REALIZADO POR: DIANA ANDRADE. JESSICA SINCHI. MAGDALENA PEÑA. CATEDRA: MATEMATICA IV TEMA: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA A LA ECONOMIA. CICLO: CM-04-03 2014-2015 Contenido I N T R O D U C C I Ó N ...............................................................................1 Costo.........................................................................................................2 Ingreso......................................................................................................4 R e n t a n a c i o n a l ( c o n s u m o y a h o r r o ) ................................5 Formación de capital...............................................................................10 Excedente del consumidor………………………………………………..11 Excedente del productor………………………………………………….13 CONCLUSIONES:......................................................................................15 Bibliografía:.............................................................................................16 INTRODUCCIÓN En el ámbito económico, una empresa requiere evaluar qué cantidad debe producir y el precio de venta para obtener la máxima eficiencia: el costo marginal mínimo, el ingreso máximo; nos muestran como varían estos factores. Mediante el uso de funciones matemáticas de costo e ingreso marginal y propensión marginal de consumo y ahorro se pueden obtener estimaciones aplicando la integración. Integrando la función que representa el costo marginal, se obtiene la función que representa el costo total. Integrando la función que representa el ingreso marginal, se obtiene la función que representa el ingreso total. Integrando la función que representa propensión marginal de consumo y ahorro, se obtiene la función que representa el consumo el ahorro total Y también tenerlo en cuenta excedente del consumidor y excedente del productor. Es tal razón que se ha dedicado a investigar sobre los mismos, ya que nos será de mucha utilidad para nuestro estudio dentro de la facultad de Ciencias Económicas y Administrativas de las integrales y sus aplicaciones dentro de esta rama de la docencia y en el actual ciclo. 1 Aplicaciones económicas de la integral indefinida Costo. El costo es un desembolso de dinero que se utiliza para la inversión de materia prima, mano de obra, costos indirectos de fabricación, que estos serán recuperados al momento de la venta del producto. y=f ( x) COSTO MARGINAL. Función costo marginal es igual a: dy ' =f (x) dx El costo marginal es la primera derivada de la función de costo. COSTO PROMEDIO por unidad es: dy f (x) = dx x Entonces el COSTO TOTAL es la integral con respecto a x de la función del costo marginal. y=∫ f ' (x)dx=f ( x )+ c EJEMPLO 2 Función de costo. La función de costo marginal para el producto de un fabricante está dada por √ 3 dc 9 = √ q 0.04 q 4 +4 dq 10 Donde c es el costo total en dólares cuando se producen q unidades. Los cotos fijos son de $360. a. Determine el costo marginal cuando se producen 25 unidades √ 3 dc 9 = √ q 0.04 q 4 +4 dq 10 √ 3 dc 9 = √ 25 0.04(25) 4 + 4 dq 10 dc 9 = √ 25 √ 4.45 dq 10 dc =9.49 dq El coto marginal de producir 25 unidades es de $9.49 b. Encuentre el costo total de producir 25 unidades √ 3 9 c=∫ √ q 0.04 q 4 + 4 dq 10 u=0.04 q 3/4 +4 −1 /4 