Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador1 MARCO TEÓRICO: Definición formaI de Derivada ParciaI: Las derivadas parciales están definidas como el límite donde ͱ es un subconjunto abierto de R; y J : ͱ - R una función. Definimos derivada parcial de J en el punto ͷ = (ͷ1, . . . , ͷ;) e ͱ con respecto a la i-ésima variable x | como: uando todas las derivadas parciales existen en el punto ͷ la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo si todas las derivadas parciales existen alrededor de ͷ y son continuas entonces la función además de ser continua es diferenciable cuando tiende a ͷ. En este caso J es una función C1. Concepto de Derivada ParciaI: uando J sea una función de dos variables "x¨ y "y¨ y si hacemos variar únicamente a x cuando y permanezca fija en ejemplo y = ͻ donde ˫ es una constas. Entonces vemos una función de una sola variable que en este caso sería x resumiendo: g(x) = J(x, ͻ). uando g tenga derivada en ͷ la derivada de ͷ en esta situación es denominada derivada parcial de J con respecto a x en (ͷ, ͻ) y se denota por Jx (ͷ, ͻ). 'eamos: E1: J x (ͷ, ͻ) = g'(ͷ) dͿ;de g (x) = J (x, ͻ) Por la definición de una derivada tendríamos: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 2 g'(x) = ˊˇˋ X-û (g(ͷ+X)-g(ͷ)) X por lo tanto la E1 (ecuación 1) se convierte en: E2: J x (ͷ, ͻ) ˊˇˋ X-û J(ͷ+X,ͻ)-J(ͷ,ͻ) X uando la derivada parcial de 1 es con respecto a en (ͷ, ͻ), denotada por J y (ͷ, ͻ) se obtiene dejando x fija (x = ͷ) y calculando la derivada ordinaria en k de la función g(y) = J(ͷ, y) E3: J y (ͷ, ͻ) ˊˇˋ X-û J(ͷ,ͻ+X)-J(ͷ,ͻ) X Al variar el punto (ͷ, ͻ), en E2 y E3 1 x y 1 se transforman en funciones de dos variables. E4: Si 1 es una función de dos variables sus derivadas parciaIes son las funciones 1 x y 1 definidas por: J x (x, y) ˊˇˋ X-û J(x + X, y) -J(x, y) X J y (x, y) ˊˇˋ X-û J(x, y + X) - J(x, y) X Aparte de estas notaciones que hemos visto hay otras más para derivadas parciales. Por ejemplo cambiando Jx por J1 o ͦ1J (para indicar derivación con respecto a la primera variable) o también podemos ver ˦È˲ para referirse a las derivadas parciales. 'eamos mayor detalle en el siguiente cuadro: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 3 J x (x, y) = J x = 0J 0x = 0 0x J(x, y) = 0z 0x = J 1 = ͦ 1 J = ͦ x J J y (x, y) = J y = 0J 0y = 0 0y J(x, y) = 0z 0y = J 2 = ͦ 2 J = ͦ y J Para calcular derivadas parciales todo lo que tenemos que hacer es recordar de la E1 que la derivada parcial con respecto a x es precisamente la derivada ordinaria de la función g de una sola variable que obtenemos al conservar y fija. Entonces para calcular derivadas obtenemos la siguiente regla: 1. Para hallar Jx considere y como constante y derive ˦(˲, ˳) con respecto a x. 2. Para hallar Jy considere x como constante y derive ˦(˲, ˳) con respecto a y. EjempIo 1: Hallar y evaluar las derivadas parciales. Si J (x, y) = x 3 + x 2 y 3 - 2y 2 encuentre J x (3, 2) y J y (5, 2) $oIución: conservando y constante y derivando con respecto a x tenemos: J x (x, y) = 3x 2 + 2xy 3 J x (3, 2) = 3(3) 2 + 2(3)(2) 2 = 27 +24 = 51 Ahora conservando x constante y derivando con respeto a y obtenemos: J y (x, y) = 3x 2 y 2 -4y J y (5, 2) = 3(5) 2 (2) 2 - 4(2) = 3ûû -8 = 292 Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 4 EjempIo 2: Hallar y evaluar las derivadas parciales. Si J (x, y) = xe x2y encuentre ˦˲ y ˦˲ y evaluar cada una en el punto (ŵ, ˬn Ŷ). $oIución: conservando y constante y derivando con respecto a x tenemos: J x (x, y) = xe x2y (2xy) + e x2y J x (1, ͼ; 2) = e ͼ;2 (2ͼ;2)+ e ͼ;2 = 4 ͼ; 2 +2 Ahora conservando x constante y derivando con respeto a y obtenemos: J y (x, y) = e ͼ;2y (x 2 ) = x 3 e x2y J y (1, ͼ; 2) = e ͼ;2 = 2 Las derivadas parciales de una función de dos variables ˴ = ˦(˲, ˳), tienen una interpretación geométrica que más adelante profundizamos pero