Universidade Federal de Alagoas – UFAL Centro de Tecnologia – CTEC Departamento de Engenharia CivilFENÔMENOS DE TRANSPORTE I Apostila de exercícios Professor Roberaldo Carvalho de Souza, P.h.D Monitoras: Manuella Suellen Vieira Galindo Marianna Luna Sousa Rivetti Maceió-AL 2009 Parte I: Estática dos fluidos 1. Propriedades dos fluidos 1.1 Exercícios resolvidos 1º- Um líquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa específica de 850 kg/m³. Calcule: a) A viscosidade cinemática em unidades S.I. b) A viscosidade dinâmica em unidades CGS. Solução: a) b) 2º- A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s e o seu peso específico relativo é 0,85. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas MK*S, CGS e SI. Solução: 2 No MK*S: No SI: No CGS: 3º A viscosidade dinâmica de um óleo é 5x10-4 kgf.s/m² e o peso específico relativo é 0,82. Determinar a viscosidade cinemática nos sistemas MK*S, SI e CGS (g=10m/s²; γH2O=1000 kgf/m³). Solução: No MK*S e no SI: No CGS: 3 4º O peso de 3 dm³ de uma substância é 23,5 N. A viscosidade cinemática é 10-5 m²/s. Se g=10m/s², qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas MK*S e SI. Solução: No SI: No MK*S: 5º São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for preenchido com óleo (υ=0,1 St; ρ=830 kg/m³), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo? Solução: Obs: υ=0,1 St= 10-5 m²/s 4 em que a parábola tem seu vértice a 10cm do fundo. pois a velocidade é constante. A velocidade da placa é de 2 m/s constante.sen 30º - = 10 N/m² Sabemos que: 7º Assumindo o diagrama de velocidades indicado na figura. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm? Solução: De acordo com a 2ª Lei de Newton: Fr=m. ou seja. sobre uma fina película de óleo.6º Uma placa quadrada de 1. = 0. =0 20. Onde a= Assim: Px = m. Adotar centepoises. 5 . calcular o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento para y= 10cm.a .0m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30º. 5 m/s =0 =0 a1=0 a1+ a2y0 + a3 y0²=2.: 400 centepoises= 4 poises= 4 dina.s/cm² • Como o perfil de velocidade é parabólico: V(y)= a1+ a2y + a3 y² • Condições de contorno: 1ª V 2ª V 3ª y=yo =Vmáx = 2.1m: = 50-250y= 25 • Tensão de cisalhamento: 6 .Solução: Obs. a2=50 • • Perfil parabólico obtido: V(y)= 50 y – 250 y² Gradiente de velocidade.5 y=0 y=yo a2 + 2y0 a3=0 0.1m a2 + 2y0 a3=0 a3= -250.1 a2 + 0.5 a2 + 0. para y= 10cm= 0.5 Para y0= 10 cm= 0.01 a3=2.2 a3=0 Assim: a2y0 + a3 y0²=2. Afrontal. • fluido.E = esfera.Volume.91 é colocada em repouso num recipiente contendo um líquido cuja densidade relativa é de 0. Volume. Fa= • Sabemos que: Fr=m. Solução: Figura ilustrativa: Diagrama de Corpo Livre: • w = m. ).g w= esfera. H2O . Fa= Cd.8.02 mm de diâmetro e uma densidade relativa de 0. Volume. no caso de uma esfera: Afrontal= Fa = Cd. fluido. fluido. g w= *. fluido. Sabendo que a esfera está submetida à força gravitacional (calculada através do produto da massa pela aceleração da gravidade).8º Uma pequena esfera sólida com 4. ao empuxo (que é representado pelo peso do volume deslocado = fluido Volume da esfera) e a força de arrasto (representada pelo produto do coeficiente de arrasto vezes a área frontal de contato entre o sólido e o fluido vezes a metade do produto do peso específico do fluido e o quadrado da velocidade. 7 . Calcule o tempo mínimo decorrido para a esfera atingir a velocidade terminal. .a w.Fa. Afrontal Fa= . e . g • Volume E= E= fluido. esfera. . Determine uma expressão para o comprimento do plano em função da velocidade máxima e do tempo? Dados: Perfil de velocidade no óleo = c y1/3. .Um bloco de massa M e aresta a cm. = esfera.e-bt) • • • Adotando V=99%Vmáx: s 9º.g- - fluido. 