GEOMETRIA PLANAINSTRUCIONAIS DE MATEMÁTICA QUADRO SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Unidade de Programa I. Geometria Angular II. Semelhança III. Triângulo Retângulo IV. Área Objetivos Trabalhar com as principais relações angulares com triângulos, polígonos e com arcos de uma circunferência. Reconhecer as condições que garantem a semelhança entre duas figuras. Deduzir e saber aplicar as relações métricas no triângulo retângulo e deduzir a lei dos cossenos como uma relação que inclui o teorema de Pitágoras. Calcular as áreas das principais figuras, dos polígonos regulares e a do círculo como limite da área do polígono inscrito. CONTEXTUALIZAÇÃO DA DISCIPLINA: Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo, buscamos abordar os conceitos básicos de modo que você possa dar continuidade e se aprofundar os estudos das Geometrias Plana e Espacial. Não pretendemos aqui, esgotar essa lista de conceitos e nem seus estudos devam limitar-se aos conceitos que listamos. Lance mão de diferentes fontes como livros, provas de concursos, apostilas de cursos e da Internet para complementar seu estudo. A Geometria Plana aqui está dividida em dois momentos: a Geometria Angular, com os estudos dos ângulos de triângulo e polígonos; e a Geometria Métrica com semelhança, triângulo retângulo e o cálculo de área. Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado. Prof. José Carlos Morais de Araújo 1 GLOSSÁRIO: UNIDADE I .................................................................................................................. 3 I – Ângulos ........................................................................................................... 3 II – Classificação .................................................................................................. 3 III – Considerações Importantes .......................................................................... 3 IV – Teorema Angular de Tales ........................................................................... 5 V – Ângulo externo de um Triângulo .................................................................... 5 VI – Classificação dos Triângulos ........................................................................ 6 EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 8 VII – Polígono..................................................................................................... 11 VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono .......................................................... 11 IX – Diagonal...................................................................................................... 12 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 13 X – Relação entre Arcos e Ângulos ................................................................... 15 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 16 UNIDADE II ............................................................................................................... 18 SEMELHANÇA ......................................................................................................... 18 I – Proporção ...................................................................................................... 18 II – Definição de semelhança ............................................................................. 19 II – Semelhança de Triângulos ........................................................................... 19 EXERCÍCIO ....................................................................................................... 21 UNIDADE III .............................................................................................................. 23 TRIÂNGULO RETÂNGULO ..................................................................................... 23 I – Introdução ..................................................................................................... 23 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 25 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 26 II – Lei dos Cossenos ......................................................................................... 