ING.INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 1 1. Se desea preparar 1000kg de solución de hidróxido de calcio en agua al 5% en peso, diluyendo una solución de 20% en peso. Calcule las cantidades requeridas de hidróxido de calcio y agua. CONSERVACIÓN DE LA MASA La ecuación general de conservación de la masa para cualquier sistema de proceso puede escribirse como: Para un proceso al estado estacionario la acumulación es cero. Excepto para procesos nucleares, nada de masa es generada ni consumida; pero si se lleva a cabo una reacción particular pueden formarse o consumirse especies químicas en el proceso. Si no hay reacción química el balance al estado estacionario se reduce a: Masa que entra = Masa que sale Una ecuación de balance puede escribirse separadamente para cada especie presente identificable, elementos, compuestos o radicales; y para la masa total Solución Denominando las corrientes por: A: Lodo al 20 % de Ca(OH)2 B: Agua C: Lodo con 5% de Ca(OH)2 Se debe cumplir al estado estacionario ENTRADAS = SALIDAS Balance total: A + B = C A + B = 1000 (a) a) Balance parcial: ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 2 1) Hidróxido de calcio 0,20 A + B = 0,05C 0,20 A = 100 (1.b) 2) De agua 0,80 A + B = 0,95 B 0,80 A + B = 900 (2.b) De la Ec. (1.b) A = 500 kg. de solución al 20% Reemplazando A en las ecuaciones (a) ó (2.b) B = 500 kg. de agua Verificando el balance de materiales sobre la cantidad total: X + Y = 1000 500 + 500 = 1000, Correcto 2. El ácido clorhídrico grado técnico tiene una concentración de 28% en peso, expréselo como fracción mol. UNIDADES USADAS PARA EXPRESAR COMPOSICIONES Cuando se especifica una composición como un porcentaje es importante fijar claramente las bases: Peso, molar o volumen. Las abreviaciones p/p, (w/w) y v/v son usadas para designar base en peso y base en volumen. Solución Base de cálculo 100 kg. de ácido con 28 % p/p Pesos moleculares: Agua 18, HCl 36,5 Masa de HCl = 100 x 0,28 = 28 kg. Masa de agua = 100 x 0,72 = 72 kg. Kmol de HCl = 28 / 36,5 = 0,77 Kmol de agua = 72/18 = 4 Moles totales = 4,77 ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 3 Fracción molar de HCl =0,77 /4,77 = 0,16 Fracción molar de agua = 4,00/4,77= 0,84 Comprobando total =1,00 3. Discutir en términos de ecuaciones diferenciales las consecuencias de la primera ley de la termodinámica, referente a: a) Variables termodinámica T y V independientes La presión se mantiene contante ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) b) Variables termodinámica T y P independientes El volumen se mantiene constante ∫ ( ) ∫ ( ) ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 4 ∫ ( ) ( ) ( ) c) Variables termodinámica P y V independientes La temperatura se mantiene constante ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) 4. Discutir las ecuaciones diferenciales de primer orden requerido a: a) Operación unitaria de filtración. La filtración es la operación mediante la cual las partículas sólidas de una mezcla lìquido-sòlido se separan for4zando a la mezcla a pasar a través de un medio filtrante o tela filtrante que retiene las partículas. Los sólidos se depositan en el filtro y a medida que la torta aumenta de espesor opone una mayor resistencia a la filtración. Los poros del medio filtrante en general, tendrán una forma tortuosa y serán mayores que las partículas que deben separarse, operando el filtro de forma eficaz únicamente después de que un depósito inicial haya sido retenido en el medio. En el laboratorio químico, la filtración se lleva a cabo a menudo por medio de un embudo Buchner, siendo el líquido succionado a través de la fina capa de partículas mediante una fuente de vacío, en casos aún más sencillos, la suspensión es vertida en un embudo cónico provisto de un papel de filtro. A escala industrial, nos encontramos con las dificultades inherentes al movimiento mecánico de cantidades muchos mayores de suspensión y de sólidos. Deberemos permitir la formación de una capa más gruesa de sólidos y, para conseguir una elevada velocidad de paso del líquido a través de los sólidos, se requerirán presiones más elevadas. En otro caso, será necesario proporcionar un área mucho mayor. ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 5 La operación de filtración depende de las propiedades del sólido y del fluido. La filtración de solidos cristalinos incomprensibles en líquidos de baja viscosidad es relativamente sencilla. Por el contrario, los caldos de fermentación pueden ser difíciles de filtrar debido al pequeño tamaño y a la naturaleza gelatinosa de las células y al comportamiento viscoso no newtoniano del caldo. La mayoría de las tortas filtrantes microbianas son comprensibles, es decir, la porosidad de la torta disminuye conforme aumenta la caída de presión a través del filtro. Este hecho puede representar un problema importante en el proceso ya que disminuye la velocidad de filtración y aumenta las pérdidas de producto. La filtración de los caldos de fermentación