apostila de MATEMÁTICA II

Curso: ADMINISTRAÇÃO___________________________________________________________________ _____ Matemática Aplicada ALUNO(A):________________________________________________ Gilmar Bornatto 2011 Matemática Aplicada Página 2 Professor Gilmar Bornatto 2 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FUNÇÕES MATEMÁTICAS APLICADAS À ECONOMIA Constantemente encontramos em nosso cotidiano situações envolvendo relações entre duas grandezas variáveis. Vejamos alguns exemplos: (a) O total mensal da conta de Água pago à Sanepar é uma relação entre a quantidade consumida e o valor da conta. (b) A receita obtida no final do mês na venda de um determinado produto pelo comerciante é uma relação entre a quantidade vendida e o preço de venda do produto. (c) O salário de um trabalhador que ganha por horas trabalhadas, é uma relação entre as horas que ele trabalhou e o valor pago por hora (d) O consumo de combustível de um carro, é uma relação com a quantidade de quilômetros rodados pelo carro. FUNÇÃO CUSTO Para compor uma função custo geralmente temos uma série de fatores, como, por exemplo, o custo fixo (aluguel, seguro, impostos, etc) e o custo variável em função da quantidade produzida de determinada mercadoria. Podemos expressá-la por: Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável FUNÇÃO RECEITA A função receita é composta com a quantidade arrecadada com a venda de x unidades de um determinando produto, isto é: a quantidade multiplicada pelo valor unitário. Receita = Quantidade x preço FUNÇÃO LUCRO Um produtor ou vendedor obtém seu lucro (ou a função lucro), retirando o custo do valor arrecadado com a receito:: Lucro = Receita - Custo Matemática Aplicada Página 3 Professor Gilmar Bornatto 3 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FUNÇÃO DEMANDA Considere as circunstâncias relativas a um fabricante, nas quais as únicas variáveis são preço p e a quantidade de mercadorias demandadas x, portanto a função demanda é uma relação entre a quantidade demandada x e o preço p. Em geral quando o preço é baixo, os consumidores procuram mais a mercadoria e vice- versa. FUNÇÃO OFERTA Assim como a demanda, a oferta também pode ser expressa por uma função, relacionando- se preço e quantidade oferecida de uma mercadoria. A função oferta é crescente, pois quando o preço sobe, existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, quando o preço caí, essa oferta diminui. PONTO DE EQUILÍBRIO Também chamado de Ponto de Nivelamento ou break-even. É utilizado na administração e na Economia, para analisar as implicações de várias decisões de fixação de preços e produção. Matematicamente é quando: Oferta = Demanda ou Custo = Receita FUNÇÃO UTILIDADE A função utilidade pretende medir a satisfação de um consumidor em função da quantidade consumida de certo bem ou serviço. CURVA DO ORÇAMENTO Quando se conhecem o orçamento (verba disponível) de um consumidor e os preços dos produtos que pretende comprar, pode-se estabelecer uma relação entre as quantidades desses produtos que podem ser adquiridos por ele com essa verba FUNÇÃO PRODUÇÃO A função produção Total ou função produção dá a quantidade produzida na unidade de tempo como função de um conjunto de fatores, chamados insumos de produção, tais como capital, trabalho, matéria-prima. Matemática Aplicada Página 4 Professor Gilmar Bornatto 4 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. Uma fábrica de móveis vende mesas por R$70,00 cada. O custo total de produção consiste de um sobretaxa de R$8.000,00 somada ao custo de produção de R$30,00 por mesa. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 250 mesas, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$6.000,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo. 2. Um artesão têm um gasto fixo de R$600,00 e, em material, gasta R$25,00 por unidade produzida. Se cada unidade for vendida por R$175,00: a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o artesão precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Quantas unidades o artesão precisa vender para obter um lucro de R$450,00 3. Um grupo de amigos, que moraram nos EUA, deseja montar um curso de inglês. Eles observaram que, teriam um gasto fixo mensal de R$1.680,00 e, gastariam ainda R$ 24,00, em materiais e pagamento de professores, por aluno. Cada aluno deverá pagar R$40,00. a) Quantos alunos o curso necessita ter para que não haja prejuízo? b) Qual será o lucro ou prejuízo do curso, se obtiverem 70 alunos? 4. Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de $1,50 por litro. a) Determine uma expressão que relacione o valor pago (V) em função da quantidade de litros (x) abastecidos por um consumidor. b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, calcule o valor total pago pelo consumidor utilizando a expressão encontrada no item anterior. 5. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B dados em cada item: a) A(1,15) e B(4,30) b) A(2, 18) e B(6,6) c) A(-2,10) e B(6,30) 6. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, respectivamente, por C(x) = 3x + 90 e R(x) = 5x, onde x é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e indique no gráfico o break-even poit. b) Obtenha a função Lucro, L(x) e determine as quantidades necessárias para que o lucro Matemática Aplicada Página 5 Professor Gilmar Bornatto 5 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto seja negativo (prejuízo), nulo e positivo. 7. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$7.500,00 somada ao custo de produção de R$60,00 por unidade. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$1.250,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo. 8. Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso: a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x b) R(x) = 200x e C(x) = 10000 + 150x c) R(x) = (1/2)x e C(x) = 20 + (1/4)x 1. Podemos dizer que “o preço de equilíbrio de um produto corresponde ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala ao que é oferecido por parte dos fornecedores, ou seja, quando a demanda é igual à oferta”. Considerando as funções demanda e oferta respectivamente: y = -x + 4 e y = 2x+1 a) Calcule algebricamente o ponto de equilíbrio entre oferta e demanda. b) Represente em um mesmo sistema de eixos, os gráficos da oferta e da demanda e indique no gráfico o break-even poit. 2. Suponha que o custo fixo de produção de um artigo seja R$ 450,00. O custo variável igual a 60 por cento do preço de venda, que é de R$ 15,00 por unidade. Qual é a quantidade para se atingir o ponto de equilíbrio? 3. A curva de demanda de um artigo é 4 y 10 x ÷ = . Assuma que y representa o preço e x a quantidade. (a) Ache a quantidade demandada se o preço é de R$ 25,00 (b) Ache o preço se a quantidade demandada é de 7 unidades (c) Qual é o preço mais alto que poderá ser pago por este artigo? (d) Que quantidade poderá ser demandada se o artigo for oferecido gratuitamente? 4. O custo de um certo produto, no mercado, é dado por x x C 00 , 3 00 , 6 ) ( + = , sendo x o número de unidades produzidas. Qual é o custo de 2.000 unidades desse produto? 5. Um fabricante produz uma certa mercadoria por R$ 0,90 a unidade, vendendo-a por R$1,50 a unidade. Quantas unidades devem ser vendidas para se ter um lucro de R$ 2.400,00? Matemática Aplicada Página 6 Professor Gilmar Bornatto 6 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 6. Ao preço de R$ 5,00 por unidade, uma empresa oferecerá mensalmente 5.000 lanternas de pilha; a R$ 3,50 por unidade ela oferecerá 2.000 unidades. Determine a equação da função de oferta para este produto. 7. O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$ 4.200, e o custo variável de R$ 55 por par de esquis. O preço de venda é de R$ 105. a) Se x unidades são vendidas durante um mês, expresse o lucro mensal como uma função de x. b) Se 600 pares forem vendidos em um mês, qual será o lucro. c) Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um mês ? 8. Sabendo-se que a função custo total para fabricar determinada mercadoria é dada por 100 2 ) ( 2 3 + + + = x x x x C , sendo x a quantidade produzida, calcule: a. O custo total para produzir 5 unidades dessa mercadoria; b. O custo total para produzir 10 unidades dessa mercadoria c. A função custo médio e o custo médio para produzir 5 unidades dessa mercadoria. 9. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 2 ( ) 8 210 E t t t = ÷ + , onde o consumo E é dado em Kwh e ao tempo associa-se t = 0 a Janeiro, t = 1 a fevereiro, e assim sucessivamente. a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 Kwh. b) Qual o consumo mensal médio(considere a média aritmética dos meses do ano) para o primeiro ano? 10. Calcule os pontos de interseção dos gráficos das funções 2 ( ) e ( ) 2 f x x g x x = = . 11. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por $80,00 . O custo total consiste em uma sobretaxa de $4500,00 somada ao custo da produção de $50,00 por unidade. a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b) Qual será o lucro do fabricante se ele vender 500 unidades? c) Quantas unidades o fabricante terá que vender para obter um lucro de $9.000,00 12. Calcule o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades em oferta e procura, sabendo que a função oferta de um certo produto é 2 ( ) 3 70 f x x x = + ÷ e a função procura (demanda) é ( ) 410 f x x = ÷ . 13. A função receita é dada por 100 4 ) ( 2 + + = x x x R e a função custo por 80 ) ( + = x x C , sendo x a quantidade. a) Determine a função lucro L(x) b) Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a 10? Matemática Aplicada Página 7 Professor Gilmar Bornatto 7 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 14. As funções de oferta e demanda de um produto são respectivamente: 200 4 80 2 + ÷ = + = x y e x y . a. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. b. Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de equilíbrio. c. Para que valores de x o preço de oferta excede o preço de demanda? 15. Sabe-se que o custo mensal fixo de uma indústria que produz relógios de parede é R$ 8.500 e que o custo variável é R$ 10 por relógio fabricado. O preço de venda é de R$ 80 por relógio. a. Se x relógios são vendidos durante um mês, qual é o custo mensal y como função de x? b. Qual é o lucro no mês de julho se 500 relógios foram vendidos neste mês? 16. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por R$ 80. O custo total consiste em uma sobretaxa de R$ 4.500 somada ao custo da produção de R$ 50 por unidade: a. Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b. Qual será o lucro ou prejuízo do fabricante, se forem vendidas 200 unidades? c. Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$ 900? 17. Sabe-se que a equação de demanda de um bem é dada por p x 4 200÷ = , sendo o custo associado 12 4 ÷ = p C . Determinar: a. A função receita total, traçando o gráfico correspondente; b. O ponto de break-even * c. A função lucro 18. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por 3000 80 ) ( 2 + ÷ = x x x C . Nestas condições calcule: a. A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. b. O valor mínimo do custo. 19. Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será 20.000 unidades por ano. Se o custo fixo de fabricação for R$ 150.000,00 por ano, e o variável por unidade de R$20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo? 20. Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes situações: x p demanda x p oferta a ÷ = + = 20 : , 10 : ) ( x 50 p : demanda , 20 x 3 p : oferta ) b ( ÷ = + = * Ponto de Equilíbrio. Matemática Aplicada Página 8 Professor Gilmar Bornatto 8 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 21. Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é x p 2 , 0 10 + = . (a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? (b) Se o preço unitário for R$15,00 qual é a oferta diária? (c) Se a função de demanda diária por esses bolos for x 8 , 1 30 p ÷ = , qual o preço de equilíbrio? 22. O consumo nacional total é dado (em bilhões de dólares) pela equação d y 9 , 0 5 , 4 c + = onde d y é a renda disponível. Se a renda disponível é 15 (em bilhões de dólares). (a) Qual é o consumo total? (b) Que proporção do consumo total representa o consumo da renda disponível? 23. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$7.500,00 somada ao custo de produção de R$60,00 por unidade. (a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio? (b) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou o prejuízo do fabricante? (c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$1.250,00? 24. A função de demanda de um produto é p = 10 –x, e a função custo é C = 20 + x. Vamos obter: a) A função receita b) A função Lucro c) O preço que maximiza o lucro. 25. Um bombeiro hidráulico cobra uma taxa de R$31,00 e mais R$2,60 a cada meia hora de trabalho. Um outro cobra R$25,00 e mais R$3,20 a cada meia hora. Ache um critério para decidir que bombeiro chamar, se forem levadas em conta apenas considerações de ordem financeira. 26. Uma agência de aluguel de carros cobra uma diária de R$ 25,00 mais R$ 0,30 por quilômetro rodado. a) Expresse o custo de alugar um carro dessa agência por um dia em função do número de quilômetros dirigidos e construa o gráfico. b) Quanto custa alugar um carro para uma viagem de 200 km de um dia? c) Quantos quilômetros foram percorridos se o custo do aluguel diário foi de R$ 45,20 centavos? 27. Quando o preço de um certo produto for de p reais, um lojista espera oferecer S = 4p + 300 produtos, enquanto a demanda local é de D = −2p + 480. a) Para que preço de mercado a oferta será igual a demanda local? b) Quantos produtos serão vendidos por este preço? c) Se o preço for de R$ 20,00, haverá excesso ou escassez do produto? De quanto? d) Construa os dois gráficos no mesmo par de eixos. Matemática Aplicada Página 9 Professor Gilmar Bornatto 9 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 28. As funções oferta e procura de um determinado produto são dadas, respectivamente, por S = p 2 + 3p - 70 e D = 410 – p. a) Para que preço de mercado a oferta será igual à demanda? b) Quantos produtos serão vendidos por este preço? c) Se o preço for de R$25,00 haverá excesso ou escassez do produto? De quanto? “A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos” Aristóteles DERIVADA DE UMA FUNÇÃO O desenvolvimento dos estudos matemáticos acompanhou a necessidade do homem de conhecer melhor o universo físico que o cerca. Particularmente, o Cálculo teve sua aplicação estendida aos fenômenos físicos mensuráveis como, por exemplo, eletricidade, ondas de rádio, som, luz, calor e gravitação. A derivada é parte fundamental do Cálculo. A partir de agora faremos um estudo sobre esse assunto. O conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando separadamente. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Consideremos uma função f contínua e definida num intervalo ]a, b[; sejam x o e x o + ∆x dois pontos desse intervalo. Quando a variável x passa do valor x o para o valor x o + ∆x sofrendo uma variação ∆x (incremento de x), o correspondente valor da função passa de f(x o ) para o valor f(x o + ∆x) sofrendo, portanto, uma variação ∆y (incremento da função f), onde ∆y = f(x o + ∆x) – f(x o ) conforme mostra a figura seguinte: Matemática Aplicada Página 10 Professor Gilmar Bornatto 10 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Dizemos que a derivada da função f no ponto x o é x y o x A A ÷ A lim = x o x f x o x f o x x A ÷ A + ÷ A ) ( ) ( lim se ele existir e for finito. Nesse caso, dizemos também que f é derivável no ponto x o . NOTAÇÕES DA DERIVADA A derivada de f será indicada por uma das quatro formas abaixo: f ’(x) ou dx df ou dx dy ou y’ EXEMPLOS 1) Calcular a derivada da função f(x) = x² no ponto x o = 2. Matemática Aplicada Página 11 Professor Gilmar Bornatto 11 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 1 2 ) ( 4 8 2 4 1 ] 2 ) ( 2 2 ) [( 4 1 2 ) ( 4 ) f(x 1 x 4 ) f(x : , ) o f(x ) o f(x 0 0 0 0 2 0 0 0 + A + A + = = + A + A + · = + A + · = A + + = A + x x x x x x x x x x x temos x e Calculando o Solução 4 (2) ' f : Portanto = = + ÷ A = = + · ÷ A = + ÷ A = ÷ + + ÷ A = = ÷ A + + ÷ A = A ÷ A + ÷ A = A + + = A + A · · + = A + = A + = = ¬ = A + 4 x) (4 x x) (4 x x 2 x) ( x 4 x 4 2 x) ( x 4 4 x (4) ] 2 x) ( x 4 [4 Δ 0 x lim Δ Δ Δ 0 x lim Δ Δ Δ 0 x lim Δ Δ Δ 0 x lim Δ Δ 0 x lim x ) f(x ) f(x 0 x lim ) o (x ' f Δ 2 ) ( 2 2 2 2 2 ) 2 ( ) f(x 2² f(2) ² x ) f(x : , ) f(x ) f(x 0 0 0 0 0 0 0 x erivada: nição de d do na defi Substituin x x x x temos x e Calculando 2 x) ( x 4 4 4 2) Determinar a derivada da função f(x) = 4x 2 + 1, através da definição. Solução Matemática Aplicada Página 12 Professor Gilmar Bornatto 12 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 0 0 8x ) (x f' Portanto, = = ÷ + A + + + + A + + ÷ A = = A ÷ A + ÷ A = = · + = = A + ÷ A = A A + A ÷ A = A + A ÷ A = = 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 4 8 ) 4 8 ( 0 x lim ) 4 8 ( 0 x lim Δ 4 8 0 x lim ) o (x ' f Δ ] 1 2 4 4 Δ Δ ] 1 2 4 4 Δ 0 x lim x ) f(x ) f(x 0 x lim ) o (x ' f x x x x x x x x x x x x o x erivada: nição de d do na defi Substituin x 2 x) ( x - 1 2 x) ( x 8x 2 4x x [ - 1] 2 x) ( x 8x 2 [4x 0 0 0 0 EXERCÍCIOS: 1) Determine a função derivada através da definição. a) f(x) = x² - 2x + 1; b) f(x) = x² - 8x + 9 c) f(x) = x 3 - x; d) f(x) = x² + 1, no ponto x o = 5 e) f(x) = 3x², no ponto x o = 2 f) f(x) = x², no ponto x o = 1 g) f(x) = 2x² - 2, no ponto x o = 3 RESPOSTAS: 1) a) f ’(x) = 2x – 2 b) 2x – 8 c) 3x 2 – 1 d) 10 e) 12 f) 2 g) 12 Matemática Aplicada Página 13 Professor Gilmar Bornatto 13 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FÓRMULAS OU REGRAS DE DERIVAÇÃO Até agora, vimos como calcular a derivada de uma função por meio da definição. Entretanto, como esse processo é demasiado longo, estudaremos algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função mais facilmente. Faremos a demonstração de apenas algumas dessas regras, pela aplicação da definição de derivada. As outras regras também podem ser demonstradas pelo mesmo processo. Vejamos algumas derivadas fundamentais. a) Derivada da função constante: Se y = f(x) = c então y’ = f’(x) = 0 . Demonstração Se x é um ponto qualquer de R temos: Exemplos 1) y = -5 ¬ y’ = (-5)’ = 0 2) y = 3 ¬ y’ = (3)’ = 0 b) Derivada da função identidade: Se y = f(x) = x então y’ = f’(x) = 1 . Demonstração Se x é um ponto qualquer de R, temos: 0 lim ' 0 0 lim 0 lim lim ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 0 0 = A A = = = A = A ÷ = A ÷ A + = A A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A x y y x x k k x x f x x f x y x x x x x x Matemática Aplicada Página 14 Professor Gilmar Bornatto 14 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto c) Derivada do produto de uma constante por uma função Se y = c · g(x) então y’ = c · g’(x) . Demonstração Se x é um ponto qualquer de R, temos: Exemplos 1) y = 5x ¬ y’ = (5x)’ = 5 (x)’ = 5 · 1 = 5 2) y = -3x ¬ y’ = (-3x)’ = -3 3) y = -x ¬ y’ = -1 d) Derivada da função potência y = x n Se y = x n então y’ = n . x n-1 para n inteiro positivo. 1 lim ' 1 1 lim lim lim ) ( lim ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 0 0 0 = A A = = = A A = A ÷ A + = A ÷ A + = A ÷ A + = A A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A x y y x x x x x x x x x x x x f x x f x y x x x x x x x ) ( ' lim ' ) ( ' ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim )] ( ( ) ( [ lim ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 0 0 x g c x y y x g c x x g x x g c x x g x x g c x x g x x g c x x cg x x cg x y x x x x x x · = A A = · = A ÷ A + · = A ÷ A + · = = A ÷ A + · = A ÷ A + = A A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A Matemática Aplicada Página 15 Professor Gilmar Bornatto 15 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto n x y = 2 2 1 1 1 1 1 ' x x x y x x 1 y ÷ = ÷ = ÷ = ¬ = = ÷ ÷ ÷ ÷ 4) 3 3 2 2 2 ' x x y x x 1 y 2 ÷ = ÷ = ¬ = = ÷ ÷ 5) 5 4 5 1 ' x y x y 5 = ¬ = 1) x y x y 2 1 ' = ¬ = 2) 4 3 4 3 2 4 8 ' x x y x 8 y 4 = = ¬ = 3) Exemplos 1) y = x 5 ¬ y’ = 5 x 5-1 = 5x 4 2) y = 2x 4 ¬ y’ = 2 4x 4-1 = 8x 3 3) 2 2 3 2 3 . 