- 1- Atividade: Teoria de Conjuntos Data: ____ / ____ / ______ Aluno: _____________________________Turma:__________________ Número: ________________ 1) Conceitos Iniciais ............................................................................................................................................................................................... 2 1.1. Conj untos e Elementos: ................................................................................................................................................................... 2 1.2. Relação de Pertinência: ................................................................................................................................................................... 2 1.3. Representação de Conjuntos:.......................................................................................................................................................... 2 1.4. Classificação de Conj untos: ............................................................................................................................................................. 3 1.5. Classificação de Conj untos: ............................................................................................................................................................. 3 1.6. Relação de Inclusão: ........................................................................................................................................................................ 3 1.7. Conj unto das Partes: ........................................................................................................................................................................ 4 1.8. Texto Complementar: O conj unto dos números primos: ............................................................................................................... 4 2) Operações com Conjuntos: ............................................................................................................................................................................... 5 1.1. Interseção:........................................................................................................................................................................................ 5 1.2. União: ............................................................................................................................................................................................... 5 1.3. Diferença: ......................................................................................................................................................................................... 5 1.4. Complementar: ................................................................................................................................................................................ 5 1.5. Número de Elementos: .................................................................................................................................................................... 5 1.6. Aplicando Conceitos: ....................................................................................................................................................................... 5 3) Problemas envolvendo conjuntos: .................................................................................................................................................................... 6 3.1. Introdução ........................................................................................................................................................................................ 6 3.2. Problema envolvendo dois conjuntos ............................................................................................................................................. 6 3.3. Problema envolvendo três conj untos ............................................................................................................................................. 7 3.4. Tabelas de dupla entrada ................................................................................................................................................................ 8 4) Testes de Vestibulares: ..................................................................................................................................................................................... 8 Professor: Disciplina: Matemática - 2 - 1) Conceitos Iniciais 1.1. Conjuntos e Elementos: A noção de conjunto, em Matemática, é a mesma da linguagem corrente, ou seja, uma coleção de objetos agrupados sob certas características. Geralmente a notação dos conjuntos é dada por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Exemplo: A Seleção Brasileira teve problemas para se classificar para a Copa do Mundo de 2002: troca de técnicos (Vanderlei Luxemburgo, Candinho, Emerson Leão e Luiz Felipe Scolari) e pouco tempo para treinos atrapalharam a campanha. A Seleção não era vista como favorita, mas acabou surpreendendo bastante. Na Copa, Ronaldo foi convocado e teve grandes atuações. O Brasil, que eliminou as seleções da Bélgica, Inglaterra, Turquia e Alemanha, esta última na final, acabou tendo Ronaldo como o artilheiro, com oito gols, sendo grande nome da seleção, conquistando assim o seu quinto título, vencendo todas as partidas, e mantendo sua hegemonia. Foram 23 jogadores que participaram da vitoriosa campanha. O conjunto de tais jogadores pode ser representado como: B = {Marcos, Cafu, Lúcio, Roque Júnior, Edmílson, Roberto Carlos, Ricardinho, Gilberto Silva, Ronaldo, Rivaldo, Ronaldinho Gaúcho, Dida, Beletti, Anderson Polga, Kléberson, Júnior, Denílson, Vampeta, Juninho Paulista, Edílson, Luizão, Rogério Ceni, Kaká} Cada um dos objetos que compõem um conjunto é denominado elemento. Assim, Marcos, Rivaldo e Luizão são alguns dos elementos do conjunto B acima representado. Outros exemplos de conjuntos: O conjunto das cidades do estado de São Paulo. O conjunto dos números naturais. O conjunto dos deputados da Assembléia da Legislativa de MG. O conjunto dos países da União Européia. O conjunto dos números racionais. O conjunto dos números pares. O conjunto dos números primos. O conjunto dos números naturais que são múltiplos de 6. 1.2. Relação de Pertinência: É a relação na qual associamos, ou não, um elemento a um conjunto. Caso tal relação seja verdadeira, ou seja, se um elemento “x” está presente em um conjunto “P”, escrevemos: x e P (lê-se: x pertence a P) Se x não é um dos elementos de P, utilizamos o símbolo não-pertence: x e P (lê-se: x não pertence a P) Exemplo: Seja P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então 1 e P 5 e P 7 e P 1.3. Representação de Conjuntos: A) Enumeração ou Extensão: Todos os elementos do conjunto são indicados entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Exemplo: Teoria de Conjuntos Teoria de Conjuntos - 3 - A = {1, 3, 5, 7, 9}. B = {6, 7, 8, 9, 10, 11}. C = {janeiro, fevereiro, março, ..., novembro, dezembro} D = {0; 1; 2; 3; ...} E = {a; e; i; o; u} B) Compreensão ou Propriedade: Todos os elementos do conjunto, e somente eles, satisfazem a uma propriedade. Assim, os conjuntos A, B, C e D acima podem ser representados através de uma característica comum a todos os seus elementos: A = { x e Z / x é ímpar e 0 < x < 10} B = {x e Z / 5 < x < 12} C = {x / x é mês do ano} D = {x / x é inteiro maior ou igual a 0} F = {x / x é vogal} C) Diagrama de Venn: Os diagramas de Venn são úteis para reforçar a noção intuitiva sobre conjuntos, principalmente para analisar relações entre os conjuntos e também seus elementos. Para demonstrar propriedades dos conjuntos, uma prova algébrica é necessária. No entanto, para compreender uma propriedade, os diagramas de Venn são úteis. Exemplo: Conjunto dos números ímpares positivos menores que 10. Conjunto dos números inteiros maiores que 5 e menores que 12. 