Prof.ROBSON TAVARES MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA GESTOR DE NEGÓCIOS 2014 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO, 4 1.1. Juros e Taxa de Juros, 6 1.2. Diagrama do Fluxo de Caixa (Diagrama de Capital no Tempo), 7 1.3. Regra Básica, 8 1.4. Critérios de Capitalização dos Juros, 8 2. JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 2.1. Juros Simples, 9 2.2. Juros Compostos, 9 3. TAXAS DE JUROS E SUAS RELAÇÕES 3.1. Taxa proporcional, 10 3.2. Taxa equivalente, 10 3.3. Taxa nominal, 11 3.4. Taxa efetiva, 11 3.4.1. Lista de Exercícios I, 20 4. DESCONTOS, 27 4.1. Desconto Simples, 30 4.2. Lista de Exercícios II, 31 5. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS, 32 5.1. Capitais equivalentes, 32 5.2. Valor atual de um conjunto de capitais, 33 5.3. Conjuntos equivalentes de capitais 33 5.4. Lista de Exercícios III, 34 6. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS, 34 6.1. Séries de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados, 35 6.2. Séries de pagamentos iguais, com termos antecipados (1 + i), 36 6.3. Séries Perpétuas, 36 6.4. Lista de Exercícios IV, 37 7. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO, 43 7.1. Terminologias utilizadas nos Sistemas de Amortização, 43 7.2. Sistema Francês de Amortização ou Tabela Price, 44 7.3. Sistema de Amortização Constante (SAC), 45 8. ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS, 46 8.1. Taxa Interna De Retorno, 47 8.2. Lista de exercícios VI, 48 8.3. Lista de exercícios – VII, 49 9. UTILIZAÇÃO DA MÁQUINA HP12C 9.1. HP 12C Material de apoio – 50-56 10. BIBLIOGRAFIA, 55 Introdução A matemática faz parte da humanidade desde seus primórdios, sofrendo os processos de evolução, conforme o intelecto humano se expandia e necessitava de novos métodos para a troca de mercadorias. Os bancos tiveram importante papel no desenvolvimento da Matemática Financeira e econômica, principalmente nos séculos X e XV. Desde então, tornou-se indispensável fazer análises financeiras para a correta tomada de decisões, e esses cálculos tem sido aprimorados para tal objetivo. Hoje vivemos em um mundo onde tudo é pensado em porcentagens, e nesse cenário se faz importante o conhecimento de juros, taxas, fluxo de caixa, entre outros. Para Hazzan (2007), a matemática financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações de dinheiro e nos pagamentos de empréstimos. Ela fornece instrumentos para o estudo e avaliação das formas de aplicação do dinheiro, bem como de pagamento de empréstimos. Matemática Financeira tem como objetivo básico efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro do caixa, verificados em diferentes momentos. Ela está praticamente em todas as relações das pessoas como juros, capital, taxas e muitos outros, ela está em todas as transações comerciais com as mais diversas instituições bancárias. O que se conhece como Matemática Financeira está presente praticamente em todas as relações das pessoas. Termos como juros, capital, montante, taxa, amortização, prestação, e muitos outros, fazem parte do vocabulário habitual nas transações comerciais com as mais diversas instituições bancárias. Seja na hora de abrir uma caderneta de poupança, ou de solicitar um empréstimo. O sistema de crédito, por exemplo, é o fator primordial e responsável pelo aquecimento do consumo, mesmo quando as pessoas não possuem o dinheiro. A operação do sistema de crédito possibilita uma aplicação muito particular da Matemática Financeira. Neste sentido, a Matemática Financeira, deve ser entendida como a parte da Matemática que trata em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Ao se estudar a Matemática Financeira, tem-se como objetivo básico o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro do caixa verificados em diferentes momentos. O fluxo de entrada e saída de dinheiro representa o movimento do Capital (Valor Atual, Principal ou Valor Presente = PV), particularmente definido como Riqueza ou valores disponíveis; Fundo de dinheiro ou Patrimônio de uma Empresa. Dentro do conceito da Ciência Econômica, o Capital é compreendido como um conjunto de bens produzidos pelo homem e que participam da produção de outros bens. A escassez dos recursos frente às necessidades ilimitadas faz com que cada vez mais se procure otimizar sua utilização. A análise prévia de investimentos permite que se racionalize a utilização dos recursos de Capital. O desempenho de uma ampla classe de investimentos pode ser medido em termos monetários e, neste caso, utilizam-se técnicas básicas de Engenharia Econômica fundamentadas na Matemática Financeira. Este trabalho, tem como objetivo de aprendizagem, facilitar na administração das situações e dos conteúdos com domínio da matriz disciplinar, ou seja, os conceitos, as questões e os paradigmas que estruturam os saberes da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. Identificar competências-chave em torno das quais se organiza a aprendizagem envolvendo agentes como: operadores do mercado financeiro, técnicos da administração das instituições que atuam no sistema financeiro, em serviços de auditoria, e aos estudantes de forma geral. Dentro deste enfoque, este trabalho apresenta a teoria de forma bastante simples e direta, seguindo uma seqüência lógica quanto ao inter-relacionamento dos assuntos e os respectivos graus de complexidades, amparado em inúmeros exercícios, casos práticos resolvidos, utilizando as formulas padrões e também pela máquina eletrônica HP-12C. A composição deste trabalho, está estruturada em oito unidades, sendo que na Unidade I são tratados além da apresentação da disciplina e dos conceitos fundamentais da Matemática Financeira, às noções básicas de operação da máquina eletrônica HP-12C. Nas unidades seguintes são abordados os seguintes assuntos: Unidade II, Critérios de Capitalização – Juros Simples e Composto; Unidade III, Taxas de Juros e suas relações; Unidade IV, Descontos; Unidade V, Equivalência de Capitais; Unidade VI, Séries Uniformes de Pagamentos; Unidade VII, Sistemas de Amortização e finalmente a Unidade VIII com a Análise de Fluxo de Caixa e Análise de Investimentos. É oportuno lembrar, que todas as unidades são complementadas com uma série de exercícios que objetivam verificar a praticidade dos conceitos e fórmulas apresentadas em cada assunto. Parábola dos talentos ...“Será também como um homem que, tendo de viajar, reuniu seus servos e lhes confiou seus bens. A um deu cinco talentos; a outro, dois; e a outro um, segundo a capacidade de cada um. Depois partiu. Logo em seguida, o que recebeu cinco talentos negociou com eles, fê-los produzir, e ganhou outros cinco. Do mesmo modo, o que recebeu dois ganhou outros dois. Ma, o que recebeu apenas um, foi cavar a terra e escondeu o dinheiro de seu senhor. ....Veio, por fim o que recebeu só um talento: “Senhor, disse-lhe, sabia que és um homem duro, que colhes onde não semeaste e recolhes onde não espalhaste. Por isso, tive medo e fui esconder teu talento na terra. Eis aqui, toma o que te pertence”. Respondeu-lhe seu senhor: “Servo mau e preguiçoso! Sabias que colho onde não semeei e que recolho onde não espalhei. Devias, pois, levar meu dinheiro ao banco e, à minha volta, eu receberia com juros o que é meu. Tirai-lhe este talento e dai-o ao que tem dez. dar-se-á ao que tem e terá em abundância. Mas ao que não tem, tirar-se-á mesmo aquilo que julga ter. E a esse servo inútil, jogai-o nas trevas exteriores; ali haverá choro e ranger de dentes”. Mateus, Cápitulo25: 14-30. Juros São valores que devem ser pagos pelo direito de se dispor temporariamente de um capital. É a remuneração exigida na utilização do Capital de terceiros. Juros recebidos = remuneração. (investidor) Juros pagos = custos. (tomador de empréstimos) Os Juros induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupança e de novos investimentos na economia. 1.1 Taxa de Juros: - É a razão entre o valor de juro recebido (ou pago) no final de um certo período de tempo e o Capital inicialmente aplicado (ou emprestado). i = J PV - Avaliação da Taxa de Remuneração: - Risco perda do dinheiro aplicado, incerteza. - Despesa inclui todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para formar o empréstimo e efetivar a cobrança. - Inflação índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda, previsto para o prazo de empréstimo. - Ganho (ou lucro) “custo de oportunidade” é estabelecido pela privação do Capital em outras oportunidades por um determinado período de tempo. A Taxa de Juros no mercado de Capitais é fixada pela interação entre as forças que regem a oferta de fundos e a procura de créditos. - Oferta de Fundos é o nível de riqueza das pessoas, suas preferências temporais e o valor da taxa de juros. - Procura de fundos ou créditos a rentabilidade das aplicações existentes na economia e a preferência temporal das pessoas. As Taxas de Juros sempre se referem a uma unidade de tempo (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc...) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária. Forma Percentual Transformação Forma Unitária 10% 10/100 0,10 6% 6/100 0,06 1% 1/100 0,01 1,5% 1,5/100 0,015 Obs. Nas fórmulas de Matemática Financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros. Os enunciados e as respostas dos exercícios normalmente utiliza-se a taxa percentual. 1.2 Diagrama do Fluxo de Caixa (Diagrama de Capital no Tempo) É uma representação que se usa nos problemas financeiros em que se indica o fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo. 500 400 400 Entradas (+) 0 1 2 3 5 6 300 Saídas (-) 1000 * Convenções empregadas: A reta horizontal é uma escala de tempo; Flechas significam entradas ou saídas de dinheiro, sendo que a flecha para cima é entrada e se associa valor positivo e a flecha para baixo é saída e se associa valor negativo. 1.3 Regra Básica: Nas fórmulas de Matemática Financeira, tanto o prazo de operação como a taxa de juros deve necessariamente estar expressas na mesma unidade de tempo. 1.4 Critérios de Capitalização dos Juros: Regime de Capitalização simples comporta-se como P.A. Regime de Capitalização composta incorpora-se ao Capital os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados. - Ex. Capital = 1.000,00, prazo = 3meses, taxa = 5% ª m = 1.157.63. OBS: Quando as operações envolvem um só período de juros (também chamados de período de capitalização), é indiferente o uso do regime de capitalização, pois ambos produzem os mesmos resultados. Aplicações práticas dos juros simples e compostos. Juros Simples tem aplicações praticas bastantes limitadas (prazos reduzidos). Juros Compostos é adotado quase que integralmente pelo Sistema Financeiro, outras aplicações: estudo do crescimento demográfico, comportamento dos índices de preços da economia, evolução do faturamento e de outros indicadores empresariais de desempenho. UNIDADE II – JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS Objetivos: - Conceituar juros simples e compostos. - Compreender diferenças entre juros simples e juros compostos. - Representar graficamente um fluxo de caixa. - Utilizar a calculadora HP-12C. 2. Os Juros A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo e possui varias aplicações no sistema econômico. Diversas situações estão presentes no dia a dia da população em geral, como, por exemplo, financiamentos de veículos e moradias, empréstimos, compras a crediário e com cartão de crédito, aplicações financeiras, entre outras situações. A todos esses casos há a estipulação de taxas de juros, assim, ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é através de prestações acrescidas de juros, dessa forma, o valor da quitação do empréstimo é sempre maior do que o valor inicial do empréstimo, essa diferença entre o valor inicial e o valor final dá-se o nome de juros. Ao falar em juros, a maioria das pessoas pensa em despesa. Porem, essa definição depende da situação em que a pessoa encontra se, se para quem empresta dinheiro o juro gera lucro e para quem toma emprestado o juro é uma despesa. O juro é dividido em juros simples e juros compostos. No regime de juros simples os juros de cada período são calculados sempre sobre o capital inicial e no regime de juros compostos os juros gerados a cada período são somados ao capital inicial para o calculo dos juros do período seguinte, ou seja, os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem novos juros. Quando se fala em juros logo vem à ideia de taxas de juros, de forma simples pode-se dizer que taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro e sempre se refere a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano etc.). As taxas de juros são divididas em taxa proporcional que se refere a juros simples, taxa equivalente, taxa nominal e taxa efetiva, que se refere a juros compostos. 