UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE TECNOLOGIA ST 109 – FÍSICA APLICADA I INTRODUÇÃO Neste capítulo você estudará o efeito de forças que atuam sobre partículas. Primeiro você vai aprender como substituir duas ou mais forças que atuam sobre uma dada partícula por uma única força que tenha o mesmo efeito que as forças originais. Essa única força equivalente é a resultante das forças originais que atuam sobre a partícula. Depois, as relações que existem entre as várias forças que atuam sobre a partícula em estado de equilíbrio serão deduzidas e usadas para se determinarem algumas das forças que atuam sobre a partícula. O uso da palavra partícula não implica que nosso estudo será limitado a pequenos corpos. Significa que o tamanho e o formato dos corpos em consideração não afetarão significativamente a resolução dos problemas tratados neste capítulo e que todas as forças que atuam sobre um dado corpo serão consideradas em um mesmo ponto de aplicação. Como tal hipótese é verificada em muitas aplicações práticas, neste capítulo você ficará habilitado a resolver diversos problemas de engenharia. FORÇAS NO PLANO. FORÇA SOBRE UMA PARTÍCULA. RESULTANTE DE DUAS FORÇAS Uma força representa a ação de um corpo sobre outro e é geralmente caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção e seu sentido. Forças que atuam sobre uma dada partícula, entretanto, têm o mesmo ponto de aplicação. Cada força considerada neste capítulo será, então, completamente definida por sua intensidade, sua direção e seu sentido. A intensidade de uma força é caracterizada por um certo número de unidades. As unidades SI (Sistema Internacional) usadas por engenheiros para medir a intensidade de uma força são o Newton (N) e seu múltiplo, o kiloNewton (kN), igual a 1.000 N. A direção de uma força é definida pela linha de ação e o sentido da força é dado pela seta. A linha de ação é a linha reta infinita ao longo da qual a força atua; caracteriza-se pelo ângulo que ela forma com algum eixo fixo (Fig. 2.1). A força propriamente dita é representada por um segmento dessa linha; por meio do uso de uma escala apropriada, pode-se escolher o comprimento desse segmento para representar a intensidade da força. Finalmente, o sentido da força deve ser indicado por uma ponta de seta. É importante, na definição de uma força, a indicação de seu sentido. Duas forças que tenham a mesma intensidade e a mesma linha de ação, mas sentidos diferentes, tais como as forças mostradas na Fig. 2.1 a e b, terão efeitos diretamente opostos sobre uma partícula. 1 Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuem sobre uma partícula A (Fig. 2.2a) podem ser substituídas por uma única força R que tem o mesmo efeito sobre essa partícula (Fig. 2.2c). Essa força é chamada de resultante das forças P e Q e pode ser obtida, como mostra a Fig. 2.2b, pela construção de um paralelogramo, usando-se P e Q como dois lados adjacentes desse paralelogramo. A diagonal que passa por A representa a resultante. Esse método de encontrar a resultante é denominado lei do paralelogramo para a adição de duas forças, Essa lei é baseada em evidência experimental; não pode ser provada ou deduzida matematicamente. VETORES Observa-se, pelo descrito acima, que forças não obedecem às regras de adição definidas na álgebra ou aritmética comuns. Por exemplo, duas forças que atuem a um ângulo reto entre si; uma de 4 N e a outra de 3 N, somadas resultam em uma força de 5 N, e não em uma força de 7 N. Forças não são as únicas quantidades que seguem a lei do paralelogramo para adição. Como você verá mais adiante, deslocamentos, velocidades, acelerações e quantidades de movimento são outros exemplos de quantidades físicas que têm intensidade, direção e sentido e que são somadas de acordo com a lei do paralelogramo. Todas essas quantidades podem ser representadas matematicamente por vetores, enquanto aquelas quantidades físicas que têm intensidade, mas não direção, tais como volume, massa ou energia, são representadas por números simples ou escalares. Vetores são definidos como expressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido, que se somam de acordo com a lei do paralelogramo. Vetores são representados por setas nas ilustrações e serão distinguidos dos escalares neste texto pelo uso de negrito (P). Na escrita a mão, um vetor pode ser expresso pelo desenho de uma pequena seta acima da letra usada para representá-lo (P) ou sublinhando-se essa letra (P). A intensidade do vetor define o comprimento da seta usada para representá-lo. Neste texto, a escrita normal será usada para denotar a intensidade de um vetor. Assim, a intensidade de um vetor P será representada por P. Um vetor usado para representar uma força que atua sobre uma dada partícula tem um ponto de aplicação bem definido, a saber, a partícula propriamente dita. Diz-se que tal vetor é fixo e não pode ser deslocado sem que se modifiquem as condições do problema. Outras quantidades físicas, entretanto, como momentos e binários, são representadas por vetores que podem se mover livremente no espaço; esses vetores são denominados vetores livres. Ainda outras quantidades, tais como forças atuantes sobre um corpo rígido, são representadas por vetores que podem ser deslocados, ou, deslizados, ao longo de suas linhas de ação; esses são denominados vetores deslizantes. 2 Dois vetores que têm a mesma intensidade, a mesma direção e o mesmo sentido são considerados iguais, independentemente de terem ou não o mesmo ponto de aplicação (Fig. 2.4); vetores iguais podem ser representados pela mesma letra. O vetor oposto de um dado vetor P é definido como um vetor que tem a mesma intensidade e a mesma direção de P e um sentido oposto ao de P (Fig. 2.5); o oposto de um vetor P é denotado por –P. Em geral nos referimos aos vetores P e –P como vetores iguais e opostos. Obviamente, temos P + (–P) = 0 ADIÇÃO DE VETORES Vimos na seção precedente que, por definição, vetores se somam de acordo com a lei do paralelogramo. Portanto, a soma de dois vetores P e Q, é obtida, aplicando-se os dois vetores no mesmo ponto A e construindo-se o paralelogramo, usando P e Q como dois lados do paralelogramo (Fig. 2.6). A diagonal que passa através de A representa a soma dos vetores P e Q, e essa soma é representada por P + Q. O fato de o sinal + ser usado para representar tanto as adições de vetores como as de escalares não deve causar confusão, se as quantidades vetoriais e escalares forem sempre cuidadosamente distinguidas. Portanto, devemos notar que a intensidade do vetor P + Q não é, em geral, igual à soma P + Q das intensidades dos vetores P e Q. Como o paralelogramo construído com os vetores P e Q não depende da ordem em que P e Q são selecionados, concluímos que a adição de dois vetores é comutativa, e escrevemos P+Q=Q+P Algumas expressões têm intensidade, direção e sentido, mas não se somam de acordo com a lei do paralelogramo. Embora possam ser representadas por setas, essas expressões não podem ser consideradas vetores. Um grupo dessas expressões é o de rotações finitas de um corpo rígido. Coloque um livro fechado sobre uma mesa à sua frente, de modo que fique em posição de leitura, com a capa para cima e a lombada para a esquerda. Agora gire o livro 180° em tomo de um eixo paralelo à lombada (Fig. 2.3a); essa rotação pode ser representada por uma seta de comprimento igual a 180 unidades e orientada tal como mostra a figura. Pegando o livro nessa nova posição, gire-o agora 180º em tomo de um eixo perpendicular à lombada (Fig. 2.3b); essa segunda rotação pode ser representada por uma seta de 180 unidades de comprimento e 3 conhecido como a regra do triângulo. obtida primeiro somando-se os vetores P e Q e depois adicionando-se o vetor S ao vetor P + Q . as rotações finitas de um corpo rígido não obedecem à lei do paralelogramo para adição. portanto. embora seja usado o mesmo sinal para denotar a subtração vetorial e a escalar. Mas o livro poderia ter sido colocado nessa posição final por meio de uma rotação única de 180° em torno de um eixo vertical (Fig. ser determinada dispondo-se P e Q no padrão ponta-a-cauda e. Isso confirma o fato de que a adição de vetores é comutativa. não podem ser representadas por vetores. A soma de três vetores P. na qual a soma dos vetores P e Q foi determinada pela lei do paralelogramo. Q e S será. Esse método. portanto. 