apostila analise combinatoria

Hercules SartiAnálise Combinatória e Probabilidades Adaptada por Antonio Fernando Silveira Alves (setembro/2012) APRESENTAÇÃO É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Análise Combinatória e Probabilidades, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina. A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidisciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail. Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informação e documentação. Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar! Unisa Digital SUMÁRIO INTRODUÇÃO................................................................................................................................................ 5 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA................................................................................................................ 7 1.1 Combinações Simples....................................................................................................................................................7 1.2 Arranjos Simples...............................................................................................................................................................7 1.3 Permutações Simples......................................................................................................................................................8 1.4 Fatorial..................................................................................................................................................................................8 1.5 Princípio Fundamental da Contagem......................................................................................................................9 1.6 Cálculo do Número de Arranjos, Permutações e Combinações.....................................................................9 1.7 Combinações Complementares..............................................................................................................................11 1.8 Arranjos com Elementos Repetidos ( AR)n, p ...........................................................................................................12 1.9 Permutações com Elementos Repetidos..............................................................................................................12 1.10 Resumo do Capítulo..................................................................................................................................................13 1.11 Atividades Propostas.................................................................................................................................................14 2 PROBABILIDADES................................................................................................................................ 19 2.1 A Teoria das Probabilidades.......................................................................................................................................19 2.2 Probabilidade Condicional........................................................................................................................................22 2.3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total....................................................................................................23 2.4 Independência de Eventos........................................................................................................................................24 2.5 Resumo do Capítulo.....................................................................................................................................................26 2.6 Atividades Propostas....................................................................................................................................................27 3 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES.................................................................................... 37 3.1 Distribuição de Bernoulli............................................................................................................................................37 3.2 Distribuição Geométrica.............................................................................................................................................38 3.3 Distribuição Binomial...................................................................................................................................................39 3.4 Distribuição de Poisson...............................................................................................................................................40 3.5 Distribuição Normal......................................................................................................................................................41 3.6 Aproximação da Binomial pela Normal................................................................................................................42 3.7 Resumo do Capítulo.....................................................................................................................................................43 3.8 Atividades Propostas....................................................................................................................................................43 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................................ 47 RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS...................................... 49 REFERÊNCIAS.............................................................................................................................................. 55 ANEXO.............................................................................................................................................................. 57 INTRODUÇÃO Este material busca apresentar a você, aluno(a) da área de Ciências Exatas, na modalidade a distância, um estudo a respeito da Análise Combinatória e Probabilidades como parte fundamental da área de Matemática, relacionada com a formação para a disciplina de Estatística, que será apresentada nos próximos módulos. Os Problemas de Contagem que dão origem à Análise Combinatória são conceitos que antecedem, na maioria dos livros, os estudos relacionados com a Teoria das Probabilidades. Os conhecimentos de probabilidade são fundamentais para estudos estatísticos, visto que as pesquisas trabalham com possibilidades. Em Combinatória veremos, inicialmente, os conteúdos referentes a Fatorial, Combinações, Arranjos e Permutações. Em continuidade, estudaremos as Combinações Complementares, os Arranjos com Repetição e as Permutações com Elementos Repetidos. Numa segunda etapa, faremos o estudo da Teoria das Probabilidades, incluindo a Probabilidade Condicional, a Independência de Eventos e os Teoremas da Multiplicação e da Probabilidade Total. Completando o estudo das Probabilidades, iremos trabalhar com as Distribuições de Probabilidades, destacando as Distribuições de Poisson, Binomial e Normal. Espera-se que, com o término deste módulo, você tenha atingido os objetivos propostos para esta disciplina, e que ela contribua de forma significativa para a sua formação. Hercules Sarti Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 5 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA Caro(a) aluno(a), neste capitulo iremos tratar dos problemas de contagem, que são a base da Análise Combinatória. Os agrupamentos a serem estudados dividem-se em Permutações, Arranjos e Combinações. A Análise Combinatória visa a desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo que esses elementos são agrupamentos formados sob certas condições. Neste momento, queremos destacar que a realização de uma leitura atenta, detalhada e minuciosa é um item fundamental para um bom encaminhamento da estratégia de resolução a ser empregada em cada problema. 1.1 Combinações Simples Seja A um conjunto com n elementos. Os subconjuntos de A com p elementos constituem agrupamentos que são chamados combinações dos n elementos de A, p a p. Nas combinações, os agrupamentos diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos. Exemplo 1: Se A = {1, 3, 5, 7}, são combinações dos 4 elementos de A, 3 a 3, os agrupamentos: {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {3, 5, 7} e {1, 5, 7}. 1.2 Arranjos Simples Se A é um conjunto com n elementos, as sucessões com p elementos distintos, escolhidos em A, constituem agrupamentos que são chamados arranjos dos n elementos de A, p a p. Nos arranjos, os agrupamentos diferem entre si apenas pela ordem de seus elementos. Dicionário Arranjo: sm. Boa disposição, ordem. Em matemática: as várias maneiras que se pode formar um certo número de quantidades, reunindo-as em qualquer ordem, duas a duas, três a três etc. Observe que no arranjo e na combinação iremos utilizar apenas parte dos elementos do conjunto dado. Unisa | Educação a Distância | www.unisa.br 7 uma alteração na posição. 7. (7. 7). 7. (3. Sinônimos de permuta: comuta. 1) (1.3 Permutações Simples Se A tem n elementos. 1) (1. (5. 3. 1. vocês já ouviram falar de fatorial? Aoproduto n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅  ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 vamos representá-lo simplesmente por n! (lê-se: n fatorial) com n ∈ N. 5. (1. na ordem dos elementos e que nesta situação iremos utilizar todos os elementos do conjunto dado. 5. (7. 3. 3 a 3. Observe que. 1. 3. 1. 5. (7. (1. (3. 3. 7). 3). 7). 3. 5. 7. 3. (7. 5). 7. 7). (3. 5). (7. 3. 3). 5). (3. (5. 7. 5. 3). como o próprio significado demonstra. 5. 7. 1. (7. 5). permuta significa uma troca. 5.Hercules Sarti Exemplo 2: Se A = {1. as sucessões formadas com os n elementos de A. 7. 3. 1. (7. 1). são chamadas permutações dos n elementos de A. Troca. (1. 3). (3. (1. 1). 1. 5. 8 Unisa | Educação a Distância | www. 1). 7. (3. 1. (1. 7. Exemplo 4: Observe os fatoriais a seguir: 8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 n! = n ⋅ (n − 1)! (n + 1)! = (n + 1) ⋅ n! (n − 1)! = (n − 1) ⋅ (n − 2)! Observação: vamos adotar como verdade que 0! = 1. 1. 3). 5). (3. (5. 1) (3. 3). 1). 7. 5. 1). são as seguintes sucessões com 3 elementos: (1. 5). 1). 3. mudança e troca. 1. 1). 1). 7).br . usando cada um deles uma só vez em cada agrupamento. 7). 1). 1. (5. (3. (3.unisa. 5. (1. 5). 7). 7}. 5. 1. 1. 5). 3). 3. 7. 1. 5. (5. 7. 7. 3. 7). são as sucessões com 4 elementos: Dicionário Permuta: sf. 3. 5. 3. permutação. 7. 7). 1. os arranjos dos 4 elementos de A. (7. (5. (3. 5). 5. (7. (7. intercâmbio. 7.4 Fatorial Olá pessoal. 3). 3). 5. 3. 3). 7). 7. 1. (5. 5. 5). 1. 3. 3). (5. Exemplo 3: Se A = {1. 3. 7}. (1. (3. 5. (5. 1. 3. 5). 7). 7. 1. (7. 1). 7. 3. (5. 5. 5. 1. Pode-se dizer que as permutações são arranjos onde p = n. 3. 7. (1. 3. 5). as permutações dos 4 elementos de A. 5. 3). (5. (7. (5. (1. Cada curso pode ser feito em três faculdades possíveis: Estadual.br 9 . o segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. Nessas condições. O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.Análise Combinatória e Probabilidades 1.6 Cálculo do Número de Arranjos. problemas de contagem. Odontologia. An . Resposta: O estudante pode fazer 15 opções. Cn . p = n! (n − p )! (n. Medicina. qual o número total de opções que o estudante pode fazer? Resolução: Pelo Princípio Fundamental da Contagem. ao se inscrever no Concurso para Vestibular. usamos a regra do produto. n ≥ p) Unisa | Educação a Distância | www. p ∈ N.5 Princípio Fundamental da Contagem Os problemas de Análise Combinatória são. dizemos que o número de maneiras distintas de ocorrer esse acontecimento é igual ao produto m ⋅ n . Nessas condições. 5 cursos x 3 faculdades = 15 opções de escolha. Um acontecimento é composto de dois estágios sucessivos e independentes. Pn = n ! (n ∈ N) As combinações são agrupamentos em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.unisa. Sabe-se que existem cinco cursos possíveis: Engenharia. em seguida. Federal e Particular. basicamente. Permutações e Combinações Atenção Os arranjos são agrupamentos em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. A abordagem desses problemas é baseada num fato. 1. p = n! p !