SEMINARIO N° 3 – LA INTEGRAL DEFINIDA Y COORDENADAS POLARES1.- Hallar el área de la superficie generada haciendo girar la curva: y = x ÷ 6 2 , x | | 6 , 3 e alrededor del eje x. Sea y’ = x ÷ ÷ 6 1 A = } | | | . | \ | | | . | \ | ÷ ÷ + ÷ 6 3 2 6 1 1 ) 6 2 ( 2 dx x x t A = ( ) } | | . | \ | ÷ ÷ ÷ 6 3 6 7 6 4 dx x x x t A = } ÷ 6 3 7 4 dx x t A = - 6 3 3 ) 7 ( 3 2 4 ( ¸ ( ¸ ÷ x t A = -4 2 3 16 3 2 u | . | \ | ÷ t A = 2 3 56 u t 2.- Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación, alrededor del eje X, del arco de la curva y= e -x comprendida entre X = 0m X = +·. Sea y’ = -e -x A = 2t } · ÷ ÷ ÷ + 0 2 ) ( 1 dx e e x x Haciendo : t = e -x dt = -e -x dx A = -2t } + 0 1 2 1 dt t A = 0 1 2 2 1 1 ( ¸ ( ¸ + + + + ÷ t t Ln t t t A = ( ) 2 2 1 2 u Ln t + + 3.- Hallar el área de tronco engendrada por la rotación del círculo x2 + (y - b) 2 = a 2 alrededor del eje x ( 6 > a). Despejando y: y = b ± 2 2 x a ÷ Sea::y’= 2 2 x a X ÷ ± A=2t } } ÷ ÷ | | . | \ | ÷ ÷ + ÷ ÷ + | | . | \ | ÷ + ÷ + a a a a dx x a x x a dx x a x x a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) 6 ( 2 1 ) ( t A = 4t dx x a x a b x a b a a } ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ + ÷ + 0 2 2 2 2 2 2 ( A = 8t ab } ÷ a x a dx 0 2 2 A = a a x sen arc ab 0 8 ( ¸ ( ¸ | . | \ | t A = 4t ab u 2 4.- Hallar el área de la elipsoide de revolución que se obtiene al hacer girar la elipse 1 16 25 2 2 = + y x , alrededor de su eje menor. Si x = 2 16 4 5 y ÷ Sea x’ = 2 16 4 5 y y ÷ ÷ A = 2t } ÷ | | | . | \ | | | . | \ | ÷ ÷ + | . | \ | ÷ 4 4 2 2 16 4 5 1 16 4 5 dy y y y A = 4 10t ( ) } ÷ ÷ + ÷ 4 4 2 2 2 ) 16 ( 16 9 256 16 y y y dy A = 8 5t dy y } ÷ + 4 4 2 9 256 A = 4 4 2 2 9 256 3 2 256 9 256 2 3 24 5 ÷ ( ¸ ( ¸ + + + + y y Ln y y t A = 2 4 2 256 240 24 5 u Ln | . | \ | + t A = 2 ) 4 ( 3 80 50 u Ln | . | \ | + t t 5.- Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al rotar, alrededor del eje x. el lazo de la curva 9ay 2 = x (3a-x) 2 . Sea y = a x x a 3 ) 3 ( ÷ Y 2 = ( ) ax x a 2 ) ÷ A = 2t } | | | . | \ | | | . | \ | ÷ + | . | \ | ÷ a dx ax x a a x x a 3 0 2 2 1 3 3 A = } + ÷ a dx x a x a 3 0 ) )( 3 ( 3 t A = } ÷ + a dx x ax a 3 0 2 ) 2 2 3 ( 3 t A = a x ax a 3 0 3 2 2 3 3 3 ( ¸ ( ¸ ÷ + t A = 3 a 2 2 u t 6.- Calcular el área de la superficie formada por la rotación alrededor del eje x del arco de la curva 4y = x 2 – 2Ln x, entre x = 1 y X = 4. Haciendo: X = x(t) = t x’ = x’(t) = 1 Y = y(t) = ) 1 ( 2 1 ) ( ' ' 2 4 2 t t t y y Lnt t ÷ = = ==> ÷ A = 2n dt t y t x t x } + 4 1 2 2 ) ( ' ( ) ( ( ) ( A = t } + 4 1 2 ) 1 ( dt t t t A = t } + 4 1 2 ) 1 ( dt t A = t 2 4 1 3 3 u t t ( ¸ ( ¸ + A = 2 1 3 1 4 3 64 u | . | \ | ÷ ÷ + t A = 24t u 2 7.- Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de la tangentoide de y = Tgx, comprendida entre x = 0, x = 4 t , alrededor del eje x. Sea y’ = Sec 2 x A = 2 t } + 4 / 0 4 1 t xdx Sec Tgx Haciendo u = Sec 2 x du = 2Sec 2 x Tgx dx = 2u Tgx dx Reemplazando: A = t } + 2 1 2 1 du u u A = t 2 1 2 2 1 1 1 ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + + ÷ + u u Ln u A = t ( ) 2 2 1 2 2 5 1 5 u Ln Ln | | . | \ | + + ÷ | | . | \ | + ÷ A = 2 5 1 2 2 2 2 5 u Ln | | . | \ | + + + ÷ t 8.- Hallar el área de la superficie de revolución de la curva x = y Ln y 2 1 4 2 ÷ , comprendida entre y = 1, y = e. Haciendo x = x(t) = 2 4 2 t Ln t ÷ x`(t) = | . | \ | ÷ t t 1 2 1 Y = y(t) = t == > Y`(t) = 1 A = } + e dt t y t x t x 1 2 2 ) ( ' ( )) ( ' ( ) ( 2t A = 2t } | . | \ | + | | . | \ | ÷ e dt t t Lnt t 1 2 1 2 4 A = } | | . | \ | ÷ ÷ + e dt t Lnt tLnt t t 1 2 2 4 2 t A = e t Ln Lnt t t t 1 2 2 2 3 2 1 2 1 2 4 2 2 ( ¸ ( ¸ ÷ | . | \ | ÷ ÷ + t A = 2 2 2 4 8 1 1 2 1 1 2 4 8 2 u e e e | | . | \ | ÷ ÷ | . | \ | ÷ ÷ + t A = t | . | \ | ÷ 16 9 4 e 9.- Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar el arco de la curva y = 2-e x desde x = 0 hasta x = 2 alrededor de la recta y = 2. Sea y’ = -e x A = 2 t dx e e x x 2 2 0 ) ( 1 2 2 ÷ + ÷ ÷ } A = 2 t } + 2 0 2 1 dx e e x x Haciendo: t = e x == > dt = e x dx Si x = 0 === > t = 1. X = 2 == > t = e 2 Reemplazando: A = 2 t } + 2 1 2 1 e dt t A = 2 t 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 e t t t Ln t t ( ¸ ( ¸ + + + + A = t 2 4 2 4 2 2 1 2 1 1 u Ln e e Ln e e | . | \ | + ÷ ÷ + + + + A = 2 4 2 4 2 1 1 2 1 2 u e e Ln e e t | | . | \ | + + + + ÷ + 12.- Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y = x x 2 1 6 3 + ; x e[1, 3] Sea y’ = 2 2 2 1 2 x x ÷ A = 2t } | | . | \ | ÷ + | | . | \ | + 3 1 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 6 dx x x x x A = 2t } | . | \ | + | | . | \ | + 3 1 2 2 3 1 2 1 6 dx x x x x A = 2t 3 1 2 2 6 8 1 6 72 ( ¸ ( ¸ + + x x x A = 2t 2 8 1 6 1 72 1 72 1 2 9 8 81 u | . | \ | + ÷ ÷ ÷ + A = 2 9 208 u t 13.- Hallar la longitud del arco de la curva y 2 = 4x – x 2 comprendido entre los puntos en que corta al eje x. Sea y’ = 2 4 2 x x x ÷ ÷ L = dx x x x } | | . | \ | ÷ ÷ + 4 0 2 2 4 2 1 L = dx x x } ÷ 4 0 2 4 4 L = 2 } ÷ ÷ 4 0 2 ) 2 ( 4 x dx L = 2 4 0 2 2 ( ¸ ( ¸ | . | \ | ÷ x sen arc L = 2 t u 14.- Hallar la longitud del arco de la curva y = Ln x desde x = 3 hasta x = 8 Sea y’ = x 1 L = } + 8 3 2 1 1 dx x L = } + 8 3 2 1 dx x x L = 8 3 2 1 1 1 2 ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + + ÷ + x x Ln x L = 1 – Ln 2 + Ln 3 L = u Ln | . | \ | + 2 3 2 1 1 15.- Hallar la longitud de arco de la parábola semicúbica 5y 3 = x 2 comprendida dentro de la circunferencia x 2 + y 2 = 6. Sea x’ 2 = y 4 45 L = 2 } + 1 0 4 45 4 dy y u = 4 + 45y ; du = 45dy L = du u } 1 0 45 1 L = 1 0 3 ) 45 4 ( 3 2 45 1 ( ¸ ( ¸ + y L = ( ) 8 343 135 2 ÷ L = u 27 134 16.