Aplicaciones básicas de los circuitos RLC

Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos IIDavid Espinosa Página 1 Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II CONTENIDO TEMA..............................................................................................................1 OBJETIVO GENERAL........................................................................................1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS................................................................................1 MARCO TEÓRICO............................................................................................2 Conceptos básicos......................................................................................2 Funciones singulares...................................................................................3 Función paso, escalón o Función de Heaviside........................................3 Función impulso.......................................................................................4 Función rampa.........................................................................................4 Circuitos de primer orden...........................................................................4 Circuito RC sin fuente..............................................................................5 Circuito RL sin fuente...............................................................................5 Respuesta del circuito RC a una función paso (de voltaje)......................5 Respuesta del circuito RL a una función paso (de corriente)...................6 Circuitos de segundo orden........................................................................7 Valores iniciales.......................................................................................8 Circuito RLC en serie sin fuente...............................................................8 Circuito RLC en paralelo sin fuente..........................................................9 Respuesta completa del circuito RLC en serie a la función paso...........11 Respuesta completa del circuito RLC en paralelo a la función paso......11 ¿Cuál es la importancia de conocer la respuesta transitoria y completa de los circuitos de primer y segundo orden?.........................................12 APLICACIONES DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN........................................13 Unidad de flash fotográfico.......................................................................13 Circuitos relevadores................................................................................16 Circuito de encendido de un automóvil.....................................................20 Comparador..............................................................................................21 Diferenciador............................................................................................24 APLICACIONES DE CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN....................................26 Circuito de encendido de un automóvil.....................................................26 4º “A”. Electrónica, Automatización y Control Página 2 Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Disparador de bolsa de aire......................................................................30 Celdas fotovoltaicas..................................................................................33 Circuitos suavizadores..............................................................................36 Detector de humo.....................................................................................40 CONCLUSIONES............................................................................................43 RECOMENDACIONES....................................................................................44 BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................45 BIBLIOGRAFÍA David Espinosa Página 3 Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II 4º “A”. Electrónica, Automatización y Control Página 4 Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEBER CONJUNTO DEL PRIMER PARCIAL Nombre: David Espinosa Paralelo: 4º “A”. Electrónica, Automatización y Control Fecha: 2009-11-05 TEMA APLICACIONES DE LOS CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN (RL Y RC), Y DE SEGUNDO ORDEN, AL USAR FUENTES DC. OBJETIVO GENERAL • Conocer la respuesta completa de circuitos de primer y segundo orden cuando son excitados por funciones paso. Utilizar dichos conocimientos en el diseño y simulación de aplicaciones sencillas que usan todos los estamentos mencionados. OBJETIVOS ESPECÍFICOS • • • • Conocer la respuesta de un circuito RL cuando no existen fuentes externas de excitación, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseño y simulación de aplicaciones simples. Conocer la respuesta de un circuito RC cuando no existen fuentes externas de excitación, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseño y simulación de aplicaciones simples. Conocer la respuesta de un circuito RLC en serie cuando no existen fuentes externas de excitación, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseño y simulación de aplicaciones simples. Conocer la respuesta de un circuito RLC en paralelo cuando no existen fuentes externas de excitación, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseño y simulación de aplicaciones simples. David Espinosa Página 1 Es necesario mencionar que el análisis de circuitos en el dominio del tiempo requiere cierto conocimiento de la resolución de ecuaciones diferenciales. con elementos almacenadores de energía. y prevenir fallas en diseños más elaborados. Partamos entonces del hecho de que todos los circuitos se pueden representar de la siguiente forma: El anterior esquema puede ser representado mediante la siguiente ecuación diferencial: andny(t)dtn+an-1dn-1y(t)dtn-1+…+a1d y(t)dt1+a0yt= bmdmx(t)dtm+bm-1dm-1x(t)dtm-1+…+b1d x(t)dt1+b0xt David Espinosa Página 1 . dichos circuitos no presentan el comportamiento que deberían tener idealmente. se ha reducido únicamente al tratamiento de elementos puramente resistivos. Los circuitos que a continuación se analizan tienen prácticamente todos los elementos (activos y pasivos) que se ha venido tratando desde el curso de Circuitos Eléctricos I. durante un corto período de tiempo. dichos fasores no hacen sino expresar a un elemento como una impedancia más. pero sin embargo. que damos por sentado que ya están terminados pero que a la hora de la verdad. fallan de manera “incomprensible”. que a grosso modo podríamos decir “se trata del valor de una resistencia en el plano complejo”. y usando fuentes DC. Y es precisamente aquí donde radica la ventaja del análisis en el dominio del tiempo: nos permite obtener respuestas de estos circuitos más acercadas a la realidad. no permite un análisis concienzudo desde el punto de vista de la realidad del circuito en cuestión. si sé que dichos elementos se reducen simplemente a cortocircuitos y circuitos abiertos? Como veremos a continuación. pues la respuesta de dichos circuitos se reduce simplemente a ecuaciones de este tipo. se los analizará en el dominio del tiempo. Y si bien es cierto que esta herramienta matemática facilita sobremanera los cálculos. Y el lector podrá preguntarse con justicia: ¿Qué sentido tiene usar elementos almacenadores de energía con fuentes DC. Si bien es cierto el lector también habrá tenido oportunidad de trabajar con fasores y obviamente.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II MARCO TEÓRICO Conceptos básicos El análisis de circuitos hasta este punto. El presente trabajo centrará su estudio únicamente en circuitos de primer orden (RL y RC). sea por modificación de algunos elementos de la red. La transición de estados se realizará usando interruptores. en este caso se debe hallar una respuesta que satisfaga la ecuación diferencial no homogénea. habrá una variación abrupta de los valores de corriente o voltaje para los elementos del circuito. tomándose en cuenta como variables de entrada las fuentes de excitación en la red. la respuesta de una ecuación diferencial siempre posee dos componentes: la respuesta libre o natural y la componente particular o forzada. El régimen transitorio es el período de tiempo en el que se hace pasar un circuito de un estado a otro. David Espinosa Página 3 . Esta variación abrupta se puede representar fácilmente al utilizar la función paso.