Antologia de Estadistica.

Estadistica Inferencial2013 1 Instituto Tecnológico Superior De Jesús Carranza (I T S J C) CLAVE DE LA MATERIA: GEC 9013 ANTOLOGÍA: ESTADISTICA INFERENCIAL PRESENTA: ING. JUAN FRANCISCO GÓMEZ VALENCIA SEMESTRE: 403.-A INGENIERÍA: EN GESTIÓN EMPRESARIAL JESÚS CARRANZA VERACRUZ 7 DE ENERO DEL 2013 Estadistica Inferencial 2013 2 UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADISTICA INFERENCIAL 1.1 Breve historia de la estadística………………………………………………….4 1.2 Concepto de estadística………………………………………………………….5 1.3 Estadística descriptiva…………………………………………………………….5 1.4 Estadística inferencial……………………………………………………………..5 1.5 Breve introducción a la inferencia estadística………………………………...7 1.6 Teoría de decisión en estadística……………………………………………….11 1.7 Componentes de una investigación estadística…………………………......16 1.8 Recolección de datos…………………………………………………………..…19 1.9 Estadística paramétrica (población y muestra aleatoria)………………..…27 1.10 Aplicaciones……………………………………………………………………….33 UNIDAD 2 INFERENCIA ESTADÍSTICA 2.1 Conceptos Básicos………………………………………………………………38 2.2 Distribuciones de muestreo……………………………………………………41 2.3 Estimación puntual………………………………………………………………47 2.4 Estimación de intervalo…………………………………………………………47 2.5 Intervalos de confianza para medias…………………………………………49 2.6 Intervalos de confianza para diferencia entre medias…………………….52 2.7 Intervalos de confianza para proporciones…………………………………57 2.8 Intervalos de confianza para diferencias entre proporciones……………62 2.9 Intervalos de confianza para varianzas………………………………………66 2.10 Intervalos de confianza para razones de dos varianzas…………………70 UNIDAD 3 PRUEBA DE HIPOTESIS CON UNA MUESTRA 3.1 Metodología para la prueba de hipótesis……………………………………74 3.2 Hipótesis nula y alternativa……………………………………………………75 3.3 Error tipo I y error tipo II…………………………………………………….….76 3.4 Pruebas de hipótesis Z para la media (desviación estándar poblacional conocida)………………………………………………………………………………76 3.5 Pruebas para proporciones……………………………………………………76 3.6 Selección del tamaño de muestra ( para estimar la media poblacional)78 3.7 Selección del tamaño de muestra (para estimar la proporción poblacional)………………………………………………………………………..….80 Estadistica Inferencial 2013 3 UNIDAD 4 PRUEBAS DE HIPOTESIS CON DOS MUESTRAS Y VARIAS MUESTRAS DE DATOS NUMERICOS 4.1 Introducción………………………………………………………………………91 4.2 Distribuciones normal y t de Student………………………………………..94 4.3 Pruebas de significancia……………………………………………………….98 4.4 Comparación de dos muestras independientes: Pruebas t para las diferencias entre dos medias………………………………………………………104 4.5 Prueba de Fisher para varianzas y de igualdad de las varianzas de dos poblaciones normales……………………………………………………………….106 4.6 Comparaciones de dos muestras pareadas…………………………………115 4.7 Modelo totalmente aleatorio: análisis de varianza de un factor…………………………………………………………………122 4.8 Selección del tamaño de muestra parareadas estimar la diferencia de dos medias………………………………………………123 4.9 Aplicaciones………………………………………………………………………130 UNIDAD 5 PREUBAS DE HIPOTESIS CON DOS MUESTRAS Y VARIAS MUESTRAS DE NÚMEROS CATEGORICOS 5.1 Prueba Z para la diferencia entre dos proporciones………………………140 5.2 Prueba para la diferencia entre dos proporciones…………………………144 5.3 Prueba para la diferencia en n proporciones Z……………………………..152 5.4 Prueba de independencia (ji-cuadrada)………………………………………152 5.5 Pruebas de contingencia (ji-cuadrada)…………………………………….…156 5.6 Pruebas de bondad de ajuste……………………………………………….…164 5.7 Aplicaciones……………………………………………………………………...174 BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………….176 Estadistica Inferencial 2013 4 1.1.-Breve historia de la estadistica INFERENCIA ESTADÍSTICA INTRODUCCIÓN. El empleo de encuestas es uno de los métodos de investigación más utilizados en la actualidad. La realidad, en continuo cambio y con muchísimas opciones diferentes, es muy difícil de abarcar en su totalidad. Por este motivo se hace necesario seleccionar una parte lo más pequeña posible, pero representativa del total, en la que sea posible medir las características deseadas. Esta necesidad ha obligado a crear un instrumento matemático que llamamos muestreo. Las muestras que se elijan para hacer un estudio deben ser lo más pequeñas posible por exigencias de tiempo y coste. Además, el aumento del número de datos no siempre acarrea una mayor certeza, ya que más importante que escoger muchos datos es que los datos estén bien seleccionados, con el fin de que sean representativos de la población que se desea estudiar. Se verá como el azar juega un papel importante en la elección de la muestra para que ésta sea representativa. En este tema estudiaremos dos parámetros de una población: la media de una determinada característica numérica y la proporción o porcentaje de la población que comparte un determinado rasgo común. La inferencia estadística se basa en resultados de la teoría de la probabilidad, los cuales nos aseguran, que al estudiar la media o la proporción de muestras, tomadas adecuadamente en la población, estas características serán muy similares a las de la población total. El método de inferencia estadística hace estimaciones de lo que ocurre en toda la población estudiando lo que ocurre en una parte de la misma (la muestra). Como se pretende sacar conclusiones sobre el total de la población a partir de una muestra de la misma, estas conclusiones estarán sujetas a error. La teoría de la probabilidad permite también acompañar a la estimación muestral de una media o de una proporción, en una población, de la probabilidad de que el error cometido no exceda de un determinado valor, o del riesgo (probabilidad de equivocación) que se corre al aceptar o al rechazar una hipótesis sobre los valores de la media o de la proporción de la población. Ahora bien, la inferencia se hace a partir de muestras que deben estar debidamente escogidas. Por esta razón trataremos previamente a los métodos de la inferencia, las técnicas de muestreo, es decir, las diversas formas de poder seleccionar una muestra que sea adecuada para realizar las inferencias, controlando el posible error. Estadistica Inferencial 2013 5 Para trabajar este tema se necesita el manejo de los números combinatorios como herramienta de cálculo y el conocimiento y uso de la distribución normal y sus propiedades. Finalmente, insistir en la importancia de la inferencia estadística como disciplina fundamental en todas las áreas científicas, tanto naturales como sociales. 1.2.-Concepto de estadística La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección, organización, análisis e interpretación de datos. Los datos pueden ser cuantitativos, con valores expresados numéricamente, o cualitativos, en cuyo caso se tabulan las características de las observaciones. La estadística sirve en administración y economía para tomar mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentes de variación y de la detección de patrones y relaciones en datos económicos y administrativos. 1.3.-Estadistica descriptiva. La estadística descriptiva comprende las técnicas que se emplean para resumir y describir datos numéricos. Estos métodos pueden ser gráficos o implicar análisis computacional. Ejemplo. El volumen mensual de ventas de un producto durante el año anterior puede describirse y cobrar significado elaborando un diagrama de barras o una gráfica de líneas. Las ventas relativas por mes pueden resaltarse calculando un número Índice para cada mes, con lo que la desviación respecto de 100 de cualquier mes indicaría la desviación porcentual de ventas de ese mes en comparación con las ventas mensuales promedio durante todo el año. 1.4.-Estadistica inferencial La estadística inferencial comprende las técnicas con las que, con base únicamente en una muestra sometida a observación, se toman decisiones sobre una población o proceso estadísticos. Dado que estas decisiones se toman en condiciones de incertidumbre, suponen el uso de conceptos de probabilidad. Mientras que a las características medidas de una muestra se les llama estadísticas muestrales, a las características medidas de una población estadística, o universo, se les llama parámetros de la población. El procedimiento para la medición de las características de todos los miembros de una población definida se llama censo. Cuando la inferencia estadística se usa en el control de procesos, al muestreo, le interesa en particular el descubrimiento y control de las fuentes de variación en la calidad de la producción. Estadistica Inferencial 2013 6 Ejemplo. Para estimar el voltaje requerido para provocar fallas en un dispositivo eléctrico, una muestra de estos dispositivos puede someterse a voltajes crecientes hasta que falle cada uno de ellos. Con base en estos resultados muestrales puede estimarse la probabilidad de falla a varios niveles de voltaje de los demás dispositivos de la población muestreada. La población es un agregado de unidades individuales, compuesto de personas o cosas que se hallan en una situación determinada. Las unidades individuales se llaman unidades elementales. Definir una población es determinar sus unidades elementales de acuerdo con el interés que se tiene respecto a alguna característica de aquélla. Tanto la definición de una población como la característica por observar de sus unidades elementales dependen de la naturaleza del problema. Por ejemplo, si el problema es "Camisas para personas adultas de El Salvador", se trata de determinar la cantidad adecuada de producción de camisas de acuerdo con las diversas medidas. La población son todas las personas adultas de El Salvador. La característica de interés son las medidas del cuello de las personas adultas en dicho país. Veamos otro ejemplo: las cuotas diferenciadas para alumnos de la UES (Universidad de El Salvador). El problema por resolver es la asignación de las cuotas a los estudiantes. La población son los alumnos (o sus padres) de la UES; la característica de interés es el monto de los ingresos de dichos estudiantes. Las poblaciones pueden ser infinitas o finitas. Una población infinita es la que contiene un número infinito de unidades elementales; por ejemplo, el conjunto de piezas que se obtienen en un proceso productivo; en el sentido de que se siguen produciendo indefinidamente. Otro ejemplo son todos los posibles resultados al lanzar una moneda sin cesar. Una población es finita cuando tiene un número finito de unidades elementales. Por ejemplo, los estudiantes de una determinada universidad; el número de escuelas que existen en una determinada ciudad, el número de árboles de coco sembrados en una determinada parcela, etcétera. El número de unidades elementales de una población se denota con la letra N. Una muestra es una parte de la población; por ejemplo, cuando se desea hacer un estudio relativo al rendimiento académico de los alumnos de cierta universidad, y para esto se toma sólo un grupo de estudiantes de la misma. Todos los estudiantes de ella son la población y el grupo escogido constituye la muestra. Es importante hacer notar que para hacer una investigación mediante el análisis de una muestra, ésta tiene que ser, necesariamente, representativa. La representatividad de la muestra implica que cada unidad de la población debe tener igual probabilidad de ser seleccionada. En estas condiciones, se dice que la muestra es aleatoria. La obtención de una muestra representativa es uno de los aspectos más importantes de la teoría estadística. Incluye preguntas como, ¿qué Estadistica Inferencial 2013 7 tan grande debe ser la muestra?, ¿qué tipo de datos deben ser recolectados?, ¿cómo se recogerán éstos? Estas preguntas serán contestadas más adelante. (El número de unidades elementales de una muestra se denota con la letra n). 1.5.-Breve introducción a la estadística inferencial El empleo de encuestas es uno de los métodos de investigación más utilizados en la actualidad. La realidad, en continuo cambio y con muchísimas opciones diferentes, es muy difícil de abarcar en su totalidad. Por este motivo se hace necesario seleccionar una parte lo más pequeña posible, pero representativa del total, en la que sea posible medir las características deseadas. Esta necesidad ha obligado a crear un instrumento matemático que llamamos muestreo. Las muestras que se elijan para hacer un estudio deben ser lo más pequeñas posible por exigencias de tiempo y coste. Además, el aumento del número de datos no siempre acarrea una mayor certeza, ya que más importante que escoger muchos datos es que los datos estén bien seleccionados, con el fin de que sean representativos de la población que se desea estudiar. Se verá como el azar juega un papel importante en la elección de la muestra para que ésta sea representativa. En este tema estudiaremos dos parámetros de una población: la media de una determinada característica numérica y la proporción o porcentaje de la población que comparte un determinado rasgo común. La inferencia estadística se basa en resultados de la teoría de la probabilidad, los cuales nos aseguran, que al estudiar la media o la proporción de muestras, tomadas adecuadamente en la población, estas características serán muy similares a las de la población total. El método de inferencia estadística hace estimaciones de lo que ocurre en toda la población estudiando lo que ocurre en una parte de la misma (la muestra). Como se pretende sacar conclusiones sobre el total de la población a partir de una muestra de la misma, estas conclusiones estarán sujetas a error. La teoría de la probabilidad permite también acompañar a la estimación muestral de una media o de una proporción, en una población, de la probabilidad de que el error cometido no exceda de un determinado valor, o del riesgo (probabilidad de equivocación) que se corre al aceptar o al rechazar una hipótesis sobre los valores de la media o de la proporción de la población. Ahora bien, la inferencia se hace a partir de muestras que deben estar debidamente escogidas. Por esta razón trataremos previamente a los métodos de la inferencia, las técnicas de muestreo, es decir, las diversas formas de poder seleccionar una muestra que sea adecuada para realizar las inferencias, controlando el posible error. Estadistica Inferencial 2013 8 Para trabajar este tema se necesita el manejo de los números combinatorios como herramienta de cálculo y el conocimiento y uso de la distribución normal y sus propiedades. Finalmente, insistir en la importancia de la inferencia estadística como disciplina fundamental en todas las áreas científicas, tanto naturales como sociales. POBLACIÓN Y MUESTRA. En el campo de la Estadística el concepto de población se encuentra próximo a la noción general de grupo o conjunto. Definición. POBLACIÓN. Se llama población o universo a cualquier conjunto, colectivo o colección finita o infinita de individuos o elementos. Una población puede ser, no sólo un conjunto de personas, sino también un conjunto de animales, objetos, fenómenos, medidas, ..... Ejemplo: Si pasamos un test a todos los alumnos españoles de una determinada edad, los resultados obtenidos constituyen una población de medidas de la capacidad a la que se derige el test. Definición. CENSO. Se da el nombre de censo a la enumeración y anotación de ciertas características de todos los elementos de una población. Ejemplo: El profesor-tutor de un grupo de un instituto realiza un listado de los alumnos/as de su tutoría, en la incluye, nombre y apellidos, nombre de los padres, domicilio, teléfono, número de hermanos y asignaturas pendientes del curso anterior. Este sería un ejemplo de censo de la población formada por el alumnado del grupo en cuestión. Las poblaciones en Estadística pueden ser finitas o infinitas. Una población es finita cuando consta de un número limitado de unidades, y una población es infinita cuando su tamaño es indefinidamente grande. Ejemplo: - Si consideramos el número de hermanos que tienen los alumnos/as de un curso de un instituto determinado, estaríamos hablando de una Estadistica Inferencial 2013 9 población finita. Habría tantos valores como alumnos/as haya en dicho curso. - Si obtenemos una serie de medidas del tiempo que tarda un alumno en resolver una división de dos cifras, estas medidas pueden consideradas parte de un conjunto mucho mayor, de tamaño indefinidamente grande, constituido por todas las medidas que obtendríamos si repitiésemos la experiencia una y otra vez. - Supongamos que se lanza un dado en reiteradas ocasiones, y anotamos el valor de la cara superior. Tal experiencia puede ser repetidamente hasta el infinito, por lo que cualquier conjunto de resultados podría ser considerado una parte extraída de una población indefinidamente grande. En definitiva, con frecuencia, las poblaciones en Estadística suelen ser consideradas infinitas. El gran tamaño que presentan algunas poblaciones es precisamente la principal razón que hace recomendable reducir su estudio a muestras obtenidas de ellas. Definición. MUESTRA. Se define muestra como una parte o subconjunto de una población, debidamente elegida, que se somete a observación científica en representación de la misma, con el propósito de obtener resultados válidos para el total de la población. Para que una muestra se considere válida debe cumplir que: - Su tamaño sea proporcional al tamaño de la población. - No haya distorsión en la elección de los elementos de la muestra. - Sea representativa. Un estudio exhaustivo cuyos datos se utilizan para multitud de trabajos e investigaciones es el Censo de Población. Requiere un gran esfuerzo tanto económico como de medios y en él se recaba información de todos los habitantes de un país. Sin embargo, para el conocimiento de algunas características de la población, se utilizan métodos alternativos que reducen el costo y el tiempo. Los modelos reducidos de la población, constituidos por las muestras, tienen como finalidad obtener resultados que puedan ser aplicables (extrapolables) a la población. Las principales razones que inducen a tomar muestras son: a) El coste temporal. Estudiar una población de tamaño considerable exige una dedicación de tiempo que retrasaría enormemente las investigaciones en marcha y prolongaría en exceso la realización de los Estadistica Inferencial 2013 10 estudios. A veces, esto último podría entrar además en conflicto con el carácter vivo, cambiante, en continua evolución de las realidades que ocupan el interés de los investigadores en el campo de las ciencias sociales, cuyo estudio desde una perspectiva sincrónica, requiere la concreción en segmentos temporales limitados. Por ejemplo, si queremos saber cómo ha afectado a la intención de voto de los españoles determinadas declaraciones de un destacado líder político no disponemos de un tiempo indefinido, porque otros hechos o declaraciones posteriores influirían en las opiniones y tendencias de la población. En este caso, sería necesario recurrir a un muestreo que permita abordar el estudio con un bajo coste temporal. b) El coste económico. La inversión en recursos temporales y humanos necesaria para abordar algunos problemas de investigación sería elevada si pretendiéramos abarcar a la población. La recogida de los datos que posteriormente van a ser analizados estadísticamente requiere desplegar estrategias que exigen disponer de recursos. El envío de cuestionarios por correo, la realización de entrevistas por parte de personas especializadas, el desplazamiento de observadores a los lugares estudiados, etc., suponen un coste económico que queda reducido si nos limitamos al estudio de una muestra extraída de la población. c) El impacto sobre la realidad estudiada. Cuando el estudio realizado pudiera provocar efectos en los sujetos, parece adecuado limitar la realización de experimentos a ámbitos reducidos. Por ejemplo, la medición de los resultados de un nuevo método de aprendizaje de la lectura habría de hacerse sobre un número reducido de alumnos, sin extender a toda la población la nueva metodología hasta no confirmar los resultados positivos de la misma. d) Una población homogénea. Si la población es homogénea se pueden obtener muy buenos resultados a partir de cualquier muestra. e) La falta de personal. Si no se dispone de suficiente personal preparado para llevar a cabo un estudio exhaustivo, también resulta aconsejables hacer un muestreo. Por otro lado, el uso del muestreo presenta limitaciones, entre estas destacamos: a) El riesgo que supone la toma de una muestra que pueda no ser representativa. b) Cuando es necesaria información de todos los elementos de la población. c) Cuando no se domina bien la técnica de muestreo. d) Cuando la población esté formada por un número muy pequeño de elementos, ya que una ligera equivocación en la toma de la muestra puede originar grandes errores. Estadistica Inferencial 2013 11 Para el investigador tienen especial interés las muestras en la medida en que permiten generalizar los resultados de un estudio a las poblaciones de las que fueron extraídas. Para que ello sea posible es necesario que el muestreo se realice siguiendo determinados procedimientos que garanticen la representatividad de la muestra y, por tanto, las posibilidades de generalización. 1.6.-Teoría de la desición estadística. Cuando buscamos información acerca de una población, pero sólo disponemos de datos de una muestra, se necesitan algunos medios para poder sacar conclusiones acerca de esa población. Los conceptos y técnicas que satisfacen esta necesidad constituyen la Inferencia Estadística. 1. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Con la estimación de parámetros deseamos estimar el valor de ese parámetro, a través de un estadístico calculado en la muestra. La inferencia en los distintos niveles de medición se realizará a través de P y X. Un estimador es un procedimiento expresado a manera de fórmula por medio del cuál se obtiene un valor numérico denominado estimación. 1.1. Estimación intervalar Consta de dos puntos definidores de un intervalo (límites de confianza), que según nuestras estimaciones contienen el parámetro poblacional que nos interesa, e.d., podemos estimar el parámetro µ ó P dentro de un intervalo a y b, en el que a y b se obtienen de observaciones de la muestra y podemos afirmarlo a un nivel de confianza determinado. El principal objetivo de la estadística inferencial consiste en precisar el valor desconocido de los parámetros poblacionales a partir de los resultados obtenidos en muestras aleatorias. Gracias a la teoría del error muestral podemos resolver la discrepancia existente entre valores muestrales y poblacionales. Para ello construimos intervalos dentro de los cuáles para un nivel de confianza prefijado podemos asegurar que se encontrará el verdadero valor del parámetro poblacional. Estudiando el estadístico obtenido en la muestra y su error típico podemos determinar por las propiedades de la curva normal a qué distancia máxima se encontrará el verdadero valor; dicha distancia constituirá el intervalo dentro del cual podemos asegurar que se encuentra el valor poblacional. 2. LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL Una distribución muestral es una distribución probabilística teórica de estadísticos pertenecientes a muestras, p.e. medias ó proporciones. Se obtiene una distribución muestral cuando se toman todas las muestras aleatorias simples (cada una de ellas con al menos un elemento diferente) de tamaño N de una misma población, se calcula un estadístico por cada muestra (p.e. medias o proporciones) y se distribuyen dichos estadísticos alrededor del parámetro que estiman. Ej.: de una nación se coge una muestra de 2000 y se calcula la X de edad, si repetimos con todas las muestras posibles de 2000, obtendremos una distribución muestral de medias de edad. Estadistica Inferencial 2013 12 2.1. El teorema del límite central Es muy importante en estadística. La suma de gran cantidad de variables aleatorias independientes siempre tiene una distribución aproximadamente normal. La distribución de dicha suma será tanto más parecida a la normal cuanto mayor sea el número de variables aleatorias. El teorema central del límite expresa cuantitativamente la rapidez de esta convergencia. Lo que nos dice el teorema es que las medias de las muestras aleatorias simples extraídas de una población que se distribuye normalmente, darán lugar a una distribución muestral que también es normal, aunque N sea pequeño. 1.3. La Ley de los grandes números Según esta ley la diferencia entre una población dada y una muestra decrece conforme aumenta el tamaño muestral. A partir de cierto tamaño muestral, el error muestral se hace tan pequeño que un aumento del tamaño muestral no compensaría el incremento de los costos. La importancia de esta ley es muy grande, ya que al ser la distribución muestral la que se utiliza en las pruebas de significación, ello quiere decir que cuando N es suficientemente grande no tenemos ya que preocuparnos de los supuestos referentes a la normalidad de la población, pudiendo aplicar las propiedades de la curva normal, ya que la distribución muestral tiende a aproximarse a la normalidad. Gracias al teorema del límite central y la ley de los grandes números podemos afirmar que la distribución de los estimadores en el muestreo será una distribución normal. 3. TENDENCIA CENTRAL, VARIABILIDAD Y FORMA DE UNA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL La tendencia central de una distribución muestral se denomina valor esperado de un estadístico y se representa por E(X). Si el promedio o valor esperado de un estadístico es el parámetro que estima, entonces se dice que el estadístico es un estimador no sesgado del parámetro. Cualquier diferencia que se produzca entre un estadístico concreto y su parámetro es atribuible por ello más bien a un error aleatorio. 4. DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE MEDIAS La medida de error muestral que indica la magnitud de las desviaciones de los estadísticos se denomina error típico, para distinguirlo de otras desviaciones típicas. Según la ley de los grandes números al aumentar la muestra disminuye el error típico, e.d, que al aumentar N los estadísticos se agrupan con mayor proximidad alrededor de sus respectivos parámetros. PROPIEDADES: 1. La distribución muestral de medias se aproxima a la curva normal (por el teorema del límite central y la ley de los grandes números). En la práctica pensaremos que n > 30 para servirnos de las medidas de la curva normal. 2. Al ser una distribución de frecuencias es posible calcular medidas de tendencia central, variación, etc. 3. La X de una distribución muestral de medias es igual a la verdadera X de la población. 4. La o es menor que la o de la población; esto se debe a que tomamos valores medios, eliminando los valores extremos. Podemos decir que entre X ± 1o X ~ 68,26% Estadistica Inferencial 2013 13 X ± 2o X ~ 95,45% X ± 3o X ~ 99,73% e.d., entre la X más o menos una desviación típica de esa distribución muestral de X se encontrarán el 68,26% de las medias muestrales de la distribución muestral de medias. Para trabajar bajo la curva normal hay que hablar de unidades Z, que se estandarizan para la distribución muestral de medias: x - X X - µ Z = ------ = Z = -------- S o X X = media muestral µ = µX= media de población o media de medias o X = desviación típica de la distribución muestral de medias; error típico de la media. 4.1. ERROR TÍPICO DE LA X El investigador rara vez escoge más de 1 ó 2 muestras, que espera poder generalizar a la población, pues el procedimiento de completar una distribución muestral de medias sería tan costoso como analizar a casi todos los miembros de la población. No se tiene pues un conocimiento real de la X, pero sí un buen método para estimar la desviación típica de la distribución muestral de medias sobre la base de datos recogidos en una sola muestra. Con la ayuda del error típico podemos encontrar el rango de valores de la X, dentro del cuál es probable que fluctúe nuestra verdadera X poblacional. Cuanto más pequeño sea el error típico, más fiable es el estadístico. La cuantía del error típico depende del tamaño de la muestra; al aumentar la muestra disminuye el error típico => las muestras grandes engendran estadísticos más fiables que las pequeñas. A todo estadístico le corresponde una distribución muestral y un error típico. La media de una muestra es una estimación insesgada de la media de la población, e.d., la X de la muestra puede ser mayor ó menor que la µ de la población. Si se extraen muchas muestras y se promedian sus medias, el resultado tiende a la media µ de la población al aumntar el tamano de la muestra. * * * V E R F O R M U L A R I O P A R A E R R O R T Í P I C O D E L A M E D I A * * * 4.2. INTERVALOS DE CONFIANZA El intervalo de confianza se define como el valor de las puntuaciones directas entre las cuáles afirmamos, a un nivel de confianza dado, que se encuentra el parámetro que consideramos. El intervalo de confianza tiene un límite inferior y un límite superior, que son los límites de confianza. Se ha convenido utilizar como intervalo de confianza los de 95%, 95,45%, 99% y 99,73%, por medio de los cuáles se estima la media poblacional, sabiendo p.e. que hay 95 oportunidades entre 100 de estar en lo cierto y un 5 de equivocarse, e.d., el nivel de confianza sería la parte de la distribución muestral que yo tomo para hacer la estimación. Al realizar una estimación pienso que la media muestral a través de la cuál hago la inferencia caerá en ese intervalo con un 95% de probabilidades, aunque sé que hay un 5% de que quede fuera. Cuanto más amplio sea el intervalo, tanto menos se acerca a dicho parámetro, e.d., al aumentar el nivel de confianza se sacrifica también en grado de precisión al señalar la media poblacional. Estimaciones de la µ a partir de una sola muestra Según la adaptación de la distribución muestral de la media a la curva normal, sabemos que con un nivel de confianza de 99% y conociendo la X, la verdadera media de la población no se apartará de X en más de ± 2,58 o X. Estadistica Inferencial 2013 14 (µ-X) s 2,58 o X Como formulación general de la estimación de parámetros tendremos: Estimador ± factor de confiabilidad x error típico del estimador X ± Zo X P (X - Zo X < µ < X + Zo X ) = Nc ó Ns X ± Zo X nos dará la distancia máxima entre X y µ. Z depende del nivel de confianza dado. Conociendo el error típico del estadístico en la distribución muestral, el intervalo será el producto del Nc por dicho error. 5. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT Cuando las muestras son pequeñas (n < 30) en la estimación de medias deberemos utilizar la distribución t de Student, que depende del Ns y de los grados de libertad. El intervalo viene dado por: X ± to X t = Z La distribución t correspondiente se asemeja mucho a la distribución normal, y veremos que se aplica una distribución t de la misma manera en la que se hace con una distribución normal. Características: 1. Hay una familia de distribución t (una distinta para cada valor de n). 2. Cada curva t es simétrica a los dos lados de 0. 3. µ = 0; o 2 es algo superior a 1 4. el punto más alto de la curva viene dado por t = 0. 5. Debe calcularse la puntuación t para trabajar con la distribución t: X - µ t = -------- o X S o X = ------- \n 6. El área bajo la curva es igual a 1. 7. Para la estimación intervalar la fórmula será: X ± to X P (X - to X < µ < X + to X ) = Nc ó Ns to X = error absoluto; distancia máxima entre X y µ. Grados de libertad El número de grados de libertad de un estadístico es denominado generalmente por la letra v. Se define como el número de observaciones independientes en la muestra (e.d. el tamaño muestral) menos el nº de H parámetros de la población que deben estimarse a partir de las observaciones de la muestra. Estadistica Inferencial 2013 15 v = gl = N - H v = gl = N-1 (para parámetros) Tablas de distribución t de Student Aparecen Ns para 1 ó 2 colas, llamadas pruebas unilaterales o bilaterales. Para estimaciones de parámetros se utilizan pruebas bilaterales. A la izquierda se sitúan gl (df), que son lo grados de libertad. 6. DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE PROPORCIONES La proporción es una frecuencia relativa: n P = --- N La suma de todas las proporciones es igual a 1; cada proporción es s 1. El porcentaje es la proporción * 100. P = población; p = muestras. Estimaremos proporciones igual que acabamos de estimar las medias. Todos los estadísticos, tanto las medias como las proporciones, tienen su propias distribuciones muestrales; lo dicho para la distribución muestral de medias vale para la distribución muestral de proporciones. Muchas veces el investigador busca presentar una estimación de una proporción poblacional con base en la proporción que obtiene en una muestra aleatoria, p.e. ¿cuál es la proporción de los votos que irán a un partido? La distribución muestral de proporción 'p' está calculada con base en muestras aleatorias simples de tamaño 'n', sacadas de una población en la que la proporción poblacional es 'P'. Está distribuida normalmente si 'n' es grande. Si extraemos distintas muestras y calculamos su proporción podemos realizar una distribución muestral de proporción. PROPIEDADES: 1. la media de la distribución muestral de proporción es igual a la proporción poblacional µp = Pµ 2. La distribución muestral de proporción es aproximadamente normal si np ó nq > 5. Si p = 0,50 la distribución es aproximadamente normal si n > 30. Pero si P está cerca de 0 ó de 1 la distribución muestral de proporción tenderá a tener un extremo más largo a la izquierda o a la derecha, y deberá aumentar para tener una aproximación a la curva normal. Al ser una distribución de frecuencias podemos calcular entonces tendencia central, variación, etc. 3. Ps ± 1 o p ~ 68, 26% Ps ± 2 o p ~ 95,45% Ps ± 3 o p ~ 99,73% Entre la proporción muestral Ps y ± 1 o p , 2o p y 3 o p se encuentran respectivamente el 68,26%, 95,45% y 99,73% de proporción de esta distribución muestral de proporción. 5. Hay que estandarizar las unidades Z: Ps - Pµ Z = -------- Estadistica Inferencial 2013 16 o p Ps = proproción muestral; Pµ = proporción poblacional o p = desviación típica de la distribución muestral de proporción. 6.1. ERROR TÍPICO DE LA PROPORCIÓN Es la desviación típica de esa distribución muestral que nos da la fiabilidad del estadístico. Cuanto menor sea, mejor será la estimación. * * * V E R F O R M U L A R I O P A R A E R R O R T Í P I C O D E L A P R O P O R C I Ó N * * * 4.2. INTERVALOS DE CONFIANZA Estimador ± factor de confiabilidad + error típico del estimador P ± Zop P(Ps - Zop < Pµ < Ps + Zop) = Nc ó Ns P (p - Zo p < P < p + Zo p ) = Nc ó NS Deberán utilizarse en general muestras grandes para la estimación de proporciones, pues sino da unos intervalos excesivamente amplios que poco pueden decirnos como información. 