- Calcular la longitud de arco de la curva y=e x entre los puntos (0,1) y (1, e). Si y = e x Sea x = Ln y x’ = y 1 L = } + e dy y 1 2 1 1 L = } + e dy y y 1 2 1 L = e y y Ln y 1 2 1 1 1 2 ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | + + ÷ + L = u Ln e e Ln e | | . | \ | + + ÷ + + ÷ + 2 1 2 1 1 1 2 2 L = u e e Ln e | | . | \ | + + + + + 1 1 ) 2 1 ( 1 2 2 17) Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 del origen del punto (3, 2 3 ). Si y = 3 3 2 x ; Sea y’ = 3 2 x x L = dx x x } | | . | \ | + 3 0 2 3 2 1 L = dx x } + 3 0 1 L = 3 0 3 ) 1 ( 3 2 ( ¸ ( ¸ + x L = u | . | \ | ÷ 3 2 3 16 == > L = 14/3 u 18.- Hallar la longitud de arco de la curva y 3 = x 2 comprendida entre los puntos (0,0) y (8,4). Sea x’ = 3 2 2 3 y y L = } + 4 0 4 9 1 dy y L = } + 4 0 9 4 2 1 dy y L = } + 4 0 9 4 2 1 dy y L = ( ) 4 0 3 9 4 3 2 18 1 ( ¸ ( ¸ + y L = ( )u 2 10 2 27 1 ÷ L = ( )u 1 10 27 2 ÷ 19) Calcule la longitud de arco de la parábola semicúbica y 2 = 3 ) 1 ( 3 2 ÷ x comprendida dentro de la parábola y 2 = 3 x Sea y’ = 3 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 3 2 ÷ ÷ ÷ x x L = 2 } ÷ + 2 1 ) 1 ( 2 3 1 dx x L = ( ) 2 1 3 1 3 9 2 2 ( ¸ ( ¸ ÷ x L = ( )u 2 2 5 5 9 2 2 ÷ L = ( )u 8 10 10 9 1 ÷ 20.- Calcular la longitud de arco de la curva 1 6 4 3 / 2 3 / 2 = | . | \ | + | . | \ | a x , en el primer cuadrante. X = a cos 3 t == > x’ = -3 a Cos 2 t Sen t Y = b Sen 3 t == > y’ = 36 Sen 2 t cos t (x’) = 9 a 2 Cos 4 t Sen 2 t (y’) = 9 b 2 Sen 4 t Cos 2 t L = } + 2 / 0 2 4 2 2 4 2 9 9 t dt t Cos t Sen b t Sen t Cos a L = } + 2 / 0 2 2 2 2 ) 3 ( t dt t Sen b t Cos a Cost Sent L = } + ÷ 2 / 0 2 2 2 2 ) 1 ( ) 3 ( t dt t Sen b t Sen a Cost Sent L = } ÷ + 2 / 0 2 2 2 2 ) ( ) 3 ( t dt t Sen a b a Cost Sent L = du u a b } ÷ 2 / 0 2 2 ) ( 2 3 t L = | | u t Sen a b a a b 2 / 0 3 2 2 2 2 2 2 ) ) ( ( ) ( 1 t ÷ + ÷ L = 2 2 3 3 ) ( a b a b ÷ ÷ U === > L = u b a b ab a + + + 2 2 24.- Encuentre la longitud de de la curva 6y 2 = x(x-2) 2 desde (2,0) a (8, 4 3 ). Si y = (x-2) 6 x Y’ = x x 6 2 2 3 ÷ L = ( ) } ÷ + 8 2 2 24 ) 2 3 1 dx x x L = } + 8 2 ) 2 3 ( 6 2 1 dx x x L = | | 8 2 3 2 6 1 x x + L = | |u 2 2 2 2 2 4 2 16 6 1 ÷ ÷ + L = u 3 3 16 25.- Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes X e Y y las coordenadas del centro de gravedad del triángulo limitado por las rectas: x + y = a; x = 0 ; y = 0 Sea : My = } ÷ a dx x a x 0 ) ( Mx = } ÷ a dx x a 0 2 ) ( 2 1 My = a c x ax ( ¸ ( ¸ ÷ 3 2 3 2 Mx = ( ) a x a 0 3 3 2 1 ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ My = 3 2 3 3 a a ÷ Mx = | | . | \ | ÷ ÷ 3 2 1 3 a My = 6 3 a My = 6 3 a Cálculo del Area: A = } ÷ a dx x a 0 ) ( A My x = A Mx y = A = a x ax 0 2 2 ( ¸ ( ¸ ÷ 3 a x = 3 a y = A = 2 2 2 u a Por lo tanto: P (a/3; a/3) 26.