Anillos

Álgebra BásicaEugenio Miranda Palacios 3. Anillos conmutativos 3.1. Leyes de composición. Estructuras algebraicas. Sean A, M conjuntos. Definición 3.1. Una operación binaria o ley de composición interna en A es una aplicación A×A→ A (a, b) 7→ a ∗ b Una acción por la izquierda o ley de composición externa de A sobre M es una aplicación A×M → M (a, x) 7→ a ∗ x De manera análoga se define una acción por la derecha como una aplicación M×A→ M (x, a) 7→ x ∗ a Es costumbre escribir las leyes de composición como operadores “infijo”, es decir, con un símbolo entre los elementos. Se suelen usar los símbolos +, −, ∗, ·, ×, ÷, ◦, , etc. O bien simplemente yuxtaponiendo los elementos combinados como ab o ax. Ejemplo 3.2. La suma a + b y el producto ab de números enteros son leyes de composición internas de Z. También existen estas operaciones para los racionales Q, los reales R y los complejos C. Ejemplo 3.3. Sea n > 0 un entero fijo y sea Zn el conjunto de clases módulo n. Hemos definido las operaciones binarias suma y producto como [a]n + [b]n = [a + b]n y [a]n [b]n = [ab]n . En este caso también tenemos una acción Z × Zn → Zn definida por a[x]n = [ax]n . Ejemplo 3.4. Sea X un conjunto y sea A = { f : X → X} el conjunto de todas las aplicaciones de X en sí mismo. Podemos definir una operación A × A → A por ( f, g) 7→ f g donde f g : X → X viene dada por composición de aplicaciones, es decir que para todo x ∈ X se define ( f g)(x) = f (g(x)). 1 Ejemplo 3.5. Para cualquier K-espacio vectorial V la multiplicación de un escalar por un vector define una acción K × V → V Ejemplo 3.6. Sea M = Mn (R) el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n con coeficientes reales. En M hay definidas dos operaciones internas, la suma y el producto, y una operación externa, el producto de un escalar por una matriz. Ejemplo 3.7. Dada una ley de composición a ∗ b, se define la ley de composición opuesta como a ∗o b = b ∗ a para todo a, b. Si la ley de partida es interna A × A → A, también lo es la opuesta. Si la ley es una acción por la izquierda, la opuesta es una acción por la derecha y viceversa. Una estructura algebraica se define por datos de tres tipos: Un conjunto A, que se llama conjunto subyacente. Una o varias leyes de composición (internas o externas) definidas sobre A. Unos axiomas que deben verificar dichas leyes. En rigor la estructura algebraica está formada por el conjunto A junto con las operaciones. Pero por abuso de lenguaje, se suele designar con la misma letra a la estructura y al conjunto subyacente. Existen muchas estructuras algebraicas, pero las mas importantes son las tres siguientes: Definición 3.8. Un grupo (G, ∗) es un conjunto G junto con una ley de composición interna G × G → G denotada por (a, b) 7→ a ∗ b que verifica: Asociatividad: ∀ a, b, c ∈ G a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c Existencia de neutro: ∃ e ∈ G ∀ a ∈ G e ∗ a = a = a ∗ e Existencia de opuesto: ∀ a ∈ G ∃ a0 ∈ G a ∗ a0 = e = a0 ∗ a El elemento e se llama elemento neutro para la operación y el elemento a0 se llama opuesto de a. En el caso particular en que la operación se denote por a + b, el elemento neutro se llama elemento nulo o cero y se denota por 0. El opuesto de a se denota por −a Si la operación se denota por ab, a · b o a × b, el elemento neutro se llama unidad o uno y se denota por 1. Y el opuesto de a se llama inverso y se denota por a−1 . Un grupo se llama conmutativo o abeliano si verifica el axioma adicional 2 Conmutatividad: ∀ a, b ∈ G a ∗ b = b ∗ a. Definición 3.9. Un anillo (A, +, ·) es un conjunto A junto con dos operaciones binarias A × A → A denotadas por suma a + b y producto ab que verifican los axiomas: Asociatividad de la suma: ∀ a, b, c ∈ A a + (b + c) = (a + b) + c Existencia de cero: ∃ 0 ∈ A ∀ a ∈ A 0 + a = a = a + 0 Existencia de opuesto: ∀ a ∈ A ∃ − a ∈ A a + (−a) = 0 = (−a) + a Conmutatividad de la suma: ∀ a, b ∈ A a + b = b + a. Estos cuatro primeros axiomas se resumen en uno: (A, +) es un grupo abeliano. Asociatividad del producto: ∀ a, b, c ∈ A a(bc) = (ab)c Distributividad: ∀ a, b, c ∈ A a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca Existencia de uno: ∃ 1 ∈ A ∀ a ∈ A 1a = a = a1 Un anillo se llama conmutativo o abeliano si verifica el axioma Conmutatividad del producto: ∀ a, b ∈ A ab = ba. Un anillo de división es un anillo que verifica el axioma adicional Existencia de inverso: ∀ a ∈ A ∃ a−1 ∈ A aa−1 = 1 = a−1 a Un cuerpo es un anillo de división conmutativo. Definición 3.10. Sea A un anillo. Un módulo por la izquierda sobre A o A-módulo (M, +, ·) es un conjunto M junto con una ley de composición interna M × M → M dada por (x, y) 7→ x + y y una ley de composición externa A × M → M denotada (a, x) 7→ ax que verifican los axiomas: Asociatividad: ∀ x, y, z ∈ M x + (y + z) = (x + y) + z Existencia de cero: ∃ 0 ∈ M ∀ x ∈ M 0 + x = x = x + 0 Existencia de opuesto: ∀ x ∈ M ∃ − x ∈ M x + (−x) = 0 = (−x) + x 3 Ejemplo 3. En particular. Distributividad respecto a escalares: ∀ a. Para cualquier grupo (G. e ∗ e = e. G es abeliano si y sólo si G = Go .12. 4 . +) es un grupo abeliano.1.2. Los ejemplos mas sencillos de grupos son los numéricos. Q. Ejemplo 3. ∗). Este grupo (G. En el caso particular en que A es un cuerpo. 3. R y C son grupos para +. De manera análoga se define el concepto de módulo por la derecha sobre A. b ∈ A ∀ x ∈ M a(bx) = (ab)x Acción trivial del uno: ∀ x ∈ M 1x = x Los elementos de M se llaman vectores y los elementos de A se llaman escalares. M se llama espacio vectorial sobre A. Veamos ejemplos de las estructuras que hemos definido: 3. Sea G = {e} un conjunto con un único elemento. b ∈ A ∀ x ∈ M (a + b)x = ax + bx Distributividad respecto a vectores: ∀ a ∈ A ∀ x. Estos cuatro primeros axiomas pueden resumirse en uno: (M.Conmutatividad: ∀ x. Los casos mas evidentes son: 1. el grupo opuesto Go es el grupo (G. y ∈ M x + y = y + x. ∗) es el mas pequeño posible y se llama grupo trivial. Ejemplos de grupos Ejemplo 3.11. Ejemplos El que una estructura algebraica resulte interesante depende del número e importancia de los ejemplos que posea. ∗o ) donde ∗o es la operación opuesta de ∗. siendo 0 el elemento neutro y −a el opuesto de cada a. Sólo hay una operación binaria posible. Z.13. Cualquier grupo con mas de un elemento es un grupo no trivial.2. y ∈ M a(x + y) = ax + ay Pseudoasociatividad: ∀ a. 5 . 0}. Para todo número n ∈ Z. ·o ) donde ·o es la operación opuesta de ·. ·).2. Este anillo es un cuerpo si y sólo si n es primo. . y (A× . n > 0. n) = 1}. Los axiomas para un espacio vectorial V sobre un cuerpo K incluyen en particular el hecho de que (V. 3. 4. Sea A = {a} un conjunto con un único elemento. ·) es el mas pequeño posible y se llama anillo trivial. 5. ya que no todo elemento tiene inverso). no es un subgrupo. aunque el último sea un subconjunto del primero. 