3 1 3 1 3 x x y x y x y ÷ = ÷ = ¬ ÷ = ¬ ÷ = e) Derivada da função Esta fórmula só pode ser aplicada quando o radicando é a variável x (função identidade). Exemplos Matemática Aplicada Página 16 Professor Gilmar Bornatto 16 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto f) Derivada da soma de funções “A derivada da soma é igual à soma das derivadas”. Se y = g 1 (x) + g 2 (x) +... + g n (x) então y’= g 1 ‘(x) + g 2 ‘(x) +... g n ‘(x) . Exemplos 1) y = 3x 2 + 5x + 4 ¬ y’ = (3x 2 + 5x + 4)’ y’ = (3x 2 )’+ (5x)’ + (4)’ = 6x + 5 + 0 = 6x + 5 2) y = 4x 3 + 5x 2 + 3 ¬ y’ = 12x 2 + 10x g) Derivada da diferença “A derivada da diferença é igual à diferença das derivadas”. Se y = g(x) - h(x) então y’= g‘(x) - h‘(x) . Exemplos 1) y = 3x 2 - 5x ¬ y’ = (3x 2 - 5x)’ y’ = (3x 2 )’- (5x)’ = 6x - 5 2) y = 4x 3 - 5x 2 - 3 ¬ y’ = 12x 2 - 10x h) Derivada do produto Seja y = u(x).v(x). Se existem as derivadas u’(x) e v’(x), então y’ = u’ v + u v’. Matemática Aplicada Página 17 Professor Gilmar Bornatto 17 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 0. v para , ' ' ' então (x), v' e (x) u' derivadas as existirem se Seja 2 = ÷ = = v uv v u y v(x) u(x) y ; x 6x x 2 3x 1 y' 2 ÷ ÷ = ÷ · + ÷ · = ÷ · + ÷ · = ÷ · = ) 6 ( ) 3 1 ( 2 1 )' 3 1 ( ) 3 1 ( )' ( ' ) 3 1 ( 2 2 2 2 x x x x x x x x y x x y 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 2x 7 2x x 1 2 ÷ = · ÷ = · ÷ ÷ · ÷ = · ÷ ÷ · ÷ = ¬ = ÷ = ÷ = ¬ ÷ = = ÷ = ÷ = ¬ = ¬ = ÷ = ÷ = · ÷ · = ¬ = ÷ ÷ 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 1 2 2 7 7 2 7 0 11 7 ) 2 ( 7 7 11 7 ' 11 ' 7 ) 2 ( 7 1 ' ) 11 ( 7 1 7 1 ' 1 1 0 )' ( 1 )' 1 ( ' x x x x x y x - 11 y x y x x - 11 y y y x y x y x x x x y x 1 y 2 2 2) x 1 ou 2 ou 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 6x 6x y' 2 + ÷ = ÷ + + = · ÷ + + · = + · ÷ + + · ÷ = + · ÷ = x x x y x x x y x x x x y x x y 6 4 10 2 ' 2 3 2 5 2 ' 5 3 2 5 3 2 ' 5 3 2 2 2 2 ' 2 2 ' 2 1) Exemplos i) Derivada do quociente de duas funções Exemplos Matemática Aplicada Página 18 Professor Gilmar Bornatto 18 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FÓRMULÁRIO DE DERIVAÇÃO Função Derivada y = f(x) = c y’ = f’(x) = 0 y = f(x) = x y’ = f’(x) = 1 y = c . g(x) y’ = c . g’(x) n y x = 1 ' . n y n x ÷ = n y x = n n x n y 1 1 ´ ÷ = y = u(x)·v(x) y’ = u’ v + u v’ ( ) ( ) u x y v x = 2 '. . ' ' u v u v y v ÷ = para v ≠ 0 EXERCÍCIOS - DERIVADA 1) Calcular a derivada das funções, usando o formulário da página anterior: a) y = 4x + 5 b) y = - x + 3 c) y = 2 2 1 + x d) y = x 2 + 4x + 5 e) y = 7 5 2 1 2 + + ÷ x x f) y = 0,2 x 2 – 4x g) y = (3x 2 - 4x) (6x + 1) h) y = (1 - x 2 ) (1 + x 2 ) i) y = (x 2 – 4) (x + 2x 4 ) j) y = 2 (x 3 - 4x 2 + 2x – 1) k) 4 x y = l) 9 x y = m) 3 x y = n) 6 x y = o) x y 1 ÷ = p) 3 6 x y = q) 2 2 15 x x y + + = r) 1 4 ÷ = x x y Matemática Aplicada Página 19 Professor Gilmar Bornatto 19 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto s) 2 10 + = x x y t) x x y ÷ = 1 Gabarito a) y’ = 4 b) y’ = -1 c) y’ = 2 1 d) y´= 2x + 4 e) y´ = - x + 5 f) y´ = 0,4x – 4 g) y’= 54 x 2 - 42x – 4 h) y’ = - 4x 3 i) y’= 12x 5 - 32x 3 + 3x 2 - 4 j) y’=6x 2 -16x+4 k) y´ = 4 3 4 1 x l) y´ = 9 8 9 1 x m) y´ = 3 2 3 1 x n) y´ = 6 5 6 1 x o) y´ = 2 1 x p) y´ = 4 18 x ÷ q) y´ = ( ) 2 2 2 30 15 x x x + + ÷ ÷ r) y´ = ( ) 2 1 4 ÷ ÷ x s) y´ = ( ) 2 2 20 + x t) y´ = ( ) 2 1 1 x ÷ 2) Determine a derivada das funções: Respostas 1) x x y 2 4 2 ÷ = 2 8 ÷ x 2) 5 3 2 3 5 2 3 4 + + + ÷ = x x x x y 3 4 9 20 2 3 + + ÷ x x x 3) x x x y 8 2 7 3 4 + ÷ = 8 6 28 2 3 + ÷ x x 4) 7 3 5 7 2 ÷ ÷ = x y 5 14x ÷ 5) x x x y 4 2 5 3 2 2 2 ÷ + = 4 x 5 3 x 4 ÷ + 6) 3 7 x y = 4 21 x ÷ 7) 5 4 x y = 6 20 x ÷ 8) 3 2 x y = 3 3 2 x 9) x x y + = 2 1 2 2 x x + 10) 4 4 3 5 2 x x x y + ÷ = 3 4 5 3 4 4 3 5 2 x x x + ÷ Matemática Aplicada Página 20 Professor Gilmar Bornatto 20 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 11) 5 6 12 3 ÷ + = x x y x x 3 18 + 12) 5 3 1 ÷ = x y ( ) 2 5 3 3 ÷ ÷ x 13) 1 2 + = x x y ( ) 2 1 2 + x 14) 7 2 5 3 ÷ + = x x y ( ) 2 7 2 31 ÷ ÷ x 15) 5 5 3 2 2 + ÷ + = x x x y ( ) 2 2 2 5 5 25 6 2 + ÷ + ÷ ÷ x x x x 16) 2 2 3 2 2 + ÷ + ÷ = x x x x y ( ) 2 2 2 2 4 2 + ÷ ÷ x x x 17) ( )( ) 2 1 . 3 2 x x x y + ÷ + = 1 2 6 2 ÷ + x x 18) ( )( ) 2 3 2 1 . 4 1 x x y + + = x x x 4 12 40 2 4 + + 19) x 4 e x 5 y ÷ = x 3 e x 20 ÷ 20) 2 3 x 16 x y + = 3 3 x 32 x ÷ 21) ( )( ) 8 x . 7 x 3 y 2 + + = ÷ 24 x 14 x 3 3 2 + ÷ ÷ ÷ ÷ 3) Encontre as derivadas das funções a seguir: (a) 2 4 2 5 3 2 3 + + ÷ = x x x x f ) ( (b) x x x f 3 3 ÷ = ) ( (c) 3 5 x x x f ÷ + = ) ( (d) 1 2 3 ÷ ÷ + = x x x x f ) ( (e) 2 4 4 2 x x x f ÷ = ) ( (f) 2 4 6 3 x x x f ÷ ÷ = ) ( (g) 2 1 ) x x ( ) x ( f ÷ + = (h) 10 x 5 x 3 ) x ( f 3 + + = (i) x x x f 4 1 + = ) ( (j) ( ) 1 1 ÷ = x x f ) ( (k) ( ) 2 2 2 ÷ = x x x f . ) ( (l) 1 2 + = x x x f ) ( (m) 4 1 3 1 x x ) x ( f + = (n) x x x x f 2 9 1 + + = ) ( (o) ( )( ) 2 2 2 2 x x x f ÷ + = . ) ( (p) ( )( ) 1 2 5 3 2 2 ÷ + ÷ = x x x y . (q) 10 5 3 3 + + = x x y (r) 4 1 3 1 x x y + = (s) 2 3 5 2 x x y + = (t) 2 1 ÷ ÷ = x x y (u) x 4 x 2 e y ÷ = Gabarito (a) 2 5 4 x x ÷ + (b) 2 3 3 x ÷ (c) 2 3 1 x ÷ (d) 1 2 3 2 ÷ + x x (e) x x 8 8 3 ÷ (f) x x 12 12 3 ÷ ÷ (g) 3 x 2 x 2 ÷ (h) 3 2 2 1 x 3 5 x 2 3 ÷ ÷ + (i) 4 1 2 + ÷ x Matemática Aplicada Página 21 Professor Gilmar Bornatto 21 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto (j) ( ) 2 1 1 ÷ ÷ x (k) x x x 8 12 4 2 3 + ÷ (l) ( ) 2 2 2 1 1 + ÷ x x (m) 4 3 3 2 x 4 1 x 3 1 ÷ ÷ + (n) 2 9 1 1 2 + + ÷ x (0) 3 4x ÷ (p) ( )( ) ( )2 5 3 2 1 2 3 4 2 . . + ÷ + ÷ ÷ x x x x (q) 3 2 2 1 3 5 2 3 ÷ ÷ + x x . . (r) 2 3 3 4 1 1 . 3 4 x x ÷ ÷ + (s) 4 3 6 10 x x ÷ ÷ ÷ ÷ (t) ( ) 2 2 1 ÷ ÷ x / (u) ( ) x 4 x 2 e . 4 x 2 ÷ ÷ (v) ( ) 5 x 3 x 2 e . 3 x 2 ÷ + + (x) 2 x e . x 2 ÷ ÷ 4) Calcule a derivada solicitada em relação a variável x. (a) 2 ) ( = x f ( f) 2 4 2 ) ( 2 3 ÷ + + ÷ = x x x x f (k) 2 2 ) ( x x f ÷ = (b) x x f 2 ) ( ÷ = (g) ( )( ) x x x f + ÷ = 1 . 1 ) ( (l) 1 x x ) x ( f 2 ÷ = (c) 4 ) ( x x f = (h) 4 2 ) ( 2 + = x x x f (m) 8 x 5 x 4 x 2 y 2 3 + ÷ + = (d) x x f 3 ) ( = (i) x x x f 1 3 ) ( ÷ = (n) 3 2 x 3 x 4 x 6 y ÷ + = (e) 3 3 ) ( x x f = (j) x x f 1 ) ( = (0) 1 x x y 2 + = Gabarito (a) 0 (b) -2 (c) ¼ (d) 3 (e) 2 9x (f ) 4 2 6 2 + + ÷ x x (g) -2x (h) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 2 + ÷ x x . (i ) 2 1 x ( j) 2 1 x ÷ (k) 3 4 x / ( l) ( ) 2 2 1 x x 2 x ÷ ÷ (m) 5 x 8 x 6 2 ÷ + (n) 4 3 2 x 9 x 8 x 6 + ÷ ÷ (o) ( ) 2 2 2 1 x x 1 + ÷ Derivadas de uma Função de Ordem Superior Exercícios de sala Obter a derivada terceira das funções: Respostas a) ( ) 1 2 2 3 + + = x x x f a) 6 b) ( ) 2 3 5 2 + ÷ = x x x f b) 0 c) ( ) 1 2 1 ÷ = x x f c) 0 d) ( ) 3 2 ÷ = x x f d) 6 120 ÷ ÷ x Matemática Aplicada Página 22 Professor Gilmar Bornatto 22 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO f(x) A derivada pode entre outras coisas significar a taxa de crescimento populacional, o custo marginal do produtor, a velocidade de um objeto, a taxa de inflação, etc. Vejamos o exemplo da velocidade: Velocidade Média = t t D t t D A ÷ A + = ) ( ) ( tempo do Variação Distância da Variação Velocidade Instantânea é a melhor aproximação da velocidade média. Velocidade Instantânea = ) ( ) ( ) ( lim ' 0 t D t t D t t D t = A ÷ A + ÷ A Daí podemos generalizar: TAXA DE VARIAÇÃO = ) ( ' x f dx dy = PORCENTAGEM DE VARIAÇÃO % = Grandeza de Valor Variação de Taxa 100× ou f(x) ) ( f 100 ' x × = Calcula-se que, daqui a x meses, a população de determinada cidade será de 5000 4 2 ) ( 2 3 + + = x x x P habitantes. (a) Qual será a taxa de variação da população, em relação ao tempo, daqui a 9 meses? (b) Qual será a porcentagem de variação da população, em relação ao tempo, daqui a 9 meses? Solução: (a) Taxa de variação = derivada primeira da função 20 18 2 9 . 4 . 2 3 2 ) 9 ( . 4 . 2 3 2 4 . 2 3 2 ) ( ' 2 1 ' = + = + = ¬ + = + = P x x x P hab/mês (b) Porcentagem de variação da população Z = ) 9 ( ) 9 ( 100 ' P P × D(t) D(t + t) Matemática Aplicada Página 23 Professor Gilmar Bornatto 23 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Calculando P(9) = ( ) 5126 5000 9 . 4 9 . 2 2 3 = + + % 39 , 0 5126 20 100 ) 9 ( 5 , 6 100 = × = × = P Z por mês. Aumento Salarial Suponha que seu salário inicial seja R$ 2.400,00 e que, anualmente , haverá um aumento de R$200,00 . (a) Exprima a porcentagem de variação de seu salário em função do tempo (b) Após um ano, qual será a porcentagem de variação de seu salário? (c) O que acontecerá com a porcentagem de variação de seu salário com o correr do tempo? Solução: (a) A função salário será S(x) = 2.400 + 200.x (x anos), portanto é só encontrar a derivada primeira de S(x) ¬ = ¬ 200 )´ ( ' x S A porcentagem Z é igual a ) ( ) ( 100 ' x S x S × , portanto: Z = x x x + = + = + × 12 100 20 2400 200 200 2400 200 100 (b) Após um ano é só fazer x = 1 na fórmula acima: % 69 , 7 1 12 100 ) 1 ( = + = Z (c) Como o denominador da fração vai sempre aumentar o valor da porcentagem irá sempre diminuir, isto é, tenderá a zero. Exemplo de Aplicação: Calcula-se que, daqui a x meses, a população de uma certa comunidade será de . 8000 20 ) ( 2 hab x x x P + + = Pede-se: (a) A taxa de variação da população daqui a 15 meses? (b) A variação real no 16.º mês. Solução: (a) Taxa de variação = derivada de P(x) no ponto x = 15 ( ) 50 20 15 . 2 ) 15 ( 20 2 ) ( ' ' = + = ÷ + = P x x P habitantes/mês (b) Variação real = Final do 16.º mês menos final do 15.º P(16) = ( ) 8576 8000 16 . 20 ) 16 ( 2 = + + P(15) = ( ) ( ) 8525 8000 15 . 20 15 2 = + + Variação real = 8576 – 8525 = 51 habitantes/ mês. Matemática Aplicada Página 24 Professor Gilmar Bornatto 24 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA NUM PONTO: Seja uma função f(x) contínua a derivável em um domínio D e seja uma representação de seu gráfico na figura a seguir: Consideremos uma função f e os pontos P(x 0 , f(x 0 )) e Q(x 0 +∆ x , f(x 0 + +∆ x ). A reta que passa s pontos P e Q é secante ao gráfico de f(x) e a medida que ∆ x se aproxima de zero, a reta vai mudando seu coeficiente angular, até que a reta se torna uma reta tangente ao gráfico no ponto P; Chamamos a variação y x A A (razão incremental) de TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO E, quando calculamos o limite desse quociente, temos a função derivada de f(x), isto é: DERIVADA DA FUNÇÃO f(x) é definida por: PROBLEMAS DE TAXA 1. Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa comunidade será de P(x) = x 2 + 20x + 8000. a. Daqui a 15 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade? b. Qual será a variação real sofrida durante o 16º mês? 2. Avalia-se que, daqui a t anos, a circulação de um jornal local será de 5000 400 100 2 + + = t t t C ) ( exemplares. y   f  x  lim x0 y x Matemática Aplicada Página 25 Professor Gilmar Bornatto 25 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto a. Deduza a expressão da taxa de variação da circulação do jornal daqui a t anos. b. Qual será a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos? c. Qual será a variação real da circulação durante o 6.º ano? 3. O produto nacional bruto de um certo país era de N(x) = t 2 + 5t + 100 bilhões de dólares t anos após 2000. a. Qual era a taxa de variação do produto nacional bruto, em 2005? b. Qual será a taxa de variação do produto nacional bruto, em 2010? 4. Estima-se que, daqui a t anos, a população de uma certa comunidade suburbana será de: 1 6 20 + ÷ = t t P ) ( milhares de habitantes. (a) Deduza a expressão da taxa de variação da população , em relação ao tempo, daqui a t anos. (b) Qual será a taxa de crescimento da população daqui a 1 ano? (c) Qual será o crescimento real da população durante o 2.º ano? 5. O imposto anual pago pelo aluguel de determinado software x anos após 2000 era de 600 40 20 2 + + = x x x I ) ( . Qual será a taxa de crescimento do imposto, em relação ao tempo, em 2006? 6. O produto nacional bruto (PNB) de determinado país, t anos após 2000, foi de 200 5 2 + + = t t t P ) ( bilhões de dólares. Utilizando cálculo , faça uma estimativa da variação percentual do PNB durante o primeiro trimestre de 2004. 7. Calcula-se que, daqui a x meses, a população de uma certa comunidade será de 000 . 8 20 ) ( 2 + + = x x x P habitantes. (a) Qual será a taxa de variação da população desta comunidade daqui a 15 meses. (b) Qual será a variação real da população durante o 16.º mês? ANÁLISE MARGINAL Em Economia a variação de uma quantidade em relação à outra pode ser descoberta por qualquer dos dois conceitos: o de Média ou o de Marginal. O conceito de média, expressa a variação de uma quantidade sobre um conjunto específico de valores de uma segunda quantidade, enquanto que o conceito de marginal, é a mudança instantânea na primeira quantidade que resulta de uma mudança em unidades muito pequenas na segunda quantidade. Suponha que C(q) seja o custo total de produção de q unidades de um certo produto. A função C é chamada de função custo total (como já vimos anteriormente). Em circunstâncias normais q e C(q) são positivas.Note que, como q representa o número de unidades de um produto, q tem que ser inteiro não negativo, de modo que tenhamos as condições de continuidade para a função C. O custo médio da produção de cada unidade do produto é obtido dividindo-se o custo total pelo número de unidades produzidas; isto é, CM(q) = C(q)/q, onde CM é chamada função custo médio. Matemática Aplicada Página 26 Professor Gilmar Bornatto 26 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Suponhamos que o número de unidades de uma determinada produção seja 1 q , e que ela tenha sido alterada por q A . Então a variação no custo total é dada por ) ( ) ( 1 1 q C q q C ÷ A + , e a variação média no custo total em relação a variação no número de unidades produzidas é dada por: ) 1 ( ) ( ) ( 1 1 q q C q q C A ÷ A + Os economistas usam o termo Custo Marginal para limite do quociente (1) quando q A tende a zero, desde que o limite exista. Esse limite é a derivada de C em 1 q ; portanto a definição de custo marginal será: Se C(x) é o custo de produção de x unidades de um certo produto, então o Custo Marginal, quando x = 1 x , é dada por ) ( ' 1 q C , caso exista. A função C’ é chamada Função Custo Marginal e freqüentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional. Na definição acima, 1 '( ) C x pode ser interpretada como a taxa de variação do custo total quando 1 x unidades são produzidas. FÓRMULA DE APROXIMAÇÃO: A derivada da função é uma boa aproximação provocada por um aumento unitário na variável. ANÁLISE MARGINAL Em Economia, a taxa de variação instantânea é uma aproximação para o aumento unitário da variável. Este aumento é denominado MARGINAL. ) ( ' x C C MG = , ) ( ' x R R MG = , ) ( ' x L L MG = Aplicações Suponha que o custo total p/ se fabricar x unidades de um certo produto seja 10 5 3 ) ( 2 + + = x x x C . (a) Encontre o custo marginal (b) Determine usando análise marginal, o custo de produção para a 51.ª unidade. (c) Determine o custo real de produção da 51.ª unidade. Solução: (a) O custo marginal é a derivada primeira do custo: 5 6 ) ( ' + = x x C (b) O custo de produção da 51.ª unidade é igual C ' (50), portanto: ( ) 305 5 50 . 6 ) 50 ( ' = + = C (c) O custo real de produção da 51.ª unidade é igual C(51) – C(50) Temos então: C(51) = ( ) ( ) 8068 10 50 . 5 51 . 3 2 = + + C(50) = ( ) ( ) 7760 10 50 . 5 50 . 3 = + + C(51) – C(50) = 8068 – 7760 = 8068 – 7760 = 308 Exemplo: Suponha que o custo total ao se fabricar x unidades de brinquedos seja de 2 ( ) 3 5 10 C x x x = + + . a) Deduza a fórmula do custo marginal. Resp.: C’(X) = 6X + 5 Matemática Aplicada Página 27 Professor Gilmar Bornatto 27 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto b) Qual é o custo marginal de 50 unidades produzidas? Resp.: C’(50) = 305 c) Qual é o custo real de produção do 51º brinquedo? Resp.: =C(51)–C(50)=7803+255+10-7760=308 Note que as respostas dos itens b e c diferem por R$ 3,00, isto é, o custo marginal é próximo do custo real de produção de uma unidade adicional. Esta discrepância ocorre porque o custo marginal é a taxa de variação instantânea de C(x) em relação a uma unidade de variação em q. Logo, C’(50) é o custo aproximado da produção do 51º brinquedo. Observe que o cálculo de C’(50), no exemplo, é mais simples do que o de C(51) – C(50). Os economistas freqüentemente aproximam o custo da produção de uma quantidade adicional usando a função custo marginal. Mais claramente, C’(n) é o custo aproximado da (n+1) ésima unidade que as n primeiras unidades tiverem sido produzidas. As respostas dos itens b e c do exemplo anterior são muito próximas por causa da proximidade dos pontos (50; C(50)) e (51; C(51)) , e porque esses pontos pertencem a uma porção praticamente linear da curva de custo. Para tais pontos, o coeficiente angular da secante é uma boa aproximação do coeficiente angular da tangente. Como usualmente se obtém esta aproximação e sendo mais fácil, de maneira geral, calcula-se o custo marginal como aproximação do custo real de produção de uma unidade adicional, como já dissemos acima. De maneira geral, em Economia, Análise Marginal se refere ao uso de derivadas de funções para estimar a variação ocorrida no valor da variável dependente, quando há um acréscimo de 1 unidade no valor da variável independente. Exemplo: Suponha que C(x) seja o custo total de produção de q unidades de canetas, e 2 ( ) 2 8. C x x x = + + Ache as funções: a) Custo Médio Resp.: ( ) 8 2 1 C x x x x = + + b) Custo Marginal Resp.: C’(x) = 4x + 1 EXERCÍCIOS ANÁLISE MARGINAL 1. Quando x unidades de um certo produto são fabricadas, o custo total de fabricação é C(q) = 3x 2 + 5x + 75 reais. Quando será menor o custo médio de produção por unidade? (custo médio por unidade = custo total dividido pelo n º de unidades.). 2. Determine os extremos máximo e mínimo das seguintes funções no intervalo especificado: a. f(x) = x 2 – 2x – 3 , 0sx s3 b. f(x) = - x 3 + 3x , -3s x s2 c. f(x) = 2x 3 + 18x 2 + 48x +5 , -2 s x s 0 3. Um estudo da eficiência do turno da manhã de uma fábrica indica que um operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado Q(t) = -t 3 + 9t 2 + 12t unidades t horas depois. A que horas da manhã o operário trabalha mais eficiente?(a taxa de produção é a derivada Matemática Aplicada Página 28 Professor Gilmar Bornatto 28 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto da montagem, ou seja, R(t) = Q’(t) que é a função que tem que ser derivada para analise no intervalo 0st s4). 4. Calcula-se que a produção semanal de certa fábrica seja de 3 2 ( ) 60 1200 P x x x x = ÷ + + unidades, onde x representa o número de operários da fábrica. Atualmente, há 30 operários trabalhando. Usando cálculo, avalie a variação que ocorrerá na produção semanal da fábrica casa se acrescente um operário à força de trabalho existente. 5. Estima-se que a produção semanal de uma fábrica seja de Q(x) = -x 3 + 60x 2 + 1200x unidades,onde x é o número de empregados desta fábrica. Atualmente, 30 operários trabalham na fábrica. Use a análise marginal para estimar a variação semanal da produção resultante do emprego de mais um operário. 6. Considere a função custo C(x) = x x 3 1000 3 ÷ . d. Calcule o custo de produzir uma unidade a mais, ao nível de produção x = 200. (ou seja, o custo da 201ª unidade) e. Calcule o custo marginal ao nível de produção x = 200. 