2.1 Juros Simples O juro simples é diretamente proporcional ao tempo da operação considerada, incide apenas sobre o capital inicial. Como os juros são a variação entre o capital e o montante e esta, na pratica, ocorre ao longo do tempo, ou seja, a taxa varia linearmente em função do tempo, o valor dos juros deve sempre ser associado ao período de tempo que foi necessário para gerá-lo. Por tanto, no regime de Juros Simples, a taxa incide sobre o capital inicial aplicado, sendo proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação (período de capitalização). J = PV.i.n Montante FV = PV + J ou FV = PV . (1 + in) 2.2 Juros Compostos Na matemática financeira, chamamos de “juros compostos” o processo em que os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior, ou então, é o regime em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam a integrar o valor do capital ou montante que serviu de base para o seu calculo de modo que o total assim conseguido será a base do calculo dos juros do próximo período. Por tanto, no regime de juros compostos, os juros obtidos a cada novo período são incorporados ao capital, formando um montante que passará a participar da geração de juros no período seguinte, e assim sucessivamente. Dessa forma, não apenas o capital inicial rende juros, mas estes são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados. Exemplo: Calcular o montante (FV) de um capital (PV) = $1.000,00 aplicado durante 4 anos à taxa de 20% ao ano. R=R$2.073,60 Fórmula do Montante (FV) retirada da resolução do exemplo acima. UNIDADE III – Taxas de juros e suas relações: Objetivos: Conceituar taxas; Calcular as taxas: proporcional; equivalente; nominal, efetiva, prefixada ou aparente, pós-fixada ou real e unificada. Conceito de taxa: O conhecimento das taxas de juros, tanto simples como compostos, é essencial na matemática financeira e em qualquer transação econômica as ser realizada. Há várias formas de se cotar uma taxa, podendo ser, nominal, efetiva, proporcional ou equivalente. Na matemática Financeira a taxa é a unidade de medida pela qual os juros são fixados na remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc..). 3.1 Taxa proporcional: i1 / i2 = n1 / n2 Taxas proporcionais são taxas de juros com unidades de tempos diferentes, mas, que após a aplicação em um mesmo prazo, produzem o mesmo montante. As taxas proporcionais estão ligadas as taxas de juros simples. Assim, diz-se que duas taxas são proporcionais quando se verifica que a razão entre elas é a mesma que a razão entre seus períodos. Exemplo 1: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. Resolução: Temos: i 1=5% a.t.= 0,05 a.t. i 2= 20% a. a.= 0,20 a. a. n1= 3 meses n2= 12 meses Como: = Substituindo-se os valores = que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20x3) é igual ao produto dos extremos (0,05x12). Logo, as taxas dadas são proporcionais. Exemplos 2: 3% ªm. é proporcional a 36% ª.ano. 0,4% ª dia é proporcional a 12% ª mês. 3.2 Taxa equivalente (iq, i t ). Taxas proporcionais são taxas de juros com unidades de tempos diferentes, mas, que após a aplicação em um mesmo prazo, produzem o mesmo montante. As taxas equivalentes estão ligadas as taxas de juros compostos. Assim, duas taxas expressas em períodos diferentes são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital PV e um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante FV. iq = (1 + it) q/t – 1 iq = taxa que quero conhecer; it = taxa que tenho, taxa conhecida; q = período da taxa que quero; t = período da taxa que tenho. Exercícios: 1. Calcule a taxa semestral equivalente a 5,3% ª m. R = 36,32% ª s. 2. Determinar a taxa diária equivalente a 15 % ª m. R = 0,47% ª d. 3. Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% ª m. R = 12,68% ª a. 4. Qual a taxa de juros diária equivalente a 30% ªm. R = 0,8784 ª d. 5. Qual a taxa de juros que equivale, em 102 dias, a uma taxa de 118%ª ª. R = 24,71% em 102 dias. 6. Marlindo Cruz é seu cliente e pretende fazer um investimento de capital no valor de R$20.000,00 a uma taxa de 15% a.a durante 4 meses o mesmo necessita saber quanto renderá seu capital e qual sua opinião a respeito do investimento? 7. Se um determinado cliente seu tem um capital de R$120.000,00 e este foi aplicado em 27/05/06 e resgatado em 15/09/06. Se a taxa de juros foi de 19%a.a qual foi o valor do juros recebido por este cliente? 8. Severino deseja saber qual o montante que receberá no final de 3 meses e 25 dias, correspondente a uma possível aplicação de R$45.000,00, sabendo que a taxa de juros é de 30%a.s? 9. Sua empresa deseja aplicar um capital de R$170.000,00 por um período de 10 meses o mercado financeiro esta oferecendo uma taxa de juros de 0,254%a.d calcule o juros e o montante obtidos nesta aplicação? Qual o seu posicionamento você é contra ou a favor da operação? Explique porquê? 10. O presidente da empresa recebeu uma proposta de um título que no mercado financeiro custa R$25.000,00 e no final de 7 meses ele terá um retorno do investimento de R$31.000,00. Porém um de seus sócios pediu o mesmo valor emprestado a empresa à uma taxa de 2,8%a.m e pagaria este empréstimo em um prazo de 7 meses. O que você na condição de gestor financeiro desta empresa aconselharia o presidente a fazer?Porquê? 11. O Sr. Aristoteles seu cliente deseja fazer uma operação de investimento porém está em duvida sobre o que seria mais vantajoso, aplicar R$12.000,00 por 3 anos a juros composto de 2,5%a.m ou aplicar a mesma quantia, pelo mesmo prazo, a juros simples de 4,55% a.m, o que você recomendaria a este seu cliente? 12. Um cliente seu quer investir um valor de R$19.000,00 a uma taxa de juros de 3,95%a.m e diz que deseja deixar este dinheiro aplicado por um período de 18 meses. Qual será o valor montante deste investimento? 13. Um determinado cliente seu tem de pagar uma conta daqui a 7 meses que custa R$41.300,00, ele tem hoje R$37.971,28 e você sabe de uma aplicação que paga 25%a.a você indicaria tal aplicação a seu cliente?Porquê? Taxa nominal x Taxa efetiva 3.3 Taxa nominal Na Matemática Financeira a taxa nominal é a taxa cujo prazo difere da capitalização. É aquela cuja unidade do período a que se refere não coincide com a unidade do período de capitalização. Essa taxa obrigatoriamente deve ser indicada em todos os contratos de crédito ou nas aplicações e corresponde ao período de um ano. Por tanto, é uma taxa referente a um período que não coincide com o período de capitalização dos juros. A taxa nominal não corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Geralmente, tem periodicidade anual e aparece em contratos financeiros. A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão: i n = J p /V n Onde: i n : Taxa nominal J p : Juros pagos V n : Valor nominal do empréstimo Exemplo: 35% ª ano, com capitalização mensal; 16% ª ano, com capitalização semestral; 8% ª mês, com capitalização diária. 3.4 Taxa efetiva ou real (if) Na Matemática Financeira, quando falamos de taxa efetiva dizemos que é a taxa cujo prazo é igual a capitalização. A taxa efetiva poderá ser definida como taxa equivalente, desde que, pelo menos uma seja referida ao período de capitalização efetivamente praticado. A taxa efetiva difere da taxa nominal porque essa usa um prazo de referência diferente do prazo de capitalização. Por tanto, taxa efetiva de juros, é a taxa que corresponde, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. Toda taxa, cuja unidade de tempo coincide com o período de capitalização dos juros, é uma taxa efetiva. Exemplos: 40% ª ano, com capitalização anual; 18% ao semestre, com capitalização semestral; 4% ao mês, com capitalização mensal. i = taxa nominal; i’ = i / q q = n. de capitalizações contidas no período da taxa nominal. Exercícios: 1. Determinar a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 7,5% ª m. com capitalização diária. R = 7,78% ª m. if = (1 + i’) q – 1 2. Obter a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 78,01% ª ª com capitalização semestral. R = 93,22% ª a. 3. Foi aplicado R$ 10.000,00 à taxa de 60% ª m. capitalizada diariamente. Determine o montante resgatado ao final de 4 dias. R = R$ 10.824,32. *Aplicação especial – Caderneta de Poupança. A modalidade de aplicação mais difundida no país é a dos depósitos em Caderneta de Poupança. Segundo CASAROTTO FILHO (2000), estas aplicações rendem 6% ao ano de juros nominais, com capitalização mensal e correção monetária com base na Taxa Referencial (TR). As movimentações são livres, porém o rendimento total só é obtido com retiradas nas datas de aniversário da aplicação. Exemplo: R$ 1.000,00 foram depositados na abertura de uma caderneta de poupança no dia 1º demarco. Quanto poderá ser retirado em 1º de outubro do mesmo ano, se há uma estimativa de correção monetária de 5% ao mês. Solução A: Primeiro passo: Cálculo da taxa de juros. i = (1 + 0,005) 7 – 1 = 0,0355 ou 3,55% em 7 meses Segundo passo: Cálculo da correção monetária. CM = (1 + 0,05) 7 – 1 = 0,4071 ou 40,71% no período de 7 meses Terceiro passo: Cálculo da Taxa Unificada. i u = (1,4071 x 1,0355) – 1 = 0,4571 ou 45,71% em 7 meses. Quarto passo: Cálculo da retirada. FV = 1.000,00 x 1,4571 = R$ 1.457,09. Solução B: FV 1 = 1.000 x (1 + 0,005) 7 = 1.035,529397 = 1.035,53 FV = 1.035,53 x (1 + 0,05) 7 = R$ 1.457,09. 3.5 Lista de Exercícios I Assuntos: Taxas equivalentes; Períodos não-inteiros; Taxa efetiva e taxa nominal – quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa; Equivalência de capitais. 1 – Quanto receberei ao final de cinco meses se aplicar um capital de R$ 15.000,00, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês? R – R$ 16.561,21 2 – Qual a taxa de juros mensal cobrada em uma operação de empréstimo para capital de giro, cujo principal de R$ 50.000,00 proporcionou a quantia de R$ 87.450,31 de montante, após um período de 120 dias, segundo o regime de capitalização composta? R – 15% ª m. 3 – Uma empresa tomou emprestado de um banco a quantia de R$ 160.000,00, por meio de uma operação de empréstimo para capital de giro, a uma taxa prefixada de juros compostos de 3% ao mês, pelo prazo de 39 dias. Qual o valor final a ser pago pela empresa? R – R$ 166.267,89. 4 – Um investimento de R$ 2.500,00 foi realizado no regime de juros compostos por 4 meses. Sabendo que a taxa praticada é de 24,5% ao ano, calcular o montante da operação. R – R$ 2.689,45. 