0}. Entonces (A. En todos los casos el neutro para la suma es el númerol 0 y el neutro para el producto es el número 1. en particular. así que (Z/nZ. Q. +) es un grupo (el grupo aditivo de A).2. Z/nZ es un anillo. Ejemplo 3. +. c.2. ×) son grupos. Cualquier anillo con mas de un elemento es un anillo no trivial. Para cualquier anillo (A. y por tanto la suma y el producto coinciden: a + a = a = aa y 0 = a = 1. +. Q× = {a ∈ Q | a . En particular. 3.14. R× = {a ∈ R | a . 0} no es un grupo para ×. Para todo natural positivo n las clases de restos módulo n. Ejemplo 3. Q+ = {a ∈ Q | a > 0} y R+ = {a ∈ R | a > 0} son grupos para × con 1 como elemento neutro y siendo el opuesto de a su inverso a−1 = 1/a. 0}. Ejemplos de anillos Ejemplo 3. Ejemplo 3.15. +) es un grupo abeliano. Este anillo (A. A es abeliano si y sólo si A = Ao . d. donde (Z/nZ)× = U(Z/nZ) = {¯a ∈ Z/nZ | (m. R y C son anillos conmutativos respecto a la suma y producto usuales. Además Q. Rn es un grupo aditivo. En este caso sólo hay una operación binaria posible. C× = {a ∈ C | a . definimos el anillo opuesto Ao como el anillo (A.(a. ×) también es un grupo (el grupo multiplicativo de A). +) y ((Z/nZ)× . Z. (Nótese que {a ∈ Z | a . Zn con la suma y producto de clases es también un anillo conmutativo. R y C son cuerpos. Generalizamos el ejemplo anterior: Sea A un anillo arbitrario y sea A× = U(A) el conjunto de elementos a ∈ A que tienen un inverso a−1 ∈ A.17. +.16. No deben confundirse los grupos Z/nZ (bajo la suma) y (Z/nZ)× (bajo multiplicación). Ejemplo 3. El anillo B es conmutativo si y sólo si lo es A. Definimos en B una suma y un producto punto apunto: ( f + g)(x) = f (x) + g(x) y ( f g)(x) = f (x)g(x). Un tipo de anillos importantes son los anillos de funciones. i2 = −1} ⊂ C. Por ejemplo si A = R y X es el intervalo cerrado 6 .20. b ∈ Z. De cada axioma de anillo de A se deduce el axioma correspondiente en B. Además 0 = 0 + 0 2y1= √ √ √ 1 + 0 2 pertenecen a Q( 2). Así que √ √ a−b 2 a−b 2 = √ = √ √ = a + b 2 (a + b 2)(a − b 2) a2 − 2b2 √ −b √ a + 2 ∈ Q( 2) a2 − 2b2 a2 − 2b2 1 luego es un cuerpo. Sea X cualquier conjunto no vacío y sea A un anillo arbitrario. n ∈ Z} que obviamente es cerrado para el cero y √ el uno. Como la suma y el producto de números complejos son asociativas y conmutativas y verifican la distributividad. −(a + bi) = (−a) + (−b)i ∈ J. y para todo x = a + b 2 ∈ Q( 2) se verifica que √ √ √ −x = (−a) + (−b) 2 ∈ Q( 2). ·) que se llama anillo de los enteros de Gauss. +. 2 sería racional).18. 0. Q( 2) es un anillo. (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i ∈ J. el producto. 0 (porque en otro caso. −1 elemento u = m + n 2 ∈ Z[ 2] el inverso u pertenece a Z[ 2] si y sólo si m2 − 2n2 = ±1. Sea J = {a + bi | a. también lo son en Q( 2). En resumen.19. 1 ∈ J. Un subconjunto interesante del ejemplo anterior es √ √ Z[ 2] = {m + n 2 | m. Para cualesquiera a + bi. Ejemplo 3. c + di ∈ J se verifica (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ∈ J. observamos que para todo a + b 2 ∈ Q distinto de √ cero se verifica que a2 − 2b2 . y como √ estas operaciones son asociativas y conmutativas en R. √ Para ver que es un cuerpo. b ∈ Q}. tenemos un anillo conmutativo (J. Sea Q( 2) = {a + b 2 ∈ R | a. Si X y A tienen mas estructura podemos formar otros anillos de funciones que respetan esta estructura. Es obvio que este conjunto es cerrado para la suma y el producto. √ √ Ejemplo 3. Sea B = { f : X → A}. De la misma manera se comprueba √ que el√producto es distributivo respecto a la suma.21. Para un √ √ la suma.Ejemplo 3. Si n > 1.24.2. Reglas de cálculo De los axiomas de cada estructura algebraica se deducen unas cuantas consecuencias sencillas pero importantes para manipular expresiones y realizar cálculos en la estructura. El conjunto de vectores libres (del plano o del espacio) con la suma por la “regla del paralelogramo” y el producto escalar usual forman un espacio vectorial sobre R (De hecho la nomenclatura y las propiedades intuitivas provienen de este ejemplo).26.X = [0. el anillo Mn (A) no es conmutativo Ejemplo 3. 3. y por ello se llaman reglas de cálculo. Sea A un anillo arbitrario y sea n > 0 un entero. Ejemplos de módulos Ejemplo 3.22. Ejemplo 3. 3.25. 1] → R. Este conjunto es un anillo para las operaciones usuales de suma y producto de matrices. M un espacio vectorial sobre K y t : M → M una aplicación lineal. Los teoremas básicos sobre límites nos garantizan que la suma y el producto de funciones continuas son también funciones continuas. Sean K un cuerpo. definiendo la acción Z × M → M por inducción:    0 si a = 0     ax =  (a − 1)x + x si a > 0     −(−ax) si a < 0 Ejemplo 3. Definimos una ley externa K[X] × M → M como (am X m + am−1 X m−1 + · · · + a2 X 2 + a1 X + a0 ) · u = am tm (u) + am−1 tm−1 (u) + · · · + a2 t2 (u) + a1 t(u) + a0 u Con esta operación. Todo grupo abeliano M es un Z-módulo de manera única. Vamos a estudiar las correspondientes a grupos y anillos. El grupo abeliano Zn es un Z-módulo con la acción Z × Zn → Zn definida por a[b]n = [ab]n .23. Ejemplo 3. todos los K[X]módulos se obtienen de esta manera).27. 1] ⊂ R podemos formar el anillo conmutativo B de las funciones continuas [0. M pasa a ser un K[X]-módulo (de hecho. El conjunto A[X] de todos los polinomios en una indeterminada con coeficientes en A junto con la suma y el producto es un anillo conmutativo. Sea A un anillo conmutativo. Ejemplo 3. 7 .3.3. Sea Mn (A) el conjunto de todas las matrices n × n con coeficientes en A. Otro simple cálculo muestra que u = x−1 y y v = yx−1 verifican las condiciones pedidas y son los únicos que las verifican.3. Multiplicamos ambos miembros por x−1 por la izquierda: y = ey = (x−1 x)y = x−1 (xy) = x−1 (xz) = (x−1 x)z = ez = z. El inverso de cualquier elemento es único 3. Para cualesquiera enteros m > n > 0 sean x1 .3. Demostración. Reglas de cálculo para grupos Proposición 3. Para cualesquiera x. De la misma definición: ee = e. Sean e. xn ∈ G. Para todo elemento x ∈ G se verifica (x−1 )−1 = x 6. Sea G un conjunto con una operación interna asociativa. (Propiedad cancelativa): Para x. y ∈ G existen únicos u. Sean x0 . xx−1 = e = x−1 x. Por definición. x−1 dos inversos para x ∈ G. Entonces x0 = x0 e = x0 (xx−1 ) = (x0 x)x−1 = ex−1 = x−1 3. 4. Sea xy = xz.28. . Igual por el otro lado. luego (xy)−1 = y−1 x−1 7. 1.1. f ∈ G dos unidades. . y ∈ G se verifica (xy)−1 = y−1 x−1 7. . e−1 = e 5. Proposición 3. xy = xz ⇒ y = z yx = zx ⇒ y = z 4. xm elementos de G. . Se verifica  n  m  m Y   Y  Y  xi   xi  = xi i=1 i=n+1 8 i=1 . Un simple cálculo: (y−1 x−1 )(xy) = y−1 (x−1 x)y = e. z ∈ G. v ∈ G tales que xu = y y vx = y. y. . luego de la misma definición de inverso obtenemos que (x−1 )−1 = x 6. Definimos por recurrencia: ni=1 xi = Qn−1 ( i=1 xi )xn . Sea G un grupo con unidad e.29 (Ley asociativa general).  Las propiedad asociativa garantiza que en un cálculo podemos introducir paQ réntesis arbitrariamente: Sean x1 . La unidad de un grupo es única 2. Entonces e = e f = f 2. luego e = e−1 5. Para cualesquiera x. . 