INSTITUCIÓN EDUCATIVA CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA.CEFA MATEMÁTICAS GRADO DECIMO. APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA Aplicaciones que originan triángulos rectángulos EN UN TRIANGULO ABC, EL ÁNGULO C ES RECTO. RESUELVE CADA TRIANGULO SI: 1. < B = 35 º b = 30 cm. 2. < A = 25 º b = 15 cm. 3. < A = 30 º a= 40 m. 4. < B = 42 º 25 ‘ 30 ‘’ a = 100 cm. 5. b = 20 m c = 30 m. 6. a = 15 pulg. b = 20 pulg. 7. <A=30 c = 24 m. 8. Al nivel del mar se lanza un cohete espacial y sube con un ángulo constante de 68º 20’, recorriendo 15.000 m. Determinar la altura del cohete en ese momento. 9. Los organizadores de una prueba ciclística ordenan construir una rampa de 10 m de larga y que se levante del suelo 3m. Calcular el ángulo de elevación de la rampa. 10. Un avión de reconocimiento localizó a un barco enemigo con un ángulo de depresión de 28º . Si el avión vuela a 3.200 m de altura, calcular la distancia a la que se encuentra el barco enemigo del avión. 11. Un rectángulo tiene de base 8 m y de altura 5 m. Hallar el ángulo que forma la diagonal con la base. 12. La altura de un triangulo isósceles es de 10 cm y uno de los ángulos iguales mide 30º 20’ 10``. Calcular la medida de los tres lados del triángulo. 13. Desde un punto situado a 2 m sobre el nivel del piso, un hombre de 1.7 m observa la torre de un edificio situado a 20 m sobre la horizontal. Si el ángulo que forma la visual con la horizontal es de 45º, calcular la altura del edificio. 14. Determinar la altura de un edificio sabiendo que cuando el ángulo de elevación del sol es de 60º , proyecta una sombra de 60 m de longitud. 15. Una antena de TV está sujeta desde su extremo superior por un cable fijo a 2 m de la base y forma con la horizontal un ángulo de 70º . Que altura alcanza la antena? 16. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento situada a 8 m del suelo y observa el edificio del frente de la siguiente manera: la parte superior con un ángulo de elevación de 30º y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45º . Determinar la altura del edificio de frente y el ancho de la calle. 17. Un ingeniero va en un avión que vuela a 800 m de altura y observa los barcos B1 y B2, uno hacia el sur y otro hacia el norte, con ángulos de depresión de 34º y 62º respectivamente. Determinar la distancia entre los dos barcos. 18. Al moverse un péndulo de 150 cm de longitud forma un ángulo de 42º con la vertical. Que distancia sube al extremo superior del péndulo? 19. Un aeroplano se encuentra volando a 1200 m de altura cuando le fallan los motores. Calcular el ángulo de deslizamiento necesario para que el avión pueda llegar a una pista que se encuentra a 6.000 m de distancia. 20. Un avión de reconocimiento se encuentra volando a 3.000 m de altura cuando pasa sobre su portaviones. En ese instante el piloto detecta un submarino, si el ángulo de depresión es de 32º 40’ 50”, determinar la distancia entre el submarino y el portaviones. 21. Dos postes de energía se encuentran separados entre si por una distancia de 25 cm. Las alturas de los postes son de 8.5 m y 12.5 m. Que longitud de cable se necesita para unir la parte superior de ambos postes? 22. El cordel de una cometa encuentra tenso y forma un ángulo 60º con la horizontal. Determinar altura de la cometa si la cuerda mide m y se sostiene a 1.20 del piso. se de la 70 23. Desde un punto A sobre el suelo el ángulo de elevación a una torre es de 30º . Desde otro punto B, son más cercano a la torre y en línea recta con A, el ángulo de elevación es de 60º . Calcular la altura de la torre. 24. Los lados iguales de un triángulo isósceles mide cada uno 20 cm y os ángulos iguales 30º cada uno. Cuánto mide la base del triángulo? Cuánto mide su altura? Calcular su perímetro. 