28 EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 29 UNIDADE IV.............................................................................................................. 31 I. ÁREA .............................................................................................................. 31 II – Principais áreas: ........................................................................................... 31 III – Polígono Regular......................................................................................... 32 IV - Círculo ......................................................................................................... 33 EXERCÍCIOS: .................................................................................................... 34 2 UNIDADE I ÂNGULOS I – Ângulos Região plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. B → → OA e OB são semi-retas ∝ O A O ponto O, origem comum às semiretas, é o vértice do ângulo. Notação: Usamos AÔB = BÔA, o vértice Ô ou simplesmente ∝. II – Classificação 1) Seja ∝ um ângulo qualquer. O ângulo ∝ pode ser classificado como: ∝ < 90º Agudo ∝ = 90º Reto ∝ > 90º Obtuso 2) Sejam ∝ e β dois ângulos quaisquer. Dizemos que ∝ e β são: β ∝ Complementares: ∝ + β = 90º ∝ β Suplementares: ∝ + β = 180º Obs: Seja x um ângulo. Representaremos por (90º - x) e (180º - x), respectivamente, o complemento e o suplemento do ângulo x. III – Considerações Importantes 1) Bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes (isto é, de medidas iguais) 3 independente dos nomes que tenham esses ângulos. 4 .2) Retas Perpendiculares são retas concorrentes (que possuem um ponto em comun) que formam ângulos retos. é possível identificar medidas de ângulos dessa figura se soubermos a medida de pelo menos um deles. de acordo com a posição que ocupam em relação às paralelas e à transversal. Denotamos por: s r ⊥s: r perpendicular a s r 3) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam oito ângulos que guardam algumas propriedades. β ∝ β ∝ β β ∝ r r ⁄⁄ s: r é paralela a s Observe que ∝ + β = 180º ∝ s Esses ângulos são classificados. x = 20º. portanto. Exemplos. α 50º 140o 5x β 4x Nas figuras acima temos: α = 50º . β = 40º e 5x + 4x = 180º. Destacamos: Alternos internos Colaterais externos Correspondentes Observe que. aos pares. 5 . A + B + C = 180º A B Traçando uma reta paralela ao lado AB passando pelo ponto C podemos visualizar essa propriedade. a soma dos ângulos internos é 180º.As relações mais importantes dos estudos de ângulos são as que fazem referências aos ângulos do triângulo. IV – Teorema Angular de Tales C Num triângulo. C A B V – Ângulo externo de um Triângulo Chamamos de ângulo externo o suplemento do ângulo interno. a+c a b a+b a c b +c b c Lembre-se que o ângulo externo é formado por um dos lados e pelo prolongamento de outro. B Ângulo externo α A Observe que: α + C = 180º e C A + B + C = 180º α=A+B Então: α + C = A + B+ C ⇒ Conclusão: O ângulo externo é sempre a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. O triângulo tem 3 ângulos externos. o triângulo que apresenta os 3 lados iguais (o eqüilátero) também representa um triângulo isósceles. No Triângulo eqüilátero temos: A = B = C = 60º B C 2) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares α + β = 90º α β 6 . portanto. 1) Quanto aos Ângulos Acutângulo Ângulos agudos 2) Quanto aos Lados Retângulo Um Ângulo reto Obtusângulo Um Ângulo obtuso Escaleno Vale Destacar: Isósceles Eqüilátero 1) O Triângulo Isósceles se caracteriza por ter 2 lados iguais.VI – Classificação dos Triângulos Um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou de seus lados. B C A Essa é a condição mínima para um triângulo ser classificado como Isósceles. A AB = AC ⇔ B = C São iguais os ângulos opostos aos lados iguais. C 25º D B α Logo α = 75º. θ = α + β Nesse quadrilátero côncavo α = a + b +c Justificativas: θ é ângulo externo ao triângulo α α é ângulo externo c α a b+c θ β r α s b Verifiquemos então como você pode proceder para resolver um problema que envolva relações angulares. portanto α = A + D. AB = BC = CD. sabendo que o ângulo mede 25º. o ângulo CBD = 25º.3) Como conseqüência das relações angulares do triângulo tem-se: α θ β r c α a s b Se r // s então. α = 50º + 25º . Observe agora o A triângulo ABD: o ângulo α é externo a ele. dado o triângulo CBD ser isósceles. ou seja. B α A C D Aconselho que você anote na figura as informações que foram dadas. O ângulo BCA é externo a esse triângulo então. Como o triângulo ABC também é isósceles (BA = BC) temos o ângulo BAC = 50º. Tomemos o exemplo a seguir: Na figura seguinte. BCA = 50º. A partir daí. Calcule α. 7 . 