1. Y para σ1 es el enunciado de la propiedad conmutativa: x1 x2 = x2 x1 . . Para σ0 la igualdad es trivial: x1 x2 = x1 x2 . Sea ahora n > 2 y suponemos el resultado cierto para todo producto con menos factores. Se verifica: n Y xi = n Y i=1 xσ(i) i=1 Demostración. xn ∈ G y sea σ una permutación del conjunto {1. Por inducción sobre n. Sea k = σ(n). Por inducción sobre m − n (el número de factores del segundo producto). Si m − n = 1. k existe un j < n tal que i = σ( j). . la expresión dada es  n  n+1 Y Y    xi  xn+1 = xi i=1 i=1 Sea ahora m − n = k > 1 y suponemos cierto el resultado cierto siempre que el segundo producto del primer miembro tenga menos de k factores. . Entonces para todo i . .Demostración. n}. Para n = 2 sólo hay dos permutaciones: La identidad σ0 y la trasposición σ1 = (1 2). . cuando se verifica la propiedad conmutativa podemos multiplicar los elementos en cualquier orden: Proposición 3. . .30 (Ley conmutativa general). Sea G un conjunto con una operación interna que es asociativa y conmutativa. . Calculamos usando la propiedad asociativa:  n   m   n   m−1   Y   Y  Y   Y    xi   xi  =  xi   xi  xm  = i=1 i=n+1 i=1 i=n+1  n   m−1   m−1  m Y Y   Y  Y         xi  xm =  xi  xm = xi xi   i=1 i=n+1 i=1 i=1  De la misma forma. Calculamos: n Y i=1 xi = k−1 Y i=1   k−1  n   n  Y  Y  Y   xi  xk xi  = xi  xi  xk  = i=1 i=k+1 i=k+1   n−1  k−1  n  n Y Y  Y   Y  xi  xi  xk =  xσ( j)  xσ(n) = xσ(i)  i=1 i=k+1 j=1 i=1  9 . Sean x1 . 33.2. Para n < 0 definimos también an = (a−1 )−n . ·) un grupo con elemento neutro 1 y sea a ∈ G arbitrario. Si m > n y am = an . b ∈ A.31. decimos que el orden de a es infinito y lo representamos por o(a) = ∞. 1.34. a1 . se repite. En particular (−1)(−1) = 1. Para todo a ∈ G y cualesquiera m. (−a)b = −(ab) = a(−b).32. 1. . Para todo entero positivo n definimos por inducción: a0 = 1 y an = (an−1 )a. Si para todo n > 0 se verifica an . Todo grupo abeliano es un Z-módulo de manera única Este corolario nos dice que los conceptos “Z-módulo” y “grupo abeliano” son idénticos. . Proposición 3. la notación que se usa es na. (nm)a = n(ma). Definición 3. n(a + b) = na + nb Corolario 3. 3. En particular −a = (−1)a. Sea G un grupo y sea a ∈ G. 10 . Para todo a. las expresiones de la proposición anterior son (m + n)a = ma + na.3. 3. Para todo a ∈ A se verifica a0 = 0 = 0a 2. Si la operación se denota aditivamente. entonces para todo n ∈ Z se verifica (ab)n = an bn Demostración. Sea A un anillo. necesariamente el primer término que se repite es a0 = 1. Luego si en algún momento la sucesión a0 . En este caso decimos que a es un elemento de orden finito o que es un elemento de torsión. . 4. Si A no es el anillo trivial. a2 . (−a)(−b) = ab. 0 . n ∈ Z se verifica: am+n = am an amn = (am )n Si a.Sea (G. Reglas de cálculo para anillos Proposición 3.  Si el grupo se denota aditivamente. b ∈ G y ab = ba. necesariamente am−n = 1. b ∈ A. 1. Todos los casos se demuestran por inducción sobre n. En otro caso. el menor k > 0 que verifica ak = 1 se llama orden de a y se representa por o(a) = k. Para todo a. Multiplicamos por a y usamos la propiedad distributiva: aa + a0 = a(a + 0) = aa. Igual por el otro lado. . Corolario inmediato de la regla anterior. Por inducción sobre n:  n   n−1    n−1  X  X   X   ai  b1 =  ai  + an  b1 =  ai  b1 + an b1 = i=1 i=1 i=1  n−1   n  X  X   ai b1  + an b1 =  ai b1  i=1 i=1 Sea ahora m > 1. . b1 . Sea A un anillo. . para todo a ∈ A se verifica a = a1 = a0 = 0 y A es el anillo trivial. Para cualesquiera a1 . . 3.35 (Ley distributiva general). 0 = 0b = (a + (−a))b = ab + (−a)b Restando ab de ambos miembros obtenemos −(ab) = (−a)b. 2. . Por inducción   n   m   n   m−1   X  X  X  X   ai   b j  =  ai   b j  + bm  =      j=1 i=1 j=1 i=1  n   m−1   n  X  X  X   ai   b j  +  ai  bm =      i=1 i=1 j=1 n X m−1 X i=1 j=1 ai b j + n X i=1 ai bm = n X m X ai b j i=1 j=1  11 . Igual por el otro lado. Para m = 1 y n = 2 es la propiedad distributiva. . Por doble inducción sobre m y n. Si 0 = 1.Demostración. 4. Sea m = 1 y n > 2. . 1. Restamos aa y obtenemos a0 = 0. . Por la primera regla y la distributividad. a + 0 = a.  Proposición 3. bm ∈ A se verifica  n  m  n X m X  X  X  ai   b j  = ai b j   i=1 j=1 i=1 j=1 Demostración. an . y ∈ G verifique f (xy) = f (x) f (y) Ejemplo 3. Proposición 3. Llamamos grupo lineal general sobre K y representamos por GLn (K) al grupo U(Mn (K)). La aplicación logaritmo log : R+ → R es un homomorfismo del grupo multiplicatio (R+ . El conjunto Im( f ) = f (G) = { f (x) | x ∈ G} ⊂ H se llama imagen de f y el conjunto ker( f ) = {x ∈ G | f (x) = 1} ⊂ G se lama núcleo de f 12 . Ejemplo 3. En otro caso la característico de A es cero.4. Si car(A) = 0 el resultado es trivial.41.43. car(A) = m > 0 si m es el menor entero positivo tal que m · 1 = 0. La aplicación determinante det : GLn (K) → K × = U(K) que asigna a cada matriz su determinante es un homomorfismo de grupos. Para cualquier a ∈ A tenemos ma = m(1a) = (m1)a = 0a = 0. Ejemplo 3. Para todo n ∈ Z y todo a. Si para todo n > 0 se verifica n · 1 . +) si este orden es finito. Sea A un anillo conmutativo y sea n un entero positivo. es decir al conjunto de todas las matrices n × n invertibles con la operación producto de matrices. Dados dos grupos G y H llamamos homomorfismo de G a H a toda aplicación f : G → H tal que para todo par x.36. Supongamos car(A) = m > 0. Sea car(A) = m. Homomorfismos 3.Corolario 3.37 (Teorema del binomio). Para un homomorfismo f arbitrario el grupo G se llama dominio de f y el grupo H se llama codominio o rango de f .38. Homomorfismos de grupos Definición 3.40. Sea K un cuerpo. +). Es decir. −1} es un homomorfismo de grupos.42. Se representa por car(A).  3.4. b ∈ A se verifica (na)b = n(ab) = a(nb) Proposición 3. ×) en el grupo aditivo (R. Para todo a. Entonces para todo a ∈ A se verifica ma = 0 Demostración. La aplicación signo sgn : S n → {1. 0. entonces car(A) = 0. La característica de un anillo A es el orden de 1 en el grupo aditivo (A.1.39. b ∈ A se verifica ! n X n n−i i n a b (a + b) = i i=1 Definición 3. Simplificando nos queda 1 = f (1). 2. luego f (x−1 ) = f (x)−1 . Todo homomorfismo de grupos f : G → H verifica: 1. Sean f1 : G → H. Entonces la aplicación compuesta f2 f1 : G → K es un homomorfismo. Sea f : G → H un isomorfismo de grupos.4. Entonces f (1) = 0 . 1. Sea B un anillo no trivial y sea f la aplicación cero. se llama epimorfismo si es una aplicación suprayectiva. y ∈ A f (xy) = f (x) f (y) f (1) = 1 Obsérvese que la última condición no se deduce de las dos primeras: Ejemplo 3. el conjunto de todos los automorfismos de G forman un grupo (con la composición de aplicaciones como operación). 1.2. Proposición 3. 2. 1 = f (1) = f (xx−1 ) = f (x) f (x−1 ). Para todo grupo G la aplicación identidad 1G : G → G es un automorfismo. y ∈ A f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x. Un homomorfismo de A a B es una aplicación f : A → B que verifica: ∀x.45. 13 . ∀x ∈ G f (x−1 ) = f (x)−1 Demostración. 3. Si el dominio y el codominio coinciden. Corolario 3. diremos que f es un endomorfismo.Un homomorfismo de grupos f se llama monomorfismo si es una aplicación inyectiva.  