Aplicações diversas das Derivadas Parciais01 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO Velocidade: Um corpo se move em linha reta e que s = s(t) represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então, no intervalo de tempo entre t e t+∆t, o corpo sofre um deslocamento ( ) ( ) t s t t s s ÷ A + = A Definimos a velocidade média nesse intervalo de tempo como o quociente ( ) ( ) t t s t t s s A ÷ A + = A isto é a velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto em percorre-lo. De forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do corpo no instante t. Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t, calculamos sua velocidade média em instantes de tempo ∆t cada vez menores. A velocidade instantânea, ou velocidade no instante t, é o limite das velocidade médias quando o ∆t se aproxima de zero, isto é, ( ) ( ) . lim lim ) ( 0 0 t t s t t s t s t v t t A ÷ A + = A A = ÷ A ÷ A Esse limite é a derivada da função s = s(t) em relação a t. Portanto, . ) ( ' ) ( dt ds t s t v = = Aceleração: Em física a aceleração (símbolo: a) é a taxa de variação (ou derivada em função do tempo) da velocidade. Ela é uma grandeza vetorial de dimensão comprimento/tempo² ou velocidade/tempo. A unidade usada no Sistema internacional, é quantificada em metro por segundo ao quadrado (m/s²). Desaceleração é a aceleração que diminui o valor absoluto da velocidade. Para isso, a aceleração precisa ter componente negativa na direção da velocidade. Isto não significa que a aceleração é negativa. Assim a aceleração é a rapidez com a qual a velocidade de um corpo varia. Desta forma o único movimento que não possui aceleração é o MRU - movimento retilíneo uniforme. Acelerar um corpo é variar sua velocidade em um período de tempo: ( ) ( ) t v t t v v ÷ A + = A logo = = dt dv a Definimos a aceleração média por ( ) ( ) t t v t t v a A ÷ A + = isto é a velocidade média mede a variação do corpo por unidade de tempo no intervalo de tempo ∆t Para obtermos a aceleração do corpo no instante t, calculamos sua aceleração média em instantes de tempo ∆t cada vez menores. A aceleração instantânea, é o limite das acelerações médias quando o ∆t se aproxima de zero, isto é, ( ) ( ) ) ( ' lim lim ) ( 0 0 t v t t v t t v t v t a t t = A ÷ A + = A A = ÷ A ÷ A Logo a derivada da velocidade nos da a aceleração . Como v(t )=s’(t), temos, ). ( " ) ( ' ) ( t s t v t a = = ( ou seja a aceleração é a derivada segunda da velocidade média) EXEMPLO 01 No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dada por s(t) =16t-t 2 . Determine a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2,4]; b) a velocidade do corpo no instante t= 2; c) a aceleração média no intervalo [0,4]; d) a aceleração no instante t= 4. EXEMPLO 02 A equação do movimento de um corpo em queda livre é 2 2 1 gt s = , onde 2 / 8 , 9 s m g ~ g é a aceleração da gravidade. Determinar a velocidade média e a aceleração do corpo em um instante qualquer t. 02 TAXA DE VARIAÇÃO Toda derivada pode ser interpretada como a taxa de variação. Dada uma função y=f(x), quando a variável independente varia de x a x+∆x, a correspondente variação de y será ( ) ( ) x f x x f y ÷ A + = A . O quociente ( ) ( ) x x f x x f x y A ÷ A + = A A Representa a taxa média de variação de y em relação a x. A derivada ( ) ( ) x x f x x f x y x f x x A ÷ A + = A A = ÷ A ÷ A 0 0 lim lim ) ( ' , È a taxa instantânea de variação ou simplesmente a taxa de variação de y em relação a x. A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas ciências. EXEMPLO 03 Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar: a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m. b)a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m. EXEMPLO 04 Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia de epidemia) é, aproximadamente, dado por 3 64 ) ( 3 t t t f ÷ = a) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? b) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? c)Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no quinto dia? EXEMPLO 05 Analista de produção verificam que em uma montadora X, o número de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por 