PRÁTICAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP 12cProf. LUCAS DE OLIVEIRA www.professorlucas.zip.net [email protected] Í N D I C E 1. Finalidade e Importância da Matemática Financeira.............................................................................. 02 2. Conceitos Fundamentais • Função Primária...................................................................................................................................02 • Funções Alternativas............................................................................................................................02 • Revisão de Porcentagem......................................................................................................................04 4. Regimes de Capitalização • Capitalização Simples......................................................................................................................... 05 • Taxas Proporcionais ........................................................................................................................... 06 • Taxas Equivalentes...............................................................................................................................06 • Capitalização Composta.......................................................................................................................07 • Expressão Matemática dos Juros Compostos.......................................................................................07 • Taxas Equivalentes para Juros Compostos..........................................................................................11 4. Série de Pagamentos Uniformes ..................................................................................................................13 5. Sistemas de Amortização • Sistema de Amortização Constante (Francês ou Price) Pré-Fixado.....................................................18 • Sistema de Amortização Constante (Francês ou Price) Pós Fixado.....................................................19 • Sistema de Amortização Constante – SAC ........................................................................................ 19 • Sistema com Carência ........................................................................................................................ 20 • Sistema Americano..............................................................................................................................20 • Sistema de Pagamento Único..............................................................................................................21 • Fluxo de Caixa ....................................................................................................................................21 6. Taxa Interna de Retorno ..............................................................................................................................22 7. Análise da Viabilidade Financeira de um Projeto • Leasing ................................................................................................................................................25 8. Desconto de Duplicatas com vários Prazos e várias Taxas • Taxa Média .........................................................................................................................................25 • Prazo Médio.........................................................................................................................................27 Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.professorlucas.zip.net 1 pode-se cancelar a operação digitando prefix f clear . CHS Exemplo: . pois daí teremos as características da eventual operação de emprestar. Matematicamente falando.zip. HP 12C . etc.professorlucas. É um número normalmente expresso em porcentagem ou forma decimal. . após a digitação do número. Quanto maior for o risco. 3. Empresa tomadora de recursos – procurar crédito com juros e prazos mais adequados à situação. negociação de juros e descontos. CONCEITOS FUNDAMENTAIS Operação (Compra. e. Para acionar os amarelos pressionamos e para os azuis pressionamos f g Se pressionadas por engano. conseqüentemente. digita-se . maior será a remuneração (juro) e. Ex. os juros são diretamente proporcionais ao capital e ao prazo de aplicação.MATEMÁTICA FINANCEIRA FINALIDADE E IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA FRENTE ÀS DIVERSAS FUNÇÕES DA EMPRESA: Na negociação com fornecedores e clientes. ou investir um certo ativo em algum negócio.) Mercadoria (Dinheiro) Duração (Prazo) Juros (Remuneração) Durante uma operação envolvendo dinheiro.net 2 . Empresa aplicadora – maximizar o rendimento do excedente de caixa. maior será a taxa de juros. Função Primária Caracteres indicados em branco Funções Alternativas Caracteres indicados em amarelo e azul. Esta definição de juros é necessária para evitar a confusão entre juros e taxa de juros. aparecerão os juros que são o custo ou remuneração da operação.25 3 . venda. empréstimo. 