CENTRO FEDERAL DEEDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DEMAT – Departamento de Engenharia de Materiais - Curso Técnico de Eletromecânica E EM MC CO OR RR RE EN NTTE EC CO ON NTTÍÍN NU UA A P PA AR RA AO OE ENNSSIINNO OT TÉÉCCNNIICCO O 1ª Edição Professor André Barros de Mello Oliveira Campus I – Belo Horizonte Ano de 2014 BIOGRAFIA DO AUTOR André Barros de Mello Oliveira nasceu em Belo Horizonte, Minas Gerais, em 17 de julho de 1969. Formou-se em Engenharia Industrial Elétrica pelo Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais (CEFET-MG) em dezembro de 1992. Obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), em dezembro de 1998, na área de Eletrônica de Potência. Atuou como professor em escolas de formação técnica em Belo Horizonte, como o SENAI, a Utramig, o SESI e o CEFET-MG, até 2001. De 2001 a 2006 foi professor nos cursos de Engenharia de Telecomunicações e de Engenharia Elétrica do Centro Universitário de Belo Horizonte (Uni-BH). Desde outubro de 2006 é professor efetivo do CEFET-MG, tendo atuado em Varginha (campus VIII, Departamento de Mecatrônica, de 2006 a 2014,) e em Belo Horizonte (campus I, Departamento de Engenharia de Materiais, DEMAT, desde agosto de 2014). Atualmente é professor no curso técnico de Eletromecânica. CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Elétricos em Corrente Contínua ii “Um país se constrói com Homens e Livros.” (Monteiro Lobato) “Há grandes homens que fazem com que todos se sintam pequenos. Mas o verdadeiro grande homem é aquele que faz com que todos se sintam grandes.” (Gilbert Keith Chesterton) CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Elétricos em Corrente Contínua iii transformações e teoremas. além da base desta obra.scifair. do Curso Técnico de Eletromecânica. que serão vistos no primeiro capítulo. pois as referências bibliográficas são. É importante que o aluno tenha como pontos de partida conceitos fundamentais da eletricidade. No texto são abordados circuitos elétricos em corrente contínua (CC) e métodos de resolução.gif CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Elétricos em Corrente Contínua iv . são imensamente bemvindas as críticas.org/+images/ECG. Fonte: http://www. Assim sendo. O bom aluno deve sempre ler e pesquisar os assuntos referentes a esta disciplina do curso nos excelentes livros editados em português. O texto conta com seis capítulos. André Barros de Mello Oliveira. muito enriquecedoras em aspectos teóricos e práticos.Apresentação Este texto tem por objetivo principal oferecer um material básico de referência para a disciplina Circuitos Elétricos I. numa sequencia que possibilita ao aluno consolidar os conceitos teóricos através da leitura dos tópicos. como o conhecimento do Sistema Internacional de Unidades (SI). setembro de 2014. Vale salientar que o presente texto não deve substituir a literatura técnica da área de Circuitos Elétricos e Eletrônica. que certamente contribuirão para a melhoria deste material didático. Pede-se a compreensão dos alunos e professores pelos eventuais erros. sugestões e correções. dos exemplos resolvidos e da resolução de problemas e exercícios. da notação científica e de grandezas elétricas básicas. Belo Horizonte. ..........................................................50 3...................................................................................................2 – A Carga Elétrica...........45 3.......................................................4.......... Resistência Elétrica.......................1 – Regra do Divisor de tensão ..............................................25 2..........20 Capítulo 2 – Fontes de Tensão e de Corrente...........1...........................................................1..................p....47 3..................Campo Eletrostático .....................................13 1......Algumas Definições Básicas ...........................16 1..........O Sistema Internacional de Unidades .......6 – Diferença de Potencial (d....2................................................................................Código de Cores.........1 – A Potência em Circuitos Paralelo .................................................................1 – Potência Total em um Circuito Série ....................................3 – Potências de 10 ..........3 – Leis de Kirchhoff .......................................................................................2 .................................. ..........................................2 – Prefixos Métricos .........................................................................................................16 1.....................31 2.........2......7 EP – Exercícios e Problemas – Série 1 ...... LKC ......6................................................5 – Transformações de Fontes ............................54 CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Elétricos em Corrente Contínua v ...............................6 – Transformações de Redes: triângulo () para estrela (Y) e vice-versa ...........................................................................2 – Fontes Dependentes .........3 ..............................................................................51 3........................................4 – Notação Científica.....................................................26 2..............4 – Circuitos Divisor de Tensão e de Corrente ......44 3................................................ Q ..........................................................................................22 2........50 3...................................... V ...........5 – Potência e Energia Elétricas em Circuitos Resistivos ....Lei de Ohm ...............................46 3...1 – Fontes Independentes ................Índice Capítulo 1 – Introdução ao Estudo de Circuitos Elétricos ..........) .........5 – Diagramas Elétricos e Símbolos Gráficos ..........................................................................................53 3..........2 – Divisor de corrente ...................................... Associação Paralelo de Resistores.........................................4.6...............................6......................................................................6.....................................................8 – Tensão Elétrica.....37 Capítulo 3 – Circuitos Elétricos em Corrente Contínua (CC) .....2....................3..............................4 1............................2.....4 .................1.................................3 1....2........................................6.....................................3 ..2 1..................................................................48 3..........12 1.......................................................................14 1..37 2............................4 – A Condutância Elétrica..........14 1..... G ...........3 – Associação de Fontes de Tensão e de Corrente .....................2........................36 2...........19 EP – Exercícios e Problemas – Série 2......................................15 1....12 1.................................................6...................................................................................................1 – Fontes de Tensão e de Corrente ...2 – Os Circuitos Série-Paralelo (Mistos) ..........10 1.....3..................................................... Associação Série de Resistores.....................7 – Corrente Elétrica ..........35 2..............................................1...43 3..........6............................ .........1 – O Circuito Série................1.1 1...................22 2.........................................................................................1 .................................1 .............2 – O Circuito Paralelo..................Lei das Cargas Elétricas ............................................................5 – Lei de Coulomb ..........................6 – Grandezas Elétricas ..........SI .6.....................A Segunda Lei de Ohm ..............................................................................1 – Leis de Kirchhoff de Tensão (LKT) e de Corrente (LKC) ..................d......2 – Lei de Kirchhoff das Correntes............................................................21 2..2............................41 3...2 – Resistência Elétrica ....................3 1............................................. ....................41 3............................47 3........................30 2................................................ .....................................7 – O armazenamento de energia num capacitor ...........................2 ......................1 – Método das correntes nas malhas .........................................................75 6..................................2 – Características das Bobinas .......................................................3 – Associação de Indutores ......98 6...79 6.............4 – Comportamento do capacitor frente a um transitório de tensão ...............Corrente transitória decrescente no circuito RL: descarga do indutor ........................1............................................Corrente transitória crescente no circuito RL: carga do indutor ...2 – Teoremas de Thévenin e de Norton .......................2..................................131 CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Elétricos em Corrente Contínua vi .......................1 – Associação em Série ..............................79 6......................................62 4........................Definições básicas ...............81 6.........101 6.................................................................................1 .........91 6..81 6..............8..................92 6.......................................67 5..................98 6......................62 4.......................................................1 – Introdução ................................................2..................................56 4...................................................................................................................64 4.....................5 .......................................................74 6......................6 ..............................................................................72 Capítulo 6 – Elementos Armazenadores de Energia e Estudo de Transitórios em CC ......................................................92 6................2.......8..........2...........2 – Associação de Capacitores................3 – Teorema da Máxima Transferência de Potência.......................................Circuito Ponte de Wheatstone........................................................................................................Transitório de Carga de um Capacitor .........6.....................................6 – Estudo de Transitórios em Circuitos RL Série .........................................1 – Introdução .........2 – Método das correntes nas malhas no formato matricial: Ax = B ..............8 – Indutância ...............................................82 6........................................64 Capítulo 5 – Teoremas Aplicados n Análise de Circuitos CC ....................................................................3 ...............Corrente de carga e descarga num capacitor ..........................................................102 Apêndice 1 – A Regra de Cramer.....................................................................................................Capítulo 4 – Métodos de Análise de Circuitos Elétricos .............1 – Indução Eletromagnética...4 – Teorema da Superposição........................2 – Associação em Paralelo ....................................8.Transitório de Descarga de um capacitor ...........................5 ......2...........................1 – Capacitor e capacitância....................................67 5.................1 .................3 – Análise Nodal ou Método das Tensões nos Nós .........67 5........94 6.......................................................70 5.......................56 4..................106 Referências Bibliográficas...............................................................3 – Regra de Cramer ...................................................7 – Armazenamento de energia em um indutor.........................................68 5.........................................90 6......................................................................93 6.......................63 4.............................................................................80 6............74 6...............2 – Análise através das Leis de Kirchhoff ............................................6......................................103 Apêndice 2 – Listas de Exercícios e Problemas............................... Diagramas Elétricos e Símbolos Gráficos. Fonte: http://www. Prefixos Métricos. Potências de 10. Notação Científica.html Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 1 .Capítulo 1 Introdução ao Estudo de Circuitos Elétricos O Sistema Internacional de Unidades – SI.com.webcalc.br/matematica/alfa_grego. Capítulo 1 – Introdução ao Estudo de Circuitos Elétricos Maiúsculas Minúsculas Português Inglês Grego Alfa Alpha Álpha Beta Beta Bêta Gama Gamma Gámma Delta Delta Délta Epsílon Epsilon Epsílon Zeta Zeta Zêta Eta Eta Eta Teta Theta Thêta Iota Iota Iôta Capa Kappa Kappa Lambda Lambda Lámbda Mi Mu My Ni Nu Ny Csi Xi Xi Ômicron Omicron O Mikrón Pi Pi Pi Rô Rho Rho Sigma Sigma Sígma Tau Tau Tau Ipsilon Upsilon Ypsilón Fi Phi Phi Qui Chi Khi Psi Psi Psi Ômega Omega O Méga O Alfabeto Grego. Grandezas Elétricas. é adotado pelas principais sociedades de engenharia e pela maioria dos engenheiros do mundo inteiro (NILSSON. que é deduzida a partir das unidades fundamentais segundo e ampère. Grandeza Unidade Fundamental Comprimento metro Massa quilograma Tempo segundo Corrente elétrica ampère Temperatura termodinâmica kelvin Intensidade luminosa candela Quantidade de matéria mole Símbolo m kg s A K cd mol Unidades suplementares do SI: ângulo plano e o ângulo sólido (Tabela. O Sistema Internacional de Unidades. Tabela 1.SI A engenharia moderna é uma profissão na qual equipes de engenheiros trabalham em projetos multidisciplinares. 1999). 1996): comprimento.1 . tempo. Grandeza Energia ou Trabalho Força Potência Carga elétrica Potencial elétrico Resistência elétrica Condutância elétrica Capacitância elétrica Indutância elétrica Freqüência Fluxo magnético Densidade de fluxo magnético Unidade joule newton watt coulomb volt ohm siemens farad henry hertz weber tesla Símbolo J N W C V S F H Hz Wb T Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 2 .1 .Unidades Suplementares do SI.3). As sete unidades básicas do SI são (GUSSOW.1. A maioria das unidades utilizadas em eletricidade é do tipo unidade derivada (veja a Tabela 1.2 .Unidades Fundamentais do Sistema Métrico Internacional. intensidade luminosa e quantidade de matéria (Tabela 1. temperatura termodinâmica. é essencial que todos utilizem o mesmo sistema de unidades.1). Grandeza Unidade Ângulo plano Radiano Ângulo sólido Estereorradiano Símbolo rad sr Outras unidades usuais podem ser deduzidas a partir das unidades fundamentais e das unidades suplementares.O Sistema Internacional de Unidades . Tabela 1.Unidades derivadas do SI. a unidade de carga é o coulomb. para que esses engenheiros se comuniquem com facilidade. ou sistema SI.3 .2). corrente elétrica. massa. Por exemplo. 1. Tabela 1. Prefixos Métricos Utilizados em Eletricidade. ou.000 000 000 001 1.012 A torna-se 12 miliampères (mA) e 0. Na seção anterior isto foi feito substituindo-se determinados valores por um prefixo métrico. A Tabela 1.2 – Prefixos Métricos No estudo da eletricidade. freqüentemente utilizamos valores de milésimos ou milionésimos de ampère.1. utilizando o prefixo métrico adequado.3 – Potências de 10 Como visto anteriormente. ficaria: I = 1 mA.001 A como 1 x 10-3 A. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 3 . Assim.4 relaciona os prefixos métricos usados mais freqüentemente em eletricidade com a sua equivalência numérica.001 Micro 0. No caso da corrente.4 .000 005 A torna-se 5 microampères (A). Assim. normalmente nos referimos a ele como um resistor de 10 kilohms (10 k). no caso da resistência. algumas unidades elétricas são pequenas demais ou grandes demais para serem expressas convenientemente. por exemplo. O prefixo kilo (designado pela letra k) mostrou-se uma forma conveniente de se representar mil. Prefixo Símbolo Valor Mega M 1 000 000 Kilo k 1 000 Mili m 0. freqüentemente é necessário ou conveniente converter uma unidade de medida em outra unidade que pode ser maior ou menor. em vez de se dizer que um resistor tem um valor de 10.000 001 Nano n 0. poderia-se escrever uma corrente I de 0. Por exemplo. Utilizamos então expressões como miliampères e microampères. freqüentemente utilizamos valores em milhões ou milhares de ohms (). Pode-se escrever por extenso. 0. 3 MV. uma tensão elétrica dada por 3 000 000 V como três milhões de volts. com o prefixo correspondente.000 000 001 Pico p 0. que.000 . Da mesma forma. O prefixo mili é uma forma abreviada de se escrever milésimos e micro é uma abreviação para milionésimos. Tabela 1. 000 1 = 10-4 10 a menos quatro Tabela 1.2 x 10+3 0. Ela é representada como o produto de um número entre 1 e 10 vezes uma potência de 10.Potências de 10.5 .1): Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 4 .000 001 = 10-6 10 a menos seis 0.000 = 106 10 a seis 1= 10 = 100 = 10 1. um número muito grande poderia ser escrito como um número multiplicado por uma potência de 10.5 mostra exemplos de números expressos em potências de 10. Tabela 1.000 = 105 10 a cinco 1.0022 = 2. Muitas vezes nos referimos às potências de 10 como a “notação do engenheiro”.1 = -1 10 a menos um 10 0 10 a zero 10 1 10 a um 10 2 10 a dois 1.000 = 104 10 a quatro 100.01 = 10-2 10 a menos dois 0. se o número é menor que 1.Potências de 10 (continuação).Uma outra forma seria a de converter o número numa potência de 10.4 – Notação Científica A notação científica é uma forma conveniente que é utilizada na solução de problemas em eletricidade.000.5 . Número Potência de 10 Leitura usual 0.000 01 = 10-5 10 a menos cinco 0.2 x 10-3 A Tabela 1. se o número é maior que um e com expoente negativo. com expoente positivo. como se indicado pela Relação (1. Ilustrando: 2200 = 2. Por exemplo.001 = 10-3 10 a menos três 0. 0.000 = 103 10 a três 10. até atingirmos um número entre 1 e 10. multiplica-se os coeficientes para se obter o novo coeficiente e soma-se os expoentes para se obter o novo expoente de 10. O expoente da potência de 10 será POSITIVO e igual ao número de casas deslocadas.0 = 3 x 103 Regra 2 Para se escrever números MENORES do que 1 na forma de notação científica. Logo.Expresse os números abaixo em notação científica.NOTAÇÃO CIENTÍFICA: a x 10nn (1.9 x 10-4 Regra 3 Para se multiplicar dois ou mais números expressos como potências de 10.5) x (106+ (-3)) = 6 x 103 Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 5 .5 x 10-3 = (4 x 1. desloca-se a vírgula para a direita tantos algarismos quanto os necessários.002 (desloca-se três casas para a direita) = 2 x 10-3 b) 0.8 x 105 b) 3.00049 = 4.3 .000 como 8.5 x 107 b) 4 x 106 x 1.5) x (104+3) = 2.000. Regra 1 Para se escrever números MAIORES do que 1 na forma de notação científica.1 .0 (desloca-se a vírgula cinco casas para a esquerda).000. Exemplo 1.1) onde a = no entre 1 e 10 e n = expoente da potência de 10.5 x 103 = (1 x 2. desloca-se a vírgula para a esquerda tantos algarismos quanto os necessários.000 = 880. Exemplo 1. até atingirmos um número entre 1 e 10.2 . escreve-se 880.Escreva os números abaixo em notação científica: a) 0. Exemplo 1. O expoente da potência de 10 será NEGATIVO e igual ao número de casas deslocadas. a) 880.000 = 3.Calcule os produtos abaixo: a) 1 x 104 x 2. 5 104 2. divide-se os coeficientes a fim de se obter o novo coeficiente e 1.Prefixos métricos mais comuns expressos em potência de 10. 25 102 subtrai-se os expoentes para se obter o novo expoente de 10. Prefixo métrico Potência de 10 tera (T) 1012 giga (G) 109 mega (M) 106 kilo (k) 103 hecto (h) 102 deca (da) 101 deci (d) 10-1 centi (c) 10-2 mili (m) 10-3 micro () 10-6 nano (n) 10-9 pico (p) 10-12 femto (f) 10-15 atto (a) 10-18 Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 6 .Regra 4 Para se dividir dois ou mais Exemplo 1. Como exemplos são mostrados na Tabela 1. usa-se 4 102 4 102( 6) 6 8 10 8 0.6 .Calcule as divisões: 2. b) Para efeito de simplificação.5 a) 104 2 2 2 10 2 números expressos como potências de 10.5 104 5 101 104 5 103 escrever uma resposta numérica utilizando um prefixo em vez de empregar a notação científica.6 alguns prefixos métricos mais utilizados no estudo da eletricidade.4 . Tabela 1. O mesmo circuito está representado de forma esquemática na Figura 1. Um diagrama esquemático mostra. 1996).1b.1c – Fonte: http://download. as ligações elétricas e as funções das diferentes partes de um circuito.jpg Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 7 .1 .1c. Figura 1.Um circuito simples com lâmpada.br/wallpaper/55148_Papel-de-ParedeCircuito-Eletrico_1024x768. (b) Diagrama esquemático. através de símbolos gráficos. (a) Diagrama descritivo. Figura 1.ultradownloads. Um circuito onde aparecem os diagramas esquemático (desenho no papel) e descritivo (componentes reais em 3D) é mostrado na Figura 1.5 – Diagramas Elétricos e Símbolos Gráficos A Figura 1.com.1.1a é uma representação descritiva de um circuito elétrico simples. e os circuitos são representados geralmente dessa forma (GUSSOW. O diagrama esquemático é uma forma abreviada de se desenhar um circuito elétrico. onde a chave liga-desliga permite alimentar a lâmpada através de uma bateria de tensão contínua. ). R2. RL etc. Figura 1. o resistor é indicado pela letra R.2a .Símbolos-padrão de circuitos. emprega se o subscrito para identificar cada componente (R1.Os símbolos gráficos padronizados para os componentes elétricos mais comuns são apresentados na Figura 1. Se em um circuito são utilizados mais de um resistor. Por exemplo.2. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 8 . onde as letras entre parêntesis indicam o tipo de componente. para comandar uma lâmpada (ou conjunto de lâmpadas) de dois pontos distintos. como ilustra a Figura 1.2b – Ligação do interruptor “THREE-WAY”(Paralelo): utilizado sempre em par.A Figura 1. Em caso de ligação em 220 V RMS. NEUTRO.peesa.br/~gilvan/INSTALAÇÕES%20ELÉTRICAS%20RESIDENCIAIS%20PARTE%202. ou GND. azul e o verde-amarelo.com. Figura 1. Como exemplo. que não aparece na Figura 1.ufc.2a.br/br/manual_instalação. Fonte: http://www. Figura 1.2c. Note os símbolos para os interruptores (S1 e S2) e a lâmpada (L). que pode ser acionada por dois interruptores paralelos (Three-Way). diz respeito aos símbolos e cores dos condutores utilizados em instalações elétricas prediais e residenciais. RETORNO e PROTEÇÃO (antigo condutor de TERRA. do inglês ground). Fonte: http://www. substituir o condutor de neutro pela fase 2.pdf Outra simbologia interessante. Uma máquina de lavar monofásica utiliza os cabos vemelho. pode-se acionar uma lâmpada em uma escada).2b mostra o esquema de ligação de uma lâmpada.dee.pdf Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 9 .2c – Simbologia e cores para os condutores FASE. o qual apresentará um maior grau de dificuldade e envolvimento por parte do (a) aluno(a). é preciso apresentar a solução da mesma por escrito.10T) .1E .2E – Escrever cada um dos valores que se seguem primeiro em notação científica e a seguir com o prefixo adequado.este tipo de questão indica um Exercício..00053 A para miliampères (mA) d) 2. 2001).1 mV 1..este tipo de questão indica um exercício teórico. Nota: para este tipo de questão não basta apenas marcar a resposta.EP – Exercícios e Problemas – Série 1 Seguindo a metodologia adotada em (CHAVES.5ME) .400 V para quilovolts (kV) b) 0. cada questão vem seguida de uma letra.015 d) 0. questão 1.Letra E (por ex.. cujo significado vem descrito a seguir: .000 f) 0.este tipo de questão indica um Problema. questão 1.7P) . questão 1.Letra P (por ex.Escrever os seguintes números em notação científica: a) 300.000. 1.001 c) 0. questão 1.400.1E) .este tipo de questão indica Múltipla Escolha para resposta.000 0001 F para microfarads (F) e) 680 k em M c) 4. que requer um raciocínio simples e a aplicação direta de uma fórmula ou equação.Letra T (por ex. .Letras M e E (por ex..000 em M Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 10 .000234 e) 789. .000 b) 0.000. .000 W em megawatts (MW) f) 5. a) 0. : 1 HP = 746 W 1. uma energia de 440 watts-hora (Wh). 1. 1999) . 5. pág.4E – Faça as seguintes conversões: a) 0.: 62. em série com a fonte CA.075 segundos para milissegundos b) 7252000 watts para kW e MW c) 946 watts para HP (horse-power) d) 200 ns para segundos OBS. (8.0 10 6 ) b) 790(0. em média.1 10 1 )(3.6P (NILSSON. Existem aproximadamente 142 milhões de carros de passeio nos Estados Unidos. Suponha que a bateria de um carro armazene.0014)(0.3E – Faça as operações indicadas. está ligado um fusível. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 11 . arredondando as respostas com precisão de três algarismos. Estime. em gigawatts-hora.1.2. Resp.01) 0.5E – Fazer os diagramas esquemáticos dos seguintes circuitos: a) Uma bateria de 12 V alimentando uma lâmpada (6 W) e um resistor de 24 ligados em série.Exercício 1.000006(500000) 1.31 10 0 )(5.48 GWh. b) Uma fonte de tensão CA de 127 V alimentando um transformador em cujo secundário estão conectados um diodo em série com um resistor.7 10 3 ) a) (2. No primário do transformador. a energia total armazenada nos carros americanos. e de uma região ao redor do núcleo. devido em grande parte ao cientista Niels Bohr.1. . ela é denominada de Elemento Químico. conforme está ilustrado pela Figura 1. - Átomo: como citado anteriormente. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 12 . Um exemplo comum é a molécula de água. considera que os átomos constituintes da matéria são formados de uma região central (o núcleo). A melhor maneira de entender a natureza da Eletricidade é examinar a menor partícula de todo elemento: o átomo.3– -Modelo Modelosimplificado simplificado do do átomo. designada como H2O. Então. chamada de eletrosfera em camadas ou níveis.3. onde estão concentrados os prótons e os nêutrons. A seguir. o átomo é a menor partícula de todo elemento. átomo Figura Este modelo é perfeitamente adequado para explicar a maioria dos fenômenos elétricos conhecidos. elétron Núcleo: prótons + nêutrons Figura1. Os prótons (+) possuem carga elétrica positiva.Algumas Definições Básicas A Eletricidade é um componente essencial da matéria. são listadas algumas definições simples para a introdução aos principais fenômenos elétricos. Carbono (C) etc. o modelo de átomo aceito.3 1. Hoje.Matéria: é tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no espaço.6. onde estão os elétrons.1. Por exemplo: Ferro (Fe). que se movimentam em grande velocidade. Os elétrons (-) possuem carga elétrica negativa.6 – Grandezas Elétricas 1. pode-se dizer que quando uma matéria é composta de átomos iguais. constituída de dois átomos de Hidrogênio e um de Oxigênio. Os nêutrons não possuem carga elétrica. .Molécula: é a menor porção da matéria que ainda mantém as propriedades do material original (composto). e = . O valor numérico da carga elétrica do próton ou do elétron corresponde à menor carga elétrica possível de se encontrar.Carga elétrica do nêutron = . pode-se escrever que: .6 x 10-19 C. o número de prótons é igual ao número de elétrons. Tal propriedade é denominada quantização da carga (CHAVES. em homenagem a um dos pioneiros no estudo quantitativo da eletricidade. . 1 C vale 1/e = 6. Sendo Q uma quantidade de carga qualquer e n um número inteiro. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 13 . Como visto no item anterior. de sempre aparecer em múltiplos inteiros da mesma unidade básica. o engenheiro e físico francês Charles de Coulomb (1736-1806). A carga de um coulomb negativo. todos os tipos de átomos têm carga elétrica total nula.6 x 10-19 C Então.I.) de unidades chamou de Coulomb (C) a unidade de carga elétrica.1. 2001). Isto constitui uma notável propriedade da carga elétrica.Carga elétrica do próton = + e = + 1. a carga elétrica não aparece nos nêutrons. ou seja. Q As partículas constituintes dos átomos possuem duas propriedades: massa e carga elétrica.2): Q n e (1.1 x 10-31 kg). A massa do próton é praticamente igual à massa do nêutron (cerca de 1.25 x 1018 mais elétrons do que prótons. significa que o corpo contém uma carga de 6.2 – A Carga Elétrica. O valor numérico da carga elementar vale: e = 1.6 x 10-19 C.7 x 10-27 kg) e a massa do elétron é cerca de 1840 vezes menor (9.25 x 1018 elétrons. chamado de carga elétrica elementar (e).6.Q.2) O Sistema Internacional (S. é possível escrever – Equação (1.1. A quantidade de carga elétrica de um corpo é a diferença entre o número de prótons e o número de elétrons do mesmo. . Assim. Em seu estado natural. O campo elétrico é representado por linhas de força desenhadas entre os dois corpos.5.3 .4. a qual está presente no campo eletrostático que envolve cada corpo carregado.Lei das Cargas Elétricas “Cargas iguais se repelem. como se pode ver nas Figuras 1. Se um elétron (carga de prova) for abandonado no ponto A. Se uma carga negativa (-) for colocada próxima a uma outra carga negativa (-). haverá uma força de atração atuando sobre elas. ele será repelido pela carga negativa e atraído pela carga positiva. A Figura 1. As linhas de campo elétrico indicam as possíveis trajetórias desta carga. localizada na região do campo elétrico entre os corpos positivo e negativo da figura.6. 1. (b) Linhas de campo elétrico criadas em um solenóide.5 ilustra a convenção do Eletromagnetismo sobre o sentido das linhas de campo elétrico: as linhas de força saem da carga positiva e entram na carga negativa.4 e 1. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 14 . cargas opostas se atraem” (GUSSOW.4 – (a) Campo eletrostático entre duas cargas de polaridades opostas. No caso de cargas de sinais opostos estiverem suficientemente próximas uma da outra.Campo Eletrostático A característica fundamental de uma carga elétrica é a sua capacidade de exercer uma força. (a) (b) Figura 1.1.6. 1996). o campo eletrostático se concentra na região compreendida entre eles.4 . Quando dois corpos de polaridade oposta são colocados próximos um do outro. as cargas se repelirão. na Figura 1. N.m 2 k = k0 = 9 x 10 . Q [C] . no ponto r1. desde que não haja umidade.scielo. no ponto r2 e em repouso em relação à primeira.Figura 1.br/img/revistas/rbef/v27n1/a03fig01.6. exerce sobre uma partícula com carga Q2. C2 9 No ar. de tal forma que: Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 15 .3) onde: F [N]. as linhas de força deixam uma carga positiva e vão de encontro às cargas negativas. uma força F. 2001): “Uma partícula com carga Q1. Fonte: http://www. O fator de redução é conhecido como constante dielétrica () por estar ligado sempre a meios isolantes. o valor de k é praticamente o mesmo do vácuo. dada em módulo por:” F k Q1 Q 2 d2 (1. sendo que no vácuo. k = constante eletrostática do meio. explica a Força de interação entre partículas eletrizadas e pode ser assim enunciada (CHAVES.5 – Lei de Coulomb A Lei de Coulomb.gif 1.5 – Segundo uma convenção do Eletromagnetismo. devida ao cientista francês Charles Augustin de Coulomb (17361806). mas em outros meios seu valor pode ser bem reduzido. d[m] = distância entre os pontos r1 e r2. 7 Papel 3. os elétrons devem se deslocar pelo efeito de uma diferença de potencial.d. A diferença de potencial é chamada de tensão. (Alguns usam inadequadamente a expressão voltagem).5 Porcelana 6. A capacidade de uma carga realizar trabalho é chamada de potencial. O símbolo usado para a diferença de potencial é V. Para se produzir a corrente.7 – Constante dielétrica () de alguns meios. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 16 .p.7 mostra as constantes dielétricas de alguns meios. Tabela 1. A soma das diferenças de potencial de todas as cargas do campo eletrostático é conhecida como força eletromotriz (fem).0 Água 78 1. 1 O Âmbar é um tipo de resina fóssil.6.7 – Corrente Elétrica O movimento ou fluxo de elétrons é chamado de corrente.6 – Diferença de Potencial (d. Meio isolante Constante dielétrica () ou fator de redução Vácuo 1.4) A Tabela 1. 1.00054 1 Âmbar 2. Quando uma carga for diferente da outra.k ko (1. que indica a capacidade de realizar trabalho ao se forçar os elétrons a se deslocarem.00000 Ar 1. A unidade fundamental da diferença de potencial é o volt (V).5 Vidro 4.6. haverá uma diferença de potencial entre ambas.) Em virtude da força do seu campo eletrostático. uma carga elétrica é capaz de realizar trabalho ao deslocar uma outra carga por atração ou repulsão. O sentido do movimento das cargas positivas. Para valores constantes de Q e de t. a definição da corrente pode ser expressa por meio da Equação (1. seguindo através do fio.6) A carga difere da corrente. num fio de cobre. Q = ? Utilizando Q = I. Um ampère de corrente é definido como o deslocamento de um Coulomb [C] através de um ponto qualquer de um condutor durante um intervalo de tempo de um segundo [s].Se uma corrente de 2 A passar através de um medidor durante 1 minuto . Q = carga. A.6) uma diferença de potencial. na outra extremidade. +Q. C e t = tempo. .5 V) faz com que os elétrons livres se desloquem. e voltando para a carga positiva. Escrevendo a Equação (1.Fluxo de Corrente Num condutor. a tensão aplicada (1. s. obtém-se: Q = It (1. numa das extremidades do fio. Exemplo 1. os elétrons livres são cargas que podem ser deslocadas com relativa facilidade ao ser aplicada uma diferença de potencial. -Q.6 indica o sentido da corrente em função do fluxo de elétrons (fluxo real). A seta contínua na Figura 1. como por exemplo. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 17 . pois Q representa um acúmulo de carga.A corrente é representada pela letra I.5 . Essa corrente consiste num movimento dos elétrons a partir do ponto de carga negativa. enquanto I mede a intensidade das cargas em movimento.t teremos: Q = (2A) x (60s) = 120 C. O sentido do movimento dos elétrons é de um ponto de potencial negativo para um ponto de potencial positivo. A unidade fundamental com que se mede a corrente é o ampère (A).5) de outra forma.5): I [ A] onde: Q C t s (1.5) I = corrente. quantos coulombs passam pelo medidor? DADOS: I = 2 A e t = 60 s. Se ligarmos às duas extremidades de um fio de cobre (Figura 1. Portanto. Portanto. Por exemplo.A diferença de potencial aplicada às duas extremidades de um fio condutor produz a corrente elétrica. adquirindo liberdade de se movimentar no interior do sólido. Em seguida vem o alumínio. Verificar os sentidos convencional e real da corrente. os elétrons das camadas mais externas não permanecem ligados aos respectivos átomos. Quando vários átomos se reúnem para formar certos sólidos. os corpos são constituídos por átomos e estes possuem partículas eletrizadas (prótons e elétrons).oposto ao fluxo de elétrons. Figura 1. os circuitos são geralmente analisados em termos da corrente convencional. dizemos que estas substâncias são condutores de eletricidade.6 . é considerado como o fluxo convencional da corrente e é indicado pela seta tracejada. isto é.Condutores e Isolantes O que é um condutor de eletricidade? Conforme estudado anteriormente.O que é um isolante? Ao contrário dos condutores. Em eletricidade básica. o vapor de mercúrio e o vapor de sódio são usados em vários tipos de lâmpadas. Certos gases também são usados como condutores sob certas condições. nos sólidos que possuem elétrons livres. é possível que a carga elétrica seja transportada através deles e. O cobre é o material mais comumente usado em condutores elétricos. como. os metais. . . o gás neon. não será possível o Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 18 . estas substâncias não possuem elétrons livres ( ou o número de elétrons livres é relativamente pequeno). existem sólidos nos quais os elétrons estão firmemente ligados aos respectivos átomos. por isto. Estes elétrons são denominados elétrons livres. por exemplo. Ao estabelecer um circuito como o da Figura 1.2 – Explique o significado de uma bateria de 12 V? O que a diferencia de outra bateria de 24 volts? Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 19 . uma força elétrica é exercida pelos pólos A e B da pilha. que são denominados isolantes elétricos ou dielétricos.7. 1. Conseqüentemente.6. fazendo com que as cargas no fio condutor se desloquem de A para B (sentido convencional da corrente). sendo percorrido por uma corrente de 5 mA. 1993). V Foi mencionado anteriormente que a capacidade de uma carga realizar trabalho é chamada de potencial. a madeira etc.deslocamento de carga elétrica através destes corpos.8 – Tensão Elétrica. o plástico. essa força elétrica realiza um trabalho sobre as cargas. Figura 1. transferindo a elas certa quantidade de energia (ARRUDA.7) EF – Exercícios de Fixação EF 1.1 . o vidro.Um dispositivo eletrônico é ligado em uma bateria de 9 V.7 – Circuito para ilustração da Tensão Elétrica. A porcelana. são exemplos típicos de substâncias isolantes. e a corrente do dispositivo sendo a mesma do item (a). Considerando-se uma carga elétrica q em Coulombs [C] que se desloca de A para B. EF 1. representada por VAB da seguinte forma: VAB [V] T [J] Q [C] (1. o papel. a borracha. e sendo T o trabalho realizado em Joules [J] sobre ela (energia transferida para a carga q). a) Calcule a energia elétrica consumida em uma hora de utilização. b) Repita o cálculo para duas baterias de 9 V em série. pode-se definir a tensão elétrica ou diferença de potencial (ddp) em Volts [V] entre A e B. ( ) 0. Calcule sua a capacidade em Coulomb (C) e a intensidade média da corrente de descarga.2E .5P . 2.A capacidade de um acumulador (bateria) é de 100 Ah. se a bateria perdeu toda a Q carga em 20 h. Determine a sua carga elétrica em C com a sua respectiva polaridade.EP – Exercícios e Problemas – Série 2 2. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica e.( ) 6.3P .( ) 0. Sabe-se que Q1 = 2 C e que Q2 = .6ME .(FGV-SP) Uma seção transversal de um condutor é atravessada por um fluxo contínuo de carga de 6 C por minuto. sendo dado: I med . Dado o gráfico abaixo.A intensidade de corrente elétrica em uma lâmpada é de 100 mA.( ) 60. de: a.( ) 1.3 C.1.Um isolante carregado tem um déficit de 50 x 1018 e. em ampères.(elétrons). o que equivale a uma corrente elétrica. Quantos elétrons passam por segundo pelo filamento da lâmpada? 2.4E . t 2.Sabe-se que a área do gráfico i x t a seguir representa numericamente a quantidade de carga Q que atravessa a seção reta de um condutor no intervalo de tempo considerado. calcule a quantidade de carga elétrica que passa por uma seção reta de um condutor de alumínio nos primeiros 15 ms.6. 20 . Calcular o módulo da força de atração entre estas cargas. c. d. b. 2. 2.1E – Duas partículas eletrizadas estão no vácuo a uma distância de 30 cm uma da outra. quando se varia o valor do resistor (R) conectado em série com um capacitor (C). Resistência Elétrica. Leis de Ohm. Na Figura 2. Resistência Elétrica. pode-se verificar em um osciloscópio o efeito na forma de onda da tensão de saída de um circuito RC. como o resistor. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 21 .1 – Diagrama para o modelamento e solução de um circuito elétrico. o capacitor e o indutor. Associação de Fontes. Serão apresentados as metodologias de solução de circuitos e o comportamento destes frente à variação de parâmetros. Introdução Neste primeiro capítulo são apresentados os primeiros conceitos sobre circuitos elétricos em corrente contínua e os seus principais componentes. Figura 2.1 mostra-se um diagrama de blocos que ilustra a transformação de um dispositivo em um modelo que pode ser estudado como um circuito elétrico. Um circuito elétrico é um conjunto de componentes eletrônicos (passivos e ativos) organizados de maneira a modificar uma entrada elétrica até que se obtenha uma saída elétrica desejada. Energia Elétrica. Potência Elétrica. após o seu modelamento matemático. Por exemplo.Capítulo 2 Fontes de Tensão e de Corrente Resistência Elétrica Fontes de Tensão e de Corrente. Capítulo 2 – Fontes de Tensão e de Corrente. onde R representa a resistência interna da fonte.1. Uma fonte de tensão é uma fonte de alimentação própria para: laboratórios científicos (física.).2a) que mantém uma tensão específica nos mesmos independentemente da corrente através dele (IRWIN. laboratórios de empresas e de pesquisa (teste e manutenção). Uma situação ideal seria a de R tender para zero. na faixa de 0 a 12 VCC. redes de computadores etc. provocados acidentalmente ou pelo manuseio de pessoas inexperientes. 2000). (a) (b) Figura 2.2. Uma fonte de tensão independente constitui um componente de dois terminais (Figura 2. (b) Fonte de tensão real.2. (a) Fonte de tensão ideal (esquema).1 – Fontes Independentes Antes de falar de fontes de tensão e de corrente. Além disso. este tipo de fonte pode conter proteção contra eventuais curtos-circuitos. Fontes independentes são aquelas que estabelecem uma tensão ou corrente em um circuito independentemente dos valores de tensão ou corrente em outro(s) ponto(s) do circuito (NILSSON. Uma fonte de tensão real é representada na Figura 2. Ela fornece. química. equipamentos hospitalares. telecomunicações. sob corrente de intensidade até 5 A (dependendo da potência especificada). experimentações em salas de aula.3. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 22 . 1999). a fim de que toda a tensão da fonte fosse entregue à carga conectada aos terminais A e B. por exemplo.1 – Fontes de Tensão e de Corrente 2. biologia etc. A curva característica deste tipo de fonte é mostrada na Figura 2. é preciso apresentar o conceito de fontes independentes.2b. tensões fixas e contínuas. 8 V. Fonte: http://www.I (2.com.png Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 23 . o que reduz. para R = 0: VRL = V . o seu rendimento). É óbvio que uma fonte de tensão CC apresenta muito mais componentes do que a fonte da Figura 2. uma bateria de 12 V pode apresentar uma tensão em seus terminais de 11.R.Figura 2. já que todas possuem uma resistência (ou impedância) interna R. A Figura 2. com o acréscimo de componentes como transformador (T1).4 é apresentada uma fonte CC simples.5 mostra uma fonte de tensão industrializada.2b. logicamente.br/files/image/figura_2_fonte_alimentacao. Na Figura 2. transistor (Q1). capacitor (C1) etc.sabereletronica. à qual se atribui as perdas (a tensão de saída não é a que é gerada – por exemplo.I = V volts. teríamos em RL.3 . Figura 2.4 – Uma fonte CC com a ligação dos componentes. As fontes de tensão que são utilizadas hoje em dia se aproximam deste modelo.1) = V – 0. Matematicamente.Símbolos e curva característica de uma fonte de tensão independente. representada na Figura 2.6 – (a) Fonte de corrente ideal. possui uma resistência interna R conectada aos seus terminais A e B.5 – Fonte de tensão. constitui um componente de dois terminais que mantém uma corrente específica independentemente da tensão sobre seus terminais (a corrente de saída é fixa em um valor determinado pelo usuário desta fonte). (a) Aspecto frontal. a fim de que toda a corrente da fonte pudesse fluir para a carga resistiva conectada aos terminais A e B. (b) Placa com componentes. (a) (b) (c) Figura 2. Fonte: http://www. muito utilizado em equipamentos eletrônicos e elétricos. (b) Curva característica I x V. de modo similar às fontes de tensão.6b. onde seria interessante alimentar uma carga com corrente constante? Pode-se exemplificar com o caso de um motor de corrente contínua (motor CC ou motor DC). A sua curva característica é apresentada na Figura 2. R deveria tender para infinito (o ramo com o resistor estaria aberto).jpg A fonte de corrente independente (veja a Figura 2. A fonte de corrente real. Idealmente.6a). Este motor drena uma corrente que Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 24 .br/kit%20fonte%20alimentacao. Mas.(a) (b) Figura 2.brastron.6c.com. (c) Fonte de corrente real. (b) de uma fonte ideal independente de corrente. A série de circuitos integrados (CIs) 78XX.depende da forma como ele está carregado. caso contrário haverá uma certa instabilidade na regulação. rotações por minuto). Fontes de tensão reguladas em uma placa de computador constituem um exemplo. mesmo com a variação do consumo de carga. Para o CI µA7805 (5V @ 1. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 25 .8.7 – Símbolos (a) de uma fonte ideal independente de tensão. Da mesma forma. também depende da corrente que a carga solicita. (d) de uma fonte dependente de corrente controlada por tensão – FCCT. onde os dois últimos dígitos indicam a tensão de saída. da sua carga. As Figuras 2.7b mostram os símbolos de ambas as fontes independentes citadas anteriormente. 