Apostila de Matemática geral

MATEMÁTICADidatismo e Conhecimento 1 MATEMÁTICA ARITMÉTICA NÚMEROS NATURAIS: OPERAÇÕES E ORDEM O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a defciência de algo nulo. Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fm. N é um conjunto com infnitos números. Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um número natural. a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 1 é 2. d) O sucessor de 19 é 20. - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 5 e 6 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos. - Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 5, 6 e 7 são consecutivos. c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural fnito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Igualdade e Desigualdades Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê-se: A é diferente de B). Na defnição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto. Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A = B. Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos. Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afrmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afrmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B. Operações com Números Naturais Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. A adição de números naturais A primeira operação fundamental da Aritmética tem por fnalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos. Propriedades da Adição - Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N. - Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer Didatismo e Conhecimento 2 MATEMÁTICA modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C) - Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural. - Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela. Multiplicação de Números Naturais É a operação que tem por fnalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. Exemplo 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação. Propriedades da multiplicação - Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N. - Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n . p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60 - Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n → 1 . 7 = 7 . 1 = 7 - Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12 Propriedade Distributiva Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m . p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48 Divisão de Números Naturais Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. Relações essenciais numa divisão de números naturais - Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5 - Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7 - A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto signifcaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. Potenciação de Números Naturais Para dois números naturais m e n, a expressão m n é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja: m n = m . m . m ... m . m → m aparece n vezes O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo: 2 3 = 2 × 2 × 2 = 8 → 4 3 = 4 × 4 × 4 = 64 Propriedades da Potenciação - Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1 n , será sempre igual a 1. Exemplos: a- 1 n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1 b- 1 3 = 1×1×1 = 1 c- 1 7 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1 - Se n é um número natural não nulo, então temos que n o =1. Por exemplo: - (a) nº = 1 - (b) 5º = 1 - (c) 49º = 1 - A potência zero elevado a zero, denotada por 0 o , é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. - Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n 1 , é igual ao próprio n. Por exemplo: - (a) n¹ = n - (b) 5¹ = 5 - (c) 64¹ = 64 - Toda potência 10 n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros. Exemplos: a- 10 3 = 1000 b- 10 8 = 100.000.000 c- 10 o = 1 Didatismo e Conhecimento 3 MATEMÁTICA EXERCÍCIOS 1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente: 2. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será? 3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado? 3cm 4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²? 5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura? 6. Faça a potenciação dos seguintes números: a) 2³ b) 5³ c) 2² d) 6 4 7. Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b × b × b? 8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números? 9. Realize a divisão nos seguintes números naturais: a) 125 : 5 b) 36 : 6 c) 49 : 7 10. Calcule: a) -8 + 5 b) -5 – 7 c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) d) –(-5) + (-10) - 14 RESPOSTAS 1) Solução: O antecedente de um número n será n – 1, pois é aquele que antecede o n. Já o consecutivo é n + 1. 2) Solução: Sendo n par, o seu consecutivo será n + 2, e sendo impar o consecutivo sendo impar o n será n + 1. 3) Resposta “9 quadradinhos”. Solução: Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos: 9 x 1 = 9 quadradinhos 4) Resposta “9”. Solução: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes: 3 x 3 = 9. 5) Resposta “27”. Solução: Para construirmos um cubo, basta apenas multiplicarmos os lados: 3 x 3 x 3 = 27 cubinhos. 6) Solução: a) 2 x 2 x 2 = = 8 b) 5 x 5 x 5 = = 125 c) 2 x 2 = = 4 d) 6 x 6 x 6 x 6 = = 1296 7) Resposta “4”. Solução: R³[64] = 4, pois 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b = 4. 8) Resposta “1”. Solução: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante. 9) Solução: a) 125 : 5 = = 25 b) 36 : 6 = = 6 c) 49 : 7 = = 7 10) Solução: a) -8 + 5 = = -3 b) -5 – 7 = = -12 c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) = = 10 + 8 – 12 + 17 = = 25 – 12 = = 13 d) –(-5) + (-10) – 14 = = 5 – 10 – 14 = = 5 – 24 = = -19 Didatismo e Conhecimento 4 MATEMÁTICA NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo. Nos inteiros, é um primo se ele tem exatamente quatro divisores: e . Uma defnição um pouco mais técnica, que permite generalizar este conceito para outros conjuntos, é dizer que o conjunto dos divisores de p que não são inversíveis não é vazio, e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis. Por defnição, 0, 1 e − 1 não são números primos. Existem infnitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C.. A propriedade de ser um primo é chamada “primalidade”, e a palavra “primo” também são utilizadas como substantivo ou adjetivo. Como “dois” é o único número primo par, o termo “primo ímpar” refere-se a todo primo maior do que dois. Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos. O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afrma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração). Os 100 primeiros números primos positivos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541 Exemplos 1 não é primo pois D(1)={1} 2 é primo pois D(2)={1,2} 3 é primo pois D(3)={1,3} 5 é primo pois D(5)={1,5} 7 é primo pois D(7)={1,7} 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14} Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única. Múltiplos e Divisores Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que: a = k . b Exemplo 1 15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5. Quando a = k x b, segue que a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois: 35 = 7 x 5. Quando a = k x b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. Por exemplo, para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a = k x 2, k seria substituído por todos os números naturais possíveis. Observação: Um número b é sempre múltiplo dele mesmo. a = 1 x b ↔ a = b. Exemplo 2 Basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio: 3 = 1 x 3 A defnição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b. Exemplo 3 3 é divisor de 15, pois 15 = 3 x 5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5. Um número natural tem uma quantidade fnita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele. Os divisores naturais de 6 são os números 1, 2, 3, 6, o que signifca que o número 6 tem 4 divisores. Exercícios 1. Para encontrar os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afrmação, encontre o conjunto de divisores de cada um dos seguintes números: 25, 32, 13, 18 e 60. 2. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um fcasse com um número par de bolinhas e nenhum deles fcasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas fcou cada menino? 3. Seja b um número natural. Sabendo-se que 64 = b × b × b obtenha o valor de b. 4. Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3. 5. Quantos elementos possuem e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento “o”? 6. De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n? Didatismo e Conhecimento 5 MATEMÁTICA 7. Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total? 8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números? 9. O número 5 é divisor do número 16? Justifque a sua resposta. 10. Qual é o menor número primo com dois algarismos? Respostas 1) Solução: D(25) = {1, 5, 25} D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32} D(13) = {1, 13} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Encontramos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32: 1 x 32 = 32; 2 x 16 = 32; 4 x 8 = 32 8 x 4 = 32; 16 x 2 = 32; 32 x 1 = 32 2) Solução: Se o primeiro menino fcar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas. 3) Resposta “b = 4”. Solução: R 3 [64] = 4. Temos que 64 = b b b, ou seja, 64 = b 3 . Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b = 4. 4) Resposta “12, 18, 108”. Solução: A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos estão na justifcativa abaixo. Para chegarmos a alguns números que possuem por fatores apenas os números 2 e 3 não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é “criá-lo” multiplicando 2 e 3 quantas vezes quisermos. Exemplos: 2 x 2 x 3 = 12 3 x 3 x 2 = 18 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108. 5) Solução: Possui apenas um elemento e o conjunto de múltiplos de “o” é escrito da forma: M(o) = {o} O conjunto de múltiplos de “o” é chamado de conjunto unitário, por que: M(o) = {ox0, ox1, ox2, ox3, ox4, ox5,...} M(o) = {o, o, o, o, o,...} = {o} 6) Solução: M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, 5n, ...} Seja N o conjunto dos números naturais: N = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...} Se n é um número do qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N é da forma: M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, ...} 7) Resposta “6 presentes”. Solução: 2 x 3 = 6. Logo, no total, Maria ganhou 6 presentes. 8) Resposta “número 1”. Solução: O número 1. Se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante. 9) Resposta “Errado”. Solução: Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16. 10) Resposta “número 11”. DIVISIBILIDADE, O MAIOR DIVISOR COMUM E O MENOR MÚLTIPLO COMUM Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. Podemos dizer então que: “30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.” Um numero natural a é divisível por um numero natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a. Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que: 30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30. Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos naturais: 7 x 0 = 0 7 x 1 = 7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 5 = 35 Didatismo e Conhecimento 6 MATEMÁTICA O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}. Observações: - Todo número natural é múltiplo de si mesmo. - Todo número natural é múltiplo de 1. - Todo número natural, diferente de zero, tem infnitos múltiplos. - O zero é múltiplo de qualquer número natural. - Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2 k (k∈N). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2 k + 1 (k∈ N). Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a divisão. Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6. b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos: a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3. b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3. Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. Exemplos: a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4. c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplos: a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos: a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2. Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8. Exemplos: a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000. b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 8. c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é divisível por 8. Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplos: a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9. b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero. Exemplos: a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero. b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero. Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11. Exemplos: a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.) 4 3 8 1 3 2º 4º  Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 15 – 4 = 11 ð diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11. b) 1º 3º 5º 7º (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19) 8 3 4 1 5 7 2 1 2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12) 19 – 12 = 7 ð diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11. Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Didatismo e Conhecimento 7 MATEMÁTICA Exemplos: a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11). c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22). Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Exemplos: a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2). c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25). Exercícios 1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 menores que 30. 2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 compreendidos entre 30 e 50. 3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter um múltiplo de 7? 4. Como são chamados os múltiplos de 2? 5. Verifque se os números abaixo são divisíveis por 4. a) 23418 b) 65000 c) 38036 d) 24004 e) 58617 6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 maiores que 10 e menores que 20. 7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por quê? 8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9. 9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12. 10. Responda sim ou não: a) 24 é múltiplo de 2? b) 52 é múltiplo de 4? c) 50 é múltiplo de 8? d) 1995 é múltiplo de 133? Respostas 1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”. Solução: 5 x 0 = 0 5 x 1 = 5 5 x 2 = 10 5 x 3 = 15 5 x 4 = 20 5 x 5 = 25 2) Resposta “32, 40, 48”. Solução: 8 x 4 = 32 8 x 5 = 40 8 x 6 = 48 3) Resposta “6”. Solução: 36 + 6 = 40. Pois, o número 40 é divisível por 7. 4) Resposta “Pares”. Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (k∈N) 5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”. Solução: a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4. b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4. c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4. d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4. e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4. 6) Resposta “14”. Solução: 7 x 2 = 14. 7) Resposta “72”. Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser. 8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”. Solução: 9 x 0 = 0 9 x 1 = 9 9 x 2 = 18 9 x 3 = 27 9 x 4 = 36 9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”. Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12. 10) Solução: a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro. c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número inteiro. d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número inteiro. Didatismo e Conhecimento 8 MATEMÁTICA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 3 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 2 3 x 3. De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. A fgura ao lado mostra a fatoração do número 630. Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 3 2 x 5 x 7. Teorema Fundamental da Aritmética O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todos os números pertencentes ao conjunto dos inteiro Z = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 1000, 1001, 1002, ...}, maiores do que 1, podem ser decompostos em um produto de números primos, sendo esta decomposição única. Chamamos de números primos, os inteiros que tem apenas 4 divisores: o número 1, -1, o próprio número x e o seu oposto -x. Um número inteiro positivo maior do que 1 é composto pelo produto (multiplicação) de números primos e, por isso, se aplica a eles o Teorema Fundamental da Aritmética e são chamados de números compostos. Por exemplo: 15 = 5 x 3 20 = 2 x 2 x 5 121 = 11 x 11 NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS: CONCEITOS, REPRESENTAÇÕES, OPERAÇÕES E ORDEM Conjunto dos Números Inteiros – Z Defnimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0} - O conjunto dos números inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z + é o próprio conjunto dos números naturais: Z + = N - O conjunto dos números inteiros positivos: Z* + = {1, 2, 3, 4,...} - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero. Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) Didatismo e Conhecimento 9 MATEMÁTICA O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a + b = b + a 3 + 7 = 7 + 3 Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é: z + 0 = z 7 + 0 = 7 Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que z + (–z) = 0 9 + (–9) = 0 Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. A subtração é a operação inversa da adição. Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 diferença subtraendo minuendo Considere as seguintes situações: 1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades, verifcamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + (–3). Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 Daí podemos afrmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplifcada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, signifca ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais: (+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1) Com o uso das regras acima, podemos concluir que: Sinais dos números Resultado do produto Iguais Positivo Diferentes Negativo Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a x (b x c) = (a x b) x c 2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a x b = b x a 3 x 7 = 7 x 3 Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é: z x 1 = z 7 x 1 = 7 Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z –1 =1/z em Z, tal que z x z –1 = z x (1/z) = 1 9 x 9 –1 = 9 x (1/9) = 1 Distributiva: Para todos a,b,c em Z: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5) Didatismo e Conhecimento 10 MATEMÁTICA Divisão de Números Inteiros Dividendo divisor dividendo: Divisor = quociente 0 Quociente . divisor = dividendo Sabemos que na divisão exata dos números naturais: 40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40 36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36 Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (–20) : (+5) = q => (+5) . q = (–20) ð q = (–4) Logo: (–20) : (+5) = +4 Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí: - Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo. - Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo. - A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro. - No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. 1- Não existe divisão por zero. Exemplo: (–15) : 0 não tem signifcado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15. 2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 Potenciação de Números Inteiros A potência a n do número inteiro a, é defnida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. a n = a x a x a x a x ... x a a é multiplicado por a n vezes Exemplos: 3 3 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5) 5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 - Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3) 2 = (+3) . (+3) = +9 - Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (– 8) 2 = (–8) . (–8) = +64 - Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5) 3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 Propriedades da Potenciação: Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7) 3 . (–7) 6 = (–7) 3+6 = (–7) 9 Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13) 8 : (+13) 6 = (+13) 8 – 6 = (+13) 2 Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4) 5 ] 2 = (+4) 5 . 2 = (+4) 10 Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9) 1 = +9 (–13) 1 = –13 Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14) 0 = 1 (–35) 0 = 1 Radiação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fca sob o sinal do radical). A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: 9 = ±3 mas isto está errado. O certo é: 9 = +3 Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. Exemplos (a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8. (b) 3 8 − = –2, pois (–2)³ = -8. (c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27. (d) 3 27 − = –3, pois (–3)³ = -27. Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: (a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. Didatismo e Conhecimento 11 MATEMÁTICA (b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. Exercícios 1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos? 2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro? 3. Calcule: a) (+12) + (–40) b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) 4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras: a) x + (–12) = –5 b) x + (+9) = 0 c) x – (–2) = 6 d) x + (–9) = –12 e) –32 + x = –50 f) 0 – x = 8 5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações? Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul. Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul. Máxima prevista 37° no Piauí. 6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10? 7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números. 8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham: a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36 9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse? 10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total? Respostas 1) Resposta “9²”. Solução: Basta identifcar os quadrados perfeitos. Os números quadrados perfeitos são: 1² = 1 (menor que dois algarismos) 2² = 4 3² = 9 4² = 16 (dois algarismos) 5² = 25 6² = 36 7² = 49 8² = 64 9² = 81 10² = 100 (mais que dois algarismos) Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81 2) Resposta “270”. Solução: (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101 55 – 51 + 165 + 101 = 270 Portanto, o número inteiro é 270. 3) Solução: a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28 b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52 c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0 d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 6 – 24 = -18 4) Solução: a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7 b) x + (+9) = 0 → x = -9 c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4 d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3 e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18 f) 0 – x = 8 → x = -8 5) Resposta “40˚”. Solução: A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º. 6) Resposta “-1320”. Solução: (x) . (x+1) . (x+2) = ? x+2 = -10 x= -10 -2 x = -12 (-12) . (-12+1) . (-12+2) = -12 . -11 . -10 = - 1320 7) Resposta “999900”. Solução: (x) . (x+1) . (x+2) = ? x= 99 (99) . (99+1) . (99+2) = 99 . 100 . 101 = 999900 Didatismo e Conhecimento 12 MATEMÁTICA 8) Solução: a) (–140) : x = –20 x = -20 . -140 x = 2800 b) 144 : x = –4 x = -4 . 144 x = -576 c) (–147) : x = +21 x = 21 . -147 x = -3087 d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (–93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185 f) x : (–12) = –36 x = -36 . -12 x = 432 9) Resposta “738”. Solução: x + (-846) . -3 = 324 x – 846 . -3 = 324 -3 (x – 846) = 324 -3x + 2538 = 324 3x = 2538 – 324 3x = 2214 x = x = 738 10) Resposta “3”. Solução: Seja t o total da adição inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8 Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: Temos: t + 8 - 5 = t + 3 Portanto o total fcará acrescido de 3 unidades. Conjunto dos Números Racionais – Q Um número racional é o que pode ser escrito na forma n m , onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para signifcar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: Q = { n m : m e n em Z, n diferente de zero} No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: - Q* = conjunto dos racionais não nulos; - Q + = conjunto dos racionais não negativos; - Q* + = conjunto dos racionais positivos; - Q _ = conjunto dos racionais não positivos; - Q*_ = conjunto dos racionais negativos. Representação Decimal das Frações Tomemos um número racional q p , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número fnito de algarismos. Decimais Exatos: 5 2 = 0,4 4 1 = 0,25 4 35 = 8,75 50 153 = 3,06 2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infnitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 3 1 = 0,333... 22 1 = 0,04545... 66 167 = 2,53030... Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 0,9 = 10 9 5,7 = 10 57 0,76 = 100 76 3,48 = 100 348 Didatismo e Conhecimento 13 MATEMÁTICA 0,005 = 1000 5 = 200 1 2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: Exemplo 1 Seja a dízima 0, 333... . Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda: 10x – x = 3,333... – 0,333... => 9x = 3 => x = 3/9 Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 9 3 . Exemplo 2 Seja a dízima 5, 1717... . Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... . Subtraindo membro a membro, temos: 99x = 512 => x = 512/99 Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 99 512 . Exemplo 3 Seja a dízima 1, 23434... Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... . Subtraindo membro a membro, temos: 990x = 1234,34... – 12,34... => 990x = 1222 => x = 1222/990 Simplifcando, obtemos x = 495 611 , a fração geratriz da dízima 1, 23434... Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero. Exemplo: Módulo de – 2 3 é 2 3 . Indica-se 2 3 − = 2 3 Módulo de + 2 3 é 2 3 . Indica-se 2 3 + = 2 3 Números Opostos: Dizemos que – 2 3 e 2 3 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 2 3 e 2 3 ao ponto zero da reta são iguais. Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, defnimos a adição entre os números racionais b a e d c , da mesma forma que a soma de frações, através de: b a + d c = bd bc ad + Propriedades da Adição de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional. - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a - Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q - Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q) Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, defnimos o produto de dois números racionais b a e d c , da mesma forma que o produto de frações, através de: b a x d c = bd ac O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: (+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1) Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo. Propriedades da Multiplicação de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional. - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a - Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q - Elemento inverso: Para todo q = b a em Q, q diferente de zero, existe q -1 = a b em Q: q × q -1 = 1 b a x a b = 1 - Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) Didatismo e Conhecimento 14 MATEMÁTICA Divisão de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q -1 Potenciação de Números Racionais A potência q n do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. q n = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) Exemplos: a) 3 5 2 | . | \ | = | . | \ | 5 2 . | . | \ | 5 2 . | . | \ | 5 2 = 125 8 b) 3 2 1 | . | \ | − = | . | \ | − 2 1 . | . | \ | − 2 1 . | . | \ | − 2 1 = 8 1 − c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25 d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25 Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 0 5 2 | . | \ | + = 1 - Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. 1 4 9 | . | \ | − = 4 9 − - Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior. 2 5 3 − | . | \ | − = 2 3 5 | . | \ | − = 9 25 - Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 3 3 2 | . | \ | = | . | \ | 3 2 . | . | \ | 3 2 . | . | \ | 3 2 = 27 8 - Toda potência com expoente par é um número positivo. 2 5 1 | . | \ | − = | . | \ | − 5 1 . | . | \ | − 5 1 = 25 1 - Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 2 5 2 | . | \ | . 3 5 2 | . | \ | = 5 3 2 5 2 5 2 5 2 . 5 2 . 5 2 . 5 2 . 5 2 | . | \ | = | . | \ | = | . | \ | | . | \ | + - Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 3 2 5 2 5 2 3 2 3 2 3 . 2 3 2 3 . 2 3 . 2 3 . 2 3 . 2 3 2 3 : 2 3 | . | \ | = | . | \ | = = | . | \ | | . | \ | − - Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 6 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 1 . 2 1 2 1 | . | \ | = | . | \ | = | . | \ | = | . | \ | | . | \ | | . | \ | = ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | + + + Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1 4 Representa o produto 2 . 2 ou 2 2 . Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se 4 = 2. Exemplo 2 9 1 Representa o produto 3 1 . 3 1 ou 2 3 1 | . | \ | . Logo, 3 1 é a raiz quadrada de 9 1 .Indica-se 9 1 = 3 1 Exemplo 3 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6) 3 . Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 3 216 , 0 = 0,6. Assim, podemos construir o diagrama: N Z Q Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. O número 9 100 − não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 3 10 − como 3 10 + , quando elevados ao quadrado, dão 9 100 . Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. O número 3 2 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê 3 2 . Didatismo e Conhecimento 15 MATEMÁTICA Exercícios 1. Calcule o valor das expressões numéricas: a) 24 7 – ( ¸ ( ¸ | . | \ | + − − | . | \ | − 4 3 6 7 8 1 12 5 b) ( ¸ ( ¸ + | . | \ | − | . | \ | + 2 5 12 1 : 16 3 – | . | \ | − 2 7 4 9 2. Escreva o produto 7 3 3 2 . 3 2 | . | \ | + | . | \ | + como uma só potência. 3. Escreva o quociente 4 12 25 16 : 25 16 | . | \ | − | . | \ | − como uma só potência. 4. Qual é o valor da expressão | . | \ | + | . | \ | − − − 4 3 : 2 1 24 13 3 ? 5. Para encher um álbum de fgurinhas, Karina contribuiu com das fgurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das fgurinhas. Com que fração das fgurinhas as duas juntas contribuíram? 6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu do livro e no dia seguinte leu do livro. Então calcule: a) A fração do livro que ela já leu. b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura. 7. Em um pacote há de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo? 8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar? 9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, desses apartamentos foi vendido e foi reservado. Assim: a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada? b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados? 10. Transforme em fração: a) 2,08 b) 1,4 c) 0,017 d) 32,17 Respostas 1) Solução: a) 24 7 – ( ¸ ( ¸ | . | \ | + − − | . | \ | − 4 3 6 7 8 1 12 5 b) ( ¸ ( ¸ + | . | \ | − | . | \ | + 2 5 12 1 : 16 3 – | . | \ | − 2 7 4 9 mmc:(4;2)=4 2) Solução: 10 3 2 | . | \ | + 3) Solução: 8 25 16 | . | \ | − 4) Solução: | . | \ | + | . | \ | − − − 4 3 : 2 1 24 13 3 5) Resposta “ ” Solução: 6) Solução: a) b) 7) Respostas “ ” Solução: 8) Resposta “ ” Solução: Didatismo e Conhecimento 16 MATEMÁTICA 9) Solução: a) b) 10) Solução: a) 2,08 → b) 1,4 → c) 0,017 → d) 32,17 → Números Irracionais Os números racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero. Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. Vejam os exemplos de números racionais a seguir: 3 / 4 = 0,75 = 0, 750000... - 2 / 3 = - 0, 666666... 1 / 3 = 0, 333333... 2 / 1 = 2 = 2, 0000... 4 / 3 = 1, 333333... - 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000... 0 = 0, 000... Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b, conhecidos como números irracionais. Exemplo O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica: x = 0,10100100010000100000... Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infnitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são: e = 2,718281828459045..., Pi () = 3,141592653589793238462643... Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc. Classifcação dos Números Irracionais Existem dois tipos de números irracionais: - Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coefcientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade fnita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo, . A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffni. - Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coefcientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infnitos pode ser feita na teoria dos conjuntos). A defnição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos. Identifcação de números irracionais Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afrmar que: - Todas as dízimas periódicas são números racionais. - Todos os números inteiros são racionais. - Todas as frações ordinárias são números racionais. - Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. - Todas as raízes inexatas são números irracionais. - A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. - A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional. - O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: : = = 2 e 2 é um número racional. - O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: . = = 5 e 5 é um número racional. - A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais. - A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( ). Simbolicamente, teremos: Q = R Q I = Didatismo e Conhecimento 17 MATEMÁTICA PORCENTAGENS É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”. Deste modo, a fração 100 50 é uma porcentagem que podemos representar por 50%. Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35. 75% = 100 75 = 0,75 Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração 100 p por V. P% de V = 100 p . V Exemplo 1 23% de 240 = 100 23 . 240 = 55,2 Exemplo 2 Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa? Resolução: 67% de 56 000 = 37520 56000 . 100 67 = Resposta: 37 520 pessoas. Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Lucro = preço de venda – preço de custo Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo. Assim, podemos escrever: Preço de custo + lucro = preço de venda Preço de custo – prejuízos = preço de venda Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas: Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100% Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100% Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo. Exemplo Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se: - o lucro obtido na transação; - a porcentagem de lucro sobre o preço de custo; - a porcentagem de lucro sobre o preço de venda. Resposta: Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00 L c = 500 300 = 0,60 = 60% L v = 800 300 = 0,375 = 37,5% Aumento Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e V A o valor após o aumento. Então, A = p% de V = 100 p . V V A = V + A = V + 100 p . V V A = ( 1 + 100 p ) . V Em que (1 + 100 p ) é o fator de aumento. Desconto Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e V D o valor após o desconto. Então, D = p% de V = 100 p . V V D = V – D = V – 100 p . V V D = (1 – 100 p ) . V Em que (1 – 100 p ) é o fator de desconto. Exemplo Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo? Resolução: V A = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V V = 2500 4 , 1 3500 = Resposta: R$ 2 500,00 Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p 1 % e p 2 %. Sendo V 1 o valor após o primeiro aumento, temos: V 1 = V . (1 + 100 1 p ) Didatismo e Conhecimento 18 MATEMÁTICA Sendo V 2 o valor após o segundo aumento, temos: V 2 = V 1 . (1 + 100 2 p ) V 2 = V . (1 + 100 1 p ) . (1 + 100 2 p ) Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p 1 % e p 2 %. Sendo V 1 o valor após o primeiro desconto, temos: V 1 = V. (1 – 100 1 p ) Sendo V 2 o valor após o segundo desconto, temos: V 2 = V 1 . (1 – 100 2 p ) V 2 = V . (1 – 100 1 p ) . (1 – 100 2 p ) Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p 1 % e, sucessivamente, um desconto de p 2 %. Sendo V 1 o valor após o aumento, temos: V 1 = V . (1+ 100 1 p ) Sendo V 2 o valor após o desconto, temos: V 2 = V 1 . (1 – 100 2 p ) V 2 = V . (1 + 100 1 p ) . (1 – 100 2 p ) Exemplo (VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação fnanceira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao fnal de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são: Resolução: V A = v p n . 100 1 | . | \ | + V A = 1000 . 100 15 . 1 n | . | \ | V A = 1 000 . (1,15)n V A = 1 000 . 1,15n V A = 1 150,00n Exercícios 1. (Fuvest-SP) (10%) 2 = a) 100% b) 20% c) 5% d) 1% e) 0,01% 2. Quatro é quantos por cento de cinco? 3. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: a) R$ 25,00 b) R$ 70,50 c) R$ 75,00 d) R$ 80,00 e) R$ 125,00 4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afrmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo: a) Prejuízo de 10%. b) Prejuízo de 5%. c) Lucro de 20%. d) Lucro de 25%. e) Lucro de 30%. 5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de: a) 38% b) 40% c) 42% d) 44% e) 46% 6. (FUVEST-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é: a) 2,56 x b) 1,6x c) x + 160 d) 2,6x e) 3,24x 7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de: a) 25% b) 26% c) 44% d) 45% e) 50% 8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será: a) (0,7) 7 V b) (0,3) 7 V c) (0,7) 8 V d) (0,3) 8 V e) (0,3) 9 V Didatismo e Conhecimento 19 MATEMÁTICA 9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma população economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade? 10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que está na piscina? Respostas 1) Resposta “D”. Solução: 2) Resposta “80%”. Solução: 05 ----------- 100% 04 ----------- x 5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → 3) Resposta “D”. Solução: Pcusto = 100,00 O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00 Pc + 0,25Pc = 100,00 1,25Pc = 100,00 Pc = 4) Resposta “C”. Solução: X reais (preço de custo) Lucro de 50%: x + 50% = x + = (dividimos por 10 e depois dividimos por 5). Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 1,50. Se 1,50 é 100% X 20% fazemos esta regra de três para achar os 20%: 20.1,50 100 = 0,30 Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de lucro em cima do valor de custo. Alternativa C. 5) Resposta “B”. Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada na matéria será: V 2 = V.(1 + 100 1 p ).(1 – 100 2 p ). Substituindo V por um valor: 1, então no fnal dos dois aumentos esse valor será de 1,61=V 2 . 1,61 = 1.(1 + 100 15 ).(1 – 100 2 p ) 1,61 = (1 + 100 15 ).(1 – 100 2 p ) (mmc de 100) 1,61 = ( 100 115 ).(1 – 100 2 p ) 1,61 = - 10000 ) 2 100 ( 115 P − 16100 = -11.500 + 115P 2 115P 2 = -11.500 + 16100 P 2 = 4600/115 P 2 = 40% 6) Resposta “E”. Solução: 7) Resposta “C”. Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada na matéria será: V 2 = V.(1 - 100 1 p ).(1 – 100 2 p ) Substituindo V por um valor: 1, fcará: V 2 = 1.(1 - 100 20 ).(1 – 100 30 ) V 2 = ( 100 20 100 − ).( 100 30 100 − ) V 2 = ( 100 80 ).( 100 70 ) V 2 = 10000 5600 V 2 = 100 56 que é igual a 56% 100% - 56% = 44% 8) Resposta “A”. Solução: 1º ano = 1 2º ano = 0,70 – 30% (0,21) 3º ano = 0,49 – 30% (0,147) 4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029) 5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203) 6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421) 7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947) 8º ano = 0,0823543 0,0823543 = (0,7) 7 V Didatismo e Conhecimento 20 MATEMÁTICA 9) Resposta “5%”. Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados Em 100 habitantes → 5 desempregados Portanto, 5% da população da cidade é desempregada. 10) Resposta “500 unidades”. Solução: 4% → 20 bolinhas. Então: 20% → 100 bolinhas 100% → 500 bolinhas Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20. Como 4% = , podemos escrever: 0,04 . x = 20 → Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades. PROPORCIONALIDADE ENTRE NÚMEROS E ENTRE GRANDEZAS, PROPORÇÕES E ESCALAS Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou . A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente. Exemplos a) A fração 5 3 lê-se: “três quintos”. b) A razão 5 3 lê-se: “3 para 5”. Os termos da razão recebem nomes especiais. O número 3 é numerador a) Na fração 5 3 O número 5 é denominador O número 3 é antecedente a) Na razão 5 3 O número 5 é consequente Exemplo 1 A razão entre 20 e 50 é 5 2 50 20 = ; já a razão entre 50 e 20 é 5 2 50 20 = . Exemplo 2 Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão entre o número de rapazes e o número de moças é 4 3 24 18 = , o que signifca que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 7 3 42 18 = , o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes”. Razão entre grandezas de mesma espécie A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade. Exemplo Uma sala tem 18 m 2 . Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm 2 . Vamos calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala. Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade: Área da sala: 18 m 2 = 1 800 dm 2 Área do tapete: 384 dm 2 Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão: 75 16 1800 384 1800 384 2 2 = = dm dm Razão entre grandezas de espécies diferentes Exemplo 1 Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170. Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km Tempo gasto: 11h – 9h = 2h Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para isso: h km h km / 70 2 140 = A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média. Observe que: - as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes; - a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve acompanhar a razão. Didatismo e Conhecimento 21 MATEMÁTICA Exemplo 2 A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km 2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografa e Estatística (IBGE) para o ano de 1995. Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de habitantes por km 2 (hab./km 2 ): 2 / . 