Visite: http://economistasonline.blogspot.com ANUALIDADES VENCIDAS Victor Hugo Carranza Serna http://economistasonline.blogspot.com Página 1 Visite: http://economistasonline.blogspot.com I. DEFINICIÓN: Una anualidad simple es un conjunto de dos o más flujos de efectivo, en el que a partir del segundo: Los plazos de los periodos de tasa (plazo de tasa efectiva) y los plazos de los periodos de renta (plazo que media entre uno y otro flujo) contienen el mismo número de días. Los importes de cada flujo o renta son uniformes. En una anualidad simple el período de renta no necesariamente es un año, si no un plazo de tiempo uniforme, por ejemplo: Días, quincenas, meses, trimestres, etc. Bajo estas características son ejemplos de anualidades: Los sueldos, los dividendos, las depreciaciones, las amortizaciones, las pensiones de enseñanza, las pensiones de jubilación, las primas de seguros, etc. El importe de cada flujo de efectivo, ingreso o egreso de efectivo, que se realiza en el horizonte temporal de la anualidad, recibe el nombre de renta (R) y el conjunto de rentas constituye la anualidad. R i - R Período De renta R R 0 1 Período de tasa 2 n-1 n Las rentas pueden capitalizarse (monto de una anualidad), desconectarse (valor presente de una anualidad) o llevarse por equivalencia financiera a cualquier momento de su respectivo horizonte temporal, si se aplica al principio de equivalencia financiera. A partir de un stock de efectivo ubicado en el presente o en el futuro, es posible calcular el importe de su correspondiente flujo uniforme o renta constante. http://economistasonline.blogspot.com Página 2 Visite: http://economistasonline.blogspot.com ANUALIDADES Cierta Eventual o contingente Temporal Perpetua Temporal Vitalicia Vencida Anticipada Diferida Vencida Anticipada Diferida Simple General Impropia o variable En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Cada uno de esos intervalos puede ser un mes, un semestre, un número de años etc y todos los pagos son afectados por la misma tasa de interés. Algunos ejemplos de anualidades son: Pagos mensuales por renta Cobro quincenal o semanal por sueldo Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida. ELEMENTOS: Intervalo o periodo de pago.-Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro. Plazo de una anualidad.- es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y el final o ultimo. Renta.- es el nombre que se da al pago periódico que se hace. http://economistasonline.blogspot.com Página 3 Visite: http://economistasonline.blogspot.com También hay ocasiones en que se habla de anualidades que no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos a intervalos iguales. Estos casos se manejan de forma especial ANUALIDADES CIERTAS Son aquellas cuyas condiciones se conocen de antemano (horizonte temporal, periodos de renta, etc.) y se establecen previamente, en general por contrato entre el deudor y el acreedor. Estas anualidades de acuerdo con su duración pueden ser: a) Temporales Cuando el horizonte temporal de la anualidad es un plazo determinado. Por ejemplo, cuando se contrae un crédito a través de un leasing u otra modalidad a un plazo específico. b) Perpetuidades Son anualidades en el que el fin del horizonte temporal no esta determinado, por ejemplo, la emisión de bonos que en algunos países pagan una renta perpetúa. ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES Son aquellas fechas inicial o terminal dependen de algún suceso previsible, cuya fecha de realización no puede especificarse por estar en función de algún acontecimiento externo no previsible exactamente. Ejemplos de anualidades eventuales son los seguros de vida, en los cuales se conoce la renta, pero su duración es incierta. El desarrollo de estas anualidades corresponde al campo de las matemáticas actuariales, el cual demanda no solo el conocimiento del interés compuesto sino también de las probabilidades. Estas anualidades a su vez pueden ser: a) Vitalicias Anualidades que tienen vigencia mientras dure la vida del rentista. b) Temporales En esencia es una anualidad vitalicia cuya diferencia con ellas estriba el que termina después de un determinado número de pagos, aún cuando el rentista continúe con vida. http://economistasonline.blogspot.com Página 4 Visite: http://economistasonline.blogspot.com Las anualidades ciertas y contingentes a su vez pueden ser: 1. Vencidas u ordinarias: cuando las rentas se inician al final de cada periodo de renta. 2. Anticipadas o imposiciones: cuando las rentas se inician al comienzo del periodo. 3. Diferidas: cuando las rentas se inician después de un determinado número de periodos de renta, plazo en el cual el capital inicial se va capitalizando. Las rentas diferidas pueden ser, a su vez, vencidas y anticipadas. Las anualidades también pueden clasificarse en: 1. Simples Como se dijo una anualidad es simple cuando los periodos de tasa, los periodos de renta y los importes de las rentas son uniformes. 2. Generales Cuando el periodo de renta no coinciden con el periodo de capitalización. Pueden darse varios periodos de tasa por periodo de renta, o varios periodos de renta por periodo de tasa. 3. Impropias o variables Anualidades cuyas rentas no son iguales; estas pueden ser crecientes, decrecientes o experimentar variaciones que siguen un patrón uniforme o no durante el horizonte temporal de la anualidad. Los ejemplos de estas anualidades son aquellas que varían en progresión aritmética, en progresión geométrica o cada cierto periodo de tiempo durante el horizonte temporal de la anualidad. http://economistasonline.blogspot.com Página 5 Visite: http://economistasonline.blogspot.com A continuación se presenta un esquema de los diagramas de flujos de caja de las anualidades ciertas temporales, vencidas, anticipadas y diferidas. R 0 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R n–1 R n Anualidad simple vencida Ra 0 Ra 1 Ra 2 Ra 3 Ra 4 Ra 5 Ra n–1 n Anualidad simple anticipada R 0 1 k=2 1 R 2 R 3 R n–1 R n Anualidad simple vencida diferida (2 períodos de renta) Ra 0 1 k=2 Ra 1 Ra 2 Ra 3 Ra n–1 n Anualidad simple anticipada diferida (2 períodos de renta) Las anualidades perpetuas tienen un esquema similar a las temporales, con un número de periodos capitalizados que tienden a infinito. http://economistasonline.blogspot.com Página 6 Visite: http://economistasonline.blogspot.com II. MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE VENCIDA Un conjunto de rentas uniformes que constituyen una anualidad simple vencida pueden llevarse hacia el final del horizonte temporal de la anualidad, al formar su respectivo monto final o valor futuro. Por ejemplo, si las rentas que constituyen el flujo de caja del diagrama adjunto necesiten llevarse por equivalencia financiera al final del periodo 4, con la tasa i=5%, cada flujo puede capitalizarse hacia el momento 4 del siguiente modo: Renta 1 Renta 2 Renta 3 Renta 4 S 1 000 x (1 + 0,05)3 = 1 157,63 1 000 x (1 + 0,05)2 = 1 102,50 1 000 x (1 + 0,05)1 = 1 050,00 1 000 x (1 + 0,05)0 = 1 000,00 Valor futuro = 4 310,13 El valor futuro de la anualidad que es 4310,13 um se obtuvo al capitalizar cada renta durante el número de períodos que median entre el momento de su ocurrencia y el final del horizonte temporal. La renta 1 se capitalizó 3 períodos, la renta 