1.7.-Componentes básicos de una investigación estadistica ESTIMACIÓN POR INTERVALOS. En la estimación por intervalos atribuimos al parámetro desconocido un segmento de posibles valores entre los que se encuentra, con elevada probabilidad, el valor verdadero del parámetro. Es decir, para estimar el valor del parámetro u, podemos ofrecer un intervalo de puntuaciones dentro del cual se encuentra, con una probabilidad conocida, el valor buscado. Por ejemplo, podríamos determinar que con una probabilidad de 0.90, el valor de u se encuentra dentro del intervalo [a , b]. Cuando realizamos una estimación por intervalos resulta imprescindible apoyarse en la distribución muestral de los estadísticos utilizados como estimadores. Por ejemplo el estadístico X , estimador de µ. Sabemos que si extraemos muestras de una población en la que la media es µ y la varianza 2 o , la distribución muestral de X tiene como media µ y como varianza n X 2 2 o o = . Si el tamaño n de las muestras es suficientemente grande, la distribución muestral del estadístico X tiende al modelo normal | | . | \ | n N o µ, . Estadistica Inferencial 2013 17 ERROR MUESTRAL. Siempre que tomamos una muestra en representación de toda la población se comete un error. Normalmente existe una diferencia entre los valores obtenidos a partir de la muestra y los correspondientes a la población. Pero cuando hablamos del error muestral no nos referimos al error real que hemos obtenido nosotros, sino a un error determinado estadísticamente, válido para todas las posibles muestras del mismo tamaño. Sea x la media de una muestra de tamaño n y sea µ la media poblacional de la población de tamaño N. Obteniendo todas las muestras de tamaño n y calculando la media x de cada una, se obtiene una distribución normal, llamada distribución muestral de las medias o distribución de las medias muestrales X . La curva de Gauss representa la distribución de todas las medias de tamaño n obtenidas en la población. La media de las medias coincide con la media de la población, obteniéndose muchas muestras cuyas medias, x , son iguales o muy cercanas a µ y muy pocos casos de medias muestrales, alejadas o muy alejadas de la media proporcional µ. Definición. ERROR MUESTRAL. Se define el error muestral o error de muestreo como la desviación típica de la distribución muestral de las medias o de las proporciones. Recordamos que, para la distribución de las medias muestrales y para la distribución de las proporciones muestrales, respectivamente: - Cuando la población es finita y la extracción es con reemplazamiento, o cuando la población es infinita: n q p p n X · , = = o o o - Cuando la población es finita y la extracción es sin reemplazamiento: 1 · · , 1 · ÷ ÷ = ÷ ÷ = N n N n q p p N n N n X o o o Estadistica Inferencial 2013 18 ERROR MÁXIMO ADMISIBLE. La distribución muestral de las medias sigue una ley normal | | . | \ | n N o µ, y su representación gráfica es la curva de Gauss. Estadísticamente nunca se puede abarcar toda el área comprendida entre la curva de Gauss y el eje OX, por ser éste una asíntota de la curva, siendo preciso fijar el área se pretende abarcar. Esta área, (1-o), recibe el nombre de nivel de confianza porque representa el área que contendrá, probablemente, el valor de la media poblacional µ. Se expresa en tanto por ciento. Definición. NIVEL DE CONFIANZA. Se denomina nivel de confianza o coeficiente de confianza a la probabilidad de que el estimador por intervalo cubra el verdadero valor del parámetro que se pretende estimar. Se expresa por 1 - o. Estrictamente, establece el porcentaje de muestras (de un tamaño dado) en las que el estadístico que deseamos estimar tiene un valor dentro del intervalo estimado. Un nivel de confianza de 90% o del 95% indica que, de toda el área encerrada por la curva de Gauss y el eje OX, probablemente el 90% o el 95% de las veces contendrá a la media poblacional µ, desestimando el 10% o el 5%, restante. Definición. NIVEL DE SIGNIFICACIÓN. Se denomina nivel de significación o nivel de riesgo a la diferencia entre la certeza y el nivel de confianza deseado. Por tanto, se expresa por o. Definición. ERROR MÁXIMO ADMISIBLE. Se define el error máximo admisible como el valor “d” que verifica que la probabilidad de que la media muestral x y la media poblacional µ difieran en menos de la cantidad “d ” con el nivel de confianza elegido (1 - o): Estadistica Inferencial 2013 19 ( ) o µ ÷ = < ÷ 1 d x p De lo anterior se deduce: ( ) o µ ÷ = < ÷ < ÷ 1 d x d p O lo que es lo mismo: ( ) o µ ÷ = + < < ÷ 1 d x d x p Si: ( ) 6826 . 0 entonces = + < < ÷ = X X X x x p d o µ o o ( ) 9544 . 0 2 2 entonces 2 = + < < ÷ = X X X x x p d o µ o o ( ) 9973 . 0 3 3 entonces 3 = + < < ÷ = X X X x x p d o µ o o Es decir: X d o = para un nivel de confianza del 68.26 %. X d o 2 = para un nivel de confianza del 95.44 %. X d o 3 = para un nivel de confianza del 99.73 %. 1.8.-Recolección de datos TIPOS DE MUESTREO. Definición. MUESTREO. Se llama muestreo al procedimiento mediante el cual elegimos a las unidades estadísticas que forman la muestra, dentro del conjunto que constituye la población. Diremos que el muestreo es probabilístico cuando todos los elementos de la población poseen un probabilidad conocida (o calculada de antemano), no nula, de ser elegidos para formar parte de la muestra. Se contrapone al llamado muestreo no probabilístico, en el que, o bien no se conoce la probabilidad de que los elementos de la población sean seleccionados para la muestra, o bien para parte de ellos esta probabilidad es nula y, por tanto, no es posible llevar a cabo inferencias estadísticas. Lógicamente, el muestreo que se encuentra en la base de la mayoría de los métodos de la Estadística Inferencial es el muestreo probabilístico. Para llevarlo a cabo es necesario que la selección pueda considerarse como una prueba o experimento aleatorio o de azar, de los que constituyen la base de la teoría de la probabilidad en la cual se fundamenta la estadística matemática. Estadistica Inferencial 2013 20 Las generalizaciones de resultados, a partir del estudio de muestras extraídas mediante procedimientos de muestreo no probabilístico, nos impiden conocer el margen de error con el que hacemos las generalizaciones a la población. En cambio, el muestreo probabilítico permite hacer inferencias sobre la población, y gracias a los procedimientos de la Estadística Inferencial podemos conocer el error con el que se realizan las generalizaciones. En las páginas siguientes, se describen muestreos probabilísticos (muestreo aleatorio con y sin reposición, muestreo aleatorio sistemático, muestreo estratificado, muestreo por conglomerados, muestreo polietápico) y muestreos no probabilíticos (muestreo intencional, por cuotas, incidental y accidental), pero antes incluiremos dos conceptos que aparecen al referirnos al muestreo: factor o coeficiente de elevación y fracción de muestreo. Definiciones. FACTOR DE ELEVACIÓN. Se denomina factor o coeficiente de elevación al cociente entre el tamaño de la población y el tamaño de la muestra, n N . Representa el número de elementos que hay en la población por cada elemento de la muestra. FRACCIÓN DE MUESTREO. Se denomina fracción de muestreo al cociente entre el tamaño de la muestra y el tamaño de la población, N n . Si se multiplica por 100, representa el porcentaje de la población que representa la muestra. A) MUESTREOS PROBABILÍSTICOS. Muestreo aleatorio simple con y sin reposición. Se denomina muestreo aleatorio simple a aquel en que todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de formar parte de la muestra y ésta es determinada únicamente por el azar. Se trata de un tipo de muestreo probabilístico que permite con facilidad llevar a cabo inferencias estadísticas y calcular la probabilidad de error asociada a las mismas. Concretando, el muestreo aleatorio simple consiste en seleccionar n elementos con o sin reemplazamiento de entre los N elementos que componen la población, de tal modo que todas las muestras de tamaño n que se puedan formar tengan la misma probabilidad de ser elegidas. Si la muestra se selecciona sin reemplazamiento (es decir, cuando un elemento ha sido extraído queda descartado de cara a la siguiente extracción) se habla de muestreo aleatorio sin reposición, también llamado muestreo irrestrictamente aleatorio. Estadistica Inferencial 2013 21 Si la muestra se selecciona con reemplazamiento (es decir, el elemento elegido en cada extracción vuelve a ser incluido en la población antes de extraer el siguiente elemento) se habla de muestreo aleatorio con reposición, también llamado generalmente muestreo aleatorio simple. Si bien los dos métodos son distintos, cuando el tamaño de la población es infinito o tan grande que pueda considerarse como infinito, ambos métodos llegan a las mismas conclusiones. Si la fracción de muestreo N n es mayor de 0.1 (se muestrea más del 10 % de la población) la diferencia entre ambos métodos puede ser apreciable, llegando a conclusiones contradictorias según se aplique un método u otro. Ejemplo: En el muestreo aleatorio sin reposición, el número de muestras de tamaño n que se pueden formar es: | | . | \ | n N , y, por tanto, la probabilidad de elegir una muestra determinada es: ( ) ! ! · ! 1 N n n N n N p ÷ = | | . | \ | = . La probabilidad de que un elemento determinado de la población forme parte de la muestra viene dada por N n p = . En efecto: ( ) ( ) ( ) ( ) N n N n n N n n N N n N n N p = ÷ ÷ ÷ ÷ = | | . | \ | | | . | \ | ÷ ÷ = = ! · ! 1 · ! ! · ! · ! 1 1 1 posibles casos favorables casos . En la práctica el procedimiento de muestreo aleatorio consiste en extraer al azar los elementos que constituyen la muestra, obteniendo la muestra unidad a unidad. Para ello, si la población es finita, se enumeran los elementos de la población desde 1 hasta N, y se extraen a continuación n elementos usando una urna o un bombo. Este procedimiento, aunque sencillo, requiere tener unos medios materiales: un bombo o una urna, papeles numerados o bolas numeradas, etc., por lo que se suelen utilizar otras alternativas como las tablas de números aleatorios o la generación de números aleatorios con la calculadora. Las tablas de números aleatorios son tablas de números colocados de tal forma que no exista ninguna relación entre ellos sea cual sea el sentido en que los leamos. Al final de los contenidos teóricos de este tema aparece una tabla de números aleatorios. Estadistica Inferencial 2013 22 Ejemplo: Si en una población de 834 individuos deseamos extraer una muestra de 42, asignaríamos un número a cada uno de los 834 elementos de la población. Para determinar los 42 elementos de la muestra, marcaríamos un número en la tabla de números aleatorios al azar y a partir de éste leeríamos en dicha tabla números de tres dígitos en cualquier dirección, desestimando los que superen 834. También podríamos encontrar estos 42 números generando números de forma aleatoria con la calculadora. Así: - Con la calculadora Texas Instruments TI-92, utilizando la orden “rand(834)”, obtendríamos números entre 1 y 834. - Con la calculadora CASIO fx-180P, debemos utilizar la sucesión de teclas, “INV” “(·) RAN”, y descartamos los números que superen 834. Muestreo aleatorio sistemático. El muestreo aleatorio sistemático resulta ser un procedimiento más cómodo que el muestreo aleatorio, con o sin reposición, cuando la población o la muestra que vamos a extraer son grandes. En lugar de recurrir a papeletas, bolas, tablas de números aleatorios o calculadora, puede determinarse la muestra eligiendo sistemáticamente, en una relación ordenada de los individuos de la población, aquellos que se encuentren a una distancia determinada. Suponiendo que el tamaño de la muestra es N y que la muestra que queramos extraer constara de n individuos, procederíamos del siguiente modo: a) Calculamos el coeficiente de elevación, n N k = . b) Elegimos aleatoriamente un número m comprendido entre 1 y k. c) Determinamos la muestra sumándole repetidamente k al número, m, elegido. La muestra estará constituida por los individuos: ( )k n m k m k m k m m 1 ........, , 3 , 2 , , ÷ + + + + Para que la muestra conserve el carácter aleatorio, debemos procurar que la ordenación de los individuos de la población no presente tendencias que hagan recaer la elección sistemática sobre unidades que no sean representativas de la heterogeneidad de la población. Ejemplo: Supongamos que queremos hacer una investigación en un instituto de 720 alumnos y alumnas, de los que queremos tomar una muestra de 80 individuos. En primer lugar, ordenar todos los alumnos y alumnas alfabéticamente sería un buen criterio de ordenación. Sin embargo, disponer los alumnos situando una tras otra las listas de los alumnos/as de cada clase, en las que estos aparezcan por orden de calificaciones, podría llevar a que se seleccionaran sistemáticamente los alumnos/as con calificaciones altas y no los de las calificaciones bajas, o viceversa. Estadistica Inferencial 2013 23 Una vez ordenados adecuadamente, calculamos el coeficiente o factor de elevación 9 80 720 = . Elegimos aleatoriamente un número entre 1 y 9 (tabla de números aleatorios, calculadora, .....). Si el número obtenido fuese 6, los individuos seleccionados serían: {6, 15 (= 6+9), 24 (= 6+2 · 9), 33 (=6+3 · 9), ........, 717 (=6+79 · 9)} Evidentemente, k no suele ser un número entero. Si se desprecian los decimales ocurrirá que una parte de los sujetos que se encuentran al final de la ordenación pierden toda posibilidad de ser elegidos. Una solución podría consistir en mantener los decimales del coeficiente k y redondear el resultado de las sumas al número entero más próximo, una vez que se han realizado todas ellas. Otra sería, sumar alternativamente las cantidades Ent(k) y Ent(k) +1. Además del procedimiento que acabamos de exponer, existen otras formas de muestreo que también se consideran muestreos sistemáticos. Por ejemplo, para elegir una muestra de personas, podemos seleccionar una o varias letras del abecedario y tomar como muestra todos los sujetos cuyo apellido comience por esa(s) letra(s). Muestreo estratificado. El muestreo estratificado se realiza cuando queremos garantizar cierta representatividad de la muestra respecto de alguna característica. Para ello, en función de esa característica, dividimos la población de tamaño N en K estratos o subpoblaciones de tamaños respectivos K N N N N ........, , , , 3 2 1 y elegimos de forma aleatoria (mediante sorteo, tablas, procedimientos sistemáticos, .....) submuestras de tamaños k n n n n ........, , , , 3 2 1 en cada estrato, asegurándonos de este modo de que todas las subpoblaciones estarán representadas en la muestra. La muestra total será la suma de las submuestras elegidas en cada estrato, es decir, k n n n n n + + + + = ........ 3 2 1 . Cabe diferenciar entre muestreo estratificado con asignación proporcional o de afijación proporcional, muestreo estratificado con asignación constante o de afijación igual y muestreo estratificado con asignación óptima. En el muestreo estratificado con asignación proporcional, o de afijación proporcional, se respeta la importancia cuantitativa de cada estrato, asignando en la muestra un número de individuos proporcional al tamaño del estrato en la población. N n N n N n N n N n k k = = = = = .. .......... 3 3 2 2 1 1 En el muestreo estratificado con asignación constante, o de afijación igual, todos los estratos contribuyen a la muestra con idéntico número de individuos, con independencia de cual sea la importancia numérica de dicho estrato. Finalmente, se habla de muestreo estratificado con asignación óptima cuando la contribución de cada estrato se determina a partir de parámetros ya conocidos de la población. Estadistica Inferencial 2013 24 Ejemplo: Se desea extraer una muestra de 60 alumnos y alumnas de un centro escolar en el que hay 500 matriculados, de los que 300 son niños y 200 son niñas, para estimar la estatura media. - Si se utiliza un muestreo estratificado de afijación igual deberíamos seleccionar 30 niños y 30 niñas. - Si se utiliza un muestreo estratificado de asignación proporcional deberíamos escoger 36 niños y 24 niñas. - Si conocemos la variabilidad de la característica considerada, y sabemos que la varianza en el caso de los alumnos es de 15 cm y en las alumnas 5 cm, la proporción de alumnos a alumnas sería de 3 : 1, y usando un muestreo estratificado de asignación óptima, los tamaños de las submuestras deberían ser de 45 niños y 15 niñas. Lógicamente, el menos recomendable de los tres tipos de muestreo estratificado es el de asignación constante, ya que asigna el mismo tamaño a cada estrato, y como consecuencia se favorece a los estratos de menor tamaño y perjudica a los grandes, en cuanto a la precisión de los resultados que obtengamos. Muestreo por conglomerados. El muestreo por conglomerados se utiliza cuando las unidades de la población presentan alguna forma de agrupamiento, que permite elegir grupos en lugar de individuos. De esta forma, el acceso a la muestra queda facilitado considerablemente, al quedar reunidos en una serie de grupos los individuos que la constituyen. Al realizar el muestreo, seleccionaríamos aleatoriamente una serie de grupos o conglomerados, tratando de reunir el número total de individuos que pretendemos incluir en la muestra. Los conglomerados deben ser lo más representativos posible de la población, es decir, deben representar la heterogeneidad de la población del estudio y ser entre sí homogéneos. Este procedimiento no requiere construir censos o listados completos de los elementos de la población, que son sustituidos en este caso por los censos de conglomerados. En realidad, el muestreo por conglomerados no es más que la aplicación de los muestreos aleatorios con o sin reposición, sistemático o estratificado al caso en que la unidad de muestreo no son los individuos sino los grupos de individuos. Usando este procedimiento se evita la dispersión de unidades a la que conducen otros tipos de muestreo, y se reducen los costes y el tiempo de un trabajo de recogida de datos. Cuando los conglomerados se corresponden con zonas geográficas, y se define el conglomerado como un área o parte bien limitada del terreno, se denomina muestreo por áreas. Ejemplo: Si queremos hacer un estudio sobre la influencia de un determinado pienso en el engorde de cerdos criados en granjas, podemos seleccionar aleatoriamente las granjas y Estadistica Inferencial 2013 25 luego dentro de ellas estudiar los pesos de los cerdos, bien de todos los cerdos de cada granja o de una muestra representativa de la población de cerdos de la misma. Muestreo polietápico. En el muestreo polietápico las unidades que finalmente componen la muestra se determinan en etapas sucesivas. Se trata de un caso particular del muestreo por conglomerados, en el que la unidad final no son los conglomerados sino subdivisiones de éstos. Por tanto, será interesante aplicarlo cuando los conglomerados contengan un elevado número de individuos y resulte aconsejable hacer una selección entre ellos. Si únicamente desarrollamos dos etapas, muestreo bietápico, el procedimiento consistiría en la selección de los conglomerados en la primera etapa, y la selección de los individuos en la segunda. No obstante, el muestreo polietápico puede extenderse a más de dos etapas dando lugar a una selección sucesiva de unidades cada vez menores, que están jerarquizadas de tal modo que la unidades de la primera etapa son divisibles en unidades de la segunda etapa, éstas a su vez en unidades de la tercera etapa, y así hasta alcanzar las unidades que finalmente constituirán la muestra. Estas unidades finales no necesariamente han de ser los individuos. En cada etapa, la selección de las unidades podrá hacerse siguiendo procedimientos de muestreo aleatorio, sistemático o estratificado. Ejemplo: En el ejemplo anterior referido al estudio sobre la influencia de un determinado pienso en el engorde de cerdos, supongamos que el estudio se realiza a nivel de toda España. Entonces, en una primera etapa, podríamos seleccionar de forma aleatoria una serie de provincias; en segundo lugar, en cada una de las provincias seleccionar también aleatoriamente algunas comarcas (bien delimitadas); posteriormente, dentro de cada comarca elegir al azar un grupo de granjas; y finalmente, en cada una de ellas estudiar todos los cerdos o una muestra de ellos elegida adecuadamente. B) MUESTREOS NO PROBABILÍSTICOS. Muestreo intencional u opinático. En el muestreo intencional u opinático la representatividad depende de la intención u opinión de la persona que selecciona la muestra, y que, según su criterio, procura que sea representativa. Por tanto, la evaluación de la representatividad es subjetiva. En este caso, la composición de la muestra puede estar influida por las preferencias o tendencias, aun las inconscientes, del individuo que la obtiene, y no sólo por factores objetivos que son los que deben tenerse en cuenta de modo riguroso, como ocurre en el muestreo probabilístico. Ejemplo: Se pretende hacer una encuesta en un instituto, entre los alumnos de 4º de E.S.O., para saber la modalidad de Bachillerato que seguirán los que continúen estudiando. El Jefe de Estudios pregunta a Estadistica Inferencial 2013 26 unos cuantos alumnos de cada grupo de 4º de E.S.O., con el único criterio de que piensa que esos seguirán estudiando. Este tipo de muestreo carece, pues, de una base teórica satisfactoria a pesar de lo cual su uso está bastante generalizado, especialmente el llamado muestreo por cuotas. Muestreo por cuotas. En el muestreo por cuotas, el investigador establece estratos de la población, determina el número de individuos a seleccionar en cada uno de ellos y elige intencionadamente individuos para completar las cuotas establecidas. Se asemeja al muestreo por estratos en cuanto que supone un conocimiento previo de la población, que permite diferenciar segmentos o estratos dentro de la misma, pero se distancia de aquel por el hecho de que aquí los individuos que constituyen la cuota aportada a la muestra por cada estrato no son determinados aleatoriamente, sino en función de otros criterios (accesibilidad, comodidad, economía, etc.). La única condición impuesta es que los individuos cumplan los requisitos fijados en las cuotas. Ejemplo: El agente visitador o entrevistador recoge información de personas o familias en número proporcional al de las que cumplen determinadas condiciones en la población, y puede elegirlas a su arbitrio dentro de grupos establecidos por sexo, edad o ciertos niveles socioeconómicos. Así, se podría fijar que el 15 % de la muestra ha de constar de mujeres que tengan menos de 40 años, sean de clase media y habiten en determinado barrio, y esta sería la única condición para seleccionar este 15 % de la muestra. El muestreo por cuotas no es un muestreo probabilístico, y por tanto, no permite llevar a cabo estimaciones rigurosas en las que podamos calibrar el error cometido. Muestreo incidental. En el muestreo incidental el investigador determina deliberadamente qué individuos formarán parte de la muestra, tratando de recoger a los casos considerados típicamente representativos de la población. Los criterios de elección suelen basarse generalmente en el conocimiento teórico sobre el tema de estudio. Pero, en definitiva, a pesar de la posible buena intención y conocimiento del tema y de la población que tenga el investigador, la muestra no servirá para hacer inferencias a toda la población ya que siempre cabe que pueda estar distorsionada por tendencias o preferencias subconscientes o inconscientes del investigador. Ejemplo: Para estimar el problema de absentismo escolar, un investigador puede seleccionar los alumnos de un centro situado en una zona de trabajadores agrícolas temporeros que han de desplazarse en determinadas épocas del año, los alumnos de un centro situado en una barriada marginal de una gran ciudad y los de un centro residencial, dado que por su conocimiento teórico del problema sabe que éstos representan los diferentes tipos de comportamientos en relación con la asistencia a clase. Muestreo accidental. En el muestreo accidental, también llamado sin norma, circunstancial o errático, se seleccionan determinados individuos o grupos de individuos Estadistica Inferencial 2013 27 sin que exista ningún criterio aparente. La muestra se toma de cualquier manera, a la aventura, por razones de comodidad o por las circunstancias que rodean al proceso o a capricho. Este tipo de muestreo se considera el más alejado de la posibilidad de generalizar a la población los resultados obtenidos. Sólo si la población es homogénea la representatividad de la muestra puede ser satisfactoria. A veces la uniformidad puede sustituirse por una buena mezcla antes de tomar muestras, como en el caso de los avisos “agítese antes de usar”, o bien cuando se barajan los naipes o se hacen girar las bolas dentro de un bombo. Ejemplo: Estas muestras se emplean a menudo en la vida corriente, por ejemplo, en el comercio cuando se supone que un trozo de tela o un sorbo de vino, representa bien a los artículos completos. Por otra parte, influye en la adopción de este procedimiento en estas cuestiones de la realidad cotidiana el hecho de que, en caso de equivocación, las consecuencias no serían demasiado graves. Una broma final. El uso de un muestreo no probabilístico podría llevarnos a consecuencias curiosas. Imaginemos un investigador que hace un estudio sobre la respuesta anímica ante la lluvia. Este investigador está de vacaciones en un complejo turístico de Vera, durante una semana de principios de otoño. Sabe que en Almería la probabilidad de que llueva es mínima. Curiosamente, aparecen las nubes y empieza a llover. Decide aprovechar para recoger unas entrevistas de personas de una zona muy seca en la que llueve. Pero como no tenía previsto que lloviera, no ha traído paraguas, y pregunta a las personas que están en el bar social del complejo turístico. Todos se quejan de la lluvia. “En Almería no debería llover”. Le sorprende la respuesta.... No ha tenido en cuenta que la muestra ha de ser tomada aleatoriamente. Y, los turistas que vienen a Almería esperan que el Sol forme parte del paisaje como el “desierto” de Tabernas. 1.9.-Estadistica paramétrica ESTIMACIÓN POR INTERVALOS. En la estimación por intervalos atribuimos al parámetro desconocido un segmento de posibles valores entre los que se encuentra, con elevada probabilidad, el valor verdadero del parámetro. Es decir, para estimar el valor del parámetro u, podemos ofrecer un intervalo de puntuaciones dentro del cual se encuentra, con una probabilidad conocida, el valor buscado. Por ejemplo, podríamos determinar que con una probabilidad de 0.90, el valor de u se encuentra dentro del intervalo [a , b]. Cuando realizamos una estimación por intervalos resulta imprescindible apoyarse en la distribución muestral de los estadísticos utilizados como estimadores. Por ejemplo el estadístico X , estimador de µ. Sabemos que si extraemos muestras de una población en la Estadistica Inferencial 2013 28 que la media es µ y la varianza 2 o , la distribución muestral de X tiene como media µ y como varianza n X 2 2 o o = . Si el tamaño n de las muestras es suficientemente grande, la distribución muestral del estadístico X tiende al modelo normal | | . | \ | n N o µ, . ERROR MUESTRAL. Siempre que tomamos una muestra en representación de toda la población se comete un error. Normalmente existe una diferencia entre los valores obtenidos a partir de la muestra y los correspondientes a la población. Pero cuando hablamos del error muestral no nos referimos al error real que hemos obtenido nosotros, sino a un error determinado estadísticamente, válido para todas las posibles muestras del mismo tamaño. Sea x la media de una muestra de tamaño n y sea µ la media poblacional de la población de tamaño N. Obteniendo todas las muestras de tamaño n y calculando la media x de cada una, se obtiene una distribución normal, llamada distribución muestral de las medias o distribución de las medias muestrales X . La curva de Gauss representa la distribución de todas las medias de tamaño n obtenidas en la población. La media de las medias coincide con la media de la población, obteniéndose muchas muestras cuyas medias, x , son iguales o muy cercanas a µ y muy pocos casos de medias muestrales, alejadas o muy alejadas de la media proporcional µ. Definición. ERROR MUESTRAL. Se define el error muestral o error de muestreo como la desviación típica de la distribución muestral de las medias o de las proporciones. Recordamos que, para la distribución de las medias muestrales y para la distribución de las proporciones muestrales, respectivamente: - Cuando la población es finita y la extracción es con reemplazamiento, o cuando la población es infinita: n q p p n X · , = = o o o - Cuando la población es finita y la extracción es sin reemplazamiento: Estadistica Inferencial 2013 29 1 · · , 1 · ÷ ÷ = ÷ ÷ = N n N n q p p N n N n X o o o ERROR MÁXIMO ADMISIBLE. La distribución muestral de las medias sigue una ley normal | | . | \ | n N o µ, y su representación gráfica es la curva de Gauss. Estadísticamente nunca se puede abarcar toda el área comprendida entre la curva de Gauss y el eje OX, por ser éste una asíntota de la curva, siendo preciso fijar el área se pretende abarcar. Esta área, (1-o), recibe el nombre de nivel de confianza porque representa el área que contendrá, probablemente, el valor de la media poblacional µ. Se expresa en tanto por ciento. Definición. NIVEL DE CONFIANZA. Se denomina nivel de confianza o coeficiente de confianza a la probabilidad de que el estimador por intervalo cubra el verdadero valor del parámetro que se pretende estimar. Se expresa por 1 - o. Estrictamente, establece el porcentaje de muestras (de un tamaño dado) en las que el estadístico que deseamos estimar tiene un valor dentro del intervalo estimado. Un nivel de confianza de 90% o del 95% indica que, de toda el área encerrada por la curva de Gauss y el eje OX, probablemente el 90% o el 95% de las veces contendrá a la media poblacional µ, desestimando el 10% o el 5%, restante. Definición. NIVEL DE SIGNIFICACIÓN. Se denomina nivel de significación o nivel de riesgo a la diferencia entre la certeza y el nivel de confianza deseado. Por tanto, se expresa por o. Definición. Estadistica Inferencial 2013 30 ERROR MÁXIMO ADMISIBLE. Se define el error máximo admisible como el valor “d” que verifica que la probabilidad de que la media muestral x y la media poblacional µ difieran en menos de la cantidad “d ” con el nivel de confianza elegido (1 - o): ( ) o µ ÷ = < ÷ 1 d x p De lo anterior se deduce: ( ) o µ ÷ = < ÷ < ÷ 1 d x d p O lo que es lo mismo: ( ) o µ ÷ = + < < ÷ 1 d x d x p Si: ( ) 6826 . 0 entonces = + < < ÷ = X X X x x p d o µ o o ( ) 9544 . 0 2 2 entonces 2 = + < < ÷ = X X X x x p d o µ o o ( ) 9973 . 0 3 3 entonces 3 = + < < ÷ = X X X x x p d o µ o o Es decir: X d o = para un nivel de confianza del 68.26 %. X d o 2 = para un nivel de confianza del 95.44 %. X d o 3 = para un nivel de confianza del 99.73 %. En general: ( ) o o µ o ÷ = + < < ÷ 1 X X k x k x p Para una variable tipificada, el valor de k se obtiene así: ( ) o ÷ = < < ÷ 1 k Z k p  ( ) ( ) ( ) = ÷ s ÷ < = < < ÷ k Z p k Z p k Z k p ( ) ( ) | | ( ) o ÷ = ÷ < = < ÷ ÷ < = 1 1 2 1 k Z p k Z p k Z p De donde: ( ) 2 1 o ÷ = < k Z p cuyo valor lo podemos obtener en la tabla N(0 , 1) para una valor dado o. Valores de k, más usuales, según el nivel de confianza 1 - o: 1 - o 50 % 68’2 % 90 % 95 % 95’5 % 99 % 99’7 % Estadistica Inferencial 2013 31 K 0.67 1 1.65 1.96 2 2.58 3 En el caso de las proporciones: o ÷ = | | . | \ | + < < ÷ 1 · · n q p k n f p n q p k n f p El error máximo admisible “d” y el error muestral x o o p o están relacionados por el valor k obtenido a partir del nivel de confianza (1 - o). Así: Error máximo admisible para la estimación de la media poblacional: - n k k d X o o · · = = (población infinita o finita con reemplazamiento). - 1 · · · ÷ ÷ = = N n N n k k d X o o (población finita sin reemplazamiento). Error máximo admisible para la estimación de la proporción poblacional: - n q p k k d p · · · = = o (población infinita o finita con reemplazamiento). - 1 · · · · ÷ ÷ = = N n N n q p k k d p o (población finita sin reemplazamiento). TAMAÑO DE LA MUESTRA. Las encuestas se realizan en una muestra representativa de la población. Su tamaño varía de unas encuestas a otras y viene recogido en la llamada ficha técnica. En dicha ficha técnica debe aparecer: el tamaño de la muestra, el nivel de confianza y el margen de error. El tamaño “n” de la muestra depende del tamaño N de la población, del nivel de confianza (1 - o) adoptado y del error máximo admisible “d”. DISTRIBUCIÓN DE LAS PROPORCIONES MUESTRALES: - Para una población infinita, o finita con reemplazamiento, a partir de la expresión que relaciona el error máximo admisible o margen de error d y el error muestral p o se tiene: 2 · · 2 · · · d q p k n n q p k p k d = ¬ = = o Cuando no se conoce la proporción “p”, se estima para el caso más desfavorable, es decir, que tanto “p” como “q” sean el 50%. Estadistica Inferencial 2013 32 - Para una población finita y muestreo sin reemplazamiento se tiene, a partir de la expresión del error máximo admisible: ( ) q p k d N q p N k n N n N n q p k p k d · · 2 2 · 1 · · · 2 1 · · · · + ÷ = ¬ ÷ ÷ = = o DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES. - Para poblaciones infinitas o poblaciones finitas con reemplazamiento, la expresión que relaciona el error máximo admisible d y el error muestral x o nos permite obtener el tamaño de la muestra: 2 2 · 2 · · d k n n k X k d o o o = ¬ = = - Si la población es finita y el muestreo es sin reemplazamiento, el tamaño sería: ( ) 2 · 2 1 · 2 2 · 2 · 1 · · · o o o o k N d k N n N n N n k X k d + ÷ = ¬ ÷ ÷ = = INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA. En una población cuya distribución es conocida, pero con algún parámetro desconocido, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa. Estamos trabajando en el caso de la estimación de parámetros mediante un intervalo de confianza. En este apartado determinaremos el intervalo de confianza para la media. El intervalo de confianza [a , b] debe contener a la media poblacional µ con un nivel de confianza 1-o: o µ ÷ = < < 1 ) ( b a p El valor 1-o, que indica con qué probabilidad el intervalo [a , b] contiene el valor real del parámetro estimado µ , se elige previamente, siendo un número real comprendido entre 0 y 1. El valor 1-o se expresa en porcentaje. Estadistica Inferencial 2013 33 Sea X una variable aleatoria con distribución ) , ( o µ N y x 1 , x 2 , ......, x n , una muestra aleatoria de tamaño n. La distribución muestral de las medias X sigue una ley normal | | . | \ | n N o µ, y la variable tipificada n X Z o µ ÷ = es una distribución N(0,1). Recordemos que si la población no es normal basta con tomar una muestra suficientemente grande. 