2 – Introdução dos números Se negativo. 25 Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www. Os juros são a remuneração do capital aplicado no início da operação.USO E FUNÇÕES BÁSICAS 1 . Prazos de pagamento.8 8 CHS . É importante o conceito de juros como remuneração ou rendimento.As teclas da HP 12 C podem realizar de uma a três funções. A taxa de juros é a razão (medida) entre os juros pagos e o capital. se o número possuir casas decimais usa-se o ponto. É utilizada para medir o retorno de um investimento. portanto vem expresso em unidades monetárias. : Compra de um equipamento ou uma aplicação financeira. porque as outras teclas encerrarão a ENTER operação. TECLA CLX APAGA O número do visor.33. Pressionamos 5 STO 7 – Teclas que apagam os registradores. Exemplo : (5x4) + (10x2) + (9x5) + 10 = 95 Na HP 5 10 9 10 ENTER ENTER ENTER 4 2 5 + X X X + f + 5 – Casas Decimais – Para determiná-las usamos a tecla casas desejadas. 6 – Armazenar e recuperar números – Para armazenar um número.327 – Se a HP estiver com duas casas. devemos sempre pressionar após o primeiro número. Os registradores estatísticos. Os registradores financeiros. para recuperar RCL 8. 8 . o visor mostrará 5. . f f f f ∑ FIN REG PRGM Todos menos os de programação A memória de programação se estiver no modo PRGM.professorlucas. utilizamos a tecla Podemos armazenar até 10 números. Exemplo : 20 – 9 – 3 + 5 = 13 ENTER Na HP 20 9 _ 3 _ 5 + 4 – Além do número do visor. a HP acumula mais 3 números. Pressionando 3. basta pressionar e o número onde o registramos.327.ENTER 3 – Para realizar uma operação aritmética. não havendo necessidade de após o segundo.zip. aparecerá 5. RCL Exemplo : armazenar o número 5 na memória 8.net 3 . Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www. Para recuperar o número armazenado. em seguida o número de f STO Exemplo: 5. 99 = 17) 1/2 = 18) 1. 1) 21 % = 2) 7. X% = X 100 Exemplos : a) 20 % = 20 100 Taxa Percentual 20/100 = 0.zip.025 = 15) 0.7 % de 710 = 22) 9 % de 27 % de 2500 = Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.1 % = 3) 9615 %= 4) 50/200= 5) 1.5 % = 6) 6/9 = 7) 1000 % = 8) 600/2500 = II)Transforme os números em taxa percentual.256 = 10) 0.5 = III)Calcular a porcentagem DE um número (DE neste caso significa multiplicação) 19 ) 21% de 5700 = 20) 2 de 92 = 5 NA HP 5700 ENTER 21 % 21) 2.professorlucas.20 Taxa Unitária b)100 % = 100 100 100/100 = 1 Exercícios I)Transforme os números em taxa unitária.003 = 13) 32.15 = 14) 0.30 = 16) 0. 9) 0.net 4 .REVISÃO DE PORCENTAGEM Porcentagem trabalha com grupo de frações com denominador 100.05 = 11) 9/3 = 12) 0. i PV FVn n= Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www. i . Quanto apliquei? 25) O ICMS de uma nota fiscal é de R$ 323. tem-se um caso de capitalização simples. n PV = J in i = J PV .O resgate bruto 5 . ou seja. n Onde : J FV = capital final ou montante PV = capital inicial J = juros n = prazo i = taxa de juros J = PV .00 em um CDB que rendeu uma taxa bruta de 1. n J PV.zip.23) Apliquei R$ 9. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Quando somente o capital inicial produz juros. O imposto de renda tem alíquota de 15 % sobre os juros. n J = PV .A taxa líquida 24) Apliquei uma certa quantia a uma taxa líquida de 13% por um determinado período e obtive R$ 750.O resgate líquido 6 .000. i . FV = PV + J FV = PV + PV.6%. quando o capital inicial permanece constante durante o prazo de aplicação.00 de juros.professorlucas. REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO É através do processo chamado capitalização que os juros se formam e são incorporados ao capital inicial. produzindo juros simples.net 5 .00. i . Calcule: 1 -Os juros brutos 2 -O IR na fonte 3 -Os juros líquidos 4 . Calcule o valor da nota sabendo que a alíquota é de 18% do valor da mesma. Suponhamos que se tome emprestada a quantia de R$ 1.+ 1. J1 = PV .n1 FV = 1. i .00 por 7 meses a taxa de 3.5% a m TAXAS PROPORCIONAIS Consideremos duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2. 24 = 4800.5% a . 3 = 0. em regime de capitalização simples. 7 FV = 1.00 . n1 J2 = PV . aplicado um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo.500. ? PV = R$ 1.00 que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% am ou 24 % aa.867.20 .professorlucas.05 0. relacionadas respectivamente aos períodos n1 e n2.8 a a por 30 meses Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.00 pelo prazo de 2 anos à taxa de Qual será o valor a ser pago como juro? 10% a a .60 TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas se dizem equivalentes se.20 = 3 12 0. 2 = 4800. Exemplo: Um capital de R$10.500.00 Exercícios I .00 J2 = 10000.00 é aplicado durante 3 meses à taxa de 5% a m .24 .000.035 . 0.Um principal de R$ 2.50 Exemplo: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.net 6 .00 n = 7 meses i = 3. ambas produzirem o mesmo juro.00 .00 aplicado conforme hipótese abaixo: 1 – 15% a a por 1 ano 2 – 17% a a por 4 anos 3 – 21% a a por 5 meses 4 – 26. i1 = i2 n1 n2 ====== i1.00 .zip. verificar se as taxas são equivalentes. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos. i1 = 5% at = 0.000.00 . Determinar os juros gerados mensalmente. m .60 = .000.n2 = i2.500. 12 .02 .500. 0. o montante ao final do prazo da aplicação e a taxa de juros do período de 3 meses.000. Estas taxas se dizem proporcionais se houver uma proporção entre as taxas e seus respectivos períodos. I .05 . 0.Exemplo : Qual montante terei se aplicar R$ 1.20 aa n1 = 3 meses n2 = 12 meses 0.05 at i2 = 20% aa = 0. III – Calcular o juro simples referente a um capital de R$ 1. II . n2 J1 = 10000. tendo a capitalização composta maior utilidade prática.net 7 . VII – Calcular a taxa de juros trimestral proporcional às seguintes taxas: a) 24% a a b) 36% ao biênio c) 6% ao semestre CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA A capitalização composta ocorre quando os juros de cada período são incorporados ao capital.(1+i) 2 FV 2 = FV1. EXPRESSÃO MATEMÁTICA DOS JUROS COMPOSTOS Sendo i a taxa de juros por período e n o número de períodos financeiros teremos.00 e recebeu R$ 1.00 se as hipóteses de taxas de aplicação e respectivos prazos forem? 1 – 18% a a por 6 meses 2 – 31.professorlucas.(1+i) Esta fórmula é a fórmula fundamental de juros compostos.150. de forma que o resultado renda juros no próximo período. o seguinte : Valor Futuro após um período : Valor Futuro após dois períodos : FV 1 = PV.(1+i) Por indução concluímos que o valor Futuro após n períodos será : n FV = PV. Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.IV – Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 5.00 e taxa de juros de 16% aa. montante R$ 2366. montante R$ 832.000. O processo de calcular FV a n partir de PV é chamado acumulação. Costuma-se dizer que nesse caso ocorre a existência de juros sobre juros.zip.(1+i) 3 Valor Futuro após três períodos : FV 3 = FV2.00.(1+i) = PV. e o fator (1+i) é chamado fator de acumulação.000. São os chamados juros compostos. no regime de capitalização composta. V – Qual é a taxa de juros anual cobrada se uma pessoa aplicou o capital de R$ 1. É importante observar que o regime de juros simples tem uso restrito em nossa economia.00 em 10 meses? VI – Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras? 1 – Capital inicial R$ 800.00 e taxa de juros de 22% aa.(1+i) = PV.8% a a 2 anos e 7 meses.00. 2 – Capital inicial R$ 1200. 5% a m Prazo 5 anos 3 anos e meio 1 ano Resolução : A) PV = R$ 10000..net 8 . aplicado segundo as hipóteses abaixo? Taxa a) b) c) Temos que : n J = PV[(1 + i) .500.2) FV = 24883..000...DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA ASSOCIADO A ESSA FÓRMULA FV J1 FV1 PV + J1 J2 FV2 FV1 + J2 J3 FV3 FV2+J3 .. FVn + Jn PV 1 ..Calcular o montante de uma aplicação de R$ 10.(1+0..1] 10% a a 8% a t 1% à semana Prazo 10 anos 18 meses 2 meses Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.20 n= 5 NA HP 10000 CHS PV 20 i 5 n FV 2 .488320 i = 20% a a 5 FV = 10000.Qual é o juro auferido de um capital de R$ 1.00..00 sob as hipóteses abaixo : Taxa a) b) c) 20% a a 5% a s 2.00.00 ...00 FV = 10000..professorlucas..zip. 2... quanto devo aplicar hoje para que daqui a 2 anos possua tal valor? Considerar as seguintes taxas de aplicação : a) 2.025) = 33.500.390.593742) = 2.51 4 meses c) R$ 1.professorlucas.500.593742)-1] J = 1.Se eu quiser um carro no valor de R$ 60.00 e resgata os montantes abaixo? a) R$ 1.zip.5 i 24 n PV 4 Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R$ 1.00 i = 10% a a n = 10 NA HP J = 1.61 1500 CHS PV 10 i 10 n FV 1500 - 3 .000.000.5% a m b) 10% a s c) 20 aa Devemos calcular o capital inicial : n Se FV = PV(1+i) então PV = FV n (1+i) Resolução : A) PV = 60.500.808726 NA HP 60000 FV 24 (1 + 0.5% a m n = 2 anos ou 24 meses PV = 60.Resolução : A) 10 PV = 1.net 9 .1) .172.1] J = 1.000.10 6 meses Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.89 3 meses b) R$ 1.00(1.52 2.00 1.00 FV = 60.00.00 i = 2.076.00[(2.125.000.340.000.500.00 [(1 + 0. 025 ou 2. Após certo período de tempo.zip.03 0.644. log 1.076.012837) 0.89 3 PV = 1.00 log 1.000.02 25.076.Resolução : A) 3 1.5% a m FV 1000 CHS PV 1.professorlucas.644.00 n = 3 meses 1.net 10 .02 FV n = 12 meses Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.00(1.00 3 1.03) n = (1.076.154047 = n(0. ele recebeu R$ 35.000.025 NA HP i = 1.644.000.425761 = (1. 025 – 1 = 0.03) FV = 35.02 35.89 = 1. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado? Resolução : PV = 25.00 em uma instituição que paga 3% am.00 i = 3 % am n 35.644.000.07689 = (1 + i) 3 1/3 (1 + i) = 1.00(1 + i) FV = 1.02 = 25.02.07689 ou (1.07689) (1 + i) = 1.076.03) n 1.000.425761 = n .89 3 n i 5) Um investidor aplicou R$ 25.000.154047 0.000.644.89 = (1 + i) 1. estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido.012837 = n NA HP 25000 3 CHS i PV n 35. 000. lo Vamos considerar um principal de R$ 200. 21% FV = R$ 242 0 PV = R$ 200 10% | 1 10% 2 200 .00 após 2 meses. Sabendo que faltam 4 meses para o vencimento.000. 