- Encontrar las coordenadas del centro de masa de la región acotada por la elipse 1 2 2 2 2 = + b y a x y los ejes coordenadas ( X >0, Y >0). Sea Y = 2 2 x a a b ÷ My = } ÷ a x a x a b 0 2 2 My = a x a a b 0 3 2 2 3 ) ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ My = 3 2 ba Mx = } ÷ a dx x a a b 0 2 2 2 2 ) ( 2 Mx = a x x a a b 0 3 2 2 2 3 2 ( ¸ ( ¸ ÷ Mx = 3 2 a b Cálculo el área: A = } ÷ a dx x a a b 0 2 2 A My x = A Mx y = A = a a x Sen arc a x a x a b 0 2 2 2 2 ( ¸ ( ¸ | . | \ | + ÷ t 3 4a x = t 3 4b y = A = 4 t ab P | . | \ | t t 3 4 ; 3 4 b a 27.- Hallar el centroide de la región acotada por las curvas y = x 3 ; y = 4x en el primer cuadrante. My = dx x x x } ÷ 2 0 3 ) 4 ( Mx = } ÷ 2 0 6 2 ) 16 ( 2 1 dx x x My = 2 0 5 3 5 3 4 ( ¸ ( ¸ ÷ x x Mx = 2 0 7 3 7 3 16 2 1 ( ¸ ( ¸ ÷ x x My = 64/15 Mx = 256/21. Calculando el área: A = } ÷ 2 0 3 ) 4 ( dx x x A My x = A Mx y = A = 2 0 4 2 4 2 ( ¸ ( ¸ ÷ x x 15 16 = x 21 64 = y A = 4 u 2 P (16/15; 64/21). 28.- Encontrar el centroide de la región limitada por las curvas x = 2y – y 2 ; x = 0 De acuerdo a la figura: 1 = y My = } + ÷ 2 0 4 3 2 ) 4 4 ( 2 1 dy y y y My = 2 0 5 4 2 5 3 4 2 1 ( ¸ ( ¸ + ÷ y y y My = 15 8 . A = } ÷ 2 0 2 ) 2 ( dy y y A My x = A = 2 0 3 2 3 ( ¸ ( ¸ ÷ y y 5 2 = x A = 4/3 u 2 P (2/5; 1). 29.- Encontrar el centro de gravedad de cada una de los regiones limitada por las siguientes curvas. a) y = x 2 – 4; y = 2x – x 2 . Si A My x = A Mx y = A = } ÷ + ÷ 2 1 2 ) 4 2 2 ( dx x x My = } ÷ + ÷ ÷ 2 1 2 2 ) 4 2 ( dx x x x x A = 2 1 3 2 4 3 2 ÷ ( ¸ ( ¸ + ÷ x x x My = 2 1 2 4 3 2 2 3 2 ÷ ( ¸ ( ¸ + ÷ x x x A = 9 u 2 My = 9/2. Mx = | |dx x x } ÷ ÷ ÷ 2 1 3 2 16 4 12 2 1 Mx = | | 2 1 4 3 16 4 2 1 ÷ ÷ ÷ x x x Mx = -27/2 P (1/2; -3/2). b) y = x 2 ; y = x – x 2 My = } ÷ 2 / 1 0 2 ) 2 ( dx x x x Mx = | | } ÷ ÷ 2 / 1 0 2 2 2 ) ( ) ( 2 1 dx x x x My = 2 / 1 0 4 3 2 3 ( ¸ ( ¸ ÷ x x Mx = } ÷ 2 / 1 0 3 2 ) 2 ( 2 1 dx x x My = 1/96 Mx = 2 / 1 0 4 3 2 3 2 1 ( ¸ ( ¸ ÷ x x Mx = 1/192. A = } ÷ 2 / 1 0 2 ) 2 ( dx x x A = 2 / 1 0 3 2 3 2 2 ( ¸ ( ¸ ÷ x x A = 1/24 u 2 P (1/4; 1/8). 30.- Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por x= 0; x= 2 t ; y = 0; y = sen x. My = } 2 / 0 t dx xSenx Mx = } 2 / 0 2 2 1 t dx x Sen My = | | 2 / 0 t xCosx Senx ÷ Mx = 2 / 0 4 2 2 2 1 t ( ¸ ( ¸ ÷ x Sen x My = 1 Mx = 8 t Calculando Area: A = } 2 / 0 t dx Senx A My x = A Mx y = A = | | 2 / 0 t Cosx ÷ 1 = x 8 t = y A = 1 u 2 P ( 1, 8 t ). 31.- Determinar el centroide de la región plana limitada por la curva y = f(x); y=-x 2 ; x= 1; x=2; donde F(x) = 1-x, x < 0 X 2 +1, x > 0 A = } } ÷ ÷ + + + ÷ 0 1 2 0 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( dx x x dx x x A = 2 0 3 0 1 3 2 3 2 3 2 ( ¸ ( ¸ + + ( ¸ ( ¸ + ÷ ÷ x x x x x A = 11/6 u 2 + 22/3 u 2 A = 55/6 u 2 . Mx = } } ÷ + + ÷ + ÷ 0 1 2 0 2 4 2 ) 1 2 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 dx x dx x x x Mx = 2 0 3 0 1 3 3 2 3 2 2 1 5 3 2 1 ( ¸ ( ¸ + + ( ¸ ( ¸ ÷ + ÷ ÷ x x x x x x Mx = 3 11 15 16 + Mx = 15 71 My = } } + + + ÷ ÷ 2 0 2 0 1 2 ) 1 2 ( ) 1 ( dx x x dx x x x My = 2 0 2 4 0 1 4 3 2 2 2 4 3 2 ( ¸ ( ¸ + + ( ¸ ( ¸ + ÷ ÷ x x x x x My = -13/12 +10 My = 107/12. A My x = A Mx y = 110 107 = x 275 142 = y P (107/110; 142/275). 