1.10.-Aplicaciones de la estadística inferencial Supongamos que tenemos la estatura, medida en centímetros, de un grupo de diez jóvenes: {170, 172, 180, 175, 178, 194, 178, 165, 170, 178}. La estatura media es de 176 centímetros y la desviación típica es (aproximadamente) de 7.5 centímetros. La media y la desviación típica son valores que describen al conjunto de estaturas, y serían ejemplos de parámetros. En cambio, en la Estadística Inferencial se estudian conjuntos de puntuaciones, las muestras, con el fin de generalizar los resultados a conjuntos de puntuaciones más amplios, las poblaciones, de las que fueron extraídos. Para ilustrar este concepto, construiremos la distribución muestral del estadístico media, X , cuando extraemos muestras aleatorias de tamaño 2 en una población constituida por los valores {1, 2, 3}. La muestra estará formada por los valores de las dos variables aleatorias: 1 x (resultado de la primera selección) y 2 x (resultado de la segunda elección). A su vez, la media muestral X es también una variable aleatoria, puesto que se obtiene por combinación lineal de las dos variables aleatorias 1 x y 2 x . Formaremos muestras de tamaño 2 recurriendo a dos vías diferentes: a) Procedimiento empírico.- Seleccionamos al azar una muestra con reposición de 2 elementos y calculamos su media. Repetimos el proceso hasta un total de 20 veces. Los resultados de este proceso podrían ser, por ejemplo: 1 x 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 x 2 3 1 3 2 3 1 1 3 1 x 1.5 2 1.5 2.5 2 2 1.5 2 3 1 1 x 1 2 3 3 2 1 1 3 3 1 2 x 2 3 3 2 1 2 2 2 1 3 x 1.5 2.5 3 2.5 1.5 1.5 1.5 2.5 2 2 Estadistica Inferencial 2013 34 La distribución de frecuencias para los valores de la media obtenidos quedaría tal y como muestra la siguiente tabla: x i n i f 1 1 0.05 1.5 7 0.35 2 6 0.30 2.5 4 0.20 3 2 0.10 Así habremos construido una distribución muestral empírica. b) Procedimiento teórico.- Sin tener que extraer repetidas muestras para calcular la media de los valores que las componen, podemos construir una distribución muestral teórica, valiéndonos de conceptos probabilísticos. Así podemos determinar las 9 muestras aleatorias posibles con reposición a partir de la población considerada y calcular las respectivas medias. 1 x 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 1 1.5 2 1.5 2 2.5 2 2.5 3 Teniendo en cuenta las medias de las nueve muestras posibles, todas ellas equiprobables, puedo construir la función de probabilidad para la variable aleatoria X . x i n i f 1 1 1/9 = 0.11 1.5 7 2/9 = 0.22 2 6 3/9 = 0.33 2.5 4 2/9 = 0.22 3 2 1/9 = 0.11 Conociendo esta distribución muestral teórica, se tiene que la probabilidad de obtener el valor 1 = X para la media de una muestra extraída al azar de la población es ( ) 11 ' 0 1 = = X p , mientras que la probabilidad de obtener el valor 2 = X es ( ) 33 ' 0 2 = = X p . Es decir, en un 11 % de los casos, la muestra tendrá como media 1 y en un 33 % de los casos, el valor de la media de la muestra será 2. Como afirmábamos anteriormente, la distribución muestral empírica de un estadístico se aproxima a la distribución muestral teórica a medida que aumenta el número de muestras extraídas. Las frecuencias relativas obtenidas empíricamente llegan a coincidir con las probabilidades teóricas cuando el número de muestras crece indefinidamente. Veamos someramente otro ejemplo. Estadistica Inferencial 2013 35 Supongamos que la población es P = {1, 2, 3, 5} y que representa el tiempo (en horas diarias) que cada uno de un grupo de cuatro estudiantes de la universidad dedican al estudio. Siguiendo la misma técnica utilizada en ejemplo anterior tenemos: a) El conjunto de muestras de tamaño 2 de la población P tiene 16 elementos diferentes. Medias de las muestras de tamaño 2. 1 2 3 5 1 1 1.5 2 3 2 1.5 2 2.5 3.5 3 2 2.5 3 4 5 3 3.5 4 5 La información que da la tabla anterior se puede organizar en una tabla de distribución de frecuencias del siguiente modo: Distribución de medias muestrales (n = 2) x i n 1 1 1.5 2 2 3 2.5 2 3 3 3.5 2 4 2 5 1 Hemos construído la distribución muestral de medias de tamaño 2. Esa distribución, igual que toda distribución, tiene gráfica de una determinada forma, una media, una desviación típica, etc. b) El conjunto de muestras de tamaño 3 de la población P tiene 64 elementos diferentes. Y procediendo de un modo análogo podemos obtener la siguiente tabla: Distribución de medias muestrales (n = 3) x i n 1 1 4/3 3 5/3 6 2 7 Estadistica Inferencial 2013 36 7/3 9 8/3 9 3 10 10/3 6 11/3 6 4 3 13/3 3 5 1 Así hemos construido la distribución muestral de medias de tamaño 3. c) Igual podemos hacer la distribución muestral de medias de tamaño 4. En este caso hay 256 muestras diferentes. Distribución de medias muestrales (n = 4) x i n 1 1 5/4 4 6/4 10 7/4 16 2 23 9/4 28 10/4 34 11/4 32 3 31 13/4 24 14/4 22 15/4 12 4 10 17/4 4 18/4 4 5 1 T= 256 En resumen, se han construido las tres distribuciones muestrales de medias, asociadas con la población P. Las características de la población P y de las tres distribuciones muestrales se exponen a continuación. Tamaño Media Desviación Típica Población 4 2.75 1.479016 Distribución muestral de medias, n = 2 16 2.75 1.045825 Distribución muestral de medias, n = 3 64 2.75 0.853912 Distribución muestral de medias, n = 4 256 2.75 0.73509 Estadistica Inferencial 2013 37 Distribución de la población. Distribución de las medias de las muestras de tamaño 2. Distribución de las medias de las muestras de tamaño 3. Distribución de las medias de las muestras de tamaño 4. Al observar las gráficas anteriores se comprueba que la gráfica de la población es uniforme y los diagramas de las distribuciones muestrales van aproximándose a la curva normal a medida que el tamaño de las muestras se aumenta. También vemos que las medias de las cuatro distribuciones coinciden, y en cambio, las desviaciones típicas disminuyen a medida que aumenta el tamaño de las muestras. Veamos como se relacionan la desviación típica de la población con la desviación típica de la distribución muestral y con el tamaño de las muestras. Obsérvese que: 479019945 . 1 2 045825033 . 1 = × Estadistica Inferencial 2013 38 479019948 . 1 3 853912565 . 0 = × 479019944 . 1 4 739509972 . 0 = × Los tres productos dan, prácticamente, el mismo resultado que el valor de la desviación típica de la población. En realidad, el producto entre la desviación típica de la distribución muestral de las medias y la raíz cuadrada del tamaño de las muestras es igual a la desviación típica de la población (la inexactitud de los resultados anteriores se debe a las aproximaciones tomadas). 2.1.-Conceptos básicos. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS. En la estimación por intervalos atribuimos al parámetro desconocido un segmento de posibles valores entre los que se encuentra, con elevada probabilidad, el valor verdadero del parámetro. Es decir, para estimar el valor del parámetro u, podemos ofrecer un intervalo de puntuaciones dentro del cual se encuentra, con una probabilidad conocida, el valor buscado. Por ejemplo, podríamos determinar que con una probabilidad de 0.90, el valor de u se encuentra dentro del intervalo [a , b]. Cuando realizamos una estimación por intervalos resulta imprescindible apoyarse en la distribución muestral de los estadísticos utilizados como estimadores. Por ejemplo el estadístico X , estimador de µ. Sabemos que si extraemos muestras de una población en la que la media es µ y la varianza 2 o , la distribución muestral de X tiene como media µ y como varianza n X 2 2 o o = . Si el tamaño n de las muestras es suficientemente grande, la distribución muestral del estadístico X tiende al modelo normal | | . | \ | n N o µ, . ERROR MUESTRAL. Siempre que tomamos una muestra en representación de toda la población se comete un error. Normalmente existe una diferencia entre los valores obtenidos a partir de la muestra y los correspondientes a la población. Pero cuando hablamos del error muestral no nos referimos al error real que hemos obtenido nosotros, sino a un error determinado estadísticamente, válido para todas las posibles muestras del mismo tamaño. Sea x la media de una muestra de tamaño n y sea µ la media poblacional de la población de tamaño N. Obteniendo todas las muestras de tamaño n y calculando la media Estadistica Inferencial 2013 39 x de cada una, se obtiene una distribución normal, llamada distribución muestral de las medias o distribución de las medias muestrales X . La curva de Gauss representa la distribución de todas las medias de tamaño n obtenidas en la población. La media de las medias coincide con la media de la población, obteniéndose muchas muestras cuyas medias, x , son iguales o muy cercanas a µ y muy pocos casos de medias muestrales, alejadas o muy alejadas de la media proporcional µ. Definición. ERROR MUESTRAL. Se define el error muestral o error de muestreo como la desviación típica de la distribución muestral de las medias o de las proporciones. Recordamos que, para la distribución de las medias muestrales y para la distribución de las proporciones muestrales, respectivamente: - Cuando la población es finita y la extracción es con reemplazamiento, o cuando la población es infinita: n q p p n X · , = = o o o - Cuando la población es finita y la extracción es sin reemplazamiento: 1 · · , 1 · ÷ ÷ = ÷ ÷ = N n N n q p p N n N n X o o o ERROR MÁXIMO ADMISIBLE. La distribución muestral de las medias sigue una ley normal | | . | \ | n N o µ, y su representación gráfica es la curva de Gauss. Estadísticamente nunca se puede abarcar toda el área comprendida entre la curva de Gauss y el eje OX, por ser éste una asíntota de la curva, siendo preciso fijar el área se pretende abarcar. Esta área, (1-o), recibe el nombre de nivel de confianza porque representa el área que contendrá, probablemente, el valor de la media poblacional µ. Se expresa en tanto por ciento. Estadistica Inferencial 2013 40 Definición. NIVEL DE CONFIANZA. Se denomina nivel de confianza o coeficiente de confianza a la probabilidad de que el estimador por intervalo cubra el verdadero valor del parámetro que se pretende estimar. Se expresa por 1 - o. Estrictamente, establece el porcentaje de muestras (de un tamaño dado) en las que el estadístico que deseamos estimar tiene un valor dentro del intervalo estimado. Un nivel de confianza de 90% o del 95% indica que, de toda el área encerrada por la curva de Gauss y el eje OX, probablemente el 90% o el 95% de las veces contendrá a la media poblacional µ, desestimando el 10% o el 5%, restante. Definición. NIVEL DE SIGNIFICACIÓN. Se denomina nivel de significación o nivel de riesgo a la diferencia entre la certeza y el nivel de confianza deseado. Por tanto, se expresa por o. Definición. ERROR MÁXIMO ADMISIBLE. Se define el error máximo admisible como el valor “d” que verifica que la probabilidad de que la media muestral x y la media poblacional µ difieran en menos de la cantidad “d ” con el nivel de confianza elegido (1 - o): ( ) o µ ÷ = < ÷ 1 d x p De lo anterior se deduce: ( ) o µ ÷ = < ÷ < ÷ 1 d x d p O lo que es lo mismo: ( ) o µ ÷ = + < < ÷ 1 d x d x p Si: ( ) 6826 . 0 entonces = + < < ÷ = X X X x x p d o µ o o ( ) 9544 . 0 2 2 entonces 2 = + < < ÷ = X X X x x p d o µ o o ( ) 9973 . 0 3 3 entonces 3 = + < < ÷ = X X X x x p d o µ o o Es decir: X d o = para un nivel de confianza del 68.26 %. X d o 2 = para un nivel de confianza del 95.44 %. Estadistica Inferencial 2013 41 X d o 3 = para un nivel de confianza del 99.73 %. 2.2.-Distribuciones de muestreo DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES. - Para poblaciones infinitas o poblaciones finitas con reemplazamiento, la expresión que relaciona el error máximo admisible d y el error muestral x o nos permite obtener el tamaño de la muestra: 2 2 · 2 · · d k n n k X k d o o o = ¬ = = - Si la población es finita y el muestreo es sin reemplazamiento, el tamaño sería: ( ) 2 · 2 1 · 2 2 · 2 · 1 · · · o o o o k N d k N n N n N n k X k d + ÷ = ¬ ÷ ÷ = = INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA. En una población cuya distribución es conocida, pero con algún parámetro desconocido, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa. Estamos trabajando en el caso de la estimación de parámetros mediante un intervalo de confianza. En este apartado determinaremos el intervalo de confianza para la media. El intervalo de confianza [a , b] debe contener a la media poblacional µ con un nivel de confianza 1-o: o µ ÷ = < < 1 ) ( b a p El valor 1-o, que indica con qué probabilidad el intervalo [a , b] contiene el valor real del parámetro estimado µ , se elige previamente, siendo un número real comprendido entre 0 y 1. El valor 1-o se expresa en porcentaje. Sea X una variable aleatoria con distribución ) , ( o µ N y x 1 , x 2 , ......, x n , una muestra aleatoria de tamaño n. La distribución muestral de las medias X sigue una ley normal | | . | \ | n N o µ, y la variable tipificada n X Z o µ ÷ = es una distribución N(0,1). Recordemos que si la población no es normal basta con tomar una muestra suficientemente grande. Estadistica Inferencial 2013 42 Gráficamente: o o o ÷ = | | | | . | \ | < < ÷ 1 2 2 z Z z p Sustituyendo: o o o µ o ÷ = | | | | . | \ | < ÷ < ÷ 1 2 2 z n X z p o bien: o o o µ o ÷ = | | | | . | \ | < ÷ < ÷ 1 2 2 z n X z p de donde: o o o µ o o ÷ = | | | | . | \ | + < < ÷ 1 · 2 · 2 n z X n z X p En la práctica no se suelen tomar distintas muestras para calcular el intervalo de confianza, se toma una sola, de ahí que x X = . Estadistica Inferencial 2013 43 El intervalo de confianza parte del conocimiento de un estadístico, x , obteniendo en una muestra de tamaño n y mediante una estimación se obtiene un intervalo que cuenta con una probabilidad del 95%, del 90%, etc., es decir, (1-o)% de contener el parámetro desconocido media poblacional µ . CUANDO SE CONOCE LA DESVIACIÓN TÍPICA POBLACIONAL. En este caso, el intervalo de confianza de la media poblacional µ es: | | | | . | \ | + ÷ n z x n z x o o o o · 2 , · 2 CUANDO NO SE CONOCE LA DESVIACIÓN TÍPICA POBLACIONAL. En este caso, cuando la muestra está formada por 30 o más de 30 individuos u observaciones, se puede obtener el intervalo de confianza de la media poblacional a partir de la expresión: | | | | . | \ | + ÷ n s z x n s z x · 2 , · 2 o o siendo s la desviación típica de la muestra. Observaciones. Para establecer los intervalos de confianza: - Cuando no se conoce la desviación típica de la población, siendo rigurosos se debe usar el parámetro muestral raíz cuadrada de la cuasi varianza, 2 1 ÷ n s , para estimar dicha desviación típica poblacional. Recordamos la expresión de la cuasivarianza: ( ) 1 · 2 2 1 ÷ ÷ = ¿ ÷ n n x x s i i n , de donde se tiene: ( ) 1 · 2 1 ÷ ÷ = ¿ ÷ n n x x s i i n , que sería el valor que debería sustituir a la desviación típica poblacional. No obstante, si 30 > n se puede utilizar la desviación típica muestral. Estadistica Inferencial 2013 44 - En el caso de que el muestreo no sea con reemplazamiento y la población sea finita, se debe multiplicar el error muestral por el factor 1 ÷ ÷ N n N , donde N es el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra. Así, el intervalo de confianza sería: | | | | . | \ | ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ 1 · · 2 , 1 · · 2 N n N n z x N n N n z x o o o o INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCIÓN. Para estimar la proporción “p” de elementos que posee una característica de una población, lo hacemos mediante una muestra de tamaño n en donde n f p = ' es la proporción de elementos que poseen la característica determinada y q’ = 1 - p’ la proporción de elementos que no la poseen. La distribución de las proporciones muestrales se distribuye de acuerdo a una normal | | . | \ | n pq p N , , lo que permite tipificar la variable n pq p p Z ÷ = ' que sigue una distribución N(0,1) y obtener con un nivel de confianza (1-o), el intervalo de confianza para el parámetro poblacional p, a partir de la expresión: o o o ÷ = | | | | . | \ | < ÷ < ÷ 1 2 ' 2 z n pq p p z p o lo que es igual: o o o ÷ = | | | | . | \ | < ÷ < ÷ 1 2 ' 2 z n pq p p z p de donde: o o o ÷ = | | | | . | \ | + < < ÷ 1 · 2 ' · 2 ' n pq z p p n pq z p p Estadistica Inferencial 2013 45 El error máximo admisible n q p z d · · 2 o = , tiene el grave inconveniente de que está dado en función de p. Por tanto, una vez extraída la muestra y obtenida la proporción muestral p’, debemos estimar los valores de p y q, mediante: p = p’ y q = q’. Cuando n es grande, 30 > n , (y, además, 5 · > p n y 5 · > q n ) para determinar el intervalo de confianza se puede sustituir el parámetro p por n f p = ' de la muestra, resultando: o o o ÷ = | | . | \ | + < < ÷ 1 ' ' · ' ' ' · ' 2 2 n q p z p p n q p z p p Ejemplos: - Supongamos que deseamos valorar el grado medio de conocimientos en historia de una población de varios miles de estudiantes. Sabemos que la desviación típica poblacional es de 2.3 puntos. Nos proponemos estimar la media poblacional, µ, pasando una prueba a 100 alumnos, con un nivel de confianza del 95 %. Calculamos la media en la muestra, resultando ser de 6.32. Para hacer esta estimación vamos a construir el intervalo de confianza de µ con un nivel de confianza del 95 %. El intervalo de confianza para la media en poblaciones infinitas o finitas con reemplazamiento, caso que suponemos (de varios miles), es: | | | | . | \ | + ÷ n z x n z x o o o o · 2 , · 2 En nuestro ejemplo: Como: 975 . 0 2 05 . 0 1 2 1 2 = ÷ = ÷ = | | . | \ | < o o z Z p , tenemos 96 . 1 2 = o z , y así: | | . | \ | + ÷ 100 3 . 2 · 96 . 1 32 . 6 , 100 3 . 2 · 96 . 1 32 . 6 De donde, operando, tenemos el intervalo de confianza buscado: Estadistica Inferencial 2013 46 ( ) 77 . 6 , 87 . 5 - Para estimar la media de los resultados que obtendrían al resolver un cierto test los alumnos de 4 % de E.S.O. de toda una comunidad autónoma, se les pasa dicho test a 400 de ellos escogidos al azar. Los resultados obtenidos en dicha muestra dan una media de 3.25 con una desviación típica de 1.12. A partir de ellos, pretendemos estimar el valor de la media de la población con un nivel de confianza del 95 %. En este caso se procedería como en el caso anterior, sólo que deberemos utilizar el valor de desviación típica muestral en lugar de la poblacional, cosa que se puede hacer ya que el tamaño de la muestra es superior a 30. En definitiva, el intervalo de confianza para la media poblacional sería: | | | | . | \ | + ÷ n s z x n s z x · 2 , · 2 o o | | . | \ | + ÷ 400 12 . 1 · 96 . 1 25 . 3 , 400 12 . 1 · 96 . 1 25 . 3 Y así el intervalo buscado es: ( ) 36 . 3 , 14 . 3 - De la duración de un proceso sabemos que la desviación típica poblacional es 0.5 segundos. ¿Cuál es el número mínimo de medidas que hay que realizar para que, con un nivel de confianza del 99 %, el error de estimación no exceda de 0. 1 segundos?. Al nivel de confianza del 99 % (o = 0.01), 2 1 2 o o ÷ = | | . | \ | < z Z p , corresponde un 575 . 2 2 = o z . Obtenemos el tamaño n de la muestra a partir de la relación: d n z s o o · 2 , de donde: 2 2 · | | | . | \ | > d z n o o . Es decir, 76 . 165 1 . 0 5 . 0 · 575 . 2 2 = | . | \ | > n y el tamaño de la muestra debe ser 166 medidas (el menor entero mayor que 165.76). Estadistica Inferencial 2013 47 - Un monitor de un gimnasio quiere estimar la estatura media de todos los asociados al mismo, con un error menor de 0.5 cm, utilizando una muestra de 30 asociados. Sabiendo que la desviación típica o = 5.3 cm, ¿cuál sería el nivel de confianza con el que se realiza la estimación?. Como, el error d es: n z d o o · 2 = , tenemos: 30 3 . 5 · 5 . 0 2 o z = , y de aquí deducimos: 52 . 0 2 = o z . Ahora bien, ( ) 2 1 52 . 0 o ÷ = < Z p , que nos permite despejar el coeficiente de significación: ( ) ( ) 52 . 0 1 · 2 < ÷ = Z p o , y al sustituir, ( ) 6030 . 0 3015 . 0 · 2 6985 . 0 1 · 2 = = ÷ = o . Y finalmente, el nivel de confianza, 3970 . 0 6030 . 0 1 1 = ÷ = ÷o , sería del 39.7 %. - Tomada una muestra de 300 personas mayores de 15 años en una gran ciudad, se encontró que 104 de ellas leían el periódico regularmente. Con estos datos queremos hallar, con un nivel de confianza del 90 %, un intervalo de confianza para la proporción de lectores de periódicos entre los mayores de 15 años. Un nivel de confianza del 90 % nos da un 645 . 1 2 = o z , y la proporción muestral obtenida es 347 . 0 300 104 ' = = p . Así, el error máximo admisible sería 045 . 0 300 653 . 0 · 347 . 0 · 645 . 1 ' · ' · 2 = = = n q p z d o , y con este dato tenemos que el intervalo buscado se obtendrá como: ( ) 045 . 0 347 . 0 , 045 . 0 347 . 0 + ÷ , o lo que es lo mismo el intervalo de confianza es: ( ) 392 . 0 , 302 . 0 . O sea, con un nivel de confianza del 90 %, la proporción de lectores de periódicos, en el colectivo total, está entre el 30.2 % y el 39.2 %. - Teniendo en cuenta los resultados del ejemplo anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota de error de 0.01 con el mismo nivel de confianza del 90 %. ¿Cuántos individuos debe tener la muestra?. Estadistica Inferencial 2013 48 De la expresión del error, n q p z d ' · ' · 2 o = , podemos despejar el tamaño de la muestra: 6 . 6131 01 . 0 653 . 0 · 347 . 0 · 645 . 1 ' · ' · 2 2 2 2 2 = = = d q p z n o . Es decir, la muestra debe contar con un mínimo de 6132 individuos. Con esta muestra, se volvería a calcular la proporción muestral de lectores de periódicos p’’, y con ella se determinaría el intervalo de confianza (p’’- 0.01 , p’’ + 0.01). 2.3.-Estimación puntual La estimación puntual consiste en obtener un único valor del parámetro poblacional a partir de las observaciones muestrales, y se llama así porque se le puede asignar un punto sobre la recta real. Mientras que en la estimación por intervalo se obtienen dos puntos, que definen un intervalo en la recta real que contendrá el valor del parámetro desconocido con cierta seguridad. 2.4.-Estimación por intervalo. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS. En la estimación por intervalos atribuimos al parámetro desconocido un segmento de posibles valores entre los que se encuentra, con elevada probabilidad, el valor verdadero del parámetro. Es decir, para estimar el valor del parámetro u, podemos ofrecer un intervalo de puntuaciones dentro del cual se encuentra, con una probabilidad conocida, el valor buscado. Por ejemplo, podríamos determinar que con una probabilidad de 0.90, el valor de u se encuentra dentro del intervalo [a , b]. Cuando realizamos una estimación por intervalos resulta imprescindible apoyarse en la distribución muestral de los estadísticos utilizados como estimadores. Por ejemplo el estadístico X , estimador de µ. Sabemos que si extraemos muestras de una población en la que la media es µ y la varianza 2 o , la distribución muestral de X tiene como media µ y como varianza n X 2 2 o o = . Si el tamaño n de las muestras es suficientemente grande, la distribución muestral del estadístico X tiende al modelo normal | | . | \ | n N o µ, . Estadistica Inferencial 2013 49 2.5.-Intervalo de confianza para medias INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA. En una población cuya distribución es conocida, pero con algún parámetro desconocido, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa. Estamos trabajando en el caso de la estimación de parámetros mediante un intervalo de confianza. En este apartado determinaremos el intervalo de confianza para la media. El intervalo de confianza [a , b] debe contener a la media poblacional µ con un nivel de confianza 1-o: o µ ÷ = < < 1 ) ( b a p El valor 1-o, que indica con qué probabilidad el intervalo [a , b] contiene el valor real del parámetro estimado µ , se elige previamente, siendo un número real comprendido entre 0 y 1. El valor 1-o se expresa en porcentaje. Sea X una variable aleatoria con distribución ) , ( o µ N y x 1 , x 2 , ......, x n , una muestra aleatoria de tamaño n. La distribución muestral de las medias X sigue una ley normal | | . | \ | n N o µ, y la variable tipificada n X Z o µ ÷ = es una distribución N(0,1). Recordemos que si la población no es normal basta con tomar una muestra suficientemente grande. Gráficamente: Estadistica Inferencial 2013 50 o o o ÷ = | | | | . | \ | < < ÷ 1 2 2 z Z z p Sustituyendo: o o o µ o ÷ = | | | | . | \ | < ÷ < ÷ 1 2 2 z n X z p o bien: o o o µ o ÷ = | | | | . | \ | < ÷ < ÷ 1 2 2 z n X z p de donde: o o o µ o o ÷ = | | | | . | \ | + < < ÷ 1 · 2 · 2 n z X n z X p En la práctica no se suelen tomar distintas muestras para calcular el intervalo de confianza, se toma una sola, de ahí que x X = . El intervalo de confianza parte del conocimiento de un estadístico, x , obteniendo en una muestra de tamaño n y mediante una estimación se obtiene un intervalo que cuenta con una probabilidad del 95%, del 90%, etc., es decir, (1-o)% de contener el parámetro desconocido media poblacional µ . CUANDO SE CONOCE LA DESVIACIÓN TÍPICA POBLACIONAL. En este caso, el intervalo de confianza de la media poblacional µ es: | | | | . | \ | + ÷ n z x n z x o o o o · 2 , · 2 Estadistica Inferencial 2013 51 CUANDO NO SE CONOCE LA DESVIACIÓN TÍPICA POBLACIONAL. En este caso, cuando la muestra está formada por 30 o más de 30 individuos u observaciones, se puede obtener el intervalo de confianza de la media poblacional a partir de la expresión: | | | | . | \ | + ÷ n s z x n s z x · 2 , · 2 o o siendo s la desviación típica de la muestra. Observaciones. Para establecer los intervalos de confianza: - Cuando no se conoce la desviación típica de la población, siendo rigurosos se debe usar el parámetro muestral raíz cuadrada de la cuasi varianza, 2 1 ÷ n s , para estimar dicha desviación típica poblacional. Recordamos la expresión de la cuasivarianza: ( ) 1 · 2 2 1 ÷ ÷ = ¿ ÷ n n x x s i i n , de donde se tiene: ( ) 1 · 2 1 ÷ ÷ = ¿ ÷ n n x x s i i n , que sería el valor que debería sustituir a la desviación típica poblacional. No obstante, si 30 > n se puede utilizar la desviación típica muestral. - En el caso de que el muestreo no sea con reemplazamiento y la población sea finita, se debe multiplicar el error muestral por el factor 1 ÷ ÷ N n N , donde N es el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra. Así, el intervalo de confianza sería: | | | | . | \ | ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ 1 · · 2 , 1 · · 2 N n N n z x N n N n z x o o o o Estadistica Inferencial 2013 52 2.6.-Intervalo de confianza para diferencia entre medias En vez de estimar el valor de un parámetro, a veces se debe decidir si una afirmación relativa a un parámetro es verdadera o falsa. Es decir, probar una hipótesis relativa a un parámetro. Se realiza una prueba de hipótesis cuando se desea probar una afirmación realizada acerca de un parámetro o parámetros de una población. Una hipótesis es un enunciado acerca del valor de un parámetro (media, proporción, etc.). Prueba de Hipótesis es un procedimiento basado en evidencia muestral (estadístico) y en la teoríade probabilidad (distribución muestral del estadístico) para determinar si una hipótesis es razonable y no debe rechazarse, o si es irrazonable y debe ser rechazada. La hipótesis de que el parámetro de la población es igual a un valor determinado se conoce como hipótesis nula. Una hipótesis nula es siempre una de status quo o de no diferencia. En toda prueba de hipótesis se presentan 3 casos de zonas críticas o llamadas también zonas de rechazo de la hipótesis nula, estos casos son los siguientes: Estadistica Inferencial 2013 53 En toda prueba de hipótesis se pueden cometer 2 tipos de errores: Prueba medias de una muestra Se utiliza una prueba de una muestra para probar una afirmación con respecto a una media de una población única. Estadistica Inferencial 2013 54 Nota: Se considera práctico utilizar la distribución t solamente cuando se requiera que el tamaño de la muestra sea menor de 30, ya que para muestras más grandes los valores t y z son aproximadamente iguales, y es posible emplear la distribución normal en lugar de la distribución t. Ejemplos ilustrativos: 1) La duración media de una muestra de 300 focos producidos por una compañía resulta ser de 1620 horas. Estadistica Inferencial 2013 55 Como se tiene como dato el tamaño de la población se tiene que verificar si cumple con la condición para utilizar el factor finito de corrección. Estadistica Inferencial 2013 56 Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente imagen: El gráfico elaborado con Winstats y Paint se muestra en la siguiente imagen: Estadistica Inferencial 2013 57 2) La duración media de lámparas producidas por una compañía han sido en el pasado de 1120 horas. Una muestra de 8 lámparas de la producciónactual dio una duración media de 1070 horas con una desviación típica de 125 horas. 2.7.-Intervalo de confianza de proporciones INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCIÓN. Para estimar la proporción “p” de elementos que posee una característica de una población, lo hacemos mediante una muestra de tamaño n en donde n f p = ' es la proporción de elementos que poseen la característica determinada y q’ = 1 - p’ la proporción de elementos que no la poseen. La distribución de las proporciones muestrales se distribuye de acuerdo a una normal | | . | \ | n pq p N , , lo que permite tipificar la variable n pq p p Z ÷ = ' que sigue una distribución N(0,1) y obtener con un nivel de confianza (1-o), el intervalo de confianza para el parámetro poblacional p, a partir de la expresión: Estadistica Inferencial 2013 58 o o o ÷ = | | | | . | \ | < ÷ < ÷ 1 2 ' 2 z n pq p p z p o lo que es igual: o o o ÷ = | | | | . | \ | < ÷ < ÷ 1 2 ' 2 z n pq p p z p de donde: o o o ÷ = | | | | . | \ | + < < ÷ 1 · 2 ' · 2 ' n pq z p p n pq z p p El error máximo admisible n q p z d · · 2 o = , tiene el grave inconveniente de que está dado en función de p. Por tanto, una vez extraída la muestra y obtenida la proporción muestral p’, debemos estimar los valores de p y q, mediante: p = p’ y q = q’. Cuando n es grande, 30 > n , (y, además, 5 · > p n y 5 · > q n ) para determinar el intervalo de confianza se puede sustituir el parámetro p por n f p = ' de la muestra, resultando: o o o ÷ = | | . | \ | + < < ÷ 1 ' ' · ' ' ' · ' 2 2 n q p z p p n q p z p p Ejemplos: - Supongamos que deseamos valorar el grado medio de conocimientos en historia de una población de varios miles de estudiantes. Sabemos que la desviación típica poblacional es de 2.3 puntos. Nos proponemos estimar la media poblacional, µ, pasando una prueba a 100 alumnos, con un nivel de confianza del 95 %. Calculamos la media en la muestra, resultando ser de 6.32. Para hacer esta estimación vamos a construir el intervalo de confianza de µ con un nivel de confianza del 95 %. El intervalo de confianza para la media en poblaciones infinitas o finitas con reemplazamiento, caso que suponemos (de varios miles), es: Estadistica Inferencial 2013 59 | | | | . | \ | + ÷ n z x n z x o o o o · 2 , · 2 En nuestro ejemplo: Como: 975 . 0 2 05 . 0 1 2 1 2 = ÷ = ÷ = | | . | \ | < o o z Z p , tenemos 96 . 1 2 = o z , y así: | | . | \ | + ÷ 100 3 . 2 · 96 . 1 32 . 6 , 100 3 . 2 · 96 . 1 32 . 6 De donde, operando, tenemos el intervalo de confianza buscado: ( ) 77 . 6 , 87 . 5 - Para estimar la media de los resultados que obtendrían al resolver un cierto test los alumnos de 4 % de E.S.O. de toda una comunidad autónoma, se les pasa dicho test a 400 de ellos escogidos al azar. Los resultados obtenidos en dicha muestra dan una media de 3.25 con una desviación típica de 1.12. A partir de ellos, pretendemos estimar el valor de la media de la población con un nivel de confianza del 95 %. En este caso se procedería como en el caso anterior, sólo que deberemos utilizar el valor de desviación típica muestral en lugar de la poblacional, cosa que se puede hacer ya que el tamaño de la muestra es superior a 30. En definitiva, el intervalo de confianza para la media poblacional sería: | | | | . | \ | + ÷ n s z x n s z x · 2 , · 2 o o | | . | \ | + ÷ 400 12 . 1 · 96 . 1 25 . 3 , 400 12 . 1 · 96 . 1 25 . 3 Y así el intervalo buscado es: ( ) 36 . 3 , 14 . 3 - De la duración de un proceso sabemos que la desviación típica poblacional es 0.5 segundos. ¿Cuál es el número mínimo de medidas que hay que Estadistica Inferencial 2013 60 realizar para que, con un nivel de confianza del 99 %, el error de estimación no exceda de 0. 1 segundos?. Al nivel de confianza del 99 % (o = 0.01), 2 1 2 o o ÷ = | | . | \ | < z Z p , corresponde un 575 . 2 2 = o z . Obtenemos el tamaño n de la muestra a partir de la relación: d n z s o o · 2 , de donde: 2 2 · | | | . | \ | > d z n o o . Es decir, 76 . 165 1 . 0 5 . 0 · 575 . 2 2 = | . | \ | > n y el tamaño de la muestra debe ser 166 medidas (el menor entero mayor que 165.76). - Un monitor de un gimnasio quiere estimar la estatura media de todos los asociados al mismo, con un error menor de 0.5 cm, utilizando una muestra de 30 asociados. Sabiendo que la desviación típica o = 5.3 cm, ¿cuál sería el nivel de confianza con el que se realiza la estimación?. Como, el error d es: n z d o o · 2 = , tenemos: 30 3 . 5 · 5 . 0 2 o z = , y de aquí deducimos: 52 . 0 2 = o z . Ahora bien, ( ) 2 1 52 . 0 o ÷ = < Z p , que nos permite despejar el coeficiente de significación: ( ) ( ) 52 . 0 1 · 2 < ÷ = Z p o , y al sustituir, ( ) 6030 . 0 3015 . 0 · 2 6985 . 0 1 · 2 = = ÷ = o . Y finalmente, el nivel de confianza, 3970 . 0 6030 . 0 1 1 = ÷ = ÷o , sería del 39.7 %. - Tomada una muestra de 300 personas mayores de 15 años en una gran ciudad, se encontró que 104 de ellas leían el periódico regularmente. Con estos datos queremos hallar, con un nivel de confianza del 90 %, un intervalo de confianza para la proporción de lectores de periódicos entre los mayores de 15 años. Estadistica Inferencial 2013 61 Un nivel de confianza del 90 % nos da un 645 . 1 2 = o z , y la proporción muestral obtenida es 347 . 0 300 104 ' = = p . Así, el error máximo admisible sería 045 . 0 300 653 . 0 · 347 . 0 · 645 . 1 ' · ' · 2 = = = n q p z d o , y con este dato tenemos que el intervalo buscado se obtendrá como: ( ) 045 . 