1.00. Quando aplicadas ao principal de R$ 200.professorlucas.00.5 anos 3 . Qual o prazo de aplicação? TAXAS EQUIVALENTES PARA JUROS COMPOSTOS Duas ou mais taxas são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo prazo. que o custo do capital é de 10% a m.00 e as taxas i1 = 10% e i2 = 21% aos dois meses.49.Um capital de R$ 3.4 anos d) 4 anos e) 5. Calcule o montante para os seguintes prazos: a) 1 ano b) 2 anos c) 3. 8 .00 após 18 meses? 4 .000. esse valor aumentou para 57.000. 2 .10 .21 = 242 Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www. Determine o montante a ser pago no final desse prazo. O custo do empréstimo é de 6% ao mês.000.O valor da cota de um fundo de investimento era 35.00 por 5 meses com pagamento integral no final.570. e que o valor nominal da NP é de R$ 15.5 anos. Qual a taxa média mensal de rentabilidade desse fundo? Qual a taxa de rentabilidade no período de 6 meses? 7 .174. Seis meses depois.Uma empresa toma um empréstimo de R$ 200.Apliquei R$ 50.10 = 242 200 .15.zip.00 à taxa de 24% aa O empréstimo será pago de uma vez ao final de 2. 1.net 11 .Qual o capital que aplicado a 2% a m produz um montante de R$ 50.800. 5 .00 a uma taxa de juro de 1.734.00 é aplicado durante 5 meses produzindo um montante de R$ 3.EXERCÍCIOS 1 . 1.196.00 é aplicado a juros compostos e à taxa de 10% aa.Uma empresa tomou um empréstimo no valor de R$ 100. 9 – Uma aplicação financeira de R$ 4. Qual a taxa mensal dessa aplicação? 6 . resultarem num mesmo montante no final do prazo.00 num fundo de ações e após 3 meses resgatei as cotas do fundo por R$ 36.450.Um capital de R$ 10. Calcule a perda mensal média nesse fundo.00.6 % ao mês resultou em um montante resgatado de R$ 5. Qual o valor a ser pago pela empresa ao final do prazo. ambas resultam no montante de R$ 242.000. determinar seu valor para liquidação antecipada.000.O emitente de uma NP deseja fazer o resgate antecipado da mesma. .7959 – 1 = 0.0 0.59 % ao ano..Qual a taxa anual equivalente a 5% ao mês ? 12 (1+i2) = (1 + 0.1502 – 1 i2 = 15. FV i2 0 PV | i1 | 1 i1 | 2 | 3. temos : FV = PV.1139% ao dia NA HP 1.1 79. temos : Capitalizando pela taxa i1.001139) 123 .043 ENTER 37 1/X X Y 1 - 100 X n i2 = (1+i1) – 1 i2 = (1+0.(1+i1) Comparando : n (1+i2) = (1+i1) ou n i2 = (1+i1) ..043 = 1.05 .n i1 i1 Capitalizando pela taxa i2..zip.05 + 12 X Y 1 - 100 X 2 – Um CDB paga uma taxa bruta de 4..02% NA HP 1. Qual a taxa bruta equivalente aos 123 dias? 1/37 Taxa ao dia = 1.(1+i2) n FV = PV.professorlucas.001139 123 1 100 ENTER X Y - X Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.3% aos 37 dias..1 ou 1/n i1 = (1 + i2) -1 Exemplo : 1 .net 12 .. i2 é a taxa de todo o período e i1 é a taxa do período menor e n é o número de vezes em que i1 está contido no período total.7959 NA HP 1 ENTER ....001139 ou 0.1 i2 = 1.05) 12 i2 = 1.. i2 = 1.Considerando o fluxo abaixo... 1502 15.. + (1 + i) PMT n (1+i) -n PV = PMT i 1-(1+i) a n i = 1 – (1+i) i -n Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www............ ano. Será postecipada quando o primeiro valor ocorrer na data UM e antecipada quando ocorrer na data ZERO.........8 % ao ano para 2 anos e meio c) 2 % ao trimestre para 1 ano e nove meses SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES É toda série de valores iguais que acontecem em intervalos regulares de tempo (dia... POSTECIPADA 0 | 1 | 2 | 3 | n | .net 13 .......zip.Formula prática iq = taxa que quero q = período da taxa que quero it = taxa que tenho t = período da taxa que tenho q/t iq = (1+it) – 1 123 / 37 iq = (1+0.02 % NA HP 1.......professorlucas..5 % ao mês para 67 dias b) 7.....1 = 0.....043 ENTER 123 ENTER 37 37 : X 1 Y 1 _ 100 X 3 – Calcule as seguintes taxas equivalentes : a) 2...Podem ser postecipadas ou antecipadas...... PMT VALOR PRESENTE DA SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA PV = PMT + (1 + i) PMT 2 + ………....043) ...).. mês. 02) 4 2 = 0.23 PV = 10.626.24 Soma do valores atuais (PV) 2.24 2 (1.02) 2.000.24 3 (1.626.24.66.626. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês.000.02 a 1 – 0.00 NA HP Certifique-se que a HP está no modo END pressionando g END Em seguida pressione 4 n 2.24 | 0 1 2 3 4 meses 2.626.076154574 = 3.626.(1 + i) = i -4 1 – (1+0.zip.02) 2.02 = 0.626.00 Usando-se a fórmula : a n i -n 1 .626.524.24 .626.26 + 2.626.02 Portanto.24 4 (1. Quanto emprestei? Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.24 2.02) PV = 2. A taxa de juros combinada foi de 1.EXEMPLO : 1 –Um carro é comprado em 4 prestações mensais de R$ 2.626.24 PV = 2.474.net 14 .76 + 2.426.574.5 % ao mês.24 PV = 2.02) 1 (1. como PMT = 2. 3.626.923845426 = 0.807729 = 10.professorlucas. sem entrada.24 CHS PMT 2 i PV 2 – Emprestei um determinado valor a um amigo que me pagará em 9 parcelas mensais de R$ 717.24 2. Qual o preço do carro à vista? 2.75 + 2.626.807729 0. 491933) log (0.000 = 885.949.71 PMT 3 i n CHS 4 – Uma concessionária de veículos está com a seguinte promoção: Fiat Uno com valor a vista de R$ 10.257778 = I -12 1 – (1+i) 10.000 = 1. Qual é a taxa de juros mensal que está sendo cobrada? PV = PMT . devemos proceder por tentativa e erro.03) -n 1 – (1. Calcular o número de prestações. a n i 20.000.00 à vista.949.03) = 0.949.03) = log (0.99 % ao mês e parcelas de R$ 354. a n i 15.03) = 0.000 = 1.012837 NA HP 15000 PV 885. a n i logo a = 12 i 20.zip.professorlucas.000.71 . ou em 12 prestações mensais de R$ 1.00 à vista.3 – Um computador é vendido por 15.net 15 .00 ou financiado à taxa de 0.03) .74 .74. podendo ser adquirido em prestações mensais de R$ 885.78.700.000 = 16. a n 3 -n a n 3 = 885.508067 -n (1.0. PV = PMT . Qual o prazo de financiamento? = 24 meses 5 – Um carro é vendido por R$ 20.935566 16.71 15.491933 -n log(1.935566 = 0. a juros de 3% a m .03 1 .257778 a Como não conseguimos determinar a taxa através da fórmula.71.(1.491933) n= log(1. Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.308094 n=0.74 -12 1 – (1+i) = 12 i i 10. o problema é determinar uma taxa inicial que sirva de p i 12 10.0262252 ou 10 = 2.net 16 . usamos: 1 a i0 = n i i0 = 1 a n i n 2 i - 10.02621 Calculando-se o valor de 0 i 2. a 12 i .62 a m a 12 12 10.62 taxa mensal A taxa de juros obtida tem valor superior à taxa de juros (i) que queremos obter.071235 i0 = 0.097487 – 0. Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.26 10.Como já temos o valor de a n ponto de partida.257778 2 12 i0 = 0.62 = -12 1 – (1.257778 10.professorlucas.zip.18 2.183630 0.0262) = 10.26 0 i0 Para a aproximação de uma primeira estimativa. Qual a taxa de juros deste empréstimo? Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.Vamos admitir uma taxa de juros menor (ex.750.00.26 ---------------------------------------- 10.74 CHS PMT i 6 – Tomei um empréstimo de R$ 6. de tal modo que a taxa procurada esteja contida no intervalo.575341 10. enquanto que a taxa verdadeira é i.183630 .18 --------------------------------------------- 2 i i1 2.net 17 . que pode ser diminuído com sucessivas interpolações.810707 0.00 em uma financeira para pagamento em 7 parcelas de R$ 1.2 = 2.62 i1 – 2 = 0. Estaremos cometendo um erro de aproximação.62 Com a interpolação linear.58 ----------------------------- 10.257778 10.317563 -0. 2. -12 a = 12 2 0.62 i1 2 10.183630 10.: i = 2% a m) para se tentar obter um valor inferior.professorlucas.62 -0.2 10.62 .10.zip.391711 i1 – 2 = 0.503% am Poderemos prosseguir até chegar a taxa exata de 2.575341 i1 – 2 = 0.5% am.575341 10.02) = 10.257778 – 10. obteremos um valor da taxa igual a i1.502638 i1 = 2.230. NA HP 20000 PV 12 n 1949.02 1 – (1+0.575341 i1 . 47 12.71 257.38 12.873.524.000.373. PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO SISTEMA DE PRESTAÇÃO CONSTANTE (FRANCÊS OU PRICE) PRÉ .90 12. Os juros de determinada data são calculados com base no saldo devedor antes do pagamento da prestação.29 13.000.000.19 25.131.72 13. Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.495.7 – Qual a prestação de um financiamento com as seguintes condições: Valor financiado R$ 5.19 12.000.621.873.000.FIXADO As prestações destinadas ao pagamento de juros e amortização do principal são iguais.net 18 .81 13.81 757.868.00 MÊS 0 1 2 3 4 TOTAL SALDO DEVEDOR JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO 50.75 50.131.00 Taxa 2.131.00 12.500.00 50.00 NA HP 50000 PV 2 i 1 4 n PMT 1 1R 1 f 1 AMORT f AMORT R R 1 f AMORT R1 f AMORT Exercício Construir uma tabela com o exercício número 2 anterior.19 37. Principal = R$ 50.00 509.zip.131. as parcelas são desmembradas em juros e amortizações.00 1.131.m.19 2.19 13. Taxa = 2% a.7 % ao mês Prazo 15 meses SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Sistema de amortização é o processo de devolução do principal mais os juros.professorlucas. Nos sistemas de amortização. net 19 .303.7% 3 1.00 13.00 2.83 524.000.00 2.000.00 2.00 2.19 13. + IGP-M Principal = R$ 50.000.591.600.00 MÊS Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.36 13. Taxa = 10% ªm.00 10.241.00 38.0% 4 0.2% 2 0.00 SALDO DEVEDOR JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO 0 10.19 13.67 TOTAL SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC Neste sistema as amortizações são constantes e seu valor é a divisão do principal pelo número de prestações.000.m.zip.000.609.67 1.79 13.00 2.76 13.000.00 1.07 12.000.00 2 8.131.60 13.SISTEMA DE PRESTAÇÃO CONSTANTE (FRANCÊS OU PRICE) PÓS .00 2.000.00 400.78 13.303.000.00 3.000.288. Taxa = 2% a.00 600.569.000.58 13. Principal = R$ 10.400.000.19 13.131.60 13.00 TOTAL 3.288.96 12.000.012.00 5 2.79 13.50 26.00 2.00 2.990.131.00 200.200.00 800.4% 50.00 4 4.00 2.515.381.000.000.00 3 6.00 SALDO DEVEDOR CORRIGIDO MÊS IGP-M PRESTAÇÃO PRESTAÇÃO CORRIGIDA JUROS 2% AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO 0 1 1. as prestações e o saldo devedor são corrigidos por algum indicador.83 266.76 13.000.00 1 10.800.131.76 12.000.19 13.381.000.00 50.000.600.569.00 771.FIXADO Neste sistema.276.515.58 13. seja de inflação ou cambial.professorlucas. 