APLICACIONES DEL METODO GAUSS-JORDAN EJERCICIO 1.Una empresa fabricante de artículos electrónicos produce principalmente tres productos que son: estereos, grabadoras y videograbadoras, la compañía cuenta con tres departamentos y son de producción, ensamble y acabado. Para producir los Productos se establecen en la siguiente tabla: Artículo Estéreo Grabado ra Videogra b. Producci ón 0 1 5 Ensam ble 10 16 10 Acaba do 4 4 10 Horas disponibles 280 348 680 ¿Cuál es el número de horas por artículo? SOLUCION 0 1 5 10 16 10 4 4 10 348 680 280 • Primero vamos a invertir el renglón 1 por el 2 1 0 5 16 10 10 4 4 10 348 280 680 • ÷ 10 1 0 5 16 10 10 4 4 10 348 280 680 x-5 2.16) = .4 • En el tercer renglón x 70 + 70 + 70 = 0 0.4 18 −100 28 900 .060 • El primer renglón x ( .4 x (.4 =28 • El tercer renglón x (.060 1 0 0 16 1 −70 4 0.80 + 10 = .060 = 900 1 0 0 0 1 0 −2.• El segundo renglón entre 10: 10/10 4/10 280/10 =1 =0.4 x 70 = 28 – 10 = 18 28 x 70 = 1960 – 1.5 = .060 1 0 0 16 1 −70 4 0.70 4 x .4 −10 348 28 1.740 – 680 = 1.20 + 10 = .5 = .16 ) + 16 – (-16) = 0 28 x (.448 + 348 = -100 0.10 348 x – 5 = 1.16) = .4 −10 348 28 1.4 + 4 = .6.4 0.5 ) 5 -5 = 0 16x . 4 1 −100 28 50 • -2.20 + 28 = 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 20 8 50 1 0 0 0 1 0 0 0 1 20 8 50 .4 1 −100 28 50 1 0 0 0 1 0 −2. tenemos: 0.4 = 0 El segundo renglón por – 50.4 x 50 = .4 0.4 18 −100 28 900 • El tercer renglón ÷ 18.4 = 0 El primer renglón x 50.1 0 0 0 1 0 −2.50 = .4 – 0.4 0.120 + 100 = 20 • 0.4 + 2. tenemos: 18÷ 18 = 1 900 ÷ 18 = 50 1 0 0 0 1 0 −2. tenemos: -2.4 0.4 x . Se requieren cuatro clases de recursos. 20x1 + 10x1 + 25x2 + 15x2 + 40x3 + 20x3 + 50x4 =< 22x4 =< 1970 970 . distribución de productos y recursos en la ingeniería. Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricación de productos. metales.• Por último. lograremos tener el RESULTADO: x = 20 y = 8 z = 50 EJERCICIO 2. el análisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas. 3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504 Y así sucesivamente con los demás recursos. En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadoras.Antecedentes: todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de recursos es un problema critico. Si se dispone diariamente de 504 horas. 1970 kg de metal. plásticos y componentes electrónicos-. Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de computadoras. 970 Kg de plástico y 601 componentes electrónicos. hombre.Horashombre. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios de construcción. ¿Cuántas computadoras de cada tipo se pueden construir por día? SOLUCION: La cantidad total producida de cada computadora esta restringida al total de recursos disponibles en cada categoría diariamente. COMPUTADORA 1 2 3 4 P P = = GANANCIA 1000 700 1100 400 1100(18)+ 400(18) = 1000(10)+ 700(12)+ 44 200 De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los recursos especificados en el problema.10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601 Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultánea de otra manera. se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de computadoras. P2.DISTRIBUCION DE RECURSOS: Todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de recursos es un problema crítico. Aplicando la eliminación Gaussiana se tiene que: X1=10 X2=12 X3=18 X4=15 Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. suponiendo las ganancias que corresponden a cada computadora están dadas por P1. Etas . En este caso la cantidad total de cada tipo de computadora producida se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los métodos de gauss. entonces se puede remplazar el signo menor o igual por el de igual. se reducen todos a cero simultáneamente. Si los recursos disponibles representados por el vector de término independiente de las ecuaciones anteriores. EJERCICIO 3. Por ejemplo. La ganancia total asociada con un día de actividad está dada por: P = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4 Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente cuadro. P3 y P4. aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricación de productos. Si se dispone diariamente de 800 Horas-Hombre. el análisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas. 400 Kg de arena y 885 Litros de agua. Se requiere cuatro clases de recursos: • Horas-Hombre • Grava • Arena • Agua Mezcla 1 2 3 4 Mano obra 8 10 18 50 de Grava 50 63 100 125 Arena 25 38 50 55 Agua 25 20 25 38 En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos de cada tipo de mezclas. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de mezcla.situaciones se presentan al organizar inventarios de construcción de productos y recursos en la ingeniería. 1500 Kg de Grava. Ejemplo: Un ingeniero civil supervisa la producción de cuatro tipos de mezclas de concreto para la elaboración de prefabricados. 8x1 + 10x2 + 18x3 + 50x4 =<800 Y así sucesivamente con los demás recurso. ¿Cuántas mezclas de cada tipo se pueden realizar por día? SOLUCION La cantidad total producida de cada mezcla está restringida al total de recursos disponibles en categoría diariamente. así: 50x1 + =<1500 25x1 + 25x1 + 63 x2 38 x2 20 x2 + + + 100 x3 50 x3 25 x3 + + + 125 x4 55 x4 =<400 38 x4 =<885 . Por ejemplo.28 54019.44 12281. están dadas por p1. suponiendo las ganancias que corresponden a cada mezcla.7261 13. p2. se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de mezclas. entonces se puede reemplazar el signo menor o igual por el de igual. p3 y p4.3816 36.3816)+ 885(13. Aplicando la eliminación Gausiana con los pasos anteriores. La ganancia total asociada con un día de actividad está dada por: P = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4 Se sustituyen los resultados de x’s y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente cuadro: MEZCLA 1 2 3 4 GANANCIA 2705.7261)+ 58315. se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de cuatro por cuatro.0128)+ 400(-26.853 P = 800(3.893 . En este caso la cantidad total de cada tipo de mezcla producida.8778) P = 1500(36.0128 -26.Cada una de estas de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma similar de otra manera.2 -10690.8778 Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. se tiene que: X1 X2 X3 X4 = = = = 3. Si los recursos disponibles representados por el vector de término independiente de las ecuaciones anteriores se reducen todos a cero simultáneamente. usando para este caso el Método de Eliminación de Gauss. 893 diarios con los recursos específicos en el problema. . Las ventajas y desventajas de la eliminación Gausiana. Una de las principales razones para incluir el método Gauss-Jordan. el primero requiere casi un 50% menos operaciones. por lo tanto la eliminación Gaussiana. pueden parecer casi idénticos. es la de proporcionar un método directo para obtener la raíz inversa. se aplican también al método de Gauss-Jordan y la eliminación de Gauss.De esta forma se pueden obtener una ganancia de $ 58315. es el método más simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultaneas.