarem as folgas radiais de um único lado. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 80 c) Chavetas Woodruff (Meia-Pastilha) As chavetas Woodruff são comumente utilizadas em eixos pequenos. São auto- alinháveis, sendo preferencialmente aplicadas em eixos afunilados. A montagem desta chaveta no elemento associado ao eixo, corresponde à metade da sua altura. Tabela 3.2 Medidas Padronizadas para Chavetas Retas. Diâmetro do Eixo (in) Largura Nominal da Chaveta (in) 437 . 0 312 . 0 ≤ < d 0.093 562 . 0 437 . 0 ≤ < d 0.125 875 . 0 562 . 0 ≤ < d 0.187 250 . 1 875 . 0 ≤ < d 0.250 375 . 1 250 . 1 ≤ < d 0.312 750 . 1 375 . 1 ≤ < d 0.375 250 . 2 750 . 1 ≤ < d 0.500 750 . 2 250 . 2 ≤ < d 0.625 250 . 3 750 . 2 ≤ < d 0.750 750 . 3 250 . 3 ≤ < d 0.875 500 . 4 750 . 3 ≤ < d 1.000 500 . 5 500 . 4 ≤ < d 1.250 500 . 6 500 . 5 ≤ < d 1.500 O rasgo feito no eixo, para o assentamento deste tipo de chaveta, apresenta perfil semicircular, o que evita a existência de cantos e, consequentemente, pontos de concentração de tensões. A relação entre a largura da chaveta Woodruff e o diâmetro do eixo é a mesma apresentada na Tabela 3.2. As outras dimensões da chaveta Woodruff são especificadas pela norma ANSI, e o corte dos assentos, previamente verificados para estas dimensões. A Tabela 3.3 apresenta um exemplo da norma para as dimensões das chavetas. Cada medida encontra uma especificação numérica para o tipo de chaveta presente na norma. Os dois últimos dígitos fornecem o diâmetro nominal da chaveta, em oitavos de polegada, e os dígitos precedentes, ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 81 fornecem a largura nominal da chaveta, em trinta e dois avos de polegada. Por exemplo, uma chaveta de número 808 define um chaveta de tamanho 8/32 x 8/8. Tabela 3.3 - Medidas Padronizadas para Chavetas Woodruff (ANSI). Número da Chaveta Largura / Comprimento(in) Altura H (in) 202 0.062x0.250 0.106 303 0.093x0.375 0.170 404 0.125x0.500 0.200 605 0.187x0.625 0.250 806 0.250x0.750 0.312 707 0.218x0.875 0.375 608 0.187x1.000 0.437 808 0.250x1.000 0.437 1208 0.375x1.000 0.437 610 0.187x1.250 0.545 810 0.250x1.250 0.545 1210 0.375x1.250 0.545 812 0.250x1.500 0.592 1212 0.375x1.500 0.592 Existem dois modos de falha em chavetas: por cisalhamento e por compressão. A falha por cisalhamento ocorre quando a chaveta se rompe ao longo de seu comprimento, na interface entre eixo e elemento associado. A falha por compressão ocorre quando a chaveta é submetida a uma compressão violenta em ambos os lados, sofrendo esmagamento. FALHA POR CISALHAMENTO: a tensão de cisalhamento, atuando na interface eixo-elemento associado, é definida por: τ xy s F A = (3.30) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 82 No qual F é a força aplicada e A S é a área submetida à tensão de cisalhamento. No caso da chaveta, A S é dada pelo produto da largura W pelo comprimento da chaveta L. A força que atua na chaveta pode ser obtida pela razão do torque T ao qual o eixo está submetido, e o raio do eixo r = D / 2. Se o torque for constante ao longo do tempo, a força também o será, e o fator de segurança N pode ser obtido por comparação entre o valor da tensão de cisalhamento τ e da resistência ao escoamento por cisalhamento do material S ys da chaveta. Se o torque variar no tempo, então existe a possibilidade da chaveta falhar por fadiga. Uma aproximação está em considerar as componentes médias e alternadas da tensão de cisalhamento e usá-las para obter as componentes média e alternada da tensão efetiva de Von Mises. Estes valores podem, então, ser utilizados no diagrama modificado de Goodman, para obtenção do fator de segurança. FALHA POR COMPRESSÃO: a tensão de compressão, na superfície lateral da chaveta, é definida por: σ x F A = (3.31) No qual F é a força aplicada, e A é a área lateral de contato entre a chaveta e o eixo, ou entre a chaveta e o acessório. Para uma chaveta reta A = L*H. Uma chaveta Woodruff apresenta diferentes áreas de contato para o acessório e para o eixo. A área de contato entre o acessório e a chaveta Woodruff é bem menor, quando comparada a sua área de contato com o eixo, falhando assim, na superfície em contato com o acessório. Os esforços por compressão devem ser calculados com o uso do maior valor, em módulo, da força aplicada, seja esta constante ou variável no tempo. Considerando-se que a tensão de compressão não causa falha por fadiga, esta tensão de compressão pode ser considerada estática. O fator de segurança N é obtido por comparação entre a máxima tensão de compressão σ e o limite de escoamento por compressão do material S y . Comparando a resistência ao cisalhamento e a resistência à compressão, para uma chaveta reta de seção retangular, tem-se: d / 8 d / 4 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 83 a) Capacidade de Torque do Eixo: 2 32 : , 4 D r e D J onde J Tr = = = π τ τ lim . = = S S ys y 0577 16 577 . 0 2 32 577 . 0 3 4 D S D D S r J S T y y ys π π = = = b) Cisalhamento na Chaveta: 8 577 . 0 2 4 2 LD S D LD S r F T y ys s = = = D L LD S D S T y y 57 . 1 8 577 . 0 16 577 . 0 2 3 = ⇒ = = π c) Compressão na Chaveta: 16 2 8 2 LD S D D L S r F T y y c = = = D L LD S D S T y y 82 . 1 16 16 577 . 0 2 3 = ⇒ = = π Devido ao fato das chavetas estarem submetidas ao cisalhamento, materiais dúcteis são usados em sua confecção. O aço baixo-carbono é a escolha mais adequada, a não ser que se trate de um ambiente corrosivo, que requer o uso de materiais como latão ou aço inoxidável. Chavetas retas são laminadas a frio e, então, cortadas em seu comprimento. Chavetas cônicas e do tipo Woodruff são, geralmente, laminadas a quente. São poucas as variáveis a serem analisadas no dimensionamento e projeto de chavetas. O diâmetro do eixo, onde será assentada a chaveta, determina o valor da largura da mesma. A altura da chaveta (ou o quanto a mesma se encaixa no acessório) é proporcional a sua largura. Resta apenas o comprimento de cada chaveta e o número de chavetas que serão usadas por acessório. A chaveta cônica pode apresentar o mesmo comprimento do acessório. A chaveta ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 84 Woodruff pode ser definida em função do diâmetro, que corresponde a sua altura, e ao quanto este se encaixa no acessório. Em projeto de chavetas é comum considerar um estado de tensão aonde a chaveta que venha a falhar primeiro, e não o seu assento, o que acarretaria a troca do eixo e de um maior número de elementos associados. Tal consideração se deve ao fato de que uma chaveta é um elemento barato e de fácil reposição. Isso justifica também o uso de materiais dúcteis em sua confecção, o que fará com que a falha ocorra na chaveta e não venha a prejudicar o sistema. Neste caso, a chaveta funcionaria como um dispositivo de segurança. Considerando-se que as chavetas apresentam, geralmente, bordas de raio pequeno (cantos praticamente vivos), os seus rasgos também o apresentam, o que provoca uma significativa concentração de tensão nesta região. Os rasgos são brochados no cubo, correndo ao longo de seu comprimento, enquanto que no eixo, o rasgo deve ser usinado com grande precisão geométrica, de modo a minimizar as interferências. Se os cantos usinados, para o rasgo em um eixo, apresentarem cantos vivos (como é o perfil de chavetas retas e cônicas), estes serão pontos de acúmulo de tensão, que devem ser minimizados com o arredondamento dos mesmos. Peterson demonstrou, experimentalmente, o acúmulo de tensões nos cantos vivos de rasgos, para eixos submetidos tanto à torção quanto à flexão. Estes estão reproduzidos nas curvas da Figura 3.5. Os fatores de concentração de tensão, nestas regiões, oscilam entre 2 e 4, dependendo da razão entre o raio da ferramenta e o diâmetro do eixo. Figura 3.5 - Fator de Concentração de Tensão em Flexão Kt e Torção Kts. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 85 3.1.12.3 Eixos Estriados, Ranhurados ou Splines Quando um torque a ser transmitido por um eixo excede o valor limite suportado por uma chaveta, estrias sobre o eixo podem ser usadas. Estrias são como que chavetas usinadas na superfície externa do eixo e na superfície interna do acessório, de modo que seus perfis se encaixem. Algumas estrias apresentam dentes de seção quadrada, ou mais comumentes em forma de envolvente, conforme Figura 3.6. A forma envolvente de estrias apresenta, praticamente, as mesmas características (posição, ângulos e alturas) que as engrenagens, e as técnicas de corte de engrenagens são também aplicadas na manufatura das estrias. A vantagem do corte de estrias envolventes, em relação às estrias quadradas, é que esta última minimiza a concentração de tensões. A norma da SAE define as especificações, tanto para estrias quadradas quanto para as envolventes, enquanto que a norma da ANSI define as especificações apenas para estrias envolventes. A norma para estrias envolventes define um ângulo de pressão de 30 graus e uma altura correspondente à metade da altura definida para dentes de engrenagens. O tamanho do dente é definido pela fração, cujo numerador é o diâmetro primitivo (que define a largura do dente) e o denominador é a altura do dente. Passos diametrais normalizados são 2.5; 3.0; 4.0; 5.0; 6.0; 8.0; 10.0; 12.0; 16.0; 20.0; 24.0; 32.0; 40.0 e 48.0. Estrias padronizadas podem apresentar de 6 a 50 dentes. Estrias podem ter a raiz plana ou filetada, como mostra a Figura 3.6. Figura 3.6 - Geometria da Estria Envolvente. Algumas das vantagens do uso de estrias é a resistência máxima da raiz, devido a sua forma curvilínea, o que evita o acúmulo de tensões; bem como sua fácil usinagem através de ferramentas específicas. A maior vantagem das estrias sobre as chavetas é a de possibilitar uma grande acomodação axial entre o eixo e o acessório, enquanto ocorre a transmissão de di dr do dp Diâmetro Primitivo ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 86 torque. São usadas para conectar a saída da transmissão do eixo para a barra de direção em automóveis e caminhões, onde o movimento da suspensão causa esforços axiais entre os membros. Também são usadas em transmissões não-automáticas e não-sincrométricas de caminhões, para acoplar axialmente as engrenagens de câmbio aos seus respectivos eixos. Além disso, o torque do motor é, geralmente, transmitido através de eixos estriados, que conectam a embreagem ao eixo de transmissão, permitindo o esforço axial necessário para desacoplar o volante da embreagem. A carga que atua nas estrias é puramente torsional, sendo de natureza tanto estática quanto dinâmica. Assim como as chavetas, dois tipos de falhas podem ocorrer nas estrias: cisalhamento e compressão. Assim como nas chavetas, alguns dentes da estria podem sofrer cisalhamento devido ao carregamento. O ideal é que o comprimento L da estria seja tão longo quanto necessário, de modo que, em cada dente, a resistência ao cisalhamento do dente seja igual à resistência ao cisalhamento torsional em todo o eixo. Se a estria for feita corretamente, sem variações no tamanho dos dentes ou no espaçamento entre eles, o esforço se distribuirá igualmente em todos os dentes. Entretanto, a realidade da manufatura das estrias impossibilita essa condição ideal. A norma da SAE afirma que, na prática, as falhas na manufatura do espaçamento e na forma dos dentes permitem que apenas 25% dos dentes estejam em contato ideal e que, devido a este fato, uma boa aproximação para o comprimento L da estria em um eixo é dada pela expressão: L d d d d r i r p ≅ − | \ | ¹ | | 3 4 4 2 1 (3.32) No qual d r é o diâmetro da raiz, d i é o diâmetro interno do eixo (se este for tubular) e d p é o diâmetro primitivo da estria (Figura 3.6). A variável L representa o comprimento do dente da estria, e deve ser considerada como o valor mínimo necessário para apresentar a resistência necessária para cada dente, para um eixo de diâmetro equivalente. A tensão de cisalhamento é calculada a partir do diâmetro primitivo da estria, e a área de cisalhamento é dada por: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 87 A d L S p = π. . 2 (3.33) A tensão de cisalhamento pode ser calculada, considerando a afirmativa da SAE de que apenas 25% dos dentes do eixo estriado apresentam contato perfeito e, conseqüentemente, sofre mais intensamente o cisalhamento. Para isso, basta considerar 1/4 da área de cisalhamento. Assim: τ π ≅ = = = 4 4 8 16 2 F A T r A T d A T d L S p S p S p . . . . (3.34) No qual T é o torque ao qual o eixo está submetido. Qualquer tensão de compressão na estria, deve ser calculada, e devidamente combinada com o cisalhamento. Se a carga corresponde simplesmente à torção estática pura, então a tensão de cisalhamento, obtida através da equação (3.34), é comparada com o limite de escoamento por cisalhamento do material S ys , de modo a obter o fator de segurança N. Se o carregamento é flutuante, ou a compressão está presente, a tensão aplicada deve ser convertida para tensão de Von Mises, e convenientemente comparada no diagrama modificado de Goodman. 3.1.12.4 Montagem por Interferência Outro modo comum de acoplar radialmente acessórios aos eixos é através de pressão ou ajuste por interferência. O ajuste por pressão é obtido através da usinagem do orifício do acessório com uma diferença mínima entre seu diâmetro e o diâmetro do eixo, como é mostrado na Figura 3.7. As duas partes são, então, forçadas lentamente para o encaixe, usando, de preferência, um lubrificante aplicado na junção. A deflexão elástica, tanto no eixo quanto no acessório, atua gerando uma elevada força normal e de atrito entre as partes. A força de atrito transmite o torque do eixo para o acessório, como também resiste aos esforços axiais. A “American Gear Manufactures Association” (AGMA) publicou a norma AGMA 9003-A91, Flexible Couplings-Keyless Fits, na qual define expressões para o cálculo do ajuste por interferência. Somente diâmetros relativamente pequenos podem ser acoplados por pressão, sem que a força necessária exceda o limite que a peça suporta. Para peças maiores, o ajuste por interferência pode ser feito pelo aquecimento do acessório, provocando a expansão de seu ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 88 diâmetro interno, e/ou através do resfriamento do eixo, de modo a reduzir o seu diâmetro. As partes quente e fria podem, então, ser acopladas através de um leve esforço axial e, quando alcançarem o equilíbrio térmico com o ambiente, suas variações de dimensões criarão a interferência ou o contato por atrito desejado. Outro método consiste em expandir o acessório hidraulicamente com óleo pressurizado, através de dutos em contato interno com o acessório. Esta técnica é também utilizada para desacoplar o acessório do eixo. A interferência necessária para se alcançar uma junção adequada, varia com o diâmetro do eixo. Aproximadamente 0,001 a 0,002 unidades de interferência diametral, por unidade de diâmetro do eixo, é a opção típica para os mais diversos tamanhos de eixo. Por exemplo, a interferência para um eixo de 2 in de diâmetro pode ser algo em torno de 0.004 in., mas um eixo de 8 in de diâmetro permite uma interferência entre 0.009 a 0.010 in. Outra regra simples é utilizar 0,001 in de interferência para diâmetros próximos a 1 in, e 0,002 in de interferência para diâmetros entre 1 e 4 in. Figura 3.7 - Montagem com Interferência. A fixação por interferência gera um estado de tensão semelhante a um eixo submetido a uma distribuição uniforme de pressão em sua superfície. O cubo, ou elemento associado, sofre o mesmo estado de tensão que um cilindro sob pressão distribuída internamente. As equações para o estado de tensão em cilindros sob pressão interna dependem das pressões aplicadas e do raio do elemento. A pressão P, criada pelo ajuste por pressão, pode ser obtida pela deformação do material, causada pela interferência: P r E r r r r r E r r r r i o o o o i i i = + − + | \ | ¹ | | + + − − | \ | ¹ | | 05 2 2 2 2 2 2 2 2 . δ ν ν (3.35) EIXO CUBO ri r r ro ∆r ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 89 No qual δ=2∆r é a interferência diametral total entre as partes, r é o raio nominal da interface entre as partes, r i é o raio interno do eixo (se o mesmo for tubular) e r o é o raio externo relativo ao cubo do acessório, como mostra a Figura 3.7. E e ν são o Módulo de Young e o Coeficiente de Poisson dos materiais de ambas as partes, respectivamente. O torque máximo a ser transmitido por um ajuste por interferência, pode ser definido em função da pressão P na interface, a qual cria uma força de atrito em relação ao raio do eixo. PL r T µ π 2 2 = (3.36) No qual L é o comprimento do cubo do elemento acoplado radialmente ao eixo, r é o raio do eixo, e µ é o coeficiente de atrito entre o eixo e o cubo. A norma da AGMA sugere valores para µ entre 0,12 e 0,15, para acessórios expandidos hidraulicamente; e entre 0,15 e 0,20, para acessórios montados sob pressão. A norma AGMA assume (e recomenda) uma superfície de rugosidade igual a 32 µin rms (1,6 µm R a ), a qual requer um bom acabamento das partes. As equações 3.35 e 3.36 podem ser combinadas, para fornecer a expressão que define o torque obtido a partir de uma particular interferência, coeficiente de atrito e geometria: T Lr E r r r r E r r r r i o o o o i i i = + − + | \ | ¹ | | + + − − | \ | ¹ | | π µδ ν ν 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (3.37) A pressão P é utilizada para obter o estado de tensão, radial e tangencial, em cada parte. Para o eixo, tem-se: σ TE i i P r r r r = − + − 2 2 2 2 (3.38) σ RE P = − (3.39) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 90 No qual r i é o raio interno de um eixo tubular. Se o eixo for sólido, r i será nulo. Para o elemento associado ao eixo, tem-se: σ TA o o P r r r r = + − 2 2 2 2 (3.40) σ RA P = − (3.41) Este estado de tensão deve ser mantido abaixo do limite de escoamento do material utilizado, de modo que a interferência possa ser mantida. Caso a interferência não suporte a carga, o acessório provavelmente danificará o eixo. Concentração de tensões ocorre devido à existência de uma tensão de compressão neste tipo de montagem, principalmente nas extremidades do acessório, onde ocorre uma variação abrupta entre o material comprimido e o não comprimido. A concentração de tensões ocorre, principalmente, nos cantos vivos, e pode ser reduzida com o uso de um entalhe circunferêncial no elemento associado, em uma região próxima ao eixo. Tais entalhes aumentam a resistência do acessório em fletir com o eixo, e ainda minimizam o acúmulo de tensões. A Figura 3.8 mostra algumas curvas de fatores de concentração de tensão para ajustes por interferência entre eixos e acessórios. Os valores nas abcissas são as razões entre os comprimentos dos acessórios e os diâmetros dos eixos. Estes fatores geométricos de concentração de esforços são aplicados da mesma maneira que antes. Para carregamentos estáticos, devem ser usados para determinar se o limite local irá comprometer a interferência. Para carregamentos dinâmicos, variam para cada material, fornecendo o fator de fadiga para concentração de tensão. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 91 Figura 3.8 - Concentração de Tensão em Montagem com Interferência. 3.2. PROJETO DE VOLANTES Um volante é usado para suavizar variações na velocidade, geralmente causadas por flutuações de torque. Muitas máquinas estão sujeitas aos carregamentos que causam a variação da função do torque no tempo. Pistões de compressores, prensas de estampagem, trituradores de rochas, etc., possuem carregamentos variáveis no tempo. O motor primário também pode introduzir oscilações no torque do eixo transmissor. Motores de combustão interna com um ou dois cilindros são um exemplo. Outros sistemas podem apresentar fontes de torque e de carregamento suaves, como um gerador elétrico, acionado por uma turbina a vapor. Estes dispositivos não necessitam de um volante. Se a fonte do torque ou do carregamento possui uma natureza flutuante, então o volante é normalmente utilizado. Um volante é um dispositivo armazenador de energia. Ele absorve e armazena energia cinética quando acelerado, restituindo energia ao sistema quando necessário, através da ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 92 diminuição de sua velocidade rotacional. A energia cinética E k em um sistema rotativo é dada por: 2 m I 2 1 ω = k E (3.42) No qual I m é o momento de inércia de todas as massas rotativas do eixo, na direção de rotação, e ω é a velocidade rotacional do eixo. O momento de inércia I m inclui o motor e qualquer outra massa rotativa com o eixo, além do volante. Volantes podem ser simples, como um disco cilíndrico de um material sólido, ou um dispositivo com raios, cubo e coroa. Este último arranjo é mais eficiente para qualquer material, especialmente para grandes volantes, uma vez que concentra a maior parte da massa na borda, ou ainda, na extremidade de maior raio. Desde que o momento de inércia de massa I m de um volante é proporcional a mr 2 , a massa localizada em um raio maior apresenta um efeito de inércia muito mais acentuado. Se for assumida uma geometria de disco sólido, com raio interno r i e raio externo r o , o momento de inércia de massa é: ( ) Im = + m r ri 2 0 2 2 (3.43) A massa de um disco circular vazado, de espessura constante t é: ( )t r r g g W m i 2 2 0 − = = γ π (3.44) Substituindo (3.44) na equação (3.43), obtem-se uma expressão para I m , em função da geometria do disco: ( ) Im = − π γ 2 0 4 4 g r r t i (3.45) No qual γ é a densidade de peso do material, e g é a constante gravitacional. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 93 Existem dois estágios no projeto de um volante. No primeiro estágio, a quantidade de energia exigida, para o grau de suavidade desejado, deve ser estimada, e o momento de inércia necessário para absorver esta energia deve ser determinado. Então, no segundo estágio, a geometria do volante deve ser definida, para suprir o momento de inércia de massa em um elemento de dimensão razoável e, ao mesmo tempo, seguro contra falhas em velocidades de projeto. 3.2.1 Variação da Energia em um Sistema Rotativo A Figura 3.9 mostra um volante, projetado como um disco circular plano, vinculado a um eixo de motor. O motor fornece um torque de magnitude T m , o mais constante possível, ou seja, próximo ao valor do torque médio T avg . Assume-se que o carregamento, após o volante, demande um torque T l , variante no tempo. Esta variação de torque pode causar a variação da velocidade do eixo, dependendo da característica torque-velocidade do motor de acionamento. Necessita-se determinar o momento de inércia I m a ser acrescentado, na forma de um volante, para reduzir a variação da velocidade do eixo a um nível aceitável no sistema. Figura 3.9 - Volante em um eixo de Transmissão. Pela Lei de Newton, para o diagrama de corpo livre da figura 3.9: α m I = ∑ T então α m I = − m l T T (3.46) Sabe-se que o ideal seria um valor médio constante para o torque: avg m T T = ou ainda α m I = − avg l T T (3.47) Motor Eixo Volante Tm T l ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 94 Substituindo α na expressão (3.47): θ ω ω θ θ ω ω α d d dt d d d dt d = | ¹ | \ | = = (3.48) θ ω ω d d T T avg l m I = − e então ( ) ω ω θ d I d T T m avg l = − (3.49) Integrando (3.49) obtem-se: ( ) ∫ ∫ = − → → max min max min m I ω ω ω θ ω θ ω ω θ d d T T avg l ou ( ) | ¹ | \ | → → − = − ∫ 2 min 2 max m I 2 1 max min ω ω θ ω θ ω θ d T T avg l (3.50) O lado esquerdo da expressão (3.50) representa a variação na energia cinética E k , entre os valores máximo e mínimo da velocidade angular ω do eixo, sendo igual à área do diagrama torque-tempo, entre os valores extremos de ω. O lado direito da equação (3.50) é a variação da energia cinética armazenada no volante. Para extrair a energia cinética do volante deve-se desacelerá-lo. É impossível obter uma velocidade exatamente constante do eixo, em face de demanda de energia variável devido à carga. É possível, contudo, minimizar a variação da velocidade (ω max - ω min ) através de um volante, com I m suficientemente elevado. 3.2.2 Determinação da Inércia de um Volante Trata-se de determinar as dimensões de um volante, necessárias para absorver a variação de energia cinética, com uma variação aceitável de velocidade angular ω. A variação da velocidade do eixo, durante um ciclo, é chamada de flutuação Fl: Fl max min = − ω ω (3.51) Normalizando a flutuação para uma razão admensional, dividindo-a pela média da velocidade do eixo, obtem-se o coeficiente de flutuação C f : ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 95 ( ) Cf max min avg = − ω ω ω (3.52) Este coeficiente de flutuação é um parâmetro de projeto a ser definido pelo projetista. É tipicamente utilizado um valor entre 0,001 e 0,05 para máquinas de precisão e, de 0,20 para máquinas de triturar ou de martelar, o que corresponde de 1 a 5% de flutuação na velocidade do eixo. Quanto menor o valor selecionado, maior deverá ser o volante. Por sua vez, um volante maior acarretará maior custo, acrescentando mais peso ao sistema, fatores estes a serem considerados, em detrimento da suavidade da operação desejada. A variação requerida na energia cinética E k , através da integração da curva do torque: ( ) k avg l E d T T = − ∫ θ ω θ ω θ max min @ @ (3.53) Igualada ao lado direito da equação (3.50): ( ) 2 min 2 max 2 1 ω ω − = m k I E (3.54) Fatorando esta expressão: ( )( ) min max min max 2 1 ω ω ω ω − + = m k I E (3.55) Se a função torque x tempo for puramente harmônica, então seu valor médio pode ser expresso como: ( ) 2 min max ω ω ω + = avg (3.56) As funções de torque raramente serão harmônicas puras, porém o erro introduzido através do uso da expressão (3.56), como uma aproximação da média, é aceitável. Substituindo as equações (3.52) e (3.56) na equação (3.55), obtemos uma expressão para o ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 96 momento de inércia de massa I s , necessário ao sistema rotativo completo, para se obter o coeficiente de flutuação selecionado. ( )( ) avg f avg s k C I E ω ω 2 2 1 = ou ainda 2 avg f k s C E I ω = (3.57) A equação (3.57) pode ser usada para projetar o volante físico, através da escolha de um coeficiente de flutuação C f adequado, e do valor de E k , obtido de uma integração numérica da curva de torque, além da velocidade angular ω média do eixo, para calcular o I s necessário do sistema. O momento de inércia de massa I m do volante físico é, então, igualado ao momento de inércia requerido do sistema I s . Porém, se os momentos de inércia de massa dos demais elementos rotativos do eixo (como o motor) são conhecidos, o momento I m do volante físico pode ser reduzido. O projeto mais eficiente de volante, em termos da maximização do momento de inércia I m , para um mínimo de material utilizado, é tal que a massa seja concentrada na sua coroa, e seu cubo seja suportado por raios, como uma roda de carruagem ou bicicleta. Desta forma, a maior parte da massa localiza-se a uma distância maior possível do cubo, minimizando o peso para um dado I m . Mesmo que um projeto de volante circular plano seja escolhido, por simplicidade de manufatura, ou para se obter uma superfície plana para outras funções (como uma embreagem de automóvel), o projeto deve ser feito com a devida atenção para a redução do peso e, consequentemente, do custo. Como, geralmente, I m = mr 2 , um disco estreito e de grande diâmetro exigirá menor massa de material, para obter um certo valor de I m , que um disco mais espesso e de diâmetro menor. Materiais densos, como ferro fundido e aço, são as melhores escolhas para um volante. O alumínio é raramente empregado e, apesar de muitos metais (chumbo, ouro, prata, platina) serem mais densos que o ferro e o aço, raramente se conseguirá a aprovação do departamento financeiro para o uso destes em volantes. 3.2.3 Tensões em Volantes Conforme um volante gira, a força centrífuga atua em sua massa distribuída, tentando puxá-la para fora. Estas forças centrífugas são similares àquelas causadas por uma pressão interna em um cilindro. Deste modo, o estado de tensão em um volante girando, é análogo a ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 97 um cilindro de parede espessa sob pressão interna. A tensão tangencial em um volante sólido, na forma de disco, em função de seu raio é: | | ¹ | \ | | ¹ | \ | + + − + + | ¹ | \ | + = 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 8 3 r r r r r r g o i o i t ν ν ν ω γ σ (3.58) A tensão radial é dada por: σ γ ω ν r i o i o g r r r r r r = + | \ | ¹ | + − − | \ | ¹ | 2 2 2 2 2 2 2 3 8 (3.59) No qual γ = densidade de peso do material, ω = velocidade angular em rad/sec, ν = coeficiente de Poisson, r = raio de um ponto de interesse, r i e r 0 = raios interno e externo do volante sólido, respectivamente. A figura 3.10 mostra como estas tensões variam ao longo do raio do volante. A tensão tangencial é máxima no raio mais interno. A tensão radial, por sua vez, é nula nos raios interno e externo, e seu valor máximo ocorre em um ponto interno, porém em uma posição em que supera a tensão tangencial correspondente ao mesmo ponto. O ponto de maior interesse é, portanto, no raio interno. A tensão tangencial de tração, neste ponto, é responsável pela falha do volante e, quando ocorre à fratura, o volante fragmenta-se e explode, com resultados extremamente desastrosos. Sendo as forças causadoras das tensões, funções da velocidade rotacional, sempre haverá alguma velocidade em que o volante falhará. A velocidade de operação mais segura deverá ser calculada para o volante, e algumas medidas devem ser tomadas para impedir sua operação a velocidades mais altas, como um controle de velocidade ou um limitador de velocidade. O fator de segurança contra o excesso de velocidade de rotação pode ser determinado como o quociente entre a velocidade que causa escoamento e a velocidade de operação, N os = ω yield / ω. Critério de Falha para o Volante Se o volante passa a maior parte de sua vida útil, operando a uma velocidade praticamente constante, então se pode considerar o carregamento estático, e o limite de ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 98 escoamento é utilizado como um critério de falha. O número de ciclos partida-parada, em seu regime de operação, determinará se uma condição de fadiga no carregamento deve ser considerada. Cada variação da velocidade, partindo do repouso, até a velocidade operacional e vice-versa, constitue um ciclo de tensão flutuante. Se o número desses ciclos superar a vida prevista em projeto do sistema, então o critério de falha por fadiga deve ser aplicado. Um regime de fadiga de baixo ciclo requer uma análise de falha por fadiga baseada na deformação, ao invés de tensão, particularmente se existe a possibilidade de qualquer excesso de carregamento transiente, que possa causar tensões locais excessivas, superando o limite de escoamento nas localidades de concentrações de tensão. (a) (b) Figura 3.10 - Distribuição de tensão tangencial (a) e radial (b). 3.3. ACOPLAMENTOS 3.3.1 Introdução Os acoplamentos são utilizados para unir subsistemas ou componentes de máquinas rotativas. Se os acoplamentos forem projetados apropriadamente, eles podem diminuir a sensibilidade relativa ao desalinhamento que existe entre os componentes acoplados. Uma ampla variedade de acoplamentos axiais comerciais entre eixos está disponível, desde acoplamentos rígidos, até projetos mais elaborados, que utilizam engrenagens, elastômeros, ou fluidos para transmitir torque entre eixos, ou para outros dispositivos, quando na presença de vários tipos de desalinhamentos. Os acoplamentos podem ser, de modo geral, divididos em duas categorias: rígidos e flexíveis. Acoplamentos flexíveis, dentro deste contexto, incluem os acoplamentos que podem absorver algum desalinhamento entre dois eixos, enquanto que para acoplamentos rígidos, nenhum desalinhamento é permitido entre os eixos conectados. Raio do Volante Raio do Volante Tensão Tangencial Tensão Radial ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 99 O desalinhamento entre os rotores é uma condição na qual as linhas de eixo destes não são geometricamente coincidentes. Existem três tipos de desalinhamentos entre os rotores: o paralelo, o angular, e o axial. Entretanto, na realidade, o desalinhamento entre rotores é uma combinação dos três tipos de desalinhamento (paralelo, angular, e axial) como é mostrado na Figura 3.11. O alinhamento perfeito entre os rotores acoplados é difícil de ser obtido devido a muitos fatores práticos, e ainda se obtido, é difícil de ser mantido durante o tempo de operação dos sistemas mecânicos. O grau de desalinhamento entre eixos permitido pelos acoplamentos é variável, e depende do tipo de acoplamento usado. O desalinhamento pode causar forças radiais que atuam sobre o sistema. Se estas forças radiais forem consideráveis, os componentes tais como os mancais, selos e eixos, poderiam sofrer tensões indevidas, e falhar prematuramente. Os materiais mais flexíveis exercem forças radiais menores do que as exercidas pelos materiais mais rígidos. A freqüência natural de um sistema pode ser alterada através da variação da inércia de qualquer um de seus componentes, ou da rigidez do acoplamento usado. Depois que um sistema é projetado, torna-se difícil e custoso alterar a inércia dos componentes. Portanto, a seleção do acoplamento é usada para alterar a freqüência natural do sistema. Em resumo, as funções dos acoplamentos mecânicos podem ser: transmissão de potência, facilitar a montagem e desmontagem das máquinas, isolar e amortecer as vibrações torcionais, permitir o movimento axial devido à expansão ou contração térmica, absorção do movimento axial para prever o carregamento axial ou manter a peça alinhada, permitir desalinhamento angular, paralelo ou misto. Entretanto, se o desalinhamento não for minimizado, as conseqüências podem ser: ruído, vibração, perda de potência, rápido desgaste dos mancais, selos e montagens, dano ou falhas das engrenagens, falha por fadiga do eixo e falha do acoplamento. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 100 Desalinhamento Paralelo Desalinhamento Axial Desalinhamento Angular Desalinhamento Real Desalinhamento Axial Desalinhamento Angular Desalinhamento Paralelo Desalinhamento Torcional Figura 3.11 - Tipos de desalinhamento entre eixos acoplados. 3.3.2 História dos Acoplamentos Mecânicos O desenvolvimento dos acoplamentos está intimamente relacionado com o desenvolvimento da roda, ainda que só tenha ocorrido a quase cinco milênios depois. Enquanto os primeiros registros de rodas datam de 5000 A.C., os acoplamentos não antecedem os 300 A.C., sendo utilizados pelos Gregos, os quais correspondiam a uma junta universal. Os Chineses foram os primeiros a utilizar este conceito aproximadamente em 25 D.C.. A origem dos modernos acoplamentos é delegada a Jerome Cardan, que no século 16 inventou um mecanismo composto por dois braços de ligação, uma cruz e quatro mancais. Este acoplamento foi o antecessor comum de todos os acoplamentos flexíveis, e atualmente ainda é utilizado, e continuamente melhorado com a tecnologia. Porém, ele não projetou a ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 101 junta que leva seu nome, Junta Cardan, tendo desenvolvido apenas um de seus componentes. A Junta Cardan também é conhecida como “Junta Hooke”. A primeira aplicação para esta junta foi desenvolvida por Robert Hooke por volta do ano de 1650, quando também equacionou as flutuações na velocidade angular causadas por uma Junta Cardan. No século subseqüente, quase não há registros de avanços nos acoplamentos. Estes só começaram a surgir novamente com a Revolução Industrial, e especialmente, com a revolução automobilística, que motivou o desenvolvimento de muitos acoplamentos flexíveis. Roots F. (1886), teorizou que, em se afinando a seção da flange de um acoplamento rígido, esta poderia ter certa flexibilidade que preveniria falhas para o equipamento e o eixo. Esta idéia foi a precursora dos acoplamentos de diafragma atuais. O acoplamento de compressão de Davis foi desenvolvido para eliminar o uso de chavetas, através do uso de cubos em compressão sobre os eixos, acreditando-se que eram os mais seguros. Acredita-se que o primeiro acoplamento de correntes foi aquele descrito em maio de 1914, na revista Americana “Scientific American”. Na década de 20, a indústria dos acoplamentos flexíveis expandiu-se rapidamente, motivada diretamente pela invenção do automóvel. Surgiram muitos novos modelos e empresas especializadas no assunto, entre eles as companhias “Thomas Flexible Coupling”, “Ajax Flexible Coupling” e outras. Este desenvolvimento teve continuidade nas décadas de 30 e 40. Neste período, foram introduzidos os acoplamentos flexíveis de uso geral dentro do mercado industrial. Entre os acoplamentos mais utilizados pode-se citar: de corrente, de grade, de garras, de engrenagem, de disco, de bloco quadrado corrediço e a junta universal. A partir da segunda metade da década de 40 até a década de 50, observou-se um rápido avanço tecnológico e a introdução de equipamentos rotativos de maior porte e de maior torque, levando à necessidade de acoplamentos com capacidade de maior torque e de assimilação de maiores desalinhamentos. Neste período, foi desenvolvido por completo o acoplamento de engrenagens de perfil envolvente, introduzido na indústria de aço. A utilização de turbinas a gás em aplicações industriais (geradores, compressores) tornou-se popular, e com isso tornaram-se necessários os acoplamentos com maiores velocidades de operação. Portanto, os acoplamentos de engrenagens e de disco foram melhorados para suprir essas necessidades. Entretanto, com o aumento da velocidade de operação, necessitou-se de acoplamentos mais leves e com características torcionais. Esses acoplamentos com características torcionais utilizam materiais como os elastômeros, que suavizam o ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 102 funcionamento do sistema, e em alguns casos, são capazes de absorver ou amortecer os carregamentos de pico causados pelas oscilações torcionais. Na década de 60 houve uma maior exigência em relação às máquinas rotativas com maior torque e maiores velocidades de operação, observando-se a introdução de novos tipos de acoplamentos. Alguns fabricantes lançaram acoplamentos de engrenagens padronizados, muito utilizados no mercado. Os acoplamentos de grade e de corrente eram populares para as aplicações gerais e os acoplamentos de pneus de borracha eram oferecidos em modelos próprios por cada fabricante. Durante este período, foram introduzidos acoplamentos de elastômeros sofisticados para resolver os diferentes problemas que eventualmente surgiam nos sistemas. A utilização de acoplamentos sem lubrificação cresceu rapidamente neste período, ou seja, até a primeira metade da década de 80. Os avanços nos acoplamentos desde a segunda metade da década de 80 até os dias atuais ficaram por conta da melhoria dos materiais, da análise através dos elementos finitos e novos métodos de fabricação. Os acoplamentos sem lubrificação, ao serem projetados através da análise de elementos finitos, são mais confiáveis e tem maiores capacidades. Os avanços nos equipamentos de controle numérico (CNC), permitiram o desenvolvimento de acoplamentos de diafragma de uma só peça, eliminando-se, dessa forma, a utilização da solda. A otimização da forma e a melhoria nos materiais dos elastômeros do projeto permitiram maior capacidade e maior tempo de vida útil nos acoplamentos de elastômeros. Atualmente, tem-se, principalmente, o desenvolvimento de micro-mecanismos, além de melhorias contínuas nos acoplamentos já em uso, direcionados para aplicações específicas em miniaturas (servomecanismos, equipamentos de oficina, e mecanismos pequenos), ou então para acoplamentos com excessivas exigências de potência. 3.3.3 Classificação dos Acoplamentos Mecânicos No mercado há uma vasta variedade de acoplamentos mecânicos disponibilizados, os quais, em geral, são agrupados em acoplamentos rígidos e acoplamentos flexíveis. Este segundo grupo é dividido em vários subgrupos. Rivin E.(1986), propôs uma classificação dos acoplamentos considerando a função do acoplamento nos sistemas de transmissão. Nessa classificação ele subdividiu os acoplamentos flexíveis em: Acoplamentos com compensação de desalinhamento, Acoplamentos torcionalmente flexíveis e Acoplamentos de propósito mistos. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 103 Marangoni R., Xu M. (1990) classificaram os acoplamentos flexíveis em 4 tipos, de acordo com seus princípios de operação, denominando cada grupo como: Acoplamentos mecanicamente flexíveis; Acoplamentos de membranas metálicas; Acoplamentos de elastômeros; Acoplamentos de miscelâneas (mistos). Childs D., et al. (1992), agruparam os acoplamentos em 3 grandes grupos, sendo que os 2 últimos grupos correspondem aos acoplamentos flexíveis: O primeiro deles não utiliza componentes intermediários entre as superfícies em contato do acoplamento, além de uma camada de lubrificação, ou não, dependendo da flexibilidade das superfícies em contato; O segundo grupo utiliza uma peça intermediária de ligação entre as superfícies em contato do acoplamento. Esta peça pode ser metálica, ou um elastômero, a qual tem características próprias de rigidez e amortecimento, assim como suas condições de balanceamento. Hodowanec M. (1997), classificou-os em 2 tipos: acoplamentos flexíveis metálicos e acoplamentos flexíveis de elastômeros. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 104 Figura 3.12 – Classificação geral dos acoplamentos mecânicos Finalmente Mancuso J. (1999), fez uma classificação de acoplamentos similar àquela publicada por Xu M., Marangoni R. (1990), com a diferença de que Mancuso acrescenta uma classificação das aplicações dos acoplamentos, como é mostrada na Figura 3.12. De acordo com o texto anterior, não existe uma classificação única para os acoplamentos flexíveis, mas a mais completa até o presente momento é a citada por Mancuso. Acoplamentos Rígidos Acoplamentos Flexíveis Acoplamento Flexível Miniatura Acoplamento Industrial de Propósito Geral Acoplamento Industrial de Propósito Especial Acoplamento Rígido de Flanges Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - sem lubrificação Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - dentes retos - dentes de envolvente Acoplamento por Corrente - corrente de aço - corrente de náilon Acoplamento por Grade - tampa bipartida verticalmente - tampa bipartida horizontalmente Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - de maior ângulo (gear spindle) - altas velocidades (lubrificação selada) - altas velocidades (lubrificação continua) - altas velocidades (lubrificação continua, tipo marinha) Acoplamento Rígido Bipartido Elemento Elastomérico - acoplamento elastomérico de uretano Elemento Elastomerico Em Cisalhamento - pneu de uretano - pneu com fibra - câmara toroidal partida Em Compressão - câmara toroidal - calços - garras(dentado) - pinos e buchas Elemento Elastomerico Em Cisalhamento - elastômero aderido nos cubos Em Compressão - calços Acoplamento Rígido de Luva Elemento Metálico Acoplamento de viga metálica Acoplamento de disco metálico Acoplamento de sanfona metálico Elemento Metálico De Disco - disco circular - disco quadrado - disco curvado (Scalloped) - discos articulados Elemento Metálico De Disco - de momento reduzido(Scalloped) - tipo da marinha (Scalloped) - arranjo de discos De Diafragma - cônico (soldada) - de peça única - retas múltiplas - de convolutas múltiplas Acoplamento Rígido de eixo oco Miscelâneas - de pino e bucha - de viga metálica - de bloco quadrado corrediço Miscelâneas - tipo excêntrico (Schmidt) - de mola tangencial ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 105 3.3.3.1 Acoplamentos Rígidos Acoplamentos Rígidos travam os dois eixos conectados, não permitindo movimento relativo entre eles, apesar de algum ajuste axial ser possível na montagem. Estes acoplamentos são utilizados quando não há desalinhamento ou quando este desalinhamento é muito pequeno, ou ainda, quando os eixos do equipamento ou do acoplamento (rígido de eixo vazado) são muito robustos, ou seja, longos e suficientemente finos para que possam flexionar e assimilar as forças e os momentos de reação produzidos pela deflexão mecânica dos acoplamentos rígidos, impostas pelo desalinhamento. Nestes casos, estes acoplamentos são muito eficientes na conexão de equipamentos. Em geral, estes acoplamentos permitem a transferência de potência de uma peça para outra do equipamento. Eles permitem também a conexão de eixos de diferentes dimensões. São aplicados na união de eixos perfeitamente alinhados, quando precisão e fidelidade na transmissão do torque são de extrema importância, como por exemplo, quando a relação de fase entre dispositivos acionadores e os acionados deve ser precisamente mantida. Máquinas de produção automatizadas, acionadas por longos eixos lineares, geralmente utilizam acoplamentos rígidos, entre seções de eixos, por esta razão. O alinhamento entre eixos acoplados deve ser ajustado com precisão, para evitar a introdução de grandes forças laterais e momentos, quando o acoplamento é posicionado. Alguns exemplos de acoplamentos rígidos comerciais são ilustrados a seguir. Há três tipos principais: acoplamento por engrenamento plano, acoplamento por flanges e acoplamento bipartido. Acoplamentos por engrenamento plano ou bucha: utilizam um parafuso de elevada dureza, que perfura o eixo para transmitir torque e carregamento axial. Estes acoplamentos são recomendados somente para aplicações de carregamento leve, podendo afrouxar-se com maiores níveis de vibração. O acoplamento rígido de bucha (com ou sem luva) é uma das mais simples formas de acoplamentos, utilizada para transmissões de frações de 1 hp, na qual os eixos conectados são de mesmo diâmetro, sendo que estes acoplamentos são fixados nos eixos por parafusos. Na indústria, não há um padrão para este tipo de acoplamento, sendo que os de maiores dimensões são fornecidos com buchas substituíveis para montagem e desmontagem. Os acoplamentos mais simples são utilizados nas transmissões motor-bomba e os mais sofisticados para aplicações de maior torque, como eixos de propulsão da marinha. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 106 Figura 3.13 - Acoplamento por Engrenamento Plano ou Bucha. Acoplamento por flanges: utiliza chaveta convencional e pode transmitir um torque substancial. Parafusos são geralmente utilizados em combinação com a chaveta, estando localizados a 90 o da chaveta. Para fixação própria contra vibração, um parafuso de pressão com ponta cavada é utilizado para atravessar o eixo. Para maior segurança, o eixo pode ser provido de um furo raso vazado, sob o parafuso de pressão, para fornecer uma interferência mecânica contra um deslizamento axial, ao invés de contar somente com o atrito. Os acoplamentos de flanges rígidas são provavelmente o tipo mais comum de conexão rígida. Seu projeto é limitado pelo número, tamanho e tipo de parafuso usado. Nas diferentes análises de tensão, que usualmente são consideradas, os limites deveriam considerar as tensões nos parafusos, cubos e nos flanges. Estes acoplamentos podem ser usados quando não há desalinhamento ou quando estes forem virtualmente nulos. Algumas aplicações são as bombas (verticais, horizontais) e as transmissões de guindastes. Figura 3.14 - Acoplamento por Flanges. Acoplamentos bipartidos: existem diversos projetos, sendo mais comuns os acoplamentos de uma-ou-duas-partes bipartidas, que se ajustam ao redor de ambos eixos, transmitindo torque através do atrito. O acoplamento rígido bipartido é usado onde a facilidade de montagem e desmontagem é requerida. O eixo e o cubo do acoplamento são geralmente chavetados. As duas metades são unidas rigidamente por parafusos radiais na região segmentada, cujo número de parafusos pode variar dependendo do tamanho do ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 107 acoplamento. O torque é transferido de uma metade para outra, pela força de atrito produzida pelos parafusos. Estes acoplamentos são amplamente utilizados para aplicações de baixo torque e baixa velocidade, tais como em bombas verticais, agitadores, transmissão de guincho e muitos outros tipos de aplicações. 3.3.3.2 Acoplamentos Flexíveis ou de Compensação. Os acoplamentos flexíveis unem dois eixos de equipamento rotativos, enquanto permitem algum grau de desalinhamento ou movimento relativo dos extremos dos eixos. As três funções básicas deste tipo de acoplamento são: transmitir potência de uma máquina para outra sob a forma de torque numa dada velocidade (dependendo das características do acoplamento, a eficiência da transmissão será melhor ou pior); assimilar o desalinhamento entre as linhas de centro dos eixos conectados, que podem ser paralelo, angular, ou misto, sendo este último o que mais ocorre na realidade; compensar o movimento axial nos extremos dos eixos conectados, sendo também possível restringí-los. Além das funções básicas descritas, os acoplamentos flexíveis podem ter outras funções como: amortecer a vibração e reduzir as cargas de choque ou pico; proteger o equipamento de sobrecargas; medir torques de saída no equipamento acionado; isolar o equipamento motriz do equipamento acionado; posicionar o rotor de um motor ou gerador, e para posicionar o sistema fora de seu modo crítico torcional. Um eixo, considerado como um corpo rígido, tem seis graus de liberdade, em relação a um segundo eixo. Porém, devido à simetria, somente quatro desses graus de liberdade são de interesse. Eles estão associados ao desalinhamento axial, angular, paralelo e torcional, como mostrado na figura 3.11. Estes podem ocorrer separadamente ou em combinação, e podem estar presentes na montagem, devido às tolerâncias de manufatura, ou podem ocorrer durante a operação, devido aos movimentos relativos dos dois eixos. Mesmo que o alinhamento entre os eixos adjacentes seja preciso, podem ocorrer desalinhamento axial, angular e paralelo, em qualquer máquina em funcionamento. O desalinhamento torcional ocorre, dinamicamente, quando a carga acionada tende a prender o motor acionador. Se o acoplamento permite qualquer folga angular, haverá recuo quando o torque inverter de sinal. Isto é indesejável no caso da necessidade de precisão da fase, como em servomecanismos. Flexibilidade torcional, em um acoplamento, pode ser desejável, se grandes carregamentos de choque, ou vibrações torcionais, devem ser isoladas entre os eixos. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 108 Numerosos projetos de acoplamentos flexíveis são produzidos, oferecendo cada um, uma diferente combinação de características. O projetista, geralmente, pode selecionar um acoplamento adequado e disponível comercialmente, para qualquer aplicação. Acoplamentos flexíveis podem ser divididos em diversas subcategorias, que estão listadas na Tabela 3.4, juntamente com algumas de suas características. Tabela 3.4 - Tipos de Acoplamentos - Tolerância de Desalinhamento. Classe Axial Angular Paralelo Torcional Comentário RÍGIDO grande nenhum nenhum nenhum alinhamento preciso ELÁSTICO DE PINOS suave suave (< 2 graus) suave (3% d) moderado absorção de choque e recuo ENGRENAGEM grande suave (< 5 graus) suave (< 0.5% d) nenhum recuo suave e capacidade de torque elevada RANHURAS grande nenhum nenhum nenhum recuo suave e capacidade de torque elevada HELICOIDAL suave grande ( 20 graus) suave (< 1% d) nenhum peça compacta, sem recuo BELLOWS suave grande ( 17 graus) moderado (20%d) nenhum sujeito à falha por fadiga DISCO FLEXÍVEL suave suave ( 3 graus) suave ( 2% d) suave ou nenhum absorção de choque, sem recuo HOOKE nenhum grande grande (aos pares) nenhum variação de velocidade e recuo suave RZEPPA nenhum grande nenhum nenhum velocidade constante Acoplamentos com elemento elástico deformável: apresenta dois cubos (geralmente idênticos) com pinos sobressalentes, como mostrado na Figura 3.15 (a) e (b). Estes pinos encaixam-se axialmente, e engrenam torcionalmente através de um complemento flexível de ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 109 borracha ou metal-leve. A folga permite algum desalinhamento axial, angular e paralelo, mas pode também permitir algum recuo indesejável. (a) (b) Figura 3.15 - Acoplamento Elástico de Pinos: (a) Oldham e (b) Teteflex. Acoplamentos de Discos Flexíveis: são similares ao anterior, pois seus dois cubos são ligados por um membro flexível (disco) de elastômero ou metal elástico, como mostrado na Figura 3.16. Estes acoplamentos permitem desalinhamento axial, angular e paralelo, com alguma flexibilidade torcional, porém, permitem pouco ou nenhum recuo. Figura 3.16 - Acoplamento de Discos Flexíveis. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 110 Acoplamentos de engrenagens e ranhuras: utilizam dentes retos ou curvos engrenados com dentes internos, como mostrado na Figura 3.17 (a). Permitem movimento axial substancial entre eixos e, dependendo da forma do dente e das folgas entre eles, podem absorver pequenos desalinhamentos angulares e paralelos. Possuem alta capacidade de torque, devido ao número de dentes no engrenamento. (a) (b) (c) (d) Figura 3.17 - Acoplamentos Flexíveis: (a) de Engrenagens, (b) Tipo Bellows, (c) Junta Universal e (d) Helicoidal. Acoplamentos Helicoidais e Tipo Bellows: são empregados em projetos que utilizam suas deflexões elásticas para permitir desalinhamentos axial, angular e/ou paralelo, com pouco ou nenhum recuo. Acoplamentos Helicoidais (Figura 3.17 (d)) são feitos de um cilindro sólido de metal, cortado com uma fenda helicoidal para aumentar sua flexibilidade. Os tipos bellows (Figura 3.17 (b)) são feitos de uma fina folha de metal, através da solda de uma série de arruelas juntas. Estes acoplamentos têm capacidade de torque limitada, comparada a outros projetos, mas oferece recuo zero e alta rigidez torcional, em combinação com desalinhamento axial, angular e paralelo. Juntas Universais: São de dois tipos comuns. O acoplamento Hooke (Figura 3.17 (c)), que não possui velocidade constante (CV) e o acoplamento Rzeppa, que possui velocidade constante. Acoplamentos Hooke são, geralmente, usados aos pares para cancelar seu erro de velocidade. Ambos os tipos podem lidar com grande desalinhamento angular e, aos pares, podem fornecer grande compensação paralela também. Estes acoplamentos são utilizados em eixos acionadores de automóveis. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 111 Figura 3.18 - Acoplamento de Molas. 3.3.4 Critérios para Seleção de Acoplamentos. Os acoplamentos são de vital importância para um sistema de transmissão de potência, mesmo que o seu valor monetário não supere no geral 10% do custo total do sistema. Entretanto, muitos projetistas consideram os acoplamentos como se estes fossem peças de hardware. O tempo gasto na seleção de um acoplamento e a determinação de sua interação com o sistema deve ser não só função do custo do equipamento, mas também função do tempo de substituição ou de reparo devido a uma falha ocorrida. Em alguns casos, esta análise pode envolver um curto período de tempo com base em experiências anteriores. Entretanto, um sistema complexo pode requerer uma análise por elementos finitos e eventualmente possíveis testes com protótipos devem ser feitos. O projetista de um sistema deve selecionar um acoplamento que seja compatível com o sistema. A complexidade e o aprofundamento do processo de seleção dependerá do quão crítico e quão custoso será a parada para o usuário final. Segundo Mancuso J. (1999), existem usualmente 4 passos que deveriam ser considerados para uma apropriada seleção de um acoplamento: • Revisão dos requerimentos iniciais para um acoplamento flexível e seleção do tipo de acoplamento que melhor satisfaz o sistema; • Fornecer ao fabricante a informação pertinente, para que o acoplamento possa ser apropriadamente dimensionado, projetado e fabricado para satisfazer essas necessidades. No mínimo 3 itens são necessários para dimensionar um acoplamento: potência, velocidade e informação da interface; ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III 112 • Obter informação sobre as características do acoplamento, devido a interação deste com o sistema que deve ser analisado, para garantir compatibilidade e prever o surgimento de forças e momentos prejudiciais. Sendo o acoplamento selecionado, dimensionado e projetado adequadamente, não é garantida uma operação sem problemas. Os acoplamentos geram suas próprias forças e podem também amplificar as forças do sistema, mudando as características originais do sistema ou as condições de operação. Algumas características do acoplamento que podem interagir com o sistema são: rigidez e amortecimento torcional, folga, massa, efeito da rotação do volante do acoplamento, centro de gravidade, quantidade de desbalanceamento, força axial, momento de flexão, rigidez lateral, freqüências naturais axial, lateral e torcional. O efeito da rotação do volante de um acoplamento é o produto da massa do acoplamento pelo quadrado do raio de rotação (raio no qual a massa do acoplamento pode ser considerada concentrada); • Verificar a interação com o sistema, e se as condições do sistema se alterarem, deve-se contatar o fabricante para que as novas condições e seus efeitos sobre o acoplamento selecionado possam ser analisadas. Repetir este processo até o sistema e o acoplamento serem compatíveis. As características do acoplamento são utilizadas para a análise do sistema axialmente, lateralmente, térmicamente e torcionalmente. Uma razão importante para o balanceamento do acoplamento, é devido às forças geradas pelo desbalanceamento do mesmo, as quais poderiam ser prejudiciais para o sistema (equipamentos, mancais e estrutura de suporte). Existem na indústria 4 padrões de balanceamento, que são mais freqüentemente utilizados para acoplamentos: API671, AGMA9002, ANSI S2 19-1989, e ISO1940/1(1 a edição, 1986-09-01). De todos eles, somente um foi especificamente escrito para acoplamentos AGMA9002. Os outros três padrões usam tolerâncias que foram desenvolvidas para rotores ou outras peças rotativas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 113 CAPÍTULO IV MANCAIS 4.1. INTRODUÇÃO Mancais são elementos que permitem o movimento relativo entre componentes de máquinas. Sua forma depende da natureza do movimento relativo que se deseja obter, ou ainda, depende do tipo de par cinemático envolvido para realizar este movimento. Os pares cinemáticos mais comuns encontrados em máquinas são: • Movimento em torno de um ponto - rodas, pêndulos, etc; • Movimento em torno de uma reta - cilindros e eixos rotativos em geral; • Movimento ao longo de uma reta - bielas, barramentos, etc; • Movimento conjugado em torno de uma reta - roscas e parafusos; • Movimento no plano - mesas magnéticas. Os movimentos em torno de um ponto ou de uma reta, ou seja, as rotações contínuas ou oscilatórias, envolvem fenômenos e, principalmente, detalhes construtivos de projeto muito interessantes, por se relacionarem à dinâmica de rotação. Para estes movimentos, existem formas construtivas específicas de mancais, destinados a cada tipo de aplicação. Os tipos mais comuns de mancais, e seus respectivos mecanismos principais de falha, são: 1. Mancal de rolamento - vida limitada pela fadiga sub-superficial; 2. Mancal de escorregamento seco - normalmente um par cinemático não metálico, com vida limitada pelo desgaste abrasivo; 3. Mancal de escorregamento com lubrificação limite - vida limitada pelo desgaste e pela degradação da lubrificação; ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 114 4. Mancal hidrostático - aplicável a toda faixa de carregamento e rotação, com pressões de alimentação de 3 a 5 vezes a pressão média do mancal. A vida é limitada pela manutenção da pressão; 5. Mancal hidrodinâmico - a pressão do filme lubrificante é gerada pela rotação entre os elementos do mancal, sendo inoperante no início e no final do movimento. A vida é limitada por vibrações e contaminação do lubrificante. 4.2 Tipos de lubrificação: Há três tipos básicos de lubrificação, que podem ocorrer em mancais: lubrificação completa, mista e limite. A lubrificação completa descreve uma situação na qual as superfícies do mancal estão completamente separadas por um filme de óleo lubrificante, eliminando qualquer contato. A lubrificação completa pode ser hidrostática, hidrodinâmica ou elastohidrodinâmica. A lubrificação limite descreve uma situação onde, por razões como geometria, acabamento da superfície, carga excessiva, ou falta de lubrificação suficiente, as superfícies do mancal tem contato direto, podendo ocorrer adesão ou desgaste abrasivo. A lubrificação mista representa uma combinação de uma lubrificação parcial, associada a um contato intermitente entre as superfícies, devido à suas rugosidades. Três mecanismos podem originar lubrificação completa: lubrificação hidrostática, hidrodinâmica e elastohidrodinâmica. A lubrificação é normalmente classificada de acordo com o grau de separação, fornecido pelo lubrificante, para as superfícies com movimento relativo: a) Lubrificação Hidrodinâmica: A lubrificação hidrodinâmica refere-se ao suprimento de um lubrificante suficiente (tipicamente um óleo) para a interface deslizante, de modo a permitir a velocidade relativa necessária para bombear o lubrificante dentro do espaço livre, separando as superfícies por um filme de fluido dinâmico. Neste caso, as superfícies estão completamente separadas pelo filme lubrificante. O carregamento, que tende a provocar o contato entre as superfícies, é inteiramente suportado pela pressão do fluido, causada pelo próprio movimento relativo entre as superfícies (Figura 4.1(a)). Problemas como desgaste das superfícies são raros (apenas em cavitação ou instabilidade) e as perdas por atrito são devidas apenas ao atrito viscoso do lubrificante. A espessura mínima do filme lubrificante varia entre 0.008 e 0.020 mm. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 115 b) Lubrificação Mista: os picos, que porventura ocorrem no acabamento das superfícies, entram em contato intermitente, provocando uma sustentação hidrodinâmica parcial (Figura 4.1(b)). Com projeto adequado, o desgaste superficial pode ser atenuado. A faixa para os coeficientes de atrito encontra-se entre 0.004 e 0.10. c) Lubrificação por Camada Limite: neste caso, o contato entre as superfícies é contínuo e extenso (Figura 4.1(c)), enquanto que o lubrificante está continuamente distribuído entre as superfícies, proporcionando uma camada de filme continuamente renovada, que reduz o atrito e o desgaste. A lubrificação limite refere-se às situações nas quais alguma combinação da geometria na interface, altos níveis de carga, baixa velocidade ou quantidade de lubrificante insuficiente, excluem o início de uma operação hidrodinâmica. As propriedades da superfície em contato e do lubrificante, outras que não a viscosidade, determinam o atrito e o desgaste nesta situação. A viscosidade do lubrificante não é um parâmetro influente. O atrito é independente da velocidade na lubrificação limite, o que é consistente com a definição de atrito de Coulomb. A lubrificação limite implica sempre em algum contato metal-metal na interface, se o filme de lubrificante não for espesso o suficiente para “mascarar” as asperezas nas superfícies. Superfícies rugosas causam esta condição. Se a velocidade relativa ou o suprimento de lubrificante, numa interface hidrodinâmica, forem reduzidos, a situação reverte para uma condição de lubrificação limite. Superfícies como os dentes de engrenagens e cames, que não envolvem uma à outra, podem estar em lubrificação limite, se as condições EHD não prevalecerem. Mancais de rolamento também podem operar na lubrificação limite, se a combinação de velocidades e cargas não permitir que a condição EHD ocorra (Figura 4.1 (e) e (f)). A lubrificação limite é uma condição menos desejada do que as demais descritas acima, pois permite que as asperezas das superfícies entrem em contato, causando desgaste rapidamente. Algumas vezes, este fato é inevitável, como nos exemplos de cames, engrenagens e mancais de rolamento citados. Os lubrificantes EP, foram criados para estas aplicações de lubrificação limite, especialmente para engrenagens que trabalham em altas velocidades de escorregamento e elevados carregamentos. O coeficiente de atrito, em uma interface de deslizamento com lubrificação limite, depende dos materiais utilizados, assim como do lubrificante, estando na faixa de 0.05 a 0.15, sendo na maioria das vezes 0.10. d) Lubrificação Hidrostática: O tipo de lubrificação mais adequado, na maior parte dos casos, é obviamente a hidrodinâmica, mas a lubrificação hidrostática também pode fornecer uma separação completa das superfícies (Figura 4.1 (d)). Um fluido (ar, óleo, água, ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 116 etc.) altamente pressurizado, é introduzido no interior da área de carregamento do mancal. Sendo o fluido pressurizado por meios externos, a separação plena pode ser obtida com ou sem o movimento relativo entre as superfícies, ou seja, durante a partida e em baixas velocidades de rotação da máquina. Este tipo de mancal apresenta baixo atrito durante todo tempo de operação. O custo elevado e a complexidade, bem como os problemas associados ao fornecimento do fluido pressurizado, fazem com que sua aplicação seja altamente específica. A lubrificação hidrostática refere-se ao fornecimento de um fluxo de lubrificante (tipicamente óleo) à interface deslizante, a uma pressão hidrostática elevada (≅ 10 2 a 10 4 psi). Tal processo requer um reservatório para armazenar, uma bomba para pressurizar e um sistema para distribuir o lubrificante. Quando realizado adequadamente, com folgas radiais adequadas, pode eliminar todo o contato metal-metal na interface, durante o escorregamento. As superfícies são separadas por um filme de lubrificante que, se mantido limpo e livre de contaminantes, reduz a taxa de desgaste praticamente a zero. Em velocidade relativa nula, o atrito também é praticamente nulo. A uma velocidade relativa mais elevada, o coeficiente de atrito, em superfícies lubrificadas hidrostaticamente, está entre 0.002 e 0.010. Este é também o princípio de um mancal aerostático, usado em “air pallets” para deslocar cargas sobre uma superfície, permitindo que se mova lateralmente com pouco esforço. “Hovercrafts” funcionam por um princípio similar. Água é algumas vezes usada em mancais hidrostáticos. O “Denver’s Mile High Stadium” tem uma arquibancada de 21000 lugares, a qual desliza sobre um filme hidrostático de água, convertendo o estádio de baseball para futebol americano. Os mancais axiais hidrostáticos são mais comuns que os mancais radiais hidrostáticos . (a) (b) (c) (d) (e) (f) Coroa Pinhão Superfície do Came Rolete ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 117 Figura 4.1 Tipos de Lubrificação. e) Lubrificação Elastohidrodinâmica: Quando as superfícies em contato são não- deformáveis, como os dentes de uma engrenagem ou came, mostrados na Figura 4.1 (e) e (f), então torna-se mais difícil formar um filme de lubrificante completo, já que as superfícies não-deformáveis tendem mais a expelir do que envolver o fluido. Em baixas velocidades, estas juntas estarão em lubrificação limite, e altas taxas de desgaste podem resultar em possível deterioração e danos de superfície. A carga cria uma pequena área de contato a partir das deflexões elásticas das superfícies. Esta pequena área de contato pode ser a área de uma superfície plana, cujas dimensões permitem a formação um filme de lubrificante hidrodinâmico se a velocidade de escorregamento relativa for suficientemente elevada. Esta condição é chamada de lubrificação elastohidrodinâmica (EHD), já que depende das deflexões elásticas das superfícies e do fato de que altas pressões (100 a 500 Kpsi), dentro da zona de contato, aumentam bastante a viscosidade do fluido (por outro lado, a pressão do filme de lubrificante em mancais com materiais deformáveis é somente em torno de 1000 psi e a mudança na viscosidade devido à esta pressão é desprezível). A lubrificação limite ocorre nas operações de ligar e desligar e, se prolongada, causará desgaste intenso. Juntas de cames podem também lubrificação limite nos locais de pequeno raio de curvatura do came. Os três regimes também são válidos para os mancais de rolamento. O parâmetro mais importante, que determina qual situação ocorre nos contatos não- deformáveis, é a razão entre a espessura do filme de óleo e a rugosidade da superfície. Para se obter lubrificação completa e evitar contato áspero, a Rms ou rugosidade média da superfície (Rq) não superar cerca de 1 / 2 a 1 / 3 da espessura do filme de óleo. A espessura de um filme de lubrificação EHD completa é normalmente da ordem de 1µm. Em cargas muito altas, ou velocidades muito baixas, a espessura do filme, na lubrificação, deve se tornar muito pequena para separar as asperezas da superfície, ocorrendo lubrificação mista ou limite. Os fatores que mais influenciam nas condições de lubrificação EHD são: aumento da velocidade relativa, viscosidade do lubrificante e raio de curvatura no contato . A redução da carga unitária e rigidez reduzida do material apresentam menor efeito. 4.3 Seleção de Mancais A seleção normalmente é feita levando-se em conta os parâmetros mais significativos relacionados às condições de uso do mancal. • Seleção quanto à capacidade de carga dos mancais sujeitos à rotação contínua: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 118 Inicialmente, o tipo de mancal adequado era especificado graficamente (Figura 4.2), de forma que este apresentasse a máxima capacidade de carga a uma dada velocidade de rotação, e para um determinado diâmetro do eixo. Esta seleção é baseada em uma vida equivalente a 10.000 horas para mancais de escorregamento e de rolamento. Reduzindo-se o carregamento e a rotação, pode-se prolongar a vida do componente. Para muitos mancais planos, assume-se que a largura é igual ao seu diâmetro (L/D = 1), e o lubrificante é um óleo mineral de viscosidade média. Mancal de Escorregamento Seco — — — — — — — Mancal de Escorregamento por Camada Limite — · · —— · · —— · · — Mancal de Rolamento ——————————— Mancal Hidrodinâmico — · — · — · — · — · — · — Figura 4.2 - Seleção de Mancais quanto à capacidade de carga e velocidade de rotação. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 119 Em muitos casos, além da capacidade de carga, o ambiente de operação ou as exigências especiais de funcionamento podem ser de maior importância na seleção do tipo de mancal apropriado. Assim sendo, pode-se aplicar os conceitos das Tabelas 4.1 e 4.2. Tabela 4.1 - Seleção para Condições Ambientais Especiais em Rotação Contínua. Tipo de Mancal Alta Temperatura Baixa Temperatura Vácuo Umidade Sujeira ou partículas suspensas Vibração Externa Mancal de Escorregamento Seco Bom até a temperatura limite do material Bom Excelente Bom, mas o eixo não deve ser sujeito a corrosão Bom, mas necessita de vedação Bom Mancal de Escorregamento Com Lubrificação Limite Ruim, pois o lubrificante oxida Razoável, pois pode exigir um alto torque de partida Possível com lubrificação especial (graxas) Bom Vedação é essencial Bom Mancal de Rolamento Acima de 150ºC deve-se consultar o fabricante Bom Razoável com lubrificação especial (graxas de molibidênio) Bom com vedação Vedação é essencial Razoável - Consultar o fabricante Mancal Hidrodinâmico Bom para temperatura limite do lubrificante Bom, mas pode necessitar de elevado torque de acionamento Possível com lubrificação especial Bom Bom com vedação e filtragem Bom Mancal Hidrostático Excelente se com lubrificação a gás Bom Não, a alimentação de lubrificante afeta o vácuo. Bom Excelente se lubrificado a gás Bom Tabela 4.2 - Seleção para Aplicações Especiais em Rotação Contínua. Tipo de Mancal Precisão de Montagem Capacidade de Carga Axial Baixo Torque de Acionamento Nível de Ruído Componentes Disponíveis Simplicidade de Lubrificação Mancal de Escorregamento Seco Ruim Razoável em muitos casos Ruim Razoável Alguns Excelente Mancal de Escorregamento com Lubrificação Limite Bom Razoável Bom Excelente Sim Excelente Mancal de Rolamento Bom Boa, em muitos casos Muito bom Satisfatório Sim Bom se lubrificado com graxa Mancal Hidrodinâmico Razoável É necessário um mancal axial Bom Excelente Alguns Exige um sistema de circulação ou fluxo Mancal Hidrostático Excelente É necessário um mancal axial Excelente Excelente Nenhum Ruim, exige um sistema especial ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 120 4.4. MANCAIS DE ELEMENTOS ROLANTES (ESFERAS ou ROLOS) Rolamentos são conhecidos por mover objetos pesados desde os tempos antigos, e há evidências do uso de mancais axiais de esferas no primeiro século antes de Cristo. Porém, foi apenas no século XX, que materiais avançados, unidos a tecnologia de fabricação, permitiram uma precisão na construção de elementos de rolamentos de mancais. As necessidades de maiores velocidades de rotação, baixo atrito e maior resistência a temperaturas elevadas, foram geradas a partir do desenvolvimento do avião de turbina de gás. Consideráveis esforços em pesquisa, desde a II Guerra Mundial, resultaram em alta qualidade e alta precisão dos elementos de rolamento dos mancais (ERM), sendo estes disponíveis a preços razoáveis. É interessante notar que, nos projetos mais antigos datados de 1900, mancais de esferas e mancais de rolamentos foram mundialmente padronizados em dimensões métricas. É possível remover um ERM de uma roda de automóvel antigo, fabricado nos anos 20, por exemplo, e encontrar um de reposição em um catálogo atual de fabricante de mancais. Os novos mancais são muito mais evoluídos em termos de projeto, qualidade e confiança, mas apresentam as mesmas dimensões externas. 4.4.1 Materiais A maioria dos mancais de esfera modernos são feitos do aço AISI 5210 e endurecidos a alta temperatura. Esta liga aço-cromo é endurecida até uma dureza HRC 61-65. Mancais de rolamento são, geralmente, feitos de um invólucro endurecido de ligas de aço tipo AISI 3310, 4620 e 8620. Recentes desenvolvimentos no processo de fabricação do aço tem resultado em mancais com níveis de impureza reduzidos. Mancais fabricados com este aço “limpo” apresentam um aumento significativo na vida útil e na confiabilidade. 4.4.2 Fabricação Mancais de rolamento são produzidos por todos os maiores fabricantes de mancais no mundo e, a fim de padronizar as dimensões definidas pela Associação de Fabricantes de Mancais Anti-Atrito (AFBMA) e/ou pela Organização de Padrões Internacionais (ISO), tais dimensões são imutáveis. Os padrões da AFBMA, para o projeto de mancais, foram adotados pelo Instituto Nacional de Padrões Americanos (ANSI). Algumas informações desta seção foram colhidas da ANSI/AFBMA, padrão 9-1990, para mancais de esferas, e padrão 11-1990, para mancais de rolamentos. As normas também definem uma classificação de tolerância para os mancais. Mancais radiais são classificados pela ANSI dentro da ABEC -1 até a ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 121 classificação de tolerância -9, sendo que a precisão aumenta com o número da classificação. A norma ISO define desde a classificação 6 até a classificação 2, com precisão variando inversamente com o número de classificação. 4.4.3 Comparação entre o Mancal de Rolamento e o Mancal de Deslizamento Os mancais de rolamentos apresentam algumas vantagens sobre os mancais de deslizamento, e vice-versa. São as seguintes vantagens dos mancais de rolamento sobre os mancais de deslizamento por camada limite: 1. Baixo torque de partida e bom trabalho de atrito, µ ESTÁTICO ≅ µ DINÂMICO; 2. Pode suportar cargas radiais e axiais combinadas; 3. É menos sensível a interrupções para lubrificação; 4. Não apresenta instabilidade por auto-excitação; 4 Boa partida a baixa temperatura; 5 Permite selar o lubrificante dentro do mancal para determinado tempo de uso e; 6 Requer menos espaço em direção axial. A seguir, são numeradas as desvantagens dos mancais de rolamentos, quando comparados aos mancais hidrodinâmicos: 1. Mancais de rolamento podem, eventualmente, falhar por fadiga; 2. Necessitam de mais espaço em direção radial; 3. Baixa capacidade de amortecimento; 4. Maior nível de ruído; 5. Maior custo e; 6. Maior atrito. 4.4.4 Tipos de Mancais de Elementos Rolantes Mancais de elementos rolantes podem ser agrupados dentro de duas categorias gerais: mancais de esferas e mancais de rolamentos, ambos apresentando variantes construtivas. MANCAIS DE ESFERA Consistem de um número de esferas de aço batido endurecido, posicionadas entre dois trilhos, um interno e outro externo, de um mancal radial; ou trilhos de topo e fundo, para mancais axiais. Um retentor (também chamado gaiola ou separador) é utilizado para manter as esferas adequadamente espaçadas ao longo do trilho, como mostrado na Figura 4.3(a). Mancais de esferas podem suportar cargas radiais e axiais combinadas. A figura 4.3(b) mostra ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 122 um mancal de esferas de contato angular, projetado para suportar cargas axiais, além das cargas radiais. Alguns mancais de esferas são disponíveis com blindagem (proteção) e selagem. Mancais de esferas apresentam menor custo em dimensões menores e para cargas mais leves. (a) (b) Figura 4.3 - Mancais de Esferas (a) Contato Radial (Tipo rígido de esferas) e (b) Contato Angular. MANCAIS DE ROLAMENTOS Os rolos podem ser de forma reta, cônica ou envoluta, conforme Figura 4.4. Em geral, mancais de rolamento podem suportar maiores cargas estáticas e dinâmicas (choque), se comparados aos mancais de esferas, devido à sua linha de contato, e são mais baratos em dimensões maiores, quando sujeitos a cargas mais pesadas. A menos que os rolos sejam do tipo agulha ou evolvente, podem suportar apenas a carga em uma direção, seja do tipo radial ou do tipo axial, de acordo com o projeto do mancal. A Figura 4.4 (a) mostra um mancal de rolamento de forma cilíndrica reta, desenhado para suportar apenas cargas radiais. Apresenta atrito muito baixo e flutua axialmente, o que pode ser uma vantagem em eixos longos, onde a expansão térmica pode sobrecarregar um par de mancais de esferas na direção axial, se não forem apropriadamente montados. Figura 4.4 (b) mostra um mancal de agulha, com rolos de pequeno diâmetro, que podem ter ou não um trilho interno. Suas principais vantagens são a maior capacidade de carga , devido ao total preenchimento de rolos, e sua compacta dimensão radial, especialmente se usado sem um trilho interno. Em tais casos, o eixo sobre o qual os rolos correm deve ser endurecido. A Figura 4.4 (c) mostra um mancal de rolamento cônico, projetado para suportar maior carga axial, além de cargas radiais. Estes são, geralmente, usados como mancais em rodas de automóveis e caminhões. Mancais de rolamentos cônicos podem ser desmontados axialmente, o que torna a manutenção mais fácil do que para os mancais de esferas, de montagem Anel Externo Anel Interno Gaiola Esfera Anel Externo Anel Interno Esfera Gaiola ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 123 permanente. A Figura 4.4 (d) mostra um mancal de rolamento evolvente auto-alinhado, não permitindo a ação de momentos no mancal. MANCAIS AXIAIS Mancais de esferas e de rolos são também feitos para cargas axiais puras, como mostrado na Figura 4.5 . Mancais axiais de rolamentos cilíndricos (Figura 4.5 (b)) apresentam maior atrito, se comparados aos mancais axiais de esferas (Figura 4.5 (a)), devido ao deslizamento que ocorre entre o rolamento e os trilhos (por que apenas um ponto no rolamento pode causar a variação linear da velocidade sobre o raio dos trilhos), e não deveriam ser usados em aplicações de alta velocidade. (a) (b) (c) (d) Figura 4.4 - Mancais de Rolamentos. (a) (b) Figura 4.5 - Mancais Axiais. 4.4.5 Classificação dos Mancais de Elementos Rolantes A Figura 4.6 mostra a classificação dos tipos de mancais de elementos rolantes (REB – Rolling Elements Bearing). Cada uma das categorias principais de esferas e rolamentos divide-se em subcategorias, relativas à carga radial e axial. Dentro destas divisões, muitas variedades são possíveis. Configurações de carreira simples ou dupla são oferecidas, permitindo maior capacidade de carga. Outro critério de escolha é em relação ao contato (a) (b) (c) (d) (a) (b) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 124 unidirecional ou angular, quanto ao padrão aceito de carga radial ou de carga axial “pura” e, finalmente, uma combinação de ambas. Mancais rígidos de esferas são capazes de suportar carregamentos radiais elevados e limitadas cargas axiais, e são os mais comumente usados. Figura 4.6 - Classificação dos Mancais de Elementos Rolantes. Rolamentos Radiais de Esferas Rolamentos de Esferas Rolamentos Axiais de Esferas Mancais de Rolamento Rolamentos Radiais de Rolos Rolamentos de Rolos Rolamentos Axiais de Rolos Rolamento Rígido de Esferas – carreira simples Rolamento Rígido de Esferas – máxima capacidade Rolamento Rígido de Esferas de Contato Angular - carreira simples Rolamento Rígido de Esferas de Contato Angular – montagem dupla Rolamento Rígido de Esferas de Contato Angular – carreira dupla Rolamento Rígido de Esferas com 4 pontos de contato Rolamento Autocompensador de Esferas – carreira dupla Rolamento Axial de Esferas (escora simples) Rolamento Axial de Esferas (escora simples e anel de cx. esférica) Rolamento Axial de Esferas (escora dupla) Rolamento Axial de Esferas (escora dupla e anéis de cx. esférica) Rolamento Axial de Esferas de Contato Angular Rolamento Radial de Rolos Cilíndricos – carreira simples Rolamento Radial de Rolos Cilíndricos – carreira dupla Rolamento Radial de Agulhas Rolamento Radial de Rolos Cônicos - carreira simples Rolamento Radial de Rolos Cilíndricos – carreira dupla Rolamento Radial Autocompensador de Rolos Rolamento Axial de Rolos Cilíndricos Rolamento Axial de Agulhas Rolamento Axial de Rolos Cônicos Rolamento Axial Autocompensador de Rolos ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 125 O mancal de esfera de contato angular pode sustentar maiores cargas axiais, em relação ao mancal rigido de esferas, mas apenas em um sentido de aplicação da carga. São, geralmente, aplicados aos pares, para absorver cargas axiais em ambos sentidos, numa mesma direção. Os mancais de esferas de máxima capacidade apresentam uma fenda adicional, que permite a alocação de mais esferas, em relação à montagem por deslocamento excêntrico dos trilhos, como é feito com o mancal rígido de esferas. Porém, o preenchimento da fenda limita sua capacidade de carga axial. Projetos de mancais com auto-compensação tem a vantagem de acomodar eixos desalinhados. Apresentam atrito muito baixo. Na aplicação de mancais sem auto-compensação, os pedestais dos mancais devem ser cuidadosamente alinhados por colinearidade e angularidade, para evitar a geração de cargas residuais na montagem dos mesmos, diminuindo sua vida útil. A Figura 4.7 mostra uma ficha de avaliação de um fabricante, com recomendações relativas ao uso de vários tipos de mancais. Como exemplo: Note que poucos tipos são disponíveis em polegadas, mas a maioria está disponível apenas em dimensões métricas (Sistema Métrico). A coluna entitulada capacidade (Capacity) indica a capacidade relativa para acomodar cargas radial e axial, para cada tipo de mancal. A coluna velocidade limitada (Limiting Speed) usa o mancal rígido de esferas como padrão de comparação, por apresentar a melhor capacidade de trabalhar a elevadas velocidades. 4.4.6 Falha dos Mancais de Rolamentos Se o mancal de rolamento for suficientemente lubrificado, e o lubrificante, por sua vez, não for contaminado, as falhas ocorrerão por fadiga de superfície. Considera-se a ocorrência de falha quando, tanto as pistas, interna e externa, ou as esferas (rolamentos), exibem o primeiro “pit” ou entalhe. Normalmente, uma das pistas falhará primeiro. O mancal dará uma indicação auditiva do surgimento da primeira descontinuidade de material, quando emitir ruído e vibração. Apesar de continuar funcionando, a superfície continuará a se deteriorar, os níveis de ruído e de vibração aumentarão, resultando eventualmente, na quebra dos elementos e, por conseqüência, do mancal, e possível esmagamento e dano dos demais elementos a ele conectados. Em uma amostragem extensa de mancais, serão obtidas grandes variações no tempo de vida útil destes elementos. Os modos de falhas não se distribuem estatisticamente em uma simetria Gaussiana, mas sim de acordo com a distribuição de Weibull, que apresenta uma forma variável, podendo se adequar às diversas distribuições, com a vantagem da representação matemática. Mancais são tipicamente classificados por sua vida útil, através do número de revoluções (ou das horas de operação na velocidade de ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 126 projeto), em que 90% de uma amostra aleatória de mancais, de determinada dimensão, possa atingir ou exceder seu carregamento de projeto. Em outras palavras, 10 % do lote está sujeito à falha nestas condições, antes que a vida útil de projeto seja alcançada. Isto é designado como vida L 10 . Alguns fabricantes de mancais preferem se referir a esta vida util como B 90 ou C 90 , considerando a sobrevivência de 90% dos mancais, e não a falha de 10% . Figura 4.7 - Informações de desempenho, dimensões e disponibilidade para Mancais de Elementos Rolantes. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 127 Para aplicações críticas, uma porcentagem de falha menor pode ser projetada, mas a maioria dos fabricantes padronizam na vida L 10 , como definição das características carga-vida útil de um mancal. O processo de seleção de mancais de rolamento envolve extensivamente este parâmetro, para obter qualquer nível de vida útil desejado, sob as condições antecipadas de carga ou sobrecarga esperadas em serviço. A Figura 4.8 mostra uma curva de falha para mancais, com as respectivas porcentagens de sobrevivência, como uma função da fadiga relativa. A vida útil L 10 é utilizada como referência. A curva é relativamente linear ate 50% de falhas, que ocorrem num período de 5 vezes a vida útil de referência. É necessário um tempo 5 vezes maior para 50% dos mancais falharem, comparado ao tempo de falha de 10% dos mancais. Após este ponto, a curva torna-se completamente não linear, necessitando de um tempo 10 vezes maior que a referência L 10 para que 80% dos mancais venham a falhar. Comparado ao tempo de falha para 10% dos mancais (L 10 ), após um período de cerca 20 vezes a vida L 10 , ainda alguns dos mancais originais estarão funcionando. Figura 4.8 - Distribuição de Vida para mancais de rolamento. 4.4.7 Seleção de Mancais de Rolamento Uma vez que um tipo de mancal, para determinada aplicação, for especificado com base nas considerações discutidas anteriormente, a seleção de um mancal apropriado depende das magnitudes das cargas estática e dinâmica aplicadas, e da vida em fadiga desejada. Testes extensivos, realizados por fabricantes de mancais, tem mostrado que a vida em fadiga L de mancais de rolamentos, é inversamente proporcional à terceira potência da carga aplicada, para mancais de esferas, e a potência de 10/3, para mancais de rolos. Estas relações podem ser expressas como: P o r c e n t a g e m d e R o l a m e n t o s S e m F a l h a P o r c e n t a g e m d e R o l a m e n t o s C o m F a l h a ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 128 mancal de esferas: L C P = | \ | ¹ | 3 (4.1) mancal de rolos: L C P = | \ | ¹ | 10 3 / (4.2) Onde: L é a vida em fadiga, expressa em milhões de revoluções, P é a carga constante aplicada, e C é a taxa de carga dinâmica básica, para o mancal especifico, definida pelo fabricante e publicada para cada mancal em catálogos comerciais. Note que, uma carga externa constante, aplicada ao mancal rotativo, gera cargas dinâmicas nos elementos do mancal, da mesma maneira que um momento constante em um eixo rotativo causa tensões dinâmicas, pois qualquer ponto na esfera, no rolamento ou nas pistas, sente a carga indo e vindo, quando o mancal gira. A taxa de carga dinâmica básica C é definida como a carga que dará uma vida em fadiga da ordem de 1 milhão de revoluções na pista interna do mancal. A carga C é, portanto, superior à qualquer carregamento, na prática, a que se sujeitaria o mancal, devido ao fato de que a vida útil desejada em projeto é, geralmente, muito superior a 1 milhão de revoluções. A carga C é, simplesmente, um valor de referência, que permite prever a vida do mancal em algum nível real de carga aplicada. A Figura 4.9 ilustra a página de um catálogo de fabricante de mancais, que especifica o valor de C. A velocidade máxima limite é também definida para cada mancal. Deformações permanentes em rolamentos ou esferas podem ocorrer, mesmo para cargas leves, devido às altíssimas tensões, geradas numa pequena área de contato. O limite de carregamento estático num mancal é definido como a carga que produzirá uma deformação permanente total nos trilhos e no elemento rolante, em algum ponto de contato, cuja extensão é 0.0001 vezes o diâmetro do elemento rolante. Maiores deformações causarão aumento na vibração e no nível de ruído, podendo levar a uma falha prematura por fadiga. As tensões necessárias para causar esta região de deformação estática de 0.0001d, em um mancal de aço, são bem elevadas, sendo de aproximadamente 4.0 GPa (580 kpsi) para mancais de rolamento, e de 4.6 GPa (667kpsi) para mancais de esfera. Fabricantes de mancais fornecem uma taxa C 0 de carga estática básica para cada mancal, calculada de acordo com os padrões da AFBMA. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 129 Aberto 1 Placa de Proteção 2 Placas de Proteção 1 Placa de Vedação 2 Placas de Vedação Placa de Vedação e Proteção Aberto – Ranhura e Anel de Retenção Placa de Vedação Radial e Proteção Sufixo: .Z .2Z .RS .2RS .RSZ .NR .RSRZR No. Do Rolamento Dimensões Principais Peso Aproximado Sl Velocidade Limite C Cap. Carga Dinâmica C a Cap. Carga Estática Figura 4.9 - Dimensões e Taxas de Carga para Mancais de Rolamento Rígido de Esferas série métrica média 6300. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 130 Este carregamento pode, algumas vezes, ser excedido sem a ocorrência de falhas, especialmente se a velocidade de rotação é baixa, o que evita problemas de vibração. Geralmente, é necessária uma carga de 8C 0 , ou ainda maior, para provocar a quebra de um mancal. Na Figura 4.9, também é especificado o valor de C 0 para cada mancal. 4.4.7.1 Cargas Radial e Axial Combinadas Se as cargas são aplicadas em ambas direções, radial e axial, de um mancal, uma carga equivalente deve ser calculada para aplicação nas equações 4.1 e 4.2. A AFBMA recomenda a seguinte expressão: P = XVF r + YF a (4.3) onde: P = carga equivalente. F r = carga radial constante aplicada. F a = carga axial constante aplicada V = fator de rotação (ver figura 4.10) X = fator radial (ver figura 4.10) Y = fator axial (ver figura 4.10) O fator de rotação V é igual a 1 para um mancal com anel de rotação interno. Se o anel de rotação é externo, V é igual a 1.2, para certos tipos de mancais. Os fatores X e Y variam com o tipo de mancal, e relacionam-se à capacidade do mesmo em acomodar cargas axiais, bem como cargas radiais. Valores de V, X e Y são definidos pelos fabricantes de mancais em tabelas, tal como reproduzido na Figura 4.10. Alguns mancais, tais como os de rolamento cilíndrico, que não podem suportar cargas axiais, não são incluídos nesta tabela. Um fator e é também especificado para os tipos de mancais incluídos na Figura 4.10, definindo uma razão mínima entre as forças axial e radial, abaixo da qual a força axial pode ser desprezada na equação 4.3. F VF e a r ≤ , então, X = 1 e Y = 0 (4.4) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 131 4.4.8 Procedimento de Cálculo As equações 4.1, 4.2 e 4.3 podem ser resolvidas simultaneamente, para qualquer situação em que a carga aplicada, ou a vida em fadiga desejada, seja conhecida. Geralmente, as cargas radiais e axiais, agindo em cada localização do mancal, serão conhecidas através da análise de esforços realizada no projeto. Na maioria das vezes, o diâmetro do eixo será conhecido, através da analise de tensões e deflexões. Um catálogo de mancais deve ser consultado, e então, um ou mais mancais selecionados, assim como os valores de C, C 0 , V, X e Y extraídos. A carga efetiva P pode ser encontrada da equação 4.3 e utilizada em 4.1 e 4.2, juntamente com C, para encontrar a vida em fadiga prevista L. Figura 4.10 - Fatores V, X e Y para mancais radiais. Uma outra alternativa é determinar V, X e Y, os quais independem das dimensões do mancal, resolvendo simultaneamente as equações 4.1 e 4.2, para os valores do fator de carga dinâmica C, necessários para atingir um nível de vida desejado L. Os catálogos de mancais devem fornecer, neste ponto, um mancal de dimensões razoáveis para com o valor de C desejado. A carga estática deve, então, ser comparada ao fator de carga estática C o , para evitar excessivas deformações no mancal. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 132 4.4.9 Detalhes na Montagem de Mancais Mancais de rolamentos são fabricados com tolerâncias próximas em seus diâmetros interno e externo, para permitir encaixe sob pressão no eixo ou no acoplamento. Os anéis interno e externo dos mancais devem estar firmemente acoplados ao eixo, e externamente fixados, para garantir que o movimento apenas ocorra dentro do mancal, com baixo atrito. O encaixe de pressão de ambos os anéis pode dificultar a montagem ou desmontagem, em alguns casos. Várias combinações de parafusos (braçadeiras) são comumente usadas para prender o anel, interno ou externo, sem ajuste de pressão. O anel interno é, geralmente, montado contra um escalonamento do eixo. Catálogos de mancais possuem diâmetros recomendados para tais escalonamentos, os quais devem ser observados para evitar interferência com lacres ou blindagens (proteção). A Figura 4.11 (a) mostra uma porca e uma montagem de vedação (combinando arruela e trava) usada para prender o anel interno ao eixo, evitando um ajuste de pressão. Fabricantes de mancais fornecem porcas especiais e arruelas padronizadas para ajustar os mancais. A Figura 4.11 (b) mostra um anel retentor de pressão, usado para posicionar axialmente o anel interno do mancal sobre o eixo. A Figura 4.11 (c) mostra o anel externo preso axialmente na caixa, e o anel interno posicionado por uma espaçador, disposto entre o anel interno e uma flange auxiliar externa no mesmo eixo. (a) (b) (c) Figura 4.11 - Tipos de Montagens de Mancais de Rolamento. Pares de mancais no mesmo eixo são normalmente necessários para dar suporte de momento. A Figura 4.12 mostra uma possível combinação para suportar axialmente a PORCA ANEL DE RETENÇÃO PORCA DE TRAVAMENTO ESPAÇADOR ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 133 montagem, sem correr o risco de introduzir forças axiais no mancal, provenientes da expansão térmica das partes. Os trilhos internos de ambos os mancais são presos axialmente por uma porca à esquerda e um espaçador entre eles. O trilho externo do mancal da direita é preso axialmente na caixa, enquanto que o trilho externo do mancal da esquerda é livre axialmente, permitindo expansão térmica. É de boa prática fazer montagens axiais longas, evitando esforços axiais, induzidos por expansão nos mancais, o que reduziria seriamente a vida em fadiga. Outra maneira de realizar esta montagem, é utilizar apenas um mancal que possa suportar uma carga axial (por exemplo, um mancal de esfera) e um rolamento cilíndrico ou outro tipo de mancal, que não possa suportar carga axial através de seus elementos rolantes, na outra extremidade da haste. Figura 4.12 - Mancais sobre um eixo: um fixo e outro flutuante axialmente. 4.5 MANCAIS HIDRODINÂMICOS E LUBRIFICAÇÃO O termo mancal pode ser utilizado num contexto bem amplo. Sempre que duas peças possuem movimento relativo, estas constituem um mancal por definição, independentemente de sua forma ou configuração. Normalmente, a lubrificação é necessária em qualquer mancal para reduzir o atrito e dissipar calor. Os mancais podem rolar, escorregar, ou ambos simultaneamente. Em um mancal, uma das partes em movimento geralmente será de aço, ferro fundido, ou outro material estrutural, com o objetivo de proporcionar a resistência e a dureza necessárias. Por exemplo: eixos de transmissões, acoplamentos e pinos estão nesta categoria. As partes que realizam o movimento contrário serão, usualmente, feitas de um material próprio para mancais, como: bronze, babbit, ou um polímero não-metálico. FIXO FLUTUANTE ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 134 Alternativamente, um mancal de rolamento, o qual tem esferas ou rolos de aço endurecido por tratamento térmico, pode ser utilizado para se obter baixo atrito. Mancais de escorregamento são, em geral, projetados especificamente para uma determinada aplicação, enquanto que os mancais de rolamento são, geralmente, escolhidos a partir dos catálogos de fabricantes, para atender aos carregamentos, velocidades de rotação e vida em fadiga desejados, para uma determinada aplicação. A.G.M. Michell, um pioneiro na teoria e projeto de mancais de escorregamento, e um dos inventores do mancal segmentado, definiu o que se deseja em um mancal como segue: “Para o projetista de máquinas, todos os mancais são, é claro, somente elementos indesejáveis , contribuindo em nada para o produto ou função da máquina, e qualquer virtude que eles possam ter, pode ser apenas de caráter negativo. O seu mérito consiste em absorver tão pouca potência quanto possível, se desgastar tão lentamente quanto possível, ocupar o menor espaço possível, e custar tão pouco quanto possível.” A tabela 4.3 mostra as variáveis utilizadas neste capítulo. Tabela 4.3 - Nomenclatura e Simbologia. Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI A Área in 2 2 m c d ,c r folga diametral e radial in m d Diâmetro in m ε razão de excentricidade in m E módulo de Young psi Pa C f coeficiente de flutuação adimensional adimensional F força ou carregamento lb N f força de atrito lb N h espessura do filme de lubrificante in m Nf fator de segurança em fadiga adimensional adimensional g aceleração da gravidade in s 2 2 s m k constante de mola lb / in N / m Kε parâmetro adimensional adimensional adimensional m Massa lb sec / in 2 − kg l Comprimento in m n’ velocidade angular rps rps P força ou reação no mancal lb N p Pressão psi Pa ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 135 r Raio in m T Torque lb-in N-m R’ raio efetivo in m U velocidade linear in/s m/s S número de Sommerfeld adimensional adimensional α expoente pressão-viscosidade in lb 2 lb in 2 Φ Potência hp watts ν coeficiente de Poisson adimensional adimensional φ ângulo da força resultante rad rad µ fator de atrito adimensional adimensional η viscosidade absoluta adimensional adimensional θmax ângulo de pressão máxima rad rad ρ densidade de massa blob/in 3 kg/mm 3 ω velocidade angular rad / s rad / s υ viscosidade cinemática in 2 /sec cS τ tensão de cisalhamento psi Pa A teoria da lubrificação, para superfícies em movimento relativo, é extremamente complexa matematicamente. As soluções para as equações diferenciais que governam seu comportamento, são baseadas em suposições simplificadoras, que permitem obter somente soluções aproximadas. Tópicos como a teoria da película de lubrificante e “oil whirl” (fenômeno de instabilidade) não são abordados neste texto, tal como a questão do suprimento de lubrificante para o mancal e a transferência de calor deste. Apresenta-se uma abordagem simples, e razoavelmente precisa, ao projeto de conjuntos eixo-mancais curtos, que permitirá o dimensionamento destes componentes para carregamentos e velocidades requeridos nas máquinas mais comuns. 4.5.1 Lubrificantes A introdução de um lubrificante entre as superfícies que deslizam tem muitos efeitos benéficos no coeficiente de atrito. Os lubrificantes podem ser gasosos, líquidos ou sólidos. Lubrificantes líquidos e sólidos tem como propriedades baixa resistência à tensão de cisalhamento e alta resistência à compressão. Um lubrificante líquido, como um óleo derivado de petróleo é basicamente incompressível, nos níveis de tensão de compressão encontrados nos mancais, sendo contudo, sujeito ao cisalhamento. Portanto, o óleo torna-se o fluido menos ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 136 resistente na interface, e sua baixa resistência à tensão de cisalhamento reduz o coeficiente de atrito. Lubrificantes também podem atuar como contaminantes para as superfícies metálicas, revestindo-as com uma camada de moléculas que inibe a adesão, mesmo entre metais compatíveis. Lubrificantes líquidos são os mais usados, sendo mais comuns os óleos minerais. Graxas são óleos misturados com “sabões” cuja finalidade é formar um lubrificante mais espesso e aderente, utilizado onde líquidos não podem ser supridos ou retidos pelas superfícies. Lubrificantes sólidos são usados em situações onde lubrificantes líquidos não podem atingir as superfícies, ou atender a alguma exigência de projeto, como a resistência à elevadas temperaturas. Lubrificantes gasosos são usados em situações particulares, como nos mancais aerostáticos, para obter atrito extremamente baixo. Lubrificantes, especialmente líquidos, também dissipam calor da interface. Lubrificantes sólidos são, na maioria, derivados de petróleo ou óleos sintéticos, embora a água seja algumas vezes utilizada como lubrificante, em meios aquosos. Muitos óleos lubrificantes comerciais são misturados com vários aditivos, que reagem com os metais para formar uma camada de contaminantes. Os assim chamados lubrificantes EP (“Extreme Pressure”) adicionam ácidos gordurosos ou outros componentes ao óleo, que atacam o metal quimicamente, formando uma camada de contaminante que protege a superfície e reduz o atrito, mesmo quando o filme de óleo é bombeado para fora da interface por elevados carregamentos. Óleos são classificados por sua viscosidade, assim como pela presença de aditivos para aplicações EP. A Tabela 4.4 mostra alguns lubrificantes líquidos comuns, suas propriedades e utilizações típicas. Os fabricantes de lubrificantes devem ser consultados para aplicações específicas. Lubrificantes sólidos são de dois tipos: os que exibem baixa resistência à tensão de cisalhamento, como a grafite e o dissulfeto de molibdênio, os quais são adicionados à interface; e camadas como fosfatos, óxidos ou sulfetos, que se formam nas superfícies do material. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 137 Tabela 4.4 - Tipos de Líquidos Lubrificantes. TIPOS PROPRIEDADES APLICAÇÕES Óleos Minerais ou de Petróleo Lubrificação básica regular, porém sujeita a grandes melhorias com aditivos. Ruim a elevadas temperaturas. Muito ampla e geral. Silicones Efeito lubrificante pobre, principalmente contra o aço. Boa estabilidade térmica. Selagem de borracha e amortecedores mecânicos. Clorofluorocarbonos Bons lubrificantes e boa estabilidade térmica. Compressores de oxigênio e equipamento de processos químicos. Éteres polifenílicos Larga faixa de líquidos, com excelente estabilidade térmica e lubrificação razoável. Sistemas deslizantes a altas temperaturas. Éteres fosfóricos Bons lubrificantes, com ação EP (pressão extrema). Fluido hidráulico com lubrificante. Éteres dibásicos Boa propriedade lubrificante. Suporta maiores temperaturas que os óleos minerais. Motores a jato. Tabela 4.5 - Tipos de Lubrificantes Sólidos. TIPOS PROPRIEDADES APLICAÇÕES Grafite e/ou MoS 2 com elemento liga Melhores lubrificantes para uso geral. Baixo atrito (0.12 a 0.06) e vida relativamente longa (10 4 a 10 6 ciclos). Fechaduras e mecanismos intermitentes. Teflon com elemento liga Vida não muito longa em relação ao tipo precedente, mas boa resistência a alguns líquidos Idem aplicação anterior. Grafite emborrachado ou filme de MoS 2 Atrito muito baixo (0.10 a 0.04) e vida muito curta (10 2 a 10 4 ciclos). Estampagem e demais trabalhos sobre metais. Metal leve Atrito elevado (0.30 a 0.15) e vida mais curta que para resinas. Exige proteção temporária em aceleração. Filme de fosfato anodizado Atrito muito alto (0.20). Ocorre cozimento do filme de resina. Os materiais grafite e MoS 2 são tipicamente supridos em forma de pó, e podem ser conduzidos a interface juntamente com uma graxa derivada de petróleo ou outro material. Estes lubrificantes secos tem a vantagem do baixo atrito e da resistência à elevadas temperaturas, embora esta última seja limitada pela escolha do meio usado para conduzir o ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 138 pó. Revestimentos, ou camadas de fosfatos ou óxidos, podem ser depositados quimicamente ou eletroquimicamente. Tais revestimentos são finos e tendem a se desgastar em pouco tempo. Os aditivos EP, em alguns óleos, proporcionam uma renovação contínua do sulfeto, ou de outras coberturas quimicamente induzidas. A Tabela 4.5 mostra alguns lubrificantes sólidos comuns, suas propriedades e suas utilizações típicas. 4.5.2 Viscosidade Viscosidade é uma medida da resistência do fluido ao cisalhamento. A viscosidade varia inversamente com a temperatura e diretamente com a pressão, de uma maneira não- linear. Pode ser expressa tanto como uma viscosidade absoluta η, ou uma viscosidade cinemática ν, as quais estão relacionadas pela densidade de massa do fluido: η = ν.ρ (4.5) Onde: ρ é a densidade de massa do fluido. As unidades da viscosidade absoluta η são lb.sec/in 2 (reyn) no sistema inglês e Pa.s no sistema SI. Estas unidades são freqüentemente expressas como µreyn e mPa.s, para se adequarem melhor às magnitudes. Por exemplo, um centipoise equivale a 1 mPa.s. Valores típicos de viscosidade absoluta a 20° C (68 °F) são: 0.0179 cP (0.0026 µreyn ) para o ar ; 1.0 cP (0.145 µreyn) para a água, e 393 cP (57 µreyn ) para o óleo de motor SAE 30. A viscosidade cinemática é medida em um viscosímetro, que pode ser rotacional ou capilar. Um viscosímetro capilar mede a taxa de fluxo através de um tubo capilar, a uma determinada temperatura, usualmente 40 ou 100°C. Um viscosímetro rotacional mede o torque e a velocidade de rotação de um eixo vertical, operando dentro de um mancal preenchido com o fluido a ser testado, em determinada temperatura de teste. As unidades SI da viscosidade cinemática são cm 2 / sec (Stoke), e as unidades inglesas são in 2 / sec. Stokes é uma unidade de grande magnitude, sendo comum o uso de centistokes (cS). A viscosidade absoluta é necessária para o cálculo da pressão e da vazão de lubrificante nos mancais. É determinada a partir da viscosidade cinemática medida, e da densidade de massa do fluido na temperatura de teste. 4.5.2.1 Relação Viscosidade Temperatura ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 139 A maneira natural de expressar o efeito da temperatura sobre a viscosidade é através do coeficiente de temperatura, ou variação fracional na viscosidade por grau acrescido na temperatura. Simbolicamente, o coeficiente viscoso de temperatura é representado como (1/η).dη/dt, e denotado por a. O efeito da temperatura sobre a viscosidade é notavelmente maior que seu efeito sobre qualquer outra propriedade física comum. A variação no volume de um óleo lubrificante, derivado de petróleo, por grau Farenheit aumentado, é de somente 0.04% a 1%; porém, a viscosidade de um óleo derivado de petróleo, pode cair de 3% a 4% por grau de acréscimo na temperatura. 4.5.2.2 Modelos Matemáticos para Temperatura-Viscosidade . Poiseuille verificou que a resistência ao fluxo é inversamente proporcional à uma função quadrática da temperatura. Petroff utilizou esta relação como uma fórmula, relacionando viscosidade e temperatura, em sua discussão, na época ainda incompleta, sobre equilíbrio térmico: η = A / ( 1 + c 1 .T + c 2 .T 2 ) (4.6) Prof. A.W.Duff, em 1897, mostrou que todas as equações de viscosidade-temperatura, publicadas desde Poiseuille, eram integrais da equação: (dη / dt ) / η= 1 / (c 1 + c 2 .T + c 3 .T 2 ) (4.7) Onde η é a viscosidade absoluta em uma temperatura qualquer T, e c 1 ,c 2 e c 3 são constantes empíricas. Dentre as fórmulas às quais a equação de Duff aplica-se, estão as de Reynolds, Slotte e Vogel. Estas três fórmulas ainda estão em uso devido à sua simplicidade matemática. A fórmula de Reynolds é uma equação biparamétrica : η = A.e -m.T (4.8) Onde: A é a viscosidade absoluta na temperatura T = 0, e m é a inclinação da curva obtida, plotando ln η x T. As equações 4.6 e 4.8 representam curvas do tipo 1 na Figura 4.13, aproximando-se de zero, conforme a temperatura T aumenta infinitamente. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 140 A fórmula de Slotte contém dois parâmetros, sendo válida em uma faixa extensa de temperatura: η = A / ( T - c ) 2 (4.9) Onde: c é o ponto de congelamento, ou temperatura de solidificação aparente, já que η se torna infinito quando T = c. Pode ser reduzida para um parâmetro, eliminando-se c, que não está muito distante do zero Fahrenheit, desde que utilize-se apenas a escala Fahrenheit. Isto foi observado por Herschel (1922). Logη deve ser plotado contra logT, o que resulta numa linha reta, que intercepta log A, tendo uma inclinação negativa. Note que η = A quando T = c+1. A equação de Slotte (4.9) representa a curva do tipo 2 na Figura 4.13. A fórmula de Vogel, por sua vez, é uma expressão de três parâmetros: η = A.e m / ( T- c ) (4.10) Onde: c representa o ponto de congelamento, determinado por tentativas, e A é a viscosidade para T=∞. Log A é a interseção com o eixo das ordenadas, e m é a inclinação da reta obtida, quando plotando-se lnη contra 1/( T - c ). Quando plota-se η contra T, a curva aproxima-se de uma assíntota vertical em T = c e de uma assíntota horizontal em η = A. Esta é, geralmente, uma aproximação mais precisa do que as outras duas. A equação de Vogel foi utilizada também por Cameron (1945). Outra representação amplamente utilizada é, provavelmente, a de Walther (1931). Uma expressão para a viscosidade cinemática υ, em centistokes, em função de uma temperatura absoluta T: log ( υ + c ) = A / T m (4.11) A fórmula de Walther é triparamétrica, com a constante c fixa em um valor ótimo, para óleos derivados de petróleo, em uma faixa de temperatura escolhida. O valor 0.8 Cs foi originalmente atribuído a esta constante. A equação de Walther (4.11) pode ser representada pela curva 4, Figura 4.13. Plotando o logaritmo em ambos os eixos, resulta uma linha reta com inclinação negativa m. O valor dυ / dt é -2.3m(υ + c). Dividindo-se por υ, resulta no coeficiente de temperatura da viscosidade cinemática, conforme discutido por Kiesskalt (1944). Os ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 141 coeficientes de temperatura devem ser obtidos de qualquer das equações contendo υ ou η, por diferenciação. Embora as cinco espressões anteriormente descritas sejam as mais conhecidas, pelo menos outras seis devem ser mencionadas. A equação de Suge (1933) para a relação η,P,T pode ser escrita como uma curva isobárica (P=cte) na forma: log (η/ηo) = (m / (T - r)) - (m / (To - r)) (4.12) Onde: ηo é a viscosidade em To; m e r são constantes empíricas. A viscosidade é infinita em T = r, caindo para um valor finito quando T = ∞, como na curva 3 na Figura 4.13. Uma curva isobárica a duas constantes para a “liquidez” L, foi deduzida por Cragoe (1934), na qual L é uma função da viscosidade, apresentando uma relação linear com a temperatura. Se η for restrita a unidade centipoises, L deve ser definido como 1300 dividido por log 20.η. Então, empiricamente, tem-se que L/L o é igual a 1+c.(T-T o ). Aqui, Lo é o valor de L em T = T o , onde η = η o , e c é uma constante. A viscosidade é infinita a uma temperatura T 1 igual a To-1/c. A viscosidade se aproxima de um valor finito η ∞ = 0.05 cP, somente quando T tende a infinito, como na curva 3 da Figura 4.13, exceto na região das assíntotas. A expressão a duas constantes, para o valor da viscosidade cinemática em centistokes, deduzida por G.Barr (1937), foi colocada de acordo com dados experimentais, e possivelmente, apresenta melhor comportamento que as demais a elevadas temperaturas: ( log ( η +0.8 )) 0.3 = A + ( m / T ) (4.13) Trata-se, aparentemente, de uma expressão a quatro constantes, com duas destas definidas em 0.8 e 0.3. A curva é do tipo 4, Figura 4.13, com η infinito quando T = 0, e finito quando T = ∞. A equação de Bradbury (1951) para a relação η, P, T leva a uma curva isobárica: log (η /ηo) = c.(e k / T - e k / To ) (4.14) Como antes, η o é a viscosidade a uma temperatura absoluta T o , enquanto c e k são constantes empíricas. A viscosidade é infinita em T = 0, porém finita quando T = ∞. Uma relação mais simples deste tipo é a de Cornelissen (1955): ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 142 log (η / A) = c / T m (4.15) η é infinito quando T = 0, e cai a uma valor limite A, quando T = ∞. Mais recentemente, Roelands et al. (1964) propuseram um equacionamento como em (4.16), desde que η esteja em centipoises e T em graus Celsius. Se T estiver em Fahrenheit basta trocar 135 por 211. 1200 + log η= G / ( 1 + T / 135) (4.16) Esta nova expressão não se limita apenas à óleos lubrificantes. Leva a um gráfico viscosidade absoluta - temperatura, que cobre uma faixa mais extensa que o gráfico da ASTM, com a mesma precisão. A inclinação S das linhas retas, neste gráfico, devem ser tomadas como um “ índice de inclinação” de maior simplicidade que os convencionais. As linhas são paralelas para líquidos “naturalmente homólogos”. Figura 4.13 - Curvas Viscosidade-Temperatura: (1) Reynolds, (2) Slotte, (3) Vogel e (4) Walther. 4.5.2.3 Viscosidade Vs Temperatura Gráficos em escalas logarítmicas para viscosidade absoluta versus temperatura, foram publicados por Herschel em 1922. Baseados na relação Fahrenheit de Slotte, tais curvas consistem em linhas praticamente retas para óleos derivados de petróleo. Muitos gráficos (1) A η η c (2) Log(υ+c) (4) η c (3) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 143 deste tipo foram construídos. As linhas retas, em escala logarítmica, tornam possível determinar a viscosidade cinemática em uma faixa extensa, observando-se apenas duas temperaturas. Os gráficos para óleos não derivados de petróleo, freqüentemente, apresentam uma curvatura perceptível, requerendo, portanto, no mínimo três pontos para uma determinação mais satisfatória. A Figura 4.14 mostra o gráfico da variação da viscosidade absoluta com a temperatura, para os óleos mais comuns, derivados de petróleo, designados por seus números ISO e SAE, tanto na escala de óleos de motores, como na escala de óleos de engrenagens. Figura 4.14 - Viscosidade Absoluta x Temperatura (Óleos Lubrificantes de Petróleo). 4.5.2.4 Coeficiente de Atrito Vs Velocidade Relativa A Figura 4.15 mostra uma curva delimitando a relação entre o atrito e a velocidade relativa de escorregamento em um mancal. Em baixas velocidades, ocorre lubrificação limite, concomitantemente com alto atrito. Conforme a velocidade de escorregamento aumenta, além do ponto A, uma película hidrodinâmica de lubrificante começa a se formar, reduzindo o V i s c o s i d a d e A b s o l u t a ( c P ) V i s c o s i d a d e A b s o l u t a ( µ r e y n s ) Temperatura ( o F) Temperatura ( o C) C ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 144 contato áspero e o atrito no regime de lubrificação mista. Em velocidades mais altas, uma película de lubrificante completa é formada a partir do ponto B, separando as superfícies completamente com atrito reduzido (Este é o mesmo fenômeno que faz os pneus dos automóveis aquaplanem em estradas molhadas. Se a velocidade relativa do pneu, em relação à estrada molhada, excede um determinado valor, o movimento do pneu empurra uma película de àgua para a interface, separando o pneu da estrada. O coeficiente de atrito é drasticamente reduzido, e a perda repentina de tração pode provocar uma situação de perigo). Em velocidades ainda maiores, as perdas viscosas no lubrificante em cisalhamento aumentam novamente o coeficiente de atrito. Figura 4.15 - Coeficiente de Atrito x Velocidade Relativa. 4.5.3 Princípio da Lubrificação Hidrodinâmica em Mancais Em conjuntos eixo-mancal de escorregamento, todos os três regimes de lubrificação ocorrerão durante o início e o final da operação. Assim que o eixo começa a girar, estará em lubrificação limite. Se sua velocidade de operação for suficiente, passará pelo regime misto, e atingirá o regime de lubrificação completa desejado, onde o desgaste é reduzido praticamente a zero, se o lubrificante é mantido limpo e não superaquecido. As condições que determinam estes estados de lubrificação serão discutidas brevemente e, então, alguns destes estados serão explorados em maiores detalhes. Em um mancal hidrodinâmico de escorregamento, com velocidade de rotação nula, o eixo repousa em contato com a parte inferior do mancal, como na Figura 4.16 (a). Conforme começa a girar, a linha de centro do eixo se desloca excentricamente dentro do mancal, e o eixo age como uma bomba, puxando o filme de óleo que, por sua vez, adere à superfície do A t r i t o Velocidade Relativa L u b r i f i c a ç ã o L i m i t e Lubrificação Completa Lubrificação Mista ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 145 mancal. A Figura 4.16 (b) mostra a superfície do mancal envolta pelo filme de lubrificante. A região externa do filme de óleo adere à superfície do mancal estacionário. Um fluxo se estabelece dentro da espessura do filme de óleo. Com velocidade relativa suficiente, o eixo sobe sobre uma cunha de óleo bombeado, e cessa o contato metal-metal com o mancal posicionado como na Figura 4.16 (c). Portanto, um mancal lubrificado hidrodinamicamente, somente tem sua superfície em contato com o eixo quando parado, ou quando operando em uma velocidade abaixo da sua “velocidade de aquaplanagem”. Isto significa que o desgaste por adesão somente pode ocorrer durante os estados transitórios de início e final de operação. Quanto mais lubrificante e velocidade suficientes estiverem presentes, para permitir a operação hidrodinâmica do eixo no mancal, em sua velocidade de operação, menor será o desgaste por adesão, sendo este praticamente desprezível. Isto em muito aumenta a vida do mancal, em relação à situação de contato contínuo. Tal como na lubrificação hidrostática, o óleo deve ser mantido livre de contaminantes, para evitar outras formas de desgaste, como a abrasão. O coeficiente de atrito, em uma interface lubrificada hidrodinamicamente, está entre 0.002 e 0.010. (a) (b) (c) Figura 4.16 - Condição de Lubrificação Limite e Hidrodinâmica. Este comportamento é típico em conjuntos eixo-mancal, onde o eixo e o mancal criam um estreito espaço anular dentro da folga radial, que pode prender o lubrificante, permitindo que o eixo o bombeie ao redor do espaço anular. Perdas ocorrem nas bordas axiais do mancal, logo, um fornecimento contínuo de óleo deve ser providenciado para compensar as perdas. Este suprimento pode ser pressurizado ou não. Este é o sistema utilizado para lubrificar os mancais do virabrequim e do came em um motor de combustão interna. Óleo filtrado é Eixo Amplitude Óleo Amplitude ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 146 bombeado para os mancais, sob pressão relativamente baixa, para repor o óleo perdido através das extremidades do mancal, mas a condição dentro do mancal é hidrodinâmica, criando pressões muito maiores para suportar as cargas no mancal. 4.5.4 Materiais em Mancais de Deslizamento Num processo de lubrificação por filme de fluido, qualquer material com suficiente resistência a compressão e bom acabamento de superfície seria, a princípio, adequado ao projeto de mancais hidrodinâmicos. Neste caso, o aço poderia representar uma alternativa. Porém, durante a partida e a parada do eixo, o mancal hidrodinâmico atua com lubrificação limite e, desta forma, o eixo de aço seria danificado em sua superfície, a menos que o material do mancal apresentasse menor dureza. Além disso, qualquer partícula presente no lubrificante danificaria a superfície do eixo, a menos que esta pudesse imergir num material suficientemente macio no interior do mancal. Portanto, as propriedades importantes do material adequado à construção do mancal hidrodinâmico são as seguintes: Propriedades mecânicas: Conformabilidade: baixo módulo de elasticidade e deformação plástica, para aliviar altas pressões locais, devido a desalinhamentos e deflexões do eixo; Maciez: que permite a imersão de pequenas partículas suspensas no fluido, protegendo o eixo; Baixa resistência ao cisalhamento: para facilitar a suavização das rugosidades de superfície; Resistência à compressão e fadiga: suficientes para suportar o carregamento estático e os esforços cíclicos. Propriedades térmicas: Condutividade térmica: suficiente para afastar o calor dos pontos localizados de contato metal/metal durante a partida, bem como do lubrificante durante a operação; Coeficiente térmico de expansão: este coeficiente para o material do mancal não deve ser muito diverso daquele do eixo e da caixa do mancal. Propriedades metalúrgicas: Compatibilidade: entre os materiais do mancal e do eixo, para resistir ao riscamento, à micro- soldagem e à abrasão. Propriedades químicas: Resistência à corrosão: principalmente em relação aos ácidos que podem se formar devido a oxidação do lubrificante, ou por contaminação externa. As principais propriedades desejáveis em um material para mancal são, portanto, uma maciez relativa ( para absorver partículas estranhas ), resistência razoável, maquinabilidade ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 147 (para manter tolerâncias), lubricidade, resistência à temperatura e corrosão e, em alguns casos, porosidade (para absorver partículas no lubrificante ). O material do mancal deve apresentar cerca de 1 / 3 da dureza do material do elemento deslizante contra sua superfície, com o objetivo de promover absorção das partículas abrasivas. Diversas classes diferentes de materiais podem ser úteis em mancais, tipicamente aquelas baseadas em chumbo, estanho ou cobre. Alumínio puro não é um bom material para mancais, embora seja usado como um elemento de liga em alguns casos. Babbits Uma família inteira de ligas a base de chumbo e estanho, em combinação com outros elementos, é muito efetiva, especialmente quando adicionada, em filmes finos, num substrato como aço. Disponível em duas bases principais: tin-base (89% estanho, 8% chumbo, 3% cobre) e lead-base (75% chumbo, 15% antimônio, 10% estanho). Babbit é, provavelmente, o exemplo mais comum desta família, tendo sido utilizado em mancais de virabrequins e de cames, em motores de combustão interna, durante amplo período. Como é um metal “macio”, possibilita a absorção de partículas, permitindo um acabamento de baixa rugosidade. Uma camada de babbit eletroprateada tem melhor resistência à fadiga que uma bucha grossa de babbit, mas não pode absorver as partículas tão bem. Uma boa lubrificação hidrodinâmica ou hidrostática é necessária, já que o babbit tem uma temperatura de fusão baixa, falhando rapidamente sob condições de lubrificação limite. Eixos suportados por mancais de babbit, devem ter uma dureza mínima de 150-200 HB e um acabamento com rugosidade absoluta de 0.25 a 0.30 µm ( 10 a 12 µin). A grande desvantagem deste material é a presença de elevados percentuais de chumbo na liga. Bronzes A família das ligas de cobre, principalmente os bronzes, são uma excelente escolha para uma interface com aço ou ferro fundido. Bronze é mais macio que os materiais ferrosos, apresentando, porém, resistência mecânica, maquinabilidade, e resistência à corrosão. Além disso, quando lubrificado, é um bom material para se usar com ligas ferrosas. Há cinco ligas de cobre, comumente usadas em mancais: cobre-chumbo, chumbo-bronze, estanho-bronze, alumínio-bronze, e berílio-cobre. Apresentam uma faixa de dureza que vai da dureza dos babbits até aproximadamente a dureza do aço. Buchas de bronze podem resistir à lubrificação limite, além de suportar altas cargas e altas temperaturas. Buchas de bronze estão disponíveis comercialmente em uma ampla variedade de tamanhos. Ferro Fundido e Aço ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 148 Ferro fundido cinza e aço são materiais razoáveis para mancais, em baixas velocidades de operação. A grafite livre no ferro fundido proporciona lubricidade, mas, ainda assim, um lubrificante líquido é necessário. O aço pode ser usado em ambas as partes deslizantes, desde que tratadas termicamente e lubrificadas. Esta é uma escolha comum em mancais de rolamento e em contatos rolantes. Na verdade, aço tratado termicamente pode ser usado com quase qualquer outro material, desde que com lubrificação apropriada. A dureza típica deste material parece protegê-lo contra adesão em geral. Materiais Sinterizados Materiais sinterizados são formados a partir de pó, sendo que poros microscópicos permanecem após o tratamento de aquecimento. Esta porosidade permite que quantidades significativas de lubrificante fiquem no material pela ação capilar, sendo liberadas de volta ao mancal, quando aquecido. Bronze sinterizado é largamente utilizado com aço ou ferro fundido. Materiais Não-Metálicos Alguns tipos de materiais não-metálicos oferecem a possibilidade de funcionamento à seco, se apresentarem lubricidade suficiente. Grafite é um exemplo. Alguns termoplásticos, como o Nylon e Teflon preenchido, oferecem um baixo coeficiente de atrito µ, se utilizados com qualquer outro material, mas tem baixa resistência mecânica e baixa temperatura de fusão, o que combinado a sua baixa condutividade térmica, limita muito as cargas e velocidades de operação que podem sustentar. Teflon tem um µ muito baixo (próximo dos valores para rolamento), mas necessita de preenchedores para elevar sua resistência a níveis utilizáveis. Preenchedores inorgânicos, como talco ou fibra de vidro, aumentam significativamente a resistência e a rigidez de qualquer termoplástico, mas também aumentam o atrito e a abrasividade. Grafite e pó de MoS 2 também são usados como preenchedores, aumentando a lubricidade, assim como a resistência mecânica e a resistência à temperatura. Mancais termoplásticos são práticos somente onde há cargas e temperaturas baixas. As combinações práticas de materiais para mancais e eixos são muito limitadas. Alumínio e prata são também utilizados nas ligas, bem como fósforo e chumbo. A Tabela 4.6 mostra algumas combinações úteis de materiais metálicos para mancais, e indica as razões de dureza do material do mancal e do eixo. Tabela 4.6 - Materiais recomendados em mancais de deslizamento contra aço ou ferro fundido. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 149 Material do Mancal Dureza do Mancal [kg/mm 2 ] Dureza mínima do Eixo [kg/mm 2 ] Proporção Babbit a base de Chumbo 15-20 150 8 Babbit a base de Estanho 20-30 150 6 Alcalóides endurecidos com Chumbo 22-26 200-250 9 Cobre-Chumbo 20-23 300 14 Prata 25-50 300 8 Base de Cádmio 30-40 200-250 6 Liga de Alumínio 45-50 300 6 Bronze-Chumbo 40-80 300 5 Bronze-Estanho 60-80 300-400 5 4.5.5 Teoria da Lubrificação Hidrodinâmica Considere o mancal de escorregamento mostrado na Figura 4.16. A Figura 4.17 (a) mostra um eixo e um mancal similares, porém concêntricos e verticais. A folga diametral cd entre o eixo e o mancal é muito pequena, tipicamente em torno de um milésimo do diâmetro. A modelagem considera o deslizamento como duas placas planas, pois a espessura h é muito pequena, se comparada ao raio de curvatura. A Figura 4.17 (b) mostra, portanto, duas placas planas separadas por um filme de óleo de dimensão h. Se as placas são paralelas, o filme de óleo não suportará uma carga transversal. Isso também é valido para um conjunto eixo- mancal concêntricos. Um eixo concêntrico horizontal, se tornará excêntrico a partir do peso próprio do eixo, como na Figura 4.16. Se o eixo é vertical, como na Figura 4.17 (a), pode girar centrado no mancal, já que não há força gravitacional transversal. Figura 4.17 - Esquema para Teoria de Lubrificação. Mantendo-se a placa inferior da Figura 4.17 (b) estacionária, e movendo-se a placa superior para a direita, com uma velocidade U, o fluido entre as placas será cisalhado, da (a) (b) (c) Conjunto Eixo-Mancal Concêntrico Placas Paralelas cisalhando o óleo Elemento Diferencial de Cisalhamento Placa Móvel Placa Fixa Óleo ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 150 mesma maneira que na espessura concêntrica da Figura 4.17 (a). O fluido adere à ambas as placas, tendo velocidade nula na placa estacionária, e igual a U na placa em movimento. A Figura 4.17 (c) mostra um elemento diferencial de fluido na espessura do filme. O gradiente de velocidade causa uma distorção angular β. No limite, β= dx dy . A tensão de cisalhamento τx, agindo no elemento diferencial de fluido, é proporcional à taxa de cisalhamento, e a constante de proporcionalidade é a viscosidade η: τx =η β η η η . d dt d dt dx dy d dy dx dt du dy = = = (4.17) Em um filme de espessura constante h, o gradiente de velocidade du dy u h = é constante. A força para cisalhar todo o filme é: F = A.τx = η.A. U h (4.18) Onde: A é a área da placa. Para o conjunto eixo-mancal concêntricos da Figura 4.17 (a), a espessura do filme é h cd = 2 , onde cd é a folga diametral. A velocidade linear, na periferia do eixo é U = π.d.n , onde n é dado em revoluções por segundo, e a área de cisalhamento A = π.d.l. O torque necessário para cisalhar o filme é então : To d F = 2 . = d A U h 2 . . .η = η . . . . . . . d d l d n cd 2 2 π π ou To d l n cd = η π . . . . 2 3 (4.19) Esta é a equação de Petroff para o torque de arrasto necessário, sem carga, em um filme de fluido. Para resistir à uma carga transversal, as placas da Figura 4.17 devem ser não-paralelas. Girando levemente a placa inferior da Figura 4.17(a) no sentido anti-horário, e movendo a placa superior para a direita, com uma velocidade U, o fluido entre as placas será deslocado para o espaço reduzido, conforme a Figura 4.18(a), desenvolvendo uma pressão que suportará a carga transversal P. O ângulo entre as placas é análogo à folga variável, devido à ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 151 excentricidade ‘e’ , do eixo no interior do mancal da Figura 4.18(b). Quando uma carga transversal é aplicada ao eixo, este assume uma excentricidade com relação ao mancal, formando um espaço variável que suporta a carga através da pressão no filme. A Figura 4.18 (b) mostra a excentricidade ‘e’ exagerada, e a folga h, para um conjunto eixo-mancal. A excentricidade ‘e’ é medida do centro do mancal O b ao centro do eixo O j . A variável independente θ é estabelecida, para o eixo, de zero a π , ao longo da linha O b O j , como mostrado na Figura 4.18 (b). O valor máximo possível para ‘e’ é cr cd = 2 , onde cr é a folga radial. Figura 4.18 - Filme de óleo distribuído entre superfícies não paralelas, sujeito a carga transversal. A excentricidade pode ser adimensionalizada para uma razão de excentricidade ε, que varia de 0 (centrado quando não há carga), a 1 (na carga máxima, quando o eixo toca o mancal).: ε = e cr (4.20) Uma expressão aproximada para a espessura do filme de óleo h, como função de θ é : h = cr (1+ ε. cos θ ) (4.21) A espessura h do filme de óleo é máxima quando θ = 0 e mínima quando θ = π : (a) (b) Placas não Paralelas cisalhando o óleo Conjunto Eixo-Mancal Excêntrico Placa Móvel Placa Fixa Óleo ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 152 hmin = cr ( 1 - ε ) e hmax = cr ( 1 + ε ) (4.22) Considere o conjunto eixo-mancal, mostrado na Figura 4.19. A espessura do filme é dada pela Equação 4.21. Figura 4.19 - Componentes de Velocidade para um mancal excêntrico. A origem do sistema de coordenadas xy pode ser adotada em qualquer ponto da circunferência como O. O eixo x é, então, tangente ao mancal, o eixo y atravessa o centro do mancal O b , e o eixo z é paralelo ao eixo de rotação do mancal. Geralmente, o mancal é estacionário e somente o eixo gira, mas em alguns casos, o contrário pode acontecer, ou ambos podem girar. Também é mostrada a velocidade tangencial U 1 para o mancal, assim como a velocidade tangencial T 2 para o eixo. Note que suas direções ( ângulos ) não são os mesmos, devido à excentricidade. A velocidade tangencial T 2 do eixo pode ser decomposta nas direções x e y, como U 2 e V 2 respectivamente. O ângulo entre T 2 e U 2 é tão pequeno, que seu cosseno é essencialmente 1, e portanto, U 2 ≅ T 2 . A componente V 2 na direção y, devido ao fechamento (ou abertura ) da espessura h, é dada por V 2 = ∂h / ∂t. Utilizando as hipóteses assumidas anteriormente, podemos escrever a equação de Reynolds para conjunto eixo-mancal excêntricos, relacionando a espessura do filme de óleo h, as velocidades relativas entre o eixo e o mancal (V 2 e U 1 - U 2 ), e a pressão no fluido p, como função das coordenadas x e z, assumindo que o eixo e o mancal são paralelos na direção z e a viscosidade η é constante. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 153 1 6 3 3 η ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x h P x z h P z | \ | ¹ | + | \ | ¹ | ¸ ( ¸ ( =( ) U U h x V 1 2 2 2 − + ∂ ∂ . = ( ) ( ) U U h x U h x U U h x U h x 1 2 2 1 2 2 − + = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.23) Onde: U = U 1 + U 2 4.5.5.1 Solução para Mancais Longos A Equação 4.23 não apresenta uma solução fechada, permitindo também solução numérica. Raymondi e Boyd, em 1958, desenvolveram um grande número de cartas para estas aplicações, para mancais de comprimento finito. Reynolds resolveu uma versão simplificada na forma de séries (1886), assumindo o mancal infinitamente longo na direção z, o que torna o fluxo axial praticamente nulo, e a distribuição de pressão constante naquela direção. Logo ∂P/∂z = 0. Com essa simplificação, a equação de Reynolds se torna: ∂ ∂ ∂ ∂ η ∂ ∂ x h P x U h x 3 6 | \ | ¹ | = (4.24) Em 1904, A. Sommerfeld encontrou uma solução fechada para o mancal infinitamente longo ( Equação 4.24 ) : ( )( ) ( ) ( ) p U r cr Po = + + + ¸ ( ¸ ( ( + η ε θ ε θ ε ε θ .. . . sen cos . cos 2 2 2 6 2 2 1 (4.25) A expressão 4.25 fornece a pressão p, no filme de lubrificante, como função da posição angular θ ao redor do mancal, para dimensões específicas do raio do eixo r, da folga radial cr, da razão de excentricidade ε, da velocidade superficial do eixo U, e da viscosidade η. O termo Po é relativo à qualquer pressão de suprimento, senão à posição de pressão nula a θ = 0. A Equação 4.25 é referida como a solução de Sommerfeld ou solução para mancal longo. Se p for computado, a partir desta equação, de θ = 0 a θ = 2π , serão verificadas pressões negativas de π a 2π, com magnitudes absolutas iguais às pressões positivas de 0 a π. Como um fluido não suporta altas pressões negativas sem cavitação, a equação é tipicamente ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 154 resolvida somente de 0 a π, e a pressão é assumida como Po na outra metade da circunferência. Esta solução é conhecida como “Solução Parcial de Sommerfeld”. Sommerfeld também determinou uma equação para a carga total P, em um mancal longo: ( )( ) P U l r cr = × + + η π ε ε ε .. . . . . 2 2 2 2 1 2 12 2 1 (4.26) Esta equação pode ser rearranjada em uma forma adimensional, para se obter um número característico do mancal, denominado número de Sommerfeld S. ( )( ) 2 1 12 2 2 1 2 2 + + = | \ | ¹ | ε ε π ε η . . . . U l P r cr (4.27) A pressão média p avg no mancal é: p avg = P A P l d = . (4.28) A velocidade U = π.d.n, onde n é em revoluções por segundo, e cr = cd / 2. Substituindo tem-se: ( )( ) ( ) 2 1 12 2 2 1 2 2 2 + + = | \ | ¹ | = | \ | ¹ | | | \ | ¹ | = ε ε π ε η π η π . . . . . . . . d n l d l p d cd n p d cd S avg avg (4.29) S é função somente da razão de excentricidade ε, podendo ser expresso em termos da geometria, pressão média unitária, velocidade, e viscosidade do mancal. 4.5.5.2 Solução para Mancais Curtos Mancais longos não são freqüentemente usados em maquinaria moderna por diversas razões. Pequenas deflexões do eixo, ou desalinhamentos, podem reduzir a folga radial a zero nas bordas de um mancal longo, e considerações de projeto associadas a dimensões ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 155 geralmente requerem mancais curtos. As razões l / d mais comuns em mancais modernos estão na faixa de ¼ a 1. A solução para mancal longo (Sommerfeld), assume que não há perdas de óleo nas extremidades do mancal. Porém, para relações l / d inferiores a unidade, estas perdas podem ser significativas. Ocvirk e Dubois resolveram uma forma da equação de Reynolds, que inclui o termo de perdas nas extremidades. ∂ ∂ ∂ ∂ η ∂ ∂ z h P z U h x 3 6 . . . | \ | ¹ | = (4.30) Esta forma despreza o termo que representa o fluxo de óleo circunferencial ao redor do mancal, na premissa de que será pequeno se comparado ao fluxo na direção z ( perdas ) em um mancal curto. A Equação 4.30 pode ser integrada, para obtenção da expressão para a distribuição de pressão no filme de óleo, como uma função tanto de θ como de z: ( ) 3 2 2 2 cos . 1 sen . . 3 . 4 . . θ ε θ ε η + | | ¹ | \ | − = z l cr r U p (4.31) A Equação 4.31 é conhecida como a solução de Ocvirk ou solução para mancais curtos. É resolvida para θ = 0 a π , com pressão nula para a outra metade da circunferência. A Figura 4.20 mostra uma distribuição de pressão sobre as coordenadas θ e z. A posição θ = 0 é tomada em h = h max , e o eixo de referencia θ passa através de O b e O j . A distribuição de pressão p, com respeito a z, é parabólica e apresenta um valor máximo no centro do comprimento do mancal, sendo nula nas extremidades (z = ± l / 2). A pressão p varia não- linearmente em θ, e atinge seu valor máximo no segundo quadrante. O valor de θ max em p max pode ser tirado de: ( ) θ ε ε max = − + − cos . . 1 2 1 1 24 4 (4.32) O valor de p max é encontrado, substituindo z = 0 e θ = θmax na equação 4.31. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 156 (a) (b) Figura 4.20 - Distribuição de pressão em um mancal curto. A Figura 4.21 compara a variação da pressão circunferencial p no filme, de 0 a 180 graus, para a solução de mancais longos de Sommerfeld (tomada como a referência a 100%), e a solução para mancais curtos de Ocvirk, para diversas relações l /d de ¼ a 1. Note o erro elevado, se a solução para o mancal longo fosse aplicada para razões l / d < 1. Para l / d = 1, as duas soluções fornecem resultados similares, com a solução de Ocvirk predizendo um pico de pressão levemente maior que a solução de Sommerfeld. Du Bois e Ocvirk verificaram, em testes experimentais, que a solução para mancais curtos fornece resultados que muito se aproximam das medições experimentais, para relações l / d de ¼ a 1, verificando-se também para l / d até 2, se esta razão fosse tomada como 1, para o cálculo de mancais com relações verdadeiras entre 1 e 2. Devido a maioria dos mancais modernos apresentarem relações l /d entre ¼ e 2, a solução de Ocvirk proporciona um método de cálculo conveniente e razoavelmente preciso. A solução de Sommerfeld proporciona resultados precisos para relações l / d acima de 4. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 157 Figura 4.21 - Comparação entre a solução de Ocvirk para mancais curtos e a solução de Sommerfeld para mancais longos, em diversas condições l/d. Na Figura 4.20, o valor máximo de pressão ocorre em um ângulo θ max , definido na equação 4.32. Este ângulo é medido a partir do eixo de referencia, estabelecido ao longo da linha que une os centros geométricos do mancal e do eixo. O que determina o ângulo desta linha de excentricidade, entre os centros O b e O j é, tipicamente, a linha de ação da força P aplicada ao eixo, definida por fatores externos. A força P é vertical na figura, e o ângulo entre esta força e o eixo de referencia em θ = π é mostrado como φ. (O ângulo φ é mais usado do que o ângulo θ p medido a partir de θ = 0, pois será sempre um ângulo agudo). ( ) φ π ε ε = − − tan . . 1 2 1 4 (4.33) A magnitude da força resultante P é relacionada aos parâmetros do mancal como: P K U l cr = ε η . . . 3 2 (4.34) K ε é um parâmetro adimensional , função da razão de excentricidade ε : ( ) [ ] ( ) K ε ε π ε ε ε = − + − . . 2 2 2 1 2 2 2 1 16 4 1 (4.35) A velocidade linear U pode ser expressa como: U = π.d.n (4.36) Substituída na Equação 4.34, com cr = cd / 2: P K U l cr = ε η . . . 3 2 = K d n l cd ε π η . . .. . . . 4 3 2 (4.37) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 158 4.5.6 Torque e Perdas de Energia em Conjuntos Eixo-Mancal A Figura 4.20 mostra o filme de fluido sendo cisalhado entre o mancal e o eixo. A força de cisalhamento, atuando em cada membro, cria torques de direção oposta, T r no membro rotativo e T s no membro estacionário. Contudo, estes torques T r e T s não são iguais, devido à excentricidade da forca P. O binário P, na Figura 4.20, do qual um componente age no centro do eixo O j e o outro, no centro do mancal O b , forma um par de magnitude P.e.senφ , que se adiciona ao torque estacionário para formar o torque rotativo. T r = T s + P.e.senφ (4.38) O torque estacionário Ts pode ser tirado de: ( ) ( ) Ts d l U U cd = − − η π ε . . . . 2 2 1 2 1 2 1 (4.39) Substituindo a Equação 4.36 na Equação 4.39, para colocar em termos das velocidades de rotação do eixo e do mancal: ( ) ( ) Ts d l n n cd = − − η π ε . . . . 3 2 1 2 2 1 2 1 (4.40) Perceba a similaridade da Equação (4.40) com a Equação de Petroff para o eixo concêntrico sem carga, com torque T o . Pode-se estabelecer uma relação entre o torque estacionário em um mancal excêntrico e o torque sem carga como: ( ) Ts To = − 1 1 2 1 2 ε (4.41) Esta relação é uma função somente da razão de excentricidade ε. Uma relação similar entre o torque de rotação T r e o torque sem carga de Petroff também pode ser estabelecida. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 159 A perda de potência Φ no mancal, pode ser obtida a partir do torque de rotação T r e da velocidade de rotação n. Φ = Tr.ω = 2.π.Tr.(n 2 - n 1 ) N-m / s ou in-lb / s (4.42) 4.5.7 Coeficiente de Atrito O coeficiente de atrito no mancal pode ser determinado como a razão entre a força de cisalhamento tangencial e a força normal aplicada P. µ = = = f P Tr r P Tr P d 2. . (4.43) 4.5.8 Projeto de Mancais Hidrodinâmicos Usualmente, a força aplicada P que o mancal deve suportar, e a velocidade de rotação n, são conhecidas. O diâmetro do mancal pode ou não ser conhecido, mas freqüentemente será definido pela resistência e deflexão do eixo, ou outras considerações. O projeto do mancal requer que se encontre uma combinação adequada entre o diâmetro e/ou comprimento do mancal, que irá operar numa viscosidade adequada do fluido, tendo folga radial razoável e possível de se fabricar, e mantendo uma razão de excentricidade que não permita o contato metal-metal sob carga, ou qualquer condição de sobrecarga esperada. Carregamento unitário: como os picos de carga aplicada aos mancais de motores são de duração apenas momentânea, as pressões resultantes no mancal podem ser da ordem de 10 vezes os valores para carregamento constante. Razão l / d: variam normalmente de 0.25 a 0.75 atualmente. Em máquinas antigas, estes valores são mais próximos da unidade. Mancais curtos são menos suscetíveis a efeitos de borda, causados por deflexão do eixo ou desalinhamentos. Determina-se o diâmetro do eixo por critérios de resistência estática e deflexão dinâmica, definindo-se o comprimento do mancal para uma adequada capacidade de sustentação. Valores aceitáveis de h min : a espessura mínima aceitável para o filme de lubrificante depende do acabamento superficial. Um valor empírico de referência é h o =0.005 + 0.00004d com h o e d em milímetros. Folga radial (c r ): para eixos cujo diâmetro varia de 25 a 150 mm, a razão c r / r é, aproximadamente, da ordem de 0.001, principalmente em mancais de precisão. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 160 Alguns fatores são fundamentais no projeto de mancais hidrodinâmicos: 1. A espessura mínima do filme de lubrificante deve ser suficiente para garantir uma lubrificação limite; 2. O atrito deve ser o mais baixo possível e consistente com a espessura do filme de lubrificante; 3. Um fornecimento adequado de lubrificante limpo e suficientemente aquecido deve estar sempre disponível na entrada do mancal; 4. A temperatura máxima do óleo deve ser aceitável (normalmente não superior a 93- 120 o C); 5. O óleo introduzido no mancal deve preencher todo o seu comprimento. Podem ser necessárias ranhuras no mancal que, neste caso, devem ser posicionados distantes das áreas altamente solicitadas; 6. Problemas de desalinhamento e deflexão excessivos do eixo podem sempre comprometer a vida do mancal; 7. A carga dos mancais nas partidas e paradas deve gerar pressões preferivelmente abaixo de 2 MPa ou 300 psi; 8. O projeto deve considerar toda combinação possível entre folga radial e viscosidade do lubrificante. Fatores como temperatura e circulação de ar podem alterar o filme com o tempo. 4.5.8.1 O Fator de Carga de Projeto - Número de Ocvirk Uma maneira conveniente de resolver este problema é definir um fator de carga adimensional, no qual vários parâmetros do mancal podem ser relacionados, plotados e comparados. A Equação (4.37) pode ser reescrita para obter tal fator, sendo resolvida para K ε : K P cd d n l ε η π = . . . . . . 2 3 4 (4.44) Substituindo a Equação 4.28 para a carga P, e introduzindo a pressão média do filme p avg : ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 161 On d cd l d n p d d l n d cd d l p K avg avg . 4 1 . . 4 1 . . . . . . 4 . . . 2 2 3 2 π η π π η ε = ( ( ¸ ( ¸ | ¹ | \ | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = = (4.45) O termo entre colchetes é o chamado fator de carga adimensional ou n° de Ocvirk On. ( ) [ ] ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 . 16 1 . . . . 4 . ε ε ε π ε π π η ε − + − = = | ¹ | \ | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = K d cd l d n p On avg (4.46) Esta expressão contém os parâmetros de projeto sobre os quais o projetista tem controle, e mostra que qualquer combinação daqueles parâmetros, que resulte no mesmo n° de Ocvirk, terá a mesma razão de excentricidade ε. A razão de excentricidade é uma indicação de quão próximo de falhar está o filme de óleo, uma vez que h min = c r .(1 - ε ). Compare o n° de Ocvirk com o n° de Sommerfeld da Equação 4.29. A Figura 4.22 mostra um gráfico da razão de excentricidade ε como uma função do n° de Ocvirk O n , e também os dados experimentais para os mesmos parâmetros. Uma curva empírica é ajustada aos dados, mostrando que a teoria prediz uma magnitude menor da razão de excentricidade. A curva empírica pode ser aproximada como: ε x ≅ 0.21394 + 0.38517. Log ( On ) - 0.0008. ( On - 60 ) (4.47) Figura 4.22 - Excentricidade Relativa e Número de Ocvirk (dados analíticos e experimentais). Ockvirk On Excentricidade ε Curva analítica Curva experimental Razão de excentricidade nas bordas Efeito de desalinhamento ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 162 O cálculo de carga, torque, pressões média e máxima no filme de óleo, bem como outros parâmetros do mancal, pode ser feito adotando-se o valor empírico ε nas Equações 4.30 a 4.42. A Figura 4.23 mostra razões de p max /p avg e T s / T o , como uma função do n° de Ocvirk, para valores experimentais e teóricos de ε. A Figura 4.24 mostra a variação teórica e experimental dos ângulos θ max e φ com o n° de Ocvirk. Figura 4.23 - Razão de Pressão e Torque para Mancais Curtos x Número de Ocvirk. Figura 4.24 - Ângulos θmax e φ x Número de Ocvirk. analítico analítico Ockvirk On analítico analítico Angulos em graus Ockvirk On ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 163 4.5.8.2 Procedimentos de Projeto A carga e a velocidade são dados tipicamente conhecidos. Se o eixo é dimensionado por resistência ou deflexão, seu diâmetro será também conhecido. O comprimento do mancal, ou a relação l /d, devem ser escolhidos, baseados em considerações de espaço. Relações l /d maiores resultam em pressões menores do filme de óleo. A razão da folga diametral é definida como cd/d. As razões de folga estão tipicamente na faixa de 0.001 a 0.002 e, algumas vezes, chegam a 0.003. Razões de folga maiores aumentarão rapidamente o n° de carga On já que cd/d é elevado ao quadrado na Equação 4.46. Um número de Ocvirk maior resulta em excentricidade, torque e pressões mais elevados, como pode ser visto nas Figuras 4.22 e 4.23. Uma vantagem de razões de folga maiores é o maior fluxo de lubrificante, o que promove refrigeração. Relações l / d maiores requerem razões de folga maiores para acomodar as deflexões do eixo. O n° de Ocvirk deve ser escolhido, e a viscosidade do lubrificante encontrada, a partir das Equações 4.30 a 4.42. Se as dimensões do eixo ainda não são conhecidas, diâmetro e comprimento do mancal podem ser calculados através da iteração das equações do mancal, para um certo valor do n° de Ocvirk assumido. Um lubrificante de teste deve ser escolhido, e sua viscosidade encontrada para as temperaturas de operação assumidas dos gráficos (Figura 4.14). Após o projeto do mancal, uma análise do fluxo de lubrificante e da transferência de calor pode ser feita, para determinar a taxa de fluxo de óleo necessária e as temperaturas de operação previstas. A escolha do n° de Ocvirk tem um efeito significativo no projeto. G. B. Dubois sugere que um n° de carga O n = 30 (ε = 0.82) seja considerado como limite superior para carga normal moderada, O n = 60 para carga pesada e O n = 90 (ε = 0,93) para carga severa (crítica). Para n° de Ocvirk em torno de 30, alguns cuidados devem ser tomados no controle das tolerâncias de manufatura, acabamento de superfície e deflexões. Para aplicações gerais de mancais é aconselhável trabalhar com um n° O n inferior a 30. 4.5.9 Tipos e Classificação de Mancais Hidrodinâmicos Os mancais hidrodinâmicos apresentam uma classificação simples e básica quanto a estrutura de sua geometria. Tem-se os mancais de geometria fixa e os mancais de geometria variável. Dentre os mancais de geometria fixa, encontram-se os seguintes tipos: -Mancal cilíndrico: divide-se em mancal de arco parcial (Figura 4.25 (a)) e mancal de furos bi-axiais (Figura 4.25 (b)). ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 164 -Mancal multi-lobado: compreende o mancal elíptico (Figura 4.26 (a)), o mancal cilíndrico descentrado (Figura 4.26 (b)), e os mais comuns tri-lobados (Figura 4.26 (c)) e quadri- lobados. Figura 4.25 - Mancais cilíndricos planos: a) Arco parcial, b) Furos bi-axiais. (a) (c) (b) Figura 4.26 - Mancais multi-lobados: (a) elíptico, (b) cilíndrico descentrado e (c) tri- lobado. O mancal de geometria variável é o mancal segmentado (Figura 4.27), cujo número mínimo de segmentos é três, sendo, porém, os mais comuns de quatro e seis segmentos. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 165 Figura 4.27 - Mancal Segmentado. 4.5.10 Propriedades físicas e aplicações Define-se pré-carga em mancais hidrodinâmicos como a razão entre a dimensão d, das Figuras 4.26 e 4.27, e a folga radial C r , onde d é a descentragem dos lobos em relação ao centro do mancal. Um valor comum para a pré-carga é 0.5, ou seja, a descentragem dos lobos é aproximadamente a metade da folga radial. Se d = 0, o mancal é cilíndrico, e se d = 1, o eixo está em contato com os lobos. Assim sendo, os mancais cilíndricos não apresentam pré-carga (Figura 4.25), enquanto que os mancais multi-lobados incorporam a pré-carga em sua geometria (Figura 4.26). Mancais de geometria fixa podem estar sujeitos a fenômenos de instabilidade, sob certas condições de operação. O movimento subsíncrono instável representa o maior problema associado aos rotores de alta rotação, suportados por mancais cilíndricos planos. Tal fenômeno caracteriza-se por órbitas do eixo de elevadas amplitudes para o ciclo limite, a uma rotação de 1.5 vezes a velocidade crítica do eixo. Em rotores flexíveis, a instabilidade se inicia a uma rotação cerca de 2 vezes a rotação crítica, com aumento acentuado da amplitude com a velocidade de rotação. Substituindo o mancal cilíndrico por outras geometrias também fixas, foi possível elevar a velocidade de início da instabilidade, eliminando o problema em muitos casos práticos. A rotação de início da instabilidade é elevada, nestes casos, devido ao aumento da excentricidade de operação do mancal, ou seja, os mancais multi-lobados são projetados com uma pré-carga nos lobos. Desta forma, apresentam maior rigidez e tendem a ser mais estáveis, particularmente na posição central, onde os mancais cilíndricos possuem baixa rigidez direta (K xx e K yy ). Mancais com pré-carga operam com uma espessura mínima de filme de ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IV 166 lubrificante superior aos demais, para uma certa dimensão do mancal e para determinados parâmetros de operação. Por sua vez, o mancal segmentado é altamente estável, sendo de larga aplicação quando existe risco de instabilidade durante a operação, ou seja, em rotores flexíveis de alta rotação. O carregamento pode localizar-se entre dois segmentos ou sobre um segmento (Figura 4.28). Este mancal pode ser projetado com ou sem pré-carga. O projeto do mancal segmentado minimiza o problema de instabilidade, praticamente eliminando os termos cruzados de rigidez equivalente (K xy e K yx ). Os segmentos são pivoteados por pinos axiais, que não reagem ao momento, isto é, os segmentos giram livremente em torno dos pontos de fixação. Assim, a reação nos segmetos, a um carregamento vertical, ocorre nos pontos de fixação. É importante notar que esta reação se desenvolve sem provocar um deslocamento lateral do eixo, ou seja, a um carregamento vertical responde apenas um deslocamento vertical, eliminando os efeitos mistos de forças. (a) (b) Figura 4.28 - Carregamento no mancal segmentado: (a) entre segmentos e (b) sobre um segmento. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 167 CAPÍTULO V UNIÕES E ROSCAS 5.1. INTRODUÇÃO 5.1.1 Classificação Geral Parafusos e porcas parecem constituir um dos aspectos menos interessantes do ponto de vista do projeto mecânico e, contudo, também estes elementos apresentam características de funcionamento e aplicações extremamente importantes. Além disso, o projeto e a fabricação de junções constituem um dos investimentos mais significativos da economia atual. Por exemplo, o Boeing 747 possui cerca de 2,5 milhões de junções, sendo que algumas destas chegam a custar alguns dólares cada. Já as roscas desempenham dois tipos fundamentais de funções: atuando como junções, ou seja, mantendo duas partes unidas; ou ainda para mover ou deslocar cargas, tais como os parafusos de potência. A Tabela 5.1 mostra as variáveis utilizadas neste capítulo e suas respectivas unidades. Tabela 5.1 - Nomenclatura e Simbologia. Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI A área in 2 m 2 A b área total do parafuso in 2 m 2 A m área efetiva do material na região de conexão in 2 m 2 A t área tracionada do parafuso in 2 m 2 C carga fator de carregamento adimensional adimensional C conf fator de confiabilidade adimensional adimensional C tam fator de tamanho ou dimensões adimensional adimensional C sup fator de acabamento superficial adimensional adimensional C temp fator de temperatura adimensional adimensional C constante de rigidez da junta Adimensional adimensional ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 168 D diâmetro in m D diâmetro in m E eficiência adimensional adimensional E módulo de Young psi Pa F força ou carga lb N F b força máxima no parafuso lb N F i força de pré-carga lb N F m força mínima no material lb N F força de atrito lb N HRC dureza Rockwell C adimensional adimensional J momento polar de área in 4 m 4 K constante de mola lb / in N / m k b rigidez do parafuso lb / in N / m k m rigidez do material lb / in N / m Kf , Kfm fator de concentração de tensão em fadiga adimensional adimensional Kt , Kts fator de concentração de tensão geométrico adimensional adimensional M massa lb sec / in 2 − kg L comprimento in m L comprimento do filete in mm N número de junções adimensional adimensional N número de filetes por unidade de comprimento adimensional adimensional Nf fator de segurança em fadiga adimensional adimensional Nleak fator de segurança no aperto adimensional adimensional Nsep fator de segurança na separação adimensional adimensional Ny fator de segurança em escoamento adimensional adimensional P passo do filete in mm P carga lb N P b fração da carga no parafuso lb N P m fração da carga no material lb N R raio in m Se limite de resistência à fadiga corrigido psi Pa Sf resistência a fadiga corrigido psi Pa Sy limite de resistência ao escoamento psi Pa S ut máxima resistência à tração psi Pa ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 169 S us máxima resistência ao cisalhamento psi Pa S ys limite de resistência ao escoamento em cisalhamento psi Pa T torque lb-in N-m w i ,w o fatores de geometria do filete adimensional adimensional W trabalho in-lb Joule α angulo radial de contato do filete graus graus δ deflexão in m µ coeficiente de atrito adimensional adimensional λ angulação do filete graus graus σ tensão normal psi Pa τ tensão de cisalhamento psi Pa 5.2. FORMAS PADRONIZADAS DE FILETES O elemento comum, entre as diversas uniões rosqueadas, são os filetes que, por sua vez, são constituídos por uma hélice, a qual é responsável pelo movimento de avanço da rosca dentro do furo ou da porca, através de sua rotação. A norma ISO define as dimensões dos filetes pelo sistema métrico, enquanto que a norma UNS define as dimensões no sistema ips americano, ambas utilizando um angulo de 60 o entre os filetes adjacentes, e definindo o filete pelo seu diâmetro externo nominal d. O passo p mede a distância entre dois filetes adjacentes, sendo que arestas e raízes são planas, objetivando a redução de fatores de concentração de tensões. O diâmetro primitivo d p e o diâmetro da raiz d r , são definidos em função do passo p. O avanço L do filete corresponde a distancia axial que a porca avança para uma revolução de rotação. Se o filete é simples, o avanço L é igual ao passo p. Para filetes múltiplos, o avanço L responderá de acordo com a multiplicidade do passo p. Por exemplo, para filetes duplos, L = 2p; para filetes triplos, L = 3p, etc. Três séries padrões de famílias de passos de filetes são definidas: passo normal, passo fino e passo extrafino. A série de passo normal é a mais comum, sendo utilizada para aplicações gerais, principalmente se um número razoável de montagens e desmontagens for necessário, ou quando os materiais a serem unidos forem macios. A série de passo fino é mais resistente ao afrouxamento por vibrações, devido a um menor angulo da hélice, sendo utilizada em automóveis, motores a jato, etc. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 170 Finalmente, a série de passo extrafino é utilizada quando a espessura das placas é muito limitada. Também são definidas 3 classes de ajustes, designadas classe 1, 2 e 3. A classe 1 apresenta as tolerâncias mais amplas, para usos de qualidade regular, como as aplicações domésticas, em geral. A classe 2 define tolerâncias mais estreitas, resultando em melhor qualidade de ajuste, sendo aplicada em projeto de máquinas, em geral. A maior precisão é dada pela classe 3, sendo utilizada onde alta qualidade de ajuste é exigida, para segurança do projeto. A rosca externa é designada pela letra A e a rosca interna, pela letra B. Obviamente, o custo aumenta para as classes de ajuste mais altas. A especificação de um filete é feita através de um código que contém informações sobre o diâmetro, passo, série e classe de ajuste dos filetes. 1/4-20 UNC-2A representa um filete externo de 0.250 in de diâmetro, 20 filetes por polegada de passo, série normal e tolerância classe 2. M8 x 1.25 define um filete da série normal ISO com 8 mm de diâmetro e 1.25 mm de passo. Todas as séries padrão de filetes são de roscas direitas (RH), enquanto que para roscas esquerdas, a designação LH é acrescentada à especificação dos filetes. 5.2.1 Área de Tensão de Tração Um elemento circular filetado, sujeito a tração pura, terá sua resistência limitada pela área de menor diâmetro, ou seja, a raiz, cujo diâmetro é d r . Porém, testes experimentais demonstraram que a resistência à tração crítica ocorre, na média, entre o menor diâmetro d e o diâmetro primitivo d p . A d d t p r = + π 4 2 2 (5.1) Para filetes UNS, tem-se: d d N p = − 0 649519 . / d d N r = − 1226869 . / (5.2) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 171 Para filetes ISO, tem-se: d d p p = − 0 649519 . d d p r = − 1226869 . (5.3) Onde: N é o número de filetes por polegada, d é o diâmetro externo nominal do filete, e p é o passo da hélice em mm. Portanto, a tensão devido a uma carga de tração pura axial F, é dada por: σ t t F A = (5.4) 5.2.2 Dimensões Padronizadas A Tabela 5.2 mostra as principais dimensões de filetes pela UNS. Para diâmetros inferiores a 0.25 in, os filetes são especificados por números inteiros padronizados. Para obter o diâmetro externo do filete, deve-se multiplicar o número padrão por 13 e dividir por 60. A Tabela 5.3 mostra as dimensões dos filetes pela norma ISO. Tabela 5.2 - Dimensões para filetes UNS. PASSO NORMAL PASSO FINO Tamanho d(in) N[/in] dr(in) At(in 2 ) N[/in] dr(in) At(in 2 ) 0 0.0600 - - - 80 0.0438 0.0018 1 0.0730 64 0.0527 0.0026 72 0.0550 0.0028 2 0.0860 56 0.0628 0.0037 64 0.0657 0.0039 3 0.0990 48 0.0719 0.0049 56 0.0758 0.0052 4 0.1120 40 0.0795 0.0060 48 0.0849 0.0066 5 0.1250 40 0.0925 0.0080 44 0.0955 0.0083 6 0.1380 32 0.0974 0.0091 40 0.1055 0.0101 8 0.1640 32 0.1234 0.0140 36 0.1279 0.0147 10 0.1900 24 0.1359 0.0175 32 0.1494 0.0200 12 0.2160 24 0.1619 0.0242 28 0.1696 0.0258 ¼ 0.2500 20 0.1850 0.0318 28 0.2036 0.0364 5/16 0.3125 18 0.2403 0.0524 24 0.2584 0.0581 3/8 0.3750 16 0.2938 0.0775 24 0.3209 0.0878 7/16 0.4375 14 0.3447 0.1063 20 0.3725 0.1187 ½ 0.5000 13 0.4001 0.1419 20 0.4350 0.1600 9/16 0.5625 12 0.4542 0.1819 18 0.4903 0.2030 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 172 5/8 0.6250 11 0.5069 0.2260 18 0.5528 0.2560 ¾ 0.7500 10 0.6201 0.3345 16 0.6688 0.3730 7/8 0.8750 9 0.7307 0.4617 14 0.7822 0.5095 1 1.0000 8 0.8376 0.6057 12 0.8917 0.6630 1 1/8 1.1250 7 0.9394 0.7633 12 1.0167 0.8557 1 ¼ 1.2500 7 1.0644 0.9691 12 1.1417 1.0729 1 3/8 1.3750 6 1.1585 1.1549 12 1.2667 1.3147 1 ½ 1.5000 6 1.2835 1.4053 12 1.3917 1.5810 1 ¾ 1.7500 5 1.4902 1.8995 2 2.0000 4.5 1.7113 2.4982 2 ¼ 2.2500 4.5 1.9613 3.2477 2 ½ 2.5000 4 2.1752 3.9988 2 ¾ 2.7500 4 2.4252 4.9340 3 3.0000 4 2.6752 5.9674 3 ¼ 3.2500 4 2.9252 7.0989 3 ½ 3.5000 4 3.1752 8.3286 3 ¾ 3.7500 4 3.4252 9.6565 4 4.0000 4 3.6752 11.0826 Tabela 5.3 - Dimensões para filetes ISO. PASSO NORMAL PASSO FINO d[mm] p[mm] dr[mm] At(mm 2 ) p[mm] Dr[mm] At(mm 2 ) 3.0 0.50 2.39 5.03 3.5 0.60 2.76 6.78 4.0 0.70 3.14 8.78 5.0 0.80 4.02 14.18 6.0 1.00 4.77 20.12 7.0 1.00 5.77 28.86 8.0 1.25 6.47 36.61 1.00 6.77 39.17 10.0 1.50 8.16 57.99 1.25 8.47 61.20 12.0 1.75 9.85 84.27 1.25 10.47 92.07 14.0 2.00 11.55 115.44 1.50 12.16 124.55 16.0 2.00 13.55 156.67 1.50 14.16 167.25 18.0 2.50 14.93 192.47 1.50 16.16 216.23 20.0 2.50 16.93 244.79 1.50 18.16 271.50 22.0 2.50 18.93 303.40 1.50 20.16 333.06 24.0 3.00 20.32 352.50 2.00 21.55 384.42 27.0 3.00 23.32 459.41 2.00 24.55 495.74 30.0 3.50 25.71 560.59 2.00 27.55 621.20 33.0 3.50 28.71 693.55 2.00 30.55 760.80 36.0 4.00 31.09 816.72 3.00 32.32 864.94 39.0 4.00 34.09 975.75 3.00 35.32 1028.39 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 173 5.3. PARAFUSOS DE POTÊNCIA Estes elementos têm como função principal converter movimento circular em movimento linear de atuadores, máquinas de produção, etc. Apresentam amplas vantagens mecânicas e podem elevar ou deslocar cargas consideráveis. Para tais aplicações, foram desenvolvidos novos perfis, com dimensões adequadas e devidamente padronizadas. 5.3.1 Roscas Quadradas, Triangulares e Dente de Serra O filete de forma quadrada (Figura 5.1 (a)) apresenta a maior resistência e eficiência, eliminando também qualquer componente radial de força entre a rosca e a porca. Entretanto, é de fabricação mais complexa, devido a dificuldade de cortar faces paralelas para os filetes. O filete de forma triangular apresenta um angulo de 29 o entre os filetes da hélice (Figura 5.1 (b)), sendo de fabricação mais simples. Existe uma variação para esta forma, cuja altura do filete é de 0.3p, enquanto que a forma padrão apresenta altura de 0.5p. A principal vantagem desta variação é um tratamento térmico mais uniforme. A forma triangular do filete é uma opção interessante para casos onde os parafusos de potência estejam sujeitos a cargas em ambas direções, axial e radial. Se, por outro lado, a carga axial é unidirecional, a melhor escolha é o filete de forma dente de serra (Figura 5.1 (c)), por apresentar maior resistência na raiz que as demais formas. Figura 5.1 - Formas de filetes: (a) Quadrado, (b) Triangular e (c) Dente de Serra. 5.3.2 Aplicação de Roscas de Potência A Figura 5.2 mostra uma possível montagem de uma rosca de potência, utilizada para elevação de carga. A porca gira sob ação de um torque T, forçando a translação vertical da rosca, para deslocar a carga P. Naturalmente, devido à carga P, existe um atrito entre a rosca e a porca, bem como entre a porca e a base, sendo necessário um mancal axial de esferas para aliviar tais perdas no contato. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 174 Outra aplicação de roscas de potência ocorre em aturadores lineares, onde a rotação da rosca pode ser motorizada, transladando automaticamente a porca. Figura 5.2 - Rosca de Potência com Filete Triangular. 5.3.3 Análise de Esforços - Força e Torque Filetes Quadrados: O filete de uma rosca nada mais é que um plano inclinado, o qual envolve uma superfície cilíndrica, gerando uma hélice. Se uma revolução da hélice for desenrolada, obterer-se-á o perfil da Figura 5.3 (a), onde o bloco representa a porca deslizando para cima, em contato com o perfil do filete quadrado no plano inclinado. A Figura 5.3 (b) representa a porca deslizando para baixo. Figura 5.3 - Diagrama de Força na Interface Rosca-Porca. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 175 Naturalmente, a força de atrito possui sentido contrário ao movimento. A inclinação do plano da hélice é dada pelo angulo λ: tanλ π = L d p (5.5) A somatória de forças em x e y, para a elevação de carga da Figura 5.3 (a): ( ) F F f N F N N F N x ∑ = − − = − − = = + cos sen cos sen cos sen λ λ µ λ λ µ λ λ 0 (5.6) λ µ λ λ µ λ λ λ sen P N P Nsen N P fsen N F y − = = − − = − − = ∑ cos 0 cos cos (5.7) Onde: µ = coeficiente de atrito entre a rosca e a porca. Combinando as expressões (5.6) e (5.7), temos a expressão para a força F: ( ) ( ) F P = + − µ λ λ λ µ λ cos sen cos sen (5.8) O torque necessário na rosca, para elevar a carga P: ( ) ( ) T F d Pd su p p = = + − 2 2 µ λ λ λ µ λ cos sen cos sen (5.9) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 176 Muitas vezes é mais conveniente expressar (5.9) em função da extensão L, em substituição ao ângulo λ, dividindo numerador e denominador por cosλ, e mantendo a relação dada em (5.5): ( ) ( ) T Pd d L d L su p p p = + − 2 µπ π µ (5.10) A expressão (5.10) leva em conta a interface rosca-porca de um filete quadrado, porém, o mancal axial de esferas também contribui com o torque de atrito: 2 c c c d P T µ = (5.11) Onde: d c = diâmetro principal do colar axial e µ c = coeficiente de atrito no colar axial. Note que o torque necessário para superar o atrito no colar pode igualar ou superar o torque na rosca. O torque total para elevar a carga P, num filete de forma quadrada é: T u = T su + T c . ( ) ( ) T T T Pd d L d L P d u su c p p p c c = + = + − + 2 2 µπ π µ µ (5.12) Para movimentação da carga P para baixo, pode-se aplicar o mesmo raciocínio para o torque de atrito T d . ( ) ( ) 2 2 c c p p p c sd d d P L d L d Pd T T T µ µ π µπ + + − = + = (5.13) Filetes Triangulares ou Inclinados: O ângulo radial do filete introduz um fator adicional nas equações de torque. A força normal entre a rosca e a porca possui angulação em dois planos: o ângulo de inclinação tangencial da hélice λ, e o ângulo de inclinação do filete ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 177 triangular α = 14.5 o . Analogamente ao caso de filetes de forma quadrada, derivam-se expressões para torques de movimentação de carga para cima e para baixo: ( ) ( ) T T T Pd d L d L P d u su c p p p c c = + = + − + 2 2 µπ α π α µ µ cos cos (5.14) ( ) ( ) 2 cos cos 2 c c p p p c sd d d P L d L d Pd T T T µ µ α π α µπ + + − = + = (5.15) O Coeficiente de Atrito, num par rosca-porca lubrificado, é de aproximadamente 015 0 05 . . ± . O coeficiente de atrito num mancal axial plano é semelhante ao da rosca, porém, se um mancal de esferas for utilizado, seu coeficiente de atrito é de cerca 1/10 do valor anterior para a rosca, ou seja, de 0.01 a 0.02. Figura 5.4 - Análise de Esforços num Filete Triangular. Travamento e Afrouxamento O travamento de uma rosca se refere a condição em que esta não pode ser girada por aplicação de qualquer magnitude de força externa axial à porca (sem aplicação de torque). Em outras palavras, o travamento da rosca suporta a carga em sustentação, sem a aplicação de um torque resistivo, não necessitando de um freio para segurar a carga. A situação oposta ao travamento ocorre quando a rosca translada-se axialmente devido a uma carga axial aplicada à porca, a qual provoca a rotação da rosca. A condição para o travamento de uma rosca de potência ou deslizamento é facilmente determinada, se o coeficiente de atrito na junção rosca-porca for conhecido. As relações, que ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 178 envolvem o coeficiente de atrito e o ângulo de inclinação da hélice do filete, determinam a condição de travamento deste par cinemático. µ π α µ λ α ≥ ≥ L d p cos tan cos ou (5.16) Se o filete é de forma quadrada, α = 0 o e cosα = 1. µ π µ λ ≥ ≥ L d p ou tan (5.17) Note que tais relações presumem uma carga aplicada estática. A presença de vibrações, ou de outras fontes de carga dinâmica, pode fazer com que o travamento da rosca solte-se e, conseqüentemente, ocorra escorregamento sobre a inclinação do filete. Eficiência A eficiência de qualquer sistema é definida como trabalho que sai / trabalho que entra. O trabalho realizado por uma rosca de potência, é o produto do torque pelo deslocamento angular (em radianos), para uma revolução da rosca: T W in π 2 = (5.18) O trabalho liberado, numa revolução, é dado pelo produto da carga P pelo avanço L do filete. W PL out = (5.19) Portanto, a eficiência é dada por: T PL W W e in out π 2 = = (5.20) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 179 Desprezando o efeito de atrito no mancal axial da Figura 5.2, substitui-se a expressão (5.14) em (5.20): e L d d L d L p p p = − + π π α µ πµ α cos cos e g = − + cos tan cos cot α µ λ α µ λ (5.21) Para uma rosca com filete de forma quadrada, α = 0, então: e g = − + 1 1 µ λ µ λ tan cot (5.22) A Figura 5.5 mostra o gráfico das curvas de eficiência para um filete triangular, em função do angulo da hélice do filete (angulo de inclinação do plano da hélice), para diversos valores do coeficiente de atrito, desprezando o efeito do colar axial. Figura 5.5 - Eficiência de uma Rosca de Potência de Filete Triangular. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 180 Altos coeficientes de atrito reduzem a eficiência do par cinemático rosca-porca. Quando λ = 0, a inclinação da hélice é nula, não havendo movimento relativo entre rosca e porca e, portanto, não havendo realização de trabalho, apesar da presença do atrito, o que implica em eficiência nula. Quando a inclinação da hélice tende a 90 o , a eficiência também tende a zero, pois neste caso, ocorre apenas um aumento na força normal e, portanto, do atrito, não havendo componente tangencial de magnitude suficiente para girar a porca. Se o colar axial for considerado, os valores de eficiência serão, naturalmente, inferiores aos da Figura 5.5. Roscas de Esferas Uma redução significante no atrito dos filetes pode ser obtida com o uso de esferas entre os filetes, gerando, um contato de rolamento com a porca. A forma do filete é adequada ao ajuste das esferas, sendo estes endurecidos para incrementar sua vida em fadiga de superfície. O coeficiente de atrito é semelhante ao de mancais de rolamento convencionais, situando este tipo de rosca nas duas curvas de topo da Figura 5.5, correspondentes à eficiência máxima. O baixo atrito destas roscas não permite seu auto-travamento, sendo necessário um tipo de freio para manter a sustentação da carga. Sua principal aplicação é, portanto, converter movimento de translação linear em movimento rotativo. Apresentam alta capacidade de carga, não estando sujeitas ao efeito stick-slip, típico de escorregamento entre superfícies. 5.4. TENSÕES EM FILETES A aproximação mais conservativa, no cálculo das tensões em filetes, é assumir o pior caso, onde um par de filetes suporta toda a carga. A consideração extremamente oposta é distribuir a carga igualmente entre os filetes em contato. O valor verdadeiro de tensão deve estar situado entre estes dois extremos. Junções e roscas sujeitas a cargas elevadas são fabricadas em material de alta resistência e dureza, como os aços. Porcas para roscas de potência, geralmente, são fabricadas deste mesmo material. Por outro lado, as porcas para junções comuns são confeccionadas em material mais macio, estando seus filetes sujeitos ao escoamento durante o aperto da rosca. Porcas endurecidas são utilizadas com parafusos de alta resistência e dureza. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 181 5.4.1 Tensão Axial Uma rosca de potência pode estar sujeita a carregamentos axiais de tração e de compressão. Uma junta filetada normal, geralmente, está sujeita a tensão axial de tração. A seção 2.1 cobre o equacionamento necessário para esta análise. Para compressão em roscas de potência, deve-se verificar as condições de flambagem de seu comprimento livre, que se muito curto, estará apenas em compressão. Se o comprimento livre for longo, a flambagem ocorrerá no momento em que a carga axial superar um determinado valor crítico. O fator que determina se uma coluna é curta ou longa é a razão de esbeltez S r . Sr = lc / k e k I A = (5.23) Onde: lc = o comprimento da coluna, k = raio de giração, I = menor momento de área da seção transversal da coluna e A= área da seção transversal. Assim sendo, para uma coluna longa, deve-se calcular sua carga crítica P cr . A Figura 5.6 mostra uma coluna delgada, sob ação de forças de compressão em ambas extremidades, atuando na área central da coluna. A deflexão lateral da coluna é dada por: Py M = (5.24) Por outro lado, para pequenas deflexões da viga, temos a expressão geral da linha elástica: 2 2 dx y d EI M = − (5.25) De (5.24) e (5.25) tem-se: 0 2 2 = + y EI P dx y d (5.26) A solução da expressão acima é dada por: x EI P B x EI P Asen y cos + = (5.27) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 182 A e B são constantes de integração, que dependem das condições de contorno e do comprimento efetivo da coluna, os quais são relatados na Tabela 5.4, para cada caso. Tabela 5.4 - Comprimento Efetivo de Colunas em Flambagem e carga Crítica associada. Condições de Contorno Valor Teórico Valor Efetivo Recomendado pela Norma Valor Efetivo Mais Conservativo Carga Crítica Pcr Extremidade Livre-livre leff = lc leff = lc leff = lc Pcr = π 2 EA / Sr 2 Extremidades articuladas leff = lc leff = lc leff = lc Pcr = π 2 EA / Sr 2 Extremidades Livre-Fixa leff = 2lc leff = 2.1lc leff = 2.4lc Pcr = π 2 EA / 4Sr 2 Extremidades Fixa- Articulada leff = 0.707lc leff = 0.80lc leff = lc Pcr = 2π 2 EA / Sr 2 Extremidades Fixas leff = 0.5lc leff = 0.65lc leff = lc Pcr = 4π 2 EA / Sr 2 Figura 5.6 - Flambagem de uma coluna de Euler. Os valores de leff utilizados para o cálculo de Sr = leff / k, são as relações teóricas da Tabela 5.4. 5.4.2 Tensão de Cisalhamento Um modo de falha possível, em cisalhamento, está associado ao efeito de arrancar os filetes, sejam estes da porca ou da rosca. A área associada a este cisalhamento, para um filete da rosca, é a área do cilindro de menor diâmetro, dada por: p w d A i r s π = (5.28) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 183 Onde: p é o passo do filete, dr é o diâmetro da raiz, e wi é a porcentagem do passo em contato com metal no seu menor diâmetro (Tabela 5.5). Para a porca, a área está associada ao seu maior diâmetro em contato com metal (wo). A d w p s r o = π (5.29) Tabela 5.5- Fatores de Área para Filetes em Cisalhamento. Tipo de Filete w i (menor área) w o (maior área) UNS/ISO 0.80 0.88 Quadrado 0.50 0.50 Triangular 0.77 0.63 Dente de Serra 0.90 0.83 A tensão de cisalhamento τ s para o filete arrancado é dada por: τ = F A s (5.30) Se a porca é muito longa, a carga necessária para arrancar os filetes, possivelmente excederá a carga necessária para falhar a rosca por tração. As expressões para ambos modos de falha podem ser combinadas, estabelecendo um comprimento mínimo da porca, com um determinado tipo de filete, para o qual a resistência ao cisalhamento da porca supere a resistência a tração da rosca. Para filetes UNS/ISO o comprimento da porca L p = 0.5d , para d < 1 in, responderá a esta propriedade. Para filetes triangulares em diâmetros maiores, o comprimento mínimo da porca deve ser de L p = 0.6 d. Se a rosca é introduzida num furo cônico, uma seção filetada mais longa é necessária. Para combinações de mesmo material, recomenda-se L p = d. Para rosca de aço em ferro fundido, L p = 2d. 5.4.3 Tensão Torcional Quando uma porca é apertada contra uma rosca, ou quando esta porca transmite um torque a uma rosca de potência, uma tensão torcional pode se desenvolver na rosca. Este ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 184 torque depende do atrito na interface rosca-porca. O torque aplicado à porca é transmitido em parte para a rosca, sendo que existe uma fração deste torque que é perdida através do atrito entre a porca e a base. Quanto mais ameno for o torque perdido por atrito, maior será o torque transmitido aos filetes da rosca. Portanto, considera-se o pior caso, em que o atrito entre a porca e a base é mínimo, devido a um colar de esferas, sendo o torque transmitido, em praticamente toda sua totalidade, aos filetes. τ π = = Tr J T d r 16 3 (5.31) 5.5. TIPOS DE JUNÇÕES As junções podem ser classificadas de diferentes formas: por sua aplicação, pelo seu tipo de filete, ou pelo estilo de sua cabeça. 5.5.1 Classificação por Aplicação Parafusos com e sem Porca: Uma mesma junção assume diferentes designações, de acordo com sua aplicação em particular. Entende-se por parafuso de fixação (Figura 5.7 (a)) uma junção com uma cabeça e um certo comprimento filetado, a ser utilizado com uma porca, para unir uma montagem rigidamente, ou apenas como parafusos obturadores ou de ajustagem (Figura 5.7 (b)), quando inseridos dentro de um furo rosqueado não vazado. Parafuso Prisioneiro: Trata-se de uma junção sem cabeça, filetada em ambas extremidades, para ser montado de maneira semi-permanente numa extremidade, enquanto a outra é rosqueada a uma porca removível (Figura 5.7 (c)). Cada extremidade pode apresentar passos de filetes análogos ou diferentes. A extremidade permanente, normalmente, apresenta uma classe de ajuste mais alta, de forma a resistir ao afrouxamento durante a remoção da porca na outra extremidade. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 185 Figura 5.7 - Classificação quanto a aplicação: (a) parafusos de fixação, (b) parafusos de ajustagem em máquinas e (c) parafusos prisioneiros. 5.5.2 Classificação por Tipo de Filete Todas as junções capazes de abrir seus próprios furos, ou fazer seus filetes, são denominadas roscas cônicas, classificando-se em quatro tipos principais: junções perfurantes para remoção de material, junções auto-tarrachantes ou de rosca soberba para formação ou corte de filetes diretamente no material, e as junções de fixação rápida, que são introduzidas por impacto, sendo retiradas por contra-rosqueamento, formando, assim, os filetes (Figura 5.8). Figura 5.8- Tipos de Roscas Cônicas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 186 5.5.3 Classificação por Estilo da Cabeça Muitos estilos diferentes de cabeças são feitos, incluindo as cabeças com fendas retas, com fendas em cruz ou cabeça Phillips, e as cabeças perfuradas, incluindo as cabeças hexagonais, serrilhadas, etc. A forma da cabeça pode ser: redonda, meia-redonda ou achatada, plana ou rebaixada, cilíndrica com calota, oval ou plana com calota, quadrada, etc. As cabeças com fenda, e as cabeças Phillips, estão classificadas na Figura 5.10, enquanto que as cabeças perfuradas e serrilhadas, estão esquematizadas na Figura 5.9. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 5.9 - Tipos de Cabeças Perfuradas. Figura 5.10 - Tipos de Cabeças com Fenda ou Phillips. As cabeças com fenda são aplicadas em máquinas de pequena dimensão, pois o torque a ser transmitido pelas fendas é limitado. As cabeças hexagonais são de aplicação mais comum em grandes máquinas, onde não há limitação de espaço, suportando níveis bem mais elevados de torque no aperto do parafuso. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 187 5.5.4 Porcas Existe uma grande variedade de porcas, disponíveis em diversas formas, para várias aplicações. A porca hexagonal encontra-se disponível nas dimensões padrão e reduzida (ou achatada), conforme Figura 5.11(a) e (b). A porca castelo é uma variação da forma hexagonal, cujos entalhes permitem a inserção de um pino tipo coupilha (Figura 5.11 (c)), para evitar que esta se solte durante a operação da máquina. As porcas hexagonais fechadas com calota esférica (Figura 5.11 (d)) são utilizadas com propósitos decorativos, e as porcas borboleta, permitem fácil remoção sem ferramentas (Figura 5.11 (e)). Um consenso universal é a prevenção do afrouxamento espontâneo da porca, devido a vibrações. Para tanto, são feitas inserções de Nylon no interior da porca, que deformam durante o aperto do parafuso, causando o travamento da montagem. Outro recurso são as porcas cônicas, também chamadas elípticas, bem como a utilização de pinos e flanges de travamento (Figura 5.12). (a) hexagonal (b)hexagonal (c) porca castelo reduzida (d) hexagonal (e) borboleta com calota esférica Figura 5.11 - Tipos de Porcas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 188 (a) porca (b) inserção (c) pino de (d) flange de cônica. de nylon. travamento. travamento. Figura 5.12 - Montagens para travamento de porcas. Parafusos e roscas, para aplicação estrutural, devem ser selecionados de acordo com sua resistência de prova mínima, na qual o parafuso inicia um processo de deformação permanente, sendo próxima, porem inferior, ao limite de escoamento do material do parafuso. As normas que definem estes valores, para especificação destes elementos, são: SAE, ASTM, ISSO. Tabela 5.6 - Especificação SAE para Parafusos de Aço. Número de graduação SAE Faixa do diâmetro externo [in] Resistência de Prova Mínima [kpsi] Limite de Escoamento Mínimo [kpsi] Resistência a Tração Mínima [kpsi] 1 0.25-1.5 33 36 60 2 0.25-0.75 55 57 74 2 0.875-1.5 33 36 60 4 0.25-1.5 65 100 115 5 0.25-1.0 85 92 120 5 1.125-1.5 74 81 105 5.2 0.25-1.0 85 92 120 7 0.25-1.5 105 115 133 8 0.25-1.5 120 130 150 8.2 0.25-1.0 120 130 150 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 189 Tabela 5.7 - Especificação ISO para Parafusos de Aço. Número de Classe Faixa do diâmetro externo [mm] Resistência de Prova Mínima [MPa] Limite de Escoamento Mínimo [MPa] Resistência a Tração Mínima [MPa] 4.6 M5-M36 225 240 400 4.8 M1.6-M16 310 340 420 5.8 M5-M24 380 420 520 8.8 M16-M36 600 660 830 9.8 M1.6-M16 650 720 900 10.9 M5-M36 830 940 1040 12.9 M1.6-M36 970 1100 1220 5.6. JUNÇÕES PRÉ –TENSIONADAS Uma das primeiras aplicações de parafusos e porcas, é realizar a união de duas partes, em situações onde a carga aplicada gera um estado de tração no parafuso (Figura 5.13). É comum, na prática, pré-carregar a junta através do aperto do parafuso, com torque suficiente, de modo a gerar tensões de tração, cujo valor se aproxime da resistência de prova. Para montagens tensionadas estaticamente, a tensão de pré-carga chega a 90% da resistência de prova. Para montagens tensionadas dinamicamente, uma pré-carga de 75% do valor da resistência de prova pode ser utilizada. A principal função da pré-carga é que, se o parafuso não rompe durante o aperto, dificilmente romperá em serviço. A explicação deste comportamento está na interação entre a elasticidade do parafuso e a elasticidade das partes unidas. Figura 5.13 - Parafuso Montado sob Tração. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 190 Na Figura 5.14, a elasticidade dos materiais da Figura 5.13é substituída por uma mola, pois quaisquer que sejam os materiais unidos, estes apresentarão uma constante de mola equivalente, e serão comprimidos durante o aperto do parafuso. Figura 5.14 - Simulação dos vários estágios de pré-carga. Na Figura 5.14 (a) , a mola substitui os materiais unidos pela junta filetada, de modo a possibilitar um estado de compressão exagerado, para melhor visualização do fenômeno. Um peso de 100 lb é acrescentado à extremidade inferior da rosca, provocando uma contração da mola. Sob efeito da força de 100 lb, a mola se contrai, abrindo espaço entre a porca e a base, para inserção de um bloco de aço (Figura 5.14 (b)), o qual manterá a mola comprimida por 100 lb, mesmo após a retirada do peso acrescentado (Figura 5.14 (c)). A situação assim descrita, é representativa, como se somente o aperto da rosca provocasse a pré-carga de compressão de 100 lb na mola. Na Figura 5.14 (d), uma carga de 90 lb é aplicada à rosca, já pré-tensionada de 100 lb. A pré-carga no parafuso contínua de 100 lb, devido a presença da inserção de aço, que absorve as 90 lb de carga externa. Se uma carga externa de 110 lb, e não de 90 lb, for acrescentada à rosca, esta supera a pré-carga de 100 lb, comprimindo ainda mais a mola e, consequentemente, liberando a inserção de aço. A pré-carga do parafuso passa, então, a ser de 110 lb (Figura 5.14 (e)). Este esquema ilustra a importância da pré-carga, especialmente na presença de cargas externas variáveis. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 191 Figura 5.15 - Parafuso pré-tensionado, comprimindo um cilindro sujeito a cargas externas. É importante examinar previamente as cargas, as deflexões e as tensões no parafuso e no cilindro em precarga, para depois aplicar a carga externa (Figura 5.15). A constante de mola, para uma barra em tração, é dada por: δ = Fl AE (5.32) k F AE l = = δ (5.33) A junção como um todo, é composta das partes unidas, que podem ser de materiais diferentes; e do parafuso que, por sua vez, é composto de duas seções longitudinais diversas, sendo uma parte de seu comprimento lisa e a outra, filetada. Tais seções apresentam diferentes valores de rigidez, atuando como molas em série, da seguinte forma: 1 1 1 1 1 1 2 3 k k k k k total n = + + + + ... (5.34) Para um parafuso de seção circular de diâmetro d, com um comprimento filetado l t , sendo o comprimento total da junção l, a constante de mola é dada por: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 192 1 k l AE l l A E l AE l A E b t t b t b b t t b s b b = + − = + (5.35) Onde: A b é a área total da seção transversal do parafuso, e A t é a área sob tensão de tração do parafuso, sendo l s o comprimento não-filetado. Para parafusos de até 6 in de comprimento, a porção filetada é padronizada como duas vezes o diâmetro do parafuso, adicionados de mais ¼. Parafusos mais longos tem mais ¼ adicional de seu comprimento filetado. Parafusos cujo comprimento é menor que a porção padrão filetada, devem ser filetados até as proximidades de sua cabeça. Para as geometrias cilíndricas, desprezando as flanges, a constante de mola do material será: 1 4 4 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 k l A E l A E l D E l D E m m m eff eff = + = + π π (5.36) Onde: Deff é o diâmetro efetivo das áreas comprimidas. Se os materiais dos cilindros unidos forem iguais: k D E l m eff m = π 2 4 (5.37) O diâmetro efetivo é uma média entre os diâmetros aproximados das áreas do material, sucessivamente em compressão efetiva, conforme o esquema abaixo. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 193 Figura 5.16 – Estimativa do material comprimido pelo parafuso. O valor padrão de d 2 é proporcional ao diâmetro nominal do parafuso: d 2 = 2.0 d d 3 = d 2 + l.tanφ D eff = (d 2 + d 3 )/2 Para o material: ( ) [ ] A D d m eff = − π 2 2 4 5.6.1 Parafusos pré-tensionados sob Carga Estática A Figura 5.7 mostra as curvas do comportamento força-deflexão, tanto do parafuso como do material, num sistema de referência comum, cujo comprimento inicial é considerado a uma deflexão δ igual a zero. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 194 Figura 5.17 - Efeitos de pré-tensão no parafuso e no material: (a) Pré-carga e (b) Carga Aplicada. O coeficiente angular para o parafuso é positivo, pois seu comprimento aumenta com a carga aplicada. Para o material, o coeficiente angular da reta é negativo, pois sua espessura diminui com o aumento da carga externa aplicada. A rigidez do material será superior a do parafuso, pois sua área é, geralmente, maior. As forças atuantes no parafuso e no material são as mesmas, desde que estes permaneçam em contato. Para uma força de aperto F i , as deflexões δ b e δ m respondem de acordo com as constantes elásticas, atingindo os pontos A e B. Nota-se que o parafuso sofre um alongamento superior à compressão do material. Quando uma carga externa P é aplicada a esta união, uma deflexão adicional ∆δ gera uma nova situação de carregamento, de igual magnitude para o parafuso e para o material, desde que a carga externa não seja tão elevada a ponto de causar a separação entre eles. A carga no material se reduz ao valor de P m , correspondente ao ponto D da curva de coordenadas (δ m , F m ), enquanto que no parafuso, a carga aumenta para P b , correspondente ao ponto C da curva, de coordenadas (δ b ,F b ). Da Figura 5.7 (b), temos: P = P m + P b (5.38) A carga no material será: F m = F i - P m (5.39) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 195 A carga no parafuso será: F b = F i + P b (5.40) Como o material tem uma rigidez k m , superior a do parafuso k b , o primeiro suporta a maior parte da carga adicional na junção, enquanto que o parafuso sofrerá apenas uma pequena variação de alongamento, comparado ao alongamento inicial de pré-carga. Se a carga externa P for suficientemente elevada, de forma que sua componente Pm supere o aperto do parafuso, P m > F i , ocorrerá a separação da junção e o parafuso assumirá a totalidade da carga P. Tal fato motivou a recomendação do pré-tensionamento destas junções como altas porcentagens do valor da resistência de prova do parafuso. A deflexão comum entre os elementos da junção filetada é ∆δ: m m b b k P k P = = ∆δ (5.41) P k k P b b m m = (5.42) P C P k k k P b m b b ⋅ = + = (5.43) Onde: C = k k k b b m + é a constante de rigidez da junta, tipicamente menor que a unidade. Esta relação confirma o fato de que o parafuso assume somente parte da carga P. Para o material, temos uma análise análoga: ( )P C P k k k P b m m m − = + = 1 (5.44) As expressões (5.43) e (5.44) podem ser substituídas dentro de (5.39) e (5.40). ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 196 ( ) CP F F P C F F i b i m + = − − = 1 (5.45) A carga Po necessária para separar a junção,é dada para Fm = 0. ( ) P F C i 0 1 = − (5.46) O fator de segurança da junção é, portanto, uma relação entre a carga que causa separação e a carga aplicada P: ( ) C P F P P N i sep − = = 1 0 (5.47) 5.6.2 Parafusos pré-tensionados sob Carga Dinâmica O valor do pré-tensionamento é maior para sobrecargas dinâmicas, que para carga externa estática. Para o mesmo caso da Figura 5.15, consideramos a carga P variável no tempo, entre um valor mínimo P min e um valor máximo P max , ambos positivos. A Figura 5.168 mostra o diagrama de deflexão para carga flutuante. Figura 5.168 - Efeito de carga flutuante sobre o parafuso e o material da junção. Uma situação muito comum é quando o valor mínimo é nulo (P min = 0). É o caso de vasos de pressão, onde os esforços flutuam de uma carga nula até um valor máximo. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 197 Quando a componente flutuante cai a zero, o diagrama força-deformação é o da Figura 5.168 (a), com somente a componente estática F i presente no sistema. Quando a carga atinge um valor máximo, temos o comportamento da Figura 5.168 (b). A carga máxima P max é dividida entre o parafuso e o material, como no caso estático. O parafuso assume apenas parte do carregamento flutuante, enquanto que o material absorve as variações de oscilação de carga. Este comportamento reduz drasticamente a tensão de tração alternada no parafuso, enquanto que a tensão alternada de compressão no material não ocasiona falha por fadiga. As forças média e alternada no parafuso são: F F F alt b i = − 2 F F F mean b i = + 2 (5.48) Onde: F b é calculado pela expressão (5.45). As tensões média e alternada no parafuso são: σ alt f alt t K F A = σ mean fm mean t K F A = (5.49) Onde: K f é o fator de concentração de tensão em fadiga para o parafuso e K fm é o fator de concentração de tensão médio, assumindo valor unitário para parafusos pré-tensionados. A tensão devido à força de aperto é: σ i fm i t K F A = (5.50) Tabela 5.8 - Fatores de Concentração de Tensão em Fadiga para Parafusos. Dureza Brinell Graduação UNS Classe ISO K f Filete Rolado K f Filete Usinado K f Filetado <200 ≤ 2 ≤ 58 . 2.2 2.8 2.1 >200 ≥ 4 ≥ 6 6 . 3.0 3.8 2.3 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 198 As tensões, assim calculadas, devem ser plotadas e comparadas no diagrama de Goodmann modificado. Para tanto, a resistência à fadiga deve ser corrigida para um acabamento superficial usinado e confiabilidade 99%, e para carga axial C carga = 0.70. O fator de segurança em fadiga é aquele que considera a variação das tensões média e alternada, mantendo uma proporção constante entre as mesmas σ a / σ m = cte. O valor da pré- tensão deve ser considerado no fator de segurança, atuando a favor do parafuso. ( ) ( ) N S S S S f e ut i e m i ut a = − − + σ σ σ σ (5.51) 5.7. CENTRÓIDES DE JUNÇÕES SOLICITADAS POR CISALHAMENTO Parafusos são também utilizados para resistir a esforços cortantes, apesar desta aplicação ser mais comum em projetos estruturais que em projetos de máquinas. Estruturas metálicas de construções e pontes são, geralmente, unidas por parafusos de alta resistência e pré-tensionados (ou ainda, uniões soldadas ou rebitadas). No projeto de máquinas, onde são exigidas tolerâncias mais estreitas, não é de boa prática utilizar uniões por parafusos para suportar partes de máquinas sujeitas ao cisalhamento. Os furos para inserção de parafusos são, necessariamente, realizados com uma certa folga de montagem. Se duas placas, sujeitas ao cisalhamento, são unidas por quatro parafusos, tais folgas não permitirão uma distribuição uniforme da carga nos quatro parafusos. Provavelmente, apenas dois parafusos sustentariam toda a carga, enquanto os demais não estariam em contato adequado com o material. A solução ideal, em projeto de máquinas, é a combinação de parafusos de fixação com pinos rebitados (dowel pins), cuja folga de montagem é mínima, garantindo excelente precisão de montagem transversal, e capacidade de carga, em cisalhamento, muito elevada. Assim, os parafusos sustentariam, prevalentemente, as cargas de tração, enquanto os pinos rebitados sustentariam as cargas de cisalhamento. A montagem ideal, para estes casos, é a da Figura 5.179. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 199 Figura 5.179 - Junção parafusada e com pinos de precisão em cisalhamento. Pinos de precisão apresentam tolerâncias muito estreitas, da ordem de in 0001 . 