03. → → → → 8 . Qual é o maior ângulo formado por tal figura? 06. Determine o ângulo cujo suplemento excede em 6o o quádruplo do seu complemento. 05. AÔB = 80o e BÔC = 500. Calcule a medida do ângulo α sabendo-se que OX é bissetriz de AÔB. A medida de um ângulo é igual a 2/3 da medida de seu complemento. 5 e 8. Um dos ângulos formados por duas retas concorrentes é 1/8 da soma dos outros. Determine-os. Dois ângulos.EXERCÍCIOS 01. Determine α nas seguintes figuras: 02. 3. Calcule o valor de cada um deles. Dois ângulos suplementares são proporcionais ao números 2 e 3. OC e OD formam. 04. opostos pelo vértice. quatro ângulos cujas medidas são proporcionais aos números 2. 07. Quatro semi-retas OA . 08. em torno de um ponto. Determine os ângulos. medem respectivamente 3x + 10o e x + 50o. Calcule a sua medida. Nas figuras. OB . O triângulo ABC é isósceles com AB = AC.09. Na figura r e r’ são paralelas e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo entre r e s mede 72o. Calcule α em cada figura. cortadas por uma transversal. sabendo que D = 30º. AB = BC = CD. Calcule este ângulo. Calcule α. sabendo que um ângulo agudo é o dobro do outro. Um dos ângulos formados por duas paralelas. 9 . B A B A E α E α D C D C 14. B α A C D 13. Em um triângulo obtusângulo a medida da soma dos ângulos agudos é igual à metade da medida do ângulo obtuso. Determine α e β. é 1/8 da soma dos outros. calcule o ângulo α. A C α β B C 70o B A 70o 12. Qual o maior ângulo formado por tal figura? 11. Na figura seguinte. sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um triângulo eqüilátero. 10. C D A 16. AB = AC e Calcule a medida do ângulo A . Na figura. Pede-se o ângulo C . Na figura. MC = MB. Na figura abaixo. sabe-se que A = 90 o . E B D ˆ 2 ˆ C= E. 3 C ∧ 19. calcule a medida ) ) A do ângulo C D E . Dica: “Num triângulo retângulo.15. O triângulo ACD da figura é isósceles de base AD. sendo AB congruente a AC . Calcule a medida do ângulo A. Sendo 42o a medida do ângulo BAD e 20o a medida do ângulos ABC. AE congruente a AD . A E B C 10 . calcule a medida do ângulo ACD. F B C D A B E 17. a mediana relativa à hipotenusa é sempre igual à metade da hipotenusa. Na figura. AB = AC. BS é bissetriz de B e que A S B = 126 o . CD = CE e AFD = 60o. dado BAD = 48o.” C M ∧ ∧ ∧ ∧ A S B 18. A soma dos ângulos externos é constante. determinar – caso os ângulos internos e externos sejam.4 Um polígono de gênero “n” terá para soma dos ângulos internos: Si = 180º ( n – 2) 2) Externos Como cada ângulo interno é suplemento do interno adjacente temos: Si + Se = 180º . mesmo quando queremos o interno. A linha poligonal é o conjunto formada por segmentos de reta consecutivos. 11 . iguais – a medida do ângulo externo de um polígono. respectivamente. n – 180º n +360º Então. Ex. n – Si Se = 180º. 2 Si = 180º.: Pentágono Convexo Côncavo VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono 1) Ângulos internos Todo polígono pode ser dividido em Triângulos. É mais fácil. Si = 180º Si = 180º . 3 Si = 180º.VII – Polígono Entendemos por polígono a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. portanto. n – 180º ( n – 2 ) Se = 180º. n Então: Se = 180º. Se = 360º. ou seja. D E No polígono ABCD..36º. C F Observe que.(10 − 3) . AC. 35 diagonais. Eqüiângulo (ângulos iguais) e Regular. as medidas de seus ângulos interno e externo serão: Ai = 360º 180 º (n − 2) e Ae = n n * Procure pesquisar que nomes recebem polígonos de 3.Observação: Os polígonos são classificados pelo gênero como triângulo. pentágono. 5. 10 O ângulo interno do decágono regular mede 144º. Seu 2 360 o = 36º e seu ângulo interno será Ai = 180º . 6. 12 . BE e BD são exemplos de diagonais nesse hexágono. Sendo assim.. Eqüiláteros Regular Eqüiângulos Um polígono é regular quando possui lados e ângulos respectivamente iguais. lados e quais são as medidas de seus ângulos. quadrilátero.. etc. IX – Diagonal Chamamos de diagonal de um polígono o segmento de reta que possui como extremos dois vértices não consecutivos do polígono. e quanto ao comportamento dos lados e ângulos em Equilátero (lados iguais).. de cada vértice de um polígono de gênero n partem (n – 3) diagonais. 