7. Suponha que o custo total para se fabricar x unidades de um certo produto seja 2 ( ) 3 5 10 C x x x = + + . a) Deduza a fórmula do custo marginal. b) Calcule o custo de produção da 51.ª unidade, empregando a aproximação fornecida pelo custo marginal. c) Calcule o custo real de produção da 51.ª unidade. 8. Suponha que o custo total para se fabricar x unidade de um certo produto seja 10 5 3 ) ( 2 + + = x x x C . a. Deduza a fórmula do custo marginal. b. Calcule o custo de produção da 51.ª unidade, empregando a aproximação fornecida pelo custo marginal c. Calcule o custo real de produção da 51.ª unidade. 9. Dada a função demanda : 2 2 3 2 50 p p x ÷ ÷ = , calcule para p = 4 : a. A Receita Total b. A Receita Marginal 10. Sendo p x 4 , 0 400 ÷ = a função de demanda de um bem, onde x é a quantidade demandada e p é o preço, determinar: A função receita total A função Receita Marginal A receita marginal para 100 unidades 11. O Custo total de fabricação de um certo produto é de 200 500 5 , 0 1 , 0 ) ( 2 3 + + ÷ = x x x x C reais, onde x é a número de unidades produzidas. a. Use análise marginal para estimar o custo de fabricação da 4.ª unidade. Matemática Aplicada Página 29 Professor Gilmar Bornatto 29 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto b. Calcule o custo real de fabricação da 4.ª unidade . PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO(MÁXIMO OU MÍNIMO) Para encontrar o ponto extremo da função (máximo ou mínimo absoluto), que é o ponto que anula a derivada primeira de uma função, devemos: a) derivar a função; b) igualar a derivada primeira a zero; resolver a equação e encontrar o(s) valor(es) de x que maximizam ou minimizam a função c) fazer o teste da derivada de 2.ª ordem para os valores encontrados para x: Aplicações 1. Dada a função receita x x x R 10 2 2 + ÷ = ) ( , obtenha o valor de x que maximiza a receita. 2. Dada a função de demanda x p 2 40÷ = , obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita. 3. Com relação ao exercícios anterior, qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro, se a função custo for ? ) ( x x C 2 40+ = 4. A função custo mensal de fabricação de um produto é 10 10 2 3 2 3 + + ÷ = x x x x C ) ( , e o preço de venda é 13 = p . Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar máximo lucro? Se f’(x0) > 0 →x0 é abscissa de um mínimo local. f’(x0) < 0 →x0 é abscissa de um máximo local Matemática Aplicada Página 30 Professor Gilmar Bornatto 30 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 5. A função custo mensal de fabricação de um produto é 1 10 2 3 2 3 + + ÷ = x x x x C ) ( e a função de demanda mensal do mesmo produto é x p ÷ =10 . Qual é o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro? 6. Um determinado produto apresenta como função custo a curva , 5 40 50 ) ( 2 x x x C + + = pede-se: a. A equação do custo marginal. b. O custo marginal, quando a quantidade produzida é igual a 3? c. A equação do custo Médio (Custo total dividido pela quantidade x) d. O Custo médio, quando a quantidade produzida for igual a 4. e. Qual é a quantidade a produzir, a fim de que o custo médio seja mínimo? 7. Seja a função Custo Total = 100 2 ) ( 2 + + = x x x C , pede-se: a. A Equação do Custo Marginal b. A Equação do Custo Médio c. A Quantidade para que o Custo Médio seja mínimo d. O Custo Médio Mínimo e. O custo marginal para a quantidade de custo médio mínimo. 8. A equação de demanda de um monopolista é x p 2 400 ÷ = , sendo a função custo 2 60 120 ) ( x x x C ÷ + = , determine a quantidade que maximiza o lucro e determine o lucro máximo. 9. Em uma fábrica de pneus, o preço de um certo tipo de pneu é dado por 0, 4 400 (0 x 1000) p x = ÷ + s s a. Obtenha a função receita total b. Obtenha a quantidade que maximiza a receita. c. Determine a receita máxima para a quantidade acima. 10. Um monopolista tem um custo médio mensal de 60 10 2 + ÷ = x x x C ME ) ( , em que x é a quantidade produzida. A função de demanda desse produto é x p 3 50÷ = . Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal? 11. Por várias semanas, o Serviço de Trânsito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada. Verificou-se que num dia normal de semana, à tarde , entre 1 e 6 horas , a velocidade do tráfego é de aproximadamente V(t) =2t 3 - 21t 2 + 60t + 40 Km/h transcorridas após o meio-dia. A que horas , dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente? 12. O preço de custo da pizza de atum é de R$5,00 cada. Um a pizzaria calcula que, se vender cada pizza por x reais , os consumidores comprarão 20 – x pizza por dia. Qual é o preço de venda da pizza que maximiza o lucro da pizzaria? Matemática Aplicada Página 31 Professor Gilmar Bornatto 31 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 13. A receita total na venda de x unidades de um bem é dada por: 2 1 ( ) 200 3 R x x x = ÷ . Ache: a) A equação da demanda b) A quantidade que maximiza a receita c) A receita máxima d) O preço para a quantidade que maximiza a receita. 14. A equação de demanda de um certo produto e dada por: 1 6 2 p x = ÷ , determine: a) A função receita total, b) A quantidade (nível de produção) que resulta na receita máxima. c) O preço cobrado quando para a receita máxima. 15. Suponha que a equação de demanda de um monopolista seja dada por 100 0, 01 p x = ÷ e que o custo seja constituído de uma taxa fixa de R$ 10.000,00 , mais R$ 50,00 por unidade produzida. Encontre a quantidade que maximiza o lucro para este nível de produção. ELASTICIDADE DE DEMADA Em geral, a demanda de um produto está associada a seu preço, na maioria dos casos, a demanda diminui à medida que seu preço aumenta. A variação percentual verificada na demanda, provocada por um aumento de 1% no preço constitui uma boa medida da sensibilidade da demanda em relação ao preço. Representando o preço por p, a quantidade por x e uma pequena variação do preço por p A , obtemos a fórmula de aproximação para variação percentuais: Em particular, se a variação for de 1%, isto é: p p 01 , 0 = A , substituindo na fórmula temos a Elasticidade de Demanda: ) ( ) ( ) ( 01 , 0 ) ( 100 ) ( ) ( 100 ' ' ' p f p f p p f p p f p f p p f × = × × = A × × = c Daí Elasticidade de Demanda ) ( ) ( ' p f p f p× = c NÍVEIS DA ELASTICIDADE Em geral c é negativa, pois diminui a medida que o preço aumenta, observe a análise a seguir: Matemática Aplicada Página 32 Professor Gilmar Bornatto 32 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Se ¬ >1 c A demanda é Elástica em relação ao preço Se ¬ <1 c A demanda é Inelástica em relação ao preço Se ¬ =1 c A demanda tem elasticidade unitária em relação ao preço. APLICAÇÃO ELASTICIDADE Suponha que a demanda x e o preço p de um determinado produto encontrem-se relacionados pela equação: ) 30 0 ( 2 60 s s ÷ = p x p (a) Exprima a elasticidade da demanda em função de p. (b) Calcule a elasticidade da demanda quando p = 10. Interprete sua resposta. Solução: (a) Temos a função Elasticidade = ) ( ) ( ' p f p f p× = c , Como p = 60 -2x, devemos colocar x em função de p para obter f(p) e f´(p) 2 1 ) ( 2 60 ) ( 2 60 60 2 ' ÷ = ÷ = ¬ ÷ = ÷ ÷ = p f e p p f p x p x ) ( ) ( ' p f p f p× = c p p p p ÷ ÷ = ÷ | . | \ | ÷ × = ÷ 60 2 60 2 1 c (b) Para p = 10 temos: % 2 , 0 50 10 10 60 10 ) 10 ( ÷ = ÷ = ÷ ÷ = c Interpretação: Um aumento de preço equivalente a 1% gera uma queda na demanda de 0,2%, isto significa dizer que este aumento não afeta a demanda (inelástica). ELASTICIDADE e RECEITA Suponha que a equação da demanda de determinado produto seja . 250 0 , 2 500 s s ÷ = p com p x (a) Determine onde a demanda é elástica, inelástica e de elasticidade unitária em relação ao preço. Matemática Aplicada Página 33 Professor Gilmar Bornatto 33 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto (b) Utilize o resultado obtido no item (a) para determinar os intervalos em que a função receita é crescente, decrescente e o preço para o qual a receita é máxima. (c) Determine explicitamente a função receita total e utilize sua derivada para calcular os intervalos onde a função é crescente, decrescente. Determine também, o preço para o qual a receita é máxima. (d) Represente graficamente os trechos mais significativos da função demanda e receita Solução: (a) Para isso devemos achar ) ( ) ( ' p f p f p× = c , Como já temos x em função de p, isto é 2 ) ( ' 2 500 ) ( ÷ = ÷ ÷ = = p f p p f x , substituindo em c p p p p 2 500 2 2 500 2 ÷ ÷ = ÷ ÷ × = c , 125 500 4 2 500 2 1 2 500 2 1 = ÷ = ÷ + ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = p p p p p p c (demanda unitária) 125 0 1 < < ÷ < p c (demanda inelástica) 250 125 1 < < ÷ > p c (demanda elástica) (b) Crescente 0 < p < 125 (onde f’(p) > 0) e Decrescente 125 < p < 250 (onde f’(p) < 0 Ponto de Máximo onde f’(p) = 0, isto é para p = -2 teremos R(p) = 125 Máxima (c) R(p)= x.p = ( )( ) 2 2 500 . 2 500 p p p ÷ = ÷ p p R 2 500 ) ( ' ÷ = ÷ , fazendo R’(p) = 0 temos o ponto de Máximo: 125 500 4 0 4 500 = ¬ = = ÷ p p p EXERCÍCIOS PARA SALA 1. A quantidade x e o preço p de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda p x 3 600 ÷ = . a) Determine a elasticidade de demanda em função do preço. b) Calcular a elasticidade de demanda de um produto A para p = R$ 150,00 (interprete o resultado) c) Calcular a elasticidade de demanda de um produto B para p = R$ 50,00 (interprete o resultado) 2. A quantidade x e o preço p de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda p x 4 1000 ÷ = . a. Determine a elasticidade de demanda em função do preço b. Calcular a elasticidade de demanda para p = R$ 200,00 c. Calcular a elasticidade de demanda para p = R$ 100,00 3. A equação de demanda para certo produto é 2 2 18 p x ÷ = , onde x unidades são demandadas quando o preço p é o preço unitário. a) Ache o decréscimo relativo na demanda quando o preço de uma unidade é aumentado de $ 2 para $ 2,06 b) Use o resultado da parte (a) para obter uma aproximação da elasticidade-preço da demanda em p = 2 Matemática Aplicada Página 34 Professor Gilmar Bornatto 34 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto c) Interprete o resultado obtido. 4. Admita que a demanda x e o preço p de um certo produto estejam relacionados pela equação linear: 240 2 , 120. x p o p = ÷ s s (a) Exprima a elasticidade da demanda em função de p. (b) Calcule a elasticidade da demanda quando p = 100. Interprete sua resposta. (c) Calcule a elasticidade da demanda quando p = 50. Interprete o resultado. (d) Para que preço a elasticidade da demanda é igual a -1? em termos de Economia, qual o significado deste preço? 5. Suponha que a equação da demanda de um determinado produto seja 60 0,1 , 0 10. x p p = ÷ s s (a) Exprima a elasticidade de demanda em função de p. (b) Calcule a elasticidade de demanda quando o preço p = 200. Interprete o resultado obtido. (c) Em que preço a elasticidade da demanda é igual a -1? O que significa este resultado? TRABALHO - DERIVADAS – para o dia da prova DERIVADAS – APLICAÇÕES 1. Uma empresa estima que 1000x são gastos em propaganda, ela irá vender y unidades de um produto, onde y = 5 + 400x – 2x 2 . a) Ache a taxa de variação média de y em relação a x quando a verba de propaganda é aumentada de $10.000 para $11.000. b) Ache a taxa de variação instantânea (ou marginal) de y em relação a x quando a verba de propaganda é de $10.000 2. Suponha que H(x) unidades de um produto sejam produzidas diariamente quando x máquinas são usadas, e H(x) = 2000x + 40x 2 – x 3 . Aplique derivada para estimar a variação na produção diária, se o número de máquinas usadas for aumentado de 20 para 21. 3. A equação de demanda para um certo tipo de bijuteria é x = 100 – 3p – 2p 2 onde x unidades são demandadas quando p é o preço por unidade. a) Ache a taxa de variação média da demanda em relação ao preço quando este é aumentado de $4 para $4,50. b) Ache a taxa de variação instantânea da demanda em relação ao preço quando é $4. 4. A equação de demanda para um certo tipo de detergente é x = 1000(50 – 5p – p 2 ) onde x caixas são demandadas quando p é o preço por caixa. a) Ache a taxa de variação média da demanda em relação ao preço quando este é aumentado de $2 para $2,20. Quem quer fazer al guma coi sa encontra um mei o, Quem não quer fazer nada, encontra uma descul pa Pensamento Árabe. Matemática Aplicada Página 35 Professor Gilmar Bornatto 35 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto b) Ache a taxa de variação instantânea da demanda em relação ao preço quando o preço é $2. 5. A equação de oferta para um certo tipo de lâmpada é x = 1000(4 + 3p + p 2 ) onde x lâmpadas são ofertadas quando p é o preço por lâmpada. a) Ache a taxa de variação média da oferta em relação ao preço quando este é aumentado de $0,90 para $0,93. b) Ache a taxa de variação instantânea da oferta em relação ao preço quando este é $0,90. 6. Estima-se que um operário num estabelecimento que faz molduras de quadros possa pintar y molduras x horas depois do início do trabalho às 8 horas da manhã, e y = 3x + 8x 2 – x 3 a) Ache a taxa segundo a qual o operário está pintando às 10 horas da manhã b) Ache o número de molduras prontas entre 10 e 11 horas da manhã. 7. Suponha que uma pessoas possa aprender f(t) palavras sem sentido em t horas e que f(t) = 15.t 2/3 . Ache a taxa de aprendizado da pessoa após 8 horas. 8. Uma frente fria aproxima-se do campus universitário. A temperatura é z graus t horas após a meia-noite e z = 0,1.(400 – 40t + t 2 ) a) Ache a taxa de variação média de z em relação a t entre 5 e 6 horas da manhã. b) Ache a taxa de variação instantânea de z em relação a t às 5 horas da manhã. 9. Espera-se que a população de uma certa cidade t anos após 1.º de Janeiro de 2004 seja f(t), onde 4000 ( ) 10000 1 f t t = ÷ + a) Use derivada para estimar a mudança esperada na população de 1.º de Janeiro de 2008 a 1º de Janeiro de 2009. b) Ache a mudança exata esperada na população de 1.º de Janeiro de 2004 a 1º de Janeiro de 2009. 10. Suponha que sob monopólio a equação de demanda para um certo produto seja: p = 4 – 0,0002x onde x unidades são produzidas a cada dia e p é o preço unitário. O custo total da produção de x unidades é de C(x) = 600 + 3x. Se o lucro diário deve ser o maior possível, ache o número de unidades que o monopolista deve produzir a cada dia, o preço e o lucro diários. 11. Uma indústria de jogos eletrônicos operando sob concorrência perfeita fabrica e vende jogos para computadores. A empresa pode vender a um preço de $75,00 cada, todos os jogos que produz. Se x jogos forem fabricados por mês e C(x) for o custo total mensal de produção, então C(x) = x 2 +25x + 100. Quantos jogos deveram ser produzidos e vendidos para que a empresa tenha um lucro total mensal máximo? Qual é o lucro mensal máximo da empresa? 12. Um monopolista determina que se C(x) é o custo total da produção de x unidades de um certo produto , então C(x) = 20000 + 25x. A equação de demanda é dada por p = 100 – 0,02x, onde x unidades são demandadas quando p é o preço unitário. Se o lucro total deve ser maximizado, ache a) O número de unidades que deveriam ser produzidas; b) O preço de cada unidade; c) O lucro máximo. 13. Uma empresa monopolista, determina que a equação de demanda de seu produto é dada por: x + 2500p = 20000, onde x unidades são demandadas quando o preço unitário é p. O custo de Matemática Aplicada Página 36 Professor Gilmar Bornatto 36 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto produção é dado por uma taxa fixa de $300,00 mais $4,00 por unidade. Se o lucro total deve ser o maior possível, ache: a) O número de unidades que devem ser produzidas; b) O preço de cada unidade; c) O lucro máximo que pode ser obtido. 14. Sob monopólio, a equação de demanda para certo produto é p = 190 – 0,03x, onde x unidades são demandadas quando o preço unitário é p. Se para a produção de x unidades temos um custo fixo de $ 50000 e um custo variável de $40,00 por unidade, determine: a) O número de unidades que devem ser produzidas para se ter o lucro máximo; b) O preço unitário para se ter o lucro máximo; c) O lucro Máximo. 15. Sob monopólio, a equação de demanda para um certo artigo é 2x + 5p = 100, onde x unidades são produzidas a um preço unitário de p. O custo total de produção de x unidades é 2 3 3 1 ( ) 20 100 C x x x = + . Ache o preço unitário e a quantidade para que o lucro total seja maximizado. 16. Uma certa indústria de equipamentos eletrônicos estima que o custo total (em reais) envolvido na fabricação de x peças de um certo aparelho no primeiro ano de produção será de C(x) = 200x + 300000 e a equação de demanda para esse aparelho é dada por p = -0,04x + 800. a) Encontre a função Receita; b) Determine a Receita Marginal; c) Calcule usando o conceito de função marginal a receita aproximada da venda da 5001ª unidade desse aparelho; d) Determine a função lucro; e) Determine a função lucro marginal; f) Calcule o lucro marginal para x = 5000 e interprete o resultado obtido. 17. A demanda semanal por um certo modelo de TV-digital é igual a p = 600 – 0,05x onde p denota o preço unitário por atacado em reais e x denota a quantidade demandada. A função custo total semanal associada com a produção é dada por C(x) = 0,000002x 3 – 0,03x 2 + 400x + 80000 onde C(x) denota o custo total envolvido na produção de x unidades. a) Determine as funções Receita e Lucro; b) Encontre as funções: Custo Marginal , Receita Marginal e Lucro Marginal; c) Calcule e interprete o resultado C’(2000), R’(2000) e L’(2000) 18. A demanda semanal por um certo modelo de TV-digital é igual a p = -0,006x + 180 onde p denota o preço unitário por atacado em reais e x denota a quantidade demandada. A função custo total semanal associada com a produção é dada por C(x) = 0,000002x 3 – 0,02x 2 + 120x + 60000 onde C(x) denota o custo total envolvido na produção de x unidades. a) Determine as funções Receita e Lucro; b) Encontre as funções: Custo Marginal , Receita Marginal e Lucro Marginal; c) Calcule e interprete o resultado C’(2000), R’(2000) e L’(2000) . Matemática Aplicada Página 37 Professor Gilmar Bornatto 37 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 19. Uma imobiliária responsável pelo aluguel de apartamentos num prédio no litoral possui 100 unidades para ser alugadas. O lucro (em reais) obtido pelo aluguel de x unidades é L(x) = -10x 2 +1760x – 50000. a) Qual é o lucro real obtido no aluguel da 51ª unidades? b) Calcule o lucro marginal quando x = 50 e compara com o resultado do item (a). 20. A quantidade demandada mensal de um certo equipamento eletrônico será relacionada com o preço unitário com a equação 2 50 0, 01 1 p x = + , onde p é preço em reais e x em milhares. a) Determine a função receita ; b) Determine a função receita marginal; c) Determine a receita real para a venda de 3 unidades; d) calcule R’(2) e interprete o resultado. 21. Considere a equação de demanda p = -0,02x +400, que descreve a relação entre o preço unitário em reais e a quantidade demandada x do um determinado produto. a) Determine função Elasticidade da demanda E(p). b) Calcule E(100) e interprete o resultado. c) Calcule E(300) e interprete o resultado. 22. Se a equação de demanda de um certo bem de consumo é dada por: p = 4 – 0,0002x , onde x unidades são produzidas a cada dia e p é o preço unitário, determine: a) A função Elasticidade-demanda-preço; b) A elasticidade de demanda quando p = $4,00, interprete o resultado obtido. c) A elasticidade de demanda quando p = $3,50, interprete o resultado obtido. d) A elasticidade de demanda quando p = $3,00, interprete o resultado obtido. ] 23. A equação de demanda para certo produto é x = 18 -2p 2 onde x unidades são demandadas quando p é o preço unitário. a) Ache a função Elasticidade-demanda-preço; b) Calcule a elasticidade quando p = 2 e interprete o resultado obtido. c) Calcule a elasticidade quando p = 1,5 e interprete o resultado obtido. d) Calcule usando a elasticidade de demanda o preço máximo que pode ser cobrado pelo produto. 