Centr o - Rua P edr o I, 1106 - 3226.8000 Centr o - Av. Duque de Caxias, 1452 - 3211.7000 Cid.dos Func. - Av. O liveir a P aiva, 223 - 3275.9000 Aldeota - Av. Bar ão de S tudar t, 1400 - 3248.2400 Itaper y - Av. Dedé Br asil, 1263 - 3292.2266 TURMA DISCIPLI NA RACIOCÍNIO LÓGICO PROFESSOR(A ) ALEX MAGNO NESTA NESTA AULA AULA ESTUDAREMOS ESTUDAREMOS LÓGICA LÓGICA MATEMÁTICA MATEMÁTICA ARGUMENTOS ARGUMENTOS DEDUTIVOS DEDUTIVOS E E INDUTIVOS INDUTIVOS LÓGICA LÓGICA DEDUTIVA DEDUTIVA E E INDUTIVA INDUTIVA PRINCÍPIO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL FUNDAMENTAL DE DE CONTAGEM CONTAGEM PERMUTAÇÃO PERMUTAÇÃO || ARRANJOS ARRANJOS E E COMBINAÇÕES COMBINAÇÕES EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMENTADOS COMENTADOS || QUESTÕES QUESTÕES DE DE CONCURSOS CONCURSOS L ÓGICA MATEMÁTICA Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica dizia respeito, tradicionalmente, apenas às proposições da linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, seus princípios foram aplicados à linguagem simbólica da matemática. Lógica matemática é o conjunto de estudos que visam a expressar em signos matemáticos as estruturas e operações do pensamento, deduzindo-as de um pequeno número de axiomas, com o propósito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual estejam afastadas as ambigüidades próprias da linguagem comum. Fundamenta-se na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou demonstração. Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-tsé) 500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever sistema como um conjunto de funções, características e atributos que podem ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota preferencialmente o conjunto de regras e raciocínios dedutivos elaborado a partir da segunda metade do século XIX. Mediante a eliminação das imprecisões e erros lógicos da linguagem comum e a adoção de critérios de formalização e emprego de símbolos, a lógica formal converteu-se numa disciplina associada à matemática. Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores, propostos por Aristóteles para as proposições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para cada proposição. Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas operações. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem propriedades exprimíveis, e conjunto de conjuntos como um novo conjunto que contém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou que um conjunto pertence à primeira categoria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução, pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda que inicialmente se atribuísse uma categoria a cada conjunto. Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjuntos não vazios, isto é, que contêm elementos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma categoria, como constituído desses elementos. Com esse axioma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a polêmica quanto à validade dos teoremas demonstrados com base nele, e a equiparação destes com aqueles que não necessitam desse axioma para sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar se em determinado teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha. Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fosse suficiente para a aritmética clássica seria necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de escolha, e assim se mantém quando nele se inclui a negação desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade geral também é coerente com a matemática comum, que mantém a coerência quando se lhe acrescentam simultaneamente o axioma de escolha e a hipótese de continuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira causa se desconhece. E-mail: "
[email protected]" Site: www.colegiotiradentes.com.br 1 CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000 COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX, define-se sistema como um conjunto cujos elementos estão em interação e no qual prevalecem as relações recíprocas entre os elementos, e não os elementos em si. Por sua própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que significa que pode ser analisado. O conjunto como um todo, porém, não pode ser obtido pela simples acumulação das partes. A trama das relações entre os elementos constitui a estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o mecanismo de articulação de suas partes. As grandezas tomadas para descrever um sistema não são sempre as mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter propriedades que suscitam tal comportamento e dêem lugar a certas regras de organização. Os sistemas têm limites precisos, de modo que é possível determinar sem ambigüidades se um elemento pretence a um ou a outro sistema. Os sistemas classificam-se em fechados, se não permutam matéria com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao equilíbrio, e abertos, se podem permutar matéria e energia com o exterior e tendem à estabilidade. Os últimos se caracterizam por um comportamento não plenamente determinado por uma cadeia causal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se adequam a possíveis perturbações. Essa tendência à estabilidade lhes permite alcançar um estado final característico a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuação ou comportamento de cada subsistema ou componente de um sistema se difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas são representados formalmente mediante modelos, e chama-se simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo modelo que representa. Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo matemático exige rigor. O modelo tradicional de um sistema consiste na apresentação das assertivas principais em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na Grécia antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma proposição cuja validade se prova por demonstração. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstração, pertencem a uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demonstram a partir de outros teoremas, mediante procedimentos de dedução ou indução nos quais se encadeiam conseqüências lógicas. A axiomática da matemática, e das ciências em geral, constitui o elemento básico para a dedução de teoremas derivados, e a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos mais delicados na elaboração dos modelos de qualquer sistema. Um conjunto de axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, quando tem coerência lógica, o que implica que de um mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas contraditórios. Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além dos axiomas, as próprias regras de dedução deveriam estar sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez estabelecido o método. Quando se pode demonstrar uma proposição ou sua negativa, o sistema é completo. Se um sistema que contém um teorema se altera, a mesma proposição, ou a que corresponde à nova entidade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade se mantenha, seria preciso uma nova demonstração, devido à possibilidade de que os axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham perdido sua pertinência. As regras básicas da lógica matemática exigem a formulação de enunciados, nos quais se definem previamente os conceitos da proposição, e predicados ou sentenças matemáticas que empregam os enunciados descritos anteriormente. A terminologia e a metodologia da lógica matemática tiveram, ao longo do século XX, importante papel no progresso das novas ciências da informática e cibernética. Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais da lógica binária e da álgebra de Boole e empregaram a filosofia de enunciado-predicado em suas proposições, numa axiomática e num conjunto de regras hipotético-dedutivos definidas previamente. DEFINIÇÕES: Neste roteiro, o principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS. ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira. Premissa : "Todo homem é mortal." Premissa : "João é homem." Conclusão : "João é mortal." ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão. Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." E-mail: "
[email protected]" Site: www.colegiotiradentes.com.br 2 CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000 COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Premissa : "Está chovendo." Conclusão: "Ficará nublado." As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer deste roteiro. UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA • LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabilidade, não será abordada neste roteiro. • LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em : • LÓGICA CLÁSSICA- Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. É o que chamamos hoje de CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas. Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da IDENTIDADE, da CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante. • LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA: Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal , deôntica, epistêmica , etc. FATORIAL INTRODUÇÃO O produto fatorial vai nos auxiliar na solução de problemas de uma forma abreviada, será muito importante para compreensão de outros conteúdos também. DEFINIÇÃO Seja n um número natural, com n ≥2, indicamos por n! como o produto de n pelos números naturais positivos menores que n, isto é: n! = n.(n− 1). Ex.: 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Também pode ser feito o seguinte desenvolvimento: 10! = 10.9! 15! = 15.14.13! 20! = 20.19.18.17! OBS.: 1. 1. Por convenção 1! = 1 e 0! = Por convenção 1! = 1 e 0! = E-mail: "
[email protected]" Site: www.colegiotiradentes.com.br 3 CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000 COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR Ex.: Simplifique os fatoriais: 10! 10.9.8! = = 10.9 = 90 8! a) 8! n! n.(n − 1).(n − 2)! = = n.(n − 1) = n2 − n ( n − 2 )! ( n − 2 )! c) PROFESSOR ALEX MAGNO 7!. 9! 7.6.5!. 9.8! = = 7.6.9 = 378 8!. 5! b) 8!. 5! (n − 1)! (n − 1)! 1 1 = = = 2 d) (n + 1)! (n + 1).n.(n − 1)! (n + 1).n n + n ANÁLISE COMBINATÓRIA O PRINCÍPIO ADITIVO Enunciamos abaixo o que chamamos de princípio aditivo: Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com m e n elementos, respectivamente, então AUB possui m+n elementos. Ex: Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 sabores de salgados. Suponha que Maria só tenha permissão para tomar um picolé ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que Maria pode fazer? Sol.: 5+3 = 8 possibilidades O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Se uma decisão d1 pode ser tomada de m maneiras e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de n maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 sucessivamente é m.n. Ex: Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o número de cumprimentos será igual a: a) 35 b) 300 c) 595 d) 1190 e) 1200 Sol.: 20x15 = 300 possibilidades PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: • p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa • p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa • pK é o número de possibilidades da k-ésima etapa. Então: p1 ⋅ p2 ⋅ ⋅ pk é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer. Você deve multiplicar o número de possibilidades de cada evento obtendo o número de resultados distintos do experimento composto. Ex.: 4 E-mail: "
[email protected]" Site: www.colegiotiradentes.com.br CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000 . 1106 3226. b2.7.colegiotiradentes. Observa −se que existem 3 possibilidades (L. Ex. 2 possibilidades para a segunda posição pois uma das letras já está na primeira posição e uma para a última. . ..br 5 CENTRO.com" Site: www. a segunda e terceira posição terá 26 possibilidade cada e as demais 10 possibilidades. FORTALEZA – CE Ex. a primeira só uma possibilidade (H) e a ultima tem 5 possibilidade (1. − O número de opções é o produto das possibilidades de cada evento.: Quantas placas de carro no Brasil podem começar com H e terminar com número ímpar? HAB – 5227 um Resp. U e A) para a primeira posição. bn} um conjunto com n elementos (n ∈ N). MODELO x COR. ARRANJOS SIMPLES Seja B = {b1.p = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ (n − p + 1) ou An. − Temos 7 posições a serem ocupadas. − Nesse caso as 3 letras vão ser embaralhadas. logo 3 2 1 = 6 anagramas Nesse caso. qualquer agrupamento de p elementos. como são poucos resultados também poderíamos até escrever cada um dos anagramas e contá–los. Um consumidor terá quantas opções para escolher? Resp.: Existem quantos anagramas da palavra LUA? Resp.8000 . 3 5 = 15 opções. LUA LAU ALU AUL ULA UAL 1. Fórmula do número de arranjos An.9).COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Uma montadora de automóveis apresenta um carro em três modelos diferentes e em cinco cores diferentes.5. 1 26 26 10 10 10 5 = 3380000 Portanto. Indica-se: ou ► Observação: ARRANJO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. mais de 3 milhões de veículos. tomados p a p. escolhidos entre os elementos de B (p ∈ N e p ≤ n). Rua Pedro I. Denomina-se arranjo simples dos n elementos de B.com.p = n! (n − p)! E-mail: "tiradentescentro@gmail. distintos. ou seja.3. bn} um conjunto com n elementos (n ∈ N). .. .n Indica-se: ► Observação: Permutação é o tipo de agrupamento ordenado no qual. tomados p a p. bn} um conjunto com n elementos (n ∈ N).. b2. Pnα = n! α! Se tivermos n elementos. Rua Pedro I.br 6 CENTRO. tomados n a n.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR 2. COMBINAÇÕES SIMPLES Seja B = {b1. é igual ao fatorial de n dividido pelo fatorial de Pn = n! α . dos quais: α γ β são iguais a B são iguais a C são iguais a A O número de permutações distintas dos n elementos será: Pnα. Indica-se: Cn. PROFESSOR ALEX MAGNO Denomina-se combinação simples dos n elementos de B.com. qualquer subconjunto de p elementos do conjunto B.colegiotiradentes. b2.com" Site: www. Fórmula das combinações simples Cn. PERMUTAÇÕES SIMPLES Seja B = {b1. P =A Fórmula das permutações simples Pn = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ 1 = n! Pn = n! 4. β.. em cada grupo.8000 . n n.γ = n! α ! β!γ! E-mail: "tiradentescentro@gmail. dentre os quais um certo elemento se repete a vezes. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS O número de permutações possíveis com n elementos. 1106 3226. Denomina-se permutação simples dos n elementos de B todo arranjo dos n elementos de B.p = n! p!(n − p)! 3. . . entram todos os elementos..p ou Cp n ► Observação: COMBINAÇÃO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. p = (n + p − 1)! p!(n − 1)! 7. 104 d) 81 . Rua Pedro I. o número de cumprimentos será igual a: a) 35 SOLUÇÃO b) 300 c) 595 d) 1190 e) 1200 02. ARRANJO COM ELEMENTOS REPETIDOS ARn .(FGV-SP) Dois grupos de excursionistas.com" Site: www.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR 5. se os números dos telefones passarem a ser de 7 dígitos. 103 c) 81 . encontram-se em um certo local de um país distante.O número de telefone de uma cidade é constituído de 6 dígitos. PERMUTAÇÕES CIRCULAR PROFESSOR ALEX MAGNO Pn = (n − 1)! 6. o aumento possível na quantidade de telefones será: a) 81 .colegiotiradentes. 1106 3226.com. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentar todas as pessoas do outro grupo. p = n p EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. COMBINAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS c CRn + p −1. 105 E-mail: "
[email protected] números de 4 algarismos diferentes têm o algarismo da unidade de milhar igual a 3? a) 1512 SOLUÇÃO b) 3! 504 c) 504 d) 3024 e) 4! 504 03. Sabendo-se que o 1º dígito nunca pode ser zero. um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos.8000 . 105 e) 90 .br 7 CENTRO. 103 SOLUÇÃO b) 90 . (UFC) A quantidade de números inteiros compreendidos entre 30.8000 . podemos formar com os dígitos: 1. o número de modos diferentes de montar a composição é: a) 120 SOLUÇÃO b) 320 c) 500 d) 600 e) 720 07.Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos. 4! d) 4 e) 32 SOLUÇÃO E-mail: "
[email protected] 06. 4. 09.(PUC-SP) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições. 3.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 04. Se deseja sempre um livro de História em cada extremidade. Rua Pedro I.colegiotiradentes. Combinando assento e encosto.000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2.br 8 CENTRO. 8: a) 210 SOLUÇÃO b) 7! c) 200 d) 840 e) 1. sendo um deles restaurante. 1106 3226. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva.d. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é: 8! a) 1.Numa estante existem 3 livros de história. 4. 7. 6 e 7.(FGV-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos.680 b) 8! c) 8 . de modo que não figurem algarismos repetidos. este banco assume: a) 6 posições diferentes d) 180 posições diferentes SOLUÇÃO b) 30 posições diferentes e) 720 posições diferentes c) 90 posições diferentes 08. então o número de maneiras de se arrumar esses 7 livros é: a) 720 SOLUÇÃO b) 36 c) 81 d) 126 e) n. independente da posição do assento.com" Site: www.Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. 6. 5. 3 de Matemática e 1 de Geografia. 2. é: a) 48 SOLUÇÃO b) 66 c) 96 d) 120 e) 98 05. 3.000 e 65.com. sem repetir algarismos num mesmo número.a. (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. para uma de suas turmas. contendo no mínimo um diretor? a) 500 SOLUÇÃO b) 720 c) 4.C. de acordo com o esquema seguinte: 1) Formam-se 4 grupos de 5 equipes. uma prova com 7 questões. o número máximo de alunos que essa turma poderia possuir era: a) 17 SOLUÇÃO b) 19 c) 21 d) 22 e) 25 13.com" Site: www.br 9 CENTRO.a. Obtém-se assim um campeão em cada grupo.Num determinado setor de um hospital. se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa? a) 6 SOLUÇÃO b) 32 c) 63 d) 120 e) 720 14.8000 . De quantos modos pode-se iluminá-la.(FGV-SP) Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número 718.050 c) 5.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 10.colegiotiradentes.200 16. Rua Pedro I. trabalham 5 médicos e 10 enfermeiros. O número total de jogos disputados é: a) 20 SOLUÇÃO b) 24 c) 40 d) 46 e) 190 E-mail: "tiradentescentro@gmail. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma.500 d) 25 e) 55 12. constituídas cada uma de um médico e 4 enfermeiros.080 e) 25.C) Uma sala tem 6 lâmpadas.040 d) 10. das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder.844? a) 90 SOLUÇÃO b) 720 c) 15 d) 30 e) 180 15.com. 1106 3226.Um campeonato de futebol é disputado por 20 equipes.(Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com os 10 sócios de uma empresa são: a) 5. Logo. surgindo daí o campeão.(F. Quantas equipes distintas. 2) Os 4 campeões de grupo jogam todos entre si. podem ser formadas nesse setor? a) 210 SOLUÇÃO b) 1. com interruptores independentes. 11.r. Em cada grupo as equipes jogam todas entre si.040 SOLUÇÃO b) 40 c) 2 d) 210 e) n.Um professor propôs. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas. sendo 5 de Matemática. De quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira. 3. 6. 4.com. Determine quantos números de três algarismos distintos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2. 4. 3. Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2. a) 343 b) 210 c) 133 d) 90 SOLUÇÃO 3. 4. Determine quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2. 4 de Física e 3 de Química.(F.680 SOLUÇÃO b) 17. a) 343 b) 210 c) 133 d) 90 SOLUÇÃO 4. 7 e 9? a) 343 b) 210 c) 133 d) 90 SOLUÇÃO E-mail: "tiradentescentro@gmail. 5.Tem-se 12 livros.colegiotiradentes. devendo os livros de cada assunto permanecer juntos? a) 103.280 c) 150 d) 12 e) 6 18. 7 e 9.com" Site: www. 5. de forma que figurem pelo menos dois algarismos iguais. 7 e 9. Rua Pedro I. 5.C) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. 5. 4. 6. 3. 6. Quantos números de 3 algarismos podemos formar utilizando apenas os algarismos 2.8000 . Quantos deles têm as vogais juntas? a) 36 SOLUÇÃO b) 72 c) 120 d) 144 e) 180 GABARITO 01 02 03 B C D 11 12 13 E C C 04 B 14 E 05 D 15 B 06 D 16 D 07 B 17 A 08 A 18 D 09 A 10 D EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. 6. 3.br 10 CENTRO. todos diferentes.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 17. 1106 3226.C. 7 e 9? a) 343 b) 210 c) 133 d) 90 SOLUÇÃO 2. 6. 7 e 9. Determine quantos anagramas da palavra CHUVA não possuem as vogais juntas? a) 120 b) 72 SOLUÇÃO c) 48 d) 24 12. podemos formar quantos números ímpares de quatro algarismos distintos que sejam menores que 4000? a) 90 b) 120 c) 140 d) 210 SOLUÇÃO 8. 4.colegiotiradentes. 1.br 11 CENTRO.com" Site: www. 4. 3. 5. 1106 3226. Rua Pedro I. 6. Quantos são os anagramas da palavra CHUVA? a) 120 b) 100 c) 80 SOLUÇÃO d) 60 9. Determine a quantidade de anagramas da palavra CHUVA que começam e terminam por vogal. a) 65 b) 55 SOLUÇÃO c) 45 d) 35 7. 3.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 5.com. utilizando apenas os algarismos 2. Quantos anagramas da palavra CHUVA possuem as consoantes juntas e em ordem alfabética? a) 12 b) 10 SOLUÇÃO c) 8 d) 6 E-mail: "tiradentescentro@gmail. Determine quantos números pares de três algarismos distintos são maiores que 500. a) 10 b) 12 SOLUÇÃO c) 14 d) 16 10. Utilizando apenas os algarismos 0. 7 e 9? a) 240 b) 210 c) 120 d) 90 SOLUÇÃO 6. Quantos anagramas da palavra CHUVA possuem as vogais juntas? a) 96 b) 64 c) 48 d) 24 SOLUÇÃO 11. 4. 2.8000 . 5. 5 e 6. Quantos números de 3 algarismos distintos são maiores que 500. 3. utilizando apenas os algarismos 2. ele pode escolher para ir de casa até a academia. preenche-se o cartão apresentado a seguir. DICA: Observe que ele anda 5 vezes para oeste (O) e 4 vezes para o sul (S). 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento. é igual ao número de anagramas da seqüência vista na figura (SOOSOOSSO). 3. 5 e 6. 4. quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados de modo que o algarismo das unidades seja par e o algarismo das milhares seja ímpar? a) b) c) d) 27 54 108 216 17. partindo de fora do "Shopping Center" pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados? a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 160 18. Quando Ribamar vai de casa (esquina 1) até o shopping Aldeota (esquina 2).com.com" Site: www. ele percorre exatos 9 quarteirões. sem voltar. Um "Shopping Center" possui 4 portas de entrada para o andar térreo. Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. será escolhido o casal mais simpático da festa (não necessariamente namorados). Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes. De quantas maneiras diferentes uma pessoa. está representada apenas uma das várias possibilidades de caminhos que ele pode escolher. Na figura ao lado. 2 escadas rolantes ligando o primeiro ao segundo e 3 elevadores que conduzem do térreo ao primeiro e deste para o segundo pavimento. o número mínimo de peças (n o de paletós mais no de calças) de que precisa é: a) 24 b) 11 c) 12 b) SOLUÇÃO c) d) 10 e) 8 14. Em uma festa existem 12 homens e 20 mulheres. a) 20 b) 81 c) 63 d) 256 e) 126 12 2 1 E-mail: "tiradentescentro@gmail. Rua Pedro I. De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questionário? a) 3 125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 10 16. colocando-se um "x" em uma só resposta para cada questão. Determine quantos caminhos diferentes.colegiotiradentes. Para responder a certo questionário.8000 . 2.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 13. Com os algarismos 1. 1106 3226. veja que o número de caminhos possíveis. De quantas maneiras diferentes poderá ser escolhido esse casal? a) 12 b) 20 SOLUÇÃO c) 32 d) 120 e) 240 15.br CENTRO. uma ao lado da outra.br CENTRO. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas. é igual a? a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 27. Bruno. sabendo que Caio e Débora namoram e ficarão necessariamente juntos? a) 120 b) 240 c) 360 d) 720 22.000 25. Existem quantos anagramas da palavra EXERCICIO.com" Site: www. que começam com X e terminam com R? a) 315 b) 630 c) 720 d) 22680 e) 51840 21. lado a lado. 5 e 7 de modo que os algarismos pares nunca fiquem juntos? DICA: Descubra o total e desconte a quantidade de vezes que o números pares ficam juntos. sabendo que exatamente três faixas devem ser azuis. Quantas placas podem ser formadas apenas com vogais. utilizando apenas o esboço. a) 720 b) 480 c) 240 c) 120 26. De quantas maneiras. os cinco. por exemplo EAA. de forma que só as letras sejam apenas vogais e os números sejam distintos? a) 1. e apenas com algarismos ímpares? a) 35 b) 25 c) 55 d) 57 e) 75 20. poderá uma pessoa ir de carro do ponto A ao ponto B (marco zero) e retornar ao ponto de partida passando exatamente por três pontes distintas? a) 8 b) 13 c) 17 d) 18 e) 20 24. está dividida em 6 faixas que serão pintadas de azul. Quantas placas de carro. Quantos números naturais de seis algarismos distintos podem ser formados com 1. a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 23. 1106 3226.com.250. 2. Uma placa de automóvel é formada por três letras e quatro números.colegiotiradentes. cada um deles com três algarismos diferentes. vermelho e branco. Caio. podem se organizar lado a lado para tirar uma foto. A bandeira a seguir. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se.000 c) 320.000 b) 630. duas vermelhas e uma branca.Considere dois números naturais.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 19.8000 . podem existir. As setas indicam o sentido do fluxo de tráfego de veículos. Na figura a seguir temos um esboço de parte do centro da cidade do Recife com suas pontes. 3. De quantas maneiras Amanda. Rua Pedro I. Érica e Felipe. Determine quantas bandeiras distintas poderão ser criadas. 4. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. na mesma fila.000 d) 84. Débora. O menor valor possível para a diferença entre eles é: a) 5 b) 69 c) 29 d) 49 13 E-mail: "tiradentescentro@gmail. com três letras e quatro números. qual o número total de cumprimentos? a) b) c) d) e) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500 35. a) 210 b) 105 c) 98 d) 49 32. o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 29. Denise não poderá ser a primeira da fila. Finalmente. Quantos triângulos podemos desenhar com os vértices nesses pontos? a) 35 b) 25 c) 56 d) 10 e) 210 34.com. entre seus 5 filhos. 1106 3226.Considere 7 pontos distintos em uma circunferência. ou Carla ou Denise.colegiotiradentes. para visitar o Parque das Andréas. mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. a) 90 b) 70 c) 50 d) 45 31. encontram-se em um certo local de um país distante. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas. Sabendo que cada um deles cumprimentou a todos. De quantas maneiras distintas ele pode fazer essa distribuição para três dos cinco filhos? a) 10 b) 20 c) 15 d) 60 33.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 28.De quantas maneiras distintas 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras? a) 60 b) 40 c) 20 d) 15 30.br CENTRO. Carla e Denise. determine o número mínimo de apertos de mãos durante a festa. Rua Pedro I. a) b) c) d) e) 230 b) 120 c) 100 d) 40 e) 20 14 E-mail: "tiradentescentro@gmail.(ESAF) Sete modelos.com" Site: www. exceto o casal de anfitriões. vão participar de um desfile de modas.Um grupo de 10 empresários cumprimenta-se com apertos de mãos no inicio de uma reunião.Um casal recebe 20 convidados em sua casa para um reunião informal. determine o número de apertos de mão. Assim. ou Beatriz. um deles com 20 pessoas e o outro com 15.Abaixo temos um grupo de dez pessoas. Além disso.Um pai deseja sortear 3 chocolates diferentes. Fortaleza–Pacatuba. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo.Dois grupos de excursionistas. Sabendo que todos os presentes na festa se cumprimentaram com um aperto de mãos. a última de cada fila só poderá ser ou Ana. entre elas Ana. um pequeno. Beatriz.8000 . Determine de quantas maneiras distintas posso escolher 4 delas para ganhar uma passagem de ida e volta. sabendo que a mãe que carrega o bebê só viaja com ele (admita que o bebê conta como passageiro). um médio e um grande. B 19.com" Site: www.colegiotiradentes. C 26. O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos ímpares. D 09. 1106 3226.br 15 CENTRO. que uma delas tenha exatamente 23 anos. B 30. A 18. O menor valor possível para a diferença entre eles é: a) 5 b) 69 c) 29 d) 49 40. B 12. Para Paulo. lado a lado. B 22. para a seleção. podem ser formados a partir dos dígitos 2. D 03. 6. C 33. C 17. menores que 66. C 15.Considere dois números naturais. D 29. de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos. A 06. lado a lado.Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se. A 10. A 37.com. A 38. B 35. Rua Pedro I. da esquerda para a direita. D 07. D E-mail: "tiradentescentro@gmail. B 11.380. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas. os cinco. A 02. D 40. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: a) 120 b) 1220 c) 870 d) 1120 GABARITO 01. C 25.(ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede. B 34. Apresentaram-se. A 04. em anos. E 24. 3. B 16. C 32. C 20. D 23. D 36.Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas. D 21. os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a a) 20 b) 30 c) 24 d) 120 e) 360 37. é igual a? a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 39. C 13. de cada candidata. sendo a idade. A 31. cada um deles com três algarismos diferentes. 7 e 9? a) 927 b) 915 c) 943 d) 975 38. E 27. e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Todos os seis quadros são assinados e datados.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 36. C 05. A 08.8000 . uma ao lado da outra.Quantos números ímpares de cinco algarismos. desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica. com idades de 15 a 29 anos. D 14. diferente das demais. quinze candidatas. E 28. A 39. na mesma fila. ou seja. • 1º CASO . então A > B (Aline é mais velha que Bruna) e C > B (Bruna é mais nova que Carol) Como “Carol não é a mais velha”. defina a ordem das idades. Uma investigação é um processo de construção do conhecimento que tem como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pré-existente. Sejam A. deduzindo novas informações a partir de relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. a hipótese passa a se chamar teoria. sem precisar supor. No enunciado. A investigação. figuras ou qualquer outra coisa. Esse tipo de questão dá apenas informações verdadeiras. é perceber se precisaremos ou não supor alguma coisa. são dadas pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas. Assim que comprovada. se todas as informações são verdadeiras ou existem mentiras. pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um conhecimento. idades. no sentido de pesquisa. uma suposição admissível. datas. mas cada edital descreve esse tipo de questão de maneira diferente. mas não demonstrada. mas esta não é a mais velha de todas.colegiotiradentes. com base nas informações fornecidas no enunciado.Somente Verdades: ORDENAÇÃO. O primeiro passo então. associação ou suposição) e seguir os procedimentos peculiares a cada um deles. 1106 3226. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada permitirá identificar o item correto a ser marcado.INVESTIGAÇÃO INVESTIGAÇÃO HIPÓTESES HIPÓTESES IDENTIFICAÇÃO IDENTIFICAÇÃO DE DE CASOS CASOS – – ORDENAÇÃO ORDENAÇÃO || ASSOCIAÇÃO ASSOCIAÇÃO ( ( VERDADES VERDADES X X MENTIRAS) MENTIRAS) EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS PROPOSTOS – – QUESTÕES QUESTÕES DE DE CONCURSOS CONCURSOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS COMENTADOS COMENTADOS || QUESTÕES QUESTÕES DE DE CONCURSOS CONCURSOS ESTRUTURA LÓGICA: INVESTIGAÇÃO INVESTIGANDO As questões de estrutura lógica.com. Podemos então dizer que é uma afirmação sujeita a comprovação.com" Site: www. lei ou postulado. objetos ou eventos fictícios. Para resolver questões de investigação. B e C as respectivas idades de Aline. também chamadas de investigações. mediante pistas que devem ser seguidas. Podemos dizer que essas questões tratam do entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas. Quando todas as informações forem verdadeiras. que nos permite colocar em ordem pessoas. podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma: E-mail: "tiradentescentro@gmail. Bruna e Carol.8000 . que é mais nova que Carol. cores. HIPÓTESE Uma hipótese é uma teoria provável. devemos inicialmente identificar o caso (ordenação. Todos eles procuram deduzir novas informações. EXEMPLO: Aline é mais velha que Bruna. é o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. Rua Pedro I. estão presentes na maioria das provas de raciocínio lógico. B e C as respectivas idades de Aline. mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas. Na matemática. lugares. não haverá necessidade de hipóteses. Surge no pensamento científico após a coleta de dados observados e na conseqüência da necessidade de explicação dos fenômenos associados a esses dados.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO NESTA NESTA AULA AULA ESTUDAREMOS ESTUDAREMOS ESTRUTURA ESTRUTURA LÓGICA LÓGICA .br 16 CENTRO. IDENTIFICANDO CADA CASO Existem basicamente três casos de questões de investigações. devemos fazer suposisções para chegarmos as conclusões. As questões de investigação são muito interessantes e prazerosas de se fazer. É normalmente seguida de experimentação. Bruna e Carol. objetos. que pode levar à verificação (aceitação) ou refutação (rejeição) da hipótese. CONCLUSÕES: Sejam A. br 17 CENTRO. pois existem verdades e mentiras envolvidas no enunciado e através da análise das hipóteses chegaremos às devidas conclusões.com.colegiotiradentes. e que “a mais nova é Terapeuta”. declararam o seguinte: – ALINE: “Foi a Bruna que comeu” – BRUNA: “Aline está mentindo” – CAROL: “Não fui eu” Sabendo que apenas uma delas está dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo. temos a tabela totalmente preenchida. teremos que fazer suposições. Como todas as informações dadas são verdadeiras. foi dito que “apenas uma delas está dizendo a verdade”. 2º PASSO: (construir a tabela e lançar as hipóteses) E-mail: "
[email protected]ÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR A>C>B PROFESSOR ALEX MAGNO • 2º CASO . Por exemplo. portanto duas delas mentem e outra fala a verdade. deduzimos que Carol é Fonoaudióloga e têm 27 anos. CONCLUSÕES: Do enunciado. A B C Profissão Idade T 25 F 27 Por exclusão.8000 . Bruna e Carol fazem aniversário no mesmo dia. CONCLUSÕES: 1º PASSO: (identificar que existem verdades e mentiras) No enunciado. EXEMPLO: Aline. pois nasceram em três anos consecutivos. Bruna é a mais nova e têm 25 anos.com" Site: www. a outra é Fonoaudióloga e a mais nova é Terapeuta. quando um delegado procurar descobrir quem é o verdadeiro culpado entre três suspeitos. Esse último caso requer maior atenção. Quando perguntadas sobre o fato. EXEMPLO: Aline. mas não têm a mesma idade. ele lança mão de hipóteses. ou seja. descubra quem comeu o bolo. A B C Profissão Idade Como “Bruna é a mais nova e têm 25 anos”. iniciando pelas informações diretas e posteriormente deduzindo as outras. tratando-se de uma questão do 3º caso. Por exemplo. ou seja. 1106 3226.Somente Verdades: ASSOCIAÇÃO. A B C Profissão Idade T 25 Como “Carol é a mais velha e não é Psicóloga”. O que devemos fazer é preencher a tabela cruzando as informações de cada uma das pessoas. A B C Profissão Idade P 26 T 25 F 27 • 3º CASO . Uma delas é Psicóloga. o que será importante é saber organizar as informações em uma tabela para cruzar os dados. já que “as três nasceram em anos consecutivos” e “a mais nova tem 25 anos”. a fim de confirmar ou rejeitar a hipótese. ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informação que ele possui. Bruna e Carol são suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vovó. Logo podemos acrescentar as seguintes informações na tabela. podemos construir a tabela a seguir. Rua Pedro I. cada coluna trata das informações de uma determinada pessoa e as linhas tratam das características dessas pessoas. deduzimos que Bruna é Terapeuta. Assim.Verdades e Mentiras: SUPOSIÇÃO. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela. deduz-se que Aline tem 26 anos e é Psicóloga. Carol é a mais velha e não é Psicóloga. Em um prédio de 4 andares moram Erick. as colunas 2 e 3 terão valores lógicos contrários. teremos duas garotas mentindo e apenas uma dizendo a verdade. EXEMPLO DO 1º CASO . apenas no caso de Carol ter comido o bolo. temos: A B C A comeu B comeu C comeu F V F V F V V V F 4º PASSO: (aceitar ou rejeitar as hipóteses. caso contrário estará falando a verdade. Sabe-se que Heitor não mora no 1º andar. logo temos: A B C A comeu B comeu C comeu F V F V F V Finalmente. das afirmações. Fred. temos que Bruna só mente no caso (na hipótese de) de Aline falar a verdade. caso Aline realmente esteja mentindo então Bruna estará falando a verdade. a) Heitor a) Erick d) Fred e) Giles SOLUÇÃO: Com base nas informações fornecidas no enunciado. ANÁLISE DAS AFIRMAÇÕES HIPÓTESES A B C Se A foi quem comeu Se B foi quem comeu Se C foi quem comeu 3º PASSO: (julgar a veracidade.br 18 CENTRO. ela só estará mentindo caso (na hipótese de) Bruna não tenha comido. podemos afirmar que a 3ª hipótese foi aceita e as outras duas foram rejeitadas. então ele mora no 4º andar. 1106 3226. para satisfazer essas condições. logo analisando essa afirmação. mediante cada uma das hipóteses) Como Aline disse que “Foi a Bruna que comeu”. Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor.com. Determine quem mora no 2º andar. Carol comeu a última fatia do bolo. podemos construir a tabela a seguir.com" Site: www. então Heitor tem que morar no 2º andar e Fred no 3º andar. caso contrário estará falando a verdade. Erick mora acima de Todos. ela só estará mentindo caso (na hipótese de) ela tenha comido. Como “Fred mora acima de Heitor” e “Heitor não mora no 1º andar”. cada um em um andar diferente. ou não. Inicialmente como “Erick mora acima de todos”.VERDADES: ORDENAÇÕES 01. ou seja. logo temos: A A comeu B comeu C comeu F V F B C Como Bruna disse que “Aline está mentindo”.8000 .colegiotiradentes. vamos ordenar os moradores. Giles e Heitor. E-mail: "tiradentescentro@gmail. Conclusão. Rua Pedro I. Observe que apenas na terceira linha. de acordo com o proposto no enunciado) Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade. Portanto. então com base nisso devemos identificar a única linha que tem apenas uma afirmação verdadeira. ou seja. como Carol disse “não fui eu”.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Do enunciado. b) Kant. mora em um andar superior. PROFESSOR ALEX MAGNO OBS. ou seja. então “Cláudio não estuda Kant” Frege Kant Wittgenstein Luciano F Cláudio F Fernanda 3) Se “Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein. mora no andar imediatamente acima. 1106 3226. Wittgenstein e Kant. então “Luciano não estuda Frege” Frege Kant Wittgenstein Luciano F Cláudio Fernanda Cláudio Fernanda 2) Se “Luciano ou Fernanda estuda Kant. mas não ocorrem as duas opções simultaneamente. SOLUÇÃO: Do enunciado. podemos organizar as informações na tabela a seguir: Luciano Frege Kant Wittgenstein De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos: 1) Se “Cláudio ou Fernanda estuda Frege. mas não ambos. EXEMPLOS DO 2º CASO . d) Frege. então “Cláudio estuda Wittgenstein” pois já tínhamos concluído que “Luciano não estuda Frege” Frege Kant Wittgenstein Luciano F F Cláudio F VERDADE Fernanda F Como “Luciano não estuda nem Frege. mora no andar imediatamente abaixo. mas não ambos”. o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. “acima”. Cláudio e Fernanda estudam respectivamente: a) Kant. não necessariamente em cima.br . Nesse caso resta apenas que “Fernanda estuda Frege” Frege Kant Luciano F VERDADE Cláudio F 19 CENTRO. Rua Pedro I. ou seja. (IPAD) Luciano. não necessariamente em baixo. Giles mora no 1º andar. c) Wittgenstein.VERDADES: DEDUÇÕES 02. Frege e Wittgenstein. • ABAIXO. Sabe-se que um deles estuda Frege. se Geovanne mora no 10º andar de um prédio. • EM BAIXO.8000 Fernanda VERDADE E-mail: "tiradentescentro@gmail. 2) Luciano ou Fernanda estuda Kant. mas não ambos. “em baixo” e “abaixo”.com. Cláudio e Fernanda são três estudantes de Filosofia. Luciano.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR Por exclusão. • ACIMA. e) Frege. mas não ambos”.colegiotiradentes. Kant e Frege. no 9º andar.: É importante diferenciar “em cima”. nem Wittgenstein” então por exclusão “ele estuda Kant”. 3) Luciano estuda Frege ou Cláudio estuda Wittgenstein. mas não ambos”. o que satisfaz a condição de “morar abaixo de Fred”. Kant e Wittgenstein. Por exemplo. no 11º andar.com" Site: www. 4) Fernanda ou Cláudio estuda Wittgenstein. outro morador que more: • EM CIMA. mas não ambos. Wittgenstein e Frege. Sabe-se ainda que: 1) Cláudio ou Fernanda estuda Frege. mora em um andar inferior. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR Wittgenstein F VERDADE F PROFESSOR ALEX MAGNO 03. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos. podemos organizar a tabela a seguir: ASTOLFO IDADE BRINQUEDO Sabendo que “Astolfo brincava com um Playmobil” e que “Cleosvaldo tem 6 anos”. temos: ASTOLFO IDADE BRINQUEDO BELARMINO CLEOSVALDO BELARMINO CLEOSVALDO 6 Play ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO Como “A criança que tem 11 anos. Playmobil e Atari. Bruna e Camila. • A criança que tem 11 anos. Desse modo. a) o vestido de Bruna é azul e o de Anna é preto. logo IDADE BRINQUEDO Play 11 Atari 6 Por exclusão. • Cleosvaldo tem menos de 8 anos. O vestido de uma delas é azul. • As idades dos três são: 11. e o de outra é branco. c) os sapatos de Bruna são pretos e os de Anna são brancos. brincava de Atari”. Considere as seguintes informações: • Os brinquedos são: Falcon. SOLUÇÃO: Do enunciado. Belarmino e Cleosvaldo – brincavam. e) o vestido de Anna é preto e os sapatos de Camila são azuis. Camila está com sapatos azuis. temos: ANNA VESTIDO E-mail: "
[email protected] BRUNA CAMILA BRUNA CAMILA 20 CENTRO. Rua Pedro I. 8 e 6. • Astolfo não brincava com um Falcon e nem com o Atari. d) Cleosvaldo brincava com um Atari. c) Belarmino brincava com um Falcon. b) Astolfo tem 11 anos. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores.com" Site: www. apenas Belarmino se encaixa. com um único tipo de brinquedo. e) Astolfo não tem 8 anos.colegiotiradentes. Três amigas. temos ASTOLFO IDADE BRINQUEDO BELARMINO CLEOSVALDO 8 Play 11 Atari 6 Falcon 04. Anna. mas somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor. 1106 3226.8000 . SOLUÇÃO: Do enunciado. encontram-se em uma festa. Três crianças – Astolfo.com. d) os sapatos de Anna são pretos e o vestido de Camila é branco. b) o vestido de Bruna é branco e seus sapatos são pretos. Com base na informações dadas. brincava de Atari. podemos organizar a tabela a seguir: ANNA VESTIDO SAPATOS Sabendo que “Camila está com sapatos azuis”. é correto afirmar que a) Belarmino tem 11 anos. cada qual. o de outra é preto. então para qualquer outra hipótese de culpado ele mente (F). ele mente (F) na hipótese de outra pessoa ser o culpado. então Anna tem que ter sapatos brancos ANNA VESTIDO SAPATOS BRUNA CAMILA Br ANNA BRUNA Az CAMILA Como “Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”. Carlos e Daniel.br . onde serão analisadas as declarações mediante as hipóteses: HIPÓTESES ALYSSON ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES BOSCO CLEBER DANIEL ALYSSON BOSCO CLEBER DANIEL Analisaremos as declarações de cada criança. Rua Pedro I. deduz-se que Bruna está com sapatos pretos e sabendo que “somente Anna está com vestido e sapatos de mesma cor”.com. então ele estará falando a verdade somente no caso de Bosco realmente ser o culpado. diga quem quebrou o vaso. sou inocente" – disse Cleber • “Claro que o Bosco está mentindo" – disse Daniel Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade. o Daniel foi culpado" – disse Bosco • "Mãe. eles fazem as seguintes declarações: • "Mãe. temos ANNA VESTIDO SAPATOS BRUNA CAMILA Br Br Az Pr Pr Az EXEMPLOS DO 3º CASO – VERDADES E MENTIRAS: HIOPÓTESES 05. chega em casa. temos VESTIDO SAPATOS Br Br Az Por exclusão. logo temos: HIPÓTESES ALYSSON ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES BOSCO CLEBER DANIEL ALYSSON BOSCO CLEBER F V F F F F 21 CENTRO.colegiotiradentes. o Bosco foi quem quebrou" – disse Alysson • "Como sempre. a) Alysson b) Bosco c) Cleber d) Daniel SOLUÇÃO: Do enunciado. Por exemplo. nota-se que apenas no caso de Daniel ser o culpado ele estará dizendo a verdade. Bosco.com" Site: www. de acordo com as hipóteses dos culpados. Alysson declara que “Bosco foi quem quebrou”. podemos construir a tabela a seguir. ou seja.8000 E-mail: "
[email protected]ÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR SAPATOS PROFESSOR ALEX MAGNO Az Sabendo que “Nem o vestido nem os sapatos de Bruna são brancos”. 1106 3226. Quando a mãe de Alysson. verifica que seu vaso preferido havia sido quebrado. logo: HIPÓTESES ALYSSON ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES BOSCO CLEBER DANIEL ALYSSON F BOSCO V CLEBER F DANIEL F Como Bosco disse que “Daniel foi o culpado”. Interrogados pela mãe. avisa aos garotos de que apenas dois dos guardiões estava falando a verdade. Como somente Daniel diz a verdade. Cada um dos guardiões declara: • 1º Guardião: “O castelo do seu inimigo não está na porta da direita” • 2º Guardião: “A porta do meio é a passagem para seu mundo” • 3º Guardião: “A porta do centro leva a um labirinto e a da direita ao Castelo do Vingador” Quando o “Mestre dos Magos” aparece. então nesse caso. Rua Pedro I. buscando um caminho para voltar para casa. a um labirinto e finalmente uma passagem para seu mundo. apenas na hipótese dele ser o culpado. eles concluíram que: a) o labirinto está na porta da esquerda b) a passagem está na porta da esquerda c) a passagem está na porta do centro d) o castelo do Vingador está na porta do centro e) o castelo do Vingador está na porta da direita SOLUÇÃO: Do enunciado. Cinco jovens encontram-se diante de três portas na “Caverna do Dragão”. logo: HIPÓTESES ALYSSON ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES BOSCO CLEBER DANIEL ALYSSON BOSCO CLEBER DANIEL F V F F F F F V V V F V Como Daniel disse que “Bosco está mentindo". logo Cleber é declarado culpado.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR DANIEL PROFESSOR ALEX MAGNO F V Como Cleber se declara inocente. sendo então três falsas (F). ou seja: HIPÓTESES ALYSSON ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES BOSCO CLEBER DANIEL ALYSSON BOSCO CLEBER DANIEL F V F F F F F V V V F V V V V F Análise das hipóteses: • 1ª Hipótese: Alysson culpado (REJEITADA) → Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V) • 2ª Hipótese: Bosco culpado (REJEITADA) → Somente um mentiu (F) • 3ª Hipótese: Cleber culpado (ACEITA) → Somente um falou a verdade (V) • 4ª Hipótese: Bosco culpado (REJEITADA) → Dois mentiram (F) e dois falaram a verdade (V) Observe que somente na hipótese de Cleber ser o culpado é que apenas uma das declarações se torna verdadeira (V). a terceira hipótese é a única aceita.com" Site: www.com. podemos construir a tabela a seguir.br . 1106 3226. sempre a declaração de Daniel terá valor lógico contrário ao de Bel. mas não nessa ordem. As portas levam: ao castelo do Vingador. em todas as demais hipóteses ele realmente será considerado inocente. logo temos: ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES HIPÓTESES 1º GUARDIÃO 2º GUARDIÃO 3º GUARDIÃO C C L P P L V V 22 CENTRO. 06. o que ocorre na 4ª e na 5ª hipótese. que mostra as possibilidades para cada porta: ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES HIPÓTESES 1º GUARDIÃO 2º GUARDIÃO 3º GUARDIÃO C C P P L L L P C L P C P L L C C P O 1º guardião declarou que “O castelo não está na porta da direita”. ou seja. pois eles se contradizem. Logo.colegiotiradentes.8000 E-mail: "tiradentescentro@gmail. então Daniel só irá mentir no caso dele ser o culpado. Diante das portas estão três guardiões. sua declaração é dita como falsa (F). então ele só estará mentindo (F) no caso do castelo está na porta da direita. então a ordem será: Castelo (C).8000 . dois dos guardiões falam a verdade e um mente. Qual é a cor da camiseta do topo da pilha? E-mail: "tiradentescentro@gmail. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. pois nestas hipóteses supõe-se que a passagem (P) está no meio. então na 2ª e na 5ª hipótese ele só estará mentindo (F). é mineiro. A vermelha está acima da verde e esta fica abaixo da branca. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. encontra-se à frente de Paulo. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.com. logo: ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES HIPÓTESES 1º GUARDIÃO 2º GUARDIÃO 3º GUARDIÃO C C P P L L L P C L P C P L L C C P V V V F F V F V F F V F O 3º guardião fez duas declarações. ou seja. Oliveira. Por sua vez.com" Site: www. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. 1106 3226. assim como esta e a verde. apenas na 4ª hipótese. um carioca e um baiano.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR P P L L C L P C L C C P PROFESSOR ALEX MAGNO V F F V Já o 2º guardião declarou que “A porta do meio é a passagem para seu mundo”. que não é carioca. 3. então ele só estará falando a verdade (V) no caso das duas afirmações ocorrerem. o mais antigo entre eles. O mais jovem deles é: a) João b) Antônio c) Pedro d) Carlos 2. a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. “A matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade” EXERCÍCIOS 1. Antônio não é mais novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. Assim. logo temos: ANÁLISE DAS DECLARAÇÕES HIPÓTESES 1º GUARDIÃO 2º GUARDIÃO 3º GUARDIÃO C C P P L L L P C L P C P L L C C P V V V F F V F V F F V F F F F V F F Observe que apenas na 2ª hipótese. Em torno de uma mesa quadrada.colegiotiradentes. Vasconcelos. Passagem (P) e Labirinto (L) Portanto. Há também um paulista. João é mais velho do que Pedro.br 23 CENTRO. Paulo está sentado à direita de Oliveira. encontram-se sentados quatro sindicalistas. que é mais novo do que João. A laranja e a branca se encostam. à direita do paulista. Antônio é mais velho do que Carlos. A branca está abaixo da laranja e acima da azul. o que satisfaz a condição imposta no enunciado da questão. a passagem está na porta do centro. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. Norton. Rua Pedro I. que é mais novo do que Carlos. que “a porta do centro leva a um labirinto” e que “a porta da direita leva ao Castelo do Vingador”. danificando o mesmo. Tiago disse que ele não fez a ligação. outra à França e a outra irá à Inglaterra.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO a) Azul b) Laranja c) Branca d) Vermelha e) Verde 4. Netuno. não necessariamente nessa ordem. (B) Tiago e Pedro. que queria identificar o nome e o destino de cada uma. respectivamente: (A) Tiago e Carlos. ocupam as quatro primeiras posições no “grid” de largada de uma corrida. Macmais) participam de uma concorrência para compra de certo tipo de máquina. 06. 05.br CENTRO. verde. azul e preto. 24 E-mail: "tiradentescentro@gmail. O gerente sabe que exatamente um deles ligou um aparelho em uma tomada de voltagem errada. 08. respectivamente. b) preto e azul.com. Perguntou-se a três pessoas qual delas se chamava Antônio. 