4.. n(n − 3) Num total de: d = 2 B A Exemplo: O decágono regular possui d = ângulo externo será Ae = 10. . Considere um eneágono regular e calcule: a) A soma dos ângulos internos. c) Seu ângulo externo. Determine o polígono regular que tem o ângulo interno igual ao triplo do ângulo externo. Determine que polígono é esse. 2 02. d) Seu ângulo interno. B B C G F A C G F A α D E α D E 06. E = 2B. sabendo-se que: C = 2A. 13 . Determine a medida do ângulo α: (a) (b) (c) (d) (e) 22o 30’ 30o 45o 60o 90o α 07. D = C+E e que E = 3A. Na figura tem-se um octógono regular.. 05. ABCDE é um polígono regular e DEFG é um quadrado.EXERCÍCIOS 01. Determine a medida do ângulo α. as retas que contém os lados AB e CD formam um ângulo de 60º. Num polígono regular ABCD. 03. b) A soma dos ângulos externos. Calcule o maior ângulo de um pentágono convexo ABCDE.. Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos e externos vale 2160º? 04. a diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de 20o. O número de diagonais de um polígono é dado pela relação a2 .08. A figura seguinte. Determine o seu gênero sabendo-se que as diagonais AC e AG formam um ângulo de 80º. 13.4a. Calcule o ângulo α formado pelos prolongamentos de BC e DF. Qual é o nome desse polígono? 14 . G B α A C F D E 09. ABCDE e DEF são polígonos regulares. a) Quantas e quais diagonais podem ser traçadas do vértice A? b) Quantas diagonais este polígono possui? A 12.. um polígono regular... A figura seguinte é um polígono côncavo (ou não convexo) de gênero sete. Calcule o gênero e o número de diagonais desse polígono. 10. Seja ABCD.. Calcule o número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1440o. 11. Um polígono regular convexo tem ângulo interno medindo 150º. Calcule o número de diagonais deste polígono que não passam pelo centro. Trata-se de um Heptágono. Num polígono regular ABCD . onde a é o número de lados do polígono. 14. α α D α+ A CB AB = 2 2 AB − CD 2 ) AB − CD APB = 2 A CD 2 então: α = 15 . 1) Ângulo inscrito: Ângulo formado por duas cordas consecutivas. C B C B α é ângulo externo ao triângulo PDA portanto. D P α AB 2 D P α A A CD 2 ) AB + CD APB = 2 AB CD + 2 2 AB + CD α= 2 α= 3) Ângulo Externo: Ângulo formado por duas secantes que cortam-se fora do círculo. Usando o ângulo central podemos mostrar outras relações. Intuitivamente. A medida do ângulo AÔB é igual a medida angular do arco AB. B b b 2a + 2b B 2a + 2b = a+b= A /2 P α A P a a α= /2 2) Ângulo Interno: Ângulo formado por duas retas que se cortam no interior do círculo.X – Relação entre Arcos e Ângulos B O ângulo formado por dois raios de um círculo é chamado de Ângulo central. tanto quanto o ângulo AÔB representa de uma volta completa em torno do centro do círculo. B B C P C P D AB 2 O ângulo ACB é externo ao triângulo PCA portanto. observamos que o arco AB A α α= O representa da circunferência. Os polígonos a seguir são regulares. Observe o problema 06 que fora proposto na lista anterior. quando desenhamos o polígono inscrito em um círculo. TRIÂNGULO INSCRITO QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO Problemas que envolvam polígonos regulares podem ser também resolvidos. A proposta era determinar a medida do ângulo α na figura sabendo que o octógono é regular. Como o ângulo α é um ângulo externo. em relação ao círculo: 90º 45º α α= 90 o − 45 o 2 ⇒ α = 22º 45’ EXERCÍCIOS 01. Calcule o ângulo formado pelas diagonais AC e CE de um pentágono regular. portanto cada arco tem 45º.Todo polígono regular é inscritível e circunscritível. O octógono regular divide a circunferência em 8 arcos iguais. e as vezes com mais facilidade. podemos admitir uma circunferência tanto contendo seus vértices quanto tangenciando seus lados. isto é. 16 . a) b) c) α α α d) α 02. Calcule a medida do ângulo α. Determine que polígono é esse.03. os prolongamentos dos lados AB e DE formam um ângulo de 60o. Calcule a soma dos ângulos mostrados na figura. B E A 17 .. Num polígono regular ABCD .. a diagonal BD forma com o lado AB um ângulo de 120o.. Num polígono regular ABCD.. Num polígono regular ABCD... D C B A 05. Num polígono regular ABCD. Determine que polígono é esse. os prolongamentos dos lados AB e DE são perpendiculares. Calcule o número de diagonais desse polígono.. α β 06. a diagonal BE forma com o lado AB um ângulo C D de 100o. Calcule o gênero desse polígono. 