INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICASDEBER No. 4 ECUACIONES DIFERENCIALES (ING. RAMIREZ) II TERMINO 20122013 APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.-) Un paracaidista cuya masa es de 75 Kg se deja caer desde un helicóptero que se mantiene suspendido a 4000 m arriba de la superficie, y cae hacia la tierra bajo la influencia de la gravedad. Supóngase que la fuerza gravitacional es constante y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea del paracaidista, con constante de proporcionalidad k 1= 15 Kg/seg, cuando el paracaídas está cerrado y constante k2 = 105 kg/seg cuando el paracaídas está abierto. Si el paracaídas no se abre sino un minuto después de que el paracaidista abandona el helicóptero, ¿ al cabo de cuántos segundos llegará a tierra? 2.-) Un objeto con masa de 100kg se deja caer desde una lancha hacia el agua y se lo deja hundir; produciéndose sobre el cuerpo una fuerza de empuje que es igual a 1/40 veces el peso y una fuerza de resistencia que es directamente proporcional a la velocidad del objeto, con constante de proporcionalidad igual a 10 Ns/m. Considere la gravedad de 10m/s 2. Determine a) La ecuación del movimiento del cuerpo y el tiempo necesario para que la velocidad del cuerpo sea de 70m/s. b) El tiempo aproximado que tardará en llegar al fondo si la profundidad es de 1000 m. 3.-) El método de carbono 14 se usa a menudo para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una caverna de Sudáfrica se encontró un cráneo humanoide junto con los restos de una fogata. Los arqueólogos creen que la edad el cráneo es igual al de la fogata. Se ha establecido que solamente el 2% de la cantidad original de carbono 14 queda en la madera quemada de la fogata. Calcule la edad el cráneo, si la semivida (tiempo en que tarda una sustancia radioactiva en desintegrarse la mitad) del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años 4.-) Supóngase que a la media noche se descubre un cadáver el cual tiene una temperatura de 30 oC y que la temperatura ambiente es constante y de 25oC. El cadáver se envía en forma instantánea a la morgue en donde la temperatura ambiente es de 10oF. Al cabo de una hora de estar en al morgue se encuentra que la temperatura del cuerpo es de 15 oF. ¿ A qué hora ocurrió la muerte? 5.-) Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios . Inicialmente el Si el sistema es perturbado por una fuerza electromotriz de 12 voltios en el intervalo de tiempo 2 < t < 8 (seg), y luego cesa. Inicialmente no hay corriente que atraviesa el circuito. Determine la intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t = 4, 6 y 10 seg. 6.-) Un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe H1N1 y a pesar de ello viene a la ESPOL que tiene 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional, no sólo a la cantidad de infectados, sino también a a cantidad de alumnos no infectados (modelo logístico). Determine la cantidad de alumnos infectados 6 días después, si se observa que a los 4 días que la cantidad de infectados es 50. 7.-) Harry Potter sabe que la única forma de derrotar a Lord Voldemort es produciendo un compuesto llamado DUPREE, para luego ingerirlo combinado con agua, lo que le proporcionará más poderes que su eterno rival y así finalmente acabar con él. Para ello necesita de dos sustancias clave: “saliva de lagarto con gripe” y “moco de rata de alcantarilla”. Hermione le dice a Harry que la x rapidez de transformación de la cantidad del compuesto es proporcional al producto de las cantidades NO transformadas de las sustancias antes mencionadas (suponer que una onza de cada sustancia es necesaria para generar una onza del compuesto). Ron ha podido conseguir 4 onzas de la primera sustancia y 5 onzas de la segunda para iniciar el procedimiento. Al cabo de 50 minutos, Harry ha fabricado una onza de DUPREE. Hermione le recuerda que necesita suministrarse 1.5 onzas para alcanzar los efectos deseados. ¿Cuánto tiempo más debe transcurrir para obtener la dosis necesaria? 8.