(n − p)! (n. n ≥ p) As permutações são agrupamentos ordenados em que em cada grupo entram todos os elementos. de fácil comprovação. denominado Princípio Fundamental da Contagem ou Regra do Produto. deve escolher o Curso e a Faculdade que deseja cursar. p ∈ N. Administração e Direito. Exemplo 5: Um estudante. O Agrupamento com parte dos elementos é ORDENADO ou NÃO ORDENADO? Não Ordenado = COMBINAÇÃO Exemplo 6: Com 12 pessoas. Parte dos elementos = ARRANJO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) ou COMBINAÇÃO Para identificar se o agrupamento é ordenado ou não podemos efetuar o seguinte questionamento: De acordo com o enunciado.B. sabemos que teremos uma situação de Arranjo ou de Combinação.br . Para isso. esses dois agrupamentos e todos os demais agrupamentos possíveis de serem formados 10 Unisa | Educação a Distância | www. de quantos modos podemos formar um grupo de 4 pessoas? Vamos treinar os procedimentos indicados? Todos os elementos = PERMUTAÇÃO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) De acordo com o enunciado. efetue sempre estes questionamentos a seguir.Hercules Sarti Uma das principais dificuldades encontradas pelos estudantes ao se defrontarem com a resolução de exercícios de análise combinatória consiste exatamente em identificar qual o tipo de agrupamento que devemos aplicar na resolução do problema proposto. Não = PERMUTAÇÃO SIMPLES O que difere uma situação de Arranjo de uma de Combinação? É a ordem dos elementos do agrupamento a ser formado. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles? Vamos supor que no exemplo acima as 4 pessoas escolhidas sejam as pessoas denominadas por A. detalhada e minuciosa do enunciado do problema proposto. O Agrupamento com parte dos elementos é ORDENADO ou NÃO ORDENADO? Ordenado = ARRANJO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) O Agrupamento Ordenado com parte dos elementos permite ou não REPETIÇÃO? Não = ARRANJO SIMPLES Sim = ARRANJO COM REPETIÇÃO 4. B. do conjunto dado. Logo. Perceba que iremos formar um grupo de 4 pessoas entre um total de 12 pessoas disponíveis.A. e que o aluno domine plenamente as características fundamentais de cada tipo de agrupamento.C. sugerimos a você.C. C e D. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles? 3. Sim = PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Consequentemente. o agrupamento a ser formado irá utilizar todos os elementos ou parte deles? No caso de utilizarmos todos os elementos. para que consiga identificar qual o tipo de agrupamento envolvido na resolução de cada problema: 1. prezado(a) aluno(a). 2. que diante de cada problema proposto. Para que se tenha sucesso na resolução dos problemas propostos e conseguir identificar qual o tipo de agrupamento que será necessário para sua resolução.B}? Ou seja. é imprescindível uma leitura atenta. analise de acordo com o enunciado se o problema proposto permite ou não repetição dos elementos.D} é diferente do agrupamento {D. o agrupamento {A.unisa. estamos utilizando parte dos elementos. teríamos um caso de Arranjo. a segunda pessoa C fosse ocupar o cargo de vice-presidente. n − p Cn . Vamos agora à resolução do problema proposto.10.3.2. por exemplo.8! = C12. p = Demonstração: Cn . diante de um agrupamento.11. a ordem dos elementos é importante.9. assim como com todos os outros agrupamentos de 4 elementos possíveis de serem formados com A. 2.4 = = 495 4!(12 − 4)! 4. se. todos os agrupamentos possíveis de serem formados com os elementos A. Numa situação de Arranjo.D. temos um agrupamento ordenado. que utiliza parte dos elementos e não ordenado. alterando apenas a ordem destes.B.B. 7. a terceira pessoa D fosse ocupar o cargo de secretário e a quarta pessoa B fosse ocupar o cargo de tesoureiro.8! Exemplo 7: Com os dígitos 1. ou seja. 3.C.7 Combinações Complementares Considere a seguinte relação: Cn . Isso nos leva a identificar que o problema refere-se a um caso de Combinação.D.br 11 .C. Perceba que. portanto. a ordem dos elementos não é importante. p n! 5! 120 = = = 60 (n − p )! (5 − 3)! 2! b) Pn = n! = 5! = 120 1.C. devem ser considerados idênticos e contados apenas uma única vez.1. se alteramos a ordem dos elementos nessa situação. Repita os questionamentos indicados! Pense a respeito! Conseguiu? Identificou? Veja se acertou! Resolução: a) A= n.D.unisa. a primeira pessoa A fosse ocupar um cargo de presidente.C. Estamos. No caso de uma situação semelhante ao exercício proposto acima. serem contabilizados apenas uma única vez? Perceba que de acordo com o enunciado. tente identificar qual o tipo de agrupamento envolvido.B. Resolução: 12! 12. e isso faz com que cada agrupamento seja contado individualmente. 9: a) Quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar? b) Quantos números com 5 algarismos distintos podemos formar? Antes de verificar a resolução.D} e {A. consequentemente.Análise Combinatória e Probabilidades com esses 4 elementos devem ser contados individualmente.B} seriam considerados diferentes e contabilizados individualmente. ou serem considerados todos idênticos e. os agrupamentos {A. Logo. p = Cn . p = n! p !(n − p )! n! (n − p )! p ! (Acrescenta-se e subtrai-se n no 2º fator do denominador) (Trocam-se os fatores do denominador) Unisa | Educação a Distância | www. 8 Arranjos com Elementos Repetidos ( AR) Exemplo 9: Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os dígitos de 1 a 9? 0! = 1 .c Valem as seguintes relações: 12 Pna = Unisa | Educação a Distância | www. p Através do exemplo. nove para ocupar a “casa” da dezena e nove para ocupar a “casa” da unidade: ( AR ) n . n! n! = = 1 0!(n − 0)! 0!n ! .n = Cn. te- mos: P6 = 6!= 720 Porém. que por sua vez tem n elementos. Portanto. p = n p = = 93 729 9 9 9 1.7 = C10. 0 .0 = 1 C = n . n − p (n − p )![n − (n − p )]! Portanto. o que nos leva ao cálculo: P3 = 3! = 6 720 = 120 anagramas.9 Permutações com Elementos Repetidos Exemplo 10: Quantos anagramas têm a palavra ARCADA? 1 elemento repetido: Resolução: a palavra possui seis letras. há três letras A. por coe- n.br .unisa.3 b) Ca . Porém. pode-se concluir a seguinte relação: Resolução: nesse caso.b = 3 elementos repetidos: Pna . Também sabemos que A tem apenas um subconjunto com “zero elemento”. n − p Observação: se fizermos p = n. é o próprio conjunto A. Então: Exemplo 8: Observe as igualdades: a) C10. p n! = Cn . p = Cn . n = 1 . Cn . pois o único subconjunto com n elementos que podemos obter de um conjunto A.b .Hercules Sarti Cn . C n .a −7 Cn. a relação é válida. temos: C n . temos nove algarismos que podem ocupar a “casa” da centena.7 = Ca . temos: 6 n! a! n! a!⋅b! n! = a!⋅b!⋅c! 2 elementos repetidos: Pna . que é o conjunto vazio.0 rência 1. n = C n . sempre ao lado dos cientistas mais ousados. matemático. estudos e teorias sobre o jogo de xadrez. o que abriu novos caminhos e o levou. Simplesmente porque. Alguns críticos afirmam que esta foi sua contribuição maior para a ciência matemática. Permutações e Combinações utilizam-se da notação fatorial para facilitar os cálculos dessas contagens. por vias indiretas. as suas teorias fantásticas. não real – numa possibilidade matemática. trabalhamos com os problemas de contagem. Cardano inventa. Instigado pelo pai. o filho também se formou em medicina após estudar em Pavia e Padua. a ordem dos elementos gera novo agrupamento. Sendo cientista e matemático é pouco provável que Gerolamo Cardano não tivesse o cuidado de fazer análises. Unisa | Educação a Distância | www. O outro tipo são os problemas de Combinações. Ganhou fama e dinheiro como médico. espiritualidade-natureza. Os Arranjos. nas quais os jogadores se reuniam para apostar a dinheiro. O pai de Gerolamo era um intelectual que se dedicava à medicina. Gerolamo também ensina no livro como trapacear nos jogos de azar. dualidade que sempre explorou: astronomia-astrologia.br 13 . À margem dessa publicação. donos de vida própria. que incluem também as Permutações. mas não o fez porque era crime que levava o condenando à pena morte. química-alquimia. Descobriu que a ciência sempre mostrava duas faces. matemática-jogo de azar. a aceitar o convite para lecionar nas Universidades de Pavia. Gerolamo.com/exact-sciences/1695140-cardano-jogador-xadrez/ 1. que dá a possibilidade que o evento de probabilidade p ocorra independente n sucessivas vezes. Estabeleceu.” Fonte: http://pt. Eles se dividem em dois tipos: Os Arranjos. Em sua autobiografia De própria vita. as casas de jogos: nela os cientistas – à margem dos perigos da inquisição que logo incendiariam as mentes e os livros – procuravam se divertir e. Em pouco tempo cresceu em popularidade. a matemática e às ciências ocultas. filósofo que professava o naturalismo. Deste Gerolamo Cardano se sabia que era um jogador viciado. foi levado para os salões oficiais e começou a ser realizado também nas residências. Mas o quê importa esse detalhe diante do vanguardismo da obra científica que resultou da eqüiprobabilidade? Convém lembrar que no Século XVI o jogo. neste livro. tem a probabilidade [ p ] de ganhar a importância [ s ]. Nesse caso. Cardano montou a tábua de probabilidades para danos e a lei dos grandes números. gamão e tantos outros jogos de azar por mais de 25 anos. discutiam. se iniciou na jogatina ainda estudante para suprir os gastos com as diversões naturais da idade. depois. a eqüiprobabilidade. que tem como principal objetivo o de transformar a esperança – que até então era uma coisa utópica. Mas a freqüência foi tão grande que obrigou os viciados a fundarem casas reservadas para essa única finalidade. Segundo ele explica. Cardano transformou a teoria da probabilidade nos jogos de azar em algo que se pode chamar de pré-história da relatividade. dados. Cardano era multifacetado. mas era também um gênio. considerava o mundo e tudo que nele habita seres viventes e animados. E foi assim que nasceram os cassinos. antes mesmo de nascer: o seu pai pensou em provocar aborto. astrólogo e filósofo italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) era filho de pais solteiros. Milão e Bolonha.10 Resumo do Capítulo Neste capítulo. onde ele publica as soluções das equações cúbicas e quátricas. entre baforadas e taças de vinho. que não tinha aporte financeiro por parte do pai. um livreiro com o olhar de comerciante viu possibilidades de ganho num pequeno manual do jogador intitulado O livro dos jogos de azar. em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. Por sobreviver a tanta rejeição tinha de ser predestinado. Cardano confessa que jogou xadrez cotidianamente por mais de 40 anos! Também jogou carteado. que até então estavam inéditas. a lei pn = pn. são agrupamentos em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Como filósofo e mestre.unisa. isso o levou a ser igualado aos gênios da época. assim. da ousadia. os bingos. ao mesmo tempo. A obra matemática pela qual Cardano ficou conhecido é a Arte Maior. não era considerado apenas um passatempo.shvoong. Por isso foi enjeitado. na dianteira do pensamento. religião-filosofia. a advocacia. a eqüiprobabilidade é uma constante na qual o montante exato da aposta a ser feita por um jogador.Análise Combinatória e Probabilidades Saiba mais “O médico. Em razão disso sempre direcionou os estudos e ensinamentos no rumo do experimentalismo. questões que foi pioneiro. secretário e tesoureiro.Hercules Sarti 1.10! a) 14 Unisa | Educação a Distância | www. E. Três cavalos disputam um páreo. Certo aluno descobre. Os trens movimentam-se apenas em linha reta. Três candidatos disputam os cargos. Qual o número de resultados possíveis? (Não são admitidos empates).br . numa livraria. ligando duas cidades. C. 6. A diretoria de um clube é formada por três membros: presidente. D são interligadas por vias férreas. De quantos modos a diretoria pode ser composta? (Não se admitem empates nas votações). Quatro cidades A. representados abaixo. São dados 5 pontos A. tendo ficado decidido que o mais votado será o presidente. C. 4 livros de seu interesse. 7. . De quantos modos os prêmios podem ser atribuídos? 4.unisa.B A . .C E. B. secretário e o 3º lugar será o tesoureiro. Para atender a todos os passageiros. Quatro times de futebol disputam um torneio. o 2º lugar. no qual são atribuídos prêmios ao campeão e ao vice-campeão. quantos tipos de passagem devem ser impressos? (As passagens de “ida” e “volta” são bilhetes distintos). conforme a figura a seguir. Quantas retas distintas eles determinam? . B A D C 5.D 2.11 Atividades Propostas 1. B. Simplifique: 12! = 9! 15! b) = 5!. de quantos modos poderá fazê-lo? 3. D. Se ele só pode comprar dois deles. 2 b) 2. de quantos modos podemos formar uma comissão de 3 professores? 15. Quantas diagonais tem um heptágono? 16. 4 = 5. n 13. Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares.unisa. Quantos triângulos podem ser obtidos tendo vértices em três quaisquer dos vértices de um decágono? 20.C n .C n . calcule n.3 . Quantos números com 4 algarismos diferentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a 7? 19. Com 7 professores. Encontre n. Resolva as equações: a) Cn . sabendo que An . Quantos números com dois algarismos diferentes podemos formar com os dígitos de 1 a 9? 