1.4. Classificação de Conjuntos: A) Conjunto Vazio: É aquele que não possui elemento e é representado por C ou { }. Exemplo: Conjunto dos números positivos ímpares menores que 1. B) Conjunto unitário: É aquele que possui um único elemento. Exemplo: São 8 os países que tem o português como língua oficial: Angola, Brasil, Cabo Verde, Guiné-Bissau, Moçambique, Portugal, São Tomé e Príncipe e Timor, dos quais apenas um está localizado no continente sul-americano. O conjunto P dos países sul-americanos que tem o português como língua oficial é unitário, uma vez que P = { Brasil } Observação: O símbolo {C} representa um conjunto unitário. C) Conjunto Finito: É o conjunto que nos permite a contagem de seus elementos: Exemplo: B = { x / x é estudante da UFMG } D) Conjunto Infinito: É aquele que possui uma infinidade de elementos. Exemplo: } 12 x / R x { B < e = 1.5. Classificação de Conjuntos: Sejam A e B dois conjuntos. Pode ocorrer que todo elemento de B seja também elemento de A. Quando isso ocorre, dizemos que B é subconjunto de A ou que B é parte de A. B é subconjunto de A 1.6. Relação de Inclusão: Se A é subconjunto de B, escrevemos: A c B (lê-se: A está contido em B) ou B A (lê-se: B contém A) - 4 - A é subconjunto de B ¬ A c B ou B A Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, escrevemos: A . B (lê-se: A não está contido em B) ou B / A (lê-se: B não contém A) A não é subconjunto de B ¬ A . B ou B / A Por exemplo, ao considerar os conjuntos A = {1, 4, 5 }, B = {1, 2, 3, 4, 5 } e C = {1, 2, 3}, podemos afirmar que, A c B ou B A, C c B ou B C e A . C ou C / A. Observações: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, C c X, para todo conjunto X. Pela definição de subconjunto, temos que todo conjunto é subconjunto de si próprio, ou seja, X c X, para todo conjunto X. 1.7. Conjunto das Partes: Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A, P(A), o conjunto formado a partir de todos os subconjuntos de A. X e P(A) · X c A 1.8. Texto Complementar: O conjunto dos números primos: Um número natural é primo quando possui somente dois divisores naturais: um e ele mesmo. Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... É de fundamental importância para a Matemática e para a Ciência da Computação algoritmos para se determinar números primos e um dos primeiros que se tem conhecimento é o Crivo de Erastóstenes, que será utilizado para determinar todos os números primos menores que 100: Para iniciar, é escrita uma lista com todos os números de 1 a 100. A seguir é destacado o primeiro número primo, o 2, e são eliminados todos os seus múltiplos. É tomado o próximo número que não fora eliminado e são eliminados todos os seus múltiplos. Desta forma, Erastóstenes produziu tabelas de números primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar Crivo de Erastóstenes. As eliminações devem ocorrer com números primos menores que a raiz quadrada de 100, ou seja, 10: - 5 - 2) Operações com Conjuntos: 1.1. Interseção: Na interseção entre dois (ou mais) conjuntos tomamos os elementos comuns aos conjuntos dados. Simbolicamente: A · B = {x / x e A e x e B} 1.2. União: Na união entre dois (ou mais) conjuntos, reunimos os elementos dos conjuntos em um único conjunto. Simbolicamente: A B = {x / x e A ou x e B} 1.3. Diferença: Na diferença entre dois conjuntos, tomamos os elementos pertencentes ao primeiro conjunto e não pertencentes ao segundo. Simbolicamente: A – B = {x / x e A e x e B} Observação: Note que, geralmente, A – B = B – A: A – B B – A 1.4. Complementar: Se B c A, então B A C B A = ÷ (Lê-se: complementar de B em relação a A). 1.5. Número de Elementos: O número de elementos da união de dois conjuntos é igual à diferença entre a soma do número de elementos de cada um desses conjuntos, e o número de elementos da interseção: n(AB) = n(A) + n(B) – n (A·B) onde: n(AB) = número de elementos de AB n(A) = número de elementos de A n(B) = número de elementos de B n(A·B) = número de elementos de A·B. 1.6. Aplicando Conceitos: Operações entre conjuntos e lógica matemática Considere as premissas: - “Nenhum Advogado é Brasileiro” - “Alguns Cineastas são Brasileiros” Pode-se concluir, necessariamente, que: A) Nenhum Cineastas é Advogado B) Alguns Cineastas são Advogados C) Alguns Advogados são Cineastas - 6 - D) Nenhum Advogado é Cineastas E) Alguns Cineastas não são Advogado Solução: Da primeira premissa, pode-se concluir que Advogados e Brasileiros determinam conjuntos disjuntos, isto é, não tem nenhum elemento comum entre eles. No Diagrama de Venn abaixo, utilizaremos A para representar o conjunto de todos os advogados e B o conjunto de