Capítulo III3.2. Método das Diferenças Finitas Este item 3.2 foi extraído da referência [55] Carnahan 1969, sofrendo modificações. Em todo o desenvolvimento da análise numérica, utiliza-se as diferenças finitas, com um roteiro a ser seguido numa seqüência lógica. Partindo da definição de operadores numéricos de diferenças finitas (∆, ∇, µδ e δ), introduz-se o conceito de interpolação através das fórmulas de Gregory-Newton e Stirling, que utilizam estes operadores. Em seguida, introduz-se a derivação numérica e a integração numérica (Quadratura) por meio da derivação e integração da fórmula de Gregory-Newton, chegando às fórmulas de Newton-Cotes. Seguindo essa técnica, praticamente todos os tópicos da análise numérica podem ser introduzidos por meio das diferenças finitas, e depois, eles são desenvolvidos para além das diferenças finitas. No estudo de análise numérica de equações diferenciais não é diferente. Sugere-se uma introdução por meio dos métodos das diferenças finitas (do inglês: Finite Difference Methods ou FDM), e posteriormente, o desenvolvimento do assunto para além das diferenças finitas, como por exemplo, a introdução do Método dos Elementos Finitos. Com isso, segue-se um desenvolvimento didático muito próximo do desenvolvimento histórico, uma vez que, conforme foi citado no item 1.2 da Introdução, o método das diferenças finitas surgiu antes do Método dos Elementos Finitos. O método das diferenças finitas pode ser utilizado para resolver problemas de valor de contorno ou valor inicial, envolvendo equações diferenciais ordinárias ou parciais. Assim, este método pode ser usado para solucionar as equações de modelos a parâmetros concentrados ou distribuídos. A técnica consiste em substituir cada derivada ou diferencial das equações diferenciais por aproximação de diferenças finitas ou acréscimo finitos das variáveis, como mostra as equação 3.1 abaixo: dx ≈ ∆x, dy ≈ ∆y ì ï ï dy ∆y d 2 y ∆2 y d 3 y ∆3 y ï ≈ , ≈ ≈ , ï dx ∆x dx 2 ∆x 2 dx 3 ∆x 3 í ï ï 2 2 3 3 2 2 ï ∂u ≈ ∆u , ∂ u ≈ ∆ u , ∂ u ≈ ∆ u , ∂ u ≈ ∆ u ï ∂x ∆x ∂x 2 ∆x 2 ∂x 3 ∆x 3 ∂x∂y ∆x.∆y î (3.1) O Método de Elementos Finitos é bem mais recente que o anterior, sendo mais genérico, e podendo ser aplicado a complexas estruturas geométricas e a ambientes com várias mudanças de meio. Ele possui uma formulação matemática mais trabalhada, sendo, portanto, um conjunto de técnicas e métodos que se baseia na discretização do problema em elementos pequenos e na aproximação de cada elemento por um conjunto de polinômios. Considere, primeiramente, o problema formado por equações diferenciais ordinárias (EDO’s). Existem dois tipos. Um deles, é o problema de valor inicial, que 1 assume a forma geral abaixo: F[ t, y(t), y´(t) ] =0, t>0 t=t0, y=yo, y´=y´0 (3.2) Onde, o t é a variável independente, usualmente o tempo; y é um vetor de variáveis dependentes; y´ é a sua derivada em relação a t; F é um vetor de funções de t, y, e y´; e, finalmente, yo e y´o são vetores que representam as condições iniciais do problema. Notese, que o domínio da variável t é semi-infinito, e que a solução deste problema deverá ser obtida marchando-se no tempo, a partir da condição inicial. Caso exista, pelo menos, uma função dentro do vetor F que não dependa de nenhum elemento do vetor y´, a equação representa um sistema de equações algébrico-diferenciais (sistema de EAD). [68] O outro tipo de problema é o do valor de contorno, que assume a seguinte forma geral para sistemas de segunda ordem: F[ x, y(x), y´(x), y´´(x) ] = 0, xo<x<xf x=xo, go(x,y,y´)=0 x=xf, gf(x,y,y´)=0 (3.3) Onde, o x é a variável independente, usualmente, uma coordenada espacial; y é o vetor de variáveis dependentes; y´ e y´´ são as suas derivadas: primeira e segunda, respectivamente, em relação a x; F é um vetor de funções; e go e gf são vetores de funções que representam as condições de contorno nos limites do domínio do sistema de equações. O objetivo do Método das Diferenças Finitas é transformar um problema composto por equações diferenciais em um problema formado por equações algébricas. O primeiro passo, nesta direção, é a chamada discretização do domínio da variável independente. A discretização consiste em dividir o domínio de cálculo em um certo número de subdomínios. Para um domínio semi-infinito, existem infinitos subdomínios. Quando o domínio é finito, o número de subdomínios também o é, e digamos que seja J. Em qualquer caso, estipulam-se os pontos que delimitam os subdomínios, que, no caso de um domínio finito, são iguais a (J+1), em número. Note-se, que os subdomínios podem ter o mesmo tamanho, gerando uma malha uniforme, ou então, formando uma malha não-uniforme. Embora as discretizações baseadas no primeiro tipo de malha sejam mais simples, existem vantagens numéricas, em muitos casos, no uso de malhas não-uniformes. O segundo passo é gerar aproximações para as derivadas das variáveis dependentes que aparecem nas diferenciais, nos pontos discretos, xj ou tj, isto é, obter y´j e y´´j, utilizando apenas os valores de y nestes pontos discretos: yj. Finalmente, aplicamse as equações diferenciais ordinárias aos pontos discretos xj, substituindo as aproximações obtidas para y´j e y´´j. Isto gera sistemas de equações algébricas na forma: f( yj ) =0, (3.4) Onde, o f é um vetor de equações algébricas que depende dos valores desconhecidos yj, sendo que esta dependência varia conforme o tipo de problema, de contorno ou inicial. Este sistema de equações, quer seja ele linear ou não linear, pode ter 2 a sua solução obtida. Note-se, que a solução assim obtida para o problema consistirá em uma seqüência de pontos, xj ou tj, onde se conhecem os valores de y, yj. Ficam claras, agora, duas características do Método de Diferenças Finitas: a aplicação das equações diferenciais é local, isto é, em cada ponto, xj ou tj, e a solução obtida é composta por um conjunto enumerável de pontos onde os valores da solução são conhecidos. Um dos passo necessários na solução de equações diferenciais por diferenças finitas é a aproximação das derivadas presentes nestas equações, aplicadas a um dado ponto arbitrário, xj ou tj. Uma maneira simples de se obter estas aproximações, é por meio do uso da expansão de uma função em série de Taylor, em torno de um dado ponto. Seja xj este ponto base, podemos escrever o valor de y( xj+1 )= yj+1, pela seguinte série infinita: y j +1 = y j + y′j ( x j +1 − x j ) + y′j′( x j +1 − x j ) 2 2! + y′j′′( x j +1 − x j )3 3! + ′ y′j′′( x j +1 − x j ) 4 4! + ... (3.5) Enquanto que o valor de y(xj-1)=yj-1 é dado por: y j −1 = y j − y ′j ( x j − x j −1 ) + y ′j′ ( x j − x j −1 ) 2 2! − y ′j′′( x j − x j −1 ) 3 3! + ′ y ′j′′( x j − x j −1 ) 4 4! + ... (3.6) Considere, agora, a necessidade de se aproximar o valor de y´j , o que será feito, utilizando-se as expansões acima. Estas equações podem ser escritas de forma mais compacta por meio da definição do comprimento do domínio j : hj=xj-xj-1. Dessa forma, multiplicando a segunda expansão (3.6) por hj+12, e diminuindo da primeira expansão (3.5) multiplicada por hj2, obtemos a seguinte expressão, na qual y´´j foi eliminado: y ′j = [h 2 y j +1 + (h 2+1 − h 2 ) y j − h 2+1 y j −1 ] j j j j (h h j +1 + h j h 2 j 2 j +1 ) + O (h 2 ) (3.7) Nela, o O(z) indica que a aproximação tem ordem de grandeza de z, isto é, o valor exato da derivada da função, no ponto considerado, é obtido, a partir da expressão aproximada, no limite, quando z→0. Esta ordem de grandeza é oriunda do termo de menor ordem (ou primeiro termo) entre aqueles que envolvem as derivadas de maior ordem. O conjunto deste termos, ou a sua forma simplificada de representação por ordem de grandeza, é denominado de erro de truncamento. Para uma malha uniforme hj=h, qualquer que seja j, a aproximação dada fica com a simplificação: y ′j = y j +1 − y j −1 2h + O(h 2 ) (3.8) Ela é chamada aproximação por diferença central da derivada primeira de y. Podemos, ainda, usar as expansões, para obter mais duas aproximações para a 3 . pelo menos duas expansões em série de Taylor têm que ser consideradas. já que a derivada primeira tem que ser eliminada da forma final. considere o problema de valor de contorno abaixo: y´´+y´-2y=0 com x=0. a partir da segunda expansão (3. portanto.2.9) Ela é obtida.. poder-se-ia utilizar a expansão para o valor funcional yj-2 ( ou yj+2 ). aproximações envolvendo mais de três valores funcionais.J-1 (3..3. y(1)=1 (3.J-1 (3.6).4. que seja utilizada uma outra expansão em série de Taylor. para melhorar a ordem de aproximação das equações acima. A equação anterior envolve três valores funcionais. apresentam uma maior dificuldade de solução das equações algébricas obtidas pelo processo de discretização. Como exemplo.10) Ela é obtida.3.14) 4 . uma aproximação de ordem h3. tem-se: 2(yj+1 –2 yj + yj-1) + h(yj+1-yj-1) – 4 h2 yj =0. temos: y´´j+y´j-2yj=0. obtendo-se.derivada primeira de y. Por exemplo. assim.6). Para uma aproximação da derivada segunda. para descrever uma aproximação da derivada segunda da função. em pontos adjacentes. sendo chamada de aproximação por diferença descendente (backward differentiation): y ′j = y j +1 − y j h + O ( h) (3.13) Utilizando as aproximações das derivadas primeiras e segunda por diferenças centrais e arrajandos os termos. sendo chamada de aproximação por diferença ascendente (forward differentiation).2. obtendo-se: y ′j′ = y j +1 − 2 y j + y j −1 h 2 + O(h 2 ) (3. pode-se somar as duas expansões (3.4. Aplicando a equação diferencial acima. e subdomínios de comprimento h e com xo=0 e xf=1. j=1. e. j=1. que para uma malha uniforme são dadas por: y ′j = y j − y j −1 h + O ( h) (3. y(0)=0 e para x=1. a partir da primeira expansão (3.. nos pontos onde não se conhecem os valores funcionais de y.. Nada impede.. o que representa o mínimo necessário para isto.11) Ela é chamada aproximação por diferenças centrais da derivada segunda de y. Entretanto.12) Seja o domínio discretizado por uma malha uniforme com J.5) e (3.. para eliminar o primeiro termo do erro de truncamento da equação.5). quando tem a seguinte forma geral: x=xc.19) Nela.3. Entretanto.. e a forma geral é dada por: x=xc. Em geral. que a condição de contorno é do primeiro tipo. sendo que. ay´+by=c (3. O seu tratamento é similar ao dado às condições de contorno de segundo tipo..4.. agora.y) com t=0.4(h2+1) yj + (2-h) yj-1 =0. y e y´.. quando o valor da variável dependente é dado no contorno. Considere. caímos em um sistema linear de equações algébricas. como informação conhecida. definem o valor da variável no contorno. o seguinte problema de valor inicial que envolve apenas uma diferencial ordinária na sua forma normal: y´=f(t. As condições de contorno do problema dado acima são chamadas de primeiro tipo..20) Sendo o intervalo genérico entre tj e tj+1.15) Logo. Diversos outros tipos de condições de contorno são possíveis. para y´j.17) Esta condição de contorno tem que ser discretizada. y´=y´c (3. o valor da derivada da variável dependente é dado no contorno. a sua utilização no sistema de equações algébricas discretizadas. Utilizando a aproximação de diferenças finitas para frente. a condição de contorno pode ser não-linear.J-1 e yo=0 e yJ=1 (3. isto é y(tj)=yj . torna-se um pouco mais elaborada. y(0)=yo (3. j=1. isto é.18) A condição de contorno é dita de terceiro tipo. O problema acima serve de exemplo. utilizando. b e c são constantes conhecidas. y=yc (3. são três. apenas o ponto j. considere diferentes formas de aproximar a derivada primeira. obtém-se : 5 .2. Diz-se.16) Quando a condição de contorno é de segundo tipo.. os tipos existentes de condições de contorno lineares. a.ou (2+h) yj+1 . para ser combinada com o sistema algébrico discretizado. sendo facilmente utilizada nas equações discretizadas. isto é: x=xc. na qual go e gt são funções arbitrárias de x. fazendo: y ′j = y j +1 − y j −1 2h (3. sendo facilmente incorporadas ao sistema algébrico das equações discretizadas. Yj+1=yj+hf(t. h= tj+1-tj (3. como yj+1 não pode ser explicitado a partir da equação. não é conhecido.21) Fórmula que permite calcular yj+1 a partir de yj .yj) + O(h2). Mais especificamente. este é chamado método implícito de Euler. yj+1) + O(h2). pois. obter um terceiro. Entretanto.Assim. Não caímos em um sistema linear. necessário.yj+1) ] + O(h3). podemos aplicar no ponto tj+1 e escrever: yj+1=yj + h f(tj+1.24) Fórmula que permite calcular yj+1. abaixo: y´=-y2. temos: yj+1=yj + h f(tj+h/2.yj) + f(tj+1. Esta equação é explícita no valor desconhecido de yj+1. [ f(tj. a partir da aproximação por diferença central de y´j+1/2. pois. porque o valor de f no ponto considerado.22) Fórmula que calcula yj+1 a partir de yj. tendo a solução direta. t>0 com t=0. a equação é não linear no valor desconhecido de yj+1. h=tj+1-tj (3. h=tj+1-tj (3. tem-se que: yj+1=yj+h/2 . Este método é ainda implícito. Considere a solução numérica do problema de valor inicial. por outro lado. resolvermos utilizar a aproximação de diferenças finitas para trás de y´j+1 . temos: (3. expandindo fj e fj+1 em série de Taylor. no intervalo considerado. utilizar-se um método adequado à solução de problemas não lineares. y=1 (3. em torno do ponto tj+1/2=tj+h/2.26) 6 . podemos. Caso.2. Aplicando ao meio do intervalo. com passos uniformes de integração de 0. com erro da ordem de h2. para se obter o valor de yj+1. h=tj+1-tj (3. yj+1/2) + O(h3). Especificamente.25) Ela utiliza os métodos de Euler. representa o método explícito de Euler.23) Fórmula que ainda não pode ser usada para obter yj+1. ainda que de forma implícita. dada com j+1 no lugar de j. até o ponto t=1. Além dos dois métodos acima. com erro da ordem de h2. o método é denominado de implícito. o método denominado de explícito. Note-se que. sendo denominado de método trapezoidal (ou de Crank-Nicholson). A solução analítica deste problema é: y(t)=1/(1+t) Aplicando os métodos. sendo. no caso geral. sendo. ainda. 0 1. calculadas com avaliações diferentes da função derivada.4975 0.6720 0. explícitos.27) Introduz-se a variável z com z=y´. Exemplo: y´´=3y´+y+5x com y(0)=1 e y´(0)=2 (3.5556 1.25. Usando a equação acima. y e z.I.4612 0. aC2=1/2 e bC2=1/2. derivando z´=y´´.29) Nela.2 0. determinamos estes coeficientes para a diversa ordem de Runge-Kutta.I.8 0.8333 0. Mostra-se. onde C1=C2=0. Se escolhermos C2=1/2.28) Resolvemos.8000 0.Tabela 3.4 0. A idéia básica deste tipo de método é definir que a variação da variável dependente. Ci.0000 1. no passo em questão.0000 1. y + b ) .5316 0. y j ) í ï∆y = ∆t. uma redução de ordem deve ser feita para uma ordem menor.7113 0.6220 0. f (t + a .5817 0.7434 0.5 e a=b=1. ai e bi são coeficientes a serem determinados.1 – Comparação dos métodos de diferenças finitas aplicados à equação 3. Por exemplo: Para segunda ordem: C1+C2=1. f (t j . mas com diversos estágios.6572 0. dois P.8310 0. (Problema de Valor Inicial) de primeira ordem: ì z ′ = 3z + y + 5 x í z ( 0) = 2 î ì y′ = z í î y ( 0) = 1 (3..5528 0.0000 1. isto é: n ì y j +1 − y j = å C i ∆y i ï i =1 ï ∆y1 = ∆t. que Runge-Kutta é. é dada por uma média ponderada de variações desta variável.5880 0.V. 7 . na verdade. uma variação do Método das Diferenças Finitas.6 0. temos agora. de modo a se obter uma maior ordem de aproximação. [68].6250 0.V. os dois P. simultaneamente. construindo uma tabela de x. com i > 1 j i j i ï i î (3.5000 No caso de problema de valor inicial com equações de ordem maior do que 1.5140 0. chegamos a Euler Modificado. [52] Os métodos de Runge-Kutta são de ponto simples. Assim. com a inserção de uma variável no sistema.0000 0.0 0.7143 0. T Euler Euler Trapezoidal Solução Explícito Implícito Analítica 0.8541 0. e ou igualando-a à série de Taylor. a discretização do domínio de cálculo. problemas com. em relação a uma ou mais variáveis independentes. 0≤y≤1 e t ≥0. a atenção especial é dada a malhas uniformes. A extensão do procedimento para problemas tridimensionais é facilmente obtida. Entretanto. que aparecem na equação diferencial parcial. j i+1. xi e yj representam cada ponto da malha de discretização. é.Para quarta ordem: C1=C4=1/6. y ) + ( h ∂ ∂ 1 ∂ ∂ + k )u ( x. a aproximação por diferenças finitas das derivadas. em um formato clássico: u ( x + h. Serão considerados.. em geral.. no máximo. [55] Dada a expansão de Taylor para u(x. Temos assim: ui.x.xi. b2=b3=1/2 e b4=1. que. y ) + . a4=h. a2=a3=h/2. seja ela o tempo ou uma coordenada espacial. A discretização do domínio pode ser feita com malhas uniformes ou não uniformes. Os problemas matemáticos descritos nesta seção correspondem a modelos mais simples. y + k ) = u ( x .30) Ou fazendo a expansão até a derivada segunda : 8 .y). O primeiro passo. e se adota um índice para cada variável i para x e j para y. j-1 i+1. em mais de uma variável dependente. onde existe apenas uma variável independente. i-1. j i-1. como antes. e que podem ser obtidas das expansões da variável dependente. duas coordenadas espaciais. j+1 i+1. que podem ser coordenadas adimensionais ou não. modelos físicos mais elaborados originam equações diferenciais parciais (EDP’s). já que estes apresentam todas as características dos problemas multidimensionais. + (h + k ) n u ( x. Como não há nenhuma característica fundamental do procedimento de discretização. neste estudo. onde tn. y i-1. C2=C3=1/3. y ) ∂x ∂y 2! ∂x ∂y 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ + (h + k ) 3 u ( x.jn=u(tn. Considere uma função u(t.1 – Malha de diferenças finitas em problemas com duas dimensões espaciais x e y. y ) + (h + k ) 2 u ( x.. com suas condições auxiliares. j i.. também.yj).y) definida em um domínio 0≤x≤1. Note-se. formam tanto problemas de valor inicial quanto problemas de valor de contorno. y ) + . que seja dependente do tipo da malha. as malhas são quadradas. j+1 Figura 3. em série de Taylor. com duas ou mais variáveis independentes. segue um procedimento similar ao visto para problemas unidimensionais. A discretização de problemas. j-1 i. 3! ∂x ∂y n! ∂x ∂y (3.. O segundo passo é. j-1 x j+1 i. As equações diferenciais parciais. aqui. 32) e ∂u ( x. y ) +k ∂x ∂y 1 ∂ 2 u ( x. e isolando a derivada primeira.u ( x + h. com erro O(h ).31. j 2∆x (3. y ) ∂ 2 u ( x. e isolando a derivada primeira. y ) + h + . y ) + h + hk + k + .. j ∂x 2 = u i +1. j − h u i . y ) = u ( x .. j + ..33) Da equação 3. j − . u(x+h. truncando todos os termos maiores que h2. y ) 1 2 ∂ 2 u ( x.36) Subtraindo-se a equação 3.. y ) ∂u ( x.j . ∂x 2 ∂x 2 1 2 ∂2 + h u i . y + k ) = u ( x . ou seja. j ∂x ∂u ( x. y ) + h u i +1. j − u i −1.j. j h = u i .32. y ) = u ( x .y)=ui+1. e isolando a derivada segunda. j − u i −1. chega-se a uma terceira aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de u em relação a x: ∂u i . com erro O(h ). j = u i . faz-se a expansão em série. tem-se: u(x. ∂x 2 ∂x 2 (3.33..y+k)=ui.33 da equação 3. j + h 2 2 u i . ou seja. j − u i −1.35) Somando-se a equação 3. e cada espaçamento de k em y corresponde a somar ou subtrair 1 no índice j. truncando todos os termos maiores que h3.33. ou seja. usando a equação 3. y ) 1 2 ∂ 2 u ( x. com erro O(h3). e isolando a derivada primeira. de Taylor. truncando todos os termos maiores que h2 . Com isso. 2 ∂x∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 (3. j ∆x (3. chega-se a uma primeira aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de u em relação a x: ∂u i . y ) + h ∂u ( x. y ) 1 ∂ 2 u ( x. j − u i . j h = u i +1. j − u i −1. 