32.- Encontrar el centro de gravedad de cada una de las regions limitadas por las curvas siguientes: a) y2 = 20x ; x 2 = 20 y My = } ÷ 20 0 2 ) 20 20 ( dx x x x My = 20 0 4 3 80 5 20 2 ( ¸ ( ¸ ÷ x x My = 3200 – 2000 My = 120 Mx = } ÷ 20 0 4 ) 400 20 ( 2 1 dx x x Mx = 20 0 3 2 2000 10 2 1 ( ¸ ( ¸ ÷ x x Mx = ) 1600 4000 ( 2 1 ÷ Mx = 120 Calcular el Area: A = } | | . | \ | ÷ 20 0 2 20 20 dx x x A = 20 0 3 3 60 3 20 2 ( ¸ ( ¸ ÷ x x A = 3 400 3 800 ÷ A = 2 3 400 u A My x = A Mx y = x = 9 y = 9 P (9; 9). b) y = x3 – 3x; y = x sobre el lado derecho del eje Y. My = } ÷ 2 0 3 ) 4 ( dx x x x Mx = ( ) } ÷ ÷ 2 0 2 6 4 8 6 2 1 dx x x x My = 2 0 5 3 5 3 4 ( ¸ ( ¸ ÷ x x Mx = 2 0 3 7 5 3 8 7 5 6 2 1 ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ x x x My = 64/15 Mx = -64/105. A = dx x x } ÷ 2 0 3 ) 4 ( A = 2 0 4 2 4 2 ( ¸ ( ¸ ÷ x x A My x = A Mx y = A = 4u 2 15 16 = x 105 16 ÷ = y P (16/15; -16/15). c) y = Sen x; ( 0 s x sn) ; y = 0 My = } t 0 dx xSenx Mx = } t 0 2 2 1 dx Sen My = | | t 0 xCosx Senx ÷ Mx = t 0 4 2 2 2 1 ( ¸ ( ¸ ÷ x Sen x My = t Mx = 4 t A = } t 0 dx Senx A My x = A Mx y = A = | | t 0 Cosx ÷ 2 t = x 8 t = y A = 2u 2 P | . | \ | 8 ; 2 t t 34.- Hallar una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación cartesiana que se indica. Para los siguientes ejercicios tener en cuenta las ecuaciones: X = r Cos u Y = r Sen u r 2 = x 2 + y 2 Tg u = y/x a) x 2 + y 2 + 4x = 0 c 2 + y 2 = -4x r 2 = -4r Cos u r = -4 Cps u b) x 2 = 6y – y 2 x 2 + y 2 = 6y r 2 = 6rSenu r = 6 Sen u c) (x 2 + y 2 ) 2 = 4(x 2 – y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 = 4(x 2 – y 2 ) (r 2 ) 2 = 4(r 2 -2y 2 ) r 4 = 4r 2 – 8r 2 Sen 2 u r 2 = 4 (1 – 2 Sen 2 u ) d) x 2 + y 2 + 4x + 4y = 0 x 2 + y 2 = -4 ( x + y) r 2 = 4 (1 – 2 Sen 2 u ) r = -4 (Cos u + Sen u ) e) y 2 - 4x -4 = 0 y 2 = 4 ( x + 1) r 2 Sen 2 u = 4rCosu + 4 r 2 = u u 2 4 4 Sen rCos + f) Y 2 = x a x ÷ 2 3 r 2 Sen 2 u = u u rCos a Cos r ÷ 2 3 3 2aSen 2 u = r Cosu (Cos 2 u + Sen 2 u ) r = u u Cos aSen 2 2 g) x 2 + y 2 – 4x + 2y = 0 x 2 + y 2 = 4x – 2y r 2 = 4r Cosu - 2r Sen u r = 4 Cos u - 2 Senu h) (x 2 + y 2 ) = 2a 2 xy (r 2 ) 2 = 2 a 2 (rCosu ) (r Sen u ) r 4 = 2a 2 r 2 Cosu . Sen u r 2 = 2 a 2 Cos u Sen u 35.