-) Raccoon City, una ciudad del medio oeste de los Estados Unidos con 120 mil habitantes, está sufriendo un brote viral a gran escala. Por un descuido de la Corporación Umbrella, unas ratas infectadas por el virus T lograron, a través de las alcantarillas, salir de los laboratorios donde ocurrían experimentos no autorizados para elaborar armas biológicas, portando este peligroso virus y propagándolo por toda la ciudad. Cuando una persona es infectada por este virus pierde su capacidad de razonamiento y de comunicación, convirtiéndose en una especie de “zombie” cuyo único objetivo es atacar a otros seres vivientes para alimentarse de su carne. Por esta razón es que los científicos a este virus informalmente lo llaman “resident evil”. Se conoce que el virus T se está propagando a una tasa que es proporcional al producto entre el número de infectados y el número de personas no infectadas t presentes en un tiempo . Al momento de detectarse el problema, el 10% de la ciudad está infectada. A los 2 días, el virus ya había llegado al 35% de los habitantes. La ciudad está en cuarentena por el gobierno, se teme que el virus salga de la ciudad. El gobierno está investigando y un equipo enviado por Umbrella para eliminar las evidencias está intentando escapar, ¿con cuánto tiempo cuentan sabiendo que un misil nuclear será lanzado contra la ciudad cuando el número de infectados alcance el 50%? 9.? 18. y mantenerlo ahí.4 ) I a) ¿ A que profundidad la intensidad de la luz es la mitad de la intensidad Io en la superficie (donde x=0)? b) ¿Cuál es la intensidad a una profundidad de 10 m ( como fracción de Io)? c) ¿A que profundidad de el 1% de la intensidad correspondiente a la superficie. ¿cuál es el momento óptimo para beber el vino si queremos que C ? 14. consiste en hacer una recomendación acerca del recipiente que debe adquirirse. El prestamista carga un interés a una tasa anual del 18% de interés continuo y que el deudor efectúa pagos continuamente con una cuota constante K . ofrece un recipiente que reduce la temperatura de un líquido de 200°F a 110°F en 60 minutos. . Para enfriar el café.-) El primero de Enero usted compra por 1000 dólares un certificado de depósito que paga el 6 % de interés compuesto continuo . y que vence a los 3 meses. Inicialmente se encuentra en la cocina la cual está a 30 grados centígrados y se enfría hasta 90 grados en 5 minutos. tiempo en que pierde 60 °C . ¿Al cabo de cuántos segundos llegará a tierra? 15.¿ A qué hora deberá servida la pizza si se sabe que la temperatur óptima de comerla es a los 50° C? .-) Una pizza horneada a 195°C se retira del horno a las 5:00 p. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta de ahorros el primero de Octubre del mismo año? 12. Suponga que el empuje del motor es equivalente a una fuerza constante de 50 N en la dirección del movimiento. determine la cuota de pago K necesaria para cubrir la deuda en 5 años y halle también cuanto interés se paga durante el período de los 5 años 17.-) Una persona solicita un préstamo de 10. si la resistencia del agua es numericamente igual al doble de la velocidad en m/s y si el bote está inicialmente en reposo.-) Un paracaidista cuya masa es de 60 Kg se deja caer desde un helicóptero que se mantiene suspendido a 2000 m arriba de la superficie.m. en un cuarto de cocina qué esta a una temperatura constante de 30°C . Lo que necesitan es un recipiente especial donde se calienta el agua a 170°F para preparar el café a esa temperatura.A. El trabajo de usted y de su equipo. lugar en que permanece 5 minutos.000 dólares para comprar un automóvil. el que está a una temperatura constante de 20°C. manteniendo la temperatura constante de 70°F b) Rivadeneira S. Si por experiencia previa se conoce que dejando la C . después enfriarlo con rapidez hasta una temperatura en que se pueda beber. tres compañías han formulado propuestas con las siguientes especificaciones: a) Valdiviezo S. si la temperatura ideal de tomarlo es 45 grados 16. y cae hacia la tierra bajo la influencia de la gravedad. propone un recipiente que reduce la temperatura de un líquido de 210°F a 90°F en 30 minutos.-) La ley de enfriamiento/calentamiento de Newton afirma que la rapidez con que un cuerpo varía su temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. Después coloca los 1000 dolares y el interés en una cuenta de ahorros que paga un interés del 4. manteniendo una temperatura constante de 60°F.8% de interés compuesto. como 140°F. 10.