Prof.Joaquim Rodrigues PARTE I PRÉ-CÁLCULO NÚMEROS FUNÇÕES E LOGARITMO 1 2 Prof. Joaquim Rodrigues SUMÁRIO Teoria dos números Conjunto dos números naturais Operações com números naturais Expressões numéricas Conjunto dos números inteiros Conjunto dos números racionais Operações com frações Regras para transformação de decimal exato em fração Regras para transformação de uma dízima em fração Conjunto dos números irracionais Conjunto dos números reais Racionalização de denominadores Igualdades em IR Identidades notáveis Fatoração de polinômios Equações Equação de 1º grau Sistemas de 1º grau Problemas Equação de 2º grau Relações entre coeficientes e raízes Estudo das funções Exercícios Função de 1º grau Zero ou raiz da função de 1º grau Gráfico da função de 1º grau Coeficiente angular Exercícios Função de 2º grau Cálculo dos zeros da função quadrática Gráfico Coordenadas do vértice Exercícios Função exponencial Exercícios Logaritmo Consequências da definição Sistemas de logaritmos Condição de existência Propriedades operatórias Cologaritmo Mudança de base Exercícios 3 05 05 06 09 12 12 13 15 16 16 16 18 19 19 19 23 24 24 24 27 28 29 38 45 46 47 48 54 61 62 63 64 65 71 74 87 89 90 90 90 90 90 92 4 3 e 8. mas é necessário que seja perfeitamente definida. tem um antecessor • zero é o menor dos números naturais NOTA: sucessor de um número natural é outro número natural acrescido de um (1) Exemplos: O sucessor de 0 é 1 O sucessor de 1 é 2 etc antecessor de um número natural. Joaquim Rodrigues TEORIA DOS NÚMEROS Número: é o resultado da comparação de uma grandeza com a unidade. 5. é outro número natural. 3. 2. . que se constitui num conjunto infinito de números. originário da necessidade dos homens contarem quantidade de coisas ou objetos. Posteriormente foi estabelecida a sucessão dos números naturais.. Algarismos: são símbolos que representam os números. (Por exemplo: 738 é um número representado pelos algarismos 7. denominado conjunto dos números naturais. A grandeza escolhida é arbitrária. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS Número natural é um conceito primitivo. Unidade: é uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. 1.. medido ou contado.Prof. exceto o zero. já 6 é um número representado pelo único algarismo 6). subtraído de um (1) Exemplos: O antecessor de 1 é 0 O antecessor de 2 é 1 etc 5 . 4. Grandeza: é tudo aquilo que pode ser pesado. IN = {0. exceto o zero.} Esse conjunto tem as seguintes características: • é representado pela letra N (maiúscula) • é um conjunto infinito • todo número natural tem um sucessor • todo número natural. Importante: não confundir algarismo com número. 2. SUBRAÇÃO: é a operação inversa da adição 3. Observações 1. isto é. 7. 4. Os números que usamos {0.. obtém-se o conjunto IN* = {1. 8. ADIÇÃO: adição é a operação que determina um número natural para representar o total de objetos de duas ou mais coleções. 0 e 3 etc 3. podemos formar qualquer outro número. 2. Exemplos: 7 é um número formado pelo algarismo 7 21 é um número formado pelos algarismos 2 e 1 103 é um número formado pelos algarismos 1. dizemos que: • 4 e 3 são os fatores • 12 é o produto 6 ..IMPORTANTE: Um número natural e seu sucessor ou o seu antecessor são chamados consecutivos Exemplos: 7. mas numeral é simplesmente o símbolo que representa essa ideia. 3. 8 e 9 são consecutivos 1 e 2 são consecutivos O algarismo zero (0) é o único número natural que não possui antecessor. . 2. quatro vezes três igual a doze. 6. Lembre-se que número é uma ideia de quantidade. 3. Quando se exclui o zero do conjunto dos números naturais. não há nenhum número natural antes dele.} 2. 5. 1. Exemplo: ideia de quantidade numeral indo-arábico cinco bolas 5 bolas OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 1. MULTIPLICAÇÃO: é uma soma de parcelas iguais. assim: 4 x 3 = 12 ou 4 ▪ 3 = 12 que se lê. 9} são chamados algarismos indo-arábicos e a partir deles. Observe: 3 + 3 + 3 + 3 = 12 Podemos representar a mesma igualdade de uma forma diferente. Essa operação chama-se multiplicação e é indicada pelo sinal x ou ▪ Na multiplicação 4 x 3 = 12. POTENCIAÇÃO: Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais: 5 x 5 x 5. ou seja. Exemplo: 5 ÷10 = ∃/ (ou seja. é impossível dividir qualquer número por zero. resto Algumas observações importantes: No conjunto IN não se pode dividir um número menor por um número maior. temos que: 5 3 = 125 potência base Onde: • 5 é a base (que é o fator que se repete) • 3 é o expoente (o número de vezes que repetimos a base) • 125 é a potência (que é o resultado da operação) 7 . 5 dividido por 10 não existe) Zero dividido por qualquer número (diferente de zero) dá sempre zero. Joaquim Rodrigues 4. não existe divisão por zero. resto dividendo 17 3 divisor 2 5 quociente Quando o resto da divisão for diferente de zero. ou seja: 53 = 5 × 5 × 5 = 125 expoente Desta forma. a divisão não é exata. que vamos indicar por 53 . 0 ÷ 10 = 0 Mas. 10 ÷ 0 = ∃/ 5. DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação dividendo 12 3 divisor 0 4 quociente Quando o resto da divisão for igual a zero.Prof. dizemos que a divisão é exata. basta repetir o número 1 e acrescentar tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. n ∈ IN e n ≥ 2 142 4 43 4 n vezes • Se n = 0 ⇒ a 0 = 1 (a ≠ 0) • Se n = 1 ⇒ a1 = a (∀ a ) PROPRIEDADES 1. Exemplos: a) 71 = 7 b) 201 = 20 qualquer número (exceto o zero) elevado a zero é igual a 1. lê-se ao cubo.. lê-se ao quadrado.000 (5 zeros) INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES Não é preciso escrever o expoente quando o número é elevado a 1. a m ⋅ a n = a m + n 2. não importa o tamanho do número) para resolver uma potência de base 10.Casos particulares: NÃO ESQUEÇA VIU!!! qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele próprio.. Quando o expoente é 3. ⋅ a . (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n n an a 5. (a m ) n = a m ⋅ n 4. é definida como: a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ . am a n = a m − n ( a ≠ 0 e m ≥ n) 3. lê-se à quarta potência. pois fica subentendido. Quando o expoente é 4. etc Assim. Exemplos: a) 8 0 = 1 b) 235 0 = 1 (viu. Quando o expoente é 2. Exemplos: a) 101 = 10 (1 zero) b) 10 2 = 100 (2 zeros) c) 10 5 = 10. podemos dizer que a POTENCIAÇÃO EM IN. = b bn (b ≠ 0) 8 . como nesse caso que examinamos. a pergunta inversa: qual é o número que elevado ao quadrado dá 9? A resposta é 3. Então podemos fazer simplesmente assim: 9 = 3 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Numa expressão numérica com adição e subtração. índice do radical E sua operação é chamada de radiciação e indicada assim: 2 9 = 3 raiz radicando • • • o símbolo chama-se radical o número 9 é o radicando o número 3. que é o resultado da operação chama-se raiz quadrada de 9 Obs.Prof. Exemplos: 1) 35 − 18 + 13 = 17 + 13 = 30 2) 57 + 35 − 42 − 15 = 92 − 42 − 15 = 50 − 15 = 35 E se a expressão tiver parênteses ( ). a raiz chama-se quadrada e não há a necessidade de se escrevê-la. o que devemos fazer primeiro? Devemos efetuar essas operações na ordem em que aparecem na expressão.: quando o índice do radical é 2. Exemplos: 1) 35 + [80 − (42 + 11)] = 35 + [80 − 53] = 35 + 27 = 62 2) 18 + {72 − [43 + (35 − 28 + 13)]} 18 + {72 − [43 + 20]} 18 + {72 − 63} 18 + 9 = 27 9 . RADICIAÇÃO: Consideremos o caso particular de um número natural elevado ao quadrado. Por exemplo: quanto dá o número 3 elevado ao quadrado? 32 = 9 E se fizermos agora. depois as operações entre colchetes e por último as operações entre chaves. colchetes [ ] e chaves { }? Em primeiro lugar. Joaquim Rodrigues 6. devemos resolver as operações indicadas entre parênteses. também na ordem em que aparecem. Exemplos: 1) 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 8 − 2 ⋅ 9 = 12 + 40 − 18 = 52 − 18 = 34 2) 9 ⋅ 6 − 4 ⋅ 12 + 7 ⋅ 2 = 54 − 48 + 14 = 6 + 14 = 20 3) 75 − {(18 ⋅ 6) − 7 ⋅ [12 − 2 ⋅ (10 − 8 + 4) + (3 ⋅ 5)] + (6 ⋅ 7)} 75 − {108 − 7 ⋅ [12 − 2 ⋅ 6 + 15] + 42} 75 − {108 − 7 ⋅ [12 − 12 + 15] + 42} 75 − {108 − 7 ⋅ [0 + 15] + 42} 75 − {108 − 7 ⋅ 15 + 42} 75 − {108 − 105 + 42} 75 − {3 + 42} 75 − 45 = 30 4) 22 + {12 + [(6 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9) − (3 ⋅ 7)] − 8 ⋅ 9} 22 + {12 + [(48 + 36) − 21] − 72} 22 + {12 + [84 − 21] − 72} 22 + {12 + 63 − 72} 22 + 3 = 25 Para calcular o valor das expressões numéricas com as quatro operações: 1º ) efetuamos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem.Para calcular o valor de expressões numéricas com as operações de adição. Exemplos: 1) 3 ⋅ 15 + 36 ÷ 9 = 45 + 4 = 49 2) 18 ÷ 3 ⋅ 2 + 8 − 6 ⋅ 5 ÷ 10 6 ⋅ 2 + 8 − 30 ÷ 10 12 + 8 − 3 = 17 3) [(36 ⋅ 4) + (72 ÷ 9 + 6 ⋅ 12)] + 16 [144 + (8 + 72)] + 16 [144 + 80] + 16 224 + 16 = 240 4) 11 − {(46 ÷ 2) + 3 ⋅ [(52 ÷ 4) − (3 ⋅ 4 + 1)] − (120 ÷ 10)} 11 − {23 + 3 ⋅ [13 − (12 + 1)] − 12} 11 − {23 + 3 ⋅ [13 − 13] − 12} 11 − {23 + 3 ⋅ 0 − 12} 11 − {23 + 0 − 12} 11 − 11 = 0 10 . 2º ) efetuamos as adições e as subtrações. subtração e multiplicação: 1º ) efetuamos as multiplicações. 2º ) efetuamos as adições e as subtrações. da esquerda para a direita. na ordem em que aparecerem. começamos pelas expressões que estão dentro dos parênteses. a partir do mais interno. no caso de estar um dentro do outro. EXEMPLOS Resolva as expressões: a) 5 2 + 8 2 − 18 − 7 ⋅ 2 Resolução 25 + 64 − 18 − 14 = 69 − 32 = 57 b) (5 2 + 8 2 − 18 − 7) ⋅ 2 Resolução (25 + 64 − 25) ⋅ 2 = 64 ⋅ 2 = 128 c) 3 2 + 8 + [7 2 + (6 2 ÷ 2) − 3] Resolução 9 + 8 + [49 + (36 ÷ 2) − 3] 17 + [49 + 18 − 3] 17 + 64 = 81 d) 37 − 2 ⋅ {5 + 8 ÷ 2 − [4 ⋅ 6 − 20 ⋅ (9 − 8)]} Resolução 37 − 2 ⋅ {5 + 4 − [24 − 20 ⋅ 1]} 37 − 2 ⋅ {9 − [24 − 20]} 37 − 2 ⋅ {9 − 4} 37 − 2 ⋅ 5 = 37 − 10 = 27 e) 1 + 2 ⋅ {3 ⋅ 7 − [2 2 + (3 2 − 3 ⋅ 2) ⋅ 5]} Resolução 1 + 2 ⋅ {21 − [4 + (9 − 6) ⋅ 5]} 1 + 2 ⋅ {21 − [4 + 3 ⋅ 5]} 1 + 2 ⋅ {21 − [4 + 15]} 1 + 2 ⋅ {21 − 19} = 1 + 2 ⋅ 2 = 1 + 4 = 5 11 . a posição dos parênteses. A ordem de resolução das operações deve ser. em uma expressão numérica. na ordem em que aparecerem. LEMBRETE IMPORTANTE Veja que. na ordem em que aparecerem. adição e subtração.: Ao resolver uma expressão numérica. colchetes e chaves. Para ficar mais fácil.Prof. na ordem em que aparecerem e finalmente. multiplicação e divisão. colchetes ou chaves. colchetes e chaves alteram o resultado da expressão. nessa ordem. potenciação e radiciação. devemos eliminar parênteses. Joaquim Rodrigues IMPORTANTE: não se esqueça da ordem de resolução numa expressão numérica 1º) potenciação 2º) multiplicação e divisão 3º) adição e subtração Obs. .5 2 iii. o sinal de menos não.: (+2) 2 = + 4 e (+2) 3 = +8 Base negativa (expoente par) dá resultado positivo..: = 0. 0..: = 3. Multiplicação e divisão Regra de sinais Sinais iguais (resultado positivo) Sinais opostos (resultado negativo) Ex. Base negativa (expoente ímpar) dá resultado negativo. um número inteiro 3 6 9 12 Ex. é que está elevado ao quadrado. Ex. 3 12 . Ex.: (−2) 3 = −8 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS p Os números racionais formam um conjunto que se indica por: Q = x / x = . 1. pois nesse caso.} OPERAÇÕES EM Z 1. . • Ex. 2. −2. pois (−2) 2 = + 4 . Potenciação com expoente natural • Base positiva (expoente par ou ímpar) dá resultado positivo. −3.: (−2) ⋅ (+3) = −6 e (+2) ⋅ (−3) = −6 3.. 3.: cuidado.: (+2) ⋅ (+3) = + 6 e (−2) ⋅ (−3) = + 6 Ex. p ∈ Z e q ∈ Z * q Observe que: p Um número racional (q ≠ 0) ...: 3 = = = = = . −1. Adição e subtração 2..CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros formam um conjunto que se indica por Z = { .. um número decimal exato 7 Ex.333. um número decimal periódico (dízima periódica) 1 Ex. 1 2 3 4 ii. somente o 2. mas − 2 2 = − 4 . pode ser: q i..: (−2) 2 = + 4 • Obs. : 2 5 1 a) + − tirando o mmc (3. 12) encontramos 24.Prof.: 2 5 2+5 7 a) + = = 3 3 3 3 11 7 11 − 7 4 − = = b) 5 5 5 5 2. por cada um dos denominadores e o resultado multiplicar pelo numerador de cada fração correspondente. 5) encontramos 60. assim: 3 12 5 2 5 1 20 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 − 12 ⋅ 1 40 + 25 − 12 53 = + − = = 3 12 5 60 60 60 b) 3 5 3 5 3 2 5 − 2 + . logo: 3 2 5 3 ⋅ 3 − 24 ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 9 − 48 + 10 − 29 29 − + = = = =− 8 1 12 24 24 24 24 13 . Ex. depois dividir o novo denominador. 1. Adição e subtração (com os denominadores diferentes) É só tirar o mmc dos denominadores. Adição e subtração (com o mesmo denominador) Conserve o denominador e efetue a operação indicada no numerador Ex. que é o mmc. note que podemos fazer − 2 + igual a − + 8 12 8 12 8 1 12 e tirando o mmc (8. 12. Joaquim Rodrigues OPERAÇÕES EM Q (COM FRAÇÕES) 1. basta fazer 2 = = = 5 5 5 5 Na divisão.3. Ex. devemos conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da outra. devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Ex. é possível simplificar antes o 2 com o 4) 3 4 2 5 1 5 5 ⋅ = ⋅ = 3 4 3 2 6 3 2 ⋅ ⋅ 7 (vamos simplificar 3 com 3) 5 3 3 2 1 2 7 2 7 ⋅ ⋅ 7 = ⋅ ⋅ (veja que temos 2 = e 7 = ) 5 3 5 1 1 1 1 3 2 1 2 7 14 ⋅ ⋅7 = ⋅ ⋅ = 5 3 5 1 1 5 14 Obs. assim: 5 14 4 14 4 4 =2 = 2 (o que significa que são 2 inteiros e ) 5 5 5 5 5 4 5 ⋅ 2 + 4 10 + 4 14 e para retornar à fração.: 2 5 2 ⋅ 5 10 a) ⋅ = = 3 7 3 ⋅ 7 21 b) c) 2 5 ⋅ (note que nesse caso.: 2 5 2 7 14 a) : = ⋅ = 3 7 3 5 15 b) 1 3 1 7 7 : = ⋅ = 3 7 3 3 9 c) 3 1 3 3 9 : = ⋅ = 7 3 7 1 7 d) 3 3 3 3 1 1 :3 = : = ⋅ = 7 7 1 7 3 7 14 .: veja que essa fração pode ser escrita como uma fração mista. Multiplicação e divisão Na multiplicação. colocamos 3 zeros) 1.171 = = (3 casas após a vírgula.000 1.000 5 1 d) 0.37 = (2 casas após a vírgula.Prof. devemos inverter a fração para depois elevar ao mesmo expoente com o sinal tro- a cado.000 15 . colocamos 2 zeros) 100 0171 171 c) 0. colocamos 1 zero) 10 237 b) 2.: 13 a) 1.003 = = 1. 3 é o mesmo que .000 1. Ex.5 = = (veja que nesse caso. logo: 1 3 3− 2 = 1 −2 2 1 1 = = 9 3 Ou ainda podemos usar a seguinte propriedade a − n = 3− 2 = 1 32 = 1 an . assim: 1 9 REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL EXATO EM FRAÇÃO Devemos colocar um traço de fração. em seguida. Joaquim Rodrigues 4. escrevemos no numerador.: = = 3 32 9 • com expoente inteiro negativo Nesse caso. Potenciação • com expoente natural n an a Basta elevar o numerador e o denominador ao expoente. é possível simplificar) 10 2 0003 3 e) 0.3 = (1 casa após a vírgula. o número sem a vírgula e no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantos forem as casas após a vírgula. conforme a propriedade b Ex.: 2 a) 3 1 b) 3 −2 −3 −n b = a n 2 9 3 = = 4 2 3 3 = = 33 = 27 1 3 c) 3 −2 note que nesse caso. seguindo a propriedade = b bn 2 22 4 2 Ex. 218 b) 2....: 3 5 1 2 m an = n am a) 2 5 = 2 3 b) 3 2 = 31 = 3 2 c) 3 − 23 2 33 3 = =3 2 2 2 16 .418 99. 457 = 3 + = (observe que o traço acima do número nas casas deci999 999 999 mais.35453453...618.41421.900 99.. Ex. c) e = 2. seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos do ante-período. 232323.. Ex. = 2 + = 2+ = = 99900 99... = 1 + = = 99 99 99 457 2.900 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS São todos os números decimais não exatos e não periódicos.. indica que ele é o número que repete..900 ⋅ 2 + 35.900 99.7182.: a) 2 = 1.1413.997 + 457 3.23131. b) π = 3. seguido de um período. menos o ante-período e cujo denominador é formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período. ou período) Dízimas compostas: uma dízima periódica composta é igual à parte inteira mais uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período.REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE UMA DÍZIMA EM FRAÇÃO Dízima simples: uma dízima periódica simples é igual à parte inteira mais uma fração cujo numerador é o período e cujo denominador é um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS É a união entre os racionais e os irracionais Expoentes fracionários: Ex.: 231 − 2 229 a) 0. d) ϕ = 1. = 0 + = 990 990 35453 − 35 35..418 235..333. = 0 + = = 9 9 3 23 99 + 23 122 b) 1.: 3 3 1 a) 0. Ex...454 = c) 3.. a n a b a = n⋅m n 4. 3 2 ⋅ 5 = 3 21 ⋅ 2 51 = 6 21 ⋅ 2 ⋅ 6 51 ⋅ 3 = 6 2 2 ⋅ 6 5 3 agora já temos os índices iguais. nos valemos da propriedade 1 ( a ⋅ b = n a ⋅b ) 3 2 ⋅ 5 = 3 21 ⋅ 2 51 = 6 21⋅ 2 ⋅ 6 51⋅ 3 = 6 2 2 ⋅ 6 5 3 = 6 2 2 ⋅ 5 3 = 6 4 ⋅ 125 = 6 500 17 . assim: 3 2 ⋅ 5 observe que os índices são 3 e 2 e o mmc entre eles é 6 (este será o novo índice) 3 2 ⋅ 5 = 3 21 ⋅ 2 51 devemos pegar o mmc que é 6. caso contrário. é preciso tirar o mmc dos índices para depois aplicarmos as propriedades. dividir pelo índice do primeiro radical e multi- plicar pelo expoente do respectivo radicando e fazer o mesmo com o segundo radical. n n Então.Prof. 3. a n = n (b ≠ 0) n n⋅ p a ap am⋅ p am Obs.: As propriedades 1 e 2 só valem se os índices forem iguais. n n a⋅ b = n 2. n am = m a ⋅b =n b n m n 6. Joaquim Rodrigues PROPRIEDADES DOS RADICAIS 1. ( a ) p = 5. ou ambos. Multiplicaremos os dois termos da fração pelo denominador. 2 Ex. 2 3 × 3 3 2 3 3 3 (note que ao multiplicar × = radicando 2 3 × 3 3 = 3 é o mesmo que 3 2⋅ 3 3⋅ 3 = 2 3 3⋅3 = 2 3 2 3 32 2 3 3 por 3 .RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Quando o denominador é irracional. 2 Ex.: Racionalizar o denominador de 3 multiplicamos o numerador e o denominador por 3 . assim: 2 3 × logo. 1º caso: o denominador é um radical de 2º grau. Essa transformação denomina-se racionalização do denominador.: Racionalizar o denominador de 7 2 3 multiplicamos o numerador e o denominador por 7 5 7 7 2 ⋅ 35 3 7 2 35 3 . Multiplicaremos os dois termos da fração pela potência do denominador que tornar o expoente do radicando igual ao índice. não estamos alterando a expressão. assim: 7 2 35 × = = = = 7 2 7 5 7 2 5 7 7 7 2 7 5 3 3 3 3 ⋅ 3 3 ⋅3 3 2 2 35 7 5 3º caso: denominador binômio em que um só termo. baseando-se no princípio: “o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença de seus quadrados”. são radicais de 2º grau. é útil transformar a fração numa equivalente de denominador racional. que continua sendo 2 3 3 3 = 1.: Racionalizar o denominador de 5− 3 A expressão conjugada de 5 − 3 é 5 + 3 logo 2 5− 3 × 5+ 3 5+ 3 = 2 ( 5 + 3) ( 5) 2 − ( 3) 2 = 2 ( 5 + 3) 2 ( 5 + 3) = = 5+ 3 5−3 2 18 . logo: 2⋅ 3 3⋅ 3 = 2 3 3⋅3 = 2 3 32 = 2 3 3 2º caso: o denominador é um radical de grau qualquer. pois × 1 . ) aqui devemos simplificar o índice do radical com o expoente do 2 3 2 = 3 2 = 3 . 2 Ex. Multiplicaremos os dois temos da fração pela expressão conjugada do denominador. A racionalização é obtida multiplicando-se ambos os termos da fração por uma expressão convenientemente escolhida e denominada fator racionalizante. Cubo de uma diferença: (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 6. Dada a frequência com que são usadas. Joaquim Rodrigues IGUALDADES EM IR Uma relação muito importante definida em IR (conjunto dos números reais) é a relação de igualdade. Fatoração por agrupamento 3. Quadrado da soma ou da diferença 5. IDENTIDADES NOTÁVEIS As igualdades entre expressões algébricas que independem das variáveis são chamadas de identidades. Casos de fatoração: 1. 2. Diferença de dois quadrados 4. Quadrado da diferença: (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 3. As igualdades entre duas expressões algébricas podem se de dois tipos: 1. Fator evidência 2. Produto da soma pela diferença: (a + b) (a − b) = a 2 − b 2 4. A é o primeiro membro e B é o segundo membro. Identidades: são igualdades que se verificam quaisquer que sejam os valores atribuídos às variáveis. Equações: são igualdades condicionais que se verificam apenas para determinado(s) valor(es) atribuído(s) às variáveis. 1. Trinômio quadrado perfeito 19 . algumas identidades são ditas notáveis. Na igualdade A = B . Quadrado da soma: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. Soma de dois cubos: a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2 ) 7.Prof. cujos fatores devem ser os mais simples possíveis. Diferença de dois cubos: a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2 ) FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS Fatorar um polinômio é escrevê-lo na forma de um produto. Cubo de uma soma: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5. temos um produto da soma pela diferença de dois termos (3b + 2)(3b − 2) = (3b) 2 − (2) 2 = 9b 2 − 4 d) (3a − 2b)(9a 2 + 6ab + 4b 2 ) Resolução Diferença de dois cubos (3a − 2b)(9a 2 + 6ab + 4b 2 ) = (3a ) 3 − (2b) 3 = 27 a 3 − 8b 3 e) (m + 5 y )(m 2 − 5my + 25 y 2 ) Resolução Soma de dois cubos (m + 5 y )(m 2 − 5my + 25 y 2 ) = (m) 3 + (5 y ) 3 = m 3 + 125 y 3 f) (2 + 3b) 3 Resolução Cubo da soma (2 + 3b) 3 = (2) 3 + 3 ⋅ (2) 2 ⋅ 3b + 3 ⋅ (2) ⋅ (3b) 2 + (3b) 3 (2 + 3b) 3 = 8 + 3 ⋅ 4 ⋅ 3b + 3 ⋅ 2 ⋅ 9b 2 + 27b 3 (2 + 3b) 3 = 8 + 36b + 54b 3 + 27b 3 g) (5 − 2 y 2 ) 3 Resolução Cubo da diferença (5 − 2 y 2 ) 3 = (5) 3 − 3 ⋅ (5) 2 ⋅ (2 y 2 ) + 3 ⋅ (5) ⋅ (2 y 2 ) 2 − (2 y 2 ) 3 (5 − 2 y 2 ) 3 = 125 − 3 ⋅ 25 ⋅ 2 y 2 + 3 ⋅ 5 ⋅ 4 y 4 − 8 y 6 (5 − 2 y 2 ) 3 = 125 − 150 y 2 + 60 y 4 − 8 y 6 20 .Questão 01 Desenvolva: a) (3 x + 2 y ) 2 Resolução Temos um quadrado da soma de dois termos (3 x + 2 y ) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 2 y + (2 y ) 2 = 9 x 2 + 12 xy + 4 y 2 b) (a − 3b) 2 Resolução Agora. temos um quadrado da diferença de dois termos (a − 3b) 2 = (a ) 2 − 2 ⋅ a ⋅ 3b + (3b) 2 = a 2 − 6ab + 9b 2 c) (3b + 2)(3b − 2) Resolução Agora. Joaquim Rodrigues Questão 02 Fatore as expressões: a) 15 x 2 y + 20 x 3 y 2 − 5 x 2 yz Resolução Colocamos x. 6 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 4 x 2 y + 2 xy − 6 y = (2 x 2 − x + 3)(3 x − 2 y ) e) 9 − 4 x 2 Resolução Diferença de dois quadrados 9 − 4 x 2 = 3 2 − (2 x) 2 = (3 − 2 x)(3 + 2 x) f) 25 2 n a − 16b 6 81 Resolução Diferença de dois quadrados 2 25 2 n 5 5 5 a − 16b 6 = a n − (4b 3 ) 2 = a n − 4b 3 a n + 4b 3 81 9 9 9 21 . y e 5 em evidência 15 x 2 y + 20 x 3 y 2 − 5 x 2 yz = 5 xy (3 x + 4 x 2 y − xz ) b) a 3 x 2 y + a 2 xy 3 Resolução Colocamos a 2 .Prof. x e y em evidência a 3 x 2 y + a 2 xy 3 = a 2 xy (ax + y 2 ) c) 5 x − 15 + xy − 3 y Resolução Fatoramos por agrupamento 5 x − 15 + xy − 3 y = 5( x − 3) + y ( x − 3) = ( x − 3)(5 + y ) d) 6 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 4 x 2 y + 2 xy − 6 y Resolução Fatoramos mais uma vez por agrupamento. agrupamos de 3 em 3 6 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 4 x 2 y + 2 xy − 6 y = 3 x (2 x 2 − x + 3) − 2 y (2 x 2 − x + 3) e agora colocamos 2 x 2 − x + 3 em evidência. só que agora. 9a 2 + 12ab + 4b 2 − 16n 2 = (9a 2 + 12ab + 4b 2 ) − 16n 2 9a 2 + 12ab + 4b 2 − 16n 2 = (3a + 2b) 2 − (4n) 2 9a 2 + 12ab + 4b 2 − 16n 2 = [(3a + 2b) − 4n] ⋅ [(3a + 2b) + 4n] 9a 2 + 12ab + 4b 2 − 16n 2 = [3a + 2b − 4n] ⋅ [3a + 2b + 4n] 22 . Primeiro. temos uma mistura de duas fatorações. um trinômio quadrado perfeito e depois uma diferença de dois quadrados.g) x 2 + 6 xy + 9 y 2 Resolução Trinômio quadrado perfeito x 2 + 6 xy + 9 y 2 = ( x + 3 y ) 2 h) 4m 2 − 12mn 3 + 9n 6 Resolução Trinômio quadrado perfeito 4m 2 − 12mn 3 + 9n 6 = (2m − 3n 3 ) 2 i) 9a 2 + 12ab + 4b 2 − 16n 2 Resolução Note que nesse caso. obtemos outra equação equivalente à anterior. Esta propriedade permite: i. Por exemplo: “Eu estudo para passar no concurso” Quando uma sentença envolve números. Por exemplo: a) 4 = 7 b) 15 − 7 = 8 Sentença matemática aberta: são aquelas que apresentam valores desconhecidos e. 6x − 4 = 2 ⇒ 6x = 2 + 4 NOTA: Por que princípio aditivo quando estamos subtraindo? Porque matematicamente subtrair é o mesmo que somar o oposto. Joaquim Rodrigues EQUAÇÕES Sentença é um conjunto de palavras que tem sentido completo. então a + k = b + k . Por exemplo: a) x − 7 = 13 b) 2 x + 3 y = 14 EQUAÇÃO é. Variável ou incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma expressão ou equação.Prof. ou seja: se a = b . ela é chamada de sentença matemática. trocando seu sinal. 5 x 2 − 7 = 10 − 7 ⇒ 5 x 2 = 10 ii. por isso. Sentença matemática fechada: são aquelas que apresentam valores desconhecidos. PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES 1. x+3 = 5 ⇒ x+3−3 = 5−3 E como a soma de dois números opostos é igual a zero. temos que: x + 0 = 5 − 3 ⇒ x = 2 23 . uma sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. podendo ser falsas ou verdadeiras. portanto. que é o elemento neutro da adição. transpor um termo de um membro para outro. não podemos dizer se são verdadeiras ou falsas. Princípio aditivo: quando adicionamos ou subtraímos o mesmo número aos dois membros de uma equação. cancelar um termo comum aos dois membros de uma equação. Por exemplo: “3 + 2 = 5” As sentenças matemáticas podem ser fechadas ou abertas. multiplicando ambos os membros pelo mmc dos denominadores. a toda equação que após efetuadas todas as simplificações possíveis. para a ≠ 0 ii. que admitem pelo menos uma solução comum.2. traduzir o problema do português para o “matematiquês” 2. 1 1 3x = 6 ⇒ 3x ⋅ = 6 ⋅ 3 3 E como o produto de um número pelo seu inverso é igual a 1. eliminar os denominadores de uma equação. temos que: x ⋅ 1 = ⇒ x=2 3 CONCLUSÃO: Você percebeu que resolver uma equação significa isolar a incógnita. Para resolver problemas de 1º grau. cancelar um fator não nulo comum aos dois membros de uma equação. equivalente à anterior. diferente de zero. ax 2 = a ( x + 2) ⇒ x 2 = x + 2 . EQUAÇÃO DE 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL Chamamos de equação de 1º grau com uma variável. se reduz à forma: ax + b = 0 . SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU Sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que são satisfeitas para os mesmos valores das incógnitas. neste momento encontramos o valor da incógnita daquela situação. transpor um fator não nulo de um membro para o denominador do outro membro 6 3x = 6 ⇒ x = 3 iii. Resolver essa equação é encontrar sua raiz. isto é. ou seja: se a = b . o valor de x que a satisfaz. Princípio multiplicativo: quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma equação por um mesmo número. PROBLEMAS DE 1º GRAU São problemas que podem ser resolvidos com equações ou ainda com sistemas de equações de 1º grau. então a ⋅ k = b ⋅ k (k ≠ 0) . encontramos uma nova equação. devemos seguir os seguintes passos: 1. Esta propriedade permite: i. verificar se as raízes são compatíveis com o problema 24 . 2x x +1 x +1 2x −2= ⇒ 6⋅ − 2 = 6 ⋅ 3 2 2 3 NOTA: Por que princípio multiplicativo quando estamos dividindo? Porque matematicamente dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso. ou seja. por que quando ela fica sozinha de um dos lados da igualdade e do outro conseguimos um único valor. que é o elemento neutro da multi6 plicação. resolver a equação (ou o sistema) 3. temos: x (a + b) = a 2 + 2ab + b 2 ⇒ x (a + b) = (a + b) 2 ⇒ x = c) ( a + b) 2 a+b ⇒ x = a+b 2 1 3 − = ( x ≠ ±1) x +1 x −1 x2 −1 Resolução Tiramos o mmc ( x + 1. Multiplicamos os dois membros por ab. após as operações: 2 ⋅ ( x − 1) − ⋅1 ⋅ ( x + 1) = 3 ⋅ 1 (aqui cancelamos os denominadores. a e 1 e temos ab. e colocando x em evidência no primeiro membro. temos o seguinte resultado. 1 e 5 que nesse caso é 15 Multiplicamos os dois lados da igualdade pelo mmc que é 15. encontramos x + 1 e multiplicamos por 1 x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) dividimos por x 2 − 1 x 2 − 1 . encontramos x − 1 e multiplicamos por 2 x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) dividimos por x − 1 .Prof. em cada um dos membros. Resolver as equações: 5x − 1 3 a) x − = 4x − 3 5 Resolução Devemos tirar o mmc entre 1. x − 1 e x 2 − 1) que nesse caso é o próprio x 2 − 1 . Joaquim Rodrigues Exemplos: 1. assim: 5x − 1 3 3 5x − 1 15 ⋅ x − = 15 ⋅ 4 x − ⇒ 15 x − 15 ⋅ = 60 x − 15 ⋅ 3 5 5 3 15 x − 5 ⋅ (5 x − 1) = 60 x − 3 ⋅ 3 ⇒ 15 x − 25 x + 5 = 60 x − 9 − 10 x + 5 = 60 x − 9 ⇒ − 10 x − 60 x = −9 − 5 − 70 x = −14 (−1) multiplicamos ambos os membros por (–1) 14 1 70 x = 14 ⇒ x = . que é o mmc. encontramos 1 e multiplicamos por 3 Agora. x−a x−b x−a x−b ab ⋅ + = 2ab ⇒ ab ⋅ + ab ⋅ = 2ab a b b a a ⋅ ( x − a ) + b ⋅ ( x − b) = 2ab ⇒ ax − a 2 + bx − b 2 = 2ab ax + bx = 2ab + a 2 + b 2 ⇒ ax + bx = a 2 + 2ab + b 2 note que a expressão do segundo membro é um produto notável a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 . 3. dos dois lados da igualdade) 2x − 2 − x − 1 = 3 ⇒ x − 3 = 3 ⇒ x = 6 25 . pois x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) Vamos dividir o mmc pelo denominador da primeira fração e multiplicar pelo numerador. que simplificando dá x = 70 5 b) x−a x−b + = 2 (ab ≠ 0 e a ≠ b) b a Resolução Tiramos o mmc entre b. assim: x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) dividimos por x + 1 . Resolver os sistemas: 5 x + y = 16 a) 2 x − 3 y = 3 Resolução Podemos usar o método da substituição. 1) 2 x + 3 y = 8 b) 5 x − 2 y = 1 Resolução Agora. e isolamos a variável y na primeira equação y = 16 − 5 x . 2) 3. temos três soluções para a equação que são: − . Se a um número somarmos o seu dobro e subtrairmos a sua terça parte. então os seus fatores também serão nulos. 1 3x − 1 = 0 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = 3 1 2 x + 1 = 0 ⇒ 2 x = −1 ⇒ x = − 2 x−3= 0 ⇒ x = 3 1 1 E então. e 3 2 3 2. Qual é esse número? Resolução x x x + 2 x − = 16 ⇒ 3 x − = 16 ⇒ 9 x − x = 48 ⇒ 8 x = 48 ⇒ x = 6 3 3 26 . temos: 2x + 3 y = 8 ⇒ 2 ⋅1 + 3 y = 8 ⇒ 2 + 3 y = 8 ⇒ 3 y = 8 − 2 3y = 6 ⇒ y = 2 S : (1. agora. temos um produto que é igual a zero. encontramos 16. é só substituir em y y = 16 − 5 x ⇒ y = 16 − 5 ⋅ 3 = 16 − 15 ⇒ y = 1 S : (3. e daí temos que. vamos usar o método da adição 2 x + 3 y = 8 ( 2) 4 x + 6 y = 16 ⇒ somando membro a membro. substituímos essa variável na segunda equação. se um produto é igual a zero. temos: 5 x − 2 y = 1 (3) 15 x − 6 y = 3 19 x = 19 ⇒ x = 1 Substituindo o valor de x em alguma das equações. assim 2 x − 3 y = 3 ⇒ 2 x − 3 ⋅ (16 − 5 x) = 3 ⇒ 2 x − 48 + 15 x = 3 17 x = 3 + 48 ⇒ 17 x = 51 ⇒ x = 3 encontrado o valor de x.d) (3 x − 1)(2 x + 1)( x − 3) = 0 Resolução Nesse caso. numa equação do 2º grau. Por exemplo: Resolver as equações: a) 5 x 2 = 0 Resolução Note que essa equação do 2º grau. numa equação de 2º grau. 27 . falta o termo b e c Ela pode ser resolvida facilmente assim: 0 5x 2 = 0 ⇒ x 2 = ⇒ x 2 = 0 ⇒ x = ± 0 ⇒ x = ±0 ⇒ x = 0 5 Assim. então ela terá uma única raiz que é {0} b) 3 x 2 − 6 x = 0 Resolução Nesse caso. com todos os termos −b± ∆ diferentes de zero. falta o termo c. Podemos resolver essa equação. quando a equação do 2º grau for incompleta e faltar os termos b e c. EQUAÇÃO COMPLETA Quando a equação de 2º grau for completa. então teremos duas raízes reais e diferentes. as raízes sempre serão simétricas. uma das raízes sempre será igual a 0. 4 x 2 − 36 = 0 ⇒ 4 x 2 = 36 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ±3 Veja que quando faltar o termo b e o termo c for negativo (c < 0). 