todos os brasileiros: Como alguns cineastas são brasileiros, existe interseção entre o conjunto B dos brasileiros e o conjunto C dos cineastas. No entanto, não se pode ser certeza quanto à existência de interseção entre Advogados e Cineastas (colocamos um ponto de interrogação nessa interseção) e o diagrama atualizado está indicado abaixo: Das possíveis conclusões, a única que é possível é “Alguns Cineastas não são Advogado” uma vez que existe interseção entre B e C e não existe interseção entre A e B. A alternativa correta é a letra E. Desafios: Desafio 01: 4 pessoas e uma lanterna ... Quatro pessoas com uma lanterna têm de atravessar uma ponte à noite. A ponte só agüenta o peso de 2 pessoas de cada vez, e a lanterna deve ser carregada toda vez que a ponte for percorrida. A pessoa A leva 10 minutos para cruzar a ponte, B leva 5 minutos, C leva 2 minutos e D leva 1 minuto. Se duas pessoas atravessam a ponte juntas, elas têm de andar à velocidade da pessoa mais lenta. Como fazer para que todos atravessem num tempo total de 17 minutos? Desafio 02: Três caixas com etiquetas erradas... Têm-se 3 caixas, uma com laranjas, outra com bananas e uma terceira com laranjas e bananas. Infelizmente, os rótulos destas caixas formam trocados de forma que nenhuma caixa está com o rótulo correto. Como proceder para corrigir os rótulos das 3 caixas removendo apenas uma fruta de uma caixa? Desafio 03: Meias brancas e azuis... Numa gaveta há 12 pares de meias brancas e 12 pares de meias azuis. Você tem de escolher as suas meias no escuro. Qual o número mínimo de meias que devem ser retiradas da gaveta para garantir que há pelo menos um par de meias da mesma cor? 3) Problemas envolvendo conjuntos: 3.1. Introdução: Situações-problema onde grupos de elementos podem ser categorizados de acordo com características predeterminadas podem ser modelados através de diagramas de conjuntos. A seguir são apresentadas três situações: Problemas envolvendo 2 conjuntos; Problemas envolvendo 3 conjuntos; e Problemas envolvendo categorias disjuntas. 3.2. Problema envolvendo dois conjuntos: Numa concentração em que há 52 atletas, 28 jogam voleibol e 42 jogam basquete. Nessas condições, qual o número de atletas que praticam essas duas modalidades esportivas? Solução: No diagrama acima, estamos representando cada uma das duas modalidades esportivas como sendo conjuntos onde sua interseção representa aqueles atletas que praticam os dois esportes. Chamando de x o número de elementos da interseção, temos que 28 – x é o número de atletas que praticam apenas voleibol, e 42 – x os que praticam apenas basquete. Temos que o número de atletas na concentração é 52, logo: - 7 - 52 = 28 – x + 42 – x + x x = 18 atletas 3.3. Problema envolvendo três conjuntos: Em uma pesquisa, foram entrevistados todos os alunos de uma sala de aula. Essa pesquisa apurou o seguinte: 25 alunos gostam de matemática 35 alunos gostam de informática 17 alunos gostam de direito 12 alunos gostam de matemática e informática 7 alunos gostam de direito e informática 7 alunos gostam de direito e matemática 5 alunos gostam das três matérias 5 alunos não gostam de nenhuma das três matérias Quantos alunos tinha a sala de aula? A) 61 B) 62 C) 63 D) 64 Solução: Para a resolução de problemas relacionados a conjuntos, sugere-se representa-los através do Diagrama de Venn, iniciando o preenchimento das partes pela interseção dos três conjuntos, conforme está representado ba figura abaixo: Como são 5 os alunos gostam das três matérias, o diagrama pode ser representado por: A seguir, passa-se para o preenchimento das interseções dos conjuntos, duas a duas. Por exemplo, sabe-se que 10 alunos gostam de direito e de informática, pode-se concluir que o número de alunos que gostam de direito e de informática mas não gostam de matemática é 7 – 5 = 2. O diagrama pode ser representado conforme está indicado abaixo: De maneira análoga, a partir dos 12 alunos gostam de matemática e informática e dos 7 alunos que gostam de direito e matemática, conclui-se que 12 – 5 = 7 alunos gostam de matemática e informática e não gostam de direito e 7 – 5 = 2 alunos gostam de direito e informática e não gostam de matemática. O diagrama pode ser