-) La intensidad I de la luz a una profundidad de x metros bajo la superficie de un lago satisface la ecuación: d I/dt = ( -1. c) Ramírez S. que es un lugar frío a temperatura C constante de 10 .A. encuentre: a) la velocidad del bote en el instante y b) la velocidad límite 11. Inmediatamente es llevada al comedor. Pero a esa temperatura el café está demasiado caliente y si a un cliente se le derramara por accidente le provocará quemaduras de tercer grado. Supóngase que la fuerza gravitacional es constante y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea del paracaidista.-) Un punto se mueve en el primer cuadrante del plano xy de modo que la tangente a su trayectoria forma con los ejes coordenados un triángulo cuya área es igual a la constante a2 . tiene un recipiente que reduce la temperatura de un líquido de 200°F a 100°F en 90 minutos. o al menos sobre los 120°F durante un periodo razonable de tiempo sin tener que recalentarlo.A. Luego de 6 minutos es llevada al comedor el cual está a una temperatura de 21 grados . Se saca una botella de vino tinto de una bodega. Se sabe que la velocidad límite antes de abrirse el paracaídas es 60 m/s y la velocidad límite después de abrirse el paracaídas es 6 m/s. y se deja reposar en una habitación a temperatura constante de 22 botella en esa habitación durante 12 horas su temperatura alcanzaría los 18 su temperatura sea de 12 C . manteniendo una temperatura constante de 50°F. ¿Cúal sería su recomendación? Explique y justifique su respuesta.-) Una taza de café está recién preparado con agua hirviendo. Si el paracaídas se abre 10 segundos después de que el paracaidista abandona el helicóptero. perdiendo ahí 5 grados en 3 minutos. Determine en que momento el café estará listo a ser servido.-) Un hombre y un bote de motor juntos pesan 1960 N.-) Suponga que su equipo de trabajo ha sido llamado para resolver un problema en un restaurante de comida rápida cuyos propietarios piensan que el café debe prepararse a 170° Fahrenheit. bajando ahí su temperatura 15°C en un minuto. Encuentre la trayectoria del punto. 13. ( donde t es dado en segundos) 100 t 4 t 0 a) Determine la corriente que atraviesa el circuito b) Halle la intensidad de corriente en el circuito en los tiempos: t=2 seg y t=5seg 28.. y si se trazan desde P segmentos rectilíneos perpendiculares a los ejes. es perturbado con una fuerza electromotriz que crece linealmente desde 0 hasta 100 voltios en los 10 primeros segundos.-) Un circuito RL está conectado a una fem de 9 voltios. Hallar la familia de curvas con la propiedad de que el área del triangulo sea siempre el doble que la del rectángulo.y) corta los ejes coordenado formando con ellos un triángulo.02 faradios. Se sabe también que si un infectado tiene mas de 10. Inicialmente no hay carga en el condensador. los que mataron 1. considerando que en la isla no había gatos. se forma con estos un rectángulo. alcanzando el número de 100.-) Hallar la ecuación de la familia de curvas con la propiedad de que la distancia del origen a la recta tangente en un punto P(x.-) Bajo circunstancias naturales. sabiendo que pasa por el punto (1.000 ratones por mes. una capacitancia de 0. a) ¿Cúal será el tamaño de la colonia después de 3 días? b) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que haya 10. Se conoce que un individuo infectado adquiere originalmente 1000 virus.. y al cabo de 1 día tiene 1800. Determinar la ecuación de dicha curva. Determinan que siendo las 2h30 la temperatura en la sala es de 21ºC y la temperatura del cuerpo del joven en ese instante es de 30ºC. es conectado en el tiempo t=0 una fuente de voltaje que proporciona un voltaje definido por la función 25t 0 t 4 voltios. En este tiempo la gente de la isla se alarmó por el número cada vez mayor de ratones. Determine la carga q(t) acumulada en el capacitor en el tiempo t=15 seg. antes del levantamiento del cadáver. Se conoce que el virus se reproduce de acuerdo al modelo logístico . Después coloca los 1000 dolares y el interés en una cuenta de ahorros que paga un interés del 4. 25. 30. En la isla no hubo gatos desde principios de 1980 hasta principios de 1990.-) La población de una colonia de mosquitos obedece la ley de crecimiento no inhibido. la población de ratones de una cierta isla podría aumentar con una rapidez proporcional al número de ratones presentes en cualquier tiempo.-) Un circuito eléctrico RC con una resistencia R= 150 ohmios y una capacitancia C= 2 x10 -4 faradios. Si la rapidez de crecimiento natural indicado para ratones fue de ahí en adelante contrarestado por la actividad de los gatos. una resistencia de 200 omhios. a una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. 29.1) 23.-) Un circuito LC con una intensidad de corriente nula al inicio . Hallar la corriente en el circuito para los tiempos t = 10 segundos y en t= 30 seg. y de 50 ohmios después de los 20 seg. Si en el momento en que el joven fue asesinado su temperatura corporal era de 37ºC.y) de una curva es igual a la abscisa en P. determinar la hora del asesinato.-) Todos conocemos el gran peligro que amenaza al mundo por la aparición del virus de la gripe AH1N1 .-) El primero de Enero usted compra por 1000 dólares un certificado de depósito que paga el 6 % de interés compuesto continuo .-) La tangente a una familia de curvas en el punto P(x.04 faradios y un inductor de una inductancia de 1 henrio. ¿cuántos ratones quedaron a principios de 1991? . Si un enfermo de este mortal virus se da cuenta de su contagio desde el principio y vive a 4 días del hospital mas cercano que tiene la cura para su mal. Si en un principio existen 1000 mosquitos y después de 1 día hay 1800 . Hallar la corriente en el circuito en t = 4 segundos. y que vence a los 3 meses.000 muere indefectiblemente. cesando la misma después de este tiempo. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta de ahorros el primero de Octubre del mismo año? 21.000 a principios de 1990.19. Noventa minutos después. por ello importó un cierto número de gatos para acabar con ellos.8% de interés compuesto. a un reóstato que le otorga una resistencia de 30 omhios entre 0 y 20 seg. y durante este tiempo la población de ratones se duplicó.-) La intersección con el eje y de la normal a una curva está dado por : y + lny. Considere que inicialmente no hay carga en el capacitor y que la corriente inicial en el circuito es cero.000 mosquitos? 20 .-) Un circuito RC tiene una fem de 300 cos(2t) voltios. ¿Cree usted que llegará a tiempo para salvarse? Explique su respuesta 26. 22. y la intensidad de corriente i(t) en el tiempo t =20 seg.-) La ley de enfriamiento/calentamiento de Newton afirma que la rapidez con la que varía la temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura de cuerpo en cualquier instante y la temperatura ambiente (entorno alrededor del objeto). determinan que la temperatura del cuerpo es de 24ºC. Ante una llamada anónima. 24. usted junto con unos detectives llegan a la escena de un crimen en un departamento del centro de la ciudad y encuentran en la sala el cuerpo inerte de un joven con heridas de bala. un condensador capacitancia 0. 27. liderados por Jacob. los Cullen. de ser así. deciden dejar el actual lío amoroso por Bella Swan y todos sus problemas ancestrales atrás para unir fuerzas y evitar que los Vulturis alcancen su objetivo. los lobos del pueblo. pero se ha confirmado que ahora existen 620 personas asesinadas. al enterarse de la situación. Además. Al día siguiente. descubrieron que ya hay en el pueblo 500 personas muertas.31. investigaron sobre pasados ataques de los Vulturis a otros pueblos del mundo. comandados por Edward y. Se debe evitar que los Vulturis maten a la mitad del pueblo.-) Los “Vulturis” son una secta europea de vampiros muy antigua y poderosa que han decidido finalmente acabar con “Forks”. ¿Con cuántos días cuentan como máximo los defensores del pueblo para preparar un ataque antes de que los Vulturis logren su meta? . una familia americana de vampiros radicada en Forks. y se enteraron que la razón de cambio del número de personas asesinadas es proporcional al producto del número de personas muertas por el número de personas no atacadas. un pueblo norteamericano de 3500 habitantes dentro del estado de Washington. será imposible poder derrotarlos porque se unirán a ellos los infectados. Los “Cullen”.
Report "Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales"