APOSTILA DE MATEMÁTICA APLICADA

MATEMÁTICA APLICADAM MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 2 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS..............................................................................................................5 1.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ..................................................................................6 1.1.1 - Adição e Subtração de Números Inteiros ......................................................................7 1.1.2 - Multiplicação e Divisão de Números Inteiros ................................................................7 1.1.3 - Potenciação de Números Inteiros .....................................................................................7 1.1.4 - Radiciação de Números Inteiros ......................................................................................7 1.1.5 - Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros.........................................8 1.2 - FRAÇÕES....................................................................................................................................9 1.2.1 - O significado de uma fração............................................................................................9 1.2.2 - Como se lê uma fração ..................................................................................................9 1.2.3 - Como podem ser as frações ........................................................................................10 1.2.4 - Simplificando Frações ......................................................................................................10 1.2.5 - Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador..............................................................10 1.2.6 - Adição e Subtração de Frações...................................................................................11 1.2.6.1 - Denominadores iguais.....................................................................................................11 1.2.6.2 - Denominadores diferentes ..............................................................................................11 1.2.7 - Multiplicação e Divisão de Frações..............................................................................11 1.2.7.1 - Multiplicação....................................................................................................................11 1.2.8 - Potenciação e radiciação de números fracionários .....................................................12 1.2.9 - Fração Geratriz.................................................................................................................12 1.2.10 - Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica ......................................12 1.2.10.1 - Dízima periódica simples ..............................................................................................12 1.2.10.2 - Dízima periódica composta...........................................................................................13 1.3 - NÚMEROS DECIMAIS..............................................................................................................13 1.3.1 - Fração Decimal ...............................................................................................................13 1.3.2 - Lendo número decimais.................................................................................................13 1.3.3 - Transformando uma fração decimal em número decimal:.........................................13 1.3.4 – Propriedade .....................................................................................................................13 1.3.5 - Operações com números Decimais ..............................................................................14 1.3.5.1 – Adição.............................................................................................................................14 1.3.5.2 – Subtração .......................................................................................................................14 1.3.5.3 – Multiplicação...................................................................................................................14 1.3.5.4 - Divisão.............................................................................................................................15 1.3.5.5 - Potenciação.....................................................................................................................15 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................18 2 - EQUAÇÕES......................................................................................................................................24 2.1 - EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL...................................................................24 2.1.1 - Raiz da equação ............................................................................................................25 2.1.2 - Resolvendo Equações do 1º grau................................................................................25 2.1.3 - Resolvendo equações pelo método prático.................................................................26 2.1.4 - Resolvendo Problemas do 1º grau...............................................................................27 2.2 - EQUAÇÕES DO 2º GRAU ........................................................................................................30 2.2.1 - Equações do 2º grau completas e incompletas ...........................................................30 2.2.2 - Raízes de uma equação do 2º grau............................................................................30 2.2.3 - Resolvendo Equações do 2º Grau...............................................................................31 2.2.3.1 - Equações Incompletas ax 2 – bx = 0, (c = 0) ..................................................................31 2.2.3.2 - Equações Completas ......................................................................................................32 2.3 - SISTEMAS DO 1º GRAU ..........................................................................................................36 2.3.1 - Resolvendo sistemas do 1º grau...................................................................................36 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................39 3 – MATEMÁTICA COMERCIAL ...........................................................................................................43 3.1 - RAZÃO.......................................................................................................................................43 3.1.1 - Lendo Razões .................................................................................................................44 3.2 - PROPORÇÃO............................................................................................................................45 3.2.1 - Propriedade Fundamental das Proporções ..................................................................45 3.2.2 - Trabalhando com Proporção...........................................................................................45 3.2.3 - Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais ..............................................45 3.2.4 - Grandezas Diretamente Proporcionais ..........................................................................46 3.2.5 - Grandezas inversamente proporcionais ..........................................................................46 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 3 3.3 - REGRA DE TRÊS .....................................................................................................................47 3.3.1 - Regra de três simples ....................................................................................................47 3.3.2 - Regra de Três Composta..............................................................................................48 3.4 - PORCENTAGEM.......................................................................................................................50 exercícios complementares ...............................................................................................................53 4 – CONCEITOS EM GEOMETRIA.......................................................................................................56 4.1 - PONTO, RETA E PLANO..........................................................................................................56 4.2 - SEGMENTO DE RETA..............................................................................................................57 4.3 - SEMI-RETA ...............................................................................................................................57 4.4 – TRIÂNGULOS...........................................................................................................................57 4.4.1 - Classificando os triângulos quanto aos lados.............................................................58 4.4.2 - Classificando os triângulos quanto aos ângulos.........................................................58 4.5 - TIPOS DE RETAS.....................................................................................................................59 4.6 - FIGURAS GEOMÉTRICA..........................................................................................................60 4.7 - POLÍGONOS .............................................................................................................................60 4.7.1 - Tipos de polígonos .........................................................................................................60 4.7.2 - Partes de um Polígono..................................................................................................61 4.7.3 - Classificação dos Polígonos ...........................................................................................61 4.8 - CORDA, DIÂMETRO E RAIO....................................................................................................62 4.9 – SEMICIRCUNFERÊNCIA.........................................................................................................62 4.10 - CÍRCULO.................................................................................................................................62 5 - MEDIDAS (Transformação de UnidadeS) ........................................................................................63 5.1 - MEDINDO COMPRIMENTO .....................................................................................................63 5.2 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO..........................................................................63 5.3 - TRANSFORMANDO UNIDADES..............................................................................................63 5.4 - MEDINDO SUPERFÍCIES.........................................................................................................64 5.5- UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE..................................................................................66 5.6 - QUADRO DE UNIDADES USADAS PARA MEDIR SUPERFÍCIES.........................................66 5.7 - LENDO UNIDADES DE ÁREA..................................................................................................66 5.8 - TRANSFORMANDO UNIDADES..............................................................................................66 5.9 - VOLUME....................................................................................................................................66 5.10 - MEDINDO VOLUME................................................................................................................66 5.11 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO ........................................................67 5.12 - LENDO UNIDADES DE VOLUME...........................................................................................67 5.13 - TRANSFORMANDO UNIDADES............................................................................................67 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................68 6 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO...............................................................70 6.1 - TEOREMA DE PITÁGORAS.....................................................................................................71 7 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO........................................................................73 7.1 - Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo ............................................................73 8 - ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS.................................................................................75 8.1 – ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS........................................................................75 8.1.1 – Área do quadrado..........................................................................................................75 8.1.2– Área do retângulo ............................................................................................................75 8.1.3 – Área do triângulo ...........................................................................................................75 8.1.4 – Área do paralelogramo..................................................................................................75 8.1.5 – Área do trapézio ............................................................................................................76 8.1.6 – Área do losango ............................................................................................................76 8.1.7 – Área do círculo...............................................................................................................76 8.2 - CALCULANDO ÁREAS.............................................................................................................78 8.3 - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA................................................................................79 8.4 – CALCULANDO π.....................................................................................................................79 8.5 - CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA ..................................................79 8.6 - CALCULANDO A ÁREA DE UM CÍRCULO..............................................................................80 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................81 9.0 VOLUME ..........................................................................................................................................82 9.1 – VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS .......................................................82 9.1.1 – Cubo ..................................................................................................................................82 9.1.2 - Paralelepípedo Retângulo.................................................................................................82 9.1.3 – Cilindro...............................................................................................................................82 M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 4 9.1.4 – Prisma................................................................................................................................82 9.1.5 – Pirâmide.............................................................................................................................83 9.1.6 – Cone ..................................................................................................................................83 9.1.7 - Esfera .................................................................................................................................83 9.2 - CALCULANDO VOLUMES........................................................................................................84 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................85 BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................................87 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 5 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS Números naturais N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } Números Inteiros Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... } Obs.: Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z. Números Racionais São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são números inteiros quaisquer, com b diferente de 0. Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 } Assim, como exemplo, podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 , etc... Números decimais exatos são racionais, pois: 0,1 = 1/10 2,3 = 23/10 Números decimais periódicos são racionais. 0,1111... = 1/9 0,3232 ...= 32/99 2,3333 ...= 21/9 0,2111 ...= 19/90 Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1. Números Irracionais São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b sendo números inteiros e b diferente de 0. ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ≠ ∈ ≠ = 0 , / b Z a b a x I Alguns números irracionais 1415926 , 3 = π 2 = 1,4142135 3 = 1,7320508 e = 2,7182818 São compostos por dízimas infinitas não periódicas. Números Reais É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 6 1.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Você viu anteriormente, o Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N. Ob- servou ainda que o conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z. O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,...}, este conjunto é infinito, ou seja, não tem fim. Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos: a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ? Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros. Vamos conhecer este conjunto: O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,....}. Observe que este conjunto é formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar, que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo. No seu dia a dia, você já dever ter deparado com números inteiros. Quando se tem um crédi- to, tem um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que es- tão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos. Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles es- tão crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante. Compare alguns números inteiros. a) -5 > -10 b) +8 > -1000 c) -1 > -200.000 d) -200 < 0 e) -234 < -1 f) +2 > -1 Lembrete: 1º: Zero é maior que qualquer número negativo. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 7 2º: Um é o maior número negativo. 3º: Zero é menor que qualquer número positivo. 4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo. 1.1.1 - Adição e Subtração de Números Inteiros Exemplos: a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tire os parentes e conserve os sinais dos números) b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tire os parentes e conserve os sinais dos números) c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tire os parentes e conserve os sinais dos números) d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = - 10 (tire os parentes e troque o sinal do número que estava depois da subtração) e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) Lembrete: Para facilitar o entendimento, efetue estas operações pensando em débito (número negativo) e crédito (número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma dívida de 5 reais faço mais uma dívida de 8, eu fico devendo treze ou seja -13. 1.1.2 - Multiplicação e Divisão de Números Inteiros a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +) e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +) b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +) f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -) c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -) g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +) d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -) h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +) 1.1.3 - Potenciação de Números Inteiros Exemplos: a) (+3) 2 = (+3)x(+3) = + 9 c) (-8) 0 = 1 b) (-2) 5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32 d)(18) 1 = 18 1.1.4 - Radiciação de Números Inteiros Exemplos: M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 8 a) 25 =5 (lembre-se que 5x5 = 25) b) 49 = 7 (lembre-se que 7x7 = 49) c) 9 − = (lembre-se que não existe raiz quadrada de número inteiro negativo) d) - 16 = -4 ( Observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim, existe raiz real) e) 3 8 − =-2 ( lembre-se que (-2)x(-2)x(-2)= -8, neste caso é raiz cúbica assim existe raiz real) f) 3 8 = 2 ( lembre-se que (2)x(2)x(2) = 8) 1.1.5 - Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6] = 3 - 2 + 4 - 5 – 6 = 7 – 13 = - 6 Primeiro elimine os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados, logo depois elimine os colchetes, como tam- bém tinha um sinal de menos todos os nú- meros saíram com os sinais trocados, some os positivo e o negativos. b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]} = {- 5 - 8 + 15 - 3} = - 5 - 8 + 15 - 3 = - 16 + 15 = - 1 Primeiro resolva dentro do parênteses, depois multiplique o resultado por 3, logo após elimine os colchetes, como antes deste tinha um sinal de mais, todo os números saíram sem trocar sinal, elimine também as chaves, observe que também não teve troca de sinais pelo mesmo motivo anterior, junte positivo e negativos. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 9 1.2 - FRAÇÕES O símbolo b a , significa a : b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: b a de fração - a de numerador e b de denominador. Se a é múltiplo de b, então a fração b a representa um número natural. Veja o exemplo: A fração 3 12 é igual a 12:3. neste caso, 12 é o numerador e 3 é o denominador. Efetuando a divisão de 12 por 3, obtêm-se o quociente 4. assim, 3 12 é um número natural e 12 é múl- tiplo de 3. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então, surgiu o conceito de número fracionário. 1.2.1 - O significado de uma fração Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, considere uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Aline comeu 7 4 de um bolo. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, e que A- line teria comido 4 partes: Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline, e a parte branca é a parte que sobrou do bolo. 1.2.2 - Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 10 1/2 Um meio 2/5 Dois quintos 1/3 Um terço 4/7 Quatro sétimos 1/4 Um quarto 7/8 Sete oitavos 1/5 Um quinto 12/9 Doze nonos 1/6 Um sexto 1/10 Um décimo 1/7 Um sétimo 1/100 Um centésimo 1/8 Um oitavo 1/1000 Um milésimo 1/9 Um nono 5/1000 Cinco milésimos 1.2.3 - Como podem ser as frações Frações Próprias 90 50 , 8 5 , 5 1 Frações Impróprias 4 10 , 7 10 , 3 5 Frações Mistas 2 1 1 , 3 2 5 , 3 5 1 1.2.4 - Simplificando Frações Quando multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo nú- mero, esta não se altera. São encontradas as frações equivalentes a fração dada. Exemplos: 3/4 = 6/8 - observe que numerador e denominador foram multiplicados por 2. 12/18 = 4/6 - observe que numerador e denominador foram divididos por 3. 1.2.5 - Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador Exemplo: 2/3, 5/4 e 7/2 - Basta determinar o m.m.c entre os denominadores, que neste caso é 12. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 11 8/12, 15/12 e 42/12 - para obter, pega-se o m.m.c, dividi-se pelo denominador, pega-se o resultado e multiplica-se pelo numerador. 1.2.6 - Adição e Subtração de Frações 1.2.6.1 - Denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Exemplos: 4/5 + 3/5 = 7/5 8/15 - 7/15 = 1/15 1.2.6.2 - Denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, deve-se reduzir as frações ao me- nor denominador comum (achar o mmc) e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas. Para obter as frações equivalentes, deve-se determinar o m.m.c entre os denominadores destas frações. Exemplo: 5/4 + 1/6 = 15/12 + 2/12 = 17/12 Obtendo o m.m.c dos denominadores tem-se m.m.c (4,6) = 12. 1.2.7 - Multiplicação e Divisão de Frações 1.2.7.1 - Multiplicação Na multiplicação de números fracionários, deve-se multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador. Exemplo: 3/5 x 3/6 = 9/30 1.2.7.2 - Divisão Na divisão de números fracionários, deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplo: 2/5 : 3/7 = 2/5 x 7/3 = 14/15 M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 12 0 1.2.8 - Potenciação e radiciação de números fracionários 1.2.8.1 - Potenciação Na potenciação, quando se eleva um número fracionário a um determinado expoente, está elevando o numerador e o denominador a esse expoente: Exemplos: 9 4 3 2 3 2 3 2 2 = = | ¹ | \ | x 64 27 4 3 4 3 4 3 4 3 3 = = | ¹ | \ | x x 1 9 5 0 = | ¹ | \ | 1.2.8.2 - Radiciação Na radiciação, quando aplica-se a raiz a um número fracionário, está aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador: 4 3 16 9 = 9 5 81 25 = 3 2 27 8 = 1.2.9 - Fração Geratriz Conforme estudado, todo número racional (Conjunto Q), resulta da divisão de dois número inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro ou decimal. Convém lembrar que se tem decimais exato. Exemplos: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689 E também decimais não exatos (dízima periódica) Exemplo: 2,555555.... ; 45,252525....; 0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999.... Você deve saber, que em uma dízima periódica a parte decimal que repete, recebe o nome de período, a parte que não repete é chamada de ante-período, a parte não decimal é a parte inteira. 