2 se capitalizó 2 períodos, la renta 3 se capitalizó 1 período y la renta 4 no fue necesario capitalizarse debido a que coincide con el final del horizonte temporal. En términos generales, dada una tasa efectiva i, las rentas R que constituyen una anualidad simple vencida pueden transformarse por equivalencia financiera en su respectivo valor futuro equivalente S. al tomar como fecha focal el final del horizonte temporal de la anualidad puede deducirse la fórmula del valor futuro de una anualidad simple del siguiente modo: http://economistasonline.blogspot.com Página 7 Visite: http://economistasonline.blogspot.com Cada flujo de caja R se capitaliza durante n períodos de renta; el primero durante n – 1 períodos, el segundo durante n – 2 períodos, el penúltimo durante un período y el último no devenga interés ya que su pago coincide con la fecha de término del plazo. El valor futuro de la anualidad es igual a la suma de los montos parciales de cada R, llevando al final del horizonte temporal: ( ) ( ) ( ) ( ) (1) Al multiplicar (1) por (1+i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) Al restar (1) de (2) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ( ) ) ) (2) (1) (3) Al reagrupar y factorizar (3), se tiene: ( ) (Fórmula Nº 1) La fórmula Nº1 calcula el valor futuro de una anualidad simple vencida, en la cual R, i y n son del mismo plazo. http://economistasonline.blogspot.com Página 8 Visite: http://economistasonline.blogspot.com El factor de capitalización de la serie uniforme (FCS) En la fórmula Nº1, el término entre corchetes, conocido como factor de capitalización de la serie uniforme (FCS), se representa como: S = R.FCS Y se lee: “el FCS a una tasa i por período durante n períodos de renta transforma una serie uniforme de rentas R en un valor futuro S”. Ejemplo: Si un trabajador efectúa aportes anuales de 400 um a una administradora de fondos de pensiones (AFP) durante sus últimos cinco años de actividad normal, ¿qué monto habrá acumulado en ese período si el fondo percibió una TEA de 10%? Solución: R=400 i = 10% n=5 Aplicando la fórmula Nº1, se tiene: ( [ ) ] ( ) Ejemplo: ¿Qué monto se acumulará en una cuenta de ahorros, si a fin de mes y durante 4 meses consecutivos se depositaron 100 um, por los que se percibe una TNA de 24 % capitalizable mensualmente? Solución: R = 100, i = 2%, n = 4 Aplicando la fórmula Nº1, se tiene: ( ) ( ) http://economistasonline.blogspot.com Página 9 Visite: http://economistasonline.blogspot.com III. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD SIMPLE VENCIDA Un conjunto de rentas uniformes que constituyen una anualidad simple vencida pueden llevarse hacia el inicio del horizonte temporal de la anualidad (momento 0), al formar su respectivo valor presente. Renta 1 Renta 2 Renta 3 Renta 4 P 1 000 x (1+0,05) –1 = 952,38 1 000 x (1+0,05) –2 = 907,03 1 000 x (1+0,05) –3 = 863,84 1 000 x (1+0,05) –4 = 822,70 Valor presente = 3 545,95 El valor presente de la anualidad, que es 3545,95 um, se obtuvo al descontar cada renta durante el número de períodos que median entre el momento de su ocurrencia y el inicio del horizonte temporal. La renta 1 se descontó un período, la renta 2 se descontó cuatro períodos, la renta 3 se descontó tres períodos y la renta 4 se descontó cuatro períodos. Puede observarse que el importe de cada renta disminuye en la medida en que se aleja del inicio de la anualidad. En términos generales, dado una tasa efectiva i, la rentas R que constituyen una anualidad simple vencida pueden transformarse por equivalencia financiera en su respectivo valor presente P. Al tomar como fecha focal el inicio del horizonte temporal