3. Homomorfismos de anillos Sean A y B dos anillos. Para un grupo arbitrario G. Definición 3. Se llama isomorfismo si es una biyección y se representa por f : G  H. 1. Entonces la aplicación inversa f −1 : H → G también es un isomorfismo. aunque f (x + y) = 0 = f (x) + f (y) y f (xy) = 0 = f (x) f (y). G = H. f (1) = 1 2. f2 : H → K dos homomorfismos de grupos.46. Un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo.47.48. f (1) · 1 = f (1) = f (1 · 1) = f (1) f (1).44. que se llama grupo de los automorfismos de G y se representa por Aut(G) Proposición 3. Para un anillo arbitrario A. Sean f1 : A → B.49. Entonces la aplicación compuesta f2 f1 : A → C es un homomorfismo. 3. el conjunto de todos los automorfismos de A forman un grupo (con la composición de aplicaciones como operación). Homomorfismos de módulos Sea A un anillo y sean M y N dos A-módulos por la izquierda. Un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo.Ejemplo 3. para cualquier anillo A existe un único homomorfismo de anillos u : Z → A. Ejemplo 3. Si el dominio y el codominio coinciden. La evaluación en a Ea : A[X] → A definida por Ea ( f (X)) = f (a) es un homomorfismo de anillos Para cualquier homomorfismo f el anillo A se llama dominio de f y el anillo B se llama codominio o rango de f .53.3. que se llama grupo de los automorfismos de A y se representa por Aut(A) 3. f2 : B → C dos homomorfismos de anillos. Ejemplo 3. 1. diremos que f es un endomorfismo. Un homomorfismo de A-módulos es una aplicación f : M → N que verifica: ∀x. El conjunto Im( f ) = f (A) = { f (x) | x ∈ A} ⊂ B se llama imagen de f y el conjunto ker( f ) = {x ∈ A | f (x) = 0} ⊂ A se llama núcleo de f El homomorfismo de anillos f se llama monomorfismo si es una aplicación inyectiva. Entonces la aplicación inversa f −1 : B → A también es un isomorfismo Corolario 3. Proposición 3. Para todo anillo A la aplicación identidad 1A : A → A es un automorfismo. Sea f : A → B un isomorfismo de anillos. y ∈ M f (x + y) = f (x) + f (y) ∀a ∈ A ∀x ∈ M f (ax) = a f (x) 14 .4. que viene dado por u(n) = n·1 y que se llama homomorfismo unital de A. Esta f es un homomorfismo de anillos.51. 2. A = B.52. se llama epimorfismo si es una aplicación suprayectiva. Definición 3. En general. Sea f : Z → Zn la aplicación definida por f (x) = [x]n . Se llama isomorfismo si es una biyección y se representa por f : A  B.50. Sea A un anillo conmutativo y sea a ∈ A arbitrario.54. f2 : N → L dos homomorfismos de módulos. Cualquier otro subgrupo es un subgrupo propio. Subestructuras 3. a f1 : M → L son homomorfismos. ·) y (H. Subgrupos Definición 3. M = N. Para todo módulo M la aplicación identidad 1 M : M → M es un automorfismo. Se llama isomorfismo si es una biyección y se representa por f : M  N. cuando H es un subconjunto de G y la aplicación de inserción H → G es un homomorfismo de grupos. Sean f1 . Entonces la aplicación compuesta f2 f1 : M → L es un homomorfismo. Proposición 3. Entonces las aplicaciones f1 + f2 . 1. y el mismo G. ◦). 4. 2. que se llama anillo de los endomorfismos de M y se representa por EndA (M) Para un módulo arbitrario M. N). Sean f1 : M → N. 15 . f2 : M → N y sea a ∈ A arbitrario dos homomorfismos de módulos. que es el subgrupo trivial. se llama epimorfismo si es una aplicación suprayectiva. Dados dos grupos (G. que se llama grupo de los automorfismos de M y se representa por AutA (M) 3. que es el subgrupo total. Sea f : M → N un isomorfismo de módulos. el conjunto de todos los endomorfismos de M forman un anillo (con la suma y la composición de aplicaciones como operaciones).55.56.5. diremos que f es un endomorfismo. y lo representamos por H < G. 3. Si el dominio y el codominio coinciden.1.58.5. Para dos módulos arbitrarios M. Ambos son los subgrupos impropios. Corolario 3. decimos que H es un subgrupo de G. Un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo. N el conjunto de todos los homomorfismos f : M → N forman un A-módulo (con la suma y el producto por escalares como operaciones) que se representa por HomA (M. el conjunto de todos los automorfismos de M forman un grupo (con la composición de aplicaciones como operación). Entonces la aplicación inversa f −1 : N → M también es un isomorfismo.57.El módulo M se llama dominio de f y el módulo N se llama codominio o rango de g. Todo grupo G tiene dos subgrupos: El grupo formado sólo por el elemento unidad. Para un módulo arbitrario M. Ejemplo 3. El conjunto Im( f ) = f (M) = { f (x) | x ∈ M} ⊂ N se llama imagen de f y el conjunto ker( f ) = {x ∈ M | f (x) = 0} ⊂ M se lama núcleo de f El homomorfismo de módulos f se llama monomorfismo si es una aplicación inyectiva. b) 1 ∈ H c) Para todo x ∈ H también x−1 ∈ H. Entonces H = ∩λ Hλ es un subgrupo de G. 1. Luego es un subgrupo de G. y ∈ H se verifica que xy−1 ∈ H. H ⊂ G. Sea H un subgrupo de G y sean x. Sea G un grupo y sea ∅ . el inverso y la composición. Por ser no vacío existe un x ∈ H. As¡ que H es cerrado para la unidad. de la propiedad del enunciado y de x ∈ H deducimos que xn−1 ∈ H. Por inducción sobre n. y para la composición. Sea G un grupo finito y sea ∅ .60. luego y−1 ∈ H. ◦) con el subconjunto H. Sea G un grupo y sea ∅ .Por abuso de lenguaje se suele identificar al subgrupo (H. Entonces K es un subgrupo de G. 1. El resto es igual al apartado anterior. Entonces H es un subgrupo de G si y sólo si para todo par de elementos x. ∀x ∈ G ∃n > 0xn = 1 y por tanto x−1 = xn−1 . Por ser G un grupo finito. Proposición 3. Para cualquier homomorfismo de grupos f : G → H.62. y ∈ H. Por ser H un subgrupo es cerrado para el inverso. Proposición 3. Sea {Hλ | λ ∈ Λ} una familia de subgrupos de un grupo G. Demostración. Sea K subgrupo de H y sea H subgrupo de G. Como ilustración del criterio vamos a demostrar: Proposición 3. y ∈ H se verifica que xy ∈ H. y ∈ H también xy ∈ H. el conjunto ker( f ) es un subgrupo de G y el conjunto Im( f ) es un subgrupo de H.61. Trivial 2. luego 1 = xx−1 ∈ H y x−1 = 1x−1 ∈ H. luego xy−1 ∈ H. 3. H ⊂ G. y ∈ H. xy = x(y−1 )−1 ∈ H. Y para cualesquiera x. H ⊂ G. ya que la ley de composición está determinada por el grupo G. Entonces H es un subgrupo de G si y sólo si se verifica: a) Para todo par de elementos x. Sea ahora H un subconjunto de G no vacío verificando la propiedad del enunciado. 2. 16 .59 (Caracterizaciones de subgrupo).  Ejemplo 3. 3. Entonces H es un subgrupo de G si y sólo si para todo par de elementos x. B ⊂ A. Lo representamos por ∨λ Hλ En el caso particular en que la familia es finita. hS i es el conjunto de todos los elementos de G que se expresan como producto finito de elementos de S . Sea G un grupo finito. +. . y lo representamos por B < A. Proposición 3.65. Cualquier otro subanillo es un subanillo propio.2. 1. .64. 1. 3. Lo representamos por H = hS i. Todo anillo A tiene dos subanillos: El anillo formado por los múltiplos de 1. y ∈ H arbitrarios. Este último es el subanillo impropio.66. 