Universidad Técnica Federico Santa Marı́aDepartamento de Matemática Campus Santiago Guı́a 2 Mat-022 Aplicaciones de la integral 1. Calcular el área encerrada por la rosa de 3 pétalos r = a cos(3θ). 2. Calcular el área comprendida entre la primera y la segunda espiral de Arquı́mides r = aθ. 3. Considerar la curva Γ dada por: x = 2 cos(t) y = sen(3t) Calcular el área encerrada por Γ 4. Calcular el perı́metro del cardioide dado por: r = a(1 + cos(θ)) 5. Hallar el área encerrada por la curva (x2 + y 2 )2 = ax2 y a>0 6. Calcule el área encerrada por la curva x4 + y 4 = x2 + y 2 7. Calcule el área encerrada por la lemniscata (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ) 8. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar la lemniscata r2 = a2 cos(2θ) en torno del eje polar. 9. Calcule el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar en torno del eje x, la región encerrada por las curvas y 2 = −x3 y y =2−x y=0 10. Considerar el sólido S, cuya base es la curva elı́ptica 9x2 + 4y 2 = 36 Calcular el volumen si las secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos rectángulos isósceles con hipotenusa en la base. 11. Hallar el volumen común de dos esferas de radio r, si el centro de cada una está sobre la superficie de la otra. 12. Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar, en torno del eje x, la astroide x2/3 + y 2/3 = a2/3 13. Los ejes de dos cilindros circulares de igual radio se intersectan en ángulo recto. Hallar el volumen común. 14. Sea R la región acotada por un arco de la cicloide: x = a(t − sen t) y = a(1 − cos t) y el eje x. Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar R en torno de la recta y = −1. 15. Hallar el área entre los lazos de la curva r = 2 − 4 cos θ 16. Encuentre el área encerrada por el rizo superior de la curva dada en coordenadas paramétricas x = sen(2t) y = 2 sen(t) 17. Hallar el área entre los rizos de la curva θ r = cos 2 18. Las secciones transversales de cierto sólido, obtenidas por planos perpendiculares al eje x, son cı́rculos con diámetro que van de la curva y = x2 a la curva y = 8 − x2 . El sólido está entre los puntos de intersección de estas dos curvas. Hallar su volumen. 19. Calcule el área encerrada por el eje x y un arco de la cicloide: x = a(θ − sen θ) y = a(1 − cos θ) 20. Hallar el área encerrada por el lazo de la curva: x = t2 y = t3 − 3t 21. Hallar el área que es interior a la circunferencia r = a y exterior a la rosa de 4 hojas r = a sen 2θ. 22. Hallar el área encerrada por las curvas x2 + y 2 = 4x , x2 + y 2 = 2x , y=x , y=0 23. Hallar el área de la región interior a la curva r = 3 cos θ e interior a la curva r = 1 + cos θ. 24. Calcular la longitud de la curva r = 4(1 + cos θ) √ 25. Calcular el área del sector del cardiode r = 1 + cos θ, interior a la curva r = 3 sen θ. 26. Calcular el volumen del toro generado por la rotación de la región dada por (x − 5)2 + y 2 ≤ 4, en torno del eje y 27. Calcular el volumen encerrado por el hiperboloide x2 y2 z2 2 + 2 − 2 =1 a b c y los planos z = 0 y z = c 28. Considerar la región R acotada por las curvas y = ex , y = e2x e y = 4. Calcular el volumen que se obtiene al girar R en torno de: (a) y = 7 (b) x = −2 √ 29. Halle el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = x y por las rectas y = 2, x = 0, alrededor de (a) Eje x. Resp.: 8π. 32π (b) Eje y. Resp.: 5 . πR2 h 30. Demuestre que el volumen de un cono circular recto de altura h y base de radio R es 3 . 2 2 31. Suponga que se tiene la elipse de ecuación xa2 + yb2 = 1. Halle el volumen del cuerpo de revolución 2 engendrado por la elipse en torno al eje x. Resp.: 4πab 3 . 32. Halle el volumen del sólido de revolución al hacer girar en torno al eje x, el área comprendida por la parábola y 2 = 4x y la recta x = 4. Resp.: 32π. 33. Sea la curva de ecuación x = y2 , 1 ≤ y ≤ 4. Encuentre el volumen del sólido generado al girar la región comprendida entre el eje y y la curva, en torno al eje y. Resp.: 3π. 34. Sea R la región formada entre la parábola x = y 2 + 1 y la recta x = 3. Halle el volumen √ del sólido formado al hacer rotar la región R alrededor de la recta x = 3. Resp.: 64π15 2 . 35. La región acotada por la curva y = x2 + 1 y la recta y = −x + 3 gira alrededor del eje x para generar un sólido. Halle el volumen del sólido. Resp.: 27π 5 . 36. Halle los volúmenes de los cuerpos generados por el giro sobre el eje OX de las figuras limitadas por: √ 2 (a) y = ex x, x = 1, y = 0. Resp.: π(e 4+1) . (b) y 2 = x, y = x2 . Resp.: 0.3π. 37. La región acotada por la parábola y = x2 y la recta y = 2x en el primer cuadrante, gira alrededor del eje y para generar un sólido. Calcule el volumen del sólido. Resp.: 8π 3 . 38. Halle el volumen del toro engendrado por la revolución del cı́rculo x2 + (y − b)2 = a2 alrededor del eje x. Resp.: 2πa2 b. √ 39. Muestre que si la región encerrada en el semi cı́rculo y = a2 − x2 y el eje x gira alrededor de 3 éste, genera una esfera sólida cuyo volumen es 4πa 3 . 40. Calcule la longitud definida por la curva y = ex entre los puntos x = 0 y x = a. √ 41. Calcule la longitud de arco desde (0, 3) hasta (2, 5) a lo largo de la circunferencia x2 + y 2 = 9. 42. Calcule la longitud de arco desde (−3, 4) hasta (4, 3) a lo largo de la circunferencia x2 + y 2 = 25. Muestre que este resultado es igual a un cuarto del valor de la longitud de la circunferencia. π π 43. Calcule la longitud de la curva y = ln(sen(x)) entre x = 3 yx= 2. 1 44. Hallar el área limitada por el eje X, la recta x = 1 y la curva y = con x ≥ 1. 1 + x2 45. Determine si es posible asignar un número finito para representar la medida del área de la región 1 limitada por el eje X, la recta x = 2 y la curva y = x . e + e−x