http://economistasonline.blogspot.com Página 10 Visite: http://economistasonline.blogspot.com de la anualidad puede deducirse la fórmula del valor presente de una anualidad simple del siguiente modo: Cada flujo de caja R se descuenta durante n períodos de renta: el primero durante un período, el segundo durante dos períodos, el penúltimo durante n –1 períodos y el último durante n períodos. El valor presente de la anualidad es igual a la suma de los valores presentes de cada R descontados hacia el inicio del horizonte temporal: ( [( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ] (1) (2) La sucesión de términos que se encuentran dentro del corchete constituyen la suma de una progresión geométrica decreciente = cuya solución es: ( ) [ ( ( ) ) ( ) ] ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) , donde a1 = (1+i)-1 , r = (1+i) -1 , Al remplazar la suma de la progresión geométrica en (2), se tiene: ( ( ) ) * + (Fórmula Nº 2) La fórmula Nº2 calcula el valor presente de una anualidad simple vencida en la cual R, i y n son del mismo plazo. http://economistasonline.blogspot.com Página 11 Visite: http://economistasonline.blogspot.com El factor de actualización de la serie uniforme (FAS) En la fórmula Nº2, el término entre corchetes, conocido como factor de actualización de la serie uniforme (FAS), se representa como: P = R. FAS Y se lee: “el FAS a una tasa i por período durante n períodos de renta transforma una serie uniforme de rentas R en un valor presente P”. La fórmula Nº2 también puede obtenerse al remplazar en la fórmula Nº1 el valor de S que se obtiene con la fórmula S=P(1+)n : Al reemplazar en la fórmula Nº1: ( ) * ( ( ) ) [ ( + ) ] Fórmula Nº2 Ejemplo: Calcule el valor presente de 5 flujos anuales de 400 um cada uno. La tasa de descuento es una TEA de 10%. Solución: R=400; i=0,1; n=5; ( [ aplicando la fórmula Nº2, se tiene: ) ] ( ) ( ) Ejemplo: Hoy la empresa Sara S.A. decide cancelar las 4 últimas cuotas fijas insolutas de un préstamo contraído con una entidad financiera. El importe de cada cuota es 500 um; las cuales vencerán dentro de 30, 60, 90 y 120 días, respectivamente. ¿Qué importe debe cancelarse hoy si el banco acreedor descuenta las cuotas con una TEM de 2%? Solución: R=500; i=2%; n=4; ( [ ) ( ) con la fórmula Nº2, se tiene: ] ( ) http://economistasonline.blogspot.com Página 12 Visite: http://economistasonline.blogspot.com IV. RENTA UNIFORME VENCIDA EN FUNCION DE S Un valor futuro puede convertirse en rentas uniformes equivalentes. Esta equivalencia financiera s necesario realizarla cuando quiere acumularse un fondo con aportes periódicos que devengan una tasa de interés efectiva. Por ejemplo, si un activo sin valor de desecho debe reemplazarse dentro de 1 año y se estima que en esa fecha tenga un valor de 4310,13 um ¿Cuál será el importe de la renta uniforme vencida trimestral que durante el plazo de un año acumule dicho valor futuro, si estas rentas generan una TET de 5%? Con la información disponible puede elaborase el siguiente diagrama de flujo de caja: Para derivar una fórmula que resuelva el problema anterior, ya que se conoce la tasa efectiva i, el número de períodos de renta n y el importe del valor futuro S, puede despejarse R de la fórmula Nº1. ( ) * [ + ] (Fórmula Nº 1) ( ) Al reagrupar términos, se tiene: * ( ) + (Fórmula Nº 3) La fórmula Nº3 calcula la renta uniforme en función de una valor futuro, en la cual i y n son del mismo plazo. http://economistasonline.blogspot.com Página 13 Visite: http://economistasonline.blogspot.com El factor de depósito al fondo de amortización (FDFA) En la fórmula Nº3, el término entre corchetes, conocido como