0 347 . 0 , 045 . 0 347 . 0 + ÷ , o lo que es lo mismo el intervalo de confianza es: ( ) 392 . 0 , 302 . 0 . O sea, con un nivel de confianza del 90 %, la proporción de lectores de periódicos, en el colectivo total, está entre el 30.2 % y el 39.2 %. - Teniendo en cuenta los resultados del ejemplo anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota de error de 0.01 con el mismo nivel de confianza del 90 %. ¿Cuántos individuos debe tener la muestra?. De la expresión del error, n q p z d ' · ' · 2 o = , podemos despejar el tamaño de la muestra: 6 . 6131 01 . 0 653 . 0 · 347 . 0 · 645 . 1 ' · ' · 2 2 2 2 2 = = = d q p z n o . Es decir, la muestra debe contar con un mínimo de 6132 individuos. Con esta muestra, se volvería a calcular la proporción muestral de lectores de periódicos p’’, y con ella se determinaría el intervalo de confianza (p’’- 0.01 , p’’ + 0.01). Estadistica Inferencial 2013 62 2.8.-Intervalo de confianza para diferencia de proporciones. INTERVALOS DE CONFIANZA INTRODUCCIÓN Para indicar el estudio de este tema es necesario recordar algunos aspectos de las funciones: a. Si 2 2 2 1 s y s son las varianzas de las variables aleatorias independientes de tamaños n 1 y n 2 que se sacan de poblaciones normales con varianzas 2 2 2 1 y o o , respectivamente, entonces, 2 2 2 2 2 1 2 1 s s F o o = tiene distribución F con n 1 -1 y n 2 -1 grados de libertad b. Si U y V son variables aleatorias independientes que tienen distribuciones _ 2 con v 1 y v 2 grados de libertad, respectivamente. Entonces, la distribución de la variable 2 1 V U F u u = tiene distribución F con v 1 y v 2 grados de libertad Ejemplo. El valor de f con 6 y 10 grados de libertad y un área de 0.95 a la derecha es, f 0.95,6,10 =0.246 Así mismo, 1/(f 1-0.05,10,6 )=0.246 c. Si se escribe f ov1,v2 para fa con v 1 y v 2 grados de libertad, se obtiene, f 1-o,v1,v2 =1/(f o,v2,v1 ) Ejemplo, El valor de t con n=14 grados de libertad que tienen un área de 0.025 a la izquierda, y por tanto, un área de 0.975 a la izquierda, es t 0.975 = - t 0.025 =-2.145 d. Sea Z la variable aleatoria normal estándar y V una variable aleatoria Chi Cuadrada con v grados de libertad. Si Z y V son independientes, entonces, la distribución de la variable aleatoria T es t-Student con v-1 grado de libertad u = V Z T d. Si S 2 es la variable aleatoria de tamaño n tomada de una población normal que tiene la varianza o2, entonces, el estadístico 2 2 2 s ) 1 n ( X o ÷ = Estadistica Inferencial 2013 63 tiene distribución _ 2 con n-1 grado de libertad Ejemplo. Un fabricante de autos garantiza que sus baterías durarán en promedio 3 años con una desviación estándar de 1 año. Si 5 de estas baterías se muestrean y se encuentran que tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años. Se puede garantizar que la desviación estándar es de 1 año? Calculando la desviación típica tenemos, 815 . 0 4 * 5 ) 15 ( 26 . 48 * 5 s 2 2 = ÷ = Entonces, 26 . 3 1 815 . 0 * 4 2 = = _ Es un valor de la distribución Chi Cuadrado con 4 grados de libertad. Dado que el 95% de estos valores de _ 2 4 cae entre 0.484 y 11.143, el valor calculado con o 2 =1 es razonable, y por tanto, el fabricante no puede dudar que su desviación típica sea diferente de 1 ESTIMACIÓN DE TAMAÑO MUESTRAL E INTERVALOS Dada una variable aleatoria de distribución gaussiana, X~N(µ,o 2 ), nos interesamos en primer lugar, en calcular intervalos de confianza para sus dos parámetros, µ y o. Intervalo para la media si se conoce la varianza: Este no es un caso práctico (no se puede conocer o sin conocer previamente µ), pero sirve para introducirnos en el problema de la estimación confidencial de la media; Intervalos de confianza para la media (caso general): Este se trata del caso con verdadero interés práctico. Por ejemplo sirve para estimar intervalos que contenga la media del colesterol en sangre en una población, la altura, el peso, etc, cuando disponemos de una muestra de la variable. Intervalo de confianza para la varianza: Éste es otro caso de interés en las aplicaciones. El objetivo es calcular un intervalo de confianza para o 2 , cuando sólo se dispone de una muestra. La utilidad consiste en decidir cuál deberá ser el tamaño necesario de una muestra para obtener intervalos de confianza para una media, con precisión y significación dadas de antemano. Para que esto sea posible es necesario poseer cierta información previa, que se obtiene a partir de las denominadas muestras piloto. Los problemas asociados a este caso son Diferencia de medias homocedáticas: Se realiza el cálculo del intervalo de confianza suponiendo que ambas variables tienen la misma varianza, es decir son homocedáticas. En la práctica se usa este cálculo, cuando ambas variables tienen parecida dispersión. Diferencia de medias (caso general): Es el mismo caso que el anterior, pero se realiza cuando se observa que hay diferencia notable en la dispersión de ambas variables. Estadistica Inferencial 2013 64 INTERVALO PARA EL VALOR MEDIO SI SE CONOCE LA VARIANZA Este caso que planteamos es más a nivel teórico que práctico: difícilmente vamos a poder conocer con exactitud s mientras que m es desconocido. Sin embargo nos aproxima del modo más simple a la estimación confidencial de medias. Para estimar m, el estadístico que mejor nos va a ayudar es X, del que conocemos su ley de distribución, que es el parámetro desconocido, | | . | \ | o µ ~ n , N X 2 Esa ley de distribución depende de µ (desconocida). Lo más conveniente es hacer que la ley de distribución no dependa de ningún parámetro desconocido, para ello tipificamos: n X Z o µ ÷ = que se distribuye N(0,1) Este es el modo en que haremos siempre la estimación puntual: buscaremos una relación en la que intervengan el parámetro desconocido junto con su estimador y de modo que estos se distribuyan según una ley de probabilidad que es bien conocida y a ser posible tabulada. De este modo, fijado ) 1 , 0 ( e o , consideramos la variable aleatoria Z~N(0,1) y tomamos un intervalo que contenga una masa de probabilidad de 1-o. Este intervalo lo queremos tan pequeño como sea posible. Por ello lo mejor es tomarlo simétrico con respecto a la media (0), ya que allí es donde se acumula más masa. Así las dos colas de la distribución (zonas más alejadas de la media) se repartirán a partes iguales el resto de la masa de probabilidad, o. Intervalo para la media (caso general). Como hemos mencionado, los casos anteriores se presentarán poco en la práctica, ya que lo usual es que sobre una población quizás podamos conocer si se distribuye normalmente, pero el valor exacto de los parámetros µ y o no son conocidos. De ahí nuestro interés en buscar intervalos de confianza para ellos. El problema que tenemos en este caso es más complicado que el anterior, pues no es tan sencillo eliminar los dos parámetros a la vez. Para ello nos vamos a ayudar de lo siguiente: n X Z o µ ÷ = ~N(0,1) Estadistica Inferencial 2013 65 Por el teorema de Cochran sabemos por otro lado que: ¿ = ÷ ÷ _ ~ o ÷ = _ n 1 i 2 1 n 2 2 i 2 1 n ) X X ( y que además estas dos últimas distribuciones son independientes. A partir de estas relaciones podemos construir una distribución t-Student con n-1 grados de libertad. La distribución t n es algo diferente a N(0,1) cuando n es pequeño, pero conforme éste aumenta, ambas distribuciones se aproximan. Y también sabemos que, 1 n 1 n t n sˆ X T ÷ ÷ ~ µ ÷ = Dado el nivel de significación 1-a buscamos en una tabla de t-Student t n-1 el percentil 100(1-o/2) t n-1 , 1-o/2 , el cual deja por encima de si la cantidad o/2 de la masa de probabilidad. Luego la distribución t-Student tiene las mismas propiedades de simetría que la normal tipificada. ( ) o ÷ = s · ¹ ´ ¦ o = ÷ < o = > ÷ o ÷ ÷ ÷ o ÷ ÷ ÷ o ÷ ÷ 1 t T P 2 / ) t T ( P 2 / ) t T ( P 1 n , 2 / 1 1 n 1 n , 2 / 1 1 n 1 n , 2 / 1 1 n El intervalo de confianza es, 1 n , 2 / 1 1 n , 2 / 1 1 n t n / sˆ x t T ÷ o ÷ ÷ o ÷ ÷ s µ ÷ ÷ s es decir, el intervalo de confianza al nivel 1-o para la esperanza de una distribución gaussiana cuando sus parámetros son desconocidos es: n sˆ t x 1 n , 2 / 1 - ± + µ ÷ o ÷ Al igual que en el caso del cálculo del intervalo de confianza para µ cuando o es conocido, podemos en el caso o desconocido, utilizar la función de verosimilitud para representarlo geométricamente. n sˆ t x x y n sˆ t x x 1 n , 2 / 1 2 / 1 n , 2 / 1 2 / - + = - ÷ = ÷ o ÷ o ÷ o ÷ o Estadistica Inferencial 2013 66 Ejemplo. Se quiere estimar un intervalo de confianza al nivel de significación o=5% para la altura media µ de los individuos de una ciudad. En principio sólo sabemos que la distribución de las alturas es una variable aleatoria X de distribución normal. Para ello se toma una muestra de n=25 personas y se obtiene, 10 s 170 x = = Solución: En primer lugar, en estadística inferencial, los estadísticos para medir la dispersión más conveniente son los insesgados. Por ello vamos a dejar de lado la desviación típica muestral, para utilizar la cuasidesviación típica: 206 . 10 24 25 10 ) 1 n ( n s sˆ = = ÷ = Si queremos estimar un intervalo de confianza para µ, es conveniente utilizar el estadístico T y tomar como intervalo de confianza, 1 n , 2 / 1 1 n t T t n / sˆ x T ÷ o ÷ ÷ s ÷ ~ µ ÷ = es decir, ¹ ´ ¦ = ± = µ ÷ = s µ ÷ 204 . 174 796 . 165 5 206 . 10 * 06 . 2 170 06 . 2 t 25 / 206 . 10 170 24 , 975 . 0 2.9.-Intervalo de confianza para varianzas Intervalo de confianza para la varianza Para estimar un intervalo de confianza para la varianza, nos ayudaremos de la siguiente propiedad de la distribución : Consideremos dos cuantiles de esta distribución que nos dejen una probabilidad en la ``zona central'' de la distribución (cf. figura 8.7): Estadistica Inferencial 2013 67 Figura: Cuantiles de la distribución . Entonces un intervalo de confianza al nivel para la varianza de una distribución gaussiana (cuyos parámetros desconocemos) lo obtenemos teniendo en cuenta que existe una probabilidad de que: Estadistica Inferencial 2013 68 Por tanto el intervalo que buscamos es 8.4.6.1 Ejemplo En un ejemplo anterior se estudiaba la altura de los individuos de una ciudad, obteniéndose en una muestra de tamaño 25 los siguientes valores: Calcular un intervalo de confianza con para la varianza de la altura de los individuos de la ciudad. Solución: Para estimar un intervalo de confianza para (varianza poblacional) el estadístico que nos resulta útil es: Entonces el intervalo de confianza que buscamos lo obtenemos mediante (cf. figura 8.8) Figura: Percentiles del 2,5% y del 97,5% para la distribución . Estadistica Inferencial 2013 69 Por tanto, para el valor poblacional de la desviación típica tenemos que con una confianza del 95%, que por supuesto contiene a las estimaciones puntuales y calculados sobre la muestra. Estadistica Inferencial 2013 70 2.10.-Intervalo de confianza para razones de dos varianzas NTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA RAZÓN DE VARIANZAS Cuando se desea hacer inferencias acerca de las varianzas de dos poblaciones, es necesario colocarlas en forma de razón. Si las varianzas son iguales, entonces el cociente es igual a 1, en caso de que sean diferentes, su cociente también se alejará de 1. Como por lo general no se conocen las varianzas de las poblaciones de interés, cualquier comparación que se desee, tendrá que estar basada en las varianzas muestrales y , las cuales deberán ser de muestras independientes y extraídas de poblaciones normales. Entonces, es un estimador insesgado de y tendrá una distribución con n 1 ÷ 1 grados de libertad. De manera similar será un estimador de y tendrá una distribución con n 2 ÷ 1 grados de libertad. La razón de estos dos estimadores: sigue una distribución F de Fisher, o simplemente distribución F que posee las siguientes propiedades: 1. La distribución F depende de dos valores de grados de libertad, uno correspondiente al numerador y otro al denominador, a los cuales nos referiremos como grados de libertad del numerador (gl num = v 1 = n 1 – 1) y grados de libertad del denominador (gl den = v 2 = n 2 – 1). 2. La densidad de la variable F viene dada por: 3. La distribución F para cada par de valores de grados de libertad v 1 y v 2 . 4. Hay una distribución F para cada par de valores de grados de libertad. 5. Como la distribución , una distribución F es positivamente asimétrica, pero su asimetría se reduce con los aumentos de los grados de libertad. Estadistica Inferencial 2013 71 6. Si X tiene densidad , entonces tendrá una distribución , esto es 7. La distribución muestral usada para hacer inferencias entre dos varianzas es la F de Fisher: con n 1 ÷ 1 y n 2 ÷ 1 grados de libertad en el numerador y denominador, respectivamente. El intervalo de confianza para el cociente de varianzas está dado por: Despejando se tiene: NOTA: El valor de cola izquierda de la distribución F de Fisher está dado por: , donde v 1 = n 1 ÷ 1 y v 2 = n 2 ÷ 1 Ejemplo 14: Las siguientes son las calificaciones obtenidas en un examen de personalidad por 2 muestras de 9 mujeres casadas y 9 mujeres solteras: Solteras 88 68 77 82 63 80 78 71 72 Casadas 73 77 67 74 74 64 71 71 72 Suponiendo que estos datos se pueden considerar como muestras aleatorias independientes tomadas de dos poblaciones normales, pruebe la hipótesis de que la varianza de las calificaciones de las mujeres solteras es diferente de la varianza de las calificaciones de las mujeres casadas con o = 0.05. 1) Se supone que las muestras son aleatorias independientes y extraídas de poblaciones normalmente distribuidas. Estadistica Inferencial 2013 72 2) H 0 : H a : 3) o = 0.05 4) Estadístico de contraste 5) Valores críticos: , (tabla T-7) 6) Valor calculado de F c = 3.8636 ya que 7) Como 0.23 < 3.8636 < 4.43, No se rechaza H 0 . 8) Las varianzas de las calificaciones de las solteras y de las casadas no son significativamente diferentes. Ejemplo 15: La variabilidad de la cantidad de impurezas presentes en un compuesto químico usado para un proceso particular depende del tiempo en que el proceso está en operación. Un fabricante que usa las líneas de producción 1 y 2 ha introducido un ligero ajuste al proceso 2 con la esperanza de reducir tanto la variabilidad como la media de la cantidad de impurezas en el compuesto químico. Las medias y varianzas de las muestras de 25 observaciones de los dos procesos son: Determine el intervalo de confianza del 90% para el cociente de varianzas. Solución: Sustituyendo en la fórmula los datos, se tiene Estadistica Inferencial 2013 73 con una confianza del 90%. Como ambos límites son mayores que 1 se puede concluir que la varianza 1 es significativamente mayor que la varianza 2. Ejemplo 16: Existe un proceso industrial A para obtener el aceite esencial de cierto fruto. Un grupo de ingenieros mexicanos ha desarrollado un método B para el mismo fin, pero con costos de producción y mantenimiento menores. Se hizo un estudio para comparar el porcentaje de pureza del aceite esencial obtenido por ambos métodos, en lotes similares de fruto asignados completamente al azar y se recopiló la siguiente información: % de pureza del aceite esencial Método A 82 80 83 85 79 82 81 84 Método B 80 79 82 82 81 80 79 78 83 En un inicio, por consideraciones teóricas, se pensaba que ambos procesos tendrían la misma variabilidad, pero de acuerdo con algunos resultados preliminares se cree ahora que el método B produce resultados menos variables. Con los datos de la tabla, ¿cuál es su conclusión con o = 0.05? Solución: 1. Se ve claramente que los dos procesos son independientes y no hay razón para dudar de que el % de pureza se distribuya normalmente para ambos procesos como se puede observar en los diagramas de tallo y hoja respectivos Método A Método B 1 79 0 1 78 0 2 80 0 3 79 00 3 81 0 (2) 80 00 (2) 82 00 4 81 0 3 83 0 3 82 00 2 84 0 1 83 0 1 85 0 82¦0 significa 82 2. La hipótesis que se plantea es unilateral: H 0 : H a : 3. o = 0.05 Estadistica Inferencial 2013 74 4. Estadístico de contraste 3.1.-Metodología de la prueba de hipótesis. Prueba de hipótesis Estadísticamente una prueba de hipótesis es cualquier afirmación acerca de una población y/o sus parámetros. Una prueba de hipótesis consiste en contrastar dos hipótesis estadísticas. Tal contraste involucra la toma de decisión acerca de las hipótesis. La decisión consiste en rechazar o no una hipótesis en favor de la otra. Una hipótesis estadística se denota por “H” y son dos: - Ho: hipótesis nula - H1: hipótesis alternativa Partes de una hipótesis 1-La hipótesis nula “Ho” 2-La hipótesis alternativa “H1” 3-El estadístico de prueba 4-Errores tipo I y II 5-La región de rechazo (crítica) 6-La toma de decisión CONCEPTO Afirmación acerca de los parámetros de la población. Etapas Básicas en Pruebas de Hipótesis. Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. Etapa 1.- Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H0) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos. Etapa 3.- Elegir la estadística de prueba. La estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de esa estadística muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba. Consecuencias de las Decisiones en Pruebas de Hipótesis. Decisiones Posibles Situaciones Posibles La hipótesis nula es verdadera La hipótesis nula es falsa Aceptar la Hipótesis Nula Se acepta correctamente Error tipo II Rechazar la Hipótesis Nula Error tipo I Se rechaza correctamente Etapa 4.- Establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba. Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y la estadística de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores críticos de estadística de prueba. Puede haber uno o más de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos. Estadistica Inferencial 2013 75 Etapa 5.- Determinar el valor real de la estadística de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico que se establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un valor de z. Etapa 6.- Tomar la decisión. Se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba. Después se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de desempeño o cuál de dos estrategias demercadotecnia utilizar. La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones: una región de rechazo y una de no rechazo. Si la prueba estadística cae en esta última región no se puede rechazar la hipótesis nula y se llega a la conclusión de que el proceso funciona correctamente. Al tomar la decisión con respecto a la hipótesis nula, se debe determinar el valor crítico en la distribución estadística que divide la región del rechazo (en la cual la hipótesis nula no se puede rechazar) de la región de rechazo. A hora bien el valor crítico depende del tamaño de la región de rechazo. PASOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS 1. Expresar la hipótesis nula 2. 3. Expresar la hipótesis alternativa 4. Especificar el nivel de significancía 5. Determinar el tamaño de la muestra 6. Establecer los valores críticos que establecen las regiones de rechazo de las de no rechazo. 7. Determinar la prueba estadística. 8. Coleccionar los datos y calcular el valor de la muestra de la prueba estadística apropiada. 9. Determinar si la prueba estadística ha sido en la zona de rechazo a una de no rechazo. 10. Determinar la decisión estadística. 11. Expresar la decisión estadística en términos del problema. CONCEPTOS BÁSICOS PARA EL PROCEDIMIENTO DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS. Hipótesis Estadística: Al intentar alcanzar una decisión, es útil hacer hipótesis (o conjeturas) sobre la población aplicada. Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman hipótesis estadísticas. Son, en general, enunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones. 3.2.-Hipotesis Nula Y Alternativa Hipótesis Nula. En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con el único propósito de rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una moneda está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda es buena (o sea p = 0,5, donde p es la probabilidad de cara). Analógicamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea. Que cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por Ho. Para todo tipo de investigación en la que tenemos dos o más grupos, se establecerá una hipótesis nula. La hipótesis nula es aquella que nos dice que no existen diferencias significativas entre los grupos. Por ejemplo, supongamos que un investigador cree que si un grupo de jóvenes se somete a un entrenamiento intensivo de natación, éstos serán mejores nadadores que aquellos que no recibieron entrenamiento. Para demostrar su hipótesis toma al azar una muestra de jóvenes, y también al azar los distribuye en dos grupos: uno que llamaremos experimental, el cual recibirá entrenamiento, y otro que no recibirá entrenamiento alguno, al que llamaremos control. La hipótesis nula señalará que no hay diferencia en el desempeño de la natación entre el grupo de jóvenes que recibió el entrenamiento y el que no lo recibió. Una hipótesis nula es importante por varias razones: Es una hipótesis que se acepta o se rechaza según el resultado de la investigación. El hecho de contar con una hipótesis nula ayuda a determinar si existe una diferencia entre los grupos, si esta diferencia es significativa, y si no se debió al azar. No toda investigación precisa de formular hipótesis nula. Recordemos que la hipótesis nula es aquella por la cual indicamos que la información a obtener es contraria a la hipótesis de trabajo. Al formular esta hipótesis, se pretende negar la variable independiente. Es decir, se enuncia que la causa determinada como origen del problema fluctúa, por tanto, debe rechazarse como tal. Otro ejemplo: Hipótesis: el aprendizaje de los niños se relaciona directamente con su edad. Hipótesis Alternativa. Toda hipótesis que difiere de una dada se llamará una hipótesis alternativa. Por ejemplo: Si una hipótesis es p = 0,5, hipótesis alternativa podrían ser p = 0,7, p " 0,5 ó p > 0,5. Una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por H1. Estadistica Inferencial 2013 76 - Al responder a un problema, es muy conveniente proponer otras hipótesis en que aparezcan variables independientes distintas de las primeras que formulamos. Por tanto, para no perder tiempo en búsquedas inútiles, es necesario hallar diferentes hipótesis alternativas como respuesta a un mismo problema y elegir entre ellas cuáles y en qué orden vamos a tratar su comprobación. Las hipótesis, naturalmente, serán diferentes según el tipo de investigación que se esté realizando. En los estudios exploratorios, a veces, el objetivo de la investigación podrá ser simplemente el de obtener los mínimos conocimientos que permitan formular una hipótesis. También es aceptable que, en este caso, resulten poco precisas, como cuando afirmamos que "existe algún tipo de problema social en tal grupo", o que los planetas poseen algún tipo de atmósfera, sin especificar de qué elementos está compuesto. Los trabajos de índole descriptiva generalmente presentan hipótesis del tipo "todos los X poseen, en alguna medida, las característica Y". Por ejemplo, podemos decir que todas las naciones poseen algún comercio internacional, y dedicarnos a describir, cuantificando, las relaciones comerciales entre ellas. También podemos hacer afirmaciones del tipo "X pertenece al tipo Y", como cuando decimos que una tecnología escapital - intensiva. En estos casos, describimos, clasificándolo, el objeto de nuestro interés, incluyéndolo en un tipo ideal complejo de orden superior. Por último, podemos construir hipótesis del tipo "X produce (o afecta) a Y", donde estaremos en presencia de una relación entre variables. 3.3.-Error tipo I y Error Tipo II Errores de tipo I y de tipo II. Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, diremos que se ha cometido un error de tipo I. Por otra parte, si aceptamos una hipótesis que debiera ser rechazada, diremos que se cometió un error de tipo II. En ambos casos, se ha producido un juicio erróneo. Para que las reglas de decisión (o no contraste de hipótesis) sean buenos, deben diseñarse de modo que minimicen los errores de la decisión; y no es una cuestión sencilla, porque para cualquier tamaño de la muestra, un intento de disminuir un tipo de error suele ir acompañado de un crecimiento del otro tipo. En la práctica, un tipo de error puede ser más grave que el otro, y debe alcanzarse un compromiso que disminuya el error más grave. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra que no siempre es posible. Niveles de Significación. Al contrastar una cierta hipótesis, la máxima probabilidad con la que estamos dispuesto a correr el riesgo de cometerán error de tipo I, se llama nivel de significación. Esta probabilidad, denota a menudo por se, suele especificar antes de tomar la muestra, de manera que los resultados obtenidos no influyan en nuestra elección. En la práctica, es frecuente un nivel de significación de 0,05 ó 0,01, si bien se une otros valores. Si por ejemplo se escoge el nivel de significación 0,05 (ó 5%) al diseñar una regla de decisión, entonces hay unas cinco (05) oportunidades entre 100 de rechazar la hipótesis cuando debiera haberse aceptado; Es decir, tenemos un 95% de confianza de que hemos adoptado la decisión correcta. En tal caso decimos que la hipótesis ha sido rechazada al nivel de significación 0,05, lo cual quiere decir que tal hipótesis tiene una probabilidad 0,05 de ser falsa. 3.4.-Pruebas de Hipótesis para Z para la media y la desviación estándar poblacional Prueba de Uno y Dos Extremos. Cuando estudiamos ambos valores estadísticos es decir, ambos lados de la media lo llamamos prueba de uno y dos extremos o contraste de una y dos colas. Con frecuencia no obstante, estaremos interesados tan sólo en valores extremos a un lado de la media (o sea, en uno de los extremos de la distribución), tal como sucede cuando se contrasta la hipótesis de que un proceso es mejor que otro (lo cual no es lo mismo que contrastar si un proceso es mejor o peor que el otro) tales contrastes se llaman unilaterales, o de un extremo. En tales situaciones, la región crítica es una región situada a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación. Curva Característica Operativa Y Curva De Potencia Podemos limitar un error de tipo I eligiendo adecuadamente el nivel de significancia. Es posible evitar el riesgo de cometer el error tipo II simplemente no aceptando nunca la hipótesis, pero en muchas aplicaciones prácticas esto es inviable. En tales casos, se suele recurrir a curvas características de operación o curvas de potencia que son gráficos que muestran las probabilidades de error de tipo II bajo diversas hipótesis. Proporcionan indicaciones de hasta que punto un test dado nos permitirá evitar un error de tipo II; es decir, nos indicarán la potencia de un test a la hora de prevenir decisiones erróneas. Son útiles en el diseño de experimentos por que sugieren entre otras cosas el tamaño de muestra a manejar. 3.5.-Pruebas para proporciones Pruebas de hipótesis para la media y proporciones Debido a la dificultad de explicar este tema se enfocará un problema basado en un estudio en una fábrica de llantas. En este problema la fábrica de llantas tiene dos turnos de operarios, turno de día y turno mixto. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 llantas producidas por cada turno para ayudar al gerente a sacar conclusiones de cada una de las siguientes preguntas: 1.- ¿Es la duración promedio de las llantas producidas en el turno de día igual a 25 000 millas? Estadistica Inferencial 2013 77 2.- ¿Es la duración promedio de las llantas producidas en el turno mixto menor de 25 000 millas? 3.- ¿Se revienta más de un 8% de las llantas producidas por el turno de día antes de las 10 000 millas? Prueba De Hipótesis Para La Media En la fábrica de llantas la hipótesis nula y alternativa para el problema se plantearon como sigue: Ho: μ = 25 000 H1: μ ≠ 25 000 Si se considera la desviación estándar σ las llantas producidas en el turno de día, entonces, con base en el teorema de limite central, la distribución en el muestreo de la media seguiría la distribución normal, y la prueba estadística que esta basada en la diferencia entre la media de la muestra y la media μ hipotιtica se encontrara como sigue: Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Si el tamaño de la región α de rechazo se estableciera en 5% entonces se podrían determinar los valores críticos de la distribución. Dado que la región de rechazo esta dividida en las dos colas de la distribución, el 5% se divide en dos partes iguales de 2.5%. Dado que ya se tiene la distribución normal, los valores críticos se pueden expresar en unidades de desviación. Una región de rechazo de 0.25 en cada cola de la distribución normal, da por resultado un área de .475 entre la media hipotética y el valor crítico. Si se busca está área en la distribución normal, se encuentra que los valores críticos que dividen las regiones de rechazo y no rechazo son + 1.96 y - 1.96 Por tanto, la regla para decisión sería: Rechazar Ho si Z > + 1.96 O si Z < - 1.96 De lo contrario, no rechazar Ho No obstante, en la mayor parte de los casos se desconoce la desviación estándar de la población. La desviación estándar se estima al calcular S, la desviación estándar de la muestra. Si se supone que la población es normal la distribución en el muestreo de la media seguiría una distribución t con n-1 grados de libertad. En la práctica, se a encontrado que siempre y cuando el tamaño de la muestra no sea muy pequeño y la población no este muy sesgada, la distribución t da una buena aproximación a la distribución de muestra de la media. La prueba estadística para determinar la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población cuando se utiliza la desviación estándar S de la muestra, se expresa con: Para una muestra de 100, si se selecciona un nivel de significancía de .05, los valores críticos de la distribución t con 100-1= 99 grados de libertad se puede obtener como se indica en la siguiente tabla: Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Como esta prueba de dos colas, la región de rechazo de .05 se vuelve a dividir en dos partes iguales de .025 cada una. Con el uso de las tablas para t, los valores críticos son –1.984 y +1.984. la regla para la decisión es: Rechazar Ho si >+1.984 O si - 1.984 De lo contrario, no rechazar Ho Estadistica Inferencial 2013 78 Los resultados de la muestra para el turno de día fueron =25 430 millas, =4 000 millas y = 100. Puesto que se esta probando si la media es diferente a 25 000 millas, se tiene con la ecuación Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Dado que = 1.075, se ve que -1.984 < +1.075 < + 1.984, entonces no se rechaza Ho. Por ello, la de cisión de no rechazar la hipótesis nula Ho. En conclusión es que la duración promedio de las llantas es 25 000 millas. A fin de tener en cuenta la posibilidad de un error de tipo II, este enunciado se puede redactar como "no hay pruebas de que la duración promedio de las llantas sea diferente a 25 000 millas en las llantas producidas en el turno de día". 3.6.-Selección del tamaño de la muestra( para estimar la media poblacional) Estimación de la Diferencia entre dos Medias Si se tienen dos poblaciones con medias 1 y 2 y varianzas 1 2 y 2 2 , respectivamente, un estimador puntual de la diferencia entre 1 y 2 está dado por la estadística . Por tanto. Para obtener una estimación puntual de 1 - 2, se seleccionan dos muestras aleatorias independientes, una de cada población, de tamaño n 1 y n 2 , se calcula la diferencia , de las medias muestrales. Recordando a la distribución muestral de diferencia de medias: Al despejar de esta ecuación 1 - 2 se tiene: Estadistica Inferencial 2013 79 En el caso en que se desconozcan las varianzas de la población y los tamaños de muestra sean mayores a 30 se podrá utilizar la varianza de la muestra como una estimación puntual. Ejemplos: 1. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente. Solución: Es deseable que la diferencia de medias sea positiva por lo que se recomienda restar la media mayor menos la media menor. En este caso será la media del motor B menos la media del motor A. El valor de z para un nivel de confianza del 96% es de 2.05. 3.43< B - A <8.57 La interpretación de este ejemplo sería que con un nivel de confianza del 96% la diferencia del rendimiento promedio esta entre 3.43 y 8.57 millas por galón a favor del motor B. Esto quiere decir que el motor B da mas rendimiento promedio que el motor A, ya que los dos valores del intervalo son positivos. 2. Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36,300 kilómetros y para la marca B 38,100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100 kilómetros para la marca B. Solución: Estadistica Inferencial 2013 80 -2662.68< B - A <6262.67 Gráficamente: Como el intervalo contiene el valor "cero", no hay razón para creer que el promedio de duración del neumático de la marca B es mayor al de la marca A, pues el cero nos está indicando que pueden tener la misma duración promedio. 3.7.