2. em seguida. podemos deduzir um outro método para se determinar a soma de dois vetores. podemos desenhar apenas metade do paralelogramo (Fig. o vetor P – Q representando a diferença entre os vetores P e Q é obtido adicionando-se a P o vetor oposto –Q (Fig. Concluímos que a somadas duas rotações de 180° representadas pelas setas direcionadas respectivamente ao longo dos eixos z e x é uma rotação de 180° representada por uma seta direcionada ao longo do eixo y (Fig.2) Aqui novamente devemos observar que. é considerada a outra. e obtém-se o mesmo resultado. Na Fig. 2. Obviamente. 2. 4 .7b. A subtração de um vetor é definida como a adição do vetor oposto correspondente.8). por definição.3d). 2. 2. Como o lado do paralelogramo oposto a Q é igual a Q em intensidade e direção. unindo-se a cauda de P à ponta de Q. Considere a Fig. é apresentado a seguir. em conseqüência. Da lei do paralelogramo. Escrevemos P – Q = P + (–Q ) (2. metade do paralelogramo. Vamos agora considerar a soma de três ou mais vetores. Escrevemos. A soma dos dois vetores pode. serão evitadas confusões se forem tomados cuidados para se distinguir entre quantidades escalares e vetoriais.3c). orientada tal como mostra a figura.6. 2.7a). Portanto.. Se os vetores dados são coplanares. e foi aplicada novamente para se obter a soma dos vetores P + Q e S. entretanto. poderia ter sido omitida e a soma dos três vetores poderia ter sido obtida diretamente. N. dispondo-se os vetores dados no padrão ponta-a-cauda e unindo-se a cauda do primeiro vetor à ponta do último. 2. como mostra a Fig. A regra do triângulo foi aplicada. a aplicação sucessiva da regra do triângulo é preferível a aplicação da lei do paralelogramo. A determinação do vetor P + Q. Na Fig. se eles estão contidos no mesmo plano. Segue-se que a soma de qualquer número de vetores pode ser obtida aplicando-se repetidamente a lei do paralelogramo a pares sucessivos de vetores até que todos os vetores dados tenham sido substituídos por um único vetor.P + Q + S = (P + Q) + S (2.: Entende-se por padrão ponta-a-cauda a disposição de dois vetores de modo a unir a ponta (final) do primeiro vetor à cauda (origem) do segundo.3) De modo semelhante.9 a soma de três vetores P. 2. Esse procedimento é conhecido como regra do polígono para adição de vetores. Nesse caso. a soma de quatro vetores será obtida adicionando-se o quarto vetor à soma dos três primeiros. Q e S foi obtida dessa maneira. ou seja. primeiro para se obter a soma P + Q dos vetores P e Q. será fácil obter a sua soma graficamente. 5 .T.10. no caso de dois vetores.4) o que expressa o fato de que a adição de vetores é associativa. ou a mesma direção e sentido oposto ao de P (se k for negativo). como mostra a Fig. e lembrando a definição de vetor oposto dada na Seção 2.13). e uma intensidade igual ao produto de P e do valor absoluto de k (Fig. definiremos o produto nP de um inteiro. 2.11.Observamos que o resultado obtido teria sido o mesmo se.12). a soma P + P + P por 3P e. Lembrando que foi mostrado que a adição de vetores. Como é conveniente representar a soma P + P por 2P. escrevemos P + Q + S = (P + Q) + S = S + (P + Q) = = S + (Q + P) = S + Q + P (2. 6 . é comutativa. mostra que a ordem em que os vários vetores são adicionados é irrelevante (Fig. Produto de um escalar por um vetor. em geral. positivo n por um vetor P como um vetor que tem a mesma direção e o mesmo sentido que P e a intensidade nP. assim como outras que poderiam ser obtidas da mesma maneira.3. podemos escrever: P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S) (2.5) Esta expressão. Portanto. 2. os vetores Q e S tivessem sido substituídos pela soma Q + S. a soma de n vetores iguais P pelo produto nP. 2. Estendendo essa definição para incluir todos os escalares. definimos o produto kP de um escalar k por um vetor P como um vetor que tem a mesma direção e o mesmo sentido que P (se k for positivo). são adicionados é irrelevante. representando as forças dadas. a ordem em que os vetores P. Como o uso da regra do polígono é equivalente à aplicação repetida da lei do paralelogramo.14b). ou seja. Como indicamos acima. Os vetores que representam as forças que atuam sobre A podem ser adicionados pela regra do polígono (Fig. 7 . várias forças contidas em um mesmo plano (Fig.14a). 2. Q e S.RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES Considere uma partícula A sobre a qual atuam várias forças coplanares. isto é. 2. também são denominadas concorrentes. a força única que tem sobre a partícula A o mesmo efeito que as forças originais dadas. Como as forças consideradas aqui passam todas por A. o vetor R assim obtido representa a resultante das forças concorrentes dadas. e o processo de substituição de F por elas. mesmo assim. 2. paralelas às linhas de ação dadas (Fig. juntas.2).17). Em todos os casos. uma força única F que atua sobre uma partícula pode ser substituída por duas ou mais forças que. ambos os componentes P e Q devem ser aplicados em A.15). Conjuntos de dois componentes P e Q são os mais importantes no que concerne a aplicações práticas.16). o triângulo ou paralelogramo adequado que satisfaz as condições dadas é desenhado. 2 – A linha de ação de cada componente é conhecida. A intensidade e o sentido dos componentes são obtidos aplicando-se a lei do paralelogramo e traçando-se retas. é denominado decomposição dos componentes da força F. P é conhecido. têm o mesmo efeito sobre a partícula. 8 . Muitos outros casos podem ser encontrados. Esse processo conduz a dois componentes bem definidos. Uma vez que Q tiver sido determinado. Q é obtido aplicando-se a regra do triângulo e unindo-se a ponta de P à ponta de F (Fig. O segundo componente. Essas forças são chamadas de componentes da força original F. Dois casos são de particular interesse: 1 – Um dos dois componentes. a intensidade. 