000.000.00 3 100.033.00 1 100.00 30.00 2 100. Taxa = 5% a.243.000.520.100.00 4 8.436.67 4.67 4. Principal = R$ 100.00 5.000. A amortização do principal é efetuada de uma única vez no final do empréstimo.33 4.00 5.33 4.SISTEMA COM CARÊNCIA Entende-se por carência o período em que o tomador não paga nada.00 1.00 3 12.00 4 100.00 100.00 6 100.00 5.000.000.000.000.00 100.000.000.000.033. Taxa = 10% ªm.net 20 .000.00 5. Principal = R$ 10.066.00 MÊS SALDO DEVEDOR 0 100.000.00 5. MÊS SALDO DEVEDOR 0 10.00 105.00 5.00 Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.000.00 5.100.000.000.033.00 SISTEMA AMERICANO Neste sistema apenas os juros são pagos.00 5.00 5.00 5.00 2 11.000.000.33 806.00 TOTAL JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO 5.000.00 5 100.34 TOTAL JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO 1.professorlucas.zip.67 5 4.210.00 4.000.000.000.000.000.00 12.34 4.100.000.33 5.033.000.00 130.000.000.m.00 403.000.00 As prestações e os juros têm dois meses de carência para começar o pagamento.00 1.840.00 1 10. 000.550.00 MÊS 0 1 2 3 4 5 6 TOTAL SALDO DEVEDOR 100.16 134.20) (1+0.20) 3 (1+0.professorlucas.16 134.00 8640 2400 2160 meses x1 x2 x3 x0 6000 Se adotarmos que a taxa ideal de retorno do investimento é de 20% ao mês.00 100.57 127.00 110. Podemos calcular o valor atual de qualquer fluxo de caixa com parcelas únicas.788.zip.762. Juros e amortização.381.00 5.63 127.00 3º mês = R$ 8.SISTEMA DE PAGAMENTO ÚNICO Por este método. Principal = 100.57 : FLUXO DE CAIXA MODELO PADRÃO DE FLUXO DE CAIXA – SÉRIE DE PAGAMENTOS NÃO UNIFORMES ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO NPV – VALOR PRESENTE LÍQUIDO NPV ou valor presente líquido é o valor equivalente na data zero.000.250.00 2º mês = R$ 2.000.41 127.009.53 6. Exemplo 1 : Um investimento tem o seguinte fluxo de caixa : Compra de um equipamento à vista por R$ 6.250.57 34.009.400.000.628.20) NPV = -6000+2000+1500+5000 NPV = -6000+8500 = 2500 Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www. de um capital numa data qualquer.000.640.net 21 . Taxa = 5% a.160.00 5.009.628. uniformes ou variáveis.077.00.m.16 JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO 5.50 5. temos: NPV = -x0 + x1 + x2 + x3 NPV = -6000 + 2400 + 2160 + 8640 2 (1+i) (1+i) 3 (1+i) 2 (1+0. Receitas geradas por este equipamento: 1º mês = R$ 2.00 105.628.512.00 115.000.50 121.13 6. o tomador paga tudo no final do prazo. 00 = aumento do lucro. Fluxo de caixa. TAXA INTERNA DE RETORNO Taxa interna de retorno de um investimento é a taxa para qual o NPV (Valor presente líquido) do fluxo de caixa é nulo. ou seja. Data 3 = R$ 25.5% ao mês.600. Data 1 = R$ 7. isso significa que as receitas (entradas de caixa) são maiores que as despesas (saídas de caixa) descontadas à taxa de 20% ao mês. 38416 38416 38416 38416 71040 Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www. mais o lucro.000.000.000. Data 6 = R$ 13. é a taxa para qual o valor presente das entradas de caixa é igual ao valor presente das saídas de caixa. O fluxo de caixa gerado de gastos e receitas é o seguinte : Data 0 = R$ (52.00) = parcela do seguro. Verificar se tal taxa é verdadeira.040.00 = aumento do lucro. Data 1 = R$ (1.00 = aumento do lucro.000.000.00 cada uma. NA HP 6000 CHS g CFJ g CFO 2400 f g CFJ NPV 2160 g CFJ 8640 20 i Exercício: A Arinos decide investir na compra de novos equipamentos.00) = compra de novas máquinas.00. Exemplo 1 : Um banco emprestou a uma empresa. Data 4 = R$ 8. Data 5 = R$ (4.600.zip.00) = parcela do seguro. Sabendo-se que uma aplicação financeira remunera em torno de 1.500.600. A TIR é a taxa de remuneração do capital investido. a quantia de R$ 71.professorlucas. Data 5 = R$ 5.net 22 .00 = aumento do lucro.O banco diz que sua taxa é de 40% ao ano.00) = manutenção. a empresa quer um retorno mínimo de 3% ao mês para cobrir os demais gastos.000.00 = aumento do lucro. É um dos principais indicadores para análise de projetos de investimento. Data 4 = R$ 2. Data 5 = R$ (2.00) = gastos com manutenção. Data 2 = R$ 12.00 = parcela do seguro.00 = aumento do lucro.000.000.O valor presente líquido do fluxo de caixa é positivo. Data 3 = R$ (2.416. A empresa pagará em quatro prestações anuais de R$ 38. 17 + 39176.300.55 – 8264.000 no final do segundo.00 ou a prazo em 3 pagamentos mensais sem entrada.00.000 no final do primeiro mês.100.05) 4 5 (1+0. Analisar a viabilidade financeira do projeto.63 Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.31 = 28.37 + 47810.zip.05) (1+.000 no quarto e 50.40) (1+0.10) 3 (1+0.4651.29 + 138214.07 = .000. o segundo de R$ 6.71040 + 27440 + 19600 + 14000 + 10000 = 0 A taxa que o banco indicou é verdadeira.290.05 – 9070. 140. onde irá gastar $ 150.94 + 31046.40) + 38416 + 38416 2 3 (1+0. 70.10) (1+0.NPV = -71040 + 38416 (1+0.000 no terceiro .00 e o terceiro de R$ 6.05) NPV = -150000 – 47619.05) 3 (1+0. Fluxo de caixa do projeto. 100000 140000 160000 70000 50000 0 1 2 3 4 5 meses 150000 150000 150000 Calculando-se o NPV a 5%.000 durante 3 meses consecutivos. 