3 x 2 − 6 x = 0 ⇒ 3 x ( x − 2) = 0 3x = 0 → x′ = 0 x − 2 = 0 → x ′′ = 2 Note que quando faltar o termo c. então não teremos nenhuma raiz real. falta o termo b. ele é responsável pelo número de raízes da equação: • Se ∆ > 0 . onde ∆ = b 2 − 4ac é o 2a discriminante. • Se ∆ = 0 . colocando alguns termos em evidência.Prof. isto é. c) 4 x 2 − 36 = 0 Resolução Agora. isto é. • Se ∆ < 0 . Joaquim Rodrigues EQUAÇÃO DO 2º GRAU É toda equação da forma ax 2 + bx + c = 0 . As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas. então teremos duas raízes reais e iguais ou uma única raiz real. da forma ax 2 + bx + c = 0 . então podemos usar a fórmula de Bháskara: x = . logo as raízes são distintas (diferentes) S : e 1 6 6 3 6 6 3 b) 4 x 2 + 12 x + 9 = 0 Resolução ∆ = 12 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 = 144 − 144 = 0 . podemos dividir ambos os membros por “a”. assim: ax 2 + bx + c 0 ax 2 bx c 0 = ⇒ + + = a a a a a a b c c b x 2 + x + = 0 ⇒ x 2 − − x + = 0 ⇒ x 2 − Sx + P = 0 a a a a ax 2 + bx + c = 0 (÷a ) ⇒ FORMA FATORADA Temos ainda que a forma fatorada da equação do segundo grau é: ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 ) 28 . como ∆ > 0 . como ∆ < 0 .Exemplos: Resolver as equações: a) 3 x 2 − 5 x + 2 = 0 Resolução ∆ = (−5) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 25 − 24 = 1 . então não temos raiz real RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES SOMA DAS RAÍZES: S = x ′ + x ′′ = − b a PRODUTO DAS RAÍZES: P = x ′ ⋅ x ′′ = c a Observe que dada uma equação do segundo grau da forma ax 2 + bx + c = 0 . assim x ′ = x ′′ = − 2⋅4 8 8 2 c) − 3 x 2 + 5 x − 8 = 0 Resolução ∆ = 5 2 − 4 ⋅ (−3) ⋅ (−8) = 25 − 96 = −71 . então teremos duas raízes reais e distintas Aplicamos a fórmula de Bháskara − (−5) ± 1 5 ± 1 = x= 2⋅3 6 5 −1 4 2 5 +1 6 2 x′ = = = e x ′′ = = = 1 . então teremos apenas uma raiz real − 12 ± 0 − 12 ± 0 − 12 3 = = x= . como ∆ = 0 . controlar a sua evolução ao longo do tempo e por outro. Se considerarmos uma pequena empresa e verificarmos como as vendas de determinado produto varia com os investimentos feitos em marketing durante um período de 12 meses. que matematicamente significa uma correspondência entre os elementos de dois conjuntos. mas ao contrário. estamos utilizando função. Quando fazemos isso. Em muitas ocasiões acreditamos que ficaria muito mais fácil. Os matemáticos e os profissionais nas mais diversas áreas buscam encontrar fórmulas que modelem determinados fenômenos ou experimentos. de tal forma que alguma lei (ou regra) possa ser estabelecida. elas existem com a única finalidade de facilitar e simplificar o nosso trabalho. pois podem variar de acordo com a necessidade da situação. Aqui. 00 (o máximo que ela poderia dispor) para investir a cada mês em marketing. O uso da matemática para traduzir relações entre variáveis do nosso dia-a-dia permite-nos estudar determinados comportamentos. As empresas estão cada vez mais interessadas nesse tipo de modelagem. qual seria a venda esperada? • Qual seria o menor valor a ser investido em marketing para que a empresa mantivesse um mínimo de vendas? Estas e outras perguntas poderão ser solucionadas a partir dos nossos conhecimentos sobre função. as vendas de um produto estão fortemente influenciadas pelo seu marketing e isso com o auxílio de uma ferramenta matemática. Resta agora analisar qual será o tipo de função mais adequada a essa situação. precisamos relacionar um determinado valor com um outro. de forma que a partir dessa situação. prever evoluções futuras. Então é importante ter uma boa dose de ferramentas matemáticas que nos permita estabelecer regras e leis para encontrar a fórmula mais adequada. identificar e padronizar essas relações quanto à sua linearidade. queremos demonstrar que mesmo em pequenas empresas. uma vez que evita o desperdício de tempo e de recursos. outros nem tanto. o gerente da empresa possa tomar uma decisão baseada na nossa estratégia. Na matemática esses dois conjuntos serão chamados de domínio e contradomínio. Alguns modelos se encontram associados a cada uma das funções já conhecidas. 29 . temos que uma variável é dependente e a outra independente. mas é nessa hora que devemos nos valer de conhecimentos matemáticos para modelar essa situação e fazer uma previsão do que de fato possa vir a acontecer.Prof. para que seja possível por um lado. Os elementos usados na situação em questão são as variáveis. estamos estabelecendo uma função. resolver alguma situação baseado apenas na nossa intuição. Veja que as questões colocadas aqui são basicamente três: • Qual seria a função que melhor representaria a lei de dependência entre o investimento feito em marketing e o seu respectivo retorno em venda? • Se a empresa tivesse R$ 2.000. Joaquim Rodrigues ESTUDO DAS FUNÇÕES É muito comum ouvirmos que as fórmulas matemáticas só servem para dificultar a nossa vida. Em muitas situações. e como o valor de uma interfere no valor da outra. Se uma televisão ficar ligada 8 horas por dia.05 ⋅ 8 = 0.4 × 30 = 12 Kwh E sabendo que a Companhia de Energia Elétrica de Minas Gerais.05 ⋅ 3 = 0. Agora. o consumo será E (3) = 0. 05 kw) de potência. aproximadamente R$ 0.05 ⋅ 2 = 0. cobra.05 ⋅ 1 = 0. 05 0.57 = 6.4 Kwh Em um mês (30 dias). 15 0. o consumo será E (1) = 0. assim: 30 . em um mês terá consumido 12 kwh.15 E daí. o consumo será E (2) = 0. por exemplo. aproximadamente R$ 7.Veja.00 por mês.05 t descreve a energia consumida em função do tempo para uma televisão de 50w (0. temos: 0. Observe os cálculos: E (t ) = 0. só de televisão!!! Note que a energia consumida (E) é uma função do tempo (t).57 por Kwh consumido. 10 0. teremos a seguinte tabela: Tempo (h) 1 2 3 4 Consumo (Kwh) 0. então o preço a pagar por esse consumo será: 12 × 0. vamos organizar essa relação: Se a TV ficar ligada por 1 hora. 20 Ou podemos ainda colocar esses dados em forma de diagrama. a seguinte situação: Os engenheiros eletricistas e físicos constataram que a função E (t ) = 0.10 Se a TV ficar ligada por 3 horas.84 ou seja.05 Se a TV ficar ligada por 2 horas. 10 0. fazer uma definição matemática (formal) de função e encontrar os possíveis modelos. qual será a faixa de consumo para que o custo fique dentro do padrão estabelecido. que são os nossos dois conjuntos. 00 por mês. deve estar circulando de maneira que o passageiro espere no máximo 5 minutos no ponto de ônibus no horário de “rush” à tarde? Então. Veja que o consumo depende do tempo de uso. Se uma família decide gastar R$ 60. são várias as aplicações de função. temos que a função pode ser aplicada a várias situações: • Filas de banco: quantos caixas seriam necessários para se ter uma fila de tamanho médio x qualquer? • Projetos de circuitos elétricos • Quais os pontos ótimos (otimização) de produção numa indústria? • Que quantidade de ônibus da mesma frota. tal qual foi feito com a casa em questão? Será se não podemos aumentar a produtividade dessa empresa. o contradomínio. podemos fazer uma representação gráfica: Consumo (Kwh) 0. com uma tolerância de R$ 4.00 para mais ou para menos. por exemplo. Joaquim Rodrigues Também. é possível fazer uma previsão de consumo e evitar um gasto maior na conta de luz.05 1 2 3 4 Tempo (h) Observe que as variáveis. enquanto que o tempo é a variável independente. 31 . Resta agora. onde a variável tempo será o domínio e a variável consumo.Prof. a partir de certos cortes no desperdício? Assim. são o tempo e o consumo. Veja que a partir desse modelo. Algumas perguntas podem ser feitas. uma indústria. será se não podemos verificar certos desperdícios e criar um modelo. Assim. • Qual será o tempo de uso da TV? • Qual será o tempo de uso do chuveiro elétrico? • Qual será o tempo de uso do computador? • etc E se transferimos esse modelo para uma situação maior. nessa situação. o consumo é a variável dependente.20 0.15 0. 5} CD = {a. d 4 B A a 1 b 2 c 3 Não é função. que está correspondendo a mais de um elemento de B. c. Note que o elemento 3 de A ficou sobrando. Note que não há nenhum problema em ter mais de um elemento de A. 4} Contradomínio: CD = {a. b. pois todo elemento de A. pois existe um elemento de A. e} Imagem: Im = {a. como é função. c. Note que não há nenhum problema em sobrar elementos em B. correspondendo a um elemento de B. d} É função. d. deve estar correspondendo a um único elemento. pois nem todo elemento de A corresponde a algum elemento de B.Para isso. b. b. como é função. 2. d B A a 1 b 2 c 3 d 4 e A 1 2 B a 3 b c 4 d 5 É função. b. está correspondendo a um único elemento de B. e a definição diz que todo elemento de A. Nesse caso. 3. Nesse caso. d} Im = {a. vamos considerar dois conjuntos A e B e analisar: A B 1 a 2 b 3 c Não é função. 2. d} 32 . está correspondendo a um único elemento de B. temos: D = {1. pois todo elemento de A. temos: Domínio: D = {1. 3. 4. c. c. por exemplo. por exemplo. o domínio será representado pelo eixo x. enquanto que a imagem será representada pelo eixo y. 2) uma lei de correspondência (que é a fórmula que estabelece a lei de correspondência) 33 . para caracterizar uma função precisamos de: 1) dois conjuntos A e B não vazios. no intervalo de a até b. a b x No plano cartesiano.Prof. todo elemento possui uma única imagem. pois existem elementos. o k. pois no intervalo de a até b. a k b x y É função. De maneira geral. que possui mais de uma imagem. podemos fazer a seguinte representação: y Não é função. pois existem elementos. que não possui imagem. k a b x y Não é função. o k. no intervalo de a até b. Joaquim Rodrigues Graficamente. 34 . a imagem é P(x) e a lei de associação é 3x. Nessa fórmula. P ( x) = 3 x . dá: 8 x 3 = 24 Mas note que existe uma correspondência entre o preço a pagar e a quantidade comprada. já temos condições de estabelecer uma fórmula para esta situação. o preço a pagar será chamado de variável dependente. x Preço a pagar 3⋅1 = 3 3⋅ 2 = 6 3⋅ 3 = 9 3 ⋅ 4 = 12 3 ⋅ x = 3x Assim. 00. logo.. Quanto custa 8 caixas do mesmo remédio? Trata-se de um problema simples de multiplicação: 8 caixas de remédio a $ 3. pode ser representada por: P ( x) = 3 x que é a fórmula matemática para representar essa situação.Observe a seguinte situação: “Uma caixa de remédios custa R$ 3. Quantidade de caixas 1 2 3 4 Preço a pagar 3 6 9 12 Quantidade de caixas Preço a pagar 1 3 2 6 3 9 4 1 Preço a pagar 12 Podemos observar que o preço a pagar depende da quantidade comprada. baseado na observação da correspondência entre o preço a pagar e a quantidade comprada: Quantidade de caixas 1 2 3 4 . temos que o preço a pagar P em função da quantidade x. o domínio é x.. 9 6 3 1 2 3 4 Quantidade de caixas Agora. enquanto que a quantidade de caixas será a variável independente. 00 cada uma. calcule: x c) f (0) d) f (2) 1 e) f 2 Resolução: 10 = −5 ou seja.) ou simplesmente domínio (D) da função. temos que: 2x − 6 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 6 ⇒ x ≥ 3 E finalmente D = {x ∈ IR / x ≥ 3} 35 . Resolução: Podemos perceber que qualquer número pode ser colocado sob o radical. logo. Assim. obtenha o seu domínio. 00. estamos estabelecendo a condição de existência (C. quando o domínio x for igual a 1. Veja: P(1) = 3 P(2) = 6 P(3) = 9 Note que também poderíamos calcular P ( −2) = 3 ⋅ (−2) ⇒ P ( −2) = −6 mas observe que nesse caso. Observe outros exemplos: Exemplo 01 Uma função é definida por f ( x) = a) f (−2) b) f (−1 ) 10 . É nesse momento que iremos verificar em qual conjunto a função irá existir. a imagem será 3 ⋅1 = 3 . a imagem de x = −1 é y = −10 −1 10 (veja que neste caso. a) f ( −2) = Exemplo 02 Dada a função f ( x ) = 2 x − 6 . o domínio será D = {x ∈ IR / x ≠ 0 } ou seja. Com isso. não existe a divisão por zero) c) f (0) = 0 10 d) f ( 2) = =5 2 2 20 1 10 = 10 ⋅ = = 20 e) f = 1 1 2 1 2 Então.Prof. aqui.E. exceto algum número negativo. só não pode ser negativa. a imagem de x = −2 é y = −5 −2 10 b) f ( −1) = = −10 ou seja. queremos dizer que x pode ser qualquer número. a expressão 2x − 6 deve ser positiva ou até mesmo igual a zero. exceto o zero. não faz sentido comprar −2 caixas de remédio e pagar R$ −6. Joaquim Rodrigues Assim. 00 b) CALCULE o custo de fabricação da 10ª unidade da mercadoria. Exemplo 01 O custo total de fabricação de q unidades de certa mercadoria é dado pela função C (q ) = q 3 − 30q 2 + 500q + 200 . CALCULE a área de superfície corporal de uma pessoa de 70 kg de massa. O custo de fabricação de 10 unidades é o valor da função custo total quando q = 10 logo. onde o domínio é a massa (m) e a imagem será a área. como C (9) = 9 3 − 30 ⋅ 9 2 + 500 ⋅ 9 + 200 = 2. O custo da fabricação da 10ª unidade. em situações práticas. Se uma pessoa possui 70 kg de massa. letras que sugerem as grandezas em questão.200 assim.11 ⋅ m 3 . nem sempre iremos usar as letras x e y.200.200 − 2. A área. em m2 é calculada em função da massa (m) e é dada por: 2 A(m) = 0. C (10) = 10 3 − 30 ⋅ 10 2 + 500 ⋅ 10 + 200 = 1000 − 30 ⋅ 100 + 5000 + 200 C (10) = 1.999 = 201 o custo para fabricar a 10ª unidade é de R$ 201. então.Algumas aplicações práticas nos mostram que as funções podem ser modeladas no nosso dia a dia. a área da superfície corporal de uma pessoa. por exemplo.000 + 200 = 3. mas sim. a) CALCULE o custo de fabricação de 10 unidades. é a diferença entre o custo de fabricação de 10 unidades e o custo de fabricação de 9 unidades. 36 . temos: C (10) − C (9) = 3.000 + 5.999 . 87 m 2 . o custo para fabricar 10 unidades da mercadoria é R$ 3.000 − 3. veja: NOTA: Observe que. então sua área de superfície corporal será: 2 A(70) = 0. 00 Exemplo 02 Os dermatologistas definiram uma fórmula para calcular aproximadamente.11 ⋅ 70 3 = 1. Joaquim Rodrigues Exemplo 03 O processo mais rigoroso para determinar a frequência cardíaca máxima (FCMax) de um indivíduo (número de batimentos do coração por minuto – bpm) é realizar um teste de esforço físico.Prof. não deve ultrapassar 85% de nossa FCMax. Resolução FC Max ( x) = 220 − x ⇒ FC Max (20) = 220 − 20 = 200 ⇒ 85% de 220 = 0. x FC Max ( x) = 220 − x ou ainda FC Max ( x) = 205 − (esta deve ser usada por pessoas que pra2 ticam atividades físicas com regularidade). em função de sua idade. Mas. 37 . ou seja. FC Max (20) = 170 . onde x é a idade da pessoa. deverá atingir um máximo de 170 bpm Veja que estamos lidando com uma fórmula. em anos. os fisiologistas. para não se sentir mal ao realizar alguma atividade física. a frequência cardíaca. Quando realizamos algum esforço físico. CALCULE o limite máximo de bpm que deve atingir uma pessoa de 20 anos e sedentária. Nesse caso. estabeleceram uma fórmula que permite qualquer pessoa conhecer o valor aproximado de sua frequência cardíaca máxima. para não termos dores (musculares e/ou articulares) nem problemas cardíacos. onde o número de bpm é função da idade. 85 ⋅ 200 = 170 Logo. o domínio é a idade e a imagem será o número de batimentos cardíacos por minuto. acompanhado por um profissional. 1. 5}. y) ∈ A x B / y = x 2 } 38 . 0. b ] é: a) y b) y a b a x c) y b x d) y a b x a b x Questão 03 Considere os conjuntos A = {−2. o contradomínio e o conjunto imagem da função f = {(x. 3. 4. a) A B 1 2 3 4 a b c A B A B 1 2 3 4 5 a b c A B 1 2 3 4 a b c b) c) a b c d e 1 2 3 d) d Questão 02 Das figuras a seguir.EXERCÍCIOS Questão 01 Verifique se os diagramas abaixo definem função de A em B. sendo x ∈ [ a . Determine o domínio. 2. 1. 2} e B = {0. a ÚNICA que representa o gráfico de uma função real y = f (x ) . −1. 6 [ [1. Nessas condições f(0) + f(−1) + f(1) vale: a) −3 b) −1 c) 0 d) 1 e) 3 Questão 08 A figura abaixo mostra o gráfico de uma função real cujo domínio e imagem são. 6 ] ]1. calcule: a) f(2) b) f(−1) c) f(0) Questão 05 Dadas as funções f e g. 10 ] e [1. definidas por f ( x) = 3 x 2 − 5 e g ( x ) = 4 x + 1 . 10 ] e [1.Prof. reais. 6 ] 1 0 3 1 39 9 10 x . determine o valor de f ( 2) − g ( −1) . Questão 06 2x − 1 Se f ( x ) = . 6 ] ]1. 10 [ e ]1. então f(1): x +1 a) não existe b) é 2 1 c) é 2 d) vale zero Questão 07 Seja a função dada por f ( x ) = 2 x 3 − 1 . Joaquim Rodrigues Questão 04 Se f ( x) = 3 x 2 − 5 x + 3 . respectivamente: y 6 a) b) c) d) [1. 10 ] e [1. determine os valores reais de x para que se tenha: a) f(x) = 0 b) f(x) = −15 Questão 11 2 Seja f = ( x . tal que f(x) = 6 Questão 10 Dada a função f ( x) = x 2 − 4 x − 12 .Questão 09 Considere a função cuja lei é dada pela fórmula f ( x) = x 2 + x . 4 − x2 O domínio desta relação é igual a: a) IR+ b) IR 1 c) x ∈ IR / x ≠ − 2 d) {x ∈ IR / x ≠ 2} e) {x ∈ IR / x ≠ 2 e x ≠ −2} Questão 12 O domínio real da função f ( x ) = 3 x + 2 é: a) IR+ 2 b) x ∈ IR / x > − 3 2 c) x ∈ IR / x ≥ − 3 2 d) x ∈ IR / x < − 3 2 e) x ∈ IR / x ≠ − 3 40 . y ) ∈ IR x IR / y = uma relação. Obtenha: a) f(0) b) f(−1) c) o valor de x. ao terem sido gastos 37. b) Calcule o custo de fabricação da 20ª unidade. a) Quantos rádios o operário terá montado às 10 horas da manhã? b) Quantos rádios o operário terá montado entre 9 e 10 horas da manhã? Questão 16 Durante a última campanha de vacinação. um número de rádios transistores.Prof. Classifique como V ou F cada uma das afirmações: a) b) c) d) e) f) g) h) y f(−3) = 7 f(0) = 0 f(4) = 0 f(5) = 0 9 f <0 2 f(3) < 0 f(5) − f(−3) = −11 Im ( f ) = [− 4 . 5 milhões de reais? 40% da população infantil 41 . Questão 15 Um estudo sobre a eficiência de operários do turno da manhã de certa fábrica indica que um operário médio. f(x) tem interpretação prática? 0 ≤ x ≤ 100 Qual foi o custo para vacinar os primeiros 50% das crianças? 50 milhões de reais Qual foi o custo para que os 50% restantes fossem vacinados? 100 milhões de reais Que porcentagem foi vacinada. a) b) c) d) e) Qual o domínio da função f? D = {x ∈ IR / x ≠ 200} Para que valores de x. monta x horas depois de iniciado o expediente. 7] 7 6 5 −3 0 4 x −4 Questão 14 Suponha que o custo total para se fabricar q unidades de certo produto seja dado pela função C ( q ) = q 3 − 30q 2 + 400q + 500 a) Calcule o custo de fabricação de 20 unidades. que é determinado pela função f ( x) = − x 3 + 6 x 2 + 15 x . no contexto do problema. Joaquim Rodrigues Questão 13 O gráfico abaixo é de uma função de [− 3 . que chega ao trabalho às 8 horas da manhã. 5 ] . representantes do Ministério da Saúde constataram que o 150 x custo para vacinar x% da população infantil era de aproximadamente f ( x ) = milhões de 200 − x reais. Estima-se que serão necessários 10 x semanas para arrecadar x% do valor desejado. f ( x) = 150 − x a) Qual o domínio da função f? D = {x ∈ IR / x ≠ 150} b) Para que valores de x. Considere a seguinte tabela: IMC 18. no contexto do problema. se uma pessoa pesa 60 kg e tem altura igual a 1. Qual a expressão que representa a quantia y (em reais) a ser paga por um paciente que fez x sessões de fisioterapia? a) y = (50 + 10) x b) y = 10 x + 50 c) y = 50 x + 10 d) y = x10 + 50 e) y = 50 x − 10 Questão 19 O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E (t ) = t 2 − 8t + 210 . f(x) tem interpretação prática? 0 ≤ x ≤ 100 c) Qual o tempo necessário para arrecadar 50% do valor desejado? 5 semanas d) Qual o tempo necessário para arrecadar 100% do valor desejado? 20 semanas Questão 18 Um clínica de fisioterapia cobra R$ 50. Questão 20 O índice de massa corporal.60m. em m). 00 de matrícula e mais R$ 10. 9 25 a 29 30 a 39 Maior que 40 Situação peso normal sobrepeso (acima do peso) Obeso obesidade grave Com base nas informações anteriores. onde o consumo E é dado em Kwh e ao tempo associa-se t = 0 a Janeiro. indicado por IMC.Questão 17 Uma instituição iniciou um programa para arrecadação de fundos. Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 Kwh. então essa pessoa: a) está com obesidade grave b) está com sobrepeso c) está com peso normal d) é obesa 42 . t = 1 a fevereiro. e assim sucessivamente. 00 por sessão de fisioterapia. 5 a 24. é dado pela fórmula: IMC = peso (peso em kg e (altura ) 2 altura. calcula a dose em função do peso. 70 em kg e D é a dosagem do adulto em mg. Na ausência de uma dose específica poder-se-á fazer uma aproximação com base na idade. d ( p ) = ⋅ D . 30 mg de um medicamento em que a dosagem para um adulto é de 84 mg.8 m de altura. calcule: 60 a) a área da superfície corporal de uma pessoa que pesa 80 kg e tem 1. p é o peso em kg e h. relacionado o número do calçado e o tamanho do pé da pessoa. qual seria o número do calçado de uma pessoa cujo pé mede 24 cm (aproximadamente)? b) Ainda pela fórmula. qual o tamanho do pé (aproximadamente) de uma pessoa que calça 42? 43 . p A fórmula de Clark. Qual o peso de Ana? Questão 23 Pesquisas desenvolvidas por matemáticos e indústrias de calçados determinaram que existe uma função. Um médico receitou à Ana. a informação mais segura é a fornecida pelo fabricante e que está contida na bula. p⋅h A= . que tem 6 anos. Joaquim Rodrigues Questão 21 A área da superfície corporal pode ser calculada aproximadamente pela fórmula de Mosteller. Assim sendo.Prof. são matemática N = 4 a) De acordo com a função. onde d é a dosagem da criança. peso ou superfície corporal. onde A é a área em m2. Questão 22 No que se refere a dosagem de medicamentos para crianças. p é o peso da criança.7 kg. b) o percentual de aumento da área corporal de uma pessoa adulta. em mg. é a estatura em cm. A função tem a seguinte expres5 p + 28 (onde N representa o número do calçado e p o tamanho do pé). caso o seu peso altere de 70 kg para 84. a) 46 b) 26 16. 3. − 1. C b) aumento de 10% 21. 1. D = {−2. V F V F V F V V 14. A 08. 5} Im = {0. 4} b) 11 c) 3 04. 10 06. 1. 2} CD = {0. a) –3 e 2 b) 1 e 3 11. a) D = {x ∈ IR / x ≠ 200} b) 0 ≤ x ≤ 100 c) 50 milhões de reais d) 100 milhões de reais e) 40% da população infantil 17. C 07. (são funções letra a e letra d) 02. a) 5 05. 2. a) D = {x ∈ IR / x ≠ 150} b) 0 ≤ x ≤ 100 c) 5 semanas d) 20 semanas 18. B 19. 0. 25 kg 23. C 13.500. A 09. Abril e Junho 20. a) 0 b) 0 c) –3 e 2 10.RESPOSTAS 01. letra d 03. a) 2 m2 22. a) R$4. E 12.00 15.00 b) R$371. 1. 4. a) 37 b) 28 cm 44 . definir a função de 1º grau ou função afim. a partir daqui algumas funções elementares. cada uma das funções a seguir: a) ( ) y = 3 x + 5 b) ( ) y = −17 x c) ( ) y = 3 − 3 x 2 d) ( ) y = x 5 e) ( ) f ( x ) = x f) ( ) y = 13 g) ( ) f ( x ) = −1 x h) ( ) f ( x) = − 3 i) ( ) f ( x ) = − x j) ( ) f ( x) = − 7 k) ( ) f ( x) = − 3 x + 17 5 45 . (I) identidade ou (C) constante. identifique com um X.Prof. Joaquim Rodrigues FUNÇÃO DE 1º GRAU Veremos. Se m = 0. Exemplos: a) f(x) = −3x + 12 onde m = −3 e n = 12 b) y = 2x − 6 onde m = 2 e n = −6 NOTA Se m ≠ 0 e n = 0. aquelas que são do 1º grau. então f(x) = mx é denominada função linear. então f(x) = n é denominada função constante. que estabelece uma relação de proporcionalidade. Se m = 1 e n = 0. como sendo aquela função que tem a forma f ( x ) = mx + n . (L) linear. a primeira delas é a função de 1º grau. sendo m e n números reais. Podemos então. então f(x) = x é denominada função identidade. Questão 01 Dadas as funções f de IR em IR. a) ( ) f ( x ) = 3 x − 17 b) ( ) f ( x ) = −7 x + 1 c) ( ) g ( x) = 3 x 2 − 12 d) ( ) f ( x ) = 34 − 17 x 2 e) ( ) h ( x ) = 3 x − 3 2 7 f) ( ) y = x − 3 5 2 1 g) ( ) f ( x) = + x 5 h) ( ) y = 3 x + 5 Questão 02 Identifique como (A) afim. Resolução: basta igualar a função f(x) a zero. Exemplo: Calcular o zero (ou raiz) de f ( x ) = 2 x + 8 . 0) Questão 04 Calcular o zero (ou raiz) das seguintes funções: a) f ( x ) = x − 3 b) f ( x ) = −2 x + 4 c) f ( x ) = 3 x d) y = −5 x e) y = x 2x 5 f) y = + 3 6 46 . temos y = 0 ou (−4 . que torna f(x) = 0 ou y = 0 . assim: f(x) = 0 ⇒ 2 x + 8 = 0 ⇒ 2 x = −8 ⇒ x = −4 Note que o valor encontrado (−4) é o que torna a função nula.Questão 03 Dada a função f ( x ) = 3 x − 2 . assim é o ponto onde a curva corta o eixo x. para x = −4 . calcule: a) f (1 ) b) f (2 ) c) f (0 ) d) f (−2 ) 2 e) f 3 f) f( 3) ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DE 1º GRAU Como o próprio nome diz zero ou raiz da função de 1º grau f(x) = mx + n é o valor de x que anula esta função. observe: f ( x ) = 2 x + 8 ⇒ f ( −4) = 2 ⋅ ( −4) + 8 = −8 + 8 = 0 ⇒ f ( −4) = 0 Perceba que nesse caso. isto é. Exemplo Fazer o esboço do gráfico da função f ( x ) = 2 x − 6 Resolução: A função é y = 2 x − 6 Podemos tomar aleatoriamente dois pontos quaisquer. Para fazer o esboço desse gráfico.Prof. para não termos o trabalho de fazer muitas contas. 47 . teremos: 2x − 6 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 cujo ponto será (3 . procuramos tomar pontos mais fáceis de trabalhar. Para uma melhor comodidade. temos a seguinte tabela de valores. 2) Veja que agora. ou grandes demais. com o respectivo gráfico: y x 2 4 y −2 2 2 1 −1 1 2 3 4 x −2 NOTA: Se calcularmos o zero (ou raiz) desta função f ( x ) = 2 x − 6 . etc. de forma que favoreça o esboço. − 2) Para x = 4 ⇒ y = 2 ⋅ 4 − 6 = 8 − 6 = 2 ⇒ y = 2 . por exemplo. CONCLUSÃO: A raiz de uma função é o ponto onde o seu gráfico corta o eixo x. cujo ponto será ( 4 . cujo ponto será ( 2 . Assim. vamos escolher 2 e 4. exatamente onde a reta corta o eixo x. Joaquim Rodrigues GRÁFICO DA FUNÇÃO DE 1º GRAU A representação gráfica de uma função de 1º grau é feita através de uma reta. Para x = 2 ⇒ y = 2 ⋅ 2 − 6 = 4 − 6 = −2 ⇒ y = −2 . mas é claro que não vamos tomas valores pequenos demais. ou com radicais. basta determinar dois pontos quaisquer no plano cartesiano. 0) e que é. é que elas crescem sempre a uma taxa constante. Essa razão 48 . ∆x Perceba que uma característica particular das funções de 1º grau. a diferença é sempre uma constante.COEFICIENTE ANGULAR Vamos considerar a função f ( x ) = 2 x − 6 e o seu gráfico. Note que essa diferença é sempre constante. . temos ∆y 2 ∆y ⇒ = = 2. e vamos ampliar um pouco a tabela de valores: x −2 −1 0 1 2 3 4 y −10 −8 −6 −4 −2 0 2 Vamos chamar de variação de x.. . . Exemplo: ∆x = −1 − ( −2) = −1 + 2 = 1 ∆x = 0 − ( −1) = 0 + 1 = 1 ∆x = 1 − 0 = 1 ∆x = 2 − 1 = 1 . Note que.. à diferença entre dois valores quaisquer de x e vamos representar por ∆x.. Agora. vamos chamar de variação de y.. .. Se dividirmos a variação de y. chamada taxa de variação. também nesse caso. ∆x 1 ∆x ∆y é uma taxa. a diferença entre dois valores quaisquer de y e representar por ∆y.. pela variação de x. Exemplo: ∆y = −8 − ( −10) = −8 + 10 = 2 ∆y = −6 − ( −8) = −6 + 8 = 2 ∆y = −4 − ( −6) = −4 + 6 = 2 ∆y = −2 − ( −4) = −2 + 4 = 2 . já que são ângulos correspondentes. nada mais é que a tangente do ângulo α. e dizemos que m é o coeficiente angular da reta. No triângulo APB formado. y B A α P α 3 x ∆y 2 = . Veja. então tg α = B . observe: ∆x 1 y − yA PB 2 ∆y e como ∆y = y B − y A e ∆x = x B − x A . tg α = = = PA 1 ∆x xB − x A Se representarmos tg α por m.Prof. Nesse triângulo APB. podemos observar que o ângulo PAˆ B = α . Joaquim Rodrigues Veja o gráfico: y B 4 ∆y = 4 − 2 = 2 A 2 P α 3 x 5 4 ∆x = 5 − 4 = 1 Veja que α é o ângulo formado entre o eixo x e a reta no sentido anti-horário (esse ângulo é chamado inclinação da reta). que o coeficiente angular da reta é a taxa de variação. temos m = tg α . então. a taxa de variação 49 . ou seja. 4) e (5. temos f ( 4) = 3 ⋅ 4 − 2 = 12 − 2 ⇒ f ( 4) = 10 Situação 2 Em uma determinada cidade. a) Escreva essa função b) Calcule f(4) Resolução a) a função f ( x ) = ax + b ou y = ax + b passa pelos pontos (2. b) se queremos saber quanto pagará uma pessoa que rodar 8 quilômetros. se chamarmos o número de quilômetros rodados de x e o preço em função de x. é só escolher um dos dois pontos e tomar o coeficiente angular (2.00. a) Escreva a função preço por quilômetro rodado b) Quanto pagará uma pessoa que rodar 8 quilômetros? Resolução Veja que queremos saber na prática. os taxímetros cobram R$ 2. P ( x ) = 1.50 por quilômetro rodado. temos: y = 3 x − 2 ou f ( x) = 3 x − 2 b) para calcular f(4). então ela é o preço fixo e como é cobrado mais R$ 1.00 a bandeirada mais R$ 1. este será o valor variável.Vamos analisar as seguintes situações: Situação 1 Sabe-se que a função f ( x ) = ax + b . no lugar de x e daí. a) se a bandeirada é R$ 2. Assim. 13). cuja taxa de variação ou 13 − 4 9 ⇒ a =3 coeficiente angular é: a = = 5−2 3 agora. passa pelos pontos (2. 4) e a = 3 y = ax + b (substituímos os valores) 4 = 3 ⋅ 2 + b ⇒ 4 = 6 + b ⇒ b = −2 voltando à equação. se existe uma fórmula que permita que o proprietário do táxi. basta substituir 4. por P(x).5 x + 2 . 4) e (5. 13).5 x ou ainda. a variável dependente. tenha um maior controle sobre os seus gastos e se ele tem um lucro dentro de suas expectativas. basta calcular o valor de P(8) P (8) = 1. temos a seguinte função P ( x ) = 2 + 1. ou da frota.50 por quilômetro rodado.5 ⋅ 8 + 2 = 12 + 2 ⇒ P (8) = 14 50 . 000 + 20 x c) igualando as duas funções.000 ⇒ x = 500 ou seja.000 + 30 x = 8.000 ⇒ 10 x = 5. 3.000 500 x (distância) 51 .00 por quilômetro rodado. então temos a seguinte função: C Ferrovia ( x) = 8.000 + 30 x b) Como temos um valor fixo de 8.000.00 mais R$ 30. Resolução Agora temos uma situação de logística.000 − 3.Prof. d) C Rodovia (x) Custo C Ferrovia (x) 18.000 8.000 mais. temos o ponto de equilíbrio.000. a partir de 500 km. o transporte por rodovia se tornará mais caro do que por ferrovia? d) Represente num mesmo sistema cartesiano as duas situações. Joaquim Rodrigues Situação 3 O custo de transporte de certa carga por ferrovia é composto de uma quantia fixa no valor de R$ 8.000 3.000 mais. então temos a seguinte função: C Rodovia ( x) = 3. a) Escreva a função custo por distância percorrida para a rodovia. b) Escreva a função custo por distância percorrida para a ferrovia. e queremos estabelecer uma relação custo / benefício. o custo por rodovia se tornará mais caro.00 mais R$ 20.000 + 20 x ⇒ 30 x − 20 x = 8.00 por quilômetro rodado. 20 por cada quilômetro percorrido. A mesma carga transportada por rodovia tem um custo fixo de R$ 3. 30 por cada quilômetro percorrido. a) Como temos um valor fixo de 3. c) A partir de quantos quilômetros rodados. haverá equilíbrio quando for confeccionado 10 bolos.00. qual é o preço de equilíbrio ou nivelamento? Resolução O ponto de equilíbrio ou de nivelamento ocorre no ponto para o qual a oferta é igual a demanda. haverá uma procura maior de bolos.000 pares? d) Qual a taxa de lucro. pode ser modelada como uma função afim. isto é p = P.400.400 − 5.8 x 0 .2 x + 1.2 x .00. na venda de 1.Situação 4 Uma padaria produz um tipo de bolo. qual o custo máximo possível mensal para essa produção? c) Qual o custo unitário por par de sandálias. Abaixo de 10. irá sobrar bolos na padaria Situação 5 Os analistas de uma fábrica de calçados verificaram que quando produzem 600 pares de chinelos por mês. logo: 10 + 0 . de tal forma que sua função de oferta é p = 10 + 0 .400 y 2 − y1 7. Acima de 10.8 x = 30 − 10 2 x = 20 ⇒ x = 10 ou seja. Se a curva de demanda diária por esses bolos for P = 30 − 1. b) Se a capacidade máxima da fábrica é de 1. onde x é a quantidade ofertada. a) Obtenha a expressão matemática da função que relaciona esse custo mensal (C) com o número de pares produzidos (x).600 1800 ⇒ m= ⇒ m=6 = 900 − 600 300 x 2 − x1 52 . o custo mensal é de R$ 7. vendendo-as por R$ 12.000 pares. na produção de 1. e quando produzem 900 pares por mês.600 7. Eles também sabem que a função que relaciona o custo total de produção e o número de pares produzidos.8 x . o custo total de produção é de R$ 5.00 o par? Resolução a) vamos calcular o coeficiente angular (que é a taxa de variação) Pares de chinelos 600 900 m= custo 5.2 x = 30 − 1.200 pares por mês.600. 