Apareamiento y Envolventes de Grafos

APAREAMIENTO Y ENVOLVENTES DEGRAFOS CIENCIAS II HARRY HOLLMAN GUTIERREZ 20112020011 NICOLÁS ANZOLA BEDOYA, 20082020005 SAKHI VALDÉS ÁVILA, 20091020101 UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA INGNIERÍA DE SISTEMAS BOGOTÁ 1 201 5 2 . Dos aristas son independientes si no tienen un vértice fin en común. Una ruta M-alterna en G es un camino cuyos bordes son. entonces la diferencia simétrica entre M y E (P)M´ = M∆E(P) = (M\ (E(P)∩M)∪(E(P) \M) es también un apareamiento. Los vértices que son incidente a un borde de M se corresponden o cubiertos por M. Figura 1: Obtención de una mayor coincidencia de una trayectoria de aumento P. Si U es un conjunto de vértices cubiertos por M. si P es M-alterna. Podemos utilizar una ruta P Maumentar transformar M en una mayor coincidencia (ver Figura 1). Una ruta M-alterna cuyos dos vértices finales están expuestos es M-aumento. Sea M una coincidencia. bordes en negrilla es la de la coincidencia. Un conjunto M de aristas independientes de G se llama un juego. E) un grafo y M un apareamiento. es el tamaño máximo de apareamiento en G. El número coincidente. alternativamente. Los vértices que no están cubiertos se dice que están expuestos. μ denotado (G). entonces decimos que M satura U. 3 .Apareamientos Definición Características y propiedades Aplicaciones y algoritmos Análisis de complejidad de los algoritmos Envolventes Definición Características y propiedades Aplicaciones y algoritmos Análisis de complejidad de los algoritmos Apareamientos Sea G un grafo. En efecto. en E \ M y M. Sea G = (V. Su tamaño |M´| igual |M|−1+x donde x es el número de extremos expuestos de P. como se muestra por Berge. | M | ≤ | K |. esta condición es suficiente. Apareamientos en grafos bipartitos Sea G = ((A. Para un grafo bipartito. 4 . Entonces M es máximo si y sólo si no hay caminos M-aumentando. Sea K un vértice de la cubierta de un gráfico. B). entonces. Si hay una coincidencia tal M. el tamaño máximo de un juego es como máximo el tamaño mínimo de un vértice de la cubierta. Por lo tanto. El grupo N(S) se llama el vecindario de S: N(S) = Us∈SN(s) \S. el tamaño máximo de coincidencia es como máximo | A |.Por tanto. E) un grafo bipartito. para cualquier juego M. los bordes de M enlazan los vértices de S al mayor número de vértices de B. Queremos decidir si existe una coincidencia saturar A. En realidad. Entonces. Por lo tanto. si M es máxima. Sea G = (V. Apareamiento y el vértice de la cubierta Vamos a demostrar un teorema dual correspondiente al apareamiento máximo en grafos bipartitos. esta condición necesaria es también suficiente. De hecho. Un conjunto K ⊂V es un vértice de la cubierta de E si cualquier borde de G es incidente a un vértice en K. τ denota (G). Si | A | ≤ | B |. conocido como de Hall c Estado. K contiene al menos un vértice final de cada borde de M. Sea M un apareamiento en un grafo G. no hay trayectorias de aumento. son iguales. tenemos una condición necesaria. para cualquier subconjunto S de A. E) un grafo. Teorema (Berge 1957). Por lo tanto. El número de vértices de la cubierta de G. es el tamaño mínimo de un vértice de la cubierta de G. por la existencia de una coincidencia saturando A: |N(S)|≥|S| para todo S ⊆ A donde N(S) es el grupo de vértices G\ S adyacente a al menos un vértice de S. De hecho. La noción de vértice de la cubierta se puede generalizar a gráficos de borde ponderado. para cualquier xy borde de G. B). Sea M una coincidencia máxima.Teorema (König 1931. Máximo peso apareamiento Resultados anteriores en máxima coincidente en grafos bipartitos pueden generalizarse a máximo peso apareamiento en gráficos de borde ponderado bipartitos. K es un vértice de la cubierta de G. Deje K = B'∪ (A \ A ') Entonces. por lo tanto. Por otra parte. es decir μ (G) = τ (G). Por lo tanto. Ver Siguiente figura El conjunto B' está saturado por M. cualquier borde de G tiene un vértice fin en K. | N (A \ A ') | ≤ | B'| <| A \ A' | El conjunto A \ A 'no lo hace satisface la condición de Hall. Pero | K | = | M | porque A \ A 'es el conjunto de vértices en A que se corresponde con algunos vértices en B \ B'. N (A') = B' por definición de V '. E) un grafo bipartito. sea U el conjunto