5 – Uma empresa solicitou um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 por um período de 8 meses. Como o banco opera no regime de juros compostos e o empréstimo foi saldado em um único pagamento no valor R$ 132.190,68, calcular a taxa efetiva de juros utilizada. R – 3,55% ª m. 6 – A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor? R – 4,162% ao mês. 7 – Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao mês? R – 11 meses. 8 – A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de $ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. R - $ 396.288,79. 9 – A aplicação de $ 400.000,00 proporcionou um resgate de $ 610.461,56 no final de 6 meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação. R – 7,3% ao mês e 132,91% ao ano. 10 – Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação? R – 309 dias. 11 – A aplicação de $ 380.000,00 proporcionou um rendimento de $ 240.000,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas mensal e anual de juros. R – 7,32% ao mês e 133,33% ªª 12 – Um banco cobra 20% ªa de juros numa operação de capital de giro. Quanto cobr ará para uma operação em 182 dias? R – 9,656% em 182 dias. 13 – Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar $ 2.000.000,00 à taxa de 150% ao ano? E qual a taxa mensal equivalente? R - $ 2.534.143,27 e 7,935% ao mês. 14 – Que taxas são equivalentes a 25% ªª, se os prazos respectivos forem: a) 3 meses (trimestral) R – 5,737126% ªt. b) 8 meses R – 16,040% em 8 meses. c) 11 meses R – 22,697% em 11 meses 15 – O Produto Nacional Bruto de um país cresceu em 200% em 10 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual? R – 11,6123% ªª 16 – Em quanto tempo dobra uma população que cresce 2,82% ªª? R – 24,9 anos. 17 – Um investidor aplicou $ 5.000,00 por 30 meses à taxa de 10% ªª. Qual é o montante por ele recebido? R - $ 6.345,29 18 – Com a finalidade de comprar um carro no valor $ 7.500,00, um rapaz aplica $ 6.000,00 a taxa de 3% ªm. Quanto tempo levou para obter o valor do carro? R – 7 meses e 16 dias. 19 – Qual é o montante auferido em um investimento de $ 10.000,00 por 4 anos e 9 meses à taxa de 10%ªª? R - $ 15.725,89. 20 – Uma aplicação em Caderneta de Poupança rende $ 500,00 sobre um capital de $ 800,00 em 1 ano e 3 meses. Qual é a taxa de rentabilidade anual? R – 47,46% ªª 21 – Tendo investido $ 25.000,00 na Bolsa de Valores, João esperava ganhar 100%ªª. Qual seria o lucro recebido por ele ao fim de 1 ano e 8 meses, caso tal rentabilidade ocorresse? R – $ 54.370,05. 22 – Qual é a taxa de juros para 13 meses, nas hipótese: a) 27% ªª R – 29,5550% em 13 meses. b) 5% ªq. R – 17,1832% em 13 meses. 23 – Qual é a taxa efetiva anual nas hipóteses abaixo? Taxa Nominal Capitalização a) 28% ªª trimestral R – 31,08% ªª b) 21% ªª quadrimestral R – 22,50% ªª c) 40% ªª semestral R – 44% ªª 24 – Se o banco deseja ganhar 30% ªª como taxa efetiva, que taxa nominal anual deverá pedir em cada hipótese de capitalização abaixo: a) mensal R – 26,525% ªª ou 26,53% ªª b) trimestral R – 27,11598%ªª ou 27,12% ªª c) quadrimestral R – 27,42% ªª. 25 – Uma empresa toma emprestado $ 100.000,00 pelo prazo de 2 anos, Se a taxa do banco for de 28% ªª, com capitalização trimestral, qual será o montante devolvido? R - $ 171.818,61 26 – Uma empresa contrata um empréstimo de $ 5.800.000,00 e prazo de vencimento de 20 meses. Sendo a taxa de juros anual de 80%, pede-se calcular o montante a pagar. R - $ 15.448.352,44. 27 – Uma taxa efetiva de juros com capitalização quadrimestral é aplicada a um capital gerando um total de juros, ao final de 2 anos, igual a 270% do valor do capital aplicado. Determinar o valor desta taxa de juros. R – 24,366% ªq. 28 – Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 40.000,00 em um Certificado de Depósito Bancário (CDB), a uma taxa de juros compostos de 18% ao ano, pelo prazo de 72 dias. Sabendo-se que sobre o valor do rendimento bruto (juros) foi descontado o Imposto de Renda à alíquota de 20%, quando do resgate, pergunta-se: a) Qual o valor do resgate bruto? b) Qual o valor do Imposto de Renda? c) Qual o valor do resgate líquido (valor do resgate bruto – valor do Imposto de Renda)? R – a) R$ 41.346,28 b) R$ 269,26 c) R$ 41.077,02. 29 – Certo capital, aplicado a uma taxa de 1,53% ao mês, após 63 dias, produziu um montante de R$ 77.430,04. Determine o valor do capital inicial aplicado, segundo o regime de capitalização composta. R – R$ 75.000,00 30 – A que taxa mensal de juros compostos deve-se aplicar a quantia de R$ 10.000,00 de modo a obter em 69 dias o montante R$ 10.509,57? R – 2,18% ao mês. 31 – Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada na venda a prazo de um veículo, para pagamento nas seguintes condições: - Valor a vista do veículo: R$ 13.200,00; ou - A prazo: R$ 5.200,00 de entrada, mais uma parcela de R$ 9.000,00 a ser paga em 60 dias. R – 6,07% ª m. 32 – Uma aplicação financeira, à taxa de juros compostos de 2% ao mês, pelo prazo de 96 dias, produziu de juros a quantia de R$ 327,10. Determinar o valor do montante. R – R$ 5.327,10 33 – João comprou uma enciclopédia, sem dar nada de entrada sob a condição de pagá-la em 4 parcelas quadrimestrais de $ 1.000,00. Como opção, o gerente da livraria lhe propôs uma entrada de $ 1.500,00 e o saldo para 1 ano. De quanto será este saldo, se a taxa de juros for de 3% ªm.? R - $ 2.142,12. 34 – Um fazendeiro aplicou $ 100.000,00 em um banco que paga 25% ªª, pretendendo retirar o montante na época da colheita (6 meses) para evitar problemas de capital de giro. Entretanto, decorridos 3 meses ele necessitou de dinheiro, retirando então $ 30.000,00. Que saldo poderá retirar na época da colheita? R - $ 80.082,26. 35 – O Sr. Carlos vendeu um carro para um amigo seu, pelo preço de $ 50.000,00. Quanto as condições de pagamento, ele disse que o amigo pagar-lhe-ia na medida do possível, sendo os juros de 40% ªª. Os pagamentos efetuados foram: $ 5.000,00 (3º mês), $ 10.000,00 (5º mês), $ 20.000,00 (6º mês). No fim do 12º mês o comprador diz querer saldar seu débito total. Qual é o valor do acerto final? R - $ 27.731,80. 36 – Uma empresa assumiu uma dívida que foi acertada para ser paga da seguinte forma: R$ 150.000,00 para 12 meses e de $ 300.000,00 para 24 meses. Por deficiência de caixa, a dívida foi transformada para se quitada em 4 parcelas iguais semestrais , vencendo a primeira a 6 meses. Qual é o valor das parcelas se considerarmos a taxa de 25% ao ano? R - $ 102.296,12. 37 – Uma dívida tem o seguinte esquema de pagamento $ 300.000,00 vencível em 3 meses a partir de hoje e $ 800.000,00 vencível de hoje a 5 meses. O devedor propõe ao credor refinanciar esta dívida através de 5 pagamentos bimestrais, iguais e sucessivos, vencendo o primeiro de hoje a dois meses. Para uma taxa de juros corrente de 4,5% ªm., pede-se determinar o valor de cada pagamento bimestral. R - $ 233.853,60. 38 - Duas empresas estão em concorrência para adquirir certa propriedade. A Construtora Abaeté toma conhecimento que a oferta da Imobiliária Cametá constitui-se de R$ 200.000,00 a vista e mais um título de R$ 80.000,00 para 180 dias. Se a Construtora Abaeté no momento só pode dispor de R$ 120.000,00, qual deve ser o valor do título para 140 dias que ela deve incluir na proposta a fim de empatar a concorrência? Considere uma taxa de juros compostos vigente de 2% ao mês e o ano comercial (360 dias). R – R$ 165.660,71. 39 – Qual o valor mínimo a ser aplicado, no regime de juros compostos a uma taxa efetiva anual de 29,5%, para proporcionar duas retiradas independentes de R$ 5.000,00 após 8 meses e outra de R$ 12.000,00 após 12 meses de aplicação? R – R$ 13.474,87. 40 – Uma empresa solicitou um empréstimo de R$ 100.000,00 para pagar em 12 meses. Após 8 meses corridos, resolveu solicitar mais R$ 50.000,00 para serem pagos ambos na mesma data. Sabendo que o banco opera no regime de juros compostos e que praticou uma taxa efetiva mensal de 1,85% para o primeiro empréstimo e outra de 2% para o segundo, calcular o valor a ser pago pela empresa para quitar ambos empréstimos. R – R$ 178.725,73. 41 – Uma empresa solicitou um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago em um ano a uma taxa efetiva anual de 32,5%. Por ocasião do pagamento desta dívida, a empresa solicitou 3 meses de prorrogação. Para esta nova operação, o banco elevou a taxa de juros para 36,5%. Qual o novo montante a ser pago pela empresa para quitar o empréstimo? R – R$ 143.218,47. 42 - A Ploc Ploc tem um título com valor nominal (FV) igual a R$ 10.000,00 com vencimento em 14 meses e que é remunerado a uma taxa de juros compostos de 18% ao ano. Além disso, possui outro papel de R$ 7.000,00 (FV), que irá receber se fizer uma aplicação a 21% ao ano, em juros simples durante o mesmo prazo do título. Pergunta-se: quanto a empresa possui hoje considerando-se essas aplicações financeiras? R = R$ 13.866,48 43 - Pedro fez uma aplicação, a juros compostos, que produziu um montante de R$ 95.217,12 no final de 12 meses. Fez uma segunda aplicação, com um valor 20% superior à primeira, que produziu um montante de R$ 109.585,02 no final de oito meses, com a mesma taxa de juros. Determinar a taxa de juros mensal aplicada sobre as duas aplicações de Pedro no regime de juros compostos? Resposta = 1,05 % ao mês. 44 - Mário aplicou um principal (capital = PV) a determinada taxa de juros compostos e obteve um montante de R$ 41.518,84 no final de três meses. Se o prazo de investimento fosse de nove meses, a taxa de juros seria a mesma e o montante obtido seria de R$ 49.575,67. determine o principal aplicado, no regime de juros compostos. Resposta= R$ 37.995,62 45 - A RAN Engenharia LTDA comprou um título público com valor nominal igual a R$ 100.000,00 e vencimento em três meses. Sobre a operação, deveria ganhar uma taxa de juros compostos igual a 1,80% ao mês. No entanto, 15 dias antes do resgate do título, a instituição precisou negociá-lo no mercado secundário, que exigiu uma taxa igual a 2,10% ao mês para a operação. Qual a taxa efetiva mensal no regime de juros compostos que a empresa ganhou na operação com o título público? R= 1,74% ao mês. 46 - A Distribuidora Ganhe Bem está oferecendo uma taxa de 2% ao mês nos seguintes papéis de sua carteira: Prazo de resgaste: Valor do resgaste: 3 meses R$ 1.000,00 6 meses R$ 2.000,00 9 meses R$ 3.000,00 Um determinado investidor deseja investir nos três papeis (um de cada), nas condições oferecidas. Qual o valor do cheque que ele deverá entregar a distribuidora, para fechar a operação? Não considere taxas de administração, comissões nem impostos. Resposta: O valor do cheque será de R$ 5.228,53. 