24. A equação de demanda para certo produto é dada por x = 2100 – 100p 2 – 400p. Se o preço por unidade é aumentado de $2 para $2,20, ache o decréscimo relativo na demanda. Matemática Aplicada Página 38 Professor Gilmar Bornatto 38 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto INTEGRAL INDEFINIDA Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes: Primitiva; anti-derivada ou integral indefinida: 1. INTEGRAL INDEFINIDA: ( ) ( ) f x dx F x c = + } , onde ) (x f é a primitiva de F(x) e C é uma constante qualquer. A função f = f (x) é denominada função integrando; O } símbolo é chamado de integral; A função F = F(x) é chamada primitiva ou integral indefinida ou antiderivada; O símbolo dx indica a variável que está sendo considerada para obtermos F'(x) = f (x) . Regras de Integração 1. Regra da Potência: } + + = + c n x dx x n n 1 1 , para 1 ÷ = n . 2. A integral de x 1 : } + = C x dx x ln 1 , onde x e log ln = (log Neperiano) 3. Regra da constante multiplicada: } } = dx x f c dx x f c ) ( . ) ( . 4. Regra da Soma: | | } } } + = + dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( 5. Integral de x e : } + = C e dx e x x 6. Integral por substituição: ( ) } + = C u g dx du u g ) ( ' , onde: ) (u g é a primitiva de ) ( ' u g Exemplos resolvidos: 1. Calcule as integrais indicadas: (a) } | . | \ | + ÷ dx x x x 2 2 5 1 3 Resolução: Matemática Aplicada Página 39 Professor Gilmar Bornatto 39 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Aplicando a regra 2 temos: } } } ÷ + ÷ dx x dx x dx x 2 2 5 3 , agora devemos aplicar a regra 1 (da potência) em cada fator: c x x x c x x x + ÷ ÷ = + ÷ + ÷ ÷ 1 6 1 3 . 3 6 3 6 1 3 6 (b) } | . | \ | ÷ + dx x x e x 2 2 1 2 3 Resolução: = } } } ÷ + dx x dx x dx e x 2 2 1 2 3 = } } } = ÷ + dx x dx x dx e x 2 2 1 1 . 2 . 3 = c x x e x + ÷ + 3 6 1 ln . 2 3 2. Calcule as integrais indicadas usando o método da substituição: (a) ( ) ( ) } + + + dx x x x 3 2 . 5 3 . 9 8 2 Resolução: Substituindo 3 2 3 2 5 3 2 + = ¬ + = ¬ = + + x du dx x dx du u x x , Voltando na função, ( ) ( ) ( ) } } + + + = + = + = = + + c x x c u c u du u x du x u 9 2 9 9 8 8 5 3 9 . 9 . 9 3 2 . 3 2 . . 9 (b) } ÷ dx x x 1 3 2 Resolução: Usando o método de substituição , chamando u x = ÷1 2 , calculando x dx du 2 = , isolando dx, temos: x du dx 2 = (Mas, observe que se substituirmos na função original, não haverá uma simplificação, para simplificarmos vamos multiplicar os dois lados por 3, temos então: x du dx 2 . 3 . 3 = , Substituindo agora na função integranda,: } } + = | . | \ | = c u du u x du u x ln . 2 3 1 2 3 2 . 3 . , voltando com o u temos então finalmente a função primitiva: c x x f + ÷ = 1 ln 2 3 ) ( 2 . Matemática Aplicada Página 40 Professor Gilmar Bornatto 40 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Exercícios sala de Aula: Encontre o resultado das Integrais Indefinidas a seguir: (a) 3/ 5 x dx = } (h) 5 3 3 2 5 ( ) x x dx x + ÷ = } (o) ( ) 4 x e x dx ÷ = } (b) 1dx = } (i) 3 1 . 2 x x dx x | | + = | \ . } (p) 10 7 dx x = + } (c) 1 dx x = } (j) ( ) 1/ 2 2/ 3 3 6 x x dx ÷ + = } (q) 2 2 3 2 x x dx x | | + ÷ | + \ . } = (d) 5 x dx = } (k) ( ) 2 . 2 1 x x dx + = } (r) ( ) ( ) 3 . 4 x x dx + ÷ = } (e) 2 1 dx x = } (l) 3 x e dx = } (s) 5 3 dx x | | | + \ . } (f) ( ) 2 3 2 1 x x dx + + = } (m) 2 1 3 3 3 2 x dx x x | | ÷ + = | | \ . } (t) 2 6 2 dx x x | | + = | \ . } (g) 3 2 2 x x dx x + = } (n) 2 4 3 2 dx x x | | + = | \ . } (u) 3 4. xdx = } GABARITO (a) 8/ 5 5 ( ) . 8 F x x c = + (i) 3 5 2 ( ) 5 3 x F x x c = + + (q) ( ) 2 ( ) 3ln 2 2 x F x x c = ÷ + + (b) ( ) F x x c = + (j) 3/ 2 5/ 3 2 9 ( ) 6 3 5 x x F x x c = ÷ + + (r) 3 2 ( ) 12 3 2 x x F x x c = ÷ ÷ + (c) ( ) 2 F x x c = + (k) 3 2 4 4 ( ) 3 2 x x F x x c = + + + (s) ( ) ( ) 5.ln 3 F x x c = + + (d) 6 1 ( ) 6 F x x c = + (l) c e 3 ) x ( F x + = (t) 2 ( ) 6.ln F x x c x = ÷ + (e) c x x F + ÷ = 1 ) ( (m) c x x x x F + + + = 3 1 ln 3 1 ) ( 2 3 (u) c x x F + = 3 4 3 ) ( (f) 3 4 ( ) 3 2 x x F x x c = + + + (n) 4 ( ) 3 F x x c x = ÷ + + (g) 3 2 ( ) 6 4 x x F x c = + + (0) 2 ( ) 4 2 x x F x e c = ÷ + (h) 3 2 2 5 ( ) 2 F x x c x x = ÷ + + (p) ( ) 10ln( 7) F x x c = + + Matemática Aplicada Página 41 Professor Gilmar Bornatto 41 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto INTEGRAL DEFINIDA 2. INTEGRAL DEFINIDA: A integral definida de f(x) de a até b é a diferença ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = ÷ } , onde F é a primitiva de f(x). Quer dizer: a integral definida é a variação líquida da primitiva, entre x = a e x = b Exercícios para Sala de Aula (a) ( ) = + ÷ } 1 0 3 4 dx 1 x 8 x 5 (f ) } ÷ = | . | \ | + 1 1 2 dx x 2 x 2 (k) ( ) } = ÷ + ÷ 2 1 4 3 dx 5 x 3 x 4 (b) = + } ÷ 4 1 2 3 dx ) x x ( (g) } = | . | \ | + + 3 1 2 dx x 1 x 1 1 (l) ( ) } = ÷ + 3 0 3 dx 7 x x (c) ( ) = ÷ } ÷ 2 1 2 dx 2 x 5 30 (h) ( ) } = 2 0 x 3 dx e (m) } = + 1 0 dx ) 4 x 2 ( (d) dx x x ) 1 3 ( 4 0 2 } + ÷ (i) } + + 3 1 2 1 dx x x x (n) ( ) } ÷ = + ÷ 1 1 2 dx 1 x x (e) } ÷ = + 1 1 x dx ) e 2 4 ( (j) 4 2 2 2 2 1 5 x dx x x | | + ÷ = | + \ . } Gabarito (a) { 0 } ( f ) { -4 } (k) 8,875 (b) {17/3} (g) { 8 ln3 3 + } = 3,765 (l) {15/4} (c) {1.710} (h) { 3 1 e . 3 1 6 ÷ } = 134,143 (m) {5 } (d) {4/3} (i) {7,099} (n) { 2,667} (e) {2 + 2e} = 7,4365 (j) { 9 7 ln 6 115 + } = 18,915.. 3. ÁREA DE UMA REGIÃO EM UM PLANO: Considere a função f(x) representada no gráfico a seguir, a área de região destacada, limitada pelas retas verticais x = x 1 , x = x 2, pelo eixo x e pelo gráfico de f(x) pode ser calculada através de uma integral, definida de x 1 até x 2 , isto é: Matemática Aplicada Página 42 Professor Gilmar Bornatto 42 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se 0 ) ( > x f para todo ] , [ b a x e então o número de unidades quadradas na área da região limitada pela curva ) (x f y = , o eixo x e as retas x = a e x = b é igual: ) ( ) ( ) ( ) ( a F b F dx x f x A b a ÷ = = } Obs: Se 0 ) ( < x f para todo ] , [ b a x e , definimos a área da região como: } } ÷ = ÷ = b a b a dx x f dx x f x A ) ( ) ( ) ( 4. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS Se f(x) e g(x) forem contínuas no intervalo [a,b], com ) ( ) ( x g x f > , e A a área da região limitada pelos gráficos de f(x) e g(x) pelas verticais b x e a x = = , ÁREA = ������������ ��� 2 ��� 1 Matemática Aplicada Página 43 Professor Gilmar Bornatto 43 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Exemplos a) Determine a área da região limitada pela curva 2 3 2 + = x y , as retas 3 1 = ÷ = x e x e o eixo x. Solução: Construir o gráfico das três funções no mesmo plano: Calcular a integral definida para o intervalo [-1,3] ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | 36 1 . 2 1 3 . 2 3 2 3 . 3 2 3 3 3 3 3 1 2 = ÷ + ÷ ÷ + = + = + } ÷ x x dx x b) Calcular a área limitada pela curva x x y 4 2 ÷ = , o eixo x, e as retas . 3 1 = = x e x Solução: Construir os gráficos: Integrar a função no intervalo [1,3] ( ) ( ) ( ) b a Área f x g x dx = ÷ } Matemática Aplicada Página 44 Professor Gilmar Bornatto 44 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto ( ) ( ) 3 22 3 22 1 . 2 1 1 3 2 3 3 2 4 3 4 2 3 2 3 2 3 3 1 2 = ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ( ¸ ( ¸ ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ÷ ÷ } x x dx x x APLICAÇÕES NA ECONOMIA: 1. Lucro Líquido Excedente: Suponhamos que, daqui a x anos, dois planos de investimentos estejam gerando lucros respectivamente segundo as taxas ) ( ) ( 2 1 x L e x L reais por ano e que, ao longo de todos os N anos, a taxa 1 ( ) L x seja maior que 2 ( ) L x , conforme figura: 2. Ganho líquido proporcionado por um equipamento industrial Ganho Líq. Excedente = } ÷ N dx x R x R 0 1 2 )] ( ) ( [ Lucro Líquido = Matemática Aplicada Página 45 Professor Gilmar Bornatto 45 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 3. Curva de Demanda e propensão de gastos do consumidor Propensão de Gastos do Consumidor = } 0 0 ) ( x dx x D 4. Economia do consumidor = E.C. E.C. = } × ÷ 0 0 0 0 ] ) ( [ x dx y x x D Matemática Aplicada Página 46 Professor Gilmar Bornatto 46 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Exercícios aplicados 1. Suponha que a função demanda de determinado produto seja: ( ) 2 25 . 4 $ ) ( x x D ÷ = por unidades. a) Determine a economia do consumidor, se o preço unitário for $ 64. Resolução: Como temos o preço unitário e a função demanda, devemos encontrar a quantidade demandada, para isso, fazemos: ( ) 2 25 4 64 x ÷ = , daqui achamos que x = 3, portanto a quantidade demanda para este preço é três. Agora é só integrar a função demanda de 0 até 3. ( ) ( ) 00 , 72 $ 3 . 64 264 3 25 . 4 25 . 4 ) ( 3 0 3 0 3 2 = ÷ = | | . | \ | ÷ = ÷ = } } x x dx x dx x D (b) Trace a curva de demanda e interprete a economia do consumidor com uma área. No gráfico temos: (a) Suponha que a função demanda de determinado produto seja 2 4 100 ) ( x x D ÷ = reais por unidade. a) Determine a quantidade total que os consumidores disporse-ão a pagar a fim de adquirir três unidade do produto. Resolução: Basta fazer a integral definida de 0 a 3 da função demanda! ( ) 00 , 264 $ 36 300 3 3 . 4 3 . 100 ) 3 . 4 100 ( 4 100 ) ( 3 0 3 0 3 3 2 = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = } } x x dx x dx x D EXERCÍCIOS PARA SALA Matemática Aplicada Página 47 Professor Gilmar Bornatto 47 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 1. A função receita marginal é dada por 2 80 ) ( x x x R MG + ÷ = . Determine: a) A função receita total; b) A função demanda. 2. Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de 2 6 2 200 mg C x x = ÷ + unidade. O custo para produzir as três primeiras unidades foi de R$ 1.200,00. Calcular o custo para produzir as 10 primeiras unidades. 3. A função custo marginal de determinado produto é dada por 2 6 40 20 ) ( x x x C MG ÷ + = . O custo fixo é de $ 60. Determine: a) A função custo total; b) A função custo médio; c) A função custo variável. (Custo total – custo fixo) 4. Uma indústria sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de 300 4 9 $ 2 + ÷ x x R unidade. O custo para produzir as duas primeiras unidades foi de R$ 800,00. Calcular o custo para produzir as 5 primeiras unidades. 5. Determinar a receita referente a venda de 10 unidade de um produto x, sabendo que a função receita marginal é dada por: 50 10 6 , 0 ) ( 2 + ÷ = x x x R mg . 6. Encontre a área limitada pela curva 4 3 2 ÷ ÷ = x x y , pelo eixo x, e pelas retas x =2 e x =6. 7. Um fabricante calculou que o custo marginal da produção q unidades é de 1 6 + q reais por unidade. O custo total da primeira unidade é de R$ 130,00. Qual é o custo total de produção das 10 primeiras unidades? 8. O lucro marginal de uma fábrica ao produzir q unidades é de q 2 100 ÷ reais por unidade. Se o lucro obtido com a produção de 10 unidades é de $700,00. Qual será o lucro máximo da fábrica? 9. Em uma certa fábrica, quando o nível de produção mantém-se eu q unidades, o custo marginal de cada uma é de ( ) 2 4 . 3 ÷ q reais. Qual será o aumento verificado no custo total de fabricação se a média de produção crescer, passando de 6 para 10 unidades? 10. Um estudo indica que daqui a x meses, a população de certa idade crescerá à taxa de 3 2 3 5 x + pessoas por mês. De quanto a população crescerá nos próximos 8 meses? 11. Estima-se que, daqui a t dias, a colheita de frutas de uma fazenda aumentará a uma taxa de 1 6 , 0 3 , 0 2 + + t t frutas por dia. De quanto aumentará o valor da colheita durante os próximos 5 dias, se o preço de mercado permanecer constante, a $3,00 por fruta? 12. Depois de uma experiência, um certo fabricante determinou que se produzissem x unidades de um determinado produto por semana; o custo marginal seria dado por 11 3 , 0 ÷ x onde o custo de produção é em reais. Se o preço de venda do produto é fixado em R$ 19,00 por unidade, e o custo fixo por semana é R$ 100,00, encontre o lucro máximo que pode ser obtido. 13. Uma indústria fez uma análise de suas instalações de produção de pessoal. Com o atual equipamento e número de trabalhadores, a indústria pode produzir 3000 unidades por dia. Estima-se que sem qualquer mudança nas instalações a taxa de variação do número de unidades produzidas por dia em relação à variação do número de trabalhadores Matemática Aplicada Página 48 Professor Gilmar Bornatto 48 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto adicionais é x 6 80 ÷ , onde x é o número de trabalhadores adicionais. Encontre a produção diária, caso se admitam mais 25 trabalhadores. 14. Se após t horas de trabalho, um operário de fábrica produz ( ) 2 1 1 . 2 60 ) ( ÷ ÷ = t t Q unidade por hora, ao passo que um segundo operário produz t Q 5 50 2 ÷ = unidades por hora. a) Se ambos chegaram ao trabalho às 8h, quantas unidades o primeiro operário terá produzido a mais que o segundo às 12h? b) Interprete a resposta encontrada em (a) como a área compreendida entre duas curvas 15. Se, aos x anos de idade, uma máquina industrial gerar receita à razão de $ R(x) = 6025 – 10x 2 /ano e seus custos se acumularem a razão de $ C(x) = 4000 + 15x 2 /ano: a) Por quantos anos o uso da máquina é lucrativo? b) Qual é o ganho líquido gerado pela máquina ao longo do período encontrado no item (a) c) Interprete a resposta encontrada em (a) como a área compreendida entre duas curvas. 16. Aos x anos de uso, certa máquina gera receita a uma taxa de 2 5 4575 ) ( x x R ÷ = reais por ano, e acarreta custos que se acumulam a uma taxa de 2 10 1200 ) ( x x C + = reais ano. a) Por quantos anos o uso da máquina é produtivo? b) Qual é o ganho total líquido gerado pela máquina durante o período de tempo do item acima? 17. Uma fábrica de brinquedos fez um estudo de eficiência de seus trabalhadores e chegou a conclusão de que a taxa à qual um brinquedo é montado por um trabalhador médio, t horas após iniciar seu trabalho às 8 horas da manhã é de: 2 3 6 20 para (0 4) 2 t t t ÷ + + s s unidade/hora. a) determine o número total estimado de jogos que um trabalhador médio monta nas 4 horas do turno da manhã b) Qual é o número total estimado de unidades que um trabalhador médio monta na primeira hora do turno da manhã? E na segunda hora? 18. Seja p = -x 2 – 2x + 24 a função demanda para determinado produto. a) Determine o excedente do consumidor para p = 9 b) Determine o excedente do consumidor para p = 16. 19. Sejam p = -2x + 7 e 2 as funções demanda e oferta para determinado produto. a) Esboce os gráficos das funções e determine o ponto de equilíbrio; b) Determine o Excedente do Consumidor quando o preço é de equilíbrio; c) Determine o Excedente do produtor para o mesmo preço. 20. Seja a função demanda para certo produto. a) Determine o Excedente do Consumidor quando o preço é $5; b) Determine a função receita para esse produto Matemática Aplicada Página 49 Professor Gilmar Bornatto 49 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Matemática, de modo algum, são fórmulas, assim como Música não são notas” Jurquim TRABALHO – entrega no dia da prova. APLICAÇÃO INTEGRAIS 1. Suponha que para um período de 5 minutos, uma secretária possa datilografar a uma taxa de f(x) = 75 + 10x -3x 2 , 0 5 x s s a) Quantas palavras ela datilografa durante os 5 minutos? b) Quantas palavras ela datilografa durante os 3 primeiros minutos? 2. Estima-se que daqui a x anos a população de uma certa comunidade esteja crescendo a uma taxa de f(x) = 400 + 100x 3/2 . Determine o aumento da população para os próximos 4 anos. 3. Estima-se que nos próximos x anos a população de uma certa comunidade estará crescendo a uma taxa de f(x) pessoas por ano, dentro do prazo de 10 anos, onde: f(x) = 200 + 350x 4/3 . Qual é o valor esperado da população nos próximos 8 anos? 4. Após x anos de uso de uma certa máquina, seu valor contábil estará variando a uma taxa de f(x) unidades por ano, onde: f(x) = 3000x – 18000. Qual é a depreciação nos 4 primeiros anos? 5. Nos próximos 5 dias quantas pessoas poderão ser expostas a um certo vírus se o cálculo é de que em t dias a partir de agora o vírus terá se disseminado a uma taxa de f(t) = 9t(8 – t) pessoas por dia? 6. O valor contábil de um certo equipamento está variando a uma taxa de f(x) unidades monetárias ao ano, quando o equipamento tem x anos de uso, e f(x) = 4000x – 60000. Determine por quanto o equipamento será depreciado durante o terceiro ano. 7. Numa certa comunidade , t dias após o início de uma epidemia, sua taxa de crescimento é f(t) pessoas por dia, onde: f(t) = 2t.(50 -3t). a) Quantas pessoas são infectadas durante a primeira semana de epidemia? b) E no oitavo dia de epidemia? 8. Numa pequena cidade um boato se espalha a uma taxa de f(t) pessoas por hora desde seu começo, e f(t) = 40t -3t 2 . a) Quantas pessoas ouviram o boato durante as 5 primeiras horas? b) Quantas novas pessoas ouviram o boato durante a sexta hora? 9. O gerente de um parque de diversões espera que durante o primeiro mês de operações o número diário de visitantes cresça de tal forma que f(t) visitantes sejam esperados t dias após sua abertura, onde f(t) = 9800 + 40t. Matemática Aplicada Página 50 Professor Gilmar Bornatto 50 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto a)Em que dia é esperado o 100.000º visitante? b) Quantos visitantes são esperados durante os 5 primeiros dias? 10. Suponha que a utilização de uma certa máquina resulte numa receita a uma taxa de R(x) unidades monetárias por mês, se x meses se passaram desde a instalação da máquina, e R(x) = 144 – 2x 2 . Além disso, vamos admitir que o custo operacional esta variando a uma taxa C(x) unidades monetárias por mês, onde C(x) = 200 + x 2 . a) Por quanto tempo o uso do equipamento é rentável. b) Qual é o lucro líquido obtido pela utilização da máquina durante o tempo acima. 11. A utilização de um certo equipamento gera uma receita a uma taxa de R(x) unidades monetárias por mês e um custo operacional a uma taxa de C(x) unidades monetárias por mês. Sabendo que R(x) = 1400 – 2x 2 e C(x) = 200 + x 2 . Determine: a) Por quanto tempo o uso do equipamento é rentável? b) Qual é o lucro líquido obtido pela utilização da máquina durante o tempo acima. 12. Quando um certo equipamento está com x anos de uso, ela gera uma receita total a uma taxa de R(x) = 15000 – 80x 2 unidades monetárias anuais. O custo total de operação e manutenção aumenta com o tempo a taxa de C(x) = 3000 + 40x 2 unidades monetárias por ano. a) Por quanto tempo o uso do equipamento é rentável? b) Qual é o lucro líquido obtido pela utilização da máquina durante o tempo acima. 13. O uso de determinada máquina x meses após sua compra gera uma receita total a uma taxa de R(x) = 11000 -3x 2 unidades monetárias mensais. O custo total de operação e manutenção da máquina aumenta a uma taxa C(x) = 1000 + x 2 unidades monetárias mensais. a) Por quanto tempo o uso do equipamento é rentável? b) Qual é o lucro líquido obtido pela utilização da máquina durante o tempo acima. 14. Se, daqui a x anos, um plano de investimentos estiver gerando lucro à razão de $ 2 1 ( ) 100 / L x x ano = + e, um segundo plano gerando lucro à razão de $ 2 ( ) 220 2 / L x x ano = + : a) Por quantos anos o segundo plano será o mais lucrativo? b) Qual o lucro excedente que se ganhará investindo-se no segundo plano, em vez de no primeiro, por um período igual ao de (a)? c) Interprete o lucro excedente encontrado em (b) com a área compreendida entre duas curvas. 15. Admita que, aos x anos de idade, uma máquina industrial gere uma receita à razão de 2 20 5000 ) ( x x R ÷ = reais/ano e acarrete gastos de se acumulam à razão de 2 10 2000 ) ( x x c + = reais /ano. a) Por quantos anos o uso da máquina será lucrativo? Matemática Aplicada Página 51 Professor Gilmar Bornatto 51 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto b) Qual será o ganho líquido gerado pela máquina durante o período do item (a) 16. Dada a função Demanda ( ) 2 64 . 