factor de depósito al fondo de amortización (FDFA), se representa como: (Fórmula Nº 3) Y se lee: “el FDFA a una tasa i por período durante n períodos de renta transforma un valor futuro en una renta uniforme R”. Con la fórmula Nº3 puede solucionarse el ejemplo anterior del siguiente modo: [ ( ) ] Ejemplo: Calcule el importe del depósito uniforme anual vencido para acumular un valor futuro de 2442,04 um, en el plazo de 5 años. Estos depósitos que se efectuarán en un banco percibirán una TEA de 10%. Solución: S=2442,04; i = 10%; n=5 Aplicando la fórmula Nº3, se tiene: *( ) + ( ) Ejemplo: Una empresa decidió hoy adquirir dentro de 4 meses un grupo electrógeno cuyo precio estimado será 5000 um en esa fecha. ¿Qué importe constante de fin de mes debe ahorrarse en ese período de tiempo, en un banco que paga una TNA de 24% con capitalización mensual a fin de disponerse ese monto al vencimiento de dicho plazo? Solución: S= 5000; i=2%; n=4 Aplicando la fórmula Nº3, se tiene: [ ( ) ] ( ) http://economistasonline.blogspot.com Página 14 Visite: http://economistasonline.blogspot.com V. RENTA UNIFORME VENCIDA EN FUNCION DE P Un valor presente puede convertirse en rentas uniformes equivalentes, aunque esta operación es necesario realizarla, entre otros casos, cuando se necesita un financiamiento hoy para amortizarlo con cuotas uniformes durante un determinado horizonte temporal. Por ejemplo, si un préstamo de 3545,95 um, que devenga una TET de 5%, debe amortizarse en el plazo de un año con cuotas uniformes trimestrales vencidas y se requiere conocer el importe de esa cuota. Con esa información disponible puede elaborarse el siguiente diagrama de flujos de caja: Para derivar una fórmula que resuelva el problema anterior y dado que se conoce una tasa efectiva i, el número de periodos de renta n y el importe del valor presente P, puede despejarse R de la fórmula: P = R* ( ( ) ) + (Fórmula Nº 2) P=R [( ( ) ) ] Al reagrupar términos, se tiene: *( ( ) ) + (Fórmula Nº 4) La fórmula calcula la renta uniforme en función de un valor presente, en la cual i y n son del mismo plazo. http://economistasonline.blogspot.com Página 15 Visite: http://economistasonline.blogspot.com El factor de recuperación del capital (FRC) En la fórmula anterior, el término entre corchetes, conocido como factor de recuperación del capital (FRC), se representa como: R = P.FRC (Fórmula Nº 4) Y se lee: “el FRC a una tasa i por período durante n períodos de renta transforma un valor presente en una renta uniforme R”. con la fórmula puede solucionarse el ejemplo anterior del siguiente modo: R = 3545,95[ - ]= 3545,95 x 0,2820118326 = 1000. Ejemplo: ¿cuál será la cuota constante por pagar por un préstamo bancario de 8000 um, que debe amortizarse durante un año con cuotas mensuales vencidas? El préstamo genera una TNA de 36% capitalizable mensualmente. Solución: P = 8000; i = 3%; n = 12 Aplicando la fórmula se tiene: R = 8000 [ 2 - ] ( ) VI. CALCULO DE N EN UNA ANUALIDAD VENCIDA En los puntos anteriores se calculó el valor futuro y valor presente de una anualidad y las rentas uniformes en función del valor futuro y del valor presente conocidos. Ahora, se formulan las siguientes preguntas: ¿Con cuántos períodos de rentas constantes podría amortizarse un valor presente que devenga una tasa de interés, si se conoce el importe de la renta? ¿Con cuántos períodos de rentas constantes podrían acumularse un valor futuro, si se conoce el importe de las rentas constantes y éstas devengan una tasa de interés? http://economistasonline.blogspot.com Página 16 Visite: http://economistasonline.blogspot.com Cálculo de n en función de P Dado que las fórmulas