2 ∂x 2 (3. chega-se a uma aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de segunda ordem de u em relação a x: 9 . j ∂ + h ui...32 com a equação 3.. até a derivada segunda de u(x+h. truncando todos os termos maiores que h3.34) Da equação 3. j ∂x = u i . j = u i .y) e u(x-h.y)=ui.j+1.31) Assumindo-se o índice i para x e j para y. y ) − h + h − . j − u i . u(x. j ∆x (3. y ) u ( x − h.y).32. ou seja. j ∂x = u i +1. e assim por diante.. chega-se a uma segunda aproximação por diferenças finitas da derivada parcial de u em relação a x: ∂u i . j 2h = u i +1. onde cada espaçamento de h em x corresponde a somar ou subtrair 1 no índice i... com erro O(h3).. ∂x 2 ∂x 2 ∂ 1 ∂2 u i +1. abaixo: u ( x + h. ∂ 2ui, j ∂x 2 = u i +1, j − 2u i , j + u i −1, j h2 = u i +1, j − 2u i , j + u i −1, j (∆x) 2 (3.37) A última etapa para a solução de uma equação diferencial parcial por diferenças finitas, é substituir as aproximações das derivadas na equação e nas suas condições de contorno, gerando um sistema algébrico, cuja solução fornece a solução aproximada do problema original. Dado o exemplo abaixo, considere uma barra fina metálica de 1 metro de comprimento, e estude a condução de calor, segundo a equação: ∂u ∂ 2 u = ∂t ∂x 2 u(x,t) é a temperatura da barra na posição x e instante t. Condição Inicial: u(x,0)=0oC Condições de Contorno: u(0,t)=u(1,t)=100oC Passos: ∆x=0,2metros e ∆t=0,01segundos (3.38) Substituindo, na equação diferencial, as aproximações de diferenças finitas das equações 3.34 e 3.37, e trocando o índice i por j para a derivada em relação a t, tem-se: u i , j +1 − u i , j ∆t = u i +1, j − 2u i , j + u i −1, j (∆x) 2 (3.39) Isolando o termo ui,j+1 , que corresponde ao tempo seguinte, e substituindo os valores de ∆x e ∆t, tem-se : u i , j +1 = u i +1, j + 2u i , j + u i −1, j 4 (3.40) A equação acima fornece a temperatura do tempo j+1 em função do tempo anterior j. Quando se tem uma equação deste tipo, onde o novo valor é calculado em função de valores conhecidos, dá-se o nome de método explícito, pois pode-se explicitar um valor desconhecido em função de outros já conhecidos. Em seguida, pode-se chegar na tabela abaixo: Tabela 3.2: Solução numérica do problema de condução de calor. [55] J 0 1 2 3 4 5 6 I t \ x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0 0,0 m 0 100 100 100 100 100 100 1 0,2 m 0 0 25 37,5 45,3 51,1 56,0 2 0,4 m 0 0 0 6,25 14,0 21,8 29,1 3 0,6 m 0 0 0 6,25 14,0 21,8 29,1 4 0,8 m 0 0 25 37,5 45,3 51,1 56,0 5 1,0 m 0 100 100 100 100 100 100 10 Veja-se, agora, um outro exemplo: considere uma placa quadrada fina metálica de 1 metro de comprimento, e encontre a temperatura de equilíbrio (após um tempo muito grande), segundo a equação de Laplace: ∂ 2u ∂ 2u =0 (3.41) + ∂x 2 ∂y 2 u(x,y) é a temperatura da barra na posição x e y como na figura abaixo: y 1 x 1 0 Figura 3.2 – Placa Quadrada do Exemplo Condições de Contorno: u(0,y)=u(x,0)=100oC e Passos: ∆x=∆y=0,25 metros u(1,y)=u(x,1)=0oC Substituindo, na equação diferencial, as aproximações de diferenças finitas da equação 3.37, e trocando o índice i por j para a derivada em relação a y, tem-se: u i +1, j − 2u i , j + u i −1, j (∆x) 2 + u i , j +1 − 2u i , j + u i , j −1 (∆y ) 2 =0 (3.42) Lembrando que ∆x = ∆y, corta os denominadores e isolando o termo ui,j , tem-se : ui, j = u i +1, j + u i −1, j + u i , j +1 + u i , j −1 4 (3.43) A equação acima fornece a temperatura na posição i, j , em função da média aritmética das temperatura de cima, de baixo, da direita e da esquerda. Quando se tem uma equação deste tipo, onde o novo valor é calculado em função de valores desconhecidos, dá-se o nome de método implícito. Em seguida, pode-se chegar a um sistema linear, onde a equação 3.43 é expandida para cada ponto do interior da placa, seguindo a numeração dada na figura abaixo: y 100 100 100 100 100 0 0 u7 u4 u1 0 u8 u5 u2 0 u9 u6 u3 0 0 0 0 100 100 0,25 0,5 100 100 1 x 0,75 Figura 3.3 : Malha da discretização da placa. Expandindo a equação 3.43 para cada ponto do interior, de u1 a u9, chega-se às equações: 11 u 2 + 100 + u 4 + 100 ì ïu1 = 4 ï u 3 + u1 + u 5 + 100 ï u2 = 4 ï 4u1 − u 2 − u 4 = 200 ì 0 + u 2 + u 6 + 100 ï ï − u + 4u − u − u = 100 1 2 3 5 ï u3 = ï 4 ï ï − u 2 + 4u 3 − u 6 = 100 u 5 + 100 + u 7 + u1 ï u4 = ï 4 ï ï − u1 + 4u 4 − u 5 − u 7 = 100 u 6 + u 4 + u8 + u 2 ï ï Þ í− u 2 − u 4 + 4u 5 − u 6 − u 8 = 0 í u5 = 4 ï ï − u − u + 4u − u = 0 3 5 6 9 0 + u5 + u9 + u3 ï u = ï ï 6 ï − u 4 + 4u 7 − u8 = 100 4 ï ï − u − u + 4u − u = 0 u 8 + 100 + 0 + u 4 5 7 8 9 ï u7 = ï 4 ï ï − u 6 − u8 + 4u 9 = 0 î ï u = u9 + u7 + 0 + u5 ï 8 4 ï 0 + u8 + 0 + u 6 ï u9 = î 4 (3.44) Resolvendo o sistema linear da equação 3.44, chega-se à solução abaixo: u 7 = 50,000 u8 = 28,571 u 9 = 14,285 u 4 = 71,428 u 5 = 50,000 u 6 = 28,571 u1 = 85,714 u 2 = 71,428 u 3 = 50,000 (3.45) Observa-se a simetria em relação à diagonal principal da placa, e constata-se que os valores da temperatura, nos vértices da placa, não entraram no cálculo. [55] 12 O uso de elementos. registrase alguns inconvenientes. Figura 3. a seção seguinte abordará uma visão geral dos passos envolvidos na solução de um problema. de forma simples e fácil. discutir algumas características. suas características. A solução total é então gerada.3. permite-se desenvolver e mostrar os principais aspectos da aproximação de elementos finitos. condições de contorno não usuais ou composição heterogênea. Pode-se.4 – (a) Uma peça industrial com geometria irregular e composição não homogênea. Em razão de uma descrição detalhada ir além do escopo deste texto. sem ser desencorajados por fatores complicados. Método dos Elementos Finitos O primeiro método numérico com o intuito de resolver equações diferenciais parciais (PDE . de fácil compreensão. princípios e capacidades. Isso se deve ao fato de complicadas aproximações serem requeridas nos contornos do sistema e na fronteira entre as regiões de diferentes composições. fornece melhor aproximação em sistemas com formatos irregulares. O objetivo é mostrar. utilizando o MEF. o PDE é satisfeito em forma de fatias. envolvendo o emprego do método de elementos finitos em PDE. Embora este exemplo não envolva PDE. (b) Tal sistema é muito difícil de modelar com a aproximação por diferenças finitas. 13 . Em contraste à técnica das diferenças finitas. Uma solução aproximada do PDE pode ser desenvolvida para cada um destes elementos. o MEF divide o domínio da solução em formas simples de regiões ou “elementos”. Assim. conceitualmente. Embora tal aproximação seja. além de valores desconhecidos poderem ser gerados continuamente por meio do domínio da solução inteira. Utilizando-se as soluções individuais. (c) Uma discretização de elementos finitos é muito melhor aplicada a tal sistema. Em particular.Partial Differential Equations) foi o método das diferenças finitas. em vez de pontos isolados. Assim. Este é seguido por um simples exemplo: molas ligadas em séries. Neste método. O PDE é então aplicado para cada nó e suas derivadas substituídas por diferenças finitas divididas. este capítulo se conterá a uma introdução geral do Método dos Elementos Finitos. toma-se o cuidado de assegurar a continuidade dos contornos entre os elementos. em vez de malhas retangulares. torna-se difícil sua aplicação em sistemas com geometria irregular. [54] O Método dos Elementos Finitos fornece uma alternativa melhor a tais sistemas. o domínio da solução é dividido em uma malha de pontos ou nós discretos. colocandoas juntas ou montando-as.3. então. Etapas para aplicação do Método dos Elementos Finitos Pré-Processamento: . Os pontos de interseção das linhas que descrevem os lados dos elementos são referenciados como nós.3. . e os lados são chamados de linhas ou planos nodais.Definição do problema e do domínio.1. Embora as particularidades irão variar. nos contextos de Engenharia.Montagem ou colocação das equações dos elementos juntas [K]{u´}={F´}. um padrão de procedimentos. 3.Ajuste ótimo da função de aproximação.Formulação Direta.1 Discretização (Pré-Processamento) Este passo envolve a divisão do domínio solução em elementos finitos. . 14 . . A seguir. . Visão Geral Este desenvolvimento foi extraído da referência [54].Obter as equações dos elementos [k]{u}={f}. . .3. é apresentada uma breve visão geral de cada um desses passos.Técnica Variacional.Escolha da função de aproximação. . . cuja aplicação. Chapra 1997.(ou) . e podem ser em uma. utiliza-se. passo a passo.Método dos Mínimos Quadrados .Método dos Resíduos Ponderados.Acréscimo das condições iniciais e de contorno k {u ′} = {F ′}. irá ser demonstrada em itens subseqüentes.Método de Subdomínios .Determinação de variáveis secundárias. - [] - Pós-Processamento: . 3.(ou) . usualmente.Método Rayleigh-Ritz . duas ou três dimensões.Método Colocacional .Apresentação dos resultados ou visualização gráfica. na implementação do Método dos Elementos Finitos. Processamento: .Discretização ou divisão do domínio em elementos.Método de Galerkin .1.Solução do sistema linear (ou não linear) {u´}. por serem de fácil manipulação matemática.Exemplos de elementos empregados em (a) uma. a fim de aproximar a solução de cada elemento. em que as funções se aproximam da solução. [54] Escolha das Funções de Aproximação Considera-se que.5 . Para o caso unidimensional.1. e (c) três dimensões. escolhe-se uma função apropriada com coeficientes desconhecidos.2.3. Isso envolve dois sub-passos. que serão usados para aproximar a solução. Por último. Equações dos Elementos (Processamento) A seguir.Elemento Linear (a) Unidimensional Nó Linha Nodal Elemento Quadrílateral (b) Bidimensional Elemento Triangular Elemento Hexaédrico Plano Nodal Elemento Tetraédrico (c) Tri-dimensional Figura 3. de forma considerada ótima. a 15 . Primeiro. 3. avaliam-se os coeficientes. (b) duas. desenvolvem-se equações. os polinômios são freqüentemente empregados para este propósito. Essa função deve passar através dos valores u(x) nos pontos finais dos elementos em x1 e x2. e N1 e N2 são chamados de funções de interpolação. Estas equações podem ser resolvidas. Inspecionando melhor. onde: a0 = (u1 x2 – u2 x1) / (x2 – x1) a1 = (u2 – u1) / (x2 – x1) Este resultado pode.46). a qual. para predizer valores intermediários (que é interpolar) entre valores dados u1 e u2 nos nós. ser substituído na Eq. 16 . a0 e a1 são constantes. Ela fornece um significado.47) (3. de fato. ou uma linha reta: u(x) = a0 + a1 x (3. Portanto: u1 = a0 + a1 x1 u2 = a0 + a1 x2 Onde u1 = u (x1) e u2 = u (x2). pode ser escrita como: u = N1 u1 + N2 u2 onde N1 = (x2 – x) / (x2 – x1) e N2 = (x – x1) / (x2 – x1) (3. o polinômio interpolador de primeira ordem de Lagrange. u(x) é a variável dependente.alternativa mais simples é um polinômio de primeira ordem. (3.47) é. (3. então. percebe-se que a Eq.49) A equação (3. e x é a variável independente. depois de se arrumar os termos.47) é chamada função “de aproximação” ou “de forma”.46) Nesta fórmula.48) (3. usando a regra de Cramer. Nó 1 (a) u1 Nó 2 u u2 x1 (b) 1 x1 (c) N2 x1 (d) x2 N1 x2 1 x2 Figura 3.6 (b) Uma função de aproximação ou forma para (a) um elemento linear. As correspondentes funções de interpolação são mostradas em (c) e (d). Note-se, que a soma das funções de interpolação (N1+N2) são iguais a 1. Em adição, lidar com equações lineares facilita operações como a diferenciação e integração. Tais manipulações, mais à frente, serão importantes em outros itens. A derivação da Eq. (3.47) é: du dN1 dN 2 = u1 + u2 dx dx dx (3.50) De acordo com as Eq. (3.48) e (3.49), as derivadas de N1 e N2 podem ser calculadas como: 1 dN1 =− dx x2 − x1 1 dN 2 = dx x2 − x1 (3.51) E, portanto, a derivada de u é: 1 du (−u1 + u2 ) = dx x2 − x1 (3.52) Em outras palavras, essa é a diferença dividida, representando a inclinação da reta conectada nos nós. A integral pode ser expressa como: 17 x2 x1 ò udx = ò N1u1 + N 2u2 dx x1 x2 Cada termo, no lado direito, é somente a integral de um triângulo reto com base x2 – x1 e altura u. Isto é: x2 x1 ò Nudx = 2 ( x 1 2 − x1 )u Assim, a integral inteira é: x2 x1 ò udx = u1 + u 2 ( x 2 − x1 ) 2 (3.53) Ou seja, simplesmente, a regra dos trapézios. Obtenção de um Ajuste Ótimo da Função de Aproximação Após a escolha da função de interpolação, as equações que governam o comportamento dos elementos deve ser desenvolvida. Elas representam um ajuste da função de aproximação, com a finalidade de solução da subjacente equação diferencial. Vários métodos são disponíveis para este propósito. Entre os mais comuns, cita-se a aproximação direta, o método dos resíduos ponderados, e a técnica variacional. O resultado desses métodos é análogo para o ajuste de curvas. Contudo, em vez de ajustar funções para dados, eles especificam relacionamentos entre a desconhecida Eq. (3.47) para satisfazer as subjacentes PDE, em uma forma apropriada. Matematicamente, o resultado das equações dos elementos irá, freqüentemente, consistir de um conjunto de equações lineares algébricas, podendo ser expressa na forma matricial: [k] {u}={F} (3.54) Nela, [ k ] é uma matriz propriedade ou rigidez do elemento; { u } é um vetor coluna de valores desconhecidos dos nós; e { F } é um vetor coluna, refletindo o efeito de quaisquer influências externas aplicadas nos nós. Percebe-se, que, em alguns casos, as equações podem ser não lineares. Contudo, nos exemplos elementares descritos aqui e em muitos dos problemas práticos, os sistemas são lineares. 3.3.1.3. Montagem (Processamento) Depois de se obter as equações dos elementos individuais, elas devem ser colocadas juntas ou montadas, para caracterizar o comportamento unificado do sistema inteiro. O processo de montagem é governado pelo conceito de continuidade. Isto é, as soluções de elementos contíguos são combinadas, e os valores desconhecidos (algumas vezes, as derivadas) de seus comuns nós são equivalentes. Assim, a solução total será contínua. 18 Quando todas as versões individuais da Eq. (3.54) são, finalmente, montadas, o sistema inteiro é expresso sob forma matricial, como: [ K ] { u´ } = { F´ } (3.55) Nela, [ K ] é a matriz propriedade montada e { u´ } e { F´ } são vetores colunas de valores desconhecidos dos nós e forças externas feitas com apóstrofos, para denotar uma montagem dos vetores { u } e { F } dos elementos individuais. 3.3.1.4. Condições de Contorno e Iniciais (Processamento) Antes da Eq. (3.55) poder ser resolvida, deve-se modificá-la, para considerar as condições iniciais e de contorno do sistema. Estes ajustes resultam em: [k ] {u ′} = {F ′} 3.3.1.5. Solução (Processamento) (3.56) Nela, as barras significam as condições de contorno incorporadas. Pode-se obter a solução da Eq. (3.56), com técnicas para a resolução de sistemas lineares e não lineares. Em muitos casos, os elementos serão configurados, de modo que as equações resultantes possam ser unidas, diminuindo o tamanho do sistema. Assim, o esquema de eficiência mais alto disponível a cada sistema é possível de ser empregado. O uso de simetrias, onde uma parte do sistema é igual à outra, possibilita a redução da ordem do sistema linear. 3.3.1.6 Apresentação dos Resultados (Pós-Processamento) Obtida a solução, esta será exibida na forma de tabelas ou gráficos. Em adição, variáveis secundárias serão determinadas e expressas. Apesar dos passos precedentes serem muito genéricos, eles são comuns na maioria das implementações do Método dos Elementos Finitos. No item seguinte, ilustrase como eles podem ser aplicados na obtenção do resultado numérico de dois sistemas físicos simples – o primeiro, molas ligadas em série, e depois, uma haste sendo aquecida. 3.3.2. Exemplo da Temperatura de Equilíbrio Nos item seguinte vai-se exemplificar o Método dos Resíduos Ponderados usando a Técnica de Galerkin para um caso bidimensional. Usa-se um exemplo semelhante ao do item 3.2 do MDF. Considere uma placa quadrada fina metálica de 1 metro de comprimento, e encontre a temperatura de equilíbrio (após um tempo muito grande), segundo as equação de Laplace: ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x 2 ∂y 2 (3.57) 19 a extensão da aproximação de elementos finitos para duas dimensões é. ela segue os mesmos passos. como triângulos e quadriláteros. Em um elemento triangular.2 y2 20 .2.1x1 + a1. 3. y) = a0 + a1. y3).1x2 + a1.2 y1 u2(x. (x2. limitar-se-á a elementos triangulares do tipo descrito na Fig. os a’s representam os coeficientes. Portanto: u1(x. Assim.2y (3. y) nos nós do triângulo (x1. o próximo passo é desenvolver uma equação para aproximar a solução ao elemento. conceitualmente. (3.58) Onde u é a variável dependente. Discretização Uma variedade de simples elementos.3.3.y)=50oC 3.3. y 3 2 1 x Figura 3. y) = a0 + a1.1.7 – Placa Quadrada do Exemplo.8. Condições de Contorno: u(x. 3. u(x.1x + a1.1)=100oC. e (x3. Embora o número de operações matemáticas cresça bastante. u(x. y2).0)=0oC.46)]. Problema Bidimensional Este item foi extraído da referência [54].3.3.y)=75oC e u(1. similar à aplicação unidimensional discutida.2.8 Um elemento triangular 3. Equações dos Elementos Como no caso unidimensional.u(x. como mostrado no subitem 3. a aproximação mais simples é um polinômio linear [Compare com a Eq.y) é a temperatura da barra na posição x e y como na figura abaixo: y 1 x 0 1 Figura 3. Essa função deve passar pelos valores de u(x. y1). Na discussão presente.1. u(0. y) = a0 + a1. e x e y são variáveis independentes. são usualmente empregados para fracionar os elementos finitos em duas dimensões.3. 61) podem ser substituídas na Eq. o resultado pode ser expresso como: u = N1u1 + N2u2 + N3u3 Onde: 1 [( x 2 y 3 − x3 y 2 ) + ( y 2 − y 3 ) x + ( x3 − x 2 ) y ] 2 Ae 1 N2 = [( x3 y1 − x1 y 3 ) + ( y 3 − y1 ) x + ( x1 − x3 ) y ] 2 Ae 1 N3 = [( x1 y 2 − x 2 y1 ) + ( y1 − y 2 ) x + ( x 2 − x1 ) y ] 2 Ae (3.58). que a soma das funções de interpolação é sempre igual a um. 2 = [u1 ( x3 − x 2 ) + u 2 ( x1 − x3 ) + u 3 ( x 2 − x1 )] 2 Ae a0 = (3.1 ý = íu 2 ý ú y 3 ú ïa1.62) N1 = A equação (3.61) Onde Ae é a área do elemento triangular: 1 Ae = [( x 2 y 3 − x3 y 2 ) + ( x3 y1 − x1 y 3 ) + ( x1 y 2 − x 2 y1 )] 2 As equações (3. (3.9 mostra a função de aproximação com as correspondentes funções de interpolação. com base nos valores dos nós.59) (3. A Figura 3.2 y3 Ou na forma matricial: é1 x1 ê1 x 2 ê ê1 x3 ë y1 ù ì a 0 ü ì u1 ü ï ï ï ï y 2 ú í a1.62) fornece uma maneira de predizer valores intermediários para o elemento.u3(x.1x3 + a1.1 = [u1 ( y 2 − y 3 ) + u 2 ( y 3 − y1 ) + u 3 ( y1 − y 2 )] 2 Ae 1 a1. y) = a0 + a1. 2 ï ïu 3 ï ûî þ î þ Este pode ser resolvida a: 1 [u1 ( x 2 y 3 − x3 y 2 ) + u 2 ( x3 y1 − x1 y 3 ) + u 3 ( x1 y 2 − x 2 y1 )] 2 Ae 1 a1. Percebe-se. 21 .60) (3.59) até (3. Depois de agrupar os termos. 22 . vários métodos são disponíveis para desenvolver as equações dos elementos. As correspondentes funções de interpolação são mostradas em (b) até (d). mais complicadas que as do caso unidimensional. consideravelmente.58). Contudo. devido às funções de aproximação serem usualmente polinômios de mais baixa ordem. como na Eq. baseadas na subjacente PDE e nas funções de aproximação.9 (a) Uma linear função de aproximação para um elemento triangular.Figura 3. Fonte [54] Também no caso unidimensional. os termos da matriz final do elemento consistirá a polinômios de baixa ordem e constantes. As equações resultantes são. (3. como exemplo.3.63) constitui uma única aproximação caracterizada pela função dada e por este conjunto de funções.g dv = 0 Logo.3. sob certas condições. em que satisfaçam a condição de contorno. consiste em escolher funções T. os mesmos resultados nas duas formulações. Seja em R2. tais que. em relação à formulação variacional. então. no entanto.2 tem-se k=1 e Q=0): T = T0 I s ∂ æ ∂T ö ∂ æ ∂T ö ÷+Q = 0 çk ÷ + çk ∂x è ∂x ø ∂y ç ∂y ÷ ø è A formulação. em termos do Método dos Resíduos Ponderados. de início. Ajuste Ótimo da Função de Aproximação O desenvolvimento foi extraído da referência [37]. para toda função u que satisfaça condições de continuidade determinadas. na pesquisa de funções v . [37] O método denominado Método dos Resíduos Ponderados consiste.3. ponderadas por funções u.63) Se o conjunto de funções u é de dimensão infinita. que verificam as condições de contorno. existe um erro de método caracterizado pela escolha das funções u. espaço onde se situa o maior número de problemas físicos. que verifica-se: L(v) – f = 0 e B(v) – g =0. Tem-se. e a fórmula (2. a ortogonalidade de duas funções f e g é dada por: Ω ò f . é poder se aplicar a qualquer equação. independentemente. para resultar. por outro lado. onde as derivadas parciais podem ser traduzidas pela pesquisa de uma função v . as funções u formam um espaço de dimensão finita. A vantagem do Método dos Resíduos Ponderados. o problema térmico (Para o exemplo do item 3. tal como os operadores L sobre o domínio e B sobre a fronteira. por partes. as derivadas parciais e sua formulação integral. pois este erro e o de aproximação se conjugam.3. permite transformar esta integral: 23 . da existência e do conhecimento de uma formulação variacional do problema. é possível obter uma equivalência entre o problema.3.( L(v) − f )dw = 0 (3. nas aplicações práticas. Entretanto. se possa escrever: Ω ò u. na resolução de um problema. onde ∀u é: òò uç ∂x ç k ∂x ÷ + ∂y ç k ∂y ÷ + Q ÷dΩ = 0 ÷ ç ÷ ç è ø ø è ø è Ω æ ∂ æ ∂T ö ∂ æ ∂T ö ö Uma integração. este último ponto é de importância secundária. A2.. o domínio de estudo é discretizado em subdomínios chamados Elementos Finitos. NNN. três monômios. A discretização realizada é uma partição do domínio.. as condições de continuidade compatíveis com aquelas impostas pela natureza do problema. perfazendo um total de seis coeficientes não conhecidos. 24 ... Se a função u é substituída por sua aproximação u* sobre todo domínio Ω.. N2... Logo.. Como foi visto. ANN serão determinados pelo método. uma função de aproximação que afeta cada vértice.. portanto. então. o funcional vem a ser uma função exclusiva dos coeficientes u1. na fronteira. então. obtém-se: u = å ui N i * i =1 NN ′ ′ . Este vínculo permite determinar o conjunto de funções Ni. valores de u* em cada um dos nós da discretização. u ′* = å u i N ix . que une os vértices 2 e 3 aos seis coeficientes. uNN.10. Em cada elemento. Pode-se. u2. é uma divisão em dois sub-domínios triangulares de primeira ordem. Os polinômios próprios de cada elemento devem respeitar. Há. o método. são. pela realização de um certo número de condições a impor.. No Método dos Elementos Finitos.. uNN da aproximação u* . existem três coeficientes a determinar. anteriormente. Um exemplo em R2. a partir das funções Ni(e) definidas sobre cada elemento. a função procurada é aproximada por um polinômio de primeira ordem: P=a+bx+cy.. restringem a 4 o número real de coeficientes não conhecidos. [37] O princípio geral consiste em determinar os coeficientes u1. portanto. a função procurada é aproximada por um polinômio..ö æ æ ∂T ∂u ∂T ∂u ö ∂T ç − kç ÷ + uQ ÷dΩ + ò ku dS = 0 + òò ç ç ∂x ∂x ∂y ∂y ÷ ÷ ∂n ø S ø è è Se impusermos u=0 sobre o contorno. como mostrado na Figura 3. + ANN N NN Onde os coeficientes A1... sobre os quais.. e. u2. de fato. mas as condições de continuidade sobre a aresta. escrever a função pesquisada u* aproximada pela combinação linear: u * = A1 N 1 + A2 N 2 + . sobre os quais. de forma a realizar a melhor aproximação possível de u sobre a base de funções N1. x i =1 i =1 NN NN Onde os ui são os coeficientes numéricos.. o segundo termo desaparece e resulta a: ö æ æ ∂T ∂u ∂T ∂u ö ç kç ÷ − Qu ÷dΩ = 0 + òò ç ç ∂x ∂x ∂y ∂y ÷ ÷ ø ø è è A seqüência de funções de projeção ui tomada e as funções de aproximação αi escolhida para T caracterizarão. sem buracos nem recobrimentos. u ′y* = å u i N iy .. na realidade. ΦNN antes de escrever as equações de projeção L(u*) sobre cada uma destas funções. N2=Φ2 e assim por diante. Na aplicação deste método.3 1 4 Figura 3. que são.64).