5 , 71 927286 66288000 km hab ≅ A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfca. A notação hab./km 2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro quadrado”) deve acompanhar a razão. Exemplo 3 Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina: l km l km / 47 , 10 8 76 , 83 ≅ A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio. A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve acompanhar a razão. Exemplo 4 Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho? Escala = 40 : 1 40 1 800 20 8 20 ou cm cm m cm oreal compriment onodesenho compriment = = = A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, chama-se Escala. Proporção A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção. Na proporção 10 6 5 3 = (lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios. Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. Exemplo 1 Na proporção 9 6 3 2 = , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18; e em 16 4 4 1 = , temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16. Exemplo 2 Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança. Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por: kg x kg gotas 12 2 5 = → x = 30 gotas Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois: p gotas kg gotas / 20 2 5 = → p = 8kg (nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três simples.) Propriedades da Proporção O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou não uma proporção. 9 12 3 4 e formam uma proporção, pois Produto dos extremos ¸ 36 9 . 4 = ¸ 36 12 . 3 Produto dos meios A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 10 14 5 7 10 4 10 5 2 5 4 10 2 5 = ⇒ + = ¹ ´ ¦ + ⇒ = ou 4 14 2 7 4 4 10 2 2 5 4 10 2 5 = ⇒ + = ¹ ´ ¦ + ⇒ = A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 8 2 4 1 8 6 8 4 3 4 6 8 3 4 = ⇒ − = ¹ ´ ¦ − ⇒ = ou 6 2 3 1 6 6 8 3 3 4 6 8 3 4 = ⇒ − = ¹ ´ ¦ − ⇒ = A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente. 8 12 10 15 8 12 2 8 3 12 2 3 8 12 = ⇒ = ¹ ´ ¦ + + ⇒ = ou 2 3 10 15 2 3 2 8 3 12 2 3 8 12 = ⇒ = ¹ ´ ¦ + + ⇒ = Didatismo e Conhecimento 22 MATEMÁTICA A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente. 15 3 10 2 15 3 5 15 1 3 5 1 15 3 = ⇒ = ¹ ´ ¦ − − ⇒ = ou 5 1 10 2 5 1 5 15 1 3 5 1 15 3 = ⇒ = ¹ ´ ¦ − − ⇒ = Exercícios 1. (ESPM-SP) Em um mapa verifca-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo de extensão que ela teria? 2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na confecção do mapa? 3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm³. Qual é a sua densidade? 4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso? 5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a densidade demográfca do estado de Tocantins? 6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim como 2 5 , determine a idade de cada uma. 7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de Determine o comprimento de cada uma das partes. 8. (UFGO) Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa. 9. (Ulbra–RS) Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de: a) 45 b) 81 c) 85 d) 181 e) 126 10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule esses números. Respostas 1) Resposta “1320 km”. Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade) *SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B 4cm 6cm O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm) 22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km. Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km. 2) Resposta “1: 7 000 000”. Solução: Dados: Comprimento do desenho: 10 cm Comprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000 000 cm A escala de 1: 7 000 000 signifca que: - 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real; - 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real; - 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real. 3) Resposta “8,75 kg/dm³”. Solução: De acordo com os dados do problema, temos: kg/dm³ Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico. 4) Resposta “75,5 km/h”. Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos: km/h Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora. 5) Resposta “4,15 hab./km² Solução: O problema nos oferece os seguintes dados: A hab./km² 6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”. Solução: A – V = 12 anos A = 12 + V 2 (12+V) = 5V Didatismo e Conhecimento 23 MATEMÁTICA 24 + 2V = 5V 5V – 2V = 24 3V = 24 V = V (Vera) = 8 A – 8 = 12 A = 12 + 8 A (Ângela) = 20 7) Resposta “24 cm; 54 cm”. Solução: x + y = 78 cm x = 78 - y 9 (78 - y) = 4y 702 – 9y = 4y 702 = 4y + 9y 13y = 702 y = y = 54cm x + 54 = 78 x = 78 - 54 x = 24 cm 8) Resposta “ ”. Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção existente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 2,25 cm. Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm. Portanto a sequência seria: (4...3... ... ...) e assim por diante. Onde a razão de proporção é ... e pode ser representada pela expressão: T i . P elevado à (n - 1) Onde: T i = termo inicial, neste caso: 4 P = proporção entre T i e o seguinte (razão), neste caso: n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4 Teremos: (T i = 4; P = ; n – 1 = 3) 4 . = 9) Resposta “E”. Solução: A = 81 litros 9T = 405 T = T = 45 A + T = ? 81 + 45 = 126 litros 10) Resposta “117 e 52”. Solução: x – y = 65 x = 65 + y 9y = 4 (65 + y) 9y = 260 + 4y 9y – 4y = 260 5y = 260 y = y = 52 x – 52 = 65 x = 65 + 52 x = 117 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA Regra de Três Simples Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples. Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km? Solução: O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha: Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x Didatismo e Conhecimento 24 MATEMÁTICA Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma fecha: Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma fecha na coluna “distância” no mesmo sentido da fecha da coluna “litros de álcool”: Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x mesmo sentido Armando a proporção pela orientação das fechas, temos: x 15 210 180 7 6 = 6x = 7 . 15 6x = 105 x = 6 105 x = 17,5 Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma fecha: Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fca reduzido à metade. Isso signifca que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma fecha em sentido contrário ao da fecha da coluna “tempo”: Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x sentidos contrários Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das fechas. Assim, temos: 3 4 60 80 4 = x 4x = 4 . 3 4x = 12 x = 4 12 x = 3 Resposta: Farei esse percurso em 3 h. Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso? Vamos representar pela letra x o tempo procurado. Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s). Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. Velocidade Tempo gasto para fazer o percurso 200 km/h 18 s 240 km/h x Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x. Daí temos: 200 . 18 = 240 . x 3 600 = 240x 240x = 3 600 x = 240 3600 x = 15 O corredor teria gasto 15 segundos no percurso. Regra de Três Composta O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta. Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças? Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma fecha: Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x. As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma fecha no mesmo sentido da fecha da coluna “dias”: Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x Mesmo sentido Didatismo e Conhecimento 25 MATEMÁTICA As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, o número de dias fca reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma fecha no sentido contrário ao da fecha da coluna “dias”: Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x Sentidos contrários Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é x 4 , com o produto das outras razões, obtidas segundo a orientação das fechas | . | \ | 300 160 . 8 6 : 5 1 15 8 1 2 300 160 . 8 6 4 = x 5 2 4 = x => 2x = 4 . 5 a x = 1 2 2 5 . 4 => x = 10 Resposta: Em 10 dias. Exercícios 1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas encheriam esse mesmo tanque? 2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min? 3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de comprimento e 5 palmos na largura. Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em palitos de fósforo? 4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria gasto no percurso? 5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. Quantos pacotes de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 sanduíches? 6. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? a) 315 b) 2 2520 c) 840 d) 105 e) 1 260 7. Numa gráfca, 7 máquinas de mesmo rendimento imprimem 50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas dessas máquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas restantes farão o mesmo serviço em: a) 3 horas e 10 minutos b) 3 horas c) 2 horas e 55 minutos d) 2 horas e 50 minutos e) 2 horas e 48 minutos 8. Funcionando 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria são produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se funcionarem 9 dias? 9. Um motociclista rodando 4 horas por dia, percorre em média 200 km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista vai percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia? 10. Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias. Respostas 1) Resposta “30min”. Solução: Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra de três é inversa: 5 tor. ------ 75min 2 tor. ------ x 5x = 2 . 75 = 5x = 150 = x = 2) Resposta “52 km”. Solução: Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a regra de três é inversa: 6h30min = 390min 5h15min = 315min 315min ------ 42km/h 390min ------ x 315x = 390 . 42 = 315x = 16380 = X = km/h. Didatismo e Conhecimento 26 MATEMÁTICA 3) Resposta “20 palitos de fósforo”. Solução: Levando os dados dado no enunciado temos: Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura. Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de largura. Portanto temos: Comprimento Largura 12 palmos 5 palmos 48 palitos X palitos Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da mesma forma na largura. As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos fazer: Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de fósforo de largura. 4) Resposta “18 segundos”. Solução: Levando em consideração os dados: Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20s Velocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ? Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e 200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs). Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela: Velocidade km/h Tempo (s) 180 20 200 x Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos: 180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 → Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso. 5) Resposta “5 pacotes”. Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos: Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63. Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105. Pacotes de Pães Sanduíches 3 63 x 105 Basta fazermos apenas isso: 63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 → Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma. 6) Resposta “D”. Solução: Em de ano foi pavimentada de estrada Pessoas estrada tempo 210 75 4 X 225 8 = = = x = x = 315 pessoas para o término 315 210 que já trabalham = 105 pessoas. 7) Resposta “E”. Solução: Primeiro descobrimos quanto cada máquina produz por minuto. Para isso temos que dividir: Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 máquinas juntas produzem (min) 5 . 59,524 = 297, 62. Portanto temos: 1 min --------------------- 297,62 x min --------------------- 50000 Fazendo a regra de 3 teremos: 297,62 . x = 50000 . 1 → 297,62x = 50000 → 168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos. 8) Resposta “840 peças”. Solução: Dados: 5 máquinas em 6 dias produzem 400 peças 7 máquinas em 9 dias produzem x peças. Organizando os dados no quadro temos: Didatismo e Conhecimento 27 MATEMÁTICA N˚ de Máquinas (A) N˚ de Máquinas (B) Número de Peças (C) 5 6 400 7 9 x Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas B e C são “diretamente proporcionais”. Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas A e C são “diretamente proporcionais”. Quando uma grandeza é “diretamente proporcional” a duas outras, a variação da primeira é diferentemente proporcional ao produto da variação das outras duas. De acordo com o quadro, temos: Resolvendo a proporção: 30 . x = 63 . 400 → 30x = 25200 → Logo, se as máquinas funcionarem 9 dias, serão produzidas 840 peças. 9) Resposta “4 dias”. Solução: Dados: 4 horas por dia, 200 km em 2 dias 5 horas por dia, 500 km em x dias Organizando um quadro temos: N˚ km (A) N˚ horas/dias (B) Número de dias (C) 200 4 2 500 5 x Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o número de horas que o motociclista roda por dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são “inversamente proporcionais”. Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o número de quilômetros percorridos, o número de dias dobrará, considerando que o motociclista rode o mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são “diretamente proporcionais”. Assim a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que expressam a grandeza B. A razão inversa de Daí, temos: 1000 . x = 2000 . 2 → 1000x = 4000 → . 10) Resposta “7260 kgs”. Solução: Ração Dias Bois 2420 8 2 x 12 4 JUROS SIMPLES Juros Simples Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta). - Os juros são representados pela letra j. - O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C. - O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t. - A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada para calcular juros. Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no fnal da aplicação. Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade: Taxa anual --------------------- tempo em anos Taxa mensal-------------------- tempo em meses Taxa diária---------------------- tempo em dias Consideremos, como exemplo, o seguinte problema: Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 3. 000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? Resolução: - Capital aplicado (C): R$ 3.000,00 - Tempo de aplicação (t): 4 meses - Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês) Fazendo o cálculo, mês a mês: - No fnal do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$ 3.000,00 = R$ 60,00 Didatismo e Conhecimento 28 MATEMÁTICA - No fnal do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 + R$ 60,00 = R$ 120,00 - No fnal do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 60,00 = R$ 180,00 - No fnal do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00 + R$ 60,00 = R$ 240,00 Desse modo, no fnal da aplicação, deverão ser pagos R$ 240,00 de juros. Fazendo o cálculo, período a período: - No fnal do 1º período, os juros serão: i.C - No fnal do 2º período, os juros serão: i.C + i.C - No fnal do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C ----------------------------------------------------------------------- - No fnal do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C Portanto, temos: J = C . i . t Observações: 1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor. M=C+ j Exemplo A que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para render, em 3 anos, R$ 28.800,00 de juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) C = R$ 20.000,00 t = 3 anos j = R$ 28.800,00 i = ? (ao ano) j = 100 . . t i C 28 800 = 100 3 . .. 20000 i 28 800 = 600 . i i = 600 800 . 28 i = 48 Resposta: 48% ao ano. 1. Uma Loja de eletrodomésticos apresenta a seguinte oferta para a venda de um DVD player: À vista R$ 539,00 ou 12x 63,60 = R$ 763,20. De quanto será o acréscimo sobre o preço à vista se o produto for comprado em 12 vezes? 2. Calcule o juros simples gerado por um capital de R$ 2 500,00, quando aplicado durante 8 meses a uma taxa de 3,5% a.m. 3. Uma aplicação fnanceira, feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1 920,00 de juro. Qual foi a quantia aplicada? 4. Um capital de $ 2.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se: a) Juros b) Montante. 5. Calcular o juro simples referente a um capital de $ 2.400,00 nas seguintes condições: Taxa de Juros Prazo a) 21% a.a. 1 ano b) 21% a.a. 3 anos 6. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00, a juros compostos, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2,5% a.m.? 7. Calcule o montante e os juros da aplicação abaixo, considerando o regime de juros compostos: Capital Taxa de Juros Prazo de Antecipação R$ 20.000,00 3,0% a.m. 7 meses 8. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? 9. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? 10. Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano. Respostas 1) Resposta “R$ 224,20”. Solução: Basta apenas tirar o valor à prazo sobre o à vista: R$ 763,20 – R$ 539,00 = R$ 224,20. 2) Resposta “R$ 700,00”. Solução: Dados: Capital (quantia aplicada): R$ 2 500,00 Taxa de juros: 3,5 a.m. Tempo de aplicação: 8 meses Juro: ? Representando o juro por x, podemos ter: x = (3,5% de 2 500) . 8 x = (0,035 . 2 500) . 8 x = 700 Conclui-se que o juro é de R$ 700,00. 3) Resposta “R$ 32 000,00”. Solução: Dados: Capital (quantia plicada) ? Taxa de juro: 3% a.m. Didatismo e Conhecimento 29 MATEMÁTICA Tempo de aplicação: 2 meses Juro: R$ 1 920,00 Calculando a quantia que a aplicação rendeu juro ao mês: 1 920 2 = 960 Representando o capital aplicado por x, temos: 3% de x dá 960 0,03 . x = 960 0,03x = 960 x = Logo, o capital aplicado foi de R$ 32 000,00. 4) Resposta “Juros: R$ 180,00; Montante R$ 4 180,00”. Solução: a → J = Cin J = 4000 {[(18/100)/12]x3} J = 4000 {[0,18/12]x3} J = 4000 {0,015 x 3} J = 4000 x 0,045 J = 180,00 B → M = C + J M = 4000 + 180 M = 4.180,00 5) Resposta “ R$ 504,00; R$ 1 512,00 ” Solução: a → J = Cin J = 2400 [(21/100)x1] J = 2400 [0,21 x 1] J = 2400 x 0,21 J = 504,00 b → J = Cin J = 2400 [(21/100)x3] J = 2400 [0,21x3] J = 2400 0,63 J = 1.512,00 6) Resposta “17 661,01”. Solução: Dados: C: 16000 i: 2,5% a.m. n: 4 meses. ( ) | | | | 17.661,01 = → = → = → + = → | | . | \ | + = ( ¸ ( ¸ + = M 1 1,10381289 x 16000 M 4 1,025 16000 M 4 0,025 1 16000 M 4 100 2,5 1 16000 M n i 1 C M 7) Resposta “24 597,48”. Solução: Dados: C: 20000 i: 3,0% a.m. n: 7 meses. ( ) | | | | 24.597,48 = → = → = → + = → | | . | \ | + = ( ¸ ( ¸ + = M 5 1,22987368 x 20000 M 7 1,03 20000 M 7 0,03 1 20000 M 7 100 3 1 20000 M n i 1 C M Didatismo e Conhecimento 30 MATEMÁTICA 8) Resposta “R$ 238,73”. Solução: Dados: C = R$ 500 i = 5% = 0,05 n = 8 (as capitalizações são mensais) M = C . (1 + i) n => M = 500 × (1,05) 8 => M = R$ 738,73 O valor dos juros será: J = 738,73 – 500 J = R$ 238,73 9) Resposta “ R$ 400,00”. Solução: M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 (as capitalizações são trimestrais) M = C × (1 + i) n 477,62 = C × (1,03) 6 C = 19405 , 1 62 , 477 C = R$ 400,00. 10) Resposta “R$ 2.693,78”. Solução: Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitali- zação é mensal. A taxa efetva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês. C = R$ 1.500 i = 5% = 0,05 n = 12 M = C . (1 + i) n M = 1.500 × (1,05) 12 M = 1.500 × 1,79586 M = R$ 2.693,78 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA Noção Geral de Média Considere um conjunto numérico A = {x 1 ; x 2 ; x 3 ; ...; x n } e efetue uma certa operação com todos os elementos de A. Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o resultado da operação citada seja o mesmo diz-se, por defnição, que x será a média dos elementos de A relativa a essa operação. Média Aritmética Defnição A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética. Cálculo da média aritmética Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x 1 ; x 2 ; x 3 ; ...; x n }, então, por defnição: x + x + x + ... + x = x 1 ; x 2 ; x 3 ; ...; x n n . x = x 1 ; x 2 ; x 3 ; ...; x n n parcelas e, portanto, Conclusão A média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus elementos, dividida por n. Exemplo Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13. Resolução Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim: A média aritmética é 7. Média Aritmética Ponderada Defnição A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada. Cálculo da média aritmética ponderada Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x 1 ; x 2 ; x 3 ; ...; x n } com “pesos” P 1 ; P 2 ; P 3 ; ...; P n , respectivamente, então, por defnição: P 1 . x + P 2 . x + P 3 . x + ... + P n . x = = P 1 . x 1 + P 2 . x 2 + P 3 . x 3 + ... + P n . x n (P 1 + P 2 + P 3 + ... + P n ) . x = = P 1 . x 1 + P 2 . x 2 + P 3 . x 3 + ... + P n . x n e, portanto, Observe que se P 1 = P 2 = P 3 = ... = P n = 1, então: que é a média aritmética simples. Conclusão A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos. Exemplo Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, respectivamente. Didatismo e Conhecimento 31 MATEMÁTICA Resolução Se x for a média aritmética ponderada, então: A média aritmética ponderada é 18. Observação: A palavra média, sem especifcar se é aritmética, deve ser entendida como média aritmética. Exercícios 1. Determine a média aritmética entre 2 e 8. 2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10. 3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9? 4. A média aritmética simples de 4 números pares distin- tos, pertences ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter? 5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos: a) 15; 48; 36 b) 80; 71; 95; 100 c) 59; 84; 37; 62; 10 d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5? 7. Calcular a média ponderada entre 3, 6 e 8 para os res- pectivos pesos 5 , 3 e 2. 8. Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 alunos possuem 15 anos e oito deles 16 anos de idade. Qual será a idade média dessa turma? 9. Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada: Profssionais → Quantidade → Salário Serventes → 20 profssionais → R$ 320,00 Técnicos → 10 profssionais → R$ 840,00 Engenheiros → 5 profssionais → R$ 1.600,00 10. Calcule a média ponderada entre 5, 10 e 15 para os respectivos pesos 10, 5 e 20. Respostas 1) Resposta “5”. Solução: M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5. 2) Resposta “6”. Solução: M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 6. 3) Resposta “10”. Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos números e dividi-los por quatro, que é a quantidade de números, portanto: Logo, a média aritmética é 10. 4) Resposta “164”. Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao diminuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a mesma média. Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir. Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pares, distintos e não nulos são: 2, 4 e 6. Identifcando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação: Solucionando-a temos: Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164. 5) Solução: a) (15 + 48 + 36)/3 = 99/3 = 33 b) (80 + 71 + 95 + 100)/4= 346/4 = 86,5 c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5= = 252/5 = 50,4 d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9= 45/9 = = 5 6) Resposta “22”. Solução: Neste caso a solução consiste em multiplicarmos cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos: Logo, a média aritmética ponderada é 22. Didatismo e Conhecimento 32 MATEMÁTICA 7) Resposta “4,9”. Solução: 8) Resposta “ Solução: 9) Resposta “ Solução: Estamos diante de um problema de média aritmética ponderada, onde as quantidades de profssionais serão os pesos. E com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$ 840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos pesos 20 , 10 e 5. Portanto: 10) Resposta “10”. Solução: Média Geométrica Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a raiz de índice n deste produto. Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio aritmético deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6. Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n. Neste exemplo teríamos a seguinte solução: Utilidades da Média Geométrica Progressão Geométrica Uma das utilizações deste tipo de média é na defnição de uma progressão geométrica que diz que em toda PG., qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente: Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma PG.: 7, 21 e 63. Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63. Vejamos: Variações Percentuais em Sequência Outra utilização para este tipo de média é quando estamos trabalhando com variações percentuais em sequência. Exemplo Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria? Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais. A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores: Didatismo e Conhecimento 33 MATEMÁTICA Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 8741% de aumento. Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12, 8741%, no fnal teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%. Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos temos: Salário Inicial + % Informado Salário fnal Salário inicial + % médio Salário fnal R$ 1.000,00 20% R$ 1.200,00 R$ 1.000,00 12, 8417 R$ 1.128,74 R$ 1.200,00 12% R$ 1.334,00 R$ 1.287,74 12, 8417 R$ 1.274,06 R$ 1.334,00 7% R$ 1.438,00 R$ 1.274,06 12, 8417 R$ 1.438,08 Observe que o resultado fnal de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da média geométrica, os valores fnais seriam distintos, pois a média aritmética de 13% resultaria em um salário fnal de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média geométrica. Cálculo da Média Geométrica Em uma fórmula: a média geométrica de a 1 , a 2 , ..., a n é A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a defnição da média aritmética geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor intermediário às duas. A média geométrica é também a média aritmética harmônica no sentido que, se duas sequências (a n ) e (h n ) são defnidas: E então a n e h n convergem para a média geométrica de x e y. Cálculo da Media Geométrica Triangular Bom primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos quadrados catetos e dividimos pela hipotenusa e no fnal pegamos a soma dos ângulos subtraindo o que esta entre os catetos e dividimos por PI(3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos triângulos. Exemplo A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por: G = R 4 [12 ×64×126×345] = 76,013 Aplicação Prática Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b = 64. A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada. G = R[a × b] = R[64] = 8 Resposta É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm. Interpretação gráfca A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples. Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta. Didatismo e Conhecimento 34 MATEMÁTICA Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC. Exercícios 1. Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8. 2. Determine a média geométrica entre 1, 2 e 4. 3. Determine a média geométrica entre dois números sa- bendo que a média aritmética e a média harmônica entre eles são, respectivamente, iguais a 4 e 9. 4. A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo multiplicar um desses números para que a média aumente 2 unidades ? 5. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32? 6. Dados dois números quaisquer, a média aritmética sim- ples e a média geométrica deles são respectivamente 20 e 20,5. Quais são estes dois números? 7. A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles juntarmos o número 48, qual será a média geométrica entre estes três números? 8. Calcule a média geométrica entre 4 e 9. 9. Calcule a média geométrica entre 3, 3, 9 e 81 10. Calcule a média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 234. Respostas 1) Resposta “4”. Solução: 2) Resposta “2”. Solução: Observação: O termo média proporcional deve ser, apenas, utilizado para a média geométrica entre dois números. 3) Resposta “6”. Solução: Aplicando a relação: g 2 = a.h, teremos: g 2 = 4.9 → g 2 = 36 → g = 6 → MG. (4, 9) = 6. 4) Resposta” ”. Solução: Se a média geométrica entre 3 números é 4, podemos escrever: Se multiplicarmos um deles por m, a nova média será: e como x . y . z = 64 → 64 . m = 216 → 5) Resposta “8”. Solução: Se dispusermos de uma calculadora científca, este exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto fnal, a raiz de índice cinco, pois se tratam de cinco números: Se não dispusermos de uma calculadora científca esta solução fcaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na difculdade em realizarmos as multiplicações? Repare que todos os números são potência de 2, podemos então escrever: Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base, somando-se os expoentes temos: Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resolvendo a potência resultante: Logo, a média geométrica deste conjunto é 8. 6) Resposta “16, 25”. Solução: Chamemos de a e b estes dois números. A média aritmética deles pode ser expressa como: Já média geométrica pode ser expressa como: Vamos isolar a na primeira equação: Didatismo e Conhecimento 35 MATEMÁTICA Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é necessário que fquemos com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir a por 41 - b: Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau: Solucionando a mesma temos: O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25. É de se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual a 25 e quando b for igual a 25, que a seja igual a 16. Vamos conferir. Sabemos que , portanto atribuindo a b um de seus possíveis valores, iremos encontrar o valor de a. Para b = 16 temos: Para b = 25 temos: Logo, os dois números são 16, 25. 7) Resposta “12”. Solução: Se chamarmos de P o produto destes dois números, a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte equação: Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, iremos obter o valor numérico do produto destes dois números: Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual 36, resta-nos multiplicá-lo por 48 e extraímos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a média desejada: Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos a decomposição dos números 36 e 48 em fatores primos. Acesse a página decomposição de um número natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto. Logo, ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica passará a ser 12. Didatismo e Conhecimento 36 MATEMÁTICA 8) Resposta “6”. Solução: 9) Resposta “9”. Solução: 10) Resposta “6”. Solução: A POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL E REAL O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma m/n, onde m é um número inteiro qualquer e n um número inteiro qualquer diferente de zero. É indicado pela letra maiúscula Q, e representado da seguinte forma: De modo geral, baseando-se na propriedade fundamental, temos: ap .aq = ap+q , deste modo, fazendo p = 1/n , teremos : Ou seja, a 1/n é o número real positivo cuja n-ésima potência é igual a “a”. Pela defnição de raiz, este número é , a raiz e-nésima de “a”. Logo: a 1/n = , com “a” real positivo e n = {2,3,4...}. Vejamos alguns exemplos: Do mesmo modo anterior, preservando a propriedade fundamental, e fazendo p = m/n, teremos: Ou seja, a m/n é o número real positivo cuja n-ésima potência é igual a a m . Pela defnição de raiz, este número é , a raiz e-nésima de a m . Logo: a m/n = , com “a” real positivo e m,n = {2,3,4...}. Vejamos alguns exemplos: CORRESPONDÊNCIA ENTRE OS NÚMEROS REAIS E OS PONTOS DE UMA RETA O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infnita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta. Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infnito. Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p! Propriedade O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, R tem a seguinte propriedade: Se R for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B. Ao conjunto formado pelos números Irracionais e pelos números Racionais chamamos de conjunto dos números Reais. Ao unirmos o conjunto dos números Irracionais com o conjunto dos números Racionais, formando o conjunto dos números Reais, todas as distâncias representadas por eles sobre uma reta preenchem-na por completo; isto é, ocupam todos os seus pontos. Por isso, essa reta é denominada reta Real. Didatismo e Conhecimento 37 MATEMÁTICA Podemos concluir que na representação dos números Reais sobre uma reta, dados uma origem e uma unidade, a cada ponto da reta corresponde um número Real e a cada número Real corresponde um ponto na reta. Ordenação dos números Reais A representação dos números Reais permite defnir uma relação de ordem entre eles. Os números Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0 Propriedades da relação de ordem - Refexiva: a ≤ a - Transitiva: a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c - Anti-simétrica: a ≤ b e b ≤ a → a = b - Ordem total: a < b ou b < a ou a = b Expressão aproximada dos números Reais Os números Irracionais possuem infnitos algarismos decimais não-periódicos. As operações com esta classe de números sempre produzem erros quando não se utilizam todos os algarismos decimais. Por outro lado, é impossível utilizar todos eles nos cálculos. Por isso, somos obrigados a usar aproximações, isto é, cortamos o decimal em algum lugar e desprezamos os algarismos restantes. Os algarismos escolhidos serão uma aproximação do número Real. Observe como tomamos a aproximação de e do número nas tabelas. Aproximação por Falta Excesso Erro menor que 1 unidade 1 3 2 4 1 décimo 1,4 3,1 1,5 3,2 1 centésimo 1,41 3,14 1,42 3,15 1 milésimo 1,414 3,141 1,415 3,142 1 décimo de milésimo 1,4142 3,1415 1,4134 3,1416 Operações com números Reais Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de intervalos fxos que determinam um número Real. É assim que vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações úteis para operar com números Reais: - Vamos tomar a aproximação por falta. - Se quisermos ter uma idéia do erro cometido, escolhemos o mesmo número de casas decimais em ambos os números. - Se utilizamos uma calculadora, devemos usar a aproximação máxima admitida pela máquina (o maior número de casas decimais). - Quando operamos com números Reais, devemos fazer constar o erro de aproximação ou o número de casas decimais. - É importante adquirirmos a idéia de aproximação em função da necessidade. Por exemplo, para desenhar o projeto de uma casa, basta tomar medidas com um erro de centésimo. - Em geral, para obter uma aproximação de n casas decimais, devemos trabalhar com números Reais aproximados, isto é, com n + 1 casas decimais. Para colocar em prática o que foi exposto, vamos fazer as quatro operações indicadas: adição, subtração, multiplicação e divisão com dois números Irracionais. Valor Absoluto Como vimos, o erro pode ser: - Por excesso: neste caso, consideramos o erro positivo. - Por falta: neste caso, consideramos o erro negativo. Quando o erro é dado sem sinal, diz-se que está dado em valor absoluto. O valor absoluto de um número a é designado por |a| e coincide com o número positivo, se for positivo, e com seu oposto, se for negativo. Didatismo e Conhecimento 38 MATEMÁTICA Exemplo: Um livro nos custou 8,50 reais. Pagamos com uma nota de 10 reais. Se nos devolve 1,60 real de troco, o vendedor cometeu um erro de +10 centavos. Ao contrário, se nos devolve 1,40 real, o erro cometido é de ¬10 centavos. CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS: NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS - INTERVALOS - PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES Operação com Conjuntos Em algumas situações, símbolos matemáticos são usados para facilitar a compreensão e o estudo de temas mais teóricos, inclusive de outras áreas, como a Lógica Matemática. Os diagramas de Venn, desenvolvidos na Teoria dos Conjuntos, são usados para facilitar o estudo de afrmações ou sentenças lógicas argumentativas. Ao afrmar, por exemplo, que toda banana é uma fruta, mas nem toda fruta é uma banana, podemos usar a seguinte representação com diagramas de Venn. Estamos, com isso, mostrando que o conjunto da banana está contido no conjunto das frutas e que o conjunto das frutas contém o conjunto banana. Podemos, ainda, representar que banana Ì frutas e que frutas É banana. Em termos de Lógica Matemática, podemos afrmar de algumas maneiras, como: “Toda banana é um fruta” ou “No conjunto das frutas, existe o conjunto das bananas”. Tipos de relação entre Conjuntos Existem, fundamentalmente, três situações possíveis que relacionam dois tipos de conjunto numérico ou não e relacionam também: I – Um conjunto A contém o conjunto B ou o conjunto B está contido no conjunto A⇒(A⊃B)v(B⊂A). II – Os conjuntos A e B possuem uma parte de seus elementos em comum ⇒ (A ∩ B) ≠ ∅. III – Os conjuntos A e B não possuem uma parte de seus elementos em comum ⇒ (A ∩ B) = ∅. Observações: 1. Quando estudamos mais de dois conjuntos, podemos considerar os mesmos casos anteriores: os conjuntos estão contidos em outros conjuntos (ou apenas em um deles), os conjuntos possuem elementos em comum ou todos os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum. 2. Não nos interessa estudar o caso de dois conjuntos serem coincidentes, apesar de serem descritos de formas diferentes, por exemplo: A = conjunto dos números pares. B = conjunto dos números escritos na forma 2n. ∴A=B. Atenção: Os diagramas de Venn servem para auxiliar a visualização de afrmações, em que se pode constatar se um grupo de elementos faz parte do outro, se está contido em outro grupo de elementos ou se não existe nenhuma relação entre os referidos grupos de elementos. Conjunto contido em outro Conjunto O conjunto B está contido no conjunto A completamente. E não podemos dizer o mesmo da situação inversa: o conjunto A está contido no conjunto B. Exemplos: 1. Toda televisão é um eletrodoméstico, mas nem todo eletrodoméstico é uma televisão. 2. O cigarro é uma droga, mas nem toda droga é cigarro. 3. Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural. Didatismo e Conhecimento 39 MATEMÁTICA Atenção: Existem proposições ou sentenças que indicam elementos em comum. Nos diagramas de Venn, esses elementos em comum são representados como a intesecção dos conjuntos ou proposições. Por exemplo, na proposição “Conjuntos numéricos é uma disciplina da Matemática cobrada tanto em provas de Raciocínio Lógico quanto em provas de Matemática”, temos que o “elemento” Conjuntos Numéricos é a intersecção dos dois conjuntos – Raciocínio Lógico e Matemática. Conjuntos que possuem uma parte dos elementos em comum Os conjuntos A e B possuem alguns e somente alguns elementos em comum. Em termos de Lógica Matemática, podemos dizer que algum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa. Exemplo: Motocicletas e automóveis possuem rodas: as primeiras possuem duas rodas e os últimos possuem quatro rodas. Observação: Existem vários elementos comuns, como as rodas. Atenção: Algumas proposições podem conter informações de dois ou mais conjuntos numéricos. Essas informações podem ser representadas por meio de diagramas de Venn. Os conjuntos que não possuem elementos em comum Os conjuntos A e B não possuem nenhum elemento em comum. Em termos da Lógica, podemos afrmar que nenhum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa. Exemplo: Indicar o diagrama que melhor representa a relação entre os conjuntos citados: Fuscas, carros, rios Como todo fusca é um carro e não existe relação nenhuma entre carros e rios, o diagrama que melhor representa a situação é o primeiro, pois o conjunto de fuças está contido no conjunto de carros. Atenção: Existem proposições que podem ser consideradas exclusivas, isto é, não possuem elemento nenhum em comum. Por exemplo, na seguinte proposição: “Ronaldo é um grande jogador de futebol e Roberto Carlos é um fantástico cantor nacional”. Teoria dos Conjuntos Para desenvolvermos o estudo da Teoria dos Conjuntos, é necessário partir de noções elementares que são admitidas sem defnição. Essas noções elementares são chamadas de conceitos primitivos. Associamos à idéia de conjunto às de grupo, coleção ou classe e, à idéia de elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto. Exemplos 1. P = Conjunto dos números primos entre 1 e 9. Elementos: 2, 3, 5, 7. 2. N = Conjunto dos algarismos do número 4.123. Elementos: 1, 2, 3, 4. Associamos à idéia de constituir ao conceito de pertencer. Dizemos, então, que o elemento pertence ao conjunto. Os símbolos ∈ e ∉são usados para relacionar elementos com conjuntos. ∈ = pertence. ∉ = não pertence. Exemplos Considerando os conjuntos dos exemplos anteriores: 1. 6 ∉ P. 2. 2 ∈ N. Representação de Conjuntos Um conjunto de elementos pode ser representado de três formas. Vejamos o caso do conjunto M, formado por janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro. a) pela enumeração de seus elementos: M = {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}. b) por meio de uma propriedade característica de seus elementos: M = {m ∈ M|m é um mês do ano que possui 31 dias}. c) grafcamente, por meio de diagramas: Atenção: Quando representamos um conjunto por enumeração, escrevemos seus elementos entre chaves, separando- os por vírgula sem repetição. Exemplo A = conjunto das vogais do alfabeto. A={i,a,o,e,u}. Didatismo e Conhecimento 40 MATEMÁTICA Conjuntos Finitos e Conjuntos Infnitos Um conjunto pode ser caracterizado em função do número de elementos. Denominamos n(A) o número de elementos distinto de um conjunto A qualquer. Com isso, um conjunto pode ser caracterizado conforme a quantidade de elementos distintos que a ele pertence. I – Se um conjunto não possuir elementos (n(A)=0), será chamado de conjunto vazio. II – Quando o conjunto tiver apenas um elemento (n(A)=1), será chamado de conjunto unitário. De acordo com n(A), podemos classifcar os conjuntos como fnitos ou infnitos. Exemplos 1. { } 27 , 10 , 2 , 10 − = A é um conjunto fnito e n(A)=4. 2. { } 2 , 8 | < > ∈ = x x B x B não possui elementos: n(B)=0. B é um conjunto vazio. 3. O conjunto dos números naturais, { } ,... 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 N , é um conjunto infnito. Não há como determinar seu n(N). Para desenvolvermos um estudo de conjuntos, é necessário admitir a existência de um conjunto ao qual pertencem os elementos envolvidos nesse estudo. A esse conjunto denominamos conjunto universo. Esse conjunto pode ser fnito ou infnito e é simbolizado por U. Exemplo Considerando 0 6 3 = + x e { } ,... 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = U , temos: 2 3 6 6 3 − = ⇒ − = ⇒ − = x x x ∴ Como , 2 U ∈ − então = S ∅ Atenção: Conjuntos iguais: dois conjuntos são considerados iguais se e somente se possuem os mesmos elementos. { } 4 , 2 , 1 = A e { } 4 | de divisor é x B x B ∈ = possuem os mesmos elementos: os conjuntos A e B são iguais ⇒ A = B. Inclusão de Conjuntos Se todos os elementos de um conjunto A também pertencem a um conjunto B, dizemos que A está contido em B, ou ainda que A é subconjunto de B. Notação ( ) B x A x B A ∈ ⇒ ∈ ∀ ⇔ ⊂ Signifca dizer que o conjunto A está contido no conjunto B se e somente e todo elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B. Exemplo Dados os conjuntos: { } o t g a A , , , = { } o t a g B , , , = Todo elemento do conjunto A é elemento do conjunto B e todo elemento do conjunto B pertence ao conjunto A. Logo: A ⊂ B e B ⊂ A. Isso ocorre sempre que temos conjuntos iguais e equivale a dizer que todo conjunto será contido em si mesmo. Atenção: Inclusão de conjuntos: se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B, ou que A não é subconjunto de B. Notação: B A ⊄ . A B Operação entre Conjuntos União Chamamos de união de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou B. A∪B={x|x ∈ A ou x ∈ B}. Exemplo 1. { } 4 , 3 , 2 , 1 = A e { } 9 , 8 , 7 = B { } 9 , 8 , 7 , 4 , 3 , 2 , 1 = ∪B A 2. { } par é x x A | = e { } 6 , 4 , 2 = B A B A = ∪ Interseção Chamamos de intersecção de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e a B. A ∩ B={x|x ∈ A e x ∈ B}. Exemplos 1. { } 9 , 7 , 5 , 3 , 1 = A e { } 8 , 6 , 4 , 2 = B = ∩B A ∅ Didatismo e Conhecimento 41 MATEMÁTICA Atenção: Quando a intersecção entre dois conjuntos é o conjunto vazio, os conjuntos são disjuntos. Observação: Número de elementos do conjunto União. É possível estabelecer uma relação entre o número de elementos de uma intersecção e o da união de conjuntos: n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B). Diferença Dados dois conjuntos A e B, chamamos de diferença A – B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A-B={x|x∈A e x∉B}. Exemplos 1. { } 5 , 3 , 2 = A e { } 7 , 6 , 4 = B A B A = − 2. { } d c b a A , , , = e { } f e d c B , , , = } , { b a B A = − Complementar Quando dois conjuntos A e B são tais que A ⊂ B, dá-se o nome de complementar de A em B à diferença B – A. No diagrama a seguir, temos: A B O conjunto A está contido no conjunto B. Com isso, a região que fca entre o conjunto B e o conjunto A é defnida como complementar de A em relação ao conjunto B e é escrita como: A B C A B − = Exemplo 1. { } 114 , 113 = A e { } 114 , 113 , 112 , 111 = B { } 112 , 111 = − = A B C A B Conjunto Diferença Propriedades: 1) = − A A ∅ 2) − A ∅ A = 3) = − ⇒ ⊂ A B A B ∅ 4) A B B A B A − ≠ − ⇒ ≠ Exercícios 1. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre: - 20 alunos praticam vôlei e basquete. - 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete. - 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. - o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número de alunos que praticam só vôlei. - 17 alunos praticam futebol e vôlei. - 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a) 93 b) 110 c) 103 d) 99 e) 114 2. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos dessa Filarmônica tocam instrumentos diferentes dos dois citados? a) 340 b) 280 c) 40 d) 160 e) 10 3. Numa pesquisa, verifcou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas? a) 220 b) 240 c) 280 d) 300 e) 340 4. Em uma entrevista de mercado, verifcou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C? a) 1.430 b) 1.450 c) 1.500 d) 1.520 e) 1.600 5. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classifcado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o Didatismo e Conhecimento 42 MATEMÁTICA antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O? a) 50 b) 52 c) 59 d) 63 e) 65 6. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% lêem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que lêem ambos os jornais. a) 40% b) 45% c) 50% d) 60% e) 65% 7. Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Determine o número de homens que não jogam xadrez. a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 8. Analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verifcou-se que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? a) 30 b) 40 c) 46 d) 53 e) 60 9. Numa escola de apenas 800 alunos, é sabido que 200 deles gostam de pagode, 300 gostam de rock e 130, de pagode e rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock? a) 430 b) 560 c) 670 d) 730 e) 800 10. Em um grupo de 160 estudantes, 60% assistem a aulas de francês e 40% assistem a aulas de inglês, mas não às de francês. Dos que assistem a aulas de francês, 25% também assistem a aulas de inglês. O número de estudantes, do grupo de 160, que assistem a aulas de inglês é: a) 35 b) 55 c) 72 d) 88 e) 95 Respostas 1) Resposta “D”. Solução: n(FeB)=45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV)=15 n(FeV)=17 com n(FeBeV)=15 → n(FeV - B)=2 n(F)= n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) +n(FeBeV) 60= n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F)=13 n(sóF)=n(sóV)= 13 n(B)= n(só B) + n(BeV)+ n(BeF-V) --> n(só B)= 65- 20 - 30= 15 n(nem F nem B nem V)= n(nem F nem V) - n(solo B) = 21- 15 =6 Total = n(B) + n(só F)+ n(só V) + n(Fe V - B) + n(nem FnemBnemV) = 65+ 13+ 13+ 2+ 6 = 99. 2) Respostas “D”. Solução: Sopro Corda 180 60 100 Total de 340 500 – 340 = 160. 3) Respostas “E”. Solução: A B 80 20 130 + 110 Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam lêem os dois. Lêem somente A: 100 – 20 = 80 Lêem somente B: 150 – 20 = 130 Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas. 4) Respostas “D”. Solução: A B 1200 320 480 Somente B: 800 – 320 = 480 Didatismo e Conhecimento 43 MATEMÁTICA Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520. 5) Respostas “C”. Solução: A B O 26 14 21 + 59 Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21. Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas. 6) Respostas “A”. Solução: - Jornal A → 0,8 – x - Jornal B → 0,6 – x - Intersecção → x Então fca: (0,8 - x) + (0,6 - x) + x = 1 - x + 1,4 = 1 - x = - 0,4 x = 0,4. - Resposta “40% dos alunos lêem ambos os jornais”. 7) Respostas “C”. Solução: 11 jogam xadrez e 03 são mulheres, então sobram 08 homens que jogam xadrez. Se 31 são homens ou jogam xadrez, menos 11 que jogam xadrez sobram: 20 homens. 8) Respostas “C”. Solução: Imagine como um conjunto: dentro disso.. tem 68 que tomou a de sabin.. e 16 que não tomou dentro disso.. tem 50 que tomou a de sarampo.. e 34 que não tomou e 12 não foi vacinada..... e 72 receberam alguma vacina... Então nosso grupo vai para 72. Se 12 não tomou nada sobra 72.. Então dentro de 72 teve, 50 que tomou a de sarampo e sobra 22... e 68 que tomou a sabin e 4 que não tomou a sabin. então o que acontece.. pode ser, que as 4 que não tomou sabin, tenha tomado a sarampo.. Então não podemos simplesmente fazer um menos o outro. então quem realmente tomou? Imagine assim: um número de crianças ordenadas 1 as 2 as 3 as 4 as 5 as 6 as ... as 22 sr as ... sr as 68 sr as 69 sr 70 sr 71 sr 72 sr enxergou a solução? é a intersecção dos grupos são as crianças entre 22 e 68 = 68 - 22 = 46 ou seja, 84 -12 tira as que não tomou nada = 72 72 - 50 = 22 72 - 68 = 4 72 – 22 – 4 = 46. 9) Respostas “A”. Solução: 200 - 30 = 70 deles gostam só de pagode; 300 - 130 = 170 deles gostam só de rock e 130 de pagode e de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock 800 - 70 - 170 - 130 = 800 - 370 = 430 alunos não gostam nem de pagode nem de rock. 10) Resposta “D”. Solução: Dos 160 estudantes 60% assistem aulas de francês: 96 alunos Dos 160 estudantes 40% assistem a aulas de inglês mas não as de francês: 64 alunos Dos que assistem a aulas de francês, 25% também assistem a aulas de inglês: 24 alunos O número de estudantes, do grupo de 160 estudantes, que assistem a aulas de inglês é 88. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Podemos dizer que módulo é o mesmo que distância de um número real ao número zero, pois o módulo de número real surgiu da necessidade de medir a distância de um número negativo ao zero. Ao medirmos a distância de um número negativo qualquer ao zero percebe-se que a distância fca negativa e como não é usual dizer que uma distância ou comprimento é negativo foi criado o módulo de número real que torna o valor positivo ou nulo. Didatismo e Conhecimento 44 MATEMÁTICA Assim, podemos dizer que o módulo de um número real irá seguir duas opções: - O módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. - O módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo. A representação de um módulo ou valor absoluto de um número real é feito por duas barras paralelas. Veja o resumo da defnição de módulo de um número real: |x| = x, se x ≥ 0 -x, se x < 0 Veja alguns exemplos de como calcular módulo ou valor absoluto de números reais. |+4| = 4 |-3| = - (-3) = 3 |10 – 6 | = |+4| = 4 |-1 – 3| = |-4| = - (-4) = 4 |-1| + |5| - |6| = -(-1) + 5 – 6 = 1 + 5 - 6 = 6 – 6 = 0 - | -8| = -[-(-8)] = - 8 Veja alguns exemplos de como encontrar o módulo de valores desconhecidos. |x + 2| nesse caso teremos duas opções, pois não sabemos o valor da incógnita x. Assim, seguimos a defnição: x + 2, se x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ -2 - (x + 2), se x + 2 < 0, ou seja, x < -2 |2x – 10| 2x – 10, se 2x – 10 ≥ 0, ou seja, 2x ≥ 10 → x ≥ 5 -(2x – 10), se 2x – 10 < 0, ou seja, 2x < 10 → x < 5 |x 2 – 9| x 2 – 9, se x 2 – 9 ≥ 0 x 2 – 9 ≥ 0 x 2 ≥ 9 x ≥ 3 ou x ≤ -3 - (x 2 – 9) , se x 2 – 9 < 0 x 2 – 9 < 0 x 2 < 9 -3 < x < 3 Concluímos que o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. FUNÇÕES RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Considere a seguinte situação: Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os ingredientes necessários são: 3 ovos 1 lata de leite condensado 1 xícara de leite 2 colheres das de sopa de farinha de trigo 1 colher das de sobremesa de fermento em pó 1 pacote de coco ralado 1 xícara de queijo ralado 1 colher das de sopa de manteiga Veja que: - Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4 colheres de farinha; - Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para 6 colheres de farinha; - Para se fazerem 4 receitas seriam usados 12 ovos para 8 colheres de farinha; - Observe agora as duas sucessões de números: Sucessão do número de ovos: 6 9 12 Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8 Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes são iguais: 2 3 4 6 = 2 3 6 9 = 2 3 8 12 = Assim: 2 3 8 12 6 9 4 6 = = = Dizemos, então, que: - os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente proporcionais aos da sucessão 4, 6, 8; - o número 2 3 , que é a razão entre dois termos correspondentes, é chamado fator de proporcionalidade. Duas sucessões de números não-nulos são diretamente proporcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais. Exemplo1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam diretamente proporcionais: 2 8 y 3 x 21 Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões são iguais, isto é: 21 8 3 2 y x = = 3 2 = x 8 3 2 = 21 y 2x = 3 . 8 3y = 2 . 21 2x = 24 3y = 42 x = 2 24 y = 3 42 x = 12 y = 14 Logo, x = 12 e y = 14 Didatismo e Conhecimento 45 MATEMÁTICA Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular a parte que coube a cada um. Solução: Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a de Toni por z, podemos escrever: ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = + + 30000 27000 24000 32400 z y x z y x ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ¸¸ ¸¸ ¸ 81000 32400 30000 27000 24000 30000 27000 24000 + + + + = = = z y x z y x Resolvendo as proporções: 10 4 81000 32400 24000 = x 10 4 27000 = y 10 4 3000 = z 10x = 96 000 10y = 108 000 10z = 120 000 x = 9 600 y = 10 800 z = 12 000 Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 e Toni, R$ 12.000,00. Números Inversamente Proporcionais Considere os seguintes dados, referentes à produção de sorvete por uma máquina da marca x-5: 1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min. 2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min. 4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min. 6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min. Observe agora as duas sucessões de números: Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6 Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20 Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são iguais: 120 20 1 6 30 1 4 60 1 2 120 1 1 = = = = Dizemos, então, que: - os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente proporcionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20; - o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado fator de proporcionalidade. Observando que 20 1 1 é o mesmo que 1 . 120 = 120 30 1 4 é o mesmo que 4 . 30 = 120 60 1 2 é o mesmo que 2 . 60 = 120 20 1 6 é o mesmo que 6 . 20 = 120 podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão são iguais. Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam inversamente proporcionais: 4 x 8 20 16 y Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então devemos ter: 4 . 20 = 16 . x = 8 . y 16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20 16x = 80 8y = 80 x = 80/16 y = 80/8 x = 5 y = 10 Logo, x = 5 e y = 10. Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. Representamos os números procurados por x, y e z. E como as sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, escrevemos: 4 1 3 1 2 1 z y x = = 4 1 3 1 2 1 z y x = = = 4 1 3 1 2 1 104 + + + + ¸¸ ¸¸ ¸ z y x Como 1 96 13 12 . 104 12 13 : 104 12 13 104 12 3 4 6 104 4 1 3 1 2 1 104 1 8 = = = = + + = + + , vem: 1 96 2 1 = x 1 96 3 1 = y 1 96 4 1 = z 1 48 2 1 . 96 = x 1 32 3 1 . 96 = y 1 24 4 1 . 96 = z x = 48 y = 32 z = 24 Logo, os números procurados são 48, 32 e 24. Didatismo e Conhecimento 46 MATEMÁTICA GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte: Dias Sacos de açúcar 1 5 000 2 10 000 3 15 000 4 20 000 5 25 000 Com base na tabela apresentada observamos que: - duplicando o número de dias, duplicou a produção de açúcar; - triplicando o número de dias, triplicou a produção de açúcar, e assim por diante. Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais. Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de dias e o número de sacos de açúcar são iguais: 10000 5000 2 1 = 20000 5000 4 1 = 15000 10000 3 2 = 25000 10000 5 2 = 25000 15000 5 3 = 15000 5000 3 1 = 25000 5000 5 1 = 20000 10000 4 2 = 20000 15000 4 3 = 25000 20000 5 4 = Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda. Tomemos agora outro exemplo. Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de álcool. De acordo com esses dados podemos supor que: - com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l; - com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l. Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de- açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto para percorrer determinada distância encontram-se na tabela: Velocidade Tempo 30 km/h 12 h 60 km/h 6 h 90 km/h 4 h 120 km/h 3 h Com base na tabela apresentada observamos que: - duplicando a velocidade da moto, o número de horas fca reduzido à metade; - triplicando a velocidade, o número de horas fca reduzido à terça parte, e assim por diante. Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Observe que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam o tempo: 12 6 60 30 = inverso da razão 6 12 6 4 90 60 = inverso da razão 4 6 12 4 90 30 = inverso da razão 4 12 6 3 120 60 = inverso da razão 3 6 12 3 120 30 = inverso da razão 3 12 4 3 120 90 = inverso da razão 3 4 Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda. Acompanhe o exemplo a seguir: Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De acordo com esses dados, podemos supor que: - o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto é, 18 dias; - o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo, isto é, 12 dias. Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais. Exercícios 1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais: a) 1 x 7 5 15 y b) 5 10 y x 8 24 c) x y 21 14 35 49 Didatismo e Conhecimento 47 MATEMÁTICA d) 8 12 20 x y 35 2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais: a) 4 x y 5 20 10 b) 30 15 10 x 8 y c) 2 10 y x 9 15 d) x y 2 12 4 6 3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8. 4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a 6 1 4 1 , 3 1 e . 5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a 3 1 2 5 , 4 3 e . 6- Marcelo repartiu entre seus flhos Rafael (15 anos) e Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente proporcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael? 7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? (Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que cada um empregou.) 8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson? 9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três famílias em partes diretamente proporcionais ao número de flhos. Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 flhos, quantas laranjas recebeu cada família? 10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, que parte do lucro caberá a cada um? Respostas 1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 y = 21 2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 3 3- 80, 32, 20 4- 21, 28, 43 5- 45, 150, 20 6- 90 7- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio R$24.000,00 8- R$350.000,00 9- 60, 90, 150 10- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto R$400.000,00 CONCEITOS BÁSICOS E REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS - CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO - RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE UMA FUNÇÃO E SUA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Função do 1˚ Grau Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, função é uma relação binária de A em B de tal maneira que todo elemento x, pertencente ao conjunto A, tem para si um único correspondente y, pertencente ao conjunto B, que é chamado de imagem de x. Notemos que, para uma relação binária dos conjuntos A e B, nesta ordem, representarem uma função é preciso que: - Todo elemento do conjunto A tenha algum correspondente (imagem) no conjunto B; - Para cada elemento do conjunto A exista um único correspondente (imagem) no conjunto B. Assim como em relação, usamos para as funções, que são relações especiais, a seguinte linguagem: Domínio: Conjunto dos elementos que possuem imagem. Portanto, todo o conjunto A, ou seja, D = A. Contradomínio: Conjunto dos elementos que se colocam à disposição para serem ou não imagem dos elementos de A. Portanto, todo conjunto B, ou seja, CD = B. Conjunto Imagem: Subconjunto do conjunto B formado por todos os elementos que são imagens dos elementos do conjunto A, ou seja, no exemplo anterior: Im = {a, b, c}. Didatismo e Conhecimento 48 MATEMÁTICA Exemplo Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Vamos defnir a função f de A em B com f(x) = x + 1. Tomamos um elemento do conjunto A, representado por x, substituímos este elemento na sentença f(x), efetuamos as operações indicadas e o resultado será a imagem do elemento x, representada por y. f: A g B y = f(x) = x + 1 Tipos de Função Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no contradomínio. Reconhecemos, grafcamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja interceptar o gráfco da função, uma única vez. f(x) é injetora g(x) não é injetora (interceptou o gráfco mais de uma vez) Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. Reconhecemos, grafcamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfco da função. f(x) é sobrejetora g(x) não é sobrejetora (não interceptou o gráfco) Bijetora: Quando apresentar as características de função injetora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos distintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos do contradomínio são imagens de pelo menos um elemento do domínio. Didatismo e Conhecimento 49 MATEMÁTICA Função crescente: A função f(x), num determinado intervalo, é crescente se, para quaisquer x 1 e x 2 pertencentes a este intervalo, com x 1 <x 2 , tivermos f(x 1 )<f(x 2 ). x 1 <x 2 → f(x 1 )<f(x 2 ) Função decrescente: Função f(x), num determinado intervalo, é decrescente se, para quaisquer x 1 e x 2 pertencente a este intervalo, com x 1 < x 2 , tivermos f(x 1 )>f(x 2 ). x 1 <x 2 → f(x 1 )>f(x 2 ) Função constante: A função f(x), num determinado intervalo, é constante se, para quaisquer x 1 < x 2 , tivermos f(x 1 ) = f(x 2 ). Gráfcos de uma Função A apresentação de uma função por meio de seu gráfco é muito importante, não só na Matemática como nos diversos ramos dos estudos científcos. Exemplo Consideremos a função real f(x) = 2x – 1. Vamos construir uma tabela fornecendo valores para x e, por meio da sentença f(x), obteremos as imagens y correspondentes. x y = 2x – 1 –2 –5 –1 –3 0 –1 1 1 2 3 3 5 Transportados os pares ordenados para o plano cartesiano, vamos obter o gráfco correspondente à função f(x). Exemplo para a > 0 Consideremos f(x) = 2x – 1. Exemplo para a < 0 Consideremos f(x) = –x + 1. Didatismo e Conhecimento 50 MATEMÁTICA Consideremos a função f(x) = ax + b com a ≠ 0, em que x 0 é a raiz da função f(x). Conclusão: O gráfco de uma função do 1º grau é uma reta crescente para a > 0 e uma reta decrescente para a < 0. Zeros da Função do 1º grau: Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para que y seja igual à zero. Assim, para achar o zero da função y = ax + b, basta resolver a equação ax + b = 0. Exemplo Determinar o zero da função: y = 2x – 4. 2x – 4 = 0 2x = 4 x = 2 4 x = 2 O zero da função y = 2x – 4 é 2. No plano cartesiano, o zero da função do 1º grau é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. x y (x,y) 1 –2 (1, –2) 3 2 (3,2) Observe que a reta y = 2x – 4 intercepta o eixo x no ponto (2,0), ou seja, no ponto de abscissa 2, que é o zero da função. Conhecido o zero de uma função do 1º grau e lembrando a inclinação que a reta pode ter, podemos esboçar o gráfco da função. Estudo do sinal da função do 1º grau: Estudar o sinal da função do 1º grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: - A função se anule (y = 0); - A função seja positiva (y > 0); - A função seja negativa (y < 0). Exemplo Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). a) Qual o valor de x que anula a função? y = 0 2x – 4 = 0 2x = 4 x = 2 4 x = 2 A função se anula para x = 2. b) Quais valores de x tornam positiva a função? y > 0 2x – 4 > 0 2x > 4 x > 2 4 x > 2 A função é positiva para todo x real maior que 2. c) Quais valores de x tornam negativa a função? y < 0 2x – 4 < 0 Didatismo e Conhecimento 51 MATEMÁTICA 2x < 4 x < 2 4 x < 2 A função é negativa para todo x real menor que 2. Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfco: - Para x = 2 temos y = 0; - Para x > 2 temos y > 0; - Para x < 2 temos y < 0. Relação Binária Par Ordenado Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo conjunto. Porém, em alguns casos, é conveniente distinguir a ordem dos elementos. Para isso, usamos a idéia de par ordenado. A princípio, trataremos o par ordenado como um conceito primitivo e vamos utilizar um exemplo para melhor entendê-lo. Consideremos um campeonato de futebol e que desejamos apresentar, de cada equipe, o total de pontos ganhos e o saldo de gols. Assim, para uma equipe com 12 pontos ganhos e saldo de gols igual a 18, podemos fazer a indicação (12, 18), já tendo combinado, previamente, que o primeiro número se refere ao número de pontos ganhos, e o segundo número, ao saldo de gols. Portanto, quando tivermos para outra equipe a informação de que a sua situação é (2, -8) entenderemos, que esta equipe apresenta 2 pontos ganhos e saldo de gols -8. Note que é importante a ordem em que se apresenta este par de números, pois a situação (3, 5) é totalmente diferente da situação (5,3). Fica, assim, estabelecida a idéia de par ordenado: um par de valores cuja ordem de apresentação é importante. Observações: (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d (a, b) = (b, a) se, o somente se, a = b Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença ao 2º conjunto (B). A x B= ( ) { } B y e A x y x ∈ ∈ / , Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A x A = A 2 . Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. Exemplo Sejam A = {1, 4, 9} e B = {2, 3}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. a) Listagem dos elementos Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: A e B = {(1, 2),(1, 3),(4, 2),(4, 3),(9, 2),(9, 3)} Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): B x A = {(2, 1),(2, 4),(2, 9),(3, 1),(3, 4),(3, 9)}. Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem conjuntos iguais. Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n(A x B) = n(A) x n(B). b) Diagrama de fechas Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de fechas, quando representamos cada um dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “fechas” que partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fca assim representado no diagrama de fechas: c) Plano cartesiano Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas (horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). Didatismo e Conhecimento 52 MATEMÁTICA Domínio de uma Função Real Para uma função de R em R, ou seja, com elementos no conjunto dos números reais e imagens também no conjunto dos números reais, será necessária, apenas, a apresentação da sentença que faz a “ligação” entre o elemento e a sua imagem. Porém, para algumas sentenças, alguns valores reais não apresentam imagem real. Por exemplo, na função f(x) = ) 1 ( − x , o número real 0 não apresenta imagem real e, portanto, f(x) características de função, precisamos limitar o conjunto de partida, eliminando do conjunto dos números reais os elementos que, para essa sentença, não apresentam imagem. Nesse caso, bastaria estabelecermos como domínio da função f(x) o conjunto D = {x∈R/x ≥ 1}. Para determinarmos o domínio de uma função, portanto, basta garantirmos que as operações indicadas na sentença são possíveis de serem executadas. Dessa forma, apenas algumas situações nos causam preocupação e elas serão estudadas a seguir. 1ª y= n x f 2 ) ( f(x)≥(n∈N*) 2ª y= ⇒ ( ( 1 x f f(x)≠0 Vejamos alguns exemplos de determinação de domínio de uma função real. Exemplos Determine o domínio das seguintes funções reais. - f(x)=3x 2 + 7x – 8 D = R - f(x)= 7 + x x – 7 ≥ 0→ x ≥ 7 D = {x∈R/x ≥ 7} - f(x)= 3 1 + x D = R Observação: Devemos notar que, para raiz de índice impar, o radicando pode assumir qualquer valor real, inclusive o valor negativo. - f(x)= 8 3 + x x + 8 > 0 → x > -8 D = {x∈R/x > -8} - f(x)= 8 5 − + x x x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5 x – 8 ≥ 0 → x ≠ 8 D = {x∈R/x ≥ 5 e x ≠ 8} Exercícios 1. Determine o domínio das funções reais apresentadas abaixo. a) f(x) = 3x 2 + 7x – 8 b) f(x)= 6 3 3 − x c) f(x)= 2 + x d) f(x)= 3 1 2 + x e) f(x)= 5 7 4 + x x 2. Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número? 3. Considere a função , de domínio , defnida por e . O valor de é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4. Sejam e funções defnidas em por e . O valor de é: a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 5. Numa loja, o salário fxo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido. a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido. b) Quanto ele ganhará no fnal do mês se vendeu 4 produtos? c) Quantos produtos ele vendeu se no fnal do mês recebeu 1000 reais? 6. Considere a função dada pela equação y = x + 1, determine a raiz desta função. Didatismo e Conhecimento 53 MATEMÁTICA 7. Determine a raiz da função y = - x + 1 e esboce o gráfco. 8. Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) > 0 e f(x) < 0. a) y = f(x) = x + 1 b) y = f(x) = -x + 1 9. Determine o conjunto imagem da função: D(f) = {1, 2, 3} y = f(x) = x + 1 10. Determine o conjunto imagem da função: D(f) = {1, 3, 5} y = f(x) = x² Respostas 1) Solução: a) D = R b) 3x – 6 ≠ 0 x ≠ 2 D = R –{2} c) x + 2 ≥ 0 x ≥ -2 D = {x Є R/ x ≥ -2} d) D = R Devemos observar que o radicando deve ser maior ou igual a zero para raízes de índice par. e) Temos uma raiz de índice par no denominado, assim: 7x + 5 > 0 x > - 7/5 D = {x Є R/ x > -5/7}. 2) Resposta “100”. Solução: n + n/2 = 150 2n/2 + n/2 = 300/2 2n + n = 300 3n = 300 n = 300/3 n = 100. 3. Resposta “C”. Solução : Com a função dada f(x + 1) = 3f(x) – 2 substituímos o valor de x por x = 0: f(0 + 1) = 3f (0) – 2 f(1) = 3f(0) - 2 É dito que f(1) = 4, portanto: 4 = 3f(0) - 2 Isolando f(0): 4+2 = 3f(0) 6 = 3f(0) f(0) = 6/3 = 2. 4) Resposta “E”. Solução: Começamos encontrando f(3): f(3) = 2.(3) + 1, ou seja, f(3) = 7 Se está pedindo g[f(3)] então está pedindo g(7): g(7) = 7 - 3 = 4 Logo, a resposta certa, letra “E”. 5) Solução a) y = salário fxo + comissão y = 500 + 50x b) y = 500 + 50x , onde x = 4 y = 500 + 50 . 4 = 500 + 200 = 700 c) y = 500 + 50x , onde y = 1000 1000 = 500 + 50x 50x = 1000 – 500 50x = 500 x = 10. 6) Solução: Basta determinar o valor de x para termos y = 0 x + 1 = 0 x = -1 Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função. Note que o gráfco da função y = x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função. 7) Solução: Fazendo y = 0, temos: 0 = -x + 1 x = 1 Didatismo e Conhecimento 54 MATEMÁTICA Gráfco: Note que o gráfco da função y = -x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função. 8) Solução: a) y = f(x) = x + 1 x + 1 > 0 x > -1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1 x + 1 < 0 x < -1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1 b) y = f(x) = -x + 1 * -x + 1 > 0 -x > -1 x < 1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1 -x + 1 < 0 -x < -1 x > 1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1 (*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade). 9) Solução: f(1) = 1 + 1 = 2 f(2) = 2 + 1 = 3 f(3) = 3 + 1 = 4 Logo: Im(f) = {2, 3, 4}. 10) Solução: f(1) = 1² = 1 f(3) = 3² = 9 f(5) = 5² = 25 Logo: Im(f) = {1, 9, 25} Função do 2º Grau Chama-se função do 2º grau ou função quadrática toda função f de R em R defnida por um polinômio do 2º grau da forma f(x) = ax 2 + bx + c ou y = ax 2 + bx + c , com a, b e c reais e a ≠ 0. Exemplo: o) y = x 2 – 5x + 4, sendo a = 1, b = –5 e c = 4 |) y = x 2 – 9, sendo a = 1, b = 0 e c = –9 _) y = x 2 , sendo a = 1, b = 0 e c = 0 Representação gráfca da Função do 2º grau: Exemplo: se a função f de R em R defnida pela equação y = x 2 – 2x – 3. Atribuindo à variável x qualquer valor real, obteremos em correspondência os valores de y: Para x = –2 temos y = (–2) 2 – 2(–2) –3 = 4 + 4 – 3 = 5 Para x = –1 temos y = (–1) 2 – 2(–1) –3 = 1 + 2 – 3 = 0 Para x = 0 temos y = (0) 2 – 2(0) –3 = – 3 Para x = 1 temos y = (1) 2 – 2(1) –3 = 1 – 2 – 3 = –4 Para x = 2 temos y = (2) 2 – 2(2) –3 = 4 – 4 – 3 = –3 Para x = 3 temos y = (3) 2 – 2(3) –3 = 9 – 6 – 3 = 0 Para x = 4 temos y = (4) 2 – 2(4) –3 = 16 – 8 – 3 = 5 x y (x,y) –2 5 (–2,5) –1 0 (–1,0) 0 –3 (0, –3) 1 –4 (1, –4) 2 –3 (2, –3) 3 0 (3,0) 4 5 (4,5) O gráfco da função de 2º grau é uma curva aberta chamada parábola. O ponto V indicado na fgura chama-se vértice da parábola. Concavidade da Parábola: No caso das funções do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). Didatismo e Conhecimento 55 MATEMÁTICA a > 0 a < 0 Podemos por meio do gráfco de uma função, reconhecer o seu domínio e o conjunto imagem. Consideremos a função f(x) defnida por A = [a, b] em R. Domínio: projeção ortogonal do gráfco da função no eixo x. Assim, D = [a, b] = A Conjunto Imagem: projeção ortogonal do gráfco da função no eixo y. Assim, Im = [c, d]. Zeros da Função do 2º grau: As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do 2º grau. ax 2 + bx + c = 0 A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bhaskara”. a b x . 2 ∆ ± − = onde r= b 2 – 4.a.c As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos um esboço do gráfco de uma função do 2º grau. Coordenadas do vértice da parábola: A parábola que representa grafcamente a função do 2º grau apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta o gráfco num ponto chamado de vértice. As coordenadas do vértice são: a b x V 2 − = e a y V 4 ∆ − = Vértice (V) O Conjunto Imagem de uma função do 2º grau está associado ao seu ponto extremo, ou seja, à ordenada do vértice (y v ). Didatismo e Conhecimento 56 MATEMÁTICA Exemplo: Vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola da seguinte função quadrática: y = x 2 – 8x + 15. Cálculo da abscissa do vértice: ( ) ( ) 4 2 8 1 2 8 2 = = − − = − = a b x V Cálculo da ordenada do vértice: Substituindo x por 4 na função dada: y V = (4)2 – 8(4) + 15 = 16 – 32 + 15 = –1 Logo, o ponto V, vértice dessa parábola, é dado por V (4, –1). Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau:  Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função;  Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. Construção do gráfco da função do 2º grau:  Determinamos as coordenadas do vértice;  Atribuímos a x valores menores e maiores que x v e calculamos os correspondentes valores de y;  Construímos assim uma tabela de valores;  Marcamos os pontos obtidos no sistema cartesiano;  Traçamos a curva. Exemplo: y = x 2 – 4x + 3 Coordenadas do vértice: ( ) ( ) 2 2 4 1 2 4 2 = = − − = − = a b x V V (2, –1) = V y (2)2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = –1 Tabela: Para x = 0 temos y = (0) 2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 Para x = 1 temos y = (1) 2 – 4(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0 Para x = 3 temos y = (3) 2 – 4(3) + 3 = 9 – 12 + 3 = 0 Para x = 4 temos y = (4) 2 – 4(4) + 3 = 16 – 16 + 3 = 3 x y (x,y) 0 3 (0,3) 1 0 (1,0) 2 –1 (2, –1) Vértice 3 0 (3,0) 4 3 (4,3) Gráfco: Estudos do sinal da função do 2º grau: Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função positiva, negativa ou nula. Exemplo: y = x 2 – 6x + 8 Zeros da função:  = x 2 – 6x + 8  = (–6)2 – 4(1)(8)  = 36 – 32 = 4 ∆ = ≤ = 2 Esboço do gráfco: Exercícios 1. O triplo do quadrado do número de flhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de flhos. Quantos flhos Pedro tem? 2. Uma tela retangular com área de 9600cm 2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela? 3. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora? 4. Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto? Didatismo e Conhecimento 57 MATEMÁTICA 5. O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles? 6. Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes? 7. Quais são as raízes da equação x 2 - 14x + 48 = 0? 8. O dobro do quadrado da nota fnal de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota fnal? 9. Solucione a equação biquadrada: -x 4 + 113x 2 - 3136 = 0. 10. Encontre as raízes da equação biquadrada: x 4 - 20x 2 - 576 = 0. Respostas 1) Resposta “3”. Solução: Sendo x o número de flhos de Pedro, temos que 3x 2 equivale ao triplo do quadrado do número de flhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de flhos. Montando a sentença matemática temos: 3x 2 = 63 - 12x Que pode ser expressa como: 3x 2 + 12x - 63 = 0 Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax 2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema: Primeiramente calculemos o valor de Δ: Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las: A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de flhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7. Portanto, Pedro tem 3 flhos. 2) Resposta “80cm; 120 cm”. Solução: Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma fgura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos: x . 1,5x = 9600 Que pode ser expressa como: 1,5x 2 - 9600 = 0 Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coefciente b é igual a zero. Vamos aos cálculos: As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80. Didatismo e Conhecimento 58 MATEMÁTICA Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto, esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura. 3) Resposta “45”. Solução: Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a seguinte equação: x 2 - (x - 20) = 2000 Ou ainda: A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema. Vejamos: As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo, agora eu tenho 45 anos. 4) Resposta “12”. Solução: O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x. Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades. Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria, temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação: 4 . x + x . x + 8 = 200 Ou então: Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é este: As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual -16 deve ser descartada. Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00. 5) Resposta “22; 17”. Solução: Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374. Esta sentença matemática também pode ser expressa como: Didatismo e Conhecimento 59 MATEMÁTICA Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação: As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser descartada. Logo a idade de Pedro é de 22 anos. Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos. Logo, Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos. 6) Resposta “0; 5”. Solução: Em notação matemática, defnindo a incógnita como x, podemos escrever esta sentença da seguinte forma: 3x 2 = 15x Ou ainda como: 3x 2 - 15x = 0 A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara pode ser utilizada na resolução desta equação, mas por se tratar de uma equação incompleta, podemos solucioná-la de outra forma. Como apenas o coefciente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas raízes reais. Uma é igual azero e a outra é dada pelo oposto do coefciente b dividido pelo coefciente a. Resumindo podemos dizer que: Temos então: 7) Resposta “6; 8”. Solução: Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta: Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em 48? Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48. Segundo as relações de Albert Girard, que você encontra em detalhes em outra página deste site, estas são as raízes da referida equação. Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bhaskara: 8) Resposta “0”. Solução: Sendo x a nota fnal, matematicamente temos: 2x 2 = 0 Podemos identifcar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coefcientes b e c são iguais a zero. Didatismo e Conhecimento 60 MATEMÁTICA Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verifcação vejamos: 9) Resposta “-8; -7; 7 e 8”. Solução: Substituindo na equação x 4 por y 2 e também x 2 e y temos: -y 2 + 113y - 3136 = 0 Resolvendo teremos: Substituindo os valores de y na expressão x 2 = y temos: Para y 1 temos: Para y 2 temos: Assim sendo, as raízes da equação biquadrada -x 4 + 113x 2 - 3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8. 10) Resposta “-6; 6”. Solução: Iremos substituir x 4 por y 2 e x 2 e y, obtendo uma equação do segundo grau: y 2 - 20y - 576 = 0 Ao resolvermos a mesma temos: Substituindo os valores de y na expressão x 2 = y obtemos as raízes da equação biquadrada: Para y 1 temos: Para y 2 , como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não será considerado. Desta forma, as raízes da equação biquadrada x 4 - 20x 2 - 576 = 0 são somente: -6 e 6. Didatismo e Conhecimento 61 MATEMÁTICA FUNÇÃO AFIM (POLINOMIAL DO 1° GRAU) - FUNÇÃO QUADRÁTICA (POLINOMIAL DO 2° GRAU) Um polinômio (função polinomial) com coefcientes reais na variável x é uma função matemática f: R R defnida por: p(x) = a o + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ +...+ a n x n , onde a o , a 1 , a 2 , ..., a n são números reais, denominados coefcientes do polinômio. O coefciente a o é o termo constante. Se os coefcientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x. Uma das funções polinomiais mais importantes é f: R R defnida por: f(x) = a x² + b x + c O gráfco desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. O valor numérico de um polinômio p = p(x) em x = a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a). Exemplo O valor numérico de p(x) = 2x² + 7x - 12 para x = 3 é dado por: p(3) = 2 × (3)² + 7 × 3 - 12 = 2 × 9 + 21 - 12 = 18 + 9 = 27 Grau de um polinômio Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coefciente não nulo é chamado termo dominante e o coefciente deste termo é o coefciente do termo dominante. O grau de um polinômio p = p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p). Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes: - Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, defne-se o grau de um polinômio nulo, mas não o faremos aqui. - Se o coefciente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado Mônico. - Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente. - Quando existir um ou mais coefcientes nulos, o polinômio será dito incompleto. - Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n + 1. - Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante. - Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n + 1. - É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p = p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x. Igualdade de polinômios Os polinômios p e q em P[x], defnidos por: p(x) = a o + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ +...+ a n x n q(x) = b o + b 1 x + b 2 x² + b 3 x³ +...+ b n x n São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n: a k = b k Teorema Uma condição necessária e sufciente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coefcientes sejam nulos. Assim, um polinômio: p(x) = a o + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ +...+ a n x n será nulo se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n: a k = 0 O polinômio nulo é denotado por p o = 0 em P[x]. O polinômio unidade (identidade para o produto) p 1 = 1 em P[x], é o polinômio: p(x) = a o + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ + ...+ a n x n tal que a o = 1 e a k = 0, para todo k = 1, 2, 3,..., n. Soma de polinômio Consideremos p e q polinômios em P[x], defnidos por: p(x) = a o + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ +... + a n x n q(x) = b o + b 1 x + b 2 x² + b 3 x³ +... + b n x n Defnimos a soma de p e q, por: (p + q)(x) = (a o + b o ) + (a 1 + b 1 )x + (a 2 + b 2 )x² +... + (a n + b n )x n A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma defnida acima, possui algumas propriedades: Associativa uaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r) Comutativa Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p + q = q + p Elemento neutro Existe um polinômio p o (x) = 0 tal que: p o + p = p, qualquer que seja p em P[x]. Elemento oposto Para cada p em P[x], existe outro polinômio q = -p em P[x] tal que p + q = 0 Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo. Produto de polinômios Sejam p, q em P[x], dados por: p(x) = a o + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ +...+ a n x n q(x) = b o + b 1 x + b 2 x² + b 3 x³ +...+ b n x n Defnimos o produto de p e q, como outro polinômio r em P[x]: r(x) = p(x) · q(x) = c o + c 1 x + c 2 x² + c 3 x³ +...+ c n x n Tal que: c k = a o b k + a 1 b k-1 + a 2 b k-2 + a 3 b k-3 +...