2. A sua velocidade de giro (rpm. (e) de uma fonte dependente de tensão controlada por corrente – FTCC e (f) de uma fonte dependente de corrente controlada por corrente – FCCC. Uma forma de compensar estes problemas é utilizar algum tipo de circuito que mantenha constante a corrente num motor independente das suas condições de funcionamento.7 (c até f). há situações em que é necessário alimentar uma carga com uma tensão constante. mostrado na Figura 2. com tensão de saída de 5 V. precisa-se de pelo menos 7 V nos terminais de entrada. Para uma velocidade constante.9 vê-se um esquema de um regulador 78XX montado em uma placa de circuito impresso. Na Figura 2. trabalham com uma tensão de entrada que deve estar dentro de uma certa faixa.2 – Fontes Dependentes As fontes dependentes são aquelas que estabelecem uma tensão ou corrente em um circuito cujo valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito.7a e 2.1. ou seja. Um bom exemplo de fonte de tensão dependente é uma fonte de tensão regulada.5 A). para se obter uma tensão regulada fixa de 5 V em sua saída. (c) de uma fonte dependente de tensão controlada por tensão – FTCT. Isso significa que a tensão sobre ele pode variar e nas condições de maior carga esta pode cair a valores tão baixos que o motor paralisa o seu funcionamento. ou seja. Estas fontes são também conhecidas como Fontes Dependentes ou Fontes Controladas. deveria ser empregada uma fonte de corrente constante para o motor CC. Os símbolos para representar fontes dependentes aparecem na Figura 2. Figura 2. Figura 2.com/imagens/fonte78xx. No caso. brinquedos etc. lanternas.jpg A Figura 2.10 mostra o esquema de uma fonte de tensão estabilizada.1.9 – Um regulador 78XX montado em uma placa de circuito impresso. Fonte: http://i137. Um exemplo clássico é o uso de múltiplas pilhas para alimentar aparelhos eletrodomésticos.50webs.3 – Associação de Fontes de Tensão e de Corrente A associação em série de fontes de tensão nos permite aumentar a diferença de potencial disponibilizada para efeitos de alimentação de um determinado circuito.jpg Figura 2. Fonte: http://tonieletronica. 2. com destaque para o transformador de entrada (1) e para o dissipador de calor (2) do transistor.photobucket.com/albums/q227/lafaller/7805comoreguladorvarivel. com o CI 7805.8a – Circuito Integrado 78XX. obtém-se uma tensão de saída regulada de 5 V. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 26 . gif Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 27 . teríamos: Vtotal = 1. Note-se que o valor final é a soma de todas as pilhas individuais.electronics-lab.5 – 1.5 + 1. Fonte: http://www. para uma fonte de alimentação de 6 V.11.5 + 1. no circuito da Figura 2. se todas estiverem conectadas no mesmo sentido (positivo de um dispositivo ligado ao negativo do seguinte). se um dispositivo estiver conectado invertido (por exemplo.11 – Associando 4 pilhas em série para a obtenção de uma fonte de 6 V.gif É comum a associação em série de quatro pilhas de 1.5 = 3 V.Figura 2.5 + 1. como se vê na Figura 2.feiradeciencias. Fonte: http://www.5 = 6 V.br/sala12/image12/12_T09_04.com.5 + 1. Caso contrário. a última pilha).10 – Montagem de uma fonte de tensão estabilizada. Figura 2.5 V (corretamente associadas). onde se consegue: Vtotal = 1.11.com/projects/power/003/psu_th.5 + 1. 13. p. o que torna a fonte de corrente mais acentuadamente não ideal. (a) Associação das correntes em paralelo: soma das correntes parciais. havendo diferenças entre as forças eletromotrizes. 165). um indesejável consumo de energia. O cálculo do resistor equivalente para associações e série e em paralelo será visto mais adiante. Fonte: Assim. Figura 2. A corrente equivalente dos terminais de uma associação em paralelo é dada pela soma das correntes parciais (Figura 2. onde se levam em conta as polaridades respectivas.2) Por que não se usa conectar pilhas em paralelo? O problema reside no fato de que. mesmo quando a parte do circuito externo estiver desligada.ufrgs.13a e 2.pdf i = i1 + i2 (2. obtém-se: www. 2001..b).Uma associação de dois geradores em paralelo (Figura 2.if. Figura 2.br/~lang/Associa_pilhas_paralelo. o valor da resistência interna é dada pelo resistor equivalente paralelo das resistências internas parciais. “Geradores associados em paralelo podem criar correntes internas entre os geradores componentes. e.12 – Circuito equivalente: associação em paralelo de duas fontes de tensão. Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 28 .. pelo menos um deles funciona como receptor.13c.12) é utilizada para se obter uma intensidade da corrente elétrica (i) que seja maior do que a intensidade da corrente elétrica em um único gerador. conseqüentemente. A associação em paralelo de fontes de corrente segue um conjunto de regras semelhantes às estabelecidas para a associação em série de fontes de tensão. provoca-se a circulação de correntes internas à associação. ainda que pequenas. No caso das fontes de corrente reais. consumindo energia” (Gaspar. Figura 2.5 A. para cima. com correntes opostas e i s1 > is2. com suas palavras.(b) Associação das correntes em paralelo: neste caso.13 – Alguns exemplos de associação de fontes de corrente. (c) Associação em paralelo de fontes de corrente reais. Qual será a fonte de corrente equivalente? Circuitos Elétricos – Curso Técnico de Mecatrônica 29 . EP – Exercícios e Problemas . 3) Montar um circuito com a associação em paralelo de duas fontes de corrente de 5 A e destas em série com uma fonte de 2. já carregada.Série 1 1) O que diferencia uma fonte de tensão ideal de uma fonte de tensão real? 2) Explique. Cada fonte possui uma resistência interna de 100 k e o sentido da corrente é vertical. Como se ligam os cabos? Faça um esquema. como é feita a carga de bateria de um carro. quando se usa para isso a bateria de outro carro. usada nas Américas e no Japão. como num chuveiro elétrico.asp Pode-se afirmar que um resistor possui duas funções básicas: opera como limitador de corrente elétrica e como dissipador de energia (efeito joule).com.14): 1) "retângulo" com terminais. a resistência elétrica representa a dificuldade que os portadores de carga (elétrons livres) encontram para se movimentarem através de um condutor.asp A Figura 2. Quanto maior a mobilidade dos portadores de carga.br/sala15/15_03.feiradeciencias.14 – Simbologias mais usuais para o resistor elétrico. Fonte: http://www.br/sala15/15_03.2. Figura 2. menor a resistência elétrica do condutor.com. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 30 .feiradeciencias. ou seja. Figura 2. que é uma representação simbólica para os resistores de valores fixos tanto na Europa como no Reino Unido e 2) representação em "linha quebrada" (zig-zag).2 – Resistência Elétrica A resistência elétrica (R) é uma medida da oposição ao movimento dos portadores de carga. Fonte: http://www.15 – Aspecto construtivo de um resistor de filme de carbono (valor fixo).15 mostra o aspecto construtivos de um resistor de filme de carbono (carvão). A simbologia para o resistor segue duas tendências (Figura 2. 17 vê-se o código de cores para resistores de 4 faixas. ½ W e ¼ W. O último anel identifica o valor da tolerância (erro de fabricante com relação ao valor nominal). onde no 1º resistor. os resistores são componentes passivos de dois terminais. um componente bidirecional em corrente e tensão.16 – Tipos de resistores (10 W. vê-se 22R 5 % 10W.net/artigos/lpad. . Como interpretar esta seqüência? Basta seguir o roteiro: .5 W) são de tamanho reduzido. 5 W. e não possuem polaridade. 1 W. 2ª faixa: verde (5). têm valores expressos nominalmente em seu corpo (Figura 2. Figura 2.16).a terceira faixa indica o número de zeros: cor preta = nenhum.1 . Fonte: http://autosom.14 e 2.Os dois primeiros dígitos são escritos: 25. utilizando seus terminais. convencionou-se usar um código de cores em anéis para identificação do seu valor nominal.Código de Cores Como os resistores de baixa potência (0.5% e suporta 10 Watts. Resistores de fio (P > 5 Watts). 0. 5 W. respectivamente de cima para baixo).2.25 W. Na Figura 2. podendo ser conectados de qualquer forma em um circuito.htm 2. portanto. 3ª faixa: preto (0) e 4ª faixa: ouro (5% de tolerância). O resistor é especificado em ohms () e com valores de potência de trabalho (em Watts). o que significa que o mesmo é de 22 +/. É. O resistor indicado apresenta as faixas na seqüência: 1ª faixa: vermelho (2).17 – Código de cores para resistores de 4 (quatro) faixas. Figura 2. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 31 .Como mostrado nas Figuras 2.15. apresenta 5 faixas coloridas.18 mostra os códigos de cores para 4.gif De posse da tabela da Figura 2. Sendo assim. A leitura nestes resistores é semelhante à dos resistores com 4 cores. Fonte: http://blog. O quarto é o elemento multiplicador. utilizados em equipamentos de medidas como multímetros analógicos e digitais. fazendo existir mais um algarismo significativo na medição. Existem ferramentas de computação aplicadas à Eletrônica. Esta é a última faixa de cor. Figura 2. pode haver uma confusão a respeito de onde é o lado certo para iniciar a leitura.net/resistores. mas é adicionada mais uma cor no início. como simuladores de circuitos. Fonte: http://www.teletronica. Este último valor é dado em PPM (partes por milhão).htm.18. Assim.eti. ou seja. osciloscópios.18 – Tabela completa com os códigos de cores para resistores de 4. ou seja o seu valor nominal varia entre 23. 5 e 6 faixas. estas últimas identificando resistores de precisão.Assim. equipamentos biomédicos etc.ebrandi. Como a última faixa destes resistores normalmente é marrom ou vermelha.19 apresenta uma tela de saída de um programa onde o usuário coloca como dados de entrada as cores das faixas do resistor (de quatro faixas) e o programa retorna o seu valor nominal. A Figura 2. o melhor fazer é observar a faixa que está mais próxima do extremo do resistor. como a resistência varia de acordo com a temperatura ambiente. o resistor é de 25 5 %. por onde se deve iniciar a leitura. A Figura 2. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 32 .75 e 26.kit. já que a primeira faixa que representa o valor do resistor também pode ser marrom ou vermelha. Esta será a primeira faixa. a exemplo do resistor de 4 listras coloridas.br/wp-content/uploads/2008/08/resistorcolorcode. 5 e 6 faixas.25 ohms. O quinto dígito é a tolerância e o sexto dígito (quando existir) fará referência ao coeficiente de temperatura. o que confere maior precisão na leitura. como ler um resistor de 5 ou 6 faixas? Quando o resistor é de precisão. os três primeiros dígitos são os algarismos significativos. Outra dica é verificar a faixa que está mais afastada das outras. cálculos de componentes etc. possuem números impressos no corpo.Figura 2.teletronica. obedecendo à mesma idéia de contagem.com. os componentes internos também acompanham esta diminuição do tamanho. As redes de resistores (vários resistores dentro de um mesmo encapsulamento) também obedecem a esta metodologia. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 33 .asp LR .net/resistores. Nota: SMD significa Surface-mounted devices. Hoje. dentro desta filosofia. dispositivo montado sobre (ou rente) a superfície. porém com números ao invés de cores (veja a ilustração abaixo). são encontrados facilmente resistores SMD nos aparelhos eletrônicos. naturalmente. menores são os equipamentos e.Leitura Recomendada: Resistores SMD .kit.eletrohoo.19 – Calculadora online para o cálculo de resistores.htm À medida que o tempo passa.br/site/calculadoras. Estes resistores são soldados na superfície da placa e.Fonte: http://www. ou seja. Fonte: http://www. por serem muito pequenos. d) azul. vermelho e ouro. c) verde. cinza. prevendo-se o valor de corrente que o atravessa. preto. Tabela 2. b) marrom. amarelo. não indicados aqui. Valores x 10 x 100 x 1000 10 100 1k 1M 12 120 1k2 1M2 15 150 1k5 1M5 18 180 1k8 1M8 22 220 2k2 2M2 27 270 2k7 2M7 33 330 3k3 3M3 39 390 3k9 3M9 47 470 4k7 4M7 56 560 5k6 5M6 68 680 6k8 6M8 82 820 8k2 8M2 base Para cada finalidade. laranja e prata. para sua correta aplicação em um circuito.Valores comerciais de resistores.1 mostra os valores comerciais para resistores. deve-se adotar um resistor de tamanho e potência adequados. azul. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 34 . EF – Exercício de Fixação EF 2. A Tabela 2. vermelho. marrom e ouro.1 . Nota: existem multiplicadores maiores.1 – Encontre o valor nominal e a tolerância para os resistores com as seguintes faixas: a) vermelho. Fonte: http://www.21 – Circuito base utilizado por Georg Simon Ohm. um físico e matemático alemão (1789-1854) pesquisou a relação entre a tensão e a corrente em um simples circuito elétrico. Georg Simon Ohm.com. de cuja análise surgiu a Lei de Ohm.21. como o da Figura 2. por volta de 1800. Para minimizar os efeitos da dissipação de calor pelo resistor.br/sala15/15_03.Lei de Ohm Por volta de 1800.org/es/applets/ohmslaw_files/Image-ohm2.2 . pode-se fazer uso de um dissipador de calor. Fonte: http://nzip. um resistor.feiradeciencias. Figura 2. contendo uma fonte CC.rsnz.asp 2. um voltímetro e um amperímetro.20. com relação à potência. Figura 2.O tamanho físico de um resistor está diretamente ligado à potência que o mesmo pode dissipar.jpg Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 35 .2.20 – Resistores de tamanhos diferentes. como mostrado na Figura 2. O cientista Georg Simon Ohm descobriu que, num circuito em que a resistência não variava com a temperatura, quando ocorria um aumento na tensão aplicada, a corrente variava em uma proporção direta, isto é: a relação entre a tensão e a corrente era constante. Em um condutor ôhmico ocorre uma variação linear entre V (tensão) e I (corrente elétrica), conforme mostra o gráfico da Figura 2.22. Ohm definiu uma constante de proporcionalidade k de tal forma que, pela Equação (2.3): V = k.I (2.3) A constante de proporcionalidade, que representa a inclinação do gráfico da Figura 1.20, é conhecida como resistência, e a Equação (1.3) – Lei de Ohm – é reescrita como: Figura 2.22 – Curva característica tensão x corrente (relação linear). A inclinação k é a resistência R do circuito. R V I (2.4) 2.2.3 - A Segunda Lei de Ohm Para condutores em forma de fios (Figura 2.23) verifica-se, experimentalmente, que a resistência elétrica do condutor depende do comprimento do fio ( , em metros [m]), da área de sua seção transversal (A ou S, em m2) e do tipo de material que constitui o condutor (parâmetro resistividade, identificado pela letra grega rô, ). Este último parâmetro depende somente da temperatura do material do condutor. A Figura 2.23 mostra graficamente os parâmetros que afetam a resistência elétrica de um condutor (BOYLESTAD, 2002). Figura 2.23 – Um fragmento de um condutor e seus principais parâmetros (BOYLESTAD, 2002). A resistência elétrica de um condutor como o da Figura 2.23 é dada pela relação: R S m m 2 m Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (2.5) 36 Considerando a influência da temperatura, há uma equação muito usual que nos permite encontrar a resistência de um condutor em diferentes temperaturas, dada por: R R20 1 20 . t 20o C onde 20 é o coeficiente de temperatura da resistência a 200 C e R20 é a resistência na temperatura de 200 C. Como uma ilustração, calculemos a resistência de um fio de cobre de 1 k, em 200 C, na temperatura de 600 C, tendo como referência os valores de a 200 C dados na Tabela 2.2 (BOYLESTAD, 2002). Tabela 2.2. Solução: R R20 1 20 . t 20o C R60 R20 1 20 . 60 20 1000 1 0, 00393. 60 20 1157, 2 . Percebe-se que o cobre apresenta um coeficiente (característica de temperatura dos positivo condutores de eletricidade). 2.2.4 – A Condutância Elétrica, G Assim como é possível definir a condutividade como sendo o inverso da resistividade, também se define uma grandeza chamada condutância elétrica (G), como sendo o inverso da resistência elétrica (R). Assim, G = 1/R. A unidade de condutância elétrica é denominada siemens (S). Dessa forma tem-se que 1 S = 1/ = -1. 2.2.5 – Potência e Energia Elétricas em Circuitos Resistivos Uma razão importante para o cálculo de potência e energia num projeto de um sistema elétrico é o fato de que todos os dispositivos reais apresentam limitações quanto à quantidade de potência que são capazes de dissipar e, portanto, somente os cálculos de Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 37 tensão e corrente não são suficientes para garantir as suas corretas especificações (NILSSON, 1999). Potência é a taxa de trabalho realizado ou o trabalho realizado por unidade de tempo. Para a potência elétrica, a sua unidade no Sistema Internacional é o Watt [W] ou o Joule [J] por segundo [s]. Matematicamente, a potência é dada por: p= w dw [W]. Com w e t 0, p = t dt (2.6) onde o operador dw/dt é chamado de derivada do trabalho em relação ao tempo, através do qual se consegue encontrar a potência instantânea de uma função w(t), já que a derivada é uma reta tangente a um ponto. Isto será tratado mais adiante a outras grandezas elétricas. Recordando as unidades de corrente e tensão vistas anteriormente, V joules coulomb J C e I coulombs C segundos s e fazendo o produto da tensão pela corrente (V x I), resulta na potência elétrica, P, dada por: P VI coulombs joules x = [J/s] coulomb segundos (2.7) Trabalhando a Equação (2.7), pode-se, através da Lei de Ohm, obter: P = R .I 2 P V2 R (2.8) (2.9) A Energia elétrica consumida ou produzida é o produto da potência elétrica de entrada ou saída e o tempo durante o qual essa entrada ou saída ocorre (O´MALLEY, 1993): W( joules ) P (watts) x t (segundos ) Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (2.10) 38 Se P é negativo. é mais conveniente usar uma unidade maior de energia elétrica. calcule o custo da energia consumida neste período. Geralmente. - Se P < 0. Se o custo médio da energia é de R$ 0.11) 2. dado por P = .VI.24 ou então a corrente sai pelo terminal positivo). Se as referências de tensão e corrente não são associadas (a seta de corrente indica o terminal negativo no bloco da Figura 2.15 / kWh (valor fictício). o que constitui um caso de referências associadas entre tensão e corrente (o termo convenção passiva de sinal também é utilizado). . Exemplo: a corrente entrando em um resistor. ex.24 – Modelo onde as referências entre V e I são associadas (P > 0).5. a potência está sendo fornecida ao circuito ou componente. como p.2 . portanto.Um estudante usou uma lâmpada de 100 W durante 6 h de estudo.2. energia é watt-segundo. o sinal algébrico da potência elétrica é interpretado da seguinte forma: - Se P > 0. 1993). conforme mostra a Figura 2. quando a seta de corrente está em direção ao terminal positivo da referência de tensão.24. a Figura 2. Resumindo.1 – Convenção de Sinais para a Potência Uma fonte de energia produz ou desenvolve energia. o componente ou o circuito no interior do bloco produz potência. é adotado o kilowatt-hora. Então o bloco constitui uma fonte de energia elétrica (O´MALLEY. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 39 . uma fonte de tensão DC. a potência está sendo recebida do circuito ou componente. e uma carga absorve energia.Em unidades elétricas. potência tem sinal negativo. Exercícios de Fixação EF 2. sendo: kilowatt hora kWh watts hora 1000 (2. A potência absorvida por um componente ou circuito elétrico é dada por um sinal positivo (P > 0). 3 . mas em uma rede de 220 V? EF 2. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 40 .4 .Um eletrodoméstico de 127 V que possui uma resistência de 18 ohms operou por uma hora e meia.Calcule a corrente em mA que um aquecedor de 55 W solicita de uma linha de tensão CA de 110 V.EF 2. a) Qual foi a energia elétrica utilizada? b) Qual seria a energia elétrica deste mesmo eletrodoméstico operando no mesmo tempo. 1 – O Circuito Série. Associação em série de Resistores. Associação Série de Resistores.1 – Associação série de resistores. Circuitos divisor de tensão e de corrente. (a) Diagrama esquemático. isto é: I I R1 I R 2 .. (a) (b) Figura 3.1 apresenta as seguintes propriedades: 1. quando ligados um após o outro.. Um circuito série possui como característica principal o fato de permitir somente um percurso para a passagem de corrente elétrica. ou seja: E VR1 VR 2 . A somatória das tensões dos resistores é igual à tensão da fonte. Associação em paralelo de resistores. Potência em um circuito série. temos: Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 41 . O circuito Paparelo. Dois ou mais resistores formam uma associação denominada de circuito série. I Rn 2. Capítulo 3 – Circuitos Elétricos em Corrente Contínua (CC) 3. Quando alimentado pela fonte de tensão contínua E. como mostra a Figura 3.. o circuito série da Figura 3. VRn Aplicando-se a Lei de Ohm em cada resistor. O circuito misto. (b) Diagrama descritivo. a corrente em todos os resistores é a mesma e igual àquela fornecida pela fonte..Capítulo 3 Circuitos Elétricos em Corrente Contínua (CC) O Circuito Série.1. Potência em circuitos paralelo. tem-se: R eq R 1 R 2 R 3 4700 1000 3000 R 3 R 3 4700 4000 700 Exemplo 3.2 – Um potenciômetro é um resistor variável muito utilizado em circuitos eletrônicos como divisor de tensão. R n (3. I Logo.2 . Se o primeiro resistor é de 1 k e o segundo vale o triplo do primeiro.E I R 1 I R 2 .. Figura 3..3) Exemplo 3.Aspecto de um Potenciômetro. I R n (3. se altera o valor da resistência entre os seus terminais (CAPUANO.2) onde: E R eq é a resistência equivalente da associação série apresentada.1 – Um circuito série de três resistores possui resistência total RT (Req) de 4k7 ohms.. o controle analógico de volume em um aparelho de som). encontre o valor do terceiro resistor. controle de sinal (por exemplo.. Solução: Aplicando a Equação (3. onde. obtém-se: E R 1 R 2 ... consiste basicamente de uma película de carbono. 1998).1) a esta associação. para uma associação em série de n resistores. ou em um fio que percorrido por um cursor móvel.1) Dividindo todos os membros da Equação (1. pode-se escrever: R eq R 1 R 2 . R n I (3. Conforme mostra a Figura 1.6) por I.25. através de um sistema rotativo ou deslizante. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 42 . a potência total PT produzida pela fonte num circuito série também pode ser expressa como a soma das potências individuais usadas em cada parte do circuito.Um resistor de 2 k e um potenciômetro de 220 k ajustado em 10 k estão conectados em série – Figura 3. Pela Lei de Ohm. 2 mA = 24 V. conforme mostra a Equação (3. Pn Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (3.