600 = 6 ⋅ 600 + n ⇒ 5.000 Para esboçar o gráfico.000 = 6.000 600 900 x d) já sabemos que o custo unitário.000 = 7.000 C (1.Prof.000 O custo total de 1000 pares é R$ 8. então há um lucro de R$ 4.000 pares é de R$ 8.000 C (1. 000.400 + n ⇒ n = 2. e temos: C(x) b) para 1.00.200 pares.600 + n ⇒ n = 2.000 ou (900. 00. 7.400 = 6 ⋅ 900 + n ⇒ 7. temos C(x) = 6x + 2.200 7.200) = 6 ⋅ 1.000 pares. vamos usar os pontos da tabela acima.000 C(1.000 + 2.000 + 2.000) = 6 ⋅ 1. 5.000 e finalmente a função C(x) = 6x + 2.000 (veja que podemos usar qualquer um dos pontos.600 c) para 1.000 = 8 ( R$ 8.000 C(1. pois ambos pertencem à função) e também temos a função: C(x) = 6x + 2.00) 1. que não irá interferir na resolução do problema. Se a venda é de R$ 12.400) ⇒ 7. logo.200 + 2.400 5.600 = 3.000) = 8.00 por par. o custo de uma unidade será 8.200 + 2. temos C(x) = 6x + 2. temos: (600. Joaquim Rodrigues A equação de uma reta é: y = mx + n ou C = mx + n e usando qualquer um dos pontos.600) ⇒ 5.400 = 5.200) = 9. logo.00. um lucro de 50% em relação ao preço de custo. 53 . na produção de 1. 20. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 2. que me permite economizar R$ 8. posso afirmar que: a) é a 1. Se ao final de um percurso sem paradas. 00 no bolso. que me permite economizar R$ 4. 00 e) nas duas alternativas.2 UT por quilômetro rodado. que me permite economizar R$ 4. onde x é o número de quilômetros percorridos. regressando imediatamente ao ponto de partida. que me permite economizar R$ 8. O valor de n é igual a: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Questão 03 Em certa cidade.50 a) Expresse y em função de x b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 11 km? Questão 02 Um táxi cobra R$ 2. cada um fazendo uma viagem de 10 km. 5 AS QUESTÕES 04 e 05 REFEREM-SE À SEGUINTE SITUAÇÃO: O preço. A tarifa y é composta de duas partes: uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte variável (x) que depende do número de quilômetros rodados. Tomar dois táxis diferentes. em reais. 00 b) é a 1.8x + 4. Com esse dinheiro. Tenho duas alternativas: 1. 5 b) 21 c) 25. Ao final de um percurso de n quilômetros. de uma viagem de táxi em certa cidade é dado por P(x) = 0. uma quantia inicial de 4 UT (Unidade taximétrica) e mais 0.40 por quilômetro rodado. o taxímetro marca R$ 8. Questão 04 Tenho R$ 12. o total de quilômetros percorridos foi: a) 15.00 e o quilômetro rodado R$ 0. 00 d) é a 2. nos percursos sem parada.2 UT. pagando por uma viagem de 20 km. 5 d) 27 e) 32. 00 c) é a 2. Sobre a alternativa mais vantajosa. os taxímetros marcam.EXERCÍCIOS Questão 01 O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. posso rodar quantos quilômetros? Questão 05 Preciso tomar um táxi para levar uma encomenda a um local situado a 10 km de distância. 2. Continuar no mesmo táxi. o taxímetro registrou 8. o gasto é o mesmo 54 .60 de bandeirada mais R$ 0. 20 cada unidade. O número de unidades que devem ser vendidas para que o lucro seja de R$ 100.00 e de R$ 1.00 e) R$ 6.00.500.000.200.00 b) R$ 1.000. O valor de x é: a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500 Questão 09 Uma empresa fabrica um produto a um custo fixo de R$ 1. Joaquim Rodrigues Questão 06 Numa cidade há duas empresas transportadoras A e B. assinale a alternativa correta: a) a empresa A é sempre mais vantajosa que a empresa B. O custo total de produção consiste de um valor fixo de R$ 100.200.00 c) R$ 12.000 e) 2.000 será: a) R$ 3.55x + 2. 000 55 .00 por mês e um custo variável por unidade igual a R$ 2.00 Questão 08 Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000. as despesas serão dadas por C(x) = 1. 000.00 e é vendida por R$ 45. Considerando-se que y = 800x e z = 600x + 800.000 unidades por mês. e) as duas empresas cobram o mesmo preço para 6 km rodados. cujos serviços têm respectivamente custos y e z. onde x é o número de quilômetros rodados. O lucro da lanchonete no mês em que o número x de clientes for 4. Cada bolsa fabricada custa R$ 25. A empresa pretende reduzir em 20% seu preço unitário de venda. Atualmente o nível de venda é de 1.00 e vende cada unidade por R$ 5.00.00 por peça fabricada. Qual deverá ser o aumento na quantidade vendida para manter seu lucro mensal? Questão 10 Um fabricante vende peças por R$ 1. a empresa A cobra menos que a B.00 ela deverá fabricar e vender mensalmente x bolsas.00 d) R$ 9. Questão 07 O proprietário de uma lanchonete estima que se ele tem x clientes num mês. c) a empresa B é sempre mais vantajosa que a empresa A.000.00. visando com isso aumentar suas vendas. b) a empresa B é mais vantajosa para distância superior a 4 km. d) para uma distância de 10 km.800 reais e seu faturamento será de aproximadamente R(x) = 3x reais.00 é: a) 100 b) 200 c) 500 d) 1.Prof. 50 por minuto de conversação.00 por visita e R$ 25. pode-se estimar que a renda dessa família foi de: a) R$ 4. 2 Sendo m = e n = 2.00 de assinatura mais R$ 0.00 por hora de conserto.00 por hora que permanece para consertar determinado aparelho. Questão 15 Uma companhia de telefonia celular cobra mensalmente. certa família tem uma renda de r reais. a) Qual é a expressão que fornece o valor f(x) a ser pago. a) Qual dos dois técnicos você chamaria. 00 b) R$ 5.500. calcule o número de kwh consumidos.000. Um outro técnico (B) cobra R$ 30. p (x) = 40 + x e P(x) = 100 − x.00. e o total de seus gastos mensais é dado pela função g(r) = 0. sabendo que a conta apresentada foi 3 de R$ 420.7r + 100. m é o preço por kwh e n é uma parcela fixa. em função de x (valor apurado com as vendas) b) Qual será o salário desse representante.Questão 11 Um técnico (A) de aparelhos eletrônicos cobra do cliente R$ 10.600. R$ 30. mensalmente. no valor de R$ 1. se tivesse certeza de que o conserto de seu aparelho não levaria mais de duas horas? b) E se demorasse mais de duas horas? Questão 12 Por mês. 00 e) R$ 6.000. 00 Questão 13 Um representante comercial recebe. num mês que ele tenha vendido um total de R$ 20. que corresponde à comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês.00 e uma parte variável. onde y é o montante em reais. um salário composto de duas partes: uma parte fixa. 00 c) R$ 5.00? c) O que representa o coeficiente linear dessa equação? Questão 14 Sabendo-se que a quantia paga pelo consumo de energia elétrica é dada por y = mx + n .200. respectivamente.000. quando o consumidor fala durante x minutos? b) Qual o valor da conta a ser pago por um cliente que não fez nenhuma chamada durante o mês? c) Qual o valor da conta a ser pago por um cliente que falou durante 20 minutos no mês? d) qual o valor da conta a ser pago por um cliente que falou durante 60 minutos no mês? Questão 16 As funções de oferta e demanda de um produto são. a) Escreva a função que o valor do salário S(x).00. Num mês em que os gastos atingiram R$ 3. 00 d) R$ 6.000.00 por visita e R$ 15. 56 .500. Encontre o preço de equilíbrio. x é o número de quilowatt-hora (kwh) consumidos. cuja capacidade é de 2.000 litros. um tanque. então: a) deduza a fórmula da situação. Joaquim Rodrigues Questão 17 A função que representa o valor pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f ( x ) = x − 3 b) f ( x ) = 0 . o tanque estava com apenas 1. com o tempo de uso t? b) Qual será o valor da máquina após 6 anos de uso? c) Após quanto tempo.Prof.00 mais R$ 0. 03 x e) f ( x ) = −3 x Questão 18 Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para seus assinantes: Plano A: Assinatura mensal de R$ 8. um furo na base desse tanque fez com que a água escoasse a uma vazão constante. entretanto. estava cheio de água. Questão 20 Uma determinada máquina. a) Qual a expressão que relaciona o valor V da máquina. Admitindo que ela tenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo. tal máquina não terá mais valor comercial? Questão 21 Às 8 horas de certo dia. ache a fórmula que dá o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento.00.000.03 por cada minuto de conexão durante o mês. Acima de quantos minutos de conexão por mês. b) calcule quando a água em seu interior se reduziu à metade. através da função de depreciação. 57 .000. 3 x d) f ( x ) = 1 . Se às 14 horas desse mesmo dia. Plano B: Assinatura mensal de R$ 10. que será de R$ 250.00 daqui a cinco anos.02 por cada minuto de conexão durante o mês. devido ao desgaste. Sabe-se que seu valor hoje é de R$ 1.760 litros.00 e estima-se.00 mais R$ 0. 97 x c) f ( x ) = 1. é mais econômico optar pelo plano B? Questão 19 O preço de uma certa máquina nova é R$ 10. tem o seu valor V decrescendo linearmente com o tempo. temperatura ( º C) 30 a) b) c) d) e) 1 min 1 min 5 seg 1 min 10 seg 1 min 15 seg 1 min 20 seg 5 −10 tempo (minutos) Questão 23 Seja f ( x ) = ax + b . O gráfico a seguir representa a variação da temperatura da barra. 1) pertencem ao gráfico da função f(x) = ax + b. Sabendo que f(−1) = 3 e que f(1) = 1. o valor de f(8) é igual a: a) 3 b) 13 c) 23 d) 33 Questão 24 A função f é definida por f ( x ) = ax + b . −3) e (4.Questão 22 Uma barra de ferro com temperatura inicial de −10º C foi aquecida até 30º C. em função do tempo gasto nessa experiência. O valor de a − b é: a) −4 b) 4 c) 5 d) 9 58 . após o início da experiência. o valor de f(3) é igual a: a) −3 b) −1 c) 0 d) 2 Questão 25 Os pontos (2. Sabendo que f ( −1) = 4 e f(2) = 7. uma função afim. Calcule em quanto tempo. a temperatura da barra atingiu 0o C. Prof. Joaquim Rodrigues Questão 26 O gráfico abaixo representa a função definida por y = ax + b. O valor de a + b é: a) −1 y 2 b) 5 3 1 c) 2 d) 2 e) 5 −2 0 x 59 . O valor de b − a é: y a) b) c) d) e) 2 3 4 5 6 3 0 1 x Questão 27 O gráfico da função f(x) = ax + b está representado na figura. E 03. B 07. a) V (t ) = −150t + 1. a) f ( x) = 0. a) técnico A b) técnico B 12.200 b) R$2. a) Afim b) Linear c) Afim d) Linear e) Identidade f) Constante g) Constante h) Linear i) Linear j) Constante k) Afim 03. P (t ) = −1. 10 km 05.320 b) 9 horas do dia seguinte 22. E 27. D 11. D 09.000 b) R$100. A 06. a) C (t ) = −40 x + 2. 50 02.25 Página 54 01. D 23.000 20. d. 10. a) 1 b) 4 c) –2 04. C 60 . 200 19. 627 15. Deverá vender 500 unidades a mais. São funções de 1º grau a.00 c) Representa o salário do trabalhador no mês em que ele não vender nada 14.000 ou C (t ) = −40 x + 2. aumento de 50% na venda. a) S ( x) = 0.06 x + 1.250 x + 10. f 02.5 x + 2 b) R$7. D 26.00 16.RESPOSTAS Páginas 45 e 46 01. a) y = 0. B 04. a) 3 b) 2 c) 0 d) –8 d) 0 e) 0 e) 0 f) 3. 30 17.00 d) R$60.00 c) 6 anos e 8 meses 21.5 x + 30 b) R$30. B 25. B 13. B 24. A 08. e.400.00 c) R$40. B 18.2 f) –1. isto é. b. o 2º desenho nos mostra uma ponte com passagem para o barco. Veja que com isso. temos um túnel. Tem uma grande aplicação prática. percebemos que o gráfico da função de 2º grau descreve uma curva denominada parábola. onde a = −1. No 1º desenho temos um arco de ponte. principalmente no cálculo de maximização e minimização. b = 2 e c = 3 61 . ou função quadrática é aquela que possui a forma f ( x) = a x 2 + bx + c . onde a = 1. A ilustração acima. embaixo. Exemplos de função de 2º grau: a) y = x 2 − 4 x + 3 . nos dá uma ideia de onde podemos encontrar algumas aplicações da função de 2º grau. b e c reais e a ≠ 0. b = −4 e c = 3 b) f ( x) = − x 2 + 2 x + 3 . com a. a 3ª figura que nos mostra um coletor solar. Joaquim Rodrigues FUNÇÃO DE 2º GRAU A função de 2º grau.Prof. significa que teremos duas raízes reais e diferentes na equação) Se ∆ = 0 (isto é. então. c) f ( x ) = 5 x 2 + 10 x Igualando a função a zero. onde ∆ é chamado de discriminante e é calculado por a x 2 + bx + c = 0 ⇒ x = 2a ∆ = b 2 − 4ac .CÁLCULO DOS ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Denomina-se zero ou raiz da função f ( x) = a x 2 + bx + c . daí temos: x 2 − 4 x + 3 = 0 (agora temos uma equação de 2º grau. será zero. Note que esse discriminante ∆ é quem vai nos dizer a quantidade de raízes que possui a equação de 2º grau. se multiplicarmos a expressão − x 2 + 2 x + 3 = 0 por −1) O que temos agora x 2 − 2 x − 3 = 0 . as raízes são 0 e −2. positivo. colocar o x em evidência. Se ∆ > 0 (isto é. significa que teremos duas raízes reais e iguais. 2 ⋅1 2 2 2 2a 2 2 logo. nulo. o valor de x que anula a função. como ∆ = 4 (positivo. no lugar de usar a fórmula de Bháskara. calculando ∆ = b 2 − 4ac ∆ = ( −2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −3) ∆ = 4 + 12 = 16 . então teremos duas raízes reais e diferentes) −b± ∆ − ( − 4) ± 4 4 ± 2 4−2 2 4+2 6 ⇒ x= ⇒ x′ = x= = = = 1 e x ′′ = = = 3 . logo. voltando a nossa equação x 2 − 4 x + 3 = 0 . significa que não teremos nenhuma raiz real) Assim. ou uma única raiz) Se ∆ < 0 (isto é. isto é f ( x) = 0 . pois está faltando o termo c. temos − x 2 + 2 x + 3 = 0 (fica mais fácil fazer as contas. que neste caso. 62 . assim: − 10 5 x 2 + 10 x = 0 ⇒ x (5 x + 10) = 0 ⇒ x′ = 0 e 5 x + 10 = 0 ⇒ 5 x = −10 ⇒ x = ⇒ 5 x′′ = −2 . e podemos notar que a equação de 2º grau que se apresentou é incompleta. Exemplos: Calcule os zeros (ou raízes) da função: a) y = x 2 − 4 x + 3 Basta igualar a função f(x) a zero. teremos duas raízes reais e diferentes. b) f ( x ) = − x 2 + 2 x + 3 Igualando a função a zero. mais uma vez. vamos calcular o valor de ∆ ∆ = b 2 − 4ac ⇒ ∆ = ( −4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4 . as raízes são −1 e 3. Fica mais fácil. que pode ser resolvida pela fórmula de Bháskara) −b± ∆ . logo. negativo. temos 5 x 2 + 10 x = 0 . as 2 ⋅1 2 2 2 2 2 2a raízes são: 1 e 3. −b± ∆ − ( −2) ± 16 2 ± 4 2−4 −2 2+4 6 ⇒ x= ⇒ x′ = x= = = = −1 e x ′′ = = = 3. ∆ > 0 Corta o eixo x em um único ponto. assim: x 2 − 4 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = ±2 . logo. temos duas raízes reais e diferentes. logo. isto é. Concavidade voltada para cima (a > 0) Corta o eixo x em dois pontos. as raízes são −2 e 2. isto é. isto é. que terá concavidade voltada “para cima” se a > 0 ou voltada “para baixo” se a < 0. temos uma única raiz real. também é incompleta. temos uma única raiz real. temos x 2 − 4 = 0 . logo. logo. na definição introdutória. que neste caso. pois está faltando o termo b. não temos raízes reais. não temos raízes reais. isto é. logo. o gráfico da função de 2º grau é uma curva denominada parábola. ∆ > 0 Corta o eixo x em um único ponto. isto é. isto é. Também fica mais fácil resolver sem usar a fórmula de Bháskara. temos duas raízes reais e diferentes. logo. é zero. e também podemos notar que essa equação. ∆<0 . Joaquim Rodrigues d) f ( x) = x 2 − 4 Igualando a função a zero. GRÁFICO Como vimos. ∆ = 0 Não corta o eixo x.Prof. logo. ∆<0 Concavidade voltada para cima (a < 0) Corta o eixo x em dois pontos. ∆ = 0 63 Não corta o eixo x. a) Para que valores de x. estiver voltada “para cima” (ou seja a > 0). significa que quando ven2 ⋅1 2 2a der 5 unidades. temos) x ′ = 2 e x′′ = 8 . em que x é a quantidade vendida. a parábola apresenta um ponto que é o “mais baixo” (ponto de mínimo da função). para que valor de x o lucro é nulo. quando para x = 2 ou x = 8 b ( −10) 10 ⇒ xv = − = = 5 . mas. L( x ) = − x 2 + 10 x − 16 ⇒ L(5) = −5 2 + 10 ⋅ 5 − 16 ⇒ L (5) = −25 + 50 − 16 = 9 . então a parábola apresenta um ponto que é o “mais alto” (ponto de máximo da função). ou seja. basta igualar a função a zero − x 2 + 10 x − 16 = 0 ( −1) ⇒ x 2 − 10 x + 16 = 0 (usando a fórmula de Bháskara. se a concavidade estiver voltada “para baixo” (a < 0). então terá o seu maior lucro que será de 9 unidades monetárias. podemos calcular maximização ou minimização em várias situações: Exemplo: O lucro mensal de uma empresa é dado por L( x ) = − x 2 + 10 x − 16 . a<0 a>0 Eixo de simetria Eixo de simetria V (vértice) V (vértice) Com esses dados. então temos: xv = − c) agora é só calcular o yv. não houve lucro? b) Qual será o valor de x para obtermos o maior lucro possível? c) Qual é esse maior lucro? Resolução a) se queremos saber. Esse ponto (mínimo ou máximo) é chamado de vértice V ( xV . 64 . ou seja. a empresa terá conseguido seu lucro máximo. ou seja. sendo que a reta que contém o vértice da 2a 4a parábola e é paralela ao eixo y é denominada de eixo de simetria. se a concavidade da parábola.COORDENADAS DO VÉRTICE Podemos observar que. fica mais fácil se substituirmos o xv na função assim. b) basta calcular o xv. quando a empresa tiver conseguido vender 5 unidades. yV ) b ∆ da parábola e suas coordenadas são xv = − e yv = − . que nesse caso. o lucro é nulo. 25 b) −0. Joaquim Rodrigues EXERCÍCIOS Questão 01 Dadas as funções de IR em IR. calcule: a) f(−1) b) f(0) c) f(1) d) f(2) e) f(3) Questão 03 Calcule os zeros (raízes) de cada função: a) y = x 2 − 5 x − 24 b) y = 4 x 2 − x + 2 c) f ( x ) = x 2 − 6 x + 9 d) f ( x ) = x 2 − 9 Questão 04 Dizer se as funções quadráticas abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo: a) y = 2 x 2 − 3 x + 4 b) f ( x ) = − x 2 + 6 x − 9 c) f ( x ) = x 2 d) f ( x ) = −2 x 2 + 16 Questão 05 O valor mínimo de y em y = x 2 − 5 x + 6 é: a) −0. 5 c) 0 d) 2. marque com um X aquelas que são funções de 2º grau: a) ( ) f ( x) = 3 x 2 − 6 x + 1 b) ( ) y = − x 2 + 4 x c) ( ) f ( x) = 2 x − 8 d) ( ) f ( x ) = 3 x + 7 5 4 e) ( ) f ( x ) = 2 − x x 2 x 5 f) ( ) y = − 8 6 3 g) ( ) f ( x ) = 16 − 3 x Questão 02 Dada a função f ( x ) = x 2 − 5 x + 6 . 5 e) 3. 0 65 .Prof. a e b são parâmetros que dependem da droga ministrada. para um determinado vaso. 5 e) 7. no instante t = 0. o tempo gasto pra que a temperatura seja mínima. b) a velocidade do sangue no ponto médio entre as parede do vaso e o eixo central. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? b) Qual é a altura máxima. onde h é a altura máxima atingida em metros. Calcular quantos elementos tinha essa família 8 horas após o início da experiência. em qual temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo? a) 31º C b) 12. cuja família no início era composta de 200 elementos. Questão 09 Suponha que um grilo. calcule: a) a velocidade do sangue no eixo central do vaso sanguíneo. em minutos. tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h (t ) = 3t − 3t 2 . onde t é medido em minutos e A é constante. 5 Questão 07 Para um indivíduo sadio em repouso. 5 b) 4. foi testada num laboratório sob a ação de certa droga. a temperatura é de 10º C. foi o primeiro a descobrir que o sangue flui mais perto do centro de uma artéria do que nas extremidades. 1t 2 − 4t + 90 . 8 ⋅ 10 4 e R = 10 − 2 cm. ao saltar do solo. Constatou-se que a lei de sobrevivência nesta família obedecia à relação n (t ) = at 2 + b em que n(t) é igual ao número de elementos vivos no tempo t (dado em horas). segundo a função N (t ) = 0 . 0 c) 4. Testes experimentais mostraram que a velocidade do sangue num ponto a r cm do eixo central de um vaso sanguíneo é dada pela função V ( r ) = C ( R 2 − r 2 ) em cm/s em que C é uma constante e R é o raio do vaso. atingida pelo grilo? Questão 10 Uma espécie animal.Questão 06 A temperatura. que seja C = 1. 5 d) 6. no interior de uma câmara. em graus centígrados. o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t (em graus Celsius). 4º C c) 20º C d) 25º C Questão 08 O físico francês Poiseuille. Nessas condições. Sabe-se que a família desapareceu (morreu seu último elemento) quando t = 10h (após o início da experiência). 66 . Supondo. é: a) 3. em metros. é dada pela função f ( t ) = t 2 − 7t + A . Se. quadrados de lado x. que ele percorre após 3s? b) Em quanto tempo ele percorre 122. 5m? 67 . Questão 15 Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de comprimento. Considerando que um corpo está em queda livre: a) Qual é o espaço. determine as dimensões do mesmo para que a sua área seja máxima. Questão 14 Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será construída tem 80 m de perímetro. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x. a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas. durante certo tempo t. Suponhamos que. Calcule as dimensões desse retângulo sabendo que a área de sua região deve ser a maior possível. Tendo recebido 200 m de tela. medido em horas. Obtenha: a) o valor de b. 9 t 2 . Questão 13 Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e o espaço em volta dela com tela de alambrado.Prof. a temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t. b) a temperatura máxima atingida nesse dia. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo do galinheiro. quando 8 ≤ t ≤ 20 . os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a área seja a maior possível. numa praia. x x y Questão 16 O espaço percorrido S por um corpo em queda livre. dada por f (t ) = −t 2 + b t − 160 . Questão 12 De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados. nesse dia. de seus quatro cantos. em metros. Joaquim Rodrigues Questão 11 Num certo dia. é dado pela função S (t ) = 4 . muitas vezes determinada pelas marcas de pneus na pista. a distância. b) a altura máxima atingida pela bola. R é a receita total e C é o custo total da produção. uma das preocupações dos especialistas em tráfego é descobrir qual a velocidade do veículo antes da colisão.000 .000 x − x 2 e C ( x) = x 2 − 2. em metros. 250 desenvolvida pelo veículo antes do choque e d. Quantos metros percorre um carro a 80 km/h. que o mesmo percorre desde que o motorista pressente o acidente até o mesmo parar. c) quantos segundos depois de lançada. Supondo que a sua altura h.000 x . ela toca o solo? Questão 18 A trajetória de uma bola. determinar: a) em que instante a bola atinge a altura máxima? b) qual é a altura máxima atingida pela bola? Questão 19 Nos acidentes de trânsito. e a velocidade que o carro trafegava. o que acontece ao impacto de colisão de um carro de 1. t segundos após o lançamento. calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo.1v + na qual v é a velocidade. qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? 68 . seja h = −t 2 + 4 t + 6 . em quilômetros por hora. Nessas condições. em metros. Essa é uma função do 2º grau que relaciona uma distância. em que L é o lucro total. Questão 22 Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R − C. b) o valor mínimo do custo. num chute a gol. descreve aproximadamente uma parábola. desde o momento em que vê o obstáculo. até o carro parar? Questão 20 O impacto de colisão I (energia cinética) de um automóvel com massa m e velocidade v é dado pela fórmula I = k m v 2 . Suponha que a altura h. Se a velocidade triplica.000 kg? Questão 21 Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado pela fórmula C = x 2 − 80 x + 3. Nessas condições.Questão 17 Uma bola é lançada ao ar. em metros. v2 Uma das fórmulas utilizadas é d = 0. Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima. Numa empresa em que se produziu x unidades. após utilização brusca dos freios. verificou-se que R ( x ) = 6. t segundos após o chute. seja dada pela fórmula h = −t 2 + 6 t . Prof. Joaquim Rodrigues Questão 23 A venda de x milhares de unidades de um determinado CD-ROM produzido para microcomputadores Compaq gera uma receita dada por R = 7 x − x 2 unidades monetárias. O custo para produzir estas unidades é dado por C = x + 5 unidades monetárias (u.m). Nestas condições: a) determine o valor do lucro máximo (em u.m) b) o nível de produção x para que o lucro seja máximo. Questão 24 Define-se custo médio de produção Cm (x) o valor de produção de uma peça de um lote de x peças. Assim, o custo médio é calculado dividindo-se o custo total pelo número de peças produzidas: C ( x) 10 . Se o custo médio de produção de certa mercadoria é dado por Cm ( x ) = − x + 3 + Cm ( x ) = x x 2 e a função receita é dada por R ( x) = 10 x − 2 x (x é dado em milhares), obtenha o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. Questão 25 2.000 + 20 + x e a função rex ceita é R ( x) = 200 x − 2 x 2 . Nestas condições, obtenha a quantidade que deve ser produzida e vendida para maximizar o lucro. O custo médio de fabricação de x unidades de um produto é Cm ( x) = Questão 26 Um sitiante plantou 30 abacateiros e cada árvore produz 100 abacates em média. Pretendendo aumentar o número de árvores, o sitiante consultou um especialista que o informou que cada árvore nova plantada fará diminuir em 2 abacates o número médio produzido pelas árvores. Nestas condições, quantas árvores ele deverá plantar para obter o número máximo de abacates? 69 RESPOSTAS 01. São funções de 2º grau a, b, f 02. a) 12 b) 6 03. a) − 3 e 8 b) ∃/ 04. para cima b) para baixo 05. D 06. A 07. C 08. a) 1,8 cm/s b) 1,35 cm/s 09. a) 3s b) 0,75 m ou 75 cm 10. 72 11. a) 28 b) 36 ºC c) 2 c) 3 c) para cima 12. A( x) = −4 x 2 + 600 13. Largura = comprimento = 50 m 14. Largura = comprimento = 20 m 15. x = 4 e y = 8 16. a) 44,10m b) 5s 17. a) 2s b) 10 m c) 5,17 s 18. a) 3 s b) 9 m 19. 33,6 m 20. O impacto será 9 vezes maior b) R$1.400,00 21. a) 40 22. 2.000 23. a) 4 b) 3 24. 3,5 milhares ou 3.500 25. 30 26. O sitiante deverá plantar 10 árvores a mais, isto é, 40 árvores. 70 d) 0 d) ± 3 d) para baixo e) 0 Prof. Joaquim Rodrigues FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÕES EXPONENCIAIS São equações que possuem uma incógnita no expoente. São resolvidas fazendo com que suas bases fiquem iguais. A partir daí, é só igualar os expoentes e então, determinar o valor da incógnita. Basta usar as propriedades de potenciação ou de radiciação acima e pronto! FUNÇÃO EXPONENCIAL A função exponencial é uma das funções matemáticas mais úteis e poderosas em estudos ambientais, aplicável, entre outros exemplos, ao crescimento das populações e das suas necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de poluentes e ainda no crescimento financeiro e suas ações. Podemos observar que a função exponencial possui uma característica peculiar, de que ao longo do tempo, ela tende a duplicar os seus valores (quando crescente) ou reduzirem à metade (quando decrescente). Alguns exemplos de aplicação das funções exponenciais são: 1. Modelo de aprendizagem: os psicólogos desenvolveram uma fórmula que relaciona o número n de símbolos que uma pessoa pode memorizar num determinado tempo t (em minutos). A curva de t Gompertz é o gráfico de uma função expressa por N = C ⋅ A K , em que A, C e K são constantes. É usada para descrever fenômenos como a evolução do aprendizado e o crescimento do número de empregados de muitos tipos de organizações. 2. Decaimento radioativo: A radioatividade é um fenômeno que ocorre em núcleos de átomos instáveis por emitirem partículas e radiações. Núcleos instáveis em geral são grandes e, por isso, emitem partículas e radiação para tornarem-se estáveis. A medida de tempo na qual metade do material radioativo se desintegra é denominada meia-vida ou período de semidesintegração (P). O valor da meia-vida é sempre constante para um mesmo elemento químico radioativo. Assim, a cada período de tempo P a quantidade de material radioativo reduz-se à metade da anterior, sendo possível relacionar a quantidade de material radioativo a qualquer tempo com a t 1 p quantidade inicial por meio de uma função do tipo exponencial: N (t ) = N 0 ⋅ , em que N 0 é a 2 quantidade inicial de material radioativo, t é o tempo decorrido e P é o valor da meia-vida do material radioativo considerado. 71 3. Datação por carbono 14: um dos métodos mais apurados para datar achados arqueológicos, ou seja, determinar a idade de objetos muito antigos, é o Método do Carbono 14 ( C 14 ), descoberto em 1949. O método é bem simples, todos os dias, raios cósmicos entram na atmosfera terrestre em grandes quantidades. Para se ter uma ideia, cada pessoa é atingida por cerca de meio milhão de raios cósmicos por hora. Assim, é comum um raio cósmico colidir com outro átomo na atmosfera e criar um raio cósmico secundário na forma de um nêutron energizado, e que esses nêutrons energizados, por sua vez, acabem colidindo com átomos de nitrogênio. Quando o nêutron colide, um átomo de nitrogênio 14 (com 7 prótons e 7 nêutrons) se transforma em um átomo de carbono 14 (6 prótons e 8 nêutrons) e um átomo de hidrogênio (1 próton e nenhum nêutron). Os átomos de C 14 criados por raios cósmicos combinam-se com o oxigênio para formar dióxido de carbono, que as plantas absorvem naturalmente e incorporam às suas fibras por meio da fotossíntese. A quantidade de C 14 presente nos tecidos de animais provém da ingestão de vegetais. Em qualquer tecido vivo, a quantidade de ingestão de C 14 é igual à quantidade de C 14 desintegrado (o C 14 é uma molécula instável que se desintegra espontaneamente numa taxa proporcional ao número de moléculas de C 14 presentes na amostra). Quando um organismo morre, pára de ingerir C 14 , portanto, sua concentração nos tecidos diminui, devido à desintegração. O carbono 14 é radioativo e tem meia-vida de cerca de 5.700 anos. Acontece que, como a meia-vida do C 14 é de apenas 5.700 anos, ela só é confiável para datar objetos de até 60 mil anos. No entanto, o princípio usado na datação do carbono 14 também se aplica a outros isótopos. O potássio 40, por exemplo, tem meiavida de 1,3 bilhão de anos, o urânio 235 tem meia-vida de 704 milhões de anos, o urânio 238 tem meia-vida de 4,5 bilhões de anos, o bório 232, com meia-vida de 14 bilhões de anos e o rubídio com meia-vida de 49 bilhões de anos. O uso de radioisótopos diferentes permite que a datação de amostras biológicas e geológicas seja feita com um alto grau de precisão. Contudo, a datação por esse processo pode não funcionar tão bem no futuro, já que qualquer coisa que tenha morrido após os anos 40, poderá sofrer alteração devido às bombas nucleares, reatores nucleares e testes nucleares a céu aberto. www.baixinho.net 4. Pressão atmosférica: a Terra está envolvida por uma camada de ar, denominada atmosfera, constituída por uma mistura gasosa cujos principais componentes são o oxigênio e o nitrogênio. A espessura dessa camada não pode ser perfeitamente determinada, porque à medida que aumenta a altitude, o ar se torna muito rarefeito, isto é com pouca densidade. O ar, sendo composto por moléculas, é atraído pela força da gravidade da Terra e, portanto, tem peso. Se não o tivesse, escaparia da Terra, dispersando-se pelo espaço. Devido ao seu peso, a atmosfera exerce uma pressão, chamada pressão atmosférica, sobre todos os objetos nela imersos. Assim, a pressão atmosférica é a força por unidade de área, exercida pelo ar contra uma superfície. Se a força exercida pelo ar aumenta num determinado ponto, a pressão também aumentará nesse ponto. A pressão atmosférica é medida através de um equipamento conhecido como barômetro. As unidades de medidas utilizadas são: 01. polegada ou milímetros de mercúrio (mmHg) 02. quilopascal (kPa) – O pascal (Pa) é a unidade padrão de pressão e tensão no S.I. Equivale à força de 1N (1 Newton) aplicada sobre a superfície de 1 m2. O nome dessa unidade é uma homenagem ao matemático e filósofo francês Blaise Pascal. 