du=0.03 q dq 3 3 0.04 q 4 + 4 ¿ ¿ 1 9 c= ∫ ( q ) 2 ¿ 10 q=0 C=360 3 2 3 4 C=10 ( 0.04 q +4 ) +c 3 360=10 ( 4 ) 2 +c 360=280+ c 360−280=c 80=c q=25 c=280 ( 3 4 ) 3 2 CT=10 0.04 q + 4 + c 25 ¿ ¿ 3 0.04( ¿ +4 ¿ ) 4 ¿ 4.45 ¿ ¿ ¿ CT =10 ¿ CT=$ 373,87 R// El costo total de producir 25 unidades es $ 373,87 4 c. Use los resultados de las partes (a) y (b) y diferéncialas para estimar el cotos total de producir 23 unidades q=23 q=25 dq=−2 23=(25−2) CT=373,87 Cmg=9.49 CT=373,87 +9,49 (−2 ) =354,89 El coto total de producir 23 unidades es de $ 354,89 Ingreso. Los ingresos son recursos que obtiene el individuo, por el uso de su trabajo humano o cualquier otro motivo que incremente su patrimonio. y=f ( x) El ingreso total R es el producto de x y y. R=xy =x . f ( x) INGRESO MARGINAL. dR ' =R (x) dx El Ingreso total es la integral de la función de ingreso marginal. R=∫ R ' ( x)dx ∫ R' ( x ) dx=R ( x ) +c EJEMPLO Función Ingreso. La función ingreso marginal para el producto de un fabricante está dada por 5 dr 3 = q dq e + 2 Donde r es el ingreso total recibido (en dólares) cuando se producen y venden q unidades. Encuentre la función de demanda y exprésela en la forma p=f(q). Sugerencia escriba nuevamente dr/dq al multiplicar numerador y denominador por e−q dr 3 3 e−q 3 e−q = q = q = dq e + 2 (e +2) e−q 1+ 2e−q −q 3e 3 1 ( 3 −q −q dq=¿ ∫ −2 e ) dq= ∈ ( 1+2 e ) +c −q −q 2 1+ e 2 1+2 e r =∫ ¿ r=0 q=0 3 0= ∈ [ 1+ 2(e 0) ] +c 2 3 c= ∈(3) 2 3 c= ∈(3) 2 3 3 3 1+2 e−q + ∈( 3 )= ∈ 2 2 1+2 e−q 3 r = ∈¿ 2 r 3 3 p= = ∈ q 2 q 1+2 e−q R// La función de la demanda es r 3 3 p= = ∈ q 2 q 1+2 e−q 6 Renta nacional (consumo y ahorro) Renta Nacional. Es un ingreso económico de un país por las recaudaciones del producto interno bruto, se da del resultado de una suma de lo que se ha gastado, ingresado o producido. Es decir este rubro (renta) representara un pago para unos y un ingreso para otros. PROPENSION MARGINAL CONSUMO Y AHORRO FUNCION CONSUMO: c=ƒ(x) C = consumo nacional total X= renta nacional total Dado dicha explicación se puede decir que para sacar la propensión marginal a consumir es el resultado que es la derivada de la función consumo con respecto a x. PMC= dc =f ´ ( x ) dx PROPENSION MARGINAL AL AHORRO X= ingreso marginal S= AHORRO 7 X=c+s S=x+c ds ds =1− dx dx FUNCION AHORRO ds ds =1− dx dx Entonces para realizar la integral aplicada al ahorro seria que el consumo nacional es igual a la integral con respecto a x de la propensión marginal a consumir c=∫ f ´ ( x ) dx= F(x) +C EJEMPLO EJERCICIO DE AHORRO.La propensión marginal al ahorro en cierto país está dado por: ds 5 = dI (I +2)2 Donde S e I representa el ahorro y el ingreso total nacional, respectivamente, y están medidos en miles de millones de dólares. Si el consumo total nacional es de 7.5 mil millones cuando el ingreso nacional es de $8 millones ¿para qué valor o valores de I el ahorro total nacional es igual a 0? 