- Hallar una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar dada. a) r = 3 Sen u + 5 Cos u r = r x r y 5 3 + r 2 = 3y + 5x x 2 + y 2 = 3y + 5x b) r 2 Cos 2 u r 2 (1-2Sen 2 u ) = 10 (x2 + y2) (1 - 2 2 2 2 y x y + ) = 10 x 2 – y 2 = 10 c) r = 4 Cos 2u r = 4(1-2Sen 2 u ) 2 2 y x + = 4- 2 2 2 8 y x y + (x 2 + y 2 ) 3/2 = 4 (x 2 – y 2 ) d) r = 2 Sen 3u r = 2 (3Senu -4Sen 3 u ) r = 2Senu (3-4Sen 2 u ) r2 = 2y (3- 2 2 4 r x ) (x 2 + y 2 ) = 2y (3x 2 + 3y 2 – 4y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 = 3x 2 – 2y 3 e) r2 = 4Sen 2u r 2 = 8Senu Cosu r 2 = 2 8 r xy (x 2 + y 2 ) = 8xy. f) r = u Cos 5 4 9 ÷ r = r x 5 4 9 ÷ r = x r r 5 4 9 ÷ 4 2 2 y x + = 9 + 5x ==== > (x 2 + y 2 ) 1/2 = 4 5 9 x + g) r 2 = 2 Senu r 2 = r y 2 (x 2 + y 2 ) 3/2 = 2y h) r 2 = Cosu r 2 = r x r 3 = x === > (x 2 + y 2 ) 3/2 = x i) r = 1 + 2 Senu r = 1 + r y 2 r 2 = r + 2y x 2 + y 2 – 2y = 2 2 y x + j) r 2 Cos 2 u = 3 r 2 (1-2 Sen 2 u ) = 3 r 2 | | . | \ | ÷ 2 2 2 2 r y r = 3 k) r = 2Cos2u r = 2(1-2 Sen 2 u ) r = 2 - 2 2 4 r y r 3 = 2r 2 – 4y 2 ===== > (x 2 + y 2 ) 3/2 = 2x 2 – 2y 2 l) rSen 2 u =4Cosu r x r y 4 2 = y 2 = 4x m) r = 2 (1 + Senu ) r = 2 (1 + r y ) r 2 = 2 (r + y) x 2 + y 2 = 2 ( ) y y x + + 2 2 n) r = a(1-Cosu ) r = a | . | \ | ÷ r x 1 r 2 = a ( r – x) x 2 + y 2 = a ( ) x y x ÷ + 2 2 36.- Graficar las siguientes curvas: a) r = Cos 3u u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 7t/12 2t/3 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 r 1 0,7 0 -0,7 -1 -0,7 0 0,7 1 0,7 0 -0,7 -1 -0,7 u 7t/6 5t/4 4t/3 17t/12 3t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 23t/12 2t r 0 0,7 1 0,7 0 -0,7 -1 -0,7 0 0,7 1 b) r = 2-4Cos u u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 7t/12 2t/3 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 r -2 -1,.9 -1,5 -0,8 0 0,96 2 3,04 4 4,83 5,5 5,9 6 5,9 u 7t/6 5t/4 4t/3 17t/12 3t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 23t/12 2t r 5,5 4,83 4 3,04 2 0,96 0 -0,8 -1,5 -1,9 -2 c) r 2 = a 2 Cos 2u u 0 t/12 t/6 t/4 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 7t/6 5t/4 7t/4 11t/6 23t/12 r a 0,9 a 0,7 a 0 0 0,7 a 0,9 a a 0,9 a 0,7 a 0 0 0,7a 0,9 a u 2t r a d) r = 4 - 4Cos u u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 7t/12 2t/3 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 R 0 0,13 0,5 1,2 2 2,96 4 5,04 6 6,83 7,46 7,86 8 7,86 u 7t/6 5t/4 4t/3 17t/12 3t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 23t/12 2t r 7,46 6,83 6 5,04 4 2,96 2 1,2 0,5 0,13 0 e) r = 6 Cos 4u u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 7t/12 2t/3 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 r 6 3 -3 -6 -3 3 6 3 -3 -6 -3 3 6 3 u 7t/6 5t/4 4t/3 17t/12 3t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 23t/12 2t r -3 -6 -3 3 6 3 -3 -6 -3 3 6 f) r = 7Sen 5u u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 7t/12 2t/3 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 r 0 6,76 3,5 -4,9 -6,06 1,81 7 1,81 -6,06 -4,9 3,5 6,76 0 -6,76 u 7t/6 5t/4 4t/3 17t/12 