03. hectopascal (hPa) 04. milibar (bar) – O bar é uma unidade de pressão e equivale 100.000 ( 10 5 ) Pa 05. atmosfera (atm) – 1 atm corresponde a 101.325 Pa ou 101,325 kPa Fonte: Wikipédia 72 De um modo geral. cavalos. mosquitos. como em f ( x) = C ⋅ a k x . o número de bactérias. Ai também se inclui o crescimento ou decrescimento do dinheiro. existentes num instante t é dado por uma lei exponencial. etc. etc.Prof. mas sim modificado por constantes características do fenômeno. de modo geral não se apresenta na forma a x . 73 . Joaquim Rodrigues 5. No entanto. ou seja. a população. Crescimento populacional: O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. da produção de uma indústria. 01 × 0 . obtém-se: Questão 02 O valor da expressão 3 a) 8 1 b) 2 5 c) 8 7 d) 8 0. tem exatamente: a) cinco soluções b) duas soluções c) uma solução d) infinitas soluções e) três soluções 74 .EXERCÍCIOS Questão 01 1 Calculando-se − 243 a) −81 b) −9 c) 9 d) 81 − 25 . em função de a. 0001 a) 100a b) 10a c) a a d) 10 Questão 04 Sendo 2 p = q .25 + 16 − 34 é: Questão 03 Se a = 10 − 3 . 001× 10 −1 . o valor de 0 . é: 100 × 0 . então 2 p + 3 vale: a) 8 q b) q + 3 c) q + 8 d) q 2 + 3 Questão 05 2 A equação exponencial 5 x + 25 = 510 x . 4 [ b) ] − 3 . + ∞ [ d) ] − 3 . 2 [ e) ] − ∞ .Prof. Joaquim Rodrigues Questão 06 2 A soma de todos os valores de x que verificam a equação 81 − 3 x −1 = 0 é: a) − 2 5 b) 0 c) 1 d) 2 5 Questão 07 A solução da equação 53 x −1 = a) − 2 ≤ x < 0 b) 0 ≤ x < 2 c) 2≤ x<4 d) 4≤ x<6 1 em IR é um número racional x. pertence ao intervalo: a) ] 3 . tal que: 625 Questão 08 2 Considere as soluções reais da equação 3 x ⋅ 37 x ⋅ 312 = 1 . − 2 [ Questão 10 O produto das raízes de (4 x ) x − 2 = 8 x é: a) 0 b) 1 c) 2 2 d) 7 Questão 11 A raiz da equação 3 x + 2 − 3 x −1 + 3 x = a) −7 b) −4 c) 0 d) 3 29 é: 243 75 . − 2 [ c) ] 5 . A diferença entre a maior e a menor dessas raízes é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 Questão 09 2 A solução da equação 4 2 x − 2 ⋅ 8 x = 1 . então x − 2 vale: a) −2 b) −1 c) 0 d) 1 e) 2 Questão 13 Se 2 ⋅ 2 x + 4 x = 8 x . 8 76 .Questão 12 Se 3 x + 2 + 9 x + 1 = 12 ⋅ 3 x + 1 . 2 c) 0. 3 d) 0. 5) pertence ao gráfico da função f ( x) = a x . o valor de f é: x 2 3 8 3 b) 3 3 c) 6 8 3 d) 3 a) Questão 16 Os gráficos das funções y = 2 x e y = 8 x + 2 : a) interceptam-se no ponto (0. 1) b) não têm pontos comuns c) têm dois pontos comuns 1 d) interceptam-se no ponto − 3 . O valor de f(1) é: a) 0. então x 2 é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 9 Questão 14 O par ordenado (−1. 4 Questão 15 Dada a função f ( x) = 3 x + 3− x 1 (x ≠ 0). 1 b) 0. 4 t .400 bactérias? 77 . Nessas condições. sendo k e α constantes positivas. está representado o gráfico da função f ( x) = k α x .Prof. Nessas condições. O valor de 2 3 a − 2 é: y a) b) c) d) e) 2 8 16 32 64 3 0 1 x Questão 18 Na figura abaixo. o valor de f(2) é: 3 8 1 b) 2 3 c) 4 d) 1 a) Questão 19 O número de bactérias de uma cultura. t horas após o início de certo experimento. é dado pela expressão N (t ) = 1200 ⋅ 2 0 . quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38. Joaquim Rodrigues Questão 17 Na figura temos o esboço do gráfico f ( x) = a x + 1 . onde N representa o número de bactérias no instante t (em horas) e k é uma constante a ser obtida. que se multiplica segundo a lei: n (t ) = 200 ⋅ 2 a t . 21 e 22. constatou-se que a população P de determinada bactéria cresce segundo a expressão P (t ) = 25 ⋅ 2 t . Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela. Questão 23 Sob certas condições. Para atingir uma população de 400 bactérias. 78 . sabendo que após 3 horas do início do almoço o número de bactérias era de 800. Decorridas doze horas. Questão 22 CALCULE o número de bactérias após 1 dia da realização do almoço. 36 horas depois que se iniciou a produção. devem ser resolvidas de acordo com o texto: O cuidado com a conservação dos alimentos é sempre importante. o número de bactérias B de uma cultura. é dado por B(t ) = 2 . em função do tempo t. Questão 20 CALCULE o número inicial de bactérias. A produção tem início para t = 0. há um total de seiscentas bactérias. será necessário um tempo de: a) 4 horas b) 3 horas c) 2 horas e 30 minutos d) 2 horas e) 1 hora Questão 25 O crescimento de certa cultura de bactérias obedece à função N (t ) = 200 ⋅ 3 k t . medido em t 12 horas.024 b) 1. Isso significa que 5 dias após a hora zero o número de bactérias é: a) 1. Calcule: a) a constante k. em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o início do almoço e a é uma constante real. onde t representa o tempo (em horas). Questão 21 CALCULE o valor da constante a. b) o número de bactérias.As questões 20. Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos frequentadores de um restaurante.120 c) 512 d) 20 e) 3 2 Questão 24 Em pesquisa realizada. com base em dados obtidos em empresas de mesmo porte. quantas bactérias em relação ao número inicial se pode esperar ao final de 6 horas? O texto a seguir. 5 . tenha chegado à conclusão de que após t anos (t ≥ 0). t Questão 30 Segundo esse estudo. Após 10 min. Nestas condições. Calcule o valor de . Suponha que a população da colônia cresce exponencialmente. Questão 27 Em um experimento com uma colônia de bactérias. em que P 0 é a população inicial.5 b) 10 2 . C e k são constantes positivas e a base e é um número maior que 1.000 ⋅ (0 . o número inicial de funcionários empregados pela CNM foi: a) 10. Verificando-se que o número inicial de bactérias f(0) duplica em 4 horas. caso exista. Questão 29 O crescimento de certa cultura de bactérias obedece à função f (t ) = C ⋅ e k t . a empresa terá seu número de funcionários dado pela expressão N (t ) = 10. Joaquim Rodrigues Questão 26 Numa certa cultura. onde f(t) é o número de bactérias no tempo t ≥ 0. 25 79 . será de: a) 10 3 .000 b) 200 c) 10 d) 500 e) 100 Questão 31 O número de funcionários que estarão empregados na CNM após dois anos. x é uma constante positiva e P(t) é a população t minutos após o início do experiP0 mento. de acordo com a função P(t ) = P0 ⋅ e x t . depois de um estudo estatístico. dez minutos mais tarde. havia 8500 bactérias. há 1000 bactérias num determinado instante. sabendo que elas aumentam através da fórmula P(t ) = P0 ⋅ e k t . Quantas bactérias existirão em 1 hora. 100 Questão 28 O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função f (t ) = f (0) ⋅ 3 2 t (t em horas). 5 e) 10 0. t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento. refere-se às questões 30. 31 e 32 Suponha que. desprezando a parte fracionária de seu resultado. existem 4000.5 c) 10 2 d) 101.01) 0 . observou-se que havia 5000 bactérias vinte minutos após o início do experimento e. em que P(t) é o número de bactérias. o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM). determinar t de modo que a quantidade inicial de bactérias f(0) triplique.Prof. 03) n . 3% d) 3. sua população P será dada por P = 3 . respectivamente: a) 32 mil habitantes. o número que corresponde à população daqui a 64 anos é: a) menor que 6100 b) maior que 6100 e menor que 6200 c) maior que 6200 e menor que 6300 d) maior que 6300 Questão 36 Suponhamos que a população de certa cidade seja estimada. essa população: 2 a) aumentará de até 125 habitantes b) aumentará de até 250 habitantes c) diminuirá de até 125 habitantes d) diminuirá de até 250 habitantes 80 . daqui a t anos. Questão 34 A população de um determinado país cresce exponencialmente. para daqui a x anos. De 8 acordo com essa estimativa. 1. Estima-se que. onde n é o número de anos que decorrem depois que esse país ultrapassar dois milhões de habitantes. Sabe-se que. por 1 f ( x ) = 20 − x ⋅ 1000 habitantes. 03) t . 3% c) 32 milhões de habitantes.000 ⋅ (1. durante o terceiro ano. 30% Questão 35 Estima-se que a população de certa cidade. 03% e) 32 mil habitantes. 0. seja dada por P(t ) = t 3 2 1 + t 3 + 6000 . 3% b) 3. 2 bilhões de habitantes. 2 milhões de habitantes. Nessas circunstâncias.000. daqui a t anos. Ache a população estimada desse país para n = 2.000 funcionários? a) 6 meses b) 1 ano c) 3 anos d) 1 ano e 6 meses e) 2 anos e 6 meses Questão 33 A população P de um país tem seu crescimento dado pela lei P = 2. os valores da população inicial e da taxa de aumento dessa população valem.Questão 32 Depois de quanto tempo a CNM empregará 1. 2 × 10 7 × (1. 5 milhão de reais e) 1 milhão de reais 81 . 9 x . 5 milhões de reais c) 2 milhões de reais d) 1. Se há 98. em que k é constante e r > 0. quantos habitantes há num raio de 3km do centro? a) 4.608 b) 3. se a função que representa a quantidade de árvores por ano é dada por: y (t ) = 10.024 c) 2. é dado por P (r ) = k ⋅ 2 3 r . a produção anual passou a seguir a lei y = 1.000 ⋅ 2 − t . onde v 0 é o valor atual do carro.735 Questão 38 Uma reserva florestal possui 10. Após dois anos. Num certo ano.536 e) 2. a valorização (aumento de valor) em relação a hoje será: a) 4 milhões de reais b) 3. 9) t . 1% b) 1% c) 10% d) 90% e) 9% Questão 41 Estima-se que daqui a t anos o valor de uma fazenda seja igual a 500 ⋅ 3t milhares de reais. Determine em quantos anos a quantidade de árvores estará reduzida à oitava parte. Quantas unidades foram produzidas no segundo ano desse período recessivo? Questão 40 Suponha que daqui a t anos. num raio de r quilômetros a partir do seu centro.304 habitantes num raio de 5km do centro. A partir daí. A porcentagem de desvalorização deste carro em um ano (relativo ao ano anterior) é: a) 0.048 d) 1. a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 5 anos Questão 39 A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano.Prof. o número de habitantes. o valor de certo carro seja dado por v(t ) = v 0 ⋅ (0 .000 árvores. Joaquim Rodrigues Questão 37 Numa certa cidade.000 ⋅ 0 . ela produzia mil unidades de seu principal produto. 000 − 6.000. 00 82 .000. O custo para uma produção de 200 unidades está próximo a: a) R$ 8. 00 c) R$ 7.200.890. 00 Questão 45 A desvalorização percentual desse imóvel é de: a) 1% b) 5% c) 0.000. 00 d) R$ 52. o menor valor inteiro de n é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 Questão 43 Uma indústria de pequeno porte tem os custos operacionais dados pela função C ( p ) = 9.000.890. em reais. 9% d) 10% Questão 46 Esse imóvel daqui a 2 anos.000 ⋅ (0 . 00 c) R$ 50. e 46. 45. Para que esse operário produza pelo menos 30 artigos por dia. 00 b) R$ 8.090. 00 d) R$ 6. 00 b) R$ 54. valerá: a) R$ 8. 00 d) R$ 7. após n dias de treinamento. Questão 44 O valor atual desse imóvel é: a) R$ 60. 00 b) R$ 40.090. devem ser resolvidas de acordo com o texto: O valor (v) de um imóvel em minha cidade varia segundo a lei v(t ) = 60. onde t é o número de anos contados a partir de hoje. 00 As questões 44.600.000 ⋅ e − 0 .600. 9) t .Questão 42 A sentença P (n) = 40 − 40 ⋅ 2 − 0 .000. 02 p em que p representa o número de peças produzidas. 00 c) R$ 48. 34 n permite calcular o número de artigos que um operário recémcontratado é capaz de produzir diariamente. 51 e 52.000. Joaquim Rodrigues Questão 47 O custo mensal C.000. b) Em quanto tempo uma amostra de nitrogênio-13 se reduz à 1 do que era quando foi obtida? 8 c) Após 10 minutos de sua obtenção.Prof. a) Qual a temperatura interna da geladeira no instante em que ela foi ligada? b) Quantos graus Celsius essa temperatura alcança dois minutos depois que a geladeira começou a funcionar? PARA RESOLVER AS QUESTÕES 49. onde t é o tempo (em minutos) em que permanece ligada e T é a temperatura (em graus Celsius).00 d) R$ 13. 10. Qual é a porcentagem de sua atividade original que permanecerá no fim de 20 anos? Questão 50 As células de um tumor possuem sabidamente um metabolismo mais acelerado e. assim que um dos isótopos é obtido. o nitrogênio-13. qual é a quantidade de antibiótico ainda presente no organismo: a) após 12 horas de sua ingestão? b) após t horas de sua ingestão? 83 . 2 e 110 minutos.00 c) R$ 12.tomografia por emissão de pósitrons).000. qual fração de oxigênio-15 ainda restará? Questão 51 O antibiótico Axetil cefuroxina apresenta meia-vida de 3 horas. LEIA O TEXTO “DECAIMENTO RADIOATIVO” NA PÁGINA 71 Questão 49 São necessários 5 anos para que o cobalto-60 perca metade de sua radioatividade. 50. Este exame é o PET (Positron Emission Tomography .000. Os isótopos mais usados nos radiofármacos injetados nos pacientes submetidos ao processo PET são: o carbono-11. Como os isótopos usados têm meia-vida muito curta. 8 t . Qual é o valor do custo mensal se esse motor elétrico é utilizado cerca de 150 horas por mês? a) R$ 10. Aproveitando-se destas suas características.000. é possível realizar um exame para detectar um tumor através de sua atividade metabólica.000 − 30. consequentemente um maior consumo de glicose que as células normais.00 b) R$ 11.00 Questão 48 A temperatura interna de uma geladeira (se ela não for aberta) segue a lei T (t ) = 25 ⋅ 0 . conforme C = 40. de um motor elétrico aumenta à medida que aumenta o número mensal de horas t em que é utilizado.00 e) R$ 14. Se uma pessoa tomou 50 mg desse medicamento. em reais. a) Calcular em quanto tempo uma amostra de carbono-11 se reduz a 25% do que era quando foi obtida. o oxigênio-15 e o flúor-18.000 ⋅ e − 0 . 0002 t . restam poucos minutos para sintetizar o radiofármaco e injetá-lo no paciente. cujas meias-vidas são respectivamente de 20. a sua massa M. cuja meia-vida é de 28 anos. a um paciente. determine. após 2 séculos de desintegração. 90 38 Sr Supondo ser este isótopo a única contaminação radioativa e sabendo que o local poderá ser conside1 rado seguro quando a quantidade de 3890 Sr se reduzir. qual é a idade aproximada do fóssil? Questão 55 O plutônio-240. determinada pela equação M = M 0 ⋅ (1. em miligramas. de modo que no instante t a quantidade não desintegrada é aproximadamente M (t ) = M (0) ⋅ 2 − 3 t . é dada. 1 t . Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por grama/hora. a medição da atividade de C-14 num fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas. 01 ) − t . e como é relativamente fácil saber o nível original de C-14 no corpo dos seres vivos. é um material radioativo de longa vida. Como é um isótopo radioativo de meia-vida de 5730 anos. A partir de uma massa inicial M 0 dessa substância. por desintegração. o local poderá ser habitado novamente a partir do ano: a) 2014 b) 2098 c) 2266 d) 2986 e) 3000 Questão 53 Uma substância radioativa está em processo de desintegração. em que A0 é a atividade 2 natural do C-14 no organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte. produzido em reatores nucleares. o nível de C-14 no corpo começa a decair. A atividade radioativa t 1 5730 do C-14 decai com o tempo pós-morte segundo a função A(t ) = A 0 ⋅ . Com a morte. em porcentagem. lançou na atmosfera grande quantidade de radioativo. a da quantidade inicial16 mente presente. a quantidade de massa do plutônio-240 restante. Admita que a quantidade Q de substância que permanece no paciente. será aproximadamente. após t séculos. Qual o valor de t para que metade da quantidade inicial M(0) se desintegre? Questão 54 O carbono-14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos. t horas após a aplicação. Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório para ter a idade estimada. de uma determinada substância. por Q (t ) = 2501 − 0 . A quantidade de substância aplicada ao paciente foi: a) 10 mg b) 50 mg c) 100 mg d) 250 mg 84 . Com base nessas informações. Questão 56 Certo tratamento médico consiste na aplicação. o que torna o lixo atômico desses reatores de difícil armazenamento. em 1986. Verificou-se que emitia 7 radiações de C-14 por grama/hora.Questão 52 O acidente do reator nuclear de Chernobyl. determine os valores de K e a. a quantidade dessa medicação existente na corrente sanguínea seja dada. em horas. t minutos após injetar-se a primeira dose de uma medicação na veia de um paciente. O número de decibéis correspondente ao som provocado por tráfico pesado de veículos. pela função Q (t ) = 50 ⋅ 2 − t 180 e que o paciente deva receber outra dose quando a medicação existente em sua cor1 rente sanguínea for igual a da quantidade que lhe foi injetada. cuja potência é estimada em 10 − 8 watts por centímetro quadrado.Prof. entre a primeira e a segunda dose da medicação. é igual a: a) 40 b) 80 c) 120 d) 160 e) 200 85 . Considerando os dados desse processo de decomposição mostradas no gráfico acima. 4 Nessas condições. t indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica a quantidade (em gramas) no instante t. 5 t . o intervalo de tempo. Joaquim Rodrigues Questão 57 Suponha que. Q 2048 512 0 a t Questão 59 O número N de decibéis e a potência I de um som medida em watts por centímetro quadrado estão relacionados pela fórmula I = 10 − 16 N 10 ⋅ 10 . em ml. deverá ser igual a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Questão 58 Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q (t ) = K ⋅ 2 − 0 . em que K é uma constante. 45. A 24. D 04. a) 40 min b) 30 min c) 3% 22. E 31. 41.800 86 .5 hora ou 30 minutos 56. D 17. a) 3.125 mg 23. B 13. B 15. C A A D B 39. D 16. B 12. 43. k = 2. 0. 44.RESPOSTAS 01. B 59. 36. 200 49. D 57. 810 40. A 08. 26.5 horas ou 12 horas e 30 minutos 48.107. a) T (0) = 25°C b) T (2) = 16°C 20.3t 1 3 54. 42. A 11.000 27. D 09. C A C A A D C B 19. 6.25% 21. B 1 12 b) N (36) = 5. 2 3 50.096. 4. D 10.200 51. 12. B 07. B 33.121. 4. C 18. 46. A 05. Aproximadamente 40 mil anos P0 = 17 100 55.48 vezes o número inicial 58. C 29. A b) N(t) = 50 ⋅ 2 52. 38. .400 25. 47. 2. 35. C 03. 98% 28. C 02.048 e a = 4 30. A 32. A 34. a) k = 53. C 06. 13. B 14. 37. Chama-se logaritmo de a na base b e representa-se por log b a ao número x. o logaritmando é igual à base elevado ao resultado x. logo. Exemplo: Calcular Log 3 729 Resolução Basta igualar a x. que chegamos na equação exponencial e podemos resolver com facilidade. b > 0 e b ≠ 1. logo: log 3 729 = x ⇒ 729 = 3 x ⇒ 36 = 3 x e nessa igualdade. veja: log 3 729 = x ⇒ 729 = 3 x fatoramos 729 e encontramos 729 = 36 . tais que a > 0. basta fazer assim: log b a = x ⇒ a = b x . por definição. 01 c) log 1 2 2 4 Questão 02 Calcule o valor do logaritmo: a) log 4 16 b) log 5 125 c) log 3 27 d) log 6 36 87 . Assim. então seus expoentes também são iguais. assim: Log 3 729 = x . tal que b x = a . Joaquim Rodrigues LOGARITMO Sejam dois números reais a e b. se precisamos calcular o valor de um logaritmo. x = 6 log 3 729 = x ⇒ 729 = 3 x ⇒ 36 = 3 x ⇒ x = 6 Vejam as questões: Questão 01 Calcule o valor do logaritmo: a) log 4 32 b) log 10 0 . daí. temos que se as bases são iguais.Prof. 125 4 e) log 2 5 25 4 f) log 0 . 008 g) log 0 .Questão 03 Calcule o valor do logaritmo: 1 a) log 3 9 1 b) log 2 32 1 c) log 3 27 1 d) log 5 125 Questão 04 Calcule o valor do logaritmo: a) log 27 81 b) log 125 25 16 81 3 c) log 2 d) log 0 . 2 0 . 25 32 h) log 5 729 3 81 i) log 3 25 125 88 . 02 0 . então a = b log a Vamos ver algumas questões: Questão 05 Calcule o valor de: a) log 7 1 b) log 1 13 c) log 2 1 3 Questão 06 Calcule o valor de: a) log 7 1 b) log 23 23 c) log 2 1 3 d) log 5 5 Questão 07 a) log 7 7 3 b) log 5 5 −13 c) log 0 .Prof. 02 7 d) log 3 ( 3 )−5 Questão 08 Calcule o valor de: log 2 a) 3 3 1 + log 2 5 b) 2 Questão 09 Calcule o valor de x: a) log 6 x = log 6 8 b) log 6 ( 2 x ) = log 6 8 c) log 3 8 x = log 3 16 d) log x 2 = log x e) log 1 ( x − 1) = log 1 3 5 5 89 . podemos estabelecer as seguintes situações: 1) log k 1 = 0 2) log k k = 1 3) log k k m = m 4) k k = a 5) se log k a = log k b . Joaquim Rodrigues CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO À partir da definição de logaritmo. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Para existir um logaritmo log b a . assim log A . Nesse caso. cujo valor é e = 2. A base desse logaritmo é o número “e”. escrevemos log 10 A . Nesse caso. na resolução de uma equação logarítmica ou mesmo ao usar uma calculadora. • Sistema de logaritmos neperianos ou logaritmo natural: recebe esse nome em homenagem ao seu criador John Nepper.SISTEMAS DE LOGARITMOS Os logaritmos possuem infinitas bases. b > 0 e b ≠ 1. podemos omitir a escrita da base e escrever ln A . na base 10. ou simplesmente. Podemos escrever assim log e A . . Também. que são: • Sistema de logaritmos decimais: quando a base do logaritmo é 10. já sabemos que se trata de um logaritmo neperiano de A. 71828. um número irracional. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 1) log k (A ⋅ B) = log k A + log k B A 2) log k = log k A − log k B B 3) log k A n = n ⋅ log k A COLOGARITMO: co log k A = − log k A MUDANÇA DE BASE: Em muitos casos. para maior comodidade. precisamos mudar a base do logaritmo e procedemos assim: log k A log B A = log k B 90 . podemos omitir a escrita da base. logaritmo de A na base “e”. Para maior comodidade. já sabemos que se trata de um logaritmo de um número A. . é necessário que a > 0. mas duas se destacam pelo grande uso. a) {16 } b) { 3} c) { − 2. Joaquim Rodrigues Vamos ver algumas questões que envolvem esses casos e ainda a resolução de equações: Questão 10 Resolver as equações: a) log 4 x = 2 g) log 2 ( x − 8) − log 2 ( x + 6) = 3 b) log x 81 = 4 h) 2 ⋅ log 7 x = log 7 (3 x ) + log 7 6 c) log 6 ( x − x) = 1 d) log 4 ( x 2 + 3x − 1) = log 4 (5 x − 1) i) log 2 ( x + 3) + co log 2 ( x − 1) = 1 j) log 2 x + log 8 x = 8 e) log 32 x − log 3 x − 6 = 0 k) log x 5 + log 25 x = 2 f) log 2 ( x + 2) + log 2 ( x − 2) = 5 RESPOSTAS 5 01. a) 0 b) 0 10.Prof. a) 3 b) − 13 c) 7 d) − 5 −2 −5 −3 −3 08. a) 0 b) 1 c) 0 d) 1 3 4 02. a) 2 3 −2 3 5 − 4 10 9 9 4 d) − e) f) g) h) i) 05. 27 9 f) { 6 } g) ∃/ h) {18 } i) { 5 } j) { 64 } k) { 5. 3} d) { 0. 25 } c) 0 91 b) 10 3 2 . a) { 8 } b) { 4 } 4 c) 3 d) {1} e) { 4 } 4 3 2 b) 3 c) 4 04. a) b) − 2 2 c) − 06. a) b) c) d) 07. a) 2 09. a) 2 b) 3 c) 3 d) 2 03. 2 } 1 e) . encontramos: log 3 81 16 12 8 4 92 . 01 3 0 .EXERCÍCIOS Questão 01 log 4 16 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Questão 02 O valor de log 0 . O valor dessa expressão é: 2 3 6 5 c) 6 d) −2 b) − Questão 04 O valor da expressão − (−2) 2 − 3 − 27 é: (−3 + 5) 0 − log 2 4 a) −7 b) −1 c) 1 d) 2 e) 7 Questão 05 Simplificando a) b) c) d) 26 . 1 é: 1 2 1 b) − 6 1 c) 6 1 d) 2 a) − Questão 03 ][ [ Seja − ( −2) 2 − log 3 9 ⋅ ( −2 + 5) 0 − a) 3 −8 ] −1 . Prof. então b a é igual a: a) x b) ln x c) 2 x d) ln x Questão 09 Se log 4 ( x + 2) + log 2 ( x + 2) = 3 . então log 2 54 é igual a: a) b) c) d) 2m + 3 3m + 1 m+6 m+3 Questão 08 Se a = ln x e b = e 2 . Joaquim Rodrigues Questão 06 O valor da expressão log 2 64 − log 3 27 é igual a: a) 3 b) 13 c) 17 d) 31 Questão 07 Se 2 m = 3 . o valor de x é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Questão 10 A soma dos valores reais de x que satisfazem a equação 3 ⋅ log 82 x = log 2 x é: a) 1 b) 3 c) 7 d) 9 93 . está desenvolvendo um medicamento que erradicará a peste e prevê que ficará pronto daqui a 10 anos. Qual o pH desse líquido? Questão 13 Qual é o pH de uma solução cuja concentração de H 3 O + é 4 . Quantos camelos serão salvos? c) O Governo decretará que a espécie de camelos estará em vias de extinção quando o número de camelos for inferior a 200. O número de camelos é dado. k e a são números reais e f(t) indica o número de indivíduos dessa espécie no instante t (t em anos). A população de uma determinada espécie animal. ameaçada de extinção diminui segundo a função f (t ) = k ⋅ a t . daqui a quantos anos será atingido o nível de população que os biólogos consideram como irreversível para a extinção? Questão 15 Num país africano. 12 e 13 Em química. que o pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = − log [ H + ] em que [ H + ] indica a concentração. 4 t (t em anos e C0 é o número atual de camelos). pela lei C (t ) = C 0 ⋅ e − 0 . haverá 750. 58 d) 7. 26 b) 7. de íons de hidrogênio na solução. a concentração de Hidrogênio era [ H + ] = 5 . na qual. define-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal (base 10) do inverso da respectiva concentração de H 3 O + (íon hidroxônio). daqui a quanto tempo isso acontecerá? 94 . 74 Questão 12 O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H 3 O + é igual a 4 . mantido tal decrescimento exponencial. uma espécie de camelos está sendo dizimada por uma peste. neutra (pH = 7) ou básica / alcalina (pH > 7). O valor do pH dessa solução é: a) 7. em função do tempo. O valor do pH é um número aproximado entre 0 e 14 que indica se uma solução é acida (pH < 7). 4 ⋅ 10 −8 mol/L. um pesquisador verificou que nela. b) O Ministério da Agricultura. daqui a 10 anos.500 indivíduos da espécie e estima-se que. ou ainda. 32 c) 7. Questão 11 Ao analisar uma determinada solução. ao chegar a 100 indivíduos. 8 ⋅ 10 − 8 mol/L (em média). Atualmente (instante t = 0) existem 1. a) Explique o que significa C(0) = 5. em mol/L. 5 ⋅10 − 5 mol/L? Questão 14 Os biólogos consideram que. a extinção de uma espécie animal é inevitável. Caso nenhuma providência seja tomada. Se essa tendência se mantiver.000 e determine C0. através do seu Departamento de Veterinária.TEXTO PARA AS QUESTÕES 11. 050. a) Quantos peixes foram lançados no lago? b) Ao fim de quantos anos existirão 3. foi lançada determinada quantidade com 1 ano de idade. a) Quantos pinheiros havia no início da contagem? b) Quantos pinheiros havia 9 anos depois? c) Ao fim de quantos anos existirão 5. e para unidade de tempo. qual o número de peixes após muitos anos? Questão 17 O número de pinheiros de certo pinhal é dado de acordo com a lei N (t ) = 100 ⋅ e 0 . Tomando para unidade de massa vegetal. e) O que significa a condição D (t ) < 1. 1t .000 a população duplica ao fim de 20 dias. o que irá acontecer com o número de pinheiros.000 árvores? d) Se nada for feito.500 ? Resolva.Prof. Joaquim Rodrigues Questão 16 Num lago onde não existiam peixes.900? c) Em que ano a massa vegetal será o dobro da que existia em 1.000 ⋅ e − 0 . ao fim de muitos anos? Questão 18 A “massa vegetal” de uma floresta varia com o tempo t e pode ser dada por Mv (t ) = 3 e t . em contrário. aproximadamente. em que t representa o tempo (em 0. O número de peixes vivos após t anos é dado por N (t ) = 5. Questão 20 A massa m (em gramas) de uma cultura de bolor (mofo) sujeita a certo conjunto de condições ambi1 entais aumenta de acordo com a fórmula m (t ) = . a que existe no começo de 1900. Explique a forma como evolui o crescimento da massa da cultura. 6 e−t dias).750 . em que D0 representa a dimensão inicial da população. De quanto será o seu aumento em relação a 1.000 peixes no lago? c) Se o modelo matemático continuar. 95 .900? Questão 19 A população de certo vírus cresce de tal forma que a sua dimensão ao fim de t dias é dada por D (t ) = D0 ⋅ 2 k ⋅ t . Qual deve ser o valor de k? b) Qual é a dimensão da população ao fim de 15 dias? c) Qual é a dimensão da população ao fim de 25 dias? d) Determine. 4 + 0.500. a) Para D0 = 1. b) Determine a massa vegetal prevista para o começo de 2. o século: a) Calcule a massa vegetal existente no início de 1. início da contagem do tempo (t = 0). 3 t . Escreva a equação que exprime t em função de m. a) b) c) d) e) Qual é a massa inicial da cultura? Qual é a massa da cultura depois de 15 dias? Resolva a equação m (t ) = 2 e explique o seu significado. ao fim de quanto tempo teremos D (t ) = 2. 02 = 0 . Sabe-se que inicialmente havia 20 gramas do composto. 02) n . faça uma previsão de quando essa cidade atingirá 500.000. Assim sendo. Daqui a quanto tempo. 00 for aplicado a juros compostos à taxa de 12% ao ano.205. após quanto tempo de aplicação serão obtidos juros no valor de R$ 7. Questão 25 A expressão M = C ⋅ (1 + i ) n permite calcular o montante M. Nessas condições. o número de habitantes. 009 . 00 foi colocado numa caderneta de poupança que rende 2. a população de uma cidade passou a crescer de acordo com a função P = 50. com o passar do tempo. à taxa i num período de tempo n.000? Questão 22 Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência a se desintegrarem (emitindo partículas e se transformando em outro elemento).Questão 21 Segundo uma pesquisa. resultante da aplicação do capital C a juros compostos. a quantidade original desse elemento diminui. aproximadamente. Determine quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial. após quanto tempo o saldo dessa aplicação será de R$ 122. Sabendo que log 1. 31? Questão 27 Em quanto tempo R$ 2.000.070. o nú2 + 15 ⋅ 4 − 2 x mero de pessoas atingidas por essa epidemia será de 2.000 atingidas é dada pela fórmula f ( x ) = . Questão 23 A radioatividade de um composto decresce de acordo com a fórmula A (t ) = A0 ⋅ e − 0 .000.000. o número de pessoas por ela 20. após x meses da constatação de uma epidemia. Admitindo não haver retiradas. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m 0 gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática: −t 70 m (t ) = m 0 ⋅10 . onde n representa os anos e P. 00? Questão 26 Um capital de R$ 50. 2 t . onde A0 é a quantidade de composto inicialmente presente e t é o tempo em segundos após a observação inicial.000 habitantes. onde m (t ) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). 00 em regime de capitalização composta a 5% ao mês? 96 . 00 produziu um montante de R$ 2. se o capital de R$ 8. a) Quantos gramas do composto haverá 10 segundos depois da observação inicial? b) Quanto tempo terá que decorrer para que a quantidade do composto se reduza à metade? Questão 24 A partir de certo ano.000 ⋅ (1.5% ao mês. 97 . 8 (Fórmula de Gutenberg e Richter) M = 1.000 ⋅ (0 . sob a M1 forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Qual foi a sua magnitude na escala Richter? b) Qual a energia liberada por um sismo de magnitude 8. nos Estados Unidos. Capitalizando continuamente e após t anos. O imóvel valerá R$ 35.Prof. em Joules. 9) t . onde M1 e M2 medem as energias liberadas pelos respectivos terremotos. segundo o Obsis (Observatório Sismológico de Brasília). 5 a) Um dos tremores de terra mais famoso ocorreu em S. 24 + 1. 496 × 10 24 ergs de energia. 5 na escala Richter? c) Exprima a variável E em função de M. aproximadamente. de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula M R2 − R1 = log 2 . Folha online Qual foi a energia.9 graus na escala Richter no norte de Minas Gerais é o primeiro a registrar uma morte. em 1906 e liberou 1. Ao fim de quantos anos. Joaquim Rodrigues Questão 28 Um investimento de R$ 50. Questão 31 A magnitude M de um sismo e a energia total E liberada por esse sismo estão relacionadas pela equação log E = 5 . determine a razão entre as energias liberadas pelos mesmos. o investimento terá um valor de 50.429. Francisco. onde t é o número de anos contados a partir de hoje. um correspondente a R1 = 6 e outro correspondente a R2 = 4 . da seguinte forma log E − 11 . Nesta escala. o investimento terá duplicado de valor? Questão 29 O valor (v) de um imóvel em minha cidade varia segundo a lei v(t ) = 60. a magnitude M de um abalo sísmico está relacionada com a energia liberada E (em ergs).000. 