(V1 V2 .4): PT I VT (3.1 – Potência Total em um Circuito Série Foi verificado que a Lei de Ohm pode ser usada para a determinação de valores totais num circuito série.3.3 – Uso do potenciômetro.3. De forma análoga.6) 43 . I = corrente [A] e VT = tensão total [V] (tensão aplicada aos resistores).002 A. 3. onde R = 2 k + 10 k (pelo ajuste do potenciômetro – terminal C .1. necessária para fornecer a esta associação uma corrente de 0.. Figura 3.. tomando como base o circuito genérico da Figura 3.e pela conexão utilizada). Solução: Seja o esquema do circuito: Figura 3. V = 12 k . Calcule a tensão da fonte. a fórmula para a potência elétrica pode ser aplicada para valores totais..5) (3.4) onde: PT = potência total [W]. V = RI. Vn ) PT P1 P2 .1. Então. Assim.. PT I VT I. bem como para partes separadas do circuito. ou seja: I T I1 I 2 I 3 (3. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 44 .. bem como a fonte de tensão V.10) Logo. IT. Um percurso fechado é denominado de malha. R2 e R3 formam ramos no circuito.3. Um componente no circuito tratado isoladamente forma um ramo. Os resistores R1. R T R1 R 2 Rn (3. vêem-se três resistores ligados em paralelo entre si e com a bateria V. a corrente total da fonte.10) encontra-se a resistência total ou equivalente de um circuito com n resistores ligados em paralelo. a fonte V e o resistor R1 formam um percurso fechado (malha 1). Neste circuito. pode-se escrever: V V V V R T R1 R 2 R 3 (3.4.7) Aplicando a Lei de Ohm à Equação (3.. Figura 3. é a soma das correntes nos ramos 1. 2 e 3. Por exemplo.8) Simplificando a Equação (3.4. pela Equação (3. obtém-se facilmente: 1 1 1 1 R T R1 R 2 R 3 (3.7) e sendo RT a resistência total ou equivalente do circuito da Figura 3. O fator 1 / RT é a condutância do circuito. Aí. Um circuito paralelo é aquele onde dois ou mais componentes estão ligados à mesma fonte de tensão.8).9) A Equação (3. conforme se vê na Figura 3.9) pode ser generalizada para n resistores conectados em paralelo: 1 1 1 1 . Associação Paralelo de Resistores.2 – O Circuito Paralelo.4 – Um circuito paralelo com três malhas. Figura 3. Figura 3.EF – Exercícios de Fixação EF 3. sabendo-se que RAD = 10 k quando a chave S está fechada e que RAD = 14. a potência total é igual à soma dos valores individuais das potências de cada ramo.I1 (3.2 – No esquema da Figura 3.2.7 k quando a chave S está aberta. As potências dissipadas no circuito da Figura 3..6 são: P1 = V.7 k. Logo.: R1 = 10 k e R2 = 14.5. tem-se uma chave S em paralelo com o resistor R2. Resp.6 . EF 3.11) P2 = V.1 – Obtenha a resistência equivalente de dois resistores iguais a R conectados em paralelo. 3.6 – Um circuito paralelo de n ramos.13) A potência total PT fornecida pela fonte de tensão V é dada por Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 45 .5. Determinar os valores de R1 e de R2 .1 – A Potência em Circuitos Paralelo A potência dissipada em cada ramo em um circuito paralelo de n ramos – Figura 3.12) Pn = V.In (3.I2 (3.se origina da mesma fonte de tensão. a soma dos valores individuais da potência dissipada no circuito é igual à potência total gerada pela fonte de alimentação.3 – Encontre para o circuito da Figura 3. na Equação (3. Exemplo 3. fornece: PT = V.7 – Um circuito Série-Paralelo. Um exemplo de circuito é mostrado na Figura 3....IT = V.. Para se obter os valores da corrente.PT = V. + Pn (3. se todos os resistores são iguais a 1k . da tensão e da resistência neste tipo de circuito.14) onde IT = I1 + I2 + ...14). segue-se as regras que se aplicam a um circuito série para a parte em série do circuito e segue-se as regras que se aplicam a um circuito paralelo para a parte em paralelo do circuito.IT (3. Solução: Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 46 . + In .15) Em ambas as associações. + In)= P1 + P2 + . A solução de circuitos mistos fica simples se todos os grupos paralelo e série forem reduzidos primeiro a resistências equivalentes únicas e se os circuitos forem redesenhados na sua forma simplificada ou equivalente (GUSSOW. em série e em paralelo.2. Figura 3. se a bateria Vi = 12 V. 1996). 3. que.2 – Os Circuitos Série-Paralelo (Mistos) Um circuito misto é formado por associações de circuitos série e paralelo.(I1 + I2 + .7: a) a resistência equivalente do circuito.7. b) a corrente que circula no resistor R1 . 3.6 k. R 2 R 345 1 k 1k5 b) a corrente que circula por R1 é a corrente total do circuito. A resistência equivalente agora é R1 em série com a combinação em paralelo de R2 e R345.a) Primeiro.1 – Leis de Kirchhoff de Tensão (LKT) e de Corrente (LKC) As leis de Kirchhoff. LKT A Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT). 1994). 1996): “a tensão aplicada a um circuito fechado é igual à soma das quedas de tensão naquele circuito”.1 – Lei de Kirchhoff das Tensões. soma-se R45 com R3 . isto é: Tensão aplicada = soma das quedas de tensão ou. devidas ao físico alemão Gustav Robert Kirchhoff constituem a base do estudo de circuitos elétricos.1. R eq R 1 R 2 R 345 1 k 1k5 1k 1.R5)/( R4+R5) = 500 ohms. R eq 1k 6 3.5 mA.5 k. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 47 .soma das quedas de tensão = 0. de outra maneira: Tensão aplicada .3 – Leis de Kirchhoff 3. encontra-se a resistência R45 = (R4. 3. dada por Ii IT Vi 12 7. e obtém-se R345 = 1. (GUSSOW. ou Lei das Malhas.3. pode ser escrita como (BARTKOWIAK. Em seguida. onde V é a tensão aplicada e V1.17) EF – Exercícios de Fixação EF 3. a LKT fica: V 0.8. 24.Escrita matematicamente. fornece: V 0 VA V1 V2 V3 0 (3.8 – Pág. R1 = 10 ohms e R2 = 50 ohms. pode-se escrever. LKC Pela Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) “a soma das correntes que entram em um nó deve ser igual à soma das correntes que saem deste mesmo nó”. Figura 3. onde temos três resistores conectados em série.8 – Ilustração da fórmula V 0. sendo dados: VA = 120 V.9 . Use as leis de Kirchhoff para determinar o valor de io no circuito da Figura 3. por exemplo.3.2 – Lei de Kirchhoff das Correntes.9.16) 3. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 48 . O enunciado da LKC é: I 0 (3. Para o circuito da Figura 3.8. de acordo com a LKT: VA V1 V2 V3 Figura 3. V2 e V3 são as quedas de tensão ao longo do circuito fechado. A equação V 0 aplicada ao circuito da Figura 3.3 – (NILSSON. 1999) – Exemplo 2. 5 – Um circuito é formado por cinco resistências idênticas ligadas em paralelo (R=10 k) através de uma fonte de tensão de 12 V. Figura 3.5.11. R2 = 1k e I3 = 2 mA. pede-se: a) o resistor equivalente. b) a potência dissipada em R e no receptor de rádio. b) a corrente que passa em cada resistência. EF 3.12.10 e calcule a mesma. EF 3.4 – Escrever a equação para a corrente I1 para o circuito da Figura 3. RT.6 – Um receptor de rádio que funciona em 9V (Figura 3. Calcule: a) a corrente total fornecida pela fonte. consumindo 120 mA. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 49 .EF 3. b) a corrente total.7 – Para a rede de resistores da Figura 3.10.11) está conectado a uma fonte de 12 V através de uma resistência R. sendo dados: VR2 = 10 V. EF 3. IT. Calcule: a) O valor de VR. Figura 3. Figura 3. sendo dados: R1 = R2 = R3 = R4 = 1 k. utilizando a LKT. . Para se encontrar a tensão Vx .18) A corrente do circuito é dada por I = E/Req ou I = VT/RT. 1996).13. .1 – Regra do Divisor de tensão Seja o circuito da Figura 3..19): VX RX VT RT (3. cada resistência produz uma queda de tensão V igual à sua parte proporcional da tensão aplicada (GUSSOW. no qual se quer calcular a queda de tensão.13) = tensão da fonte aplicada à associação série de resistores.19) onde: Vx = tensão no resistor Rx .3.13 – Circuito série genérico. aplica-se Vx = Rx . Para se obter o valor da tensão no resistor Rx. R n I (3.4 – Circuitos Divisor de Tensão e de Corrente 3. que mostra um circuito série genérico com n resistores.I. V.4. A equação de malha do circuito é dada por: E R 1I R 2 I R x I . VT ( = E volts para o circuito da Figura 3. qual seria o procedimento? Figura 3. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 50 . A Regra do Divisor de Tensão pode então ser enunciada da seguinte forma: num circuito série. RT = Req = resistência total ou equivalente da associação série. resultando na Equação (3. sendo: I1 V R1 e I2 V .2 – Divisor de corrente O caso especial de dois resistores em paralelo nos leva à regra do divisor de corrente.14 – Divisor de corrente. R2 Figura 3.22) são enunciadas matematicamente pela regra do Divisor de Corrente. descrita da seguinte forma: Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 51 . a corrente total que entra na combinação do paralelo de R1 e R2 se divide respectivamente nas correntes I1 e I2.21) (3. encontra-se: I1 I T I2 IT R1 R 2 1 R1 R 2 R1 R1 R 2 1 R1 R 2 R 2 I1 I T I2 IT R2 R1 R 2 R1 R1 R 2 (3.3.20) Se a expressão de V for substituída nas expressões de I1 e I2.4. Na Figura 3.22) As Equações (3.IT. onde RT é a resistência equivalente de R1 e R2 em paralelo. tem-se: V R T IT IT R1 R 2 R1 R 2 (3.21) e (3. Sabendo-se que a tensão V é igual a RT.14. Usando a regra do divisor de corrente. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 52 .15. em A. encontre a razão I1 / I2 .10 – Determinar a variação de tensão entre os pontos C e Figura 3.Regra do Divisor de Corrente: Para dois resistores em paralelo. pede-se calcular: a) As quedas de tensão VL1 e VL2. EF – Exercícios de Fixação EF 3.9 – Um circuito com dois resistores em paralelo apresenta R2 = 3 R1 .15. Figura 3. b) O consumo de potência de cada lâmpada em W. A do circuito da Figura 3. EF 3.16.8 – Para o circuito da Figura 3. c) A corrente indicada pelo amperímetro. a corrente em cada resistor é a corrente total multiplicada pela razão entre o resistor oposto e a soma dos dois resistores. EF 3. através do método do divisor de tensão. utilizando o método do divisor de tensão.16. teríamos uma corrente de carga dada por: IL V R RL (3. i. reduzindo-as a um circuito de uma só malha. IL I.17 – Dualidade entre fontes de tensão (a) e de corrente (b). pela regra do divisor de corrente. agora.3.24) Para que os circuitos de fonte de tensão e de fonte de corrente sejam equivalentes. A Figura 3.e.. I = V / R. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 53 .5 – Transformações de Fontes Muitas vezes é possível utilizar transformações de fonte para obter o circuito equivalente de Thévenin ou de Norton2. o mesmo resistor RL conectado aos nós A e B do circuito da Figura 3.R R RL (3. IL deverá ser a mesma para ambos. A técnica de transformação de fontes é mais recomendada para circuitos fontes que contenham independentes. Tais teoremas permitem a simplificação de redes complexas. Daí.17b (Fonte de Corrente). Supondo uma carga RL conectada aos nós A e B do circuito da Figura 3. que serão estudados posteriormente.17a. teríamos. o que quase sempre Figura 3. A demonstração desta dualidade é bastante simples.17 mostra a reciprocidade ou a dualidade entre uma fonte de tensão e uma fonte de corrente. impede a redução do circuito. presença de fontes apenas já que a dependentes significa que deve-se preservar a identidade das tensões e/ou correntes de controle. I.23) Supondo.R V . R RL R RL 2 Os circuitos citados vem dos Teoremas de mesmo nome. que recebem a mesma tensão. para simplificar a solução. para que se mantenha a dualidade entre ambas as fontes.19 – (a) Rede em T ou em Y (estrela).18b. Rp não tem efeito sobre a carga conectada em A e B. Rp pode ser desprezado no esquema da Figura 3.18a. uma vez que os circuitos à esquerda são equivalentes no que diz respeito a estes terminais. De maneira similar ao que ocorre com a fonte de tensão da Figura 3.18a. b) Resistência Rs em série com uma fonte de corrente. 3. pois este não tem efeito sobre a corrente da carga. Casos Especiais a) Resistência Rp em paralelo com uma fonte de tensão . Logo.19b é chamada de rede em (pi) ou em (delta).19a é denominada de rede em T ou rede em Y em virtude de sua forma. IL. inverte-se também o sentido da corrente I. A rede da Figura 3.Figura 3. Figura 3. pode-se desprezar o resistor Rs no circuito da Figura 3. Ao se analisar as redes é muito útil converter o tipo Y em e vice-versa.6 – Transformações de Redes: triângulo () para estrela (Y) e vice-versa A rede da Figura 3.18a. Figura 3.18.Nota: a polaridade de V sendo invertida. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 54 . CONVERSÕES – tomar como fase a conexão da Figura 3. cada resistor da conexão em estrela é obtido pela divisão entre o produto dos resistores do triângulo adjacentes a ele e a soma de todos os resistores do triângulo.20.20. a) Conversão Delta em Y: Resistores obtidos (em estrela): Figura 3. b) Conversão Y em Delta (): R1 ( R a R b R b R c R c R a ) / R c R 2 ( Ra R b R b R c R cRa ) / Ra R 3 ( Ra R b R b R c R cRa ) / R b Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (3.19 – (b) Rede em pi ou em delta (triângulo). Ra R1.26) 55 .R2 R1 R2 R3 Rc R2 .25) Resumindo.R3 R1 R2 R3 Rb R1.R3 R1 R2 R3 (3.Figura 3. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 56 . Parâmetros concentrados e parâmetros distribuídos. O presente capítulo se inicia com a discussão sobre linearidade. 1988). Então. Em seguida são descritos os principais métodos de análise de circuitos. A teoria de circuitos trata dos efeitos de interligação de componentes cujas características já são conhecidas e não com as razões ou causas que motivam os comportamentos dos componentes individuais (CLOSE.. temas estes importantes para efetuar estudos na área de circuitos elétricos. ferramentas utilizadas para a simplificação de redes e cálculo dos principais parâmetros dos mesmos. Qualquer caminho entre dois nós é chamado de ramo. 4.1. em sua maior parte. O esquema a seguir é uma representação simbólica de um sistema (um conjunto de componentes interligados). fornecendo modelos matemáticos para o comportamento interno dos elementos dispositivos de circuitos. Um nó é um ponto de junção de dois ou mais elementos de circuitos. O nó principal é aquele que conecta pelo menos três elementos de circuitos e possui uma equação nodal considerável (BARTKOWIAK.Capítulo 4 Métodos de Análise de Circuitos Elétricos Modelagem de sistemas. como é o caso de vários sistemas eletrônicos e elétricos de potência.1 – Conceitos Importantes A Engenharia Elétrica. Esta última explica o comportamento de transistores. indutores e outros dispositivos e faz a análise da propagação de energia no espaço. modelagem de sistemas. que é sujeito de uma entrada (estímulo ou excitação) e que produz uma saída (resposta). O nó secundário conecta apenas dois elementos e é um nó trivial. possui como base de estudo duas matérias: a teoria dos circuitos e a teoria do campo (também denominada teoria eletromagnética). Um circuito genérico possui nós e ramos. parâmetros concentrados e distribuídos etc. pode-se afirmar que um circuito é complexo se há duas ou mais fontes de energia em ramos diferentes do circuito. baseados nas definições acima.1 – Introdução As técnicas de análise de circuitos CC são de grande valia quando se quer calcular parâmetros de circuitos que possuem mais de uma fonte de energia. Capítulo 4 – Métodos de Análise de Circuitos Elétricos 4. 1994). Análise através das Leis de Kirchhoff (método das correntes nas malhas e método da análise nodal). de tensão elétrica. ex. radiação etc.Figura 4.. receptores e aparelhos de vídeo. câmeras.). força mecânica. a entrada x(t) e a saída y(t) serão ambas funções do tempo t. sistemas telefônicos etc. as usinas hidroelétricas. Figura 4. Internet. de abril de 1996. sistemas de piloto automático na aviação etc. transmissores. sistemas de radar. temperatura. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 57 . São Paulo). calculadoras etc. (3) sistemas de controle (controle de temperatura. p. controle da mistura ar-combustível nos cilindros de automóvel. podendo ser sinais. Editora Saber Eletrônica.2.). (4) sistemas de transmissão (que englobam a geração. (2) sistemas de computação (redes de computadores.). termelétricas etc. A Figura 4.). transmissão e distribuição de energia elétrica. onde os sinais de alta freqüência (na faixa de Gigahertz) são convertidos em sinais de transmissão que chegam aos aparelhos de TV (Fonte: Revista Eletrônica Total.2 ilustra um sistema básico de TV via Satélite.1. ondas sonoras. Em geral. por exemplo (um sinal constitui uma forma qualquer de grandeza). Exemplos de alguns tipos de sistemas elétricos: (1) sistemas de comunicação (equipamentos de televisão. número 75. . O desenvolvimento de métodos analíticos envolve várias considerações. entretanto. Um sistema existente pode ser observado experimentalmente e é possível tirar conclusões dos dados obtidos. de maneira que os cálculos não se tornem desnecessariamente difíceis. Aplicando-se se técnicas matemáticas conhecidas.yi (t) (2) se duas entradas forem aplicadas simultaneamente (tanto no tempo ou em diferentes pontos do sistema). . O teste mais severo da validade deste procedimento é a verificação de se os resultados analíticos concordam consistentemente com as observações experimentais. Um sistema dado pode então ser representado por um modelo (ou sistema idealizado). se são conhecidos a própria constituição do sistema e os seus dados de entrada. 1988) – A análise de um dado sistema consiste em se determinar a sua saída. que é baseado na descrição matemática dos componentes e de sua interligação.Linearidade – um sistema é dito linear se ele obedece às seguintes regras: (1) quando a entrada é aumentada por um fator multiplicativo k. 1999). podem fornecer uma valiosa compreensão da operação do sistema e através deles podem-se encontrar meios de eliminar deficiências. aparelhos de tomografia computadorizada etc. a tarefa em um problema de síntese é projetar um sistema dadas a entrada e a saída desejadas. 1988). Se não houver uma concordância suficientemente íntima. existirem métodos analíticos disponíveis para examinar as relações de entrada-saída de sistemas propostos. isto é: Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 58 . Linearidade e Circuitos (CLOSE. uma descrição matemática deve ser formulada para os componentes individuais. Primeiro.Ao contrário.) (CLOSE. Tais métodos podem ser utilizados para prever as possibilidades de sucesso. É importante. ex.(5) sistemas de processamento de sinais (p.xi (t) Saída = k. poderão então ser determinadas as relações de entrada-saída do sistema. Tal descrição deve aproximar o comportamento observado do componente físico em consideração. ou seja: Entrada = k. 1988) (NISSON. a saída é também multiplicada por k. Em segundo lugar dever ser encontrada uma descrição matemática do efeito da interligação dos diferentes componentes através da postulação de leis de interligação. sistemas de processamento de imagens que recebem os dados de satélites meteorológicos e os convertem em imagens exibidas na TV. Análise. a resposta total será a soma das respostas individuais a cada uma das entradas separadamente. então deverá ser revista a descrição matemática dos componentes ou de sua interligação (CLOSE. mas deve também ser o mais simples possível. a não-linearidade tem um efeito tão pequeno que pode ser desprezada.1 1) Um diferenciador é um dispositivo caracterizado pela relação y = dx/dt.y1(t) + k2. Exemplo 4. Logo. dt dt dt o que concorda com o princípio geral visto anteriormente. a resposta a x(t) = k1.2 Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 59 .x1(t) + k2. se y1 (t) e y2 (t) denotarem as respostas a duas entradas independentes x1 (t) e x2 (t). quase todos os sistemas são algo não-lineares.x2(t) para y(t) = k1. Será tal dispositivo linear? Solução: Sejam y1(t) e y2(t) as respostas às entradas x1(t) e x2(t).y2(t) (princípio geral) Na prática. em muitos casos. o sistema em questão (diferenciador) é linear. mas. respectivamente. dt A resposta à entrada k1x1 (t) + k2x2 (t) é: d k 1 x 1 (t) k 2 x 2 (t) k 1 dx 1 (t) k 2 dx 2 (t) k 1 y1 (t) k 2 y 2 (t) . e somente se. de tal maneira que y1 ( t ) dx 1 ( t ) dt e y 2 ( t ) dx 2 ( t ) . Exemplo 4.Entrada = xi (t) + yj (t) Saída = yi (t) + yj (t) Em resumo. então um sistema será linear se. k2x2 (t) + [k2x2 (t)]2 = = y1 (t) + 2. Um circuito é considerado concentrado quando suas dimensões físicas permitem supor que os sinais de interesse se propagam instantaneamente. independentemente das coordenadas de posição (KIENITZ. as propriedades de um circuito podem alterar-se se a temperatura em torno dele se alterar significativamente. um sistema concentrado tem um número finito de pontos nos quais podem ser feitas medidas diferentes de saída.Determine se o sistema caracterizado por y = x2 é linear.Sistemas invariantes no tempo e concentrados – os circuitos estudados neste texto não serão somente lineares. k1x1 (t). Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 60 . se para o maior caminho no circuito. Como a massa de um foguete diminui à medida que seu combustível vai sendo gasto. Nesse caso. Para c (velocidade de propagação. Serão. Solução: A resposta às entradas k1x1 (t) + k2x2 (t) é y(t) = [k1x1 (t) + k2x2 (t)]2 = [k1x1 (t)]2 + 2. Este sistema é não-linear. Ou ainda. Um sistema é dito invariante no tempo (ou fixo) se sua relação entrada-saída independe do tempo. onde d é a distância percorrida f onde = c/f. (CLOSE. d << = 5 x 107 m. Se a entrada de um sistema invariante no tempo for retardada de t o segundos. do ponto de vista de modelagem. k1x1 (t). tensões v(t) e correntes i(t) estão definidas por todo o circuito univocamente para todo t. a seguinte condição for verdadeira: d c . Em resumo.k2x2 (t) + y2 (t). além disso. Exemplos: (1) Para um circuito de eletrônica que trabalha com um sinal com f = 60 Hz. mas sua forma e amplitude não serão afetados. . 1988). Sistemas concentrados e distribuídos É importante conhecer a distinção entre sistemas concentrados e distribuídos. 2002). já que a 2ª. Já um sistema variante no tempo é um sistema cujas características são alteradas com o tempo. temos isto como válido. invariantes no tempo e concentrados. parcela (em negrito) não permite satisfazer o princípio geral de linearidade. o comprimento de onda do sinal propagado. as saíra será retardada do mesmo tempo. esta grandeza é um componente variante no tempo. 