3t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 23t/12 2t r -3,5 4,9 6,06 -1,81 -7 -1,81 6,06 4,9 -3,5 -6,76 0 g) r = 2 – 2Sen u u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 7t/12 2t/3 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 r 2 1,48 1 0,6 0,27 0,07 0 0,07 0,27 0,6 1 1,48 2 2,72 u 7t/6 5t/4 4t/3 17t/12 3t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 23t/12 2t r 3 3,41 3,73 3,93 4 3,93 3,73 3,41 3 2,52 2 h) r = 3-3Senu u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 7t/12 2t/3 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 r 3 2,2 1,5 0,88 0,4 0,1 0 0,1 0,4 0,88 1,5 2,2 3 3,78 u 7t/6 5t/4 4t/3 17t/12 3t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 23t/12 2t r 4,5 5,12 5,6 5,9 6 5,9 5,6 5,12 4,5 3,78 3 i) r = 1+2Cos u u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 7t/12 2t/3 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 r 3 2,93 2,73 2,41 2 1,52 1 0,48 0 -0,41 -0,73 -0,93 -1 -0,93 u 7t/6 5t/4 4t/3 17t/12 3t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 23t/12 2t r -0,73 -0,4 0 0,48 1 1,52 2 2,41 2,73 2,93 3 j) r = 4 Cos u u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 12t/12 2t r 4 3,86 3,46 2,83 2 1,04 0 1,04 2 2,83 3,46 3,86 4 k) r = 3 + 3 Cos u u 0 t/12 t/6 t/4 t/3 5t/12 t/2 7t/12 2t/3 3t/4 5t/6 11t/12 t 13t/12 r 6 5,9 5,6 5,12 4,5 3,78 3 2,22 1,5 0,88 0,4 0,1 0 0,1 u 7t/6 5t/4 4t/3 17t/12 3t/2 19t/12 5t/3 7t/4 11t/6 23t/12 2t r 0,1 0,88 1,5 2,22 3 3,78 4,5 5,12 5,6 5,9 6 37.- Hallar los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones dadas: a) 2r = 3 r = 3 Sen u De 2 r = 3 ==== > r = 3/2 Igualando 3/2 = 3 Sen u Sen u = ½ === > u = t/6 y u = 5t /6. Reemplazando en: r = 3 Sen u Si u = t/6 ---- > r = 3/2 . Si u = 5t/6 ----- > r = 3/2 Los puntos de intersección son : P (3/2; t/6) . Q (3/2; 5t/6). b) r = 2Cos 2 u r = 2 Sen 2u Igualando: 2Cos 2u = 2 Sen 2u Tg 2u = 1 2u = arctg (1) 2u = t/4 + 2kt u = t/8 + Kn ; u e [0, 2t ] Reemplazando en : r = 2 Cos 2u Si u = t/8 === > r = 2 Un punto es P ( , 2 t/8) c).- r = 1-Sen u r = Cos 2u Igualando en : Cos 2u = 1-Senu 1-2 Sen 2 u = 1 – Sen u 2 Sen 2 u - Sen u = 0 Sen u (2Senu -1) = 0 Sen u = 0 y 2Sen u - 1 = 0 u = 0’; u = 2t y Sen u = ½ Reemplazando en: r = Cos 2 u u = t/6; u = 5t/6 Si u = t --- > r = 1 Si u = t/6 - r = ½ Los puntos son : A(1): B(1, t); C(1, 2t); D (1/2; t/6); E(1/2; 5t/6) d) r = 4(1 +Sen u ) r = u Sen ÷ 1 3 Igualando: 3 = 4 (1 – Sen 2 u ) Reemplazando en: r = 4(1+Senu ) 3 = 4 – 4Sen 2 u Si u = t/6 ---- > r = 6 4 Sen2 u = 1 Si u = 5t/6 ---- > r = 6 Sen u = ½ u = t/6 y u = 5t/6 P (6, t/6) y Q (6, 5t/6). e) r = Sen u r = Sen 2 u Igualando : Sen u = Sen2 u Reemplazando en: r = Sen u Sen u = 2Sen u Cosu r = 2 / 3 Cos u = ½ u = t/3 Por lo tanto: P ( 2 / 3 ;t/3) f) 2r = 3 r = 1 + Cos u Igualando: 3/2 = 1 + Cos u Reemplazando en: r = 1 + Cos u Cos u = ½ r = 3/2 u = t/3 P (3/2; t/3) g) r = 4Sen u Cos2u r = Sen u Igualando: 4 Sen u Cos 2 u = Sen u Reemplazando en: r = Senu Cos 2 u = ¼ Si u = t/3 ---- > r = 2 / 3 ; Cos u = ±1/2 Si u = 2t/3 --- > r = 2 / 3 u = t/3 y u = 2t/3 P ( 2 / 3 ;t/3) . Q ( 2 / 3 ;2t/3) 38.