07. a) amarelo e verde. e) preto e amarelo. Carlos declarou que tinha sido Tiago. A primeira pessoa respondeu: “Eu sou Antônio”. Sabendo-se que apenas uma delas se chama Antônio e que duas delas mentiram. (E) Pedro e Carlos. foi menos veloz nos treinos do que o que está mediatamente a frente do carro azul. Ao agente de viagens. • O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte. ainda.colegiotiradentes. (FCC) Quatro empresas (Maccorte. c) foi o primeiro a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade. d) verde e preto. que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha. o modelo apresentado pela empresa a) Macval foi o Hécules. Sabe. (C) Tiago e Valmir. a segunda pessoa respondeu: “Eu não sou Antônio”. Macval apresentou o menor e Mactex o maior. são. a terceira respondeu: “A primeira pessoa a responder não disse a verdade”. A seguir. Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. O carro amarelo larga atrás do carro preto. O carro que está imediatamente atrás do carro azul. com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex. visitaremos Carine em outra viagem” • A ruiva: “Nem eu nem Bruna vamos à França” O agente de viagens concluiu. b) foi o primeiro a responder e que a segunda pessoa foi a única a dizer a verdade. 1106 3226. O carro verde larga atrás do carro azul. • Macval não apresentou o modelo Netuno. b) A ruiva é Carine e vai à França. c) A ruiva é Anna e vai à Inglaterra. Nessas condições. e) A loira é Bruna e vai à Alemanha. Finalmente. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor. que: a) A loira é Carine e vai à Alemanha. d) A morena é Anna e vai à Inglaterra. então. trabalham quatro funcionários Pedro. Pedro respondeu que havia sido Carlos ou Valmir. Sabe-se que: • Sobre os prazos de entrega. Hércules. • O modelo Hércules seria entregue em 10 dias. O agente sabe que uma delas se chama Anna. Tiago e Valmir subalternos a um gerente. o gerente perguntou a todos quem tinha feito a ligação. Macval. c) azul e verde. outra se chama Bruna e a outra se chama Carine. Colocados frente a frente em uma sala. Uma delas é loira. (ESAF) Quatro carros de cores diferentes. Sabendo que apenas um dos quatro funcionários falou a verdade. acertadamente.com" Site: www. Valmir declarou que Tiago mentiu. podemos concluir que quem falou a verdade e quem fez a ligação em voltagem errada foram. amarelo. é correto concluir que Antônio: a) foi o primeiro a responder e que somente ele disse a verdade. (D) Carlos eTiago. elas deram as seguintes informações: • A loira: ”Não vou à França nem à Inglaterra“ • A morena: “Eu e Bruna. e) foi o segundo a responder e que a terceira pessoa foi a única a dizer a verdade. Em uma loja de telefonia celular. Rua Pedro I. Um agente de viagens atende três amigas.8000 . outra é morena e a outra é ruiva. Mactex. Carlos. As cores do primeiro e do segundo carro do “grid”. d) foi o segundo a responder e que somente ele disse a verdade. Por outro lado.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR b) Mactex foi o Thor.ª e 3. d) Mactex foi o Netuno e) Macval foi o Netuno PROFESSOR ALEX MAGNO 9. tem 5 anos de experiência e ficou em primeira opção. 11. (CESPE) Três contadores — A. um Fusca.com. outro tem um Landau e o terceiro.ª opção. Quando Marcos carrega a ficha branca. b) as correspondências dos lotes de Altamiro foram expedidas das 14 às 16 horas. das 14 às 16 horas e das 16 às 18 horas. cada um. 5 e 8 anos) e foram classificados em três opções: 1. tem 50 anos de idade e é proprietário do Chevett.br 25 CENTRO. c) Carlos mora na Praia Grande. Além disso. ele fala somente mentiras. Esses contadores estudaram em diferentes universidades (USP. um lote de processos para arquivar e um lote de correspondências a serem expedidas. • dois funcionários não podem ficar responsáveis pela mesma tarefa no mesmo horário. Um deles tem um Chevett. Os três moram em bairros diferentes (Buritis. • Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do Fusca. e) Altamiro expediu as correspondências de seu lote das 10 às 12 horas. • apenas Altamiro arquivou os processos e expediu as correspondências que recebeu em um mesmo horário. • Corifeu expediu toda a correspondência de seu respectivo lote das 16 às 18 horas. c) Benevides arquivou os processos de seu lote das 10 às 12 horas. (CESPE) Marcos e Newton carregam fichas nas cores branca ou preta. tem 45 anos de idade e é proprietário do Landau. Cada um deles deu a seguinte declaração: • MARCOS: "Nossas fichas são iguais" E-mail: "tiradentescentro@gmail. tem 50 anos de idade e é proprietário do Chevett. Belarmino. Beto e Carlos – se encontram todos os fins-de-semana na feira de carros antigos. Cleosvaldo e Denysgleison. Rua Pedro I. Com base nas informações acima. fala somente verdades. UnB e FGV).colegiotiradentes. (CESPE) Três amigos – Ari.com" Site: www. mas. sabe-se que: • Ari não tem um Chevett e mora em Buritis. eles fazem as seguintes declarações: • Auri: "Cleo é o culpado" • Bel: "Acreditem. três técnicos judiciários – Altamiro. possuem diferentes tempos de experiência na profissão (3. • nem as correspondências expedidas e nem os processos arquivados por Benevides ocorreram de 10 às 12h. a) Aurisvanderson b) Belarmino c) Cleosvaldo d) Denysgleison 13. quando Newton carrega a ficha branca. (FCC) Certo dia. 10. Nessas condições. tem 8 anos de experiência e ficou em primeira opção. Interrogados na delegacia. 12. ele fala somente mentira. c) Macmais foi o Thor. é correto afirmar que a) Ari mora em Buritis. B e C — estão sendo avaliados para o preenchimento de uma posição em uma empresa. quando carrega a ficha preta. b) Beto mora no Cruzeiro. d) o lote de processos que coube a Benevides foi arquivado das 10 às 12 horas. mas. quanto a de expedição devem executadas no mesmo dia e nos seguintes horários: das 10 às 12 horas. Benevides e Corifeu – receberam. ele fala somente a verdade. c) o contador C estudou na FGV e tem 5 anos de experiência. d) o contador A tem 3 anos de experiência.ª. 1106 3226. Sabe-se que um crime é cometido por um dos quatro suspeitos: Aurisvanderson.8000 . Considere que: • tanto a tarefa de arquivamento. não estudou na UnB e tem 2 anos de experiência a menos que o contador que foi classificado na 2. • O dono do Chevett não mora no Cruzeiro e é o mais velho do grupo. A partir das informações acima. • o contador C ficou na 3. tem 50 anos de idade e é proprietário do Fusca.ª opção. conclui-se que a) o contador B estudou na UnB. diga quem é o verdadeiro culpado.ª. b) o contador B estudou na UnB. sou inocente" • Cleo: "Denys realmente é o culpado" • Denys: "Cleo está mentindo" Sabendo que apenas um dos quatro mentiu. 2. quando carrega a ficha preta. Considere também que • o contador A estudou na USP e tem menos de 7 anos de experiência. d) Ari mora em Buritis. 50 e 55 anos). Praia Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes (45. é verdade que a) os processos dos lotes de Altamiro foram arquivados das 16 às 18 horas. Delta e Épsilon – para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. outra. vermelha. amarela e amarela. • Gama: “Beta está mentindo”. Carolina. outra. a caneta.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR • NEWTON: “Nossas fichas são diferentes" Com base nessas informações. Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Turing.” • Caixa 3: “O livro está aqui. Sabese que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. amarela. c) Marcos carrega ficha preta e Newton carrega ficha branca. Sabe. está examinando um grupo de cinco andróides fabricados por essa empresa – rotulados de Alfa. concluir corretamente que o andróide que certamente é do tipo V é o andróide: a) Alfa b) Beta c) Delta d) Gama e) Épsilon GABARITO 01. D 13. que sempre dizem a verdade. (ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. o diamante. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr.” • Caixa 2: “A caneta está na caixa 1. vermelha. o livro. que sempre mentem. Beta. Desse modo. Ana. Uma delas contém um livro. B 10. 2 e 3 estão. que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa. numeradas de 1 a 3. E 15. Dr. Carolina. o diamante.br 26 CENTRO. vermelha. Dr. a caneta. amarela e amarela. Turing pôde. então. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa. A 06. Os andróides restantes fazem. E 09. uma caneta. Beatriz. as cores das blusas de Ana.8000 . amarela. e) amarela. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha.com. respectivamente. o livro. Por fim. 1106 3226. • Delta: “Gama está mentindo”. Com tais informações. C 02. e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. D 14. E 11. E 07. amarela. a) a caneta. D 08. vermelha. a) Marcos e Newton carregam fichas brancas. d) o diamante. por sua vez. o diamante. a caneta. D 03. vermelha e amarela. A 12. d) Marcos carrega ficha branca e Newton carrega ficha preta. julgue os itens a seguir. A 04. E E-mail: "tiradentescentro@gmail. c) vermelha. distraído. d) vermelha. b) Marcos e Newton carregam fichas pretas.” Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. Turing. c) o diamante. então. C 05. a saber: • Caixa 1: “O livro está na caixa 3. Pedro conclui corretamente que nas caixas 1. 16. amarela e amarela. Em cada uma das caixas existe uma inscrição. um especialista em Inteligência Artificial. estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. vermelha. • Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Beatriz. b) vermelha. Carolina. 15. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. e os de tipo M.colegiotiradentes. ainda. Denise e Eduarda. e) o livro. a caneta. amarela.com" Site: www. PROFESSOR ALEX MAGNO 14. amarela e amarela. Denise e Eduarda são. respectivamente: a) amarela. as seguintes declarações: • Beta: “Alfa respondeu que sim”. C 16. b) o livro. (ESAF) Cinco moças. Rua Pedro I. diz que Denise veste blusa amarela. (ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V. amarela. não ouve a resposta. o livro. Gama. um diamante. então.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Oliveira. Antônio é mais velho do que Carlos.br CENTRO.com" Site: www. João é mais velho do que Pedro. Um agente de viagens atende três amigas. Assim. a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. elas deram as seguintes informações: • A loira: ”Não vou à França nem à Inglaterra“ • A morena: “Meu nome não é Monyke nem Carine” • A ruiva: “Nem eu nem Monyke vamos à França” O agente de viagens concluiu. d) A morena é Milena e vai à Inglaterra. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. encontram-se sentados quatro sindicalistas. outra à França e a outra irá à Inglaterra. Sabe. que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha. A rosa está acima da marrom e esta fica abaixo da verde.colegiotiradentes. nem às sextas-feiras”. 3. que é mais novo do que João. FRANCISCO: “Tomo café todas as segundas e quartas-feiras e não tomo nos demais dias”. Rua Pedro I. LUÍS: “Tomo café todas as terças. (FCC) Pesquisados sobre o hábito de tomar café no horário do almoço. Por sua vez. o mais antigo entre eles. que não é carioca. Vasconcelos. Norton. à direita do paulista. acertadamente. A amarela e a verde se encostam. O agente sabe que uma delas se chama Milena. assim como esta e a marrom. c) A ruiva é Milena e vai à Inglaterra. quintas e sextas-feiras e não tomo nos demais dias”. Uma delas é loira. outra é morena e a outra é ruiva. encontra-se à frente de Paulo. então os três tomam café juntos na a) sexta-feira b) quinta-feira c) quarta-feira d) terça-feira e) segunda-feira 5. ainda. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. um carioca e um baiano. Há também um paulista. que é mais novo do que Carlos.com. Antônio não é mais novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. outra se chama Monyke e a outra se chama Carine. O mais jovem deles é: a) João b) Antônio c) Pedro d) Carlos 27 E-mail: "tiradentescentro@gmail. Qual é a cor da camiseta do topo da pilha? a) Azul b) Amarela c) Verde d) rosa e) Marrom 4. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. três colegas afirmaram: EUCLIDES: “Não tomo café às terças. b) A ruiva é Carine e vai à França. Sabe-se que todos os dias pelo menos um deles toma café no almoço e há um dia em que os três tomam café juntos. é mineiro. Se apenas Francisco não falou a verdade. e) A loira é Monyke e vai à Alemanha. Em torno de uma mesa quadrada. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. 2.8000 . Ao agente de viagens. A verde está abaixo da amarela e acima da azul. que queria identificar o nome e o destino de cada uma. 1106 3226. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. que: a) A loira é Carine e vai à Inglaterra. Paulo está sentado à direita de Oliveira. no período de segunda a sexta-feira. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 6. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrência para compra de certo tipo de máquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hércules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que: • Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior. • O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex. • O modelo Hércules seria entregue em 10 dias. • Macval não apresentou o modelo Netuno. Nessas condições, o modelo apresentado pela empresa a) Macval foi o Hécules. b) Mactex foi o Thor. c) Macmais foi o Thor. d) Mactex foi o Netuno e) Macval foi o Netuno 7. (FCC) Cinco times: Antares, Bilbao, Cascais, Deli e Elite, disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco primeiras posições na classificação geral. Sabe-se que: • Antares está em um primeiro lugar e Bilbao está em quinto; • Cascais está exatamente na posição intermediária entre Antares e Bilbao; • Deli está à frente do Bilbao, enquanto que o Elite está imediatamente atrás do Cascais. Nessas condições, é correto afirmar que: a) Cascais está em segundo lugar. b) Deli está em quarto lugar. c) Deli está em segundo lugar. d) Elite está em segundo lugar. e) Elite está em terceiro lugar. 8. Marcos e Paulo pertencem a um grupo de mentirosos programados. Marcos mente sempre na terça, quarta e quinta, dizendo a verdade nos outros dias da semana. Paulo mente sempre na sexta, sábado e domingo, fazendo questão de dizer a verdade nos outros dias. Certo dia, dialogando entre eles, afirmaram: • Marcos: “Eu mentirei amanhã, assim como ontem” • Paulo: “Hoje é terça-feira” Em que dia da semana ocorreu esse diálogo? a) segunda b) terça c) quarta d) quinta e) sexta 9. Sabe-se que um crime é cometido por um dos quatro suspeitos: Aurisvanderson, Belarmino, Cleosvaldo e Denysgleison. Interrogados na delegacia, eles fazem as seguintes declarações: • Auri: "Bel é o culpado" • Bel: "Denys realmente é o culpado" • Cleo: "Acreditem, eu não sou culpado" • Denys: "Bel está mentindo" Sabendo que apenas um dos quatro mentiu, diga quem é o verdadeiro culpado. a) Aurisvanderson b) Belarmino c) Cleosvaldo d) Denysgleison 10. Três bolas A, B e C foram pintadas: uma de vermelho, uma de preto e uma de azul, não necessariamente nessa ordem. Leia atentamente as declarações abaixo: • A é azul • B não é azul • C não é preta Sabendo− se que apenas uma das declarações acima é verdadeira, podemos afirmar corretamente que: a) A bola A é vermelha, a bola B é preta e a bola C é azul b) A bola A é vermelha, a bola B é azul e a bola C é preta c) A bola A é preta, a bola B é azul e a bola C é vermelha d) A bola A é preta, a bola B é vermelha e a bola C é azul E-mail: "
[email protected]" Site: www.colegiotiradentes.com.br 28 CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000 COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR e) A bola A é azul, a bola B é vermelha e a bola C é preta PROFESSOR ALEX MAGNO 11. Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição: • Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.” • Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.” • Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.” Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se respectivamente: a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão d) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro e) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro 12. (ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o de outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo, a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco. e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis. 13. (ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: • Beta: “Alfa respondeu que sim”. • Gama: “Beta está mentindo”. • Delta: “Gama está mentindo”. • Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 14. Sete funcionários de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flávio e Geraldo) foram divididos em 3 grupos para realizar uma tarefa. Esta divisão foi feita de modo que: cada grupo possui no máximo 3 pessoas;Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo; Beatriz e Carlos não podem ficar no mesmo grupo que Geraldo; Beatriz e Flávio devem estar no mesmo grupo; Geraldo e Arnaldo devem ficar em grupos distintos; nem Edna nem Flávio podem fazer parte do grupo de Douglas. Estarão necessariamente no mesmo grupo: a) Arnaldo e Carlos; b) Arnaldo e Douglas; c) Carlos e Flávio; d) Douglas e Geraldo; 15. (CESPE) Três amigos – Ari, Beto e Carlos – se encontram todos os fins-de-semana na feira de carros antigos. Um deles tem um Gordini, outro tem um Sinca e o terceiro, um Fusca. Os três moram em bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Além disso, sabe-se que: • Ari não tem um Gordini e mora em Buritis; • Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do Fusca; • O dono do Gordini não mora no Cruzeiro e é o mais velho do grupo. A partir das informações acima, é correto afirmar que a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e é proprietário do Sinca. E-mail: "
[email protected]" Site: www.colegiotiradentes.com.br 29 CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000 COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é proprietário do Gordini. c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e é proprietário do Gordini. d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do Fusca. GABARITO 01. A 02. E 06. D 07. C 11. E 12. C PROFESSOR ALEX MAGNO 03. D 08. B 13. B 04. B 09. B 14. D 05. C 10. C 15. D SILOGISMO Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —, mas não como ambas. As quatro proposições categóricas de Aristóteles (384 a 322 a.C.), componentes fundamentais de seus silogismos, podem ser simbolizadas pelas fórmulas da linguagem da lógica de 1.ª ordem, mostradas na tabela abaixo. Denotando por AB qualquer uma das quatro proposições categóricas, e denominando A e B os termos de AB, então um silogismo consiste (sintaticamente) de uma seqüência de três proposições categóricas construídas com três termos, de modo que cada duas delas tenham exatamente um termo comum. Para os termos A, B e C, a tabela abaixo apresenta os quatro possíveis modelos de silogismos. CB (PREMISSA MAIOR) AC (PREMISSA MENOR) AB (CONCLUSÃO) Todo homem é mortal. Sócrates é homem. Logo, Sócrates é mortal. 30 CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000 E-mail: "
[email protected]" Site: www.colegiotiradentes.com.br COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO O termo semelhante nas premissas desaparece, restando na conclusão os termos restantes das premissas. QUANTIFICADORES São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições. Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição. TIPOS DE QUANTIFICADORES a) Quantificador existencial: É o quantificador que indica a necessidade de “ existir pelo menos um” elemento satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. É indicado pelo símbolo “∃ ”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”. EXEMPLO: (p) ∃x∈R / x ≥ 3 (q) Existe dia em que não chove. b) Quantificador universal: É o quantificador que indica a necessidade de termos “ todos” os elementos satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. É indicado pelo símbolo “∀ ”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”. EXEMPLO: (m) ∀x∈R | x ≥ 5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5”) (n) Qualquer que seja o dia, não choverá. TEORIA DOS CONJUNTOS NOMENCLATURA UTILIZADA ℜ -conjunto dos números reais ℜ* - conjunto dos números reais não nulos ℜ+ - conjunto dos números reais não negativos ℜ *+ - conjunto dos números reais positivos Q - conjunto dos números racionais Q* - conjunto dos números racionais não nulos Z - conjunto dos números inteiros Z+ - conjunto dos números inteiros não negativos Z* - conjunto dos números inteiros não nulos N - conjunto dos números naturais N* - conjunto dos números naturais não nulos ∅ - conjunto vazio ∪ - símbolo de união entre dois conjuntos ∩ - símbolo de intersecção entre dois conjuntos ∈ - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto ⊂ - símbolo de inclusão entre dois conjuntos ∀ - qualquer que seja UNIÃO ( ∪ ) União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. A B EX.: “Pessoas que são atletas (A) CONCLUSÕES: ou baianos (B)” 1o. A ∪ B = B ∪ A (o “ou” não é excludente, portanto isso significa que o conjunto união 2o A ∪ ∅ = A abrange os elementos que fazem 3o A ∪ A = A parte de pelo menos um dos 4o (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) conjuntos) A∪B 31 5o n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) CENTRO, Rua Pedro I, 1106 3226.8000 E-mail: "
[email protected]" Site: www.colegiotiradentes.com.br EX. 1106 3226. A B EX.br CENTRO. EX.com" Site: www. mas não são baianos (B)” A–B CONJUNTOS LÓGICOS NENHUM Não existe interseção entre os conjuntos.colegiotiradentes.: “Pessoas que são atletas (A). O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A.: C: “Todos os soldados são covardes” OBS.: A negação da premissa B será: ~B: “Não é verdade que alguns soldados são covardes” ou então ~B: “Nenhum soldado é covarde” COVARDES SOLDADOS TODOS Um dos conjuntos é subconjunto do outro.com.: A negação da premissa C será: ~C: “Não é32 verdade que todos os soldado são E-mail: "tiradentescentro@gmail. é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A. CONCLUSÕES: A B EX.8000 covardes” ou então COVARDES SOLDADOS . não pertencem a B.: A negação da premissa A será: ~A: “Não é verdade que nenhum soldado é covarde” ou então ~A: “Existe pelo menos um soldado covarde” COVARDES SOLDADOS ALGUNS Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos. pois é o que falta para B completar o conjunto A. mas nem todos.: A: “Nenhum soldado é covarde” OBS.: “Pessoas que são 1o A ∩ B = B ∩ A atletas (A) e são baianos 2o A ∩ ∅ = ∅ (B)” 3o A ∩ A = A A∩B 4o (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR Diferença entre os conjuntos A e B. Rua Pedro I. EX.: B: “Alguns soldados são covardes” OBS. porém.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO INTERSEÇÃO ( ∩ ) Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados. nesta ordem. br 33 CENTRO. Ex. Rua Pedro I. podemos logicamente concluir que: a) não pode haver cientista filósofo. SOLUÇÃO: Dadas as premissas: A: “todos os cientistas são objetivos” B: “alguns filósofos são objetivos” Sejam O – Objetivos C – Cientistas F – Filósofos Do enunciado. ou seja.. q. o que implica necessariamente que “esse filósofo será objetivo”. e) nenhum filósofo é objetivo. r. então ele é objetivo. quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO TIPOS DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Uma proposição é chamada de composta quando é formada a partir de outras proposições mais simples (p. para satisfazer as premissas A e B.: p∧q: “Sophia nasceu em Fortaleza e em São Paulo” CONTINGÊNCIA Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando ela pode ter os valores lógico verdadeiro ou falso. uma proposição logicamente falsa.com" Site: www. pois “todo cientista é objetivo”. ou seja. temos os seguintes diagramas possíveis: 1o F C 2o F C 3o F C O O O Dessa forma. quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. . uma proposição logicamente verdadeira. EXEMPLOS 01. c) se algum filósofo é cientista. temos que “se algum filósofo é cientista” ele fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama. b) algum filósofo é cientista. TAUTOLOGIA Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia. d) alguns cientistas não são filósofos.. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são”. Ex.colegiotiradentes.8000 .) mediante o uso de: • modificadores (~) • conectivos (∧ e ∨) • condicionais (→ e ↔).com.: p∨q: “No concurso João foi aprovado ou reprovado” CONTRADIÇÃO Dizemos que uma proposição composta é uma contradição. 1106 3226. Resposta: C E-mail: "tiradentescentro@gmail. Sabe-se também que 60% das pessoas têm uma idéia original e apenas 50% têm idéias comercializáveis. então necessariamente existe pelo menos um cronópio que não é fama”.colegiotiradentes. Rua Pedro I.br CENTRO. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm uma idéia original e o grupo dos que têm uma idéia comercializável. SOLUÇÃO: Dada a premissa: A: “Nem todos os cronópios são famas” Sejam C – Cronópios F – Famas Do enunciado. e) algum cronópio não é fama. podemos concluir logicamente que: a) nenhum cronópio é fama.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 02. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas.8000 . 1106 3226. b) Algum A é G. SOLUÇÃO: Sejam A – grupo dos que têm uma idéia original . b) 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. SOLUÇÃO: 34 E-mail: "
[email protected]. d) nenhum fama é cronópio. temos os seguintes diagramas possíveis: C 1o F 2o F C Podemos concluir que “Se nem todo cronópio é fama. e) Nenhum G é A. Resposta: E 03. e) 65% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. d) 70% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. para satisfazer a premissa A. B – grupo dos que têm uma idéia comercializável. Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B). É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que: a) Alguns A não é G. c) 30% das pessoas têm idéias comercializáveis. mas não originais.com" Site: www. c) todos os cronópios são famas. b) não existe cronópio que seja fama. Podemos afirmar que: a) 15% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. d) Algum G é A. temos: A 60% – x x 50% – x B Sabendo que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 100% = 60% + 50% – x x = 10% portanto 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis Resposta: B 04. c) Nenhum A é G. e) alguns bancários não são advogados. na situação dada.br 35 CENTRO. b) algum advogado é bancário. percebemos que nas duas possibilidades “alguns bancários não são advogados”. Resposta: A OBS. 05. pois nenhum G é R. pode ser usado para demonstrar resultados possivelmente inesperados. Para aplicá-lo. Demonstração: Tipicamente uma pessoa tem cerca de 150 mil fios de cabelo.colegiotiradentes.com" Site: www. e se n > m. Por exemplo. É também conhecido como TEOREMA DE DIRICHLET OU PRINCÍPIO DAS GAVETAS DE DIRICHLET.com. então existem alguns A que nunca serão G. O princípio do pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos problemas formais. então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. 1106 3226. necessariamente pelo menos duas pessoas terão precisamente o mesmo número de fios de cabelo. Matematicamente falando. Rua Pedro I. podemos logicamente concluir que: a) não pode haver advogado bancário. Generalizações do princípio E-mail: "tiradentescentro@gmail.: Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não. pelo menos à primeira vista. Exemplo • Todos os pontos de um plano são pintados de amarelo ou verde. nada se pode afirmar. isto quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B. Supondo que “Nenhum advogado foi reprovado” e que “Alguns bancários foram reprovados”.8000 . não podem ser G. Embora se trate de uma evidência extremamente elementar. devemos identificar.000 de fios de cabelo em sua cabeça. o princípio é útil para resolver problemas que. Resposta: E O PRINCÍPIO DO POMBAL OU PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS É a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas. Se há mais habitantes do que o número máximo de fios de cabelo. em qualquer grande cidade (digamos com mais de 1 milhão de habitantes) existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo. não são imediatos. SOLUÇÃO: Do enunciado temos os possíveis diagramas: A R 1o 2o A R B B Dessa forma. dependendo de como for o diagrama.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Sabe-se que todos os A que também são R. d) todos os advogados são bancários. então uma função de A em B não pode ser injetiva. jamais poderão ser advogados. Embora este princípio seja uma observação trivial. quem faz o papel dos objetos e quem faz o papel das gavetas. c) nenhum advogado é bancário. prove que podemos encontrar dois pontos de mesma cor que distam exatamente um metro: Solução: Basta imaginarmos um triângulo equilátero de lado igual a um metro.pelo PCP (princípio da casa dos pombos) teremos dois de mesma cor. Mas como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não. incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito. pois nenhum destes foi reprovado.000. É razoável supor que ninguém tem mais de 1. com o nome de Schubfachprinzip ("princípio das gavetas"). Como são duas cores (casas) e três pontos (pombos). pois supõe-se que o primeiro relato deste principio foi feito por Dirichlet em 1834. pois aqueles bancários que foram reprovados. Por exemplo. 1106 3226. onde denota o menor inteiro igual ou superior a x (a função tecto). IV – Pelo menos um homem é mau motorista. Para n > m (mais pombos do que casa de pombos) é um.76%. neste caso coincide com o princípio de casa dos pombos normal.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Uma versão generalizada declara que. Dizer que “Alguns alunos vão passar” implica que: a) Não há aluno que vá passar b) Todas as pessoas vão passar c) Pelo menos um aluno vai passar d) Todos os alunos vão passar e) Todos os alunos não vão passar 3. b) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. III – Todos os homens são maus motoristas.br 36 CENTRO. se tem apenas um pombo. Dadas as proposições: I – Toda mulher é boa motorista. A negação da proposição (V) é: a) I b) II c) III d) IV e) V 5. Uma generalização probabilística do princípio da casa dos pombos define que se "n" pombos são colocados aleatoriamente em "m" casas com uma probabilidade uniforme 1/m. a) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. c) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. então não deve haver conflitos. A equivalência de “Nenhum político é honesto” é: a) Todas as pessoas são honestas b) Todos os políticos são desonestos c) Ninguém é honesto d) Todo político é honesto e) Pelo menos um político é honesto 4. 6. e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. V – Todos os homens são bons motoristas. a probabilidade é de 69. Qual a negação de “Todo artista é elegante”. se "n" objetos distintos para ser alocados à "m" recipientes. II – Nenhum homem é bom motorista. devido a natureza da atribuição aleatória das casas aos pombos existe uma chance substancial que um confronto ocorra muitas vezes. Mas mesmo que o número de pombos não exceda o número de casa de pombos (n ≤ m). Das premissas: A: “Nenhum herói é covarde” B: “Alguns soldados são covardes” Pode−se corretamente concluir que: a) Alguns heróis são soldados E-mail: "tiradentescentro@gmail. a) Nenhum artista é elegante b) Todas as pessoas são elegantes c) Ninguém é elegante d) Todo artista não é elegante e) Pelo menos um artista não é elegante 2. Rua Pedro I.com" Site: www. para 5 pombos e 10 casas.45%.8000 . em outras palavras. EXERCÍCIOS 1. que provavelmente é zero. e para 10 pombos em 20 casas a probabilidade é de 93. então pelo menos uma casa de pombos terá mais de um pombo com probabilidade: onde é um fatorial decrescente. d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano.com. há uma chance de 25% que pelo menos uma casa de pombo ter mais do que um pombo. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. Para n = 0 e para n = 1 (e m > 0). se 2 pombos são colocados na 4ª casa de pombos. então pelo menos um recipiente deve conter não menos que objetos.colegiotiradentes. a) 35 b) 30 c) 25 d) 20 11. também. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos. alguns são comerciantes. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês. 1106 3226. naquela universidade. e) todos os alunos são professores. "Se alguns Smaugs são Trois e alguns Trois são Ludgans. alguns são baianos e dos 30 baianos. ao menos.colegiotiradentes. pode-se afirmar que: a) Alguns cientistas são professores b) Alguns professores são cientistas c) Alguns professores não são cientistas d) Nenhum cientista é professor e) Nenhum professor é cientista 14. e algumas meninas de cabelos crespos têm E-mail: "tiradentescentro@gmail. ou tem uma cabeça. uma cabeça. d) nenhum professor é aluno. todas as meninas loiras são. e alguns alunos de informática são também alunos de história.br 37 CENTRO. mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Uma conclusão logicamente necessária destas informações é que. foi realizado um estudo para avaliar o grau de satisfação de seus professores e alunos. Dessa forma. alunos de inglês. então alguns Smaugs são definitivamente Ludgans". ou tem mais de duas cabeças. ou tem mais de duas cabeças.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR b) Alguns soldados são heróis c) Nenhum herói é soldado d) Alguns soldados não são heróis e) Nenhum soldado é herói PROFESSOR ALEX MAGNO 7. mas nenhum dos 40 comerciantes é atleta. Qual das seguintes afirmações é necessariamente correta? a) Não há marciano com duas cabeças. c) Há um marciano que tem uma cabeça. determine o número de comerciantes que não são baianos. e) Todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias. e) Há um marciano que. Rua Pedro I. d) Há um marciano que tem mais de duas cabeças. então é verdade que: a) Todas as professoras universitárias dão aulas interessantes b) Nenhuma professora universitária dá aulas interessantes c) Nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária d) Nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. Assim. mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. naquela universidade. b) alguns professores não são alunos. 13. Esta sentença é: a) VERDADEIRA b) FALSA c) Nem Falso nem verdadeiro d) impossível de dizer 8. que também é igual ao número de baianos que não são nem atletas nem comerciantes. Através de uma pesquisa. Mais tarde se demonstra que estava equivocado. Em determinada universidade. e) Todos os alunos de informática são alunos de português 15. descobriu-se que “nenhum cientista é rico” e que “alguns professores são ricos”. e como nenhum aluno de Português é aluno de História. Em um grupo de amigas. É bem conhecido que os marcianos tem. c) alguns alunos são professores. 10. ou tem uma cabeça. nenhum aluno é completamente feliz e alguns professores são completamente felizes. a) nenhum aluno é professor.com" Site: www. Sabe-se ainda que o número de atletas baianos é o mesmo que dos comerciantes baianos. então: a) Pelo menos um aluno de português é aluno de inglês b) Pelo menos um aluno de matemática é aluno de história c) Nenhum aluno de Português é aluno de matemática d) Todos os alunos de informática são alunos de matemática.8000 . b) Todo marciano. 9. O estudo mostrou que. Todos os alunos de matemática são. também. Sabe-se que de um grupo 25 atletas. A sentença “∃ x ∈ Rx = a + b” é a negação de: a) “∃ x ∈ Rx ≠ a + b” b) “∃ x ∈ Rx > a + b” d) “∀ x ∈ Rx = a + b” e) “∀ x ∈ Rx ≠ a + b” c) “∃ x ∈ Rx < a + b” 12. altas e magras. Todos os alunos de Português são também alunos de informática. objeto da pesquisa.com. Um cientista assegura: "Todo marciano tem exatamente duas cabeças". Se não é verdade que “Alguma professora universitária não dá aulas interessantes”. 8000 . C 15. (FCC) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras: “Alguma mulher é vaidosa. GABARITO 01. sobretudo através das idéias de George Boole.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO também olhos azuis. c) Pode existir gordinho que não é guloso. Com base nesses argumentos. B 03. Em uma festa com 500 pessoas. D 14. b) Todo comilão não é guloso. E 18. E 06. e) Toda mulher vaidosa não é inteligente. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra e como. qual das afirmações seguintes é certamente verdadeira? a) Alguma mulher inteligente é vaidosa. c) Alguma mulher não vaidosa não é inteligente. neste grupo de amigas. A 19. D 16. 18. 20. LÓGICA MATEMÁTICA A lógica matemática (ou lógica simbólica). d) Existem gulosos que não são comilões. E 12.com. d) se algum filósofo é aluno. e) Pode existir guloso que não é gordinho. então: a) Pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis b) Pelo menos uma menina loira tem olhos azuis c) Todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras d) Todas as meninas que possuem cabelos crespos são alegres e) Nenhuma menina alegre é loira 16. matemático inglês (1815 .” Assim sendo. que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. b) Todo C é A c) Algum A é C d) Nada que não seja C é A e) Algum A não é C 17. podemos afirmar com certeza que entre os presentes: a) Existe pelo menos um que aniversaria em maio. b) Alguma mulher vaidosa não é inteligente. e) nenhum filósofo é inteligente. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX. pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. b) Existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia. 1106 3226. c) Existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia. Disto resulta que: a) Todo C é B. que todo B é C. as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes: E-mail: "tiradentescentro@gmail. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica. C 11. olhos azuis e seja alegre. não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos. C 04. B 17. Supondo que “todos os alunos são inteligentes” e que “Nem todos os filósofos também são inteligentes”. b) algum filósofo é aluno. C 07. B 13. d) Existem dois que não aniversariam no mesmo dia. B 20. C 10. C 05. d) Toda mulher inteligente é vaidosa. c) alguns aluno não são filósofos.1864).com" Site: www. E 02. Considere que os argumentos são verdadeiros: • Todo comilão é gordinho. também. A ALGEBRA DAS PROPOSIÇÕES INTRODUÇÃO A Lógica Matemática. trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições. D 08.colegiotiradentes. é correto afirmar que: a) Todo gordinho é guloso. Rua Pedro I. • Todo guloso é comilão. e) Nenhum aniversaria no mesmo dia que outro 19. em síntese. cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. criador da Álgebra Booleana. B 09.” “Toda mulher é inteligente. então ele é inteligente. da computação e da eletrônica. Sabe-se.br 38 CENTRO. podemos logicamente concluir que: a) não pode haver aluno filósofo. br lógicos contrários! • Se A é V. etc.: “Alguém está nascendo nesse exato momento” → Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F). • p: "a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V ) • q: "3 + 5 = 2" ( F ) • r: "7 + 5 = 12" ( V) • s: "a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por S i = (n – 2). "3 + 5" . uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso). "O dia está bonito" .. q. então se e somente se tal que Implica Equivalente Existe existe um e somente um qualquer que seja O MODIFICADOR NEGAÇÃO Dada a proposição p. indicaremos a sua negação por ~p ou ¬ p.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR • • PROFESSOR ALEX MAGNO PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa.180º ( V ) • t: "O Sol é um planeta" ( F ) • w: "Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F ) SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico EX. "x + 2 = 7". expressões do tipo. u. EXEMPLOS: IMPORTANTE: p: “2 pontos distintos determinam uma única reta” (V) Afirmação e negação ~p: “2 pontos distintos não determinam uma única reta” (F) sempre possuem valores q: “João é magro” ~q: “João não é magro” ~q: “Não é verdade que João é magro” E-mail: "tiradentescentro@gmail. (Lê-se "não p" ). não havendo alternativa. Poderia ser também 1 ou 0. Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). EX. "x é um número real" . t. Rua Pedro I.. 1106 3226.com" Site: www.colegiotiradentes. então ~A é F 39 • Se A é F. então ~A é V A V ~A F CENTRO. De acordo com as considerações acima. . r. s. não são proposições lógicas. SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES) ∼ ∧ ∨ → ↔ | ⇒ ⇔ ∃ ∃| ∀ não e Ou se . PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ). Exemplificamos a seguir algumas proposições. As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p. não se pode SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F. onde escreveremos ao lado de cada uma delas. o seu valor lógico V ou F...: “O professor Pedro Evaristo ensina Matemática” → Sentença Verdadeira (V) “A soma 2 + 2 é igual a 5” → Sentença Falsa (F) afirmar..8000 .com. Observe que a afirmação é falsa. Estas proposições compostas recebem designações particulares.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO s: “Fernando é honesto” ¬ s: “Fernando não é honesto” ¬ s: “Não é verdade que Fernando é honesto” ¬ s: “Fernando é desonesto” OBS. em termos simbólicos: ~(~p) = p. Assim. p→ q. também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir. Rua Pedro I. E-mail: "
[email protected]. Para que a afirmação seja verdadeira. ou seja. conforme veremos a seguir: • • • • CONJUNÇÃO: DISJUNÇÃO: CONDICIONAL: BI-CONDICIONAL: p ∧ q (lê-se "p e q" ) p ∨ q (lê-se "p ou q") p → q (lê-se "se p então q") p ↔ q (lê-se "p se e somente se q") Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q. dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa. se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for verdadeira. se pelo menos uma das premissas forem falsas.br 40 CENTRO.: Duas negações equivalem a uma afirmação. p: “Diego dirige bem” ~p: “Diego não dirige bem” ~(~p): “Não é verdade que Diego não dirige bem” ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos ∧ .com. EXEMPLO: Analise a afirmação: “Nesse final de semana estudarei raciocínio lógico e informática”. p↔ q. p∨ q. deverei estudar raciocínio lógico e informática. 1106 3226. → e ↔ . ou seja. sendo p e q duas proposições simples. ∨ .com" Site: www.8000 . A:”Estudar raciocínio lógico” B:”Estudar informática” TABELA VERDADE A B V V F V F F V F A∧B V F F F CONCLUSÕES: • Só existe uma possibilidade para o fim de semana. poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p∧ q. CONJUNÇÃO (E) A ∧ B (lê-se “Premissa A e premissa B”) A conjunção só será verdadeira em apenas um caso. Nesse caso o “ou” significa que pelo menos uma das premissas é verdadeira. 1106 3226. ou em São Paulo”. Portanto.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO A ∧ B “Premissa A e premissa B” DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU) A ∨ B (lê-se “Premissa A ou premissa B”) • PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: são aquelas que podem ocorrer simultaneamente. EXEMPLO: Analise a afirmação: “Felipe nasceu ou em Fortaleza. • Sabendo que ele foi ao cinema. conclui-se que certamente foi ao cinema. conclui-se que ele pode ter ido ou não à praia. nesse caso. EXEMPLO: Analise a afirmação: “Este final de semana irei à praia ou ao cinema”.OU) A ∨ B (lê-se “Ou premissa A. A:”Irei à praia” B:”Irei ao cinema” TABELA VERDADE A B V V V F F V F F A∨B V V V F CONCLUSÕES: • Sabendo que ele foi à praia. Portanto. ou premissa B”) Quando estamos trabalhando com disjunções. Rua Pedro I.com. Observe que.8000 E-mail: "
[email protected] . Caso seja usado “ou..colegiotiradentes. A v B “Premissa A ou premissa B” DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU. A:”Felipe nasceu em Fortaleza” B:”Felipe nasceu em São Paulo” TABELA VERDADE A B V V V F A∨B F V 41 CENTRO. • Sabendo que ele não foi à praia. • Sabendo que ele não foi ao cinema. nesse caso o “ou” significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira. conclui-se que ele pode ter ido ou não ao cinema.ou”.. devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou não excludentes. • PREMISSAS EXCLUDENTES: são aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. o “ou” significa que eu irei a “pelo menos” um desses lugares no fim de semana (o fim de semana é longo e nada impede de ir aos dois lugares)... devemos entender que se trata de disjunção excludente. conclui-se que certamente foi à praia. nesse caso o “ou” significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira.com" Site: www. • Sabendo que eu não recebi dinheiro. • Sabendo que ele não nasceu em São Paulo. • Sabendo que eu não fui à praia. Rua Pedro I. conclui-se que não nasceu em Fortaleza. conclui-se que necessariamente eu não recebi o dinheiro.br 42 CENTRO.: • A é condição suficiente para que B ocorra E-mail: "tiradentescentro@gmail. A:”Receber dinheiro na sexta-feira” B:”Ir a praia no fim de semana” TABELA VERDADE A B V V F V F F V F A→B V V V F CONCLUSÕES: • Sabendo que eu recebi dinheiro. conclui-se que eu posso ter recebido ou não o dinheiro. a afirmação só será verdadeira. se eu receber o dinheiro e mesmo assim não for à praia. mas a recíproca não é válida. A v B “Ou premissa A. mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira. então não será verdadeira a premissa A” OBS. • Sabendo que ele nasceu em São Paulo.colegiotiradentes. conclui-se que eu posso ter ido ou não à praia. ou premissa B” (Premissas excludentes) CONDICIONAL (SE . 1106 3226. Observe que a afirmação só será falsa.com. ENTÃO) A → B (lê-se “Se premissa A. conclui-se que não nasceu em São Paulo. Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo. A → B “Se premissa A. se exatamente um das duas premissas for verdadeira. conclui-se que nasceu em Fortaleza. conclui-se que nasceu em São Paulo.. EXEMPLO: Analise a afirmação: “Se eu receber dinheiro na sexta-feira então irei a praia no fim de semana”. conclui-se que necessariamente fui à praia.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR F F V F V F PROFESSOR ALEX MAGNO CONCLUSÕES: • Sabendo que ele nasceu em Fortaleza. • Sabendo que ele não nasceu em Fortaleza. então a premissa B será necessariamente verdadeira também. ou seja. pois fica claro que ninguém pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. então premissa B”) Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira.com" Site: www. • Sabendo que eu fui à praia. então premissa B” Com base na tabela podemos concluir que A → B é equivalente a ~B → ~A “Se não for verdadeira a premissa B. Então.8000 .. A → B A é SUFIENTE para B ~B → ~A ~B é SUFIENTE para ~A Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo. 1106 3226. Fica ainda implícito que a recíproca é válida. EXEMPLO: Analise a afirmação: “Irei a praia no fim de semana. A:”Ir a praia no fim de semana” B:”Receber dinheiro na sexta-feira” TABELA VERDADE A B V V A↔B V 43 CENTRO. vou ao shopping” p: “Caso chova.8000 E-mail: "
[email protected]ÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR • • • B é condição necessária para que A ocorra ~B é condição suficiente para que ~A ocorra ~A é condição necessária para que ~B ocorra PROFESSOR ALEX MAGNO CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer) CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra. irei ao shopping” p: “Quando chove.com" Site: www. vou ao shopping” p: “Sempre que chove.br .com. A não ocorre) RESUMINDO: Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito.colegiotiradentes. vou ao shopping” p: “Toda vez que chove. se e somente se a premissa B”) Nessas condições. Rua Pedro I. A → B B é NECESSÁRIO para A ~B → ~A ~A é NECESSÁRIO para ~B ATENÇÃO! Algumas maneiras diferentes de escrever a proposição “Se A então B”: A → B ⇔ ~B → ~A p: “Se chover então irei ao shopping” p: “Se chover. irei ao shopping” p: “Chovendo. fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. ou seja. a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A também ser. irei ao shopping” p: “Chover implica em ir ao shopping” p: “Chover é condição suficiente para ir ao shopping” p: “Ir ao shopping é condição necessária para chover” p: “Se não for ao shopping então não choveu” p: “Não chover é condição necessária para não ir ao shopping” p: “Não ir ao shopping é condição suficiente para não chover” BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE) A ↔ B (lê-se “Premissa A. se e somente se eu receber dinheiro na sexta-feira”. com" Site: www. no entanto. dizer que A:“João é rico” implica em dizer que B:“João não é pobre”.8000 . • Sabendo que eu fui à praia.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR F F V V F F F V F PROFESSOR ALEX MAGNO CONCLUSÕES: • Sabendo que eu recebi dinheiro. se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico. cujos valores lógicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa e (1) ou (V) quando verdadeira. portanto A e B não são equivalentes. 1106 3226. Por exemplo. Podemos construir a seguinte tabela simplificada: TABELA VERDADE p V V F F q V F V F p∧q V F F F p∨q V V V F p→ q V F V V p↔q V F F V Da tabela acima. • a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. dizer B:“João não é pobre” não implica em dizer que A:“João é rico”.colegiotiradentes. se e somente se Premissa B” Da análise da tabela podemos concluir que A ↔ B é equivalente a ~A ~B “Premissa ~A.com. • a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. • Sabendo que eu não fui à praia. conclui-se que eu não fui à praia. portanto nesse caso P e Q são equivalentes pois uma proposição implica na outra (P ⇔ Q). se P:”João é honesto” então implica que Q:”João não é desonesto” e de forma recíproca se Q:”João não é desonesto” então implica que P:”João é honesto”. A ↔ B “Premissa A.br 44 CENTRO. • A → B = ~B → ~A Ex. infere-se (deduz-se) que: • a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. Observe que a afirmação só será verdadeira. • Sabendo que eu não recebi dinheiro. quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico. conclui-se que certamente eu não recebi o dinheiro. conclui-se que certamente fui à praia.: E-mail: "tiradentescentro@gmail. O importante nesse caso é não confundir implicação com equivalência. • a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. conclui-se que é porque eu recebi o dinheiro.: • A é condição necessária e suficiente para que B ocorra • B é condição necessária e suficiente para que A ocorra ↔ TABELA VERDADE Sejam p e q duas proposições simples. EQUIVALÊNCIAS Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela verdade. se e somente se Premissa ~B” OBS. ou ainda. Rua Pedro I. Por outro lado. mas podemos afirmar que A implica em B (A ⇒ B). colegiotiradentes.: “Se e somente se fizer sol então irei à praia” ⇔ “Se e somente se for à praia então fez sol” “Se e somente se receber dinheiro. honesto e desonesto. Por exemplo. onde V é uma proposição verdadeira e F uma proposição falsa. “rico” e “pobre” são antônimos.: “Estudarei lógica e informática” ⇔ “Estudarei informática e lógica” p∨q=q∨p Ex. q e r três proposições simples e quaisquer.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO “Se chover então irei ao shopping” ⇔ “Se não for ao shopping então não choveu” “Se eu receber dinheiro. ou não passo e não festejo” “Se e somente se sentir fome então comerei” ⇔ “Ou senti fome e comi. vivo e morto. viajarei” ⇔ “Se receber dinheiro. viajo e se viajar então eu recebi” “Se e somente se passar. viajarei” ⇔ “Se eu não viajar então não recebi dinheiro” “Caso não faça sol. irei entrarei na internet” ⇔ “Se eu não entrei na internet então fez sol” • A ↔ B = B ↔ A = (A → B) ∧ (B → A) Ex. então o valor lógico dependerá da premissa p) 45 CENTRO. Rua Pedro I. festejarei” ⇔ “Ou passo e festejo. são coisas diferentes. sempre que A for verdadeiro então ~A é falso e quando A for falso então ~A é verdadeiro. reprovado significa não aprovado) (nesse caso.com. festejarei” ⇔ “Se passar então festejo e se festejar é por que passei” • A ↔ B = (A ∧ B) ∨ (~A ∧ ~B) Ex.com" Site: www.8000 E-mail: "tiradentescentro@gmail. É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado. mas “João é pobre” não é a negação de “João é rico”. ou seja. inocente significa não culpado) ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES Sejam p.: “Eu não minto e só falo a verdade” ⇔ “Eu falo a verdade” p∨p=p Ex.: “Estudarei lógica ou informática” ⇔ “Estudarei informática ou lógica” • LEIS DE IDENTIDADE • p∧V=p (Se uma das premissas for necessariamente V. Mas existe caso em que o antônimo é a negação.: “Ou choverá ou cairá água do céu” ⇔ “Choverá” • LEIS COMUTATIVAS • p∧q=q∧p Ex. quer dizer apenas que “João não rico”. afinal se João não for rico não quer dizer que seja pobre.: A: “Aline é bonita” B: “Kleyton é alto” C: “Daniel é magro” E: “Karol foi aprovada” F: “Lia é culpada” ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ~A: ”Aline não é bonita” ~B: ”Kleyton não é alto” ~C: “Daniel não é magro” ~D: “Karol foi reprovada” ~F: “Lia é inocente” (não significa que ela é feia) (não significa que ele é baixo) (não significa que ele é gordo) (nesse caso. ou não senti fome e não comi” NEGAÇÕES (~) ou (¬ ) A negação de uma proposição (A) é outra proposição (~A) que possui sempre valor lógico contrário.: “Se e somente se passar. dentre outros. 1106 3226. TABELA VERDADE A ~A V F F V Ex.br . São válidas as seguintes propriedades: LEIS IDEMPOTENTES • p∧p=p Ex. tais como: culpado e inocente. além de inteligente e muito legal” (p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r) Ex. depende se choverá ou não) • p ∧ F = F (Se uma das premissas for necessariamente F.: “Amanhã vai chover e o Sol é amarelo” (Pode ser V ou F. ou estudarei hoje e no fim de semana irei à praia” • p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Ex. Rua Pedro I.: “Irei a praia ou ao cinema.: “Não é verdade que a Lua é quadrada” (V) • • • • LEIS ASSOCIATIVAS • (p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) Ex.: “Sophia é linda e inteligente. independe de chover ou não) p∨F=p Ex. independe de chover ou não) p ∨ V = V (Se uma das premissas for necessariamente V.com.: “Irei ao cinema e não irei ao cinema” (F) p ∨ ~p = V Ex.: “Estudarei hoje e no fim de semana. ou irei ao cinema ou jogar” • LEIS DISTRIBUTIVAS • p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Ex. ou irei ao cinema ou irei a praia” ⇔ “Ou estudarei hoje e no fim de semana irei ao cinema.: “Amanhã choverá ou o Sol é amarelo” (Será V. 1106 3226.br CENTRO.8000 . ou irei jogar” ⇔ “Ou Irei a praia.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Ex.: “Não é verdade que o Sol é amarelo” (F) ~F = V (a negação de uma mentira é sempre verdade) Ex. então o valor lógico será sempre F) Ex.: “Amanhã vai chover ou a lua é quadrada” (Pode ser V ou F. além de ser muito legal” ⇔ “Sophia é linda.: “Não é verdade que Monyke não é bonita” ⇔ “Monyke é bonita” p ∧ ~p = F Ex.: “Ou viajarei hoje ou no fim de semana irei ao cinema e à praia” ⇔ “Viajarei hoje ou irei ao cinema no fim semana.com" Site: www.: “Amanhã vai chover e a lua é quadrada” (Será F.: “Ou irei ao cinema ou não irei ao cinema” (V) ~V = F (a negação de uma verdade é sempre falsa) Ex. depende se choverá ou não) • • LEIS COMPLEMENTARES • ~(~p) = p (duas negações equivalem a uma afirmação) Ex. então o valor lógico será sempre V) Ex. • ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q 46 E-mail: "tiradentescentro@gmail. e viajarei hoje ou no fim de semana irei à praia” de LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN Todas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.colegiotiradentes. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO A conjunção só é verdade se as duas proposições forem verdades.com" Site: www. portanto se não é verdade (p → q) é por que as proposições p e ~q têm que ser verdadeiras. Ex. Ex. portanto se não é verdade (p ∨ q) é por que as proposições têm que ser falsas.: “Não é verdade que se Milena receber dinheiro então viajará” ⇔ “Milena recebe dinheiro e não viaja” TABELA VERDADE (1) p q p→q V V V V F F F V V F F V TABELA VERDADE (2) p q ~q V V F V F V F V F F F V ~(p → q) F V F F p ∧ ~q F V F F 47 E-mail: "tiradentescentro@gmail. 1106 3226.: “Não é verdade que Rosélia foi à praia ou ao cinema” ⇔ “Rosélia não foi à praia e não foi ao cinema” TABELA VERDADE P q p∨q V V V V F V F V V F F F ~(p ∨ q) F F F V ~p ∧ ~q F F F V ~p F F V V ~q F V F V • ~(p → q) = p ∧ ~q O condicional (p → q) só é falso se p for verdade e que q for falso.com.8000 .colegiotiradentes. Ex. portanto se não é verdade (p ∧ q) é por que pelo menos uma das proposições é falsa (não precisa que as duas sejam falsas). Ex: Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"? A negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".: “Não é verdade que Ribamar é carioca e alto” ⇔ “Ribamar não é carioca ou Ribamar não é alto” TABELA VERDADE P q p∧q V V V V F F F V F F F F ~(p ∧ q) F V V V ~p ∨ ~q F V V V ~p F F V V ~q F V F V • ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q A disjunção não-excludente é verdade se pelo menos uma das duas proposições for verdadeira. Ex: Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"? A negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".: Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então aprendo"? A negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo" Ex.br CENTRO. Rua Pedro I. uma contradição. Rua Pedro I. uma proposição logicamente falsa. ou seja. teremos: p V V F F q V F V F p∧q V F F F p∨q V V V F (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q.colegiotiradentes. uma proposição logicamente verdadeira. ou seja. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. TAUTOLOGIAS Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia. quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração.8000 . quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração. ou seja. Ex.: p∨q: “No concurso João foi aprovado ou reprovado” CONSIDERE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA: s: (p ∧ q) → (p ∨ q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer. Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui. Ex. 1106 3226. o que significa que ~(p → q) = p∧ ~q . ou seja. CONTRADIÇÃO Dizemos que uma proposição composta é uma contradição. plano" é NOTAS: • a tautologia acima é também conhecida como regra de inferência.com" Site: www. senão vejamos: p V F ~p F V p∧ ~p F F Portanto.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Observando as últimas colunas das tabelas verdades (1) e (2). uma contradição nunca poderá ser verdadeira. EXEMPLO: A proposição composta t: p ∧ ~p é uma contradição. a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta e verificarmos que ela é sempre falsa.com.br 48 CENTRO. PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGÊNCIA E-mail: "tiradentescentro@gmail. • como uma tautologia é sempre verdadeira. Trazendo isto para a linguagem comum. ambas apresentam a seqüência F V F F.: p∧q: “Sophia nasceu em Fortaleza e em São Paulo” p∧~p:”Amanhã choverá e amanhã não choverá” Opostamente a tautologia. percebemos que elas são iguais. diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa. Podemos concluir que a proposição composta s: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta uma proposição logicamente verdadeira. considere as proposições: • p: O Sol é um planeta (valor lógico F) • q: A Terra é um planeta plano (valor lógico F). as proposições compostas que não são nem “Tautologia” nem “Contradição” são chamadas de “Contingência”. então pode-se concluir que: a) Um cão pode latir e mesmo assim me morder. fará com que a afirmação fique falsa.8000 . as possíveis negações para “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”. Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”.colegiotiradentes. c) Se um cão não morder é por que ele latiu. a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa e) Rosélia não viajará para Londres e comprará uma casa SOLUÇÃO: Sabemos que a negação de A ∨ B é ~(A ∨ B) = ~A ∧ ~B Portanto. podem assumir valor lógico (V) ou (F). são ~(A ∨ B): “Não é verdade que Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa” Ou então ~A ∧ ~B: “Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa” 49 E-mail: "tiradentescentro@gmail. não morde.com" Site: www. 02. SOLUÇÃO: Se todo cão que late. Considerando verdadeira essa afirmação. Rua Pedro I. d) Se um animal latir e morder. a sua tabela verdade possuirá 2 n linhas. EXEMPLO 01. 1106 3226.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Nesse caso. então se um animal latir ele pode ser um cão. não morde”. ou seja. pois caso contrário ele não teria mordido.com.br CENTRO. EXEMPLO: Construindo a tabela verdade da proposição composta t: (p ∧ q) ∨ r. b) Se um cão não latir irá morder. Se um cão latir e morder. teremos: p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F (p ∧ q) V V F F F F F F (p ∧ q) ∨ r V V V F V F V F NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples. dependendo das demais proposições simples. e) Todos os animais que não mordem são cães. Todos acreditam que: “Cão que late. ele não é um cão. Então. d) Sempre que chove em Guaramiranga. d) Todo parlamentar é bom político e honesto e) Se e somente se uma pessoa for honesta. podemos logicamente concluir que a única afirmação falsa é: a) Se chover em Guaramiranga então fará frio. A → B = ~A v B Nesse caso.8000 . d) Se Bernardo é engenheiro. é equivalente a A → B : “Se chover em Guaramiranga então faz frio” Portanto.com" Site: www. será um parlamentar. será um bom político. então André é artista. que apenas a premissa composta E-mail: "tiradentescentro@gmail. b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu. faz frio. ele é um bom político”. então Bernardo não é engenheiro. SOLUÇÃO: A proposição composta dada. será um bom político” 05. e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover.com. ele é honesto” e “Se um parlamentar é honesto. Sabendo que “Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio”. SOLUÇÃO: Para resolver essa questão lembre-se que a negação do condicional A → B é ~(A → B) = A ∧ ~B Logo ~(~(A → B)) = ~(A ∧ ~B) Ou ainda. então Bernardo é engenheiro. SOLUÇÃO: Observe a equivalência a seguir (A → B) ∧ (B → A) = A ↔ B A situação dada é bi-condicional. logo “Se somente se um parlamentar for honesto.br 50 CENTRO. sua negação será ~(A → B) = A ∧ ~B Ou ainda ~(A → B): “Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio” Que por sua vez equivale a A ∧ ~B: “Choveu em Guaramiranga e não fez frio” 04. b) Se André é artista. as proposições abaixo são equivalentes ~BB v AA = BB → AA VERIFICAÇÃO ATRAVÉS DA TABELA VERDADE Dado AA v ~BB: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" TABELA VERDADE AA ~BB AA v ~BB V V V V F V F V V F F F Observe.colegiotiradentes. c) choveu em Guaramiranga e não fez frio. 1106 3226. Dizer que: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. Rua Pedro I. de acordo com essas afirmações. Sabendo que “Sempre que um parlamentar é bom um bom político. c) Se André não é artista.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 03. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. podemos dizer que: a) Os políticos são sempre honestos b) Toda pessoa honesta é político c) Se e somente se um parlamentar for honesto. br CENTRO. TABELA VERDADE AA BB BB → AA V F V V V V F F V F V F RESUMÃO EQUIVALÊNCIAS A ↔ B = (A ∧ B) v (~A ∧ ~B) A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A) A↔B=B↔A A → B = ~B → ~A A → B = ~(A ∧ ~B) = ~A v B A = ~(~A) p V V F F q V F V F p∧q V F F F p∨q V V V F NEGAÇÕES ~(A ∧ B) = ~A v ~B ~(A v B) = ~A ∧ ~B ~(A v B) = (A ∧ B) v (~A ∧ ~B) ~(A v B) = A ↔ B ~(A ↔ B) = A v B ~(A → B) = A ∧ ~B p→ q V F V V p↔q V F F V pvq F V V F EXERCÍCIOS 1.colegiotiradentes. Onde ~BB é a negação de BB.8000 . Rua Pedro I. (q): Amaury é estudioso.com" Site: www. então André é artista" tem os mesmos valores lógicos de AA v ~BB. Aponte a afirmação equivalente à “Não é verdade que Beatriz não é bonita”. 1106 3226.com. podemos afirmar também que: a) “Sophia é pobre” b) “É verdade que Sophia é pobre” c) “É verdade que Sophia não é rica” d) “É verdade que Sophia não é pobre” e) “Não é verdade que Sophia é rica” 2. a) “Beatriz é feia” b) “Beatriz é bonita” c) “Beatriz não é feia” d) “É verdade que Beatriz não é bonita” e) “É verdade que Beatriz não é feia” 3. Sabendo que é verdade que “Sophia é rica”. Para representarmos em símbolos a expressão “Amaury não é gordo e é estudioso” devemos escrever: a) ~p b) ~p∧q c) ~p∧~q d) ~p∨q e) ~p∨~q 51 E-mail: "tiradentescentro@gmail. logo eles terão valores lógicos contrários. Sejam as proposições: (p): Amaury é gordo.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO BB → AA: "Se Bernardo é engenheiro. A∧B II. ~A ∧ ~B Dentre elas. são dadas as seguintes proposições compostas: I. ~A ∨ ~B IV. (C): Maurício irá passar no concurso. Rua Pedro I. Para representarmos em símbolos a expressão “Se Guilherme não é magro então Guilherme é inteligente” devemos escrever: a) ~p → q b) ~(p→ q) c) p → ~q d) p ↔ ~q e) ~p → ~q 6.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 4. A∨B II.colegiotiradentes. a) somente I e II b) somente II e III c) somente II e IV d) somente I e IV d) somente I e IV 11. em linguagem simbólica.8000 . Uma sentença logicamente equivalente a “Se Pedro é economista. aponte aquelas que equivalem a negação de (A ∨ B). Sendo A e B proposições simples. a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa 12. ~(A ∨ B) III. A negação da afirmação “Monyke é cerimonialista e organiza eventos” é equivalente a: a) “Monyke é cerimonialista ou organiza eventos” b) “Monyke não é cerimonialista e não organiza eventos” c) “É verdade que Monyke é cerimonialista e organiza eventos” d) “Não é verdade que Monyke é cerimonialista e organiza eventos” e) “Não é verdade que Monyke não é cerimonialista e não organiza eventos” 9. fica: a) ~p∨q b) ~(p∨q) c) ~(p∧q) d) ~p∨~p e) p∧q 7. Pedro é economista. 52 E-mail: "tiradentescentro@gmail. Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”. ~A ∨ ~B IV. d) Se Pedro não é economista. Qual a negação da afirmação “Pedro gosta de lógica e informática”? a) “Pedro não gosta de lógica e informática” b) “Pedro odeia lógica e informática” c) “Pedro não gosta de lógica ou não gosta de informática” d) “É verdade que Pedro não gosta de lógica e informática” e) “Ou Pedro gosta de lógica ou de informática” 10. Aponte o item que representa simbolicamente a expressão: ”Se e somente se Maurício estudar lógica e informática irá passar no concurso”.br CENTRO.com. ~(A ∧ B) Podemos afirmar que as proposições equivalentes a negação de (A ∧ B). observe as seguintes proposições compostas: I. Sejam as proposições: (p): Renato é alto (q): Renato é elegante A proposição (r): “Não é verdade que Renato é alto ou elegante”. então Luisa é solteira” é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira c) Se Luísa é solteira. então Luísa não é solteira. ~(A ∨ B) III. 1106 3226. Dadas A e B proposições simples. são: a) somente I e II b) somente II e III c) somente III e IV 8. a) A → (B ∧ C) b) (A ∨ B) → C c) (A ∨ B) ↔ C d) (A ∧ B) ↔ C e) A → (B ∨ C) 5. Sejam as proposições: (p): Guilherme é magro.com" Site: www. Observe as proposições: (A): Maurício estuda informática (B): Maurício estuda lógica. (q): Guilherme é inteligente. e) Monyke não ficar feliz é condição suficiente para Sophia não estudar. b) Monyke ficar feliz é condição necessária para Sophia estudar. c) Caso eu tire férias. somente se q for verdadeira E-mail: "tiradentescentro@gmail. a proposição (p∧ r)→ (q∨ s) será: a) verdadeira. então x≠3. é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Paulo não é pobre ou Alberto não é alto.com. Sendo p e q proposições quaisquer. Aponte o item falso.com" Site: www. então x=3. a) Ir a praia é condição suficiente para não chover. então y=7”. PROFESSOR ALEX MAGNO 13. b) Se y=7.colegiotiradentes. não esteja feliz e viaje. a) Caso eu tire férias. Duas grandezas x e y são tais que: “se x=3. 15. 21. não receba dinheiro. esteja feliz e viaje. esteja feliz e viaje. e) se Paulo não é pobre. b) Não chove em Guaramiranga e não faz frio. 1106 3226. Dada a premissa “Não é verdade que Rodolfo não é legal”. podemos afirmar que o único item errado é: a) Sophia estudar é condição suficiente para Monyke ficar feliz. consequentemente Monyke fica feliz”. Rua Pedro I. irei à praia. 17. b) Ir a praia é condição suficiente para chover. aponte a única condição para que essa afirmação seja falsa. s uma proposição falsa. então Pedro não é economista. Sabendo que “Se Sophia estuda. 22. d) Chover é condição necessária para eu ir à praia. somente se p for verdadeira b) verdadeira. então amanhã choverá” d) “Hoje não é segunda− feira nem amanhã choverá” e) “Hoje é segunda− feira ou amanhã não choverá” 18. receba dinheiro. Dizer que “não é verdade que Paulo é pobre e Alberto é alto”. e) Não viajar no feriado é condição suficiente para Milena não ter recebido R$500. então Alberto não é alto. b) Caso eu não tire férias. c) Chover é condição suficiente para eu não ir a praia.8000 . c) Paulo é pobre ou Alberto não é alto. não receba dinheiro. A partir disto pode-se concluir que: a) Se x≠3.br 53 CENTRO. c) Receber R$500 é condição necessária para Milena viajar no feriado. d) Se não chover em Guaramiranga. então y=5. 16. A negação de “Hoje é segunda− feira e amanhã não choverá” é: a) “Hoje não é segunda− feira e amanhã choverá” b) “Hoje não é segunda− feira ou amanhã choverá” c) “Hoje não é segunda− feira. Qual a negação de “Se chove em Guaramiranga então faz frio”? a) Chove em Guaramiranga e não faz frio. 19. e) Chover é condição necessária para eu não ir à praia. Caso não chova. d) se Paulo não é pobre. então necessariamente não é verdade que: a) “Rodolfo é legal” b) “Rodolfo é magro” c) “Rodolfo não é magro” d) “Rodolfo não é legal” 14. r uma proposição verdadeira. b) Viajar no feriado é condição necessária para Milena ter recebido R$500. d) Sophia estudar é condição necessária e suficiente para Monyke ficar feliz. receba dinheiro. c) Se y≠7. não faz frio. 20. c) Sophia não estudar é condição necessária para Monyke não ficar feliz. c) Chove em Guaramiranga ou não faz frio. então Alberto é alto. d) Caso eu não tire férias. então y≠7. não esteja feliz e não viaje. Sabendo que “Tirar férias e receber dinheiro é condição suficiente para que eu esteja feliz ou viaje”. Logo. d) Não receber R$500 é condição necessária para Milena não viajar no feriado.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR e) Se Luísa não é solteira. a) Receber R$500 é condição suficiente para Milena viajar no feriado. b) Paulo não é pobre e Alberto não é alto. Sabendo que “Se Milena receber R$500 então viajará no feriado”. receba dinheiro. d) Se x=5. não esteja feliz e não viaje. e) Caso eu não tire férias. com" Site: www. – é representa a cópula. (CESPE) Considerando que P e Q sejam proposições e que ∧. Q. Em lógica. B 13. ∨. A inferência é. inferir significa deduzir. isto é. C 07. Considere também a proposição a seguir. o termo maior (predicado da conclusão) e o menor (sujeito da conclusão) são comparados com o termo médio e assim temos premissa maior e premissa menor segundo a extensão dos seus termos. “e”. o verbo que exprime a relação entre sujeito e predicado. Então. E 21. C 12. D 02. ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado” Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal. “negação” e o “conectivo condicional”. através de um “efeito dominó”..com. (CESPE) Na análise de um argumento. D 14. e fica após a cópula.. do latim inferre. localizar um ponto de partida através de uma proposição simples dada (ou de uma hipótese) e a partir daí. “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô. ∨. A 24. se p for verdadeira e q falsa e) falsa. C 20. A 15.. C 19.. “se.então” → e “se e somente se” ↔. por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. • Sócrates é homem (premissa menor) E-mail: "tiradentescentro@gmail. assumindo que P = “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus” Q = “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô” R = “ele sempre leva um guarda-chuva” S = “ele sempre leva dinheiro trocado” Então a) P → (Q ∨ R) b) (P → Q) ∨ R c) (P ∨ Q) → (R ∧ S) d) P ∨ (Q → (Q ∧ S)) GABARITO 01. C 22. “e” ∧. D 18. um processo pelo qual se chega a uma proposição. O silogismo é estruturado do seguinte modo: • Todo homem é mortal (premissa maior) – homem é o sujeito lógico. é o mesmo que dedução. para qualquer valores lógicos de p e q d) falsa. “ou. respectivamente.de que se infere a conseqüência. INFERÊNCIA Inferência. C 17. inferência é a passagem. 1106 3226. afirmada na base de uma ou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR c) verdadeira.colegiotiradentes.8000 . A 09. R e S sejam proposições e que ∧. C 05. B 16. B 08. Nas premissas. Rua Pedro I. pode-se evitar considerações subjetivas. admitindo que todas as proposições compostas são verdadeiras. a) P → (P ∨ Q) b) (P ∨ Q) → (P ∧ Q) c) (¬P ∧ ¬Q) → ¬P d) (P ∧ Q) → Q 24. B 11. D 10. ¬ e → sejam os conectores lógicos que representam. E ANÁLISE DE PROPOSIÇÕES INTRODUÇÃO A análise de um conjunto de proposições requer conhecimento da álgebra das proposições visto nas aulas anteriores. – mortal é o predicado lógico. através de regras válidas. “negação” e o “conectivo condicional”. portanto. assinale a opção que não apresenta uma tautologia. “e”. D 03. B 04.antecedentes . se p e q forem ambas falsas PROFESSOR ALEX MAGNO 23. Tudo consiste em organizar as proposições (de preferência usando linguagem simbólica). C 06.ou” ∨. Considere que P. PREMISSA Num silogismo (raciocínio ou conexão de idéias). “ou”. ¬ e → sejam os conectores lógicos que representam. “ou”. e fica à frente da cópula.br 54 CENTRO. as premissas são os dois juízos que precedem a conclusão e dos quais ela decorre como conseqüente necessário . deduzir todos os valores lógicos (V ou F) das outras proposições simples. D 23. respectivamente. do antecedente ao conseqüente de um argumento. sobretudo os “links” apresentados para cada conectivo estudado: “ou” ∨. e. e dentre eles.br CENTRO. 1106 3226. seu destinatário. O vocábulo prova serve também para nomear os elementos fornecidos ao juiz. Proposição é normalmente usado para expressar o significado de uma sentença ou oração declarativa. Rua Pedro I. Tanto o é que possui vários sentidos tanto na linguagem popular quanto no uso técnico. pela razão de que.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO • Sócrates é mortal (conclusão) Há palavras que ajudam a identificar as premissas (indicadores das premissas). bem como em outros ramos das ciências. como empregador e empregado. EXEMPLO: “Todo homem é mortal” “Eu sou um homem” “Eu sou mortal” PREMISSAS CONCLUSÃO ARGUMENTAÇÃO EXEMPLO: “Se eu receber dinheiro. antes de mais. CONCLUSÃO A conclusão de um argumento é aquela que se afirma com base nas outras proposições desse mesmo argumento. porque. Isoladamente. irei a praia” “Caso vá à praia. fico feliz” “Recebi dinheiro” “Estou feliz” EXEMPLO: “Caso não chova. podemos inferir.com" Site: www. uma só proposição pode ser premissa num argumento e conclusão noutro. para que este. desde que. em uma argumentação. Chama-se argumento porque estimula a mente e a ilumina para intuir a verdade e dar-lhe a sua adesão. Note que "proposição" e "enunciado" não são sinônimos. como. quando. viajo” PREMISSAS “Se eu viajar. Podemos então dizer que as premissas são as proposições que. bronzeio” CONCLUSÃO ARGUMENTAÇÃO PREMISSAS CONCLUSÃO ARGUMENTAÇÃO PROVA A palavra prova no processo. O argumento exprime com freqüência o conceito geral de prova. ARGUMENTO Argumento é uma linha de raciocínio utilizada em um debate para defesa de um ponto de vista. como: se. "Só é premissa quando ocorre como pressuposição num argumento ou raciocínio. dado que. mas no contexto lógico são usados em sentido quase idêntico Oportuno esclarecer que "premissa" e "conclusão" são termos relativos. bronzeio” “Se não chover. 55 E-mail: "tiradentescentro@gmail. Prova é todo meio destinado a convencer o juiz. Deste modo premissa e conclusão são termos relativos. caso. o dos juristas. Em direito. Para se distinguir um argumento correto de um incorreto é preciso. a respeito da verdade de um fato levado a juízo. essas outras proposições que são enunciadas como prova ou razões para aceitar a conclusão são as premissas desse argumento. Frequentemente.colegiotiradentes. No mínimo. daí. O argumento é o elemento básico para a fundamentação de uma teoria. um argumento envolve duas proposições: uma premissa (ou mais) e uma conclusão.com. segue-se que. Palavras como: portanto. por sua vez. tanto mais que. Só é conclusão quando ocorre num argumento em que se afirma decorrer das proposições pressupostas nesse argumento". prova é qualquer evidência factual que ajude a estabelecer a verdade de algo. são indicadores da conclusão. assim. precedem a conclusão. podemos concluir. nenhuma proposição é uma premissa ou uma conclusão. logo. seguindo-se-lhe as premissas propostas em seu apoio.8000 . reconstrua mentalmente aqueles fatos relevantes. pois que. reconhecer quando os argumentos ocorrem e identificar as suas premissas e conclusões. Mas pode corretamente estar no final do argumento ou intercalada entre as premissas. empregado para a empresa que trabalha. consequentemente. a conclusão é apresentada (enunciada) primeiro. com eles. pode assumir diferentes conotações. dependem do contexto: empregador para a sua doméstica. pela atividade probatória. As analogias têm uma forma de expressão própria que segue o modelo: A está para B. diz-se que: "Os patins estão para o patinador. • Logo. as analogias são fluidas e uma análise mais detalhada poderá revelar algumas imperfeições na comparação. DEDUÇÃO Raciocinar dedutivamente. Então. Dadas as seguintes premissas • Caso não chova no fim de semana. universal. Normalmente. EXEMPLOS 01. O princípio de indução não pode ser uma verdade lógica pura. No entanto.colegiotiradentes. Ou seja. Afinal. • Eu sou um ser humano. em busca de uma verdade particular. Em matemática foi desenvolvida uma versão mais formal de analogia. o isomorfismo. Por exemplo. é partir de premissas gerais. na busca de uma lei geral. como caranguejo • Sempre que como caranguejo. irei a praia • Quando vou à praia.br 56 CENTRO. A maior parte das pessoas achará a analogia dos esquis/patins verdadeira. EXEMPLO: • Todos os cavalos até hoje observados tinham um coração. tal como uma tautologia ou um enunciado analítico. 1106 3226.8000 . EXEMPLO: Sabe-se que: • O ferro conduz eletricidade • O ferro é metal • O ouro conduz eletricidade • O ouro é metal • O cobre conduz eletricidade • O cobre é metal Logo os metais conduzem eletricidade. • Logo. uma vez. • Todos os cavalos são mamíferos. pois se houvesse um princípio puramente lógico de indução. assim como C está para D. a relação que os patins estabelecem com o patinador é idêntica à relação que os esquis estabelecem com o esquiador. mas não são exatamente iguais. eu sou imperfeito. INDUÇÃO Os “indutivistas” acreditavam que as explicações para os fenômenos advinham unicamente da observação dos fatos. Exemplo: • O Ser humano é imperfeito. simplesmente não haveria problema de indução.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO ANALOGIA Uma analogia é uma relação de equivalência entre duas outras relações. todos os cavalos têm coração. bebo refrigerante • Esse fim de semana não choveu Então a conclusão será que nesse fim de semana a) Comi caranguejo e bebi refrigerante b) Não comi caranguejo e bebi refrigerante c) Comi caranguejo e não bebi refrigerante E-mail: "
[email protected]. Rua Pedro I. é extremamente difícil estabelecer de forma rigorosa porque é que é verdadeira. todos os cavalos tem um coração. raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares.com" Site: www. que neste caso todas as inferências indutivas teriam de ser tomadas como transformações lógicas ou tautológicas. assim como os esquis estão para o esquiador". exatamente como as inferências no campo da Lógica Dedutiva. Exemplo: • Todo mamífero tem um coração. esquiar e patinar são atividades parecidas. • Logo. com. Transferindo essa informação. do enunciado. 2. 5.com" Site: www. Como eu fui à praia.8000 . 1106 3226. P V 1 5 → 4 CC V ~CH V → 6 Portanto. Transferindo essa informação. Como não choveu. visitou Ana na cidade vizinha • De acordo com seu extrato. do enunciado. 6. João recebeu dinheiro na sexta-feira Tomando como verdadeiras todas as proposições. Rua Pedro I.colegiotiradentes. Um advogado usou as proposições a seguir. Já que eu comi caranguejo. podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma: ~CH → P P → CC CC → R ~CH Partindo da proposição simples "Não choveu no fim de semana" (~CH). CH: "Chover no fim de semana" P: "Irei a praia" CC: "Comer caranguejo" R: "Tomar refrigerante" Então. torna-se mais fácil a representação simbólica. então também tomei refrigerante. • Se João não estava na cidade então ele é inocente • Se João estava na cidade então almoçou na casa da mãe no domingo • Ou João almoçou na casa da mãe no domingo. ou visitou Ana na cidade vizinha • Se e somente se João recebeu dinheiro na sexta-feira.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO d) Não comi caranguejo e não bebi refrigerante SOLUÇÃO: Representando por siglas as proposições. podemos escrever as proposições em linguagem simbólica da seguinte forma: ~JC JC AM RD RD → → ∨ ↔ I AM VA VA E-mail: "tiradentescentro@gmail. 3. RESPOSTA: Item A 02. o júri concluiu que: a) João é inocente e não visitou Ana b) João é inocente e visitou Ana c) João é culpado e não visitou Ana d) João é culpado e visitou Ana e) O júri não conseguiu chegar a uma conclusão SOLUÇÃO: Sejam JC: "João estava na cidade " I: "Inocente" AM: "almoçou com a mãe" VA: " visitou Ana" RD: "Recebeu dinheiro" Então. 4.br 57 CENTRO. tive que comer caranguejo. João Comi caranguejo e bebi refrigerante. Transferindo a informação inicial. segue por “efeito dominó” a seqüência conclusiva representada pelas setas. ~CH V 3 → 2 P V CC V R V EFEITO DOMINÓ: 1. para argumentar a inocência de seu cliente. eu tenho que ir à praia. ∨ 4 ↔ VA V 2 1 RD V Portanto.com" Site: www. segue então ~BL → GC 1 F F 2 EFEITO DOMINÓ: 1. Se há um rinoceronte na sala. então Bertrand não entende de Lógica” LL → RS : “Ludwig entende de Lógica.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Partindo da proposição simples "João recebeu dinheiro" (RD). 3. 7. 6.br 58 CENTRO. mas Ludwig entende. No “ou. logo AM é F. então GC é F. João é inocente. RESPOSTA: Item B 03. então “AM” tinha que ser V. então há um rinoceronte na sala” Sabendo que “George não é culpado” é V. tem que ter ido visitar Ana. Logo: a) Há um rinoceronte na sala e Ludwig não entende de Lógica. RS → ~BL F 3 F 4 LL → RS 5 F F Portanto. então “~BL” tinha que ser V. então George é culpado. logo “RS” é F. Se Bertrand não entende de Lógica. logo “LL” é F. b) Bertrand entende de Lógica e não há um rinoceronte na sala. logo “JC” é F. Mas George não é culpado. então há um rinoceronte na sala. d) Bertrand não entende de Lógica. Logo: a) Maria não é bonita b) João não é rico E-mail: "tiradentescentro@gmail. Ora. 5. ou Maria não é bonita. Sabe-se que ou João é rico. então “GC” tinha que ser V.. ~JC → I V V EFEITO DOMINÓ: 7 JC F AM F RD V → 6 5 8 AM F VA V 3 1. Se “RS” fosse V. c) Há um rinoceronte na sala e Bertrand não entende de Lógica. não almoça com a mãe e visita Ana na cidade vizinha.ou”. então “RS” tinha que ser V. Transferindo a informação. Transferindo essa informação. A negação sempre tem valor lógico contrário. Transferindo essa informação. 3. Transferindo a informação inicial. 1106 3226. 2. Como ele recebeu dinheiro.com. (IPAD) Se Ludwig entende de Lógica. Transferindo essa informação. Rua Pedro I. 5. então George é culpado” RS → ~BL : “Se há um rinoceronte na sala. Se “LL” fosse V. SOLUÇÃO: Sejam ~BL → GC : “Se Bertrand não entende de Lógica. e) Não há um rinoceronte na sala e Ludwig entende de Lógica. logo “~BL” é F. 2. segue por “efeito dominó” a seqüência conclusiva representada pelas setas.. Sabe-se ainda que ou Maria é bonita ou José é carpinteiro. 4.colegiotiradentes. Se “JC” fosse V. somente uma das afirmações é verdadeira. então Bertrand não entende de Lógica. “Bertrand entende de lógica” e “Não há um rinoceronte na sala” RESPOSTA: Item B EXERCÍCIOS 1. José não é carpinteiro. Se “~BL” fosse V. 4.8000 . mas não ambos. (FCC) As sentenças abaixo são verdadeiras. o vôo atrasa. Se Débora é dentista. Ora. Se Rui vai a Roma. Ora. M + H ≠ 1. b) Paulo vai a Paris e Rui vai a Roma. então M + H = 1. mas fiz uma boa ação. ou Aurisvanderson não gosta de lógica. então: a) Beto não vai a Berlim e Rui vai a Roma. c) Não estou feliz. Rua Pedro I. e) Lógica é difícil e geografia é difícil. então Sandra é secretaria.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR c) José é rico d) José não é rico e) Maria é bonita PROFESSOR ALEX MAGNO 2. para argumentar a inocência de seu cliente. Ou lógica é fácil. Daí segue–se que. (ESAF) Ou A=D. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. então Paula não é professora. Paula é professora. Carine é carioca. 8. José é carpinteiro. d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação.8000 . então: a) Estou feliz e fiz uma boa ação.com" Site: www.br 59 CENTRO. • Se João não estava na cidade então ele é inocente • Se João estava na cidade então almoçou na casa da mãe no domingo • Ou João almoçou na casa da mãe no domingo. Logo: a) 2w – 3r = 0 b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r c) M ≠ 2x + 3y d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r e) M = 2w – 3r 7. Aurisvanderson gosta de lógica. ou B=C. 5. então Beto vai a Berlim. então Sandra vai a Salvador. c) Lógica é fácil e geografia é fácil. c) Paulo vai a Paris e Rui não vai a Roma. Ora. Se B=D. Por outro lado. Aline é atleta. Se Bárbara é bailarina. então M = 2w – 3r. ou M = 0. b) Estou feliz. ou visitou Ana na cidade vizinha • Se e somente se João recebeu dinheiro na sexta-feira.com. se geografia não é difícil. então lógica é difícil. Fazer uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. d) Paulo não vai a Paris e Beto vai a Berlim e) Paulo não vai a Paris e Beto não vai a Berlim 10. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz. ou Débora é dentista.colegiotiradentes. M = 2x + 3y. 1106 3226. então : a) se geografia é difícil. b) Lógica é fácil e geografia é difícil. Por outro lado. Bárbara é bailarina. Se M = 0. Se Paulo vai a Paris. mas não fiz uma boa ação. o júri concluiu que: a) João é inocente e não visitou Ana b) João é inocente e visitou Ana c) João é culpado e não visitou Ana d) João é culpado e visitou Ana e) O júri não conseguiu chegar a uma conclusão 11. (ESAF) Se M = 2x + 3y. Ora. Ora. Logo: a) Aline não é atleta e Carine não é carioca b) Débora é dentista ou x = 5 c) Aline é atleta e Débora é dentista d) Carine é carioca e x = 5 e) Carine é carioca ou x = 5 9. visitou Ana na cidade vizinha • De acordo com seu extrato. Um advogado usou as proposições a seguir. d) Lógica é difícil e geografia é difícil. Ora. • Se vou à Brasília de avião. Sandra não vai a Salvador. Se João é rico. Se Maria é bonita. Logo: a) B ≠ C b) B ≠ A c) C = A d) C = D e) D ≠ A 6. então lógica é difícil. Logo: a) Maria é bonita b) João é rico c) José é rico d) João não é rico e) Maria é rica 3. Sabendo que eu recebi dinheiro. 4. Maria é bonita. Então. também é verdade que E-mail: "tiradentescentro@gmail. Se Beto vai a Berlim. B=D. então x = 5. José não é carpinteiro. fico mal-humorado. João recebeu dinheiro na sexta-feira Tomando como verdadeiras todas as proposições. x ≠ 5. portanto: a) Ana é advogada b) Sandra é secretária c) Ana é advogada ou Paula não é professora d) Ana é advogada e Paula é professora e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. então M = 4p + 3r. Se Ana é advogada. então Rui vai a Roma ou Sandra vai a Salvador. • Se o vôo para Brasília atrasa. Se M = 4p + 3r. então A=B. Se Ana não é advogada. Se Aline é atleta. Por outro lado. não fico mal-humorado. há um leão feroz nesta sala. Júlia e Raul mentiram. então o circo não está na cidade. Então. (ESAF) Considere as seguintes premissas (onde X. d) o vôo para Brasília não atrasa e não fico mal-humorado. Se Pedro não é português. (ESAF) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo.com" Site: www. mas não Cibele. c) Cleusa está enganada. c) se eu comprar uma casa. então na volta: a) passei em Salvador e Recife. ou o circo está na cidade. d) não passei nem em Salvador. Se Lauro falou a verdade. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão.colegiotiradentes. Ora. então. sabe-se que ou José é o mais velho. c) passei somente em Salvador. b) se eu não comprar uma casa. nem em Recife.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR a) se o vôo para Brasília não atrasa. d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo. e) Caio não irá ao circo.com. ou Adriano é o mais moço. d) Cibele está enganada. então não comprarei uma casa. e) vou à Brasília de avião e não fico mal-humorado. então Cibele está enganada. então Frederico é francês. irei à Bariloche. Lúcia é linda. ou Egídio é espanhol. e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa. Frederico é francês 15. Lauro falou a verdade. Sabe-se. não há um leão feroz nesta sala. Ora. Se Bernardo é barrigudo. Suas amigas. têm opiniões discordantes sobre se o circo está na cidade. 14. Cecília. Logo: a) Nestor e Júlia disseram a verdade b) Nestor e Lauro mentiram c) Raul e Lauro mentiram d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade e) Raul e Júlia mentiram 16. passarei em Salvador ou Recife. 1106 3226. b) Cibele e Cleusa não estão enganadas. ou Caio é o mais velho. Verificou-se que Cecília está certa. então comprarei uma casa”. então não ganhei na loteria. Ora.8000 . fico mal-humorado c) se o vôo para Brasília não atrsa. não estou indo à Brasília de avião b) se não vou à Brasília de avião. PROFESSOR ALEX MAGNO 12. Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: "X está contido em Y e em Z. 13. Ou Alberto é alemão. sentirei muito calor. mas não Cleusa. Logo: a) o circo está na cidade. Se e somente se for a Salvador. respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano 18. Logo: a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo. ou sinto muito frio. d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria. se for verdadeira a proposição condicional “se eu ganhar na loteria. então César é careca. Y. então César não é careca. Nas férias de julho. ou Caio não irá ao circo. Se Raul mentiu. concluir que. Se Cibele estiver enganada. b) passei somente em Recife. (FCC) Do ponto de vista lógico. se for à Argentina. nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. b) Bernardo é barrigudo ou César é careca. Se Cleusa estiver enganada. também. então Cleusa está enganada. Na volta. sinto muito frio. Sabendo que fui à Argentina. ou sinto muito calor. E-mail: "
[email protected] 60 CENTRO. (ESAF) De três irmãos – José. Cibele e Cleusa. Rua Pedro I. então Alberto não é alemão. Sempre que vou à Bariloche. (ESAF) Se Frederico é francês. Se Lúcia é linda. o mais velho e o mais moço dos três irmãos são. (ESAF) Se Nestor disse a verdade. então terei ganho na loteria. que ou Adriano é o mais velho. Ora. 19. Adriano e Caio –. e) Lúcia é linda e César é careca. mas não tem certeza se o circo ainda está na cidade. necessariamente será verdadeira a proposição: a) se eu não ganhar na loteria. (ESAF) Caio quer ir ao circo. c) César é careca e Maria e magra. Nas férias. necessariamente a) Y está contido em Z b) X está contido em Z c) Y está contido em Z ou em P d) X não está contido nem em P nem em Y e) X não está contido nem em Y e nem em Z 17. Se Cecília estiver certa. ou X está contido em P" Premissa 2: "X não está contido em P" Pode-se. d) Ana não fala alemão ou Lara fala italiano. Se a = 0.céu pedrento . Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. (ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro. não morde”. (ESAF) Se a = b+p. sabe-se que sempre que Denise dança. • ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada. no último domingo. d) Se um animal latir e morder. A partir daí. que: • se o cozinheiro é inocente. (ESAF) No último domingo.colegiotiradentes. a) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise foi aplaudido de pé. Se Beto é inocente. Dorneles sai para ir à missa. a = b+p. d) Denise dançou e seu grupo foi aplaudido de pé. c) Denise não dançou e o grupo de Denise foi aplaudido de pé. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. 22. Considerando verdadeira essa afirmação. Sabe-se.8000 . Ora. então a+u = 5. Dênis é culpado. então ou Débora fala dinamarquês ou Ching fala chinês. E-mail: "tiradentescentro@gmail. então Caio é culpado. (ESAF) André é inocente ou Beto é inocente. e) se um gato não estiver pardo. Logo pode–se afirmar que: a) a governanta e o mordomo são os culpados b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados c) somente a governanta é culpada d) somente o cozinheiro é inocente e) somente o mordomo é culpado 23. Se a = z+r. já que podem ter agido individualmente ou não. pode-se concluir que: a) corujas não são gatos porque são aves e gatos são mamíferos. Logo. e sempre que Paula vai ao parque. b) o grupo de Denise não foi aplaudido de pé e Paula não foi pescar na praia. Todos acreditam que: “Cão que late. (FJPF) Em uma certa cidade. então a governanta é culpada. Considerando-se somente esta afirmação.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 20. então é noite. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. ainda. c) Se um cão não morder é por que ele latiu. quando o céu fica coberto de pequenas nuvens . então Ana fala alemão. d) erra quando chove. 1106 3226. e) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise não foi aplaudido de pé. • o mordomo não é inocente. também. Sabe-se. Dorneles não saiu para ir à missa. b) se um animal ficar pardo à noite. e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. b) Se um cão não latir irá morder. mas não os dois. Ora. ou a = 0. Ora. Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Se Lara fala italiano.com. Logo: a) Caio e Beto são inocentes b) André e Caio são inocentes c) André e Beto são inocentes d) Caio e Dênis são culpados e) André e Dênis são culpados 24.com" Site: www. 26. então é de manhã. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles. ou Paula vai ao parque ou vai pescar na praia. a governanta e o mordomo. aos domingos. 21. então a = w – r. ele não é um cão. então ele é gato. pode-se afirmar que o ditado: a) acerta quando chove e venta. então pode-se concluir que: a) Um cão pode latir e mesmo assim me morder. então a = z+r. que.há um dito popular que ensina: “Quando o céu está pedrento então chove ou venta”. Sempre que Paula vai pescar na praia. Ora. 27. Denise dança. (FJPF) Há um dito popular que afirma: “De noite todos os gatos são pardos”. e) acerta sempre. Se Lara não fala italiano. c) só acerta quando venta e chove ao mesmo tempo. então ele é não gato. b) erra quando não venta. Elton fala espanhol. Por outro lado. Se Débora fala dinamarquês. Rua Pedro I. então: a) Lara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. c) se todos os gatos estiverem pardos.br 61 CENTRO. d) se um animal não ficar pardo à noite. a) w – r = 0 b) a ≠ b+p c) a = w – r d) z+r ≠ w – r e) b+p ≠ w – r 25. o grupo de Denise é aplaudido de pé. Então. a+u ≠ 5. b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c)criar é preciso e navegar não é preciso. não passeio ou fico deprimida. A 21. B 22. b) Márcia é magra. se navegar não é preciso. D 02. GARARITO 01. D 08. C 09. Quando não faz calor e passeio. Se navegar é preciso. Renata é ruiva.8000 . a) Márcia não é magra. d) Márcia não é magra. vejo Carlos.br 62 CENTRO.colegiotiradentes. logo: a) viver é preciso e criar é preciso. Mas Fernando Pessoa disse que criar é preciso. D 12. Beatriz é bailarina. não vejo Carlos. A 10. 1106 3226. hoje a) Se estou deprimida. não chove e não faz calor b) Se estou deprimida. Assim. a validade das equivalências abaixo. B 25. vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida. c) Márcia é magra. B 23.com" Site: www. chove e faz calor e) Se não estou deprimida. B 24. Quando não vejo Carlos. d)navegar é preciso e viver é preciso. passeio e não estou deprimida. A 07. D 06. não passeio ou fico deprimida. a) mdc (2. A 30.com. Quando Chove. E 18. B 13. Se Beatriz não é bailarina então Márcia é magra. Beatriz é bailarina. B 17. não vejo Carlos.3) = 1 ou mmc (2. C 05. não vejo Carlos. j) Todo triângulo isósceles é eqüilátero k) Existe um losango que não é quadrado l) Existe um número cuja raiz quadrada é zero m) Todo triângulo que tem três ângulos congruentes tem três lados congruentes. Márcia não é magra ou Renata é ruiva. A 28. Rua Pedro I. E 29. E 16. então viver não é preciso. não vejo Carlos. chove e não faz calor 29. Renata não é ruiva. Renata não é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é ruiva. b) navegar é preciso e viver não é preciso. Portanto. B 27. E 19. E 11. A 14. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. B 03. não chove e faz calor d) Se não estou deprimida. A 15. B EXERCÍCIOS COMENTADOS – RACIOCÍNIO LÓGICO 1) Diga qual é a negação de cada proposição abaixo . Renata não é ruiva. B 26. 3) Verifique. B 20. Hoje. a) da conjunção c) da conjunção relativamente à disjunção p ∧q⇔q∧p p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) p∧p⇔p p∧(p∨q)⇔p p∧v⇔p p∨(p∧q)⇔p p∧ f⇔f b) da disjunção d) da negação p∨q⇔q∨p ∼(∼p)⇔p (p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) ∼ ( p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q p∨ p⇔p ∼ ( p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q p∨ v⇔v E-mail: "
[email protected]ÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR e) Todos os animais que não mordem são cães. chove e faz calor c) Se não estou deprimida. Beatriz é bailarina. PROFESSOR ALEX MAGNO 28. então criar não é preciso. B 04. 30. não passeio. por meio das tabelas-verdades. 2) Classifique em V ou F as negações construídas no exercício anterior.3) ≠ 6 b) 3/5 = 6/10 ou 3 x 10 ≠ 6 x 5 c) 3/7 ≥ 1 e – 3 ≥ – 7 d) 22 = 4 → 4 = 2 e) (– 3 )2 = 9 → 9 ≠ – 3 f) 2 ≤ 5 → 32 ≤ 52 g) (∀x ) ( x > 2 → 3x > 32 ) h) ( ∃x ) ( x < 0 ) i) Todo número inteiro é primo é impar. Beatriz não é bailarina. 33. _______ E-mail: "tiradentescentro@gmail. 31. fantástico.30 verdes e 2 roxas. 66.com. 32. de acordo com as afirmativas abaixo. a) nenhuma mulher é desonesta d) Nenhuma mulher é honesta b) Todas as mulheres são honestas e) Algumas mulheres são desonestas. desce 2 metros.azul. no escuro. _____ a) 31 b) 30 c) 32 12) 67.branca. às escuras. ao amanhecer do 1º dia._____ a) 18 b) 8 c) 17 13) 2. 11. 59. 1106 3226.colegiotiradentes. açor. para ter a certeza de formar um par da mesma cor? a) 2 b) 20 c) 3 d) 4 e) 40 6) Timóteo tem na sua cômoda. Rua Pedro I. qual poderá continuar a série: a) Honrado c) Constituinte e) Profícuo b) Abstêmio d) Equivalente 9) Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o dia ele sobe 3 metros e durante a noite. assinale a opção que contém o numeral correto. 52. 43. IV . corpo. 29. 28. qual o número mínimo de meias que uma pessoa deve retirar. 5. r são proposições quaisquer. quantos dias gastará o caramujo para chegar ao topo? a) 9 dias e meio c) 10 dias e meio e)12 dias b) 10 dias d) 11 dias 10) Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatro bolas. 12 amarelas.A bola que está imediatamente após a azul é maior do que a que está antes desta. 11) 4. d)azul.verde e amarela. 8 cor de laranja. verde e amarela. azul. 14. Das palavras abaixo.8000 .amarela e verde c) branca. 64. cristal.com" Site: www. um par da mesma cor? a) 6 b) 5 c) 4 d)3 e)2 7) Trens. 17.br d) 29 e) 33 d) 7 e) 4 63 CENTRO. c) Algumas mulheres são honestas 5) Numa gaveta há 20 meias pretas e 20 marrons.branca. malas.amarela e verde e)azul.A bola verde é a menor de todas. pranto. sabendo que as seqüências seguem uma ordem lógica. verde e azul b)branca. 10. a)branca. 19. pega em algumas. qual poderá continuar a série? a) Parti c) calma e) menor b) aulas d) boião 8) Esta série de palavras segue uma Regra Lógica: Água. 22. Das palavras seguintes.As meias estão todas misturadas Timóteo. q.amarela.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO p∨f⇔p Em que p. ∨ é uma tautologia e ƒ uma proposição logicamente falsa. ao dormir. 18 meias azuis. se lhes ver a cor. 4) A negação da frase “Todas as mulheres são honestas” é. 26. I – A bola amarela está depois da branca II – A bola azul está antes da verde III . pelo menos. Sabendo-se que iniciou a subida da base. maior. Estas palavras seguem uma Regra Lógica. Em quantas meias deve pegar para ter a certeza de conseguir. * Nos exercícios 11 a 13. Beto e Carlos. Sabendo-se que apenas um dos quatro não falou a verdade. então. tem as seguintes características: um dos três é louro. o pássaro canta. Sabe-se ainda que: Se o cozinheiro é inocente. então eles não voam. respectivamente caracterizada como: a) Louro. então a governanta é culpada. e Q afirmar que P e eles são tipos opostos de indivíduos. c) A praia não está movimentada e o pássaro voa. Sabe-se que o crime foi efetivamente por um ou por mais de um deles. ruivo. logo: a) A praia está movimentada e o pássaro voa. 16) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: Ari. Caio e Denis. d) Ruivo. No ano que vem. c) P e Q falam verdade d) P e Q mentem. Rua Pedro I. Carlos afirma: Beto é ruivo.colegiotiradentes.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR a) 71 b) 132 c) 72 d) 144 e) 73 PROFESSOR ALEX MAGNO 14) Anteontem Maria tinha 17 anos. ela vai fazer 20 anos. moreno c) Louro. Se a praia está movimentada. Considerando as características e as afirmações citadas. moreno. então os pássaros voam. moreno. Beto e Carlos são. Interrogados. mas não os dois. já que podem ter agido individualmente ou não. Denis: Belo mente quando diz que sou culpado”. ruivo. moreno b) Ruivo. e) As afirmações são inconsistentes. haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Que dia é hoje? a)1º de Abril b) 31 de dezembro c) 1º de Janeiro d) dia do seu aniversário e) um dia antes do seu aniversário 15) Se a praia não está movimentada. quem é o culpado do crime cometido? a) Ari b) Belo c) Caio d) Denis 17) Três meninos. André mente sempre que Beto diz a verdade. d) A praia não está movimentada e o pássaro não voa e) Se o pássaro canta.8000 . Belo: “Denis é o culpado”.com. fazem as seguintes declarações: Ari: “Belo é o culpado”. 18) Considere que.com" Site: www. Ora. b) apenas Q fala a verdade. 1106 3226. Belo. b) A praia está movimentada e o pássaro não voa. 19) Há três suspeitos de um crime: A governanta o cozinheiro e o mordomo. em um pequeno grupo de pessoas – G – envolvidas em um acidente. cujos nomes são André. ruivo. O mordomo não é inocente Logo: a) A governanta e o cozinheiro são culpados b) Somente o cozinheiro é inocente c) Somente a governanta é culpada d) O cozinheiro e o mordomo são os culpados e) Somente o mordomo é culpado. Beto afirma: Eu sou loiro ou Carlos é ruivo. louro. Cada um dos meninos faz uma afirmação: André afirma: Eu sou brasileiro ou não sou brasileiro. Carlos mente quando Beto mente. louro.br 64 CENTRO. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada. o individuo P afirmar que o individuo Q fala a verdade. louro e) Moreno. é correto concluir que: a) apenas P fala a verdade. Caio: “Eu não sou culpado”. então o pássaro não canta. é correto concluir que André. outro é moreno e o outro ruivo. Se no conjunto G. nesse caso. E-mail: "tiradentescentro@gmail. com.br 65 CENTRO. então amanhã choverá d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá E-mail: "tiradentescentro@gmail. c) 3/7 < 1 ou – 3 < – 7 l)Todo número tem raiz quadrada diferente de zero. Se W = 4p + 3r. b) 3/5 ≠ 6/10 ou 3 x 10 = 6 x 5 k) Todo losango é quadrado. Paulo abre a gaveta e pega algumas gravatas. nem Éden é espanhol nem Isa é Italiana. ou Éden é espanhol. quarta e quinta.com" Site: www.8000 . Se Pedro não é português. três verdes e três vermelhas. Marcos mente sempre na terça. então Albert não é alemão. ou W = 0. Ora. Paulo: “Hoje é terça-feira” Em que dia da semana ocorreu esse diálogo? a) segunda-feira c) quarta-feira e) domingo b) terça-feira d) sábado 21) Se Fred fala francês. 2 d) 2 = 4 e √4 ≠ 2 m)Existe um triângulo eqüiângulo e não eqüilátero e) ( – 3 )2 = 9 e √ 9 = − 3 2)a)F b)F c)V d)F e)F f)F g)F f) 2 > 5 e 32 > 52h)V i)V j)V k)F L)F m)F 4)E 5) C 6) A 7) D 8) C g) (∃ x ) ( x > 2 e 3x ≤ 32 9)A 10)B 11)C 12)E 13) C h) ( ∀x ) ( √ x ≥ 0 ) 14)C 15)C 16)B 17)D 18)D i) Existe um número inteiro primo e par 19)D 20)B 21)B 22)E 23) A QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1) (PUC-SP) A negação da proposição x ∈ ( A ∪ B) é: a) x ∉ ( A ∩ B ) b) x ∉ A ou x ∈ B c) x ∉ A e x ∈ B d) x ∈ A ou x ∉ B e) x ∉ A e x ∉ B 2) (UF-BA) A negação de Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá é: a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá c) Hoje não é segunda-feira. Se W = 0.colegiotiradentes. dizendo a verdade nos outros dias. Ora. nove amarelas.3) = 6 j) Existe um triangulo isósceles e não eqüilátero.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 20) Marcos e Paulo pertencem a um grupo de mentirosos programados. então W + S = 5.3) ≠ 1e mmc(2. Assim: a) Pedro é português e Fred é francês. e) Éden é espanhol ou Albert não é alemão. Por outro lado. então Fred é francês. uma preta. b) Pedro é português e Albert é Alemão c) Pedro não é português e Albert é alemão d) Eden é espanhol ou Fred é francês. dialogando entre eles. então W = 2s – 3r. Rua Pedro I. Paulo mente sempre na sexta. Certo dia. afirmam. dizendo a verdade nos outros dias da semana. Nela encontra-se sete gravatas azuis. W + S ≠ 5. sábado e domingo. Uma noite. Ou Albert é a alemão. Então a) 2s – 3r = 0 d) 2a + 3b ≠ 2s – 3r b) 4p + 3r ≠ 2s – 3r e) W = 2s – 3r c) W ≠ 2a + 3b 23) Paulo guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. no escuro. W = 2a + 3b. Marcos: “Eu mentirei amanhã assim como ontem”. 22) Se W = 2a + 3b. então W = 4p + 3r . 1106 3226. O número mínimo de gravatas que Paulo deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é: a) 6 b) 8 c) 18 d) 23 e)22 Respostas 1) a) mdc(2. x – a = b e) ∀x.a PROFESSOR ALEX MAGNO 4) (PUC-RS) A sentença (∃x x – a = b) é a negação de: a) ∃x x – a ≠ b b) ∃x x – a > b c) ∃x x – a < b d) ∀x.Antonio só é amigo de todos os amigos de Roberto.d. e) não gosta de ninguém. (2) Nenhum homem é bom motorista. d) se x = 5.Mário não é amigo de qualquer amigo de Paulo III . Se Roberto é amigo de Paulo. (4) Pelo menos um homem é mau motorista. a negação de (5) é: a) (1) b) (2) c) (3) d) (4) e) n. d) gosta de alguém. então y = 7”. então a) Antonio é amigo de Mário b) João é amigo de Roberto c) Mário é amigo de Roberto d) Antonio não é amigo de João.a 7) (FEI-SP) Dadas as premissas: “Todos os corintianos são fanáticos” – “Existem fanáticos inteligentes”.Todos os amigos de João são amigos de Mário II. x – a ≠ b 5) (UNESP) Uma pessoa que gosta de todas e apenas das pessoas que não gostam de si mesmas: a) gosta de si mesma. pode-se tirar a conclusão seguinte: a) “Existem corintianos inteligentes”.F. então y ≠ 7.colegiotiradentes. Pode-se concluir que: a) se x ≠ 3. b) não gosta de si mesma. c) não existe. 6) (FATEC-SP) Considere verdadeiras as três seguintes afirmações: I . d) “Todo inteligente é corintiano”. 1106 3226. b) “Todo corintiano é inteligente. então x ≠ 3.-GO) A negação de x ≥ − 2 é: a) x ≥ 2 b) x ≤ − 2 c) x < − 2 10) d) x < 2 e) x ≤ 2 (FUVEST) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro lado uma letra. e) n. e) nenhuma das conclusões anteriores é valida 9) (U.” c) “Nenhum corintiano é inteligente”. (3) Todos os homens são maus motoristas. Rua Pedro I. A B C 2 3 E-mail: "tiradentescentro@gmail. então y = 5.br 66 CENTRO. então x = 3.8000 . 8) (MACK-SP) Duas grandezas x e y são tais que: “se x = 3. e) Não se pode tirar conclusão.d.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá 3) (FEI-SP) Dadas as proposições: (1) Toda mulher é boa motorista. (5) Todos os homens são bons motoristas.com. b) se y = 7.com" Site: www. c) se y ≠ 7. A bola A é amarela. verdadeira. b) p e q são falsas e r. verdadeira.com. a bola B é verde e a bola C amarela.8000 . B. se: a) p e q são verdadeiras e r. c) p e r são falsas e q. d) p. falsa. 17) (UECE) Em cada círculo. e) p. com x < y. d) não existe um real x tal que y ≤ x para todo real y e) para todos reais x. c) Existe um y e existe um x tal que y = sen(x). existe um x tal que y = sen(x)” é: a) Para todo y.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. e) é suficiente virar o primeiro e o ultimo cartão. Rua Pedro I. b) Para todo y e para todo x. d) é suficiente virar os dois cartões do meio. A negação de p ∧ q equivale a: a)∼ p ∨ ∼ q b)∼ p ∧ ∼ q c)∼ p ∨ q d)∼ p ∧ q e) p ∧ ∼ q 12)(VUNESP)A negação de “para todo real x existe um real y tal que y < x”é equivalente a: a) existe um real x tal que x ≤ y para todo real y. Leia atentamente as declarações abaixo: I) B não é azul II) C não é amarela III) A é azul Sabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira.RS) A negação da proposição “para todo y. não necessariamente nesta ordem. 1106 3226. q e r são falsas. para todo x.br 67 CENTRO.F. a bola B é azul e a bola C verde A bola A é amarela. os números estão colocados de acordo com um raciocínio lógico matemático: 6 5 7 12 10 14 23 20 26 44 40 48 E-mail: "tiradentescentro@gmail. y. Para verificar se tal afirmação é verdadeira: a) é necessário virar todos os cartões b) é suficiente virar os dois primeiros cartões c) é suficiente virar os dois últimos cartões. y ≠ sen(x).com" Site: www.colegiotiradentes. y = sen(x). uma de amarelo e uma de azul. foram pintadas: uma verde. A bola A é verde.BA) A proposição ∼ p ∨ q ⇒ q ∧ r é verdadeira. 13) (U. a bola B é verde e a bola C azul A bola A é azul. C. e) Existe um y tal que. 11) (PUC-RS) Sejam p e q duas proposições.RS)A negação da proposição( ∀ x ∈ R) ( ∃ y ∈ R) [xy = 1] é: a) ( ∃ x ∈ R ) ( ∀ y ∈ R ) [xy = 1] b) (∀ x ∈ R) ( ∃ y ∈ R ) [ xy ≠ 1] c) (∃ x ∈ R ) ( ∀ y ∈ R) [ xy ≠ 1] d) (∀ x ∈ R) ( ∀ y ∈ R) [xy ≠ 1] e) (∃ x ∈ R ) (∃ y ∈ R ) [xy ≠ 1] 16)(UFC) Três bolas A. c) existe um real x tal que y ≤ x para todo real y. para todo x. q e r são verdadeiras. b) não existe um real x tal que x ≤ y para todo real y. 14) (U.F. 15)(U. a bola B é amarela e a bola C é azul.F. existe um real z com x < z < y. podemos afirmar corretamente que: a) b) c) d) e) A bola A é verde. existe um x tal que y = sen(x). d) Existe um y tal que. a bola B é azul e a bola C amarela. y = sen(x). conseqüentemente. e Maria sorri. e quem vai sacar é a equipe visitante. Sócrates. Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. que estão assistindo à partida. c) o escore não está 13 a 12. b) o escore está 13 a 12 e a Ulbra vai sacar. d) o escore está 13 a 12. e a Ulbra não está vencendo este set.com. que “Milango” e Nabungo” são palavras no idioma local que significam “sim” e “não”. qual significa “não. e a Ulbra está perdendo este set. e Maria não sorri. nove amarelas. 22) (MPU) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país. c)João está feliz.colegiotiradentes. e) O jovem mente. contudo. e a Ulbra está vencendo este set. e Maria sorri. a favor da Ulbra. e a Ulbra está ganhando este set”. qual o resultado até o momento. e a Ulbra está vencendo este set. Uma noite. desconhecido por Sócrates. a Ulbra está perdendo este set. e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena 68 E-mail: "
[email protected] CENTRO. Sabe-se. e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates Nabungo – disse o jovem. Sócrates pergunta: Meu bom jovem. desde o inicio. Camila: “ Este set está 13 a 12. Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. e quem vai sacar é a equipe visitante. e Daniela abraça Paulo. no escuro. mas falam apenas no idioma local. uma preta. Conhecendo suas amigas. uma grande e outra pequena. e os da aldeia maior sempre mentem. E a tua aldeia é maior do que a desse homem? – voltou Sócrates a perguntar. Denise: “O escore não está 13 a 12. e a Ulbra venceu o primeiro set. e Daniela abraça Paulo. c) O jovem mente.8000 . Nela encontram-se sete blusas azuis. Milango – tornou o jovem a responder E. atentamente.e Daniela não abraça Paulo. Suas amigas dizem-lhe: Amanda: “Neste set. quando Sandra não abraça Sérgio. 21) (MPU) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. e apontando para o casal. e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena d) o jovem diz a verdade. que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade. também. mas não sabe qual delas significa “sim” e nem. 1106 3226. e Maria sorri. e a Ulbra já ganhou o primeiro set”. conclui corretamente que: a) o jovem diz a verdade. é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher? Milango – reponde o jovem. sorrindo.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR Complete o último círculo e encontre a soma dos seus números. também. Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. então. e) o escore não está 13 a 12. o escore está 13 a 12” Berenice: “O escore não está 13 a 12. que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. e Daniela não abraça Paulo. três verdes e três vermelhas. e quem vai sacar é a equipe visitante” “Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante. Sabe. Observando os números. b) O Jovem mente.e Maria não sorri. Os habitantes entendem perfeitamente o português. Rua Pedro I. corretamente que: a) o escore está 13 a 12. d)João não está feliz. determine N. formado por apenas duas aldeias. e Daniela não abraça Paulo. Assim. Um dia. Ela pergunta às suas amigas. Ele sabe. e quem vai sacar é a equipe visitant.com" Site: www. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 PROFESSOR ALEX MAGNO 38 20 18 N x 3 4 1 x 19)(MPU) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. e a Ulbra venceu o primeiro set. Conclui. e) João não está feliz. e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. a) 250 b) 255 c) 260 d) 265 18) (UECE) Os números colocados nos quadros seguem uma organização lógica. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é: a) 6 b)4 c) 2 d) 8 e)10 20) (MPU) Sabe-se que João estar feliz é a condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. b)João não está feliz. diz-me ainda. Dirigindo-se a ele. a)João está feliz. Déa. Por sua vez. à direita do paulista. e não chove. b) Clô. Clô e) Déa. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco ( isto é. Bia. a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. são culpados. Quando não faz calor e passeio. Mário é engenheiro. para: a) Emma. entre elas.Mara. Clô. cada um.com" Site: www. este. a)Mara. 24) (MPU) Caio. c) Fulano é culpado e Beltrano é inocente.Olga. Quando chove. que não é carioca. Portanto hoje. b) não vejo Carlos. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. e assim por diante). Assim.Nair. Ana. Paula.e não chove. respectivamente. Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana. Paulo está sentado à direita de Oliveira. então Beltrano é culpado. Décio. Um carioca e um baiano. e estou deprimida. Bia. Ema. e não estou deprimida. Após conversarem sobre tão inusitado resultado. não vejo Carlos. verificouse que nenhuma fôra eleita. o matemático e Luis são. Ema. torcedores do Flamengo. Déa.Paula. todos. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. Nédio é engenheiro. d) Déa. 26) (MPU) Em torno de uma mesa quadrada. concluíram que cada um havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é. Ana. Felipe e Gil são. passeio. Os votos de Ana.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 23)(MPU) Cinco irmãos exercem. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro. 1106 3226. Clô. Bia. e Luis é mais velho do que o matemático. Clô. e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro. Ema. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. não passeio ou fico deprimida. e Beltrano é inocente. d) não vejo Carlos. Bia. Èder.Mara. e o arquiteto é mais velho do que o matemático. como o agrônomo e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que o Oscar. Se Fulano é inocente. e faz calor. dar seus barcos o nome de Laís. e o economista é mais novo do que Luis. c) Clô. Clô. um barco. 25) (MPU) Ana. Paula. Nair. então dar aos barcos os nomes de suas filhas. e) vejo Carlos. a) vejo Carlos. Ana. b) Fulano é culpado. Se Sicrano é culpado então Fulano é culpado. Feita a votação. respectivamente. O agrônomo. e Sicrano é inocente.com. encontram-se sentados quatro sindicalista. uma profissão diferente. d) Paula. e Sicrano é inocente.br 69 CENTRO. Ana. pai de Olga). Olga. então Beltrano é inocente. O economista. Vasconcelos. E-mail: "tiradentescentro@gmail. coube o nome de Nair e ao barco do pai de Nair. e faz calor. Bia. é mineiro. o mais antigo entre eles. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. Oliveira. Rua Pedro I. c) vejo Carlos. e Oscar é mais velho do que o agrônomo. Se Sicrano é inocente. passará a ser a representante do grupo. e estou deprimida. em torno de uma mesa redonda. Laís. Combinaram. ou ambos. e o matemático é mais velho do que o agrônomo.8000 . Laís. c)Lais. Pedro é matemático.e não faz calor. Lais. não passeio e fico deprimida.Logo. Ao barco de Caio. Há também um paulista. Felipe e Gil compraram. e Mário é mais velho do que o economista. Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda e Bia. mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. e Beltrano é culpado. e faz calor. a) Fulano é inocente. As filhas de Caio. Mara e) Nair. por sua vez é mais moço do que o arquiteto. no barco dele. Ema. Bia. e Sicrano é inocente. então ou Beltrano é culpado ou Sicrano é culpado.colegiotiradentes. Olga. b)Lais. Cada um tem uma única filha. Mara. Déa e Ema estão sentadas. Quando não chove e estou deprimida. Déa. Décio e Éder desejavam. o economista e Mário residem no mesmo bairro. Nair. Elas estão reunidas para eleger aquela que. nessa ordem e em sentido horário. Logo. Nair. Olga. e não estou deprimida. e chove.Paula. Luis é paulista. e o matemático é mais velho do que o agrônomo. Éder. Beltrano e Sicrano. ambos. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. 28) (MPU) Se fulano é culpado. Olga. cada um. e não chove. e faz calor. Bia. Décio. Déa e Ema foram. Oscar é engenheiro. 27) (MPU) Quando não vejo Carlos. e chove. Norton. e todas tem nomes diferentes. Hoje. e estou deprimida. a) b) c) d) e) Luis é arquiteto e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo e Pedro é mais velho do que o matemático. Ana. não passeio. coube o nome de Olga. encontra-se à frente de Paulo. o número do visor é substituído por 2x + 1. 20 alunos praticam vôlei e basquete 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete. Você não sabe se ambos são mentirosos. Mas. enquanto Damião guarda a outra.br CENTRO. Se Maria estiver certa. o maior número de dois algarismos que se pode obter. ambos podem sempre dizer a verdade ou um sempre dizer a verdade e outro sempre mentir. que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro. 45 alunos praticam futebol e basquete. Finalmente. Tânia sempre fala a verdade. e) Fulano é culpado. mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. e Angélica nunca fala a verdade. se ambos são verazes. apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B. A que está sentada à esquerda. Maria. P2 a Damião 33) (AFTN) Três amigas. A que está sentada no meio diz. 1106 3226. Tânia e Angélica. seja qual for a natureza dos guardas. estão sentada lado a lado em um teatro. Quando se aperta a tecla A. P1 a Cosme.8000 . Tânia. Logo 70 E-mail: "tiradentescentro@gmail. P2 a Damião. e Sicrano é culpado. d) Angélica. a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. Cosme guarda uma das portas. P3 a Cosme P3 a Cosme. P3 a Damião P3 a Damião. a) 87 b) 95 c)92 d)85 e)96 30)(MPU) A operação ∇ x é definida como o triplo do cubo de x. c) Angélica. a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são respectivamente: a) Janete. P2 a Cosme P4 a Cosme. ambos os guardas podem sempre mentir.colegiotiradentes. 17 alunos praticam futebol e vôlei. no atual semestre. Se Luis está enganado. ou José não irá ao cinema. é. Janete às vezes fala a verdade. e um visor no qual aparece um número inteiro x. se você é mentiroso ele também o é. b) Janete. a uma sala vazia. e Beltrano é culpado. ou seja. então o filme não está sendo exibido. Ora. escolhendo-as da seguinte relação: P1: O outro guarda é da mesma natureza que você (isto é. 34) (AFTN)José quer ir ao cinema e assistir ao filme “Fogo contra fogo”. Se Júlio estiver enganado. ou o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido. e) Tânia. P1 a Damião. 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei. “Eu sou Janete”. Luis e Julio.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR d) Fulano é inocente.com" Site: www. Rua Pedro I. basquete e vôlei. ou se um é veraz e o outro é mentiroso. têm opiniões discordantes sobre o filme está ou não em cartaz. e Angélica. e Beltrano é culpado. Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente. Sabe-se que. e Sicrano é culpado. P2 a Cosme.com. PROFESSOR ALEX MAGNO 29) (MPU) Uma curiosa máquina tem duas teclas. 30. Angélica e Tânia. a outra. não praticam vôlei O número total de alunos do colégio. a) b) c) d) e) P2 a Cosme. é igual a: a) 99 b)93 c)103 d)110 e)114 32) (MPU) Você está á frente de duas portas. então Júlio está enganado. Angélica e Janete. o valor da operação ∇3 3 − a) 15 b) 20 2 ( 2) Ω 1 2 é igual a: d) 45 e) 30 c) 25 31) (MPU) Um colégio oferece a seus alunos a pratica de um ou mais dos seguintes esportes: futebol. é. Verificouse que Maria está certa. A e B. Tânia e Janete. então Luis está enganado. e a operação Ω x é definida como o inverso de x. P4 a Cosme P1 a Cosme. entre os 45. P2 a Damião. no atual semestre. e se você é veraz também o é)? P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro? P3: O outro guarda é mentiroso? P4: você é veraz? Então. Quando se aperta a tecla B. Janete e Tânia. Se no visor está o número 5. o número do visor é substituído por 3x – 1. Seus amigos. para descobrir qual das portas conduz ao tesouro. você pode fazer três (e apenas três) perguntas aos guardas. uma possível seqüência de três perguntas que é logicamente suficiente para assegurar. Assim. Janete. Uma das conduz a um tesouro. br b) nenhum economista é médico d) pelo menos um médico não é economista 71 CENTRO. 1106 3226. mas não Luis. equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico c) nenhum médico é economista e) todos os não médicos são não economistas E-mail: "tiradentescentro@gmail. 02. d) Luis está enganado.(CVM/2000) Dizer que a afirmação "todos os economistas são médicos" é falsa. o objetivo do jogo é preencher os espaços em branco com os números de 1 a 6. no esquema de jogo abaixo. Rua Pedro I.8000 . e) José não irá ao cinema.colegiotiradentes. nem nas colunas. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. três das casas em branco aparecem sombreadas. após visita uma aldeia distante. Você deve completar o esquema de acordo com as regras do jogo. Ele consiste de 36 quadrinhos em uma grade 6x6. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. (Fiscal Recife/2003) Pedro. b) Luis e Júlio não estão enganados. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. subdividida em seis grades menores de 2x3. nem nas grades 2x3. mas não Júlio. c) Júlio está enganado.com" Site: www. do ponto de vista lógico. 3 2 5 4 6 2 3 4 3 3 1 5 A soma dos números que corretamente deverão preencher as casas sombreadas é: a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 Respostas: 01) E 02) B 03) D 04) E 05) C 06) D 07) E 08) C 09) C 10)E 11)A 12)A 13)D 14)E 15)C 16)C 17)B 18)B 19) A 20) D 21) D 22) B 23) C 24) B 25) D 26) A 27) C 28) E 29) B 30) C 31) A 32) D 33) B 34) E 35) E EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. 35) (MPU) O mini Sudoku é um divertido passatempo de raciocínio lógico.com. conforme é mostrado no exemplo que segue. afirmou: "Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta". d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. de modo que os números colocados não se repitam nas linhas.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO a) o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido. 1 4 5 2 3 6 5 3 6 1 2 4 2 6 3 4 1 5 4 2 1 6 5 3 3 1 4 5 6 2 6 5 2 3 4 1 Observe que. para descobrir quais números deverão ser colocados nessas casas. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 33. 08. 40.(FT-98) De três irmãos . 30. que ou Adriano é o mais velho. 32. a) 88. a) b) c) d) e) 29. 64. sabe-se que ou José é o mais velho.Observe a seqüência a seguir e descubra o próximo termo: 0.com. a) Algum diplomata não é gordo b)Algum diplomata sabe nadar 72 CENTRO. Rua Pedro I.(BACEN/94) Se considerarmos que cada valor expresso nos círculos representa a soma dos números que estão nos dois vértices que delimitam o respectivo lado do triângulo. c) 120. 05. a soma dos valores correspondentes aos vértices deste triângulo será igual a: a) b) c) d) e) 21 25. ou Caio é o mais velho. b) 135. d)96.. respectivamente: a) Caio e José b)Caio e Adriano c)Adriano e Caio d) Adriano e José e)José e Adriano 10.com" Site: www. 8. 1. 30. ou Adriano é o mais moço. 31. e)216. também.José. 06.. Considere os números escritos nos pequenos triângulos das pontas da figura abaixo e determine o valor de x.(BACEN/94) Considere as seguintes equivalências: a) 160. 04. Nenhum gordo sabe nadar.(BACEN/94) a) b) c) d) e) 19T 20U 21V 22X 232 09. 27. o mais velho e o mais moço dos três irmãos são.8000 E-mail: "tiradentescentro@gmail.. Adriano e Caio -. Então. c)100. b)125..br .(ICMS-SP_02) Todos os diplomatas são gordos. Sabese. 1106 3226.colegiotiradentes.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 03. . 35. e) 100. d) 108. Todos os homens são maus motoristas. Sabe. a) todos os momorrengos são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos. a bola B é azul e a bola C é amarela c) A bola A é amarela. 12. B e C foram pintadas: uma de verde. Todos os homens são bons motoristas.9) e)(4. a bola B é azul e a bola C é verde d) A bola A é amarela.10) Observe que quatro desses pares têm uma característica comum. Logo. uma de amarelo e uma de azul. que: a) A loura é Sara e vai à Espanha.8) (5. acertadamente. e) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. outra é morena e a outra é ruiva.10) (1. necessariamente: a) Todo melancólico é nefelibata. Rua Pedro I. d) Nenhum melancólico é poeta. a bola B é verde e a bola C é azul e) A bola A é azul. b)A ruiva é Sara e vai à França. Ao agente de viagens.br 73 CENTRO. é correto inferir que a) "nenhum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. c) Algum poeta é melancólico. 18. Nenhum homem é bom motorista. b) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. e) Nenhum poeta não é melancólico. Pelo menos um homem é mau motorista. O único par que não apresenta tal característica é: a) (3.Considere os seguintes pares de números: (3.com. A negação da proposição (V) é: a) l b)II c)III d)IV e)V 15.8000 .Todos os macerontes são torminodoros.colegiotiradentes. que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha. que queria identificar o nome e o destino de cada uma. b) Todo nefelibata é poeta.Dadas as proposições: I. outra irá à França e a outra irá à Espanha. outra se chama Elza e a outra se chama Sara. A morena: "Meu nome não é Elza nem Sara". O agente sabe que uma delas se chama Bete.10) b)(1. b)alguns torminodoros são momorrengos. podemos afirmar corretamente que: a) A bola A é verde.Três bolas A. IV.Considerando "todo livro é instrutivo" uma proposição verdadeira. Toda mulher é boa motorista. 17. c) todos os torminodoros são macerontes.8) c)(5. elas deram as seguintes informações: A loura: "Não vou à França nem à Espanha". Ill. a bola B é amarela e a bola C é azul b) A bola A é verde. E-mail: "tiradentescentro@gmail. II.10) 16.com" Site: www.12) d)(2. Uma delas é loura. e) todos os momorrengos são macerontes. a bola B é verde e a bola C é amarela 13. d) "algum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. então. V. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. 1106 3226. O agente de viagens concluiu.Se "Alguns poetas são nefelibatas" e "Todos os nefelibatas são melancólicos". c) "algum livro é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. ainda. então. A ruiva: "Nem eu nem Elza vamos à França". Leia atentamente as declarações abaixo: • A é azul • C não é amarela • B não é azul Sabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira. não necessariamente nessa ordem.12) (2. e) A loura é Elza e vai à Alemanha.9) (4. a) Nenhum artista é elegante b)Todas as pessoas são elegantes c) Ninguém é elegante d)Todo artista não é elegante e) Pelo menos um artista não é elegante 14.Um agente de viagens atende três amigas.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR c) Nenhum diplomata sabe nadar e) Algum gordo sabe nadar d)Nenhum diplomata é gordo PROFESSOR ALEX MAGNO 11.Qual a negação de "Todo artista é elegante". d)alguns momorrengos são pássaros. d)A morena é Bete e vai à Espanha. 