10.Cn . Sendo n um número inteiro positivo tal que P= 12 ⋅ P( n − 2) .3 = 3. De quantos modos 6 pessoas podem sentar em 6 cadeiras alinhadas? 12. Quantos anagramas tem a palavra HOJE? 11.br 15 .4 = 48. De quantos modos poderão se acomodar para uma viagem quando: a) só uma pessoa sabe dirigir? b) duas pessoas sabem dirigir? c) todos sabem dirigir? 14. Resolva as equações: n! = 12 ⋅ (n − 1)! b) (n − 2)! = 20 ⋅ (n − 4)! a) c) ( n!) 2 = [(n − 1)!] ⋅ 25 2 9.Cn . 2 17. Quantos anagramas da palavra LIVRO começam pela L? 18. Unisa | Educação a Distância | www.Análise Combinatória e Probabilidades 8. Com 8 professores. Encontre os valores de n e m. Dados 10 pontos do espaço. tendo um deles quatro pessoas? 23. dos quais exatamente 6 são coplanares.8 . sabendo que: An . Dados 6 pontos coplanares. 4 dos quais não são coplanares. qual é o número de retas que podem ser obtidas passando por dois quaisquer desses pontos? 29. Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA começam por M? 27. 7 = C n . qual é o número de retas que podem ser obtidas passando por dois quaisquer desses pontos? 30. qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? 32. não goleiro? c) Em quantos deles nunca figura o jogador J? 24.P7 22. Qual o número de anagramas da palavra CARMO. 7 e Am . sendo que o 7 sempre é o algarismo da unidade de milhar? 25.Hercules Sarti 21.br . dos quais não há 3 colineares. De quantos modos diferentes pode ocorrer a chegada dos 3 primeiros colocados? 16 Unisa | Educação a Distância | www.C m . Dados 6 pontos coplanares. de quantos modos podemos formar uma banca com 3 membros em que figure sempre um determinado professor? 31.unisa. Dados 10 pontos do espaço. Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer. onde as letras C e A aparecem juntas? 28. Quantos anagramas tem a palavra LICOROSO? 26. Qual o número de modos distintos de se repartir um grupo de 7 pessoas em dois grupos. qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? 33. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9. 7 = P8 . Com 3 goleiros e 10 jogadores que jogam em qualquer outra posição: a) De quantos modos um time de futebol de salão pode ser formado? b) Em quantos deles sempre figura um determinado jogador J. 3 dos quais são colineares. há 4 romances e 3 ficções científicas. 4 amarelas e 3 pretas. Entre esses livros. Quantos anagramas são possíveis formar com as letras da palavra LUCRO? 38.unisa.br 17 . a) De quantos modos esses livros podem ser dispostos na estante? b) De quantos modos eles podem ser dispostos. Primeiro serão sorteadas 6 finalistas. 2. em qualquer ordem? 40. Daniele possui uma pequena coleção de latinhas de cerveja. quantos números naturais ímpares de 4 algarismos apresentam algarismos repetidos? 37. Seja E = {1. 5. Em seguida. 2. Sobre uma mesa. Em nosso sistema de numeração. os 2 automóveis serão sorteados entre as finalistas. sendo 4 de marcas nacionais e 6 de marcas estrangeiras. Utilizando os algarismos 1. uma ao lado da outra. há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas.Análise Combinatória e Probabilidades 34. 6} a) Quantos subconjuntos de 3 elementos E possui? b) Quantos números com 3 algarismos distintos de E é possível escrever? 42. O sorteio será realizado em duas etapas. 3. a) De quantas maneiras diferentes pode resultar o grupo de 6 finalistas? b) Uma vez definidas as finalistas. de modo que as nacionais fiquem juntas e as estrangeiras fiquem juntas. de maneira que dois romances não fiquem juntos? 36. 4. De quantos modos podem-se enfileirar essas bolas de modo que duas da mesma cor nunca fiquem juntas? 41. Uma pessoa pretende colocar 7 livros numa estante. um ao lado do outro. quantos números naturais pares podemos escrever com: a) 4 algarismos? b) 4 algarismos distintos? 35. Uma empresa pretende sortear 2 automóveis diferentes entre as 12 top models que foram capas de uma revista ao longo de 1 ano. 5. de quantas maneiras pode ocorrer a premiação? Unisa | Educação a Distância | www. 7 e 8. Quantos anagramas formados com as letras da palavra PESCADOR: a) começam e terminam com uma consoante? b) começam com uma vogal e terminam com uma consoante? c) apresentam as vogais juntas e em ordem alfabética? d) apresentam as vogais juntas e em qualquer ordem? 39. De quantos modos Daniele pode colocar as latinhas numa prateleira. de modo que entre os integrantes haja: a) 3 cardiologistas e 2 pediatras? b) No mínimo um pediatra? c) No máximo um pediatra? 46.Hercules Sarti 43. Com n letras iguais a A e 3 letras iguais a B formam-se um total de 8n + 16 permutações. são eliminadas todas as cartas com os números 8. Uma pessoa quer convidar 4 entre 10 amigos para um jantar. De quantas maneiras o professor poderá distribuir as questões entre os recuperandos? 45.unisa. quantos triângulos são possíveis construir no caso abaixo? A C B K L D M E N 44. De quantas maneiras pode ser feita a distribuição? 49. Com o restante do baralho. 18 Unisa | Educação a Distância | www. quantos jogos de 4 cartas é possível formar. Para 3 alunos que ficaram em recuperação. Quantas juntas diferentes são possíveis formar. Quantos números naturais de 7 algarismos distintos são possíveis formar utilizando todos os algarismos do número 1 234 567? 50.br . 11 azuis e 13 pretas entre dois meninos. Com vértices nos pontos dados sobre as retas. Calcule n. 9 e 10. De um baralho de 52 cartas. um professor preparou 9 questões. dois desses amigos têm fortes diferenças pessoais. Cada menino deve receber no mínimo 5 bolinhas de cada cor. No entanto. Uma junta médica de 5 integrantes será escolhida entre 6 cardiologistas e 4 pediatras. Quantos números naturais ímpares são possíveis escrever permutando os algarismos do número 6 725 727? 51. sendo 3 para cada aluno. Pretende-se distribuir 12 bolinhas vermelhas. de modo que entre elas haja: a) exatamente um ás? b) pelo menos um ás? c) exatamente duas figuras? d) pelo menos duas figuras? e) no máximo duas figuras? 47. De quantas maneiras pode ser formado o grupo dos 4 convidados. de modo que não compareçam simultaneamente as duas pessoas citadas? 48. f é o número de casos favoráveis à ocorrência de X.br 19 . F3.2 PROBABILIDADES 2. define-se:  Probabilidade de   =  F1 ou F3 ou F5  Probabilidade é o número que resulta da divisão do número de casos favoráveis a um evento pelo número total de casos possíveis. Apesar de ter origem através dos jogos de azar. Define-se que A Ç B é a interseção entre o evento A e o evento B. Quando se pensa numa probabilidade. F5 e F6. Sejam A e B dois eventos. A e B são chamados mutuamente exclusivos. então o evento complementar de A (indicado por: Ac) será também um evento que ocorrerá se. Em particular. se A ∩ B = ∅. surgiram os primeiros estudos de probabilidade. então A ∩ B será também um evento que ocorrerá se. utilizar a fórmula: f P( X ) = p Onde: P(X) é a probabilidade de ocorrer o evento X. F1 + F3 + F5 3 Faces 3 1 = = = = 0. Seja A um evento. Exemplo 11: Qual a probabilidade de se obter face ímpar numa única jogada de dado? Resolução: um dado tem o total de seis faces: F1. A ou B (ou ambos) ocorrerem. então A ∪ B será também um evento que ocorrerá se. Diz-se que A ∪ B é a união entre o evento A e o evento B. e somente se.1 A Teoria das Probabilidades Durante o século XVII. F4. com os chamados jogos de azar. A não ocorrer. Para medir o grau de confiança que se deposita em certas afirmações ou experimentos. então. e somente se.unisa. a probabilidade tornou-se fundamental para conhecermos as chances que dispomos para tomarmos decisões. A e B ocorrerem simultaneamente. mas que oferece certo grau de confiança ou possibilidade de ocorrer. Sejam A e B dois eventos. Unisa | Educação a Distância | www. dispõe-se de algo incerto. F3 e F5. As faces ímpares são três: F1. e somente se. F2.5 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 6 Faces 6 2 Pode-se. p é o número de casos possíveis. . B2...B50. B2.. seguem alguns teoremas importantes a respeito de probabilidades: T1: a probabilidade do evento certo é igual a 1. B2. então: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) T5: se A é um evento. Resolução: há há um um total total de de 50 50 bolas: bolas: B1...B1.. B50. B50. Atenção 20: 20: 20: Probabilidade é o número que resulta da divisão do número de casos favoráveis a um evento pelo número total de casos possíveis.... Resolução: um de total 50 bolas: B2. Hercules Sarti A seguir..    % % %ROD%ROD  3$. B50... Resolução: B1. B3.. então o evento complementar de A terá probabilidade P( Ac ) = 1 − P( A) .. então P(A) £ P(B). B3. T3: se A é um evento. Observação: se A e B são mutuamente exclusivos (A ∩ B = ∅). então P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) .. a) Será chamado de A odeevento formado pela bola de númer a) Será chamado A o evento formado pela bola de a) Será chamado de A o evento formado a)Será Será chamado chamado de de A Ao o evento evento formado formado pela a) pela bola bola de de núm núm    pela  bola de número 27: A = {B27}.Resolução: há umhátotal 50 de bolas: B1. T4: se A e B são eventos. B3. B3. T2: se A Ì B (lê-se: A está contido em B). então 0 ≤ P( A) ≤ 1 . 3$.     % % %ROD %ROD   %  %  %  %   %RODV  3$.  %%%% %RODV  3$. . elementos....B50}. B== ={B2. B50}. B4......Este Esteevento possui2525elementos.... {B2.B4. Este eventoBBpossui elementos..Este Esteevento eventoB Bpossui possui2525elementos BB=={B2.. Belementos. B {B2. B4. %%    % %RODV   3%.B50}.... B50}. %% %% %% %  %RODV % %RODV   b) Será chamado de B o evento formado b)bolas Será pares: chamado de B o evento formado pelas bolas p pelas b) Será chamado bolas pares: b)Será Será chamado chamadode deBBooevento pelas bolas pares: b) de eventoformado formadopelas pelas bolas pares {B2. B4. B50}.... B4.  %  %RODV    % % % %  % %  %%  %RODV % % % %RODV   3%. 3%.   3%. . evento CCpossui 3030 elementos.... Este evento C possui 30 elemen C =B22. Este possui elementos.... %B50}. B22. B50}.... C=={B21. %    % %RODV   30=elementos.evento Este evento C possui CC B50}. B22.... {B21.. {B21. %RODV %% %% % %% % % %   %RODV    Seráchamado chamadode deCCooevento eventoformado formadopelas bolas d c)c)Será c) chamado de eventoque formado pelas bolas de nú c)Será Serábolas chamado deCCooevento pelas bolas núm pelas de número maior 20: pelas c) Será chamado de formado bolas dede núme C = {B21... B50}. 3&. B50}... B22. B22.Este elementos.. {B21..  % %    % %RODV    % %  %% %RODV  %  %% %RODV    3&. 3&.  %% 3&. . B2. elementos.....B2.... 3'. D =elementos.. Este evento 20 elementos. {B1..... B2.. B2.Este Esteevento eventoDDpossui possui20 elemento DD=={B1.B20}.. D = {B1.. B20}. Este evento D possui 20 elementos. Este evento D possui 20 20 % %    %D possui %RODV   D = {B1. B20}... B2... B20}. B20}.  % %RODV    %% %% %% %%%% %RODV   d) Será chamado de D o evento formado pelas bolas d)chamado Será chamado D o evento formado d) de formado pelas bolas bolas de de nn d) Será Será chamado de D odeevento pelas 20: d) Será chamado de D o evento formado pelas bolas de núm pelas bolas de número menor ou igual que 20: {B1. % %    %  %RODV %RODV    % %    %  3'. %%%% %RODV   3'.   %  %RODV %RODV     % % % %% %   % %RODV % % %   3'. C2 e C3 disputam um p e1.C vencedor. Ÿ C2 = 3C3 = tem o triplo das “chances” depCao C2 =C3C O cavalo C2 atribui-se 3. em uma extração ao aca-“chances” são de CUm CC11 vencer 2. Um conhecedor O amostral Exemplo 13: três cavalos um páreo. Ÿ C1 JáResolução: o cavalo C1atribui-se uma probabilidade “chances” de C2. Ÿ 3 =C Resolução: uma probabilidade cavalo 3. e que C2 temdo . C2. Ÿ C2 = 3C3 = 3p2 ao cavalo C3. do qual sóé:se premiará vencedor. B3. econhecedor dor ados 3 cavalos afirma que cavalo as “chances” C1 Qual probabilidade que cada tem dede vencer? so. B2. C }. C3}. C2. obter: Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer? “chances” de C vencer são o dobro das de C . C . Ÿ C1 = 2C Já o cavalo C1 tem o dobro das Já o cavalo C tem o dobro das “chances” de C Ÿ C = 2C 1 2. C C22Ce vencedor.disputam 2 e vencedor. Ÿ Resolução: atribui-se uma probabilidade probabilidade p 3 b) uma bola de número par? c) uma bola de nº maior que 20? d) uma bola de número menor ou igual a 20? Resolução: há um total de 50 bolas: B1. Ÿ C2 = 3 O cavalo C2 tem o triplo das “chances” de C3. O espaço espaço amostral é: CSS1. Þ C3 = p O cavalo C2 tem o triplo das “chances” C3. C32. B50. Þ C1 = 2C2 = 2 ×3p = 6p Unisa | Educação a Distância | www.  %%%% %RODV   Exemplo 13: três cavalos C1. Ÿ Þ C2 = 3C3 = 3p Já o cavalo C1 tem o dobro das “chances” de C2. e que C Qual avencer probabilidade que das cadade cavalo tem C de2 tem vencer? 1 o dobro são C2. se as bolas forem numeradas de 1 a 50..vencedor. e que C2 te “chances” de C 1 2 O espaço amostral é: S = {C . de C3}. idênticas.. Co3}.C1 = 2C2 = Já o cavalo C1 tem o dobro das “chances” de Cde 2. 