representado como Como 25 alunos gostam de matemática, 35 alunos gostam de informática, 17 alunos gostam de direito e 5 não gostam de nenhuma das três matérias, o diagrama completo está representado abaixo: - 8 - Portanto, o número de alunos dessa turma é 11 + 2 + 9 + 7 + 5 + 2 + 21 + 5 = 62 e a alternativa correta é a letra B 3.4. Tabelas de dupla entrada: Num grupo de 40 pessoas, 21 jogam basquete, sendo que 11 são homens. Sabe-se, ainda, que 27 são mulheres ou jogam basquete. Pode-se concluir, corretamente, que A) 25 são homens. B) 17 são mulheres. C) 11 mulheres jogam basquete. D) 7 mulheres não jogam basquete. E) 13 homens não jogam basquete. Solução: O problema apresentado apresenta pares de características disjuntas, isto é, que não apresentam interseção e para resolver problemas com essa particularidade, utilizamos uma tabela de dupla entrada (ou dupla característica), como está representado abaixo: Homens Mulheres Jogam basquete Não jogam basquete Como são 21 pessoas que jogam basquete, dos quais 11 são homens, pode-se concluir que 21 – 11 = 10 mulheres jogam basquete. A tabela pode ser reescrita como está abaixo: Homens Mulheres Jogam basquete 11 10 Não jogam basquete Como 27 pessoas são mulheres ou jogam basquete e 21 jogam basquete, pode-se concluir que 27 – 21 = 6 mulheres não jogam basquete. A nova tabela está abaixo apresentada: Homens Mulheres Jogam basquete 11 10 Não jogam basquete 6 Finalmente, das 40 pessoas do grupo, o número de homens que não jogam basquete é 40 – 11 – 10 – 6 = 13. Homens Mulheres Jogam basquete 11 10 Não jogam basquete 13 6 A alternativa correta é a letra E. 4) Testes de Vestibulares: Q1. O número de conjuntos X que satisfaz { } { } 4 , 3 , 2 , 1 X 2 , 1 c c é igual a A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 Q2. (CESGRANRIO) Sejam os conjuntos U = {1, 2, 3, 4} e A = {1, 2}. O conjunto B tal que B · A = {1} e B A = U é: A) Ø B) {1} C) {1, 2} D) {1, 3, 4} E) U Q3. (PUC-RS) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, d} e C = {a, b, d}, o conjunto X tal que A C = B X e B · X = Ø é: A) {a} B) {b} C) {c} D) {a, b} E) {b, c} Q4. (UFRS) O conjunto A é subconjunto de B e A = B, A (B - A) é: A) B B) A C) Ø D) A – B E) A · B - 9 - Q5. (FJP) Considere três conjuntos A, B e C, cuja interseção é o conjunto D, não-vazio. Assinale, entre as seguintes condições, a única que NÃO é possível. A) A ≠ B ≠ C. B) A c B c C. C) B c A , C c A , B e C disjuntos. D) A c B , C c B , C ≠ B. Q6. (UFLA) Sobre os conjuntos A, B, C e D, afirma-se (A · B) (C · D) = C. então, pode-se concluir que a opção CORRETA é: A) os conjuntos A e C são vazios. B) O conjunto A B é vazio. C) os conjuntos A · B e C · D são vazios. D) Dos quatro conjuntos, dois são vazios. E) Os quatro conjuntos são disjuntos dois a dois. Q7. (ITA) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que B A contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de ) ( P ) A B ( P C ÷ é igual a A) 8 B) 9 C) 16 D) 20 E) 17 Q8. (PUC-MG) Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: } 25 x 0 / N x { A s s e = e } 25 x 16 / N x { B < s e = . O número de elementos do conjunto B A · é A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 Q9. (UFMG) Sejam A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {2, 4, 7, 8, 9, 10}. Então ) A C ( ) B A ( ÷ · é igual a: A) {2, 4} B) {4} C) {2, 4, 8} D) {1, 3, 5, 11} E) {8, 10} Q10. (Colégio naval) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} e C = {1, 2, 5}. Ao determinar o conjunto M, tal que: { } 4 , 3 , 2 , 1 M A = , { } 5 , 4 , 3 M B = , B A M C = , podemos concluir que M é um conjunto A) vazio. B) que possui dois elementos. C) unitário. D) que possui três elementos. Q11. (Cefet-MG) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e R = { (x, y) eP x P / x + y < 3}, o número de elementos do conjunto R é igual a A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 Q12. (Unifor) Se X e Y são dois conjuntos não vazios, então ) Y X ( ) Y X ( · ÷ é igual a: A) | B) X C) Y D) Y X · E) Y X Q13. (MACK) Denotemos por n(X) o número de elementos dos conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que 8 ) B A ( n = , 9 ) C A ( n = , 10 ) C B ( n = , 11 ) C B A ( n = e 2 ) C B A ( n = · · . Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a: A) 11. B) 14. C) 15. D) 18. E) 25. Q14. (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados freqüentavam a praia de Ponta Negra, 55% freqüentavam a praia do Meio e 15% não iam à praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam ambas as praias era de: A) 20% B) 35% C) 40% D) 25% Q15. (PUC-RS) Em uma escola, numa turma de 20 estudantes, 16 jogam futebol, 12 jogam voleibol e 2 não praticam esporte algum. O número de alunos dessa turma que joga somente futebol é A) 4 B) 6 C) 10 D) 12 E) 16 Q16. (UFLA) No sistema de grupos sangüíneos ABO, os indivíduos podem conter o antígeno A apenas, o antígeno B apenas, ambos os antígenos, ou nenhum dos antígenos. Em um levantamento, 6.000 pessoas foram avaliadas, das quais 2.500 apresentaram o antígeno A, 2.200 apresentaram o antígeno B, e 1.800 não apresentaram nenhum dos antígenos. Quantas pessoas apresentaram ambos os antígenos? - 10 - A) 500 B) 0 C) 2.350 D) 1.500 E) 4.700 Q17. (Cefet-MG) Um estudo de grupos sangüíneos, realizado com 1200 homens e 800 mulheres, revelou que 1080 pessoas tinham o antígeno A, 900 o antígeno B e 500 nenhum dos dois antígenos. Se o resultado da pesquisa é proporcional ao número de homens e mulheres, a quantidade de mulheres que possuem os antígenos A e B é A) 176 B) 184 C) 192 D) 198 Q18. (UFU) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é: A) 25% B) 50% C) 15% D) 33% E) 30% Q19. (UFPA) A Câmara dos Deputados reuniu-se extraordinariamente para decidir sobre a instalação de duas Comissões Parlamentares de Inquéritos (CPI): a do Futebol e a do Caixa 2. Dos 320 deputados presentes, 190 votaram a favor da instalação da CPI do Futebol; 200 pela instalação da CPI do Caixa 2; 90 votaram a favor da instalação das duas comissões e x deputados foram contrários à instalação das CPIs. O número x de deputados que votaram contra a instalação das CPIs é: A) 160 B) 90 C) 70 D) 20 Q20. (PUC-RS) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: A) 249 B) 137 C) 158 D) 127 E) 183 Q21. (PUC-MG) Em um grupo de n crianças, 80 receberam a vacina SABIN, 58 receberam a vacina contra sarampo, 36 receberam as duas vacinas e 15% não foram vacinadas. O valor de n é: A) 117 B) 120 C) 135 D) 143 E) 179 Q22. (UFMG) Em uma escola, 5000 alunos inscreveram- se para cursar as disciplinas A e B. Desses alunos, 2825 matricularam-se para cursar a disciplina A e 1027 na disciplina B. Por falta de condições acadêmicas, 1324 alunos não puderam matricular- se em nenhuma das disciplinas. O número de alunos matriculados, simultaneamente, nas duas disciplinas é: A) 156 B) 176 C) 297 D) 1027 E) 1798 Q23. (UFOP) No último clássico Atlético x Cruzeiro, realizado no Mineirão, verificou-se que só foram ao estádio moradores da capital e do interior de Minas Gerais e que todos eles eram atleticanos ou cruzeirenses. Sabendo-se que, dos 100.000 torcedores presentes, 55.000 eram atleticanos, 75.000 eram moradores da capital e 30.000 eram moradores da capital e torciam para o Cruzeiro, então: A) 55% dos presentes eram moradores da capital e torciam para o Atlético. B) 25% dos presentes eram moradores do interior e torciam para o Atlético. C) 35% dos presentes eram moradores da capital e torciam para o Cruzeiro. D) 15% dos presentes eram moradores do interior e torciam para o Cruzeiro. Q24. (Fumec) Na comemoração do nono aniversário de Rodolpho, foram oferecidos três tipos de bombons: ameixa, coco e nozes. Dos 250 convidados, 139 não comeram nenhum bombom; 68 comeram bombons de ameixa; 66 comeram de coco; 86 comeram de nozes, 42 comeram de coco e de ameixa; 50 comeram de nozes e ameixa e 47 comeram de coco e de nozes. O número de convidados que comeram apenas os bombons de nozes foi: A) 86. B) 11. C) 19. D) 75. Q25. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: 40% dos entrevistados lêem o jornal A. - 11 - 55% dos entrevistados lêem o jornal B. 35% dos entrevistados lêem o jornal C. 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B. 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C. 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C. 7% dos entrevistados lêem os três jornais. 