[37] ö æ æ NN ö Φ 1 ç L ç å u j N j ÷ − f ÷ dΩ = 0 òò ç ç j =1 ÷ ÷ ø ø è è NN ö æ æ ö òò Φ 2 ç Lç å u j N j ÷ − f ÷dΩ = 0 ÷ ÷ ç ç j =1 ø ø è è .. cúbicas) e a forma dos elementos. o sistema de equações obtido é idêntico àquele obtido pela formulação variacional. os coeficientes ui podem ser colocadas em evidência na integral.. em cada uma delas. sempre definidas por trechos sobre a discretização. Como no Método dos Resíduos Ponderados as funções de ponderação são idênticas às funções de aproximação. os valores das funções de aproximação nos nós do domínio discretizado. de novo. implicando na linearidade do sistema de equações algébricas obtido... 25 . Φ2. Se o operador L é linear. quadráticas. Há uma ligação matemática rigorosa entre a escolha da natureza das funções de aproximação (lineares. Da mesma forma.Domínio a dois elementos triangulares. contento coeficientes da função de aproximação. então a funcional é quadrática. A escolha de cada elemento das funções de aproximação definirá o seu tipo. Na técnica de Galerkin tem-se N1=Φ1 . a linearidade de L implica na linearidade das equações (3. ö æ æ NN ö Φ NN ç Lç å u j N j ÷ − f ÷ dΩ = 0 òò ç ç j =1 ÷ ÷ ø ø è è 2 (3. no Método dos Resíduos Ponderados. e caracterizará. um sistema de NN equações algébricas a resolver para se encontrar as NN incógnitas u1. pois. é preciso escolher um conjunto de funções de projeção (ou funções de ponderação) Φ1. pela seqüência. u2. a natureza das funções de aproximação.10 .... Observações Importantes: A aplicação do método dos elementos finitos conduz à substituição de uma equação ou sistema de equações a derivadas parciais por um sistema de equações algébricos.. uNN.64) Obtém-se... como na derivação da matriz elemento. [54] Logo para o exemplo tem-se: ∂ 2T ∂ 2T R = + ∂x 2 ∂y 2 Integrando pelo Método dos Resíduos ponderados e associado à técnica de Galerkin. a eficiência com a qual ele pode ser resolvido.11 mostra um esquema desenvolvido para uma placa plana em equilíbrio térmico.11 .NN æ æ NN öö Φ i ç L ç å u j N j − f ÷ ÷ dΩ = å u j òò ç ç j =1 ÷÷ i =1 øø è è (òò L(N )Φ dΩ) − òò Φ fdΩ j i Ω i 3.3. torna-se um problema de grande importância em duas ou três dimensões. Por exemplo. Condições de Contorno e Montagem A incorporação das condições de contorno e a montagem do sistema matricial também se tornam mais complicados. portanto.Um esquema de numeração dos nós e elementos para uma aproximação por elementos finitos. Em particular. para uma placa plana em equilíbrio térmico. as dificuldades relativas ao mecanismo dos processos são maiores do que a complexidade conceitual. o estabelecimento da topologia do sistema. solucionada por meio do método dos elementos finitos. a escolha do esquema de numeração irá ditar a estrutura do sistema matricial resultante e. quando a técnica dos elementos finitos é aplicada em problemas de duas ou três dimensões. 100 oC Y 75 oC 50 oC X O oC Figura 3. A Figura 3. tem-se: æ ∂ 2T ∂ 2T ö òò N i ç ∂x 2 + ∂y 2 ÷dΩ = 0 ç ÷ è ø Ω 26 . o qual era trivial para o caso de uma dimensão.4.3. Contudo. 0.5T1 − 0.onde Ni são as funções de teste no caso as funções de Lagrange N1. Para i=1: 0 .2 e 3 pode-se escrever: − ò Ni S ∂T dS = Fluxo no lado 12 [F12 ] + Fluxo no lado 23 [F23 ] + Fluxo no lado 31 [F31 ] ∂n ( ) ( ) ( ) Pode-se aplicar as equações acima em cada elemento da malha: Para o Elemento (1) tem-se: Nó 7 (0.y) de cada nó.25. Após uma integração por partes (Teorema de Green).65) 27 .25) Nó 1 (0.5T2 = F12 + F71 Para i=2 tem-se de maneira similar: (3.0) Nó 2 (0. N3. 25 x ç ò ò ç ∂x è 0 æ ∂T ∂N 1 ∂T ∂N 1 ö ∂T ÷dydx = − ò N 1 dS + ÷ ∂y ∂y ø ∂n ∂x 0 S Substituindo a integral do lado direito pelo fluxo em cada lado do triangulo e lembrando que N1 é zero para o lado oposto ao vértice 1 (F27=0) tem-se: 0 . 25 x ò ò ç ∂x ç è 0 æ ∂T ∂N 1 ∂T ∂N 1 ö ÷dydx = F12 + F71 + ∂y ∂y ÷ ∂x ø 0 Resolvendo o lado esquerdo tem-se: 0.0) Figura 3.25. Assim para um elemento genérico 1. O termo do lado direito representa o fluxo sobre o contorno do elemento triangular (Percorrendo no sentido anti-horário). N1 + T2 .12 – Elemento 1 da Malha com as coordenadas (x. obtém-se: òò ç ∂x ç è ∆ æ ∂T ∂N i ∂T ∂N i + ∂x ∂y ∂y ö ∂T ÷d∆ = − ò N i dS ÷ ∂n ø S para cada elemento triangular. N2 + T3 . N2 e N3 da função de aproximação T = T1 . F34. Isso é fundamental na fase de montagem onde os termos de fluxo interno na placa irão se anular.65) até (3. 25 x ò 0 æ ∂T ∂N 3 ∂T ∂N 3 ö ò ç ∂x ∂x + ∂y ∂y ÷dydx = F71 + F27 ÷ ç ø 0è ou − 0..5T7 = F71 + F27 (3. Para os triângulos inferiores (Elementos impares 1. F61).5T1 − 0.32) tem-se: ì 0.3.5T1 − 0.5T2 = F12 + F31 ï í − 0. Vai-se procedendo assim para os 32 elementos da malha do exemplo.7.5T + 0.5T + 0.5.5T1 + 0.5T7 = F61 + F76 ï− 0. T25 mais 16 correspondente ao fluxo em cada lado externo dos elemento (F12...67) As equações de (3.5T1 − 0.66) − 0. 28 .4.5T6 = F17 + F61 ï í 0... F23..5T7 = F27 + F12 Para i=3 tem-se: 0 .8. F45.5T6 − 0.5T1 + 0.. 25 x ou ç ò ò ç ∂x è 0 æ ∂T ∂N 2 ∂T ∂N 2 + ∂y ∂y ∂x 0 ö ÷dydx = F27 + F12 ÷ ø (3. N2 e N3.5T2 − 0.5T = F + F 6 7 76 17 î Cada equação acima foi obtida para N1..5T2 + 0.5T + 0.6. T2.5T = F + F 2 3 31 23 î Para os triângulos superiores (Elementos pares 2. respectivamente. De maneira similar para o segundo elemento tem-se: ì 0.31) tem-se: ì 0..10 .5T3 = F21 + F32 ï− 0.67) formam as equações elemento para o primeiro triangulo.0 . F5. das quais 25 são de T1.5T = F + F 2 3 32 13 î Montando as equações elementos tem-se 25 equações e 41 incógnitas. Deve notar que F71=-F17 ou seja o fluxo que sai do elemento 1 e vai para o elemento 2 através do lado modal 17 é o mesmo que sai do elemento 2 e vai para o elemento 1 só que com sentido oposto.5T2 = F13 + F21 ï í 0.5T3 = F12 + F23 ï− 0... 5T12 = F16.46 ï T = 42.5T12 + 0.5T1 + T2 − 0.12 T19 = 69. − 0. 2 3 7 8 13 14 ï ï − 0. 29 .5T14 + 0. î Resolvendo o sistema final de 25 equações e 25 incógnitas tem-se : ìT17 = 78.5T17 − T22 + 0.10 .T1 + 0.5T12 − T16 + 0.5T7 +1. − 0.5T8 − 0.5T + T − 0.23.5T9 = F5.5T13 = 0.5T −1.10 + F15. ï ï í − 0.16 + F16. ï − 0.5T8 + T13 + 0.5T3 − 0.5T12 + 0.5T2 + 0. − 0.5T19 + T24 + 0. T20 = 50.25 + F25. − 0. − 0.17 T13 = 56.5T13 − T17 + 0.5T − 0.5T12 + 0.5T7 − 0.5T15 − 0. Pode-se agora colocar as condições de contorno: T1 = 0.5T2 + T3 − 0. ì ï T6 = 75. T3 = 0. ï − 0. − 0.5T2 − T7 + 0.22 + F22.5T18 + 0.5T25 = F20.5T4 + 0.5T24 + T25 = F24. ï ï − 0.5T8 = F23.5T + 0.5T = F + F .24.20.5T4 − 0.5T + T − 0.10 10.5T25 = F20. − 0.93 8 9 î 7 Solução para as temperaturas internas na placas em equilíbrio térmico. ï ï − 0. ï − 0.5T24 = F22.21.5T8 + T9 − 0. T4 = 0. T22 = 100. T23 = 100. T5 = 0. ï − 0. T15 = 50.5T20 − 0.5T9 = F34 .5T18 − 0.5T13 − T18 + 0.5T1 + T6 − T7 + 0.23. ï í T10 = 50.16.5T12 − 0.5T23 = F21. − 0. ï ï− 0.5T22 = F16. As outras incógnitas tem um interesse menor pois são o fluxo nas bordas da placa.5T − 0.5T23 − 0.25.25 + F15.5T14 + 0.5T16 + 0.5T9 − 0.21 + F21. T16 = 75. ì ï − 0.5T15 + T19 + 0.5T19 + 0.5T22 + T23 = 0.5T21 + 0.5T13 − 0.5T17 + T21 + 0.5T9 + T10 = F45 + F5.5T15 − 0. T24 = 100. ï ïT21 = 100.25 + F20. T2 = 0.57 T18 = 76.5T18 = 0.5T3 − T7 + 0.5T25 = F23.15 ï ï − 0.5T10 − T14 + 0.5T4 + T5 − 0.5T15 = 0.86 T = 33.5T17 − 0.25 T14 = 52.5T3 + T4 − 0. î 0.5T5 + 0.5T18 + T23 + 0. 9 10 14 15 5.5T8 = F12 + F16. T25 = 100.5T19 = 0.5T21 = F11.5T6 − 0. − 0. T11 = 75.11 + F11.5T24 = 0.5T4 −1.64 ï íT12 = 63.26 T = 33.20.5T14 − 0.5T17 + 0.5T9 − 0.10.5T20 = F5.5T11 + 0.24.5T = 0.5T17 = F6.5T19 = 0.5T6 + T11 − 0.5T10 + T15 + 0.5T16 + 0.5T10 − 0.22. − 0.5T15 − T20 + 0. ï − 0. − 0. Figura 3. o sistema matricial é meramente um conjunto de n equações simultâneas.3.3. Em outros problemas com meios não homogêneos. 30 .13 .3.3. Por esta razão o MEF é o método mais comumente implementado pelas ferramentas de CAE e para muitos autores é a base da Engenharia Assistida por Computador. sendo calculada por meio do Método dos Elementos Finitos. para se encontrar os valores das variáveis dependente nos n nós. Assim o aumento na complexidade matemática dos elementos finitos é compensada por sua portabilidade e eficiência na solução de equações diferenciais parciais encontradas na engenharia. A Figura 3. O que torna o MEF um método bem mais amplo e com uma aplicabilidade prática muito maior que o MDF.6. nota-se uma vantagem no MEF.A distribuição da temperatura de uma placa em equilíbrio térmico.13 mostra uma solução possível. que pode ser solucionada. pois não se é obrigado a usar malhas retangulares de mesmo tamanho como no MDF. no caso de uma placa em equilíbrio térmico. [54] 3. Solução e Apresentação do Resultado (Pos-Processamento) Embora o mecanismo seja complicado. Comparação com a Solução pelo MDF Mesmo neste exemplo com meio homogêneo e geometria simples. geometrias complexas e parâmetros não lineares as vantagens do MEF aumentam bastante.3.5. enquanto a outra é submetida a uma força constante F. Cada mola é representada por um elemento. obviamente.Apêndice A Ajuste Ótimo da Função de Aproximação em uma Dimensão A. tratar cada mola como um elemento. A. Assim.1 mostra uma série de molas Interconectadas. Portanto. [54] Descrição do problema: a figura A. passo a passo. 31 . enquanto a outra é sujeita a uma força constante F. Solução de Elementos Finitos para Molas em Séries Figura A.1b). o sistema consiste de quatro elementos e cinco nós.1. determina-se o deslocamento das molas. Equações dos Elementos: como este sistema é muito simples. o sistema consiste de quatro elementos e cinco nós (Fig.1 (a) Uma série de molas interconectadas. Uma extremidade é fixada a uma parede. Uma extremidade é fixada na parede. (b) Representação em elementos finitos. Este é um exemplo de aproximação direta para os elementos derivados. os procedimentos do Método dos Elementos Finitos. Usando. sem o recurso da aproximação matemática. Solução − Discretização: o modo de particionar esse sistema é. suas equações dos elementos podem ser escritas diretamente. como: é k ê− k ë − k ù ì x1 ü ì F1 ü í ý=í ý k ú î x 2 þ î F2 þ û Ou então: [k]{x}={F}. que esta última equação tem sido 32 . matematicamente. Essa equação pode também ser escrita como: F1 = k x1 – k x2 Para um sistema estacionário. A. e x2 o deslocamento do nó dois da sua posição de equilíbrio. portanto: F2 = -k x1 + k x2 Estas duas simultâneas equações especificam o comportamento do elemento em resposta às forças aplicadas. pela lei de Hooke: F=kx Onde.2 mostra um elemento individual. a qual pode ser interpretada como a força requerida para causar uma unidade de deslocamento. O relacionamento entre a força F e o deslocamento x pode ser representado. o seguinte balanço de força (reação) deve segurar: F = k (x1 – x2) Onde. Se uma força F1 é aplicada no nó 1. Neste caso.Um diagrama de corpo livre de um sistema de molas. k representa a constante da mola.2). Note-se. x2 – x1 representa o quanto a mola é alongada ou comprimida e relativa ao equilíbrio (Fig. [54] A Figura A. Podem ser escritas numa forma matricial.2 . Assim. Onde a matriz [ k ] é a matriz propriedade do elemento. é também referenciada com a matriz rigidez do elemento. x1 é deslocamento do nó um da sua posição de equilíbrio.Figura A. um balanço de forças também necessita que F1=F2 e. obteve-se sucesso na geração de uma equação matricial.54).55)]: [ K ] { x´ } = { F´ } Onde: (1 é k11) ê (1) ê− k 21 [K ] = ê ê ê ê ë (1 − k12) (1 (2 k 22) + k11 ) (2 − k 21 ) −k (3 k + k11 ) (3 − k 21) (2) 12 ( 2) 22 (3 − k12 ) (3 (4 k 22) + k11 ) (4 − k 21 ) ù ú ú ú ( 4) ú − k12 ú (4 k 22 ) ú û e ì F1(1) ü ï ï ï 0 ï ï ï {F ′} = í 0 ý ï 0 ï ï ï ï F2( 4) ï þ î E { x´ } e { F´ } são os vetores deslocamento e força expandida. o sobreescrito (e) designa que estas são equações elemento. As equações elementos podem então ser adicionadas. as equações. e kij denota sua localização na linha i e coluna j da matriz. elas são também fisicamente interpretadas como representando a força requerida no nó i. para induzir uma unidade de deslocamento no nó j. ý=í (e ú í k 22) û î x 2 þ î F2( e ) þ Onde. Ou seja. introduzir-seá alguma notação. (3. Esse esquema global de numeração especifica a configuração ou topologia do sistema (o presente caso usa um esquema idêntico ao da tabela A. uma de cada vez. mostra-se o nó que pertence a cada elemento. Os elementos [ k ] e { F } são convencionalmente colocados sobreescrito e subescrito. podem ser escritas com referência às coordenadas globais. os k’ s são também colocados subescritos. para montar o sistema total.1). montagem da solução total. para cada elemento. Antes de proceder para o próximo passo. Assim. O resultado final pode ser expresso na forma matricial como [lembrando Eq.moldada no formato da Eq. Montagem − Antes das equações elementos serem montadas. como em: (e é k11 ) ê ( e) ë− k 21 (e − k12 ) ù ì x1 ü ì F1( e ) ü ý . (3. Quanto às 33 . Para o presente caso. todos os elementos e nós devem ser numerados. que descreve o comportamento de um elemento típico no sistema. Uma vez que a topologia é especificada. Gerando a Solução − Resolvendo o sistema linear com uma das técnicas numéricas. deve-se comentar a estrutura da matriz propriedade montada. x4 = 3 e x5 = 4.56). Antes de proceder o próximo passo.1) antes da montagem. Assim. prefere-se deixar o número de equações intactas. Cada mola alongada é uma unidade de deslocamento. exceto no primeiro e último nó. reduz-se o sistema para (k´s=1): é 2 −1 ù ì x2 ü ì 0 ü ê− 1 2 − 1 úïx ï ï 0 ï ê úï 3 ï = ï ï í ý í ý ê − 1 2 − 1ú ï x 4 ï ï 0 ï ê ú − 1 1 û ï x5 ï ï F ï ë î þ î þ O sistema está agora na forma da Eq.3. muda-se ao próximo passo: a solução. Ela é tridiagonal. Embora a redução das equações é. Introduzindo essas condições. (3. Condições de Contorno − O sistema presente é sujeito a simples condições de contorno e x1=0. Apresentação dos Resultados (Pós-processamentos) − O resultado pode agora ser desenhado graficamente. 34 . com a realização de tal união. as forças internas se cancelaram. onde todos os k´s = 1 e F = 1. e está pronto para ser resolvido. x3 = 2. em todas as linhas. sistemas esparsos podem ser uma vantagem na colocação de problemas mais complicados. Isso é um resultado direto do esquema particular de numeração escolhido (Tabela A. temos de F1 = -F (reação de F da parede) e x1=0. certamente. o resultado final para { F´ } é zero. e aplicando o esquema de remuneração. quando a solução é realizada por computador. x2 = 1. Isso é devido a esquemas eficientes disponíveis para a resolução de tal sistema.equações que foram montadas. temos: X1 = 0. Na Figura A. Neste caso. uma valiosa aproximação incorporada nas condições de contorno. os resultados estão como esperados. Assim fica o sistema: é 1 −1 ù ì x1 ü ì− F ü ê− 1 2 − 1 úïx ï ï 0 ï ê úï 2 ï ï ï ï ï ï ï ê ú í x3 ý = í 0 ý −1 2 −1 ê ú − 1 2 − 1ú ï x 4 ï ï 0 ï ê ï ï ï ï ê − 1 1 ú ï x5 ï ï F ï ë ûî þ î þ Uma vez incorporadas as condições de contorno. usualmente. Embora não seja muito importante no contexto presente. 4 (a) Uma longa e fina haste sujeita a fixas condições de contorno e a uma contínua fonte de calor ao longo do seu eixo. Exemplo de uma Haste Sendo Aquecida A figura A. as pontas da haste.3 (a) O diagrama do sistema original. na forma unidimensional: d 2T = − f ( x) dx 2 (A. como por exemplo.4 mostra um sistema modelado pela equação de Poisson. (b) A representação de elementos finitos consistindo de quatro elementos de igual comprimento e cinco nós. são mantidas numa temperatura fixa T(0. Descrição do Problema − Resolver a Eq. t) = T2. (A.Figura A. um PDE de duas dimensões. t) = 200 oC e uma fonte de calor 35 . (b) O sistema depois da aplicação da força constante. Essa não é uma equação diferencial parcial. t) = T1 e T(L. sem algumas das complicações. Os deslocamentos são indicados no espaço entre os dois sistemas. Figura A. mas uma equação diferencial ordinária com condições de contorno. e onde. com as seguintes condições de contorno: T(0.1) para uma haste de 10 cm.2.1) Onde.[54] Exemplo: solução analítica para uma haste sendo aquecida. Esse modelo simples é usado. porque ele permitirá introduzir a aproximação por elementos finitos. f(x) é uma função que define a fonte de calor ao longo da haste. t) = 40 oC e T(10. [54] A. Substituindo este na equação diferencial.uniforme f(x) = 10. resultando T´´ = 2 a. Portanto. Solução − A equação a ser resolvida é: d 2T = −10 dx 2 Assume-se uma solução na forma: T = a x2 + b x + c Ela é diferenciada duas vezes. a solução final é: T = -5 x2 + 66 x + 40 O resultado é mostrado na figura A. temos: a = -5. para x=0: 40 = -5 (0)2 + b(0) + c ou c = 40.5 .5 Temperatura da Haste 280 240 T (Graus Celsus) 200 160 120 80 40 0 x 5 x (cm) Figura A.Distribuição de temperatura ao longo de uma haste aquecida por uma fonte uniforme de calor e mantida fixa a temperatura nos extremos da haste. As condições de contorno são usadas para avaliar os coeficientes restantes. Da primeira condição. Similarmente. 36 . para a segunda condição: 200 = -5(10)2 + b(10) + 40 A qual é solucionada dando b = 66. o método direto é empregado para gerar as equações elementos. Primeiro.49).A. há uma variedade de aproximações para desenvolver as equações elementos.4b). o sistema é tratado com quatro elementos de igual comprimento e cinco nós. (3. emprega-se duas delas.1. Equações dos Elementos Um elemento individual é mostrado na Fig. A distribuição de temperatura para o elemento é representada pela função de aproximação: ~ T = N 1T1 + N 2T2 (A. A.48) e (3. O relacionamento entre o fluxo de calor e o gradiente de temperatura é assim representado pela lei de Fourier: q = −k ′ dT dx 37 .6a.5. Aproximação Direta Como descrito no subitem 3. em função de sua aplicabilidade geral na Engenharia.6b.6 (a) Um elemento individual (b). A função aproximação usada para caracterizar a distribuição de temperatura ao longo do elemento. Nó 1 (a) Nó 2 ~ T T1 T2 x1 (b) x2 Figura A. onde f(x)=0. Assim. No caso onde f(x)=0. a função de aproximação é uma interpolação linear entre as duas temperaturas dos nós. A. Então.2. A. A. como descrito na Fig.4. uma aproximação direta será usada em um caso simples. respectivamente. Nesse subitem.2) Onde N1 e N2 são funções lineares de interpolação especificadas pelas Eq. devotar-se-á a maior parte da abordagem para o método dos resíduos ponderados. Discretização Uma configuração simples modeladora do sistema é uma série de elementos de igual comprimento (Fig. Assim.3. A. pode-se ter: dT T2 − T1 = dx x 2 − x1 Aplicando (A.oC)].3) é moldada no formato da Eq.3) A Eq. (3. o fluxo de calor para o elemento.54).4) aos nós 1 e 2. Assim. Assim. com o nó 2: q2 = k ′ T2 − T1 x 2 − x1 Estas duas equações expressam o relacionamento da distribuição da temperatura interna do elemento (refletido pelas temperaturas dos nós) e o fluxo de calor nas suas extremidades. Outra forma de se chegar às mesmas equações elementos anteriores. tem-se: (A. (A. elas constituem as equações dos elementos desejadas. é a partir da seguinte idéia : Se T’’(x)=0 então T´(x)= constante. s)] e k´ é o coeficiente de condutividade térmica [cal/(s. resultando: 1 x 2 − x1 ì− dT ( x1 ) ü é 1 − 1ù ìT1 ü ï dx ï ê − 1 1 ú íT ý = í dT ( x ) ý 2 ë ûî 2 þ ï dx ï þ î (A.cm. Similarmente. e serão simplificadas pelo reconhecimento da lei de Fourier. Ou seja: q1 = − k ′ dT ( x1 ) dx q 2 = −k ′ dT ( x 2 ) dx Pode-se substitui-la dentro das equações dos elementos. obteve-se sucesso na geração da equação matricial onde o comportamento de um elemento típico no sistema é descrito. Assim.Nesta equação. é representado por: q1 = k ′ T1 − T2 x 2 − x1 Onde q1 é o fluxo de calor no nó 1. através do nó 1.4) 38 . Se uma função linear de aproximação é usada na caracterização da temperatura do elemento. como útil para moldar o fluxo terminal em termos do gradiente de temperatura na fronteira. q é fluxo [cal/(cm2. 6) Parte-se.4 ú íT ý = í dT ( x ) ý 2 ë ûî 2 þ ï dx ï þ î (A.ì dT ( x1 ) T2 − T1 ï dx = x − x 2 1 ï í ï dT ( x 2 ) T2 − T1 = ï x 2 − x1 î dx Þ Þ dT ( x1 ) 1 (T1 − T2 ) = − ( x 2 − x1 ) dx nó 1 (A. e tem-se: ì− dT ( x1 ) ü é 0.4 − 0.4 0. assim. a (A.5) dT ( x 2 ) 1 (−T1 + T2 ) = nó 2 ( x 2 − x1 ) dx Chegando-se.4ù ìT1 ü ï dx ï ê− 0.3). então. para a etapa de montagem: 39 . 8 − 0.4 0ú T4 ê 0 0+ ï ï ï ï dx ê 0 0 0 0 0ú ï 0 ï ï ï ûî þ î ë 0 þ ì ü − dT ( x1 ) 0 0 0 ù ìT1 ü ï é 0.4 ê − 0. − 0.4 + 0.4 0 + 0.4 0.A montagem das equações no sistema total para a aproximação direta.4 + 0.4 ê− 0. para o acréscimo das condições de contorno T1=40oC e T5=200oC: 40 .4 ú ïT5 ï ï dT ( x 5 ) ï 0 0 ûî þ î ë dx þ Figura A.4 − 0.4 0.4 0 − 0.4ú ïT4 ï ï 0 0 0 ê ï ï ï ï ê 0 − 0.4 0.4 ê 0 0 ê 0 ê 0 0 0 ë Segue-se.4 0.4 0.4 − 0.4 0.4 0.4 0 ú íT3 ý = í ý ú ï ï ïdT ( x 4 ) − dT ( x 4 ) ï ê − 0.8 − 0.4 dx ï ê − 0.4û î þ ï ë 0+ dx î þ 0 0 0 ù ìT1 ü ì− dT ( x1 ) ü é 0.4 + 0.4 0 0 ú ïT2 ï ï ï 0 úï ï ï ê ï ï ï (e )ê 0 − 0.4 dx ï ï ê − 0.4 dx ï ï ê− 0.8 − 0.4 0 0ú ïT2 ï ï ï 0 úï ï ï ê ï ï dT ( x3 ) dT ( x3 ) ï (c )ê 0 − 0.4 0 − 0.4 0.4 0.8 − 0.8 − 0.4ú T4 0 ê 0 dx dx ï ï ï ï ú ïT5 ï ï ê 0 dT ( x 5 ) 0 0 0 − 0.4 ï 0 0 0 ú ïT2 ï ï úï ï ï ê ï ï ï 0 (d )ê 0 − 0.4 0.4 0.4 − 0.4 0ú íT3 ý = í − dx dx ý úï ï ï ê ï dT ( x 4 ) 0 0 − 0.4 0 + 0.4 0 ú íT3 ý = í 0 ý ú ê ï − 0.4 ê (b )ê 0 0 − 0.é 0.4 ê (a )ê 0 0 ê 0 ê 0 ê 0 0 ë 0 0 0ù ìT1 ü ì− dT ( x1 ) ü dx ï ï 0 0 0ú ïT2 ï ï dT ( x 2 ) ï úï ï ï ï ï dx ï 0 0 0ú í 0 ý = í ý 0 úï ï ï ï 0 0 0ú 0 0 ï ï ï ï 0 0 0ú ï 0 ï ï ï ûî þ î 0 þ ü ì − dT ( x1 ) 0 0ù ìT1 ü ï dx ï 0 0ú ïT2 ï ïdT ( x 2 ) − dT ( x 2 ) ï úï ï ï dx dx ï ï ï 0 0ú íT3 ý = í ý dT ( x 3 ) 0+ úï ï ï ï dx 0 0ú 0 ï ï ï ï 0 0 0ú ï 0 ï ï ï ûî þ 0 þ î ü 0 0 0ù ìT1 ü ì − dT ( x1 ) é 0.7 .4 0 + 0.4 − 0.4 0 − 0.8 − 0.4 0 é 0. em áreas como mecânica. diretamente. como é descrito. é freqüentemente difícil ou impossível obter.8T3 − 0.8) Resolvendo o sistema.2) não ser a solução exata. em outros contextos. (A.00 dT ( x5 ) = 16 dx T3 = 120. A equação diferencial (A. (A. mas um resíduo: ~ d 2T R= + f ( x) dx 2 (A.8T4 − 0. técnicas matemáticas mais gerais são disponíveis.8T2 ï − 0.4 x 40) 0 0 (A.4T3 + 0. ela é empregada na solução.4T2 dx ï ï 0.4T3 − 0. A. o lado direito da equação resultante não será zero. Adicionalmente. para resolver problemas significativos.4T4 − dT ( x5 ) = − 16 = 16 0 = = 80 dx = − 80 (A.6.00 (A.ìdT ( x1 ) − 0.4T2 í ï ï ï î − 0. Em razão da Eq. de acordo com a fórmula geral: 41 .8T2 ï − 0.4T3 + 0. Method of Weighted Residuals MWR) consiste em calcular um mínimo para o resíduo. a seguir. as equações dos elementos finitos. Contudo.4 x 40) (0. O Método dos Resíduos Ponderados.4T2 í ï ï ï î − 0.4T2 dx ï ï 0. chega-se à solução para f(x)=0 : dT ( x1 ) = 16 dx T4 = 260.8T3 − 0.00 T2 = 80.7) = − (0.4T4 − dT ( x5 ) = = = = dx − (0.4T4 + 0.4T4 + 0.4T3 − 0.1) pode ser re-expressa como: d 2T 0 = 2 + f ( x) dx A função aproximação [Eq.9) A aproximação tem grande apelo intuitivo.10) O método dos resíduos ponderados (do inglês.2)] é substituída nesta equação. Conseqüentemente.8T4 − 0.4 x 200) Tem-se o sistema abaixo: ìdT ( x1 ) − 0. 7). A aproximação mais rotineira no Método dos Elementos Finitos é empregar as funções de interpolação Ni como funções de teste... geralmente.12).11) é verdadeira. no lado direito. Quando são substituídas na Eq. será melhor avaliada que a original. Neste ponto. 2. (A. Essa aproximação advém do fato de que. se R é igual a zero e W i. Entre as mais importantes. Em seguida.12) A partir de então.11) onde D é o domínio solução e W i representam funções teste ou peso linearmente independente. resultando em: ò x2 x1 ~ é d 2T ù ê 2 + f ( x)úN i dx ë dx û i = 1. onde: D ò RN dD = 0 i i = 1. (A.. há uma variedade de escolhas para as funções teste. Cada qual representa uma aproximação alternativa para o MWR. Isso pode ser feito para o termo do lado esquerdo da Eq. Que pode ser reescrita como: x2 ~ x2 d 2T ò 2 N i ( x)dx = − xò f ( x) N i ( x)dx x1 dx 1 i = 1. manipulações matemáticas serão aplicadas. m Para a haste unidimensional. Tem-se. utilizando a integração por partes.10) é substituída na formulação. ela é uma função contínua qualquer. o resultado é referenciado como Método de Galerkin. 2 (A. .11).. 2 . relembrando o cálculo onde esta operação é expressa..D ò RW dD = 0 i i = 1. no lado esquerdo. . (Seção A. m (A. pela escolha de Ni (x) como u e (d2T/dx2) dx como dv. 2 (A. a integral é usada para diminuir a ordem da equação diferencial de segunda para primeira derivada. a Eq. simplificando e avaliando a Eq. (A. está a simplificação do lado esquerdo. (A. tem-se um significante passo de redução no termo de maior ordem na formulação da derivada segunda para a primeira. se a Eq.. Nela. a nova integral. então: x2 x1 ò N i ( x) ~ ~ ~ x d 2T dT x 2 2 dT dN i dx = N i ( x) −ò dx dx x1 x1 dx dx dx 2 i = 1.12). (A. como: ò udv = uv a − ò vdu a a b b b Se u e v são escolhidos apropriadamente. avalia-se os termos 42 . 2.13) Assim. 16) x2 ~ ~ x dT ( x 2 ) 2 dT dN 2 ò dx dx dx = dx + xò f ( x) N 2 ( x)dx x1 1 (A. o primeiro termo. em termos do Método de Elementos Finitos. (A. Para i=1. Assim. Transpondo a Eq. Ao lado direito de cada equação. Antes de prosseguir. o lado esquerdo engloba o mecanismo interno. (A. Isto é. Primeiro.13). da Eq. passando da segunda para a primeira derivada. no presente caso.14) ~ ~ dT x 2 dT ( x 2 ) N 2 ( x) = dx x1 dx (A. da Eq. o efeito da função de forças externas do sistema. ela tem incorporado as condições de contorno diretamente dentro das equações dos elementos. reduzido a alta ordem. no lado direito.13). agrupa-se a Eq. representa as condições de contorno naturais nas extremidades dos elementos. Para demonstrar melhor isso.17) A integração por partes tem conduzido a dois importantes resultados.15). e por último. o primeiro termo do lado direito. (A. (A. tem-se: x2 ~ ~ x dT ( x1 ) 2 dT dN 1 dx = − + ò f ( x) N 1 ( x)dx ò dx dx dx x1 x1 E para i=2: (A. (A. o lado esquerdo se tornará a matriz propriedade do elemento. o termo é: 43 . Agora começa-se a atribuir algumas significâncias físicas para os termos individuais já obtidos. é avaliado como: ~ ~ ~ dT ( x 2 ) dT ( x1 ) dT x 2 N 1 ( x) = N1 ( x2 ) − N 1 ( x1 ) dx x1 dx dx Contudo.6.15) Portanto. para i=1. na Eq. substituindo o resultado anterior na equação original.individuais criados na Eq. concentra-se nos termos do lado esquerdo. o primeiro termo representa uma das condições de contorno dos elementos. e o segundo. (A. que o resultado da função de aproximação precisa preservar a continuidade dos valores.13). Isso significa.12). que governa a distribuição de temperatura do elemento. através da (A. Como se torna evidente. para i=2: (A. 3. mas não a inclinação nos nós. e arranjandoas para i=1. na qual N1(x2)=0 e N1(x1)=1: N1 ( x) ~ ~ dT ( x1 ) dT x 2 =− dx x1 dx Similarmente.13). lembrando da Fig. a fonte de calor f(x).13). O termo da fonte de calor. com comprimento =2. desenvolver as equações elementos para uma haste de 10 cm com condições de contorno de T(0. tem-se: x2 x1 ò (x T1 − T2 1 dx = (T1 − T2 ) 2 x 2 − x1 2 − x1 ) Similar substituição para i=2 [Eq. usando a lei de Fourier. na forma matricial como: 1 é 1 − 1ù ìT1 ü í ý x 2 − x1 ê − 1 1 ú îT2 þ ë û Substituindo esse resultado nas Eq.21) Além do método direto e dos resíduos ponderados.21). (A. Para o presente caso. essas aproximações condizem a equações idênticas para ambas derivações.16) e (A.21).3).x2 ~ dT dN 1 ò dx dx dx x1 (A. (A.3.17)]. (A.48). a natureza linear da função de aproximação torna simples a diferenciação e a integração. na primeira linha da Eq.20) Comparando com a Eq. Exemplo: Equações Elemento para uma Haste Aquecida Descrição do Problema . usando o cálculo variacional.51) e (3.19) x2 x1 ò (x − T1 + T2 1 dx = (−T1 + T2 ) 2 x 2 − x1 2 − x1 ) (A. (3. além de. (A. t)=200.52). Integrando.19) e (A.18) Lembrando do subitem 3. com a reescrita das Eq. conduz a: (A. Isso se torna bem claro. Solução .20). (A. Substituindo a Eq. as equações elementos também são derivadas. é avaliada pela substituição da Eq. estas são similares nos relacionamentos desenvolvidos com o método direto.17). obtém-se a versão final das equações elementos: ì x2 ü ì dT ( x1 ) ü ï f ( x) N 1 ( x)dx ï ò ï− dx ï ï x1 1 é 1 − 1ù ï ý ê − 1 1 ú{T } = í dT ( x ) ý + í x2 x 2 − x1 ë 2 û ï ï ï f ( x) N ( x)dx ï "" ""! " " 2 î "dx"! ï ò þ ï Matrix rigitez do Elemento [k] î x1"" "" ! " "þ Condições de Contorno Efeitos Externos (A. (A. Usar quatro elementos de igual tamanho. e expressando-o na forma matricial. (A. uma uniforme fonte de calor de f(x)=10.Empregando a Eq. temos: 44 .18).5cm. na Eq. (3.1. t)=40 e T(10. 5 ò 10 0 x−0 dx = 12.4T1 − 0. (3. à qual pode. a Eq.21). com valores de outros parâmetros. pode ser substituído na Eq.5 2. (A. conduzindo a: 2.21). (A.4T1 + 0.2.4T2 = − dT ( x1 ) + 12. ser integrada.5 Similarmente.5 Este resultado. para resultar em : 0.49) é substituída dentro do termo da fonte de calor da segunda linha da Eq.4T2 = 45 .5 dx dT ( x 2 ) + 12. também.5 dx e − 0. 5 ò 10 0 2.5 − x dx = 12.5 2. . Para o caso dos mínimos quadrados. Então.. O método de Galerkin emprega as funções de interpolação Ni como funções de 46 ..2.7. a função teste é igual a 1 e a Eq.. estes são ajustados até o valor médio do resíduo ser zero em cada um deles. (A. os coeficientes são ajustados até o resíduo desaparecer em cada uma dessas posições. ele é um poderoso método de interpolação.. (A. Esquemas Alternativos de Resíduos para os Resíduos Ponderados (MWR) Métodos dos Várias escolhas podem ser feitas nas funções teste da Eq. Assim. onde há coeficientes desconhecidos. Cada uma representa uma aproximação alternativa para o MWR. os coeficientes são ajustados para minimizar a integral do quadrado do resíduo. na Eq. para resultar em: D ò R ∂a dD = 0 i ∂R i = 1. que vale zero em toda parte. exceto em x=xi .. n Onde xi-1 e xi são as extremidades do subdomínio.11)... as funções peso são: Wi = ∂R ∂ai Pode ser substituído.. n Onde n é número de coeficientes desconhecidos e δ(x-xi) é a função do delta de Dirac. a função de aproximação conduzirá a resultados perfeitos para as posições escolhidas. Então. Quantidades colocacionais usam a seguinte função teste: Wi = δ ( x − xi ) para i = 1.66) é: xi xi −1 ò Rdx = 0 para i = 1..2. Na aproximação colocacional.11). n Ou ∂ 2 ò R dD = 0 ∂a i D i = 1. o intervalo é dividido em muitos segmentos ou subdomínios.. No método de subdomínios. escolhe-se tantas posições quantas são os coeficientes desconhecidos. Assim. Conseqüentemente.. conclui-se tratar de uma forma contínua de regressão... (3.A...2. n Observando esta formulação. mas terão um resíduo diferente de zero em outras partes. Assim. onde é igual a 1. para cada subdomínio.2. Elemento Número dos Nós Local Global 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 3 2 4 4 1 4 2 5 Uma vez a topologia especificada. Tabela A. para problemas de duas ou três dimensões.8. usando as coordenadas globais. Devido ao presente caso ser unidimensional. somente para especificar qual nó pertence a cada elemento. Conseqüentemente. em qualquer posição em um elemento. freqüentemente. lembrando terem essas funções sempre a soma igual a 1. o esquema de numeração parece tão simples que o torna trivial. um esquema global de numeração deve ser estabelecido para especificar a topologia do sistema ou seu esquema espacial. adicionando um de cada vez. é o mais empregado das versões do MWR.8.1 A topologia do sistema para o esquema de segmentação de elementos finitos da Fig. ele serve. as equações dos elementos Eq. Em muitos problemas de contexto. A Tabela A. A. o método de Galerkin conduz aos mesmos resultados obtidos por meio do método variacional.teste.1 define as conectividades entre os elementos. como descrito na Fig. A. Montagem Antes das equações elementos serem montadas. montando a matriz do sistema total. usando a análise de elementos finitos. Então. 47 .4b. (A.21) podem ser escritas para cada elemento. A. Contudo. 4 0.5 0+ dx î þ 0 0 0 ù ìT1 ü ì− dT ( x1 ) + 12. somente.5ý dx dx ú ê ï dT ( x 4 ) 0 0 − 0.8e.4 0.4 0 ú íT3 ý = í 25 ý ú ê ï − 0.8 A montagem das equações no sistema total.4ú T4 0 ê 0 dx dx ï ï ï ï dT ( x 5 ) ú ïT5 ï ï ê 0 0 0 0 − 0.8 − 0.4 0 + 0.4 0.4 0 0ú ïT2 ï ï ï 25 úï ï ï ê ï ï ï dT ( x 3 ) dT ( x 3 ) (c )ê 0 − 0.4 0 0 ú ïT2 ï ï ï 25 úï ï ï ê ï ï ï (e )ê 0 − 0.4 dx ï ê− 0.5 0 0ù ìT1 ü ï dx ï 0 0ú ïT2 ï ïdT ( x 2 ) + 12.4 0 − 0.8 − 0.5ü dx ï ï 0 0 0ú ïT2 ï ï dT ( x 2 ) + 12. A.4 0ú ïT4 ï ï ê 0 + 12.4 ï 25 0 0 ú ïT2 ï ï úï ï ï ê ï ï ï 25 (d )ê 0 − 0. Portando. suas naturais condições de contorno nas extremidades da barra.4 ê (a )ê 0 0 ê 0 ê 0 ê 0 0 ë 0 0 0ù ìT1 ü ì− dT ( x1 ) + 12.4 0 + 0.9.5 ï 0 0 ûî þ î ë dx þ Figura A.5 0+ úï ï ï ï dx 0 0ú 0 ï ï ï ï 0 0 0ú ï 0 ï ï ï ûî þ 0 þ î ü 0 0 0ù ìT1 ü ì − dT ( x1 ) + 12. Assim.4 0.4 0.4 ê (b )ê 0 0 − 0.5 ï úï ï ï ï ï ï dx 0 0 0ú í 0 ý = í ý 0 úï ï ï ï 0 0 0ú 0 0 ï ï ï ï 0 0 0ú ï 0 ï ï ï ûî þ î 0 þ ü ì − dT ( x1 ) + 12.4 0 ú íT3 ý = í ý ú ï ï ïdT ( x 4 ) + 12.8 − 0.4 ú ïT5 ï ï dT ( x 5 ) + 12.8 − 0.4 + 0.4 0 + 0.5 − dT ( x 2 ) + 12. as equações podem ser expressas como: 48 .5 0 0 0 ù ìT1 ü ï é 0.4û î þ ï ë + 12.4 0.4 0 é 0.4 dx ï ï ê− 0.é 0.4 + 0.4 0.4 0 − 0.8 − 0.4 + 0.5 0+ ï ï ï ï dx ê 0 0 0 0 0ú ï 0 ï ï ï ûî þ î ë 0 þ ì ü − dT ( x1 ) + 12.4ú ïT4 ï ï 0 0 25 ê ï ï ï ï ê 0 − 0. tem condições de contorno para. Em razão de T1 e T5 serem disponíveis.4 − 0.4 0 − 0.8 − 0. na Fig.4 dx ï ï ê− 0.4 0. o resultado final para { F }.4 ê− 0.5 é 0.4 ê − 0.4 − 0.4 − 0.4 ê 0 0 ê 0 ê 0 0 0 ë A.5 − dT ( x 4 ) + 12.4 0.4 0. Condições de Contorno Com as equações montadas.5 − + 12. as condições internas de contorno se cancelam. dT(x1)/dx e dT(x5)/dx.5ï úï ï ï ï dx dx ï ï 0 0ú íT3 ý = í ý dT ( x 3 ) + 12.4 − 0. apresentam-se desconhecidas.5ï ê − 0.4 0ú íT3 ý = í + 12.5ü é 0. − 0.4 0. o primeiro e último nó. Contudo.11.4T3 − 0.4T2 í ï ï ï î − 0. Solução A Eq.8T3 − 0.5 A.4T4 − dT ( x5 ) = = = = dx − 3.4T3 + 0. existe discrepância no interior de cada elemento. O cálculo de elementos finitos captura a tendência total da solução exata e. fornece valores bem aproximados nos nós. (A.5 5 x (c m ) A n a líti c a E le m e n to s F i n i to s 7 .5 10 Figura A.9 mostra os resultados dos elementos finitos com a solução exata. onde se conclui: dT ( x1 ) = 66 dx T4 = 253.8T2 ï − 0.5 41 25 105 (A.ìdT ( x1 ) − 0. de fato.4T2 dx ï ï 0. A Figura A.22) = − 67.10.9 Resultados da aplicação do método de elementos finitos para uma barra aquecida. 49 . em virtude da natureza linear da função de aproximação. graficamente.75 T2 = 173.22) pode ser solucionada. A solução exata é também mostrada. Apresentação dos Resultados (Pós-Processamentos) Os resultados podem ser mostrados.75 dT ( x5 ) = −34 dx T3 = 245 A. T e m p e r a tu ra d a H a s te 280 240 T (Graus Celsios) 200 160 120 80 40 0 0 2 .8T4 − 0.4T4 + 0. É através dela. em cada nó da malha. O Método dos Elementos Finitos é um entre os vários conhecidos do cálculo numérico para fenômenos eletromagnéticos. é estacionário. torque. [39] Para se utilizar o Método dos Elementos Finitos. e etc. notadamente. tem-se três situações a analisar: a) Eletrostática b) Campo de Correntes (Eletrocinética) 50 . Mesmo alguns métodos numéricos mais recentes. para se obter uma solução aproximada. sua solução analítica é impraticável em dispositivos com geometrias complexas. como o Método da Simulação de Cargas. apresentam mais dificuldades de aplicação que o Método dos Elementos Finitos. no caso bidimensional. resistências. as distribuições de campos elétricos ou magnéticos que não variam. quando o Método dos Elementos Finitos estava sendo desenvolvido. nas seções transversais dos dispositivos a serem analisados. isto é.Apêndice B Aplicações do MEF na Engenharia Elétrica B. quer no cálculo dos coeficientes dos sistemas de equações. Apesar das equações de Maxwell descreverem completamente os fenômenos eletromagnéticos. que são os elementos finitos. ou ainda. cuja solução permite determinar as grandezas de interesse no fenômeno utilizado. parâmetros como indutâncias. admite-se. o Método das Diferenças Finitas. há alguns anos. O Método dos Elementos Finitos vem se consagrando. Para demonstrar a importância do Método dos Elementos Finitos na Engenharia de Eletricidade. ainda. No caso eletromagnético. Assim. no qual a variável tempo não afeta as grandezas de campo.1 Introdução Este apêndice está baseado no desenvolvimento da referência [39. o Método dos Elementos de Fronteira ou Contorno. por exemplo. a partir dos quais é possível determinar os campos magnéticos (B e H) ou elétricos (E e D) no interior dos Elementos Finitos. usando elementos finitos triangulares. o objeto de estudo deve ter sua geometria subdividida em várias partes. e. e proceder os cálculos de energia. que se monta um sistema de equações. aqueles de uso já consagrado. outros mais limitados. como por exemplo. Ele pode ser aplicado sem as limitações ou dificuldades de implementação que existem em alguns outros métodos. sendo geralmente constituída. que o regime. de problemas básicos de campos eletromagnéticos bidimensionais. capacitâncias. nos itens abaixo.75]. Uma alternativa para contornar este problema é a utilização de métodos de cálculo numérico. essa solução é o vetor potencial magnético (A) ou o potencial elétrico (V). de triângulos ou quadriláteros. dentre eles. como uma das mais poderosas ferramentas utilizadas na determinação das distribuições de campos eletromagnéticos em dispositivos e sistemas elétricos. faz-se uma análise. cujos vértices são denominados nós da malha. Essa subdivisão é chamada malha. quer no tratamento de meios não lineares ou na exploração dos resultados obtidos. força. Eletrostática A aplicação do Método dos Elementos Finitos na eletrostática é baseada na Quarta equação de Maxwell ( Lei de Gauss da Eletrostática): ò D.2. sejam V1 . V2 e V3. O vetor campo elétrico E e a função potencial são associados através da relação : E=-∇V Chegando-se ao elemento triangular genérico de um domínio discretizado.3 (B. a presença de meios ferromagnéticos introduzem uma não linearidade. 2 e 3 (numeração local) do elemento. as permissividades ou condutividades presentes não são afetadas pela intensidade do campo elétrico.4) 51 . através de uma interpolação linear dos potenciais de seus vértices. basta aplicar a Eq. o campo elétrico age em meios lineares. O vetor deslocamento D e o vetor campo elétrico E estão relacionados através da relação constitutiva: D=εE. que deve ser considerada. Nos dois primeiros casos. i=1. resultando o sistema de equações seguinte: Vi = α1 + α2 xi + α3 yi .1) Onde: D é o Vetor Deslocamento (C/m3) Qi é a quantidade total de Cargas Elétricas envolvidas pela superfície fechada S. [39.2.2.3) (B.3 fornece os valores dos coeficientes de B. resultando: α1=(1/2∆)(a1 V1+a2 V2+a3 V3) α2=(1/2∆)(b1 V1+b2 V2+b3 V3) α3=(1/2∆)(c1 V1+c2 V2+c3 V3) (B.c) Magnetostática.2) A solução da Eq. o potencial do ponto R poderá ser expresso por uma função linear do tipo: V(x. onde ε é a permissividade elétrica do meio. Assim sendo. B.2 aos vértices do elemento considerado. α2 e α3 são funções de V1. na Magnetostática.y) = α1 + α2 x + α3 y Onde os coeficientes α1.75] B. pode-se calcular o potencial elétrico num ponto R qualquer no interior do elemento. B. ao passo que. Face ao fato. isto é.dS = Q S i (B. de que a função potencial é contínua. Para determiná-los. que na maioria das aplicações pode ser admitida constante. V2 e V3 os potenciais elétricos dos vértices 1. (B. como segue: V(x. na medida em que são reduzidas as dimensões do elemento. que: ì1. 52 . b1=y2 – y3. como também.3 (B. e ∆=(b1 c2 – b2 c1)/2. a capacidade do sistema computacional utilizado e a precisão requerida. os demais coeficientes a. observam a seguinte propriedade: Ni (x. num ponto qualquer no interior do elemento. b e c são obtidos por rotação cíclica dos seus índices. o algoritmo de geração automática de elementos deve contemplar. c1=x3 – x2.y) = δij Onde δij é o símbolo de Kronecker. Desta forma.Onde: a1=x2 y3 – x3 y2. respeitando não só sua geometria. obtém-se a expressão do potencial. δ ij = í î0. e ∆ é a área do elemento. a possibilidade de discretizar o domínio em estudo.2. de modo que a discretização exerce um papel fundamental na qualidade dos resultados.4 por B.5) As funções Ni. e exige uma solução de compromisso entre a quantidade de elementos. com alguma interação com o usuário. por meio de uma interpolação linear dos potenciais em seus vértices. e é tal.y)=N1 V1 + N2 V2 + N3 V3 Onde: Ni = (1/2∆)(ai + bi x + ci y) i=1. denominadas funções de forma do elemento. Substituindo-se B.6) se i = j se i ≠ j Observa-se que os erros desta aproximação serão menores. as características do fenômeno físico.2. podemos escrever para cada componente: Ex = -∂V/∂x = -(1/2∆) (b1 V1 + b2 V2 + b3 V3) Ey = -∂V/∂y = -(1/2∆) (c1 V1 + c2 V2 + c3 V3) (B.7) 53 .Figura B.1 – Apresenta uma interpretação geométrica para esta aproximação. Fonte [39] Lembrando que E=-∆V. 9) Como condição adicional. Assim sendo.7 mostra. que admitem o referido nó como vértice).8) E representa o fluxo do vetor deslocamento na porção da superfície S.dS = E S e i 4 7 11 12 6 5 + E7 + E7 + E7 + E7 onde : E = D. no caso da aproximação linear da função potencial. que passam pelos pontos médios das aresta ligadas ao nó. que pertence à fronteira do domínio. uma que envolve o nó 2 (E2e). obedecendo a seguinte procedimento: Para a superfície que envolve o nó 7. resulta: ò S ′ 5 1 1′ D. vai-se considerar que o campo elétrico além da fronteira é nulo ou tangente a esta. pode-se escrever: ò D. que envolve o nó (i) pertencente ao elemento (e). que são definidas como regiões envolvendo cada um de seus nós. e pelos baricentros dos triângulos. resulta constante. no interior do elemento. pode ser calculada por partes.2 – Regiões de Controle envolvendo os nós. [39] A análise das expressões B.1) a superfícies fechadas (constituídas por um prisma de profundidade unitária e seção transversal idêntica às das regiões de controle. para cada elemento finito pode-se calcular 3 parcelas de integrais de superfície: uma parcela da integral de superfície que envolve o nó 1 (E1e). como mostra a figura abaixo: 54 .Figura B. e outra que envolve o nó 3 (E3e). de modo que as duas últimas parcelas da expressão anterior são nulas. A aplicação da quarta equação de Maxwell (B. como era de se esperar.dS S ò (B. que o campo elétrico.dS = E34 + E3 + E3 + E3 + E34 (B. construídas por segmentos de reta. No caso do nó 3. O ponto O é seu baricentro.dS POS ò (B.12) O cálculo de E2e. levando-se em conta que o campo elétrico em seu interior é constante. e os segmentos GO e OS são partes da região de controle que envolve o nó 3.Partes das regiões de controle internas ao elemento.ε Ey ∆x 55 . [39] O cálculo de E1e sobre aquele elemento genérico pode ser facilmente obtido. fazendo: E2e= .ε Ey ∆x (B. e notando-se que: ∆x= xs – xp = (x3 – x2)/2 = c1 /2 ∆y= yp – ys = (y2 – y3)/2 = b1 /2 O resultado é: E1e=(ε/4∆)[(b1 b1 + c1 c1)V1 +(b1 b2 + c1 c2)V2 + (b1 b2 + c1 c2)V3] (B.10) Lembrando-se que: D=ε Ex ux + ε Ey uy dS = . é calculado de forma semelhante a E1e. pertencente ao elemento (e). que representa o fluxo do vetor deslocamento na parte da superfície S que envolve o nó 2 (S2).7).∆y ux .∆x uy O que resulta em: E1e= . Assim.3 . S e G são os pontos médios de suas arestas.