se realiza normalmente en condiciones no asépticas, por lo que el proceso debe ser lo suficientemente eficaz como para evitar una contaminación excesiva y la degradación de los productos lábiles. En la figura 4.3 se ilustra una operación típica de filtración, mostrándose, el medio filtrante, en este caso una tela, su soporte y la capa de sólidos, o torta filtrante, que se ha formado ya. Los factores más importantes de que depende la velocidad de filtración serán entonces: 1) La caída de presión desde la alimentación hasta el lado más lejano del medio filtrante, 2) El área de la superficie filtrante, 3) La viscosidad del filtrado, 4) La resistencia de la torta filtrante, 5) La resistencia del medio filtrante y de las capas iniciales de la torta. Debo observar que existen dos métodos completamente distintos de operar un filtro discontinuo: Si la presión se mantiene constante la velocidad de flujo disminuirá progresivamente, mientras que si debe mantenerse constante la velocidad de flujo entonces habrá de aumentar gradualmente la presión. Como las partículas que forman la torta son pequeñas y el flujo a través del lecho es lento, casi siempre se obtiene condiciones laminares y, por tanto, en un instante cualquiera puede expresarse con la siguiente ecuación diferencial: ( ) ( ) En esta ecuación, V es el volumen de filtrado que ha pasado en un tiempo t, A es el área de la sección transversal de la torta filtrante, p es la velocidad superficial del filtrado, l es el espesor de la torta, S es la superficie especifica de las partículas, e es la porosidad, u es la viscosidad del filtrado y AP es la diferencia de presiones aplicada. Las tortas filtrantes pueden dividirse en dos clases: tortas incomprensibles y tortas comprensibles. En el primer caso, la resistencia al flujo de un volumen dado de torta no es afectada de forma apreciable por la diferencia de presión a través de la torta o por la velocidad de deposición de material. Por otra parte con una torta comprensible, un aumento de la diferencia de presión o de la velocidad de flujo provoca la formación de una torta más densa con una resistencia más elevada. Para tortas incomprensibles, el valor de e en la ecuación 2.20 puede tomarse como constante; en estas condiciones el grupo () es una propiedad de las partículas que forman la torta y debe ser constante para un determinado material. Por lo tanto: ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 6 Donde ( ) La ecuación diferencial 4.21 es la ecuación diferencial básica de la filtración, siendo r la resistencia especifica. Depende de e y de S. para tortas incomprensibles se considera constante, pero dependerá de la velocidad de deposición, de la naturaleza de las partículas y de las fuerzas existentes entre las mismas. A partir de ella se obtiene los modelos matemáticos para la filtración a presión constante y a velocidad constante. El filtro más adecuado para una operación dada será aquel que cumpla las necesidades a un costo global mínimo. Como el costo del equipo estará estrechamente relacionado con el área filtrante, normalmente es de desear el obtener una elevada velocidad global de filtración. Esto implica la utilización de presiones relativamente elevadas, pero las presiones máximas suelen estar limitadas por consideraciones de diseño mecánico. Aunque se obtiene una capacidad de producción más elevada, para una superficie filtrante dada, en un filtro continuo que en uno discontinuo, puede ser necesario a veces utilizar este último, especialmente si la torta filtrante tiene una elevada resistencia, ya que la mayoría de filtros continuos funcionan a presión reducida, estando por tanto limitada la presión máxima de filtración. Los factores más importantes en la selección de un filtro son la resistencia específica de la torta filtrante, la cantidad a filtrar, y la concentración de sólidos. Para materiales de filtración poco complicados generalmente lo más satisfactorio es utilizar un filtro rotario a vacío; estos filtros ofrecen una gran capacidad con relación a su tamaño y no requieren mucha atención manual. Si la torta debe lavarse, el filtro rotario de tambor es preferible al de hojas. Para filtración en gran escala, hay tres casos principales en los que no debe utilizarse un filtro rotario o vacío. En primer lugar, si la resistencia especifica es elevada se requiere un filtro a presión, un filtro prensa puede resultar adecuado, especialmente si el contenido en sólidos no es tan elevado que obligue a desmontar frecuentemente la prensa En segundo lugar cuando se requiere un lavado eficaz, el filtro de hojas es adecuado, ya que se forman tortas muy delgadas y el riesgo de que ocurra canalización durante el lavado se reduce al mínimo. Finalmente, cuando en el líquido se encuentra presentes únicamente muy pequeñas cantidades de sólidos, puede utilizarse un filtro de lecho. Los filtros de lecho constituyen un ejemplo de los principios de la filtración en profundidad, en las que las partículas penetran en el