1.2.10 - Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica 1.2.10.1 - Dízima periódica simples Deve-se adicionar a parte decimal à parte inteira. Deve-se lembrar que a parte decimal será transformada em uma fração, cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um número formado por tantos noves quantos sãos os algarismos do período. Exemplos: _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 13 0,2...= 0+ 9 2 9 2 0 9 2 = + = 0,252525...=0+ 99 25 99 25 0 99 25 = + = 1,444...=1+ 9 13 9 4 9 9 4 = + = 1.2.10.2 - Dízima periódica composta Deve-se adicionar à parte inteira uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período, seguindo de um período, menos o ante-período, e cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto são os algarismos do ante- período. Exemplos: Período = 47 ( implica em dois noves) ante-período = 1 ( implica em um 0) 2,1474747....=2+ 495 1063 495 73 990 495 73 2 2 990 2 146 2 990 1 147 = + = + = ÷ ÷ + = − 1.3 - NÚMEROS DECIMAIS 1.3.1 - Fração Decimal São frações em que o denominador é uma potência de 10. Exemplos: 3/10, 3/1000, 3/10000 1.3.2 - Lendo número decimais 0,25 = Vinte e cinco centésimos 2,24 = Dois inteiros e vinte e quatro centésimos 12,002 = Doze inteiros e dois milésimos 0,0002 = Dois décimos de milésimos 1.3.3 - Transformando uma fração decimal em número decimal: 25/100 = 0,25 13/10 = 1,3 121/10 = 12,1 325/100 = 3,25 45/1000 = 0,045 4225/10 = 422,5 Observe: Denominador 10 um número depois da vírgula, denominador 100 dois números depois da vírgula, denominador 1000 três números depois da vírgula e assim por diante. O contrário seria um número depois da vírgula denominador 10, dois números depois da vír- gula denominador 100, três números depois da vírgula denominador 1000 e assim por diante. 1.3.4 – Propriedade Um número decimal não se altera ao acrescentarmos zeros a direita do seu último número. M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 14 Exemplos: 0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0,40000 0,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0,230000 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000, 1,20000 1.3.5 - Operações com números Decimais 1.3.5.1 – Adição Na adição de números decimais devemos somar os números de mesma ordem de unidades, décimo com décimo, centésimo com centésimo. Antes de iniciar a adição, deve-se colocar vírgula debaixo de vírgula. Exemplos: 0,3 + 0,81 = 1,42 + 2,03= 7,4 + 1,23 + 3,122= 0,30 + 0,81 1,11 1,42 +2,03 3,43 7,400 1,230 +3,1 1 2 11,742 1.3.5.2 – Subtração A subtração de números decimais é efetuada da mesma forma que a adição. Exemplos: 4,4 - 1,21= 2,21 - 1,211= 9,1 - 4,32= 4,40 - 1,21 3,19 2,210 -1,211 0,999 9,100 -4,323 4,777 1.3.5.3 – Multiplicação Efetua-se a multiplicação normalmente. Em seguida, contam-se as casas decimais de cada número e o produto fica com o número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores. 4,21 x 2,1= 0,23x1,42= 0,42x1,2= 4,21 X2,1 421 +842 = 8,841 0,23 X1,42 046 +096 +023 = 0,3266 0,42 x1,2 084 +042 = 0,504 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 15 1.3.5.4 - Divisão Na divisão de números decimais, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de casas decimais. Deve-se igualá-las antes de começar a divisão. Igualadas as casas decimais, e- limine a vírgula e afetue a divisão normalmente. Exemplos: 11,7 2,34 11,70 2,34 Iguala-se o número de casas decimais. 1170 234 Observe que, a vírgula foi eliminada e se efetuou a divisão. Resto igual a zero divisão exata 1.3.5.5 - Potenciação Efetue da mesma forma com os números naturais. Exemplos: (0,2)² = 0,2 x 0,2 = 0,04 (1,23) 0 = 1 (1,2) ²= 1,2 x 1,2 = 1,44 (23,5) 1 = 23,5 M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 16 Exercícios Números inteiros: 1) Resolva as expressões: a) ( ) ( ) = − + − + 3 2 2 2 3 5 b) ( ) ( ) = + − + − − − 3 : 15 1 3 2 5 2 4 c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + + + − 3 4 5 11 2 : 16 9 : 3 2 . 1 d) ( ) ( ) = + − + − + − + − 4 2 11 10 7 2 3 8 5 Números Decimais e frações 1) Resolva as expressões: a) = − + − 2 , 2 4 , 4 1 , 1 3 , 3 b) = + − + 5 , 7 7 3 5 , 12 c) ( )( ) = + − 2 , 11 8 , 4 7 , 0 8 , 15 d) ( ) ( ) 03 , 0 : 95 , 2 05 , 0 + e) = + 100 . 068 , 0 10 . 47 , 0 f) = − 10 . 5 , 18 1000 . 00132 , 0 2) Gastei 27 , 17 $ R . Se paguei com 2 notas de 00 , 10 $ R , qual deverá ser o meu troco? 3) Na hora de registrar o valor da conta que foi de 15 , 19 $ R , o comerciante trocou o 1 pelo 7 se eu paguei com 00 , 20 $ R , quanto ele deverá me devolver? 4) Transformando os números decimais em frações decimais efetue as operações: a) = + Λ Λ 5555 , 2 : 5 , 2 3333 , 0 b) = + − 12 , 5 1666 , 0 3 1 2 Λ 5) Um aluno demora 6 , 3 minutos para fazer cada uma das 20 questões de uma prova de matemática, quanto tempo levará para fazer a prova inteira? 6) Simplifique = | ¹ | \ | + + 2 3 2 1 27 8 81 25 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 17 7) Calcule: a) 3 1 de 180 laranjas b) 3 2 de 24 meses c) 5 2 de 30 homens d) o dobro de 7 5 e) o triplo de 4 1 f) a metade de 5 1 g) o dobro de 4 3 , menos 1 8) Numa receita os ingredientes são: 2 ovos, 5 1 kg de açucar, 10 1 kg de manteiga e 4 1 kg de farinha de trigo. Quanto será necessário de cada ingrediente para 2 1 2 receita? 9) Uma lata de palmito pesa 4 3 kg. Qual o peso de 8 latas. 10) Tomei no almoço metade de uma garrafa de refrigerante e no jantar tomei 3 1 do que sobrou. Que fração do líquido sobrou na garrafa? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 18 11) O tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 70 litros. O marcador mostra exatamente a metade da distância entre 2 1 e 5 3 . Quantos litros de gasolina há no tanque? 12) Resolva: a) = − + + 2 : 3 1 5 1 . 3 2 2 1 4 b) = | ¹ | \ | − + 2 2 1 5 4 : 8 2 5 : 3 2 c) = + − | ¹ | \ | − 4 5 1 5 1 : 5 4 3 2 9 4 2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Efetue as operações: a) 254,38 + 98,951 – 0,2 = b) 5,358 – 152,4 + 18,3 = c) 549,35. 245,9 + 2,03 = d) 5331,96: 0,054 – 7,014: 35 = 2) Resolva as expressões: a) 45 – {12 + [16 – (7 + 6)]- 5} = _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 19 b) 4 1 6 - 5 2 2 - 2 = c) 3 1 2 - (4 - 4 3 2 ) + 10 7 2 . (1 - 9 2 ) = d) 5 1 4 1 3 1 2 1 − − + = e) 0,333... + 0,3. 0,2 – 0,222... = f) 16 1 4 1 2 − = 3) Resolva os problemas: a) Colocar em ordem crescente as frações: 6 3 , 10 7 , 3 2 , 4 3 b) Encontrar 5 frações entre 5 1 e 4 1 M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 20 c) Quantas vezes 4 3 6 é maior que 8 1 1 ? 4) A expressão 0,45. 0,2 + 0,018: 0,09 equivale a: a) 2,9 b) 0,29 c) 0,029 d) 290 e) 29 5) Determine o valor da expressão: 2 3 1 3 1 2 1 4 4 2 , 0 2 − + + + + + a) 5 b) -7 c) 3 20 d) 5 8 e) 3 7 6) Efetuando a expressão seguinte, encontraremos: 96 , 1 2 032 , 0 03 , 0 . 52 , 1 − − a) 114,4 b) 11,44 c) 1,144 d) 2,4 e) 0,34 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 21 7) O resultado da expressão seguinte é: ( ) ( ) [ ] 2 : 4 , 5 12 , 3 03 , 0 : 12 , 0 32 , 0 + − + a) 1,6 b) 2,01 c) 0,62 d) 0,06 e) 0,04 8) O produto do número 80 pela diferença entre 2 1 5 3 e é: a) 8 b) 3 160 c) 800 d) 120 e) 3 80 9) O dobro da metade da terça parte de um número é: a) O próprio número b) O dobro do número c) A metade do numero d) A terça parte do número e) A sexta parte do numero 10) A expressão ... 333 , 1 5 1 1 3 1 3 1 1 1 1 + + + − − + é igual à: a) 3 b) 3 5 c) 5 3 d) 5 1 e) 5 M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 22 11) Você resolveu 7 5 das questões de uma prova. Deixou de resolver 12. Quantas questões tinham a prova? a) 30 b) 42 c) 28 d) 35 e) 40 12) A CST vai admitir 240 técnicos no ano de 2008. Sabendo-se que 3 1 dos técnicos deverá ter expe- riência de 5 anos, 4 1 experiência de 2 anos e os demais formados no Cedtec, qual o número de téc- nicos formados no Cedtec que a CST vai admitir? a) 140 b) 120 c) 100 d) 110 e) 80 13) A fração equivalente à 17 8 cuja soma dos termos corresponde a 225 é: a) 224 1 b) 153 72 c) 125 100 d) 72 153 e) 145 80 14) Uma jovem fez uma viajem de 24.000 quilômetros, sendo: 4 3 do percurso feito de avião, 6 1 de automóvel e o resto de moto. A fração que equivale ao percurso feito de moto é: a) 12 1 b) 3 1 c) 12 5 d) 10 4 e) 10 6 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 23 15) Thiago e Bruno vão realizar uma tarefa. Trabalhando individualmente, Thiago realiza a tarefa em 4 horas e Bruno em 6 horas. Quanto tempo levarão para realizar a mesma tarefa trabalhando juntos? a) 2 horas b) 3 horas c) 3horas e 30 minutos d) 2 horas e 24 minutos e) 2 horas e 10 minutos 16) Uma torneira enche um tanque em 3 horas e outra em 2 horas. Aberta às duas torneiras simultaneamente, em quanto tempo o tanque estará cheio? a) 72 min. b) 80 min. c) 82 min. d) 1hora e) 90 min. 17) Uma Pessoa gastou 7 2 do que possuía e depois gastou 3 1 do que sobrou, ficando ainda com R$ 300,00. Quanto vale a metade do que ele possuía? a) R$ 600,00 b) R$ 450,00 c) R$ 400,00 d) R$ 315,00 e) R$ 300,00 M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 24 2 - EQUAÇÕES 2.1 - EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. Exemplo: X + 3 = 12 - 4 É uma sentença matemática aberta; É uma igualdade Portanto, é uma equação Forma geral: ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, com a ≠ 0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equação do 1º grau) Exemplos: x - 4 = 2 + 7, (variável x) 2m + 6 = 12 - 3 ,(variável m) -2r + 3 = 31, (variável r) 5t + 3 = 2t - 1 , (variável t) 3(b - 2) = 3 + b,(variável b) 4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1º grau) 3x - 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação do 1º grau) Obs: Deve-se observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual. Conjunto Universo: Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. Represente pela letra U. Conjunto Solução: Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sen- tença verdadeira. Represente pela letra S. Exemplo: Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentença matemática _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 25 2x - 4 = 2, verdadeira. 2(0) - 4 = 2 Errado 2(2) - 4 = 2 Errado 2(3) - 4 = 2 Verdadeiro 2(6) - 4 = 2 Errado 2(8) - 4 = 2 Errado 2(9) - 4 = 2 Errado Deve-se observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3} 2.1.1 - Raiz da equação Um dado número é chamado de raiz da equação, quando este torna a igualdade verdadeira. Verificando se um dado número é raiz da equação: Exemplos: 01 - Verifique se o número 4 é raiz da equação 9a - 4 = 8 + 6a Equação 9a - 4 = 8 + 6a Substitua a por 4 9(4) - 4 = 8 + 6(4) 36 - 4 = 8 + 24 32 = 32 Então, o número 4 é raiz da equação ou seja conjunto solução. 02 - Verifique se o número - 3 é raiz da equação 2x - 3 = 3x + 2. Vamos substituir x por – 3 2(-3) - 3 = 3(-3) + 2 - 6 - 3 = - 9 + 2 - 9 = - 7 , sentença falsa – 9 é diferente de -7 (- 9 - 7). Então - 3 não é raiz da equação ou seja não é conjunto solução da equação. Observe que em todas as equações apresentadas a raiz ou o conjunto solução é o mesmo. Por esse motivo, são chamadas equações equivalentes. 2.1.2 - Resolvendo Equações do 1º grau Resolver uma equação do 1º grau em um determinado conjunto universo significa determinar a raiz ou conjunto solução dessa equação, caso exista solução. Exemplo: 5a + 11 = - 4 5a = - 11 - 4 a = - 15/5 a = - 3 S = {-3} M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 26 OBS: Se você prestou atenção na resolução, deve ter observado que o número que estava em um membro com determinado sinal aparece no outro membro com sinal diferente, e quem estava multiplicando aparece no outro membro dividindo. No processo prático é feito assim. 2.1.3 - Resolvendo equações pelo método prático Exemplos: 1) Resolva as seguintes equações do 1º grau com uma variável sendo U=Q a) Y + 5 = 8 Y = 8 – 5 y = 3 S = {3} b) 13x – 16 = - 3x 13x + 3x = 16 16x = 16 x = 1 S = {1} c) 3(x-2) – (1-x) = 13 3x – 6 – 1 + x = 13 3x + x = 13 + 6 + 1 4x = 20 x = 5 S = {5} d) t/4 – 7/10 = 2t/5 – 1 ( tire o mmc) 5t – 14/20 = 8t – 20/20 5t – 14/20 = 8t – 20/20 ( cancele os denominadores) 5t – 14 = 8t – 20 5t – 8t = -20 + 14 -3t = -6 (x1) 3t = 6 t = 6/3 t = 2 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 27 S = {2} e) 5x – 7 = 5x – 5 5x – 5x = -5 + 7 0x = 2 x = 2/0 x = 0 → Não existe divisão por zero, então fala-se que, a equação é impossível em Q, então S = { } (vazio). f) 5x – 4 = -4 + 5x 5x – 5x = -4 + 4 0x = 0 → Fala-se que esta equação é indeterminada ( infinitas soluções) 2.1.4 - Resolvendo Problemas do 1º grau Antes de iniciar a resolução de um problema usando as equações, deve-se determinar a e- quação que o resolve. 1º. Identifique uma incógnita do problema que será representada por uma letra (x, y, m...); 2º. Escreva a equação do problema; 3º. Resolva a equação; 4º. Verifique se o resultado encontrado atende ao problema; Exemplos: a) Um número: x ( a letra x é a incógnita ou o termo desconhecido); b) O triplo de um número: 3x c) O dobro de um número acrescido de 4: 2x+4 d) Um número somado com seu dobro é igual a 10: x+2x=10 e) A metade de um número: x/2 f) Um número somando a sua terça parte: x+x/3 Exemplos: a) Um número somado com o seu dobro é igual a quinze. Determine este número. x+2x=15 3x=15 x=5 O número procurado é 5. b) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos há nesse terreiro? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 28 Coelho = x Galinhas= 13 – x ( total de animais menos o número de coelhos) Logo, 4x + 2(13-x)=46 ( número de pés de coelho vezes o número de coelhos + número de pés de galinhas vezes o número de galinha é igual ao total de pés). 4x + 2(13 - x)=46 4x + 26 – 2x = 46 4x – 2x = 46 – 26 2x = 20 x = 10 Número de coelhos = 10 Número de galinhas = 13 – 10 = 3 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 29 Exercícios 1) Resolver as equações e problemas do primeiro grau a) 0 8 5 2 = + − + x x b) x x 3 ) 1 ( 4 = − c) ( ) ( ) x x x + = + − 3 2 2 2 5 d) ( ) ( ) ( ) x x x + = + + − 2 4 4 3 1 2 e) x x 2 2 1 3 = − f) | ¹ | \ | − = − 3 2 3 2 1 3 x x g) 5 4 2 1 3 2 = − + x x 2) Qual é a idade de uma pessoa sabendo que a Terça parte aumentada de 4 é igual ao dobro dela mesma, diminuída de 21. 3) Se ao dobro de um número adicionarmos 21, obtemos o quíntuplo do mesmo número. Qual é o número? 4) Determinar o número que adicionado à sua Quinta parte e à sua Sexta parte dá por soma 82? 5) Dividindo-se um número por 4 ou subtraindo-se 4 desse mesmo número, obtém-se resultados iguais. Qual é o número? 6) Pitágoras, interrogado a respeito do número de seus alunos respondeu: metade deles estuda matemática,um quarto,os mistérios da natureza, um sétimo, medita em silêncio e há, ainda, três moças. Quantos eram os alunos de Pitágoras? 7) Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo. Quantos kg pesa o tijolo? 8) Qual é o número cujo dobro é igual aos seus 4 3 aumentados de 15? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 30 2.2 - EQUAÇÕES DO 2º GRAU De forma geral, chama-se equação do 2º grau com um variável toda equação que pode ser escrita na forma, ax² + bx + c = 0, em que x é a variável e a, b, c são os coeficientes da equação do 2º grau. • A representa o coefiente de x²; • B representa o coeficinete de x; • C representa o termo independente. Exemplos de equações do 2º grau: 5x² - 3x + 3 = 0 → onde: a =5; b = -3 e c = 2 x² + 6x + 9 = 0 →onde: a = 1; b = 6 e c = 9 -3x² + 7x + 1 = 0 → onde: a = -3; b = 7 e c = 1 -x² + 5x – 6 = 0 → onde: a = -1; b = 5 e c = -6 3x² - 5 = 0 → onde: a = 3; b = 0 e c = -5 x² + 4x = 0 → onde: a = 1; b = 4 e c = 0 2.2.1 - Equações do 2º grau completas e incompletas Completas: ax² + bx + c = 0 Quando possui os coeficientes a, b e c. Exemplos: x² - 4x – 12 = 0 → onde: a = 1; b = -4 e c = -12 -x² + 11x – 18 = 0, onde: a = -1, b = 11 e c = -18 Incompletas: ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0 ou ax² = 0 Quando b ou c é igual a zero, ou ambos iguais a zero. Exemplos: 3x – 4a = 0, onde: a = 3, b = - 4 e c = 0 2x 2 + 5 = 0, onde: a = 2, b = 0 e c = 5 3x 2 = 0, onde: a = 3, b = 0 e c = 0 2.2.2 - Raízes de uma equação do 2º grau Fala-se que um número é raiz da equação, quando este torna a sentença matemática verdadeira. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 31 Exemplos: 1. Verifique se o número 9 é raiz da equação x2 – 11x + 18 = 0. x 2 – 11x + 18 = 0 (9) 2 – 11(9) + 18 = 0 (substitua a variável x por 9) 81 – 99 + 18 = 0 0 = 0 (sim, 9 é raiz da equação, observe que os dois membros são iguais) 2. Verifique se 3 é raiz da equação 2x2 + 5x – 3 = 0. 2x 2 + 5x – 3 = 0 2(3)2 + 5(3) – 3 = 0 (substitua a variável x por 3) 2(9) + 15 – 3 = 0 18 + 15 – 3 = 0 30 ≠ 0 (não, 3 não é raiz da equação, observe que os dois membros são deferentes) 2.2.3 - Resolvendo Equações do 2º Grau 2.2.3.1 - Equações Incompletas ax 2 – bx = 0, (c = 0) a) x 2 – 4x = 0 x(x – 4) = 0 (observe: x foi colocado em evidência) x = 0 x – 4 = 0 x = 4 S = {0;4} b) -2x2 – 8x = 0 x(-2x – 8) = 0 (observe: x foi colocado em evidência) x = 0 -2x = 8 (-1) 2x = - 8 x = - 4 S = {0;-4} Conclusão: Neste tipo de equação sempre umas das raízes vai ser igual a zero. ax2 + c = 0, (b = 0) M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 32 a) x 2 – 16 = 0 x²=16 (dois números que elevado ao quadrado dê dezesseis, -4 e +4). X=± 16 X=± 4 S = {- 4; 4} b) -2x 2 + 8 = 0 -2x 2 = - 8(-1) 2x 2 = 8 x 2 = 8/2 X 2 = 4 X=± 4 x = ± 2 S = {- 2; + 2} Conclusão: Neste tipo de equação sempre as raízes vão ser opostas. ax 2 = 0, (b = 0, c = 0) 5x 2 = 0 X 2 = 0/5 X 2 = 0 x = 0 (zero é nulo) S = { 0 } Conclusão: Neste tipo de equação sempre a raiz vai ser igual a zero. 2.2.3.2 - Equações Completas ax 2 + bx + c = 0 -> Use a fórmula de Báskara. a b x 2 ∆ ± − = ∆= lê-se Delta ∆ = b 2 – 4ac ∆, é o discriminante da equação _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 33 Observe, que a, b, e c são os coeficientes da equação do 2º grau. Exemplos a) X 2 – 8x +12 = 0 → a = 1, b = -8 e c = 12 ∆ = b 2 – 4ac ( primeiro vamos calcular o valor de delta) ∆ = (8) 2 – 4(1)(12) (substitua a por 1, b por -8 e c por 12) ∆ = 64 – 48 ∆ = 16 ( delta positivo) a b x 2 ∆ ± − = ( substitua b por -8, delta por 16 e a por 1.) 2 4 8 − ± = x 6 2 12 2 4 8 ' − = − = − + = x 2 2 4 2 4 8 ' ' − = − = − − = x S = {-6;-2} b) x 2 – 12x +36 = 0 → a = 1, b = -12 e c = 36 ∆ = b 2 – 4ac ( primeiro vamos calcular o valor de delta) ∆ = (-12) 2 – 4(1)(36) (substitua a por 1, b por -12 e c por 36) ∆ = 144 – 144 ∆ = 0 ( delta igual a zero) a b x 2 ∆ ± − = ( substitua b por -12, delta por 0 e a por 1.) 2 0 12 ± = x 6 2 12 2 0 12 ' = = + = x 6 2 12 2 0 12 ' ' = = − = x S = {6} c) 2x 2 - 4x + 3 = 0 → a = 2, b = - 4 e c = 3 ∆ = b 2 – 4ac ( primeiro vamos calcular o valor de delta) M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 34 ∆ = (-4) 2 – 4(2)(3) (substitua a por 2, b por -4 e c por 3) ∆ = 16 – 24 ∆ = -8 ( delta negativo) S = {}, não existe raiz de número real negativo. Importante: ∆ > 0 (Positivo) → A equação possui duas raízes reais e diferentes. (x’≠ x”) ∆ < 0 (Negativo) → A equação não possui raízes reais. ∆ = 0 → A equação possui duas raízes reais e iguais. (x’ = x”) Problemas Envolvendo o Discriminante (Delta) Exemplo: Determine o valor de m na equação 2x2 + 3x + m, para que as raízes sejam reais e iguais. ∆ = 0 → (Raízes reais e iguais) → a = 2, b = 3 e c = m ∆ = b 2 – 4ac b 2 – 4ac = 0 (3) 2 – 4(2)(m) = 0 9 – 8m = 0 – 8m = -9 (- 1) 8m = 9 m = 8 9 (Esta equação só vai possuir raízes reais e iguais quando m = 8 9 ) Determine o valor de r na equação 2x2 - 4x + 5r, para que as raízes sejam reais e diferentes. ∆ > 0 → a = 2, b = - 4 e c = 5r b 2 – 4ac > 0 b 2 – 4ac = 0 (- 4 ) 2 – 4(2)(5r) > 0 16 – 40r > 0 – 40r > - 16 (- 1) 40r < 16 r < 8 : 40 8 : 16 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 35 r < 5 2 (Esta equação só vai possuir raízes reais e diferentes quando r < 5 2 ) Determine o valor de k na equação -3x2 + 5x – 2k, para que não exista raízes reais. ∆ < 0 -> a = - 3, b = 5 e c = -2k b 2 – 4ac < 0 b 2 – 4ac < 0 ( 5 ) 2 – 4(-3)(-2k) > 0 25 – 24k < 0 – 24k < - 25 (- 1) 24k > 25 k > 24 25 Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º Grau É possível calcular a soma ou produto das raízes da equação do 2º grau sem precisar resolver a equação. Graças as relações de Girard. Soma das raízes x’ + x” = a b − ou S = a b − Produto das raízes x’x” = a c ou P = a c Exemplos Calcule a soma e o produto das raízes equações do 2º grau. x 2 + 7x + 12 = 0 → a = 1, b = 7 e c = 12 S = a b − → S = ( ) 1 7 − → S = -7 P = a c → P = 1 12 → = P = 12 Determine o valor de m na equação 4x2 – (m – 2)x + 3 = 0 para que a soma das raízes seja 3/4. M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 36 S = a b − →S = 4 3 → ( ) [ ] 4 3 4 2 = − − − m = 4 2 − m → 4(m – 2) = 4.(3) → 4m – 8 = 12 → 4m = 12 + 8 → 4m = 20 → m = 4 20 → m = 5 2.3 - SISTEMAS DO 1º GRAU Afirma-se que duas equações do 1º grau, formam um sistema quando possuem uma solução comum (mesma solução). Nesse caso as duas equações tem o mesmo conjunto universo. 2.3.1 - Resolvendo sistemas do 1º grau 1º) Método da adição: Esse método consiste em adicionar as duas equações membro a membro, observando que nesta operação devera eliminar uma variável. Exemplo 1: 14 0 2 ª 2 5 ª 1 9 = + ¹ ´ ¦ → = − → = + + y x y x y x 1º some as duas equações membro a membro: Logo: 2x = 14 x = 14/2 x = 7 Volte na 1ª ou na 2ª equação: 1ª equação: x + y = 9 2 + y = 9 y = 9 – 2 y = 7 S = {(2;7)} Obs: no conjunto solução de um sistema, deve colocar o par de números dentro de um parên- tese por ser um par ordenado, primeiro x depois y. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 37 Exemplo 2: ¹ ´ ¦ = − = − 11 3 7 5 3 4 y x y x Observe que na forma em que se encontram as equações. Se adicionarmos não eliminaremos nenhuma das variáveis. Multiplique a 1ª ou 2ª equação por (-1), para que os coeficientes de y fiquem opostos –3 e +3. ¹ ´ ¦ = − − = − 11 3 7 ) 1 ( 5 3 4 y x y x → 6 0 3 11 3 7 5 3 4 = − ¹ ´ ¦ = − − = + − + y x y x y x Voltando na 1ª equação substitua x por 2. 3x = 6 x = 6/3 x = 2 s = {(2;1)} M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 38 Exercícios 1) Encontre o conjunto solução dos sistemas: a) ¹ ´ ¦ = + + = 5 3 2 4 y x y x b) ¹ ´ ¦ = + = − 0 4 9 2 y x y x c) ¹ ´ ¦ = − − = − 3 2 2 x y y x d) ¹ ´ ¦ = − = + 13 2 20 y x y x Problemas sobre equações e sistemas 1) As dimensões de um retângulo são cm 7 e ( )cm x 5 + . Se a água é 2 105cm . Qual é o valor de x ? 2) Um carro desenvolvendo uma velocidade média, percorreu x km em 5 horas, se tivesse aumentado em 20 km sua velocidade média, teria percorrido a mesma distância em 1 h a menos. Qual foi a distância percorrida. 3) Para comprar um aparelho, uma pessoa precisa de 00 , 40 $ R a mais do que tem. Mas, se ele tivesse o dobro da quantia que tem, compraria o aparelho e ainda ficaria com 00 , 27 $ R . Qual a quantia que ele possui? Qual o preço do aparelho? 4) A soma de 2 números é 169 e a diferença entre eles é 31. Quais são os 2 números? 5) A soma de 2 números é 90. O dobro do maior é igual ao triplo do menor. Determine os 2 números? 6) Um terreno é retangular e tem 128 m de perímetro. O comprimento tem 20 m a mais que a largura. Determine as dimensões e a área desse terreno. 7) Determine o valor de 2 2 y x + resolvendo o sistema ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = + 2 3 2 4 6 y x y x 8) Numa caixa, o número de bolas vermelhas é o triplo do número de bolas pretas. Se tirarmos 2 bolas pretas e 26 vermelhas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Quantas bolas de cada cor há nessa caixa? _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 39 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Encontre o valor de x na equação abaixo: 2) Encontre o valor de x que é solução da equação abaixo: 3) A raiz da equação vale: 4) Encontre a solução da equação: 5) A raiz da equação abaixo, é: 6) O valor de x na equação seguinte vale: M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 40 7) Encontre os valores de x e y no sistema seguinte: 8) Determine os valores de a e b no sistema seguinte: 9) Encontre os valores de x e y no sistema seguinte: 10) Dado o sistema abaixo, encontre os valores de x e y: 11) Se x, y, z são números naturais, encontre o valor de 2x + y – z: _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 41 12) Dado o sistema abaixo, determine x + y: 13) O dobro de um número somado com 3 é igual a 17. Qual é esse número? 14) A soma do triplo de um número com sua metade é igual a 35. Calcule esse número. 15) A diferença entre as idades de um pai e um filho é de 30 anos. Há 3 anos a idade do pai era o triplo da idade do filho. Qual a idade do pai e do filho, hoje? 16) A soma de 3 números inteiros e consecutivos é 35. Quais são esses números? 17) Numa sala de 42 alunos, o número de moças é a metade do número de rapazes. Qual é o núme- ro de moças? 18) Divida 64 em duas partes de modo que uma seja o triplo da outra. 19) Repartir R$ 1000,00 entre duas pessoas de modo que a terça parte de uma seja a metade da outra. 20) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. Qual é esse número? 21) O perímetro de um retângulo é de 25 cm. A largura é igual a 5/8 do comprimento. Calcule as di- mensões do retângulo. 22) Uma livraria vendeu 3 apostilas de português e 5 de matemática recebendo R$ 171,00. Qual é o preço da apostila de matemática se ela custou 3, 00 R$ a menos que a apostila de português? 23) Um fazendeiro repartiu 240 bois entres seus três herdeiros da seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos. Quanto recebeu o primeiro herdeiro? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 42 24) Um pai tem 50 anos de idade e seus filhos João, Mário e Pedro, têm, respectivamente, 5 anos, 7 anos e 10 anos. A soma das idades dos três filhos ficará igual à idade do pai daqui há quantos anos? 25) O Cedtec tem 4000 alunos entre mulheres e homens. Se acrescentássemos 400 mulheres, elas atingiriam o mesmo número dos homens. Qual é o número de homens e mulheres que estudam no Cedtec? 26) Na lanchonete do senhor Manoel tem a seguinte promoção: Pão com uma fatia de queijo por R$ 1,50 Pão com duas fatias de queijo por R$ 2,20 O senhor Manoel sabe quantos sanduíches vendeu contando os pães. Com essa promoção ele faturou R$ 75,00. Quantas fatias de queijo foram vendidas, se ele vendeu 36 pães? 27) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é: 28) Numa balança pesa-se 15 maçãs, cada uma com 180g, e mais 8 mangas, obtendo-se o equivalente ao peso de uma melancia de 4,3 kg. Se cada manga tem o mesmo peso, quanto pesa, em g, duas mangas? 29) Para pesar 3 maçãs, dispomos de um peso de 100g e de uma balança de pratos iguais. O peso da maçã maior é igual ao peso das outras duas juntas. O peso da menor mais 100g e igual ao peso das outras. A maior e a menor pesam 100g. Qual será o peso total das 3 maçãs? 30) Sergio e Carlos viajaram em férias e gastaram juntos 5.900,00. Os gastos de Sergio corresponderam a 2/5 de seu salário e os de Carlos, a 3/8 de seu salário. Sabendo que o salário de Carlos corresponde ao dobro do de Sergio mais 400,00. Qual a soma dos dois salários? 31) Existe um número que, somado com 2, dividido por 8 e depois multiplicado por 7, resulta em si mesmo. Os 2/7 desse número valem: 32) Determine a fração equivalente a 4/5 cuja diferença entre os termos seja igual a 4. 33) Numa divisão inexata, a soma do divisor com o quociente é 28, e o quociente é o triplo do divisor. Se o resto é o maior possível, qual será o dividendo? 34) Um tonel cheio de água pesa 600g. O mesmo tonel cheio de areia pesa 800g. Se o peso da areia é 1,5 vezes o peso da água, determine o peso do tonel. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 43 35) Resolva as equações: a) x² – 2x – 15 = 0 b) -3x² + 24x = 0 c) 6x² – x – 1 = 0 d) (2x + 1)² + 2(x + 1) = 3 e) x² – 8x – 8 = 0 f) 7x² – 6x + 1 = 0 36) Os valores de x que satisfazem à equação 2x² – 9x + 4 = 0 são: 37) A equação (x – 5)² = 2(x – 1) tem como raízes: 38)As raízes da equação 10x² – 13x + 4 = 0 são: 3 – MATEMÁTICA COMERCIAL 3.1 - RAZÃO Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b≠0, ao quociente entre eles. In- dica-se a razão de a para b por a/b ou a : b. Exemplo: M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 44 Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão).  5 4 5 25 5 20 = ÷ ÷ (Indica que para cada 4 rapazes existem 5 moças) Voltando ao exercício anterior, encontre a razão entre o número de moças e rapazes.  4 5 5 20 5 25 = ÷ ÷ (Indica que para cada 5 moças existem 4moças) 3.1.1 - Lendo Razões 5 2 lê-se, 2 está para 5 ou 2 para 5 9 8 lê-se, 8 está para 9 ou 8 para 9 Obs.:Os termos de uma razão são Antecedente e Conseqüente. Exercícios Razão e proporção 1) Se 8 20 . 5 1 = x e 2 3 2 | ¹ | \ | − = y qual a razão entre x e y 2) Se uma construção tem 800 2 m de área construída e 2 1000 m de área livre, a razão da á- rea construída para a área livre é de quanto? 3) Num concurso havia 90 candidatos. Tendo sido aprovados 30, qual a razão entre o número de aprovados e o número de reprovados. 4) João resolve 15 testes e acerta 7. Antônio resolve 21 testes e erra 10. Ralf resolve 18 testes e acerta 9. Coloque os nomes em ordem crescente de eficiência. 5) Qual foi a escala da planta de um terreno no qual o comprimento de 100 m foi representado por um segmento de 5 cm. 6) Calcule o valor de x nas proporções: a) 45 100 20 x = b) x 2 15 75 = _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 45 c) 2 5 , 0 25 , 1 = x d) 20 5 8 = x 3.2 - PROPORÇÃO Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dados os números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, eles formam, nessa ordem uma proporção quando a razão de a para b for igual a ra- zão de c para d. d c b a = Os extremos são a e d, os meios são b e c. 3.2.1 - Propriedade Fundamental das Proporções Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo: 4 8 3 6 = é uma proporção, produto dos meios é igual ao produto dos extremos, 6x4=3x8. 3.2.2 - Trabalhando com Proporção Determine o valor de x na seguinte proporção: → = x 10 3 15 15.x = 2.10 → 15x = 30 → x = 15 30 → x = 2. 3.2.3 - Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais Entende-se por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, são alguns exemplos de grandezas. No nosso dia-a-dia são encontradas varias situações em que duas ou mais grandezas as relacionam. Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 46 Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo. 3.2.4 - Grandezas Diretamente Proporcionais Em um determinado mês do ano, o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse dado pode-se formar a seguinte tabela. Quantidade de gasolina (em litros) Quantidade a pagar ( em reais) 1 0,50 2 1,00 3 1,50 Observe: Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra. Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica. Neste caso, as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica. 3.2.5 - Grandezas inversamente proporcionais Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. Observe a tabela: Número de alunos escolhidos Número de livros para cada aluno 2 12 4 6 6 4 Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 47 Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro. 3.3 - REGRA DE TRÊS Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porém não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos. 3.3.1 - Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Deve-se, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: • Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. • Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. • Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido? Tecido (m) Preço (reais) 8 12 156 x Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago. x 156 12 8 = → 8x = 12.156 → 8x = 1876 → x = 8 1876 → x = 234 Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. A quantia a ser paga é de R$ 234,00. b) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? Velocidade (Km/h) Tempo (Horas) 60 80 4 x M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 48 Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa. 60 80 4 = x → 8x = 4.6 → 8x = 24→ x = 8 24 → x = 3 O tempo a ser gasto é 3 horas. Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas. 3.3.2 - Regra de Três Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplo: a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3 ? Horas Caminhões Volume 8 5 20 x 160 125 Aumentando o número de horas de trabalho, pode-se diminuir o número de caminhões. Por- tanto, a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, deve-se aumentar o número de caminhões. Portanto, a rela- ção é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Deve-se igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 8 5 125 160 20 • = x → 1000 800 20 = x → 8x = 10.20→ 8x = 200 → x = 8 200 → x = 25 Será preciso de 25 caminhões. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 49 Exercícios Regra de 3 1) Com 10 kg de trigo podemos fabricar 8 kg de farinha. Quantos kg de trigo precisaremos para fabricar 32 kg de farinha 2) Nove pedreiros fazem um serviço em 72h. Quanto tempo levarão 6 pedereiros para fazer o mesmo serviço 3) Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 5 minutos, Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m 3 de volume 4) 2500 operários montam 200 automóveis por mês. Se forem admitidos mais 500 operários, quantos automóveis serão produzidos por mês 5) Uma boa massa para pedreiro é feita com 5kg de cimento, 10kg de areia e 6 litros de água. Com 12kg de cimento, se eu quiser fazer uma massa na mesma consistência, quanto devo usar de areia e água 6) Com 4 latas de tinta pintei 280 m 2 de parede. Quantos m 2 podem ser pintados com 11 latas dessa tinta 7) Oito torneiras enchem um tanque em 3h. Para encher o tanque em 2h, quantas torneiras devem ser usadas 8) Dez máquinas fabricam 400m de tecido em 16 dias. Em quantos dias 12 máquinas fazem 300m desse mesmo tecido 9) Em 3h, 5 torneiras despejam 2700 litros de água. Três torneiras, em 5h vão despejar quantos litros? 10) Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Calcular o número de voltas da primeira quando a Segunda dá 600 voltas 11) Uma torneira pingando, em 30 dias, 20 gotas por minuto ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Quantos litros de água vai desperdiçar uma torneira pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. 12) Se 15 operários em 9 dias de 8h ganham R$10000,00. Quanto ganham 23 operários em 12 dias de 6h. 13) Um aluno resolve 6 problemas em meia hora, enquanto come 3 biscoitos e bebe 1 xícara de café. Se considerarmos que o biscoito diminui a eficiência e o café a estimula, quantos exer- cícios resolverá, comendo 8 biscoitos e bebendo 4 xícaras de café. 14) Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, quantos dias levarão 15 daquelas máquinas para produzir 4000 pe- ças 15) Vinte operários constroem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operá- rios serão necessários para construir a Terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 50 3.4 - PORCENTAGEM Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem. Exemplo: Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento. Se reparar em sua volta, percebe-se que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc. Exemplos: O crescimento no número de matrícula no ensino fundamental foi de 24%. A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de 25% nas compras à vista. Apenas 20% da mão-de-obra é realmente especializada. Deve-se lembrar que a porcentagem, também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos: Exemplos: 100 12 =12% 100 5 = 5% 100 78 =78% Alguns cálculos que envolvem porcentagens. Exemplos: 01 - Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista? (primeiro representamos na forma de fração decimal) 10% de 100 10% x 100 300 - 30 = 270 Logo, pagarei 270 reais. 02 - Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou. 32% x 100 = 32 Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira. 03 - Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo. 25% x 2000 = 5000 O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro. Então, 2000 + 500 = 2500 reais. Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 51 04 - Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro? Lucro: 25 000 - 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo) (resultado da divisão do lucro pelo preço de custo) Porcentagem Preço 100% 20 000 X 5 000 20000 x = 500000 → x = 20000 500000 → x = 25% 05 - O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento? Porcentagem Preço 120% 35 000 100% x 120.x = 3500000 → x = 120 3500000 → x = 29 166,67 Reais Logo, o preço anterior era 29 166,67 M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 52 Exercícios Porcentagem 1) Calcule: a) 8% de 40 b) 12,5% de 50 c) 120% de 20 2) Calcule quantos por cento: a) 45 é de 90 b) 35 é de 350 c) 15 é de 1500 d) 40 é de 160 3) Uma pessoa começou uma criação de coelhos. Três meses depois ela verificou que sua cria- ção tinha aumentado em 200%. Qual é a quantidade atual de coelhos. 4) Um jardim tem área de 15000m 2 . 45% dessa área está plantada com flores, 25% com grama, 9% com arbustos e a área res ante está vazia. Calcule quantos km 2 tem cada parte desse jardim. 5) As passagens de ônibus foram aumentadas de R$45,00 para R$54,00. Qual foi a taxa porcentual de aumento? 6) Uma loja ao vender um televisor por R$690,00 tem um lucro de 15$ sobre seu preço de cus- to. Qual foi o seu lucro? 7) Se a largura de um retângulo é aumentada de 20% e sua altura é aumentada de 50%. De quantos % aumenta sua área 8) Um terreno de 300.000 m 2 foi urbanizado. A prefeitura determinou que 20% de sua área devia ser destinada a ruas e avenidas. Qual é a área disponível para loteamento? 9) Quando pagamos uma conta com atraso, em geral ela tem um acréscimo no seu valor, correspondente à multa. Uma pessoa não conseguiu pagar a conta de água no prazo e teve de pagá-la com um acréscimo de 2% sobre o seu valor, que era de R$35,00. Para quanto foi o valor da conta? _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 53 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Calcule os valores das variáveis nos itens abaixo sabendo que as sucessões são diretamente proporcionais. a) (x, 54) e (9, 6) b) (40, b) e (10, 5) c) (34, 28) e (y, 14) 2) Calcule os valores de a, b, c nos itens abaixo: a) (a, b, c) DP (1, 3, 5), onde a + b + c =81. b) (a, b, c) IP (3, 5, 6), onde a + b + c = 168. c) (a, b, c) IP (7, 10, 12), onde a + b + c =822. 3) Sergio e Marcos apostaram R$ 160,00 na “Loto”. Sabendo-se que Sergio contribuiu com R$ 70,00 e que eles foram premiados com R$ 80.000.000,00 pergunta-se quanto coube a Marcos, se a divisão foi feita proporcionalmente ao que cada um apostou? 4) Um agrimensor vai dividir um terreno retangular de dimensões 2,8 km por 250 m em partes proporcionais aos números 2, 5, 6, 7 para o plantio de amendoim, mandioca, feijão e milho, respectivamente. Qual a área utilizada no plantio de feijão? 5) Reparti 230 balas entre minhas três sobrinhas que têm respectivamente, 4, 5 e 8 anos. Sabendo que a divisão foi feita em partes inversamente proporcionais às suas idades, a sobrinha mais velha recebeu quantas balas? 6) Marly precisou de uma cirurgia. Seus três filhos resolveram dividir a conta do hospital em partes proporcionais as suas economias às suas economias, que eram R$ 40.000,00, R$ 36.000,00 e R$ 14.000,00. A operação foi um sucesso! Passada a euforia do resultado, quanto teve que desembolsar o filho que pagou menos pelo procedimento cirúrgico, que totalizou R$ 63.000,00. 7) Um reservatório de 5040 litros de capacidade foi completamente cheio por três torneiras que despejaram por minuto 12, 8 e 16 litros de água, respectivamente. Determinar o volume de água que o reservatório recebeu de cada torneira. 8) Três pessoas formaram uma sociedade comercial. O primeiro empregou R$ 10.000, o segundo R$ 15.000 e o terceiro R$ 25.000. No fim do mês o lucro obtido foi de 45.000. Qual a parte de cada um no lucro obtido? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 54 9) Um pai distribuiu a importância de R$ 50,00 aos seus três filhos em partes diretamente proporcionais ás suas idades que são: 3, 8, 9. Quanto coube a cada um? 10) Uma roda 50 dentes engrena com outra de 40. Calcular o número de voltas da primeira quando a segunda dá 600 voltas. 11) Uma turma de 32 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Chegando ao local do a- campamento, encontraram mais 8 alunos. Quantos dias durarão os alimentos com a nova turma? 12) Três torneiras que despejam a mesma quantidade de água, enchem um tanque de 5000 litros em 10 horas. Fechando um delas, em quanto tempo as outras despejarão 3000 litros nesse tanque? 13) Uma máquina, funcionando 8 horas por dia, produz 2000 parafusos em 3 dias. Quantos horas por dia deverá funcionar para produzir 12000 parafusos em 16 dias? 14) Uma torneira pingando, em 30 dias, 20 gotas por minuto ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Kátia, uma torneira estava pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. A quantidade de litros de água desperdiçada, na casa de Kátia foi: 15) Um aluno resolve 6 problemas em meia hora, enquanto come 3 biscoitos e bebe uma xícara de café. Se considerarmos que o biscoito diminui a eficiência e o café estimula, quantos exercícios resolveria, comendo 8 biscoitos e bebendo 4 xícaras de café em 2 horas? 16) Um avião consome 420 litros de querosene por hora. O consumo numa etapa de 2h e 10 min são de: 17) Vinte operários constroem um muro em 45 dias trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias trabalhando 8 horas por dia? 18) Após meses com sérios problemas financeiros, Dona Mira e mais onze amigas resolveram fazer um curso de costura no SESI. Depois de acabado o curso com a ajuda do SEBRAE conseguiram montar uma pequena fábrica de uniformes. Juntas elas conseguiam fazer 600 uniformes em dias 5 dias. Determinada empresa encomendou 1500 uniformes com pedido de urgência e para melhor a- tendê-la foram contratadas mais 3 costureiras sob regime temporário. Em quantos dias os uniformes ficarão prontos? 19) Um grupo 30 operários se comprometeu a terminar uma obra em 14 dias. Ao final de 9 dias, percebeu que só havia feito 3/7 da obra. O número de operários que deve ser acrescido ao grupo para que a obra acabe no tempo fixado é igual a: 20) Calcule: a) 20% de 250 b) 8% de R$ 1200,00 c) 15% de R$ 400,00 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 55 21) Ao comprar um objeto obtive um desconto de R$ 120,00. Qual é o preço do objeto se a taxa de desconto é de 20%. 22) R$ 300,00 é 15% de que quantia? 23) Marcela ganha R$ 8.700,00 por mês. Recebeu um reajuste de 38%. O seu novo salário é: 24) Um terreno, de 300.000 m² foi urbanizado. A prefeitura determinou que 20% de sua área devia ser destinada a ruas e avenidas. Qual a área disponível para o loteamento? 25) Um carro novo custa R$ 72.840,00 mais 30% empréstimo compulsório. Seu valor real para um comprador será: 26) Uma loja, ao vender um televisor por R$ 690,00 tem um lucro de 15% sobre seu preço de custo. Podemos, então, dizer que ela lucrou: 27) A mensalidade da escola do único filho de Oscar, representa 25% do seu salário. Se a mensalidade escolar de seu filho aumenta 12%, qual é o reajuste que deve no salário mensal de Oscar para compensar esse aumento escolar? 28) Se a largura de um paralelogramo retângulo é aumentada de 20% e sua altura é aumentada de 50%, então sua área aumenta de: 29) Comprei um televisor por R$ 800,00 em duas parcelas. Paguei a metade à vista. Ao restante foram acrescidos 35% de correção. Qual o valor da segunda parcela? 30) Após o Natal, apenas pequena parte da sociedade ainda dispõe de recursos para serem gastos em compra de alimentos supérfluos, presentes, e de outros produtos. Sabendo disso determinado comerciante aumentou uma TV que custava inicialmente R$ 300,00 em 40%; em seguida anunciou que estava dando um desconto de 25% para compra de pagamento à vista. Qual foi o percentual real de aumento da TV, sobre o preço inicial, após a jogada comercial? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 56 4 – CONCEITOS EM GEOMETRIA O nome Geometria, em grego, significa medida da terra (geo = terra e metria = medida). No antigo Egito, a geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usavam-a para medir terrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. As famosas pirâmides construídas próximas ao rio Nilo, é um ótimo exemplo disso. Os Egípcios ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em busca de novas aplicações na geometria. Por volta de 600 a.C. os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimentos geométrico que foram adquirindo, fazendo com que o Geometria deixasse de ser puramente experimental. Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito, principalmente, pelo mate- mático grego Euclides, por volta de 300 a.C., e reuniu uma obra de 13 volumes, chamada os Elemen- tos. Toda a geometria que se estuda hoje é praticamente a mesma daquela época. 4.1 - PONTO, RETA E PLANO Ponto, reta e plano não são definidos, apenas se tem a idéia intuitiva de ponto (o- lhando uma estrela no céu, localizando uma cidade no mapa, etc.), de reta (observando as linhas do campo de futebol, de uma quadra de futsal, os fios da rede elétrica bem esticado, etc.), de plano (observando o piso de sua casa, o campo de futebol, a superfície de uma piscina, etc.). Observando bem a nossa volta, vamos nos deparar com estes a todo momento. Ponto → O ponto não possui dimensões, é representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino. •A •B •H Ponto A Ponto B Ponto H Reta → A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim, sendo representada por uma letra minúscula do alfabeto latino, quando se desenha uma reta no caderno ou quadro, esta representada parte da reta. Exemplo: Os pontos F, H, A e D pertencem a reta r Plano → O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado sem limites em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representar o plano no papel ou no quadro. Por isso, representa-se parte deste. O plano é representado por uma letra do alfabeto grego. Como alfa (a), beta (b) e gama (g). Plano alfa Observe: A reta r e o ponto P pertencem ao plano alfa, por estar dentro dele. A reta m e o ponto E não pertencem ao plano alfa, por estar fora dele. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 57 Deve-se lembrar que, usa-se pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto, está contido e não está contido para relacionar conjunto com conjunto. Vale lembrar que, ponto e elemento, reta e plano são conjuntos. 4.2 - SEGMENTO DE RETA Dados dois pontos distintos (diferentes), a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta. Exemplo: T R m TR é um segmento de reta sendo T e R suas extremidades. Representamos assim: TR 4.3 - SEMI-RETA Em geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um ponto O que pertence a uma reta r. Afirmar que esse ponto O separa a reta em dois conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semi-reta. O ponto O é chamado origem das semi-retas. Exemplo: A O B →  OA Semi – reta de origem O passando pelo ponto A. →  OB Semi – reta de origem O passando pelo ponto B. 4.4 – TRIÂNGULOS Chama-se de triângulos todo polígono que possui três lados. Exemplo: CA BC AB , , são os lados do triângulo. a, b e c são os ângulos internos do triângulo. A, B e C são os vértices do triângulo. M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 58 4.4.1 - Classificando os triângulos quanto aos lados Triângulo isósceles: Possui dois lados congruentes (iguais) e o terceiro lado diferente. AB igual a AC Triângulo eqüilátero: Possui os três lados congruentes (iguais). Os lados CA BC AB , , são iguais Triângulo escaleno: Possui o três lado com medidas diferentes. Os lados CA BC AB , , são diferentes 4.4.2 - Classificando os triângulos quanto aos ângulos Triângulo retângulo: Possui um ângulo reto (ângulo de 90º) Observe que o ângulo A mede 90º Triângulo acutângulo: Possui três ângulos agudos (ângulos menores que 90°) Observe que as medidas dos ângulos A, B e C são menores que 90° _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 59 Triângulo obtusângulo: Possui um ângulo obtuso (ângulos maiores que 90º) Observe que o ângulo A é maior que 90°. 4.5 - TIPOS DE RETAS Retas paralelas: Duas retas são paralelas quando estão em um mesmo plano e não tem ponto em comum. Exemplo: As retas r e m são paralelas r // m (// paralelas ) As retas s e b não são paralelas. Observe que elas vão se encontrar. Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes quando possui um único ponto em comum. Exemplo: As retas f e p encontram em um único ponto (A). Retas perpendiculares: Duas retas são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e formam ângulos de 90º. Exemplo: A reta m é perpendicular a reta p. m ⊥ p. ⊥ (perpendicular) Retas oblíquas: Duas retas são oblíquas, quando são concorrentes e não são perpendiculares. Exemplo: As retas r e f são oblíquoas M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 60 4.6 - FIGURAS GEOMÉTRICA Figura geométrica plana: Uma figura é geométrica plana se todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano. Exemplos: Observe que todos os pontos desta figura pertencem a um só plano. Figura geométrica não plana: Se nem todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano. A maioria dos objetos que nos cercam não são planas. A figura ao lado não pertence a um só plano. 4.7 - POLÍGONOS Poli (Vários ), gono (ângulos) , figura geométrica plana de vários ângulos. Polígono é a reunião de uma linha poligonal simples formada apenas por segmentos de reta com a sua região interna. Exemplos: Quadrilátero ( 4 lados) Triângulo ( 3 lados) Hexágono (6 lados) 4.7.1 - Tipos de polígonos Convexos: Exemplos: _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 61 Não convexos 4.7.2 - Partes de um Polígono DA CD BC AB , , , são lados 4.7.3 - Classificação dos Polígonos Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, deve-se observar que em qualquer polígono o número de lados é igual ao número de ângulos e igual ao número de vértice. NÚMERO DE LA- DOS NOME 3 Lados Triângulo 4 Lados Quadrilátero 5 Lados Pentágono 6 Lados Hexágono 7 Lados Heptágono 8 Lados Octógono 9 Lados Eneágono 10 Lados Decágono 11 Lados Undecágono 12 Lados Dodecágono 15 Lados Pentadecágono 20 Lados Icoságono M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 62 4.8 - CORDA, DIÂMETRO E RAIO Corda: É um segmento de reta que toca a circunferência em dois pontos distintos. Diâmetro: É a corda que passa pelo centro e divide a circunferência em duas partes iguais. Raio: é o segmento de reta que tem uma extremidade no centro da circunferência e o outro na própria circunferência. Exemplo: OP raio da circunferência TE corda da circunferência SF diâmetro da circunferência 4.9 – SEMICIRCUNFERÊNCIA Nota-se que o diâmetro divide a circunferência em duas partes, cada uma destas partes é chamada de semicircunferência. Exemplo: 4.10 - CÍRCULO É a reunião da circunferência com sua região interna. Centro, raio, corda, diâmetro e arco de um círculo são o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o arco da circunferência. Exemplo: _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 63 5 - MEDIDAS (TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES) 5.1 - MEDINDO COMPRIMENTO Deve-se saber que a unidade fundamental para medir comprimento é o metro, que é representada pela letra m. A palavra metro vem do grego, metron, que significa o que se mede. Esta medida foi adotada como padrão. 