0 y h. desliza numa fina película de óleo de espessura h mm em um plano inclinado de um ângulo θ. e b= teremos: = a – bV V = Vmáx (1. =g- • Sendo a= g - . partindo do repouso. onde c é uma constante determinada pela condição de contorno da velocidade máxima no óleo ser igual à velocidade do bloco e y é a distância do plano no óleo. • 8 . Fa = (÷m) • • Condição de contorno: Se y=h: V(y) = Vbloco= = c y1/3 V(y) = 9 .a . Diagrama de corpo livre: • • Sabemos que: • Fr= w.senθ .Solução: • Note que temos dois problemas distintos: um que envolve um perfil de velocidade e outro associado ao bloco.Fa • • a= • Logo: • Fr=m. • Note que: Voltando para a expressão obtida ao analisar a força resultante teremos: Seja • • e . onde h1=25 cm. h2=10 cm. h3=25 cm e h4=25 cm. calcule: 10 . Equação Geral da Estática dos Fluidos (1-D) 2.1 Exercícios resolvidos 1 º Dada a figura abaixo. teremos: integrando teremos: • Seja : 2. 10-2) + Pgás = 133280 . h3 8000 . sabendo que o manômetro indica uma pressão de 15000 N/m3 . 25 . considerando a pressão atmosférica local igual a 730 mmHg. 10-2 = Pgás 1 Pgás 1 = 97294. γ água = 9800 N/m3 Solução: a) P1 = Póleo + Pgás e P2 = PHg + Págua P1 = P2 γ óleo .1 Exercícios resolvidos 11 . γ Hg = 133280 N/m3 .73 . (35 . 25 . 25 . 10-2 + 9800 . Forcas em superfícies planas 3. 10-2 + 0. 10-2 Pgás = 32970 N/m3 b) Pgás 1 = Pgás 2 – Pmanômetro Pgás 1 = 17970 N/m3 c) P2 = PHg + Págua + Patm e P1 = Pgás 2 + Póleo + Pgás 1 PHg + Págua + Patm – Pgás 2 – Póleo = Pgás 1 133280 . 35 .4 N/m3 P abs gás 1 = 115265 N/m3 3. c) A pressão absoluta do Gás 1. h4 + γ água . ( h1 + h2 ) + Pgás = γ Hg .a) A pressão efetiva do Gás 2. b) A pressão efetiva do Gás 1. 133280 – 32970 8000 . Dados: γ óleo = 8000 N/m3 . 10-2 + 9800 . 25 . 1 º O tanque mostrado no esquema da figura contém um óleo com massa específica ρ. localizada na parede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine o módulo da forca resultante exercida pelo óleo sobre a janela retangular localizada na parede vertical do tanque. Solução: 2) 2º A figura mostra um esquema de uma janela circular de diâmetro D=2 m. Determine: a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf) 12 . senθ b) Substituindo. localizada na parede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera.Solução: a) Em coordenadas polares: dA=r.dθ. Temos . Determine: a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf) 13 . considerando D=a temos: z=a/2-r. 3º A figura mostra um esquema de uma janela triangular de base B=2m e altura H=2m.dr e. Solução: a) Temos e Substituindo. b) 14 . e o bloco de volume V. Solução: a) 15 . Estando a comporta na posição vertical. na base. O momento de forca. A comporta retangular de altura L e largura B está articulada no eixo O. constituído de um material com massa específica ρB.Substituindo. em relação ao ponto O. 4º A figura mostra um esquema de um reservatório com água. está imerso em água. Temos. O volume mínimo V do bloco necessário para manter a comporta na c) posição vertical. devido à distribuição de pressões exercida pela água. determine: a) b) A forca resultante exercida pela água sobre a comporta. O cabo possui massa desprezível. Substituindo .b) Deve-se achar zf: Temos. 16 . que é igual a : D=H-zf Calculando o momento. Em relação ao ponto O temos a distância D. Temos. c) Temos em relação ao ponto O. 4.L: Sendo.1.1 Exercícios resolvidos 4.C. Isolando V.Pelo D.1 Movimento Relativo Linear 17 . Então fica assim. Equação Geral da Estática dos fluidos em 2-D 4. Quanto em volume de água você pode deixar no aquário de modo a ficar razoavelmente certo de que não transbordará no transporte? Solução: • Equação da superfície livre: dP=0 • Se não houver transbordamento: • Não há transbordamento: Vi=Vf 18 .1º Deve-se transportar um aquário que mede 60cm X 60cm de base e 40 cm de altura. 