ε Ex ∆y . na face POS de S1 pode-se escrever: E1e = D.11) Substituindo-se Ex e Ey por seus valores expressos em (B. Os segmentos PO e OG são partes da região que envolve o nó 2.Figura B. os pontos P.ε Ex ∆y . Os segmentos PO e OS são partes da região de controle que envolve o nó 1. no volume delimitado pelo prisma de base triangular e altura unitária.13) Em resumo. O segundo membro da quarta equação de Maxwell é igual à carga interna à superfície S. podem ser expressas. que envolve o nó 7. OS e OG. que envolvem os nós 1. divide-o em 3 polígonos de áreas iguais a 1/3 da área total do elemento. pode-se escrever: Q1e=Q2e=Q3e=ρ∆/3 Ou. como segue: é E1e ù é b1b1 + c1 c1 ê eú ε ê ê E 2 ú = 4∆ êb1b2 + c1 c 2 e êE3 ú ê b1b3 + c1 c3 ë ë û b1b2 + c1 c 2 b2 b2 + c 2 c 2 b2 b3 + c 2 c 3 b1b3 + c1c 3 ù éV1 ù b2 b3 + c 2 c 3 ú êV2 ú úê ú b3 b3 + c3 c 3 ú êV3 ú ûë û (B.15) A matriz quadrada da expressão B. uniformemente. tendo as características de simetria e singularidade (determinante nulo). éQ1e ù é ρ∆ / 3ù ê eú ê ú êQ2 ú = ê ρ∆ / 3ú êQ3e ú ê ρ∆ / 3ú û ë û ë (B. segundo a densidade volumétrica ρ (C/m3).7) e notando que: ∆x= xg – xp = (x3 – x1)/2 = -c2 /2 ∆y= yp – yg = (y1 – y3)/2 = -b2 /2 O resultado é: E2e=(ε/4∆)[(b2 b1 + c2 c1)V1 +(b2 b2 + c2 c2)V2 + (b2 b3 + c2 c3)V3] Seguindo procedimento análogo.Substituindo-se Ex e Ey por seus valores expressos em (B. Reportando-se ao elemento genérico. as contribuições dos fluxos do vetor deslocamento por meio das porções das superfícies. as linhas PO. Admitindo que as cargas elétricas. matricialmente.2 e 3 do elemento (e). onde O é seu baricentro.16) Finalmente.14) (B. podemos escrever: Q7=Q74+Q711+Q712+Q76+Q75 Onde Qie é a parcela da carga total contida no interior da superfície S que envolve o nó (i) pertencente ao elemento (e). resultará: 56 . pode-se deduzir: E3e=(ε/4∆)[(b3 b1 + c3 c1)V1 +(b3 b2 + c3 c2)V2 + (b3 b3 + c3 c3)V3] (B. nele contidas.15 é denominada matriz do elemento. a aplicação da quarta equação de Maxwell numa superfície fechada envolvendo o nó (i). Assim sendo. são distribuídas. para a superfície fechada. matricialmente. 21) 57 .. é integralmente aplicada nos estudos do campo de correntes estacionárias. a equação que descreve o fenômeno é a equação da continuidade: ò J .. seguindo-se procedimento idêntico ao desenvolvido na eletrostática. Neste caso. e sendo estas singulares.. [39] B. que resultará: é E1e ù é b1b1 + c1 c1 ê eú σ ê ê E 2 ú = 4∆ êb1b2 + c1 c 2 e êE3 ú ê b1b3 + c1 c3 ë ë û b1b2 + c1 c 2 b2 b2 + c 2 c 2 b2 b3 + c 2 c 3 b1b3 + c1c 3 ù éV1 ù b2 b3 + c 2 c 3 ú êV2 ú úê ú b3 b3 + c3 c 3 ú êV3 ú ûë û (B. pode-se escrever: [C][V] = [Q] (B. obtida após a introdução das condições de contorno..20) Finalmente. onde σ é a condutividade do meio.åE e =1 NE e i = å Qie e =1 NE i = 1. resulta que a referida matriz também é singular... substituindose simplesmente D por J e ε por σ.. fornece os potenciais em todos os nós do domínio. energia elétrica armazenada. Assim sendo. permitem calcular a intensidade de campo elétrico no interior de todos os elementos e as demais grandezas de interesse.dS = 0 S (B. NN (B. Campo de Correntes Estacionárias – Eletrocinética A mesma técnica utilizada na formulação do Método dos Elementos Finitos.2. cujas incógnitas são os potenciais elétricos dos nós. uma vez conhecidos.. ou seja. que. para este caso. tais como: capacitâncias. Note-se.3.19) A relação constitutiva a ser considerada é a lei de Ohm: J=σE. a aplicação da equação da continuidade numa superfície fechada envolvendo o nó (i). que os termos das somatórias indicadas em (B.17) só terão valor não nulo. forças e conjugados de natureza eletrostática. na eletrostática. E2e e E3e são obtidas.17) Onde NE é o número total de elementos e NN é o número total de nós do domínio. NN (B. Esta expressão também gera um sistema de NN equações com NN incógnitas.2.18) Como a matriz [C] é montada a partir das matrizes dos elementos. nos elementos (e´s) que admitirem o nó (i) como vértice. A resolução do sistema de equações. resultará: åE e =1 NE e i =0 i = 1. Esta singularidade é levantada após a introdução das condições de contorno. conjuntamente com a definição da função potencial: E=-∆V As deduções das integrais de superfície E1e. Nos estudos dos campos bidimensionais planos na Magnetostática. pode-se escrever: (B. A2 e A3 os valores da componente z do vetor potencial magnético nos vértices 1. [39] B. que pode-se escrever: A(x.y) ux. Como as direções de J e A são idênticas.B=0. fornecerá os potenciais elétricos em todos os nós do domínio. ainda.17.y). a equação B. resulta que: A=A(x.dS C S A relação constitutiva a ser considerada é a que relaciona o vetor intensidade magnética (H) e o vetor campo magnético (B): H=νB onde ν=1/µ é a relutividade do meio. que: J=Jux.24 é escrita como segue: B = ∂A/∂y ux . A resolução do sistema de equações. tal que: B= ∇ x A E impõe-se. Desta forma. a segunda equação de Maxwell (Lei de Ampère) é a que governa o fenômeno físico: (B.A=0. Magnetostática Na Magnetostática.26) 58 .22) A indeterminação do sistema anterior é levantada com a introdução das condições de contorno inerentes ao problema.∂A/∂x uy (B. supondo-se que este domínio está definido no plano (x.23) ò H .A expressão B. com J constante no elemento.4. define-se o vetor potencial magnético A. a partir dos quais são determinadas as intensidades do campo elétrico em cada elemento e as demais grandezas de interesse. à semelhança do que já foi feito na eletrostática e na Eletrocinética. Assim sendo. 2 e 3 do elemento triangular.y) = N1 A1 + N2 A2 + N3 A3 Desta forma. a exemplo da B. calcula-se o potencial magnético no interior do elemento.24) Sejam A1. de modo. após a introdução destas condições.dl = ò J . admite-se que as correntes fluem na direção normal ao domínio de estudo. pode ser expressa matricialmente. nos campos bidimensionais planos. o vetor densidade de corrente deverá ser tal.25) (B. A partir da terceira equação de Maxwell ∇.21. como segue: [G][V] = 0 (B. tais como: resistência ôhmica e potência dissipada. que: ∇. por meio de uma interpolação linear de seus valores nos vértices. do tipo mostrado na Fig.32) (B. obtém-se: E3e=(ν/4∆)[(b3 b1 + c3 c1)V1 +(b3 b2 + c3 c2)V2 + (b3 b3 + c3 c3)V3] (B. obtém-se: E2e=(ν/4∆)[(b2 b1 + c2 c1)V1 +(b2 b2 + c2 c2)V2 + (b2 b3 + c2 c3)V3] Para a parcela da circuitação ao redor do nó (3).30. em B. agora. tem-se contribuições para corrente concatenada de três contornos diferentes. obtém-se E1e = POS ò H .33) Em cada elemento.27) Aplicando-se. os quais envolvem os nós do domínio. B. e orientando-se no sentido anti-horário. que: é I 1e ù é J∆ / 3ù ê eú ê ú ê I 2 ú = ê J∆ / 3ú e ê I 3 ú ê J∆ / 3ú û ë û ë (B.H x =ν ∂A ν (c1 A1 + c 2 A2 + c3 A3 ) = ∂y 2∆ ν ∂A H y =ν =− (b1 A1 + b2 A2 + b3 A3 ) 2∆ ∂x (B. chega-se à matriz do elemento para a Magnetostática: é E1e ù é b1b1 + c1 c1 ê eú ν ê ê E 2 ú = 4∆ êb1b2 + c1 c 2 e êE3 ú ê b1b3 + c1 c3 ë ë û b1b2 + c1 c 2 b2 b2 + c 2 c 2 b2 b3 + c 2 c3 b1b3 + c1 c 3 ù é A1 ù b2 b3 + c 2 c 3 ú ê A2 ú úê ú b3 b3 + c3 c3 ú ê A3 ú ûë û (B. pode-se escrever: E2e = Hx ∆x + Hy ∆y Com: ∆x= xp – xg = c2/2 ∆y= yp – yg = -b2/2 Substituindo-se H e H por seus valores. essas contribuições serão tais.30) Representando esses resultados matricialmente. Admitindo-se densidade de corrente uniforme no interior deles.3.28) Substituindo-se Hx e Hy por seus valores obtidos em B. obtém-se: E1e=(ν/4∆)[(b1 b1 + c1 c1)V1 +(b1 b2 + c1 c2)V2 + (b1 b3 + c1 c3)V3] (B.31) (B.27. a segunda equação de Maxwell aplicada a um contorno fechado 59 . a segunda equação de Maxwell (Lei de Ampère) a contornos fechados.34) Assim.29) Para a parcela da circuitação ao redor do nó (2) do e-ésimo elemento.dl = H x ∆x − H y ∆y (B. usando-se o MEF. NN (B.35) Que expressa matricialmente.envolvendo o nó (i). obtém-se: åE e =1 NE e i = å I ie e =1 NE i = 1.. Outros desenvolvimentos com variações no tempo dos campos elétricos (E) e magnéticos (B) podem também ser feitos.36) Estes três exemplos mostram a força e a importância do Método dos Elementos Finitos aplicado em cálculo de campos bem gerais. utilizados em qualquer parte da Engenharia Elétrica. mas a formulação matemática é um pouco mais complicada.2.. [39] 60 . obtém-se: [S][A] = [I] (B... y e t variáveis independentes. Estudos de Mecânica Quântica e Relativística. com essa aparente limitação. e em problemas de difusão. Problemas de Transferência de Calor. para fluxos em meios viscosos.Apêndice C Pacotes Computacionais C. Estas aproximações fundamentais facilitam o uso de coeficientes não constante e de não linearidade específicas. Uma poderosa ferramenta computacional e de relativa simplicidade é a caixa de ferramentas (Toolbox) de Equações Diferenciais Parciais do Matlabâ. c. O Toolbox fornece um conjunto de funções de comando de linha e uma interface gráfica com o usuário. A ferramenta também fornece potencialidades de gerar malhas automáticas e adaptáveis. função de x. Pacotes Computacionais Este apêndice foi baseado na referência [72]. Também possibilitam o uso de uma sintaxe familiar de comandos de linha do Matlab. O PDE hiperbólico é usado na propagação de ondas acústicas e eletromagnéticas e nos movimentos transversais das membranas. além de resolver os sistemas de equações resultantes e sistemas de equações diferenciais ordinárias. Processos Industriais e Químicos. quando se implementa os Métodos dos Elementos Finitos. Estudos de Movimentos de Corpos e etc. Contudo. Problemas de Vibrações de Membranas. Essa caixa de ferramenta estende o ambiente do Matlab. t representa o 61 . As equações diferenciais parciais são usadas como modelos matemáticos. usando o Método de Elementos Finitos (MEF). restringe-se a um dado problema físico especifico. Problemas de Stress em Resistência de Materiais. para fenômenos em todas as áreas da Engenharia e ciência. O sistema elíptico de PDE pode ser usado para resolver problemas de planos da tensão de stress e do plano em estruturas mecânicas (Momentos e Esforços). diretamente. São exemplos de problemas que podem ser resolvidos: Problema Magnestostático e Eletrostático.1. Isso é particularmente verdade para duas ou três dimensões. as equações elípticas e parabólicas podem ser usadas na transferência de calor constante e não constantes em sólidos. no sentido de uma visão pedagógica. Bibliotecas e pacotes de Softwares têm sido criados para solucionar. para eletrostática em meios dielétricos e condutores. d e λ são constantes ou números reais. em geral. Apesar disso. Problemas de Estruturas usadas em Engenharia Civil e Mecânica. Soluciona-se quatro tipos de PDE (onde a. simples aplicações podem ser de grande utilidade. Por exemplo. desde o pré-processamento até o pós-processamente de PDE de 2-D. que é acionada pelo comando “pdetool” de dentro do Matlabâ. as equações diferenciais parciais. u variável dependente. e para fluxo de potencial. Problemas de Propagação de Ondas. o uso de subdomínios e de sistemas dimensionais de n variáveis dependentes. para o estudo e a solução de PDE em duas dimensões e no tempo. empregando o Método dos Elementos Finitos em um exemplo que usa a equação de equilíbrio térmico de Laplace æ ∂ 2u ∂ 2u ö ç 2 + 2 = 0 ÷ para uma placa fina metálica retangular. As funcionalidades gráficas da interface do usuário e os comandos de linha da ferramenta foram projetadas para seguir. o plano cartesiano. fluxo e difusão em meios porosos. são: - Definição da geometria (modalidade de tração) Especificação de condições de limite (modalidade da condição de limite) Seleções dos coeficientes do PDE que definem o problema (modalidade de PDE) Discretização em elementos finitos (modalidade de malhas) Especificação de condições e da solução iniciais do PDE (modalidade de resolução) E apresentação dos resultados e soluções (modalidade de lote).tempo. movimento de membranas. mecânicas quânticas e propagação de ondas eletromagnéticas. o processo de resolução dos PDE.1 . onde um lado é mantida a 100oC ç ∂x ÷ ∂y è ø 62 . [72] Figura C. Cada uma dessas modalidades está disponível por meio das linhas de comando e da interface gráfica com o usuário. e x e y.(c∇u ) + au = f ∂t Exemplo de uso: transientes e harmônicos em propagação de ondas acústicas e movimento transversal de membranas. fluxo e difusão. e f uma ∂x ∂y Exemplo de uso: transferência constante de calor. O processo da solução do PDE. magnestotática e eletrostática em materiais condutivos. a solução aplicada sempre no domínio Ω ) : Elíptico: − ∇. transversal e longitudinal. intuitivamente. ∂ 2u Hiperbólico: d 2 − ∇. usando o Método dos Elementos Finitos pode ser caracterizado por seis etapas genéricas.(c∇u ) + au = λ du Exemplo de uso: estudo de freqüências acústicas. Estas etapas e modalidades correspondentes ao uso da ferramenta de PDE.(c∇u ) + au = f ∂ ∂ + . Autovalores (ou valores próprios): − ∇.(c∇u ) + au = f ∂t Exemplo de uso: transiente de transferência de calor.Resolução passo a passo no MatLab. Parabólicos: d ∂u − ∇. e ∇ o operador gradiente em geral função dada. u(x. 1*u=100 (h=1 e r=100).8) com condições de contorno]: (a) Chamada da rotina PDETOOL no MatLab e desenho da placa retangular.[u(-1.y).y)] e os outros três lados são mantidos a 0oC [u(1. (b) Definição da condição de contorno do lado de 100oC. 63 . u(x.0.8).-0. ∇u = 2 + 2 = 0 ÷ . 1*u=0. a=0 e æ ö H ∂ 2u ∂ 2u f=0.(h=1 e r=0). Tipo Elíptico com c=1. (d) Definição da equação diferencial a ser resolvida.(c) Definição das condições de contorno dos três outros lados à 0oC. ç ÷ ∂x ∂y è ø 64 . ç ∇. Onde o ponto médio de cada lado do triângulo se torna vértice dos triângulos internos. (g) Exemplo de como o MatLab melhora a malha.(e) Definição da malha inicial de elementos finitos triangulares planos na placa metálica. 65 . (f) Melhora da malha onde cada elemento triangular se torna quatro. Um triângulo vira quatro outros triângulos menores. . 66 .Discretização em elementos finitos. Onde cada tom de cor representa uma temperatura na placa metálica.Cálculo dos Coeficientes do Sistema Algébrico.Exploração dos Resultados. . .Definição do domínio. Note a escala do lado. visão em três dimensões.Resolução das Equações.(h) Solução do PDE por elementos finitos. O princípio do método dos elementos finitos segue os passos: . . (=) (i) Solução do PDE por elementos finitos. solucionado a equação diferencial e realizando a aproximação através da integral que se iguala a zero: D ò RW dD = 0 i i = 1. . que por sua vez é função de x. t 2 ) . 67 . 2. A formulação projetada (Método dos Resíduos Ponderados) é de aplicação mais ampla que a formulação Variacional. através de uma escolha adequada de funções base. então f (t ) = 0. o método Variacional também é chamado de método das energias. buscando os seus máximos e mínimos. onde se deseja o resíduo R próximo de zero. y ( x). Algumas vezes. Desde que esta exista. Entretanto. O cálculo Variacional é a parte da matemática onde melhor se estuda os extremos das funções. Ou seja. deste que possível. onde: I = ò f ( x. O lema fundamental do cálculo Variacional também é verdade se dispensar as condições ξ (t ) > 0 e ξ (t1 ) = ξ (t 2 ) = 0 .. ∀t ∈ (t1 . Um dos problemas básicos é achar o máximo ou o mínimo de I. Isso nos traz a Eq. y´(x))dx a b É importante relembrar o lema fundamental do cálculo Variacional: t2 Lema: Se ò f (t )ξ (t )dt = 0. Esta formulação integral pode ser do tipo Variacional. m onde R = f (t ) e Wi = ξ (t ) . devemos ter f(t)=0.Apêndice D Técnica ou Formulação Variacional Uma originalidade do método dos elementos finitos reside no fato de ser baseado numa formulação integral do fenômeno analisado. enquanto. derivada da forma diferencial que representa a equação a derivadas parciais e respectivas condições de contorno. que são funções de funções.16). sobretudo. porque este permite uma interpretação física que poderá servir de suporte à determinação de algumas grandezas globais com um mínimo de cálculos suplementares e. f é função de y. é sempre interessante tentar explorar o princípio dos trabalhos virtuais. pode ser equivalente à primeira. se a integral é zero. t1 ∀ξ (t ) contínua e tal que ξ (t ) > 0 e ξ (t1 ) = ξ (t 2 ) = 0 . cuja a demonstração pode ser encontrada em Sagan [18]... em outros problemas. (3. ela será do tipo projetada em associação com uma base de funções. conseguir uma grande precisão originária da coerência entre a física destas grandezas e o aspecto Variacional (freqüentemente energético) do método. ou seja. Trabalha com o funcionais. defini-se uma função v(t)=v0(t)+λξ(t). t ). v ′(λ . como mostra o teorema abaixo: Teorema: Seja u(x. t2) tal que v(t1)=v1. t )dt t1 t2 Verifica a equação de Euler associada a esta funcional: ì ∂u d æ ∂u ö − ç ï ÷=0 í ∂v dt è ∂v ′ ø ïv(t1 ) = v1 . A função v(t) derivável e de derivada v´(t). v2). v(t2)=v2 e torna extrema a integral: I = ò u (v. entre todas as funções que passam pelos pontos M1(t1. y. uma função de três variáveis contínuas com derivadas primeiras também contínuas.Outra razão para a formulação Variacional é a equivalência entre calcular o extremo de uma integral e resolver uma equação diferencial parcial de segunda ordem. O segundo termo de dI/dλ resulta então em: t2 2 2 d æ ∂u ö ∂u ∂u ∂ 2 v é ∂u ∂v ù dt = ê dt −ò ç ÷ ò ∂v ′ ∂v ′∂t ú ë ∂v ′ ∂ λ û t1 t1 dt è ∂ v ′ ø ∂ λ t1 t t x= ∂u ∂v ′ dx = d dt ∂ 2v dt = dy ∂t∂ λ æ ∂u ö ç ÷ dt è ∂v ′ ø ∂ y= ∂λ ∂v ∂ = (v0 + λξ ) = ξ (t ) . v ′. t )dt t1 t2 Esta função será extrema para λ=0 se sua derivada dI(0)/dλ = 0 1 2 dI du æ ∂u ∂v ∂u ∂v ′ ö = ò dt = ò ç + Ora: ÷dt ∂v ∂λ ∂v ′ ∂λ ø dλ t1 dλ t1 è t t Se ∂v/∂λ se exprime facilmente. Seja v0 a função solução e. onde ξ(t1)=ξ(t2)=0 e ξ(t)>0. aquela que torna a integral I extremante. A integral I torna-se uma função de λ : I (λ ) = ò u (v(λ . v1) e M2(t2. ∂λ ∂λ Considerando que 68 . t ). v(t 2 ) = v 2 î Demonstração: Pesquisa-se. t). a partir de uma função contínua ξ(t). e convém transformá-la por uma integração por partes. definida num intervalo (t1. o mesmo não se pode dizer de ∂v´/∂λ. . devido ao fato de que as maiorias dos tratados de física descrevem os fenômenos sob a forma diferencial. que torna extrema uma funcional associada àquela equação diferencial. q2. cujo extremo se está pesquisando. Até recentemente. e suas derivadas qik = . sob certas condições. em particular nos casos da mecânica ou do eletromagnetismo. q j . há uma equivalência entre a resolução de um problema diferencial de Segunda ordem e a pesquisa de uma função... v(t 2 ) = v 2 î Mesmo não parecendo. Através de v e v´ obtém-se: ∂ 2u d æ ∂u ö ∂ 2 u dv ∂ 2 u dv ′ ∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u + + = v ′′ + v′ + ç ÷= dt è ∂v ′ ø ∂v ′∂v dt ∂v ′ 2 dt ∂v ′∂t ∂v ′ 2 ∂v∂v ′ ∂v ′∂t Resultando. pois u é uma função semi-implícita de t. qn . ∂qi ′ chamadas variáveis de estado q1. x2. tem: ì ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2 u ∂u ï 2 v ′′ + =0 + − í ∂v ′ ∂v∂v ′ ∂v ′∂t ∂v ï v(t1 ) = v1 . dλ ë ∂v ′ û t1 t1 ë ∂v dt è ∂v ′ ø û t t As propriedades de ξ(t) ( ξ(t1)=ξ(t2)=0 ) resulta que λ=0. q ij )dw 69 . mesmo que na maior parte dos casos a análise. Considerando um sistema físico cuja evolução em função das variáveis independentes x1. esta é uma equação diferencial de segunda ordem. resolver a equação diferencial com suas condições de contorno ou minimizar a integral a ela associada. as formulações variacionais são montadas a partir do principio da ação Hamiltoniana. Pode-se. fornecessem uma formulação integral ou mesmo variacional... v=v0 e verifica: ì ∂u d æ ∂u ö − ç ï ÷=0 í ∂v dt è ∂v ′ ø ïv(t1 ) = v1 .. xn seja descrita pela variação de um certo número de funções.resulta 2 2 é ∂u d æ ∂u ö ù dI é ∂u ù = ê ξ (t )ú + ò ê − ç ÷ úξ (t )dt . da qual dar-se-á uma breve descrição. o conjunto de ferramentas matemáticas que se dispunha eram orientados de modo a resolver diretamente os problemas diferenciais ao invés de fazê-lo através da minimização de funcionais. portanto. Em geral. v(t 2 ) = v 2 î Estes teoremas mostram que. seguindo os princípios energéticos e termodinâmicos. O princípio da ∂x qk ação Hamiltoniana postula a existência de uma funcional do tipo integral: ′ I a = ò L( xi . A equação diferencial em questão é denominada equação de Euler associada à funcional... indiferentemente. após um reagrupamento. permissividade ε . a variável de estado é o potencial elétrico V. y) V e de coenergia cinética num meio caracterizado por uma 2 2 ε æ æ ∂V ö æ ∂V ö ö çç ÷ ÷. as variáveis independentes são as coordenadas x. q´kl) – W p(qk). O domínio é definido a partir das variáveis independentes xk e do integrando L(xi. Wc = ÷ +ç 2 ç è ∂x ø ç ∂y ÷ ÷ ø ø è è A função de Lagrange é escrita como segue: 2 2 1 æ æ ∂V ö æ ∂V ö ö çç ÷ ÷ − ρ ( x. definida pelas equações de Euler da integral de L. Com exemplo para o campo eletrostático Admitindo. q´ij) = W c(q´ji.Cujo extremo definido por uma condição de equilíbrio (estacionária) caracteriza a evolução do sistema. que varia de maneira quadrática em função das derivadas parciais q´ij e um termo W p de energia potencial que é uma função complicada das variáveis de estado qi: L(xi. um termo W c de coenergia do tipo cinético. y. e suas derivadas parciais os campos Ex= -∂V/∂x e Ey= -∂V/∂y. também conhecidos pelo nome de função de Lagrange do sistema. y )V L= ε ÷ +ç ç è ∂x ø ç ∂y ÷ ÷ 2 ø ø è è 1 L = ε V x′ 2 + V y′ 2 − ρV 2 ( ) A equação de Euler da integral sobre o domínio de estudo I a = ò Ldw fornece: ∂L ∂ æ ∂L ö ∂ æ ∂L ö ÷=0 ÷− ç − ç ∂V ∂x ç ∂V x′ ÷ ∂y ç ∂V y′ ÷ è ø ø è resultando ∂ (εVx′ ) + ∂ (εV y′ ) − ρ = 0 ∂x ∂y 70 . As considerações energéticas elementares introduzem as noções de energia potencial W p = . A condição necessária de equilíbrio (estacionaridade) da integral Ia. q´ij). qj. é a representação diferencial do fenômeno físico caracterizado pela funcional Ia. então. Esta função de Lagrange. tem uma significação física direta e é em geral construída a partir da diferença de dois termos energéticos. um espaço de duas dimensões.