8 5 S= ∫ (I +2)2 di −2 S= 5 ∫ (i+2) (i+ 2)−1 +C di=5. −1 5 S= (l+2) +C Si C es el consumo total nacional tenemos que: I= C+S C=I-S Tenemos que: 5 −C C= I+ (l+2) Cuando I= 8 Y C= 7.5 Decimos que: 5 −C 7.5=8+ (l+2) 1 7.5 =8+ 2 −c Si C=1 Tenemos que S= 0= 1− 1− 5 (l+2) si S=0 5 (l+2) 5 (l+2) = 1 5= I+2 I=2-5 I= 3 9 EJERCICIO DEL CONSUMO La propensión marginal al ahorro en cierto país está dado por: ds 1 1.8 = − dI 2 √3 3 i 2 Donde Se I representa el ahorro y el ingreso totales nacionales respectivamente, y están medidos en miles de millones de dólares. a) Determine la propensión marginal al consumo cuando el ingreso total nacional es de $81 mil millones ds dc 1 1.8 =1− =1−( − 3 2 ) dI di 2 √3 i dc 1 1.8 =1−( − 3 ) di 2 √ 3(81)² dc 1 1.8 =1−( − ) di 2 27 dc 17 = di 30 b) Determine la función de consumo si el ahorro es de $3 millones cuando el ingreso total nacional es de $24 mil millones S= ds 1 1.8 1 1.8 −2/ 3 di=¿∫ − 3 di =∫ − 3 i di di 2 √ 3i 2 2 √ 3i 2 ∫¿ 1 3 S= i 1.8 i i 5.4 3 − . +c= − 3 . √ i+ c 2 √3 3 i2 1 2 √3 3 Si S= √ i 3 I −5.4 . 2 3 +C 10 Cuando i= 24 y s=3 tenemos: 3= 12-5.4 √3 8+c C= 1.8 Tenemos que S= = √ i 3 I −5.4 . 2 3 +1.8 si C es el consuno nacional total tendríamos que I=C+S Por lo tanto nos dará: √ i 3 I −5.4 . 2 3 +1.8 C = I-S = I - c) Use el resultado de la parte b para mostrar que el consumo es de 54.9 mil millones cuando el ingreso total es de 81 mil millones C= 81 2 + 5.4 . √ 3 81 3 -1.8=40.5+16.2-1.8= 54.9 es decir que el consumo es de 54,9 cuando el ingreso es de 81 mil millones de dólares. d) Use diferenciales y los resultados de las partes a y b para estimar el consumo cuando el ingreso nacional total es de 78 mil millones de dólares. dc F (I+di) = f(i)+dc=f(i)+ di di I= 81 di=-3 entonces f(78)=f(81-3) (-3) dc F(81)+ di i=81 17 = 54.9 + 30 (−3 )=53.2 es el valor aproximado del consumo cuando el ingreso nacional total es de 78 mil millones 11 Formación de capital Se refiere al incremento que se puede tener acerca de la cantidad acumulada de los bienes de capital, para que se pueda incrementar dicho capital se debe fijar una cierta tasa con respeto al tiempo k (t): Tasa de formación de capital: Flujo de Inversión Neta: Función de Capital: k ´ ( t )= I ( t)= dk dt dk dt k ( t )=∫ k ´ ( t ) dt=∫ I (t ) dt EJEMPLO Función de formación de capital. El flujo de inversión neta está dado por I ( t )=40 t 4 /11 Cuando t = 0 el capital (k) es 47. Determine la función que represente al capital k ( t )=∫ I ( t ) dt t=0 k =47 k ( t )=∫ 40 t 4 /11 dt k ( t )=∫ 40 t 4 /11 dt= 40 t 15/ 11 + c=29 t 15 /11 + c 15 /11 C = 47 k ( t )=2915/ 11 + 47 R// La función que representa al capital es 12 15/ 11 k ( t )=29 + 47 Aplicaciones económicas de la integral definida Excedente del consumidor La función de la demanda representa la cantidad de un bien o servicio que un consumidor está dispuesto a adquirir en un periodo de tiempo. El precio en el mercado está representado por p 0 y la cantidad demanda en el mercado por q0, aquellos consumidores que estén dispuesto a pagar un precio mayor a lo que está en el mercado ganan ya que el precio es solamente p₀; por lo tanto el excedente del consumidor es la cantidad máxima que el comprador está dispuesto a pagar por un bien o servicio y mide la riqueza económica desde el lado del consumidor. Excedente del Consumidor 13 Formula: q0 Excedente del consumidor=∫ f ( q ) dq−q0 p0 0 p0=¿ Es la variable dependiente. (Valores de x) q 0 = Es la variable independiente, es decir está en función de x. (valores de y) Ejemplo: La función de demanda de una empresa industrial es hallar el excedente del consumidor. Cuando: a) si q₀= 4 b) si p0 =57. q0 