8 t 4 para ), 1 ( 200 4 t 0 para ), ( 50 ) ( 2 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s + s s + = t t t t f a)Qual a razão de produção ( em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas? b)Quantas peças são produzidas na 8ª horas de trabalho? EXEMPLO 06 Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros , t horas após o escoamento ter começado é dada por V= 50(80-t) 2 Determinar: a) a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento. b) a taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. c) a quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. EXERCÍCIO 01 O número de litros de gasolina em um reservatório, t horas depois de iniciar seu esvaziamento é dado pela equação V(t) = 200(30 – t) 2 . A taxa segundo a qual a gasolina está saindo ao fim de 10 horas e a taxa média de escoamento durante as 10 primeiras horas são, respectivamente: a) –8 000 litros/hora e –10 000 litros/hora. b) –9 000 litros/hora e –10 000 litros/hora. c) –10 000 litros/hora e –8 000 litros/hora. d) –10 000 litros/hora e –9 000 litros/hora. e) NDA. EXERCÍCIO 02 A função posição que modela a queda de um vaso de flores de uma janela situada a 30,6 metros do solo é s(t) = 4,9t 2 + 30,6, em que s é a altura em relação ao solo (medida em metros) e t é o tempo, medido em segundos (0 ≤ t ≤ 2,5). Nessas condições, determine o módulo da velocidade do vaso de flores quando este atinge o solo e marque a alternativa correspondente. a) 14,7 m/s b) 19,6 m/s c) 24,5 m/s d) 29,4 m/s e) 49,0 m/s EXERCÍCIO 03 A fim de estudar a forma como o organismo humano metaboliza o cálcio, um médico injetou no sangue de um paciente voluntário uma amostra de cálcio quimicamente marcado com o intuito de medir a rapidez com que tal produto é removido do sangue. Admitindo que a função Q(t) = 2 – 0,06t + 0,03t 2 – 0,01t 3 forneça a quantidade de cálcio (em mg) que permanece na corrente sanguínea após t horas, podemos afirmar que a taxa segundo a qual o cálcio está sendo eliminado da corrente sanguínea, 2 horas após ter sido ministrado é a) 0,04 mg por hora. b) 0,06 mg por hora. c) 0,08 mg por hora. d) 0,10 mg por hora. e) 0,12 mg por hora. EXERCÍCIO 04 Uma maionese mal conservada constituiu ambiente ideal para a proliferação de certo tipo de bactéria. Estima-se que o número de bactérias, t horas a partir da contaminação, pode ser calculado pela função . Marque a alternativa correspondente à taxa de variação da população de bactérias 2 horas após ter ocorrido a contaminação. a) Aproximadamente 25 bactérias/hora. b) Aproximadamente 32 bactérias/hora. c) Aproximadamente 39 bactérias/hora. d) Aproximadamente 43 bactérias/hora. e) Aproximadamente 51 bactérias/hora. EXERCÍCIO 05 É sabido que as pessoas submetidas a uma gravidade muito menor que a normal (9,8m/s2) podem sofrer perda óssea, o que, acima de um certo limite, constitui grave problema de saúde. Supondo que o percentual de perda óssea de um astronauta seja dado por L(t) = 0,01t 2 , em que t é o tempo (em meses) passado no espaço, estime quanto tempo deve se passar, desde o embarque, para que esse astronauta esteja sofrendo uma perda óssea de 0,08% por mês. a) 2 meses. b) 4 meses. c) 6 meses. d) 8 meses. e) 12 meses. USANDO A REGRA DE CADEIA Conhecendo as derivadas das funções f e g, podemos usá-las para encontrar a derivada da função composta f o g: Se a função g for diferenciável no ponto x e a função f for diferenciável no ponto g(x), então a função composta f o g é diferenciável no ponto x. Além disso, se y=f(g(x)) e u=g(x), então: y=f(u) e. dx du du dy dx dy · = EXEMPLO 07 Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l=l+t 2 , onde a variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t=2 Obs: a taxa de variação da área em relação ao tempo, num tempo t qualquer é dada por dt dA . Solução: usando a regra de cadeia temos dx du du dy dx dy · = ou seja _ _ _ _ d d d d dt dA = A= l 2 logo ________ = dl dA L= 2+t 2 logo _______ = dt dl Assim temos = = = dt dA No tempo t= 2 , temos ) 2 ( = = = dt dA EXEMPLO 08 O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s.Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo? R:42πcm/s EXEMPLO 09 Um ponto P(x,y) se move ao longo do gráfico da função y= 1/x. Se a abscissa varia à razão de 4 unidades por segundo, qual é a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é x= 1/10? R: -400 EXEMPLO 10 Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3 /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m? Dados : V= volume de areia; h = altura do monte; r =raio da base e A= área da base R= 5m 2 /h EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 01 01) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: a) ( ) 1 10 2 2 ÷ + = t t t S . Determine a velocidade no instante t = 3 s. b) ( ) t t t S 3 2 + = . Determine a velocidade no instante t = 2 s. c) ( ) 1 2 2 3 + + + = t t t t S . Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s. 02) O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a função horária: s = f(t) = t 2 + 2t - 3 sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a velocidade no instante t 0 = 2 s. 03) Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t 2 – t, determine a distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5 h. 04) Determine a aceleração de uma partícula no instante t 0 = 5, sabendo que sua velocidade obedece à função v(t) = 2t 2 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s) 05) Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade variável segundo a expressão v(t) = t (t em segundos e v em metros/segundo). 06) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo? Solução: Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0. Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças. 07) O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por ( ) 192 5 3 2 + + = x x x C . Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo? 08) Em um retângulo de área igual a 64 m², determine o menor perímetro possível. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 02 1. Uma artesã produz certo artigo com um custo mensal dado pela função O preço de venda de uma unidade de tal artigo é R$ 31,00. Assinale a alternativa correspondente à quantidade que deve ser produzida e vendida para que ela obtenha o lucro máximo mensal. Para x = 7 , temos 0 10 4 ) 7 .( 2 4 2 ) 7 ( " 2 2 > ÷ = + ÷ = + ÷ = x L , logo é o ponto máximo de relativo a L, assim a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo de lucro mensal é x = 7. a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 2. Um paciente com câncer apresenta um tumor com formato esférico. Sabendo-se que o raio do tumor cresce a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor no instante em que seu raio for de 0,5 cm? a) 10p cm 3 /dia b) p cm 3 /dia c) 0,1p cm 3 /dia d) 0,01p cm 3 /dia e) 0,001p cm 3 /dia 3. A função f(x) = x 2 - 2x é decrescente no intervalo: a) –4 < x < 1 b) x < –4 c) x < 1 d) x > 1 e) –1 < x < 4 4) Um reservatório possui o formato de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura. No tempo t = 0, certo líquido começa a entrar no tanque à razão de 25 m 3 /h. Assinale a alternativa que informa corretamente a velocidade com que o nível do líquido sobe e o tempo que será gasto para se encher o tanque completamente. a) p metros/hora e 10 horas b) t 1 metros/hora e 10 horas c) 2 t metros/hora e 5 horas d) 4 t metros/hora e 2,5 horas e) NDA. 5. Um pecuarista possui 200 cabeças de gado, sendo que cada animal pesa, atualmente, 300 kg. Até agora, ele gastou R$ 380.000,00 com a criação dos bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter cada um deles. Os animais aumentam seu peso a uma taxa de 1,5 kg/dia. O preço de venda, no dia de hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mas sabe-se que diminuirá R$ 0,05 por dia. Quantos dias o pecuarista deveria aguardar para vender seu gado a fim de obter o lucro máximo? a) 60 dias. b) 67 dias. c) 72 dias. d) 79 dias. e) 87 dias. 6. Uma fábrica de latas recebeu uma encomenda de latas cilíndricas cujos volumes devem ser iguais a 500 cm 3 . As dimensões (altura e raio das bases, respectivamente) com as quais é possível fabricar-se latas utilizando-se o mínimo de material são: a) 8,6/4,3 cm. b) 4,3/ 8,6 cm. c) 5,4 /5,4 cm. d) 7,3 / 5,6 cm. e) 5,6 cm e 7,3 cm. 7. Um balão esférico é inflado com gás hélio à taxa de 20 m 3 /min. Com que velocidade o raio do balão está variando no instante em que seu raio é de 2 metros? 