00 dá um juro de 7% ao ano. liberada por esse sismo? Questão 32 As indicações R1 e R2. 44 M (a energia E é medida em Joule) O terremoto de 4.000 ⋅ e 0 . da UnB (Universidade de Brasília). 07 t . 40 daqui a: a) 4 anos b) 5 anos c) 6 anos d) 7 anos Questão 30 A magnitude dos tremores de terra é habitualmente medida na escala Richter. na escala Richter. Considerando que ocorreram dois terremotos. em reais. correspondente a 1 R1 = 8 e outro correspondente a R2 = 5 . que se destina à produção de madeira. a) O Paulinho tem 1. 52 + 0 . Determine um valor aproximado dessa constante (com duas casas decimais). na escala Richter. segundo o seguinte modelo matemático: h(t ) = 1. de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula R2 − R1 = log N . aproximadamente. o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o corte foi de: a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2 Questão 36 Considere que a altura A (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa.Questão 33 As indicações R1 e R2. desde que é plantada. então o valor de é igual a: N 8 a) log 5 8 b) 5 c) 3 d) log 3 10 e) 10 3 Questão 34 A intensidade I de um terremoto. 55 ⋅ ln ( p ) . evolui. para qualquer valor de p. medido na escala Richter.5 m de altura. com h(t) em metros e t em anos. sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. é um número que varia de I = 0 até 2 E onde E é a energia I = 8 . qual será o seu peso? b) Verifique que. para o maior terremoto conhecido. Supondo que houve um terremoto. 4 m de altura. por quanto fica multiplicada a energia liberada? Questão 35 A altura média do tronco de certa espécie de árvore. pela relação A ( p ) = −0 . a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto. em função do seu peso p (dado em kg). 98 . a diferença A ( 2 p ) − A ( p ) é constante. 9 . Admitindo que a altura e o peso do Paulinho estão de acordo com a igualdade referida. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3. I é dado pela fórmula I = ⋅ log 3 E0 liberada no terremoto em quilowatt-hora e E 0 = 7 ⋅10 − 3 kWh. 5 + log 3 (t + 1 ) . onde N mede a razão entre as energias liberadas pelos dois terremotos. a pressão atmosférica é de 760 mm Hg. 2 . onde a e b são constantes reais e positivas. Admita que a altura. em centímetros de mercúrio. é aquela exercida pelo sangue contra a parede dos vasos sanguíneos. calculada pela fórmula acima para uma pessoa com 15 anos de idade é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Questão 39 Ao nível do mar. logo acima da dobra do cotovelo. é válida para x entre 0 e 65.400 ⋅ log (h em metros e p em milímetros de mercúrio). num certo instante. a) Calcule o valor de a e de b. e de cerca de 80 mmHg (80 tor ou 8) durante a relaxação (pressão diastólica). 14 ] .Prof. Joaquim Rodrigues Questão 37 A figura abaixo representa um reservatório com três metros de altura. calcula aproximadamente a pressão sistólica do sangue de uma pessoa. Considere que. p CALCULE a que altura do nível do mar a pressão é de 250 mm Hg. Considerando ln 2 = 0 . inicialmente. 11 ] é − 0 . a medida da pressão sistólica. A pressão arterial (PA) é medida com o aparelho de pressão (esfigmomanômetro). A fórmula empírica P ( x) = 40 + 25 ⋅ ln ( x + 1 ) . Interprete esse valor no contexto da situação acima. se abre uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado. o reservatório está cheio de água e que. da água no reservatório. 99 . Essa pressão varia com a altura de acordo 750 com a fórmula h = 18. 70 . é dada por h (t ) = log 2 (a − b t ) . 3m h(t) Questão 38 O coração é uma “bomba” muscular no homem pode exercer uma pressão manométrica máxima de cerca de 120 mmHg (120 tor ou 12) no sangue durante a contração (pressão sistólica). em metros. Com esse aparelho nós obtemos a pressão máxima (sistólica) e a pressão mínima (diastólica). O reservatório fica vazio ao fim de 14 horas. medida em milímetros de mercúrio como função da idade x da pessoa medida em anos. com t ∈ [ 0 . então. A pressão sanguínea. cujo manguito (braçadeira) deve se adaptar ao braço. t horas após ter começado a ser esvaziado. b) Prove que a taxa de variação média de h no intervalo [ 6 . Questão 41 O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois de ele ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. O número de pessoas que já sabiam da notícia após t ≥ 0 horas A é dado pela fórmula f (t ) = . 8 grama por litro? Questão 42 Em certo país com população A (em milhões de habitantes) é noticiado pela TV a implantação de um novo plano econômico pelo governo. a) calcule a pressão atmosférica a 3 km acima do nível do mar. em milhas (1 milha = 1609 metros). onde h é a altura. em milhares de vendas do novo produto é dado pela expressão V (t ) = k ⋅ e 0 . Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula matemática N (t ) = 2 ⋅ (0 . 80% da população estavam cientes do plano? Questão 43 Uma empresa de detergentes lançou um novo produto no mercado e não obteve o êxito esperado. a) Calcule o valor de k. k > 0). 2 t . os biscoitos saem do forno a 180º C. se o limite permitido de álcool no sangue para dirigir com segurança é de 0. o número V. acima do nível do mar. 4 mm). Sabendo que a temperatura se reduz à metade ao fim de 20 minutos e que a expressão que dá a temperatura T em graus centígrados é do tipo T (t ) = 18 + a ⋅ e − k ⋅ t (t em horas. Para minorar as baixas vendas do produto. b) Determine um valor aproximado da altura de uma montanha sabendo que no cume. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo. em polegadas de mercúrio (1 polegada = 25. 09 h . a empresa investiu numa campanha publicitária. Indique o valor de k encontrado. a pressão atmosférica é de 505 mm de mercúrio. sabendo que eles só podem ser embalados abaixo de 30º C? 100 . 5) t . 50% da população já estava ciente da notícia.000 unidades. Quantos dias durou a campanha? Questão 44 Numa padaria. b) Quanto tempo é preciso esperar para embalar os biscoitos. b) A campanha publicitária termina quando o número de vendas atingir a produção máxima da empresa. a) Qual foi a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi noticiado? b) Qual a população do país? c) Após quanto tempo. Sabe-se também que decorrida 1 hora da divulgação do plaA − ⋅t 1+ 4e 2 no. a) Calcular o valor de a e de k. onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em o nível é constatado.Questão 40 A pressão atmosférica P. Após t dias do início da campanha publicitária. é dada por P (h) = 30 ⋅ 10 − 0 . sabendo que dois dias após o início da campanha o número de vendas era de 746. que corresponde a 10. de óleo espalhado sobre o oceano. a) Verifique que para qualquer valor de t. às t horas do dia seguinte ao acidente. é dada por A (t ) = 16 ⋅ e 0 . encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. a temperatura do pão é dada por T (t ) = 23 + 77 ⋅ e − k ⋅ t . 9 gramas? Questão 46 Quando o pão sai do forno. se lhe for aplicada uma dosagem de 0. Será que o Paulo irá levar o pão? Questão 47 Foi criada uma zona industrial onde inicialmente trabalhavam 1. a) Qual a dose necessária para anestesiar um cachorro com o peso indicado. durante 90 minutos? b) Durante quanto tempo ficará anestesiado um cachorro de 20 kg. Joaquim Rodrigues Questão 45 Os veterinários usam pentobarbitol de sódio para anestesiar animais. b) Ao fim de quantos meses o número de trabalhadores ultrapassa 2. determine a que horas. A expressão que rege o a em função do tempo t em anos. diz que só pode esperar entre 3 e 5 minutos. A (t + 1 ) é constante. b) Qual será a temperatura do pão meia hora depois de sair do forno? c) Para embrulhar o pão. começou a derramar óleo. do dia seguinte ao acidente.000? Questão 48 Um petroleiro. que navegava no oceano Atlântico. com centro no local onde o petroleiro encalhou. 24 ] . Paulo entrou na padaria no momento em que o pão saindo do forno. Admita que. é conveniente que este esteja a uma temperatura inferior a 40º C. Suponha que a dose d (em miligramas) necessária para anestesiar um cachorro de 20 kg. b) Admita que a mancha de óleo é circular. a sua temperatura é de aproximadamente 100º C. a) Calcule o valor de k. é colocado em tabuleiros numa sala em que a temperatura é de 23º C. Determine um valor aproximado A (t ) dessa constante e interprete esse valor. Em consequência disso. durante um tempo t (em horas) é dada por t d (t ) = 600 ⋅ 2 4 . t ∈ [ 0 . 101 . número de milhares de postos de trabalho é N (t ) = 1 + 2 e − 0. a mancha de óleo atingirá a costa. Ele quer comprar pão.000 pessoas. Sabendo que esse local se encontra a 7 km da costa. Para esfriar. mas como já está atrasado para ir para a escola. em minutos. ao fim do tempo t. Depois de sair do forno.Prof. Passados 3 minutos a sua temperatura é de aproximadamente 74º C. no contexto da situação descrita. 5t a) Determine o valor de a. 1 t . a área em km2. 195 m 41. 4.92 13.589 habitantes c) 2 horas 43.8 31. a) 1 grama b) 2. 37. a) 20% de A b) 2. logo quando t < 11 dias 19. a) 8. 63 anos 23. 7. C 05.71 g b) 3.RESPOSTAS 01. a) C 0 = 5. C 03. a) 5. A 12. a altura da água no reservatório diminuiu à razão de 0.772. 1012. a) a = 8 e b = 1 20 b) 1. B 08.3813 1 2 b) Provar. A 10. Aproximadamente 7 anos 15.26 b) 1. B 02. E 18.5 gramas c) 1 dia e 19 horas d) À medida que o tempo passa.3 joules 32. B 36. A 09.34 14.000 é o número atual de camelos b) 91 c) 8 anos 16. após o início do esvaziamento. entre às 6 horas e 11 horas.5481 × 10 24 ergs c) E = 101. a) k = 500 102 b) 15 dias .682 c) 2.487 c) 13 d) crescerá infinitamente M2 1 = M 1 100 33. A 06. 10 anos 29.6 m e) t = ln 1 − 0.2m (20 cm) por hora.110 34.500.5 M +11.4 m b) 3. B 39. No intervalo de tempo considerado.378 d) 29 dias e) é o mesmo que perguntar:”durante quanto tempo a dimensão desse vírus é inferior a 1. a) 0.5 gramas 0. 2 meses 28.000 b) 5 anos 21. B 30. 1h 20min 42.5 s 24. a) 2.65 e aumento de 0. a massa tende a 2. A 07. 9. a) k = 38.8 mm de Hg 20. a) 100 b) 1. 7 dias 22. 5a 6m 18d 26. D 11.65 c) 2. 3 anos 27.25 b) 3. a) 33 kg b) 0.200m 40. a) 517. a) 7 × 10 9 b) 10 10 35. D 04. 111 anos 25. c) 0 17. 1.43 b) no mínimo 1 hora 47. a) 1. a) k = 0.000 b) 2a 9m 45.14 b) 24°C c) não levará o pão 103 . a) 778 mg 48. ou ainda.1 km por hora. a) a = 162 e k = 2. b) 22h 38min b) 2h 20min 46. aumenta à razão de 1.Prof. a área da mancha cresce 10% por hora. Joaquim Rodrigues 44. a) 3. Significa que a área da mancha espalhada sobre o oceano. 104 . Joaquim Rodrigues PARTE II CÁLCULO I LIMITES. DERIVADAS E INTEGRAIS INDEFINIDAS 105 .Prof. 106 . 2 e 3 Regra 4 Exercícios Regra 5 e 6 Regra 7 a 13 Regra 14 Exercícios Regra de L’Hospital Aplicações da derivada na geometria analítica Exercícios Derivadas sucessivas Sinal da derivada primeira Pontos críticos Exercícios Integrais – Integral Indefinida Propriedades – Casos particulares Integrais imediatas e Tabela de derivadas Questões resolvidas Exercícios 109 110 110 111 112 114 116 119 120 122 125 126 127 127 128 128 129 130 132 135 138 138 139 139 142 143 144 145 149 151 153 154 155 155 159 164 165 166 167 171 107 .Prof. Joaquim Rodrigues SUMÁRIO Limite Definição de limite Propriedades Cálculo de limites Exercícios Indeterminações Exercícios Limites infinitos Limite infinito fundamental Exercícios O número “e” Exercícios 01 Limite exponencial fundamental Exercícios 02 Limite trigonométrico fundamental Exercícios 03 Função contínua Exercícios Algumas aplicações de limites Estudo das derivadas Regras de derivação Regra 1. 108 . para x = 2. estamos estudando as proximidades de 2 e concluindo que f(x) se aproxima de 4. mas f(x) se aproxima de 4.7 3. que 4 é o limite de f ( x ) = x−2 ( x + 2)( x − 2) tar por lim f ( x) = 4 ou lim = 4 onde a seta (→) indica que x tende (se aproxima) a 2. mas que.5 2. x−2 Queremos saber.2 2. menores do que 2. teoricamente pode ser aproximado arbitrariamente. quando x se aproxima de 2. contudo. ou seja.. exceto. Para isso. quando x se aproxima de 2. no estudo de limites..99 1.2 4..5 1.9 3. f(x) 5 4. contudo. definida para todos os valores reais.3 4. tomaremos valores bem próximos de. sem nunca alcançá-lo. Podemos perceber que quanto mais x se aproxima de 2. é claro. é qual será o valor de f(x) quando x se aproxima de 2. x→2 x→2 x−2 Note que x jamais assumirá o valor 2. Dizemos.001 .01 4.. tomaremos valores bem próximos de.9 1.8 1. Joaquim Rodrigues LIMITE Aparentemente.7 1. Para uma melhor compreensão de limite. para valores à direita de 2. ou seja.001 .Prof.5 3. vamos considerar as seguintes tabelas de valores: Vamos aproximar x de 2. o desempenho ideal (ou limitante) que nunca é atingido na prática. para qual valor f(x) se aproxima. A produtividade máxima teórica de uma máquina ou de uma fábrica é um limite.5 4.01 2. Vamos aproximar x de 2. x 3 2. maiores do que 2. que podemos represenentão.999 . para valores à esquerda de 2.3 2. é algo estranho.1 4.1 2.. f(x) 3 3. f ( x) = x−2 ( x + 2)( x − 2) Veja também que podemos simplificar a expressão f ( x ) = e teremos f ( x ) = x + 2 . a ideia de se aproximar o máximo possível de um ponto ou valor.. vamos considerar a função f dada por ( x + 2)( x − 2) ..99 3.. x 1 1.8 3. 109 . o que queremos saber. conceitos do tipo limite são usados com bastante frequência. Mas.999 . Assim. ( x + 2)( x − 2) . é igual ao quociente dos limites. da função f ( x) = x .DEFINIÇÃO DE LIMITE Dada uma função f: IR → IR dizemos que esta função tem por limite o número b. é o valor da tendência. O limite de um quociente. lim [ f ( x) ] x→a n = lim f ( x) x → a n [ ] 8. f ( x) f ( x) lim x →a lim = x→a g ( x) g ( x) xlim →a 7. lim [ f ( x) − g ( x) ] = lim f ( x) − lim g ( x) x→a x →a x→a 5. lim k = k x→a 2. quando x se aproxima de a e x ≠ a. 3. lim [ f ( x) ⋅ g ( x) ] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) x→a x →a x→a 6. O limite de um produto. b = b′ 2. lim x = a x→a 3. os limites laterais. é igual à diferença dos limites dessas funções. se e somente se: x→a 1. O limite de uma constante é a própria constante. O limite do logaritmo é igual ao logaritmo do limite. existe o limite quando. Simbolicamente temos: lim f ( x) = b ou f ( x ) → b quando x → a x→a Quando existe o limite? Existe lim f ( x) . O limite de uma potência é igual à potência dos limites. lim log k f ( x) = log k lim f ( x) x → a x→a 110 . lim+ f ( x) = b ′ lim f ( x) = b x → a− x→a O que queremos dizer é que. à esquerda e à direita. isto é. PROPRIEDADES Para facilitar os problemas que envolvem limites. existirem e se eles forem iguais. O limite da função identidade. é igual ao produto dos limites. O limite de uma diferença de funções. lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x) x→a x →a x→a 4. podemos nos valer das seguintes propriedades: 1. O limite de uma soma de funções é igual à soma dos limites dessas funções. se pudermos tornar os valores de f(x) tão próximos de b quanto quisermos desde que x esteja suficientemente próximo de a. ou seja: 1 ERRADO: lim (2 x + 3) = lim 2 ⋅ + 3 = lim (1 + 3) = 4 1 1 2 x→ x→ x → 12 2 2 “Passando o ponto”.Prof. que nesse caso. temos 2 ⋅ a partir do momento em que você começa a passar o ponto. diremos “passar o ponto”. lembrando que quando fazemos isso. é importante saber que x. não é preciso mais escrever lim. na verdade. EXEMPLOS Calcular os limites: a) lim 3 x →2 Resolução Note que 3 é uma função constante ( f ( x ) = 3) e conforme vimos . Joaquim Rodrigues CÁLCULO DE LIMITES Para calcular o limite de uma função. lim 3 = 3 x→2 b) lim x x →5 Resolução Basta substituir x por 5. não estará assumindo aquele valor substituído. x→a logo. mas sim. um número tão próximo dele quanto se queira. lim k = k . pelas propriedades. assim: lim x = 5 x →5 c) lim ( 2 x + 3) 1 x→ 2 Resolução 1 + 3 = 1+ 3 = 4 2 NOTA: observe que quando “passamos o ponto” não devemos mais escrever lim. a maneira mais fácil é substituir a variável x pelo número da tendência. 1 CERTO: lim (2 x + 3) = 2 ⋅ + 3 = 1 + 3 = 4 1 2 x→ 2 d) lim (3x − 1) x →1 Resolução lim (3x − 1) = 3 ⋅ 1 − 1 = 3 − 1 = 2 x →1 x2 − 3 e) lim x →2 x + 2 Resolução x 2 − 3 22 − 3 4 − 3 1 lim = = = x → 21 x + 2 2+2 4 4 111 . EXERCÍCIOS Questão 01 Calcule os limites: a) lim 5 x→2 b) lim x x → −3 c) lim ( x 2 − 3) x→2 x3 + 2x − 3 d) lim x →1 x +1 3 x − 3x 2 + 2 x − 4 e) lim x → −1 x 2 − 3x − 5 x +1 f) lim x→3 x +1 Questão 02 Determine: a) lim 7 x→ 2 2 3 c) lim (5 x 3 + x) b) lim x → −1 x→2 1 d) lim 4 x 2 − x x → −4 2 2 e) lim (3 x + x − 1) x →3 f) lim ( x 4 − x 3 + x 2 + 1) x→0 Questão 03 Calcule: a) lim 6 x 2 x →1 3 2 x 2 lim ( x 2 − 4) b) lim x→2 c) x→ 2 2x5 + 3 x →1 5 e) lim ( x − 1)(4 − x) d) lim x→3 4x2 x →3 x +1 x3 g) lim 2 x → 5 x −1 f) lim 112 . 67 3 5 b) = 0.Prof. calcule: x 3 − x 2 + 3x a) lim f ( x) Seja f ( x) = x →1 b) lim f ( x) x→ 1 2 c) lim f ( x) x → −1 Questão 05 Determine: a) lim ( 2 x − 1) 6 x → −1 b) lim (3 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1) 2 x→2 Questão 06 Ache o valor de: a) lim 4 81 x 4 x →1 b) lim x→4 3 x2 RESPOSTAS Questão 01 a) 5 b) − 3 c) 1 d) 0 e) 10 f) 2 ( 3 − 1) = 1.46 Questão 04 2 a) = 0.52 Questão 03 a) 6 b) 6 c) − 2 d) 1 e) 2 f) 9 125 g) = 5.45 11 14 c) = 2. Joaquim Rodrigues Questão 04 5 x 3 − 6 x 2 + 3x .8 5 Questão 02 a) 7 2 b) = 0.67 3 c) 42 d) 66 e) 29 f) 1 Questão 05 a) 729 b) 625 Questão 06 a) 3 b) 2 3 2 = 2.21 24 113 . ∞ 0 Onde ∞ é o símbolo de infinito. x 2 − 4 = ( x + 2)( x − 2) . x→2 x−2 2−2 0 0 e nesse caso. 1 ± ∞ 5. podemos considerar a função e fatorá-la. + ∞ − ∞ 7. simplesmente passando o ponto. Observe que x−2 x 2 − 4 é uma diferença de dois quadrados. 2. com muita facilidade. 4. temos que lim = lim( x + 2) x →2 x − 2 x→2 x2 − 4 Veja que transformamos lim em lim( x + 2) e agora. um produto notável da forma A 2 − B 2 = ( A + B )( A − B ) . queremos dividir zero por zero. Assim: Ao passar o ponto. EXEMPLOS Calcular os limites: x2 − 4 a) lim x →2 x − 2 Resolução x2 − 4 22 − 4 4 − 4 0 = = = (que é uma indeterminação) x →2 x − 2 2−2 0 0 x2 − 4 Para sair dessa indeterminação. tais como fatoração de polinômios e racionalização. logo. isto é. temos lim x 2 − 4 ( x + 2)( x − 2) = = x+2 x−2 x−2 x2 − 4 Agora. 3. podemos pasx →2 x − 2 x→2 sar o ponto lim( x + 2) = 2 + 2 = 4 x→2 114 . 0 ⋅ ∞ ±∞ ±∞ Para sair dessas indeterminações devemos fazer uso de conhecimentos básicos de matemática. e se tentarmos resolver o limite dessa x−2 função. o que nos leva a uma situação indeterminada) Se voltarmos ao nosso exemplo inicial f ( x ) = PRINCIPAIS INDETERMINAÇÕES Temos sete indeterminações usuais: 0 1. 0 0 0 6. teremos uma situação que iremos chamar de indeterminação.INDETERMINAÇÕES ( x + 2)( x − 2) . veja: ( x + 2)( x − 2) ( 2 + 2)( 2 − 2) 4 ⋅ 0 0 lim = = = (observe que não é possível efetuar a divisão por zero. nesse caso. x2 + x − 6 − x − 3x 2 x+3 x−2 − 2x − 6 2x + 6 Assim x 2 + x − 6 = ( x + 3)( x − 2) 0 x 2 + x − 6 ( x + 3)( x − 2) onde = = x−2 x+3 x+3 x2 + x − 6 agora. notamos que o ponto de indeterminação é a tendência. então nesse caso. lim x →3 x−3 x− 3 = lim ( x + 3 ) = 3 + 3 = 2 3 x →3 115 . temos que lim = lim x = 2 x →2 x→2 x−2 Passando o ponto.Prof. ou seja. temos lim x2 + x − 6 x → −3 x+3 Resolução c) lim Passando o ponto. Agora. é x → − 3 e que podemos passar o −3 para o primeiro membro. temos lim = lim ( x − 2) = −3 − 2 = −5 x → −3 x → −3 x+3 d) lim x−3 x− 3 Resolução Ao passar o ponto chegamos numa indeterminação. temos lim x → −3 x 2 + x − 6 (−3) 2 + (−3) − 6 9 − 3 − 6 0 = = = (que é uma indeterx+3 0 0 −3+3 minação) Pelos exemplos anteriores. é só dividir o numerador ( x 2 + x − 6) pelo fator de indeterminação ( x + 3) usando divisão de polinômios. Joaquim Rodrigues x 2 − 2x b) lim x →2 x−2 Resolução x 2 − 2x 22 − 2 ⋅ 2 4 − 4 0 = = = (indeterminação) x →2 x−2 2−2 4 0 2 x − 2 x x ( x − 2) Colocando o x em evidência no numerador. temos =x = x−2 x−2 x 2 − 2x Assim. iremos usar a racionalização do denominador x −3 x + 3 ( x − 3)( x + 3 ) ( x − 3)( x + 3 ) ⋅ = = = x+ 3 x −3 x− 3 x+ 3 ( x ) 2 − ( 3) 2 x→3 Agora. assim x + 3 → 0 . EXERCÍCIOS Questão 01 Calcular: x2 − 9 a) lim x→3 x −3 x 2 − 25 b) lim x → −5 x + 5 x2 + x c) lim x→0 4x x 2 + 5x d) lim x → −5 x + 5 x 2 − 81 e) lim x→9 x −9 x 2 + 2x f) lim x → −2 x+2 Questão 02 Calcule: x 2 − 10 x + 25 a) lim x→5 x−5 2 x + 5 x − 14 b) lim x→2 x−2 2 x − x − 12 c) lim x→4 x−4 2 x − 6x d) lim x→6 x−6 3 x − x2 + x −1 e) lim x →1 x −1 3 4x − 2x 2 + x f) lim x→0 3x 2 + 2 x Questão 03 Calcule: x 4 − 3x 3 + x 2 − 3x a) lim x→3 2x − 6 2 x − 7 x + 10 b) lim x→2 x2 − 4 a 3 + 3a 2 − 10a c) lim a→2 a 2 − 2a x2 − 4 d) lim 2 x → 2 x − 5x + 6 116 . Prof. Joaquim Rodrigues Questão 04 Calcule: x2 − 2x + 1 a) lim 2 x → 1 x − 3x + 2 x 2 + 3x + 2 b) lim 2 x → −1 x + 5 x + 4 x 3 − 6 x 2 + 11 x − 6 c) lim 3 x → 2 x − 9 x 2 + 26 x − 24 x 3 − x 2 − 3x + 2 d) lim 3 x → 2 2x − 4x 2 − x + 2 x 5 + 2x 3 − x 2 + 6x − 8 e) lim x →1 x 4 + 5 x 2 − 3x − 3 Questão 05 Calcule: x−2 a) lim x→2 x2 + 5 − 3 x2 −1 b) lim x →1 2 − 3x + 1 1+ x −1 c) lim x→0 x x +1 − 3 d) lim x→8 x −8 x− 2 e) lim x→2 x−2 x −1 − 2 f) lim x→5 2 x − 10 1 + 2x − 3 g) lim x→4 x −2 h) lim x→0 i) lim x→4 1+ x + x2 −1 x 2x + 1 − 3 x−2− 2 117 . 67 3 1 c) = 0.5 2 5 = 0.5 2 2 2 i) = 0.94 3 Questão 03 a) 15 3 b) − = −0.33 b) 3 1 c) − = −0.17 6 2 e) = 0.36 11 Questão 02 a) 0 b) 9 c) 7 d) 6 e) 2 1 f) = 0.5 2 1 d) = 0.71 d) 7 15 e) = 1.75 4 c) 7 d) − 4 118 .35 4 1 f) = 0.5 2 8 b) − = −2.RESPOSTAS Questão 01 a) 6 b) − 10 1 c) = 0.25 4 d) − 5 e) 18 f) − 2 Questão 04 a) 0 1 = 0.13 8 4 g) = 1.33 3 1 h) = 0.5 2 Questão 05 3 a) = 1. . EXEMPLOS Calcular os limites: a) lim x 2 x → +∞ Resolução Vamos considerar a tabela para f ( x) = x 2 X 1 5 10 100 1. percebemos que. A partir da tabela.. percebemos que... quanto mais x se aproxima de − ∞.. Joaquim Rodrigues LIMITES INFINITOS Agora.000. mais f(x) se aproxima de − ∞ . quanto mais x se aproxima de − ∞. f(x) −1 −25 −100 −10. vamos estudar limites em que a variável x.000 . logo lim x 2 = ∞ x → −∞ lim x 3 x → −∞ Resolução Vamos considerar a tabela para f ( x) = x 2 X −1 −5 −10 −100 −1. c) f(x) 1 25 100 10.000 .. b) f(x) 1 25 100 10. A partir da tabela. mais f(x) se aproxima de ∞ .000 . A partir da tabela.000.Prof.. logo lim x 2 = −∞ x → −∞ 119 .000 1.000 1.. tomam valores absolutos arbitrariamente grandes.. percebemos que. mais f(x) se aproxima de ∞ . logo lim x 2 = ∞ x → +∞ lim x 2 x → −∞ Resolução Vamos considerar a tabela para f ( x) = x 2 X −1 −5 −10 −100 −1.000 −1..000 ..000 . ou ambos..000 . quanto mais x se aproxima de ∞ . ou a função f(x).000. lim f ( x) = ∞ . veja: basta tomar o termo de maior grau no numerador e no denominador 2x − 3 2x 2x − 3 = = 2 . se n for par x→−∞ lim f ( x) = −∞ . temos que: 1.A partir dos exemplos dados. logo. podemos concluir que dada uma função f ( x) = x n . 3. aplicamos propriedades de limites = lim então lim x → +∞ x + 5 x→ +∞ 5 1+ x 3 3 1 2− lim 2 − lim lim 2 − lim 3 ⋅ lim 2x − 3 x → +∞ x x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x = x → +∞ = lim = lim x → +∞ x + 5 x→ +∞ 5 5 1 1+ lim 1 + lim lim 1 + lim 5 ⋅ lim x → + ∞ x → + ∞ x → + ∞ x → + ∞ x → + ∞ x x x 2x − 3 2 − 3 ⋅ 0 2 − 0 2 lim = = = =2 x → +∞ x + 5 1+ 5⋅0 1+ 0 1 Obs.: podemos usar de um raciocínio mais rápido para resolver essa questão. lim = lim 2 = 2 x → + ∞ x+5 x x + 5 x → +∞ 120 . lim f ( x) = ∞ x →∞ 2. n ∈ IN . se n for ímpar x→−∞ LIMITE INFINITO FUNDAMENTAL 1 lim = 0 x x → ±∞ EXEMPLOS Calcular os limites: 2x − 3 a) lim x → +∞ x + 5 Resolução 2x − 3 ∞ (que é uma indeterminação) lim = x → +∞ x + 5 ∞ Vamos dividir o numerador e o denominador por x 2x − 3 2x 3 3 − 2− 2x − 3 x = x = x x = x+5 x 5 5 x+5 + 1+ x x x x 3 2− 2x − 3 x e agora. temos 3x 5 − 5 x 2 + 2 x − 1 3x 5 lim = lim = lim x 3 = (+∞) 3 = +∞ x → +∞ x → + ∞ 3x 2 x → +∞ 3x 2 + 1 lim 4 x 2 − 5x + 1 x → + ∞ x3 − 4x 2 + 2 Resolução tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador. temos 2x3 − 4x2 + 3 2x3 1 1 lim = lim = lim = x → + ∞ 4x3 − 2x 2 + 1 x → +∞ 4 x 3 x → +∞ 2 2 c) d) e) 3x 5 − 5 x 2 + 2 x − 1 x → +∞ 3x 2 + 1 Resolução tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador. basta tomar o termo de maior grau do numerador lim (4 x 3 + 2 x 2 − 5 x − 1) = lim (4 x 3 ) = 4 ⋅ ∞ 3 = 4 ⋅ ∞ = ∞ x → +∞ f) lim x → −∞ x → +∞ 2x 2 − x + 2 Resolução lim x → −∞ 2 x 2 − x + 2 = lim x → −∞ mas veja que assim. pois 2 x 2 − x + 2 = lim x → −∞ 2 x 2 = lim x → −∞ x2 = x 2 ⋅ x = 2 ⋅ − ∞ = 2 ⋅ ∞ = +∞ 121 . Joaquim Rodrigues 2x3 − 4x 2 + 3 b) lim x → + ∞ 4x3 − 2x 2 + 1 Resolução tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador. temos 4x 2 − 5x + 1 4x 2 4 1 lim 3 = lim = lim = lim 4 ⋅ lim = 4 ⋅ 0 = 0 2 3 x → + ∞ x − 4x + 2 x → +∞ x x → +∞ x x → +∞ x → +∞ x lim lim (4 x 3 + 2 x 2 − 5 x − 1) x → +∞ Resolução Dessa vez. lim x → −∞ 2x 2 2 x 2 = 2 ⋅ x 2 = 2 ⋅ x .Prof. EXERCÍCIOS Questão 01 Calcular: a) lim ( x 4 − x) x → +∞ 5x 3 + x 2 − 1 b) lim x → + ∞ 2x 2 + x + 1 c) lim 2x + 1 − 2x x → +∞ ( ) Questão 02 Calcular: a) lim 5 x 2 x → +∞ b) c) d) e) f) g) h) lim 5 x 2 x → −∞ lim (−6 x 2 ) x → +∞ lim (−6 x 2 ) x → −∞ lim 4 x 3 x → +∞ lim 4 x 3 x → −∞ lim (−8 x 3 ) x → +∞ lim (−8 x 3 ) x → −∞ Questão 03 Calcular: a) lim ( x 2 + x) x → +∞ b) c) d) lim ( x 5 + x 3 ) x → −∞ lim (− x 4 − x 2 ) x → +∞ lim (− x 9 − x 7 ) x → −∞ Questão 04 Calcular: 1 a) lim x → +∞ x 2 b) lim x → −∞ x c) d) lim − x → +∞ lim x → −∞ 3 x2 6 x3 122 . Joaquim Rodrigues Questão 05 Calcular: a) lim ( x 3 − x 2 + x − 1) x → +∞ b) c) d) lim (5 x 2 − 6 x − 1) x → −∞ lim (−2 x 4 + x 2 − x) x → +∞ lim (−4 x 3 − x 2 + x) x → −∞ Questão 06 Calcular: 6x2 + x +1 a) lim x → −∞ 3x − 7 4x3 − x 2 + 2 b) lim x → + ∞ 5 x 3 + 3x + 1 6x 4 − x 2 + 3 c) lim x → + ∞ − 3x 2 + 5 x − 1 10 x 3 − 7 x 2 + 1 d) lim x → − ∞ − 2x 4 + x −1 4x5 − x3 + x e) lim x → − ∞ 3x 5 + x 2 + 1 Questão 07 Calcular: a) lim 3 x + 1 − 3 x x → +∞ b) c) lim x → +∞ lim x → +∞ ( ( ( ) x + 3 − x +1 ) x2 + 2x + 3 − x ) 123 .Prof. RESPOSTAS Questão 01 a) ∞ b) ∞ c) 0 Questão 02 a) ∞ b) ∞ c) − ∞ d) − ∞ e) ∞ f) − ∞ g) − ∞ h) ∞ Questão 03 a) ∞ b) − ∞ c) − ∞ d) ∞ Questão 04 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 Questão 05 a) ∞ b) ∞ c) − ∞ d) ∞ Questão 06 a) − ∞ 4 b) 5 c) − ∞ d) 0 4 e) 3 Questão 07 a) 0 b) 0 c) 0 124 . ..... f (n) 2 2... 52 2.. f(n) tende para o número irracional 2. .25 2. Joaquim Rodrigues O NÚMERO “e” n 1 Vamos considerar a função f : IN → IR definida pela expressão f (n) = 1 + e uma tabela de n valores: * n 1 2 3 4 5 6 7 . 2. 20 .7169 . 2. 2..Prof. 500 ...48 2.70481 .71557 . Podemos notar que.... 2. 65 . Esse número irracional será representado por e = 2. ..69159 .000 ..37 2.71 (número de n 1 Euler) e diremos que lim 1 + = e n→∞ n EXEMPLOS Calcular os limites: 1 a) lim 1 + x→∞ x Resolução 2x 2 1 Veja que 1 + x 2x 1 x pode ser escrito como 1 + x 1 logo lim 1 + x→∞ x 2x 1 x 1 x = lim 1 + = lim1 + = e 2 x →∞ x x x → 2 2 2 125 .. a medida que n tende para infinito ( ∞ ). 1.44 2.7182818284. 50 . 54 ..... 2.... 100 . 43 3 c) lim 1 + x → +∞ x 4x c) e12 = 162.37 2 f) lim 1 − x → −∞ x x f) e − 2 = 0.79 x+6 d) lim x → +∞ x x d) e 6 = 403. então y → ∞ vamos fazer x 1 2 logo lim 1 + = lim 1 + x→∞ y →∞ x y 2y 1 y = lim 1 + y →∞ y 2 2 y x 1 2 lim 1 + = lim 1 + = e 2 x→∞ x y y → ∞ EXERCÍCIOS 01 Calcular: RESPOSTAS 1 lim 1 + x → +∞ x 4x a) e 4 = 54.43 1 e) lim 1 − x → −∞ x x e) e − 1 = 0.6 1 b) lim 1 + x → +∞ x 6x b) e 6 = 403.754. então − y → −∞ ⇒ vamos fazer − x 1 1 logo lim 1 − = lim 1 + x → −∞ y → ∞ y x −y 1 y = lim 1 + y →∞ y y x 1 1 lim 1 − = lim 1 + x → −∞ x y y → ∞ 2 c) lim 1 + x→∞ x Resolução y→∞ −1 −1 = e −1 = 1 e x 2 1 = ⇒ x = 2y x y assim. 1 b) lim 1 − x → −∞ x Resolução x 1 1 = ⇒ x = −y x y assim.14 a) 126 . se x → ∞ . se x → −∞ . 7 b) 5 c) 5 ln 2 = 1. temos lim = = = = (indeterminado) x → 0 5x 2 5⋅0 0 0 5 ⋅ 02 x2 x2 e −1 1 e −1 mas note que lim = lim ⋅ lim x → 0 5x 2 x→0 5 x→0 x2 2 fazendo x = A e x → 0 .7 e) 127 10 ln 10 ⋅ = 6.Prof. então A → 0 2 ex −1 1 e A −1 1 1 1 logo lim = lim ⋅ lim = ⋅ ln e = ⋅ 1 = 2 x → 0 5x x→0 5 x→0 A 5 5 5 2 2 RESPOSTAS EXERCÍCIOS 02 Calcule os limites: 2x −1 a) lim x→0 x 5x e −1 b) lim x→0 x 5x 2 −1 c) lim x→0 3x x 6 − 3x d) lim x→0 x x 10 − 10 e) lim x x →1 3 − 3 a) ln 2 = 0.16 3 d) ln 2 = 0.98 3 ln 3 . Joaquim Rodrigues LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL lim x→0 a x −1 = ln a x EXEMPLO ex −1 Calcular lim x → 0 5x 2 Resolução 2 e x − 1 e0 − 1 e0 − 1 1 − 1 0 passando o ponto. 5 2 5 = 1.25 4 7 = 0.67 3 5 = 1.5 2 1 1 1 128 .7 10 1 = 0.67 3 3 = 1.LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL lim x→0 sen x =1 x EXEMPLO Calcular lim x→0 sen 2 x x Resolução sen 2 x sen 2 ⋅ 0 sen 0 0 lim = = = (indeterminação) x→0 x 0 0 0 vamos usar o artifício de multiplicar o numerador e o denominador por 2 sen 2 x 2 sen 2 x sen 2 x lim ⋅ = lim ⋅ 2 = lim ⋅ lim 2 = 1 ⋅ 2 = 2 x→0 x→0 x 2 x →0 2x x→0 2x EXERCÍCIOS 03 Calcular: a) lim x→0 sen 8 x 3x sen 3 x x→0 2x sen 5 x c) lim x→0 3x b) lim d) lim x→0 π sen x − 5 g) limπ π x→ x− 5 5 tg x h) lim x→0 x sen x i) lim x → 0 tg x sen 5 x sen 4 x sen 7 x x → 0 sen 10 x 1 − cos x f) lim x→0 x2 e) lim RESPOSTAS a) b) c) d) e) f) g) h) i) 8 = 2. as seguintes condições devem ser satisfeitas: 1.Prof. isto é. lim f ( x) = f (a) x→a x→a 129 . f2 e f3 a seguir: y f1 y f2 f2 (a) f1 (a) a x a x y f3 f3 (a) a x Observe que a cada x do domínio de f1 associamos um único valor de y e também que o gráfico de f1 não é interrompido para x = a. sem levantar a ponta do lápis do papel. Mas. Para que uma função f(x) seja contínua em x = a do seu domínio. O ponto a é chamado ponto de descontinuidade da função. A função f1 é denominada contínua e as funções f2 e f3 são chamadas descontínuas em x = a. existe f(a) 2. existe lim f ( x) 3. o gráfico pode ser desenhado de uma só vez. os gráficos são interrompidos para x = a. Joaquim Rodrigues FUNÇÃO CONTÍNUA Consideremos o gráfico das funções f1. o mesmo não acontece com os gráficos de f2 e f3 que não podem ser desenhados sem se levantar a ponta do lápis do papel. isto é. se x < 1 b) f ( x) = 2 se x ≥ 1 x .EXEMPLOS Estude a continuidade ou descontinuidade de cada função: x2 − 4 a) f ( x) = x−2 Resolução como a função f(x) não é definida para x = 2 . x−2 x+7 é contínua em x = 1. se x ≠ 4 Determinar m ∈ IR de modo que a função f ( x) = seja contínua em x = 4. diga se f(x) é contínua nos pontos: x +1 a) x = 0 b) x = −1 c) x = 2 130 . os limites laterais são: lim− f ( x) = lim− (3 x − 2) = 1 x →1 x →1 lim+ f ( x) = lim+ x 2 = 1 x →1 x →1 os limites laterais são iguais. então f(x) não é contínua neste ponto. se x = 4 3m . Resolução devemos verificar as três condições: 1. 3 x − 2 . Questão 04 Dada a função f ( x ) = 1− x . lim f ( x) = f (1) = 1 x →1 Assim. logo lim f ( x) = 1 x →1 3. x −1 Questão 03 x 2 − 5 x + 6 . f (1) = 11 = 1 ⇒ f (1) = 1 2. a função é contínua em x = 1 EXERCÍCIOS Questão 01 Verificar se a função f ( x) = Questão 02 Verificar se a função f ( x ) = x2 − 4 é contínua em x = 3. Prof. se x ≠ 3 Mostre se a função f ( x) = é contínua ou descontínua em x = 3. quando existirem. 3} Questão 07 Descontínua 131 . se x = 3 RESPOSTAS Questão 01 É contínua Questão 02 É descontínua Questão 03 2 m= 3 Questão 04 a) Contínua b) Descontínua c) Contínua Questão 05 a) Contínua b) Descontínua Questão 06 a) { 5 } b) { 0 } c) {− 3. Joaquim Rodrigues Questão 05 Dada a função f ( x ) = x+5 . diga se f(x) é contínua nos pontos: x + 3 x − 10 2 a) x = 5 b) x = 2 Questão 06 Determine. 7 . os pontos de descontinuidade das funções: x+4 a) f ( x ) = x−5 1 b) f ( x ) = x 5x c) f ( x ) = 2 x −9 Questão 07 x + 2 . o custo médio tende a se estabilizar em 0. x2 + x + 5 Qual é o comportamento de m = m(x ) para treinamentos longos? Resolução lim m( x) = lim x→∞ x→∞ 20 x 2 x2 + x + 5 = 20 Ou seja. Resolução a) C ( x ) = 0. a) Determine o custo médio quando x cresce.600 C Médio ( x ) = 0. 132 .25 x + 3. monta m celu- 20 x 2 lares por dia.ALGUMAS APLICAÇÕES DE LIMITES Questão 01 Uma montadora de celulares determina que um empregado após x dias de treinamento.600 C ( x) C Médio ( x ) = x 0.600 lim C Médio ( x) = lim 0. b) Interprete o resultado.25 + = 0.25 x x→∞ x→∞ b) Ou seja.600 C Médio ( x ) = = + x x x 3. um empregado pode montar 20 celulares por dia. após um longo treinamento.25 x 3. de acordo com a expressão m( x) = .600 em reais.25 + x 3. quando o número x de unidades é produzido em grande escala. Questão 02 O custo para produzir x unidades de certo produto é dado por C ( x ) = 0.25 x + 3.25 reais (25 centavos).600 0.25 x + 3. b) C ( x ) = Agora.000 x e C ( x ) = 1. O engenheiros responsáveis pelo projeto estimam que o custo do ser120. estuda a possibilidade de despoluir x% de metais pesados que contaminam uma reserva de água doce.000.000 100 − x 120.000 reais 120. que percentual da reserva ficará despoluída? É economicamente viável despoluir totalmente a reserva? Resolução 120. 100 − x a) Qual é o custo para eliminar a metade dos metais pesados? b) Com 1.000 x = 1.000 100 − x 120.000 x 100 − x 120.000 x lim C ( x ) = lim =∞ x → 100 x → 100 100 − x Isto é. medido em reais.000 .000 de reais.3% Logo.000 x = 1.000 ⋅ 50 C (50) = = 100 − 50 50 a) C ( x ) = ⇒ C (50) = 120.000 de reais. a prefeitura terá despoluído quase 90% da reserva.0 00 x = 89. quando for investido 1. Joaquim Rodrigues Questão 03 A prefeitura de certa cidade. o que torna inviável o projeto.Prof.000.000 x viço é dado pelo modelo matemático C ( x ) = . os custos crescem infinitamente. devemos verificar a viabilidade de despoluir toda a lagoa.0 00 − 100 x 112 x = 10.000 ⋅ 50 120.000.000 (100 − x ) 12 x = 100 (100 − x ) 12 x = 10. 120.000. à medida que nos aproximamos de despoluir toda a reserva. 133 . 134 . a partir de x0 . e compará-la com a diferença ∆x = x − x0 que chamaremos acréscimo ou incremento da variável independente x. Joaquim Rodrigues ESTUDO DAS DERIVADAS Vamos considerar y = f(x) uma função real de variável real x. num intervalo aberto ] a . definida e limitada. ∆x x − x0 135 . Agora seja x0 um ponto desse intervalo e x ( x ≠ x0 ) um segundo ponto do mesmo intervalo. Vamos formar a diferença ∆y = f ( x) − f ( x 0 ) que chamaremos acréscimo ou incremento da função. A razão entre essas diferenças será chamada razão incremental e representada por ∆y f ( x) − f ( x 0 ) = . b [ .Prof. A função derivada de uma função f(x) é uma função dada por f ′( x) = y ′ 136 . 1646 – 1716). A derivada de uma função f(x) num ponto x0 do seu domínio é um número real f ′( x 0 ) 2. D x u = Du ( x ) ou Dt v = Dv (t ) Observação importante Lembre-se sempre desta distinção: 1. o que nos leva a concluir que x → x0 Assim. Se não houver ambigüidade quanto à variável independente. dy se deve a Leibniz (Gottifried Wilhelm Leibniz. Quando houver dúvida quanto à variável em relação à qual se deriva.Se existe o limite desta razão incremental para ∆x tendendo a zero. por = lim dx ∆x → 0 ∆x Observe que: Se ∆x → 0 e ∆x = x − x0 . 1789 – 1857). então dizemos que f é derivável no ponto x 0 . D x f = D f ( x ) . temos que: ∆y será chamada derivada ou coeficiente diferencial de f(x) no ponto x0 e será representada lim ∆x → 0 ∆x dy ∆y . então x − x0 → 0 . podemos escrever que o limite da razão incremental também pode ser representada por: lim ∆x → 0 f ( x) − f ( x0 ) ∆y = lim x → x 0 ∆x x − x0 e finalmente que a derivada será: f ( x) − f ( x0 ) dy = lim x → x 0 dx x − x0 ou f ′( x0 ) = lim x → x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 Se existe f ′( x0 ) . O símbolo Outro símbolo para exprimir a derivada de uma função. a última notação dx f ′ ( x 0 ) foi introduzida por Lagrange (Joseph Louis Lagrange. é D y = D f ( x ) = f ′ ( x ) que é a notação de Cauchy (Augustin Louis Cauchy. 1736 – 1813). atribuímos ao símbolo D um índice indicativo dessa variável. escrevemos simplesmente y ′ para indicar a derivada de y. Joaquim Rodrigues EXEMPLOS 1. Calcule a derivada de f ( x ) = x 2 + 3 x + 1 Resolução f ( x0 ) = ( x 0 ) 2 + 3x0 + 1 f ( x ) − f ( x 0 ) = x 2 + 3 x + 1 − [( x 0 ) 2 + 3 x + 1) = x 2 + 3 x + 1 − ( x 0 ) 2 − 3 x 0 − 1 f ( x) − f ( x0 ) = x 2 + 3x − ( x0 ) 2 − 3 x0 = x 2 − ( x 0 ) 2 + 3x − 3x0 f ( x) − f ( x0 ) x 2 − ( x0 ) 2 + 3x − 3x0 = x − x0 x − x0 ( x + x0 )( x − x0 ) + 3 ( x − x0 ) x 2 − ( x0 ) 2 + 3x − 3x0 = lim x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 ( x − x0 )( x + x0 + 3) f ′( x0 ) = lim = lim ( x + x0 + 3) = x0 + x 0 + 3 = 2 x0 + 3 x → x0 x → x0 x − x0 ou simplesmente f ′( x ) = 2 x + 3 . pois o que queremos é a função derivada f ′( x0 ) = lim 137 .Prof. Ache a derivada de y = 4 x + 1 Resolução Vamos calcular f ( x0 ) . calculamos a diferença f ( x) − f ( x0 ) = 4 x + 1 − (4 x0 + 1) f ( x) − f ( x0 ) = 4 x + 1 − 4 x 0 − 1 = 4 x − 4 x0 f ( x) − f ( x0 ) 4 x − 4 x0 = x − x0 x − x0 4 x − 4 x0 e finalmente o limite dessa razão lim x → x0 x − x0 4 x − 4 x0 4 ( x − x0 ) lim = lim = lim 4 = 4 x → x0 x → x0 x → x0 x − x0 x − x0 dy logo. basta substituir assim f ( x0 ) = 4 x0 + 1 agora. para isso. a derivada de y = 4 x + 1 é = 4 ou f ′( x) = 4 dx calculamos a razão incremental 2. Se f ( x) = x n . onde u = f (x) é uma função diferenciável de x. então: dy = n ⋅ x n − 1 ou f ′ ( x) = n ⋅ x n − 1 . então = 0 ou f ′ ( x) = 0 dx Exemplos: a) f ( x ) = 12 ⇒ f ′ ( x ) = 0 3 b) f ( x ) = ⇒ f ′( x ) = 0 5 c) f ( x ) = 3 17 ⇒ f ′( x ) = 0 Regra 2: A derivada da n-ésima potência de uma variável x é igual ao produto de n por x elevado a (n − 1)-ésima potência. dx Exemplos: a) f ( x) = x 2 ⇒ f ′ ( x) = 2 x 2 −1 = 2 x 1 ⇒ f ′( x) = 2 x 1 b) f ( x) = x 4 ⇒ f ′ ( x) = 3 1 −4 ⋅x 4 c) f ( x) = x − 4 ⇒ f ′ ( x) = −4 x − 5 = − 4 x5 Regra 3: A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função. então: dy du ou y ′ = k ⋅ u ′ =k⋅ dx dx Exemplos: a) f ( x ) = 10 x ⇒ f ′ ( x ) = 10 b) f ( x) = 3 x 2 ⇒ f ′( x) = 2 ⋅ 3 x 2 −1 = 6 x1 4 3 8 c) f ( x) = −2 x ⇒ f ′ ( x) = − x 3 ⇒ f ′ ( x) = 6 x 1 3 138 . dy Se f ( x ) = k .REGRAS DE DERIVAÇÃO O processo que usamos para calcular derivadas é muito trabalhoso. Se y = k u . Regra 1: A derivada de uma função constante é zero. contudo podemos nos valer de algumas regras e fórmulas que podem facilitar o nosso trabalho. onde u = f (x) e v = g (x ) são funções diferenciáveis de x. Joaquim Rodrigues Regra 4: A derivada da soma de um número finito de funções deriváveis é igual à soma das suas derivadas. Se y = u + v . = + dx dx dx Exemplos: a) y = x 2 + 3 ⇒ y ′ = ( x 2 )′ + (3)′ = 2 x + 0 ⇒ y ′ = 2 x b) f ( x) = 3 x 2 + 4 x + 2 ⇒ f ′( x) = (3 x 2 )′ + (4 x)′ + (2)′ = 6 x + 4 + 0 f ( x) = 3 x 2 + 4 x + 2 ⇒ f ′( x) = 6 x + 4 EXERCÍCIOS Questão 01 Dar a derivada das seguintes funções: a) f ( x) = 8 b) f ( x ) = −5 1 c) f ( x ) = x 6 d) f ( x ) = x − 5 e) f ( x ) = x f) 1 2 f ( x) = 6 x 5 g) f ( x ) = 4 x Questão 02 Determine f ′(x ) em cada caso: 1 a) f ( x ) = 4 x b) f ( x ) = 7 x 2 c) f ( x ) = −4 x 1 d) f ( x ) = x 7 7 3 e) f ( x ) = − x − 5 5 f) f ( x ) = 6 x −3 Questão 03 Ache a derivada das seguintes funções: 3 a) y = x 10 5 1 b) y = − x − 4 2 c) y = 2 x d) y = 5 10 x 3 e) y = 3 x 2 2 139 .Prof. então: d y du dv . Questão 07 Sejam as funções f ( x) = 10 x 2 e g ( x ) = 4 x . calcule f ′(x ) a) f ( x) = 7 x 3 − 2 x 2 + x − 1 b) f ( x) = 3 x 2 − 7 x + 4 c) f ( x) = 10 x 4 − 5 x 3 − 2 x 2 d) f ( x) = 6 x 3 − 4 x 2 − 7 x Questão 09 Ache a derivada de cada função: 1 2 1 1 a) f ( x) = − x 4 + x 3 − x 2 + 2 3 2 4 1 1 1 1 b) f ( x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x 5 4 3 2 2 7 3 8 1 5 c) f ( x) = x + x + x 7 8 5 4 5 x 3x 3 x 7 3 157 d) f ( x ) = + + + 4 5 7 419 Questão 10 Calcule a derivada de: 1 a) y = 3x 2 − x 3 + 2 b) y = 5 x − 1 3 +5 3 5 c) y = 5 x + 6 x d) y = 7 x + x 2 − e) y = 9 x 3 + 5 x f) 1 2 +2 1 − 4 y = 3 x 500 + 15 x 100 140 . calcule f ′( x ) + g ′( x) Questão 08 Dadas as funções a seguir.Questão 04 Qual é a derivada da função f ( x ) = 2 . no ponto x = −2? x3 Questão 05 Se f ( x) = 2 x 3 . calcule a derivada de f(x) no ponto x = 8. Questão 06 Dada a função f ( x) = 3 x 2 . calcule f ′( 2) . 33 f ′( x) = 6 x 5 f ′( x) = −5 x − 6 1 −1 f ′( x) = x 2 2 5 −1 f ′( x) = x 6 6 1 −3 f ′( x) = x 4 4 Questão 07 f ′( x) + g ′( x) = 20 x + 4 Questão 08 Questão 02 a) b) c) f ′( x) = −4 x − 5 f ′( x) = 14 x f ′( x) = −4 d) f ′( x) = x e) f) −6 f ′( x) = −18 x f ′( x) = 21x 2 − 4 x + 1 f ′( x) = 6 x − 7 c) f ′( x) = 40 x 3 − 15 x 2 − 4 x d) f ′( x) = 18 x 2 − 8 x − 7 Questão 09 6 f ′( x) = 3 x a) b) −4 a) f ′( x) = −2 x 3 + 2 x 2 − x b) f ′( x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 c) f ′( x) = 2 x 6 + 3 x 7 + x 4 d) f ′( x) = x 3 + 3 x 4 + 3 x 6 Questão 10 1 −2 a) y ′ = 6 x − x 3 3 5 − 43 b) y ′ = − x 3 Questão 03 a) y ′ = 6x 9 b) y ′ = 2 x − 5 − 12 c) y ′ = 3 x +6 1 −3 d) y ′ = 14 x − x 2 2 5 −5 e) y ′ = 27 x 2 − x 4 4 c) y ′ = x 1 −9 d) y ′ = x 10 2 e) y ′ = x − 25 − 13 f) Questão 04 − 0.Prof.38 141 y ′ = 1.500 x 499 + 1.500 x 99 . Joaquim Rodrigues RESPOSTAS Questão 01 a) f ′( x) = 0 b) f ′( x) = 0 c) d) e) f) g) Questão 05 24 Questão 06 0. fazemos u = x ⇒ u ′ = 1 . temos y ′ = ⇒ y = x 4 − 2x 2 + 1 v2 x 2 − 1 − 2x 2 − x2 −1 x2 +1 ′ y′ = 4 = ⇒ y = − x − 2x 2 + 1 x 4 − 2x 2 + 1 x4 − 2x3 + 1 142 .Regra 5: A derivada de um produto de duas funções é igual a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. v v2 Exemplos: x a) y = 2 . temos: f ( x ) = u ⋅ v ⇒ f ′( x ) = u ′v + uv ′ Exemplos: a) y = ( x 3 + 4)( x + 3) ⇒ y ′ = ( x 3 + 4)′ ⋅ ( x + 3) + ( x 3 + 4)( x + 3)′ y ′ = 3x 2 ⋅ ( x + 3) + ( x 3 + 4) ⋅ 1 ⇒ y ′ = 3 x 3 + 9 x 2 + x 3 + 4 ⇒ y ′ = 4 x 3 + 9 x 2 + 4 1 b) f ( x ) = ( x + 3)( x 2 + 6) ⇒ f ( x ) = ( x 2 + 3)( x 2 + 6) 1 dy du dv d u 1 −2 (uv ) = ⋅v + ⋅u ⇒ = x dx dx dx dx 2 1 d y 1 −2 2 = x ( x + 6) + ( x + 3) ⋅ 2 x ⇒ dx 2 3 1 3 − dy 1 2 = x + 3x 2 + 2 x 2 + 6 x ⇒ dx 2 e dv = 2x dx 3 1 1 − dy 1 2 = x + 3 x 2 + ( x 2 + 3) ⋅ 2 x dx 2 3 1 − dy 5 2 = x + 3x 2 + 6 x dx 2 c) f ( x) = (3 x + 7)( x − 2 + 8) d d (3 x + 7) = 3 ⇒ ( x − 2 + 8) = −2 x − 3 dx dx dy dy = 3 ⋅ ( x − 2 + 8) + (3 x + 7) ⋅ (−2 x − 3 ) ⇒ = 3 x − 2 + 24 − 6 x − 2 − 14 x − 3 dx dx dy = −3 x − 2 − 14 x − 3 + 24 dx Regra 6: A derivada de um quociente é igual ao quociente da derivada do numerador vezes a função do denominador. Sendo u e v funções. u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ u Sendo f ( x ) = com v ≠ 0 . v = x 2 − 1 ⇒ v ′ = 2 x x −1 2 e v = ( x 2 − 1) 2 = x 4 − 2 x 2 + 1 1 ⋅ ( x 2 − 1) − x ⋅ 2 x u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ ′ derivando. menos o numerador vezes a derivada do denominador. sobre o quadrado do denominador. então: f ′ ( x) = . Prof. Joaquim Rodrigues x +1 , fazemos u = x + 1 ⇒ u ′ = 1 , v = x 2 ⇒ v ′ = 2 x x2 e v2 = (x2 )2 = x4 b) y = 1 ⋅ x 2 − ( x + 1) ⋅ 2 x u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ ′ derivando, temos y ′ = ⇒ y = x4 v2 x 2 − (2 x 2 + 2 x) x 2 − 2x 2 − 2x − x 2 − 2x ′ ′ y′ = ⇒ y = ⇒ y = x4 x4 x4 − x ( x + 2) x+2 ⇒ y′ = − 3 y′ = 4 x x Regra 7: Função seno Se f ( x ) = sen x , então f ′( x ) = cos x Regra 8: Função cosseno Se f ( x ) = cos x , então f ′( x ) = − sen x Regra 9: Função exponencial Se f ( x) = a x , então f ′( x) = a x ⋅ ln a Regra 10: Este é um caso particular em que a base é o número e. Se f ( x) = e x , então f ′( x) = e x 1 Nota: o número e, definido com freqüência pelo limite e = lim 1 + , vale, aproximadamente n→∞ n e = 2 , 71 Regra 11: Função logaritmo Se f ( x ) = log a x , então f ′( x ) = 1 x ⋅ ln a Regra 12: Função logaritmo neperiano 1 Se f ( x ) = ln x , então f ′( x ) = x Regra 13: Derivada da função composta É muito comum trabalharmos com uma função composta, isto é, funções do tipo f ( x ) = sen ( x 2 ) , que é uma composição de g ( x ) = sen x com h ( x ) = x 2 . Nesse caso, para obter a derivada, aplicamos a seguinte regra, conhecida como regra da cadeia: f ( x ) = g [ h ( x)] ⇒ f ′( x) = g ′ [ h ( x )] ⋅ h ′ ( x ) 143 Regra 14: Derivada da função inversa Se f é uma função que admite inversa e é derivável no ponto x, com f ( x ) ≠ 0 , então 1 1 ou y ′x = . ( f − 1 ) ′ ( f ( x )) = x ′y f ′( x ) Exemplos: a) f ( x) = sen ( x 2 ) ⇒ f (u ) = sen u ⇒ f ′(u ) = u ′ ⋅ ( sen u ) ′ u = x 2 ⇒ u ′ = 2 x ⇒ f (u ) = sen u ⇒ f ′(u ) = cos u ⇒ f ′( x) = 2 x ⋅ cos ( x 2 ) b) f ( x) = e 2 x ⇒ f ( x) = e u ⇒ f ′( x) = u ′ ⋅ (e u )′ u = 2x ⇒ u′ = 2 f (u ) = e u ⇒ f ′(u ) = e u f ′( x) = 2 ⋅ e 2 x 3 c) y = (3 x 2 + 2 x + 1) 2 , fazemos u = 3 x 2 + 2 x + 1 ⇒ u ′ = 6 x + 2 3 f (u ) = u 2 ⇒ f ′(u ) = 1 3 2 u ⇒ 2 1 y ′ = u ′ ⋅ f ′(u ) 3 y ′ = (6 x + 2) ⋅ (3 x 2 + 2 x + 1) 2 ⇒ 2 y ′ = (9 x + 3)(3 x + 2 x + 1) 2 2 1 d) y = 2 x +1 1 2x u= 2 ⇒ u′ = − 2 x +1 ( x + 1) 2 f (u ) = u 2 ⇒ f ′(u ) = 2u y ′ = u ′ ⋅ f ′(u ) 2x 1 y′ = − 2 ⋅2⋅ 2 2 ( x + 1) x +1 − 4x y′ = 2 ( x + 1) 3 e) f ( x ) = ln ( sen x ) u = sen x ⇒ u ′ = cos x f (u ) = ln u ⇒ f ′(u ) = 1 u f ′(u ) = u ′ ⋅ f ′(u ) cos x 1 f ′( x ) = cos x ⋅ = senx sen x f ′( x ) = ctg x 144 1 2 Prof. Joaquim Rodrigues f) f ( x) = 10 x − 2 x u = x 2 − 2x ⇒ u′ = 2x − 2 f (u ) = 10 u ⇒ f ′(u ) = 10 u ⋅ ln 10 f ′(u ) = u ′ ⋅ f ′(u ) 2 f ′( x) = (2 x − 2) ⋅ 10 x f ′( x) = 10 x 2 − 2x 2 − 2x ⋅ ln 10 ⋅ (2 x − 2) ⋅ ln 10 g) y = arc sen x Sua inversa é x = sen y 1 y ′x = x ′y x ′y = cos y y ′x = 1 , mas sen 2 y + cos 2 y = 1 , daí cos 2 y = 1 − sen 2 y ⇒ cos y = 1 − sen 2 y cos y Como x = sen y , temos cos y = 1 − x 2 1 Logo: (arc sen x)′ = 1− x2 EXERCÍCIOS Questão 01 Ache a derivada das funções: a) f ( x ) = 4 sen x 2 b) f ( x ) = sen x 3 c) f ( x ) = −5 cos x d) f ( x ) = 3 cos x 1 e) f ( x ) = − cos x 3 Questão 02 Dadas f ( x ) = sen x e g ( x) = cos x , calcule f ′(0) + g ′(0) . Questão 03 Determine a derivada das funções: a) f ( x ) = 2 x − 3 cos x b) f ( x ) = sen x + cos x + x c) f ( x ) = 2 sen x − cos x + x 2 d) f ( x ) = sen x − 2 cos x − 3 x Questão 04 Se f ( x ) = 3 sen x + 2 cos x , calcular f ′(π) 145 Questão 05 Calcular a derivada de: a) y = ( 2 + 5 x)(7 − 3 x ) b) y = x 3 ⋅ cos x c) y = x ⋅ (3 x − 1)( x + 2) d) y = 3 x ⋅ sen x e) y = sen x ⋅ cos x Questão 06 Calcular a derivada de: x2 +1 a) y = x−3 x2 b) y = 2 x −1 2x + 5 c) y = 4x 1 d) y = 2 x −4 Questão 07 Aplicando a derivada do quociente, demonstre que: a) se f ( x ) = tg x , então f ′( x ) = sec 2 x b) se f ( x ) = cot g x , então f ′( x ) = − csc 2 x c) se f ( x) = sec x , então f ′( x ) = tg x ⋅ sec x d) se f ( x) = csc x , então f ′( x ) = −ctg x ⋅ csc x Questão 08 Calcule a derivada de: a) f ( x ) = ( x 2 − 1) 3 b) f ( x) = ( x 3 − 2 x ) 2 c) f ( x ) = ( 2 x + 1) 4 Questão 09 Calcule a derivada de: a) f ( x ) = x − 2 b) f ( x ) = 3 4 x + 1 c) f ( x ) = x2 −1 146 Joaquim Rodrigues Questão 10 Determine a derivada de: a) f ( x) = 3 x e) f ( x) = 10 x x 1 b) f ( x) = 2 c) f ( x) = 33 x + 1 f) 2 −1 f ( x) = e x g) f ( x) = 10 ⋅ e x h) f ( x) = e cos x d) f ( x) = 5 ⋅ 2 x Questão 11 Calcule a derivada de: a) f ( x ) = ln x b) f ( x) = (ln x ) 2 1 c) f ( x ) = ln x 2 d) f ( x ) = 3 log 2 x f) f ( x) = x2 ln x g) f ( x ) = (ln x ) ⋅ x 4 e) f ( x ) = (log x ) 2 Questão 12 Calcule a derivada de: a) f ( x) = sen 3x b) f ( x ) = cos 6 x c) f ( x) = sen (3 x + 1) Questão 13 Calcule a derivada de: a) f ( x ) = ln ( sen x ) b) f ( x ) = ln ( x 2 − 5 x + 6) c) f ( x ) = log ( x 2 − 3 x ) Questão 14 Calcule f ′(x ) . Questão 15 Calcule a derivada de: a) f ( x ) = sen 3 x − cos 2 x b) f ( x ) = sen 2 x + cos 4 x RESPOSTAS Questão 01 a) f ′( x) = 4 cos x 2 b) f ′( x) = cos x 3 c) f ′( x) = 5 sen x d) f ′( x) = −3 sen x 1 e) f ′( x) = sen x 3 Questão 02 1 Questão 03 a) f ′( x) = 2 + 3 sen x b) f ′( x) = cos x − sen x + 1 c) f ′( x) = 2 cos x + sen x + 2 x d) f ′( x) = cos x + 2 sen x − 3 147 . sendo f ( x ) = log (3 x 2 + 2) 5 .Prof. Questão 04 −3 d) f ′( x) = 5 ⋅ 2 x ⋅ ln 2 e) 2 f ′( x) = 2 x ⋅ ln 10 ⋅ 10 x −1 Questão 05 a) y ′ = 29 − 30 x f) f ′( x) = e x b) y ′ = 3 x 2 cos x − x 3sen x g) f ′( x) = 10e x c) y ′ = 9 x 2 + 10 x − 2 d) y ′ = 3sen x + 3 x cos x h) f ′( x) = −sen x ⋅ e cos x Questão 11 e) y ′ = cos 2 x − sen 2 x 1 x 2 ln x x 1 2x 3 x ⋅ ln 2 2 ⋅ log x x ⋅ ln 10 2 x ln x − x a) f ′( x) = b) f ′( x) = c) f ′( x) = ( x 2 − 1) 2 5 c) y ′ = − 4x 2x d) y ′ = − ( x 2 − 4) 2 d) f ′( x) = e) f ′( x) = f) f ′( x) = Questão 07 Demonstrar g) f ′( x) = x 3 + 4 x 3 ln x Questão 06 a) y ′ = b) y ′ = x 2 − 6x − 1 ( x − 3) 2 − 2x Questão 12 a) f ′( x) = 3 cos 3 x b) f ′( x) = −6 sen 6 x c) f ′( x) = 3 cos (3 x + 1) Questão 08 a) f ′( x) = 6 x ( x 2 − 1) 2 b) f ′( x) = (2 x 3 − 4 x)(3 x 2 − 2) c) f ′( x) = 8 (2 x + 1) 3 Questão 13 a) f ′( x) = ctg x 2x − 5 b) f ′( x) = 2 x − 5x + 6 2x − 3 c) f ′( x) = ( x 2 − 3) ⋅ ln 10 Questão 09 a) b) c) f ′( x) = 1 2 x−2 −2 4 f ′( x) = (4 x + 1) 3 3 x f ′( x) = x2 −1 Questão 14 f ′( x) = Questão 10 a) f ′( x) = 3 x ⋅ ln 3 1 1 f ′( x) = ⋅ ln 2 2 c) f ′( x) = 3 x + 2 ⋅ ln 3 30 x (3 x 2 + 2) ⋅ ln 10 Questão 15 a) f ′( x) = 3 cos 3 x + 2 sen 2 x b) f ′( x) = 2 cos x − 4 sen 4 x x b) (ln x) 2 148 . vimos que ao tentarmos calcular um limite do tipo lim x→a f ( x) . às g ( x) f ( x) 0 toma a forma . frequentemente era necessário executarmos alguns artifícios para calcular o limite. então existe lim e então temos: x → a g ′( x ) g ( x) f ( x) f ′( x ) = lim g ( x ) x → a g ′( x ) Exemplo: x2 − 4 Resolva lim x →2 x − 2 Resolução x 2 − 4 22 − 4 4 − 4 0 = = = (indeterminado) x →2 x − 2 2−2 0 0 2 Seja f ( x) = x − 4 e g ( x ) = x − 2 Derivando cada uma dessas funções.Prof. Joaquim Rodrigues REGRA DE L’HOSPITAL Ao estudarmos o cálculo de limites. Neste caso. temos: x2 − 4 2x lim = lim = lim 2 x = 2 ⋅ 2 = 4 x →2 x − 2 x→2 1 x→2 Calculando o limite temos lim 149 . vezes ocorre que lim f ( x) = 0 e lim g ( x) = 0 e assim. temos: f ′( x ) = 2 x e g ′( x ) = 1 Logo. pela regra de L´Hospital. o lim x→a x→a x→a Teorema (Regra de L’Hospital) Se lim f ( x) = 0 e x→a lim x→a lim g ( x) = 0 e se existe lim x→a x→a f ′( x ) f ( x) . que chama0 g ( x) mos de indeterminação. 150 . isto é. f (a) θ a x EXEMPLOS: 1. temos f ( x) = x 2 − 2 x ⇒ denada também é 3. m = 4 Agora. onde finalmente temos que . ou seja. a derivada no ponto a é o coeficiente angular da reta r. temos: y − y 0 = m ( x − x0 ) ⇒ y − 3 = 4 ⋅ ( x − 3) ⇒ y = 4x − 9 151 y − 3 = 4 x − 12 . 3) f (3) = 3 2 − 2 ⋅ 3 = 9 − 6 = 3 . y reta tangente f (x) f ′( a ) = tg θ . Dada a função f ( x) = x 2 − 2 x . tangente à função f(x). determinar a equação da reta tangente ao gráfico da curva de f no ponto de abscissa 3. se a abscissa é 3. Joaquim Rodrigues APLICAÇÕES DA DERIVADA NA GEOMETRIA ANALÍTICA Interpretação geométrica: A derivada de uma função f(x) num ponto a é o valor da inclinação da reta tangente à função f(x) no ponto [a. logo o ponto será (3.Prof. assim: f ( x) = x 2 − 2 x ⇒ f ′( x) = 2 x − 2 ⇒ f ′(3) = 2 ⋅ 3 − 2 = 6 − 2 = 4 . precisamos de um ponto e do coeficiente angular da reta. Resolução para escrever a equação de uma reta. já temos o ponto (3. 3) e o coeficiente angular m = 4 Usando a equação da reta. basta encontrar a derivada no ponto de abscissa 3. a or- Para calcular o coeficiente angular da reta. Assim. ou ainda. f(a)]. temos f ( x ) = x 2 − 2 x ⇒ f (3) = 3 2 − 2 ⋅ 3 = 9 − 6 = 3 . f = − +4= = 4 8 8 4 8 4 8 E a equação da reta será: 27 5 27 5 y − y 0 = m ( x − x0 ) ⇒ y − = 2⋅ x − = y − = 2x − 8 4 8 2 8 y − 27 = 16 x − 20 ⇒ 16 x − 8 y + 7 = 0 (forma geral da reta) f ( x) = 2 x 2 − 3x + 4 ⇒ 3. m = 4 1 1 . assim. então os seus coeficientes angulares são iguais Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada. Se duas retas são perpendiculares. temos que: Se a abscissa é 3. Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função f ( x) = 2 x 2 − 3 x + 4 e que seja paralela à reta y = 2 x − 3 . logo o ponto é . assim: f ( x ) = x 2 − 2 x ⇒ f ′( x ) = 2 x − 2 ⇒ f ′(3) = 2 ⋅ 3 − 2 = 6 − 2 = 4 . basta encontrar a derivada no ponto de abscissa 3. 3) Para calcular o coeficiente angular da reta. temos m s = f ′( x0 ) . assim. temos que: mr = 2 e f ′( x ) = 4 x − 3 . como m s = − 4 mr 1 Agora. logo o ponto será (3. então o coeficiente angular de uma é igual a menos o inverso do coeficiente angular da outra Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada. então m s = − mas. Resolução Se duas retas são paralelas. No ponto x 0 . Resolução A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico da função. isto é. determinar a equação da reta normal. temos: 1 y − 3 = − ⋅ ( x − 3) ⇒ 4 y − 12 = −( x − 3) 4 x + 4 y − 15 = 0 y − y0 = m ( x − x0 ) ⇒ 4 y − 12 = − x + 3 ⇒ 152 .2. resta encontrar a ordenada. que faremos assim 2 5 25 15 5 5 f = 2 ⋅ − 3⋅ + 4 = 2 ⋅ − +4 4 16 4 4 4 25 − 30 + 32 27 5 25 15 5 27 . no ponto de abscissa 3. ou seja. a ordenada também é 3. 3) e o coeficiente angular m s = − 4 Usando a equação da reta. já temos o ponto (3. logo: m s = f ′( x0 ) = 4 x 0 − 3 5 mas m r = m s ⇒ 2 = 4 x 0 − 3 ⇒ 4 x 0 = 5 ⇒ x 0 = 4 Note que agora já temos a abscissa. Dada a função f ( x ) = x 2 − 2 x . −2). Questão 02 Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f ( x) = x 2 + 5 x no ponto de abscissa −1. Questão 04 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f ( x) = x 2 − 4 e que seja paralela à reta de equação y = 2 x − 1 . Questão 05 Dê a equação da reta normal à curva dada por f ( x) = x 2 + 5 x − 2 . Joaquim Rodrigues EXERCÍCIOS Questão 01 Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f ( x) = x 2 − 4 x + 1 no ponto P(1. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa x = 4. Questão 03 Seja a curva de equação y = x 3 − 12 x .Prof. no ponto x = 2. RESPOSTAS Questão 01 m = −2 Questão 02 y = −3 x − 7 Questão 03 y = 36 x − 128 Questão 04 y = 2x − 5 Questão 05 1 110 y =− x+ 9 9 153 . Questão 06 π Se f ( x ) = cos x . calcular f ′(x ) . calcule f ′(0) + f ′′(0) + f ′′′(0) . f ′′(x) . calcule f ′′ 6 RESPOSTAS Questão 01 f ′( x ) = 3 x 2 − 12 x + 5 f ′′( x) = 6 x − 12 f ′′′( x) = 6 f ′′′′( x) = 0 Questão 02 x = −1 Questão 03 − 10 Questão 04 f ′′′( x) = − 6 x4 Questão 05 3 − 2 154 . Questão 04 Calcule a derivada terceira de f ( x ) = 1 x Questão 05 Seja a função f ( x ) = 4 x 3 + 2 x 2 − 5 x + 2 . f ′′′(x ) e f ′′′′(x ) Questão 02 Dada a função f ( x) = 1 − 4 x 3 − x 4 . resolver a equação f ′′′( x ) = 0 Questão 03 Determine a derivada segunda da função f ( x) = 4 x 3 − 5 x 2 + 2 x − 1 no ponto x = 0.DERIVADAS SUCESSIVAS Questão 01 Dada a função f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 5 x − 2 . agora. − 4 2 2 f ( x) = x 2 − 3x ⇒ 2. como a função é de 2º grau. f é crescente em A. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo do galinheiro. x x y Resolução y + 2 x = 16 ⇒ y = 16 − 2 x A = x ⋅ y ⇒ A( x) = x ⋅ (16 − 2 x ) ⇒ A( x ) = 16 x − 2 x 2 ⇒ A′( x) = 16 − 4 x 16 − 4 x = 0 ⇒ 4 x = 16 ⇒ x = 4 e y = 16 − 2 ⋅ 4 = 16 − 8 ⇒ y = 8 155 . Chamamos de ponto crítico ao ponto do domínio da função onde f ′( x ) = 0 . f é decrescente em A. determine as dimensões do mesmo para que a sua área seja máxima. Já temos o xV . então ela apresenta pontos de máximo ou mínimos relativos quando f ′( x ) = 0 . então f ′( x ) = 0 PONTOS CRÍTICOS Como uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. pois o termo a é positivo. Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de comprimento. o vértice que é o ponto de mínimo dessa função é . então a sua curva é uma parábola. Joaquim Rodrigues SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA Se f é uma função derivável num intervalo aberto A e: 1. então f ′( x ) > 0 2. EXEMPLOS: 1. que admite concavidade voltada para cima. Determinar os possíveis pontos de máximo ou mínimo da função f ( x) = x 2 − 3 x Resolução 3 f ′( x ) = 2 x − 3 ⇒ f ′( x) = 0 ⇒ 2 x − 3 = 0 ⇒ 2 x = 3 ⇒ x = 2 Observe que. assim 3 9 9 9 − 18 9 3 3 f = − 3⋅ = − = =− 2 4 2 4 4 2 2 9 3 Logo. f é constante em A. então f ′( x ) < 0 3. é só encontrar o yV . que determinamos substituindo xV na função.Prof. 14 ).3. calcule as dimensões x e y que permitam uma maior entrada de luz. 2 temos: 2 x + 2 y + π x = 714 ⇒ 2 y = 714 − 2 x − π x e voltando a área. basta substituir em 2 y = 714 − 2 x − π x 2 y = 714 − 2 ⋅ 100 − 3 . temos: A′( x ) = 714 − 4 x − π x 714 − 4 x − π x = 0 ⇒ 2 714 714 714 ⇒ 714 = 4 x + π x ⇒ 4 x + π x = 714 ⇒ x ( 4 + π) = 714 x = = = 4 + π 4 + 3 . logo: 1 1 AJanela = Aretângulo + Acírculo ⇒ A = 2 x ⋅ y + ⋅ π x 2 2 2 1 O perímetro da janela é p = 2 x + 2 y + ⋅ 2π x ⇒ p = 2 x + 2 y + π x e como o perímetro é 714. se a área da janela for máxima. temos: 1 1 ⋅ π x 2 ⇒ A = 2 y ⋅ x + ⋅ π x 2 . (Use π = 3 . e calculando em função de x. 14 x = 100 cm E para achar o valor de y. Sabendo que o perímetro da janela é de 714 cm. e derivando. vem 2 2 1 1 A ( x ) = (714 − 2 x − π x ) ⋅ x + ⋅ π x 2 ⇒ A ( x ) = 714 x − 2 x 2 − π x 2 + ⋅ π x 2 2 2 A = 2x ⋅ y + 1 A ( x ) = 714 x − 2 x 2 − ⋅ π x 2 . 14 ⋅100 = 714 − 200 − 314 ⇒ y = 100 cm 156 . y x x Resolução Haverá uma maior entrada de luz. A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo: um retângulo sobreposto por um semicírculo. 14 7 . vamos determinar os extremos relativos de L Para x = −3 . Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal. temos L ′′(7) = −2 ⋅ 7 + 4 = −14 + 4 = −10 < 0 .Prof. Portanto a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal é x = 7 157 . em relação a x.00. logo é um ponto de mínimo relativo de L. Joaquim Rodrigues 4. Para x = 7 . temos as raízes x = −3 e x = 7 que são os pontos críticos Agora. A empresa “X” produz um determinado produto. vem L ′′( x ) = −2 x + 4 Para achar os pontos críticos. ou L ′( x ) = 0 − x 2 + 4 x + 21 = 0 e resolvendo pela fórmula de Bháskara. é só igualar L ′(x ) a zero. com um custo mensal dado pela função 1 C ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 10 x + 20 . logo é um ponto de máximo relativo de L. Resolução Seja x a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal O lucro mensal é dado por: Lucro (L) = Receita (R) − Custo (C) assim 1 1 L = R − C = 31x − x 3 − 2 x 2 + 10 x + 20 = 31x − x 3 + 2 x 2 − 10 x − 20 3 3 1 1 L = − x 3 + 2 x 2 + 21x − 20 ou ainda L( x ) = − x 3 + 2 x 2 + 21x − 20 3 3 Calculando a derivada primeira da função lucro. temos: L ′( x) = − x 2 + 4 x + 21 e calculando a derivada segunda. 3 Cada unidade deste produto é vendida por R$31. temos L ′′( −3) = −2(−3) + 4 = 6 + 4 = 10 > 0 . para um tempo t qualquer. a epidemia se alastra a uma taxa de 48 pessoas por dia. a taxa de variação da área do quadrado será de 8 m 2 para cada metro que varia no comprimento do lado. em relação ao lado. então por f (5) − f ( 4) .5 a 3. temos f ′( 4) = 64 − 16 = 48 . 3 a) Qual a taxa de expansão da epidemia após 4 dias? b) Qual a taxa de expansão da epidemia após 8 dias? c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? Resolução A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela variação da função f (t ) em relação a t. Portanto.33 = 43. determine: a) a variação média da área de um quadrado. 43 pessoas serão atingidas. O número de pessoas atingidas durante o 5º dia será dado. Resolução Sejam A a área do quadrado e x seu lado.5 0. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. temos f ′(8) = 64 − 64 = 0 . quando x = 4 . o 5º dia corresponde à variação de t de 4 para 5. após 4 dias a moléstia estará se alastrando à razão de 48 pessoas por dia. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da moléstia se modificou no decorrer do dia. quando este mede 4m.5 ∆x 3 − 2. aproximadamente por: f (t ) = 64t − .0m é dada por ∆ A A(3) − A( 2.5m a 3. . Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado. Sabemos. em relação ao lado.: No item (a) vimos que o tempo t = 4 (início do 5º dia). ou seja: 53 43 125 64 f (5) − f (4) = 64 ⋅ 5 − − 64 ⋅ 4 − = 320 − − 256 − 3 3 3 3 125 64 f (5) − f (4) = 320 − − 256 + = 64 − 41.25 2.5) 9 − 6.5. 158 . a partir do 1º dia de epidemia. quando x = 4 . b) no tempo t = 8. Assim: a) no tempo t = 4.75 = = = = 5. ou seja. ou seja. 6.0m.66 ≅ 43 3 3 Obs. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro t3 dia da epidemia) é dado. No item (c).5 dA d 2 b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por (x ) = 2x = dx dx d Portanto. c) como o tempo foi contado em dias. após 8 dias a epidemia estará totalmente controlada. então que A = x 2 a) A variação média de A em relação a x. quando este varia de 2. essa taxa é dada por f ′(t ) = 64 − t 2 . quando x varia de 2.5 0.67 + 21. calculamos que durante o 5º dia. b) a taxa de variação da área. temos A( 4) = 2 ⋅ 4 = 8 dx Assim. daqui a x meses. CALCULE a taxa de variação da população daqui a 15 meses. Determine a taxa de variação da temperatura T. b) Determine a velocidade instantânea do balão quando t = 1 segundo. 159 . no instante t = 10 min.02t 3 + 0. em litros. daqui a 9 meses. Questão 04 3 Calcula-se que. a) Deduza a expressão da taxa de variação da circulação do jornal daqui a t anos. c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. t horas após o escoamento ter começado é dada por V = 50 (80 − t ) 2 . c) Entre quais instantes o balão esteve a uma altura superior a 20 metros? Questão 02 Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. CALCULE a taxa de variação da população.000 exemplares. em relação ao tempo. Joaquim Rodrigues EXERCÍCIOS Questão 01 Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância d (t ) ao solo durante os primeiros 10 segundos de voo é dada por d (t ) = 6 + 2t + t 2 .2t 2 + 110 A temperatura está expressa em graus Celsius e o tempo em minutos. na qual d (t ) é medido em metros e t em segundos. em relação ao tempo. Questão 05 Avalia-se que. a população de determinada cidade será de P ( x) = 2 x + 4 x 2 + 5.000 habitantes. A quantidade de água no reservatório. daqui a x meses.Prof. a população de certa comunidade será de P ( x) = x 2 + 20 x + 8. Questão 03 Calcula-se que.000 habitantes. b) Qual será a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos? Questão 06 A temperatura de um forno varia com o tempo t de acordo com a expressão: T (t ) = 0. b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. daqui a t anos. a circulação de um jornal de uma cidade pode ser modelado por C (t ) = 100 t 2 + 400t + 5. a) Determine a velocidade média do balão durante o 1º segundo de voo. Determinar: a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento. a partir do momento em que é 190t + 44 ligado. ligado. de acordo com a função T (t ) = . com f em graus e t em horas. com t em minutos. b) Determine. o valor de t correspondente ao momento em que se registrou a temperatura máxima.Questão 07 A temperatura T (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia. 160 . analiticamente. A equação T (t ) = 30 + 2 Questão 11 Uma avaria numa central atômica fez disparar o sistema de alarme. t − 45 Qual era a taxa de aquecimento do ar às 10 horas da manhã? Questão 10 250t relaciona a temperatura T (em graus Celsius) de uma reação química t + 10 com tempo t da experiência (em minutos). a partir do momento em que é 180t − 26 . t+2 a) A que temperatura está o forno quando é ligado? b) Com o decorrer do tempo. Sabendo que a experiência durou 60 minutos: a) CALCULE a velocidade de aquecimento no instante t = 2 min. com t em minutos. Os técnicos ativaram imediatamente os procedimentos de emergência. de acordo com a função T (t ) = t +1 a) A que temperatura está o forno quando é ligado? b) Para que valor vai tender a estabilizar a temperatura? c) Qual é a taxa de aquecimento do forno no momento em que é ligado? d) E aos 10 minutos? e) E ao fim de uma hora? Questão 09 A evolução da temperatura do ar na relva. CALCULE a taxa de variação de T quando x = 1 h. Supõe-se que a temperatura T da água (em graus Celsius) do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir daí durante 12 horas. de acordo com a 5 x 2 + 2 x + 128 função T ( x ) = . Interprete o resultado no contexto do problema. entre as 0 e 24 horas do dia 1º de fevereiro foi dada pela t 2 − 30t + 225 função f (t ) = 17 + . em que x é o tempo (em horas) decorrido a partir do momento em que x+2 o sistema de alarme disparou. para que valor a temperatura tende a estabilizar? c) Qual é a velocidade de aquecimento do forno no momento em que é ligado? d) E aos 10 minutos? Questão 08 A temperatura T (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia. A que horas. à tarde. Joaquim Rodrigues Questão 12 Um chá. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo. Calcular o volume máximo da caixa. o Serviço de Trânsito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa autoestrada. a) Determine os valores de a e b. Questão 18 Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de maior volume possível. b) Qual é a velocidade do arrefecimento do chá quando é colocado no refrigerador? E um minuto depois? c) Quem prefere tomar o chá frio. entre 1 e 6 horas. a 8º C. em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento? Questão 14 Por várias semanas. foi colocado num refrigerador a 100º C. acabado de fazer. cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. o chá estava a 60º C. 161 .Prof. 3 4 a) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é máxima? b) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é mínima? Questão 16 Um fabricante de caixas de papelão pretende fazer caixas sem tampas a partir de folhas quadradas de cartão com área igual a 576cm2. a velocidade do tráfego é de aproximadamente V (t ) = 2t 3 − 21t 2 + 60t + 40 km/h transcorridas após o meio dia. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas. dentro do intervalo de tempo mencionado. Determinar o lado do quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possível. em que T é a temperatura do chá e t é o tempo decorrido em minutos. onde t é o número de horas após o meio dia.5t 2 + 30t + 20 km / h . Qual o instante entre 13 e 18 horas. o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente? Questão 15 Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã (de 8h ao meio dia) revela que um operário que 1 11 chega para trabalhar às 8h produziu Q(t ) = t 3 − t 2 + 6t unidades t horas mais tarde. A temperatura do chá evolui de acordo com a lei T (t ) = e a −b t . As dimensões da folha são 60 cm e 40 cm. medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Passados 5 minutos. cortando um quadrado em cada canto. o departamento de trânsito de certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por certo cruzamento. Questão 17 Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina. quanto tempo terá de esperar? Questão 13 Durante várias semanas. Verificou-se que num dia normal de semana. a velocidade média neste cruzamento é dada por aproximadamente v(t ) = t 3 − 10. é dada por p ( x) = 10 − x . Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima? Questão 20 Um determinado produto tem preço de produção de R$ 4. Quais são as dimensões do campo que tem a maior área? Questão 25 Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de certo dia. t horas após ter sido administrado. A que preço deve ser vendido o produto para que haja lucro máximo? Questão 21 x3 A função custo mensal de fabricação de um produto é dada por C ( x) = − 2 x 2 + 10 x + 1 e a função 3 de demanda mensal ( p ). é dada por C (t ) = 2 t e − 0.00. Ele não precisa cercar a lateral do canal. Recorrendo à derivada da função C. Ao vendê-lo a x reais o fabricante espera vender (30 − 2x) unidades. Determinar a 3 quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal. em miligramas por mililitro de sangue.Questão 19 De uma longa folha de alumínio retangular de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. 162 . com um custo mensal dado pela função 1 C ( x) = x 3 − 2 x 2 + 10 x + 20 . Questão 23 Quais são as dimensões de um cercado. Qual o preço x que deve ser cobrado para maximizar o lucro? Questão 22 Uma empresa produz um determinado produto. A concentração desse medicamento.400 m de arame farpado e quer cercar um campo retangular que está à margem de um canal reto. de área máxima que se pode construir com 1.000 m de tela? Questão 24 Um fazendeiro possui 2. determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi máxima.3 t . do mesmo produto. Cada unidade deste produto é vendida por R$31. 00. 87 s Questão 12 a) a = 4.61 e b = 0./mês Questão 14 14 e 17 Questão 04 20 hab. Significa que 1 hora após terem sido tomados os procedimentos de emergência.06º C/min Questão 20 R$9.50 Questão 09 f ′(10) = 0.7º C/min e) 0.500 litros / hora b) − 7.265° C/hora Questão 22 x=7 Questão 10 a) T ′(2) = 7.Prof.400 Questão 16 4cm Questão 06 10º C/min Questão 17 1.200 m x 600 m Questão 11 T ′(1) = −11° C/hora.450.1 b) T ′(0) = −10° C/min e T ′(1) = −9° C/min c) 25 min Questão 02 a) − 7.2 min Questão 23 250 m x 250 m Questão 19 7./mês Questão 15 a) t = 1.33º C/min Questão 18 8.67 cm Questão 07 a) 22º C b) 190º C c) 84º C/min d) 2.200 l/h c) 38.5 cm Questão 21 x=2 Questão 24 1. a temperatura baixava à taxa de 11º C por hora Questão 25 12h 20min 163 . Joaquim Rodrigues RESPOSTAS Questão 01 a) 3m/s b) 4m/s c) A partir de 2.65° C/min b) A temperatura máxima foi de 69.5º C aos 3.45 cm3 Questão 08 a) –26º C b) 180º C c) 206º C/min d) 1.5 (9h 30min) b) t = 4 (12 h) Questão 05 a) C ′(t ) = 200t + 400 b) 1.750 litros Questão 13 14 e 17 Questão 03 50 hab. uma das anti1. 4 2. Indicamos a integral indefinida ou anti-derivada de f ′(x ) por 164 ∫ f ′( x) dx = f ( x) + C . a constante era o 0 ( x 3 = x 3 + 0) 2. da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição ou a divisão é a operação inversa da multiplicação. f ′( x) = 3 x 2 . vemos que a diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante. Nesse caso. a constante era o 7 ( x 3 + 7) Representando essa constante por C. temos que a integral indefinida de 3x 2 é x 3 + C . então sua derivada é: f ′( x) = ou f ′( x) = x 3 .INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A integração indefinida ou anti-derivação é a operação inversa da derivação. veja: 1. quando observamos os exemplos 2 e 3. onde C é uma constante real. Note que nos exemplos. Assim. então sua derivada é: grais indefinidas de 3x 2 é x 3 . então sua derivada f ′( x) = 3 x 2 . no exemplo 2. Se f ( x) = 4 4 4 x derivadas de x 3 é . Nesse caso. falamos “uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas”. no exemplo 3. já que tanto x 3 quanto x 3 + 7 são integrais indefinidas para a mesma função 3x 2 . Nesse caso. uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas de 3x 2 é x 3 + 7 . Se f ( x) = x 3 + 7 . EXEMPLOS x4 4x3 . . Se f ( x) = x 3 . Podemos entender melhor. uma das anti-derivadas ou inte- 3. a integral da derivada de uma função. d f ( x) dx = f ( x) + C . é a própria função mais dx uma constante arbitrária.Prof. ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx 4. ou seja. ∫ Através de uma simples derivação das funções que estão nos segundos membros destas igualdades. ∫ dx = x + C 2. Joaquim Rodrigues PROPRIEDADES Utilizaremos as seguintes propriedades para realizar a integração das funções polinomiais elementares: 1. n ∫ x dx = 5. poderemos conduzir à expressão que está sob o sinal de integração. ou seja. CASOS PARTICULARES Estes casos particulares das propriedades estudadas são úteis no desenvolvimento dos processos de integração. f ( x) 1 dx = ∫ f ( x ) dx k k 1. ∫ − f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx 165 . d dx 6. ∫ 2. a derivada da integral de uma função é a própria função. o que verifica cada uma das propriedades. x n +1 +C n +1 (n ≠ −1) [∫ f ( x) dx ] = f ( x) . ∫ k ⋅ f ( x) dx = k ⋅ ∫ f ( x) dx 3. isto é. poderemos conduzir à função integranda. então f ′( x ) = sec 2 x 11) Se f ( x) = ctg x . então f ′( x ) = 05) INTEGRAIS ∫1 dx = 1 ∫ dx = ∫ dx = x + c ∫ adx = a ∫ dx = ax + c n ∫ x dx = x n +1 + c . então f ′( x) = − 1− x2 Se f ( x ) = ln x + ax +c ln a x 2 + 1 . então f ′( x) = 1 ∫1+ x ∫ ∫− 1 1+ x2 166 ∫ 2 dx = arc tg x + c 1 1− x 1 2 dx = arc sen x + c dx = arc cos x + c 1− x2 1 dx = ln x + x 2 + 1 + c 2 1+ x . então f ′( x ) = 15) 16) 17) 1 Se f ( x ) = ln x . então f ′( x) = 1− x2 1 Se f ( x ) = arc cos x . então f ′( x ) = cos x 09) Se f ( x ) = cos x . então f ′( x) = e x 08) Se f ( x ) = sen x . então f ′( x ) = −ctg x ⋅ csc x ∫ e dx = e + c ∫ cos x dx = sen x + c ∫ sen x dx = − cos x + c ∫ sec x dx = tg x + c ∫ csc x dx = −ctg x + c ∫ sec x ⋅ tg x dx = sec x + c ∫ csc x ⋅ ctg x dx = − csc x + c 14) Se f ( x ) = arc tg x . então f ′( x ) = n ⋅ x n − 1 04) Se f ( x ) = log a x . então f ′( x) = a x ⋅ ln a 07) Se f ( x) = e x . então f ′( x) = a 03) Se f ( x ) = x n . n ≠ −1 n +1 1 1 x ⋅ ln a ∫ x ⋅ ln a dx = log a x+c ∫ x dx = ln x + c 06) 1 x x Se f ( x ) = a . então f ′( x ) = tg x ⋅ sec x 13) Se f ( x) = csc x . então f ′( x ) = x ∫ a dx = x ( ) x 2 2 1 1+ x2 1 Se f ( x ) = arc sen x . então f ′( x ) = − sen x 10) Se f ( x ) = tg x .INTEGRAIS IMEDIATAS Integrais imediatas são as integrais que decorrem de forma direta das fórmulas de derivação. então f ′( x ) = − csc 2 x 12) Se f ( x) = sec x . temos as seguintes fórmulas de integração: TABELA DE DERIVADAS E INTEGRAIS 01) DERIVADAS Se f ( x) = x . então f ′( x) = 1 02) Se f ( x ) = ax . Através deste processo. Joaquim Rodrigues QUESTÕES RESOLVIDAS Questão 01 Calcule: a) ∫ x dx Resolução x2 ∫ x dx = 2 + C b) ∫ 3x 2 dx Resolução x3 3 ∫ 3x dx = 3 ⋅ ∫ x dx = 3 ⋅ 3 + C = x + C 2 c) 2 ∫ ( x + 2) dx Resolução ∫ ( x + 2) dx = ∫ x dx + 2∫ dx = d) ∫ ( x + 2) 2 x2 + 2x + C 2 dx Resolução 2 2 2 ∫ ( x + 2) dx = ∫ ( x + 4 x + 4) dx = ∫ x dx + 4∫ dx + 4∫ dx = = e) x3 x2 x3 + 4⋅ + 4x + C = + 2x 2 + 4x + C 3 2 3 ∫ (x 4 + 3 x 2 + 4 x + 1) dx Resolução = ∫ x 4 dx + ∫ 3 x 2 dx + ∫ 4 x dx + ∫ 1 dx = ∫ x 4 dx + 3 ⋅ ∫ x 2 dx + 4 ⋅ ∫ x dx + ∫ dx = = f) x5 x3 x2 x5 + 3⋅ + 4 ⋅ + x + C = + x3 + 2x 2 + x + C 5 3 2 5 ∫ (x 2 + x 3 − 2 x) dx Resolução = ∫ x 2 dx + ∫ x 3 dx − 2 ∫ x dx = x3 x4 x2 x3 x4 + − 2⋅ +C = + − x2 + C 3 4 2 3 4 167 .Prof. g) 1 + x 3 dx Resolução 1 1 3 3 ∫ x 2 + x dx = ∫ x 2 dx + ∫ x dx = ∫ x 2 3 2 = ∫ x − 2 dx + ∫ x dx = h) 3 +1 2 −1 5 2 1 2 x x x x + +C = + + C = − + ⋅ x5 + C 3 5 − 2 +1 −1 x 5 +1 2 2 x− x dx x Resolução x− x x ∫ x dx = ∫ x − ∫ 1 2 = ∫ x dx − ∫ dx = i) − 2 +1 1 +1 2 x dx = x ∫ x x 1 2 dx − ∫ 1 dx = ∫ x 1− 1 2 3 2 2 x x − x+C = − x + C = ⋅ x3 − x + C 1 3 3 +1 2 2 1 ∫ x + x dx Resolução x2 1 1 ∫ x + x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = 2 + ln x + C j) ∫5 x dx Resolução 5x x dx = +C 5 ∫ ln 5 k) ∫5 −x dx − ∫ dx = dx Resolução −x −1 x ∫ 5 dx = ∫ (5 ) dx Fazendo 5 −1 = a . temos: ax (5 −1 ) x 5− x 5 −x x a dx = + C = + C = + C = − +C ∫ ln a − ln 5 ln 5 ln (5 − 1 ) 168 . temos: ax (e 2 ) x e2 1 x a dx = + C = + C = +C = e2 +C 2 ∫ ln a 2 2 ln e o) ∫ ( 2e x + 2 x ) dx Resolução x x x x x ∫ (2e + 2 ) dx = 2∫ e dx + ∫ 2 dx = 2e + p) 2x +C ln 2 ∫ 5 cos x dx Resolução ∫ 5 cos x dx = 5∫ cos x dx = 5 sen x + C q) ∫ (−sen x) dx Resolução ∫ (− sen x) dx = − ∫ sen x dx = − (− cos x) + C = cos x + C r) 1 1 ∫ cos x + 2 ⋅ sen x − x dx Resolução = ∫ cos x dx + 1 1 1 ⋅ ∫ sen x dx − ∫ dx = sen x − ⋅ cos x − ln x + C 2 x 2 169 .Prof. Joaquim Rodrigues l) ∫ (−3e x ) dx Resolução x x x ∫ (−3e ) dx = −3∫ e dx = −3e + C m) ∫e −x dx Resolução −x −1 x ∫ e dx = ∫ (e ) dx Fazendo e −1 = a . temos: ax (e − 1 ) x e −x x a dx = + C = + C = + C = −e −x + C ∫ ln a −1 ln e −1 n) ∫e 2x dx Resolução 2x 2 x ∫ e dx = ∫ (e ) dx Fazendo e 2 = a . s) t) 1 3 2 dx + sec x + ∫ 1 + x 2 2 1− x Resolução 1 1 =∫ dx + ∫ sec 2 x dx + 3∫ dx = arc tg x + tg x + 3 ⋅ arc sen x + C 2 1+ x 1− x2 ∫ 9 − 9x2 Resolução dx ∫ u) dx 9 − 9x 2 =∫ dx 9 (1 − x 2 ) =∫ dx 3 1− x2 = 1 dx 1 = arc sen x + C ∫ 3 1− x2 3 dx ∫ 2 + 2x 2 Resolução 1 dx dx 1 dx ∫ 2 + 2 x 2 = ∫ 2(1 + x 2 ) = 2 ∫ 1 + x 2 = 2 arc tg x + C 170 . k x ) dx . mostre que ∫ e k x dx = Questão 04 Calcule: d a) x 3 dx ∫ dx ) b) d ∫ dx x 6 dx 171 1 kx ⋅e + C .Prof. Joaquim Rodrigues EXERCÍCIOS Questão 01 Calcule a integral de: a) f ( x) = 5 b) f ( x) = −3 c) f ( x) = x 7 d) f ( x) = x 21 e) f ( x) = x 0 f) f ( x) = x + x 2 g) f ( x) = 1 + x 4 h) f ( x) = x 6 + 3 c) d) e) f) 2 5 2 j) ∫x 3 x dx x 3 x2 ∫ x f ( x) = 2 x + 3x 2 o) 3 p) 3 2 g) ∫ 2 + 3 dx x x h) ∫ x dx i) l) 1 ∫ x + x ( 3 3 f ( x) = 4 x 6 1 dx 2 x2 + x −1 dx m) ∫ x2 n) ∫ x + 1 x − x + 1 dx 2 4 k) l) ∫ ( x − 1) dx ∫ (2 + 3x − 5x ) dx ∫ ( x + x + x ) dx ∫ ( x − x + 2 x + 4 x − 3) dx ∫ (2 x + 4 x − 2 x + 1) dx 2 f ( x) = 3 x 2 f ( x) = 5 x m) f ( x) = x 3 − 3 x Questão 02 Calcule as seguintes integrais indefinidas a) ∫ 2 x 3 dx b) i) j) )( ∫ ( x + sen x) dx ∫ 2 ⋅ sec x ⋅ tg x dx e x + 2 ⋅ cos x − 3 ⋅ sen x dx ∫ 2 3 4 dx r) ∫ sec 2 x − + 2 1+ x 1− x2 s) ∫ cos sec x ⋅ (cos sec x + cot g x) dx q) dx t) 1 k) ∫ x + dx x u) ∫ (2 e + 3 ⋅ 4 ∫ 3 ⋅ 2 dx x x x Questão 03 Sendo k um número real não nulo. RESPOSTAS Questão 01 a) 5 x + c b) − 3 x + c g) − 2 32 x +c 3 3 73 i) x +c 7 6 136 j) x +c 13 1 2 32 k) x + 2x 2 + c 3 1 l) ln x − + c x 1 m) x + ln x + + c x 2 52 n) x +c 5 8 c) h) x +c 8 x 22 +c 22 e) x + c d) x 2 x3 f) + +c 2 3 x5 g) x + +c 5 h) x7 + 3x + c 7 x3 + c 5 2 j) x +c 2 4 7 x +c k) 7 i) o) p) l) x 2 + x3 + c q) m) x4 3 2 − x +c 4 2 r) s) x4 +c 2 x3 b) −x+c 3 3 5 c) 2 x + x 2 − x 3 + c 2 3 a) x 2 x3 x 4 + + +c 2 3 4 e) x5 x 4 2x3 − + + 2 x 2 − 3x + c 5 4 3 f) x6 + x4 − x2 + x + c 3 x2 − cos x + c 2 2 sec x + c 1 x 3 e + sen x + cos x + c 2 2 tg x − 3arctg x + 4arcsen x + c − ctg x − csc x + c t) 3⋅ 4x 2e + +c ln 4 u) 6x +c ln 6 Questão 02 d) 2 3 − +c x x2 x Questão 03 Demonstrar Questão 04 a) x 3 b) x 6 + c 172 . Prof. Joaquim Rodrigues PARTE III CÁLCULO I e II MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO INTEGRAIS DEFINIDAS ÁREAS E VOLUMES 173 . 174 . Joaquim Rodrigues SUMÁRIO Métodos de Integração Integração por Substituição Integração por Frações Parciais Integração por Partes Exercícios Algumas Aplicações de Integrais Indefinidas Exercícios Integrais Definidas Exercícios Cálculo de Áreas Exercícios Cálculo de Volume Exercícios Bibliografia 177 177 181 185 187 191 203 206 208 209 214 217 224 226 175 .Prof. 176 . vem: dx ( x) ] ⋅ f ′( x) dx = ∫ g (u ) du = h (u ) + C = h [ f ( x) ] + C . INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO O processo consiste em substituir a variável da função integranda por outra tal que se recaia com algum artifício e facilidade numa das integrais imediatas. porém alguns métodos simples ajudam a obter as primitivas das funções que não têm integração imediata. ∫ g [1f2 3 1 424 3 u admitindo que se conhece du ∫ g (u ) du .Prof. temos: du = 1 dx ⇒ du = dx ⇒ dx = du 1 1 ∫ n + x dx = ∫ u du = ln u + C = ln n + x + C 177 . Joaquim Rodrigues MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Nem todas as integrais são imediatas segundo o formulário dado. Não há uma regra fixa para isso. Seja a expressão ∫ g [ f ( x) ] ⋅ f ′( x) dx . du = f ′( x ) dx . Através da substituição u = f (x) por u ′ = f ′(x ) ou du = f ′(x ) ou ainda. temos: du = 1 dx ⇒ du = dx ⇒ dx = du u4 ( x + 1) 4 ∫ ( x + 1) dx = ∫ u du = 4 + C = 4 + C 3 b) 3 1 ∫ n + x dx Resolução Fazendo n + x = u ou u = n + x. EXEMPLOS Questão 01 Calcule as integrais indefinidas: a) ∫ ( x + 1) 3 dx Resolução Fazendo x + 1 = u ou u = x + 1. O método da substituição de variável exige a identificação de u e u’ ou u e du na integral dada. É necessário que se faça bastantes exercícios até saber optar pela melhor substituição. temos: du = 1 dx ⇒ du = dx ⇒ dx = du ∫ cos (1 + x) dx = ∫ cos u du = sen u + c = sen (1 + x) + C f) ∫ x 2 − 1 ⋅ 2 x dx Resolução Fazendo x 2 −1 = u ou u = x 2 − 1 . temos: du = 2 x dx ⇒ 2 x dx = du 3 ∫ x 2 − 1 ⋅ 2 x dx = ∫ 3 1 2 3 u2 2 2 + C = u 2 + C = ( x 2 − 1) 2 + C u ⋅ du = ∫ u du = 3 3 3 2 178 .c) ∫ (2 x + 3) 10 dx Resolução Fazendo 2x + 3 = u ou u = 2x +3. temos: 1 du = 2 dx ⇒ 2 dx = du ⇒ dx = du 2 u 11 1 u 11 ( 2 x + 3)11 1 10 10 10 1 ⋅ + C = + C = +C ( 2 x + 3 ) dx = u du = u du = ∫ ∫ 2 2∫ 2 11 22 22 d) dx ∫ (3x − 1) 4 Resolução Fazendo 3x − 1= u ou u = 3x − 1. temos: 1 du = 3 dx ⇒ 3 dx = du ⇒ dx = du 3 1 1 1 −4 1 u −3 dx 1 1 1 du = u du = ⋅ +C = = dx = ⋅ du = ∫ (3x − 1) 4 ∫ (3x − 1) 4 ∫ u4 3 3 ∫ u4 3∫ 3 −3 1 1 1 1 1 = − ⋅ u −3 + C = − ⋅ 3 + C = − 3 + C = − +C 9 9 u 9u 9 (3 x − 1) 3 e) ∫ cos (1 + x) dx Resolução Fazendo 1 + x = u ou u = 1 + x. Joaquim Rodrigues g) ∫ (x 3 − 1) 4 ⋅ x 2 dx Resolução Fazendo x 3 − 1 = u ou u = x 3 − 1 . temos: 1 du = dx x 1 ∫ cos (ln x) ⋅ x dx = ∫ cos u du = sen u + C = sen (ln x) + C j) ∫ sen 4 x ⋅ cos x dx Resolução Fazendo u = sen x . temos: du = sec 2 x dx ∫e i) tg x ⋅ sec 2 x dx = ∫ e u ⋅ du = e u + C = e tg x + C 1 ∫ cos (ln x) ⋅ x dx Resolução Fazendo u = ln x . temos: 1 du = 3 x 2 dx ⇒ 3 x 2 dx = du ⇒ x 2 dx = du 3 1 u5 ( x 3 − 1) 5 u5 1 4 3 4 2 4 1 ⋅ + C = + C = +C ( x − 1 ) ⋅ x dx = u ⋅ du = u du = ∫ ∫ 3 3∫ 3 5 15 15 h) ∫e tg x ⋅ sec 2 x dx Resolução Fazendo tg x = u ou u = tg x . temos: du = sec 2 x dx 2 ∫ tg x ⋅ sec x dx = ∫ u du = u2 tg 2 x +C = +C 2 2 179 u5 sen 5 x +C = +C 5 5 . temos: du = cos x dx 4 4 4 ∫ sen x ⋅ cos x dx = ∫ ( sen x) ⋅ cos x dx = ∫ u du = k) ∫ tg x ⋅ sec 2 x dx Resolução Fazendo u = tg x .Prof. fazendo u = sen x . temos: du = 7 dx ⇒ 7 dx = du ⇒ dx = 1 1 du 7 1 1 1 ∫ cos 7 x dx = ∫ cos u ⋅ 7 du = 7 ∫ cos u du = 7 sen u + C = 7 sen 7 x + C m) ∫ cos 3 x dx Resolução Note que cos 3 x = cos 2 x ⋅ cos x = (1 − sen 2 x) ⋅ cos x . vem: du = cos x dx u3 sen 3 x +C = +C II = ∫ sen x ⋅ cos x dx = ∫ u du = 3 3 2 2 Daí. temos: 3 ∫ cos x dx = I − II sen 3 x +C 3 sen 3 x 3 cos x dx = sen x + + 2C ou simplesmente ∫ 3 sen 3 x 3 cos x dx = sen x + +C ∫ 3 3 ∫ cos x dx = sen x + C + 180 .l) ∫ cos 7 x dx Resolução Fazendo u = 7 x . temos: 3 x dx − ∫ sen 2 x ⋅ cos x dx ∫ cos x dx = ∫1cos 424 3 1442443 I II I = ∫ cos x dx = sen x + C II = ∫ sen 2 x ⋅ cos x dx . Assim: ∫ cos ∫ cos 3 x dx = ∫ (1 − sen 2 x) ⋅ cos x dx = ∫ cos x dx − ∫ sen 2 x ⋅ cos x dx 3 x dx = ∫ cos x dx − ∫ sen 2 x ⋅ cos x dx Resolvendo cada uma das integrais separadamente. Sabe-se que toda função racional pode ser escrita como soma de outras funções racionais mais simples. o que nos leva a ( x − 1)( x − 2) = x 2 − 3 x + 2 x + 3 = A ⋅ ( x − 2) + B ⋅ ( x − 1) 1x + 3 = Ax − 2 A + Bx − B 1x + 3 = Ax + Bx − 2 A − B 1x + 3 = ( A + B ) x + (−2 A − B ) comparamos termo a termo 1 = A + B A+ B =1 ou e resolvendo o sistema. x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇒ x1 = 1 e x 2 = 2 Logo.Prof. Joaquim Rodrigues INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Um polinômio P (x) de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos. sua fatoração é da forma: Ax 2 + Bx + C = A ⋅ ( x − x1 )( x − x2 ) onde x1 e x2 são raízes da equação Ax 2 + Bx + C = 0 Igualamos o denominador x 2 − 3 x + 2 a zero para encontrar suas raízes. Assim: x+3 2 x − 3x + 2 = A B + x −1 x − 2 Tiramos o mmc entre x 2 − 3 x + 2. Uma função racional é uma função escrita como quociente de dois polinômios. temos dois fatores lineares. as quais chamamos de frações parciais. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau de P (x) . conseguiremos encontrar primitivas para a função racional. Uma vez que saibamos como calcular primitivas para as frações parciais de uma função racional. a fatoração será: x 2 − 3 x + 2 = 1 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 2) = ( x − 1)( x − 2) . x − 1 e x − 2 . EXEMPLOS Calcular as integrais: a) x+3 ∫ x 2 − 3x + 2 dx Resolução Fatoramos o denominador. Como o denominador é uma expressão de segundo grau. temos: A = −4 e B = 5 3 = −2 A − B − 2 A − B = 3 181 . portanto. x − 2 x −1 x+3 ∫ x 2 − 3x + 2 dx 5 4 1 1 ∫ x 2 − 3x + 2 dx = ∫ x − 2 − x − 1 dx = ∫ x − 2 dx − ∫ x − 1 dx = 5∫ x − 2 dx − 4∫ x − 1 dx x+3 ∫ x 2 − 3x + 2 dx = 5 ln x − 2 − 4 ln x − 1 + c b) 5x + 7 dx + 2x − 3 Resolução x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇒ x1 = −3 e ∫x 2 x2 = 1 x 2 + 2 x − 3 = 1 ⋅ [ x − ( −3)]( x − 1) = ( x + 3)( x − 1) 5x + 7 A B = + = 2 x + 2x − 3 x + 3 x −1 A ( x − 1) + B ( x + 3) Ax − A + Bx + 3B = = ( x + 3( x − 1) ( x + 3)( x − 1) Ax + Bx − A + 3B ( A + B) x + ( − A + 3B) = ( x + 3)( x − 1) ( x + 3)( x − 1) Comparando os termos: A + B = 5 ⇒ A=2 e B=3 − A + 3 B = 7 1 1 5x + 7 3 2 dx = ∫ + dx + 3∫ dx dx = 2 ∫ x+3 x −1 + 2x − 3 x + 3 x −1 5x + 7 ∫ x 2 + 2 x − 3 dx = 2 ⋅ ln x + 3 + 3 ⋅ ln x − 1 + C ∫x 2 182 . fica mais fácil resolver a integral dada x+3 5 4 em uma soma de frações 5 4 − .Logo: x+3 x 2 − 3x + 2 x+3 x 2 − 3x + 2 x+3 x 2 − 3x + 2 x+3 x 2 − 3x + 2 A B + x −1 x − 2 −4 5 = + x −1 x − 2 4 5 =− + x −1 x − 2 5 4 = − x − 2 x −1 = Observe que transformamos a fração x+3 x 2 − 3x + 2 Agora. temos: 1 1 1 ∫ x 2 − 5x + 6 dx = ∫ x − 3 − x − 2 dx dx 1 1 ∫ x 2 − 5x + 6 = ∫ x − 3 dx − ∫ x − 2 dx dx ∫ x 2 − 5x + 6 = ln x − 3 − ln x − 2 + c dx x−3 ∫ x 2 − 5x + 6 = ln x − 2 + c 183 . Joaquim Rodrigues c) ∫x 2 dx − 5x + 6 Resolução x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇒ x1 = 2 e x2 = 3 x 2 − 5 x + 6 = 1 ⋅ ( x − 2)( x − 3) = ( x − 2)( x − 3) 1 A B = + 2 x − 5x + 6 x − 2 x − 3 A ( x − 3) + B ( x − 2) Ax − 3 A + Bx − 2 B 1 = = 2 ( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3) x − 5x + 6 Ax + Bx − 3 A − 2 B 1 = 2 ( x − 2)( x − 3) x − 5x + 6 ( A + B ) x + ( −3 A − 2 B ) 1 = 2 ( x − 2)( x − 3) x − 5x + 6 Comparando os termos: A + B = 0 ⇒ A = −1 e B = 1 − 3 A − 2 B = 1 1 A B 1 −1 1 ⇒ = + = + 2 2 x − 5x + 6 x − 2 x − 3 x − 5x + 6 x − 2 x − 3 1 x − 5x + 6 2 = 1 1 − x−3 x−2 Integrando os dois membros.Prof. B = 1. logo: 6 x 2 + 14 x − 20 5 4 3 = + − 3 x x−2 x+2 x − 4x 6 x 2 + 14 x − 20 1 1 1 ∫ x 3 − 4 x dx = 5∫ x dx + 4∫ x − 2 dx − 3∫ x + 2 dx 6 x 2 + 14 x − 20 ∫ x 3 − 4 x dx = 5 ln x + 4 ln x − 2 − 3 ln x + 2 + C e) 2x3 + x 2 + 2x − 1 dx ∫ x4 −1 Resolução 2x3 + x 2 + 2x − 1 2x3 + x 2 + 2x − 1 A B Cx + D = = + + 2 4 2 x −1 ( x + 1)( x − 1)( x + 1) x + 1 x − 1 x + 1 Organizando e resolvendo o sistema formado. nossa decomposição em frações parciais é: 2x3 + x2 + 2x −1 1 1 1 = + + 2 4 x +1 x −1 x +1 x −1 Logo: 2x3 + x 2 + 2x − 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ dx + ∫ 2 dx 4 ∫ x +1 x −1 x −1 x +1 2x3 + x 2 + 2x − 1 dx = ln ( x + 1) + ln ( x − 1) + arc tg x + C ∫ x4 −1 184 . C = 0 e D = 1 Portanto.d) 6 x 2 + 14 x − 20 ∫ x 3 − 4 x dx Resolução x 3 − 4 x = x( x 2 − 4) = x( x − 2)( x + 2) 6 x 2 + 14 x − 20 A B C = + + 3 x x−2 x+2 x − 4x Resolvendo o sistema. B = 4 e C = −3. encontramos: A = 5. temos: A = 1. temos que: f ( x) ⋅ g ′( x) = [ f ( x) ⋅ g ( x) ]′ − f ′( x) ⋅ g ( x) . vem: ∫ [ f ( x) ⋅ g ( x) ]′ dx = f ( x) ⋅ g ( x) Logo: ∫ f ( x) ⋅ g ′( x) dx = f ( x) ⋅ g ( x) − ∫ f ′( x) ⋅ g ( x) dx Percebe-se. pela fórmula ∫ f ( x) ⋅ g ′( x) dx = f ( x) ⋅ g ( x) − ∫ f ′( x) ⋅ g ( x) dx . que. EXEMPLOS Questão 01 Resolver ∫ x cos x dx Resolução ⇒ f ′( x) = 1 f ( x) = x Vamos considerar g ′( x) = cos x ⇒ g ( x) = ∫ cos x dx = sen x logo. temos ∫ x cos x dx = x ⋅ sen x − ∫ 1 ⋅ sen x dx ∫ x cos x dx = x ⋅ sen x − ∫ sen x dx ∫ x cos x dx = x ⋅ sen x − (− cos x) + C ∫ x cos x dx = x ⋅ sen x + cos x + C 185 . Joaquim Rodrigues INTEGRAÇÃO POR PARTES Para o cálculo de integrais da forma ∫ f ( x) ⋅ g ′( x) dx . então. para o cálculo da integral do produto de duas funções. o que integrando membro a membro. teremos: ∫ f ( x) ⋅ g ′( x) dx = ∫ ([ f ( x) ⋅ g ( x) ]′ − f ′( x) ⋅ g ( x) ) dx ∫ f ( x) ⋅ g ′( x) dx = ∫ [ f ( x) ⋅ g ( x) ]′ dx − ∫ f ′( x) ⋅ g ( x) dx Lembre que a integral de uma derivada é a própria função. vamos retornar. de início à regra de derivação do produto de duas funções: [ f ( x) ⋅ g ( x) ]′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x) Daí. o que se coloca como fundamental é a escolha de qual das funções será chamada de f(x) e qual será chamada de g’(x).Prof. já que a esperança no uso da fórmula acima é de que a integral em que cairemos seja mais simples do que a integral pedida. temos ∫ x e dx = x ⋅ e − ∫ 1 ⋅ e dx x x x ∫ x e dx = x ⋅ e − ∫ e dx x x x ∫ x e dx = xe − e + C x x x 186 . pela fórmula ∫ f ( x) ⋅ g ′( x) dx = f ( x) ⋅ g ( x) − ∫ f ′( x) ⋅ g ( x) dx .Questão 02 Resolver ∫ xe x dx Resolução ⇒ f ′( x) = 1 f ( x) = x Vamos considerar x ⇒ g ( x) = ∫ e x dx = e x g ′( x) = e logo. Prof. Joaquim Rodrigues EXERCÍCIOS Questão 01 Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) ∫ sec 2 5 x dx b) x − 6x + 5 c) ∫ dx x d) ∫ ax − b dx e) f) g) h) i) 2 x ∫1+ x 4 q) ∫ (tg θ + cot g θ) et ∫ 1 + e 2 t dt sec x ⋅ tg x ∫ ∫a x ∫ tg 3 1 2 dx 2 dx ⋅ e dx sen x ∫ w) ∫ x) ∫ g) j) ∫ e dx ∫ 2 x ⋅ 1 + x dx ∫ x cos ( x + 2) dx ∫ 2 x + 1 dx k) ∫ 3 x 2 + 1 x dx (2 + 3x) 1 + 4 x + 3x 2 dx x dx ∫ x ⋅e −x 2 dθ t) x 2 dx et + 2 ∫ e t + 2t dt 1 u) ∫ dx x ⋅ ln x 3 dx v) ∫ (1 + x ) ⋅ x dx Questão 02 Calcule as integrais indefinidas: dx a) ∫ 2 a + x2 cos x dx b) ∫ 1 + sen x dx c) ∫ x ⋅ ln x dx d) ∫ 9 − 4x 2 x dx e) ∫ 9 − 4x 2 f) ∫ cos x ⋅ x 2 dx 1 − cos x 1 + sen x s) ∫ dx x − cos x cos x + sen x l) ∫ dx sen 3 x m) ∫ sec x dx n) p) r) ∫ sen x ⋅ cos x dx x ∫ 1 + x dx 1 − sec 2 x j) ∫ a 5 x dx k) ∫ 1 + 4x ∫ cot g x dx 3 1 o) h) i) dx 187 5x 2 3 4 1 1 − 4x2 dx . Questão 03 Resolver: 16 x + 69 a) ∫ dx x 2 − x − 12 2x − 1 b) ∫ 2 dx x − 6x + 8 x2 − 2 dx c) ∫ 2 x − 4 x − 12 x2 + 2 d) ∫ dx x 2 − 3x + 2 e) Questão 04 Calcule: a) ∫ x senx dx b) c) d) e) f) x x ∫ x 3 − x 2 − 2 x dx − 1 − ctg x + c 2sen 2 x m) ln sec x + tg x + c l) n) tg x − x + c 1 o) arctg (2 x) + c 5 1 3 p) − ⋅ sen + c 3 x q) tg θ − ctg θ + c x3 − 6 x + 5 ln x + c 3 2 d) (ax − b) 3 + c 3a 1 e) sen 2 x + c 2 1 f) ln 1 + x 2 + c 2 1 g) arctg x 2 + c 2 c) r) 2 1 − cos x + c s) ln x − cos x + c t) h) arctg e t + c i) arcsen (sec x) + c k) 2 x x 4 + 2x − 1 RESPOSTAS Questão 01 1 a) tg 5 x + c 5 b) ln sen x + c j) ∫ x e dx ∫ e (2 x + 5) dx ∫ x ln x dx ∫ ln x dx ∫ e ⋅ cos x dx ln e t + 2t + c u) ln ln x + c v) 6 ln 1 + x + c 1 a5x ⋅ +c 5 ln a w) (ae) x +c ln (ae) x) 188 3 1 (3 x 2 + 1) 2 + c 9 1 + 4 x + 3x 2 + c . Joaquim Rodrigues Questão 02 1 x a) arctg + c a a 1 5x e +c 5 3 2 h) (1 + x 2 ) 2 + c 3 1 sen ( x 4 + 2) + c i) 4 3 1 j) (2 x + 1) 2 + c 3 1 k) arcsen (2 x) + c 2 g) b) 2 1 + sen x + c c) ln ln x + c 1 2x arcsen + c 2 3 1 e) − 9 − 4x2 + c 4 1 − x2 +c f) − e 2 d) Questão 03 a) 19 ln x − 4 − 3 ln x + 3 + c 7 3 ln x − 4 − ln x − 2 + c 2 2 17 1 c) x + ln x − 6 − ln x + 2 + c 4 4 d) x + 6 ln x − 2 − 3 ln x − 1 + c b) e) x2 1 4 29 + x + ln x − ln x + 1 + ln x − 2 + c 2 2 5 5 Questão 04 a) − x cos x + sen x + c b) (2 x + 5) ⋅ e x − 2e x + c c) x (ln x − 1) + c d) x 2 e x − 2 xe x + 2e x + c 1 2 1 e) x ln x − x 2 + c 2 4 1 x f) e (sen x + cos x) + c 2 189 .Prof. 190 . 126 pessoas. Joaquim Rodrigues ALGUMAS APLICAÇÕES DE INTEGRAIS INDEFINIDAS Exemplo 01 Estima-se que. temos: 3 P (t ) = 2t + 4t 2 + 5. daqui a t meses. usamos a informação de que a população atual (quando t = 0) é de 5.Prof.000 3 P ( 0) = 2 ⋅ 0 + 4 ⋅ 0 2 + C 5. para alguma constante C.000 = 18 + 4 ⋅ 27 + 5.000 = 18 + 108 + 5.000 . 191 . dt 1 P (t ) = 2 ∫ dt + 6 ∫ t 2 dt 3 P(t ) = 2t + 6 ⋅ 2 3 + k = 2t + 6 ⋅ ⋅ t 2 + C 3 3 t2 2 3 P (t ) = 2t + 4t 2 + C Para determinar C. ou seja.000 = C C = 5. ou seja: P (0) = 5. A população atual é de 5. então a expressão 2 + 6 t é uma derivada.126 E finalmente: P (9) = 5. basta substituir t = 9 3 P (9) = 2 ⋅ 9 + 4 ⋅ 9 2 + 5. isto é: dP P (t ) = ∫ dt = ∫ (2 + 6 t )dt .000 = 0 + 0 + C 5. Qual a população daqui a 9 meses? Resolução Se a população varia segundo a taxa de 2 + 6 t .126 . a população daqui a 9 meses será de 5.000 = 5. a população de certa cidade deverá variar segundo a taxa de 2 + 6 t pessoas por mês. ou seja dP = 2+6 t .000.000 = 0 + 4 ⋅ 0 + C 5. dt Dessa forma a função população P(t) é uma primitiva de 2 + 6 t .000 pessoas.000 Logo: 3 P (t ) = 2t + 4t 2 + C e substituindo C = 5.000 Como desejamos encontrar a população daqui a 9 meses. 05 ⋅ 0 2 + 0. para alguma constante C. logo: i (3) = ? i (3) = 0.1 ⋅ t2 + 0. 05 ⋅ 3 2 + 0.1 Dessa forma a função índice de carbono i (t ) é uma primitiva de 0.4 i (3) = 4. então temos que: i (0) = 3.1 dt i (t ) = 0. 05t 2 + 0. 192 .1t + C i (0) = 0.4 Assim. 05 ⋅ 0 + 0 + C 3.15 partes por milhão. 05t 2 + 0. aumenta segundo a taxa 0. o índice daqui a 3 anos. é de 3.1 ⋅ 3 + 3. 3 + 3.4 = C C = 3. i (t ) = ∫ 0.15 Logo.4 = 0 + 0 + C 3. 45 + 0.1t + 0.1∫ dt i (t ) = 0. ou seja.1) dt .4 Mas.Exemplo 02 Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice de monóxido de carbono no ar estará aumentando à razão de 0.1t + 0.1 . Se o índice atual de monóxido de carbono no ar é de 3. isto é i ′ (t ) = 0.1t + C Como o índice atual. temos: i (t ) = 0.1∫ t dt + 0. qual será o índice daqui a 3 anos? Resolução Se o índice i (t ) de carbono no ar no tempo t. 05t 2 + 0. será de 4.4 partes por milhão.4 i (3) = 0. isto é: i (t ) = ∫ (0.4 = 0.1t dt + ∫ 0.1t + 0. então a expressão 0.1t + 0.4 partes por milhão.1 partes por milhão por ano.1 ⋅ 0 + C 3.1 é uma derivada. no tempo t = 0.1t + 3.4 i (3) = 0.4 i (t ) = 0. 05 ⋅ 9 + 0. queremos esse índice daqui a 3 anos. 3 + 3.1t + 0.1 .1t + 0.1t + C 2 i (t ) = 0. 3∫ t 2 dt h(t ) = 0. 6 5 3 h(27) = 0. ou seja. 036 ⋅ 0 3 + 0. 036 ⋅ t 3 + 0. 2 ⋅ t 2 + C 5 3 h(0) = 0. 6 5 3 h(t ) = 0. 6 = 0. 2 ⋅ 27 2 + 0. 3 t 2 dt 2 1 h(t ) = 0. 2 ⋅ 0 + C 0. 2 ⋅ t 2 + 0. 6 = C C = 0. 3 t 2 2 1 h(t ) = ∫ (0.6 m) quando foi plantada.Prof. 06 ∫ t 3 dt + 0. 036 ⋅ t 3 + 0. 2 ⋅ t 2 + C h(t ) = 0. basta substituir t = 27 5 3 h(t ) = 0. 6 h(27) = 37. 036 ⋅ t 3 + 0. Joaquim Rodrigues Exemplo 03 Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura h(t). 6 h(27) = 8. 3 ⋅ ⋅ t 2 + C 5 3 5 3 h(t ) = 0. 06 t 3 dt + ∫ 0. 036 ⋅ 0 + 0. 3 t 2 metros/ano. 06 + 0. que altura terá após 27 anos? Resolução 2 1 h ′ (t ) = 0. 75 + 28. 41 Logo. 06 t 3 + 0. a árvore após 27 anos terá 37. 