CECyTEM “La Paz”Matemáticas Aplicadas Aplicaciones de la derivada Alumno: ______________________________________ Grupo: ____________ No. de lista: ________ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1. (Crecimiento de las ventas) El volumen de las ventas de un disco fonográfico particular está dado como una función del tiempo t por la fórmula S t 10,000 2000t 200t 2 donde t se mide en semanas y S es el número de discos vendidos por semana. Determine la tasa en que S cambia cuando: a. t 0 b. t 4 c. t 8 2. (Reacción química) Durante una reacción química en la cual una sustancia A se descompone, la masa (en gramos) de A restante en un tiempo t está dada por 1 m(t ) 9 3t t 2 . 4 Encuentre m' (t ) e interprete esta cantidad. Evalúe: m ( 0) m ' ( 0) m ( 6) m' (6). 1 En el instante t 4.3. 4. (Crecimiento de población) Al principio de un experimento se encontró que en un cultivo de bacterias había 10. Después de t segundos. su altura sobre el nivel del suelo está dada por s(t ) 60t 16t 2 . en un tiempo posterior t (horas) después de empezado el experimento. b. (Móvil) La distancia recorrida por un móvil al tiempo t es igual a 2t 3 t1 / 2 . p(t ) 2500(2 t ) 2 a) Determine la fórmula de la razón de crecimiento de la población en cualquier tiempo t.000 individuos. Calcule su velocidad instantánea después de t segundos. (Proyectiles) Una partícula se lanza directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 60 pies/segundo. b) Calcule la razón de crecimiento para t 15 minutos y para t 2 horas. Calcule la velocidad instantánea: a. Se observó el crecimiento de la población y se encontró que. Al tiempo t. ¿Qué tiene de especial el instante t 15 ? 8 5. 2 . el tamaño de la población p(t ) se podía expresar por la fórmula. Encuentre la razón de cambio de la proporción respecto a la distancia. entonces la posición de la pelota en el tiempo t esta dada por x 20 2 t . está dada por 1/ 2 3 r0 1r p(r ) 0 4 r 4 r donde r . (Crecimiento de células) La masa de un organismo unicelular crece con el tiempo t de acuerdo con la formula m(t ) 2 6t 3t 2 Encuentre: m' (t ) m(2) m' (2). y 20 2 t 16t 2 . 3 . Interprete estos valores. ¿Para cual valor de t la pendiente es cero? (Sugerencia: Exprese y en términos de x para eliminar a t.) 8. el origen como el punto inicial del vuelo de la pelota. (Proyectiles) Una pelota es lanzada al aire a una velocidad de 40 pies por segundo con un ángulo de 45º con respecto a la horizontal. es una constante. (Botánica) La proporción de semillas de una especie de árbol que disemina a una distancia mayor que r . Si tomamos el eje x como horizontal y el eje y como vertical.6. Calcule la pendiente de la trayectoria t segundos después de haberse lanzado la pelota. a partir de la base del árbol. 7. 4 . 9. (Fórmula Fay/Lehr) Se ha observado que la forma de esparcimiento de un derrame de petróleo es aproximadamente una elipse en metros cuadrados es A= ab. b(t ) c2 t 1 / 4 . (Salario real) El salario real de cierto grupo de trabajadores aumentó de acuerdo con la 1 formula W (t ) 3 t entre 1970 y 1980. Durante este tiempo. El salario real es igual a 100 W (t ) / I (t ) cuando se ajusta por la 2 inflación. el índice de precios al consumidor estuvo dado por 1 I (t ) 100 3t t 2 . donde: a(t ) b(t ) c1t 3 / 4 . 5 . (Epidemias) Una enfermedad infecciosa y debilitante se propaga lentamente en una población. donde t es el tiempo transcurrido en años a partir 2 de 1970.2 y c2 15 calcule los valores de a) A (t ) b) A' (t ) después de 15 minutos y después de 30 minutos. El número de individuos infectados después de t meses está dado mediante la fórmula: N (t ) 1000(t 3 / 2 t 2 ) Encuentre N ' (t ). 10. Calcule la razón de cambio de este salario real en a) 1970 b) 1975 c) 1980. Aquí t es tiempo en minutos. c1 es una constante que depende de la velocidad del viento y c 2 es una constante que depende del volumen derramado. Evalúe N (9) N ' (9) Interprete estos valores. Si c1 0. 11. (Física) La temperatura absoluta T de un gas esta dada por T cPV . Como funciones del tiempo t . encuentre la razón de cambio de T con respecto a t. calcule la tasa en que los costos de producción están creciendo. V el volumen y c es alguna constante que depende de la masa del gas.002 x 3 . 6 . x t 2 4 y y 2t 2 3t. (Ecología) Sea x el tamaño de cierta población de depredadores y y el tamaño de la población que le sirve de alimento. (Biología) La densidad de algas en un estanque de agua es igual a n /V . Si el nivel de producción actual es x 100 y esta creciendo a una tasa de 2 al mes.1x 2 0. (Granja piscícola) El peso de cierto lote de peces esta dado por W nw. Encuentre la razón de cambio de u. Sea u el número de presas por cada depredador.12. Si P (t 2 1) y V (2t t 1 ) como funciones del tiempo t . Si n y V varían con el tiempo t de acuerdo con las fórmulas n t y V t 1. 13. calcule la razón de cambio de la densidad. 16. 15. donde n es el tamaño del lote y w cambian con el tiempo de acuerdo con las fórmulas n (2t 2 3) y w (t 2 t 2) encuentre la razón de cambio de W respecto al tiempo. 14. (Tasa de incremento del costo) La función de costo de un fabricante es C ( x) 2000 10 x 0. donde P es la presión. donde n es el número de algas y V es el volumen de agua en el estanque. que proviene de la ruptura de un oleoducto. (Tasa de cambio del ingreso) La ecuación de demanda del producto de una compañía es 2 p x 300. ¿Con cuánta rapidez crece el radio cuando éste es de 5 kilómetros? 20. Si el radio es de 10 pulgadas y esta creciendo a razón de 2 pulgadas cada 5 segundos. ¿a que tasa esta cambiando el ingreso si la compañía ajusta su precio a la demanda cambiante? 18. Se esta inflando un balón esférico. en donde x unidades pueden venderse a un precio de $p cada una. (Contaminación de petróleo) El área de una mancha circular de petróleo. 19. crece a razón de 30 kilómetros cuadrados por hora. Cuando el nivel de demanda alcanzo las 40 unidades y la demanda se incrementa a una tasa de 2 unidades por año. ¿con que razón crece el volumen? 7 .17. los costos de la compañía son de (225+60 x ) dólares a fin de producir x unidades. determine la tasa en que esta cambiando la utilidad. Si la demanda cambia a una tasa de 2 unidades por año cundo la demanda alcanza 40 unidades. (Tasa de cambio de la utilidad) En el ejercicio 51. (Teoría de números) Determine dos números cuya suma sea 10 y tales que su producto sea máximo. tales que el producto de uno por el cuadrado del otro sea máximo. (Teoría de números) Determine dos números positivos cuya suma sea 75. (Teoría de números) Encuentre dos números con suma igual a 8. 23. 8 . de modo que la suma de sus cuadrados sea un mínimo. 22. (Teoría de números) Determine dos números positivos con suma igual a 12 de modo que la suma de sus cubos sea un mínimo.21. 24.