2. a direção e o sentido de Q são determinados graficamente ou por trigonometria. para cada força F existe um número infinito de possíveis conjuntos de componentes.DECOMPOSIÇÃO DOS COMPONENTES DE UMA FORÇA Vimos que duas ou mais forças que atuam sobre uma partícula podem ser substituídas por uma força única que tem o mesmo efeito sobre a partícula. por exemplo. P e Q. a direção de um componente pode ser conhecida. a partir da ponta de F. que podem ser determinados graficamente ou calculados trigonometricamente aplicando-se a lei dos senos. Mas. Reciprocamente. o número de maneiras pelas quais uma dada força F pode ser decomposta em dois componentes é ilimitado (Fig. 2. enquanto se deseja que a intensidade do outro componente seja tão pequena quanto possível (ver Problema Resolvido 2. Obviamente. As forças P e Q são desenhadas no padrão ponta-acauda. escrevemos: sen A sen B ---------.73 (1) 9 . SOLUÇÃO Solução gráfica.PROBLEMA RESOLVIDO 2. dois lados e o ângulo incluso são conhecidos. Determine sua resultante. Um paralelogramo com lados iguais a P e Q é desenhado em escala. A regra do triângulo é usada novamente.= ---------Q R sen A sen 155º ---------. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante são medidos e os valores encontrados são R = 98 N = 35º R = 98 N 35º Pode-se usar também a regra do triângulo.= ------------60 97. R 2 = P 2 + Q 2 – 2 P Q cos B R 2 = (40) 2 + (60) 2 – 2 x 40 x 60 x cos 155º R = 97. Aplicamos a lei dos cossenos. Novamente a intensidade e o ângulo que define a direção da resultante são medidos. R = 98 N = 35º R = 98 N 35º .7* • Solução trigonométrica. aplicando a lei dos senos.1 As duas forças P e Q atuam sobre um parafuso A.73 N '- Agora. 0º 10 .04º R = 97.04º = 35.0º Solução trigonométrica alternativa Construímos o triângulo retângulo BCD e calculamos CD = 60 sen 25º = 25.38 A = 15.04º = 35.36 tg A = ---------94.38 N Em seguida usando o triângulo ACD.04º = 20º + 15.73 N = 20º + 15.04º R = 97.7 N 35.Resolvendo a Eq. obtemos 60 x sen 155º sen A = -----------------97.73 = 20º + A A = 15.04º 25.36 N BD = 60 cos 25º = 54. obtemos: Novamente = 20º + A 25.7 N 35. (1) para sen A.36 R = ---------sen A R = 97. 11 . Observamos que o valor mínimo de T 2 ocorre quando T 1 e T 2 . Várias direções possíveis de T 2 são mostradas pelas linhas 2–2'.= -----------sen 45º sen 30º sen 105º T 1 = 16 288 N T 2 = 11 517 N (b) Valor de para T 2 mínimo. igual a 22 250 N e está dirigida para a direita. Pode-se aplicar a regra do triângulo. No croqui mostrado. a diagonal (resultante) é conhecida. (b) o valor de para o qual a tração no cabo 2 é mínima. Os lados são desenhados paralelos aos cabos.2 Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Aplica-se a lei do paralelogramo. Se o desenho for feito em escala. determine (a) a força de tração em cada um dos cabos. medimos: T 1 = 16 200 N T 2 = 11 500 N Solução trigonométrica. Notamos que o triângulo mostrado representa metade do paralelogramo mostrado acima. Solução gráfica. Aplicando a lei dos senos. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é uma força de 22 250 N dirigida ao longo do eixo da barcaça.PROBLEMA RESOLVIDO 2. a linha 1-1 é a direção conhecida de T 1 . aplica-se novamente a regra do triângulo. escrevemos: T1 T2 22 250 ----------. são perpendiculares.= ----------. O valor mínimo de T 2 é: . sabendo que = 45º. Para determinar o valor de para o qual a tração no cabo 2 é mínima. SOLUÇÃO (a) Tração para = 45º. outros não. Alguns podem parecer um dos problemas resolvidos.7). 2. seja graficamente ou por trigonometria. você pode usar a regra do triângulo. a lei de cossenos deve ser aplicada primeiro. indique todas as dimensões – sejam lados ou ângulos – e determine as dimensões desconhecidas.2). se um lado.6. Apesar de esse último método ser importante e. Por isso. Indique todas as dimensões. Agora você vai ser solicitado a solucionar problemas por conta própria. Freqüentemente é útil escrever a equação vetorial que mostra como as forças estão relacionadas. por isso. Como alternativa. 2. Como é evidente pelas figuras da Seção 2. 12 . 3. com as forças aplicadas desenhadas no padrão ponta-a-cauda e com a resultante se estendendo da cauda do primeiro vetor à ponta do segundo (Fig. Por exemplo. Se você teve contato anterior com a Mecânica. é essencial que você alinhe os dois lados adjacentes do seu paralelogramo com as linhas de ação especificadas dos componentes. quando solicitado a decompor Uma força em dois componentes.T 2 = 22 250 sen 30º = 11 125 N Os valores correspondentes de T 1 e são: T 1 = 22 250 cos 30º = 19 269 N = 90º – 30º = 60º ' METODOLOGIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS As seções anteriores foram dedicadas à introdução e à aplicação da lei do paralelogramo para a adição de vetores. será considerado na próxima seção – o uso da lei do paralelogramo simplifica a solução de muitos problemas e deve ser dominado completamente neste momento.1). Identifique quais das forças são as forças aplicadas e qual é a resultante. no Problema Resolvido 2. os dois componentes de uma força não precisam ser perpendiculares. e todos os ângulos forem conhecidos (Problema Resolvido 2. Sua solução para um dado problema deve consistir nos seguintes passos: 1. e de que. 2. se dois lados e o ângulo incluso forem conhecidos (Problema Resolvido 2.2). a lei de senos deve ser aplicada primeiro. Usando um dos triângulos do paralelogramo ou o triângulo construído de acordo com a regra do triângulo. lembre-se de que. O que todos os problemas e problemas resolvidos nesta seção têm em comum é que eles podem ser solucionados pela aplicação direta da lei do paralelogramo. Se você usar trigonometria.1 teríamos: R= P+Q Você deve ter em mente essa relação enquanto formula a próxima parte da sua solução. Desenhe um paralelogramo tendo as forças aplicadas como dois lados adjacentes e a resultante como a diagonal inclusa (Fig. pode se sentir tentado a ignorar as técnicas de solução dessa lição em favor da decomposição das forças em componentes retangulares. Determine graficamente a intensidade. (b) a regra do triângulo. a direção e o sentido da resultante das forças exercidas pelos cabos em A usando (a) a lei do paralelogramo e (b) a regra do triângulo. 2. a direção e o sentido da resultante usando (a) a lei do paralelogramo. Sabendo que a tração é 500 N em AB e 160 N em AD. (b) a regra do triângulo.5) Duas hastes de controle são conectadas à alavanca AB em A. como mostra a figura. determine graficamente a intensidade.2) Os cabos AB e AD ajudam a suportar o poste AC. como mostra a figura. Usando trigonometria e sabendo que a força na haste da esquerda é F 1 = 120 N. Sabendo que P = 198 N e Q = 66 N. a direção e o sentido da resultante usando (a) a lei do paralelogramo. determine (a) a força F 2 requerida na haste da direita para que a resultante R das forças exercidas pelas hastes na alavanca seja vertical. 2.3) Duas forças P e Q são aplicadas no ponto A de um suporte tipo gancho. 2. determine graficamente a intensidade. Usando trigonometria e sabendo que a força na haste da direita é F 2 = 80 N.4) Duas forças P e Q são aplicadas no ponto A de um suporte tipo gancho. e (b) a intensidade correspondente de R.2. e (b) a intensidade correspondente de R. (b) a regra do triângulo.1) Duas forças são aplicadas à cabeça de um parafuso preso em uma viga. determine graficamente a intensidade. 2. 2. 13 . a direção e o sentido de sua resultante usando (a) a lei do paralelogramo. Sabendo que P = 66 N e Q = 110 N.6) Duas hastes de controle são conectadas à alavanca AB em A. determine (a) a força F 1 requerida na haste da esquerda para que a resultante R das forças exercidas pelas hastes na alavanca seja vertical. 