1 ∈ Hλ as¡ que 1 ∈ ∩λ Hλ y por tanto H es no vacío.5. Sea S un subconjunto de G. Hn . cuando B es un subconjunto de A y la aplicación de inserción B → A es un homomorfismo de anillos. y ∈ B también x + y.67 (Caracterizaciones de subanillo). Definición 3. que es el subanillo primo. Proposición 3.63. xy ∈ B. Dados dos anillos (A. decimos que B es un subanillo de A.Demostración. . que es el subanillo total. +. sea H1 . y ∈ Hλ y por ser Hλ un subgrupo tenemos que ∀λ xy−1 ∈ Hλ . b) 0. 2. Sean ahora x. ◦) con el subconjunto B. Por abuso de lenguaje se suele identificar al subanillo (B. ·) y (B.  Esta proposición nos permite definir dos conceptos importantes: Definición 3. Entonces hS i es el subgrupo trivial. hS i es el conjunto de todos los elementos de G que se expresan como producto finito de elementos de S y de sus inversos. 3. Entonces B es un subanillo de A si y sólo si se verifica: a) Para todo par de elementos x. Subanillos e ideales Definición 3. Sea S = ∅. Llamamos subgrupo generado por S a la intersección H de todos los subgrupos de G que contienen a S . su compuesto se representa por H1 ∨ · · · ∨ Hn . Sea 1 el elemento unidad de G Para todo λ. Sea A un anillo y sea ∅ . Para cualquier S ⊂ G no vacío. Para cualquier S ⊂ G no vacío. Luego xy−1 ∈ ∩Hλ = H. y el mismo A. +. 1 ∈ B 17 . ya que la ley de composición está determinada por el anillo A. . Para todo λ se verifica que x. ◦). Llamamos compuesto de los Hλ al subgrupo generado por S ∪λ Hλ . Sea {Hλ | λ ∈ Λ} una familia arbitraria de subgrupos de G. Ninguno de estos dos es un subanillo del otro. 1/n Pero B no es un subanillo de A porque no tienen la misma unidad. B ⊂ A. . a a a . a   . .69. . . Ejemplo 3.70. √ √ aunque ambos son subanillo Además el anillo Z[ 2] es un subanillo de Q( 2). 2. Sea A un anillo y sea ∅ . pero no es un subanillo de de Z6 porque el elemento neutro no es el mismo. Entonces C es un subanillo de A. . Sea {Bλ | λ ∈ Λ} una familia de subanillos de un anillo A. . 1/n   . . aunque la suma y el producto sean los mismos. . . . . .. . . . 1/n 1/n 1/n . El subconjunto {[0]. . xy ∈ B y además 1 ∈ B. Ejemplo 3. . √ Ejemplo 3.   1/n 1/n . Para cualquier homomorfismo de anillos f : A → B el conjunto Im( f ) es un subanillo de B. B es un anillo cuya unidad es la matriz   1/n 1/n . a Es fácil comprobar que con a suma y producto usuales de matrices.71.. y ∈ B se verifica que x − y. . El anillo Z es un subanillo de Z[i] y de Z[ 2]. . Sea A = Mn (R) el anillo de todas las matrices n×n con coeficientes en R y sea B el subconjunto de todas las matrices de la forma   a a . Entonces B = ∩λ Bλ es un subanillo de A. . . Obsérvese que para que B sea subanillo de A hay que comprobar explícitamente que la identidad es la misma en A que en B. . Ejemplo 3. Sea C subanillo de B y sea B subanillo de A. . . [2]. [4]} ⊂ Z6 es un anillo con unidad [4]. Entonces B es un subanillo de A si y sólo si para todo par de elementos x. . . . . .c) Para todo x ∈ B también −x ∈ B. . . .68. . Como ilustración del criterio vamos a demostrar: Proposición 3. Esta proposición nos permite definir dos conceptos importantes: 18 . Proposición 3. de C.73.   a a . .72. . . . . . . 19 . Estos son los ideales impropios. 1. Ejemplo 3. Entonces Z[S ] es el subanillo primo. xa ∈ I Ejemplo 3. Entonces I + J es un ideal de A. Llamamos compuesto de los Bλ al subanillo generado por S = ∪λ Bλ .77. Entonces I = ∩λ Iλ es un ideal de A. Sea {Bλ | λ ∈ Λ} una familia arbitraria de subanillos de A. Para cualquier homomorfismo de anillos f : A → B el núcleo ker( f ) es un ideal de A. Decimos que I es un ideal de A si se verifica: I es un subgruo de (A. En anillos existe otra subestructura importante: Definición 3.82. Sea A un anillo y sea I un subconjunto no vacío. Un ideal I de A es propio si y sólo si no es trivial y 1 < I. Proposición 3. Sea {Iλ | λ ∈ Λ} una familia de ideales de un anillo A.76. Para cualquier S ⊂ A no vacío. Proposición 3. Lo representamos por B = Z[S ].85. Sea S un subconjunto de A. Proposición 3.84.83. Ejemplo 3. Proposición 3. Todo anillo tiene dos ideales: El ideal trivial o nulo formado sólo por el elemento 0 y el ideal total que es todo el anillo. 2. Proposición 3. Sea A un anillo conmutativo y sea a un elemento de A. El anillo J de los enteros de Gauss es el subanillo generado por i Definición 3.80. J ideales de un anillo A. Ejemplo 3. Sean I. Cualquier otro ideal es un ideal propio. Z[S ] es el conjunto de todos los elementos de A que se expresan como polinomios en los elementos de S con coeficientes enteros.78. Sea B un subanillo cualquiera de A.86. Llamamos subanillo generado por S a la intersección B de todos los subanillos de A que contienen a S .81. Sea A conmutativo.Definición 3. +) ∀a ∈ A ∀x ∈ I ax. Entonces B contiene al subanillo primo de A.79.74. Un ideal I de A contiene al 1 si y sólo si I = A Corolario 3.75. Sea S = ∅. El conjunto Aa = {xa | x ∈ A} es un ideal de A que se llama ideal principal generado por a. Todo módulo M tiene dos submódulos: El módulo formado sólo por el elemento cero. 1.Definición 3. .92. que es el submódulo trivial.91. +) con el subconjunto N. Entonces X (S ) = {x = xa a | a ∈ S . Ambos son los submódulos impropios. . Proposición 3. . an }. que es el submódulo total. . N ⊂ M. el ideal generado por S se representa por (a1 . .94 (Caracterizaciones de submódulo). Todos los módulos que vamos a considerar son módulos por la izquierda sobre A. Ejemplo 3.90. . Submódulos Sea A un anillo fijo. Si A es conmutativo y a ∈ A. (a) = Aa el ideal prinicipal generado por a. 20 . b) Para todo a ∈ A y todo x ∈ N también ax ∈ N. cuando N es un subconjunto de M y la aplicación de inserción N → M es un homomorfismo de módulos. Llamamos ideal generado por S a la intersección de todos los ideales que contienen a S . Entonces N es un submódulo de M si y sólo si se verifica: a) Para todo par de elementos x. Entonces (a1 .5. an ). Definición 3. . . Sea A un anillo conmutativo y S un subconjunto no vacío suyo. +) y (N.89. y ∈ N también x + y ∈ N. xa ∈ A} a Corolario 3. y lo representamos por N < M. Dados dos módulos (M. Sea S un subconjunto del anillo A. . . Si S = ∅. . Sea M un módulo y sea ∅ . 