Apostila Calculo III

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRACÁLCULO III 1 CÁLCULO III FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 2 INTRODUÇÃO Nos cursos de Cálculo I e II foram estudadas funções de uma variável real. Recordemos que uma função de uma variável é uma ”lei f” que associa a cada valor de uma variável x, um único valor de uma variável y. Neste caso x é chamada variável independente e y a variável dependente. Representa-se ( ) y f x = ou de forma mais detalhada escrevemos: : x y f(x) f A B → = a O conjunto A é o domínio da função f e indicamos ( ) A D f = . Quando não se faz menção ao domínio da função fica subentendido que é o maior subconjunto dos reais onde a expressão (lei f) faz sentido. Alguns exemplos de funções de uma variável: 1) A área de um círculo é função de seu raio, 2 ( ) y f r r π = = . 2) A pressão p , de certa massa gasosa, que se expande isotermicamente (temperatura constante), depende somente, do seu volume v , k p v = ; k cte = Entretanto, freqüentemente, temos situações em que uma grandeza depende simultaneamente, de várias variáveis. Por exemplo: 1) A área A de um retângulo de lados x e y, depende dos valores de x e y, xy A = . 2) A pressão P é função do volume V e da temperatura T , T P n R V = ; , n R cte = . FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se uma variável z depende de duas outras, x e y , de modo que a cada par ordenado ( ) , y x , está associado um único valor para z , temos uma função de duas variáveis ( ) z f x, y = . EXEMPLOS a) 2 2 2 x y z = + + ao par ordenado (1,0) corresponde o número 2 2 ( , ) 2 1 0 3 z f x y = = + + = FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 3 b) 2 2 9 - x - y z = Podemos utilizar a representação: ( ) ( ) 2 : D R R x, y , f z f x y ⊂ → = a onde ( ) { } 2 x, y / x, y R R = ∈ DOMÍNIO Quando definimos ( ) ( ) 2 : D R R, x,y , f z f x y ⊂ → = a , o conjunto Dé o domínio da função ( ) f x, y z = . A menos, que o domínio D, seja dado explicitamente, considere que ele é o conjunto mais “amplo” possível de pares ordenados ( ) , x y para os quais as operações que definem ( ) f x, y , estão definidas. No exemplo a) temos 2 = R D , enquanto que no exemplo b) ( ) { } 2 2 2 x, y R / x y 9 D = ∈ + ≤ , ou seja, o círculo de raio 3 e centro (0,0). Graficamente: a) b) CONJUNTO IMAGEM ( ) ( ) { } Im( ) , / , ( ) f z f x y x y D f = = ∈ No exemplo a) temos [ ) Im( ) 2, f = ∞ e no exemplo b) [ ] Im( ) 0,3 f = EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Determine o domínio das funções abaixo. a) ( ) 2 2 1 , f x y x y = + x x y y 3 3 3 − 3 − FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 4 Devemos ter 2 2 y 0 x + ≠ , ou ( ) ( ) , 0, 0 x y ≠ . Logo: ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } 2 2 x, y R / x, y 0, 0 R - 0, 0 D = ∈ ≠ = graficamente D é constituído pelo plano 2 R exceto a origem ( ) 0 , 0 b) ( ) 2 2 , y x - y f x = Devemos ter 2 2 - y 0 x ≥ , ou seja, 2 2 y x ≥ , ou y x ≥ . Logo: ( ) { } 2 x, y R / x y D = ∈ ≥ c) ( ) ( ) 1 , cos f x y x y x = + + Devemos ter 0 x ≠ , logo, ( ) { } 2 x, y R / x 0 D = ∈ ≠ . Observe que para a função cosseno não há restrições sobre x e y. d) 2 2 2 1 y ; a 0 x y - a z = + 〉 + Devemos ter 2 2 2 y - a 0 x + 〉 e 0 y ≥ . Logo: ( ) { } 2 2 2 2 x, y R / x y - a 0 e y 0 D = ∈ + 〉 ≥ EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determine o domínio de cada uma das funções abaixo: 1) ( ) 2 2 , y x y - 16 f x = + 2) ( ) 2 2 3 , y 9 - x - y f x = 3) ( ) 2 2 1 , y 25 - x - y f x = 4) ( ) ( ) , y sen x - y x - y f x = + 5) ( ) 3 1 , y x - y x - y f x = + 6) ( ) ( ) 2 , y ln y - x f x = RESPOSTAS FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 5 1) ( ) { } 2 2 x, y / x y 16 D = + ≥ 2) 2 R D = 3) ( ) { } 2 2 x, y / x y 25 D = + ≠ 4) ( ) { } x, y / y x D = ≤ 5) ( ) { } x, y / y x D = ≠ 6) ( ) { } 2 x, y / y x D = 〉 GRÁFICO Recordemos que o gráfico ( ) G f , de uma função f de uma variável definida em D R ⊂ , é o conjunto dos pares ordenados ( ) , y x , com x D ∈ e ( ) y f x = . A seguir é apresentado o gráfico da função 2 ( ) y f x x = = com domínio [ ] 2 , 2 − -2 -1 1 2 x 1 2 3 4 y No caso de uma função de duas variáveis ( ) , z f x y = com domínio 2 D R ⊂ , o gráfico ( ) G f , é definido por: ( ) ( ) ( ) ( ) { } 3 , y, , / x, y D R G f x f x y = ∈ ⊂ . ( ) G f é uma superfície no 3 R EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Esboçar o gráfico das seguintes superfícies: 1) ( ) 2 2 , 9 - x - y z f x y = = ( ) { } 2 2 2 x, y R / x y 9 D = ∈ + ≤ ≡ círculo de centro ( ) 0, 0 c e raio 3 r = ( ) Im f R + = FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 6 Para fazer um esboço do gráfico façamos inicialmente as intersecções de ( ) G f , com os planos coordenados 0 x = , 0 y = e 0 z = que são os planos coordenados. 0 z = (plano xy) 2 2 2 2 9 - x - y 0 x y 9 = ⇒ + = (circunferência no plano xy de centro (0,0) C e raio 3 r = . -3 -2 -1 1 2 3 x -3 -2 -1 1 2 3 y y = 0 2 2 2 z 9 - x x z 9 ⇒ = ⇒ + = (semi-circunferência no plano xz) x = 0 2 2 2 z 9 - y y z 9 ⇒ = ⇒ + = (semi-circunferência no plano yz) -3 -2 -1 1 2 3 y 1 2 3 z -3 -2 -1 1 2 3 x 1 2 3 z FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 7 Esboço de ( ) f G -2 0 2 -2 0 2 0 1 2 3 -2 0 2 2) Parabolóide 2 2 x y z = + (parabolóide de revolução) Intersecção com os planos coordenados: 0 x = (intersecção com o plano yz ) 2 z y ⇒ = (parábola no plano yz ) -2 -1 1 2 y 1 2 3 4 z y = 0 (intersecção com o plano xz) 2 z x ⇒ = (parábola no plano xz) -2 -1 1 2 x 1 2 3 4 z FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 8 2 2 2 x y z z = 0 (intersecção com o plano xy ) 0 y x 2 2 = + ⇒ (origem ( ) 0 0, ) -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 y 0 2 4 6 8 z -2 -1 0 1 2 x 3) Plano 2 z x y = − − Intersecção com os eixos coordenados: 0 2 x y z = = ⇒ = , 0 2 x z y = = ⇒ = , 0 2 y z x = = ⇒ = intersecção com os planos coordenados: 0 2- x z y = ⇒ = (reta no plano yz ) 0 2 y z x = ⇒ = − (reta no plano xz) 0 2- z y x = ⇒ = (reta no plano xy ) CURVAS DE NÍVEL FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 9 Dada a função ( , ) z f x y = , as curvas do tipo z c cte = = são chamadas curvas de nível constante, ou curvas de nível da função f . EXEMPLOS 1) Obter as curvas de nível da função ( ) 2 2 , z f x y x y = = + . Para uma curva de nível c , temos 2 2 x y c + = , 0 c ≥ . Estas curvas são circunferências no plano xy de centro ( ) 0,0 C e raio c . Algumas curvas de : ⇒ 2 2 4 x y + = ; ⇒ 2 2 1 x y + = ; ⇒ 2 2 1 4 x y + = -2 -1 1 2 x -2 -1 1 2 y 2) Obter as curvas de nível da função ( ) 2 2 1 , z f x y x y = = + . ⇒ 2 2 1 4 x y + = ; ⇒ 2 2 1 x y + = ; ⇒ 2 2 4 x y + = -2 -1 1 2 x -2 -1 1 2 y 4 c = 4 c = 1 c = 1 c = 1 4 c = 1 4 c = 4 c = 1 c = 1 4 c = 4 c = 1 c = 1 4 c = FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 10 Alguns casos especiais a) Se ( ) , y f x , é a temperatura do ponto ( ) , y x , de uma chapa plana D, as curvas ( ) , f x y c = , são chamadas curvas isotermas. b) Se ( ) , y f x , é a pressão de um gás de volume x e temperatura y , as curvas ( ) , f x y c = , são chamadas linhas isóbaricas. c) Se ( ) , y f x , é o potencial (elétrico ou gravitacional), na região D, do plano 0 x y , as curvas ( ) , f x y c = , são chamadas curvas equipotenciais. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Fazer um esboço dos gráficos das funções; a) ( ) 2 , 1 f x y y = − b) ( ) , 6 f x y x y = − − c) ( ) 2 , 25 f x y x = − d) ( ) 2 2 , 25 f x y x y = − − e) ( ) 2 2 , 25 f x y x y = − − 2) Represente no plano xy as curvas de nível 0 c = , 1 c = e 4 c = para as funções indicadas: a) ( ) 2 2 , 9 z f x y x y = = + − b) ( ) 2 2 , 9 z f x y x y = = + − 3) O potencial elétrico no ponto ( ) , x y é definido por ( ) 2 2 4 , 17 V x y x y = − − V em volts. Determine a curva eqüipotencial para 4 volts. 4) Seja ( ) 2 2 , f x y x y = + .Determine as curvas de nível 1 1 c = e 2 2 c = . FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 11 CONTINUIDADE Seja uma função f, definida em 2 D R ⊂ , com valores em R. Sendo ( ) 0 0 0 , P x y = , um ponto do domínio de f, dizemos que f, é contínua em P 0 , se para pontos P, “próximos” a P 0 , temos ( ) f P , “próximo” de ( ) 0 f P , ou seja: f é contínua em ( ) ( ) 0 0 0 P P P f P f P ⇔ ≅ ⇒ ≅ Intuitivamente a continuidade de uma função num ponto 0 P exprime que o gráfico de f não apresenta um “furo” ou uma “ruptura” de qualquer espécie nesse ponto sobre o gráfico de f . EXEMPLOS 1) ( ) , 8 2 f x y x y = − − f é contínua em ( ) 0 1,1 P f é contínua em todos os pontos ( ) 2 , x y R ∈ 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 , 1,1 , 9 , 1,1 x y se x y f x y se x y ¦ − − ≠ ¦ = ´ = ¦ ¹ 2 ( ) D f R = 5 z (1,1,5) P 1 1 y x FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 12 Com esta definição f não é contínua em ( ) 1, 1 . Observe que para pontos próximos de ( ) 1, 1 , temos os valores de ( ) , f x y próximos de 5 e não de ( ) 1, 1 9 f = . ( ) , f x y é contínua em todos os pontos ( ) ( ) , 1, 1 x y ≠ . DERIVADAS PARCIAIS Vamos relembrar o caso da derivada de uma função de uma variável (Cálculo I). Dada a função ( ) y f x = e ( ) 0 , x a b ∈ . ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f x lim x x f x f x x ∆ → + ∆ − ′ = ∆ se o limite existir e for finito. Geometricamente o número ( ) 0 f x ′ representa o coeficiente angular da reta tangente t ao gráfico de f no ponto ( ) ( ) 0 0 , x f x . ( ) 0 f x tgα ′ = z y x 9 1 1 5 y x 0 x 0 y ( ) y f x = t α FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 13 A existência da derivada de ( ) f x no ponto 0 x indica que o gráfico de ( ) f x , próximo de ( ) ( ) 0 0 , x f x apresenta-se “suave”, no sentido que admite uma reta tangente. Funções que apresenta “bicos” (pontos angulosos) ou rupturas não são deriváveis nestes pontos. Consideremos uma função de duas variáveis 2 : f D R R ⊂ → dada por ( ) , z f x y = . A derivada parcial de da função f em relação à variável x num ponto ( ) 0 0 , x y indicada por ( ) 0 0 , x f x y ou ( ) 0 0 , f x y x ∂ ∂ , é definida pelo limite (se existir): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 , , , lim x x f x x y f x y f x y x ∆ → + ∆ − = ∆ Analogamente a derivada parcial de da função f em relação à variável y num ponto ( ) 0 0 , x y indicada por ( ) 0 0 , y f x y ou ( ) 0 0 , f x y y ∂ ∂ , é definida pelo limite (se existir): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 , , , lim y y f x y y f x y f x y y ∆ → + ∆ − = ∆ EXEMPLO Dada ( ) 2 2 , z f x y x y = = + . Num ponto ( ) , x y qualquer, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 , , , lim lim x x x x x y x y f x x y f x y f x y x x ∆ → ∆ → ( + ∆ + − + + ∆ + ¸ ¸ = = = ∆ ∆ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 2 lim lim 2 2 x x x x x x y x y x x x x ∆ → ∆ → + ∆ + ∆ + − − = = + ∆ = ∆ Então se ( ) 2 2 , f x y x y = + temos ( ) , 2 x f x y x = . Analogamente mostra-se que ( ) , 2 y f x y y = . Assim para obter a derivada parcial da função f em relação à x, mantemos y constante e derivamos f em relação à variável x, enquanto que para obter a derivada parcial em relação à y, fazemos x constante. Outros exemplos: FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 14 1) ( ) 3 3 , 2 3 f x y x y xy = + + ⇒ 2 2 3 3 6 3 x y f f x y x f f y x y ∂ ¦ = = + ¦ ∂ ¦ ´ ∂ ¦ = = + ¦ ∂ ¹ 2) ( ) , cos f x y x y = ⇒ cos x y f f y x f f xseny y ∂ ¦ = = ¦ ∂ ¦ ´ ∂ ¦ = = − ¦ ∂ ¹ 3) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 , f x y x y x y = + = + ⇒ 2 2 2 2 x y f x f x x y f y f y x y ∂ ¦ = = ¦ ∂ + ¦ ´ ∂ ¦ = = ¦ ∂ + ¹ EXERCÍCIOS PROPOSTOS: A) Para as funções abaixo, encontrar : x y f e f 1) 4 3 ( , ) f x y x xy y = + + 2) 2 3 4 ( , ) f x y x sen y x y = + 3) 2 2 ( , ) .cos f x y sen x y x y = + − 4) 2 2 2 2 ( , ) x y f x y x y − = + 5) cos ( , ) sen x y f x y tg y + = 6) 2 ( , ) . cos f x y tg x sen y y x = − 7) 3 2 2 4 ( , ) x x y f x y x − + = 8) 3 2 2 ( , ) 1 x x y f x y x − + = + 9) ( ) 10 2 2 ( , ) f x y x y = + FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 15 10) 3 ( , ) ln f x y x senx y x − = + 11) ( , ) y f x y xe y senx = + 12) 2 2 2 ( , ) 3 x x f x y e seny y xy − = + − 13) 2 2 2 3 ( , ) 2 f x y x x y xy y = − + + 14) 3 2 3 1 ( , ) f x y x y = 15) 2 2 ( , ) ln( ) f x y x y = + 16) 3 3 ( , ) x y f x y e + + = 17) 2 2 ( , ) ( ) f x y sen x y = + B ) Calcule as derivadas parciais x f e y f nos pontos indicados: a) 2 2 3 ( , ) 7 7 f x y xy x y = − ; (1,1) P b) 2 3 7 ( , ) 2 f x y x x y = + ; (1,0) P C ) Mostre que, se 2 2 ln z x y = + então 1 z z x y x y ∂ ∂ ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ . D ) Sendo 2 2 ( , ) x y f x y x e + = ⋅ , calcule f f y x x y ∂ ∂ ⋅ − ⋅ ∂ ∂ SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA PARCIAL As derivadas parciais da função ( , ) z f x y = são interpretadas geometricamente do seguinte modo: ao calcularmos a derivada parcial f x ∂ | | | ∂ \ ¹ consideramos a variável y como constante e assim ( , ) f x y fica somente em função da variável x, cujo gráfico é uma curva no espaço, intersecção do gráfico de f com o plano vertical correspondente a y = constante. Assim a derivada parcial f x ∂ | | | ∂ \ ¹ é o coeficiente angular da reta tangente à curva no FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 16 ponto (x,y,f(x,y)) obtida por tal intersecção nesse ponto. Analogamente interpretamos a derivada parcial f y | | ∂ | ∂ \ ¹ . OUTRAS INTERPRETAÇÕES Consideremos ( ) , T x y a temperatura no ponto ( ) , x y de uma chapa D, contida no plano xOy . ( ) ( ) 0 0 0 0 , , x T T x y x y x ∂ = ∂ representa a taxa de variação da temperatura em relação a distância percorrida na direção do eixo x, (sentido positivo), a partir do ponto ( ) 0 0 , x y (taxa instantânea) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , y T T x y x y y ∂ = ∂ representa a taxa de variação da temperatura em relação a distância percorrida na direção do eixo y, (sentido positivo), a partir do ponto ( ) 0 0 , x y (taxa instantânea) Suponha que uma indústria produza dois artigos I e II, e que ( ) , C x y represente o custo de produção de x unidades do produto I e y unidades do produto II. FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 17 ( ) ( ) 0 0 0 0 , , x C C x y x y x ∂ = ∂ representa o aumento aproximado no custo por unidade de I, produzida a mais a partir de ( ) 0 0 , x y mantendo a produção de II constante. Analogamente, ( ) ( ) 0 0 0 0 , , y C C x y x y y ∂ = ∂ representa o aumento aproximado no custo por unidade de II, produzida a mais a partir de ( ) 0 0 , x y mantendo a produção de I constante. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de 2 2 10 2 z x y = − − com o plano 1 y = no ponto onde 2 x = . Resolução: O coeficiente angular pedido é dado por ( ) 2,1 x f Como ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 , 10 2 10 2 f x y x y x y = − − = − − , segue que ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 1 , 10 2 2 2 10 2 x x f x y x y x x y − − = − − − = − − e, portanto ( ) 2,1 1 x f tgα = = − 2) A temperatura do ponto ( ) , x y (x,y em cm e T em graus Celsius) de uma chapa plana é ( ) 2 2 , 30 50 T x y x y = + − − . a) Determine domínio de ( ) , T x y (formato da chapa) e a temperatura do ponto ( ) 3,4 ; b) Se a partir do ponto ( ) 3,4 uma formiga caminhar na direção do eixo x, sentido positivo, a temperatura aumentará ou diminuirá? Qual o valor desta taxa? Resolução: a) ( ) { } 2 2 2 , / 50 D x y R x y = ∈ + ≤ . A chapa D possui formato circular (raio 50 r cm = ). ( ) 3,4 30 50 9 16 35 o T C = + − − = b) Como a formiga se moverá na direção do eixo x, teremos y cte = . Logo ( ) 3,4 x T representará a taxa de variação da temperatura neste ponto e FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 18 nesta direção. ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 1 , 50 2 50 x x T x y x y x y = − − = − − − e assim ( ) 3 3,4 0,6 5 o x C T cm = − = − . Portanto a temperatura nesta direção diminuirá de 0,6 o C por cm. 3) Numa empresa comercial, o lucro diário L é uma função do número de vendedores x e do capital investido em mercadorias y (y em milhares de reais). Numa certa época tem-se ( ) ( ) ( ) 2 2 , 400 12 40 L x y x y = − − − − . a) Calcule o lucro diário se a empresa tem 7 vendedores e 30 mil reais investidos, b) Calcule ( ) 7,30 L x ∂ ∂ e ( ) 7,30 L y ∂ ∂ c) O que é mais lucrativo, a partir da situação a? Aumentar de uma unidade o número de vendedores, mantendo o capital investido, ou investir mais 1 mil reais, mantendo o numero de vendedores? Resolução: a) ( ) ( ) ( ) 2 2 7,30 400 12 7 40 30 275 L = − − − − = mil reais b) ( ) ( ) ( ) , 2 12 1 L x y x x ∂ = − − − ∂ ⇒ ( ) ( )( ) 7,30 2 12 7 1 10 L x ∂ = − − − = ∂ mil reais de lucro por vendedor admitido, ( ) ( )( ) , 2 40 1 L x y y y ∂ = − − − ∂ ⇒ ( ) ( )( ) 7,30 2 40 30 1 20 L y ∂ = − − − = ∂ mil reais de lucro por 1 mil reais investido, c) É mais lucrativo o investimento de mais 1 mil reais, pois o lucro deve aumentar de aproximadamente 20 mil reais enquanto que se admitindo mais 1 vendedor o lucro aumentaria aproximadamente de 10 mil reais. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Dada a função ( ) 2 2 2 1 , f x y y x y = + + a) Determine o domínio de f b) Calcule ( ) 3,4 f x ∂ ∂ e ( ) 3,4 f y ∂ ∂ c) Calcule o coeficiente angular da reta tangente a curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano 3 x = no ponto em que 4 y = . 2) A temperatura do ponto ( ) , x y de uma chapa é dada por ( ) 2 2 , 2 3 15 T x y x y = + + (T em o C e x,y em cm) FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 19 a) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto ( ) 1,2 b) Se a partir do ponto ( ) 1,2 nos movermos no sentido positivo do eixo x, a temperatura aumentará ou diminuirá? De quantos o C/cm aproximadamente? c) Em que ponto ( ) , a b a temperatura vale 45 o C, sendo a taxa de variação da temperatura com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo,igual a 12 o C/cm? (a,b positivos). 3) Para um gás ideal a temperatura T é uma função do par ( ) , P V , P (pressão), V (volume). Sendo 40 PV T = , calcule T P ∂ ∂ no ponto ( ) 200 , 500 e interprete o número obtido. 4) Um fábrica produz mensalmente x unidades de um produto I e y unidades de um produto II, sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por ( ) 2 2 , 15000 2 8 L x y x y = + + (L em reais). Num certo mês foram produzidas 2000 unidades de I e 1000 unidades de II. a) Calcule o lucro da produção conjunta neste mês; b) Calcule L x ∂ ∂ e L y ∂ ∂ neste mês; c) O que é mais conveniente a partir dessa situação: aumentar a produção de I mantendo constante a de II, ou aumentar a de II mantendo a de I? 5) Para um mol de um gás as grandezas P (pressão), V (volume) e T (temperatura absoluta) relacionam-se através da equação ( ) 2 a P V b RT V | | + − = | \ ¹ com a, b, R constantes. a) Represente P em função de T e V, isto é ( ) , P P T V = b) Calcule ( ) 0 0 , P T V onde 0 8 27 a T bR = e 0 3 V b = c) Calcule ( ) 0 0 , P T V T ∂ ∂ e ( ) 0 0 , P T V V ∂ ∂ Respostas 1) a) ( ) { } 2 0,0 D R = − b) ( ) 3 3,4 125 f x ∂ = − ∂ ( ) 996 3,4 125 f y ∂ = ∂ c) ( ) 996 3,4 125 y tg f β = = 2) a) 2 2 2 3 14 x y + = b) aumenta de 4 o C por cm aproximadamente c) ( ) ( ) , 3,2 a b = FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 20 3) ( ) 500,200 5 T P ∂ = ∂ é o aumento aproximado na temperatura por unidade de pressão, a partir do ponto indicado. 4) a) ( ) 2000,1000 19000 L = b) ( ) 2000,1000 1 L x ∂ = ∂ ( ) 2000,1000 2 L y ∂ = ∂ c) é mais conveniente aumentar a produção de II 5) a) 2 RT a P V b V = − − b) ( ) 0 0 2 , 27 a P T V b = c) ( ) 0 0 , 2 P R T V T b ∂ = ∂ ( ) 0 0 , 0 P T V V ∂ = ∂ DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS Dada ( ) , z f x y = , sabemos calcular as derivadas parciais x f e y f que ainda são funções de x e y . As derivadas parciais de x f e y f são chamadas derivadas parciais de 2 a ordem. Existem, portanto quatro derivadas parciais de 2 a ordem. São elas: Derivada parcial de x f em relação à x indicada por xx f ou 2 2 f x ∂ ∂ Derivada parcial de x f em relação à y indicada por xy f ou 2 f y x ∂ ∂ ∂ Derivada parcial de y f em relação à x indicada por yx f ou 2 f x y ∂ ∂ ∂ Derivada parcial de y f em relação à y indicada por yy f ou 2 2 f y ∂ ∂ Assim, 2 2 xx f f f x x x ∂ ∂ ∂ | | = = | ∂ ∂ ∂ \ ¹ 2 xy f f f y x y x ∂ ∂ ∂ | | = = | ∂ ∂ ∂ ∂ \ ¹ 2 yx f f f x y x y | | ∂ ∂ ∂ = = | ∂ ∂ ∂ ∂ \ ¹ 2 2 yy f f f y y y | | ∂ ∂ ∂ = = | ∂ ∂ ∂ \ ¹ FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 21 As derivadas parciais xy f e yx f são chamadas derivadas mistas de 2 a ordem. Pode-se mostrar que se f , x f , y f , xy f e yx f são contínuas no domínio D então as derivadas mistas de 2 a ordem são iguais, isto é, xy yx f f = . Este resultado é conhecido como teorema de Schwartz. As derivadas parciais das funções xx f , xy f , yx f e yy f são as derivadas parciais de 3 a ordem e assim sucessivamente. O diagrama abaixo ilustra a geração das derivadas parciais de ordem superior. Para uma função de duas variáveis, existem 2 n derivadas parciais de ordem n . Por exemplo, existem 3 2 8 = derivadas parciais de ordem 3. 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 3 xxx xx xxy x xyx xy xyy yxx yx yxy y yyx yy yyy f f x f f x f f y x f f x f f x y x f f y x f f y x f f f x y f f x y f f y x y f f y f f x y f f y f f = ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ 3 y EXEMPLO Se ( ) 3 2 5 7 , f x y x y x y = + + , temos: 2 2 4 3 5 x f x y x = + ; 3 6 2 7 y f x y y = + FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 22 De 2 2 4 3 5 x f x y x = + ⇒ 2 3 6 20 xx f xy x = + e 2 6 xy f x y = De 3 6 2 7 y f x y y = + ⇒ 2 6 yx f x y = e 3 5 2 42 yy f x y = + De 2 3 6 20 xx f xy x = + ⇒ 2 2 6 60 xxx f y x = + e 12 xxy f xy = De 2 6 xy f x y = ⇒ 12 xyx f xy = e 2 6 xyy f x = De 2 6 yx f x y = ⇒ 12 yxx f xy = e 2 6 yxy f x = De 3 5 2 42 yy f x y = + ⇒ 2 6 yyx f x = e 4 210 yyy f y = Ainda de 2 2 6 60 xxx f y x = + teríamos 4 4 120 xxxx f f x x ∂ = = ∂ ; 5 5 120 f x ∂ = ∂ , e assim sucessivamente. EXERCÍCIOS 1) Se ( ) , f x y admite derivadas parciais até 2 a ordem, chama-se Laplaciano de f à função ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , , , f f f x y x y x y x y ∂ ∂ ∇ = + ∂ ∂ . Calcule 2 f ∇ para as funções; a) ( ) 4 4 , f x y x y = − b) ( ) 2 2 1 , f x y x y = + c) ( ) ( ) 2 2 , f x y sen x y = − d) ( ) 2 2 2 , x f x y x y = + 2) Uma função ( ) , f x y é Harmônica se e somente se o Laplaciano de f é sempre igual a zero. Mostre que são harmônicas as funções: a) ( ) ( ) 2 2 , ln f x y x y = + b) ( ) , cos x y f x y e seny e x = + 3) Calcular as derivadas até 3 a ordem de : 4 4 ( , ) cos f x y x y senx y = + + + ; 4) Se ( ) 3 2 2 w y x y x = − − − , mostre que 4 0 xx yy w w − = . 5) Seja cos z x y = . Determine: a) 2 2 z x ∂ ∂ b) 2 2 z y ∂ ∂ c) 2 z y x ∂ ∂ ∂ . 6) Seja ( , ) 3 2 f x y x y = + . Determine a inclinação da superfície ( , ) z f x y = no ponto (4,2) nas direções: a) x e b) y. 7) Sendo 3 5 ( , ) x f x y y e − = , determine: a) (0,1) xyy f b) (0,1) yyy f c) (0,1) yyxx f . FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 23 VARIAÇÃO REAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Se ( ) , z f x y = é uma função de duas variáveis, então os símbolos x ∆ e y ∆ denotam acréscimos a x e y respectivamente. A notação z ∆ representará o acréscimo correspondente á variável dependente, isto é: ( ) ( ) , , z f x x y y f x y ∆ = + ∆ + ∆ − Deste modo z ∆ representa a variação do valor de f quando ( ) 1 , P x y varia para ( ) 2 , P x x y y + ∆ + ∆ , ou seja, ( ) ( ) 2 1 z f P f P ∆ = − . EXEMPLO Se ( ) 2 , 3 z f x y x xy = = − , obter z ∆ . Qual a variação de ( ) , f x y quando ( ) , x y varia de ( ) 1,2 para ( ) 1,01 ; 1,98 ? Resolução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , 3 3 z f x x y y f x y x x x x y y x xy ∆ = + ∆ + ∆ − = + ∆ − + ∆ + ∆ − − = ( ) 2 2 2 3 6 3 3 x x x x xy x y y x x y x xy = + ∆ + ∆ − − ∆ − ∆ − ∆ ∆ − + = ( ) 2 6 3 x x x x y y x x y = ∆ + ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆ Para achar a variação desejada em ( ) , f x y , fazemos 1 x = , 2 y = , 0,01 x ∆ = e 0,02 y ∆ = − , obtendo-se 0,0605 z ∆ = . Naturalmente poderíamos encontrar este valor calculando ( ) ( ) 1,01;1,98 1,2 f f − . A DIFERENCIAL TOTAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS As derivadas parciais de ( ) , z f x y = indicam o quanto a função varia em relação a pequenas mudanças de suas variáveis. Em particular, se ∆x e ∆y são pequenos, então para um ponto ( ) 0 0 , x y uma variação em x de ∆x resultará uma variação em ( ) , z f x y = de aproximadamente ( ) 0 0 , . ∂ ( ∆ ( ∂ ¸ ¸ f x y x x e uma variação em y de ∆y resultará uma variação em ( ) , z f x y = de aproximadamente ( ) 0 0 , . ( ∂ ∆ ( ∂ ¸ ¸ f x y y y . Assim, quando ambas ∆x e ∆y estiverem ocorrendo, a variação da função z será dada por: ∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ ∂ ∂ f f z x y x y FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 24 Definimos as diferenciais dx e dy das variáveis independentes x e y como dx x = ∆ e dy y = ∆ . A diferencial total dz da variável dependente z é definida por: ( ) ( ) , , x y dz f x y dx f x y dy = ⋅ + ⋅ ou ( ) ( ) , , f f dz x y dx x y dy x y ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ EXEMPLO Se ( ) 2 , 3 z f x y x xy = = − , determinar a diferencial dz e utilizá-la par obter uma aproximação da variação de ( ) , z f x y = se ( ) , x y varia de ( ) 1,2 para ( ) 1,01 ; 1,98 . Resolução: ( ) ( ) 6 = ⋅ + ⋅ = − + − x y dz f dx f dy x y dx x dy . Fazendo 1 x = , 2 y = , 0,01 dx x = ∆ = e 0,02 dy y = ∆ = − , obtemos ( )( ) ( )( ) 6 2 0,01 1 0,02 0,06 dz = − + − − = Mostramos no exemplo anterior que 0,0605 z ∆ = . Logo o erro cometido decorrente da utilização de dz no lugar de z ∆ é de 0,0605 0,06 0,0005 z dz ∆ − = − = Quando nos movemos de ( ) 0 0 , x y para um ponto próximo, podemos descrever a variação correspondente do valor de uma função ( ) , z f x y = como: Variação Absoluta Verdadeira (real) = ( ) ( ) , , z f x x y y f x y ∆ = + ∆ + ∆ − Variação Absoluta Aproximada = ( ) ( ) , , x y dz f x y dx f x y dy = ⋅ + ⋅ DIFERENCIABILIDADE Dizemos que ( ) , z f x y = é diferenciável no ponto ( ) 0 0 , x y se z ∆ puder ser escrito na forma ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 , , x z f x y x f x y y x y ε ε ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ onde 1 ε e 2 ε tendem a zero quando ( ) ( ) , 0,0 x y ∆ ∆ → . TEOREMA Se uma função ( ) , z f x y = é diferenciável em ( ) 0 0 , x y então f é contínua em ( ) 0 0 , x y . FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 25 EXERCÍCIOS 1) Dada a função ( ) 2 2 , 3 z f x y x y = = + e o ponto ( ) 1,2 , calcule; a) ( ) 1 ,2 f x y + ∆ + ∆ b) ( ) ( ) 1 ,2 1,2 z f x y f ∆ = + ∆ + ∆ − c) ( ) ( ) 1,2 1,2 f f dz x y x y ∂ ∂ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ ∂ ∂ 2) No exercício anterior se 0,02 x ∆ = e 0,01 y ∆ = , calcular z ∆ , dz e compará-los. 3) Uma lata cilíndrica fechada, de estanho deve ter raio interno de 2 dm e altura interna 4 dm, sendo 5 mm a espessura das paredes. Utilizando diferenciais, encontrar o volume aproximado do estanho necessário para fabricá-la. 4) A potência consumida num resistor elétrico é 2 E P R = em watts. Num certo instante tem-se 200 E volts = e 8 R ohms = . Se E diminui de 5 volts e R de 0,2 ohms , de quanto varia aproximadamente a potência? 5) A superfície de um retângulo é dada por . = S b h, onde b é a base e h a altura. Usando diferenciais, calcule de quanto varia a superfície se 10 = h m, 8 = b m, a base varia de 1 + cm e a altura de 5 + cm? Respostas 1) a) ( ) ( ) 2 2 13 2 12 3 + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ x y x y b) ( ) ( ) 2 2 2 12 3 ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ z x y x y c) 2 12 dz x y = ∆ + ∆ 2) 0,1607 ∆ = z 0,16 dz = 3) 3 3,77 dm 4) 125 dP W ≅ − 5) 2 0,5 dS m = FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 26 A REGRA DA CADEIA No Cálculo I, quando tínhamos a situação ( ) y f x = com x dependendo de t , a derivada dy dt podia ser calculada por substituição da variável x , ou pela chamada regra da cadeia (derivada da função composta) dada por dy dy dx dt dx dt = ⋅ . Por exemplo, se ( ) 10 = = y f x x com 2 1 x t = + , podemos escrever ( ) 10 10 2 1 y x t = = + e a derivada de y em relação à variável t , pode ser obtida por ( ) ( ) 9 9 2 10 2 20 1 dy dy dx x t t t dt dx dt = ⋅ = = + . O CASO DE MAIS DE UMA VARIÁVEL (1 a Regra da Cadeia) Suponhamos que temos ( ) , z f x y = , onde as variáveis x e y dependem de uma nova variável t . Se substituirmos x e y pelas expressões segundo as quais dependem da variável t , z depende de uma única variável t , ou seja, ( ) ( ), ( ) ( ) z f x t y t F t = = . A derivada de z em relação à t pode ser obtida como função de uma variável, ( ) z F t ′ ′ = . Esta mesma derivada pode ser obtida pela chamada primeira regra da cadeia, ou seja, por: ( ) dz z dx z dy F t dt x dt y dt ∂ ∂ ′ = = + ∂ ∂ EXEMPLOS 1) Se ( ) 2 , z f x y x y π = = onde 3 = x t e 2 = y t , calcular dz dt Resolução: 1 o modo: Por substituição: ( ) ( ) 2 2 3 7 2 2 z x y t t t π π π = = = e 6 14 dz t dt π = 2 o modo: Pela regra da cadeia: ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 3 2 dz z dx z dy xy t x dt x dt y dt π π ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ∂ ∂ ( )( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 6 6 6 6 2 6 2 2 12 2 14 xyt x t t t t t t t π π π π π π π = + = + = + = 2) Sendo 2 2 ( , ) f x y u x y = = + onde 1 x t = + e 2 y t = , calcular du dt . Resolução: FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 27 2 u x x ∂ = ∂ 2 u y y ∂ = ∂ 1 x t ∂ = ∂ 2 y t ∂ = ∂ 2 4 2( 1) 8 10 2 = + = + + = + du x y t t t dt A REGRA DA CADEIA GENERALIZADA Suponhamos que ( ) , z f x y = com ( ) , x x u v = e ( ) , y y u v = isto é, z depende de x e y que por sua vez dependem de duas outras variáveis u e v . Substituindo x e y em f vemos que z depende de u e v . Isto é, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , z f x y f x u v y u v F u v = = = . Sendo funções diferenciáveis, podemos obter as derivadas de z em relação à u e v . Temos: z z x z y u x u y u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ e z z x z y v x v y v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ EXEMPLO Se ( ) 2 2 , z f x y x y = = + onde cos = x r θ e sen = y r θ , encontrar z r ∂ ∂ e z θ ∂ ∂ . Resolução: ( )( ) ( )( ) 2 cos 2 sen z z x z y x y r x r y r θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Se substituirmos x e y temos 2 2 2 cos 2 sen 2 z r r r r θ θ ∂ = + = ∂ ( )( ) ( )( ) 2 sen 2 cos 2 sen cos 2 sen cos 0 z z x z y x r y r x y r r θ θ θ θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + = EXERCÍCIOS 1) Sendo 2 2 ln u x y = + , s x r e = , s y r e − = , determine u r ∂ ∂ e u s ∂ ∂ . 2) Sendo 2 2 z x y xy = + + , 2 x r s = + , 2 y r s = − , calcule 3 4 z z r s ∂ ∂ + ∂ ∂ FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 28 3) Se 3 4 ( , ) f x y x y y = − ; 1 x t = ; ln y t = , obtenha dF dt . 4) Por meio da regra da cadeia, ache w p ∂ ∂ e w q ∂ ∂ sendo 3 2 w r s = + , 2 r pq = e 2 s p senq = . 