5.2 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO Múltiplos Unidade principal Submúltiplos quilometrohectômetrodecâmetro metro decímetrocentímetromilímetro km hm dam m dm cm mm 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Observe que cada unidade de comprimento é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Atenção: Deve-se observar que existem outras unidades de medidas, bastante usadas. Polegada, que equivale a 25,4 mm. Jarda, que equivale a 91,44 cm. Milha, que equivale a 1069 m. Légua, que equivale a 5555 m. Pé, que equivale a 30,44 cm. Lendo Medidas de Comprimento deve-se observar que a leitura das medidas de comprimento é feita de forma semelhante a leitura dos números decimais. Exemplos: 2,23 m = dois metros e vinte e três centímetros ou três vírgula vinte e três metros. 12,45 dm = doze decímetro e quarenta e cinco centímetro ou doze vírgula quarenta e cinco decímetro. 0,23 km = zero quilômetro e vinte e três decâmetro ou zero vírgula vinte e três quilômetro. 13,47 m = treze metros e quarenta e sete centímetro ou treze vírgula quarenta e sete metros. 5.3 - TRANSFORMANDO UNIDADES Ao trabalhar, com o método de andar com a vírgula, o número de casas necessárias para chegar na unidade desejada. Exemplos: 2,3 m para cm = 230,0 ou 230 cm (para chegar até o centímetro desloca-se a vírgula duas casas para a direita) · M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 64 12,47 m para dm = 124,7 dm (para chegar até o decímetro desloca-se a vírgula uma casa para direita) 3 m para mm = 3000,0 ou 3000 mm (para chegar até o milímetro desloca-se a vírgula três casas para a direita) 4,23 km para m = 4230,0 ou 4230 m (para chegar até o metro desloca-se a vírgula três casas para a direita) 300 cm para m = 3,00 ou 3 m (para chegar até o metro desloca-se a virgula duas casas para a esquerda) 123,4 mm para m = 0,1234 m (para chegar até o metro desloca-se a vírgula três casas para a esquerda) 14 m para km = 0,014 km (para chegar até o quilômetro desloca-se a vírgula três casas para a esquerda, como faltou número completa-se com zero) . 5.4 - MEDINDO SUPERFÍCIES Assim como se mede comprimento, também se mede superfícies planas. Quando se fala em medir uma superfície plana, tem-se que compará-la com outra tomada como unidade padrão e verifica-se quantas vezes essa unidade de medida cabe na superfície que se quer medir. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 65 Exercícios 1) Uma tábua com 3,10 metros de comprimento foi cortada em 3 partes. Uma das partes tem 98 cm de comprimento. As outras duas tem o mesmo comprimento. Qual é, em decimetros. O comprimento de cada uma dessas partes? 2) Uma pesquisa esportiva concluiu que, em uma partida de futebol realizada no Brasil em 25/4/99, um jogador percorreu 12,5 km e, em outra partida, realizada no Inglaterra em 5/6/99, este mesmo jogador percorreu 9 milhas. Sabendo que 1 milha corresponde a aproximadamente 1600 m, qual o total de hectometros ele percorreu? 3) Uma caixa contém 2 dúzias de pisos de cerâmica. Sabendo que cada piso ocupa uma área de 1600 cm 2 , quantos metros quadrados de piso haverá em 100 dessas caixas? 4) Devem ser distribuídos 400 litros de certa substância em frascos de 50 cm 3 cada um. Quan- tos frascos serão necessários? 5) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos e admitindo-se que as gotas tenham sempre volume igual a 0,2 cm 3 , qual o volume, em litros, de água que vaza em 1 semana? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 66 5.5- UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE Deve-se saber que a unidade fundamental usada para medir su- perfície é o metro quadrado(m²), que corresponde a área de um quadrado que possui os lados medindo 1 m cada um. Este quadrado possui 1m de cada lado, logo possui 1 metro 2 . 5.6 - QUADRO DE UNIDADES USADAS PARA MEDIR SUPERFÍCIES Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1.000.000 m 2 10.000 m 2 1.00 m 2 1 m 2 0,01 m 2 0,0001 m 2 0,000001 m 2 Observe que cada unidade é 100 vezes maior que a unidade imediatamente anterior. 5.7 - LENDO UNIDADES DE ÁREA 4,35 cm 2 = Quatro centímetros quadrados e trinta e cinco milímetros quadrados ou quatro vírgula trinta e cinco centímetros quadrados. 12,12 m 2 = Doze metros quadrados e doze decímetros quadrados ou doze vírgula doze metros quadrados. 5.8 - TRANSFORMANDO UNIDADES 2,234 m 2 para dm 2 = 223,4 dm2 (Observe que a vírgula deslocou para direita 2 casas) 4,4567 dm2 para cm2 = 445,67 cm2 (Observe que a vírgula deslocou para direita 2 casas) 4567,5 dm2 para dam2 = 0,45675 m2 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 4 casas) 45 cm2 para m2 = 0,0045 m2 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 4 casas como não tínhamos mais números completamos com zeros) 5.9 - VOLUME Chama-se de volume de um sólido geométrico, o espaço que esse sólido ocupa. 5.10 - MEDINDO VOLUME Para medir volume, usamos a unidade denominada metro cúbico (m³). O que é 1 m³? _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 67 É o volume de um cubo, em que suas arestas medem 1m. 5.11 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 1.000.000.000 m 3 1.000.000 m 3 1.000 m 3 1 m 3 0,001 m 3 0,000001 m 3 m 3 0,000000001 m 3 Atenção: Você deve ter notado que cada unidade é maior que a unidade imediatamente inferior 1000 vezes ou 1000 vezes menor que a unidade imediatamente superior. No seu dia a dia, você deve ter observado que as unidades mais usadas são, o m³, cm³ e dm³. 5.12 - LENDO UNIDADES DE VOLUME 4,35 cm³ = Quatro centímetros cúbicos e trinta e cinco milímetros cúbicos ou quatro virgula 35 centímetros cúbicos. 12,123 m³ = Doze metros cúbicos e cento e vinte e três decímetros cúbicos ou doze vírgula cento e vinte e três metros cúbicos. 5.13 - TRANSFORMANDO UNIDADES 2,234 m³ para dm³ = 2234 dm³ (Observe que a vírgula deslocou para direita 3 casas) 4,4567 dm³ para cm³ = 4456,7 cm³ (Observe que a vírgula deslocou para direita 3 casas) 4567,5 dm³ para m³ = 4,5675 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 3 casas) 45 cm³ para m³ = 0,000045 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 6 casas como não tínhamos mais números completamos com zeros) M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 68 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Expresse: a) 2,5 km em m: b) 520 m em hm: c) 850 m em mm: d) 4,5 mm em m: e) 15,39 km em cm: 2) Efetue as operações e dê o resultado em cm: a) 34 km + 60m = b) 0,25km . 8 = c) 2,76m – 50 cm = d) 3,6km : 3 = 3) Um jardim quadrado tem 1,75 m de lado. Uma pessoa, passeando, dá 6 voltas completas. Quantos metros a pessoa andou? 4) Transformando em metros 25,734 km + 0,802 m – 1,0435 dam + 4 dam, obteremos: 5) Expresse: a) 60 hm² em km² _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 69 b) 485000 m² em hm² c) 0,0365 km² em dam² d) 6,31 hm² em m² e) 3650 cm² em m² f) 1234560 mm² em dam² 6) Efetue as operações e dê a resposta em cm²: a) 1,2 cm² + 0,002 dm² b) 0,0012 m² – 123mm² 7) Expresse: a) 37 m³ em dm³ b) 8,3 cm³ em mm³ c) 0,072 m³ em cm³ d) 0,0536 m³ em dm³ e) 54 mm³ em cm³ 8) Um bujão de gás cheio contém 13,5 dm³ de gás. Tendo sido gastos 1/3 desta quantidade, quantos cm³ de gás restam no bujão? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 70 6 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo de 90º. Relações: Podemos afirmar que: b² = am, c² = an, h² = mn, ah = bc e a = m+n Determine o valor de x nas seguintes figuras: Relação c 2 = an x 2 = 9.4 x 2 = 36 x = 36 x = 6 Relação b 2 = am 6 2 = 10x 36 = 10x -10x = -36(-1) 10x = 36 x = 10 36 x = 3,6 Relação h 2 = mn x 2 = 9.4 x 2 = 36 x = 36 x = 6 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 71 Relação ah = bc x.4,8 = 8.6 x = 8 , 4 48 x = 10 6.1 - TEOREMA DE PITÁGORAS O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Exemplos: Calcule o valor de x nas seguintes figuras: x 2 = 4 2 +3 2 x 2 = 16 +9 x 2 = 25 x = 25 x =5 15 2 = 12 2 +x 2 225 = 144 +x 2 -x 2 = 144 – 225 x 2 = 81 x = 81 x = 9 (x + 4) 2 = (x + 2) 2 + x 2 x 2 + 8x + 16 = x 2 + 4x + 4 + x 2 x 2 + 8x + 16 - x 2 - 4x - 4 - x 2 = 0 - x 2 + 4x + 12 = 0 ∆ = b 2 - 4ac ∆ = 4 2 – 4(- 1)(12) ∆ = 16 + 48 ∆ = 64 x = ( ) ( ) 1 2 64 4 − ± − x = 2 8 4 − ± − x’ = 2 8 4 − + − x’ = - 2 x” = 6 Como não existe medida negativa, x = 6. M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 72 Exercícios Teorema de Pitágoras 01) Do alto de uma montanha de 50 metros de altura uma pessoa avista bem na linha do horizonte uma cidade que está a 25 km de distância. Com estes dados ele calculou o raio da terra. Qual é o raio da terra? 02) Um robô, percorrendo os lados AB e BC de um quadrado, andou 15 metros. Quantos metros ele andaria a menos se tivesse ido diretamente de A para C. 03) Nesta figura, temos um edifício de paredes retangulares. No ponto B será instalada uma lâmpada. Será então colocado um fio que vai de A até B pelas paredes do edificio. Qual é o menor comprimento que este fio pode Ter? 04) Uma pessoa precisa de uma tábua para fazer um reforço diagonal numa porteira de 1,5 metros de altura por 2 metros de comprimento. Qual o comprimento que a tábua deve Ter. _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 73 7 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda a relação entre as mediadas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Conta a história da matemática que Tales foi um grande estudioso desse ramo da matemática, mas não podemos afirmar que este foi seu inventor. A trigonometria não foi obra de um só homem, nem de um povo só. 7.1 - SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c são os catetos do triângulo retângulo. Observação: Catetos são os lado que formam o ângulo de 90º. Lembre-se, os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo. Seno de y = Hipotenusa y Ângulo ao Oposto Cateto ou seno y = a c Cosseno de y = Hipotenusa y Ângulo ao Adjacente Cateto ou cos y = a b Tangente de y = y Ângulo ao Adjacente Cateto y Ângulo ao Oposto Cateto ou tg y = b c M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 74 Razões Trigonométricas Especiais 30º 45º 60º Seno 2 1 2 2 2 3 Cosseno 2 3 2 2 2 1 Tangente 3 3 1 3 Existem outro ângulos, seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes, se encontram em uma tabela chamada tabela trigonométrica. Exemplos: 1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30º) 2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela con 30º) _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 75 8 - ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 8.1 – ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 8.1.1 – Área do quadrado Ilustração 1 8.1.2– Área do retângulo 8.1.3 – Área do triângulo 8.1.4 – Área do paralelogramo M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 76 8.1.5 – Área do trapézio 8.1.6 – Área do losango 8.1.7 – Área do círculo EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 77 1) Transforme: a) 1,02 hm² em dam² b) 0,05 m² em cm² c) 1,36 mm² em cm² d) 4,1 dm² em dam² Solução: No sistema métrico decimal, as medidas de superfícies apresentam a seguinte escala: km² km² km² km² km² km² km² a) 1,02 hm² = 102 dam² b) 0,05 m² = 500 cm² c) 1,36 mm² = 0,0136 cm² d) 4,1 dm² = 0,00041 dam² 2) Calcular a área de um quadrado, sabendo-se que seu perímetro é 8 cm. Solução: P = 4a 8 = 4a →a = 4 8 → a = 2 cm A = a 2 A = 2 2 A = 4 cm 2 3) Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo-se que a medida da base é o dobro da altura e a sua área é de 16cm². Solução: A = b . h 16 = 2h.h → 16 = 2h 2 → h 2 = 2 16 → h 2 = 8 → h = 2 2 cm R: As dimensões do retângulo são: base 4 2 e a altura 2 2 . 4) Calcular a área de um círculo, que tem 6 cm de diâmetro. Solução: D = 2r 6 = 2r → r = 2 6 → r = 3 cm A = π.r 2 A = π.3 2 A = 9.π cm 2 M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 78 8.2 - CALCULANDO ÁREAS Exemplos: 01) Calcule a área de um terreno quadrado de 25 m de lado. A = a2 → A = 252 → A = 625 m2 02) Calcule a área de um campo de futebol cujas dimensões são, 150m de comprimento por 75m de largura. (o campo tem a forma retangular, com esta na horizontal eu falo comprimento vezes largura). A = b x h → A = 150 x 75 → A = 11.250 m2 RESOLVA OS EXERCÍCOS ABAIXO: 01. Determine a área de um paralelogramo em que a altura mede 10 cm e sua base mede 6 cm. (R = 60) 02. Sabendo-se que a altura de um triângulo mede 8 cm e sua base mede 13 cm. Determine sua área. (R = 52) 03. Um losango possui a diagonal maior medindo 8 cm e a menor medindo 6 cm. Calcule a área deste losango. (R = 24) 04. A base maior de um trapézio mede 40 cm e sua base menor mede 25 cm. Calcule sua á- rea sabendo que a altura mede 20 cm. (R = 650) Observação: Existem medidas específicas para medir grandes extensões, como sítios, chá- caras e fazendas. São elas o hectare e o are. 1 hectare(ha) = 10.000(m²) 1 are(a) = 100(m²) Exemplos: Uma fazenda possui 120 000 m² de área, qual a sua medida em hectare? 120.0000 : 10.000 = 120 ha. Uma fazenda possui 23,4 ha de área, qual a sua área em m²? 23,4 x 10.000 = 234.000 m 2 _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 79 8.3 - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA O comprimento de uma circunferência é o número que representa os perímetros dos polí- gonos inscritos nessa circunferência quando o número de lados aumenta indefinidamente. Entende-se comprimento como sendo o contorno da circunferência. Exemplo: Uma volta completa em torno da terra. O comprimento de um aro de bicicleta. O comprimento da roda de um carro. O comprimento da bola central de um campo de futebol. 8.4 – CALCULANDO Π Esta é uma constante (seu valor não muda nunca). Esta surgiu da divisão do comprimento pelo diâmetro da circunferência. Verificou-se que não importava o comprimento da circunferência, sempre que dividia o comprimento pelo diâme- tro o resultado era o mesmo (3,14159265....), para não ter que escrever este número a todo o momento ficou definido que esta seria representado pela letra π (pi) do alfabeto grego, lembre-se: usa- se apenas com duas casas decimais = 3,14. 8.5 - CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA Para calcular o comprimento da circunferência, π = d c → c = πD devemos lembrar que, D = 2r diâmetro é igual ao dobro do raio. Logo, C = 2 πr ( Comprimento é igual a 2 vezes o π e o raio) Para calcular o comprimento de uma circunferência usa-se a fórmula Exemplos: 01. Determine o comprimento de uma circunferência em que o raio mede 3 cm. C = 2 πr basta substituirmos o r por 3 cm e π =3,14. C = 2. 3,14. 3 → C = 18,84 cm 02. Vamos calcular o raio de uma circunferência sabendo que o comprimento mede 62,8 m. C = 2πr basta substituirmos C por 62,8 m e π por 3,14. 62,8 m = 2x3,14xr → 62,8 m = 6,28xr → r = 28 , 6 8 , 62 → r = 10 m M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 80 8.6 - CALCULANDO A ÁREA DE UM CÍRCULO Para calcular a área de um círculo usa-se a fórmula: A = π.r 2 Exemplos: 01. Calcule a área de um círculo, sabendo que seu raio mede 4 m. A = π.r 2 devemos substituir π por 3,14 e r por 4m. A = 3,14x(4m) 2 → A = 3,14x 16m 2 →A = 50,24 m 2 02. Determine o raio de uma circunferência sabendo que sua área é igual 314 cm². A = π.r 2 devemos substituir π por 3,14 e A por 314 cm 2 . 314 = 3,14xr 2 → 314 = r 2 = 14 , 3 314 2 cm → r 2 = 100 → r = 100 → r= 10 cm _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 81 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Geometria Plana: Exercícios de áreas de regiões poligonais 1) Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outroparalelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos? 2) A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados? 3) Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm? 4) Calcular a área de cada quadrilátero indicado abaixo: a) Quadrado com lado medindo 5/3 cm. b) Quadrado com perímetro 12 cm. c) Retângulo com comprimento 3 cm e perímetro 10 cm. 5) Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm? 6) Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a área é igual a 80 cm², quais são as medidas de seus lados? 7) Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida de um dos lados. Que mudança deveremos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante? a) A base é multiplicada por 3;. b) A altura é dividida por 2; c) A base é aumentada 25%; d) A base é diminuída 25%. 8) Qual é a área de um círculo cujo perímetro é 31,4 cm, usando π = 3,14.. 9) Uma pista circular tem 25 metros de raio. Quantos metros percorre uma pessoa que dá 20 voltas em torno dessa pista? 10) Se uma pessoa der 10 voltas em torno de um jardim circular, ela percorrerá 2198 metros. Qual o diâmetro desse jardim? 11) Um círculo está inscrito num quadrado, cujo perímetro é 48 metros. Calcule sua área. M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 82 9.0 VOLUME 9.1 – VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 9.1.1 – Cubo v = a 3 9.1.2 - Paralelepípedo Retângulo v = a.b.c 9.1.3 – Cilindro V = A b . H 9.1.4 – Prisma V = A b . H _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 83 9.1.5 – Pirâmide V = 3 H A b 9.1.6 – Cone V = 3 H A b 9.1.7 - Esfera V = 3 3 4 r π M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 84 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Transforme: a) 2,6 hm³ = 2600 dam³ b) 0,016 km³ = 16000 dam³ c) 1,06cm³ = 0,00106 dm³ 2) O volume de um cubo é 27 cm³. Calcule a medida da aresta desse cubo. Solução: V = a 3 27 = a 3 → 3 3 3 27 a = a = 3 cm 3) O volume de um paralelepípedo retângulo é de 24cm³, sabendo-se que o comprimento é 4 cm, a largura é 3 cm. A altura desse paralelepípedo é: Solução: V = a.b.c 24 = 3.4.c 24 = 12.c c = 2 cm 9.2 - CALCULANDO VOLUMES Determine o volume da seguinte figura. Exemplos: Calcule o volume de uma caixa cúbica, cuja aresta mede 9 m. V = a 3 V = (9 m)³ V = 729 m³ Quantos m³ de água são necessários para encher uma piscina em que as dimensões são: Comprimento = 12 m, largura = 6 m e profundidade = 1,5 m. V = c x l x h V = 12 m x 6 m x 1,5 m V = 108 m³ _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 85 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Enche-se um recipiente cúbico com água. Dado que um galão do líquido tem um volume de 21600 cm 3 e sendo 120 cm a aresta do recipiente, calcule o número de galões que o recipiente pode conter? 2) Determine a área de uma placa de metal necessária para a construção de um depósito na forma de um paralelepípedo retângulo (aberto em cima) sabendo que o depósito tem 2m de largura, 1,50m de altura e 1,20m de comprimento. 3) Uma banheira tem a forma de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 1,20m de comprimento, 0,90m de largura e 1,50m de altura. Quantos litros de água podem conter? Se toda água da banheira for colocada em um depósito em forma de cubo de 3m de aresta, que altura alcançará a á- gua? 4) Com uma folha de zinco de 5m de comprimento e 4m de largura podemos construir 2 cilindros, um segundo o comprimento e o outro segundo a largura. Determine em qual dos vasos o volume será menor? 5) A água da chuva é recolhida em um pluviômetro em forma de pirâmide quadrangular regular. Sa- bendo que a água alcança uma altura de 9 cm e forma uma pequena pirâmide de 16,8cm de aresta da base e que esta água é vertida em um cubo de 10cm de aresta, responda: que altura alcançará a água no cubo? 6) Constrói-se um depósito em forma cilíndrica de 8m de altura e 2m de diâmetro. Determine a super- fície total do depósito. 7) Um vaso cilíndrico tem 30dm de diâmetro interior e 70dm de profundidade. Quantos litros de água podem conter aproximadamente. 8) Qual o valor aproximado da massa de mercúrio em kg, necessária para encher completamente um vaso cilíndrico de raio interno 6 cm e altura 18cm se a densidade do mercúrio é 13,6g/cm 3 ? M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 86 9) Num cilindro com água colocamos uma pedra. Determine o volume da pedra, se em virtude de sua imersão total a água se elevou 35 cm, sendo 50 cm o raio da base do cilindro. 10) Uma casquinha de sorvete tem a forma de um cone de raio da base 2 cm e altura 10cm. Qual o volume de sorvete que comporta se a parte que ultrapassa o cone é uma semi-esfera. 11) Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r, determine a altura do cilindro. 12) Supondo a terra esférica e o metro a décima milionésima parte do quarto do meridiano, determine a superfície da terra em km 2 . 13) Um pedaço de cano, de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno, encontra-se na posi- ção vertical e possui a parte inferior vedada. Colocando-se 2 litros de água em seu interior, pergunta- se: a água transborda? 14) Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto com seu vértice apontando para baixo. O raio do topo é 9m e a altura do tanque é 28m. Se ele estiver cheio até a metade da altura, qual o volume de água que ele contém? 15) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder sua altura de 16 cm. Qual o número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se pode obter com toda essa massa. 16) Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios isósceles, por fundo um quadrado de lado 19 cm e por topo em quadrado de lado 25 cm, se a altura é 30 cm, qual o volume que esta cesta pode conter? _ __ M MMA AAT TTE EEM MMÁ ÁÁT TTI II C CCA AA A AAP PPL LLI II C CCA AAD DDA AA _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ __ E EET TTC CC – –– E EES SSC CCO OOL LLA AA T TTÉ ÉÉC CCN NNI II C CCA AA D DDE EE C CCA AAM MMP PPO OOS SS 87 BIBLIOGRAFIA Coletânia Objetivo para concursos – Matemática e Raciocínio Lógico e Quantitativo – 2003. GIO- VANNI, Castrucci e GIOVANNI Jr. A conquista da Matemática, 6ª série – São Paulo, Editora FTD, 1988. GIOVANNI, José Ruy. A conquista da Matemática, 7ª série – São Paulo, Editora FTD, 1988. JAKU- BO e LELLIS, José e Marcelo. Matemética na Medida Certa, 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. São Paulo – Editora Scipione, 1994. MALVEIRA, Linaldo. Matemática Fácil, 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. São Paulo – Editora Ática, 1993. www.somatematica.com.br www.terra.com.br/matematica www.matematica.com.br www.exatas.hpg.com.br www.zmais.com.br MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS ..............................................................................................................5 1.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ..................................................................................6 1.1.1 - Adição e Subtração de Números Inteiros ......................................................................7 1.1.2 - Multiplicação e Divisão de Números Inteiros ................................................................7 1.1.3 - Potenciação de Números Inteiros .....................................................................................7 1.1.4 - Radiciação de Números Inteiros ......................................................................................7 1.1.5 - Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros.........................................8 1.2 - FRAÇÕES....................................................................................................................................9 1.2.1 - O significado de uma fração............................................................................................9 1.2.2 - Como se lê uma fração ..................................................................................................9 1.2.3 - Como podem ser as frações ........................................................................................10 1.2.4 - Simplificando Frações ......................................................................................................10 1.2.5 - Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador..............................................................10 1.2.6 - Adição e Subtração de Frações ...................................................................................11 1.2.6.1 - Denominadores iguais.....................................................................................................11 1.2.6.2 - Denominadores diferentes ..............................................................................................11 1.2.7 - Multiplicação e Divisão de Frações..............................................................................11 1.2.7.1 - Multiplicação....................................................................................................................11 1.2.8 - Potenciação e radiciação de números fracionários .....................................................12 1.2.9 - Fração Geratriz.................................................................................................................12 1.2.10 - Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica ......................................12 1.2.10.1 - Dízima periódica simples ..............................................................................................12 1.2.10.2 - Dízima periódica composta ...........................................................................................13 1.3 - NÚMEROS DECIMAIS ..............................................................................................................13 1.3.1 - Fração Decimal ...............................................................................................................13 1.3.2 - Lendo número decimais .................................................................................................13 1.3.3 - Transformando uma fração decimal em número decimal:.........................................13 1.3.4 – Propriedade .....................................................................................................................13 1.3.5 - Operações com números Decimais ..............................................................................14 1.3.5.1 – Adição.............................................................................................................................14 1.3.5.2 – Subtração .......................................................................................................................14 1.3.5.3 – Multiplicação ...................................................................................................................14 1.3.5.4 - Divisão.............................................................................................................................15 1.3.5.5 - Potenciação.....................................................................................................................15 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................18 2 - EQUAÇÕES ......................................................................................................................................24 2.1 - EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL ...................................................................24 2.1.1 - Raiz da equação ............................................................................................................25 2.1.2 - Resolvendo Equações do 1º grau................................................................................25 2.1.3 - Resolvendo equações pelo método prático .................................................................26 2.1.4 - Resolvendo Problemas do 1º grau...............................................................................27 2.2 - EQUAÇÕES DO 2º GRAU ........................................................................................................30 2.2.1 - Equações do 2º grau completas e incompletas ...........................................................30 2.2.2 - Raízes de uma equação do 2º grau............................................................................30 2.2.3 - Resolvendo Equações do 2º Grau ...............................................................................31 2 2.2.3.1 - Equações Incompletas ax – bx = 0, (c = 0) ..................................................................31 2.2.3.2 - Equações Completas ......................................................................................................32 2.3 - SISTEMAS DO 1º GRAU ..........................................................................................................36 2.3.1 - Resolvendo sistemas do 1º grau...................................................................................36 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................39 3 – MATEMÁTICA COMERCIAL ...........................................................................................................43 3.1 - RAZÃO.......................................................................................................................................43 3.1.1 - Lendo Razões .................................................................................................................44 3.2 - PROPORÇÃO............................................................................................................................45 3.2.1 - Propriedade Fundamental das Proporções ..................................................................45 3.2.2 - Trabalhando com Proporção...........................................................................................45 3.2.3 - Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais ..............................................45 3.2.4 - Grandezas Diretamente Proporcionais ..........................................................................46 3.2.5 - Grandezas inversamente proporcionais ..........................................................................46 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 2 _ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 3.3 - REGRA DE TRÊS .....................................................................................................................47 3.3.1 - Regra de três simples ....................................................................................................47 3.3.2 - Regra de Três Composta ..............................................................................................48 3.4 - PORCENTAGEM.......................................................................................................................50 exercícios complementares ...............................................................................................................53 4 – CONCEITOS EM GEOMETRIA .......................................................................................................56 4.1 - PONTO, RETA E PLANO..........................................................................................................56 4.2 - SEGMENTO DE RETA..............................................................................................................57 4.3 - SEMI-RETA ...............................................................................................................................57 4.4 – TRIÂNGULOS...........................................................................................................................57 4.4.1 - Classificando os triângulos quanto aos lados .............................................................58 4.4.2 - Classificando os triângulos quanto aos ângulos .........................................................58 4.5 - TIPOS DE RETAS .....................................................................................................................59 4.6 - FIGURAS GEOMÉTRICA..........................................................................................................60 4.7 - POLÍGONOS .............................................................................................................................60 4.7.1 - Tipos de polígonos .........................................................................................................60 4.7.2 - Partes de um Polígono..................................................................................................61 4.7.3 - Classificação dos Polígonos ...........................................................................................61 4.8 - CORDA, DIÂMETRO E RAIO....................................................................................................62 4.9 – SEMICIRCUNFERÊNCIA .........................................................................................................62 4.10 - CÍRCULO.................................................................................................................................62 5 - MEDIDAS (Transformação de UnidadeS) ........................................................................................63 5.1 - MEDINDO COMPRIMENTO .....................................................................................................63 5.2 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO..........................................................................63 5.3 - TRANSFORMANDO UNIDADES ..............................................................................................63 5.4 - MEDINDO SUPERFÍCIES.........................................................................................................64 5.5- UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE ..................................................................................66 5.6 - QUADRO DE UNIDADES USADAS PARA MEDIR SUPERFÍCIES.........................................66 5.7 - LENDO UNIDADES DE ÁREA ..................................................................................................66 5.8 - TRANSFORMANDO UNIDADES ..............................................................................................66 5.9 - VOLUME....................................................................................................................................66 5.10 - MEDINDO VOLUME................................................................................................................66 5.11 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO ........................................................67 5.12 - LENDO UNIDADES DE VOLUME...........................................................................................67 5.13 - TRANSFORMANDO UNIDADES ............................................................................................67 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................68 6 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ...............................................................70 6.1 - TEOREMA DE PITÁGORAS .....................................................................................................71 7 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO........................................................................73 7.1 - Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo ............................................................73 8 - ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS .................................................................................75 8.1 – ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS........................................................................75 8.1.1 – Área do quadrado..........................................................................................................75 8.1.2– Área do retângulo ............................................................................................................75 8.1.3 – Área do triângulo ...........................................................................................................75 8.1.4 – Área do paralelogramo ..................................................................................................75 8.1.5 – Área do trapézio ............................................................................................................76 8.1.6 – Área do losango ............................................................................................................76 8.1.7 – Área do círculo...............................................................................................................76 8.2 - CALCULANDO ÁREAS .............................................................................................................78 8.3 - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA ................................................................................79 8.4 – CALCULANDO π .....................................................................................................................79 8.5 - CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA ..................................................79 8.6 - CALCULANDO A ÁREA DE UM CÍRCULO ..............................................................................80 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................81 9.0 VOLUME ..........................................................................................................................................82 9.1 – VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS .......................................................82 9.1.1 – Cubo ..................................................................................................................................82 9.1.2 - Paralelepípedo Retângulo.................................................................................................82 9.1.3 – Cilindro...............................................................................................................................82 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 3 MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 9.1.4 – Prisma................................................................................................................................82 9.1.5 – Pirâmide.............................................................................................................................83 9.1.6 – Cone ..................................................................................................................................83 9.1.7 - Esfera .................................................................................................................................83 9.2 - CALCULANDO VOLUMES........................................................................................................84 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES.................................................................................................85 BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................................87 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 4 0.7320508 e = 2. .7182818 São compostos por dízimas infinitas não periódicas..= 32/99 2. } Obs..4142135 3 = 1. 9 . Números Reais É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. podemos citar o -1/2 ...... N é um subconjunto de Z. Números Irracionais São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b..3 = 23/10 Números decimais periódicos são racionais...3232 . -1 . b ≠ 0 b   Alguns números irracionais π = 3. 3 .. com b diferente de 0. ..9999 ._ _ 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS Números naturais N = { 0 . 2..3333 . 1 ..1111. pois: 0. } Números Inteiros MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Z = { . 1 ..1 = 1/10 2.1415926 2 = 1. Números decimais exatos são racionais. com a e b sendo números inteiros e b diferente de 0. isto é..5 . como exemplo. Números Racionais São aqueles que podem ser expressos na forma a/b.. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 5 . . 0 . 2.. 2 . onde a e b são números inteiros quaisquer. é uma outra representação do número 1. etc. -2 . Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 } Assim. 1 . a   I =  x ≠ / a ∈ Z . = 1/9 0.2111 .= 19/90 Toda dízima periódica 0..: Todo número natural é inteiro..= 21/9 0. No seu dia a dia. a) -5 > -10 b) +8 > -1000 c) -1 > -200. zero e números positivos..1 .7. não tem fim. temperaturas acima de zero são positivas.9. não é negativo e nem positivo. Observe que este conjunto é formado por números negativos.5. Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números.}.11. Este ficou pequeno para a matemática.-5.12 = ? b) 8 . que zero é um número nulo ou neutro..4.-2. Observou ainda que o conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z..+5. abaixo de zero são negativas.+3. Quando se tem um crédito. ou seja..+1.8. Compare alguns números inteiros. -7 é menor que -6. observe os exemplos: a) 9 .-1. os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas. também em relação ao nível do mar. Vale lembrar. abaixo do nível do mar altitudes negativas.. eles estão crescendo da esquerda para a direita.000 d) -200 < 0 e) -234 < -1 f) +2 > -1 Lembrete: 1º: Zero é maior que qualquer número negativo.-4. um débito é um número negativo.3.}.1.+2.13.2. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 6 . ou seja as respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros.. se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos. 0 é maior que -1 e assim em diante..10.-3. O conjunto N = {0.12.0. este conjunto é infinito..CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Você viu anteriormente.14. você já dever ter deparado com números inteiros.100 = ? Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas.6.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1.. Vamos conhecer este conjunto: O conjunto Z = {. tem um número positivo. o Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N.+4.. tenho uma dívida de 5 reais faço mais uma dívida de 8.32 5 2 c) (-8) = 1 d)(18) = 18 1 0 1.= +) f) (+18) : (-6) = . tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10.Radiciação de Números Inteiros Exemplos: ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 7 .1 . efetue estas operações pensando em débito (número negativo) e crédito (número positivo).= +) 1.1.(+25) = + 15 .x .4 .: .= -) e) (-8) : (-2) = + 4 (.28 (.8 = -17 (tire os parentes e conserve os sinais dos números) c) (+12) + (-10) = + 12 .10 = +2 (tire os parentes e conserve os sinais dos números) d) (+15) .10 (tire os parentes e troque o sinal do número que estava depois da subtração) e) (-18) .2 .= +) c) (-4) x (+7) = .x + = -) d) (+6) x (-7) = . MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo._ _ 2º: Um é o maior número negativo. 1.: .15 + 10. + 3 + 7.(-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) Lembrete: Para facilitar o entendimento.Multiplicação e Divisão de Números Inteiros a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +) b) (-8) x (-7) = + 56 (.3 (+ : .= -) g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +) h) (-14) : (-7) = + 2 (.Potenciação de Números Inteiros Exemplos: a) (+3) = (+3)x(+3) = + 9 b) (-2) = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = .5 .25 = . eu fico devendo treze ou seja -13. 1.1. . .8.Adição e Subtração de Números Inteiros Exemplos: a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tire os parentes e conserve os sinais dos números) b) (-9) + (-8) = .42 (+ x .3 . 3º: Zero é menor que qualquer número positivo.1.1. devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7.9 . sendo assim.5 + [ .[ .8 + 15 .16 + 15 =-1 Primeiro resolva dentro do parênteses.5 .3 + 2 .( 4 . logo após elimine os colchetes.8 + 3 x ( + 5 ) . logo depois elimine os colchetes. elimine também as chaves.3]} = {.8 + 3 x (-4 + 9) . como antes deste tinha um sinal de mais.3]} = { . como também tinha um sinal de menos todos os números saíram com os sinais trocados. some os positivo e o negativos. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 8 . todo os números saíram sem trocar sinal. depois multiplique o resultado por 3.5 + [ .5 + [ . b) { . observe que também não teve troca de sinais pelo mesmo motivo anterior.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA a) b) c) d) real) 3 25 =5 (lembre-se que 5x5 = 25) 49 = 7 (lembre-se que 7x7 = 49) − 9 = (lembre-se que não existe raiz quadrada de número inteiro negativo) 16 = -4 ( Observe que neste caso o menos está fora da raiz.8 + 15 . junte positivo e negativos.4 + 5 + 6] =3-2+4-5–6 = 7 – 13 =-6 Primeiro elimine os parênteses.5 .3 + 2 .8 + 15 .5 .1.3} = . existe raiz − 8 =-2 ( lembre-se que (-2)x(-2)x(-2)= -8.3]} = { .Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros a) . como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados.3 = . neste caso é raiz cúbica assim existe raiz real) 8 = 2 ( lembre-se que (2)x(2)x(2) = 8) e) 3 f) 1.[ .6)] = .5 . significa a : b.O significado de uma fração Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo partes.2. neste caso. é um número natural e 12 é múl3 A fração tiplo de 3._ _ 1.2. 100. Dentre essas line teria comido 4 partes: Na figura acima. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. surgiu o conceito de número fracionário.2 . sendo a e b números naturais e b diferente de zero. assim.1 . 7. 6. então a fração Veja o exemplo: a representa um número natural. 8. 1000. considere uma ou algumas. 1.2 . 3. b 12 é igual a 12:3. b Chamamos: a de fração . . conforme nosso interesse. obtêm-se o quociente 4.FRAÇÕES MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA O símbolo a . as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline. Durante muito tempo. e que A7 em partes iguais. Então. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 9 . e a parte branca é a parte que sobrou do bolo.. 4. 5. b Se a é múltiplo de b.a de numerador e b de denominador. 9 e também quando os denominadores são 10.Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2. 3 12 Efetuando a divisão de 12 por 3. 12 é o numerador e 3 é o denominador. 1.. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais. Exemplo: Aline comeu 4 de um bolo. os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Exemplos: 3/4 = 6/8 .3 .m.2. esta não se altera.Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador Exemplo: 2/3.Como podem ser as frações Frações Próprias 1 5 50 . São encontradas as frações equivalentes a fração dada. que neste caso é 12. 5 8 90 Frações Impróprias 5 10 10 .observe que numerador e denominador foram multiplicados por 2.Simplificando Frações Quando multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número. 5 .2. 5/4 e 7/2 . .c entre os denominadores.2.4 . 3 7 4 Frações Mistas 5 2 1 1 .5 . ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 10 . 1 3 3 2 1. .Basta determinar o m.observe que numerador e denominador foram divididos por 3. 12/18 = 4/6 . 1.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 Um meio Um terço Um quarto Um quinto Um sexto Um sétimo Um oitavo Um nono 2/5 4/7 7/8 12/9 1/10 1/100 1/1000 5/1000 Dois quintos Quatro sétimos Sete oitavos Doze nonos Um décimo Um centésimo Um milésimo Cinco milésimos 1. c. deve-se reduzir as frações ao menor denominador comum (achar o mmc) e.Adição e Subtração de Frações 1.7 . deve-se multiplicar numerador por numerador.2 . 15/12 e 42/12 . e denominador por denominador.1 .2. deve-se determinar o m. Exemplo: 3/5 x 3/6 = 9/30 1.1 . Exemplo: 2/5 : 3/7 = 2/5 x 7/3 = 14/15 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 11 .2. 1.6 .2. pega-se o resultado e multiplica-se pelo numerador. Exemplo: 5/4 + 1/6 = 15/12 + 2/12 = 17/12 Obtendo o m. basta somar os numeradores e conservar o denominador.Divisão Na divisão de números fracionários. deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Para subtrair frações com denominadores iguais._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 8/12.6.7.2.m.m.2.Denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais.2.7. dividi-se pelo denominador.m.c dos denominadores tem-se m. adicionar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas.Multiplicação Na multiplicação de números fracionários.Multiplicação e Divisão de Frações 1.c entre os denominadores destas frações.6.c (4.Denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes.m.2 . Exemplos: 4/5 + 3/5 = 7/5 8/15 . basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. 1. pega-se o m.6) = 12. Para obter as frações equivalentes.para obter.7/15 = 1/15 1. em seguida. 2.Fração Geratriz Conforme estudado..1 .. está elevando o numerador e o denominador a esse expoente: Exemplos: 0 2 2 4  2   = x = 3 3 9  3 1. a parte não decimal é a parte inteira. 45. quando se eleva um número fracionário a um determinado expoente..12454545. Convém lembrar que se tem decimais exato. a divisão pode resultar em um número inteiro ou decimal. 1.123123123.252525. cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um número formado por tantos noves quantos sãos os algarismos do período.. 0.2.9 . Exemplos: ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 12 ..8.5689.45.555555.8 . .Radiciação 2 3 3 3 27  3   = x x = 4 4 4 64  4 3 5   =1 9 0 Na radiciação..2. Exemplos: 2.Potenciação Na potenciação.8.2.10.10 . está aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador: 9 3 = 16 4 25 5 = 81 9 8 2 = 27 3 1..MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1. 456.1 .256. resulta da divisão de dois número inteiros. Você deve saber.Potenciação e radiciação de números fracionários 1.. 7.. quando aplica-se a raiz a um número fracionário. Deve-se lembrar que a parte decimal será transformada em uma fração. todo número racional (Conjunto Q).Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica 1.5689 E também decimais não exatos (dízima periódica) Exemplo: 2. que em uma dízima periódica a parte decimal que repete.2 ..4689999. a parte que não repete é chamada de ante-período. 12.Dízima periódica simples Deve-se adicionar a parte decimal à parte inteira.. 12.. recebe o nome de período.. 0.2.2. três números depois da vírgula denominador 1000 e assim por diante..Dízima periódica composta Deve-se adicionar à parte inteira uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período.=2+ 147 − 1 146 ÷ 2 73 990 + 73 1063 = = 2+ = 2+ = 990 990 ÷ 2 495 495 495 1.002 = Doze inteiros e dois milésimos 0. 3/1000..Fração Decimal São frações em que o denominador é uma potência de 10.252525.25 13/10 = 1. dois números depois da vírgula denominador 100..1474747.25 45/1000 = 0.3.1 .5 Observe: Denominador 10 um número depois da vírgula.=1+ 4 9 + 4 13 = = 9 9 9 1.444._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 0..3. 1.3.. e cujo denominador é formado de tantos noves quantos são os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto são os algarismos do anteperíodo. 3/10000 1.4 – Propriedade Um número decimal não se altera ao acrescentarmos zeros a direita do seu último número. O contrário seria um número depois da vírgula denominador 10..Lendo número decimais 0.= 0+ 2 = 0 + 2 = 2 9 9 9 0.2.2. seguindo de um período..2 .24 = Dois inteiros e vinte e quatro centésimos 12.Transformando uma fração decimal em número decimal: 25/100 = 0. Exemplos: 3/10. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 13 .10.1 325/100 = 3.25 = Vinte e cinco centésimos 2. menos o ante-período.. denominador 100 dois números depois da vírgula.. denominador 1000 três números depois da vírgula e assim por diante.3 121/10 = 12.2 .3 .=0+ 25 = 0 + 25 = 25 99 99 99 1.NÚMEROS DECIMAIS 1.045 4225/10 = 422.0002 = Dois décimos de milésimos 1. Exemplos: Período = 47 ( implica em dois noves) ante-período = 1 ( implica em um 0) 2.3 .3. Exemplos: 0.1 .42 046 +096 +023 = 0.20 = 1.1= 4.2 – Subtração A subtração de números decimais é efetuada da mesma forma que a adição.841 0.3.3.03 3. décimo com décimo.42 x1.42= 0. 