20 O cavalo C2 tem o triplo das “chances” de C3.. O espaço amostral é: S = {C 1. Um conhecequal a probabilidade de. Qual a probabilidade Qual aplo probabilidade que cavalo tem de vencer?que a) a bola de número 27? Resolução: atribui-se uma probabilidade p ao cavalo cada cavalo atribui-se tem de vencer? Ÿ Resolução: uma p ao ao cavalo cavaloCC3.. C32..unisa.br . Um conhecedor d vencer são o dobro das de C .= =C{C {C 1. de O amostral S 1= {C2 1das “chances” deespaço vencer são o oé:dobro dobro das que C2 tem oo 2. Um conhece tam um páreo.. d 1. 1 O cavalo C2 tem o triplo das “chances” de C3. C CC332disputam disputam um páreo páreo Exemplo 13: C Exemplo 13:cavalos três cavalos e C3 dispu-um Exemplo 12: uma urna contém 50 bolas Exemplo 13: três três cavalos C11. Ÿ tem o dobro das “chances” depC2. e que o tri-2 tem o tri 2 das “chances” decada C3. C3}. sempre ocupado com os números.  A partir de 1647. filho de Étienne Pascal e Antoniette Bejon. frequentava a casa do padre franciscano Marin Mersene. que também era frequentada por muitas personalidades importantes. caindo gravemente doente. para ajudar o pai. Blaise  Pascal decidiu acompanhar o seu pai nessas reuniões e aos 16 anos apresentou vários teoremas de Geometria Projetiva. por meio de jogos.  Reconhecida a sua genialidade. Por intermédio   de conversas que ouvia ou da leitura de obras que passavam pela censura do pai. que o levaram ao misticismo de Port-Royal. o seu   religioso arrefeceu um pouco. em Clermont-Ferrand. Pascal passou a dedicar-se ao estudo da aritmética. Quando “Pascal tinha   apenas três anos. porém grande curiosidade sobre aqueles ‘estranhos’ assuntos. como era o único filho do sexo masculino. na França. Pascal havia chegado sozinho à 32ª proposição do Livro 1 dos Elementos do velho sábio. logo: Somente Somenteesses essestrês trêscavalos cavalosdisputam. vítima de um tumor maligno no estomago. escreveu ‘Éssai sur les coniques’ (Ensaio sobre as Cônicas).  Estavam ali.fc. Mas6DLEDPDLV o trabalho excessivo minou a sua saúde. sobretudo. foi dada permissão ao jovem Pascal para que estudasse matemática livremente. débil por natureza. os seguidores de Saint-Cyran. razão Étienne acreditava que a Matemática só deveria ser ensinada ao filho quando este fosse mais velho. Mesmo sem professor. a probabilidade dos cavalos Então. Foi quando.br 21 . Análise Combinatória e Probabilidades Somente esses três cavalos disputam. o pai encarregou-se diretamente da sua educação. Aos 12 anos. constava baseado no estudo de Girad Desargues. com exercícios de diversos tipos para despertar a   e o juízo correto. Ainda com os seus 16 anos.  Étienne Pascal mesmo não sendo uma pessoa totalmente ortodoxa. Pascal tinha. probabilidade doscavalos cavalos será:será:  && SS       && SS  &&      SS        Saiba mais   nasceu a 19 de Julho de 1623. devido à proibição médica de fervor dedicar-se a trabalhos intelectuais. dedicou-se à criação de uma máquina de calcular. com sua 6DLEDPDLV irmã Jacqueline.logo: logo: && && &&  Ÿ Ÿ    SSSSSS   S Ÿ Ÿ  S  Ÿ Ÿ SS    Então. disputam. iniciando-se o chamado período mundano de Pascal. o conhecido Triângulo de Pascal e o tratado sobre as potências numéricas. aaprobabilidade dos será: Então. o pai descobriu-o desenhando   figuras geométricas com carvão. começou a desenvolver os seus estudos. onde   o conhecido ‘Hexágono Místico’. As suas últimas palavras foram: ‘Que Deus jamais me abandone!’. igual a dois ângulos retos. a fórmula de  geometria do acaso.  Maistarde.ul. prejudiciais à sua saúde.educ. Desenvolveu cálculos de probabilidade. Unisa | Educação a Distância | www. aos 39 anos.” Fonte: http://www. Pascal faleceu à primeira hora da madrugada de 29 de Agosto de 1662. Depois da morte do pai. Pascal desenvolveu importantes estudos que tiveram como inspiração as descobertas do italiano Torricelli sobre a pressão atmosférica.unisa. Em 1648 frequentou. descobriu as maravilhas da ciência dos números. Disciplinas como Geografia.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/biografia. por intuição. e a pratica de exercícios de penitência. Pascal descobre que a soma dos ângulos de um triângulo é no chão.htm. várias das proposições da matemática de Euclides. mantinha  longe do filho os livros de matemática. Nesse sentido. com aproximadamente 14 anos. História e Filosofia foram ensinadas. perdeu a mãe e. Nessa mesma altura. Étienne desenvolveu um método singular de educação do filho. S = {1. A pessoa que a retirou diz o seguinte para os que acompanham o sorteio: Saiu um número ímpar! Pergunta-se: Qual é a probabilidade de ter saído um número primo? Há 20 resultados possíveis para o experimento “retirar uma bola da urna”.. O símbolo P(A/B) indica a probabilidade do evento A.2 Probabilidade Condicional Caro(a) aluno(a). É indicado pelo símbolo Ω. podemos dizer que “ganhamos informações” e podemos recalcular as probabilidades de interesse. uma vez que B tenha ocorrido. há 7 casos favoráveis à ocorrência de um número primo. uma “informação a mais” no problema.unisa. Uma leitura atenta e detalhada do enunciado é de extrema importância para identificarmos as situações onde o conceito de probabilidade condicional estará envolvido. Exemplo 14: Considere o problema seguinte: Uma bola é retirada de uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. 13. tudo se passa como se B fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual queremos calcular a probabilidade de A.. 7. 4. vejam usando o exemplo anterior: = P( B / A) n( A ∩ B ) 7 = n( A) 10 e n( A ∩ B ) 7 = P( A / B) = n( B ) 8 Unisa | Educação a Distância | www. Isto é. Logo. Quando se calcula P(A/B). teremos uma condição. sabendo que ocorreu ímpar é: P( B / A) = n( A ∩ B ) 7 = n( A) 10 Definição: seja S um espaço amostral e onde há dois eventos. 5. 13. mas informa que já ocorreu A (número ímpar). A ∩ B = {3. 5. observe que. Então. 9. Observe o exemplo a seguir e identifique no enunciado “a informação a mais”. 19} O problema pede a probabilidade de ocorrer B (número primo). 19} n(A ∩ B) = 7 Assim. isto é. 11. 3. 17. 17.br . P(A/B) é a probabilidade condicional do evento A. a probabilidade de ocorrer primo. 15. 2. 7. Essa informação do que ocorreu em determinada etapa do fenômeno aleatório em estudo pode influenciar nas probabilidades de ocorrências de etapas sucessivas. entre os 10 números ímpares possíveis de terem ocorrido. entre os elementos de 22 Observação: note que P( B / A) ≠ P( A / B) . vamos contar quantos são os casos favoráveis à ocorrência de B. destacam-se os eventos: A: sair número ímpar. Nesse caso.. B = {2. 3. A = {1. 3. Dicionário Espaço amostral: é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 19} B: sair número primo. 7. em casos de probabilidade condicional.Hercules Sarti 2. 13. dado que o evento B ocorreu. A e B. 17. 19. 20} A. 5. 11. Note que isso equivale a determinar A ∩ B. . Dentre esses resultados. ou ainda. como na própria denominação deste tópico. 11. 3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total Uma consequência importante da definição de probabilidade condicional é a seguinte: P( A / B) = P( B / A) = P( A ∩ B) ⇒ P( A ∩ B) = P( B) × P( A / B) P( B) P( A ∩ B) ⇒ P( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B / A) P( A) Isto é. Exemplo 15: uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas. Considere que eles formam uma partição do espaço amostral S.. B2. Tudo se passa como se B fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual queremos calcular a probabilidade de A. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao acaso.br 23 . a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos [P(A ∩ B)] é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? Resolução: como existem duas urnas (U1 e U2).. dado o primeiro.. é válida a seguinte relação: Unisa | Educação a Distância | www. uma vez que B tenha ocorrido. a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas.Análise Combinatória e Probabilidades Atenção P(A/B) é a probabilidade condicional do evento A. Inicialmente.. B2. considere n eventos B1.. a probabilidade de cada urna é 0. a probabilidade de ocorrer bola vermelha (V) condicionada à urna I será dada por: 2 5 . n III) B i =1 i =S ... Os eventos B1. B2. uma partição de S. . porém se torna simples o seu cálculo usando os conceitos a seguir. Bn.. Já. Ele é utilizado quando a probabilidade de um evento A é difícil de ser calculada diretamente. ou seja.. pois há duas boas vermelhas numa urna que possui 5 bolas. 2.5.. Seja A um evento qualquer do espaço amostral S e B1. II) Bi ∩ Bj = ∅ para i ≠ j. Bn são dois a dois mutuamente exclusivos exaustivos (sua união é S). P(V / U 1 ) = O problema pede a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha. quando: I) P (B k ) >0 ∀ k.. a interseção entre os eventos: P (U1 ∩ V ) = P (U1 ) × P (V / U1 ) = 1 2 2 1 × = = 2 5 10 5 Outra situação importante é o chamado teorema da probabilidade total. Bn.unisa. sabendo que ocorreu ouro (O).moeda .. B2. contendo: C1 = 2 moedas de ouro. moeda ser de ouro. Seja A umNote evento qualquer a doisrelação: mutuamente exclusivos..... Bn. (Bn ˆ A) são dois a dois mutuamente gundaexclusivos. uma partição é S). saben P(C /O) = ? 3 $...Hercules Sarti  A = (B1 ∩ A) ∪ (B2 ∩ A) ∪ (B3 ∩ A) ∪ .. Bn são dois a dois mutuamente exclusivos exaustivos (sua união é que (B1 ∩ do A). (B2 ˆ A) . Em outras palavras. C2 =de1 S.. sabendo que a primei- P( A) = P( B ∩ A) + P( B ∩ A) +  + P( B ∩ A)  portanto: ra foi de ouro.. B2são ... a probabilidaExemplo 16: uma urna I tem 2 bolas verde de caixa C1... (BSn e∩B1A) de ouro e 1 moeda de prata.espaço (B2 ∩ amostral A) . A = (B1 ˆ A) ‰ (B2 ˆ A) ‰ (B3 ˆ A) ‰ ... Em melhas (V) e 3 brancas (B). Resolução: temos três caixas. Queremos calcular a probabilidade de a se1 2 n Note que (B1 ˆ A). outra urna II tem 3 Queremos calcular a probabilidade de a segunda moeda ser de ouro. portanto: válidadois a seguinte C3 = 2 moedas de prata. ∪ (Bn ∩ A).. Os eventos B1. . ‰ (Bn ˆ A). e 3uma  % ˆbranca $.  3 %e aˆ urna $.  !IIItem 3 %Q 4ˆprimeira $. Em1 outras palavras. temos: utilizando teorema da probaO) P(O) de = a P(C 1 ˆ ser selecionada Resolução: ao acaso e dela é extraídaouma bola. Em símbolos: P(C1/O) = ? tal. sabendo qu Utilizando o teorema da probabilidade tobolas vermelhas e 2 brancas. Umao teorema urna é da probabilidade total. Uma urna é selecio. temos: vermelha? P(U1 ˆ V) + P(U2 ˆ V) + 32. a probabilidade de caixa C1. símbolos: bolas vermelhas foi de ouro. temos: nada ao16: acaso dela é extraída uma bola. a (B). .ouro (O). Qual a probabilidade bola bilidade total. outra Exemplo uma eurna I tem 2 bolas vermelhas (V) e Qual 3 brancas urna II tem 3 probabilidade de a bola ser vermelha? Utilizando bolas vermelhas e uma branca e a urna III tem 4 bolas vermelhas e 2 brancas. P(U3 ˆ V) P(V) = P(U1 ) u P(V / U1) + P(U2 ) u P(V / U2) + P(U3 ) u P(V / U3) 3 9 . vem: vem:   u     3&  2. Utilizando a probabilidade condicional. temos: P(V) = P(C2 ˆ O) +       u  u  u               u  u  u           Utilizando a probabilidade condicional. + P(C3 ˆ O) P(O) = P(C1 ) u P(O / C1) + P(C2 ) u P(O / C2) + P(C3 ) u P(O / C3) Resolução: utilizando o teorema da probabilidade total. Existem três caixas idênticas. e a 3idênticas. Observemos que. a 2a contém trand): P(C1uma / O) = 3 qual aouro probabilidade de que a outra da moedas caixa escolhida também seja de ouro? e outra de prata. A 1a contém duas moedas de ouro. pois: 3 %  $. Uma2. ouro. e a moeda 3a. Se a moeda estemos caixas. então B independe de A. . Uma caixa é selecionada ao acaso e da mesma éResolução: escolhida umatrês moeda acaso. ouro? C3 = 2 moedas de prata. Isto é.moeda Se a moeda moedas de ouro. se A independe de B. duas moedas é selecionada DE ao EVENTOS a prata. diremos que A indepe se P(A/B) = P(A). Exemplo 17 (problema da moeda de Bertrand): Exemplo 17 (problema da moeda de Ber-   u  1 ×  2   2 = 2×2 = 4 = 2 1 a 6 1 6 3 moeda de ouro e outra três de prata.uma a 2a moeda contém de escolhida for de ouro. ao contendo: colhida for de C1 = 2 moedas deouro. A independe de B se a ocorrência de B não afeta a probab A. Dados dois eventos A e B de um espaço amostral :. qual a probabilidade de que a outra moeda da caixa escolhida também seja de C2 = 1 moeda de ouro e 1 moeda de prata. duas de pra- ta.4 INDEPENDÊNCIA contém caixa Existem caixas A 1de 2 acasoduas e da mesma é escolhida aouma acaso. 3 $ ˆ %. 3 $. 3 %. ˜ 3 $  %. 3 $. 3 %. ˜ 3 $. 3 $. 3 %. se 2. Dois eventos A e B são chamados independentes.4 Independência de Eventos 3 $ ˆ %. 