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três jornais. Considerando esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados foi: A) 1200. B) 1500. C) 1250. D) 1350. Q26. (UFPR) Num grupo de 300 alunos de um colégio, foi feita uma pesquisa sobre a preferência entre os esportes: futebol, vôlei e natação, e obteve-se o seguinte resultado: 95 alunos gostam de futebol; 49 alunos gostam dos três esportes; 83 alunos gostam de natação; 25 alunos gostam apenas de futebol e vôlei; 5 alunos gostam apenas de futebol e natação; 10 alunos gostam apenas de vôlei e natação; 20 alunos não gostam de nenhum dos três esportes. Quantos alunos gostam apenas de vôlei? A) 156 B) 166 C) 176 D) 186 Q27. (UEPB) O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa realizada com 1800 pessoas, entrevistadas a respeito da audiência de três programas de televisão, a saber: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). Programas E N H E e N N e H E e H E, N e H N°de Entrevistad os 400 1220 1080 220 800 180 100 De acordo com os dados apresentados, o número de pessoas entrevistadas que não assistem a algum dos três programas é A) 900 B) 200 C) 100 D) 300 E) 400 Q28. (UFPEL) Um levantamento epidemiológico foi realizado em cinco praias paulistas freqüentadas por grande número de famílias com crianças menores de 10 anos. Os principais aspectos do estudo foram relacionar a incidência de doenças gastrintestinais em banhistas com os índices de contaminação fecal das praias do litoral paulista. A pesquisa, feita com 2100 pessoas, teve por objetivo detectar o número de pessoas com sintomas de vômitos (V), diarréia (D) e febre (F), conforme o quadro abaixo. Revista Discutindo Ciência – Ano 1, nº 1[adapt.]. D F V D e V D e F F e V D, V e F 127 136 137 46 52 51 22 Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o número de pessoas entrevistadas que não apresentaram nenhum dos sintomas pesquisados é A) 1529. B) 2078. C) 1827. D) 1951. E) 1929. Q29. (Cefet-MG) Um instituto de opinião pública pesquisou 800 alunos de uma faculdade sobre a preferência pela leitura das revistas A, B e C, obtendo o seguinte resultado: Revistas Preferidas Número de leitores A 280 B 350 C 400 A e B 90 A e C 110 B e C 100 O número de leitores das três revistas é A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 Q30. (Cefet-MG) Uma empresa, com 630 empregados, exige que todos façam um dos três cursos de aperfeiçoamento A, B ou C oferecidos, exclusivamente, para eles. Sabe–se que o número total de funcionários destinados aos cursos A e B é a metade daqueles que farão o curso C, e que a diferença entre o número de funcionários dos cursos B e A é 50. O total de empregados selecionados para o curso B é A) 80 B) 90 C) 110 D) 130 E) 180 - 12 - Q31. (UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi: A) 29 B) 24 C) 11 D) 8 E) 5 Q32. (UFU) De uma escola de Uberlândia, partiu uma excursão para Caldas Novas com 40 alunos. Ao chegar em Caldas Novas, 2 alunos adoeceram e não freqüentaram as piscinas. Todos os demais alunos freqüentaram as piscinas, sendo 20 pela manhã e à tarde, 12 somente pela manhã, 3 somente à noite e 8 pela manhã, à tarde e à noite. Se ninguém freqüentou as piscinas somente no período da tarde, quantos alunos freqüentaram as piscinas à noite? A) 16 B) 12 C) 14 D) 18 Q33. (PUC-Campinas) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim: A) 150 operários trabalham em 2 períodos; B) há 500 operários na indústria; C) 300 operários não trabalham à tarde; D) há 30 operários que trabalham só de manhã; E) N.d.a. Q34. (Cefet-MG) Num grupo de 40 pessoas, 21 jogam vôlei, sendo que 11 são homens. Sabe-se, ainda, que 27 são mulheres ou praticam esse esporte. Pode-se concluir, corretamente, que A) 25 são homens. B) 17 são mulheres. C) 11 mulheres jogam vôlei. D) 7 mulheres não jogam vôlei. E) 13 homens não jogam vôlei. Q35. (Cefet-MG) Em uma cidade há 1200 pessoas que já foram assaltadas de alguma forma, das quais 800 são casadas. Do total de pessoas assaltadas, 60% são mulheres, sendo que 80% são casadas. Quantos são os homens casados que já foram assaltados? A) 132 B) 224 C) 286 D) 306 Q36. (MACK) Num grupo constituído de K pessoas, das quais 14 jogam xadrez, 40 são