interior de los intersticios del lecho filtrante, donde quedan atrapadas. Para la depuración de los suministros de agua y para el tratamiento de aguas residuales, en cuyos caos el contenido de sólidos es de aproximadamente 10g/m o menos, los filtros de lecho granulares han substituido en gran parte a los antiguos o lentos lechos de arena. Estos filtros están constituidos por materiales granulares, con un tamaño de grano de 0,6-1,8m. Las ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 7 partículas de sólidos se separan por una acción mecánica, aunque finalmente quedan adheridas por fuerzas eléctricas superficiales o por adsorción. Esta operación ha sido analizada por Iwasaki, quien dio la siguiente ecuación diferencial: En esta ecuación C es la concentración en volumen de los sólidos en suspensión en el filtro; I es la profundidad del filtro, y es el coeficiente del filtro. Resolviendo la ecuación como una de variables separables, obtendremos: Donde Cº es el valor de C en la superficie del filtro. Si u es la velocidad de flujo superficial de la suspensión, la velocidad de flujo de los sólidos a través del filtro a una profundidad I es uC por unidad de área. Así, la velocidad de acumulación de sólidos depositado por unidad de volumen del filtro a una profundidad I, la velocidad de acumulación puede también expresarse como EJEMPLO 1. Tiempo requerido para efectuar una filtración Se cuenta con los siguientes datos para filtrar en el laboratorio una suspensión de CaCO3 en agua a 298.2 K (25°C), a presión constante (-Δp) de 46.2 KN/m 2 . El área de filtración de la prensa de placas y marcos es A = 0.0439 m 2 y la concentración de la suspensión es Cs = 23.47 kg/m 3 (1.465 Ibm /pie 3 ) de filtrado. Calcule las constantes α y Rm con base en estos datos experimentales, si t es el tiempo en s y V es el volumen de filtrado recolectado en m 3 . ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 8 Solución: Primero se calculan los datos como t/V y se tabulan en la tabla 14.2-1. Se construye la gráfica de t/V contra V en la figura 14.2-8, y se determinan la intersección que es B = 6400 s/m 3 (181 s/pie 3 ) y la pendiente que es Kp/2 = 3.00 x 10 6 s/m 6 . Por tanto, Kp = 6.00 x 10 6 s/m 6 (4820 s/pie 6 ). A 298.2 K, la viscosidad del agua es 8.937 x 10 -4 Pa/s = 8.937 x 10 -4 kg/m s. Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación () y resolviendo, () ( )()() () ( ) ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 9 Sustituyendo en la ecuación () y despejando, () ( )( ) ()( ) EJERCICIO 2: Se desea filtrar en una prensa de placas y marco que tiene 20 marcos y 0.873 m 2 (9.4 pie) de área por marco. La concentración de la suspensión es c s = 23.47 kg/m 3 (1.465 Ibs, /pie 3 ). Suponiendo las mismas propiedades de la torta de filtrado y de la tela de filtración que el ejercicio anterior. Calcule el tiempo necesario para extraer 3.37 m 3 (119 pie 3 ) de filtrado. Solución: El área A = 0.0439 m 2 Kp = 6.00 x l0 6 s/m 6 B = 6400 s/m 3 Puesto que: .Es posible corregir Kp. De acuerdo con la ecuación () K, es proporcional a l/A 2 . La nueva área es A = 0.873(20) = 17.46 m 2 . El nuevo valor de Kp es ( ) El nuevo valor de B es proporcional a 1/A de acuerdo con la ecuación: () B = (6400)(0.0439/ 17.46) = 16.10 s/m 3 Sustituyendo en la ecuación: ( ) () ()() b) Operación unitaria de destilación La destilación es un método para separar los componentes de una solución; depende de la distribución de las sustancias entre una fase gaseosa y una líquida, y ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 10 se aplica a los casos en que todos los componentes están presentes en las dos fases. En vez de introducir una nueva sustancia en la mezcla, con el fin de obtener la segunda fase (como se hace en la absorción o desorci6n de gases) la nueva fase se crea por evaporación o condensaci6n a partir de la solución original. Con objeto de aclarar la diferencia entre la destilación y las otras operaciones, se va a citar algunos ejemplos específicos. Cuando se separa una solución de sal común en agua, el agua puede evaporarse completamente de la solución sin eliminar la sal, puesto que esta última, para todos los fines prácticos, casi no es volátil en las condiciones predominantes. Esta es la operación de evaporación. Por otra parte, la destilación se refiere a separar soluciones en que todos los Componentes son apreciablemente volátiles. A esta categoría corresponde la separación de los componentes de una solución líquida, de amoniaco y agua. Si la solución de amoniaco en agua se pone en contacto con aire, el cual es básicamente insoluble en el líquido, el amoniaco puede desorberse mediante los procesos expuestos en el capítulo 8, pero entonces el amoniaco no se obtiene en forma pura, porque se mezcla con el vapor de agua y el aire. Por otra parte, aplicando calor, es posible evaporar parcialmente la solución y crear, de esta forma, una fase gaseosa que consta únicamente de agua y amoniaco. Y puesto que el gas es más rico en amoniaco