de vértices expuestas en A. Sea G un grafo borde ponderado. Encontrar un vértice cobertura mínima (cuadrados) de una coincidencia máxima (bordes en negrita). Sea G = ((A. El peso de una fracción de vértice de la cubierta C de G es C (G) = Σv∈V (G) c (v). Un vértice de la cubierta fraccional es una función c: V (G) → IR + tal que. 5 . Egerv'ary 1931). contradiciendo la maximalidad de M (Teorema ). si un vértice b ∈ B ' no se corresponde. no hay bordes entre A \ A 'y B \ B'. podemos suponer pesos no son negativos. Deje A'= A∩V' y B'= B∩V'. c (x) + c (y) ≥ w (xy). Por definición de un vértice de la cubierta. y dejó V 'sea el conjunto de vértices de G vinculados a T utilizando caminos M-alterna. El tamaño de un apareamiento máximo es igual al tamaño de un vértice-cobertura mínima. Tenga en cuenta que. entonces la ruta M-alterna que une b para un vértice en U es un M-aumentar camino. Libre para agregar bordes de peso 0. denotada por Gc. En efecto. para cualquier xy borde de M. Si M es perfecto en G. volverás "la igualación de peso máximo es" M "y la fraccionada vértice de la cubierta de peso mínimo es de" c. si G admite un juego perfecto. c (a): = c (a) –ε y para cualquier b ∈ B \ T. Para cualquier S. El exceso de un borde xy es c (x) + c (y) -w (xy). Sea c un vértice de la cubierta fraccional de (G. De hecho. Tenga en cuenta que. n. Algoritmo 1. tenemos c (x) + c (y) = w (xy).S es la unión de los componentes 6 . w). este vértice debe pertenecer a S ya que no hay bordes entre distintos componentes de G \ S. Para cualquier a ∈ A \ R. Sea G = (V. sumando todas las desigualdades c (x) + c (y) ≥ w (xy) sobre todos los bordes de M. si G tiene una correspondencia perfecta. 4. E) un grafo sin juego perfecto. podemos suponer que G = Kn. Si no. Demostración. deje que extraño (G) denotan el número de componentes impares (es decir. Encontrar un M máxima coincidente en Gc. sea K un vértice de la cubierta fraccional con el tamaño | M | en Gc. 2. Inicialización: Tome la fraccional vértice de la cubierta c definido por c (a): = máx {w (ab). Sea (G. ab ∈ E} si a ∈ A y C (b): = 0 si b ∈ B. w) es una gráfica borde ponderado bipartito. entonces impar (G-S) ≤ | S | para todo s ⊂V (G). Ir a 1 Apareamiento en grafos generales Dado un grafo G. Entonces. w). 2. c (b): = c (b) + ε. Proporcionamos un algoritmo para la búsqueda de una M a juego y un vértice fraccional cubierta c con el mismo peso. 3. el peso mínimo de una cubierta vértice fraccional es igual al peso máximo de un apareamiento. mas encima. 3. con un número impar de vértices) conectado de G. 1. Deje ε = min {c (a) + c (b) -w (ab) | a ∈ A \ R. Sea G ´ un super-grafo G sin coincidencia perfecta que tiene el número máximo de bordes. El grafo de la igualdad de c. Teorema (Tutte 1947). Un grafo G admite un juego perfecto si y sólo si imp (G-S) ≤ | S | S para cualquier ⊂V (G). b ∈ B \ T}. el peso de c es al menos el peso de M.Sea M una coincidencia y C sea un vértice de la cubierta fraccional en un gráfico de borde ponderada (G. es el grafo inducida por los bordes de exceso de 0. Esta condición necesaria es suficiente. Sea R = A∩K y T = B∩K. obtenemos c (G) ≥ w (M ). cada componente C impar de GS contiene al menos un vértice coincide con un vértice no en C. En el teorema König-Egerv'ary x se generaliza al caso ponderada: En el gráfico borde ponderado bipartita. Vamos a demostrar que existe S⊂V (G) tal que impar (G-S)> | S |. un componente del G’ . Evidentemente. Entonces f es un mapa que cubre de C a G si para cada v ∈ V2. Por maximalidad de G '. Entonces. claramente satisface la propiedad (*). supongamos que S no satisface (*). una contradicción. Sea C el bd ciclo que contiene. la restricción de f a la vecindad de v es una biyección en la vecindad de f (v) ∈ V en G. pero sí. ENVOLVENTES Sea G = (V. Desde b no está en S. Por el contrario. S no es malo. Sean a. obtenemos una correspondencia perfecta de G '. los mapas f bordes incidente a v uno-a-uno en bordes incidente a f (v). Si C no contiene el ac borde. Por lo tanto. de G.S contiene un componente impar de G-S. ab. si 0 no es malo. es suficiente para encontrar una mala serie S.) -camino en este componente. entonces C es un gráfico de cobertura. Si. un vértice de G '. o un ascensor.del G-S.S)> | S |. para los que rara (G ´ . sea P el camino en C \ bd con arranque dy último flanco ac. digamos D. además. Propiedad (*): S es completa. Vamos a demostrar que S satisface (*) y. y cada vértice de S es adyacente a todos los vértices de G'-S. bc ∈ E (G ') y ac / ∈ E (G'). por lo que S es malo. es decir. entonces | V (G) | es aún. Sustitución en M2 de los bordes de E (C') ∩M2 por los bordes de E (C') ∩M2. Por lo tanto. G' ∪ac contiene una correspondencia perfecta M1 y G '∪bd tiene una correspondencia perfecta M2. Una h-ascensor es un ascensor de tal manera que el mapa de 7 . Entonces. entonces es posible emparejado (independientemente) un vértice de cada componente extraño con un vértice en S y completar el juego en una correspondencia perfecta de la gráfica. Sin pérdida de generalidad. Si G ´ contiene una mala serie. byc son los primeros tres vértices de un menor (un a'. Si existe un mapa que cubre de C a G. E) y C = (V2. un componente impar de G’ . Sea S el conjunto de vértices universales en G '. entonces reemplazando en M2 de los bordes de E (C) ∩M2 por los bordes en E (C) ∩M1. En efecto. Dejar C' ser el ciclo obtenido de P \ a añadiendo los bordes bc y bd. podemos suponer que a es la terminal de P. una contradicción. Si C contiene ac. Un vértice es universal si es adyacente a cada vértice. si una propiedad satisface conjunto (*) entonces S o 0 es malo. Por el bien de la contradicción. Dicho de otro modo. entonces. obtenemos una correspondencia perfecta de G '. E2) sea dos gráficos. no ins adyacente a b. El gráfico inducida por M1 ∪M2 es la unión de los ciclos incluso bordes de M1 y M2 alternos. un componente de G-S contiene dos vértices no adyacentes y un a'. cada componente de G'-S es completa. y sea f: V2 → V un surjection. Tenga en cuenta que ac ∈ M1 y M2 de lo contrario bd ∈ M1 o M2 sería una coincidencia perfecta en G. u. sea v uno de los vértices de color púrpura en C. gráfico El mapa cubre f de C a H se indica con los colores. El mapeo f restringido a {t. el gráfico C es un gráfico de cobertura de la H. sea v 'sea el vértice púrpura en H. el vértice verde u 'y el vértice azul t'. En la siguiente figura. La función f es sobreyectiva: cada vértice de H tiene una imagen inversa en C. Esto se ilustra en la figura siguiente: Del mismo modo. Además. Por ejemplo. ambos vértices azules de C se asignan al vértice azul del H. tiene dos vecinos en C. un vértice verde u y un vértice azul t. Del mismo modo. Por ejemplo. que cuenta con dos vecinos de H. u'. v} es una biyección en {t '. v '}. su fibra de f-1 (v) tiene exactamente h elementos. podemos comprobar que la vecindad de un vértice azul en C se asigna uno a uno en el barrio del vértice azul en H: 8 . los mapas f bijectively cada barrio de un vértice v en C en el barrio del vértice f (v) en H.cobertura f tiene la propiedad de que para cada vértice v de G. si y sólo si (G . si G es bipartito. i = 2 si v está contenido en Yi. Regla 1. . 2} l | ≤ 3k vértices.Envolvente de los bordes El problema de decisión que corresponde a la cubierta Bipartido es NP-completo incluso para grafos bipartitos. 2}^ l. lo siguiente es cierto.. Puesto que (G. i = 1 si v está contenida en Xi. i = 0 en caso contrario. 1. y bv. Por otra parte. cada vértice pertenece a al menos una bipartido de S. y. 2} ^l. En este apartado establecemos parámetros fijos maleabilidad. Teniendo en cuenta una instancia (G. v tal que N (u) = N (v). Ei). Supongamos Vb contiene dos vértices distintos x. y con bx = 9 . Asignamos a cada vértice v ∈ V (G) un vector bv ∈ {0. Lema 1 Reglas 1 y 2 son correctas para ambos problemas Bipartido Cubra y Bipartido partición. Entonces N (x) = N (y) y obtenemos una contradicción. Regla 2. bv. k) es un Si. K) y un par de vértices (no adyacentes) u. Sea (G. Cl} de tamaño l ≤ k. Vamos a discutir de manera similar como Gramm et al. k) es una instancia sí si y sólo si (G.{v}. k) es una instancia reducida del problema de reparto de la cubierta Bipartido o Bipartido con cubierta bipartido S = {C1. 1. k) (en relación con los artículos 1 y 2) si estas reglas no se pueden aplicar. Consideremos un vector b ∈ arbitrario pero fijo {0. k) es una instancia sí. i = 1 si v está contenida en Ci y bv. [10]. .instancia. k) se reduce. Entonces nos encontramos con que cada conjunto Vb debe ser completa (de lo contrario podríamos aplicar la regla 2 por dos vértices x. 1. k) es una instancia sí. entonces tiene a lo sumo 2^k + 1 vértices. Claramente. entonces (G. Decimos que se reduce una instancia (G. i = 0 en caso contrario. Teniendo en cuenta una instancia (G. Demostración. donde Ci = ((Xi. .v. Teorema 2 (Kernelization) Si (G. K) y un vértice v ∈ V (G) de grado 0. y se puede aplicar en tiempo polinomial. Yi). Si G es bipartito. cuando el componente de orden i bv. Deje Vb el conjunto de vértices de G tal que bu = b para todo u ∈ V ter. Desde bx = por. entonces (G. k) es un sí instancia reducida de cubierta Bipartido o Bipartido partición entonces G tiene en la mayoría de los vértices 3^k. se sigue que x e y pertenecen a las mismas clases de partición de los mismos bipartidos. Comenzamos con dos reglas de reducción simples que se pueden aplicar fácilmente para simplificar una instancia de la cubierta Bipartido o un problema de reparto Bipartido. Por tanto concluimos que G tiene como máximo | {0. Por lo tanto | V b | = 1. podemos definir bv. 22-25 January 2008. 6. y por lo tanto contiene a lo sumo dos vértices. Jackson. 1} l | ≤ 2k + 1 vértices si es bipartito. Markowsky. k).. para ambos problemas. Parameterized complexity of the clique partition problem. 82:327– 329. Fox and B. Representamos un grafo G = (V. 5. E. 1978. D. Rosamond. R. A note concerning paths and independence number in digraphs. Por lo tanto. Como cualquier partición de E (H) fija los vértices de ambas clases biparticion de cada bipartido. pages 75–78. 1990. Esto toma O (mk) tiempo.B. Hahn and B. H. New South Wales. [2] G. Paths and stability number in digraphs. Woodbury. E) en | V | = n vértices de su matriz de adyacencia. 40: 243–270.S. Discrete Math. Corolario 3 Tanto la cubierta Bipartido y el problema de reparto Bipartido puede resolverse en O (f (k) + n3) donde f (k) = 3^2^k2+3k para grafos no bipartitos y f (k) = 2^2k^2+3k para bipartita gráficos. [1] J. M. Esto termina la prueba de Corolario 3. 4. In 14th Computing: The Australian Theory Symposium (CATS 2008). Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. Una consecuencia directa del teorema 2 es que Bipartido Cubra y Bipartido Partición se fijan parámetros manejables. Discrete Math. Niedermeier. manuscript. nos encontramos con una gráfica reducida G 'con vértices 3k y en consecuencia O (9k) bordes si no es bipartito y 2^k + 1 vértices y en consecuencia O (4k) bordes si es bipartita en O (n3) tiempo. and D. M¨uller. nos encontramos con f (k) = 3^2^k2+3k si G 'no es bipartito y f (k) = 2^2k^2+3k lo contrario. adivina para cada borde de H a la que pertenece bipartido y verifica si la partición resultante de E (H) los rendimientos una cubierta bipartido de tamaño a lo sumo k. donde H es un gráfico con bordes m. 10 . Amos. es decir. por el teorema 2. Oxford University Press. Entonces toma O (n2) para detectar y eliminar todos los vértices aislados en G (Regla 1) y O (n3) tiempo para verificar si N (u) = N (v) para cualesquiera dos vértices u y v (artículo 2) . Un algoritmo de fuerza bruta que resuelve el problema de la partición Bipartido con la entrada (H. Nau. Este proceso de verificación toma O (| V (H) | 3) tiempo. 2006. Esto significa que G tiene a lo sumo 2 × | {0.por). 149(1-3):159–187. 2008. Mujuni and F. A mathematical analysis of human leukocyte antigen serology.. Sudakov. Math. Podemos hacer exactamente lo mismo con el problema de la cubierta Bipartido excepto que aquí no nos importa si los bipartidos están mutuamente Aristas-discontinuo. Australia. Invitation to Fixed-Parameter Algorithms. 1996. G. sólo tenemos que verificar si todos los conjuntos fijos de vértices de hecho inducen mutuamente Aristas-disjuntas bipartidos.A. Biosci. On edge perfectness and classes of bipartite graphs. Demostración. 3. Entonces. la matriz n × n A = (aij) con filas y columnas en un índice por los vértices de V tales que AUV = 1 si uv ∈ E y AUV = 0 en caso contrario. Documents Similar To Apareamiento y Envolventes de GrafosSkip carouselcarousel previouscarousel nextGrafos19. 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