en este ejemplo; Si ˳ = ˳Ŵ entonces ˴ = ˦(˲, ˳Ŵ) representan la curva intersección de la superficie ˴ = ˦(˲, ˳) con el plano ˳ = ˳Ŵ como se muestra en la figura a continuación: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 3 Interpretación geométrica de Ias Derivadas ParciaIes: uando se trata de funciones de una sola variable la derivada de I = ˦(˲) proporciona la pendiente de la recta tangente al grafico de I = ˦(˲). De la misma manera sí se tiene la función de dos variables Z = ˦(˲, ˳), la derivada parcial da la pendiente de una recta tangente a la superficie Z = ˦(˲, ˳). uando se tiene la función Z = ˦(˲, ˳) y se considera a y constante es decir ˳ = c, entonces la derivada parcial de Z respecto a x proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie Z = ˦(˲, ˳) con el plano ˳ = c. Por otra parte si la que se considera constante es x es decir ˲ = c, entonces la derivada parcial de Z respecto a y proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie Z = ˦(˲, ˳) con el plano ˲ = c. IIustración 1 La derivada parcial de f respecto a x evaluada en (˲Ŵ, c), da la pendiente de la recta tangente T 1 en el punto P 1 . Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 6 sea que: La ecuación de la recta tangente T 1 se puede escribir entonces de la siguiente manera: IIustración 2 La derivada parcial de f respecto a y evaluada en (c, ˳Ŵ), da la pendiente de la recta tangente T 2 en el punto P 2 . Es decir: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 7 La ecuación de la recta tangente T2 se puede escribir como: EjempIo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie ˦(˲, ˳) = Ÿ - ˲% -˳°, con el plano y=1 en el punto (1 1 2) $oIución: J(x, y) = 4 -x% - y° EjempIo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie Z = ˲˳% + ˲°˳, con el plano ˲ = Ŷ en el punto (2 1 10). $oIución: Ͷ = xy% + x°y Al evaluar en (2 1) se tiene que la pendiente J Ŷ(Ŷ) (ŵ) + Ŷ° = ŵŶ La ecuación de la recta tangente resulta ser: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 8 Derivadas parciaIes de una función de tres o más variabIes: El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Por ejemplo si ˫ = ˦(˲, ˳, ˴), existen tres derivadas parciales. Para definir la derivada parcial de k con respecto a ˲ se consideran y y z constantes y se deriva con respecto a ˲. Para hallar las derivadas parciales de ͻ con respecto a y y con respecto a z se usa el mismo proceso. 0ͻ 0x = J x (x, y, z) = ˊˇˋ x-û Ӟ J(x + x, y, z) - J(x, y, z) x ӟ 0ͻ 0y = J y (x, y, z) = ˊˇˋ x-û Ӟ J(x, y +y, z) - J(x, y, z) y ӟ 0ͻ 0z = J z (x, y, z) = ˊˇˋ x-û Ӟ J(x, y, z + z) - J(x, y, z) z ӟ En general si ͻ = J(x 1 , x 2 .. . x ; ), hay ; derivadas parciales denotadas por: 0ͻ 0x = J x (x 1 , x 2 , .. . x ; ), = 1, 2, .. . ; EjempIo: Hallar las derivadas parciales. a) Para hallar la derivada parcial de J(x, y, z) = xy + yz 2 +xz con respecto a z se consideran x y y constantes y se obtiene: 0 0z |xy + yz 2 + xz] = 2yz +x Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 9 b) Para hallar la derivada parcial de J(x, y, z) = z e; (xy 2 +2z) con respecto a z se consideran x y y constantes. Entonces usando la regla del producto se obtiene: 0 0z |z e;(xy 2 + 2z)! = (z) 0 0z |e;(xy 2 + 2z)! + e;(xy 2 +2z) 0 0z |z] = (z)|Ϳ(xy 2 + 2z)!(2) + e;(xy 2 +2z) = 2z Ϳ(xy 2 +2z) + e;(xy 2 +2z) c) Para calcular la derivada parcial de J(x, y, z, ͻ) = (x +y +z)ÈY con respecto a ͻ se consideran x y y z constantes y se obtiene. 0 0ͻ | x +y +z ͻ | = x + y + z ͻ 2 Derivadas parciaIes de orden superior: Las derivadas parciales de la función Z = ˦(˲, ˳) pueden ser a su vez derivadas y se obtienen entonces las derivadas parciales de 2º orden. La derivada parcial de ˦˲ con respecto a ˳ se denota así: Si se tiene que Z = ˦(˲, ˳), las derivadas parciales de 2º orden se denotan de la siguiente manera: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 10 EjempIo: Para ˦(˲, ˳) = Ż˲ - ŷ˲˳°, + ˳ǡ encontrar todas las segundas derivadas parciales. $oIución: Podemos observar que ˦˲˳ - ˦˳˲ : esto se cumplirá siempre que las derivadas parciales de segundo orden sean continuas. Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 11 EjempIo: alcular las segundas derivadas parciales de ˦(˲, ˳) = J˥n(˲% + ˳%). $oIución: EjempIo: Para la función ˦(˲, ˳) = coJ ˲È˳ hallar ˦˲˲ Ŋ ˦˲˳ RegIa De La Cadena: En varias ocasiones una función lo es de dos o más variables las cuales a su vez dependen de una tercera variable. Para encontrar la razón de cambio de la función respecto a esta ultima variable se utiliza la regla de la cadena. Por ejemplo la producción de una fábrica depende del capital invertido y del tamaño de la fuerza de trabajo pero ambos se modifican en el tiempo. Por esta razón la producción depende en última instancia del tiempo. Si se tiene la función de dos variables Z = ˦(˲, ˳), de tal manera que ˲ Ŋ ˳ son su vez funciones que dependen de la variable ˮ entonces la derivada de ˴ respecto a t se obtiene de la manera siguiente: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 12 EjempIo: Sí Z = ŷ˲ -Ŷ˳ 3 donde ˲ = ˮ Ŋ ˳ = J˥n ˮ hacer uso de la regla de la cadena para encontrar ˤ˴Èˤˮ. $oIución: EjempIo: Sea ˱ = (ˬn ˲) coJ (˳˴ ), con ˲ = ˮ + ŵ, ˳ = ˥ ˮ, ˴ = ˮ 3 . Encontrar ˤ˱Èˤˮ $oIución: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 13 EjempIo: &n supermercado vende café molido a x colones la libra y café granulado a y colones la libra. Actualmente la demanda mensual de café molido es: ͦ(x, y) = 1óûû - óx 4È3 + 1ûy 3È2 Libras O Dentro de ˮ meses el supermercado venderá la libra de café molido a: ˲ = Ŷź.ŹŹ + Ŵ.ŵŹ Vˮ olones O ˳ el café granulado a: ˳ = ŷŹ.ŵ + Ŵ.ŵˮ olones ¿A qué ritmo estará cambiando la demanda del café molido dentro de 9 meses? $oIución: Para ˮ = 9 se tiene ˲ = Ŷź.ŹŹ + Ŵ.ŵŹV9 = ŶŻ ˳ = ŷŹ.ŵ + Ŵ.ŵ (9) = ŷź Por lo tanto al sustituir valores resulta: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 14 Derivación ImpIícita: Sea ˘(˲, ˳) = Ŵ una ecuación que define a y como función implícita de ˲. Al usar la regla de la cadena para derivar ˘ con respecto a ˲ se tiene: Al despejar resulta: Si ˘(˲, ˳, ˴) = Ŵ define implícitamente a ˴ como función de ˲ Ŋ ˳ al derivar ˘ respecto a ˲ (y constante) Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 13 De la misma manera: EjempIo: Si ˥ J˥n ˲ +ŷ˲˳ = ŵ, Encontrar ˤ˳Èˤ˲. $oIución: Ecuaciones diferenciaIes en Derivadas ParciaIes: Ecuaciones lineales 'eamos ecuaciones lineales en dos variables: V 0 2 u 0x 2 + B 0 2 u 0xdy + C 0 2 u 0y 2 +ͦ 0u 0x + ͧ 0u 0y + ͨu = ͩ En donde V, B, C, .. ͩ son funciones de x y y. uando ͩ(x, y) = û se dice que la ecuación es homogénea; contrariamente estamos con ecuaciones no homogéneas. Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 16 Solución por integración uando se integra una derivada parcial aparece una función arbitraria en lugar de una constante de integración. Por ejemplo la solución de = Ŵ es ˯ = ˦(˳), donde ˦ es una función diferenciable (admite derivadas parciales en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín). EjempIo: #esolver: 0u 2 0x 2 - y 2 = e x $oIución: resolvemos la ecuación como lo haríamos para una ecuación diferencial no homogénea lineal de segundo orden esto es primero resolver en este caso: 0u 2 0x 2 - y 2 = û Tratando a y como constante tenemos que: u = J(y)e xy + g(y)e -xy Para encontrar una solución particular usamos coeficientes indeterminados y suponemos que: u =V(y)e x Sustituyendo esta última función en la ecuación dada resulta: ˓˥ - ˳ ˓˥ = ˥ por tanto ˓ (˳) = ŵÈ(ŵ -˳ ). Luego una solución de la ecuación es: u = J(y)e xy + g(y)e -xy + e x 1 - y 2 Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 17 Separación de variables En derivadas parciales lineal homogénea es