3 $. ˜ 3 %. = = = P( B) P( A) P( A) P( A) Dois eventos A e B são chamados independentes. se A independe de B. Isto é. diremos que A independe de B se P(A/B) = P(A). então B independe de A. P( A ∩ B) P( B) ⋅ P( Aentão: / B) P( B) ⋅ P( A) P( Bb)/ ASe ) =A e B são independentes. Observemos que. A independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A. Observações: Dados dois eventos A e B de um espaço amostral W. se P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B) Unisa | Educação a Distância | www. pois: 24 a) Se A e B não são independentes.br . eles são chamados dependentes.unisa. b) Se A e B são independentes. C)}. P(A ˆ B) = P(A) x P(B)       ˜   Atenção Dados dois eventos A e B de um espaço amostral Ω. P(atingirem B) = ⋅ o=alvo? 3 3 9 b) ao menos um atingir o alvo? b) P( A). (K. (K. Sejam os mentos. K).Dados A probabilidade 1ª um atingir o alvo é :. qual a probabilidade de: 1 2 2 a )a) P(ambos A). C. C). A: ocorrem pelo menos duas caras. K).unisa. dentes. AC eque Mostrar os eventos A e B são independentes. (C. C. P(B) =   A ˆ B = {(K. B e C do mesmo esamostral Ω. b) ao e a probabilidade de a 2 atingir o alvo é P(B) = . C). K)}. independentes. (C. K). . A = {(K. C. K)}. (C. Exemplo 18: uma moeda é lançada 3 vezes. se P(A ∩ B ∩ C) = P(A) . Portanto.. P(B) .br 25 . C. A e BC são BC são independentes. P(C) P(A/B) = P(A). C). . C). menos duas caras. eventos: Mostrar que os eventos A e B são indepenB: ocorrem resultados iguais nos três lançamentos. Dizemos que A. A probabilidade de a 1a atingir o a) ambos atingirem o alvo? Exemplo  menos um atingir o alvo? a  20: um dado é lançado 5 vezes. (K. P( B c ) + P( Ac ). K. C. K. se os Generalizando: 3 P(A1 ∩ A2 ∩ . K. K. K. K). K). B = {(K. (K. K.paço dois eventos Ade e Ba de espaço amostral diremos que A independe de B se pendentes. qual a probabilidade de: Exemplo 19: duas pessoas praticam tiro ao alvo. C)}. P(An) dois atiram. diremos que A independe de B se P(A/B) = P(A). (K.1 P(A) = e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é 3 P(B) = 2 . se os dois atiram. ∩ An) = P(A1) . K). P( B) + P( A). K. são chamados dependentes. Admitindo A e B independentes. P( B) = 1 2 1 1 2 2 7 ⋅ + ⋅ + ⋅ = 3 3 3 3 3 3 9 Resolução: vamos calcular a probabilidade da face 2 aparecer nenhuma vez. (C. P(A2) . ATENÇÃO19: duas pessoas praticam tiro Exemplo Considere 3 eventos A. K. (C. K. então: B: ocorrem resultados iguais nos três lançaExemplo 18: uma moeda é lançada 3 vezes. B e C são indeao alvo. a) Se A e B não são independentes. (C. eles AC e BC são independentes. Resolução: : = {(K. AC e B são A: ocorrem peloindependentes. Admitindo A e B alvo é P(A) = Qual a probabilidade de que a face “2” apareça   pelo menos uma vez nos 5 lançamentos? Resolução: independentes. . C. 5 5 5 5 5 3125 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 6 6 6 6 6 7776 Unisa | Educação a Distância | www. A e B são independentes. K). Sejam os eventos: AC e BObservações: são independentes. P(A ˆ B) = P(A) =     Logo.Análise Combinatória e Probabilidades A e BC são independentes.. . Hercules Sarti Agora. A utilização da Análise Combinatória está diretamente associada aos problemas de probabilidades. O baralho comum tem 52 cartas (espaço amostral). vimos a Probabilidade de um Evento condicionado à ocorrência de outro evento e também Eventos Independentes em termos de probabilidades. ouro. (13 cartas por naipe x 4 naipes = 52 cartas). sendo que cada naipe possui 13 cartas numeradas de 2 a 10 e mais as cartas chamadas de figuras: o Rei (símbolo K). a Rainha ou Dama (símbolo Q). São divididas em 4 naipes: copas. em outras situações onde é fundamental conhecer suas possibilidades de chances.5 Resumo do Capítulo A probabilidade de um evento consiste na razão entre os casos favoráveis a ocorrência do evento e o total de casos possíveis do experimento aleatório. como este comumente é tema de diversos problemas de análise combinatória e probabilidades. o Valete (símbolo J) e o Ás (símbolo A). paus e espadas. Curiosidade Muitos alunos não conhecem a composição de um baralho e. A utilização de probabilidades ocorre em jogos do cotidiano. apresentaremos a seguir como um baralho é formado. sendo 26 vermelhas e 26 pretas. Neste capítulo.unisa. Observe a tabela com as informações detalhadas de um baralho: 26 Unisa | Educação a Distância | www. usando o evento complementar: 1− 3125 4651 = 7776 7776 2. onde se torna fundamental determinarmos a quantidade de elementos dos conjuntos Espaço Amostral e Eventos. no cálculo de seguros em geral e.br . calcula-se a probabilidade de a face 2 aparecer pelo menos uma vez. No lançamento simultâneo de dois dados. definitivamente. d) Ocorrer uma figura. Qual a probabilidade de cada um dos eventos abaixo? a) Ocorrer dama de copas. 3). com soma igual a 7. Numa cidade com 1. 4). sendo que 510 já se decidiram. (2. (6. 5). (3. 6)} Determine a probabilidade dos seguintes eventos: A: ocorrência de números iguais nos dois dados. 6). Calcule a probabilidade de: a) ocorrer cara no lançamento dessa moeda. vai haver uma eleição com 2 candidatos. c) Ocorrer carta de naipe de paus. 3). 3). (4. I: ocorrência de números múltiplos de 3 nos dois dados. e) Ocorrer uma carta que não é um rei. (1. 4). É feita uma prévia em que os 1. 5). (4. (4. (3. A e B. 5). b) ocorrer coroa no lançamento dessa moeda. 1). (3. Qual é a probabilidade de que A ganhe a eleição? 4. com soma igual a 8.unisa. (2. (2. 4). ou de números com soma igual a 8. F: ocorrência de números iguais. 1). B: ocorrência de números cuja soma seja 12. (1.000 eleitores. 4). qual a probabilidade de ela ser vermelha? 2. Sorteando-se uma bola.Análise Combinatória e Probabilidades 2. C: ocorrência de números cuja soma seja menor ou igual a 12. (4. (6. 1). uma é extraída ao acaso. (3. 1).br 27 .6 Atividades Propostas 1. (5. 5). Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis brancas. (2. 3. 2). (6. (6. (2. 6). (5. 6). 5). (2. 3). (5. 5. 2). 4). D: ocorrência de números cuja soma seja 8.000 eleitores são consultados. Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. (4. (5. (1. (5. 6). E: ocorrência de números cuja soma seja diferente de 8. 2). por A. 3). b) Ocorrer dama. 2). encontra-se o seguinte espaço amostral: S = {(1. 6). (3. (5. (3. G: ocorrência de números iguais. (6. De um baralho de 52 cartas. 1). 2). (6. 3). 5). Unisa | Educação a Distância | www. (4. 2). 4). (1. H: ocorrência de números iguais nos dois dados. (1. 1). determine P(A). mas A tem o dobro das “chances” de C. Qual a probabilidade de ele gostar de: a) Álgebra? b) Geometria? c) Álgebra e Geometria? d) Álgebra ou Geometria? 13. qual a probabilidade de levar pelo menos uma com defeito? 28 Unisa | Educação a Distância | www. P(Bc). dos quais 4 apresentam defeitos. P(B). 11. Determine: a) a probabilidade de T ganhar. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo. 10. Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades: P(a) = 1/8. Qual a probabilidade de B vencer? Qual a probabilidade de D vencer? 9. C e D disputam um torneio onde A e B têm “chances” iguais. Dos 100 alunos de uma turma. d} de um experimento aleatório. P(A Ç B) e P(A È B).Hercules Sarti 6.br . b) a probabilidade de T perder. 2 vermelhas e 5 azuis. 10 gostam de Álgebra e Geometria. Jogando 3 dados. a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais nas faces superiores? b) Qual a probabilidade de ocorrerem números diferentes? 14. Dois dados equilibrados são lançados.unisa. Determine o valor de x. qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4? 8. qual a probabilidade de levar uma defeituosa? b) Se um freguês vai comprar duas geladeiras. Uma bola é escolhida ao acaso na urna. Os jogadores A. Um aluno é escolhido ao acaso. d}. a) Se um freguês vai comprar uma geladeira. P(d) = x. c} e B = {c. c. P(Ac). qual a probabilidade de levar duas defeituosas? c) Se um freguês vai comprar duas geladeiras. Considere o espaço amostral S = {a. Com os dados do exercício anterior e sejam os eventos A = {a. Uma urna contém 3 bolas brancas. As “chances” de um time de futebol T ganhar o campeonato que está disputando são de 5 para 2. 12. e há os que não gostam de Álgebra nem de Geometria. 30 gostam de Geometria. b. b. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser: a) branca? b) vermelha? c) azul? 7. P(b) = 1/8. P(c) = ¼. C e D também têm “chances” iguais. 40 gostam de Álgebra. B. Do ponto de vista probabilístico. 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Onze jovens são dispostos em uma fila. em ambos os quais A vence. 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Sabe-se que: ƒƒ 15. ƒƒ 1.00. B. ƒƒ 10.000 leem os três jornais. ƒƒ 6. Silvia e João) são dispostas ao acaso em uma fila. Feitos os dois primeiros lançamentos. eles resolvem encerrar o jogo. ƒƒ 3.000 leem o jornal B. sem reposição. Qual a probabilidade de: a) os três ficarem juntos? b) os três ficarem separados? 20. Oito pessoas (dentre elas Pedro. Eles combinam lançar a moeda cinco vezes e ganha o jogo aquele que ganhar em três ou mais lançamentos. qual a probabilidade de que: a) ele estude Economia e Engenharia? b) ele estude somente Engenharia? c) ele estude somente Economia? d) ele não estude Engenharia nem Economia? e) ele estude Engenharia ou Economia? 18. Uma urna contém 4 bolas brancas. Cinco bolas são selecionadas ao acaso. Uma cidade tem 50. Qual a probabilidade de que: a) ela leia pelo menos um jornal? b) leia só um jornal? 19. Dois indivíduos A e B vão jogar cara ou coroa com uma moeda “honesta”.000 leem os jornais B e C. C. Nove livros são colocados ao acaso numa estante.00? 17.Análise Combinatória e Probabilidades 15. Qual a probabilidade de que 3 livros determinados fiquem juntos? 21.600. Em um grupo de 500 estudantes. Cada um aposta R$ 2. ƒƒ 8. Uma pessoa é selecionada ao acaso.000 leem os jornais A e C.000 leem o jornal A.000 leem os jornais A e B. Qual a probabilidade de dois determinados jovens: a) ficarem juntos? b) ficarem separados? 16.000 leem o jornal C.br 29 . 80 estudam Engenharia. Se um aluno é escolhido ao acaso. ƒƒ 4. de que forma devem ser repartidos os R$ 5.unisa.000 habitantes e 3 jornais A.800. uma vermelha e 2 azuis? Unisa | Educação a Distância | www. Qual a probabilidade de que 2 sejam brancas. qual a probabilidade de ele ser par? c) Se o resultado obtido for ímpar.Hercules Sarti 22. dado que é par? 30 Unisa | Educação a Distância | www. Determine a probabilidade de ambos serem rapazes. qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a 5? b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5. a) Se o resultado obtido for par. 3 4 6 Determine: a) P(A/B) b) P(B/A) c) P(A/A∪B) d) P(A∪B/A) 26. 10 foram reprovados em Física. qual a probabilidade de também ter sido reprovado em Física? b) Sabendo que ele foi reprovado em Física. a) Sabendo que ele foi reprovado em Matemática. Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100. Um aluno é escolhido ao acaso. 28. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 7 brancas. sem reposição. qual a probabilidade de ele ser ímpar? 29. Um dado é lançado e o número da face de cima é observado. sendo que 6 foram reprovados em Física e Matemática. Um lote contém 60 lâmpadas. Cinco lâmpadas são escolhidas ao acaso. qual a probabilidade de também ter sido reprovado em Matemática? 27. sendo 50 boas e 10 defeituosas.unisa. Qual a probabilidade de: a) ambas serem brancas? b) ambas serem vermelhas? 24. dado que ele é menor que 50? c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5. a) Qual a probabilidade de o número ser par? b) Qual a probabilidade de o número ser par. b) pelo menos um dos filhos é rapaz. Uma moeda é lançada 10 vezes. 12 em Matemática. Um casal tem dois filhos.br . Duas bolas são extraídas sucessivamente ao acaso e sem reposição. Sejam A e B eventos tais que: P(A) = . dado que: a) o primeiro filho é rapaz. qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas? 1 1 1 25. P(B) = e P(A∩B) = . qual a probabilidade de ele ser menor que 3? d) Se o resultado obtido for menor que 3. Qual a probabilidade de: a) todas serem boas? b) todas serem defeituosas? c) 2 serem boas e 3 defeituosas? 23. Dos 50 alunos de uma classe. segundo a tabela: CABELOS OLHOS Azuis Castanhos Loira 17 9 Morena 4 14 Ruiva 3 3 Se você marca um encontro com uma dessas garotas.O total de alunos do sexo masculino é 50. Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos. Considere um tetraedro. 20 são do sexo masculino. se a soma dos pontos foi menor ou igual a 9? 31. qual a probabilidade de ela ser: a) loira? b) morena de olhos azuis? c) morena ou ter olhos azuis? d) está chovendo quando você encontra a garota. Nessas condições. a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 6. qual a probabilidade de que o número observado em t1 seja: a) 4? b) 3? 