25. El vigilante de un bosque se encuentra en una torre a 90m de altura, cuando se da cuenta que hay dos incendios. El primero sucede en dirección sur con un ángulo de depresión de 34º y el otro hacia el norte con un ángulo de depresión de 20º . Que distancia hay entre los dos incendios? 26. Una escalera se coloca en el muro de una casa, de tal manera que sobresale 1.5 m arriba del borde del muro, que tiene una altura de 4.8 m si la escalera forma un ángulo de 70º con el piso, ¿Cuál es la longitud de la escalera? Que Una persona ubicada en la azotea del edificio mas alto observa una persona ubicada en la azotea del edificio mas bajo con un ángulo de depresión de 50° si el edificio mas bajo tiene 40m de altura. 35. Encontrar la menor distancia desde la estación hasta el otro camino. Supongamos que la distancia gallada se incrementa en 1. ¿Cuáles metros debe recorrer un hombre para alcanzar una altura de 800m. ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de 60º con respecto a la calle? 30. Una escalera de mano apoyada contra una pared forma un ángulo de depresión de 78° si la altura a la cual pega la parte superior es de 20m calcular la distancia que hay del pie de la escalera a la pared. Un rectángulo tiene de base 8m y de altura 5m. . Si el avión vuela a una altura de 3000 m ¿Cuál es la distancia que separa el observador del avión en ese momento? 34. En un cierto instante la sombra proyectada por un edificio en el plano horizontal es de 80m. Hallar la altura de la colina si el asta mide 15 m. se encontrara la parte inferior de la escalera? 37. que tiene una inclinación de 20° respecto de la horizontal.70 m de estatura. Un camino se eleva 14º con respecto a la horizontal. Un edificio de 100m de altura proyecta una sombra de 120m encontrar el ángulo de elevación del sol.distancia hay entre la base del muro y la base de la escalera? 27. El ángulo de elevación a la azotea de un edificio. una persona tendida en el suelo observa un avión con un ángulo de elevación de 37°. los ángulos de elevación de los extremos D yB del asta miden respectivamente 25º Y 47º. 36. ¿Cuál es la altura del poste? 43. forman u ángulo de 75° en uno de los caminos y a 100m del cruce hay una estación de gasolina. En un momento dado. Que tan lejos de una pared vertical esta la parte inferior de una escalera cuya longitud es de 12 m y forma con la horizontal (suelo) un ángulo de 75°. Hallar el ángulo que forma la diagonal con la base. es de 60°. 42. Si la torre de control tiene una altura de 80 m. ¿Cuál es la altura del edificio? 32. Hallar la altura del mismo. Determina el ángulo de elevación del sol si una persona de 1. calcular la altura del edificio. un hombre de 1.50m de longitud en el suelo. Si el pie de la escalera esta a 1m del pie del poste. Un guardacostas observa dos barcos que se acercan con ángulos de depresión de 50 º y 60º respectivamente.7m observa la torre de un edificio situado a 20m del punto de observación. Un trabajador de las empresas publicas recuesta su escalera de 4 m de longitud contra un poste de energía. En la cima de una colina hay un asta de la bandera. Si el ángulo que forma la visual con la horizontal es de 45°. El piloto de un avión que vuela a 8000 m de altura descubre una isla. ¿a que distancia de la pared. 40. Dos caminos rectos que se cortan. Calcular el ancho de una calle. ¿Qué distancia separa las dos embarcaciones? 46. 38. 47. en el terreno llano. produce una sombra de 1. 44. medido desde un punto A situado a 100m de la base.20m ¿Qué longitud o distancia desciende la parte superior de la escalera. si un alambre de sostén de un poste tiene un ángulo de elevación de 55° y esta fijo a la tierra a 8m del pie del poste y el punto de apoyo en el poste esta a 2/3 de su longitud a partir de su base. Cual es el ancho de la isla si observa las costas con ángulos de depresión de 77º al este y 69º al oeste? 29. Un hombre recorre 500 m a lo largo de una montaña. Desde un punto situado a 2m sobre el nivel del piso. ¿Cuánto mide el edificio más alto? 45. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la escalera? 33. 41. si el ángulo entre la escalera y la pared es de 25°. 31. Dos edificios están ubicados en el mismo plano horizontal y separado s por una calle de 40 m de ancho. ¿Qué altura alcanza respecto al punto de partida? 39. Si el ángulo de elevación del sol es de 35°. Desde un punto A. 28. Una escalera de 10 m de longitud esta recostada sobre una pared vertical. si un observador sobre un edificio de 60m de altura. 2 b. c = 25 28. altura: 56 m. 9m 12. cuando se da cuenta que hay dos incendios. m 38.5m arriba del borde del muro. L = 17. 49 m. longitud. a = 6. 32º 14. <A = 47º 34` Perímetro 74. ¿Cuál es la longitud de la escalera? ¿Qué distancia hay entre la base Delmiro y la base de la escalera? 38. si un observador sobre un edificio de 60m de altura.5m y 12. m 50. que tiene una altura de 4.39 m 26. el ángulo de elevación a la cúspide de una torrepunto más alto es de 30°25’ desde otro punto cercano a la torre y en línea recta con el punto P y con la base de la torre. = 75. 52 º 11 `` 34. = 39. a = 13 940. 6 c = 135. 20. 5. < A = 36º 52 ` 32. Las alturas de los postes son de 8. Que distancia hay entre los dos incendios? 54. Desde un punto A sobre el suelo el ángulo de elevación a una torre es de 30° desde otro punto B. altura: 87. Calcula la altura de la torre. c = 16. altura:12. 1 X π/4 π/2 1/2 53.47 m m. 1 m.99 24.64 cm. con ángulos de depresión de 34° y 62° respectivamente.17 40. 19. 11. 92 48. a = 61. Una escalera se coloca en el muro de una casa. De acuerdo con la figura. 52 cm. 4. a = 171 m 10. 12.61 52. de tal manera que sobresale 1. d = 4. 50. el ángulo de elevación a la cúspide es 60°50’. < B = 53º 7 ` 86 m 48 `` 30.21 36. 79 cm y m. uno hacia el sur y otro hacia el norte. 20m mas cercano a la torre y en línea recta con A. √2 c. altura: 17. 31º 16. Sube 38. Calcular el ancho de una calle. 32 m m Ancho: 8 m 18. Justo en ese momento pasa sobre un cerro que está a 6 000 m de la pista. 6. Un camino se eleva 14° con respecto a la horizontal. 51. 47 m. el valor de x es: P 30º 25’ 60º) 50º . El vigilante de un bosque se encuentra en una torre a 90m de altura. 67 19. El primero sucede en dirección sur con un ángulo de depresión de 34° y el otro hacia el norte con un ángulo de depresión de 20°. Que altura alcanza la antena? 49. 8. Y forma con la horizontal un ángulo de 70°.8m. a = 3. Un ingeniero va en un avión que vuela a 800m de altura y observa los arcos B1 y B2. 17 cm 46. 4 676. 14 m. 30`` 64 cm. a = 103. d = 6 816. ancho: 4 917. Determinar la distancia entre los 2 barcos. 23 m. 34. Un aeroplano se encuentra volando a 1200m de altura cuando le fallan los motores.48. 6.5m. el ángulo de elevación es de 60° calcular la altura de la torre.5 22. el piloto de un avión que vuela a 8000m de altura descubre una isla. ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de 60° con respecto 41. < B = 65º Base: 34. Calcular el ángulo de deslizamiento necesario para que el avión pueda hacer su aterrizaje sin problemas. b = 91. Cual es el ancho de la isla si observa las costas con ángulos de 27° y 39°? 40. Si la escalera forma un ángulo de 70° con el piso. ¿Cuántos metros debe recorrer un hombre para alcanzar una altura de 800m? 39. ¿Qué longitud de cable se necesita para unir la parte superior de ambos postes? 52. altura: 15 cm. √3 d. 82 m. 8 º m 42. 79 cm 44. ALGUNAS RESPUESTAS 2. desde un punto P del suelo. Dos postes de energía se encuentran separados entre si por una distancia de 25m. Una antena de TV esta sujeta desde un extremo superior por un cable fijo a 2m de la base. a. si un camino recto que la recorre desde su base hasta su cúspide mide 300 m. observa el punto extremo superior con un ángulo de elevación de 20°. desde un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se observa un barco con un ángulo de depresión de 55° ¿a que distancia se halla el faro del barco? 