Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la Ingeniería civil: Sistema masa resorte y deflexión de vigasI. INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales se usan para obtener resultados aproximados en distintos campos, uno de ellos es la Ingeniería Civil y la Física (que están ligadas estrechamente). En el presente trabajo presentamos un sistema masa – resorte, cuya masa estará conformada por una viga unida a dos resortes, en cuyo centro le aplicaremos una masa para que esta viga se deflexione, y el resorte adopte una postura de fuerza de restitución. Generalmente, este tipo de sistemas se dan en los sistemas antisísmicos (amortiguadores y aisladores de energía), por lo que son muy usados en la construcción de edificios. II. OBJETIVOS Determinar experimentalmente el coeficiente de restitución del resorte Obtener la ecuación del movimiento del resorte Obtener la ecuación de la curva elástica y su máxima deflexión vertical (flecha) Relacionar el curso de Ecuaciones Diferenciales con la vida real. 2 (b). Según la ley de Hooke. MARCO TEÓRICO a) Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado Ley de Hooke Supongamos que. entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio. respectivamente. en la que su peso. kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2. de la fuerza de restitución y el peso: . W. opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s.8 m/s2 o 980 cm/s2. o resultante. 9. está equilibrado por la fuerza de restauración AZS.III. Como se aprecia en la figura 5. Después de unir una masa M a un resorte. En concreto. elongación o alargamiento del resorte cambiará. necesariamente. Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre). si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas. por ejemplo. una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta. una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte f de pie. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio. la condición de equilibrio es mg = ks o mg . este está caracterizado esencialmente por su número k. Segunda ley de Newton. F = Ks. F. como en la figura 5. el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución. donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte.ks = 0. donde la masa se expresa en slugs.1 (b). Cuando se reemplaza m1 con una masa distinta m2. la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). el estiramiento. Entonces. Recuérdese que el peso se define por W = mg. Según se advierte en la figura 5. En particular. cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de dx/dt.Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento. la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre.6. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema. se sigue por la segunda ley de Newton: (I) . En mecánica se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto. la solución general de la ecuación (l) es: .Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces m1 y m2 son complejas: Entonces. La ecuación (1) constituye sólo una aproximación. La abscisa (eje X) sobre la viga. permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por: Donde: Representa la flecha.b) Deflexión de vigas La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que. por tanto. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. para una viga de eje recto. El segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal. se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta (1'): La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga: . El módulo de elasticidad del material. respecto de la posición sin cargas. en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y. El momento flector sobre la abscisa . ordenada (eje y) o desplazamiento vertical. IV. Como es un movimiento amortiguado libre. F(t) = 0.074 K (N/m) K promedio 535. siendo F la fuerza colocada y X la longitud del resorte elongada.66 N/m (valor obtenido experimentalmente).191 X (m) 0.126 0.32 N/m b) Para determinar la ecuación del movimiento del resorte Consideramos el coeficiente de amortiguamiento del aire 3 N.66 534.54 0. luego se colocaron distintas pesos que elongaron el resorte.09 525.81 .243 0. se obtuvieron los siguientes resultados: Lo resorte (m) fuerza (N) 29.7 cm ó 0.055 0. la cual es de 11. La ecuación diferencial planteada es: La ecuación característica: Como b^2-4ac = -14983.43 66.22 39. y el coeficiente de restitución K = 531. Procedimiento y resultados.56 531. a) Para hallar el coeficiente de restitución K del resorte en forma experimental: Se midió la longitud inicial del resorte.117 Lf resorte (m) 0. como K = F / X.172 0.117 m. s/m. ( √ r2 = -0.41 i ) ( )) δ = arc tan (b/a) ( ) C) Para la viga: ( ( ) ( )) ∑ Fy = 0 2 F = 69.r1 = -0.213 + 122.58 N .163 → F = 34.213 – 122.41 i ( ) ( . 45 x2 E .12x4 + C1 x + C2 Como y’ (0.51) M + 2.51)3 + C1 Ensconces C1 = -4. y’’ = 34.12x4 -4. I. y = 5. y’ = 17.51)2 – 0.45 X2 E . I .0.Tramo A – B (0 ≤ X ≤ 0.51) = 0 = 17.43 x FLECHA MAXIMA: ( ) ( ( ( ( ) ) ) ( ( ) ( ) ) ( )) .43 Como y (0) = 0 → C2 = 0 E.29 (0.58 X M = 34.76 x3 .76 x3 . 48 (0. I.9 X (X/2) = 34.29 x2 – 0. 48 x3 + C1 E.58 X – 1. I .58 x – 1. y = 5.0. net/dionel11/oscilaciones-12541296#btnLast Apuntes de clase. y la flecha máxima Se obtuvo el valor del K del resorte experimentalmente. VI. CASTILLO T. CONCLUSIONES Se obtuvo las ecuación del movimiento del resorte Se obtuvo las ecuación de la curva elástica de la viga. .V. “Movimiento de una masa unida a un resorte”.. BIBLIOGRAFÍA Prof. http://www. Dionel C.slideshare.
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