que el líquido residual, se ha logrado cierto grado de separación. Mediante la manipulaci6n adecuada de las fases, o mediante evaporaciones y condensaciones repetidas, es generalmente posible lograr una separación tan completa como se quiera y recobrar, en consecuencia, los dos componentes de la mezcla con la pureza deseada. El vapor que se desprende en una destilaci6n diferencial verdadera está en cualquier momento en equilibrio con el líquido del cual se forma, pero cambia continuamente de composici6n. Por lo tanto, la aproximaci6n matemática debe ser diferencial. Supóngase que en cualquier momento durante el desarrollo de la destilación hay L moles de líquido en el destilador con una composición x fracción mol de A y que se evapora una cantidad dD moles del destilado, de composición y* fracción mol en equilibrio con el líquido. Entonces, se tiene el siguiente balance de materia: Materia total Componente A Moles entrantes 0 0 Moles salientes dD y Moles acumulados dL d(Lx) - Ldx + xdL Entrada-salida = acumulación 0 - dD - dL 0 - y*dD - Ldx + xdL Las dos últimas ecuaciones/ se vuelven: y*dL = Ldx + xdL ∫ ∫ En donde F son los moles cargados de composición xF y W los moles de líquido residual de composición xw. ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 11 Un líquido que contiene 50% en mol de benceno (A), 25% en mol de tolueno (B) y 25% en mol de o-xileno (C) se destila diferencialmente a 1 atm. con evaporación del 32.5% en, mol de la carga. Se aplica la Ley de Raoult. Calcular la composición del destilado y del residuo. Solución: La temperatura promedio va a ser ligeramente superior que el punto de burbuja de la carga (95 “C, véase el ejemplo 9.3), pero se desconoce. Se va a tomar como 100 “C. Las correcciones pueden hacerse posteriormente calculando el punto de burbuja del residuo y repitiendo El trabajo a la temperatura promedio, pero α varia poco con cambios moderados de temperatura. A continuación, se tabulan las presiones de vapor a 100 “C y las ase calculan en función del tolueno, P=PRESIÓN DE VAPOR SUSTANCIA 100ºC, mmHg α xf A 1370 2,49 0,5 B 550 1,0 0,25 C 200 0,364 0,25 Para A: () () Para C: () () Por lo tanto: Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente, suponiendo valores de , calculando y y verificando su suma hasta que sea igual a 1, se obtiene , = 0.285, = 0.335. La suma es 1.005, la cual se considera satisfactoria. La composición del destilado compuesto se calcula mediante balances de materia Para A, lOO(O.50) = 32.5 yA, D, pr + 67.5(0.385) yA, D, pr = 0.742 En forma similar, Y Nótese que se mejor6 la separaci6n con respecto a la obtenida por evaporación instantánea ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 12 c) Deshidratación de alimentos La deshidratación de alimentos es una operación unitaria que se usa en la conservación de los mismos, y consiste en la eliminación de agua de un alimento solido o liquido por vaporización, ebullición o sublimación. Como resultado se obtiene siempre un producto sólido. Se considera que un alimento esta deshidratado si no contiene más de 2,5% de humedad, mientras que uno seco puede contener más de 2,5%. A excepción de la liofilización, el secado al vacío, la eliminación de agua se consigue, en general, mediante una corriente de aire seco, el cual arrastra el agua de la superficie del producto. La operación de secado no solo rebaja su contenido en agua, sino puede afectar las características organolépticas (color, sabor, aroma, textura, etc.) sino también nutritivas (insolubilización de proteínas, perdida de vitaminas, reacciones de pardea miento). Además esta operación unitaria de eliminación de agua es una de las más costosas por que utiliza gran cantidad de energía para calentar el aire. Como se puede percibir, el deshidratado de alimentos como operación unitaria requiere que el tecnólogo requiere de conocimientos en las siguientes ramas de la ciencia e ingeniería. Fisicoquímica Química de alimentos Termodinámica Transferencias de calor y masa Las dos primeras, proporcionan herramientas y criterios para tratar adecuadamente al alimento y las dos últimas al aire de secado. Tanto la termodinámica y los fenómeno de transferencia de calor y masa implican a su vez conocer matemáticas fundamentalmente ecuaciones diferenciales y métodos numéricos. MECANISMOS DE DESHIDRATACION DE ALIMENTOS Los mecanismos de transferencia de agua e el producto que se está secando se pueden resumir en los siguientes. Movimiento de agua bajo fuerzas capilares Difusión de líquido por gradientes de concentración Difusión superficial Difusión de vapor de agua en lo poros llenos de aire Flujos debidos a gradientes de presión La velocidad de secado R, es decir la cantidad de agua eliminada en la unidad de tiempo y por unidad de área se expresa mediante la siguiente ecuación diferencial de variables separables. ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 13 Donde x es la humedad del alimento en base seca, t el tiempo, S los sólidos secos y A el área de secado. PERIODOS DE SECADO La operación de secado puede describirse por una serie de etapas en las cuales la velocidad de secado R juega un papel importante. Estas etapas al ser graficadas reproducen ciertas curvas llamadas curvas de secado. Una de ellas se representa en la figura. El periodo AB se llama periodo de inducción o estabilización y es bastante breve. El periodo BC e llama periodo de secado o velocidad constante. El periodo CDE se llama periodo de secado o velocidad decreciente y es el más importante, puesto que es en este periodo donde se producen la mayor parte de deterioro del alimento, debido fundamentalmente a dos razones. Tienen gran duración Los niveles de agua son tan bajos, que en ocasiones se llega a tocar los nutrientes del alimento. CALCULOS PARA EL PERIODO DE SECADI A VELOCIDAD DECRECIENTE R X A A B C D E ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 14 Se requiere técnicas de integración grafica como los trapecios o rectángulos. Si el secado viene gobernado por el fenómeno de difusión, los cálculos están basados en la segunda ley de Fick que es una ecuación diferencial parcial de segundo orden: d) Cinética química y cinética enzimática Rapidez de una reacción si la temperaturas e mantiene constante la velocidad de una reacción química es proporcional al producto de las concentraciones Reactivos productos A B ,- ,- Debido a la concentración de a disminuye al progresar al tiempo, se pone el signo negativo, pero la reacción es siempre positiva Velocidad de reacción estequiometria Reacciones más compleja 2A B En este caso hay dos moles de A por cada mol de B ,- ,- Generalizando para la reacción ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 15 La velocidad de reacción se escribe ,- ,- ,- ,- La ley dela la rapidez: La velocidad de reacción con la constante de reacción con la constante de velocidad X y y se determinan experimentalmente ,- ,- Reacción de primer orden La velocidad depende de la concentración es una ecuación de primer grado de variable separable ,- ,- ,- , - ,- ,- , - ,- , - Reacción de segundo orden La velocidad depende la concentración delos reactivos A Producto ,- ,- ,- , - Reacción de orden cero Son poco comunes, es una constante independiente dela concentración delos reactivos ,- ,- ,- ,- ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 16 EJEMPLO1 Dentro de un pequeño fermentado agitado se cultiva serranía se mide e consumo de oxígeno a una concentración celular de 22,7g/l en peso en base. Los datos experimentales son TIEMPO 0 2 5 8 10 12 15 CONCENTACION 0.25 0.23 0.21 0.20 0.18 0.12 0.15 A) de qué orden es la reacción ,- ,- ,- ∫ ,- ∫ ,- ,- Hallando k ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 17 Cuando n=1 Ln,- 5. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden a los circuitos eléctricos. Para resolver un problema de circuitos L-R-C (inductancia, resistencia y capacitancia) tendremos en cuenta las siguientes leyes experimentales. a) Para un resistor: la caída de voltaje a través de un resistor es proporcional a la corriente ``i´´, idea. donde R es la constante de proporcionalidad (resistencia). Además: ´´i`` se mida en ampere, R en ohms y el voltaje en voltios. b) Para un inductor: la caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la rapidez de cambio instantáneo de la corrientes con respecto al tiempo, osea: , donde L es la inductancioa de la bobina y se mide en henrios, el tiempo t en segundos. c) Para un capacitor: la caída de voltaje a través de un capacitor es proporcional a la carga eléctrica instantánea ´´q`` en el capacitor, sea: donde c es la capacitancia y se mide en faradios, q s mide en coulumbs d) Relación i(t) y q(t): () EJERCICIOS: I. La carga eléctrica (en coulomb) en una superficie esférica se escapa a una tasa proporcional a la carga instantánea. Inicialmente la carga es de coulomb y en 30 minutos escapa un noveno. ¿Cuándo quedara un décimo de coulomb? Solución: () ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 18 C.I ⋀ Escapa ⁄ , queda ⁄ . / . / ( ) Para: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () II. Un circuito tiene R (homs), C (faradios) y E (voltios) conectados en un interruptor (donde R, C y E son constantes). Si el interruptor está cerrado hasta que la carga sea el 0,90 de su máximo teórico y luego E se reduce a cero, encuentre la carga q de ahí en adelante, viendo que la carga inicial en el condensador es cero. Solución: ( ) ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 19 Máximo teórico: CI CI --> 6. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en problemas de crecimiento y decrecimiento (evaporación, interés compuesto, crecimiento de poblaciones, desintegración radioactiva, entre otros). CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO NATURALES t=tiempo K= Constante de proporcionalidad X=variabilidad que cambia en el tiempo ES EL MODELO MATEMATICO PARA: crecimiento o decrecimiento de la población desintegración radioactiva Interés compuesto Eliminación de medicamentos Evaporación de un compuesto ANALISIS MATEMATICO IV Variaci de “x” repect a tiep ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 20 Velocidad de reacciones químicas velocidad de tamizado t=tiempo K= Constante de velocidad de reacción N=número de microorganismo ∫ ∫ ( ) Pasando a log decimal entre 2,30 . / . / Donde es una recta de pendiente Tiempo de reducción decimal ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 21 Es el tiempo requerido para reducir la carga microbiana 10 veces entonces si EJEMPLO El valor de D en 115,4 min en el cual existen 300mil bacterias de una cepa. Calcular la velocidad de degradación y la cantidad de sobrevivientes después de haber esterilizada el alimento durante 5minutos a dicha temperatura Resolución D=1,143min T=115,5ªc l =? Esterilizado en 5 min T=115,5ºc ∫ ∫ ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 22 ( ) () N=12,479 N=12 bacterias 7. Aplicación de las ecuaciones diferenciales en el estudio de: a) Hidráulica. INTRODUCCION Se denomina energía hidráulica, energía hídrica o hidroenergía, a aquella que se obtiene del aprovechamiento de las energías cinética y potencial de la corriente del agua, saltos de agua o mareas. Es un tipo de energía verde cuando su impacto ambiental es mínimo y usa la fuerza hídrica sin represarla, en caso contrario es considerada solo una forma de energía renovable. Se puede transformar a muy diferentes escalas, existen desde hace siglos pequeñas explotaciones en las que la corriente de un río, con una pequeña presa, mueve una rueda de palas y genera un movimiento aplicado, por ejemplo, en molinos rurales. Sin embargo, la utilización más significativa la constituyen las centrales hidroeléctricas de presas, aunque estas últimas no son consideradas formas de energía verde por el alto impacto ambiental que producen. PROBLEMA 1 Un tanque cilíndrico vertical de radio 1 metro contiene agua hasta un nivel de 1.20 metros. Al abrir una llave de desagüe en el fondo, el agua sale a una velocidad de √ . / Calcular a qué velocidad baja el nivel del líquido cuando la altura del agua es de ½ metros SOLUCION El volumen de agua en el tanque es ( ) Derivando con respecto al tiempo y despejando Si ( ) Además √ Entonces √ Cuando h = ½ mes tendrá: El nivel de agua desciende a razón de 0.045 (m/min) ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 23 PROBLEMA 2 Se vierte agua en un tanque esférico de 30 metros de diámetro a razón de 10 (m 3 /min). Calcular a qué velocidad se eleva el nivel del líquido cuando su altura es de 6 metros SOLUCION El volumen de líquido en el tanque para un tiempo cualquiera: Derivando con respecto al tiempo y despejando ( ) . i / Si h = 6 y dv/dt = 10 (m 3 /min) Por lo tanto ( ) . i / ( ) b) Transferencia de calor. La intensidad del paso de calor, por conducción es proporcional al área de la sección normal al flujo de calor A, al gradiente de temperatura , y a un factor de proporcionalidad denominda conductividad calorífica k, característico de cada sustancia y que varía con la temperatura y el estado de agregación. En el caso de que la temperatura de cualquier punto del sistema no varíe con el tiempo, el mecanismo de transmisión de calor se denomina conducción de calor en estado estacionario Porque en todo proceso físico de conservación tiene lugar una transferencia o transporte de calor, ya sea por convección, por conducción o por radiación. Sea Q=cantidad de calor en julios(J) c) Transferencia de masa Transferencia debido a un gradiente de concentración en un caso, e indirectamente, a una gradiente de presión en el otro Ley de los gases: ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 24 Entonces existe una relación entre P y la concentración, existe también en el caso de las soluciones, ya que la presencia de cualquier soluto genera una presión OSMOTICA tal que: (Caso de las soluciones diluidas) Toda cantidad de materia se mide por su masa (kg), o bien por el número de moles que la forman. Dicha cantidad está repartida en un volumen; es decir tiene cierta DENSIDAD. Velocidad Cualquier heterogeneidad en las concentraciones de una especio molecular provoca la evolución espontanea hacia la uniformidad de dichas concentraciones, y por lo tanto una trasferencia de materia cuya velocidad se denomina VELOCIDAD DE TRANSFERENCIA(o de transporte) ̇ ; siendo, por lo tanto, la cantidad de masa transferida por unidad de tiempo. d) Mecánica de fluidos La textura de los alimentos líquidos y semisólidos se evalúa sensorialmente por apreciación de su comportamiento en el flujo. Este puede producirse por fuerzas de distinto tipo. La medida instrumental de la viscosidad de los alimentos líquidos se realiza mediante el uso de viscosímetros (capilares, rotacionales, coaxiales, etc.). En general estas medidas guardan una relación aceptable con la apreciación sensorial aunque no deben usarse como totalmente representativa de la sensación humana. Ejemplo: En un tanque cisterna de forma cónica fluye agua a razón de 8pies 3 /min. Si l altura del tanque es 12 pies y el radio de su base superior es 6 pies, ¿con que rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 4 pies de altura? 