3. Ejemplo 3. +). y el mismo M. an ) = {x1 a1 + · · · + xn an | xi ∈ A} = Aa1 + · · · + Aan .88.87. Sea S = {a1 . . ya que la ley de composición está determinada por el módulo N. . an } es un con junto finito. Proposición 3. decimos que N es un submódulo de M. Se representa por (S ). . Cualquier otro submódulo es un submódulo propio. Por abuso de lenguaje se suele identificar al submódulo (N.3. (S ) = 0 es el ideal nulo. .93. Ejemplo 3. Si S = {a1 . . Proposición 3. Llamamos submódulo generado por S a la intersección N de todos los submódulos de M que contienen a N. Sean N1 . Para cualquier homomorfismo de módulos f : M → N. Entonces N = ∩λ Nλ es un submódulo de M. Sea L submódulo de N y sea N submódulo de M.6.1.2.100. Cualquier elemento de a se llama representante de la clase a. Representamos por A/I al conjunto de todas las clases de equivalencia para la relación 3. Sea {Nλ | λ ∈ Λ} una familia de submódulos de un módulo M. Como ilustración del criterio vamos a demostrar: Proposición 3. Entonces L es un submódulo de M. Lo representamos por N = AhS i. Sea S = ∅. Esta proposición nos permite definir dos conceptos importantes: Definición 3.97. N2 submódulos de M. Sea S un subconjunto de M. x ∈ S } es el conjunto de todos los elementos de G que se expresan como combinaciones lineales finitas de elementos de S con coeficientes en A. 2. La relación 3. En A/I definimos dos operaciones internas: 21 . Anillos cocientes Sean A un anillo e I un ideal suyo. Entonces hS i es el submódulo trivial. Para cualquier S ⊂ M no vacío.1) Lema 3. Entonces N es un submódulo de M si y sólo si se verifica: Para todo par de escalares a. 3.98.96. Proposición 3. Ejemplo 3. Representamos por a = a + I a la clase de equivalencia del elemento a ∈ A. N ⊂ M.1 es una relación de equivalencia. b ∈ A y todo par de elementos x.95.99. el conjunto ker( f ) es un submódulo de M y el conjunto Im( f ) es un submódulo de N.101. y ∈ N también ax + by ∈ N. Entonces N1 + N2 es un submódulo de M. Proposición 3. X AhS i = { a x x | a x ∈ A casi todos cero. Sea M un módulo y sea ∅ . Definimos una relación binaria en A por la regla a∼b ⇔ a−b∈ I (3. 1. f es un epimorfismo si y sólo si f es un epimorfismo.105.a+b=a+b (3. Corolario 3. Teorema 3. Sean a = a1 y b = b1 . Todo homomorfismo de anillos f : A → B se descompone como un producto f1 A− → f2 f3 A − → Im( f ) − →B ker( f ) donde f1 es un epimorfismo. Sean A un anillo e I un ideal suyo.2) ab = ab (3.3) Lema 3. La proyección p : A → A/I es un epimorfismo de anillos con núcleo ker(p) = I. f2 es un isomorfismo y f3 es un monomorfismo.2 están bien definidas. Un subconjunto I ⊂ A es un ideal si y sólo si existe un homomorfismo de anillos f : A → B tal que I = ker f . Llamamos poyección de A sobre A/I a la aplicación p : A → A/I dada por p(a) = a.110 (Teorema de correspondencia). Teorema 3.103. El conjunto A/I junto con las operaciones 3.104. Para todo homomorfismo de anillos f : A → B tal que ker f ⊃ I existe un único homomorfismo de anillos f : A/I → B tal que f p = f . Entonces a + b = a1 + b1 y ab = a1 b1 Este lema nos dice que las operaciones 3.102. Corolario 3. Proposición 3.108 (Descomposición canónica de un homomorfismo). Corolario 3. Sean A un anillo e I un ideal suyo y sea p : A → A/I la proyección.107.2 forman un anillo que se llama anillo cociente de A sobre I.106 (Propiedad universal del anillo cociente). es decir que son independientes de los representantes elegidos. Para todo homomorfismo de anillos f : A → B existe un isomorfismo A/ ker( f )  Im( f ) dado por a ↔ f (a). Proposición 3. Además Im f = Im( f ) y a ∈ ker( f ) si y sólo si a ∈ ker( f ). Proposición 3. Sean S = {U | U es un subgrupo aditivo de A y U ⊃ I} S I = {V | V es un subgrupo aditivo de A/I} 22 .109 (Primer teorema de isomorfismo). f es un monomorfismo si y sólo si I = ker( f ). 115. 23 . S es un ideal de A si y sólo si p(S ) es un ideal de A/I. 2. Entonces: 1.113. B + I = {b + x | b ∈ B. En otras palabras. Entonces B es un dominio de integridad. Un anillo conmutativo no trivial A es un dominio de integridad si y sólo si satisface la ley cancelativa: ab = ac y a . Dominios de integridad y cuerpos Sea A un anillo conmutativo. B ∩ I es un ideal de B 3. Un dominio de integridad es un anillo conmutativo A no trivial sin divisores de cero no nulos. 0 tal que ab = 0. Teorema 3. Sea A un anillo y sean B un subanillo e I un ideal de A. b . un anillo conmutativo A es un dominio de integridad si 1 . Sea A un anillo y sean I ⊃ J ideales suyos. S es un subanillo de A si y sólo si p(S ) es un subanillo de A/I. 3. 0 ⇒ b = c Corolario 3. 0 y si ab = 0 ⇒ a = 0 o b = 0. En esta biyección S ⊂ T si y sólo si p(S ) ⊂ p(T ).112 (Tercer teorema de isomorfismo). La aplicación U → p(U) = U/I establece una biyección S  S I . Entonces I/J es un ideal de A/J y existe un isomorfismo A/J A  I/J I 3. Definición 3. 2. 4. Sea A un dominio de integridad y sea B un subanillo de A.114. Teorema 3.7. Existe un isomorfismo B B+I  B∩I I dado por b + B ∩ I ↔ b + I. Un elementos a ∈ A se llama divisor de cero si existe un b ∈ A. Proposición 3. x ∈ I} es un subanillo de A e I es un ideal de B + I.111 (Segundo teorema de isomorfismo).1. Un subcuerpo de un cuerpo F es un subanillo que es un cuerpo. Así que un dominio de integridad es lo mismo que un anillo de integridad conmutativo y un cuerpo es lo mismo que un anillo de división conmutativo.117.118.123. Sea K un cuerpo. Corolario 3. que el subcuerpo primo es el mínimo subcuerpo de K. Un ideal I de A se llama maximal si I . Es decir. Proposición 3. la multiplicación. La intersección de una familia arbitrarias de subcuerpos de K es un subcuerpo de K.126. Proposición 3. La característica de un dominio de integridad es o cero o un número primo.119. El ideal I es maximal si y sólo si el anillo cociente A/I es un cuerpo. I ⊂ J ⇒ J = I o J = A. Naturalmente todo anillo de división es un anillo de integridad. Un anillo conmutativo no trivial es un cuerpo si y solo si no tiene ideales propios.Definición 3. el uno. Proposición 3. Proposición 3. Definición 3.127. Todo homomorfismo de cuerpos K → F es inyectivo.122. Lema 3. Sea A un anillo conmutativo y sea I un ideal suyo. Proposición 3. 24 .125. Todo cuerpo es un dominio de integridad. Corolario 3. el cuerpo K es un subcuerpo de F si y sólo si es un subconjunto y la aplicación de inclusión i : K → F es un homomorfismo. el opuesto aditivo y el inverso multiplicativo. Un subconjunto de un cuerpo F es un subcuerpo si y sólo si es cerrado para la suma.120. Un anillo de división es un anillo (no necesariamente conmutativo) en el que todo elemento distinto de cero tiene un inverso. Todo ideal maximal es primo. Sea K un cuerpo. A y si para a. Se llama subcuerpo primo de K a la intersección de todos los subcuerpos de K. Sea A un anillo conmutativo.128. En otras palabras. Definición 3. Proposición 3. A y si para J ideal de A. b ∈ A ab ∈ I ⇒ a ∈ I o b ∈ A. el cero.124. Un anillo de integridad o anillo íntegro es un anillo (no necesariamente conmutativo) sin divisores de cero. El ideal I es primo si y sólo si el anillo cociente A/I es un dominio de integridad. Definición 3.121. Todo dominio de integridad finito es un cuerpo. Un cuerpo es un anillo conmutativo no trivial en el que todo elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo.116. Un ideal I de A se llama primo si I . √ Ejemplo 3.4 es una relación de equivalencia. Sea B = {a/b ∈ Q | b ≡ 1 (m´od 2)}. Es fácil ver que Q(B) = Q. el elemento a es el numerador y s es el denominador de la fracción. 