32. se a soma dos pontos foi 6? c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que 7. se a face observada em d1 foi 2? b) Qual a probabilidade de o dado d1 apresentar face 2. Dois dados d1 e d2 são lançados. dos quais 10 destinam-se à Química. com 4 faces numeradas de 1 a 4. e dos olhos de cada moça. Seus cabelos estão completamente cobertos.30 destinam-se à Matemática e.Análise Combinatória e Probabilidades 30. qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática? Unisa | Educação a Distância | www. III . Dois tetraedros t1 e t2 são lançados sobre um plano e observam-se os números das faces nas quais se apoiam os tetraedros. Se a soma dos pontos obtidos for maior que 5.unisa.br 31 . escolhida ao acaso. 34. Qual a probabilidade de que ela seja morena? 33. II . como um dado. Física e Química sabe-se que: I . se a soma dos pontos nos dois dados foi menor ou igual a 4? e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5. De um total de 100 alunos que se destinam ao curso de Matemática. desses. mas você percebe que ela tem olhos castanhos. sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo feminino. sabendo que em ao menos um dado apareceu o resultado 2? d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a 6.Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química. Numa certa localidade. tem apenas três apartamentos ocupados. Qual a probabilidade de a peça ser: a) boa? b) defeituosa? 32 Unisa | Educação a Distância | www. Num determinado lance.unisa. chove 5 dias no mês de outubro. outra é escolhida. Uma bola é escolhida ao acaso e. Em outro lote da fábrica B existem 24 peças boas e 6 defeituosas. Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Qual a probabilidade de: a) a 1ª bola ser vermelha e a 2ª branca? b) a 1ª bola ser branca e a 2ª vermelha? c) a 1ª e a 2ª serem vermelhas? 40. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Qual a probabilidade de a bola ser: a) vermelha? b) branca? c) amarela? 42. Qual a probabilidade de não chover nos dias 1º e 2 de outubro? 41. Outra urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 pretas. também ao acaso. Determine a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelho e de a outra face. Elisabeth e Fábio. Um prédio de três andares. com dois apartamentos por andar. qual a probabilidade de César pertencer? 36. a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas. 2 brancas e 3 amarelas.Hercules Sarti 35. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola também ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos: a) urna I e bola vermelha? b) urna I e bola preta? c) urna II e bola vermelha? d) urna II e bola preta? 39. e em outro lote da fábrica C existem 38 peças boas e 2 defeituosas. Um dos 3 lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Uma comissão de 3 pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre Antônio. Denise. ao acaso. 38. outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. também ao acaso. Um é todo amarelo. ser amarela. mostrada ao jogador. Benedito. sem reposição desta. Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Uma urna tem 8 bolas vermelhas. César. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola. o juiz retira. um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Se Denise não pertence à comissão.br . O mês de outubro tem 31 dias. Qual é a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado? 37. A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas. 3 brancas e 4 pretas. em seguida uma bola é escolhida na urna II ao acaso. Em uma população. a MII tem duas caras e a MIII é viciada de tal modo que caras são duas vezes mais prováveis que coroas. 5% delas têm a moléstia detectada (erroneamente) pelo exame de sangue. que a acusou como portadora da moléstia A. a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha? c) Se a bola observada foi vermelha. Uma pessoa da cidade foi submetida ao citado exame de sangue. 5 amarelas e 2 brancas. Entre as pessoas que efetivamente possuem a moléstia A. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada pela máquina A? 48.br 33 . A MI é “honesta”. também ao acaso. A urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna II tem 4 bolas vermelhas.Análise Combinatória e Probabilidades 43. sendo que a produção da máquina A é o triplo da produção da máquina B. Duas máquinas A e B produzem peças idênticas. Entre as pessoas que não possuem a moléstia A. a) Qual a probabilidade de observarmos moeda MI e cara? b) Qual a probabilidade de observarmos cara? c) Se o resultado final foi cara. Uma caixa contém 3 moedas MI. qual a probabilidade que tenha vindo da urna I? 46. em cada tentativa a moeda é lançada 3 vezes consecutivas.unisa. Qual a probabilidade de que ela seja mulher? Unisa | Educação a Distância | www. A máquina A produz 80% de peças boas e a máquina B produz 90%. MII e MIII. Uma bola é escolhida ao acaso na urna I e colocada na urna II. Qual é a probabilidade de serem obtidos 2 sucessos nas 2 primeiras tentativas? 44. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas. Numa cidade. 47. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada. Uma peça é selecionada ao acaso no estoque e verifica-se que é boa. Qual a probabilidade de essa segunda bola ser: a) vermelha? b) amarela? c) branca? 45. qual a probabilidade de que a moeda lançada tenha sido MI. Certa moléstia A é detectada através de um exame de sangue. a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e nela é escolhida uma bola. Uma pessoa é selecionada ao acaso e verifica-se que é daltônica. Em um jogo de cara ou coroa. o número de homens é igual ao de mulheres. 2% das pessoas têm a moléstia A.25% das mulheres são daltônicas. 80% delas têm a moléstia detectada pelo exame de sangue. Qual a probabilidade de essa pessoa estar efetivamente atacada pela moléstia? 49. 5% dos homens são daltônicos e 0. Uma tentativa é considerada um sucesso se o número de vezes que se obtém cara superar estritamente o número de vezes que se obtém coroa. A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é P(A) = 2 . respectivamente.4. Qual a probabilidade de: a) ambos sobreviverem mais 10 anos a partir daquela data? b) ao menos um deles sobreviver mais 10 anos a partir daquela data? 1 52. As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são: P(A) = e P(B) = . a partir de certa data. e . Em uma indústria. é 0. qual a probabilidade de que 3 5 10 pelo menos um marque um gol? 55. 60% dos estudantes são mulheres. Três pessoas dessa indústria são selecionadas. Num certo colégio.br . 56.5. Qual a probabilidade de que: 5 2 a) os três a convidem para o passeio? b) ao menos um a convide para o passeio? c) nenhum a convide para o passeio? 54. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1. Determine a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 sm. B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2 4 7 . e de que sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma data é 0. 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1. A probabilidade de certo homem sobreviver mais 10 anos. mas A não? 51. A probabilidade 42 de que César a convide é e a de Olavo é 1 .unisa. 20 que ganham entre 10 e 20 sm e 70 que ganham menos de 10 sm. 3 5 Qual a probabilidade de que: a) ambos resolvam o problema? b) ao menos um resolva o problema? c) nenhum resolva o problema? d) A resolva o problema.Hercules Sarti 1 3 50. Qual a probabilidade de que seja homem? 34 Unisa | Educação a Distância | www.75 m de altura. mas B não? e) B resolva o problema. As probabilidades de 3 jogadores A.75 m. Qual a probabilidade 3 4 de que: a) os três resolvam o problema? b) ao menos um resolva o problema? 1 53. há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários-mínimos (sm). Luís tem probabilidade de convidar Alice para um passeio num domingo. Se cada um cobrar uma única vez. a de que outro aluno 1 B resolva é P(B) = e a de que um terceiro aluno C o resolva é P(C) = 1 . As probabilidades de os indivíduos comprarem um carro da marca X são 20 1 3 3 . da classe B é de 5 4 1 e da C é de .br 35 . respectivamente. B e C. A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de .unisa. dado que sejam A.Análise Combinatória e Probabilidades 1 3 57. Certa loja vendeu um carro da marca . Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B? Unisa | Educação a Distância | www. e 10 5 10 X. valor O que corresponde ao fracasso. a variável aleatória X tem distribuição d probabilidade é dada por: 3. 3 ­IUDFDVVR ® ¯VXFHVVR . com probabilidade p. com P(X = 0) = q e DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Nessas condições. com probabilidade q.1 Distribuição de Bernoulli 3 . ou ao sucesso. [. Exemplo 21: uma tem 30 bolas brancas e 20 verde de sucesso e q a probabilidade de fracasso. Seja X: número de bolas verdes. calcular E(X). que corresponde ao sucesso. Seja X: número de sucessos em uma única tentativa do experimento. com VAR(X) e determinar P(X). ou o valor 1. X assume o valor O que corresponde ao fracasso. Seja p a probabilidade Seja X: número deurna bolas verdes.   ­ °°oT    ®   °o S   ¯° com P(X = 0) = q ( . urna. calcular E(X). 0 fracasso X = 1 sucesso Resolução: Resolução: . Podemos ter sucesso ou cas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. S [ u T  [ Com média ou esperança E(X) = p e com variância VAR(X) Consideremos uma única tentativa de um Exemplo 21: uma urna tem 30 bolas branexperimento aleatório. . com probabilidade p. VAR(X) e det p + q = 1. fracasso nessa tentativa. com probabilidade q. . S e P(X=1) = p   9$5  . e sua função de probabilidade é dada por: P( X = x) = p x × q 1− x 3 . [. a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli. [ Nessas condições. unisa.br  37 . § · §· ¨ ¸ ¨ ¸ ©¹ ©¹ SuT   u      [      Com média ou esperança E(X) = p e com variância VAR(X) = p×q.          Unisa | Educação a Distância | www. esta família emigrou em 1583 para Basiléia. deveria ser médico. Cerca de uma dúzia de membros da família conseguiu renome na Matemática e na Física.2 Distribuição Geométrica Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento aleatório. a catenária.com. Indo estudar em Paris. a isócrona. que corresponde ao sucesso (S) e P(X = 1) = p. escrevendo em 1691-1692 dois livros de Cálculo que foram publicados muito mais tarde. X = 2.” Fonte: http://matematica. p + q = 1. que corresponde a (FFFS) e P(X = 4) = q³ x p.br . pois todos eles colaboravam com artigos para a mesma revista. em Pádua. tendo estudado várias delas: a parábola semi-cúbica. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q. seus artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadas na revista ‘Acta Eruditorum’ (Anotações dos eruditos). respectivamente.br/site/biografias/105. da França. desgarrou para a Matemática. A ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente. segundo a vontade do seu pai. Nessas condições. Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz.Hercules Sarti Saiba mais Família serve a ciência por 100 anos “Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres quanto a família Bernoulli. Destacou-se por seus estudos sobre infinitésimos. concordou em enviar ao nobre francês suas descobertas matemáticas. a espiral logarítmica. Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas. Jacques é também autor do clássico ‘Arte de conjecturar’. sendo quatro deles efeitos como sócios estrangeiros da Academia das Ciências. que corresponde a (FFS) e P(X = 3) = P(F ∩ F ∩ S) = q x q x p = q² x p. Jean foi pai de Nicolas. suas pesquisas sobre séries infinitas em que aparece o resultado célebre conhecido como ‘desigualdade de Bernoulli’: (1 + x)n > 1 + nx. na Suíça.html. Oriunda dos Países Baixos espanhóis. uma das mais importantes descobertas de Jean passou à História com nome de ‘regra de L’Hospital’. Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Logo. no século XVIII. e sua função de probabilidade é dada por: P( X = x) = q x −1 × p Unisa | Educação a Distância | www. em troca de um salário regular. A consequência foi que. passou a ensinar Cálculo a um jovem marquês de L’Hospital e. Jean Bernoulli. 3. fazendo juz ao nome da família. Daniel e Jean II. X = 4. Nicolas II. Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean. Em 1692. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em Basiléia. a variável aleatória X tem distribuição de Geométrica. para serem usadas como o marquês o desejasse.unisa. Seja X: número de tentativas necessárias ao aparecimento do primeiro sucesso. X assume os valores: X = 1. quinto e décimo filhos de Nicolaus. Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidrodinâmica e probabilidade. etc. a lemniscata. e assim sucessivamente. Nicolas foi professor de Matemática em S. ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu. Outro Bernoulli. que corresponde ao fracasso (F) na 1ª tentativa e sucesso na segunda. Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidência em Matemática. fugindo da guerra. ‘Acta Eruditorum’ (Anotações dos eruditos). (FS) e P(X = 2) = P(F ∩ S) = q x p. considerada a mais antiga obra sobre probabilidade. 38 X = 3. primo desses três. Seja p a probabilidade de sucesso em cada ensaio e q a probabilidade de fracasso (q = 1 – p).08192 A probabilidade é de 0.08192 3. o sucesso é bola vermelha).. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha? Resolução: n n! Onde:   = (Combinação dos  k  k! ⋅ (n − k)! n elementos tomados k vezes) Os valores de n e k são sempre inteiros. Exemplo 23: uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída. Queremos calcular a probabilidade Pk.br 39 . O problema trata-se de uma distribuição binomial em que cada ensaio será feito nas mesmas condições (bola é reposta na urna). p = 0. observada sua cor e reposta na urna.. Temos.unisa. 2. . O experimento é repetido 5 vezes.. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes.3 Distribuição Binomial A distribuição binomial tem esse nome porque se baseia no desenvolvimento de (a + b)n. É evidente que K ∈ {0. uma sequência de n ensaios. então.Análise Combinatória e Probabilidades Exemplo 22: a probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0. que é o Binômio de Newton. então. nos n ensaios. 6 Unisa | Educação a Distância | www. da ocorrência de exatamente K sucessos. Seja p a probabilidade de sucesso em cada ensaio e q a probabilidade de fracasso (q = 1 – p). Queremos calcular a probabilidade Pk. A probabilidade Pk de exatamente K sucessos nos n ensaios será dada pela fórmula: n Pk =   ⋅ p k ⋅ q n − k k  Atenção Consideremos. então: Número de ensaios n = 5. n}. uma sequência de n ensaios. nos n ensaios.20.80)4 x (0.20 q = 0. Probabilidade de sucesso para um ensaio 4 p = (nesse caso. para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? Resolução: X: número de vezes necessárias para encontrar o sinal aberto.20) = 0.80 P( X = x) = q x −1 × p P (X = 5) = (0. Consideremos. da ocorrência de exatamente K sucessos. 1. 40 4. A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. 3.080302 Unisa | Educação a Distância | www.4 Distribuição de Poisson Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo.unisa. e outros. em um material impresso. Erros tipográficos por página. A distribuição de Poisson é muito usada na distribuição do número de: 1. Exemplo 24: num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão.1111 = 0. Seja X o número de sucessos no intervalo. Defeitos por unidade por peça fabricada.br . onde e ≅ 2. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros? Resolução: Sendo X: número de erros por página A média l = 800 erros: 800 páginas = 1 erro por página Queremos calcular P(X ≥ 3) = ? P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]  e −1 ×10 e −1 ×11 e −1 ×12  = 1−  + +  0 ! 1 ! 2!   = 1 − [0. 2963 × 0. A variável X assim definida tem distribuição de Poisson. Carros que passam por um cruzamento por minuto.718282 e l é a média aritmética. durante certa hora do dia. 6 6 Aplica-se a fórmula para K = 3 (exatamente 3 vezes bola vermelha): n Pk =   ⋅ p k ⋅ q n − k k   5  4  P3 =  ⋅  3  6  3 2 2 10 × 0.367879 + 0. A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à probabilidade de um sucesso.919698 = 0. Mortes por ataque de coração por ano.Hercules Sarti Probabilidade de fracasso é o evento com4 2 plementar dado por q = 1 − = . então: e −λ × λ K P( X = k ) = k! . 2.01 mm². 5. É aplicada também em problemas de filas de espera em geral.183940] = 1 − 0.367879 + 0. numa plaqueta de microscópio. numa cidade.3292 ⋅  = 6 3. Colônia de bactérias numa dada cultura por 0. Dicionário Unimodal: no caso da curva normal. significa que a curva tem apenas um pico (observe a figura a seguir). a mediana e a moda coincidem. Nesse caso. acima ou abaixo da média. ou seja. Ela é unimodal. Temos então: A natureza simétrica da Curva Normal vai levar a concluir que qualquer distância medida em unidades de desvio padrão (S). Na Figura 1 é possível visualizar um exemplo de Curva Normal. ƒƒ 47.13% da área total situa-se entre a média e 1 S abaixo ou acima da média. diz-se que possui apenas uma moda (medida estatística). ƒƒ 34. a variável X é chamada de discreta.87% da área total situa-se entre a média e 3 S abaixo ou acima da média.br 41 .Análise Combinatória e Probabilidades 3. Lembre-se que. situado no meio da distribuição. A Distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições de probabilidades conhecidas. Unisa | Educação a Distância | www. A curva normal é um tipo de curva simétrica.5 Distribuição Normal Há uma distribuição de frequência denominada curva normal. ƒƒ 49.unisa. A área sob a curva é aquela região do plano compreendida entre a curva e o eixo das abscissas. Isso se deve não só aos recursos que ela própria oferece. a variável X pode assumir quaisquer valores do campo dos reais. em que a média. suave. cuja forma lembra um sino. se X tiver Distribuição Binomial. que corresponde em qualquer Distribuição Normal a 100% dos dados considerados. mas também ao fato de que muitas outras distribuições de probabilidades convergem para ela. Em Estatística. A Distribuição Normal é uma distribuição contínua. só poderá ter valores inteiros.72% da área total situa-se entre a média e 2 S abaixo ou acima da média. Frequência Figura 1 – Exemplo de curva normal. contém a mesma porção da área sob a curva. considerada um modelo teórico ou ideal que resulta muito mais de uma equação matemática do que de um real delineamento de pesquisa com coleta de dados. sendo seu ponto de frequência máxima. onde X é a média e S2 é a variância. n representa o número de repetições do experimento. temos: Z= Exemplo 25: X é N(20. p representa a probabilidade associada ao evento sucesso. S 2 ) .5 = 0.Hercules Sarti Vamos imaginar uma variável X que tenha Distribuição Normal com média X e desvio padrão S. Com esse processo. teremos feito uma mudança de origem. em que o zero passou a ocupar a média da curva. 42 A variância de uma distribuição binomial é dada por n representa o número de repetições do experimento. É importante lembrar que essa probabilidade vai da média até 1.br . Tomemos uma nova variável Z e definindo-a.25 unidade de desvio padrão acima da média. Unisa | Educação a Distância | www.25) = 0. Resolução: São dados: X = 20 e S² = 16. Primeiramente vamos transformar a variável X em variável reduzida Z: Xi − X S Z= Onde Xi é qualquer valor da variável X no campo dos reais.3944 para Z = 1. Calcular P(X < 25). Se deslocarmos o eixo vertical para a direita até o centro da curva. O problema pede: P(X < 25) = P(Z < 1. Uma forma abreviada de indicar que a variável X se distribui normalmente é escrever X é N( X . teremos construído uma Distribuição Normal Reduzida ou Distribuição Normal Padronizada com os seguintes parâmetros: X = 0 S 2 = 1 S=1 X i − X 25 − 20 5 = = = 1.6 Aproximação da Binomial pela Normal A média aritmética de uma distribuição binomial é dada por µ = n⋅ p σ 2 = n⋅ p⋅q Onde: m representa a média procurada (populacional). p representa a probabilidade associada ao evento sucesso.3944 + 0. 1).25. 3. Então: S = 4. as infinitas distribuições normais reduzem-se a apenas uma: N(0. obtemos a probabilidade de 0. Onde: σ2 representa a variância procurada (populacional). 16).unisa. 25 4 4 S Consultando a tabela de probabilidades curva normal reduzida (Anexo 1). Dessa forma.8944. q representa a probabilidade associada ao evento fracasso. 67 e 0. aprofundamos os conceitos referente a probabilidades. mais comuns em situações cotidianas.br 43 .5 = = = 0. estudando as Distribuições Estatísticas de Probabilidades.5 11.5 5 3. É importante lembrar que essa probabilidade vai da média até 0. O problema pede: P(12 ≤ X ≤ 14) = P(0. Normal e de Poisson. Um dado é lançado 5 vezes. Sendo X o número de “caras”.unisa.5 ⋅ 0. 2361 20 ⋅ 0. 2361 20 ⋅ 0.5 − n ⋅ p n⋅ p⋅q Consultando a tabela de probabilidades curva normal reduzida (Anexo 1). Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas caras? 2. 67 2.5 − 10 1. Resolução: = Z1 12 − 0.4778 – 0. Devemos destacar as Distribuições Binomial. a normal constituirá uma boa aproximação para a binomial. determinar P (12 ≤ X ≤ 14).2486 para Z = 0.5 − 20 ⋅ 0. obtemos a probabilidade de 0. 3.8 Atividades Propostas 1.5 − 10 4. Exemplo 26: uma moeda honesta é lançada 20 vezes. Com os novos conceitos. se ela dá 8 tiros? Unisa | Educação a Distância | www.Análise Combinatória e Probabilidades Quando n ⋅ p ou n ⋅ q (sempre o menor) for ≥ 5 . Uma pessoa tem probabilidade 0.2486 = 0.5 ⋅ 0.5 5 = Z2 14 + 0.5 = = = 2. podemos verificar maiores aplicações das probabilidades na resolução de problemas com enfoques diferenciados daqueles vistos no capítulo anterior.01 unidades de desvio padrão acima da média. A fórmula resolutiva da binomial pela normal é: Zi = X i ± 0.2292.5 14.4778 para Z = 2. Supondo que às vezes que ela atira são ensaios independentes.01.7 Resumo do Capítulo Neste capítulo.2 de acertar num alvo toda quando atira.5 − 20 ⋅ 0. Uma moeda é lançada 6 vezes.01) = 0. Qual a probabilidade de que o “4” apareça exatamente 3 vezes? 3. 01 2.67 ≤ Z ≤ 2.67 ou até 2. qual a probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes. Qual a probabilidade de que em: a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? b) 300 km ocorram 5 acidentes? 8. Numa estrada há dois acidentes para cada 100 km. pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão? 10. qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos? 5. X é N(10. De um grupo de 5 homens com 45 anos. Sabe-se também que P (X ≥ 70) = 0.6.0475. 11.unisa. Calcular P(12 ≤ X ≤ 20). 44 Unisa | Educação a Distância | www. Qual o valor de M? Resposta arredondada para o inteiro mais próximo. Calcular P(X < 30). Sabe-se que X tem distribuição Normal com média igual a 60 e variância M. exatamente 8 se queimem? 9. 16). Calcular P(X ≤ 19). Numa linha adutora de água. Se disputar 5 partidas. 16. X é N(30. 13. 15. X tem distribuição Normal com os seguintes parâmetros: Média aritmética = 30 Variância = 16 Qual a probabilidade de (X ≥ 40)? 12. no mínimo 3 se queimem? b) 900 lâmpadas. Calcular P(X ≤ 30). 17.br . durante o mês. X é N(50. 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara? 6. Qual a probabilidade de ocorrer. 81). A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas. 49). Calcular P(X ≥ 5). X é N(10. 25). 100). 16). Calcular P(40 ≤ X ≤ 60). X é N(20. Um time de futebol tem probabilidade p = 3/5 de vencer todas as vezes que joga.Hercules Sarti 4. A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0. ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de que numa instalação de: a) 600 lâmpadas. de 60 km de extensão. qual a probabilidade de que vença ao menos uma? 7. 14. X é N(20. unisa. b) mais que 63. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota: a) maior que 120.5 kg.00 Unisa | Educação a Distância | www. b) maior que 80. 20.3 kg e desvio padrão 5. d) maior que 100. Os salários dos diretores das empresas de São Paulo distribuem-se normalmente com média de R$ 8.00.br 45 .00 e desvio padrão de R$ 500.Análise Combinatória e Probabilidades 18. Determine o número de estudantes que pesam: a) entre 60 kg e 70 kg. 19.00? b) entre R$ 8.000. c) entre 85 e 115. Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10.00 e R$ 9.920.380.470. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65. c) menos que 68 kg. Qual a porcentagem de diretores que recebem: a) menos de R$ 6.2 kg. Para o aproveitamento completo da disciplina. atingir os objetivos de aprendizagem propostos para esta disciplina. Um forte abraço. Com a leitura desta apostila e a realização dos exercícios propostos. assista às aulas web e às aulas transmitidas via satélite. Espera-se que as suas expectativas possam ser atingidas. Prof.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Este material foi elaborado para você.unisa. o(a) aluno(a) da área de Ciências Exatas. espera-se que você consiga desenvolver as habilidades e os conhecimentos que contribuem com a formação do(a) profissional egresso(a) desta área. O aprofundamento dos assuntos apresentados e a ampliação de outros conhecimentos podem ser adquiridos através dos livros citados nas Referências e em outras obras relacionadas com esses temas. e realize as atividades avaliativas e a prova presencial de maneira satisfatória. coloco-me à disposição para as críticas em relação a esta obra.br 47 . é fundamental que você utilize os recursos disponíveis no portal (correio. chat e fórum). Hercules Sarti Unisa | Educação a Distância | www. RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS CAPÍTULO 1 1. No 21. 720 12. 4 No exercício 9.3 = 120. simplificando os fatoriais.P4 = 24. 6 As questões 1 e 2 referem-se a combinações. a) 24 b) 48 c) 120 14. No 17. usar permutações: a) P4 = 24. No 15 fazer C7.3 = 35.320 b) 3. 