2. Usando trigonometria. a um suporte tipo gancho. Usando trigonometria e sabendo que a intensidade de P é 63 N. 2.9. dois cabos são conectados a essa placa em A. (a) a intensidade e a direção da menor força P para a qual a resultante R das duas forças aplicadas no suporte é horizontal.7) A força de 220 N deve ser decomposta em componentes ao longo das linhas a-a’ e b-b’. dois cabos são conectados a uma placa de sinalização em A para se estabilizar essa placa enquanto é abaixada. determine. usando trigonometria e sabendo que a intensidade de P é 110 N.3. (a) Usando trigonometria. a direção e o sentido da menor força P para a qual a resultante R das duas forças aplicadas em A é vertical.10) Para estabilizar uma placa de sinalização enquanto é abaixada.13) Para o suporte tipo gancho do Problema 2. P2. e (b) a correspondente intensidade de R. 2.11) Duas forças são aplicadas. e (b) a correspondente intensidade de R. e (b) a correspondente intensidade de R. 14 .9) Para estabilizar uma placa de sinalização enquanto é abaixada. e (b) a correspondente intensidade de R.11. determine o ângulo sabendo que o componente ao longo de a-a' é 154 N.12) Para o suporte tipo gancho do Problema 2. determine (a) a intensidade. dois cabos são conectados a essa placa em A. (b) Qual é o valor correspondente do componente ao longo de a-a’? 2. (b) Qual é o correspondente valor do componente ao longo de b-b’? 2. usando trigonometria.14) Como mostra a Fig. Usando trigonometria e sabendo que a intensidade da força P é 300 N. como mostra a figura. determine (a) o ângulo requerido a se a resultante R das duas forças aplicadas em A for vertical. determine (a) a intensidade requerida da força P se a resultante R das duas forças aplicadas em A for vertical. 2.8) A força de 220 N deve ser decomposta em componentes ao longo das linhas a-a’ e b-b’. e (b) a correspondente intensidade de R. 2. determine (a) a intensidade requerida da força Q se a resultante R das duas forças aplicadas em A for vertical. determine o ângulo sabendo que o componente ao longo de b-b’ é 132 N. 2. e (b) a correspondente intensidade de R. Usando trigonometria e sabendo que = 25º. (a) Usando trigonometria. determine (a) o ângulo requerido a se a resultante R das duas forças aplicadas no suporte for horizontal. VETORES UNITÁRIOS Em muitos problemas será desejável decompor uma força.16) Resolva o Problema 2. como na Fig. COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA. a direção e. como mostra a Fig. Na Fig. a direção e o sentido da resultante das forças aplicadas ao suporte pelos elementos A e B. a força F foi decomposta em um componente F x ao longo do eixo x e um componente F y ao longo do eixo y. em dois componentes que são perpendiculares entre si.15) Para o suporte tipo gancho do Problema 2. 2. Sabendo que ambos os elementos estão em compressão e que a força é 20 kN no elemento A e 30 kN no elemento B.18) Resolva o Problema 2. Sabendo que ambos os elementos estão em compressão e que a força é 30 kN no elemento A e 20 kN no elemento B.18. determine. determine. determine. a intensidade. entretanto.19) Dois elementos estruturais A e B são parafusados a um suporte.27) Resolva o Problema 2. 2. 2. 2. 2. como mostra a figura. o sentido da resultante das duas forças aplicadas no suporte sabendo que P = 45 N e = 40º.1 usando trigonometria. Os eixos x e y são.3 usando trigonometria. respectivamente.11. a intensidade. 2. 2.18. usando trigonometria. a direção e o sentido da resultante das forças aplicadas ao suporte pelos elementos A e B. como mostra a figura. usando trigonometria. ser escolhidos em duas direções perpendiculares quaisquer. O paralelogramo desenhado para se obterem os dois componentes é um retângulo. Na determinação dos componentes 15 .19. podem. geralmente escolhidos na horizontal e na vertical. 2. e F x e F y são chamados de componentes retangulares.2 usando trigonometria. usando trigonometria. a intensidade.20) Dois elementos estruturais A e B são parafusados a um suporte.2. 2.21). Notamos que o componente escalar F x é positivo quando o componente vetorial F x tiver o mesmo sentido que o vetor unitário i (ou seja. 2. em vez de perpendiculares à esses eixos.19 como sendo paralelas aos eixos x e y. o estudante deve pensar nas linhas de construção do gráfico representadas nas Figs. 2. seus valores absolutos são respectivamente iguais às intensidades das forças componentes F x e F y .6) (2. notamos que os componentes retangulares F x e F y da força F podem ser obtidos multiplicando-se respectivamente os vetores unitários i e j pelos escalares apropriados (Fig. como na Seção 2. pode-se referir tanto a componentes vetoriais quanto a componentes escalares de F simplesmente como componentes de F. podemos expressar os componentes escalares de F da seguinte maneira: e a força F fica F x = F cos F y = F sen F = Fx i + Fy j F = F cos i + F sen j (2. ponto. enquanto as verdadeiras forças componentes F x e F y devem receber a denominação componentes vetoriais de F. o mesmo sentido que o eixo x positivo) e é negativo quando F x tiver sentido oposto. Os escalares F x e F y são denominados componentes escalares da força F. dependendo do sentido de F x e de F y . 16 .6. Escrevemos: Fx = Fx i F = Fx + Fy Fy= Fy j F = Fx i + Fy j (2. serão introduzidos neste. e que elas definem tanto o sinal quanto o valor absoluto dos componentes escalares F x e Fy.20).18 e 2.21).7) Embora os escalares F x e F y possam ser positivos ou negativos. dirigidos respectivamente ao longo dos eixos positivos x e y. Lembrando a definição do produto de um escalar por um vetor dada na Seção 2.4. Essa prática vai ajudar a evitar erros na determinação de componentes oblíquos. Dois vetores de intensidade unitária.retangulares de uma força. 2. Pode-se chegar a uma conclusão semelhante com relação ao sinal do componente escalar F y. medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo (Fig. Representando por F a intensidade da força F e por o ângulo entre F e o eixo x. de 0º a 360°. Entretanto. respectivamente (Fig.8) Notamos que as relações obtidas valem para qualquer valor do ângulo . Esses vetores são' denominados vetores unitários e são representados por i e j. quando não houver possibilidade de confusão. 22b) e usar as funções trigonométricas do ângulo = 35º. 2. Para se obter o sinal correto para os componentes escalares F x e F y . o valor nas Eqs.22a. F x = –655 i F y = +459 j e podemos escrever F na forma F = –655 i + 459 j (N) 17 . (2.8) deve ser substituído por 180º – 35º = 145º. pode ser mais prático determinar por inspeção os sinais de F x e F y (Fig. 2. como mostra a Fig. Determine os componentes vertical e horizontal dessa força. F x = –F cos = –800 cos 35º = –655 N F y = +F sen = +800 sen 35º = +459 N Os componentes vetoriais de F são. Escrevemos.Exemplo 1. Entretanto. Uma força de 800 N é exercida no parafuso A. portanto. então. 2. 2.23a.= -------. 2.= -------.8. como mostra a Fig. Um homem puxa com a força de 300 N uma corda amarrada a um edifício. 2.23 e escrevemos F = 240 i – 180 j (N) Quando a força F é definida por seus componentes retangulares F x e F y (Fig. 18 . obtemos F x = +300 x 0. escrevendo-se: F = Fx2 + Fy2 Ou resolvendo-se em termos de F uma das Eqs.8 AB 10 m 6m 6m sen = -------.8 F x = +240 N F y = –180 N Rg.= 0.8 F y = –300 x 0. 2.Exemplo 2.21) o ângulo definindo sua direção pode ser obtido escrevendo-se: Fy tg = -------Fx (2. obtemos da Fig.9) A intensidade F da força pode ser obtida aplicando-se o Teorema de Pitágoras.6 AB 10 m Portanto.23b que: F x = +300 cos F y = –300 sen Observando que AB = 10 m. 2. Quais são os componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A? Vê-se da Fig.