47 - A Belém Exportadora LTDA. aplicou a quantia de R$ 42.000,00 em um Certificado de Depósito Bancário (CDB), a uma taxa de juros compostos de 13,5% ao ano com capitalização quadrimestral, pelo prazo de 72 dias. Sabendo-se que sobre o valor do rendimento bruto (juros) foi descontado o Imposto de Renda à alíquota de 25%, quando do resgate, pergunta-se: a) Qual o valor do resgate bruto? R = R$ 43.124,00 b) Qual o valor do Imposto de Renda? R = R$ 281,00 c) Qual o valor do resgate líquido (valor do resgate bruto – valor do Imposto de Renda)? R = R$ 42.843,00 48 - A Beta Veículos, vendeu um carro pelo preço de $ 38.520,00. Quanto às condições de pagamento, a empresa estabeleceu que o cliente pagar-lhe-ia na medida do possível, sendo os juros de 60% ao ano com capitalização mensal. Os pagamentos efetuados foram: $ 5.000,00 (3º mês), $ 10.000,00 (5º mês), $ 20.000,00 (6º mês). No fim do 12º mês o comprador diz querer saldar seu débito total. Qual é o valor do acerto final? R = R$ 20.546,83 UNIDADE IV – DESCONTOS A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate ou valor futuro de um título e o seu valor presente na data da operação ou seja: D = FV – PV, em que D representa o valor monetário do desconto, FV o valor futuro (valor do título na data do vencimento) e PV o valor creditado ou pago ao seu titular. Dessa forma, de maneira semelhante ao estudo dos juros, o valor do desconto está associado a uma taxa denominada de taxa de descontos e a determinado período de tempo. É freqüente confundir-se com os cálculos de juros e descontos , entretanto é importante lembrar que se trata de critérios distintos, facilmente caracterizados. Procure não esquecer, no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial (PV), no desconto a taxa do período incide sobre o valor nominal ou valor futuro (FV). Os descontos são classificados de maneira semelhante aos juros em simples e composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponenciais no caso do desconto composto. No desenvolvimento do estudo de descontos há uma mistura de conceitos, decorrente da ausência de uma definição mais precisa de descontos e da não observação dos conceitos tradicionais de juros. A classificação dos descontos se limita a simples – também denominado corretamente de comercial ou bancário – e composto. O critério de desconto conhecido “por fora” nada mais é do que o próprio desconto simples, com características claramente definidas. Já o desconto chamado “por dentro” (ou racional), não passa de uma aplicação de juros simples, nos casos em que o termo desconhecido (incógnita) normalmente é o valor presente (VIEIRA SOBRINHO. p.57, 2000). Na prática a operação de desconto deve ser entendida, quando ao contrair uma dívida a ser paga no futuro o devedor deve oferecer ao credor um título que comprove essa operação. De posse desse título, empregado para formalizar um compromisso que não será liquidado imediatamente, mas dentro de um prazo previamente estipulado, o credor poderá negociar com uma instituição financeira o resgate antecipado desse título. Os títulos de créditos geralmente utilizados são: Nota promissória: usada entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e instituições financeiras. É uma promessa de pagamento, em que vão especificados, valor nominal (FV), data de vencimento, nome e assinatura do devedor e nome do credor. Letra de câmbio: é um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. Uma Letra de Câmbio tem especificado: valor nominal, data de vencimento do título e que deve pagar. Cheques pré-datados: embora não especificados pela legislação, têm sido cada vez mais em pregados em operações comerciais em função da facilidade operacional do uso. De forma similar à Letra de Câmbio, o cheque pré-datado deve ter especificado: o valor nominal, a data programada para o depósito e o emitente. Duplicata mercantil: é usada por pessoa jurídica contra um cliente (que pode ser pessoa física ou jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo, ou prestou serviços a serem pagos no futuro. Na duplicata deve constar o aceite do cliente; o valor nominal; a data de vencimento; o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a que deverá pagar. Uma duplicata só é legal se for feita com base na Nota Fiscal. Fluxo operacional do desconto de duplicatas 1. Venda a prazo com a emissão da duplicata pela empresa vendedora; 2. Negociação e desconto do título com o Banco. A empresa vendedora (cedente) recebe os recursos liberados em sua conta corrente; 3. Cobrança do sacado no vencimento da duplicata. O comprador (sacado), recebe via correio, um aviso de cobrança bancária. No vencimento, o sacado liquida a duplicata por meio de seu pagamento ao Banco. Os Bancos realizam descontos de duplicatas e notas promissórias cobrando os seguintes encargos: - Desconto cobrado no ato da liberação do crédito, calculados a uma taxa de desconto mensal linear sobre o valor nominal do título; - Imposto de Operações Financeiras (IOF), cuja alíquota é determinada pelo Banco Central e que pode variar de acordo com o segmento a que se destina o empréstimo Pessoa Jurídica (PJ) ou Pessoa Física (PF) e condições do cenário econômico. Atualmente, o IOF é calculado à alíquota de 0,0041% ao dia sobre o valor atual do título (valor nominal menos o desconto, conforme previsto na Instrução Normativa SRF nº 46, art. 5º, de 2-05-2001), tanto para empréstimos efetuados para pessoas físicas como jurídicas; CEDENTE Empresa Vendedora SACADO Empresa Compradora BANCO 1 2 3 - Tarifa de cobrança: seu valor varia de banco para banco e destina-se a cobrir os custos de cobrança dos títulos nos vencimentos, a exemplo dos encargos anteriores, também é cobrada na liberação do crédito; - Tarifa de contratação: geralmente é um valor fixo, que varia de banco para banco e destina-se a cobrir os custos administrativos da operação (realização do contrato, colhimento de assinaturas, lançamento no sistema e outros.). 4.1 DESCONTO SIMPLES Estudaremos a operação de desconto simples, também chamado de desconto comercial ou desconto bancário, por ser mais praticado no mercado. É utilizada no Brasil de maneira ampla e generalizada. Na operação de desconto comercial ou desconto bancário, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal. D= VN. i. n VN=FV= Valor nominal, valor futuro, montante D=FV. i. n i= Taxa nominal de desconto n= Período de antecipação. Valor líquido (VL) que é o valor a ser creditado ou obtido pela diferença entre o valor nominal (VN) e o desconto (D). VL=VN – D VL=PV Valor líquido, valor presente, valor atual. PV= FV – D Taxa efetiva de desconto é aquela que, remunera efetivamente uma operação de desconto. Fórmulas para os cálculos da Taxa Efetiva de Desconto (ie) e da Taxa Nominal de Desconto (i) d d e i i i ' 1 ' ÷ = i e ÷ Taxa efetiva para o prazo da operação de desconto e i’ d ÷ Taxa de desconto para o prazo da operação. ( ) e e d i i i + = 1 ' i’ d = i x n *Exemplo: Uma empresa desconta uma nota promissória de R$ 1.000,00 (FV = 1.000,00); num banco que opera com uma taxa de desconto i = 6% ao mês; para um prazo n = 3 meses. Qual será o valor creditado na conta da empresa, PV = ?. Este exemplo permite desenvolver outras fórmulas para as operações de desconto e demonstrar as apresentadas. 4.2 Lista de Exercícios II: 1. Numa operação de desconto: para 34 dias, a uma taxa fixada em 6,30% a.m., qual é a taxa efetiva da operação? R= 7,69% em 34 dias 2. Qual o valor da (N) nota promissória no “papagaio” para 35 dias partindo-se de um valor líquido de R$78.000,00, a uma taxa de 5,30% a.m.?R= R$83.140,88 3. Qual é a taxa efetiva de uma operação de desconto para 33 dias, cuja taxa é 7,50% a.m.? R= 8,99% para 33 dias. i e = (FV/PV) - 1 FV = PV . (1 + i e ) i e = D/PV 4. Calcular o valor da nota promissória no “papagaio” para 35 dias à taxa de 13,70% a.m., partindo-se de um valor líquido de R$32.510,00. R= R$38,694,70 5. Qual é a taxa efetiva de desconto, referente a uma operação para 17 dias, cuja taxa negociada seja de 13,12% a.m.? R= 8,03% para 17 dias. 6. Qual é a taxa de desconto mensal correspondente a uma taxa efetiva de 16,12% para 33 dias? R= 12,62% a.m. 7. Partindo-se de uma taxa efetiva de desconto de 14,15% para 30 dias, calcule a taxa nominal. R= 12,40% a.m. 8. Um cliente propõe ao Banco que lhe seja liberado a quantia de R$100.000,00, através de uma operação de desconto. Sendo a taxa de desconto de 3% ao mês e IOF de 0,0041% ao dia, determinar: a) Valor de uma Nota Promissória para um prazo de 90 dias; R= R$110.337,52 b) A taxa mensal efetiva paga pelo cliente. R= 3,33348% a.m. 9. Uma empresa emitiu uma duplicata no valor de R$15.000,00, com vencimento para 10/06/X2. No dia 20/03/X2 efetuou o desconto desta duplicata junto ao Banco Itambira S.A. à taxa de desconto de 4% ao mês. Pede-se: a) Qual foi o valor recebido pela empresa? R = R$13.360,00; b) Qual a taxa de juros efetiva ao mês (custo) paga na operação? R = i ef = 4,327% a.m. 10. Uma empresa descontou uma Nota Promissória com prazo de vencimento em 93 dias, à taxa de desconto de 4% a.m. Sabe-se que o IOF é de 0,0041% ao dia e incide sobre o valor nominal, sendo cobrado no ato da liberação do dinheiro. Qual o custo efetivo mensal da operação? R= i = 4,51% a.m. UNIDADE V – Equivalência de Capitais A definição de equivalência de capitais permite transformar formas de pagamento ou recebimento em outras equivalentes e isso ocorre quando queremos substituir um título por vários outros. Podemos também ter vários títulos com vencimentos em datas diferentes as quais queremos substituir por um único título. (GUERRA, 2009) Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. (MATHIAS, 2011) Equação De Valor é a equação de valor que permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada uma certa taxa de juros. (GUERRA, 2009) 5.1 Capitais equivalentes Pode-se dizer que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando descontados para uma mesma data focal, à mesma taxa de juros e em idênticas condições, produzirem valores iguais (MATHIAS, 2011). Por tanto, dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. FVn Taxa= i 0 1 2 3 n ( ) ( ) ( ) ( ) n n i FV i FV i FV i FV PV + = ÷ ÷ ÷ = + = + = + = 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 5.1.1 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS À JUROS SIMPLES FV 1 FV 2 FV 3 Para Parente (1996), dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes, são ditos capitais equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais. A data para a qual os capitais serão transportados é chamada data focal. No regime de juros simples, a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa que definida uma taxa de juro, e a forma de calculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados para outra data, mesmo mantendo-se todas as outras condições do problema. (PARENTE, 1996) Segundo Veras (2011), no regime da capitalização simples, dois (ou mais) conjuntos de capitais são equivalentes, em certa data, com uma taxa dada, se seus valores calculados nessa data, com essa taxa, forem iguais. A data é chamada data focal ou data de equivalência. Já para Moita (2002), Quanto se trata de sistema simples, a época de comparação a ser usada só pode ser a época zero, ou seja, a época em que a dívida foi contraída. Assim, todos os capitais componentes da antiga e da nova forma de pagamento devem ser utilizado a data focal zero, em que o somatório de ambos devem apresentar o mesmo valor pra que haja equivalência. No regime de capitalização simples, se dois (ou mais) capitais são equivalentes, é necessário que se declare, além da data focal e da taxa utilizada, o tipo de equivalência, pois se pode tratar de capitais equivalentes com desconto comercial simples ou capitais equivalentes com juros simples (ou desconto racional simples). (VERAS, 2011) Quando a data focal é anterior às datas de disponibilidade dos capitais que estão sendo comparados, seus valores, calculados na data focal, são valores atuais ou valores presentes. Quando a data focal e poterior às datas em que os capitais são disponíveis, seus valores, calculados na data focal, são valores futuros. (VERAS, 2011) 5.1.2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS À JUROS COMPOSTOS O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamento em outras equivalentes, e efetuar comparações. A equivalência de capitais segundo OLIVEIRA (1982) significa que, '' um total de dinheiro pode ser equivalente a um total diferente, em determinados instantes de tempo, à juros compostos''. Segundo Veras (2011), no regime de capitalização composta, dois (ou mais) capitais são equivalentes, com uma taxa dada, se seus valores, calculados em qualquer data (data focal), com essa taxa, forem iguais. Também nesse regime de capitalização podem-se ter capitais equivalentes com desconto