2 Movimento Relativo Circular 1º Um vaso cilíndrico de raio (R=1.2 m. e girando a uma velocidade angular constante (ω) em torno do seu eixo central.1.2m). parcialmente cheio com líquido a uma altura h=1.• Achando a altura da água h: (1) = (2) sabe-se que Substituindo os valores.0m) e de altura (H=2. Qual o valor de ω (rpm) para não haver transbordamento? 19 . não há movimento relativo (o líquido gira com o cilindro como se o sistema fosse um corpo rígido). Após um curto período. • Calculando o volume: 4. Não há transbordamento: Vi=Vf (1) • Substituindo valores. .Solução: • Equação da superfície livre: dP=0 • Se não houver transbordamento: Substituindo os valores. 20 . c) Qual a vazão que passa entre uma assíntota e a linha de corrente dada por =cte=2? Solução: a) Um escoamento é irrotacional quando xV=0 21 .y) = ax²-ay². com a=3s-1 e x e y em metros.Considere um campo de escoamento incompressível bidimensional dado pela função corrente (x. a) Mostre que o escoamento é irrotacional.1 Exercícios resolvidos 1º. b) Determine o potencial de velocidade para este escoamento. Equação da continuidade e escoamentos 5.• Achando o valor de ω: (1) = (2) Parte II: Cinemática e Dinâmica dos Fluidos 5. 2º.Sabemos que: • • • xV = x =0 -2a+2a=0 0=0 b) • • O escoamento é irrotacional. ou seja. Se 1= assíntota e 2=2. Solução: 22 .Demonstre a Equação da Continuidade a partir de um elemento infinitesimal de controle com a forma cilíndrica plana. Q= 12. teremos: Q= 2m³/s. Logo: c) Sabemos que a vazão é dada pela diferença entre dois psis. : De acordo com a Regra do produto: = = + Logo: 23 .• Sabemos que: Taxa que entra – Taxa que sai = Variação interna + + - - = - + - - = - - - Desprezível ==- - - Obs. =1 + sen j î + cos j . îr x = k = -sen î + cos j= • • = .sen j= De acordo com a Equação da Continuidade: = 0. + =0 =0 =0 =0 =0 =0 + =0 De acordo com a Equação da Irrotacionalidade: = 0.+ + + =0 + + =0 “Equação da continuidade em coordenadas polares” Desta forma. ou seja: .Demonstre a Equação da Continuidade e a Equação da Irrotacionalidade em coordenadas polares para duas dimensões. =0 . îr=1 • . îr . Solução: Devemos lembrar que: • îr=cos î • = -sen • îr. ou seja: 24 . provamos que: + =0 3º.cos î . + = 0. Não dá para dizer se o fluido é compressível ou não. + =0 25 . pois não temos informações suficientes. • a local= =0 • a convectiva= a convectiva= a convectiva= • Componentes da aceleração: ax= ay= • O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for obedecida.Qual o valor da aceleração de um escoamento cujo campo de velocidade é dado por ? Esse escoamento é real? Solução: • Por não depender do tempo podemos definir tal escoamento como permanente. pois o escoamento não depende do tempo. - =0 4º.x + =0 =0 + =0 =0 . Temos apenas um escoamento plano em duas dimensões. deveremos provar que: Tende a zero. Desta forma. ou seja. Veja se o escoamento desse fluido é real. • Encontrando a Equação da trajetória: Equação da trajetória.Seja . Solução: • O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for obedecida. + = 0. Desta forma. pois o escoamento não depende do tempo.O escoamento não é real. 26 . 5º. defina a equação de sua trajetória. Em caso afirmativo. deveremos provar que: Tende a zero. + =0 O escoamento é real. tem a forma geométrica que pode ser representada como a parte superior do semi-corpo de Rankine. y=90)? Solução: a) Sabemos que o semi-corpo de Rankine é formado pela superposição de um escoamento uniforme e um escoamento tipo fonte.6º. Para um vento de 20km/h em direção ao monte. pergunta-se: a) Qual a velocidade do vento na superfície do monte em um ponto verticalmente acima da origem? b) Qual o valor da vazão do escoamento do vento entre duas superfícies que passam pelos pontos de estagnação e (x=50. de altura h=100m.A superfície matemática do sólido chamada de semi-corpo de Rankine no plano. Como tais escoamentos satisfazem a Equação de Laplace podemos dizer que: ΨU/F = ΨU + ΨF = • Para Ψ=0: • Para θ=π: Logo: 27 . pode ser representada por linhas de corrente geradas pela superposição de um escoamento uniforme horizontal e uma fonte. Um pequeno monte. Ψ0= • • • Para θ=π/2: • Para Ψ=0: Logo: V= 3.18 rad • Sabemos que a vazão pode ser calculada através da diferença entre dois psis. 1112 m³/s 1112 m³/s Q= Ψo .54 îr + 5. Q= Ψo .Ψa= Q= 319 m³/s 28 .59 m/s b) Sabemos que: • x= r cosθ=50 y= r senθ=120 • • Na linha de corrente Ψo =0 quando θ=0 e r=h=100: Ψ0= r=130m • tgθ= =1.Ψa. sendo Ψo o ponto de estagnação teremos Ψo =0.56 îθ e V = 6. D=6m L=24m a=3m 29 . Um barômetro dentro da cabana dá uma leitura de 720mm de mercúrio.00C. incompreensível e da esquerda para direita sobre um cilindro circular estacionário. de raio a. a pressão atmosférica fora é também de 720 mmHg. que pode ser representado pelo campo velocidade.6. a temperatura externa é 7. sem atrito. A cabana tem um diâmetro de 6. Sabendo que ‘ Solução: cilindro: r=a Sendo.0m e um comprimento de 24m. Determine a força que tende a levantar a cabana das suas fundações. Equação da continuidade e escoamentos (continuação) 1 O escoamento sobre uma cabana pode ser aproximado pelo escoamento permanente. Com Durante uma tempestade. a velocidade do vento (ρ*=10-3) atinge 180 km/h. 10-3m • Achar P1: P=ρ.g γ=9. P1=9.senθ P2 Pa Teremos então.6 Pa V1=180 km/h=50m/s e U0=50m/s • Achar V2: Vr=0 Vθ=-2.h P1= ρ*Hg.g.ρágua.senθ V2=2.senθ |V|=2. 30 .h Substituindo os valores.U0.h=720mm=720.8 N/m3 • Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 V1=U0 P1=9.6 z2=a.U0. Fica assim. ρ=1 kg/m3 • Achar γ: γ= ρ.g.U0.senθ ρ*=10-3 então. 2 Dado o perfil de velocidade e sabendo que foi medido com tubo de pitot uma velocidade V=0. obtém-se. Solução: 31 . • Achar Fs: calculando.3a.1m e 0≤r≤a.• Achar Fa: calculando. sendo a=0.3 m/s no ponto r=0. calcule a vazão. obtém-se. substituindo os valores. 3 Dado um reservatório com uma saída lateral.r=0. Então.3ª Teremos.achar a vazão que sai quando o nível do reservatório não muda.(vazão ideal) Solução: • Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=z V1=0 P1=Patm Videal= • Pela continuidade: z2=0 V2 P2=Patm 32 . O reservatório encontra-se a 1.0 cm. assumindo que o nível do reservatório não varia por um tempo de 1.0m? c) Para o caso do item (b) a idealização do item (a) é válida? Solução: H=4m D=3.Cc Cd=Cv.0m de altura de água.0.10-2m Ab=área do bocal AR=área do reservatório -considera-se o reservatório cheio a) Cd=Cv.5 horas=5.8m do solo e quando o orifício está aberto jorra água a 2. O coeficiente de contração do jato medido foi de 0.5 horas? b)Quanto tempo leva para o nível do reservatório diminua de 1.9 t=1.2m Cc=0.90. em forma cilíndrica com diâmetro de 3.0m de distância do orifício.2m.4 Um grande reservatório.9 33 .4 seg d=6cm r=3cm=3. com 4. possui um pequeno orifício lateralmente na sua base com diâmetro de 6. Pergunta-se: a) Qual o coeficiente de descarga do reservatório. 9 • achar Ab: • achar AR: . vamos considerar Q0=0 34 .0.• achar Cv: temos que e que substituindo os valores. • achar Cd: Cd=Cv.5 horas: o nível do reservatório varia.temos -então.t>1. . utilizando a equação (1) seg s teremos.01.Taxa que entra .taxa que sai = taxa de variação interna 0Desenvolvendo.99zeq t=1. 35 . = = Então.45 então. • Substituindo os valores . (1) • achar a: • achar zeq: -cosiderar t=1.01.5.