1106 3226. Rua Pedro I. 20.8000 . b) É possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte. e) Todos os cronópios são jaguadartes.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 19.colegiotiradentes. Pode-se concluir que a) há pessoas formadas em Direito que são sagazes. 21. (2) Todo advogado é formado em Direito. c) Sulamita é sagaz.Considere a seqüência das figuras abaixo. (3) Roberval é sagaz.com" Site: www.Partindo das premissas: (1) Todo advogado é sagaz. d) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio. c) Todos os momorrengos são jaguadartes.Considere a seqüência de figuras abaixo. A figura que substitui corretamente a interrogação é: a) b) c) d) e) 22. d)Roberval é promotor.br 74 CENTRO.com.Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorrengos são cronópios então pode-se concluir que: a) É possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo.. d) e) GABARITO 01 C 16 C 02 A 17 D 03 A 18 B 04 D 19 A 05 B 20 B 06 A 21 A 07 B 22 C 08 A 23 E 09 B 10 C 11 E 12 C 13 E 14 D 15 E E-mail: "tiradentescentro@gmail. (4) Sulamita é juíza. b)Roberval é advogado.. A figura que substitui corretamente as interrogações é: a) b) c) d) e) 23.Qual dos cinco desenhos representa a comparação adequada? está para a) b) assim como c) está para. e) Sulamita e Roberval são casados. considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A e B. Rua Pedro I.colegiotiradentes. Os espaços não-preenchidos podem servir de rascunho para auxiliar os raciocínios lógicos necessários ao julgamento dos itens.br 75 CENTRO. Uma forma de passar de uma sentença aberta a uma proposição é pela quantificação da variável. simbolizado por ¬. então a proposição ¬A estará corretamente escrita como: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”. As proposições são representadas por letras do alfabeto: A.com. Com base nessas informações.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO PROVA PM-CE 2008 Texto para os itens de 111 a 116 Na comunicação. indicado por . a proposição é valorada como F. 1106 3226. Por exemplo. excluindo-se qualquer outra forma. Há expressões que não podem ser julgadas como V nem como F. julgue os itens que se seguem. o elemento fundamental é a sentença.8000 . E-mail: "tiradentescentro@gmail. 111) Se A é a proposição “O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”. a coluna ¬(AvB) estará corretamente preenchida da seguinte forma. indicado por . ou verdadeira (V). C etc. Novas proposições são formadas a partir de proposições simples. enquanto a proposição é valorada como V. são apresentadas as valorações para algumas proposições compostas. 112) Na tabela incluída no texto acima. ou proposição simples. julgue os itens seguintes. a respeito de lógica sentencial e de primeira ordem. São dois os quantificadores: “qualquer que seja” ou “para todo”. utilizando-se conectivos. aqui sempre na forma afirmativa. e “existe”. Nesse caso. a expressão constitui uma sentença aberta e x é a variável.com" Site: www. B. Ainda com base no texto informativo a respeito de lógica. da página anterior. Considere a seguinte correspondência. Usa-se também o modificador não. por exemplo: x + 3 = 7. Toda proposição pode ser julgada como falsa (F). A seguir. constituída esquematicamente por um sujeito e um predicado. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 113) Na tabela incluída no referido texto. a coluna ¬Av¬B estará corretamente preenchida da seguinte forma. a coluna A B estará corretamente preenchida da seguinte forma. 76 CENTRO. Uma empresa possui 13 postos de trabalho para técnicos em contabilidade. 115) Se Q é o conjunto dos números racionais. se há 22 técnicos nessa empresa. GABARITO 111. isto é. então a proposição julgada como V. FT e JT. 03. 4 são técnicos em contabilidade e em sistemas operacionais.colegiotiradentes.br . 30 responderam que falam inglês e espanhol e 45 responderam que não falam nenhuma dessas duas línguas. da seguinte forma: • • • • • cada um dos empregados assinou pelo menos um dos jornais. 4 empregados assinaram os jornais CT e FT. Entre os pesquisados. é é o conjunto dos números inteiros. 1106 3226.C 113. 114) Na tabela incluída no texto.com" Site: www. Nessas condições.E 114. os 31 empregados de uma empresa passaram a assinar os jornais CT.8000 E-mail: "tiradentescentro@gmail. (CESPE) Depois de uma campanha publicitária para melhorar o nível de conhecimento e de informação das pessoas. Nessa situação. considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A e B. considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A e B. é correto afirmar que o número total de estudantes pesquisados foi de 185.com. então mais de 160 escolas assinam esses dois jornais. 01. 720 escolas assinam os jornais A ou B e 268 dessas escolas assinam apenas o jornal B. 10 para técnicos em sistemas operacionais e 12 para técnicos em eletrônica. também hipotética.E 116. Se 284 escolas assinam apenas o jornal A.C QUESTÕES CESPE (CESPE) Em um estado. Uma pesquisa foi feita entre estudantes para identificar quem fala inglês ou espanhol. Rua Pedro I.C 115. seguidos de uma assertiva a ser julgada. Alguns técnicos ocupam mais de um posto de trabalho. 8 empregados assinaram apenas o jornal JT. 5 são técnicos em sistemas operacionais e em eletrônica e 3 possuem todas as três especialidades. 3 empregados assinaram apenas os jornais CT e JT. Com relação a essa situação. (CESPE) O item abaixo apresenta dados hipotéticos a respeito de uma pesquisa. 02. então 7 deles são técnicos em contabilidade e em eletrônica. então a proposição 116) Se é julgada como V.E 112. 3. 04. 2 empregados assinaram os 3 jornais. julgue os itens subseqüentes. Menos de 450 escolas assinam o jornal A. 100 alunos responderam que falam inglês. (CESPE) No item subsequentes é apresentada uma situação hipotética. seguida de uma assertiva a ser julgada. 70 responderam que falam espanhol. Bruno. complete logicamente as demais células e julgue os itens subsequentes. Se uma célula está marcada com a letra V (verdadeiro). Além disso. sabe-se que Paulo viajou de carro. e utilizou um meio de transporte diferente para chegar até Vitória . xadrez. • 16 empregados assinaram o jornal CT. é correto afirmar que: 05. pintura e artesanato. (CESPE) Quatro amigos de infância André.se conheceram em Vitória durante o período que antecede a aplicação das provas de certo concurso. moram em cidades diferentes Brasília. 12. Todos têm profissões diferentes advogado. Carlos não tem 77 E-mail: "tiradentescentro@gmail. sabe-se que André mora em Goiânia. 10 empregados assinaram apenas o jornal CT.avião. 14. 3 empregados assinaram apenas os jornais CT e FT. 7 empregados assinaram apenas o jornal FT. não mora em Brasília e é médico. Goiânia e Vitória e possuem diferentes passatempos violão. arquiteto. 07. Bruno tem por passatempo o violão. engenheiro e médico . 08.com. PROFESSOR ALEX MAGNO (CESPE) Na tabela a seguir. Rio Branco F F Xapuri Brasiléia F F Feijó F F V F Dora Joaquim Sônia Joana F F F A partir das explicações acima e considerando as células já marcadas. Campinas. 13. O candidato que mora em Cuiabá viajou de avião. Paulo não mora em Cuiabá. nenhum empregado assinou apenas os jornais FT e JT. não é arquiteto e não joga xadrez como passatempo.8000 . Sérgio mora em Recife e o candidato que mora em Salvador viajou de ônibus. Dora não nasceu em Brasiléia. 11. Além disso. Com base nessas informações.Recife.br CENTRO.colegiotiradentes. As células marcadas com a letra F (falso) significam que o relacionamento entre as informações da linha e da coluna não acontecem. 10. 16. 06.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR • 13 empregados assinaram o jornal JT. estão relacionados quatro nomes de cidadãos e as cidades onde nasceram. Rua Pedro I. carro e ônibus. Renato mora em Salvador. Considere que dois quaisquer desses cidadãos sejam naturais de cidades diferentes. 15. 09. 1106 3226.com" Site: www. Sérgio e Renato . 6 empregados assinaram os jornais CT e JT.Paulo. significa que as informações da linha e da coluna daquela célula acontecem. Com base nessas informações. Joana não nasceu em Rio Branco. (CESPE) Três candidatos . Joaquim nasceu em Xapuri. Renato não viajou de avião para Vitória. Cuiabá e Salvador -. julgue os próximos itens. Carlos e Davi resolveram reunir-se novamente depois de muitos anos de separação. Cada um deles é de uma cidade diferente . Davi é arquiteto 21. julgue os itens a seguir. As portas lógicas OU e N (não) são definidas pelos diagramas abaixo. mas. 20. 25. André é advogado. 1106 3226. 22. nesse caso. Se. 27. mas. do conjunto G. quando carrega a ficha preta. E-mail: "tiradentescentro@gmail. Se a primeira pessoa diz “nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “nossas fichas são da mesma cor”. o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade. Por outro lado. (CESPE) Duas pessoas carregam fichas nas cores branca ou preta. haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade. caso contrário. 28. e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos. 19. então. ela fala somente mentiras. Se. julgue os itens a seguir. Bruno mora em Vitória. julgue os itens seguintes. Carlos tem o xadrez por passatempo. fala somente verdades. (CESPE) Em um tribunal. A e B representam os valores lógicos de entrada e S. ela fala somente mentira. As duas pessoas carregam fichas pretas. então.com. 24. Considere o seguinte diagrama de circuito lógico. é engenheiro e não mora em Campinas. Sabe-se que o passatempo do arquiteto é a pintura e que ele mora em Brasília. é 1.8000 . Nessa situação. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca. ela fala somente a verdade. 26. então com base no texto. haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. e é 1 quando A for 0. Com base nessas informações. é correto concluir que P e Q mentem.O advogado mora em Goiânia. (PF) Considere que. quando a segunda pessoa carrega a ficha branca.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO o artesanato como passatempo. Podemos afirmar que 18 técnicos falam somente inglês. 42 deles falam inglês e 46 falam espanhol. o valor de S é 0 quando A e B são ambos 0. 17. Rua Pedro I. Um circuito lógico recebe um ou mais de um valor lógico na entrada e produz exatamente um valor lógico na saída. Nesses diagramas. (CESPE) Circuitos lógicos são estruturas que podem ser exibidas por meio de diagramas constituídos de componentes denominados portas lógicas. o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade. Em N. 18.br 78 CENTRO. P e Q são indivíduos do mesmo tipo. Esses valores lógicos são representados por 0 ou 1. Nesse caso. do conjunto G. Em OU. e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos. o valor lógico da saída. 23. (CESPE) Considere que.colegiotiradentes. em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente. o valor de S é o 0 quando A for 1. 24 técnicos falam inglês e espanhol. todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol.com" Site: www. em um pequeno grupo de pessoas – G – envolvidas em um acidente. quando carrega a ficha preta. é correto concluir que P e Q mentem. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações. 2. 31. D matou o líder. C e D. o valor lógico de S será 0. olhos azuis e seja alegre. não tiveram participação no crime. (ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum músico é poeta". altas e magras. teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO Com base nas definições apresentadas e no circuito ilustrado anteriormente. 1106 3226. então: a) nenhum professor de violão é professor de canto b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro d) todos os professores de piano são professores de canto e) todos os professores de piano são professores de violão 3. também. também. 29. Todos os professores de canto são. Rua Pedro I.br CENTRO. Nesse caso. então: a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis. b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis. • C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e. GABARITO 10 11 12 C E E 30 31 32 C C C 01 C 21 C 02 E 22 C 03 C 23 C 04 C 24 C 05 C 25 C 06 E 26 C 07 E 27 C 08 C 28 C 09 E 29 E 13 C 14 E 15 C 16 E 17 C 18 E 19 C 20 C QUESTÕES DE CONCURSOS 1. mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todos os professores de violão são.com.colegiotiradentes. e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos. dança. e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. B. Durante o interrogatório. c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras. professores de dança. julgue os itens subseqüentes. todas as meninas loiras são. também é necessariamente verdade que a) nenhum músico é escritor 79 E-mail: "tiradentescentro@gmail. A declaração de C não pode ser verdadeira.com" Site: www. (ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto. também. (ESAF) Em um grupo de amigas. • D disse que C não matou o líder. Considere-se que A tenha valor lógico 1 e B tenha valor lógico 0. 32. 30. esses indivíduos fizeram as seguintes declarações. professores de teatro.8000 . violão e piano. (CESPE) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A. e) nenhuma menina alegre é loira. d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres. e alguns professores de piano são. julgue os itens seguintes. por isso. e como as aulas de piano. mas nenhum professor de dança é professor de teatro. A saída no ponto Q terá valor lógico 1 quando A tiver valor lógico 0 e B tiver valor lógico 1. também. professores de piano. • B afirmou que D não matou o líder. • A afirmou que C matou o líder. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra. violão e teatro não têm nenhum professor em comum. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos. então. enquanto um deles falou a verdade. ou tem uma cabeça. d) alguns C não são A. Biologia em São Paulo. Biologia em São Paulo b) Psicologia em Belo Horizonte. Ora. que: a) todo filho de Marcos é irmão de Ernesto ou neto de Tânia. (ESAF) Os cursos de Márcia. Psicologia em Florianópolis. d) algum irmão de Ernesto é neto de Tânia. Um cientista assegura: "Todo marciano tem exatamente duas cabeças". Berenice e Priscila são. 7. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. h) Há um marciano que tem somente uma cabeça. Rua Pedro I.colegiotiradentes. Assim. (ESAF) Todo amigo de Luiza é filho de Marcos. 1106 3226. g) Todo marciano. Qual das seguintes afirmações é necessariamente correta? f) Não há marciano com duas cabeças. Psicologia em Florianópolis e) Medicina em Belo Horizonte. necessariamente. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. b) alguns A são C. (ESAF) Pedro. e) nenhum C é A. ou tem uma cabeça.com" Site: www. Todo primo de Carlos. Biologia em Florianópolis. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e a outra em São Paulo. ou tem mais de duas cabeças. 6. ou é amigo de Luiza ou é neto de Tânia. após visitar uma aldeia distante. Biologia em Florianópolis. se não for irmão de Ernesto. i) Há um marciano que tem mais de duas cabeças. b) todo filho de Marcos é primo de Carlos.br 80 CENTRO. e) algum amigo de Luiza é irmão de Ernesto. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. Psicologia em Florianópolis E-mail: "tiradentescentro@gmail. Priscila cursou Psicologia. 9. não há irmão de Ernesto ou neto de Tânia que não seja filho de Marcos. (ESAF) Das premissas: Nenhum A é B. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. necessariamente. A equivalência de “Nenhum político é honesto” é: a) Todas as pessoas são honestas b) Todos os políticos são desonestos c) Ninguém é honesto d) Todo político é honesto e) Pelo menos um político é honesto PROFESSOR ALEX MAGNO 5. que: a) nenhum A é C. Portanto. não necessariamente nesta ordem. Medicina em São Paulo. c) todo primo de Carlos é filho de Marcos. É bem conhecido que os marcianos tem pelo menos uma cabeça.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR b) algum escritor é músico c) algum músico é escritor d) algum escritor não é músico e) nenhum escritor é músico 4. j) Há um marciano que. pela ordem: a) Medicina em Belo Horizonte. Biologia e Psicologia.8000 . ou tem mais de duas cabeças. cursos e respectivos locais de estudo de Márcia. c) alguns C são A. afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. Alguns C são B.com. Medicina em São Paulo c) Medicina em Belo Horizonte. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. 8. tem-se. Psicologia em São Paulo d) Biologia em Belo Horizonte. segue. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. Berenice e Priscila são. Medicina. Mais tarde se demonstra que estava equivocado. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte. a outra em Florianópo lis. psicólogas. Logo: a) Norma é gaúcha. cada uma. a caneta. Como há apenas um tabuleiro. Na segunda. – “Foi a Mara ou o Marcos”. a saber: Caixa 1: “O livro está na caixa 3. E-mail: "tiradentescentro@gmail. o diamante. b) o livro. Ana joga contra o marido de Júlia. (ESAF) Pedro encontra-se à frente de três caixas. numeradas de 1 a 3. e Norma é mais moça do que a gaúcha. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu. eles combinam que: a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas. Uma delas contém um livro. a caneta. A paulista. uma caneta. a caneta. a esposa de Gustavo joga contra Alberto. e) Paula é cearense. a goiana é mais velha do que a gaúcha. Rua Pedro I. outra. Na terceira. respectivamente: a) Celina e Alberto b) Ana e Carlos c) Júlia e Gustavo d) Ana e Alberto e) Celina e Gustavo 11. 2 e 3 estão. Na quarta. c) Norma é mineira.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 10. disse Marcos. Sabe. Apanhados por um funcionário do parque. Com tais informações. por sua vez. e a mineira é mais velha do que Maria. A paulista é mais moça do que a goiana. 12. b) Paula é gaúcha. a mineira e Lúcia são.” Caixa 2: “A caneta está na caixa 1. um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrição. Pedro conclui corretamente que nas caixas 1. esta. e Helena é mais moça do que a paulista. disse Manuel.8000 . a caneta. Lúcia é morena como a cearense. a paulista e Helena gostam de teatro tanto quanto Norma. (ESAF) Cinco irmãs nasceram. c) o diamante. (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar.br 81 CENTRO. – “Foi o Manuel ou a Maria”. 1106 3226. nem o Manuel”. b) marido e esposa não jogam entre si. respectivamente. em um Estado diferente do Brasil. disse Maria. a goiana é mais velha do que a mineira. a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. disse Mário. (ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. o diamante. e) o livro. todas. a gaúcha é mais moça do que a cearense. o livro. e Maria é mais moça do que a cearense. A esposa de Tiago e o marido de Helena são. Celina joga contra Carlos. A cearense. disse Mara. outra. eles informaram: – “Não fui eu. d) o diamante.com. o diamante. que a inscrição da caixa que contém a caneta é falsa. A mineira costuma ir ao cinema com Helena e Paula.com" Site: www.” Caixa 3: “O livro está aqui.colegiotiradentes. que queria saber qual deles entrou sem pagar. Celina joga contra Alberto. e que a inscrição da caixa que contém o diamante é verdadeira. é mais moça do que a gaúcha e mais velha do que Maria. o livro. mas é mais velha do que a mineira. – “O Mário está mentindo”. Lúcia é mais velha do que a paulista. e Norma é mais velha do que a mineira. – “Foi a Mara”.” Pedro sabe que a inscrição da caixa que contém o livro pode ser verdadeira ou falsa. E na quinta. d) Lúcia é goiana. a) a caneta. Cada uma das três caixas contém um e somente um objeto. ainda. conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria 13. Na primeira partida. o livro. Lúcia é mais velha do que Helena. é mais velha do que Paula. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Delta: “Gama está mentindo”. Sabe-se. ordenadamente. Percival conclui. entre eles. um feroz dragão. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. ele. ainda. Bia. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". Angélica e Tânia c) Angélica. Gama. respectivamente: a) o feroz dragão. que sempre dizem a verdade. Delta e Épsilon –.” Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum. finalmente. o feroz dragão c) o valioso tesouro. está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa. um valioso tesouro. o valioso tesouro 16. a linda princesa. 1106 3226. ela está atrás da porta 2. não ouve a resposta. é o ladrão. cada uma das quais conduz a uma sala diferente. 15.” E-mail: "tiradentescentro@gmail. Turing. a linda princesa b) a linda princesa. Janete e Angélica. então. Gama: “Beta está mentindo”. a linda princesa. naquele grupo. Angélica nunca fala a verdade. Rua Pedro I. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Ana. então. (ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V. que sempre mentem. não entres. mas que tem o estranho costume de sempre mentir. Ana diz que Bia é tia de Zilda.” Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras). (ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. (ESAF) Cinco amigas.8000 . numeradas de 1 a 3. Finalmente. na outra. igualmente honesto e trabalhador. d) 4 e) 5. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro. o valioso tesouro. que um outro é um pedreiro. o feroz dragão. Janete às vezes fala a verdade. (ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas. Tânia e Janete e) Tânia. ora diz a verdade. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. O problema é que não se sabe quem. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. encontrarás um valioso tesouro. a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são.” O segundo diz: “É verdade. era igual a a) 1. o que acabou de falar. Angélica e Janete 17. Sabe-se.br 82 CENTRO. que o restante é um vulgar ladrão que ora mente. Os andróides restantes fazem. as seguintes declarações: O primeiro diz: “Eu sou o ladrão. que sempre diz a verdade. distraído. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda. respectivamente: a) Janete. b) 2 c) 3. o feroz dragão d) a linda princesa. as seguintes declarações: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Dr. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa. o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Tânia. o valioso tesouro. e os de tipo M. o valioso tesouro e) o feroz dragão. para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. 2 e 3 encontram-se.com. concluir corretamente que o número de andróides do tipo V. Janete e Tânia d) Angélica. Beta. de jamais dizer a verdade. mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão. (ESAF) Três amigas. À frente do jovem lógico. são tias ou irmãs de Zilda. Dida e Elisa. é quem. A que está sentada à esquerda. Turing pôde. Tânia e Angélica b) Janete. Cati.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR PROFESSOR ALEX MAGNO 14. fabricados por essa empresa. Bia diz que Cati é irmã de Zilda.colegiotiradentes. esses três homens fazem. A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". estão sentadas lado a lado em um teatro. corretamente que atrás das portas 1. também. Assim. Tânia sempre fala a verdade. isto é: se uma é tia a outra é irmã. Turing. a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". então. em outra. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição: Porta 1: “Se procuras a linda princesa. Dr.com" Site: www.” Porta 2: “Se aqui entrares. um especialista em Inteligência Artificial. Sr. Beatriz. del.8000 . c) mel. zel d) zel. Ana. mas não se sabe se começaram falando uma ou outra. e) amarela. senhor! (3ª resposta). (1ª resposta). a) del. C? Sr. del ou mel? Sr. (ESAF) Cinco moças. as cores das blusas de Ana. B é del. amarela e amarela. c) vermelha. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha.Eu sou mel. amarela. Sr. C: Nós: . o jovem lógico pode. amarela. amarela. Nós: . concluir corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. de que raça é? Sr. Sr. Sr.COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR O terceiro diz: “Eu sou o ladrão. diz que Denise veste blusa amarela. uma mentira.” Com base nestas informações. Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. d) vermelha. mel. Nessas condições é verdade que os senhores A. C. amarela. Por fim. vermelha e amarela. Carolina. vermelha. 1106 3226.com. C: .Sr. Denise e Eduarda são. por sua vez. GABARITO 10 11 12 A E C 01 E 02 A 03 D 04 B 05 E 06 C 07 C 08 D 09 C 13 C 14 B 15 E 16 B 17 D 18 B 19 E 20 B E-mail: "tiradentescentro@gmail. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. C: .br 83 CENTRO. A. 20. B e C são. Por fim. Nos encontramos com três nativos. um de cada umas das raças.claro. C: . Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. mel. Denise e Eduarda. Desse modo.com" Site: www. Carolina. Beatriz. Rua Pedro I. vermelha. vermelha. e o senhor A. PROFESSOR ALEX MAGNO 19. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. amarela. amarela e amarela. respectivamente: a) amarela. o senhor é da raça zel. Carolina. vermelha. b) del. Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. amarela e amarela. b) vermelha. Sabese que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. vermelha. C. Nós: . então.Ele é zel. respectivamente. C. mel. (2ª resposta). amarela e amarela. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.Sr. B. zel. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. Numa ilha dos mares do sul convivem três raças distintas de ilhéus: os zel(s) só mentem. zel. os del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternamente falam verdades e mentiras ou seja. estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. uma verdade.colegiotiradentes.mas então o Sr. del. não é isso. 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