comercial composto ou capitais equivalentes com juros compostos (ou desconta racional composto), conforme a sistemática de cálculo usada na equivalência. Na prática, apenas é utilizada a equivalência com juros compostos. (VERAS, 2011) Existem algumas relações de equivalência de capitais, à juros compostos que são mais importantes, entre elas se destacam: A cumulação de Capital: é um valor futuro, ou montante, que resultou da aplicação desse capital a juros compostos, durante um certo período de tempo e há uma taxa de juros. Valor Presente: é o valor atual, que permite fazer a comparação de valores futuros com um valor hoje, considerando uma certa taxa de juros. Série Uniforme de Pagamentos: é uma sequência de recebimentos, desembolsos ou prestações, de mesmo valor divididos em um período de tempo. Perpetuidade: é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais que ocorrem indefinidamente, ou seja, uma série uniforme permanente, como exemplo pode-se citar uma pensão mensal. EXERCÍCIO: Verificar se os capitais do quadro abaixo são equivalentes, na data focal zero. Considerar taxa de 10% a.a. CAPITAL (R$) VENCIMENTO (ANOS) 1.100,00 1 1.210,00 2 1.331,00 3 1.464,10 4 5.2 Valor atual de um conjunto de capitais: ( ) ( ) ( ) ( ) n n i FV i FV i FV i FV PV + + ÷ ÷ ÷ + + + + + + = 1 1 2 1 1 3 3 2 2 1 1 Exercício: Calcular o valor atual do conjunto de capitais abaixo, na data focal zero com a taxa de 3% a.m. CAPITAL (R$) VENCIMENTO (MÊS) 1.000,00 6 2.000,00 12 5.000,00 15 R= R$5.449,55 5.3 Conjuntos equivalentes de capitais – quando os valores atualizados de cada conjunto são iguais. Exercício: Verificar se os conjuntos abaixo são equivalentes, na taxa de 10% a.a. 1º CONJUNTO 2º CONJUNTO CAPITAL VENCIMENTO CAPITAL VENCIMENTO 1.100,00 1 ano 2.200.00 1 ano 2.420,00 2 ano 1.210,00 2 anos 1.996,50 3 ano 665,50 3 ano 732,05 4 ano 2.196,15 4 ano 5.4 LISTA DE EXERCÍCIOS III 1. Um financiamento cujo principal é igual a $ 10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de duas parcelas, uma no final do 1º mês e outra no final do quarto mês, a contar da liberação dos recursos. Determinar o valor desses pagamentos sabendo-se que a segunda parcela é quatro vezes maior do que a primeira, e que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,5% ao mês. R: Primeiro mês = $ 2.103,51; Quarto mês = $ 8.414,04. 2. Um financiamento cujo principal é igual a $ 100.000,00 deve ser liquidado mediante ao pagamento de nove prestações mensais, ocorrendo a primeira prestação 30 dias após a liberação do principal. As três primeiras prestações mensais são iguais a $ 10.000,00, e as três prestações mensais seguintes são iguais a $ 12.000,00. As últimas três prestações devem ter valores iguais. Determinar o valor dessas últimas três prestações mensais, sabendo-se que a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,3% ao mês. R: três mensais de $13.679,94. 3. Um financiamento cujo principal é igual a $ 10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de oito prestações mensais, iguais e sucessivas, e de uma parcela intermediária adicional, a ser paga no final do 3º mês a contar da liberação dos recursos. Obter o fluxo de caixa desse financiamento, sabendo-se que: a) A taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,5% ao mês; b) A 1 a prestação mensal ocorre 30 dias após a liberação dos recursos; c) A parcela mensal intermediária é três vezes maior do que o valor da prestação mensal. R: oito mensais de $ 965,73 e intermediária de $ 2.897,19. UNIDADE VI – Séries Uniformes de Pagamentos Atualmente o mundo nos mostra que é imprescindível à necessidade de informações, pois somente com um conhecimento básico é que se pode chegar a um entendimento mais amplo e complexo. A Matemática Financeira preocupa-se basicamente com o estudo do valor do dinheiro no decorrer do tempo, ou seja, inferindo que o capital de hoje pode não ter o mesmo valor que o de amanhã. Portanto pode-se afirmar que os valores monetários modificam-se ao longo do tempo, podendo ser mais valorizado ou desvalorizado. Tendo em vista que todo investidor procura a melhor rentabilidade possível para seus bens e negócios é que surge a necessidade da efetuação de cálculos financeiros, pois essa essas ferramentas servem para medir o retorno de aplicações e contemplam informações que possibilitam nortear na tomada de decisões e na gestão financeira das empresas. É nesse sentido, que se faz importante o estudo dos cálculos de séries de pagamentos, pois eles são utilizados com muita frequência no mercado financeiro e de trabalho, nas formas de mensurar empréstimos pessoais, financiamentos, aplicações, parcelamento de dividas, fazer previsões das movimentações de capitais no mercado, dos resultados de investimentos, ou seja, valor futuro, entre outros. As séries de pagamentos são uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, que exibe o retorno de um capital aplicado através de pagamentos iguais em intervalos de tempo constantes. Ele é bem representado nas situações de empréstimos, financiamentos, aplicações, aquisições de bens entre outras formas. Quando tratarmos de séries de pagamentos, devemos ter em mente que nesses problemas os pagamentos ou recebimentos de dividas e investimentos sempre serão feitos de formas parceladas. Para resolver problemas envolvendo séries de pagamentos precisa-se primeiramente disseminar se o problema envolve Valores Presentes (VP) ou Valores Futuros (VF), depois precisa-se saber se o termo é Antecipado ou Vencido (Postecipado) e verificar também se a Taxa (i) e o Tempo (n) estão na mesma unidade de tempo. Exemplo de uma situação envolvendo Valor Presente com termos antecipados: Suponhamos que eu empreste hoje uma quantidade X de dinheiro e o pagamento da primeira parcela desse empréstimo deveria ser efetuada daqui a 30 dias, porém eu recebo essa primeira parcela antes do prazo de trinta dias, e continuo recebendo as outras parcelas normalmente nas datas pré-estabelecidas. Nessa situação pode-se dizer que uma parcela foi antecipada, então se foram estipuladas 4 parcelas para a quitação do empréstimo o meu devedor terá pago toda a sua divida na terceira parcela pré-datada. Exemplo de uma situação envolvendo Valor Futuro com termos antecipados: Suponhamos que eu comece a fazer uma aplicação financeira hoje e continuo depositando periodicamente por mais três meses o mesmo valor, então quando eu chegar ao quarto mês, eu queira resgatar o montante dessa aplicação, logo resgatarei um montante referente a quatro parcelas de investimento. Quando utilizamos termos vencidos, todas as parcelas começam a ser efetuadas na data 1 e não mais em uma data 0 ou antecipada. Assim, é importante destacar a importância do estudo dos cálculos de série de pagamentos, pois eles servem para nos auxiliar os gestores de negócios e investidores a calcular valores de prestações, identificar número de prestações, descobrir qual é o valor presente e a taxa de juros dos períodos de uma serie de pagamentos, advindos de empréstimos pessoais, financiamentos, aplicações, parcelamento de dividas, possibilitando também fazer previsões dos resultados e do valor futuro de investimentos ou quitações de dividas. Portanto cabe destacar que os cálculos de séries de pagamentos estão presentes em nosso dia-a-dia, e devem servir como uma importante fonte de planejamento, pois através destes cálculos podemos prever o quanto e como investir os nossos recursos de uma forma planejada e controlada, buscando sempre que possível uma maior rentabilidade para nossos negócios. Assim, diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou recebimentos ou desembolsos) são iguais e é feita em períodos homogêneos ou sucessivos (a cada dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.). Série de Pagamentos: Série de desembolsos: As séries de pagamentos/desembolsos com entrada são conhecidas como antecipadas. As SP sem entrada chamam-se vencidas ou postecipadas. 6.1 Séries de pagamentos iguais com termos vencidos ou postecipados. 1. Fator de acumulação de capital (FAC) ou fator de valor futuro (FFV). - Exemplo: Determinar o valor do montante, no final do 5º mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base (“momento zero”), e que a última, no final do 5º mês, é coincidente com o momento em que é pedido o montante. PV 0 1 2 3 4 5 n Termos iguais 0 1 2 3 4 n Termos iguais FV 42 ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + = 1 1 . i i PMT FV n ou FV= PMT . FAC (i,n) 2. Fator de formação de capital (FFC) ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + = 1 1 . n i i FV PMT ou PMT= FV . FFC (i,n) 3. Fator de valor atual (FVA) ou fator de valor presente (FVP) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ + ÷ + = xi i i PMT PV n n 1 1 1 . ou PV= PMT . FVA (i,n) 4. Fator de recuperação de capital (FRC) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + + = 1 1 1 . n n i xi i PV PMT ou PMT= PV . FRC (i,n) 43 44 45 46 47 48 6.2 Séries de pagamentos iguais, com termos antecipados (1 + i) 1. Fator de acumulação de capital (FAC) ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + + = i i i PMT FV n 2 1 ) 1 .( ou FV= PMT . (1+i) . FAC (i,n) 2. Fator de formação de capital (FFC) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + + = 1 1 . 1 1 . n i i i FV PMT ou PMT= FV . ( ) i + 1 1 . FFC (i,n) 3. Fator de valor atual (FVA) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ + ÷ + + = xi i i i PMT PV n n 1 1 1 ) 1 .( ou PV= PMT . (1+i) . FVA (i,n) 4. Fator de recuperação de capital (FRC) ( ) ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + + + = 1 1 1 . 1 1 . n n i xi i i PV PMT ou ( ) ) , ( . 1 1 . n i FRC i PV PMT + = 49 50 6.3 Séries Perpétuas A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente. Trata-se, portanto, de uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, um dividendo anual etc. As séries perpétuas, também denominadas perpetuidades ou séries infinitas, são aquelas cujos pagamentos ou recebimentos estendem-se ad eternum. Exemplos característicos de séries perpétuas podem ser vistos em planos de aposentadoria que geram renda vitalícia ou em títulos corporativos que pagam juros eternamente. PV = PMT i denominada de fórmula de Gordon. 51 6.4 Lista de Exercícios IV. Assuntos: Séries de Pagamentos: Postecipados e Antecipados. 1 – Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais e mensais de $1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos vencidos, sabendo- se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. R = $ 36.666,53. 2 – Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de $ 2.500,00 cada uma , e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, calcular o valor líquido a ser entregue ou creditado ao financiado: a) de acordo com o conceito de termos postecipados; b) de acordo com o conceito de termos antecipados. Respostas: a) $ 22.473,89. b) $ 23.541,40. 3 – Determinar a que taxa de juros a aplicação de $ 5.000,00 por mês gera um montante de $ 800.000,00 no final de 4 anos e meio, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final de 1º mês. R = 3,604% ao mês. 4 – Um veículo é financiado para pagamento em 36 prestações mensais, à taxa de 4,5% ao mês. Sabendo-se que o valor financiado foi de $ 245.000,00, calcular o valor das prestações, de acordo com o conceito de termos postecipados. R = $ 13.868,42. 52 5 – Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação mensal é de $ 200,00, a taxa de 2,5% ao mês e ao prazo de 18 meses. R = $ 2.870,67. 6 – Um terreno é vendido por $ 10.000,00 de entrada e 36 prestações mensais de $ 500,00. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 2,5% ªm., até que preço vale a pena comprar o terreno a vista? R = $ 21.778,13. 