APLICACIONES DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Decaimiento o Desintegración Radiactiva. La tasa o rapidez con que los núcleos de una sustancia radiactiva se desintegran, es proporcional a la cantidad de sustancia radiactiva presente en cualquier instante t. Modelo matemático: Sean: Q (t ) : es la cantidad de sustancia radiactiva presente en el momento t. dQ : rapidez de desintegración de la dt sustancia radiactiva. dQ kQ , k 0 dt Q (0) Q0 Q (t1 ) Q1 Vida media de una sustancia radiactiva: se puede demostrar que la vida media está dada por: ln 2 t1 k 2 EJEMPLOS: Un reactor de reproducción convierte al uranio 238. Calcule la vida media de este isótopo. . Al cabo de 15 años se tiene que se ha desintegrado 0. en plutonio 239.043% de la cantidad inicial de una muestra de plutonio. un isótopo radiactivo. si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante. relativamente estable.Definición: La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que la sustancia radiactiva se desintegre en un 50% de la cantidad inicial. En base a la definición. en cualquier instante t. dT : rapidez con la que varía la dt temperatura T del cuerpo. El Pb-209. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90% de la cantidad original? Ley de calentamiento / enfriamiento de Newton.3 horas. se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo t y tiene una vida media de 3. Modelo matemático: Sean: T (t ) : es la temperatura del cuerpo presente en el momento t. La rapidez con la que varía la temperatura T de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre las temperaturas del cuerpo T y del medio que le rodea Tm. isótopo radiactivo del plomo. Si al principio había 1 gramo de plomo. . su temperatura es de 300°F. ¿En cuánto tiempo se enfriará el pastel hasta la temperatura ambiente de 70°F. ¿A qué temperatura está el horno? . Después de tres minutos.Tm : temperatura del medio que le rodea al cuerpo. un observador registra que la temperatura es de 110°F después de ½ minuto y de 145°F después de 1 minuto. la temperatura es de 200°F. Un termómetro que indica 70°F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A través de una ventana del vidrio del horno. dT k T Tm dt T (0) T0 T (t1 ) T1 Ejemplos: Al sacar un pastel del horno. ¿En qué momento ocurrió el asesinato? (Se supone que la temperatura normal del cuerpo vivo es de 37°C). y a los 8 minutos. Era el mediodía de un frío día de Diciembre en la ciudad de Tampa con una temperatura de 16°C. Si supieran el momento exacto de la muerte podrían reducir la lista de sospechosos. alcanzando una temperatura de 90°C. se deja enfriar la taza de café. Una taza de café es preparada. El detective Taylor sacó el termómetro y tomó la temperatura del cuerpo el cual era de 34. El detective Taylor llegó a la escena de un crimen donde halló al sargento sobre el cadáver. En la cocina. durante 5 minutos.5°C. El ambiente en el . en una cocina que se mantiene a una temperatura de 30°C.7°C. la taza de café es llevada al comedor. Luego salió a comer y al regresar a la 1PM determinó que la temperatura del cuerpo era de 33. El sargento dijo que habían varios sospechosos. con agua hirviendo. . dP : rapidez con la que varía la cantidad dt de movimiento del cuerpo. ¿A los cuántos minutos de estar la taza de café en el comedor. Modelo matemático: Sean: P mv : es la cantidad de movimiento de una cuerpo de masa m.comedor permanece a una temperatura constante de 18°C. puede ser ingerido el café si la temperatura óptima para tomarlo es de 45°C? Aplicaciones Mecánica: Segunda Ley de Newton. La rapidez o la razón de cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y está en la dirección de esta fuerza resultante. después de dos minutos se observa que la temperatura de la taza de café es 65°C. Calcule la velocidad del hombre antes de abrir el paracaídas y después de abrirse el paracaídas. donde v es la velocidad (en pies por segundo).dmv dv dv kF m kF F m . después que se abre la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a 5v2/8. Antes de que el paracaídas se abra. El peso total del hombre más el equipo es de 160 lb. El paracaídas se abre 5 segundos después de que se inicia la caída. . la resistencia del aire (en libra) es numéricamente igual a v/2. donde v es la velocidad (en pies por segundo). k 1 dt dt dt dx v dt x (0) x0 v (0) v0 Ejemplos: Un hombre equipado con un paracaídas y otro equipo esencial cae desde el reposo hacia la tierra. además sobre el objeto actúa una fuerza de empuje hacia arriba de 8lb. I es la intensidad de la corriente (Amperios) R es la resistencia ( Ohms) . Después de que el objeto empieza a hundirse en el agua. la resistencia del aire (en libras) está dada por 2v. Calcule la velocidad del objeto 2 segundos después que empezó a hundirse en el agua. Un objeto que pesa 32lb se suelta desde el reposo y de una altura de 50 pies arriba de la superficie de un lago en calma. Aplicaciones Eléctricas: Circuitos en series Recordar que: VR IR. Antes de que el objeto llegue a la superficie del lago. donde v es la velocidad (en pies por segundo). la resistencia está dada por 6v. dI VL L . Además determine su valor cuando t tiende al infinito. Q es la carga almacenada en el capacitor(C) C C es la capacitancia ( Faradios ) dQ I . si es que su valor inicial es 0. Q es la carga almacenada en el capacitor(C) dt Circuitos RLC Circuitos RL Circuitos RC Ejemplos: Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie RL con 0. Determine la intensidad de la corriente para cualquier instante t. Se aplica una fuerza electromotriz de 200V a un circuito en serie RC. I es la intensidad de la corriente (Amperios) dt L es la inductancia ( Henrios ) Q Vc .1 henrios de inductancia y 50 ohms de resistencia. en el que . Igualmente determine el valor de la carga límite.005 segundos.la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5x10-6F. INVESTIGACIÓN: Trayectorias Ortogonales. Determine la carga Q(t) en el capacitor si es que la intensidad inicial de la corriente es de 0.4 Amp. Campos direccionales (método de las isóclinas) (escrito a mano) Carpeta Manila: Nombre del estudiante Título del trabajo Fecha de entrega Indice Objetivos. . Aplicaciones a la Química: problemas de mezclas. Además calcule la carga en el capacitor y la intensidad de la corriente en el circuito a los 0. puede ser ingerido el café si la temperatura óptima para tomarlo es de 45°C? Si una barra metálica pequeña. se deja caer en un recipiente con agua hirviente. en una cocina que se mantiene a una temperatura de 30°C. ¿Cuánto . alcanzando una temperatura de 90°C. se deja enfriar la taza de café. El ambiente en el comedor permanece a una temperatura constante de 18°C. después de dos minutos se observa que la temperatura de la taza de café es 65°C. Dos problemas desarrollados por cada tema. la taza de café es llevada al comedor. cuya temperatura inicial es de 20°C. durante 5 minutos. En la cocina. ¿A los cuántos minutos de estar la taza de café en el comedor. con agua hirviendo. y a los 8 minutos. Bibliografía. Dos problemas propuestos por cada tema. TALLER: Una taza de café es preparada. Desarrollo Analítico de cada tema. de iniciarse la caída. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y que su constante de proporcionalidad es de 20kg/s si el paracaídas está cerrado y de 100kg/s cuando el paracaídas está abierto. se deja caer desde un helicóptero que se encuentra a 3000m de altura. además el paracaídas se abre a los 30s. ¿Determine en qué momento llegará a la superficie? .tiempo tardará en alcanzar la temperatura de 90°C si sabe que su temperatura aumentó 2°C en un segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a los 98°C? Un paracaídas cuya masa es de 100 kg.