+ a k-1 b 1 + a k b o Didatismo e Conhecimento 62 MATEMÁTICA Para cada c k (k = 1, 2, 3,..., m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera c k , a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k. A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto defnido acima, possui várias propriedades: Associativa Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p · q) · r = p · (q · r) Comutativa Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p · q = q · p Elemento nulo Existe um polinômio p o (x) = 0 tal que p o · p = p o, qualquer que seja p em P[x]. Elemento Identidade Existe um polinômio p 1 (x) = 1 tal que p o · p = p o, qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p 1 = 1. Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios: Distributiva Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: p · (q + r) = p · q + p · r Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade. Exercícios 1. Considerando os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Efetue a adição e a subtração entre eles. 2. Transforme o seguinte polinômio em monômio: (3x 2 ) x (5x 3 + 8x 2 – x). 3. Efetue a multiplicação de polinômio (x – 1) x (x 2 + 2x - 6) por polinômio. 4. Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x 3 - 5x + 2 para x = -1? 5. Qual a soma dos coefcientes do polinômio T(x) = (5x + 1)4? 6. Sendo P(x) = Q(x) + x 2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) , calcule o valor de P(1) - Q(2). 7. Qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i. 8. Multiplicando (2x 2 + x + 1) por (5x – 2), teremos: 9. Se multiplicarmos 3 por (2x 2 + x + 5), teremos: 10. Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos: Respostas 1) Solução: Adição (–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses fazendo o jogo de sinal –2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes –2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência –3x³ – 2x² + 7x – 3. Subtração (–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal –2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes –2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência 3x³ – 2x² + 3x – 1 2) Resposta “15x5 + 24x4 – 3x3”. Solução: (3x 2 ) x (5x 3 + 8x 2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação 15x 5 + 24x 4 – 3x 3 . 3) Resposta “x³ + x² – 8x + 6”. Solução: (x – 1) . (x 2 + 2x - 6) x 2 . (x – 1) + 2x . (x – 1) – 6 . (x – 1) (x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6) x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes. x³ + x² – 8x + 6. 4) Resposta “6”. Solução: Teremos, substituindo a variável x por x = -1 → p(- 1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6 p(-1) = 6. 5) Resposta “1296”. Solução: Teremos: Para x = 1: S = T(1) = (5.1 + 1)4 = 64 = 6 . 6 . 6 . 6 = 1296. 6) Resposta “10”. Solução: Se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) = 0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada: P(1) = Q(1) + 12 + 1 + 1 P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogamente, poderemos escrever: P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1 0 = Q(2) + 7, Logo Q(2) = -7. Conclui-se que P(1) - Q(2) = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10. Didatismo e Conhecimento 63 MATEMÁTICA 7) Resposta “5”. Solução: Pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes. 8) Resposta “10x 3 + x 2 + 3x – 2 “. Solução: (2x 2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva. 2x 2 . (5x) + 2x 2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2) 10x 3 – 4x 2 + 5x 2 – 2x + 5x – 2 10x 3 + x 2 + 3x – 2. 9) Resposta “6x 2 + 3x + 15”. Solução: 3 (2x 2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva. 3 . 2x 2 + 3 . x + 3 . 5 6x 2 + 3x + 15. 10) Resposta “- 10x 3 + 2x 2 ”. Solução: -2x 2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva. -2x 2 . 5x – 2x 2 . (-1) - 10x 3 + 2x 2 FUNÇÃO INVERSA O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f –1 da seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f. Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B defnida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo: Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)} Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa. A sua função inversa será indicada por f –1 : B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1 (x) = x – 5. Veja o diagrama abaixo: Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)} O que é domínio na função f vira imagem na f –1 (x)e vice e versa. Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe: Exemplo 1 Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1 (x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo: x = 3y – 5 –3y = –x –5 (multiplicar por –1) 3y = x + 5 y = (x + 5)/3 Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3. Exemplo 2 Dada a função f(x) = x² a sua inversa será: Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo: x = y² √x = √y² √x = y y = √x A função f(x) = x² terá inversa f –1 (x) = √x Exemplo 3 Determine a inversa da função f(x) = (2x+3)/(3x–5), para x ≠ 5/3. Realizando a troca entre x e y na expressão y = (2x+3)/(3x–5) → x = (2y+3)/(3y–5), logo: x = (2y+3)/(3y–5) x*(3y–5) = 2y + 3 3yx – 5x = 2y + 3 3yx – 2y = 5x + 3 y(3x – 2) = 5x + 3 y = (5x+3)/(3x–2), para x ≠ 2/3 Didatismo e Conhecimento 64 MATEMÁTICA FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA CONCEITOS, GRÁFICOS E PROPRIEDADES - COMPREENSÃO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA COMO INVERSA DA EXPONENCIAL Uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especifcando através de uma fórmula um relacionamento gráfco entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação, mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráfcos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica em um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x. História Como um termo matemático, “função” foi introduzido por Leibniz em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específco da dita curva. Funções relacionadas à curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infnitesimal. A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a defnição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar “estranhos” objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de “monstros”, foram já no fnal do século XX, identifcadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano. Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infnitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a defnição de Euler em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para o fnal do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter defnições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a defnição “formal” de função moderna. Função Exponencial Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fm de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei fcou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresen- taram a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de 263, o que corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233.1018. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as casas. O rei estava falido! A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = 2x. As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Defnição A função exponencial é a defnida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: Podemos concluir, então, que a função exponencial é defnida por: Didatismo e Conhecimento 65 MATEMÁTICA Gráfcos da Função Exponencial Função exponencial 0 < a < 1 Função exponencial a > 1 f: lR <!--[if !vml]--> <!--[endif]--> lR x <!--[if !vml]--> <!--[endif]--> a x <!--[if !vml]--> <!--[endif]--> ● Domínio = lR ● Contradomínio = lR + ● f é injectiva ● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR ● f é continua e diferenciável em lR ● A função é estritamente decrescente. ● lim x→ -∞ a x = + ∞ ● lim x→ +∞ a x = 0 ● y = 0 é assimptota horizontal f: lR <!--[if !vml]--> <!--[endif]--> lR x <!--[if !vml]--> <!--[endif]--> a x <!--[if !vml]- -> <!--[endif]--> ● Domínio = lR ● Contradomínio = lR + ● f é injectiva ● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR ● f é continua e diferenciável em lR ● A função é estritamente crescente. ● lim x→ +∞ a x = + ∞ ● lim x→ -∞ a x = 0 ● y = 0 é assimptota horizontal Propriedades da Função Exponencial Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então: - a x a y = a x + y - a x / a y = a x - y - (a x ) y = a x.y - (a b) x = a x b x - (a / b) x = a x / b x - a -x = 1 / a x Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...) - y = e x se, e somente se, x = ln(y) - ln(e x ) =x - e x+y = e x .e y - e x-y = e x /e y - e x.k = (e x ) k A Constante de Euler Existe uma importantíssima constante matemática defnida por e = exp(1) O número e é um número irracional e positivo e em função da defnição da função exponencial, temos que: Ln(e) = 1 Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número. Didatismo e Conhecimento 66 MATEMÁTICA O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: e = 2,718281828459045235360287471352662497757 Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: e x = exp(x) Função Logarítmica A função logaritmo natural mais simples é a função y=f 0 (x)=lnx. Cada ponto do gráfco é da forma (x, lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. O domínio da função ln é e a imagem é o conjunto . O eixo vertical é uma assíntota ao gráfco da função. De fato, o gráfco se aproxima cada vez mais da reta x=0 O que queremos aqui é descobrir como é o gráfco de uma função logarítmica natural geral, quando comparado ao gráfco de y=ln x, a partir das transformações sofridas por esta função. Consideremos uma função logarítmica cuja expressão é dada por y=f 1 (x)=ln x+k, onde k é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfco dessa nova função quando comparado ao gráfco da função inicial y=f 0 (x)=ln x ? Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pela expressão y=f 2 (x)=a.ln x onde a é uma constante real, a 0. Observe que se a=0, a função obtida não será logarítmica, pois será a constante real nula. Uma questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo y=f 3 (x)=ln(x+m), onde m é um número real não nulo. Se g(x)=3.ln(x-2) + 2/3, desenhe seu gráfco, fazendo os gráfcos intermediários, todos num mesmo par de eixos. y=a.ln(x+m)+k Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f 4 (x) = a In (x + m) + k, onde o coefciente a não é zero, examinando as transformações do gráfco da função mais simples y = f 0 (x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y=ln(x+m); em seguida, y=a.ln(x+m) e, fnalmente, y=a. ln(x+m)+k. Analisemos o que aconteceu: - em primeiro lugar, y=ln(x+m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x=-m exerce o papel que x=0 exercia em y=ln x; - a seguir, no gráfco de y=a.ln(x+m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y=ln(x+m) multiplicada pelo coefciente a; - por fm, o gráfco de y=a.ln(x+m)+k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfco de y=a.ln(x+m)+k fcaram acrescidas de k, quando comparadas às ordenadas dos pontos do gráfco de y=a. ln(x+m). O estudo dos gráfcos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um signifcado que é visível nos gráfcos das funções esboçados no mesmo referencial cartesiano. GEOMETRIA PLANA ÂNGULOS, TRIÂNGULOS, POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS: CONCEITOS E PROPRIEDADES – CONGRUÊNCIA – SEMELHANÇA Ângulos Ângulo: Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares. Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. Ângulo Central: - Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; Didatismo e Conhecimento 67 MATEMÁTICA - Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono. Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são tangentes à ela. Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados são secantes a ela. Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. Ângulo Raso: - É o ângulo cuja medida é 180º; - É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. Ângulo Reto: - É o ângulo cuja medida é 90º; - É aquele cujos lados se apóiam em retas perpendiculares. Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90 0 . Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360 0 . Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º. Didatismo e Conhecimento 68 MATEMÁTICA Poligonal: Linha quebrada, formada por vários segmentos formando ângulos. Grado: (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado. Grau: (º): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau. Exercícios 1. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: a) b) c) 2. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 3. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: a) b) c) d) 4. Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do triângulo: Didatismo e Conhecimento 69 MATEMÁTICA a) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado? 5. Dois ângulos são complementares tais que o triplo de um deles é igual ao dobro do outro. Determine o suplemento do menor. 6. A metade de um ângulo menos a quinta parte de seu complemento mede 38 graus. Qual é esse angulo? 7. Cinco semi-retas partem de um mesmo ponto V, formando cinco ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos números 2, 3, 4, 5 e 6. Calcule o maior dos ângulos. 8. Na fgura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 9. Observe a fgura abaixo e determine o valor de m e n. 10. Determine o valor de a na fgura seguinte: Respostas 1) Resposta a) 55˚ b) 74˚ c) 33˚ 2) Resposta “130”. Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas «a» e «b». Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. Logo, î = 80° + 50° = 130°. 3) Solução: a) 160° - 3x = x + 100° 160° - 100° = x + 3x 60° = 4x x = 60°/4 x = 15° Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 6x + 2x = 180° -15° - 5° 8x = 160° x = 160°/8 x = 20° Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° c) Sabemos que a fgura tem 90°. Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 4x + 50° = 90° 4x = 40° x = 40°/4 x = 10° d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. Então, 138° + x = 180° x = 180° - 138° x = 42° Logo, o ângulo x mede 42°. 4) Solução: Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 180°. Então, 6x + 4x + 2x = 180° 12x = 180° x = 180°/12 x = 15° Os ângulos são: 30° 60° e 90°. a) Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e, portanto a soma deles vale 360º. Didatismo e Conhecimento 70 MATEMÁTICA 5) Resposta “144º”. Solução: - dois ângulos são complementares, então a + b = 90º - o triplo de um é igual ao dobro do outro, então 3a = 2b É um sistema de equações do 1º grau. Se fzermos a = 2b/3, substituímos na primeira equação: 2b/3 + b = 90 5b/3 = 90 b = 3/5 * 90 b = 54 → a = 90 – 54 = 36º Como a é o menor ângulo, o suplemento de 36 é 180-36 = 144º. 6) Resposta “80˚”. Solução: (a metade de um ângulo) menos seu a [quinta parte] de seu [complemento] mede 38º. [a/2] – [1/5] [(90-a)] = 38 a/2 – 90/5 + a/5 = 38 a/2 + a/5 = 38 + 90/5 7a/10 = 38 + 18 a = 10/7 * 56 a = 80º 7) Resposta “180˚”. Solução: Seja x a constante de proporcionalidade, temos para os ângulos: a, b, c, d, e…, a seguinte proporção com os números 2, 3, 4, 5 e 6: a/2 = x → a = 2x b/3 = x → b = 3x c/4 = x → c = 4x d/5 = x → d = 5x e/6 = x → e = 6x Assim as semi-retas: a + b + c + d + e = 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 360º Agora a soma das retas: 20x Então: 20x = 360º → x = 360°/20 x = 18° Agora sabemos que o maior é 6x, então 6 . 18° = 108°. 8) Resposta “135˚”. Solução: Na fgura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. Então vale lembrar que: x + y = 180 então y = 180 – x. E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z E de acordo com a fgura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. x = y/6 + z/2 Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z Então: x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x 6x – 2x = 180° 4x = 180° x=180°/4 x=45º Agora achar y, sabendo que y = 180° - x y=180º - 45° y=135°. 9) Resposta “11º; 159º”. Solução: 3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 3m - 12º = m + 10º 3m - m = 10º + 12º 2m = 22º m = 22º/2 m = 11º m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. (m + 10º) + n = 180º (11º + 10º) + n = 180º 21º + n = 180º n = 180º - 21º n = 159º Resposta: m = 11º e n = 159º. 10) Resposta “45˚”. É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais. Triângulos Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos. 1. Vértices: A,B,C. 2. Lados: AB,BC e AC. 3. Ângulos internos: a, b e c. Didatismo e Conhecimento 71 MATEMÁTICA Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo. Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM é uma mediana. Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô. Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos. Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado). Classifcação dos triângulos quanto ao número de lados Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) = m(CA) Triângulo Isóscele: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) = m(CA) Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes. Classifcação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º. Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º. Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 graus). Medidas dos Ângulos de um Triângulo Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identifcar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos. Didatismo e Conhecimento 72 MATEMÁTICA A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é: a + b + c = 180º Exemplo Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º + 60º + x = 180º e dessa forma, obtemos x = 180º - 70º - 60º = 50º. Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim: A = b+c, B = a+c, C = a+b Exemplo No triângulo desenhado: x=50º+80º=130º. Congruência de Triângulos A idéia de congruência: Duas fguras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho. Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação: ABC ~ DEF Para os triângulos das fguras abaixo, existe a congruência entre os lados, tal que: AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ T e entre os ângulos: A ~ R , B ~ S , C ~ T Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos: ABC ~ RST Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas. Para verifcar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecerem três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráfcos iguais. Casos de Congruência de Triângulos LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos. Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca. LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes. ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes. Didatismo e Conhecimento 73 MATEMÁTICA LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado. Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruente. Semelhança de Triângulos A idéia de semelhança: Duas fguras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Se duas fguras R e S são semelhantes, denotamos: R~S. Exemplo As ampliações e as reduções fotográfcas são fguras semelhantes. Para os triângulos: os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é: A~R, B~S, C~T Observação: Dados dois triângulos semelhantes, tais triângulos possuem lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um lado do primeiro triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo, então estes dois lados são ditos homólogos. Nos triângulos acima, todos os lados proporcionais são homólogos. Realmente: AB~RS pois m(AB)/m(RS) = 2 BC~ST pois m(BC)/m(ST) = 2 AC~RT pois m(AC)/m(RT) = 2 Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum é chamado razão de semelhança entre os triângulos. Podemos concluir que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo RST. Dois triângulos são semelhantes se, têm os 3 ângulos e os 3 lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar. Casos de Semelhança de Triângulos Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes. Se A~D e C~F então: ABC~DEF Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes. Como m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2 Então ABC ~ EFG Exemplo Na fgura abaixo, observamos que um triângulo pode ser “rodado” sobre o outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor de x será igual a 8. Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de triângulos. Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes. Didatismo e Conhecimento 74 MATEMÁTICA Exercícios 1. Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n: 2. Determine os valores literais indicados na fgura: 3. Determine os valores literais indicados na fgura: 4. Determine os valores literais indicados na fgura: 5. Determine os valores literais indicados na fgura: 6. Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l. 7. Determine x nas fguras. 8. Determine a diagonal de um quadrado de lado l. 9. Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da fgura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5 10. Calcule a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado. Didatismo e Conhecimento 75 MATEMÁTICA Respostas 1) Solução: a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10 b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8 c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6 b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4 2) Solução: 13² = 12² + x² 169 = 144 + x² x² = 25 x = 5 5.12 = 13.y y = 60/13 3) Solução: 4) Solução: 5) Solução: 6) Solução: 7) Solução: O triângulo ABC é equilátero. 8) Solução: 9) Solução: Didatismo e Conhecimento 76 MATEMÁTICA 10) Solução : O teorema de Pitágoras Dizem que Pitágoras, flósofo e matemático grego que viveu na cidade de Samos no século VI a. C., teve a intuição do seu famoso teorema observando um mosaico como o da ilustração a seguir Observando o quadro, podemos estabelecer a seguinte tabela: Triângulo ABC Triângulo A`B`C` Triângulo A``B``C`` Área do quadrado construído sobre a hipotenusa 4 8 16 Área do quadrado construído sobre um cateto 2 4 8 Área do quadrado construído sobre o outro cateto 2 4 9 Como 4=2+2,8=4+4,16=8+8, Pitágoras observou que: A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. A descoberta feita por Pitágoras estava restrita a um triângulo particular: o triângulo retângulo isósceles. Estudos realizados posteriormente permitiram provar que a relação métrica descoberta por Pitágoras era válida para todos os triângulos retângulos. Com base no triângulo retângulo utilizado nas construções egípcias e construindo quadrados sobre os lados desse triângulo, podemos obter as seguintes fguras: = 1 unidade de comprimento = 1 unidade de área Nessas condições, confrma-se a relação: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à somadas áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos. Muito utilizada, essa relação métrica é um dos mais importantes teoremas da matemática. Teorema de Pitágoras Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados da medida dos catetos. Demonstrando o teorema de Pitágoras Existem inúmeras maneiras de demonstrar o teorema de Pitágoras. Veremos uma delas, baseada no cálculo de áreas de fguras geométricas planas. Consideremos o triângulo retângulo da fgura. a = medida da hipotenusa b = medida de um cateto c = medida do outro cateto Observe, agora, os quadrados MNPQ e DEFG, que têm a mesma área, pois o lado de cada quadrado mede (b+c). Didatismo e Conhecimento 77 MATEMÁTICA • Área do quadrado MNPQ = área do quadrado RSVT + (área do triângulo RNS) . 4 • Área do quadrado DEFG = área do quadrado IELJ + área do quadrado GHJK + (área do retângulo DIJH).2 • Área do quadrado RSVT = a 2 • Área do triângulo RNS= 2 .c b • Área do quadrado IELJ=c 2 • Área do quadrado GHJK=b 2 • Área do retângulo DIJK=b.c Como os quadrados MNPQ e DEFG têm áreas iguais, podemos escrever: a 2 + . 2 | . | \ | / bc 4 2 =c 2 +b 2 +(bc).2 a 2 +2bc=c 2 +b 2 +2bc Cancelando 2bc, temos: a 2 =b 2 +c 2 A demonstração algébrica do teorema de Pitágoras será feita mais adiante. Pense & Descubra Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo e tem rente para três ruas: Rua 1, Rua 2 e Rua 3, conforme nos mostra a fgura. Calcule, em metros, o comprimento a da frente do terreno voltada para a rua 1. De acordo com os dados do problema, temos b=96 m e c=180 m. Aplicando o teorema de Pitágoras: a2=b2+c 2 a2=41616 a 2 =(96) 2 +(180) 2 a= 41616 a 2 =9216+32400 a=204 Então, a frente do terreno para a rua 1 tem 204 m de comprimento. Acompanhe a resolução de outros problemas em que exploramos o teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras no quadrado Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação importante entre a medida d da diagonal e a medida l do lado de um quadrado. d= medida da diagonal l= medida do lado Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: d 2 =l 2 +l 2 d= 2 2l d 2 =2 l 2 Teorema de Pitágoras no triângulo eqüilátero Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação importante entre a medida h da altura e a medida l do lado de um triângulo eqüilátero. l= medida do lado h= medida da altura No triângulo eqüilátero, a altura e a mediana coincidem. Logo, H é ponto médio do lado BC . No triângulo retângulo AHC, ^ H é ângulo reto. De acordo com o teorema de Pitágoras, podemos escrever: l 2 =h 2 + 2 2 | . | \ | l → h 2 =l 2 - 4 2 l → h 2 = 4 3 2 l →h= 4 3 2 l → Exercícios 1. Sendo a,vb e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justifcando, aqueles que são retângulos: a) a = 6; b = 7 e c = 13; b) a = 6; b = 10 e c = 8. Didatismo e Conhecimento 78 MATEMÁTICA 2. Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos: a) b) 3. A fgura representa um barco à vela. Determina, de acordo com os dados da fgura, os valores de x e y. 4. O Pedro e o João estão a andar de balance, como indica a fgura: A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm. Qual o comprimento do balance? 5. Qual era a altura do poste? 6. Qual é a distância percorrida pelo berlinde. 7. Calcule a área da seguinte fgura. 8. Calcule a área da seguinte fgura. 9. Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir. 10. Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo: Respostas 1) Solução: “Se num triângulo as medidas dos seus lados verifcarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo”. Didatismo e Conhecimento 79 MATEMÁTICA Então teremos que verifcar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras. a) b) 2) Solução: a) b) 3) Solução: 4) Solução: Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus com a “linha” do chão. Então vem: 1,8 m = 180 cm Logo, o comprimento do balance é de 1,9 m. 5) Solução: h = 4 + 5 = 9 Logo, a altura do poste era de 9 m. 6) Solução: ... Portanto, a distância percorrida pelo berlinde é de: 265 cm = 2,65 m. 7) Solução: .......................... Didatismo e Conhecimento 80 MATEMÁTICA 8) Solução: 9) Solução: x² = 9² + 12² x² = 81 + 144 x² = 225 √x² = √225 x = 15 10) Solução: x² + 20² = 25² x² + 400 = 625 x² = 625 – 400 x² = 225 √x² = √225 x = 15 RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS - POLÍGONOS INSCRITOS - LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Defniremos algumas relações e números obtidos a partir dos lados de triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos rever algumas de suas propriedades. A fg. 1 apresenta um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de medida 90º ou 2 π rad), o que nos permite classifcá-lo como um triângulo retângulo. Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo, a soma dos seus três ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito do triângulo ABC apresentado, dizemos que: 0 0 0 90 180 90 = + ⇒ = + + | o | o Com isso, podemos concluir: - Que os ângulos α e β são complementares, isto é, são ângulos cujas medidas somam 90º; - Uma vez que são complementares ambos terão medida inferior a 90º. Portanto, dizemos que todo triângulo retângulo tem um ângulo interno reto e dois agudos, complementares entre si. De acordo com a fgura, reconhecemos nos lados b e c os catetos do triângulo retângulo e em a sua hipotenusa. Lembremo-nos de que a hipotenusa será sempre o lado oposto ao ângulo reto em, ainda, o lado maior do triângulo. Podemos relacioná-los através do Teorema de Pitágoras, o qual enuncia que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos (sic) ou, em linguajar moderno, “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo”. Aplicado ao nosso triângulo, e escrito em linguagem matemática, o teorema seria expresso como segue: a 2 = b 2 + c 2 Seno, Co-seno e Tangente de um Ângulo Agudo A fg. 2 ilustra um triângulo retângulo conhecido como triângulo pitagórico, classifcação devida ao fato de que, segundo a tradição grega, através dele Pitágoras enunciou seu Teorema. De fato, as medidas de seus lados (3, 4 e 5 unidades de comprimento) satisfazem a sentença 5 2 = 3 2 + 4 2 . Apesar de nos apoiarmos particularmente no triângulo pitagórico, as relações que iremos defnir são válidas para todo e qualquer triângulo retângulo. Apenas queremos, dessa forma, obter alguns resultados que serão comparados adiante. Defnimos seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo pelas relações apresentadas no quadro a seguir: Seno do ângulo = hipotenusa ângulo ao oposto cateto Co-seno do ângulo = hipotenusa ângulo ao adjacente cateto Tangente do ângulo = ângulo ao adjacente cateto ângulo ao oposto cateto A partir dessas defnições, o cálculo de seno, co-seno e tangente do ângulo α, por exemplo, nos fornecerão os seguintes valores: sen α = 5 3 = 0,6 cos α = 5 4 = 0,8 tg α = 4 3 = 0,75 Didatismo e Conhecimento 81 MATEMÁTICA Ao que acabamos de ver, aliemos um conhecimento adquirido da Geometria. Ela nos ensina que dois triângulos de lados proporcionais são semelhantes. Se multiplicarmos, então, os comprimentos dos lados de nosso triângulo pitagórico semelhante, com os novos lados (6, ,8 e 10) igualmente satisfazendo o Teorema de Pitágoras. Na fg. 3, apresentamos o resultado dessa operação, em que mostramos o triângulo ABC, já conhecido na fg. 1 e A 1 BC 1 . Observemos que os ângulos α e β permanecem sendo os ângulos agudos internos do triângulo recém-construído. Lançando Mao das medidas dos novos lados 1 1 1 1 , C A e BC B A (respectivamente 8, 10 e 6 unidades de comprimento), calculemos, para o ângulo α, os valores de seno, co-seno e tangente: sen α = 10 8 = 0,6 cos α = 10 8 = 0,8 tg α = 8 6 = 0,75 Nosso intuito, na repetição dessas operações, é mostrar que, não importando se o triângulo PE maior ou menor, as relações defnidas como seno, co-seno e tangente têm, individualmente, valores constantes, desde que calculados para os mesmo ângulos. Em outras palavras, seno, co-seno e tangente são funções apenas dos ângulos internos do triângulo, e não de seus lados. Outras Razões Trigonométricas – Co-tangente, Secante e Co-secante Além das razões com que trabalhamos até aqui, são defnidas a co-tangente, secante e co-secante de um ângulo agudo de triângulo retângulo através de relações entre seus lados, como defnimos no quadro a seguir: cot do ângulo = ângulo ao oposto cateto ângulo ao adjacente cateto sec do ângulo = ângulo ao adjacente cateto hipotenusa cosec do ângulo = ângulo ao oposto cateto hipotenusa Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento, como exibido na fg. 6, teríamos, para o ângulo α, cotg α = 3 4 sec α = 4 5 cosec α = 3 5 Seno, Co-seno, Tangente e Co-tangente de Ângulos Complementares Já foi visto que em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares. o 90 = + | o Sabemos ainda que: sen α = a b sen β = a c cos α = a c cos β = a b tg α = c b tg β = b c cotg α = b c cotg β = c b Verifca-se facilmente que: sen α = cos β; cos α = sen β; tg α = cotg β; cotg α = tg β. Exemplo Um triângulo retângulo tem catetos cujas medidas são 5 cm e 12 cm. Determine o valor de seno, co-seno e tangente dos seus ângulos agudos. Didatismo e Conhecimento 82 MATEMÁTICA Resolução Para respondermos ao que se pede, necessitaremos do comprimento da hipotenusa do triângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que: a 2 = b 2 + c 2 → a 2 = 5 2 + 12 2 = 169 Logo, a = 13 cm. Assim, obtemos para seno, co-seno e tangente dos ângulos da Figura, os seguintes valores: 13 5 = o sen 13 12 cos = o 12 5 = o tg 13 12 = | sen 13 5 cos = | 5 12 = | tg Ângulos Notáveis Seno, Co-seno e Tangente dos Ângulos Notáveis Uma vez defnidos os conceitos de seno, co-seno e tangente de ângulos agudos internos a um triângulo retângulo, passaremos a determinar seus valores para ângulos de grande utilização em diversas atividades profssionais e encontrados facilmente em situações cotidianas. Por exemplo, na Mecânica, demonstra-se que o ângulo de lançamento, tomado com relação à horizontal, para o qual se obtém o máximo alcance com uma mesma velocidade de tiro, é de 45 o ; uma colméia é constituída, interiormente, de hexágonos regulares, que por sua vez, são divisíveis, cada um, em seis triângulos equiláteros, cujos ângulos internos medem 60 o ; facilmente encontram-se coberturas de casas, de regiões tropicais, onde não há neve, com ângulo de inclinação defnido nos 30 o , etc. Vamos selecionar, portanto, fguras planas em que possamos delimitar ângulo com as medidas citadas (30 o , 45 o e 60 o ). Para isso, passaremos a trabalhar com o quadrado e o triângulo equilátero. Observemos, na fgura 4 e na fgura 5, que a diagonal de um quadrado divide ângulos internos opostos, que são retos, em duas partes de 45 + o+, e que o segmento que defne a bissetriz (e altura) de um ângulo interno do triângulo equilátero permite- nos reconhecer, em qualquer das metades em que este é dividido, ângulos de medidas 30 o e 60 o . Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da diagonal do quadrado (identifcado na fgura 4 por d) e a altura h, do triângulo equilátero (fgura 5). Uma vez que as regiões sombreadas nas fguras são triângulos retângulos, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada um deles. Para o meio-quadrado, temos que: D 2 =a 2 + a 2 → d 2 = 2 . a 2 2 a d = ∴ Quanto ao triângulo equilátero, podemos escrever o seguinte: l 2 = 2 3 4 3 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 l h l h l l h h = ⇒∴ = ⇒ − = ⇒ + | . | \ | Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior do quadrado tem catetos de medida a e hipotenusa a 2 . Para o outro triângulo sombreado, teremos catetos e medidas 2 3 2 1 l e , enquanto sua hipotenusa tem comprimento l. Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangente dos ângulos de 30 o m 45 o e 60 o . Seno, Co-seno e Tangente de 30 o e 60 o . Tomando por base o triângulo equilátero da fgura 5, e conhecendo as medidas de seus lados, temos: sen 30 o = 2 1 1 . 2 1 2 = = l l l cos 30 o = 2 3 2 3 = = l l l h tg 30 o = 3 3 3 3 . 3 1 3 2 . 2 2 3 2 2 = = = = l l l l h l sen 60 o = 2 3 1 2 3 = = l l h cos 60 o = 2 1 1 . 2 2 = = l l l l tg 60 o = 3 1 2 . 2 3 2 2 3 2 = = = l l l h Seno, Co-seno e Tangente de 45 o A partir do quadrado representado na fgura 4, de lado a e diagonal a 2 , podemos calcular: sen 45 o = 2 2 2 2 . 2 1 2 = = = a a d a Didatismo e Conhecimento 83 MATEMÁTICA cos 45 o = 2 2 2 2 . 2 1 2 = = = a a d a 1 45 = = a a tg o Os resultados que obtivemos nos permitem defnir, a seguir, uma tabela de valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis, que nos será extremamente útil. 30 o 45 o 60 o sen 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tg 3 3 1 3 Identidades Trigonométricas É comum a necessidade de obtermos uma razão trigonométrica, para um ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido, ou mesmo simplifcar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo. Nesses casos, as identidades trigonométricas que iremos deduzir neste tópico são ferramentas de grande aplicabilidade. Antes de demonstrá-las, é necessário que defnamos o que vem a ser uma identidade. Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade verdadeira para quaisquer valores a elas atribuídos, desde que verifquem as condições de existência de expressão. Por exemplo, a igualdade x x x x 2 4 2 2 2 + = + é uma identidade em x, pois é verdadeira para todo x real, desde q x≠0 (divisão por zero é indeterminado ou inexistente). Vamos verifcar agora como se relacionam as razões trigonométricas que já estudamos. Para isso, faremos uso do triângulo ABC apresentado na fgura A, retângulo em A. Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pitágoras, obtemos a seguinte igualdade: b 2 + c 2 = a 2 Dividindo os seus membros por a 2 , não alteraremos a igualdade. Assim, teremos: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = | . | \ | + | . | \ | ⇒ = + a c a b a a a c a b Observemos que as frações entre parênteses podem defnir, com relação ao nosso triângulo, que: sen 2 α + cos 2 α = 1 e cos 2 β + sen 2 β = 1 Podemos afrma, portanto, que a soma dos quadrados de seno e co-seno de um ângulo x é igual à unidade, ou seja: Sen 2 x + cos 2 x = 1 Expliquemos o signifcado da partícula co, que inicia o nome das relações co-seno, cotangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do complemento. Por exemplo, co-seno de 22 o tem valor idêntico ao seno de 68 o (complementar de 22 o ) Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento desse ângulo. Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de razão, podemos dizer que: co-razão x = razão (90 o –x) Facilmente podemos concluir, com base no triângulo apresentado na fgura A, que: sen α=cos β sen β=cos α tg α=cotg β tg β=cotg α sec α=cossec β sec β=cossec α Façamos outro desenvolvimento. Tomemos um dos ângulos agudos do triângulo ABC, da fgura A. Por exemplo, α. Dividindo- se sen α por cos α, obtemos: o | o tg c b c a a b a c a b sen = = = = . cos De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se tomar o ângulo β. Dizemos, portanto, que, para um ângulo x, tal que cós x ≠ 0, x x sen x tg cos = Podemos observar, também, que a razão c b , que representa tg α, se invertida (passando a b c ), vem a constituir cotg α. Em virtude disso, e aproveitando a identidade enunciada anteriormente, podemos dizer que, para todo ângulo x de seno não-nulo: cotg x = x sen x x tg cos 1 = Tais inversões ocorrem também e se tratando das relações seno, co-seno, secante e co-secante. Vejamos que: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = b a ec b a sen o o cos e ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = c a a c o o sec cos Didatismo e Conhecimento 84 MATEMÁTICA Teríamos encontrado inversões semelhantes se utilizássemos o ângulo β. Dizemos, assim, que, para um dado ângulo x, sec x = x cox 1 cosec x = x sen 1 Desde que seja respeitada a condição de os denominadores dos segundos membros dessas identidades não serem nulos. Exercícios 1. Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse triângulo. 2. Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d. 3. As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo. 4. Seja o triângulo ABC, mostrado na fgura, onde a = 20, b = 10 e B = 30. Calcular o raio do círculo circunscrito e o ângulo C. 5. Os lados adjacentes de um paralelogramo medem 1388m e 2526m e o ângulo formado entre estes lados mede 54,42º. Determinar o comprimento da maior diagonal desse quadrilátero. 6. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale: a) 11 / 24 b) - 11 / 24 c) 3 / 8 d) - 3 / 8 e) - 3 / 10 7. Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afrmar que A = (cosx - cosy) 2 + (senx + seny) 2 é igual a: a) 0 b) ½ c) 3/2 d) 1 e) 2 8. Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3. 9. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x? 10. Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado da tangente vale 2. Respostas 1) Solução: 2) Solução: Didatismo e Conhecimento 85 MATEMÁTICA 3) Solução: 4) Solução: Pela Lei dos senos, b = 2R . sen(B), logo 10 = 2R . sen(30) e desse modo R = 10 . Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, calcularemos o ângulo A. Pela Lei dos Senos, b . sem (A) = a . sen(B), de onde segue que 10 . sem(A) = 20 . sen(30), assim, sem (A) = /2 Como A é um dos ângulos do triângulo então A = 45º ou A = 135º. Como B = 30°, da relação A + B + C = 180º, segue que A + C = 150° e temos duas possibilidades: 1. A = 45º e C = 105º 2. A = 135º e C = 15º. 5) Solução: No triângulo ABC, A + C = 54,42º, então: B = 180º - 54,42º = 125,58º A lei dos cossenos: b² = a² + c² - 2ac cos(B) garante que: b² = (1388)² + (2526)² - 2(1388)(2526) cos(125,58º) Assim, b = 3519,5433 e então garantimos que a maior diagonal do paralelogramo mede aproximadamente 3519,54 metros. 6) Resposta “B”. Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos: 6 2 = 3 2 + 4 2 - 2 . 3 . 4 . cos b \ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos b \ cos b = - 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta é a letra B. Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam. 7) Resposta “E”. Solução: Desenvolvendo os quadrados, vem: A = cos 2 x - 2 . cosx . cosy + cos 2 y + sen 2 x + 2 . senx . seny + sen 2 y Organizando convenientemente a expressão, vem: A = (cos 2 x + sen 2 x) + (sen 2 y + cos 2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny Como os arcos são complementares, isto signifca que x + y = 90º \ y = 90º - x. Substituindo, vem: A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x) Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco é igual ao seno do seu complemento. Logo, substituindo, fca: A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta é a letra E. 8) Solução: Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem: Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx \ senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que sen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem: (sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3. 9. Solução: Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem: Para x: -1 £ 4x £ 1 => -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4]. Para y: Da defnição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2. Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2]. 10) Solução: Seja x o arco. Teremos: tg 2 x = 2 Desejamos calcular 3.cos 2 x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do arco. Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg 2 x = sec 2 x Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec 2 x = 3 Como sabemos que: secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem: sec 2 x = 1/ cos 2 x \ cos 2 x = 1/sec 2 x = 1/3 \ 3cos 2 x = 3(1/3) = 1 Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, é igual à unidade. Resposta: 1 Didatismo e Conhecimento 86 MATEMÁTICA ÁREA DAS FIGURAS PLANAS A Geometria é a parte da matemática que estuda as fguras e suas propriedades. A geometria estuda fguras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa idéia das fguras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo. As Figuras Básicas Aproveitaremos o cubo, fgura bastante conhecida de todos, para mencionar três fguras básicas da geometria: o ponto, a reta e o plano. No cubo seguinte, três faces são visíveis, e três não. As três faces visíveis têm em comum apenas o ponto A. Os matemáticos consideram que os pontos são tão pequenos que não chegam a ter tamanho algum. Para representar um ponto fazemos uma marca bem pequena no papel e para nomeá-lo usamos uma letra maiúscula: A, B, C, etc. Considere agora a face superior do cubo e a face que vemos à direita. Estas faces têm em comum o segmento de reta AB, com extremidades nos pontos A e B. O segmento AB (“tem começo e fm”) Nas próximas fguras, indicamos a semi-reta AB, de origem A, e a semi-reta BA, de origem B. A semi-reta AB (sua origem é A e “ela não tem fm”) A semi-reta BA (sua origem é B e “ela não tem fm”) A seguir, indicamos a reta AB. A reta AB (“não tem começo nem fm”) Os matemáticos consideram que as retas não têm largura. Para nomeá-las, além de notações como AB, é muito comum o uso de letras minúsculas: r, s, t, etc. Prolongando indefnidamente uma face de um cubo em todas as direções, como indica a próxima fgura, temos um plano. O plano α Os planos não têm espessura. Para nomeá-los, usamos letras gregas, principalmente as três primeiras α (alfa), β (beta) e γ (gama). Perímetro Entendendo o que é perímetro. Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento. Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé? A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja: P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1 P = 26 – 1 P = 25 Didatismo e Conhecimento 87 MATEMÁTICA Colocaríamos 25m de rodapé. A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro. Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma fgura plana. Área Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área: Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros. Se tivermos uma fgura do tipo: Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa fgura será de 4 unidades. No estudo da matemática calculamos áreas de fguras planas e para cada fgura há uma fórmula pra calcular a sua área. Área do Retângulo Existe dois tipos de retângulos: com lados todos iguais (quadrado) e com os lados diferentes. No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio: Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma fguras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo. O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode fcar também da seguinte forma: A = 6 . 4 A = 24 cm² Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é: A = b . h Quadrado É um tipo de retângulo específco, pois tem todos os lados iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula: Didatismo e Conhecimento 88 MATEMÁTICA Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos: A = . A= ² Área do Trapézio A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura). 2 Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área): Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como: Primeiro: completamos as alturas no trapézio: Segundo: o dividimos em dois triângulos: A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF). Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais. Cálculo da área do ∆CEF: A∆1 = B . h 2 Cálculo da área do ∆CFD: A∆2 = b . h 2 Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer: AT = A∆1 + A∆2 AT = B . h + b . h 2 2 AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evi- 2 dência, pois é um termo comum aos dois fatores. AT = h (B + b) 2 Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula: A = h (B + b) 2 h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio Área do Triângulo Observe o retângulo abaixo, ele está dividido ao meio pela diagonal: A área do retângulo é A = b. h, a medida da área de cada metade será a área do retângulo dividida por dois. Cada parte dividida do retângulo é um triângulo, assim podemos concluir que a área do triangulo será: A = b . h 2 Mas como veremos a altura no triângulo? A altura deve ser sempre perpendicular à base do triângulo. No triângulo retângulo é fácil ver a altura, pois é o próprio lado do triângulo, e forma com a base um ângulo de 90° (ângulo reto). Quando a altura não coincide com o lado do triângulo, devemos traçar uma reta perpendicular à base (formando um ângulo de 90º com a base) que será a altura do triângulo. Exemplo: Observe o triângulo eqüilátero (todos os lados iguais). Calcule a sua área. Didatismo e Conhecimento 89 MATEMÁTICA Como o valor da altura não está indicado, devemos calcular o seu valor, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no triângulo: 42 = h2 + 22 16 = h2 + 4 16 – 4 = h² 12 = h² h = √12 h = 2√3 cm Com o valor da altura, basta substituir na fórmula A = h (B + b) o valor da base e da altura. 2 A = 4 . 2√3 2 A = 2 . 2√3 A = 4 √3 cm2 Exercícios 1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então : a) m é um número primo b) m é primo e par c) m é um quadrado perfeito d) m = 0 e) m < 4 2. Se o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afrmar que : a) r é um número natural b) r = - 3 c) r é raiz da equação x 3 - x 2 + x + 14 = 0 d) r é um número inteiro menor do que - 3. e) não existe r nestas condições. 3. Se o ponto P(k, -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0, então o valor de k 2 é: a) 200 b) 196 c) 144 d) 36 e) 0 4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas; dados os pontos B(2, 3) e C(-4, 1), sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto. Nestas condições podemos afrmar que o ponto A é: a) (3,0) b) (0, -1) c) (0,4) d) (0,5) e) (0, 3) 5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W 2 é igual a: a) 25 b) 32 c) 34 d) 44 e) 16 6. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t:2x – 9y – 5 = 0. 7. (EPUSP/1966) Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x – y) = 0 constituem: a) uma reta b) uma senóide c) uma elipse d) um feixe de retas paralelas e) nenhuma das respostas anteriores 8. A equação x 2 – y 2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas cartesianas: a) uma hipérbole b) uma elipse c) uma circunferência d) uma parábola e) duas retas 9. UEMS, Uma folha de papel retangular foi dobrada conforme a fgura. Assinale a alternativa que represente corretamente o valor de x. a) 15º b) 20º c)30º d)40º e)45º 10. Na fgura, OD e OB são bissetrizes de EÔC e AÔC respectivamente. Sendo EÔC = 41º e AÔC = 29º40′, calcule a medida do ângulo BÔD: Didatismo e Conhecimento 90 MATEMÁTICA Respostas 1) Resposta “C”. Solução: Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y), então a sua abscissa é nula. Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e, portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 2 2 ). 2) Resposta “C”. Solução: Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x) possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2. Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 , ou seja: (-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confrma que -2 é raiz da equação. 3) Resposta “B”. Solução: Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0. Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196. Logo, a alternativa correta é a letra B. 4) Resposta “D”. Solução: Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB 2 + AC 2 = BC 2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y), já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula: AB 2 = (0 - 2) 2 + (y - 3) 2 = 4 + (y - 3) 2 AC 2 = (0 - (-4)) 2 + (y - 1) 2 = 16 + (y - 1) 2 BC 2 = (2 - (-4)) 2 + (3 - 1) 2 = 40 Substituindo, vem: 4 + (y - 3) 2 + 16 + (y - 1) 2 = 40 \ (y - 3) 2 + (y - 1) 2 = 40 - 4 - 16 = 20 Desenvolvendo, fca: y 2 - 6y + 9 + y 2 - 2y + 1 = 20 \ 2y 2 - 8y - 10 = 0 \ y 2 - 4y - 5 = 0, que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo. Portanto, o ponto procurado é A (0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D. 5) Resposta “C”. Solução: Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anterior, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M(3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34, ou seja, raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e, portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C. 6) Solução: t: 2x-9y-5=0 p(k,9) 2k 9.9-5=0 t: 2k -81 -5 = 0 t: 2k-86 = 0 2k = 86 k = 86/2 k = 43. 7) Resposta “D”. Solução: O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p , 2p , 3p , 4p, ... , kp, onde k é um número inteiro. Logo: sen(x - y) = 0 Þ x – y = kp. Daí, vem: y = - x + kp \ y = x - kp, k Î Z. Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infnito de retas de mesmo coefciente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja: ................................................................... k = - 1 reta: y = x + p k = 0 reta: y = x k = 1 reta: y = x - p , e assim sucessivamente. ................................................................... Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas). 8) Resposta “E”. Solução: Temos: x2 – y2 + x + y = 0; podemos escrever: (x – y)(x + y) + (x + y) = 0; Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2 Fatorando, fca: (x + y) (x – y + 1) = 0 Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente: x + y = 0 ou x – y + 1 = 0; Didatismo e Conhecimento 91 MATEMÁTICA Logo, y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à alternativa E. 9) Resposta “E”. Solução: Primeiramente, vamos dar nome aos vértices da fgura dobrada, Que forma um quadrilátero. Chame de A o vértice do ângulo de 70°, no sentido anti-horário, nomeie os respectivos vértices de B, C e D. Assim temos o quadrilátero ABCD. Trace a bissetriz do ângulo B e a chame de r (por r ser reta bissetriz, ela divide o ângulo, em dois ângulos de mesma medida, sendo o ângulo B igual a 90°, assim formaremos dois ângulos com medidas iguais a 45°). Considere, a reta que passa pelos pontos A e B, sendo esta transversal a reta r e ao lado inferior do retângulo. Daí, temos que a medida de x, vale 45°. Pois, o ângulo x e o ângulo formado pela bissetriz no vértice B, são alternos internos, portanto tem a mesma medida. Portanto, a resposta é letra “e”. 10) Solução: Sabendo que EÔC = 41º e são bissetrizes, basta dividir 41 por 2 = 20,5 É AÔC = 29º40′ por 2 = 14º7 Agora basta somar 20,5 + 14º5= BÔD = 30º20′ SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS CONCEITO - TIPOS DE SEQUÊNCIAS - TERMO GERAL Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem. No estudo da matemática estudamos um tipo de sequência, a sequência numérica. Essa seqüência que estudamos em matemática é composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem pré-estabelecida. Ao representarmos uma sequência numérica devemos colocar seus elementos entre parênteses. Veja alguns exemplos de sequências numéricas: - (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) é uma sequência de números pares positivos. - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de números naturais. - (10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10. - (10, 15, 20, 30) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35. Essas sequências são separadas em dois tipos: - Sequência fnita é uma sequência numérica na qual os elementos têm fm, como por exemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35. - Sequência infnita é uma sequência que não possui fm, ou seja, seus elementos seguem ao infnito, por exemplo: a seqüência dos números naturais. Em uma sequencia numérica qualquer, o primeiro termo é representado por a 1 , o segundo termo é a 2 , o terceiro a 3 e assim por diante. Em uma seqüência numérica fnita desconhecida, o último elemento é representado por an. A letra n determina o número de elementos da sequência. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... , a n , ... ) sequência infnita. (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... , a n ) sequência fnita. Para obtermos os elementos de uma sequência é preciso ter uma lei de formação da sequência. Por exemplo: Determine os cinco primeiros elementos de uma seqüência tal que an = 10 n + 1, n N* a1 = 10 1 + 1 = 10 + 1 = 11 a2 = 10 2 + 1 = 100 + 1 = 101 a3 = 10 3 + 1 = 1000 + 1 = 1001 a4 = 10 4 + 1 = 10000 + 1 = 10001 a5 = 10 5 + 1 = 100000 + 1 = 100001 Portanto, a seqüência será (11, 101, 1001, 10001, 100001). PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS E SUAS PROPRIEDADES Progressão Aritmética (PA) Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola. Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a 1 para o 1º termo, a 2 para o 2º termo até a n para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo a n é também chamado termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das sequências numéricas. As sequências podem ser fnitas, quando apresentam um último termo, ou, infnitas, quando não apresentam um último termo. As sequências infnitas são indicadas por reticências no fnal. Exemplos: - Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequência infnita com a 1 = 2; a 2 = 3; a 3 = 5; a 4 = 7; a 5 = 11; a 6 = 13 etc. - Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência infnita com a 1 = 1; a 2 = 3; a 3 = 5; a 4 = 7; a 5 = 9; a 6 = 11 etc. - Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência fnita com a 1 = 0; a 2 = 1; a 3 = 2; a 4 = 3; a 5 = 4; a 6 = 5; a 7 = 6; a 8 = 7; a 9 = 8; a 10 = 9. Didatismo e Conhecimento 92 MATEMÁTICA 1. Igualdade As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes. Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem. Exemplo A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17. Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) são diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 2. Formula Termo Geral Podemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo a n em função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor do termo a n e chamada formula do termo geral da sucessão. Exemplos - Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a: a n = n – 2n,com n € N*⇒ Teremos: A 1 = 1 2 – 2 . 1 ⇒ a 1 = 1 A 2 = 2 2 – 2 . 2 ⇒ a 2 = 0 A 3 = 3 2 – 2 . 3 ⇒ a 3 = 3 A 4 = 4 2 – 4 . 2 ⇒ a 4 = 8 A 5 = 5 5 – 5 . 2 ⇒ a 5 = 15 - Determinar os cinco primeiros termos da seqüência cujo termo geral é igual a: a n = 3 . n + 2, com n € N*. a 1 = 3 . 1 + 2 ⇒ a 1 = 5 a 2 = 3 . 2 + 2 ⇒ a 2 = 8 a 3 = 3 . 3 + 2 ⇒ a 3 = 11 a 4 = 3 . 4 + 2 ⇒ a 4 = 14 a 5 = 3 . 5 + 2 ⇒ a 5 = 17 - Determinar os termos a 12 e a 23 da sequência cujo termo geral é igual a: a n = 45 – 4 + n, com n € N*. Teremos: a 12 = 45 – 4 . 12 ⇒ a 12 = -3 a 23 = 45 – 4 . 23 ⇒ a 23 = -47 3. Lei de Recorrências Uma sequência pode ser defnida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma formula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências. Exemplos - Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: a 1 = 3 e a n+1 = 2 . a n - 4, em que n € N*. Teremos: a 1 = 3 a 2 = 2 . a 1 – 4 ⇒ a 2 = 2 . 3 – 4 ⇒ a 2 = 2 a 3 = 2 . a 2 – 4 ⇒ a 3 = 2 . 2 - 4 ⇒ a 3 = 0 a 4 = 2 . a 3 – 4 ⇒ a 4 = 2 . 0 - 4 ⇒ a 4 = -4 a 5 = 2 . a 4 – 4 ⇒ a 5 = 2 .(-4) – 4 ⇒ a 5 = -12 - Determinar o termo a 5 de uma sequência em que: a 1 = 12 e a n+ 1 = a n – 2, em que n € N*. a 2 = a 1 – 2 → a 2 = 12 – 2 → a 2 =10 a 3 = a 2 – 2 → a 3 = 10 – 2 → a 3 = 8 a 4 = a 3 – 2 → a 4 = 8 – 2 → a 4 = 6 a 5 = a 4 – 2 → a 5 = 6 – 2 → a 5 = 4 Observação 1 Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. Observação 2 Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser defnidas nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos. 4. Artifícios de Resolução Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA, é possível, através de artifícios de resolução, tornar o procedimento mais simples: PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r. PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r), razão igual a 2r. PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r), razão igual a r. Exemplo - Determinar os números a, b e c cuja soma é, igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente. Teremos: Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos: (b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5. Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido. Dessa forma a sequência passa a ser: (5 – r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto é igual a 105, ou seja: (5 – r) .5 . (5 + r) = 105 → 5 2 – r 2 = 21 r 2 = 4 → 2 ou r = -2. Didatismo e Conhecimento 93 MATEMÁTICA Sendo a PA crescente, fcaremos apenas com r= 2. Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7. 5. Propriedades P 1 : para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos. Exemplo Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: a n-1 , a n e a n+1 . Podemos afrmar que: I - a n = a n-1 + r II - a n = a n+ 1 –r Fazendo I + II, obteremos: 2a n = a n-1 + r + a n +1 - r 2a n = a n -1+ a n + 1 Logo: a n = a n -1 + an+1 2 Portanto, para três termos consecutivos de uma PA o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos. 6. Termos Equidistantes dos Extremos Numa sequência fnita, dizemos que dois termos são equidistantes dos extremos se a quantidade de termos que precederem o primeiro deles for igual à quantidade de termos que sucederem ao outro termo. Assim, na sucessão: (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,..., a p ,..., a k ,..., a n-3 , a n-2 , a n-1 , a n ), temos: a 2 e a n-1 são termos equidistantes dos extremos; a 3 e a n-2 são termos equidistantes dos extremos; a 4 a n-3 são termos equidistantes dos extremos. Notemos que sempre que dois termos são eqüudistantes dos extremos, a soma dos seus índices é igual ao valor de n + 1. Assim sendo, podemos generalizar que, se os termos a p e a k são equidistantes dos extremos, então: p + k = n+1. Propriedade Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos. Exemplo Sejam, numa PA de n termos, a p e a k termos equidistantes dos extremos. Teremos, então: I - a p = a 1 + (p – 1) . r ⇒ ap = a 1 + p . r – r II - a k = a 1 + (k – 1) . r ⇒ ak = a 1 + k . r – r Fazendo I + II, teremos: A p + a k = a 1 + p . r – r + a 1 + k . r – r A p + a k = a 1 + a 1 + (p + k – 1 – 1) . r Considerando que p + k = n + 1, fcamos com: a p + a k = a 1 + a 1 + (n + 1 – 1) . r a p + a k = a 1 + a 1 + (n – 1) . r a p + a k = a 1 + a n Portanto numa PA com n termos, em que n é um numero ímpar, o termo médios (a m ) é a media aritmética dos extremos. A m = a 1 + a n 2 7. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA Vamos considerar a PA (a 1 , a 2 , a 3 ,…,a n-2 , a n-1 ,a n ) e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja: S n = a 1 + a 2 + a 3 + …+ a n-2 + a n-1 + a n (igualdade I) Podemos escrever também: S n = a n + a n-1 + a n-2 + ...+ a 3 + a 2 + a 1 (igualdade II) Somando-se I e II, temos: 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n-1 ) + (a 3 + a n-2 ) + …+ (a n-2 + a 3 ) + (a n-1 + a 2 ) + (a n + a 1 ) Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre parênteses, são formadas por termos equidistantes dos extremos e que a soma destes termos é igual à soma dos extremos, temos: 2S n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + +… + (a 1 + a n ) → 2S n = ( a 1 + a n ) . n E, assim, fnalmente: S n = (a 1 + a n ) . n 2 Exemplo - Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 , 5, 8,...). Dados: a 1 = 2 r = 5 – 2 = 3 Calculo de a 60 : A 60 = a 1 + 59r → a 60 = 2 + 59 . 3 a 60 = 2 + 177 a 60 = 179 Calculo da soma: S n = (a 1 + a n ) n → S 60 = (a 1 + a 60 ) . 60 2 2 S 60 = (2 + 179) . 60 2 S 60 = 5430 Resposta: 5430 Progressão Geométrica (PG) PG é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante q chamada razão da PG. a n+1 = a n . q Com a 1 conhecido e n € N* Didatismo e Conhecimento 94 MATEMÁTICA Exemplos - (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 3 e razão q = 2. - (-36, -18, -9, , ,...) é uma PG de primeiro termo a 1 = -36 e razão q = . - (15, 5, , ,...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 15 e razão q = . - (-2, -6, -18, -54, ...) é uma PG de primeiro termo a 1 = -2 e razão q = 3. - (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 1 e razão q = -3. - (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 5 e razão q = 1. - (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 7 e razão q = 0. - (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 0 e razão q qualquer. Observação: Para determinar a razão de uma PG, basta efetuar o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido pelo anterior. q = a n +1 (a n ≠0) a n Classifcação As classifcações geométricas são classifcadas assim: - Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a 1 > 0 e q > 1 ou quando a 1 < 0 e 0 < q < 1. - Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a 1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a 1 < 0 e q > 1. - Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrario ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. - Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria. - Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a 1 = 0 ou q = 0. Formula do Termo Geral A defnição de PG está sendo apresentada por meio de uma lei de recorrências, e nos já aprendemos nos módulos anteriores que a formula do termo geral é mais pratica. Por isso, estaremos, neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrências, a fórmula do termo geral da progressão geométrica. Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razão q. Assim, teremos: a 2 = a 1 . q a 3 = a 2 . q = a 1 . q 2 a 4 = a 3 . q = a 1 . q 3 a 5 = a 4 . q = a 1 . q 4 . . . . . . a n = a 1 . q n-1 Exemplos - Numa PG de primeiro termo a 1 = 2 e razão q = 3, temos o termo geral na igual a: a n = a 1 . q n-1 → a n = 2 . 3 n-1 Assim, se quisermos determinar o termo a 5 desta PG, faremos: A 5 = 2 . 3 4 → a 5 = 162 - Numa PG de termo a 1 = 15 e razão q = , temos o termo geral na igual a: a n = a 1 . q n-1 → a n = 15 . n-1 Assim, se quisermos determinar o termo a 6 desta PG, faremos: A 6 = 15 . → a 6 = - Numa PG de primeiro termo a 1 = 1 e razão = -3 temos o termo geral na igual a: a n = a 1 . q n-1 → a n = 1 . (-3) n-1 Assim, se quisermos determinar o termo a 4 desta PG, faremos: A 4 = 1 . (-3) 3 → a 4 = -27 Artifícios de Resolução Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PG, é possível através de alguns elementos de resolução, tornar o procedimento mais simples. PG com três termos: a; aq PG com quatro termos: ; ; aq; aq 3 PG com cinco termos: ; ; a; aq; aq 2 Exemplo Considere uma PG crescente formada de três números. Determine esta PG sabendo que a soma destes números é 13 e o produto é 27. Vamos considerar a PG em questão formada pelos termos a, b e c, onde a = e c = b . q. Assim, . b . bq = 27 → b 3 = 27 → b = 3. Temos: + 3 +3q = 13 → 3q 2 – 10q + 3 = 0⇒ q = 3 ou q = Didatismo e Conhecimento 95 MATEMÁTICA Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a nossa PG é dada pelos números: 1, 3 e 9. Propriedades P 1 : Para três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois. Exemplo Vamos considerar três termos consecutivos de uma PG: a n-1 , a n e a n+1 . Podemos afrmar que: I – a n = a n-1 . q e II – a n = a n+1 q Fazendo I . II, obteremos: (a n ) 2 = (a n-1 . q). ( a n+1 ) ⇒ (a n ) 2 = a n-1 . a n+1 q Logo: (a n ) 2 = a n-1 . a n+1 Observação: Se a PG for positive, o termo médio será a media geométrica dos outros dois: a n = √a n-1 . a n+1 P 2 : Numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos. Exemplo Sejam, numa PG de n termos, a p e a k dois termos equidistantes dos extremos. Teremos, então: I – a p = a 1 . q p-1 II – a k = a 1 . q k-1 Multiplicando I por II, fcaremos com: a p . a k = a 1 . q p-1 . a 1 . q k-1 a p . a k = a 1 . a 1 . q p-1+k-1 Considerando que p + k = n + 1, fcamos com: a p . a k = a 1 . a n Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos. Observação: Numa PG positiva, com n termos, onde n é um numero impar, o termo médio (a m ) é a media geométrica dos extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos. a m = √a 1 . a n Soma dos termos de uma PG Soma dos n Primeiros Termos de uma PG Vamos considerar a PG (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n-2 , a n-1 , a n ), com q diferente de 1 e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja: S n = a 1 + a 2 + a 3 + ...+a n-2 + a n-1 + a n ( igualdade I) Podemos escrever, multiplicando-se, membro a membro, a igualdade ( I ) por q: q . S n = q . a 1 + q . a 2 + q . a 3 + ...+ q . a n-2 + + q . a n-1 + q . a n Utilizando a formula do termo geral da PG, ou seja, a n = a 1 . q n-1 , teremos: q . S n = a 2 + a 3 + ... + a n-2 + a n-1 + a n + a1 . q n (igualdade II) Subtraindo-se a equação I da equação II, teremos: q . S n – S n = a 1 . q n – a 1 → s n . (q – 1) = = a 1 . (q n – 1) E assim: S n = a 1 . (q n – 1) q – 1 Se tivéssemos efetuado a subtração das equações em ordem inversa, a fórmula da soma dos termos da PG fcaria: S n = a 1 . (1 – q n ) 1 – q Evidentemente que por qualquer um dos “caminhos” o resultado fnal é o mesmo. É somente uma questão de forma de apresentação. Observação: Para q = 1, teremos s n = n . a 1 Série Convergente – PG Convergente Dada a sequência ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ,..., a n-2 , a n-1 , a n ), chamamos de serie a sequência S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 ,..., S n-2 , s n-1 , s n ,tal que: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3 S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 S 5 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 . . . S n-2 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ...+ a n-2 S n-1 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ...+ a n-2 + a n-1 S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ...+ a n-2 + a n-1 + a n Vamos observar como exemplo, numa PG com primeiro termo a 1 = 4 e razão q = , à série que ela vai gerar. Os termos que vão determinar a progressão geométrica são: (4, 2, 1, , 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, , , , ...) E, portanto, a série correspondente será: S 1 = 4 S 2 = 4 + 2 = 6 S 3 = 4 + 2 + 1 = 7 S 4 = 4 + 2 + 1 + = = 7, 5 S 5 = 4 + 2 + 1 + + = = 7, 75 S 6 = 4 + 2 + 1 + + + = = 7, 875 S 7 = 4 + 2 + 1 + + + + = = 7, 9375 Didatismo e Conhecimento 96 MATEMÁTICA S 8 = 4 + 2 + 1 + + + + + = = 7, 96875 S 9 = 4 + 2 + 1 + + + + + + = = 7, 984375 S 10 = 4 + 2 + 1 + + + + + + + = = 7, 9921875 Devemos notar que a cada novo termo calculado, na PG, o seu valor numérico cada vez mais se aproxima de zero. Dizemos que esta é uma progressão geométrica convergente. Por outro lado, na serie, é cada vez menor a parcela que se acrescenta. Desta forma, o ultimo termos da serie vai tendendo a um valor que parece ser o limite para a série em estudo. No exemplo numérico, estudado anteriormente, nota-se claramente que este valor limite é o numero 8. Bem, vamos dar a esta discussão um caráter matemático. É claro que, para a PG ser convergente, é necessário que cada termo seja, um valor absoluto, inferior ao anterior a ele. Assim, temos que: PG convergente → | q | < 1 ou PG convergente → -1 < 1 Resta estabelecermos o limite da serie, que é o S n para quando n tende ao infnito, ou seja, estabelecermos a soma dos infnitos termos da PG convergente. Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG: S n = a 1 . (1 – q n ) 1 – q Estando q entre os números -1e 1 e, sendo n um expoente que tende a um valor muito grande, pois estamos somando os infnitos termos desta PG, é fácil deduzir que q n vai apresentando um valor cada vez mais próximo de zero. Para valores extremamente grandes de n não constitui erro considerar que q n é igual a zero. E, assim, teremos: S = a 1 1 – q Observação: Quando a PG é não singular (sequência com termos não nulos) e a razão q é de tal forma que q | ≥ 1, a serie é divergente. Séries divergentes não apresentam soma fnita. Exemplos - A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo- se os pontos médios de seus lados, obtém-se o segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triangulo equilátero, obtém-se um terceiro, e assim por diante, indefnidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos. Solução: Temos: perímetro do 1º triangulo = 30 perímetro do 2º triangulo = 15 perímetro do 3º triangulo = Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infnita 30, 15, ,... na qual a 1 = 30 e q =. S = a 1 → s = = 60. Exercícios 1. Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 2. O valor de n que torna a sequência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo: a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3] 3. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se a n , em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a 30 + a 55 é igual a: a) 58 b) 59 c) 60 d) 61 e) 62 4. A soma dos elementos da sequência numérica infnita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: a) 3,1 b) 3,9 c) 3,99 d) 3, 999 e) 4 5. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa PA., com o décimo quinto termo, vale: a) 3,0 b) 1,0 c) 1,5 d) -1,5 e) -3,0 6. Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede: Didatismo e Conhecimento 97 MATEMÁTICA a) 28° b) 32° c) 36° d) 48° e) 50° 7. Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: a) 1 b) 10 c) 100 d) -1 e) -10 8. Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729, então sendo a, b e c os três primeiros termos, pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2. 9. O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefnidamente é igual a: a) 1/x b) x c) 2x d) n.x e) 1978x 10. Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ? Respostas 1) Resposta “D”. Solução: Sejam (a 1 , a 2 , a 3 ,…) a PA de r e (g 1 , g 2 , g 3 , …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais: 1 - a 1 = g 1 = 4 2 - a 3 > 0, g 3 > 0 e a 3 = g 3 3 - a 2 = g 2 + 2 Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações: 4 - a 3 = a 1 + 2r e g 3 = g 1 . q 2 → 4 + 2r = 4q 2 5 - a 2 = a 1 + r e g 2 = g 1 . q → 4 + r = 4q + 2 Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem: 5 - r = 4q + 2 – 4 → r = 4q – 2 4 - 4 + 2(4q – 2) = 4q 2 → 4 + 8q – 4 = 4q 2 → 4q 2 – 8q = 0 → q(4q – 8) = 0 → q = 0 ou 4q – 8 = 0 → q = 2 Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5): r = 4q – 2 → r = 8 – 2 = 6 Para concluir calculamos a 3 e g 3 : a 3 = a 1 + 2r → a 3 = 4 + 12 = 16 g 3 = g 1 .q 2 → g 3 = 4.4 = 16 2) Resposta “B”. Solução: Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da defnição de PA): (1) -5n = 2 + 3n + r (2) 1 – 4n = -5n + r Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2): (1) → r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2 (2) → 1 – 4n = -5n – 8n – 2 → 1 – 4n = -13n – 2 → 13n – 4n = -2 – 1 → 9n = -3 → n = -3/9 = -1/3 Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b. 3) Resposta “B”. Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …). Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 Para determinar a 30 + a 55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: - Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; - Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. Daqui e de (1) obtemos que: a n = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar a n = 8 + (n/2) - 1 se n é par Logo: a 30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e a 55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 E, portanto: a 30 + a 55 = 22 + 37 = 59. 4) Resposta “E”. Solução: Sejam S as somas dos elementos da sequência e S 1 a soma da PG infnita (0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q = 10 - 1 = 0,1. Assim: S = 3 + S 1 Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infnita para obter S 1 : S 1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 5) Resposta “D”. Solução: Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA: S 20 = 20(a 1 + a 20 )/2 = -15 Na PA fnita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que: 15 + 6 = 20 + 1 = 21 Didatismo e Conhecimento 98 MATEMÁTICA E, portanto: a 6 + a 15 = a 1 + a 20 Substituindo este valor na primeira igualdade vem: 20(a 6 + a 15 )/2 = -15 → 10(a6 + a15) = -15 → a 6 + a 15 = -15/10 = -1,5. 6) Resposta “D”. Solução: Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos: (x, 2x, 4x, 8x). Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º. Logo, x + 2x + 4x + 8x = 360º 15.x = 360º Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º. O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D. 7) Resposta “B”. Solução: Observe que podemos escrever a soma S como: S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10 n – 1) S = (10 – 1) + (10 2 – 1) + (10 3 – 1) + (10 4 – 1) + ... + (10 n – 1) Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, resultando em n(-1) = - n. Logo, poderemos escrever: S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n Vamos calcular a soma S n = 10 + 10 2 + 10 3 + 10 4 + ... + 10 n , que é uma PG de primeiro termo a 1 = 10, razão q = 10 e último termo a n = 10 n . Teremos: S n = (a n .q – a 1 ) / (q –1) = (10 n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10 n+1 – 10) / 9 Substituindo em S, vem: S = [(10 n+1 – 10) / 9] – n Deseja-se calcular o valor de 10 n+1 - 9(S + n) Temos que S + n = [(10 n+1 – 10) / 9] – n + n = (10 n+1 – 10) / 9 Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fca: 10 n+1 – 9(S + n) = 10 n+1 – 9(10 n+1 – 10) / 9 = 10 n+1 – (10 n+1 – 10) = 10. 8) Resposta “819”. Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq). Como o produto dos 3 termos vale 729, vem: x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: x 3 = 729 = 3 6 = 3 3 . 3 3 = 9 3 , logo, x = 9. Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo: 9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0 Multiplicando ambos os membros por q, fca: 9 + 9q 2 – 30q = 0 Dividindo por 3 e ordenando, fca: 3q 2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau. Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3. Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3. O problema pede a soma dos quadrados, logo: a 2 + b 2 + c 2 = 27 2 + 9 2 + 3 2 = 729 + 81 + 9 = 819. 9) Resposta “B”. Solução: Observe que a expressão dada pode ser escrita como: x 1/2 . x 1/4 . x 1/8 . x 1/16 . ... = x 1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... O expoente é a soma dos termos de uma PG infnita de primeiro termo a 1 = 1 /2 e razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a 1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1 Então, x 1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x 1 = x 10) Resposta “6171”. Solução: Dados: M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000. M(7) = 1001, 1008, ..., 9996. M(35) = 1015, 1050, ... , 9975. M(1) = 1, 2, ..., 10000. Para múltiplos de 5, temos: a n = a1+ (n-1).r → 10000 = 1000 + (n - 1). 5 → n = 9005/5 → n = 1801. Para múltiplos de 7, temos: a n = a1+ (n-1).r → 9996 = 1001 + (n - 1). 7 → n = 9002/7 → n = 1286. Para múltiplos de 35, temos: a n = a1 + (n - 1).r → 9975 = 1015 + (n - 1).35 → n = 8995/35 → n = 257. Para múltiplos de 1, temos: a n = a1 = (n -1).r → 10000 = 1000 + (n - 1).1 → n = 9001. Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos). Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35). Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171 Didatismo e Conhecimento 99 MATEMÁTICA MATRIZES E DETERMINANTES MATRIZES RETANGULARES E QUADRADAS - TIPOS DE MATRIZES - OPERAÇÕES COM MATRIZES - CONCEITO E CÁLCULO DE DETERMINANTES A tabela seguinte mostra a situação das equipes no Campeonato Paulista de Basquete masculino. Campeonato Paulista – Classifcação Time Pontos 1º Tilibra/Copimax/Bauru 20 2º COC/Ribeirão Preto 20 3º Unimed/Franca 19 4º Hebraica/Blue Life 17 5º Uniara/Fundesport 16 6º Pinheiros 16 7º São Caetano 16 8º Rio Pardo/Sadia 15 9º Valtra/UBC 14 10º Unisanta 14 11º Leitor/Casa Branca 14 12º Palmeiras 13 13º Santo André 13 14º Corinthians 12 15º São José 12 Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete) Folha de S. Paulo – 23/10/01 Observando a tabela, podemos tirar conclusões por meio de comparações das informações apresentadas, por exemplo: → COC/Ribeirão lidera a classifcação com 20 pontos juntamente com Tilibra/Bauru → Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna. Defnições Chamamos de matriz m x n (m Є N* e n Є N*) qualquer tabela formada por m . n elementos (informações) dispostos em m linhas e n colunas Exemplos 1º) 1 0 -2 3 é uma matriz 2 x 4 1 1 3 2 2º) 1 0 1 é uma matriz 3 x 3 2 3 3 1 4 2 3º) [ 1 0 3 ] é uma matriz 1 x 3 4º) 2 é uma matriz 2 x 1 0 O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiúsculas do alfabeto latino, A, por exemplo, enquanto os elementos da matriz são indicados por letras latinas minúsculas, a mesma do nome de matriz, afetadas por dois índices, que indicam a linha e a coluna que o elemento ocupa na matriz. Assim, um elemento genérico da matriz A é representado por aij. O primeiro índice, i, indica a linha que esse elemento ocupa na matriz, e o segundo índice, j, a coluna desse comando. Exemplo Na matriz B de ordem 2 x 3 temos: B= 1 0 3 2 -1 4 b 11 = 1; b 12 = 0; b 13 = 3; b 21 = 2; b 22 = -1; b 23 = 4 Observação: O elemento b 23, por exemplo, lemos assim: “b dois três” De uma forma geral, a matriz A, de ordem m x n, é representada por: a 11 a 12 a 13 ... a 1n a 21 a 22 a 23 ... a 2n A= a 31 a 32 a 33 ... a 3n ... ... ... ... ... a m1 a m2 a m3 ... a mn Ou com a notação abreviada: A = (a ij ) m x n Matrizes Especiais Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matrizes especiais: 1ª. Matriz Linha É a matriz que possui uma única linha. Exemplos - A = [-1, 0] - B = [1 0 0 2] 2ª. Matriz Coluna É a matriz que possui uma única coluna. Exemplos 0 1º) A = 2 2º) B = -1 1 3 Didatismo e Conhecimento 100 MATEMÁTICA 3ª) Matriz Nula É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Exemplos 1º) A = 2º) B = 4ª. Matriz Quadrada É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de linhas igual ao número de colunas. Exemplos 1º) A = É a matriz quadrada de ordem 2. Observações: Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular. Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem índices iguais. Exemplo {a 11 , a 22 , a 33 , a 44 } é a diagonal principal da matriz A. 3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1. Exemplo {a 14 , a 23 , a 32 , a 41 } é a diagonal secundária da matriz A. 5ª. Matriz Diagonal É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não pertencentes à diagonal principal, iguais a zero. Exemplos 1º) A = 6ª) Matriz Identidade É a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por I n . Exemplos 1º) I 2 = 2º) I 3 = Observação: Para uma matriz identidade I n = (a ij ) n x n 7ª. Matriz Transposta Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-se “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por A t . Exemplo A = , então A t = Observação: Se uma matriz A é de ordem m x n, a matriz A t , transposta de A, é de ordem n x m. Igualdade de Matrizes Sendo A e B duas matriz de mesma ordem, dizemos que um elemento de matriz A é correspondente a um elemento de B quando eles ocupam a mesma posição nas respectivas matrizes. Exemplo Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2, A = e B = São elementos correspondentes de A e B, os pares: a 11 e b 11 ; a 12 e b 12 ; a 21 e b 21 ; a 22 e b 22 . Defnição Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais. Indica-se: A = B Então: A = (a ij ) n x n e B = (b ij ) p x q Observações: Dada uma matriz A = (a ij ) m x n , dizemos que uma matriz B = (b ij ) m x n é oposta de A quando b ij = -a ij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Indicamos que B = -A. Exemplo A = ⇒ -B = - Dizemos que uma matriz quadrada A = (a ij ) m x n é simétrica quando a ij = a ji para todo i , Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n . Isto é, A = A t . - Dizemos que uma matriz quadrada A = (a ij ) m x n é anti- simétrica quando a ij = -a ij para todo i , Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n . Isto é, A é anti-simétrica quando A t = -A. Didatismo e Conhecimento 101 MATEMÁTICA Adição e Subtração de Matrizes Defnição Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n, denominamos soma da matriz A com a matriz B à matriz C, de ordem m x n, cujos elementos são obtidos quando somamos os elementos correspondentes das matrizes A e B. Indicamos: C = A + B Assim: + = Propriedades da Adição Sendo A, B e C matrizes m x n e O a matriz nula m s n, valem as seguintes propriedades. - A + B = B + A (comutativa) - (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) - A + O = O + A = A (elemento neutro) - A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto) - (A + B) t = A t + B t Defnição Consideremos duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem m x n. Chamamos de diferença entre A e B (indicamos com A – B) a soma de A com a oposta de B. A – B = A + (B) Exemplo Sendo A = e B = , então: A - B = - A - B = + A - B = A - B = Observação: Na prática, para obtermos a subtração de matrizes de mesma ordem, basta subtrairmos os elementos correspondentes. Multiplicação de Matrizes por um Número Real Defnição Consideremos uma matriz A, de ordem m x n, e um número real. O produto de por A é uma matriz B, de ordem m x n, obtida quando multiplicamos cada elemento de A por. Indicamos: B = o . A Exemplo Sendo A = , temos 2 . A = = Matrizes – Produtos Multiplicação de Matrizes O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (a ij ) m x p por uma matriz B = (b ij ) p x n é uma matriz C = (c ij ) m x n , de modo que cada elemento c ij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos. Indicamos: C = A . B Da defnição, decorre que: - Só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. - A matriz C, produto de A m x p por B P x n , é do tipo m x n. Propriedades Sendo A uma matriz de ordem m x n, B e C matrizes convenientes e, são válidas as seguintes propriedades. - ( A . B) . C = A . (B . C) (associativa) - C . (A + B) = C . A + C . B (distributiva pela esquerda) - (A + B) . C = A . C + B (distributiva pela direita) - A . I n = I m . A = A (elemento neutro) - (a . A) . B = A . (a . B ) = . (A . B) - A . O n x p = O m x p e O p x m . A = O p x n - (A . B) t = B t . A t Observação: Para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa (A . B ≠ B . A). Esta propriedade só é verdadeira em situações especiais, quando dizemos que as matrizes são comutáveis. Devemos levar em consideração os fatos seguintes: 1º) (A + B) ≠ A 2 + 2AB + B 2 , pois (A + B) 2 = (A + B)(A+B) + A 2 + AB + BA + B 2 2º) (A . B) t ≠ A t . B t , pois, pela 7ª propriedade, devemos ter (A . B) t = B t . A t Didatismo e Conhecimento 102 MATEMÁTICA Determinantes Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir. Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras verticais, como no exemplo abaixo: A= ( ¸ ( ¸ 5 4 2 1 → det A= 5 4 2 1 Defnições Determinante de uma Matriz de Ordem 1 Seja a matriz quadrada de ordem 1: A=[a 11 ] Chamamos determinante dessa matriz o número: det A=[ a 11 ]= a 11 Exemplos 1º) A=[-2] → det A=-2 2º) B=[5] → det B=5 3º) C=[0] → det C=0 Determinante de uma Matriz de ordem 2 Seja a matriz quadrada de ordem 2: A= ( ¸ ( ¸ 22 21 12 11 a a a a Chamamos de determinante dessa matriz o número: det A= 22 21 12 11 a a a a =a 11 .a 22 -a 21 .a 12 Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Esquematicamente: det A= 22 21 12 11 a a a a = a 11 .a 22 -a 21 .a 12 Exemplos 1º) A= ( ¸ ( ¸ 3 5 2 1 det A=1.3-5.2=-7 2º) B= ( ¸ ( ¸ − 3 2 1 2 det B=2.3-2.(-1)=8 Determinante de uma Matriz de Ordem 3 Seja a matriz quadrada de ordem 3: A= ( ( ( ¸ ( ¸ 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a Chamamos determinante dessa matriz o numero: detA= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 32 a 21 a 13 -a 31 a 22 a 13 + -a 12 a 21 a 33 -a 32 a 23 a 11 R REGRA DE SARRUS Para memorizarmos a defnição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus: 1º) Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz. a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos produtos, temos: detA= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 13 a 22 a 31 + -a 11 a 23 a 32 -a 12 a 21 a 33 Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas, ao invés de repetirmos a 1º e 2º colunas. Determinantes – Propriedades - I Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplifcar o cálculo dos determinantes: Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta A t . Exemplo A= ⇒ ( ¸ ( ¸ d c b a A t = ( ¸ ( ¸ d b c a A A bc ad A bc ad A t t det det det det = ⇒ ) ` ¹ − = − = Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a posição de duas flas paralelas, então: detB = -detA Didatismo e Conhecimento 103 MATEMÁTICA Exemplo A= ( ¸ ( ¸ d c b a e B= ( ¸ ( ¸ b a d c B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A. detA=ad-bc detB=BC-ad=-(ad-bc)=-detA Assim, detB=-detA Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas flas paralelas “iguais”tem determinante igual a zero. Justifcativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas flas (linha ou coluna “iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA Assim: detA = 0 Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos uma de sua flas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência”um “fator comum” de uma fla (linha ou coluna). Exemplo d c kb ka =k. ( ¸ ( ¸ d c b a - Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos de A por k, então: det(k.A)=k n .detA Exemplo A= ⇒ ( ( ( ¸ ( ¸ i h g f e d c b a k.A= ( ( ( ¸ ( ¸ ki kh kg kf ke kd kc kb ka det(k.A)= ki kh kg kf ke kd kc kb ka =k.k.k. i h g f e d c b a Assim: det(k.A)=k 3 .detA Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fla, em que os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então. detC = detA + detB Exemplos: z f e y d c x b a + t f e s d c r b a = t z f e s y d c r x b a + + + Propriedades dos Determinantes Propriedades 5 (Teorema de Jacobi) O determinante não se altera, quando adicionamos uma fla qualquer com outra fla paralela multiplicada por um número. Exemplo Exemplo Considere o determinante detA= i h g f e d c b a Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos: mg i h g md f e d ma c b a + + + ) 4 (P i h g f e d c b a mg h g md e d ma b a + mg i h g md f e d ma c b a + + + g h g d e d a b a m A+ = det Igual a zero mg i h g md f e d ma c b a + + + = detA Exemplo Vamos calcular o determinante D abaixo. D=8+0+0-60-0-0=-52 Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular: D 1 =48+0+0-100-0-0=-52 Observe que D 1 =D, de acordo com a propriedade. Didatismo e Conhecimento 104 MATEMÁTICA Consequência Quando uma fla de um determinante é igual à soma de múltiplos de flas paralelas (combinação linear de flas paralelas), o determinante é igual a zero. Exemplo Seja D= 05 1 4 12 2 3 8 2 1 − Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª coluna multiplicada por 3. 8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3 Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0 Use a regra de Sarrus e verifque. Propriedade 6 (Teorema de Binet) Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então: det(A.B) = detA . detB Exemplo A= ⇒ | | . | \ | 3 0 2 1 detA=3 B= ⇒ | | . | \ | 1 2 3 4 detB=-2 A.B= ⇒ | | . | \ | 3 6 5 8 det(A.B)=-6 Logo, det(AB)=detA. detB Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e n∈N*, temos: det(A n ) = (detA) n Sendo A uma matriz inversível, temos: detA -1 = A det 1 Justifcativa: Seja A matriz inversível. A -1 .A=I det(A -1 .A)=det I detA -1 .detA=det I detA -1 = A det 1 um vez que det I=1, onde i é a matriz identidade. Determinantes – Teorema de Laplace Menor complementar e Co-fator Dada uma matriz quadrada A=(a ij ) nxn (n ≥2), chamamos menor complementar do elemento a ij e indicamos por M ij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. Exemplo Sendo A= ( ( ( ¸ ( ¸ 2 1 2 0 1 4 3 2 1 , temos: M 11 = 2 1 0 1 =2 M 12 = 2 2 0 4 =8 M 13 = 1 2 1 4 =2 Chamamos co-fatorn do elemento a ij e indicamos com A ij o número (-1) i+j .M ij , em que M ij é o menor complementar de a ij . Exemplo Sendo A ( ( ( ¸ ( ¸ − − 0 3 1 3 1 2 4 1 3 , temos: A 11 =(-1) 1+1 .M 11 =(-1) 2 . 0 3 3 1 =-9 A 12 =(-1) 1+2 .M 12 =(-1) 3 . 0 1 3 2 − =-3 A 33 =(-1) 3+3 .M 33 =(-1) 6 . 1 2 1 3 − =5 Dada uma matriz A=(a ij ) nxm , com n ≥2, chamamos matriz co-fatora de A a matriz cujos elementos são os co-fatores dos elementos de A; indicamos a matriz co-fatora por cof A. A transposta da matriz co-fatora de A é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj. A. Exemplo Sendo A= ( ( ( ¸ ( ¸ − 1 2 4 1 0 1 2 3 1 , temos: A 11 =(-1) 1+1 . 1 2 1 0 − =2 A 12 =(-1) 1+2 . 1 4 1 1 − =-5 A 13 =(-1) 1+3 . 2 4 0 1 =2 A 21 =(-1) 2+1 . 1 2 2 3 =1 A 22 =(-1) 2+2 . 1 4 2 1 =-7 Didatismo e Conhecimento 105 MATEMÁTICA A 23 =(-1) 2+3 . 2 4 3 1 =10 A 31 =(-1) 3+1 . 1 0 2 3 − =-3 A 32 =(-1) 3+2 . 1 1 2 1 − =3 A 33 =(-1) 3+3 . 0 1 3 1 =-3 Assim: cof A = ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − 3 3 3 10 7 1 2 5 2 ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − 3 3 3 10 7 1 2 5 2 e adj A= ( ( ( ¸ ( ¸ − − − − 3 10 2 3 7 5 3 1 2 Determinante de uma Matriz de Ordem n Defnição. Vimos até aqui a defnição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então: - Para n = 1 A=[a 11 ] ⇒det A=a 11 - Para n ≥ 2: A= ∑ = = ⇒ ( ( ( ( ¸ ( ¸ n j j j nn n n n n A a A a a a a a a a a a 1 1 1 2 1 2 22 21 1 12 11 . det ... ... .......... .......... ... .... ou seja: detA = a 11 .A 11 +a 12 .A 12 +…+a 1n .A 1n Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n ≥2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos co-fatores. Exemplos 1º) Sendo A= ( ¸ ( ¸ 22 21 12 11 a a a a , temos: detA=a 11 .A 11 +a 12 .A 12 , onde: A 11 =(-1) 1+1 .|a 22 |=a 22 A 12 =(-1) 1+2 .|a 21 |=a 21 Assim: detA=a 11 .a 22 +a 12 .(-a 21 ) detA=a 11 .a 22 -a 21 .a 12 Nota: Observamos que esse valor coincide com a defnição vista anteriormente. - Sendo A= ( ( ( ( ¸ ( ¸ − 2 0 3 9 3 4 5 23 2 3 2 1 0 0 0 3 , temos: detA=3.A 11 + ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ zero A A A 14 13 12 . 0 . 0 . 0 + + A 11 =(-1) 1+1 . ( ( ( ¸ ( ¸ 2 0 3 3 4 1 2 3 2 =-11 Assim: detA=3.(-11) ⇒ det A=-33 Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado. Teorema de Laplace Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n ⇒2, seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fla (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores. Exemplo Sendo A= ( ( ( ( ¸ ( ¸ − 0 2 2 3 0 0 1 4 0 1 2 3 2 1 0 5 Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que calcular apenas um co-fator. Assim: detA=2.A 14 +0.A 24 +0.A 34 +0.A 44 A 14 =(-1) 1+4 ( ( ( ¸ ( ¸ − 2 2 3 0 1 4 1 2 3 =+21 detA=2.21=42 Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com a regra de Sarrus, por exemplo. - O cálculo de um determinante fca mais simples, quando escolhemos uma fla com a maior quantidade de zeros. - A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace. Didatismo e Conhecimento 106 MATEMÁTICA Exemplo Calcule det A sendo A= ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − 3 6 4 3 2 1 3 2 1 2 1 0 1 3 2 1 A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de Laplace, calcularemos ainda três co-fatores. Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero”em A 31 =-2 e A 41 =3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos: A= ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − − 0 3 2 0 4 7 7 0 1 2 1 0 1 3 2 1 Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna: detA=1.(-1) 1+1 . ( ( ( ¸ ( ¸ − − − 0 3 2 4 7 7 1 2 1 = ( ( ( ¸ ( ¸ − − − 0 3 2 4 7 7 1 2 1 Aplicamos a regra de Sarrus, det A=(0-16-21)-(-14+12+0) detA=0-16-21+14-12-0=-49+14 detA=-35 Uma aplicação do Teorema de Laplace Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; podemos verifcar isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular inferior. Assim: 1ª) A é triangular superior A= ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ nn n n n a a a a a a a a a a ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 .... 3 33 2 23 22 1 13 12 11 detA=a 11 .a 22 .a 33 . … .a nn 2ª) A é triangular inferior A= ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... 0 .... 3 2 1 3 33 32 31 2 22 21 1 13 12 11 detA=a 11 .a 22 .a 33 . … .a nn I n = ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 detI n= 1 Determinante de Vandermonde e Regra de Chió Uma determinante de ordem n ≥ 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente. Exemplos 1º) Determinante de Vandermonde de ordem 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a 2º) Determinante de Vandermonde de ordem 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d c b a d c b a d c b a Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos. Propriedade Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do determinante. Didatismo e Conhecimento 107 MATEMÁTICA Exemplo Calcule o determinante: detA= 49 7 1 16 4 1 4 2 1 Sabemos que detA=detA t , então: detA t = 49 16 1 7 4 2 1 1 1 Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então: detA=(4-2).(7-2).(7-4)=2.5.3=30 Exercícios 1. Escreva a matriz A = (a ij ) 2 x 3 tal que a ij = 2i + j. 2. Obtenha o valor de x e y sabendo que a matriz A = é nula. 3. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz . 4. Calcule o valor a e b, sabendo que = 5. Sabendo que a matriz A = é matriz diagonal, calcule x, y e z. 6. Sabendo que I 2 = calcule x e y. 7. Escreva a matriz oposta de A = (aij) 2x 2 sabendo que a ij = i + j. 8. Escreva a matriz transposta A = (a ij ) 3 x 3 dada por a ij = i – 2j. 9. Dada a matriz A = calcule o valor de a para que A seja simétrica. 10. Calcule A + B sabendo que A = e B = Respostas 1) Solução: Sendo a matriz A do tipo 2 x 3, temos: A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11 = 2 . 1 + 1 = 3 a 12 = 2 . 1 + 2 = 4 a 13 = 2 . 1 + 3 = 5 a 21 = 2 . 2 + 1 = 5 a 22 = 2 . 2 + 2 = 6 a 23 = 2 . 2 + 3 = 7 Portanto, A = 2) Solução: Como a matriz A é nula, então todos os seus elementos são nulos. Logo: x + 1 = 0 → x = -1 y – 2 = 0 → y = -2 3) Solução: Os elementos da diagonal principal são 1, 5 e 9; logo, 1 + 5 + 9 = 15. Os elementos da diagonal secundária são 3, 5 e 7; logo, 3 + 5 + 7 = 15. Portanto, a soma procurada é 15 + 15, ou seja, 30. 4) Solução: Como as matrizes são iguais, devemos ter: a + 4 = 5 → a = 1 b² = 4 → b = 2 ou b = -2 5) Solução: Como a matriz A é matriz diagonal, devemos ter: x + 2 = 0 → x = -2 y – 1 = 0 → y = 1 z – 4 = 0 → z = 4. Portanto, x = -2, y = 1 e z = 4. 6) Solução: Como I 2 = , devemos ter x – y = 1 e x + y = 0. Resolvendo o sistema encontramos x = 7) Solução: A = → a 11 = 1 + 1 = 2, a 12 = 1 + 2 = 3, a 21 = 2 + 1 = 3, a 22 = 2 + 2 = 4. Logo, A = e –A = . 8) Solução: A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 = 1 – 2 . 1 = -1 a 12 = 1 – 2 . 2 = -3 a 13 = 1 – 2 . 3 = -5 a 21 = 2 – 2 . 1 = 0 Didatismo e Conhecimento 108 MATEMÁTICA a 22 = 2 – 2 . 2 = -2 a 23 = 2 – 2 . 3 = -4 a 31 = 3 – 2 . 1 = 1 a 32 = 3 – 2 . 2 = -1 a 33 = 3 – 2 . 3 = -3 Portanto, A = e A t = . 9) Solução: A matriz A será simétrica se A t = A. A t = . Então devemos ter → a² = 4 Portanto, a = 2 ou a = -2. 10) Solução: A + B = + = = MATRIZ INVERSA Matriz Inversa No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição: a.b=b.a=1 Normalmente indicamos o inverso de a por a 1 ou a -1 . Analogamente para as matrizes temos o seguinte: Defnição Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se inversível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que: A.B=B.A=I n A matriz B é denominada inversa de A e indicada por A -1 . Exemplos 1º) Verifque que a matriz B= ( ¸ ( ¸ − − 1 1 3 4 é a inversa da matriz A= ( ¸ ( ¸ 4 1 3 1 Resolução A.B= ( ¸ ( ¸ 4 1 3 1 . ( ¸ ( ¸ − − 1 1 3 4 = ( ¸ ( ¸ 1 0 0 1 B.A= ( ¸ ( ¸ − − 1 1 3 4 . ( ¸ ( ¸ 4 1 3 1 = ( ¸ ( ¸ 1 0 0 1 Como A.B=B.A=1 2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B=A -1 . Observação: É bom observarmos que, de acordo com a defnição, a matriz A também é a inversa de B, isto é, A=B -1 , ou seja, A=(A -1 ) -1 . - Encontre a matriz inversa da matriz A= ( ¸ ( ¸ 1 2 1 3 , se existir. Resolução Supondo que B= ( ¸ ( ¸ d c b a é a matriz inversa de A, temos: A.B= ( ¸ ( ¸ 1 2 1 3 . ( ¸ ( ¸ d c b a = ( ¸ ( ¸ 1 0 0 1 ( ¸ ( ¸ + + + + d b c a d b c a 2 2 3 3 = ( ¸ ( ¸ 1 0 0 1 Assim: ¹ ´ ¦ = + = + 0 2 1 3 c a c a e ¹ ´ ¦ = + = + 1 2 0 3 d b d b Resolvendo os sistemas, encontramos: A=1,b=-1,c=-2 e d=3 Assim, B= ( ¸ ( ¸ − − 3 2 1 1 Por outro lado: B.A= ( ¸ ( ¸ − − 3 2 1 1 . ( ¸ ( ¸ 1 2 1 3 = ( ¸ ( ¸ 1 0 0 1 Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz: B=A -1 = ( ¸ ( ¸ − − 3 2 1 1 Observação: Quando uma matriz é inversível, dizemos que ela é uma matriz não-singular; caso a matriz não seja inversível, dizemos que ela é uma matriz singular. Propriedades Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, temos as seguintes propriedades: - (A -1 ) -1 =A - (A -1 ) t = A t ) -1 - (A.B) -1 =B -1 ..A -1 - Dada A, se existir A -1 , então A -1 é única. Exemplo Sendo A, B e X matrizes inversíveis de ordem n, isolar X em (X.A) -1- =B. Resolução (X.A) -1 =B ⇒A -1 .X -1 =B Didatismo e Conhecimento 109 MATEMÁTICA Multiplicando os dois membros à esquerda por A, encontramos: A.A -1 .X -1 =A.B Como A.A -1 =I n , então: I n .X -1 =A.B Como I n é elemento neutro na multiplicação de matrizes, temos: X -1 =A.B Elevando os dois membros da igualdade, ao expoente -1, temos: (X -1 ) -1 =(A.B) -1 Assim, X=(A.B) -1 , ou então X=B -1 .A -1 O sistema obtido está escalonado e é do 2º SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES EQUAÇÃO LINEAR - RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES - SISTEMAS EQUIVALENTES - ESCALONAMENTO O estudo dos sistemas de equações lineares é de fundamental importância em Matemática e nas ciências em geral. Você provavelmente já resolveu sistemas do primeiro grau, mais precisamente aqueles com duas equações e duas incógnitas. Vamos ampliar esse conhecimento desenvolvendo métodos que permitam resolver, quando possível, sistemas de equações do primeiro grau com qualquer número de equações e incógnitas. Esses métodos nos permitirão não só resolver sistemas, mas também classifcá-los quanto ao número de soluções. Equações Lineares Equação linear é toda equação do tipo a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +...a n x n = b, onde a 1 , a 2 , a 3 ,.., a n e b são números reais e x 1 , x 2 , x 3 ,.., x n são as incógnitas. Os números reais a 1 , a 2 , a 3 ,.., a n são chamados de coefcientes e b é o termo independente. Exemplos - São equações lineares: x 1 - 5x 2 + 3x 3 = 3 2x – y 2z = 1 0x + 0y + 0z = 2 0x + 0y + 0z = 0 - Não são equações lineares: x 3 -2y+z = 3 (x 3 é o impedimento) 2x 1 – 3x 1 x 2 + x 3 = -1 (-3x 1 x 2 é o impedimento) 2x 1 – 3 2 x 3 + x 3 = 0 ( 2 3 x é o impedimento) Observação: Uma equação é linear quando os expoentes das incógnitas forem iguais a l e em cada termo da equação existir uma única incógnita. Solução de ama Equação Linear Uma solução de uma equação linear a 1 x l +a 2 x 2 +a 3 x 3 +...a n x n = b, é um conjunto ordenado de números reais α 1 , α 2 , α 3 ,..., α n para o qual a sentença a 1 {α 1 ) + a 2 {αa 2 ) + a 3 (α 3 ) +... + a n (α n ) = b é verdadeira. Exemplos - A terna (2, 3, 1) é solução da equação: x 1 – 2x 2 + 3x 3 = -1 pois: (2) – 2.((3) + 3.(1) = -1 - A quadra (5, 2, 7, 4) é solução da equação: 0x 1 - 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0 pois: 0.(5) + 0.(2) + 0.(7) + 0.(4) = 0 Conjunto Solução Chamamos de conjunto solução de uma equação linear o conjunto formado por todas as suas soluções. Observação: Em uma equação linear com 2 incógnitas, o conjunto solução pode ser representado grafcamente pelos pontos de uma reta do plano cartesiano. Assim, por exemplo, na equação 2x + y = 2 Algumas soluções são (1, 0), (2, -2), (3, -4), (4, -6), (0, 2), (-1,4), etc. Representando todos os pares ordenados que são soluções da equação dada, temos: Equação Linear Homogênea Uma equação linear é chamada homogênea quando o seu termo independente for nulo. Exemplo 2x 1 + 3x 2 - 4x 3 + 5x 4 - x 5 = 0 Observação: Toda equação homogênea admite como solução o conjunto ordenado de “zeros” que chamamos solução nula ou solução trivial. Exemplo (0, 0, 0) é solução de 3x + y - z – 0 Didatismo e Conhecimento 110 MATEMÁTICA Equações Lineares Especiais Dada a equação: a 1 x 1 + a 2 x 2 +a 3 x 3 +...a n x n = b, temos: - Se a 1 = a 2 = a 3 =...= na = b = 0, fcamos com: 0x 1 + 0x 2 +0x 3 +...+0x n , e, neste caso, qualquer seqüências (α 1 , α 2 , α 3 ,..., α n ) será solução da equação dada. - Se a 1 = a 2 = a 3 =... = a n = 0 e b ≠ 0, fcamos com: 0x 1 +0x 2 + 0x 3 +...+0x n = b ≠0, e, neste caso, não existe seqüências de reais (α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ) que seja solução da equação dada. Sistema Linear 2 x 2 Chamamos de sistema linear 2 x 2 o conjunto de equações lineares a duas incógnitas, consideradas simultaneamente. Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo: ¹ ´ ¦ = + = + 2 2 2 1 1 1 c y b a c y b x a Um par (α 1 , α 2 ) é solução do sistema linear 2 x 2 se, e somente se, for solução das duas equações do sistema. Exemplo (3, 4) é solução do sistema ¹ ´ ¦ = + − = − 10 2 1 y x y x pois é solução de suas 2 equações: (3)-(4) = -l e 2.(3) + (4) = 10 Resolução de um Sistema 2 x 2 Resolver um sistema linear 2 x 2 signifca obter o conjunto solução do sistema. Os dois métodos mais utilizados para a resolução de um sistema linear 2x2 são o método da substituição e o método da adição. Para exemplifcar, vamos resolver o sistema 2 x 2 abaixo usando os dois métodos citados. ¹ ´ ¦ 1 - = y - x 8 = 3y + 2x 1. Método da Substituição: ¹ ´ ¦ (II) 1 - = y - x (I) 8 = 3y + 2x Da equação (II), obtemos x = y -1, que substituímos na equação (I) 2(y- 1) +3y = 8  5y = 10  y = 2 Fazendo y = 2 na equação (I), por exemplo, obtemos: Assim: S = {(1,2)} 2. Método da Adição: ¹ ´ ¦ (II) 1 - = y - x (I) 8 = 3y + 2x Multiplicamos a equação II por 3 e a adicionamos, membro a membro, com a equação I. ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = ⇒ = − = − = + 1 5 5 5 5 3 3 3 8 3 2 x x y x y x Fazendo x = 1 na equação (I), por exemplo, obtemos: Assim: S = {(1,2)} Sistema Linear 2 x 2 com infnitas soluções Quando uma equação de um sistema linear 2 x 2 puder ser obtida multiplicando-se a outra por um número real, ao tentarmos resolver esse sistema, chegamos numa igualdade que é sempre verdadeira, independente das incógnitas. Nesse caso, existem infnitos pares ordenados que são soluções do sistema. Exemplo ¹ ´ ¦ − = − − = + ) ( 16 6 4 ) ( 8 3 2 II y x I y x Note que multiplicando-se a equação (I) por (-2) obtemos a equação (II). Resolvendo o sistema pelo método da substituição temos: Da equação (I), obtemos y = 3 2 8 x − , que substituímos na equação (II). - 4x- 6. | . | \ | / − 3 2 8 x =- 16  - 4x- 2( 8- 2x) =- 16 - 4x- 16+4x=- 16  - 16=- 16 - 16= -16 é uma igualdade verdadeira e existem infnitos pares ordenados que são soluções do sistema. Entre outros, (1, 2), (4, 0), | . | \ | 1 , 2 5 e | . | \ | 3 8 , 0 são soluções do sistema. Sendo a, um número real qualquer, dizemos que | . | \ | − 3 2 8 , o o é solução do sistema. (Obtemos 3 2 8 o − substituindo x =α na equação (I)). D - Sistema Linear 2 x 2 com nenhuma solução Quando duas equações lineares têm os mesmos coefcientes, porém os termos independentes são diferentes, dizemos que não existe solução comum para as duas equações, pois substituindo uma na outra, obtemos uma igualdade sempre falsa. Exemplo 2x+3y=6(I) e 2x+3y=5(II) Didatismo e Conhecimento 111 MATEMÁTICA Substituindo 2x+3y da equação (I) na equação (II) obtemos: 6=5 que é uma igualdade falsa. Se num sistema 2x2 existir um número real que, multiplicado por uma das equações, resulta uma equação com os mesmos coefcientes da outra equação do sistema, porém com termos independentes diferentes, dizemos que não existe par ordenado que seja solução do sistema. Exemplo ¹ ´ ¦ = + = + ) ( 7 4 2 ) ( 5 2 II y x I y x Multiplicando-se equação (I) por 2 obtemos: 2x+4y=10 Que tem os mesmo coefcientes da equação (II), porém os termos independentes são diferentes. Se tentarmos resolver o sistema dado pelo método de substituição, obtemos uma igualdade que é sempre falsa, independente das incógnitas. ¹ ´ ¦ = + = + ) ( 7 4 2 ) ( 5 2 II y x I y x Da equação (I), obtemos , | . | \ | − = 2 5 x y que substituímos na equação (II) 2x- 4. | . | \ | / − 2 5 x =7  2x+2(5-x)=7 2x+10-2x=710=7 10=7 é uma igualdade falsa e não existe par ordenado que seja solução do sistema. Classifcação De acordo com o número de soluções, um sistema linear 2x2 pode ser classifcado em: • Sistema Impossíveis ou Incompatíveis: são os sistemas que não possuem solução alguma. • Sistemas Possíveis ou compatíveis: são os sistemas que apresentam pelo menos uma solução. • Sistemas Possíveis Determinados: se possuem uma úni- ca solução. • Sistemas Possíveis Indeterminados: se possuem infnitas soluções. Sistema Linear m x n Chamamos de sistema linear M x n ao conjunto de m equações a n incógnitas, consideradas simultaneamente, que podem ser escrito na forma: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + m n mn m m m n n n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a ... ....... .......... .......... .......... .......... .......... ... ... ... 3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 2 32 1 31 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 Onde: X 1 , x 2 , x 3 ,…,x n são as incógnitas; a ij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ n, são os coefcientes das incógnitas; b i , com 1 ≤ i ≤ m, são os termos independentes. Exemplos 1. ¹ ´ ¦ + − + = + − 2 5 3 2 z y x z y x (sistema 2 x 3) 2. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + − = + − + = + − + 5 2 3 2 0 2 3 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x (sistema 3 x 4) 3. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − = − = + 0 3 2 4 1 2 y x y x y x (sistema 3 x 2) Matriz Incompleta Chamamos de matriz incompleta do sistema linear a matriz formada pelos coefcientes das incógnitas. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a A 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 ....... .......... .......... .......... Exemplo No sistema: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + − = + = + − 5 0 1 2 y x z x z y x A matriz incompleta é: ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ − − = 0 1 1 1 0 1 2 1 1 A Didatismo e Conhecimento 112 MATEMÁTICA Forma Matricial Consideremos o sistema linear M x n: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + m n mn m m m n n n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a 3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 2 32 1 31 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 ...... .......... .......... .......... .......... .......... Sendo A a Matriz incompleta do sistema chamamos, respectivamente, as matrizes: ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = n x x x x X . 3 2 1 e ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = m b b b b B . 3 2 1 de matriz incógnita e matriz termos independentes. E dizemos que a forma matricial do sistema é A.X=B, ou seja: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 ..... .......... .......... .......... ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ n x x x x . 3 2 1 ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ m b b b b . 3 2 1 Sistemas Lineares – Escalonamento (I) Resolução de um Sistema por Substituição Resolvemos um sistema linear m x n por substituição, do mesmo modo que fazemos num sistema linear 2 x 2. Assim, observemos os exemplos a seguir. Exemplos - Resolver o sistema pelo método da substituição. ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ − = − + = + − − = − + ) ( 4 2 3 ) ( 5 2 ) ( 1 2 III z y x II z y x I z y x Resolução Isolando a incógnita x na equação (I) e substituindo nas equações (II) e (III), temos: x + 2y – z - 1→ x = -2y + z - 1 Na equação (II) 2(-2y + z - 1) – y + z = 5 → -5y + 3z = 7 (IV) Na equação (III) (-2y + z - 1) + 3y - 2z = -4 → y – z = -3 (V) Tomando agora o sistema formado pelas equações (IV) e (V): ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = − = + − ) ( 3 ) ( 7 3 5 V z y IV z y Isolando a incógnita y na equação (V) e substituindo na equação (IV), temos: y – z = -3 → y = z - 3 -5 (z - 3) + 3z = 7→ z = 4 Substituindo z = 4 na equação (V) y – 4 = -3 → y = 1 Substituindo y = 1 e z = 4 na equação (I) x + 2 (1) - (4) = -1 →x = 1 Assim: S={(1, 1, 4)} 2º) Resolver o sistema pelo método da substituição: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = + = − + ) ( 12 3 ) ( 10 2 ) ( 1 3 III z II z y I z y x Resolução Isolando a incógnita x na equação (I) e substituindo nas equações (II) e (III), temos: x + 2y – z = -1 → x = -2y + z - 1 Na equação (II) 2(-2y + z - 1) – y + z = 5 →5y + 3z = 7 (IV) Na equação (III) (-2y + z - 1) + 3y - 2z = -4 → y – z = -3 (V) Tomando agora o sistema formado pelas equações (IV) e (V): ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = − = + − ) ( 3 ) ( 7 3 5 V z y IV z y Isolando a incógnita y na equação (V) e substituindo na equação (IV), temos: y – z = -3 → y = z - 3 -5(z - 3) + 3z = 7 → z = 4 Substituindo z = 4 na equação (V) y – 4 = -3 → y = 1 Didatismo e Conhecimento 113 MATEMÁTICA Substituindo y = 1 e z = 4 na equação (I) x + 2(1) - (4) = -1 → x = 1 Assim: S={(1, 1, 4)} 2º) Resolver o sistema pelo método da substituição: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = + = − + ) ( 12 3 ) ( 10 2 ) ( 1 3 III z II z y I z y x Resolução Na equação (III), obtemos: 3z = 12 → z = 4 Substituindo z = 4 na equação (II), obtemos: y + 2 . 4 = 10 → y = 2 Substituindo z = 4 e y = 2 na equação (I), obtemos: x + 3 . 2 – 4 = 1 → x = -1 Assim: S{(-1, 2, 4)} Observação: Podemos observar que a resolução de sistemas pelo método da substituição pode ser demasiadamente longa e trabalhosa, quando os sistemas não apresentam alguma forma simplifcada como no primeiro exemplo. No entanto, quando o sistema apresenta a forma simples do segundo exemplo, que denominamos “forma escalonada”, a resolução pelo método da substituição é rápida e fácil. Veremos, a seguir, como transformar um sistema linear m x n qualquer em um sistema equivalente na “forma escalonada”. Sistemas Lineares Escalonados Dizemos que um sistema linear é um sistema escalonado quando: - Em cada equação existe pelo menos um coefciente não- nulo; - O número de coefciente nulos, antes do primeiro coefciente não-nulo, cresce “da esquerda para a direita, de equação para equação”. Exemplos 1º) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = − + 2 3 2 3 2 z y z y x 2º) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = + = − + 1 3 2 4 3 2 z z y z y x 3º) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − = + + + 2 5 t y t z y x 4º) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = − + = + − + 5 3 0 1 3 2 4 4 3 2 4 3 2 1 x x x x x x x x Existem dois tipos de sistemas escalonados: Tipo: número de equações igual ao número de incógnitas. ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = = + + = + + + = + + + + n n nn n n n n n n b x a b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a . .......... .......... .......... .......... .......... 3 3 33 33 2 2 3 23 2 22 1 1 3 13 2 12 1 11 Notamos que os sistemas deste tipo podem ser analisados pelo método de Cramer, pois são sistemas n x n. Assim, sendo D o determinante da matriz dos coefcientes (incompleta), temos: 0 . . . . 0 0 0 ....... .......... 0 0 0 33 22 11 3 33 2 23 22 1 13 12 11 ≠ = = = nn nn n n n a a a a D a a a a a a a a a a D Como D ≠ 0, os sistemas deste tipo são possíveis e determinados e, para obtermos a solução única, partimos da n-ésima equação que nos dá o valor de x n ; por substituição nas equações anteriores, obtemos sucessivamente os valores de x n-1 ,x n-2 ,…,x 3 ,x 2 e x 1 . Exemplo Resolver o sistema: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = = − = + + = + − + ) ( 6 3 ) ( 0 2 ) ( 9 3 ) ( 5 2 IV t III t z II t z y I t z y x Didatismo e Conhecimento 114 MATEMÁTICA Resolução Na equação (IV), temos: 3t = 6 → t = 2 Substituindo t = 2 na equação (III), temos: 2z – 2 = 0 → z = 1 Substituindo t = 2 e z = 1 na equação (II), temos: y + 1 +3 . 2 = 9 → y = 2 Substituindo t = 2, z = 1 e y = 2, na equação (I), temos: 2x + 2 – 1 + 2 = 5 → x = 1 Assim: S {(1, 2, 1, 2)} Tipo: número de equações menor que o número de incógnitas. Para resolvermos os sistemas lineares deste tipo, devemos transformá-los em sistemas do 1º tipo, do seguinte modo: • As incógnitas que não aparecem no inicio de nenhuma das equações do sistema, chamadas variáveis livres, devem ser “passadas” para os segundos membros das equações. Obtemos, as- sim, um sistema em que consideramos incógnitas apenas as equa- ções que “sobraram” nos primeiros membros. • Atribuímos às variáveis livres valores literais, na verdade “valores variáveis”, e resolvemos o sistema por substituição. Exemplo Resolver o sistema: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − = + + 2 2 1 2 z y z y x Resolução A variável z é uma “variável livre” no sistema. Então: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + = − = + z y z y x 2 2 2 1 Fazendo z = α, temos: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + = − = + o o 2 2 2 1 y y x 2y = 2 + α → y = 2 2 o + Substituindo y = 2 2 o + na 1ª equação, temos: o o 2 1 2 2 − = + + x Agora para continuar fazemos o mmc de 2, e teremos: Assim: ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ∈ | . | \ | + = R S o o o o , , 2 2 , 2 5 Observações: Para cada valor real atribuído a α, encontramos uma solução do sistema, o que permite concluir que o sistema é possível e indeterminado. - A quantidade de variáveis livres que um sistema apresenta é chamada de grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema. Sistema Lineares – Escalonamento (II) Escalonamento de um Sistema Todo sistema linear possível pode ser transformado num sistema linear escalonado equivalente, através das transformações elementares a seguir. - Trocar a ordem em que as equações aparecem no sistema. Exemplo ¹ ´ ¦ = + = − ¹ ´ ¦ = − = + = 2 3 5 2 ) ( ~ 5 2 2 3 ) ( 1 y x y x S y x y x S - Inverter a ordem em que as incógnitas aparecem nas equações. Exemplo ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = = + = + + ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = = + = + + = 5 3 1 2 5 2 ) ( ~ 5 3 1 2 5 2 ) ( 1 x x z x z y S x z x z y x S - Multiplicar (ou dividir) uma equação por um número real não-nulo. Exemplo ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − = + ¹ ´ ¦ = − = + 3 2 6 3 2 ) ( ~ 1 3 3 2 ) ( 1 y x y x S y x y x S Multiplicamos a 2ª equação de S por 2, para obtermos S 1 . Didatismo e Conhecimento 115 MATEMÁTICA - Adicionar a uma equação uma outra equação do sistema, previamente multiplicada por um número real não-nulo. Exemplo ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = − = + ¹ ´ ¦ = + = + = 7 5 5 3 ) ( ~ 3 2 5 3 ) ( 1 y y x S y x y x S Multiplicamos a 1ª equação do S por -2 e a adicionamos à 2ª equação para obtermos s 1. Para transformarmos um sistema linear (S) em outro, equivalente e escalonado (S 1 ), seguimos os seguintes passos. - Usando os recursos das três primeiras transformações elementares, devemos obter um sistema em que a 1ª equação tem a 1ª incógnita com o coefciente igual a 1. - Usando a quarta transformação elementar, devemos “zerar” todos os coefcientes da 1ª incógnita em todas as equações restantes. - “Abandonamos”a 1ª equação e repetimos os dois primeiros passos com as equações restantes, e assim por diante, até a penúltima equação do sistema. Exemplos 1º) Escalonar e classifcar o sistema: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − + − = − = + + 1 2 2 2 3 5 2 z y x z y x z y x Resolução ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + + − = − − = − + 5 2 2 2 3 1 2 z y x z y x z y x ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ − ← = + + − ← − = − − = − + 2 5 2 3 2 2 3 1 2 z y x z y x z y x ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ − = + − − = + − = − + 3 : 3 3 3 5 7 1 2 z y z y z y x ~ ~ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = − = + − − = − + 1 5 7 1 2 z y z y z y x ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ← − = + − − = − = − + 7 5 7 1 1 2 z y z y z y x ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ − = − − = − = − + 12 6 1 1 2 z z y z y x ~ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = − = + − − = − + 1 5 7 1 2 z y z y z y x ~ O sistema obtido está escalonado e é do 1º tipo (nº de equações igual ao nº de incógnitas), portanto, é um sistema possível e determinado. 2º) Escalonar e classifcar o sistema: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + − = − + 11 8 5 3 2 3 3 z y x z y x z y x Resolução ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + − = − + 11 8 5 3 2 3 3 z y x z y x z y x ~ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ − ← = + + ← = + + − = − + 1 11 8 1 5 3 2 3 3 z x y z x y z x y ~ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + = + = − + (*) 8 2 5 8 2 5 3 3 z x z x z x y ~ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = − + 8 2 5 3 3 z x z x y Didatismo e Conhecimento 116 MATEMÁTICA O sistema obtido está escalonado e é do 2º tipo (nº de equações menor que o nº de incógnitas), portanto, é um sistema possível e indeterminado. (*) A terceira equação foi eliminada do sistema, visto que ela é equivalente à segunda equação. Se nós não tivéssemos percebido essa equivalência, no passo seguinte obteríamos na terceira equação: 0x+0z=0, que é uma equação satisfeita para todos os valores reais de x e z. 3º) Escalonar e classifcar o sistema: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = − + = − + = + + 8 9 4 3 2 5 5 2 z y x z y x z y x Resolução ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = − + = − + = + + 8 9 4 3 2 5 5 2 z y x z y x z y x ~ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ − ← = − + − ← = + + = − + 4 8 9 4 2 5 5 2 3 2 z y x z y x z y x ~ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ − ← − = + − = + = − + 1 4 3 1 3 3 2 z y z y z y x ~ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ − ← − = + − = + = − + 1 3 0 0 1 3 3 2 z y z y z y x O sistema obtido é impossível, pois a terceira equação nunca será verifcada para valores reais de y e z. Observação Dado um sistema linear, sempre podemos “tentar” o seu escalonamento. Caso ele seja impossível, isto fcará evidente pela presença de uma equação que não é satisfeita por valores reais (exemplo: 0x + 0y = 3). No entanto, se o sistema é possível, nós sempre conseguimos um sistema escalonado equivalente, que terá nº de equações igual ao nº de incógnitas (possível e determinado), ou então o nº de equações será menor que o nº de incógnitas (possível e indeterminado). Este tratamento dado a um sistema linear para a sua resolução é chamado de método de eliminação de Gauss. Sistemas Lineares – Discussão (I) Discutir um sistema linear é determinar; quando ele é: • Possível e determinado (solução única); • Possível e indeterminado (infnitas soluções); • Impossível (nenhuma solução), em função de um ou mais parâmetros presentes no sistema. Estudaremos as técnicas de discussão de sistemas com o auxilio de exemplos. Sistemas com Número de Equações Igual ao Número de Incógnitas Quando o sistema linear apresenta nº de equações igual ao nº de incógnitas, para discutirmos o sistema, inicialmente calculamos o determinante D da matriz dos coefcientes (incompleta), e: 1º) Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado. 2º) Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado ou impossível. Para identifcarmos se o sistema é possível, indeterminado ou impossível, devemos conseguir um sistema escalonado equivalente pelo método de eliminação de Gauss. Exemplos 01 – Discutir, em função de a, o sistema: ¹ ´ ¦ = + = + 1 2 5 3 ay x y x Resolução 6 0 6 0 6 2 3 1 = ⇒ = − ⇒ = − = = a a D a a D Didatismo e Conhecimento 117 MATEMÁTICA Assim, para a≠6, o sistema é possível e determinado. Para a≠6, temos: ¹ ´ ¦ − = + = + ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ← = + = + 9 0 0 5 3 ~ 2 1 6 2 5 3 y x y x y x y x que é um sistema impossível. Assim, temos: a≠6  SPD (Sistema possível e determinado) a=6  SI (Sistema impossível) 02 – Discutir, em função de a, o sistema: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + + = − + 2 3 3 3 2 1 z ay x az y x z y x Resolução 2 6 3 2 9 3 1 1 3 2 1 1 1 a a a a D − − + − + = − D=0  -a 2 -a+6=0  a=-3 ou a=2 Assim, para a≠-3 e a≠2, o sistema é possível e determinado. Para a=-3, temos: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = + = − = − + ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ← = + − = − = − + ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ − ← = + − − ← = − + = − + impossível sistema z y z y z y x z y z y z y x z y x z y x z y x 5 1 1 ~ 4 1 4 4 1 1 ~ 1 2 3 3 2 3 3 3 2 1 Para a=2, temos: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = − + ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + = + = − + ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ − ← = + + − ← = + + = − + ado er in possível sistema z y z y x z y z y z y x z y x z y x z y x min det 1 4 1 ~ 1 4 1 4 1 ~ 1 2 3 2 2 3 2 3 2 1 Assim, temos: a≠-3 e a ≠ 2 SPD a=-3  SI a=2  SPI Didatismo e Conhecimento 118 MATEMÁTICA 03 – Discutir, em função de m e k, o sistema: ¹ ´ ¦ = + = + 2 k my x k y mx Resolução 1 1 1 2 − = = m m m D D=0  m 2 -1=0  m=+1 ou m=-1 Assim, para m≠+1 e m≠-1, o sistema é possível e determinado. Para m=1, temos: ¹ ´ ¦ + − = + = + ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ← = + = + 2 2 0 0 ~ 1 K K y x K y x K y x K y x Se –k + k 2 =0, ou seja, k=0 ou k=1, o sistema é possível e indeterminado. Se –K+k 2 ≠0, ou seja, k≠0 ou k≠1, o sistema é impossível. Para m=-1, temos: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − = + − 2 k y x K y x ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ← = + − = − 1 2 K y x K y x ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + = + = − k k Oy Ox k y x 2 2 ~ ~ Se k 2 +k=0, ou seja, k=0 k=-1, o sistema é possível e indeterminado. Se k 2 +k≠0, ou seja, k≠0 k≠-1, o sistema é indeterminado. Assim, temos: SPD R k m e m ⇒ ∈ ∀ − ≠ + ≠ , 1 1 SI k ou k e m ou k ou k e m SPI k ou k e m ou k ou k e m ⇒ ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ − ≠ ≠ − = ≠ ≠ + = ⇒ ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ − = = − = = = + = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 Sistemas com Número de Equações Diferente do Número de Incógnitas Quando o sistema linear apresenta número de equações diferente do número de incógnitas, para discuti-lo, devemos obter um sistema escalonado equivalente pelo método de eliminar de Gauss. Didatismo e Conhecimento 119 MATEMÁTICA Exemplos 01 – Discutir, em função de m, o sistema: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − = + = + 3 8 3 2 3 my x y x y x Resolução ~ 1 3 2 8 3 2 3 ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ − → = − − → = + = + my x y z y x ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ + → = − − = = + m y m y y x 1 0 ) 1 ( 2 3 ~ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + = = = + m y y y x 2 2 0 2 3 ~ 2+2m=0  m=-1 Assim, temos: m≠-1  SI m=-1  SPD 02 – Discutir, em função de k, o sistema: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + + = − + = + + = − + 29 12 5 17 2 7 3 12 3 5 2 5 2 kz y x z y x z y x z y x Resolução: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = + ÷ = = + = − + ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ − ← = + + − ← = + = + = − + ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ − ← = + + − ← = − + − ← = + + = − + 0 ) 3 ( 4 0 4 2 5 2 ~ 2 4 ) 5 ( 2 1 2 5 2 5 2 ~ 5 29 12 5 3 17 2 7 3 2 12 3 5 2 5 2 z K z z y z y x z K y z y z y z y x kz y x z y x z y x z y x ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = + = − + ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = = = + = − + ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = + − − = = + = − + 0 2 5 2 ~ 0 0 0 2 5 2 ~ 0 ) 3 ( 3 0 2 5 2 ~ z z y z y x z z z y z y x z K K z z y z y x Assim, para R k ∈ ∀ , o sistema é possível e determinado. Sistemas Lineares – Discussão (II) Sistema Linear Homogêneo Já sabemos que sistema linear homogêneo é todo sistema cujas equações têm todos os termos independentes iguais a zero. São homogêneos os sistemas: 01 ¹ ´ ¦ = − = + 0 2 0 4 3 y x y x 02 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − + = + − = + + 0 7 3 5 0 3 0 2 2 z y x z y x z y x Observe que a dupla (0,0) é solução do sistema 01 e a terna (0,0,0) é solução do sistema 02. Todo sistema linear homogêneo admite como solução uma seqüência de zero, chamada solução nula ou solução trivial. Observamos também que todo sistema homogênea é sempre possível podendo, eventualmente, apresentar outras soluções além da solução trivial, que são chamadas soluções próprias. Discussão e Resolução Lembre-se que: todo sistema linear homogêneo tem ao menos a solução trivial, portanto será sempre possível. Vejamos alguns exemplos: 01 – Classifque e resolva o sistema: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − + = − + = + + 0 2 0 5 0 3 z y x z y x z y x Resolução 12 1 2 1 1 5 1 1 1 3 − = − − = D Como D≠0, o sistema é possível e determinado admitindo só a solução trivial, logo: 02 – Classifque e resolva o sistema: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + − = − − = + + 0 2 0 2 3 0 2 c b a c b a c b a Didatismo e Conhecimento 120 MATEMÁTICA Resolução 0 1 1 2 2 3 1 2 1 1 = − − − = D Como D=0, o sistema homogêneo é indeterminado. Fazendo o escalonamento temos: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = + + = + + ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = − − = − − = + + ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = + − = − + − = + + 0 0 0 0 0 4 0 0 2 ~ 0 3 3 0 0 4 4 0 0 2 ~ 0 2 0 2 3 0 2 c b c b a c b c b c b a c b a c b a c b a Teremos, então: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + + 0 0 2 c b c b a Fazendo c=t, teremos: =-c b=-t a-t+2t=0 a=-t Portanto: ( ) { } R t t t t S ∈ − − = , , , Note que variando t obteremos várias soluções, inclusive a trivial para t=0. 03 – Determine K de modo que o sistema abaixo tenha solução diferente da trivial. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = − − = + − = + + 0 0 0 z y kx z ky x z y x Resolução O sistema é homogêneo e, para apresentar soluções diferentes da trivial, devemos ter D=0 1 0 ) 1 ( 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 − = ⇒ = + = + + = − − − = k k k k k k D Resposta: k=-1 Exercícios 1. Resolver e classifcar o sistema: ¹ ´ ¦ − = − = + 1 2 3 8 3 2 y x y x 2. Determinar m real, para que o sistema seja possível e determinado: ¹ ´ ¦ = + = + 2 5 3 2 my x y x 3. Resolver e classifcar o sistema: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = − + = + = + − 4 2 2 7 3 5 3 z y x y x z y x 4. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + + + = + − = + + 0 3 5 2 2 5 2 mz y x z y x z y x 5. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? 6. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado ( , , ) é solução. 7. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 2x - my = 10 3x + 5y = 8, seja impossível. 8. Se os sistemas: S 1 : x + y = 1 e S 2 : ax – by = 5 X – 2y = -5 ay – bx = -1 São equivalentes, então o valor de a 2 + b 2 é igual a: a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10 9. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: x + 3y - 2z = 3 2x - y + z = 12 4x + 3y - 5z = 6 10. Resolver o sistema ¹ ´ ¦ − = + = − 2 5 7 2 y x y x . Respostas 1) Resposta “S= {(1, 2)}”. Solução: Calculemos inicialmente D, D x e D y : 13 9 4 2 3 3 2 − = − − = − = D 13 3 16 2 1 3 8 = + − = − − = x D Didatismo e Conhecimento 121 MATEMÁTICA 26 24 2 1 3 8 2 − = − − = − = y D Como D =-13 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e: 1 13 13 = − − = = D D x x e 2 13 26 = − − = = D D y y Assim: S= {(1, 2)} e o sistema são possíveis e determinados. 2) Resposta “ ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ≠ ∈ 2 3 / m R m ”. Solução: Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que: 3 2 1 3 2 − = = m m D Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠ 2 3 Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos elementos do conjunto: ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ≠ ∈ 2 3 / m R m 3) Resposta “ S = {(1, 2, 4)}”. Solução: Calculemos inicialmente D, D x , D y e D z 25 2 0 6 1 0 18 2 1 2 0 3 1 1 1 3 − = − − − + + − = − − = D 25 14 0 12 7 0 30 2 1 2 0 3 7 1 1 5 − = − − + + + − = − − = x D 50 10 0 14 4 0 42 2 4 2 0 7 1 1 5 3 − = + − − − + − = − − = y D 100 4 21 30 5 14 36 4 1 2 7 3 1 5 1 3 − = − − − + − − = − − = z D Como D= -25 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e: ; 1 25 25 = − − = = D D x x ; 2 25 50 = − − = = D D y y 4 25 100 = − = = D D z z Assim: S = {(1, 2, 4)} e o sistema são possíveis e determinados. 4) Resposta “{ } 3 / ≠ ∈ m R m ”. Solução: Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0. Assim: m m m D 4 2 3 2 12 1 3 2 1 2 1 2 1 − − + + + − = − = D = -5m + 15 Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3 Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos elementos do conjunto: { } 3 / ≠ ∈ m R m 5) Resposta “14”. Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6 . 2 – 7 . 5 + 2 . p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e, portanto, p = 14. 6) Solução: Podemos escrever: 5 ⇒- 2 ⇒ + ⇒ = 14. Daí, tiramos: ⇒ = 14 - 5 ⇒ + 2 ⇒. Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (⇒, ⇒, 14 - 5 ⇒ + 2 ⇒ ). Observe que se arbitrando os valores para ⇒ e ⇒, a terceira variável fcará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se a = 1, b = 3, teremos: ⇒ = 14 - 5 ⇒ + 2 ⇒ = 14 – 5 . 1 + 2 . 3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verifcamos, pois que existem infnitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado (⇒, ⇒, 14 - 5 ⇒ + 2 ⇒) a solução genérica. 7) Solução: Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: x = (10 + my) / 2 Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 3[(10+my) / 2] + 5y = 8 Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplifcando, vem: Didatismo e Conhecimento 122 MATEMÁTICA 3(10+my) + 10y = 16 30 + 3my + 10y = 16 (3m + 10)y = -14 y = -14 / (3m + 10) Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, não existe divisão por zero. Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução. 8) Resposta “E”. Solução: Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema: S 1 : x + y = 1 x - 2y = -5 Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2. Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}. Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S 2 . Logo, substituindo em S 2 os valores de x e y encontrados para o sistema S 1 , vem: a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5 a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1 Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fca: -2 a - 4b = 10 Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fca: -3b = 9 \ b = - 3 Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos: 2 a + (-3) = -1 \ a = 1. Portanto, a 2 + b 2 = 1 2 + (-3) 2 = 1 + 9 = 10. 9) Resposta “S = {(5, 2, 4)}”. Solução: Teremos: Portanto, pela regra de Cramer, teremos: x 1 = D x 1 / D = 120 / 24 = 5 x 2 = D x 2 / D = 48 / 24 = 2 x 3 = D x 3 / D = 96 / 24 = 4 Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}. 10) Solução: 11 5 1 1 2 = ⇒ ( ¸ ( ¸ − = A det A 33 5 2 1 7 1 1 = ⇒ ( ¸ ( ¸ − − = A det A 11 2 1 7 2 2 2 − = ⇒ ( ¸ ( ¸ − = A det A 3 11 33 1 = = = A det A det x 1 11 11 2 − = − = = A det A det y Resposta: ( ) { } 1 3 − = , S PRINCÍPIOS DE CONTAGEM TEOREMA FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - ARRANJOS SIMPLES E COM REPETIÇÕES - PERMUTAÇÕES SIMPLES E COM REPETIÇÕES - COMBINAÇÕES SIMPLES Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número fnito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p ≤ m. Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos. Didatismo e Conhecimento 123 MATEMÁTICA Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia! Arranjos São agrupamentos formados com p elementos, (p < m) de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição. Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Fórmula: A s (m,p) = Cálculo para o exemplo: A s (4,2) = Exemplo: Seja Z = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: A s = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC} Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. Fórmula: A r (m,p) = m p . Cálculo para o exemplo: A r (4,2) = 4 2 =16. Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto: A r = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos. Fórmula: N=A(m 1 ,p 1 ).A(m-m 1 ,p-p 1 ) Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72. Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}? Aqui temos um total de m = 7 letras, a taxa é p = 4, o subconjunto escolhido tem m 1 = 3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p 1 = 2. Com as letras A, B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto: P ABC = {AB, BA, AC, CA, BC, CB} Com as letras D, E, F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto: P DEFG = {DE, DF, DG, ED, EF, EG, FD, FE, FG, GD, GE, GF} Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto P ABC com um elemento do conjunto P DEFG . Um típico arranjo para esta situação é CAFG. Permutações Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos. Fórmula: P s (m) = m!. Cálculo para o exemplo: P s (3) = 3! = 6. Exemplo: Seja C = {A, B, C} e m = 3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: P s = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C = {x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n }, faremos a suposição que existem m 1 iguais a x 1 , m 2 iguais a x 2 , m 3 iguais a x 3 , ... , m n iguais a x n , de modo que m 1 + m 2 + m 3 +... + m n = m. Fórmula: Se m = m 1 + m 2 + m 3 +... + m n , então P r (m) = C(m,m 1 ).C(m-m 1 ,m 2 ).C(m-m 1 -m 2 ,m 3 ) ... C(m n ,m n ) Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. Cálculo para o exemplo: m 1 = 4, m 2 = 2, m 3 = 1, m 4 = 1 e m = 6, logo: P r (6) = C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1) = C(6,4).C(2,2).C(1,1) = 15. Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C = {A, R, T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: P r = {AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA, AATRRA, AARRTA, ARAART, ARARAT, ARARTA, ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR} Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo. Fórmula: P c (m) = (m-1)! Cálculo para o exemplo: P(4) = 3! = 6 Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K = {A, B, C, D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições? Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto: Didatismo e Conhecimento 124 MATEMÁTICA P c = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA} Acontece que junto a uma mesa “circular” temos que: ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC Existem somente 6 grupos distintos, dados por: P c = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB} Combinações Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p < m) de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie. Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Fórmula: C(m,p) = Cálculo para o exemplo: C(4,2) = Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: C s = {AB, AC, AD, BC, BD, CD} Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes. Fórmula: C r (m,p) = C(m + p - 1, p) Cálculo para o exemplo: C r (4,2) = C(4 + 2 - 1, 2) = C(5,2) = Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos: C r = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} Mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB = BA, AC = CA, AD = DA, BC = CB, BD = DB e CD = DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são: Cr= {AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD} Regras gerais sobre a Análise Combinatória Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis, mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto. Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e outro elemento podem ser escolhidos de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m + n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro. Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H, M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas. Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r 1 , r 2 , r 3 , ..., r m e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s 1 , s 2 , s 3 , ..., s n . De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? É fácil ver isto ligando r 1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r 2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis. Número de Arranjos simples Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p < m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C. c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , ..., c m-2 , c m-1 , c m Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha. Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , ..., c m-2 , c m-1 , c m Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m - 1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo. Didatismo e Conhecimento 125 MATEMÁTICA c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , ..., c m-2 , c m-1 , c m Após a segunda retirada, sobraram m - 2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como: c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , ..., c m-2 , c m-1 , c m Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento restará m – p + 1 possibilidades de escolha. Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo: Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m-1 3 m-2 ... ... p m-p+1 Nº.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1) Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por: A(m,p) = m(m – 1)(m – 2)...(m – p + 1) Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é: {AE, AI, AO, AU, EA, EI, EO, EU, IA, IE, IO, IU, OA, OE, OI, OU, UA, UE, UI, UO} A solução numérica é A(5,2) = 5 x 4 = 20. Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)? Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5 x 5 = 25 possibilidades. O conjunto solução é: Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no fnal? XYZ-1234 Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto. Número de Permutações simples Este é um caso particular de arranjo em que p = m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p = m, permitirá obter o número de permutações de m elementos: Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m-1 ... ... p m-p+1 ... ... m-2 3 m-1 2 m 1 Nº.de permutações m(m-1)(m-2)... (m-p+1)...4.3.2.1 Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por: P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1 Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever: A(m,m) = P(m) Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplifcar a permutação de m elementos e escrever simplesmente: P(m) = m! Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural. Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a defnição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m = 0 e para isto podemos escrever: 0! = 1 Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0! = 1. O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser defnido de uma forma recursiva através da função P = P(m) ou com o uso do sinal de exclamação: (m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1 Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3) = 6 e o conjunto solução é: P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4) = 24 e o conjunto solução é: P = {AMOR, AMRO, AROM, ARMO, AORM, AOMR, MARO, MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR, OAMR, OARM, ORMA, ORAM, OMAR, OMRA, RAMO, RAOM, RMOA, RMAO, ROAM, ROMA} Número de Combinações simples Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H, M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H, M) ou (M, H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação. Didatismo e Conhecimento 126 MATEMÁTICA Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos. Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente. Isto signifca que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: C(m,p) = Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1) então: C(m,p) = que pode ser reescrito: C(m,p) = Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por (m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração fcará: (m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 e o denominador fcará: p! (m-p)! Assim, a expressão simplifcada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes: Número de arranjos com repetição Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por m p . Indicamos isto por: A rep (m,p) = m p Número de permutações com repetição Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10, 3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10 – 3, 2) possibilidades e fnalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10 – 3 – 2, 5). O número total de possibilidades pode ser calculado como: Tal metodologia pode ser generalizada. Número de combinações com repetição Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por C rep (m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos. Seja o conjunto A = (a, b, c, d, e) e p = 6. As coleções (a, a, b, d, d, d), (b, b, b, c, d, e) e (c, c, c, c, c, c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6. Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças (a, a, b, d, d, d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø (b, b, b, c, d, e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø# (c, c, c, c, c, c) equivale a ØØ######ØØ Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são preenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10, 6) modos. Assim: C rep (5,6) = C(5 + 6 – 1,6) Generalizando isto, podemos mostrar que: C rep (m,p) = C(m + p – 1,p) Propriedades das combinações O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que defne a quantidade de elementos de cada escolha. Taxas complementares C(m,p) = C(m, m – p) Exemplo: C(12,10) = C(12,2) = 66. Relação do triângulo de Pascal C(m,p) = C(m – 1,p) + C(m – 1,p – 1) Exemplo: C(12,10) = C(11,10) + C(11,9) = 605 Exercícios 1. Quantos são os números de 4 algarismos que podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 2. Quantos são os números de 4 algarismos DISTINTOS que podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Didatismo e Conhecimento 127 MATEMÁTICA 3. Calcule 12!. 10! 4. Calcular o número de arranjos simples de 10 elementos tomados 4 a 4. 5. Quantos números de três algarismos distintos podem formar com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}? 6. Quantos números naturais de 4 algarismos distintos po- demos escrever, usando os algarismos 1, 3, 5 e 7? Qual a posi- ção ocupada pelo número 7 153? 7. Quantos times de futebol de salão podem formar com 10 jogadores capazes de jogar em qualquer posição? 8. Calcule 9. Na direção de uma empresa existem 5 brasileiros e 4 ale- mães. Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar, tendo cada uma delas: a) 2 brasileiros e 1 alemão? b) Pelo menos 1 alemão? 10. Quantos números pares podem obter permutando os algarismos do número 83 137 683? Respostas 1) Resposta “9000”. Solução: Os Algarismos são escritos em 4 posições: O Algarismo das unidades de milhar não pode ser 0; logo, essa posição só pode ser preenchida com um dos 9 algarismos restan- tes, isto é, temos 9 possibilidades para a posição. Com relação à posição das centenas, das dezenas e das unidades, qualquer dos 10 algarismos pode ocupá-la, pois pode haver repetição. Logo, temos 10 possibilidades para a posição das centenas, 10 para as dezenas e 10 para as unidades. Substituindo teremos: 9 10 10 10 Aplicando a regra do produto: 9 . 10 . 10 . 10 = 9000. Portanto, temos 9000 possibilidades. 2) Resposta “4536”. Solução: O Algarismo das unidades de milhar não pode ser 0; portanto, temos 9 possibilidades para a posição. Para a posição das centenas, pode ser o 0 ou qualquer dos 8 restantes, (não pode haver repetições), portanto, temos 9 possibili- dades para essa posição. Para a posição das dezenas temos 8 pos- sibilidades e para a posição das unidades temos 7 possibilidades. Esquematizando, teremos: 9 9 8 7 Aplicando então a regra do produto, teremos: 9 . 9 . 8 . 7 = 4536. Logo, teremos 4536 possibilidades. 3) Resposta “132”. Solução: Substituindo 12! Por 10! . 11 . 12, temos: 4) Resposta “5040”. Solução: A 10,4 5) Resposta “120”. Solução: Como 123 ≠ 132, por exemplo, devemos calcular os arranjos de 6 elementos 3 a 3 . A 6,3 = 6 . 5. 4 = 120. 6) Resposta “20ª posição”. Solução: Como queremos o total de números de 4 algarismos e temos exatamente 4 algarismos para formá-los, basta permutá- -los e teremos o número procurado. Portanto, a solução é: P 4 = 4! = 24. Para saber a posição ocupada por 7 153, basta colocar os nú- meros em ordem crescente: 1 Didatismo e Conhecimento 128 MATEMÁTICA Temos P 3 = 3! = 6 números que começam com 1. 3 Temos P 3 = 3! = 6 números que começam com 3. 5 Temos P 3 = 3! = 6 números que começam com 5. 7 1 5 3 É o segundo número da sequência que começa com 71. Como 3 . P 3 + 2 = 20, o número 7 153 ocupa a 20ª posição. 7) Resposta “252 times”. Solução: Cada time deve ter 5 jogadores e, mudando a ordem destes, o time continua o mesmo. Logo, devemos calcular o número de combinações: C 10,5 = Portanto, podemos formar 252 times. 8) Resposta “16”. Solução: = 9) a - Resposta “40”. Solução: Podemos ter C 5,2 grupos distintos de 2 brasileiros e C 4,1 grupos distintos de 1 alemão. Portanto, o numero de comissões com 2 brasileiros e 1 alemão é: C 5,2 . C 4,1 = 40. b - Resposta “74”. Solução: As possibilidades são: 1 alemão e 2 brasileiros, ou 2 alemães e 1 brasileiros, ou 3 alemães e nenhum brasileiro. Logo, o número de comissões é: C 4,1 . C 5,2 + C 4,2 . C 5,1 + C 4,3 = 40 + 30 + 4 = 74. 10) Resposta “1 260”. Solução: Só devemos considerar os números que terminem em 8 ou 6. Os terminados em 6 são da forma: 6 As demais posições deverão ser preenchidas pelos algarismos restantes: 8, 3, 1, 7, 8 e 3. O total das permutações possíveis é: Os terminados em 8 são da forma: 8 As demais posições deverão ser preenchidas pelos algarismos restantes: 8, 3, 1, 7, 6 e 3. O total das permutações possíveis é: Logo, a quantidade total de números pares é 420 + 840 = 1 260. GEOMETRIA ESPACIAL GEOMETRIA DE POSIÇÃO - POLIEDROS - TEOREMA DE EULER PRISMAS, CILINDROS, PIRÂMIDES E CONES: CONCEITOS; TIPOS; PROPRIEDADES; ÁREAS E VOLUMES - TRONCOS DE PIRÂMIDES E DE CONES - ESFERA E SUAS PARTES: ÁREAS E VOLUMES Para explicar o cálculo do volume de fguras geométricas, podemos pedir que visualizem a seguinte fgura: Didatismo e Conhecimento 129 MATEMÁTICA a) A fgura representa a planifcação de um prisma reto; b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da base pela altura do sólido, isto é c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas; d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o volume de um prisma reto. Os formulários seguintes, das fguras geométricas são para calcular da mesma forma que as acima apresentadas: Figuras Geométricas: O conceito de cone Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região. Elementos do cone - Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva. - Vértice: O vértice do cone é o ponto P. - Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base. - Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. - Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base. - Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base. - Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo. - Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo. Classifcação do cone Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classifcados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo. Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica. Observações sobre um cone circular reto 1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos 2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB. 3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: g 2 = h 2 + R 2 4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):A Lat = Pi R g Didatismo e Conhecimento 130 MATEMÁTICA 5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone): A Total = Pi R g + Pi R 2 Cones Equiláteros Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base. A área da base do cone é dada por: A Base =Pi R 2 Pelo Teorema de Pitágoras temos: (2R) 2 = h 2 + R 2 h 2 = 4R 2 - R 2 = 3R 2 Assim: h = R Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então: V = (1/3) Pi R 3 Como a área lateral pode ser obtida por: A Lat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R 2 então a área total será dada por: A Total = 3 Pi R 2 O conceito de esfera A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela quais muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana. Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que signifca que podemos obter medidas de área e de comprimento, mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma defnida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional: S o = {x em R: x²=1} = {+1,-1} Por exemplo, a esfera S 1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 } é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano. Aplicação: volumes de líquidos Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (pólo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fca impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência. A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico. A superfície esférica A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fxo chamado centro. Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é: S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 } Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R 4 é dada por: S³ = { (w,x,y,z) em R 4 : w² + x² + y² + z² = 1 } Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera? Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fna que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta. É comum encontrarmos na literatura básica a defnição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se devem confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações. Didatismo e Conhecimento 131 MATEMÁTICA O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fna que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta. Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por: x² + y² + z² = R² e a relação matemática que defne o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é: x² + y² + z² < R² Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (x o ,y o ,z o ), a equação da esfera é dada por: (x-x o )² + (y-y o )² + (z-z o )² = R² e a relação matemática que defne o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que: (x-x o )² + (y-y o )² + (z-z o )² < R² Da forma como está defnida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0). Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte (“boca para baixo”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul (“boca para cima”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva. Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será: x=0, y² + z² = R 2 sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infnitas circunferências maximais em uma esfera. Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução. Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica. Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei “calota esférica” com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície. A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica. De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma “calota esférica” superior e uma “calota esférica” inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica. Consideremos uma “calota esférica” com altura h 1 e raio da base r 1 e retiremos desta calota uma outra “calota esférica” com altura h 2 e raio da base r 2 , de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas. Didatismo e Conhecimento 132 MATEMÁTICA No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, “calota esférica” para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e A(total) será a área total. Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos Objeto Relações e fórmulas Esfera Volume = (4/3) Pi R³ A(total) = 4 Pi R² Calota esférica (altura h, raio da base r) R² = h (2R-h) A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi h (4R-h) V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6 Segmento esférico (altura h, raios das bases r 1 >r²) R² = a² + [(r 1 ² -r 2 ²-h²)/2h)]² A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi(2Rh+r 1 ²+r 2 ²) Volume=Pi.h(3r 1 ²+3r 2 ²+h²)/6 Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da “calota esférica” em função da altura da mesma. Volume de uma calota no hemisfério Sul Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R. A equação desta esfera será dada por: x² + y² + (z-R)² = R² A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência x² + y² = R² - (h-R)² Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter: Para simplifcar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar: r² = R² - (h-R)² = h(2R-h) A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em coordenadas polares através de: 0<m<R, 0<t<2Pi A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por: ou seja Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fca na forma: Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais: ou seja: Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever: Após alguns cálculos obtemos: V C (h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³] e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por: V C (h) = Pi h²(3R-h)/3 Volume de uma calota no hemisfério Norte Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R] Lançaremos mão de uma propriedade de simetria da esfera que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada. Didatismo e Conhecimento 133 MATEMÁTICA Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por: V C (d) = Pi d²(3R-d)/3 e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever o volume da calota vazia em função de h: V C (h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3 Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter: V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3 que pode ser simplifcada para: V(h) = Pi h²(3R-h)/3 Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por: V(h) = Pi h²(3R-h)/3 Poliedro Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados. Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra defnição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro. Poliedros Regulares Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que signifca que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice. Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro Áreas e Volumes Poliedro regular Área Volume Tetraedro a 2 R[3] (1/12) a³ R[2] Hexaedro 6 a 2 a³ Octaedro 2 a 2 R[3] (1/3) a³ R[2] Dodecaedro 3a 2 R{25+10·R[5]} (1/4) a³ (15+7·R[5]) Icosaedro 5a 2 R[3] (5/12) a³ (3+R[5]) Nesta tabela, a notação R[z] signifca a raiz quadrada de z>0. Prisma Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. Prisma reto As arestas laterais têm o mesmo comprimento. As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. As faces laterais são retangulares. Prisma oblíquo As arestas laterais têm o mesmo comprimento. As arestas laterais são oblíquas ao plano da base. As faces laterais não são retangulares. Bases: regiões poligonais congruentes Altura: distância entre as bases Arestas laterais paralelas: mesmas medidas Faces laterais: paralelogramos Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo Seções de um prisma Seção transversal É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases. Seção reta (seção normal) É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais. Princípio de Cavaliere Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais. Prisma regular É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado. Planifcação do prisma Didatismo e Conhecimento 134 MATEMÁTICA Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases. As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma “superfície” que pode ser planifcada no plano cartesiano. Tal planifcação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planifcação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total. Volume de um prisma O volume de um prisma é dado por: Vprisma = Abase . h Área lateral de um prisma reto com base poligonal regular A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral como: Cilindros Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. Tomemos também um segmento de reta PQ que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade no círculo. Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R 3 , mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro com a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, “cilindro” e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro. A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a curva que fca no plano do “chão” é a diretriz. Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano do “chão”, o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento PQ for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz. Objetos geométricos em um “cilindro” Num cilindro, podemos identifcar vários elementos: - Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases. - Eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do “cilindro”. - Altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do “cilindro”. - Superfície Lateral É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz. - Superfície Total É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro. - Área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro. - Área total É a medida da superfície total do cilindro. - Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro. Classifcação dos cilindros circulares Cilindro circular oblíquo Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases. Cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo. Cilindro eqüilátero É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado. Volume de um “cilindro” Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = A base × h Se a base é um círculo de raio r, então: V = r 2 h Áreas lateral e total de um cilindro circular reto Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por: A lat = 2 r h onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A tot = A lat + 2 A base A tot = 2 r h + 2 r 2 A tot = 2 r(h+r) Exercícios 1. Dado o cilindro circular equilátero (h = 2r), calcular a área lateral e a área total. 2. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume. Didatismo e Conhecimento 135 MATEMÁTICA 3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone. 4. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete? Respostas 1) Solução: No cilindro equilátero, a área lateral e a área total é dada por: A lat = 2 r. 2r = 4 r 2 A tot = A lat + 2 A base A tot = 4 r 2 + 2 r 2 = 6 r 2 V = A base h = r 2 . 2r = 2 r 3 2) Solução: Cálculo da Área lateral A lat = 2 r h = 2 2.3 = 12 cm 2 Cálculo da Área total A tot = A lat + 2 A base A tot = 12 + 2 2 2 = 12 + 8 = 20 cm 2 Cálculo do Volume V = Abase × h = r 2 × h V = 2 2 × 3 = × 4 × 3 = 12 cm 33 3) Solução: h prisma = 12 A base do prisma = A base do cone = A V prisma = 2 V cone A h prisma = 2(A h)/3 12 = 2.h/3 h =18 cm 4) Solução: V = V cilindro - V cone V = A base h - (1/3) A base h V = Pi R 2 h - (1/3) Pi R 2 h V = (2/3) Pi R 2 h cm 3 POLINÔMIOS E NÚMEROS COMPLEXOS CONCEITOS, PROPRIEDADES E OPERAÇÕES Para polinômios podemos encontrar várias defnições diferentes como: Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. Polinômio é um ou mais monômios separados por operações. As duas podem ser aceitas, pois se pegarmos um polinômio encontraremos nele uma expressão algébrica e monômios separados por operações. • 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). • 3x + 5 é um polinômio e uma expressão algébrica. Como os monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados. Para identifcar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio. Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação. O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir: Adição Exemplo 1 Adicionar x 2 – 3x – 1 com –3x 2 + 8x – 6. (x 2 – 3x – 1) + (–3x 2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal. +(–3x 2 ) = –3x 2 +(+8x) = +8x +(–6) = –6 x 2 – 3x – 1 –3x 2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. x 2 – 3x 2 – 3x + 8x – 1 – 6 –2x 2 + 5x – 7 Portanto: (x 2 – 3x – 1) + (–3x 2 + 8x – 6) = –2x 2 + 5x – 7 Exemplo 2 Adicionando 4x 2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: (4x 2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 4x 2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 4x 2 – 10x + 6x – 5 + 12 4x 2 – 4x + 7 Portanto: (4x 2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x 2 – 4x + 7 Subtração Exemplo 3 Subtraindo –3x 2 + 10x – 6 de 5x 2 – 9x – 8. (5x 2 – 9x – 8) – (–3x 2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. – (–3x 2 ) = +3x 2 – (+10x) = –10x – (–6) = +6 5x 2 – 9x – 8 + 3x 2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 5x 2 + 3x 2 – 9x –10x – 8 + 6 8x 2 – 19x – 2 Portanto: (5x 2 – 9x – 8) – (–3x 2 + 10x – 6) = 8x 2 – 19x – 2 Exemplo 4 Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. 2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes. Didatismo e Conhecimento 136 MATEMÁTICA 2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 0x³ – 6x² + x + 16 – 6x² + x + 16 Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16 Exemplo 5 Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule: a) A + B + C (6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20) 6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20 6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20 9x³ + 6x² – 8x + 45 A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 b) A – B – C (6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20) 6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20 6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20 6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 3x³ + 4x² – 8x – 15 A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15 A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas: Multiplicação de monômio com polinômio. Multiplicação de número natural com polinômio. Multiplicação de polinômio com polinômio. As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades: • Propriedade da base igual e expoente diferente: a n . a m = a n + m • Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coefciente com coefciente. Multiplicação de monômio com polinômio • Se multiplicarmos 3x por (5x 2 + 3x – 1), teremos: 3x . ( 5x 2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva. 3x . 5x 2 + 3x . 3x + 3x . (-1) 15x 3 + 9x 2 – 3x Portanto: 3x (5x 2 + 3x – 1) = 15x 3 + 9x 2 – 3x • Se multiplicarmos -2x 2 por (5x – 1), teremos: -2x 2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva. -2x 2 . 5x – 2x 2 . (-1) - 10x 3 + 2x 2 Portanto: -2x 2 (5x – 1) = - 10x 3 + 2x 2 Multiplicação de número natural • Se multiplicarmos 3 por (2x 2 + x + 5), teremos: 3 (2x 2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva. 3 . 2x 2 + 3 . x + 3 . 5 6x 2 + 3x + 15. Portanto: 3 (2x 2 + x + 5) = 6x 2 + 3x + 15. Multiplicação de polinômio com polinômio • Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x 2 + 2) (3x – 1) . (5x 2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva. 3x . 5x 2 + 3x . 2 – 1 . 5x 2 – 1 . 2 15x 3 + 6x – 5x 2 – 2 Portanto: (3x – 1) . (5x 2 + 2) = 15x 3 + 6x – 5x 2 – 2 • Multiplicando (2x 2 + x + 1) por (5x – 2), teremos: (2x 2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva. 2x 2 . (5x) + 2x 2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2) 10x 3 – 4x 2 + 5x 2 – 2x + 5x – 2 10x 3 + x 2 + 3x – 2 Portanto: (2x 2 + x + 1) (5x – 2) = 10x 3 + x 2 + 3x – 2 Divisão A compreensão de como funciona a divisão de polinômio por monômio irá depender de algumas defnições e conhecimentos. Será preciso saber o que é um monômio, um polinômio e como resolver a divisão de monômio por monômio. Dessa forma, veja a seguir uma breve explicação sobre esses assuntos. • Polinômio é uma expressão algébrica racional e inteira, por exemplo: x 2 y 3x – 2y x + y 5 + ab • Monômio é um tipo de polinômio que possui apenas um termo, ou seja, que possui apenas coefciente e parte literal. Por exemplo: a 2 → 1 é o coefciente e a 2 parte literal. 3x 2 y → 3 é o coefciente e x 2 y parte literal. -5xy 6 → -5 é o coefciente e xy 6 parte literal. • Divisão de monômio por monômio Ao resolvermos uma divisão onde o dividendo e o divisor são monômios devemos seguir a regra: dividimos coefciente com coefciente e parte literal com parte literal. Exemplos: 6x 3 : 3x = 6 . x 3 = 2x 2 3x 2 Observação: ao dividirmos as partes literais temos que estar atentos à propriedade que diz que base igual na divisão, repete a base e subtrai os expoentes. Depois de relembrar essas defnições veja alguns exemplos de como resolver divisões de polinômio por monômio. Exemplo: (10a 3 b 3 + 8ab 2 ) : (2ab 2 ) O dividendo 10a 3 b 3 + 8ab 2 é formado por dois monômios. Dessa forma, o divisor 2ab 2 , que é um monômio, irá dividir cada um deles, veja: (10a 3 b 3 + 8ab 2 ) : (2ab 2 ) Didatismo e Conhecimento 137 MATEMÁTICA Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em duas divisões de monômio por monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coefciente por coefciente e parte literal por parte literal. ou Portanto, (10a 3 b 3 + 8ab 2 ) : (2ab 2 ) = 5a 2 b + 4 Exemplo: (9x 2 y 3 – 6x 3 y 2 – xy) : (3x 2 y) O dividendo 9x 2 y 3 – 6x 3 y 2 – xy é formado por três monômios. Dessa forma, o divisor 3x 2 y, que é um monômio irá dividir cada um deles, veja: Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em três divisões de monômio por monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coefciente por coefciente e parte literal por parte literal. Portanto, Exercícios 1. Um Caderno custa y reais. Gláucia comprou 4 cadernos, Cristina comprou 6, e Karina comprou 3. Qual é o monômio que expressa a quantia que as três gastaram juntas? 2. Suponha que a medida do lado de um quadrado seja expressa por 6x², em que x representa um número real positivo. Qual o monômio que vai expressar a área desse quadrado? 3. Um caderno de 200 folhas custa x reais, e um caderno de 100 folhas custa y reais. Se Noêmia comprar 7 cadernos de 200 folhas e 3 cadernos de 100 folhas, qual é a expressão algébrica que irá expressar a quantia que ela irá gastar? 4. Escreve de forma reduzida o polinômio: 0,3x – 5xy + 1,8y + 2x – y + 3,4xy. 5. Calcule de dois modos (7x – 2xy – 5y) + (-2x + 4xy + y) 6. Determine P 1 + P 2 – P 3 , dados os Polinômios: P 1 = 3x² + x²y² - 7y² P 2 = 2x² + 8x²y² + 3y² P 3 = 5x² + 7x²y² - 9y² 7. Qual é o polinômio P que, adicionado ao polinômio 2y 5 – 3y 4 + y² – 5y + 3, dá como resultado o polinômio 3y 5 – 2y 4 – 2y 3 + 2y² – 4y + 1? 8. Qual é a forma mais simples de se escrever o polinômio expresso por: 2x(3a – 2x) + a(2x – a) – 3x(a + x)? 9. Qual a maneira para se calcular a multiplicação do seguinte polinômio: (2x + y)(3x – 2y)? 10. Calcule: (12a 5 b² – 20a 4 b³ + 48a³b 4 ) (4ab). Respostas 1) Resposta “13y reais”. Solução: 4y + 6y + 3y = = (4 + 6 + 3)y = = 13y Logo, as três juntas gastaram 13y reais. 2) Resposta “36x 4 ”. Solução: Área: (6x²)² = (6)² . (x)² = 36x 4 Logo, a área é expressa por 36x 4 . 3) Resposta “7x + 3y”. Solução: 7 cadernos a x reais cada um: 7x reais 3 cadernos a y reais cada um: 3y reais. Portanto, a quantia que Noêmia gastará na compra dos cadernos é expressa por: 7x + 3y → uma expressão algébrica que indica a adição de monômios. 4) Resposta “2,3x – 1,65xy + 0,8y”. Solução: 0,3x – 5xy + 1,8y + 2x – y + 3,4xy = = 0,3x + 2x – 5xy + 3,4xy + 1,8y – y = → propriedade comutativa = 2,3x – 1,65xy + 0,8y → reduzindo os termos semelhantes Então: 2,3x – 1,65xy + 0,8y é a forma reduzida do polinômio dado. 5) Resposta “5x + 2xy – 4y”. Solução: 1˚ Modo: (7x – 2xy – 5y) + (–2x + 4xy + y) = = 7x – 2xy – 5y – 2x + 4xy + y = = 7x – 2x – 2xy + 4xy – 5y + y = = 5x + 2xy – 4y Didatismo e Conhecimento 138 MATEMÁTICA 2˚ Modo: 7x – 2xy – 5y – 2x + 4xy + y ------------------------- 5x + 2xy – 4y 6) Resposta “–3x² + 2x²y² + 5y²”. Solução: (3x² + x²y² - 7y²) + (x² + 8x²y² + 3y²) – (5x² + 7x²y² - 9y²) = = 3x² + x²y² – 7y² – x² + 8x²y² + 3y² – 5x² – 7x²y² + 9y² = = 3x² – x² – 5x² + x²y² + 8x²y² – 7x²y² – 7y² + 3y² + 9y² = = –3x² + 2x²y² + 5y² Logo, P 1 + P 2 – P 3 = –3x² + 2x²y² + 5y². 7) Resposta “y 5 + y 4 – 2y 3 + y² + y – 2”. Solução: P + (2y 5 – 3y 4 + y² – 5y + 3) = (3y 5 – 2y 4 – 2y 3 + 2y² – 4y + 1). Daí: P = (3y 5 – 2y 4 – 2y 3 + 2y² – 4y + 1) – (2y 5 – 3y 4 + y² – 5y + 3) = = 3y 5 – 2y 4 – 2y 3 + 2y² – 4y + 1 – 2y 5 + 3y 4 – y² + 5y – 3 = = 3y 5 – 2y 5 – 2y 4 + 3y 4 – 2y 3 + 2y² – y² – 4y + 5y + 1 – 3 = = y 5 + y 4 – 2y 3 + y² + y – 2. Logo, o polinômio P procurado é y 5 + y 4 – 2y 3 + y² + y – 2. 