2 ) ( x x D ÷ = reais por unidade e por unidade. a) Determine o excedente do consumidor se o preço de mercado de cada unidade do produto for 00 , 110 $ 0 = p por unidade. b) Construa a curva de demanda e interprete o excesso do consumidor como uma área. 17. As equações de oferta e demanda para uma certa mercadoria são respectivamente, 3p 2 +p – x = 0 e 3p + x = 32 onde p é o preço unitário e x unidades é a quantidade. Determine o excedente do consumidor se prevalecer o equilíbrio de mercado, e faça um esboço mostrando a região cuja área dá o excedente do consumidor. 18. As equações de oferta e demanda para uma certa mercadoria são respectivamente, 3p 2 +p – x = 0 e 3p + x = 32 onde p é o preço unitário e x unidades é a quantidade. Determine o excedente do produtor se prevalecer o equilíbrio de mercado, e faça um esboço mostrando a região cuja área dá o excedente do produtor. 19. A equação de demanda de certa mercadoria é 100p = 2400 -20x – x 2 , e preço de mercado é $ 16. Ache o excedente do consumidor e faça um esboço mostrando a região cuja área o determina. 20. Ache o excedente do produtor para uma mercadoria cuja equação de oferta é 2x 2 – 300p + 900 = 0 e cujo preço de mercado é $ 9. Faça um esboço mostrando a região cuja área determina o excedente do produtor. 21. Para um certo artigo a equação de demanda é x 2 + 100p = 2500 e o preço de mercado é $16. Ache o excedente do consumidor (integrando em relação a x). 22. As equações de demanda e oferta para uma certa mercadoria são respectivamente x = 760 – p 2 e x = p 2 – 40 . Ache os excedentes do consumidor e do produtor se o mercado está em equilíbrio. MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FUNÇÕES MATEMÁTICAS APLICADAS À ECONOMIA Constantemente encontramos em nosso cotidiano situações envolvendo relações entre duas grandezas variáveis. Vejamos alguns exemplos: (a) (b) O total mensal da conta de Água pago à Sanepar é uma relação entre a quantidade consumida e o valor da conta. A receita obtida no final do mês na venda de um determinado produto pelo comerciante é uma relação entre a quantidade vendida e o preço de venda do produto. O salário de um trabalhador que ganha por horas trabalhadas, é uma relação entre as horas que ele trabalhou e o valor pago por hora O consumo de combustível de um carro, é uma relação com a quantidade de quilômetros rodados pelo carro. (c) (d) FUNÇÃO CUSTO Para compor uma função custo geralmente temos uma série de fatores, como, por exemplo, o custo fixo (aluguel, seguro, impostos, etc) e o custo variável em função da quantidade produzida de determinada mercadoria. Podemos expressá-la por: Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável FUNÇÃO RECEITA A função receita é composta com a quantidade arrecadada com a venda de x unidades de um determinando produto, isto é: a quantidade multiplicada pelo valor unitário. Receita = Quantidade x preço FUNÇÃO LUCRO Um produtor ou vendedor obtém seu lucro (ou a função lucro), retirando o custo do valor arrecadado com a receito:: Lucro = Receita - Custo Matemática Aplicada Página 2 Professor Gilmar Bornatto 2 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FUNÇÃO DEMANDA Considere as circunstâncias relativas a um fabricante, nas quais as únicas variáveis são preço p e a quantidade de mercadorias demandadas x, portanto a função demanda é uma relação entre a quantidade demandada x e o preço p. Em geral quando o preço é baixo, os consumidores procuram mais a mercadoria e viceversa. FUNÇÃO OFERTA Assim como a demanda, a oferta também pode ser expressa por uma função, relacionandose preço e quantidade oferecida de uma mercadoria. A função oferta é crescente, pois quando o preço sobe, existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, quando o preço caí, essa oferta diminui. PONTO DE EQUILÍBRIO Também chamado de Ponto de Nivelamento ou break-even. É utilizado na administração e na Economia, para analisar as implicações de várias decisões de fixação de preços e produção. Matematicamente é quando: Oferta = Demanda ou Custo = Receita FUNÇÃO UTILIDADE A função utilidade pretende medir a satisfação de um consumidor em função da quantidade consumida de certo bem ou serviço. CURVA DO ORÇAMENTO Quando se conhecem o orçamento (verba disponível) de um consumidor e os preços dos produtos que pretende comprar, pode-se estabelecer uma relação entre as quantidades desses produtos que podem ser adquiridos por ele com essa verba FUNÇÃO PRODUÇÃO A função produção Total ou função produção dá a quantidade produzida na unidade de tempo como função de um conjunto de fatores, chamados insumos de produção, tais como capital, trabalho, matéria-prima. Matemática Aplicada Página 3 Professor Gilmar Bornatto 3 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. Uma fábrica de móveis vende mesas por R$70,00 cada. O custo total de produção consiste de um sobretaxa de R$8.000,00 somada ao custo de produção de R$30,00 por mesa. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 250 mesas, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$6.000,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo. 2. Um artesão têm um gasto fixo de R$600,00 e, em material, gasta R$25,00 por unidade produzida. Se cada unidade for vendida por R$175,00: a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o artesão precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Quantas unidades o artesão precisa vender para obter um lucro de R$450,00 3. Um grupo de amigos, que moraram nos EUA, deseja montar um curso de inglês. Eles observaram que, teriam um gasto fixo mensal de R$1.680,00 e, gastariam ainda R$ 24,00, em materiais e pagamento de professores, por aluno. Cada aluno deverá pagar R$40,00. a) Quantos alunos o curso necessita ter para que não haja prejuízo? b) Qual será o lucro ou prejuízo do curso, se obtiverem 70 alunos? 4. Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de $1,50 por litro. a) Determine uma expressão que relacione o valor pago (V) em função da quantidade de litros (x) abastecidos por um consumidor. b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, calcule o valor total pago pelo consumidor utilizando a expressão encontrada no item anterior. 5. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B dados em cada item: a) A(1,15) e B(4,30) b) A(2, 18) e B(6,6) c) A(-2,10) e B(6,30) 6. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, respectivamente, por C(x) = 3x + 90 e R(x) = 5x, onde x é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e indique no gráfico o break-even poit. b) Obtenha a função Lucro, L(x) e determine as quantidades necessárias para que o lucro Matemática Aplicada Página 4 Professor Gilmar Bornatto 4 MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto seja negativo (prejuízo), nulo e positivo. 7. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$7.500,00 somada ao custo de produção de R$60,00 por unidade. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$1.250,00 e) Construa, no mesmo par de eixos, os gráficos das funções receita e custo. 8. Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso: a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x b) R(x) = 200x e C(x) = 10000 + 150x c) R(x) = (1/2)x e C(x) = 20 + (1/4)x 1. Podemos dizer que “o preço de equilíbrio de um produto corresponde ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala ao que é oferecido por parte dos fornecedores, ou seja, quando a demanda é igual à oferta”. Considerando as funções demanda e oferta respectivamente: y = -x + 4 e y = 2x+1 a) Calcule algebricamente o ponto de equilíbrio entre oferta e demanda. b) Represente em um mesmo sistema de eixos, os gráficos da oferta e da demanda e indique no gráfico o break-even poit. 2. Suponha que o custo fixo de produção de um artigo seja R$ 450,00. O custo variável igual a 60 por cento do preço de venda, que é de R$ 15,00 por unidade. Qual é a quantidade para se atingir o ponto de equilíbrio? 3. A curva de demanda de um artigo é x  10  y . Assuma que y representa o preço e x a 4 quantidade. (a) Ache a quantidade demandada se o preço é de R$ 25,00 (b) Ache o preço se a quantidade demandada é de 7 unidades (c) Qual é o preço mais alto que poderá ser pago por este artigo? (d) Que quantidade poderá ser demandada se o artigo for oferecido gratuitamente? 4. O custo de um certo produto, no mercado, é dado por C ( x)  6,00  3,00 x , sendo x o número de unidades produzidas. Qual é o custo de 2.000 unidades desse produto? 5. Um fabricante produz uma certa mercadoria por R$ 0,90 a unidade, vendendo-a por R$1,50 a unidade. Quantas unidades devem ser vendidas para se ter um lucro de R$ 2.400,00? Matemática Aplicada Página 5 Professor Gilmar Bornatto 5 O custo total para produzir 5 unidades dessa mercadoria. e assim sucessivamente. a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b) Qual será o lucro do fabricante se ele vender 500 unidades? c) Quantas unidades o fabricante terá que vender para obter um lucro de $9. sendo x a quantidade produzida.000 unidades. O custo total para produzir 10 unidades dessa mercadoria c. sendo x a quantidade.00 12. sabendo que a função oferta de um certo produto é f ( x)  x 2  3x  70 e a função procura (demanda) é f ( x)  410  x . 9. b.000 lanternas de pilha. onde o consumo E é dado em Kwh e ao tempo associa-se t = 0 a Janeiro.200. e o custo variável de R$ 55 por par de esquis.50 por unidade ela oferecerá 2. a) Determine a função lucro L(x) b) Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a 10? Matemática Aplicada Página 6 Professor Gilmar Bornatto 6 . uma empresa oferecerá mensalmente 5.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 6.00 por unidade. t = 1 a fevereiro.00 somada ao custo da produção de $50. b) Se 600 pares forem vendidos em um mês. qual será o lucro. expresse o lucro mensal como uma função de x. Calcule o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades em oferta e procura.00 por unidade. 11. a R$ 3. a) Se x unidades são vendidas durante um mês. Determine a equação da função de oferta para este produto. b) Qual o consumo mensal médio(considere a média aritmética dos meses do ano) para o primeiro ano? 10. A função custo médio e o custo médio para produzir 5 unidades dessa mercadoria. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por $80. O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$ 4.000. c) Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um mês ? 8. A função receita é dada por R( x)  x 2  4 x  100 e a função custo por C ( x)  x  80 .00 . 13. 7. O preço de venda é de R$ 105. calcule: a. Ao preço de R$ 5. O custo total consiste em uma sobretaxa de $4500. Calcule os pontos de interseção dos gráficos das funções f ( x)  x2 e g ( x)  2 x . O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E (t )  t 2  8t  210 . a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 Kwh. Sabendo-se que a função custo total para fabricar determinada mercadoria é dada por C ( x)  x3  x 2  2 x  100 . qual é o custo mensal y como função de x? b. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. Matemática Aplicada Página 7 Professor Gilmar Bornatto 7 .000 unidades por ano. a. O ponto de break-even* c. c. qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo? 20. b. Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$ 900? 17. 19. Qual é o lucro no mês de julho se 500 relógios foram vendidos neste mês? 16. Sabe-se que o custo mensal fixo de uma indústria que produz relógios de parede é R$ 8.500 e que o custo variável é R$ 10 por relógio fabricado. e o variável por unidade de R$20. Determinar: a. Se o custo fixo de fabricação for R$ 150. O valor mínimo do custo. Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de equilíbrio. traçando o gráfico correspondente. A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo.500 somada ao custo da produção de R$ 50 por unidade: a. A função receita total. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por R$ 80. se forem vendidas 200 unidades? c. b. demanda : p  20  x (b) oferta : p  3x  20. Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será 20.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 14. O custo total consiste em uma sobretaxa de R$ 4.00. As funções de oferta e demanda de um produto são respectivamente: y  2 x  80 e y  4 x  200 . Nestas condições calcule: a. Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes situações: (a) oferta : p  10  x. Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento? b. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por C ( x)  x 2  80 x  3000 . Qual será o lucro ou prejuízo do fabricante.000. Se x relógios são vendidos durante um mês.00 por ano. sendo o custo associado C  4 p  12 . b. demanda: p  50  x * Ponto de Equilíbrio. a. Para que valores de x o preço de oferta excede o preço de demanda? 15. A função lucro 18. O preço de venda é de R$ 80 por relógio. Sabe-se que a equação de demanda de um bem é dada por x  200  4 p . 00 somada ao custo de produção de R$60. enquanto a demanda local é de D = −2p + 480.5  0. A função de demanda de um produto é p = 10 –x. equilíbrio? 22. b) Quanto custa alugar um carro para uma viagem de 200 km de um dia? c) Quantos quilômetros foram percorridos se o custo do aluguel diário foi de R$ 45.00 qual é a oferta diária? (c) Se a função de demanda diária por esses bolos for p  30  18x .00 e mais R$2. Um bombeiro hidráulico cobra uma taxa de R$31. O consumo nacional total é dado (em bilhões de dólares) pela equação c  4. haverá excesso ou escassez do produto? De quanto? d) Construa os dois gráficos no mesmo par de eixos. (a) Qual é o consumo total? (b) Que proporção do consumo total representa o consumo da renda disponível? 23.30 por quilômetro rodado. 26. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$110.250. Matemática Aplicada Página 8 Professor Gilmar Bornatto 8 . se forem levadas em conta apenas considerações de ordem financeira. a) Para que preço de mercado a oferta será igual a demanda local? b) Quantos produtos serão vendidos por este preço? c) Se o preço for de R$ 20. Uma agência de aluguel de carros cobra uma diária de R$ 25.2 x . Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é p  10  0.00 mais R$ 0. e a função custo é C = 20 + x. Quando o preço de um certo produto for de p reais.00.20 a cada meia hora.00 por unidade. (a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio? (b) Se forem vendidas 100 unidades.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 21. qual será o lucro ou o prejuízo do fabricante? (c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$1. Vamos obter: a) A função receita b) A função Lucro c) O preço que maximiza o lucro.20 centavos? 27.00. qual o preço de .9y d onde y d é a renda disponível. Ache um critério para decidir que bombeiro chamar. a) Expresse o custo de alugar um carro dessa agência por um dia em função do número de quilômetros dirigidos e construa o gráfico. (a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? (b) Se o preço unitário for R$15. um lojista espera oferecer S = 4p + 300 produtos. 25. Um outro cobra R$25.00? 24.60 a cada meia hora de trabalho. Se a renda disponível é 15 (em bilhões de dólares).500.00 e mais R$3. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$7. por exemplo. O conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Sir Isaac Newton (1642-1727). sejam x o e xo + ∆x dois pontos desse intervalo. uma variação ∆y (incremento da função f). Quando a variável x passa do valor x o para o valor xo + ∆x sofrendo uma variação ∆x (incremento de x).MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 28.70 e D = 410 – p. A derivada é parte fundamental do Cálculo. As funções oferta e procura de um determinado produto são dadas. luz. a) Para que preço de mercado a oferta será igual à demanda? b) Quantos produtos serão vendidos por este preço? c) Se o preço for de R$25. portanto. calor e gravitação. b[. o correspondente valor da função passa de f(x o) para o valor f(xo + ∆x) sofrendo. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Consideremos uma função f contínua e definida num intervalo ]a. trabalhando separadamente. respectivamente. Particularmente. som.00 haverá excesso ou escassez do produto? De quanto? “A questão primordial não é o que sabemos. o Cálculo teve sua aplicação estendida aos fenômenos físicos mensuráveis como. por S = p2 + 3p . eletricidade. A partir de agora faremos um estudo sobre esse assunto. ondas de rádio. onde ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo) conforme mostra a figura seguinte: Matemática Aplicada Página 9 Professor Gilmar Bornatto 9 . mas como o sabemos” Aristóteles DERIVADA DE UMA FUNÇÃO O desenvolvimento dos estudos matemáticos acompanhou a necessidade do homem de conhecer melhor o universo físico que o cerca. Nesse caso. dizemos também que f é derivável no ponto xo. df dx ou dy dx ou y’ Matemática Aplicada Página 10 Professor Gilmar Bornatto 10 . NOTAÇÕES DA DERIVADA A derivada de f será indicada por uma das quatro formas abaixo: f ’(x) ou EXEMPLOS 1) Calcular a derivada da função f(x) = x² no ponto xo = 2.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Dizemos que a derivada da função f no ponto xo é f ( x o  x)  f ( x o ) y = lim lim x xo x  o x x se ele existir e for finito. MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Solução Calculando f(x0) e f(x0  x) . temos : f(x0  x)  4  ( x  x)2  1  4  [( x 0)2  2 x 0x  (x)2 ]  1  0  4 x0 2  8 xox  4(x)2  1 Matemática Aplicada Página 11 Professor Gilmar Bornatto 11 . através da definição. temos : f(x0)  x0²  f(2)  2²  4 f(x0  x)  (2  x)2  22  2  2  x  (x)2  4  4Δ x  (x)2 Substituindo na definição de derivada: f ' (xo )  lim x 0  lim x 0 f(x0  x)  f(x0) [4  4Δ x  (x)2 ]  (4)  lim  x Δx x 0 4  4Δ x  (Δx)2  4 4Δ x  (Δx)2 Δ x  (4  Δx)  lim  lim  Δx Δx Δx x 0 x 0  lim (4  Δx)  4 x 0 Portanto: f '(2)  4 2) Determinar a derivada da função f(x) = 4x2 + 1. Solução Calculando f(xo ) f(x0)  4x0 2  1 e f(xo  x) . no ponto xo = 5 e) f(x) = 3x².2x + 1.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Substituindo na definição de derivada: f(x0  x)  f(x0) f ' (xo )  lim  x x 0  lim x 0 f ' (x o )  [4x02  8x0Δ x  4( x) 2  1] .8x + 9 c) f(x) = x3 .4 x 0 2  1 ]  Δx  lim x 0 8 x 0 x  4( x) 2 x(8 x 0  4x )  lim  lim (8 xo  4x )  x  0 x  0 Δx x  8x0  4  0  8x0 Por tanto. b) f(x) = x² . a) f(x) = x² . d) f(x) = x² + 1. f' (x 0 )  8x0 EXERCÍCIOS: 1) Determine a função derivada através da definição. no ponto xo = 2 f) f(x) = x².[4 x 0 2  1 ] Δx 4x02  8x0Δ x  4( x) 2  1.x.2. no ponto xo = 3 RESPOSTAS: 1) a) f ’(x) = 2x – 2 b) 2x – 8 c) 3x2 – 1 d) 10 e) 12 f) 2 g) 12 Matemática Aplicada Página 12 Professor Gilmar Bornatto 12 . no ponto xo = 1 g) f(x) = 2x² . como esse processo é demasiado longo. As outras regras também podem ser demonstradas pelo mesmo processo. pela aplicação da definição de derivada. vimos como calcular a derivada de uma função por meio da definição. Entretanto. a) Derivada da função constante: Se y = f(x) = c então y’ = f’(x) = 0 . Vejamos algumas derivadas fundamentais.