25 . Usualmente se identifica el anillo A con la imagen del anterior monomorfismo. √ √ Ejemplo 3.4) Proposición 3.6 es un cuerpo que se llama cuerpo de fracciones del anillo A.137. b ∈ Q} es el cuerpo de fracciones del anillo de los enteros de Gauss J = Z[i].6 están bien definidas (es decir.6) Proposición 3. El conjunto Q(A) con las operaciones 3. Lema 3. a2 ) ⇔ s1 a2 = s2 a1 (3.135. Definimos dos operaciones binarias Q(A) × Q(A) → Q(A) por las reglas: a1 + s1 a1 · s1 a2 s2 a1 + s1 a2 = s2 s1 s2 a2 a1 a2 = s2 s1 s2 (3. El anillo A determina unívocamente al cuerpo Q(A) (salvo isomorfismos). Proposición 3.134.131. Cuando A = Z.130.3. En el conjunto producto cartesiano S × A definimos la siguiente relación binaria: (s1 .5) (3. aunque B 6 Z. Q( 2) es el cuerpo de fracciones de Z[ 2].129. a) se representa por a/s y se llama fracción. Las operaciones 3.5 y 3. a1 ) ∼ (s2 . Al conjunto cociente S × A/ ∼ lo representamos por Q(A) o por S −1 A.133. Proposición 3. el cuerpo de fracciones es el cuerpo de los números racionales Q(A) = Q. son independientes de los representantes elegidos para las fracciones).136. Con esta identificación A es un subanillo de Q(A).8. Ejemplo 3. La relación 3. Todo dominio de integridad es un subanillo de algún cuerpo.132. El cuerpo de fracciones Sea A un dominio de integridad.5 y 3. Llamamos S al conjunto de elementos no nulos de A. Pero para un cuerpo K puede ocurrir que K = Q(A) = Q(B) aunque A y B no sean isomorfos: Ejemplo 3. es decir que tomamos a = a/1. La aplicación λ : A → Q(A) definida por λ(a) = a/1 es un monomorfismo de anillos. Q( i) = {a + bi | a. En este conjunto la clase De (s. i. Definición 3.138. el conjunto de divisores de uno constituye un grupo multiplicativo que se llama grupo de las unidades y se representa por A× . b). Z× = {1. d. Para c ∈ A. c | a y c | b ⇒ c | d.139. Se suele representar d = (a. −1}. −1. b) = m.141.140. Un máximo común divisor de a y b es un elemento d ∈ A que verifica dos propiedades: 1. Factorización Sea A un dominio de integridad y sean a. Sea A un subanillo de un cuerpo K tal que todo elemento u ∈ K se puede expresar como u = ab−1 con a. b ∈ A. Además Im( f¯)  Q(A).145. b ∈ Z. a2 − 2b2 = ±1}. b ∈ A se llaman asociados si a divide a b y b divide a a. Proposición 3. Decimos que b es un múltiplo de a y que a divide a b si existe un c ∈ A tal que ac = b. b ∈ A. Dos elementos a. 2. el cuerpo primo de K es isomorfo a Q. 26 .142.(a. Se representa por a | b. Teorema 3. Todo divisor de 1 se llama unidad del anillo A. b ∈ A son asociados si y sólo si existe una unidad u ∈ A tal que a = bu. Un elemento a ∈ A es un irreducible o átomo de A si no es una unidad y si a = bc implica que b o c es una unidad. Entonces Q(A)  K. Definición 3. Sea K un cuerpo. Sea A un dominio de integridad y sean a. Ejemplo 3. c.Este resultado es falso para anillos de integridad: Malcev ha dado ejemplos de anillos de integridad que no se pueden sumergir en un anillo de división. −i}. Lema 3. Si car(K) = 0. Corolario 3. el cuerpo primo es isomorfo a Z p . 3. Para todo monomorfismo f : A → K donde K es un cuerpo existe un único homomorfismo f¯ : Q(A) → K tal que f¯λ = f . Para un anillo A. b ∈ A. Ejemplo 3. En un dominio de integridad A dos elementos a. Definición 3. d | a y d | b.146. J× √ = {1. En Z las unidades son 1 y −1 y los irreducibles son los primos y sus negativos.9.143. Si car(K) = p.144.√ Z[ 2]× = {a + b 2 | a. (a. d. Dos máximos comunes divisores d. [a. [a. b]. Un mínimo común múltiplo de a y b es un elemento m ∈ A que verifica dos propiedades: 1. Definición 3. b. d0 de a y b son asociados. c) = (a. a | c y b | c ⇒ m | c. c. 2. bc] = [a. [[a. b ∈ A son primos relativos si m. (ac. el elemento d = ab/m es un máximo común divisor de a y b. (a. Las siguientes reglas se verifican siempre que existan los máximos comunes divisores implicados: 1. Dos mínimos comunes múltiplos m. c ∈ A. Sea A un dominio de integridad y sean a. m0 de a y b son asociados. b). m.(a. c]] 3. b]c 2.147. bc) = (a. 1] = a. Sea A un dominio de integridad y sean a. Proposición 3. Dos elementos a. Entonces m = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0. 4. c ∈ A. 27 . Si m . b. Para c ∈ A. c)) 3. ((a. c. Proposición 3. b] es asociado de a si y sólo si b | a. Las siguientes reglas se verifican siempre que existan los mínimos comunes múltiplos implicados 1.149. a | m y b | m.150. Definición 3.152. [ac. b] = m. Lema 3. b) es asociado de a si y sólo si a | b. Se suele representar m = [a. b dos elementos de A que tienen un mínimo común múltiplo m.148.(a. b) = 1. (b. b)c 2. Sea A un dominio de integridad. 0) = a. Sea A un dominio de integridad y sean a. 4.153.151.Lema 3. c] = [a. [b. b). Proposición 3. 0. Sea m1 un múltiplo común arbitrario de a.155.(m.(a.Demostración. Sea A el subanillo de Z[X] formado por los polinomios con coeficiente de X par. Evidentemente a | m y b | m.(a. c. por lo que d1 es una unidad y k. c. Po tanto (d1 d) divide a m. m son asociados. Dominios de factorización única El teorema fundamental de la aritmética dice que todo entero se factoriza en irreducibles de forma esencialmente única. . En particular m .156. Los elementos 2 y 2X tienen un máximo común divisor en A. De donde md = ab = m1 d1 = mcd1 . Sea m = kd1 y sea k = au = bv. Además m = ab1 = a1 b. d. qm entonces n = m y existe una permutación σ ∈ S n tal que pi es asociado de qσ(i) para i = 1. 28 .  El enunciado recíproco es falso: Ejemplo 3. Sea d = m. b). 0. luego existe c ∈ A tal que m1 = mc. 0.1. Como A es un dominio de integridad. m1 ). El producto ab es un múltiplo de a y b. luego m | ab. b y sea k = m. así que m divide a m1 . necesariamente a y b dividen a k. . Llamamos m1 = ab/d1 . Sea d = cd1 d. . así que a = a1 d y b = b1 d con a1 . así que ab = ab1 d = a1 bd. n. Sin embargo es cierto cuando todos los pares tienen un máximo común divisor: Proposición 3.  3. . d. Demostración. lo que motiva la siguiente definición. Definición 3. . b). pero no tienen mínimo común múltiplo. Un dominio de factorización única (abreviadamente.154. . d. Sea A un dominio de integridad en el que todo par de elementos tiene un máximo común divisor. Sean a. ab . . Es fácil ver que m1 es un múltiplo común de a y b. un DFU) o dominio factorial es un dominio de integridad en el que todo elemento no nulo ni unidad se puede escribir como un producto de irreducibles y además verifica que dadas dos factorizaciones en irreducibles del mismo elemento a = p1 . Sustituyendo obtenemos a1 b = m = kd1 = bvd1 . b) = d.Luego m = m. c. Simplificando nos queda a1 = vd1 y por tanto a = a1 d = v(d1 d). Luego d = cd1 y d1 es un divisor de d. . pn = q1 . Similarmente b = u(d1 d). Simplificando nos queda 1 = cd1 . luego d divide a a y b. b = b1 d y a = a1 d. Sea d1 otro divisor común de a y b. Como a y b son divisores de m y m1 . Sea m = ab/d = a1 b1 d = ab1 = a1 b. b1 ∈ A. Sea ab = md. 0. b ∈ A. m. Entonces todo par de elementos tiene un mínimo común múltiplo.9. Sea ab .