7 – Um sítio é posto a venda por $ 300.000,00 a vista, ou a prazo nas seguintes condições: 10% de entrada e o restante em 50 meses, juros de 3% ao mês. Qual o valor das prestações? R = $ 10.493,68. 8 – Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 será pago um titulo, se seu valor a vista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3%ªm.? R = 12 prestações. 9 – Quanto devo aplicar hoje, de uma só vez, para que tenha no final de 60 meses o equivalente ao montante constituído por aplicações mensais de $ 500,00, a taxa de 2% ao mês, sendo a primeira aplicação de hoje a 30 dias? R = $ 17.380,44. 10 – Quanto terei no final de 60 meses se aplicar $ 100,00 por mês em fundo de renda fixa, a taxa de 2,5% ªm., de acordo com o conceito de termos vencidos ou postecipados? R = $ 13.599,15. 11 – Quanto deverei aplicar mensalmente, a taxa de 3% ªm., para ter um montante de $ 20.000,00 no final do 12º mês, de acordo com os conceitos de termos postecipados e antecipados? Respostas: a) $ 1.409,24. b) $ 1.368,20. 12 – No final de quantos meses terei o montante de $ 124.892,78, aplicando $ 400,00 por mês, a uma taxa mensal de 2% , de acordo com o conceito de postecipados? 53 R = 100 meses. 13 – Uma loja financia um automóvel, para ser pago em 20 prestações iguais de $ 6.000,00. Sabendo-se que a taxa cobrada é de 5% ao mês , determinar o valor financiado pela loja segundo os conceitos de: a) Séries de pagamentos com termos vencidos; b) Séries de pagamentos com termos antecipados. Respostas: a) $ 74.773,26 b) $ 78.511,93. 14 – Uma pessoa aplica $ 5.000,00 por mês, durante os 10 primeiros meses consecutivos, a uma taxa de 3,25% ªm. Segundo o conceito de séries de pagamentos com termos vencidos, determinar: a) o valor do montante no final do 15º mês. b) o valor presente dessa aplicação (valor no início do 1º mês) Respostas: a) $ 68.038,78 b) $42.111,98. 15 – Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento, cujo valor à vista é de $ 10.000,00. Para diminuir o valor das prestações, ele pretende dar uma entrada de $ 3.000,00 por ocasião da compra. Determinar o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada, sabendo-se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a primeira ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. R = $ 339,41. 16.-. Determinar o preço à vista de um bem que está sendo vendido com entrada de R$ 150,00 e mais seis prestações mensais e iguais de R$ 100,00, vencendo a primeira 60 dias após o pagamento da entrada e sabendo que a taxa de juros é de 2,5% ao mês. A mercadoria é entregue 30 dias após a entrada (data de referência para cálculo do valor à vista). R: R$ 704,56 17.-.Uma empresa exportadora obteve um financiamento para ser pago em 4 parcelas semestrais iguais no valor de $ 47.320,62, sendo a primeira parcela paga seis meses após a liberação do empréstimo. Decorridos 4 meses, a empresa conseguiu saldar o financiamento. 54 Como o banco opera no regime de juros compostos com uma taxa efetiva de 10% ao semestre, qual foi o valor pago pela dívida? R: R$ 159.840,33 18 - Um imóvel custa $ 120.000,00. O plano de financiamento inclui o pagamento de entrada de 15% do valor do imóvel e mais 4 intermediárias iguais a cada 6 meses no valor de $ 10.000,00. Após o pagamento da última intermediária, qual é o valor do saldo devedor? A taxa anual no regime de juros compostos é de 25%. Resp. = $ 111.719,24 19 - Para realizar um investimento, uma empresa solicita um grande empréstimo por um período de 5 anos no valor de $ 1.000.000,00 para ser quitado da seguinte forma: 10 pagamentos semestrais iguais no valor de $ 50.000,00 cada; 60 pagamentos mensais iguais no valor de $10.000,00 cada. Sabendo que a taxa de juros praticada é de 26,5% ao ano, calcular o saldo devedor desta operação. Resp. = $ 1.209.624,29 20 - Um cliente procura uma agência de automóveis para comprar um veículo novo. Como não possui dinheiro suficiente para pagamento à vista, aceita o seguinte financiamento: entrada de 10% do valor do carro; 24 prestações mensais iguais; valor residual no final de 2 anos de 20% do valor do carro. Sabendo que o valor do veículo é de $ 50.000,00 e que a taxa efetiva de juros praticada no regime de juros compostos é de 2,25% ao mês, qual é o valor das prestações? Resposta = $ 2.128,31 21 - Uma empresa solicitou empréstimo no valor de $ 1.000.000,00 para ser pago em 10 parcelas fixas anuais sem entrada. No final do sexto ano, após o pagamento da sexta parcela, a empresa decidiu liquidar o empréstimo num único pagamento. Calcular o valor a ser pago, sabendo que o banco opera com uma taxa anual de 27,5 %. Res. $ 681.634,14 22 - Uma imobiliária afirma que cobra uma taxa igual a 1,8% ao mês no regime de juros compostos. Um apartamento no valor de R$ 140.000,00 é vendido por meio do pagamento de uma entrada no valor de 10% do imóvel, seis prestações semestrais postecipadas no 55 valor de R$ 8.000,00 mais 40 prestações mensais postecipadas. Qual o valor da prestação mensal? (a) 3.221,96 (b) 3.231,96 (c) 3.241,96 (d) 3.251,96 (e) 3.261,96 23 - Um consumidor comprou um veículo zero quilômetro por R$ 38.000,00. Pagou uma entrada de R$ 17.500,00 e aceitou pagar 15% ao ano no regime de juros compostos. Se ele efetuar oito pagamentos trimestrais postecipados iguais, qual será o valor de cada pagamento? (a) 2.989,22 (b) 2.886,58 (c) 2.786,58 (d) 2.783,62 (e) 2.536,58 24 - Um televisor tela plana custa R$ 3.000,00 a vista, podendo ser financiado com entrada, em oito prestações mensais à taxa de juros compostos igual a 28% ao ano. Qual é o valor das prestações a serem pagas pelo comprador? (a) 382,55 (b) 392,55 (c) 402,55 (d) 412,55 (e) 422,55 25 - Um mutuário paga ao final de cada mês a importância de R$ 1.100,00 pela compra de uma casa, pelo Sistema Nacional de Habitação. Sabendo que falta ainda pagar 10 prestações (sendo uma hoje e nove a posteriori) e que a taxa de financiamento é de 2% ao mês pergunta-se: qual o valor total devido hoje, para que ele possa quitar a dívida? (a) 9.723,62 (b) 9.751,37 (c) 9.865,44 (d) 9.872,36 (e) 10.078,46 26 - Um automóvel usado está à venda por R$ 10.000,00 de entrada, mais 24 prestações mensais de R$ 2.236,51. Outra opção da agencia consiste na possibilidade de vender o carro em 36 prestações de R$ 1.613,16, sendo, nesse caso, exigida uma entrada de R$ 12.000,00. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa de mercado for de 3% ao mês? (a) 24 mensais (b) 36 mensais (c) ambas (d) nenhuma (e) nra. 27 - Um veículo , cujo valor a vista é de R$ 30.000,00, será financiado em 24 prestações mensais e sucessivas, além de uma entrada de R$ 7.500,00, por ocasião da compra. Determine o valor das prestações mensais sabendo que o financiamento será realizado a juros compostos de 24% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a primeira prestação vencerá 30 dias após a data da compra. Resposta: R$ 1.189,60. 56 28 - Um equipamento é vendido por R$ 4.000,00 ou em até 12 prestações mensais sem entrada, cobrando-se porém 4% ao mês de juros. Qual deverá ser o valor das prestações para um cliente que propõe comprar em 10 prestações mensais e iguais, iniciando os pagamentos somente 90 dias após a data da compra? Resposta: R$ 553,41. 29 - Um principal no valor de R$ 60.000,00 foi financiado com carência de quatro meses, juros incorporados ao saldo devedor. Sabendo que serão feitos cinco pagamentos mensais iguais e que a taxa de juros da operação foi igual a 3% ao mês , calcule o valor das prestações mensais. Resposta: 14.316,12. 30 - Uma residência no valor de R$ 200.000,00 foi financiada em 24 parcelas mensais iguais a R$ 7.930,66 e mais oito prestações adicionais semestrais e iguais. As duas séries são de termos vencidos ou postecipados e os pagamentos se superpõem. Sabendo que a taxa de juros vigente para operação foi igual a 24% ao ano, capitalizados mensalmente, calcule o valor das prestações adicionais. Resposta: R$ 10.282,83. 31 – Você quer comprar um automóvel. O anúncio diz que você pode comprar um Fiesta pelo preço de tabela R$ 25.840,00 com 50% de entrada e 50% financiados em seis parcelas mensais, iguais e sucessivas com juros irrisórios de “apenas” 1,99% ao mês. Você foi até o revendedor que lhe propôs, que se você quiser comprar a vista o preço do Fiesta terá um bônus no valor de R$ 2.000,00 fazendo então com que o preço do Fiesta a vista fique sendo R$ 23.840,00. Questiona-se? - O anúncio é uma propaganda enganosa? - Caso positivo qual é a taxa realmente cobrada de juros? Resposta: A propaganda é enganosa pois a taxa de juros é de 7,21% ao mês. 32 – A “Veículos Belém” vende a prazo, cobrando uma taxa de 4,5% ao mês, qualquer que seja o plano escolhido. Sabendo-se que num dos planos um veículo pode ser adquirido por R$ 8.483,35 de entrada e mais duas prestações semestrais de mesmo valor, calcular quais seriam os valores dos pagamentos para os seguintes planos: Plano A: 10 prestações mensais iguais sem entrada; R = R$ 2.527,58 57 Plano B: R$ 2.000,00 de entrada mais 6 prestações bimestrais; R$ 4.036,87 Plano C: 5 prestações mensais iguais , sem entrada, sendo a primeira paga no final de 90 dias. (2 meses de carência). R$ 4.975,08 UNIDADE VII – Sistemas de Amortização Objetivos: Conceituar sistemas de amortização Conhecer os sistemas de amortização mais utilizados no mercado. Calcular e montar planilhas dos sistemas SAC e PRICE utilizando a HP- 12C. Conceito: Amortização: é o processo de liquidação de uma dívida através de pagamentos periódicos. A amortização de uma dívida pode ser processada de várias formas, dependendo das condições pactuadas. Vejamos algumas situações: 1. Pagamento da dívida em prestações periódicas, representadas por parcelas de juros mais capital; 2. Prestações constituídas exclusivamente de juros, ficando o capital pagável de uma só vez, no vencimento da dívida; 3. Juros capitalizados para pagamento, junto com o capital, ao final da dívida. Em razão disso, são conhecidos diversos sistemas de amortização, sendo os mais utilizados, o SAC e o Price. 7.1 Terminologias utilizadas nos Sistemas de Amortização: o Prazo de Utilização: é o intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é transferido do credor para o devedor. 58 o Prazo de Carência: é o período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante esse período, os juros calculados poderão ser pagos ou incorporados ao saldo devedor; o Prazo de Amortização: é o intervalo de tempo durante o qual são pagos as amortizações; o Prazo Total do Financiamento: corresponde à soma do prazo de carência com o prazo de amortização; o Saldo Devedor: corresponde ao valor da dívida em um determinado instante do período total do financiamento; o Parcelas de Amortização: corresponde às partes de devolução do principal (capital emprestado); o Prestação ou Parcela: é a soma da amortização acrescido de juros; o Planilha do Financiamento: é um quadro demonstrativo dos valores referentes ao empréstimo, ou seja, um cronograma dos valores recebidos e dos valores a serem pagos. 7.2 Sistema Francês de Amortização ou Tabela Price Consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada prestação, ou pagamento, é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de capital (amortização). O valor das prestações é determinado por: ( ) ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + + = 1 1 1 n n i xi i PVx PMT ou PMT= PV x FRC (i,n) A parcela de juros: J= i . PV Valor da parcela de amortização: (A) A = PMT – J 59 Exemplo: Calcular o valor das parcelas de juros, amortização e prestação, referentes a um empréstimo de R$ 12.000,00, à taxa de 15% ao mês, para ser liquidado em seis prestações iguais. a. Calcular o saldo devedor no 5º período; PV t = PMT . [ (1 + i) n – t – 1 ] (1 + i) n – t . i b. Calcular o valor da parcela de juros do 5º período; J t = i x PV t – 1 c. Calcular o valor da parcela de amortização no 5º período. A t = A 1 .(1 + i) t – 1 7.3 Sistema de Amortização Constante (SAC). Consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, dentro do conceito de termos vencidos. Amortização constante ÷ n PVo A = LISTA DE EXERCÍCIOS V. 1. Uma geladeira no valor de $ 1.400,00 é financiada pela Tabela Price em 4 parcelas, sem entrada. Encontrar o valor da prestação mensal e as parcelas de juros e amortização do capital de cada período, sabendo que a taxa de financiamento é de 9% ao mês. 2. Uma pessoa adquiriu de uma construtora um apartamento no valor de R$ 1.500.000,00 pagando 20% de entrada. O restante foi financiado a 3% ao mês, para 60 ser amortizado em 36 meses, segundo o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price). Indaga-se: a) Qual o valor da parcela de juros referente à 18ª prestação? b) Qual o saldo devedor após o pagamento da 24ª prestação? c) Qual o valor da parcela de amortização referente a 30ª prestação? 3. Montar o plano de amortização da 1ª questão de acordo com Sistema de Amortização Constante, comparar os dois sistemas, indicar a sua preferência caso você precise contrair a dívida para a compra do bem referido e o por que? UNIDADE VIII Análise de Fluxo de Caixa e Análise de Investimentos Objetivos: Conceituar fluxo de caixa. Identificar, com base no cálculo do valor presente líquido e de taxa interna de retorno, o melhor investimento. O método de fluxo de caixa pode advir de várias operações, algumas delas como: financeiras, caixa de empresas, investimentos, projetos, etc. Em um conceito geral, fluxo de caixa (cash flow) é denominado como uma série de operações de entrada e saída de dinheiro em um período longo de tempo. Tem importância, pois desse modo permite que a empresa fique a par de sua rentabilidade e da situação econômica em que se encontra e suas possibilidades futuras. Porém, não pode ser confundida com o lucro contábil, uma vez que este pode sofrer mudanças sem que afete o fluxo de caixa. Fluxos de caixas não são sinônimos de lucros contábeis, pois podem ocorrer mudanças no lucro contábil sem que haja mudança correspondente nos fluxos de caixa. Eles são a principal matéria- prima para estimar o valor de uma empresa, medir a rentabilidade de um projeto de investimento, planejar as operações ou estabelecer a capacidade de pagamento de uma dívida. (Samanez, Carlos. p.223, 2007) 61 Atualmente o sentido de fluxo de caixa deve ser pensado de forma mais ampla, uma vez que os pagamentos, em um mundo globalizado como o que vivemos, estão sendo feitos via internet, e desse modo o movimento da moeda não passa necessariamente pelo caixa. Assim, faz-se necessária a inclusão de recebimentos e pagamentos na análise. O resultado de tais análises é interpretado da seguinte maneira: se o saldo for positivo, significa que a empresa tem disponibilidade econômica, se for negativa, significa que a empresa está tendo gastos a mais e deve se esforçar para aumentar a entrada de moeda. Os momentos econômicos modernos de concorrência de mercado exigem das empresas maior eficiência na gestão financeira de seus recursos, não cabendo indecisões sobre o que fazer com eles. Sabidamente, uma boa gestão dos recursos financeiros reduz substancialmente a necessidade de capital de giro, promovendo maiores lucros pela redução principalmente das despesas financeiras. Em verdade, a atividade financeira de uma empresa requer acompanhamento permanente de seus resultados, de maneira a avaliar seu desempenho, bem como proceder aos ajustes e correções necessários. O objetivo básico da função financeira é prover a empresa de recursos de caixa suficientes de modo a respeitar os vários compromissos assumidos e propiciar a maximização da riqueza. É neste contexto, que segundo ASSAF NETO (2002), se destaca o fluxo de caixa como um instrumento que possibilita o planejamento e o controle dos recursos financeiros de uma empresa. Gerencialmente, é indispensável ainda em todo o processo de tomada de decisões financeiras. A análise de fluxo de caixa é considerada por muitos como o principal objetivo da matemática financeira. Contribui para a visualização de soluções do conflito básico da administração financeira que se resume no conhecido dilema risco x retorno. O fluxo de caixa de um investimento, empréstimo ou financiamento, ou mesmo de uma empresa, é o nome dado ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. É representado geralmente por diagramas, quadros e tabelas. No caso de um diagrama, é constituído por um eixo horizontal (linha do tempo), tendo abaixo desta as saídas da caixa e acima as entradas, como nos quadros a seguir. 62 Figura 1 Diagrama de Fluxo de caixa com valores Os métodos de avaliação de fluxo de caixa mais conhecidos e largamente utilizados nas análises de aplicações financeiras e de projetos de investimentos são os seguintes: VPL – Valor presente líquido = NPV – Net present value TIR – Taxa interna de retorno = IRR - Internal rate return ( ) ( ) ( ) ( ) FCo i FC i FC i FC FCo i FCj NPV VPL n j n j ÷ + + ÷ ÷ ÷ = + + + = ÷ + = = ¿ = 1 1 1 1 2 2 1 1 1 O VPL = NPV é a soma das entradas e saídas, descapitalizadas, uma a uma, até o momento zero. 63 Quando o VPL é positivo (VPL > 0), significa que o investimento deverá ser realizado, pois a taxa efetiva de retorno é maior que a taxa mínima fixada. Quando o VPL é negativo (VPL < 0), significa que o investimento não deverá ser realizado, pois a taxa efetiva de retorno é menor que a taxa mínima fixada. A taxa i recebe diferentes denominações, tais como, taxa mínima de atratividade, taxa de retorno, custo de oportunidade, taxa desconto e custo de capital, pode ser entendida como aquela que deverá proporcionar rendimento, no mínimo, equivalente à rentabilidade das aplicações correntes e de pouco risco (MERCHEDE, 2001). 64 Alguns autores ressaltam que a caixa de fluxo possui três dimensões de compreensão: 1ª O fluxo de caixa passado: é a análise de caixa que foi realizado anteriormente; 2ª O fluxo de caixa previsto: é a análise baseada para fazer previsões, ou seja, que se refere ao futuro fluxo de caixa; 3º Faz uso da caixa de fluxo passada para fazer reajustes nos usos futuros. Cabe ao administrador da caixa usar essas três dimensões como ponto de comparação e analisar quais as melhores opções financeiras e econômicas para a empresa, corrigindo erros anteriores e melhorando a entrada e saída de dinheiro. Embora o manejo com as interpretações dessa análise possam ser adversas. Nem sempre quando a empresa tem lucro significa que o caixa fechou em alta. Por exemplo, pode haver períodos em que o caixa tenha diminuído. Esse fato ocorre por três motivos principais: a empresa pode ter usado os lucros obtidos no período para obter bens permanentes; “o lucro obtido na DRE tem como base o chamado regime de competência contábil, que considera despesas que 65 foram incorridas e não foram pagas e receitas que não foram recebidas” (Silva, José Pereira, p. 236) e por fim, itens que são verificados como despesas e receitas e não afetam o resultado do caixa. 8.1 Taxa Interna De Retorno A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor, presente de um ou mais recebimentos (entrada de caixa), ou é a taxa que torna nulo o VPL de um fluxo de caixa. 66 67 68 69 70 8.2 Lista de exercícios VI. Assunto: Métodos de Avaliação de Fluxos de Caixa; Valor Presente Líquido; Taxa interna de Retorno. 1 – Uma empresa industrial está analisando a conveniência de adquirir equipamentos para a montagem de mais de uma unidade de produção. O valor desses equipamentos é de $ 500 mil, com vida útil prevista para dez anos e valor de revenda estimado em $ 25 mil no final desse prazo. As receitas líquidas anuais (não considerando as depreciações) geradas por esse investimento adicional são estimadas em valores não inflacionados, em $ 200 mil por ano, durante os primeiros dois anos; $ 210 mil por ano, nos três anos seguintes; $ 95 mil, no 6º ano; $ 195 mil, para os três seguintes e $ 180 mil para o décimo. No final do 6º ano de uso, está prevista uma reforma geral no equipamento no valor de $ 105 mil, despesa essa não considerada na determinação da receita líquida estimada para esse ano. Sabendo-se que a empresa só fará esse investimento se a taxa de retorno for no mínimo de 30% ao ano, analisar se a compra desses equipamentos é ou não aconselhável. 2 – Um banco credita R$ 180.530,00 na conta de um cliente, referente ao desconto de três duplicatas de valores: $ 52.600,00, $ 63.400,00 e $ 93.570,00, com prazos de 42, 57 e 85 dias respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros cobrada nessa operação, calculada de acordo com o regime de capitalização composta. R = 7,086% ª m. 3 – Uma pequena indústria pretende adquirir equipamentos no valor de US$ 55.000, que deverão proporcionar receitas líquidas de US$ 15.500, no primeiro ano, US$ 18.800 no segundo, US$ 17.200 nos 3º, 4º e 5º anos, e US$ 13.500 no 6º ano. Sabendo-se que o valor de revenda dos equipamentos no final do 6º ano é estimado em US$ 9.000, e que a empresa somente fará tal aquisição se a taxa efetiva de retorno for superior a uma taxa mínima estabelecida, verificar qual a decisão da empresa para as taxas de retorno de 21% e 25%. Utilizar o conceito de valor presente líquido. R = para uma taxa mínima de 21% a empresa comprará os equipamentos, visto que VPL = 2.183,99; para 25%, como VPL = -3.182,14 (negativo), a compra não seria efetivada. 4 – Um empréstimo de $ 1.180.000,00 deverá ser liquidado em cinco prestações mensais e consecutivas de $ 220.000,00, $ 250.000,00, $ 290.000,00, $ 315.000,00 e $ 350.000,00, 71 respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros (TIR) cobrada nessa operação. R = 6,13% ao mês. 5 – Um apartamento está sendo oferecido por $ 450 mil à vista ou $ 150 mil de entrada mais cinco prestações mensais e consecutivas de $ 30 mil, mais sete mensais seguintes de $ 50 mil. Determinar a taxa de juros (TIR) implícita nesse plano. R = 7,83% ao mês. 8.3 Lista de exercícios – VII. Assunto: Exercícios sobre todas as unidades trabalhadas. 1. Qual é a taxa equivalente mensal, de 42%ao ano capitalizado trimestralmente? R= 3,38%ªm.. 2. Qual é a taxa efetiva anual, de 24% ao semestre capitalizada mensalmente? R= 60,10%ªa.. 3. Uma empresa planeja depositar R$ 100.000,00 em um fundo no fim de cada ano, durante os próximos três anos. Se o fundo paga uma taxa de juros de 6% ao ano, com capitalização quadrimestral, quanto à empresa terá no fim do sexto ano? R= R$ 380.920,27. 