3 x 108 m/s) e f (maior freqüência de interesse) definidos. igual à velocidade da luz. assim como para a sua análise e projeto (ver mais informações na homepage http://www. Figura 4. Neste capítulo serão estudados circuitos elétricos de CC (corrente contínua) resistivos. a freqüência mais alta é da ordem de 25 kHz. Resumindo. as variáveis de corrente e tensão dependem não apenas do tempo.br/~flavia/aulas01e02-ce1.Fonte: http://www.(2) para um circuito de áudio. (Linha de Transmissão). e.ene. onde d é maior do que o comprimento de onda. paralela e mista. em circuitos distribuídos. que é muito maior que o tamanho de um circuito em laboratório. Professora: Flavia Maria Guerra de Sousa). podemos representá-lo por um modelo de parâmetros concentrados. nas configurações série.pdf das disciplinas Análise Dinâmica Linear e Circuitos Elétricos I.T.3 . mas também de variáveis espaciais como comprimento e espessura. tal sistema possui um número infinito de pontos nos quais podem ser f feitas medidas diferentes de saída.unb. Um exemplo é mostrado a seguir.ene. e o correspondente é = (3 x 108)/ (25 x 103) = 12 km. da Universidade de Brasília – UnB. Serão apresentados os conceitos de Divisor de Tensão e de Corrente.pdf. Neste caso.unb.br/~flavia/aulas01e02-ce1. de Fontes de Tensão e de Corrente independentes e dependentes. um sistema de parâmetros distribuídos é aquele onde não vale c a relação d . Observe que o sinal possui diferentes níveis de amplitude ao longo do percurso da rede CA (Corrente Alternada) até a carga ou sistema alimentado. surge uma questão: “quão pequeno deve ser um sistema para ser considerado um sistema de parâmetros concentrados”? Uma regra adotada é a regra dos 10 por cento: se as dimensões do sistema são menores do que 10 por cento do comprimento de onda. métodos de conversão de redes (estrela para triângulo e vice-versa). precisamos utilizar a teoria eletromagnética para realizar previsões a respeito do comportamento de circuitos distribuídos. De maneira oposta. onde um sinal senoidal de tensão elétrica é propagado numa L. por último. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 61 . De posse dos conceitos sobre parâmetros concentrados e distribuídos. 1996). para cada malha é designada a sua corrente. de acordo com o sentido adotado para a corrente.2 – Análise através das Leis de Kirchhoff 4.4. sendo utilizado. . Aplicando-se a LKT ao longo dos percursos de cada malha. Percorrendo a malha 1 no sentido abcda e aplicando a equação geral V 0 tem- se: + VA – I1R1 – I1R2 + I2R2 = 0 + VA – I1. Ao se resolver um circuito utilizando as correntes nas malhas. Na Figura 4.I2R2 = VA (4. encontra-se as equações que determinarão as correntes de malha desconhecidas. por conveniência. O fluxo convencional de corrente num resistor produz uma polaridade positiva onde a corrente entra.1) Para a malha 2. Pelo fato de haver duas correntes diferentes que fluem em sentidos opostos num mesmo resistor.(R1 + R2) . é preciso escolher previamente os percursos que formarão as mesmas. percorrendo cada malha no sentido da corrente da malha. Em seguida.2o passo: aplicar a LKT ao longo de cada malha. .4 – Um circuito com duas malhas. percorrendo a mesma no sentido adefa: Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 62 .1 – Método das correntes nas malhas Uma malha é qualquer percurso fechado de um circuito (GUSSOW. O procedimento para se determinar as correntes I1 (malha 1) e I2 (malha 2) é: Figura 4.2.4 tem-se um circuito com duas malhas. o sentido horário.(R1 + R2) + I2R2 = 0 I1.1. aparecem dois conjuntos de polaridades para o mesmo (no caso da Figura 4. indicando a polaridade de tensão para cada resistor.1º passo: escolher as malhas e mostrar as correntes respectivas no sentido horário. no resistor R2). .2) A X B R1 R2 R2 I1 VA V R2 R3 I 2 B R2 (4. calcular todas as quedas de tensão através dos resistores utilizando a Lei de Ohm.2.1) e (4.R2 VA (4. R1 R2 I 2 . no caso I1 e I2 e a matriz B é constituída pelas elevações de tensão nas malhas (no caso.1) I1. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 63 .R2 I 2 . .2) podem ser colocadas no formato Ax = B.5o passo: verificar a solução das correntes das malhas percorrendo a malha abcdefa (malha mais externa que engloba as malhas 1 e 2): VA – I1R1 – I2R3 – VB = 0 (4.(R2 + R3) = VB (4.–I2R2 + I1R2 – I2R3 – VB = 0 I1R2 – I2.2).4) onde a matriz A é formada pelos elementos do circuito.3o passo: calcular as correntes I1 e I2 através das Equações (4. onde teremos: I1. R2 e R3 .2) . R1. R2 R3 VB (4.1) e (4.4o passo: com as correntes conhecidas.2 – Método das correntes nas malhas no formato matricial: Ax = B As Equações (4. a matriz X (vetor coluna) é constituída pelas incógnitas do sistema.3) 4. malhas 1 e 2). teremos para I1. A. encontra-se a variável In da seguinte forma: In Dn D (4.2.5) onde D é o determinante formado pelos coeficientes das incógnitas (termos da matriz A) e Dn representa o determinante da n-ésima incógnita. associando-se a cada nó do circuito.3 – Regra de Cramer Seja o sistema: 10 I1 – 2 I2 – 4 I3 = 32 -2 I1 + 12 I2 – 9 I3 = . para a forma matricial Ax = B apresentada acima. Uma tensão de nó é a tensão de um dado nó com relação a um determinado nó chamado de nó de referência (na maioria dos casos é adotado como nó de referência o ponto que representa o ponto de terra ou de zero volt do circuito). Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 64 . G e N são nós. uma letra ou um número. o qual é formado substituindo-se a n-ésima coluna da matriz de D (determinante do denominador) pelos termos da matriz B.3 – Análise Nodal ou Método das Tensões nos Nós Um outro método para se resolver um circuito com correntes de malhas utiliza as quedas de tensão para a determinação das correntes num dado nó. onde N e G são nós principais ou junções. I2 e I3 ? Pela Regra de Cramer.4. Na Figura 4. Os passos necessários para a determinação das equações são: 1.5. por exemplo: 4. B.43 -4 I1 – 9 I2 + 15 I3 = 13 Forma Matricial 10 2 4 I1 32 2 12 9 I 43 2 4 9 15 I 3 13 Como calcular as incógnitas I1. escreve-se as equações dos nós. através da LKC (Lei de Kirchhoff das Correntes). Assim. B. I2 e I3 em (4. VBG é a tensão entre os nós B e G e VNG é a tensão entre os nós N e G. as correntes I1 .6).7) 65 . N e G).2) e resolver as equações para resolver VN . pode-se identificar simplesmente estas tensões como VA . aplicar a LKC para o nó principal (N. Como o nó G é um nó de referencia comum. no caso da Figura 4.Assim. identificar a polaridade da tensão em cada resistor de acordo com o sentido considerado para a corrente. Figura 4.5 – Os nós num circuito com duas malhas. I 0 I 1 I2 I3 (4. VAG é a tensão entre os nós A e G. 2. adotar o sentido das correntes como mostrado e indicar os nós (A. 4. VB e VG . encontra-se I 0 I 3 I1 I 2 VN VA VN VB VN R2 R1 R3 Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (4. 3.6) Pela Lei de Ohm. I2 e I3 são facilmente encontradas por: I1 VA VN R1 I2 VB VN R3 I3 VN R2 Substituindo-se I1. ES . ES 4.6. 1999) . Sugestão: utilizar a transformação Y-.Exercícios em Sala ES 4.7. ES 4.1 – Escreva as equações de correntes do circuito da Figura 4.2 – Utilize o método das tensões de nó para determinar a potência dissipada pelo resistor de 10 ohms da Figura 4. Figura 4. b) Qual é a tensão no resistor de 50 ohms? Figura 4.Problema 4. Figura 4.10 – Pág. 91.3 (NILSSON.8.6 e encontre o valor das mesmas utilizando a regra de Cramer.8. a) Use o método das tensões de nó para determinar a corrente io (em mA) no circuito da Figura 4.7. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 66 . Uma aplicação imediata é a do estudo do comportamento de uma carga RL conectada aos terminais A e B de uma rede. Teorema da Máxima Transferência de Potência.1. sem as quais a solução destes seria extremamente trabalhosa. 1999).1b é denominado de Circuito equivalente de Thévenin.2 – Teoremas de Thévenin e de Norton Os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton são circuitos simplificados que apresentam o mesmo comportamento que o circuito original do ponto de vista de um par específico de terminais e. como mostrado na Figura 5.1 – Introdução Neste capítulo serão apresentados os teoremas fundamentais da análise de circuitos elétricos. Capítulo 5 – Teoremas Aplicados n Análise de Circuitos CC 5. Circuito Ponte de Wheatstone. Tais teoremas são ferramentas poderosas para a resolução de circuitos complexos. tensão e potência dissipada quando conhecemos os parâmetros VTh (tensão Thévenin) e RTh (resistência Thévenin) da rede original – Figura 5. Teorema da Superposição. O circuito da Figura 5.1b.1. 5.Capítulo 5 Teoremas aplicados na Análise de Circuitos CC Teoremas de Thévenin e de Norton. que vão além do uso das leis de Kirchhoff e da lei de Ohm. Fica óbvio que é muito mais fácil estudar e calcular os parâmetros da carga RL como corrente. (a) (b) Figura 5. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 67 . portanto são extremamente úteis para a análise de circuitos (NILSSON. 5.2. a corrente IN é a corrente de curto-circuito que circula do terminal a para o b no circuito equivalente de Thévenin.” Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico Figura 5. Tendo como base o circuito citado. É chamada também de tensão de circuito aberto.3. se o valor do resistor de carga RL for igual a Ri . Como o leitor já percebeu. O Circuito Norton equivalente pode ser obtido pela transformação de fonte do circuito Thévenin em uma fonte de corrente. 68 . Figura 5. o Teorema da Máxima Transferência de Potência pode ser enunciado como: “Uma fonte de tensão com resistência interna Ri fornecerá máxima potência a uma carga conectada aos seus terminais A e B. onde RL constitui uma carga variável.3 – Teorema da Máxima Transferência de Potência Seja o circuito da Figura 5. VTH: é a tensão que aparece nos terminais da carga (A e B) quando se desconecta o resistor RL. Os parâmetros do circuito equivalente Norton são dados por: IN = VTh / RTh e RN = RTh.2 (O´MALLEY.Definições: RTH: é a resistência vista por trás dos terminais da carga quando todas as fontes independentes são desativadas (curto-circuitadas as fontes de tensão e abertas as fontes de corrente). como mostrado na Figura 5.3. 1993). I L 2 max Vi Vi2 R i 2 R i 4R i (5. fazendo RL = Ri na Equação (5. a) Qual será a máxima potência fornececida a uma carga resistiva conectada aos seus terminais ? b) Qual será a corrente de circuito-circuito desta bateria ? EF 5.2) A potência máxima transferida da fonte para a carga (RL = Ri) será. Tabela 5. com resistência interna de 250 m. RL () Ri () I = Vi / (RL + Ri) (A) PL R L . então: 2 Pmax R L . I L max Pot Vi 2.I 2L (W) 1 3 4 5 5 6 7 10 Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 69 .1.1 – Seja uma bateria de 6 V.Equações: IL Vi Ri RL (5.3.R i (5.1) Para a condição de máxima potência.3) EF – Exercícios de Fixação EF 5.1. calcular a corrente e a potência na carga RL onde Vi = 10 V e RL varia conforme a Tabela 5.1).2 – Para o circuito da Figura 5. construir o gráfico PL x IL para o circuito da Figura 5. em um circuito linear contendo várias fontes independentes.4 – Teorema da Superposição O teorema da superposição especifica que.3 – De posse dos dados calculados da Tabela 5.V 2 Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (5. que possui duas fontes de tensão V1 e V2. Gráfico obtido: 5. a corrente IL poderá ser encontrada pela seguinte equação: I L I L.4.4) 70 .3. Figura 5.1.V1 I L.4. Para este circuito. a corrente ou tensão em um elemento do circuito é igual à soma algébrica das tensões ou correntes produzidas por fontes independentes atuando separadamente.EF 5. Seja o circuito da Figura 5. V2 é a corrente devido ao efeito somente da tensão V2 .0 V. R2 = 820 e RL = 1 k . b) calcular a potência dissipada no resistor R1. com a tensão V1 ajustada para 10. pede-se: a) calcular o valor da corrente I1 . Figura 5. Solução: Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 71 .4 – Para o circuito da Figura 5.5.onde IL. Solução: Figura 5. através do uso do Teorema da Superposição. Cálculo de I L.5 V.V1 : Cálculo de I L.5 – Para o circuito da Figura 5. calcular o valor de IL através do teorema da superposição.6.5. R1 = 2k2 .6. EF – Exercício de Fixação EF 5. V2 ajustada para 4.V1 é a corrente devido ao efeito somente da tensão V1 e IL.V2 : Cálculo da corrente I L : EF 5. 6) Dividindo (5.6).5. indicado pelo valor zero lido no galvanômetro G quando a chave S1 estiver fechada. Seja o circuito da Figura 5. IxRx=I1R1 (5.5) por (5.6 Determine o circuito equivalente de Thévenin do ponto de vista dos terminais A e B do circuito da Figura 5. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 72 . obtém-se: R R x R1 Rx 1 R3 R3 R2 R2 (5. Logo. A chave S2 aplica a tensão da bateria aos quatro resistores da ponte.Circuito Ponte de Wheatstone A ponte de Wheatstone pode ser usada para se medir uma resistência desconhecida Rx. Para a ponte equilibrada.7. Para equilibrar a ponte.7. os pontos B e C têm o mesmo potencial.5 .7.7. o valor de R3 é variável. Figura 5. O equilíbrio ou balanceamento é Figura 5.5) e IxR3=I1R2 (5.7) EF – Exercícios de Fixação EF 5. em função de E e de R. EF 5.7 – Como pode ser obtido o circuito equivalente Norton de uma rede resistiva com fontes independentes? EF 5.8 – Uma bateria automotiva possui uma tensão de circuito aberto de 15,5 V. Esta tensão cai para 10,8 V quando em seus terminais é conectada uma carga que absorve uma corrente de 8 A. Encontre o circuito equivalente Thévenin desta bateria. EF 5.9 – Sobre o teorema da superposição, responda: a) este teorema se aplica a fontes dependentes? Justifique. b) onde ele pode ser utilizado? Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 73 Capítulo 6 Elementos Armazenadores de Energia e Estudo de Transitórios em CC Capacitância. Associação de Capacitores. Indutância. Associação de Indutores. Transitórios de carga e descarga de um capacitor e de um indutor. Armazenamento de Energia em capacitores e indutores. Capítulo 6 – Elementos Armazenadores de Energia e Estudo de Transitórios em CC 6.1 – Capacitor e capacitância Um Capacitor consiste de dois condutores ou placas separados (as) por um isolante (dielétrico). A principal característica de um capacitor é a de armazenar cargas nesses dois condutores. Acompanhando essa carga está a energia que o capacitor pode fornecer, sob forma de Figura 6.1 – Aspecto de um capacitor. tensão (O´MALLEY, 1993). A Figura 6.1 mostra o aspecto de um capacitor, e as linhas de campo Elétrico (E). A Figura 6.2 mostra um capacitor sendo alimentado por uma fonte de tensão contínua com V = E volts. Entre as placas do capacitor existe um espaço, chamado de dielétrico (isolante), o qual afeta a capacitância que será obtida. Figura 6.2 – Circuito simples onde um capacitor de placas é alimentado por uma fonte de tensão CC. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 74 6.1.1 - Definições básicas 6.1.1.1 - Capacitância É a propriedade elétrica dos capacitores; é a medida da capacidade do capacitor de armazenar cargas nos seus terminais condutores. Se a d.d.p. entre os dois condutores é V volts quando existe uma carga positiva de Q Coulombs em um condutor e uma carga Q negativa no outro, o capacitor possuirá uma capacitância de: C Q V Coulombs Volts F (6.1) onde F = Farad, unidade de capacitância. - Para aplicações práticas o F é uma unidade muito grande, sendo utilizados, comumente, o F e o mF. - A capacitância em Farads de um capacitor de placas paralelas pode ser projetada pela Equação (6.2): C A d [F] (6.2) onde: A é a área das placas em m2; d é a distância entre as placas, em m; é a permissividade do dielétrico (em F/m), que é a medida da facilidade com que o dielétrico permite o estabelecimento de linhas de campo elétrico em seu interior. Uma maior permissividade permite uma maior quantidade de cargas acumuladas nas placas positiva e negativa do capacitor. No vácuo, a permissividade é dada por o = 8,85 x 10-12 F/m. A razão entre a permissividade de qualquer dielétrico e a permissividade do vácuo é chamada de permissividade relativa, e é dada por: r o Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (6.3) 75 Na Figura 6.3 vê-se a influência do dielétrico na formação do campo elétrico resultante entre as placas eletrizadas de um capacitor. O campo elétrico devido ao ar ocorre no exterior do dielétrico (Ear). Como os dipolos se alinham no material dielétrico, forma-se o campo elétrico Ed, cuja orientação é da direita para a esquerda. Daí resulta o campo elétrico ER, resultante. (a) (b) Figura 6.3 – A orientação do campo elétrico no capacitor. (a) os dipolos que se formam no dielétrico. (b) O campo elétrico resultante, ER (BOYLESTAD, 2002). A Tabela 6.1 mostra o valor da permissividade relativa para vários tipos de dielétrico. Tabela 6.1 – Permissividade relativa de alguns materiais, empregados como dielétrico (BOYLESTAD, 2002). Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 76 Exemplo 6.1 – Determine para um capacitor de placas paralelas, onde A = 0,01 m2, d = 1,5 mm e o dielétrico sendo o vácuo: a) a sua capacitância em pF; b) o campo elétrico em seus terminais (nota: E = V/d (V/m)), se os mesmos são submetidos a uma d.d.p. de 450 V; c) a carga resultante em cada placa, em nC. Solução: 6.1.1.2 - Símbolos do Capacitor Na Figura 6.4 são apresentados os símbolos do capacitor para aplicação em corrente contínua (CC ou DC, de Direct Current) e para aplicação em CA (Corrente Alternada ou AC, de Alternate Current). (a) Aplicação em DC (CC). (b) Aplicação em CA. Figura 6.4 – Símbolos do capacitor CC e em CA. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 77 4 – Pesquisar a respeito dos seguintes códigos de identificação de capacitores: . tolerância e descrição do componente.5)? EF 6.tensão nominal. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 78 . tensão de operação. Qual é o valor do capacitor à direita? EF 6. 2002). . pede-se: a) Qual é o valor do capacitor à direita? b) Qual é o material do novo dielétrico (r = 2. . valores usuais. EF 6.1 – Sejam os capacitores ao lado (BOYLESTAD.tolerância. (a) (b) (c) (d) Figura 6. 2002).5 e preencher os parâmetros: tipo.valor nominal.5 – Principais tipos de capacitores (BOYLESTAD.3 – Pesquisar a respeito dos capacitores indicados na Figura 6. 2002).2 – Dados os capacitores ao lado (BOYLESTAD.outros. .EF – Exercícios de Fixação EF 6. A capacitância total será dada então por: 1 1 1 1 1 .6.6.1 – Associação em Série Seja o circuito da Figura 6. teremos: E V1 V2 V3 De C (6.4) nos permite obter: E V1 V2 V3 Q Q Q Q Q . C T C1 C 2 C 3 Cn (6. aplicado à Equação (6.4) Q Coulombs Q F...5) para n capacitores associados em série. Aplicando-se a LKT ao circuito da Figura 6.6 – Associação série de capacitores (BOYLESTAD. 2002). Figura 6.2. V V Volts C que. A corrente total do circuito é dada por IT QT t [C/s]. ou seja..2 – Associação de Capacitores 6.. C T C1 C 2 C 3 Cn Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (6.6) 79 . teremos QT = Q1 = Q2 = Q3 = Q. A carga elétrica QT se distribui uniformemente em todos os elementos do circuito.6. Figura 6. se divide entre C1 .7) Aplicando-se a relação Q = CV na Equação (6. a capacitância equivalente é dada por: C T C1 C 2 . C T C1 C 2 C3 C n Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (6. C2 e C3 .9) o que nos permite obter facilmente. 2002).8).2. o que faz a tensão E da fonte de C. para o caso particular de dois capacitores conectados em série.7 – Associação em Paralelo de Capacitores (BOYLESTAD.2 – Associação em Paralelo Na Figura 6. ser a mesma em todos eles. A carga total do circuito. C1 C 2 6. QT .10) 80 .7 vêem-se três capacitores conectados em paralelo.C. de tal forme que teremos: Q T Q1 Q 2 Q3 (6. teremos: C T E C1E C 2 E C3 E (6. para n capacitores conectados em paralelo.4 – Mostrar que.Exercício de Fixação EF 6. V. o qual somente dissipa energia. a chave S é fechada.dvc (t ) (6.11) A (6. para uma pequena variação de tensão no capacitor.6. I dq(t ) dt Daí.8. não respondendo linearmente à uma variação de tensão. Veja os esquemas na Figura 6. vc(t): dq(t ) d (Cvc (t )) dq(t ) C.13) Sendo Q e V variáveis no tempo.12) Para variações infinitesimais. Em t = t1 no esquema (a).Corrente de carga e descarga num capacitor A corrente elétrica é dada por: I Q t A (6.14) dv C ( t ) A dt (6. Exibe o seu comportamento característico sob variações de tensão sobre os seus terminais. No esquema (b). tendo que Q = C. O resistor R sofre uma descontinuidade de tensão (antes de t1 a tensão vR era nula e a partir de t1 será E volts).3 . dv ( t ) dq( t ) C.4 – Comportamento do capacitor frente a um transitório de tensão O capacitor se comporta de modo diferente de um resistor. c dt dt (6. sendo C constante. 6.14) decorre que i C (t) C onde vc (t) é a tensão nos terminais do capacitor. vê-se que o capacitor C não responde linearmente à Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 81 . como o resistor.15) e de (6. por exemplo.variação de tensão imposta pelo transitório do fechamento da chave S. em t = 0. Assim. ou seja. em t = 0+.Transitório de Carga de um Capacitor Em um circuito série RC alimentado por uma tensão contínua .9 -. sempre que houver uma variação brusca em um circuito (fenômeno comum em sistemas digitais. Tal propriedade é denominada de Inércia de Tensão.Circuito Transitório RC.5 .Figura 6. Figura 6. atingindo a tensão E imposta após um certo tempo. que a comutação ocorreu em t = 0 s. a tensão vC não sofre descontinuidade. 6. Figura 6.9 . até que a tensão sobre o mesmo se iguale à da fonte de tensão CC (E). onde estão presentes ondas quadradas) com a presença de um capacitor. uma corrente de carga ic (t) faz crescer a tensão vC (t) sobre o capacitor. a tensão sobre este será a mesma logo antes. Chave S na posição 2: descarga do capacitor. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 82 . considerando-se por exemplo.e logo depois da comutação. após a chave S ser conectada à posição 1.8. Chave S na posição 1: carga do capacitor. e usando as propriedades mostradas na Tabela 6. (t = 0). obtém-se vc (5) = E. o capacitor está descarregado.16) No instante em que S é fechada. dada em segundos [s].17) onde Io é a corrente inicial de carga.R. Assim a condição final do circuito. onde 5 5.vC (0) = 0 V.i c ( t ) v c ( t ) E R.Aplicando a L. em t = . dv c ( t ) vc (t) dt (6. Então. já que i C ( t ) C C .K.: E v R (t ) vC (t ) (6.T. ou seja. Após um tempo suficientemente grande.C. onde RC é a constante de tempo de carga. teremos: Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 83 .R E i () 0 Condição final : vc () E c Para encontrar a tensão vC(t).C.R 0 i c (0) I o E R (6. tensão instantânea sobre o capacitor durante o transitório entre t = 0 s e t = . a tensão inicial no capacitor é nula . será: E v R () v C () i c (). t() > t(5). ou seja. C dt Aplicando-se o operador d dt em ambos os membros da equação. procura-se a solução para a equação geral do circuito: E v R ( t ) v C ( t ) R. .2.i c ( t ) 1 dv ( t ) i C ( t )dt .18) a qual também poderá ser escrita na forma: E v R ( t ) v C ( t ) R. E v R (0) v C (0) i c (0). limitada por R. considera-se o capacitor plenamente carregado. 