55º 51. una antena de TV. Esta instalada en el techo de una casa que tiene 5 m de altura. 54. 30º 46. Si se conoce que la torre de . Si el ángulo entre la escalera y la pared es de 30° ¿a que distancia de la pared se encontrara la parte inferior de la escalera?. sabiendo que una persona que se separa 50m de su base. coloca un teodolito en cierto punto P. observa el punto extremo superior con un ángulo de elevación de 20°. una escalera de 15 m de longitud esta recostada sobre la pared vertical de un edificio. calcular la inclinación (ángulo de elevación) de una montaña. p 9m _____________________________________ 30º25’ 15º 45’ 52. situado a 40 m del punto que se encuentra directamente debajo de la antena. de tal manera que la horizontal coincide con el pie de la torre. 5m P )15º 45. 49. observa dos embarcaciones que se aproximan con ángulos de depresión de 30° y 45° respectivamente. el ángulo de elevación al punto mas alto de un edificio es de 30°25’ y el ángulo de depresión a la base del mismo es de 15° 45’ calcula la altura del edificio. Camina 65 m en línea recta hacia el pie de la torre y haciendo coincidir nuevamente la horizontal con dicho pie mide un ángulo de elevación de 30° ¿Cuál es la altura de la torre?. un guardacostas que se encuentra en la parte superior de una torre de control. Para tal fin. 43. calcular la altura de una torre de iglesia sabiendo que una persona que se separa 50 m de su base. ¿ que longitud o distancia desciende la parte superior de la escalera. desde un punto p a 9 m del suelo. si un camino recto que la recorre desde su base hasta su cúspide mide 300 m y la altura que alcanza este respecto a la horizontal es de 50 m. P 20º 30º 47.42. calcular la inclinación (ángulo de elevación) de una montaña. 53. y la altura que alcanza este respecto a la horizontal es de 50 m. un tipógrafo desea medir la altura de una torre situada en la rivera opuesta de un río sin necesidad de atravesarlo. formule un problema y realícelo. calcular la altura de una torre de iglesia. el piloto de un avión que vuela a 2000 m de altura divisa la ciudad destino con un ángulo de depresión de 15° ¿a que distancia horizontal (X) esta la ciudad? 15º 2000 (25º30’) 4M 44. 48. un topógrafo que se encuentra en el fondo de una zanja determina que el ángulo de elevación de uno de los bordes de dicha zanja es de 25° 30’ si el topógrafo esta a 4 m del borde de la zanja ¿Cuál es la profundidad de la misma?. esta subtiende un ángulo de 15° calcula la altura de la antena. y mide un ángulo de elevación de 20°. Supongamos que la distancia hallada se incrementa en 1 m. 50. Desde un punto P en el suelo. desciende 0. es observado por dos estaciones terrestres ubicadas en Palma Seca y B. Como se producen desprendimientos.2 m.control tiene 50 m de altura ¿ que distancia separa las dos embarcaciones? 2) 173.5 m.1 m 45º 10) 4. Con el presupuesto de que se dispone sólo se puede quitar terraplén hasta que el área de su sección se reduzca en 25 m2 ¿Cuánto debe valer el ángulo señalado en la figura? Un avión que se encuentra en el punto A de la figura.2 m 30º 6) 3. C. 5. Aragón.87 yardas 158. A 2 m del borde de una carretera hay un escarpado vertical AC de 14 m de altura.27 m 18) 13.17 Km 10.06 yardas 145 yardas .20 m. 43)1. La pelota del hoyo se encuentra a una distancia de: A.42 Km B.9 m 45))27. se retirará la parte del terreno situada por encima de una cierta recta BD. 49)7464. Se va a quitar la parte más alta del escarpado.4 m 12) 96. 17.8 yardas 212. B.64 m 14) 4.1 m. Para ello.87 m ALGUNAS RESPUESTAS 41)17.46m. El avión se encuentra de Palma Seca a: A.8 Km C.73m 47)18.7 m 8) altura: 11. 35. D. 204.6 m 16) 349. lado: 15.68 Km D.2 m 4) 4984. 28. El golfista Camilo Villegas golpea la pelota desde el punto de saque (tee) y la envía hasta el punto P (ver figura). 26.