8)Resposta “5ax – 7x² – a²”. Solução: 2x(3a – 2x) + a(2x – a) – 3x(a + x) = = 6ax – 4x² + 2ax – a² – 3ax – 3x² = = 6ax + 2ax – 3ax – 4x² – 3x² – a² = = 5ax – 7x² – a² 9) Resposta “6x² – xy – 2y²”. Solução: Nesse caso podemos resolve de duas maneiras: 1˚ Maneira: (2x + y)(3x – 2y) = = 2x . 3x – 2x . 2y + y . 3x – y . 2y = = 6x² – 4xy + 3xy – 2y² = = 6x² – xy – 2y² 2˚ Maneira: 3x – 2y x 2x + y ------------------- 6x² – 4xy + 3xy – 2y² --------------------- 6x² – xy – 2y² 10) Resposta “3a 4 b – 5a³b² + 12a²b³”. Solução: (12a 5 b² – 20a 4 b³ + 48a³b 4 ) (4ab) = = (12a 5 b² 4ab) – (20a 4 b³ 4ab) + (48a³b 4 4ab) = = 3a 4 b – 5a³b² + 12a²b³ PROBABILIDADE NOÇÕES BÁSICAS DE ESPAÇO AMOSTRAL - CONCEITO DE PROBABILIDADE - PROBABILIDADE CONDICIONAL - EVENTOS INDEPENDENTES Os cálculos hebreus sobre a posição dos astros, realizados Ben Ezra no século XII com a fnalidade de fazer previsões astrológicas podem ser considerados como os primeiros passos rumo à teoria das probabilidades. O Livros dos jogos de azar, de Girolamo Cardano (1501-1576) publicado em torno de 1550 é o primeiro manual organizado que traz algumas noções de probabilidade. Nesse livro, Cardano, que era um jogador, além de matemático, astrólogo e médico desenvolve cálculos de expectativas acerca de jogos dados e também dá conselhos sobre como trapacear no jogo. No entanto o estudo sistemático das probabilidades começou realmente em 1654 quando um jogador francês, o Chevalier de Méré escreveu a Blaise Pascal (1623-1662) fazendo várias perguntas sobre o jogo de dados ou de azar. Uma das perguntas era: Dois jogadores igualmente hábeis querem interromper sua partida. Sabendo-se que o montante das apostas e situação do jogo (quantas partidas cada um ganhou), como deverá ser repartido o dinheiro? Pascal extremamente religioso não era jogador escreveu a outro matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) sobre as perguntas feitas por Chevalier de Méré. A partir dessa correspondência, Pascal e Fermat aprofundaram estudos conjuntos sobre probabilidade e apesar de não terem publicado seus estudos chegaram a defnir conceitos como expectativa, chance e média, além de estabelecer técnicas de contagem e estatísticas de incidência de casos num dado fenômeno. Também no século XVII, mas precisamente em 1657, o holandês Christian Hiygens (1629 – 1695) publicou seu livro O raciocínio nos jogos de dados, onde apresentou importantes contribuições ao estudo das probabilidades. O suíço Jacques Bernouilli (1654 – 1705) na mesma época deu uma grande contribuição aos estudos das probabilidades ao propor um teorema onde afrmava que a probabilidade de um evento ocorrer tente a um valor constante quando o número de ensaios desse evento tende ao infnito. Depois de Bernouilli, Abraham De Moivre (1667 – 1751) publicou o livro A doutrina do azar onde também faz análise dos jogos que contribuíram para o estudo das probabilidades. Foi em 1812 que Pierre Laplace (1749 – 1827) deu forma a uma estrutura de raciocínio e a um conjunto de defnições no seu livro Teoria analítica da probabilidade. A teoria moderna das probabilidades hoje constitui a base de um dos ramos de maior aplicação nas ciências, a Estatística. Experimentos Aleatórios Os experimentos cujos resultados podem ser previsto, isto é, podem ser determinados antes mesmo de sua realização, são chamados experimentos determinísticos. Por exemplo, é possível prever a temperatura em que a água entrará em ebulição desde que conhecidas as condições em que o experimento se realiza. Didatismo e Conhecimento 139 MATEMÁTICA Alguns experimentos, contudo, não são assim previsíveis. Por mais que sejam mantidas as mesmas condições, não podemos prever qual será o resultado ao lançarmos uma moeda. Esses são chamados experimentos aleatórios (em latim alea = sorte). Experimentos aleatórios: São aqueles, que repetidos em condições idênticas, não produzem sem o mesmo resultado. A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecermos as possibilidades de ocorrência num experimento aleatório. Espaço Amostral e Eventos Vamos estudar experimentos aleatórios com resultados equiprováveis (mesma chance de ocorrência) e em número determinado, isto é, fnito. Desta forma defnimos: Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U. Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplo Lançaremos três moedas e observamos as faces que fcaram voltadas para cima. Representar: a) O espaço amostral do experimento; b) O evento A: chances de sair faces iguais; c) O evento B: sair exatamente uma face “cara”; d) O evento C: chances de sair, pelo menos, uma face “cara”. Resolução a) U = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Ca, Co, Co), (Co, Ca, Ca), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca), (Co, Co, Co)} b) A = {(Ca, Ca, Ca), (Co, Co, Co)} c) B = {(Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)} d) C = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Co, Ca, Ca), (Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)} Observação: Os números de elementos do espaço amostral e dos eventos de um experimento aleatório são calculados com a análise combinatória. Tipos de Eventos Consideremos o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do número representado na face voltada para cima. O espaço amostral será: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Analisemos os diversos tipos de eventos que podemos defnir neste experimento. Evento Elementar: Qualquer subconjunto unitário de U. Exemplo Ocorrência de um número múltiplo de 5. A = {5} Evento Certo: É o próprio espaço amostral U. Exemplo Ocorrência de um divisor de 60. B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento Impossível: É o conjunto vazio (∅). Exemplo Ocorrência de múltiplo de 8. C = { } = ∅ Evento União: É a reunião de dois eventos. Exemplo Evento A: Ocorrência de um número primo A = {2, 3, 5} Evento B: Ocorrência de um número ímpar B = {1, 3, 5} Evento A ∩ B: Ocorrência de um número primo ou ímpar A ∩ B = {1, 2, 3, 5} Evento Intersecção: É a intersecção de dois eventos. Exemplo Evento A: Ocorrência de um número primo A = {2, 3, 5} Evento B: Ocorrência de um número ímpar B = {1, 3, 5} Evento A ∩ B: Ocorrência de um número primo ou ímpar A ∩ B = {3, 5} Evento Mutuamente Exclusivo: Dois eventos E 1 e E 2 de um espaço amostral U são chamados mutuamente exclusivos quando E 1 ∩ E 2 = ∅ Exemplo Evento A: Ocorrência de um número par A = {2, 4, 6} Evento B: Ocorrência de um número ímpar B = {1, 3, 5} A e B são eventos mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = ∅ Evento Complementar: É o evento Ē = U – E. Exemplo Evento A: Ocorrência de um número primo A = {2, 3, 5} Evento Ā: Ocorrência de um numero não primo Ā = U – A = {1, 4,6} Observação: No caso do exemplo, podemos dizer que o evento Ā é a não-ocorrência de um número primo. Probabilidade Estatística e Probabilidade Teórica Imaginamos a seguinte situação: em uma turma do segundo colegial, existem 25 garotas e 10 garotos e um brinde foi sorteado para um dos membros da turma. Temos que adivinhar o sexo do contemplado. Didatismo e Conhecimento 140 MATEMÁTICA Intuitivamente, “sabemos” que é “mais fácil” ter sido sorteada uma garota que um garoto, no entanto não podemos afrmar com certeza o sexo do contemplado. A “chance” de uma garota ter sido sorteada pode ser traduzida por um numero que chamamos probabilidade. Uma observação que pode ser feita é que a teoria das probabilidades é uma maneira matemática de lidar com a incerteza. O cálculo da probabilidade de um evento acontecer, muitas vezes, é feito experimentalmente, e essa probabilidade é chamada de experimental ou estatística. Exemplo A probabilidade de uma pessoa morrer aos 25 anos é obtida através do levantamento e do tratamento adequado de um grande número de casos. No entanto, para calcularmos a probabilidade de ao jogarmos dois dados obtermos, nas faces voltadas para cima, dois números iguais, não precisamos realizar o experimento, ela pode ser conseguida a partir de uma analise teórica do espaço amostral e do evento, e neste caso chamamos de probabilidade teórica. No 2º grau, não desenvolvemos estudos da probabilidade estatística, que será estudada na maioria dos cursos de 3º grau. Probabilidade Teórica de um Evento Se num fenômeno aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A) tal que: P(A) = n(A) n(U) Outra forma de defnir a probabilidade de ocorrer o evento A é: P(A) = Número de casos favoráveis a A Número de casos possíveis Exemplos - Retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual é a probabilidade de que a carta retirada seja um rei? Resolução P(E) = Número de resultados favoráveis Número de resultados possíveis P(E) = 4 = 1 52 13 - Em um lançamento de dois dados, um preto e outro branco, qual é a probabilidade de que os dois números obtidos sejam iguais? Resolução U = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,4), (6,5), (6,6)} n(U) = 6 . 6 = 36 U = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} n(E) = 6 Assim, P(E) = n(E) = 6 = 1 n(U) 36 6 - Dentre as seis permutações dos números 1, 2, e 3, uma é escolhida ao acaso. Considerando o número de três algarismos assim escolhido, determine a probabilidade de ele: a) Ser par; b) Ser múltiplo de três; c) Ser múltiplo de cinco. Resolução O espaço amostral é: U = {123, 132, 213, 231, 312, 321} Propriedade das Probabilidades P 1 ) A probabilidade do evento impossível é 0. (P( ∅ )= 0) P( ∅ )= n( ∅ ) = 0 = 0 n(U) n(U) P 2 ) A probabilidade do evento certo é 1. (P(U ∅)= 1) P(U) = n(U) = 1 n(U) P 3 ) Sendo A um evento de um espaço amostral U, a probabilidade de A é um número racional entre 0 e 1, inclusive. (0≤ P(A) ≤ 1). 0≤ n(A) 0≤ n(U) => 0 ≤ n(A) ≤ n(U) n(U) n(U) n(U) Como P(A) = n(A) temos: n(U) 0≤ P(A) ≤ 1 P 4 ) Sendo A um evento e Ā seu complementar, então P(A) + P(Ā) = 1. Didatismo e Conhecimento 141 MATEMÁTICA U Ā A n(U) = n(A) + n(Ā) n(U) = n(A) + n(Ā) n(U) n(U) n(U) Assim, P(A) + P(Ā) = 1 Observação: É comum expressarmos a probabilidade de um evento na forma de porcentagem. Assim, se P(A) = 0,82, por exemplo, podemos dizer que P(A) = 82%. Exemplo Os 900 números de três algarismos estão colocados em 900 envelopes iguais. Um dos envelopes é sorteado. Qual a probabilidade de ele conter um número que tenha, pelo menos, dois algarismos iguais? Resolução Sendo A o evento: ocorrer um número com pelo menos dois algarismos iguais. É mais fácil calcular P(Ā), a probabilidade do evento complementar de A. Assim, U Ā A Números com algarismos distintos Números com pelo menos dois algarismos repetidos Propriedade do Evento União Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que ocorrer o evento A ∩ (evento união) é ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B. n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Assim: n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) n(U) n(U) n(U) n(U) Ou seja: P (A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Podemos enunciar essa conclusão assim: A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma da probabilidade de ocorrer A com a probabilidade de ocorrer B, menos a probabilidade de ocorrer os dois eventos (A e B). Caso particular: se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A ∩ B = ∅ , P(A ∩ B) = 0 a formula acima se reduz a: P(A ∩ B) = PA + PB Exemplo De um baralho comum de 52 cartas, uma carta é retirada aleatoriamente. Qual a probabilidade de sair um valete ou uma carta de paus. Resolução Sendo: Evento A: “a carta e um valete” P(A) = 4 52 Evento B: “a carta de paus” P(B) = 13 52 Evento A ∩ B: “a carta é um valete de paus” P(A∩B) = 1 52 Evento A ∩ B: “a carta é um valete ou é de paus” P( A ∩ B) = P(A) +P(B) – P(A ∩ B) P(A ∩ B) = 4 + 13 - 1 = 16 = 4 52 52 52 52 13 Didatismo e Conhecimento 142 MATEMÁTICA Probabilidades num Espaço Amostral não Equiprovável No espaço amostral equiprovável todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrência e por isso que nos problemas com dados e moedas estudados anteriormente sempre tomamos o cuidado de especifcar que os dados e moedas eram “honestos” ou “não viciados”. Como estudar as probabilidades com dados ou moedas “viciados”? A fórmula que usamos até agora P(E) = Número de resultados favoráveis de E Número de resultados possíveis Não é válida, pois não importa apenas a quantidade de resultados favoráveis já que esses resultados não têm necessariamente a mesma “chance” de ocorrência. Consideramos um experimento, com espaço amostral U = {a 1, a 2..., a n }. Chamando de p(a 1 ), p(a 2 ),..., p(a n ) as probabilidades de ocorrência dos resultados a 1 , a 2, ..., na, respectivamente temos que: - p(a 1 ) + p(a 2 ) +...+ p (a n ) =1 - 0 ≤ p(a 1 ) ≤ 1, para i = 1, 2, ..., n Desta forma para calcularmos a probabilidade do evento A = {a 1 , a 2 ,..., a m }(m≤n), fazemos: P(A) = p(a 1 ) + p(a 2 ) +...+ p(a m ) Exemplo Consideramos um experimento com espaço amostral U = {a, b, c} sendo p(a), p(b), p(c) as possibilidades dos resultados a, b e c de modo que p(a) = 1 ep(b) = 1 3 2 calcule : a) p(c) b) a probabilidade do evento A ={a,c} Resolução a) p(a) + p(b) + p(c) = 1 1 + 1 +p(c) = 1 3 2 p(c) = 1 - 1 - 1 = 6–2 – 3 = 1 3 2 6 6 b) P(A) = p(a) + p(c) P(A) = 1 + 1 = 2+1 = 3 3 6 6 6 Assim,P(A) = 1 2 Probabilidade Condicional Consideremos num experimento aleatório de espaço amostral U os eventos A e B, com A ∩ B ≠ ∅ , conforme o diagrama abaixo: Na medida em que conhecemos a informação de que ocorreu o evento B, este passa a ser o espaço amostral do experimento, pois todos os resultados agora possíveis pertencem a A. assim, a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que o evento B já ocorreu, será: P(A/B) = n(A ∩ B) n(B) Exemplo Numa turma de 50 alunos do colégio, 15 são homens e 35 são mulheres. Sabe-se que 10 homens e 15 mulheres foram aprovados num exame de seleção. Uma pessoa é sorteada ao acaso. Qual a probabilidade de: a) Ela ser do sexo feminino se foi aprovada no exame? b) Ela ter sido aprovada no exame se é do sexo masculino? Resolução O quando abaixo resume os dados do problema: Foi Aprovado Não foi Aprovado Total Homem 10 5 15 Mulher 15 20 35 Total 25 25 50 a) Sendo: Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”. Evento B: “a pessoa sorteada é mulher”. P(B/A) = n (A ∩ B) = 15 = 3 n (A) 25 5 b) Sendo: Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”. Evento B: “a pessoa sorteada é homem”. P(A/C) = n (A ∩C) = 10 = 2 n (C) 15 3 Probabilidade do Evento Intersecção Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que ocorrer o evento A ∩ B (evento intersecção) é ocorrer simultaneamente os eventos A e B. Para calcular a probabilidade de ocorrer A ∩ B, vamos utilizar a fórmula da probabilidade condicional. Didatismo e Conhecimento 143 MATEMÁTICA P(A/B) = n (A ∩B) , n (B) Dividido por n(U), temos: P(A/B) = n (A ∩B) = P (A ∩ B) n (U) n (B) P (B) n (U) Assim: P(A∩B) = P (B) . P (A/B) (I) Podemos também usar a fórmula de P (B/A), assim: P(B/A) = n (A ∩B) = n (A ∩B) = P (A ∩ B) n (U) n (A) n (A) P (A) n (U) Então: P(A∩B) = P (A) . P (B/A) (II) A partir das fórmulas (I) e (II), citadas anteriormente, concluímos: Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, a probabilidade de eles ocorrerem simultaneamente é dada pelo produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado que ocorreu o primeiro. Exemplo Consideremos uma urna contendo 5 bolas numeradas de 1 a 5. qual a probabilidade de retirarmos a bola 1 e, sem sua reposição, a bola 2? Resolução A probabilidade de sair a bola 1 na primeira retirada é P (A) = 1/5 Restando 4 bolas na urna, a probabilidade de ocorrer a bola na segunda, tendo ocorrido a bola 1 na primeira é: P (A/B) = 1/4 Como devem ocorrer os dois eventos, temos: P (A ∩ B) =P (A) . P(B/A) = 1 = 1 = 1 5 4 20 Eventos Independentes Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que eles são independentes se a ocorrência de um deles não modifcar a probabilidade de ocorrência do outro. A e B independentes <=> P (B/A) = P(B) e P (A/B) = PA Quando A e B são eventos independentes. P (A ∩ B) = P(A) . P(B) Então se P (A ∩ B) ≠ P(A) . P(B), dizemos que os eventos são dependentes. Exemplos de Eventos Independentes - No lançamento simultâneo de dois dados, o resultado de um deles não infui no resultado do outro. - No lançamento sucessivo de dois dados, o resultado de um deles não infui no resultado do outro. - Na extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair a segunda carta for feita a reposição da primeira, o resultado da primeira não infui no resultado da segunda. Exemplo de Eventos Dependentes Na extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair a segunda carta não for feita a reposição da segunda, o resultado da primeira infuencia o resultado da segunda, pois o espaço amostral passa a ter 51 elementos. Exemplo Sejam A e B dois eventos independentes tais que: P(A) = 1 eP(A ∩ B)= 1 4 3 Calcule P (B). Resolução P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Como A e B são independentes P (A Ç B) = P(A) . P(B) :. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) ou seja: 1 = 1 +P(B - 1 P (B) 3 4 4 4 = 3 + 12 P (B) – 3 P (B) 9 P (B) = 1 => P (B) = 1 9 Exercícios 1. Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? 2. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? 3. Um casal pretende ter flhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? Didatismo e Conhecimento 144 MATEMÁTICA 4. Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fzer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa? 5. Em uma caixa há 2 fchas amarelas, 5 fchas azuis e 7 fchas verdes. Se retirarmos uma única fcha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? 6. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. 7. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer. 8. Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo. 9. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo. 10. De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4? Respostas 1) Resposta “ ” Solução: Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim: Logo, A probabilidade desta bola ser verde é 5 / 12. 2) Resposta “25%”. Solução: Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral. Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por: Portanto, a probabilidade das três moedas caírem com a mes- ma face para cima é igual a 1 / 4 , ou 0,25, ou ainda 25%. 3) Resposta “10,24%”. Solução: Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8. Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo: 0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. Então, a probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%. 4) Resposta “0,2592”. Solução: Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra como em cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton: n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5. k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1. p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4. q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6. Substituindo tais valores na fórmula temos: O número binomial é assim resolvido: Então temos: Assim, a probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592. Didatismo e Conhecimento 145 MATEMÁTICA 5) Resposta “ ”. Solução: Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar . Ao somarmos a quantidade de fchas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral. Neste exercício os eventos obter fcha verde e obter fcha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula: Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos. O evento de se obter fcha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fchas, então a probabilidade do evento obter fcha verde ocorrer é igual a 7/ 14 : Analogamente, a probabilidade do evento obter fcha amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/ 14 : Observe que poderíamos ter simplifcado as probabilidades, quando então 7/ 14 passaria a 1/ 2 e 2/ 14 a 1/ 7 , no entanto isto não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum: Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê- lo resolvido de outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos: Note que a probabilidade de se obter fcha azul é 5 em 14, ou seja, 5/ 14 . Então a probabilidade de não se obter fcha azul é 9 em 14, pois: O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral. Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma fcha azul, só poderemos ter uma fcha verde ou uma fcha amarela, pois não há outra opção. 6) Resposta “25%”. Solução: Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1. Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4. Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%. 7) Resposta “ Solução: Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos: p(A) = p(B) = 2 . p(C). Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2. Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1. Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo). Assim, substituindo, vem: k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5. Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5. A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja, 2/5 + 1/5 = 3/5. 8) Resposta “ ”. Solução: Pelo enunciado, podemos escrever: p(2) = p(4) = p(6) = 2 . p(1) = 2 . p(3) = 2 . p(5). Seja p(2) = k. Poderemos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1. Então, substituindo, vem: k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9. Assim, temos: p(2) = p(4) = p(6) = 2/9 p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9. O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9. 9) Resposta “ Solução: Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos. Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10. 10) Resposta “ Solução: Vamos representar por E 3 o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 3: E 3 = { 3, 6, 9, 12, 15 } E por E 4 vamos representar o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 4: Didatismo e Conhecimento 146 MATEMÁTICA E 4 = { 4, 8, 12 } O espaço amostral é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é: A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é: Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais eventos não são mutuamente exclusivos. Como podemos ver, o número 12 está contido tanto em E 3 quanto em E 4 , ou seja: A probabilidade da intersecção é: Portanto: Logo, a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é 7 / 15 . TRIGONOMETRIA ARCOS E ÂNGULOS - CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO - ARCOS CÔNGRUOS - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICOS - REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos. Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x’,y’) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x’,0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y’). A medida do segmento OB coincide com a ordenada y’ do ponto M e é defnida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a). Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=y’ Didatismo e Conhecimento 147 MATEMÁTICA Para simplifcar os enunciados e defnições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos. Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x’ do ponto M. Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = x’ Tangente Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t’). A ordenada deste ponto T, é defnida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a. Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = t’ Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos. Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso: cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0 Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes Ângulos no segundo quadrante Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa. Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso: cos( /2)=0 e sen( /2)=1 A tangente não está defnida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas. Ângulos no terceiro quadrante O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que signifca que o ângulo pertence ao intervalo: <a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M’=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva. Em particular, se a= radianos, temos que cos( )=-1, sen( )=0 e tan( )=0 Ângulos no quarto quadrante O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa. Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está defnida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3 /2, temos: cos(3 /2)=0, sin(3 /2)=-1 Simetria em relação ao eixo OX Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M’ o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M’ possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos. Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM’, obtemos: sen(a) = -sen(b) cos(a) = cos(b) tan(a) = -tan(b) Didatismo e Conhecimento 148 MATEMÁTICA Simetria em relação ao eixo OY Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M’ simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M’ possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas. Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM’. Desse modo: sen(a) = sen(b) cos(a) = -cos(b) tan(a) = -tan(b) Simetria em relação à origem Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M’ simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M’ possuem ordenadas e abscissas simétricas. Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM’. Desse modo: sen(a) = -sen(b) cos(a) = -cos(b) tan(a) = tan(b) Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico. Primeira relação fundamental Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é: sin²(a) + cos²(a) = 1 que é verdadeira para todo ângulo a. Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x’,y’) e B=(x”,y”). Defnimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), com o: Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²] 1/2 , de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a). Segunda relação fundamental Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a defnição da função tangente, é dada por: tan(a) = sen(a) cos(a) Deve fcar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular. Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a. Para a 0, a , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a circunferência trigonométrica na fgura seguinte. Didatismo e Conhecimento 149 MATEMÁTICA Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo: AT MN = OA ON Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0<a<2 com a /2 e a 3 /2 temos tan(a) = sen(a) cos(a) Forma polar dos números complexos Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar: z = r [cos(c) + i sen(c)] onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z. A multiplicação de dois números complexos na forma polar: A = |A| [cos(a)+isen(a)] B = |B| [cos(b)+isen(b)] é dada pela Fórmula de De Moivre: AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)] Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos. Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso A = cos(a) + i sen(a) B = cos(b) + i sen(b) Multiplicando A e B, obtemos AB = cos(a+b) + i sen(a+b) Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se “óiler”), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z: e iz = cos(z) + i sen(z) Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como: A = e ia = cos(a) + i sen(a) B = e ib = cos(b) + i sen(b) onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim, e i(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b) Por outro lado e i(a+b) = e ia . e ib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)] e desse modo e i(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) + i [cos(a) sen(b) + cos(b)sen(a)] Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a) Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b) sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a) para obter cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b) Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2 e 0£b£2 , a>b, então; sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos: tan(a+b)= sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula: tan(a+b)= tan(a)+tan(b) 1-tan(a)tan(b) Como sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b) cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter: tan(a-b)= tan(a)-tan(b) 1+tan(a)tan(b) GEOMETRIA ANALÍTICA PONTOS NO PLANO - DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - ESTUDO DA RETA A defnição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o que sabe-se muito bem e aqui será o mais importante é sua representação geométrica e espacial. Representação, (notação) → Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,… → Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,… → Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex: β,∞,α,... Didatismo e Conhecimento 150 MATEMÁTICA Representação gráfca Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova. 1º Numa reta bem como fora dela há infnitos pontos distintos. 2º Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta). 3º Pontos colineares pertencem à mesma reta. 4º Três pontos determinam um único plano. 5º Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano. 6º Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum. Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na reta s. Um plano é um subconjunto do espaço R 3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto. Um plano no espaço R 3 pode ser determinado por qualquer uma das situações: • Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta); • Um ponto e uma reta que não contem o ponto; • Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto; • Duas retas paralelas que não se sobrepõe; • Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe; • Duas retas concorrentes; • Dois segmentos de reta concorrentes. Duas retas (segmentos de reta) no espaço R 3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas. Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa. Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R 3 , se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta. Uma reta r é paralela a um plano no espaço R 3 , se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada. Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento. Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula. Planos concorrentes no espaço R 3 são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R 3 são planos que não tem interseção. Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes. Didatismo e Conhecimento 151 MATEMÁTICA Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus). Razão entre Segmentos de Reta Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão limitados por dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto fnal. Denotamos um segmento por duas letras como por exemplo, AB, sendo A o início e B o fnal do segmento. Exemplo: AB é um segmento de reta que denotamos por AB. A _____________ B Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível realizar a divisão entre as medidas dos dois segmentos. Consideremos os segmentos AB e CD, indicados: A ________ B m(AB) =2cm C ______________ D m(CD)=5 cm A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, AB/ CD, é defnida como a razão entre as medidas desse segmentos , isto é: AB/CD=2/5 Segmentos Proporcionais Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante aos que já estudamos com números racionais, é possível eatabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos. Vamos considerar primeiramente um caso particular com quatro segmentos de reta: m(AB) =2cm A______B P__________Q m(PQ) =4cm m(CD) =3cm C__________D R___________________S m(RS) =6cm A razão entre os segmentos AB e CD e a razão entre os segmentos PQ e RS, são dadas por frações equivalentes, isto é: AB/CD = 2/3; PQ/RS = 4/6 e como 2/3 = 4/6, segue a existência de uma proporção entre esses quatro segmentos de reta. Isto nos conduz à defnição de segmentos proporcionais. Diremos que quatro segmentos de reta, AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se: AB/BC = CD/DE Os segmentos AB e DE são os segmentos extremos e os segmentos BC e CD são os segmentos meios. A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que representam as medidas dos segmentos: m(AB) m(BC) = m(CD) m(DE) Propriedade Fundamental das proporções: Numa proporção de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto das medidas dos segmentos extremos. m(AB) · m(DE) = m(BC) · m(CD) Feixe de Retas Paralelas Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. As retas A, B, C e D que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais. Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A fgura ao lado representa uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortado por duas retas transversais. Identifcamos na sequência algumas proporções: AB/BC = DE/EF BC/AB = EF/DE AB/DE = BC/EF DE/AB = EF/BC Exemplo: Consideremos a fgura ao lado com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centímetros. Assim: BC/AB = EF/DE AB/DE = BC/EF DE/AB = EF/BC Observamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão pode ser determinada com o uso de razões proporcionais. Didatismo e Conhecimento 152 MATEMÁTICA Exercício Nos exercícios de 1 a 3, utilize Teorema de Tales para determinar o que se pede a respeito da situação ilustrada pela imagem a seguir: As retas DE e BC são paralelas. Exercício 1: Considerando a fgura acima, determine o comprimento do segmento , supondo que , e Exercício 2: Determine e , supondo que na fgura ao lado e Exercício 3: Determine AD e DB, supondo que e Do exercício 4 até o exercício 7, utilize Teorema de Tales para determinar o que se pede a respeito da situação ilustrada pela seguinte imagem: As retas AD, BE e CF são paralelas. Exercício 4: Determine , supondo que e Exercício 5: Determine e supondo que e Exercício 6: Determine a medida de supondo que e que é 4cm maior que . Exercício 7: Determine supondo que e que é 3cm maior que Exercício 8: Considere um triângulo tal que , e . Desenhe sobre o segmento um ponto M tal que . A reta paralela a que passa por M encontra no ponto N. Calcule e . Respostas 01- AD=4cm 02- 8 e 18 respectivamente. 03- 15 e 12 respectivamente. 04- 09cm 05- 16 e 14 respectivamente. 06- 12cm 07- 15cm 08- 10/3 , 5/3 e 14/3 respectivamente. ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA Equações da circunferência Equação reduzida Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fxo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência: Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(d CP ) é o raio dessa circunferência. Então: Portanto, (x - a) 2 + (y - b) 2 =r 2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x 2 + y 2 = r 2 . Equação Geral Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência: Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é: ( x - 2 ) 2 +( y + 3 ) 2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos: Didatismo e Conhecimento 153 MATEMÁTICA Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência. Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições: • os coefcientes dos termos x 2 e y 2 devem ser iguais a 1; • não deve existir o termo xy. Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x 2 + y 2 - 6x + 2y - 6 = 0. Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim: 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x 2 - 6x + _ + y 2 + 2y + _ = 6 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio Posição de um ponto em relação a uma circunferência Em relação à circunferência de equação ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 , o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições: a) P é exterior à circunferência b) P pertence à circunferência Didatismo e Conhecimento 154 MATEMÁTICA c) P é interior à circunferência Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 - r 2 : • se ( m - a) 2 + ( n - b) 2 - r 2 > 0, então P é exterior à circunferência; • se ( m - a) 2 + ( n - b) 2 - r 2 = 0, então P pertence à circunferência; • se ( m - a) 2 + ( n - b) 2 - r 2 < 0, então P é interior à circunferência. Posição de uma reta em relação a uma circunferência Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a) 2 + ( y - b) 2 = r 2 , vamos examinar as posições relativas entre s e : Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência : (x - a) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 , temos: Assim: Condições de tangência entre reta e circunferência Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos: a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P A Importância da Circunferência A circunferência possui características não comumente encontradas em outras fguras planas, como o fato de ser a única fgura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modifcar sua posição aparente. É também a única fgura que é Didatismo e Conhecimento 155 MATEMÁTICA simétrica em relação a um número infnito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas. Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fxo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações. Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fxo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfco acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência. Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência. Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo. Raio, Corda e Diâmetro Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na fgura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios. Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na fgura, os segmentos de reta AC e DE são cordas. Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na fgura, o segmento de reta AC é um diâmetro. Posições relativas de uma reta e uma circunferência Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na fgura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência. Observações: 1. Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm. 2. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, “A tangente PQ” pode signifcar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a “secante AC” pode signifcar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C. Propriedades das secantes e tangentes 1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB. Didatismo e Conhecimento 156 MATEMÁTICA 2. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. 3. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Posições relativas de duas circunferências Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra. Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas. Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum. Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à ircunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes. Polígonos circunscritos Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono. Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados. Arco de circunferência e ângulo central Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela defnição de circunferência temos que OP=OQ=OR=... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes. Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número. Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na fgura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB. Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na fgura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB. Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na fgura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior. Didatismo e Conhecimento 157 MATEMÁTICA Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra. Observações: Em uma circunferência dada, temos que: 1. A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB). 2. A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos. 3. Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes. 4. Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF). 5. Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF). Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas fguras apresentadas. Propriedades de arcos e corda Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especifcada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especifcar. Observações 1. Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco. 2. Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta. 3. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (Situação 1). 4. Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (Situação 2). 5. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (Situação 3). Polígonos inscritos na circunferência Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono. Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é 360 graus.  + Î = 180 graus Ê + Ô = 180 graus  + Ê + Î + Ô = 360 graus Didatismo e Conhecimento 158 MATEMÁTICA Ângulos inscritos Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na fgura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente. Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é: m = n/2 = (1/2) m(AB) Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa semi- circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo. Ângulo semi-inscrito e arco capaz Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfco ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco. Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado. Na fgura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco AXB. Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta- se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz. Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando pelos pontos A e B são congruentes e isto signifca que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. Na fgura abaixo à esquerda, os ângulos que passam por A e B e têm vértices em V 1 , V 2 , V 3 , ..., são todos congruentes (a mesma medida). Na fgura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi- inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o dobro da medida de n, isto é: m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n) Exercícios 1. Dado um hexágono regular com área 48 R[3] cm 2 . Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. Escreva a equação da circunferência cujo extremos do diâmetro é dado pelos pontos A(2,–1) e B(6,3). 2. Dada o equação reduzida de uma circunferência (x ? 1) 2 + (y + 4) 2 = 9, dizer qual a origem e o raio da circunferência: Respostas 1) Solução: Como os pontos A e B são os extremos do diâmetro, o ponto médio entre eles é o centro da circunferência. Encontrando então o centro temos h = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 e k = (–1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 e daí, o centro é o ponto C(4,1). A distância entre o centro e qualquer um dos pontos A ou B é o raio. Logo, R = dCB = = = = . Então a equação é dada por: x 2 + y 2 – 2.4.x – 2.1.y + 4 2 + 12 – 2 = 0 ou x 2 + y 2 – 8x – 2y + 9 = 0. 2) Solução: Basta compararmos a equação dada com a equação genérica reduzida de uma circunferência: x 0 = 1 y 0 = -4 r 2 = 9 → r = 3 Assim a origem está no ponto (1, -4) e ela possui um raio de 3.