22) 1 x dx ln x C .21) os termo ic(t) e dic(t)/dt: R di c ( t ) di c ( t ) 1 1 i c (t) dt dt C i c (t) RC Integrando os termos da Equação (6.21) onde f / ( x) df ( x) dx diferenciação Isolando na equação (6. ln x log e x b se e somente se e x . obtém-se: dic (t ) 1 t 1 ic ( t ) dt ln i ( t ) t c ic (0) ic (t ) RC 0 RC ln ic (t ) ln ic (0) Aplicando-se a propriedade ln 1 t RC (6.22) e tendo que ic ( t ) ic (0) (6.20) R di c ( t ) 1 i c (t) 0 dt C (6.19) d 1 d R.23).23) x ln x ln y em (6.24) Aplicando-se a propriedade.Tabela 6.24): Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 84 .i c ( t ) i C ( t )dt E dt C dt integração A integração é o inverso da f / ( x) dx f ( x) (6.2 – Cálculo de antiderivadas. vem y ln i c (t) 1 t i c (0) RC (6. Relacionamento inverso entre as operações de integração e diferenciação A diferenciação d f ( x)dx f ( x) dx é o inverso da (6. obtém-se da b Equação (6. e . Daí. t RC v c ( t ) E 1 e (6.10. Figura 6. t Tendo E RC i c (t) .e (6.28) . Daí.e ax .t i c (t) e RC i c (0) i c ( t ) i c (0).27) Tensão instantânea no capacitor: vC(t) = E – vR (t).10 – Curva ic (t) – Carga de um capacitor (circuito RC série).Constante de Tempo no capacitor Seja a Figura 6.26) t RC (6.ic(t). encontra-se: dx Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 85 .25) t RC t E RC . v R (t ) E e (6. e sabendo-se que R d ax e a. que mostra a exponencial decrescente de corrente num circuito RC de carga de um capacitor.e R Tensão instantânea no resistor: vR(t) = R.e t RC I o . 4. e – (5) = 0.9933. dada por tg é dada também por tg di c ( t ) 0 E R ER dt 0 (6. Vê-se claramente que. e – (4) = 0.30) Para t = 0 s.t di c ( t ) 1 E RC e dt RC R (6. pode se considerar. e – (3) = 0.135 Io t = 3RC ic (RC) = Io .367 Io t = 2RC ic (RC) = Io . tem-se: Tendo que a inclinação de na Figura 6.31).29) di c (0) 1 E 0 E e 2 dt RC R R C (6.31) e igualando-se as Equações (6.10.018 Io e t = 5RC ic (RC) = Io . embora pelos cálculos o valor nulo de ic(t) nunca seja alcançado. ou seja.050 Io t = 4RC ic (RC) = Io . conforme o cálculo abaixo: 5 RC 5 RC v ( 5 RC ) E 1 e t = 5RC c E.E Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 86 . ou tempo característico.30) e (6. por uma aproximação prática.(1 e ) 0. que após 5 constantes de tempo ic (t) = 0 e o capacitor encontra-se carregado. e – (2) = 0. obtém-se tg E E/R RC R 2C onde RC é chamada de constante de tempo.007 Io. a tensão do capacitor se iguala à tensão da fonte. e – (1) = 0. após t = 5RC. a saber: t = RC ic (RC) = Io . o qual nos indica alguns pontos significativos do gráfico da Figura 6. 12 vê-se o formato de uma função exponencial decrescente. NOTAS: N1 : Atribui-se a John Napier (1150-1617).). Figura 6.7182818284590452353602874. a descoberta do número de Neper. É um número irracional e surge como limite.141592654. Fonte: http://www.htm.. para valores muito grandes de n. da sucessão n 1 1 e n Representa-se por e sendo e = 2. Acesso em 20 de maio de 2003...ul.x. cuja equação é y = e. e.fc.11). matemático escocês.. inventor dos logaritmos. A função exponencial crescente obedece à seguinte equação: y = 1 .educ. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 87 .11 – John Napier.ex. É um número estreitamente aparentado com o número pi ( = 3.pt/icm/icm99/icm17/numeroe. N2 : Na Figura 6. matemático escocês (Figura 6. e t Expressão geral para o cálculo de transitórios de corrente e de tensão. Tal expressão pode ser reescrita como x(t ) x() [ x(0 ) x()].13 – Curva para o cálculo da expressão geral da tensão no capacitor – tensão em um tempo qualquer.32): Figura 6.13.é dada pela Equação (6.-x Figura 6.32) Esta equação é uma função exponencial crescente.e t (6. N3 : a expressão geral para o cálculo de vC(t) – vide a Figura 6. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 88 . considerando-se os valores inicial.12 – Função exponencial decrescente y = e construída no software Excel. carga do capacitor . v( t ) v() [ v(0 ) v()]. v(0+) e final v(). Exercícios de Fixação EF 6. Figura 6.15. pede-se: a) a tensão no capacitor 1 segundo após a chave S ter sido fechada. Será utilizado um capacitor C = 2. sendo dados E = 90 V. Obs. O período de carga tc (=td) deverá coincidir com a metade do período da tensão vi. R = 50 k e C = 40 F.15. Figura 6.: considere vC(0) = 0 V (capacitor descarregado inicialmente).14.RC = 200 s. EF 6. pede-se: Projetar o resistor adequado para obter-se o capacitor plenamente carregado. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 89 . considerando o tempo de carga tc = 5.5 .RC).6 – Tomando como base a Figura 6.2 nF.14. onde o circuito RC é alimentado por uma tensão quadrada (E) de 0 a 10 V de pico. = 4. como mostrado na Figura 6. b) a tensão no capacitor decorridos 4 constantes de tempo (t = 4.Para o circuito a seguir. 34) A solução da Equação (6.24).Transitório de Descarga de um capacitor Seja o circuito da Figura 6.16.6 . As equações para o período de descarga (considere a letra minúscula para a variável indicando uma função do tempo.34). que é uma equação diferencial de 1ª ordem fornecerá vC Vo . haverá a descarga do capacitor via resistor R.36): Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 90 .35) com Vo sendo a tensão inicial (início da descarga).e t (6.6. Figura 6. p.. Para a chave na posição 2. obtém-se: 0 R.C.i c v C (6. ex.33) Substituindo ic na Equação (6.16. vC = vC (t)) serão: E v R v C 0 v R v C R. A corrente de descarga será dada pela Equação (6. dv c vc dt (6. 7 . 6. É preciso. vc = tensão elétrica instantânea em V e C = capacitância. vo . a equação da tensão vR . W 1 1 q2 1 2 C.8 – Encontre para o ciclo de descarga de um capacitor C eletrolítico. Exercícios de Fixação EF 6. encontre para o período de descarga do capacitor. o tempo de decaimento da tensão vc. Pode se exprimir a expressão desta energia através dos seguintes passos: pc vci c ic C dv c dv v2 W pdt v c i c dt v. R e C. uma carga elétrica positiva se transfere do condutor com carga negativa para o condutor com carga positiva.Para o circuito da Figura 6.36) onde o sinal (-) indica o sentido oposto em relação à corrente de carga.16. Parte deste trabalho fica no capacitor na forma de energia potencial eletrostática. em F. EF 6.37) onde q = carga elétrica instantânea em C.C c dt C v c dv c C c dt dt 2 Logo.v c qv c 2 2 C 2 (6. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 91 .7 – O armazenamento de energia num capacitor Quando um capacitor está sendo eletricamente carregado. efetuar trabalho na carga do capacitor. em função de vc .ic vC V iC o e t R R (6. por isso. H vL = tensão induzida através da bobina.18). Figura 6.1 – Indução Eletromagnética A capacidade de um condutor induzir tensão em si mesmo quando a corrente elétrica sobre o mesmo varia é a sua auto-indutância ou indutância. Um henry é a quantidade de indutância que permite uma indução de um volt quando a corrente varia na razão de um ampère por segundo.17.A indutância de uma bobina é de 1 H quando uma variação de 1 A/s induz 1 V na bobina. as duas bobinas L1 e L2 possuem indutância mútua. (6. A/s. induzindo assim tensões em ambos. como mostrado na Figura 6. Seja uma bobina. A fórmula para o cálculo da indutância é dada por L vL i / t (6. esse fluxo variável pode interceptar qualquer outro condutor ou bobina localizado nas vizinhanças. Uma corrente variável em L1 induz.38) é dada por: vL L i t (6. pois uma variação de corrente numa bobina induz uma tensão na outra. A tensão auto-induzida vL da Eq. o seu campo magnético variável induz tensão em L1. Duas bobinas apresentam LM de 1 H quando uma variação de corrente de 1 A/s numa bobina induz uma tensão de 1 V na outra. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 92 .8.17 . e o seu símbolo. Esta possui uma propriedade denominada indutância (L). portanto. cuja unidade é o henry (H).39) Quando a corrente num condutor ou numa bobina varia. LM ou M. V i/t = taxa de variação de corrente. tensão através de L1 e de L2 (Figura 6. A unidade de indutância mútua é o henry. Quando a tensão induzida vL2 produz corrente em L2.6. Logo.38) onde: L = indutância.8 – Indutância 6. que é diretamente proporcional à freqüência da corrente alternada na indutância. A indutância L aumenta com o número de espiras N em torno do núcleo. A indutância aumenta com a permeabilidade relativa r do material de que é feito o núcleo. Exercício de Aplicação EA1 – Uma equação para o cálculo aproximado da indutância de uma bobina onde o comprimento é pelo menos 10 vezes maior que o diâmetro é dada por (GUSSOW. N = 200 espiras.Figura 6. e do número de espiras que formam o enrolamento. b) Perdas no Núcleo As perdas no núcleo magnético se devem às perdas por efeito de correntes parasitas.2 – Características das Bobinas a) Características físicas A indutância de uma bobina depende de como ele é enrolada. 1996): L r N2A 1. a indutância aumenta. 4. se o número de espiras dobrar (2x) a indutância aumenta de 22 ou de 4 x. 26 106 H l Calcular L quando r = 200. Como a área é uma função do quadrado do diâmetro da bobina. e às perdas por histerese. 1. A = 1 x 10-4 m2 e l = 0. 6. À medida que a área A abrangida em cada espira aumenta. supondo que o comprimento e a área da bobina permaneçam os mesmos. a indutância aumenta com o quadrado do diâmetro.1 m. do material do núcleo em torno do qual é enrolada.Indutância mútua entre L1 e L2. 2. 3. A indutância aumenta com o quadrado do número de espiras. As correntes parasitas seguem uma trajetória circular dentro do próprio material do núcleo e provocam uma perda sob forma de calor no mesmo.18 . Por exemplo.8. A indutância diminui à medida que o comprimento da bobina aumenta (admitindo que o número de espiras permaneça constante). Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 93 . 3 – Associação de Indutores 6. a indutância total será (GUSSOW.As perdas por histerese decorrem da potência adicional necessária para inverter o campo magnético nos materiais magnéticos com corrente alternada. A reatância indutiva é dada por: xL 2fL [] (6..40) onde f = freqüência em Hertz [Hz}. a sua indutância mútua causará um efeito no circuito. L = indutância em henries [H].8.4 . c) Reatância Indutiva A reatância indutiva é a oposição à passagem de corrente CA devida à indutância do circuito. bastando para isso substituir xL por R. a fim de se aumentar de forma significativa a resistência encontrada pelas correntes parasitas. É o caso com transformadores e de todos os motores e geradores em ca. 6. Assim. As bobinas com núcleo de ar praticamente não apresentam perdas por correntes parasitas ou por histerese. Para reduzir as perdas por efeito de correntes parasitas o que se faz é construir o núcleo magnético a partir de lâminas isoladas umas das outras. ou ferrite.Indutores em série Se os indutores forem dispostos suficientemente afastados um do outro de modo que não interajam eletromagneticamente entre si.42) 94 .41) Se duas bobinas em série forem colocadas muito próximas entre si. de tal forma que suas linhas de campo magnético fiquem interligadas. L n (6. Estas perdas geralmente são menores que as perdas produzidas por correntes parasitas. Num circuito formado apenas por indutância pode-se aplicar a lei de Ohm para se calcular a corrente e a tensão. a indutância total LT será a soma das indutância individuais. os seus valores podem ser associados exatamente como se associam os resistores. 1996): LT L1 L2 2LM Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (6. ou de grânulos de ferro isolados prensados formando um sólido.8. ou LT L1 L2 . Se um certo número de indutores for ligado em série..1. enrolamento. LM é zero. Na Figura 6. E. Figura 6. o que impede uma interação eletromagnética. o que resulta em campos opostos). não há indutância mútua e.2. as bobinas são colocadas muito distantes uma da outra.19c) indicam a polaridade do enrolamento sem ter que mostrar a construção física real. (6.onde LM é a indutância mútua entre as bobinas.19b – associação em série aditiva. os enrolamentos das bobinas têm sentidos opostos.19b. Os pontos grandes acima da bobina (Figuras 6.19b) têm a mesma polaridade ou o mesmo sentido de Figura 6.LM.BOBINAS ACOPLADAS Figura 6.19c.19b e 6. As bobinas com pontos na mesma extremidade (Figura 6. como indicam os pontos pretos. na Figura 6. O sinal (+) na Eq. As bobinas estão dispostas na forma de série aditiva.Ausência de indutância mútua LM. finalmente.19 mostra três formas diferentes de se arranjar as bobinas L1 e L2 em série. as bobinas são colocadas bem próximas e possuem enrolamentos no mesmo sentido. Regra do ponto .19c – Associação em série subtrativa. portanto.42) é usado se as bobinas forem dispostas em série aditiva (indica que a corrente comum produz o mesmo sentido de campo magnético para as duas bobinas).LM. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 95 . Na Figura 6. enquanto o sinal menos (-) é usado quando as bobinas são dispostas em série subtrativa (os enrolamentos têm sentidos opostos. Figura 6. portanto as bobinas estão dispostas na forma de série subtrativa. logo. e LT = L1 + L2 .19a . Assim.19a. LT = L1 + L2 + 2. vale a relação L1 LT LT L1 L 2 L1 L 2 L2 Ln (6.5 . L T L1 L 2 Ln (indutância equivalente de uma associação em paralelo de indutores). a sua indutância total ou equivalente LT será encontrada por: 1 1 1 1 .6..44) Figura 6.20).20 .1... L T L1 L 2 Ln (6. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 96 . o cálculo da associação de indutores em paralelo e o mesmo para a associação em paralelo dos resistores..10 – Demonstrar as relações LT L1 L2 .8.Indutâncias em paralelo sem acoplamento mútuo.. EF 6.43) Para o caso particular de dois indutores apenas em paralelo. Exercícios de Fixação EF 6. L n (indutância equivalente de uma associação série de indutores) 1 1 1 1 ..Indutores em Paralelo Para os indutores colocados suficientemente afastados um do outro (indutância mútua desprezível).9 – Calcule a indutância de uma bobina a fim de que ela tenha uma reatância de 900 a uma freqüência de 50 kHz. Para indutores ligados em paralelo (Figura 6. 6 H é conectada a uma linha de 120 V. Qual a indutância da bobina? OBS.14 – Uma corrente CA de 120 Hz e 20 mA está presente num indutor de 10 H.15 – Uma bobina de 300 espiras é enrolada em um toróide plástico. Qual a freqüência da corrente? EF 6.13 – Duas bobinas estão associadas em série aditiva.: 1.EF 6. = r x o = r x 4 x 10-7 = r x 1.16 – Uma bobina de resistência de 15 ohms e uma indutância de 0. 2.26 x 10-6 (T. EF 6. Qual a corrente através da bobina 0.m)/Ae. Qual a reatância do indutor e a queda de tensão através do indutor? EF 6. com r = 1). A indutância mútua é de 7 H.12 – Uma bobina de choque de 225 H de resistência desprezível serve para limitar a corrente a 25 mA quando a seus terminais se aplicam 40 V. após a bobina ter sido conectada à linha? Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 97 .11 – A bobina de sintonia de um radiotransmissor tem uma indutância de 250 H. Para que freqüência ela terá uma reatância indutiva de 3500 ? EF 6. cuja área de seção é de 1 x 10-3 m2 e um comprimento principal de 40 cm.05 seg. Qual o valor da indutância total se L1 = 10 H e L2 = 12 H? EF 6. núcleo do toróide é ôco (núcleo de ar. teremos: E = vR (t) + vL (t) (6. recomenda-se ao leitor a leitura do Apêndice A. Pela Eq. dada por: di( t ) E t 0 dt L (6. características e associação de indutores.45) Figura 6. há limitação da corrente. que pode ser a resistência da bobina ou uma resistência externa ou ambas.21 .48) Se não houvesse resistência no circuito. As equações que regem os fenômenos de carga e descarga de um indutor são semelhantes àquelas para um capacitor submetido a transitórios. a corrente é zero porque a bobina imediatamente se opõe à variação de corrente pela produção de uma tensão contrária (lei de Lenz): v L (t) L di( t ) dt (6. iL(0) = 0. Mas tendo R presente. teremos E i(). O transitório começa quando a chave é fechada no instante chamado t = 0 seg. ao se fechar a chave S.R 0 i() I max E / R Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico (6. que trata de Indutância. Nesse instante. (6. a corrente continuaria a crescer com uma inclinação E/L. Antes de dar início ao estudo de transitórios RL.1 . 6. vR(0) = 0.21.6.45). obtém-se a taxa de crescimento da corrente. então.O circuito RL série.Corrente transitória crescente no circuito RL: carga do indutor No circuito da Figura 6. (6.6.47) A partir desta Equação.6 – Estudo de Transitórios em Circuitos RL Série O estudo de transitórios em circuitos série RL (resistor em série com um indutor) é análogo ao que foi adotado para os circuitos RC.45): E = 0 + L. O máximo da corrente ocorrerá quando vL (t) for zero.(di(t)/dt) (6.46) Como no instante t = 0.49) 98 . Pela Eq. que aparece como um inverso na Equação (6. O valor de L/R.A corrente instantânea em instantes de tempo que não sejam zero ou infinito é encontrada pela solução da equação de tensão escrita na forma diferencial: E v R ( t ) v L ( t ) E i.50) cuja solução é: Rt E i( t ) 1 e L R (6. onde o valor máximo de corrente é E/R.52) (tau ) L R A Figura 6. crescendo em sua taxa original de variação. para quase todas as aplicações. determinando a velocidade com a qual a curva varia. Após 5.22 – Aspecto da curva exponencial de iL (t) durante o transitório de carga do indutor L. Uma constante de tempo seria o tempo necessário para que a corrente atingisse seu valor máximo. ou seja: (6. Figura 6.segundo 1 segundo R ohm ampere ohm fazendo o expoente de e adimensional. Esta fração é conhecida como constante de tempo do circuito RL. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 99 .22 mostra o aspecto da curva de iL. o transitório. se completa.R L di dt di R E i dt L L (6.51) Esta Equação pode ser reconhecida como uma curva crescente exponencial. Observe que a indutância aparece apenas no termo exponencial.51) possui as unidades L henrys volt.. EI 6.V(V1:-) 4ms 6ms 8ms 10ms Time Figura 6.Formas de onda: vL(t) = vL1 e iL = iR1. v R (t ) E 1 e Rt L (6. 1.23.5A SEL>> 0A I(R1) 10V 5V 0V 0s V(L1:1) 2ms V(V1:+). Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 100 . Na figura.53) Pela equação de tensão. As formas de onda de iL e de vL.54) Exemplo Ilustrativo 1 . a chave U1 é fechada em t = 0 s.vR (t) e daí obtém-se: v L (t ) E e Rt L (6.1 Seja o circuito RL da Figura 6. Figura 6. a tensão sobre o resistor também aumenta. É considerado para a análise iL(0) = iL(0+) = 0 A.24.0A 0.Sendo vR = i. vL (t) = E . obtidas através de simulação no software PSpice são mostradas na Figura 6.R.24 .23. uma corrente constante dada por Im = E/R estará circulando na malha formada por E.isel.R.58) A equação de vL (t) será: Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 101 .56) onde Io (corrente inicial) = Imax é a corrente que circula na bobina exatamente antes de se iniciar o transitório.deetc. Figura 6.1 (Cadence/OrCAD) poderá ser obtida através da homepage: http://www.Corrente transitória decrescente no circuito RL: descarga do indutor Da mesma forma que a corrente em um indutor não pode crescer instantaneamente.ipl. de forma exponencial. uma vez que vR(t) = i(t). devido à Lei de Lenz. R e L): i( t ) R L di( t ) 0 dt (6. assim como a corrente no circuito.6. S1 .e Rt L (6.e Rt L (6.e Rt L (6. onde temos inicialmente a chave S1 fechada e a chave S2 aberta. R e L. mas deve decrescer gradualmente. Estando estas chaves nesta posição por um tempo suficiente para a carga completa da bobina L.Circuito RL decrescente. A equação para a redução de corrente é encontrada através da equação de tensão. O circuito básico de redução da corrente em um circuito RL é mostrado na Figura 6. A tensão sobre o resistor será uma curva exponencial decrescente.2 . a bobina tenderá a manter a corrente iL circulando no mesmo sentido.55) cuja solução é: i(t ) I max . ela também não pode decrescer instantaneamente.exe 6.25 . a chave S1 for aberta e S2 fechada simultaneamente.Nota: uma versão do software PSpice Student Version Release 9. O campo eletromagnético armazenado na bobina se reduz gradualmente. obtida pela LKT aplicada à malha de descarga do circuito (formada pela chave S2.25. liberando a energia armazenada sob forma de campo magnético para o resistor R. isto é: v R (t ) E.pt/electronica/software/91pspstu. Se em t = 0.57) v L (t ) E. pL(t) 7 6 iL(t) 5 vL(t) 4 3 p v 2 iL 1 0 0.000 0.006 0.001 0. Gráficos iL x t.26.7 – Armazenamento de energia em um indutor Durante o período no qual o campo magnético está sendo estabelecido por uma bobina.009 0.003 0.010 t (s) Figura 6.Transitório RL de Carga 10 9 8 iL(t). vL(t).008 0.008 0.000 0.007 0. a quantidade de energia fornecida pela fonte é armazenada no campo eletromagnético.004 0. I 0 i2 i di L 2 WL I 0 LI 2 . Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 102 . vL x t e pL x t . A energia armazenada no campo magnético de uma bobina é dada por: dW p L dt v L .26. 2 1 L I2 2 (6. vL(t) e pL(t) estão plotadas no gráfico da Figura 6.004 0.005 0.002 0. Integrando os dois lados da equação.6.59) onde W L é a energia em Joules (J).i dt L di idt L idi dt As curvas de iL(t). obtém-se: 0 dW L Logo. L é a indutância em Henrys (H) e I a corrente (A). Para a utilização de tal método. Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem. um método de resolução muito utilizado para equações simultâneas é conhecido como Regra de Cramer (O’MALLEY. 