Nº 2 o Nº 4 incluyen la variable P, puede despejarse n en ambas fórmulas con el mismo resultado. P = R* ( ( ( ( ) ) ) ) + + (Fórmula Nº2) R = P* (Fórmula Nº4) Al despejar n de la fórmula Nº4, se tiene: R = P* R = P* R[ ( ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) + + ] ) Al tomar el algoritmo en ambos miembros de la expresión anterior, se tiene: [ ] n= ( ) (Fórmula Nº5) La fórmula Nº5 calcula el número de períodos de renta en una anualidad simple vencida cuando se conoce un valor presente y donde R e i son del mismo plazo; por tanto, el plazo de n o período de renta es el mismo plazo de R e i. Cálculo de n en función de S Dado que las fórmulas Nº1 o Nº3 incluyen la variable S, puede despejarse n en ambas fórmulas con el mismo resultado. ( ) * + (Fórmula Nº1) http://economistasonline.blogspot.com Página 17 Visite: http://economistasonline.blogspot.com * ( ) + (Fórmula Nº3) Al despejar n de la fórmula Nº1, se tiene: ( ( ( ) ) ) ( ) Al despejar n de la expresión anterior, se tiene: * ( + ) (Fórmula Nº6) La fórmula Nº6 calcula el número de períodos de renta en ua anualidad simple vencida cuando se conoce un valor futuro y donde R e i son del mismo plazo; por tanto, el plazo de n o período de renta es el mismo plazo de R e i. Significado de n cuando tiene un valor no entero El resultado de las fórmulas Nº5 y Nº6 puede ser un número entero o un número no entero que tiene un sentido matemático, pero no necesariamente un sentido económico; de este modo, ¿Cómo puede interpretarse el resultado n = 7,6 del siguiente ejemplo? Ejemplo: ¿Con cuántas cuotas trimestrales vencidas de 1500 um podrá amortizarse un préstamo de 10000, que devenga una TET de 3,1486%? Solución: R = 1500; i = 0,031486; P = 10000 Se aplica la fórmula Nº5 y se tiene: * ( ) + ( ) http://economistasonline.blogspot.com Página 18 Visite: http://economistasonline.blogspot.com El resultado 7,6 significa que se requieren 7,6 cuotas trimestrales de 15000 um para amortizar un préstamo de 10 000 um. Un n no entero puede interpretarse en la práctica de muchos modos; en el presente caso amortizable en 7,6 cuotas significa necesariamente tendrán que pagarse 8 cuota: 7 de 1500 um y la octava por un importe menor de 894,44 um, que se ubica 54 días después de la séptima cuota (7,6 – 7) x 90días = 54 días, es decir, en el día 684, que marca el fin del horizonte temporal y cuyo importe puede calcularse con la siguiente ecuación de equivalencia financiera: [ ] El diagrama de tiempo-valor de la anualidad impropia o variable es el siguiente: Ejemplo: ¿Cuántos depósitos de fin de mes de 500 um será necesario ahorrar para acumular un monto de 5474,86 um, en un banco que paga una TNA de 24% con capitalización mensual? Solución: R = 500; i = 2%; S = 5474,86 Aplicando la fórmula Nº6 se tiene: * ( ) + ( ) http://economistasonline.blogspot.com Página 19 Visite: http://economistasonline.blogspot.com VII. CALCULO DE I EN UNA ANUALIDAD VENCIDA Cuando en una anualidad se conocen P, R, S y n, excepto la tasa efectiva periódica, es posible hallar esta si se plantea su respectiva ecuación de equivalencia y se calcula con el método de tanteo por prueba y error, se busca por aproximaciones sucesivas un par de valores que se hallen uno por encima y otro debajo del valor buscado, y con estos datos (polos) se aproxima a su verdadero valor por interpolación lineal. Con esta tasa implícita de la anualidad se conoce la TIR o tasa interna de retorno, que se determina directamente con una calculadora financiera o con las funciones financieras de excel: TASA, TIR, TIR.NO.PER o TIRM, según las características propias de los flujos de caja que componen la anualidad. Ejemplo: Un artefacto electrodoméstico tiene un precio al contado de 1500 um y a crédito se ofrece con una cuota inicial de 300 um y 12 cuotas uniformes de 120 um cada una, que deben pagarse cada 30 días. ¿Cuál es la TEA cargada en el financiamiento? Solución: R = 120; P = 1500 – 300 = 1200; n = 12; Con la formula Nº2 puede plantearse una ecuación de equivalencia financiera y obtener i por tanteo. ( ( ) ) * + * ( (Formula Nº2) ) ( ) + (1) Puede asignarse de manera arbitraria valores a i en el segundo miembro de la ecuación anterior y buscar obtener un resultado igual a su primer término. Por ejemplo, al asignar a i los valores 2% y 3%, se obtiene los siguientes resultados: http://economistasonline.blogspot.com Página 20 Visite: http://economistasonline.blogspot.com El valor de i es superior a 2%, pero inferior a 3%; para encontrar un valor cercado a i puede efectuarse una interpolación lineal entre esos valores encontrados, mediante razones y proporciones. ( ) ( )( ) La tasa aproximada linealmente al valor de i es la suma del valor del polo inferior de y el valor hallado con la interpolación. ( ) Puede comprobarse la valides de la tasa al reemplazar su valor de 2,93% en el segundo miembro de la ecuación (a), cuyo resultado es 1199,49 um (muy próximo al objetivo buscado de 1200). Esta tasa mensual debe convertirse en TEA, para dar respuesta al problema; ( ) http://economistasonline.blogspot.com Página 21 Visite: http://economistasonline.blogspot.com VIII. FACTORES FINANCIEROS Estos seis principales factores financieros (existen otros factores de gradientes que se trataran posteriormente) utilizados en equivalencias financieras que se apoyan en el interés compuesto, ayudan a solucionar una diversidad de problemas. Apoyarse en ellos facilitara la explicación de anualidades anticipadas y diferidas, rentas perpetuas, gradientes de crecimiento. A continuación se presenta una tabla que resume los seis factores desarrollados, en la que puede observarse que los tres factores de la izquierda constituyen los recíprocos de los de la derecha o viceversa. FSC ( FSA ( FCS ( ) ) ) Factor simple de capitalización Factor simple de actualización Factor de capitalización de la serie FDFA ( FRC FAS ( ( ( ( ) ) ) ) ) Factor de deposito al fondo de amortización Factor de recuperación del capital Factor de actualización de la serie Si se conoce i y n, puede calcularse cualquiera de los seis factores financieros, que aplicados adecuadamente con alguna otra variable conocida de una anualidad, permiten efectuar transformaciones de valor equivalente con S, P o R. Valor futuro en función del valor presente Valor futuro en función de la renta uniforme Valor presente en función del valor futuro Valor presente en función de la renta uniforme Renta constante en función del valor futuro Renta constante en función del valor presente http://economistasonline.blogspot.com Página 22 Visite: http://economistasonline.blogspot.com En los libros de finanzas y de ingeniería financiera se ha generalizado la utilización de siglas en español e ingles que representan los factores financieros; las más comunes son las que se detallan a continuación: FSC FSA FSC FDFA FRC FAS SPCA SPPWF USCAF SFDF CRF USPWF Single-Payment Compound Factor Single-Payment Present-Worth Factor Uniform-Series Compound-Amount Factor Sinking Fund Deposit Factor Capital Recovery Factor Uniform-Series Present-Worth Factor Relaciones entre los factores financieros Si se supone que uno o mas factores financieros utilizan la misma tasa efectiva y tienen el mismo horizonte temporal, puede establecerse un conjunto de relaciones entre ellos sumamente útiles en la