Aplicaciones de La Derivada a La Economía.doc

Jennifer Paez MezaAPLICACIONES DE LA DERIVADA A LA ECONOMÍA 1. Supóngase que el costo total semanal, en dólares, de producción de x refrigeradores por la compañía Polaraire está dado por la función de costo total C(x) = 8000 + 200x - 0.2x2 0 < x < 400 a. ¿Cuál es el costo real de la producción del refrigerador 251? El costo actual incurrido un producir el refrigerador 251 es la diferencia entre el costo total incurrido en producir los primeros 251 refrigeradores y el costo total de producir los primeros 250 refrigeradores: 𝐶(251) − 𝐶(250) = [−8000 + 200(251) − 0.2(251)2 − [−8000 + 200(250) − 0.2(250)2 =45599,8 -45000= 99,80 El costo incurrido es de $99.80 b. ¿Cuál es la razón de cambio del costo total con respecto de x cuando x = 250? La razón de cambio del costo total de la función C con respecto a la x es dado por la derivada de C que es, 𝐶 ′ (𝑥) = 200 − 0,4𝑥. Así, cuando el nivel de producción son 250 refrigeradores, la razón de cambio del costo total con respecto a x es dado por: 𝐶 ′ (250) = 200 − 0,4(250) = 100 La razón de cambio será de $100 2. Supóngase que la relación entre el precio unitario la cantidad demandada x del sistema de sonido de Acrosonic está dada por la ecuación p = - 0.02x + 400 0 < x < 20 000 a. ¿Cuál es la función de ingreso R? La función de ingreso está dada por 𝑅(𝑥) = 𝑝𝑥 = 𝑥(−0.02𝑥 + 400) = −0.02𝑥 2 + 400𝑥 (0 ≤ 𝑥 ≤ 20.000) b. ¿Cuál es la función de ingreso marginal R'? La función de ingreso marginal R’ está dada por: 𝑅 ′ (𝑥) = −0.04𝑥 + 400 c. Calcular R'(2000) e interpretar los resultados Jennifer Paez Meza Los resultados de R’(2000) está dado de la siguiente manera: R’(2000) = −0.04(2000) + 400 = 320 Tenemos que el ingreso actual obtenido de la venta del sistema de sonido 2001 es aproximadamente $320 3. Supóngase que la relación entre el precio unitario la cantidad demandada x del sistema de sonido de Acrosonic está dada por la ecuación p = - 0.02x + 400 0 < x < 20 000, y supóngase que el costo de producción de unidades del sistema de sonido modelo F de Acrosonic es C(x) =110x + 200.000 dólares. a. ¿Cuál es la función de ganancia P? Tenemos que la función p también llamada como función de relación está dada por: 𝑝(𝑥) = −0.02𝑥 + 400𝑥 De esta manera la función de ganancia P está dada por: 𝑃(𝑥) = 𝑝(𝑥) − 𝐶(𝑥) = (−0.02x 2 + 400x) − (110𝑥 + 200000) 𝑃(𝑥) = −0.02x 2+300x-200000 b. ¿Cuál es la función de ganancia marginal P'? La función de ganancia marginal está dada por la derivada de P, de esta manera: 𝑃′ (𝑥) = −0.04𝑥 + 300 c. Calcular P’(2000) e interpretar el resultado. El P’(2000) está dado de la siguiente forma: 𝑃′ (2000) = −0.04(2000) + 300 = 220 Esto quiere decir que el beneficio actual del sistema de sonido 2001 será de aproximadamente de $220 4. Determine la elasticidad de la demanda si x = 500(10 — p) para cada valor de p. 𝑝 𝑑𝑞 La formula de la elasticidad de la demanda está dada por 𝑛 = 𝑞 . 𝑑𝑝 𝑑𝑞 Se sabe que 𝑑𝑝 =(q)’p=[500(100-p) ]=500(-1)=-500 Reemplazando (q)’p en la formula se obtiene que: −𝑝 𝑛= (−500) 500(10 − 𝑝) a. p=2 𝑛 =2 𝑝 𝑝 −2 −2 −1 − = = = 10 − 𝑝 10 − 2 8 4 Por lo tanto |1/4|<1, la demanda es inelástica Jennifer Paez Meza b. p=5 𝑛 =5 𝑝 𝑝 −5 −5 − = = = −1 10 − 𝑝 10 − 5 5 Por lo tanto, |1|=1 la demanda es unitaria 5. Un fabricante de raquetas de tenis ha determinado que el costo total C(x) (en dólares) por la producción de x raquetas por día, esta dado por p  10  0.0004 X . Cada raqueta debe venderse a un precio de p dólares, donde p se relaciona con x mediante la ecuación de demanda. Si es posible vender todas las raquetas fabricadas ¿Cuál es el nivel diario de producción que rinde la ganancia máxima para el fabricante? G(x)=I(x)-C(x) Como I(x)=p(x)*x 𝐺(𝑥) = [(10 − 0.0004𝑥) ∗ 𝑥] − [(400 + 4𝑥 + 0.0001𝑥 2 )] 𝐺(𝑥) = 10𝑥 − 0.0004 𝑥 2 − 400 − 4𝑥 − 0.0001𝑥 2 𝐺(𝑥) = −0.0005𝑥 2 + 6𝑥 − 400 𝐺 ′ (𝑥) = −0.001𝑥 + 6=0 6 𝑥= = 6000 0.001 Debe producirse diariamente 6000 raquetas 6. La demanda semanal del televisor a color de 25 pulgadas de Pulsar está dada por la ecuación de demanda P  0.05 X  600 (0  X  12000) , donde p denota el precio unitario al mayoreo, en dólares, y x denota la cantidad demandada. La función de costo total semanal relacionada con la fabricación de estos televisores está dada por C ( X )  0.000002 X 3  0.03 X 2  400 X  80000 , donde C(x) denota el costo total por la producción de x televisores. Encuentre el nivel de producción que rinde la ganancia máxima para el fabricante. Sugerencia: utilice la formula cuadrática G(x)=I(x)-C(x) Como I(x)=p(x)*x 𝐺(𝑥) = (−0.05𝑥 + 600) ∗ 𝑥 − (0.000002𝑥 3 − 0.02𝑥 2 + 400𝑥 + 80000) 𝐺(𝑥) = −0.05𝑥 2 + 600𝑥 − 0.000002𝑥 3 + 0.02𝑥 2 − 400𝑥 − 80000 𝐺(𝑥) = −0.000002𝑥 3 − 0.03𝑥 2 + 200𝑥 − 80000 𝐺 ′(𝑥) = −0.000006𝑥 2 − 0.06𝑥 + 200 Jennifer Paez Meza −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 −(−0.06) ± √−0.062 − 4(−0.000006)(200) 𝑥= 2(0.000006) 0.06 ± √0.0084 𝑥 = −0.000012 𝑥1 = 2637.63 𝑥2 = −12638 Se deben fabricar 2638 televisores aproximadamente para obtener la máxima ganancia.