(1.5horas) e z=0. .4 t=5. levando-se em conta as condições de contorno impostas ao problema. c) Um tubo de Pitot. depois de assumidas as idealizações de COUETTE.b)Utilizando a equação.Condições: 36 . na horizontal. indica uma leitura manométrica de 20mmHg (ρ*=13.a.pode ser escrita como: onde B é uma constante que depende do gradiente de pressão. b) Ache uma expressão adimensional u.6) para o fluido do problema anterior escoando entre as placas. colocado no centro das placas. responda o que se segue assumindo que o escoamento é devido a um gradiente de pressão constante na direção X (dP/dX). Solução: . mostre que a equação de Navier-Stokes para o problema. Qual a vazão desse escoamento. sabendo-se que a=10 cm e U0 é a velocidade medida no tubo de Pitot.Uo e da viscosidade. a) Para y*=y/a e u=v/Ua. 5 Para o escoamento de um fluido com propriedades físicas constantes entre duas placas paralelas fixas. obtemos. distantes 2ª uma da outra. Analisando equação de NAVIER-STOKES: como.. substituindo temos. então. 37 . a) Adimensionando: temos. substituindo. derivando. b) Condições de contorno: 1) U|y*=1=0 2) V|y*=-1=0 38 . derivando novamente. então. c)-achar U0: • manometria: • achar : • Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 U0 P1 z2=0 V2=0 P2 substituindo os valores. 39 . 40 . -achar Vmáx: como já foi dito Vmáx ocorre quando y=0.Para y=0 a velocidade é máxima -dimensionando: y*=y/a e u=v/Ua substituindo em temos. então -achar Q: substituindo valores. Dado: PA=20 kPa PB=30 kPa L=40 m D=10 cm Inclinação da tubulação:30 Solução: • Para analisar o sentido do escoamento é preciso verificar em qual seção há maior energia.s e ache a vazão deste escoamento em litros por segundos. determine o sentido do escoamento no interior do tubo mostrado na figura abaixo para o qual γ=8500 N/m3 e µ=0.6 Usando o princípio da conservação de energia. então aplicaremos Bernoulli : -pela equação da continuidade : e 41 .05 kg/m. então. o fluído escoa de A para B. consideramos . substituindo temos. • Calculando a vazão: -condições: -analisando equação de NAVIER-STOKES: como. -analisando a energia no ponto A: -analisando a energia no ponto B: A energia em A é maior que em B. 42 . então. -condições de contorno: 3) V|r=0=Vmáx c1=0 4) V|r=a=0 então . -achar Q: -achar K: 43 . 7º. no filme.-achar Vmáx: substituindo os valores. para baixo. Admita que o escoamento é laminar. O movimento da correia é vertical e ascendente e a velocidade da correia é Vo. As forças viscosas provocam o arrastamento de um filme de líquido que apresenta espessura h. Obtenha uma equação para a velocidade média do filme de líquido a partir das equações de Navier Stokes.Uma correia larga se movimenta num tanque que contém um líquido viscoso do modo indicado na Figura. unidimensional e que o regime de escoamento seja o permanete. Solução: 44 . Note que a aceleração da gravidade força o líquido a escoar. • Nós só consideraremos o componente na direção y do vetor velocidade porque a formulação do problema estabelece que o escoamento é unidimensional (assim. a equação do movimento na direção y fica reduzida a: • Integrando a equação acima chegaremos a: Condições de contorno: • 1ª x=h=0: • A segunda integração da equação. Ainda é possível concluir que a pressão no filme é constante e igual a pressão atmosférica porque a pressão na superfície do filme (x=h) é a atmosférica. Nestas condições nós encontramos que e v= v(x). • Este resultado indica que a pressão não varia em qualquer plano horizontal. . A aplicação da equação de Navier Stokes na direção x e na . u=w=0). Nestas condições. O regime do escoamento é o . fornece: 2ª V x=0=V0: Desta forma: 45 . A equação da continuidade indica que permanente e então direção z resulta em: . Dois tubos de Pitot estão em um manômetro diferencial contendo um líquido com ρ*=0. Achar uA e uB.17 ft/s².82. g=32. • • 46 . Dados: A=3 ft.A água escoa em um canal aberto. B=2 ft. conforme indicado na figura abaixo.• A vazão em volume na correia pode ser calculada com este perfil de velocidade: • A velocidade média do filme pode ser definida como . Assim: 8º.