= 0.23a 8m 8m cos = -------. 5: a regra do triângulo para adição de duas forças e a regra do polígono para adição de três ou mais forças. Q e S atuando sobre uma partícula A (Fig.Exemplo 3. (2. Determine a intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal.8 Fx 3150 = 65º F y = F sen 6750 = F sen 65º 6750 F = ----------sen 65º F = 7448 N ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DOS COMPONENTES X E Y Foi visto na Seção 2. 2. A resultante R delas é definida pela relação: R=P+ Q+S 19 . Nesse caso.25a). escrevemos Fy 6750 tg = -------. 2. Uma força F = 3150 i + 6750 j é aplicada a um parafuso A. Quando três ou mais forças são adicionadas.4 e 2. por exemplo. três forças P. nenhuma solução trigonométrica prática pode ser obtida do polígono de forças que define a resultante das forças.2 que forças devem ser adicionadas de acordo com a lei do paralelogramo. uma solução analítica do problema pode ser obtida decompondo-se cada força em dois componentes retangulares. A partir dessa lei.= --------. dois outros métodos. mais facilmente aplicáveis a soluções gráficas de problemas. Primeiro desenhamos um diagrama mostrando os dois componentes retangulares da força e o ângulo (Fig. foram apresentados nas Seções 2. Considere.9). A partir da Eq. Foi também visto que o triângulo de forças usado para se definir a resultante de duas forças poderia ser usado para se obter uma solução trigonométrica.= 0.24). como ilustra a Fig.25a são decompostas em seus componentes x e y (Fig. Na prática. 2. e é também. 2. 2. 2. muitas vezes. a resultante R = R x i + R x j é determinada aplicando-se a lei do paralelogramo (Fig. a determinação da resultante R é feita em três passos. 2.25b). Adicionando esses componentes.25. Rx = Fx Ry = Fx Concluímos que os componentes escalares R x e R y da resultante R de várias forças que atuem sobre uma partícula são obtidos adicionando-se algebricamente os correspondentes componentes escalares das forças dadas. Primeiro as forças dadas mostradas na Fig. O procedimento aqui descrito será feito mais eficientemente se os cálculos forem dispostos em uma tabela. 20 . em notação reduzida.25a). escrevemos: Rx i + Ry j = Px i + Py j + Qx i + Qy j + Sx i + Sy j R x i + R y j = (P x + Q x + S x) i + (P y + Q y + S y) j de onde temos que: Rx = Px + Qx + Sx Ry = Py + Qy + Sy ou. Por fim. Este é o único método analítico prático para a adição e três ou mais forças.25c). obtemos os componentes x e y de R (Fig.Decompondo cada força em seus componentes retangulares. preferido em vez da solução trigonométrica no caso da adição de resultado duas forças. 10 i + 14. como mostrado na figura.40 i + 75.Problema Resolvido 2.90 i + 75 j (N) F 2 = –80 sen 20º i + 80 cos 20º j F 2 = –27. o número escalar representando o componente da força é positivo se o componente da força tem o mesmo sentido que o eixo coordenado correspondente.60 i – 25. F 1 = 150 cos 30º i + 150 sen 30º j F 1 = 129. Logo.90 – 27.20 j (N) F 3 = 0 i – 110 j (N) F 4 = 100 cos 15º i – 100 sen 15º j F 4 = 96. os componentes x atuando para a direita e os componentes y atuando para cima são representados por números positivos.= ----------Rx 199.60) i + (75 + 75. a partir do triângulo mostrado.10 = 4.60 i – 25.20 – 110 – 25.90 i + 75 j – 27.20 j + 0 i – 110 j + 96.40 + 0 + 96.1º 21 . a direção e o sentido da resultante podem agora ser determinados.40 i + 75.90 j (N) R = F1 + F2 + F3 + F4 R = 129. SOLUÇÃO Os componentes x e y de cada força são determinados por trigonometria como mostra a figura e são inseridos na tabela abaixo.30 tg = ------. temos: Ry 14.7. Determine a resultante das forças no parafuso.3 Quatro forças atuam no parafuso A.90) j R = 199.90 j R = (129. De acordo com a convenção adotada na Seção 2.30 j (N) A intensidade. Dois casos podem ser encontrados. sem de fato determinar a [Exemplo 2]. O ângulo que F forma com o eixo x pode ser determinado primeiro por trigonometria. a direção e o sentido da resultante solucionando o triângulo retângulo de lados R x e R y para R e para o ângulo que R forma com o eixo x. respectivamente: R = Rx i + Ry j Como alternativa. Componentes retangulares da resultante.1º R = 199. 22 .10 = R cos 4. você pode determinar a intensidade. Caso 2.R x = R cos 199. os componentes de F também podem ser obtidos diretamente a partir das proporções entre as várias dimensões envolvidas. os eixos x e y eram horizontal e vertical.3]. respectivamente [Exemplo 1]. a determinação de sua resultante R é feita mais facilmente decompondo-se primeiro cada força em componentes retangulares. que para alguns problemas seria mais eficiente girar os eixos para alinhá-los com uma ou mais das forças aplicadas. Entretanto. dependendo do modo como cada uma das forças dadas é definida. A força F é definida por sua intensidade F e pelo ângulo que ela forma com o eixo x. Os componentes x e y da força podem ser obtidos multiplicando-se F por cos e sen .60 N 4. respectivamente. Os componentes e R y da resultante podem ser obtidos somando-se algebricamente os componentes correspondentes das forças dadas [Problema Resolvido 2. Nos exemplos e problemas resolvidos desta seção. Quando três ou mais forças estão envolvidas. Você pode expressar a resultante em forma vetorial usando os vetores unitários i e j.23). B. que são direcionados ao longo dos eixos x e y. Caso 1. A. Você deve lembrar.1º Você viu na seção anterior que a resultante de duas forças pode ser determinada graficamente ou a partir da trigonometria de um triângulo oblíquo. A força F é definida por ma intensidade F e pelas coordenadas de dois pontos A e B em ma linha de ação (Fig. 2. entretanto. 24 Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas.25) Ao esvaziar um carrinho de mão. 2.21) Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas. determine (a) a intensidade da força P. Sabendo que P deve ter um componente horizontal de 135 N. 2. 2. 23 .22) Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas.Problemas 2. uma jardineira exerce em cada haste (varal) AB uma força P dirigida ao longo da linha CD.23 e 2. e (b) seu componente vertical. 24. determine (a) a intensidade da força P.28) A haste ativadora AB exerce no elemento BCD uma força P dirigida ao longo da linha AB. 2.33) Determine a resultante das três forças do Prob. e (b) seu componente vertical.31) Determine a resultante das três forças do Prob. 2. Sabendo que P deve ter um componente horizontal de 1170 N. 2. 2.21. determine (a) a intensidade da força P. e (b) seu componente em uma direção perpendicular a AC. 2. determine (a) a intensidade da força P. 2. 2.22. 24 . 2. Sabendo que P deve ter um componente vertical de 960 N. e (b) seu componente ao longo da linha AC. determine (a) a intensidade da força P. 2. Sabendo que P tem um componente de 450 N ao longo da linha AC.2.29) O cabo de sustentação BD exerce no poste telefônico AC uma força P dirigida ao longo de BD. e (b) seu componente ao longo da linha BC. Sabendo que P deve ter um componente de 110 N perpendicular ao braço BC do elemento.32) Determine a resultante das três forças do Prob.27) O elemento CB de um tomo de bancada (morsa) exerce no bloco B uma força P dirigida ao longo da linha CB. determine (a) a intensidade da força P.26) O elemento BD exerce sobre o elemento ABC uma força P dirigida ao longo da linha BD. Sabendo que P deve ter um componente de 200 N perpendicular ao poste AC. e (b) seu componente horizontal.30) O cabo de sustentação BD exerce no poste telefônico AC uma força P dirigida ao longo de BD. 2. e (b) a correspondente intensidade da resultante.39) Determine (a) o valor necessário de a para que a resultante das três forças mostradas seja vertical.23.2. 