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II El orden ‘n’ de la ecuación diferencial dependerá del número de elementos pasivos no reducibles del circuito eléctrico. escalón o de Heaviside. y el grado ‘m’ de la función de excitación depende del número de fuentes presentes en el mismo. Esta componente resulta importante al existir transiciones de estado en el circuito. si tomamos en cuenta que: sn=dndtn La componente natural se obtendrá de resolver la ecuación diferencia homogénea. usaremos como fuentes de excitación a fuentes DC de corriente o de voltaje. y de segundo orden (RLC en serie y paralelo) para fuentes de DC. Dichas funciones se detallan brevemente a continuación. o energización. Funciones singulares Como hemos dicho para el análisis de este tipo de circuitos. En consecuencia. lo cual produce una variación del las magnitudes de los voltajes o corrientes de los elementos de un valor inicial a un valor final. Es por esta razón que la componente natural define el análisis del régimen transitorio de la red. La componente particular se obtiene de resolver la ecuación diferencial no homogénea. Dichas componentes son mucho más fáciles de encontrar al usar el operador ‘s’. generalmente producidos por elementos mecánicos (interruptores). Como es sabido. De esta función se verán derivadas otras dos funciones adicionales que ayudarán también en la resolución (o planteamiento) de ciertos problemas. Esta componente identifica el tipo de elementos presentes en el circuito y además representa el comportamiento del circuito en ausencia de excitaciones (fuentes de voltaje o corriente). capacitores e inductores) y también por elementos activos (amplificador operacional. Ut- Está definida por: t0=0 si t<t01 si t>t0 Función impulso δtδt- Está definida por: En consecuencia: t0=d[U(t-t0)]dx t0=0 si t<t0Indefinido si t=t00 si t>t0 Función rampa rtUt- Está definida por: En consecuencia: t0=d[r(t-t0)]dx t0=0 si t<t0t si t>t0 Circuitos de primer orden Un circuito de primer orden está caracterizado por una ecuación diferencial de primer orden. usaremos las Leyes de Kirchhoff. o AO). Entonces. Para deducir su funcionamiento. Se debe notar David Espinosa Página 1 .Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Función paso. y luego se hará 1. escalón o Función de Heaviside Es una función que será 0 hasta un tiempo t0. Una combinación de estos resulta en un circuito de primer orden. cualquier valor que esté multiplicado por esta función será 0 hasta el tiempo t0 y luego tomará su valor original. sea circuito RL o RC. Este circuito por lo general estará formado por elementos pasivos (resistencias. Automatización y Control Página 2 . Circuito RC sin fuente Si Vc(0-)=V(0-)=Vo LCK nodo A: Ir=-Ic VR=-CdVdt dVdt+VRC=0 V=Vo*e-tτ τ=RC Circuito RL sin fuente Si i(0-)=Io LVK en la malla: VL=VR Ldidt=-Ri Ldidt+RLi=0 i=Io*e-tτ τ=LR Respuesta del circuito RC a una función paso (de voltaje) Para t<0: Vc0-=V0-=V0+=V0=Vo Para t>0 el circuito se verá así: 4º “A”. Electrónica. Esto se considerará como un hecho para todos los análisis subsiguientes.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II también que el valor de voltaje o corriente sobre un elemento almacenador de energía no puede variar abruptamente. para nuestros propósitos afirmaremos que Vc(t)=V(t). podemos generalizar la ecuación: Vt=V(∞)+(V(0)-V(∞))e-tτ Respuesta del circuito RL a una función paso (de corriente) Para t<0: IL0-=I0-=I0+=I0=Io Para t>0 el circuito se verá así: David Espinosa Página 2 .Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Debemos hallar el valor del V(t) sobre el capacitor. Aplicando LVK tenemos: Vs-Vr-Vc=0 Vr+Vc=Vs Ri+Vc=Vs R(CdVcdt)+Vc=Vs R(CdVcdt)+Vc=Vs dVcdt+VcRC=VsRC -VoV(t)dVcVc-Vs=0tdtRC ln⁡(Vc-Vs)V0V(t)=-tRC lnVt-Vs-ln⁡(Vo-Vs)=-tRC Vt-VsVo-Vs=e-tRC Vt=Vs+(Vo-Vs)e-tRC Como V∞=Vs en el capacitor. y τ=RC. Primero analizaremos circuitos sin fuente lo que nos dará la respuesta natural de los elementos. Consideraremos que los circuitos están excitados inicialmente. El análisis de circuitos de segundo orden es similar a los de primer orden.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Debemos hallar el valor del i(t) sobre el inductor. Aplicando LCK tenemos: VR+IL=Is 1R(LdiLdt)+iL=Is diLdt+RLiL=RLIs -Ioi(t)dVciL-Is=0tRLdt ln⁡(iL-Is)V0i(t)=-RLt lnit-Is-ln⁡(Io-Is)=-RLt it-IsIo-Is=e-RLt It=Is+(Io-Vs)e-RLt Is=Ir+IL Como i∞=Is en el inductor. y que los elementos almacenadores adquirirán condiciones iniciales. Aquí tenemos también respuestas naturales y forzadas. para nuestros propósitos afirmaremos que iL(t)=i(t). para hallar la respuesta completa de circuitos RL y RC es necesario hallar las condiciones iniciales (t<0). y el equivalente de por lo menos 2 elementos almacenadores de energía. Vamos a considerar solo fuentes independientes en este trabajo. condiciones finales y constante de tiempo τ (t>0) del circuito. podemos generalizar la ecuación: it=i(∞)+(i(0)-i(∞))e-tτ Como conclusión. David Espinosa Página 1 . Circuitos de segundo orden Un circuito de segundo orden está caracterizado por una ecuación diferencial de 2º orden. y τ=RL. ddtV0 . veremos que el análisis de circuitos de segundo orden se reduce únicamente a la búsqueda de las condiciones iniciales del circuito.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Valores iniciales Posteriormente.Frecuencia de resonancia o frecuencia natural amortiguada rads ωd2=ω02-α2. ddtI0 . V(∞) • Para el inductor: I0 . las soluciones se simplifican a lo siguiente: s1=-α+α2-ω02 David Espinosa y Página 1 s2=-α-α2-ω02 . Dichas condiciones iniciales son: • Para el capacitor: V0 . tenemos: s2+RLs+1LCi=0 Las soluciones son: s1=-R2L+R2L2-1LC y s2=-R2L-R2L2-1LC Donde s1 y s2 se miden en Nepers [Np]..Frecuencia de Neper o factor de amortiguamiento Nps ω0=1LC... I(∞) Circuito RLC en serie sin fuente Aplicando LVK en la malla. tenemos: Vc+Vr+VL=0 1Cidt+Io+Ri+Ldidt=0 Derivando una vez más. Más generalmente podemos afirmar lo siguiente: • • • α=R2L.Frecuencia de amortiguamiento no En consecuencia. con respecto a t: Ld2idt2+Rdidt+iC=0 d2idt2+RLdidt+iLC=0 Usando el operador ‘s’. Para ello. A1 y A2 (B1 y B2). Ya solo queda resolver este sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas. con lo que se obtiene una primera ecuación lineal. La solución de la ecuación diferencial es: Vt=A1es1t+A2tes2t 3) CASO SUBAMORTIGUADO (α < ω0). Luego se iguala d[x(0)]/dt con la primera derivada de la solución de la ecuación diferencial en la que se hace t=0. s2 son reales e iguales. se tendrán los distintos tipos de respuestas: 1) CASO AMORTIGUADO (α > ω0). La solución de la ecuación diferencial es: Vt=A1es1t+A2es2t 2) CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO (α = ω0).s1. B2) se hallan mediante las condiciones iniciales del circuito. La solución de la ecuación diferencial es: Vt=e-αtB1*cosωd+B2*sinωd Para todos los casos.. (He aquí el interés de hallar dichas condiciones). A2 (y B1.s1. de la forma -α±jωd. se iguala x(0) con la solución de la ecuación diferencial en la que se hace t=0.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Dependiendo de α y ω0.. con lo que se obtiene una segunda ecuación lineal. las constantes A1. Circuito RLC en paralelo sin fuente Aplicando LCK en el nodo A. s2 son reales y diferentes. tenemos: Ic+Ir+IL=0 CdVdt+Vr+1LVdt+Vo=0 Derivando una vez más con respecto a t: David Espinosa Página 3 . s2 son imaginarias y diferentes..s1. B2) se hallan mediante las condiciones iniciales del circuito. las constantes A1.Frecuencia de resonancia o frecuencia natural amortiguada rads ωd2=ω02-α2. s2 son reales y diferentes. David Espinosa Página 3 .s1. Para ello.s1. Más generalmente podemos afirmar lo siguiente: • • • α=12RC.. A1 y A2 (B1 y B2).s1.. La solución de la ecuación diferencial es: Vt=e-αtB1*cosωd+B2*sinωd Para todos los casos. s2 son reales e iguales. La solución de la ecuación diferencial es: Vt=A1es1t+A2es2t 2) CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO (α = ω0). La solución de la ecuación diferencial es: Vt=A1es1t+A2tes2t 3) CASO SUBAMORTIGUADO (α < ω0). con lo que se obtiene una primera ecuación lineal..Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Cd2Vdt2+1RdVdt+VL=0 d2Vdt2+1RCdVdt+VLC=0 Usando el operador ‘s’.. s2 son imaginarias y diferentes. de la forma -α±jωd. se iguala x(0) con la solución de la ecuación diferencial en la que se hace t=0. (He aquí el interés de hallar dichas condiciones). las soluciones se simplifican a lo siguiente: s1=-α+α2-ω02 y s2=-α-α2-ω02 Dependiendo de α y ω0.Frecuencia de Neper o factor de amortiguamiento Nps ω0=1LC.Frecuencia de amortiguamiento no En consecuencia. Ya solo queda resolver este sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas. tenemos: s2+1RCs+1LCV=0 Las soluciones son: s1=-12RC+12RC2-1LC y s2=-12RC-12RC2-1LC Donde s1 y s2 se miden en Nepers [Np].. se tendrán los distintos tipos de respuestas: 1) CASO AMORTIGUADO (α > ω0). A2 (y B1. con lo que se obtiene una segunda ecuación lineal. Luego se iguala d[x(0)]/dt con la primera derivada de la solución de la ecuación diferencial en la que se hace t=0.. el voltaje sobre el capacitor será el mismo que el de la fuente. que el análisis de circuitos de segundo orden es análogo a los de primer grado. que el análisis de circuitos de segundo orden es análogo a los de primer grado. Bien. deducir las respuestas completas: 1) CASO AMORTIGUADO: Vt=Vs+A1es1t+A2es2t 2) CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO: Vt=Vs+A1es1t+A2tes2t 3) CASO SUBAMORTIGUADO: Vt=Vs+e-αtB1*cosωd+B2*sinωd Respuesta completa del circuito RLC en paralelo a la función paso Es necesario recordar en este punto. Y también es sabido que la respuesta completa de un circuito con elementos almacenadores de energía es igual a la suma de su respuesta natural y forzada. Bien. el análisis se David Espinosa Página 1 .Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Respuesta completa del circuito RLC en serie a la función paso Es necesario recordar en este punto. Es pues. fácil. el circuito sobre estas líneas se verá como el que se muestra a continuación: La bobina se comportará como un cortocircuito. mientras que el capacitor se comportará como un circuito abierto. Vs. el análisis se facilita muchísimo al aplicar este concepto. Para estado estable. Como el parámetro que aquí nos interesa es el voltaje del capacitor. podemos ver fácilmente que para el estado estable. Y también es sabido que la respuesta completa de un circuito con elementos almacenadores de energía es igual a la suma de su respuesta natural y forzada. Es pues. y se ha considerado importante incluir también aplicaciones que involucran AOPs. mientras que el capacitor se comportará como un circuito abierto. para darle mayor gama e interés. 4º “A”. deducir las respuestas completas: 1) CASO AMORTIGUADO: it=Is+A1es1t+A2es2t 2) CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO: it=Is+A1es1t+A2tes2t 3) CASO SUBAMORTIGUADO: it=Is+e-αtB1*cosωd+B2*sinωd ¿Cuál es la importancia de conocer la respuesta transitoria y completa de los circuitos de primer y segundo orden? Como veremos en posteriores páginas. Las aplicaciones que a continuación se detallan. Existen 5 aplicaciones de cada caso. Electrónica. la corriente sobre el inductor será el mismo que el de la fuente. Sin embargo. y un ejemplo con valores reales. Para todos los casos. Para estado estable.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II facilita muchísimo al aplicar este concepto. se deduce la fórmula que defina la respuesta completa de cada circuito. los circuitos de primer y segundo orden tienen una considerable cantidad de aplicaciones en la vida práctica. Is. Como el parámetro que aquí nos interesa es la corriente sobre el inductor. fácil. se dividen en dos partes: aplicaciones de circuitos de primer grado y aplicaciones de circuitos de segundo grado. No obstante. y que son el tópico fundamental en el desarrollo de este trabajo. podemos ver fácilmente que para el estado estable. Automatización y Control Página 2 . y que usan dichos circuitos. existen varias aplicaciones que son bastante comunes en la vida cotidiana. el circuito sobre estas líneas se verá como el que se muestra a continuación: La bobina se comportará como un cortocircuito. dicho número de aplicaciones se ve reducido al usar únicamente respuestas paso de voltaje o corriente. y sus respectivas respuestas completas a las funciones paso. incluso asociados con elementos activos como amplificadores operacionales. Esta aplicación aprovecha la propiedad del capacitor para oponerse a cambios abruptos de tensión. Éste consta en esencia de una fuente de alta tensión de corriente continua Vs. la ecuación que define el voltaje del capacitor en el período de carga es: Vct+10=Vs+0-Vse-t+10R1C Vct+10=240+0-240e-t1000*2000*10-6 Vct+10=2401-e-t+102 David Espinosa Página 2 . y un capacitor C en paralelo con la lámpara del flash de baja resistencia R2. un resistor limitador de corriente grande R1. Figura 1. debido a la elevada constante de tiempo (τ1=R1*C). mientras que su corriente decrece en forma gradual de I1=Vs/R1 a cero. Como se muestra en la Gráfica 1. el capacitor se carga lentamente.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II APLICACIONES DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Unidad de flash fotográfico Una unidad de flash fotográfico constituye un ejemplo típico de aplicación de circuito RC. El tiempo de carga es aproximadamente 5 veces la constante de tiempo: tcarga=5R1C tcarga=5*1000*2000*10-6 tcarga=10[s] Para tener una ecuación que coincida con el accionar del interruptor en t=0 en su caso más crítico. En la Figura 1 se tiene un circuito simplificado. la tensión del capacitor aumenta de forma gradual de cero a Vs. Circuito básico de un flash fotográfico Cuando el interruptor está en la posición 1. y para centrarnos en nuestro circuito. como es de esperarse. tendrá una forma exponencial. La descarga tiene lugar en aproximadamente cinco veces la constante de tiempo: tdescarga=5R2C tdescarga=5*12*2000*10-6 tdescarga=0. Respuesta completa del voltaje del capacitor para la unidad de flash fotográfico Sin embargo. La respuesta completa de este circuito será: Vct[V]=240 si t<0240e-125t3 si t>0 David Espinosa Página 1 . asumiremos el interruptor ha permanecido en su posición original por un largo período de tiempo. la tensión del capacitor se descarga.12[s] En esta instancia.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Gráfica 1. la respuesta de este circuito es más fácil de obtener. Cuando el interruptor se acciona a t=0. pues conocemos sus condiciones iniciales y finales: V0-=V0+=V0=240[V] . La baja resistencia R2 de la lámpara permite una alta corriente de descarga con I2=Vs/R2 en un lapso breve. V∞=0[V] Vct=V(∞)+V(0)-V(∞)e-tR2C Vct=0+240-0e-t12*2000*10-6 Vct=240e-125t3 La descarga. como se observa en la Gráfica 2. Respuesta completa de la unidad de flash fotográfico Al ubicar un osciloscopio virtual entre los terminales del capacitor. se obtuvieron resultados similares a los obtenidos mediante los cálculos: Simulación 1.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Gráfica 2. Unidad de flash fotográfico David Espinosa Página 1 . La corriente de la bobina aumenta en forma gradual y produce un campo magnético. el circuito RC simple de la Figura 1 proporciona un pulso de corta duración y alta corriente. Figura 2. En la Figura 2 se muestra un circuito relevador usual. el circuito de la bobina se activa. se dice que el relevador está activado. El circuito de la bobina es un circuito RL como el de la Figura 3. En ese momento.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Así. donde R y L son la resistencia y la inductancia de la bobina. El tiempo td entre el cierre de los interruptores S1 y S2 se llama tiempo de retraso del relevador. Tal circuito también es aplicado en la electrosoldadura de punto y el tubo transmisor de radar. Los relevadores se emplearon en los primeros circuitos digitales y aún se usan en circuitos de conmutación de alta potencia. Cuando el interruptor S1 de la Figura 2 se cierra. Circuito relevador David Espinosa Página 3 . Circuitos relevadores Un interruptor controlado magnéticamente se denomina relevador (o popularmente conocido como relé). A la larga el campo magnético es suficientemente fuerte para atraer al contacto móvil del otro circuito y cerrar el interruptor S2. Es esencialmente un dispositivo electromagnético que sirve para abrir o cerrar un interruptor que controla a otro circuito. pues la bobina se comportará como un cortocircuito. En consecuencia: I∞=VsR=12200=350[A] La constante de tiempo estará determinada por: τ=LR=0. David Espinosa Página 3 .Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Figura 3.5[ms] La corriente en el circuito estará determinada por: it=I(∞)+I(0)-I(∞)e-t2. tenemos entre manos un circuito RL en serie. la respuesta completa del circuito mostrado en la Figura 3. misma que se puede visualizar en la Gráfica 3.5*10-3 it=3501-e-400t [A] Así. La corriente que atravesará la bobina cuando haya transcurrido un largo período de tiempo será Vs/R.5*10-3 it=350+0-350e-t2. obtenemos la respuesta del circuito. Para t>0. Circuito relevador para el análisis Analicemos entonces.5200=2. Para antes de t=0. tenemos que la corriente que fluye por el circuito es I(0)=0A. así que de manera general asumiremos I(0)=Io. aunque este puede no ser el caso. Si sabemos que: VL(t)=Lditdt=0. Determinar este tiempo de retraso no es muy difícil.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Gráfica 3. Si la corriente a la que se activa el relevador es Imin. usaremos el voltaje que cae sobre la bobina. Partimos de: it=I(∞)+I(0)-I(∞)e-t2. estos circuitos relevadores poseen un tiempo de retraso del relevador. Respuesta completa de la corriente en el inductor del circuito relevador Como hemos mencionado. Para la simulación del circuito.5*10-3 Sabemos que la corriente que fluirá al final en el circuito es VsR. También sabemos que inicialmente la corriente en la bobina es I(0)=0A. el tiempo de retardo será: Imin=VsR+Io-VsRe-RtL Imin*R=Vs+Io*R-Vse-RtL Imin*R-VsIo*R-Vs=e-RtL lnVs-Io*RVs-Imin*R=RtL tr=LRlnVs-Io*RVs-Imin*R Siendo este tiempo calculado en segundos [s].5*ddt3501-e-400t A VL(t)=12e-400t[V] La Gráfica 4 permite visualizar la curva de voltaje sobre el inductor: David Espinosa Página 3 . Respuesta completa del voltaje sobre el inductor Si el voltaje que obtengamos en la simulación es similar al voltaje que acabamos de obtener. entonces el cálculo de la corriente sobre el inductor habrá sido el correcto.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Gráfica 4. Circuito relevador David Espinosa Página 1 . Luego: Simulación 2. Circuito de primer orden para el encendido de un automóvil Mediante la creación de una gran tensión (miles de voltios) entre los electrodos.9[V]. se puede aumentar di/dt generando un cambio de corriente alto en un tiempo muy reducido. que solo suministra 12V? Esto se logra por medio de un inductor (la bobina de chispa).Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Obtenemos un pulso de 11. se forma una chispa en ese espacio. Puesto que la tensión en el inductor V=L*di/dt. Pero. que consta en esencia de un par de electrodos separados por un entrehierro. bastante aproximado a los 12[V] que se obtienen en los cálculos. con lo que confirmamos que los cálculos fueron correctos. la corriente a través del inductor aumenta de forma gradual David Espinosa Página 3 . Esto se logra por medio de una bujía. como puede obtenerse una tensión tan grande de la batería del auto. Un sistema de encendido de coche aprovecha esa característica. El motor a gasolina de un automóvil requiere que la mezcla de combustible – aire en cada cilindro se encienda en los momentos adecuados. Cuando el interruptor de encendido de la Figura 4 se cierra. Circuito de encendido de un automóvil La capacidad de los inductores para oponerse a rápidos cambios de corriente los vuelve útiles para la generación de arcos o chispas. Figura 4. lo que enciende el combustible. El voltaje en el entrehierro VE será igual al existente entre los terminales de la bobina. Se dice que estos circuitos poseen conmutación secuencial. Supongamos que el interruptor tarde 1μs en abrirse. La conmutación secuencial ocurre cuando un circuito contiene dos o más interruptores que cambian de estado en instantes diferentes. se crea gran tensión en el inductor (debido al campo que rápidamente se colapsa). La corriente que deberá disiparse en el entre hierro es I=VsR=125A. En la Figura 5 se muestra un dispositivo llamado comparador. este mismo efecto causa un choque muy peligroso y uno debe tener cuidado. cuando uno está trabajando con circuitos inductivos. También esta vez el tiempo que tarda en cargarse el inductor es cinco veces la constante de tiempo del circuito: tcarga=5LR Dado que en estado estable i es constante. y que antes de hacerlo. 4º “A”. Así entonces afirmamos: VE=Ldi(t)dt=L∇I∇t=20*10-31252*10-6→VE=24KV∴Lo cual ya es un alto voltaje Comparador Muchas veces los circuitos contienen diversos interruptores cuyo estado no cambia al mismo tiempo. haya estado conectado un largo tiempo. lo que provoca una chispa o arco en el entrehierro. Lo verificaremos para los valores del circuito de la Figura 4. En los laboratorios. La chispa continúa hasta que la energía almacenada en el interruptor se disipa en la descarga. Automatización y Control Página 2 . Electrónica. Cuando el interruptor se abre de repente. que puede usarse para llevar a cabo esta conmutación. en algunas aplicaciones la conmutación ocurre en valores predeterminados del voltaje en lugar de hacerlo en tiempos predeterminados. puede haber dos interruptores en un circuito en el que el primero cambia de estado en el tiempo t=0 y el segundo se cierra en t=1ms. di/dt=0 y la tensión del inductor v=0.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II hasta alcanzar un valor final de i=Vs/R donde Vs=12V. Sin embargo. Por ejemplo. 1s. Como t1=0.9Ω David Espinosa Página 2 . Figura 6. La relación es: Vsalt=VA si v+>v-VB si v+<vDonde VA y VB son voltajes de polarización del comparador (Que al igual que en el caso de los Amplificadores Operacionales. obsérvese la Figura 6.1s.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Figura 5. cambie de estado en el tiempo t1=0. El voltaje de salida del comparador será uno de dos valores. V(0)=[V] y V(∞)=5[V].1=R*1*10-6*ln0-5103-5 R=91023. Comparador que usa un elemento de almacenamiento par su conmutación Se sabe que el voltaje del capacitor de este circuito de primer orden será Vct=V∞+V0-V(∞)e-tRC Sea t1 el tiempo en el que deseamos que las salida cambie de VB a VA. Un comparador Las corrientes de entrada del comparador son cero. reemplazamos en la fórmula anterior: 0. Suponer que VA=5V y VB=0V. se omiten para el análisis). Ahora. donde: VB= V∞+V0-V(∞)e-t1RC Finalmente obtenemos la relación entre los elementos integrantes de este circuito: t1=RC*lnV0-V(∞)VB-V(∞) Para demostrar la validez de esta fórmula. lo probaremos con un ejemplo: Se pide determinar el valor de la resistencia R necesaria para que la salida del comparador de la Figura 6. Aquí la comparación se realiza entre la fuente V2 y el voltaje que posee el capacitor en un determinado tiempo que puede ser determinado. Entonces VC(t1)=VB. con todos sus datos mostrados. dependiendo de los voltajes de entrada. 9*1*10-6 Vct=51-e-10. que es la salida del comparador tiene un voltaje ligeramente mayor al de V2. Vct=V∞+V0-V(∞)e-tRC Vct=5+0-5e-t91023.98t[V] La Gráfica 5 describe el comportamiento del capacitor en el comparador. Simulación 3. Respuesta completa del capacitor(verde). y salida del comparador (naranja) Como un mero dato adicional. La curva en verde es la curva del voltaje de carga en el capacitor. el resultado es el esperado: la señal en naranja. Efectivamente. confirmaremos la curva V(t) en el capacitor. Se la ha incluido para justificar la sincronía y exactitud con la que el comparador trabaja. David Espinosa Página 3 .Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Verificamos este dato en la simulación. Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Gráfica 5. David Espinosa Página 1 . Respuesta completa del voltaje en el capacitor del comparador Y una vez más. la simulación ha confirmado los cálculos. como se muestra en la Figura 7. y se obtiene a la salida la derivada de la señal de entrada. Esto se puede demostrar fácilmente si tenemos en cuenta los preceptos del AO ideal. Diferenciador Esta aplicación fue una de las más populares de los amplificadores operacionales en las primeras generaciones de computadores. y aplicamos adecuadamente los conceptos de condiciones iniciales y finales del elemento de almacenamiento. El principio de funcionamiento es sencillo: una señal ingresa a través del capacitor C. En efecto.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Figura 7. éste es el resultado que se obtiene: David Espinosa Página 1 . aplicaremos LCK en el nodo B: I3+I4=0 CdVC(t)dt+Vot-VBRf=0 Vot=-Rf*C*dVC(t)dt Por otro lado. a la salida deberíamos tener un tren de pulsos (azul). con el generador de señales introducimos a la entrada una onda triangular (rojo). Esquema básico de un diferenciador Suponiendo que el capacitor se halla cargado con un voltaje inicial Vo. sabemos que el voltaje en el capacitor VC(t) es Vct=V∞+V0-Vse-tRC Tendremos por tanto: Vot=-Rf*C*ddtVs+V0-Vse-tRC Vot=-Rf*C*ddtVs+V0-Vse-tRC Vot=Rf*C*1RCV0-Vse-tRC Vot=RfRV0-Vse-tRC Como una demostración. si a la entrada tenemos un diente de sierra de pendiente ‘m’. Diferenciador Los diferenciadores son muy versátiles en cuanto a las señales que pueden diferenciar. David Espinosa Página 1 . Así. obtendremos a la salida una señal sinusoidal. y finalmente si a la entrada tenemos una onda cuadrada. a la salida tendremos una salida de cero.