APLICACIONESde la DERIVADA En Administración y Economía VEAMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN… . lavado. entre otros) de cada habitación es de 40 bolívares fuertes. y por cada 20 bolívares de aumento en la tarifa.Un hotel tiene 71 habitaciones. . Si el mantenimiento (limpieza. se desocupa una habitación. el gerente ha observado que cuando la tarifa por habitación es de 180 bolívares fuertes todas las habitaciones son alquiladas. El gerente del hotel desea saber… . ¿Qué tarifa debe cobrar para obtener máxima ganancia? . ¿Cuántas habitaciones se deben ocupar con esa tarifa que de la máxima ganancia? . Con el uso de las derivadas. podemos ayudar al gerente a responder las interrogantes anteriores . Pero antes debemos tener conocimiento sobre algunos conceptos relacionados con economía… . Estos son: . Ingreso promedio (Ip) es el ingreso total dividido entre el numero de artículos producidos o de servicios prestados. . Se calcula multiplicando el número de productos vendidos o de servicios prestados por el precio (p) del producto o servicio.Ingreso (I) cantidad de dinero total que recibe una empresa por la venta de sus productos o por prestar servicios. Costo promedio (Cp) es el costo total dividido entre el numero de artículos producidos o de servicios prestados. .Costo (C) inversión total que realiza una empresa en la fabricación de algún producto o la manutención de algún servicio que presta. Se puede dividir en fijo o variable (dependiendo de la cantidad de unidades producidas o servicios prestados). Se calcula restándole al ingreso total el costo total de producción y distribución.Ganancia o beneficio (G) Generalmente es la utilidad obtenida de una actividad económica. . Ganancia o beneficio promedio (Gp) es la ganancia total dividida entre el numero de artículos producidos o de servicios prestados. También es importante que sepas sobre… . EL ANÁLISIS MARGINAL que estudia la razón de cambio de las cantidades económicas . Así, debes tomar en cuenta las siguientes definiciones: Ingreso marginal Representa las entradas, ganancias o beneficios de adicionales de una empresa por artículo adicional vendido o por servicio adicional prestado cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos o el número de servicios prestados. Esto es la taza con la que crece el ingreso con respecto al incremento en el volumen del volumen de ventas o del servicio prestado. Costo marginal Se define como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Así se puede pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Es decir, es el costo adicional al producir un artículo extra por encima de un límite de producción. si la producción o el servicio prestado sufre un pequeño incremento. .Ganancia marginal Representa la ganancia adicional por artículo. Ahora bien. ya en conocimiento de esas definiciones podemos representarlas matemáticamente . . o cantidad de servicios que presta (suponga que es un solo producto o que presta un solo servicio).Si llamamos X a la cantidad de producto que comercia o produce una empresa . ésta representaría nuestra variable. Entonces… . I(x) sería la función ”Ingreso” Ip(x) sería la función ”Ingreso promedio” C(x) sería la función “costo” Cp(x) sería la función “costo promedio” G(x) sería la función “Ganancia” Gp(x) sería la función “Ganancia promedio” . Ya representadas simbólicamente las definiciones de interés. procedemos a relacionarlas matemáticamente . INGRESO (I) Es igual a la multiplicación del número de productos vendidos o servicios prestados por el precio de cada producto o de cada servicio. Simbólicamente es: I (x)= xp(x) . Simbólicamente es: G(x)= I(x)-C(x) .GANANCIA TOTAL Ganancia total es igual a la diferencia del ingreso total y el costo total del producto o servicio prestado . a l ingreso total se le resta el costo total y se obtiene el valor de la ganancia. es decir. En relación al análisis marginal… . I´(x) representa la función Ingreso Marginal C´(x) representa la función Costo marginal G´(x) representa la función Ganancia marginal . Si le damos a esta funciones marginales su significado matemático tendremos: . entonces.INGRESO MARGINAL “I´(x)” Si el número de artículos vendidos se incrementa de x a (x + x ). existe un incremento correspondiente en el ingreso dado por: I(x) = Nuevo ingreso – Ingreso original = I(x + x) -I(x) . En conclusión el ingreso marginal se define como la derivada I´(x) I ( x) I ´( x) lim x 0 x .El incremento promedio en el ingreso por artículo adicional vendido. se obtiene dividiendo entre el número de artículos adicionales. lo que da I ( x) I ( x) x El valor límite de este promedio cuando x 0 da el ingreso marginal. Así pues. el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido o servicio adicional prestado cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos o servicios prestados. el costo marginal se define por: Es claro que esta ecuación no es otra cosa que la derivada de la función de costo con respecto a la cantidad producida.Se define c(x) como el costo total en función del número de artículos producidos x. . Representa a utilidad adicional por artículo.La derivada G’(x) se denomina ganancia marginal. si la producción sufre un pequeño incremento. . pero antes. demos un repaso por lo que hemos aprendido sobre máximos y mínimo de funciones y el criterio de la primera y segunda derivada para hallarlos .Ya casi estamos listos para ayudar al gerente a responder sus interrogantes. Máximos y mínimos de una función . Criterio de la primera derivada para hallar máximos y mínimos . Criterio de la segunda derivada para hallar máximos y mínimos . Al fin estamos listos para comenzar a usas las derivadas para darle respuesta a las interrogantes de la situación inicial RECORDEMOS… . se desocupa una habitación. . Si el mantenimiento (limpieza. entre otros) de cada habitación es de 40 bolívares fuertes.Un hotel tiene 71 habitaciones. lavado. el gerente ha observado que cuando la tarifa por habitación es de 180 bolívares fuertes todas las habitaciones son alquiladas. y por cada 20 bolívares de aumento en la tarifa. el gerente del hotel desea saber… . ¿Qué tarifa debe cobrar para obtener máxima ganancia? . ¿Cuántas habitaciones se deben ocupar con esa tarifa que de la máxima ganancia? . ¿Qué información tenemos de la situación inicial dada? . .Podemos llamar “x” al número de habitaciones desocupadas. entonces (71-x) representa el número de habitaciones ocupadas y “x” esta comprendida entre 0 y 71 incluyendo estos valores extremos. G(x) representa la ganancia que el gerente percibe del hotel . La tarifa del servicio prestado por habitación alquilada es de 180 bolívares fuertes más 20 bolívares que pueden incrementarse por habitación. el ingreso puede expresarse de la siguiente manera: I(x)=(71-x)(180+20x) . Entonces.I(71-x) representa el ingreso que se percibe multiplicando el número de habitaciones ocupadas por la tarifa por el servicio prestado. Además recordemos que: G(x)= I(x)-C(x) Adaptando esa expresión a la situación planteada tenemos que : G(x)=(habitaciones ocupadas)(tarifa habitación)-40(habitaciones ocupadas) por Simbólicamente se expresa como: G(x)=(71-x)(180+20x)-40(71-x) . que luego de desarrollar los factores y operar nos queda: G( x) 9940 1280 x 20 x Entonces hallamos máximo de G(x)… 2 el .En ese sentido. la primera pregunta: ¿Cuántas habitaciones se deben ocupar con esa tarifa que de la máxima ganancia? Puede interpretarse como el valor máximo de G(x). 71] Evaluamos cuándo G´(X)=0. 71] .En primer lugar hallamos los puntos críticos: G´(x)= 1280-40x (función ganancia marginal) en el intervalo [0. entonces 1280-40x=0 x= 32 Despejando x tenemos que (único punto crítico y pertenece al intervalo [0. EN SEGUNDO LUGAR EVALUAMOS EN G(x) los valores: G(0). G(71) Y G(32) G(0) 9940 1280. 32 30420 2 GANANCIA MÁXIMA .0 20.0 9940 Ganancia con todas las habitaciones ocupadas G(71) 9940 1280 71 20 71 0 Ganancia con todas las habitaciones desocupadas 2 2 G(32) 9940 1280 32 20.LUEGO. Esa ganancia se obtiene cobrando la tarifa de: 180+20 (32)=660 bolívares fuertes por habitación . Ya que hemos encontrado respuesta al primera interrogante. responder la segunda pregunta resulta trivial… Con la tarifa de 660 bolívares fuertes se alquilan 71-32=39 habitaciones . Ahora vamos a repasar los pasos que implícitamente seguimos para hallar la respuesta a las interrogantes planteadas y que seguiremos usando en situaciones similares próximamente… . Así. podemos concluir que Las herramientas presentadas para esta situación. el costo y el ingreso total de cierto producto o servicio. permiten resolver un sin número de situaciones relacionadas con la ganancia. de esta manera estás invitado a resolver los siguientes problemas: . Hallar la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los datos del problema. .1.. -Si la función depende de más de una variable. .2. hay que buscar relaciones entre ellas hasta poder dejar la función dependiendo de una sola. .Calcular los extremos de la función (máximos y mínimos).3.. ..4.Interpretar los resultados en el contexto del problema. Colombia: Fundación Universitaria . (2008). J. G. Cálculo. (2005). Cálculo diferencial con funciones trascendentales tempranas para ciencias e ingeniería. Barquisimeto: Hipotenusa. Facultad de ciencias administrativas económicas y contables. •Posada. guía didáctica y módulo.Bibliografía Consultada •Sáenz.
Report "Aplicaciones de La Derivada en Administración y Economia"