ρ(x. qj. sendo a mesmo uma função escalar das variáveis de estado qi. de suas derivadas e das variáveis independentes xk. característica da evolução do sistema. onde as derivadas parciais podem ser traduzidas pela pesquisa de uma função v tal como os operadores L sobre o domínio e B sobre a fronteira que verifica: L(v) – f = 0 e B(v) – g =0. sob certas condições. é descrita pela nulidade de seus produtos escalares. A vantagem do Método dos Resíduos Ponderados. espaço onde se situa o maior número de problemas físicos. possa-se escrever: Ω ò u. O método denominado Método dos Resíduos Ponderados consiste na pesquisa de funções v que satisfaçam a condição de contorno. no entanto. Na prática. a ortogonalidade de duas funções f e g é dada por: Ω ò f . apenas o vetor nulo é ortogonal a todos os vetores do espaço. ponderadas por funções u tais que.1 Método da Projeção O princípio fundamental deste método é baseado em um teorema próprio dos espaços de Hilbert. as derivadas parciais e sua formulação integral. a ortogonalidade de dois vetores. nas aplicações práticas. Tem-se como exemplo o problema térmico: T = T0 I s ∂ æ ∂T ö ∂ æ ∂T ö ÷+Q = 0 çk ÷ + çk ∂x è ∂x ø ∂y ç ∂y ÷ ø è A formulação em termos do Método dos Resíduos Ponderados consiste em escolher 71 . os mesmos resultados nas duas formulações. ou ainda de duas funções.5. este último ponto é de importância secundária. as funções u formam um espaço de dimensão finita e a fórmula (D. independentemente da existência e do conhecimento de uma formulação variacional do problema. em relação à formulação variacional. por outro lado. pois este erro e o de aproximação se conjugam para resultar. é poder se aplicar a qualquer equação. de início existe um erro de método caracterizado pela escolha das funções u.33) Se o conjunto de funções u é de dimensão infinita. estabelece que neste espaço. y ) çε ÷ + çε ∂x è ∂x ø ∂y ç ∂y ÷ è ø D.33) constitui uma única aproximação caracterizada pela função dada e por este conjunto de funções. então é possível obter uma equivalência entre o problema. Seja em R2.ou ∂ æ ∂V ö ∂ æ ∂V ö ÷ = ρ ( x.g dv = 0 Logo. na resolução de um problema. para toda função u que satisfaça condições de continuidade determinadas. Entretanto.( L(v) − f )dw = 0 (D. ou polinomiais por trechos.5. + ANN N NN Onde os coeficientes A1. a função procurada é aproximada por um polinômio..... Pode-se.. onde ∀u é: ç òò uç ∂x ç k ∂x ÷ + ∂y ç k ∂y ÷ + Q ÷dΩ = 0 ÷ ÷ ç è ø è ø ø è Ω æ ∂ æ ∂T ö ∂ æ ∂T ö ö Uma integração por partes permite transformar esta integral: òò ç − k ç ∂x ∂x + ∂y ç ç è è æ æ ∂T ∂u ö ∂T ∂u ö ∂T ÷ + uQ ÷dΩ + ò ku dS = 0 ÷ ÷ ∂y ø ∂n S ø Se impusermos u=0 sobre o contorno.3 Funções de Aproximação Uma vez definida a formulação integral. D. escrever a função pesquisada u aproximada pela combinação linear: u * = A1 N 1 + A2 N 2 + .. esta dificuldade incita a pesquisar uma solução aproximada sob a forma de uma combinação linear de funções independentes conhecidas e cuja manipulação matemática não apresente dificuldades. para a maior parte dos problemas.. sobre as quais cada um deles. A discretização realizada é uma partição do 72 . No Método dos Elementos Finitos.. o dos mínimos quadrados onde. permite definir coeficientes da combinação linear das funções de base que realiza a aproximação da função procurada. ANN serão determinados pelo método. Estas funções podem ser trigonométricas. Entre os métodos de projeção. N2. A2.5.. NNN. de forma a realizar a melhor aproximação possível de u sobre a base de funções N1. a obtenção de uma solução exata é tão difícil na formulação integral como na diferencial.. Entretanto. o resultado obtido pela minimização do funcional é a solução do problema diferencial inicial. o domínio de estudo é discretizado em subdomínios chamados Elementos Finitos. como no caso das séries de Fourier.2 Outras Formulações Junto com outras formulações possíveis. D. o segundo termo desaparece e resulta a: òò ç k ç ∂x ç ç è è ö æ æ ∂T ∂u ∂T ∂u ö ÷ − Qu ÷dΩ = 0 + ÷ ÷ ∂x ∂y ∂y ø ø A seqüência de funções de projeção ui tomada e as funções de aproximação αi escolhida para T caracterizarão então o método. então. como no Método dos Elementos Finitos.funções T que verificam as condições de contorno. minimizando a norma quadrática do erro sobre a equação e as condições de contorno. pode-se utilizar formulações variacionais mistas utilizando os multiplicadores de Lagrange ou métodos do tipo penalidade. x i =1 i =1 NN NN onde os ui são os coeficientes numéricos. mas poderão ser levadas em conta pelo funcional: F = òò L(u . u ′y . mas as condições de continuidade sobre a aresta. u2.4 Minimização através das Funções de Aproximação O princípio geral comum a duas formulações integrais. D. como foi visto anteriormente são de fato valores de u* em cada um dos nós da discretização. pela seqüência. Há. Um exemplo em R2 é uma divisão em dois sub-domínios triangulares de primeira ordem sobre os quais a função procurada é aproximada por um polinômio de primeira ordem: P=a+bx+cy. u ′y* = å u i N iy . Os polinômios próprios de cada elemento devem respeitar. perfazendo um total de seis coeficientes não conhecidos.5. três monômios. Há uma ligação matemática rigorosa entre a escolha da natureza das funções de aproximação (lineares.. Formulação Variacional Seja u a função procurada que verifica uma equação a derivadas parciais: L(u)=f e condições de contorno que. na fronteira. u ′* = å u i N ix .domínio. uma função de aproximação que afeta cada vértice. então. x. obtém-se: u * = å ui N i i =1 NN ′ ′ .10. consistirá em determinar os coeficientes u1. a natureza das funções de aproximação. restringem a 4 o número real de coeficientes não conhecidos. A escolha de cada elemento das funções de aproximação definirá o seu tipo e caracterizará. Em cada elemento existem três coeficientes a determinar e.34) Se a função u é substituída por sua aproximação u* sobre todo domínio Ω. uNN da aproximação u* . Logo o funcional vem a ser uma 73 . y )dΩ x Ω (D. definidas anteriormente. que une os vértices 2 e 3 aos seis coeficientes... Este vínculo permite determinar o conjunto de funções Ni a partir das funções Ni(e) definidas sobre cada elemento. as condições de continuidade compatíveis com aquelas impostas pela natureza do problema. sem buracos nem recobrimentos. quadráticas. sempre definidas por trechos sobre a discretização.10 Domínio a dois elementos triangulares. pela realização de um certo número de condições a impor a estas funcionais. como mostrado na figura D. cúbicas) e a forma dos elementos. u ′ . não consideraremos. por enquanto.. 3 1 4 2 Figura D. portanto. em cada uma delas.. Como no Método dos Resíduos ponderados as funções de ponderação são idênticas às funções de aproximação.. Observações importantes Nos dois casos. A condição necessária para a obtenção do extremo da Eq.. . implicando na linearidade do sistema de equações algébricas obtido... NN æ æ NN öö Φ i ç L ç å u j N j − f ÷ ÷ dΩ = å u j òò ç ç j =1 ÷÷ i =1 øø è è (òò L(N )Φ dΩ) − òò Φ fdΩ j i Ω i 74 . Se o operador L é linear. a linearidade de L implica na linearidade das equações (D. æ æ NN ö Φ 1 ç Lç å u j N j ÷ − òò ç ç j =1 ÷ ø è è ö f ÷ dΩ = 0 ÷ ø ö ÷ dΩ = 0 ÷ ø ö f ÷ dΩ = 0 ÷ ø æ æ NN ö Φ 2 ç Lç å u j N j ÷ − f òò ç ç j =1 ÷ ø è è . então. u2. u2... tal que: ∂F =0 . de novo.. no Método dos Resíduos Ponderados. ∂u1 ∂F ∂F = 0 ..35) Obtém-se. A resolução deste sistema fornece.5 Método dos Resíduos Ponderados Na aplicação deste método é preciso escolher um conjunto de funções de projeção (ou funções de ponderação) Φ1. pois.. =0. uNN. Da mesma forma. uma de minimização. (D. u2. D.. æ æ NN ö Φ NN ç Lç å u j N j ÷ − òò ç ç j =1 ÷ ø è è (D.. ΦNN antes de escrever as equações de projeção L(u*) sobre cada uma destas funções. o sistema de equações obtido é idêntico àquele obtido pela formulação variacional. um sistema de NN equações algébricas a resolver para se encontrar as NN incógnitas u1. uNN. os valores das funções de aproximação nos nós do domínio discretizado. Φ2. a função de aproximação u* sobre todo o domínio..função exclusiva dos coeficientes u1.. então a funcional é quadrática.34) é. a aplicação do método dos elementos finitos conduz à substituição de uma equação ou sistema de equações a derivadas parciais por um sistema de equações algébricos contento coeficientes da função de aproximação.5... uNN.... na realidade.35). que são.. ∂u 2 ∂u NN sendo um sistema de NN equações algébricas a NN incógnitas u1. os coeficientes ui podem ser colocadas em evidência na integral. na maior parte dos casos.. têm-se as Equações Elípticas. mecânica (deformação de um sólido. por ∂ 2u ∂ 2u = exemplo. cada uma ilustrada por um tipo de fenômeno bem particular. sem ir de encontro a uma redação enciclopédia. classificar a maioria das equações em três grandes classes. e compreende um número de casos particulares que seria ilusório querer descrever de maneira exaustiva. como nas equações ∂ 2u ∂ 2u de Laplace ou de Equilíbrio: Para u ( x. exemplificado ∂u ∂ 2 u = pelas equações de condução de calor: Para u ( x. Pode-se. 75 . y ) temos + = 0. escoamento Laplaciano de um fluido) e térmica (distribuição de temperaturas). (u ( s ) = u 0 = f 0 ( s )) æ ∂u ö Neuman ç ( s ) = f 0 ( s ) ÷ è ∂n ø ∂u æ ö ou mista ç u ( s ) + ( s) = f 0 (s ) ÷ ∂n ø è As equações parabólicas são representativas dos problemas de difusão. têm-se as Equações Parabólicas. no entanto. t ) temos . y) e equação diferencial de segunda ordem abaixo: A ∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u +B +C 2 + D +E + Fu + G = 0 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y Se B2 – 4 AC > 0. b) Uma condição inicial (t=0) em todo o domínio. Seja a u(x. t ) temos . As condições de contorno associadas à equação parabólica são de dois tipos: a) Condições de Dirichlet. Esta equação é igual a de penetração das correntes induzidas em um corpo condutor de eletricidade. As condições de contorno normalmente associadas são do tipo: Dirichlet. cuja equação de difusão da temperatura em um corpo incompreensível é o caso típico. Neuman ou mista sobre a fronteira espacial do domínio. ∂t ∂x 2 - As equações do tipo elípticas são representativas dos problemas de potencial que aparecem nos estudos em regime permanente na eletricidade (eletrostática ou magnetostática). as equações de ondas: Para u ( x. têm-se as Equações Hiperbólicas.Apêndice E Revisão Conceitual de Equações Diferenciais Parciais O conjunto de equações a derivadas parciais que regem os fenômenos físicos é bem vasto. ∂x 2 ∂y 2 Se B2 – 4 AC = 0. ∂t 2 ∂x 2 Se B2 – 4 AC < 0. como. Entretanto. Meio 1 : ∂ æ ∂V ö ∂ æ ∂V ö ÷=0 çε1 ÷ + ç ε1 ∂x è ∂x ø ∂y ç ∂y ÷ è ø ∂ æ ∂V ö ∂ æ ∂V ö ÷=0 Meio 2 : çε 2 ÷ + çε 2 ∂x è ∂x ø ∂y ç ∂y ÷ è ø Na interface. no qual o material dielétrico tenha permissividade dielétrica ε1 . Noção de um problema “Bem Definido” As equações a derivadas parciais e as condições de contorno associadas constituem o chamado problema a derivadas parciais.As equações hiperbólicas caracterizam o fenômeno da propagação das ondas. Desde que o domínio de estudo seja formado de vários sub-domínios. na eletrostática é bem conhecido que na passagem de um meio isolante a outro. As condições de contorno relacionadas à equação de propagação são associadas às condições de Cauchy ao instante inicial (dada sua função u e sua derivada ∂u/∂t em relação ao tempo). Com finalidade de caracterizar mais precisamente este tipo de problema. e um sub-domínio D2 . a associação de uma equação e das condições de contorno não conduzem forçosamente a um problema matemático simulando um fenômeno ou um processo físico. resposta mecânica a uma perturbação). 76 . há na fronteira de separações derivadas de ordens elevadas e formação de condições de transmissão que exprimem as condições atribuídas às diversas funções e suas derivadas. por exemplo). Um problema é “bem definido” desde que satisfaça as três condições seguintes: - O problema possui uma solução. Como exemplo. fenômenos do tipo estático (sem variação temporal) ou variável no tempo segundo função conhecida (senoidal. estas equações não são válidas e substituem-se por duas outras: da continuidade do potencial e da indução elétrica. que leva em conta a descontinuidade do campo elétrico: Interface: V1 = V2 e ε1 ∂V1 ∂V = ε 2 2 (n normal a interface) ∂n ∂n Os problemas elípticos são características da análise de fenômenos de regime permanente. sobre os quais os coeficientes da equação diferem por causa das propriedades físicas. Os problemas parabólicos e hiperbólicos são ligados aos estudos de regime transitório (chamados algumas vezes de dinâmicos) e sua resolução permite analisar a evolução de um fenômeno físico no decorrer do tempo (regime transitório elétrico ou térmico. a equação do potencial varia de um meio a outro. Chamando de V o potencial elétrico definido no interior de um domínio D formado de um sub-domínio D1 . caracterizado por um meio de permissividade ε2 . diferentes materiais que compõem estes sub-domínios. sejam elas vibratórias do tipo mecânicas ou eletromagnéticas. há refração das linhas de campo elétrico. Hadamard introduziu a noção de problema “bem definido”. 2 que se segue. neste caso. Definimos aqui um problema instável (este problema torna-se “bem definido” se a condição V=0 for suprimida e levada ao infinito). y ) = 1 sinh(ny ) sin(nx) n3 Que tende ao infinito com n. por vezes.- A solução é única. Ora. definir-se o problema pela equação (a) e pelas condições V=0. impede a formulação de um problema cuja definição parece “a priori” suficiente. desde que n tenda ao infinito. a solução do problema como definido é: V ( x. O exemplo mais significativo é o seguinte problema: a) ü ∂ 2V ∂ 2V + 2 = 0 y > 0ï 2 ∂x ∂y ï b) V = 0 y=0ý ï ∂V sen(nx) c) = y=0ï 2 ∂y n þ A condição (c) converge uniformemente para zero. A tabela E. conduzem a problemas bem definidos. e as equações parabólicas e hiperbólicas são associadas a condições de Cauchy (definição do valor inicial de sua derivada em relação à variação no tempo). pode conduzir. ∂V/∂y=0 para y=0. define. podendo. Neuman ou mista. mas que. seguindo a natureza aberta (isto é: se estende ao infinito) ou fechada na fronteira. A solução varia de maneira contínua em função dos dados. a terceira condição. Geralmente as equações elípticas são associadas a condições de contorno de Dirichlet. extraída da obra de Morse e Freschbach [16]. Se as duas primeiras condições parecem triviais (apesar de ser muito fácil definir um problema sem solução). 77 . a uma ausência de solução. caracterizada por um fenômeno de instabilidade. cuja solução é uma constante. de mais difícil entendimento. salvo exceções. qualquer que sejam os valores de x e y não nulos. de modo bem preciso as associações de equação e condições de contorno que. 18 Exemplo de uma malha em três dimensões de elementos finitos.2 Classificação dos PDE segundo sua solução.3D (elementos tetraédricos).Condição de Natureza da Equação Equação Contorno Fronteira Parabólica Elíptica Dirichlet ou Aberta Única (t>0) Insuficiente Neuman Fechada Excessiva Única Estável Cauchy ou Aberta Excessiva Instável mista Fechada Excessiva Excessiva Tabela E.19 Exemplo de malhas: (a) Discretização em duas dimensões . Equação Hiperbólica Insuficiente Não Única Única Estável Excessiva Figura E. Figura E. (Elementos Tetraédricos). 78 .2D (elementos triangulares) e (b) Discretização em três dimensões . em 1961. em 1956. 79 . COURANT [3] propôs usar a solução para os esforços. elasticidade de materiais e cargas estáticas. O desenvolvimento moderno do método de elementos finitos começa na década de quarenta no campo da engenharia estrutural com o trabalho de HRENNIKOFF [1] (1941) e MCHENRY [2] (1943). O termo “Elementos Finitos” foi introduzida por CLOUGH [9] (1960). mas não largamente reconhecidos por muitos anos. CLOUGH. e esboçaram procedimentos comuns conhecidos. como o método da rigidez direta para obter a matriz total da estrutura rígida. Elementos tridimensionais adicionais foram estudados por ARGYRIS [15] (1964). no começo da década de cinqüenta. foram usados na análise do plano de esforços.Apêndice F Visão Histórica Esta parte é baseada na contribuição original de [34]. e. por GRAFTON e STROME [11] (1963). foram realizadas por MARTIN [12] (1961). cria avanços no modelamento matemático. CLOUGH. trabalhando em esquemas de discretização e ajuste de curvas. nesta mesma época. O primeiro tratamento de elementos em duas dimensões foi dado por TURNER. de uma forma variacional. Contudo. e a não linearidade dos materiais. quando ambos. usando o princípio das energias. DILL. Ele. MARTIN e TOPP [8] apontou para o desenvolvimento das equações de rigidez de elementos finitos expressas na notação matricial. por GALLAGHER. MARTIN e MELOSH [18] (1960). Eles derivaram matrizes de rigidez de elementos de pontos. no começo dos anos 60. introduz funções de interpolação sobre pedaços de sub-regiões triangulares. A matriz de rigidez para elementos curvos de planos retangulares foi desenvolvida por MELOSH [10]. elementos triangulares e retangulares. o trabalho de TURNER. sugere um método de rigidez ou deslocamentos. então. lidava com pequenos esforços e deslocamentos. LEVY [4] (1947). desenvolve o método de flexibilidade ou forças. A maioria dos trabalhos de elementos finitos. seguida pelo desenvolvimento de conchas (três dimensões) curvas em elementos curvos de matriz de rigidez. Os casos especiais de sólidos assimétricos foram considerados por CLOUGH. para conchas assimétricas e pressões em embarcações. de uma dimensão tipo barras e feixes. [7] (1954) desenvolvem um método matricial de análise estrutural. MARTIN e TOPP [8]. com o desenvolvimento da matriz de rigidez tetrahédrica. SILVERTER [58]. RASHID [16] e WILSON [17]. e une todas estas em um método. PADLOG e BIJLAARD [13] (1962) e por MELOSH [14] (1963). Este ilustraria a importância das regras. usando um modelo de elementos em linhas. feixes e elementos triangulares e retangulares de duas dimensões em planos de esforços. em 1965. em outro trabalho [5] (1943). e seu método só se tornaria popular com o advento dos computadores digitais de alta velocidade. com desenvolvimento de computadores digitais de alta velocidade. suas equações apresentavam dificuldade de solução manual. ARGYRIS e KELSEY [6]. para os problemas de três dimensões. Logo. por GALLAGHER. para a solução de problemas de esforços em sólidos contínuos. prometendo ser uma alternativa na análise de estruturas redundantes estáticas de aviões. para obter uma solução numérica aproximada. Em artigos publicados em 1943. grandes deflexões e análises térmicas foram consideradas por TURNER. que o princípio das energias poderia ter no Método dos Elementos Finitos. Contudo. Extensões do Método dos Elementos Finitos. primeiramente. como materiais não lineares. o método dos resíduos ponderados tornava-se mais apropriado. de imediato. escoamento de fluidos e condição do calor foram resolvidos por ZIENKIEWICZ e CHEUNG [22] (1965). que a formulação direta e a variacional era difícil ou impossível de se usar. Por exemplo. e posteriormente. e BIJLAARD [13] (1962). De fato. meio século. [29] (1976) estudou problemas associados a grandes deslocamentos em dinâmica não linear. com algumas dezenas de equações e com o correspondente número de incógnitas. então. graças aos trabalhos de GALERKINE. no que se refere aos seus princípios. que promoveram seu desenvolvimento. Entende-se. De fato. RITZ. tal como a determinação de torção de hastes. levou a maioria dos engenheiros a restringir este tipo de cálculo a um pequeno número de especialistas. recentemente. a. ainda utilizados. o trabalho necessário para se resolver um sistema linear. por ZIENKIEWICZ & PAREKH [26] (1970). apesar das formulações integrais serem conhecidas a longo tempo. SEITEL. e só veio a ser utilizado. aproximadamente. A partir de então. O trabalho que marcou a aplicação do MEF na Engenharia de eletricidade é creditado a SILVERTER & CHARI [74]. e melhorou as técnicas numéricas para a resolução de sistemas de equações. LYNESS. este começou a ser usado para a resolução de aplicações não estruturais. tal como barras e feixes na análise estrutural. com o aparecimento dos modernos meios informáticos. OWEN & ZIENKIEWICZ [27] aplicaram os resíduo ponderados para determinação de campos magnéticos. foram os primeiros a se aproveitarem do desenvolvimento da informática e das 80 . o Método dos Elementos Finitos é conhecido. como CHOLESK. ARCHER [21] considera a análise dinâmica no desenvolvimento da matriz de massas de consistência (distribuições das cargas). e WILSON e NICKEL [24] (1966). Resumidamente. por SZABO & LEE [25] (1969). geometria não lineares e outras complexidades. que desenvolveram métodos astuciosos. que a utilizaram nos problemas de campos transitórios. pela dificuldade em se resolver. que o método de elementos finitos poderia ser colocado em termos da formulação variacional. Problemas de cálculo de campo. Em 1965. ZIENKIEWICZ. embora outros. e logo. permaneceram ainda sem solução. JACOBI e GAUSS. uma série de pesquisadores dedicou esforços. facilmente. aplicada para análise de sistemas de massa distribuída. MELOSH [14] considera. WATSON e KING [20] (1968) estenderam o método para problemas de visco-elasticidade. enfrentando problemas complexos de cálculo estrutural. pela adaptação da técnica dos resíduos ponderados. que derivaram as equações de elasticidade usadas em análise estrutural. e então. no sentido de aplicá-lo na resolução dos maiores problemas da Engenharia de eletricidade. Os engenheiros civis e mecânicos. suas aplicações não puderam se generalizar.PADLOG. em 1963. COURANT e HILBERT. As extensões dos métodos foram possíveis. MARTIN [23] (1968). os sistemas algébricos lineares e não lineares de grandes dimensões. quando problemas de curvaturas foram inicialmente tratados por GALLAGHER e PADLOG [19] (1963). em 1977. que é o cálculo de campos eletromagnéticos presentes nos dispositivos e sistemas elétricos. BELYTSCHKO [28]. Aplicações em novos campos como a bioengenharia foram tratadas pelo Métodos dos Elementos Finitos. em 1969. linguagens de programação de alto nível. em 1978. Em seqüência. por meio de inúmeras dissertações de mestrado e teses de doutorado na Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). o Método dos Elementos Finitos chega. Nos anos sessenta. 81 . o grupo de pesquisa da UFMG e a equipe de Simulação de Fenômenos Eletromagnéticos da Escola Politécnica da USP. dos primeiros produtos. visando atender as necessidades da comunidade acadêmica. para suprir a grande necessidade de atualização no mercado de trabalho da Engenharia. Outros métodos numéricos. no sentido de suprir as pesquisas neste setor. a USP cria a disciplina optativa de Método dos Elementos Finitos. Em âmbito nacional. em termos de equações algébricas. em problemas de temperatura (TITUS) e eletromagnetismo (FLUX. diversas variações na implementação e formulação dos elementos finitos são comuns. no Brasil. E finalmente. aquelas voltadas para otimizações de ajustes e características particulares de uma dada aplicação. por sua vez. destacando-se o GRUCAD da UFSC. MAGNET11. GALLAGHER. As universidades brasileiras. na década de noventa. TOUZOT e outros). parece representar o futuro do projeto e concepção da Engenharia moderna. Ferramentas computacionais são criadas. originando a criação de disciplinas de pós-graduação sobre o tema. gerando um novo tipo de ferramenta: a CAE – Computer Aided Enginneering. após longos anos sendo ministrado apenas em cursos de pós-graduação. e assumida por diversos outros cursos de graduação em todo o país. Além disso. surgem em diversas partes do mundo. bem como assessorar o setor industrial em suas necessidades de estudos e projetos. sob o impulso de numerosos pesquisadores da Engenharia e Matemática (ZIENKIEWICZ. utilizados na mecânica (NASTRAN. para expressar. a exemplo do que ocorreu nas universidades dos países desenvolvidos. MATLAB). A partir de 1970. na resolução de equações diferenciais parciais. RAVIART. CHARI. para o curso de graduação em Engenharia Civil. foram as responsáveis pelo lançamento. PE2D. Esta. ASKA). em 1995. no mercado nacional. o Método dos Elementos Finitos ganha rigor matemático e implementação computacional. o primeiro trabalho sobre a aplicação deste método na engenharia de eletricidade foi desenvolvido na Escola Politécnica da USP. eles são aplicados a problemas específicos de Engenharia e ciências físicas. Muitas dessas pesquisas são convertidas em softwares comerciais e integradas a programas de desenho de CAD. surgem cursos de pós-graduação ministrado por empresas comerciais. Universidade Estadual de São Paulo (USP). os modelos de desempenho das estruturas mecânicas. Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). derivados dos elementos finitos. na década de 70. por JANISZEWSKI [75]. destacando-se o método de volumes finitos e o método dos elementos de fronteira ou contorno. Em geral. pelo produto das pesquisas técnico-científicas dos cursos de mestrado e doutorado realizadas nas universidades que implementam o Método dos Elementos Finitos. passando a ser adotado por profissionais de diversas áreas. LIONS. principalmente. para citar apenas as aplicações mais desenvolvidas. este método tornou-se realmente popular entre os engenheiros de todas as especialidades. ODEN. tornando-se pioneira no ensino de graduação. SILVESTER. e sua utilização implicou no aparecimento de vários softwares comerciais. época em que surgem alguns grupos de pesquisa em universidades brasileiras. No Brasil. Suponha que esteja-se interessado em resolver a seguinte equação diferencial para u: u . 1]. 1] é dito ser o domínio de f. G. Hughes com algumas mudanças no intuito de sintetizar a revisão. Princípios do Método dos Elementos Finitos Os principais constituintes do Método dos Elementos Finitos para a solução de um problema de valor de contorno são: i.1.). para cada x ∈ [0.Apêndice G Conceitos Fundamentais do Método dos Elementos Finitos G. [0. Também. Em outras palavras. Para clarear esses conceitos inicia-se com um simples exemplo. Introdução Esse capítulo pretende ser uma revisão conceitual do Método dos Elementos Finitos.2. Segue o desenvolvimento da referência bibliográfica [76] de Thomas J. Tem-se descrito a função f como sendo suave. f(x) ∈ R. A solução aproximada das equações variacionais através do uso de funções de elementos finitos. Assim. Pode-se escrever f : [0. se esboçar o gráfico da 82 . e ii. xx + f = 0 (G. R. Todo o desenvolvimento se dará em uma dimensão estudando problemas de valor de contorno e facilitando a exposição dos principais conceitos e desenvolvimentos matemáticos empregados no MEF.1) onde uma vírgula representa a diferenciação (ou seja. e R é sua faixa.2) onde [0. 1]. xx = d 2 u dx 2 ). (Freqüentemente. (G. u . o conjunto de pontos de x tal que 0 ≤ x ≤ 1) e R representa os números reais. Apresenta aspectos importantes do método como a diferenciação entre a formulação forte e fraca da resolução de equações diferenciais e o MEF do ponto de vista global e do ponto de vista do elemento.1] → R (G. abordando os principais aspectos matemáticos do método.2) diz que para um dado x em [0. Ou seja. A formulação variacional ou fraca do problema. f(x) é um número real. Assume-se que f seja uma função de valores escalares contínua e suave definida num intervalo unitário. 1] representa o intervalo unitário (isso é. usa-se a notação ∈ que significa “pertence a”. 1] G. achar u : Ω → R.1 Mostra os intervalos abertos e fechados. tal que ï u . Os intervalos ]0.1) envolve imposições de condições de contorno na função u. É claro. vai-se introduzir algumas notações e terminologias adicionais. 1] são referenciados como intervalos unitários aberto e fechado respectivamente. Antes de prosseguir. a saber. deseja-se que ela seja uma curva suave sem descontinuidades e torções. A forma forte do problema do valor de contorno (S) é representada como se segue: ìDado f : Ω → R e g e h constantes. xx + f ( x) = 0 para todo x∈Ω.1). respectivamente. Assume-se que u é requerido a satisfazer : u(1)=g -u. xx + f = 0 em Ω . Por razões óbvias.1) é conhecida por governar os deslocamentos transversais de uma corda sob tensão e também o deslocamento longitudinal de uma haste elástica.função f. x ( 0) = h î Quando se escreve u . sua inclinação) tenha o valor de –h em x=0. aparecem em (G.1[ e [0. 1[ Ω = [0. tais como a magnitude da tensão na corda ou o módulo de elasticidade no caso da haste. Fazse isso para evitar dificuldades técnicas e complexidades matemáticas no desenvolvimento do MEF.x(0)=h (G.5) e (G. as condições de contorno do tipo (G. (G. xx + f = 0 em Ω ï ( S )í u( 1 ) = g ï ï − u . 1[ (aberto) Ω = [0. parâmetros físicos. o conjunto de pontos de x tal que 0<x<1). O intervalo ]0. Nestes casos.6) conduzem para o chamado problema de valor de contorno de dois pontos. As equações (G. Há uma variedade de possibilidades. a solução exata de (S) é trivial de ser obtida. A equação (G.5) e (G.5) (G. 83 . Formulação Forte ou Clássica Um problema de valor de contorno dado pela equação (G.6) onde g e h são constantes dadas.3) (G. 1[ denotará o intervalo unitário sem pontos finais (isso é.3. Este conjunto de condições de contorno irá possibilitar ilustrar certos aspectos chaves da formulação variacional.1 ] (fechado) ] [ [ ] 0 1 0 1 Figura G.6) requerem que u tenha o valor de g em x=1 e a derivada de u (isso é. Estes parâmetros foram omitidos para simplificar o desenvolvimento subseqüente. significa que u .4) Ω = ]0. Para simplificar adotam-se as definições: Ω = ]0. 4.9). w. G.8) Funções que satisfazem (G. Está-se interessado em desenvolver um esquema para obter soluções aproximadas de (S) que serão aplicáveis para muitas situações complexas na qual a solução exata não é possível. O Método dos Elementos Finitos requer uma formulação diferente. u(1)=g } (Funções admissíveis) (G. isso não é o principal interesse aqui. Formulação Fraca ou Variacional Para definir a forma fraca ou variacional. então ò (u 0 1 .9) O fato de que γ é um conjunto de funções é indicado pela chave em (G. Isto é. este conjunto requer que funções de teste. Isto é. Neste conjunto de soluções admissíveis é importante impor que a condição de contorno u(1)=g seja satisfeita. seguido à linha vertical (|) e a propriedade satisfeita pelo membro do conjunto. escreve-se u ∈ H1. A segunda classe de funções é chamada de funções de teste ou funções de peso. Então o conjunto de soluções admissíveis. O conjunto é denotado por υ e definida por υ = {w | w ∈ H1. neste caso u. A primeira é composta de funções admissíveis. a qual é tratada no próximo item. Alguns métodos de aproximação começam diretamente com a formulação forte do problema. necessita-se caracterizar duas classes de funções. contrapartida de (S). denotado por γ. 84 . A outra condição de contorno não será requerida na definição. Isso é representado como se segue: γ = { u | u ∈ H1 . para que certas expressões façam sentido. 1]). É importante também. satisfaçam w(1)=0. vem em primeiro dentro no lado esquerdo das chaves. consiste de todas as funções as quais tem derivada primeira com quadrado integrável e que tenham o valor de g para x=1. isso é u ∈ H1([0.x ) 2 dx < ∞ (G.8) são chamadas de funções H1. O exemplo mais notável é o Método das Diferenças Finitas. w(1)=0 } (Funções de teste) (G.7) onde y e z são usados para denotar variáveis temporárias. Este conjunto é muito similar ao conjunto da solução admissível exceto que este requer a imposição de condições de contorno homogênea de g. impor que as derivadas primeiras das funções admissíveis tenham quadrado integrável. Contudo. A notação para um membro típico de um conjunto.ìy ü ï ï u ( x) = g + (1 − x)h + ò íò f ( z )dz ýdy ï x ï0 î þ 1 (G. se u é uma solução trivial. Algumas vezes o domínio é explicitado.10) Isso simplifica o assunto no qual se quer ter f : Ω → R como sendo suave. 13) 0 Rearranjando e fazendo uso do fato que –u. Integrando G. mas que de fato é facilmente estabelecido. ìDando f. (W) é equivalente a (S). é que ambas (S) e (W) possuem solução única.x(0)=h e w(1)=0 resulta em 85 .11) é chamada de equação variacional ou mecânica) a equação do trabalho virtual. há algum relacionamento entre a formulação forte e fraca do problema. e h. x u . Prova deste tipo exige algumas vezes provas formais. Os w’s são os deslocamentos virtuais. G. Prova Formal: a) Como u é assumido ser uma solução de (S). a solução forte e fraca são uma e a mesma. Achar u ∈ γ tal que para todo w ∈υ ï 1 (W )í 1 w . x u . A equação (G. pode-se agora estabelecer uma forma fraca apropriada. pode-se escrever 0 = − ò w(u . Um outro resultado.11) Formulações deste tipo são freqüentemente chamadas de trabalho virtual ou deslocamento virtual na mecânica. do problema de valor de contorno. Isso permitirá prosseguir sem envolver condições técnicas que complique a matemática envolvida.Em termos da definição anterior. (W).5. xx + f )dx 0 1 (G. Equivalência entre as Formas Forte e Fraca Claramente. Então u é também uma solução de (S). prova-se o seguinte: Proposição: a) Seja u uma solução de (S).12) para qualquer w ∈ υ. A definição dada da formulação fraca não é a única possível. g. x 0 0 1 1 1 (G. como antes. Então de (a) e (b). (especificamente na A solução de (W) é chamada de solução fraca ou generalizada. Então u é também uma solução de (W). caso contrário não existiria razão para introduzir a forma fraca. x dx − ò wfdx − wu . mas é a mais natural para os problemas que serão considerados.12 por partes resulta em 0 = ò w. A intenção aqui não é de apresentar uma prova completamente rigorosa. Isso se estabelece assumindo que todas as funções são suaves. b) Seja u uma solução de (W). x dx = ò wfdx + w(0)h ïò 0 î0 (G. mas tornar plausível se acreditar na proposição. Com esta filosofia em mente. o qual não se preocupou verificar. Mostra-se que a solução fraca e forte são idênticas. Conseqüentemente. 14) Além do mais.xx + f) (G. x (0) + h] 0 1 (G.18) é tal que w(0) ≠ 0. tem-se que u é uma solução de (S).14) para todo w ∈ υ.15) Provar que u é uma solução de (S) é suficiente mostrar que (G.x(0)+h] (G. xx + f ) 2 dx + 0 " "! 0 ≥0 1 (G. b) Agora u é assumido ser uma solução fraca.15) resulta em 0 = ò φ (u .x u . x (0) + h = 0 Primeiro. 1[.15) por w = φ( u. pode-se tomar φ(x) = x(1-x). prova-se (i).17) Desde que φ > 0 em Ω. desde que u também satisfaz (G. x dx = ò wfdx + w(0)h 0 1 (G. a qual completa a prova da proposição. φ(x)>0 para todo x ∈ Ω = ]0. segue-se de (G. xx + f )dx + w(0)[u . xx + f = 0 em Ω.17) que (i) deve ser satisfeito.x dx = ò wfdx + w(0)h 0 0 1 1 para todo w ∈ υ.16) em (G.18) Vê-se que w ∈ υ não impõem qualquer restrição no seu valor em x = 0. Segue que w(1) = 0 e então w ∈ υ. Por exemplo. passa-se a usar (G. satisfaz u(1)=g e portanto está em γ.15) implica em (estas equações são algumas vezes chamadas de equação de Euler-Lagrange da formulação fraca): i. u . e φ(0) = φ(1) = 0. o qual satisfaz todos os requisitos estipulados. assim 0 = w(0)[u. Define w em (G. pode-se assumir que o w em (G. conseqüentemente u(1)=g. Agora que se tem estabelecido (i). e ii. Então (ii) está também satisfeita. assim (G. Substituindo (G.òw 0 1 . Portanto. Integrando por partes e usando do fato de w(1)=0 resulta em 0 = ò w(u . u satisfaz a definição de uma solução fraca dado por (W). 86 .16) onde φ é suave. Finalmente. u .15) para provar (ii). Então u ∈ γ. x u .16) define uma função membro legítima de υ. e ò w. O que isso significa é como se segue: sejam c1 e c2 constantes e u. O método usado para provar a parte (b) da proposição é na verdade o lema fundamental do cálculo variacional.w) (c1u + c2v. implícita para se satisfazer à equação variacional. Condições de contorno deste tipo são referenciadas como condições de contorno naturais. Condições de contorno deste tipo são chamadas condições de contorno essenciais.) A equações variacionais são então solucionadas no contexto de dimensões finitas.21) Aqui. a equação variacional toma a forma a(w. Em outras palavras. Tem-se 1 a( w. Então as propriedades de simetria são a(u.v) = (v.. (Claramente.19) e (G. Por outro lado. a idéia básica é aproximar γ e υ por conjuntos convenientes de dimensões finitas de funções.f) + w(0)h (G.20). v e w funções..19) (G. Da prova anterior.w) (G.) são exemplos de formas bilineares simétricas.20) ( w. Em essência.x(0) = h não é explicitamente mencionada na formulação de (W)..6. Contudo.) e (. Condições de Contorno Naturais A condição de contorno –u.22) (G. primeiro introduzem-se algumas notações adicionais para simplificar a escrita subseqüente.w) + c2 a(v. as soluções admissíveis são explicitamente requeridas para satisfazer a condição de contorno u(1)=g. essa é a metodologia que possibilita deduzir equações diferenciais e condições de contorno envolvidas pela formulação fraca. por exemplo. γ e υ contem infinitas funções. isso é.25) 87 . Um exemplo explicito de como se fazer sobre isso é o assunto do próximo item.w) + c2 (v. O Método dos Elementos Finitos é baseado em cima do último. a(c1u + c2v. Agora.u) (u. f ) = ò wfdx 0 1 Em termos de (G..v) = a(v.G. u ) = ò w. x u . w) = c1(u.24) (G.u) = (w. vê-se que essa condição de contorno é contudo. a(. w) = c1a(u. O fato de que a solução da equação variacional satisfaz a condição de contorno natural é extremamente importante em situações mais complicadas. tem-se um ponto de partida alternativo. a formulação forte ou fraca do problema. vê-se que para obter solução aproximada para o problema de valor de contorno original.23) Bilinearidade significa linearidade em cada termo nos parênteses. Desenvolver formas fracas corretas de problemas complexos e multidimensionais é essencial para se ter um profundo entendimento deste procedimento. x dx 0 (G.u) (G. isso é. υ. e ao mesmo tempo elas compreendem aspectos matemáticos essenciais que conduzem para o entendimento matemático da variação e do Método dos Elementos Finitos. Contudo. gh(1) = g (G. Método de Aproximação de Galerkin Agora descreve-se um método de obter soluções aproximadas para problemas de valor de contorno baseados na formulação fraca. Então.27) são respectivamente que se uh ∈ γh e wh ∈ υh. Estas coleções de funções são denotadas por γh e υh .26) e (G.26) (G. então uh ∈ γ) υh ⊂ υ (isso é. uma vez que u1(1) + u2(1) = g + g = 2g em violação a definição de γ. A terminologia espaço em matemática usualmente conota uma estrutura linear. respectivamente. são freqüentemente referenciadas como espaço de funções. Diversas classes de problemas físicos em engenharia podem ser escritas de maneira similar a (G. então wh ∈ υ) (G. γh .30) satisfaz também as requeridas condições de contorno: 88 . se uh ∈ γh. então uh(1) = g wh(1) = 0 (G.7. então c1v + c2w está também em υ. o qual é parametrizado por um comprimento característico de escala h.21). Ambos υ e υh são assim vistos possuindo as propriedades do espaço linear. se wh ∈ υh.29) As coleções γ. Conseqüentemente. Isso pode ser escrito como γh ⊂ γ (isso é. então u1 + u2 ∉ γ. u1 e u2 são membros de γ. Por exemplo. O primeiro passo no desenvolvimento do método é construir aproximações de dimensões finitas de γ e υ. Método (Bubnov-) Galerkin Assume-se que o conjunto υh seja dado.As notações anteriores são muito concisas. Contudo. Deseja-se ter que γh e υh como sendo subconjuntos de γ e υ. de (G.30) onde gh é uma função dada satisfazendo a condição de contorno essencial. e υh. O sobre índice refere para a associação de γh e υh com uma divisão ou discretização do domínio Ω. essas propriedades não são claramente compartilhadas por γ e γh devido a não homogeneidade das condições de contorno.27) onde o significado preciso é dado em parênteses. respectivamente. para cada membro vh ∈ υh.31) Note que (G. G. constrói-se uma função uh ∈ γh tal que uh = vh + gh (G. Este tem o seguinte significado: se c1 e c2 são constantes e v e w estão em υ.28) (G. Se Introduz este assunto com um tratamento abstrato. a terminologia de espaço de funções ainda é aplicada para γ e γh. A equação (G.30). em termos de uh ∈ γh e wh ∈ υh: a(wh.33) Essa equação é considerada como definindo uma solução aproximada (fraca). ï tal que para todo w h ∈ υ h (G )í ï a ( w h .21).n. .. achar u h = v h + g h . + c n N n A=1 n (G.. g h ) î Note que (G) é justamente uma versão de (W) em termos de uma coleção de funções com dimensões finitas em υh. necessita-se dar mais estrutura para a definição de υh.fh) + wh(0)h (G. γh são todas as funções da forma de (G.) possibilita escrever: a(wh. Agora escreve-se a equação variacional. A = 1. terminologia que se adotará para frente. da forma (G. O ponto importante a observar é que...gh) (G. G.uh(1) = vh(1) + gh(1) = 0 + g (G. O método de aproximações do tipo considerado são exemplos do chamado Método dos Resíduos Ponderados. Substituindo (G...30) em (G..2. n (G.. que é. 2. g.33). v h ) = ( w h .35) As NA’s são referidas com funções de forma. As Equações Matriciais – A Matriz de Rigidez K O método de Galerkin conduz a um sistema de equações algébricas lineares. uh.. onde A = 1. tal que w h = å c A N A = c1 N 1 + c 2 N 2 + c3 N 3 + .. então existe constantes cA. f ) + w h ( 0) h − a ( w h .30) constitue uma definição de γh... O método de Bubnov-Galerkin é comumente referenciado como simplesmente método de Galerkin.uh) = (wh.34) é algumas vezes referida como Equação de Galerkin.36) 89 .. A = 1. Para ver isso. a parte desconhecida de uh.8. A forma (Bubnov-) Galerkin do problema. denotada por (G) é representada como se segue: ìDado f. e a bilinearidade de a(... base ou interpolação.34) é usada para definir vh. e h.34) O lado direito consiste totalmente de termos associados com dados fornecidos (isso é.2. acima disto às funções gh.32) Assim (G. Isso significa que se wh ∈ υh. f. γh e υh são compostas de conjuntos idênticos de funções. g.. Requer-se que cada NA satisfaça NA(1) = 0. Assim υh consiste de toda combinação linear de funções dadas denotadas por NA: Ω →R.uh) = (wh.n. como antes. A equação (G. onde v h ∈ υ h . e h)..f) + wh(0)h – a(wh. 42). Substituindo (G. De (G.) Então gh é dado por gh = g Nn+1 e então gh(1) = g Com essas definições. um típico uh ∈ γh pode ser escrito como u h = v h + g h = å d A N A + gN n+1 A =1 n (G.2.Da qual segue por (G. introduz-se uma outra função de forma Nn+1: Ω →R..43) å a( N B =1 n A .n. (G...35) que wh(1)=0. f ) − N A (0)h + a ( N A . f ÷ + êå c A N A (0)ú h − aç å c A N A . N n +1 ) g B =1 n (G.... Este pode ser escrito numa forma 90 . isso significa para todo cA’s.. necessariamente segue que cada GA. A = 1.40) onde os dA’s são constantes e das quais é aparente que uh(1)=g.. deve ser identicamente zero isto é de (G.35) e (G. N n +1 ) g (G. Uma vez que os cA’s são arbitrários em (G. υh é dito ter dimensões n por razões obvias..) e (..43) Agora a equação de Galerkin é garantida para todo wh ∈ υh. Então (G.40) na Equação de Galerkin tem-se. A = 1.38) (G.39) (G.n.37) (G.2. å d B N B ÷ = B =1 è A=1 ø æ n ö én æ n ö ù ç å c A N A .41) Usando a bilinearidade de a(. Para esse fim.42) onde G A = å a ( N A . n æ ö aç å c A N A . Para definir membros de γh necessita-se especificar gh. N B )d B = ( N A .44) exceto os dB’s.41) torna 0 = å c AG A A =1 n (G. como é necessário. f ) − N A (0)h + a ( N A .).. N B )d B − ( N A . a qual tem a seguinte propriedade Nn+1(1) =1 (Note Nn+1∉ υh..44) Note que todos os termos são conhecidos em (G.44) constitue um sistema de n equações e n incógnitas. gN n +1 ÷ è A=1 ø ë A=1 è A=1 ø û n (G.35). 