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Simulación 4. si tenemos a la entrada una señal sinusoidal. a la salida tendremos pulsos de un valor ‘m’. Si el interruptor está cerrado y el circuito está en estado estable. El resistor de 4Ω representa la resistencia del alambrado. A continuación se determina el funcionamiento del circuito. El capacitor de 1μF está en paralelo con el interruptor. Este sistema se modela en el circuito que aparece en la Figura 8. La bobina de encendido se modela como el inductor de 8mH. el interruptor está abierto. El sistema estudiado en anteriores páginas correspondía solamente al sistema de carga.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II APLICACIONES DE CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN Circuito de encendido de un automóvil Después de haber considerado el circuito de encendido de un automóvil como un circuito de primer orden. Circuito de segundo orden para el encendido de un coche Lo que nos interesa como en el caso anterior es el voltaje en los entrehierros de la bobina. Aquí consideraremos otra parte: el sistema de generación de tensión. Las condiciones de continuidad requieren que I0+=3[A] y V0+=0[V] Aplicando LVK en la malla resultante tenemos: 12-Vr-Vc-VL=0 12-R*I0+-V0+-LdI0+dt=0[V] 12-4*3-0-LdI0+dt=0V→dI0+dt=0As David Espinosa Página 3 . Figura 8. entonces: I0-=124=3[A] y V0-=0[V] Para t=0+. es necesario advertir que dicho circuito sirvió únicamente como una aproximación para el circuito que se usa en la realidad. La fuente se debe a la batería y el alternador. Dicho circuito “real” lo analizamos a continuación. y que nos permite obtener la Gráfica 7 es: VLt=Lditdt=8*10-3ddte-250t3cos11177.067099sin⁡(11177. tenemos que B2=0.53*10-6V VLt≈-259.5tV Esto tiene un máximo cuando el seno es unitario. el cual es: VLt≈-253e-250*140. es decir 11177.5t)+ e-250t-11177.5t+0.3 ωd=ω02-α2=11177. La ecuación que define la corriente en el circuito.13V David Espinosa Página 3 .5t) Al resolver la anterior ecuación.6*t=π/2 o t=140.5B2sin⁡(11177. la tensión del inductor llega a su máximo. La respuesta tendrá por tanto la siguiente forma: it=e-αtB1cosωdt+B2sin⁡(ωdt) it=e-250tB1cos11177. y por tanto. para hallar una primera ecuación que nos permita hallar B1 y B2 I0=3=B1 Derivamos i(t) para poder usar el dato d[I(0)]/dt dI0+dt=0=-250e-250tB1cos11177.5 Como α<ω0. En dicho tiempo.067099.5t) Reemplazamos I(0).5t) La tensión a través del inductor.5t+B2sin⁡(11177.5B1cos11177.53*10-6sin11177.5t) VLt≈-253e-250tsin11177.5t+0.5t+11177. la respuesta: α=R2L=42*8*10-3=250 ω0=1LC=11*10-6*8*10-3≈11180. y reemplazar t=0 y B1=3.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Analizamos ahora el circuito cuando haya llegado al estado estable: I∞=0A Una vez que tenemos las condiciones iniciales y finales.5t+B2sin⁡(11177.067099sin⁡(11177. entonces el circuito es subamortiguado. analizaremos el amortiguamiento del circuito.5*140. y la es: it=e-250t3cos11177.53μs. Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Gráfica 6. Respuesta completa del circuito de ignición David Espinosa Página 1 . Sin embargo. y el secundario de dicho transformador está en paralelo con los entrehierros de la bujía. donde el devanado primario corresponde a la bobina L que hemos utilizado para este análisis. ya se crear un arco lo suficientemente intenso para encender la mezcla combustible – aire.6 ms.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Gráfica 7. Voltaje en los terminales de la bobina (entrehierros) Sin embargo. Al simular el circuito.13V2=1100→V2=-25913[V] Y con este voltaje. Simulación 5. Así. Voltaje de entrehierros en el circuito de segundo orden de encendido de coche David Espinosa Página 3 . este voltaje es muy bajo con respecto a los varios KV requeridos para encender el combustible en el motor. este problema se arregla muy fácilmente: Generalmente se usa un transformador 1:100. el voltaje sobre la bobina siguió el comportamiento esperado. El interruptor se mantuvo cerrado por aproximadamente 41. suponiendo una relación primario – secundario n=1100 El voltaje inducido en el secundario será: V1V2=1100→-259. 1s.Esquema del disparador de airbag Se supone que el voltaje inicial del capacitor es V(0)=12V. mediante un péndulo. y que iL=0A. tanto antes como después de la transacción. tal que (tener en mente que T=0. porque el interruptor está en la posición 1 durante un largo tiempo. La bolsa se infla por la acción de un dispositivo de explosión que se dispara con la energía absorbida por el elemento resistivo R. La solución vino de la mano de los circuitos de segundo orden. En consecuencia: C=12αR=12*16*4=1128F Recordemos que se necesita que ω02=1LC y que α>ω0.4s) David Espinosa Página 1 . Y con el ritmo de vida frenético de hoy. antes de t=0. . También se necesita que el dispositivo de ignición funcione en menos de 0. o sea cuando L>4R2C. La mayoría de personas morían como consecuencia del impacto de su cráneo con el parabrisas y el volante. el problema radicaba en la creación de algún sistema que pueda inflar la bolsa en muy poco tiempo. el cliente es la persona más importante. la desinfle lentamente. los accidentes de tránsito están a la orden del día. Un capacitor cargado se conecta. Sin embargo. Figura 9. El tipo de respuesta que deseamos se obtiene cuando α>ω0. Para que se produzca este disparo. también es necesario que la energía disipada en R sea 1J al menos. En vista de que se desea una respuesta cualquiera. señalando que también el caso de una respuesta críticamente amortiguada o una respuesta subamortiguada cumplirían también con el objetivo del diseño. Pues diseñadores crearon una solución ingeniosa: una bolsa de aire que evite dichos impactos. con el dispositivo de ignición como se indica en la Figura 9. se selecciona la frecuencia natural ω0. Como la respuesta debe ser rápida.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Disparador de bolsa de aire Desde hace buen tiempo en el negocio de la venta de vehículos. y sin embargo. escogeremos α=16 (la constante de tiempo). Escogeremos una respuesta sobreamortiguada. La Simulación 6 confirma el comportamiento del voltaje sobre R en el circuito disparador de airbag.490.05A2 [Ec.129H Con lo cual tenemos los valores de L y C. 1] y [Ec.49 [W].95A1-19.47 y A2=-25.4=5πrads En consecuencia L=1ω02C=125π2132=0.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II ω0=2πT=2π0.05t24[W] Para t=0.47e-19. Consecuentemente: Vt=37.47e-19. tenemos que A1=37. afirmamos: 12=A1+A2 [Ec.05t [V] Este V(t) permite obtener la Gráfica 8. La potencia en la resistencia es: p=V2R=37.47.47e-12. la potencia será de 36[W].05 Con lo cual tenemos la solución V(t): Vt=A1e-12. 2].95t-25. Calculamos los valores de s1 y s2: s1=-16+256-25π2≈-12. la potencia es 11. y a 95ms. y se alcanza el objetivo.2] Resolviendo el sistema entre [Ec.05t [V] Como V(0)=12.1s.1] Para hallar otra ecuación decimos: IL+IC+IR=0 0+0+CdV(0)dt=0→dV(0)dt=0 0=-12. por ejemplo.47e-12. David Espinosa Página 3 .1=1.22[J] En vista de lo anterior.95t+A2e-19.95t-25.95 s2=-16-256-25π2≈-19. la bolsa de aire se disparará en menos de 0. El trabajo realizado será entonces: w=1236-11. en el circuito disparador de Airbag Simulación 6. Circuito disparador de airbag David Espinosa Página 1 . Respuesta completa del voltaje sobre R.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Gráfica 8. Las condiciones de continuidad requieren que: I0-=I0+=0A y V0-=V0+=10[V] Aplicando LCK tenemos: Ir+IL+Ic=0 V0+R+I0++Cd[V0+]dt=0 4º “A”.