3 + 12t 2 P corresponde ao número de pessoas infectadas (medido em centenas), e t é o tempo, em semanas. Assinale a alternativa correspondente ao número máximo de pessoas que provavelmente serão infectadas por esse vírus. a) 19 800 pessoas. b) 25 600 pessoas. c) 28 400 pessoas. d) 32 100 pessoas. e) Nda. 9. Um navio petroleiro de grandes proporções descarrega petróleo num atracadouro distante 4 km da costa. A refinaria mais próxima encontra-se 9 km à direita do ponto da costa que está mais próximo do atracadouro, conforme indicado na figura a seguir. Deseja-se construir uma tubulação que conecte o atracadouro à refinaria. O quilômetro de duto subaquático custa R$ 300.000,00; já os dutos terrestres custam R$ 200.000,00, por quilômetro. Admitindo que a costa seja retilínea, determine a distância do ponto B ao ponto A que minimiza os custos de construção e marque a alternativa correspondente. a) 1,71 km b) 2,22 km c) 3,58 km d) 4,63 km e) 5,42 km 10. A fim de se preparar para possíveis períodos de recessão, um empresário que fabrica e vende um artigo popular contrata um analista para determinar quando as vendas de seu produto começarão a cair. O analista verificou que, até o presente momento, as vendas podem ser modeladas pela equação V(t) = t 1/3 + 100, em que t é o número de dias após o início das vendas e V é o número de vendas por semana. Admitindo que esta tendência continuará no futuro, o analista respondeu que: a) as vendas começarão a cair daqui a 100 dias. b) as vendas começarão a cair daqui a 180 dias. c) as vendas começarão a cair daqui a 200 dias. d) as vendas começarão a cair daqui a 360 dias. e) as vendas jamais começarão a cair. para que esse astronauta esteja sofrendo uma perda óssea de 0.0 m/s EXERCÍCIO 03 A fim de estudar a forma como o organismo humano metaboliza o cálcio. estime quanto tempo deve se passar.04 mg por hora. Marque a alternativa correspondente à taxa de variação da população de bactérias 2 horas após ter ocorrido a contaminação. a)Qual a razão de produção ( em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas? b)Quantas peças são produzidas na 8ª horas de trabalho? EXEMPLO 06 Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza.12 mg por hora. podemos usá-las para encontrar a derivada da função composta f o g: Se a função g for diferenciável no ponto x e a função f for diferenciável no ponto g(x). pode ser calculado pela função .10 mg por hora. c) –10 000 litros/hora e –8 000 litros/hora. para 0 t 4 f (t ) primeiras t horas diárias de trabalho é dado por 200(t 1). para 4 t 8 d) 0. c) Aproximadamente 39 bactérias/hora. USANDO A REGRA DE CADEIA Conhecendo as derivadas das funções f e g. onde a variável t representa o tempo. em litros . acima de um certo limite.8m/s2) podem sofrer perda óssea. então: y=f(u) e. 2 horas após ter sido ministrado é a) 0.01t3 forneça a quantidade de cálcio (em mg) que permanece na corrente sanguínea após t horas. c) 6 meses. e) 12 meses.01t2. o que. c) 0.6 m/s c) 24. constitui grave problema de saúde. medido em segundos (0 ≤ t ≤ 2. podemos afirmar que a taxa segundo a qual o cálcio está sendo eliminado da corrente sanguínea. c) a quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento.6.7 m/s b) 19. b) 4 meses. b) a taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. respectivamente: a) –8 000 litros/hora e –10 000 litros/hora. Além disso. Supondo que o percentual de perda óssea de um astronauta seja dado por L(t) = 0. b) 0. t horas após o escoamento ter começado é dada por V= 50(80-t)2 Determinar: a) a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento. EXERCÍCIO 02 A função posição que modela a queda de um vaso de flores de uma janela situada a 30. a) Aproximadamente 25 bactérias/hora.9t2 + 30. Estima-se que o número de bactérias. e) NDA.4 m/s e) 49. EXERCÍCIO 04 Uma maionese mal conservada constituiu ambiente ideal para a proliferação de