5) Calcule w x ∂ ∂ e w y ∂ ∂ com w u senv = , 2 2 u x y = + e v xy = . Respostas 1) 1 u r r ∂ = ∂ , 2 2 2 2 s s s s u e e s e e − − ∂ − = ∂ + 2) 3 4 30 15 z z r s r s ∂ ∂ + = + ∂ ∂ 3) 3 4 4 3ln 1 4(ln ) dF t t dt t t t − = + − 4) 2 6 3 2 3 4 w p q p sen q p ∂ = + ∂ 3 5 4 6 2 cos w p q p senq q q ∂ = + ∂ 5) ( ) 2 2 2 cos w xsenxy y x y xy x ∂ = + + ∂ ( ) 2 2 2 cos w ysenxy x x y xy y ∂ = + + ∂ FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 29 A DERIVADA DIRECIONAL Seja ( ) , z f x y = numa função definida em 2 D R ⊂ e ( ) 0 0 , x y D ∈ . Sabemos calcular neste ponto a taxa de variação de f em relação à x, mantido y fixo, e a taxa de variação de f em relação à y, mantido x fixo. Estas taxas são as derivadas parciais de f em relação x e a y respectivamente. Geometricamente elas descrevem o comportamento da função ( ) , f x y ( crescimento ou decrescimento) quando, a partir de um ponto ( ) 0 0 , x y caminhamos na direção do eixo x ( ) ( ) 0 0 , x f x y e na direção do eixo y ( ) ( ) 0 0 , y f x y . Queremos agora descrever o comportamento da função ( ) , f x y quando a partir de ( ) 0 0 , x y , caminhamos numa direção qualquer determinada pela reta orientada r que forma um ângulo α como eixo x (sentido positivo). A taxa de variação de f em relação à distância percorrida na direção de r será chamada derivada direcional de ( ) , f x y no ponto ( ) 0 0 , x y na direção α , e será representada por ( ) 0 0 , f x y α . y x 0 y 0 x 0 x x r α y 0 y FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 30 Vamos definir de modo mais preciso a derivada direcional. Tomando como parâmetro o comprimento de arco s temos que a equação paramétrica de r é: 0 0 cos : sen x x s r y y s α α = + ⋅ ¦ ´ = + ⋅ ¹ fixado α , s r ∈ Para obter os valores da função ( ) , z f x y = sobre os pontos da reta r é suficiente compor ( ) , f x y com as funções ( ) ( ) 0 0 cos sen x s x s y s y s α α ¦ = + ⋅ ¦ ´ = + ⋅ ¦ ¹ obtendo-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , cos , sen F s f x s y s f x s y s α α = = + ⋅ + ⋅ Para calcular a taxa de variação de ( ) , f x y no ponto ( ) 0 0 , x y r ∈ que é dada por ( ) F s ′ , podemos utilizar a regra da cadeia do seguinte modo: ( ) ( ) 0 0 cos , sen F s f x s y s α α = + ⋅ + ⋅ ⇒ ( ) ( ) , cos sen df f dx f dy f f F s x y ds x ds y ds x y α α ∂ ∂ ∂ ∂ ′ = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ Portanto, ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , cos , se f f f x y x y x y n x y α α α ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ Ou ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , cos , en x y f x y f x y f x y s α α α = ⋅ + ⋅ 0 x r α y 0 y x cos s α s senα FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 31 Casos particulares importantes: • Para 0 = o α , temos ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , , = o x f x y f x y • Para o 90 = α , temos ( ) ( ) 0 0 0 0 90 , , = o y f x y f x y • Para ′ = + α α π , temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , cos , + = ⋅ + + ⋅ + x y f x y f x y f x y sen α π α π α π ( ) cos cos + = − α π α e ( ) + = − sen sen α π α ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 , , cos , sen , + = ⋅ − + ⋅ − = − x y f x y f x y f x y f x y α π α α α EXEMPLOS 1) Para a função ( ) 2 , = f x y x y , obter a derivada direcional no ponto ( ) 1,2 , na direção 30 = o α . Resolução Como ( ) ( ) 2 , 2 , ¦ = ¦ ´ = ¦ ¹ x y f x y xy f x y x segue que ( ) ( ) 1,2 4 1,2 1 ¦ = ¦ ´ = ¦ ¹ x y f f e, portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 30 3 1 1 1,2 1,2 cos30 1,2 30 4 1 2 3 3,9641 2 2 2 | | | | = ⋅ + ⋅ = + = + = | | | \ ¹ \ ¹ o o o x y f f f sen 2) A temperatura de uma chapa é dada por ( ) 2 2 , 15 = + + T x y x y , onde x e y são as coordenadas de um ponto, em cm, e T é dada em o C . Calcule de quanto varia, aproximadamente, a temperatura se caminharmos 1 cm a partir do ponto ( ) 3,4 na direção: a) 30 = o α b) 210 = o α Resolução: Temos: ( ) ( ) , 2 , 2 ¦ = ¦ ´ = ¦ ¹ x y T x y x T x y y , ⇒ ( ) ( ) 3,4 6 3,4 8 ¦ = ¦ ´ = ¦ ¹ x y T T Logo: a) ( ) ( ) ( ) 30 3,4 3,4 cos30 3,4 sen30 = ⋅ + ⋅ = o o o x y T T T 3 1 6 8 3 3 4 9,2 2 2 = ⋅ + ⋅ = + ≅ FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 32 ( ) o 30 3,4 9,2 ≅ C cm o T , isto é, a temperatura deverá aumentar de o 9,2 C cm aproximadamente. b) ( ) ( ) ( ) 210 3,4 3,4 cos210 3,4 sen210 = ⋅ + ⋅ = o o o x y T T T 3 1 6 8 3 3 4 9,2 2 2 | | | | = ⋅ − + ⋅ − = − − ≅ − | | | \ ¹ \ ¹ ( ) o 210 3,4 9,2 ≅ − C cm o T , e a temperatura deverá aumentar de o 9,2 − C cm aproximadamente. Observe que a taxa de variação da temperatura no ponto ( ) 3,4 , na direção do eixo x (sentido positivo) é ( ) ( ) 0 3,4 3,4 6 = = o x T T o C cm enquanto que na direção do eixo y (sentido positivo), a taxa é de ( ) ( ) 90 3,4 3,4 8 = = o y T T o C cm . A FORMA VETORIAL DA DERIVADA DIRECIONAL A direção da reta r que forma um ângulo α como o eixo x (sentido positivo) pode ser definida pelo vetor unitário (versor, u 1 = r ), cos = + r r r u i sen j α α . A expressão da derivada direcional de f no ponto ( ) 0 0 , x y ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , cos , ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ f f f x y x y x y sen x y α α α , pode ser escrita como o produto escalar : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , , cos sen = + • + r r r r x y f x y f x y i f x y j i j α α α α 0 x 0 y r u x y senα cosα FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 33 O vetor ( ) ( ) 0 0 0 0 , i , j + r r x y f x y f x y é conhecido como vetor gradiente de ( ) , f x y no ponto ( ) 0 0 , x y e é representado por ( ) ( ) , 0 0 x y gradf ou ( ) 0 0 , ∇ ur f x y (o símbolo ∇f lê-se “nablaf ”). ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , , ∇ = + ur r r x y f x y f x y i f x y j Portanto a forma vetorial da derivada direcional é; ( ) ( ) 0 0 0 0 , , = ∇ • r ur r u f x y f x y u onde r u é o versor da direção sobre a qual calculamos a taxa de variação. EXEMPLO Encontrar a derivada direcional da função dada por ( ) 2 2 , 15 f x y x y = + + no ponto ( ) 3,4 na direção 0 30 α = . Resolução: Do exemplo anterior temos: direção (versor) é dada por 3 1 cos30 30 2 2 = + = + r r r r r o o u i sen j i j o gradiente de f , ( ) , 2 2 ∇ = + ur r r f x y xi y j no ponto ( ) 3,4 é ( ) 3,4 6 8 ∇ = + ur r r f i j A derivada direcional será: ( ) ( ) ( ) 3 1 3,4 3,4 6 8 3 3 4 9,2 2 2 | | = ∇ • = + • + = + ≅ | | \ ¹ r ur r r r r r u f f u i j i j SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA DIRECIONAL Vamos rever o conceito de projeção de vetores visto no curso de Geometria Analítica. Sejam os vetores 1 r v e 2 r v formando um ângulo θ . A projeção do vetor 1 r v sobre o vetor 2 r v é dada por 1 2 1 2 2 • = r r r r r v v v proj v v . No caso de 2 r v ser unitário, isto é: 2 1 = r v , temos 1 1 2 2 = • r r r r v proj v v v , que é exatamente a situação da derivada direcional. Assim, ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , , u u f x y f x y u proj f x y = ∇ • = ∇ r r ur r ur , uma vez que r u é unitário. FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 34 VALOR MÁXIMO DA DERIVADA DIRECIONAL O valor máximo da derivada direcional (projeção) ocorre quando 0 = o θ e, portanto temos, ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 max , , = ∇ ur f x y f x y α e a direção em que ocorre esta taxa máxima de variação é definida pelo versor, ( ) ( ) 0 0 0 0 , , ∇ = ∇ ur r r f x y u f x y EXEMPLO Calcule a derivada direcional da função 2 ( , ) sen f x y x xy = no ponto 1, 2 | | | \ ¹ π e na direção: a) do eixo dos x; b) do eixo dos y; c) do vetor 2 + r r i j ; d) em que ela é máxima. Resolução: a) 2 2 cos 1, 2.1 .0 2 2 2 x x f xsenxy x y xy f π π | | = + = + = | \ ¹ b) 3 cos 1, 0 2 y y f x xy f π | | = = | \ ¹ α 0 x 0 y r u x y ( ) 0 0 , f x y ∇ r θ FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 35 c) 2 1 2 5 5 5 v i j v u i j = + = = + r r r r r r r 2 1 4 2. 0. 5 5 5 v f f u = ∇ • = + = r s r d) ( ) max 2 v f f = ∇ = r s EXERCÍCIOS 1) Calcule a derivada direcional de 3 2 2 ( , ) 2 1 = − + − f x y x x y xy no ponto (1,2) e na direção do vetor 4 6 + r r i j . 2) Dada a função 2 2 ( , ) = − f x y x y , calcule ( ) f 0,1 grad e (1,0) r u f onde = − r r u i . 3) Uma função tem no ponto ( ) 1,2 a derivada direcional: • igual a 2 na direção do vetor 2 2 + r r i j e • igual a 3 − na direção do vetor − r r i j . Determine: b) o gradiente da função neste ponto, c) a derivada direcional na direção do vetor 2 2 − − r r i j , d) a derivada direcional na direção do vetor 4 6 + r r i j 4) O potencial V associado a um campo elétrico é 2 2 ( , ) ln = + V x y x y a) determine o vetor campo elétrico r E , sabendo-se que = −∇ r E V , no ponto 1 1 , 2 2 | | | \ ¹ , b) em que direção, a partir do ponto 1 1 , 2 2 | | | \ ¹ , a derivada direcional de V é máxima? Qual o seu valor máximo? 5) O potencial elétrico V em uma região do plano é dado por 2 2 1000 ( , ) = + V x y x y a) determine a derivada direcional de V na direção de 12 5 = + r r r u i j no ponto (4,3) b) dê o versor da direção, a partir de (4,3) em que a taxa de variação do potencial é máxima, 6) É dada a função 2 2 ( , ) 9 = − − f x y x y , pede-se: FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 36 a) calcule o gradiente de ( , ) f x y no ponto (1,2) b) calcule a derivada direcional de ( , ) f x y no ponto (1,2) e na direção do vetor 4 3 − r r i j c) calcule 2 (1,2) ∂ ∂ ∂ f x y e 2 2 (1,2) ∂ ∂ f x Respostas 1) 4 1,11 13 ≅ 2) ( ) 0,1 2 f j ∇ = − r r ; (1,0) 2 = − r u f 3) a) 2 5 2 2 2 − + r r i j ; b) –2; c) 26 2 4) a) − − r r i j ; b) na direção do vetor + r r i j ; c) 2 5) a) 504 13 − b) 4 3 5 5 i j − − r r 7) a) 1 (1,2) 2 ∇ = − − r r f i j ; b) 1 (1,2) 5 = r u f ; c) 2 1 (1,2) 4 ∂ = − ∂ ∂ f x y , 2 2 5 (1,2) 8 ∂ = − ∂ f x FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 37 MÁXIMOS E MÍNIMOS Dada uma função f , constitui um problema importante determinar para que valores da variável (ou das variáveis) independente(s) a função assume o seu valor máximo,ou o seu valor mínimo. Recordando como este problema foi resolvido no Cálculo I. Se a função ) (x f y = é contínua e derivável em R . a) Determinamos os pontos críticos 0 x de ) (x f y = resolvendo a equação ( ) 0 0 = ′ x f , b) Se ( ) 0 0 < ′ ′ x f , 0 x será ponto de máximo relativo (ou local) e ( ) 0 x f será o valor máximo de f , c) Se ( ) 0 0 > ′ ′ x f , 0 x será ponto de mínimo relativo (ou local) e ( ) 0 x f será o valor mínimo de f , EXEMPLO Obter os pontos de máximo e mínimo relativos de ( ) 1 6 2 5 3 1 2 3 + + − = x x x x f a) pontos críticos: ( ) 0 = ′ x f ⇔ 0 6 5 2 = + − x x ⇔ 2 = x e 3 = x b) ( ) 5 2 − = ′ ′ x x f . Como ( ) 0 1 2 < − = ′ ′ f , ⇒ 2 = x é ponto de máximo relativo de f , Como ( ) 0 1 3 > = ′ ′ f , ⇒ 3 = x é ponto de mínimo relativo de f . ( ) 3 17 2 = f é o valor máximo relativo de f e ( ) 2 11 3 = f é o valor mínimo relativo de f . 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 y No caso de funções de duas variáveis, a situação não é muito diferente. EXTREMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Usaremos a expressão região retangular para designar o conjunto de pontos de um plano coordenado, interiores a um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados. Se quisermos incluir os pontos fronteira, usaremos a expressão região retangular fechada. FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 38 Tal como no caso de uma variável, diz-se que uma função f de duas variáveis tem máximo local no ponto ( ) 0 0 , y x se existe uma região retangular D contendo ( ) 0 0 , y x , tal que ( ) ( ) 0 0 , , y x f y x f ≤ para todos os outros pares ( ) D y x ∈ , . Geometricamente, se uma superfície S é o gráfico de f , então os máximos locais correspondem aos pontos mais altos de S . Se y f existe, então como ( ) 0 0 , y x f y é o coeficiente angular da reta tangente à curva intersecção do gráfico de S com o plano 0 x x = , segue que se ( ) 0 0 , y x é ponto de máximo local então esta reta é horizontal e portanto ( ) 0 , 0 0 = y x f y . Analogamente ( ) 0 , 0 0 = y x f x . A função f tem mínimo local em ( ) 1 1 , y x se existe uma região retangular D contendo ( ) 1 1 , y x tal que ( ) ( ) y x f y x f , , 1 1 ≤ para todos os outros pares ( ) D y x ∈ , . Se f tem derivadas parciais primeiras, então conforme acima, elas devem ser nulas em ( ) 1 1 , y x . Os pontos de mínimos locais correspondem aos pontos mais “baixos” do gráfico de f . Dada uma função ( ) y x f , , os pontos que anulam simultaneamente as derivadas parciais ( ) y x f x , e ( ) y x f y , são chamados pontos críticos de ( ) y x f , . Entre os pontos críticos de ( ) y x f , existem os que são de máximo local, os que são de mínimo local, e os que não são nem de máximo nem de mínimo local; estes últimos são chamados pontos de sela. As soluções de ( ) ( ) ¹ ´ ¦ = = 0 , 0 , y x f y x f y x são os pontos críticos de ( ) y x f , ( ) 0 0 , y x é ponto crítico ( ) ( ) ( ) sela de ponto , local mínimo de ponto é , local máximo de ponto , 0 0 0 0 0 0 é y x y x é y x MATRIZ HESSIANA Dada a função ( ) y x f z , = , a matriz, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | . | \ | = y x f y x f y x f y x f y x H yy yx xy xx , , , , , é chamada Matriz Hessiana da função f no ponto ( ) y x, . TESTE DE EXTREMOS A seguir será apresentado um teste que permite identificar pontos de máximo, mínimo ou sela sem ter que recorrer ao gráfico de f ou à forma da função. Seja ( ) y x f z , = contínua, com derivadas parciais de 2 a ordem contínuas e ( ) 0 0 , y x um ponto crítico de f . Calculamos o determinante da matriz Hessiana no ponto crítico: FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 39 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y x f y x f y x f y x f y x E yy yx xy xx = • Se ( ) 0 , 0 0 > y x E e ( ) 0 , 0 0 < y x f xx então ( ) 0 0 , y x é ponto de máximo local, • Se ( ) 0 , 0 0 > y x E e ( ) 0 , 0 0 > y x f xx então ( ) 0 0 , y x é ponto de mínimo local, • Se ( ) 0 , 0 0 < y x E então ( ) 0 0 , y x é ponto de sela, • Se ( ) 0 , 0 0 = y x E nada se conclui. EXEMPLOS 1) Determinar os pontos extremos da função ( ) 2 2 4 , y x y x f − − = . Resolução x f x 2 − = ; y f y 2 − = ; 2 − = xx f ; 2 − = yy f ; 0 = = yx xy f f Para obter os pontos críticos devemos resolver o sistema ¹ ´ ¦ = = 0 0 y x f f , ou seja ¹ ´ ¦ = − = − 0 2 0 2 y x . Temos 0 = = y x e assim ( ) 0 , 0 1 P é o único ponto crítico de f . Em ( ) 0 , 0 1 P temos ( ) 2 0 , 0 − = xx f , ( ) ( ) 0 0 , 0 0 , 0 = = yx xy f f e ( ) 2 0 , 0 − = yy f E assim, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 2 - 0 0 2 - 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 > = = = yy yx xy xx f f f f E Como ( ) 0 0 , 0 > E e ( ) 0 2 0 , 0 < − = xx f segue que ( ) 0 , 0 1 P é ponto de máximo local de ( ) 2 2 4 , y x y x f − − = . A seguir apresentamos um esboço do gráfico de ( ) 2 2 4 , y x y x f − − = -40 -20 0 20 40 -40 -20 0 20 40 -3000 -2000 -1000 0 -40 -20 0 20 40 FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 40 2) Determinar os pontos extremos da função ( ) 2 2 , y x y x f − = (sela). Resolução x f x 2 = ; y f y 2 − = ; 2 = xx f ; 2 − = yy f ; 0 = = yx xy f f Para obter os pontos críticos devemos resolver o sistema ¹ ´ ¦ = = 0 0 y x f f , ou seja ¹ ´ ¦ = − = 0 2 0 2 y x . Temos 0 = = y x e assim ( ) 0 , 0 1 P é o único ponto crítico de f . Em ( ) 0 , 0 1 P temos ( ) 2 0 , 0 = xx f , ( ) ( ) 0 0 , 0 0 , 0 = = yx xy f f e ( ) 2 0 , 0 − = yy f E assim, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 2 - 0 0 2 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 < − = = = yy yx xy xx f f f f E Como ( ) 0 0 , 0 < E , segue que ( ) 0 , 0 1 P é ponto de sela de ( ) 2 2 , y x y x f − = . Esboço do gráfico de ( ) 2 2 , y x y x f − = -40 -20 0 20 40 -40 -20 0 20 40 -1000 0 1000 -40 -20 0 20 40 3) Determinar os pontos críticos da função ( ) y xy x y y x x y x f 6 6 3 2 6 4 , 2 3 2 3 + − + − − = e classifique-os. Resolução Os pontos críticos são as soluções do sistema: ¹ ´ ¦ = = 0 0 y x f f . Portanto ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + − − − = − + − 0 6 6 6 6 0 6 6 12 12 2 2 2 x y x y x xy x ou ( )( ) ¹ ´ ¦ = + − − − = − + (2) 0 1 (1) 0 1 2 2 2 x y x y x x De (1) segue que 2 1 − = x ou y x = FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 41 2 1 − = x em (2) resulta 2 5 ± = y y x = em (2) resulta 0 1 2 2 = − + x x cujas raízes são 1 − = x ou 2 1 = x Logo os pontos críticos de f são: | | . | \ | − 2 5 , 2 1 1 P , | | . | \ | − − 2 5 , 2 1 2 P , ( ) 1 , 1 3 − − P e | . | \ | 2 1 , 2 1 4 P . Calculando as derivadas parciais de 2 a ordem e o deteminante ( ) y x E , temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − = = − − = + − = y y x f y x f x y x f y x y x f yy yx xy xx 12 , , 6 12 , 6 12 24 , ( ) ( )( ) ( ) 2 6 12 6 12 24 12 12 6 12 6 12 6 12 24 , − − − + − = − − − − + − = x y x y y x x y x y x E ou ( ) ( ) ( ) 1 2 4 72 1 2 36 , 2 + − + + = y x y x y x E • No ponto | | . | \ | − 2 5 , 2 1 1 P temos 0 498 , 260 < − = E e 0 4164 , 19 < − = xx f segue que | | . | \ | − 2 5 , 2 1 1 P é ponto de máximo local. • No ponto | | . | \ | − − 2 5 , 2 1 2 P temos 0 5016 , 99 < − = E e 0 41641 , 7 > = xx f segue que | | . | \ | − 2 5 , 2 1 1 P é ponto de mínimo local. • No ponto ( ) 1 , 1 3 − − P temos 0 108 > = E segue que ( ) 1 , 1 3 − − P é ponto de sela. • No ponto | . | \ | 2 1 , 2 1 4 P temos 0 216 > = E segue que | . | \ | 2 1 , 2 1 4 P é ponto de sela. A seguir, com o auxílio do Mathematica, é apresentado um esboço do gráfico da função ( ) y xy x y y x x y x f 6 6 3 2 6 4 , 2 3 2 3 + − + − − = FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 42 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 X -1 0 1 Y -10 0 10 20 Z -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 X EXERCÍCIOS 1) Seja y x y x y x f z 6 6 2 2 ) , ( 3 3 − − + = = . Encontre os pontos críticos de f e classifique-os em máximo local, mínimo local ou ponto de sela. 2) Classificar os pontos críticos de x x xy y x f 3 3 ) , ( 3 2 − + = . 3) Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da industria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por xy y x y x y x L − − − + = 2 2 2 3 2 3 100 60 ) , ( . Supondo que toda a produção da industria seja vendida, determinar o nível de produção que maximiza o lucro. Respostas 1) ( ) 1 , 1 ponto de mínimo local, ( ) 1 , 1 − − ponto de máximo local, ( ) 1 , 1 − e ( ) 1 , 1 − pontos de sela 2) ( ) 1 , 0 e ( ) 1 , 0 − são pontos de sela, ( ) 0 , 1 é ponto de mínimo local. 3) 10 unidades do produto A e 30 unidades do produto B. INTEGRAIS DUPLAS Seja ( ) y x f , uma função contínua não negativa em 2 R D ⊂ . Vamos calcular o volume da região sob o gráfico de ( ) y x f , , acima de D. Se ( ) y x f , fosse constante e igual a k , então o volume da região seria A k V ⋅ = , onde A é a área de D. Não sendo ( ) y x f , constante, vamos subdividir o domínio D em n pequenas sub-regiões D i ∆ de área A i ∆ , n i , , 2 , 1 L = . Em cada uma delas escolhemos um ponto ( ) i i y x , e consideremos ( ) y x f , constante e igual a ( ) i i y x f , . Assim o volume V da região será aproximadamente igual à soma dos volumes dos pequenos sólidos de área da base A i ∆ e altura ( ) i i y x f , , ou seja: ( ) ∑ = ∆ ⋅ ≅ n i i i i A y x f V 1 , O conjunto formado pelas n sub-regiões D i ∆ em que D foi sub-dividido é chamado partição de D. Estas sub-regiões se interceptam duas a duas apenas em pontos das respectivas fronteiras e, reunidas, reproduzem D. O máximo das FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 43 distâncias entre dois pontos de um conjunto é chamado diâmetro do conjunto. Seja µ o maior dos diâmetros das regiões D i ∆ . µ é chamado a norma da partição de D. A integral dupla da função ( ) y x f , indicada por ( ) ∫∫ D dA y x f , , é definida pelo limite, (se existir): ( ) ( ) ∑ ∫∫ = → ∆ = n 1 i 0 , x f lim , A y dA y x f i i i D µ CÁLCULO DA INTEGRAL DUPLA A integral dupla de uma função ( ) y x f , contínua não negativa em 2 R D ⊂ representa o volume da região sob o gráfico de ( ) y x f , , acima de D. Vamos considerar vários casos para D. CASO 1. D é um retângulo ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ d y c b x a D: y d D c a b x Neste caso, ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ | | . | \ | = | | . | \ | = d c b a D b a d c dy dx y x f dx dy y x f dA y x f , , , EXEMPLO Calcular ( )dA xy x D ∫∫ + 3 2 onde ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ 2 1 3 0 : y x D 1 o modo: ( ) ( ) ( ) dx dy xy x dA xy x x A D ∫ ∫ ∫∫ | | . | \ | + = + 3 0 2 1 2 2 3 3 4 4 3 4 4 2 1 FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 44 ( ) ( ) x x x x x x xy y x x A y y 2 9 2 3 6 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 + = | . | \ | + − + = | | . | \ | + = = = Logo, ( ) ( ) 4 117 4 81 9 2 2 9 3 x 2 9 3 3 0 2 3 3 0 2 3 0 2 = + = | | . | \ | ⋅ + = = | . | \ | + = = + = = ∫ ∫ ∫∫ x x D x dx x x dx x A dA xy x 2 o modo: ( ) ( ) ( ) dy dx xy x dA xy x y B D ∫ ∫ ∫∫ | | . | \ | + = + 2 1 3 0 2 2 3 3 4 4 3 4 4 2 1 ( ) y x y x y B x x 2 27 9 2 3 3 3 0 2 3 + = | | . | \ | ⋅ + = = = ( ) ( ) ( ) 4 117 4 81 9 4 27 9 27 18 2 2 27 9 2 27 9 3 2 1 2 2 1 2 1 2 = + = | . | \ | + − + = = | | . | \ | ⋅ + = | . | \ | + = = + = = ∫ ∫ ∫∫ x y D y y dy y dy y B dA xy x CASO 2: D é da forma: ( ) ( ) ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ x y y x y b x a D 2 1 : ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ | | . | \ | = D b a x A x y x y dx dy y x f dA y x f 4 4 3 4 4 2 1 ) ( ) ( 2 1 , , y ( ) x y 2 ( ) x y 1 a b x EXEMPLO FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 45 Calcular ( )dA y x D ∫∫ + 2 2 onde ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ 2 0 1 0 : x y x D 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y ( ) ( ) ( ) 105 26 21 1 5 1 21 5 0 0 3 3 1 0 7 5 1 0 6 4 0 1 0 3 2 1 0 0 2 2 2 2 2 = + = + = ( ¸ ( ¸ + − | | . | \ | + = = | | . | \ | + = | | . | \ | + = + = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ x x x y y x D x x dx x x dx y y x dx dy y x dA y x CASO 3: D é da forma: ( ) ( ) ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ y x x y x d y c D 2 1 : ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ | | . | \ | = D d c y B y x y x dy dx y x f dA y x f 4 4 3 4 4 2 1 ) ( ) ( 2 1 , , x y d c 1 y (x) 2 y (x) D FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 46 EXEMPLO Resolver o exemplo anterior utilizando a seqüência de integração dxdy dA = D pode ser reapresentado na forma: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 1 0 : x y y D 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y ( ) ( ) 105 26 7 2 15 2 3 1 3 1 2 7 2 15 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 0 2 7 2 5 3 1 0 2 5 2 3 2 1 0 2 5 2 3 2 1 1 0 2 3 1 0 1 2 2 2 2 = − − + = − − + = = | | | . | \ | − − + = ( ( ( ¸ ( ¸ | | | . | \ | + − | . | \ | + = = | | . | \ | + = | | . | \ | + = + = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ y y x y x y D y y y y dy y y y dy y y y dy x y x dy dx y x dA y x Caso Geral: Em geral se D não puder ser descrito de um dos modos anteriores, subdividimos D em partes que possam se enquadrar nos casos anteriores. Por exemplo: ¹ ´ ¦ ≥ ≤ + ≤ 0 4 1 : 2 2 y y x D y x 2 − 1 − 1 2 FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 47 y D 2 D 1 D 3 x -2 -1 1 2 Temos: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − 2 1 4 0 1 2 : x y x D ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − 2 2 2 4 1 1 1 : x y x x D ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≤ ≤ ≤ ≤ 2 3 4 0 2 1 : x y x D , cada umas como um dos casos anteriores. Como 3 2 1 D D D D ∪ ∪ = de modo disjunto temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ + + = 1 2 3 , , , , D D D D dA y x f dA y x f dA y x f dA y x f Resumindo: Se ( ) ( ) ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ x y y x y b x a D 2 1 : então ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ | | . | \ | = D b a x A x y x y dx dy y x f dA y x f 4 4 3 4 4 2 1 ) ( ) ( 2 1 , , Se ( ) ( ) ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ y x x y x d y c D 2 1 : então ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ | | . | \ | = D d c y B y x y x dy dx y x f dA y x f 4 4 3 4 4 2 1 ) ( ) ( 2 1 , , dxdy dydx dA = = FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 48 Principais interpretações: 1) Se ( ) 1 , = y x f , ( ) A dA dA y x f D D = = ∫∫ ∫∫ , representa a área da região D. 2) Se ( ) 0 , > y x f , ( ) V dA y x f D = ∫∫ , representa o volume do sólido de base D e altura ( ) y x f , . EXERCÍCIOS 1) Calcule ∫∫ D dA xy 3 , onde ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ 4 0 2 1 : y x D 2) Calcule ( ) ∫∫ + D dA y x 2 , onde ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ 4 1 3 0 : y x D 3) Calcule ∫∫ D dA xy 3 , onde ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ x y x D 2 0 2 1 : 4) Calcule ∫∫ D dA xy 2 , onde ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ y x y y D 1 0 : 5) Calcule ( ) ∫∫ + D dA y y 3 , onde ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ x y x x D 1 0 : 6) Calcule e interprete o resultado ∫∫ D dA, onde ¹ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ y x y D 0 4 0 : 7) Calcule o volume do sólido determinado pelas desigualdades ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 2 1 0 1 0 5 0 y z y x 8) Expresse através de uma integral dupla a área da região limitada, no primeiro quadrante, pelas equações 4 = y ; 2 x y = e o eixo y. Calcule o valor dessa área. 9) Calcule ∫∫ D xdA, onde D é a região compreendida entre as curvas x y 2 = ; 2 x y = . 10) Calcule ∫∫ D dA, onde D é a região compreendida entre as curvas 2 2 2 − = x y ; x x y + = 2 . 11) Calcule ( ) ∫∫ + D dA xy x 2 3 , onde D é a região compreendida entre as curvas 2 x y = ; x y = 2 . 12) Seja A a área da região limitada pelas curvas x y = ; x y 4 = e 36 = xy a) Indique como você calcularia A utilizando integral simples, b) Indique como você calcularia A utilizando integral dupla c) Calcule A FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 49 13) Seja V o volume do sólido determinado pelas superfícies 0 = x ; 8 = x e 2 2 8 y z − = a) Indique como você calcularia V utilizando integral simples, b) Indique como você calcularia V utilizando integral dupla c) Calcule V. 14) Calcule o volume do sólido determinado pelas superfícies 0 = z ; y x z − − = 2 , sendo 2 1 x y − ≤ , 0 ≥ x , 0 ≥ y , 0 ≥ z . Respostas 1) 96 2) 2 153 3) 42 4) 40 1 5) 60 7 6) 8 (área de D) 7) 3 10 8) 3 16 9) 3 4 10) 2 9 11) 9 2 12) 2 ln 36 = A 13) 96 = V 14) 60 49 A INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES y y y P y P 0 > ρ r π θ 2 0 < ≤ θ x x x x coordenadas retangulares ↔ coordenadas polares ( ) y x P , ↔ ( ) θ , r P Temos: ¹ ´ ¦ = = θ θ rsen y r x cos ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≠ = + = 0 x 2 2 x y arctg y x r θ ; 0 ≥ r π θ 2 0 ≤ ≤ O determinante Jacobiano da transformação das coordenadas cartesianas em polares é dado por: ( ) ( ) r r sen rsen y r y x r x r y x J = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = cos cos , , θ θ θ θ θ θ θ Como 0 ≥ r , temos ( ) ( ) r = ∂ ∂ r, y x, θ FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 50 E assim, ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ = xy r D D rdrd r F dxdy y x f θ θ θ , , EXEMPLO Calcular ∫∫ + D dA y x 2 2 onde 4 : 2 2 ≤ + y x D θ y π 2 2 -2 2 x xy D θ r D 0 2 r Temos ( ) 2 2 , y x y x f + = ⇒ ( ) ( ) ( ) r rsen r r F = + = 2 2 cos , θ θ θ ( ) ( ) ( ) 3 16 0 2 3 8 3 8 3 8 3 r , , 2 0 2 0 2 0 2 0 3 2 0 2 0 2 2 π π θ θ θ θ θ θ θ π θ θ π π π θ θ = − = = = | | . | \ | = = | | . | \ | = = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ d d d dr r drd r rdrd r F dxdy y x f r r D D D r xy r EXERCÍCIOS 1) Calcule dA y x D ∫∫ + 2 2 , onde ¹ ´ ¦ ≥ ≤ + 0 1 : 2 2 y y x D 2) Calcule dA y x D 1 1 2 2 ∫∫ + + , onde { 4 : 2 2 ≤ + y x D 3) Calcule dA e D y x ∫∫ − − 2 2 , onde ¹ ´ ¦ ≥ ≥ ≤ + 0 , 0 1 : 2 2 y x y x D 4) Calcule o volume do sólido limitado por 4 2 2 = + y x ; 4 = + z y ; 0 = z 5) Calcule o volume do sólido limitado por ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ + − − ≤ ≤ 3 4 0 2 2 2 2 y x y x z FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 51 Respostas 1) 3 π 2) 5 ln π 3) ) 1 ( 4 1 − − e π 4) π 16 5) 3 14π FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 52 INTEGRAIS TRIPLAS As integrais triplas são definidas de modo análogo às integrais duplas. Dada uma função ( ) z y x f w , , = , definida em 3 R D ⊂ definimos a integral tripla de f por: ( ) ( ) ∑ ∫∫∫ = → ∆ = n i i i i i D V z y dV z y x f 1 0 , , x f lim , , µ onde µ é a partição de D (maior dos diâmetros das n sub regiões). No caso particular de função ( ) 1 , , = z y x f , como ( ) ∑ ∑ ∑ = ∆ = ∆ ⋅ = ∆ = = V V V V z y i n i i n i i i i i 1 1 1 , , x f , temos V D de volume 1 = = = ⋅ ∫∫∫ ∫∫∫ D D dV dV CÁLCULO DA INTEGRAL TRIPLA Para o cálculo da integral tripla vamos considerar vários casos. Caso 1: D é um paralelepípedo com as faces paralelas aos planos coordenados ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ q z p d y c b x a D: FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 53 z q D p c d y a D xy b x dzdydx dydzdx dxdzdy = = = = = = dzdxdy dydxdz dxdydz dV Agora temos seis possibilidades de seqüências de integração. No caso do paralelepípedo é suficiente remanejar os extremos para mudar a ordem de integração. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ | | . | \ | | | . | \ | = | | . | \ | | | . | \ | = | | . | \ | | | . | \ | = | | . | \ | | | . | \ | = = | | . | \ | | | . | \ | = | | . | \ | | | . | \ | = b a d c q p d c b a q p b a q p d c q p b a d c d c q p b a q p d c b a dx dy dz z y x f dy dx dz z y x f dx dz dy z y x f dz dx dy z y x f dy dz dx z y x f dz dy dx z y x f dV z y x f , , , , , , , , , , , , , , FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 54 EXEMPLO Calcular ∫∫∫ D dV z xy 3 2 onde ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 0 3 0 2 0 : z y x D Vamos utilizar a seqüência de integração dzdydx dV = , isto é: vamos integra primeiramente na variável z , depois na variável y e finalmente na variável x . ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ | | | | | | | . | \ | | | | | . | \ | = 2 0 ) ( 3 0 ) ( 1 0 3 2 3 2 dx dy dz z xy dV z xy II I D 4 4 3 4 4 2 1 43 42 1 4 4 ) ( 2 1 0 4 2 xy z xy I z z = = = = x y x dy xy II y y 4 9 3 4 4 ) ( 3 0 3 3 0 2 = = = = = ∫ 2 9 4 18 2 4 9 4 9 2 0 2 2 0 3 2 = = = = = = ∫∫∫ ∫ x x D x xdx dV z xy Caso 2: Se D for descrito por ( ) ( ) ( ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ y x z z y x z x y y x y b x a D , , : 2 1 2 1 então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ | | . | \ | | | . | \ | = | | . | \ | = b a x y x y y x z y x z D b a D dx dy dz z y x f dx dA z y x f dV z y x f yz 2 1 2 1 , , , , , , , , A ordem em que as integrais iteradas são calculadas não pode ser alterada a menos que sejam recalculados os extremos que definem a região D. FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 55 EXEMPLO Calcular ( ) ∫∫∫ + D dV yz x 5 onde ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 2 2 0 0 1 0 : y x z x y x D ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ | | | | | | | . | \ | | | | | . | \ | + = + + 1 0 ) ( 0 ) ( 0 2 2 5 5 dx dy dz yz x dV yz x II x I y x D 4 4 4 8 4 4 4 7 6 4 43 4 42 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 5 5x 2 5 2 5 5 ) ( 5 2 2 4 2 3 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 y y x x y xy y x y y x x z y xz dz yx x I y x z z y x + + + + = = + + + = | | . | \ | + = + = + = = + ∫ 12 7 3 20 12 4 4 3 5 5 12 4 2 2 3 5 5 2 2 5 5 ) ( 6 4 6 6 6 4 4 0 6 4 2 2 4 3 3 0 5 2 2 4 2 3 x x x x x x x y y x y x xy y x dy y y x x y xy x II x y y x + = + + + + = = | | . | \ | + + + + = = | | . | \ | + + + + = = = ∫ Logo, ( ) 12 17 12 1 3 4 7 12 7 5 3 20 12 7 3 20 5 1 0 7 5 1 0 6 4 = + = | | . | \ | + = | . | \ | + = + = = ∫∫∫ ∫ x x D x x dx x x dV yz x Analogamente temos outros casos: ( ) ( ) ( ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ y x z z y x z y x x y x d y c D , , : 2 1 2 1 então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ | | . | \ | | | . | \ | = | | . | \ | = d c y x y x y x z y x z D d c D dy dx dz z y x f dy dA z y x f dV z y x f xz 2 1 2 1 , , , , , , , , ou, se FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 56 ( ) ( ) ( ) ( ) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ z x y y z x y x z z x z b x a D , , : 2 1 2 1 então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ | | . | \ | | | . | \ | = | | . | \ | = b a x z x z z x y z x y D b a D dx dz dy z y x f dx dA z y x f dV z y x f xz 2 1 2 1 , , , , , , , , EXERCÍCIOS Calcule as integrais triplas (coordenadas cartesianas): 1) ( ) ∫∫∫ + + D dV z y x 3 2 , onde ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 3 0 3 0 2 0 : z y x D 2) ∫∫∫ d zdV , onde ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ y x z x y x D 2 0 2 0 1 0 : 3) ∫∫∫ D ydV , onde D é a região do espaço limitada pelo plano 0 60 15 20 12 = − + + z y x e os três planos coordenados. Respostas: 1) 120 2) 3 1 3) 2 15 INTEGRAIS DE LINHA Seja C uma curva no plano xOy dada pelas equações paramétricas ¹ ´ ¦ = = ) ( ) ( : t g y t f x C b t a ≤ ≤ . Sejam ( ) y x M , e ( ) y x N , duas funções contínuas cujos domínios contém a curva C . A integral de linha ( ) ( ) ∫ + C dy y x N dx y x M , , é definida por ( ) ( ) ∫ ′ + ′ b a dt t g t g t f N t f t g t f M ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( . EXEMPLOS 1) Calcular a integral de linha ( ) ( ) ∫ + + + C dy x y dx y x 2 3 2 2 sobre a curva ¹ ´ ¦ + = = 1 : 2 t y t x C 1 0 ≤ ≤ t . FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CÁLCULO III 57 Observe que temos 1 2 + = x y (parábola) t x = ⇒ dt dx = 1 2 + = t y ⇒ tdt dy 2 = ( ) ( ) ( ) | | ( ) | | = + + + + + = + + + ∫ ∫ tdt t t dt t t dy x y dx y x C 2 2 1 1 3 2 3 2 2 1 0 2 2 2 2 ( ) ∫ = + + + + = 1 0 2 3 5 8 3 2 8 4 2 dt t t t t Obs: Se invertermos o sentido de percurso sobre a curva, muda o sinal do resultado final. Isto é, ∫ ∫ − − = C C Poderíamos utilizar a forma cartesiana da equação da curva C . Para o exemplo anterior temos 1 2 + = x y , e assim xdx dy 2 = , 1 0 ≤ ≤ x . ( ) ( ) ( ) | | ( ) | | ∫ ∫ = + + + + + = + + + 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 3 xdx x x dx x x dy x y dx y x C ( ) ∫ = + + + + = 1 0 2 3 5 8 3 2 8 4 2 dx x x x x 2) Calcular ( ) ( ) ∫ − + + C dy x y dx y x onde C é o segmento de reta de ( ) 1 , 1 a ( ) 2 , 4 . ( ) 1 , 3 = = AB v r Equação vetorial do segmento de reta AB : AB t A P + = ou ( ) ( ) ( ) 1 , 3 1 , 1 , t y x + = , ou na forma paramétrica: ¹ ´ ¦ + = + = t y t x 1 3 1 1 0 ≤ ≤ t Temos dt dx 3 = e dt dy = ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + = − + + 1 0 11 10 6 dt t dy x y dx y x C 3) Calcular ( ) ∫ + C dy y x 2 onde C é o arco de parábola 2 y x = de ( ) 1 , 1 − a ( ) 3 , 9 − . Aqui temos 0 = M . Na forma paramétrica o arco de parábola é descrito por ¹ ´ ¦ − = = t y t x 2 3 1 ≤ ≤ t . dt dy − = e ( ) ( )( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − = − = − − = + 3 1 3 1 2 3 2 2 2 1 2 dt t t dt t dy y x C FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA INTRODUÇÃO Nos cursos de Cálculo I e II foram estudadas funções de uma variável real. Recordemos que uma função de uma variável é uma ”lei f” que associa a cada valor de uma variável x, um único valor de uma variável y. Neste caso x é chamada variável independente e y a variável dependente. Representa-se y = f ( x ) ou de forma mais detalhada escrevemos: f :A→B x a y = f(x) O conjunto A é o domínio da função f e indicamos A = D(f ) . Quando não se faz menção ao domínio da função fica subentendido que é o maior subconjunto dos reais onde a expressão (lei f) faz sentido. Alguns exemplos de funções de uma variável: 1) A área de um círculo é função de seu raio, y = f (r ) = π r 2 . 2) A pressão p , de certa massa gasosa, que se expande isotermicamente k (temperatura constante), depende somente, do seu volume v , p = ; k = cte v Entretanto, freqüentemente, temos situações em que uma grandeza depende simultaneamente, de várias variáveis. Por exemplo: 1) A área A de um retângulo de lados x e y, depende dos valores de x e y, A = xy . 2) A pressão P é função do volume V e da temperatura T , P = n R n, R = cte . T ; V FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se uma variável z depende de duas outras, x e y , de modo que a cada par ordenado ( x, y ) , está associado um único valor para z , temos uma função de duas variáveis z = f ( x, y ) . EXEMPLOS a) z = 2 + x 2 + y 2 z = f ( x, y ) = 2 + 1 + 0 = 3 2 2 ao par ordenado (1,0) corresponde o número CÁLCULO III 2 FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA b) z = 9 - x2 - y2 Podemos utilizar a representação: f : D ⊂ R2 → R onde R 2 = ( x, y ) a z = f ( x, y ) { ( x, y ) / x, y ∈ R } DOMÍNIO Quando definimos f : D ⊂ R2 → R, D é o domínio da função z = f ( x, y ) . A menos, que o domínio D, seja dado ( x,y ) a z = f ( x, y ) , o conjunto explicitamente, considere que ele é o conjunto mais “amplo” possível de pares ordenados ( x, y ) para os quais as operações que definem f ( x, y ) , estão definidas. No exemplo a) temos D = R2 , enquanto que no exemplo b) D = ( x, y ) ∈ R2 / x 2 + y 2 ≤ 9 , ou seja, o círculo de raio 3 e centro { } (0,0). Graficamente: a) y 3 b) y x −3 x 3 −3 CONJUNTO IMAGEM Im(f ) = {z = f ( x, y ) / ( x, y ) ∈ D(f )} No exemplo a) temos Im(f ) = [ 2, ∞ ) e no exemplo b) Im(f ) = [0,3] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Determine o domínio das funções abaixo. a) f ( x, y ) = 1 x + y2 2 CÁLCULO III 3 FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Devemos ter x 2 + y 2 ≠ 0 , ou ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) . Logo: D = ( x, y ) ∈ R2 / ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) = R2 - { ( 0, 0 ) { } } graficamente D é constituído pelo plano R 2 exceto a origem (0,0) b) f ( x, y ) = x2 - y2 Devemos ter x 2 - y 2 ≥ 0 , ou seja, x 2 ≥ y 2 , ou Logo: D = x ≥ y . { ( x, y ) ∈ R2 / x ≥ + y } { ( x, y ) ∈ R 2 / x ≠ 0 . Observe que para c) f ( x, y ) = cos 1 x Devemos ter x ≠ 0 , logo, D = (x + y ) } a função cosseno não há restrições sobre x e y. d) z = 1 x 2 + y -a 2 2 + y ;a〉0 Devemos ter x 2 + y 2 - a2 〉 0 e y ≥ 0 . Logo: D = ( x, y ) ∈ R2 / x 2 + y 2 - a2 〉 0 e y ≥ 0 { } EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determine o domínio de cada uma das funções abaixo: 1) f ( x, y ) = 3) f ( x, y ) = x 2 + y 2 - 16 2) f ( x, y ) = 3 9 - x2 - y2 1 25 - x 2 - y 2 1 + x-y 3 4) f ( x, y ) = sen ( x - y ) + 6) f ( x, y ) = ln y - x 2 x-y 5) f ( x, y ) = x-y ( ) RESPOSTAS CÁLCULO III 4 FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 1) D = 3) D = 5) D = { ( x, y ) / x { ( x, y ) / x { ( x, y ) / y 2 2 + y 2 ≥ 16 + y2 ≠ x} } ≠ 25 } 2) D = R2 4) D = 6) D = { ( x, y ) / y 〉 x } 2 { ( x, y ) / y ≤ x} GRÁFICO Recordemos que o gráfico G ( f ) , de uma função f de uma variável definida em D ⊂ R , é o conjunto dos pares ordenados ( x, y ) , com x ∈ D e y = f (x) . A seguir é apresentado o gráfico da função y = f ( x ) = x 2 com domínio [− 2,2] y 4 3 2 1 x -2 -1 1 2 D ⊂ R 2 , o gráfico G ( f ) , é definido por: G (f ) = No caso de uma função de duas variáveis z = f ( x, y ) com domínio { ( x, y, f ( x, y ) ) / ( x, y ) ∈ D } ⊂ R3 . G ( f ) é uma superfície no R 3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Esboçar o gráfico das seguintes superfícies: 1) z = f ( x, y ) = 9 - x 2 - y 2 D = { ( x, y ) ∈ R2 / x 2 + y 2 ≤ 9 } ≡ círculo de centro c ( 0, 0 ) e raio r = 3 Im ( f ) = R+ CÁLCULO III 5 com os planos coordenados x = 0 .y2 ⇒ y 2 + z2 = 9 (semi-circunferência no plano yz) z 3 2 1 y -3 -2 -1 1 2 3 CÁLCULO III 6 . z = 0 (plano xy) 9 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Para fazer um esboço do gráfico façamos inicialmente as intersecções de G ( f ) . y = 0 e z = 0 que são os planos coordenados.0) e raio r = 3 .x2 z 3 ⇒ x 2 + z2 = 9 (semi-circunferência no plano xz) 2 1 x -3 -2 -1 1 2 3 x=0 ⇒ z = 9 .x2 . y 3 (circunferência no 2 1 x -3 -2 -1 -1 1 2 3 -2 -3 y=0 ⇒ z = 9 .y2 = 0 ⇒ x2 + y2 = 9 plano xy de centro C(0. FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Esboço de G ( f ) 3 2 1 0 0 -2 0 2 -2 2 2) Parabolóide z = x 2 + y 2 (parabolóide de revolução) Intersecção com os planos coordenados: x = 0 (intersecção com o plano yz ) ⇒ z = y 2 (parábola no plano yz ) z 4 3 2 1 y -2 -1 1 2 y = 0 (intersecção com o plano xz ) ⇒ z = x 2 (parábola no plano xz ) z 4 3 2 1 x -2 -1 1 2 CÁLCULO III 7 . y (reta no plano yz ) y = 0 ⇒ z = 2 − x (reta no plano xz ) z = 0 ⇒ y = 2 . x = z = 0 ⇒ y = 2. intersecção com os planos coordenados: x = 0 ⇒ z = 2 . 0 ) ) 8 6 z 4 2 0 -2 -1 0 x 1 2 -2 -1 2 1 0 y 3) Plano z = 2− x −y y =z= 0 ⇒ x = 2 Intersecção com os eixos coordenados: x = y = 0 ⇒ z = 2.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA z = 0 (intersecção com o plano xy ) ⇒ x 2 + y 2 = 0 (origem (0.x (reta no plano xy ) z 2 2 y 2 x CURVAS DE NÍVEL CÁLCULO III 8 . circunferências no plano xy de centro C ( 0. y ) = x 2 + y 2 . temos x 2 + y 2 = c . 1 . Para uma curva de nível c . as curvas do tipo z = c = cte são chamadas curvas de nível constante. y ) . Algumas curvas de : c= c = 4 ⇒ x2 + y 2 = 4 y 2 . y ) = c = 4 ⇒ x2 + y 2 = y 2 1 4 .0 ) e raio Estas curvas são c . c= c = 1 ⇒ x2 + y 2 = 1 1 4 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Dada a função z = f ( x. x + y2 1 ⇒ x2 + y 2 = 4 c= 4 2 1 c =1 c=4 x 1 2 -2 -1 -1 -2 CÁLCULO III 9 . c ≥ 0 . EXEMPLOS 1) Obter as curvas de nível da função z = f ( x. 1 1 ⇒ x2 + y 2 = 4 4 c=4 1 c =1 -2 -1 c= 1 1 4 x 2 -1 -2 2) Obter as curvas de nível da função z = f ( x. ou curvas de nível da função f . c = 1 ⇒ x2 + y 2 = 1 . é a temperatura do ponto curvas f ( x. y ) = c . as curvas f ( x. são chamadas curvas isotermas. é o potencial (elétrico ou gravitacional). y ) . 2 V ( x.Determine as curvas de nível c1 = 1 e c2 = 2 . y ) = 25 − x 2 d) f ( x. de uma chapa plana D. as b) Se f ( x. y ) é definido por 17 − x − y para 4 volts. y ) = c . as curvas f ( x. são chamadas curvas equipotenciais. y ) . do plano x 0 y .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Alguns casos especiais a) Se f ( x. y ) = 25 − x 2 − y 2 e) f ( x. y ) . é a pressão de um gás de volume x e temperatura y . c) Se f ( x. y ) = x 2 + y 2 − 9 b) z = f ( x. y ) = x 2 + y 2 . ( x. y ) = x 2 + y 2 − 9 3) O potencial elétrico no ponto ( x. CÁLCULO III 10 . y ) = c . são chamadas linhas isóbaricas. na região D. Determine a curva eqüipotencial 4) Seja f ( x. y ) = 1 − y 2 b) f ( x. c = 1 e c = 4 para as funções indicadas: a) z = f ( x. y ) = 4 2 V em volts. y ) = 6 − x − y c) f ( x. y ) . y ) = 25 − x 2 − y 2 2) Represente no plano xy as curvas de nível c = 0 . a) f ( x. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Fazer um esboço dos gráficos das funções. EXEMPLOS 1) f ( x. definida em D ⊂ R 2 . y ) ≠ (1. ou seja: f é contínua em P0 ⇔ P ≅ P0 ⇒ f ( P ) ≅ f ( P0 ) Intuitivamente a continuidade de uma função num ponto P0 exprime que o gráfico de f não apresenta um “furo” ou uma “ruptura” de qualquer espécie nesse ponto sobre o gráfico de f .1) ( x.1) f é contínua em todos os pontos ( x.1. “próximos” a P0. temos f ( P ) . y ) = 8 − x − 2y z 5 P (1.5) 1 1 y x f é contínua em P0 (1. se para pontos P. Sendo P0 = ( x0 . “próximo” de f ( P0 ) . com valores em R. y ) ∈ R 2 8 − x − 2y se  2) f ( x.1) D(f ) = R 2 CÁLCULO III 11 . y 0 ) .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA CONTINUIDADE Seja uma função f. um ponto do domínio de f. é contínua em P0. y ) = (1. dizemos que f. y ) =  se 9  ( x. Observe que para pontos próximos de (1. Dada a função y = f ( x ) e x0 ∈ ( a. f ′ ( x0 ) = lim f ( x 0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆x ∆x →0 se o limite existir e for finito. 1) = 9 . y ) é contínua em todos os pontos ( x. Geometricamente o número f ′ ( x0 ) representa o coeficiente angular da f ′ ( x0 ) = tgα y y = f (x) t y0 α x0 x CÁLCULO III 12 . DERIVADAS PARCIAIS Vamos relembrar o caso da derivada de uma função de uma variável (Cálculo I). 1) . b ) . temos os valores de f ( x. 1) .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Com esta definição f não é contínua em (1. 1) . f ( x0 ) ) . y ) ≠ (1. f ( x. y ) próximos de 5 e não de z 9 5 1 1 y x f (1. reta tangente t ao gráfico de f no ponto ( x0 . Funções que apresenta “bicos” (pontos angulosos) ou rupturas não são deriváveis nestes pontos. y ) qualquer. y ) ∆x →0 ∆x 2 ( x + ∆x )2 + y 2  − x 2 + y 2  = lim  = ∆x →0 ∆x = lim ( ) = lim x 2 + 2 x ∆x + ( ∆x ) + y 2 − x 2 − y 2 ∆x ∆x →0 ∆x →0 ( 2x + ∆x ) = 2 x que fy ( x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA f ( x ) . é definida pelo limite ∂y (se existir): f ( x0 . y ) = 2 x . enquanto que para obter a derivada parcial em relação à y. y 0 ) indicada por fy ( x0 . fazemos x constante. f ( x0 ) ) apresenta-se “suave”. Consideremos uma função de duas variáveis f : D ⊂ R 2 → R dada por z = f ( x. no sentido que admite uma A existência da derivada de f ( x ) no ponto x0 indica que o gráfico de reta tangente. Assim para obter a derivada parcial da função f em relação à x. é definida pelo limite (se ∂x existir): fx ( x0 . y ) = x 2 + y 2 temos fx ( x. y 0 + ∆y ) − f ( x0 . y ) = lim f ( x + ∆x. temos: fx ( x. A derivada parcial de da função f em relação à variável x num ponto ( x0 . Então se f ( x. y ) . y 0 ) = lim f ( x0 + ∆x. próximo de ( x0 . y 0 ) ou ( x0 . y ) = x 2 + y 2 . Analogamente mostra-se Outros exemplos: CÁLCULO III 13 . y ) + f ( x. y 0 ) − f ( x0 . y 0 ) ∆x ∆x →0 Analogamente a derivada parcial de da função f em relação à variável y ∂f num ponto ( x0 . mantemos y constante e derivamos f em relação à variável x. y 0 ) . y 0 ) = lim ∆y →0 ∆y EXEMPLO Dada z = f ( x. y 0 ) indicada por fx ( x0 . y ) = 2y . y 0 ) ou ∂f ( x0 . y 0 ) . y 0 ) fy ( x0 . Num ponto ( x. cos y + x 2 − y 2 x2 − y 2 4) f ( x. y ) = x 3 + 2y 3 + 3 xy ⇒  fy = ∂f = 6 y 2 + 3 x  ∂y  ∂f  fx = ∂x = cos y  2) f ( x. encontrar fx e fy : 1) f ( x. y ) = 2 x + y2 5) f ( x. y ) = x + y = x + 2 2 2 ( 1 2 2 y ) ∂f x  fx = ∂x = x2 + y 2  ⇒  y f = ∂f = y  ∂y x2 + y 2  EXERCÍCIOS PROPOSTOS: A) Para as funções abaixo. y ) = sen x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA ∂f  2 fx = ∂x = 3 x + 3 y  1) f ( x. y ) = x cos y ⇒  fy = ∂f = − xseny  ∂y  3) f ( x. y ) = 2x 3 − 4 x + y x2 x 3 − 2x + y 8) f ( x. sen y − y 2 cos x 7) f ( x. y ) = x2 + 1 9) f ( x. y ) = x 4 + xy + y 3 2) f ( x. y ) = tg x . y ) = x 2sen y + x 3 y 4 3) f ( x. y ) = sen x + cos y tg y 6) f ( x. y ) = x 2 + y 2 ( ) 10 CÁLCULO III 14 . y ) = x 2 + 2 x 3 y 7 . se z = ln x 2 + y 2 então x ⋅ x2 +y 2 ∂z ∂z +y⋅ = 1. y ) = e x 2 −2 x seny + y 2 − 3 xy 13) f ( x. y ) = sen( x 2 + y 2 ) B ) Calcule as derivadas parciais fx e f y nos pontos indicados: a) f ( x. ∂x ∂y D ) Sendo f ( x. y ) fica somente  ∂x  em função da variável x. y ) são interpretadas geometricamente do seguinte modo: ao calcularmos a derivada parcial  ∂f    consideramos a variável y como constante e assim f ( x. y ) = 7 xy 2 − 7 x 2 y 3 . y ) = x −3senx + y ln x 11) f ( x. y ) = x 2 − 2 x 2 y + xy 2 + y 3 14) f ( x. cujo gráfico é uma curva no espaço. P (1. y ) = x ⋅ e . intersecção do gráfico de f com o plano vertical correspondente a y = constante. Assim a  ∂f  derivada parcial   é o coeficiente angular da reta tangente à curva no  ∂x  CÁLCULO III 15 . y ) = e x +3 y +3 17) f ( x. calcule y ⋅ ∂f ∂f −x⋅ ∂x ∂y SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA PARCIAL As derivadas parciais da função z = f ( x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 10) f ( x. y ) = xe y + y senx 12) f ( x. y ) = ln( x 2 + y 2 ) 16) f ( x.0) C ) Mostre que. y ) = 1 3 x3y 2 15) f ( x. P (1.1) b) f ( x. e que C ( x.y.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA ponto (x. ∂T Tx ( x 0 . y ) a temperatura no ponto ( x. y 0 ) = ( x0 . y 0 ) (taxa instantânea) Ty ( x0 . y ) de uma chapa D . contida no plano xOy . y ) represente o custo de produção de x unidades do produto I e y unidades do produto II. a partir do ponto ( x0 . y 0 ) representa a taxa de variação da temperatura ∂x em relação a distância percorrida na direção do eixo x. CÁLCULO III 16 .  ∂y  OUTRAS INTERPRETAÇÕES Consideremos T ( x. y 0 ) = Suponha que uma indústria produza dois artigos I e II. (sentido positivo). y 0 ) representa a taxa de variação da temperatura ∂y em relação a distância percorrida na direção do eixo y.f(x.y)) obtida por tal intersecção nesse ponto. y 0 ) (taxa instantânea) ∂T ( x0 . (sentido positivo). a partir do ponto ( x0 . Analogamente  ∂f  interpretamos a derivada parcial   . T ( 3.1) Como f ( x. y 0 ) mantendo a produção de I constante.4 ) representará a taxa de variação da temperatura neste ponto e CÁLCULO III 17 .y em cm e T em graus Celsius) de uma chapa plana é T ( x. y ) (formato da chapa) e a temperatura do b) Se a partir do ponto ( 3. C y ( x0 . teremos y = cte . y ) = 10 − x − 2y = 10 − x 2 2 ( 2 1 2 2 − 2y ) .1) = tgα = −1 2) A temperatura do ponto ( x. y ) (x.4 ) uma formiga caminhar na direção do eixo x. sentido positivo. constante. portanto 1 fx ( x. y ) = 30 + 50 − x 2 − y 2 .4 ) . y 0 ) mantendo a produção de II C x ( x0 .4 ) = 30 + 50 − 9 − 16 = 35o C b) Como a formiga se moverá na direção do eixo x. produzida a mais a partir de ( x0 . y 0 ) representa o aumento ∂y aproximado no custo por unidade de II. y 0 ) = ∂C ( x0 . a) Determine domínio de T ( x. a temperatura aumentará ou diminuirá? Qual o valor desta taxa? Resolução: a) D = {( x. y 0 ) representa o aumento aproximado no custo por ∂x unidade de I. produzida a mais a partir de ( x0 . y ) = 10 − x 2 − 2y 2 2 ( ) − 1 2 ( −2 x ) = −x 10 − x 2 − 2y 2 fx ( 2. Analogamente. y 0 ) = EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de z = 10 − x 2 − 2y 2 com o plano y = 1 no ponto onde x = 2 . } A chapa D possui formato circular (raio r = 50 cm ). Logo Tx ( 3. ponto ( 3. Resolução: O coeficiente angular pedido é dado por fx ( 2. segue que e. y ) ∈ R 2 / x 2 + y 2 ≤ 50 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA ∂C ( x0 . 4 ) ∂x ∂y c) Calcule o coeficiente angular da reta tangente a curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto em que y = 4.30 ) = 400 − (12 − 7 ) − ( 40 − 30 ) = 275 mil reais 2 2 ∂L ∂L ( x. Portanto a temperatura nesta direção diminuirá de cm 5 0. mantendo o capital investido. b) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Dada a função f ( x. 2 2 a) Calcule o lucro diário se a empresa tem 7 vendedores e 30 mil reais investidos.30 ) = −2 (12 − 7 )( −1) = 10 mil reais ∂x ∂x de lucro por vendedor admitido. Numa certa época tem-se L ( x.30 ) = −2 ( 40 − 30 )( −1) = 20 mil reais de ∂y ∂y lucro por 1 mil reais investido. 3) Numa empresa comercial.y em cm) ( x. y ) de uma chapa é dada por CÁLCULO III 18 .30 ) e ( 7. ( ) 1 2 =− x 50 − x 2 − y 2 e assim Tx ( 3.4 ) = − o 3 = −0. ∂L ∂L ( x.4 ) e ( 3. c) É mais lucrativo o investimento de mais 1 mil reais. y ) = −2 (12 − x )( −1) ⇒ ( 7. o lucro diário L é uma função do número de vendedores x e do capital investido em mercadorias y (y em milhares de reais). ∂L ∂L b) Calcule ( 7. ou investir mais 1 mil reais.30 ) ∂x ∂y c) O que é mais lucrativo. mantendo o numero de vendedores? Resolução: a) L ( 7.6 C . y ) = y 2 + 1 x2 + y 2 a) Determine o domínio de f ∂f ∂f b) Calcule ( 3.6 oC por cm. y ) = 2 x 2 + 3 y 2 + 15 (T em oC e x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 1 Tx ( x. pois o lucro deve aumentar de aproximadamente 20 mil reais enquanto que se admitindo mais 1 vendedor o lucro aumentaria aproximadamente de 10 mil reais. y ) = −2 ( 40 − y )( −1) ⇒ ( 7. y ) = 400 − (12 − x ) − ( 40 − y ) . 2) A temperatura do ponto T ( x. y ) = 50 − x 2 − y 2 2 nesta direção. a partir da situação a? Aumentar de uma unidade o número de vendedores. ∂L ∂L b) Calcule e neste mês. V   a) Represente P em função de T e V. sendo a taxa de variação da temperatura com relação a distância percorrida na direção do eixo y. Sendo T = ( P.4 ) = − 125 ∂x Respostas 1) a) D = R 2 − {( 0. ∂x ∂y c) O que é mais conveniente a partir dessa situação: aumentar a produção de I mantendo constante a de II. V (volume) e T (temperatura absoluta) relacionam-se através da equação a    P + 2  (V − b ) = RT com a.2 ) b) aumenta de 4oC por cm aproximadamente CÁLCULO III 19 .4 ) = 996 125 b) ∂f 996 ( 3.V0 ) e (T0 . a temperatura aumentará ou diminuirá? De quantos oC/cm aproximadamente? c) Em que ponto ( a.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA a) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (1.V0 ) ∂T ∂V ∂f 3 ( 3. ou aumentar a de II mantendo a de I? 5) Para um mol de um gás as grandezas P (pressão). sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por L ( x. sentido positivo. 3) Para um gás ideal a temperatura T é uma função do par (pressão). isto é P = P (T . b ) = ( 3.b positivos). b ) a temperatura vale 45 oC. calcule no ponto (500. Num certo mês foram produzidas 2000 unidades de I e 1000 unidades de II.V ) b) Calcule P (T0 .V ) .0 )} c) tg β = fy ( 3. P PV ∂T .2 ) b) Se a partir do ponto (1.V0 ) onde T0 = c) Calcule 8a e V0 = 3b 27bR ∂P ∂P (T0 . 4) Um fábrica produz mensalmente x unidades de um produto I e y unidades de um produto II. y ) = 15000 + 2 x 2 + 8 y 2 (L em reais). R constantes. V (volume). b.2 ) nos movermos no sentido positivo do eixo x.igual a 12 oC/cm? (a.4 ) = 125 ∂y 2) a) 2 x 2 + 3 y 2 = 14 c) ( a.200) e 40 ∂P interprete o número obtido. a) Calcule o lucro da produção conjunta neste mês. Existem. sabemos calcular as derivadas parciais fx e fy que ainda são funções de x e y .V0 ) = ∂P (T0 .200 ) = 5 é o aumento aproximado na temperatura por unidade de ∂P pressão. São elas: ∂ 2f Derivada parcial de fx em relação à x indicada por fxx ou ∂x 2 ∂ 2f Derivada parcial de fx em relação à y indicada por fxy ou ∂y ∂x Derivada parcial de fy em relação à x indicada por fyx Derivada parcial de fy em relação à y indicada por fyy Assim.1000 ) = 1 ∂x c) é mais conveniente aumentar a produção de II 5) a) P = RT a − 2 V −b V ∂L ( 2000. a partir do ponto indicado. ∂ 2f ou ∂x ∂y ∂ 2f ou ∂y 2 fxx = fxy = fyx = fyy ∂  ∂f  ∂ 2f = ∂x  ∂x  ∂x 2  ∂  ∂f  ∂ 2f = ∂y  ∂x  ∂y ∂x  ∂  ∂f  ∂x  ∂y  ∂ 2f =  ∂x ∂y ∂  ∂f  ∂ 2f =  = ∂y  ∂y  ∂y 2 CÁLCULO III 20 . As derivadas parciais de fx e fy são chamadas derivadas parciais de 2a ordem.1000 ) = 19000 b) 3) ∂L ( 2000. y ) . portanto quatro derivadas parciais de 2a ordem.1000 ) = 2 ∂y ∂P R (T0 .V0 ) = 2b ∂T b) P (T0 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA ∂T ( 500.V0 ) = 0 ∂V a 27b 2 c) DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS Dada z = f ( x. 4) a) L ( 2000. fxxx fxx = ∂f ∂x fxy = ∂ 2f ∂y ∂x ∂ f ∂x 2 2 ∂ 3f = 3 ∂x ∂ 3f ∂y ∂x 2 ∂ 3f ∂x ∂y ∂x ∂ 3f ∂y 2∂x fxxy = fx = fxyx = fxyy = f fyxx = fyx = ∂f ∂y fyy = ∂ 2f ∂y 2 fyyy = ∂ 2f ∂x ∂y ∂ 3f ∂x 2∂y ∂ 3f ∂y ∂x ∂y fyxy = fyyx = fy = ∂ 3f ∂x ∂y 2 ∂ 3f ∂y 3 EXEMPLO Se f ( x. Por exemplo. fy = 2 x 3 y + 7 y 6 CÁLCULO III 21 . Pode-se mostrar que se f . temos: f x = 3 x 2 y 2 + 5 x 4 . fxy = fyx . fyx e fyy são as derivadas parciais de 3a ordem e assim sucessivamente. As derivadas parciais das funções fxx . existem 23 = 8 derivadas parciais de ordem 3.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA As derivadas parciais fxy e fyx são chamadas derivadas mistas de 2a ordem. fxy e fyx são contínuas no domínio D então as derivadas mistas de 2a ordem são iguais. isto é. fx . Para uma função de duas variáveis. O diagrama abaixo ilustra a geração das derivadas parciais de ordem superior. fy . y ) = x 3 y 2 + x 5 + y 7 . existem 2n derivadas parciais de ordem n . Este resultado é conhecido como teorema de Schwartz. fxy . 4) Se w = ( y − 2 x ) − y − 2 x . y ) admite derivadas parciais até 2a ordem.1) . y ) . y ) = sen x 2 − y 2 2 2 x +y 2x d) f ( x. mostre que w xx − 4w yy = 0 . Mostre que são harmônicas as funções: a) f ( x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA De fx = 3 x 2 y 2 + 5 x 4 ⇒ fxx = 6 xy 2 + 20 x 3 e fxy = 6 x 2 y De fy = 2 x 3 y + 7 y 6 ⇒ fyx = 6 x 2 y e fyy = 2 x 3 + 42y 5 De fxx = 6 xy 2 + 20 x 3 ⇒ fxxx = 6 y 2 + 60 x 2 e fxxy = 12 xy De fxy = 6 x 2 y ⇒ fxyx = 12 xy De fyx = 6 x 2 y ⇒ fyxx = 12 xy e fxyy = 6 x 2 e fyxy = 6 x 2 e fyyy = 210 y 4 De fyy = 2 x 3 + 42y 5 ⇒ fyyx = 6 x 2 2 2 Ainda de fxxx = 6 y + 60 x teríamos fxxxx sucessivamente. y ) = y 3e −5 x . y ) = ln x 2 + y 2 ( ) b) f ( x. 7) Sendo f ( x. Determine a inclinação da superfície z = f ( x.1) b) fyyy (0. CÁLCULO III 22 . Calcule ∇2f para as funções. y ) é Harmônica se e somente se o Laplaciano de f é sempre igual a zero. y ) = c) f ( x. y ) = 3 x + 2y . y ) no ponto (4. y ) = x 4 − y 4 b) f ( x.2) nas direções: a) x e b) y. ∂ 4f = 4 = 120 x . determine: a) fxyy (0. y ) = e x seny + e y cos x 3) Calcular as derivadas até 3a ordem de : f ( x. 3 5) Seja z = x cos y .1) c) fyyxx (0. y ) + 2 ( x. ∂x ∂ 5f = 120 . y ) = 2 ( x. ∂x ∂y 1 a) f ( x. y ) = 2 x + y2 2 ( ) 2) Uma função f ( x. e assim ∂x 5 EXERCÍCIOS 1) Se f ( x. ∂y ∂x 6) Seja f ( x. y ) = x 4 + y 4 + senx + cos y . chama-se Laplaciano de ∂ 2f ∂ 2f f à função ∇ f ( x. Determine: a) ∂2z ∂x 2 b) ∂2z ∂y 2 c) ∂2z . Qual a variação de f ( x. y ) = 3 x 2 − xy .2 ) para (1. a variação da função z será dada por: ∆z = ∂f ∂f ∆x + ∆y ∂x ∂y CÁLCULO III 23 . Naturalmente poderíamos encontrar A DIFERENCIAL TOTAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS As derivadas parciais de z = f ( x. y ) indicam o quanto a função varia em relação a pequenas mudanças de suas variáveis.98 ) ? Resolução: 2 ∆z = f ( x + ∆x. y 0 )  . y + ∆y ) − f ( x.98 ) − f (1. y 0 ) uma variação em x de ∆x  ∂f  resultará uma variação em z = f ( x. y ) de  ∂f  aproximadamente  ( x0 . y ) . fazemos x = 1 .01 e este valor calculando f (1.02 . y ) Deste modo ∆z representa a variação do valor de f quando P1 ( x. y ) = 3 ( x + ∆x ) − ( x + ∆x )( y + ∆y ) − 3 x 2 − xy = ( ) = 3 x 2 + 6 x ∆x + 3 ( ∆x ) − xy − x ∆y − y ∆x − ∆x ∆y − 3 x 2 + xy = 2 = 6 x ∆x + 3 ( ∆x ) − x ∆y − y ∆x − ∆x ∆y 2 Para achar a variação desejada em f ( x.0605 . y ) é uma função de duas variáveis.∆y . y ) varia para P2 ( x + ∆x. se ∆x e ∆y são pequenos.1. A notação ∆z representará o acréscimo correspondente á variável dependente.∆x e  ∂x  uma variação em y de ∆y resultará uma variação em z = f ( x. y ) varia de (1. ∆y = −0. y ) de aproximadamente  ( x0 . obtendo-se ∆z = 0. obter ∆z . y + ∆y ) .01. y ) quando ( x. EXEMPLO Se z = f ( x. isto é: ∆z = f ( x + ∆x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA VARIAÇÃO REAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Se z = f ( x. então os símbolos ∆x e ∆y denotam acréscimos a x e y respectivamente. então para um ponto ( x0 . y = 2 .2 ) . ou seja. Assim. ∆z = f ( P2 ) − f ( P1 ) . Em particular. y 0 )  . quando ambas ∆x e ∆y estiverem  ∂y  ocorrendo. ∆x = 0. 1.01 . y + ∆y ) − f ( x. y 0 ) .06 = 0.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Definimos as diferenciais dx e dy das variáveis independentes x e y como dx = ∆x e dy = ∆y . y = 2. y ) ⋅ dx + fy ( x. y ) é diferenciável em contínua em ( x0 . ser escrito na forma ∆z = fx ( x0 . y 0 ) então f é CÁLCULO III 24 . y ) ⋅ dx + fy ( x. y 0 ) ∆x + f ( x0 .0605 − 0. y ) ⋅ dy a variação correspondente do valor de uma função z = f ( x.02 ) = 0.0 ) . y 0 ) ∆y + ε 1∆x + ε 2 ∆y onde ε 1 e ε 2 TEOREMA Se uma função z = f ( x. determinar a diferencial dz e utilizá-la par obter uma aproximação da variação de z = f ( x. y ) ⋅ dy ou dz = ∂f ∂f ( x. y ) ⋅ dx + ( x.01) + ( −1)( −0. y ) = 3 x 2 − xy . y 0 ) para um ponto próximo. Logo o erro cometido decorrente da utilização de dz no lugar de ∆z é de ∆z − dz = 0. y + ∆y ) − f ( x. Fazendo dz = ( 6 − 2 )( 0.02 .0605 . obtemos Mostramos no exemplo anterior que ∆z = 0. podemos descrever Variação Absoluta Verdadeira (real) = ∆z = f ( x + ∆x.01 . y 0 ) se ∆z puder tendem a zero quando ( ∆x.98 ) . y ) ⋅ dy ∂x ∂y EXEMPLO Se z = f ( x.01 e dy = ∆y = −0. dx = ∆x = 0. y ) como: DIFERENCIABILIDADE Dizemos que z = f ( x. 1. A diferencial total dz da variável dependente z é definida por: dz = fx ( x. y ) se (1. y ) Variação Absoluta Aproximada = dz = fx ( x.06 x = 1.2 ) para Resolução: dz = fx ⋅ dx + fy ⋅ dy = ( 6 x − y ) dx + ( − x ) dy .0005 Quando nos movemos de ( x0 . ( x. ( x0 . ∆y ) → ( 0. y ) é diferenciável no ponto ( x0 . y ) varia de (1. Se E diminui de 5 volts e R de 0. onde b é a base e h a altura. sendo 5 mm a espessura das paredes. Usando diferenciais. de estanho deve ter raio interno de 2 dm e altura interna 4 dm .2 ) c) dz = ∂f ∂f (1. encontrar o volume aproximado do estanho necessário para fabricá-la. Utilizando diferenciais.2 ohms .h . a base varia de +1cm e a altura de +5cm ? Respostas 1) a) 13 + 2∆x + 12∆y + ( ∆x ) + 3 ( ∆y ) 2 2 b) ∆z = 2∆x + 12∆y + ( ∆x ) + 3 ( ∆y ) 2 2 c) dz = 2∆x + 12∆y 2) ∆z = 0.2 ) . Num R certo instante tem-se E = 200 volts e R = 8 ohms .77 dm3 4) dP ≅ −125 W 5) dS = 0. dz e compará-los.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA EXERCÍCIOS 1) Dada a função z = f ( x. 3) Uma lata cilíndrica fechada. de quanto varia aproximadamente a potência? 5) A superfície de um retângulo é dada por S = b.2 ) ⋅ ∆y ∂x ∂y a) f (1 + ∆x. b = 8m . y ) = x 2 + 3 y 2 e o ponto (1. b) ∆z = f (1 + ∆x.2 + ∆y ) 2) No exercício anterior se ∆x = 0.01.1607 3) 3.16 CÁLCULO III 25 .02 e ∆y = 0.2 ) ⋅ ∆x + (1. calcule. E2 4) A potência consumida num resistor elétrico é P = em watts. calcular ∆z .5m 2 dz = 0. calcule de quanto varia a superfície se h = 10m .2 + ∆y ) − f (1. Se substituirmos x e y pelas expressões segundo as quais dependem da variável t . y (t ) ) = F (t ) . y ) . ou seja. y ) = π x 2 y onde x = t 3 e y = 2t . Esta mesma derivada pode ser obtida pela chamada primeira regra da cadeia. A derivada de z em relação à t pode ser obtida como função de uma variável.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA A REGRA DA CADEIA No Cálculo I. z depende de uma única variável t . calcular Resolução: dz dt 7 1o modo: Por substituição: z = π x 2 y = π t 3 2o modo: Pela regra da cadeia: ( ) ( 2t ) = 2π t 2 e dz = 14π t 6 dt dz ∂z dx ∂z dy = ⋅ + ⋅ = ( 2π xy ) ⋅ 3t 2 + π x 2 ( 2 ) = dt ∂x dt ∂y dt ( ) ( ) = 6π xyt 2 + 2π x 2 = 6π t 3 ( 2t ) t 2 + 2π t 3 ( ) ( ) 2 = 12π t 6 + 2π t 6 = 14π t 6 2) Sendo f ( x. dt dx dt ( ) O CASO DE MAIS DE UMA VARIÁVEL (1a Regra da Cadeia) Suponhamos que temos z = f ( x. dt CÁLCULO III 26 . ou dt pela chamada regra da cadeia (derivada da função composta) dada por dy dy dx = ⋅ . por: dz ∂z dx ∂z dy F ′(t ) = = + dt ∂x dt ∂y dt EXEMPLOS 1) Se z = f ( x. onde as variáveis x e y dependem de uma nova variável t . pode ser obtida por 9 dy dy dx = ⋅ = 10 x 9 ( 2t ) = 20t t 2 + 1 . podemos dt dx dt de t . y ) = u = x 2 + y 2 onde x = t + 1 e y = 2t . z = f ( x(t ). Por exemplo. calcular Resolução: du . z′ = F ′(t ) . quando tínhamos a situação y = f ( x ) com x dependendo dy podia ser calculada por substituição da variável x . a derivada escrever y = x 10 = t 2 + 1 ( ) 10 e a derivada de y em relação à variável t . ou seja. se y = f ( x ) = x10 com x = t 2 + 1. Sendo funções diferenciáveis. y ) com x = x ( u. Isto é. determine CÁLCULO III 27 . ∂r ∂θ = −2r senθ cos θ + 2r senθ cos θ = 0 EXERCÍCIOS ∂u ∂u e . Temos: ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = ⋅ + ⋅ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = ⋅ + ⋅ ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v e EXEMPLO Se z = f ( x. z depende de x e y que por sua vez dependem de duas outras variáveis u e v . y = r e −s . Substituindo x e y em f vemos que z depende de u e v . x = 2r + s .v ) . podemos obter as derivadas de z em relação à u e v . y ) = f ( x ( u. x = r e s . y ) = x 2 + y 2 onde x = r cos θ e y = r senθ . y = r − 2s . y ( u. z = f ( x.v ) e y = y ( u.v ) isto é. calcule 3 + 4 ∂r ∂s 1) Sendo u = ln x 2 + y 2 . encontrar Resolução: ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = ⋅ + ⋅ = ( 2 x )( cos θ ) + ( 2y )( senθ ) ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z Se substituirmos x e y temos = 2r cos2 θ + 2r sen2 θ = 2r ∂r ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = ⋅ + ⋅ = ( 2 x )( −r senθ ) + ( 2y )( r cos θ ) = ∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂z e .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA ∂u = 2x ∂x ∂u = 2y ∂y ∂x =1 ∂t ∂y =2 ∂t du = 2 x + 4 y = 2(t + 1) + 8t = 10t + 2 dt A REGRA DA CADEIA GENERALIZADA Suponhamos que z = f ( x. ∂r ∂s ∂z ∂z 2) Sendo z = x 2 + y 2 + xy .v ) .v ) ) = F ( u. y ) = x 3 y − y 4 . x = . 5) Calcule ∂w ∂w e com w = u senv . u = x 2 + y 2 e v = xy . y = ln t . ache r = pq 2 e s = p 2senq . obtenha . ∂r r ∂u e 2s − e −2s = ∂s e 2s + e −2s 2) 3 ∂z ∂z +4 = 30r + 15s ∂r ∂s dF −3ln t 1 4(ln t )3 = + 4− 3) dt t4 t t 4) ∂w = 3 p 2q 6 + 4 p3sen 2q ∂p ∂w = 2 xsenxy + y x 2 + y 2 cos xy ∂x ∂w = 6 p3q 5 + 2 p 4senq cos q ∂q 5) ( ) ∂w = 2ysenxy + x x 2 + y 2 cos xy ∂y ( ) CÁLCULO III 28 . t dt 4) Por meio da regra da cadeia.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 1 dF 3) Se f ( x. ∂q Respostas 1) ∂u 1 = . ∂x ∂y ∂w e ∂p ∂w sendo w = r 3 + s 2 . y ) no ponto ( x0 . y ) ( crescimento ou decrescimento) quando. Sabemos calcular neste ponto a taxa de variação de f em relação à x. y 0 ) . y 0 ) ∈ D . Estas taxas são as derivadas parciais de f em relação x e a y respectivamente. y ) numa função definida em D ⊂ R 2 e ( x0 . e será representada por fα ( x0 . y )) . y 0 0 (f ( x .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA A DERIVADA DIRECIONAL Seja z = f ( x. a partir de um ponto caminhamos na direção do eixo x (f ( x . e a taxa de variação de f em relação à y. y )) x 0 0 ( x0 . y r α y0 x x0 CÁLCULO III 29 . Geometricamente elas descrevem o comportamento da função f ( x. mantido x fixo. y 0 ) . caminhamos numa direção qualquer determinada pela reta Queremos agora descrever o comportamento da função f ( x. y 0 ) e na direção do eixo y y y0 x x0 a partir de ( x0 . mantido y fixo. A taxa de variação de f em relação à distância percorrida na direção de r será chamada derivada direcional de f ( x. y 0 ) na direção α . y ) quando orientada r que forma um ângulo α como eixo x (sentido positivo). y 0 + s ⋅ sen α ) ⇒ F ′ (s ) = df ∂f dx ∂f dy ∂f ∂f ( x. y ) com as funções  obtendo-se  y ( s ) = y 0 + s ⋅ sen α  F ( s ) = f ( x ( s ) . y 0 ) ⋅ se nα ∂x ∂y fα ( x0 . y ) = ⋅ + ⋅ = ⋅ cos α + ⋅ sen α ds ∂x ds ∂y ds ∂x ∂y Portanto. y 0 ) ⋅ cos α + ( x0 . y ) sobre os pontos da reta r é dada por F ′ ( s ) . fα ( x0 . y 0 ) ∈ r que é F ( s ) = f ( x0 + s ⋅ cos α . y 0 + s ⋅ sen α ) Para obter os valores da função z = f ( x. podemos utilizar a regra da cadeia do seguinte modo: Para calcular a taxa de variação de f ( x. Tomando como parâmetro o comprimento de arco s temos que a equação paramétrica de r é:  x = x0 + s ⋅ cos α r :  y = y 0 + s ⋅ sen α α fixado . y 0 ) ⋅ cos α + fy ( x0 . s ∈ r r y s senα α y0 s cos α x0 x  x ( s ) = x0 + s ⋅ cos α  suficiente compor f ( x. y 0 ) = Ou ∂f ∂f ( x0 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Vamos definir de modo mais preciso a derivada direcional. y 0 ) = fx ( x0 . y ) no ponto ( x0 . y 0 ) ⋅ s en α CÁLCULO III 30 . y ( s ) ) = f ( x0 + s ⋅ cos α . temos f o ( x0 . y ) = 2 x Tx ( 3. e T é dada em o C .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Casos particulares importantes: • • Para α = 0o .2 ) .4 ) ⋅ cos30o + Ty ( 3.2 2 2 CÁLCULO III 31 . y 0 ) EXEMPLOS 1) Para a função f ( x. portanto. y ) = x 2 + y 2 + 15 . y ) = 2 xy  segue que Como  2 fy ( x.4 ) na direção: a) α = 30o Resolução: Tx ( x. y ) = 2y Ty ( 3.2 ) ⋅ cos 30o + fy (1.2 ) = 1   3 1  1  + (1)   = 2 3 + = 3. y 0 ) = fy ( x 0 . onde x e y são as coordenadas de um ponto.  fy (1. ⇒  Ty ( x. temos: fα +π ( x0 . y 0 ) = fx ( x0 .4 ) ⋅ sen30o = = 6⋅ 3 1 + 8 ⋅ = 3 3 + 4 ≅ 9.2 ) = fx (1.4 ) = 6   Temos:  . y ) = x 2 y .9641  2 2  2  30o (1. y 0 ) 0 Para α = 90 .4 ) = Tx ( 3. y 0 ) ⋅ ( − sen α ) = −fα ( x0 . y 0 ) = fx ( x0 . Resolução fx ( x. y 0 ) ⋅ ( − cos α ) + fy ( x0 . aproximadamente. y 0 ) = fx ( x0 . y 0 ) • Para α ′ = α + π . Calcule de quanto varia. a temperatura se caminharmos 1 cm a partir do ponto ( 3. temos f o 90o ( x 0 .4 ) = 8   Logo: a) T 30o b) α = 210o ( 3. y 0 ) ⋅ sen (α + π ) cos (α + π ) = − cos α e sen (α + π ) = −senα ∴ fα +π ( x0 . y ) = x  f fx (1. na direção α = 30o . obter a derivada direcional no ponto (1. y 0 ) ⋅ cos (α + π ) + fy ( x0 .2 ) = 4  e.2 ) ⋅ sen30o = ( 4 )   2) A temperatura de uma chapa é dada por T ( x. em cm. y 0 ) i + fy ( x0 . a taxa é de T 90o ( 3. u = 1 ). y r u y0 α cos α senα x x0 A expressão da derivada direcional de f no ponto ( x0 .4 ) = 8 o C cm . b) T 210o ( 3. y 0 ) ∂f ∂f ( x0 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA T 30o ( 3. y 0 ) j • cos α i + sen α j ( ) ( ) 32 CÁLCULO III . na enquanto que na direção do eixo y (sentido positivo).4 ) = Tx ( 3.2 oC cm aproximadamente.2 210 oC cm aproximadamente.4 ) ≅ −9.2 C cm . isto é.4 ) ⋅ sen 210o =  3  1 = 6⋅−  + 8 ⋅  −  = −3 3 − 4 ≅ −9. pode ser escrita ∂x ∂y produto escalar : fα ( x0 . y 0 ) = como o r r r r fα ( x0 . y 0 ) ⋅ cos α + ( x0 . a temperatura deverá aumentar de 9. A FORMA VETORIAL DA DERIVADA DIRECIONAL A direção da reta r que forma um ângulo α como o eixo x (sentido r positivo) pode ser definida pelo vetor unitário (versor.4 ) = 6 0 oC cm ( 3. y 0 ) = fx ( x0 .2  2   2   o T o ( 3.4 ) = Ty ( 3. r r r u = cos α i + senα j .4 ) .2 oC cm .4 ) ≅ 9.4 ) = Tx ( 3. Observe que a taxa de variação da temperatura no ponto direção do eixo x (sentido positivo) é T o ( 3.4 ) ⋅ cos 210o + Ty ( 3. e a temperatura deverá aumentar de −9. y 0 ) ⋅ senα . Resolução: Do exemplo anterior temos: r r r 3r 1r i+ j direção (versor) é dada por u = cos30o i + sen30o j = 2 2 ur r r ur r r o gradiente de f . y ) = x 2 + y 2 + 15 no ponto ( 3. y 0 ) • u = proj ∇f ( x0 .4 ) = ∇f ( 3. y 0 ) (o 0 0 símbolo ∇f lê-se “nabla f ”). ur r r fu ( x0 . uma vez que u é unitário. ∇f ( x. A r r r r r v1 • v 2 projeção do vetor v1 sobre o vetor v 2 é dada por proj v1 = r . Assim. y 0 ) • u r onde u é o versor da direção sobre a qual calculamos a taxa de variação. isto é: v 2 = 1 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA r r O vetor fx ( x0 . y ) no ponto ( x0 . y 0 ) i + fy ( x0 .y ) ou ∇f ( x0 . y 0 ) j Portanto a forma vetorial da derivada direcional é. y 0 ) . ur r r ∇f ( x0 .4 ) • u = 6i + 8 j •  i + j  = 3 3 + 4 ≅ 9.4 ) é ∇f ( 3. r u CÁLCULO III 33 . r v2 v2 r r r r r No caso de v 2 ser unitário. y 0 ) j é conhecido como vetor gradiente de ur f ( x. y ) = 2 xi + 2y j no ponto ( 3. y 0 ) = ∇f ( x0 . que é r v2 exatamente a situação da derivada direcional.4 ) na direção α = 300 . y 0 ) i + fy ( x0 .2  2  2   ( ) SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA DIRECIONAL Vamos rever o conceito de projeção de vetores visto no curso de r r Geometria Analítica. y 0 ) = ∇f ( x0 .4 ) = 6i + 8 j A derivada direcional será: ur r r  3 r 1 r r r fu ( 3. EXEMPLO Encontrar a derivada direcional da função dada por f ( x. y 0 ) e é representado por ( gradf )( x . y 0 ) = fx ( x0 . temos proj v1 = v1 • v 2 . ur r ur r r fu ( x0 . Sejam os vetores v1 e v 2 formando um ângulo θ . b) do eixo dos y. y 0 ) r u= r ∇f ( x 0 . portanto temos. y 0 ) θ y0 r u α x x0 VALOR MÁXIMO DA DERIVADA DIRECIONAL O valor máximo da derivada direcional (projeção) ocorre quando θ = 0o e.  = 0  2 CÁLCULO III 34 . y 0 ) EXEMPLO  π Calcule a derivada direcional da função f ( x. d) em que ela é máxima. r r c) do vetor 2i + j .  e  2 na direção: a) do eixo dos x.  = 2.0 = 2 2  2  π fy  1.1 + . ( fα ( x . y ) = x 2 sen xy no ponto  1. y 0 ) e a direção em que ocorre esta taxa máxima de variação é definida pelo versor. Resolução: a) fx = 2 xsenxy + x 2 y cos xy b) fy = x 3 cos xy π  π fx  1. y ) ) 0 0 max ur = ∇f ( x0 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA y r ∇f ( x0 . ur ∇f ( x0 . r r d) a derivada direcional na direção do vetor 4i + 6 j 4) O potencial V associado a um campo elétrico é V ( x.  . + 0. r r c) a derivada direcional na direção do vetor −2i − 2 j .  1 1 no ponto  . calcule grad f ( 0.0) onde r r u = −i . y ) = x2 + y 2 em uma região do plano é dado por r r r a) determine a derivada direcional de V na direção de u = 12i + 5 j no ponto (4. y ) = ln x 2 + y 2 r r a) determine o vetor campo elétrico E . 6) É dada a função f ( x. sabendo-se que E = −∇V . Determine: b) o gradiente da função neste ponto. 2 2  1 1 b) em que direção.1) e fu (1.3) b) dê o versor da direção. a partir de (4.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA r r r c) v = 2i + j r v = 5 r 2 r 1 r u= i + j 5 5 s r 2 1 4 fvr = ∇f • u = 2. r 2) Dada a função f ( x. y ) = x 3 − 2 x 2 y + xy 2 − 1 no ponto r r (1. 3) Uma função tem no ponto (1.2) e na direção do vetor 4i + 6 j . pede-se: CÁLCULO III 35 .2 ) a derivada direcional: r r • igual a 2 na direção do vetor 2i + 2 j e r r • igual a −3 na direção do vetor i − j . a derivada direcional de 2 2 V é máxima? Qual o seu valor máximo? 5) O potencial elétrico V 1000 V ( x.3) em que a taxa de variação do potencial é máxima. = 5 5 5 s d) ( fvr )max = ∇f = 2 EXERCÍCIOS 1) Calcule a derivada direcional de f ( x. a partir do ponto  .  . y ) = x 2 − y 2 . y ) = 9 − x 2 − y 2 . b) na direção do vetor i + j . c) (1.2) = − 2 ∂x 8 CÁLCULO III 36 . c) 2 2 2 r r r r 4) a) −i − j .2) b) calcule a derivada direcional de f ( x. fu (1.2) = .11 13 r r r 2) ∇f ( 0. c) 504 13 2 5) a) − 4r 3 r b) − i − j 5 5 r r 1 1 ∂ 2f 1 r 7) a) ∇f (1.0) = −2 3) a) − 2r 5 2r 26 i + j .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA a) calcule o gradiente de f ( x.2) e na r r direção do vetor 4i − 3 j c) calcule ∂ 2f ∂ 2f (1. b) –2.2) ∂x∂y ∂x 2 Respostas 4 1) ≅ 1. 2 5 ∂x∂y 4 ∂ 2f 5 (1. y ) no ponto (1.2) e (1.2) = − . b) fu (1.2) = − i − j . y ) no ponto (1.1) = −2 j . ⇒ x = 3 é ponto de mínimo relativo de f .5 5.8 5.7 5. ⇒ x = 2 é ponto de máximo relativo de f .5 4 x No caso de funções de duas variáveis. interiores a um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados. Se quisermos incluir os pontos fronteira.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA MÁXIMOS E MÍNIMOS Dada uma função f . Como f ′′(2 ) = −1 < 0 .5 2 2. EXEMPLO 1 5 Obter os pontos de máximo e mínimo relativos de f ( x ) = x 3 − x 2 + 6 x + 1 3 2 ′( x ) = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ x = 2 e x = 3 a) pontos críticos: f b) f ′′( x ) = 2 x − 5 . usaremos a expressão região retangular fechada. y 5. constitui um problema importante determinar para que valores da variável (ou das variáveis) independente(s) a função assume o seu valor máximo. CÁLCULO III 37 .6 5. x0 será ponto de mínimo relativo (ou local) e f ( x0 ) será o valor mínimo de f . Como f ′′(3) = 1 > 0 . b) Se f ′′( x0 ) < 0 . Se a função y = f (x) é contínua e derivável em R . 17 11 é o valor máximo relativo de f e f (3) = é o valor mínimo f (2) = 3 2 relativo de f . a) Determinamos os pontos críticos x0 de y = f ( x) resolvendo a equação f ′(x0 ) = 0 .ou o seu valor mínimo. a situação não é muito diferente. x0 será ponto de máximo relativo (ou local) e f ( x0 ) será o valor máximo de f .9 5. EXTREMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Usaremos a expressão região retangular para designar o conjunto de pontos de um plano coordenado. Recordando como este problema foi resolvido no Cálculo I.5 3 3.4 1. c) Se f ′′( x0 ) > 0 . y ) = 0 As soluções de  são os pontos críticos de f ( x. y ) ≤ f ( x0 . y ) . elas devem ser nulas em (x1. y1 ) tal que f ( x1 . y0 ) se existe uma região retangular D contendo (x0 . y ) . Dada a função z = f (x. Geometricamente.  f x ( x. Calculamos o determinante da matriz Hessiana no ponto crítico: CÁLCULO III 38 . mínimo ou sela sem ter que recorrer ao gráfico de f ou à forma da função. y0 ) é ponto de sela MATRIZ HESSIANA  f xx ( x. TESTE DE EXTREMOS A seguir será apresentado um teste que permite identificar pontos de máximo. segue que se (x0 . então os máximos locais correspondem aos pontos mais altos de S . Os pontos de mínimos locais correspondem aos pontos mais “baixos” do gráfico de f . y ) para todos os outros pares ( x. os que são de mínimo local. y ) ∈ D . com derivadas parciais de 2a ordem contínuas e (x0 . y0 ) é ponto de máximo local (x0 . y ) f xy ( x. tal que f ( x. y ) e f y ( x. e os que não são nem de máximo nem de mínimo local. y1 ) ≤ f ( x. Analogamente f x (x0 . y ) . y )  f y ( x. y0 ) é ponto crítico (x0 . y ) yy   yx é chamada Matriz Hessiana da função f no ponto ( x. y )  H ( x. y1 ) .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Tal como no caso de uma variável. y0 ) = 0 . y0 ) é ponto de máximo local então esta reta é horizontal e portanto f y ( x0 . y ) f ( x. os pontos críticos de f ( x. y ) = 0 A função f tem mínimo local em ( x1 . estes últimos são chamados pontos de sela. Dada uma função f ( x. então como f y ( x0 . então conforme acima. Se f tem derivadas parciais primeiras. y1 ) se existe uma região retangular D contendo ( x1 . a matriz. y ) são chamados pontos críticos de f ( x. y0 ) é ponto de mínimo local (x0 . y ) . y ) existem os que são de máximo local. se uma superfície S é o gráfico de f . diz-se que uma função f de duas variáveis tem máximo local no ponto (x0 . y0 ) é o coeficiente angular da reta tangente à curva intersecção do gráfico de S com o plano x = x0 . y0 ) para todos os outros pares ( x. os pontos que anulam simultaneamente as derivadas parciais f x (x. y0 ) = 0 . y0 ) . y ) =   f ( x. Seja z = f (x. y0 ) um ponto crítico de f . y ) ∈ D . Entre (x0 . Se f y existe. y ) contínua. y0 ) f yx ( x0 .0 ) f xx (0.0 ) f xy (0. y ) = 4 − x 2 − y 2 . y0 ) > 0 então (x0 .0) temos f xx (0. Se E ( x0 . f yy = −2 . y0 ) f xy ( x0 . y ) = 4 − x 2 − y 2 . Se E ( x0 .0) = −2 . y0 ) = 0 nada se conclui.0 ) > 0 e f xx (0.0 ) = 0 e f yy (0. f xx = −2 .0) = −2 1 E assim.0 ) = f yx (0.0) é o único ponto crítico de f . A seguir apresentamos um esboço do gráfico de f ( x. f xy (0. y0 ) > 0 e f xx ( x0 . y0 ) é ponto de máximo local.0 ) = f yx (0. f xy = f yx = 0 − 2 x = 0 . y0 ) f yy ( x0 . y ) = 4 − x 2 − y 2 0 -1000 -2000 -3000 -40 -20 0 20 40 -40 -20 0 20 40 CÁLCULO III 39 . y0 ) > 0 e f xx (x0 .0 ) é ponto de máximo local de 1 f ( x. y0 ) • • • • Se E ( x0 . Resolução f x = −2 x .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA E ( x0 . y0 ) < 0 então (x0 . y0 ) < 0 então (x0 .0) = −2 < 0 segue que P (0.0 ) = -2 0 0 -2 =4>0 Como E (0. ou seja  fy = 0 Temos x = y = 0 e assim P (0. y0 ) é ponto de mínimo local. Se E ( x0 . f y = −2 y .0 ) f yy (0. EXEMPLOS 1) Determinar os pontos extremos da função f ( x. y0 ) é ponto de sela. y0 ) = f xx (x0 .  − 2 y = 0  fx = 0 Para obter os pontos críticos devemos resolver o sistema  . E (0. 1 Em P (0. 0 ) 0 -2 Como E (0. Resolução f x = 2x . f yy = −2 . E (0.0 ) é ponto de sela de f ( x. y ) = x 2 − y 2 1000 0 -1000 -40 -20 0 20 40 -40 -20 0 20 40 3) Determinar os pontos críticos da função f ( x. 1 Esboço do gráfico de f ( x.0) temos f xx (0.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 2) Determinar os pontos extremos da função f ( x.0) = 2 . f xx = 2 . f y = −2 y . y ) = 4 x 3 − 6 x 2 y − 2 y 3 + 3x 2 − 6 xy + 6 y e classifique-os. Resolução Os pontos críticos são as soluções do sistema: (1) 12 x 2 − 12 xy + 6 x − 6 y = 0  fx = 0 (2 x + 1)( x − y ) = 0  . fy = 0 − 2 y = 0  Temos x = y = 0 e assim P (0.0 ) = f yx (0.0) é o único ponto crítico de f .0 ) 2 0 = = −4 < 0 f yy (0. segue que P (0. y ) = x 2 − y 2 (sela).0 ) < 0 . y ) = x 2 − y 2 . f xy = f yx = 0  fx = 0  2x = 0 Para obter os pontos críticos devemos resolver o sistema  .0 ) = f xx (0.0 ) f xy (0. ou seja  .0) = −2 1 E assim.0 ) f yx (0. 1 Em P (0. f xy (0. Portanto  ou  2  2 − 6 x 2 − 6 y 2 − 6 x + 6 = 0 − x − y − x + 1 = 0 (2)  fy = 0  De (1) segue que x = − 1 ou x = y 2 CÁLCULO III 40 .0 ) = 0 e f yy (0. é apresentado um esboço do gráfico da função f ( x.  é ponto de sela. com o auxílio do Mathematica. 1  2 2 2  2      1 1 P4  . y ) = ou 24 x − 12 y + 6 − 12 x − 6 2 = (12 y )(24 x − 12 y + 6) − (− 12 x − 6) − 12 x − 6 12 y E ( x.  . y ) = 4 x 3 − 6 x 2 y − 2 y 3 + 3x 2 − 6 xy + 6 y CÁLCULO III 41 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA x=− 1 5 em (2) resulta y = ± 2 2 x = y em (2) resulta 2 x 2 + x − 1 = 0 cujas raízes são x = −1 ou x = 1 2  1 5  1 5  .  