4. Uma pessoa vende um carro por R$ 20.000,00 a vista. O mesmo carro pode também ser negociado a prazo nas seguintes condições: a) Uma entrada de R$ 4.000,00; b) 12 prestações mensais iguais de R$ 1.500,00; c) 02 prestações semestrais (a primeira aos 6 meses e a segunda em 12 meses) de R$ 3.000,00 cada uma. d) Qual a taxa de juros que está sendo considerada na compra a prazo, ou seja, a taxa de retorno do vendedor? R= 6,19% ªm 5. O Banco X está anunciando uma aplicação, para um prazo de 4 meses, que rende 39% ao ano. O Banco Y anuncia uma outra operação, pelo mesmo prazo do Banco X, com taxas de juros de 42% ao ano. Pede-se: 72 a) Se a aplicação oferecida pelo Banco X é feita com capitalização mensal e são deduzidos, na data do resgate do título, impostos de 25% sobre o ganho nominal da operação, qual é a taxa de juros efetiva anual obtida? R= 33,96% ªa b) Se a operação do Banco Y a capitalização é bimestral e na data do resgate são deduzidos impostos de 4% sobre o valor do resgate, qual é a taxa de juros efetiva anual da operação? R= 32,78% ªa 6. Certa quantia foi aplicada à taxa de juros compostos de 12 % ao mês por 5 meses. O montante obtido foi reaplicado por 4 meses à taxa de juros compostos de 14% ao mês. Se o valor obtido ao final da segunda aplicação foi de R$ 89.295,75, pede-se: a) Qual foi o capital inicialmente aplicado? R = R$ 30.000,00. b) Qual foi a taxa mensal equivalente obtida? R = 12,884%ª m. c) Se na data do segundo resgate fosse descontado um imposto de 6% sobre o ganho total obtido, qual seria a rentabilidade da operação em taxa mensal? R = 12,376%ª m. 7. Apliquei determinada quantia por 5 meses à taxa de juros de 48%ªª com capitalização mensal. O montante obtido foi reaplicado por 3 meses à taxa de juros de 5% ªm. Sabendo-se que ao final da segunda aplicação retirei o valor de $ 14.084,28, pede-se: a) Qual foi o capital inicialmente aplicado? R = $ 10.000,00 b) Qual foi a taxa média mensal efetiva obtida? R = 4,374%ª m. 8. Uma empresa necessita captar, em um certo dia, a quantia de $ 10.000,00 para atender suas necessidades de caixa. O Banco A aceitou fazer um empréstimo de $ 2.500,00 à taxa de juros de 36% ª ª com capitalização trimestral, pelo prazo de 6 meses. O Banco B aceitou fazer um empréstimo de $ 3.500 à taxa de juros de 40% ª a capitalizada semestralmente, também para pagamento após 6 meses. A empresa está negociando com o Banco C captação do saldo de que necessita, tendo sido acertado o pagamento do empréstimo no mesmo prazo dos outros dois empréstimos. Pede-se: 73 a) Considerando-se apenas os empréstimos dos Bancos A e B, qual a taxa de juros efetiva anual que está sendo paga pela empresa? R= 42,812% ª ª b) Se a direção estabeleceu que a taxa média de juro paga nas captações efetuadas no dia não pode exceder a taxa de 38%ª ª, qual deve ser a maior taxa de juros efetiva anual negociado com o Banco C? Qual o montante que liquidará este empréstimo? R: i = 30,936%ª ª; FVc = $ 4.577,09. 9. Um Banco vendeu um título por $ 4.000,00 para ser resgatado num prazo de 180 dias comprometendo-se a remunera-lo à taxa de juros de 85% ªa . Na data do resgate o banco deverá reter do comprador um imposto calculado à alíquota de 15% sobre o ganho nominal. Pede-se: a) Qual o valor bruto de resgate do título? R = $ 5.440,59 b) Qual o valor líquido a ser recebido pelo investidor? R= $ 5.224,50 c) Qual a rentabilidade líquida em taxa de juro anual obtida pelo investidor? R= 70,60%ª ª 10. Um empréstimo foi obtido pelo prazo de 5 meses à taxa de juros de 3% ao mês. Sabendo-se que esta operação está sujeita a uma tributação de 2%, pergunta-se: a) Qual é o custo efetivo da operação, em taxa ao ano, se o tributo incide sobre o principal mais juros e é cobrado na liberação do empréstimo? R= 50,83% ª a b) Se o mesmo tributo fosse cobrado junto com a liquidação de empréstimo qual seria o custo efetivo da operação? R= 49,52% ªa 11. Um Banco está praticando a taxa de juros de 20% ao ano para suas operações de empréstimos de longo prazo. Uma empresa está solicitando um empréstimo de R$ 500.000,00 para ser liquidado num prazo de 36 meses. Pede-se: a) Se as parcelas forem semestrais postecipadas, qual o valor de cada parcela? R= R$ 113.275,52. 74 b) Se as parcelas forem quadrimestrais antecipadas, qual o valor de cada parcela? R= R$69.979,22 c) Se a empresa desejar pagar, no final de cada ano, uma parcela de valor nominal igual a 10% do valor do empréstimo, e mais 36 parcelas mensais postecipadas a partir do final do 1º mês, qual o valor destas parcelas? R= R$ 14.342,11. 12. Uma pessoa foi ao Banco X e aplicou $ 10.000,00 em Certificado de Depósito Bancário (C.D.B.) pelo prazo de 45 dias, à taxa de juros de 60% ao ano. O resgate do título é feito com a dedução do Imposto de Renda de 25 % sobre o ganho nominal obtido na operação. Pede-se: a) Qual o valor do resgate líquido? R: $ 10.453,83 b) Qual a taxa de juros efetiva ao ano obtida pela pessoa? R = 42,627% 13. Uma empresa está captando, num determinado dia, recursos no valor de $ 50.000,00 e a diretoria financeira fixou que a taxa de juros não pode exceder 61% ao ano. Numa situação emergência teve que captar o valor de $ 35.000,00 à taxa de juros de 65% ao ano para liquidar ao final de 6 meses. Qual a taxa de juros que deve negociar para captar os restantes $ 15.000,00 se a liquidação desta captação ocorrer no final do 4º mês? R: 47,483% ªª. 14. Uma loja vende um aparelho de televisão por R$ 500,00 a vista ou então a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de R$ 440,00 dois meses após a compra. Calcular a taxa mensal de juros compostos do financiamento. R – 4,88 % ao mês. 15. A Fast Calçados Ltda. fez um empréstimo à taxa de 6% ao mês, com juros compostos e capitalizados mensalmente. Esse empréstimo deve ser pago em duas parcelas mensais e iguais a R$ 4.000,00, daqui a 16 e 18 meses respectivamente. Qual o valor a ser pago no 21º mês e que substitui as duas parcelas mencionadas? Resposta: R$ 10.116,97. 16. O departamento de marketing de uma empresa, estudando a viabilidade de lançamento de um novo produto, verificou, através de pesquisas de mercado, a possibilidade de uma demanda anual de 30.000 unidades desse produto, a um preço de R$ 12,00 a unidade, com um ciclo de vida de 5 anos. 75 O departamento de produção, verificando o projeto, observou que a manutenção da nova linha de produção custaria R$ 4.000,00 por ano e que um equipamento adicional no valor de R$ 300.000,00 seria necessário, tendo vida econômica também de 5 anos, valor residual de R$ 20.000,00 e um custo de manutenção de R$ 10.000,00 por ano. Os custos diretos envolvidos com a fabricação do produto ascenderiam a R$ 7,00 por unidade. A área financeira, por sua vez, manifestou a necessidade de um investimento inicial de R$ 50.000,00 a título de capital de giro, e alertou que a empresa estaria operando com uma taxa mínima de atratividade de 10% ao ano. Considerando-se, exclusivamente, o enfoque financeiro, atenda ao que se pede. a) Elabore o fluxo de caixa utilizando o diagrama a seguir: 0 1 2 3 4 5 b) O novo produto deve ser lançado? Por que? c) Verifique, ainda, a sensibilidade do projeto para a hipótese de uma variação negativa do preço de venda do produto em 15% e positiva de custos diretos de 10%. - Sugestão: use o método do valor presente líquido. 17. Um investidor está procurando um sócio para abrir uma franquia. Os custos dos investimentos são os seguintes: Pagamento de royalty na data zero de R$ 40.000,00; Pagamento de luvas na data zero de R$ 40.000,00; 76 Pagamento de royalties anuais de 10% do faturamento; Custos anuais de 50% do faturamento. A previsão de faturamento anual é a seguinte: 1 – R$ 35.000,00 4 – R$ 90.000,00 7 – R$ 50.000,00 2 – R$ 55.000,00 5 – R$ 75.000,00 8 – R$ 35.000,00 3 – R$ 80.000,00 6 – R$ 65.000,00 Sabendo que não há venda dos equipamentos, pagamento de impostos nem incidência de depreciação, analisar pelo método do valor presente líquido a viabilidade deste empreendimento. Utilizar a taxa de oportunidade de 22,5% ao ano. Resposta: VPL = R$ 5.645,17 (projeto com VPL > 0 portanto é aceito). 77 FUNÇÕES FINANCEIRAS Esta é uma calculadora HP-12C. A partir de agora você irá utilizá-la para realizar todos os seus cálculos, então, vamos verificar qual é a função de cada tecla? 78 79 80 81 82 83 84 Para Juros Simples: f INT interest Valor dos Juros ou valor dos rendimentos Para Juros Composto e Rendas: n number Número de períodos Tempo i interest Taxa de juros Taxa de desconto PV Presente value Valor Presente Capital, valor aplicado FV Future Value Valor Futuro Montante PMT payment pagamento Prestação, valor mensal, deposito mensal g BEG begin começo g END fim final f AMORT amortization amortização Para Fluxo de Caixa: g CFo Cash Flow 0 Fluxo de Caixa 0 g CFj Cash Flow j Fluxo de Caixa j ou i g NJ Number j Número j (de pagamento iguais) f NPV Net present value Valor presente líquido f IRR Internal rate of return Taxa interna de retorno Para Datas: g DATE date data g D.MY Day month year Dia mês ano g M.DY Month day year Mês dia ano g ΔDYS Δ days Diferença de dias 85 BIBLIOGRAFIA: - Administração do Capital de giro. – 3. ed. – São Paulo: Atlas, 2002. - Mercado financeiro. – 3 ed. – São Paulo: Atlas, 2000. - Aplicada e Análise de Investimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001. - ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002. - AYRES, Frank. Matematica financeira: resumo da teoria, 500 problemas resolvidos . São Paulo: McGraw-Hill, 1971. - BANCO DO BRASIL, Apostila de Treinamento, 2000. - BRADESCO, Apostila de Treinamento. 2002. - BRUNI, Adriano Leal, FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP12C e EXCEL. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2009. - BRUNI, Adriano Leal. Matemática Financeira: com HP 12C e Excel. - 2 ed. - São Paulo: Atlas, 2003. – (Série Finanças na Prática). - CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimentos: matemática financeira, engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 8. ed. São Paulo: R. dos Tribunais, 1998. - CASAROTTO FILHO, Nelson e KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de Investimentos. 9 a edição Editora Atlas. São Paulo 2.000. - CASTELO BRANCO, Anisio Costa. Matematica financeira aplicada: com valiosos - CRESPO, A. A. Matemática Comercial Financeira Fácil. 13. ed. São Paulo: Saraiva, 1999. - Exemplos de aplicaçao do metodo algebrico, de calculadora financeira e do programa microsoft excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. - FILHO, Ademar Campos. Matemática Financeira: com uso das calculadoras HP 12C, HP19BII, HP 17BII e HP 10B. São Paulo: Atlas, 2000. - financeiros. São Paulo: Atlas, 2003. - FRANCISCO, Walter de Matemática financeira. São Paulo: ed., McGraw- Hill do Brasil, 1979. - HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. São Paulo: Saraiva, 2001. - HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia Econômica. São Paulo, Editora Atlas. 86 - IEZZI, G.; HAZZAN, S.; DEGENSZAJN, D. Fundamentos de Matemática Elementar, 11: matemática comercial, matemática financeira, estatística descritiva. 1. ed. São Paulo: Atual, 2004. - Investimentos. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. - KUHNEN, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinaldo. Matemática Financeira - LAPPONI, J. C. Matemática Financeira. São Paulo: Lapponi Treinamento e Editora Ltda, 1998. - LEAL, Ricardo P.C., COSTA Newton C. A. LEMGRUBER, Eduardo (Organizadores). Finanças corporativas. São Paulo: Atlas, 2001. - MATHIAS, W. Franco; GOMES, J. Maria. Matemática financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2004. - MATHIAS, Washington Franco e GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São Paulo. Atlas, 1989. - MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira: para usuários do Excel e da calculadora HP12C. – São Paulo: Atlas, 2001. - NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo. Editora Atlas, 2000. - PUCCINI, A. de L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2004. - PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 6 a edição. Editora Saraiva – 1999. - RANGEL, A. S.; SANTOS, J. C. S; BUENO, R. L. S.. Matemática dos mercados - SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações a análise de Investimentos - TOSI, Armando José. Matemática Financeira com ênfase em produtos bancários.- São Paulo: Atlas, 2003. - VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2001. - VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. – 7. ed. – São Paulo: Atlas, 2000. - VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2006.