60o 07.. D C B 120o A 04. Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. de 2a e 3a. y. x = 6 e y = 9. x = 8 e y = 12. podemos chamar x e y. nesta ordem. x = 10 e y = 15. a e b formam uma proporção. e tantas outras opções são possíveis soluções. y = 20 – x Então: x 2 = ⇒ 3x = 40 – 2x 20 − x 3 PA = 8cm e PB = 12cm ⇒ 5x = 40 ⇒ x = 8 Logo: 18 . Assim temos x 2a 2 = = . No entanto. x. respectivamente. x = 4 e y = 6 . Y 3 Observe que: Se x e y são proporcionais a 2 e 3 isto significa que No entanto. somente a informação de que x e y são proporcionais a 2 e 3 não define. quais são os valores de x e y. pois: 4 6 8 10 2 = = = =L= 6 9 12 15 3 Portanto. X a = ou ainda Y b X : Y :: a : b X 2 = . Diz-se que duas medidas X e Y são proporcionais aos números a e b quando. efetivamente. respectivamente.UNIDADE II SEMELHANÇA I – Proporção Para entender o conceito de semelhança é recomendável entender o termo proporcionalidade. y 3a 3 Exemplo: Suponhamos que um segmento AB = 20cm seja dividido pelo ponto P de tal forma que PA e PB sejam. proporcionais a 2 e 3. Entre outras resoluções vejamos duas maneiras diferentes da fazer: 20 cm x A P 1ª Resolução: x + y = 20 e y B A 2a P 20 cm 3a B 2ª Resolução: x 2 = y 3 Chamemos PA = 2a e PB = 3a Então 2a + 3a = 20 ⇒ 5a = 20 ⇒ a=4 Logo: PA = 8cm e PB = 12cm Essas 2 equações e as 2 variáveis levam você à resolução de um sistema. para x e y. para garantirmos a semelhança de dois triângulos. B = B’. C C’ A B A’ B’ • • A = A’ . diz-se que esses polígonos são semelhantes se são satisfeitas as duas condições: i) seus ângulos são respectivamente iguais: A = A’. e somente se. isto é. proporcionais: D’ D C’ C A AB BC CD = = =L A ' B' B' C' C' D' *Duas figuras semelhantes têm exatamente o mesmo formato.II – Definição de semelhança Dados dois polígonos ABCD. basta que dois ângulos sejam. Essa razão A ' B' C' D' representa quanto um polígono vale do outro. . B B’ A’ A razão k = AB CD = = L é chamada RAZÃO DE SEMELHANÇA.. proporcionais. no caso de triângulos.. para afirmarmos a semelhança entre dois triângulos. de mesmo gênero.. basta que uma dessas condições esteja satisfeita. 19 .. os ângulos de dois triângulos são respectivamente iguais se. Logo.. respectivamente iguais. e A’B’C’D’. seus lados são respectivamente. uma condição é necessária e suficiente para que a outro se verifique.. C = C’. B = B’ e C = C’ AB BC CD = = A' B' B' C' C' D' ⇒ Δ ABC é semelhante ao Δ A’B’C’ ⇒ Δ ABC é semelhante ao Δ A’B’C’ Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. no entanto. II – Semelhança de Triângulos São duas as condições que garantem a semelhança entre dois polígonos. ii) Seus lados são respectivamente. r C’ B’ Se r // BC. como um ângulo comum. a semelhança produzida pela reta paralela a um dos lados do triângulo permite que calculemos os valores de x. determina um outro triângulo semelhante ao primeiro”.Conseqüência disso é que “toda reta traçada paralela a um dos lados de um triângulo. 3 2 4 x y 4 8 6 5 z 12 8 x 2 = ⇒ 6x = 24 12 6 Então x = 4 y 6 ⇒ 8y = 6y + 24 = y+4 8 z 3 = ⇒ 8z = 15 5 8 Então 2y = 24 ⇒ y = 12 Então z = 15 8 A 2) Na figura seguinte os triângulos ABC e AED são semelhantes. x 6 = ⇒ x2 + 5x = 84 ⇒ x2 + 5x – 84 = 0 14 x + 5 Resolvendo a equação do 2º grau temos: x = 7 C 8 E 6 x B 5 D 20 . y e z. então: Δ ABC ~ Δ A’B’C’ A B’ A C’ r B C B C Exemplos: 1) Nas figuras seguintes. pois são triângulos retângulos e possuem o ângulo A. Observe a figura. Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD. AB = 3 e BC = 7. AF = 18 cm.EXERCÍCIOS 01. ___ ___ PA 7 = . sabendo-se que o triângulo AEF tem lados AE = 24 cm. Determine a razão entre os segmentos AB e BP . Calcule a razão DE BC A r E D C B 21 . Na figura. os segmentos AD e BC são paralelos. calcule a medida do segmento BP. AB = BC = CD = DE = EF = FG. 04. PB 3 03. EF = 32 cm e EC = 8 cm E C B A D F 05. Na figura. Na figura. o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. Nessa figura. Calcule as razões: A a) AB BG B C b) CA CG D E c) F AG DG G 02. Sendo P o ponto de interseção das retas AB e DC. AD = 8. um triângulo equilátero. ABCD é um retângulo e AMD. 22 . M a 16 N 10. Nas figuras seguintes calcule as medidas dos segmentos x. Um trapézio de bases 6m e 8cm tem 12 cm de altura.06. Calcule a medida de IM sabendo-se que BC = 30 cm? B M C I A D 07. y e w. Calcule. Determine o comprimento do segmento MN paralelo às bases do trapézio seguinte: 7 2a Dica: Por esse ponto trace uma reta paralela ao outro lado oblíquo do trapézio. Calcule a medida do lado do quadrado. assinalados: 6 x 6 8 8 6 y w 10 10 5 6 6 08. Os catetos do triângulo seguinte medem 4 e 12 centímetros. Na figura abaixo. a que distância da base maior: (a) Cortam-se suas diagonais? (b) Cortam-se os prolongamentos dos lados oblíquos? 