-Selección de la muestra para estimar la proporción poblacional Prueba De Hipótesis Para Proporciones El concepto de prueba de hipótesis se puede utilizar para probar hipótesis en relación con datos cualitativos. Por ejemplo, en el problema anterior el gerente de la fabrica de llantas quería determinar la proporción de llantas que se reventaban antes de 10,000 millas. Este es un ejemplo de una variable cualitativa, dado que se desea llegar a conclusiones en cuanto a la proporción de los valores que tienen una característica particular. El gerente de la fábrica de llantas quiere que la calidad de llantas producidas, sea lo bastante alta para que muy pocas se revienten antes de las 10,000 millas. Si más de un 8% de las llantas se revientan antes de las 10,000 millas, se llegaría a concluir que el proceso no funciona correctamente. La hipótesis nula y alternativa se pueden expresar como sigue: Ho: p .08 (funciona correctamente) H1: p > .08 (no funciona correctamente) La prueba estadística se puede expresar en términos de la proporción de éxitos como sigue: En donde Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior p = proporción de éxitos de la hipótesis nula Ahora se determinará si el proceso funciona correctamente para las llantas producidas para el turno de día. Los resultados del turno de día índican que cinco llantas en una muestra de 100 se reventaron antes de 10,000 millas para este problema, si se selecciona un nivel de significancía de .05, las regiones de rechazo y no rechazo se establecerían como a continuación se muestra: Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Y la regla de decisión sería: Rechazar Ho si > + 1.645; de lo contrario no rechazar Ho. Estadistica Inferencial 2013 81 Con los datos que se tienen, = = .05 Y entonces, = = = = -1.107 Z -1.107 < + 1.645; por tanto no rechazar Ho. La hipótesis nula no se rechazaría por que la prueba estadística no ha caído en la región de rechazo. Se llegaría a la conclusión de que no hay pruebas de que más del 8% de las llantas producidas en el turno de día se revienten antes de 10,000 millas. El gerente no ha encontrado ninguna prueba de que ocurra un número excesivo de reventones en las llantas producidas en el turno de día. http://cosmech.tripod.com/index.htm Pruebas de Hipótesis Una hipótesis estadística es una suposición hecha con respecto a la función de distribución de una variable aleatoria. Para establecer la verdad o falsedad de una hipótesis estadística con certeza total, será necesario examinar toda la población. En la mayoría de las situaciones reales no es posible o practico efectuar este examen, y el camino mas aconsejable es tomar una muestra aleatoria de la población y en base a ella, decidir si la hipótesis es verdadera o falsa. En la prueba de una hipótesis estadística, es costumbre declarar la hipótesis como verdadera si la probabilidad calculada excede el valor tabular llamado el nivel de significación y se declara falsa si la probabilidad calculada es menor que el valor tabular. La prueba a realizar dependerá del tamaño de las muestras, de la homogeneidad de las varianzas y de la dependencia o no de las variables. Si las muestras a probar involucran a más de 30 observaciones, se aplicará la prueba de Z, si las muestras a evaluar involucran un número de observaciones menor o igual que 30 se emplea la prueba de t de student. La fórmula de cálculo depende de si las varianzas son homogéneas o heterogéneas, si el número de observaciones es igual o diferente, o si son variables dependientes. Para determinar la homogeneidad de las varianzas se toma la varianza mayor y se divide por la menor, este resultado es un estimado de la F de Fisher. Luego se busca en la tabla de F usando como numerador los grados de libertad (n-1) de la varianza mayor y como denominador (n-1) de la varianza menor para encontrar la F de Fisher tabular. Si la F estimada es menor que la F tabular se declara que las varianzas son homogéneas. Si por el contrario, se declaran las varianzas heterogéneas. Cuando son variables dependientes (el valor de una depende del valor de la otra), se emplea la técnica de pruebas pareadas. Como en general estas pruebas se aplican a dos muestras, se denominarán a y b para referirse a ellas, así entenderemos por: - na al número de elementos de la muestra a - nb al número de elementos de la muestra b - xb al promedio de la muestra b - s2a la varianza de la muestra a - Y así sucesivamente Entonces se pueden distinguir 6 casos a saber: 1. Caso de muestras grandes (n>30) 2. 3. Caso de na = nb y s2a = s2b 4. Caso de na = nb y s2a <> s2b 5. Caso de na <> nb y s2a = s2b 6. Caso de na <> nb y s2a <> s2b 7. Caso de variables dependientes 1.-Cuando las muestras a probar involucran a más de 30 observaciones. Ejemplo: La altura promedio de 50 palmas que tomaron parte de un ensayo es de 78 cm. con una desviación estándar de 2.5 cm.; mientras que otras 50 palmas que no forman parte del ensayo tienen media y desviación estándar igual a 77.3 y 2.8 cm. Estadistica Inferencial 2013 82 Se desea probar la hipótesis de que las palmas que participan en el ensayo son más altas que las otras. Consultando el valor z de la tabla a 95% de probabilidad se tiene que es 1.96, por lo consiguiente, el valor z calculado no fue mayor al valor de la tabla y entonces se declara la prueba no significativa. Conclusión: Las alturas promedio de los 2 grupos de palmas son iguales y la pequeña diferencia observada en favor al primer grupo se debe al azar. 2.-Caso de número igual de observaciones y varianzas homogéneas. Ejemplo: Se plantó cierto experimento en 24 parcelas para probar el efecto de la presencia o ausencia de K en el rendimiento de palma. Peso medio del racimo (Kg.) n a b a2 b2 1 20.0 24.0 400.00 576.00 2 24.0 28.0 576.00 784.00 3 21.0 25.0 441.00 625.00 4 22.0 25.0 484.00 625.00 5 23.0 27.0 529.00 729.00 6 24.0 27.5 576.00 756.25 7 22.5 28.0 506.25 784.00 8 22.0 26.0 484.00 576.00 9 21.5 26.0 462.25 676.00 10 20.0 24.5 400.00 600.25 11 22.0 26.5 484.00 702.25 12 24.0 28.5 576.00 812.25 Suma 266 316 5918.5 8346 Promedio 22.16 26.33 s2a = 5918.5 - (266)2/12 = 2.02 11 s2b = 8346 - (316)2/12 = 2.24 11 Se busca en la tabla de t de student con 2 (n-1) grados de libertad o sea 22, y se encuentra que el valor tabular es de 2.074 al 95% de probabilidad, el cual es menor que la t calculada y por lo tanto se declara la prueba significativa. Conclusión: La diferencia entre promedios observados es atribuible al efecto de tratamiento (K), por haberse conseguido un resultado significativo. 3.-Caso de igual número de observaciones y varianzas heterogéneas. Estadistica Inferencial 2013 83 Ejemplo: Se plantó cierto experimento en 24 parcelas con dos clases de semillas: semilla mezclada y semilla DxP seleccionada. Se desea saber si el rendimiento observado por la semilla seleccionada difiere a la otra. Producción de palma: TM/ha/año Para ver la tabla seleccione la opción "Descargar" del menú superior s2a = 1748.61 - (144.5)2/12 = 0.78 11 s2b = 4001.14 - (216.2)2/12 = 9.63 11 Consultando la tabla de t con n-1 grados de libertad (11) se encuentra un valor de 2.201, por lo tanto, la diferencia se declara significativa. Conclusión: El rendimiento observado por las plantas de semilla seleccionada fue significativamente superior a las otras. 4.-Caso de diferente número de observaciones y varianzas homogéneas Ejemplo: Se tomó una área de terreno distribuida en 22 parcelas y a 13 de ellas se les aplicó un fertilizante nitrogenado para medir el efecto del N en el crecimiento. Área foliar de la hoja # 17 en m2 Para ver la tabla seleccione la opción "Descargar" del menú superior s2a = 968.93 - (112.1)2/13 = 0.19 12 s2b = 390.84 - (59.2)2/9 = 0.18 8 s2c = 12(0.19) + 8(0.18) = 0.19 20 Consultando la tabla de t con n-1 grados de libertad (11) se encuentra un valor de 2.201, por lo tanto, la diferencia se declara significativa. Conclusión: El rendimiento observado por las plantas de semilla seleccionada fue significativamente superior a las otras. Ejemplo: Se tomó una área de terreno distribuida en 22 parcelas y a 13 de ellas se les aplicó un fertilizante nitrogenado para medir el efecto del N en el crecimiento. Área foliar de la hoja # 17 en m2 Para ver la tabla seleccione la opción "Descargar" del menú superior Estadistica Inferencial 2013 84 s2a = 968.93 - (112.1)2/13 = 0.19 12 s2b = 390.84 - (59.2)2/9 = 0.18 8 s2c = 12(0.19) + 8(0.18) = 0.19 20 Consultando la tabla con (na-1) + (nb-1) o sea (20) grados de libertad, se obtiene el valor tabular de 2.086, el cual es menor que la t calculada, por lo tanto la diferencia se declara significativa. Conclusión: La diferencia detectada en estas dos muestras es atribuible a la aplicación del fertilizante nitrogenado. 5.- Caso de diferente número de observaciones y varianzas heterogéneas. En este caso, la tc es comparada con la tg (t generada), que a diferencia de los casos anteriores, hay que calcularla. Donde: ta y tb son los valores de la tabla con n-1 grados de libertad para a y b respectivamente Ejemplo: Se tomaron 2 muestras de palma comercial de orígenes diferentes y se midió el porcentaje de almendra en el racimo en ambas muestras, el objeto es probar si las muestras son diferentes genéticamente o no. Porcentaje de almendra Para ver la tabla seleccione la opción "Descargar" del menú superior s2a = 225.02 - (53)2/14 = 1.88 13 s2b = 192.26 - (43.80)2/10 = 0.05 9 En este caso la t generada (tg), reemplaza la t de la tabla y como la tc es menor que la tg, la diferencia se declara No significativa. Conclusión: La diferencia observada entre promedios es atribuible únicamente a errores de muestreo o variabilidad natural, y no a diferencias genéticas. 6.-Caso de muestras pareadas (de variables dependientes) En este caso, se asume que las muestras han sido distribuidas por pares. Estadistica Inferencial 2013 85 Ejemplo: Se tomaron 12 foliolos de palma joven y a cada uno se le trató la mitad con Benlate para medir la inhibición del crecimiento de hongos. Magnitud del dano Sin Con n Benlate Benlate D = X - Y D2 Para ver la tabla seleccione la opción "Descargar" del menú superior Consultando la tabla con n-1 grados de libertad se obtiene el valor tabular de 2.201, por lo tanto, la diferencia se declara significativa. Conclusión: De la prueba se desprende que el tratamiento con benlate redujo significativamente la incidencia de hongos. Utilidad de las hipótesis: El uso y formulación correcta de las hipótesis le permiten al investigador poner a prueba aspectos de la realidad, disminuyendo la distorsión que pudieran producir sus propios deseos o gustos. Pueden ser sometidas a prueba y demostrarse como probablemente correctas o incorrectas sin que interfieran los valores o creencias del individuo. Leer más: http://www.monografias.com/trabajos17/pruebas-de-hipotesis/pruebas-de-hipotesis.shtml#ixzz2GaeZCCwR Estadistica Inferencial 2013 86 Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente imagen: Estadistica Inferencial 2013 87 El gráfico elaborado con Winstats y Paint se muestra en la siguiente imagen: Prueba medias de dos muestras Las pruebas de dos muestras se utilizan para decidir si las medias de dos poblaciones son iguales. Se requieren dos muestras independientes, una de cada una de las dos poblaciones. Considérese, por ejemplo, una compañía investigadora que experimentan con dos diferentes mezclas de pintura, para ver si se puede modificar el tiempo de secado de una pintura para Estadistica Inferencial 2013 88 uso doméstico. Cada mezcla es probada un determinado número de veces, y comparados posteriormente los tiempos medios de secado de las dos muestras. Una parece ser superior, ya que su tiempo medio de secado (muestra) es 30 minutos menor que el de la otra muestra. Pero, ¿son realmente diferentes los tiempos medios de secado de las dos pinturas, o esta diferencia muestral es nada más la variación aleatoria que se espera, aun cuando las dos fórmulas presentan idénticos tiempos medios de secado? Una vez más, las diferencias casuales se deben distinguir de las diferencias reales. Con frecuencia se utilizan pruebas de dos muestras para comparar dos métodos de enseñanza, dos marcas, dos ciudades, dos distritos escolares y otras cosas semejantes. La hipótesis nula puede establecer que las dos poblaciones tienen medias iguales: Para tamaños más pequeños de muestra, Z estará distribuida normalmente sólo si las dos poblaciones que se muestrean también lo están. Estadistica Inferencial 2013 89 Ejemplo ilustrativo La media de las calificaciones de dos muestras de 15 estudiantes de primer semestre en la asignatura de Estadística de la universidad UTN resulta ser de 7 y 8,5. Se sabe que la desviación típica de las calificaciones en esta asignatura fue en el pasado de 1,5. Estadistica Inferencial 2013 90 Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: Estadistica Inferencial 2013 91 El gráfico elaborado con Winstats y Paint se muestra en la siguiente imagen: 4.1.-Introducción TAMAÑO DE LA MUESTRA A la hora de determinar el tamaño que debe alcanzar una muestra hay que tomar en cuenta varios factores: el tipo de muestreo, el parámetro a estimar, el error muestral admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar algunos casos sencillos de cálculo del tamaño muestral delimitemos estos factores. Estadistica Inferencial 2013 92 Para calcular el tamaño de una muestra hay que tomar en cuenta tres factores: 1. El porcentaje de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la muestra hacia la población total. 2. El porcentaje de error que se pretende aceptar al momento de hacer la generalización. 3. El nivel de variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis. La confianza o el porcentaje de confianza es el porcentaje de seguridad que existe para generalizar los resultados obtenidos. Esto quiere decir que un porcentaje del 100% equivale a decir que no existe ninguna duda para generalizar tales resultados, pero también implica estudiar a la totalidad de los casos de la población. Para evitar un costo muy alto para el estudio o debido a que en ocasiones llega a ser prácticamente imposible el estudio de todos los casos, entonces se busca un porcentaje de confianza menor. Comúnmente en las investigaciones sociales se busca un 95%. El error o porcentaje de error equivale a elegir una probabilidad de aceptar una hipótesis que sea falsa como si fuera verdadera, o la inversa: rechazar a hipótesis verdadera por considerarla falsa. Al igual que en el caso de la confianza, si se quiere eliminar el riesgo del error y considerarlo como 0%, entonces la muestra es del mismo tamaño que la población, por lo que conviene correr un cierto riesgo de equivocarse. Comúnmente se aceptan entre el 4% y el 6% como error, tomando en cuenta de que no son complementarios la confianza y el error. La variabilidad es la probabilidad (o porcentaje) con el que se aceptó y se rechazó la hipótesis que se quiere investigar en alguna investigación anterior o en un ensayo previo a la investigación actual. El porcentaje con que se aceptó tal hipótesis se denomina variabilidad positiva y el porcentaje con el que se rechazó se la hipótesis es la variabilidad negativa El muestreo es el proceso de tomar una proporción o parte de un universo de elementos, con la finalidad de analizar en dichos elementos, características sujetas a estudio o fenómenos factibles de observación y en base al análisis de la muestra o proporción tomada obtener conclusiones que se refieran no sólo a la muestra sino a todo el universo. Para fines estadísticos, el universo puede considerarse finito o infinito. Se considera finito si el número de elementos que lo constituyen es menor a 500,000 e infinito si es igual o Estadistica Inferencial 2013 93 mayor a este número. Siempre que hagamos la elección de una muestra, debemos tener cuidado de que ésta reúna las siguientes características: · Que sea suficiente: es decir que la cantidad de elementos seleccionados sea el que se requiere para que el nivel de confiabilidad sea el que se ha establecido previamente. · Que sea representativa: esto quiere decir que los elementos seleccionados deberán presentar características similares a las de la población o universo. Al utilizar muestras en lugar de universos tenemos grandes ventajas, algunas de las más importantes son: · El costo se reduce, pues los gastos serán únicamente los ocasionados por una parte del universo (muestra tomada) y no por la totalidad de él. · Si la muestra es representativa, las deducciones resultantes sobre el universo serán confiables. · Como solamente se estudia una parte del universo, la información obtenida se realiza en menor tiempo. ¿Cómo obtener el tamaño de la muestra a utilizar? Una de las preguntas planteadas con mayor frecuencia al iniciar una investigación y difícil de contestar, sobre todo por falta de información del problema, es: ¿cuántas observaciones se deben obtener para que el tamaño de la muestra sea realmente representativo del universo estadístico? En este sentido -la decisión del tamaño de la muestra de una población -, es necesario considerar que las muestras varían en su composición de una a otra. La magnitud de la variación depende del tamaño de la muestra y de la variabilidad original de la población. Así, el tamaño de la muestra queda determinada por el grado de precisión que se desea obtener y por variabilidad inicial de la población. La respuesta a la pregunta planteada se puede considerar tomando como base lo siguientes: 1. Determinar el nivel de confianza con el cual vamos a trabajar y buscamos el valor de z asociado a dicho nivel de confianza, un nivel de confianza igual o mayor al 92% es aceptable estadísticamente. 2. Evaluar la probabilidad a favor de que suceda un evento o situación esperada (esta probabilidad se le denomina p). Estadistica Inferencial 2013 94 3. Evaluar la probabilidad en contra de que suceda en un evento o situación esperada (a esta probabilidad se le denomina q= 1 – p). 4. Determinar el error (e) máximo para el nivel de precisión que vayamos a permitir en los resultados (error máximo de estimación), comúnmente se trabaja con errores de estimación entre el 2% y el 6%, ya que la validez de la información se reduce demasiado para valores mayores del 6%. · Determinamos el tamaño de la población o universo. 5.- Se elige la fórmula a utilizar para calcular el tamaño de la muestra; dependiendo de si la población o universo sujeto a estudio se va a considerar infinito ó infinito. (Una población o universo se considera infinito si el número de elementos de los que consta es igual o mayor a 500,000 y es considerado finito si el número de elementos es menor a esta cantidad). Diferentes niveles de confianza utilizados en la práctica Nivel de Confianza 99.73% 99% 98% 96% 95.45% 95% 90% 80% 68.27% 50% Valores de Z 3.00 2.58 2.33 2.05 2.00 1.96 1.645 1.28 1.00 0.6745 4.2.-Prueba Normal y T student En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente Estadistica Inferencial 2013 95 donde - Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1 - V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad - Z y V son independientes Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad . Aparición y especificaciones de la distribución t de Student Supongamos que X 1 ,..., X n son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ 2 . Sea la media muestral. Entonces sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1. Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado, donde es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es donde es igual a n − 1. La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student. Estadistica Inferencial 2013 96 El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de , pero no de o , lo cual es muy importante en la práctica. Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media , siendo entonces el intervalo de confianza para la media = . Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero. para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son: E(t(n))= 0 y Var (t(n-1)) = n/(n-2) para n > 3 Historia La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el seudónimo de Student Distribución t de Student Función de densidad de probabilidad Estadistica Inferencial 2013 97 Función de distribución de probabilidad Parámetros grados de libertad (real) Dominio Función de densidad (pdf) Función de distribución (cdf) donde es la función hipergeométrica Media para , indefinida para otros valores Mediana Moda Estadistica Inferencial 2013 98 Varianza para , indefinida para otros valores Coeficiente de simetría para Curtosis para Entropía - : función digamma, - : función beta Función generadora de momentos (mgf) 4.3.-Pruebas de significancia SIGNIFICACIÓN ESTADÍSTICA La realización de cualquier estudio clínico-epidemiológico pretende poner de manifiesto al final del mismo si existe o no asociación entre diferentes variables. Esta asociación puede ser resultado de que realmente exista la asociación indicada, pero esta asociación también puede ser producto del azar, de la presencia de sesgos o de la presencia de variables de confusión. En estadística, un resultado se denomina estadísticamente significativo cuando no es probable que haya sido debido al azar. Una "diferencia estadísticamente significativa" solamente significa que hay evidencias estadísticas de que hay una diferencia entre las variables estudiadas. No significa que la diferencia sea grande, importante, o significativa en el sentido estricto de la palabra, sólo indica que hay diferencias. Estadistica Inferencial 2013 99 Una de las aplicaciones de la estadística es hacer inferencias a poblaciones, a partir de muestras. En la realización de este proceso, siempre existe el riesgo de error o imprecisión ya sea por el azar o la variabilidad biológica del fenómeno a estudiar. DEFINICION El nivel de significación de un test es un concepto estadístico asociado a la verificación de una hipótesis. En pocas palabras, se define como la probabilidad de tomar la decisión de rechazar la hipótesis nula (H 0 ) cuando ésta es verdadera (decisión conocida como Error tipo I, o "falso positivo"). La decisión se toma a menudo utilizando el valor P (o p-valor): si el valor P es inferior al nivel de significación, entonces la hipótesis nula es rechazada. Cuanto menor sea el valor P, más significativo será el resultado. La H o (hipótesis nula) representa la afirmación de que no hay asociación entre las dos variables estudiadas y la H 1 (hipótesis alternativa) afirma que hay algún grado de relación o asociación entre las dos variables. Realidad (Población) Existe diferencia o asociación (H 0 falsa) No existe diferencia o asociación (H 0 cierta) Resultado de la prueba (muestra) Diferencia o asociación significativa (rechazo H 0 ) No error (1-β) Error tipo I Error α Diferencia o asociación no significativa (No rechazo H 0 ) Error tipo II Error β No error (1-α) - H o (hipótesis nula) = No hay diferencia entre ambos tratamientos. - H 1 (hipótesis alternativa) = Sí existe diferencia. Estadistica Inferencial 2013 100 El nivel de significación se estableció siguiendo los comentarios del estadístico Fisher que señaló "...es conveniente trazar una línea de demarcación a partir de la cual podamos decir: o bien hay algo en el tratamiento...". El valor de "p" que indica que la asociación es estadísticamente significativa ha sido arbitrariamente seleccionado y por consenso se considera en 0.05. - Una seguridad del 95% lleva implícito una p < de 0.05. - Una seguridad del 99% lleva implícita una p < 0.01. Cuando rechazamos la H o (hipótesis nula) y aceptamos la H 1 (hipótesis alternativa) como probablemente cierta afirmando que hay una asociación, o que hay diferencia, estamos diciendo en otras palabras que es muy poco probable que el azar fuese responsable de dicha asociación. Del mismo modo si la p>0.05 decimos que el azar no puede ser excluido como explicación de dicho hallazgo y no rechazamos la H o (hipótesis nula) que afirma que ambas variables no están asociadas o correlacionadas. La significación estadística depende de 2 componentes fundamentales: - Magnitud de la diferencia  Cuanto más grande sea la diferencia entre 2 variables, más fácil es demostrar que la diferencia es significativa. - Tamaño muestral  A mayor tamaño muestral, más fácil es detectar diferencias. Lo hace a través de del error estándar: “a mas pacientes menor error estándar”. Error de tipo I (α) El error tipo I, conocido también como erro tipo alfa, se comete cuando el investigador rechaza la hipótesis nula (H 0 ), siendo ésta verdadera en la población. Es equivalente a encontrar un resultado falso positivo, ya que el investigador concluye que hay diferencia, cuando en realidad no existe. La "p" no es un indicador de fuerza de la asociación ni de su importancia. La significación estadística es por tanto una condición resultante del rechazo de una hipótesis nula mediante la aplicación de una prueba estadística de significación. El nivel de significación es el riesgo o la probabilidad que voluntariamente asume el investigador de equivocarse al rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es cierta. Este riesgo se establece normalmente en 0.05 (95%)ó 0.01 (99%). Estadistica Inferencial 2013 101 - Si p < 0.05 se considera significativo, en cuyo caso se rechaza la hipótesis nula - Si p> 0.05 se considera no significativo en cuyo caso no se rechaza la hipótesis nula. Error de tipo II (β) El error tipo II o beta se comete en la situación contraria: cuando el investigador NO rechaza la hipótesis nula (H 0 ), siendo ésta FALSA en la población. Es equivalente a un resultado falso negativo, ya que el investigador concluye que ha sido incapaz de encontrar una diferencia que existe en la realidad. Su complemento, (1-β), conocido como PODER o POTENCIA ESTADÍSTICA, representa la probabilidad de observar en la muestra una determinada diferencia o un efecto, si existen en la población. - El error de tipo I, es por lo tanto rechazar la H o cuando en realidad es verdadera. Se podría considerar que para evitar este tipo de error deberíamos de elegir un nivel de confianza más elevado, sin embargo al aumentar el nivel de confianza aumenta la probabilidad de cometer el error de tipo II. Recomendaciones para disminuir el error de tipo I: - Disponer de una teoría que guíe la investigación, evitando el "salir de pesca" con el ordenador buscando asociaciones entre variables. - Disminuir el número de test estadísticos llevados a cabo en el estudio. - Depurar la base de datos para evitar errores de valores extremos que puedan producir hallazgos significativos. - Utilizar valores de alfa más reducidos (0.01 ó 0.001). - Reproducir el estudio. Si al reproducir el estudio se obtienen resultados similares, estaremos más seguros de no estar cometiendo el error de tipo I. Recomendaciones para disminuir el error de tipo II: - Incrementar el tamaño de la muestra. - Estimar el poder estadístico (potencia) del estudio. - Incrementar el tamaño del efecto a detectar. - Incrementar el valor de alfa. Estadistica Inferencial 2013 102 - Utilizar test paramétricos (más potentes) en lugar de test no paramétricos. POTENCIA DE UN ESTUDIO DEFINICION DE POTENCIA Los estudios cuyos resultados no son estadísticamente significativos suelen denominarse “estudios negativo”. Sin embargo, la usencia de significación no implica necesariamente que no exista en la realidad una asociación relevante entre el factor de estudio y la respuesta. La probabilidad de cometer este error se conoce como β, y su complemento 1-β corresponde a la potencia estadística, que cuantifica la capacidad de un estudio para detectar como estadísticamente significativo una determinada diferencia o asociación que existe en la realidad. El poder estadístico de un estudio depende de diferentes factores, como: 1. El tamaño del efecto a detectar, es decir, la magnitud mínima de la diferencia o asociación entre los grupos que se considera clínicamente relevante  Cuanto mayor sea el tamaño del efecto que se desea detectar, mayor será la probabilidad de obtener hallazgos significativos y, por lo tanto, mayor será el poder estadístico. 2. La variabilidad de la respuesta estudiada. A mayor variabilidad en la respuesta, más difícil será detectar diferencias entre los grupos que se comparan y menor será el poder estadístico de la investigación. De ahí que sea recomendable estudiar grupos lo más homogéneos posibles. 3. El tamaño de la muestra a estudiar. A mayor tamaño muestral, mayor será la potencia estadística de un estudio. 4. El nivel de significación estadística. Si se disminuye el valor de α también se disminuye el poder de la prueba. Habitualmente se trabaja con un nivel de significación del 95% (α = 0,05), por lo que el equilibrio hay que en encontrarlo finalmente entre el tamaño de la muestra que es posible estudiar y el poder que se quiere para el estudio. Los cuatro factores anteriores, junto con el poder estadístico, forman un sistema cerrado. De este modo, una vez fijados tres de ellos, el cuarto queda completamente determinado. Estadistica Inferencial 2013 103 CÁLCULO DE LA POTENCIA Generalmente, se suele trabajar con un poder en torno al 80% o al 90%. Con frecuencia, las condiciones en las que se lleva a cabo una investigación son diferentes de las que se habían previsto en un principio. En consecuencia, y a la vista de hallazgos no significativos, es recomendable evaluar de nuevo a posteriori su potencia con el fin de discernir si el estudio carece del poder necesario para detectar una diferencia relevante o bien si realmente puede no existir tal diferencia. Existen fórmulas que calculan el poder estadístico en función de la naturaleza de la investigación. Con estas fórmulas obtienes un valor, a partir del cual se determina la potencia recurriendo a unas tablas de la distribución normal. Sin embargo, y aunque dichas fórmulas nos permitirían analizar el poder estadístico en diferentes tipos de diseño, puede resultar más sencillo disponer de algún software específico con el que poder realizar dichos cálculos. Tabla 3. Valores de , y más frecuentemente utilizados. Seguridad α Test unilateral Test bilateral 80 % 0,200 0,842 1,282 85 % 0,150 1,036 1,440 90 % 0,100 1,282 1,645 95 % 0,050 1,645 1,960 97,5 % 0,025 1,960 2,240 99 % 0,010 2,326 2,576 Poder estadístico 99 % 0,99 0,01 2,326 95 % 0,95 0,05 1,645 90 % 0,90 0,10 1,282 85 % 0,85 0,15 1,036 80 % 0,80 0,20 0,842 75 % 0,75 0,25 0,674 70 % 0,70 0,30 0,524 65 % 0,65 0,35 0,385 60 % 0,60 0,40 0,253 55 % 0,55 0,45 0,126 50 % 0,50 0,50 0,000 Estadistica Inferencial 2013 104 Tanto si los hallazgos son estadísticamente significativos como si no lo son, la estimación de intervalos de confianza pueden también facilitar la interpretación de los resultados en términos de magnitud y relevancia clínica, proporcionándonos una idea de la precisión con la que se ha efectuado al estimación, de la magnitud y de la dirección del efecto. De este modo, los intervalos de confianza nos permiten tener una idea acerca del poder estadístico de un estudio y, por tanto, de la credibilidad de la ausencia de hallazgos significativos. 4.4.-Comparación de dos muestras independientes Comparación de muestras independientes Para comparar las medias de dos muestras aleatorias procedentes de dos poblaciones normales e independientes, se utiliza el procedimiento Prueba T para muestras independientes, y para ello, se selecciona: A continuación se abre una ventana con los siguientes campos: Contrastar variables: donde se han de introducir las variables que se van a analizar, es decir, aquellas variables sobre las que se va a contrastar si hay o no, diferencias de grupos. Variable de agrupación: aquí se debe introducir la variable que se utiliza para definir los grupos de sujetos sobre los que se estudian las diferencias. Entonces el sistema activa el botón DEFINIR GRUPOS y al presionarlo aparece una ventana donde se introducen los valores de la variable que definen los dos grupos de sujetos a comparar, o el valor de la variable que hará de corte para definir dichos grupos. Si el valor de la variable para un individuo es menor o igual que el valor especificado, el individuo pertenecerá al primer grupo, y en caso contrario, al segundo. Opciones: presionando este botón se obtiene una ventana donde se especifica igual que en la sección anterior el nivel de confianza para el intervalo y la forma de tratar los valores missing. Estadistica Inferencial 2013 105 Ejemplo 4.3. Vamos a comprobar si existen diferencias significativas entre los tiempos medios de dedicación a la docencia, para los profesores asociados y los titulares de universidad de Profesores2.sav. Para ello, seleccionamos el procedimiento Prueba T para muestras independientes, y elegimos la variable Tiemdoc para llevarla al campo Contrastar Variables. Seguidamente seleccionamos como Variable Agrupación la variable Categoría, presionamos el botón DEFINIR GRUPOS, y tecleamos un 1 en el primer grupo y un 3 en el segundo. Por último pulsamos CONTINUAR y ACEPTAR para ejecutar el procedimiento. El resultado que muestra la Tabla 3 contiene dos tablas. La primera recoge para ambos grupos, profesores asociados y titulares de universidad, el número de casos en cada muestra, los tiempos medios dedicados a la docencia, las desviaciones típicas y los errores típicos de la media. La segunda tabla muestra el valor del estadístico para la prueba de Levene sobre la igualdad de varianzas, junto con su p-valor. Este se distribuye como una F de Snedecor y vale 0.808, mientras que su p-valor 0.373, lo que nos conduce a aceptar que las varianzas sean iguales, ya que el p-valor es mayor que 0.05. También aparece en la tabla el valor del estadístico para resolver el contraste de igualdad de medias, supuesto varianzas iguales y distintas, (en ambos casos se distribuye como una t de Student), junto con los correspondientes grados de libertad y sus p-valores. Puesto que hemos concluido que las varianzas coinciden, fijémonos en el que se han asumido varianzas iguales, el cual vale 8.661, y cuyo p-valor es 0, luego se rechaza que las medias coincidan. Razonamiento que también se puede deducir del intervalo de confianza, que no contiene el cero. Tabla 3: Contraste sobre las Medias de dos Poblaciones Independientes Prueba T Estadísticos de Grupo Desviación Error típ. de Categoría N Media típ. la media Tiempo diario 1 29 251,3759 29,36731 5,4534 para la docencia 3 23 187,1000 22,5337 4,6986 Prueba de muestras independientes Prueba de Levene para la igualdad Prueba T para la igualdad de medias de varianzas F Sig. t gl Sig. bilateral Diferencia de medias Error típico de la diferencia Intervalo de confianza para la diferencia Inferior Superior Tiempo Asumiendo 0.808 0,373 8,661 50 0.000 64,2759 7,4209 49,3704 79,1813 Estadistica Inferencial 2013 106 diario varianzas iguales para la No Asumiendo 8,929 49,961 0.000 64,2759 7,1983 49,8173 78,7345 docencia varianzas iguales 4.5.