(a. c. La unicidad de la factorización resulta ser muy útil. n Proposición 3. Teorema 3. . . Sea p un primo de A y sean a1 . . c. n. . . Todo elemento no nulo ni unidad descompone como producto de irreducibles 2.160.164. Z es un dominio de factorización única por el teorema fundamental de la aritmética. b ∈ A se verifica que p | ab si y sólo si p | a o p | b. . . ti ) para i = 1. Mas adelante veremos que los anillos de polinomios con coeficientes en un dominio de factorización única también son dominio de factorización única. pero esto no es esencial). Los primos de Z son los números primos y sus opuestos. m.Ejemplo 3. . . Proposición 3. an si y sólo si existe un i tal que p | ai . ptnn elementos de A. . an ∈ A. . .158. . Sea A un dominio de integridad y p un elemento suyo.157. Ejemplo 3. . (en muchos ejemplos interesantes P es infinito. c. . . Lema 3. . . ti ) para i = 1. ptnn las factorizaciones en irreducibles. . Definición 3.163. Todo primo es un irreducible. pknn y b = upt11 . . . p es un elemento primo de A si no es cero ni unidad y para a. b ∈ A y sean a = upk11 . Lema 3. n.166. Sea A un dominio de factorización única. . . pnsn donde si = m´ax(ki . d. Todo elemento a de A se escribe de manera única como a = upk11 . Entonces a | b si y sólo si k1 ≤ ti para i = 1. Todo irreducible es primo. Un dominio de integridad A es un dominio de factorización única si y sólo si 1. . Entonces m. Vamos a establecer dos caracterizaciones de los dominios de factorización única. ptnn las factorizaciones en irreducibles. pknn donde u es una unidad y los pi son elementos de P. . . b) = up1s1 . Lema 3. . b) = upl11 . sean a. pknn y b = upt11 .165. Sea A un dominio de factorización única Sean a = upk11 . 29 . . . Sean a = upk11 . plnn donde li = m´ın(ki . . .159. Sea A un dominio de factorización única y sea P un conjunto de irreducibles tal que todo irreducible de A está asociado exactamente a un irreducible de P. .162. .(a. . Entonces m. pknn y b = upt11 .(a. Entonces p divide al producto a1 . Todo cuerpo es un dominio de factorización única de manera trivial. . Ejemplo 3. .161. ab) = (u(1. a) = 1 = m. Sean a = u1 . b ∈ A tales que u | ab. c. . ub).160 todo par de elementos tiene un máximo común divisor. Como p1 | q1 . . Luego u es primo. La pega es que presuponen que A es un dominio de factorización única y que a y b han sido factorizados en A. c. pn = (uq2 ) . pn = q1 . qm dos factorizaciones en irreducibles.(u. . Por sencillez suponemos que j = 1. . necesariamente m = n y p1 = q1 . Por la proposición 3. Como A es factorial. k + 1 = m y existe un u j asociado con u. existe un q j tal que p1 | q j y como q j es irreducible.167. . . Todo elemento no nulo ni unidad descompone como producto de irreducibles 2.b. b). b = (ub. . A la inversa. . Entonces existe un c ∈ A tal que uc = ab. . Si n=1. qm y como p1 es irreducible. Nos queda p1 .161 suministran una forma cómoda de calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. vk factorizaciones en irreducibles Sustituyendo nos queda uv1 . . 30 . (ub. Para Z. qm . .a y u . vk = u1 . ab) = u ⇒ (u. a) = u ó (u. Pero el proceso de factorizar completamente un elemento normalmente es largo y penoso. d. b ∈ A tales que u . . El contrarrecíproco nos dice que (u. ab)) = ((u.149. . . . Por la hipótesis de inducción. . . n − 1 = m − 1 y existe una permutación i 7→ j ta que pi y q j son asociados. . . q j = p1 u con u invertible. b) = (u.Demostración. b = un+1 . Estas son dos factorizaciones en irreducibles. Si j ≤ n.160 y 3. b) = u  Las proposiciones 3. ab). Todo par de elementos tiene máximo común divisor.(u. um y c = v1 . Esto motiva la definición de dos nuevas clases de anillos: Los dominios de ideales principales y los dominios euclídeos. resulta que u | a y si j > n queda que u | b. qm y p1 es primo. un . pn = p1 (uq2 ) . Sea A un dominio de factorización única. . A la inversa. Un dominio de integridad A es un dominio de factorización única si y sólo si 1. ab) y 1 = (u. Sea u ∈ A un irreducible arbitrario y sean a.  Teorema 3. . qm y simplificando p2 . supongamos que todo par de elementos tiene un máximo común divisor. Sea ahora n > 1 y supongamos que la factorización es única siempre que uno de los productos tenga menos de n factores. . . . Sea A un dominio de factorización única y sea u ∈ A irreducible Sean a. La primera condición es la misma en ambos casos. b). K[X] y otros dominios de integridad existe un método mas directo y efectivo de calcular el máximo común divisor usando un algoritmo de división con resto. . Por la proposición 3. d. es decir que m. Pero ahora el primer miembro tiene n − 1 factores. p1 = q1 . ab) = (u. Demostración. vm . sea A un dominio de integridad verificando las condiciones del enunciado y sean a = p1 . . Si a2 es reducible. Para cualquier m tenemos que am ∈ I. es estacionaria. Luego (am ) = (an ) para todo m ≥ n. Por el lema anterior.3. existe un d ∈ I tal que (a. Luego existe un n tal que a1 = p1 .170.I. Luego llegamos a una factorización a1 = p1 a2 con p1 irreducible. Por ser A un dominio de ideales principales. Dominios de ideales principales Definición 3. Si a1 es reducible existe una factorización a1 = a2 b1 con a2 y b1 no invertibles. 2. es decir que existe un n tal que (an ) = (an+1 ) = . tenemos una factorización a1 = p1 . Todo dominio de ideales principales es un dominio de factorización única. Si a2 es irreducible o invertible. Si a1 es irreducible. Por el lema anterior. luego am = dm b es un múltiplo de b. Como I es la unión de los ideales (ai ).169. .2. . Todo elemento de un dominio de ideales principales se descompone como producto de irreducibles: Sea A un dominio de ideales principales arbitrario y sea a1 ∈ A cualquier elemento que no es invertible. Además existen u.P) es un dominio de integridad en el que todo ideal es principal. b están en I = (d) luego d | a y d | b. 1. Demostración. : Demostración. . es decir que b = can es un múltiplo de an . y por tanto (a1 ) ( (a2 ). . En otro caso.  Proposición 3. b) el ideal generado por ellos. Sustituyendo tenemos que am = dm can ∈ (an ) y por tanto (am ) ⊂ (an ) para todo m. Un dominio de ideales principales (abreviado por D. Lema 3. v ∈ A 31 . b ∈ A arbitrarios y sea I = (a. b) = (d)..168. . . luego existe un b ∈ I tal que I = (b). En un dominio de ideales principales A toda cadena ascendente de ideales (a1 ) ⊂ (a2 ) ⊂ . Es fácil comprobar que I es un ideal de A. esta cadena es estacionaria. repetimos el proceso y obtenemos a2 = p2 a3 con p2 irreducible y a1 = p1 p2 a3 . . este proceso no puede ser infinito. existe un n tal que b ∈ (an ). . En un dominio de ideales principales A todo par de elementos tiene un máximo común divisor: Sean a. Sea I = ∪i (ai ). tenemos una factorización de a1 en irreducibles. Otra vez tenemos una cadena ascendente de ideales (a1 ) ( (a2 ) ( (a3 ) . pn es una factorización de a1 como producto de irreducibles. Los elementos a.9. repetimos el razonamiento y obtenemos un a3 no invertible tal que (a1 ) ( (a2 ) ( (a3 ). Abstract Algebra. Wiley and sons 1977 [3] D. Number Theory and its History. c. Ore. Waveland Press 1996 [2] P. Abstract Algebra. v ∈ A tales que d = m. Prentice-Hall 1991 [4] O. A. Algebra I. Para cualesquiera a. Sea A un dominio de ideales principales. D. Sea c un divisor común de a y b. d. M. b ∈ A existen u. Dummit and R. S.171 (Identidad de Bezout). Cohn.  Corolario 3. b) = ua + vb Referencias [1] J.tales que d = ua + vb. Luego d = ua1 c + vb1 c = (ua1 + vb1 )c es un múltiplo de c. M. Academic Press 32 . Beachy and W. Blair. así que a = a1 c y b = b1 c. Foote.(a. 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