homens. Se 20% dos homens jogam xadrez e 80% das mulheres não jogam xadrez, então o valor de K é: A) 62 B) 70 C) 78 D) 84 E) 90 Q37. (PUC-MG) Em um conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. O número de pessoas desse conjunto que são simultaneamente altas e magras é: A) 3 B) 8 C) 14 D) 16 Q38. (ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y - (3x + 3) é igual a A) –28 B) –19 C) 32 D) 6 E) 0 Q39. (ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a: A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) vazio Q40. (ESAF) Uma pequena cidade possui 10.000 habitantes, dos quais 40% são produtores rurais e 60% são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mulheres são produtoras rurais. Desse modo, o número de habitantes do sexo masculino e que são produtores rurais é igual a: A) 1750 B) 2200 C) 3600 D) 6000 E) 4000 Q41. (ESAF) Uma faculdade possui 2500 alunos dos quais 40% falam espanhol e 60% são do sexo - 13 - masculino. Sabe-se que 25% das mulheres falam espanhol. Desse modo, o número de alunos do sexo masculino e que falam espanhol é igual a: A) 500 B) 1100 C) 250 D) 750 E) 1750 Q42. (ESAF) Uma grande empresa multinacional oferece a seus funcionários cursos de português, inglês e italiano. Sabe-se que 20 funcionários cursam italiano e inglês; 60 funcionários cursam português e 65 cursam inglês; 21 funcionários não cursam nem português nem italiano; o número de funcionários que praticam só português é idêntico ao número dos funcionários que praticam só italiano; 17 funcionários praticam português e italiano; 45 funcionários praticam português e inglês; 30, entre os 45, não praticam italiano. Com estas informações pode-se concluir que a diferença entre o total de funcionários da empresa e o total de funcionários que não estão matriculados em qualquer um dos cursos é igual a: A) 93 B) 83 C) 103 D) 113 E) 114 Q43. (ESAF) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é A) exatamente 16. B) no mínimo 6. C) exatamente 10. D) no máximo 6. E) exatamente 6. Q44. (UFV) Uma academia de ginástica possui 150 alunos, sendo que 40% deles fazem musculação, 20% fazem musculação e natação, 22% fazem natação e capoeira, 18% fazem musculação e capoeira e 12% fazem as três atividades. O número de pessoas que fazem natação é igual ao número de pessoas que fazem capoeira. Pergunta- se: A) quantos fazem capoeira e não fazem musculação? B) quantos fazem natação e capoeira e não fazem musculação? Q45. (UFOP) Numa comunidade são consumidos os tipos de leite A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados: LEITE Número de Consumidores A 100 B 150 C 200 A e B 20 B e C 40 A e C 30 A, B e C 10 Nenhum dos três 160 Determine: A) Quantas pessoas foram consultadas? B) Quantas pessoas consomem apenas 2 tipos de leite? C) Quantas pessoas não consomem o leite tipo B? D) Quantas pessoas não consomem o leite tipo A ou não consomem o leite tipo B? Q46. (FUVEST) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A - 48% B - 45% C - 50% A e B - 18% B e C - 25% A e C - 15% nenhuma das 3 - 5% A) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C? B) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas? Q47. (UFES) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: Marcas consumidas N°de consumidores A 150 B 120 S 80 A e B 60 B e S 40 A e S 20 A, B e S 15 Outras 70 A) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? B) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? C) Quantos não consumiram a cerveja S? D) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? - 14 - Q48. (UFMG) Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que freqüentam, pelo menos, uma das três livrarias, A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados: das 90 pessoas que freqüentam a Livraria A, 28 não freqüentam as demais; das 84 pessoas que freqüentam a Livraria B, 26 não freqüentam as demais; das 86 pessoas que freqüentam a Livraria C, 24 não freqüentam as demais; oito pessoas freqüentam as três livrarias. A) DETERMINE o número de pessoas que freqüentam apenas uma das livrarias. B) DETERMINE o número de pessoas que freqüentam, pelo menos, duas livrarias. C) DETERMINE o número total de pessoas ouvidas nessa pesquisa