-Prueba de Fisher En estadística se denomina prueba F de Snedecor a cualquier prueba en la que el estadístico utilizado sigue una distribución F si la hipótesis nula no puede ser rechazada. El nombre fue acuñado en honor a Ronald Fisher. En estadística aplicada se prueban muchas hipótesis mediante el test F, entre ellas: - La hipótesis de que las medias de múltiples poblaciones normalmente distribuidas y con la misma desviación estándar son iguales. Esta es, quizás, la más conocida de las hipótesis verificada mediante el test F y el problema más simple del análisis de varianza. - La hipótesis de que las desviaciones estándar de dos poblaciones normalmente distribuidas son iguales, lo cual se cumple. En muchos casos, el test F puede resolverse mediante un proceso directo. Se requieren dos modelos de regresión, uno de los cuales restringe uno o más de los coeficientes de regresión conforme a la hipótesis nula. El test entonces se basa en un cociente modificado de la suma de cuadrados de residuos de los dos modelos como sigue: Dadas n observaciones, donde el modelo 1 tiene k coeficientes no restringidos, y el modelo 0 restringe m coeficientes, el test F puede calcularse como A diferencia de otras pruebas de medias que se basan en la diferencia existente entre dos valores, el análisis de varianza emplea la razón de las estimaciones, dividiendo la estimación intermediante entre la estimación interna Esta razón F fue creada por Ronald Fisher (1890-1962), matemático británico, cuyas teoríasestadísticas hicieron mucho más precisos los experimentos científicos. Sus proyectos estadísticos, primero utilizados en biología, rápidamente cobraron importancia y fueron aplicados a la experimentación agrícola, médica e industrial. Fisher también contribuyó a clarificar las funciones que desempeñan la mutación y la selección natural en la genética, particularmente en la población humana. El valor estadístico de prueba resultante se debe comparar con un valor tabular de F, que indicará el valor máximo del valor estadístico de prueba que ocurría si H0 fuera verdadera, a un nivel de significación seleccionado. Antes de proceder a efectuar este cálculo, se debe considerar las características de la distribución F Estadistica Inferencial 2013 107 Características de la distribución F - Existe una distribución F diferente para cada combinación de tamaño de muestra y número de muestras. Por tanto, existe una distribución F que se aplica cuando se toman cinco muestras de seis observaciones cada una, al igual que una distribución F diferente para cinco muestras de siete observaciones cada una. A propósito de esto, el número distribuciones de muestreo diferentes es tan grande que sería poco práctico hacer una extensa tabulación de distribuciones. Por tanto, como se hizo en el caso de la distribución t, solamente se tabulan los valores que más comúnmente se utilizan. En el caso de la distribución F, los valores críticos para los niveles 0,05 y 0,01 generalmente se proporcionan para determinadas combinaciones de tamaños de muestra y número de muestras. La razón más pequeña es 0. La razón no puede ser negativa, ya que ambos términos de la razón F están elevados al cuadrado. Por otra parte, grandes diferencias entre los valores medios de la muestra, acompañadas de pequeñas variancias muestrales pueden dar como resultado valores extremadamente grandes de la razón F. - La forma de cada distribución de muestreo teórico F depende del número de grados de libertad que estén asociados a ella. Tanto el numerador como el denominador tienen grados de libertad relacionados. Determinación de los grados de libertad Los grados de libertad para el numerador y el denominador de la razón F se basan en los cálculos necesarios para derivar cada estimación de la variancia de la población. La estimación intermediante de variancia (numerador) comprende la división de la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el número de medias (muestras) menos uno, o bien, k - 1. Así, k - 1es el número de grados de libertad para el numerador. En forma semejante, el calcular cada variancia muestral, la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre el valor medio de la muestra y cada valor de la misma se divide entre el número de observaciones de la muestra menos uno, o bien, n - 1. Por tanto, el promedio de las variancias muestrales se determina dividiendo la suma de las variancias de la muestra entre el número de muestras, o k. Los grados de libertad para el denominador son entonces, k(n -l). Uso de la tabla de F del análisis de variancia (ANOVA) En la tabla 5 se ilustra la estructura de una tabla de F para un nivel de significación de 0,01 o 1% y 0,05 o 5%. Estadistica Inferencial 2013 108 Cálculo de la razón F a partir de datos muestrales Para calcular F se debe seguir el siguiente procedimiento 1) Calcular la estimación interna (Denominador) 2) Calcular la estimación intermediante (Numerador) Estadistica Inferencial 2013 109 Ejemplo ilustrativo Los pesos en kg por 1,7 m de estatura se ilustran en la siguiente tabla. La finalidad es determinar si existen diferencias reales entre las cuatro muestras. Emplear un nivel de significación de 0,05 Solución: Las hipótesis Nula y Alternativa son: Estadistica Inferencial 2013 110 Calculando las medias aritméticas se obtiene: Se llena la siguiente tabla para calcular las varianzas muestrales: Estadistica Inferencial 2013 111 Remplazando los datos en la fórmula de la varianza se obtienen las varianzas de las 4 muestras. Calculando la estimación interna de varianza se obtiene: Para calcular la estimación intermediante de varianza primero se calcular la varianza de las medias aritméticas Estadistica Inferencial 2013 112 Se llena la siguiente tabla: Se remplaza los datos de la tabla para calcular varianza de las medias aritméticas Calculando la estimación intermediante de varianza se obtiene: Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: Estadistica Inferencial 2013 113 La gráfica elaborada en Winstats y Paint se muestra en la siguiente figura: Estadistica Inferencial 2013 114 Decisión: Estadistica Inferencial 2013 115 4.6.-Comparación de muestras pareadas Si estamos comparando un resultado cuantitativo en dos grupos de datos, a partir de muestras extraídas de forma aleatoria de una población normal, siendo n A el tamaño de la primera muestra y n B el de la segunda, la cantidad: (donde son las medias muestrales, las correspondientes medias poblacionales, s la desviación típica muestral conjunta), se distribuye como una t de Student con n A +n B -2 grados de libertad, proporcionándonos una referencia probabilística con la que juzgar si el valor observado de diferencia de medias nos permite mantener la hipótesis planteada, que será habitualmente la hipótesis de igualdad de las medias (por ejemplo igualdad de efecto de los tratamientos), o lo que es lo mismo nos permite verificar si es razonable admitir que a la luz de los datos obtenidos en nuestro experimento. Veamos un pequeño ejemplo. Se efectuó un estudio para comparar dos tratamientos en cuanto a la mejoría en la salud percibida, determinada mediante un cuestionario de calidad de vida en pacientes hipertensos. Se asignaron 10 pacientes de forma aleatoria a cada uno de los grupos de tratamiento, obteniéndose los siguientes resultados: Tabla 1 Trat. A 5.2 0.2 2.9 6.3 2.7 -1.4 1.5 2.8 0.8 5.3 Trat. B 6.0 0.8 3.2 6.2 3.8 -1.6 1.8 3.3 1.3 5.6 Si calculamos el valor de t según la fórmula anterior (o utilizando la calculadora disponible en el enlace que indicamos más abajo) obtenemos: Tabla 2 Dif.medias 0.41 Err.est.dif. 1.11 t Student 0.37 gl 18 P 0.7165 Intervalo 95% para la dif. de medias -1.93 a 2.75 Tabla 3 Trat. A Trat. B Media 2,63 3,04 Desv.Típ. 2,45 2,52 Estadistica Inferencial 2013 116 De acuerdo con esos resultados, al ser la probabilidad obtenida alta, vemos que no hay razones para rechazar la hipótesis de que no existe diferencia entre los grupos (P= 0.7165), aceptamos que las medias son iguales, lo que podemos también comprobar de forma gráfica, si representamos cada serie de valores en dos posiciones del eje X, obteniendo un gráfico como el representado en la figura 1. Ahora bien, sabemos que dos variables que influyen en los resultados de los cuestionarios de calidad de vida percibida son la edad y el sexo de los pacientes. Al asignar de forma aleatoria los pacientes a cada grupo de tratamiento esperamos que las variables que puedan influir en el resultado, diferentes del propio tratamiento asignado, se Estadistica Inferencial 2013 117 distribuyan en ambos grupos de forma parecida; pero cuando de antemano conocemos que algunas variables sí influyen en el parámetro objeto de estudio, podemos controlarlas en el diseño para evitar que puedan afectar al resultado, sobre todo cuando vamos a trabajar con una muestra pequeña. Así en nuestro ejemplo podemos dividir los pacientes dentro de cada sexo en varios grupos de edad y buscar parejas de pacientes con el mismo sexo y con edades similares. Dentro de cada pareja, seleccionada con ese criterio (igual sexo y edad similar), asignamos de forma aleatoria cada uno de los tratamientos. Esto es lo que precisamente habíamos hecho en el estudio de la tabla 1: habíamos dividido la edad en 5 categorías y Estadistica Inferencial 2013 118 seleccionado 5 parejas de hombres y 5 de mujeres en cada grupo de edad. Dentro de cada par hemos asignado de forma aleatoria el tratamiento A o el B a cada uno de sus elementos. En este caso hemos "diseñado" un estudio, en el que mediante el emparejamiento estamos controlando (o bloqueando) la influencia de las variables edad y sexo. Ahora en el análisis estadístico de los datos, para tener en cuenta el diseño, hay que comparar cada pareja de valores entre sí. Pero antes de hacer un análisis estadístico vamos a representar gráficamente el nuevo planteamiento. Si calculamos las diferencias entre el valor del elemento B y el elemento A y las representamos gráficamente obtenemos la figura 2, donde hemos dibujado una línea horizontal en el valor 0, que corresponde a la igualdad entre los tratamientos. Figura 2 Vemos que el panorama cambia radicalmente con respecto a la figura 1, ya que ahora la mayor parte de los puntos están por encima de esa línea de igualdad de efecto, reflejando una mayor puntuación por término medio en el tratamiento B que en el A dentro de las parejas. En la siguiente tabla vemos los resultados del análisis estadístico, muy diferentes de los obtenidos en la tabla 1 en la que no se tenía en cuenta el tipo de diseño Estadistica Inferencial 2013 119 Dif. B - A Resultado Media 0,410 Desv.Típ. 0,387 Tamaño 10 Err.est.dif. 0,122 t Student 3,349 gl 9 P 0,0085 Int. conf. 95% para la media 0,133 a 0,687 Ahora hemos calculado la media de las diferencias d, y su desviación típica s d en las n parejas. El error estándar de la media de las diferencias es: Por lo que el valor de t será ahora que en la hipótesis de igualdad -media de las diferencias igual a cero-, se distribuye como una t de Student con n-1 grados de libertad. Aunque perdemos grados de libertad, siendo por ese lado la prueba menos potente, sin embargo al disminuir la variabilidad se aumenta la eficiencia de la prueba. No siempre será tan dramática la diferencia entre ambos planteamientos, ya que en este caso se trata de datos preparados y en la realidad las cosas no suelen salir tan redondas. Cuando efectivamente influye en el resultado la variable que nos ha llevado a decidir utilizar un diseño pareado, las medidas dentro de cada pareja estarán correlacionadas, por lo que siempre podemos comprobar a posteriori si esto es así, calculando el coeficiente de correlación, que debiera ser positivo y de cierta entidad. El concepto de prueba pareada se puede extender a comparaciones de más de dos grupos y hablaremos entonces de bloques de m elementos (tantos elementos por bloque como grupos o tratamientos), siendo por tanto una pareja un caso particular de bloque de 2 elementos. Hablaremos de este tipo de diseños más adelante, cuando dediquemos algún artículo al análisis de la varianza, que es la prueba que se utiliza para comparar más de dos grupos. En estas técnicas de formación de bloques el investigador deja de ser un mero observador, para pasar a "diseñar" el estudio o experimento, y es una metodología de gran utilidad en muchos tipos de trabajos de investigación en diversas áreas, desde la agricultura donde se inició, a la medicina, biología, e ingeniería. El fundamento en el que se basan es en suponer que el bloque es más homogéneo que el conjunto, por lo que restringiendo las Estadistica Inferencial 2013 120 comparaciones entre tratamientos al interior de los bloques se espera obtener una mayor precisión. Hay que destacar que no siempre el diseño pareado es el más efectivo, ya que como se apuntó anteriormente hay una disminución en los grados de libertad que debe ser compensada con la reducción de varianza para que la prueba resulte más efectiva. Hay muchas situaciones en las que las observaciones "próximas" están relacionadas negativamente, de tal manera que las comparaciones entre parejas son entonces menos parecidas que otras comparaciones. En los estudios clínicos el emparejamiento se utiliza habitualmente más que por razones de eficiencia para "aumentar" la validez de las inferencias obtenidas, mediante el control de posibles variables confusoras. Por ello se desaconseja, en el criterio para emparejar, la utilización de variables sobre las que no estemos seguros de su influencia en el resultado de interés. Pruebas pareadas para variables cualitativas El concepto de diseño pareado se puede aplicar también al análisis de datos cuyo resultado es una categoría. Veamos la situación más sencilla, para el caso de que la variable cualitativa sea dicotómica o binaria, con sólo dos posibles repuestas. Este planteamiento es habitual en algunos estudios de casos-controles, en los que cada caso se empareja con un control de acuerdo con un criterio determinado, y en el que se trata de valorar la frecuencia de la presencia de un factor de riesgo. Podemos representar los resultados en una tabla de la siguiente forma: Controles Factor presente Factor ausente Casos Factor presente a b a+b Factor ausente c d c+d a+c b+d n donde en cada celda se refleja el número de parejas; así a es el número de parejas en las que el factor de riesgo está presente tanto en el caso como en el control, y d es el número de parejas en las que ni en el caso ni el control se da el factor de riesgo. Es evidente que en esas dos celdas hay concordancia entre lo observado en el caso y lo observado en el control, dentro de la pareja, y que por tanto no afectarán al resultado en cuanto a diferencias entre casos y controles, siendo sólo los pares discrepantes b, c los que aportan información en ese sentido. La proporción de controles que presentan el factor de riesgo es Estadistica Inferencial 2013 121 y la proporción de casos con el factor de riesgo La diferencia de proporciones en cuanto a presencia del factor de riesgo entre casos y controles es: donde como ya anticipábamos las cantidades a y d no intervienen. El error estándar de esa diferencia viene dado por: El cuadrado del cociente entre la diferencia y su error estándar, se distribuye bajo la hipótesis de igualdad como una chi² con 1 grado de libertad, y el contraste se conoce como prueba de McNemar: Si se aplica la corrección de continuidad (recomendable sobre todo si el tamaño de muestra es pequeño o hay celdas con frecuencias pequeñas), la fórmula anterior se modifica ligeramente: Para estimar el odds ratio en este tipo de diseño se utiliza la fórmula: donde de nuevo solo intervienen los pares con desacuerdo. El error estándar de este odds ratio se calcula como Estadistica Inferencial 2013 122 En una primera impresión puede sorprendernos la fórmula para el cálculo del odds ratio, pero su obtención es sencilla si pensamos que en realidad cada pareja es un estrato con 2 elementos, y que no debemos combinar las tablas obtenidas en cada estrato juntándolas sin más. Si aplicamos para el cálculo del odds ratio combinado el método habitual conocido como de Mantel-Haenszel obtendremos la fórmula anterior. Este planteamiento se puede extender también al caso de una variable con más de dos respuestas (prueba de Stuart-Maxwell) o también al caso de agrupaciones de más de dos elementos por bloque. 4.7.-Modelos totalmente aleatorio Es un diseño en el cual los tratamientos son asignados completamente al azar a las unidades experimentales o viceversa. Este diseño es usado ampliamente y aplicado a problemas tanto administrativos como industriales Características principales 1. Aplicable sólo cuando las unidades experimentales son homogéneas (verificar si existe tal homogeneidad). 2. Los tratamientos pueden tener igual o diferente número de unidades experimentales. 3. La distribución de los tratamientos es al azar en las unidades experimentales. El número de tratamientos está en función del número de unidades experimentales que se dispone. Es conveniente tener pocos tratamientos y más unidades experimentales que muchos tratamientos con pocas unidades experimentales. DCA CON UNA OBSERVACIÓN POR UNIDAD EXPERIMENTAL. Cada tratamiento (i=1,...,t), dispone de un número de unidades igual a ri, cada unidad experimental es una repetición y el valor observado en la u.e. es Yij . Cada observación es expresada en términos de una ecuación según el modelo estadístico: Corresponde al modelo del diseño experimental y es una expresión aditivo lineal del valor observado Yij como la suma de tres elementos: μ = Factor constante ( parámetro). _ i = Efecto del tratamiento (parámetro) en la unidad experimental. eij = Error, valor de la variable aleatoria Error experimental. Cada observación es expresado de la misma forma; el conjunto de ecuaciones constituye el modelo, son "r." ecuaciones. El modelo lineal general para el diseño completamente al azar es entonces: La descripción de este modelo se complementa con los supuestos de los efectos de tratamiento según: Cuando el Investigador fija los tratamientos en estudio y se interesa en los resultados de estos tratamientos, el modelo se denomina de EFECTOS FIJOS, conocido como modelo I. Las hipótesis son:Nula y alternativa Estadistica Inferencial 2013 123 4.8.-Selección del tamaño de la muestra para estimar la diferencia de dos medias Determinación del tamaño de una muestra para medias, y Proporciones TAMAÑO DE LA MUESTRA A la hora de determinar el tamaño que debe alcanzar una muestra hay que tomar en cuenta varios factores: el tipo de muestreo, el parámetro a estimar, el error muestral admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar algunos casos sencillos de cálculo del tamaño muestral delimitemos estos factores. Para calcular el tamaño de una muestra hay que tomar en cuenta tres factores: 1. El porcentaje de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la muestra hacia la población total. 2. El porcentaje de error que se pretende aceptar al momento de hacer la generalización. 3. El nivel de variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis. La confianza o el porcentaje de confianza es el porcentaje de seguridad que existe para generalizar los resultados obtenidos. Esto quiere decir que un porcentaje del 100% equivale a decir que no existe ninguna duda para generalizar tales resultados, pero también implica estudiar a la totalidad de los casos de la población. Para evitar un costo muy alto para el estudio o debido a que en ocasiones llega a ser prácticamente imposible el estudio de todos los casos, entonces se busca un porcentaje de confianza menor. Comúnmente en las investigaciones sociales se busca un 95%. El error o porcentaje de error equivale a elegir una probabilidad de aceptar una hipótesis que sea falsa como si fuera verdadera, o la inversa: rechazar a hipótesis verdadera por considerarla falsa. Al igual que en el caso de la confianza, si se quiere eliminar el riesgo del error y considerarlo como 0%, entonces la muestra es del mismo tamaño que la población, por lo que conviene correr un cierto riesgo de equivocarse. Comúnmente se aceptan entre el 4% y el 6% como error, tomando en cuenta de que no son complementarios la confianza y el error. Estadistica Inferencial 2013 124 La variabilidad es la probabilidad (o porcentaje) con el que se aceptó y se rechazó la hipótesis que se quiere investigar en alguna investigación anterior o en un ensayo previo a la investigación actual. El porcentaje con que se aceptó tal hipótesis se denomina variabilidad positiva y el porcentaje con el que se rechazó se la hipótesis es la variabilidad negativa El muestreo es el proceso de tomar una proporción o parte de un universo de elementos, con la finalidad de analizar en dichos elementos, características sujetas a estudio o fenómenos factibles de observación y en base al análisis de la muestra o proporción tomada obtener conclusiones que se refieran no sólo a la muestra sino a todo el universo. Para fines estadísticos, el universo puede considerarse finito o infinito. Se considera finito si el número de elementos que lo constituyen es menor a 500,000 e infinito si es igual o mayor a este número. Siempre que hagamos la elección de una muestra, debemos tener cuidado de que ésta reúna las siguientes características: · Que sea suficiente: es decir que la cantidad de elementos seleccionados sea el que se requiere para que el nivel de confiabilidad sea el que se ha establecido previamente. · Que sea representativa: esto quiere decir que los elementos seleccionados deberán presentar características similares a las de la población o universo. Al utilizar muestras en lugar de universos tenemos grandes ventajas, algunas de las más importantes son: · El costo se reduce, pues los gastos serán únicamente los ocasionados por una parte del universo (muestra tomada) y no por la totalidad de él. · Si la muestra es representativa, las deducciones resultantes sobre el universo serán confiables. · Como solamente se estudia una parte del universo, la información obtenida se realiza en menor tiempo. ¿Cómo obtener el tamaño de la muestra a utilizar? Una de las preguntas planteadas con mayor frecuencia al iniciar una investigación y difícil de contestar, sobre todo por falta de información del problema, es: ¿cuántas observaciones se deben obtener para que el tamaño de la muestra sea realmente representativo del Estadistica Inferencial 2013 125 universo estadístico? En este sentido -la decisión del tamaño de la muestra de una población -, es necesario considerar que las muestras varían en su composición de una a otra. La magnitud de la variación depende del tamaño de la muestra y de la variabilidad original de la población. Así, el tamaño de la muestra queda determinada por el grado de precisión que se desea obtener y por variabilidad inicial de la población. La respuesta a la pregunta planteada se puede considerar tomando como base lo siguientes: 1. Determinar el nivel de confianza con el cual vamos a trabajar y buscamos el valor de z asociado a dicho nivel de confianza, un nivel de confianza igual o mayor al 92% es aceptable estadísticamente. 2. Evaluar la probabilidad a favor de que suceda un evento o situación esperada (esta probabilidad se le denomina p). 3. Evaluar la probabilidad en contra de que suceda en un evento o situación esperada (a esta probabilidad se le denomina q= 1 – p). 4. Determinar el error (e) máximo para el nivel de precisión que vayamos a permitir en los resultados (error máximo de estimación), comúnmente se trabaja con errores de estimación entre el 2% y el 6%, ya que la validez de la información se reduce demasiado para valores mayores del 6%. · Determinamos el tamaño de la población o universo. 5.- Se elige la fórmula a utilizar para calcular el tamaño de la muestra; dependiendo de si la población o universo sujeto a estudio se va a considerar infinito ó infinito. (Una población o universo se considera infinito si el número de elementos de los que consta es igual o mayor a 500,000 y es considerado finito si el número de elementos es menor a esta cantidad). Diferentes niveles de confianza utilizados en la práctica Nivel de Confianza 99.73% 99% 98% 96% 95.45% 95% 90% 80% 68.27% 50% Valores de Z 3.00 2.58 2.33 2.05 2.00 1.96 1.645 1.28 1.00 0.6745 El tamaño de la muestra: Al realizar un muestreo probabilística nos debemos preguntar ¿Cuál es el número mínimo de unidades de análisis ( personas, organizaciones, capitulo de telenovelas, etc), que se necesitan Estadistica Inferencial 2013 126 para conformar una muestra ( ) n que me asegure un error estándar menor que 0.01 ( fijado por el muestrista o investigador), dado que la población N es aproximadamente de tantos elementos. En el tamaño de una muestra de una población tenemos que tener presente además si es conocida o no la varianza poblacional. Para determinar el tamaño de muestra necesario para estimar µ con un error máximo permisible d prefijado y conocida la varianza poblacional ( 2 o ) podemos utilizar la formula: 2 1 2 | | . | \ | = ÷ d Z n o o (1) que se obtiene de reconocer que d es el error estándar o error máximo prefijado y está dado por la expresión 2 1 o o ÷ = Z n d para el nivel de confianza o ÷ 1 y constituye una medida de la precisión de la estimación, por lo que podemos inferir además que { } o µ ÷ = < ÷ 1 d x P . Ejemplo 1.2 Se desea estimar el peso promedio de los sacos que son llenados por un nuevo instrumento en una industria. Se conoce que el peso de un saco que se llena con este instrumento es una variable aleatoria con distribución normal. Si se supone que la desviación típica del peso es de 0,5 kg. Determine el tamaño de muestra aleatoria necesaria para determinar una probabilidad igual a 0,95 de que el estimado y el parámetro se diferencien modularmente en menos de 0,1 kg. Solución: 96 , 1 975 , 0 1 95 , 0 1 5 , 0 1 , 0 2 1 2 = = ÷ = ÷ = = ÷ o o o o Z d ( )( ) 4 , 96 1 , 0 96 , 1 5 , 0 2 2 1 2 = | . | \ | = | | . | \ | = ÷ d Z n o o Evidentemente un tamaño de muestra no puede ser fraccionario por lo que se debe aproximar por exceso. El tamaño de muestra sería de 97. Si la varianza de la población es desconocida, que es lo que mas frecuente se ve en la práctica el tratamiento será diferente, no es posible encontrar una fórmula cuando la varianza poblacional es desconocida por lo que para ello aconsejamos utilizar el siguiente procedimiento- Primeramente, se toma una pequeña muestra, que se le llama muestra piloto, con ella se estima la varianza poblacional ( 2 o ) y con este valor se evalúa en la formula (1), sustituyendo ( 2 o ) por su estimación ( 2 s ). El valor de n obtenido será aproximadamente el valor necesario, nuevamente con ese valor de n se extrae una muestra de este tamaño de la población se le determina la Estadistica Inferencial 2013 127 varianza a esa muestra, como una segunda estimación de ( 2 o ) y se aplica de nuevo la formula (1), tomando la muestra con el n obtenido como muestra piloto para la siguiente iteración, se llegará a cumplir con las restricciones prefijadas. Se puede plantear esta afirmación ya que la 2 s de 2 o tiende a estabilizarse a medida que aumenta n alrededor de la 2 o por lo que llegará el momento en que se encuentre el tamaño de muestra conveniente, sin embargo, en la práctica es mucho más sencillo pues, a lo sumo con tres iteraciones se obtiene el tamaño de muestra deseado, este procedimiento para obtener el tamaño de muestra deseado se puede realizar utilizando en Microsoft Excel en la opción análisis de datos las opciones estadística descriptiva para ir hallando la varianza de cada una de las muestras y la opción muestra para ir determinado las muestras pilotos. Para obtener el tamaño de la muestra utilizando este método recomendamos la utilización de un paquete de computo como por ejemplo el Microsoft Excel, aplicando las opciones muestra y estadística descriptiva. Para determinar el tamaño de la muestra cuando los datos son cualitativos es decir para el análisis de fenómenos sociales o cuando se utilizan escalas nominales para verificar la ausencia o presencia del fenómeno a estudiar, se recomienda la utilización de la siguiente formula: N n n n ' 1 ' + = (2) siendo 2 2 ' o s n = sabiendo que: 2 o es la varianza de la población respecto a determinadas variables. 2 s es la varianza de la muestra, la cual podrá determinarse en términos de probabilidad como ) 1 ( 2 p p s ÷ = se es error estandar que está dado por la diferencia entre ( x ÷ µ ) la media poblacional y la media muestral. ( ) 2 se es el error estandar al cuadrado, que nos servirá para determinar 2 o , por lo que 2 o =( ) 2 se es la varianza poblacional. Ejemplo 1.3 De una población de 1 176 adolescentes de una ciudad X se desea conocer la aceptación por los programas humorísticos televisivos y para ello se desea tomar una muestra por lo que se necesita saber la cantidad de adolescentes que deben entrevistar para tener una información adecuada con error estandar menor de 0.015 al 90 % de confiabilidad. Solución: N = 1 176 se = 0,015 000225 . 0 ) 015 , 0 ( ) ( 2 2 2 = = = se o 09 , 0 ) 9 , 0 1 ( 9 , 0 ) 1 ( 2 = ÷ = ÷ = p p s Estadistica Inferencial 2013 128 por lo que 400 000225 , 0 09 , 0 ' 2 2 = = = o s n 298 1 400 1 ' 1176 400 ' = + = + = N n n n Es decir para realizar la investigación se necesita una muestra de al menos 298 adolescentes. Cálculo del tamaño de la muestra A la hora de determinar el tamaño que debe alcanzar una muestra hay que tomar en cuenta varios factores: el tipo de muestreo, el parámetro a estimar, el error muestral admisible, la varianza poblacional y el nivel de confianza. Por ello antes de presentar algunos casos sencillos de cálculo del tamaño muestral delimitemos estos factores. Parámetro. Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población. Estadístico. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros. Error Muestral, de estimación o standard. Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigación nos indicará hasta qué medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varían muestra a muestra). Varía según se calcule al principio o al final. Un estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral de un estadístico y su fiabilidad. Nivel de Confianza. Probabilidad de que la estimación efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad (Gauss o Student), así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del parámetro. Varianza Poblacional. Cuando una población es más homogénea la varianza es menor y el número de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, o de la población, será más pequeño. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos. Tamaño de muestra para estimar la media de la población Veamos los pasos necesarios para determinar el tamaño de una muestra empleando el muestreo aleatorio simple. Para ello es necesario partir de dos supuestos: en primer lugar el nivel de confianza al que queremos trabajar; en segundo lugar, cual es el error máximo que estamos dispuestos a admitir en nuestra estimación. Así pues los pasos a seguir son: Veamos los pasos necesarios para determinar el tamaño de una muestra empleando el muestreo aleatorio simple. Para ello es necesario partir de dos supuestos: en primer lugar el nivel de confianza al que queremos trabajar; en segundo lugar, cual es el error máximo que estamos dispuestos a admitir en nuestra estimación. Así pues los pasos a seguir son: 1.- Obtener el tamaño muestral imaginando que N÷>o Estadistica Inferencial 2013 129 Donde: : z correspondiente al nivel de confianza elegido : varianza poblacional e: error máximo 2.- Comprobar si se cumple Si esta condición se cumple el proceso termina aquí, y ese es el tamaño adecuado que debemos muestrear. Si no se cumple, pasamos a una tercera fase: 3.- Obtener el tamaño de la muestra según la siguiente fórmula: Veamos un ejemplo: La Consejería de Trabajo planea un estudio con el interés de conocer el promedio de horas semanales trabajadas por las mujeres del servicio doméstico. La muestra será extraída de una población de 10000 mujeres que figuran en los registros de la Seguridad Social y de las cuales se conoce a través de un estudio piloto que su varianza es de 9.648. Trabajando con un nivel de confianza de 0.95 y estando dispuestos a admitir un error máximo de 0,1, ¿cuál debe ser el tamaño muestral que Empleemos?. Buscamos en las tablas de la curva normal el valor de que corresponde con el nivel de confianza elegido: = ±1.96 y seguimos los pasos propuestos arriba. 1. 2.- Comprobamos que no se cumple, pues en este caso 10000 < 3706 (3706 - 1); 10000 < 13730730 3.- Tamaño de muestra para estimar la proporción de la población Estadistica Inferencial 2013 130 Para calcular el tamaño de muestra para la estimación de proporciones poblaciones hemos de tener en cuenta los mismos factores que en el caso de la media. La fórmula que nos permitirá determinar el tamaño muestral es la siguiente: donde : z correspondiente al nivel de confianza elegido P: proporción de una categoría de la variable e: error máximo N: tamaño de la población Siguiendo con el estudio planteado en el punto anterior, supongamos que tratamos de estimar la proporción de mujeres que trabajan diariamente 10 horas o más. De un estudio piloto se dedujo que P=0.30, fijamos el nivel de confianza en 0.95 y el error máximo 0.02. 4.9.-Aplicaciones I.- Sobre la variedad de Métodos de Estimación en el contexto multiecuacional - Los modelos multiecuacionales se caracterizan por presentar un sistema interconectado de variables y ecuaciones, es decir, un sistema en el que la simultaneidad entre endógenas aparece en mayor o menor medida. - Precisamente esa mayor o menor simultaneidad en las relaciones entre endógenas es un factor decisivo para determinar las propiedades de los distintos métodos de estimación. Esto no significa que sea la única variable a considerar (afectará también la identificabilidad del modelo o el deseo de una estimación asintóticamente eficiente), pero sí resulta el primero de los factores ANALÍTICAMENTE claves para una primera aproximación al método de estimación correcto. Estadistica Inferencial 2013 131 - En ese sentido, la primera de las clasificaciones de los distintos estimadores disponibles responde en gran medida al criterio de la simultaneidad; cada uno de los grandes grupos de métodos se configura para ser aplicado a modelos con mayor o menor simultaneidad. - Métodos de Estimación de Enfoque Directo: Cada ecuación se estima de forma separada y sin atender en ninguna medida a la información del resto del modelo. Por ni la presencia de otras endógenas y/o exógenas ni, por supuesto, la configuración concreta del resto de ecuaciones, son relevantes en los resultados obtenidos en cada ecuación. (MCO) - Métodos de Estimación con Información Limitada: Cada ecuación se estima también de forma aislada pero, al menos, se requiere información sobre la presencia de otras variables en el modelo (qué endógenas y qué exógenas aparecen en el modelo); sigue sin ser imprescindible, eso si, la especificación concreta de cada ecuación. Así pues, algunos cambios en el modelo, por ejemplo la inclusión de nuevas exógenas o endógenas, podrían afectar a los resultados de la estimación obtenidos en cada ecuación. (MCI, MC2E) - Información Completa: No se estiman los parámetros de cada ecuación por separado, sino que se aborda la estimación conjunta de todo el modelo. Es imprescindible, por tanto, conocer la especificación detallada, concreta, de cada una de las ecuaciones del modelo. Del mismo modo, cualquier cambio, por pequeño que sea, en las variables o especificación de cada ecuación requerirá una nueva estimación de todos los parámetros del modelo. - Visto lo anterior, parece evidente que, desde el punto de vista analítico, la forma en la que el analista adecua el método de estimación al tipo de modelo especificado, teniendo por tanto en cuenta esa mayor o menor presencia de simultaneidad, influye en las propiedades de los estimadores obtenidos. - Al contrario de lo que pudiera parecer, la utilización de métodos de enfoque directo no es siempre una simplificación poco recomendable: - Analíticamente: 1. Cada situación requiere la correcta selección del método de estimación adecuado. La utilización de métodos de información limitada o completa en modelos no simultáneos puede generar estimaciones con indeseables propiedades analíticas. Por ejemplo, la utilización de MC2E en ausencia de simultaneidad genera estimaciones ineficientes. 