APLICACIÓN DE DERIVADAS EN LA INGENIERIA MECATRONICA.docx

APLICACIÓN DE DERIVADAS EN LA INGENIERIA MECATRONICA} LADERIVADA La derivada de una función en un punto es el valor que tiene la pendiente de la tangente en ese punto concreto. La pendiente viene determinada por la tangente del ángulo que forma la tangente a la curva de la función. La derivada de una función mide la variación de esa función. Su variación indica el crecimiento o decrecimiento de la función. APLICACIÓN DE LA DERIVADA El concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar fórmulas que luego tienen una aplicación importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones industriales. En ingeniería mecatrónica, la derivada tiene infinidad de aplicaciones, ya que esta rama de la ingeniería va de la mano con todas las demás ramas del conocimiento. La derivada puede tener aplicaciones sobre el diseño de algunos programas. El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer. Derivadas en la Actualidad El uso de derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son útiles en economía, psicología, medicina, administración, ingeniería,electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica, biología, etc. Se utilizan para la optimización de recursos para tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempo o materiales en algo o maximizar su espacio; en medicina para obtener un cálculo aproximado de la velocidad de reproducción de virus, bacterias etc. En física donde la primera derivada se utiliza para la velocidad y la segunda para la aceleración. En definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta. TEOREMA INCOGNITAS Y DATOS X =Primer Numer o Y =Segundo Numer o X +Y =10 0 Funcion que hay que maximizar : f ( x . b) . y ) =xy Sujeto a x + y=100 y=100−x Se escribe la funcion conuna sola variabl e f ( x )=x (100−x ) f ( x )=100 x−x 2 Se calculan losmaximos y minimos relacionado s f ' ( x )=100−2 x x=5 0 Si x=5 0 Entonce s . EJERCICIOS  Se le pide a un ingeniero mecatrónico crear un programa que permita calcular dos números cuya suma sea 100 y de forma que su producto sea máximo. b) si (a . Entonces la funcion F :(x )>0 para a .Supongamos que f f es derivable en el intervalo abierto es estrictamente creciente en (a . Determinar. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece. teniendo en cuenta que disponemos de 500 dolares: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. según la formula: R( x)=−0.002× 2+ 0.8 x −5 donde R( x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x .y=5 0 Se compruebala segunda derivada: f ' ( x )=−2< 0 −¿ ¿ ¿ El primer numero es : x=5 0 El segundo numero es : y=5 0 Conclusiones : Las derivadas son parte fundamental de la Ingenieria Mecatrónica ya que básicamente la base de la carrera son las matematicas y todo depende de ellas. a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Procedimiento : . c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.  Un fondo de inversión genera una rentabilidad de una maquinaria que depende de la cantidad de dinero invertida. y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200. por ejemplo 100.Se derivala función : R ( x )=−0.8. R(200)=−0. y sustituimos y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R ´ (100)=0. 200).(200) 2+ 0. Hay varios métodos.002. uno muy mecánico: Se escoge un punto menor que 200.8 Se igualaa 0 y se resuelvela ecuación que resulta: x= 0. 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. .8 0.200−5=75 dolares.4< 0 .004 x+ 0. Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local. c) La máxima rentabilidad es Solución gráfica.4 >0 R ´ (300)=−0. b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 dolares.004 x=200 ' R ( x )=0 Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). 6]. . que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars). La dilatación de un metal se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3. V (t)=t 3−9 t 2+15 t+ 40 V (0)=40 V (5)=125−225+75+40=15 V (1)=1−9+ 15+40=47 V (6)=216−324+ 90+ 40=2 2 La máxima dilatación es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero. en el intervalo [0. Ordenamos la función V por comodidad. V ´ (t )=15−18 t+3 t 2 I gualando a 0 15−18 t +3 t 2=0 Simplificando t 2−6 t+5=0 t=1 y t=5 Identificamos el máximo y quien el mínimo de la función. Indicar los instantes de máxima y mínima dilatación en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. (crece en (0.Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V ’ (t )=3 t 2−18 t +15 Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6. . 5). 6) ) y decrece en el intervalo (1. 1) unión (5. Observando la gráfica de esta función vemos lo que se ha deducido.