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Celdas fotovoltaicas Las células solares son hechas con obleas finas de silicio. El uso actual de las células solares se limita a dispositivos de baja potencia. Automatización y Control Página 2 . Para t>0. arseniuro de galio u otro material semiconductor en estado cristalino. remotos y sin mantenimiento. Las celdas fotovoltaicas poseen un comportamiento similar al de los capacitores. Ahora se dispone de células con eficiencias de conversión superiores al 30%. la nave entra a la sombra proyectad por la tierra. Digamos que la celda fotovoltaica ha estado conecta largo tiempo. Analizaremos por ejemplo el circuito mostrado en la Figura 10. el tiempo que las celdas pueden almacenar voltaje es reducido. como boyas y equipamiento de satélites y estaciones espaciales. En t=0. mismos que basan su funcionamiento en breves impulsos eléctricos que controlan servomecanismos y motores. Podemos decir por tanto que V(0-)=10[V] y I(0-)=0[A]. Circuito equivalente de una celda fotovoltaica Sin embargo. el funcionamiento de dichos motores podría representarse con el siguiente circuito: Figura 10. pues almacenan energía en forma de voltaje y sin embargo. que para el análisis podría simplemente decirse son equivalentes a resistencias y bobinas. después del cual dejan de almacenar. La mayor parte de la interacción que tienen los astronautas en las estaciones espaciales con el espacio exterior se realiza a través de brazos robóticos. convierten la radiación en electricidad de forma directa. así que el interruptor pasa a la posición 2. también poseen un límite máximo de energía. Así pues. tenemos un circuito RLC en paralelo. Electrónica. La respuesta tendrá la siguiente forma: Vt=e-αtB1cosωdt+B2sin⁡(ωdt) Vt=e-110tB1cos710t+B2sin⁡710t Para hallar B1 y B2. y reemplazando t=0 y B1=10. el voltaje que cae sobre los terminales del motor es Vt=e-110t10cos710t-107sin⁡710t [V] La Gráfica 9 ilustra el voltaje calculado. entonces el circuito es subamortiguado. que son datos que ya conocemos.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II 105+0+d[V0+]dt=0 d[V0+]dt=-2Vs Ahora determinaremos el tipo de respuesta que tendrá el circuito: α=12RC=12*5*1=110 ω0=1LC=12 ωd=ω02-α2=ω02-α2=710 Como α<ω0. usando la primera derivada de la expresión V(t) obtenida es: dVtdt=-2=ddte-110tB1cos710t+B2sin⁡710t Resolviendo la anterior ecuación. obtenemos que B2=-107 Entonces. Gráfica 9. Respuesta completa del voltaje en el capacitor. David Espinosa Página 2 . El voltaje en efecto es el esperado. Circuito de celda fotovoltaica La simulación confirma los cálculos. usaremos las condiciones iniciales: V0=10=B1 Luego. la transición de estado se produjo aproximadamente a t=1s. David Espinosa Página 1 .Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Como se ve. No obstante. el comportamiento era el esperado para este circuito. la señal se aplica a un convertidor D/A cuya salida es una función “en escalera”. circuito suavizador Como podemos ver. Para recuperar la señal analógica transmitida. este circuito tiene una entrada de 0[V] hasta t=0. Una serie de impulsos se aplica al convertidor D/A.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Circuitos suavizadores En un sistema de comunicación digital común. es decir. El análisis es el mismo que hemos venido realizando hasta ahora. Éstos se transmiten por medio de una línea de transmisión como un cable coaxial. cuya salida se aplica a su vez al circuito suavizador Un circuito RLC como el de la Figura 12 puede emplearse como alisador. I(0)=0[A] y V(0)=0[V]. Figura 12. señal que se desea suavizar. como se ilustra en la Figura 11. Cada muestra se convierte a un número binario representado por una serie de pulsos. V tiene un valor de 1V. la salida se suaviza haciéndola pasar por un circuito “suavizador”. A la derecha. par trenzado o fibra óptica. para 0<t<1. y en t=1+ cambia nuevamente su valor -1[V]. Figura 11. Realizamos el análisis para este intervalo de tiempo: 1-Vr-VL-Vc=0 1-I0*R-LdI(0+)dt-V0=0→dI(0+)dt=1As David Espinosa Página 1 . El muestreo es el procedimiento de selección de muestras de una señal para su procesamiento. En el extremo receptor. Luego. en oposición al procesamiento de la señal entera. una función constante en cada intervalo de tiempo. Para t<0. la señal por transmitir primero se muestrea. A la izquierda. luego este valor cambia abruptamente a 1[V]. obtenemos que B2=2. analizaremos el circuito para 1<t<2: La condiciones iniciales las obtenemos de las expresiones i(t) y V(t) obtenidas anteriormente. al usar I(0)=0. lo hallamos haciendo: V0-1t=20te-12usin22udu+V0 [V] Como V(0)=0. el resultado de esta integral es: V0-1t=43-43e-t2cos⁡22t-223e-t2sin22t[V] para 0<t<1 Ahora. al reemplazar t=1: I1-=0.5572.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Analizamos ahora el tipo de respuesta que obtendremos a la salida. Reconstruyendo la ecuación de la corriente(al reemplazar B1 y B2 en la ecuación literal de i(t)).5572. sigue siendo de la forma: i1-2t=e-α(t-1)B3cosωd(t-1)+B4sin⁡(ωd(t-1)) i1-2t=e-12(t-1)B3cos22(t-1)+B4sin⁡22(t-1) Usamos las condiciones iniciales para t=1+ para hallar las constantes B2 y B3. al usar I(1+)=0. B3=0. V1-=0. Así. obtenemos la primera constante.5572A . Tratamos de encontrar la otra constante B4: Página 3 David Espinosa . Usando la primera derivada. ω0=1LC=11*1=1 .5572A . tenemos: ditdt=ddte-12tB1cos22t+B2sin⁡22t Al reemplazar t=0 y dI(0+)dt=1As en el resultado de la anterior operación. Así. analizando el amortiguamiento del circuito: ∝=R2L=12 . La respuesta por tanto tendrá la forma: i0-1t=e-αtB1cosωdt+B2sin⁡(ωdt) i0-1t=e-12tB1cos22t+B2sin⁡22t Usamos las condiciones iniciales para hallar las constantes B1 y B2. ωd=ω02-α2=22 El circuito es subamortiguado. tenemos: i0-1t=2*e-12tsin22tA para 0<t<1 Como lo que nos interesa es el voltaje sobre el capacitor. V1+=0. obtenemos la primera constante. B1=0.347[V] Las condiciones de continuidad establecen que: I1+=0.347[V] La forma de la ecuación de la corriente para este intervalo no ha cambiado. Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II -1-Vr-VL-Vc=0 -1-I1+*R-LdI(1+)dt-V1+=0→dI(0+)dt=-1.347 para 1<t<2 Los voltajes V0-1(t) y V1-2(t). tenemos: ditdt=ddte-12(t-1)B3cos22(t-1)+B4sin⁡22(t-1) Al reemplazar t=1 y dI(1+)dt=-1. todo el proceso se hubiera repetido de nuevo: se hallaba condiciones iniciales con las ecuaciones i(t) y V(t) actuales. tenemos: i1-2t=e-12(t-1)0. obtenemos que B4=-2. se obtenían las constantes Bm y Bm+1.904As Usando la primera derivada. David Espinosa Página 5 . lo hallamos haciendo: V1-2t=0t-1e-12(u-1)0. Si hubieran sido más períodos. Obsérvese que el análisis de apenas dos períodos de tiempo fue muy extenso.5572cos22(u-1)-0.5572cos22(t-1)-2. éste va a ser el método de visualización de resultados para este circuito. Reconstruyendo la ecuación de la corriente(al reemplazar B3 y B4 en la ecuación literal de i(t)).111+0. la ayuda va de la mano de la tecnología.226209et2cos22t-1+0. De hecho. y se obtiene como resultado la gráfica. Dependiendo del software.904As en el resultado de la anterior operación.2582sin⁡22(u-1)du+V1 [V] V1-2t=0. Sin embargo. se escoge en vez del osciloscopio al “Análisis Transitorio” (“Transient Analysis”).5744et2sin22t-2-1. permiten obtener la gráfica suavizada. Los programas que usan auxiliarmente el lenguaje SPICE (PSpice y Multisim) para la simulación de sus circuitos. se definen los voltajes de entrada para cada período de tiempo. permiten obtener la gráfica suavizada para su estudio en pocos segundos.299. y se hallaban las nuevas ecuaciones V(t) e i(t) del siguiente período.299sin⁡22(t-1) para 1<t<2 Como lo que nos interesa es el voltaje sobre el capacitor. 10 del voltaje en el capacitor del circuito suavizador David Espinosa Página 1 .Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Simulación 7. Análisis transitorio en Multisim© V. El humo que penetra en la cámara atrae las partículas cargadas. Las partículas cargadas transportan la corriente entre las placas de la parte superior y del fondo de la cámara de detección. de diversos modos. Esto puede simbolizarse mediante una fuente de corriente. Los rayos procedentes de una fuente radiactiva ionizan los átomos del aire de la cámara. y a veces el calor. la corriente tiende a disminuir cuando existen partículas de humo dentro del detector. es en esencia la unidad de control de la alarma. reduciéndose la cantidad de corriente que pasa entre los electrodos Cuando se detecta una caída de corriente. en este caso emplean una cámara de detección llena de aire ionizado. Circuito eléctrico para el análisis del detector de humo Como se mencionó. que actúan como electrodos. Figura 14.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Detector de humo Los detectores de humo detectan el humo. como se indica en la Figura 13. que se desactiva a t=0. Corte seccional de un sensor detector de humo El circuito que aparece en la Figura 14 . suponiendo que éste sea el instante David Espinosa Página 1 . se envía un mensaje a la unidad de control que activa la alarma. Figura 13. 1] y [Ec. Tenemos por tanto una función paso de corriente.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II en el cual la alarma se activa. Partiendo de que la condición de continuidad establece que: I(0-)= I(0+)=1[A] y V(0-)= V(0+)=0[V] Aplicando LCK en el nodo superior. La primera ecuación la obtenemos de reemplazar V(0+)=0 [V]: A1+A2=0 [Ec. tenemos: Ir+Ic+IL=0 V(0+)R+I0++CdV(0+)dt=0 0+1+140dV(0+)dt=0→dV(0+)dt=-40Vs Ahora analizamos los parámetros α y ω0. IL(0-)=I(0-)=1[A] y V(0-)=0[V]. entonces la respuesta es sobreamortiguada. y del tipo: Vt=A1es1t+A2es2t [V] Donde s1=-∝+∝2-ω02=103-20 y s2=-∝-∝2-ω02=-103-20 Por lo tanto. ∝=12RC=12*1*140=20 . Antes de esto ha llevado mucho tiempo en estado estable. 2] Al resolver el sistema entre [Ec. y reemplazar d[V(0+)]/dt=-40 [V/s] 103-20A1+-103-20A2=-40 [Ec. y tenemos como resultado un circuito RLC en paralelo. la respuesta V(t) buscada es: Vt=-233e103-20t+233e-103-20t [V] 4º “A”. V(t) tendrá la forma: Vt=A1e103-20t+A2e-103-20t [V] Debemos ahora hallar A1 y A2. El interruptor se activa. Para antes de t=0. 2]. para conocer qué tipo de respuesta obtendremos.4*140=10 Como α > ω0. 1] La segunda ecuación la hallamos al derivar V(t) con respecto a t. Electrónica. pasando de la posición 1 a la posición 2. hallamos los parámetros A1 y A2 buscados: A1=-233 y A2=233 Con lo cual. Automatización y Control Página 2 . ω0=1LC=10. Gráfica 10. el interruptor para ello se ha activado a aproximadamente 100ms de haber iniciado la simulación: David Espinosa Página 3 . Respuesta completa del capacitor en el circuito detector de humo Y la corresponde con los cálculos.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II La gráfica que representa dicho voltaje es el de la Gráfica 10. puede ser la corriente o el voltaje de cualquiera de las componentes del circuito. y relacionarlas con la siguiente fórmula: xt=x∞+x0+x∞e-tτ Donde x(t) puede ser una función que exprese voltaje o corriente. y τ=LR para circuitos RL. un resistor y un inductor. Dicha ecuación resulta del análisis. La salida del circuito. Los circuitos de segundo orden son aquellos que se representan mediante una ecuación diferencial de segundo orden. por ejemplo: d2dt2xt+2αddtxt+ω02xt=f(t) Donde x(t) es la corriente o voltaje de salida del circuito y f(t) es la entrada del circuito. se representan con ecuaciones diferenciales en lugar de ecuaciones algebraicas. El análisis de estos circuitos requiere la solución de ecuaciones diferenciales. o τ=RC para circuito RC. La respuesta completa puede separarse en la respuesta transitoria y la respuesta de estado estable. Circuito detector de humo CONCLUSIONES • Los circuitos que contienen elementos que almacenan energía. Basta con hallar las condiciones iniciales y finales del circuito. La entrada al circuito es provista por los voltajes y/o las corrientes de las fuentes independientes. La respuesta transitoria desaparece con el tiempo quedando tan solo la respuesta de estado estable. un resistor y un capacitor. Uno de los circuitos simples de primer orden es un circuito en serie que consta de una fuente de voltaje. La respuesta completa de un circuito es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada. y esencialmente de la presencia de dos elementos almacenadores de energía no reducibles en el circuito. La respuesta transitoria se refiere al comportamiento del circuito durante el período que le toma alcanzar el estado estable. La respuesta forzada es la solución particular de la ecuación diferencial que representa el circuito. Los circuitos de primer orden contienen un elemento almacenador de energía y se representan con ecuaciones diferenciales de primer orden. también llamada la respuesta del circuito. La salida que usualmente se escoge para el cálculo es el voltaje sobre el capacitor o la corriente sobre el inductor. Se puede usar circuitos equivalentes de Thévenin y Norton para reducir el problema de analizar un circuito de primer orden al problema de analizar uno de dos circuitos sencillos de primer orden. La respuesta natural es la solución general de la ecuación diferencial que representa el circuito cuando la entrada (fuentes independientes) se hace cero. capacitores e inductores.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Simulación 8. cuya respuesta es relativamente sencilla. El otro es un circuito en paralelo que consta de una fuente de corriente. Los Página 3 • • • • • David Espinosa . críticamente amortiguado o subamortiguado. RLC paralelo: α=12RC y ω0=1LC • • • • Si usamos el operador s. o de manera equivalente. Así.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II • coeficientes de esta ecuación tienen nombres: α se denomina el coeficiente de amortiguamiento y ω0 se denomina la frecuencia de resonancia. pero que sí están sometidos a ellos en su estado transitorio. pero sobre todo. pues estos son más fáciles de conseguir en valores elevados. Los circuitos de segundo orden se caracterizan en tres diferentes casos: sobreamortiguado. son: RLC serie: α=L2R y ω0=1LC . • 4º “A”. pueden generar arcos voltaicos que pueden ser altamente peligrosos para el usuario. Automatización y Control Página 2 . dichos valores (α y ω0). porque su contraparte. son: CASO AMORTIGUADO: Vt=Vs+A1es1t+A2es2t CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO: Vt=Vs+A1es1t+A2tes2t CASO SUBAMORTIGUADO: Vt=Vs+e-αtB1*cosωd+B2*sinωd La respuesta completa del circuito de segundo orden es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada: x=xn+xfo RECOMENDACIONES • El análisis de la respuesta completa de un circuito permite optimizar el diseño de un sistema más complejo. α=ω0. o de manera equivalente. Un circuito de segundo orden está sobreamortiguado cuando s1 y s2 son reales y distintas. Al momento de diseñar circuitos que usan elementos almacenadores de energía. Las respuestas transitoria para cada uno de los casos de amortiguación del circuito. Un circuito de segundo orden está críticamente amortiguado cuando s1 y s2 son reales e iguales. α<ω0. se debe procurar utilizar capacitores. para evitar sobrevoltajes o emisiones muy elevadas de potencia en elementos que en su estado estable jamás tolerarían esos valores. s1 y s2. α>ω0. tal que sn=dndtn La ecuación diferencial anterior se puede expresar como: s2+2αs+ω02=0. La ecuación de segundo grado resultante tiene dos soluciones. Para cada uno de los casos. Un circuito de segundo orden está subamortiguado cuando s1 y s2 son complejas conjugadas. o de manera equivalente. las bobinas. son menos costosos y voluminosos. Electrónica. Estas soluciones se denominan frecuencias naturales del circuito de segundo orden. siempre se deberá prestar atención a dicha respuesta. David y otros. Miguel. Asia. Séptima edición. UBA. Emilio. México. Ezequiel y Winograd. “Circuitos Eléctricos”. Antonio y otros. Juan Manuel. No obstante. 388. NILSSON. España. Archivo Digital. España. 2004.V. JESIOTR. y relevadores. 178-182. DORF. “Manual de diseño de circuitos analógicos con amplificadores operacionales”. “Basic Electric Circuit Analisis”. Páginas 194-196. Editorial Prentice-Hall. el uso de transformadores (caso del encendido de coche). Editorial McGraw-Hill. España. FERRERO Corral y De Loma-Osorio. 385. 169-173. Editorial John Wiley & Sons. Antonio. CLAMAGIVARD. Bernatene. 761-767. “Circuitos eléctricos para la ingeniería”. Editorial PrenticeHall. 1995. FCE y N. 2006. Páginas 48-54. Thomas. y la activación del interruptor interno del relevador existe un corto período de tiempo. LLOYD. TORRES. “Circuitos Eléctricos”. es necesario recodar que entre la energización de la bobina del relevador. 271. BIBLIOGRAFÍA • ALEXANDER. 2004. Valeria. 2007. Páginas 293-299. Páginas 98-103. 289-292.P. Richard y Sbovoda. Páginas 101-110. Editorial McGraw-Hill. Los relevadores son útiles al momento de realizar el control de circuitos de potencias elevadas. 386. 310314. “Principios de Circuitos Eléctricos”. 705-713.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II • • No obstante. 339. que se deberá tener en mente al realizar el diseño de circuitos. Aravaca. James y Riedel Susan. 389. 338. Laboratorio de Electrónica del Departamento de Física. Charles y Sadiku. Páginas 23-25. Editorial U. Páginas 646-661. 353-356. James. “Amplificadores operacionales en circuitos electrónicos”. • • • • • • • • • David Espinosa Página 1 . JHONSON. 