4.42 + 2.5.211= 2.42 +2.32= 9.23x1.230 = 0.30 + 0.1.4 = 0.81 = 0.42x1.3.1 – Adição Na adição de números decimais devemos somar os números de mesma ordem de unidades.211 0.4 .504 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 14 .323 4.21 X2.230 +3. deve-se colocar vírgula debaixo de vírgula. Em seguida.20000 1.2000.Operações com números Decimais 1.23 + 3. centésimo com centésimo.742 1.3 + 0.5 .1.2= 0.3266 0.4000 = 0.777 1.2 084 +042 = 0.11 1.210 -1.43 7.40 .230000 1.400 = 0.21 x 2.5.2300 = 0. 1.21 .2 = 1.4.3 – Multiplicação Efetua-se a multiplicação normalmente.03= 1.5.3. Antes de iniciar a adição.200 = 1. contam-se as casas decimais de cada número e o produto fica com o número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores.23 X1.19 2.23000 = 0.1 1 2 11. Exemplos: 4.21 3.40000 0.400 1.122= 7.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Exemplos: 0.21= 4.23 = 0.1.4 + 1.999 9.1 421 +842 = 8.100 -4.81 1. 2 x 1.5 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 15 .5 . 1170 234 Observe que.44 (1.2 = 1. elimine a vírgula e afetue a divisão normalmente.5) 1 = 23.Divisão Na divisão de números decimais.7 2. Exemplos: (0._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1.5.4 .2)² = 0.34 Iguala-se o número de casas decimais.2 = 0. Igualadas as casas decimais.2 x 0.04 (1.5.3.Potenciação Efetue da mesma forma com os números naturais.3. a vírgula foi eliminada e se efetuou a divisão.70 2. Resto igual a zero divisão exata 1. Deve-se igualá-las antes de começar a divisão.23) 0 = 1 (23.2) ²= 1.34 11. Exemplos: 11. o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de casas decimais. 5 .15 . quanto tempo levará para fazer a prova inteira? 25 3 8  1  6) Simplifique + +  = 81 27  2  2 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 16 .12 = 3 a) 5) Um aluno demora 3.100 = f) 0.27 .6 minutos para fazer cada uma das 20 questões de uma prova de matemática.00132 .03) e) 0.5 = c) (15.4 − 2.3333Λ + 2.5 + 3 − 7 + 7.068 .05 + 2.95) : (0.10 = a) 2) Gastei R$17.5 : 2.8 + 11.5555Λ = 1 b) 2 − 0.00 .10 + 0.2 = b) 12.7 )(4. quanto ele deverá me devolver? 4) Transformando os números decimais em frações decimais efetue as operações: 0.00 .3 − 1.1666Λ + 5.(+ 2)5 + (+ 3)4 : (− 9) + 16 : (− 2 )3 = (− 5 + 8 − 3 + 2 − 7 )2 + (− 10 + 11)4 = Números Decimais e frações 1) Resolva as expressões: 3.1 + 4.1000 − 18.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Exercícios Números inteiros: 1) Resolva as expressões: a) b) c) d) 5 2 + (− 3) + (− 2 ) = 2 3 − 2 4 − (− 3) + (− 1) + 15 : 3 = 2 5 (− 1)11 .8 − 0. Se paguei com 2 notas de R$10.47 . o comerciante trocou o 1 pelo 7 3) Na hora de registrar o valor da conta que foi de se eu paguei com R$20.2 ) = d) (0. qual deverá ser o meu troco? R$19. _ _ 7) Calcule: a) MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1 de 180 laranjas 3 2 de 24 meses 3 2 de 30 homens 5 5 7 1 4 1 5 b) c) d) o dobro de e) o triplo de f) a metade de g) o dobro de 3 . Qual o peso de 8 latas. Quanto será necessário de cada ingrediente para 2 receita? 2 8) Numa receita os ingredientes são: 9) Uma lata de palmito pesa 3 kg. 4 10) Tomei no almoço metade de uma garrafa de refrigerante e no jantar tomei brou. menos 1 4 2 ovos. 1 kg de manteiga e 1 kg 5 10 4 1 de farinha de trigo. Que fração do líquido sobrou na garrafa? 1 do que so3 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 17 . 1 kg de açucar. 03 = d) 5331.96: 0.9 + 2.5} = ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 18 . Quantos litros de gasolina há no tanque? 2 5 4+ 1 2 1 1 + .4 + 18.38 + 98.358 – 152. 245.35.014: 35 = 2) Resolva as expressões: a) 45 – {12 + [16 – (7 + 6)].951 – 0.2 = 2 b) 5. − :2 = 2 3 5 3 b) 2 5 4 1 : +8: −  = 3 2 5 2 2 c) 4 2 4 1 5 −  − : + 1 = 9 3 5 5 4 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Efetue as operações: a) 254.3 = c) 549. O marcador mostra exatamente a metade da distância entre 12) Resolva: a) 1 3 e .MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 11) O tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 70 litros.054 – 7. (4 . 6 10 3 4 b) Encontrar 5 frações entre 1 1 e 5 4 ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 19 .. = f) 2 1 1 − = 4 16 3) Resolva os problemas: a) Colocar em ordem crescente as frações: 3 7 2 3 . + 0.2 – 0. 0.333._ _ b) MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 6 1 2 ... (1 .2 ) + 2 ..3.2 -2= 4 5 c) 2 3 7 2 1 .222. . .) = 3 4 10 9 d) 1 2+ 1 3− 1 4− 1 5 = e) 0. 29 c) 0. 0.018: 0.4 b) 11.44 c) 1.029 d) 290 e) 29 5) Determine o valor da expressão: 1 2+ 4 3 2 + 0.45.09 equivale a: a) 2.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA c) Quantas vezes 6 3 1 é maior que 1 ? 4 8 4) A expressão 0.144 d) 2.52.34 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 20 .96 a) 114.2 + 0.032 2 − 1.03 − 0. encontraremos: 1.0.2 + + 4 +1 1 − 2 3 a) 5 b) -7 c) 20 3 8 d) 5 7 e) 3 6) Efetuando a expressão seguinte.4 e) 0.9 b) 0. .62 d) 0.6 b) 2.4) : 2] a) 1.03) − [(3.06 e) 0.12 : 0._ _ 7) O resultado da expressão seguinte é: MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA (0. é igual à: 10) A expressão 3 −1 + 1 1+ 5 1− a) 3 b) 1+ 1 5 3 3 c) 5 1 d) 5 e) 5 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 21 .12 + 5.04 8) O produto do número 80 pela diferença entre a) 8 b) 3 1 e é: 5 2 160 3 80 3 c) 800 d) 120 e) 9) O dobro da metade da terça parte de um número é: a) O próprio número b) O dobro do número c) A metade do numero d) A terça parte do número e) A sexta parte do numero 1 3 + 1.333.01 c) 0.32 + 0.. qual o número de téc4 nicos formados no Cedtec que a CST vai admitir? a) 140 b) 120 c) 100 d) 110 e) 80 13) A fração equivalente à a) 8 cuja soma dos termos corresponde a 225 é: 17 1 224 100 125 80 145 b) 72 153 153 72 c) d) e) 14) Uma jovem fez uma viajem de 24. Quantas questões tinham a 7 12) A CST vai admitir 240 técnicos no ano de 2008.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 11) Você resolveu prova? a) 30 b) 42 c) 28 d) 35 e) 40 5 das questões de uma prova. Sabendo-se que riência de 5 anos.000 quilômetros. sendo: 3 1 do percurso feito de avião. 1 dos técnicos deverá ter expe3 1 experiência de 2 anos e os demais formados no Cedtec. de 4 6 automóvel e o resto de moto. A fração que equivale ao percurso feito de moto é: a) 1 12 5 12 6 10 b) 1 3 4 10 c) d) e) ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 22 . Deixou de resolver 12. 00 b) R$ 450. b) 80 min.00 c) R$ 400. Trabalhando individualmente. c) 82 min. Thiago realiza a tarefa em 4 horas e Bruno em 6 horas. d) 1hora e) 90 min.00 d) R$ 315.00. ficando ainda com R$ 3 7 300. 17) Uma Pessoa gastou 2 1 do que possuía e depois gastou do que sobrou. Quanto tempo levarão para realizar a mesma tarefa trabalhando juntos? a) 2 horas b) 3 horas c) 3horas e 30 minutos d) 2 horas e 24 minutos e) 2 horas e 10 minutos 16) Uma torneira enche um tanque em 3 horas e outra em 2 horas.00 e) R$ 300. em quanto tempo o tanque estará cheio? a) 72 min._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 15) Thiago e Bruno vão realizar uma tarefa. Quanto vale a metade do que ele possuía? a) R$ 600.00 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 23 . Aberta às duas torneiras simultaneamente. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação. 2. mas não possui uma variável. portanto não é uma equação do 1º grau) Obs: Deve-se observar duas partes em uma equação. Represente pela letra S. Exemplo: X + 3 = 12 .EQUAÇÕES 2. o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual.(variável b) 4 + 7 = 11.EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade. com a ≠0.(ax = b. 9}. é uma equação Forma geral: ax = b. É uma igualdade Portanto.1 . (é uma igualdade. Exemplo: Dentre os elementos do conjunto F = {0. em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. qual deles torna a sentença matemática ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 24 . 8.(variável m) -2r + 3 = 31. em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais. (variável r) 5t + 3 = 2t .3 .12 > 13.1 .4 = 2 + 7.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 2 . (variável x) 2m + 6 = 12 .4 É uma sentença matemática aberta. 6. Conjunto Solução: Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentença verdadeira. 3. mas não é uma igualdade. Conjunto Universo: Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir.2) = 3 + b. (variável t) 3(b . é a forma mais simples da equação do 1º grau) Exemplos: x . portanto não é uma equação do 1º grau) 3x . Represente pela letra U. (possui uma variável. 9 . 02 . 2.9 + 2 . Vamos substituir x por – 3 falsa – 9 é diferente de -7 (. 2.4 = 2 Verdadeiro 2(6) . são chamadas equações equivalentes.4 = 2 Errado MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Deve-se observar que o conjunto U = {0.Raiz da equação Um dado número é chamado de raiz da equação.4 = 8 + 6(4) 36 .3 é raiz da equação 2x .4 = 2.7 .4 = 8 + 24 32 = 32 Então.2 .3 não é raiz da equação ou seja não é conjunto solução da equação.Resolvendo Equações do 1º grau Resolver uma equação do 1º grau em um determinado conjunto universo significa determinar a raiz ou conjunto solução dessa equação.15/5 a=-3 S = {-3} ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 25 .9 = .4 = 2 Errado 2(8) .Verifique se o número 4 é raiz da equação 9a .Verifique se o número . 2(0) .1 .4 a = . 2(-3) . Por esse motivo.3 = 3x + 2. Observe que em todas as equações apresentadas a raiz ou o conjunto solução é o mesmo.4 = 2 Errado 2(9) . Exemplo: 5a + 11 = .4 = 8 + 6a Substitua a por 4 9(4) . sentença Então .11 .4 = 2 Errado 2(3) .4 = 2 Errado 2(2) . o número 4 é raiz da equação ou seja conjunto solução.4 = 8 + 6a Equação 9a . 6. 8. 9}. verdadeira.7).3 = 3(-3) + 2 .6 . 3.1. caso exista solução. Verificando se um dado número é raiz da equação: Exemplos: 01 . e conjunto S = {3} 2.1.3 = ._ _ 2x . quando este torna a igualdade verdadeira.4 5a = . deve ter observado que o número que estava em um membro com determinado sinal aparece no outro membro com sinal diferente.1.Resolvendo equações pelo método prático Exemplos: 1) Resolva as seguintes equações do 1º grau com uma variável sendo U=Q a) Y+5=8 Y=8–5 y=3 S = {3} b) 13x – 16 = .3x 13x + 3x = 16 16x = 16 x=1 S = {1} c) 3(x-2) – (1-x) = 13 3x – 6 – 1 + x = 13 3x + x = 13 + 6 + 1 4x = 20 x=5 S = {5} d) t/4 – 7/10 = 2t/5 – 1 ( tire o mmc) 5t – 14/20 = 8t – 20/20 5t – 14/20 = 8t – 20/20 ( cancele os denominadores) 5t – 14 = 8t – 20 5t – 8t = -20 + 14 -3t = -6 (x1) 3t = 6 t = 6/3 t=2 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 26 . 2.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA OBS: Se você prestou atenção na resolução. No processo prático é feito assim. e quem estava multiplicando aparece no outro membro dividindo.3 . 3º. num total de 13 animais e 46 pés. então S = { } (vazio). Escreva a equação do problema. Quantas galinhas e quantos coelhos há nesse terreiro? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 27 . Resolva a equação.Resolvendo Problemas do 1º grau Antes de iniciar a resolução de um problema usando as equações. b) O triplo de um número: 3x c) O dobro de um número acrescido de 4: 2x+4 d) Um número somado com seu dobro é igual a 10: x+2x=10 e) A metade de um número: x/2 f) Um número somando a sua terça parte: x+x/3 Exemplos: a) Um número somado com o seu dobro é igual a quinze. f) 5x – 4 = -4 + 5x 5x – 5x = -4 + 4 0x = 0 → Fala-se que esta equação é indeterminada ( infinitas soluções) 2. 4º.)._ _ S = {2} e) 5x – 7 = 5x – 5 5x – 5x = -5 + 7 0x = 2 x = 2/0 MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA x = 0 → Não existe divisão por zero. b) Em um terreiro há galinhas e coelhos. Verifique se o resultado encontrado atende ao problema. Exemplos: a) Um número: x ( a letra x é a incógnita ou o termo desconhecido). Determine este número. Identifique uma incógnita do problema que será representada por uma letra (x. 1º.1. m. 2º. então fala-se que. deve-se determinar a equação que o resolve.. x+2x=15 3x=15 x=5 O número procurado é 5.4 . a equação é impossível em Q. y.. 4x + 2(13 . 4x + 2(13-x)=46 ( número de pés de coelho vezes o número de coelhos + número de pés de galinhas vezes o número de galinha é igual ao total de pés).MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Coelho = x Galinhas= 13 – x ( total de animais menos o número de coelhos) Logo.x)=46 4x + 26 – 2x = 46 4x – 2x = 46 – 26 2x = 20 x = 10 Número de coelhos = 10 Número de galinhas = 13 – 10 = 3 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 28 . Qual é o número? 4) Determinar o número que adicionado à sua Quinta parte e à sua Sexta parte dá por soma 82? 5) Dividindo-se um número por 4 ou subtraindo-se 4 desse mesmo número. medita em silêncio e há. Quantos kg pesa o tijolo? 3 8) Qual é o número cujo dobro é igual aos seus 4 aumentados de 15? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 29 . um sétimo. 3) Se ao dobro de um número adicionarmos 21. ainda. obtém-se resultados iguais. Quantos eram os alunos de Pitágoras? 7) Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Exercícios 1) Resolver as equações e problemas do primeiro grau a) b) c) d) e) 2x + 5 − x + 8 = 0 4( x − 1) = 3 x 5 x − 2( x + 2) = 2(3 + x ) 2( x − 1) + 3( x + 4) = 4(2 + x ) 3x − 1 = 2x 2 f) 3x − 1 x  = 3 − 3  2 2  g) 2x 1 x + − =5 3 2 4 2) Qual é a idade de uma pessoa sabendo que a Terça parte aumentada de 4 é igual ao dobro dela mesma. diminuída de 21. três moças.os mistérios da natureza. obtemos o quíntuplo do mesmo número. interrogado a respeito do número de seus alunos respondeu: metade deles estuda matemática.um quarto. Qual é o número? 6) Pitágoras. b = 11 e c = -18 Incompletas: ax2 + bx = 0. b = 5 e c = -6 3x² . onde: a = -1. ou ambos iguais a zero.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 2.2 . onde: a = 3. b = -4 e c = -12 -x² + 11x – 18 = 0. ax² + bx + c = 0. b. quando este torna a sentença matemática verdadeira. Exemplos: 3x – 4a = 0. b = 4 e c = 0 2.Equações do 2º grau completas e incompletas Completas: ax² + bx + c = 0 Quando possui os coeficientes a. c são os coeficientes da equação do 2º grau. C representa o termo independente. B representa o coeficinete de x. b = 0 e c = 5 3x = 0. b e c.EQUAÇÕES DO 2º GRAU De forma geral.3x + 3 = 0 → onde: a =5. onde: a = 2. b = 0 e c = -5 x² + 4x = 0 → onde: a = 1. Exemplos de equações do 2º grau: 5x² . ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 30 .5 = 0 → onde: a = 3. chama-se equação do 2º grau com um variável toda equação que pode ser escrita na forma.2. em que x é a variável e a. b = 7 e c = 1 -x² + 5x – 6 = 0 → onde: a = -1.2 .Raízes de uma equação do 2º grau Fala-se que um número é raiz da equação. • • • A representa o coefiente de x². ax2 + c = 0 ou ax² = 0 Quando b ou c é igual a zero. onde: a = 3. b = 6 e c = 9 -3x² + 7x + 1 = 0 → onde: a = -3.4 e c = 0 2x + 5 = 0. b = .4x – 12 = 0 → onde: a = 1. b = -3 e c = 2 x² + 6x + 9 = 0 →onde: a = 1. Exemplos: x² .2.1 . b = 0 e c = 0 2 2 2. 4} b) -2x2 – 8x = 0 x(-2x – 8) = 0 (observe: x foi colocado em evidência) x=0 -2x = 8 (-1) 2x = .Resolvendo Equações do 2º Grau 2.2.1 .-4} 2 Conclusão: Neste tipo de equação sempre umas das raízes vai ser igual a zero. 9 é raiz da equação. 2x + 5x – 3 = 0 2(3)2 + 5(3) – 3 = 0 (substitua a variável x por 3) 2(9) + 15 – 3 = 0 18 + 15 – 3 = 0 30 ≠ 0 (não.3 .3. Verifique se o número 9 é raiz da equação x2 – 11x + 18 = 0. observe que os dois membros são deferentes) 2 2 2 2. Verifique se 3 é raiz da equação 2x2 + 5x – 3 = 0. 3 não é raiz da equação. ax2 + c = 0. observe que os dois membros são iguais) 2.Equações Incompletas ax – bx = 0. (c = 0) 2 a) x – 4x = 0 x(x – 4) = 0 (observe: x foi colocado em evidência) x=0 x–4=0 x=4 S = {0._ _ Exemplos: MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1. x – 11x + 18 = 0 (9) – 11(9) + 18 = 0 (substitua a variável x por 9) 81 – 99 + 18 = 0 0 = 0 (sim.8 x=-4 S = {0.2. (b = 0) ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 31 . 2 2 2 2. + 2} Conclusão: Neste tipo de equação sempre as raízes vão ser opostas. é o discriminante da equação 2 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 32 . c = 0) 5x = 0 X = 0/5 X =0 x = 0 (zero é nulo) S = { 0 } Conclusão: Neste tipo de equação sempre a raiz vai ser igual a zero. 2 x= −b± ∆ 2a ∆= lê-se Delta ∆ = b – 4ac ∆.8(-1) 2x = 8 x = 8/2 X =4 X=± 2 2 2 2 2 4 x=±2 S = {. 4} b) -2x + 8 = 0 -2x = . -4 e +4).MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 2 a) x – 16 = 0 x²=16 (dois números que elevado ao quadrado dê dezesseis.2.2 . 2 ax = 0.Equações Completas ax + bx + c = 0 -> Use a fórmula de Báskara. X=± 16 X=± 4 S = {.4.3. (b = 0.2. e c são os coeficientes da equação do 2º grau.-2} b) x – 12x +36 = 0 → a = 1. b = -12 e c = 36 ∆ = b – 4ac ( primeiro vamos calcular o valor de delta) ∆ = (-12) – 4(1)(36) (substitua a por 1.) 8±4 −2 8 + 4 12 x' = = = −6 −2 −2 x' ' = 8−4 4 = = −2 −2 −2 S = {-6. b por -8 e c por 12) ∆ = 64 – 48 ∆ = 16 ( delta positivo) 2 2 2 x= x= −b± ∆ 2a ( substitua b por -8. Exemplos a) X – 8x +12 = 0 → a = 1. b.) 12 ± 0 2 12 + 0 12 = =6 x' = 2 2 x' ' = 12 − 0 12 = =6 2 2 S = {6} c) 2x . b por -12 e c por 36) ∆ = 144 – 144 ∆ = 0 ( delta igual a zero) 2 2 2 x= x= −b± ∆ 2a ( substitua b por -12. b = -8 e c = 12 ∆ = b – 4ac ( primeiro vamos calcular o valor de delta) ∆ = (8) – 4(1)(12) (substitua a por 1. delta por 0 e a por 1. delta por 16 e a por 1. b = . que a._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Observe.4x + 3 = 0 → a = 2.4 e c = 3 ∆ = b – 4ac ( primeiro vamos calcular o valor de delta) 2 2 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 33 . b = 3 e c = m ∆ = b – 4ac b – 4ac = 0 (3) – 4(2)(m) = 0 9 – 8m = 0 – 8m = -9 (. ∆ = 0 → A equação possui duas raízes reais e iguais. para que as raízes sejam reais e diferentes. não existe raiz de número real negativo. (x’≠x”) ∆ < 0 (Negativo) → A equação não possui raízes reais. b = .MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 2 ∆ = (-4) – 4(2)(3) (substitua a por 2. ∆ > 0 → a = 2. b por -4 e c por 3) ∆ = 16 – 24 ∆ = -8 ( delta negativo) S = {}.1) 40r < 16 r < 16 : 8 40 : 8 2 2 2 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 34 .16 (.1) 8m = 9 9 2 2 2 m= 8 9 (Esta equação só vai possuir raízes reais e iguais quando m = 8 ) Determine o valor de r na equação 2x2 .4x + 5r.4 ) – 4(2)(5r) > 0 16 – 40r > 0 – 40r > .4 e c = 5r b – 4ac > 0 b – 4ac = 0 (. ∆ = 0 → (Raízes reais e iguais) → a = 2. para que as raízes sejam reais e iguais. Importante: ∆ > 0 (Positivo) → A equação possui duas raízes reais e diferentes. (x’ = x”) Problemas Envolvendo o Discriminante (Delta) Exemplo: Determine o valor de m na equação 2x2 + 3x + m. Graças as relações de Girard. para que não exista raízes reais.3.25 (. ∆ < 0 -> a = . b = 7 e c = 12 S= 2 − (7 ) −b →S= → S = -7 a 1 c 12 →P= → = P = 12 a 1 P= Determine o valor de m na equação 4x2 – (m – 2)x + 3 = 0 para que a soma das raízes seja 3/4. x + 7x + 12 = 0 → a = 1._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA r< 2 5 2 ) 5 (Esta equação só vai possuir raízes reais e diferentes quando r < Determine o valor de k na equação -3x2 + 5x – 2k.1) 24k > 25 k > 25 24 2 2 2 Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º Grau É possível calcular a soma ou produto das raízes da equação do 2º grau sem precisar resolver a equação. Soma das raízes x’ + x” = − b a ou S = −b a Produto das raízes x’x” = c c ou P = a a Exemplos Calcule a soma e o produto das raízes equações do 2º grau. b = 5 e c = -2k b – 4ac < 0 b – 4ac < 0 ( 5 ) – 4(-3)(-2k) > 0 25 – 24k < 0 – 24k < . ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 35 . 7)} Obs: no conjunto solução de um sistema.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA −b 3 − [− (m − 2 )] 3 m − 2 = = →S = → → 4(m – 2) = 4. observando que nesta operação devera eliminar uma variável.3 . primeiro x depois y. Exemplo 1:  x + y = 9 → 1ª +  x − y = 5 → 2ª 2 x + 0 y = 14 1º some as duas equações membro a membro: Logo: 2x = 14 x = 14/2 x=7 Volte na 1ª ou na 2ª equação: 1ª equação: x+y=9 2+y=9 y=9–2 y=7 S = {(2.(3) → 4m – 8 = 12 → 4m = 12 4 a 4 4 4 20 →m=5 + 8 → 4m = 20 → m = 4 S= 2. formam um sistema quando possuem uma solução comum (mesma solução). Nesse caso as duas equações tem o mesmo conjunto universo.Resolvendo sistemas do 1º grau 1º) Método da adição: Esse método consiste em adicionar as duas equações membro a membro. deve colocar o par de números dentro de um parêntese por ser um par ordenado. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 36 .SISTEMAS DO 1º GRAU Afirma-se que duas equações do 1º grau. 2.3.1 . para que os coeficientes de y fiquem opostos –3 e +3. 4 x − 3 y = 5(−1)  7 x − 3 y = 11 → − 4 x + 3 y = −5 + 7 x − 3 y = 11 3x − 0 y = 6 Voltando na 1ª equação substitua x por 2.1)} ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 37 ._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Exemplo 2: 4 x − 3 y = 5  7 x − 3 y = 11 Observe que na forma em que se encontram as equações. 3x = 6 x = 6/3 x=2 s = {(2. Se adicionarmos não eliminaremos nenhuma das variáveis. Multiplique a 1ª ou 2ª equação por (-1). 00 a mais do que tem. teria percorrido a mesma distância em 1 h a R$40. o número de bolas vermelhas é o triplo do número de bolas pretas. O dobro do maior é igual ao triplo do menor.00 .MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Exercícios 1) Encontre o conjunto solução dos sistemas: a) x = 4 + 2 y  3 x + y = 5 x − 2 y = 9  4 x + y = 0  x − y = −2  2 y − x = 3  x + y = 20  2 x − y = 13 Problemas sobre equações e sistemas b) c) d) 1) As dimensões de um retângulo são 7cm e de x ? (x + 5)cm . Mas. percorreu menos. Se tirarmos 2 bolas pretas e 26 vermelhas. Quais são os 2 números? 90 . Determine os 2 20 m a mais que a Qual a quantia que ele possui? Qual o preço do aparelho? 4) A soma de 2 números é 5) A soma de 2 números é números? 6) Um terreno é retangular e tem 128 m de perímetro. Determine as dimensões e a área desse terreno. Qual foi a distância percorrida. se tivesse aumentado em 20 km sua velocidade média. uma pessoa precisa de x km em 5 horas. O comprimento tem largura. se ele tivesse o dobro da quantia que tem. o número de bolas de cada cor ficará igual. 169 e a diferença entre eles é 31 . Quantas bolas de cada cor há nessa caixa? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 38 . Qual é o valor 2) Um carro desenvolvendo uma velocidade média. 3) Para comprar um aparelho. compraria o aparelho e ainda ficaria com R$27. x y 2 6 + 4 = 3  2 2 7) Determine o valor de x + y resolvendo o sistema  x = y  2  8) Numa caixa. Se a água é 105cm 2 . _ _ EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Encontre o valor de x na equação abaixo: MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 2) Encontre o valor de x que é solução da equação abaixo: 3) A raiz da equação vale: 4) Encontre a solução da equação: 5) A raiz da equação abaixo. é: 6) O valor de x na equação seguinte vale: ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 39 . y. encontre o valor de 2x + y – z: ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 40 . z são números naturais. encontre os valores de x e y: 11) Se x.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 7) Encontre os valores de x e y no sistema seguinte: 8) Determine os valores de a e b no sistema seguinte: 9) Encontre os valores de x e y no sistema seguinte: 10) Dado o sistema abaixo. 22) Uma livraria vendeu 3 apostilas de português e 5 de matemática recebendo R$ 171. Há 3 anos a idade do pai era o triplo da idade do filho. A largura é igual a 5/8 do comprimento. 00 R$ a menos que a apostila de português? 23) Um fazendeiro repartiu 240 bois entres seus três herdeiros da seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos.00 entre duas pessoas de modo que a terça parte de uma seja a metade da outra. mais a sua quarta parte somam 31._ _ 12) Dado o sistema abaixo. Qual é esse número? 14) A soma do triplo de um número com sua metade é igual a 35. 15) A diferença entre as idades de um pai e um filho é de 30 anos. Qual é esse número? 21) O perímetro de um retângulo é de 25 cm. Qual é o preço da apostila de matemática se ela custou 3.00. Calcule as dimensões do retângulo. Quanto recebeu o primeiro herdeiro? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 41 . Calcule esse número. Qual a idade do pai e do filho. mais a sua terça parte. Qual é o número de moças? 18) Divida 64 em duas partes de modo que uma seja o triplo da outra. Quais são esses números? 17) Numa sala de 42 alunos. 20) O dobro de um número. hoje? 16) A soma de 3 números inteiros e consecutivos é 35. determine x + y: MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 13) O dobro de um número somado com 3 é igual a 17. o número de moças é a metade do número de rapazes. 19) Repartir R$ 1000. 00. elas atingiriam o mesmo número dos homens. O peso da menor mais 100g e igual ao peso das outras. quanto pesa. a soma do divisor com o quociente é 28. e o quociente é o triplo do divisor. respectivamente. Qual é o número de homens e mulheres que estudam no Cedtec? 26) Na lanchonete do senhor Manoel tem a seguinte promoção: Pão com uma fatia de queijo por R$ 1.00. Se o peso da areia é 1. A soma das idades dos três filhos ficará igual à idade do pai daqui há quantos anos? 25) O Cedtec tem 4000 alunos entre mulheres e homens. obtendo-se o equivalente ao peso de uma melancia de 4.900. em g. duas mangas? 29) Para pesar 3 maçãs. Se acrescentássemos 400 mulheres. 5 anos.50 Pão com duas fatias de queijo por R$ 2.5 vezes o peso da água. dividido por 8 e depois multiplicado por 7. Se jogarmos metade da água fora. Os gastos de Sergio corresponderam a 2/5 de seu salário e os de Carlos. qual será o dividendo? 34) Um tonel cheio de água pesa 600g. Se o resto é o maior possível. e mais 8 mangas. Mário e Pedro. O mesmo tonel cheio de areia pesa 800g.20 O senhor Manoel sabe quantos sanduíches vendeu contando os pães. Qual será o peso total das 3 maçãs? 