aplicación de equivalencias financieras, las principales se presentan a continuación: ⌈ ( ( ) ) ⌉⌈ ( ) ⌉ ( ) ( ) ( ) http://economistasonline.blogspot.com Página 23 Visite: http://economistasonline.blogspot.com ( ( ) ) ⌈( [( ) ) ⌉ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⌈ ( ( ) ) ⌉( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ( ) ) ( ) ( [( ) ) ] ( ) ( ( ) ) ( ) ⌈ ( ) ⌉⌈ ( ( ) ) ⌉ ( ) [( ( ) ( ) ) ] ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) http://economistasonline.blogspot.com Página 24 Visite: http://economistasonline.blogspot.com ⌈ ( ) ⌉⌈ ( ) ⌉ ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) http://economistasonline.blogspot.com Página 25 Visite: http://economistasonline.blogspot.com PROBLEMAS RESUELTOS Transformaciones financieras 1. Efectuar las seis transformaciones financieras equivalentes entre STOKS y flujos de efectivo, si se considera un capital inicial de 1 000 um, una TEM de 3 %, un horizonte temporal de 5 meses y rentas mensuales uniformes que vencen cada 30 días. Solución: P= 1 000, i =0,03 n=5; Puede calcularse R y S. S=? R R R=? R R 0 1 2 i=3% 3 4 n= 5 meses P= 1 000 S= P.FSC0.03; 5 = 1 000, 00 x 1,159274074 = 1 159, 27 = FSC (3%; 5; 1000) R=S.FDFA0.03; 5 = 1 159, 27 X 0, 188354571= 218, 35=FDFA (3%; 5; 1159, 27) R=P.FRC0.03; 5= 1 000, 00 X 0, 218354571= 218, 35= FRC (3%, 5; 1000) = 1 000,00= FSA (3%,5; 1159,27) = 1 000, 00 = FAS (3%; 5; 218,35) =1 159, 27= FCS (3%; 5, 218, 35) P=S.FSA0.03; 5 = 159, 27 X 0, 862068784 P=R.FSA0.03; 5= S=R.FCS0.03; 5= 218, 35 X 4,579707187 218, 35 X 5, 30913 1 Cálculo de S: 2. ¿cuál es el monto de un certificado de depósito a plazo fijo que se compro el 16 de marzo y se cancelo el 15 de mayo del mismo año? La inversión inicial fue 800 um y la TNA fue 12 % con capitalización diaria. Solución: P = 800; i = 0,12/ 360 y n = 60, puede calcularse S. = FSCIniTer (0,12/360; 16 mar, 15 mayo, 800; 1). http://economistasonline.blogspot.com Página 26 Visite: http://economistasonline.blogspot.com 3. ¿Cuál es el valor nominal de un pagare que será descontado en un banco cuando falten 38 días para su vencimiento, si se requiere disponer de un importe neto de 1000 um, después del descuento racional compuesto? Al pagare se le aplicara una TNM de 3 % con capitalización diaria. Solución: Con los datos P = 1 000; i = 0,03/30 y n = 38, puede calcularse S S= P.FSC 0,001; 36= 1 000x 1,03871151= 1 038,71 =FSClniTer (0,03/30; 0,38; 1000; 1) 4. ¿Por qué monto tendrá que aceptarse un pagare con vencimiento a 45 días si se necesita disponer de un valor presente de 5 000 um?en las operaciones de descuento, el banco aplica una TEA de 20%. Solución: Con los datos P= 5 000; TED= 1,21/360 – 1=0, 000506577y n = 45; puede calcular se S. S= P.FSC0, 000506577; 45=5 000X 1,023051874=5115,26 =FSClniTer(TE1 a TE2)(20%;360;45);0;45;5000;45) 5. Hoy una persona deposita en un banco 300 um; dentro de tres días 4oo um y 14 días después de este ultimo deposito, 200 um .¿cuánto habrá acumulado 40 días después de efectuar el primer deposito si percibe una TNA de 18% con capitalización diaria? Solución: Existen muchas formas de plantear la ecuación de equivalencia financiera, una de ellas es capitalizar cada depósito durante el periodo comprendido entre la fecha del depósito y el día 40. La TED es 0,18/ 360. http://economistasonline.blogspot.com Página 27 Visite: http://economistasonline.blogspot.com 40 días S=? 37 días 300 400 200 23 días O 40 días 3 17 S= 300 FSC0,OO05;40 + 400 FSC0,0005;37+200FSC0,0005;23 = 306, 06+407, 47+202, 31=915, 84 =FSC(0,0005;40;300)+FSC(0,0005;37;400)+FSC(0,0005;23;200) http://economistasonline.blogspot.com Página 28