2005. Cuarta edición. Octubre 2005. “Circuitos eléctricos para la ingeniería”. “Fundamentos de Circuitos Eléctricos”. 2001. 1992. Páginas 151-160. pueden ser parte de interesantes y seguras aplicaciones en circuitos o sistemas eléctricos. usando potencias bajas para ello. 2004. España. Editorial Alfaomega. CONEJO. 270. “Circuitos integrados lineales: sus aplicaciones”. Matthew. Editorial Paraninfo. España. México. Páginas 314-316. Editorial McGraw-Hill. 381384. la respuesta V(t) buscada es:  David Espinosa Página 41 . y reemplazar d[V(0+)]/dt=-40 [V/s] [Ec. y del tipo:  Donde   Por lo tanto.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II Partiendo de que la condición de continuidad establece que: I(0-)= I(0+)=1[A] y V(0-)= V(0+)=0[V] Aplicando LCK en el nodo superior. tenemos: Ir+Ic+IL =0 Ahora analizamos los parámetros y 0 .   Como > 0 . La primera ecuación la obtenemos de reemplazar V(0+)=0 [V]: [Ec. 2]. V(t) tendrá la forma:  Debemos ahora hallar A1 y A2. para conocer qué tipo de respuesta obtendremos. 2] Al resolver el sistema entre [Ec. entonces la respuesta es sobreamortiguada. 1] y [Ec. hallamos los parámetros A1 y A2 buscados:   Con lo cual. 1] La segunda ecuación la hallamos al derivar V(t) con respecto a t. el interruptor para ello se ha activado a aproximadamente 100ms de haber iniciado la simulación: Simulación 8. Respuesta completa del capacitor en el circuito detector de humo Y la corresponde con los cálculos.Escuela Politécnica del Ejército Circuito s Eléctricos II La gráfica que representa dicho voltaje es el de la Gráfica 10. Electrónica. Gráfica 10. Automatización y Control Página 42 . Circuito detector de humo 4º A . capacitores e inductores. Para cada uno de los casos. y esencialmente de la presencia de dos elementos almacenadores de energía no reducibles en el circuito. El otro es un circuito en paralelo que consta de una fuente de corriente. La respuesta natural es la solución general de la ecuación diferencial que representa el circuito cuando la entrada (fuentes independientes) se hace cero. La respuesta transitoria se refiere al comportamiento del circuito durante el período que le toma alcanzar el estado estable. son:           David Espinosa Página 43 . Se puede usar circuitos equivalentes de Thévenin y Norton para reducir el problema de analizar un circuito de primer orden al problema de analizar uno de dos circuitos sencillos de primer orden. La salida que usualmente se escoge para el cálculo es el voltaje sobre el capacitor o la corriente sobre el inductor. La respuesta completa puede separarse en la respuesta transitoria y la respuesta de estado estable. o para circuito RC. Los circuitos de segundo orden son aquellos que se representan mediante una ecuación diferencial de segundo orden. Basta con hallar las condiciones iniciales y finales del circuito. Los coeficientes de esta ecuación tienen nombres: se denomina el coeficiente de amortiguamiento y 0 se denomina la frecuencia de resonancia. y relacionarlas con la siguiente fórmula: Donde x(t) puede ser una función que exprese voltaje o corriente. dichos valores (   ). La respuesta transitoria desaparece con el tiempo quedando tan solo la respuesta de estado estable. un resistor y un capacitor. La respuesta forzada es la solución particular de la ecuación diferencial que representa el circuito. Dicha ecuación resulta del análisis. Uno de los circuitos simples de primer orden es un circuito en serie que consta de una fuente de voltaje. La entrada al circuito es provista por los voltajes y/o las corrientes de las fuentes independientes. también llamada la respuesta del circuito. y y para y circuitos RL. un resistor y un inductor.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II CONCLUSIONES y y y y Los circuitos que contienen elementos que almacenan energía. El análisis de estos circuitos requiere la solución de ecuaciones diferenciales. La salida del circuito. cuya respuesta es relativamente sencilla. se representan con ecuaciones diferenciales en lugar de ecuaciones algebraicas. por ejemplo: y Donde x(t) es la corriente o voltaje de salida del circuito y f(t) es la entrada del circuito. puede ser la corriente o el voltaje de cualquiera de las componentes del circuito. Los circuitos de primer orden contienen un elemento almacenador de energía y se representan con ecuaciones diferenciales de primer orden. La respuesta completa de un circuito es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada. Un circuito de segundo orden está críticamente amortiguado cuando s1 y s2 son reales e iguales. pueden ser parte de interesantes y seguras aplicaciones en circuitos o sistemas eléctricos. pero que sí están sometidos a ellos en su estado transitorio. pues estos son más fáciles de conseguir en valores elevados. Electrónica. pueden generar arcos voltaicos que pueden ser altamente peligrosos para el usuario. siempre se deberá prestar atención a dicha respuesta. es necesario recodar que entre la energización de la bobina del relevador. 4º A . el uso de transformadores (caso del encendido de coche). las bobinas. tal que y y y La ecuación diferencial anterior se puede expresar como: . usando potencias bajas para ello. Estas soluciones se denominan frecuencias naturales del circuito de segundo orden. Las respuestas transitoria para cada uno de los casos de amortiguación del circuito. se debe procurar utilizar capacitores. Un circuito de segundo orden está sobreamortiguado cuando s1 y s2 son reales y distintas. Así. No obstante. son: CASO AMORTIGUADO: CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO: CASO SUBAMORTIGUADO: La respuesta completa del circuito de segundo orden es la suma de la resp uesta natural y la respuesta forzada: RECOMENDACIONES y y y y El análisis de la respuesta completa de un circuito permite optimizar el diseño de un sistema más complejo. s1 y s2. La ecuación de segundo grado resultante tiene dos soluciones. Los relevadores son útiles al momento de realizar el control de circuitos de potencias elevadas. . No obstante. Automatización y Control Página 44 . porque su contraparte. para evitar sobrevoltajes o emisiones muy elevadas de potencia en elementos que en su estado estable jamás tolerarían esos valores. o de manera equivalente. Los circuitos de segundo orden se caracterizan en tres diferentes casos: sobreamortiguado. . son menos costosos y voluminosos. y la activación del interruptor interno del relevador existe un corto período de tiempo.Escuela Politécnica del Ejército Circuito s Eléctricos II y Si usamos el operador s. o de manera equivalente. o de manera equivalente. y relevadores. críticamente amortiguado o subamortiguado. Al momento de diseñar circuitos que usan elementos almacenadores de energía. pero sobre todo. que se deberá ten en mente al er realizar el diseño de circuitos. Un circuito de segundo orden está subamortiguado cuando s1 y s2 son complejas conjugadas. Séptima edición. 2001. 386. Editorial John Wiley & Sons. Thomas. Editorial Alfaomega. 353-356. David Espinosa Página 45 . 2004. 289-292. Principios de Circuitos Eléctricos . Asia. 271. Laboratorio de Electrónica del Departamento de Física. Circuitos Eléctricos . FCE y N. Editorial Paraninfo. 385. Emilio. Valeria. Cuarta edición. 388. 339.Escuela Politécnica del Ejército Circuitos Eléctricos II BIBLIOGRAFÍA y y y y y y y y y y ALEXANDER. 381-384. Amplificadores operacionales en circuitos electrónicos . España. Bernatene. DORF. UBA.P. 178-182. 705-713. Editorial McGrawHill. Circuitos integrados lineales: sus aplicaciones . Páginas 314-316. Miguel. Editorial McGraw-Hill. JESIOTR. Basic Electric Circuit Analisis . Editorial Prentice-Hall. JHONSON. 2004. Antonio y otros. Editorial Prentice-Hall. Páginas 48-54. Páginas 23-25. TORRES. James y Riedel Susan. España. 1995. Antonio. 2006. Editorial U. 338. Circuitos eléctricos para la ingeniería . 2007. España. 761-767. Charles y Sadiku. Circuitos eléctricos para la ingeniería . 389. CLAMAGIVARD. México.V. 310-314. Aravaca. CONEJO. NILSSON. Páginas 151-160. 2004. Juan Manuel. Manual de diseño de circuitos analógicos con amplificadores operacionales . 2005. Páginas 101-110. LLOYD. James. Páginas 98-103. Editorial McGrawHill. 1992. Octubre 2005. Matthew. Richard y Sbovoda. Fundamentos de Circuitos Eléctricos . Páginas 293-299. FERRERO Corral y De Loma-Osorio. David y otros. 270. España. Archivo Digital. México. Páginas 194-196. Páginas 646-661. 169-173. Ezequiel y Winograd. Circuitos Eléctricos . España.