09. Isso implica que A = 90º. Usando a semelhança dos três triângulos temos: 1) O quadrado de um cateto é sempre o produto da hipotenusa por sua projeção. dividiremos o triângulo em dois outros semelhantes. A b h C c m a H n B ΔHAC ~ ΔABC ~ ΔHBA Chamemos: 1) a altura relativa à hipotenusa AH. m b = ⇒ b² = a.m b a b m h b c a b c h n c c a = ⇒ c² = a. n n c a 23 . que AB e AC são os catetos e que AC é a hipotenusa. 2) as projeções dos catetos sobre a hipotenusa HC e BH. c A b C B a Traçando a altura do vértice A em relação à hipotenusa. de m e n. de h.UNIDADE III TRIÂNGULO RETÂNGULO I – Introdução Seja ABC um triângulo retângulo em A. 3 16 9 ⇒ 25 = 9 + 16 A diagonal do quadrado e altura do triângulo eqüilátero são duas importantes aplicações desse teorema. b m h b c h b = ⇒ ah = bc c a a 4) Principal relação: Teorema de Pitágoras Mostramos que b² = am e que c² = na. a ⇒ a² = b² + c² Ou seja: “o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.2) O quadrado da altura (relativa à hipotenusa) é igual ao produto das projeções dos catetos.n = n h 3) O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos. b m h h n c h m ⇒ h² = m. l l l d d² =l ² + l² l d² = 2l² d²= 2l ² então d=l 2 24 . então b² + c² = am + an = a(m + n) Como (m + n) = a ⇒ b² + c² = a .” Exemplo: 4 5 25 Isso equivale dizer: A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. 1) Diagonal do Quadrado: Seja d a diagonal de um quadrado de lado l. 5 2. 3 6 2 ⇒ − 2 2 BE = 3 6 − 3 Caso seja necessário diremos BE ≅ 5. cada triângulo retângulo obtido tem h e 4 como catetos e hipotenusa igual a 6. quanto mede o segmento BE? E A B Observemos que os pontos D. Se o lado do quadrado é 6cm.61 3. No triângulo isósceles. Calcule a altura de um triângulo isósceles de base igual a 8cm e cujos lados congruentes medem 6cm. parte da altura do triângulo equilátero é a metade da diagonal do quadrado. ou seja. portanto. a altura traçada do vértice formado pelos lados iguais. A figura a baixo é formada pelo quadrado ABCD e pelo triângulo equilátero ACE cujo lado é a diagonal do quadrado. Então: h2 + 42 = 62 ⇒ h2 = 36 – 16 h2 = 20 ⇒ h= 6 h 4 10 6 4 20 ⇒ h=2 5 25 . BE + OB = OE ⇒ BE = OE – OB O Então: BE = D C 6 2. Quanto mede o lado oblíquo às bases ? 3 2 2 Ao traçarmos a altura construímos um triângulo retângulo. coincide com a mediana e bissetriz. Em um trapézio retângulo de bases 5 e 3. Como as diagonais do quadrado cortam-se ao meio.2) Altura do Triângulo Eqüilátero: Seja h a altura de um triângulo equilátero de lado l l h l l/2 ⎛l⎞ h² + ⎜ ⎟ = l ² ⎝2⎠ l² h² = l ² − 4 3l ² h² = 4 h= 3l ² 4 ⇒ h= l 3 2 2 l Exemplos/aplicações: 1. estão sobre uma reta. Portanto. B e E são colineares. Então: x2 = 22 + 22 Então x = ⇒ x2 = 8 Logo x = 2 2 x 3 2 8. a altura é igual a 2. Calcule o lado do quadrado inscrito no semicírculo de raio 8 centímetros. 8 04. Calcule o valor de x em cada uma das figuras abaixo: x x x 12 7 18 x–1 03. Calcule a medida do lado desse quadrado. A área do triângulo retângulo ABC da figura é: a) 18 b) 20 c) 22 d) 30 e) 24 B A 4 6 C 26 . ABCD é um quadrado. D C E P A B 05.EXERCÍCIOS 01. calcule os valores assinalados: a) b) c) 02. Nas figuras seguintes. Na figura. DE = 3 cm e EP = 1 cm. A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32 cm2. calcule o raio do círculo que passa pelos vértices A e B e tangencia o lado CD. Num círculo de raio 10 cm traça-se uma corda de 16 cm. Na figura. Calcule o raio do círculo circunscrito do triângulo isósceles de base 6cm e altura 8cm. A B • D C 09. calcule seu lado sabendo que M é ponto médio de AB e que PD mede 8cm. BMN e CNP são semelhantes. CD. ABCD é um quadrado. A D Observe que os triângulos ADM.06. DE. Quanto mede a hipotenusa desse triângulo? 11. No quadrado ABCD de lados iguais a 8 cm. (A distância de um ponto até uma reta é sempre um segmento perpendicular a reta) 10. Então. 07. e EF todos têm medidas iguais a 1 cm e cada um deles é perpendicular a seu antecedente. Na figura seguinte os segmentos AB. o segmento AF mede: E D (a) 5 (b) 3 F C (c) 2 (d) 6 (e) 7 A B 27 . Calcule a medida do lado desse quadrado. BC. M P B N C 08. Calcule a distância da corda ao centro. II – Lei dos Cossenos Seja ABC um triângulo qualquer. apliquemos a lei dos cossenos. pelo cosseno do ângulo formado por eles. a² = b² + c² . cos A = adjacente a esse ângulo. cosA a² = b² + c² . o cosseno não pode ser calculado por cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Tracemos a altura relativa ao lado AC e chamemos. projeção do lado AB sobre o lado AC.2bm a² = b² + h² + m² . isto implica que cos A = 0 e a relação fica reduzida ao teorema de Pitágoras. Então. m H b b–m C Como Δ HBC é retângulo.(b-m).” Observe que caso A = 90º.cos α Então: cos α = 3 4 28 . o segmento AH.cos α = 3 ⇒ 2 = 1 + 4 – 4.1. B c h A Não estamos admitindo o triângulo ABC como triângulo retângulo.0 Exemplo: ⇒ a² = b² + c² Calcular o cosseno do ângulo α na figura seguinte.cos α 4.2 bc. de m. Como o triângulo não é retângulo. diminuído do duplo produto desses dois lados. a Então. e a hipotenusa) m (o cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto c ⇒ m = c .2bc cosA Substituindo na relação anterior temos Ou seja: “O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Temos: a² = h² + (b – m) ² a² = h² + b² + m² . 1 α 2 2 ( 2 )2 = 12 + 22 – 2.2bm Como: h² + m² = c² e ainda.2. portanto aqui NÃO vale a relação h2 = m. HC = b – m. D C D C Nessa figura. D A B C E 03. Calcule a medida do segmento AM. Considere na figura abaixo dois triângulos equiláteros de lados 6cm e 8cm. B A M 06. 04. o trapézio ABCD tem altura 2 3 e bases AB = 4 e DC = 1. o triângulo DCM é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 6cm. 29 . respectivamente. Na figura. AC = 14 e BC = 8 centímetros. Calcule as medidas assinaladas nas figuras abaixo: a 2 30O o 8 60 o x 7 60o y 3 3 10 8 02. 60o A B Dica: Trace uma reta pelo ponto D paralela ao lado BC. Calcule o cosseno do ângulo  num triângulo ABC onde AB = 12. 05. Observe a figura. Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 centímetros mede 120o. Calcule a medida do lado BC.EXERCÍCIOS 01. Calcule a maior diagonal desse paralelogramo. Calcule o segmento AD. em cm. Seja M o ponto médio da altura AH de um triângulo equilátero ABC de 8 cm de lado. Calcule a distância do ponto P ao vértice B. AB = 2 cm. 10. D Q P C A B 30 . A M B H C 08.07. No triângulo equilátero ABC tem-se BM = MC = 2 centímetros e NA = 1 cm. que está faltando. No quadrilátero da figura. No quadrado ABCD de lado 3cm. ADC = 60° e ABC = 90°. do perímetro do quadrilátero é: D C a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 B A Para calcular o lado AD. C M N B A 09. A medida. Calcule a medida do segmento BM. os pontos P e Q dividem a diagonal AC em três partes iguais. Calcule a medida do segmento MN. você talvez tenha que resolver uma equação do 2º grau. BC = CD = 3 cm. tem 12cm² de área. Isto é. Mais importante do que saber as “fórmulas” de área é entender o que represente a área de uma região plana.h h b 31 .3 Então S = 12 cm2 4cm II – Principais áreas: • Paralelogramo S = b. sua superfície equivale à superfície de 12 quadrados de lado 1cm. a área de uma região plana é o número que expressa a relação entre sua superfície e a superfície desse quadrado. h S = b. ainda que indutivamente. por exemplo. portanto. ÁREA Área é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a Medida de sua superfície. que a área do retângulo seja o produto de suas duas dimensões. Admitindo a superfície de um quadrado de lado unitário como uma unidade quadrada.UNIDADE IV I.h 3cm 1 cm2 b S = 4. Um retângulo de dimensão 4cm por 3cm. Seja “u” a unidade de área: 1 1 1 1 F A área da figura é “n” se: S(F) u =n Fácil compreender. é conhecido como apótema do polígono.a ⎟⇒ S = 2 ⎝ 2 ⎠ l a l Mas (n. h Então: 2S = b.• Triângulo Observe que o paralelogramo tem área igual ao dobro desse triângulo. em “n” triângulos isósceles congruentes. a partir do centro. Então: S = n.