Aplicaciones a la economía1. La utilidad total de una compañía al producir y vender x unidades diarias de un producto es: U ( x) = 280 x − 0,3 x 2 − 5.000 euros. ¿Cuál es la utilidad marginal al producir y vender 40 artículos? Solución: U ' ( x) = 280 − 0,6 x U ' (40) = 256 La utilidad marginal es 256 euros por unidad. 2 El ingreso, en dólares, cuando se demanda x zapatillas en una tienda deportiva viene dada por: I ( x) = x 2.000 + 8 x . Determine la función de ingreso marginal. Solución: I ' ( x) = 2.000 + 8 x + x ⋅ 1 ⋅8 2 2.000 + 8 x La función de ingreso marginal viene dada por: I ' ( x) = 2.000 + 8 x + 4x 2 2.000 + 8 x es: I ( x) = 1. El ingreso marginal significa que el incremento en la venta de una unidad adicional de notebook.000 El ingreso total es de $44. sería: x = 200 ⇒ I ' ( 200 ) = 500 ⋅ (200 ) + 1.000 x + 50.000 ) 2 ⋅ (1. tenemos que: x = 110 ⇒ I (110) = 1. cuando la producción de 200 notebooks es vendida.000 x + 50.000 x + 50 . Solución: a) La función ingreso total.000 El ingreso marginal para una demanda de 200 notebooks es de $700.000 ⋅ (110) + 50.000 x + 50.000 ) 2 ⋅ x + (1. b) El ingreso marginal cuando la demanda de notebooks es de 200 unidades.000.000. donde “ x ” corresponde al número de unidades demandadas y P( x ) es el precio en miles de pesos por unidad.000 ) 2 ⋅1. aumenta el ingreso total aproximadamente en $700.000 por unidad.000 x + 50.000 ⋅ (200 ) + 50 . . con 1 ≤ x ≤ 440 .000 ⋅ x es precio por cantidad) (El ingreso total Cuando la demanda de notebooks es de 110 unidades.000 ) ⋅ x + (1.000 ⋅ x + (1.000 x + 50.000 x + 50.000 Cuando la demanda de notebooks es de 200 unidades el ingreso marginal.3. Para determinar el precio de un modelo de notebook.000 ⋅ (110) = 44. cuando la demanda de notebooks es de 110 unidades.000 ) 2 ⋅ (1) 2 I ' ( x) = 1 1 1 − ⋅ (1.000 x + 50.000 x + 50 .000 1.000.000 = 700 1.000 ) 2 ⋅ ( x ) I ' ( x) = 1 1 1 ′ − ⋅ (1.000 ) 2 2 I ' ( x) = 500 x + 1.000 ⋅ (200 ) + 50 .000 x + 50. b) La función ingreso marginal es la primera derivada de la función ingreso total. esto es: 1 ′ 1 ′ I ' ( x ) = (1.000 x + 50 .000 . la tienda “PCMANIA” utiliza la función: P( x) = 1. Determine: a) El ingreso total cuando la demanda de notebooks es de 110 unidades. b) El costo marginal por la fabricación de 4 camionetas de lujo. esto es: ′ ′ ′ C ' ( x ) = 0.000. El costo marginal significa que el incremento de una camioneta de lujo.02 ⋅ (3)3 + 5 ⋅ (3) + 3 = 18. adicional en la producción.96 2 El costo marginal por la fabricación de 4 camionetas es de $5. Determine: a) El costo de fabricar 3 camionetas de lujo. de fabricar x camionetas de lujo.06 ⋅ (4 ) + 5 = 5.54 El costo de fabricar 3 camionetas de lujo es de $18. sería: x = 4 ⇒ C ' ( 4) = 0. Solución: a) El costo de fabricar 3 camionetas de lujo.02 x 3 + 5 x + 3 . en millones de pesos.06 x 2 + 5 ( ) Cuando se fabrican 4 camionetas de lujo el costo marginal. b) La función costo marginal es la primera derivada de la función costo total. es: x = 3 ⇒ C (3) = 0.540.960. .000. está determinado por la función: C ( x) = 0.960. El costo.4.000 por unidad. aumenta el costo total aproximadamente en $5. cuando la producción es de 4 camionetas de lujo.02 x 3 + (5 x ) + (3) = 0. sería: x = 30 ⇒ U ' (30 ) = 0. aplicando álgebra de funciones.01x 2 + 0. 25 x + 5 .05 Por la instalación de 30 paneles solares la utilidad marginal. por la instalación de 25 paneles solares. sería: U (x ) = I (x ) − C (x ) (Ingreso total menos costo total) U ( x ) = 0.05 x ) − (5) = 0. b) Calcule la utilidad marginal por la instalación de 30 paneles solares.000. Además el ingreso total. por la instalación de x paneles solares se determina por la función: C ( x ) = 0.65 La utilidad marginal por la instalación de 30 paneles solares es de $65. .02 ⋅ (30 ) + 0. aumenta la utilidad total aproximadamente en $65. esto es: ′ ′ ′ U ' ( x ) = (0.5 2 La utilidad total es de $250. Se pide: a) Determine la utilidad total por la instalación de 25 paneles solares.05 x − 5 Por la instalación de 25 paneles solares. en cientos de miles de pesos.000 por unidad.000.01x 2 ) + (0. El costo total.02 x + 0.05 = 0. cuando se instalan 30 paneles solares. b) La función utilidad marginal es la primera derivada de la función utilidad total. en cientos de miles de pesos. la utilidad total. La utilidad marginal significa que el incremento de una instalación de panel solar. derivado por la instalación de x paneles solares es I ( x ) = 0.3x .5.01x 2 + 0.3x − 0.01 ⋅ (25 ) + 0.25 x − 5 = 0. Solución: a) La función de utilidad total.05 ⋅ (25 ) − 5 = 2.01x 2 + 0. sería: x = 25 ⇒ U (25 ) = 0. 6.75 12 4 13. Electrónica Gamma.35 x 2 .75 dólares por unidad 7.A.000 + 4.478.478. y además que p ( x) = (75 − x ) 8 3 dólares por unidad es el precio al cual se venderán las x unidades. donde x es la cantidad de computadoras que produce y vende ¿Cuál es el ingreso marginal al producir y vender 145 computadoras? Solución: Utilidad marginal U ' ( x) U ' ( x) = 4. Solución: U ( x ) = xp( x) − c( x) U ( x) = x ⋅ U ( x) = − 1 (75 − x ) − 1 x 2 + 3x + 98 3 8 11 2 x + 22 x − 98 24 U ' ( x) = − 11 x + 22 12 U ' (9) = − 11 55 ⋅ 9 + 22 = = 13. 1 1 el costo total será c( x) = x 2 + 3 x + 98 dólares. tiene un ingreso mensual en euros representada por I ( x) = −120.5 La utilidad marginal al producir y vender 145 computadoras es de 4. Determine la utilidad marginal obtenida de la venta de 9 unidades.7 x U ' (145) = 4. S. Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de determinado artículo.580 − 0. .580 − 0.5 euros por unidad.580 x − 0.7 ⋅ 145 = 4. tiene una utilidad mensual en dólares representada por U ( x) = −100. . cuando se demanda x pares de zapatillas en ( ) una tienda deportiva viene dada por: U ( x) = 2 x 2 − 18 x 3 . Las utilidades diarias.000 + 5.8.A.25 x 2 .000 − 0.5 x U ' (100) = 5. Solución: ( U ' ( x) = 3 2 x 2 − 18 x ( U ' = 3 2 x 2 − 18 x ) (2 x 2 2 − 18 x ) ' ) (4 x − 18) 2 ( U ' (5) = 3 2 ⋅ 5 2 − 18 ⋅ 5 ) (4 ⋅ 5 − 18) = 9.600 por unidad.5 ⋅ 100 = 4. en pesos. S. 9.000 − 0.000 x − 0. donde x es la cantidad de computadoras portátiles que produce y vende ¿Cuál es la utilidad marginal al producir y vender 100 computadoras? Solución: Utilidad marginal U ' ( x) U ' ( x) = 5. Electrónica Sima.950 dólares por unidad. Determine la utilidad marginal al vender 5 pares de zapatillas.950 La utilidad marginal al producir y vender 100 artículos es de 4.600 2 La utilidad marginal es de $ 9.