72 10. usar os conceitos de permutação. 21 – 7 = 14 diagonais. desenvolva os fatoriais maiores até atingirem os fatoriais menores e. As questões 3 e 4 referem-se a arranjos simples.P4 = 48. No 14. 504 No 16. Unisa | Educação a Distância | www. usar combinação: C7. No 18.2 = 21 segmentos e subtrair o número de lados. usar arranjo com n = 9 e p = 2. 120 20. ou seja. 24 11. Faça o mesmo nas equações da questão 8. usar arranjo: 1 . a) 11 b) 8 17. m = 7. simplificando e eliminando os fatoriais. 16. 9. 24 18. simplifique as frações. a) 1. No 20 usar as fórmulas de arranjo e combinação. 13. Na 11. 12 5. 9 . c) P5 = 120. b) 2. usar a fórmula de combinações. 12 4. 19.unisa. 10 2. 6 3. a) 2 b) 7 c) 5 Na questão 7. 14 No 13. Na questão 10. 8 . n = 8 No 19 fazer C10.br 49 . Já as questões 5 e 6 referem-se a permutações. fazer 1. resolver o sistema de equações. usar permutação para n = 4.003 8. simplificar os fatoriais e calcular o valor de n. 6 6. No 12. 11 21. 35 15. simplificar os fatoriais e obter n = 11.7 = 504. usar permutação para n = 6. 7. No 32: C10.3 = 1680. usar arranjos: a) 5 .br .3 + 1= 101. C3. No 28. C6.000 b) 252 c) 378 25. b) A6. P4 = 48. 720 34. No 29. 5 . usar combinações: C9.3 = 20.3 . usar permutação: a) 5 . P .1 . C6.400 b) 10. 26.4. 120 No 35. 31.3 – C6. 6! . a) 924 b) 30 43. 4 = 14400.1 . c) 6! = 720.4 + C4.3 . P2 . C6. P4 . 2 = 48.4. usar combinação: C10. permutação com elementos repetidos: 9! : (3!2!) = 30240.3 – C5. b) 4! 3! = 24 . c) No 25. permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720. c) C3.2 . permutação com elementos repetidos: 7! : (4! .2 – C3. 21 No 26. b) A6. 3!) = 35. C10. P6 = 34560.4 = 66. 10 . d) 6! . C4.3 . 5 .4 . 15 29. No 43. permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720.0 . usar arranjos: 1 . 3! = 4320.1 . a) 250 b) 48 No 31. 70 No 41: a) C6.2 + 1= 13. 1.unisa. usar combinação: C6. usar permutação: a) 7! = 5040.560 40.1 . b) 4 . No 40.5 + C4. calcular a quantidade de números ímpares e subtrair a quantidade que tem algarismos repetidos. 3 . 2260 37. c) C4. 6. No 36. 30.3 = 720. Usar: P5 = 5! = 120. 35. 120 32. a) 120 b) 246 c) 66 No 44.3 = 120. permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720.Hercules Sarti 22.2 = 21. 37. a) 5.2 = 15. No E25.720 a) No 22 fazer C7. No 23. 10 . 48 28.4 = 35. C6. No 30. usar arranjo: A10. 5 = 10800. C6. C6.3 – C4. 6! . 13 30. No 27.240 27. 2 . 101 33. usar combinação: C6. 50 Unisa | Educação a Distância | www. No 45. 41. 44.3 . b) b) C3. No 24. 6 = 144. 1. 38.1 .3 = 84 – 10 – 4 = 70. No 39. usar combinação: C7.2 = 120. b) 3 . usar combinação: a) C3. 35 No 38. C9. C9. 2 = 250. usar combinações: C9. a) 14.680 45. No 42: a) C12.2 = 30. 10 = 1000.040 b) 144 36.3 .800 c) 720 d) 4320 39.6 = 924. 35 23.3 + C4. usar combinações: a) C6.1 = 246. C6. No E25. 34. No 33. b) C4. No 34.3 = 120.2 + C4. a) 20 b) 120 42. a) 630 24. C8. Usar permutação com elementos repetidos: (n + 3)! : (n! . C36. P7 = 5040. No 47.4 . temos 36 possibilidades.3 = 28560. determine a quantidade de elementos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade. 5 No 50. 50. b) C4. subtrair 10 bolinhas de cada uma das cores e usar o princípio multiplicativo com as bolinhas restantes. 3. ou seja 240. cada menino deve receber 5 bolinhas de cada cor. Considere o espaço amostral formado por 2 caras e 1 coroa. No lançamento de dois dados. a) 28560 b) 32485 c) 24948 d) 31608 e) 84735 47. 5. temos 36 possibilidades. Há duas bolas vermelhas num total de 8 bolas. temos 36 possibilidades. ¼ 2.1 . 49. são ímpares 4/7. o candidato A tem a maioria dos votos e será eleito (evento certo). 1 4. 48. CAPÍTULO 2 1. Na cidade há 1. C8. 5. C36. Monte as probabilidades em forma de frações e simplifique-as sempre que possível. 182 No 46. determine a quantidade de elementos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade. resultando em 2/8.br 51 . Considere o espaço amostral formado por 52 elementos. Unisa | Educação a Distância | www. resultando em 2/8. E53: No lançamento de dois dados.0 . 3!) = 8n + 16 e resolver a equação.2 . 2!) = 420. 51. a) 1/52 b) 1/13 c) ¼ d) 3/13 e) 12/13 5.unisa.000 eleitores e 510 já se decidiram definitivamente pelo candidato A. 2. d e e são análogos.1 .3 . E53: No lançamento de dois dados. usar permutação com elementos repetidos: 7! : (3! . Logo. a) 1/6 b) 1/36 c) 1 d) 5/36 e) 31/36 f ) 1/36 g) 0 h) 5/18 i) 1/9 1.Análise Combinatória e Probabilidades 46.040 Na questão 48. usar combinações: a) C4. Estabeleça o número de elementos de cada evento. C36.1 . os itens c. C36. 240 51. usar combinações: C2.2 + C4. a) 2/3 b) 1/3 3.4 = 120 + 70 = 182. Dos 420 números.3 + C2.0 = 32485. C36. determine a quantidade de elementos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade. 4. 24 49.1 + C4.3 + C4. a) 2/5 b) 3/10 c) 1/10 d) 3/5 11. obtendo o denominador 7 da fração. a) 1/3 b) 1/11 c) 19/33 13.br . 10. 17. P(A) =1/2. 8. a)1/6 b) 5/6 14. Use também o evento complementar.00 15. começando pela intersecção de 10 alunos. P(B) = 1/3. Montar os conjuntos em forma de diagramas. começando pela intersecção de 10 alunos. Monte as probabilidades em forma de frações e simplifique-as sempre que possível. b) 70/500 = 7/50. (ABB). é dada por 1/8 + 1/8 + 1/4 = 1/2. a) 5/7 b) 2/7 12. (AAB). (BAB). Use a soma das probabilidades é igual a 1. A soma das probabilidades é 1. n(S) = 6³ = 216. d) 280/500 = 14/25. Determine a união e a intersecção dos conjuntos A e B. 12. P10 : P11 ). a) 4/12 = 1/3. 10. a) 2/11 b) 9/11 16.Hercules Sarti 6. Determinar as probabilidades. Montar o diagrama representando os conjuntos e iniciar seu preenchimento pela intersecção. Logo 6x = 1 e x = 1/6. b) 4/12 . 15. A = R$ 4. 7. 52 Unisa | Educação a Distância | www. Probabilidade de A. 14. ½ 8. Considere o espaço amostral formado por 10 bolas.2 e outros diagramas. (BBA) e as de B 1/8 (BBB). a) 3/10 b) 2/10 c) ½ 7. a) 1/50 b) 7/50 c) 7/25 d) 14/25 e) 11/25 17. usar permutações: a) (2. Fazer 7/8 x 5600 = 4900. Determinar as probabilidades. 3/11 = 1/11. a)10/500 = 1/50. (ABA).unisa. c) use combinações C12. 9. P(A ∪ B) = 1. P(Bc) = 1/4.00 e B = R$ 700. 16. 1/54 6. Estabeleça o número de elementos de cada evento. E53: No lançamento de dois dados.900. B = 2x. e) União 220/500 = 11/25. temos 36 possibilidades. Use o evento complementar P(Ac) = 1 – P(A). determine a quantidade de elementos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade. b) usar o evento complementar. (BAA). 13. P(D) = 1/6 9. Use A = 2x . P(B) = 3/4. 11. P(A ∩ B) = 1/4. Dois dados formam um espaço amostral de 36 pares de números. as chances de A são 7/8 (AAA). C = x e D = x. P(Ac) = 1/2. Somar 5 com 2. e suas probabilidades. c) 140/500 = 7/25. P = 1/6. 1. 2): C9. c) lembre-se que A Ç (A È B) = A e calcular a união. 26. 4). Determinar o espaço amostral n(S) = 210 = 1024. (2. 33. a) 21/50 b) 1/5 18. c) {1. a) (MF). a) 1/2 b) 1/3 32. 2 : C12. 19. c) 10/50 = 1/5.000046 c) 0. Usar probabilidade condicionada: a) 1/6 : 1/4. 2). 4. 2 } P = 1/2. a) 1/6 b) 1/5 c) 7/11 d) 1 e) 4/15 33. Permutações na probabilidade: (P3. 3). 5 : C60. 29. 1). c) (C50. b) Usar o evento complementar. (4.0269. 3). (2. (MM). 5 . 32. 5). a) 12 foram reprovados em Matemática. 1/12 21. a) 2/3 b) 1/2 c) 4/5 d) 1 27. 5 : C60. 6 foram reprovados em Física. (4. (2. Usar permutações na probabilidade: a) (P3. P = 1/5. 3). 22. a) 0. 2 : C12. 28. 5} P = 1/3. 4) a) P = 3/6 =1/2. 6} P = 1/2. (2. resultando em1/3 : 5/12. temos: (2. 63/256 25.br 53 . 1). Usar combinações (C4. C2. 25. Depois. (2. a) 3/28 b) 25/28 20. logo temos 6/12 = 1/2. b)C5. a) (2. 2. 30.unisa. (2. a) 1/3 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/2 31. a) 50/100 = 1/2. a) 1/2 b) 24/49 c) 1/5 30. 5. P = 24/49. 2 . montar o diagrama representando os três conjuntos e iniciar seu preenchimento pela intersecção dos três. 4). (3. A probabilidade é 252/1024 e simplifique. a) 1/2 b) 1/3 28.Análise Combinatória e Probabilidades 18. b) {5. b) 2/6 = 1/3. Usar combinações: a) C7. 2). b) 6/10 = 3/5. Unisa | Educação a Distância | www. 2/7 24. d) P(A) : P(A) = 1. (3. (FM): P = 1/3. 5). b) 10000/50000 = 1/5. 3): C60. Destes. 2. 4). (3. C10. P6): P8 . Usar combinações para determinar o evento 5 caras. b) há 49 números menores que 50. C10. b) 1/6 : 1/3. C3. e. 2). os outros itens são análogos. 5 = 0. 24 são pares. 6). b) C10. desses.3879 b) 0. (MM): P = 1/2. 5 = 0. 3. 4). a) 7/22 b) 5/33 26.000046.0269 23.3879. 27. b) (MF). 3). d) {1. pelas interseções dois a dois: a) 21000/50000 = 21/50. Soma maior que 5.5 = 252. Usar combinações: a) C50. (5. a) {2. 5 = 0. 24. (4. a) 1/2 b) 3/5 29. 6} P = 1/3. b) (1. P7): P9 23. 31. (4. 0. 0. 1/6 39.2592 5. 0. a) 1/5 52. d) 2/15 e) 2/5 c) 9/40 CAPÍTULO 3 1. 0.2 53.262 14.733 17. a) 13/25 b) 2/25 c) 19/25 d) 7/13 35. 2/5 38. obtemos as probabilidades indicadas.9844 6.9236 13. 0. a) 11/28 43.003 15.6% 50.br . 1/4 45.3 e obter a probabilidade condicionada 6/10 =3/5. a) 0. a) 4/35 41.Hercules Sarti 34. 37. a) 3/14 47. a) 11/30 46. Interpretar e obter a probabilidade P = 2/5. 0. Montar uma tabela a partir do enunciado e determinar a probabilidade condicionada. 65/93 42. 0.0062 12. 35. a) 1/24 54.unisa. a) 1/6 48. b) 1/2 . 8/11 49.2344 2. 38. 36. 0. a) 53/60 44. 1/5 34. 3/7 = 3/14. 4/7 = 2/7. 3/5 37. 0.7 b) 3/4 b) 31/40 c) 4/15 39. Analisando a tabela dada.0459 4.98976 10.9772 16. Fazer C5. 40. a) 1/2 . 1/21 51. 0.03215 3. a) 1/20 b) 4/35 c) 4/15 b) 71/140 b) 7/60 c) 1/10 b) 7/15 b) 33/56 b) 13/18 c) 1/6 c) 4/11 c) 3/13 b) 11/15 b) 0. a) 3/14 b) 2/7 c) 3/8 d) 1/8 36. 24.8944 54 Unisa | Educação a Distância | www. 0. Interpretar e obter a probabilidade P = 1/6. 0. 0. s² = 36 11. São Paulo: Saraiva.REFERÊNCIAS CRESPO. G. L. São Paulo: Atual. Estatística fácil. J. São Paulo: Makron. 1994. HAZZAN.br 55 . A. Fundamentos da matemática elementar. A. Estatística básica: probabilidade.unisa. 1987. MORETTIN. 1993. S. LEVIN. São Paulo: Harbra. Estatística aplicada a ciências humanas. 1999. Unisa | Educação a Distância | www. 4980 0.0319 0.3599 0.4957 0.4998 0.2734 0.1808 0.5 0.4582 0.4981 0.2 0.3315 0.5 0.1331 0.4997 0.2054 0.0 0.3686 0.4922 0.4890 2.4850 0.4995 0.4995 0.0478 0.1700 0.3980 0.4994 0.3212 0.4878 0.4929 0.3830 1.4997 3.4986 3.4545 1.4 0.4953 0.4382 0.4616 0.1844 0.4986 0.3849 0.4966 0.4989 0.1179 0.4798 0.4904 0.4292 0.4988 0.3643 0.4525 0.4719 0.4975 0.4032 0.4938 0.4952 2.4990 0.0040 0.4884 0.2 0.3925 0.4963 0.3289 0.3413 0.4803 0.4750 0.4994 0.4706 1.4946 0.4956 0.1 0.4984 0.3133 0.4996 0.4982 0.4821 0.4591 0.3 0.4756 0.4977 0.4738 0.1064 0.4564 0.1 0.4995 3.4251 0.4987 0.4732 0.4996 0.4934 0.4940 0.4951 0.3708 0.3554 0.2486 0.4406 0.2642 0.4573 0.2088 0.0557 0.4207 0.4357 0.4177 1.4998 0.4394 0.4265 0.1628 0.1985 0.4997 0.0279 0.4625 0.2852 0.unisa.4998 0.4982 0.4993 0.4993 0.1879 0.1 0.4147 0.4893 0.4997 0.4994 0.4881 0.4846 0.4767 2.4948 0.3106 0.0675 0.4913 0.4693 0.0000 0.3944 0.3790 0.4996 0.4979 0.ANEXO PROBABILIDADES CURVA NORMAL REDUZIDA (0 A Z) Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.3264 0.4997 0.4429 0.6 0.3810 0.4932 0.0080 0.0199 0.4936 2.4222 0.4332 0.1026 0.1517 0.4995 0.4838 0.4864 0.4761 0.7 0.2996 0.4984 0.4974 2.4049 0.4992 0.1480 0.4955 0.3051 0.4868 0.4994 0.0871 0.3 0.2939 0.1443 0.4993 0.4906 0.4931 0.4998 0.4826 0.1293 0.1915 0.0910 0.0 0.4857 2.4744 0.0438 0.4484 0.3159 0.3531 0.4960 0.4854 0.0359 0.4793 0.1406 0.4998 0.3389 1.4998 0.4990 0.4964 2.4441 1.8 0.4 0.2224 0.4418 0.4554 0.4082 0.4925 0.3186 0.4991 0.6 0.3621 1.4988 0.2549 0.4993 3.1 0.4099 0.4066 0.3962 0.4998 0.4713 0.0754 0.4991 0.4959 0.2967 0.7 0.4996 0.1664 0.0714 0.4918 0.4279 0.5 0.4909 0.4998 0.4992 0.2 0.4162 0.0 0.4515 0.4989 0.0 0.4945 0.2881 0.4633 1.4808 0.4976 0.4842 0.4998 Unisa | Educação a Distância | www.4979 0.4236 0.4901 0.3438 0.1554 0.2518 0.4671 0.4927 0.3729 0.4830 0.4192 0.2258 0.3749 0.4474 0.2910 0.3461 0.4949 0.0636 0.2019 0.4015 1.4987 0.4995 0.6 0.br 57 .2357 0.4998 3.4997 0.4995 0.4306 0.4664 0.2 0.2823 0.4463 0.4898 0.9 0.4656 0.7 0.4783 0.4992 0.4961 0.2157 0.3665 0.4812 0.0517 0.4943 0.4452 0.5 0.4985 0.4998 0.8 0.1736 0.4911 0.4861 0.4997 0.4599 0.4967 0.4319 1.4972 0.3907 0.3032 0.4969 0.4981 2.4726 0.4 0.4978 0.4896 0.4115 0.2704 0.4992 0.2190 0.0793 0.9 0.4608 0.3 0.3869 0.4941 0.4973 0.2764 0.4991 0.0160 0.4772 0.4985 0.4997 0.4989 0.4 0.3365 0.3238 0.4817 2.4996 0.0239 0.4834 0.0120 0.4788 0.4641 0.0832 0.4983 0.0596 0.4871 0.0948 0.4920 0.0398 0.3577 0.2673 0.4994 0.0987 0.1591 0.4997 0.3340 0.1772 0.2794 0.3888 0.8 0.2389 0.4974 0.4699 0.2454 0.2123 0.2291 0.3485 0.1255 0.4987 0.3 0.4997 0.1141 0.1368 0.9 0.4916 2.2422 0.2324 0.4970 0.4968 0.4345 0.4977 0.3508 0.4370 0.4990 3.4875 0.4131 0.4535 0.1103 0.4962 0.4686 0.4495 0.4649 0.4778 0.4505 0.2612 0.3770 0.1217 0.4971 0.1950 0.3997 0.4678 0.3078 0.4965 0.4887 0.4996 0.2580 0.