12 pies r 6 pies 8 pies 3 /min ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 25 Sea: Dato: Incógnita: en el instante que Volumen del cono: El grafico: Unimos las ecuaciones: ( ) . / Cuando h=4: e) Termodinámica ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 26 La termodinámica trata de los estados d equilibrio y de los cambios de estado de equilibrio y de los cambios desde un estado a otro. También trata de la cantidad de calor trasferida a medida que pasas por un proceso de un estado de equilibrio a otro y no hace referencia a cuanto durara ese proceso. Pero en la ingeniería a menudo estamos interesados en la velocidad de trasferencia de calor Calcular el volumen final en m3, en un proceso reversible no fluente en donde el trabajo realizado por los alrededores es de 56 KJ. Si el volumen inicial es de 0.1 m3 y la presión varía según la siguiente relación P= (-V/1.5 + 45) en kg/cm2 (abs) y el volumen en m3. Datos: W= 56 KJ Inicial = 0.1 m3 P = (-V/1.5 + 45) SOLUCIÓN f) Economía INTRODUCCIÓN ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 27 La economía tiene como principal fin, “desarrollar mejores políticas para minimizar problemas y ampliar los beneficios que obtenemos del trabajo diario”. Producir bienes que desean los consumidores, en búsqueda de intereses privados, es promover los intereses de la sociedad. Identificar un problema o una necesidad a satisfacer, más que un problema, representa una oportunidad para el campo de acción de cualquier ingeniero. La respuesta acorde a la utilización eficaz de los materiales y las fuerzas de la naturaleza, normalmente emplea el cálculo, ya sea mediante una ecuación que contenga algunas derivadas de una función incógnita, o precisamente una ecuación diferencial. Una aplicación a la economía puede ser la variación del dinero (A) invertido en una entidad financiera respecto al tiempo (t), donde la razón de aumento del dinero es proporcional a la cantidad de dinero presente a una constante de interés (i) dada Si en determinado tiempo (t) se retira cierta cantidad de dinero (d), éste disminuye, pero el saldo disponible con el tiempo continúa aumentando a una constante de interés: PROBLEMA 1 La señora Blanca Ramírez desea disponer en 10 años de $30‟ 000 000 haciendo algunos depósitos en una entidad financiera con una tasa de interés incrementado a una tasa del 16% compuesto en forma continua. Los depósitos los hará de la siguiente manera: Al comienzo del período deposita $3„000 000, al cabo de tres años deposita $4‟ 000 000 y tres años después deposita $5‟ 000 000 a) ¿Obtendrá el dinero esperado en 10 años? ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 28 b) Si en los últimos cuatro años quiere tomar anualmente $1‟ 000 000 para disfrutar de unas vacaciones con su familia ¿Obtendrá al final los $30‟ 000 000 esperados? SOLUCIÓN a) ∫ ∫ () () () () () Tendrá a los tres años $4‟ 848 223. 207 pero, además tiene un depósito de $ 4‟ 000 000. Entonces A (3)=8 848 223.207 () () () () () ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 29 Tendrá a los seis años $14 229 387.03 pero, además tiene un depósito de $ 5‟ 000 000. Entonces A (6)=19 229 387.03 () () () () () Respuesta: La señora Blanca si obtendrá el dinero esperado, además tendrá $6 468 146.82 adicionales b) La ecuación diferencial para A (t) debe cambiarse pero sólo a partir del año seis. ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) () ( ) () () ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 30 () Respuesta: Si la señora Blanca disfruta de unas vacaciones, de igual modo al final obtendrá el dinero esperado. 8. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en problemas geométricos. INTRODUCCION Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresión algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de la variable dependiente, contamos con una interpretación geométrica muy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva solución. Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para el despeje descrito, la expresión de las pendientes en todos los puntos donde tenga sentido la solución se ajustará a una función de las coordenadas del punto en estudio. Una buena aproximación al valor del incremento de la variable dependiente (usada ya por Euler) consiste en calcular el producto de la función en el punto particular por el incremento de la variable independiente. Esta idea se rescata en la construcción con Cabri- Géomètre de un tramo de la recta tangente cuya pendiente está dada por la función f(x, y). ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 31 PROBLEMA 1 La intersección de la tangente a un punto P(x, y) de una curva con el eje de abscisas es siempre igual a la ordenada de dicho punto. Hallar la curva que pasa por el punto 0,1. SOLUCIÓN Como se sabe (ver elementos geométricos), el intercepto de la tangente con el eje “x” es: Entonces ( ) Dado que , son funciones homogeneas de grado 1: Sea: El problema queda: ()( ) ( ) ()( ) ( ) Integrando La curva que pasa por 0.1 es ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 32 PROBLEMA 2 Encontrar la familia de curvas en la que la porcion de la tangente a un punto P(x;y), comprendida entre P y el eje “y” se divide en dos partes iguales por el eje “x” SOLUCION Dado que la tangente se biseca en el eje “x”; se presentan dos triangulos congruentes Entonces: Integrando: 9. Estudio de la solución de una ecuación diferencial con transformada de Laplace. Transformada de Laplace La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre- Simón Laplace, La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 33 diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por: Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f (t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: Leyes de trasformación Demostración ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 34 a * + () i ∫ i ∫ () i () a i(e () e () ) a Propiedades Linealidad Ejemplo 1 . Solución: De acuerdo con la definición, ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 35 Ejemplo 2 { () ()} * + *()+ *()+ ( ) . / () Definición de la Transformada Inversa La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir si es que acaso Esta definición obliga a que se cumpla: y Propiedades ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 36 EJERCICIOS1 { } ( )( ) A Por la tanto { } { } { } { } { } () () Ejercicio 2 { ( ) } * + ( ) ( ) { ( ) } ( ) ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 37 Trasformada de las derivadas La primera derivada: y=y (t) o y= (0) *()+ *()+ () *()+ i ∫ () i (∫ () ∫ () ) i [ () () ()] i , ()- Y (0) *()+ La segunda derivada *()+ *()+ () () La tercera derivada *()+ *()+ *()+ () () En general * ()+ *()+ *()+ () () () () Propiedad * + ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 38 Ejercicio 1 Y”() 3 ∫ ∫ Ejercicio 2 Y” ∫ ∫ Arcotanp=x Tg(x) =p 1 Tg(x) ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 39 10. Principales aplicaciones a la ingeniería ambiental. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN EL CAMPO DE LA INGENIERIA AMBIENTAL: Las características de la aplicabilidad de las ecuaciones diferenciales es muy variada en este análisis se trataran 2 temas básicos: Población Mezclas /decaimiento radioactivo POBLACION: 1. En un ecosistema se puede determinar el número de individuos, en condiciones ideales que sean objeto de estudio como por ejemplo a que tasa se está extinguiendo un especie endémica o una migratoria 2. Como hablamos de crecimiento puntuales se podría hallar el grado de expansión de un contaminante un ejemplo sería un derrame de crudo que se desplaza (razón de crecimiento) con una contante de condiciones y que a su vez va a tener una extensión máxima(K) y una posterior baja (punto crítico) MEZCLAS /DECAIMIENTO RADIOACTIVO Procesos de producción industrial de contaminantes con su concentración y difusión en el medio (concentración) Manejo de vertimientos determinando la dilución necesaria para que estos cumplan la normatividad legal vigente. Medición de contaminantes en la atmosfera y medidas de mitigación, siembra de árboles por ejemplo, cargas de gases su concentración y difusión Manejo de concentraciones de lixiviados en aguas subterráneas determinando su k de cargas orgánicas y modificación en las características físicas de las corrientes de agua. 1. Cierta ciudad tenía una población de 25,000 habitantes en 1960 y una población 30,000 habitantes en 1970 suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante ¿Qué población esperara los urbanistas que tenga en el año 2011? dx dt Separando variables: ∫ ∫ () Aplicando propiedades de logaritmos que daría de esta forma: x ce Se toma t en 1960 de tal modo que: ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 40 25000=x (0) Sustituyendo se obtiene 25000=ce () Sustituyendo X=25000e De 1970 a 1960 han transcurrido 10 años y la población ha aumentado 30000 X (10)=30000 () () () Al sustituir se obtiene la fórmula que nos permite calcular el tamaño de la población en función del tiempo donde () Del año 1960al año 2010 han transcurrido entonces esa población actualmente tiene: () () () 2. El einstenio 253 de caer con una rapidez proporcional a la cantidad que se tenga determine la vida media si este material pierde un tercio de masa en 11.7 días. Q: 253 dQ/dt: rapidez d: razón de decaimiento: ∫ ∫ () Q (0)= cantidad inicial del elemento en tiempo 0 Sustituyendo se obtiene: ce c Sustituyendo otra vez: Sustituyendo: e e r t r Sustituyendo: e e () t t dia ING. INDIGOYEN RAMIEZ, David UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ. FACULTAD DE ING. EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. ANALISIS MATEMATICO IV 41 11. METODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN ç
Report "Aplicación de Las Ecuaciones Diferenciales en El Campo de La Ingenieria"