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FÓRMULAS OU REGRAS DE DERIVAÇÃO Até agora. Faremos a demonstração de apenas algumas dessas regras. temos: Matemática Aplicada Página 13 Professor Gilmar Bornatto 13 . Demonstração Se x é um ponto qualquer de R. Demonstração lim0 x  y f ( x  x)  f ( x) k k 0  lim0  lim0  lim0  lim 0  0 x  x  x x  x x x x 0 y 0 x  0 x  y '  lim Se x é um ponto qualquer de R temos: Exemplos 1) y = -5  y’ = (-5)’ = 0 2) y = 3  y’ = (3)’ = 0 b) Derivada da função identidade: Se y = f(x) = x então y’ = f’(x) = 1 . estudaremos algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função mais facilmente. temos: lim0 x  y cg ( x  x)  cg ( x) c  [ g ( x  x)  ( g ( x)]  lim0  lim0  x  x x  x x g ( x  x)  g ( x) g ( x  x)  g ( x)  c  lim  c  g ' ( x) x  0 x x y  c  g ' ( x) x  lim c  x  0  y '  lim0 x  Exemplos 1) y = 5x  y’ = (5x)’ = 5 (x)’ = 5  1 = 5 2) y = -3x  y’ = (-3x)’ = -3 3) y = -x  y’ = -1 d) Derivada da função potência y = xn Se y = xn então y’ = n . xn-1 para n inteiro positivo. Demonstração Se x é um ponto qualquer de R.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto y f ( x  x)  f ( x) ( x  x)  x  lim  lim  x  0 x  0 x x  0 x x lim x  x  x x  lim  lim 1  1 x  0 x x x  0 y 1 x lim x  0  y '  lim x  0 c) Derivada do produto de uma constante por uma função Se y = c  g(x) então y’ = c  g’(x) . Matemática Aplicada Página 14 Professor Gilmar Bornatto 14 . MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Exemplos 1) y = x5 2) y = 2x4   y’ = 5 x5-1 = 5x4 y’ = 2 4x4-1 = 8x3 3) y   x2 1 1  y   x 3  y   . Exemplos 1) y  5 x  y '  1 55 x 4 1 2 x 8 2 3) y  8 4 x  y'   44 x 3 4 x 3 2) y  x  y '  Matemática Aplicada Página 15 Professor Gilmar Bornatto 15 .3x 2   x 2 3 3 3 4) y  5) y  1 1  x 1  y'  1x 11   x  2   2 x x 1 2  x  2  y'  2 x 3   3 2 x x e) Derivada da função yn x Esta fórmula só pode ser aplicada quando o radicando é a variável x (função identidade). (5x)’ = 6x .5x  y’ = (3x2 . + gn(x) então y’= g1‘(x) + g2‘(x) +. então y’ = u’ v + u v’. Se existem as derivadas u’(x) e v’(x).h‘(x) . gn‘(x) . Exemplos 1) y = 3x2 + 5x + 4  y’ = (3x2 + 5x + 4)’ y’ = (3x2 )’+ (5x)’ + (4)’ = 6x + 5 + 0 = 6x + 5 2) y = 4x3 + 5x2 + 3  y’ = 12x2 + 10x g) Derivada da diferença “A derivada da diferença é igual à diferença das derivadas”.10x h) Derivada do produto Seja y = u(x). Matemática Aplicada Página 16 Professor Gilmar Bornatto 16 .5x2 .h(x) então y’= g‘(x) .5 2) y = 4x3 ...5x)’ y’ = (3x2 )’.v(x)..3  y’ = 12x2 ..MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto f) Derivada da soma de funções “A derivada da soma é igual à soma das derivadas”. Se y = g(x) . Se y = g1(x) + g2(x) +. Exemplos 1) y = 3x2 . para v  0. se existirem as derivadas u' (x) e v' (x). v2 Exemplos 1) y 1 (1)' x  1  ( x)' 0  1 1  y'   2  2 2 x x x x ou y 1 1  y  x 1  y '  1 y  2   2 x x 2) y 11 .MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Exemplos 1 ) y  2 x  3  x 2  5 '     ' 2) y  x  (1  3x 2 ) 1 2 x  (1  3x 2 )  x  (6 x) y '  2 x  3  x 2  5  2 x  3  x 2  5 y '  2  x 2  5  2 x  3  2 x   y '  ( x )'(1  3x 2 )  x  (1  3x 2 )'    y'  y '  2 x 2  10  4 x 2  6 x 1 3x 2 6x x 2 x y'  6 x 2  6 x 1 0 i) Derivada do quociente de duas funções Seja y  u(x) .x 2 11  x 2 '7  11  x 2  7 ' (2 x)  7  11  x 2  0  2 x   7 2x y  y'     2 2 2 7 7 7 7 7       Matemática Aplicada Página 17 Professor Gilmar Bornatto 17 . v(x) u ' v  uv' então y '  .x 2 1 1 2x  (11  x 2 )  y '  (2 x)   7 7 7 7 ou 11 . x + 3 e) y =  c) y = 1 x 2 2 1 2 x  5x  7 2 f) y = 0.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto FÓRMULÁRIO DE DERIVAÇÃO Função y = f(x) = c y = f(x) = x Derivada y’ = f’(x) = 0 y’ = f’(x) = 1 y’ = c . usando o formulário da página anterior: a) y = 4x + 5 d) y = x2 + 4x + 5 g) y = (3x2 .v  u.4x2 + 2x – 1) m) y  3 x p) y  b) y = . g’(x) y = c . g(x) y  xn y '  n.x2) (1 + x2) k) y  4 x n) y  6 x q) y  1 x 6 x3 15 2  x  x2 Página 18 4x x 1 18 Matemática Aplicada Professor Gilmar Bornatto .DERIVADA 1) Calcular a derivada das funções.4x) (6x + 1) j) y = 2 (x3 .x n1 y´ 1 n n x n 1 y’ = u’ v + u v’ yn x y = u(x)v(x) y u ( x) v( x) y'  u '.2 x2 – 4x i) y = (x2 – 4) (x + 2x4) l) y  9 x o) y   r) y  h) y = (1 .v ' v2 para v ≠ 0 EXERCÍCIOS . 4 f) y´ = 0.x + 5 i) y’= 12x5 .32x3 + 3x2 .4x – 4 j) y’=6x2-16x+4 g) y’= 54 x2 .4x3 h) k) y´ = 1 44 x 3 1 x2 20 x  22 l) y´ = 1 99 x 8 18 x4 m) y´ = 1 33 x 2  15  30 x n) y´ = 1 66 x 5 4 o) y´ = p) y´ =  q) y´ = 2  x  x  2 2 r) y´ =  x  1 2 s) y´ = t) y´ = 1 1  x 2 2) Determine a derivada das funções: Respostas 8x  2 20 x 3  9 x 2  4 x  3 28x 3  6 x 2  8  14x 5 4x  5x  4 3  21 x4  20 x6 2 1) y  4 x  2 x 2 2) y  5x 4  3x 3  2 x 2  3x  5 3) y  7 x 4  2 x 3  8x  7x2 3  5 7 2 2 2x 5x 5) y    4x 3 2 7 6) y  3 x 4 7) y  5 x 4) y  8) y  3 x 2 9) y  x 2  x 10) y  5 x 2  4 x 3  x 4 33 x 2x  1 2 x 3 2 5 x 5  3 4 x 4  4x3 19 Matemática Aplicada Página 19 Professor Gilmar Bornatto .MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto s) y  10 x x2 t) y  x 1 x Gabarito a) y’ = 4 b) y’ = -1 c) y’ = 1 2 d) y´= 2x + 4 e) y´ = .42x – 4 y’ = . 1  x  x 2 18) y  1  4 x 3 20) y     1  2x  .2x  1 (s) y    1 x   2x x 9 (q) y  3 x  53 x  10 (n) f ( x)     1 1 (r) y  x 3  x 4 (u) y  e x 2 2 5  2 3 x x (t) y  x 1 x2 4 x Gabarito (a) x2  5x  4 (d) 3 x 2  2x  1 2 (g) 2x  3 x (b) 3x 2  3 (e) 8 x 3  8 x 3  5  (h) x 2  x 3 2 3 Página 20 1 2 (c) 1 3 x 2 (f)  12x 3  12x (i)  1 4 x2 Matemática Aplicada Professor Gilmar Bornatto 20 .x  2 2 (c) f ( x)  5  x  x 3 (f) f ( x)  3 x 4  6 x 2 1 (i) f ( x)   4 x x x (l) f ( x)  2 x 1 (o) f ( x)  2  x 2 . 2  x 2 1 x  1 1 1 (m) f ( x )  x 3  x 4 (p) y  2x 2  3 x  5 . 2 x 2x 2  4 x2  2 6x 2  2x 1 40 x 4  12 x 2  4 x 20x 3  e x 19) y  5x 4  e x x 3  16 x2 21) y  3x  7.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 11) y  12 x 3  6 x  5 1 3x  5 2x 13) y  x 1 3x  5 14) y  2x  7 2x  3 15) y  2 x  5x  5 18 x  3 3x  52 2 x  12  31 2 x  7 2 3 x 12) y   2 x 2  6 x  25 x 2 2  5x  5  2 16) y  x 2  3x  2 x2  x  2 17) y  2 x  3. x 2  8   x 3  32 x3  3x 2  14x 3  24 3) Encontre as derivadas das funções a seguir: x3 5 2 (a) f ( x)   x  4x  2 3 2 (d) f ( x)  x 3  x 2  x  1 (g) f ( x)  ( x  x 1 )2 (j) f ( x)  (b) f ( x)  x 3  3 x (e) f ( x)  2x 4  4 x 2 (h) f ( x)  3 x  53 x  10 (k) f ( x)  x 2 . 4  x  2 x 2 4  2 ( l) (o) x 2  2x x  12 (m) 6x 2  8x  5 x 1 x 2 2 1  2 Derivadas de uma Função de Ordem Superior Exercícios de sala Obter a derivada terceira das funções: a) b) c) d) f  x   5 x 2  3x  2 1 f x   1 2x f x   2 x 3 Página 21 f x   x  2 x  1 3 2 Respostas a) 6 b) 0 c) 0 d)  120 x 6 Professor Gilmar Bornatto 21 Matemática Aplicada .x 2  .x 3  x 4 3 4 2 4 x  3 x 5 4) Calcule a derivada solicitada em relação a variável x.2 .e  x 2 3 2  1 5 3  (r) (u) 2x  4.e x 2 (q) . (s) 6 x4  10 x3 (v) 2x  3.e x 1 2 1 3 . (a) f ( x)  2 (b) f ( x)  2 x x 4 (d) f ( x)  3x ( f) f ( x)  2 x 3  x 2  4 x  2 (g) f ( x)  1  x 1  x  .MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto (j)  1 x  12 2 3 (k) 4x 3  12x 2  8 x (n)  1 1  2 x2 9 2 3 (l) x 1 x 2 2  1 2 1  1  (m) x 3  x 4 3 4 (0)  4x 3 (p) 4 x  32x  1  2x 2  3 x  5.x (t)  1/x  22 (x)  2x. 2x x 4 3x  1 (i) f ( x)  x 1 (j) f ( x)  x (c) f ( x)  (h) f ( x)  2 x2 x2 (l) f ( x )  x 1 (m) y  2x 3  4x 2  5x  8 (k) f ( x)  2 (e) f ( x)  3x 3 6 4 3  2  3 x x x x (0) y  2 x 1 (n) y  Gabarito (a) 0 (e) 9x 2 (i ) 1 x2 (b) -2 (f )  6 x 2  2x  4 ( j)  1 x2 (c) ¼ (g) -2x (k) 4 / x 3 (n)  6 8 9   x2 x3 x 4 (d) 3 (h) 2. 4. a taxa de inflação. 9  2  18  20 hab/mês 2 2 2 P ' (9) (b) Porcentagem de variação da população Z = 100  P(9) Matemática Aplicada Página 22 Professor Gilmar Bornatto 22 . daqui a 9 meses? (b) Qual será a porcentagem de variação da população.4. em relação ao tempo. o custo marginal do produtor. D(t  t )  D(t )  D ' (t ) t Velocidade Instantânea = lim t 0 Daí podemos generalizar: TAXA DE VARIAÇÃO = dy  f ' ( x) dx PORCENTAGEM DE VARIAÇÃO Taxa de Variação f ' ( x) % = 100  ou  100  Valor de Grandeza f(x) 3 Calcula-se que. (a) Qual será a taxa de variação da população. daqui a 9 meses? Solução: (a) Taxa de variação = derivada primeira da função 1 3 3 3 P ' ( x)  2  . etc. daqui a x meses. Vejamos o exemplo da velocidade: D(t) D(t + t) Velocidade Média = Variação da Distância D(t  t )  D(t )  Variação do tempo t Velocidade Instantânea é a melhor aproximação da velocidade média. a população de determinada cidade será de P( x)  2 x  4 x 2  5000 habitantes. a velocidade de um objeto.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO f(x) A derivada pode entre outras coisas significar a taxa de crescimento populacional. x  P ' (9)  2  . em relação ao tempo.4 x 2  2  . haverá um aumento de R$200. anualmente .5 20 Z  100   100   0. a população de uma certa comunidade será de P( x)  x 2  20 x  8000 hab. P(9) 5126 Aumento Salarial Suponha que seu salário inicial seja R$ 2.69% 12  1 (c) Como o denominador da fração vai sempre aumentar o valor da porcentagem irá sempre diminuir.00 . tenderá a zero. Matemática Aplicada Página 23 Professor Gilmar Bornatto 23 .º 2 P(16) = (16) 2  20. portanto: S ( x) 200 200 100 Z = 100    2400  200x 2400  20x 12  x 100 (b) Após um ano é só fazer x = 1 na fórmula acima: Z (1)   7.400 + 200. Pede-se: (a) A taxa de variação da população daqui a 15 meses? (b) A variação real no 16. qual será a porcentagem de variação de seu salário? (c) O que acontecerá com a porcentagem de variação de seu salário com o correr do tempo? Solução: (a) A função salário será S(x) = 2. Solução: (a) Taxa de variação = derivada de P(x) no ponto x = 15 P ' ( x)  2 x  20  P ' (15)  2. daqui a x meses.00 e que.º mês menos final do 15.x (x anos).15  8000  8525 Variação real = 8576 – 8525 = 51 habitantes/ mês. portanto é só encontrar a derivada S ' ( x) primeira de S(x)  S ' ( x)´ 200  A porcentagem Z é igual a 100  .16  8000  8576 P(15) = 15  20. Exemplo de Aplicação: Calcula-se que.º mês.9 2  5000  5126 6. (a) Exprima a porcentagem de variação de seu salário em função do tempo (b) Após um ano.9  4. isto é.39% por mês.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 3 Calculando P(9) = 2.15  20  50 habitantes/mês (b) Variação real = Final do 16.400. isto é: DERIVADA DA FUNÇÃO f(x) é definida por: y  f x  limx0   y x PROBLEMAS DE TAXA 1. f(x0)) e Q(x0+∆x.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA NUM PONTO: Seja uma função f(x) contínua a derivável em um domínio D e seja uma representação de seu gráfico na figura a seguir: Consideremos uma função f e os pontos P(x0. Matemática Aplicada Página 24 circulação de um jornal local será 24 de Professor Gilmar Bornatto . quando calculamos o limite desse quociente. temos a função derivada de f(x). até que a reta se torna uma reta tangente ao gráfico no ponto P. qual será a taxa de variação da população desta comunidade? b. daqui a t anos. a reta vai mudando seu coeficiente angular. a. Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa comunidade será de P(x) = x 2 + 20x + 8000. a C (t )  100t 2  400t  5000 exemplares. Chamamos a variação y (razão incremental) de TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO x E. Qual será a variação real sofrida durante o 16º mês? 2. f(x0 + +∆x). Avalia-se que. A reta que passa s pontos P e Q é secante ao gráfico de f(x) e a medida que ∆x se aproxima de zero. Daqui a 15 meses. Qual será a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos? c. Calcula-se que. Qual será a taxa de crescimento do imposto. O custo médio da produção de cada unidade do produto é obtido dividindo-se o custo total pelo número de unidades produzidas. O imposto anual pago pelo aluguel de determinado software x anos após 2000 era de I ( x)  20x 2  40x  600 . b. em 2006? 6. Qual era a taxa de variação do produto nacional bruto. enquanto que o conceito de marginal. Deduza a expressão da taxa de variação da circulação do jornal daqui a t anos.000 habitantes.º ano? 5. Suponha que C(q) seja o custo total de produção de q unidades de um certo produto. O conceito de média. t anos após 2000. foi de P(t )  t 2  5t  200 bilhões de dólares. em 2005? b. O produto nacional bruto (PNB) de determinado país. a população de uma certa comunidade será de P( x)  x 2  20 x  8. em relação ao tempo. A função C é chamada de função custo total (como já vimos anteriormente).Note que. Qual será a variação real da circulação durante o 6.º ano? 3. CM(q) = C(q)/q. faça uma estimativa da variação percentual do PNB durante o primeiro trimestre de 2004. em 2010? 4. a. Estima-se que. daqui a t anos. Matemática Aplicada Página 25 Professor Gilmar Bornatto 25 . em relação ao tempo. daqui a t anos. é a mudança instantânea na primeira quantidade que resulta de uma mudança em unidades muito pequenas na segunda quantidade. (a) Qual será a taxa de variação da população desta comunidade daqui a 15 meses. (b) Qual será a variação real da população durante o 16. (b) Qual será a taxa de crescimento da população daqui a 1 ano? (c) Qual será o crescimento real da população durante o 2.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto a. isto é. de modo que tenhamos as condições de continuidade para a função C.º mês? ANÁLISE MARGINAL Em Economia a variação de uma quantidade em relação à outra pode ser descoberta por qualquer dos dois conceitos: o de Média ou o de Marginal. onde CM é chamada função custo médio. Qual será a taxa de variação do produto nacional bruto. Utilizando cálculo . O produto nacional bruto de um certo país era de N(x) = t 2 + 5t + 100 bilhões de dólares t anos após 2000. a população de uma certa comunidade suburbana será de: 6 milhares de habitantes. q tem que ser inteiro não negativo. como q representa o número de unidades de um produto. Em circunstâncias normais q e C(q) são positivas. expressa a variação de uma quantidade sobre um conjunto específico de valores de uma segunda quantidade. P(t )  20  t 1 (a) Deduza a expressão da taxa de variação da população . 7. daqui a x meses. 50  5  305 (c) O custo real de produção da 51. a taxa de variação instantânea é uma aproximação para o aumento unitário da variável.50  10  7760 C(51) – C(50) = 8068 – 7760 = 8068 – 7760 = 308 Exemplo: Suponha que o custo total ao se fabricar x unidades de brinquedos seja de C ( x)  3x2  5x  10 .50  5.ª unidade. C MG  C ' ( x) .ª unidade é igual C(51) – C(50) 2 Temos então: C(51) = 3. Então a variação no custo total é dada por C (q1  q)  C (q1 ) . portanto a definição de custo marginal será: Se C(x) é o custo de produção de x unidades de um certo produto. A função C’ é chamada Função Custo Marginal e freqüentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional. Resp.50  10  8068 C(50) = 3. (c) Determine o custo real de produção da 51.: C’(X) = 6X + 5 Matemática Aplicada Página 26 Professor Gilmar Bornatto 26 .ª unidade. a) Deduza a fórmula do custo marginal.ª unidade é igual C ' (50). RMG  R ' ( x) . desde que o limite exista. é dada por C ' (q1 ) . Este aumento é denominado MARGINAL.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Suponhamos que o número de unidades de uma determinada produção seja q1 . Na definição acima. FÓRMULA DE APROXIMAÇÃO: A derivada da função é uma boa aproximação provocada por um aumento unitário na variável. e que ela tenha sido alterada por q . Solução: (a) O custo marginal é a derivada primeira do custo: C ' ( x)  6 x  5 (b) O custo de produção da 51. então o Custo Marginal. portanto: C ' (50)  6. o custo de produção para a 51. quando x = x1 .51  5. (a) Encontre o custo marginal (b) Determine usando análise marginal. ANÁLISE MARGINAL Em Economia. Esse limite é a derivada de C em q1 . e a variação média no custo total em relação a variação no número de unidades produzidas é dada por: C (q1  q)  C (q1 ) (1) q Os economistas usam o termo Custo Marginal para limite do quociente (1) quando q tende a zero. C '( x1 ) pode ser interpretada como a taxa de variação do custo total quando x1 unidades são produzidas. LMG  L' ( x) Aplicações Suponha que o custo total p/ se fabricar x unidades de um certo produto seja C ( x)  3x 2  5x  10 . caso exista. Como usualmente se obtém esta aproximação e sendo mais fácil. Observe que o cálculo de C’(50). chegando ao trabalho às 8 horas. Os economistas freqüentemente aproximam o custo da produção de uma quantidade adicional usando a função custo marginal. e C ( x)  2 x 2  x  8.). Esta discrepância ocorre porque o custo marginal é a taxa de variação instantânea de C(x) em relação a uma unidade de variação em q. f(x) = 2x3 + 18x2 + 48x +5 . no exemplo. A que horas da manhã o operário trabalha mais eficiente?(a taxa de produção é a derivada Matemática Aplicada Página 27 Professor Gilmar Bornatto 27 . o custo total de fabricação é C(q) = 3x2 + 5x + 75 reais. Quando x unidades de um certo produto são fabricadas. Quando será menor o custo médio de produção por unidade? (custo médio por unidade = custo total dividido pelo n º de unidades.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto b) Qual é o custo marginal de 50 unidades produzidas? Resp. C’(50) é o custo aproximado da produção do 51º brinquedo.: C’(x) = 4x + 1 EXERCÍCIOS ANÁLISE MARGINAL 1.x3 + 3x . Para tais pontos. Mais claramente.: C’(50) = 305 c) Qual é o custo real de produção do 51º brinquedo? Resp.: C ( x)  2 x  1  8 x x b) Custo Marginal Resp. o coeficiente angular da secante é uma boa aproximação do coeficiente angular da tangente. o custo marginal é próximo do custo real de produção de uma unidade adicional. terá montado Q(t) = -t3 + 9t2 + 12t unidades t horas depois. C’(n) é o custo aproximado da (n+1) ésima unidade que as n primeiras unidades tiverem sido produzidas. Análise Marginal se refere ao uso de derivadas de funções para estimar a variação ocorrida no valor da variável dependente. As respostas dos itens b e c do exemplo anterior são muito próximas por causa da proximidade dos pontos (50. calcula-se o custo marginal como aproximação do custo real de produção de uma unidade adicional. Determine os extremos máximo e mínimo das seguintes funções no intervalo especificado: a. C(51)) . Ache as funções: a) Custo Médio Resp. 2. e porque esses pontos pertencem a uma porção praticamente linear da curva de custo. Exemplo: Suponha que C(x) seja o custo total de produção de q unidades de canetas. De maneira geral. f(x) = x2 – 2x – 3 .: =C(51)–C(50)=7803+255+10-7760=308 Note que as respostas dos itens b e c diferem por R$ 3. em Economia. Um estudo da eficiência do turno da manhã de uma fábrica indica que um operário médio. de maneira geral. é mais simples do que o de C(51) – C(50). -2  x  0 3. como já dissemos acima. Logo. quando há um acréscimo de 1 unidade no valor da variável independente. -3  x  2 c. 0  x  3 b. C(50)) e (51. isto é.00. f(x) = . ª unidade. ao nível de produção x = 200.4 p a função de demanda de um bem. há 30 operários trabalhando. ou seja.ª unidade. O Custo total de fabricação de um certo produto é de C ( x)  0.ª unidade. 3 9. a) Deduza a fórmula do custo marginal. c) Calcule o custo real de produção da 51. 5. avalie a variação que ocorrerá na produção semanal da fábrica casa se acrescente um operário à força de trabalho existente. A Receita Marginal 10.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto da montagem. A Receita Total b. b) Calcule o custo de produção da 51. 30 operários trabalham na fábrica.ª unidade. Use análise marginal para estimar o custo de fabricação da 4. Estima-se que a produção semanal de uma fábrica seja de Q(x) = -x3 + 60x2 + 1200x unidades. Considere a função custo C(x) =  3x . Sendo x  400  0. b.ª unidade. o custo da 201ª unidade) e. onde x é a quantidade demandada e p é o preço. determinar: A função receita total A função Receita Marginal A receita marginal para 100 unidades 11. empregando a aproximação fornecida pelo custo marginal. 1000 d. Suponha que o custo total para se fabricar x unidades de um certo produto seja C ( x)  3x 2  5x  10 .1x 3  0. empregando a aproximação fornecida pelo custo marginal c. Atualmente. Deduza a fórmula do custo marginal. calcule para p = 4 : 2 a. (ou seja. a. x3 6. a.5x 2  500 x  200 reais. Calcule o custo marginal ao nível de produção x = 200. Calcule o custo real de produção da 51. Dada a função demanda : x  50  2 p  p 2 . 7. Calcula-se que a produção semanal de certa fábrica seja de P( x)   x3  60 x 2  1200 x unidades. onde x representa o número de operários da fábrica. 4. Calcule o custo de produção da 51.onde x é o número de empregados desta fábrica. Matemática Aplicada Página 28 Professor Gilmar Bornatto 28 . Atualmente. Calcule o custo de produzir uma unidade a mais. Usando cálculo. R(t) = Q’(t) que é a função que tem que ser derivada para analise no intervalo 0  t  4). onde x é a número de unidades produzidas. Use a análise marginal para estimar a variação semanal da produção resultante do emprego de mais um operário. 8. Suponha que o custo total para se fabricar x unidade de um certo produto seja C ( x)  3x 2  5x  10 . MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto b. se a função custo for C ( x)  40  2x ? 4. A função custo mensal de fabricação de um produto é C ( x)  x3  2 x2  10 x  10 . obtenha o valor de x que maximiza a receita. Com relação ao exercícios anterior. Calcule o custo real de fabricação da 4. devemos: a) derivar a função. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO(MÁXIMO OU MÍNIMO) Para encontrar o ponto extremo da função (máximo ou mínimo absoluto). 2. Dada a função receita R( x)  2x2  10x . b) igualar a derivada primeira a zero. e o 3 preço de venda é p  13 . Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar máximo lucro? Página 29 Professor Gilmar Bornatto 29 Matemática Aplicada .ª unidade .ª ordem para os valores encontrados para x: Se f’(x0) > 0 →x0 é abscissa de um mínimo local. resolver a equação e encontrar o(s) valor(es) de x que maximizam ou minimizam a função c) fazer o teste da derivada de 2. qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro. Dada a função de demanda p  40  2x . 3. que é o ponto que anula a derivada primeira de uma função. obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita. f’(x0) < 0 →x0 é abscissa de um máximo local Aplicações 1. a velocidade do tráfego é de aproximadamente V(t) =2t3 . A função de demanda desse produto é p  50  3 x . 8. d. b. Um determinado produto apresenta como função custo a curva C ( x)  50  40 x  5x 2 . Seja a função Custo Total = C ( x)  x 2  2 x  100 . Obtenha a quantidade que maximiza a receita. pede-se: a.21t2 + 60t + 40 Km/h transcorridas após o meio-dia. O preço de custo da pizza de atum é de R$5. A equação do custo marginal. e. dentro do intervalo de tempo mencionado. Qual é o preço de venda da pizza que maximiza o lucro da pizzaria? Matemática Aplicada Página 30 Professor Gilmar Bornatto 30 . O custo marginal. sendo a função custo C ( x)  120  60 x  x 2 . A Equação do Custo Marginal b. A equação de demanda de um monopolista é p  400  2 x . o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente? 12.00 cada. o Serviço de Trânsito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada. 9. Em uma fábrica de pneus. c. pede-se: a. Determine a receita máxima para a quantidade acima. quando a quantidade produzida for igual a 4. quando a quantidade produzida é igual a 3? A equação do custo Médio (Custo total dividido pela quantidade x) O Custo médio. A que horas . a fim de que o custo médio seja mínimo? 7. Um a pizzaria calcula que. 10. Qual é a quantidade a produzir. Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal? 11. Por várias semanas. Um monopolista tem um custo médio mensal de CME ( x)  x2  10x  60 . o preço de um certo tipo de pneu é dado por p  0. O custo marginal para a quantidade de custo médio mínimo. A Quantidade para que o Custo Médio seja mínimo d. Obtenha a função receita total b. se vender cada pizza por x reais . Qual é o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro? 6. 4 x  400 (0  x  1000) a.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 5. c. A função custo mensal de fabricação de um produto é C ( x)  x3  2 x 2  10 x  1 e a função 3 de demanda mensal do mesmo produto é p  10  x . à tarde . Verificou-se que num dia normal de semana. os consumidores comprarão 20 – x pizza por dia. em que x é a quantidade produzida. A Equação do Custo Médio c. determine a quantidade que maximiza o lucro e determine o lucro máximo. O Custo Médio Mínimo e. entre 1 e 6 horas . a demanda diminui à medida que seu preço aumenta. Ache: 3 a) A equação da demanda b) A quantidade que maximiza a receita c) A receita máxima d) O preço para a quantidade que maximiza a receita. se a variação for de 1%. b) A quantidade (nível de produção) que resulta na receita máxima. determine: 2 a) A função receita total. Suponha que a equação de demanda de um monopolista seja dada por p  100  0. provocada por um aumento de 1% no preço constitui uma boa medida da sensibilidade da demanda em relação ao preço.01 p . a quantidade por x e uma pequena variação do preço por p . a demanda de um produto está associada a seu preço. na maioria dos casos. A equação de demanda de um certo produto e dada por: p  6  1 x . A receita total na venda de x unidades de um bem é dada por: R( x)  200 x  x 2 .01 p p  f ' ( p)   100   100   f ( p) f ( p) f ( p) Daí Elasticidade de Demanda   p  f ' ( p) f ( p) NÍVEIS DA ELASTICIDADE Em geral  é negativa. Encontre a quantidade que maximiza o lucro para este nível de produção. observe a análise a seguir: Matemática Aplicada Página 31 Professor Gilmar Bornatto 31 .00 . mais R$ 50. substituindo na fórmula temos a Elasticidade de Demanda: f ' ( p)  p f ' ( p)  0.000. 15. c) O preço cobrado quando para a receita máxima.00 por unidade produzida.01x e que o custo seja constituído de uma taxa fixa de R$ 10. ELASTICIDADE DE DEMADA Em geral. A variação percentual verificada na demanda.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 1 13. 14. pois diminui a medida que o preço aumenta. obtemos a fórmula de aproximação para variação percentuais: Em particular. isto é: p  0. Representando o preço por p. isto significa dizer que este aumento não afeta a demanda (inelástica).2%. Interprete sua resposta. (a) Determine onde a demanda é elástica. (b) Calcule a elasticidade da demanda quando p = 10.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Se   1  A demanda é Elástica em relação ao preço Se   1  A demanda é Inelástica em relação ao preço Se   1  A demanda tem elasticidade unitária em relação ao preço. ELASTICIDADE e RECEITA Suponha que a equação da demanda de determinado produto seja x  500  2 p. Solução: f ' ( p) . f ( p) Como p = 60 -2x. inelástica e de elasticidade unitária em relação ao preço. devemos colocar x em função de p para obter f(p) e f´(p) 60  p 60  p 1 2 x  60  p  x   f ( p)  e f ' ( p)   2 2 2  1   f ' ( p) p 2   p     p 60  p 60  p f ( p) 2 10 10 (b) Para p = 10 temos:  (10)     0.2% 60  10 50 (a) Temos a função Elasticidade =   p  Interpretação: Um aumento de preço equivalente a 1% gera uma queda na demanda de 0. Matemática Aplicada Página 32 Professor Gilmar Bornatto 32 . com 0  p  250. APLICAÇÃO ELASTICIDADE Suponha que a demanda x e o preço p de um determinado produto encontrem-se relacionados pela equação: p  60  2 x (0  p  30) (a) Exprima a elasticidade da demanda em função de p. p = 500  2 p  p   500  2 p 2  R' ( p)  500  2 p . (c) Determine explicitamente a função receita total e utilize sua derivada para calcular os intervalos onde a função é crescente. ponto de Máximo: 500  4 p  0  4 p  500  p  125 EXERCÍCIOS PARA SALA 1.   p  500  2 p 500  2 p  2p  1  1  2 p  500  2 p  4 p  500  p  125 (demanda unitária) 500  2 p   1  0  p  125 (demanda inelástica)   1  125  p  250 (demanda elástica) (a) Para isso devemos achar   p  (b) Crescente 0 < p < 125 (onde f’(p) > 0) e Decrescente 125 < p < 250 (onde f’(p) < 0 Ponto de Máximo onde f’(p) = 0. isto é para p = -2 teremos R(p) = 125 Máxima (c) R(p)= x. Determine a elasticidade de demanda em função do preço b. f ( p) Como já temos x em função de p. 3.00 (interprete o resultado) c) Calcular a elasticidade de demanda de um produto B para p = R$ 50. b) Calcular a elasticidade de demanda de um produto A para p = R$ 150. Calcular a elasticidade de demanda para p = R$ 200. substituindo em  2  2p . (d) Represente graficamente os trechos mais significativos da função demanda e receita Solução: f ' ( p) .06 b) Use o resultado da parte (a) para obter uma aproximação da elasticidade-preço da demanda em p=2 Página 33 Professor Gilmar Bornatto 33 2. a. Matemática Aplicada . onde x unidades são demandadas quando o preço p é o preço unitário.00 (interprete o resultado) A quantidade x e o preço p de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda x  1000  4 p . Calcular a elasticidade de demanda para p = R$ 100. decrescente e o preço para o qual a receita é máxima. A quantidade x e o preço p de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda x  600  3 p .00 A equação de demanda para certo produto é x  18  2p 2 . isto é x  f ( p)  500  2 p  f ' ( p)  2 . a) Determine a elasticidade de demanda em função do preço. o preço para o qual a receita é máxima.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto (b) Utilize o resultado obtido no item (a) para determinar os intervalos em que a função receita é crescente. decrescente. a) Ache o decréscimo relativo na demanda quando o preço de uma unidade é aumentado de $ 2 para $ 2. fazendo R’(p) = 0 temos o . Determine também.00 c. Uma empresa estima que 1000x são gastos em propaganda. Admita que a demanda x e o preço p de um certo produto estejam relacionados pela equação linear: x  240  2 p. (b) Calcule a elasticidade de demanda quando o preço p = 200. a) Ache a taxa de variação média da demanda em relação ao preço quando este é aumentado de $4 para $4. (d) Para que preço a elasticidade da demanda é igual a -1? em termos de Economia.DERIVADAS – para o dia da prova Quem quer fazer alguma coisa encontr a um meio. b) Ache a taxa de variação instantânea da demanda em relação ao preço quando é $4.1 p. Quem não quer fazer nada. Matemática Aplicada Página 34 Professor Gilmar Bornatto 34 .MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto c) Interprete o resultado obtido. A equação de demanda para um certo tipo de detergente é x = 1000(50 – 5p – p2 ) onde x caixas são demandadas quando p é o preço por caixa. qual o significado deste preço? Suponha que a equação da demanda de um determinado produto seja x  60  0. 4. o  p  120. a) Ache a taxa de variação média de y em relação a x quando a verba de propaganda é aumentada de $10. e H(x) = 2000x + 40x2 – x3 . Aplique derivada para estimar a variação na produção diária. ela irá vender y unidades de um produto. encontr a uma desculpa Pensamento Ár abe. (a) Exprima a elasticidade da demanda em função de p.20. Interprete o resultado. (a) Exprima a elasticidade de demanda em função de p. TRABALHO . (c) Calcule a elasticidade da demanda quando p = 50. se o número de máquinas usadas for aumentado de 20 para 21. 4. b) Ache a taxa de variação instantânea (ou marginal) de y em relação a x quando a verba de propaganda é de $10.000 para $11. Suponha que H(x) unidades de um produto sejam produzidas diariamente quando x máquinas são usadas.50.000 2. a) Ache a taxa de variação média da demanda em relação ao preço quando este é aumentado de $2 para $2.000. Interprete sua resposta. onde y = 5 + 400x – 2x2. Interprete o resultado obtido. (c) Em que preço a elasticidade da demanda é igual a -1? O que significa este resultado? 5. DERIVADAS – APLICAÇÕES 1. 3. 0  p  10. (b) Calcule a elasticidade da demanda quando p = 100. A equação de demanda para um certo tipo de bijuteria é x = 100 – 3p – 2p2 onde x unidades são demandadas quando p é o preço por unidade. ache a) O número de unidades que deveriam ser produzidas.0002x onde x unidades são produzidas a cada dia e p é o preço unitário. b) Ache a mudança exata esperada na população de 1. onde f (t )  10000  4000 t 1 a) Use derivada para estimar a mudança esperada na população de 1. Se o lucro total deve ser maximizado. Uma indústria de jogos eletrônicos operando sob concorrência perfeita fabrica e vende jogos para computadores. b) O preço de cada unidade. ache o número de unidades que o monopolista deve produzir a cada dia.t2/3 .02x.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto b) Ache a taxa de variação instantânea da demanda em relação ao preço quando o preço é $2.93. Um monopolista determina que se C(x) é o custo total da produção de x unidades de um certo produto . Suponha que uma pessoas possa aprender f(t) palavras sem sentido em t horas e que f(t) = 15. 7. O custo de Matemática Aplicada Página 35 Professor Gilmar Bornatto 35 . Suponha que sob monopólio a equação de demanda para um certo produto seja: p = 4 – 0. O custo total da produção de x unidades é de C(x) = 600 + 3x. a) Ache a taxa de variação média da oferta em relação ao preço quando este é aumentado de $0. A equação de oferta para um certo tipo de lâmpada é x = 1000(4 + 3p + p 2 ) onde x lâmpadas são ofertadas quando p é o preço por lâmpada. então C(x) = 20000 + 25x.00 cada. e y = 3x + 8x2 – x3 a) Ache a taxa segundo a qual o operário está pintando às 10 horas da manhã b) Ache o número de molduras prontas entre 10 e 11 horas da manhã. 9.º de Janeiro de 2008 a 1º de Janeiro de 2009. A temperatura é z graus t horas após a meia-noite e z = 0.º de Janeiro de 2004 a 1º de Janeiro de 2009.1. c) O lucro máximo. todos os jogos que produz. Estima-se que um operário num estabelecimento que faz molduras de quadros possa pintar y molduras x horas depois do início do trabalho às 8 horas da manhã. Uma empresa monopolista. 10. 8. determina que a equação de demanda de seu produto é dada por: x + 2500p = 20000. b) Ache a taxa de variação instantânea da oferta em relação ao preço quando este é $0. Se o lucro diário deve ser o maior possível. Uma frente fria aproxima-se do campus universitário. onde x unidades são demandadas quando p é o preço unitário. A equação de demanda é dada por p = 100 – 0.º de Janeiro de 2004 seja f(t).(400 – 40t + t2 ) a) Ache a taxa de variação média de z em relação a t entre 5 e 6 horas da manhã. b) Ache a taxa de variação instantânea de z em relação a t às 5 horas da manhã. 13. Se x jogos forem fabricados por mês e C(x) for o custo total mensal de produção. Ache a taxa de aprendizado da pessoa após 8 horas. 5. então C(x) = x2 +25x + 100. Espera-se que a população de uma certa cidade t anos após 1. 11. A empresa pode vender a um preço de $75. onde x unidades são demandadas quando o preço unitário é p.90 para $0.90. o preço e o lucro diários. 6. Quantos jogos deveram ser produzidos e vendidos para que a empresa tenha um lucro total mensal máximo? Qual é o lucro mensal máximo da empresa? 12. a) Determine as funções Receita e Lucro. e) Determine a função lucro marginal. 14.03x. ache: a) O número de unidades que devem ser produzidas. c) Calcule e interprete o resultado C’(2000).02x2 + 120x + 60000 onde C(x) denota o custo total envolvido na produção de x unidades. f) Calcule o lucro marginal para x = 5000 e interprete o resultado obtido. a equação de demanda para certo produto é p = 190 – 0. Se o lucro total deve ser o maior possível.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto produção é dado por uma taxa fixa de $300.00 mais $4. Receita Marginal e Lucro Marginal. O custo total de produção de x unidades é 3 2 1 3 C ( x)  x  x . a) Determine as funções Receita e Lucro. R’(2000) e L’(2000) 18. determine: a) O número de unidades que devem ser produzidas para se ter o lucro máximo. R’(2000) e L’(2000) . A função custo total semanal associada com a produção é dada por C(x) = 0. Sob monopólio.00 por unidade. b) Encontre as funções: Custo Marginal . a) Encontre a função Receita. b) O preço unitário para se ter o lucro máximo. 17. Se para a produção de x unidades temos um custo fixo de $ 50000 e um custo variável de $40. 16. b) Encontre as funções: Custo Marginal .00 por unidade. d) Determine a função lucro. b) O preço de cada unidade.04x + 800. c) O lucro Máximo. b) Determine a Receita Marginal. c) O lucro máximo que pode ser obtido. Ache o preço unitário e a quantidade para que o lucro total seja 20 100 maximizado.000002x3 – 0. c) Calcule usando o conceito de função marginal a receita aproximada da venda da 5001ª unidade desse aparelho. A demanda semanal por um certo modelo de TV-digital é igual a p = 600 – 0.03x2 + 400x + 80000 onde C(x) denota o custo total envolvido na produção de x unidades.006x + 180 onde p denota o preço unitário por atacado em reais e x denota a quantidade demandada.05x onde p denota o preço unitário por atacado em reais e x denota a quantidade demandada. onde x unidades são produzidas a um preço unitário de p. onde x unidades são demandadas quando o preço unitário é p. c) Calcule e interprete o resultado C’(2000). a equação de demanda para um certo artigo é 2x + 5p = 100. Uma certa indústria de equipamentos eletrônicos estima que o custo total (em reais) envolvido na fabricação de x peças de um certo aparelho no primeiro ano de produção será de C(x) = 200x + 300000 e a equação de demanda para esse aparelho é dada por p = -0. 15. Sob monopólio.000002x3 – 0. Receita Marginal e Lucro Marginal. A demanda semanal por um certo modelo de TV-digital é igual a p = -0. Matemática Aplicada Página 36 Professor Gilmar Bornatto 36 . A função custo total semanal associada com a produção é dada por C(x) = 0. MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 19. d) calcule R’(2) e interprete o resultado. onde x unidades são produzidas a cada dia e p é o preço unitário. Uma imobiliária responsável pelo aluguel de apartamentos num prédio no litoral possui 100 unidades para ser alugadas. a) Determine função Elasticidade da demanda E(p). 22. 01x 2  1 a) Determine a função receita .20. b) A elasticidade de demanda quando p = $4. A quantidade demandada mensal de um certo equipamento eletrônico será relacionada com o 50 preço unitário com a equação p  . c) Calcule a elasticidade quando p = 1. 24. d) Calcule usando a elasticidade de demanda o preço máximo que pode ser cobrado pelo produto. interprete o resultado obtido. Considere a equação de demanda p = -0. 21. a) Qual é o lucro real obtido no aluguel da 51ª unidades? b) Calcule o lucro marginal quando x = 50 e compara com o resultado do item (a). interprete o resultado obtido. b) Calcule E(100) e interprete o resultado. Matemática Aplicada Página 37 Professor Gilmar Bornatto 37 . onde p é preço em reais e x em milhares. c) Calcule E(300) e interprete o resultado. ] 23. interprete o resultado obtido.0002x . determine: a) A função Elasticidade-demanda-preço. c) Determine a receita real para a venda de 3 unidades. Se a equação de demanda de um certo bem de consumo é dada por: p = 4 – 0. b) Determine a função receita marginal. c) A elasticidade de demanda quando p = $3. 20.00.00. a) Ache a função Elasticidade-demanda-preço.02x +400. ache o decréscimo relativo na demanda. O lucro (em reais) obtido pelo aluguel de x unidades é L(x) = -10x2 +1760x – 50000.50. A equação de demanda para certo produto é x = 18 -2p2 onde x unidades são demandadas quando p é o preço unitário.5 e interprete o resultado obtido. d) A elasticidade de demanda quando p = $3. b) Calcule a elasticidade quando p = 2 e interprete o resultado obtido. 0. A equação de demanda para certo produto é dada por x = 2100 – 100p2 – 400p. que descreve a relação entre o preço unitário em reais e a quantidade demandada x do um determinado produto. Se o preço por unidade é aumentado de $2 para $2. Calcule as integrais indicadas: 1   (a)   x 5  3x 2  2 dx x   Resolução: Matemática Aplicada Página 38 Professor Gilmar Bornatto 38 . para n  1 . Integral por substituição: du g ' u   g (u )  C . Integral de e x : dx  e x  C  6.