posible obtener soluciones particulares en forma de producto. ˯(˲, ˳) = X(˲)I(˳) El uso del producto llamado método de separación de variables permite reducir la ecuación diferencial en derivadas parciales a varias ecuaciones diferenciales ordinaria. on este propósito hacemos notar que: = X i I , = XIȊ = X ii I , = XIȊȊ En donde las primeras indican diferenciales ordinarias. EjempIo: Hallar soluciones en forma de producto de la ecuación: $oIución: Si ˯ = X(˲) I (˳), entonces se transforma en: Después de dividir ambos miembros entre ŸXI se logra separar las variables: Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 18 Puesto que el lado izquierdo de esta ecuación es independiente de y ˳ es idéntico a lado derecho el cual es independiente de ˲ concluimos que ambos miembros deben ser iguales a una constante. En la práctica en conveniente escribir esta constante real como , o b˩˥n co˭o - . Distinguimos los casos siguientes. Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 19 Principios de superposición. Si ˯ŵ, ˯Ŷ .. ˯˫, son soluciones de ecuación diferencial parcial lineal homogénea entonces la combinación lineal ˡ = c 1 ˯ 1 + c ˯ + ·. + c k ˯ k , Donde los c˩, ˩ = ŵ,Ŷ, .. , ˫ son constantes también es una solución. Al tener un conjunto infinito ˯ŵ, ˯Ŷ, ˯ŷ .. De soluciones de una función lineal homogénea aun se tiene otra solución u formando la serie infinita. ˯ = `˯ k « k=1 ApIicaciones más comunes de Ias Derivadas ParciaIes: Productividad Marginal La productividad de cierto artículo que fabrica una empresa se relaciona principalmente con dos factores: el monto deI capitaI invertido y Ia mano de obra empleada en la fabricación del artículo. Sean: W la producción total del artículo (número de unidades/unidad de tiempo). ͭ el monto del capital invertido en la planta productiva ($). ͮ el número de unidades de mano de obra (en horas-hombre o en $ por salarios pagados). Se establece entonces una función de dos variables: ˝(K, I), llamada función de producción donde K y I son los insumos de producción como por ejemplo: 2 2 ( ; ) 8 4 3 2 " Productividad marginaI deI capitaI: Es la derivada parcial de ˝ con respecto a K es decir " N N y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de capital invertido en la planta productiva manteniendo fija la inversión en mano de obra. Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 20 Productividad marginaI de Ia mano de obra: Es la derivada parcial de ˝ con respecto a " N N y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de mano de obra manteniendo fija la inversión del capital de la planta productiva. EjempIo: Para la función 2 2 ( ; ) 8 4 3 2 " calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para I = ŷ y K = Ź. $oIución: unidades / unidad adicional de capital. 8 3 2 8 3(5) 2(3) 8 15 6 17 " N N unidades / unidad adicional de mano de obra. unción de producción de Cobb DougIass: Es una función de la forma ( , ) , - " . donde , - y . son constantes positivas y se cumple que: 1 , - EjempIo: 6 4 ( , ) 3 " calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para I = ŷŹ y K = ŶŶŴ. $oIución: unidades / unidad adicional de capital. 6 6 6 6 6 6 6 6 22 3 (4) 12 12 12 12 3616 35 " N N unidades / unidad adicional de mano de obra. 4 3 4 4 3(3) 4(5) 4 9 2 7 " N N 4 4 4 4 4 4 4 4 35 3 (6) 18 18 18 18 863 22 " N N Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 21 Demandas marginales iertos productos en el mercado se relacionan entre sí de tal manera que al variar el precio de uno de ellos se afecta la demanda del otro. Sean 1 5 2 5 los precios unitarios de los artículos y 1 2 sus demandas respectivas. Entonces 1 1 2 ( , ) 1 5 5 y 2 1 2 ( , ) 1 5 5 son sus ecuaciones de demanda. De estas ecuaciones se pueden obtener cuatro derivadas parciales: 2 1 5 N N 2 2 5 N N . Demanda marginaI deI artícuIo 1 con respecto a su precio: Es la derivada parcial 1 1 5 N N . Demanda marginaI deI artícuIo 1 con respecto aI precio deI 2: Es la derivada parcial 1 2 5 N N . Las definiciones son similares para las otras dos derivadas parciales. En lo general las derivadas parciales 1 1 5 N N y 2 2 5 N N son negativas porque al aumentar su precio disminuye su demanda. Sin embargo las derivadas parciales y que se llaman demandas marginaIes cruzadas pueden ser positivas o negativas dependiendo de la interacción de los productos. Por ejemplo al aumentar el precio de la carne de cerdo sin cambiar el precio de la carne de res la demanda de carne de cerdo baja y se incrementa la demanda de la carne de res. Así mismo si se incrementa el precio de la carne de res sin cambiar el precio de la carne de cerdo la demanda de carne de res baja y se incrementa la demanda de la carne de cerdo; aquí y . Sin embargo por ejemplo al aumentar el precio de las cámaras fotográficas (no digitales) la demanda de película fotográfica baja y viceversa; aquí las dos derivadas parciales son negativas es decir 1 2 5 N N y 2 1 5 N N . 1 1 5 N N 1 2 5 N N 1 2 5 N N 2 1 5 N N 1 2 5 N N 2 1 5 N N Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 22 ArtícuIos competitivos o sustitutos: uando 1 2 5 N N y 2 1 5 N N . ArtícuIos compIementarios: uando 1 2 5 N N y 2 1 5 N N . EjempIo: alcular las demandas marginales cruzadas para las siguientes ecuaciones de demanda de dos productos del mercado: 1 1 2 14 3 4 5 5 y 2 1 2 21 4 3 5 5 . A continuación decir si se trata de productos competitivos o complementarios. $oIución: 1 2 4 5 N N y 2 1 4 5 N N . Puesto que ambas derivadas son negativas se trata de productos complementarios. Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 23 OBJETIVO$: Específicos: 1. onocer la Definición de Derivadas Parciales y sus aplicaciones en entornos de la vida cotidiana con énfasis en matemáticas de Ìngeniería. 2. Facilitar la utilización de Derivadas Parciales en problemas matemáticos de más de una variable para problemas de Ìngeniería. GeneraIes: 1. omprender el uso general de las Derivadas Parciales y su forma de aplicación en procesos matemáticos con funciones cambiantes de más de una variable ya sean problemas lineales o no-lineales de Ìngeniería. 2. Determinar y entender el uso del concepto básico de Derivadas Parciales y su utilización como herramienta facilitadora en la solución de problemas que requieren un nivel matemático en el que se involucran funciones de más de una variable con procesos especiales en las que también se pueden manejar con constantes. Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 24 INTRODUCCIÓN: El siguiente trabajo bibliográfico reúne una muestra general de la Definición de Derivadas Parciales su aplicación su Ìnterpretación Geométrica y la alusión del uso de Derivadas Parciales de una función de dos tres o "n¨ variables en algunos casos matemáticos de ingeniería. Las Derivadas Parciales son utilizadas en ingeniería para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus variables independientes es decir la derivada de una función de dos variables mide la rapidez de cambio de una de ellas llamada "variable dependiente¨ en relación con la denominada "variable independiente¨. Podemos adelantara que las derivadas parciales son útiles para al análisis real multi-variable de vectores en dos o más dimensiones (calculo vectorial). y geometría con los números reales los vectores sus funciones además de los números complejos; que en este trabajo preferimos no tocar (geometría diferencial). Para resolver problema de Derivadas Parciales utilizaremos las técnicas básicas de Derivación técnicas algebraicas y otros mecanismos matemáticos que facilitan la resolución de cualquier ejercicio sin mencionar que se tendrán que hacer recordatorios de matemática iniciales. Para el mejor desempeño en la realización de este tipo de problemas se recomienda practicar constantemente con ejercicios aumentando gradualmente la dificultad y realizar. Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 23 CONCLU$IÓN: Las Aplicaciones de las Derivadas Parciales se extienden en el mundo de las matemáticas tomando gran importancia y aprecio en la resolución de problemas complejos de ingeniería y otras ramas de la ciencia; ya que han venido facilitando el proceso a través de los tiempos que incluyen procesos muy comunes como el cálculo y la geométrica en diversas formas. oncluimos resumiendo que: las funciones con varias variables tienen también derivadas. Sea = f(x, y), es decir ˴ es función de ˲ y ˳. Si se mantiene constante temporalmente es una función de ˲ con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parciaI È x = fÈ x; o de la misma manera si se toma la ˲ como constante y se diferencia con respecto de ˳ se obtiene oÈoy = fÈ y. Las derivadas parciales se pueden calcular para funciones con más de dos variables considerando que todas las variables (menos una) son constantes y derivando con respecto a ésta. &tilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Por ejemplo si = xŶ - xy + ŷyŶ se tiene que Èox = Ŷx - y y que È y = -x + źy. Geométricamente una ecuación ˴ = ˦(˲, ˳) define una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes ˲ y ˳ son horizontales y el eje ˴ es vertical entonces È x y È y representan los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, ) en la dirección de los ejes ˲ y ˳ respectivamente. #ecordemos que las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas pues existen funciones que dependen de diversas variables como el espacio y el tiempo; que con el uso de otras herramientas matematices complicarían el proceso dificultando el obtener respuestas concretas y útiles para aplicaciones además de académicas laborales o experimentales. Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 26 BIBLIOGRAA: Libros. O TituIo: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Autor: Dennis G. Zill. Edición: Segunda. Páginas Nº: 428 ÷ 445 O TituIo: Matemática 2 iencias Económicas y Administración. Autor: #aúl Aguilar Liborio. Edición: Primera. Paginas Nº: 101-117 O TituIo: álculo Trascendentes Tempranas. Autor: James Stewart. Edición: uarta. Paginas Nº: 895-900 O TituIo: alculo ÌÌ de varias variables. Autor: #on Larson #obert P. Hostetler y Bruce H. Edwards. Edición: ctava. Paginas Nº: 906-910 Documentos Pd1. de internet. O Tema: Diferenciación de funciones de varias variables Distribuido por: Análisis Matemático ÌÌ. urso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ìng. Tec. en Ìnf. de Gestión. &niversidad de Jaén Paginas Nº: 1-12 Sitios web de internet. O CID$E (Centro de Investigación y DesarroIIo de $oftware Educativo) URL: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/S&PE#Ì#/t3- DerivadaParcial/node1.html Autor: alter Mora F y Geovanni Figueroa M. Tema: álculo Superior Derivadas ParcialesŦ Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 27 APLICACIONE$ DE LA$ DERIVADA$ PARCIALE$. NDICE: Contenido Páginas Marco Teórico. 1-22 Definición formal de derivada parcial. 1 oncepto de Derivada Parcial. 1- 4 Ìnterpretación geométrica de las derivadas parciales. 5-7 Derivadas parciales de una función de tres o más variables. 7-9 Derivadas parciales de orden superior. 9-11 #egla de la cadena. 11-13 Derivación implícita. 14-15 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. 15-19 Aplicaciones más comunes de derivadas parciales. 19-22 Objetivos. 23 Introducción. 24 ConcIusión. 25 BibIiografía. 26 Apllcaclones de las uerlvadas Þarclales unlversldad 1ecnolóalca de Ll Salvador 28 FACULTAD DE INFORMÁTICA Y CIENCIAS APLICADAS TEMA: Aplicaciones de las Derivadas Parciales MATERIA: Matemáticas Ì' Nota del autor: usar con confidencialidad.