160.professorlucas.16 Calculando-se o NPV a 10%.900.40) 4 NPV = . NA HP 71040 CHS f IRR g CFO 38416 g CFJ 4 g NJ 40 i f NPV Um automóvel é vendido à vista por R$ 15.10) 4 5 (1+0.10) NPV = -150000 – 45454.02 + 57589.10) (1+0.00. Qual a taxa de juros do financiamento? ANÁLISE DA VIABILIDADE FINANCEIRA DE UM PROJETO Uma empresa quer estudar a viabilidade de um projeto de propaganda.05) (1+0. NPV = -150000 + (50000) + (10000) + 160000 + 70000 + 50000 2 (1+0.000 no quinto mês.net 23 . O retorno mínimo esperado é de 5% ao mês. o lucro previsto em decorrência do aumento das vendas será de 100.40) + 38416 (1+0. O primeiro pagamento é de R$ 5. NPV = -150000 + (50000) + (10000) + 160000 + 70000 + 50000 2 (1+0. Com isso.46 + 120210. Como a TIR é positiva.17 – 8371.Interpolando: i – 0.05 = 0.444.16 i – 0.16 0 .05 = 0 .042940 i = 0.00 + 49058.09294) NPV = -150000 – 45748.58 + 122555.32941.09294 Calculando o NPV para a taxa de 9.28290.09294) (1+0.16 . este projeto é viável e além de tudo oferece um retorno maior do que os 5% esperado.84 = . NA HP 150000 CHS CFJ 1 g 160000 CFO g CFJ 50000 CHS g CFJ CFJ 50000 10000 CHS g 70000 g g CFJ 5 5 i f IRR Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.79 0. chegaremos à TIR de 9.10 – 0.33 + 32061.09294) (1+0.4651.9294% temos: NPV = -150000 + (50000) + (10000) + 160000 + 70000 + 50000 2 3 4 5 (1+0.09294) (1+.05 = .05 0.09294) (1+0.05 = 0.05 i – 0.net 24 .58 Interpolando novamente este resultado.63 i – 0.05 i 0.28290.858792 0.zip.05 0.22% que é a taxa que zera o NPV.16 -4651.63 – 28290.professorlucas.10 28290. 05 DESCONTO DE DUPLICATAS COM VÁRIOS PRAZOS E VÁRIAS TAXAS DUPLICATA 2000 4000 6000 TAXA 9%am 12 % a m 13.135 0.746.LEASING Operação de aluguel com opção de compra.12 1 x 69 x 6000 ENTER x + STO 2000 ENTER + 37 x 2 4000 ENTER69 1 69 x 2 : 6000 ENTER 90 90 x + STO 2 RCL 1 RCL 2 Prazo médio n = 2000 x 37 + 4000 x 69 + 6000 x 90 2000 + 4000 + 6000 = 74 dias NA HP 37 ∑+ ENTER g 2000 ∑ + 69 69 4000 4000 ENTER ∑+ 90 ENTER 6000 XW Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.5 % a m PRAZO 37 dias 69 dias 90 dias Taxa média d = 2000 x 0.professorlucas.135 x 90 2000 x 37 + 4000 x 69 + 6000 x 90 = 12.09 x x 90 37 x 4000 ENTER + 1 0.net 25 .zip.66 % a m NA HP 2000 ENTER 0. Exemplo: Valor do equipamento R$ 50.000.12 x 69 + 6000 x 0.00 Prazo 40 meses 1º após 30 dias Valor residual 5 % Prestações R$ 1.09 x 37 + 4000 x 0. 320.00 chegou ao montante de R$ 82.5 % ao trimestre.00.Taxa para 74 dias 12. em quanto tempo triplicarei meu capital? 2) Qual o montante que terei se aplico um capital de R$ 10. sendo R$ 7. o montante de R$ 52.00. capitalizados trimestralmente? Pede-se.40 Cálculo da taxa exata 8252.5 % ao trimestre. Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www. Se após um ano a diferença entre os montantes se calculados por juros simples e compostos for de R$ 52. 8) Qual montante de um capital de R$ 80.00 – 3. 11) Um investidor tem duas opções : aplicar a uma taxa de 43% ao ano ou 9. por um prazo de 2 anos e 9 meses.000.000.000. 4) Um imóvel foi adquirido por R$ 150.50 referente aos juros? 10) Um apartamento é vendido por R$ 220.59 de juros.00. pois quer uma taxa de 2.6% ao mês (juros compostos).20 a favor do composto.000.320. 3) Após 17 meses.5127 % ao dia.252. Qual a melhor opção.747. qual será o valor da venda.40 37 36 dias 2000 31 dias 4000 69 20 dias 6000 90 A taxa efetiva é de 0.00. Qual é esse período.60 = 8.000.00 a vista. Se o comprador optar por pagar após um certo período de tempo.896. uma aplicação de R$ 75. b) Trimestralmente. aplicado por 27 meses a juros nominais de 30% a a .3123 = 3.net 26 .zip. c) Mensalmente. aplicado durante 5 anos a juros nominais de 20% a a.000. 9) Qual a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu. ainda.000. capitalizados: a) Semestralmente.66 % x 74 = 31. determine a taxa nas duas formas de cálculo. 5) Qual a taxa nominal equivalente a 14% ao semestre? E a efetiva anual? 6) Qual a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa de 24% ao ano? 7) Calcular o montante produzido por um capital de R$ 20.747.5 % a m.618.58 % ao mês ou 46.000. após 2 anos.23 % 30 Valor do desconto = 12. ou 16.00 % aos 74 dias EXERCÍCIOS PARA REVISÃO 1) Se Tenho uma taxa de 7. Se eu vendê-lo daqui a 17 meses à taxa de 24% ao ano.00 x 0.00 com taxa de 6. d) Diariamente.professorlucas. a taxa efetiva no período de capitalização e a taxa efetiva anual. o dono do imóvel exigirá R$ 61.60 Líquido creditado = 12.00. 97. após 3 anos.Por que? 24) O desconto de uma duplicata de r$ 5.10086 c) 18 meses 0. qual o preço à vista? 19) Os coeficientes para financiamento apresentados pelo vendedor em uma loja são: a) 6 meses 0. Se a taxa de mercado é de 4% a m .000. se considerarmos a mesma taxa da primeira hipótese.00 rendeu. 6 e 7 meses do início do financiamento.00 de entrada e R$ 100.00 é feito a uma taxa de 10% ao mês por 2 meses.07230 d) 24 meses 0. se o primeiro pagamento ocorrer após 4 meses da compra e a taxa mensal é de 2. que produz o montante de R$ 200.12) Um televisor é vendido por R$ 1.05819 20) Uma aplicação de R$ 15. qual é o número de prestações? 16) Qual é o depósito trimestral durante 5 anos consecutivos à taxa de 5% a t.94 e 1.500. Qual a taxa desta aplicação? Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.00 a vista ou por R$ 1.000.1%? 29) Apliquei um certo valor a juros compostos por 13 meses e tive um rendimento igual ao valor aplicado. se as taxas são de 1.00 ou a prazo com 20% de entrada e mais três parcelas mensais de R$ 50.00 em uma única parcela após 3 meses da compra. Qual a taxa efetiva de juros se o banco pede um saldo médio de 20% como reciprocidade? 25) Um tomador obteve um empréstimo para pagar em 30 dias. 21) Qual o preço à vista de um bem financiado em 24 prestações de R$ 300.000. Qual a taxa que a loja embute nas vendas a prazo? 27) Posso comprar um produto e pagar daqui a 60 dias com 12% de desconto ou daqui a 30 dias com 21% de desconto. qual a melhor alternativa? 15) Uma moto é vendida por R$ 5.zip.Se a taxa de juros é de 6% a m . A outra opção é a compra à vista por R$ 115.000. com o primeiro depósito no início do mês.000.5 % ao mês.Qual a taxa de juros deste financiamento? 23) Foi oferecido a um gerente uma taxa para desconto de duplicata de 4. R$ 30. 22) Um equipamento é vendido à vista por R$ 100.000. A taxa acertada foi de 11% no período.00 nos meses de setembro. porém o dinheiro só foi liberado no dia 09/12. Se a taxa de juros é de 3.558.00 e pago daqui a 5 meses sem nenhum acréscimo.Calcule a taxa efetiva ao mês nesta operação.00. O gerente preferiu a de 12 meses e perdeu o emprego.00 de entrada mais prestações mensais de R$ 480. vale a pena comprar a vista ou a prazo? 13) Um carro pode ser comprado por R$ 10.Sabendo-se que a taxa de mercado é de 18% ao ano.O contrato foi assinado em 05/12.professorlucas.000.00.5% por seis meses ou a mesma taxa por doze meses.5% a m . 26) Uma loja vende faturado a 90 dias e dá um desconto de 23. qual a melhor alternativa? 28) Qual o rendimento trimestral de um fundo de aplicação financeira. o comprador tem 5% de desconto.00 daqui a 1 ano.net 27 .. 0. 18) Um carro é comprado em 24 prestações de R$ 630. Que depósitos mensais nesse período produziriam o mesmo montante.00.000.000.5 a m .64.000.O custo de um empréstimo pessoal é de 2.3 % ao mês.000. sendo que os vencimentos serão respectivamente a 5.5% para pagamento à vista. outubro e novembro. o montante de R$ 61.00. quanto devo depositar mensalmente de janeiro a agosto para que seja possível estas retiradas? Considerar uma taxa de 3% ao mês.00.99. R$ 20.18707 Qual a taxa de juros de cada coeficiente? b) 12 meses 0. sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Se a taxa de mercado é de 2.Vale a pena comprar a prazo? 14) Um apartamento e colocado à venda por R$ 40.5% .000.000. Se a opção for à vista.000.00 após o último depósito? 17) Se eu precisar fazer retiradas mensais de R$ 100. No entanto se o comprador pagar a vista terá um desconto de 8%. 5% a m (Pagamentos antecipados) e prazos que variam de 1 a 12 pagamentos. Qual o montante no vencimento? 34) Um capital de R$ 650.500. Qual a melhor alternativa.30) No ano de 1997 uma empresa vendeu 1500 unidades de seu produto e em 2002 o nível de vendas chegou a 7200 unidades.92% JUN 1.630.00 tendo as seguintes condições para financiamento: .500.998. Qual a taxa média anual de crescimento das vendas? 31) Apliquei R$ 52.4 parcelas trimestrais de R$ 4.970. Qual o valor da prestação mensal se a taxa de juros ao mês é de 2. b) Dividi-lo em quatro vezes iguais 30/60/90/120 dias.44% a m para poder realizar estes gastos? 39) Uma financeira quer um ganho real de 1.500.5% em operação de empréstimo por um mês.zip. R$ 6.5 a m ? 37) Recebi uma proposta de compra de um imóvel com valor a vista de r$ 50.000.3% a m .7% a m por 85 dias.Qual o valor dos juros no vencimento da operação? 35) Qual a melhor alternativa de investimento : A) uma que me ofereça uma taxa de 20% a a ou uma que me ofereça 1.20% MAI 0.00% FEV 0.01 aos 57 dias. 36) Um comprador de uma grande empresa recebe a seguinte proposta de um fornecedor: a) Pagar o preço à vista de uma só vez em 90 dias. sabendo que a taxa de captação que a empresa consegue no banco é de 2.O saldo será pago em 18 prestações corrigidas pelo IGPm.000. quanto será o valor do resgate? 32) Uma aplicação de R$ 13.10% ABR 1.375.000.net 28 .Quanto preciso aplicar hoje a uma taxa de 1. d) Pagamento na data do pedido com desconto de 10%.professorlucas.00 .28.700.00 é aplicado a uma taxa de 0.00 . qual deve ser a taxa de juros cobrada? 40) Construir uma tabela de coeficientes de financiamento para uma loja que opera com taxa de 6.05% 38) Terei gastos de R$ 3.00 e resgatarei após 90 dias o valor de R$ 54.00 e R$ 9.00 dentro de 3.85% MAR 1. Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.sendo a primeira em janeiro.00 por 72 dias é faita à taxa de 1.5% a m . c) Pagar a 30 dias do pedido com 8% de desconto.5% a m + IGPm? Qual o valor da 5º parcela corrigida? JAN 1.87% para este mês. 7 e 9 meses respectivamente.Se a estimativa de inflação para este mês for de 0. Se eu precisar do dinheiro aos 62 dias da aplicação e a instituição financeira pagar pela taxa equivalente. Qual a taxa de rentabilidade mensal desta operação? 33) Uma aplicação de R$ 6.00 produz um montante de 13.Entrada de R$ 15.00 .