2. Como se verá más adelante, ningún método de información limitada o información completa genera, para muestras pequeñas, estimaciones insesgadas (cosa distinta será para muestras grandes) por lo que, en presencia de muestras pequeñas, el hipotético beneficio derivado de su aplicación podría no compensar (1) ni el esfuerzo necesario para su Estadistica Inferencial 2013 132 desarrollo ni (2) la pérdida de eficiencia respecto al, eficiente en estos casos, MCO. - Operativamente 1. La utilización de MCO en cada ecuación por separado resulta un test muy valioso para evaluar, al menos preliminarmente, y aún de de forma aislada, la especificación de cada ecuación. 2. Los métodos de estimación con información limitada, y especialmente los métodos con información completa exigen completar al 100% la tarea de especificación del modelo antes de abordar su estimación. Esta cuestión complica la programación y desarrollo de tareas en cualquier proyecto de análisis econométrico ya que, en realidad, los procesos de especificación, estimación y contraste no se realizan de forma lineal, sino que suelen abordarse como un “todo”, con frecuentes “vueltas atrás” y replanteamientos en cada una de los etapas. 3. Los métodos de estimación con información completa o limitada son complejos de desarrollar (generalmente implican métodos de estimación no lineal) exigiendo amplios recursos para la obtención de la estimación. 4. Por otro lado, estos métodos exigen importantes recursos adicionales de mantenimiento y uso (cualquier cambio en una parte exige la actualización y revisión del modelo en su conjunto). 5. La utilización de métodos de estimación simultánea favorece el contagio de todo el modelo ante problemas de especificación aislados en una ecuación. - Por todo lo anterior, puede entenderse que, en la práctica, los modelos multiecuacionales se estiman en muchas ocasiones con métodos de enfoque directo aunque en puridad analítica puedan ser recomendables métodos de información limitada o completa. La rapidez, la sencillez y flexibilidad de actualización, mantenimiento y uso de modelos estimados con enfoques directos compensan en ocasiones unas imprecisiones analíticas que, frecuentemente, y para muestras pequeñas, no son muy significativas. II.- Mínimos Cuadrados Ordinarios - La aplicación de MCO en un sistema de ecuaciones sin simultaneidad genera (en ausencia de otros problemas de especificación individual de cada ecuación) estimaciones insesgadas, consistentes y eficientes en tanto que su utilización en modelos con simultaneidad (y, por tanto, con riesgo de regresores estocásticos correlacionados con las perturbaciones aleatorias) no garantiza la insesgadez Estadistica Inferencial 2013 133 (riesgo de estimaciones sesgadas) ni la consistencia (el sesgo no sólo se presenta en muestras pequeñas sino que se mantiene para muestras grandes). - Así pues, y más allá de los matices prácticos anteriormente señalados que parecen apoyar las “ventajas relativas” de la utilización de estimadores directos, lo cierto es que el estimador MCO sólo es analíticamente recomendable para modelos sin simultaneidad o recursivos (también llamados triangulares 1 ). - Efectivamente, en este tipo de modelos las endógenas que actúan como explicativas en las ecuaciones no estarán relacionadas con las perturbaciones de las mismas lo cual impide que se generen problemas de sesgo en la estimación. (Se recomienda estudiar el ejemplo mencionado a pie de página 2 ) III.- Mínimos Cuadrados Indirectos - En presencia de simultaneidad, una primera estrategia para resolver los indeseables efectos derivados de la aplicación directa de MCO (sesgo e inconsistencia) es la utilización de la estrategia de estimación conocida como MCI. - La utilización de MCI se realiza en dos pasos: 1. Se determina la forma reducida de cada ecuación, y se estiman con MCO los parámetros de la forma reducida (parámetros “π”) para cada ecuación en lugar de estimar los parámetros de su forma estructural. (parámetros “β” y “γ”). 2. Una vez estimados estos parámetros “π”, se determinan los parámetros “β” y “γ” de la forma estructural a partir de la solución al sistema de ecuaciones que determina la relación aritmética entre unos y otros. * 1 * HI = ÷ H = I ÷ B B - El método de estimación supone, efectivamente, un enfoque de información limitada. Para la estimación de cada ecuación no resulta necesario conocer el detalle de la especificación del resto de las ecuaciones, si bien se requiere disponer de la “lista” de variables endógenas y exógenas del modelo en su conjunto (de otro modo resuelta imposible determinar la forma reducida de cada ecuación y su identificabilidad). - Ventajas: 1 La denominación de triangulares hace referencia a la forma necesariamente “triangular” de la matriz de coeficientes “gamma” de este tipo de modelos. 2 Gujarati, N. (2003). Pg. 737 Estadistica Inferencial 2013 134 1. En la forma reducida de las ecuaciones todos los regresores (variables del lado derecho) son exógenas, es decir, no existen regresores estocásticos (o al menos, no existen regresores estocásticos provocados por la simultaneidad del modelo) 3 . 2. Por tanto, la estimación con MCO de los parámetros “π” sería analíticamente adecuada. En concreto, las estimaciones MCO de estos parámetros de la forma reducida serían siempre consistentes. Además, y aunque no entraremos en detalle, puede garantizarse la insesgadez y la eficiencia asintótica de estas estimaciones en buena parte de las situaciones analíticas más comunes. 4 3. Al abordarse por separado la estimación de cada ecuación se evitan los inconvenientes ya comentados derivados de la aplicación de métodos simultáneos. - Limitaciones: 1. Una primera de orden general se refiere al tamaño muestral y al número de regresores exógenos. Debe observarse que la aplicación de MCI requiere la estimación de las ecuaciones en la forma reducida lo cual sólo es posible si el número de datos excede el de exógenas (n>k). Esto no siempre sucede, en especial si los modelo son grandes (muchas ecuaciones) y, por tanto, implican un número considerable de variables exógenas que, con relativa facilidad, suele superar el tamaño muestral. 2. Conviene no perder de vista el objetivo final de la estimación que, evidentemente, consiste en obtener los parámetros de la forma estructural, no los de la forma reducida. Así pues, la aplicación de este método para la estimación de los parámetros de cada ecuación implica que las ecuaciones deben ser exactamente identificables ya que, de otro modo, no puede obtenerse una solución única para los parámetros “β” y “γ” a partir de las estimaciones de los parámetros “π”. 3. Los parámetros “β” y “γ” se obtienen como funciones continuas de los parámetros estimados “π”. Si bien los parámetros “π” estimados por MCO presentan buenas propiedades, no se garantiza que los parámetros de la forma estructural, generalmente funciones no lineales de los primeros, “hereden” esas buenas propiedades. En concreto, se 3 No debe obviarse que, más allá de la cuestión de la simultaneidad del modelo multiecuacional, una determinada ecuación puede tener un problema de regresores estocásticos que nada tengan que ver con el modelo multiecuacional. Por ejemplo, en una regresión puede aparecer como explicativa la endógena retardada (que en términos del modelo multiecuacional se consideraría exógena) o una exógena puede presentar claros problemas de sesgo de medida … en estos dos casos, el modelo podría presentar problemas derivados de la aparición de regresores estocásticos que nada tendrían que ver con la presencia o ausencia de simultaneidad en el modelo. 4 En concreto, puede demostrarse que para que estas dos propiedades se cumplan resulta necesario evitar endógenas desplazadas en la especificación y garantizar, así mismo, una clara distribución normal de las perturbaciones aleatorias. Estadistica Inferencial 2013 135 demuestra que estos parámetros heredan las propiedades asintóticas (consistencia y eficiencia asintótica) pero no las de las muestras pequeñas (eficiencia en muestras pequeñas o insesgadez). Así pues, cuando se trabaja con muestras pequeñas (lo cual resulta relativamente habitual), debe saberse que las estimaciones con MCI seguirán siendo sesgadas e ineficientes. 4. Al utilizar MCI no dispondremos, al menos fácilmente 5 , de la desviación típica estimada de los parámetros, una información que, como sabemos, resulta imprescindible para poner en marcha cualquier contraste de hipótesis relativa a estos parámetros. Evidentemente, podemos estimar la varianza de los parámetros “π”, pero no así la de los parámetros estructurales “β” y “γ” ya que, en realidad, no estimamos la ecuación estructural sino la reducida y, por lo tanto, no contamos con una estimación de los residuos asociados a la perturbación aleatoria estructural “U”. Sin esos residuos y la correspondiente varianza estimada de la perturbación aleatoria no podemos computar las varianzas de los parámetros. IV.- Mínimos Cuadrados en dos Etapas (MC2E) - En presencia de simultaneidad, una segunda estrategia para resolver los indeseables efectos derivados de la aplicación directa de MCO (sesgo e inconsistencia) es la utilización de la estrategia de estimación conocida como MC2E. - El procedimiento consiste en utilizar MCO sobre la forma estructural pero, antes de ello, reemplazar los valores reales originales de las variables explicativas de cada ecuación (es decir, las endógenas que aparecen en el lado derecho de cada ecuación) por sus valores MCO estimados en la forma reducida (de otro modo, no podríamos plantear la estimación de la forma reducida). - Para ilustrar el procedimiento operativo de MC2E, supongamos el siguiente modelo simultáneo con 2 ecuaciones: i i i i i i i i i i U Y X X Y U Y X X Y 2 1 21 3 23 1 21 2 1 2 12 2 12 1 11 1 + + + = + + + = ¸ | | ¸ | | 5 Gujarati (Econometría, 2003, 4º Edición, pg. 743) señala que no resulta sencillo estimar estas desviaciones típicas a partir de las desviaciones obtenidas para los parámetros de la forma reducida y sólo cabe una determinación aproximada para muestras grandes. Estadistica Inferencial 2013 136 Para la primera ecuación, antes de proceder a la estimación directa con MCO, reemplazamos los valores originales de la variable Y 2i (un regresor estocástico potencialmente relacionado con U 1i ) por una estimación obtenida aplicando MCO sobre su forma reducida, es decir: i i i i i i i i i i i i i i V X X X Y X X X Y V X X X Y 2 3 23 2 22 1 21 2 3 23 2 22 1 21 2 2 3 23 2 22 1 21 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + + + = ÷ ÷ + + = ÷ ÷ + + + = t t t t t t t t t Así, pues, la ecuación a estimar sería ahora: ( ) i i i i i i U V Y X X Y 1 2 2 12 2 12 1 11 1 ˆ ˆ + + + + = ¸ | | o lo que es igual, ( ) i i i i i i V U Y X X Y 2 12 1 2 12 2 12 1 11 1 ˆ ˆ ¸ ¸ | | + + + + = - Como puede observarse, estamos nuevamente ante una estimación con información limitada ya que, nuevamente, no necesitamos conocer la especificación concreta de cada ecuación pero sí la lista de regresores (X) y endógenas (Y) del modelo. - Ventajas: 1. De nuevo, como ya ocurriera con MCI, se aborda la estimación aislada de cada ecuación lo que, operativamente, supone una ventaja y evita el contagio a todo el modelo de los errores presentes en una ecuación. 2. La utilización de los valores estimados de las explicativas evita la presencia de regresores estocásticos relacionados con la perturbación aleatoria; las variables explicativas originales son aleatorias pero sus valores estimados procedentes de la forma reducida no lo son 6 . 3. Así pues, en principio cabe pensar que la utilización de estimadores MC2E en presencia de simultaneidad produce estimaciones 6 Esto es, en realidad, mentira. Es cierto que el valores estimado de las explicativas no depende de la perturbación aleatoria “V” sino exclusivamente de regresores deterministas “X”. Sin embargo, debe observarse que esas estimaciones son, efectivamente, combinaciones lineales de las exógenas “X” pero también de los parámetros estimados para “π”. Los parámetros reales poblacionales “π” no son variables aleatorias pero sus estimaciones sí lo son. Así pues, en realidad la estimación de las endógenas a partir de la forma reducida es también aleatoria y probablemente correlacionada con la nueva perturbación aleatoria transformada de la ecuación estructural. Sin embargo, puede demostrarse que esa relación es ya indirecta y si existe, muy leve y, por tanto, con escasos efectos (o nulos para muestras grandes) sobre las estimaciones MCO de la nueva forma estructural. Estadistica Inferencial 2013 137 consistentes (es decir, evita el problema de los regresores estocásticos). No obstante, como ya ocurriera con MCI, la insesgadez y la eficiencia sólo se lograrán para muestras grandes, sin que pueda garantizarse para estimaciones con conjuntos de datos reducidos. 4. Sin embargo, además de compartir con MCI estas buenas propiedades asintóticas, la estimación MC2E presenta ventajas adicionales: a. Resulta más sencillo de aplicar dado que no tenemos que resolver el sistema de ecuaciones de la segunda etapa de MCI; el método sólo requiere dos sencillas estimaciones sucesivas por MCO. b. No requiere que la ecuación sea exactamente identificable; puede utilizarse también por tanto para ecuaciones superidentificables. c. Es más robusto que el método MCI ante problemas de especificación o multicolinealidad en las ecuaciones. d. Aunque en muestras pequeñas las ventajas de ambos estimadores se desvanecen, se ha demostrado que, en estos casos, el comportamiento de MC2E es relativamente mejor que el de MCI. e. En contraste con MCI, la aplicación de MC2E sí permite disponer de una estimación de las varianzas de los parámetros. Efectivamente, en la segunda etapa realizamos una estimación de los parámetros estructurales “β” y “γ” y, por tanto, disponemos de unos residuos 7 derivados de esta estimación que nos permiten calcular las desviaciones típicas de los parámetros estimados. - Limitaciones: 1. Como ya ocurriera con MCI, el procedimiento de MC2E exige la estimación de la forma reducida de cada ecuación lo cual sólo es posible si n>k. 7 En realidad, y continuando con el ejemplo utilizado previamente, debe observarse que, para la primera ecuación, contamos con una estimación de la perturbación “transformada” ( ) i i i V U U 2 12 1 * 1 ˆ ¸ + = que no corresponde exactamente a la perturbación original “U 1i ”. Un procedimiento que permite aproximar el residuo correspondiente a la perturbación original consiste en recalcular los residuos de cada ecuación utilizando los parámetros estimados en MC2E pero aplicados sobre los datos reales de Y i , no sobre sus estimaciones de la forma reducida (es decir, usar las estimaciones de la forma reducida para el cómputo de los parámetros, pero no para el cálculo de los residuos). Estadistica Inferencial 2013 138 V.- UN breve apunte sobre Mínimos Cuadrados en tres Etapas (MC3E) - Como ya se ha dicho anteriormente, en los modelos multiecuacionales puede existir relación entre perturbaciones aleatorias correspondientes a distintas ecuaciones; de hecho, la presencia de simultaneidad entre las ecuaciones del modelo se manifiesta, necesariamente, en la existencia de relaciones entre perturbaciones. Así, por ejemplo, considere el modelo utilizado previamente en un ejemplo: i i i i i i i i i i U Y X X Y U Y X X Y 2 1 21 3 23 1 21 2 1 2 12 2 12 1 11 1 + + + = + + + = ¸ | | ¸ | | En este modelo, resulta clara la siguiente cadena causal: 0 ) , ( 0 ) , ( 0 ) , ( 1 2 1 2 1 1 = ÷ = = i i i i i i U Y Cov Y Y Cov y U Y Cov y dado que: 0 ) , ( 2 2 = i i U Y Cov entonces: 0 ) , ( 2 1 = i i U U Cov - Efectivamente, tal y como se indicó en la introducción y formulación de los modelos multiecuacionales, dado que la simultaneidad es una característica casi esencial de un sistema multiecuacional, debe considerarse analíticamente la posible existencia de relaciones entre perturbaciones aleatorias de distintas ecuaciones. Esa relación, en todo caso, debía ser contemporánea y constante para “i”; hablábamos así de “homocedasticidad interecuacional”. - Precisamente denominábamos Σ a la matriz que contenía, en su diagonal principal, las varianzas homocedásticas de la perturbación de cada ecuación y, fuera de la diagonal principal, las covarianzas contemporáneas y constantes entre perturbaciones de distintas ecuaciones. Estadistica Inferencial 2013 139 ( ) | | | | | | | | . | \ | · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · = = = E gg g i i i U U E U Cov o o o o o o 22 21 1 12 11 ' - Aunque tanto MCI como MC2E consideran la existencia de simultaneidad en los modelos multiecuacionales y tratan de evitar los potenciales efectos negativos de una estimación MCO directa, lo cierto es que ninguno de los dos métodos considera de forma explícita, en el cálculo de los parámetros, la relación entre las perturbaciones aleatorias de las distintas ecuaciones. La característica diferencial del método de estimación MC3E es, precisamente, la de integrar explícitamente el cálculo de esa relación en el proceso de estimación de los parámetros. - La aplicación específica del método exige, como es lógico, disponer de una estimación previa de Σ, una estimación que se deriva de la estimación previa del modelo mediante MC2E. Así pues, las dos primeras etapas del método MC3E son, en realidad, coincidentes con MC2E. - Una vez estimadas las ecuaciones de forma individual con MC2E, se utilizan los residuos de cada ecuación para estimar varianzas y covarianzas de la matriz Σ. - En el último de los pasos, y una vez que disponemos de esa matriz Σ, la idea consiste en aplicar MCG sobre el modelo en su forma estructural. Para ello, y dado que debe abordarse la estimación conjunta de todos los parámetros del modelo, se “rediseñan” las matrices de datos, tanto en lo que se refiere al “lado izquierdo” del modelo (los valores de las endógenas de todas las ecuaciones) como en lo que se refiere al lado derecho (valores de las exógenas y de las endógenas explicativas de cada ecuación). Este “rediseño” de las matrices del modelo trata, insistimos, de poder estimar los parámetros de forma simultánea, introduciendo en ese cálculo, la información contenida en la matriz de relaciones entre perturbaciones Σ. Dado que el objeto de este documento no es otro que situar de forma muy general las características diferenciales del método MC3E, no se detalla la forma en que han de “apilarse” las matrices originales, pero puede encontrarse una referencia detallada al procedimiento en el libro “Modelos Econométricos” de Antonio Pulido (Ed. Pirámide), en cualquiera de sus versiones. - Ventajas: 1. La estimación con MC3E no supone claras diferencias en términos de sesgo y consistencia si bien mejora la eficiencia asintótica de los estimadores respecto a MC2E siempre y cuando persistan relaciones significativas entre las perturbaciones aleatorias. - Limitaciones: Estadistica Inferencial 2013 140 1. La primera y más evidente es que el procedimiento es algo más engorroso que el necesario para la aplicación de MCI y MC2E, es decir, como ya se dijera en la introducción, consume muchos más recursos que la aplicación de los otros métodos 2. El segundo inconveniente reside en la estimación conjunta de todos los parámetros. Esta estimación conjunta requiere que la especificación esté perfectamente determinada para todas las ecuaciones del modelo. 3. Por otro lado, si bien la matriz Σ sirve como vínculo entre ecuaciones para representar la simultaneidad de una forma bien elaborada, también sirve de vía de contagio e los errores presentes en cada ecuación. Es decir, los errores de especificación o de medición de datos no sólo afectan a la ecuación en la que se localizan sino que, en cierta medida, también al resto de parámetros del modelo. Por ese motivo, este tipo de método de estimación simultáneo resulta especialmente indicado para modelos con escaso riesgo de especificación (ya contrastados por experiencias previas) y con datos confiables. 4. Además, puede comprobarse analíticamente que la estimación mediante MC3E, en concreto la necesidad de invertir la matriz Σ , requiere que el número de datos exceda al de ecuaciones (n>g) por lo que no puede utilizarse en modelos con numerosas ecuaciones. ;por otro lado, antes de llevar a cabo la última etapa de MC3E, la estimación previa MC2E exige que (n>k). En definitiva, y supuesta la limitación habitual de las muestras (“n” moderado o pequeño), el método sólo puede aplicarse en modelos “pequeños”, es decir, con pocas ecuaciones (g) y pocas exógenas (k). 5.1.-Prueba de Z para diferencia entre dos proporciones Las pruebas de proporciones son adecuadas cuando los datos que se están analizando constan de cuentas o frecuencias de elementos de dos o más clases. El objetivo de estas pruebas es evaluar las afirmaciones con respecto a una proporción (o Porcentaje) de población. Las pruebas se basan en la premisa de que una proporción muestral (es decir, x ocurrencias en n observaciones, o x/n) será igual a la proporción verdadera de la población si se toman márgenes o tolerancias para la variabilidad muestral. Las pruebas suelen enfocarse en la diferencia entre un número esperado de ocurrencias, suponiendo que una afirmación es verdadera, y el número observado realmente. La diferencia se compara con la variabilidad prescrita mediante una distribución de muestreo que tiene como base el supuesto de que es realmente verdadera. En muchos aspectos, las pruebas de proporciones se parecen a las pruebas de medias, excepto que, en el caso de las primeras, los datos muestrales se consideran como cuentas en lugar de como mediciones. Por ejemplo, las pruebas para medias y proporciones se pueden utilizar para evaluar afirmaciones con respecto a: 1) Un parámetro de población único (prueba de una muestra) 2) La igualdad de parámetros de dos poblaciones (prueba de dos muestras), y 3) La igualdad de parámetros de más de dos poblaciones (prueba de k muestras). Además, para tamaños grandes de muestras, la distribución de muestreo adecuada para pruebas de proporciones de una y dos muestras es aproximadamente normal, justo como sucede en el caso de pruebas de medias de una y dos muestras. Prueba de proporciones de una muestra Cuando el objetivo del muestreo es evaluar la validez de una afirmación con respecto a la proporción de una población, es adecuado utilizar una prueba de una muestra. La metodología de prueba depende de si el número de observaciones de la muestra es grande o pequeño. Estadistica Inferencial 2013 141 Como se habrá observado anteriormente, las pruebas de grandes muestras de medias y proporciones son bastante semejantes. De este modo, los valores estadísticos de prueba miden la desviación de un valor estadístico de muestra a partir de un valor propuesto. Y ambas pruebas se basan en la distribución normal estándar para valores críticos. Quizá la única diferencia real entre las ambas radica en la forma corno se obtiene la desviación estándar de la distribución de muestreo. Esta prueba comprende el cálculo del valor estadístico de prueba Z Posteriormente este valor es comparado con el valor de Z, obtenido a partir de una tabla normal a un nivel de significación seleccionado. Como ocurrió con la prueba de medias de una muestra, las pruebas de proporciones pueden ser de una o dos colas. La primera alternativa establece una prueba de cola derecha, la segunda, izquierda y la tercera, una prueba de dos colas. Ejemplo ilustrativo En un estudio se afirma que 3 de 10 estudiantes universitarios trabajan. Pruebe esta aseveración, a un nivel de significación de 0,025, respecto a la alternativa de que la proporción real de los estudiantes universitarios trabajan es mayor de lo que se afirma, si una muestra aleatoria de 600 estudiantes universitarios revela que 200 de ellos trabajan. La muestra fue tomada de 10000 estudiantes. Los datos son: Estadistica Inferencial 2013 142 Como en los datos aparece el tamaño de la población, se debe verificar si el tamaño de la nuestra es mayor que el 5%. Se remplaza valores en la siguiente fórmula: Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: Estadistica Inferencial 2013 143 El gráfico elaborado en Winstats y Paint se muestra a continuación: Decisión: Prueba de proporciones de dos muestras El objetivo de una prueba de dos muestras es determinar si las dos muestras independientes fueron tomadas de dos poblaciones, las cuales presentan la misma proporción de elementos con determinada característica. La prueba se concentra en la diferencia relativa (diferencia dividida entre la desviación estándar de la distribución de muestreo) entre las dos proporciones muestrales. Diferencias pequeñas denotan únicamente la variación casual producto del muestreo (se acepta H0), en tanto que grandes diferencias significan lo contrario (se rechaza H0). El valor estadístico de prueba (diferencia relativa) es comparado con un valor tabular de la distribución normal, a fin de decidir si H0 es aceptada o rechazada. Una vez más, esta prueba se asemeja considerablemente a la prueba de medias de dos muestras. La hipótesis nula en una prueba de dos muestras es Estadistica Inferencial 2013 144 5.2.-Prueba de Z para la diferencia entre proporciones Se ponen a prueba la enseñanza de la Estadística empleando Excel y Winstats. Para determinar si los estudiantes difieren en términos de estar a favor de la nueva enseñanza se toma una muestra de 20 estudiantes de dos paralelos. De paralelo A 18 están a favor, en tanto que del paralelo B están a favor 14. ¿Es posible concluir con un nivel de significación de 0,05 que los estudiantes que están a favor de la nueva enseñanza de la Estadística es la misma en los dos paralelos?. Los datos son: Las hipótesis son Estadistica Inferencial 2013 145 Calculando la proporción muestral se obtiene: Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: Estadistica Inferencial 2013 146 El gráfico elaborado en Winstats y Paint se muestra a continuación: Decisión: Estadistica Inferencial 2013 147 Prueba de proporciones de k muestras La finalidad de una prueba de k muestras es evaluar la aseveración que establece que todas las k muestras independientes provienen de poblaciones que presentan la misma proporción de algún elemento. De acuerdo con esto, las hipótesis nula y alternativa son En una muestra se puede dar un conjunto de sucesos, los cuales ocurren con frecuencias observadas "o"(las que se observa directamente) y frecuencias esperadas o teóricas "e" (las que se calculan de acuerdo a las leyes de probabilidad). Por lo tanto el valor estadístico de prueba para este caso es la prueba ji cuadrado o conocida también como chi cuadrado Como sucede con las distribuciones t y F, la distribución ji cuadrado tiene una forma que depende del número de grados de libertad asociados a un determinado problema. Para obtener un valor crítico (valor que deja un determinado porcentaje de área en la cola) a partir de una tabla de ji cuadrado, se debe seleccionar un nivel de significación y determinar los grados de libertad para el problema que se esté resolviendo. Estadistica Inferencial 2013 148 Ejemplos ilustrativos: Determine el número de grados de libertad y obtenga el valores crítico en el niveles 0,05 se significación. Solución: Los grados de libertad se calculan aplicando la fórmula: Estadistica Inferencial 2013 149 Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: 2) La siguiente tabla muestra las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas al lanzar un dado 60 veces. Contrastar la hipótesis de que el dado es bueno, con un nivel de significación de 0,01. Estadistica Inferencial 2013 150 Cara del dado 1 2 3 4 5 6 Frecuencia observada 6 8 9 15 14 8 Frecuencia esperada 10 10 10 10 10 10 Solución: Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: Estadistica Inferencial 2013 151 El gráfico elaborado en Winstats y Paint se muestra a continuación: Decisión: Estadistica Inferencial 2013 152 5.3.-Prueba para la diferencia de n proporciones Pruebas de hipótesis de una y dos muestras Al terminar la unidad usted podrá: Hipótesis estadísticas Muchas veces, el problema al que se enfrenta un científico, ingeniero , o profesional, no es tanto la estimación de un parámetro poblacional, sino más bien la formación de un procedimiento de decisión que se base en la información proporcionada por la muestra. El profesional o ingeniero postula o conjetura algo acerca del valor que puede asumir cierto parámetro Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura con respecto a una o más poblaciones La verdad o falsedad de una hipótesis estadística, nunca se sabe con certeza, a menos que se examine toda la población. En su lugar, se toma una muestra aleatoria de esa población de interés y se utiliza la información de la muestra para proporcionar evidencias que apoyen o no la hipótesis. La evidencia de la muestra que es consistente con la hipótesis conduce al no rechazo de la hipótesis, mientras que si es inconsistente con la hipótesis conduce al rechazo de la misma. Debe quedar claro que la aceptación de una hipótesis implica que los datos de la muestra no dan la suficiente evidencia para rechazarla Generalmente el científico se interesa en apoyar con fuerza una opinión, por lo tanto desea llegar a la opinión en forma de rechazo Ejemplo 6.1 Si un investigador en medicina desea mostrar fuertes evidencias a favor de que el fumar aumenta el riesgo de contraer cáncer, la hipótesis a probar debe ser de la forma “no hay aumento en el riesgo de contraer cáncer como producto de fumar” Como resultado, seguramente la opinión se alcanza por medio de un rechazo. La estructura de la prueba de hipótesis se formula con el uso de una hipótesis nula, que se denota con Ho y es la hipótesis a probar. El rechazo de Ho conduce a la aceptación de la hipótesis alternativa H1 Una hipótesis nula siempre se establece de modo que el parámetro asuma un valor exacto 5.4.