certo tipo de bactéria.5). se y=f(g(x)) e u=g(x). a) 14.06t + 0.08 mg por hora. em que t é o tempo (em meses) passado no espaço. A quantidade de água no reservatório. e) Aproximadamente 51 bactérias/hora. t horas depois de iniciar seu esvaziamento é dado pela equação V(t) = 200(30 – t)2. d) Aproximadamente 43 bactérias/hora. Admitindo que a função Q(t) = 2 – 0. Nessas condições. a) 2 meses. dy dy du dx du dx EXEMPLO 07 Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l=l+t2. A taxa segundo a qual a gasolina está saindo ao fim de 10 horas e a taxa média de escoamento durante as 10 primeiras horas são. EXERCÍCIO 01 O número de litros de gasolina em um reservatório. d) 8 meses.03t2 – 0. b) –9 000 litros/hora e –10 000 litros/hora. d) –10 000 litros/hora e –9 000 litros/hora. EXERCÍCIO 05 É sabido que as pessoas submetidas a uma gravidade muito menor que a normal (9. determine o módulo da velocidade do vaso de flores quando este atinge o solo e marque a alternativa correspondente. um médico injetou no sangue de um paciente voluntário uma amostra de cálcio quimicamente marcado com o intuito de medir a rapidez com que tal produto é removido do sangue.06 mg por hora. num tempo t qualquer é dada por Solução: usando a regra de cadeia temos dA .5 m/s d) 29. e) 0. b) Aproximadamente 32 bactérias/hora. em que s é a altura em relação ao solo (medida em metros) e t é o tempo.08% por mês. dt dy dy du dx du dx A= l2 logo ou seja dA d _ d _ dt d _ d _ dA ________ dl . t horas a partir da contaminação. então a função composta f o g é diferenciável no ponto x. desde o embarque.6 metros do solo é s(t) = 4. 50(t 2 t ). Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t=2 Obs: a taxa de variação da área em relação ao tempo. 3 sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo. de um móvel que tem velocidade variável segundo a expressão v(t) = dA dt No tempo t= 2 . resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças. S t t 2 3t . no instante t = 1 s. Um paciente com câncer apresenta um tumor com formato esférico. r =raio da base e A= área da base R= 5m2/h EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 01 01) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em segundos. assim a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo de lucro mensal é x = 7. h = altura do monte. de acordo com a função horária: s = f(t) = t2 + 2t .L= 2+t2 logo Assim temos dl _______ dt 04) Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5.00.Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo? R:42πcm/s EXEMPLO 09 Um ponto P(x. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo? Solução: Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. . Assim.y) se move ao longo do gráfico da função y= 1/x. determine o menor perímetro possível. Determine a velocidade no instante t = 2 s. Assinale a alternativa correspondente à quantidade que deve ser produzida e vendida para que ela obtenha o lucro máximo mensal.40. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: a) b) 06) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças. temos L"(7) 2 x 2 4 2. 03) Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t 2 – t. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 02 1. Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração 02) O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal. c) S t em t = 2 s. é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x .01p cm3/dia e) 0. A função f(x) = x2 . Sabendo-se que o raio do tumor cresce a uma taxa de 0. temos t (t em segundos e v em metros/segundo).2x é decrescente no intervalo: a) –4 < x < 1 b) x < –4 c) x < 1 d) x > 1 S t 2t 2 10 t 1 .001p cm3/dia 3. Para x = 7 . logo é o ponto máximo de relativo a L. determine a distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5 h.001 cm por dia. dA dt ( 2) EXEMPLO 08 O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s. Se a abscissa varia à razão de 4 unidades por segundo. a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m? Dados : V= volume de areia. Uma artesã produz certo artigo com um custo mensal dado pela função O preço de venda de uma unidade de tal artigo é R$ 31. qual é a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é x= 1/10? R: -400 EXEMPLO 10 Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. sabendo que sua velocidade obedece à função v(t) = 2t2 + 3t + 1. qual será a taxa de aumento do volume do tumor no instante em que seu raio for de 0. tempo: s) 05) Determine a aceleração. t 3 t 2 2t 1 .5 cm? a) 10p cm3/dia b) p cm3/dia c) 0. Determine a velocidade no instante t = 3 s. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h. Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo 2 O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por médio seja mínimo? 08) Em um retângulo de área igual a 64 m². (velocidade: m/s. 07) C x 3x 5 x 192 . a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 2. A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0.1p cm3/dia d) 0.(7)2 4 10 0 . o segundo. calcule a velocidade no instante t0 = 2 s. 3 cm. d) as vendas começarão a cair daqui a 360 dias. respectivamente) com as quais é possível fabricar-se latas utilizando-se o mínimo de material são: a) 8.5 kg/dia. c) 2 metros/hora e 5 horas d) 4 metros/hora e 2. e) 87 dias. c) 28 400 pessoas.6 cm e 7. Assinale a alternativa que informa corretamente a velocidade com que o nível do líquido sobe e o tempo que será gasto para se encher o tanque completamente. d) 79 dias. as vendas podem ser modeladas pela equação V(t) = t1/3 + 100. d) 7. 9.6 cm. ele gastou R$ 380. até o presente momento. Com que velocidade o raio do balão está variando no instante em que seu raio é de 2 metros? 1 metros/hora e 10 horas O quilômetro de duto subaquático custa R$ 300.000.6/4.3/ 8. mas sabe-se que diminuirá R$ 0. já os dutos terrestres custam R$ 200. A refinaria mais próxima encontra-se 9 km à direita do ponto da costa que está mais próximo do atracadouro. O preço de venda. certo líquido começa a entrar no tanque à razão de 25 m 3/h. 6. Admitindo que a costa seja retilínea.00.42 km 10. atualmente.4 /5. a) p metros/hora e 10 horas b) Assinale a alternativa correspondente ao número máximo de pessoas que provavelmente serão infectadas por esse vírus. b) as vendas começarão a cair daqui a 180 dias. Os animais aumentam seu peso a uma taxa de 1. + 12t P corresponde ao número de pessoas infectadas (medido em centenas).71 km b) 2.00.6 cm. 2 3 . Um pecuarista possui 200 cabeças de gado. um empresário que fabrica e vende um artigo popular contrata um analista para determinar quando as vendas de seu produto começarão a cair.00 com a criação dos bois e continuará gastando R$ 2. por quilômetro.58 km d) 4.00 o quilo. e) 5. Até agora. determine a distância do ponto B ao ponto A que minimiza os custos de construção e marque a alternativa correspondente.000. a) 19 800 pessoas. b) 67 dias.22 km c) 3. o analista respondeu que: a) as vendas começarão a cair daqui a 100 dias. Um balão esférico é inflado com gás hélio à taxa de 20 m 3/min. a) 1. c) 5. 5.000.e) –1 < x < 4 4) Um reservatório possui o formato de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura. e) Nda. Quantos dias o pecuarista deveria aguardar para vender seu gado a fim de obter o lucro máximo? a) 60 dias. c) 72 dias. conforme indicado na figura a seguir.5 horas e) NDA. O analista verificou que. 300 kg. e t é o tempo.00 por dia para manter cada um deles. 7. é de R$ 18. No tempo t = 0. Admitindo que esta tendência continuará no futuro. c) as vendas começarão a cair daqui a 200 dias. d) 32 100 pessoas. Deseja-se construir uma tubulação que conecte o atracadouro à refinaria. e) as vendas jamais começarão a cair.3 cm.63 km e) 5.05 por dia.4 cm. b) 4. Um navio petroleiro de grandes proporções descarrega petróleo num atracadouro distante 4 km da costa. A fim de se preparar para possíveis períodos de recessão. Uma fábrica de latas recebeu uma encomenda de latas cilíndricas cujos volumes devem ser iguais a 500 cm3. no dia de hoje.3 / 5. sendo que cada animal pesa. b) 25 600 pessoas. em semanas. em que t é o número de dias após o início das vendas e V é o número de vendas por semana. As dimensões (altura e raio das bases.
Report "Aplicações diversas das Derivadas Parciais alunos"