2. determine a resultante das três forças mostradas. determine a resultante das três forças exercidas no ponto B da viga AB. determine a resultante das três forças mostradas. 2.38) Sabendo que = 50°. 2.37) Sabendo que a tração no cabo BC vale 638 N. .36) Sabendo que = 65º. 2.34) Determine a resultante das três forças do Prob.35) Sabendo que = 35º. 2. 25 . determine a resultante das três forças mostradas. 2. o efeito resultante das forças dadas é nulo. Nesse caso. 2. discutimos os métodos para se determinar a resultante de várias forças que atuem sobre uma partícula. O polígono fechado desenhado na Fig. é perfeitamente possível que a resultante seja zero.40) Para a viga do Problema 2. e (b) a correspondente intensidade da resultante. 2. 2. Uma partícula sobre a qual se aplicam duas forças estará em equilíbrio se as duas forças tiverem a mesma intensidade e a mesma linha de ação. escrevemos: R=F=0 (2.41) A baste AB é mantida na posição mostrada por três cabos. respectivamente. 2. A resultante dessas duas forças é. e a partícula está em equilíbrio.9 EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA Nas seções anteriores. a resultante R do sistema de forças dado é zero. a partícula está em equilíbrio. que mostra quatro forças atuando em A.37.2. a resultante das forças dadas é determinada pela regra do polígono. então. Para expressar algebricamente as condições de equilíbrio de uma partícula. e (b) a correspondente intensidade da resultante.2 kN.14) 26 . Começando no ponto O com F 1 e dispondo as forças no padrão pontaa-cauda. Temos então a seguinte definição: Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre uma partícula é igual a zero. 2. mas sentidos opostos.36 determine (a) o valor necessário de a para que á resultante das três forças mostradas seja paralela ao plano inclinado e (b) a correspondente intensidade da resultante.28 fornece uma expressão gráfica para o equilíbrio de A. Logo. determine (a) a tração necessária no cabo BC se a resultante das três forças exercidas no ponto B for vertical. determine (a) a tração no cabo AE se a resultante das forças de tração exercidas no ponto A da haste tiver que ser direcionada ao longo de AB. Sabendo que as forças de tração nos cabos AC e AD são 4 kN e 5. 2.28. Embora isso não tenha ocorrido em nenhum dos problemas considerados até aqui.27.26. Tal caso é ilustrado na Fig. igual a zero. Outro caso de equilíbrio de uma partícula é representado na Fig. e diz-se que a partícula está em equilíbrio. encontramos que a ponta de F 4 coincide com o ponto inicial O. 2.42) Para o bloco dos Problemas 2. Na Fig.35 e 2. 4 – 900 cos 30º + 1800 cos 30º = –779. 27 . Escrevemos F x = 1350 – 900 sen 30º – 1800 sen 30º = 1350 – 450 – 900 = 0 F y = –779.27.8 = 0 PRIMEIRA LEI DE NEWTON DO MOVIMENTO Na parte final do século XVII.Decompondo cada força F em componentes retangulares. A primeira dessas leis pode ser enunciada nos. 2. a partícula permanecerá em repouso (se originalmente em repouso) ou se moverá a velocidade constante em linha reta (se originalmente em movimento). temos (F x i + F y j) = 0 ou Fx i + Fy j = 0 Concluímos que as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de uma partícula são: Fx = 0 e Fy = 0 Retornando à partícula mostrada na Fig.4 + 1558. seguintes termos: Se a força resultante que atua sobre uma partícula é nula.4 – 779. verificamos que as condições de equilíbrio são satisfeitas. Sir Isaac Newton formulou três leis fundamentais nas quais se baseia a ciência da mecânica. escrevemos: P = m g = 75 kg 9. considere o caixote de 75 kg mostrado no diagrama espacial da Fig.29b. Muitos problemas que envolvem estruturas reais. Para resolver esse problema. ambas as forças de tração. Os métodos de análise discutidos nas seções precedentes aplicam-se a sistemas de forças que atuam sobre uma partícula. Um esboço mostrando as condições físicas do problema é conhecido como diagrama espacial.81 m/s 2 = 736 N e indicamos esse valor no diagrama de corpo livre. 2. O caixote é sustentado por um cabo vertical.9. Como elas são respectivamente iguais em intensidade às forças de tração na corda AB e na corda AC. serão considerados vários problemas que envolvem o equilíbrio de uma partícula. deve-se traçar um diagrama de corpo livre mostrando a partícula em equilíbrio. Como exemplo. 28 . Tal diagrama é denominado diagrama de corpo livre. conclui-se que uma partícula em equilíbrio ou está em repouso ou se desloca em linha reta a velocidade constante. se possível.4). DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE Na prática. que está fixado em A a duas cordas que passam por roldanas presas aos edifícios em B e C. (1. A força exercida pelo cabo é dirigida para baixo. Esse caixote se encontrava entre dois edifícios. Observa-se que o ponto A é um bom corpo livre para esse problema. Recordando a Eq. Nenhum outro detalhe é incluído no diagrama de corpo livre. que irá removê-lo. Isso é feito escolhendo-se uma partícula significativa e traçando-se um diagrama separado mostrando essa partícula e todas as forças que atuam sobre ela.Desta lei e da definição de equilíbrio dada na Seção 2. 2. podem ser reduzidos a problemas que envolvem o equilíbrio de uma partícula. entretanto. A figura mostra o ponto A e as forças exercidas sobre A pelo cabo vertical e pelas duas cordas. vamos designá-las por T AB e T AC e desenhá-las afastando-se de A nas direções mostradas no diagrama espacial. As forças exercidas pelas duas cordas não são conhecidas. Deseja-se determinar a tração em cada uma das cordas AB e AC. O diagrama de corpo livre do ponto A está representado na Fig. e sua intensidade é igual ao peso W do caixote. um problema de engenharia é derivado de uma situação física real. e agora está sendo carregado em um caminhão. Como estamos interessados nas forças de tração nas cordas. PROBLEMAS QUE ENVOLVEM O EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA. Na próxima seção.29a. o diagrama de corpo livre deve incluir ao menos uma dessas forças de tração ou. Qual é a tração na corda? SOLUÇÃO Diagrama de corpo livre.= ----------. cada qual de direção conhecida. o problema pode ser resolvido graficamente desenhando-se um polígono de forças.29c. enquanto o ângulo entre a corda e a horizontal é de 30º.4 Numa operação de descarregamento de um navio. o triângulo de forças usado nesse caso de equilíbrio sob três forças pode ser resolvido para duas incógnitas. O ângulo entre o cabo e a vertical é de 2º. 2.64). T AB é a tração no cabo AB e T AC é a tração na corda. Quando a partícula está em equilíbrio sob mais de três forças. as três forças que atuam sobre ele devem formar um triângulo fechado quando desenhadas no padrão ponta-a-cauda. PROBLEMA RESOLVIDO 2. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada para centrar o automóvel para a posição desejada. Se desejarmos uma solução analítica. ou podem ser encontrados por trigonometria.Como o ponto A está em equilíbrio. o problema pode ser resolvido desenhando-se um triângulo de forças. Os valores T AB e T AC das forças de tração nas cordas podem ser encontrados graficamente se o triângulo for desenhado em escala. e desenha-se o diagrama de corpo livre completo. (2) as intensidades de duas forças.9: Fx = 0 Fy = 0 Essas equações podem ser resolvidas para não mais do que duas incógnitas de modo idêntico. Os tipos mais comuns de problemas são aqueles nos quais as duas incógnitas representam (1) os dois componentes (ou a intensidade e a direção) de uma única força. Esse triângulo de forças foi desenhado na Fig.59 a 2. 29 .= ----------sen 60º sen 40º sen 80º T AB = 647 N T AC = 480 N Quando uma partícula está em equilíbrio sob três forças. usamos a lei dos senos e escrevemos: T AB T AC 736 ----------. um automóvel de 15750 N é sustentado por um cabo. Problemas envolvendo a determinação do valor máximo ou mínimo da intensidade de uma força são também encontrados (ver Problemas 2. devemos resolver as equações de equilíbrio dadas na Seção 2. Se for escolhido o último método de solução. O ponto A é escolhido como um corpo livre. Condição de equilíbrio. encontramos: F = 294 sen 15º = 76. Escolhemos o pacote como um corpo livre.1 N 30 . escolhemos a direção de F perpendicular à de P. Da geometria do triângulo obtido. Como apenas três forças atuam no corpo livre. Desenhamos o diagrama de corpo livre correspondente. desenhamos um triângulo de forças para expressar que ele está em equilíbrio: Usando a lei dos senos. Observe que a força exercida pelos roletes na embalagem é perpendicular ao plano inclinado. Como apenas três forças atuam no corpo livre. desenhamos um triângulo de forças para expressar que ele está em equilíbrio.Condição de equilíbrio.5 Determine a intensidade e a direção da menor força F que irá manter em equilíbrio a embalagem mostrada. supondo que ele pode ser tratado corno uma partícula. escrevemos T AB T AC 15750 ------------. A linha 1-1 representa a direção conhecida de P.= ---------. Para obter o valor mínimo da força F.= ----------sen 120º sen 2º sen 58º T AB = 16 084 N T AC = 648 N PROBLEMA RESOLVIDO 2. SOLUÇÃO Diagrama de corpo livre. Escrevemos: Diagrama de corpo livre.PROBLEMA RESOLVIDO 2. SOLUÇÃO Determinação dos ângulos. Escolhendo o casco como um corpo livre. Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração no cabo AC. determinam-se os ângulos e que definem as direções dos cabos AB e AC. Para tal. desenhamos o diagrama de corpo livre mostrado. deseja-se determinar a força de arrasto que pode ser esperada a uma dada velocidade. Este inclui as forças exercidas pelos três cabos sobre o casco. Este inclui as forças exercidas pelos três cabos sobre o 19 . Primeiro. para uma dada velocidade.6 Como parte do projeto de um novo barco a vela. desenhamos o diagrama de corpo livre mostrado. Condição de equilíbrio. Leituras de dinamômetro indicam que. Escolhendo o casco como um corpo livre. atração é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE. é colocado um modelo do casco proposto em um canal de teste e são usados três cabos para manter sua proa na linha de centro do canal. Expressamos que o casco está em equilíbrio escrevendo que a resultante de todas as forças é zero: R = T AB + T AC + T AD + F D = 0 (1) Diagrama de corpo livre. assim como a força de arrasto F D exercida pelo escoamento. zero.9363 T AC – 270 = 0 T AC = 193 N e substituindo em F x = 0 –156.3512 T AC + F D = 0 –156. O polígono de forças completo pode ser desenhado para se verificarem os resultados. 20 .26º i + 180 cos 60.9363 T AC – 270 = 0 Tomando-se Fy = 0 89. (1) e fatorando os vetores unitários i e j.29 + 0.29 + 0. pressupomos um sentido para cada força desconhecida. Expressamos que o casco está em equilíbrio escrevendo que a resultante de todas as forças é zero: R = T AB + T AC + T AD + F D = 0 (1) Como mais de três forças estão envolvidas.3512 T AC + F D) i + (89. Fx = 0 Fy = 0 –156.56º i + T AC cos 20.5 N Ao traçarmos o diagrama de corpo livre.9363 T AC – 270) j = 0 Esta equação será satisfeita se e somente se os coeficientes de i e j forem iguais a. que expressam. Um sinal positivo na resposta indica que o sentido que se pressupôs está correto.casco.29 + 0.29 + 0.3512 T AC + F D = 0 89.29 j (N) T AC = T AC sen 20.56º j = 0.29 + 0. Obtemos então as duas equações de equilíbrio mostradas a seguir. temos: (–156.26º j = –156. que a soma dos componentes x e a soma dos componentes y das forças dadas devem ser iguais a zero.29 i + 89.9363 T AC j (N) T AE = 0 i – 270 j (N) F D = F D i + 0 j (N) Substituindo as expressões obtidas na Eq. decompomos as forças em componentes x e y: T AB = –180 sen 60.29 + 0.3512 T AC i + 0. Condição de equilíbrio.29 + 0.3512 x 193 + F D = 0 F D = 88. assim como a força de arrasto F D exercida pelo escoamento. respectivamente. uma ou mais relações adicionais têm que ser obtidas a partir da informação contida no enunciado do problema. Se apenas três forças estão envolvidas no diagrama de corpo livre. Esse triângulo pode ser resolvido graficamente ou por trigonometria. adotada por alguns estudantes. é mais vantajoso usar uma solução analítica. Comece selecionando eixos x e y apropriados e decomponha cada uma das forças mostradas ho diagrama de corpo livre em componentes x e y.6. a resultante das forças que atuam sobre a partícula tem que ser zero. Indique no seu diagrama de corpo livre as intensidades das forças conhecidas. (2) e (3) do Problema Resolvido 2. A prática. Esse diagrama representa a partícula e todas as forças que atuam sobre ela. desde que não haja mais do que duas incógnitas [Problemas Resolvidos 2.6]. de colocar inicialmente as incógnitas no lado esquerdo da equação e as quantidades conhecidas no lado direito pode levar a confusão na atribuição do sinal apropriado a cada termo. essas relações podem ser usadas para se determinarem duas incógnitas – tais como a intensidade e a direção de uma força ou as intensidades de duas forças.Metodologia para a resolução de problemas Quando uma partícula está em equilíbrio. independentemente do método empregado para resolver um problema de equilíbrio bidimensional. é possível determinar no máximo duas incógnitas. você pode economizar lápis e papel. 4. o restante da solução é mais bem executado traçando-se essas forças no padrão ponta-a-cauda para formar um triângulo de forças. mas muito provavelmente chegará a uma solução errada. 21 . Expressando esse fato no caso de uma partícula sob a ação de forças coplanares. Nada mais deve ser incluído no diagrama de corpo livre. Expressando que a soma dos componentes lea soma dos componentes y de todas as forças são ambas iguais a zero. as equações de equilíbrio sejam escritas na mesma forma que as Eqs. Vamos supor que essas roldanas não têm atrito. É fortemente recomendado que.5]. Alguns dos problemas a seguir contêm pequenas roldanas. você vai obter duas equações que podem ser resolvidas para no máximo duas incógnitas [Problema Resolvido 2. Como vimos nos problemas resolvidos anteriores. vamos discutir por que a tração é a mesma. Caso 2. bem como qualquer ângulo ou dimensões que definam a direção de uma força. Se mais de três forças estão envolvidas. Traçar um diagrama de corpo livre é o primeiro passo na solução de um problema que envolva o equilíbrio de uma partícula. de modo que a tração na corda ou cabo que passam por uma roldana é a mesma em cada lado dessa roldana.4 e 2. obtêm-se duas relações entre essas forças. Traçar um diagrama de corpo livre claro e preciso é fundamental na solução de qualquer problema de equilíbrio. Observamos que. quando se adota uma solução analítica. Se saltar esse passo. Se um problema bidimensional envolve mais de duas incógnitas. Qualquer intensidade ou ângulo desconhecido deve ser representado por um símbolo apropriado. No Cap. Caso 1. Sabendo que cada cadeira pesa 300 N e que o esquiador que está na cadeira E pesa 890 N.44) Sabendo que = 25º. 2.46) Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como mostra a figura. determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC. 2. . determine a tração (a) no cabo AC e (b) na corda BC.43) Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como mostra a figura.45) Sabendo que = 50º e que a baste AC exerce no pino C uma força dirigida ao longo da linha AC.47) Um teleférico parou na posição indicada. 