1993). Um determinante é um arranjo quadrado de números entre duas linhas verticais. Os determinantes possuem um valor . dador por: a 11 a 12 a 21 a 22 o seu valor numérico será encontrado por: a11 a 22 a 21 a12 .a 23. a linha e a coluna.a 21. Para um determinante de segunda ordem.a 22 .Apêndice 1 Apêndice 1 – A Regra de Cramer A Regra de Cramer Na análise de circuitos. O 1o e o 2o índices indicam. e subtrair desse resultado a soma dos produtos dos números das diagonais indicadas pelas setas para cima.a 33 ) (a 12 .a 31 ) (a 13. como mostrado a seguir: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 33 a 32 onde cada termo a é um número. respectivamente.a 21.a 32 ) (a 31.a 12 ) Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 103 . o método mais indicado consiste em repetir as duas primeiras colunas à direita da terceira coluna a então fazer a soma dos produtos dos números das diagonais indicadas pelas setas para baixo. com 3 linhas e 3 colunas é de 3ª ordem e assim por diante. que constitui o produto dos números da diagonal principal menos o produto dos números da outra diagonal. como mostrado.a 13 ) (a 32 . a que cada número pertence. um conhecimento básico de determinantes é necessário.a 11 ) (a 13. O resultado é: D P1 P2 P3 (P4 P5 P6 ) (a 11. Um determinante com duas linhas e duas colunas é um determinante de segunda ordem.a 22 .a 23. Como exemplo. LKC). fornecem: A a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 X B a 13 I1 V1 a 23 I 2 V2 a 33 I 3 V3 A matriz A é formada pelos elementos do circuito. as equações escritas na forma retangular. nas malhas 1 e 2 e 3). Ax = B. a matriz X (vetor coluna) é constituída pelas incógnitas do sistema.3 I1 30 . R1. é necessário escrever as equações no formato matricial Ax = B.3 10 .O cálculo de determinantes de ordem superior à 3 exige métodos que não serão considerados neste texto.3 I1 – 7 I2 + 12 I3 = 15 Forma Matricial 5 . para um circuito com três malhas é: a 11I1 a 12 I 2 a 13I 3 V1 a 21I1 a 22 I 2 a 23I 3 V2 a 31I1 a 32 I 2 a 33I 3 V3 Estas equações. para o método das correntes nas malhas de um circuito (aplicação da Lei de Kirchhoff das Correntes.9 I . Aplicação da Regra de Cramer Seja o sistema: 5 I1 – 3 I2 – 3 I3 = 30 -3 I1 + 10 I2 – 9 I3 = . etc.45 2 3 7 12 I 3 15 Pela Regra de Cramer. Para a aplicação da Regra de Cramer na análise de circuitos. no caso I1 e I2 e I3 e a matriz B é constituída pelas elevações de tensão nas malhas (termos independentes.3 . no caso.45 . R2 e R3 .. colocadas no formato MATRICIAL. Existem calculadoras científicas programáveis e softwares que resolvem este tipo de cálculo com facilidade. encontra-se a variável In da seguinte forma: In Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico Dn D 104 . a corrente I 1. por exemplo. Para o caso do sistema em questão. o qual é formado substituindo-se a n-ésima coluna da matriz de D (determinante do denominador) pelos termos da matriz B. para se encontrar. teremos: 30 45 15 D I1 1 5 D 3 3 3 10 7 3 10 7 3 9 12 3 9 12 Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 105 .onde D é o determinante formado pelos coeficientes das incógnitas (termos da matriz A) e Dn representa o determinante da n-ésima incógnita. este tipo de questão indica Múltipla Escolha para resposta (nota: para este tipo de questão não basta apenas marcar a resposta.letra E (por ex. a) R4 = 7. 2001). cujo significado vem descrito a seguir: . calcule o seu volume V.letras M e E (por ex. representada pela letra grega . que indica Desafio! Lista de Exercícios e Problemas I ..letra T (por ex. segue-se a metodologia adotada em (CHAVES.5 x 10 5. é preciso apresentar a solução da mesma por escrito).000005 . . questão 45ME) .4. questão 20P) . 2E . notação científica e prefixos padronizados 1E .. sabendo-se que V = a3. questão 30T) este tipo de questão indica um exercício teórico e – letra D. .1 .este tipo de questão indica um Problema. Capítulo 2 .9 x 10 5. 3E . questão 1E) .Introdução ao Estudo de Circuitos Elétricos. c) R3 = 0.7 k. b) R2 = 4. o qual apresentará um maior grau de dificuldade e envolvimento por parte do (a) aluno(a).: (a) 1.Apêndice 2 Apêndice 2 – Listas de Exercícios e Problemas Instruções: . Cada questão vem seguida de uma letra. escrevendo o resultado na forma de notação científica: Resp.A unidade de resistência elétrica é o Ohm.este tipo de questão indica um Exercício. que requer um raciocínio simples e a aplicação direta de uma fórmula ou equação.Para a identificação das questões propostas nas Listas de Exercícios e Problemas de I a IV. . (c) 9 x 10 -1 .Efetue as seguintes operações.a) Supondo que o próton tenha a forma de um cubo. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 106 .Potências de 10. (b) 2.LEP I Capítulo 1 . cuja aresta é dada por a = 10-13 cm.Determine então a resistência elétrica em ohms na forma de potência de 10 para os seguintes resistores: a) R1 = 120 M.2 x 10 5.letra P (por exemplo.Circuitos Elétricos em Corrente Contínua (CC) Seção I. (d) ..20 . 500 Ah.: 60 lâmpadas.252.: (a) V = 10-39 cm3. Potência e Energia elétrica. d) 680 kW em MW. c) 0. 9E – Encontre o valor da energia química em joules gasta em uma bateria automotiva de 12 V para mover 8.6 kWh.8 x 106 C. (c) 2. 6E – Qual é a unidade fundamental de corrente elétrica? Como ela pode ser definida fisicamente? 7E (O'MALLEY. f) 5.000. determine a sua densidade em g/cm3.Grandezas Elétricas: corrente.Um fusível de 30 A foi instalado em uma rede alimentada por uma tensão de 120 V. 11E . Resp. Resp. (b) d = 1015 g/cm3. 12E .: 48. sendo percorrido por uma corrente de 5 A. e) 4.000 W em megawatts (MW). OBS. Quantas lâmpadas de 60 W poderão ser ligadas simultaneamente nessa rede.(NILSSON.0 ampères.: 1 HP = 746 W. 10. c) calcule por quanto tempo esta bateria forneceria uma corrente constante de 2.2 .Qual a energia química gasta por uma bateria de 1.000 watts para kW e MW. Qual foi a energia elétrica utilizada? Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 107 .8 x 10 -3 kWh.000 em M. b) a resistência do chuveiro em . de utilização. Resp. Seção I.: (a) 5.000 0001 F para microfarads (F). b) a energia armazenada nesta bateria em J. 15E – (a) Um estudante usou uma lâmpada de 100 W durante 8 h de estudo. 13E .b) Considerando-se que a massa do próton seja de 10-24 g .pág.Um dispositivo eletrônico é conectado a uma fonte CC de 48 V. Se o custo médio da energia é de R$ 0. (b) 40.075 segundos para milissegundos . Pede-se: a) a sua carga elétrica em C. Resp. 10P – Uma bateria tem como especificações: 12 V . 4E .12 . Pede-se: a) a intensidade de corrente elétrica que passa pela resistência do chuveiro.400.6 MJ.: W = 0.75 J. 1993) . Resp. 1999) Problema 1. c) a energia elétrica consumida se o chuveiro permanecer ligado durante 2 h 10 min.12 / kWh (valor fictício). Encontre a energia fornecida pela bateria a este receptor em kWh em 4 h de utilização. calcule o custo da energia consumida neste período.Escrever cada um dos valores que se seguem primeiro em notação científica e a seguir com o prefixo adequado. Uma bateria de 12 V fornece 100 mA a um receptor de rádio.45 A. b) 7. d) 200 ns para segundos. ? Resp. Calcule a energia elétrica (em kWh) consumida após 1 h 30 min.36 kWh. (b) Um eletrodoméstico de 127 V que possui uma resistência de 50 hora e meia.00053 A para miliampères (mA). (b) W = 21. 14P – Um chuveiro elétrico ligado a uma rede de 220 V consome 1200 W de potência.: 4.: (a) Q = 1. sem que o fusível se queime? Resp.33 .400 V para quilovolts (kV).93 x 1020 elétrons do terminal positivo para o negativo. 5E – Faça as seguintes conversões: a) 0.25 V para produzir uma corrente de 130 mA durante 5 min. a) 0. . b) 2. c) 946 watts para HP (horse-power). tensão e resistência. 8T – Defina diferença de potencial ou de tensão elétrica entre dois pontos A e B. (c) t = 250 h. 1.5 h. d. Figura 18. (a) (b) 22E – Encontre a resistência equivalente da associação de resistores mostrada no circuito Figura 22. Resp.3 – Página 51. 16ME – Um forno de microondas de 220 V – 1200 W. ( ) 3 h. 1993) .68. onde: R1 = 1 k. Pdissip. para R = 1 k e V = 10 volts. (b) Energia (W) = 0.: (a) 18. ( ) 2. Seção I. Resp. 20P – Para o circuito ao lado. (b) Rab = 20 . 81.1 em função de R. (b) IA1 = 6. b.1.: (a) RT = 1.06 .: RAB = 517.67 h. adaptado.26 .Problema Suplementar 3. encontre a resistência RT com os terminais A e B: (a) abertos e (b) curtocircuitados. Código de Cores de um Resistor. Figura 19. Qual é a potência dissipada nesta associação? DADOS: V = 48 V e R = 10 .: Req = 22.Resp.5 h. encontre o valor do custo de funcionamento desde amplificador. pág. ligada durante: a. 23P (O'MALLEY.80. que podem ser conectados da maneira que ele Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 108 .24 . Figura 22. (b) Calcule a corrente total que circula no amperímetro A1. Resistência variável. Um técnico dispõe de três resistores de 4 . Resp. (b) 18.484 kWh. consome a energia equivalente a uma lâmpada incandescente de 220 V – 60 W. Determine as resistências equivalentes Rab para os dois circuitos abaixo. 1999) – Problema 3. 17E – Um amplificador sonoro de 1200 W opera durante 6 horas. ( ) 6.63 R . ( ) 6 h.1.: (a) Rab = 15 . 19E – Calcule o resistor equivalente RAB para o circuito da Figura 19. Sabendo-se que o custo do kWh na localidade é de R$ 0. 21P (NILSSON.13 mA.1. Resp. funcionando durante 20 minutos.5 .4 W. R3 = 10 k.10.Resistência equivalente de um circuito.: (a) Custo = R$ 0. e.1. ( ) 5. c. Resp.3 . 18P – (a) Encontre a resistência total RT do circuito da Figura 18. R2 = 1k2 . = 102. quiser em uma bateria de 12 V. b. b) verde-marrom-marrom-incolor. b) Para qual conexão à bateria de 12 V teríamos a menor corrente drenada da mesma? 24E (O'MALLEY.Problema Suplementar 3.1 e 28. (b) 510 .1. 1993) . 25ME .a) Definir resistor fixo e identificar os principais tipos. os pontos 3 e 6 são equipotenciais (possuem o mesmo potencial elétrico). 82. Resp. onde todos os resistores são iguais a R.: 1.68. Desenhe circuitos que mostrem a aplicação de resistores variáveis. A resistência de um condutor é 25 . ( ) 5R/12. 48 . (b) na posição Q.: 37. ( ) 8R/15.O valor da mudarmos somente: a. 27E (O'MALLEY.46. ( ) 7R/10. c) azul-cinza-verde-prata.d. ( ) 7R/12. b) O que significa o fator tolerância num resistor? c) Explique o significado da especificação de potência de um resistor. a que ele é submetido. 1993) . Se duas das resistências são de 1 k e de 5 k. pág.Determine a resistência elétrica utilizada do reostato nos esquemas das Figuras 28.11 .5 . Resp. sua resistividade. área de sua seção transversal. Resp. d) Conceitue resistores variáveis e identifique os tipos. (c) 6. 28E . quanto à constituição do elemento resistivo. Represente os esquemas obtidos.Problema Suplementar 2. Outro condutor do mesmo material e à mesma temperatura possui o dobro do diâmetro e seis vezes o comprimento. Encontre a resistência do segundo condutor.Encontre a resistência equivalente entre os pontos 1 e 2 da estrutura ao lado. 45.Encontre a tolerância e o valor nominal da resistência correspondente aos seguintes códigos de cores: a) marrom-marrom-prata-ouro. 1996) . Figura 28. b. c.0 x 10 3 . d. c. 5 %. ( ) 3R/10. Nota: Por simetria.25 k. 2 ou os 3 resistores para obter Req. O resultado encontrado é: a. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 109 .0 x 10 2 .: (a) RP = 2. 26T (GUSSOW. seu comprimento.2. 20 %. Três resistores em paralelo têm condutância equivalente de 2 mS. quando o cursor está: (a) na posição P. 10 %.p. 1993) . d.: (a) 0. Calcule o valor da terceira resistência.Problema Suplementar 2. a) Que valores diferentes de resistência equivalente (Req) poderiam ser obtidos com esses três resistores? Considere que o técnico poderá utilizar 1.2. Figura 28. e. (b) RQ = 5. 30ME . 29P (O'MALLEY.8 M. e. Resp. pág. d. resistência elétrica de um condutor ôhmico não varia se ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) o o a a a material de que ele é feito.71. pág. assim como os pontos 4 e 5. Calcule o rendimento percentual da carga conectada em A e B. 34P – Sejam três resistores em série. sendo os resistores dados por R1 = 2 k. a) Desenhar o esquema do circuito. Resp.: R = 26. 32E – No circuito da Figura 32.0. de 12 V e 60 W (nominal) através de uma chave S. 33P – Uma bateria obedece à equação V = 20 . 37E – Encontre a corrente total fornecida por uma bateria de 12 V que alimenta 4 (quatro) resistores ligados em paralelo. Trocando-se um dos resistores por outro de resistência 2R. Seção I.: I = 17.1).5i.C.6 mA. R2 = 2k2 . Figura 31.2 mA.32 e PR = 23. (d) = 80 %. 35E – Determine a resistência e a dissipação total de potência do resistor que deve ser conectado em série a um resistor de 100 e a uma fonte de 120 V de forma a limitar a potência limitada no resistor de 100 em 90 W. (c) P útil = 128 W. a potência total dissipada é P.: (a) E = 20 V e r = 0. alimentados por uma fonte C. é medida no circuito série uma corrente de 8. são ligados em paralelo a uma bateria ideal.1. Resp.: P’ = 3P/4. Figura 32.1. Pede-se: a) b) c) d) Quais os parâmetros (E e r) desta bateria? Qual a ddp em seus terminais? Calcule a potência útil fornecida à carga.: (b) R1 = R3 = 960 m e R2 = 480 m. num local onde a tensão da rede é de 127 Volts ? Resp. R1. temos uma chave S que pode permanecer aberta ou fechada. Resp. R3 = 4k7 e R4 = 3k3 .Circuitos Resistivos em Paralelo e Mistos 36P – Dois resistores. ambos de resistência R.0 A.: (a) IR1 = IR2 = 2.5 ohm. 60 W (Figura 31.64 mA.75 W. Nessa situação. R2 e R3.C. b) para a chave S fechada. Sabe-se que R1 = R2 = 10 k. Resp. Determine a corrente em cada resistor: a) para a chave S aberta.5 .Circuitos Resistivos em Série 31E – Qual o valor da resistência que deve ser associada em série a uma lâmpada incandescente de 120 V. (b) VAB = 16 V. Resp. Quando aos seus terminais A e B é conectada uma carga resistiva. encontre a nova potência total dissipada no circuito.4 . Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 110 . Calcular o valor de cada resistor para a operação da fonte C. em condições nominais.: R = 14 .Seção I. (b) IR2 = 0 e IR1 = 5. sabendo-se que R1 = R3 = R e que R1 = 2 R2. Resp.1. para que ela trabalhe dentro da sua tensão especificada. tem-se que as indicações de: a. Aumentando-se R. ( ) i/2. Fechando-se a chave S. (c) 4. Figura 40. (b) RL = 5 e (c) RL = 20 . 43P . E (em V) que o gerador pode ter sem queimar a lâmpada? Considere r = 0 (resistência interna da bateria).m. São dados: I 28 A . 84. b. E e resistência interna r está conectada a um reostato R.Resp. 39ME – (UFF-RJ) No circuito ao lado.1. d. a corrente que percorre o ramo PQ é i. Resp. 40ME (ITA-SP) . d.m.Divisor de Corrente 42P – No circuito mostrado na Figura 42. temos os resistores R1 = R2 = 30 .5 A. acusa uma diferença de potencial nos terminais A e B de 50 volts. Figura 42.: 1. quando submetido a uma tensão de 100 V.1.9 V.: (a) 100 k. o gerador é ideal e todos os resistores são iguais. faça R1 = 6 e R2 = 12 para calcular a corrente no resistor R1. Com a chave S aberta. c. use divisão de corrente por duas vezes para calcular a corrente IL no resistor de carga RL para: (a) RL = 0 . (b) 1.1. ( ) 3i.1. R1 = 8 . onde A é um amperímetro ideal e V um voltímetro também ideal. e A diminuem. ( ) 2i. Seção I. R2 = 6 e R3 = 20 . = 220 W. Figura 41.Uma bateria de f. b. conforme a Figura 40. pág. (b) 9. ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) V V V V V e A aumentam. quando emite sua potência máxima Pmáx.1.Problema Suplementar 3. c. quando ligado no circuito da Figura 41. diminui e A permanece constante.(O'MALLEY. aumenta e A diminui.: (a) 16 A.38E – No circuito ao lado. e. e.96 A. Esse voltímetro. a nova corrente no ramo PQ será igual a: a.1.: E = 250. 1993) . Figura 43. Qual é a máxima f. ( ) 2i/3.e. ( ) 3i/2. a) Qual a resistência interna do voltímetro? b) Qual o valor da corrente que circula pela fonte DC? Resp.e. = 2. diminui e A aumenta.6 .1.1. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 111 .82. é percorrido por uma corrente de 1 mA. 41P (Fuvest – SP) Um voltímetro. 1 = Resp.67 A.5 A. A lâmpada pode suportar uma corrente máxima imáx. No circuito mostrado na Figura 43.33 A. b) Substitua a fonte de 45 V por uma fonte de tensão geral igual a Vs.Calcule a tensão de saída Vo e as correntes nos resistores R1 e R2 do circuito da Figura 50. = 76. 49E .Use divisão de tensão por duas vezes para encontrar a tensão V resistor de saída de 45 no circuito da Figura 45. b) Determine a corrente que circula no resistor de 10 ohms. I R1 = 8 A e I R2 = 4 A.: V = 36 V. Resp.Fontes de Tensão e de Corrente 48E . Dados: R1 = 3 ohms e R2 = 6 ohms.1.: Vo = 24 V.1. 1999) Prob.Divisor de Tensão . Resp. Calcule Vx em função de Vs.1 em fontes de corrente.1.Transforme as fontes de tensão da Figura 48.pág.2 – Página 41.1. Seção I. Dados: R1 = 6 ohms. Determine a potência dissipada pelo resistor R2 no circuito da Figura 49. Figura 49. 50E . a) Determine a tensão vx no circuito da Figura 47. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 112 .6 V. Resp.5 .1. 47E . 51. 3. a) Desenhe o esquema deste circuito.83. Resp. R2 = 30 ohms e R3 = 20 ohms. Resp.Problema Suplementar 3. Resp.1.: Vx = Vs /5. Determine os valores máximo e mínimo de vo. R1 = 16 . onde: VA = 80 V. adaptado. Figura 47. 46E – (NILSSON.44P (O'MALLEY. 1993) . Seção I.: 9 V. Uma corrente de 60 A circula por uma associação de resistores descrita por: RT = 40 // (12 + 40 //10). 1999) Problema 3.12. Resp.02 V e vo min. Figura 50. 45P .1. Os resistores utilizados no circuito divisor de tensão ao lado possuem uma tolerância de 10 %.(NILSSON.(NILSSON. R2 = 40 e R3 = 15 . 1999) – Exercício 3.1. pág.7 .8 .: 480 W. Figura 48. Suponha que Vs é positiva no terminal superior. = 83.: 32 A.: vo máx. 84. I1 e I2 para o circuito da Figura 2.3. Figura 2. 1E – Para o circuito da Figura 2.: Vi = 120 Volts e todos 5P – Para o circuito mostrado na Figura 2. (b) ig . VA . Seção II.5. Determine: (a) ia . Determine Vo (tensão de saída). (c) a potência fornecida pela fonte de corrente.6.3. aplicando a regra do divisor de corrente e a LKC. VB .2. 4P – Um circuito alimentado por uma tensão Vi apresenta a seguinte expressão para a sua resistência equivalente: Req = R1 + R2 // (R3 + R4 // R5). A corrente io no circuito da Figura 2.5. Figura 2.2. os resistores são de 200 ohms. a) Desenhe o esquema do circuito. b) Qual é a potência dissipada no resistor de 20 k ? 2E – Calcule as correntes IT. encontre a faixa de variação de R para VAB variando de 80 a 120 V. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 113 . R1 = 30 ohms e R2 = 25 ohms. e VAB.1. Dados: Vi = 160 V.LEP II Capítulo 3 – Leis de Kirchhoff. Figura 2. Ii (em mA). onde o símbolo // significa ligação em paralelo. b) Calcule: a corrente da fonte.6 é 14 A.1 – LKC – Lei de Kirchhoff das Correntes.Lista de Exercícios e Problemas II . Capítulo 4 – Métodos de Análise de Circuitos Elétricos.1. Obs. Figura 2. Figura 2. 6E (NILSSON. pede-se: a) Calcule a tensão V no resistor de 5 k.3 – Página 31. 3P – Seja o circuito da Figura 2. 1999) – Problema 2. O valor da resistência R para que a leitura de corrente no amperímetro seja de 1. calcular a tensão VG fornecida pelo gerador CC e a perda de tensão (VC) nos condutores. ( ) 2.0 A deve ser .10.2 – Página 26. 8E – Um circuito apresenta a seguinte equação para Req : Req = RC //(RA + RB).0 V. ( ) 3. 11ME (OSEC-SP) – Considerando-se os valores das resistências e das tensões no circuito ao lado. verifique que o gráfico de vt em função de it é uma reta.0 V.. RA = 6 ohms e RB = RC . b. será de: a. ( ) 7. e. Usando estes valores.13 aparecem na tabela anexa. b) Dados RC = 10 ohms. c. c. d. Determine a equação dessa reta e use-a para construir um modelo para o dispositivo usando uma fonte de tensão ideal e um resistor. e. b. a. 13P (NILSSON.2 – LKT – Lei de Kirchhoff das Tensões.12. IE . 1999) – Exercício 2. em ohms: Figura 2.0 V. 10ME – No circuito da Figura 2. considere o amperímetro ideal (RA = 0).05 ohms. 12E – a) No circuito da Figura 2. b) Use o modelo no item (a) para determinar a potência fornecida pelo dispositivo a um resistor de 25 . d. 1999) – Exercício 2. calcule: a) i5 . 7E (NILSSON. qual é a potência fornecida pela fonte Vs ao circuito em kW? Figura 2.Seção II. ( ) 12.10.12. 9E – Um gerador CC alimenta uma carga através de um par de fios. a leitura do voltímetro V (considere-o ideal). ( ) 6. determine o valor de E e a corrente da fonte. sendo que o mesmo é alimentado por uma bateria de tensão E. (b) v1 . a) Os pares de valores de tensão (vt) e corrente (it) medidos nos terminais do dispositivo da Figura 2. cada um tendo uma resistência de 0. ( ) 3.0 V. (d) v5 .4 – Página 26. sabendo-se que VRA = 48 V. qual deverá ser o valor ajustado em Vs para que a lâmpada L1 opere sob condições nominais? b) Nesta condição. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 114 . ligado ao circuito. ( ) 4. (c) v2 . a) Desenhe o esquema deste circuito. ( ) 1. e) a potência fornecida pela fonte de 24 V. ( ) 2. Para o circuito ao lado. ( ) zero. Se a potência dissipada na carga é de 6 kW e a sua tensão é de 120 V. 18. Figura 2. b) a potência dissipada no resistor R2 .18.1 e 0.63.39. Figura 2.15. sabendo-se que não existe corrente circulando de a para b ou vice versa. Figura 2.13. Figura 2.Figura 2. já que a soma das correntes que deixam qualquer superfície fechada é nula.: (a) uma fonte de tensão de 25 V em série com um resistor de 100 ohms. Determinar. Duas baterias de 12 V em paralelo fornecem corrente a uma lâmpada que possui uma resistência. 79. pág. para o circuito da Figura 2. 122. b) Determine o valor de V1. encontre a potência consumida pela lâmpada. (b) a tensão v em volts. 18E (O’MALLEY. 1993) – Problema Suplementar 3.17. Se as resistências internas das baterias são 0. pág.15. de 0. pede-se: a) os valores das resistências R1 e R2 . Resp. 17E – Para o circuito da Figura 2. c) o valor da potência fornecida ao circuito por outra bateria de 48 V. 1993) – Problema Suplementar 4. em A. 1999) – Exercício 2.2 .17. 14P (NILSSON. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 115 . considerando os valores de R1 e R2 encontrados no item (a).6 – página 29.14. quando aquecida. 15D – Calcule a tensão V1 em função da tensão E para o circuito da Figura 2.14: (a) a corrente i1 em microampères. (b) 1 W. a) Determine o valor de I.5 . Figura 2. 16E (O’MALLEY. em V. 1999) Exercício 4. 33. 21E (O’MALLEY. 22E . 1999) Exercício 4.21. Figura 2. página 81. 1993) – Problema Suplementar 4.(NILSSON.20 . Figura 2.3 – Resolução de circuitos pelo método das correntes nas malhas.22.23. Figura 2. Seção II. b) Qual é o valor da tensão V1 ? Figura 2.12.19. Figura 2.23.67. 1993) – Problema Suplementar 3. 23P (NILSSON. 20D (NILSSON.36. (a) Determine o número de correntes de malha necessárias para resolver o circuito da Figura 2. 70. pág.11. b) Calcule a potência dissipada nos resistores de 45 ohms e de 10 ohms. a) Calcule o valor da corrente I. pág. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 116 . página 71.22 e b) a potência dissipada no resistor de 15 .19E (O’MALLEY. Figura 2.20. 1999) Problema 2.1 é ajustado para que va seja 60 V. Encontre as correntes de malha no circuito mostrado na Figura 2. 