-Prueba de independencia PRUEBA DE INDEPENDENCIA En el análisis de independencia se considera que la muestra, una vez escogida, se clasifica según los criterios de interés; por ello se supone que las muestras provienen de una población. En las aplicaciones estadísticas es frecuente interesarse en calcular si dos variables de clasificación, ya sea cuantitativa o cualitativa, son independientes o si están relacionadas. En situaciones como las siguientes, se puede estar interesado en determinar si dos variables están relacionadas: ¿Están relacionados los hábitos de lectura con el sexo del lector? ¿Están relacionadas las calificaciones obtenidas con el número de faltas? ¿Es independiente la opinión sobre la política exterior de la política partidista? ¿Es independiente el sexo de una persona de su preferencia en colores? ¿Está relacionado el sexo con tener una educación universitaria? ¿Están relacionadas las enfermedades del corazón con el tabaquismo? Estadistica Inferencial 2013 153 ¿Son independientes el tamaño de una familia y el nivel de educación de los padres? ¿Está relacionado el desempleo con el incremento de la criminalidad? ¿El precio está asociado con la calidad de un producto electrodoméstico? ¿El estado nutricional esta asociado con el desempeño académico? Otra forma de expresar el hecho de que dos variables sean independientes, es diciendo, que no se afectan entre si; esto es que no están relacionadas o asociadas. Ilustraremos esta técnica con el estudio que realizó Cervecería Modelo, la cual fabrica y distribuye tres tipos de cerveza: ligera, clara y oscura. En un análisis de segmentación de mercado para las tres cervezas, el grupo de investigación encargado ha planteado la duda de si la preferencia para las tres cervezas es diferente entre los consumidores hombres y mujeres. Si la preferencia de las cervezas fuera independiente del género del consumidor, se iniciaría una campaña de publicidad para todas las cervezas Modelo. Sin embargo, si la preferencia depende del género del consumidor, se ajustarían las promociones para tener en cuenta los distintos mercados meta. Una prueba de independencia usa la pregunta de si la preferencia de la cerveza (ligera, clara y oscura) es independiente del genero del consumidor (hombre, mujer). Las hipótesis para esta prueba de independencia son: Ho: La preferencia de la cerveza es independiente del género del consumidor Ha: La preferencia de la cerveza no es independiente del género del consumidor Podemos usar una tabla como la 1 para describir el caso que se estudia. Después de identificar a la población, consumidores hombres y mujeres, se puede tomar una muestra y preguntar a cada persona que diga su preferencia entre las cervezas modelo. Cada persona de la muestra se clasificará en una de las seis celdas de la tabla. Por ejemplo una persona puede ser hombre y prefiera la cerveza clara [celda (1,2)], una mujer que prefiere la cerveza ligera [celda (2,1)], una mujer que prefiere la cerveza oscura [celda (2,3)] y así sucesivamente. Como en la lista aparecen todas las combinaciones posibles de predilección de cerveza y género, en otras palabras aparecen todas las contingencias posibles, a la tabla se le llama tabla de contingencia. Supongamos que se ha tomado una muestra aleatoria simple de 150 bebedores de cerveza. Después de saborear cada una, se les pide expresar su preferencia o primera alternativa. La tabulación cruzada de la siguiente tabla 2 resume las respuestas obtenidas. Observamos que, los datos para la prueba de independencia se agrupan en términos de cantidades o frecuencias para cada celda o categoría. De las 150 personas de la muestra, 20 fueron hombres que prefirieron la cerveza ligera, 40 fueron mujeres que prefirieron la cerveza clara, 20 fueron hombres que prefirieron la cerveza oscura, y así sucesivamente. Los datos de la tabla 2 constituyen las frecuencias observadas para las seis clases o categorías. Cerveza preferida Género Ligera Clara Oscura Total Hombre 20 40 20 80 Mujer 30 30 10 70 Total 50 70 30 150 Cerveza preferida Ligera Clara Oscura Género Hombre Celda (1,1) Celda (1,2) Celda (1,3) Mujer Celda (2,1) Celda (2,2) Celda (2,3) Estadistica Inferencial 2013 154 Si podemos determinar las frecuencias esperadas bajo la hipótesis de independencia entre la preferencia de cerveza y el género del consumidor, podemos usar la distribución ji cuadrada para determinar si existe una diferencia significativa entre la frecuencia observada y la esperada. Las frecuencias esperadas en las celdas de la tabla de contingencia se basan en el siguiente razonamiento. Primero suponemos que es verdadera la hipótesis nula, de independencia entre la cerveza preferida y el género del consumidor. A continuación observamos que en toda la muestra de 150 consumidores, hay 50 que prefieren la cerveza ligera, 70 la cerveza clara y 30 la cerveza oscura. Expresada en fracción, la conclusión es que de 50/150 = 1/3 de los consumidores de cerveza prefieren la ligera; 70/150 = 7/15 la clara y 30/150 = 1/5 la oscura. Si es válida la hipótesis de independencia, decimos que estas fracciones se deben de aplicar por igual a los consumidores hombres y mujeres. Así bajo la hipótesis de independencia, esperaríamos que la muestra de 80 consumidores hombres indicara que (1/3) 80 = 26.7 prefieren cerveza ligera, (7/15) 80 = 37.33 la clara y (1/5) 80 = 16 la oscura. La aplicación de las mismas fracciones a las 70 consumidoras mujeres produce las frecuencias esperadas que aparecen en la tabla. Sea la frecuencia esperada en la categoría del renglón i y la columna j de la tabla de contingencia. Con esta notación reconsideremos el cálculo de la frecuencia esperada para los hombres (renglón i = 1) que prefieren la cerveza clara (columna j = 2) esto es, la frecuencia esperada . Apegándonos al esquema anterior para el cálculo de las frecuencias esperadas, podemos demostrar que = (7/15) 80 = 37.33 Esta ecuación se puede escribir como sigue = (7/15) 80 = (70/150) 80 = 37.33 Observe que 80 es la cantidad total de hombres (total del renglón 1), 70 es la cantidad total de individuos (hombres y mujeres) que prefieren la cerveza clara (total de la columna 2) y 150 es el tamaño de la muestra total. En consecuencia vemos Al generalizar la ecuación vemos que la fórmula siguiente determina las frecuencias esperadas de una tabla de contingencias para la prueba de independencia. Frecuencias esperadas en la tabla de contingencia suponiendo independencia El procedimiento de prueba para comparar frecuencias observadas con las frecuencias esperadas, se parece a los cálculos de bondad de ajuste. Específicamente, el valor de basados en ij e 2 , 1 e 2 , 1 e 2 , 1 e muestra la de tamaño columna la de total renglón del total e ) 2 ( ) 1 ( 2 , 1 = muestra la de tamaño j columna la de total i renglón del Total e ij ) ( ) ( = 2 _ Cerveza preferida Género Ligera Clara Oscura Total Hombre 26.67 37.33 16.00 80 Mujer 23.33 32.67 14.00 70 Total 50.00 70.00 30.00 150 Estadistica Inferencial 2013 155 las frecuencias observadas y esperadas se calcula como sigue: O i = Valor observado en la i-ésimo celda. E i = Valor esperado en la i-ésimo celda. K = Categorías o celdas. Con n renglones y m columnas en la tabla de contingencia, el estadístico de prueba tiene una distribución ji cuadrada con (n – 1) (m – 1) grados de libertad, siempre y cuando las frecuencias esperadas sean 5 o más para todas las categorías. En consecuencia proseguimos con el cálculo de la estadística de prueba ji cuadrada. Los cálculos necesarios para determinar el estadística ji cuadrada y ver si la preferencia de cerveza es independiente del género de quien la bebe se ven en la tabla. La cantidad de grados de libertad para la distribución ji cuadrada adecuada se determina multiplicando la cantidad de renglones menos 1 por la cantidad de columnas menos 1. Como tenemos dos renglones y tres columnas, entonces (2 – 1) (3 – 1) = (1) (2) = 2 grados de libertad para la prueba de independencia entre cerveza y género del consumidor. Con = .05 como nivel de significancía de la prueba, buscamos en la tabla de ji cuadrada y nos da un valor = 5.99. Observe que estamos usando el valor de la cola superior, porque rechazaremos la hipótesis nula sólo si las diferencias entre frecuencias observadas y esperadas producen un valor grande de . En el ejemplo =6.13 es mayor que = 5.99. Por consiguiente, rechazaremos la hipótesis nula de independencia y concluimos que la cerveza preferida no es independiente del género del consumidor, es decir, la preferencia para las tres cervezas es diferente entre los consumidores hombres y mujeres y por lo tanto la Cervecería Modelo deberá estratificar a los consumidores para ajustar las promociones y la publicidad, teniendo en cuenta estas diferencias. o 2 05 . _ 2 _ 2 _ 2 _ Género Cerveza Hombre ligera 20 26.67 -6.67 44.4889 1.66812523 Hombre clara 40 37.33 2.67 7.1289 0.19096973 Hombre Oscura 20 16 4 16 1 Mujer ligera 30 23.33 6.67 44.4889 1.90693956 Mujer clara 30 32.67 -2.67 7.1289 0.21820937 Mujer Oscura 10 14 -4 16 1.14285714 6.12710104 o f e f ) ( e o f f ÷ 2 ) ( e o f f ÷ ij e o e f f / ) ( 2 ÷ 2 _ | | ¿ = ÷ = k i e e o i i i f f f 1 2 2 _ Estadistica Inferencial 2013 156 5.5.-Prueba de contingencia PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS Distribución chi-cuadrada ( _ 2 ) La distribución chi cuadrada es toda una familia de distribuciones. Existe una distribución chi-cuadrada para cada grado de libertad. La Figura 1 muestra que a medida que se incrementan los grados de libertad la distribución se vuelve menos sesgada. Las aplicaciones más comunes de la distribución chi-cuadrada son (1) pruebas de bondad de ajuste y (2) pruebas de independencia. A. Pruebas de bondad de ajuste Medidas sobre que tan cerca se ajustan los datos muestrales observados a una forma de distribución particular planteada como hipótesis. Si el ajuste es razonablemente cercano, puede concluirse que si existe la forma de distribución planteada como hipótesis. Prueba chi-cuadrada ( ) ¿ = ÷ = k 1 i i 2 i i 2 E E O _ (1.1) donde k: Número de categorías o clases k-m-1: grados de libertad donde m es el número de parámetros a estimar. 1.Prueba para un ajuste uniforme. Juan Pérez, director de Mercadeo de Alden de Juárez, tiene la responsabilidad de controlar el nivel de existencias para cuatro tipos de automóvil vendidos por la firma. En el pasado, ha ordenado nuevos automóviles bajo la premisa de que los cuatro tipos son igualmente populares y la demanda de cada tipo es la misma. Sin embargo, recientemente las existencias se han vuelto más difíciles de controlar, y Juan considera que debería probar su hipótesis respecto a una demanda uniforme. Sus hipótesis son: H 0 : La demanda es uniforme para los cuatro tipos de autos. H 1 : La demanda no es uniforme para los cuatro tipos de autos. La Tabla 1.1 muestra la expectativa uniforme para una muestra de 48 autos vendidos durante el último mes Tabla 1.1 Registro de Ventas de Alden de Juárez Tipo de auto Ventas observadas Ventas esperadas Ka 15 12 Fiesta 11 12 Focus 10 12 Clio 12 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 17 . 1 12 12 12 12 12 10 12 12 11 12 12 15 2 2 2 2 2 = ÷ + ÷ + ÷ + ÷ = _ Estadistica Inferencial 2013 157 Debido a que no hay parámetros que estimarse el número de grados de libertad es k-1 = 3 grados de libertad. Si Juan deseara probar al nivel del 5%, se encontraría, como lo muestra la Figura 1.2, que 815 . 7 2 3 , 05 . 0 = _ Regla de decisión: " 815 . 7 2 . 815 . 7 2 " > s _ _ si Rechazar si rechazar No Como 1.17 < 7.815, la hipótesis de que la demanda no es uniforme no se rechaza. B.Tablas de contingencia. Una prueba de independencia La distribución chi-cuadrada también permite la comparación de dos atributos para determinar si existe una relación entre ellas. Ejemplo. Paty Alvarado es la directora de investigación de Plaguicidas de Juárez. En su proyecto actual Paty debe determinar si existe alguna relación entre la clasificación de efectividad que los consumidores asignan a un nuevo insecticida y el sitio (urbano o rural) en el cual se utiliza. De los 100 consumidores a quienes se le aplicó la encuesta, 75 vivían en zonas urbanas y 25 en zonas rurales. La Tabla 1.2 resume las clasificaciones hechas por los consumidores. Tabla 1.2 Tabla de contingencia de Plaguicidas de Juárez Clasificación Urbano Rural Total Arriba del promedio 20 23.3 11 7.75 31 Promedio 40 36 8 12 48 Debajo del promedio 15 15.8 6 5.25 21 Total 75 25 100 H 0 : La clasificación y la ubicación son independientes. H 1 : La clasificación y la ubicación no son independientes. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 76 . 3 25 . 5 2 25 . 5 6 8 . 15 2 8 . 15 15 12 2 12 8 36 2 36 40 75 . 7 2 75 . 7 11 3 . 23 2 3 . 23 20 2 = ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ = _ La prueba tiene (r – 1)(c – 1) = (3 -1)(2 – 1) = 2 grados de libertad. Si Paty fija o = 10%, 605 . 4 2 2 , 10 . 0 = _ , la hipótesis nula no se rechaza. Prueba del signo Una prueba no paramétrica utilizada comúnmente para tomar decisiones en relación a diferencias entre poblaciones como contraparte de la distribución t, la cual requiere el supuesto de normalidad de ambas poblaciones. La prueba de signos es útil cuando no se cumple este supuesto. Se supone que se tienen datos antes y después para una muestra y se desean comparar estos conjuntos de datos correspondientes. Se hace restando las observaciones por pares, y se anota el signo algebraico resultante. No es importante la magnitud de la diferencia, sino solo si resulta un signo más o un signo menos. Estadistica Inferencial 2013 158 La hipótesis nula establece que no existe diferencia en los conjuntos de datos. Si esto es cierto, entonces un signo más y un signo menos son igualmente probables. La probabilidad de que ocurra cualquiera es de 0.50. Una prueba de dos extremos es: H 0 : m = p H 1 : m = p en donde m y p son los números de signos menos y de signos más, respectivamente. Una prueba de un solo extremo es: H 0 : m = p H 1 : m > p o H 0 : m = p H 1 : m < p Ejemplo. Un analista de mercado desea medir la efectividad de una campaña promocional del producto de su empresa. Antes de la campaña, selecciona 12 tiendas minoristas y registra las ventas del mes. Durante el segundo mes se termina la campaña promocional y se registran de nuevo las ventas. La Tabla 1.3 muestra los niveles de ventas, junto con el signo algebraico que resulta cuando las ventas del segundo mes se restan de las del primer mes. Tabla 1.3 Ventas para doce tiendas minoristas Tienda Antes Después Signo 1 $4200 $4000 + 2 $5700 $6000 - 3 $3800 $3800 0 4 $4900 $4700 + 5 $6300 $6500 - 6 $3600 $3900 - 7 $4800 $4900 - 8 $5800 $5000 - 9 $4700 $4700 0 10 $5100 $5200 - 11 $8300 $7200 + 12 $2700 $3300 - Se desea probar la hipótesis de que la promoción incrementó las ventas con un nivel de significancia del 5%. Esta es una prueba de extremo derecho, como se muestra enseguida: H 0 : m s p H 1 : m > p Pregunta: ¿Qué haría que se rechazara la hipótesis nula? 1) un número significativamente grande de signos menos 2) un número significativamente pequeño de signos más Número de signos menos = 6 Número de signos más = 4 Los valores que resultan en una diferencia de cero se eliminan. La Tabla de Distribución Binomial establece que la probabilidad de seis o más signos menos es: 3770 . 0 6230 . 0 1 ) 5 X ( P 1 ) 5 . 0 , 10 n | 6 m ( p = ÷ = s ÷ = = = > t Este valor de 0.3770 es la probabilidad de obtener seis o más signos menos ( o cuatro o menos signos más) si la probabilidad de ocurrencia de cualquier signo es de t = 0.5. Se nota que si el número de signos menos fuera inusitadamente grande, se rechazaría la hipótesis nula. Sin embargo, 6 no es un número grande. La probabilidad de su ocurrencia es mayor que un o de 0.5%, el evento de 6 signos menos no se considera Estadistica Inferencial 2013 159 grande, y la hipótesis nula de que H 0 : m s p no se rechaza, por lo tanto no se puede considerar que la promoción haya sido exitosa. Valor de Z para prueba del signo con muestras grandes (n > 30) n 5 . 0 n 5 . 0 5 . 0 k Z ÷ ± = La prueba de rachas Cuando no existe aleatoriedad, muchas de las herramientas estadísticas en las cuales se confía son de poco uso o de ningún uso. Para comprobar la aleatoriedad se utiliza una prueba de rachas. Prueba de rachas. Prueba no paramétrica de aleatoriedad en el proceso de muestreo. Racha. Una serie continua de uno o más símbolos. Ejemplo. Suponga que se seleccionan los empleados para un programa de entrenamiento. Si la selección no depende de si el empleado es de sexo masculino (m) o femenino (f), se esperaría que el género fuera un evento aleatorio. Sin embargo, si se detecta algún patrón en el género, se puede asumir que la aleatoriedad está ausente y que la selección se hizo, por lo menos en parte, con base en el género de un trabajador. Si existe un número inusualmente grande o inusualmente pequeño de rachas, se sugiere un patrón. Así, por ejemplo _____________________________________________ mmm ffffff mmm _____________________________________________ 1 2 3 _____________________________________________ Tres rachas existen en esta muestra. Tres hombres , seguidos de seis mujeres y luego tres hombres. Aparentemente existe ausencia de aleatoriedad. Consideremos ahora que el orden de selección es _______________________________________ m f m f m f m f m f m f m f m f _______________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 _______________________________________ De nuevo, parece existir un patrón que produce un número inusualmente grande de 16 rachas independientes. Detección de un patrón. Si se presentan muy pocas o demasiadas rachas, puede estar ausente la aleatoriedad. Un conjunto de hipótesis para probar es: H 0 : Existe aleatoriedad en la muestra. H 1 : No existe aleatoriedad en la muestra. Para probar la hipótesis se debe determinar si el número de rachas r es demasiado grande o demasiado pequeño. Las Tablas de valores críticos de r en la prueba de rachas muestran el número de rachas si o es 5%. Supongamos ahora que las selecciones fueron: __________________________________________ m fff mmm ff mmm 1 2 3 4 5 __________________________________________ Las selecciones parecen más aleatorias porque no existe patrón evidente. Se nota que n 1 = 7 es el número de hombres y n 2 = 5 es el número de mujeres. La tabla M1 muestra el número crítico mínimo de rachas para un valor de o de 5%.. Si el número de rachas es igual o menor que el valor mostrado en la tabla M1, se sugiere que al nivel del 5% hay muy pocas rachas como para confirmar la hipótesis nula de aleatoriedad. Debido a que n 1 = 7 y n 2 = 5, se halla el valor Estadistica Inferencial 2013 160 críticamente bajo que es 3. Debido a que el número de rachas excede este mínimo, entonces no hay un número significativamente bajo de rachas como para garantizar el rechazo de la hipótesis nula. La tabla M2 proporciona valores críticamente altos para r. si el número de rachas en una muestra es igual o mayor que estos valores, se puede concluir que existe un número extremadamente grande de rachas, lo que sugiere la ausencia de aleatoriedad. Para n 1 = 7 y n 2 = 5, la tabla M2 revela que el número máximo de rachas es 11. Si el número de rachas es superior a 11, existen demasiadas como para sustentar la hipótesis de aleatoriedad. Debido a que el número de rachas es menor que 11, no es significativamente alto y no se rechaza la hipótesis nula al nivel del 5%. Uso de la mediana como medida para bifurcar los datos Ejemplo. Se asumen niveles de producción diarios en una mina de carbón seleccionada para un estudio estadístico, y éstos son, 31, 57, 52, 22, 24, 59, 25, 29, 27, 44, 43, 32, 40, 37, y 60 toneladas. La mediana de 37 puede utilizarse como valor de referencia. Las observaciones caen o por arriba (A) o por abajo (B) de 37, produciendo 8 rachas de: ___________________________________________________ 31 57 52 22 24 59 25 29 27 44 43 32 40 60 ___________________________________________________ B A A B B A B B B A A B A A 1 2 3 4 5 6 7 8 ___________________________________________________ Con n 1 =7 para B y n 2 = 7 para A, la tabla M revela valores críticos de 3 y 13 rachas. Debido a que hay 8 rachas, se asume que hay aleatoriedad y no se rechaza la hipótesis nula. Prueba U de Mann-Whitney Es la contraparte no paramétrica de la prueba t para muestras independientes. No requiere del supuesto de que las diferencias entre las dos muestras estén distribuidas normalmente. Ejemplo. Suponga que una fábrica de cerámicas desea comparar el tiempo que toma a las piezas de barro enfriarse después de haber “ardido” en el horno mediante dos métodos diferentes. Los alfareros queman 12 piezas utilizando el método 1, y 10 utilizando el método 2. El número de minutos necesarios para que cada pieza se enfríe es el siguiente: Método1 27 31 28 29 39 40 35 33 32 36 37 43 Método 2 34 24 38 28 30 34 37 42 41 44 Tabla 1.4 Rangos de tiempos de enfriamiento Método 1 Rango Método 2 Rango 24 1 27 2 28 3.5 28 3.5 29 5 30 6 31 7 32 8 33 9 34 10.5 34 10.5 35 12 36 13 37 14.5 37 14.5 38 16 39 17 40 18 41 19 Estadistica Inferencial 2013 161 42 20 43 21 44 22 ER 1 =130 ER 2 =123 Se calcula el estadístico de Mann-Whitney para cada muestra de la ecuación, así: 52 123 2 ) 1 10 ( 10 ) 10 )( 12 ( U 68 130 2 ) 1 12 ( 12 ) 10 )( 12 ( U R 2 1 n ( n n n U R 2 ) 1 n ( n n n U 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 = ÷ + + = = ÷ + + = ¿ ÷ + + = ¿ ÷ + + = Se nota que U 1 + U 2 = n 1 n 2 proporciona un chequeo rápido de su aritmética. Media y Desviación estándar de la distribución muestral para la Prueba U de Mann-Whitney 17 . 15 12 ) 1 10 12 )( 10 )( 12 ( 12 ) 1 n n ( n n 60 2 ) 10 )( 12 ( 2 n n 2 1 2 1 u 2 1 u = + + = + + = = = = o µ Valor de Z para normalizar la prueba U de Mann-Whitney u u 1 U Z o µ ÷ = Prueba de dos extremos: Probar la hipótesis de que los tiempos promedio de enfriamiento de enfriamiento del método 1 y del método 2 son los mismos 2 1 1 2 1 0 : H : H µ µ µ µ = = Utilizando arbitrariamente U 2 , se tiene que 053 . 0 17 . 15 60 52 Z ÷ = ÷ = Si o = 10%, la regla de decisión es “ No rechazar si -1.65 s Z s 1.65. Rechazar si Z < -1.65 o Z > 1.65”. Como Z = -0.53 se puede concluir al nivel de significancia del 10% que los tiempos promedio de enfriamiento son los mismos para ambos métodos de cocción. Prueba de Kruskall-Wallis Es una prueba que compara tres o más poblaciones para determinar si existe una diferencia en la distribución de las poblaciones. Es análoga a la prueba F utilizada en las pruebas ANOVA. No importa la restricción de que las poblaciones tienen que estar distribuidas normalmente. Las hipótesis son: H 0 : Todas las k poblaciones tienen la misma distribución. H 1 : No todas las k poblaciones tienen la misma distribución. Ejemplo. Un nuevo gerente de Avon debe comparar el tiempo que les toma a tres clientes pagar los envíos del nuevo producto New-Face Cream, ofrecido por la empresa. Se seleccionan aleatoriamente varias compras Estadistica Inferencial 2013 162 de cada cliente, junto con el número de días que cada uno se tomó en liquidar su cuenta. Los resultados aparecen en la Tabla 1.5. Tabla 1.5 Número de días para pagar a Avon la entrega recibida. Cliente Compra 1 2 3 1 28 26 37 2 19 20 28 3 13 11 26 4 28 14 35 5 29 22 31 6 22 21 7 21 Estadístico Kruskal- Wallis: ) 1 n ( 3 n R ) 1 n ( n 12 K i 2 i + ÷ ( ¸ ( ¸ ¿ + = donde n i es el número de observaciones en la i-ésima muestra n es el número total de observaciones en todas las muestras. R i es la suma de los rangos de la i-ésima muestra. Tabla 1.6 Rangos en la prueba de Kruskall-Wallis. Días Rango Días Rango Días Rango 11 1 13 2 14 3 19 4 20 5 21 6.5 21 6.5 22 8.5 22 8.5 26 10.5 26 10.5 28 13 28 13 28 13 29 15 31 16 35 17 37 18 ER 1 =62 ER 2 =34.5 ER 3 =74.5 Calculando el estadístico K se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 18 . 8 1 18 3 5 5 . 74 6 5 . 34 7 62 ) 1 18 ( 18 12 K 2 2 2 = + ÷ ( ¸ ( ¸ + + + = Enseguida comparamos K con un valor crítico. La distribución de K es aproximada por una distribución chi- cuadrada con k – 1 grados de libertad. Si K excede el valor crítico de chi-cuadrada, se rechaza la hipótesis nula. En caso de seleccionar un valor de o de 5% en la prueba de Avon, el valor crítico de chi-cuadrado dados 3-1 = 2 grados de libertad es 99 . 5 2 2 , 05 . 0 = _ . Regla de decisión: No rechazar si ks 5.99. rechazar si k >5.99 Como k = 18.8 > 5.99, se rechaza la hipótesis nula de que no hay diferencia en el tiempo que toma a tres clientes pagar sus cuentas con Avon. Estadistica Inferencial 2013 163 En el caso de que se rechace la hipótesis nula, el siguiente paso lógico es determinar cuáles diferencias son estadísticamente significativas y cuales se deben a un error de muestreo. Esto involucra una comparación de todos los pares posibles. Los pasos para la comparación son los siguientes: 1. Calcular el rango promedio para cada muestra. 9 . 14 5 5 . 74 R 75 . 5 6 5 . 34 R 86 . 8 7 62 R 3 2 1 = = = = = = 2. Calcular diferencias absolutas 15 . 9 | 9 . 14 75 . 5 | | R R | 04 . 6 | 9 . 14 86 . 8 | | R R | 11 . 3 | 75 . 5 86 . 8 | | R R | 3 2 3 1 2 1 = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ 3. Comparación con el valor crítico C k : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 el con 2 cliente del n Comparacio 3 el con 1 cliente del n Comparacio 2 el con 1 cliente del n Comparacio 91 . 7 5 1 6 1 12 19 18 99 . 5 C 65 . 7 5 1 7 1 12 19 18 99 . 5 C 27 . 7 6 1 7 1 12 19 18 99 . 5 n 1 n 1 12 1 n n C k k j i 2 1 k , k = ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ = = ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ = = ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ = ( ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ ÷ = ÷ o _ 4. Comparación de las diferencias contra los valores críticos diferencia existe si 3 y 2 entre y difieren no 3 y 1 Por tanto difieren no 2 y 1 Por tanto 91 . 7 15 . 9 | 9 . 14 75 . 5 | | R R | 65 . 7 04 . 6 | 9 . 14 86 . 8 | | R R | 27 . 7 11 . 3 | 75 . 5 86 . 8 | | R R | 3 2 3 1 2 1 > = ÷ = ÷ < = ÷ = ÷ < = ÷ = ÷ Correlación de rangos de Spearman Estadistica Inferencial 2013 164 5.6.-Pruebas de bondad de ajuste PRUEBA DE BONDAD Y AJUSTE Con mucha frecuencia no se conoce la distribución de probabilidad de la variable aleatoria en estudio, digamos X, y se desea probar la hipótesis de que X sigue una distribución de probabilidad particular. Por ejemplo, podría ser de interés probar la hipótesis de que X sigue una distribución normal, una exponencial, etc. Existen dos procedimientos para realizar pruebas de bondad de ajuste que son los más conocidos. El primero se basa en una técnica gráfica muy útil llamada gráfica de probabilidad y el segundo procedimiento se basa en la distribución Chi-cuadrada. Estadistica Inferencial 2013 165 1. GRAFICA DE PROBABILIDAD La gráfica de la probabilidad es un método gráfico para determinar sí los datos se ajustan a una distribución hipotética basada en un examen visual subjetivo de los datos; el procedimiento general es muy simple y puede efectuarse con rapidez. El procedimiento es el siguiente: i. Se grafica la probabilidad de los datos en estudio, usando Minitab-13 se procede a ingresar los datos requeridos en la hoja de trabajo (worksheet) luego se selecciona: Graph>Probability Plot: ii. Luego en la ventana de diálogo que aparece, se especifica dónde se encuentran los datos a graficar, haciendo doble clic en la variable de interés, se establece luego el tipo de distribución que se desea probar, y luego se va a Options, para poder especificar en la próxima ventana el nivel de confianza, e identificar la gráfica con un título. Se da OK y luego se ejecuta una gráfica de probabilidad. Estadistica Inferencial 2013 166 iii. Luego de tener desarrollada la gráfica de probabilidad, según el tipo de distribución que se desea probar, se analiza la misma bajo el siguiente criterio: sí todos los puntos graficados caen aproximadamente sobre la línea de probabilidad de la gráfica, entonces el modelo hipotético es apropiado, sí los puntos graficados se desvían de modo significativo entonces el modelo hipotético no es apropiado, y posteriormente se sigue probando con los demás gráficos de probabilidad. iv. A continuación dos gráficos de probabilidad para poder establecer la prueba de bondad y ajuste en el ejemplo. Estadistica Inferencial 2013 167 Respuesta: Los datos siguen una distribución Normal Respuesta: Los datos analizados no siguen una distribución Exponencial Estadistica Inferencial 2013 168 1. PRUEBA DE BONDAD Y AJUSTE DE LA CHI CUADRADA El procedimiento de prueba de la Chi-cuadrada es un método analítico, requiere una muestra aleatoria de tamaño n de la variable aleatoria x. Estas n observaciones se arreglan en histogramas de frecuencias, teniendo k intervalos de clase (donde n k = ). Sea O i la frecuencia observada en el i-ésimo intervalo de clase. De la distribución de probabilidad hipotética, se calcula la frecuencia esperada en el i-ésimo intervalo de clase, identificada como E i , La estadística de prueba es la siguiente: ¿ = ÷ = k i i i i E E O 1 2 2 0 ) ( _ Puede demostrarse que 2 0 _ sigue aproximadamente una distribución Chi cuadrada con k- p-1 grados de libertad, donde k es el número de intervalos, p representa el número de parámetros de la distribución hipotética, estimados por medio de estadísticas de la muestra. Esta aproximación se mejora cuando n aumenta. Se rechaza la hipótesis de que x se ajusta a la distribución hipotética, si 2 1 , 2 0 ÷ ÷ > p k o _ _ . El procedimiento para establecer la prueba utilizando Minitab -13 es el siguiente: 1. Ingreso de datos y cálculos de media y desviación estándar: del mismo modo que en el caso anterior, se ingresan los datos en la hoja de trabajo (“worksheet”), de estos datos que viene a ser la muestra de la variable aleatoria x, se calcula la media y la desviación estándar siguiendo las siguientes secuencias: calc >column statistic> mean y calc>column>standard desviation, respectivamente, tal como se puede apreciar en la ventana que se muestra a continuación. Estadistica Inferencial 2013 169 2. Histogramas de frecuencia: Para realizar un histograma de frecuencia se sigues la siguiente secuencia: graph > histogram >options >frecuency >cutpoint ># intervals 10. Para mostrar las frecuencias en la gráfica, ingresar a <Annotation> <Data labels> y activar <show data labels> Ademas en < <Annotation> ingresar a <Title..> para colocar un título. De este modo se obtiene la siguiente gráfica. Estadistica Inferencial 2013 170 3. El siguiente paso es ingresar los valores de frecuencia observada y los intervalos. Como se puede apreciar de la figura anterior, Minitab -13 muestra estos valores en el histograma de frecuencia, pero es necesario ingresarlos manualmente a la hoja de trabajo. 4. Cálculo de probabilidad para los límites superior e inferior de los intervalos. Para esto se sigue la siguiente secuencia: calc>probability distribution> <Normal> se especifica la media y desviación estándar halladas anteriormente en los espacios que correspondan así como la columna en donde se requiere que se almacenen los resultados, previamente se elige la distribución a la cual se ajustan los datos. En el ejemplo se escogió la distribución normal. Este procedimiento se muestra en la siguiente pantalla. Estadistica Inferencial 2013 171 5. Cálculo de los valores esperados: para esto se escoge el menú de calc>calculator; y se ingresa la fórmula según se muestra en la siguiente pantalla. Es importante notar que si los valores esperados tienen valores numéricos menores que 5.0, entonces debemos hacer una nueva agrupación, para lo cual se tomarán aquellos valores menores que 5 y se suman. En el ejemplo de 10 intervalos se reduce a 7. Los tres primeros se reducen a uno y los dos últimos también se agrupan. Luego el primer intervalo va desde 7.25 hasta 8.75 y el séptimo va desde 11.25 hasta 12.25. Con estos nuevos intervalos se repite el procedimiento anterior y se obtienen nuevos valores esperados. Además se estiman dos 2 parámetros (la media y la desviación Estadistica Inferencial 2013 172 estándar). Por tanto los grados de libertad para calcular el valor Chi crítico es de 4, (g.l = 7-2-1 = 4) 6. Cálculo de la estadística Chi-cuadrada: Luego se sigue la secuencia siguiente: Calc>Calculator; y se define los parámetros que aparecen a continuación. El valor obtenido es de 4.187. 7. Cálculo del valor Chí-crítico: Este valor también se puede obtener de las tablas de distribución Chi-cuadrada que se encuentran en los libros, pero Minitab-13 lo provee de la siguiente manera: Calc>Probability distribution>Chi square>Inverse cumulative probability >imput constant: 0.95>OK, el resultado correspondiente aparece en la ventana de “Session”, y es igual a: 4877 . 9 2 95 . 0 = _ Estadistica Inferencial 2013 173 8. Cálculo del valor p: En primer lugar se establece el valor de k, para tal efecto se realiza lo siguiente: Calc>Probability Distributions> Chi-square; se selecciona Cumulative Probability >. En Degrees of freedom se establece (# grados de libertad) <Input column> y se establece el lugar a almacenar el valor en la celda que contendrá k en Optional storage tal como se puede apreciar en la siguiente gráfica. 9. Finalmente se calcula el valor p: Para esto se sigue la siguiente secuencia: Calc> Calculator> storage result, se establece donde se desea almacenar el Estadistica Inferencial 2013 174 resultado, y se escribe la ecuación siguiente en Expression: (1-k), como se puede apreciar en el siguiente diagrama. 10. Resultados: Como en el resultado de la prueba de Chi-cuadrada 4877 . 9 187 . 4 2 2 = < = crítico cal x x , o como se estableció en la parte teórica 2 1 , 2 0 ÷ ÷ < p k o _ _ , entonces se acepta la hipótesis nula H 0. Por otro lado, como el p-value=0.38 > 0.05, no hay evidencia suficiente para rechazar H 0 . 5.7.-Aplicaciones A) Aplicasion de Pruebas de Hipotesis. DEFINICIÓN DE HIPÓTESIS Es una proposición que establece relaciones, entre los hechos; para otros es una posible solución al problema; otros mas sustentan que la hipótesis no es mas otra cosa que una relación entre las variables, y por último, hay quienes afirman que es un método de comprobación. La hipótesis como proposición que establece relación entre los hechos: una hipótesis es el establecimiento de un vínculo entre los hechos que el investigador va aclarando en la medida en que pueda generar explicaciones lógicas del porqué se produce este vínculo. Tamayo (1989 – 75): afirma que: "La hipótesis es una proposición que nos permite establecer relaciones entre los hechos. Su valor reside en la capacidad para establecer mas relaciones entre los hechos y explicar el por que se Estadistica Inferencial 2013 175 producen". La hipótesis como una posible solución del problema: la hipótesis no es solamente la explicación o comprensión del vínculo que se establece entre los elementos inmersos en un problema, es también el planteamiento de una posible solución al mismo. Pardinas (1974 – 132): "La hipótesis es una proposición anunciada para responder tentativamente a un problema". Hipótesis como relación entre variables: Kerlinger (1985 : 12) expresa; una expresión de las relaciones existentes entre dos o mas variables, la hipótesis se formula en términos de oración aseverativa por lo tanto: "Es una expresión conjetural de la relación que existe entre dos o más variables. Siempre aparece en forma de oración aseverativa y relaciona de manera general o específica, una variable con otra. Hipótesis como método de comprobación: para otros investigadores, la hipótesis es algo mas que el establecimiento de relaciones entre elementos, o la posible solución a un problema; por lo tanto; afirman que es fundamentalmente y ante todo, una herramienta de comprobación de los supuestos con la realidad. Abouhamad (1965:74) sostiene: . DEFINICIÓN DE HIPÓTESIS Es una proposición que establece relaciones, entre los hechos; para otros es una posible solución al problema; otros mas sustentan que la hipótesis no es mas otra cosa que una relación entre las variables, y por último, hay quienes afirman que es un método de comprobación. La hipótesis como proposición que establece relación entre los hechos: una hipótesis es el establecimiento de un vínculo entre los hechos que el investigador va aclarando en la medida en que pueda generar explicaciones lógicas del porqué se produce este vínculo. Tamayo (1989 – 75): afirma que: "La hipótesis es una proposición que nos permite establecer relaciones entre los hechos. Su valor reside en la capacidad para establecer mas relaciones entre los hechos y explicar el por que se producen". La hipótesis como una posible solución del problema: la hipótesis no es solamente la explicación o comprensión del vínculo que se establece entre los elementos inmersos en un problema, es también el planteamiento de una posible solución al mismo. Pardinas (1974 – 132): "La hipótesis es una proposición anunciada para responder tentativamente a un problema". Hipótesis como relación entre variables: Kerlinger (1985 : 12) expresa; una expresión de las relaciones existentes entre dos o mas variables, la hipótesis se formula en términos de oración aseverativa por lo tanto: "Es una expresión conjetural de la relación que existe entre dos o más variables. Siempre aparece en forma de oración aseverativa y relaciona de manera general o específica, una variable con otra. Hipótesis como método de comprobación: para otros investigadores, la hipótesis es algo mas que el establecimiento de relaciones entre elementos, o la posible solución a un problema; por lo tanto; afirman que es fundamentalmente y ante todo, una herramienta de comprobación de los supuestos con la realidad. Abouhamad (1965:74) sostiene: Estadistica Inferencial 2013 176 BIBLIOGRAFÍA 1.-MURRAY R. SPIEGEL, JOHN SCHILLER, R. ALU SRINIVASAN PROBABILIDAD Y ESTADISTICA , SEGUNDA EDICIÓN EDITORIAL MC GRAW HILL. 2. Levin I. Richard Estadistica para administadores. Editorial: Prentice-Hall. 3. Kazmier. Estadistica aplicada apara la administracion y economia. Editorial: McGraw Hill. 4. Walphole. Probabilidad y estadistica. Editorial McGraw Hill. 5. John E. Freund A. Simon. Estadistica elemental. Editorial: Prentice-Hall. 6. Hoel, Paul G., Sidney C. Port & Charles J. Stone, Introduction to Statistical Theory, Houghton Mifflin Company. 7. Dixon, Wilfrid J., & Frank J. Massey, Jr., Introduction to Statistical Analysis, McGraw-Hill Book Company. 8. Montgomery, Douglas C., Lynwood A. Johnson & John S. Gardiner, Forecasting & Time Series Analysis, McGraw-Hill International Editions. 9. Mendenhall, William, Richard L. Scheaffer & Dennis D. Wackerly, Estadística