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto INTEGRAL INDEFINIDA Termos. Regra da constante multiplicada:  c. O símbolo dx indica a variável que está sendo considerada para obtermos F'(x) f (x) . n 1 1 1 2. Regra da Potência:  x dx   c . A função f f (x) é denominada função integrando. anti-derivada ou integral indefinida: 1. onde: g (u ) é a primitiva de g ' (u ) dx Exemplos resolvidos: 1. Regra da Soma:   f ( x)  g ( x)dx   e x f ( x)dx   g ( x)dx 5. f ( x)dx n 4.  símbolo é chamado de integral. INTEGRAL INDEFINIDA:  O f ( x)dx  F ( x)  c . f ( x)dx  c. A integral de :  dx  ln x  C . Símbolos e Fórmulas Importantes: Primitiva. A função F F(x) é chamada primitiva ou integral indefinida ou antiderivada. Regras de Integração x n 1 1. onde ln  log e x (log Neperiano) x x 3. onde f (x) é a primitiva de F(x) e C é uma constante qualquer. 2 x  3   9. Calcule as integrais indicadas usando o método da substituição: (a)  9.u . chamando x 2 1  u . calculando temos: dx  du  2 x .u du  9. 2  Matemática Aplicada Página 39 Professor Gilmar Bornatto 39 .    du  . ln x  x  c 6 2.2 x  3dx 8  Resolução: Substituindo x 2  3x  5  u  du du . observe que se substituirmos na função original. Voltando na função.2 x  3. para simplificarmos vamos multiplicar os dois lados por 3. não haverá uma 2x simplificação. dx   x 2 dx  x 2 x 2 1 3 = 3e x  2. agora devemos aplicar a regra 1 (da potência) em cada fator: x6 x 3 x 1 x6 1  3. .x 2  3x  5 .: 2x x du 31 3 . e x dx  2.3. isolando dx.  c   x3   c 6 3 1 6 x 2 1 2  (b)   3e x   x dx x 2   Resolução: 2 1 1 1 =  3e x dx   dx   x 2 dx = 3.  2 x  3  dx  dx 2x  3 9 du u9 8 9 2  9. dx du (Mas.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Aplicando a regra 2 temos:  x 5 dx   3x 2 dx   x 2 dx .dx  3. Substituindo agora na função integranda. voltando com o u temos então finalmente a função u 2x 2u 2 3 primitiva: f ( x)  ln x 2  1  c . temos então: du 3. 9  c  u  c  x  3x  5  c 8   3x dx x 1 Resolução: (b)  2 Usando o método de substituição . ln u  c .  2 x  1 (l)  3e dx  x dx    x  3 .ln x  3  c 2 F ( x)  6. x  4 dx   x   2 x3  1 dx  (m) (n)  (g) x3  x 2 dx  2x   1 3 x   2  dx   3x 3x 2    3   4  x2   dx  2 x   4.ln x   c x 4   (l) F( x)  3e x  c (m) F ( x)  1 ln x  1  x 2  c 3 x 3 4 (n) F ( x)    3 x  c x (0) F ( x)  4e x  x2 c 2 1 F ( x)    c x 3 4 (u) F ( x)  3x 3  c (f) F ( x)  x  x  x  c (g) (h) 3 2 x3 x 2 F ( x)    c 6 4 2 5 F ( x)  x 3   2  c x 2x (p) F ( x)  10ln( x  7)  c Matemática Aplicada Página 40 Professor Gilmar Bornatto 40 . 3 xdx  GABARITO (a) F ( x)  5 .MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Exercícios sala de Aula: Encontre o resultado das Integrais Indefinidas a seguir: (a)  x3/ 5 dx  (b) (c) (d) (e) (f)  1dx   1 dx  x 3x5  2 x  5  ( x3 )dx  1  (i)  x3 .  2 x   dx  x  (h) (j) (k) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u)   4e  x  x  dx  10 dx  x7  x 1/ 2  3x 2/ 3  6  dx  2     x2  2 x  3   dx =  x2   5    dx  x 3 6 2    2  dx  x x    x5 dx  1 dx  x2 2  x.x8/ 5  c 8 (i) F ( x)  2 x5  x  c 5 3 3 (q) (r) (s) (t) 3 F ( x)  F ( x)  x2  3ln  x  2   c 2 x3 x 2   12 x  c 3 2 (b) F ( x)  x  c (c) F ( x)  2 x  c (d) F ( x)  (e) 1 6 x c 6 (j) (k) 2 x3/ 2 9 x5/ 3 F ( x)    6x  c 3 5 F ( x)  x 4  4 x3 x 2  c 3 2 F ( x)  5. MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto INTEGRAL DEFINIDA 2. ÁREA DE UMA REGIÃO EM UM PLANO: Considere a função f(x) representada no gráfico a seguir. INTEGRAL DEFINIDA: A integral definida de f(x) de a até b é a diferença  b a f ( x)dx  F (b)  F (a) .099} (j) { 115  ln 7 } = 18. pelo eixo x e pelo gráfico de f(x) pode ser calculada através de uma integral.143 3 3 (i) {7. a área de região destacada.875 (l) {15/4} (m) {5 } (n) { 2.710} (d) {4/3} (e) {2 + 2e} = 7.765 3 (k) 8. onde F é a primitiva de f(x). limitada pelas retas verticais x = x1 .. definida de x1 até x2.4365 ( f ) { -4 } (g) { 8  ln 3 } = 3. Quer dizer: a integral definida é a variação líquida da primitiva.667} 1 6 1 . isto é: Matemática Aplicada Página 41 Professor Gilmar Bornatto 41 . x = x2. (h) { 6 9 3.e  } = 134. entre x = a e x = b Exercícios para Sala de Aula (a) (b) (c)  5x 1 0 4  8x 3  1 dx  (f )  3    4 1 2 1 ( x  x 2 )dx  2  2   1  x 2  2x dx    3 1 1 (g)  1   2 dx  1  x x  1 (k) (l)  4x 2 1 3  3x 4  5 dx    x 3 0 1 0 3  x  7 dx   305x  2 dx  2 (h)  e dx  2 3x 0 (m)  (2x  4)dx  (d) (e)  (x 0 4  3x  1)dx  1 1 ( 4  2e x )dx  x2  x 1 (n) 1 x dx 4  2 1  (j)   x 2  2   dx  2 x 5 x  (i) 3  x 1 1 2  x  1 dx   Gabarito (a) { 0 } (b) {17/3} (c) {1.915. b] . b] então o número de unidades quadradas na área da região limitada pela curva y  f (x) .MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto ÁREA = 𝑥2 𝑓 𝑥1 𝑥 𝑑𝑥 Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a.b]. definimos a área da região como: A( x)    f ( x)dx   f ( x)dx a a b b 4. Matemática Aplicada Página 42 Professor Gilmar Bornatto 42 . ÁREA ENTRE DUAS CURVAS Se f(x) e g(x) forem contínuas no intervalo [a. b] e se f ( x)  0 para todo x  [a. com f ( x)  g ( x) . o eixo x e as retas x = a e x = b é igual: A( x)   f ( x)dx  F (b)  F (a) a b Obs: Se f ( x)  0 para todo x  [a. e A a área da região limitada pelos gráficos de f(x) e g(x) pelas verticais x  a e x  b . e as retas x  1 e x  3. o eixo x. as retas x  1 e x  3 e o eixo x.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Área   b a  f ( x)  g ( x)  dx Exemplos a) Determine a área da região limitada pela curva y  3x 2  2 . Solução: Construir o gráfico das três funções no mesmo plano: Calcular a integral definida para o intervalo [-1.3   1  2.3] Matemática Aplicada Página 43 Professor Gilmar Bornatto 43 .3]  3 1 x3 3 3 3x  2 dx  3. 1  36 3 2      b) Calcular a área limitada pela curva y  x 2  4 x . Solução: Construir os gráficos: Integrar a função no intervalo [1.  2 x  3  2. MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto   33 3  x3 4x 2  13   22  22 2   x 2  4 x dx         23     2. ao longo de todos os N anos. dois planos de investimentos estejam gerando lucros respectivamente segundo as taxas L1 ( x) e L2 ( x) reais por ano e que. Excedente = 0  N [ R2 ( x)  R1 ( x)]dx Matemática Aplicada Página 44 Professor Gilmar Bornatto 44 . daqui a x anos. Ganho líquido proporcionado por um equipamento industrial Ganho Líq. conforme figura: Lucro Líquido = 2. a taxa L1 ( x) seja maior que L2 ( x) .12         1 2   3 3 3  1   3   APLICAÇÕES NA ECONOMIA: 1. Lucro Líquido Excedente: Suponhamos que. C.C.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 3. Curva de Demanda e propensão de gastos do consumidor Propensão de Gastos do Consumidor =  x0 0 D( x)dx 4. =  x0 0 [ D( x)  x0  y 0 ]dx Matemática Aplicada Página 45 Professor Gilmar Bornatto 45 . Economia do consumidor = E. E. 25  x 2  por unidades. a) Determine a economia do consumidor. Resolução: Como temos o preço unitário e a função demanda. 25x  3   264  64.3  $72. portanto a quantidade demanda para este preço é três. Suponha que a função demanda de determinado produto seja: D( x)  $4.00          (b) Trace a curva de demanda e interprete a economia do consumidor com uma área. Resolução: Basta fazer a integral definida de 0 a 3 da função demanda! 3 3 x3 33 D( x)dx   100  4 x 2 dx  (100 x  4.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Exercícios aplicados 1. 25  x dx  4. fazemos: 64  4 25  x 2 .00  3 3 0 0   EXERCÍCIOS PARA SALA Matemática Aplicada Página 46 Professor Gilmar Bornatto 46 .  300  36  $264. No gráfico temos: (a) Suponha que a função demanda de determinado produto seja D( x)  100  4 x 2 reais por unidade. se o preço unitário for $ 64.3  4. devemos encontrar a quantidade demandada. a) Determine a quantidade total que os consumidores disporse-ão a pagar a fim de adquirir três unidade do produto. para isso. Agora é só integrar a função demanda de 0 até 3. )  100. 3 3  x3  2 0 D( x)dx  0 4. daqui achamos que x = 3. 00. se o preço de mercado permanecer constante.00. daqui a t dias. encontre o lucro máximo que pode ser obtido. Determine: a) A função custo total. Uma indústria fez uma análise de suas instalações de produção de pessoal. A função custo marginal de determinado produto é dada por CMG ( x)  20  40 x  6 x 2 . 6.200. passando de 6 para 10 unidades? 10.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 1. Calcular o custo para produzir as 10 primeiras unidades. O custo para produzir as duas primeiras unidades foi de R$ 800.00.6 x 2  10 x  50 . O lucro marginal de uma fábrica ao produzir q unidades é de 100  2q reais por unidade. Estima-se que. 7. 5. Se o preço de venda do produto é fixado em R$ 19. Encontre a área limitada pela curva y  x 2  3x  4 . O custo para produzir as três primeiras unidades foi de R$ 1. sabendo que a função receita marginal é dada por: Rmg ( x)  0. Estima-se que sem qualquer mudança nas instalações a taxa de variação do número de unidades produzidas por dia em relação à variação do número de trabalhadores Matemática Aplicada Página 47 Professor Gilmar Bornatto 47 . a $3. (Custo total – custo fixo) Uma indústria sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 9 x 2  4 x  300 unidade. a população de certa idade crescerá à taxa de 2 5  3x 3 pessoas por mês. 13.00. Um estudo indica que daqui a x meses.3x  11 onde o custo de produção é em reais. Com o atual equipamento e número de trabalhadores. De quanto a população crescerá nos próximos 8 meses? 11. 2.00 por unidade. Depois de uma experiência. O custo total da primeira unidade é de R$ 130.00 por fruta? 12. e o custo fixo por semana é R$ 100. a indústria pode produzir 3000 unidades por dia. Se o lucro obtido com a produção de 10 unidades é de $700. b) A função demanda. c) A função custo variável. o custo 2 marginal de cada uma é de 3. O custo fixo é de $ 60. a colheita de frutas de uma fazenda aumentará a uma taxa de 0. A função receita marginal é dada por RMG ( x)  80  x  x 2 . Calcular o custo para produzir as 5 primeiras unidades.3t 2  0. Qual é o custo total de produção das 10 primeiras unidades? 8. b) A função custo médio. De quanto aumentará o valor da colheita durante os próximos 5 dias.00. Qual será o lucro máximo da fábrica? 9. 4. quando o nível de produção mantém-se eu q unidades. Em uma certa fábrica. Determine: a) A função receita total. 3.q  4 reais.6t  1 frutas por dia. Qual será o aumento verificado no custo total de fabricação se a média de produção crescer. Determinar a receita referente a venda de 10 unidade de um produto x. pelo eixo x. Um fabricante calculou que o custo marginal da produção q unidades é de 6q  1 reais por unidade. um certo fabricante determinou que se produzissem x unidades de um determinado produto por semana. Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de Cmg  6 x2  2 x  200 unidade. o custo marginal seria dado por 0. e pelas retas x =2 e x =6. Aos x anos de uso. 20. uma máquina industrial gerar receita à razão de $ R(x) = 6025 – 10x2/ano e seus custos se acumularem a razão de $ C(x) = 4000 + 15x2/ano: a) Por quantos anos o uso da máquina é lucrativo? b) Qual é o ganho líquido gerado pela máquina ao longo do período encontrado no item (a) c) Interprete a resposta encontrada em (a) como a área compreendida entre duas curvas. e acarreta custos que se acumulam a uma taxa de C ( x)  1200  10 x reais ano. Sejam p = -2x + 7 e as funções demanda e oferta para determinado produto. aos x anos de idade. Seja a função demanda para certo produto. c) Determine o Excedente do produtor para o mesmo preço. 2 a) Determine o Excedente do Consumidor quando o preço é $5. b) Determine a função receita para esse produto Matemática Aplicada Página 48 Professor Gilmar Bornatto 48 . b) Determine o Excedente do Consumidor quando o preço é de equilíbrio. a) Esboce os gráficos das funções e determine o ponto de equilíbrio. t 3 horas após iniciar seu trabalho às 8 horas da manhã é de:  t 2  6t  20 para (0  t  4) 2 unidade/hora. 2 unidade por hora. 2 16. a) Se ambos chegaram ao trabalho às 8h. 19. a) determine o número total estimado de jogos que um trabalhador médio monta nas 4 horas do turno da manhã b) Qual é o número total estimado de unidades que um trabalhador médio monta na primeira hora do turno da manhã? E na segunda hora? 18. Encontre a produção diária.t  1 adicionais é 80  6 x . Se. Uma fábrica de brinquedos fez um estudo de eficiência de seus trabalhadores e chegou a conclusão de que a taxa à qual um brinquedo é montado por um trabalhador médio. a) Determine o excedente do consumidor para p = 9 b) Determine o excedente do consumidor para p = 16. certa máquina gera receita a uma taxa de R( x)  4575  5 x reais por ano.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto 14. quantas unidades o primeiro operário terá produzido a mais que o segundo às 12h? b) Interprete a resposta encontrada em (a) como a área compreendida entre duas curvas 15. onde x é o número de trabalhadores adicionais. caso se admitam mais 25 trabalhadores. a) Por quantos anos o uso da máquina é produtivo? b) Qual é o ganho total líquido gerado pela máquina durante o período de tempo do item acima? 2 17. ao passo que um segundo operário produz Q2  50  5t unidades por hora. um operário de fábrica produz Q1 (t )  60  2. Seja p = -x2 – 2x + 24 a função demanda para determinado produto. Se após t horas de trabalho. a) Quantas pessoas ouviram o boato durante as 5 primeiras horas? b) Quantas novas pessoas ouviram o boato durante a sexta hora? 9. Qual é o valor esperado da população nos próximos 8 anos? 4. Suponha que para um período de 5 minutos. onde f(t) = 9800 + 40t. O valor contábil de um certo equipamento está variando a uma taxa de f(x) unidades monetárias ao ano. 7.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto Matemática. Nos próximos 5 dias quantas pessoas poderão ser expostas a um certo vírus se o cálculo é de que em t dias a partir de agora o vírus terá se disseminado a uma taxa de f(t) = 9t(8 – t) pessoas por dia? 6. dentro do prazo de 10 anos. Determine por quanto o equipamento será depreciado durante o terceiro ano.(50 -3t). O gerente de um parque de diversões espera que durante o primeiro mês de operações o número diário de visitantes cresça de tal forma que f(t) visitantes sejam esperados t dias após sua abertura. APLICAÇÃO INTEGRAIS 1. quando o equipamento tem x anos de uso. onde: f(x) = 200 + 350x4/3. Estima-se que daqui a x anos a população de uma certa comunidade esteja crescendo a uma taxa de f(x) = 400 + 100x3/2. Matemática Aplicada Página 49 Professor Gilmar Bornatto 49 . uma secretária possa datilografar a uma taxa de f(x) = 75 + 10x -3x2 . sua taxa de crescimento é f(t) pessoas por dia. e f(x) = 4000x – 60000. e f(t) = 40t -3t2. t dias após o início de uma epidemia. Determine o aumento da população para os próximos 4 anos. seu valor contábil estará variando a uma taxa de f(x) unidades por ano. assim como Música não são notas” Jurquim TRABALHO – entrega no dia da prova. onde: f(t) = 2t. Qual é a depreciação nos 4 primeiros anos? 5. são fórmulas. 3. 0  x  5 a) Quantas palavras ela datilografa durante os 5 minutos? b) Quantas palavras ela datilografa durante os 3 primeiros minutos? 2. de modo algum. Numa certa comunidade . onde: f(x) = 3000x – 18000. Estima-se que nos próximos x anos a população de uma certa comunidade estará crescendo a uma taxa de f(x) pessoas por ano. Após x anos de uso de uma certa máquina. a) Quantas pessoas são infectadas durante a primeira semana de epidemia? b) E no oitavo dia de epidemia? 8. Numa pequena cidade um boato se espalha a uma taxa de f(t) pessoas por hora desde seu começo. O uso de determinada máquina x meses após sua compra gera uma receita total a uma taxa de R(x) = 11000 -3x2 unidades monetárias mensais. vamos admitir que o custo operacional esta variando a uma taxa C(x) unidades monetárias por mês. Além disso. a) Por quanto tempo o uso do equipamento é rentável? b) Qual é o lucro líquido obtido pela utilização da máquina durante o tempo acima. Determine: a) Por quanto tempo o uso do equipamento é rentável? b) Qual é o lucro líquido obtido pela utilização da máquina durante o tempo acima.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto a)Em que dia é esperado o 100. Sabendo que R(x) = 1400 – 2x2 e C(x) = 200 + x2 . um plano de investimentos estiver gerando lucro à razão de $ L1 ( x)  100  x2 / ano e. daqui a x anos. 12. aos x anos de idade. um segundo plano gerando lucro à razão de $ L2 ( x)  220  2 x / ano : a) Por quantos anos o segundo plano será o mais lucrativo? b) Qual o lucro excedente que se ganhará investindo-se no segundo plano. se x meses se passaram desde a instalação da máquina. 15. ela gera uma receita total a uma taxa de R(x) = 15000 – 80x2 unidades monetárias anuais. Quando um certo equipamento está com x anos de uso. b) Qual é o lucro líquido obtido pela utilização da máquina durante o tempo acima. O custo total de operação e manutenção aumenta com o tempo a taxa de C(x) = 3000 + 40x2 unidades monetárias por ano. Suponha que a utilização de uma certa máquina resulte numa receita a uma taxa de R(x) unidades monetárias por mês. 13. 11. e R(x) = 144 – 2x2.000º visitante? b) Quantos visitantes são esperados durante os 5 primeiros dias? 10. onde C(x) = 200 + x2. em vez de no primeiro. O custo total de operação e manutenção da máquina aumenta a uma taxa C(x) = 1000 + x2 unidades monetárias mensais. a) Por quanto tempo o uso do equipamento é rentável? b) Qual é o lucro líquido obtido pela utilização da máquina durante o tempo acima. por um período igual ao de (a)? c) Interprete o lucro excedente encontrado em (b) com a área compreendida entre duas curvas. uma máquina industrial gere uma receita à razão de R( x)  5000  20 x 2 reais/ano e acarrete gastos de se acumulam à razão de c( x)  2000  10 x 2 reais /ano. 14. A utilização de um certo equipamento gera uma receita a uma taxa de R(x) unidades monetárias por mês e um custo operacional a uma taxa de C(x) unidades monetárias por mês. a) Por quantos anos o uso da máquina será lucrativo? Página 50 Professor Gilmar Bornatto 50 Matemática Aplicada . Se. a) Por quanto tempo o uso do equipamento é rentável. Admita que. e faça um esboço mostrando a região cuja área dá o excedente do produtor.MATEMÁTICA APLICADA Professor Gilmar Bornatto b) Qual será o ganho líquido gerado pela máquina durante o período do item (a) 16. 22. 17. 21. 64  x 2 reais por unidade e por unidade. Faça um esboço mostrando a região cuja área determina o excedente do produtor. As equações de oferta e demanda para uma certa mercadoria são respectivamente. As equações de oferta e demanda para uma certa mercadoria são respectivamente. Ache o excedente do consumidor e faça um esboço mostrando a região cuja área o determina.   a) Determine o excedente do consumidor se o preço de mercado de cada unidade do produto for p0  $110. Ache o excedente do produtor para uma mercadoria cuja equação de oferta é 2x2 – 300p + 900 = 0 e cujo preço de mercado é $ 9. Determine o excedente do produtor se prevalecer o equilíbrio de mercado. Dada a função Demanda D( x)  2. As equações de demanda e oferta para uma certa mercadoria são respectivamente x = 760 – p2 e x = p2 – 40 . 20. e faça um esboço mostrando a região cuja área dá o excedente do consumidor. e preço de mercado é $ 16. 3p2 +p – x = 0 e 3p + x = 32 onde p é o preço unitário e x unidades é a quantidade. Ache o excedente do consumidor (integrando em relação a x).00 por unidade. 19. Matemática Aplicada Página 51 Professor Gilmar Bornatto 51 . A equação de demanda de certa mercadoria é 100p = 2400 -20x – x2. Para um certo artigo a equação de demanda é x2 + 100p = 2500 e o preço de mercado é $16. 3p2 +p – x = 0 e 3p + x = 32 onde p é o preço unitário e x unidades é a quantidade. b) Construa a curva de demanda e interprete o excesso do consumidor como uma área. 18. Ache os excedentes do consumidor e do produtor se o mercado está em equilíbrio. Determine o excedente do consumidor se prevalecer o equilíbrio de mercado. 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