2 2 Calculando as derivadas parciais de 2a ordem e o deteminante E ( x.4164 < 0 segue que No ponto P  − . y )   f yy ( x. 1 2 2    No ponto P3 (− 1. y ) = −12 x − 6 = f yx ( x. P3 (− 1.498 < 0 e f xx = −19. −1) é ponto de sela.5016 < 0 e f xx = 7.  temos E = 216 > 0 segue que P4  .−1) e Logo os pontos críticos de f são: P  − . 2 2 2 2 A seguir.−  . y ) = 24 x − 12 y + 6   f xy (x.−  2 2     1 5  é ponto de mínimo local. P2  − . y ) = −12 y E ( x. P− . P− . y ) temos:  f xx ( x. y ) = 36(2 x + 1) + 72 y (4 x − 2 y + 1) 2 • • • •  1 5  temos E = −260.41641 > 0 segue que No ponto P2  − . −1) temos E = 108 > 0 segue que P3 (− 1. 1 2 2     1 5  temos E = −99. 1 1 1 1 No ponto P4  . 1 2 2     1 5  é ponto de máximo local. reunidas.5 X 0 0. então o volume da região seria V = k ⋅ A . n . (1. onde A é a área de D . y ) fosse constante e igual a k . y i e consideremos f ( x.−1) são pontos de sela. y i ⋅ ∆i A i =1 n ( ) O conjunto formado pelas n sub-regiões ∆ i D em que D foi sub-dividido é chamado partição de D .5 1 -1 0 1 Y EXERCÍCIOS 1) Seja z = f ( x. Supondo que toda a produção da 2 2 industria seja vendida.0) é ponto de mínimo local. 3) 10 unidades do produto A e 30 unidades do produto B.1) pontos de sela 2) (0. y ) constante e igual a f x i . reproduzem D . Estas sub-regiões se interceptam duas a duas apenas em pontos das respectivas fronteiras e. y ) = 60 x + 100 y − x 2 − y 2 − xy . Assim o volume V da região será aproximadamente igual à soma dos volumes dos pequenos sólidos de área da base ∆ i A e altura f x i . y ) . 2) Classificar os pontos críticos de f ( x. i = 1. y i . y ) uma função contínua não negativa em D ⊂ R 2 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 20 Z 10 0 -10 -1.1) ponto de mínimo local.−1) ponto de máximo local. O máximo das CÁLCULO III 42 . acima de D . (− 1. Respostas 1) (1. y i . (1. ou seja: ( ) ( ) ( ) V ≅ ∑ f xi . determinar o nível de produção que maximiza o lucro. y ) constante.2. INTEGRAIS DUPLAS Seja f ( x. Em cada uma delas escolhemos um ponto x i . Vamos calcular o volume da região sob o gráfico de f ( x. mínimo local ou ponto de sela. y ) = 2 x 3 + 2 y 3 − 6 x − 6 y . O lucro da industria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por 3 3 L( x. Encontre os pontos críticos de f e classifique-os em máximo local.1) e (0.−1) e (− 1. vamos subdividir o domínio D em n pequenas sub-regiões ∆ i D de área ∆ i A .5 -1 -0. y ) = 3xy 2 + x 3 − 3 x . 3) Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. Não sendo f ( x.L. Se f ( x. y ) indicada por ∫∫ f (x. y ) contínua não negativa em D ⊂ R 2 representa o volume da região sob o gráfico de f ( x. µ é chamado a norma da partição de D . y i ∆i A D n µ →0 i =1 ( ) CÁLCULO DA INTEGRAL DUPLA A integral dupla de uma função f ( x. é definida pelo D limite. y )dA . Seja µ o maior dos diâmetros das regiões ∆ i D . acima de D . y )dA = ∫     D ac ca   b EXEMPLO Calcular 1o modo: ∫∫ (x D 2 0 ≤ x ≤ 3 + 3 xy dA onde D :  1 ≤ y ≤ 2 ) ∫∫ (x D 2 3 2   + 3 xy dA = ∫  ∫ x 2 + 3 xy dy dx   01 144 44  2 3 ) ( ) A( x ) CÁLCULO III 43 .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA distâncias entre dois pontos de um conjunto é chamado diâmetro do conjunto. y )dy dx = ∫  ∫ f ( x. y ) . y )dx dy Neste caso. a ≤ x ≤ b D é um retângulo D :  c ≤ y ≤ d y d D c a b x d b d     ∫ f ( x. (se existir): ∫∫ f (x. y )dA = lim ∑ f x i . ∫∫ f ( x. Vamos considerar vários casos para D . A integral dupla da função f ( x. CASO 1. y )dy dx ∫∫   D a  y1 ( x ) 14 244  4 3 A( x ) y y2 ( x ) y1 ( x ) a EXEMPLO b x CÁLCULO III 44 . 3 3 9   x 2 + 3 xy dA = ∫ A(x )dx = ∫  x 2 + x dx = ∫∫ 2  D 0 0 y=2 ( ) ( )  x3 9 x2  81 117 = + ⋅  =9+ =  3 2 2 4 4  x =0  x =3 2o modo: ∫∫ (x D 2 2 3   + 3 xy dA = ∫  ∫ x 2 + 3xy dx dy   10 144 44  2 3 ) ( ) B( y )  x3 27 x2  B( y ) =  + 3 y ⋅  = 9 + y  3  2  x =0 2  x =3 ∫∫ ( D  27  27 y 2   = x + 3xy dA = ∫ B( y )dy = ∫  9 + y dy =  9 y + ⋅   2  2 2  y =1   1 1 2 ) 2 2 x=2 27  81 117  = (18 + 27 ) −  9 +  = 9 + = 4  4 4  CASO 2: a ≤ x ≤ b D é da forma: D :   y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x ) b  y2 ( x)  f ( x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA  3 xy 2  3  9    A(x ) =  x 2 y + = 2x2 + 6x −  x2 + x  = x2 + x  2  y =1 2  2   Logo. y )dA = ∫  ∫ f ( x. 8 1 x ∫∫ ( D 1 3  x 2 2 2  x + y 2 dy dx =  x 2 y + y    x + y dA = ∫ ∫ dx = ∫   3  y =0  0 0 0  ) 1 ( ) y= x2   1 1 26 x6  x5 x 7 + = + = = ∫  x 4 +  − (0 + 0 )dx =   3 5 21 x = 0 5 21 105 0   1 x =1 CASO 3: c ≤ y ≤ d D é da forma: D :   x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y )  x2 ( y )  f ( x. y )dx dy ∫∫   D c  x1 ( y ) 14 244  4 3 d B( y ) y d y1(x) y 2 (x) D c x CÁLCULO III 45 .2 0.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Calcular ∫∫ (x D 2 0 ≤ x ≤ 1 + y 2 dA onde D :  2 0 ≤ y ≤ x ) y 1 0.6 0.2 0.6 0.4 0.8 0.4 0. y )dA = ∫  ∫ f ( x. 8 0.2 0.4 0.8 1 x ∫∫ ( D  x + y dA = ∫   0 2 2 ) 1 ∫( y 1 x =1 1   x3 2  dy = x + y dx dy = ∫  + y x   3    x= y 0  2 2 ) 3    3 1 5 5  y2  1  y2  1 + y 2  − 2 2 = ∫  + y dy = ∫  + y − − y 2 dy =   3 3 3   3   0  0       1 5 2 7 2 y =1 = y3 y y 1 y+ − − 3 3 15 7 2 2 = y =0 1 1 2 2 26 + − − = 3 3 15 7 105 Caso Geral: Em geral se D não puder ser descrito de um dos modos anteriores.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA EXEMPLO Resolver o exemplo anterior utilizando a seqüência de integração dA = dxdy 0 ≤ y ≤ 1  D pode ser reapresentado na forma: D :   y ≤ x ≤1  y 1 0. subdividimos D em partes que possam se enquadrar nos casos anteriores.2 0. Por y exemplo: 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 D: y ≥ 0 −2 −1 1 2 x CÁLCULO III 46 .6 0.6 0.4 0. cada umas como um dos casos anteriores. y )dA = ∫  ∫ f ( x. y )dA + ∫∫ f (x. y )dA D D1 D2 D3 Resumindo: a ≤ x ≤ b Se D :  então  y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )  y2 ( x)  f ( x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA y D2 D1 -2 -1 1 D3 x 2 Temos: − 2 ≤ x ≤ −1  D1 :  0 ≤ y ≤ 4 − x 2   − 1 ≤ x ≤ 1 D2 :   1 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2  1 ≤ x ≤ 2  D3 :  . y )dA = ∫∫ f (x. 0 ≤ y ≤ 4 − x 2  Como D = D1 ∪ D2 ∪ D3 de modo disjunto temos: ∫∫ f (x. y )dx dy   D c d  x2 ( y )  ( y)  x14 244  1 4 3 B( y ) dA = dydx = dxdy CÁLCULO III 47 . y )dA + ∫∫ f (x. y )dy dx ∫∫   D a  y1 ( x ) 14 244  4 3 b A( x ) c ≤ y ≤ d Se D :  então  x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ) ∫∫ f (x. y )dA = ∫  ∫ f (x. f ( x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Principais interpretações: 1) Se f ( x. y = x + x. pelas equações y = 4 . y = x 2 e o eixo y. y )dA = V D D D D. onde D :  D x ≤ y ≤ x ( ) 6) Calcule e interprete o resultado ∫∫ dA . 11) Calcule ∫∫ (x D 2 3 + 2 xy dA . onde D é a região compreendida entre as curvas y = 2 x . onde D :  1 ≤ y ≤ 4 D 1 ≤ x ≤ 2 3) Calcule ∫∫ xy 3dA . y ) > 0 . 2) Se f ( x. y ) = 1 . 12) Seja A a área da região limitada pelas curvas y = x . y = 4 x e xy = 36 a) Indique como você calcularia A utilizando integral simples. onde 3 4) Calcule 0 ≤ y ≤ 1  xy 2 dA . D y=x . onde D é a região compreendida entre as curvas D y = 2x2 − 2 . onde D é a região compreendida entre as curvas ) y = x2 . y = x . ∫∫ f (x. onde D :  ∫∫ y ≤ x ≤ y D  0 ≤ x ≤ 1 5) Calcule ∫∫ y + y 3 dA . 2 10) Calcule 2 ∫∫ dA . representa o volume do sólido de base D e altura EXERCÍCIOS 1 ≤ x ≤ 2 D: 0 ≤ y ≤ 4 D 0 ≤ x ≤ 3 2) Calcule ∫∫ (x + y 2 )dA . 9) Calcule ∫∫ xdA . onde D :  0 ≤ y ≤ 2 x D 1) Calcule ∫∫ xy dA . no primeiro quadrante. onde D 0 ≤ y ≤ 4 D: 0 ≤ x ≤ y 0 ≤ x ≤ 5  7) Calcule o volume do sólido determinado pelas desigualdades 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1 − y 2  8) Expresse através de uma integral dupla a área da região limitada. b) Indique como você calcularia A utilizando integral dupla c) Calcule A CÁLCULO III 48 . y ) . Calcule o valor dessa área. y )dA = ∫∫ dA = A representa a área da região ∫∫ f (x. θ ) CÁLCULO III ∂x ∂ ( x. r≥0  y x≠0 θ = arctg x  0 ≤ θ ≤ 2π O determinante Jacobiano da transformação das coordenadas cartesianas em polares é dado por: ∂x ∂θ = cosθ − rsenθ = r ∂y senθ r cosθ ∂θ ∂ (x. y ≥ 0 . 14) Calcule o volume do sólido determinado pelas superfícies z = 0 . y ) Temos: x ↔ ↔ coordenadas polares P(r . b) Indique como você calcularia V utilizando integral dupla c) Calcule V. y ) ∂r = J= ∂y ∂ (r .θ )  x = r cosθ   y = rsenθ r = x 2 + y 2  .FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 13) Seja V o volume do sólido determinado pelas superfícies x = 0 . Respostas 153 1 1) 96 2) 3) 42 4) 2 40 10 16 4 9 7) 8) 9) 10) 3 3 3 2 49 13) V = 96 14) 60 5) 7 60 2 11) 9 6) 8 (área de D) 12) A = 36 ln 2 A INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES y y y P y r P θ x ρ >0 0 ≤ θ < 2π x x coordenadas retangulares P ( x.θ ) ∂r 49 . y ) Como r ≥ 0 . z = 2 − x − y . z ≥ 0 . x = 8 e z = 8 − 2 y2 a) Indique como você calcularia V utilizando integral simples. temos =r ∂ (r. sendo y ≤ 1 − x 2 . x ≥ 0 . y )dxdy = D F (r . onde D : x 2 + y 2 ≤ 4 2 x + y +1 D 2 2 { x2 + y 2 ≤ 1 3) Calcule ∫∫ e dA . onde D :  x ≥ 0 . y )dxdy = ∫∫ F (r .θ ) = 2 2 =r r (r cosθ )2 + (rsenθ )2 2π 2 2  ∫∫ f (x. y + z = 4 . z = 0 − x2 − y2 0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2  5) Calcule o volume do sólido limitado por  x2 + y2 ≤ 3  CÁLCULO III 50 . onde D :  y ≥ 0 D 1 2) Calcule ∫∫ 2 dA . y ≥ 0 D 4) Calcule o volume do sólido limitado por x 2 + y 2 = 4 .θ )rdrdθ = D r drdθ = ∫  ∫ r dr dθ = ∫∫ ∫∫   Dxy 00  rθ rθ 2π  r3  8 8 θ = 2π 8 16π = ∫   dθ = ∫ dθ = θ θ =0 = (2π − 0) = 3 3 3 3 3  r =0 0 0 2π r =2 EXERCÍCIOS x2 + y 2 ≤ 1 1) Calcule ∫∫ x + y dA .θ )rdrdθ D rθ EXEMPLO Calcular ∫∫ D x 2 + y 2 dA onde D : x 2 + y 2 ≤ 4 θ y 2 2π -2 2 x Dxy Drθ 0 Temos f ( x. D xy ∫∫ f (x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA E assim. y ) = x 2 + y 2 ⇒ F (r . FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Respostas 1) π 3 2) π ln 5 3) π 4 (1 − e −1 ) 4) 16π 5) 14π 3 CÁLCULO III 51 . z )∆ V µ n D →0 i i =1 i i i onde µ é a partição de D (maior dos diâmetros das n sub regiões). y. z ) . y. como ∑ f x i . Dada uma função w = f (x. temos i =1 i =1 n ( ) n ∫∫∫1 ⋅ dV = ∫∫∫ dV = volume de D D D = V CÁLCULO DA INTEGRAL TRIPLA Para o cálculo da integral tripla vamos considerar vários casos.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA INTEGRAIS TRIPLAS As integrais triplas são definidas de modo análogo às integrais duplas. y i . z i ∆ iV = ∑1 ⋅ ∆ iV =∑ ∆ iV = V . z )dV = lim ∑ f (x . y . Caso 1: D é um paralelepípedo com as faces paralelas aos planos coordenados a ≤ x ≤ b  D : c ≤ y ≤ d p ≤ z ≤ q  CÁLCULO III 52 . No caso particular de função f ( x. definida em D ⊂ R 3 definimos a integral tripla de f por: ∫∫∫ f (x. z ) = 1 . y. z )dz dy dx =∫ ∫ ∫ ∫∫∫       cap acp     q CÁLCULO III 53 . y. y. No caso do paralelepípedo é suficiente remanejar os extremos para mudar a ordem de integração. y. y. z )dx dy dz =   f ( x. z )dz dx dy =   f ( x. z )dx dz dy = f ( x. z )dy dx dz = ∫  ∫  ∫ f ( x. z )dV = ∫ ∫  ∫ ∫∫∫ ∫∫∫      pc a c  pa     q b d bq d         = ∫  ∫  ∫ f ( x. y. z )dy dz dx        pac a pc     dbq bd q       f ( x. y. y.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA z q D p c a b x Dxy d y dV = dxdydz = dydxdz = dzdxdy = dxdzdy = dydzdx = dzdydx Agora temos seis possibilidades de seqüências de integração. dq b d b        f ( x. z4 ( I ) = xy 4 2 3 z =1 = z =0 xy 2 4 y =3 xy 2 x y3 dy = ( II ) = ∫ 4 4 3 0 2 2 3 = y =0 9 x 4 x=2 9 9 x2 xy z dV = ∫ xdx = ∫∫∫ 4 4 2 0 D = x =0 18 9 = 4 2 a ≤ x ≤ b  então Caso 2: Se D for descrito por D :  y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x )  z ( x. CÁLCULO III 54 . y ) ≤ z ≤ z ( x. y. depois na variável       31   2   xy 2 z 3 dV = ∫  ∫  ∫ xy 2 z 3 dz dy dx ∫∫∫  0 00 D 4 3  1 24   (  144I ) 44   2 3   ( II )   dzdydx . y. y ) 2  1 b b  y2 ( x )  z2 ( x . isto é: vamos integra y e finalmente na variável x . z )dz dy dx ∫∫∫       D a  D yz a  y1 ( x )  z1 ( x . y.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA EXEMPLO 0 ≤ x ≤ 2  Calcular ∫∫∫ xy 2 z 3 dV onde D : 0 ≤ y ≤ 3 D 0 ≤ z ≤ 1  Vamos utilizar a seqüência de integração dV = primeiramente na variável z . z )dA dx = ∫  ∫  ∫ f ( x. y )    f ( x. y )    A ordem em que as integrais iteradas são calculadas não pode ser alterada a menos que sejam recalculados os extremos que definem a região D . z )dV = ∫  ∫∫ f ( x. z )dA dy = ∫  ∫  ∫ f ( x. y. y. y. 5 7   (5 x + yz )dV = ∫  20 x 4 + 7 x 6 dx =  20 x + 7 x  = 4 + 1 = 17   ∫∫∫  3 5 12 7  3 12    x =0 3 12 12 D 0 Analogamente temos outros casos: 1 x =1 y=x c ≤ y ≤ d  então D :  x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y )  z ( x. z )dV = ∫  ∫∫ f ( x. se CÁLCULO III 55 . y )    f ( x. y ) 2  1 d d  x2 ( y )  z 2 ( x . z )dz dx dy ∫∫∫       D c  Dxz c  x1 ( y )  z1 ( x . y )    ou. y ) ≤ z ≤ z ( x.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA EXEMPLO 0 ≤ x ≤ 1  Calcular ∫∫∫ (5 x + yz )dV onde D : 0 ≤ y ≤ x D 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2   644 7444  4( II ) 8    2 2    x  x +y  1    ∫∫∫ (5 x + yz )dV = ∫  ∫  ∫ (5x + yz )dz dy dx  D 00 0 4 3  14 244   (I )          z2  ( I ) = ∫ (5 x + yx )dz =  5 xz + y   2  z =0   0 x4 y5 2 2 = 5x + 5 xy + y + x y + 2 2 3 2 x2 + y2 z= x2 + y 2 = 5 x(x 2 + y 2 ) + y 2 (x + y 2 )2 = 2 x  x4 y5  ( II ) = ∫  5 x 3 + 5 xy 2 + y + x 2 y 2 + dy =  2 2   0  5 xy 3 x 4 y 2 x 2 y 4 y 6  =  5x3 y + + + +  =  3 2 2 4 12  y =0   5 x 6 x 6 x 6 20 x 4 7 x 6 = 5x 4 + x 4 + + + = + 3 4 4 12 3 12 Logo. z )dV = ∫  ∫∫ f ( x. onde D D é a região do espaço limitada pelo plano 12 x + 20 y + 15 z − 60 = 0 e os três planos coordenados. y. g (t ))g ′(t )dt . y )dy é definida por C ∫ M ( f (t ).FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA a ≤ x ≤ b  então D :  z1 ( x ) ≤ z ≤ z 2 ( x )  y ( x. z ) 2  1 b b  z2 ( x )  y2 ( x . onde D : 0 ≤ y ≤ 3 D 0 ≤ z ≤ 3  0 ≤ x ≤ 1  2) ∫∫∫ zdV . y )dx + N ( x. z )dA dx = ∫  ∫  ∫ f ( x. z ) ≤ y ≤ y ( x. y ) duas funções contínuas cujos domínios contém a curva C . z )    EXERCÍCIOS Calcule as integrais triplas (coordenadas cartesianas): 0 ≤ x ≤ 2  1) ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z )dV . onde D : 0 ≤ y ≤ 2 x d 0 ≤ z ≤ 2 x − y  3) ∫∫∫ ydV .  y = g (t ) Sejam M ( x. Respostas: 1) 120 2) 1 3 3) 15 2 INTEGRAIS DE LINHA Seja C uma curva no plano xOy dada pelas equações paramétricas  x = f (t ) C: a≤t ≤b. y. z )dy dz dx ∫∫∫       D a  Dxz a  z1 ( x )  y1 ( x . y. a b EXEMPLOS 1) Calcular a integral de linha x = t 0 ≤ t ≤ 1. g (t )) f ′(t ) + N ( f (t ). A integral de linha ∫ M ( x. C: 2 y = t +1 C ∫ (x 2 + 3 y dx + y 2 + 2 x dy sobre a curva ) ( ) CÁLCULO III 56 . z )    f (x. y ) e N ( x. 0 ≤ x ≤ 1 . Isto é.1) a (4. ∫ = − ∫ C −C Poderíamos utilizar a forma cartesiana da equação da curva C . P = A + t AB ou (x. C ∫ (x 1 0 2 + 3 y dx + y + 2 x dy = ∫ x 2 + 3 x 2 + 1 dx + x 2 + 1 + 2 x 2 xdx = 2 0 ) ( ) 1 [ ( )] [( ) 2 ] = ∫ 2 x 5 + 4 x 3 + 8 x 2 + 2 x + 3 dx = 8 ( ) 2) Calcular r v = AB = (3. 3 3 2 dy = − dt e ∫ (x + 2 y )dy = ∫ (1 − 2t )(− dt ) = ∫ 2t − t 2 dt = − 3 1 1 C ( ) CÁLCULO III 57 .−3) .1) .1) Equação vetorial do segmento de reta AB : C ∫ (x + y )dx + ( y − x )dy onde C é o segmento de reta de (1.FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Observe que temos y = x 2 + 1 (parábola) x = t ⇒ dx = dt y = t2 +1 ⇒ dy = 2tdt C ∫ (x 1 0 2 + 3 y dx + y + 2 x dy = ∫ t 2 + 3 t 2 + 1 dt + t 2 + 1 + 2t 2tdt = 2 0 ) ( ) 1 [ ( )] [( ) 2 ] = ∫ 2t 5 + 4t 3 + 8t 2 + 2t + 3 dt = 8 ( ) Obs: Se invertermos o sentido de percurso sobre a curva. y ) = (1. Na forma paramétrica o arco de parábola é descrito por   y = −t 1≤ t ≤ 3. muda o sinal do resultado final.2 ) . ou na forma paramétrica:  x = 1 + 3t 0 ≤ t ≤1  y = 1+ t Temos dx = 3dt e dy = dt C ∫ (x + y )dx + ( y − x )dy = ∫ (6 + 10t )dt = 11 0 1 3) Calcular C ∫ (x + 2 y )dy onde C é o arco de parábola x = y 2 de (1. x = t 2 Aqui temos M = 0 . Para o exemplo anterior temos y = x 2 + 1 .−1) a (9.1) + t (3. e assim dy = 2 xdx .