121. a) Determine o valor de R.19.21. Use o método determinar: das correntes de malha para a) a potência fornecida pela fonte de 100 V ao circuito da Figura 2. O resistor variável R do circuito da Figura 6.Pág. (b) Use o método das correntes de malha para determinar a potência fornecida à fonte dependente de tensão. R2 = 10 . 1999) Exercício 4.Problema 4. b) Repita o item (a) se a polaridade da fonte de 64 V for invertida. 72. R3 = 20 e R4 = 40 .26. 25E (O’MALLEY. Figura 2.43.26.27. pág.2 Página 90. 1999) Problema 4. a) Que método de análise de circuitos você usaria? Justifique a sua escolha. b) Use o método de análise escolhido para determinar a potência dissipada no resistor de 10 ohms. Suponha que alguém lhe pediu para calcular a potência dissipada no resistor de 10 ohms do circuito da Figura 2. R1 = 50 . Você escolheria outro método se lhe pedissem para calcular a potência fornecida pela fonte de corrente de 4 A? Explique a resposta. Seção II.9V1 – 23V2 + 56V3 = -2568 26E (NILSSON.28. Utilize a regra de Cramer para encontrar as incógnitas em: 26V1 – 11V2 – 9V3 = -166 -11V1 + 45V2 – 23V3 = 1963 .4 – Resolução de circuitos pelo método de Análise Nodal. pág.13.27.28. Use o método das tensões de nó para determinar vo no circuito da Figura 2.24. Figura 2. 120.24.24P (NILSSON. 1999) . Figura 2. 27P (NILSSON. Figura 2. 94. Determine a potência fornecida pela fonte de corrente de 4 A. Página 92. Dados: Vi = 15 V.32. Use o método das correntes de malha para determinar vo no circuito da Figura 2. ib e ic da Figura 2. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 117 . 28P (NILSSON. 1999) - Problema 4.27 – a) Use o método das correntes de malha para determinar as correntes de ramo ia. pág. 1993) – Problema Suplementar 4. 32E (NILSSON.34. 1999) - Problema 4.10 - Use o método das tensões de nó para determinar a corrente io (em mA) no circuito da Figura 2. 4.18 – Página 91. Figura 2. 1999) – Problema 4. 1999) – Problema 4. b) Verifique a resposta do item (a) determinando a potência total recebida no circuito. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 118 . Figura 2. Seja o circuito da Figura 2. 31E (NILSSON.33. Utilize a análise nodal para determinar as tensões v1 e v2.5 – Pág. 1999) . c) Determine a potência total fornecida pelas fontes independentes. a) Utilize o método das tensões de nó para determinar vo no circuito da Figura 2. b) Qual o valor de potência fornecida ao circuito em kW pela fonte de tensão de 640 V? 30E (NILSSON.32. Figura 2.20 – Página 92.31. v2 e v3 no circuito da Figura ao lado.30.31.30. 1999) – Prob.32.4 – Página 90. Para o circuito da Figura 2.34. 34P (NILSSON. Figura 2. Figura 2. 1999) – Prob. 90. b) Determine a potência recebida pela fonte dependente. 4. a) Use o método das tensões de nó para determinar v1.33.6 Página 90. a) Use o método das tensões de nó para determinar a potência total no circuito da Figura 2. 33D (NILSSON. utilize a análise nodal para determinar a potência recebida do circuito pela fonte de 20 V.29P (NILSSON.Problema 4. Página 91. 39.35. 1999) – Prob. 36P (NILSSON. Figura 2. 4.21 – Pág. 1999) – Problema 4. 38D (NILSSON.26 – a) Através da análise nodal. b) Verifique que a resposta do item (a) está correta mostrando que a potência fornecida é igual à potência total dissipada.37.29 – Página 93. 4. Figura 2.37. Figura 2. mostre que a tensão de saída vo no circuito da Figura 2. Figura 2. b) Determine vo se v1 = 120 V. v2 = 60 V e v3 = -30 V. 4. 93.5 – Questões Adicionais 37D (NILSSON. 39D (NILSSON. a) Use o método das correntes de malha para determinar a potência total fornecida pelas fontes no circuito da Figura 2. Use o método das correntes de malha para determinar a potência fornecida pela fonte de 20 A no circuito da Figura 2.36 é igual ao valor médio das tensões das fontes v1 a vn.93.35P (NILSSON. Seção II. Figura 2. 1999) Prob.38.28 – Pág. Página 92. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 119 . Utilizar o método das tensões de nó para determinar v no circuito da Figura 2.34 – Pág. 1999)– Prob. 1999) – Problema 4. b) Determine a potência total fornecida ao circuito. c) Teste a solução do item (b) verificando se a potência total dissipada é igual à potência total fornecida pelas fontes. a) Use o método das correntes de malha para determinar a potência fornecida pela fonte de corrente de 12 A ao circuito da Figura 2.36.35.38. 92.39. 8 kW e b) idem. a) 8. 23P 24P (a) 3. (b) 64. v2 = . Resp. (b) 19 A.2 mA.40. (a) 5 A. (b) Ii = 375 mA.08 A e ic = 2. (b) P10 = 3. VG = 125 V. ib = . VC = 5 V. Tensão de saída: vo = 20 V.8 W. 37D a) P460 = 9.4 kW a) –5. a) Vo = 15 V.: item (e).37 – Página 94. P115 = 1.84 kW. (c) 6650 W. 1E 2E Quadro de Respostas – LEP II (a) 10 V. (a) v1 = 380 V.: item (a). Corrente io = 15 mA. b) Demonstração. c) 2. 38D a) P12 A = -2. (a) 600 W. 111000EEE 11ME 12 13 Resp. b) 200 mW.56 V. (b) 1 W.111 V e v3 = 111 V.07 E/R.8A e I3 = 7 A. (a) ia = 9. E = 128 V e IE = 20. (d) 52. c) 67. (a) 285 V. a) Demonstração. V1 = 100 V e V2 = 50 V.35 E/R. 8E 9E IT 0. 14 15 16E (a) i1 = 50 A. (a) R1 = 4 e R2 = 12 . (b) P45 = 180 W e P10 = 90 W.2 A e ic = .6 W. a) Use o método das correntes de malha para deteminar i no circuito da Figura 2. V2 = 21 V e V3 = . (a) I = 12 mA. (b) P640 33.10 A.0. (b) Ps 1.11 V. (d) 15 V. (e) 72 W.28 E/R e I2 0. 39D 40D Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 120 .43 kW.8 A. vo = 50 V. b) 11.8 mW. VA = 45 V. R varia de 13. 3P 4P 5P 6E 7E 17E 18 19 20 Figura 2.8 A. (b) – 36 W.3W. (c) 128 W.40. b) 6. b) 50 V.28 kW. Potência consumida pela lâmpada: PL 224. 28P 29P 30E 31E 32E 33D 34P 35P 36P V = 15 V. (a) 3 A.64 kW.25 W.63 ohms a 4. b) Determine a potência fornecida pela fonte independente de corrente.85 kW. (b) 6 V. 21 22 I1 = 3 A. c) Determine a potência fornecida pela fonte dependente de corrente. (b) – 3 V. (c) 6 V.39 V.175 V. 25E 26P 27P V1 = .55 ohms. 2.1. V1 = E / 8. (b) ia = . VB = 15 V e VAB = 30 V. (b) 240 W. Vo = 10. (a) 3 A.72 A. (a) 15 ohms. ib = 1. (b) PR2 = 3 W. I1 026.8 A. (b) V1 = 96 V. c) Demonstração.07 kW. (b) v = 4. Potência recebida = 60 W.32 kW e P230 = 2.40D (NILSSON. I2 = .912 mW. 1999) – Problema 4.5 W. Determine o circuito equivalente de Thévenin do ponto de vista dos terminais a e b do circuito da Figura 3.LEP III Capítulo 5 – Teoremas Aplicados na Análise de Circuitos CC Seção III. Calcule também a corrente de curtocircuito do terminal a para o b. 1999) – Problema 4. Determine o circuito equivalente de Thévenin do ponto de vista dos terminais A e B do circuito da Figura 3. a) Determine o circuito equivalente de Thévenin do ponto de vista dos terminais a e b do circuito da Figura 3.3.58 – Página 96. 1999) – Problema 4.56 – pág.2. b) a corrente de carga IL e a tensão na carga.Problema 4.1 – Teorema de Thévenin 1E . Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 121 . 96. 3E (NILSSON. b) Calcule a resistência de Thévenin eliminando as fontes independentes. 6E (NILSSON. 96.6. 1999) . 5P (NILSSON. Figura 3.3. Compare o resultado com o obtido no item (a). Figura 3.5. Figura 3.4. a) b) Determine o circuito equivalente de Thévenin (parâmetros RTh e VTh) do ponto de vista dos terminais A e B do circuito da Figura 3. 1999) – Problema 4. Figura 3.0 A e VL = 30 V 2E – Para o circuito da Figura 3. 4P (NILSSON.2.5 calculando a tensão de circuito aberto e a corrente de curto-circuito. pede-se: a) calcular os parâmetros VTh e RTh e desenhar o circuito equivalente de Thévenin.55 – pág.Lista de Exercícios e Problemas III . a) VTh = 60 V RTh = 30 ohms b) IL = 1.Para um processo de análise de redes de circuitos elétricos.4. adaptado. VL. responda: a) como se procede para se desativar uma fonte de tensão? b) como se procede para se desativar uma fonte de corrente? c) como transformar uma fonte de tensão com resistência interna R em uma fonte de corrente com resistência interna R? Mostre através de um desenho.63 – Página 97. 9P (O´MALLEY.Determine o circuito equivalente de Norton para o circuito da Figura 3. b) Verifique a solução do item (a) usando o método das tensões de nó para calcular io.9.5 .10. 7P (O´MALLEY.41 V.11.7.7.6.24 A e RN = 12.47 – Página 169. 8P (O´MALLEY. Figura 3. Seção III.: 5. Resp. 1993) – Problema Suplementar 5.51 – Página 95.10.: IN = 3.1. A referência de VTh é positiva em direção ao terminal a.11.2 – Teorema de Norton e Conversão de Fontes 10E .Figura 3. Encontre o equivalente de Thévenin para o circuito do transistor com base aterrada mostrado na Figura 3.42 – Página 167.88 k. Resp. 1999) – Problema 4.9 V. com a seta de corrente em direção ao terminal a. Figura 3. Encontre o circuito Thévenin circuito mostrado na Figura 3. Encontre o equivalente de Thévenin para o circuito do transistor mostrado na Figura 3.5 .8. 1993) – Problema Suplementar 5. 11P (NILSSON.8. A referência de VTh é positiva em relação ao terminal a. Figura 3. -29.: 4 k. a) Utilize uma série de transformações de fonte para determinar a corrente io no circuito da Figura 3. 3.44 – Página 169. 0 V. Figura 3.9. 1993) – Problema Suplementar 5. Resp. equivalente do Resp. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 122 . Figura 3.: . 13 através de uma série de transformações de fonte. Determine o circuito equivalente de Norton do ponto de vista dos terminais a e b do circuito da Figura 3. 1999) – Problema 4. a) Use uma série de transformações de fonte para determinar a corrente io no circuito da Figura 3.14.13. c) Determine a potência fornecida pela fonte de 5 A. b) Determine a potência fornecida pela fonte de 340 V. Figura 3.12.52 – Página 96. a) Determine a corrente no resistor de 10 k do circuito da Figura 3. 14P (NILSSON.12.15. 13E (NILSSON. a) Use transformações de fonte para determinar vo no circuito da Figura 3.12E (NILSSON. d) Verifique que a potência total fornecida é igual à potência total dissipada. 1999) – Problema 4. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 123 . 15P (NILSSON. Figura 3.53 – Página 96. 1999) – Prob. b) Verifique a solução do item (a) usando o método das correntes de malha para calcular a corrente io.59 – Página 97.14. b) Use o resultado obtido no item (a) para determinar a potência fornecida pela fonte de 100 V.15.54 – Pág. 96. Figura 3. 1999) – Problema 4. Figura 3. 4. 20E – Para o circuito ao lado. 21P – Seja o circuito mostrado na Figura 3.21.84 . Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 124 .16E (O´MALLEY. Resp. encontre o equivalente de Norton com IN com referência positiva em direção ao terminal a. Que resistor RL absorverá a máxima potência? Calcule o valor de PLmax. ( ) VTh = 15 V e RTh = 0.: 4 ohms.6 V. ( ) VTh = 10. 1993)– Problema Suplementar 5.12 . Para o circuito da Figura 3. 19ME – Uma bateria automotiva possui uma tensão de circuito aberto de 12. Esta tensão cai para 10. 1999) – Problema 4. em m. e. pede-se: a) que resistor RL absorverá a máxima potência? b) calcular o valor de PLmáx.16. Dentre as alternativas abaixo.3 – Teorema da Máxima Transferência de Potência 17E – Seja uma bateria. d.6 V e RTh = 120 m . O resistor variável da Figura 3. b. ) VTh = 23.18. qual descreve o circuito equivalente Thévenin desta bateria? a.18 é ajustado para que a maior potência possível seja dissipada por Ro. 166. a qual possui uma tensão de circuito aberto de 6.8 V e RTh = 120 m .21. ( c. ( ) VTh = 10. Figura 3. Calcular: a) o valor de sua resistência interna. Seção III. 18P (NILSSON. .8 V e RTh = 100 m .8 V quando em seus terminais é conectada uma carga que absorve uma corrente de 15 A. Figura 3.39 – Pág.73 – Página 98.16. a) Determine o valor de Ro. b) a corrente na carga RL conectada aos seus terminais. para máxima transferência de potência a partir da bateria.0 V e uma corrente de curto-circuito de 36 A. ( ) VTh = 12.4 V e RTh = 0. Figura 3. b) Determine a maior potência que pode ser dissipada por Ro.3A. – Página 173.57. 24P (O´MALLEY. 1999) – Problema 4. alimentando uma em circuito aberto e a resistência interna são 14.22E (O´MALLEY. 1993) – Problema Suplementar 5. Seja um circuito de um automóvel. Página 100.56. que constitui de carga de 0. Utilize o teorema da Superposição para cada fonte para a corrente de carga.23. Figura 3. qual resistor conectado entre os terminais a e b absorverá a máxima potência? Qual será o valor dessa potência? Figura 3.22. Para o circuito mostrado na Figura 3.8 V e 0.26.25.8 ohm. utilizando o princípio da superposição.61 – Página 173. Seção III.83 – Utilize o princípio da superposição para determinar io e vo no circuito da Figura 3. 26P (NILSSON.25. 1993) – Prob. No circuito da Figura 3. Figura 3.5 – Página 207.4 – Teorema da Superposição 23P (O´MALLEY.4 ohm 0.23.27. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 125 .8 V e encontrar a contribuição de um gerador operando em paralelo com uma bateria. utilize o teorema da Superposição para encontrar a contribuição de cada fonte para VTh se esta possui uma referência positiva em direção ao terminal a. página 172.27.26. 25P – Calcule a corrente no resistor R1 utilizando superposição – Figura 3.5 ohm para a bateria. A tensão para o gerador e 12. Figura 3. Suplementar 5. Encontre no resistor de 2 ohms do circuito da Figura 3. 27E (BOYLESTAD. Figura 3. 1993) – Problema Suplementar 5. 2001) – Exemplo 9.22. 5 – Questões Adicionais 31E (IRWIN.Exercício E5. a corrente I no resistor de 10 ohms. utilizando o teorema da superposição. Seção III. 2001) – Problema 3 da Seção 9. pág. 201.2 – Página 239.30. 202.2 – Página 239. (a) (b) Figura 3. 30 ohms e 100 ohms. Figura 3. 29P (BOYLESTAD. a corrente em R1 nos circuitos da Figura 3. Seção 9. 2000).32. a) b) Desenhe o circuito equivalente de Thévenin para o circuito interno ao resistor R da Figura 3. (a) (b) Figura 3. para os circuitos da Figura 3. utilizando o teorema da superposição.30.2 – Página 238.17. 2000). 30P (BOYLESTAD.28.28P (BOYLESTAD. 2001) – Problema 2 da Seção 9. Encontre o circuito equivalente de Thévenin nos terminais A e B para a rede da Figura 3. Obtenha.29. Calcule a corrente em R para R igual a 2 ohms.Exercício E5. nos 32E (IRWIN. Figura 3.29. Encontre o circuito equivalente de Thévenin terminais A e B para a rede mostrada ao lado.32. 2001) – Problema 5.18.28 (a e b). Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 126 . Obtenha. pág. b) a máxima potência dissipada por RL em watts.8. 2000). pág.35. 2000). Utilize o teorema de Thévenin para calcular: a) o valor de Io no circuito da Figura 3. pág. 2000). pede-se: a) o valor de RL em ohms para máxima transferência de potência. Efetuar transformações de fonte para determinar o valor de Io no circuito da Figura 3. Através da utilização do princípio da Superposição.Problema 5.33P (IRWIN. pág. pede-se determinar o valor da corrente Io no circuito ao lado.37. o Figura 3.34. pág. pág.Problema 5.Exercício E5. Através do Teorema de Norton. Utilize o teorema de Thévenin para determinar Vo em volts para o circuito da Figura 3.36.34.Problema 5.38. Na rede da Figura 3. 216.38. página 213. 37D (IRWIN.Problema 5. 204.36. b) a corrente de curto-circuito na carga. Figura 3. 2000) . 39P (IRWIN.Exercício E5. 38D (IRWIN. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 127 . Figura 3. 2000). 217. 204.35. determinar o valor da corrente Io no circuito ao lado.20. Figura 3. 34E (IRWIN. 221. 36D (IRWIN.Problema 5.19.51. página 211.27. 2000).37. 35D (IRWIN. Figura 3. Na rede da Figura 3. b) a máxima potência transferida para resistor de 3 ohms. 2000).33.16. determinar: a) o valor de RL para transferência máxima de potência e a potência máxima dissipada pela carga. Utilize o teorema de Norton para determinar a corrente I na rede da Figura 3. 31E – VTh = 8 V e RTh = 8/3 . 18P .2 A. 30P – (a) VTh = 6 V e RTh = 6 .47 kW. 9P . RTh = 12 .IR1 = . 5P . b) RTh = 20 .3. 2E – a) RTh = 30 ohms e VTh = 60 V.5 A.4 V. 12E . 40D – I = 4.55 A. 27E – I1 = 1A.84 V.86. (b) I = 1.5 e IN = 3. Quadro de Respostas – LEP III 1E . 36D – IO = 0 A.a) Io = 3 mA. 23P .9 V. 29E – (a) IR1 = 4. 3E . 21P – RL = 16 ohms e Pmáx = 256 W.a) Ro = 5 k.RL = 20 e PLmax = 125 W.33 A. b) 660 mW. 20E . de b para a.40.3 A. c) – 300 W. 16E . 14P – a) Vo = -135 V. (b) IR1 = 3. 2000) .88 k e VTh = -29.48. b) IL= 1.41 V.2 k e VTh = . (b) I = 750 mA (R = 2 ).5 W. 10E .Contribuições: 8.a) Io = 4 mA.40D (IRWIN. 17E .RTh = 4 k e VTh = 3.Teoria. Figura 3.a) Ri = 166. 37D – VO = 76/11 V.Opção (d). 22E . b) –2. 32E – VTh = 48 V. 25P .45 mA. 4P . b) 45 mW.04 A do gerador e 5.a) Io = 1 A.5 e VTh = 0 V. 26P . b) Idem. 28P – (a) I = 3 A. 19ME . Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 128 . 34E – RL = 6 e PL = 50/3 W.98 V da FT de 48 V. b) Idem.a) RTh = 20 e VTh = 30 V.57 A da bateria. I = 166.a) RTh = 10 ohms e VTh = 60 V. página 220. 24P .Contribuições: -20 V da FC de 5 A e 31. 7P . 15P . 35D – (a) RL = 4 . 38D – (a) IO = . 11P .Problema 5.67 m.67 mA (R = 30 ) e I = 56.40.RN = 12.RN = 4 k e IN = 4 mA. 8P . 6E . b) IL = 18 A.RN = 4 e IN = .Vo = 270 V e Io = 2.RTh = 43.RTh = 5. 13E .RL = 100 k e PLmax = 62.9 A.RTh = 20 ohms e VTh = . (b) PL = 1 W.0 A e VL = 30 V.24 A.6 mA (R = 100 ).11 A. 39P – IO = 1/3 A.RTh = 1. 33P – Io = 9/5 A. 0 2 – Seja um circuito RC série. considerando-se os valores inicial.1.2 0. alimentado por uma tensão E = 48 V (Figura 1. b) Calcule VR decorridos 200 ms após a transição da chave S de 1 para 2.2): Tabela 1. v(0+) e final v(). após t = 0 s.: vR = -9.2.Lista de Exercícios e Problemas IV . 1993) – Problema Suplementar 8. Questão 1). alimentado por uma tensão contínua E. onde a chave S é conectada à posição 1.1): v( t ) v() [ v(0 ) v()]. Determine o tempo necessário para que a tensão no resistor caia a 30 % do seu valor inicial. encontrar a expressão que permite calcular o tempo em que a tensão vC atinge E/2. R = 10 k e C = 10 F. Nota : a expressão geral para o cálculo de vC(t) – vide a Figura 4. Obs. Considere vC (0) = 0V. 3 – (O'MALLEY.1.64 – página 270. 4 .2.4 0. 1993) – Problema Suplementar 8. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 129 .e t (4.2. São dados: E = 12 V. a chave S é fechada em t = 0 s.82 V.2 J.: 8 s.LEP IV Capítulo 6 Elementos Armazenadores de Energia e Estudo de Transitórios em corrente Contínua 1 – Seja o circuito RC série da Figura 1. c) Plotar no Excel ou software similar a curva de iC para os seguintes tempos após a transição da chave S de 1 para 2 (Tabela 1.: o capacitor está inicialmente descarregado. 0. a) Considerando-se o capacitor plenamente carregado e que em t = 0 a chave S é colocada na posição 2. Qual o tempo gasto por um capacitor de 10 F carregado com 200 V para se descarregar por um resistor de 160 k? Qual a energia total dissipada no resistor? Resp.56 – página 268. Figura 4.2 – Intervalos de tempo de descarga de C.é dada pela Equação (4. T (s) vC (V) 0 0.(O'MALLEY. No circuito mostrado na Figura 4. Encontre v C e i para t > 0 s. 1.6 0. Resp. Figura 4.1) Função exponencial crescente.8 Figura 1.2. carga do capacitor .1. C = 10 F e R = 100 k. 693. (a) Qual a taxa na qual a corrente é aumentada no instante em que a bobina é conectada à linha? (b) Qual a máxima corrente que pode circular? (c) Qual a corrente no instante 0.49 – página 300. 8. Uma corrente de 4 A circula no relé quando ele é subitamente desarmado. 9.: 17. 1993): – Página 267: 8. 1993): 9. A chave S no circuito a seguir foi fechada há um tempo superior a 5.61.66. 9.(L/R). Qual corrente circula no relé 0.64 e 8..Exercícios Adicionais 1. após ele ter sido desarmado? Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 130 . Uma bobina possuindo uma resistência de 15 ohms e uma indutância de 0.57.40.44. 9. 9.: 8. a) Qual será a corrente na bobina 8 ms após a chave R ter sido fechada? Resp.02 seg. 2.25 H.62.56 – página 301. Um circuito em série RL tem uma tensão constante E aplicada em t = 0.49 e 9. 5. Em que instante ocorre vR = vL ? Resp.1 seg.48 – página 300. Um relé possui uma resistência de 30 e uma indutância de 0. Em um instante t = 0. 3. 8. 8. 9. após a bobina ter sido conectada à linha? 6.50 – página 300 e 9.: em t 0. 9.56.46 – página 300.79 A. – Página 299: 9.54. b) Qual será a tensão no resistor R2 decorridos 8 ms após o fechamento da chave R? Resp. 8.6 V. 9.40 – página 299. Resolver os seguintes problemas (O'MALLEY. Resolver os seguintes problemas (O'MALLEY.6 H é conectada a uma linha de 120 V.46. Problema 3 4. R é fechada. . Suzan. São Paulo: Makron Books. [2] BARTKOWIAK. São Paulo: Atual. MARINO. Karl Heinz. Maria Aparecida M. revista e ampliada. Barueri: Editora Manole Ltda. R. P. Tamanho: 27. A. 4 edição. Análise de Circuitos em Engenharia. [9] DORF. São Paulo: Ática. a [13] GUSSOW. São Paulo: Makron Books. 1998. K. Análise de Circuitos. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos S. John Wiley & Sons. 1. Acesso em jun 2000. Física 3. [10] EDMINISTER.1 – Versão Estudante. 2000.3 MB. [5] BOYLESTAD. John. A. 10th Edition. 8ª ed.. 2 . L. Eletricidade Básica. 2002. São Paulo: Makron. 1991. [15] KIENITZ. James A. São Paulo: MAKRON Books. [17] O’MALLEY. Vol. Milton. David. São Paulo: Makron Books.. W.. Volume 2. [18] PSpice 9. J.. Introductory Circuit Analysis. 1988. 2001. [4] BOYLESTAD. 1999. 1993. Joseph.Mecânica. 5 edição. [19] QUEVEDO. Fabricante: Cadende PCB... São Paulo. 493 problemas propostos. Alaor Silvério. Circuitos Elétricos. Fundamentos de Circuitos Elétricos em corrente contínua (CC) para o Ensino Técnico 131 . McGrawHill. São Paulo: Editora Érica Ltda. Análise de Circuitos: um enfoque de sistemas. edição. 1998. Manual de Fórmulas Técnicas. Circuitos Elétricos. 1998. Física: Eletromagnetismo. [6] CAPUANO. 1996. Introdução à Análise de Circuitos. 2ª. A. Charles M. Robert A. A. [8] CLOSE. Física na Escola Atual . 2002. Disponível em <http://pspice. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos S. James. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos Editora. revista e ampliada. 2 edição. SVOBODA. Hemus Editora Ltda. Introduction to Electric Circuits. Circuitos Elétricos: reedição da edição clássica – Resumo da teoria. Robert A. 2001. [14] IRWIN.softonic. [11] GASPAR. a 350 problemas resolvidos. Rio de Janeiro: Reichmann & Affonso Ed. [7] CHAVES. A. edição. 1993.Referências Bibliográficas [1] ARRUDA & ANJOS. [3] BOYLESTAD. Circuitos Lineares. Circuitos Elétricos e Eletrônicos. 1993. 2001. Second Edition. Robert A. C. a [12] GIECK. 2ª edição. Licença: gratuita.. Laboratório de Eletricidade e Eletrônica. 1ª ed. Francisco Gabriel. Rio de Janeiro: LTC Editora. 2000. Richard C. a [16] NILSSON.com. RIEDEL. Introdução à Análise de Circuitos. 1994.br/>. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos S.
Report "Apostila Cei - Elm - 1a. Ed. Cefet-mg 2014"