- Calcular el area de la región de las curvas que se indican y hacer su gráfica. a) r = a Cos u , 0 s u s t/3 A = } 2 / 0 2 2 2 1 t u ud Cos a A = 3 / 0 2 4 2 2 2 t u u ( ¸ ( ¸ + Sen a A = 3 / 0 2 2 4 2 2 t u u ( ¸ ( ¸ + Sen a A = 2 2 8 3 6 2 u a | | . | \ | + t A = 0,37 a 2 u 2 b) r = 4 Cos 2u A = 8 | | . | \ | } 4 / 0 2 2 16 2 1 t u ud Cos A = 64 } 4 / 0 2 2 t u ud Cos A = 64 4 / 0 8 4 2 t u u ( ¸ ( ¸ + Sen A = 64 (t/8 + 0) u 2 A = 8 t u 2 c) r = a Cos 5u A = } t u u 2 0 2 2 5 2 1 d Cos a A = t u u 2 0 2 20 10 2 2 ( ¸ ( ¸ + Sen a A = | | o a + t 2 2 A = 2 2 2 u a t d) r = 2 Sen 3u A = 3 | | . | \ | } 3 / 0 2 3 4 2 1 t u u d Sen A = 6 } 3 / 0 2 3 t u u d Sen A = 6 3 / 0 4 6 2 t u u ( ¸ ( ¸ ÷ Sen A = 6 2 6 u | . | \ | t A = t u 2 e) r = 4 - 4Cosu A = } + ÷ u u u u 2 0 2 ) 16 8 16 ( 2 1 d Cos Cos A = | | 2 16 32 2 1 u t t + A = 24 t u 2 f) r 2 = 4Sen 2 u A = u u t d Sen } 2 / 0 2 4 A = 4 2 / 0 2 2 t u ( ¸ ( ¸ ÷ Cos A = 4 2 2 1 2 1 u ( ¸ ( ¸ + A = 4 u 2 39.- Hallar el área interior de r = 4Sen u Cos 2 u A = u u u t d Cos Sen } 2 / 0 2 2 ) 4 ( A = 16 u u u t d Cos Sen } 2 / 0 4 A = 16 } ÷ ÷ + 2 / 0 3 2 ) 2 2 2 1 ( t u u u u d Cos Cos Cos A = 16 2 / 0 3 6 2 8 4 2 t u u u ( ¸ ( ¸ + ÷ Sen Sen A = 2 2 u t 40.- Calcular el área de la región que es interior que es interior r = 2aCos3u y exterior al círculo r = a , a > 0. A = 6 } ÷ 9 / 0 2 2 2 3 4 2 1 t u a Cos a A = 3 a 2 9 / 0 12 6 2 t u u u ( ¸ ( ¸ ÷ + Sen A = 3 a 2 2 24 3 9 u ( ¸ ( ¸ + t A = ( ) 2 2 3 3 8 24 u a + t 41.- Hallar el área común a las cardiodes r = a ( 1 ±Cosu ) A = } } + ÷ + + + t t t u u u u u u 2 / 2 2 / 0 2 ) 2 1 ( ) 2 1 ( d Cos Cos d Cos Cos A = t t t u u u u u u 2 / 2 / 0 4 2 2 2 3 4 2 2 2 3 ( ¸ ( ¸ + ÷ + ( ¸ ( ¸ + + Sen Sen Sen Sen A = | . | \ | + ÷ + | . | \ | + 2 4 3 2 3 2 4 3 t t t A = 2 4 2 3 u | . | \ | + t A = 2 2 8 3 u + t 42.- Calcular el área de la superior obtenida al rotar, alrededor del eje polar la lemmiscata r 2 =a 2 Cos 2 u . Si r = a u 2 Cos R’ = -a Sen 2u ( ) u u ' 2 r Cos = A = 2 } + 4 / 0 2 2 )) ( ' ( ) 2 ( 2 2 t u u u u t r Cos a Sen Cos a A = 4 } 4 / 0 2 t u u t d Sen a A = 4 | | 4 / 0 2 t u t Cos a ÷ A = 2t a 2 ( 2- 2 ) 43.- Hallar el área dentro de r = 8Senu y a la derecha de la recta r = 2 Sec u A = | | } ÷ 12 / 5 12 / 2 2 ) 2 ( ) 8 ( 2 1 t t u u u d Sen Sen A = u u u t t d Sec Sen ) 4 64 ( 2 1 12 / 5 12 / 2 2 } ÷ A = | | 12 / 5 12 / 4 2 16 32 2 1 t t u u Tg Sen ÷ ÷ A = 2 3 8 3 32 2 1 u | . | \ | ÷ t A = 2 3 4 3 16 u | . | \ | ÷ t