EC=∫ f ( q ) dq−q 0 p0 qo=4 0 4 4 EC=∫ ( q2−8 q+72 ) dq−( ( 4 )( 56 ) )=∫ ( q2−8 q+72 ) dq+224 0 EC= [ 0 3 ] q 2 −4 q +72 x + 224 3 14 2 p=q −8 q +72 , EC= {[ ] } {[ EC= 64 −64+288+ 224−224 3 EC= −736 =245.33 3 3 ] } 3 4 2 0 2 −4 ( 4 ) +72(4) +224 − −4 ( 0 ) +72(0) + 224 3 3 q0 EC=∫ f ( q ) dq−q 0 p0 po=57 0 5 2 ( q −8 q+72 ) dq−( (5 )( 57 ) )=∫ ( q 2−8 q+ 72 ) dq+285 0 ¿ 5 EC=∫ ¿ 0 [ ] q3 EC= −4 q2 +72 x + 285 3 EC= {[ ] } {[ EC= 125 −100+360+ 352−352 3 EC= −905 =301.67 3 ] } 53 2 03 2 −4 ( 5 ) + 72(5) + 352 − −4 ( 0 ) +72(0) +352 3 3 Excedente para el productor La función de oferta es la cantidad de un bien o servicio que las entidades están dispuestas a producir o vender a diferentes precios durante un periodo de tiempo. Existen algunos productores que ofrecen 15 sus productos al precio de mercado y productores que ofrecen ese mismo producto a un precio menor al del mercado, consecuentemente la diferencia que existe entre el precio que percibe el productor y el precio que está dispuesto a ofrecer por el bien o servicio es un excedente para el productor es decir el excedente del productor mide el bienestar económico por el lado del productor. Formula: q0 Excedente del Produc t∨¿ q0 p0−∫ f ( q ) dq 0 p0=¿ Es la variable dependiente. (Valores de x) q 0 = Es la variable independiente, es decir está en función de x. (valores de y) Ejemplo: Si la ecuación de oferta es hallar Grafica el p=q 2 +6 q+ 9 excedente 16 y el precio se fija en q0 = 4 del productor. q0 EP=q 0 p0 −∫ f ( q ) dq p ₁=4 0 5 EP=( 5)(4)−∫ f ( q 2−6 q+ 9 ) dq 0 5 EP=( 20)−∫ f ( q 2−6 q +9 ) dq 0 EP=( 20)−( q3 −3 q2 +9 q) 3 5 ¿ ¿ ¿3 0 ¿ ¿ ¿3 ¿ 20−¿ ¿−¿ 20−¿ EP=¿ ( 125 + 75−45 −20 3 EP=20− 125 +75−45−20=¿ 3 EP= 20− ) 17 EP= −35 =−11.6 3 CONCLUSIONES: Después de desarrollar este trabajo de investigación sobre las integrales indefinidas, hemos llegado a la conclusión de que: La integral definida de la función es f una función F tal que F' (x )=f ' ( x ) , o en forma equivalente, en la notación diferencial dF=f (x) dx . Solo con la práctica sistemática se podrá llegar a entender y resolver ejercicios de integrales indefinidas. Que el estudio de las integrales indefinidas son importantes para la aplicación y resolución en la economía. Este tema que se ha tratado nos ha despejado las inquietudes de que como estudiantes nos planteábamos antes de iniciar esta investigación. Por consiguiente hemos entendido de que las integrales definidas no son mas que la misma aplicación que las indefinidas con una variación, de que las definidas como su nombre lo explica se definen entre valores los cuales deberán ser remplazados para que se asigne un valor, el mismo que será el resultado final del ejercicio. Con esta investigación acerca del tema hemos entendido y aprendido como se deben resolver tanto los ejercicios como sus aplicaciones en el ámbito económico y la importancia el tema de las integrales definidas 18 Bibliografía: www.geocities.ws/migucubi/Capitulo1 fecha de revisión 1/04/2015 www.uees.edu.ec/syllabus/Archivos/2007_4561.doc 1/04/2015 fecha de revisión Matemáticas para administración y economía (Ernest F. Haeussler, 2003 ) Matemáticas para administración y economía (Jean E. Draper, 1976) 19
Report "Aplicaciones Económicas de La Integral Indefinida Y Definida"