UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO DIFERENCIAL Germán Isaac Sosa MontenegroAPLICACIONES DE LA DERIVADA. VELOCIDAD Y ACELERACION: 1 v(t) = ds , dt a(t) = dv d2 s = 2 dt dt Ejemplo: Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal manera que su posición en el instante t está especificado por: S=t3-12t2+36t-30, S se mide en pies y t en segundos. a) Cuándo la velocidad es cero? b) Cuándo la velocidad es positiva? c) Cuándo el punto se está moviendo hacia la izquierda (es decir, en la dirección negativa). d) Cuando la aceleración es positiva? Solución: ds = 3t 2 − 12t + 36 = 3( t − 2)( t − 6 ). Así, v = 0 en t = 2 y t = 6 dt b. v > 0, Cuando ( t − 2)( t − 6 ) > 0. La solución es : t < 2 o t > 6, enotación de intervalo ( − ∞,2 ) ∪ ( 6,+∞ ) c. El punto está moviéndose hacia la izquierda cuando v < 0; esto es, cuando ( t - 2)( t − 6 ) < 0.Esta desigualda d a. v= tiene como soluciónel intervalo (2,6). dv d. a = = 6t − 24 = 6(t − 4). Por tanto a > 0 cuando t > 4. dt RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS APLICANDO PARA ELLO LAS PROPIEDADES DE LA DERIVADA. 1. En los problemas siguientes: un objeto está moviéndose a lo largo de un eje coordenado horizontal de acuerdo a la fórmula S=f(t), donde S, la distancia dirigida medida desde le origen , está en pies, y t está en segundos. En cada caso, responde las preguntas siguientes: a. Cuáles son la velocidad y la aceleración en el instante t? b. Cuándo se está moviendo el objeto a la derecha? c. Cuándo se está moviendo el objeto a la izquierda? d. Cuándo es negativa la aceleración? e. Dibuje un diagrama esquemático que muestre el movimiento del objeto. a. s = 12t − 2t 2 b. s = t 3 − 6t 2 −1; c. s = t 3 − 96t 2 + 24t d. s = 2t 3 − 6t + 5 e. s = t 2 + 16t −1 ; t >0 f. s = t + 4t ; t >0 2. Si y =1/10(t4-14t3+ 60t2), encuentre la velocidad del objeto en movimiento cuando su aceleración es cero. 3. Dos partículas se mueven a lo largo de un eje coordenado. Al final de t segundos sus distancias desde el origen, en pies, están dadas por S1 =4t-3t2 y S2=t2-2t, respectivamente: a. Cuándo tienen la misma velocidad? b. Cuándo tienen la misma rapidez? c. Cuando tienen la misma posición? Las posiciones de dos partículas, P1 y P2, en un eje coordenado al final de t segundos, están dadas por S1=3t3-12t2+18t+5 y S2=-t3+9t2-12t, respectivamente. ¿Cuándo tienen la misma velocidad las dos partículas? Un objeto que se lanza directamente hacia arriba está a una altura S=-16t 2+48t+256 Pies después de t segundos: a. Cuál es su velocidad inicial? b. Cuándo alcanza su altura máxima? c. Cuál es su altura máxima? d. Cuándo llega al suelo? e. Con qué rapidez llega al suelo? Un objeto lanzado directamente hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad de 48 pies por segundos, está aproximadamente a S=-16t2+48t pies de altura al final de t segundos. a. Cuál es la altura máxima? b. Al final de un segundo, ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto, y en qué dirección? c. Cuánto tarda en regresar a su posición original? Un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de v0 pies por segundos. Su altura a los t segundos está dada por S=v 0t-16t2. pies. ¿Cuál debe ser su velocidad inicial para que el proyectil alcance una altura máxima de 1 milla? Se estima que la producción semanal de una fábrica está dada por la función Q(x)=2000x+5x 2-x3 unidades, donde x es el número de operarios en la fábrica. Si siempre hay 25 operarios en la fábrica, estimemos el cambio de producción semanal que resultará de adicionar un operario al grupo. 4. 5. 6. 7. 8. a. Determinar: a. Louis. Editorial Harla. CÁLCULO INFINITESIMAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA.1t 2 grados centígrados a t horas después de la media noche. A qué ritmo cambia la población después de 10 años? b. b. e. cuando los cuerpos están en movimiento. La altura máxima de la pelota.9. La razón promedio a la cual es extraída el agua a los 4 primeros minutos b. si esta varía de: a. calculo. 14. d. d. “El que ni estudia ni trabaja. hallar. b. Encontrar la razón media de cambio del volumen de un cubo respecto a la longitud x de su arista. pero solamente hacia la ignorancia y pobreza. también progresa.1 cm. si Y=20t-t2. 18. c. c. BIBLIOGRAFIA: BUDNICK. 12. Calcular la razón de cambio de temperatura entre las 4 a. Matemáticas aplicadas para Administración. 6 a 7 cm. George.m. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. A un automóvil que viaja a 20 m/seg se le aplican los frenos con una fuerza continuamente creciente. Un cuerpo en caída libre 1/2gt2. La ley de gravitación universal de Newton establece que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre un cuerpo de masa m es F = G Mm d2 . La temperatura T estimada para un punto de experimentación agrícola está dada por T(t)=20-2t+0. hallar la distancia recorrida y su aceleración hasta parar. t=3seg. Por: . donde g es la aceleración de la gravedad. hallar la razón de cambio Se lanza una esfera verticalmente hacia arriba de modo que su altura sobre el suelo después de t segundos está dada por h=49t-1/2(9. Franks. donde h se da en metros. Determinar la intensidad de cambio de temperatura a las 10 a. Hallar la razón de cambio de F respecto a d. Se estima que dentro de x años la población de una comunidad será p(x)=10 000+40x+5x2 personas. Editorial McGraw-Hill. donde n0 es el número inicial y t es el tiempo en horas. Calcular la velocidad y la aceleración a los 3 segundos. THOMAS. a. Calcular la altura máxima que alcanza la esfera. Hallar la velocidad inicial de ascenso. 1990. 16. 6 a 6. La velocidad que lleva la pelota al llegar de nuevo al suelo. b. Hallar la velocidad después de un segundo. 10.” Anónimo.m. donde G es la constante de gravitación y d es la 15. Hallar el tiempo de subida. LEITHOLD. a. 17. La velocidad con que sale el agua 10 minutos después de iniciada la evacuación desagua.01 cm c. Edwin j. Prentice Hall. distancia entre los cuerpos. PURCELL. UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR 2 DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO DIFERENCIAL Germán Isaac Sosa Montenegro Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad inicial v0=30 metros por segundo. si la ecuación del movimiento es S(t)=v0t-(gt2)/2 con g=10m/seg2. El tamaño de un cultivo de bacterias aumenta lentamente según N(t)=n 0 + 26t + t2 . Octava edición. Cuánto cambia la población durante el undécimo año? 13. a. b. ( 0 ≤ t ≤ 12 ). EL CÁLCULO con geometría analítica. 11.m. El agua de una piscina está siendo evacuada y la expresión que determina el agua extraída en t minutos es v (t)=200(50-t)2 galones. Economía Y Ciencias Sociales. metros en t segundos. 2001. La velocidad de la pelota en un tiempo t. e. La velocidad en t = 1 seg. Calcular la aceleración.8)t2. 6 a 6. y 9 a. UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO DIFERENCIAL Germán Isaac Sosa Montenegro Germán Isaac Sosa Montenegro Noviembre 15 de 2005. 3 .