⎜ a ⎛ l.a ⎞ (n. Então: S = (n.h (B + b).l ).h 2 Observe que o losango ocupa a metade do retângulo cujas medidas são suas diagonais.h b.d D • Trapézio b h Então: S = B ⇒ S= D. o polígono pode ser dividido em triângulos congruentes.l ). 32 . acaba sendo mais prático usar a estratégia que usamos para chegar a essa conclusão. ou seja. que representa a distância do centro ao lado.h b • Losango ⇒ S= b.a ⇒ 2 S= 2p.d 2 A área do trapézio pode ser obtida pela soma das áreas dos dois triângulos determinados por uma de suas diagonais. d Então: 2S = D. A área do polígono será “n” vezes a área deste triângulo. l) é o perímetro do polígono que representamos por (2p) e a. h + ⇒ S= 2 2 2 III – Polígono Regular O Polígono regular de gênero “n” pode ser dividido.a Embora a área do polígono regular possa ser encontrada pelo produto do semi-perímetro pelo apótema.a 2 ⇒ S = p. B. pode ser determinada como sendo a área do polígono cujo semi-perímetro é πr e apótema igual a r. 3 1 .sen α. quanto maior é o número de lados do polígono. S = ab. tende a ser o raio r. o perímetro do polígono tende a 2πr (comprimento da circunferência) e. A Sabemos que S = b h c a. mais a sua área se aproxima da área do círculo. portanto.(p − b).IV . então: b Mas também sabemos que o sen α = C α a B h = b. a área do polígono tende ser a área do círculo. (multiplicar por 1 é o mesmo que dividir por 2) 2 2 2 Então S = l2 3 4 33 . l.(p − a). A área do círculo então. C S= b a p.Círculo Consideremos os polígonos regulares inscritos no círculo.h 2 h . Nesse processo. aumentando o número de lados do polígono inscrito num círculo.r Logo S = πr2 Vale ainda ressaltar: 1) Seja ABC um triângulo do qual se conhecem dois lados o ângulo formado por eles. o apótema. sen α 2 2) Radical de Heron. A c B 3) A área de um triângulo equilátero de lado l pode então ser determinada por: S = l.(p − c ) Onde p é o semi-perímetro do triângulo. Ou seja. Isto é: S = πr. A área do triângulo pode ser obtida em função de seus lados. de 8cm por 5cm. Determine a área assinalada. Calcule. b) a área do retângulo ABCD é igual a uma unidade de área. da figura abaixo. Na figura seguinte. E C D P A B 04. O retângulo ABCD. Suponhamos que uma folha retangular. em centímetros quadrados. seja dobrada segundo as ilustrações a seguir. 05. ABC é um triângulo equilátero de 12 cm de lado e ABDE tem os ângulos retos. (a) E C D (b) E C D A B A B 03. Admita que os vértices que estão sobre seus lados são pontos médios desses lados. Calcule as áreas hachuradas. Determine a área sombreada correspondente às letras da sigla UFRJ se: a) a área da letra U é a unidade de área.EXERCÍCIOS: 01. está subdividido em 100 quadrados elementares iguais. o triângulo equilátero ABC tem lado 2cm e o vértice C está sobre o lado do retângulo ABDE. a) b) c) d) e) f) 02. inscritas em quadrados de lados iguais a 6 cm. Quantos cm2 quadrados terá a área hachurada do retângulo ABDQ ? (a) 4 cm2 (b) 6 cm2 (c) 7 cm2 A B (d) 9 cm2 D C 34 . Na figura. as áreas dos triângulos CBD e ACD assinaladas nas figuras. Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado. pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: (A) 14 T + 3 Q (B) 14 T + 2 Q (C) 18 T + 3 Q (D) 18 T + 2 Q 09. Calcule a área do triângulo ADE na figura seguinte sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um triângulo eqüilátero de 6 centímetros de lado.06. D 4 cm C 6 cm E A 12 cm B 10. A E B D C 07. O decágono da figura ao lado foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro. todos com os lados congruentes ao do quadrado e mais 4 outros triângulos. Os arcos pertencem a circunferências com centros nos pontos médios dos lados do quadrado ou nos vértices dos mesmos. 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros. B • A O C 35 . Considere o trapézio ABCD da figura e calcule a área do triângulo ADE. Calcule a área hachurada sabendo-se que o ângulo ABC = 30o. O círculo seguinte tem 4cm de raio. Os quadrados têm lados iguais a 6cm. Calcule as áreas hachuradas. a) b) c) d) e) 11. João Lucas Marques. Llon Lages. Gelson. DOLCE. Rio de Janeiro: SBM. Geometria Euclidiana Plana. 1973.Bibliografia BARBOSA. 1993. 36 . Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. LIMA. Fundamentos da Matemática elementar. 9. Áreas e volumes. Osvaldo E IEZZI. São Paulo: Atual. 1997. Vol.