30) Sergio e Carlos viajaram em férias e gastaram juntos 5. têm. 33) Numa divisão inexata. O peso da maçã maior é igual ao peso das outras duas juntas. somado com 2. a 3/8 de seu salário. Qual a soma dos dois salários? 31) Existe um número que. se ele vendeu 36 pães? 27) Um copo cheio de água pesa 325g. determine o peso do tonel.3 kg. dispomos de um peso de 100g e de uma balança de pratos iguais. 7 anos e 10 anos. O peso do copo vazio é: 28) Numa balança pesa-se 15 maçãs. resulta em si mesmo. Com essa promoção ele faturou R$ 75.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 24) Um pai tem 50 anos de idade e seus filhos João. Os 2/7 desse número valem: 32) Determine a fração equivalente a 4/5 cuja diferença entre os termos seja igual a 4. cada uma com 180g. seu peso cai para 180g. A maior e a menor pesam 100g. Sabendo que o salário de Carlos corresponde ao dobro do de Sergio mais 400. Se cada manga tem o mesmo peso. Quantas fatias de queijo foram vendidas.00. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 42 . _ _ 35) Resolva as equações: a) x² – 2x – 15 = 0 MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA b) -3x² + 24x = 0 c) 6x² – x – 1 = 0 d) (2x + 1)² + 2(x + 1) = 3 e) x² – 8x – 8 = 0 f) 7x² – 6x + 1 = 0 36) Os valores de x que satisfazem à equação 2x² – 9x + 4 = 0 são: 37) A equação (x – 5)² = 2(x – 1) tem como raízes: 38)As raízes da equação 10x² – 13x + 4 = 0 são: 3 – MATEMÁTICA COMERCIAL 3. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b. ao quociente entre eles. Exemplo: ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 43 .RAZÃO Chama-se de razão entre dois números racionais a e b. com b≠0.1 . :Os termos de uma razão são Antecedente e Conseqüente.Lendo Razões 2 lê-se. Tendo sido aprovados 30. qual a razão entre o número de aprovados e o número de reprovados. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. 5) Qual foi a escala da planta de um terreno no qual o comprimento de 100 m foi representado por um segmento de 5 cm.1.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Exercícios Razão e proporção 1) Se 1 20 − 2 x= . 2 está para 5 ou 2 para 5 5 8 lê-se. (lembrando que razão é divisão).  20 ÷ 5 4 = (Indica que para cada 4 rapazes existem 5 moças) 25 ÷ 5 5 Voltando ao exercício anterior. 8 está para 9 ou 8 para 9 9 Obs.1 . 6) Calcule o valor de 2 x nas proporções: 20 x = 100 45 15 b) 75 = 2x a) ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 44 . encontre a razão entre o número de moças e rapazes. 4) João resolve 15 testes e acerta 7. a razão da área construída para a área livre é de quanto? 3) Num concurso havia 90 candidatos. Antônio resolve 21 testes e erra 10. Coloque os nomes em ordem crescente de eficiência. e y=  qual a razão entre x e y 5 8  3  2 2 2) Se uma construção tem 800 m de área construída e 1000 m de área livre.  25 ÷ 5 5 = (Indica que para cada 5 moças existem 4moças) 20 ÷ 5 4 3. Ralf resolve 18 testes e acerta 9. 2.Propriedade Fundamental das Proporções Em toda proporção.2 . Exemplo: 6 8 = é uma proporção. a superfície. c e d. b. 3 4 3. 15 3 x 3. a c = b d Os extremos são a e d. são alguns exemplos de grandezas._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1. Em uma corrida quanto maior for a velocidade.x = 2. eles formam. a massa. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais Entende-se por grandeza tudo aquilo que pode ser medido. 6x4=3x8.2 . O volume. os meios são b e c. produto dos meios é igual ao produto dos extremos.3 . nessa ordem uma proporção quando a razão de a para b for igual a razão de c para d. 3. diferentes de zero.1 .5 = x 2 x 5 = d) 8 20 c) 3. a capacidade. No nosso dia-a-dia são encontradas varias situações em que duas ou mais grandezas as relacionam.2.2. contado. o tempo.Trabalhando com Proporção Determine o valor de x na seguinte proporção: 15 10 30 = → 15.10 → 15x = 30 → x = → x = 2. o comprimento. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 45 . a velocidade. menor será o tempo gasto nessa prova.PROPORÇÃO Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dados os números racionais a.25 0. o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Nesse caso. Se ele escolher apenas 2 alunos. triplicando uma delas.50 1. triplicando uma delas a outra também triplica. 3..50. são chamadas grandezas diretamente proporcionais.Grandezas Diretamente Proporcionais Em um determinado mês do ano.2. dobrando uma delas.. o litro de gasolina custava R$ 0.4 .2. as duas grandezas envolvidas. a outra se reduz para a terça parte. as grandezas são o número de funcionário e o tempo. Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica. a quantidade de livros cai pela metade. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando. Quantidade de gasolina (em litros) 1 2 3 Quantidade a pagar ( em reais) 0. cada um deles receberá 4 livros. Se ele escolher 4 alunos. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 46 . e assim por diante. cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos. quantia a ser paga e quantidade de gasolina. Neste caso.Grandezas inversamente proporcionais Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. dobrando uma delas a outra também dobra. a outra se reduz para a metade. quanto maior for o número de funcionários.5 . Observe a tabela: Número de alunos escolhidos 2 4 6 Número de livros para cada aluno 12 6 4 Se o número de aluno dobra. Duas grandezas são chamadas. menor será o tempo gasto para que esta fique pronta. Se o número de alunos triplica. 3.00 1. Tomando como base esse dado pode-se formar a seguinte tabela.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Numa construção . cada um deles receberá 6 livros. a quantidade de livros cai para a terça parte.50 Observe: Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra. diretamente proporcionais quando. o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci.Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. b) Um carro. Nos século XIII. Montar a proporção e resolver a equação. agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Quando duas grandezas são inversamente proporcionais.1 .3 . à velocidade de 60km/h.3. 3. Na idade média. Exemplos: a) Se 8m de tecido custam 156 reais.00. portanto. em quantas horas seria feito o mesmo percurso? Velocidade (Km/h) 60 80 Tempo (Horas) 4 x ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 47 . Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3. Passos utilizados numa regra de três simples: • • • Construir uma tabela. qual o preço de 12 m do mesmo tecido? Tecido (m) 8 12 Preço (reais) 156 x Observe que as grandezas são diretamente proporcionais. 8 156 1876 = → 8x = 12. faz certo percurso em 4 horas.156 → 8x = 1876 → x = → x = 234 12 x 8 Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. com o nome de Regra de Três Números Conhecidos.REGRA DE TRÊS Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h. os árabes revelaram ao mundo a regra de três. aumentando o metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago. determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Deve-se. os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro. porém não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. A quantia a ser paga é de R$ 234. 6 → 8x = 24→ x = 24 →x=3 8 O tempo a ser gasto é 3 horas. Portanto.2 . pode-se diminuir o número de caminhões. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 48 . 3. Portanto. Exemplo: a) Em 8 horas. a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). deve-se aumentar o número de caminhões. aumentando a velocidade o tempo diminui na razão inversa. quantos caminhões 3 serão necessários para descarregar 125m ? 3 Horas 8 5 Caminhões 20 x Volume 160 125 Aumentando o número de horas de trabalho.Regra de Três Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas. direta ou inversamente proporcionais. Aumentando o volume de areia. 20 160 5 20 800 200 = • → = → 8x = 10. 4 80 = → x 60 8x = 4. Deve-se igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.20→ 8x = 200 → x = → x = 25 8 x 125 8 x 1000 Será preciso de 25 caminhões. a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 20 caminhões descarregam 160m de areia. Em 5 horas.3. Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Observe que as grandezas são inversamente proporcionais. Se considerarmos que o biscoito diminui a eficiência e o café a estimula. Quantos kg de trigo precisaremos para fabricar 32 kg de farinha 2) Nove pedreiros fazem um serviço em 72h. quantos automóveis serão produzidos por mês 5) Uma boa massa para pedreiro é feita com 5kg de cimento. Quantos operários serão necessários para construir a Terça parte desse muro em 15 dias. trabalhando 8 horas por dia? 2 2 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 49 . quantos exercícios resolverá. 10kg de areia e 6 litros de água. enquanto come 3 biscoitos e bebe 1 xícara de café. Se forem admitidos mais 500 operários. quantos dias levarão 15 daquelas máquinas para produzir 4000 peças 15) Vinte operários constroem um muro em 45 dias. quantas torneiras devem ser usadas 8) Dez máquinas fabricam 400m de tecido em 16 dias. Quanto tempo levará para encher 3 um reservatório de 4m de volume 4) 2500 operários montam 200 automóveis por mês. Quantos m podem ser pintados com 11 latas dessa tinta 7) Oito torneiras enchem um tanque em 3h. Em quantos dias 12 máquinas fazem 300m desse mesmo tecido 9) Em 3h. 12) Se 15 operários em 9 dias de 8h ganham R$10000. Três torneiras. 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. em 30 dias. quanto devo usar de areia e água 6) Com 4 latas de tinta pintei 280 m de parede. Calcular o número de voltas da primeira quando a Segunda dá 600 voltas 11) Uma torneira pingando. Quanto ganham 23 operários em 12 dias de 6h. 20 gotas por minuto ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Para encher o tanque em 2h. 13) Um aluno resolve 6 problemas em meia hora. trabalhando 6 horas por dia. comendo 8 biscoitos e bebendo 4 xícaras de café. se eu quiser fazer uma massa na mesma consistência. 5 torneiras despejam 2700 litros de água._ _ Exercícios Regra de 3 MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1) Com 10 kg de trigo podemos fabricar 8 kg de farinha. Quantos litros de água vai desperdiçar uma torneira pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário.00. Com 12kg de cimento. 14) Operando 12 horas por dia. em 5h vão despejar quantos litros? 10) Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Quanto tempo levarão 6 pedereiros para fazer o mesmo serviço 3) Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 5 minutos. se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo.PORCENTAGEM Toda fração de denominador 100. Desconto de 25% nas compras à vista. Exemplos: O crescimento no número de matrícula no ensino fundamental foi de 24%. Exemplo: Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento. etc. Logo. 25% x 2000 = 5000 O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro.Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Apenas 20% da mão-de-obra é realmente especializada.Uma televisão custa 300 reais. Por quanto devo vende-la. Então. também pode ser representada na forma de números decimal. devo vender a mercadoria por 2500 reais. revistas. representa uma porcentagem. A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%.Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Pedro gastou 32 m de mangueira. televisão e anúncios de liquidação. como diz o próprio nome por cem. observe os exemplos: Exemplos: 12 =12% 100 5 = 5% 100 78 =78% 100 Alguns cálculos que envolvem porcentagens. 03 . 32% x 100 = 32 Logo.4 . Deve-se lembrar que a porcentagem. pagarei 270 reais. 2000 + 500 = 2500 reais. 02 . percebe-se que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais. Exemplos: 01 .30 = 270 Logo. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista? (primeiro representamos na forma de fração decimal) 10% de 100 10% x 100 300 . Determine quantos metros de mangueira Pedro usou. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 50 . Se reparar em sua volta.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 3. Quantos por cento eu obtive de lucro? Lucro: 25 000 .67 Reais 120 Logo.O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%. passando a ser vendida por 35 000 reais.20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo) (resultado da divisão do lucro pelo preço de custo) Porcentagem 100% X 20000 x = 500000 → x = Preço 20 000 5 000 500000 → x = 25% 20000 05 . Qual era o preço desta casa antes deste aumento? Porcentagem 120% 100% 120.67 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 51 . o preço anterior era 29 166.x = 3500000 → x = Preço 35 000 x 3500000 → x = 29 166.Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 04 . 45% dessa área está plantada com flores. 2 9% com arbustos e a área res ante está vazia. Uma pessoa não conseguiu pagar a conta de água no prazo e teve de pagá-la com um acréscimo de 2% sobre o seu valor.00 para R$54.00 tem um lucro de 15$ sobre seu preço de custo. que era de R$35.00. Qual é a quantidade atual de coelhos. correspondente à multa. Qual foi a taxa porcentual de aumento? 6) Uma loja ao vender um televisor por R$690. Qual foi o seu lucro? 7) Se a largura de um retângulo é aumentada de 20% e sua altura é aumentada de 50%. De quantos % aumenta sua área 8) Um terreno de 300. Qual é a área disponível para loteamento? 9) Quando pagamos uma conta com atraso. Calcule quantos km tem cada parte desse jardim. Três meses depois ela verificou que sua criação tinha aumentado em 200%. A prefeitura determinou que 20% de sua área devia ser destinada a ruas e avenidas. 25% com grama. Para quanto foi o valor da conta? 2 2 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 52 .MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Exercícios Porcentagem 1) Calcule: a) 8% de 40 b) 12. 4) Um jardim tem área de 15000m .000 m foi urbanizado. em geral ela tem um acréscimo no seu valor.00. 5) As passagens de ônibus foram aumentadas de R$45.5% de 50 c) 120% de 20 2) Calcule quantos por cento: a) b) c) d) 45 é de 90 35 é de 350 15 é de 1500 40 é de 160 3) Uma pessoa começou uma criação de coelhos. Qual a parte de cada um no lucro obtido? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 53 . 5. 6) b) (40.000. c) IP (3. O primeiro empregou R$ 10. respectivamente.00 e R$ 14. 8 e 16 litros de água. 6. respectivamente. a sobrinha mais velha recebeu quantas balas? 6) Marly precisou de uma cirurgia. a) (x.000. b. No fim do mês o lucro obtido foi de 45.000. feijão e milho. 3) Sergio e Marcos apostaram R$ 160.000. 54) e (9. c nos itens abaixo: a) (a. 7 para o plantio de amendoim. 5). c) IP (7. c) (a. 12).00.000. quanto teve que desembolsar o filho que pagou menos pelo procedimento cirúrgico. b) (a. 3. Determinar o volume de água que o reservatório recebeu de cada torneira. 5) c) (34. 28) e (y._ _ EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1) Calcule os valores das variáveis nos itens abaixo sabendo que as sucessões são diretamente proporcionais.00 na “Loto”. A operação foi um sucesso! Passada a euforia do resultado.00. 5.00 e que eles foram premiados com R$ 80. 6). se a divisão foi feita proporcionalmente ao que cada um apostou? 4) Um agrimensor vai dividir um terreno retangular de dimensões 2. c) DP (1. o segundo R$ 15.000 e o terceiro R$ 25. 5 e 8 anos. que eram R$ 40. 10.8 km por 250 m em partes proporcionais aos números 2. mandioca.000. b. b. b) e (10.00 pergunta-se quanto coube a Marcos. Sabendo-se que Sergio contribuiu com R$ 70.000. onde a + b + c =81. Seus três filhos resolveram dividir a conta do hospital em partes proporcionais as suas economias às suas economias. onde a + b + c =822. onde a + b + c = 168. Qual a área utilizada no plantio de feijão? 5) Reparti 230 balas entre minhas três sobrinhas que têm respectivamente. 4. que totalizou R$ 63. b.000. 8) Três pessoas formaram uma sociedade comercial. Sabendo que a divisão foi feita em partes inversamente proporcionais às suas idades. 14) 2) Calcule os valores de a.00. R$ 36. 7) Um reservatório de 5040 litros de capacidade foi completamente cheio por três torneiras que despejaram por minuto 12.000. produz 2000 parafusos em 3 dias. uma torneira estava pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. 20 gotas por minuto ocasiona um desperdício de 100 litros de água. quantos exercícios resolveria. Chegando ao local do acampamento. Dona Mira e mais onze amigas resolveram fazer um curso de costura no SESI. Na casa de Kátia. Juntas elas conseguiam fazer 600 uniformes em dias 5 dias. Fechando um delas. em 30 dias. comendo 8 biscoitos e bebendo 4 xícaras de café em 2 horas? 16) Um avião consome 420 litros de querosene por hora. Em quantos dias os uniformes ficarão prontos? 19) Um grupo 30 operários se comprometeu a terminar uma obra em 14 dias.00 c) 15% de R$ 400. percebeu que só havia feito 3/7 da obra. 9. na casa de Kátia foi: 15) Um aluno resolve 6 problemas em meia hora. A quantidade de litros de água desperdiçada. Determinada empresa encomendou 1500 uniformes com pedido de urgência e para melhor atendê-la foram contratadas mais 3 costureiras sob regime temporário. 11) Uma turma de 32 alunos foi acampar e levou alimentos para 10 dias. Calcular o número de voltas da primeira quando a segunda dá 600 voltas. em quanto tempo as outras despejarão 3000 litros nesse tanque? 13) Uma máquina.00 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 54 . 8. Se considerarmos que o biscoito diminui a eficiência e o café estimula. encontraram mais 8 alunos. O número de operários que deve ser acrescido ao grupo para que a obra acabe no tempo fixado é igual a: 20) Calcule: a) 20% de 250 b) 8% de R$ 1200. Ao final de 9 dias. O consumo numa etapa de 2h e 10 min são de: 17) Vinte operários constroem um muro em 45 dias trabalhando 6 horas por dia. enquanto come 3 biscoitos e bebe uma xícara de café. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias trabalhando 8 horas por dia? 18) Após meses com sérios problemas financeiros. Quanto coube a cada um? 10) Uma roda 50 dentes engrena com outra de 40. enchem um tanque de 5000 litros em 10 horas.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 9) Um pai distribuiu a importância de R$ 50. Depois de acabado o curso com a ajuda do SEBRAE conseguiram montar uma pequena fábrica de uniformes.00 aos seus três filhos em partes diretamente proporcionais ás suas idades que são: 3. funcionando 8 horas por dia. Quantos dias durarão os alimentos com a nova turma? 12) Três torneiras que despejam a mesma quantidade de água. Quantos horas por dia deverá funcionar para produzir 12000 parafusos em 16 dias? 14) Uma torneira pingando. 00 tem um lucro de 15% sobre seu preço de custo. Sabendo disso determinado comerciante aumentou uma TV que custava inicialmente R$ 300.00 mais 30% empréstimo compulsório. qual é o reajuste que deve no salário mensal de Oscar para compensar esse aumento escolar? 28) Se a largura de um paralelogramo retângulo é aumentada de 20% e sua altura é aumentada de 50%. dizer que ela lucrou: 27) A mensalidade da escola do único filho de Oscar. então sua área aumenta de: 29) Comprei um televisor por R$ 800.000 m² foi urbanizado. O seu novo salário é: 24) Um terreno.700. Qual é o preço do objeto se a taxa de desconto é de 20%. Qual foi o percentual real de aumento da TV. Qual a área disponível para o loteamento? 25) Um carro novo custa R$ 72._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 21) Ao comprar um objeto obtive um desconto de R$ 120.00 em duas parcelas. presentes. Podemos. Qual o valor da segunda parcela? 30) Após o Natal. de 300.00 por mês. ao vender um televisor por R$ 690.00 em 40%. Ao restante foram acrescidos 35% de correção. após a jogada comercial? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 55 .00 é 15% de que quantia? 23) Marcela ganha R$ 8. então. Paguei a metade à vista. representa 25% do seu salário. em seguida anunciou que estava dando um desconto de 25% para compra de pagamento à vista.00. 22) R$ 300. A prefeitura determinou que 20% de sua área devia ser destinada a ruas e avenidas. apenas pequena parte da sociedade ainda dispõe de recursos para serem gastos em compra de alimentos supérfluos. e de outros produtos. Seu valor real para um comprador será: 26) Uma loja. Se a mensalidade escolar de seu filho aumenta 12%. Recebeu um reajuste de 38%.840. sobre o preço inicial. de uma quadra de futsal. etc. Os agrimensores usavam-a para medir terrenos. vamos nos deparar com estes a todo momento.).MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 4 – CONCEITOS EM GEOMETRIA O nome Geometria. Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito. quando se desenha uma reta no caderno ou quadro. Plano é imaginado sem limites em todas as direções. No antigo Egito.PONTO. reta e plano não são definidos. apenas se tem a idéia intuitiva de ponto (olhando uma estrela no céu. é representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino. etc. 4. RETA E PLANO Ponto. Por volta de 600 a. pelo matemático grego Euclides. por volta de 300 a. é um ótimo exemplo disso. por estar fora dele. As famosas pirâmides construídas próximas ao rio Nilo.C. o campo de futebol. em grego. Observando bem a nossa volta.). de reta (observando as linhas do campo de futebol. a superfície de uma piscina. não tem começo e nem fim. Exemplo: Os pontos F. Os Egípcios ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em busca de novas aplicações na geometria. os fios da rede elétrica bem esticado. A e D pertencem a reta r Plano → O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. por estar dentro dele. principalmente. como acontece com a reta é impossível representar o plano no papel ou no quadro. etc. O plano é representado por uma letra do alfabeto grego. a geometria era amplamente utilizada.. Plano alfa Observe: A reta r e o ponto P pertencem ao plano alfa. esta representada parte da reta.1 . •A Ponto A •B Ponto B •H Ponto H Reta → A reta é imaginada sem espessura.). ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 56 . os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimentos geométrico que foram adquirindo. Por isso. A reta m e o ponto E não pertencem ao plano alfa. representa-se parte deste. de plano (observando o piso de sua casa. sendo representada por uma letra minúscula do alfabeto latino. fazendo com que o Geometria deixasse de ser puramente experimental. enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. Como alfa (a). significa medida da terra (geo = terra e metria = medida).C. Toda a geometria que se estuda hoje é praticamente a mesma daquela época. beta (b) e gama (g). Ponto → O ponto não possui dimensões. e reuniu uma obra de 13 volumes. H. localizando uma cidade no mapa. chamada os Elementos. A.SEMI-RETA Em geometria.2 . reta e plano são conjuntos. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 57 . usa-se pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto. a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta. a reta é considerada um conjunto de pontos. 4. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semi-reta. Exemplo: A O B  → OA Semi – reta de origem O passando pelo ponto A. O ponto O é chamado origem das semi-retas. 4.SEGMENTO DE RETA Dados dois pontos distintos (diferentes). b e c são os ângulos internos do triângulo. está contido e não está contido para relacionar conjunto com conjunto. Afirmar que esse ponto O separa a reta em dois conjuntos de pontos. Vale lembrar que. Exemplo: AB. BC . Representamos assim: TR 4. Considere um ponto O que pertence a uma reta r.  → OB Semi – reta de origem O passando pelo ponto B. a. CA são os lados do triângulo.3 . ponto e elemento. Exemplo: T R m TR é um segmento de reta sendo T e R suas extremidades._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Deve-se lembrar que.4 – TRIÂNGULOS Chama-se de triângulos todo polígono que possui três lados. B e C são os vértices do triângulo. CA são diferentes 4. Os lados AB.Classificando os triângulos quanto aos ângulos Triângulo retângulo: Possui um ângulo reto (ângulo de 90º) Observe que o ângulo A mede 90º Triângulo acutângulo: Possui três ângulos agudos (ângulos menores que 90° ) Observe que as medidas dos ângulos A.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 4. CA são iguais Triângulo escaleno: Possui o três lado com medidas diferentes.4. BC .4.2 . AB igual a AC Triângulo eqüilátero: Possui os três lados congruentes (iguais).1 .Classificando os triângulos quanto aos lados Triângulo isósceles: Possui dois lados congruentes (iguais) e o terceiro lado diferente. Os lados AB. B e C são menores que 90° ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 58 . BC . _ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Triângulo obtusângulo: Possui um ângulo obtuso (ângulos maiores que 90º) Observe que o ângulo A é maior que 90° . Exemplo: As retas r e f são oblíquoas ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 59 . Exemplo: As retas r e m são paralelas r // m (// paralelas ) As retas s e b não são paralelas. são concorrentes e formam ângulos de 90º. Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes quando possui um único ponto em comum.TIPOS DE RETAS Retas paralelas: Duas retas são paralelas quando estão em um mesmo plano e não tem ponto em comum. 4. Exemplo: m ⊥ p. Observe que elas vão se encontrar. Retas perpendiculares: Duas retas são perpendiculares se. e somente se. Exemplo: As retas f e p encontram em um único ponto (A). quando são concorrentes e não são perpendiculares. A reta m é perpendicular a reta p. ⊥ (perpendicular) Retas oblíquas: Duas retas são oblíquas.5 . Figura geométrica não plana: Se nem todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano.POLÍGONOS Poli (Vários ). A figura ao lado não pertence a um só plano.6 . 4. gono (ângulos) .MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 4. Exemplos: Quadrilátero ( 4 lados) 4. figura geométrica plana de vários ângulos. A maioria dos objetos que nos cercam não são planas.Tipos de polígonos Convexos: Exemplos: Triângulo ( 3 lados) Hexágono (6 lados) ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 60 . Exemplos: Observe que todos os pontos desta figura pertencem a um só plano.7 .1 .7. Polígono é a reunião de uma linha poligonal simples formada apenas por segmentos de reta com a sua região interna.FIGURAS GEOMÉTRICA Figura geométrica plana: Uma figura é geométrica plana se todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano. deve-se observar que em qualquer polígono o número de lados é igual ao número de ângulos e igual ao número de vértice.Partes de um Polígono AB. BC .Classificação dos Polígonos Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Não convexos 4.2 .7.3 . DA são lados 4. CD.7. NÚMERO DE LADOS 3 Lados 4 Lados 5 Lados 6 Lados 7 Lados 8 Lados 9 Lados 10 Lados 11 Lados 12 Lados 15 Lados 20 Lados NOME Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 61 . 9 – SEMICIRCUNFERÊNCIA Nota-se que o diâmetro divide a circunferência em duas partes. o diâmetro e o arco da circunferência. Exemplo: ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 62 .CORDA. raio. a corda. Diâmetro: É a corda que passa pelo centro e divide a circunferência em duas partes iguais. Exemplo: OP raio da circunferência TE corda da circunferência SF diâmetro da circunferência 4. diâmetro e arco de um círculo são o centro. Raio: é o segmento de reta que tem uma extremidade no centro da circunferência e o outro na própria circunferência. DIÂMETRO E RAIO Corda: É um segmento de reta que toca a circunferência em dois pontos distintos. o raio.8 .CÍRCULO É a reunião da circunferência com sua região interna. cada uma destas partes é chamada de semicircunferência. corda.10 .MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 4. Centro. Exemplo: 4. MEDINDO COMPRIMENTO Deve-se saber que a unidade fundamental para medir comprimento é o metro.47 m = treze metros e quarenta e sete centímetro ou treze vírgula quarenta e sete metros. Lendo Medidas de Comprimento deve-se observar que a leitura das medidas de comprimento é feita de forma semelhante a leitura dos números decimais.44 cm. bastante usadas.2 . Milha. 0.3 m para cm = 230.MEDIDAS (TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES) MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 5. que equivale a 25. Jarda. que equivale a 5555 m. o número de casas necessárias para chegar na unidade desejada. Polegada.MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO Múltiplos quilometrohectômetrodecâmetro km 1.TRANSFORMANDO UNIDADES Ao trabalhar. Exemplos: 2.23 m = dois metros e vinte e três centímetros ou três vírgula vinte e três metros. que equivale a 91. com o método de andar com a vírgula. que equivale a 30. que equivale a 1069 m.23 km = zero quilômetro e vinte e três decâmetro ou zero vírgula vinte e três quilômetro.01m mm 0. que é representada pela letra m. 5. 5. 12. 13._ _ 5 .4 mm. A palavra metro vem do grego. que significa o que se mede. Esta medida foi adotada como padrão.1 .44 cm. Légua.1m cm 0.3 . Exemplos: 2.45 dm = doze decímetro e quarenta e cinco centímetro ou doze vírgula quarenta e cinco decímetro. metron.000m hm 100m dam 10m Unidade principal metro m 1m Submúltiplos decímetrocentímetromilímetro dm 0. Pé.0 ou 230 cm (para chegar até o centímetro desloca-se a vírgula duas casas para a direita) · ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 63 .001m Observe que cada unidade de comprimento é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Atenção: Deve-se observar que existem outras unidades de medidas. 00 ou 3 m (para chegar até o metro desloca-se a virgula duas casas para a esquerda) 123.0 ou 4230 m (para chegar até o metro desloca-se a vírgula três casas para a direita) 300 cm para m = 3. também se mede superfícies planas.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 12. Quando se fala em medir uma superfície plana. tem-se que compará-la com outra tomada como unidade padrão e verifica-se quantas vezes essa unidade de medida cabe na superfície que se quer medir. como faltou número completa-se com zero) .23 km para m = 4230.47 m para dm = 124.014 km (para chegar até o quilômetro desloca-se a vírgula três casas para a esquerda. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 64 . 5.1234 m (para chegar até o metro desloca-se a vírgula três casas para a esquerda) 14 m para km = 0.7 dm (para chegar até o decímetro desloca-se a vírgula uma casa para direita) 3 m para mm = 3000.4 mm para m = 0.0 ou 3000 mm (para chegar até o milímetro desloca-se a vírgula três casas para a direita) 4.4 .MEDINDO SUPERFÍCIES Assim como se mede comprimento. em outra partida. quantos metros quadrados de piso haverá em 100 dessas caixas? 4) Devem ser distribuídos 400 litros de certa substância em frascos de 50 cm cada um. qual o total de hectometros ele percorreu? 3) Uma caixa contém 2 dúzias de pisos de cerâmica. Sabendo que cada piso ocupa uma área 2 de 1600 cm . qual o volume. em litros.5 km e. em decimetros.10 metros de comprimento foi cortada em 3 partes. este mesmo jogador percorreu 9 milhas. realizada no Inglaterra em 5/6/99. de água que vaza em 1 semana? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 65 . Qual é. Quantos frascos serão necessários? 3 5) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos e admitindo-se que as gotas tenham sem3 pre volume igual a 0._ _ Exercícios MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1) Uma tábua com 3.2 cm . um jogador percorreu 12. As outras duas tem o mesmo comprimento. em uma partida de futebol realizada no Brasil em 25/4/99. O comprimento de cada uma dessas partes? 2) Uma pesquisa esportiva concluiu que. Uma das partes tem 98 cm de comprimento. Sabendo que 1 milha corresponde a aproximadamente 1600 m. usamos a unidade denominada metro cúbico (m³).234 m para dm = 223.000 m 10. logo possui 1 metro . que corresponde a área de um quadrado que possui os lados medindo 1 m cada um.12 m = Doze metros quadrados e doze decímetros quadrados ou doze vírgula doze metros quadrados.9 .000. O que é 1 m³? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 66 .4 dm2 (Observe que a vírgula deslocou para direita 2 casas) 4.5 dm2 para dam2 = 0.45675 m2 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 4 casas) 45 cm2 para m2 = 0.TRANSFORMANDO UNIDADES 2.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 5.LENDO UNIDADES DE ÁREA 4.01 m 0.0001 m 0. o espaço que esse sólido ocupa.5.00 m 1m 0.7 .VOLUME Chama-se de volume de um sólido geométrico. 12.000001 m Observe que cada unidade é 100 vezes maior que a unidade imediatamente anterior.67 cm2 (Observe que a vírgula deslocou para direita 2 casas) 4567. 5. 2 2 5.8 .QUADRO DE UNIDADES USADAS PARA MEDIR SUPERFÍCIES Múltiplos km 2 2 Unidade Fundamental dam 2 2 2 Submúltiplos dm 2 2 hm 2 m 2 2 cm 2 2 mm 2 2 1. 5. 5. 2 Este quadrado possui 1m de cada lado.0045 m2 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 4 casas como não tínhamos mais números completamos com zeros) 2 2 5.UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE Deve-se saber que a unidade fundamental usada para medir superfície é o metro quadrado(m²).4567 dm2 para cm2 = 445.000 m 1.35 cm = Quatro centímetros quadrados e trinta e cinco milímetros quadrados ou quatro vírgula trinta e cinco centímetros quadrados.MEDINDO VOLUME Para medir volume.10 .6 . 123 m³ = Doze metros cúbicos e cento e vinte e três decímetros cúbicos ou doze vírgula cento e vinte e três metros cúbicos.LENDO UNIDADES DE VOLUME 4.13 .7 cm³ (Observe que a vírgula deslocou para direita 3 casas) 4567.000045 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 6 casas como não tínhamos mais números completamos com zeros) ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 67 .000 m 1. 12.5 dm³ para m³ = 4.11 .000. 5. 5. 5.12 .000.TRANSFORMANDO UNIDADES 2.4567 dm³ para cm³ = 4456. No seu dia a dia.000. você deve ter observado que as unidades mais usadas são.5675 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 3 casas) 45 cm³ para m³ = 0._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA É o volume de um cubo. o m³. em que suas arestas medem 1m.001 m 0.000000001 m Atenção: Você deve ter notado que cada unidade é maior que a unidade imediatamente inferior 1000 vezes ou 1000 vezes menor que a unidade imediatamente superior.35 cm³ = Quatro centímetros cúbicos e trinta e cinco milímetros cúbicos ou quatro virgula 35 centímetros cúbicos.234 m³ para dm³ = 2234 dm³ (Observe que a vírgula deslocou para direita 3 casas) 4.MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO Múltiplos km 3 3 Unidade Fundamental 3 3 Submúltiplos dm 3 3 hm dam 3 3 m 3 3 cm 3 3 3 mm 3 3 1. cm³ e dm³.000001 m m 0.000 m 1m 0.000 m 1. 6km : 3 = 3) Um jardim quadrado tem 1.5 km em m: b) 520 m em hm: c) 850 m em mm: d) 4.734 km + 0.75 m de lado.802 m – 1. Quantos metros a pessoa andou? 4) Transformando em metros 25.5 mm em m: e) 15.39 km em cm: 2) Efetue as operações e dê o resultado em cm: a) 34 km + 60m = b) 0. obteremos: 5) Expresse: a) 60 hm² em km² ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 68 .MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Expresse: a) 2.0435 dam + 4 dam. dá 6 voltas completas.25km .76m – 50 cm = d) 3. passeando. Uma pessoa. 8 = c) 2. 2 cm² + 0. quantos cm³ de gás restam no bujão? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 69 .072 m³ em cm³ d) 0.31 hm² em m² e) 3650 cm² em m² f) 1234560 mm² em dam² 6) Efetue as operações e dê a resposta em cm²: a) 1.0365 km² em dam² d) 6.5 dm³ de gás._ _ b) 485000 m² em hm² MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA c) 0.0012 m² – 123mm² 7) Expresse: a) 37 m³ em dm³ b) 8.3 cm³ em mm³ c) 0.002 dm² b) 0. Tendo sido gastos 1/3 desta quantidade.0536 m³ em dm³ e) 54 mm³ em cm³ 8) Um bujão de gás cheio contém 13. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo de 90º. ah = bc e a = m+n Determine o valor de x nas seguintes figuras: Relação c = an 2 x = 9.4 2 x = 36 x= x=6 2 36 Relação b = am 2 6 = 10x 36 = 10x -10x = -36(-1) 10x = 36 2 36 x = 10 x = 3.4 2 x = 36 x= x=6 2 36 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 70 . h² = mn. c² = an. Relações: Podemos afirmar que: b² = am.6 Relação h = mn 2 x = 9.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 6 . ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 71 . Exemplos: Calcule o valor de x nas seguintes figuras: x = 4 +3 2 x = 16 +9 2 x = 25 x= x =5 2 2 2 25 15 = 12 +x 2 225 = 144 +x 2 -x = 144 – 225 2 x = 81 x= x=9 2 2 2 81 2 2 2 (x + 4) = (x + 2) + x 2 2 2 x + 8x + 16 = x + 4x + 4 + x 2 2 2 x + 8x + 16 .x = 0 2 .TEOREMA DE PITÁGORAS O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.x .2 x” = 6 Como não existe medida negativa.1 .8 = 8.4 .1)(12) ∆ = 16 + 48 ∆ = 64 − (4 ) ± 64 2(− 1) x= −4±8 x= −2 −4+8 x’ = − 2 x’ = .x + 4x + 12 = 0 2 ∆ = b .4ac 2 ∆ = 4 – 4(._ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Relação ah = bc x.6 x= 48 4. x = 6.4.8 x = 10 6.4x . MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Exercícios Teorema de Pitágoras 01) Do alto de uma montanha de 50 metros de altura uma pessoa avista bem na linha do horizonte uma cidade que está a 25 km de distância. temos um edifício de paredes retangulares. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 72 . Qual é o menor comprimento que este fio pode Ter? 04) Uma pessoa precisa de uma tábua para fazer um reforço diagonal numa porteira de 1. Com estes dados ele calculou o raio da terra. No ponto B será instalada uma lâmpada. Qual é o raio da terra? 02) Um robô. Será então colocado um fio que vai de A até B pelas paredes do edificio. percorrendo os lados AB e BC de um quadrado. andou 15 metros. Qual o comprimento que a tábua deve Ter. 03) Nesta figura.5 metros de altura por 2 metros de comprimento. Quantos metros ele andaria a menos se tivesse ido diretamente de A para C. COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO Observe o triângulo retângulo abaixo. b e c são os catetos do triângulo retângulo. Observação: Catetos são os lado que formam o ângulo de 90º._ _ 7 . os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo.TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda a relação entre as mediadas dos lados e dos ângulos de um triângulo. mas não podemos afirmar que este foi seu inventor.1 . onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º). Seno de y = Cateto Oposto ao Ângulo y c ou seno y = a Hipotenusa Cateto Adjacente ao Ângulo y b ou cos y = a Hipotenusa Cateto Oposto ao Ângulo y c ou tg y = b Cateto Adjacente ao Ângulo y Cosseno de y = Tangente de y = ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 73 . Conta a história da matemática que Tales foi um grande estudioso desse ramo da matemática. 7. A trigonometria não foi obra de um só homem.SENO. Lembre-se. nem de um povo só. seus senos. se encontram em uma tabela chamada tabela trigonométrica.(observe na tabela con 30º) ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 74 . Exemplos: 1. Calcule o valor de x na figura abaixo. cossenos.(observe na tabela sen 30º) 2.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Razões Trigonométricas Especiais 30º Seno Cosseno Tangente 45º 60º 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 Existem outro ângulos. tangentes e cotangentes. Determine o valor de y na figura abaixo. 2– Área do retângulo 8.1 – ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 8._ _ 8 .1.3 – Área do triângulo 8.1.ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 8.1 – Área do quadrado MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Ilustração 1 8.1.1.4 – Área do paralelogramo ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 75 . 1.5 – Área do trapézio 8.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 8.7 – Área do círculo EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 76 .1.1.6 – Área do losango 8. 3 2 A = 9.1 dm² = 0.36 mm² = 0. as medidas de superfícies apresentam a seguinte escala: km² km² km² km² km² km² km² a) 1.1 dm² em dam² Solução: No sistema métrico decimal. R: As dimensões do retângulo são: base 4 4) Calcular a área de um círculo.π cm 2 6 → r = 3 cm 2 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 77 . Solução: D = 2r 6 = 2r → r = A = π.36 mm² em cm² d) 4.05 m² em cm² c) 1.05 m² = 500 cm² c) 1. sabendo-se que seu perímetro é 8 cm. Solução: P = 4a 8 = 4a →a = A=a 2 A=2 2 A = 4 cm 3) Calcule as dimensões de um retângulo.02 hm² em dam² MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA b) 0. Solução: 2 8 → a = 2 cm 4 A=b. sabendo-se que a medida da base é o dobro da altura e a sua área é de 16cm².02 hm² = 102 dam² b) 0.h 16 = 2h.0136 cm² d) 4.h → 16 = 2h → h 2 2 = 16 2 → h = 8 → h = 2 2 2 cm 2 e a altura 2 2 . que tem 6 cm de diâmetro.r 2 A = π._ _ 1) Transforme: a) 1.00041 dam² 2) Calcular a área de um quadrado. Determine a área de um paralelogramo em que a altura mede 10 cm e sua base mede 6 cm. como sítios. São elas o hectare e o are.000(m²) 1 are(a) = 100(m²) Exemplos: Uma fazenda possui 120 000 m² de área. qual a sua medida em hectare? 120.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 8. A = b x h → A = 150 x 75 → A = 11. Sabendo-se que a altura de um triângulo mede 8 cm e sua base mede 13 cm.250 m2 RESOLVA OS EXERCÍCOS ABAIXO: 01.CALCULANDO ÁREAS Exemplos: 01) Calcule a área de um terreno quadrado de 25 m de lado. (R = 24) 04. qual a sua área em m²? 23. (R = 60) 02. (R = 650) Observação: Existem medidas específicas para medir grandes extensões. Calcule sua área sabendo que a altura mede 20 cm. 150m de comprimento por 75m de largura.000 m 2 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 78 . Uma fazenda possui 23.0000 : 10. chácaras e fazendas.000 = 120 ha. com esta na horizontal eu falo comprimento vezes largura).4 x 10. A base maior de um trapézio mede 40 cm e sua base menor mede 25 cm. (o campo tem a forma retangular. Um losango possui a diagonal maior medindo 8 cm e a menor medindo 6 cm. (R = 52) 03. 1 hectare(ha) = 10. A = a2 → A = 252 → A = 625 m2 02) Calcule a área de um campo de futebol cujas dimensões são.000 = 234.4 ha de área. Determine sua área.2 . Calcule a área deste losango. 3. c = π → c = πD devemos lembrar que.14.8 m = 2x3. Logo.).8 → r = 10 m 6. Exemplo: Uma volta completa em torno da terra. Vamos calcular o raio de uma circunferência sabendo que o comprimento mede 62.. 8.. para não ter que escrever este número a todo o momento ficou definido que esta seria representado pela letra π (pi) do alfabeto grego.14. Entende-se comprimento como sendo o contorno da circunferência. Esta surgiu da divisão do comprimento pelo diâmetro da circunferência.5 .84 cm 02. 62.28 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 79 .3 .4 – CALCULANDO Π Esta é uma constante (seu valor não muda nunca). sempre que dividia o comprimento pelo diâmetro o resultado era o mesmo (3. C = 2 πr ( Comprimento é igual a 2 vezes o π e o raio) Para calcular o comprimento de uma circunferência usa-se a fórmula Exemplos: 01. C = 2 πr basta substituirmos o r por 3 cm e π =3. O comprimento de um aro de bicicleta. 3 → C = 18. C = 2πr basta substituirmos C por 62.14xr → 62. D = d 2r diâmetro é igual ao dobro do raio.8 m e π por 3. 8. lembre-se: usase apenas com duas casas decimais = 3.14. O comprimento da roda de um carro.8 m = 6.8 m.CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA Para calcular o comprimento da circunferência. C = 2.14159265. Determine o comprimento de uma circunferência em que o raio mede 3 cm.28xr → r = 62._ _ 8.14.. O comprimento da bola central de um campo de futebol.COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA O comprimento de uma circunferência é o número que representa os perímetros dos polígonos inscritos nessa circunferência quando o número de lados aumenta indefinidamente. Verificou-se que não importava o comprimento da circunferência. MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 8. Calcule a área de um círculo.r devemos substituir π por 3. A = 3.CALCULANDO A ÁREA DE UM CÍRCULO Para calcular a área de um círculo usa-se a fórmula: A = π. 314cm 2 2 2 2 314 = 3. Determine o raio de uma circunferência sabendo que sua área é igual 314 cm².r devemos substituir π por 3.14 e r por 4m. 2 2 A = π.24 m 2 2 2 2 02.14x 16m →A = 50.14x(4m) → A = 3. sabendo que seu raio mede 4 m.14xr → 314 = r = 3.r 2 Exemplos: 01. A = π.6 .14 e A por 314 cm .14 → r = 100 → r = 100 → r= 10 cm ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 80 . indicadas por b e h. 9) Uma pista circular tem 25 metros de raio. b) Quadrado com perímetro 12 cm. Qual o diâmetro desse jardim? 11) Um círculo está inscrito num quadrado. Calcule sua área. b) A altura é dividida por 2. Quantos metros percorre uma pessoa que dá 20 voltas em torno dessa pista? 10) Se uma pessoa der 10 voltas em torno de um jardim circular. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm? 6) Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a área é igual a 80 cm². qual será relação entre as áreas dos paralelogramos? 2) A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3.. 5) Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. cujo perímetro é 48 metros. c) Retângulo com comprimento 3 cm e perímetro 10 cm. ela percorrerá 2198 metros. 8) Qual é a área de um círculo cujo perímetro é 31. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outroparalelogramo. usando π = 3. c) A base é aumentada 25%. Que mudança deveremos realizar na medida do outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constante? a) A base é multiplicada por 3. d) A base é diminuída 25%. Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados? 3) Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm? 4) Calcular a área de cada quadrilátero indicado abaixo: a) Quadrado com lado medindo 5/3 cm._ _ EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Geometria Plana: Exercícios de áreas de regiões poligonais MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1) Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 81 .4 cm.14.. indicamos uma mudança na medida de um dos lados. quais são as medidas de seus lados? 7) Nos ítens abaixo. MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 9.0 VOLUME 9.1 – VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 9.1.1 – Cubo v=a 3 9.1.2 - Paralelepípedo Retângulo v = a.b.c 9.1.3 – Cilindro V = Ab. H 9.1.4 – Prisma V = Ab. H ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 82 _ _ MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 9.1.5 – Pirâmide V= Ab H 3 9.1.6 – Cone V= Ab H 3 9.1.7 - Esfera V= 4 π r3 3 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 83 MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Transforme: a) 2,6 hm³ = 2600 dam³ b) 0,016 km³ = 16000 dam³ c) 1,06cm³ = 0,00106 dm³ 2) O volume de um cubo é 27 cm³. Calcule a medida da aresta desse cubo. Solução: 3 V=a 27 = a → a = 3 cm 3 3 27 = 3 a 3 3) O volume de um paralelepípedo retângulo é de 24cm³, sabendo-se que o comprimento é 4 cm, a largura é 3 cm. A altura desse paralelepípedo é: Solução: V = a.b.c 24 = 3.4.c 24 = 12.c c = 2 cm 9.2 - CALCULANDO VOLUMES Determine o volume da seguinte figura. Exemplos: Calcule o volume de uma caixa cúbica, cuja aresta mede 9 m. V=a V = (9 m)³ V = 729 m³ Quantos m³ de água são necessários para encher uma piscina em que as dimensões são: Comprimento = 12 m, largura = 6 m e profundidade = 1,5 m. V = c x l x h V = 12 m x 6 m x 1,5 m V = 108 m³ 3 ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 84 _ _ EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 1) Enche-se um recipiente cúbico com água. Dado que um galão do líquido tem um volume de 21600 3 cm e sendo 120 cm a aresta do recipiente, calcule o número de galões que o recipiente pode conter? 2) Determine a área de uma placa de metal necessária para a construção de um depósito na forma de um paralelepípedo retângulo (aberto em cima) sabendo que o depósito tem 2m de largura, 1,50m de altura e 1,20m de comprimento. 3) Uma banheira tem a forma de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 1,20m de comprimento, 0,90m de largura e 1,50m de altura. Quantos litros de água podem conter? Se toda água da banheira for colocada em um depósito em forma de cubo de 3m de aresta, que altura alcançará a água? 4) Com uma folha de zinco de 5m de comprimento e 4m de largura podemos construir 2 cilindros, um segundo o comprimento e o outro segundo a largura. Determine em qual dos vasos o volume será menor? 5) A água da chuva é recolhida em um pluviômetro em forma de pirâmide quadrangular regular. Sabendo que a água alcança uma altura de 9 cm e forma uma pequena pirâmide de 16,8cm de aresta da base e que esta água é vertida em um cubo de 10cm de aresta, responda: que altura alcançará a água no cubo? 6) Constrói-se um depósito em forma cilíndrica de 8m de altura e 2m de diâmetro. Determine a superfície total do depósito. 7) Um vaso cilíndrico tem 30dm de diâmetro interior e 70dm de profundidade. Quantos litros de água podem conter aproximadamente. 8) Qual o valor aproximado da massa de mercúrio em kg, necessária para encher completamente um 3 vaso cilíndrico de raio interno 6 cm e altura 18cm se a densidade do mercúrio é 13,6g/cm ? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 85 sem exceder sua altura de 16 cm. sendo 50 cm o raio da base do cilindro. Se ele estiver cheio até a metade da altura. 11) Uma bola de ouro de raio r se funde. 13) Um pedaço de cano.MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA 9) Num cilindro com água colocamos uma pedra. transformando-se em um cilindro de raio r. qual o volume de água que ele contém? 15) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce. Qual o volume de sorvete que comporta se a parte que ultrapassa o cone é uma semi-esfera. Qual o número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se pode obter com toda essa massa. se em virtude de sua imersão total a água se elevou 35 cm. de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno. por fundo um quadrado de lado 19 cm e por topo em quadrado de lado 25 cm. 16) Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios isósceles. encontra-se na posição vertical e possui a parte inferior vedada. determine a altura do cilindro. determine 2 a superfície da terra em km . Colocando-se 2 litros de água em seu interior. Determine o volume da pedra. se a altura é 30 cm. 10) Uma casquinha de sorvete tem a forma de um cone de raio da base 2 cm e altura 10cm. qual o volume que esta cesta pode conter? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 86 . O raio do topo é 9m e a altura do tanque é 28m. 12) Supondo a terra esférica e o metro a décima milionésima parte do quarto do meridiano. perguntase: a água transborda? 14) Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto com seu vértice apontando para baixo. 7ª e 8ª séries.hpg.matematica. 5ª. 5ª.terra. 6ª série – São Paulo.br www. Editora FTD. www.br ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ETC – ESCOLA TÉCNIICA DE CAMPOS ETC – ESCOLA TÉCN CA DE CAMPOS 87 . JAKUBO e LELLIS. MALVEIRA._ _ BIBLIOGRAFIA MATEMÁTIICA APLIICADA MATEMÁT CA APL CADA Coletânia Objetivo para concursos – Matemática e Raciocínio Lógico e Quantitativo – 2003. São Paulo – Editora Scipione. 6ª.com.br/matematica www. A conquista da Matemática.br www.com. GIOVANNI.somatematica. 7ª série – São Paulo.com. Matemática Fácil.br www. José e Marcelo. Linaldo. 1988. 1988. José Ruy. 6ª. Editora FTD.com. São Paulo – Editora Ática. 7ª e 8ª séries. A conquista da Matemática. Castrucci e GIOVANNI Jr. Matemética na Medida Certa. GIOVANNI. 1994.exatas.zmais. 1993.com.

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