0 ± de variação proporcional ao diâmetro, com acabamento superficial fino e geometria cilíndrica. Sua dureza é da ordem de 40-48 HRC. Estes componentes são, geralmente, ajustados sob pressão na parte inferior da junção, sendo introduzido com tolerância muito pequena na parte superior. Os furos para os pinos são realizados com diâmetro inferior, servindo apenas para direcionar a montagem. Assim, a montagem tem a vantagem da precisão de posicionamento, sem perder a possibilidade da desmontagem e remontagem igualmente precisa. Para um arranjo geométrico de um grupo de junções, é necessária a localização do centróide do grupo para proceder com a análise de esforços. As coordenadas para o centróide são: ~ ~ x Ax A y Ay A i i n i n i i n i n = = ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 1 1 (5.52) Onde: n é o número de junções, i está associado a uma determinada junção, A i é a área da seção transversal da i-ésima junção, e (x i , y i ) são as coordenadas das junções. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 200 Determinação do Cisalhamento nas junções A Figura 5.20 mostra uma junção em cisalhamento com uma carga excêntrica aplicada. Figura 5.20 - Junção em cisalhamento, excentricamente carregada. Assume-se que os quatro pinos de precisão suportarão toda carga de cisalhamento. O carregamento excêntrico P pode ser substituído por uma carga P atuando no centróide da junção, associada a um momento M em torno do mesmo centróide (Figura 5.21). Figura 5.181 - Análise de Esforços numa Junção Excentricamente Carregada. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO V 201 A força P, transferida ao centróide, gera reações iguais (F 1 ) em cada pino. Uma segunda força, de igual magnitude (F 2 ), atua em cada pino, devido ao momento fletor, em diferentes direções. F P n i 1 = (5.53) ∑ ∑ = = = = n j j i n j j i i r Plr r Mr F 1 2 1 2 2 (5.54) A força total F i , em cada pino, será a soma vetorial das forças F 1i e F 2i . A tensão de cisalhamento é dada por: τ s s F A = (5.55) A tensão de cisalhamento será comparada a resistência ao cisalhamento do material, S ys = 0.577S y , conforme Tabela 5.9. Tabela 5.9 - Resistência ao Cisalhamento para Pinos de Precisão. MATERIAL S ys [kpsi] Aço baixo-carbono 50 Aço 40-48HRC 117 Aço resistente a corrosão 83 Latão 40 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 201 CAPÍTULO VI MOLAS 6.1. INTRODUÇÃO Virtualmente, qualquer parte feita de um material elástico tem uma certa rigidez. O termo mola, no contexto deste capítulo, refere-se às peças feitas em configurações específicas para promover uma variação de força, correspondente à uma deflexão significativa, e/ou para armazenar energia potencial. Molas são projetadas para promover uma força que puxa, empurra ou retorce (torque), ou para armazenar energia, e podem ser divididas nestas quatro categorias gerais. Dentro de cada categoria, muitas configurações de molas são possíveis. As molas devem ser feitas de um arame circular ou retangular inclinado em uma forma própria, tal como um enrolamento; ou ainda planas carregadas como uma viga. Muitas configurações padronizadas de molas estão disponíveis, como itens de estoque, em catálogos de fabricantes de molas. É mais econômico para o projetista, utilizar uma mola disponível no estoque do que projetar uma mola, caso seja possível. Algumas vezes, é necessário projetar a mola. Molas projetadas sob encomenda realizam funções secundárias, como a localização e a fixação de outras peças. Em qualquer um dos casos, o projetista deve compreender e utilizar devidamente a teoria de projeto de molas para especificar ou projetar a mola. A tabela 6.1 mostra as variáveis utilizadas neste capítulo e suas respectivas unidades. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 202 Tabela 6.1 - Nomenclatura e Simbologia. Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI A área in 2 m 2 C carga fator de carregamento adimensional adimensional C conf fator de confiabilidade adimensional adimensional C tam fator de tamanho ou dimensões adimensional adimensional C sup fator de acabamento superficial adimensional adimensional C temp fator de temperatura adimensional adimensional C índice de rigidez da mola adimensional adimensional d diâmetro do arame in m Di diâmetro interno in m Do diâmetro externo in m D diâmetro médio da espira in m E módulo de Young psi Pa F força ou carga lb N F a força alternada lb N F i força de pre-carga inicial lb N F m força média lb N F max força máxima flutuante lb N F min força mínima flutuante lb N fn freqüência natural Hz Hz h altura do cone in m g aceleração da gravidade in / s 2 m/ s 2 G modulo de cisalhamento psi Pa k constante de mola lb / in N / m k b rigidez do parafuso lb / in N / m K b fator de Wahl-flexão adimensional adimensional Kc fator de curvatura adimensional adimensional Ks fator de cisalhamento direto adimensional adimensional K w fator de Wahl-torção adimensional adimensional L b comprimento do corpo-mola de extensão in m L f comprimento livre-mola de compressão in m L max comprimento da espira in m L s altura mínima-mola de compressão in m ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 203 M momento lb-in N-m N número de ciclos adimensional adimensional Nfs fator de segurança em fadiga-torção adimensional adimensional N t numero total de espiras adimensional adimensional Na numero de espiras ativas adimensional adimensional Nfb fator de segurança em fadiga-flexão adimensional adimensional Ns fator de segurança em escoamento estático adimensional adimensional r raio in m R razão de tensão adimensional adimensional R d razão de diâmetro adimensional adimensional R F razão de força adimensional adimensional S es , , Se limite de resistência a fadiga para torção e flexão psi Pa S fs , Sf resistência a fadiga para torção e flexão psi Pa S fw , S ew resistência a fadiga torcional do arame psi Pa S fwb ,S ewb resistência a fadiga por flexão do arame psi Pa Sy limite de resistência ao escoamento psi Pa S ms resistência média torcional a 1000 ciclos psi Pa S ut máxima resistência a tração psi Pa S us máxima resistência ao cisalhamento psi Pa S ys limite de resistência ao escoamento por cisalhamento psi Pa t espessura in m T torque lb-in N-m y deflexão in m W peso lb N υ coeficiente de Poisson adimensional adimensional θ deflexão angular-torção rad rad γ densidade de peso lb / in 3 N / m 3 ω n freqüência natural rad/s rad/s σ tensão normal psi Pa τ tensão de cisalhamento psi Pa ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 204 6.1.1 Rigidez da Mola Independentemente da configuração da mola, ela terá uma rigidez k, definida como a inclinação da sua curva força-deflexão. Se a inclinação for constante, a rigidez pode ser definida como: y F k = (6.1) Onde: F é a força aplicada e y a deflexão. Como a função de deflexão pode sempre ser determinada para qualquer geometria e carregamento conhecidos, e sendo a função de deflexão expressa como uma relação entre a carga aplicada e a deflexão, esta pode ser sempre rearranjada algebricamente para expressar k conforme (6.1). A rigidez da mola pode ser um valor constante (mola linear) ou pode variar com a deflexão (mola não-linear). Ambas têm suas aplicações, mas, freqüentemente, deseja-se uma mola linear para melhor controlar a carga aplicada. Muitas configurações de mola possuem rigidez constante, e poucas possuem rigidez nula (força constante). Quando várias molas são combinadas, a rigidez resultante depende da montagem das molas ser em série ou em paralelo. Nas combinações em série, a mesma força passa por todas as molas, e cada uma contribui com uma fração da deflexão total, como mostrado na figura 6.1(a). Nas molas em paralelo, todas apresentam a mesma deflexão, e a força total divide-se entre cada uma das molas, conforme a figura 6.1 (b). Figura 6.1 - Montagens de Molas (a) em série e (b) em paralelo. k 3 k 2 k 1 x 3 x 2 x 1 F k 1 k 2 x F 1 + F 2 + F 3 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 205 Para molas em paralelo, a rigidez de cada uma das molas é adicionada diretamente: k TOTAL = k 1 + k 2 + k 3 + ... + k n (6.2) Para molas em série, a rigidez de cada uma das mola é adicionada reciprocamente: 1 1 1 1 1 1 2 3 k k k k k total n = + + + + ... (6.3) 6.1.2 Configurações de Molas Molas podem ser divididas em categorias de diversas formas, como através de sua configuração física. A Figura 6.2 mostra uma seleção de configurações de molas. As formas das molas de arame podem ser em compressão, tração, ou torção helicoidal. Exemplos de molas planas são as cantoneiras, ou vigas apoiadas. Molas em forma de arruela são disponíveis em vários estilos: mola prato, curva, ondulada, com garras, com fendas, etc. Molas espirais são encontradas em motores de relógios, ou molas de força constante. A figura 6.2 (a) mostra cinco formas de molas helicoidais de compressão. Todas proporcionam uma força que empurra e são capazes de largas deflexões. Aplicações comuns são molas de retorno de válvula em motores. A forma padrão de molas helicoidais de compressão tem um diâmetro de enrolamento constante, passo constante (distância axial entre os enrolamentos), e rigidez constante. A maioria das molas é feita de arame circular, podendo ser também fabricadas em arame retangular. O passo pode ser variado, gerando uma rigidez variável. Os enrolamentos de razão mais baixa se fecham primeiro, aumentando a rigidez efetiva quando se tocam. Molas cônicas podem ser feitas com uma rigidez constante, ou uma rigidez que aumenta gradativamente. Sua rigidez usualmente é linear, aumentando com a deflexão, pois os enrolamentos de menor diâmetro têm maior resistência à deflexão, enquanto que os enrolamentos maiores sofrem deflexão primeiro. Variando o passo do enrolamento, pode-se obter uma rigidez quase constante. A principal vantagem da forma cônica é a de se fechar com uma altura tão pequena como o diâmetro do arame. Molas em forma de barril e em forma de ampulheta podem ser entendidas como duas molas cônicas, postas uma contra a outra, apresentando também uma rigidez não-linear. Tais formas são usadas para alterar a freqüência natural da mola no formato padrão. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 206 A figura 6.2 (b) mostra uma mola helicoidal de tração, com um gancho em cada extremidade, proporcionando uma força que puxa ou traciona, e capaz de grandes deflexões. Estas molas são comumente utilizadas em mecanismos de fechar portas. O gancho é mais solicitado que as espiras e, geralmente, falha primeiro. Qualquer elemento suspenso pelo gancho falhará quando a mola de extensão quebrar, fazendo deste tipo de mola um projeto potencialmente inseguro. A figura 6.2 (c) mostra uma mola do tipo barras invertidas, que supera tal problema através da utilização de uma mola helicoidal de compressão em modo de tração. As barras invertidas comprimem a mola, e caso esta quebre, ainda suportará a carga com segurança. A figura 6.2 (d) mostra uma mola helicoidal de torção, que é enrolada de modo similar à mola helicoidal de tração, sendo, porém, solicitada em torção (torque). Aplicações comuns são portas de garagem e ratoeiras. A figura 6.2 (e) mostra cinco tipos comuns de molas do tipo arruela. Todas trabalham em compressão, e são comumente utilizadas para solicitar algum elemento axialmente, tal como encurtar o jogo de extremidade em um mancal. Têm deflexões pequenas e, exceto pela mola prato, podem somente suprir pequenas cargas. A mola espiral, mostrada na figura 6.2 (f), trabalha em compressão, apresentando, porém, atrito significativo e histerese. A figura 6.2 (g) mostra três tipos de molas do tipo viga. Qualquer tipo de viga pode servir como uma mola. Cantoneiras e vigas simplesmente apoiadas são as mais comuns. Uma viga pode ter largura constante, ou forma trapezoidal, conforme o exemplo. A rigidez e a distribuição dos esforços podem ser controladas com mudanças na largura da viga, ou em seu comprimento. Os carregamentos podem ser altos, mas as deflexões são limitadas. A figura 6.2 (h) mostra um tipo de mola de potência, também chamada mola de motor ou mola de relógio. É basicamente utilizada para armazenar energia e promover torção. Relógios de corda e brinquedos utilizam este tipo de mola. A 6.2 (i) mostra uma mola de força constante (Negátor) usada para contrabalancear carregamentos, como no retorno do carro, em máquinas de escrever, e para fazer motores de corda com torque constante. Proporcionam grandes deflexões com uma força quase constante (rigidez nula). ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 207 Rigidez Constante Rigidez Variável Forma de Barril Forma de Ampulheta Helicoidal Cônica (a) Molas Helicoidais de Compressão. (b) Mola Helicoidal de Tração (c) Mola de Barras Invertidas (d) Mola de Torção Mola Prato Ondulada Com fendas Com garras Curva (e) Molas Tipo Arruela. (f) Mola Espiral. (g) Mola Plana Tipo Viga. (h) Mola de Motor ou de Potência. (i) Mola de Força Constante. Figura 6.2 - Principais configurações de molas. 6.1.3 Materiais para Molas Há um número limitado de materiais e ligas utilizáveis para a fabricação de molas. O material ideal para uma mola deve apresentar elevada resistência, alto limite de escoamento, e um baixo módulo de elasticidade, para proporcionar máximo armazenamento de energia (área sob a região elástica da curva tensão- deformação). Para molas solicitadas dinamicamente, as propriedades de resistência à fadiga do material são de importância básica. Alta resistência e alto ponto de escoamento são possíveis para aços de médio a alto carbono e para ligas de aço, ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 208 sendo que estes são os materiais mais comuns para molas, apesar de seu alto módulo de elasticidade. Algumas poucas ligas de aço inoxidável são usadas para molas, assim como berílio-cobre e fósforo-bronze, entre as ligas de cobre. A maior parte das molas de baixa solicitação é feita de arame conformado a frio, circular, retangular, ou de lâminas finas laminadas a frio. Molas de elevada solicitação, como partes de suspensão de veículos, são feitas a partir de material laminado a quente ou forjado. Materiais para molas são normalmente tratados termicamente, para atingir a resistência desejada. Pequenas seções transversais são endurecidas durante o processo de conformação a frio. Seções largas são tipicamente tratadas termicamente. Tratamentos térmicos de baixa temperatura (175-510° C) são utilizados após a conformação, para aliviar tensões residuais e estabilizar as dimensões, mesmo em regiões de pequena seção. Tratamentos de alta temperatura e têmpera são utilizados para endurecer molas maiores. Arame para Mola Arame circular é, seguramente, o material mais comum para molas. É disponível em uma seleção de ligas, em uma faixa extensa de diâmetros. Arame retangular é disponível somente em tamanhos limitados. Os diâmetros de arame, comumente disponíveis em estoque, são mostrados na tabela 6.2, com uma identificação das faixas disponíveis para as ligas de aço mais comuns, identificadas pelo código ASTM. O projetista deve tentar utilizar estes padrões, para melhor custo e disponibilidade, embora outros também sejam fabricados. Tabela 6.2 - Diâmetros de Arame mais comuns. Ips (in) A228 A229 A227 A232 A401 SI (mm) 0,004 X 0,10 0,005 X 0,12 0,006 X 0,16 0,008 X 0,20 0,010 X 0,25 0,012 X 0,30 0,014 X 0,35 0,016 X 0,40 0,018 X 0,45 0,020 X X 0,50 0,022 X X 0,55 0,024 X X 0,60 0,026 X X 0,65 0,028 X X X 0,70 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 209 0,030 X X X 0,80 0,035 X X X X 0,90 0,038 X X X X 1,00 0,042 X X X X 1,10 0,045 X X X X 0,048 X X X X 1,20 0,051 X X X X 0,055 X X X X 1,40 0,059 X X X X 0,063 X X X X X 1,60 0,067 X X X X X 0,072 X X X X X 1,80 0,076 X X X X X 0,081 X X X X X 2,00 0,085 X X X X X 2,20 0,092 X X X X X 0,098 X X X X X 2,50 0,105 X X X X X 0,112 X X X X X 2,80 0,125 X X X X X 3,00 0,135 X X X X X 3,50 0,148 X X X X X 0,162 X X X X X 4,00 0,177 X X X X X 4,50 0,192 X X X X X 5,00 0,207 X X X X X 5,50 0,225 X X X X X 6,00 0,250 X X X X X 6,50 0,281 X X X X 7,00 0,312 X X X X 8,00 0,343 X X X X 9,00 0,362 X X X X 0,375 X X X X 0,406 X X X 10,0 0,437 X X X 11,0 0,469 X X 12,0 0,500 X X 13,0 0,531 X X 14,0 0,562 X X 15,0 0,625 X X 16,0 ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 210 Resistência à Tração A relação entre o diâmetro do arame e a resistência à tração é mostrada na figura 6.3. Quando os materiais têm uma seção transversal muito pequena, começam a se aproximar dos altos níveis teóricos de resistência de suas ligações atômicas. Logo, a resistência à tração de arames de aço muito finos torna-se muito elevada. O mesmo aço que rompe a 200.000 PSI, em uma amostra de 0,3 in (7,4 mm) de diâmetro, pode suportar quase duas vezes esta carga, após ser trefilado para 0,010 in (0,25mm). O processo de conformação à frio é responsável por endurecer e aumentar a resistência do material, ao custo de grande parte de sua ductilidade. A figura 6.3 é um gráfico semi-log da resistência do arame vs. o diâmetro, baseado em extensivos testes da Associated Spring, Barnes Group Inc. Figura 6.3 - Resistência Mínima de tração para arames de molas. Os dados, para cinco dos materiais mostrados na figura, podem ser ajustados com boa precisão através de uma função exponencial na forma: S A d ut b = . (6.4) Diâmetro do Arame (in) Diâmetro do Arame (mm) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 211 Onde: A e b são definidos na Tabela 6.3 para estes materiais de arames, sobre as faixas especificadas de diâmetros. Estas funções empíricas proporcionam meios convenientes de se calcular a resistência à tração para aços, num programa de computador para projeto de molas, e permite rápidas iterações para a solução apropriada. A figura 6.4 mostra um gráfico destas funções de resistência empíricas, para mostrar, em eixos lineares, a mudança na resistência com a redução do diâmetro. Figura 6.4 - Resistência a Tração Mínima para Arames de Aço. Tabela 6.3 - Coeficientes para Equação (6.4). FAIXA Coeficiente A ASTM Material mm in b MPa psi Correlação A227 trabalhado a frio 0,5-16,0 0,020- 0,625 -0,1822 1753,3 141040 0,998 A228 corda musical 0,3-6,0 0,010- 0,250 -0,1625 2153,5 184649 0,9997 A229 Tempera- do e revenido em óleo 0,5-16,0 0,020- 0,625 -0,1833 1831,2 146780 0,999 A232 Cromado 0,5-12,0 0,020- 0,500 -0,1453 1909,9 173128 0,998 A401 Cromado 0,8-11,0 0,031- 0,437 -0,0934 2059,2 220779 0,991 Diâmetro do Arame (mm) Diâmetro do Arame (in) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 212 Resistência ao Cisalhamento Testes práticos determinaram uma estimativa razoável da resistência a torção, de materiais comuns para molas, de 67% da resistência à tração. S us ≈ 0,67 S ut (6.5) 6.1.4 Molas Planas Lâminas de aço de médio e alto carbono são o material mais comumente utilizado para molas planas (vigas), molas espirais, molas de potência, molas do tipo arruela, etc. Quando resistência à corrosão é necessária , ligas de aço inoxidável (301, 302, e 17-7ph), berílio- cobre, ou fósforo-bronze, são também utilizadas para molas planas. Aço laminado à frio AISI 1050, 1065, 1074 e 1095 são as ligas mais utilizadas para molas planas. Estão disponíveis, submetidas à pre-tempera, em um endurecimento de ¼ , ½ , ¾ ou total. Aço totalmente endurecido pode ser modelado em contornos suaves, mas não podem ser curvados com pequenos raios. A vantagem de modelar aço pré-tratado é evitar a distorção, provocada pelo tratamento térmico, da parte modelada. O processo de laminação à frio cria “fibras” no material, análogas (embora menos pronunciadas ) às fibras da madeira. Assim como a madeira se rompe, se forçada ao longo de suas fibras, o metal não permite espiras de pequenos raios ao longo de suas “fibras”. As fibras se formam na direção de laminação, o que, para este tipo de mola, é ao longo do eixo axial. Se espiras ortogonais são necessárias, as fibras devem ser orientadas a 45° em relação as espiras. Um fator de enrolamento adimensional 2r/t (onde r é o raio da espira e t a espessura do material da mola) é definido, para indicar a conformabilidade relativa do material utilizado. Baixos valores de 2r/t indicam alta conformabilidade. Aço com endurecimento total ou de ¾, irá fraturar se fletido ao longo das fibras. Aço para a fabricação de molas planas é produzido com uma dureza especifica, que se relaciona a sua resistência a tração. Qualquer dos níveis de carbono, notificados nos aços para molas AISI, podem ser endurecidos para valores dentro de uma faixa permitida, o que significa que a dureza final, mais do que a quantidade de carbono, é o fator determinante para a resistência a tração. A tabela 6.4 mostra valores de resistência, dureza, e fatores de enrolamento, para alguns materiais comuns para molas planas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 213 Tabela 6.4 - Propriedades dos Materiais para Molas Planas. Material Sut MPa (kpsi) Dureza RC Alongamento % Fator de Flexão E GPa(Mpsi) Coeficiente de Poisson Aço p/mola 1700(246) C50 2 5 207(30) 0,30 Inoxidável 301 1300(189) C40 8 3 193(28) 0,31 Inoxidável 302 1300(189) C40 5 4 193(28) 0,31 Monel 400 690(100) B95 2 5 179(26) 0,32 Monel K500 1200(174) C34 40 5 179(26) 0,29 Inconel 600 1040(151) C30 2 2 214(31) 0,29 Inconel X-750 1050(152) C35 20 3 214(31) 0,29 Berilio- Cobre 1300(189) C40 2 5 128(18.5) 0,33 Ni-Span-C 1400(203) C42 6 2 186(27) - Latão CA260 620(90) B90 3 3 11(1.6) 0,33 Fosforo- Bronze 690(100) B90 2 2.5 103(15) 0,20 17-7PH RH950 1450(210) C44 6 plano 203(29.5) 0,34 17-7PH Cond.C 1650(239) C46 1 2.5 203(29.5) 0,34 A figura 6.5 mostra o raio mínimo de flexão que o aço para molas planas pode suportar, transversalmente às fibras. Três faixas de resistências para aços são mostradas, como bandas que dependem da espessura e da dureza do material. As linhas horizontais representam o raio mínimo de flexão, para a dureza do aço numa certa espessura. Interpolação de valores pode ser feita entre as linhas ou bandas. 6.1.4.1 Feixe de Molas As molas planas têm como configuração mais comum, o feixe de molas; sendo, geralmente, montadas como vigas apoiadas, nas formas: um quarto de elipse, semi-elíptica, ou ainda, totalmente elíptica. Uma leve curvatura é necessária na montagem, principalmente para a montagem elíptica. O elemento básico deste tipo de mola plana, é a viga de comprimento L, engastada numa das extremidades, com uma forca F aplicada na extremidade livre. As demais ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 214 configurações são combinações da forma básica. A forma semi-elíptica é uma montagem em paralelo de dois elementos básicos (uma quarto de elipse). A elipse completa é uma montagem de quatro formas básicas, num arranjo série-paralelo. Figura 6.5 - Razão de flexão mínima transversal. 3 3 3 6 6 Ebh FL bh FL = = δ σ 3 3 3 6 6 Ebh FL bh FL = = δ σ 3 3 2 12 6 Ebh FL bh FL = = δ σ (a) ¼ de elipse (b) semi - elíptica (c) elíptica Figura 6.6 - Formas Principais de Molas Planas. L F L L F F 2F 2F L L 2F E s p e s s u r a ( i n ) E s p e s s u r a ( m m ) Dureza Rochwell HRC ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 215 Uma outra configuração, de ampla aplicação pratica, é a mola plana com distribuição de tensão constante na seção da viga. A figura 6.7 mostra uma viga de tensão constante, com largura ω (x) e espessura t (x), variáveis ao longo da viga. 2 6 t Fx I Mc ω σ = = Figura 6.7 - Viga de tensão constante. Para que as tensões de flexão sejam uniformes, ao longo da mola de espessura h constante, a largura w(x) deve variar linearmente com x, resultando num perfil superior de forma triangular (figura 6.8 (a)). Sob o mesmo ponto de vista, para uma largura b constante, a espessura t(x) deve variar parabolicamente com x (figura 6.8 (b)). Figura 6.8 - Viga de tensão constante: (a) triangular, (b) parabólica. Por outro lado, a tensão constante pode ser obtida pela variação de ambos os parâmetros w (x) e t (x), conceito este aplicado aos feixes de molas para automóveis. L x b h t ω F L b h F (a) h b L F (b) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 216 Figura 6.9 - Feixe de Molas. Para o caso acima, em montagem semi - elíptica: 3 3 3 2 6 2 e 6 Ebh FL EI FL bh FL = = = δ σ (6.6) A constante de rigidez será: 3 3 6L Ebh F k = = δ (6.7) 6.2. MOLAS HELICOIDAIS DE COMPRESSÃO A mola helicoidal de compressão mais comum é a de diâmetro de espiras constante, passo constante e arame circular, conforme mostrado na figura 6.2 (a). Considera-se este tipo como a mola helicoidal de compressão padrão (HCS). Outras configurações são possíveis, como cônicas, em forma de barril, em forma de ampulheta, e de passo variável, conforme figura 6.2. Todas proporcionam uma força que comprime, ou empurra, o elemento associado. Uma mola helicoidal pode ter a orientação do enrolamento tanto esquerda como direita. Alguns tipos de molas, e parâmetros dimensionais para uma mola helicoidal de compressão padrão, são mostradas na figura 6.10. O diâmetro do arame é d, o diâmetro médio da espira é D, e estas duas dimensões, juntamente com o comprimento livre L f e o número de b Mola Plana Triangular Feixe de Molas Equivalente b/ n 1 n 1 n 1 n ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 217 espiras N f , ou o passo das espiras p, são usados para definir a geometria da mola, com propósitos de cálculo e construção. O diâmetro externo D o e o diâmetro interno D i são de interesse básico para definir a dimensão mínima do furo no qual o componente pode ser encaixado, ou o diâmetro máximo do pino, sobre o qual a mola pode ser montada. Estas dimensões são encontradas, adicionando ou subtraindo o diâmetro do arame d do diâmetro médio das espiras D. As folgas diametrais mínimas recomendadas entre D o e um furo, ou entre D i e um pino, são 0,10 D para D < 0,5 in (13 mm) ou 0,05 D para D > 0,5 pol (13 mm). Número de espiras = Nt (a) L f D D o D d p (b) Figura 6.10 - Parâmetros Dimensionais para Molas Helicoidais de Compressão. 6.2.1 Comprimento da Mola Molas de compressão têm muitos comprimentos e deflexões de interesse, como mostrado na figura 6.11. O comprimento livre L f é o comprimento total da mola sem carga, ou seja, como fabricada. O comprimento montado L a é o comprimento após a instalação, com a deflexão inicial y inicial . Esta deflexão inicial, em combinação com a rigidez da mola k, determina a intensidade da pré-carga de montagem. A carga de trabalho é aplicada com a compressão posterior da mola, na faixa de deflexão de trabalho y. O comprimento mínimo de trabalho L m é a menor dimensão na qual a mola é comprimida durante o serviço. A altura de fechamento, ou altura sólida L s , é o seu comprimento quando comprimida de tal modo que as espiras estejam em contato. O contato permitido y contato é a diferença entre o comprimento mínimo de trabalho (L m ) e a altura de fechamento (L s ), expresso como uma porcentagem da deflexão de trabalho. Um contato mínimo, de 10-15% da deflexão de trabalho y, é recomendado, para evitar a altura de fechamento durante o serviço, em molas fora de tolerância, ou com deflexões excessivas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 218 Figura 6.11 - Comprimentos de uma Mola Helicoidal de Compressão. 6.2.2 Detalhes de Construção das Extremidades Há quatro tipos de detalhes finais, disponíveis para molas helicoidais de compressão: plana, plana nivelada, quadrada, e quadrada nivelada, conforme mostrado na figura 6.12. Extremidades retas resultam de simplesmente cortar as espiras, e deixar as extremidades com o mesmo passo que o restante da mola. Este é o detalhe final mais barato, porém proporciona um alinhamento deficiente com a superfície contra a qual a mola é pressionada. As espiras das extremidades podem ser planas e perpendiculares ao eixo axial da mola, para proporcionar superfícies normais para a aplicação de carga. Uma superfície plana na extremidade do enrolamento, de pelo menos 270°, é recomendada para operação adequada. Extremidades quadradas e usinadas, proporcionam uma superfície plana de 270-330° para a aplicação de carga. É o processo de acabamento mais caro, sendo, entretanto, recomendado para molas de máquinas, a não ser que o diâmetro do arame seja muito pequeno (d < 0,02 in ou 0,5 mm), quando as extremidades devem ser apenas quadradas. Figura 6.12 - Acabamento para Molas Helicoidais de Compressão. Comprimento Livre de Montagem de Trabalho Mínimo Sem Carga Pré-Carga Carga Máxima Carga Indefnida N a = N t N a = N t – 1 N a = N t – 2 N a = N t – 2 (a) (b) (c) (d) Extremidades Planas Planas Niveladas Quadradas Planas Quadradas ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 219 6.2.3 Espiras Ativas O número de espiras N t pode ou não contribuir ativamente para a deflexão da mola, dependendo do acabamento da extremidade. O número de espiras ativas N a é necessário para os propósitos de cálculo. Extremidades quadradas efetivamente removem duas espiras da deflexão ativa. A usinagem, por si mesma, remove uma espira ativa. A figura 6.12 mostra a relação entre o número total de espiras N t e o número de espiras ativas N a , para cada uma das quatro condições relativas às extremidades. O número calculado de espiras ativas é, usualmente, arredondados para múltiplos de ¼ de espiras, já que o processo de fabricação não pode atingir precisão melhor. 6.2.4 Índice de Mola O índice de mola C é a razão entre o diâmetro médio da espira D, e o diâmetro do arame d: C = D / d (6.8) A faixa recomendável de C é de 4 a 12. Para C < 4, é difícil construir a mola, e para C > 12, as espiras da mola podem se emaranhar. 6.2.5 Deflexão da Mola A figura 6.13 mostra uma porção de mola helicoidal, com carga axial compressiva aplicada. Embora a carga sobre a mola seja de compressão, o arame está em torção, já que a carga em qualquer espira tende a torcer o arame sobre seu eixo. Um modelo simplificado deste carregamento, desprezando a curvatura do arame, é uma barra em torção. Uma mola helicoidal em compressão é, na verdade, uma barra em torção, acomodada numa forma helicoidal. A deflexão de uma mola helicoidal de compressão, de arame circular, é: y F D N d G a = 8 3 4 . . . . (6.9) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 220 Onde: F é a carga axial aplicada na mola, D é o diâmetro médio das espiras, d é o diâmetro do arame, N a é o número de espiras ativas, e G é o módulo de elasticidade transversal do material. D 2 F T F d F T F Figura 6.13 - Diagrama de Forças e Torques nas Espiras. 6.2.6 Rigidez da Mola A equação para a rigidez da mola é encontrada rearranjando a equação da deflexão: k F y d G D N a = = 4 3 8 . . . (6.10) A mola helicoidal de compressão padrão tem uma rigidez k essencialmente linear, sobre a maior parte de sua faixa de operação, conforme figura 6.14. Quando a mola atinge sua altura de fechamento L s , todas as espiras estão em contato, e a rigidez da mola aproxima-se do módulo de elasticidade do material. A rigidez da mola deve ser definida entre 15% e 85% de sua deflexão total, e sua faixa de deflexão de trabalho (L a -L m ) , mantida nesta região. Força %Deflexão y k 0 15 85 100 Figura 6.14 - Curva Força X Deflexão. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 221 6.2.7 Esforços em Molas Helicoidais de Compressão O diagrama de corpo livre, mostrado na figura 6.13, ilustra duas componentes de solicitação, em qualquer seção de uma espira: uma tensão de cisalhamento torcional, devido ao torque T, e uma tensão de cisalhamento direto, devido à força F. Ambas componentes de cisalhamento têm distribuições através das secções, como mostrado na figura 6.15 (a) e (b). (a) Dist ribuição de Tensão para Cisalhament o por Esforco Cort ant e. (b) Distribuição de Tensão de Cisalhamento por Torção. (c) Tensão Combinada de Torção e Cisalhament o por Esforco Cort ant e. (d) Efeit o de Concent ração de Tensão no Diamet ro Int erno. Figura 6.15 - Distribuição de Tensão na Seção do Arame. As componentes se adicionam diretamente, e a máxima tensão de cisalhamento ocorre na fibra interna da seção transversal do arame, como mostrado na figura 6.15 (c). ( ) ( ) τ max Tr J F A F D d d F d F D d F d = + = + = + . / . / . / . / . . . . . 2 2 32 4 8 4 4 2 3 2 Π Π Π Π (6.11) Pode-se substituir a expressão, para o índice de mola C, na equação 6.11: + Π = + Π = Π + = Π + Π = C , d . D . F . C . d . C . F . d . F . C . F . d . F . d . C . F . max 5 0 1 8 2 1 1 8 4 8 4 8 3 2 2 2 2 τ τ max s K F D d = . . . . 8 3 Π (6.12) Onde: + = C , K s 5 0 1 Esta manipulação coloca o termo de cisalhamento direto da equação 6.12, como um fator de cisalhamento K s . As duas equações são idênticas em valor, mas a segunda é mais aplicada. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 222 Se o arame fosse reto, e estivesse sujeito à combinação da força de cisalhamento F e do torque T, a equação 6.12 seria a solução exata. Contudo, o arame é curvado em uma espira. Sabe-se que vigas curvas tem uma concentração de esforços na superfície interna da curvatura. Wahl determinou o fator de concentração de tensões para esta aplicação, e definiu um fator K w que inclui os efeitos do cisalhamento direto, bem como a concentração de tensões devido à curvatura. C , C . C . K w 615 0 4 4 1 4 + − − = (6.13) τ max w K F D d = . . . . 8 3 Π (6.14) A distribuição de tensão de cisalhamento combinada é mostrada na figura 6.15 (d). Desde que o fator de Wahl, K w , inclui ambos os efeitos, pode-se separá-lo em um fator de curvatura K c e um fator de cisalhamento direto K s , utilizando: K K K w s c = . K K K c w s = (6.15) Se uma mola é solicitada estaticamente, então o escoamento é o critério de falha. Se o material escoa, irá aliviar a concentração local de tensões, devido ao fator de curvatura K c , e a equação 6.12 pode ser usada para considerar o cisalhamento direto. Mas, se a mola é solicitada dinamicamente, então a falha será por fadiga, em tensões abaixo do ponto de escoamento (e a equação 6.14 deve ser aplicada), incorporando os efeitos do cisalhamento direto e da curvatura. Em caso de solicitação por fadiga, com componentes média e alternada, a equação 6.12 pode ser usada para calcular a componente média do esforço, e a equação 6.14, usada para a componente alternada. 6.2.8 Esforços Residuais Quando um arame é enrolado em forma de espira, esforços residuais de tração desenvolvem-se na superfície externa, e esforços residuais de compressão desenvolvem-se na ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 223 superfície interna. Nenhum destes esforços residuais é benéfico, podendo ser removidos, aliviando, assim, as tensões na mola. Pré-assentamento (setting): Esforços residuais benéficos podem ser introduzidos por um processo chamado de pré-assentamento pelos fabricantes. Este processo pode aumentar a capacidade estática de 45 a 65%, e dobrar a capacidade de armazenamento de energia da mola por lb de material. Comprime-se a mola até sua altura de fechamento, escoando o material para alivio de tensões, introduzindo esforços residuais benéficos. Para tanto, deve-se supersolicitar (escoar) o material na mesma direção dos esforços aplicados durante o serviço. A mola que sofreu pré-assentamento perde um pouco do comprimento livre, mas ganha os benefícios descritos acima. Com o objetivo de atingir as vantagens do pré- assentamento, o comprimento livre inicial deve maior que o desejado, sendo projetado para um esforço, na altura de fechamento, de 10 a 30% maior que o limite de escoamento do material. Uma sobrecarga menor não produzirá esforços residuais suficientes. Acima de 30% de sobrecarga, ocorre pequeno incremento de benefícios e aumenta a distorção. A resistência, para uma mola que sofreu pré-assentamento, é significativamente maior que para uma mola comum. Além disso, a equação 6.12, pode ser melhor utilizada para calcular o esforço no caso de mola que sofreu pré-assentamento, uma vez que, para carregamento estático, o escoamento durante o pré-assentamento alivia a concentração de tensões devido à curvatura. O pré-assentamento é de grande valor para molas solicitadas estaticamente, mas também tem valor em carregamentos cíclicos. Nem todas as molas comerciais sofrem este processo, pois aumenta o custo. O projetista deve especificar o processo, caso necessário. Algumas vezes, a operação de pré- assentamento é especificada como parte do processo de montagem, mais que como parte do processo de manufatura da mola. Carregamento Reverso: Sofrendo o processo de pré-assentamento ou não, as espiras das molas apresentam alguns esforços residuais. Por esta razão, não é aceitável que se aplique cargas reversas nas espiras. Assumindo que os esforços residuais têm o objetivo benéfico contra a direção esperada de carga, o carregamento reverso irá obviamente incrementar os esforços residuais, causando falha prematura. Uma mola de compressão nunca deve ser carregada em tração, ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 224 nem uma mola de tração em compressão. Molas de torção necessitam de um torque unidirecional aplicado, para evitar falha prematura. Jateamento de granalha (shot peening): É outro modo de se obter esforços residuais benéficos em molas, e é mais efetivo contra carregamento cíclico em fadiga. Traz poucos benefícios para molas carregadas estaticamente. Molas de diâmetros de 0,008 in (0,2 mm) a 0,055 in (1,4 mm) são tipicamente usadas no processo. Molas de diâmetro de espira muito pequeno não irão se beneficiar do processo de jateamento de granalha como outras molas de diâmetros maiores. Além disso, se o passo da mola é pequeno, a superfície interna da espira não será atingida. 6.2.9 Flambagem de Molas de Compressão Uma mola de compressão é carregada como uma coluna, podendo flambar se for muito delgada. Uma razão que avalia este fator foi desenvolvida para colunas sólidas. Tal medida não é diretamente aplicável às molas, devido a sua diversidade de geometrias. Um fator semelhante é a razão entre o comprimento livre e o diâmetro médio da espira L f / D. Se este fator for maior que 4, a mola deve flambar. Flambagens mais críticas podem ser prevenidas, colocando-se a mola em um furo, ou sobre um pino. Contudo, a fricção das espiras nestas guias, absorverá uma fração da força da mola devido ao atrito, e reduzirá a carga aplicada na extremidade da mola. Assim como nas colunas sólidas, o vinculo das extremidades da mola afetam sua tendência de flambar. Se uma extremidade é livre para se inclinar, conforme a figura 6.16 (a), a mola irá flambar com uma razão menor que para extremidades fixas em placas paralelas, como mostrado na figura 6.16 (b). Figura 6.16 - Condição de Extremidade para caso Critico de Flambagem. Extremidade Fixa Extremidade Fixa (a) (b) Extremidades Não-Paralelas Extremidades Paralelas Livre para Girar Extremidade Paralela ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 225 A razão entre a deflexão da mola e seu comprimento livre também afeta sua tendência de flambar. A figura 6.17 mostra um gráfico de duas linhas, que representam a estabilidade dos dois casos de vinculo da figura 6.16. Molas com razão de deflexão à esquerda destas linhas, são estáveis contra flambagem. Figura 6.17 - Curvas para Condição Critica de Flambagem. 