6 = 0 + 0 + C 0. 036 ⋅ 243 + 0. no início (t = 0) assim: h(0) = 0. 06 t 3 + 0. 06 ⋅ 5 3 t3 t2 + 0. temos: 5 3 5 3 h(t ) = 0. 3 ⋅ 5 3 3 2 +C 3 5 2 3 h(t ) = 0. após t anos. 2 ⋅ 140. 6 E substituindo.41 metros 193 . 2 1 está variando a uma taxa de 0. 06 ⋅ ⋅ t 3 + 0. 2 ⋅ 0 2 + C 0. Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada. 2 ⋅ t 2 + C A árvore tinha 60 cm (0. 036 ⋅ t 3 + 0. 3 + 0. 6 Como queremos a altura aos 27 anos. 6 h(27) = 0. 06 t 3 + 0. 036 ⋅ t 3 + 0. 2 ⋅ t 2 + 0. 036 ⋅ 27 3 + 0. 3 t 2 ) dt 2 1 h(t ) = ∫ 0. então: C(2) = 900 e C(q ) = q 3 − 30q 2 + 400q + C Logo: C(2) = 2 3 − 30 ⋅ 2 2 + 400 ⋅ 2 + C 900 = 8 − 30 ⋅ 4 + 800 + C 900 = 688 + C C = 212 Donde C(q ) = q 3 − 30q 2 + 400q + 212 E finalmente o custo para as 5 primeiras unidades será: C(5) = 5 3 − 30 ⋅ 5 2 + 400 ⋅ 5 + 212 = 125 − 30 ⋅ 25 + 2.00. Logo. portanto. C(q ) deve ser a primitiva C(q ) = ∫ C′(q ) dq = ∫ (3q 2 − 60q + 400) dq C(q ) = 3∫ q 2 dq − 60 ∫ q dq + 400 ∫ dq C( q ) = 3 ⋅ q3 q2 − 60 ⋅ + 400q + C 3 2 C(q ) = q 3 − 30q 2 + 400q + C Como o custo de 2 unidades foi de R$900.000 + 212 C(5) = 1.000 + 212 C(5) = 125 − 750 + 2. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$ 900. C′(q ) = 3q 2 − 60q + 400 e.587 194 .00.Exemplo 04 Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de 3q 2 − 60q + 400 reais por unidade. Qual será o custo total de produção das cinco primeiras unidades? Resolução Vale lembrar que o custo marginal é a derivada da função custo total C(q ) . 67 − 500 + 1.666.Prof.00. então C′( x) = 5q 2 − 10q + 100 . C(q) = ∫ C′(q) dq = ∫ (5q 2 − 10q + 100) dq = 5 q3 q2 − 10 ⋅ + 100 ⋅ q + C 3 2 5 3 q − 5q 2 + 100q + C 3 Como C(3) = 800 . Joaquim Rodrigues Exemplo 05 O custo marginal de uma indústria é calculado pela expressão 5q 2 − 10q + 100 reais por unidade. O custo de fabricação das três primeiras unidades é de R$800.666.67 C( q ) = 195 . Qual o custo de fabricação das 10 primeiras unidades? Resolução Como o custo marginal é a derivada da função custo.666.000 + 500 C(10) = 2. Logo.000 − 5 ⋅ 100 + 1.000 + 500 3 C(10) = 1. temos que: 5 5 C(3) = ⋅ 33 − 5 ⋅ 3 2 + 100 ⋅ 3 + C = ⋅ 27 − 5 ⋅ 9 + 300 + C = 5 ⋅ 9 − 45 + 300 + C 3 3 C(3) = 45 − 45 + 300 + C = 300 + C = 800 300 + C = 800 ⇒ C = 500 5 5 Logo: C(q ) = q 3 − 5q 2 + 100q + C ⇒ C(q ) = q 3 − 5q 2 + 100q + 500 3 3 5 C(10) = ⋅ 10 3 − 5 ⋅ 10 2 + 100 ⋅ 10 + 500 3 5 C(10) = ⋅ 1. o custo para fabricação das 10 primeiras unidades é igual a R$ 2. quando q unidades são produzidas.67 Ou seja. determine a função custo e o custo de produção de 100 unidades? Resolução C′( x) = 30 − 0.01x 2 + 5.01 Daí. vamos calcular o custo para 100 unidades C( x) = 30 x − 0.01 ⋅ 12 + C 35 = 30 − 0.02 x) dx C( x) = 30 ∫ dx − 0.02 x .02 ⋅ x2 +C 2 C( x) = 30 x − 0. Se o custo da produção de uma unidade é R$ 35.000 − 100 + 5.00 C(1 ) = 35 C(1 ) = 30 ⋅ 1 − 0.01x 2 + 5.01x 2 + C C( x) = 30 x − 0.99 + C C = 5.01 C(100) = 30 ⋅ 100 − 0.00.01 ⋅ 1 + C 35 = 30 − 0.01 C(100) = 2.01 ⋅ 12 + C 35 = 30 ⋅ 1 − 0.02 x C( x) = ∫ C′( x) dq = ∫ (30 − 0.01 C(100) = 3.01 + C 35 = 29.01x 2 + C O custo de fabricação de 1 unidade é R$35.01 C(100) = 3.905.01 que é a função custo Agora.01 196 .Exemplo 06 Um fabricante constata que o custo marginal da produção de x unidades de uma componente de copiadora é dado por 30 − 0. temos: C( x) = 30 x − 0.01 ⋅ 100 2 + 5.02 ∫ x dx C( x) = 30 x − 0.01 ⋅ 10000 + 5.000 − 0. 200 = 2 ⋅ 27 − 9 + 600 + C ⇒ 1.00.00. o custo para produzir as 10 primeiras será: C( x) = 2 x 3 − x 2 + 200 x + 555 ⇒ C(10) = 2 ⋅ 10 3 − 10 2 + 200 ⋅ 10 + 555 C(10) = 2 ⋅ 1. logo: C(3) = 1.000 − 100 + 2.200 C( x) = 2 x 3 − x 2 + 200 x + C ⇒ C(3) = 2 ⋅ 33 − 3 2 + 200 ⋅ 3 + C 1.200 = 645 + C ⇒ C = 555 Assim. Calcular o custo para produzir as 10 primeiras unidades. Joaquim Rodrigues Exemplo 07 Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R $ (6 x 2 − 2 x + 200) / unidade.455 197 .200.000 + 555 ⇒ C(10) = 2. temos: C( x) = 2 x 3 − x 2 + 200 x + C ⇒ C( x) = 2 x 3 − x 2 + 200 x + 555 Logo.Prof.000 − 100 + 2. O custo para produzir as três primeiras unidades foi R$ 1. Resolução Função custo total: C( x) = ∫ CMg ( x) dx = ∫ (6 x 2 − 2 x + 200) dx C( x) = 6 ∫ x 2 dx − 2 ∫ x dx + 200 ∫ dx C( x ) = 6 ⋅ x3 x2 − 2⋅ + 200 x + C 3 2 C( x) = 2 x 3 − x 2 + 200 x + C O custo para fabricar 3 unidades é R$1.200 = 54 − 9 + 600 + C 1.200.000 + 555 C(10) = 4. 200 x + 90 x 2 Assim. assim: R ( x) = 400.000 + 19.800 x + 180 x Assim.040 R (16) = 6.400.000 x + 4.400.200 ⋅ 64 + 23.200 ⋅ 2 + 23.800 + 23.000 + 13.000 + 13. 1 R ( x) = ∫ (400. teremos uma produção de: 3 R ( x) = 400.000 + 60 x bicicletas por mês ao preço de P( x) = 80 + 3 x u.000 x + 13.200 ⋅ 16 2 + 90 ⋅ 16 2 3 2 R (16) = 6.000 x + 19.000 + 13.840 6 198 . (unidades monetárias) por bicicleta.000 + 13.000 + 19.800 x + 180 x R ′( x) = 400.800 x + 180 x) dx = 400.267.000 x + 6.400.400.200 x 2 + 90 x 2 3 R (16) = 400.040 R (16) = 6.400.200 ⋅ (2 ) + 90 ⋅ 256 4 R (16) = 6.800 ∫ x 2 dx + 180 ∫ x dx R ( x) = 400.200 x 2 + 90 x 2 + C + 90 x 2 + C 3 2 A produção será nula para C = 0.000 ⋅ 16 + 13.000 x + 19.040 R (16) = 6.000 x + 13.200 ⋅ 2 12 2 + 23. para os próximos 16 meses.000 + 15. Qual é a receita total que o fabricante pode esperar da venda das bicicletas durante os próximos 16 meses? Resolução R ′( x) = F( x) ⋅ P( x) ⇒ R ′( x) = (5.Exemplo 08 Um fabricante de bicicletas espera que daqui a x meses os consumidores estarão adquirindo F( x) = 5.000 x + 13.040 R (16) = 7.m.000 ∫ dx + 19.000 + 844.600 ⋅ 2 ⋅ x 2 R ( x) = 3 400.800 ⋅ ⋅ x 2 + 90 x 2 + C 3 R ( x) = 3 400.000 + 60 x ) ⋅ (80 + 3 x ) R ′( x) = 400.800 ⋅ 3 x2 3 2 + 180 ⋅ x2 +C 2 3 2 R ( x) = 400. Resolução a) C( x) = ∫ CMg ( x) dx = ∫ (20 + 40 x − 6 x 2 ) dx C( x) = 20 ∫ dx + 40 ∫ x dx − 6 ∫ x 2 dx ⇒ C( x) = 20 x + 40 ⋅ x2 x3 − 6⋅ +C 2 3 C( x) = 20 x + 20 x 2 − 2 x 3 + C Como o custo fixo é 60. b) a função custo médio. Resolução Função receita total: R ( x) = ∫ RMg ( x) dx = ∫ (80 − x + x 2 ) dx R ( x) = ∫ (80 − x + x 2 ) dx = 80 ∫ dx − ∫ x dx + ∫ x 2 dx x 2 x3 + +C 2 3 Para x = 0. c) a função custo variável. temos R(0) = 0 R ( x) = 80 x − 0 2 03 R (0) = 80 ⋅ 0 − + +C ⇒ 0 = 0−0+0+C ⇒ C = 0 2 3 x2 x3 x2 x3 Logo: R ( x) = 80 x − + + 0 ⇒ R ( x) = 80 x − + 2 3 2 3 Exemplo 10 A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg ( x) = 20 + 40 x − 6 x 2 . O custo fixo é 60. Joaquim Rodrigues Exemplo 09 Se a função receita marginal é dada por RMg ( x) = 80 − x + x 2 .Prof. basta fazer: CM( x) = c) Custo variável C( x) = CF + CV ⇒ CV = C( x) − CF 2 CV = 20 x + 20 x − 2 x 3 ⇒ 199 CV = 20 x + 20 x 2 − 2 x 3 + 60 − ( 60 ) . Determine: a) a função custo total. determine a função receita total. temos que C(0) = 60 C(0) = 20 ⋅ 0 + 20 ⋅ 0 2 − 2 ⋅ 0 3 + C E finalmente: ⇒ 60 = 0 + 0 − 0 + C ⇒ C = 60 C( x) = 20 x + 20 x 2 − 2 x 3 + C C( x) = 20 x + 20 x 2 − 2 x 3 + 60 C( x ) x 2 3 C( x ) 20 x + 20 x − 2 x + 60 CM( x) = ⇒ CM( x) = x x 2 3 20 x 20 x 2x 60 60 CM( x) = + − + ⇒ CM( x) = 20 + 20 x − 2 x 2 + x x x x x b) Para calcular o custo médio. Resolução C( x) = ∫ CMg ( x) dx = ∫ (3 x 2 − 12 x + 36) dx C( x) = 3∫ x 2 dx − 12 ∫ x dx + 36 ∫ dx C( x ) = 3 ⋅ x3 x2 − 12 ⋅ + 36 x + C 3 2 ⇒ C( x) = x 3 − 6 x 2 + 36 x + C Como o custo fixo é igual a 50. temos que C(0) = 50 C( x) = x 3 − 6 x 2 + 36 x + C C(0) = 0 3 − 6 ⋅ 0 2 + 36 ⋅ 0 + C ⇒ 50 = 0 − 0 + 0 + C Finalmente: C( x) = x 3 − 6 x 2 + 36 x + C C( x) = x 3 − 6 x 2 + 36 x + 50 200 ⇒ C = 50 . R(0) = 0. a função receita marginal é RMg ( x) = 25 − 5 x . para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de produção de cada uma é CMg ( x) = 3 x 2 − 12 x + 36 reais. logo: R ( x) = 25 x − 5x 2 +C 2 ⇒ R (0) = 25 ⋅ 0 − 5x 2 +C 2 ⇒ R ( x) = 25 x − ⇒ C=0 O que nos dá: R ( x) = 25 x − 5x 2 +0 2 ⇒ R ( x) = 25 x − 5x 2 2 Exemplo 12 Em certa indústria. Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual 50. Determine a receita total. Resolução R ( x) = ∫ RMg ( x) dx = ∫ (25 − 5 x) dx R ( x) = 25∫ dx − 5∫ x dx ⇒ x2 R ( x) = 25 x − 5 ⋅ +C 2 ⇒ 5x 2 R ( x) = 25 x − +C 2 5 ⋅ 02 +C 2 ⇒ 0 = 0−0+C Para x = 0.Exemplo 11 Para determinado produto. temos que: P(0) = 0 P = 2 ∫ dx − 0.05 x 2 Para atingir uma produtividade de 20 carros por dia.05 x 2 + 0 ⇒ P = 2 x − 0.05 x 2 + C 2 Como a produtividade é nula sem empregados vendedores. então ela precisará contratar mais 5.25 x 3 − 10 x 2 + 10 x Exemplo 14 Supondo que a produtividade marginal (PMg) de uma fábrica em relação à produção diária de autodP móveis P seja dada por = 2 − 0.1x) dx ⇒ P = ∫ (2 − 0.1x ⇒ dP = (2 − 0. precisamos ter x empregados: P = 20 ⇒ P = 2 x − 0.75 x 2 − 20 x + 10) dx a função receita marginal é dada por R( x) = 0. Resolução R( x) = ∫ RMg ( x) dx = ∫ (0. temos que R(0) = 0. 201 . Supondo que a dx empresa possui 15 vendedores.05 x 2 ⇒ 20 = 2 x − 0.1x) dx dx x2 + C ⇒ P = 2 x − 0.75 x 2 − 20 x + 10 .1 ⋅ 0 = 0−0+C ⇒ C=0 P = 2 x − 0.25 ⋅ 0 3 − 10 ⋅ 0 2 + 10 ⋅ 0 + C 0 = 0−0+0+C ⇒ C = 0 R( x) = 0.25 x 3 − 10 x 2 + 10 x + C Para x = 0. Joaquim Rodrigues Exemplo 13 Determine a função receita total se RMg ( x) = 0.05 ⋅ 0 2 + C P = 2 x − 0.05 x 2 ⇒ 0.75∫ x 2 dx − 20 ∫ x dx + 10 ∫ dx R( x) = 0. logo: R(0) = 0.25 x 3 − 10 x 2 + 10 x + 0 R( x) = 0.Prof. Resolução dP Se = 2 − 0. onde x representa o número de vendedores.1∫ x dx 0 = 2 ⋅ 0 − 0.05 x 2 − 2 x + 20 = 0 5 2 x − 2 x + 20 = 0 ⇒ 5 x 2 − 200 x + 2000 = 0 (÷5) ⇒ x 2 − 40 x + 400 = 0 100 E resolvendo a equação de 2º grau x 2 − 40 x + 400 = 0 .25 x 3 − 10 x 2 + 10 x + C ⇒ R( x) = 0.75 ⋅ x3 x2 − 20 ⋅ + 10 x + C 3 2 R( x) = 0. quantos vendedores são necessários contratar para atingir uma produção de 20 carros por dia? Considere que a produtividade é nula sem empregados vendedores.05 x 2 + C ⇒ ⇒ ⇒ P = 2 x − 0.1x . encontramos duas raízes iguais x ′ = x ′′ = 20 Como a empresa já tem 15 funcionários. Exemplo 15 O custo marginal de uma fábrica é de 6 ⋅ (q 2 + 2q + 3) 2 ⋅ (q + 1) reais por unidade. então basta calcular C(8) − C(5) . temos: q 2 + 2q + 3 = u ⇒ (q 2 + 2q + 3)′ = 2 (q + 1) = du dq du dq ⇒ 2q + 2 = ⇒ 2 (q + 1) dq = du ⇒ (q + 1) dq = du dq 1 du 2 1 1 u3 = u3 Logo. ou seja: 8 C(8) − C(5) = ∫ C′(q ) dq 5 Vamos calcular inicialmente a integral para C(q) C(q ) = ∫ C′(q ) dq = ∫ 6 ⋅ (q 2 + 2q + 3) 2 ⋅ (q + 1) dq = 6 ⋅ ∫ (q 2 + 2q + 3) 2 ⋅ (q + 1) dq Por substituição.915 C(8) − C(5) = 516.915 reais 3 202 . temos: C(q ) = 6 ⋅ ∫ (q 2 + 2q + 3) 2 ⋅ (q + 1) dq = 6 ⋅ ∫ u 2 ⋅ du = 6 ⋅ ⋅ ∫ u 2 du = 3 ⋅ 2 2 3 C(q ) = u 3 = (q 2 + 2q + 3) 3 ⇒ C(q ) = (q 2 + 2q + 3) 3 8 C(8) − C(5) = ∫ C′(q ) dq 5 8 C(8) − C(5) = (q 2 + 2q + 3) 3 = (8 2 + 2 ⋅ 8 + 3) 3 − (5 2 + 2 ⋅ 5 + 3) 3 5 C(8) − C(5) = (64 + 16 + 3) − (25 + 10 + 3) 3 = 833 − 38 3 C(8) − C(5) = 571. De quanto o custo aumentará se a produção aumentar de 5 para 8 unidades? Resolução C′(q ) = 6 ⋅ (q 2 + 2q + 3) 2 ⋅ (q + 1) Se desejamos aumentar a produção de 5 para 8 unidades.787 − 54.872 = 516. Se o custo de fabricação de uma unidade é de R$ 25. Questão 03 Uma indústria sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R $ (9 x 2 − 4 x + 300) /unidade. Questão 09 Sabendo-se que a função custo marginal de um produto é dada por 2 x 8 unidades é de R$ 20. determine: a) a função custo total b) o custo de produção de 50 unidades. Questão 06 Para determinado produto. qual será a população daqui a 8 meses? Questão 02 Se a receita e o custo marginal expressam-se como função da quantidade x respectivamente por RM = 44 − 9 x e CM = 20 − 7 x + 2 x 2 . Questão 07 A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg ( x) = 30 + 90 x − 3 x 2 . b) a função custo médio. O custo fixo é 80. Questão 08 Um fabricante de blusas de esporte determina que o custo marginal de fabricação de x unidades é dado por 20 − 0. encontre a quantidade produzida que maximiza o lucro assim como o lucro total correspondente sob condições de competição perfeita. Determine a receita total.000 habitantes.Prof.00. c) a função custo médio variável.00.00. Questão 04 Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por RMg ( x) = 0. Questão 05 Em certa indústria.6 x 2 − 10 x + 50 . a função receita marginal é RMg ( x) = 40 − 6 x . Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual a 50. Calcular o custo para produzir as 5 primeiras unidades.015 x . Joaquim Rodrigues EXERCÍCIOS Questão 01 2 Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de 4 + 5t 3 habitantes por mês. para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de produção de cada uma é CMg ( x) = 3 x 2 − 12 x + 36 reais. determine: a) a função custo b) o custo de produção de 64 unidades 203 1 3 e que o custo de produção de . Se a população atual é de 10. Determine: a) a função custo total. O custo para produzir as duas primeiras unidades foi R$ 800. CMg ( x) = 20 e Cf = 200. Sabendo que o custo de produção de dez unidades é R$800. respectivamente Custo Marginal e Receita Marginal para um determinado produto. Sabendo que o custo e duas unidades é 84. d) a função Lucro Total.00 a unidade.m. O fabricante estima que se x unidades forem vendidas por semana. O fabricante estima que se x unidades forem vendidas por semana. a) Determine as funções de custo fixo. determine: a) a função Custo b) a função Receita c) a função Lucro Questão 11 Dadas as funções RMg ( x) = − 4 x 3 + 64 x .00.00. determine: a) a função Custo Total. e) o lucro decorrente da venda de 5 unidades. Questão 12 Sabendo que o custo marginal é dado por CMg ( x) = 10 e o custo de produção de duas unidades é 35 u. b) Calcule o custo para fabricar 10 unidades. Custo Marginal e Custo Fixo para um mesmo produto. Ache a função Lucro desse produto. o custo marginal será CMg ( x) = 2 x .00 a unidade. custo variável e custo médio. Ache o lucro obtido pela produção e venda de 10 unidades desse produto.Exercício 10 Dadas as funções CMg ( x) = 22 x e RMg ( x) = 3 x 2 + 6 x + 2 . determine a função Lucro.. sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ 18. b) a função Receita Total. h) o Lucro Marginal no ponto 4. g) a função Lucro Marginal. respectivamente Receita Marginal. Questão 15 Um fabricante produz e vende uma quantidade x de certa mercadoria. c) a equação da demanda. 204 . As funções Custo Marginal e Receita Marginal são respectivamente CMg ( x) = 2 x + 20 e RMg ( x) = −2 x + 140 . Questão 14 Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 20. Questão 16 Uma empresa para produzir x unidades de certo tipo de produto tem como função de custo total C( x) = 2 x 4 + 12 x 3 + 9 x + 30 . sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ 36. o custo marginal será CMg ( x) = 2 x − 10 .00. determine o custo fixo. f) a variação do lucro decorrente da venda da 5ª unidade. Questão 13 Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 10. 00 Questão 12 15 Questão 04 R ( x) = 0.120 Questão 09 2 3 a) C ( x) = 3 x + 8 b) C(64) = R$56.0075 b) C(50) = 986.128 habitantes Exercício 10 a) C( x) = 11x 2 + 40 b) R ( x) = x 3 + 3 x 2 + 2 x c) L( x) = x 3 − 8 x 2 + 2 x − 40 Questão 02 x = 3 e L = 45.26 L( x) = −2 x 2 + 120 x − 500 50 102 LMg ( x) = −4 x + 120 104 Questão 16 a) CF = 30 .0075 x 2 + 5.2 x 3 − 5 x 2 + 50 x Questão 13 L( x) = 10 x − x 2 − 2 Questão 05 C ( x) = x 3 − 6 x 2 + 36 x + 50 Questão 14 140 Questão 06 R ( x) = 40 x − 3 x 2 Questão 15 a) C( x) = x 2 + 20 x + 500 Questão 07 a) C ( x) = 30 x + 45 x 2 − x 3 + 80 80 b) CM ( x) = 30 + 45 x − x 2 + x 80 c) CMv ( x) = 45 x − x 2 + x b) R ( x) = − x 2 + 140 x c) q ( x) = − p + 140 d) e) f) g) h) Questão 08 a) C ( x) = 20 x − 0.00 205 . Joaquim Rodrigues RESPOSTAS Questão 01 10. CV = 2 x 4 + 12 x 3 + 9 x e 30 CM = 2 x 3 + 12 x 2 + 9 + x b) 32.009.Prof. Questão 11 L( x) = − x 4 + 32 x 2 − 20 x − 200 Questão 03 R$ 2. então substituímos os limites. e é indicado pelo símbolo: ∫ b a f ( x ) dx . devemos resolver a integral normalmente e depois passamos os limites de integração. então substituímos os limites.INTEGRAIS DEFINIDAS Seja f(x) uma função definida e contínua num intervalo real [a. 33 3 1 3 3 3 3 Note que devemos sempre substituir da seguinte forma: LIMITE SUPERIOR – LIMITE SUPERIOR 206 . EXEMPLOS: Exemplo 01 1 ∫0 x dx Calcular Resolução Resolvemos normalmente a integral ∫ x dx = 1 ∫0 x2 1 2 = x . de a até b. após a resolução da integral. é um número real. assim: 2 2 ∫1 x dx = [ ] 1 32 1 3 3 1 1 7 x = 2 − 1 = [8 − 1] = ⋅ 7 = = 2. depois o limite inferior e calculamos a diferença entre o limite superior pelo inferior. mas como ela é definida. A integral definida de f(x). 5 2 2 2 2 0 2 x dx = Note que devemos sempre substituir da seguinte forma: LIMITE SUPERIOR – LIMITE SUPERIOR Exemplo 02 Calcular 2 ∫1 x 2 dx Resolução Resolvemos normalmente a integral x3 1 3 ∫ x dx = 3 = 3 x . considerando sempre que. substituímos o limite superior. onde: a é o limite inferior de integração b é o limite superior de integração f(x) é o integrando Na prática. assim: 2 2 [ ] 1 21 1 2 1 1 1 x = 1 − 0 2 = [1 − 0] = ⋅ 1 = = 0. b]. mas como ela é definida. Prof. 5 1 x 1 x 2 2 2 2 2 1 2 ∫ 207 . 71 2 2 2 Exemplo 04 Calcular 1 ∫ 0 (2 x + 4) dx Resolução Resolvemos normalmente a integral ∫ (2 x + 4) dx = 2∫ x dx + 4∫ dx = 2 ⋅ x2 + 4 x = x 2 + 4 x . 41 −0 = = = 0. então substituímos os limites. assim: 1 ∫0 1 (2 x + 4) dx = ( x 2 + 4 x) = (12 + 4 ⋅ 1) − (0 2 + 4 ⋅ 0) = (1 + 4) − (0 + 0) = 5 − 0 = 5 0 Exemplo 05 e ln x Calcular ∫ dx 1 x Resolução Resolvemos normalmente a integral ln x ∫ x dx . mas como ela é definida. mas como ela é definida. observe que essa integral deve ser resolvida pelo método da substituição 1 ∫ ln x ⋅ x dx Fazemos ln x = u 1 du 1 ln x = u ⇒ (ln x )′ = u ′ ⇒ = ⇒ dx = du x dx x 1 u2 1 2 1 ln x ⋅ dx ⇒ u du = = u = (ln x) 2 ∫ ∫ x 2 2 2 Logo: 1 1 2 ∫ ln x ⋅ x dx = 2 (ln x) E finalmente: ∫ [ ] [ ] e 1 e ln x e 1 1 1 1 1 1 dx = ln x ⋅ dx = (ln x) 2 = (ln e) 2 − (ln 1) 2 = 12 − 0 2 = [1 − 0] = ⋅ 1 = = 0. Joaquim Rodrigues Exemplo 03 π Calcular ∫ 04 cos x dx Resolução Resolvemos normalmente a integral ∫ cos x dx = sen x . então substituímos 2 os limites. assim: π ∫0 4 π cos x dx = sen x 4 = sen π − sen 0 = 0 4 2 2 1. QUESTÕES Questão 01 Calcular: 2 a) ∫ −1 b) ∫ 0 c) ∫ 27 ∫ 16 e) ∫ 14 f) ∫ 1 0 1− x2 ∫ 1 1 + x dx d) g) h) i) 1 x 4 dx j) ∫ ( x 2 + 2 x + 3) dx k) ∫ l) ∫ 8 1 13 ∫ ∫ 0 0 −1 2 3 1 − 3 3 x dx dx x ( x − 13)10 dx 1 dx 0 ( 2 x + 3) dx 4 x dx 1 m) ∫ n) ∫ 2 4 x + 1 dx 0 2 ( x + 1) 2 dx −1 3a x dx (x − a 2 )2 x dx 2 2a o) ∫ 2b 0 x2 + b2 p) ∫ 1 ( x − x 2 ) dx 0 7 x 6 dx dx 3x + 2 RESPOSTAS 33 a) 5 13 b) 3 195 c) 4 d) 6 1 e) 11 f) 1 i) j) k) l) m) n) π o) 2 2 g) (2 2 − 1) 3 h) 1 p) 208 2 3 4 14 3 13 3 9 5 2 a 48 ( 5 − 1)b 1 6 . Mas quando precisamos calcular a área de regiões delimitadas por gráficos de funções.Prof. Joaquim Rodrigues CÁLCULO DE ÁREAS • • • • • Já sabemos calcular as áreas das figuras planas. pode ser calculada usando as fórmulas de áreas conhecidas. Por exemplo. conforme a figura a seguir: Para calcular a área dessa região R. vamos dividir a região em muitos retângulos de mesma largura tal que cada retângulo esteja completamente inscrito no gráfico de f. vamos considerar uma região R em plano cartesiano. b]. delimitado por duas retas verticais x = a e x = b e pelo gráfico de uma função f contínua e não negativa no intervalo fechado [a. então nos valemos da teoria de limite e alguns métodos algébricos. 6 retângulos inscritos 12 retângulos inscritos 209 . como por exemplo: Área de um retângulo: A = b ⋅ h b⋅h Área de um triângulo: A = 2 Área de um quadrado: A = l 2 ( B + b) ⋅ h Área de um trapézio: A = 2 D⋅d Área de um losango: A = 2 • Área de um círculo: A = π R 2 • Área de uma coroa circular: A = π ( R 2 − r 2 ) É fácil perceber que a área de uma região limitada por retas. Assim. que podemos b representar por: A = ∫ f ( x) dx a ÁREA ENTRE DUAS CURVAS Em alguns casos. a área dessa região será dada por: A = ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx a 210 . temos que a área da região é a soma de todas as áreas dos infinitos retângulos.Essa ideia sugere que devemos fazer a largura dos retângulos tender a zero. assim: b Dessa forma. e necessitamos calcular a área entre elas. teremos duas funções f e g. Resolução A área é limitada pela curva y = 5 x − x 2 e pelo eixo x. Joaquim Rodrigues Exemplo 01 Determinar a área limitada pela curva y = 5 x − x 2 e pelo eixo x. é porque o y = 0. sem necessidade de usar a fórmula de Bháskara. Note que quando se refere ao eixo x. que nos leva a uma equação de 2º grau incompleta que pode ser facilmente resolvida colocando o x em evidência. assim. temos: y = 0 5 x − x 2 = 0 (multiplicamos os dois lados por –1) − 5x + x 2 = 0 x 2 − 5 x = 0 . a nossa área é limitada por y = 5 x − x 2 e y = 0. Isso quer dizer a área da figura deverá variar de 0 a 5. 211 . temos a seguinte intersecção: y = 5 x − x 2 e resolvendo esse sistema.Prof. Para fazer o esboço do gráfico. Logo. acima do eixo x. que nos permite concluir que a curva y = 5 x − x 2 irá cortar o eixo x nos pontos 0 e 5. x 2 − 5 x = 0 ⇒ x ( x − 5) = 0 ⇒ x ′ = 0 e x − 5 = 0 ⇒ x ′′ = 5 Assim. vamos considerar a curva y = 5 x − x 2 ou y = − x 2 + 5 x que é uma função de 2º grau. as raízes são 0 e 5. 5 ⋅ 25 − 0.33 ⋅ 125 − (0 − 0) A = 62.Assim.25 A= 212 . Para isso. fazemos: 5 A = ∫ [5 x − x 2 − 0] dx 0 5 A = ∫ [5 x − x 2 ] dx 0 A = ∫ 5 xdx − ∫ x 2 dx A = 5∫ xdx − ∫ x 2 dx x2 x3 5 5 2 1 3 5 − = x − x 2 3 0 2 3 0 5 1 1 5 A = ⋅ 5 2 − ⋅ 53 − ⋅ 0 2 − ⋅ 0 3 2 3 3 2 A = 5⋅ 5 1 1 5 ⋅ 25 − ⋅ 125 − ⋅ 0 − ⋅ 0 3 2 3 2 A = 2. percebemos que queremos calcular a área entre a curva y = 5 x − x 2 e o eixo x (y = 0).5 − 41.25 − (0) A = 21. Joaquim Rodrigues Exemplo 02 Determinar a área limitada pelas curvas y = 5 x − x 2 e y = 2 x Resolução Calculando a intersecção y = 5 x − x 2 y = 2 x 2 x = 5 x − x 2 ⇒ x 2 − 3 x = 0 ⇒ x ( x − 3) = 0 ⇒ x ′ = 0 e x ′′ = 3 Calculando a área 3 A = ∫ (5 x − x 2 − 2 x) dx 0 3 A = ∫ (3 x − x 2 ) dx 0 A = ∫ (3 x − x 2 )dx A = 3∫ xdx − ∫ x 2 dx x2 x3 3 3 2 1 3 3 − = x − x 2 3 0 2 3 0 3 1 1 3 A = ⋅ 3 2 − ⋅ 33 − ⋅ 0 2 − ⋅ 0 3 2 3 3 2 A = 3⋅ 27 27 − −0 2 3 27 27 A= − 2 3 81 − 54 A= 6 27 A= 6 A= A = 4.5 213 .Prof. para 0 ≤ x ≤ 3 b) y = x 2 e y = 2 x − x 2 c) y = 4 x − x 2 e o eixo x.EXERCÍCIOS Questão 01 Calcular a área limitada por: a) y = 2 x − x 2 e o eixo x. para 0 ≤ x ≤ π Questão 02 Calcule a área limitada por: a) y = x 2 e o eixo x. acima do eixo x 2 d) y = x 2 e y = 1+ x2 e) y = x 2 + 2 x e y = − x y = x2 e y = x 1 g) y = e o eixo x. 1 ≤ x ≤ 4 x h) y = x e y = x 3 . acima do eixo x b) y = x 2 e y = 2 − x c) y = sen x e o eixo x. 0 ≤ x ≤ 2 f) Questão 03 Calcule a área da região indicada na figura: a) y b) y = 3x y y = x2 y = x2 8 9 y = 8− x 2 −2 3 c) 2 x x d) y y y = ex 1 y = e− x 2 x 2 214 x . Questão 08 Ache a área no primeiro quadrante limitada pelo eixo x e pela curva y = 6 x + x 2 − x 3 . o eixo x e a reta x = −2 . Questão 09 Ache a área total entre a parábola y = x 2 − 4 x .Prof. 215 x . Questão 06 Ache a área limitada pela curva y = x 3 + 3x 2 . pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = 4 . Questão 07 Ache a área limitada pela curva x 2 y = x 2 − 4 . pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2 . Joaquim Rodrigues Questão 04 Calcule a área sob as funções f(x): b) f ( x) = 4 x − x 2 a) f ( x) = x 2 y y x 3 c) y f ( x) = 1 1 x e x Questão 05 Calcule a área limitada pela intersecção das funções f ( x ) = x e g ( x) = − x 2 + 8 x − 6 . 83 u.a b) 9 u.39 u.a Questão 11 0.17 u.a b) 0.75 u.67 u. RESPOSTAS Questão 01 a) 1.a Questão 12 1.67 u.86 u.a Questão 06 12 u.5 u.47 u.a c) 10.33 u.Questão 10 Ache a área limitada pela curva y = 2 x + x 2 − x 3 . Questão 12 Ache a área limitada pelas curvas y = x 3 e y = 2 x 2 .a f) 0.33 u.a e) 4.a b) 21.a h) 2.33 u.5 u.a 216 .5 u.39 u.a Questão 03 a) 4. pelo eixo x e pelas retas x = −1 e x = 1 .a b) 4.a Questão 08 15.33 u.67 u.a c) 6.a c) 2 u.a Questão 10 1.5 u.33 u.a Questão 09 10.a Questão 05 20.5 u.a Questão 02 a) 9 u.a d) 0.a Questão 07 1 u.a d) 2.a g) 1. Questão 11 Ache a área limitada pelas curvas y = x 2 e y = x .a c) 1 u.a Questão 04 a) 10. vamos considerar a área plana. ou seja: CÁLCULO DO ELEMENTO DO VOLUME dV = π R 2 dx dV = π [ f ( x)]2 dx b V = ∫ π [ f ( x)]2 dx a b V = π ∫ [ f ( x)]2 dx a 217 . nos dá o volume do sólido da figura. Joaquim Rodrigues CÁLCULO DO VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Sólido de revolução é a figura tridimensional obtida pela rotação de uma superfície em torno de um eixo. Assim. b] e fazer com que ela gire em torno do eixo x. no intervalo de [a. A soma das infinitas “pequenas fatias”. no intervalo de [a. O processo para o cálculo de volume é mera extensão do processo estudado para o cálculo de áreas. b]. pois o volume procurado pode ser pensado como uma soma de Riemann.Prof. determinada pela curva y = f (x) da figura abaixo. Exemplo 01 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva f ( x) = x 3 , com x no intervalo [1, 2], em torno do eixo x. Resolução Esboçando o gráfico da curva, temos: Mas, precisamos que a curva gire em torno do eixo x: É fácil perceber que o raio R é “algum y”, logo: f ( x) = x 3 ou y = x 3 Como o raio é algum y, então temos R = x 3 Calculando a área do círculo formado, temos: A = π R 2 ⇒ A = π ⋅ (x3 )2 A = π x6 Para calcular o volume, sabemos que o mesmo é a soma de todas as possíveis áreas formadas no sólido, no intervalo de 1 a 2: 2 2 x7 π 7 V = ∫ π x 6 dx ⇒ V = π ∫ x 6 dx ⇒ V = π ∫ x 6 dx = π ⋅ = x 1 1 7 7 2 π 1 7 V = π ∫ x 6 dx = x7 2 1 ⇒ V = π [ ] 3,14 ⋅ 2 7 − 17 = ⋅ (128 − 1) = 0,45 ⋅ 127 7 7 V = 57,2 218 Prof. Joaquim Rodrigues Exemplo 02 A região entre a curva y = x , 0 ≤ x ≤ 4 e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine seu volume. Resolução É possível perceber que o raio R é “algum y”, logo: y = x Como o raio é algum y, então temos R = x Calculando a área do círculo A = π R2 ⇒ A = π ⋅ ( x )2 ⇒ A = π x Calculando o volume, que podemos perceber que está no intervalo de 0 a 4 4 4 0 0 V = ∫ π x dx ⇒ V = π ∫ x dx V = π ∫ x dx = π ⋅ 4 π 0 2 [ ] V = π ∫ x dx = V = π x2 π 2 = x 2 2 x2 4 0 3,14 ⋅ 42 − 02 = ⋅ (16 − 0) = 1,57 ⋅ 16 = 25,12 2 2 V = 25,12 219 Exemplo 03 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 , em torno do eixo y. Resolução É possível perceber que o raio R é “algum x”, logo: y= x ⇒ y2 = ( x)2 ⇒ y2 = x ⇒ x = y2 Como o raio é algum x, então temos R = y 2 Calculando a área do círculo A = π R2 ⇒ A = π ⋅ ( y 2 )2 ⇒ A = π y 4 Calculando o volume, que podemos perceber que está no intervalo de 0 a 2 2 2 V = ∫ π y 4 dy ⇒ V = π ∫ y 4 dy 0 0 V = π ∫ y 4 dy = π ⋅ 2 π 0 5 V = π ∫ y 4 dy = V = π [ y5 π 5 = y 5 5 y5 2 0 ] 3,14 ⋅ 25 − 05 = ⋅ (32 − 0) = 0,63 ⋅ 32 = 20,16 5 5 V = 20,16 220 Prof. Joaquim Rodrigues Exemplo 04 Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno da reta y = 1 , da região definida por y= x e pelas retas y = 1 e x = 4 . Resolução É possível perceber que o raio R é “algum y – 1”, logo: y = x ⇒ y −1 = x −1 Como o raio é algum y – 1, então temos R = x − 1 Calculando a área do círculo A = π R 2 ⇒ A = π ⋅ ( x − 1) 2 ⇒ A = π ⋅ ( x − 2 x + 1) Contudo, podemos perceber que o sólido não começa em zero, mas sim em um ponto formado pela intersecção entre a reta y = 1 e a curva y = x . Para determinar esse ponto, precisamos resolver o sistema formado por elas. y = 1 2 ⇒ x =1 ⇒ x = 12 ⇒ x = 1 y = x Logo, o sólido inicia em x = 1 e termina em x = 4 ( ) Calculando o volume, que está no intervalo de 1 a 4, temos: 4 4 1 1 1 V = ∫ π ( x − 2 x + 1)dx ⇒ V = π ∫ ( x − 2 x 2 + 1)dx 3 2 4 1 x x2 2 V = π ∫ xdx − 2 ∫ x dx + ∫ dx ⇒ V = π − 2⋅ + x 3 1 2 2 1 2 3 4 1 4 3 4 V = π x 2 − 2 ⋅ ⋅ x 2 + x ⇒ V = π x 2 − ⋅ x 2 + x 3 3 2 1 2 1 1 4 3 1 4 3 1 4 4 1 V = π ⋅ 4 2 − ⋅ 4 2 + 4 − ⋅ 12 − ⋅ 1 2 + 1 ⇒ V = π ⋅ 16 − ⋅ 8 + 4 − ⋅ 1 − ⋅ 1 + 1 3 3 3 3 2 2 2 2 V = π [8 − 10,67 + 4 − (0,5 − 1,33 + 1)] ⇒ V = π [1,33 − (0,17 )] ⇒ V = 3,14 [1,16] V = 3,64 221 Exemplo 05 Ache o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região entre y = 2 x e y = x 2 . Resolução Inicialmente vamos determinar a intersecção entre as duas curvas. y = 2 x ⇒ x 2 = 2 x ⇒ x 2 − 2 x = 0 ⇒ x ′ = 0 e x ′′ = 2 2 y = x Em seguida esboçamos o gráfico das funções Girando em torno do eixo y, temos: Percebemos que o elemento do volume (fatia) agora é uma coroa circular, onde o raio maior ( R ) vai até a curva y = x 2 , enquanto que o raio menor ( r ) vai até a curva y = 2 x . 222 Prof. Joaquim Rodrigues Contudo o nosso raio agora, não é observado sobre o eixo y e sim sobre o eixo x, ou seja, o raio é “algum x”, logo: Calculando o raio maior y = x2 ⇒ x2 = y ⇒ x = y ⇒ R= y Calculando o raio menor y = 2x ⇒ 2x = y ⇒ x = y 2 ⇒ r= y 2 Calculando a área da coroa circular A = π (R 2 − r 2 ) 2 2 y A =π y − 2 y2 A = π y − 4 ( ) Calculando o volume do sólido O sólido está variando no intervalo de 0 a 4 4 4 y2 1 2 V = ∫ π y − dy ⇒ V = π ∫ y − y dy ⇒ V = π 0 0 4 4 4 y2 V = ∫ π y − dy ⇒ V = π 0 4 y2 1 y3 4 ⋅ − ⋅ ⇒ V =π 2 4 3 0 1 1 1 1 V = π ⋅ ⋅ 4 2 − ⋅ 4 3 − ⋅ 0 2 − ⋅ 0 3 12 12 2 2 1 1 1 1 V = π ⋅ ⋅ 16 − ⋅ 64 − ⋅ 0 − ⋅ 0 12 12 2 2 V = π ⋅ [8 − 5,33 − (0 − 0)] V = 3,14 ⋅ [2,67] V = 8,38 223 1 ⋅ ∫ ydy − ∫ y 2 dy 4 1 1 4 ⋅ y 2 − y3 12 0 2 EXERCÍCIOS Questão 01 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a curva y = x de 0 a 1. 1,57 Questão 02 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x 3 , y = 8 e x = 0 ao redor do eixo y. 60,29 Questão 03 A região R limitada pelas curvas y = x e y = x 2 é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante. 0,42 Questão 04 Ache o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região entre y = x e y = x 2 . 0,52 Questão 05 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta y = 2 , da região entre y = x e y = x2 . 1,67 Questão 06 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta x = −1 entre y = x e y = x 2 . 1,57 Questão 07 Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida 2 entre o eixo y e a curva x = , 1 ≤ y ≤ 4 . y 9,42 Questão 08 Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta x = 3 , da região compreendida entre a parábola x = y 2 + 1 e a reta x = 3 . 18,9 Questão 09 A região compreendida entre a parábola y = x 2 e a reta y = 2 x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. 8,37 Questão 10 A região limitada pela curva y = x 2 + 1 e pela reta y = − x + 3 gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume desse sólido. 73,48 224 48 225 .52 Questão 09 8.9 Questão 04 0.57 Questão 02 60.42 Questão 08 18.37 Questão 05 1.42 Questão 03 0.29 Questão 07 9. Joaquim Rodrigues RESPOSTAS Questão 01 1.57 Questão 06 1.67 Questão 10 73.Prof. 1999 2.pt/prontuário/navegalores. http:/www. Guanabara dois S.1 – São Paulo. Setani. Goldstein. Lay.1 – São Paulo: Moderna. vol.000 3.html em 27/06/2008 9. Manoel Rodrigues.infarmed.humanitates. vol.. Matemática Aplicada: economia. Goldstein. Vitor. Cálculo com Geometria Analítica. José Ruy . Matemática – Contexto e Aplicações. vol. http:dominiotematico. Simmons. Luiz Roberto. Larry J.algebraefunçoes em 1/7/2008 12.dmm. Ática. Foulis – Rio de Janeiro – RJ. Ed. 1987 8. administração e contabilidade / Larry J. Schneider. Matemática – Uma nova abordagem.ufrj. Giovanni. 2. . 1978 5. Paiva. 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