2. 2. determine (a) a intensidade dessa força e (b) a tração no cabo BC. 22 . Sabendo que a = 30º.PROBLEMAS 2. determine o peso do esquiador da cadeira F. Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC. 48) Um teleférico parou na posição mostrada. determine as intensidades das outras duas forças.conexão está em equilíbrio e que as intensidades das forças exercidas nas hastes A e B são F A = 2700 N e F B = 1440 N. 2. determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.53) Dois cabos ligados em C são carregados tal como mostra a figura.49) Quatro elementos de madeira são unidos com placas conectoras metálicas e estão em equilíbrio sob a ação das quatro forças mostradas.50) Quatro elementos de madeira são unidos com placas conectoras metálicas e estão em equilíbrio sob a ação das quatro forças mostradas. determine as intensidades das forças exercidas nas hastes A e B. Sabendo que a conexão está em equilíbrio e que P = 1800 N e Q = 2340 N.2. 2.51) Duas forças P e Q são aplicadas tal como mostra a figura a uma conexão de uma aeronave. 2. 2. Determine a faixa dos valores de W para os quais a tração não irá exceder 1050 N em qualquer dos cabos.54) Dois cabos ligados em C são carregados tal como mostra a figura. determine as intensidades das outras duas forças. determine as intensidades de P e Q. determine o peso do esquiador na cadeira E. Sabendo que W = 840 N. 2. Sabendo que F A = 1890 N e F B = 2430 N. 2. 23 . Sabendo que a. Sabendo que cada cadeira pesa 300 N e que o esquiador na cadeira F pesa 800 N.52) Duas forças P e Q são aplicadas tal como mostra a figura a uma conexão de uma aeronave. Sabendo que F A = 2295 N e F B = 2160 N. tal como mostra a figura. Sabendo que = 40º e = 35º.500 N/m e k AD = 500 N/m. e considerando que atração no cabo DF é desprezível. 2. que o peso combinado da cabine.55) A cabine de um teleférico é suspensa por um conjunto de rodas que podem rolar livremente sobre o cabo de suporte ACB e está sendo puxada a uma velocidade constante pelo cabo DE. determine (a) o valor de W e (b) o comprimento. Sabendo que a constante de mola é 800 N/m. 2. seu sistema de suporte e seus passageiros. da mola.56) A cabine de um teleférico é suspensa por um conjunto de rodas que podem rolar livremente sobre o cabo de suporte ACB e que está sendo puxado a uma velocidade constante pelo cabo DE. sem deformação. determine a tração (a) no cabo de suporte ACB e (b) no cabo de tração DE.57) Um bloco de peso W é suspenso por uma corda de 500 mm de comprimento e por duas molas de comprimentos.8 kN.2. é considerando que a tração no cabo DF é desprezível. 24 . de 450 mm. Sabendo que as constantes das molas são k AB = 1. determine (a) a tração na corda e (b) o peso do bloco. que a tração no cabo DE é 20 kN. sem deformação. 2. Sabendo que = 42º e = 32°. seu sistema de suporte e seus passageiros é 24.58) Uma carga de peso 400 N é suspensa por uma mola e duas cordas que são presas a blocos de pesos 3W e W. e (b) atração no cabo de suporte ACB. determine (a) o peso combinado da cabine. (b) o correspondente valor da tração.62) Dois cabos ligados em C são carregados tal como mostra a figura.45.63) Para a estrutura e carregamento do Problema 2.64) A haste AB é sustentada pelo cabo BC e por uma articulação em A.350 N no cabo AC e 675 N no cabo BC. 2. e (b) o correspondente valor da tração.59) Para os cabos e carregamento do Problema 2. Sabendo que a tração máxima permissível em cada cabo é 900 N. 2. determine (a) o valor de a para o qual a tração no cabo BC é a menor possível. 2. determine (a) o valor de a para o qual a tração no cabo BC é a menor possível. Sabendo que a tração máxima permissível é 1.61) Dois cabos ligados em C são carregados tal como mostra a figura.46. 25 . 2. e (b) o correspondente valor da tração.60) Sabendo que as porções AC e BC do cabo ACB devem ser iguais. determine (a) a intensidade da maior força P que pode ser aplicada em C e (b) o correspondente valor de .2. 2. determine (a) o valor de para o qual a tração no cabo BC é a menor possível. determine o menor comprimento de cabo que pode ser usado para suportar a carga mostrada se a tração no cabo não puder exceder 725 N. determine (a) a intensidade da maior força P que pode ser aplicada em C e (b) o correspondente valor de . Sabendo que a haste exerce no pino B uma força dirigida ao longo da haste e que a tração na corda BD é 315 N. 2.69) Um peso de 1.66) O cursor A de 40 N pode deslizar em uma haste vertical sem atrito e é preso a uma mola.68) Solucione as partes b e d do Problema 2. determine (a) o ângulo . a direção e o sentido da força P que deve ser exercida no lado livre da corda para se manter o equilíbrio. 4). 26 . e (b) a intensidade da força P que deve ser exercida no lado livre da corda para se manter o equilíbrio. P2. e a mola está indeformada quando h = 300 mm.575 N é sustentado pelo arranjo de corda e roldana mostrado na figura. 2. Isso pode ser provado pelos métodos do Cap.67 considerando que o lado livre da corda está preso ao caixote.575 N é sustentado pelo arranjo de corda e roldana mostrado na figura. 2. ---- 2. Sabendo que = 25º.2.65 e P2. (Dica: a tração na corda é a mesma em cada lado de uma roldana. 2. Sabendo que a constante da mola é de 560 N/m.67) Um caixote de 280 kg é sustentado por vários arranjos de corda e roldana. como mostra a figura.67). Determine para cada arranjo a tração na corda. determine o peso do cursor.67).66 pode deslizar sobre uma haste vertical sem atrito e é preso a uma mola. A mola está indeformada quando h = 300 mm. tal como mostra a figura.70) Um peso de 1. A constante da mola é 660 N/m. (Ver dica do Problema 2. tal como mostra a ilustração. determine o valor de h para que o sistema esteja em equilíbrio.65) O cursor A mostrado na Fig. (Ver dica do Problema 2. Sabendo que o sistema está em equilíbrio quando h = 400 mm. determine a intensidade. Sabendo que = 35°. 27 . 2. que pode rolar no cabo ACB. A roldana é segura na posição mostrada por um segundo cabo CAD. A roldana é segura na posição mostrada por um segundo cabo CAD. e (b) a intensidade da carga Q.72) Uma carga Q de 2. que pode rolar no cabo ACB.000 N é aplicada à roldana C. Determine (a) a tração no cabo ACB. Sabendo que P = 800 N.2.71) Uma carga Q é aplicada à roldana C. e (b) a intensidade da carga P. que passa pela roldana A e sustenta uma carga P. que passa pela roldana A e sustenta uma carga P. determine (a) a tração no cabo ACB.