6.2.10 Freqüência Natural em Molas de Compressão Qualquer aparato com massa e elasticidade terá uma ou mais freqüências naturais. As molas não são exceções à esta regra, e podem vibrar tanto lateralmente quanto longitudinalmente, quando excitadas, próximas de suas freqüências naturais. Se for permitido que entre em ressonância, as ondas de vibração longitudinal fazem com que as espiras batam umas contra as outras. As forças de grande magnitude, provenientes tanto das deflexões excessivas das espiras, quanto dos impactos, farão com que a mola falhe. Para evitar esta condição, a mola não deve ser solicitada próxima à sua freqüência natural. A freqüência natural da mola deve ser, aproximadamente 13 vezes maior que a freqüência da força de excitação aplicada. A freqüência natural ω n ou f n de uma mola de compressão helicoidal depende das suas condições de contorno. Fixar ambas as extremidades é o arranjo mais comum e apropriado, já que sua f n será o dobro de uma mola com uma extremidade fixa e outra livre. Para o caso de ambas extremidades livres: Instável Extremidades Paralelas Extremidades Não- Paralelas Estável Estável Instável y / L f L f / D ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 226 a n W g . k . π ω = rad/sec f k g W n a = 1 2 . . Hz (6.16) Onde: k é a rigidez da mola, W a é o peso das espiras ativas, e g é a constante gravitacional. A freqüência pode ser expressa tanto como uma freqüência angular ω n , como uma freqüência linear f n . O peso das espiras ativas é: 4 2 2 γ π . N . D . d . W a a = (6.17) Onde: γ é a densidade de peso do material. (para o peso total da mola, substitua N t por N a ). Substituindo as equações 6.10 e 6.16 em 6.17, tem-se: γ π . g . G . D d . N . f a n 32 2 2 = Hz (6.18) Se uma das extremidades da mola for fixa e a outra livre, esta agirá como uma mola com ambas as extremidades fixas, com o dobro de seu comprimento. Sua freqüência natural pode ser encontrada utilizando N a como duas vezes o número real de espiras ativas, presentes na mola com uma das extremidades livres. 6.2.11 Resistência Limite para Molas de Compressão Dados de testes sobre limites de resistência, para molas helicoidais de compressão de arame circular, estão disponíveis tanto para carregamentos estáticos como dinâmicos. Para o projeto de molas, dados adicionais relativos ao limite de escoamento e resistência a fadiga, são necessários. Limite de Escoamento Torcional (S ys ): O limite de escoamento torcional da mola varia com o material, e com o fato da mola ter passado por um pré-assentamento ou não. A tabela 6.5 mostra os fatores de escoamento torcional, recomendados para molas comuns, ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 227 como uma porcentagem da resistência máxima à tração. Estes fatores devem ser utilizados para estimar a resistência de molas helicoidais de compressão sob carregamento estático. Tabela 6.5 - Máxima Resistência ao Escoamento Torcional para Aplicação Estática. Material Sem pré-assentamento Com pré-assentamento Aço Carbono trabalhado a frio 45% 60-70% Aço Baixa-Liga Endurecido e Temperado 50% 65-75% Aço Inoxidável Austenitico 35% 55-65% Ligas Não-ferrosas 35% 55-65% Resistência à Fadiga Torcional (S fω ωω ω ): Na faixa de 10 3 < N < 10 7 ciclos, a resistência torcional varia com o material, considerando se que a mola tenha sofrido jateamento de granalha ou não. A tabela 6.6 mostra valores recomendados para diversos materiais, nas condições de submetido ou não a jateamento de granalha, em três pontos dos diagramas S-N: 10 5 , 10 6 , e 10 7 ciclos. Note que a resistência à fadiga torcional é determinada a partir de molas carregadas com componentes médias e alternadas. Logo, tais valores não são diretamente comparados à resistência a fadiga para carga completamente reversa, de elementos rotativos, devido ao carregamento torcional e à presença de uma componente média. A designação S fw é adotada para a resistência a fadiga, para diferenciá-la da resistência a fadiga de eixos rotativos. Estes valores são, contudo, muito úteis, pois representam uma situação real de fadiga em molas, e são geradas a partir de amostras de molas e, portanto, a geometria e o diâmetro são corretos. Note que a resistência a fadiga, na tabela 6.6, declina com o aumento do número de ciclos, mesmo acima de 10 6 ciclos, onde aços usualmente apresentam o limite de resistência a fadiga, sob carga alternada simétrica. Tabela 6.6 - Máxima Resistência a Fadiga Torcional para Arames Circulares. ASTM 228, Aços Inoxidáveis e ASTM A230 e A232 Não-Ferrosos Vida em Fadiga Normal Com jateamento de granalha Normal Com jateamento de granalha 10 5 36% 42% 42% 49% 10 6 33% 39% 40% 47% 10 7 30% 36% 38% 46% ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 228 Limite de Resistência à Fadiga Torcional (S eω ): Aços podem ter um limite de resistência para vida infinita. Materiais de alta resistência tendem a apresentar um “pico” do limite de resistência, com o aumento da máxima resistência a tração (S ut ). Existe um limite de resistência a fadiga não corrigido, para solicitação completamente reversa, de aços com S ut > 200 kpsi, que se mantém constante quando a resistência a tração o supera. Note que, na figura 6.3, a maioria das molas, cujos diâmetros são menores do que cerca de 10 mm, estão nesta última categoria de resistência a tração. Isto implica em materiais para molas com limite de resistência torcional independente do diâmetro do arame, ou da composição de liga em particular. Zimmerli afirma que todas as molas de aço, com diâmetro inferior a 10 mm, exibem um limite de resistência à fadiga torcional para vida infinita, S ew, , para carga flutuante. S ew´ ≈ 45.0 kpsi (310 MPa) molas sem jateamento de granalha S ew´ ≈ 67.5 kpsi (465 MPa) molas com jateamento de granalha (6.19) Não há necessidade, neste caso, de se aplicar fatores de correção de superfície, tamanho, ou carga, tanto para S fw´ como para S ew´ , já que os dados de testes disponíveis foram obtidos em condições reais, para os respectivos materiais para molas. A tabela 6.6 mostra os dados para resistência a fadiga, tomados a temperatura ambiente, em meio não corrosivo, sem a presença de variações bruscas. Se a mola opera em altas temperaturas, ou em meios corrosivos, a resistência a fadiga (S fω ) ou o limite de resistência (S eω ) podem diminuir . Um fator de temperatura K temp , e/ou um fator de confiabilidade K conf , podem ser aplicados. Os valores são corrigidos de S fw´ para S fw , e de S ew´ para S ew , , assumindo temperatura ambiente, ausência de corrosão e confiabilidade de 50%. PROJETO PARA CARGA ESTATICA O fator de segurança é obtido por comparação entre a resistência ao escoamento em torção, para carga estática, e a tensão de cisalhamento. N s = S ys / τ (6.20) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 229 PROJETO PARA CARGA DINÂMICA (EM FADIGA) Uma mola carregada dinamicamente vai operar entre dois níveis limites de esforços F max e F min . Destes valores, são obtidas as componentes média e alternada da força aplicada. F F F F F F a m = − = + max min max min 2 2 (6.21) Para uma razão de forças, em solicitação flutuante: R F = F min / F max = 0 (6.22) A figura 6.18 mostra o diagrama de Goodmann Modificado, com a linha de carregamento, para o cálculo do fator de segurança. Figura 6.18 - Diagrama de Goodmann Modificado. A linha de carregamento, que define o estado de tensão, não parte da origem, neste caso, mas de um ponto sobre a abcissa τ m ,, representando a tensão inicial τ i , atuando na Ponto de falha Linha de Carregamento Estado de Tensão σ a ( k p s i ) σ m (kpsi) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 230 montagem das espiras. O fator de segurança em fadiga torcional, é dado pela relação da resistência alternada, no ponto de intercessão com a linha de carga, no ponto D do diagrama, com a tensão alternada τ a . N fs = S a / τ a (6.23) Trabalhando na intercessão das duas retas: ( ) ( ) N S S S S fs es us i es m i us a = − − + τ τ τ τ (6.24) Onde: ew us us ew es S S S S S 707 , 0 707 , 0 − = . 6.3. MOLAS HELICOIDAIS DE TRAÇÃO Molas helicoidais de tração são semelhantes às molas de compressão, sendo, porém, carregadas em tração (figura 6.2 (b)). A figura 6.19 ilustra as principais dimensões de uma mola de tração. Ganchos ou argolas nas extremidades, permitem a aplicação de esforços de tração na mola. Existem formas e dimensões padronizadas, também para os ganchos, conforme a figura 6.19. As extremidades padronizadas, consistem em fletir a espira final de 90 o . Estas terminações suportam níveis mais elevados de tensões que o corpo da mola, podendo limitar a segurança do projeto. Do Di (a) Comp. argola Comp. do corpo da mola Lb Ll Lh Comp. gancho Di folga (b) Compriment o Livre Lf Figura 6.19 - Dimensionamento de uma Mola de Tração. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 231 6.3.1 Espiras Ativas em Molas de Tração Neste caso, todas as espiras são ativas, mas é comum adicionar uma espira a mais ao número de espiras ativas, para o cálculo do comprimento total da mola. N t = N a + 1 L b = d N t (6.25) 6.3.2 Rigidez da Mola As espiras da mola de tração são enroladas bem próximas, e o arame é girado a cada volta de espira, criando uma pré-carga nas espiras, que deve ser superada para separá-las. A figura 6.20 mostra a curva força-deflexão para molas de tração. O coeficiente de rigidez da mola é linear, exceto no início do diagrama, e a pré-carga F i é obtida por extrapolação da porção linear da curva, até cruzar o eixo das ordenadas. Figura 6.20 - Diagrama força-deflexão para molas helicoidais de tração. O coeficiente de rigidez da mola pode ser escrito como: a i N D G d y F F k 3 4 8 = − = (6.26) Note que nenhuma deflexão ocorre até que a força aplicada supere a pré-carga F i , presente na mola. Força Deflexão k F i ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 232 6.3.3 Índice de Mola Pode ser considerado como para molas de compressão, na mesma faixa de 4 a 12. 6.3.4 Pré-carga da Espira para Molas de Tração A pré-carga F i pode ser relativamente controlada, durante o processo de fabricação, e deve ser projetada para uma tensão inicial na espira dentro da faixa indicada na figura 6.21, que relaciona faixas de interesse para tensão inicial na espira com o índice de mola C. A relação entre a tensão inicial e o índice de mola é uma função cúbica, conforme as expressões abaixo: máximo limite 38404 427 , 3 7 , 139 987 , 2 mínimo limite 28640 387 , 3 5 , 181 231 , 4 2 3 2 3 + − + − = + − + − = C C C C C C i i τ τ (6.27) Figura 6.21 - Faixa para Tensão Inicial em Molas de Tração. Uma média entre os dois valores é um bom início para a tensão inicial. Índice de Mola Faixa de Interesse τ ( k p s i ) τ ( M P a ) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 233 6.3.5 Deflexão em Molas de Tração A deflexão da espira é determinada pela mesma expressão, utilizada para molas de compressão, incluindo uma modificação para pré-carga. ( ) y F F D N d G i a = − 8 3 4 (6.28) As tensões nas espiras são determinadas através das mesmas expressões utilizadas para molas de compressão (6.12) e (6.14). Os fatores K s e K w são também utilizados como antes. 6.3.6 Tensões nas Extremidades Os ganchos padronizados apresentam duas localizações de elevados níveis de tensões, conforme figura 6.22. Figura 6.22 - Pontos de Máxima Tensão em Ganchos de Molas de Tração. A máxima tensão torcional ocorre no ponto B, onde o raio de flexão é menor. O gancho também está sujeito a uma tensão de flexão no ponto A, desde que carregado como uma viga curva. Wahl também define o fator de concentração de tensão K b para flexão de um arame curvado. A tensão de flexão no ponto A é dada por: σ π π A b K DF d F d = + 16 4 3 2 (6.29) Máxima Tensão Máxima Tensão de Cisalhamento de Torção ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 234 ( ) K C C C C b = − − − 4 1 4 1 1 2 1 1 1 (6.30) C R d 1 1 2 = (6.31) Note que, para uma extremidade padrão, o raio médio do gancho R 1 é o mesmo que o raio médio da espira. A tensão torcional no ponto B é dada por: τ π B w K DF d = 2 3 8 (6.32) K C C w2 2 2 4 1 4 4 = − − (6.33) d R C 2 2 2 = (6.34) Sendo que: C 2 deve ser superior a 4. 6.3.7 Freqüência Natural A freqüência natural de uma mola helicoidal de tração, com ambas extremidades fixas, e sujeita a deflexão axial, é determinada de maneira análoga ao caso de molas para compressão. f N d D Gg n a = 2 32 2 π γ Hz (6.35) 6.3.8 Resistência de Materiais para Molas de Tração Os mesmos materiais de arames são utilizados na fabricação de ambos os tipos de molas, compressão e tração. A tabela 6.7 traz alguns valores mais recomendados de limite de escoamento estático da espira, bem como para as extremidades, em torção e flexão. A tabela 6.8 mostra valores recomendados de resistência à fadiga, para dois materiais, em alguns ciclos de vida, fornecendo dados separadamente para o corpo e para os ganchos da mola. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 235 Tabela 6.7 - Resistência Máxima ao Escoamento em Torção e Flexão. PORCENTAGEM DA MÁXIMA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (S ut ) S ys em Torção S y em Flexão Material Corpo da mola Ganchos Ganchos Aço-carbono trabalhado a frio 45% 40% 75% Aço baixa liga temperado e endurecido 50% 40% 75% Aço inoxidável Austenitico e ligas não-ferrosas 35% 30% 55% Tabela 6.8 - Limite de Resistência à Fadiga Torcional para ASTM 228 e Aço Inoxidável 302. Razão de Tensão R = 0 (esforço flutuante). PORCENTAGEM DA MÁXIMA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (Sut) S fw em Torção S fw em Flexão Número de Ciclos Corpo da mola Ganchos Ganchos 10 5 36% 34% 51% 10 6 33% 30% 47% 10 7 30% 28% 45% PROJETO PARA CARGA ESTÁTICA O fator de segurança é obtido pela comparação entre o limite de escoamento em torção, para carga estática, e a tensão de cisalhamento. N s = S ys / τ (6.36) PROJETO PARA CARGA DINÂMICA (EM FADIGA) Uma mola carregada dinamicamente vai operar entre dois níveis limites de esforços F max e F min . Destes valores, são obtidas as componentes média e alternada da força. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 236 F F F F F F a m = − = + max min max min 2 2 (6.37) Para uma razão de forças em solicitação flutuante: R F = F min / F max = 0 (6.38) O diagrama de Goodmann Modificado, com a linha de carregamento, para o cálculo do fator de segurança, é análogo ao da figura 6.18. A linha de carregamento, que define o estado de tensão, não parte da origem, neste caso, mas de um ponto sobre a abscissa τ m , representando a tensão inicial τ i , atuando na montagem das espiras. O fator de segurança em fadiga torcional é dado pela relação da resistência alternada, no ponto de intersecção com a linha de carga, no ponto D do diagrama, com a tensão alternada τ a . ( ) ( ) N S S S S fs es us i es m i us a = − − + τ τ τ τ (6.39) Onde: ew us us ew es S S S S S 707 , 0 707 , 0 − = . Uma análise em fadiga é necessária para os ganchos, assim como para as espiras. Para tensões de flexão, são necessários os limites de resistência à fadiga e ao escoamento, ambos em tração. A relação de Von Mises pode ser empregada para converter os dados de fadiga torcional para fadiga flexional, dividindo o primeiro por 0,577. 6.4. MOLAS HELICOIDAIS DE TORÇÃO Molas helicoidais de torção apresentam as extremidades das espiras prolongadas tangencialmente, de modo a formar as alavancas para aplicação do momento torsor (figura 6.2 (d)). As espiras são, geralmente, enroladas muito próximas, como numa mola de tração, não apresentando, porém, uma tensão inicial. Quando enroladas com um distanciamento entre as ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 237 espiras, elimina-se o problema do atrito entre as mesmas. O momento torsor aplicado deve tender a fechar as alavancas uma contra a outra e não deve, de modo algum, ser alternado simétrico, em serviço. Cargas dinâmicas devem ser cíclicas ou flutuantes. A carga externa deve ser definida em função do ângulo α, entre as extremidades tangentes, na posição de carregamento, e não em posição livre. Devido à solicitação de flexão, o arame de seção retangular é mais eficiente, em termos de rigidez por unidade de volume. Contudo, muitas molas de torção são feitas de arame circular, devido ao seu baixo custo e enorme variedade de dimensões. A figura 6.23 ilustra as principais dimensões de uma mola de torção. Existem formas e dimensões padronizadas também para as extremidades, conforme a figura 6.23. Posiçaõ livre Especificação: α=angulo entre extremidades F=carga na extremidade L=comprimento da alavanca θ=deflexão angular a partir da posição livre F L Posição livre F L Figura 6.23 - Dimensões de uma Mola de Torção. 6.4.1 Número de Espiras O número de espiras é igual ao número de enrolamentos N b , adicionados da contribuição das extremidades. Para extremidades retas, temos o número de espiras equivalente N e : N e = ( L 1 + L 2 ) / 3πD (6.40) Onde: L 1 e L 2 = comprimentos das alavancas. O número de espiras ativas será: N a = N b + N e (6.41) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 238 6.4.2 Deflexão em Molas de Torção A deflexão angular da espira é expressa em radianos e, às vezes, convertida em revoluções. E d MDN a rad rev 4 8 , 10 2 = = π θ θ (6.42) Onde: M = momento aplicado, N a = espiras ativas, D = diâmetro médio da espira, d = diâmetro do arame e E = módulo de elasticidade. O fator 10,8 leva em conta o atrito entre as espiras. 6.4.3 Rigidez da Mola A rigidez torcional pode ser obtida a partir da expressão de deflexão. O coeficiente de rigidez da mola pode ser escrito como: a rev DN E d M k 8 , 10 4 = = θ (6.43) 6.4.4 Fechamento da Espira Trata-se do diâmetro mínimo (comprimento máximo) assumido pela espira, quando o momento torsor aplicado tende a fechar as alavancas uma contra a outra. D DN N d i b b rev min = + − θ (6.44) ( ) L d N max b = + + 1 θ (6.45) Qualquer diâmetro do pino de montagem deste tipo de mola, não deve superar 90% do diâmetro interno das espiras. 6.4.5 Tensões nas Espiras A máxima tensão flexional ocorre nas fibras externas da espira, sendo análoga ao estado de tensão normal de uma viga curva, cuja tensão se concentra no interior da curvatura. O fator de concentração de tensão no interior (6.46) e no exterior (6.47) de um arame circular curvado é dado por: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 239 ( ) K C C C C bi = − − − 4 1 4 1 2 (6.46) ( ) K C C C C bo = + − + 4 1 4 1 2 (6.47) A máxima tensão de compressão no interior da espira será: σ π imax bi max K M d = 32 3 (6.48) Para o exterior da espira, tem-se: σ π omax bo max K M d = 32 3 σ π omin bo min K M d = 32 3 (6.49) σ σ σ om omax omin = + 2 σ σ σ oa omax omin = − 2 (6.50) Note que, para falha estática por escoamento, a tensão de compressão no interior da espira é a mais crítica. Na falha por fadiga, a tensão de tração, nas fibras externas da espira, é a mais crítica. 6.4.6 Resistência de Materiais para Molas de Torção A tabela 6.9 traz alguns valores mais recomendados para o limite de escoamento estático da espira, em flexão. A tabela 6.10, mostra valores recomendados de resistência à fadiga, em alguns ciclos de vida, fornecendo dados separadamente para molas tratadas ou não por jateamento de granalha. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 240 Tabela 6.9 - Limite de Escoamento em Flexão. PORCENTAGEM DA MÁXIMA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (S ut ) Material Sem Tratamento Com Pré-Assentamento Aço-carbono trabalhado a frio 80% 100% Aço baixa liga temperado e endurecido 85% 100% Aço inoxidável austenitico e ligas não-ferrosas 60% 80% Tabela 6.10 - Resistência Máxima à Fadiga Torcional - Tensão Cíclica ou Flutuante. PORCENTAGEM DA MÁXIMA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (S ut ) ASTM A228 ou Aço Inox 302 ASTM A230 e A232 Número de Ciclos Não-tratado Tratado Não-tratado Tratado 10 5 53% 62% 55% 64% 10 6 50% 60% 53% 62% O limite de fadiga torcional pode ser utilizado para determinar o limite de fadiga flexional, através do critério de Von Mises. S ewb = S ew / 0.577 PROJETO PARA CARGA ESTÀTICA O fator de segurança, para falha por escoamento, é obtido pela comparação entre o limite de escoamento, para carga estática, e a tensão de compressão nas fibras internas da espira. N s = S y / σ imax (6.51) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VI 241 PROJETO PARA CARGA DINÂMICA (EM FADIGA) Para as fibras externas da espira, em tração cíclica, ou condição de fadiga, tem-se: ( ) ( ) N S S S S fb e ut omin e om omin ut oa = − − + σ σ σ σ (6.52) onde S S S S S e ewb ut ut ewb = − 0 707 0 707 , . . ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 242 CAPÍTULO VII PROJETO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS PLANAS 7.1. INTRODUÇÃO Quando duas engrenagens se encaixam, temos um par engrenado. Convencionou-se, chamar a engrenagem menor de pinhão e a maior de engrenagem. Lei fundamental do engrenamento – A razão da velocidade angular entre as engrenagens de um par engrenado deve permanecer constante durante todo a engrenamento. A razão de velocidade angular m v é igual a razão dos raios primitivos da engrenagens de entrada e saída: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 243 out in in out v r r w w m ± = = (7.1) Figura 7.1 Par engrenado (a) - → engrenagens tem sentido oposto de rotação (par ex- terno) (b) + → engrenagens tem o mesmo sen- tido de rotação (par interno) Figura 7.2 Relação de engrenamento (a) externa e (b) interna. Razão de torque ou vantagem mecânica: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 244 in out out in v A r r w w m m ± = = = 1 (7.2) Assim sendo: Torque ↑ ↓ → Velocidade ↓ ↑ . Para cálculos, a razão de engrenagem m B será: 1 / , ≥ = = B A B v B m p m m ou m m (7.3) 7.2. NOMENCLATURA E GEOMETRIA Para que a lei fundamental do engrenamento seja verdadeira os contornos dos dentes no ponto de engrenamento devem estar conjugados um ao outro. Existe uma infinidade de pares conjugados que podem ser usados, contudo, apenas poucas curvas tem tido aplicação prática em dentes de engrenagem. Destacam-se a ciclóide e a involuta. INVOLUTA – A involuta de um círculo é uma curva que pode ser produzida desenrolando-se um fio esticado de um cilindro. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 245 Figura 7.3 Geração do perfil do dente da engrenagem. O fio é sempre tangente ao cilindro; O centro de curvatura da involuta está sempre no ponto de tangência do fio com o círculo base; A tangente da involuta é sempre normal ao fio, que está no raio de curvatura instantânea da curva involuta. A Figura 7.4 mostra duas involutas em cilindros separados em contato ou engrenamento. Elas representam os dentes da engrenagem. Os cilindros dos quais os fios são desenrolados são chamadas de círculos bases das respectivas engrenagens. Note que os círculos base são necessariamente menores do que os círculos de pitch, que estão nos raios dos cilindros de rolamento originais r p e r g . Os dentes da engrenagem devem ser projetados abaixo e acima da superfície dos cilindros de rolamento (círculo primitivo) e a involuta existe apenas do lado de fora do círculo base. A parte do dente que fica acima do círculo primitivo é o adendo (addendum), mostrado como a p e a g para o pinhão e a engrenagem respectivamente. Há uma tangente comum para ambas as curvas do dente da involuta no ponto de contato, e uma normal comum, perpendicular à tangente comum. Note que a normal comum é, de fato, os “fios” de ambas as involutas, que são colineares. Assim a normal comum que é também a linha de ação, sempre passa pelo ponto primitivo independente de ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 246 onde o carregamento esteja acontecendo. O ponto primitivo tem a mesma velocidade linear tanto no pinhão quanto na engrenagem, chamada de velocidade linear primitiva. O ângulo entre a linha de ação e o vetor velocidade é o ângulo de pressão φ Figura 7.4 Geometria do Contato nos dentes das engrenagens. Ângulo de pressão – O ângulo de pressão φ num par engrenado é definido como o ângulo entre a linha de ação (normal comum) e a direção da velocidade primitiva, tal que a linha de ação seja rodada (girada) φ graus na direção de rotação da engrenagem movida. Os ângulos de pressão dos pares engrenados são padronizados em poucos valores pelos fabricantes de engrenagem. Os valores padrões são 14.5, 20 e 25°, sendo 20° o mais usado e 14.5°, atualmente, obsoleto. A razão de velocidade do par engrenado será constante, definida pela razão dos respectivos raios das engrenagens no ponto primitivo. Os pontos de início e final do contato definem o engrenamento do pinhão e engrenagem. A distância ao longo da linha de ação entre esses pontos durante o engrenamento é chamado comprimento de ação Z, definido pela interseção do respectivo ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 247 círculo addendum com a linha de ação como mostrado na figura. A distância ao longo do círculo primitivo dentro do engrenamento é o arco de ação, e os ângulos contidos entre esses pontos e a linha de centro do par engrenado, são o ângulo de aproximação e o ângulo de afastamento. Figura 7.5 Ângulo de pressão nos dentes das engrenagens. Os arcos de ação dos círculos primitivos para o pinhão e a engrenagem devem ser os mesmos para escorregamento zero entre os cilindros rolantes teóricos. O comprimento de ação Z pode ser calculado da geometria do pinhão e da engrenagem: ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ φ sin C r a r r a r Z g g g p p p − − + + − + = 2 2 2 2 cos cos (7.4) r p e r g raios dos círculos primitivos a p e a g adendo do pinhão e engrenagem respectivamente C distância entre centros φ ângulo de pressão ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 248 Se a forma do dente da engrenagem não é uma involuta, então um erro na distância entre centros causará uma variação na velocidade de saída, que não será constante, violando a lei fundamental do engrenamento. Contudo, com uma forma de dente involuta, erros nas distâncias de centro não afetarão a razão de velocidade. Figura 7.6 Distância entre centros. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 249 Figura 7.7 Nomenclatura do dente de engrenagem. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 250 O passo circular, p c , define o tamanho do dente: N d p c π = (7.5) d = diâmetro primitivo, N = número de dentes. Passo de base p b : φ cos c b p p = (7.6) Passo Diametral: d N p d = (7.7) As unidades de p d são recíprocas: polegadas ou número de dentes por polegada. Essa medida é usada para especificação de engrenagens apenas nos EUA. A relação entre o passo circular e o passo diametral é: c d p p π = (7.8) O sistema SI, usado para engrenagens métricas, define um parâmetro chamado módulo, que é o recíproco do passo diametral com o diâmetro primitivo d medido em milímetros: N d m = (7.9) As unidades do módulo são em milímetros. As engrenagens métricas não são intercambiáveis com as engrenagens padrão americano, apesar de ambas terem dentes na forma de involuta. Nos EUA, os tamanhos do dente de engrenagem são especificados pelo diametral primitivo. A conversão de um padrão para o outro é: d p m 4 . 25 = (7.10) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 251 A razão de velocidade m v de um par engrenado pode ser especificada por: out in out in out in v N N d d r r m ± = ± = ± = (7.11) Notando que o passo diametral de ambas engrenagens deve ser o mesmo. A razão de engrenagem pode ser expressa por: p g G N N m = (7.12) Dentes de engrenagem padronizados – dentes de engrenagem padronizados de profundidade completa têm adendo no pinhão e na engrenagem iguais, com o dedendum sendo um pouco maior para folga. A figura mostra os tamanhos reais dos dentes padronizados de altura completa e de ângulo de pressão 20° para p d = 4 até p d = 80. Note a relação inversa entre p d e o tamanho do dente. Apesar de não haver restrições teóricas para os possíveis valores do diametral primitivo, um conjunto de valores-padrão é definido baseado nos dispositivos padronizados para cortar as engrenagens. Figura 7.8 Padronização dos dentes de engrenagens. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 252 Tabela 7.1 Diâmetros Primitivos Padrão. A razão de contato m p define o número médio de dentes no contato em qualquer momento: b p p Z m = (7.13) Das equações anteriores temos que: φ π cos Z p m d p = (7.14) Se a razão de contato for 1, significa que um dente estará deixando o contato no exato momento que o outro esta iniciando o contato. Isso não é desejável, pois um pequeno ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 253 erro no espaçamento entre os dentes causará oscilações na velocidade, vibrações, e ruído. Além disso, a carga será aplicada na ponta do dente, criando o maior momento de flexão possível. Tabela 7.2 Número mínimo de dentes no pinhão para evitar interferência entre um pinhão de 20 o e engrenagens de várias dimensões. Para razão de contato entre 1 e 2 haverá momentos em que um par de dentes suportará toda a carga. Contudo, isso ocorrerá em direção ao centro da região de engrenamento, ou seja, a carga será aplicada numa posição mais baixa do dente. Esse ponto é chamado de Ponto mais alto de contato de dente simples (Highest point of single- tooth contact ou HPSTC). O mínimo valor aceitável para a razão de contato para uma operação suave é 1,2. Uma razão de contato mínima de 1,4 é aconselhável, e quanto maior, melhor. Quanto menores os dentes (maior p d ) e maior o ângulo de pressão, a razão de contato será maior. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 254 7.3. TRENS DE ENGRENAGENS Um trem de engrenagens é um conjunto de dois ou mais engrenamentos. Um par de engrenagens está limitado a uma razão de aproximadamente 10:1. Um trem de engrenagem pode ser simples, composto ou epicíclico. Trens de engrenagem convencionais, descritos a seguir têm todos um grau de liberdade. Outra classe de trens de engrenagem, o epicíclico ou trem planetário possui dois graus de liberdade, e é largamente utilizado. Trem de engrenagem Simples → cada eixo possui apenas uma engrenagem. A figura ao lado mostra um trem simples com cinco engrenagens em série. A razão de velocidade será: 6 2 6 5 5 4 4 3 3 2 N N N N N N N N N N m v + = | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | − = (7.15) Trem de engrenagem composto → num trem composto, pelo menos um eixo possui mais de uma engrenagem. O trem composto pode ser, 1. reverso → os eixos de entrada e saída são concêntricos (figura inferior direita); 2. direto → os eixos de entrada e saída não são coincidentes (figura inferior esquerda). A razão de velocidade do trem será: | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | − = 5 4 3 2 N N N N m v (7.16) Isso pode ser generalizado: movida engrenagem dentes de número do produto motora engrenagem dentes de número do produto m v ± = Figura 7.9 Trens de engrenagens. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 255 Figura 7.10 Trens de engrenagens compostos. O trem torna-se epicíclico com uma engrenagem solar e uma engrenagem planeta orbitando ao redor da solar, mantida em orbita pelo braço. Duas entradas são necessárias. 1 GDL 2 GDL ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 256 Figura 7.11 trens de engrenagens (a) convencional e (b) planetário. 7.4. CARREGAMENTO EM ENGRENAGENS DE DENTES RETOS Figura 7.12 Estado de Carregamento. p p d p p p p t N T p d T r T W 2 2 = = = (7.17) T p – torque no eixo pinhão. N p – número de dentes. r p – raio primitivo. p d – passo diametral do pinhão. d p – diâmetro primitivo. W t – força tangencial O componente radial W r é: φ tan t r W W = (7.18) A força resultante é: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 257 φ cos t W W = (7.19) Existem dois modos de falha que afetam os dentes de engrenagens, fratura de fadiga devido à flutuação das tensões de flexão na raiz do dente e fadiga de superfície (pitting) das superfícies dos dentes. Tensões de flexão - A equação de Lewis: Y F p W d t b = σ (7.20) W t – Força tangencial no dente p d – passo diametral F – largura da face Y – fator geométrico adimensional Equação de tensão de flexão da AGMA – como definido na AGMA padrão 2001- B88 é válida somente para certas considerações sobre geometria do dente e do engrenamento: 1. A relação de contato está entre 1 e 2; 2. Não há interferência entre as pontas e os filetes das raízes dos dentes engrenados e não há rebaixo de dentes abaixo do início teórico do perfil ativo; 3. Nenhum dos dentes é pontiagudo; 4. Existe folga não nula no engrenamento; 5. Os filetes das raízes são padronizados, assumidos como suaves, e produzidos por um processo de geração; 6. As forças de atrito são desprezadas. A equação de tensões de flexão AGMA difere um pouco para as especificações U.S e S.I de engrenagens, devido à recíproca relação entre o passo diametral e o módulo. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 258 I B s v m a d t b K K K K K K J F p W = σ U.S I B s v m a t b K K K K K K J m F W = σ S.I (7.21) Fator J – O Fator geométrico J pode ser calculado através de um algoritmo definido na AGMA padrão 908-B89. Tabela 7.3 Fator Geométrico J para 25 o . ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 259 Fator K v – O fator dinâmico K v considera as cargas de vibração geradas internamente pelos impactos dente-dente induzidos por engrenamentos não conjugados dos dentes de engrenagens. A AGMA proporciona curvas empíricas para K v em função da velocidade da linha primitiva V t . B t v V A A K | | ¹ | \ | + = U.S B t v V A A K | | ¹ | \ | + = 200 S.I (7.22) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 260 Os fatores A e B são definidos como: ( ) B A − + = 1 56 50 ( ) 11 6 4 12 3 2 ≤ ≤ − = v v Q para Q B (7.23) Q v é o índice de qualidade da engrenagem com qualidade mais baixa no engrenamento. Figura 7.13 Fator de qualidade X velocidade na linha de contato. Nota-se que tais curvas empíricas terminam abruptamente em um valor particular V t . Eles podem ser extrapolados. Os valores terminais de V t para cada curva podem ser calculados. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 261 ( ) [ ] min / 3 2 max ft Q A V v t − + = U.S ( ) [ ] s m Q A V v t / 200 3 2 max − + = S.I (7.24) Para engrenagens com 5 ≤ v Q , uma equação diferente é usada: t v V K + = 50 50 U.S t v V K 200 50 50 + = S.I (7.25) Essa relação é válida somente para 2500 ≤ t V ft/min (13 m/s) como pode ser visto da linha Q v = 5. Fator de distribuição de Carga K m – Qualquer desalinhamento axial ou desvio axial na forma do dente provoca uma carga transmitida W t desigualmente distribuída sobre a largura da face dos dentes da engrenagem. Este problema torna-se mais marcante em maiores comprimentos de faces. Uma maneira aproximada e conservativa de levar em conta no mínimo uma distribuição de carga uniforme é aplicando o fator K m para aumentar a tensão para maiores larguras de face. Uma regra útil é manter a largura da face F de uma engrenagem de dentes retos dentro do limite 8/p d < F < 16/p d , com o valor nominal de 12/p d . Essa razão é aplicada com o fator da largura da face. Tabela 7.4 Fator de distribuição de carga K m . ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 262 Fator de Aplicação K a – Se a máquina motora ou movida tem torques ou forças variando no tempo, essas forças aumentam o carregamento lançado pelos dentes da engrenagem acima dos valores médios. Tabela 7.5 Fator de aplicação K a Fator de tamanho K s – As amostras de teste usadas para desenvolver os dados de resistência a fadiga são relativamente pequenos (cerca de 0.3 in de diâmetro). Se a parte projetada é maior que a medida, pode ser menos resistente do que indicado pelos dados dos testes. O fator K s permite uma modificação da tensão no dente para levar em conta essa situação. A AGMA não estabeleceu padrões para utilizar o fator K s . Ela recomenda que seja ajustado para 1, a menos que o projetista deseje aumentar esse valor para levar em ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 263 conta situações como a de dentes muito grandes. Um valor de 1.25 a 1.5 seria uma postura conservativa em tal caso. Fator Espessura da borda K B – A AGMA define uma razão de retorno m B como: t r B h t m = (7.26) onde: t r – espessura da borda h t – profundidade total do dente Figura 7.14 Essa razão é usada para definir o fator de espessura da borda. 2 . 1 0 . 1 2 . 1 5 . 0 4 . 3 2 > = ≤ ≤ + − = B B B B B m K m m K (7.27) Razão de retorno <0.5 não é recomendada. Engrenagens de discos sólidos sempre têm K B = 1. Fator IDLER K I – Uma engrenagem livre está sujeita a mais ciclos de tensão por unidade de tempo e a cargas alternadas de maior magnitude do que suas vizinhas fixas. Para levar em conta essa situação, o fator K I é ajustado para 1.42 para uma engrenagem livre ou 1.0 para uma engrenagem fixa. 7.5. TENSÕES DE SUPERFÍCIE EM ENGRENAGENS DE DENTES RETOS ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 264 No ponto de contato dos dentes das engrenagens há uma combinação de rolamento e escorregamento. As tensões na superfície do dente são tensões de contato Hertzianas dinâmicas combinando rolamento e escorregamento. Essas tensões são 3D e têm valores de pico na superfície ou um pouco abaixo dela, dependendo da quantidade de escorregamento presente em combinação com o rolamento. A fórmula AGMA para resistência ao pitting: f s v m a t p c C C C C C d I F W C = σ (7.28) W t – força tangencial no dente. d – diâmetro primitivo. F – largura da face. I – fator de geometria de superfície adimensional para resistência ao pitting. C p – Coeficiente elástico que leva em conta as diferenças das constantes dos materiais na engrenagem e no pinhão. Os coeficientes C a , C m , C v e C s são iguais, respectivamente, a K a , K m , K v , e K s definidos anteriormente. Os fatores I, C p e C f serão definidos. Fator de Geometria de Superfície I – A AGMA define uma equação para I: p g p d I | | ¹ | \ | ± = ρ ρ φ 1 1 cos (7.29) sendo: ρ p e ρ g os raios de curvatura dos dentes do pinhão e da engrenagem, respectivamente. φ - ângulo de pressão. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 265 d p – diâmetro primitivo do pinhão. Os símbolos ± levam em conta se o par engrenado é externo ou interno. O raio de curvatura dos dentes é calculado a partir da geometria do engrenamento: ( ) φ π φ ρ cos cos 1 2 2 d p d p p p p r p x r − − | | ¹ | \ | + + = p g C ρ φ ρ ∓ sin = (7.30) p d – passo diametral. r p – raio primitivo do pinhão. φ - ângulo de pressão. C – distância entre os centros do pinhão e da engrenagem. x p – coeficiente de addendum do pinhão, que é igual à porcentagem decimal do alongamento de addendum nos dentes. Para padrão, dente profundidade total, x p =0. Para 25% dentes de longo addendum, x p =0.25, etc. Fator de Acabamento Superficial C f – É usado para levar em conta rugosidades não usuais no acabamento superficial nos dentes das engrenagens. A AGMA não estabelece ainda padrões para esse fator, e recomenda que C f seja ajustado 1 para engrenagens feitas por métodos convencionais. Contudo, esse valor pode ser aumentado caso necessário. Coeficiente Elástico C p – Leva em conta diferenças nos materiais do dente: ( ( ¸ ( ¸ | | ¹ | \ | − + | | ¹ | \ | − = g g p p p E v E v C 2 2 1 1 1 π (7.31) E p e E g são respectivamente os módulos de elasticidade do pinhão e da engrenagem. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 266 v p e v g são os respectivos coeficientes de Poisson. As unidades de C p são (psi) 0.5 ou (Mpa) 0.5 . A tabela mostra valores de C p para várias combinações de materiais comuns de engrenagem e pinhão, assumindo ν=0.3 para todos os materiais. Tabela 7.6 Coeficiente de elasticidade Cp. 7.6. RESISTÊNCIA À FADIGA DE FLEXÃO – AGMA Os dados de resistência à fadiga de flexão AGMA, ' fb S , são todos obtidos em 1e 7 ciclos de tensão repetidos (preferivelmente do que 1e 6 ou 1e 8 ciclos algumas vezes usados para outros materiais), e para um nível de confiança de 99% (preferivelmente do que o nível de confiança de 50% comum para fadiga geral e dados de resistência estáticos). Essas ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 267 resistências são comparadas para picos de tensão σ b calculado em equações anteriores, usando uma carga W t . A análise da linha de Goodman é encapsulada nessa comparação direta porque os dados de resistência são obtidos de um teste que proporciona um estado de tensão flutuante idêntico àquele do verdadeiro carregamento da engrenagem. A equação de correlação para a resistência de fadiga a flexão de engrenagens é: ' fb R T L fb S K K K S = (7.32) sendo: ' fb S → é a resistência a fadiga de flexão AGMA publicada fb S → é a resistência corrigida K → fatores modificadores para levar em conta várias condições Fator de vida K L : Uma vez que os dados de teste são para uma vida de 1e 7 ciclos, um ciclo mais longo ou mais curto necessitará modificações na resistência à fadiga de flexão baseado na relação S-N para o material. Fator de temperatura K T : A temperatura do lubrificante é razoavelmente a medida da temperatura da engrenagem. Para materiais de aços e temperaturas de óleo até cerca de 250° F, K T pode ser ajustado em 1. Para temperaturas mais altas, K T pode ser estimado. 620 460 F T T K + = sendo T F a temperatura do óleo em °F. Não use esta equação para materiais que não sejam aço. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 268 Figura 7.15 Fator de Vida K L em função do material e do número de ciclos. Fator de confiabilidade K R : Os dados de resistência AGMA são baseados na probabilidade estatística de 1 falha em 100 amostras, ou uma confiabilidade de 99%. Se isso é satisfatório, ajuste K R =1. Contudo, se uma confiabilidade maior for desejável, K R pode ser ajustado para um dos valores da Tabela 5.7. Tabela 7.7 Fator AGMA K R ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 269 A Tabela 7.8 mostra a resistência à fadiga de flexão AGMA para os materiais mais comumente usados. Tabela 7.8 Limite de Resistência a Fadiga em Flexão S fb . A Figura 7.15 mostra a variação da resistência de fadiga à flexão para aços em ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 270 função de sua dureza Brinell. Figura 7.16 Variação da resistência à fadiga em função da dureza Brinell. 7.7. RESISTÊNCIA À FADIGA DE SUPERFÍCIE – AGMA Os dados de resistência a fadiga de superfície AGMA publicados, ' fc S , necessitam de quatro fatores de correção para obter o que designa-se com a resistência a fadiga de superfície corrigida, fc S : ' fc R T H L fc S C C C C S = (7.33) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 271 Os fatores C T e C R são idênticos, respectivamente, a K T e K R e podem ser escolhidos como descrito anteriormente. O fator de vida C L tem a mesma finalidade que K L , contudo, referencia um diagrama S-N diferente . C H fator de relação de dureza para resistência ao pitting. Fator de Vida Superficial C L : Uma vez que os dados de teste são para uma vida de 1e 7 ciclos, um ciclo mais longo ou mais curto necessitará modificações na resistência a fadiga superficial baseada na relação S-N para o material. AGMA sugere que a parte acima da zona sombreada pode ser usada para aplicações comerciais. A parte abaixo da zona sombreada é tipicamente usada para aplicações em serviços críticos onde pouco pitting e desgaste dos dentes são permitidos e onde uma operação suave e com baixo nível de vibração seja requerido. Infelizmente, esse tipo de dado é disponível apenas para aços. Figura 7.17 Fator de Vida Superficial C L Fator de dureza C H : Esse fator é uma função da relação de engrenagem e da dureza relativa do pinhão e da engrenagem. O fator C H é sempre maior do que 1, portanto sempre aumenta a resistência aparente da engrenagem. Esse fator leva em conta situações nas quais os dentes do pinhão são mais duros do que os dentes da engrenagem e agem assim para endurecer as superfícies dos dentes da engrenagem quando em funcionamento. C H é aplicado apenas para a resistência de dente de engrenagem, não para pinhão. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 272 Para pinhões endurecidos, rodando contra engrenagens completamente duras: ) 1 ( 1 − + = G H m A C (7.34) Sendo m G a relação de engrenagem e A dado como: Se 0 2 . 1 = → < A HB HB g p Se 00829 . 0 00898 . 0 7 . 1 2 . 1 − = → ≤ ≤ g p g p HB HB A HB HB Se 00698 . 0 7 . 1 = → > A HB HB g p Sendo HB p e HB g a dureza Brinell do pinhão e engrenagem, respectivamente. Para pinhões com superfícies duras (>48 HRC) rodando contra engrenagens completamente duras, teremos C H : ) 450 ( 1 g H HB B C − + = q R e B 0112 . 0 00075 . 0 − = U.S q R e B 052 . 0 00075 . 0 − = S.I (7.35) R q é rugosidade da superfície rms dos dentes do pinhão em µin rms. A Tabela 7.9 mostra a resistência à fadiga superficial AGMA para os materiais mais usados em engrenagens. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 273 Tabela 7.9 Limite de resistência à fadiga de superfície S fc ’ A Figura 7.18 mostra a variação da resistência de fadiga superficial para aços em função de sua dureza Brinell. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 274 Figura 7.18 Variação da resistência à fadiga superficial em função da dureza Brinell. 7.8. LUBRIFICAÇÃO DE ENGRENAGENS Controlar a temperatura na interface de engrenamento é importante para reduzir desgaste e marcas nos dentes. Lubrificantes resfriam e separam as superfícies dos metais para reduzir atrito e o desgaste. Uma quantidade suficiente de lubrificante deve ser fornecida para permitir a troca de calor proveniente do atrito dos corpos com o meio ambiente sem permitir que a temperatura no engrenamento seja excessiva. O modo usual é fornecer um banho de óleo através da carcaça às engrenagens por imersão, na chamada caixa de engrenagens. A caixa de engrenagens é parcialmente preenchida com um lubrificante apropriado tal que pelo menos um membro de cada par engrenado esteja parcialmente submerso. (A caixa nunca fica completamente preenchida com óleo). A rotação da engrenagem carregará o lubrificante para os engrenamentos e manterá lubrificadas as engrenagens que não estão submersas. O óleo deve estar sempre limpo e livre de contaminação, e ser trocado periodicamente. Um procedimento menos ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VII 275 desejável para lubrificação, e usado em situações em que a caixa de engrenagem não é prática, é a aplicação periódica de graxa lubrificante nas engrenagens, quando as mesmas estão paradas para manutenção. Graxas lubrificantes trocam pouco calor, assim sendo, são recomendadas apenas para baixas velocidades e baixa carga. Lubrificantes de engrenagem são tipicamente óleos à base de petróleo de diferentes viscosidades dependendo da aplicação. Óleos leves (10-30W) são algumas vezes usados para engrenagens com velocidades altas o suficiente e/ou cargas baixas o suficiente para promover a lubrificação elasto-hidrodinâmica. Em pares engrenados altamente carregados e/ou com baixa velocidade, ou aqueles com elevado escorregamento, freqüentemente utilizam lubrificantes de extrema pressão. São óleos 80-90W para engrenagens com aditivos a base de óleos graxos que garantem lubrificação completa no engrenamento. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 276 CAPÍTULO VIII PROJETO DE ENGRENAGENS HELICOIDAIS 8.1. INTRODUÇÃO Engrenagens helicoidais são muito parecidas com as engrenagens de dentes retos. Seus dentes são involutas. A diferença é que seus eixos são angulados em relação ao seu eixo de rotação em uma hélice de angulo ψ. Caso a engrenagem seja longa o suficiente axialmente, algum dente poderá envolver uma circunferência de 360°. Os dentes formam uma hélice, que pode ser à direita ou à esquerda. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 277 Figura 8.1 - Montagem Paralela Engrenagens Helicoidais Paralelas – engrenagem com uma combinação de rolamento e escorregamento com o contato iniciando no final de um dos dentes e “corre” através da largura de sua face. Isto é bem diferente que o contato do dente de engrenagens de dentes retos, o qual ocorre todo de uma vez ao longo de uma linha através da face do dente no instante do contato. Um resultado dessa diferença é que as engrenagens helicoidais são mais silenciosas e apresentam menos vibrações do que as engrenagens de dentes retos em virtude do gradual contato entre os dentes. Figura 8.2 - Montagem a 90 o Engrenagens Helicoidais Cruzadas – Seus dentes escorregam se rolamento e são teoricamente contato ponto ao invés de contato linha como as engrenagens paralelas. Isso reduz drasticamente sua capacidade de carga. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 278 8.2 GEOMETRIA DA ENGRENAGEM HELICOIDAL Figura 8.3 - Geometria da Engrenagem Helicoidal Os dentes formam um angulo de hélice ψ com o “eixo” do engrenamento. Os dentes são cortados com esse ângulo e o dente formado está então num plano normal. O passo normal p n e o ângulo de pressão normal φ n são medidos nesse plano. O passo transversal p t e o ângulo de pressão transversal φ t são medidos no plano transversal. Essas dimensões estão relacionadas através do ângulo da hélice. O passo transversal é a hipotenusa do triângulo retângulo ABC: ( ) Ψ = cos n t p p (8.1) Um passo axial p x pode ser definido com sendo a hipotenusa do triângulo retângulo BCD: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 279 ( ) Ψ = sin p p n x (8.2) P t corresponde ao passo circular P c , medido no plano de passo de uma engrenagem circular. O passo diametral é mais comumente usado para definir o tamanho do dente e está relacionado ao passo circular sendo, N o número de dentes e d o diâmetro do passo. t c d p p d N p π π = = = (8.3) O passo diametral no plano normal é: ( ) Ψ = cos t nd p p (8.4) O ângulo de pressão nos dois planos estão relacionados por: Ψ = = cos tan tan tan n t φ φ φ (8.5) 8.3 ESFORÇOS EM ENGRENAGENS HELICOIDAIS Um conjunto de forças agindo em um dente é mostrado esquematicamente na Figura 8.3. A força resultante W está num ângulo composto definido pelo ângulo de pressão e o angulo da hélice em combinação. A componente da força tangencial W t no engrenamento pode ser encontrada do torque aplicado na engrenagem ou no pinhão, ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 280 φ tan t r W W = (8.6) Além da componente radial W r devido ao ângulo de pressão, há também uma componente da força W a que tende a separar a engrenagem axialmente. As componentes da força num par engrenado helicoidal são: φ tan t r W W = (8.7) Ψ = tan t a W W (8.8) n t W W φ cos cos Ψ = (8.9) 8.3.1 Número de dentes Virtuais: Além de um funcionamento mais silencioso do que as engrenagens de dentes retos, as engrenagens helicoidais possuem dentes relativamente mais fortes do que uma engrenagem de dentes retos com o mesmo passo normal, passo diametral número de dentes. A componente da força que transmite o torque é W t a qual encontra-se no plano transversal. O tamanho dos dentes (passo normal) é definido no plano normal. A espessura do dente no plano transverso é: Ψ cos 1 (8.10) vezes o da engrenagem de dentes retos de mesmo passo normal. Outra maneira de visualizar isso é considerar o fato de que a interseção do plano normal e o cilindro primitivo de diâmetro d é uma elipse cujo raio é: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 281 Ψ = 2 cos 2 d r e (8.11) Nós podemos definir um número de dentes virtual. N e como o quociente da circunferência de um círculo de passo virtual de radio r e e o passo normal p c . Ψ = = 2 cos 2 n n e e p d p r N π π (8.12) sabendo que: ( ) Ψ = cos n t p p → ) ( cos 3 Ψ = t e p d N π (8.13) e substituindo: N d p t π = → ) ( cos 3 Ψ = N N e (8.14) Isso define uma engrenagem virtual que é equivalente a uma engrenagem de dentes retos com N e dentes, porém com dentes mais resistentes tanto para flexão quanto para fadiga de superfície do que uma engrenagem de dentes retos com o mesmo número de dentes de uma engrenagem helicoidal. A razão de contato transversal m p para engrenagens de dentes retos e engrenagens helicoidais é: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 282 b p p Z m = e φ π cos Z p m d p = (8.15) O ângulo de hélice introduz uma outra razão chamada de razão de contato axial m F , que é definido como sendo o cociente da largura da face F e o passo axial p x: π Ψ = = tan d x F p F p F m (8.16) Esta razão deveria ser pelo menos 1.15 e indica o grau de sobreposição helicoidal (helical overlap) no engrenamento. Assim como uma razão de contato transversal permite a múltiplos dentes divida a carga, uma largura de face maior para um dado ângulo da hélice aumentará o entrelaçamento dos dentes e assim promoverá uma divisão da carga. Contudo, divisão efetiva de carga ainda estará limitada pela precisão com a qual as engrenagens são feitas. Note que ângulos de hélice maiores aumentarão a razão de contato axial, permitindo engrenagens de larguras mais estreitas serem usadas, mas isso ocorrerá às custas de componentes axiais de forças maiores. Se, m F for mantido acima de 1 como desejado, as engrenagens serão consideradas helicoidais convencionais. Se m F < 1 elas serão chamadas de engrenagens de razão de contato convencionalmente baixa e seus cálculos envolvem passos adicionais. Consulte padrão AGMA para mais informações. 8.4 TENSÕES EM ENGRENAGENS HELICOIDAIS As equações AGMA para tensões de flexão e tensões de superfície em engrenagens de dentes retos são também usadas para engrenagens helicoidais. Assim sendo, tudo o que foi dito anteriormente, a respeito da explicação e definição dos termos não será repetido. Para tensão de flexão temos: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 283 I B s v m a d t b K K K K K K FJ p W = σ US I B s v m a t b K K K K K K J m F W = σ SI (8.17) Para tensão de superfície: f s v m a t c C C C C C d I F W = σ (8.18) As únicas diferenças significativas em suas aplicações para engrenagens helicoidais envolve os fatores geométricos I e J. Os valore de J para algumas combinações de ângulos de hélice, ângulo de pressão, e razão de addendum (0, 5, 25º) serão apresentados na forma de tabelas. O calculo de I para uma par de engrenagens helicoidais convencionais requer a inclusão de um termo adicional quando comparamos com o mesmo cálculo para engrenagens de dentes retos. N p g p m d I ± = ρ ρ φ 1 1 cos (8.19) sendo m N razão de divisão de carga definida como: min L F m N = (8.20) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 284 Onde F é a largura da face. O cálculo do mínimo comprimento das linhas de contato L mín requer vários passos. Primeiro, dois fatores devem ser formados dos resíduos da razão de contato transversal m p e da razão de contato axial m F. : p r m de fracional parte n = F a m de fracional parte n = e se b x r a p mín r a p n n F m L então n n Ψ − = − ≤ cos 1 (8.21) e ( )( ) b x r a p mín r a p n n F m L então n n Ψ − − − = − > cos 1 1 1 (8.22) Todos os fatores nessas equações já foram definidos anteriormente exceto b Ψ , ângulo da hélice na base, Ψ = Ψ − φ φ cos cos cos cos 1 n b (8.23) Também o raio de curvatura de um pinhão helicoidal é calculado com uma formula deferente daquela usada para engrenagens de dentes retos. ( ) ( ) [ ] { } ( ) 2 2 cos 5 . 0 φ ρ p g g p p p r a r C a r − − − ± + = p p sin C ρ φ ρ ± = (8.24) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 285 Sendo ( ) ( ) g g p p a r e a r , , os raios primitivos e os addendum do pinhão e da engrenagem, respectivamente, e C é a distância entre centros real de operação. Tabela 8.1 – Fator geométrico de flexão J da AGMA para φ = 20°, ψ = 10° dentes de profundidade completa com carregamento na ponta Tabela 8.2 – Fator geométrico de flexão J da AGMA para φ = 20°, ψ = 20° dentes de profundidade completa com carregamento na ponta ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 286 Tabela 8.3 – Fator geométrico de flexão J da AGMA para φ = 20°, ψ = 30° dentes de profundidade completa com carregamento na ponta Tabela 8.4 – Fator geométrico de flexão J da AGMA para φ = 25°, ψ = 10° dentes de profundidade completa com carregamento na ponta Tabela 8.5 – Fator geométrico de flexão J da AGMA para φ = 25°, ψ = 20° dentes de profundidade completa com carregamento na ponta ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO VIII 287 Tabela 8.6 – Fator geométrico de flexão J da AGMA para φ = 25°, ψ = 30° dentes de profundidade completa com carregamento na ponta ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 288 CAPÍTULO IX PROJETO DE EMBREAGENS E FREIOS 9.1. INTRODUÇÃO Embreagens e Freios são basicamente o mesmo dispositivo, permitindo um acoplamento friccional, magnético, ou mecânico entre dois elementos. Se ambos os elementos giram, é chamado de embreagem. Se um elemento gira e o outro é fixo, é chamado de freio. 9.2. TIPOLOGIA Freios e embreagens podem ser classificados de várias maneiras: pela natureza de sua atuação; pelo modo da transferência de energia entre os elementos; e pela natureza do acoplamento. Os modos de atuação podem ser: mecânico, pneumático ou hidráulico, elétrico, ou automático. 9.3. EMBREAGENS 9.3.1 Embreagem de contato positivo: Um dos meios de transferência de energia pode ser contato mecânico positivo, como em uma embreagem dentada. Esses dispositivos não são úteis para freios porque não podem dissipar grandes quantidades de energia como os freios de fricção. Como embreagem eles podem ser engrenados apenas em velocidades relativas baixas. Sua vantagem é o engrenamento positivo e, uma vez acoplado, pode transmitir alto torque sem escorregamento. Eles são algumas vezes combinados com uma embreagem de fricção, que arrasta os dois elementos para quase a mesma velocidade antes dos dentes engrenarem. Esse é o princípio da embreagem sincronizada em uma transmissão automotiva escalonada. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 289 Figura 9.1 - Classificação de Embreagens e Freios. Figura 9.2 - Embreagem e freio de fricção. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 290 São os tipos mais comuns. Duas ou mais superfícies são prensadas com uma força normal para criar um torque de fricção. Pelo menos uma das superfícies de fricção é tipicamente um metal (ferro fundido ou aço) e a outra é usualmente um material de alta fricção, aplicado como forro. Embreagens de fricção podem ser secas ou lubrificadas (num banho de óleo). Enquanto o óleo reduz severamente o coeficiente de fricção, aumenta em muito a transferência de calor. O coeficiente de fricção das combinações de materiais embreagem/freio varia de 0.05 em óleo até 0.60 em contato seco. Figura 9.3 Embreagem de Fricção. 9.3.2 Embreagens propulsoras: Também chamadas embreagens “one-way”. Funcionam automaticamente baseadas na velocidade relativa dos dois elementos, os quais agem na circunferência e permitem rotação relativa apenas em uma direção. Se tentarmos reverter a rotação, a geometria interna do mecanismo da embreagem prende, e o eixo trava. Uma de suas aplicações é no cubo traseiro de bicicletas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 291 Figura 9.4 – Embreagens de sobremarcha; (a) embreagem de escovas; (b) embreagem de mola enrolada 9.3.3 Embreagens Centrífugas: Engata automaticamente quando a velocidade do eixo excede um certo valor. Elementos de fricção são jogados radialmente para fora contra a parte interna de um tambor cilíndrico para engatar a embreagem. Engrenagens centrífugas são usadas algumas vezes para acoplar um motor de combustão interna e o sistema de transmissão. 9.3.4 Acoplamentos por Fluidos: Transmitem torque através de um fluído, tipicamente um óleo. Um rotor tendo um conjunto de lâminas é rodado através de um eixo de entrada e transfere momento angular para o óleo que o circunda. Uma turbina com lâminas similares é acoplada ao eixo de saída e é posta em movimento pelo óleo que se choca contra ela. O princípio de funcionamento é similar ao de colocarmos dois ventiladores face a face e ligarmos apenas um deles. Usar óleo incompressível num volume confinado é muito mais eficiente do que duas hélices em ambiente aberto, especialmente quando o rotor e as lâminas da turbina são otimamente modulados para bombear o óleo. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 292 Um acoplamento por fluido proporciona partidas extremamente suaves e absorve choques, visto que o fluido simplesmente cisalha quando há um diferencial de velocidade, e então gradualmente acelera (ou desacelera) a turbina de saída para quase ajustar a velocidade do rotor. Haverá sempre algum escorregamento, o que significa que a turbina nunca poderá atingir 100% da velocidade do rotor (0% de escorregamento), mas pode operar em 100% de escorregamento quando parada. Toda a energia de entrada será então transformada em calor cisalhando o óleo. Se usado como um freio, o fluido de acoplamento pode proporcionar apenas uma resistência para retardar o dispositivo como em um dinamômetro, mas não pode suportar uma carga estacionária. Se um terceiro elemento estacionário com um conjunto lâminas curvas, chamado de reator ou estator é colocado entre o rotor e a turbina, um momento angular adicional é dado ao fluído e o dispositivo é então chamado de conversor de torque. Conversores de torque são usados em veículos para acoplar o motor e transmissão automática. 9.3.5 Embreagens e Freios Magnéticos: Embreagens de fricção são geralmente operadas eletromagneticamente, tendo muitas vantagens, tais como tempo de resposta rápida, fácil controle, partidas e paradas suaves e são disponíveis para acionamento e desativação seguros. Existem versões de embreagens e freios, assim como um módulo combinado de embreagem-freio. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 293 Figura 9.5 - Embreagem de fricção operando magneticamente. Embreagens e Freios de Partículas Magnéticas – Não têm um atrito direto entre os discos da embreagem e a armadura (carcaça) e nenhum material de fricção para desgaste. A fenda entre as superfícies é preenchida com pó de ferro. Quando a bobina é energizada as partículas do pó de ferro formam uma corrente através das linhas de fluxo do campo magnético e acoplam o disco com a armadura (carcaça) sem escorregamento. O torque pode ser controlado variando a corrente na bobina e o dispositivo irá escorregar quando o torque aplicado exceder o valor ajustado pela corrente na bobina, proporcionando uma tensão constante. Embreagens e Freios de Histerese Magnética - Não ocorre um contato mecânico entre os elementos e assim a fricção é nula no desengate. O rotor é arrastado (ou freado) por um campo magnético ajustado pela bobina. Esses dispositivos são extremamente suaves, silenciosos, e possuem longa vida, uma vez que não há contato mecânico dentro da embreagem, exceto nos mancais. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 294 Figura 9.6 - Embreagem de histerese Embreagens de Corrente Parasita ou de Foucault – São similares em construção aos dispositivos de histerese magnética, uma vez que eles não têm contato mecânico entre o rotor e o pólo. A bobina ajusta a corrente parasita que acopla magneticamente a embreagem. Haverá sempre algum escorregamento nesse tipo de embreagem por causa do movimento relativo entre as partes para gerar a corrente parasita, que fornece a força de acoplamento. Assim sendo, essa embreagem não pode suportar cargas estacionárias, apenas prover a desaceleração de uma velocidade para outra. 9.3.6 Embreagens – Seleção e Especificação: Fabricantes de embreagens e freios possuem uma vasta gama de informações sobre a capacidade de torque e potência para os vários modelos em catálogo. Eles também definem procedimentos para seleção e especificação, usualmente baseados em torque e potência pré-definidos para aplicação, além de um fator de serviço sugerido que tem como finalidade ajustar diferentes cargas, instalações, ou fatores ambientais sobre os quais o produto é testado. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 295 Fatores de Serviços – De acordo com muitos fabricantes de embreagem, uma causa comum de problema é a falha de projeto na aplicação adequada do fator de serviço, levando em conta a condição particular de aplicação. Isso pode ser, em parte, devido à confusão gerada pela falta de padronização do fator de serviço. Um fabricante pode recomendar um fator de serviço 1.5 para uma condição particular, enquanto outro fabricante recomenda 3.0 para a mesma condição. Ambos estarão corretos no projeto da embreagem, porque, em um caso, o fabricante pode ter considerado um fator de segurança no projeto, enquanto o outro aplica-o no fator de serviço. Embreagens que fiquem ligeiramente menores que o necessário para uma carga aplicada irão escorregar e superaquecer. Em contra partida, uma embreagem excessiva para a carga é também ruim, já que adiciona inércia ao conjunto e pode sobrecarregar o motor na aceleração. A principal preocupação dos projetistas de máquinas deve ser a exata definição da carga e das condições do ambiente de operação, o que requer cálculos extensivos de momentos de inércia de todos os elementos do sistema movido pela embreagem ou freio Localização da Embreagem - o sistema necessita de uma embreagem quando uma máquina apresenta eixos de alta e baixa velocidade. O torque (e qualquer carga de choque) é maior nos eixos de baixa velocidade do que em eixos de alta velocidade por um fator igual a razão de transmissão. A potência é essencialmente a mesma em ambos os locais (negligenciando perdas no trem de transmissão), mas a energia cinética no eixo de alta velocidade é maior por um fator igual ao quadrado da razão de transmissão. A embreagem no lado de baixa velocidade deve ser maior (e assim mais cara) para suportar o torque maior. Contudo, uma embreagem menor e mais barata no lado de alta velocidade deve dissipar a energia cinética maior naquele local e assim pode superaquecer mais rapidamente. Alguns fabricantes recomendam usar sempre o lado de alta velocidade para posicionar a embreagem se possível. Assim sendo, a economia inicial é maior. Outros fabricantes sugerem que um custo inicial elevado, colocando embreagens maiores no lado de baixa velocidade, será compensado pelo baixo custo de manutenção durante o tempo de funcionamento. O balanço parece pender para o posicionamento em alta velocidade, contudo cada situação deve ser analisada individualmente. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 296 Tabela 9.1 - Propriedades dos Materiais Mais Comuns em Embreagens e Freios. 9.3.7 Embreagens de Discos: A mais simples embreagem de disco é formada por dois discos, sendo um deles forrado com material de alta fricção, prensado axialmente com uma força normal, para gerar a força de fricção necessária para transmitir o torque. A pressão entre as superfícies da embreagem pode aproximar-se de uma distribuição uniforme sobre a superfície se os discos forem suficientemente flexíveis. Em tais casos, o desgaste será maior em diâmetros maiores porque o desgaste é proporcional à pressão X velocidade (p x V) e a velocidade aumenta linearmente com o raio. Embora os discos desgastem preferencialmente no lado externo, a perda de material mudará a distribuição de pressão para não uniforme e a embreagem aproximará uma condição de uso uniforme pV = constante. Assim os dois extremos são, uma condição de pressão uniforme e uma de desgaste uniforme. Uma embreagem flexível pode estar próxima de uma condição de pressão uniforme quando nova, mas tenderá para uma condição de desgaste uniforme com o uso. Uma embreagem rígida aproximará mais rapidamente da condição de uso uniforme. Os cálculos para cada condição são diferentes e a suposição de desgaste uniforme fornece uma avaliação de embreagem mais conservativa, sendo mais aprovada por alguns projetistas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 297 Figura 9.7 - Embreagem de disco axial de superfície simples. 9.4. PROJETO PARA PRESSÃO UNIFORME Considere um anel de área elementar na face da embreagem de largura dr . A força diferencial agindo no anel é: dr r p dF π 2 = (9.1) sendo r o raio e pa pressão uniforme na face da embreagem. A força total axial F na embreagem pela integração entre os limites i r e o r será: ( ) 2 2 2 i o o r i r r r p dr r p F − = = ∫ π π (9.2) O torque de fricção no elemento de anel diferencial é: dr r p dT 2 2 µ π = (9.3) sendo µ o coeficiente de fricção. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 298 O torque total para um disco da embreagem é: ( ) 3 3 2 3 2 2 i o o r i r r r p dr r p T − = = ∫ µ π µ π (9.4) Para uma embreagem de discos múltiplos com N faces de fricção: ( )N r r p T i o 3 3 3 2 − = µ π (9.5) Combinando as equações obtemos uma expressão para o torque como uma função da força axial: ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 i o i o r r r r F N T − − = µ (9.6) 9.5. Projeto para Desgaste Uniforme: A taxa de desgaste W é proporcional ao produto da pressão pe da velocidade V : W = pV = constante (9.7) A velocidade em qualquer ponto da face da embreagem é: ω r V = . Combinando as equações e assumido uma velocidade angular constate ω : Pr = constante = K (9.8) A maior pressão max p deve ocorrer no menor raio i r : ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 299 i r p K max = (9.9) Combinando as equações temos uma expressão para a pressão em função do raio r : r r p p i max = (9.10) sendo que a máxima pressão permissível max p irá variar com o material de forro usado. A força axial F é a integral da equação da força diferencial no anel substituindo ( ) i o i r r i r r r r p r dr r r r p dr r p F o i o i − = | ¹ | \ | = = ∫ ∫ max max 2 2 2 π π π (9.11) O torque será: ( ) 2 2 max 2 2 i o i o r i r r r p r dr r p T − = = ∫ µ π µ π (9.12) Combinado as equações relacionando torque e força tangencial: ( ) 2 i o r r F N T + = µ (9.13) sendo N o número de superfícies de fricção na embreagem. Da equação acima nota-se que o máximo torque para qualquer raio externo o r é obtido quando o raio interno é: o i r r r 577 . 0 3 1 0 = = (9.14) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 300 9.6. FREIO A DISCO As equações para embreagem a disco também se aplicam para freios a disco. Contudo, freios a disco são raramente forrados em toda a circunferência da face devido ao superaquecimento. Enquanto embreagens freqüentemente são usadas com ciclo ativo leve, freios freqüentemente devem absorver uma grande quantidade de energia em aplicações repetitivas. Freios de disco com pinça, como os usados em automóveis, usam segmentos de fricção aplicados contra uma pequena fração da circunferência do disco, deixando o restante exposto para refrigeração. O disco é algumas vezes ventilado com passagens de ar internas para ajudar a refrigeração. O freio de bicicleta comum é um outro exemplo no qual o aro da roda é o disco e o freio comprime apenas uma pequena fração da circunferência. Algumas vantagens do freio a disco sobre o freio a tambor são a boa controlabilidade e linearidade (torque de frenagem é diretamente proporcional à força axial aplicada). Figura 9.8 - Freio a disco para bicicletas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 301 9.7. FREIO A TAMBOR Nos Freios a Tambor (ou embreagens) aplica-se o material de fricção à circunferência de um cilindro externamente, internamente ou ambos. Esses dispositivos são mais freqüentemente usados como freios do que como embreagens. A parte na qual o material de fricção é fixado é chamada sapata do freio e a parte contra a qual fricciona é chamada de tambor. A sapata é forçada contra o tambor para criar o torque de fricção. A configuração mais simples do freio a tambor é o freio de banda, na qual uma sapata flexível circunda grande parte da circunferência externa do tambor, sobre o qual é comprimida. Alternativamente, uma sapata forrada relativamente rígida pode ser pivotada contra a circunferência interna ou externa (ou ambas) do tambor. Se o contato da sapata tiver uma porção angular pequena, o sistema será chamado de freio de sapata curta, caso contrário, será chamado de freio de sapata longa. 9.7.1 Freio a Tambor Externo com Sapata Curta: Figura 9.9 - Geometria e forças para um freio a tambor externo de sapata curta; (a) conjunto de frenagem; (b) diagrama de corpo livre. Se o ângulo θ formado pelo arco de contato entre a sapata e o tambor for pequeno (<45°), então podemos considerar que a distribuição de forças entre a sapata e o tambor é uniforme, e pode ser substituída por um força concentrada n F no centro da área de contato. Para qualquer pressão permissível no forro max p , a força n F pode ser estimada: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 302 w r p F n θ max = (9.15) sendo w a largura da sapata do freio na direção z e θ é o ângulo formado em radianos. A força friccional f F é: n f F F µ = (9.16) sendo µ o coeficiente de fricção do material e do freio. O torque no freio a tambor é então: r F r F T n f µ = = (9.17) Somando o momento em torno de O: ∑ + − = = f n a F c F b F a M 0 (9.18) a c b F a F c F b a F c F b F n n n f n a µ µ − = − = − = (9.19) As forças de reação no pivô serão: f x F R − = (9.20) n a a F F R − = (9.21) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 303 Processo de Auto-Energização Figura 9.10 - Auto-Energização. Com a direção de rotação do tambor mostrada, o momento de fricção f F c adiciona-se ao momento atuante a F a . Isto é a auto-energização. Com a aplicação de qualquer força a F a fricção gerada na sapata aumenta o torque de frenagem. Contudo, se o tambor girar no sentido contrário, o sinal do momento de fricção f F c torna-se negativo e o freio é então auto-desenergizado. Essa característica de auto-energização do freio a tambor é uma grande vantagem, visto que reduz a aplicação da força necessária se comparado a um freio a disco de mesma capacidade. Freios a tambor têm tipicamente duas sapatas, uma das quais pode ser auto- energizada em cada direção, ou ambas em uma direção. A última montagem é geralmente utilizada em freios automotivos para ajudar na parada em movimentos para frente e não para marcha ré. Processo de Auto-Travamento Se o freio é auto-energizado e o produto b c ≥ µ , a força a F necessária para atuar o freio torna-se nula ou negativa. O freio é então chamado de auto-travado. Se a sapata toca no tambor, ela trava. Isso não é usualmente uma condição desejada exceto nas ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 304 chamadas aplicações de travamento de retorno (backstoppoing) como descrito em embreagens propulsoras. De fato, um freio com auto-travamento pode funcionar como uma embreagem propulsora para “parar a volta” (backstop) de uma carga e preveni-la de soltar se a potência for cortada. 9.7.2 Freio a Tambor Externo com Sapata Longa: Figura 9.11 - Geometria e forças para um freio a tambor externo de sapata longa Se o ângulo de contato θ entre a sapata e o tambor for maior do que 45°, então a suposição de uma distribuição de pressão uniforme sobre a superfície da sapata não será exata. A maioria dos freios a tambor tem ângulo de contato de 90° ou mais, então uma análise mais exata do que a suposição feita em sapatas curtas será necessária. Uma vez que nenhuma sapata de freio será infinitamente rígida, sua deflexão afetará a distribuição de pressão. Com o uso, a sapata irá rodar ao redor do ponto O e o ponto A percorrerá mais do que o ponto B devido a maior distância de O. A pressão em qualquer ponto na sapata também varia em proporção com a distância de O. Se o tambor roda com velocidade constante e o uso é proporcional ao trabalho feito, isto é, o produto pV , então no ponto arbitrário da sapata C a pressão normal p será proporcional a sua distância do ponto O: ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 305 ( ) ( ) θ θ sen sen b p ∝ ∝ (9.22) Desde que a distância b é constante, a pressão normal em qualquer ponto é proporcional ao ( ) θ sen : ( ) θ sen K p = (9.23) Se a máxima pressão permissível para o material é max p , então a constate K pode ser definida como: max max θ θ sen p sen p K = = (9.24) sendo max θ o mínimo entre 2 θ e ° 90 . Então: θ θ sen sen p p max max = (9.25) Essa equação define a pressão normal em qualquer ponto da sapata com θ sen desde que max p e 2 θ sejam constantes para qualquer freio particular. Assim, a força de fricção é pequena para θ pequeno sendo ótima para ° = 90 θ . Pouco se ganha usando ° > ° < 120 10 2 1 θ θ ou . Para obter a força total na sapata, a função pressão deve ser integrada sobre a faixa angular da sapata. Considerando um elemento diferencial θ d , sujeito a duas forças diferenciais, n dF e f dF , com momentos respectivos ao redor do ponto O de θ sen b e θ sen b r − . Integrando : ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 306 ∫ ∫ ∫ = = = = 2 1 2 1 2 1 2 max max θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d sen sen p b r w d sen p b r w sen b d r w p M n F ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ − − − = 1 2 1 2 max max 2 2 4 1 2 1 θ θ θ θ θ sen sen sen p b r w M n F (9.26) sendo w a largura do tambor na direção z . Para o momento devido à força friccional: ( ) ( ) ∫ ∫ = − = − = 2 1 2 1 cos cos max max θ θ θ θ θ θ θ θ µ θ θ µ d b r sen sen p r w b r d r w p M f F ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ − − − − = 1 2 2 2 1 2 max max 2 cos cos θ θ θ θ θ µ sen sen b r sen p r w M f F (9.27) Somando os momentos ao redor do ponto O: a M M F f n F F a ∓ = (9.28) sendo o sinal superior para freios auto-energizados e o sinal inferior para freios auto- desenergizados. Freio com auto-travamento também pode ocorrer se n F f F M M > . O torque do freio será obtido integrando a expressão do produto da força de fricção f F e do raio do tambor r : ∫ ∫ = = 2 1 2 1 max max 2 θ θ θ θ θ θ θ µ θ µ d sen sen p r w r d r w p T ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO IX 307 ( ) 2 1 max max 2 cos cos θ θ θ µ − = sen p r w T (9.29) As forças de reação x R e y R são obtidas somando-se as forças nas direções x e y : ∫ ∫ ∫ ∫ + = + = 2 1 2 1 cos cos θ θ θ θ θ θ µ θ θ θ θ d sen p r w d p r w dF sen dF R f n x ∫ ∫ + = 2 1 2 1 2 max max max max cos θ θ θ θ θ θ θ µ θ θ θ θ d sen sen p r w d sen sen p r w ( ) ( ) ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ( ¸ ( ¸ − − − + | | ¹ | \ | − − = 1 2 1 2 1 2 2 2 max max 2 2 4 1 2 1 2 2 θ θ θ θ µ θ θ θ sen sen sen sen sen p r w R x (9.30) a a n f y F d sen sen p r w d sen sen p r w F dF sen dF R − + = − + = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2 1 2 max max max max cos cos θ θ θ θ θ θ θ µ θ θ θ θ µ θ θ ( ) ( ) a y F sen sen sen sen sen p r w R − ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ( ¸ ( ¸ − − − + | | ¹ | \ | − − = 1 2 1 2 1 2 2 2 max max 2 2 4 1 2 1 2 2 θ θ θ θ θ θ µ θ (9.31) ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO X 308 CAPÍTULO X REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Norton, R. L., Machine Design – An Integrated approach, Prentice Hall, USA, 2000. [2] Collins, J. A., Mechanical Design of Machine Elements and Machines, John Wiley & Sons, USA, 2003. Índice 1. INTRODUÇÃO AO PROJETO DE COMPONENTES MECÂNICOS 1 2. TEORIAS DE FALHA ESTÁTICA E DINÂMICA 18 3. PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO E ACOPLAMENTOS RADIAIS E AXIAIS 61 4. MANCAIS 113 5. UNIÕES E ROSCAS 167 6. MOLAS 201 7. PROJETO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS PLANAS 242 8. PROJETO DE ENGRENAGENS HELICOIDAIS 276 9. PROJETO DE EMBREAGENS E FREIOS 288 10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 308