44) torna n (G. . ï ï ï ï Fn −1 ï ïF ï î n þ K 12 K 22 .45) (G. K 2n ú ú . .49) e ì d1 ü ïd ï ï 2ï ï ï ï.47) Maior simplicidade é ganha adotando-se uma notação matricial. .51) As seguintes terminologias são freqüentemente aplicadas.. .46) åK B =1 AB d B = FA . ê ê K n1 ë ì F1 ü ïF ï ï 2 ï ï . ú ú .50) (G. ï ï. ï ï ï F = {FA } = í . . .mais concisa como se segue: Tem-se KAB = a(NA.. K = [ K AB ] = ê ê .2.47) pode ser escrita com Kd = F (G. f) + NA(0)h – a(NA. ê . . K n2 . . . ï ï ï ïd n ï î þ Agora (G. ï d = {d B } = í ý ï. K 1n ù . . NB) FA=(NA. . . n (G. especialmente quando o problema sobre consideração pertence a um sistema mecânico: K = Matriz de Rigidez F = Vetor de Forças d = Vetor Deslocamentos 91 . . A = 1. .48) (G. ú . . K nn ú û (G. .. . Tem-se é K 11 êK ê 21 ê . . ý ï . Nn+1) g Então (G. ú ú . cálculo de integrais e assim por diante. Por exemplo. K-1. A matriz K é simétrica.NB) = a (NB.F (assumindo a inversa de K. que a solução (G) é uma solução aproximada de (W). Deve ser enfatizado.. pode-se representar a matriz equivalente.54) (G. Vai-se relembrar os passos seguidos para o problema matricial. as mesmas funções formas são usadas para as variações e soluções admissíveis): KAB = a(NA. justamente d = K-1. Uma vez que d é conhecido. a solução (G) pode ser obtida em qualquer ponto x ∈ Ω . u h ( x) = å d A N A ( x) + gN n+1 ( x) A=1 n (G. Prova de convergência e análise de erros envolvem considerações de cada aproximação. se requeridas. os dados f. Neste ponto. já que eles são típicos do processo que se deve desenvolver na solução de um dado problema usando o Método dos Elementos Finitos: ( S ) ⇔ (W ) ≈ (G ) ⇔ ( M ) (G. achar d tal que (M )í Kd = F î A solução de (M) é. Observações: 1. A qualidade da aproximação depende das escolhas de NA’s e do número de n. como também o domínio Ω. g e h podem ser aproximados. A simetria de K tem importantes conseqüências computacionais.40).53) Onde o sobre-índice T denota a matriz transposta.Uma variedade de interpretações físicas são possíveis. Conseqüentemente. assim. (M). É algumas vezes conveniente escrever 92 . existente).52) Do mesmo modo. derivadas de uh.55) A única aproximação aparentemente feita está na resolução aproximada de (W) via (G). a equação diferencial e as condições de contorno naturais são apenas aproximadamente satisfeitas. Em situações mais complexas encontradas na prática. empregando (G. podem se obtidas pela diferenciação termo por termo. do problema de Galerkin. o número de aproximações aumenta. 3. 2..) e do uso do método de Galerkin (que é. claro. Isso segue da simetria de a(. ì Dados a matriz de coeficiente K e o vetor F.NA) = KBA Em notação matricial K = KT (G. u h ( x) = å N A ( x)d A A=1 n +1 (G. Em palavras.. Além do mais. 2 ≤ A ≤ n) ì( x − x A−1 ) x A−1 ≤ x ≤ x A h A−1 . O Espaço “Piecewise” Linear (“Por Partes”) Normalmente emprega-se a definição de υh e γh a qual são casos especiais do chamado Espaço de Elementos Finitos Lineares “Piecewise”.2. n. NA não é zero somente no subintervalo que contém xA. caso contrario δAB=0 se A≠B). Os subintervalos são algumas vezes referidos com os elementos finitos do domínio.57) x2 − x . Um subintervalo típico é denotado por [xA. 93 . então h = 1/n. Por razões obviais.59) As funções de forma são esboçadas na figura G. ou simplesmente elemento. 1] em n subintervalos não sobrepostos. h= Max hA .2. O parâmetro da malha. ï ï x A ≤ x ≤ x A+1 N A ( x) = í ( x A+1 − x) hA . é geralmente tomado como sendo o comprimento máximo de um subintervalo (isso é. divide-se o domínio [0.. δAB=1 se A=B. elas são referenciadas alternativamente como funções chapéu ou telhado. Se os comprimentos dos subintervalos são iguais. xA+1]. ï 0.58) (G.. caso contrário ï î para os “nós” de contorno tem-se (G. ou simplesmente “nós”. Note que o comprimento dos elementos. onde δAB é o delta de Kronecker (isso é.2.. mais refinada é a partição ou a malha. Note que NA(xB)=δAB. Com h menores. onde xA<xA+1 e A = 1.. Para definir o caso geral no qual υh é n dimensional. As funções de forma são definidas como se segue: associando a um “nó” típico interno (isso é..9. NA tem o valor de 1 no “nó” A e é 0 em todos os outros nós. Também requer que x1=0 e xn+1=1 Os xA’s são chamados de pontos nodais.n).. h. A=1. G. h1 x − xn N n +1 ( x) = . hn N1 ( x) = x1 ≤ x ≤ x 2 x n ≤ x ≤ x n +1 (G. não são necessariamente iguais.56) onde dn+1 = g. hA = xA+1-xA. 2.. Figura G. Isso assegura que uh(1)=g.x. experimentando descontinuidades entre os elementos de contorno ou fronteira.n. Membros típicos de γh são obtidos pela adição de gh = g Nn+1 a membros típicos de υh. Exemplo: Considere a formulação fraca do problema no modelo unidimensional: òw 0 1 . irá ser constante em pedaços (Piecewise).) Restringindo-se a cada elemento do domínio. wh é identicamente zero se e somente se cada cA=0. As funções de elemento finito linear “Piecewise” são mais simples e mais largamente usadas por funções de elementos finitos em problemas unidimensionais.3 Um típico membro wh ∈ υh. A=1. Claramente. derivada generalizada de wh. wh.2 Funções Base para o espaço de elementos finitos lineares “Piecewise”. Note que wh é contínua mas tem descontinuidades de declive (ou na derivada) em cada elemento de fronteira. (Tal função é chamada algumas vezes de uma função de passo generalizado. Por essa razão.60) 94 . Em relação as condições de contorno essenciais homogêneas... wh(1)=0..Figura G. x dx = ò wfdx + w(0)h 0 1 (G.3. wh é um polinômio linear em x.x u . Um típico membro wh ∈ υh tem a forma åc A=1 n A N A e aparece como na figura G. ]xA. A matriz rigidez obtida na análise de elementos finitos. (Funções desta classe contém o espaço de elementos finitos lineares “Piecewise” descritos anteriormente. xA+1[ e A = 1.. 95 . x N B . xx + f )dx + w(0)[u.60) e assumindo continuidade das funções.. a porção diferente de zero de NB e NA não faz sobreposição. . e iii.5 mostra essa propriedade. e (iii) é uma condição de continuidade entre os elementos de contorno. A=1. Como resultado. Na formulação de elementos finitos de Galerkin.2.onde w ∈ υ e u ∈ γ são assumidos ser suave nos interiores dos elementos (isso é.4 Se B > A+1. n).. em geral.2.62) é garantida para A > B+1.. ii. adicionalmente.) De (G.61) são i. Isso pode ser contrastado com o caso no qual a solução é assumida suave.10. –u. n+1 são zero fora da vizinhança do “nó”. A= 1. Neste caso a condição de continuidade é identicamente satisfeita e o somatório das integrais sobre os elementos interiores pode ser trocada por uma integral sobre todo domínio. uma solução aproximada de (i)-(iii) é obtida..n. mostra-se que: n x A +1 0=å A =1 x A + + − ò w(u.. Seja B > A+1.62) NA NB A A+1 B Figura G. mas podem sofrer descontinuidades de declive entre os elementos de contorno. Matrizes Semidiagonais têm vantagens significantes uma vez que os elementos zeros fora da banda não são armazenados e nem operados pelos computadores. a estreita banda.4) K AB = ò N A. u. E é dito que K é semidiagonal (isso é..2.. n. x dx = 0 " " ! 0 0 1 (G. x ( x A )] A=2 n (G. onde A= 2.. onde x∈]xA...61) Pode ser concluído que as condições de Euler-Lagrange de (G. xA+1[. conduz ela mesma a uma formulação e solução mais econômica. x ( x A ) − u.. que (G..x(xA+). Isso pode ser visto como se segue.3. Observe que (i) é a equação diferencial restrita a elementos interiores. A simetria de K implica.xx(x)+f(x)=0. x (0 ) + h] + å w( x A )[u. G. A figura G.x(0+)=h. seus valores diferentes de zero estão em uma banda sobre a diagonal principal).x(xA-)=u.. Então (Figura G. Propriedades da Matriz K As funções de forma NA. muitos termos de K são zero. u. ò (w 0 1 h 2 .45) é definida positiva. . K=ê .. . um vetor n arbitrário.x ) dx = 0 e conseqüentemente wh deve ser constante. Uma vez que wh ∈ υh.. . 0 k n .5 Estrutura de Banda de K. w h ) (definição de w h ) = ) ò ( w !dx h 2 .n −1 ê . Então c=0.n. N B )c B (Definição de K AB ) n æ n ö = aç å c A N A . 96 . ... Usa-se estes cA’s para construir um membro de υh. Combinando estes fatos.n −2 k n− 2. 0 k n −2. Os autovalores de uma matriz definida positiva são reais e positivos. n n onde os NA’s são as funções bases para υh.n ú k nn ú û 0 .. ê . A = 1. ê . .)) B =1 è A=1 ø = a( w h . ... 0 Definição: Uma matriz A n x n é dita ser definida positiva se i.x 1 ≥ 0 (Por (2. n. Assume cTKc=0. B =1 å c A K AB c B = A. é k11 k12 0 êk 0 . conclui-se que wh(x)=0 para todo x ∈ [0. . ê0 .n −3 k n −2. . e os componentes de c (isso é.. Então cTKc = A. w h = å A=1 c A N A .n −1 ë Figura G.n −1 ê . . B =1 åc A a ( N A . Por parte da prova de (i).. 1]. 2. . . c={cA}). cTAc = 0 implica em c=0. o qual é possível somente se cada cA = 0. Observa-se: 1. ù ú ú ú ú ú ú ú k n −1. Teorema: A matriz K n x n definida em (G. Uma matriz definida positiva e simétrica possui uma única inversa. cTAc ≥ 0 para todo vetor c de ordem n.2. å c B N B ÷ (Bilinearidade de a(. e ii. wh(1)=0. . Note que à parte (ii) depende da definição de K e das condições de contorno essenciais zeros construída dentro da definição de υh. . 2. 0 k n −1. Prova: i.n − 2 k n −1. Seja cA. .19)) 0 ≥0 ii. ê 21 k 22 k 23 ê 0 k 32 k 33 k 34 0 .. A= 1. x∈[ xA. xA+1] No Método dos Resíduos Ponderados no qual γh e υh são construídos em cima de diferentes classes de funções (isso é. pode-se também ~ ~ especificar um conjunto de funções teste ou ponderadas. As quantidades acima são em termos dos parâmetros globais – chamados de coordenadas globais. Esse é matematicamente o ponto de vista global no qual as funções bases são consideradas como definidas em todo o domínio do problema de valor de contorno. Método de Petrov-Galerkin). Até aqui. { } Em palavras. N A+1 . xA+1} (g3) Graus de Liberdades: {dA. No método de Galerkin N A =NA. G. é i. Semidiagonal iii. ditas N A .45). xA+1] (g2) Nós: {xA. O que faz com que se tenha feito um procedimento de elementos finitos é a característica das funções bases selecionadas. Um elemento individual consiste das seguintes quantidades. Elemento Finito Linear (Descrição Global) (g1) Domínio: [xA. Este ponto de vista é tradicional em engenharia e é muito usado na implementação computacional do Método dos Elementos Finitos e no desenvolvimento de elementos finitos.11. O ponto de vista global é muito usado em estabelecer as propriedades matemáticas do Método dos Elementos Finitos. O MEF do Ponto de Vista do Elemento – Coordenadas Locais e Globais. um elemento finito linear é justamente a totalidade da parafernália associada com as funções uh restritas para o domínio dos elementos. o conjunto ~ ~ inteiro de N A ’s poderia então constituir uma base para υh. Simétrico ii. Começa-se o tratamento do ponto de vista local com uma questão: O que é um elemento finito ? Tenta-se dar uma resposta em termos do espaço de elementos finitos lineares “Piecewise” que se definiu previamente. Definida Positiva A conseqüência prática das propriedades acima é uma solução computacional de Kd=F muito eficiente. Agora deseja-se discutir um outro ponto de vista chamado de ponto de vista local ou do elemento. particularmente suas suavidade “Piecewise” e o suporte local (isso é. NA≡0 fora da vizinhança do nó A). dA+1} (g4) Funções Forma: {NA. analisou-se o Método dos Elementos Finitos simplesmente como um procedimento de aproximação de Galerkin aplicado para formulações fracas do problema em questão.Resumindo: K definido por (G. NA+1} (g5) Funções de Interpolação: uh(x)=NA(x)dA+ NA+1(x)dA+1. 97 . Nae(ξ)=NA(xe(ξ)). ξ2].63) (G. ξ2} (l3) Graus de Liberdades: {d1. a = 1. N2} (l5) Funções de Interpolação: uh(ξ) = N1(ξ)d1 + N2(ξ)d2 Note que na descrição local. um sobre-indice e irá ser introduzido para denotar uma quantidade com descrição local associada com o número do elemento e (por exemplo. a numeração dos nós começa com 1. ao contrario em (G. adota-se a notação convencional na qual os sub-indices a. usa-se a mesma notação para o sistema local e global (por exemplo.67) 98 .. x2e]= [xA.b. ξ é um mapeamento e x é um ponto. tal que ξ(xA) = ξ1 e ξ(xA+1) = ξ2. xA+1] → [ξ1. etc. xA+1]. irão sempre pertencer ao sistema de numeração global.c.C.funções de forma globais. Isso é padronizado na prática tomando ξ1 = -1 e ξ2 = +1. Estes são dados a seguir: Elementos Finitos Lineares (Descrição Local) (l1) Domínio: [ξ1. d2} (l4) Funções de Forma: {N1.65) (Lembrando que hA = xA+1 – xA.). tal que cálculos para um típico elemento podem ser padronizados. Passa-se agora a introduzir um conjunto de quantidades locais. onde xe:[ξ1. Os sub-indices A.B. da e dA ou Na e NA). ordenação de nós globais e assim por diante.66) Em (G. ξ2] → [x1e. Em termos de ξ... Isso geralmente não deve causar confusão pois o contexto irá tornar claro qual o ponto de vista que esta sendo adotado. Na seqüência. Então ξ pode ser representado pela expressão ξ(x) = c1 + c2 x onde c1 e c2 são constantes na qual são determinados por − 1 = c1 + x A c 2 ü ý 1 = c1 + x A+1c 2 þ Solucionando esse sistema chega-se (G. Se há perigo de confusão. as funções de forma na descrição local tomam a forma padrão Na(ξ) = (1 + ξaξ)/2. Para controlar a proliferação de notações.. dae=dA. ξ2] (l2) Nós: {ξ1.66) x é um mapeamento e ξ é um ponto. Relacionam-se os domínios da descrição global e local por uma transformação afim ξ:[xA..2 (G. pertencem ao sistema de numeração local..63).) O inverso de ξ é obtido pela resolução para x: x(ξ ) = h Aξ − x A − x A+1 2 (G.64) ξ ( x) = 2 x − x A − x A+1 hA (G. correspondentes a umas globais. G.69) (G.7. numerados como na figura G. A Matriz de Rigidez e o Vetor Independente de um Elemento Genérico. 99 . Por referência.67): e x e (ξ ) = å N a (ξ ) x a . Figura G.6. então 1 ≤ e ≤ nel. assumi-se que o modelo em questão consiste de nel elementos.71) A descrição local e global dos e-simos elementos são esboçados na Figura G.ex = ( x.12. Para desenvolver mais o ponto de vista dos elementos.66) pode ser escrito em termos de (G.6 Descrição local e global do ézimo elemento.68) Essa tem a mesma forma que as funções de interpolação.eξ ) −1 = e h (G.Note também que (G.70) (G. Claro que para este caso nel = n.ξ = = 2 2 e h x. nota-se o seguinte resultado: ξ a (−1) a N a .eξ = 2 onde he = x2e – x1e e 2 ξ . E seja e a variável índice para os elementos. a =1 2 (G. 73) assumiu-se NA(x1)=δA1 . Então K = åKe.79) (G. Agora relembrando da definição (global) das matrizes de rigidez e do vetor força K = [K AB ]. e =1 e F e = FA { } onde e K AB = a( N A . f ) e + δ e1δ A1 h − a( N A .1] podem ser escritas como a soma de integrais sobre os elementos do domínio. Pela definição de NA’s.73) 1 1 FA = ( N A . x dx 0 1 (G.72) onde K AB = a( N A .76) F = åFe. o domínio do ézimo elemento. N n +1 ) g = ò N A fdx + δ A1 h − ò N A. x N B .78) Ωe e Ωe = [x1e. As integrais sobre [0.80) 100 . e =1 nel nel e K e = K AB [ ] (G. N B ) e = Ωe òN A. x N B . x dx (G. respectivamente. como para o espaço de elementos finitos lineares “Piecewise”. x2e]. N B ) = ò N A. f ) + δ A1 h − a( N A .Número dos Elementos (e) 1 x1 x2 2 x3 3 x4 xn nel xn+1 Coordenadas dos “nós” Figura G.7 Os Elementos e seus “Nós”. x N n +1.77) FAe = ( N A . x dxg 0 0 (G.75) (G. Uma observação importante há fazer é que K e F podem ser construídos pela soma das contribuições das matrizes e vetores dos elementos. N n +1 ) e g = Ω òN e A fdx + δ A1 h − ò N A. ! n× n F = {FA } { n×1 (G.74) Em (G. x dxg (G. se A ≠ e ou e+1 ou B ≠ e ou e+1 (G. tem-se que KABe=0. se A ≠ e ou e+1 e e FA =0. x N n +1. A situação para um elemento típico. o valor retornado pela matriz LM é correspondente ao número global das equações.. no caso presente. respectivamente.3. N b ) e = òN e a. todos os outros termos são zeros. G.nel.8. adicionar os zeros mas meramente adicionar os termos diferentes de zeros na locação apropriada. { 2× 2 [ ] f e = {f ae } { 2×1 Ω (G. A Montagem da Matriz Global de Rigidez e do Vetor Independente.. requer informações adicionais. a matriz de localizações. é mostrado na figura G... Para determinar onde os componentes ke e fe irão ficar em K e F.2.83) Coluna Coluna ù é ê ú e e +1 ê ú ê ú ↓ ↓ ê ú e K =ê ú ê ú X X ê ú X X ê ú ê ú ë û """""" """"""! n× n ì ü ï ï ï ï ï ï ï ï e F =í ý ïX ï ← Linha (e) → ï ï ← Linha (e + 1) → ïX ï ï ï î þ { n×1 Figura G. Para esse propósito é muito útil definir a matriz de rigidez para o ézimo elemento ke e o vetor forca elemento fe como se segue: e k e = k ab . e=1. nel − 1 e e ï− k g Ω e = nel î a2 e a (G. respectivamente). não se deve é claro. dos dados fornecidos e para prover a sub-rotina de montagem necessita-se de informação adicional tal que os termos em ke e fe possam ser adicionados em locações apropriadas em K e F. respectivamente.. Na prática.. existe a tarefa de uma subrotina de elementos finitos para produzir ke e fe.. x N b. Estas informações para montagem são armazenadas em uma matriz chamada LM.81) (G. respectivamente.13. A. x dx e =1 ì δ a1 h ï f = ò Nfdx + í 0 e = 2. Constroe-se uma matriz LM para o problema acima considerado. o número de nós dos elementos. os números são 2 e nel. Em um programa computacional de elementos finitos.8 X’s indica termos diferentes de zero. Isso é discutido no item seguinte. isso é 101 .. As dimensões de LM são nel. e. pelo número de elementos. Aqui ke e fe são definidos com respeito à ordenação local. Dando um número particular de graus de liberdade e um número de elementos (diga-se a e e. onde Ke e Fe são definidos com respeito à ordenação global.82) e k ab = a( N a . .. n nel nel Portanto os termos k12el . esboçando um modelo.. para a parcialmente montada K e F. n − 1 n ï 1 2 3 . deduz o seguinte procedimento de montagem: e K ee ← K ee + k11 (G.. Na figura G. e . nel −1 nel Número ì1 e .86) (G.87) (G.9 Matriz LM para o problema exemplo. Isso indica que o grau de liberdade 2 do elemento número nel é prescrito e não é conhecido na equação da matriz global.92) Fn ← Fn + f nel 1 Com estas idéias. Note que LM(2. Como no exemplo. um algoritmo para montar K e F. k 22 ..90) e K e +1. n 0 (nen = 2) nen × nel Figura G.e +1 ← K e +1.se a = 1 ì e A = LM (a.89) (G... onde 1 ≤ e ≤ nel-1. 102 . e f 2nel não são montados em K e F respectivamente.10.88) (G. Para o elemento nel tem-se apenas n K nn ← K nn + k11el (G. Da matriz LM. k 21 .9 esse é o modo usado para se armazenar nos computadores.. Número de $""""" Elemetos""""" " " 1≤e≤nel % & 1 2 3 . e + 1 . pode-se construir. e) = í îe + 1 se a = 2 (G.e ← K e +1.84) A matriz completa LM é mostrada na figura G... nel)=0.85) e 12 K e .. de nós í Locais ï2 î 2 3 4 ..e +1 + k 22 Fe ← Fe + f 1e Fe +1 ← Fe +1 + f 2e onde a seta (←) é lida com “é trocado por”. assume-se querer adicionar a contribuição do ézimo elemento. Devido à simetria k21e não deve ser montado na prática.91) (G.e +1 ← K e.e + k 21 e K e +1.e +1 + k (G. ï . . . . K = 7 (k e ). respectivamente. . X = B éa11 a12 .93) G. ú ê. ê. ï . ï î a n1 x1 + a n 2 x 2 + . . com as seguintes representações: ì a11 x1 + a 12 x 2 + . . ú ê. 103 . isso é. . . . recaem em grandes sistemas lineares. ú X=ê ú ê. . | | Usa a matriz LM para adicionar os componente de ke e fe na | | locação apropriada de K e F. A Resolução do Sistema de Equações Os problemas resolvidos pelo Método de Elementos Finitos. a 2n ú ê. . ú ê ú êx n ú ë û A = Matriz de Coeficiente. . + a nn x n = bn ou b) A. ú A=ê ú . ú ê ú êb n ú ë û . . a )í . ï . . ú ê ú êa n1 a n 2 . A ação do algoritmo de montagem é denotada pelo símbolo U. . . éx 1 ù êx ú ê 2ú ê. a nn ú ë û éb 1 ù êb ú ê 2ú ê. . + a x = b 22 2 2n n 2 ï 21 1 . operador de montagem. a 1n ù êa a ú ê 21 22 . | | e←e+1 | até e > nel Fim Algoritmo Figura G. + a 1n x n = b1 ïa x + a x + .Algoritmo | Ler dados de entrada | Aprontar a matriz LM | Coloca os Zeros Armazenados em K e F | e=1 | repita | | Forma ke e fe. ú ê.10 Esboço de um algoritmo para a montagem de elementos finitos. . . e =1 nel F = 7( f e ) e =1 nel (G.14. B = Vetor dos Termos Independentes e X = Vetor das Incógnitas. ú B=ê ú ê. Método de Jordan. 104 . . Além disso.Método de Gauss-Seidel e . Nota-se que para os métodos iterativos tem a restrição de seu critério de convergência : | a ii |= å | a ij | . Métodos Iterativos: .Método da Pivotação Completa.Método SOR (Sucessive Over Relaxation). . Destaque pode ser dados as duas classes abaixo.Método de Gauss.Método da Pivotação Parcial e . devido à facilidade de implementação computacional e a sua simplicidade matemática: Métodos Diretos (Baseados no Escalonamento de Matrizes): . Em certos casos extremos pode-se até usar análise de i =1 i≠ j n sistemas mal condicionados e refinamento de sistemas lineares.Diversos métodos numéricos são disponíveis na resolução de um sistema linear.Método de Jacobi. . alguns métodos só podem ser aplicados a sistemas especiais como por exemplo o método de Cholesky no qual a matriz A deve ser simétrica. H. pp. 1961. J.. Proceedings of the American Society of Civil Engineers. The trend in Engineering. Journal of Aeronautical Sciences. 1964. & KELSEY. C. L. Energy theorems and structural Analysis. Vol. J. Structural analysis and influence coefficients for delta wings. P. R. 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